text
stringlengths 1
6.59M
| label
int64 0
1
| file_path
stringlengths 0
152
|
|---|---|---|
 **★初三第 讲**
**自招真题**
**Perhaps it\'s the weather, fortune,**
**or there is someone without giving up.**
**15岁觉得游泳难，放弃游泳，**
**到18岁遇到一个你喜欢的人约你去游泳，**
**你只好说"我不会耶"。**
**18岁觉得英文难，放弃英文，**
**28岁出现一个很棒但要会英文的工作，**
**你只好说"我不会耶"。**
**人生前期越嫌麻烦，越懒得学，**
**后来就越可能错过让你动心的人和事，**
**错过新风景！**
**要得到你必须付出**
**要付出你还要学会坚持**
**如果你真的觉得很难 那你可以放弃**
**但是你放弃了就不要抱怨**
**我觉得人生就是这样**
**世界真的是平衡的**
**每个人都是通过自己的努力**
**去决定自己生活的样子**
+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **初升高自招试题汇编** |
| |
| **题型目录（括号内为主要拓展自何章节）** |
| |
| [**[【题型1】【找规律】]{.underline}**](\l)（小学奥数） |
| |
| [**[【题型2】【创新题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| [**[【题型3】【巧算】]{.underline}**](\l)（六上-分数、七下-实数） |
| |
| [**[【题型4】【根式开方问题】]{.underline}**](\l)（八上-二次根式） |
| |
| [**[【题型5】【化简与求值】]{.underline}**](\l)（六下-绝对值、七上-分式、八上-二次根式） |
| |
| [**[【题型6】【有理数、无理数与反证法】]{.underline}**](\l)（七下-实数、高一上-不等式） |
| |
| [**[【题型7】【方程与方程组的求解】]{.underline}**](\l)（八下-代数方程） |
| |
| [**[【题型8】【方程的实际应用】]{.underline}**](\l)（八下-代数方程） |
| |
| [**[【题型9】【一次函数、反比例函数的性质】]{.underline}**](\l)（八上-反比例函数、八下-一次函数） |
| |
| [**[【题型10】【函数的实际应用】]{.underline}**](\l)（八下-一次函数） |
| |
| [**[【题型11】【二次方程与韦达定理】]{.underline}**](\l)（八上-一元二次方程） |
| |
| [**[【题型12】【二次函数及其性质】]{.underline}**](\l)（九上-二次函数（但几乎大部分为高一上函数题型）） |
| |
| [**[【题型13】【动点问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| [**[【题型14】【不等式与最值问题】]{.underline}**](\l)（高一上-不等式） |
| |
| [**[【题型15】【平面几何之面积割补】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、六上-圆和扇形） |
| |
| [**[【题型16】【平面几何之几何中的度量与计算问题】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、九下-圆） |
| |
| [**[【题型17】【平面几何之计算与证明】]{.underline}**](\l)（九下-圆（但几乎全部超纲此部分极难）） |
| |
| [**[【题型18】【组合计数与概率】]{.underline}**](\l)（高三-概率初步） |
| |
| [**[【题型19】【几何组合计数问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| [**[【题型20】【根与多项式问题】]{.underline}**](\l)（高一-函数） |
| |
| [**[【题型21】【数论之十进制与整数的性质】]{.underline}**](\l)（六上-数的整除（但几乎全部超纲此部分极难）） |
| |
| **注1：**自招题型变化形式较多，绝不是二十余类能总结的，此处只是挑选部分供参考。 |
| |
| **注2：**自招题型也非难度一致，四校八大普通市重点各有各相应的难度档次，为方便参考所有例题都标注了出自哪所学校的真题。 |
| |
| **注3、**很多题型和能力不是初三培养的，对应的年级都标注好了，主要学完这一章就可以做了。 |
| |
| 一、从**学校分类上**此处选题分了三挡： |
| |
| **第一档**\--四校，本问选的上中和华二真题。 |
| |
| **第二档**\--较好市重点难度，本文选的进才中学真题，更想选建平的，但真题资料非常难收集。 |
| |
| **第三档**\--华师一附及普通市重点模拟题。 |
| |
| 二、从**题型难度上**也大致分为三档： |
| |
| **第一档：**基础送分题型： |
| |
| 如**[【题型1】【题型3】【题型4】【题型8】【题型9】【题型15】【题型18】]{.underline}** |
| |
| 这一部分如果不能讲绝大部分答对，基本也不必畅想自招训练了。 |
| |
| 如果能答对一半，可能还能搭上最弱市重点的末班车。 |
| |
| 此部分算是全市前十民办学校的校考常规题，此部分学校的孩子通常是小学长时间学过奥数且具备一定悟性的，但也是需要一定的自我归纳总结能力的。 |
| |
| 95%以上的普通公办学校校考卷中连这一程度的题型都很难见到。 |
| |
| **第二档：**中等入围题型： |
| |
| 如**[【题型2】【题型5】【题型10】【题型11】【题型13】【题型20】]{.underline}** |
| |
| 此部分能答对一半以上的同学具备了一定的竞争力，但需要补充一些课本之外的知识点，也需要把握各个常见拓展知识点的易错点。 |
| |
| 此部分的常规拓展有： |
| |
| **1、韦达定理** |
| |
| **2、二次函数根的范围与系数之间的关系** |
| |
| **3、高一函数的奇偶性、周期性等基本性质** |
| |
| **4、双重根式** |
| |
| **5、分段函数的图像和性质** |
| |
| **6、余式定理** |
| |
| **。。。等等** |
| |
| **第三档：**拓展拉分 |
| |
| 如**[【题型6】【题型7】【题型12】【题型14】【题型16】【题型17】【题型19】【题型21】]{.underline}** |
| |
| 此部分题型少数会出现在全市拔尖民办学校校考的附加题中，想应对此部分知识点需要补充的拓展知识点较多，而且命题范围极广。 |
| |
| 建议拓展补充的知识点有: |
| |
| 1. **同余等相关数论问题** |
| |
| 2. **高一不等式证明中的各种不同思想方法，尤其是放缩法、反证法。** |
| |
| 3. **初二下的代数方程章节一定多做一些竞赛类题型，此题型常考解答题。** |
| |
| 4. **高一函数部分的对称性和单调性。** |
| |
| 5. **圆需要补充的知识点有很多，比如各中心、四点共圆的证法和应用、圆周角定理、切线长定理、弦切角定理、圆幂定理（包括相交弦定理、切割线定理及割线定理）等等。。。** |
| |
| 6. **抽屉原理。** |
| |
| 7. **高二的排列组合基本原理，及与统计的结合题型。** |
| |
| 8. **我也不知道了，感觉还有很多可以把近10-15年新知杯真题刷两遍。** |
| |
| [**[【题型1】【找规律】]{.underline}**](\l)（小学奥数） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
| **解析：55=413+3，位于第四象限，坐标为（14，-14）** |
| |
| [**[【题型2】【创新题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型3】【巧算】]{.underline}**](\l)（六上-分数、七下-实数） |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| [**[【题型4】【根式开方问题】]{.underline}**](\l)（八上-二次根式） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型5】【化简与求值】]{.underline}**](\l)（六下-绝对值、七上-分式、八上-二次根式） |
| |
| **【复旦附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型6】【有理数、无理数与反证法】]{.underline}**](\l)（七下-实数、高一上-不等式） |
| |
| **【复旦附中】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型7】【方程与方程组的求解】]{.underline}**](\l)（八下-代数方程） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型8】【方程的实际应用】]{.underline}**](\l) |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型9】【一次函数、反比例函数的性质】]{.underline}**](\l)（八上-反比例函数、八下-一次函数） |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型10】【函数的实际应用】]{.underline}**](\l)（八下-一次函数） |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| [**[【题型11】【二次方程与韦达定理】]{.underline}**](\l) |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| **【复旦附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型12】【二次函数及其性质】]{.underline}**](\l) |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型13】【动点问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型14】【不等式与最值问题】]{.underline}**](\l)（高一上-不等式） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型15】【平面几何之面积割补】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、九下-圆） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型16】【平面几何之几何中的度量与计算问题】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、九下-圆） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| [**[【题型17】【平面几何之计算与证明】]{.underline}**](\l)（九下-圆（但几乎全部超纲此部分极难）） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| [**[【题型18】【组合计数与概率】]{.underline}**](\l)（高三-概率初步） |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型19】【几何组合计数问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| [**[【题型20】【根与多项式问题】]{.underline}**](\l)（高一-函数） |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华师一附】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| [**[【题型21】【数论之十进制与整数的性质】]{.underline}**](\l)（六上-数的整除（但几乎全部超纲此部分极难）） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| **【上海中学】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
| |
|  |
| |
|  |
+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）**
**理科试卷**
**参考答案**
**一、选择题**
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．A
8．B 9．D 10．C 11．D 12．B 13．A
**二、选择题：**
14．C 15．B 16．C 17．BD 18．A 19．B 20．D 21．A
**三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。第22题～第29题为必考题，每个试题考生都必须做答。第30题～第32题为选考题，考生根据要求做答。**
22．（1）H、R~1．~R~2．~ε（正对面积、板间距离、极板间的介质）
（2）①
②2； 998.3
23．如图选坐标，斜面的方程为：
①
运动员飞出后做平抛运动
②
③
联立①②③式，得飞行时间
t＝1.2 s
落点的x坐标：x~1~＝v~0~t＝9.6 m
落点离斜面顶端的距离：
落点距地面的高度：
接触斜面前的x分速度：
y分速度：
沿斜面的速度大小为：
设运动员在水平雪道上运动的距离为s~2~，由功能关系得：
解得：s~2~＝74.8 m
24．（1）由于粒子在P点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP上，AP是直径。
设入射粒子的速度为v~1~，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：
解得：
（2）设O^/^是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O^/^Q，设O^/^Q＝R^/^。
由几何关系得：
由余弦定理得：
解得：
设入射粒子的速度为v，由
解出：
25．（15分）
（1）坩埚钳、酒精灯（可以不答"火柴"）
（2）步骤②有错误 应先将试样研细，后放入坩埚称重
（3）因硫酸钠放置在空气中冷却时，会吸空气中的水分
（4）保证试样脱水完全
（5）B、D、F
26．（14分）
（1）
（2）①锌片与银片减少的质量等于生成氯气所消耗的质量，设产生的氢气体积为x。
65g 22.4g
60g-47g=13g x
X=13g×22.4L÷65g=4.5L
②反应消耗的锌为：13g÷65g/mol=0.20mol
1molZn变为Zn^2+^时，转移2mole^-^，则通过的电量为：
0.20mol×2×6.02×10^23^mol^-1^×1.6×10^-19^C=3.8×10^4^C
27．（14分）
（1）3，6，2，1，6
（2）N~2~，Si~3~N~4~
（3）
（4）小于；减小
（5）逆
（6）6
28．
I．（22分）
（1）A和C（2分） C（2分） 淀粉酶在40℃时活性相对较高，淀粉酶催化淀粉水解产生的还原糖多（4分） E（2分） 酶失活（2分）
（2）剩余的淀粉遇碘变蓝（２分）
（3）在20℃和100℃之间每隔一定温度设置一个实验组，其它实验条件保持一致。
以反应液和上述试剂（或答碘液或答斑氏试剂或答斐林试剂）发生颜色反应的程度为指标确定最适温度。（8分）
Ⅱ．（3分）
病虫害对西瓜产生影响的研究（3分）（本题答案有多种，只要合理就给分）
29．（14分）
30．物理选考题
**A．**［物理------选修2-2］
解：（1）空载时合力为零：
已知：f~B~＝2f~A~
求得：f~A~＝200 kN
f~B~＝400 kN
设机架重心在中心线右侧，离中心线的距离为x，以A为转轴，力矩平衡
求得：x＝1.5 m
（2）以A为转轴，力矩平衡
求得：F~B~＝450 kN
**B．**［物理------选修3-3］
（1）设左、右活塞的面积分别为A^/^和A，由于气体处于平衡状态，故两活塞对气体的压强相等，即：
由此得：
在两个活塞上各加一质量为m的物块后，右活塞降至气缸底部，所有气体都在左气缸中。
在初态，气体的压强为，体积为；在末态，气体压强为，体积为（x为左活塞的高度）。由玻意耳－马略特定律得：
解得： 即两活塞的高度差为
（2）当温度由T~0~上升至T时，气体的压强始终为，设x^/^是温度达到T时左活塞的高度，由盖·吕萨克定律得：
活塞对气体做的功为：
在此过程中气体吸收热量
**C．**解：（1）A＝0.1 m
（2）
**D．**［物理------选修3-5］
从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，根据它们通过的路程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小之比为4∶1。
设碰撞后小球A和B的速度分别为和，在碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等
利用=4，可解出
31．化学选考题（15分）
**A．**［化学---选修化学与技术］
（1）压强一定时,温度升高时,SO~2~转化率下降,说明升温有利逆反应的进行,所以正反应为放热反应；
（2）增大压强对提高SO~2~转化率无显著影响，反而会增加成本；
（3）否 否
（4）浓硫酸
（5）解：1万吨98%的硫酸含H~2~SO~4~的质量：9.8×10^9^g
设需要SO~3~的质量为x，该反应产生的热量为y。
H~2~SO~4~ --- SO~3~ --- △H
98g 80f -196.6×0.5kj
9.8×10^9^g x y
**B．**［化学------选修物质结构与性质］
（1）1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^
（2）HCI H~2~S V 极性
（3）H~2~O~2~
（4）CH~2~O （答CH~3~OH不扣分）
**C．**［化学------选修有机化学基础］
（1）
（2）是
（3）
2，3-二甲基-1，3-丁二烯
1，4-加成反应
取代反应
32．生物选考题（15分）
**A．**［生物------选修1生物技术实践］
（1）氮源（碳源不作要求） 碳源、无机盐、水
（2）高压蒸汽灭菌（ 分）
（3）恒温培养箱（ 分）无菌水（ 分）
（4）多：高
（5）盐（或NaCl），选择性培养基
**B．**［生物------选修3现代生物科技专题］
（1）细胞核 去核 重组胚胎 子宫
（2）不足 促性腺
（3）动物体细胞核（ 分） A（ 分） 两（ 分） 雌（ 分） 不同
| 1 | |
**绝密★本科目考试启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合*A*={*x*\|--1\<*x*\<2}，*B*={*x*\|*x*\>1}，则*A*∪*B*=
> （A）（--1，1） （B）（1，2） （C）（--1，+∞） （D）（1，+∞）
（2）已知复数*z*=2+i，则
> （A） （B） （C）3 （D）5
（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
> （A） （B）*y*= （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为
> （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（5）已知双曲线（*a*\>0）的离心率是，则*a*=
> （A） （B）4 （C）2 （D）
（6）设函数*f*（*x*）=cos*x*+*b*sin*x*（*b*为常数），则"*b*=0"是"*f*（*x*）为偶函数"的
> （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（*k*=1,2）．已知太阳的星等是--26.7，天狼星的星等是--1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
> （A）10^10.1^ （B）10.1 （C）lg10.1 （D）
（8）如图，*A*，*B*是半径为2的圆周上的定点，*P*为圆周上的动点，是锐角，大小为*β*.图中阴影区域的面积的最大值为
> （A）4*β*+4cos*β* （B）4*β*+4sin*β* （C）2*β*+2cos*β* （D）2*β*+2sin*β*
第二部分（非选择题 共110分）
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。**
（9）已知向量=（--4，3），=（6，*m*），且，则*m*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（10）若*x*，*y*满足 则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（11）设抛物线*y*^2^=4*x*的焦点为*F*，准线为*l*．则以*F*为圆心，且与*l*相切的圆的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（13）已知*l*，*m*是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
> ①*l*⊥*m*；②*m*∥；③*l*⊥．
>
> 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付*x*元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
> ①当*x*=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元；
>
> ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则*x*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。**
（15）（本小题13分）
> 在△*ABC*中，*a*=3，，cos*B*=．
>
> （Ⅰ）求*b*，*c*的值；
>
> （Ⅱ）求sin（*B*+*C*）的值．
（16）（本小题13分）
> 设{*a~n~*}是等差数列，*a*~1~=--10，且*a*~2~+10，*a*~3~+8，*a*~4~+6成等比数列．
>
> （Ⅰ）求{*a~n~*}的通项公式；
>
> （Ⅱ）记{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，求*S~n~*的最小值．
（17）（本小题12分）
> 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
+----------+---------------+-------------+
| 支付金额 | 不大于2 000元 | 大于2 000元 |
| | | |
| 支付方式 | | |
+----------+---------------+-------------+
| 仅使用A | 27人 | 3人 |
+----------+---------------+-------------+
| 仅使用B | 24人 | 1人 |
+----------+---------------+-------------+
> （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
>
> （Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
>
> （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14分）
> 如图，在四棱锥中，平面*ABCD*，底部*ABCD*为菱形，*E*为*CD*的中点．
>
> （Ⅰ）求证：*BD*⊥平面*PAC*；
>
> （Ⅱ）若∠*ABC*=60°，求证：平面*PAB*⊥平面*PAE*；
>
> （Ⅲ）棱*PB*上是否存在点*F*，使得*CF*∥平面*PAE*？说明理由．
>
> 
（19）（本小题14分）
> 已知椭圆的右焦点为，且经过点．
>
> （Ⅰ）求椭圆*C*的方程；
>
> （Ⅱ）设*O*为原点，直线与椭圆*C*交于两个不同点*P*，*Q*，直线*AP*与*x*轴交于点*M*，直线*AQ*与*x*轴交于点*N*，若\|*OM*\|·\|*ON*\|=2，求证：直线*l*经过定点．
（20）（本小题14分）
> 已知函数．
>
> （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
>
> （Ⅱ）当时，求证：；
>
> （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为*M*（*a*），当*M*（*a*）最小时，求*a*的值．
>
> **（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）**
**\
**
**绝密★启用前**
**2019年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学（文）（北京卷）参考答案**
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
> （1）C （2）D （3）A （4）B
>
> （5）D （6）C （7）A （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
> （9）8 （10）--3 1
>
> （11） （12）40
>
> （13）若，则．（答案不唯一）
>
> （14）130 15
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
> 解：（Ⅰ）由余弦定理，得
>
> ．
>
> 因为，
>
> 所以．
>
> 解得．
>
> 所以．
>
> （Ⅱ）由得．
>
> 由正弦定理得．
>
> 在中，．
>
> 所以．
（16）（共13分）
> 解：（Ⅰ）设的公差为．
>
> 因为，
>
> 所以．
>
> 因为成等比数列，
>
> 所以．
>
> 所以．
>
> 解得．
>
> 所以．
>
> （Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
>
> 所以，当时，；当时，．
>
> 所以，的最小值为．
（17）（共12分）
> 解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，
>
> A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
>
> 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100--30--25--5=40人．
>
> 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为．
>
> （Ⅱ）记事件*C*为"从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元"，则．
>
> （Ⅲ）记事件*E*为"从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元"．
>
> 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，=0.04．
>
> 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
>
> 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
>
> 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
>
> 事件*E*是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为平面*ABCD*，
> 所以．
>
> 又因为底面*ABCD*为菱形，
>
> 所以．
>
> 所以平面*PAC*．
>
> 
（Ⅱ）因为*PA*⊥平面*ABCD*，平面*ABCD*，
> 所以*PA*⊥*AE*．
>
> 因为底面*ABCD*为菱形，∠*ABC*=60°，且*E*为*CD*的中点，
>
> 所以*AE*⊥*CD*．
>
> 所以*AB*⊥*AE*．
>
> 所以*AE*⊥平面*PAB*．
>
> 所以平面*PAB*⊥平面*PAE*．
>
> （Ⅲ）棱*PB*上存在点*F*，使得*CF*∥平面*PAE*．
>
> 取*F*为*PB*的中点，取*G*为*PA*的中点，连结*CF*，*FG*，*EG*．
>
> 则*FG*∥*AB*，且*FG*=*AB*．
>
> 因为底面*ABCD*为菱形，且*E*为*CD*的中点，
>
> 所以*CE*∥*AB*，且*CE*=*AB*．
>
> 所以*FG*∥*CE*，且*FG*=*CE*．
>
> 所以四边形*CEGF*为平行四边形．
>
> 所以*CF*∥*EG*．
>
> 因为*CF*平面*PAE*，*EG*平面*PAE*，
>
> 所以*CF*∥平面*PAE*．
（19）（共14分）
> 解：（I）由题意得，*b*^2^=1，*c*=1．
>
> 所以*a*^2^=*b*^2^+*c*^2^=2．
>
> 所以椭圆*C*的方程为．
>
> （Ⅱ）设*P*（*x*~1~，*y*~1~），*Q*（*x*~2~，*y*~2~），
>
> 则直线*AP*的方程为．
>
> 令*y*=0，得点*M*的横坐标．
>
> 又，从而．
>
> 同理，．
>
> 由得．
>
> 则，．
>
> 所以
>
> ．
>
> 又，
>
> 所以．
>
> 解得*t*=0，所以直线*l*经过定点（0，0）．
（20）（共14分）
> 解：（Ⅰ）由得．
>
> 令，即，得或．
>
> 又，，
>
> 所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
>
> 即与．
>
> （Ⅱ）令．
>
> 由得．
>
> 令得或．
>
> 的情况如下：
-- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- --
> 所以的最小值为，最大值为．
>
> 故，即．
>
> （Ⅲ）由（Ⅱ）知，
>
> 当时，；
>
> 当时，；
>
> 当时，．
>
> 综上，当最小时，．
| 1 | |
**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第6单元 第二节：摘苹果**
一、计算。
38＋24 = 53＋28= 2＋37 = 76＋15=
35＋55= 26＋49= 68＋8=  3＋49=
二、填表。
------------------------------------------ ----------------------------------------- ------------------------------------------- ------------------------------------ ------------------------------------------------------- ------------------------------------ ------------------------------------
   \[来源:Z&xx&k.Com\]  
小红有 2 5颗 1 6枝 3 8个 1 0本 2 4只 9 颗
小明有 3 6颗 1 5 枝 2 6个 1 4本 1 7只 2 1颗
一共有 （ ）颗 （ ）枝 （ ）个 （ ）本 （ ）只 （ ）颗
\[来源:Z,xx,k.Com\]
------------------------------------------ ----------------------------------------- ------------------------------------------- ------------------------------------ ------------------------------------------------------- ------------------------------------ ------------------------------------
三、解决问题。
（1）桃子和菠萝一共有多少个？ [ ]{.underline} ；
（2）梨比菠萝多多少个？ [ ]{.underline} ；
（3）菠萝和梨一共有多少个？ [ ]{.underline} ；
（4）自己再提出一个问题，并列式解答。 [ ]{.underline} 。
四、一共摘了多少个松果？
五、把46+3只改变一个数字，使它变成进位加法，并计算。
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**。**
**\[来源:Z,xx,k.Com\]**
**答案**
一、计算。
38＋24=62 53＋28=81 2＋37=39 76＋15=91
35＋55=90 26＋49=75 68＋8=76  3＋49=52
二、填表。
-------- ----------------------------------------- --------------------------------------------------------------- ------------------------------------ ------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------
     
小红有 2 5颗 1 6枝 3 8个 1 0本 2 4只\[来源:学科网ZXXK\] 9 颗
小明有 3 6颗 1 5 枝 2 6个 1 4本 1 7只 2 1颗
一共有 （ 61 ）颗 （ 31 ）枝\[来源:Zxxk.Com\] （ 64 ）个 （ 24 ）本 （ 41 ）只 （ 30 ）颗
-------- ----------------------------------------- --------------------------------------------------------------- ------------------------------------ ------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------
三、解决问题。
（1）36+15=51
（2）27-15=12
（3）15+27=42
（4）36-27=9个
四、一共摘了多少个松果？
35+18=53
五、把46+3只改变一个数字，使它变成进位加法，并计算。
[\_46变成49\_\_\_\_\_\_\_49+3=52\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
[\_3变成6\_\_\_\_\_\_ \_46+6=52\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
**《长方形与正方形》同步练习**
> **一、比较长方形与正方形。**
>
> **长方形的对边（ ），四个角都是（ ）角。**
>
> **正方形的四条边（ ），四个角都是（ ）角。**
>
> **二、说一说，下面几号图形是长方形，几号图形是正方形。**
>
> 
>
> **三、在方格纸上画一个长方形和一个正方形。**
<table><tbody><tr class="odd"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> [来源:学,科,网Z,X,X,K]</p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> [来源:学科网]</p></blockquote></td><td><blockquote><p> [来源:学|科|网]</p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> [来源:学,科,网Z,X,X,K]</p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> [来源:学科网]</p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td><td><blockquote><p> </p></blockquote></td></tr></tbody></table>
> **四、数一数图中正方形有几个？**
>
>  
>
> （ ）个 （ ）个
>
>  
>
> （ ）个 （ ）个
>
> **五、填空**
>
> 1、长方形和正方形都是 [ ]{.underline} 边形。正方形是特殊的 [ ]{.underline} 形。
>
> 2、拼成一个正方形，至少要用 [ ]{.underline} 根小棒；拼成一个长方形至少要用 [ ]{.underline} 根同样的小棒。
>
> 3、至少要用 [ ]{.underline} 个完全一样的小正方形才能拼成一个大正方形。
**参考答案：**
> **一、比较长方形与正方形。**
>
> **长方形的对边（ 相等 ），四个角都是（ 直 ）角。**
>
> **正方形的四条边（ 相等 ），四个角都是（ 直 ）角。**
>
> **二、说一说，下面几号图形是长方形，几号图形是正方形。**
>
> 1和2号是长方形，2号是正方形
>
> **三、略**
>
> **四、数一数图中正方形有几个？**
>
>  
>
> （ 2 ）个 （ 5 ）个
>
>  
>
> （ 8 ）个 （ 11 ）个
>
> **五、填空**
>
> 1、长方形和正方形都是 [ 四]{.underline} 边形。正方形是特殊的 [ 长方形]{.underline} 形。
>
> 2、拼成一个正方形，至少要用 [ 4]{.underline} 根小棒；拼成一个长方形至少要用 [ 4]{.underline} 根同样的小棒。
>
> 3、至少要用 [ 4]{.underline} 个完全一样的小正方形才能拼成一个大正方形。
| 1 | |
> 2008年普通高等学校招生全国统一考试
>
> 文科综合能力测试(二)
>
> 本试卷分第1卷(选择题)和第ll卷(非选择题)两部分。第1卷1至8页，第11卷9至15页。考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
第1卷
> 注意事项：
>
> 1答第l卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
>
> 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
>
> 3本卷共35小题，每小题4分，共140分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
>
> 读图l．完成1～2题
图1
1．①、②、③、④四地段中平均坡度最大的为
A① B．② C③ D．④
2．海拔低于400米的区域面积约为
A．0.05 km^2^ B 0.5km^2^ C．5 kim^2^ D.50km^2^
> 图2示意某雏形生态工业目区的产业链．箭头表示物、能量流动过程，其中虚线箭头表示副产品或废弃物的流动。完成3～5题。
3．图中a、b、c分别代表
A．电厂、化工厂、盐场 B．盐场、电厂、化工厂
C．电厂、盐场、化工厂 D．盐场、化工厂、电厂
4．该生态工业园区中
A．发电厂的废水、废气与废渣得到有效利用
B．制盐的副产品得到利用
C．建材厂有效利用了盐场的废弃物
D．化工厂的废弃物得到利用
5．该生态工业园区可能位于
A．晋南 B．粤北 C．冀东 D．闽西
> 图3示意不同纬度四地白昼长度变化。完成6～8题。
6．若该圈表示上半年a、b两月(a月早于b月)．则①、②、③、④四地纬度依次是
A．66 5°N、66°N、40°N、40°S
B．66 5°S、66°S、40°S、40°N
C．66 5°N、66°N、0°、40°S
D．66 5°S、66°S、0°、40°N
7．根据图中各地的白昼长度变化可知
A．a月内①---④各地的夜长均长于昼长
B．b月内①---④各地的昼长均长于夜长
C．③地较②地昼夜长短的年变幅大
D．③地与④地之间的某一纬度上昼夜长短变化为零8①地在a月与b月的平均昼长变化Pa与Pb的关系应符合
A．O\<pa/pb\<1 B.Pa/Pb=0 C.pa/pb=1 D. Pa/Pb\>l
> 图4示意日本本州岛部分地区樱花初放日期。完成9～ll题。
>
> 
9．导致该岛滨海地区樱花初放日期自南向北变化的主要因素是
A．地形 B．太阳辐射 C．土壤 D．降水
10．导致N地樱花初放日期比M地早的主要因素是
A．地形 B．洋流 C．土壤 D降水
11．导致P地樱花初放日期比M，N地晚的主要因素是
A．地形 B．洋流 C．太阳辐射 D降水
12古人云："日之所照曰阳。"下列各项中，两者均属于"阳"的方位是
A.山之南、水之北 B．山之南、水之南
C．山之北、水之北 D．山之北、水之南
13．太平天国运动对中国近代化产生了一定影响．这主要表现在它
A．否定了封建土地所有制 B．动摇了清朝的统治基础
C．打击了外国侵略势力 D．实施了发展资本主义的方案
14．冯桂芬在'校邻庐抗议》中提出："以中国之伦常名教为原本，辅以诸国富强之术。"下列人物中，其主张与冯桂芬的观点相似的是
A．龚自珍 8．洪仁开 C．李鸿章 D．严复
15．在清末，革命派与维新派的根本分歧在于
A．对西方列强的态度 B．是否实行"平均地权"
C．政体变革的方式和目标 D．应否推行议会制度
16．列宁在评论近代中国的某一事件时指出，标榜"自由"、"民主"、"共和"的欧洲资
产阶级国家，并没有支持中国的革命运动：相反．这一运动激起了他们"掠夺中国"的欲望，为此还与中国的落后势力"实行联盟"。列宁所指的事件是
A．义和团运动 B．辛亥革命 C．五四运动 D国民革命
17．改革开放加速了中国的城市化进程。1978年我国城市数量为l93个，l997年为668个。其中以中小城市的增长最为迅速。这主要是由于
A．经济特区的设立 B．乡镇企业的崛起与发展
C．沿梅港口城市的开放 D．城市经济体制的改革
18．马基雅维利提出："确立某种秩序的唯一逢径......就是建立一个君主制的政府；因为在那些人民已经彻底堕落、法律毫无约束力的地方。必须确立某种至高无上的权力。通过这种权力，以一双高贵的手，以充分的专断的力量，才有可能控制那些权势之人过分的野心和腐败。"这表明，马基雅维利认为
A．君主制是摆脱无序状态的必然选择
B．君主制是有序状态下的最理想政体
C．君主的统治神圣而高贵
D．君主的统治必须台乎道德
19．热月政变后，巴黎街头已听不见"公民"与"女公民"的称呼，彼此称。先生"、"夫人"或"小姐"。人们不再吃"平等面包"，"革命广场"改称"协和广场"。这些变化说明当时的法国
A社会秩序趋于常态 B.经济生活恢复正常
C．王党势力重新推头 D．男女社会地位平等
20．在英国，1811年从事农业、林业和渔业的劳动力占劳动力总数的l／3，1831年占1／4，1851年降至l/5以下。出现这种现象的根本原因是
A．城市化进程加速 B．农业机械化的实现
C对外移民的增加 D．工业化的快速推进
21．图5为历史上某次战争的形势图。该图所示战局的时间是
A．1812年
B．1914年
C．1918年
D．1941年
22．韩国建立后，仿效欧美政治体制，经济发展迟缓。20世纪60年代初．军人集团执掌 政权．宴行威权政治．经济高速发展。进入90年代后，韩国确立了政党政治。这反映出在韩国
A．只有威权政治才能干预经济
B．欧美式政治体制不适合发展经济
C．经济发展与推行政党政治必须同步
D．民主体制的确立需要相应的经济基础
23．法国历史学家布罗代尔说："一种文明的历史，就是对古代材料中那些对今天仍然行之有效的东西的探索。它有待解决的问题不在于要告诉人们关于希腊文明或中世纪中国我们所知的一切------而是要告诉人们在西欧或现代中国以前的时代与今天仍旧相关的东西。"在这里，布罗代尔强调的是
A．史学是当代人的历史认识 B．以探索的精神研究历史
C．史学无需穷尽人类文明的历史 D．从文明传承的角度阐释历史
24．城市居民自来水的价格一般为3.5～4.0元/吨，而市场上销售的瓶装矿泉水价格约为1元/瓶(约500毫升)．约折合2000元/吨。矿泉水比自来水价格高的原因是
A．矿泉水比自来水更有营养价值
B．人们对矿泉水的需求比对自来水的需求要少
C．矿泉水比自来水更稀缺
D．加工矿泉水比加工自来水需要耗费更多的劳动
25．我国个人所得税法规定．自2008年3月1日起．工资薪金所得减除费用标准由l600元/月提高到2000元/月。按照经济学原理．这一调整将
①增加财政开支 ②刺激中低收入居民消费
③增加财政收入 ④促进公平分配
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
26．2007年某地香蕉产量大增，且受"蕉癌"谣言影响，香蕉价格大幅"跳水"。应当地蕉农请求，政府对所谓"蕉癌"释疑解惑，通过政府信息平台发布供求信息，帮助联系加工企业，从而稳定了香蕉价格。这随明香薷种植业的稳定发展
A．在于信息公开和控制香蕉产量 B．要充分发挥价格机制的调节作用
C．依赖于香蕉加工业的发展 D．离不开政府的引导和扶持
27．改革开放30年来，我国公有制经济主体地位不断得到加强的同时，个体经济快速发展。统计资料表明，1978年全国个体经济从业人员为l5万人，到2007年6月底，全国个体经济从业人员为5309万人。个体经济待以恢复和发展的原因在于
①它是社会主义市场经济的重要组成部分
②它适应了我国现实生产力的状况
③它可以吸纳大量人口就业
④它是以劳动者自己劳动为基础的经济成分
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
28．2007年9月14日，中国政府通过常驻世贸组织代表团致函美方，就美对铜版纸反补贴暨反倾销措施提起世贸组织争端解决项下的磋商请求。这是中国政府首次在世贸组织中独立起诉他国的贸易政策。这表明
A．中国利用国际规则维护国家利益的意识增强
B．中羹贸易摩擦越来越多
C．中国对美国进行贸易倾销
D．中美经贸关系越来越紧密
29．"借用别人的智慧来做事，因为你的智慧是有限的。"这句话所强调的是
①做事要充分发挥主观能动性．利用各种有利条件
②做事要考虑事物的联系，割断那些不利的联系
\@任何事物都是矛盾统一体，人不可能没有缺憾
④任何理性认识都是正确有用的，要借用别人的认识
A．①② B．①③ C②④D．③④
> 长期以来，农业生产中施肥浇水全凭经验和感觉。某教授对传统经验进行系统分析．去伪存真、总结概括，研究、开发出"基于模型的精确作物管理技术"，指导农民定时定量科学种田，取得了少施氮肥、增产增收的显著成效。回答30～31题。
30．定时定量科学种田取得显著成效，说明
①量的积累必然推动事物的发展
②量的积累不一定引起质的变化
③适度量变才能推动事物发展
④量变和质变是辩证统一的
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
31．"基于模型的精确作物管理技术"实现了传统农业生产经验的升华，说明
①模糊性的传统经验存在一定的局限性
②认识的升华必须扬弃传统经验的模糊性
③模糊性的传统经验是精确性认识的来源
④精确性的认识必须全面继承传统经验
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
32．为了节约资源，培养学生的节俭意识，一些地区试行敦科书免费循环使用。学期结束后，教科书由学校收回，供下一个年级使用，几年更新一次。教科书之所以可以循环使用，从哲学上看是因为
A．思想内容的存在同物质载体无关
B．思想内容的稳定要求物质载体的稳定
C．物质载体在一定范围内的变化不影响思想内容
D．物质载体的稳定有利于思想内容的稳定
33．恩格斯说；"国家无非是一个阶级镇压另一个阶级的机器．这一点即使在民主共和制下，也丝毫不比在君主制下差。"这句话的要义是
A．民主共和制和君主制在政体上没有本质区别
B．民主共和制与君主制在阶级属性上没有区别
C．任何一种类型的国家都具有鲜明的阶级性
D．无论过去、现在和将来国家的统治职能始终不会消亡
34．面对我国粮油副食品价格大幅上涨现象，2007年8月13日，国务院发出紧急通知．要求各地采取必要措施稳定粮油副食品价格。国家发政委随后发出通知，要求各级价格主管部门严查乱涨价案件，维护消费者的正当权益。这体现政府切实履行了
①公共服务职能 \@经济调节职能
③市场监管职能 ④政治监督职能
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
35．自党的十六大以来，中国共产党党内民主建设取得了重大进展，如完善党的代表大会制度，扩大党的基层民主．保障党员的民主权利，建立党内重大决策征求意见制度等。作为一个执政党，中国共产党如此重视党内民主建设，是因为发展党内民主
①己经成为党的中心工作
②是政治体制改革的目标
③可以带动人民民主
④是增强党的刨新活力、巩固党的团结统一的重要保证
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
> 2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科综合能力测试
第Ⅱ卷
> 注意事项：
>
> 1．用钢笔或圆珠笔宦接答在试题卷上。
>
> 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
>
> 3．本卷共4大题，共l60分。
+--------+--------+------+------+------+------+
| > 总分 | > 题号 | > 36 | > 37 | > 38 | > 39 |
+--------+--------+------+------+------+------+
| | > 分数 | | | | |
+--------+--------+------+------+------+------+
> 36．(36分)阅读分析材料，回答下列问题
>
> D湖泊(图6a)的湖面海拔约3800采，降水资料如图6b所示。D湖沿岸地区地形平
>
> 坦．发现有走量古代农耕遗迹，包括相互交织的人工堆土高台、人工水渠(图6c)，以及人工运河和水塘。
>
> 
(1)推测D湖沿岸地区气温的年，变化、口变化特征，并简述原因。（l2分)
(2)归纳D湖沿岸地区的降水特征。(4分)
(3)指出威胁D湖沿岸地区发展耕作业的主要气象灾害及发生时间间。(8分)
(4)说明该农耕系统对防治这些气象灾害的作用。(12分)
37.(32分)阅谤村料，回答下列问题。
> 材料一
>
> 1792年，英国以给乾隆皇帝祝寿为由．派马夏尔尼使团前往中斟，井致函两广总督，通报此事。
>
> 英方在信函中说，英国国王为了"与中国皇帝发生友谊，并增进两国之邦交，扩充两国人民之商业"，决定派遣马戛尔尼使团采华。使团携带有英国国王赠送给中国皇帝的许多精美礼物，以表达英圆圆王的真诚心意，从而"发扬两国之利益，建立两国水久之协和"。两广总督向朝廷上呈的信函译文称，英国国王命"马戛尔尼前来，带有贵重贡物进呈天朝大皇帝，以表其幕顺之心。惟愿大皇帝施恩远夷．准其永远通好，俾中国百姓与外国远夷同沾乐利"。
>
> ------摘编自《清史编年》等
>
> 材料二
>
> 乾隆皇帝接见马戛尔尼使团后，在培英方的回信中说：
>
> 咨尔国王，远在重洋，倾心向化。朕披阅表文，词意肫恳，具见尔国王恭顺之诚，深为嘉许。 尔国王表内恳请派一尔国之人住居天朝，照管尔国买卖。此则与天朝体制不合，断不可行。其实天朝德威远被，万国采王，种种贵重之物．梯航毕集，无所不有。然从不责奇巧，并无更需尔国制办物件。
>
> 又据尔使臣称，欲求相近珠山地方小海岛一处，商人到彼，即在该处停歇，以便收存货物。天朝足土俱归版籍，疆址森然。即岛屿沙洲，亦必划界分疆，各有专属。此事尤不使准行。
>
> ------摘编自《清实录》等
>
> (1)根据材料一．指出在陈述两国关系方而，两广总督上呈的译文与英方信函有何不同，并分析其原因。(14分)
>
> (2)结台所学知识，说明马夏尔尼使团访华的英国国内背景。(8分)
>
> (3)根据材料二井结合所学知识，评价乾隆皇帝对英方要求的回应。(10分)
>
> 38.(32分)阅读材料．回答下列问题。
>
> 材料一
>
> 在改革开放进程中，中国共产竞取得的加快实现现代化、巩固和发展社套主义的宝责经验之一．就是把提高效率同促进社套公平结合起来。党的十七大报告提出"初次分配和再分配都要处理好效率和公平的关系，再分配更加注重公平"。
>
> 材料二
>
> 注：劳动者报酬指劳动者因从事生产活动所获得的垒部报酬，包括工资、奖金、津贴、上下班变通补贴、单位支付的社会保险费、住房公积金等。营业盈余指单位创造的增加值扣除劳动者报酬、生产税净额和固定资产折旧后的余额。它相当于企业的营业利润加上生产补贴。(资料来源：《中国统计年鉴》)
>
> 
>
> 材料三
>
> 据统计，l998年国有及规模以土工业企业工资总额是企业利润的2.4倍，到2005年降到了0.43倍；l998年国有及规模以上工业企业利润占工业增加值的比重是4.3％，到2006年提高到了21.36％。
>
> (1)从认识与实践关系的角度，说明党的十七大提出"初次分配和再分配都要处理好效率和公平的关系，再分配更加注重公平"的哲学依据。(10分)
>
> (2)指出材料二、三反映的经济问题并提出解决问题的思路。(14分)
>
> (3)结合材料一、二，运用所学政治常识，分析党的十七大提出"初次分配和再分配都要处理好效率和公平的关系，再分配更加注重公平"的基本道理。(8分)
>
> 39．(60分)阅读分析资料和图7，完成下列备题。
>
> 抗日战争爆发后，苏联援华物资通过西北陆路运到中国。英美物资通过香港、越南和1938年开通的滇缅公路运到中国。威廉·凯宁在《飞越驼峰》一书中指出："从这方面看，中国维特战争的能力完全变成了一十供应问题。"
>
> 1942年3月，中国和美国合作，开辟了从印度阿萨姆邦汀江至中国云贵高原和四川盆地的空中航线------驼峰航线。
>
> 3年中．中、美通过这条航线，将大量物资空运到中国境内．并为此付出了巨大代价。
>
> 
>
> (1)结合所学知识。分析开辟驼峰航线的必要性。(14分)
>
> (2)分析驻峰航线的作用．(6分)
>
> (3)简要说明驼峰航线穿越地区的主要地形特征。(10分)
>
> (4)当时的运输机沿该航线飞行面临的主要阐难有哪些7(10分)
>
> (5)中国的抗日战争是中国人民反抗日本侵略、维护国家独立的正义战争。运用内外因辩证关系原理，结合材料和所学历史知识，分析威廉·凯宁"从这方面看，中国维持战争的能力完全变成了一个供应问题"这句话所表达的观点。(10分)
>
> (6)"驼峰航线"增进了中美两国人民的友谊。但新中国建立后相当长一个时期，由于意识形态等原因，美国政府采取敌视中国的政策。l979年中美正式建交后，两圆关系在政治、经济、文化等方面有了长足的发展，冷战结束以来，美国政府采取既接触又遏制的对华政策，从而使中美关系一直处于既相互借重与合作、又相互制约的复杂状态。运用所学的政治常识回答：
>
> 中美芙系的曲折变化说明了什么?(4分)依据我国的外交政策，你认为应怎样处理当前复杂的中美关系?(6分)
2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科综合能力测试参考答案和评分参考
> 评分说明：
>
> 1．非选择题部分，若考生答案与本答案不完全相同，但言之有理，可酌情给分．但不得超过该题所分配的分数。
>
> 2．考生答案中，中国地名出现错别字一般不给分；外国地名应以地图出版社出版的世界地图集为依据评分，若出现同音字可酌情给分。
>
> Ⅰ卷共35小题，每小题4分，共140分．
>
> 1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 9．B 10．B
>
> 11．A l2．A 13．B l4．C 15．C 16．B l7．B l8．A l9．A 20．D
>
> 21．C 22．D 23．D 24．D 25．C 26．D 27．A 28．A 29．B 30．B
>
> 31．A 32．C 33．C 34．B 35．C
Ⅱ卷共4大题，共l60分。
> 36．(36分)
>
> (1)(年均温较低，)年变化(年较差)较小(2分)，因为海拔高，地处热带(低纬度地区)(4分)；日变化(日较差)较大(2分)，因为海拔高，空气稀薄，白天增温快．夜晚散热快(按高度推测日最低温度可能降至0℃及以下)(4分)。
>
> (2)年降水量约600(580～620之间皆可)毫米(2分)，集中于夏季(1---3月或l2月至次年3月)(2分)。
>
> (3)低温，冻害(2分)．夜间(2分)；洪涝灾害，夏季(雨季、I一3月或l2月至次年3月)(2分)；旱灾，其他季节(4---12月或4一ll月，簪春、秋季即可得分) (2分)。
>
> (4)(沟渠、水塘与高台交织，)排水通畅利于雨季防洪，灌溉方便利于旱季抗旱(4分)；水体增温和降温的速度比陆地慢。因此，增大水体面积，井使水面与高台(台理)交错分布(3分)。可减小气温变化幅度，尤其可提高夜间温度(3分)，有效减少低温、冻害对高台农作物的损害(2分)。
>
> 37．(32分)
>
> (1)不同之处：
>
> 两广总督译文：视两国关系为蛮夷之邦与天朝上国的关系，视双方往来为朝贡关系。
>
> 英方信函：增进邦交，扩大贸易(8分)。
>
> 原因：清朝长期闭关锁国，对外部世界缺乏了解，自认为是天朝上国，两广总督上
>
> 呈的译文是出于这种心态(6分)。
>
> (2)工业革命；拓展海外市场；殖民扩张；中国成为其目标(8分)。
>
> (3)乾隆拒绝了英方的各项要求(4分)。维护了领土主权：盲目自大．坚持闭关锁国政策(6分)。
>
> 38．(32分)
>
> (1)实践是认识的基础。党的十七大提出的这一关于分配的原则要求源于实践的需要，顺应了实现科学发展、构建社会主义和谐社会的需要：这一要求体现党在实践基础上对公平与效率关系认识的深化；这一要求将继续得到实践的检验(6分)。认识对实践具有反作用，正确的认识对实践具有指导作用。贯彻落实党的十七大的这一要求．对于提高效率、促进公平、巩固和发展社会主义具有重要作用(4分)。
>
> (2)劳动者报酬占初次分配的比重下降，利润占初次分配的比重上升。这表明在我国初次分配中存在利润比重过大的问题(4分)。保障劳动者的基本权利．提高劳动报酬 在初次分配中的比重(3分)。如，完善最低工资保障制度，工资随劳动生产率增长而增长。严格执行劳动合同法。保证企业为劳动者缴纳医疗、养老等社会保险金。在政府引导下，建立健全工会组织，提高劳动者在与企业谈判中的地位。落实企业的社会责任。(7分。答出3项及3项以上者可得7分：答出2项者得5分；答出l项者得3分。有其他合理答案者亦可酌情给分)
>
> (3)我国是人民民主专政的国家，人民是国家的主人．全心全意为人民服务是中国共产党的宗旨(4分)。党和政府有责任妥善解决分配领域中的不合理现象，维护好人民群众的利益，让改革发展的成果惠及全体人民，进一步调动人民群众的生产和改革的积极性(4分)。
>
> 39．(60分)
>
> (1)中国国防工业薄弱．军用物资匮乏；长期战争消耗，外援更显重要(4分)。苏德战争爆发．苏联无力援华；太平洋战争爆发，日本占领东南亚大部分地区，英美援华物资通道被切断(6分)。中美等国结成反法西斯同盟．盟国希望中国牵制日军(4分)。
>
> (2)从物质上支援，中国抗战，鼓舞，中国军民抗战的士气；有利于中国对日作战并将日军主力牵制在中国战场，为世界反法西斯战争的胜利作出了贡献(6分)。
>
> (3)平均海拔高(3分)，山河相间(3分)，山高谷深(地形复杂、地势崎岖)(4分)。
>
> (4)飞行高度高，空气稀薄，地形复杂，气流紊乱．对流比较旺盛，天气多变、多云雨等。(每答对1项得3分，本小题满分l0分)
>
> (5)中国人民坚持抗战是战争朝胜利转化的内因，包括"驼峰航线"的开辟等在内的国际支持，是促使战局尽快实现转化的外因(2分)。外因是事物发展的必要条件。起着非常重要的作用．威廉-凯宁强调战争物资供应对于中国坚持抗日战争的重要性是有一定道理的：但是。对事物的发展变化起决定作用的是内因，在中国的抗日战争中起决定作用的是中国人民的坚持抗战(5分)，外因必须通过内因才能起作用．国际反法西斯力量的支持。改善了中国抗日武装的物资供应．有利于中国人民坚持抗战．促进中国战局的积极转化(3分)。
>
> (6)国际关系的内容和形式是多方面的。国际关系是发展变化的。国家间出现分离聚合，亲疏冷热的复杂关系，主要是由各国的国家利益和国家力量决定的(4分)．在中美关系中努力维护我国的独立和主权．促进世界和平与发展。在和平共处五项原则的基础上积极发展同美国的合作关系，努力化解分歧．推进中美建设性台作关系发展(6分)。(注：如考生另有答案．且言之成理，可以酌情给分；如考生只是简单答出我国外交政策的五条基本内容．可以酌情给分。)
| 1 | |
**2015-2016学年九年级（下）第一次段考数学试卷**
**一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0.11 B． C．﹣ D．
2．如图，直线l~1~∥l~2~，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组：的解集用数轴表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，现有一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动，则S~△PAB~与运动时间t（秒）之间的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
7．化简： =[ ]{.underline}．
8．近年来，我国许多城市的"灰霾"天气增加，严重影响大家身体健康．"灰霾"天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物．已知2.5微米=0.000 0025米，此数据用科学记数法表示为[ ]{.underline}米．
9．计算： =[ ]{.underline}．
10．已知x=，则x^2^+x+1=[ ]{.underline}．
11．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是[ ]{.underline}．
12．已知，则x+y的值是[ ]{.underline}．
13．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于[ ]{.underline}度．
14．如图，等边△OAB的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过A点，将△OAB绕点O顺时针旋转a度（0＜a＜360），使点A落在双曲线上，则a=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共4小题，满分24分）**
15．计算：\|3﹣π\|﹣+×cos45°．
16．先化简，再求值：，其中，．
17．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格中的格点上．
（1）请在网格中找得一个格点P，连接PB、PC，使∠BPC=∠BAC，并简要说明理由；
（2）直接写出此时tan∠BPC的值．
18．如图，正方形OBCD放置在直角坐标系xOy中，点B、点D分别落在x轴、y轴的正半轴上；（6，2）经过正方形的两个顶点C与D、且与OB边相切于点M．已知正方形OBCD的面积为64，求圆心点P的坐标．
**四、解答题（共4小题，满分32分）**
19．某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．
（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？
20．已知关于x的方程x^2^﹣2（k﹣3）x+k^2^﹣4k﹣1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x^2^﹣2（k﹣3）x+k^2^﹣4k﹣1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
21．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S~△PBD~=4， =．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
**五、解答题（共1小题，满分10分）**
23．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
**六、解答题（共1小题，满分12分）**
24．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题：
①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
**2015-2016学年江西省吉安市朝宗实验学校九年级（下）第一次段考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0.11 B． C．﹣ D．
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【解答】解：A、0.11是有限小数，是有理数，选项错误；
B、是无理数，选项正确；
C、﹣是分数，是有理数，选项错误；
D、=2是整数，是有理数，选项错误．
故选B．
2．如图，直线l~1~∥l~2~，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】设∠2的对顶角为∠5，∠1在l~2~上的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵直线l~1~∥l~2~，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选：C．
3．从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的左上角是一个小正方形，
故选：B．
4．不等式组：的解集用数轴表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围，它们相交的地方就是不等式组的解集．
【解答】解：不等式组可化为：，
在数轴上可表示为：
故选A．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，现有一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动，则S~△PAB~与运动时间t（秒）之间的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可以得到三角形ABP在各段对应的面积的大小变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
动点P在B到C的过程中，△ABP的面积由小开始变大，到点C时达到最大值；
动点P在C到D的过程中，△ABP的面积保持不变；
动点P在D到A的过程中，△ABP的面积由大变小，到点A时达到最小．
故选A．
6．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设B点坐标为（x，y），根据正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，矩形OABC的周长是20得到x^2^+y^2^=68，x+y=10，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义可确定其解析式．
【解答】解：设B点坐标为（x，y），
根据题意得x^2^+y^2^=68，x+y=10，
∴（x+y）^2^=100，
∴x^2^+2xy+y^2^=100，即68+2xy=100，
∴xy=16，
∴反比例函数的解析式为y=．
故选D．
**二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
7．化简： =[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=3﹣2=．
故答案为：．
8．近年来，我国许多城市的"灰霾"天气增加，严重影响大家身体健康．"灰霾"天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物．已知2.5微米=0.000 0025米，此数据用科学记数法表示为[ 2.5×10^﹣6^ ]{.underline}米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025=2.5×10^﹣6^．
故答案为：2.5×10^﹣6^．
9．计算： =[ x ]{.underline}．
【分析】首先把分母统一成x﹣1，然后利用同分母的分式的减法法则即可求解．
【解答】解：原式=﹣
=
=x．
故答案是：x．
10．已知x=，则x^2^+x+1=[ 2 ]{.underline}．
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．\[来源:学+科+网\]
【解答】解：∵x=，
∴x^2^+x+1
=（x+）^2^﹣+1
=（+）^2^+
=+
=2．
故答案为：2．
11．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是[ 6 ]{.underline}．
【分析】根据△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△A′B′C′的面积是6．
【解答】解：∵点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，原点O是位似中心
∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2
∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4
又∵△ABC的面积是，
∴△A′B′C′的面积是6．
12．已知，则x+y的值是[ 3 ]{.underline}．
【分析】方程组中两方程相加即可求出x+y的值．
【解答】解：，
①+②得：3x+3y=9，
则x+y=3．\[来源:学。科。网\]
故答案为3．
13．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于[ 90 ]{.underline}度．
【分析】根据方位角的概念和平行线的性质，结合三角形的内角和定理求解．
【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，
∴∠DAC=50°，
∵C岛在B岛的北偏西40°方向，
∴∠CBE=40°，
∵DA∥EB，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°．
故答案为：90．
14．如图，等边△OAB的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过A点，将△OAB绕点O顺时针旋转a度（0＜a＜360），使点A落在双曲线上，则a=[ 30°或180°或210° ]{.underline}．
【分析】根据双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．
【解答】解：根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴AO与直线y=x的夹角是15°，
∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上，
根据反比例函数的中心对称性，
∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，
∴此时a=180°，
根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，
∴此时a=210°；
故答案为30°或180°或210°．
**三、解答题（共4小题，满分24分）**
15．计算：\|3﹣π\|﹣+×cos45°．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=π﹣3+3+3
=π+3．
16．先化简，再求值：，其中，．
【分析】先对通分，再对x^2^+2xy+y^2^分解因式，进行化简求值．
【解答】解： =
==，
把，代入上式，得
原式=．
17．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格中的格点上．
（1）请在网格中找得一个格点P，连接PB、PC，使∠BPC=∠BAC，并简要说明理由；
（2）直接写出此时tan∠BPC的值．
【分析】（1）以点A为圆心，AB的长为半径画⊙A，根据圆周角定理可得到格点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~、P~5~、P~6~满足条件；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠BAC，则∠BPC=∠BAD，根据正切的定义得到tan∠BAD=，所以tan∠BPC=．
【解答】解：（1）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画⊙A，⊙A经过格点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~、P~5~、P~6~，取其中一个点P与点B、C相连，则∠BPC即为所求；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴∠BAD=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAD，
在Rt△BAD中，tan∠BAD=，
∴tan∠BPC=．
18．如图，正方形OBCD放置在直角坐标系xOy中，点B、点D分别落在x轴、y轴的正半轴上；（6，2）经过正方形的两个顶点C与D、且与OB边相切于点M．已知正方形OBCD的面积为64，求圆心点P的坐标．
【分析】延长MP交CD于点N，根据正方形的性质得到OB=DC=8，再根据切线的性质得PM⊥OB，且CD∥OB，则PN⊥CD，根据垂径定理得CN=DN=4，设⊙P半径的半径为R，则PM=PD=R，PN=8﹣R，然后在Rt△PND中利用勾股定理计算出R，则可确定P点坐标．
【解答】解：延长MP交CD于点N，如图，
∵正方形OABC的面积为64，
∴正方形OBCD的边长OB=DC=8，
∵⊙P与OB边相切于点M，
∴PM⊥OB，且CD∥OB，
∴PN⊥CD，
∴CN=DN=4，
设⊙P半径的半径为R，则PM=PD=R，PN=8﹣R；
在Rt△PND中，PD^2^=PN^2^+DN^2^，即R^2^=（8﹣R）^2^+4^2^，解得R=5，
∴PM=5，
∴点P的坐标为（4，5）．
**四、解答题（共4小题，满分32分）**
19．某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．
（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？
【分析】（1）首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语"购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元"，列方程组求出未知数的值，即可得解．
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得
解得：
答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得
16x+10（80﹣x）≤1100
解得：x≤50
答：工会最多可以购买50支钢笔．
20．已知关于x的方程x^2^﹣2（k﹣3）x+k^2^﹣4k﹣1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x^2^﹣2（k﹣3）x+k^2^﹣4k﹣1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b^2^﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
（3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
【解答】解：（1）由题意得△=\[﹣2（k﹣3）\]^2^﹣4×（k^2^﹣4k﹣1）≥0
化简得﹣2k+10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k^2^﹣6k+6=0，解这个方程得，．
（3）设方程x^2^﹣2（k﹣3）x+k^2^﹣4k﹣1=0的两个根为x~1~，x~2~，
根据题意得m=x~1~x~2~．又由一元二次方程根与系数的关系得x~1~x~2~=k^2^﹣4k﹣1，
那么m=k^2^﹣4k﹣1=（k﹣2）^2^﹣5，所以，当k=2时m取得最小值﹣5．
21．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S~△PBD~=4， =．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D的坐标为（0，2）．
（2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又=，可得==，故AP=6，BD=6﹣2=4，由S~△PBD~=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=
（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．
【解答】解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，
∴点D的坐标为（0，2）
（2）∵AP∥OD，
∴∠CDO=∠CPA，∠COD=∠CAP，
∴Rt△PAC∽Rt△DOC，
∵=，即=，
∴==，
∴AP=6，
又∵BD=6﹣2=4，
∴由S~△PBD~=BP•BD=4，可得BP=2，
∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得
一次函数解析式为：y=2x+2，
反比例函数解析式为：y=；
（3）由图可得x＞2．
\[来源:学\_科\_网\]
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；
（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．
【解答】（1）证明：连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE；
（2）连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴=，即=，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
**五、解答题（共1小题，满分10分）**
23．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
∴PC=CE，
∴AP=CE．
**六、解答题（共1小题，满分12分）**
24．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题：
①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把C坐标代入抛物线解析式求出m的值即可；
（2）①对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标；令x=0，求出y的值，确定出C坐标，求出三角形ABC面积即可；
②如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系数法求出直线BC解析式，与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时；（ii）当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．\[来源:Z,xx,k.Com\]
【解答】解：（1）∵抛物线过G（2，2），
∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），
解得：m=4；
（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，
解得：x~1~=﹣2，x~2~=m，
∵m＞0，
∴A（﹣2，0），B（m，0），
把m=4代入得：B（4，0），
∴AB=6，
令x=9，得到y=2，即C（0，2），
∴OC=2，
则S△ABC=×6×2=6；
②∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，
如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B与C坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y=﹣x+2，
令x=1，得到y=，即H（1，）；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，
分两种情况考虑：
（i）当△ACB∽△ABM时，则有=，即AB^2^=AC•AM，
∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，
∴OA+ON=2+ON=MN，
设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），
∴AM==2（m+1），
∵AB^2^=AC•AM，AC=2，AB=m+2，
∴（m+2）^2^=2•2（m+1），
解得：m=2±2，
∵m＞0，
∴m=2+2；
（ii）当△ACB∽△MBA时，则=，即AB^2^=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，
∴△ANM∽△BOC，
∴=，
∵OB=m，设ON=x，
∴=，即MN=（x+2），
令M（x，﹣（x+2））（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），
∵AB^2^=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），
∴（m+2）2=•，
整理得： =0，显然不成立，
综上，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）**
**理科试卷**
**一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。**
1. 人长时间运动后，产生品渴感觉的原因是
A．血浆CO~2~浓度升高
B．血浆乳酸浓度升高
C．血浆渗透压升高
D．血糖浓度升高
2．下列有关正常动物体细胞有丝分裂间期的叙述，错误的是
A．分裂间期发生DNA复制
B．分裂间期有蛋白质合成
C．分裂间期有RNA合成
D．分裂间期有逆转录发生
3．下图表示某一生态系统中，取食方式为吞食的三个物种随食物颗粒大小而产生的种群数量分布。下列对此图的分析，正确的是
A．三个物种的食物资源完全相同
B．物种甲与物种乙为竞争关系
C．物种丙与物种甲为捕食关系
D．能量流动方向由甲经乙到丙
4．下列关于反射弧的叙述，正确的是
A．刺激某一反射弧的感受器或传出神经，可使效应器产生相同的反应
B．反射弧中的感受器和效应器均分布于机体同一组织或器官
C．神经中枢的兴奋可以引起感受器敏感性减弱
D．任何反射弧中的神经中枢都位于脊髓
5．在寒温带地区，一场大火使某地的森林大面积烧毁，在以后漫长时间中，在原林地上依次形成了杂草地、白桦为主的阔叶林、云杉为主的针叶林，这种现象称为
A．物种进化
B．外来物种入侵
C．群落演替
D．垂直结构
6．某种抗癌药可以抑制DNA的复制，从而抑制癌细胞的增殖，据此判断短期内使用这种药物对机体产生最明显的副作用是
A．影响神经递质的合成，抑制神经系统的兴奋
B．影响胰岛细胞合成胰岛素，造成糖代谢紊乱
C．影响血细胞生成，使机体白细胞数量减少
D．影响脂肪的合成，减少脂肪的贮存
7．根据下表中烃的分子式排列规律，判断空格中烃的同分异构体数目是
------- ---------- ---------- ---------- --- ----------- ----------- -----------
1 2 3 4 5 6 7 8
CH~4~ C~2~H~4~ C~3~H~8~ C~4~H~8~ C~6~H~12~ C~7~H~16~ C~8~H~16~
------- ---------- ---------- ---------- --- ----------- ----------- -----------
A．3
B．4
C．5
D．6
8．下列除去杂质的方法正确的是
① 除去乙烷中少量的乙烯：光照条件下通入Cl~2~，气液分离；
② 除去乙酸乙酯中少量的乙酸：用饱和碳酸氢钠溶液洗涤，分液、干燥、蒸馏；
③ 除去CO~2~中少量的SO~2~：气体通过盛饱和碳酸钠溶液的洗气瓶；
④ 除去乙醇中少量的乙酸：加足量生石灰，蒸馏。
A．① ②
B．② ④
C．③ ④
D．② ③
9．下列叙述错误的是
A．^13^C和^14^C属于同一种元素，它们互为同位素
B．^1^H和^2^H是不同的核素，它们的质子数相等
C．^14^C和^14^N的质量数相等，它们的中子数不等
D．^6^Li和^7^Li的电子数相等，中子数也相等
10．若N~A~表示阿佛加德罗常数，下列说法正确的是
A．1 mol Cl~2~作为氧化剂得到的电子数为N~A~
B．在0℃，101kPa时，22.4L氢气中含有N~A~个氢原子
C．14g氮气中含有7N~A~个电子
D．N~A~个一氧化碳分子和0.5 mol 甲烷的质量比为7：4
11．下列反应的离子方程式正确的是
A．锌片插入硝酸银溶液中：
Zn＋Ag^＋^＝Zn^2＋^＋Ag
B．碳酸氢钙溶液加到醋酸中：
Ca（HCO~3~）~2~＋2CH~3~COOH＝Ca^2＋^＋2CH~3~COO^－^＋2CO~2~↑＋2H~2~O
C．少量金属钠加到冷水中：
Na＋2H~2~O＝Na^＋^＋OH^－^＋H~2~↑
D．氢氧化铜加到盐酸中：
Cu（OH）~2~＋2H^＋^＝Cu^2＋^＋2H~2~O
12．a g铁粉与含有H~2~SO~4~的CuSO~4~溶液完全反应后，得到a g铜，则参与反应的CuSO~4~与H~2~SO~4~ 的物质的量之比为
A．1：7
B．7 ：1
C．7 ：8
D．8 ：7
13．一定条件下，合成氨气反应达到平衡时，测得混合气体中氨气的体积分数为20.0% ，与反应前的体积相比，反应后体积缩小的百分率是
A．16.7%
B．20.0%
C．80.0%
D．83.3%
**二、选择题：本题包括8小题，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分。**
14．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出
A．行星的质量
B．行星的半径
C．恒星的质量
D．恒星的半径
15．下列说法正确的是
A．行星的运动和地球上物体的运动遵循不同的规律
B．物体在转弯时一定受到力的作用
C．月球绕地球运动时受到地球的引力和向心力的作用
D．物体沿光滑斜面下滑时受到重力、斜面的支持力和下滑力的作用
16．甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v－t图中（如图），直线a、b分别描述了甲乙两车在0－20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是
A．在0－10 s内两车逐渐靠近
B．在10－20 s内两车逐渐远离
C．在5－15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
17．一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示。
由图可知
A．该交流电的电压瞬时值的表达式为u＝100sin（25t）V
B．该交流电的频率为25 Hz
C．该交流电的电压的有效值为100
D．若将该交流电压加在阻值R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率时50 W
18．两个质量相同的小球用不可伸长的细线连结，置于场强为E的匀强电场中，小球1和小球2均带正电，电量分别为q~1~和q~2~（q~1~＞q~2~）。将细线拉直并使之与电场方向平行，如图所示。若将两小球同时从静止状态释放，则释放后细线中的张力T为（不计重力及两小球间的库仑力）
A．
B．
C．
D．
19．在如图所示的电路中，E为电源电动势，r为电源内阻，R~1~和R~3~均为定值电阻，R~2~为滑动变阻器。当R~2~的滑动触点在a端时合上开关S，此时三个电表A~1．~A~2~和V的示数分别为I~1．~I~2~和U。现将R~2~的滑动触点向b端移动，则三个电表示数的变化情况是
A．I~1~增大，I~2~不变，U增大
B．I~1~减小，I~2~增大，U减小
C．I~1~增大，I~2~减小，U增大
D．I~1~减小，I~2~不变，U减小
20．电阻R、电容C与一线圈连成闭合电路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N极朝下，如图所示。现使磁铁开始自由下落，在N极接近线圈上端的过程中，流过R的电流方向和电容器极板的带电情况是
A．从a到b，上极板带正电
B．从a到b，下极板带正电
C．从b到a，上极板带正电
D．从b到a，下极板带正电
21．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于ΔABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设场强大小为E，一电量为1×10^－6^ C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则
A．W＝8×10^－6^ J，E＞8 V/m
B．W＝6×10^－6^ J，E＞6 V/m
C．W＝8×10^－6^ J，E≤8 V/m
D．W＝6×10^－6^ J，E≤6 V/m
**第Ⅱ卷**
**三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。第22题～第29题为必考题，每个试题考生都必须做答。第30题～第32题为选考题，考生根据要求做答。**
**（一）必考题（8题，共129分）**
22．实验题（15分）
（1）由绝缘介质隔开的两个同轴的金属圆筒构成圆柱形电容器，如图所示。试根据你学到的有关平行板电容器的知识，推测影响圆柱形电容器电容的因素有 [ ]{.underline} 。
> （2）利用伏安法测量干电池的电动势和内阻，现有的器材为：
>
> 干电池：电动势约为1.5 V，符号
电压表：量程1 V，内阻998.3 Ω，符号
电流表：量程1 A，符号
滑动变阻器：最大阻值99999.9 Ω，符号
单刀单掷开关1个，符号
导线若干
①设计测量电源电动势和内阻的电路并将它画在指定的方框内，要求在图中标出电压表、电流表的接线柱的正负。
> ②为了满足本实验要求并保证实验的精确度，电压表量程应扩大为原量程的 [ ]{.underline} 倍，电阻箱的阻值应为 [ ]{.underline} Ω。
23．倾斜雪道的长为25 m，顶端高为15 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图所示。一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v~0~＝8 m/s飞出。在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ＝0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离（取g＝10 m/s^2^）
24．在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。
> （1）如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。
（2）如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。
25．（15分）
以下是某同学测定硫酸钠晶体中结晶水含量的实验方案。
实验用品：硫酸钠晶体试样、研钵、干燥器、坩埚、三脚架、玻璃棒、药匙、托盘天平
实验步骤：
①准确称量一个干净、干燥的坩埚；
②在坩埚中加入一定量的硫酸钠晶体试样，称重，将称量的试样放入研钵中研细，再放回到坩埚中；
> ③将盛有试样的坩埚加热，待晶体变成白色粉末时，停止加热；
>
> ④将步骤③中的坩埚放入干燥器，冷却至室温后，称重；
⑤将步骤④中的坩埚再加热一定时间，放入干燥器中冷却至室温后称量。重复本操作，直至两次称量结果不变；
> ⑥根据实验数据计算硫酸钠晶体试样中结晶水的质量分数。
分析该方案并回答下面问题：
（1）完成本实验还需要的实验用品是 [ ]{.underline} ；
（2）指出实验步骤中存在的错误并改正： [ ]{.underline} ；
（3）硫酸钠不能放置在空气中冷却的原因是 [ ]{.underline} ；
（4）步骤⑤的目的是 [ ]{.underline} ；
（5）下面的情况有可能造成测试结果偏高的是 [ ]{.underline} （填序号）。
A．试样中含有加热不挥发的杂质
B．试样中含有加热易挥发的杂质
C．测试前试样已有部分脱水
D．实验前坩埚未完全干燥
E．晶体加热脱水不完全
F．加热时有晶体溅出
26．（14分）
（1）将锌片和银片浸入稀硫酸中组成原电池，两电极间连接一个电流计。
锌片上发生的电极反应： [ ]{.underline} ；
银片上发生的电极反应： [ ]{.underline} 。
> （2）若该电池中两电极的总质量为60g，工作一段时间后，取出锌片和银片洗净干燥后称重，总质量为47g，试计算：
①产生氢气的体积（标准状况）；
②通过导线的电量。（已知N~A~＝6.02×10^23^/mol，电子电荷为1.60×10^－19^C）
27．（14分）
氮化硅（Si~3~N~4~）是一种新型陶瓷材料，它可由石英与焦炭在高温的氮气流中，通过以下反应制得：
SiO~2~ ＋ C＋ N~2~ Si~3~N~4~ ＋ CCO
（1）配平上述反应的化学方程式（将化学计量数填在方框内）；
（2）该反应的氧化剂是 [ ]{.underline} ，其还原产物是 [ ]{.underline} ；
（3）该反应的平衡常数表达式为K＝\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）若知上述反应为放热反应，则其反应热△H [ ]{.underline} 零（填"大于"、"小于"或"等于"）；升高温度，其平衡常数值 [ ]{.underline} （填"增大"、"减小"或"不变"）；
（5）若使压强增大，则上述平衡向 [ ]{.underline} 反应方向移动（填"正"或"逆"）；
（6）若已知CO生成速率为v（CO）＝18mol/（L·min），
则N~2~消耗速速率为v（N~2~）＝ [ ]{.underline} mol/（L·min）。
28．（25分）回答Ⅰ、Ⅱ小题：
Ⅰ．将某种玉米子粒浸种发芽后研磨匀浆、过滤，得到提取液。取6支试管分别加入
等量的淀粉溶液后，分为3组并分别调整到不同温度，如图所示，然后在每支试管
中加入等量的玉米子粒提取液，保持各组温度30分钟后，继续进行实验（提取液中还原性物质忽略不计）：
（1）若向A、C、E三支试管中分别加入适量的班氏试剂或斐林试剂，沸水浴一段时间，观察该三支试管，其中液体颜色呈砖红色的试管是\_\_\_\_\_\_\_；砖红色较深的试管是\_\_\_\_\_\_，颜色较深的原因是\_\_\_\_\_\_；不变色的试管是\_\_\_\_\_\_，不变色的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）若向B、D、F三支试管中分别加入等量的碘液，观察三支试管，发现液体的颜色是蓝色，产生该颜色的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）以上实验的三种处理温度不一定是玉米子粒提取液促使淀粉分解的最适温度。你怎样设计实验才能确定最适温度？（只要求写出设计思路）
Ⅱ．同一品种的西瓜种植在非生物因素相同的两块土地上，但单位面积产量差别很大，为了探究两块土地上产量不同的原因，请根据所学知识提出一个值得研究的课题（要求写出课下题的题目）。
29．（14分）
已知猫的性别决定为XY型，XX为雌性，XY为雄性。有一对只存在于X染色体上的等位基因决定猫的毛色，B为黑色，b为黄色，B和b同时存在时为黄底黑斑。
请回答（只要写出遗传图解即可）：
（1）黄底黑斑猫和黄色猫交配，子代性别和毛色表现如何？
（2）黑色猫和黄色猫交配，子代性别和毛色表现如何？
（二）选考题：请考生从给出的4道物理题、3道化学题、2道生物题中每科任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的对应标号（A或B或C或D）涂黑。注意所做题目的标号必须与所涂题目的标目一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则每学科按所做的第一题计分。
30．物理选考题（15分）
**A．**（物理------选修2－2）
塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400 kN，悬臂长度为L＝10 m，平衡块重W＝200 kN，平衡块与中心线OO^/^的距离可在1 m到6 m间变化，轨道A、B间的距离为4 m。
（1）当平衡块离中心线1 m，右侧轨道对轮子的作用力f~B~是左侧轨道对轮子作用力f~A~的2倍，问机架重心离中心线的距离是多少？
（2）当起重机挂钩在离中心线OO^/^10 m处吊起重为G＝100 kN的重物时，平衡块离OO^/^的距离为6 m，问此时轨道B对轮子的作用力F~B~时多少？
**B．**（物理------选修3－3）
如图所示，两个可导热的气缸竖直放置，它们的底部都由一细管连通（忽略细管的容积）。两气缸各有一个活塞，质量分别为m~1~和m~2~，活塞与气缸无摩擦。活塞的下方为理想气体，上方为真空。当气体处于平衡状态时，两活塞位于同一高度h。（已知m~1~＝3m，m~2~＝2m）
（1）在两活塞上同时各放一质量为m的物块，求气体再次达到平衡后两活塞的高度差（假定环境温度始终保持为T~0~）。
（2）在达到上一问的终态后，环境温度由T~0~缓慢上升到T，试问在这个过程中，气体对活塞做了多少功？气体是吸收还是放出了热量？（假定在气体状态变化过程中，两物块均不会碰到气缸顶部）。
**C．**（物理------选修3－4）
图为沿x轴向右传播的简谐横波在t＝1.2 s时的波形，位于坐标原点处的观察者测到在4 s内有10个完整的波经过该点。
（1）求该波的波幅、频率、周期和波速。
（2）画出平衡位置在x轴上P点处的质点在0－0.6 s内的振动图象。
**D．**（物理------选修3－5）
在光滑的水平面上，质量为m~1~的小球A以速率v~0~向右运动。在小球的前方O点处有一质量为m~2~的小球B处于静止状态，如图所示。小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动。小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO。假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m~1~/m~2~。
31．化学选考题（15分）
**A．**［化学---选修化学与技术］
工业上生产硫酸时，利用催化氧化反应将SO~2~ 转化为SO~3~是一个关键步骤。压强及温度对SO~2~转化率的影响如下表（原料气各成分的体积分数为：SO~2~ 7%，O~2~ 11%，N~2~ 82%）；
（1） 已各SO~2~的氧化是放热反应，如何利用表中数据推断此结论？
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）在大400\~500℃时，SO~2~的催化氧化采用常压而不是高压，主要原因是：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）选择适宜的催化剂，是否可以提高SO~2~的转化率？ [ ]{.underline} （填"是"或"否"），是否可以增大该反应所放出的热量？ [ ]{.underline} （填"是"或"否"）；
（4）为提高SO~3~吸收率，实际生产中用 [ ]{.underline} 吸收SO~3~；
（5）已知：2SO~2~（g）＋O~2~（g）＝2SO~3~（g）；△H＝－196.9kJ·mol^－1^，计算每生产1万吨98%硫酸所需要的SO~3~质量和由SO~2~生产这些SO~3~所放出的热量。
**B．**［化学---选修物质结构与性质］
已知A、B．C、D和E 5种分子所含原子数目依次为1．2．3．4和6，且都含有18个电子。又知B．C和D是由两种元素的原子组成。请回答：
（1）组成A分子的原子的核外电子排布式是 [ ]{.underline} ；
（2）B和C的分子式分别是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} ；C分子的立体结构呈 [ ]{.underline} 型，该分子属于 [ ]{.underline} 分子（填"极性"或"非极性"）；
（3）若向D的稀溶液中加入少量二氧化锰，有无色气体生成。则D的分子式是 [ ]{.underline} ，该反应的化学方程式为 [ ]{.underline} ；
（4）若将1mol E在氧气中完全燃烧，只生成1mol CO~2~和2molH~2~O，则E的分子式是 [ ]{.underline} 。
**C．**［化学---选修有机化学基础］
某烃类化合物A的质谱图表明其相对分子质量为84，红外光谱表明分子中含有碳碳双键，核磁共振谱表明分子中只有一种类型的氢。
（1）A的结构简式为 [ ]{.underline} ；
（2）A中的碳原子是否都处于同一平面？ [ ]{.underline} （填"是"或者"不是"）；
（3）在下图中，D~1~ 、D~2~互为同分异构体，E~1~ 、E~2~互为同分异构体。
反应②的化学方程式为 [ ]{.underline} ；C的化学名称为 [ ]{.underline} ；E~2~的结构简式是 [ ]{.underline} ；④、⑥的反应类型依次是 [ ]{.underline} 。
32．生物选考题（15分）
**A．**［生物---------选修I生物技术实践］
某小组同学为了调查湖水中细菌的污染情况而进行了实验。实验包括制备培养基、灭菌、接种及培养、菌落观察计数。请回答与此实验相关的问题。
（1）培养基中含有蛋白胨、淀粉分别为细菌培养提供了\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_。除此之外，培养基还必须含有的基本成分是\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_。
（2）对培养基进行灭菌，应该采用的方法是\_\_\_\_\_\_\_。
（3）为了尽快观察到细菌培养的实验结果，应将接种了湖水样品的平板置于\_\_\_\_\_\_中培养，培养的温度设定在37℃。要使该实验所得结果可靠，还应该同时在另一平板上接种\_\_\_\_\_\_作为对照进行实验。
（4）培养20小时后，观察到平板上有形态和颜色不同的菌落，这说明湖水样品中有\_\_\_\_\_种细菌。一般说来，菌落总数越多，湖水遭受细菌污染的程度越\_\_\_\_\_\_\_。
（5）如果提高培养基中NaCl的浓度，可以用于筛选耐\_\_\_\_\_\_\_细菌，这种培养基被称为\_\_\_\_。
**B．**［生物------选修3现代生物科技专题］
现有A和B两个肉牛品种，A品种牛的细胞组成可表示为A细胞核、A细胞质，B品种牛则为B细胞核、B细胞质。
（1）如果要获得一头克隆牛，使其细胞由A细胞核和B细胞质组成，基本步骤是，从A品种牛体内取出体细胞，进行体外培养。然后再从培养细胞中取出\_\_\_\_\_\_\_注入B品种牛的\_\_\_\_\_\_\_\_\_卵母细胞，经过某处刺激和培养后，可形成胚胎，该胚胎被称为\_\_\_\_\_\_\_，将该胚胎移入代孕母牛的\_\_\_\_\_\_\_中，通过培育可达到目的。
（2）一般来说，要想大量获得这种克隆牛比较难，原因之一是卵母细胞的数量\_\_\_\_\_\_，为解决这一问题，可以用\_\_\_\_\_\_激素处理B品种母牛。
（3）克隆牛的产生说明\_\_\_\_\_具有全能性。克隆牛的性状主要表现\_\_\_\_品种牛的特征。由A、B两品种杂交得到的牛与克隆牛相比，杂交牛细胞核的遗传物质来自\_\_\_\_\_\_个亲本，细胞质来自\_\_\_\_\_\_性亲本，克隆牛和杂交牛的遗传物质组成\_\_\_\_\_\_（相同，不同）。
| 1 | |
**2020-2021学年贵州省黔西南州兴仁市真武山街道办事处黔龙学校一年级（上）期末数学试卷**
**一、解答题（共1小题，满分10分）**
1．（10分）看谁算得又对又快。
3+9＝ 5+9＝ 4+7＝ 4+2＝ 14﹣4﹣3＝
------- ---------- ------- --------- ------------
6+9＝ 12﹣10＝ 8+8＝ 18﹣3＝ 4+0+6＝
**二、填空（31分）**
2．（4分）15里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一，这个数在[ ]{.underline}和[ ]{.underline}的中间．
3．（1分）小朋友们排队做操，小明前面有6个人，后面有5个人，这一排一共有[ ]{.underline}人
4．（2分）2个十是[ ]{.underline}，10里面有[ ]{.underline}个一。
5．（2分）一个数的个位上是0，十位上是2，这个数是[ ]{.underline}，它在[ ]{.underline}的后面．
6．（8分）按规律填数：[ ]{.underline}、8、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、11、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}。
7．（2分）一两位数，从右边起第一位是[ ]{.underline}位，第二位[ ]{.underline}位．
8．（6分）在〇里填上"＜"、"＞"或"＝"。
9﹣3〇9 11+4〇15 14+4〇11+2
--------- ---------- ------------
7〇6+3 6﹣6〇12 3+9〇5+7
9．（3分）在〇里填上"+"或"﹣"．
----------- ----------- ---------
14〇4＝10 16〇4＝20 8〇7＝1
----------- ----------- ---------
10．（3分）在横线上填上合适的数。
--------------------------- --------------------------------------------- --------------------------
4+[ ]{.underline}＝11 [ ]{.underline}﹣[ ]{.underline}＝5 8＝5+[ ]{.underline}
--------------------------- --------------------------------------------- --------------------------
**三、动动脑、动动手。（共14分）**
11．（2分）接着画，比一比。画〇与▲同样多。
12．（4分）填出下面钟面的时刻。
13．（8分）数一数。
14．（6分）按要求做一做。
> （1）一共有[ ]{.underline}个物体，其中有[ ]{.underline}个。
>
> （2）从左边数排第[ ]{.underline}，从右数排第[ ]{.underline}。
>
> （3）把从左数的第6个圈起来，把从右数的第3个物体涂成红色。
**五、看图列算式（14分）**
15．（2分）看图列算式。
16．（2分）看图列算式。
17．（2分）看图列算式。
18．（8分）看图写出两个加法算式，两个减法算式。
**六、解决问题（25分）**
19．（5分）
> 现在一共有几只？
20．（5分）一本故事书，我昨天看了8页，今天看了9页，两天看了多少页？
21．（5分）小明家有19只小羊，卖了9只，现在还有多少只？
22．（5分）小英家里喂了4只母鸡、7只公鸡，小英家一共喂了多少只鸡？
23．（5分）领走了7个篮球，还剩下5个篮球。原来有多少个篮球？
**2020-2021学年贵州省黔西南州兴仁市真武山街道办事处黔龙学校一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、解答题（共1小题，满分10分）**
1．（10分）看谁算得又对又快。
3+9＝ 5+9＝ 4+7＝ 4+2＝ 14﹣4﹣3＝
------- ---------- ------- --------- ------------
6+9＝ 12﹣10＝ 8+8＝ 18﹣3＝ 4+0+6＝
> 【分析】根据整数加减法的计算方法直接进行口算即可。
>
> 【解答】解：
3+9＝12 5+9＝14 4+7＝11 4+2＝6 14﹣4﹣3＝7
--------- ----------- --------- ----------- -------------
6+9＝15 12﹣10＝2 8+8＝16 18﹣3＝15 4+0+6＝10
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
**二、填空（31分）**
2．（4分）15里面有[ 1 ]{.underline}个十和[ 5 ]{.underline}个一，这个数在[ 14 ]{.underline}和[ 16 ]{.underline}的中间．
> 【分析】15的1在十位上表示1个十，5在个位上，表示5个一，据此解答．
>
> 【解答】解：15里面有1个十和5个一，这个数在14和16的中间．
>
> 故答案为：1，5，14，16．
>
> 【点评】本题主要考查数位上数字表示的意义以及计数单位．
3．（1分）小朋友们排队做操，小明前面有6个人，后面有5个人，这一排一共有[ 12 ]{.underline}人
> 【分析】由题意，小明前面有6个人，后面有5个人，要求这一排一共有多少个人，用小明前面的人数加上小明后面的人数，再加上小明即可。
>
> 【解答】解：6+5+1＝12（人）
>
> 答：这一排一共有12人。
>
> 故答案为：12。
>
> 【点评】解答本题要注意：不要忘了加上小明自己。
4．（2分）2个十是[ 20 ]{.underline}，10里面有[ 10 ]{.underline}个一。
> 【分析】1个十是由10个一组成的，几个十组成几十；由此解答即可。
>
> 【解答】解：2个十是20，10里面有10个一。
>
> 故答案为：20，10。
>
> 【点评】本题考查整数的认识，解决本题的关键是明确数的组成。
5．（2分）一个数的个位上是0，十位上是2，这个数是[ 20 ]{.underline}，它在[ 19 ]{.underline}的后面．
> 【分析】（1）个位是0在个位上写0，十位是2在十位上写2，据此写出；
>
> （2）写出这个数后，根据相邻的整数之间相差1，它前面一个数是用这个数减1，据此解答．
>
> 【解答】解：一个数的个位上是0，十位上是2，这个数是 20，它在19的后面；
>
> 故答案为：20，19．
>
> 【点评】本题主要是考查整数的读法和写法．注意无论读、写，都要看准每个数位上的数字．
6．（8分）按规律填数：[ 7 ]{.underline}、8、[ 9 ]{.underline}、[ 10 ]{.underline}、11、[ 12 ]{.underline}、[ 13 ]{.underline}。
> 【分析】根据所给数据发现：后一个数等于前一个数加1，据此解答。
>
> 【解答】解：8﹣1＝7
>
> 8+1＝9
>
> 9+1＝10
>
> 11+1＝12
>
> 12+1＝13
>
> 所以这组数为：
>
> 7、8、9、10、11、12、13。
>
> 故答案为：7，9，10，12，13。
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
7．（2分）一两位数，从右边起第一位是[ 个 ]{.underline}位，第二位[ 十 ]{.underline}位．
> 【分析】根据整数的数位顺序．从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位...据此解答即可．
>
> 【解答】解：一两位数，从右边起第一位是个位，第二位是十位．
>
> 故答案为：个，十．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握整数的数位顺序及应用．
8．（6分）在〇里填上"＜"、"＞"或"＝"。
9﹣3〇9 11+4〇15 14+4〇11+2
--------- ---------- ------------
7〇6+3 6﹣6〇12 3+9〇5+7
> 【分析】根据整数加减法的计算方法直接进行口算出结果，然后再进行大小比较即可。
>
> 【解答】解：
9﹣3＜9 11+4＝15 14+4＞11+2
--------- ---------- ------------
7＜6+3 6﹣6＜12 3+9＝5+7
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的计算方法以及算式的大小比较的方法，要熟练掌握。
9．（3分）在〇里填上"+"或"﹣"．
----------- ----------- ---------
14〇4＝10 16〇4＝20 8〇7＝1
----------- ----------- ---------
> 【分析】根据整数加减法的计算方法口算即可。
>
> 【解答】解：
----------- ---------- ---------
14﹣4＝10 16+4＝20 8﹣7＝1
----------- ---------- ---------
> 故答案为：﹣，+，﹣。
>
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
10．（3分）在横线上填上合适的数。
--------------------------- ---------------------------------------------- --------------------------
4+[ 7 ]{.underline}＝11 [ 10 ]{.underline}﹣[ 5 ]{.underline}＝5 8＝5+[ 3 ]{.underline}
--------------------------- ---------------------------------------------- --------------------------
> 【分析】根据一个加数＝和﹣另一个加数，被减数﹣减数＝差，由此填空即可。
>
> 【解答】解：
--------- ---------- --------
4+7＝11 10﹣5＝5 8＝5+3
--------- ---------- --------
> 故答案为：7；10，5（答案不唯一）；3。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法算式中各部分之间的关系。
**三、动动脑、动动手。（共14分）**
11．（2分）接着画，比一比。画〇与▲同样多。
> 【分析】根据图示可知，有5个▲，画〇与▲同样多，即画5个〇，再画5﹣3＝2个〇；作图即可。
>
> 【解答】解：5﹣3＝2（个）
>
> 如图：
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
12．（4分）填出下面钟面的时刻。
> 【分析】分针指向12，时针指向几就是几时，根据整时的判断方法填写即可。
>
> 【解答】解：
>
> 故答案是：8：00，6：00。
>
> 【点评】本题考查的是整时的判断方法，应熟练掌握。
13．（8分）数一数。
> 【分析】结合图示，根据长方体、正方体、圆柱和球的特征，数一数，完成填空即可。
>
> 【解答】解：如图：
>
> 【点评】本题主要考查立体图形的分率和辨识，关键根据长方体、正方体、圆柱和球的特征做题。
14．（6分）按要求做一做。
> （1）一共有[ 8 ]{.underline}个物体，其中有[ 5 ]{.underline}个。
>
> （2）从左边数排第[ 1 ]{.underline}，从右数排第[ 8 ]{.underline}。
>
> （3）把从左数的第6个圈起来，把从右数的第3个物体涂成红色。
>
> 【分析】根据图片信息，数一数图形的个数，分别看一下每只动物排第几个，然后分别从左右两边数一下，由此即可得出答案。
>
> 【解答】解：（1）一共有8个物体，其中有5个。
>
> （2）从左边数排第1，从右数排第8。
>
> （3）把从左数的第6个圈起来，把从右数的第3个物体涂成红色。
>
> 如图：
>
> 故答案为：8，5；1，8。
>
> 【点评】考查前后左右的判断以及学生的动手操作能力。
**五、看图列算式（14分）**
15．（2分）看图列算式。
> 【分析】根据减法的意义，求盒子里有几支，用总支数减去外面的支数即可。
>
> 【解答】解：15﹣5＝10（支）
>
> 答：盒子里有10支。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
16．（2分）看图列算式。
> 【分析】根据加法的意义，求一共有多少本，把左边的8本与右边的4本相加即可。
>
> 【解答】解：8+4＝12（本）
>
> 答：一共有12本。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
17．（2分）看图列算式。
> 【分析】根据减法的意义，求剩下了多少个，用总个数减去去掉的3个即可。
>
> 【解答】解：13﹣3＝10（个）
>
> 答：剩下了10个。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
18．（8分）看图写出两个加法算式，两个减法算式。
> 【分析】根据题意，左边6个五角星，右边有5个五角星，求一共有几个，用加法计算，即一共11个，减去左边的6个，就是右边的5个；减去右边的5个，就是左边的6个；据此解答即可。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
**六、解决问题（25分）**
19．（5分）
> 现在一共有几只？
>
> 【分析】根据加法的意义，求现在一共有几只，把原来的9只与又来的3只相加即可。
>
> 【解答】解：9+3＝12（只）
>
> 答：现在一共有12只。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
20．（5分）一本故事书，我昨天看了8页，今天看了9页，两天看了多少页？
> 【分析】昨天看了8页，今天看了9页，用8加上9即可求出两天看的页数。
>
> 【解答】解：8+9＝17（页）
>
> 答：两天看了17页。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加法的意义和实际应用，要熟练掌握。
21．（5分）小明家有19只小羊，卖了9只，现在还有多少只？
> 【分析】有19只小羊，卖了9只，用19减去9即可求出现在还有多少只羊。
>
> 【解答】解：19﹣9＝10（只）
>
> 答：现在还有10只。
>
> 【点评】本题主要考查了整数减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
22．（5分）小英家里喂了4只母鸡、7只公鸡，小英家一共喂了多少只鸡？
> 【分析】根据题意，用母鸡的只数加上公鸡的只数，就是小英家一共有鸡的只数。据此列式解答。
>
> 【解答】解：4+7＝11（只）
>
> 答：小英家一共喂了11只鸡。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解整数加法的意义，掌握20以内数的加法的计算法则及应用。
23．（5分）领走了7个篮球，还剩下5个篮球。原来有多少个篮球？
> 【分析】根据题意，用领走的个数加上剩下的个数，就是原来的个数，据此列式解答。
>
> 【解答】解：7+5＝12（个）
>
> 答：原来有12个篮球。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解整数加法的意义，掌握20以内数的加法的计算方法及应用。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/26 16:59:59；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
| 1 | |
Von Neumann说过：In mathematics you don\'t understand things .You just get used to them. \
掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。但是我们往往对"掌握"这个词理解不够，所谓"掌握"是指这些知识技巧你都烂熟于心。没有任何抵触与疑问，你脑中会浮现它们清晰的图像。课本基础而简单，但最基础的才是最重要的，最简单的才是最有力量的。 \
做题时首先要确信自己没有概念性问题，其次才是技术性问题。而这两方面都可以在课本上找到，要学会见微知著。 \
几条建议：对照考纲，把要求的知识内容自己照课本反复推导4次；再演算例题，注意每题都要总结。然后再做高考试题（那些乱七八糟的辅导书不要买，都是垃圾），也要反复练习，说白了高考考的是熟练。在这个意义上，高考数学几乎是文科了。 \
\
数学《十年高考》，要精做，做五遍： \
第一遍：先做专题，再做真题，全面排查知识漏洞，不会的就看答案，不要强做，那是自欺欺人； \
第二遍，细细品味做法，一题多解，这步最关键； \
第三遍，浏览全书，回忆，熟练到立即反应解法（1秒之内）； \
第四遍，以此书为主干，发散思维，即，这题的本质是什么，考了什么知识或思想；再对照章前的考试要求，回忆这些知识都能怎么命题； \
第五遍，随意练，随便做题，这时题目已无难易之分；自己出题，试想你已经是命题人你还怕什么。
数学学习方法：精练多练出成果 \
\
学习数学最重要的一点就是：新旧结合、注重通法、记忆结论、抠透细节。 \
\
学了新知识，回头看看旧的东西，你会发现可以用新知识解决许多旧问题，同样只要你善于联系，旧知识照样可以解决新问题。例如：用导数解决函数单调性问题，向量解决立体几何问题，数列证明不等式，当然函数也可解决不等式。因此，知识的结合是很重要的。就说数形结合吧，数没有形直观，形没有数逻辑性强，二者刚好互补。同样，结合意味着化归、转化，如：非等比，等差数列转化为等比，等差数列，甚至各项大于0的等比数列取对数也可化为等差数列。所有公式中，万能公式沟通了三角与实数（只需令tan獳=x），这不也是一种结合吗？再比如：求珁=x+4/x的值域，我们可以分玿\>0，x\<0，应用均值不等式，但若你令玿=2tan獳，则珁=2(tan獳+cot獳)=4/sin2獳，其值域呼之欲出啊！对结论的记忆不用刻意去记，只要你做一个有心人，平时做题时注意积累就好，利用结论可以迅速解决选择和填空，还可以开阔你的思路呢！ \
\
知识盲点： \
\
1.空集的特殊性； \
\
2.不等式系数的不确定性； \
\
3.消元过程扩大解集； \
\
4.均值不等式应用中忽视取等条件； \
\
5.区分最值与极值； \
\
6.等比数列小心ｑ＝１的情况； \
\
7.ａ／／ｂ即ａ＝ｘｂ（ｂ≠０）； \
\
8.做题中任何题都应优先定义域； \
\
9.轨迹及方程问题中注意各轨迹方程的定义，如：圆要求Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０等； \
\
10.两圆位置关系与半径的联系。 \
\
易错点： \
\
1.忽略定义域； \
\
2.分类讨论做不到"不重不漏"； \
\
3.忽略了定理，定义的限定条件； \
\
4.向量法求二面角，对其是否大于90度不清楚； \
\
5.遗漏一些特殊情况，如：空集，求数列通项忽略对玭=1的验证，忽略导数不存在的点及斜率不存在的情况等。
2007年云南理科状元 邓侃 \
\
数学是思维的体操。且不谈"粒子之小，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁"，处处都闪烁应用数学的光芒，高度抽象的纯粹数学，也有其深刻而动人的美丽，堪称艰深难懂而璀璨美丽的艺术。恰如Russell所说："公正而论，数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美------一种冷峻严肃的美，如同一尊雕塑。"学习数学不仅为了应试解题，更要培养思考问题的逻辑性与严密性，提升思维品质。 \
\
学好数学关键在于思考。看似枯燥无味的数学公式，细心品味其内涵与外延，也能触摸到深刻的美丽。数学教材要通读，从最基本的概念出发，一步步推导出美丽的结论，前后勾连，交织成严密知识网络。记忆公式要学会举一反三，注意不同条件下结论的变化，掌握公式的推广和特例，衍生出解决问题的有效模式。 \
\
平时做题时，不要满足于记忆解答，要体会每一步的"动机"，才算完成了思维训练。只记住步骤而不思索动机，不像在看书，倒像在校稿。习题要精做，关键在于赋予每道题应有的思维分量。习题要精选精做，每做一题，要归纳解题的入口和关键步骤，尝试着改变条件和结论，探索一类题的解法。 \
\
各类考试有严格的时间、空间限制，要做到快速、准确地解题，必须采取一定解题策略，在"理解题目→拟定方案→执行方案→回顾"四个环节里节约时间，提高准确率，争取拿到所有应得的分数。 \
\
数学的题型颇有规律可循，平时多进行定时、定量的解题训练，才能突破弱项，提升速度，找到解题的感觉。
2007年广西文科状元 林丽渊 \
数学一直是我的强项，可惜高考时由于太过粗心没考出应有水平，我很遗憾。但是，学弟学妹们，现在希望还掌握在你们手中，不管现在成绩如何，还有时间做出调整。只要把握好，高分甚至满分数学和每个人都是等距离的。 \
\
题海战术 \
\
我个人还是比较支持题海战术的。数学考试范围广，题形多。只有多练才能达到多见识的目的，靠典型题目做少量题型得到高分是非常难的。当然，不能盲目做题，要精选题目，而且做完后要总结规律。最好能把做错题目抄录下来，以便最后巩固。 \
\
套题训练 \
\
数学的成绩是练出来的，而且要用符合高考的标准来练，而套题是最符合要求的。我练套题是捏准时间，然后严格打分，通过每星期两三套那样的练下来，找出自己的薄弱知识点，然后重点击破。就这样节节提高，到最后胸有成竹。小建议：套题训练最好留到二轮或者三轮复习时。 \
\
不要马虎 \
\
高考中我就因为马虎而白白丢分，很是遗憾。数学考试中经常听到同学抱怨说："怎么又马虎粗心了！"或是"这道以前错过的题目怎么又做错了！"为了防止犯低级错误，我的做法是时刻提醒我自己要小心。我经常在考试前在草稿纸或者本子上写上自己平时容易犯的错误，比如一定要记得函数的定义域之类的。然后考试时不停地提醒自己不要犯此类错误，这样效果很好。还有就是，考试时不要总想着做完所有题目后有时间检查，一定要把题做成一遍就过，一遍就对。
高考状元数学学习方法揭秘2007年07月09日 星期一 下午 03:04 很多同学觉得，数学课本上面的题目很简单，都是老师上课讲过的内容，下课以后，往往就把课本放在一边，去做其他一些他们认为难度更高的习题，刚开始我也是这样做的。可是到考试的时候往往是难题做出来了，简单的题目却容易失分，尤其是选择题、填空题这样一些小题。所以要特别注重学习课本，把课本上每一道题都做到位，这也是我要讲的第一点。第二点就是课本上的基本概念和基本思路。课本上面不光是习题重要，更重要的是它的基本概念和基本思路。数学课本有很多黑体字的大概念，这些都是我们平时很注意的，但是在一些小字里面，往往有一些非常细微的概念和原理是容易被忽视的，而考试的时候，往往就是把那些我们忽视的问题拎出来考。而一考就考"倒一大片"。所以我们在看课本的时候，一定要把课本上的每一个字，每一个句子，即使很细小的一些原理都要看到。三角函数、立体几何、解析几何的习题中,有很多重要结论,都是应该记住的。吃透课本，不管怎么强调它的重要性都不为过。\
\
数学是整个自然科学基础，应该以审慎、科学的态度来面对。数学的特点就是极度抽象化，概念化，对理性逻辑思维要求极高。于是，我学习数学时，要注重概念，某一数学概念的内涵、外延都研究得很细。可是，毕竟要进行考试，就必须对考题有简单且行之有效的解法，我就只好牺牲大量的时间去做，搞题海战术。但不敢取舍地陷在题海中就会把人累得狼狈不堪，必须能进得去，出得来，拿得起，放得下。因此，我做题的原则就是：做一道题，要会十道题或几十道题。因为每一道数学题（母题）都会涵盖几方面的数学问题（子题）。做出母题，由它繁衍出来的每一道子题也就会了，那么，凡是属于母题这一类型的题就不必一一去做而浪费有限的宝贵时间了。 \
------黑龙江理科状元 吕志鹏 \
我学习数学有一个自己的小窍门，不一定对每个人都有用，说出来仅供参考：我能学好数学是背例题背出来的。我不喜欢题海战术，我喜欢从每一种类型的题中找出一两道典型"背"下来。刚开始的例题可能不会，但"背"过一两次，理解之后，再看到这种类型就拿着"例题"往里套了。 \
------北京文科状元 段楠 \
我有自己的一套学习数学的方法。我总是在听课时领会各个知识点的内涵，然后课后通过做一些有代表性的题加深理解，然后再去看书本，再次理解基础知识点。在数学的学习中，做题不是目的，而是手段：做题是为了达到更深的理解。不要为做题而做题，但同时又要适量地做一些有代表性的习题。平时每次考试之后，我总是用改错本把错题抄下来，认真地改正，并在关键步骤旁注明所用方法，然后在错题后写上评析，总结错误的原因。每次考数学前，我总是把这个本子再仔细地看看，记住我为何犯错，这样就可避免我再犯类似的错误。 \
------湖北省文科状元 闫海进
北京大学法律系 【吃透课本法】 \
\
很多同学觉得，数学课本上面的题目很简单，都是老师上课讲过的内容，下课以后，往往就把课本放在一边，去做其他一些他们认为难度更高的习题，刚开始我也是这样做的。可是到考试的时候往往是难题做出来了，简单的题目却容易失分------尤其是前面的选择题、填空题这样一些小题。所以要特别注重学习课本，把课本上每一道题都做到位，这也是我要讲的第一点。第二点就是课本上的基本概念和基本思路。课本上面不光是习题重要，更重要的是它的基本概念和基本思路。数学课本有很多黑体字的大概念，这些都是我们平时很注意的，但是在一些小字里面，往往有一些非常细微的概念和原理是容易被忽视的，而考试的时候，往往就是把那些我们忽视的问题拎出来考。而一考大家就"倒一大片"。所以我们在看课本的时候，一定要把课本上的每一个字，每一个句子，即使很细小的一些原理都要看到。三角函数、立体几何、解析几何的习题中,有很多重要结论,都是应该记住的。吃透课本，不管怎么强调它的重要性都不为过
最后再说一点：\
数学满分=熟悉课本+研究真题\
挑选一些好的、典型的题目，做熟做透，把这些题目对应的知识点理解透彻，把这些题目适用的解题技巧掌握好。一旦做了一定数量的好的、典型题目后，就要及时总结，尽快形成解题技巧和知识点的体系。你可以只做老师布置的习题，或者只做一本题型总结的非常好的、成体系的数学习题集。\
在做练习的过程中，不要着急，要平静心情。 \
\
在做练习的过程中，要深入思考，要尽量把每个问题考虑清楚，不要在意每道题目花了多少时间，关键是领悟了多少东西。
王聪：我在数学上面确实下的功夫很多。我不喜欢看课外的书，却喜欢看教材，把教材吃得很透，但我会用自己的思维去分析问题、总结方法。我想有以下几点可供大家借鉴------\
一、学习数学千万不要害怕。很多人因为数学不好，起先失掉兴趣，然后失掉信心，最后便讨厌数学了，结果导致数学更差了。其实这些环节是相关的，只要改好了一个方面，其他方面也就跟着好起来。当然，学数学需要一定的天分，这是肯定的，但在高考中数学得个110分左右可以说与天分无关，只需努力，各位同学只要端正心态去努力，一定会有好结果的。 \
二、要有一定量的习题训练，不然很难对数字敏感。数学与其他科目不一样。如果平时没怎么动手练习，即使明白思路也不一定能正确计算，所以需要做一定量的题来提高做题的熟练度、速度和正确率。另外，做一定量的题，会使你更熟悉考点，明白出题者想考你什么，便于你更快地解题。比如说问tan 的对称中心，我的第一反应是出题者会考 /2的倍数的点，因为那些点是对称中心，但无意义，易被忽略。我就会提高对那些点的注意。再比如说，你每种题型只做过一次，那么每道题你都会花很多时间且不一定做得对。但假如每种题型你做了3～5道，那么再遇到这类题时，你就会知道方向，该采用哪种方法。 \
三、学到每章的时候，一定要做相应章节的典型习题。因为那样一是易考，二是能让你熟悉本章考点及"陷阱"，比如集合这章，如果考大题，我的第一反应就是要考空集的这种特殊情况，我就会特别小心它。 \
四、学会整理易错的题。我这段话的对象不包括数学天才。我们不是天才，不可能对做错的题过目不忘，不再犯错。因而，你需要一个笔记本将做错的题定期整理，定期复习，特别是高三的学生，总不能再像以前那样学了又忘，反反复复犯错。所以，一本错题笔记是必需品。
| 1 | |
**第二单元测试卷**
一、比一比,在正确答案下面画""。 绿色圃中小学教育网http://www.lspjy.com/
哪辆车高? 哪座楼房矮? 哪个大?
二、比一比,选一选。
最高的画"",最矮的画""。 最厚的画"",最薄的画""。
最重的画"",最轻的画""。 最长的画"",最短的画""。
三、想一想,比一比,高的画"√"。
四、想一想,重的画""。 绿色圃中小学教育网http://www.lspjy.com/
五、最重的画"√",最轻的画""。
六、比一比。
 ( )号最长,( )号最短。
七、解决问题。
1.哪条路近?在近路旁画"√"。
2.谁高一些?在高的小动物下面画""。
3.下面2块石头,哪一块放入杯子里,水面会上升得高?画"√"。
第二单元测试卷答案
一、
  
二、
   
三、
√ √ √
四、  
五、 √ √ 
六、③ ①
七、1. 提示:第一条路近。 2. √
3\. 提示:第2块石头。
| 1 | |
**特别说明：**
**《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料!**
**本套资料所诉求的数学理念是：（1）解题活动是高中数学教与学的核心环节，（2）精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的两项重大功能。**
**本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章分三个等级：\[基础训练A组\]，**
**\[综合训练B组\]，**
**\[提高训练C组\]**
**建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。**
**本套资料配有详细的参考答案，特别值得一提的是：单项选择题和填空题配有详细的解题过程，解答题则按照高考答题的要求给出完整而优美的解题过程。**
**本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组：可以在90分钟内做完一组题，然后比照答案，对完答案后，发现本可以做对而做错的题目，要思考是什么原因：是公式定理记错？计算错误？还是方法上的错误？对于个别不会做的题目，要引起重视，这是一个强烈的信号：你在这道题所涉及的知识点上有欠缺，或是这类题你没有掌握特定的方法。**
**本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手，结合详细的参考答案，把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚，常思考这道题是考什么方面的知识点，可能要用到什么数学方法，或者可能涉及什么数学思想，这样举一反三，慢慢就具备一定的数学思维方法了。**
**本套资料酌收复印工本费。**
**李传牛老师保留本作品的著作权，未经许可不得翻印！**
**联络方式：（移动电话）13976611338，69626930 李老师。**
**（电子邮件）****lcn111\@sohu.com**
**目录：数学4（必修）**
**数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）\[基础训练A组\]**
**数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）\[综合训练B组\]**
**数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）\[提高训练C组\]**
**数学4（必修）第二章：平面向量 \[基础训练A组\]**
**数学4（必修）第二章：平面向量 \[综合训练B组\]**
**数学4（必修）第二章：平面向量 \[提高训练C组\]**
**数学4（必修）第三章：三角恒等变换 \[基础训练A组\]**
**数学4（必修）第三章：三角恒等变换 \[综合训练B组\]**
**数学4（必修）第三章：三角恒等变换 \[提高训练C组\]**
**新课程高中数学训练题组**
**根据最新课程标准，参考独家内部资料，**
**精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料!**
**辅导咨询电话：13976611338，李老师。**
**（数学4必修）第一章 三角函数（上）**
**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．设角属于第二象限，且，则角属于（ ）**
**A．第一象限 B．第二象限**
**C．第三象限 D．第四象限**
**2．给出下列各函数值：①；②；**
**③；④.其中符号为负的有（ ）**
**A．① B．② C．③ D．④**
**3．等于（ ）**
**A． B． C． D．**
**4．已知，并且是第二象限的角，那么**
> **的值等于（ ）**
>
> **A. B. C. D.**
**5．若是第四象限的角，则是（ ）**
**A.第一象限的角 B.第二象限的角**
**C.第三象限的角 D.第四象限的角**
**6．的值（ ）**
**A.小于 B.大于 C.等于 D.不存在**
**二、填空题**
**1．设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第\_\_\_、\_\_\_、\_\_\_象限．**
**2．设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：**
**①；②； ③；④，**
**其中正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**3．若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**4．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 [ ]{.underline} 。**
**5．与终边相同的最小正角是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．已知是关于的方程的两个实根，**
**且，求的值．**
**2．已知，求的值。**
**3．化简：**
**4．已知，**
**求（1）；（2）的值。**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第一章 三角函数（上）**
**\[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1．若角的终边上有一点，则的值是（ ）**
**A． B． C． D．**
**2．函数的值域是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**3．若为第二象限角，那么，，，中，**
> **其值必为正的有（ ）**
>
> **A．个 B．个 C．个 D．个**
**4．已知，，那么（ ）．**
**A． B． C． D．**
**5．若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）．**
**A． B． C．或 D．**
**6．已知，，那么的值是（ ）．**
**A． B． C． D．**
**二、填空题**
**1．若，且的终边过点，则是第\_\_\_\_\_象限角，=\_\_\_\_\_。**
**2．若角与角的终边互为反向延长线，则与的关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**3．设，则分别是第 [ ]{.underline} 象限的角。**
**4．与终边相同的最大负角是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．化简：=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．已知求的范围。**
**2．已知求的值。**
**3．已知，（1）求的值。**
**（2）求的值。**
**4．求证：**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第一章 三角函数（上）**
**\[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1．化简的值是（ ）**
**A． B． C． D．**
**2．若，，则**
**的值是（ ）**
**A． B． C． D．**
**3．若，则等于（ ）**
**A． B． C． D．**
**4．如果弧度的圆心角所对的弦长为，**
**那么这个圆心角所对的弧长为（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**5．已知，那么下列命题成立的是（ ）**
**A.若是第一象限角，则**
**B.若是第二象限角，则**
**C.若是第三象限角，则**
**D.若是第四象限角，则**
**6．若为锐角且，**
**则的值为（ ）**
**A． B． C． D．**
**二、填空题**
**1．已知角的终边与函数决定的函数图象重合，的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**2．若是第三象限的角，是第二象限的角，则是第 [ ]{.underline} 象限的角.**
**3．在半径为的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，**
**射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为，若要光源**
**恰好照亮整个广场，则其高应为\_\_\_\_\_\_\_(精确到)**
**4．如果且那么的终边在第 [ ]{.underline} 象限。**
**5．若集合，，**
**则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
> **1．角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与关于直线对称，求之值．**
**2．一个扇形的周长为，求扇形的半径，圆心角各取何值时，**
**此扇形的面积最大？**
**3．求的值。**
**4．已知其中为锐角，**
**求证：**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第一章 三角函数（下）**
**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．函数是上的偶函数，则的值是（ ）**
**A． B． C. D.**
**2．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），**
> **再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）**
**A． B．**
**C. D.**
**3．若点在第一象限,则在内的取值范围是（ ）**
**A． B.**
**C. D.**
**4．若则（ ）**
> **A． B．**
>
> **C． D．**
**5．函数的最小正周期是（ ）**
**A． B． C． D．**
**6．在函数、、、中，**
**最小正周期为的函数的个数为（ ）**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
**二、填空题**
**1．关于的函数有以下命题： ①对任意，都是非奇非偶函数；**
> **②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；③存在，使是偶函数；④对任意，都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 [ ]{.underline} ，因为当 [ ]{.underline} 时，该命题的结论不成立.**
**2．函数的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**3．若函数的最小正周期满足,则自然数的值为\_\_\_\_\_\_.**
**4．满足的的集合为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．若在区间上的最大值是，则=\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．画出函数的图象。**
**2．比较大小（1）；（2）**
**3．（1）求函数的定义域。**
**（2）设，求的最大值与最小值。**
**4．若有最大值和最小值，求实数的值。**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第一章 三角函数（下）**
**\[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1．方程的解的个数是（ ）**
**A. B.**
**C. D.**
**2．在内，使成立的取值范围为（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**3．已知函数的图象关于直线对称，**
**则可能是（ ）**
**A. B. C. D.**
**4．已知是锐角三角形，**
**则（ ）**
**A. B. C. D.与的大小不能确定**
**5．如果函数的最小正周期是,**
> **且当时取得最大值,那么（ ）**
**A. B.**
**C. D. **
**6．的值域是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**二、填空题**
**1．已知是第二、三象限的角，则的取值范围\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**2．函数的定义域为，**
**则函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**3．函数的单调递增区间是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**4．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．（1）求函数的定义域。**
**（2）设，求的最大值与最小值。**
**2．比较大小（1）；（2）。**
**3．判断函数的奇偶性。**
**4．设关于的函数的最小值为，**
**试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第一章 三角函数（下）**
**\[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1．函数的定义城是（ ）**
**A. B.**
**C. D.**
**2．已知函数对任意都有则等于（ ）**
**A. 或 B. 或 C. D. 或**
**3．设是定义域为，最小正周期为的函数，若**
**则等于（ ）**
**A. B. C. D.**
**4．已知， ，...为凸多边形的内角，且，则这个多边形是（ ）**
> **A．正六边形 B．梯形 C．矩形 D．含锐角菱形**
**5．函数的最小值为（ ）**
> **A． B． C． D．**
**6．曲线在区间上截直线及**
> **所得的弦长相等且不为，则下列对的描述正确的是（ ）**
**A. B.**
**C. D.**
**二、填空题**
**1．已知函数的最大值为，最小值为，则函数的**
> **最小正周期为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_,值域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**2．当时，函数的最小值是\_\_\_\_\_\_\_，最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**3．函数在上的单调减区间为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**4．若函数，且则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标扩大到原来的倍，然后把所得的图象沿轴向左平移，这样得到的曲线和的图象相同，则已知函数的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**三、解答题**
**1．求使函数是奇函数。**
**2．已知函数有最大值，试求实数的值。**
**3．求函数的最大值和最小值。**
**4．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，**
**当时，函数，**
**其图象如图所示.**
**(1)求函数在的表达式；**
**(2)求方程的解.**
**新课程高中数学训练题组**
**根据最新课程标准，参考独家内部资料，**
**精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！**
**辅导咨询电话：13976611338，李老师。**
**（数学4必修）第二章 平面向量**
**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．化简得（ ）**
**A． B． C． D．**
**2．设分别是与向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**3．已知下列命题中：**
**（1）若，且，则或，**
**（2）若，则或**
**（3）若不平行的两个非零向量，满足，则**
**（4）若与平行，则其中真命题的个数是（ ）**
> **A． B． C． D．**
**4．下列命题中正确的是（ ）**
> ***A．若a⋅b＝0，则a＝0或b＝0***
>
> ***B．若a⋅b＝0，则a∥b***
>
> ***C．若a∥b，则a在b上的投影为\|a\|***
>
> ***D．若a⊥b，则a⋅b＝(a⋅b)^2^***
**5．已知平面向量，，且，则（ ）**
**A． B． C． D．**
**6．已知向量,向量则的最大值，**
**最小值分别是（ ）**
**A． B． C． D．**
**二、填空题**
**1．若=，=，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**2．平面向量中，若，=1，且，则向量=\_\_\_\_。**
**3．若,，且与的夹角为，则 [ ]{.underline} 。**
**4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点**
**所构成的图形是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．已知与，要使最小，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．**
**2．已知向量的夹角为，,求向量的模。**
**3．已知点，且原点分的比为，又，求在上的投影。**
**4．已知,,当为何值时，**
**（1）与垂直？**
**（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第二章 平面向量 \[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1．下列命题中正确的是（ ）**
> **A． B．**
>
> **C． D．**
**2．设点，,若点在直线上，且，**
> **则点的坐标为（ ）**
>
> **A． B．\
> C．或 D．无数多个**
**3．若平面向量与向量的夹角是，且，则( )**
**A． B． C． D．**
**4．向量，，若与平行，则等于\
*A． B． C． D．***
**5．若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ）**
**A．** **B．** **C．** **D．**
**6．设，，且，则锐角为（ ）**
**A． B． C． D．**
**二、填空题**
**1．若，且，则向量与的夹角为[ ]{.underline}．**
**2．已知向量，，，若用和表示，则=\_\_\_\_。**
**3．若,，与的夹角为，若，则的值为[ ]{.underline} ．**
**4．若菱形的边长为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．若=，=，则在上的投影为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．**
**2．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和．**
**3．设非零向量，满足，求证：**
**4．已知，，其中．\
(1)求证： 与互相垂直；\
**
> **(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第二章 平面向量**
**\[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1．若三点共线，则有（ ）**
**A． B． C． D．**
**2．设，已知两个向量，**
> **，则向量长度的最大值是（ ）**
**A. B. C. D.**
**3．下列命题正确的是（ ）**
**A．单位向量都相等**
**B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ）**
**C．，则**
**D．若与是单位向量，则**
**4．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）**
**A． B． C． D．**
**5．已知向量，满足且则与的夹角为**
**A． B． C． D．**
**6．若平面向量与向量平行，且，则( )**
**A． B． C． D．或**
**二、填空题**
**1．已知向量，向量，则的最大值是 [ ]{.underline} ．**
**2．若，试判断则△ABC的形状\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**3．若，则与垂直的单位向量的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**4．若向量则 [ ]{.underline} 。**
**5．平面向量中，已知，，且，则向量\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题**
**1．已知是三个向量，试判断下列各命题的真假．**
**（1）若且，则**
**（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量．**
***2．证明：对于任意的，恒有不等式***
**3．*平面向量，若存在不同时为的实数和，使***
***且，试求函数关系式*。**
**4．如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问**
**的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。**
**新课程高中数学训练题组**
**根据最新课程标准，参考独家内部资料，**
**精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！**
**辅导咨询电话：13976611338，李老师。**
**（数学4必修）第三章 三角恒等变换**
**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．已知，，则（ ）**
**A． B． C． D．**
**2．函数的最小正周期是（ ）**
**A. B. C. D.**
**3．在△ABC中，，则△ABC为（ ）**
**A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定**
**4．设，，，**
**则大小关系（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**5．函数是（ ）**
**A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数**
**C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数**
**6．已知，则的值为（ ）**
**A． B． C． D．**
**二、填空题**
**1．求值：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**2．若则 [ ]{.underline} 。**
**3．函数的最小正周期是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**4．已知那么的值为 [ ]{.underline} ,的值为 [ ]{.underline} 。**
**5．的三个内角为、、，当为 [ ]{.underline} 时，取得最大值，且这个最大值为 [ ]{.underline} 。**
**三、解答题**
**1．已知求的值.**
**2．若求的取值范围。**
**3．求值：**
**4．已知函数**
**（1）求取最大值时相应的的集合；**
**（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.**
**新课程高中数学训练题组**
**根据最新课程标准，参考独家内部资料，**
**精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！**
**辅导咨询电话：13976611338，李老师。**
**（数学4必修）第三章 三角恒等变换**
**\[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1．设则有（ ）**
**A. B. C. D.**
**2．函数的最小正周期是( )**
**A． B． C． D．**
**3．（ ）**
**A． B． C． D．**
**4．已知则的值为（ ）**
**A. B. C. D.**
**5．若，且，则( )**
> **A． B．**
>
> **C． D．**
**6．函数的最小正周期为（ ）**
A． B． C． D．
**二、填空题**
**1．已知在中，则角的大小为 [ ]{.underline} ．**
**2．计算：的值为\_\_\_\_\_\_\_．**
**3．函数的图象中相邻两对称轴的距离是 [ ]{.underline} ．**
**4．函数的最大值等于 [ ]{.underline} ．**
**5．已知在同一个周期内，当时，取得最大值为，当**
**时，取得最小值为，则函数的一个表达式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**三、解答题**
**1. 求值：（1）；**
**（2）。**
**2．已知，求证：**
**3．求值：。**
**4．已知函数**
**（1）当时，求的单调递增区间；**
**（2）当且时，的值域是求的值.**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学4必修）第三章 三角恒等变换**
**\[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1．求值（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**2．函数的最小值等于（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**3．函数的图象的一个对称中心是（ ）**
**A. B.**
**C. D.**
**4．△ABC中，，则函数的值的情况（ ）**
**A．有最大值，无最小值**
**B．无最大值，有最小值**
**C．有最大值且有最小值**
**D．无最大值且无最小值**
**5． 的值是( )**
**A. B.**
**C. D.**
**6．当时,函数的最小值是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**二、填空题**
**1．给出下列命题：①存在实数，使；**
**②若是第一象限角，且，则；**
**③函数是偶函数；**
**④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．**
**其中正确命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（把正确命题的序号都填上）**
**2．函数的最小正周期是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**3．已知，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**4．函数在区间上的最小值为 [ ]{.underline} ．**
**5．函数有最大值，最小值，则实数\_\_\_\_，\_\_\_。**
**三、解答题 1．已知函数的定义域为，**
**（1）当时，求的单调区间；**
**（2）若，且，当为何值时，为偶函数．**
**2．已知△ABC的内角满足，若，且满足：，，为的夹角.求。**
**3．已知求的值。**
**4．已知函数**
**(1)写出函数的单调递减区间；**
**(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．**
**数学4（必修）第一章 三角函数（上） \[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1.C**
**当时，在第一象限；当时，在第三象限；**
**而，在第三象限；**
**2.C ；**
**；**
**3.B**
**4.A**
**5.C ，若是第四象限的角，则是第一象限的角，再逆时针旋转**
**6.A**
**二、填空题**
**1.四、三、二 当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，；**
**2.②**
**3. 与关于轴对称**
**4.**
**5.**
**三、解答题**
1. **解：，而，则**
**得，则，。**
**2.解：**
**3.解：原式**
**4.解：由得即**
**（1）**
**（2）**
**数学4（必修）第一章 三角函数（上） \[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1.B**
**2.C 当是第一象限角时，；当是第二象限角时，；**
**当是第三象限角时，；当是第四象限角时，**
**3.A**
**在第三、或四象限，，**
**可正可负；在第一、或三象限，可正可负**
**4.B**
**5.D ，**
**当是第二象限角时，；**
**当是第四象限角时，**
**6.B**
**二、填空题**
**1.二， ，则是第二、或三象限角，而**
**得是第二象限角，则**
**2.**
**3.一、二 得是第一象限角；**
**得是第二象限角**
**4.**
**5.**
**三、解答题**
**1.解：**
**，**
**2.解：**
**3.解：（1）**
**（2）**
**4.证明：右边**
**数学4（必修）第一章 三角函数（上） \[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1.D**
**2.A**
**3.B**
**4.A 作出图形得**
**5.D 画出单位圆中的三角函数线**
**6.A**
**二、填空题**
**1. 在角的终边上取点**
**2.一、或三**
**3.**
**4.二**
**5.**
**三、解答题**
**1.解：**
**。**
**2. 解：设扇形的半径为，则**
**当时，取最大值，此时**
**3.解：**
**4.证明：由得即**
**而，得，即**
**得而为锐角，**
**数学4（必修）第一章 三角函数（下） \[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1.C 当时，，而是偶函数**
**2.C**
**3.B**
**4.D**
**5.D**
**6.C 由的图象知，它是非周期函数**
**二、填空题**
**1.① 此时为偶函数**
**2.**
**3.**
**4.**
**5.**
**三、解答题**
**1.解：将函数的图象关于轴对称，得函数**
**的图象，再将函数的图象向上平移一个单位即可。**
**2.解：（1）**
**（2）**
**3.解：（1）**
**或**
**为所求。**
**（2），而是的递增区间**
**当时，；**
**当时，。**
**4.解：令，**
**对称轴为**
**当时，是函数的递减区间，**
**，得，与矛盾；**
**当时，是函数的递增区间，**
**，得，与矛盾；**
**当时，，再当，**
**，得；**
**当，，得**
**数学4（必修）第一章 三角函数（下） \[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1.C 在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，**
> **右边三个交点，再加上原点，共计个**
**2.C 在同一坐标系中分别作出函数的图象，观察：**
**刚刚开始即时，；**
**到了中间即时，；**
**最后阶段即时，**
**3.C 对称轴经过最高点或最低点，**
**4.B**
**5.A 可以等于**
**6.D**
**二、填空题**
**1.**
**2.**
**3. 函数递减时，**
**4. 令则是函数的关于**
> **原点对称的递增区间中范围最大的，即，**
>
> **则**
**5．**
**三、解答题**
**1.解：（1）**
**得，或**
**（2），而是的递减区间**
**当时，；**
**当时，。**
**2.解：（1）；**
**（2）**
**3.解：当时，有意义；而当时，无意义，**
**为非奇非偶函数。**
**4.解：令，则，对称轴，**
**当，即时，是函数的递增区间，；**
**当，即时，是函数的递减区间，**
**得，与矛盾；**
**当，即时，**
**得或，，此时。**
**数学4（必修）第一章 三角函数（下） \[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1.D**
**2.B 对称轴**
**3.B**
**4.C**
**5.B 令，则，对称轴，**
**是函数的递增区间，当时；**
**6.A 图象的上下部分的分界线为**
**二、填空题**
**1.**
**2.**
**当时，；当时，；**
**3. 令，必须找的增区间，画出的图象即可**
**4. 显然，令为奇函数**
**5．**
**三、解答题**
**1.解：**
**，为奇函数，则**
**。**
**2.解：**
**，对称轴为，**
**当，即时，是函数的递减区间，**
**得与矛盾；**
**当，即时，是函数的递增区间，**
**得；**
**当，即时，**
**得；**
**3.解：令**
**得，，**
**对称轴，当时，；当时，。**
**4.解：（1），**
**且过，则**
**当时，**
**而函数的图象关于直线对称，则**
**即，**
**（2）当时，，**
**当时，**
**为所求。**
**数学4（必修）第二章 平面向量 \[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1.D**
**2.C 因为是单位向量，**
**3.C （1）是对的；（2）仅得；（3）**
**（4）平行时分和两种，**
**4.D *若*，则四点构成平行四边形；**
***若，则在上的投影为或，*平行时分和两种**
**5.C**
**6.D**
**，最大值为，最小值为**
**二、填空题**
**1.**
**2. 方向相同，**
**3.**
**4.圆 以共同的始点为圆心，以单位为半径的圆**
**5． ，当时即可**
**三、解答题**
**1.解：**
**是△的重心，**
**2.解：**
**3.解：设，，得，即**
**得，，**
**4.解：**
**（1），**
**得**
**（2），得**
**此时，所以方向相反。**
**数学4（必修） 第二章 平面向量 \[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1.D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，；**
**是一对相反向量，它们的和应该为零向量，**
**2.C 设，由得，或，**
**，即；**
**3.A 设，而，则**
**4.D**
**，则**
**5.B**
**6.D**
**二、填空题**
**1. ,或画图来做**
**2. 设，则**
**3.**
**4.**
**5．**
**三、解答题**
**1.解：设，则**
**得，即或**
**或**
**2.证明：记则**
**3.证明：**
**4.（1）证明：**
**与互相垂直**
**（2）；**
**而**
**，**
**数学4（必修） 第二章 平面向量 \[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1.C**
**2.C**
**3.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当时，与可以为任意向量；**
**，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角**
**4.C**
**5.C**
**6.D 设，而，则**
**二、填空题**
**1.**
**2.直角三角形**
**3.**
**设所求的向量为**
**4. 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得**
**5． 设**
**三、解答题**
**1.解：（1）若且，则，这是一个假命题**
**因为，仅得**
**（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量．这是一个假命题**
**因为向量在的方向上的投影是个数量，而非向量。**
**2.证明：设，则**
**而**
**即，得**
**3.解：由*得***
**4. 解：**
**数学4（必修）第三章 三角恒等变换 \[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1.D ，**
**2.D**
**3.C 为钝角**
**4.D ，，**
**5.C ，为奇函数，**
**6.B**
**二、填空题**
**1.**
**2.**
**3. ，**
**4.**
**5．**
**当，即时，得**
**三、解答题**
**1.解：**
**。**
**2.解：令，则**
**3.解：原式**
**4.解：**
**（1）当，即时，取得最大值**
**为所求**
**（2）**
**数学4（必修）第三章 三角恒等变换 \[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1.C**
**2.B**
**3.B**
**4.D**
**5.A**
**6.B**
**二、填空题**
**1.**
**，事实上为钝角，**
**2.**
**3.**
**，相邻两对称轴的距离是周期的一半**
**4.**
**5．**
**三、解答题**
**1.解：（1）原式**
**（2）原式**
**2.证明：**
**得**
**3.解：原式**
**而**
**即原式**
**4.解：**
**（1）**
**为所求**
**（2），**
**数学4（必修）第三章 三角恒等变换 \[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1.C**
**2.C**
**3.B**
**4.D**
**,而，自变量取不到端点值**
**5.C ，更一般的结论**
**6.A**
**二、填空题**
1. **③ 对于①，；**
**对于②，反例为，虽然，但是**
**对于③，**
**2.**
**3. ,**
**4.**
**5．**
**,**
**三、解答题**
1. **解：（1）当时，**
**为递增；**
**为递减**
**为递增区间为；**
**为递减区间为。**
**（2）为偶函数，则**
**2.解：**
**得，**
**3.解：，**
**而**
**。**
**4.解：**
**（1）**
**为所求**
**（2）**
| 1 | |
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（22）**
**一.计算．**
1．直接写出计算结果．
---------- -------- ------------ ------------ ---------------
13.4﹣8= 6.6+4= 10﹣2.3= 7.5×4= 2.3×4×0=
100÷40= 3.5÷5= 0.6﹣0.23= 0.34+0.45= 47y﹣23y+15y=
---------- -------- ------------ ------------ ---------------
2．竖式计算．
5.94+10.7=
15.7﹣8.99=
2.6×0.45=
12.8÷0.32=
3．脱式计算．
0.12×3.3﹣2.3×0.12；
10.5÷2.5÷0.4．
4．解方程．
5.2x﹣2.8x=8.64；
x÷5=25.2．
**二．数与代数．填空题．**
5．由2个百、3个、5个0.001组成的数是[ ]{.underline}．把它保留一位小数是[ ]{.underline}，保留两位小数是[ ]{.underline}．
6．一个两位小数取近似值后是5.8，这个数最大是[ ]{.underline}，最小是[ ]{.underline}．
7．一个数扩大100倍后又缩小到它的的结果是0.25，这个数是[ ]{.underline}．
8．我心里想了一个数y，这个数乘4，加上6，再减去3，得87．y=[ ]{.underline}．
9．360克=[ ]{.underline}千克；
2米4厘米=[ ]{.underline}米；
1小时30分=[ ]{.underline}时．
10．2010年11月1日零时为标准时点的第六次全国人口普查，登记的全国总人口为1339724852人，改写成用亿做单位的数（保留一位小数）约是[ ]{.underline}亿人．
11．儿子今年a岁，爸爸的年龄是儿子的5倍．爸爸比儿子多[ ]{.underline}岁．
12．看图写小数．
13．像这样拼摆六张桌子可以坐[ ]{.underline}人．
14．因为26×14=364，所以2.6×1.4=[ ]{.underline}，[ ]{.underline}×[ ]{.underline}=0.364．
**三、选择：（选择正确答案的序号填在括号里）**
15．在6.1和6.9之间的一位小数有（ ）
A．无数个 B．8个 C．7个 D．没有办法数
16．下列算式不用计算，结果最小的是（ ）
A．0.65×3 B．0.65÷3 C．3÷O.65 D．3﹣0.65
17．在0．□7＜0.6式子中，□内最大可以填几？（ ）
A．9 B．7 C．6 D．5
18．有一根绳子，如果把这它对折、再对折后的长度是6.15厘米，这根绳子原来长（ ）厘米．
A．2.05 B．18.45 C．24.6 D．12.3
19．一个数由0、0、0、2、3、9组成，只读一个零的是（ ）
A．203900 B．200309 C．200039 D．239000
**四、图形与几何．选择题．（选择正确答案的序号填在括号里）**
20．把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，直角三角形的两个锐角分别是（ ）
A．30°和60° B．45°和45° C．60°和60°
21．把一个10°角用6倍的放大镜来看，看到的角是（ ）
A．6° B．10° C．60° D．600°
22．下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、9cm B．2cm、3cm、4cm C．5cm、6cm、7cm
23．同样的物体从不同的方向看到的是不一样的呢！下面这些图形分别是从哪些方向看到的？
A、上面 B、下面 C、左面 D、右面 E、前面 F、后面．
**五、解答题（共2小题，满分0分）**
24．一块塑料板是一个等腰三角形，它的一个底角是54°那么它的顶角是多少度？
25．画一笔，使下面的图形形成一个三角形和一个梯形．
**六、统计与概率：**
26．选择正确答案的序号填在括号内．
盒子里有15个红球，10个白球和一个黄球．小明和小丽进行摸球游戏，下面说法不正确的是（ ）
A．小明和小丽摸出的红球的可能性最大
B．小明不一定能摸到红球
C．小丽一定摸不到黄球
D．小丽摸到白球的可能性比摸到黄球的可能性大些
27．淘气和笑笑玩掷骰子的游戏，每人掷15次．骰子有6个面，每个面分别标有1、2、3、4、5、6，这个游戏公平吗？为什么呢？
**七、解决问题：**
28．一只熊猫体重75千克，一只小象的体重比熊猫的12倍少20千克，小象的体重多少千克？
29．出租车公司出租汽车收费标准如下表：
------------------------ --------
里程 收费
3千米以上（含3千米） 6.00元
3千米以上，每增加1千米 1.50元
------------------------ --------
（1）笑笑乘出租车行驶6千米，应付费多少元？
（2）笑笑的爸爸从甲地到乙地共付费28.5元，甲乙两地的路程最多为多少千米？
30．学校六一庆祝会，四（1）班的老师将部分开销情况做了一个统计表，但是不小心把墨水泼到上面了．你能算出制作每一个道具的单价吗？
31．
乌龟每分钟爬行多少米？
**八、简单推理．**
32．A、B、C、D、E五个人如下排列：A在C前面6米； B在C后面8米；A在E前面2米； E在D前面7米．
请回答下列问题：（1）C与E之间有多少米？（2）紧跟在C后面的是谁？相距多少米？（3）最前与最后之间有多少米？
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（22）**
**参考答案与试题解析**
**一.计算．**
1．直接写出计算结果．
---------- -------- ------------ ------------ ---------------
13.4﹣8= 6.6+4= 10﹣2.3= 7.5×4= 2.3×4×0=
100÷40= 3.5÷5= 0.6﹣0.23= 0.34+0.45= 47y﹣23y+15y=
---------- -------- ------------ ------------ ---------------
【考点】小数的加法和减法；小数乘法．
【分析】根据小数加减乘除法运算的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：
------------- ------------ ---------------- ---------------- ------------------
13.4﹣8=5.4 6.6+4=10.6 10﹣2.3=7.7 7.5×4=30 2.3×4×0=0
100÷40=2.5 3.5÷5=0.7 0.6﹣0.23=0.37 0.34+0.45=0.79 47y﹣23y+15y=39y
------------- ------------ ---------------- ---------------- ------------------
2．竖式计算．
5.94+10.7=
15.7﹣8.99=
2.6×0.45=
12.8÷0.32=
【考点】小数的加法和减法；小数乘法；小数除法．
【分析】根据小数加减乘除法运算的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：5.94+10.7=16.64
15.7﹣8.99=6.71
2.6×0.45=1.17
12.8÷0.32=40
3．脱式计算．
0.12×3.3﹣2.3×0.12；
10.5÷2.5÷0.4．
【考点】小数四则混合运算；运算定律与简便运算．
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可求解；
（2）根据除法的性质计算即可求解．
【解答】解：（1）0.12×3.3﹣2.3×0.12
=0.12×（3.3﹣2.3）
=0.12×1
=0.12
（2）10.5÷2.5÷0.4
=10.5÷（2.5×0.4）
=10.5÷1
=10.5
4．解方程．
5.2x﹣2.8x=8.64；
x÷5=25.2．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以2.4即可；
（2）根据等式的性质，两边同时乘以5即可．
【解答】解：（1）5.2x﹣2.8x=8.64
2.4x=8.64
2.4x÷2.4=8.64÷2.4
x=3.6
（2）x÷5=25.2
x÷5×5=25.2×5
x=126
**二．数与代数．填空题．**
5．由2个百、3个、5个0.001组成的数是[ 200.305 ]{.underline}．把它保留一位小数是[ 200.3 ]{.underline}，保留两位小数是[ 200.31 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类；近似数及其求法．
【分析】（1）2个百就是百位上是2，3个，就是十分位上是3，5个0.001就是千分位上是5，即可写出这个小数；
（2）保留一位小数，看小数点后面第二位，保留两位小数，看小数点后面第三位；然后根据"四舍五入"法进行解答即可．
【解答】解：由2个百、3个、5个0.001组成的数是 200.305．把它保留一位小数是 200.3，保留两位小数是 200.31．
故答案为：200.305，200.3，200.31．
6．一个两位小数取近似值后是5.8，这个数最大是[ 5.84 ]{.underline}，最小是[ 5.75 ]{.underline}．
【考点】近似数及其求法．
【分析】要考虑5.8是一个两位数的近似数，有两种情况："四舍"得到的5.8最大是5.84，"五入"得到的5.8最小是5.75，由此解答问题即可．
【解答】解：一个两位小数取近似值后是5.8，这个数最大是5.84，最小是5.75，
故答案为：5.84，5.75．
7．一个数扩大100倍后又缩小到它的的结果是0.25，这个数是[ 2.5 ]{.underline}．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】一个数扩大100倍后又缩小到它的，即相当于原数缩小10倍，是0.25，求原数，只要用0.25乘10即可．
【解答】解：0.25×
=0.25×10
=2.5
答：这个数是 2.5；
故答案为：2.5．
8．我心里想了一个数y，这个数乘4，加上6，再减去3，得87．y=[ 21 ]{.underline}．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】根据题意，一个数为y，这个数乘4，加上6，再减去3，得87，列方程为4y+6﹣3=87，解方程即可求解．
【解答】解：4y+6﹣3=87
4y+3﹣3=87﹣3
4y=84
4y÷4=84÷4
y=21
故答案为：21．
9．360克=[ 0.36 ]{.underline}千克；
2米4厘米=[ 2.04 ]{.underline}米；
1小时30分=[ 1.5 ]{.underline}时．
【考点】质量的单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算；长度的单位换算．
【分析】把360克换算为千克，用360除以进率1000；
把2米4厘米换算为米数，先把4厘米换算为米数，用4除以进率100，再加上2；
把1小时30分换算为小时，先把30分换算为小时数，用30除以进率60，然后加上1．
【解答】解：360克=0.36千克；
2米4厘米=2.04米；
1小时30分=1.5时；
故答案为：0.36，2.04，1.5．
10．2010年11月1日零时为标准时点的第六次全国人口普查，登记的全国总人口为1339724852人，改写成用亿做单位的数（保留一位小数）约是[ 13.4 ]{.underline}亿人．
【考点】整数的改写和近似数．
【分析】改成用亿作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上"亿"字；然后再把百分位上的数进行四舍五入，求其近似值．
【解答】解：13 3972 4852人≈13.4亿人；
故答案为：13.4．
11．儿子今年a岁，爸爸的年龄是儿子的5倍．爸爸比儿子多[ 4a ]{.underline}岁．
【考点】用字母表示数．
【分析】先根据求一个数的几倍，用乘法取出爸爸的年龄，然后减去儿子的年龄，即可求出爸爸和儿子的年龄差．
【解答】解：5a﹣a=4a（岁）
答：爸爸比儿子多4a岁．
故答案为：4a．
12．看图写小数．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】左边是2个单位"1"，右边是把单位"1"平均分成10份，表示其中的7份，即0.7，合起来是2.7；由此解答即可．
【解答】解
13．像这样拼摆六张桌子可以坐[ 18 ]{.underline}人．
【考点】数与形结合的规律．
【分析】分析题干，1张桌子坐6个人，可以看为4×1+2；2张桌子坐了10个人，可以看为4×2+2；3张桌子坐了14个人，可以看做4×3+2，依此类推得摆六张桌子可以坐的人数．
【解答】解：根据分析得：当有n张桌子时可以坐的人数为：4n+2（人），
当n=6时，可以坐：
4×4+2
=16+2
=18（人）
答：像这样拼摆六张桌子可以坐18人．
故答案为：18．
14．因为26×14=364，所以2.6×1.4=[ 3.64 ]{.underline}，[ 0.26 ]{.underline}×[ 1.4 ]{.underline}=0.364．
【考点】积的变化规律．
【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数，据此解答即可得到答案．
【解答】解：根据积的变化规律可知，
因为26×14=364，所以2.6×1.4=3.64，
0.26×1.4=0.364．
故答案为：3.64，0.26，1.4．
**三、选择：（选择正确答案的序号填在括号里）**
15．在6.1和6.9之间的一位小数有（ ）
A．无数个 B．8个 C．7个 D．没有办法数
【考点】小数大小的比较．
【分析】有6.1和6.9之间的一位小数有6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，6.7，6.8共7个．据此解答
【解答】解：6.1和6.9之间有7个一位小数；
故选：C．
16．下列算式不用计算，结果最小的是（ ）
A．0.65×3 B．0.65÷3 C．3÷O.65 D．3﹣0.65
【考点】小数乘法；小数除法．
【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小，一个数（0除外）乘1，积就等于原来数，一个数（0除外）除以大于1的数，积比原来的数小；一个数（0除外）除以小于1的数，积比原来的数大，一个数（0除外）除以1，积就等于原来数．
【解答】解：0.65×3＞0.65
0.65÷3＜0.65
3÷0.65＞3
3﹣0.65＞0.65
所以最小的是0.65÷3．
故选：B．
17．在0．□7＜0.6式子中，□内最大可以填几？（ ）
A．9 B．7 C．6 D．5
【考点】小数大小的比较．
【分析】根据小数的大小比较可知0.6的十分位是6，要0．□7＜0.6，在0．□7的十分位填小于6的就可以了，即可解决．
【解答】解：0．□7＜0.6；0．□7的十分位上可以填0，1，2，3，4，5；□内最大可以填5；
故选：D．
18．有一根绳子，如果把这它对折、再对折后的长度是6.15厘米，这根绳子原来长（ ）厘米．
A．2.05 B．18.45 C．24.6 D．12.3
【考点】小数乘法；简单图形的折叠问题．
【分析】一根绳子把这它对折、再对折，即对折两次后平均分成4份，每份的长度是6.15厘米，也就是说把绳子的总长度看作单位"1"，6.15厘米是总长度的，要求单位"1"，运用除法进行解答即可．
【解答】解：6.15=24.6（厘米）
答：这根绳子原来的长度是24.6厘米．
故选：C．
19．一个数由0、0、0、2、3、9组成，只读一个零的是（ ）
A．203900 B．200309 C．200039 D．239000
【考点】整数的读法和写法．
【分析】根据整数中"零"的读法，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零．要想只读一个"零"，就要有一个0或连续几个0不能写在每级的末尾即可；据此解答．
【解答】解：203900读作二十万三千九百；
200309读作二十万零三百零九；
200039二十万零三十九；
239000二十三万九千．
故选：C．
**四、图形与几何．选择题．（选择正确答案的序号填在括号里）**
20．把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，直角三角形的两个锐角分别是（ ）
A．30°和60° B．45°和45° C．60°和60°
【考点】角的度量；三角形的内角和．
【分析】等边三角形的三个角都相等，所以三个角都是60°，把这个等边三角形分成两个直角三角形后，则其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是30°，由此即可解答．
【解答】解：等边三角形的三个角都相等，都是60°，
把这个等边三角形分成两个直角三角形后，则其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是30°，
故选：A．
21．把一个10°角用6倍的放大镜来看，看到的角是（ ）
A．6° B．10° C．60° D．600°
【考点】角的概念及其分类．
【分析】角的度数的大小，只与两边叉开的大小有关，与角的两边的长短无关，用放大镜看放大的只是角的边长长度，据此解答即可．
【解答】解：由分析可知，把一个10°角用6倍的放大镜来看，所看到的角仍是10度．
故选：B．
22．下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、9cm B．2cm、3cm、4cm C．5cm、6cm、7cm
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【解答】解：A、因为3+4＜9，所以三边不能围成三角形；
B、因为2+3=5＞4，所以三边能围成三角形；
C、因为5+6=11＞7，所以三边能围成三角形；
故选：A．
23．同样的物体从不同的方向看到的是不一样的呢！下面这些图形分别是从哪些方向看到的？
A、上面 B、下面 C、左面 D、右面 E、前面 F、后面．
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【分析】观察图形，分别找到从物体左面、右面、前面、后面、上面看得到的图形，注意左面、右面物体的前后顺序不同；从前面、后面看到图形形状相同但顺序不同．
【解答】解：观察图形可得：从左面看到的是，
从上面看到的是，
从前面看到的是，
故答案为：
**五、解答题（共2小题，满分0分）**
24．一块塑料板是一个等腰三角形，它的一个底角是54°那么它的顶角是多少度？
【考点】三角形的内角和；等腰三角形与等边三角形．
【分析】根据根据三角形的内角和是180°，两个底角相等，然后用180°减去两个54°，就是顶角，然后解答即可．
【解答】解：180°﹣54°×2
=180°﹣108°
=72°．
答：它的顶角是72°．
25．画一笔，使下面的图形形成一个三角形和一个梯形．
【考点】图形的拼组．
【分析】根据三角形的定义，三条首尾相接的三条线段组成的图形是三角形；梯形的定义，只有一组对边平行的四边形是梯形．要画一条线段，将下面的图形分成一个三角形和一个梯形即可．
【解答】解：根据题干分析可得：
**六、统计与概率：**
26．选择正确答案的序号填在括号内．
盒子里有15个红球，10个白球和一个黄球．小明和小丽进行摸球游戏，下面说法不正确的是（ ）
A．小明和小丽摸出的红球的可能性最大
B．小明不一定能摸到红球
C．小丽一定摸不到黄球
D．小丽摸到白球的可能性比摸到黄球的可能性大些
【考点】可能性的大小．
【分析】要比较可能性的大小，可以直接比较红球和白球的个数，因为红球比白球的个数多，所以摸到红球的可能性较大，摸到白球的可能性较小；据此解答．
【解答】解：盒子里有15个红球，10个白球和一个黄球．小明和小丽进行摸球游戏．
A、15＞10＞1，所以小明和小丽摸出的红球的可能性最大；
B、有15个红球，所以小明可能能摸到红球，也可能摸不到红球；
C、有1个黄球，小丽可能摸不到黄球；
D、10＞1，所以小丽摸到白球的可能性比摸到黄球的可能性大些．
所以说法不正确的是C．
故选：C．
27．淘气和笑笑玩掷骰子的游戏，每人掷15次．骰子有6个面，每个面分别标有1、2、3、4、5、6，这个游戏公平吗？为什么呢？
【考点】游戏规则的公平性．
【分析】首先利用列举法列举出可能出现的情况，可能是1、2、3、4、5、6共6种情况，其中单数有：1、3、5；双数有2、4、6，用可能情况数除以情况总数即可点数为单数和点数为双数的可能性，可能性相同则公平，否则就不公平．
【解答】解：掷骰子，掷到点数可能是1、2、3、4、5、6共6种情况，
单数有1、3、5，淘气得分的可能性，即点数为单数的可能性是：3÷6=，
双数有2、4、6，笑笑得分可能性为：3÷6=，
所以这个游戏规则公平．
**七、解决问题：**
28．一只熊猫体重75千克，一只小象的体重比熊猫的12倍少20千克，小象的体重多少千克？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】"一只小象的体重比熊猫的12倍少20千克，小象的体重多少千克"，求小象的体重是多少，就是求比75的12倍少20的数是多少．据此解答．
【解答】解：75×12﹣20，
=900﹣20，
=880（千克）．
答：小象的体重是880千克．
29．出租车公司出租汽车收费标准如下表：
------------------------ --------
里程 收费
3千米以上（含3千米） 6.00元
3千米以上，每增加1千米 1.50元
------------------------ --------
（1）笑笑乘出租车行驶6千米，应付费多少元？
（2）笑笑的爸爸从甲地到乙地共付费28.5元，甲乙两地的路程最多为多少千米？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】（1）用起步价，再加上超过起步里程要付的钱数，就是应付的钱数．即行驶了6千米，其中3千米收费6元，超过的收费为：（6﹣3）×1.5，共收费：6+（6﹣3）×1.5，解答即可；
（2）用总钱数减去3千米以内的钱数再除以1.5即可计算出超出的路程，再加上3就是总路程，列式解答即可．
【解答】解：（1）6+（6﹣3）×1.5
=6+3×1.5
=6+4.5
=10.5（元）
答：应付费10.5元．
（2）3+（28.5﹣6）÷1.5
=3+22.5÷1.5
=3+15
=18（千米）
答：甲乙两地的路程最多为18千米．
30．学校六一庆祝会，四（1）班的老师将部分开销情况做了一个统计表，但是不小心把墨水泼到上面了．你能算出制作每一个道具的单价吗？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】从表中可以看出租借服装和制作道具的总价是822元；租借服装的单价是60元，数量是8件，根据总价=数量×单价，由此求出租借服装的总价；进而求出制作道具的总价，再用总价除以制作道具的数量，就是制作每一个道具的单价，列式解答即可．
【解答】解：822﹣8×60
=822﹣480
=342（元）
342÷45=7.6（元）
答：制作每一个道具的单价是7.6元．
31．
乌龟每分钟爬行多少米？
【考点】图文应用题；整数的除法及应用．
【分析】要求乌龟的速度，需要先求出乌龟速度的4倍是多少：27﹣3=24米，然后用24除以4可得乌龟的速度，据此解答即可．
【解答】解：（27﹣3）÷4
=24÷4
=6（米）
答：乌龟每分钟爬行6米．
**八、简单推理．**
32．A、B、C、D、E五个人如下排列：A在C前面6米； B在C后面8米；A在E前面2米； E在D前面7米．
请回答下列问题：（1）C与E之间有多少米？（2）紧跟在C后面的是谁？相距多少米？（3）最前与最后之间有多少米？
【考点】逻辑推理．
【分析】（1）根据A在C前面6米和A在E前面2米，知道（6﹣2）米就是要求的答案，
（2）根据E在D前面7米，及C与E之间，即可求出答案，
（3）根据A在C前面6米，B在C后面8米，用（8+6）米就是要求的答案．
【解答】解：如图：用线段图表示A、B、C、D、E之间的位置关系，
（1）6﹣2=4（米），
（2）D，7﹣4=3（米），
（3）8+6=14（米），
答：（1）C与E之间有4米，
（2）紧跟在C后面的是D，相距3米，
（3）最前与最后之间有14米．
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
**用割补法求面积**
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
** 例1**求下列各图中阴影部分的面积：
** 分析与解**：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
**例2**在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
** 分析与解**：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法
将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，
注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
** 例3**如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
** 分析与解**：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米^2^）。
** 例4**在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
** 分析与解**：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
** 例5**下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米^2^。求乙正方形的面积。
** 分析与解**：如果从甲正方形中"挖掉"和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米^2^（见左下图）。
把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米^2^，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米^2^）。
**练习22**
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1） （2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米^2^，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米^2^，BE长3厘米，求CD的长。
5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米^2^。求甲、乙的面积之和。
6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
**练习22**
1.（1）25；（2）ab。
提示：（1）（2）
2.4.56厘米^2^。
提示：如左下图所示，所求面积等于右下图中圆面积减去正方形面积，等于（4÷2）^2^π-4×4÷2= 4.56（厘米^2^）。
3.下底9厘米，高6厘米。
解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大正方形的面积为36×2+3×3=81（厘米^2^）。边长为9厘米。所求梯形的下底为9厘米，高为9-3=6（厘米）。
4.6厘米。
提示：与例4类似，右上图中甲、乙的面积相等，所以，CD=18÷3=6（厘米）。
5.117厘米^2^。
提示：与例5类似，下图中丙与乙相同，C与C＇相同。甲、乙的边长和等于45÷3=15（厘米），甲的边长为（l5+3）÷2=9（厘米）。
甲、乙的面积和为9×9×2-45=117（厘米^2^）。
6.20厘米^2^。
解：将AD，BC分别延长，相交于E（见右图）。四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7×7÷2-3×3÷2=20（厘米^2^）。
| 1 | |
**小升初重点中学真题之数论篇**
**数论篇一**
1 （人大附中考题）
有\_\_\_\_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是\_\_\_\_。
4 (人大附中考题)
下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128
**预测**
1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
**预测**
2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在\_\_\_\_月\_\_\_\_日？
**预测**
3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是\_\_\_\_\_\_．
**数论篇二**
1 （清华附中考题）
有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是\_\_\_\_\_.
2 （三帆中学考题）
140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 .
3 （人大附中考题）
某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是\_\_\_\_\_\_.
4 （101中学考题）
一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
5 （实验中学考题）
(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?
(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?
**预测**
1\. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！......1×2×3×......×99×100＝100！那么1！+2！+3！+......+100！的个位数字是多少？
**预测**
2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。试说明，所有幸运车票号码的和能被13整除。
**小升初数论测试题**
**基础题**
1 （**05年人大附中考题**）
有\_\_\_\_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 （**基础题**）
2 （**05年101中学考题**）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 （**基础题**）
3 （**05年首师附中考题**）
++=＿＿。 （**基础题**）
4 （**04年人大附中考题**）
甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是\_\_\_\_。（**基础题**）
5．（★）一个自然数和60相乘得到的积是3次方数，这个最小的自然数是多少？（**基础题**）
6．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？（**基础题**）
7．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得80～89分的人数占，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有\_\_\_\_\_\_\_\_人。（**基础题**）
8．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在\_\_\_\_月\_\_\_\_日？（**基础题**）
**9、（★★★）一**个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？（**基础题**）
10，若把１４分成若干个自然数的和，再计算这些数的乘积，则乘积中最大的数为（ ）。 （**03年人大附分班**）（**基础题**）
11.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? （**基础题**）
**12．**某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? （**基础题**）
**13．**173口是一个四位数．数学老师说："我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．"问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少? （**基础题**）
14，某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? （**基础题**）
15，在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少? （**基础题**）
**16，（06年实验中学考题）**（**基础题**）
(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?
(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?
**17（★★★）**有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以
5余4，除以11余3。这个三位数是\_\_\_。（基础题）
**18.**一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少? （**基础题**）
**19 （06年清华附中考题）**
有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是\_\_\_\_\_. （**基础题**）
**20，（03年人大附中考题）**（**基础题**）
某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是\_\_\_\_\_\_.
21，数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? （**基础题**）
**较难题**
1.一个数，若它本身增加3，那么新的三位数的各位数字之和就减少到原来三位数的各位数字之和的，则所有这样的三位数的和是多少？（**01年人大附分班**）
2，沿江有1、2、3、4、5、6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运货。傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头，求证：甲、乙两船的航程不相等。
**小升初数论测试题答案**
**基础题**
1 （**05年人大附中考题**）
有\_\_\_\_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 （**基础题**）
【解】：6
2 （**05年101中学考题**）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 （**基础题**）
【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 （**05年首师附中考题**）
++=＿＿。 （**基础题**）
【解】：周期性数字，每个数约分后为+++=1
4 （**04年人大附中考题**）
甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是\_\_\_\_。（**基础题**）
【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5**×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。**
5．（★）一个自然数和60相乘得到的积是3次方数，这个最小的自然数是多少？（**基础题**）解：60=2×2×3×5，所以最小自然数是2**×3×**3×5**×5**=450．
6．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？（**基础题**）
解：1+2+......+100=5050
9+18+27+......+99=9×(1+2+......+11)=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555
7．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得80～89分的人数占，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有\_\_\_\_\_\_\_\_人。（**基础题**）
解：有、、，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为\[7、2、3\]＝42的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。
从而70分以下的有：42×＝1人。
8．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在\_\_\_\_月\_\_\_\_日？（**基础题**）
解：3、5、7最小公倍数是105，所以下次要经过105天，所以下次再更新时间应该是4月14号。
**9、（★★★）一**个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？（**基础题**
解：这个两位奇数能被1477-49=1428整除，且必须大于49,1428=2×2×3×7×17,所以这样的两位奇数只有51。
10，若把１４分成若干个自然数的和，再计算这些数的乘积，则乘积中最大的数为（ ）。 （**03年人大附分班**）（**基础题**）
> **答案**：162
11.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? （**基础题**）
答案：甲为18
**12．**某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? （**基础题**）
**【分析与解】** 这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．
1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．
**13．**173口是一个四位数．数学老师说："我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．"问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少? （**基础题**）
**解答：**采用试除法，用1730试除，1730÷9=192......2，1730÷1l=157......3，1730÷6=288......2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．
14，某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? （**基础题**）
**解答：**采用试除法，一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：
，所以这个数一定能被××5×7=8×9×5×7=2520整除．
用1993000试除，1993000÷2520=790......2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．
15，在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少? （**基础题**）
**采用试除法**，如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340......191，余191也可以看成不足(323-191=)132．所以当132+323n是100的倍数时，才能保证在只改动110011的千位、百位数字，而得到323的倍数．所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，...
验证有n=16时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．
**16，（06年实验中学考题）**（**基础题**）
(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?
(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?
【解】1、\[\]=999个。
2、略
**17（★★★）**有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以
5余4，除以11余3。这个三位数是\_\_\_。（**基础题**）
解：首先个位数不是4就是9，又因为它是百位的3倍所以一定是9，那么百位就是3,又因为它被11除余3，因此十位是9
**18.**一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少? （**基础题**）
**【分析与解】** 这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．
1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．
这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．
所以,这个数最大可能为194．
**19 （06年清华附中考题）**
有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是\_\_\_\_\_. （**基础题**）
【解】：处理成余数相同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-511=377的约数,又是888-656=232的约数，也是656-511=145的约数，因此就是377、232、145的公约数,所以这个自然数是29。
**20，（03年人大附中考题）**（**基础题**）
某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是\_\_\_\_\_\_.
【解】："加上3后被3除余1"其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是\[3、4、5\]+1=60+1=61。
21，数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? （**基础题**）
**【分析与解】** 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2^3^×3^2^×5；
所有360的约数的和为(1+3+3^2^)×(1+2+2^2^+2^3^)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
**数论篇一答案：**
1 （人大附中考题）【解】：6
2 （101中学考题）
【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 （人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是\_\_\_\_。
【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
4 (人大附中考题)
【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
**数论篇二答案：**
1 （清华附中考题）
【解】：处理成余数相同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-511=377的约数,又是888-656=232的约数，也是656-511=145的约数，因此就是377、232、145的公约数,所以这个自然数是29。
2 （三帆中学考题）
【解】：这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是293-225=68的约数,又是225-140=85的约数，因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17。所以2002除以17余1
3 （人大附中考题）
【解】："加上3后被3除余1"其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是\[3、4、5\]+1=60+1=61。
4 （101中学考题）
【解】：设后面这个两位数为ab，前面数字和为26除以3余2，所以补上的两位数数字和要除以3余2。同理要满足除以4余2；八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求a=b+2，所以满足条件的只有86
5 （实验中学考题）
【解】1、\[ \]=999个。
2、对于每一个三位数×××来说，在1 ×××、2×××、3 ×××和4×××这4个数中恰好有1个数的数字和能被4整除．所以从1000到4999这4000个数中，恰有1000个数的数字和能被4整除．
同样道理，我们可以知道600到999这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除，从200到599这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除．
现在只剩下10到199这190个数了．我们还用一样的办法．160到199这40个数中，120到159这40个数中，60到88这40个数中，以及20到59这40个数中分别有10个数的数字和能被4整除．而10到19，以及100到1t9中则只有13、17、103、107、112和116这6个数的数字和能被4整除．
所以从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有1000+100×2+10×4+6=1246个．
\[方法二\]：
解：第一个能数字和能够被4整除的数是13，最后一个是4996，这中间每4位数就有一个能够满足条件，所以4996－13＝4983，4983÷4＝1245（个），而第一个也是能够满足的，所以正确答案是
1245＋1＝1246（人）或者就直接用4996－12＝4984，用4984÷4＝1246（个）
\[拓 展\]：1到9999的数码和是等于多少？
| 1 | |
**北师大第二学期二年级数学期末考试试卷**
（时间：70分钟） 班级 [ ]{.underline} 姓名 [ ]{.underline} 成绩 [ ]{.underline}
**一、直接写出下面各题的结果。（共8分）**
26＋8＝ 59－39＝ 7×8＝ 16－16**÷**8＝
7800－700＝ 400＋30＝ 24**÷**6＝ （6＋12）**÷**6＝
2500＋300＝ 670－60＝ 24**－**9＝ 48**÷**（4×2）＝
32＋18＝ 3200－800＝ 5×9＝ 72＋28－72＝
**二、填空。（共25分，每空1分，4-7题各3分）**
1.看图写出下列各数：
( ) （ ） （ ） （ ）
2.用数字卡片 组成一个最大的三位数是（ ）；组成一个最小的三位数是（ ）。
3.**按规律填数。** 277**2,2872，（ ），（ ），3172。**
**4.选择合适的单位填在( )里。**
**一栋楼高30( ) 小红身高1( )5( )8( )**
**一枚硬币厚为1( ) 课桌高约7( )**
**北京到上海约1400( ) 铅笔长15( )**
5\. 将960， 596，3099，587和601这五个数，按从大到小的顺序排列是：
> （ ）＞ （ ） ＞ （ ） ＞（ ） ＞ （ ）。
6\. 里最大能填几。
×8＜57 **706 ＞ 07** **☆÷4=7......**
7\. 4000m= （ ）km 30dm=（ ）cm 60 mm =（ ）cm
8\. 用一张长10厘米，宽7厘米的长方形纸，折出一个最大的正方形，正方形的边长是（ ）厘米。
9\. 一盒扣子50粒，做一件上衣需要7粒，这盒扣子最多能做（ ）件这样的上衣。
10．右边的三角形中有( )个钝角、（ ）个锐角、一共有（ ）个角。
**三、选择正确答案的序号填在括号里。（共10分，每题2分）**
1\. 小红有22本课外书，小华有16本课外书，小红给小华（ ）本，两人的课外书就同样多。
①6 ②5 ③4 ④3
2\. 测量一个鸡蛋的质量最合适的单位是（ ）。
① 克 ② 千克 ③ 厘米 ④分米
3．钟面上的分针和时针正好成一个直角是（ ）时。
①3 ② 4 ③6 ④12
4\. **☆△△○□☆△△○□☆△△○□☆......， 第20个图形是（ ）。**
① **☆** ② **△** ③ ○ ④ □
5.同学们春游，低年级有237 人，中年级的人数比低年级多很多，但比高年级少，高年级有486人。中年级可能是（ ）人。
①199 ② 285 ③ 479 ④520
**四、用竖式计算。（共10分，每题3分，第二小题4分）**
1． 253＋49= 2. 804－186= 3. 76**÷**8=
验算：
**五、 用脱式计算下面各题。（共16分，每题4分）**
1\. 478＋123＋257 2. （73 － 65）×9
3\. 900 －181－326 4. 45**－**15÷3
**六、看图填空。（共5分）**
**七、下表是××小学二（2）班同学最喜欢的假日活动统计表（每人只选一个项目）。（共6分）**
---------- ---------- ---------- ------------ ------------ ------------
**项目** **郊游** **锻炼** **看电视** **玩游戏** **兴趣班**
**人数** **13** **6** **7** **9** **3**
---------- ---------- ---------- ------------ ------------ ------------
**××小学二（2）班同学最喜欢的假日活动统计图**
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
**八、解决问题。（共20分）**
1\. **有26个桃子，小猴子吃了5个，剩下的如果平均每天吃3个，还可以吃几天？**
2\. **妈妈帮女儿买了一双138元的运动鞋，又买来4支同样价格的笔，每支8元，妈妈一共用去了多少元？**
3\. **如果用500元买其中的3件体育用品，你打算买什么？剩余多少元？**
   
**乒乓球拍58元 排球167元 网球拍175元 足球146元**
4．灰太郎在杂技团表演顶球。
**北师大第二学期二年级数学期末试卷答案及评分标准**
----------- ---------------------------------------------- ----------------------
**题号** **答案** **评分标准**
**一、** **略** **共8分，两小题1分**
**二、1** **3110、223、799、809** **共4分**
**2** **720、207** **共2分**
**3** **2972、3072** **共2分**
**4** **米、毫米、千米、米分米厘米、分米、厘米** **两小题1分，共3分**
**5** **3099**＞**960**＞**601**＞**596**＞**587** **共3分**
**6** **7、6、3** **共3分**
**7** **4、300、6** **共3分**
**8** **7** **1分**
**9** **7** **1分**
**10** **2、10、12** **共3分**
**三、1** ④ **2分**
**2** ① **2分**
**3** ① **2分**
**4** ④ **2分**
**5** ③ **2分**
**四、1** **302** **3分**
**2** **618** **4分**
**3** **9......4** **3分**
**五、1** **858** 4分
**2** **72** 4分
**3** **393** 4分
**4** **40** 4分
**六、1** **西南** 1分
**2** **健身房** 1分
**3** **医院** 1分
**4** **东北** 1分
**5** **略（答案不唯一）** 1分
**七、1** **略** 2分
**2** **郊游、兴趣班、10** 2分
**3** **38** 2分
**八、1** **7** 5分
**2** **170** 5分 应用题列式
**3** **略** 5分 计算各占一
**4** **78** 5分 半.
----------- ---------------------------------------------- ----------------------
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
2022届新高考开学数学摸底考试卷14
1. 选择题（每题5分，每题只有一个正确答案）
1.设集合A={2，3，7}，B={1，2，3，5，8},则=（ ）
A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. { 2，3，5} D.{1，2，3，5，7，8}
2\. =（ ）
A. B. C. D.
3.双曲线的焦距是（ ）
A. B.3 C. 2 D.6
> 4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国
>
> 古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，
>
> 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有
>
> 80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》
>
> 的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的
晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心
记为O），地球上一点 A的纬度是指OA与地球赤道所在平面
所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与OA垂直的平面.
在点 A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点
A处的纬度为北纬，则晷针与点 A处的水平面所成角为（ ）
A. B. C. D.
6.已知与均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7．有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少
> 安排1名同学，则不同的安排方法为（ ）
A.6种 B.12种 C.36种 D.72种
8.设定义在上的奇函数满足（），则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）
9．某文体局为了解"跑团"每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月
期间"跑团"每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.
> 根据折线图，下列结论正确的是 （ ）
>
> A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
>
> B．月跑步平均里程逐月增加
>
> C．月跑步平均里程高峰期在10月份
>
> D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
10\. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 （ ）
> A.在上的最小值为 B.在上的最大值1
>
> C.在上的最大值为 D.在上的最小值为
>
> 11．若 ，则（ ）
>
> A．ln(*a*−*b*)\>0 B． C．*a*^3^−*b*^3^\>0 D．│*a*│\>│*b*│
12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，
> 且，定义*X*的信息熵.
>
> 下列正确的为（ ）
>
> A．若*n*=1，则*H*(*X*)=0
>
> B．若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
>
> C．若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增小
>
> D．若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，
>
> 且，则
>
> 二卷
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.已知是等差数列，，则的前 n 项和为 [ ]{.underline}
15.已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为\_\_\_\_\_\_\_\_
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
17.（10 分） 在①ac=,② c sin A =3,③c =这三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，若问题中的三角形存在,求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问 题 ： 是 否 存 在 ∆ABC ， 它 的内角 A, B,C 的 对边分别 为 ，
且, [ ]{.underline} ?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12 分）已知公比大于 1 的等比数列满足
（1）求的通项公式；
（2）求
19. （12分）
> 如图，长方体*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面*ABCD*是正方形，点*E*在棱*AA*~1~上，*BE*⊥*EC*~1~．
>
> 
>
> （1）证明：*BE*⊥平面*EB*~1~*C*~1~；
>
> （2）若*AE*=*A*~1~*E*，求二面角*B*--*EC*--*C*~1~的正弦值．
20.（12分）
> 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
>
> 锻炼人次
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | （200，400\] | （400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
> （1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
>
> （2）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
--------------- ------------------- -------------------- ----
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
附：*K*^2^=， *P*（*K*^2^≥*k*） 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828 ．
--------------- ------------------- -------------------- ----
21.(12分)已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的
中点为．
> (1)证明：；
>
> (2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，
>
> 成等差数列，并求该数列的公差．
22. （12分）
> 已知函数.
>
> （1）讨论*f*(*x*)的单调性，并证明*f*(*x*)有且仅有两个零点；
>
> （2）设*x*~0~是*f*(*x*)的一个零点，证明曲线*y*=ln*x*在点*A*(*x*~0~，ln*x*~0~)处的切线也是曲线
>
> 的切线.
2022届新高考开学数学摸底考试卷14
答案
1-8 BADC ADCD
9 CD
10 AB
11 ABC
12 AD
13
14
15 2
16
17解：
> **方案一：**选条件①．
>
> 由和余弦定理得．
>
> 由及正弦定理得．
>
> 于是，由此可得．
>
> 由①，解得．
>
> 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
>
> **方案二：**选条件②．
>
> 由和余弦定理得．
>
> 由及正弦定理得．
>
> 于是，由此可得，，．
>
> 由②，所以．
>
> 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
>
> **方案三：**选条件③．
>
> 由和余弦定理得．
>
> 由及正弦定理得．
>
> 于是，由此可得．
>
> 由③，与矛盾．
>
> 因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
18 （1） 。。。 6分 （2） 。。。 12分
19．解：（1）由已知得，平面，平面，
> 故．
>
> 又，所以平面．。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
>
> （2）由（1）知．由题设知≌，所以，
>
> 故，．
>
> 以为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系*D*--*xyz*，
>
> 
>
> 则*C*（0，1，0），*B*（1，1，0），（0，1，2），*E*（1，0，1），，，．
>
> 设平面*EBC*的法向量为***n***=（*x*，*y*，*x*），则
>
> 即
>
> 所以可取***n***=.
>
> 设平面的法向量为***m***=（*x*，*y*，*z*），则
>
> 即
>
> 所以可取***m***=（1，1，0）．
>
> 于是．
>
> 所以，二面角的正弦值为．。。。。。。。。。。。。12分
>
> 20解：
>
> （1）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
>
> ．
>
> 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
>
> （2）根据所给数据，可得列联表：
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
-------------- ---------- -----------
> 根据列联表得
>
> ．
>
> 由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
>
> 。。。。。。。。。。12分
21 (1)设，，则，．
> 两式相减，并由得．
>
> 由题设知，，
>
> 于是．①
>
> 由题设得，故．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
>
> (2)由题意得，设，则
．
> 由(1)及题设得，．
>
> 又点在上，所以，从而，．
>
> 于是．
>
> 同理．
>
> 所以．
>
> 故，即，，成等差数列．
>
> 设该数列的公差为，则
>
> ．②
>
> 将代入①得．
>
> 所以的方程为，代入的方程，并整理得．
>
> 故，，代入②解得．
>
> 所以该数列的公差为或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
22
解：（1）*f*（*x*）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
> 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
>
> 因为*f*（e）=，，所以*f*（*x*）在（1，+∞）有唯一零点*x*~1~，即*f*（*x*~1~）=0．又，，故*f*（*x*）在（0，1）有唯一零点．
>
> 综上，*f*（*x*）有且仅有两个零点．。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
>
> （2）因为，故点*B*（--ln*x*~0~，）在曲线*y*=e*^x^*上．
>
> 由题设知，即，故直线*AB*的斜率．
>
> 曲线*y*=e*^x^*在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
>
> 所以曲线在点处的切线也是曲线*y*=e*^x^*的切线．。。。。。。12分
| 1 | |
**2020-2021学年四川省成都市高新区一年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题.（其余每空1分，共30分）10题2分，**
1．（4分）看图写数。
2．（2分）10个一是[ ]{.underline}，20里面有[ ]{.underline}个十。
3．（2分）15里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一．
4．（1分）1个十和3个一合起来是[ ]{.underline}．
5．（5分）按规律填一填。
6．（3分）18个位上是[ ]{.underline}，十位上是[ ]{.underline}，18再添[ ]{.underline}个一就是20。
7．（2分）一个一个的数，和16相邻的两个数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}。
8．（3分）最大的一位数是[ ]{.underline}，最小的两位数是[ ]{.underline}，它们合起来是[ ]{.underline}。
9．（2分）
> 一共有[ ]{.underline}只动物。从左边起，小兔排第一，排第[ ]{.underline}。
10．（2分）在9、12、15、20、11、0、7中，把大于9的数写出来[ ]{.underline}。
11．（4分）在横线里填"＞""＜"或"＝"。
-------------------------- ---------------------------- ---------------------------- ------------------------------
6+8[ ]{.underline}12 19[ ]{.underline}19﹣7 9+6[ ]{.underline}4+11 11﹣5[ ]{.underline}11+5
-------------------------- ---------------------------- ---------------------------- ------------------------------
**二、算一算。（20分）**
12．（20分）算一算。
9+4＝ 16﹣5＝ 6+10＝ 8+7＝
----------- ----------- ----------- ----------
7+7＝ 9﹣7＝ 19﹣7＝ 9+8＝
7+6＝ 18﹣4＝ 10﹣5+8＝ 9+6﹣5＝
7+9﹣4＝ 15﹣4+4＝ 5+9+2＝ □+3＝8
20﹣□＝10 8+□＝13 □+□＝12 □﹣□＝2
**三、想一想。（7分）**
13．（2分）谁最重，画"√"。
14．（2分）最长的铅笔画"√"。
15．（3分）仔细辨认如图所示的时间，连一连。
**四、画一画。（12分）**
16．（4分）画一画。
> （1）画〇，〇和同样多。
>
> 画〇：[ ]{.underline}
>
> 画△，△比★多2个。
>
> 画△：[ ]{.underline}
17．（4分）画一画，填一填。
18．（4分）画一画，填一填。
> （1）6+7＝[ ]{.underline}
>
> （2）19﹣4＝[ ]{.underline}
**五、认一认，填一填。（16分）**
19．（5分）如图，的上面是[ ]{.underline}，下面是[ ]{.underline}，左边是[ ]{.underline}，右边是[ ]{.underline}。
> 的[ ]{.underline}面是，▲在的[ ]{.underline}边。
20．（5分）如图，有[ ]{.underline}个正方体，有[ ]{.underline}个长方体，有[ ]{.underline}个圆柱，有[ ]{.underline}个球。
21．（6分）按要求分一分。
> （1）按外面图形的形状分：
>
> 〇[ ]{.underline}，△[ ]{.underline}，□[ ]{.underline}。
>
> （2）按里面水果的种类分：
>
> [ ]{.underline}，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}。
**六、生活中的数学。（22、23题每个算式2分，24、25题每个算式3分，共15分）**
22．（4分）
> （1）□+□＝□（朵）
>
> （2）□﹣□＝□（朵）
23．（2分）
> □〇□＝□（只）
24．（6分）
> （1）□〇□〇□＝□（只）
>
> （2）□〇□〇□＝□（只）
25．（3分）图书角原来有8本书，学生借走了4本，老师又买来了6本，现在有几本书？
**2020-2021学年四川省成都市高新区一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题.（其余每空1分，共30分）10题2分，**
1．【分析】首先观察，然后结合图示中的显示的个数，确定数字，并填写即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 故答案为：11；17；15；20。
>
> 【点评】本题考查计数。直接数一数得出表示的数字即可。
2．【分析】结合数位的意义可知，10个一是10，20里面有2个十。据此答题即可。
> 【解答】解：10个一是10，20里面有2个十。
>
> 故答案为：10；2。
>
> 【点评】本题考查数位的意义。结合数位知识解决问题即可。
3．【分析】15的1在十位上表示1个十，5在个位上，表示5个一，据此解答．
> 【解答】解：15里面有1个十和5个一；
>
> 故答案为：1，5．
>
> 【点评】本题主要考查数位上数字表示的意义以及计数单位．
4．【分析】这个数十位上是1，表示1个十，个位上是3，表示3一，根据整数的写法，这个数是13．
> 【解答】解：1个十和3个一合起来是13；
>
> 故答案为：13．
>
> 【点评】本题是考查整数的认识，属于基础知识，要注意掌握．
5．【分析】首先观察，然后总结规律，最后结合规律答题即可。规律：后一项比前一项大2，据此答题即可。
> 【解答】解：13+2＝15
>
> 17+2＝19
>
> 【点评】本题考查数中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
6．【分析】首先认识18，18的个位是8，代表8个一，十位是1，代表1个十，利用小木棒可以直观认识到18加2为20。据此答题即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 18个位上是8，十位上是1，18再添2个一就是20。
>
> 故答案为：8；1；2。
>
> 【点评】本题考查数位的意义以及数与数间的数量关系。结合题意细致答题即可。
7．【分析】一个一个的数，......14，15，16，17，18，......。然后确定和16相邻的两个数即可。据此答题。
> 【解答】解：一个一个的数，和16相邻的两个数是15和17。
>
> 故答案为：15；17。
>
> 【点评】本题考查11﹣20中数的认识。确定相邻数的方法：可以先罗列，再选择。
8．【分析】一位数有：1，2，......，8，9，则判断最大的一位数即可。两位数有：10，11，......，98，99，则判断最小的两位数即可。最后将其合起来即可。
> 【解答】解：经分析：
>
> 最大的一位数是9，最小的两位数是10，它们合起来是19。
>
> 故答案为：9；10；19。
>
> 【点评】本题考查数的认识，认清一位数和两位数的概念，解决问题即可。
9．【分析】首先观察认清楚每只动物，以及一共有几只动物，然后，从左边起，数一数，确定的位置即可。据此思路答题。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 一共有8只动物。从左边起，小兔排第一，排第6。
>
> 故答案为：8；6。
>
> 【点评】本题考查计数和左右位置问题。按要求细致操作即可。
10．【分析】首先对于9、12、15、20、11、0、7进行由小到大的排序：0，7，9，11，12，15，20。然后按要求选择即可。
> 【解答】解：经分析可知：
>
> 在9、12、15、20、11、0、7中，把大于9的数写出来11、12、15、20。
>
> 故答案为：11、12、15、20。
>
> 【点评】本题考查数的比较。多个数比较时，可以先排序，在确定需要的数字即可。
11．【分析】根据20以内整数加减法的计算方法直接口算出结果，然后再进行大小比较即可。
> 【解答】解：
--------- ----------- ----------- -------------
6+8＞12 19＞19﹣7 9+6＝4+11 11﹣5＜11+5
--------- ----------- ----------- -------------
> 故答案为：＞、＞、＝、＜。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法和算式的大小比较的方法，关键是先计算出结果，然后再进行比较。
**二、算一算。（20分）**
12．【分析】根据整数加减法和四则运算的顺序进行口算即可；一个加数＝和﹣另一个加数，减数＝被减数﹣差，被减数﹣减数＝差，由此填空即可；注意最后两题答案不唯一。
> 【解答】解：
9+4＝13 16﹣5＝11 6+10＝16 8+7＝15
------------ ------------- ------------- ------------
7+7＝14 9﹣7＝2 19﹣7＝12 9+8＝17
7+6＝13 18﹣4＝14 10﹣5+8＝13 9+6﹣5＝10
7+9﹣4＝12 15﹣4+4＝15 5+9+2＝16 5+3＝8
20﹣10＝10 8+5＝13 6+6＝12 6﹣4＝2
> 【点评】本题主要考查了整数加减法和四则运算的顺序，关键是掌握加减法各部分之间的关系。
**三、想一想。（7分）**
13．【分析】在天平上，哪端下沉，哪端的物体就重；小猫比小兔重，小狗比小猫重；由此即可判断。
> 【解答】解：因为小猫比小兔重，小狗比小猫重；所以小狗最重。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】这道题目解题的关键是要明确在天平上，哪端下沉，哪端的物体就重。
14．【分析】观察图可知，数一数每支笔占的格数，占的格数越多，笔就越长，据此解答即可。
> 【解答】解：第一支铅笔占9格，第二支铅笔占8格，第三支铅笔占10格；
>
> 所以第三支铅笔最长。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】本题考查比较物体长短高低，解答此题应根据题意，进行认真观察，进而得出结论。
15．【分析】根据钟表的认识，当分针指向12时，时针指向几就是几时整；不是整时时，时针刚过几就是几时，分针指向6，就是几时半。
> 【解答】解：如图：
>
> 。
>
> 【点评】此题是考查钟表的认识，关键认识几时整和几时半。
**四、画一画。（12分）**
16．【分析】（1）根据一一对应的方法，画出7个〇即可。
> （2）已知★有5个，根据求比一个数多几的数是多少，用加法求出画△的个数，据此作图即可。
>
> 【解答】解：（1）作图如下：
>
> 〇〇〇〇〇〇〇
>
> （2）5+2＝7（个）
>
> 作图如下：
>
> △△△△△△△
>
> 故答案为：〇〇〇〇〇〇〇；△△△△△△△。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握10以内数的大小比较方法，10以内数的加法及应用。
17．【分析】根据10以内数的加减法的计算方法，直接进行口算即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握10以内数的加减法的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力。
18．【分析】根据整数加减法的计算方法直接进行计算画图即可。
> 【解答】解：（1）6+7＝13
>
> （2）19﹣4＝15
>
> 故答案为：13，15。
>
> 【点评】本题要主要考查了20以内整数加减法的计算方法，关键是能够正确画图帮助理解。
**五、认一认，填一填。（16分）**
19．【分析】根据图示，分清上下、左右，完成填空即可。
> 【解答】解：根据图示，的上面是，下面是，左边是，右边是。
>
> 的上面是，▲在的右边。
>
> 故答案为：，，，，上，右。
>
> 【点评】本题主要考查方向的辨别，关键是分清上下、左右做题。
20．【分析】根据长方体、正方体、圆柱、球的特征，数出各图形的个数。
> 【解答】解：正方体有2个，长方体有1个，圆柱有6个，球有4个。
>
> 故答案为：2，1，6，4。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体、圆柱、球的特征及应用。
21．【分析】根据不同的分类标准，数出各图形的个数，完成填空即可。
> 【解答】解：（1）按外面图形的形状分：
>
> 〇：①④⑧，
>
> △：②⑤⑥，
>
> □：③⑦⑨；
>
> （2）按里面水果的种类分：
>
> ：①⑤⑦，
>
> ：②④⑨，
>
> ：③⑥⑧。
>
> 故答案为：（1）①④⑧，②⑤⑥，③⑦⑨；（2）①⑤⑦，②④⑨，③⑥⑧。
>
> 【点评】本题主要考查物体的分类，关键是根据不同的分类标准完成分类。
**六、生活中的数学。（22、23题每个算式2分，24、25题每个算式3分，共15分）**
22．【分析】（1）左边有8朵花，右边有4朵花，要求一共有几朵花，用8加上4即可；
> （2）一共有12朵花，去掉4朵，要求还剩几朵，用12减去4即可求解。
>
> 【解答】解：（1）8+4＝12（朵）
>
> （2）12﹣8＝4（朵）。
>
> 【点评】本题主要考查了20以内整数加减法的意义和计算方法，关键是正确读懂图意。
23．【分析】根据图意，一共有13只小兔，外面有3只，求屋里有几只用13减去3即可求解。
> 【解答】解：13﹣3＝10（只）
>
> 答：屋里有10只小兔。
>
> 【点评】本题主要考查了20以内整数减法的意义，关键是看懂图意，正确列式即可。
24．【分析】（1）3只、2只和5只，求一共有多少只，用加法计算；
> （2）一共有10只，前面有两堆，一堆有3只，一堆有4只，求后面有几只，用加法计算。
>
> 【解答】解：（1）3+2+5＝10（只）
>
> 答：一共有10只。
>
> （2）10﹣3﹣4＝3（只）
>
> 答：我的后面有3只。
>
> 故答案为：（1）3、+、2、+、5、10；（2）10、﹣、3、﹣、4、3。
>
> 【点评】本题主要考查了20以加减法的计算，熟能生巧。
25．【分析】根据题意，用原来的图书本数减去借走的本数，然后再加上又买来的6本即可求解。
> 【解答】解：8﹣4+6
>
> ＝4+6
>
> ＝10（本）
>
> 答：现在有10本书。
>
> 【点评】本题主要考查了10以内整数加减法的意义，关键是理清数量关系。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 14:33:15；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
| 1 | |
**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 搭一搭（一）**
1. **口算。**
> 8÷2= 40÷5= 21÷3= 24÷3=
>
> 36÷6= 49÷7= 30÷5= 42÷7=
>
> 81÷9= 18÷6= 32÷8= 27÷3=
**二、填空。 \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]**
1. 在有余数的除法里，（ ）一定比（ ）小。
2、25÷4=6 ......1，读作：（ ），在这道算式里，25是 （ ）， 4是（ ），6是（ ），1是（ ） 。
3、16÷3=5......1，读作：（ ），在这道算式里，16是 （ ）， 3是（ ），5是（ ），1是（ ） 。
4、一个数除以8有余数，余数最大是（ ），最小是（ ）。
5、26里面最多有（ ）个8。 33里面最多有（ ）个5。
6、一个数除以5如果有余数，余数可能是（ ） 。
7、42÷9的商是 （ ），余数是（ ）。
8、（ ）÷（ ）=5 ......1，除数最小是（ ）
3. **看图列式。**
\[来源:Zxxk.Com\]
（ ）÷（ ）=( ) 串 ......（）个\[来源:学。科。网\]
（ ）÷（ ）=( ) 个 ......（）个
（ ）÷（ ）=( ) 盘 ......（）个
（ ）÷（ ）=( ) 个 ......（）个\[来源:学\_科\_网\]
4. **应用题。**
> 1、26根  ，每6根摆成一个  ， 可以摆（ ）个，
>
> 还剩（ ）根。
>
> 算式是： （ ）÷（ ）=（ ）(个)......（ ）(根)
2. 猴妈妈摘了23个桃子，平均分给4只小猴，每只小猴分得（ ）个， 还剩（ ）个。
3. 算式是： （ ）÷（ ）=（ ）(个)......（ ）(个) 3、18块糖，平均分给5个小朋友，每个小朋友分（ ）块， 还剩（ ）块。 算式是： （ ）÷（ ）=（ ）(块)......（ ）(块)
4、有48棵树。
平均每行栽6棵，可以栽几行？
每行栽5棵，可以栽几行？还剩几棵？
平均栽成7行，每行栽几棵？还剩几棵？
答案解析:
口算 4, 8， 7， 8， 6， 7， 6， 6， 9， 3， 4， 9
填空1，余数 除数
2,25除以4等于6余1 被除数 除数 商 余数
3,16除以3等于5余1 被除数 除数 商 余数
4,7 1
5,3 6
6, 1,2,3,4,
7,4 6
8,11 2 2
看图列式
（ 13）÷（ 6）=( 2) 串 ......1个 （13）÷（ 2）=( 6 ) 个 ......1个
（ 13）÷（4）=( 3) 盘 ......1个 （13）÷（ 3）=( 4 ) 个 ......1个
应用题解析
1，26除以6等于4余2。可以摆4个，还剩2根。
算式（26）÷（ 6）=(4) 个 ......2根
2,23除以4等于5余3。每只猴子分得5个还剩3个。
算式（23）÷（ 4）=( 5 ) 个 ......3个
3，每个小朋友分3块还剩3块，算式（18）÷（ 5）=( 3 ) 块 ......3块
4,48÷6=8行 可以栽8行。
48÷5=9......3棵 可以栽9行，还剩3棵。 \[来源:学科网\]
48÷7=6......6 每行栽6棵，还剩6棵。
| 1 | |
**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第6单元 第四节：阅览室**
一、口算。
90-6= 37+40= 82-9=
80-7= 36-8= 25-8=
73-6= 51-6= 67-9=\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
二、看图列式计算
？千克
[ ]{.underline}
2、 ？个
70个
[ ]{.underline}
三、**生活中的数学。\[来源:Zxxk.Com\]**
1、如果我想买（3）号衣服，付款50元，应找回（ ）元。\[来源:学科网ZXXK\]
2、妈妈有100元钱，要买一套衣服，可以买（ ）和（ ）， 应付（ ）元，还剩下（ ）元。
四、在□里填上合适的数，使上衣和裤子上的结果相同。
五、把94个梨放在3个筐里，使每个筐里的梨个数都有一个数字"7"，应该怎样放？
**答案**
一、
90-6=84 37+40=77 82-9=73\[来源:学科网\]
80-7=73 36-8=28 25-8=17
73-6=67 51-6=45 67-9=58
**二、**
1、 [48+36=84千克]{.underline}
2、 [ 70-42=28个]{.underline}
三、
1、如果我想买（3）号衣服，付款50元，应找回（  16  ）元。
> 2、妈妈有100元钱，要买一套衣服，可以买（ 3 ）和（ 5 ）， 应付（ 75 ）元，还剩下（ 25 ）元。
四、
45 15 40 3 5 5
五、
70 17 7
**网资源www.wang26.cn专业学习资料平台**
| 1 | |
**2019年四川省广安市中考数学试卷**
**一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•广安）的绝对值是
A． B．2019 C． D．
2．（3分）（2019•广安）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•广安）第二届"一带一路"国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，"一带一路"建设进行5年多来，中资金融机构为"一带一路"相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•广安）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•广安）下列说法正确的是
A．"367人中必有2人的生日是同一天"是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
6．（3分）（2019•广安）一次函数的图象经过的象限是
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
7．（3分）（2019•广安）若，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•广安）下列命题是假命题的是
A．函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到
B．抛物线与轴有两个交点
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．垂直于弦的直径平分这条弦
9．（3分）（2019•广安）如图，在中，，，，以为直径的半圆交斜边于点，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•广安）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
①②③④当时，
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•广安）点在第四象限，则的取值范围是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•广安）因式分解：[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为，，其周长为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•广安）如图，正五边形中，对角线与相交于点，则[ ]{.underline}度．
15．（3分）（2019•广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为[ ]{.underline}米．
16．（3分）（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使按此规律进行下去，则点的坐标为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）**
17．（5分）（2019•广安）计算：．
18．（6分）（2019•广安）解分式方程：．
19．（6分）（2019•广安）如图，点是的边的中点，、的延长线交于点，，，求的周长．
20．（6分）（2019•广安）如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积．
**四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）**
21．（6分）（2019•广安）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了"读好书，助成长"的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了[ ]{.underline}名学生，两幅统计图中的[ ]{.underline}，[ ]{.underline}．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读""类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
22．（8分）（2019•广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只型节能灯和5只型节能灯共需50元，2只型节能灯和3只型节能灯共需31元．
（1）求1只型节能灯和1只型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求型节能灯的数量不超过型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（8分）（2019•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树和教学楼的高，先在处用高1.5米的测角仪测得古树顶端的仰角为，此时教学楼顶端恰好在视线上，再向前走10米到达处，又测得教学楼顶端的仰角为，点、、三点在同一水平线上．
（1）求古树的高；
（2）求教学楼的高．（参考数据：，
24．（8分）（2019•广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个的正方形方格画一种，例图除外）
**五、推理论证题（9分）**
25．（9分）（2019•广安）如图，在中，，，，平分，交于点，交于点，的外接圆交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求的半径及的正切值．
**六、拓展探索题（10分）**
26．（10分）（2019•广安）如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；
（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2019年四川省广安市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）的绝对值是
A． B．2019 C． D．
【考点】15：绝对值
【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解：的绝对值是：2019．
故选：．
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】79：二次根式的混合运算；35：合并同类项；49：单项式乘单项式
【分析】根据合并同类项和二次根式混合运算的法则就是即可．
【解答】解：、不是同类项不能合并；故错误；
、故错误；
、，故错误；
、，故正确；
故选：．
3．（3分）第二届"一带一路"国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，"一带一路"建设进行5年多来，中资金融机构为"一带一路"相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数字2500 0000 0000用科学记数法表示，正确的是．
故选：．
4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是
A． B．
C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：该组合体的俯视图为
故选：．
5．（3分）下列说法正确的是
A．"367人中必有2人的生日是同一天"是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
【考点】：中位数；：算术平均数；：全面调查与抽样调查；：随机事件；：众数；：方差
【分析】根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差的概念进行判断即可．
【解答】解：．"367人中必有2人的生日是同一天"是必然事件，故本选项正确；
．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项错误；
．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故本选项错误；
．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是2，故本选项错误；
故选：．
6．（3分）一次函数的图象经过的象限是
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
【考点】：一次函数的性质
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
【解答】解：一次函数，
该函数经过第一、三、四象限，
故选：．
7．（3分）若，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【考点】：不等式的性质
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故错误；
、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故错误；
、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故错误；
、如，，，；故正确；
故选：．
8．（3分）下列命题是假命题的是
A．函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到
B．抛物线与轴有两个交点
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．垂直于弦的直径平分这条弦
【考点】：命题与定理
【分析】利用一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；
、抛物线中△，与轴有两个交点，正确，是真命题；
、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，，以为直径的半圆交斜边于点，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【考点】：扇形面积的计算；：圆周角定理；：含30度角的直角三角形
【分析】根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在中，，，
，
，
，为半圆的直径，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
①②③④当时，
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】：抛物线与轴的交点；：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①对称轴位于轴的右侧，则，异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．
．
故①正确；
②抛物线开口向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
．
时，，
，
而，
，
，
即，
故②正确；
③时，，
，
而，
，
．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与轴的另一交点坐标是．
当时，
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：．
**二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）**
11．（3分）点在第四象限，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：点的坐标；：解一元一次不等式
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可．
【解答】解：点在第四象限，
解得，
即的取值范围是．
故答案为．
12．（3分）因式分解：[ ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
13．（3分）等腰三角形的两边长分别为，，其周长为[ 32 ]{.underline}．
【考点】：三角形三边关系；：等腰三角形的性质
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为时，三角形三边长为6，6，13，，不能构成三角形；
（2）当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，周长．
故答案为32．
14．（3分）如图，正五边形中，对角线与相交于点，则[ 72 ]{.underline}度．
【考点】：多边形内角与外角
【分析】根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：五边形是正五边形，
，
，
，
同理，
．
故答案为：72
15．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为[ 10 ]{.underline}米．
【考点】：二次函数的应用
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【解答】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使按此规律进行下去，则点的坐标为[ ， ]{.underline}．
【考点】：规律型：点的坐标
【分析】通过解直角三角形，依次求，，，，各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
【解答】解：由题意得，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
由上可知，点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第四点方位相同的点在负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为，
，
点的方位与点的方位相同，在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，
故答案为：，．
**三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）**
17．（5分）计算：．
【考点】：特殊角的三角函数值；：实数的运算；：零指数幂
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（6分）解分式方程：．
【考点】：解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：，
方程两边乘得：，
解得：，
检验：当时，．
所以原方程的解为．
19．（6分）如图，点是的边的中点，、的延长线交于点，，，求的周长．
【考点】：平行四边形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】先证明，得到，，从而可求平行四边形的面积．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，．
又，
．
，．
．
平行四边形的周长为．
20．（6分）如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，可以求得的值，进而求得的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象和（1）中一次函数的解析式可以求得点的坐标，从而根据可以求得的面积．
【解答】解：（1），是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，
，得，
，
，得，
点，
，解得，
一函数解析式为，
即反比例函数解析式为，一函数解析式为；
（2）设直线与轴的交点为，当时，，
点的坐标是，
点，点，
．
**四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）**
21．（6分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了"读好书，助成长"的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了[ 200 ]{.underline}名学生，两幅统计图中的[ ]{.underline}，[ ]{.underline}．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读""类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【考点】：条形统计图；：用样本估计总体；：列表法与树状图法；：扇形统计图
【分析】（1）用喜欢阅读""类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读""类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到的值，然后用30除以调查的总人数可以得到的值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读""类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1），
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
，即；
（2），
所以估计该校喜欢阅读""类图书的学生约有1124人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
22．（8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只型节能灯和5只型节能灯共需50元，2只型节能灯和3只型节能灯共需31元．
（1）求1只型节能灯和1只型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求型节能灯的数量不超过型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【考点】：一次函数的应用；：一元一次不等式的应用；：二元一次方程组的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设1只型节能灯的售价是元，1只型节能灯的售价是元，
，解得，，
答：1只型节能灯的售价是5元，1只型节能灯的售价是7元；
（2）设购买型号的节能灯只，则购买型号的节能灯只，费用为元，
，
，
，
当时，取得最小值，此时，，
答：当购买型号节能灯150只，型号节能灯50只时最省钱．
23．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树和教学楼的高，先在处用高1.5米的测角仪测得古树顶端的仰角为，此时教学楼顶端恰好在视线上，再向前走10米到达处，又测得教学楼顶端的仰角为，点、、三点在同一水平线上．
（1）求古树的高；
（2）求教学楼的高．（参考数据：，
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】（1）由知，据此得；
（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得的值，代入计算可得．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
古树的高为11.5米；
（2）在中，，
，
设米，则米，
在中，，，
，
，
解得：，
，
答：教学楼的高约为25米．
24．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个的正方形方格画一种，例图除外）
【考点】：利用轴对称设计图案；：利用旋转设计图案
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【解答】解：如图所示
**五、推理论证题（9分）**
25．（9分）如图，在中，，，，平分，交于点，交于点，的外接圆交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求的半径及的正切值．
【考点】：勾股定理；：解直角三角形；：切线的判定与性质
【分析】（1）由垂直的定义得到，连接，则，得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）由勾股定理得到，推出，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：，
，
是的直径，
的中点是圆心，
连接，则，
，
平分，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
，
，
，即，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
**六、拓展探索题（10分）**
26．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；
（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）将点、的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线的表达式为：，
将点、的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线的表达式为：，则直线与轴的夹角为，
即：则，
设点坐标为、则点，
，
，故有最大值，
当时，其最大值为18；
（3），
①当是平行四边形的一条边时，
设点坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得：或0或4（舍去，
则点坐标为，或，或；
②当是平行四边形的对角线时，
则的中点坐标为，，
设点坐标为、则点，
、，、为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，
即：，，
解得：或（舍去，
故点；
故点的坐标为：，或，或或．
| 1 | |
**2014年天津市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（共8小题，每小题5分）**
1．（5分）i是虚数单位，复数=（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
A．15 B．105 C．245 D．945
4．（5分）函数f（x）=log（x^2^﹣4）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB^2^=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
7．（5分）设a，b∈R，则"a＞b"是"a\|a\|＞b\|b\|"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）**
9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[ ]{.underline}名学生．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}m^3^．
11．（5分）设{a~n~}是首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~的值为[ ]{.underline}．
12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为[ ]{.underline}．
13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）=\|x^2^+3x\|，x∈R，若方程f（x）﹣a\|x﹣1\|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos^2^x+，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间\[﹣，\]上的最大值和最小值．
16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|=\|F~1~F~2~\|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t．
20．（14分）设f（x）=x﹣ae^x^（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x~1~，x~2~，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x~1~+x~2~随着a的减小而增大．
**2014年天津市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共8小题，每小题5分）**
1．（5分）i是虚数单位，复数=（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i
【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．
【解答】解：复数==，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．
此时z的最小值为z=1+2×1=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
A．15 B．105 C．245 D．945
【分析】算法的功能是求S=1×3×5×...×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×...×（2i+1）的值，
∵跳出循环的i值为4，
∴输出S=1×3×5×7=105．
故选：B．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．
4．（5分）函数f（x）=log（x^2^﹣4）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
【分析】令t=x^2^﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．
【解答】解：令t=x^2^﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，
所以y=log（x^2^﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c^2^=a^2^+b^2^，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，
令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴=2，
∵c^2^=a^2^+b^2^，
∴a^2^=5，b^2^=20，
∴双曲线的方程为﹣=1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB^2^=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．
【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由，FB^2^=FD•FA．即结论②成立．
由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．
正确结论有①②④．
故选：D．
【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．
7．（5分）设a，b∈R，则"a＞b"是"a\|a\|＞b\|b\|"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：若a＞b，
①a＞b≥0，不等式a\|a\|＞b\|b\|等价为a•a＞b•b，此时成立．
②0＞a＞b，不等式a\|a\|＞b\|b\|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a^2^＜b^2^，此时成立．
③a≥0＞b，不等式a\|a\|＞b\|b\|等价为a•a＞﹣b•b，即a^2^＞﹣b^2^，此时成立，即充分性成立．
若a\|a\|＞b\|b\|，
①当a＞0，b＞0时，a\|a\|＞b\|b\|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．
②当a＞0，b＜0时，a＞b．
③当a＜0，b＜0时，a\|a\|＞b\|b\|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，
综上"a＞b"是"a\|a\|＞b\|b\|"的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．
8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．
【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++
=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．
•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）
=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．
由①②求得λ+μ=，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
**二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）**
9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[ 60 ]{.underline}名学生．
【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}m^3^．
【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，
∴几何体的体积V=π×1^2^×4+×π×2^2^×2=4π+π=π．
故答案为：．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
11．（5分）设{a~n~}是首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~的值为[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由条件求得，S~n~=，再根据S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，可得 =S~1~•S~4~，由此求得a~1~的值．
【解答】解：由题意可得，a~n~=a~1~+（n﹣1）（﹣1）=a~1~+1﹣n，S~n~==，
再根据若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，可得 =S~1~•S~4~，即 =a~1~•（4a~1~﹣6），
解得 a~1~=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．
12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值．
【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c=a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b=．
再由余弦定理可得 cosA===﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x^2^+（y﹣2）^2^=4，可得a的值．
【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，
即ρ^2^=4ρsinθ，即x^2^+（y﹣2）^2^=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），
代入x^2^+（y﹣2）^2^=4，可得（a）^2^+（a﹣2）^2^=4，
∵a＞0，∴a=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）=\|x^2^+3x\|，x∈R，若方程f（x）﹣a\|x﹣1\|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为[ （0，1）∪（9，+∞） ]{.underline}．
【分析】由y=f（x）﹣a\|x﹣1\|=0得f（x）=a\|x﹣1\|，作出函数y=f（x），y=a\|x﹣1\|的图象利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由y=f（x）﹣a\|x﹣1\|=0得f（x）=a\|x﹣1\|，
作出函数y=f（x），y=g（x）=a\|x﹣1\|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）=a\|x﹣1\|=，
当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x^2^﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x^2^﹣3x=﹣a（x﹣1），
即x^2^+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）^2^﹣4a=0，即a^2^﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，
当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
即x^2^+3x=a（x﹣1），整理得x^2^+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）^2^﹣4a＞0，即a^2^﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a\|x﹣1\|=0得f（x）=a\|x﹣1\|，
若x=1，则4=0不成立，
故x≠1，
则方程等价为a===\|\|=\|x﹣1++5\|，
设g（x）=x﹣1++5，
当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，
当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，
则\|g（x）\|的图象如图：
若方程f（x）﹣a\|x﹣1\|=0恰有4个互异的实数根，
则满足a＞9或0＜a＜1，
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）
【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
**三、解答题（共6小题，共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos^2^x+，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间\[﹣，\]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinxcosx）
=
=
=
=
所以，f（x）的最小正周期=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，
由x∈\[﹣，\]得，2x∈\[﹣，\]，则∈\[，\]，
∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，
当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，
所以，所求的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．
16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．
【解答】（Ⅰ）解：设"选出的3名同学是来自互不相同学院"为事件A，
则，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．
（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）
所以随机变量X的分布列是
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 1 2 3
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
随机变量X的数学期望．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴=（0，1，1），=（2，0，0）
∵•=0，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），
设平面PBD的法向量=（x，y，z），
由，得，
令y=1，则=（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ===，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．
（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），
由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ=，
即=（﹣，，），
设平面FBA的法向量为=（a，b，c），
由，得
令c=1，则=（0，﹣3，1），
取平面ABP的法向量=（0，1，0），
则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：
cosα===，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：
【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|=\|F~1~F~2~\|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F~2~（c，0），由\|AB\|=\|F~1~F~2~\|．可得，再利用b^2^=a^2^﹣c^2^，e=即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b^2^=c^2^．可设椭圆方程为，设P（x~0~，y~0~），由F~1~（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x~0~+y~0~+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x~1~，y~1~），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F~2~（c，0），
由\|AB\|=\|F~1~F~2~\|，可得，化为a^2^+b^2^=3c^2^．
又b^2^=a^2^﹣c^2^，∴a^2^=2c^2^．
∴e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b^2^=c^2^．因此椭圆方程为．
设P（x~0~，y~0~），由F~1~（﹣c，0），B（0，c），可得=（x~0~+c，y~0~），=（c，c）．
∵，
∴=c（x~0~+c）+cy~0~=0，
∴x~0~+y~0~+c=0，
∵点P在椭圆上，∴．
联立，化为=0，
∵x~0~≠0，∴，
代入x~0~+y~0~+c=0，可得．
∴P．
设圆心为T（x~1~，y~1~），则=﹣，=．
∴T，
∴圆的半径r==．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．
∵直线l与圆相切，
∴，
整理得k^2^﹣8k+1=0，解得．
∴直线l的斜率为．
【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t．
【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．
（Ⅱ）由于a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，可得a~n~﹣b~n~≤﹣1．
由题意可得s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^
再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，
M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，∴s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^
≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^
=（q﹣1）（1+q+...+q^n﹣2^）﹣q^n﹣1^
=﹣q^n﹣1^
=﹣1＜0．
∴s＜t．
【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
20．（14分）设f（x）=x﹣ae^x^（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x~1~，x~2~，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x~1~+x~2~随着a的减小而增大．
【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；
（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；
（Ⅲ）由于x~1~=a，x~2~=a，则x~2~﹣x~1~=lnx~2~﹣lnx~1~=ln，令=t，整理得到x~1~+x~2~=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x~1~+x~2~随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae^x^，∴f′（x）=1﹣ae^x^；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
--------- ---------------- ---------------- ---------------
x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞）
f′（x） \+ 0 ﹣
f（x） 递增 极大值﹣lna﹣1 递减
--------- ---------------- ---------------- ---------------
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
①f（﹣lna）＞0；
②存在s~1~∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s~1~）＜0；
③存在s~2~∈（﹣lna，+∞），满足f（s~2~）＜0；
由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e^﹣1^；
取s~1~=0，满足s~1~∈（﹣∞，﹣lna），且f（s~1~）=﹣a＜0，
取s~2~=+ln，满足s~2~∈（﹣lna，+∞），且f（s~2~）=（﹣）+（ln﹣）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^﹣1^）．
（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae^x^=0，得a=，
设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x~1~、x~2~满足a=g（x~1~），a=g（x~2~），a∈（0，e^﹣1^）及g（x）的单调性，可得x~1~∈（0，1），x~2~∈（1，+∞）；
对于任意的a~1~、a~2~∈（0，e^﹣1^），设a~1~＞a~2~，g（X~1~）=g（X~2~）=a~1~，其中0＜X~1~＜1＜X~2~；
g（Y~1~）=g（Y~2~）=a~2~，其中0＜Y~1~＜1＜Y~2~；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a~1~＞a~2~，得g（X~i~）＞g（Y~i~），可得X~1~＞Y~1~；类似可得X~2~＜Y~2~；
又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明：∵x~1~=a，x~2~=a，∴lnx~1~=lna+x~1~，lnx~2~=lna+x~2~；
∴x~2~﹣x~1~=lnx~2~﹣lnx~1~=ln，设=t，则t＞1，
∴，解得x~1~=，x~2~=，
∴x~1~+x~2~=...①；
令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；
令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴由①得x~1~+x~2~随着t的增大而增大．
由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，
∴x~1~+x~2~随着a的减小而增大．
【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．
| 1 | |
**2021年浙江省高考数学试题**
**一､选择题**
1\. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2\. 已知，，(*i*虚数单位)，则（ ）
A. B. 1 C. D. 3
3\. 已知非零向量，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4\. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. 3 C. D.
5\. 若实数*x*，*y*满足约束条件，则最小值是（ ）
A. B. C. D.
6\. 如图已知正方体，*M*，*N*分别是，的中点，则（ ）
A. 直线与直线垂直，直线平面
B. 直线与直线平行，直线平面
C. 直线与直线相交，直线平面
D. 直线与直线异面，直线平面
7\. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
8\. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9\. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
10\. 已知数列满足.记数列前*n*项和为，则（ ）
A. B. C. D.
**二､填空题**
11\. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12\. 已知，函数若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
13\. 已知多项式，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14\. 在中，，*M*是的中点，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_*.*
15\. 袋中有4个红球*m*个黄球，*n*个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则*\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_*，*\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_*.
16\. 已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点*P*，且轴，则该直线的斜率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，椭圆的离心率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
17\. 已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为*x*，*y*，在方向上的投影为*z*，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三､解答题**
18\. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
19\. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，*M*，*N*分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20\. 已知数列前*n*项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前*n*项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
21\. 如图，已知*F*是抛物线的焦点，*M*是抛物线的准线与*x*轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点*F*的直线交抛物线与*A*､*B*两点，斜率为2的直线*l*与直线，*x*轴依次交于点*P*，*Q*，*R*，*N*，且，求直线*l*在*x*轴上截距的范围.
22\. 设*a*，*b*实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求*a*的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
> 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。
试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2739139403882496)
组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。
学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
| 1 | |
**小升初知识点复习专项练习-数的运算06表内乘法**
**一．选择题（共10小题）**
1．下列口诀中，只能用来计算一个乘法算式的是（ ）
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ------------ ----- ------------
A． 二三得六 B． 四三十二 C． 八九七十二 D． 七七四十九
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ------------ ----- ------------
2．"五五二十五"这句口诀可以写（ ）道除法算式．
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 2 B． 1 C． 4
---- ----- --- ----- --- ----- ---
3．下面的计算不能用"八九七十二"这句口诀的是（ ）
---- ----- ------ ----- ----- ----- -----
A． 72÷8 B． 8×9 C． 9+8
---- ----- ------ ----- ----- ----- -----
4．6×□＜23，□里最大能填（ ）
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 2 B． 3 C． 4
---- ----- --- ----- --- ----- ---
5．7×□＜60，方框里最大能填（ ）
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ----
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ----
6．不能用"六八四十八"这句口诀计算的式子有（ ）
---- ----- ----- ----- ------------- ----- ---------- ----- -----------
A． 8×6 B． 8+8+8+8+8+8 C． 8×8﹣8×2 D． 6+6+6+6+6
---- ----- ----- ----- ------------- ----- ---------- ----- -----------
7．可以用同一句口诀计算的式子是（ ）
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ----------------
A． 7×7和7×2 B． 6×8和8×6 C． 3+3+3+3+3和3+6
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ----------------
8．8的乘法口诀一共有（ ）句．
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 7 B． 8 C． 9
---- ----- --- ----- --- ----- ---
9．下列口诀的结果不是十八的是（ ）
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------
A． 三六 B． 二九 C． 九九
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------
10．背诵"六"的乘法口诀，后一句的得数比前一句（ ）
---- ----- ----- ----- ----- ----- ------
A． 少6 B． 多6 C． 相同
---- ----- ----- ----- ----- ----- ------
**二．填空题（共10小题）**
11．如果1=5，2=10，3=15，4=20，那么5=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
12．在横线里最大能填几．
7×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜44 6×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜61．
13．你喜欢的乘法口诀是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}，你能根据这句口诀写出两个不同的算式吗？[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}，[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
14．横线上最大能填几？
[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×5＜47
8×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜75
70＞8×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}
7×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜30．
15．
+--------------------------------------------+--------------------------------------------+--------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 横线里最大能填几？ | [ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×8＜43 | [ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×4＜31 | [ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×9＜60． |
| | | | |
| [ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×6＜57 | | | |
+--------------------------------------------+--------------------------------------------+--------------------------------------------+----------------------------------------------+
16．一个因数是6，另一个因数是3，积是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
17．横线上最大能填几？
8×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜55
[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×9＜55．
18．把口诀填完整．
三七[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}
一六[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}
四五[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}
八九[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}
二八[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
19．横线里最大能填几？．
5×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜21；[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×8＜57；[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×9＜60．
20．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}里最大能填几？
[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×8＜65[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}＜5×9
30＞5×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×6＜40．
**三．解答题（共10小题）**
21．根据85×32=2720，直接写出下面各题的积．
85×64=
85×16=
85×8=
85×320=
22．5个7相加，和是多少？
23．每一句口诀都可以写出两道乘法算式．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
24．8和9相乘，积是多少？
25．根据下面的算式画图．
3×5
5×3．
26．口算
-------- --------- ------- ------- --------
3×3= 2×5= 2×8= 1×9= 4×4=
5×9= 6×7= 49÷7= 4×8= 36﹣6=
7×9= 6×8= 4×7= 56÷7= 3×7=
17+42= 59﹣18= 32÷4= 64÷8= 36÷9=
-------- --------- ------- ------- --------
27．文字叙述题
（1）被乘数是4，乘数是3：[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
（2）写出乘法算式，计算出结果．
3个4连加：[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
28．把用同一句口诀计算的算式用线连起来．
29．从4、6、8、48中选3个数写出4个算式．
------- ------- ------- -------
□×□=□ □÷□=□ □×□=□ □÷□=□
------- ------- ------- -------
30．直接写出得数．
----------- ----------- ------------- -----------
5×2= 0.24÷0.3= 0.108÷0.01= 7.1﹣1.7=
6.18÷0.6= 0.12+0.8= 0.2×500= 1.4×0.5=
0.6÷3= 0.4×0.5= 8.1÷0.81= 1.4÷0.4=
----------- ----------- ------------- -----------
**小升初知识点复习专项练习-数的运算06表内乘法**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．下列口诀中，只能用来计算一个乘法算式的是（ ）
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ------------ ----- ------------
A． 二三得六 B． 四三十二 C． 八九七十二 D． 七七四十九
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ------------ ----- ------------
+--------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据选项写出所有的乘法算式，找出只能写一个算式的即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：A，二三得六可以用来计算两个乘法算式： |
| | |
| | 2×3=6，3×2=6； |
| | |
| | B，四三十二可以用来计算两个乘法算式： |
| | |
| | 3×4=12，4×3=12； |
| | |
| | C，八九七十二可以用来计算两个乘法算式：： |
| | |
| | 8×9=72，9×8=72； |
| | |
| | D，七七四十九只能用来计算一个乘法算式： |
| | |
| | 7×7=49． |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 1﹣9乘法口诀中每一个数的最后一个口诀，由于两因数相同，只能用来计算一个乘法算式． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------+
2．"五五二十五"这句口诀可以写（ ）道除法算式．
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 2 B． 1 C． 4
---- ----- --- ----- --- ----- ---
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 在乘法口诀中得数是相同两个数乘积的时候，只能写出一道除法算式，其它的每句口诀都可以写出两道除法算式，由此解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：五五二十五这句口诀只能写出一道除法算式，即25÷5=5； |
| | |
| | 故选B． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查表内乘法和相应的除法，关键是理解和掌握在乘法口诀中得数是相同两个数乘积的时候，只能写出一道除法算式． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
3．下面的计算不能用"八九七十二"这句口诀的是（ ）
---- ----- ------ ----- ----- ----- -----
A． 72÷8 B． 8×9 C． 9+8
---- ----- ------ ----- ----- ----- -----
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；整数的加法和减法；表内除法． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据表内乘法、除法的计算方法，一句口诀可以解决两道乘法和两道除法算式的计算．由此解答． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据"八九七十二"这句口诀可以解决：8×9=，9×8=，72÷8=，72÷9． |
| | |
| | 答：下面的计算不能用"八九七十二"这句口诀的是9+8． |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查表内乘法、除法的计算，明确一句口诀可以解决两道乘法和两道除法算式的计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
4．6×□＜23，□里最大能填（ ）
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 2 B． 3 C． 4
---- ----- --- ----- --- ----- ---
+--------+---------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+---------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------------+
| 分析： | 根据9以内的乘法口诀进行解答即可． |
+--------+---------------------------------------------+
| 解答： | 解：6×3＜23，□里最大能填3； |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+---------------------------------------------+
| 点评： | 灵活掌握9以内的乘法口诀，是解答此题的关键． |
+--------+---------------------------------------------+
5．7×□＜60，方框里最大能填（ ）
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ----
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ----
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据表内乘法解答，因为0、1、2、3、4、5、6、7、8与7的乘积都小于60，只有8最大；据此解答即可． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：由分析得出：7×8＜60． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解答此题的关键是根据乘法口诀确定7与几相乘与60最接近且小于60． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+
6．不能用"六八四十八"这句口诀计算的式子有（ ）
---- ----- ----- ----- ------------- ----- ---------- ----- -----------
A． 8×6 B． 8+8+8+8+8+8 C． 8×8﹣8×2 D． 6+6+6+6+6
---- ----- ----- ----- ------------- ----- ---------- ----- -----------
+--------+------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据九九乘法口诀即可解答问题． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：A、8×6可以用"六八四十八"这句口诀计算； |
| | |
| | B、8+8+8+8+8+8可以用"六八四十八"这句口诀计算； |
| | |
| | C、8×8﹣8×2可以用"六八四十八"这句口诀计算； |
| | |
| | D、6+6+6+6+6可以用"五六三十"这句口诀计算； |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查学生的乘法口诀的识记情况，是需要熟记的内容． |
+--------+------------------------------------------------------+
7．可以用同一句口诀计算的式子是（ ）
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ----------------
A． 7×7和7×2 B． 6×8和8×6 C． 3+3+3+3+3和3+6
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ----------------
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据9以内的乘法口诀进行填表即可． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：A、7×7，用口诀：七七四十九，7×2，用口诀：二七十四； |
| | |
| | B、6×8，用口诀：六八四十八，8×6用口诀：六八四十八； |
| | |
| | C、3+3+3+3+3，用口诀：三五十五，3+6=3+3+3，用口诀：，三三得九； |
| | |
| | 由此可知：6×8和8×6可以用一句口诀计算； |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 点评： | 灵活掌握9以内的乘法口诀，是解答此题的关键． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
8．8的乘法口诀一共有（ ）句．
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 7 B． 8 C． 9
---- ----- --- ----- --- ----- ---
+--------+---------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+---------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------+
| 分析： | 根据8的乘法口诀进行解答即可． |
+--------+---------------------------------------+
| 解答： | 解：8的乘法口诀一共有8句． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+---------------------------------------+
| 点评： | 熟练掌握8的乘法口诀是解答此题的关键． |
+--------+---------------------------------------+
9．下列口诀的结果不是十八的是（ ）
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------
A． 三六 B． 二九 C． 九九
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 分析： | 三六十八，二九十八，九九八十一，据此即可得出结论． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：由分析可知：得数不是十八的是九九； |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查了表内乘法，熟记9以内的乘法口诀，是解答此题的关键． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
10．背诵"六"的乘法口诀，后一句的得数比前一句（ ）
---- ----- ----- ----- ----- ----- ------
A． 少6 B． 多6 C． 相同
---- ----- ----- ----- ----- ----- ------
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据"六"的乘法口诀：一六得六，二六十二、三六十八、...可得：后一句的得数比前一句多6；据此解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据"六"的乘法口诀可知：背诵"六"的乘法口诀，后一句的得数比前一句多6． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 明确6的乘法口诀，是解答此题的关键． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
**二．填空题（共10小题）**
11．如果1=5，2=10，3=15，4=20，那么5=[ 25 ]{.underline}．
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据5的乘法口诀进行解答即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据5的乘法口诀可知：如果1=5，2=10，3=15，4=20，那么5=25； |
| | |
| | 故答案为：25． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查了表内乘法，灵活掌握5的乘法口诀，是解答此题的关键． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
12．在横线里最大能填几．
7×[ 6 ]{.underline}＜44 6×[ 10 ]{.underline}＜61．
+--------+------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；乘与除的互逆关系． |
+--------+------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）六七四十二，6×7=42＜44； |
| | |
| | （2）用61除以6，运算的商就是可以填的最大的数． |
+--------+------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）7×6＜44； |
| | |
| | 横线上最大可以填6； |
| | |
| | （2）61÷6=10...1， |
| | |
| | 横线上最大可以10． |
| | |
| | 故答案为：6，10． |
+--------+------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题可以用除法来求解，也可以根据乘法口诀直接求解，填上后注意验证一下． |
+--------+------------------------------------------------------------------------+
13．你喜欢的乘法口诀是[ 三七二十一 ]{.underline}，你能根据这句口诀写出两个不同的算式吗？[ 3×7=21 ]{.underline}，[ 7×3=21 ]{.underline}．
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 任意写出一个乘法口诀，然后根据乘法口诀，写出两个不同的算式即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：三七二十一，3×7=21，7×3=21； |
| | |
| | 故答案为：三七二十一，3×7=21，7×3=21； |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的是表内乘法，能根据口诀，写出两个不同算式． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
14．横线上最大能填几？
[ 9 ]{.underline}×5＜47
8×[ 9 ]{.underline}＜75
70＞8×[ 8 ]{.underline}
7×[ 4 ]{.underline}＜30．
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据乘法口诀：五九四十五，八九七十二，八八六十四，四七二十八进行解答即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：9×5＜47 |
| | |
| | 8×9＜75 |
| | |
| | 70＞8×8 |
| | |
| | 7×4＜30， |
| | |
| | 故答案为：9、9、8、4． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查的是乘法口诀的灵活应用． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
15．
+---------------------------+---------------------------+---------------------------+-----------------------------+
| 横线里最大能填几？ | [ 5 ]{.underline}×8＜43 | [ 7 ]{.underline}×4＜31 | [ 6 ]{.underline}×9＜60． |
| | | | |
| [ 9 ]{.underline}×6＜57 | | | |
+---------------------------+---------------------------+---------------------------+-----------------------------+
+--------+----------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 分析： | 根据表内乘法和乘法的估算方法进行解答． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 解答： | 解：9×6＜57； |
| | |
| | 5×8＜43； |
| | |
| | 7×4＜31； |
| | |
| | 6×9＜60． |
| | |
| | 故答案为：9，5，7，6． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 点评： | 做此类题，应背诵最接近的口诀，从而找出最合适的数． |
+--------+----------------------------------------------------+
16．一个因数是6，另一个因数是3，积是[ 18 ]{.underline}．
+--------+------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------+
| 分析： | 根据乘法算式中各部分的关系，直接用6乘3即可． |
+--------+------------------------------------------------+
| 解答： | 解：6×3=18； |
| | |
| | 积是18． |
| | |
| | 故答案为：18． |
+--------+------------------------------------------------+
| 点评： | 本题考查了乘法算式各部分的关系：因数×因数=积． |
+--------+------------------------------------------------+
17．横线上最大能填几？
8×[ 6 ]{.underline}＜55
[ 6 ]{.underline}×9＜55．
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）根据乘法口决知六八四十八，七八五十六，可知最大能填几； |
| | |
| | （2）根据乘法口决知六九五十四，七九六十三，可知最大能填几． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）因8×6=48，8×7=56，所以最大能填6； |
| | |
| | （2）因6×9=54，7×9=63，所以最大能填6． |
| | |
| | 故答案为：6，6． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查了学生八和九的乘法口决的掌握情况． |
+--------+-------------------------------------------------------------+
18．把口诀填完整．
三七[ 二十一 ]{.underline}
一六[ 得六 ]{.underline}
四五[ 二十 ]{.underline}
八九[ 七十二 ]{.underline}
二八[ 十六 ]{.underline}．
+--------+----------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 分析： | 本题根据乘法口诀直接填空． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 解答： | 解：三七二十一， |
| | |
| | 一六得六， |
| | |
| | 四五二十， |
| | |
| | 八九七十二， |
| | |
| | 二八十六． |
| | |
| | 故答案为：二十一，得六，二十，七十二，十六． |
+--------+----------------------------------------------------+
| 点评： | 乘法口诀是学习乘法和除法的基础，要记熟，灵活运用． |
+--------+----------------------------------------------------+
19．横线里最大能填几？．
5×[ 4 ]{.underline}＜21；[ 7 ]{.underline}×8＜57；[ 6 ]{.underline}×9＜60．
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）根据乘法口诀，四五二十，20小于21，所以最大填4； |
| | |
| | （2）根据乘法口诀，七八五十六，56小于57，所以最大填7； |
| | |
| | （3）根据乘法口诀，六九五十四，54小于60，所以最大填6；由此解答即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据分析可知： |
| | |
| | 5×4＜21； |
| | |
| | 7×8＜57； |
| | |
| | 6×9＜60． |
| | |
| | 故答案为：4；7；6． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要根据表内乘法解决问题，此题考查的目的是为学习有余数的除法打好基础． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------+
20．[ ？ ]{.underline}里最大能填几？
[ 8 ]{.underline}×8＜65[ 44 ]{.underline}＜5×9
30＞5×[ 5 6 ]{.underline}×6＜40．
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；数的估算． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 这些题中 44＜5×9 是根据乘法口决五九四十五算出5×9的积45，然后再从比45小的所有数中找出最大的那个数，即44，或直接找比45小1的数，即44； 8×8＜65， |
| | |
| | 30＞5×5，6×6＜40，这三道题要根据每个乘法算式中知道的那个因数是几就想几的乘法口决，直到找的数与这个因数乘得的积比要比的数小，并且再多乘一个这个因数就比要比的数大了为止，，那么这个数就是要填的最大的数． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：8×8＜65， |
| | |
| | 44＜5×9， |
| | |
| | 30＞5×5， |
| | |
| | 6×6＜40， |
| | |
| | 故答案为：8，44，5，6． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此类型的题主要利用表内乘法口决以及两整数大小的比较方法来解答． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**三．解答题（共10小题）**
21．根据85×32=2720，直接写出下面各题的积．
85×64=
85×16=
85×8=
85×320=
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 可根据"两个不为0 的因数相乘，一个因数不变，另一因数变为原来的N倍，积也变为原来的N倍．"来解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为85×32=2720； |
| | |
| | 所以：85×64=5440； |
| | |
| | 85×16=1360； |
| | |
| | 85×8=680； |
| | |
| | 85×320=27200； |
| | |
| | 故答案为5440，1360，680，27200． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题是考查乘法规律的应用，牢记规律可以简捷的解决问题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
22．5个7相加，和是多少？
+--------+----------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+----------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据乘法的意义，求几个相同加数和的简便运算，可列式解答． |
+--------+----------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：5×7=35． |
| | |
| | 答：和是35． |
+--------+----------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题考查了学生对乘法意义的掌握情况． |
+--------+----------------------------------------------------------+
23．每一句口诀都可以写出两道乘法算式．[ 错误 ]{.underline}．
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 在表内乘法中，一般情况下一句口诀都可以写出两道乘法算式，但特殊情况下一句口诀并不能写出两道乘法算式，例如：九九八十一，只能写出一道乘法算式9×9=81，所以每一句口诀都可以写出两道乘法算式是错误的． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：由分析知：个别乘法口诀不能写出两个乘法算式，如：三三得九、四四十六、九九八十一等； |
| | |
| | 故答案为：错误． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解答此题应熟练掌握表内乘法口诀，并能灵活运用． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
24．8和9相乘，积是多少？
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 分析： | 列出算式，然后根据乘法口诀求解． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：8×9=72； |
| | |
| | 或：9×8=72． |
| | |
| | 答：积是72． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题根据题意写出算式，再根据乘法口诀：八九七十二计算出结果． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
25．根据下面的算式画图．
3×5
5×3．
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 3×5表示5个3是多少，5×3表示3个5是多少，然后画图表示即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）3×5 |
| | |
| | 表示5个3是多少，用图表示为 |
| | |
| | （2）5×3 |
| | |
| | 表示3个5是多少，用图表示为：． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 考查了整数乘法的意义，应明确求几个几是多少，用乘法解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
26．口算
-------- --------- ------- ------- --------
3×3= 2×5= 2×8= 1×9= 4×4=
5×9= 6×7= 49÷7= 4×8= 36﹣6=
7×9= 6×8= 4×7= 56÷7= 3×7=
17+42= 59﹣18= 32÷4= 64÷8= 36÷9=
-------- --------- ------- ------- --------
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；整数的加法和减法；表内除法． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据乘法口诀、整数加法、减法计算方法解答即可． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解： |
| | |
| | ------------ ------------- ---------- ---------- ------------ |
| | 3×3=9； 2×5=10； 2×8=16； 1×9=9； 4×4=16； |
| | 5×9=45； 6×7=42； 49÷7=7； 4×8=32； 36﹣6=30； |
| | 7×9=63； 6×8=48； 4×7=28； 56÷7=8； 3×7=21； |
| | 17+42=59； 59﹣18=41； 32÷4=8； 64÷8=8； 36÷9=4． |
| | ------------ ------------- ---------- ---------- ------------ |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解决本题要细心计算，熟练灵活运用表内乘法． |
+--------+-----------------------------------------------------------------+
27．文字叙述题
（1）被乘数是4，乘数是3：[ 4×3=12 ]{.underline}．
（2）写出乘法算式，计算出结果．
3个4连加：[ 4×3=12 ]{.underline}．
+--------+-------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）根据：被乘数×乘数=积，据此解答即可； |
| | |
| | （2）3个4相加，根据求几个相同加数的和是多少，用乘法解答；由此写出即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：被乘数是4，乘数是3：算式为：4×3=12； |
| | |
| | （2）3个4连加：4×3=12； |
| | |
| | 故答案为：4×3=12，4×3=12． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查了表内乘法，明确求几个相同加数的和是多少，用乘法解答． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------+
28．把用同一句口诀计算的算式用线连起来．
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；表内除法． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 3×8和24÷3都用口诀"三八二十四"计算；24÷4和24÷6都用口诀"四六二十四"计算；6×6和36÷6都用口诀"六六三十六"计算；36÷4和36÷9都用口诀"四九三十六"计算． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解： |
| | |
| |  |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查学生运用乘法口诀进行表内乘、除法的计算，乘法口诀是以后学习乘、除法的基础，一定要熟练掌握． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
29．从4、6、8、48中选3个数写出4个算式．
------- ------- ------- -------
□×□=□ □÷□=□ □×□=□ □÷□=□
------- ------- ------- -------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；表内除法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据表内乘法、除法的计算方法，一句口诀可以写出两道乘法算式和两道除法算式，从中选出6，8，48三个数，组成的算式是：6×8=48，48÷6=8，8×6=48，48÷8=6． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：从中选出6，8，48三个数，根据六八四十八这句口诀，可以写出下面4个算式： |
| | |
| | 6×8=48，48÷6=8，8×6=48，48÷8=6． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要根据表内乘法、除法的计算方法解决问题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
30．直接写出得数．
----------- ----------- ------------- -----------
5×2= 0.24÷0.3= 0.108÷0.01= 7.1﹣1.7=
6.18÷0.6= 0.12+0.8= 0.2×500= 1.4×0.5=
0.6÷3= 0.4×0.5= 8.1÷0.81= 1.4÷0.4=
----------- ----------- ------------- -----------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 表内乘法；小数的加法和减法；小数乘法；小数除法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据整数、小数四则运算的计算法则，直接进行口算即可． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解： |
| | |
| | --------------- --------------- ----------------- --------------- |
| | 5×2=10 0.24÷0.3=0.8 0.108÷0.01=10.8 7.1﹣1.7=5.4 |
| | 6.18÷0.6=10.3 0.12+0.8=0.92 0.2×500=100 1.4×0.5=0.7 |
| | 0.6÷3=0.2 0.4×0.5=0.2 8.1÷0.81=10 1.4÷0.4=3.5． |
| | --------------- --------------- ----------------- --------------- |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的目的是理解掌握整数、小数四则运算的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | |
**2019年湖北省随州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）**
1．（3分）（2019•随州）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000*m*，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×10^4^*m* B．63.7×10^5^*m* C．6.37×10^6^*m* D．6.37×10^7^*m*
3．（3分）（2019•随州）如图，直线*l~l~*∥1~2~，直角三角板的直角顶点*C*在直线*l*~1~上，一锐角顶点*B*在直线*l*~2~上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
> 
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（ ）
A．4*m*﹣*m*＝4 B．（*a*^2^）^3^ ＝*a*^5^
C．（*x*+*y* ）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ D．﹣（*t*﹣1）＝1﹣*t*
5．（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
---------- --- --- --- --- ---
投中次数 3 5 6 7 8
人数 1 3 2 2 2
---------- --- --- --- --- ---
> 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
6．（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
> 
A．2π B．3π C．4π D．5π
7．（3分）（2019•随州）第一次"龟兔赛跑"，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形*ABCD*中，*E*为*BC*的中点，*BD*，*AE*交于点*O*，若随机向平行四边形*ABCD*内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
> 
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•随州）"分母有理化"是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设*x*＝﹣，易知＞，故*x*＞0，由*x*^2^＝（﹣）^2^＝3++3﹣﹣2＝2，解得*x*＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
10．（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*的图象与*x*轴交于*A*，*B*两点，与*y*轴交于点*C*，*OA*＝*OC*，对称轴为直线*x*＝1，则下列结论：①*abc*＜0；②*a*+*b*+*c*＝0；③*ac*+*b*+1＝0；④2+*c*是关于*x*的一元二次方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0的一个根．其中正确的有（ ）
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）**
11．（3分）（2019•随州）计算：（π﹣2019）^0^﹣2cos60°＝[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•随州）如图，点*A*，*B*，*C*在⊙*O*上，点*C*在优弧上，若∠*OBA*＝50°，则∠*C*的度数为[ ]{.underline}．
> 
13．（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为[ ]{.underline}和[ ]{.underline}．
> 
14．（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△*ABC*的直角顶点*C*的坐标为 （1，0），点*A*在*x*轴正半轴上，且*AC*＝2．将△*ABC*先绕点*C*逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点*A*的对应点的坐标为[ ]{.underline}．
> 
15．（3分）（2019•随州）如图，矩形*OABC*的顶点*A*，*C*分别在*y*轴、*x*轴的正半轴上，*D*为*AB*的中点，反比例函数*y*＝（*k*＞0）的图象经过点*D*，且与*BC*交于点*E*，连接*OD*，*OE*，*DE*，若△*ODE*的面积为3，则*k*的值为[ ]{.underline}．
> 
16．（3分）（2019•随州）如图，已知正方形*ABCD*的边长为*a*，*E*为*CD*边上一点（不与端点重合），将△*ADE*沿*AE*对折至△*AFE*，延长*EF*交边*BC*于点*G*，连接*AG*，*CF*．
> 给出下列判断：
>
> ①∠*EAG*＝45°；
>
> ②若*DE*＝*a*，则*AG*∥*CF*；
>
> ③若*E*为*CD*的中点，则△*GFC*的面积为*a*^2^；
>
> ④若*CF*＝*FG*，则*DE*＝（﹣1）*a*；
>
> ⑤*BG*•*DE*+*AF*•*GE*＝*a*^2^．
>
> 其中正确的是[ ]{.underline}．（写出所有正确判断的序号）
>
> 
**三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）**
17．（5分）（2019•随州）解关于*x*的分式方程：＝．
18．（7分）（2019•随州）已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（2*k*+1）*x*+*k*^2^+1＝0有两个不相等的实数根*x*~1~，*x*~2~．
> （1）求*k*的取值范围；
>
> （2）若*x*~1~+*x*~2~＝3，求*k*的值及方程的根．
19．（10分）（2019•随州）"校园安全"越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
> 
>
> （1）接受问卷调查的学生共有[ ]{.underline}人，条形统计图中*m*的值为[ ]{.underline}；
>
> （2）扇形统计图中"了解很少"部分所对应扇形的圆心角的度数为[ ]{.underline}；
>
> （3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到"非常了解"和"基本了解"程度的总人数为[ ]{.underline}人；
>
> （4）若从对校园安全知识达到"非常了解"程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船*A*，*B*同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船*B*在*A*的正北方向，事故渔船*P*在救助船*A*的北偏西30°方向上，在救助船*B*的西南方向上，且事故渔船*P*与救助船*A*相距120海里．
> （1）求收到求救讯息时事故渔船*P*与救助船*B*之间的距离；
>
> （2）若救助船*A*，*B*分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船*P*处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
>
> 
21．（9分）（2019•随州）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，以*AB*为直径的⊙*O*分别交*AC*，*BC*于点*D*，*E*，点*F*在*AC*的延长线上，且∠*BAC*＝2∠*CBF*．
> （1）求证：*BF*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若⊙*O*的直径为3，sin∠*CBF*＝，求*BC*和*BF*的长．
>
> 
22．（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量*p*（百千克）与销售价格*x*（元/千克）满足函数关系式*p*＝*x*+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量*q*（百千克）与销售价格*x*（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
------------------------- ---- ---- -------- ----
销售价格*x*（元/千克） 2 4 ...... 10
市场需求量*q*（百千克） 12 10 ...... 4
------------------------- ---- ---- -------- ----
> 已知按物价部门规定销售价格*x*不低于2元/千克且不高于10元/千克．
>
> （1）直接写出*q*与*x*的函数关系式，并注明自变量*x*的取值范围；
>
> （2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
>
> ①当每天的半成品食材能全部售出时，求*x*的取值范围；
>
> ②求厂家每天获得的利润*y*（百元）与销售价格*x*的函数关系式；
>
> （3）在（2）的条件下，当*x*为[ ]{.underline}元/千克时，利润*y*有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则*x*应定为[ ]{.underline}元/千克．
23．（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为*m*，*n*，我们可将这个两位数记为，易知＝10*m*+*n*；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100*a*+10*b*+*c*．
> 【基础训练】
>
> （1）解方程填空：
>
> ①若+＝45，则*x*＝[ ]{.underline}；
>
> ②若﹣＝26，则*y*＝[ ]{.underline}；
>
> ③若+＝，则*t*＝[ ]{.underline}；
>
> 【能力提升】
>
> （2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被[ ]{.underline}整除，﹣一定能被[ ]{.underline}整除，•﹣*mn*一定能被[ ]{.underline}整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
>
> 【探索发现】
>
> （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为"卡普雷卡尔黑洞数"．
>
> ①该"卡普雷卡尔黑洞数"为[ ]{.underline}；
>
> ②设任选的三位数为（不妨设*a*＞*b*＞*c*），试说明其均可产生该黑洞数．
24．（12分）（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点*O*为坐标原点，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*与*y*轴交于点*A*（0，6），与*x*轴交于点*B*（﹣2，0），*C*（6，0）．
> （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
>
> （2）如图2，连接*AB*，*AC*，设点*P*（*m*，*n*）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点*P*作*PD*⊥*AC*于点*E*，交*x*轴于点*D*，过点*P*作*PG*∥*AB*交*AC*于点*F*，交*x*轴于点*G*．设线段*DG*的长为*d*，求*d*与*m*的函数关系式，并注明*m*的取值范围；
>
> （3）在（2）的条件下，若△*PDG*的面积为，
>
> ①求点*P*的坐标；
>
> ②设*M*为直线*AP*上一动点，连接*OM*交直线*AC*于点*S*，则点*M*在运动过程中，在抛物线上是否存在点*R*，使得△*ARS*为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点*M*及其对应的点*R*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
**2019年湖北省随州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）**
1．（3分）（2019•随州）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
> 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
>
> 【解答】解：﹣3的绝对值为3，
>
> 即\|﹣3\|＝3．
>
> 故选：*A*．
2．（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000*m*，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×10^4^*m* B．63.7×10^5^*m* C．6.37×10^6^*m* D．6.37×10^7^*m*
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，*n*是正数；当原数的绝对值小于1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：6370000*m*，用科学记数法表示正确的是6.37×10^6^*m*，
>
> 故选：*C*．
3．（3分）（2019•随州）如图，直线*l~l~*∥1~2~，直角三角板的直角顶点*C*在直线*l*~1~上，一锐角顶点*B*在直线*l*~2~上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
> 
A．65° B．55° C．45° D．35°
> 【分析】根据余角的定义得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠2．
>
> 【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
>
> ∴∠3＝55°．
>
> 又∵直线*l~l~*∥1~2~，
>
> ∴∠2＝∠3＝55°．
>
> 故选：*B*．
>
> 
4．（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（ ）
A．4*m*﹣*m*＝4 B．（*a*^2^）^3^ ＝*a*^5^
C．（*x*+*y* ）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ D．﹣（*t*﹣1）＝1﹣*t*
> 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、4*m*﹣*m*＝3*m*，故此选项错误；
>
> *B*、（*a*^2^）^3^ ＝*a*^6^，故此选项错误；
>
> *C*、（*x*+*y* ）^2^＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^，故此选项错误；
>
> *D*、﹣（*t*﹣1）＝1﹣*t*，正确．
>
> 故选：*D*．
5．（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
---------- --- --- --- --- ---
投中次数 3 5 6 7 8
人数 1 3 2 2 2
---------- --- --- --- --- ---
> 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
> 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
>
> 【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
>
> 处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6．
>
> 平均数是：（3+15+12+14+16）÷10＝6，
>
> 所以答案为：5、6、6，
>
> 故选：*A*．
6．（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
> 
A．2π B．3π C．4π D．5π
> 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
>
> 【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
>
> 底面积＝π×1^2^＝π，
>
> 侧面积为＝π•3＝3π，
>
> 则这个几何体的表面积＝π+3π＝4π；
>
> 故选：*C*．
7．（3分）（2019•随州）第一次"龟兔赛跑"，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【分析】根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得．
>
> 【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
>
> 故*B*选项正确；
>
> 故选：*B*．
8．（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形*ABCD*中，*E*为*BC*的中点，*BD*，*AE*交于点*O*，若随机向平行四边形*ABCD*内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【分析】随机事件*A*的概率*P*（*A*）＝事件*A*可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
>
> 【解答】解：∵*E*为*BC*的中点，
>
> ∴，
>
> ∴＝，
>
> ∴*S*~△*BOE*~＝*S*~△*AOB*~，*S*~△*AOB*~＝*S*~△*ABD*~，
>
> ∴*S*~△*BOE*~＝*S*~△*ABD*~＝*S*~▱*ABCD*~，
>
> ∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
>
> 故选：*B*．
9．（3分）（2019•随州）"分母有理化"是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设*x*＝﹣，易知＞，故*x*＞0，由*x*^2^＝（﹣）^2^＝3++3﹣﹣2＝2，解得*x*＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
> 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
>
> 【解答】解：设*x*＝﹣，且＞，
>
> ∴*x*＜0，
>
> ∴*x*^2^＝6﹣3﹣2+6+3，
>
> ∴*x*^2^＝12﹣2×3＝6，
>
> ∴*x*＝，
>
> ∵＝5﹣2，
>
> ∴原式＝5﹣2﹣
>
> ＝5﹣3，
>
> 故选：*D*．
10．（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*的图象与*x*轴交于*A*，*B*两点，与*y*轴交于点*C*，*OA*＝*OC*，对称轴为直线*x*＝1，则下列结论：①*abc*＜0；②*a*+*b*+*c*＝0；③*ac*+*b*+1＝0；④2+*c*是关于*x*的一元二次方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0的一个根．其中正确的有（ ）
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
> 【分析】①由抛物线开口方向得*a*＜0，由抛物线的对称轴位置可得*b*＞0，由抛物线与*y*轴的交点位置可得*c*＞0，则可对①进行判断；
>
> ②根据对称轴是直线*x*＝1，可得*b*＝﹣2*a*，代入*a*+*b*+*c*，可对②进行判断；
>
> ③利用*OA*＝*OC*可得到*A*（﹣*c*，0），再把*A*（﹣*c*，0）代入*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*即可对③作出判断；
>
> ④根据抛物线的对称性得到*B*点的坐标，即可对④作出判断．
>
> 【解答】解：∵抛物线开口向下，
>
> ∴*a*＜0，
>
> ∵抛物线的对称轴为直线*x*＝﹣＝1，
>
> ∴*b*＝﹣2*a*＞0，
>
> ∵抛物线与*y*轴的交点在*x*轴上方，
>
> ∴*c*＞0，
>
> ∴*abc*＜0，所以①正确；
>
> ∵*b*＝﹣2*a*，
>
> ∴*a*+*b*＝*a*﹣*a*＝0，
>
> ∵*c*＞0，
>
> ∴*a*+*b*+*c*＞0，所以②错误；
>
> ∵*C*（0，*c*），*OA*＝*OC*，
>
> ∴*A*（﹣*c*，0），
>
> 把*A*（﹣*c*，0）代入*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*得*ac*^2^﹣*bc*+*c*＝0，
>
> ∴*ac*﹣*b*+1＝0，所以③错误；
>
> ∵*A*（﹣*c*，0），对称轴为直线*x*＝1，
>
> ∴*B*（2+*c*，0），
>
> ∴2+*c*是关于*x*的一元二次方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0的一个根，所以④正确；
>
> 故选：*B*．
**二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）**
11．（3分）（2019•随州）计算：（π﹣2019）^0^﹣2cos60°＝[ 0 ]{.underline}．
> 【分析】原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
>
> 【解答】解：原式＝1﹣2×＝1﹣1＝0，
>
> 故答案为：0
12．（3分）（2019•随州）如图，点*A*，*B*，*C*在⊙*O*上，点*C*在优弧上，若∠*OBA*＝
50°，则∠*C*的度数为[ 40° ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠*AOB*的度数，然后根据圆周角定理得到∠*C*的度数．
>
> 【解答】解：∵*OA*＝*OB*，
>
> ∴∠*OAB*＝∠*OBA*＝50°，
>
> ∴∠*AOB*＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
>
> ∴∠*C*＝∠*AOB*＝40°．
>
> 故答案为40°．
13．（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为[ 2 ]{.underline}和[ 9 ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
>
> 【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为*a*，*b*
>
> ∵外圆两直径上的四个数字之和相等
>
> ∴4+6+7+8＝*a*+3+*b*+11①
>
> ∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等
>
> ∴3+6+*b*+7＝*a*+4+11+8②
>
> 联立①②解得：*a*＝2，*b*＝9
>
> ∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
>
> 故答案为：2；9．
14．（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△*ABC*的直角顶点*C*的坐标为 （1，0），点*A*在*x*轴正半轴上，且*AC*＝2．将△*ABC*先绕点*C*逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点*A*的对应点的坐标为[ （﹣2，2） ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点*A*的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
>
> 【解答】解：∵点*C*的坐标为（1，0），*AC*＝2，
>
> ∴点*A*的坐标为（3，0），
>
> 如图所示，将Rt△*ABC*先绕点*C*逆时针旋转90°，
>
> 则点*A*′的坐标为（1，2），
>
> 再向左平移3个单位长度，则变换后点*A*′的对应点坐标为（﹣2，2），
>
> 故答案为：（﹣2，2）．
>
> 
15．（3分）（2019•随州）如图，矩形*OABC*的顶点*A*，*C*分别在*y*轴、*x*轴的正半轴上，*D*为*AB*的中点，反比例函数*y*＝（*k*＞0）的图象经过点*D*，且与*BC*交于点*E*，连接*OD*，*OE*，*DE*，若△*ODE*的面积为3，则*k*的值为[ 4 ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出*B*的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
>
> 【解答】解：∵四边形*OCBA*是矩形，
>
> ∴*AB*＝*OC*，*OA*＝*BC*，
>
> 设*B*点的坐标为（*a*，*b*），则*E*的坐标为*E*（*a*，），
>
> ∵*D*为*AB*的中点，
>
> ∴*D*（*a*，*b*）
>
> ∵*D*、*E*在反比例函数的图象上，
>
> ∴*ab*＝*k*，
>
> ∵*S*~△*ODE*~＝*S*~矩形*OCBA*~﹣*S*~△*AOD*~﹣*S*~△*OCE*~﹣*S*~△*BDE*~＝*ab*﹣*k*﹣*k*﹣•*a*•（*b*﹣）＝3，
>
> ∴*ab*﹣*k*﹣*k*﹣*ab*+*k*＝3，
>
> 解得：*k*＝4，
>
> 故答案为：4．
16．（3分）（2019•随州）如图，已知正方形*ABCD*的边长为*a*，*E*为*CD*边上一点（不与端点重合），将△*ADE*沿*AE*对折至△*AFE*，延长*EF*交边*BC*于点*G*，连接*AG*，*CF*．
> 给出下列判断：
>
> ①∠*EAG*＝45°；
>
> ②若*DE*＝*a*，则*AG*∥*CF*；
>
> ③若*E*为*CD*的中点，则△*GFC*的面积为*a*^2^；
>
> ④若*CF*＝*FG*，则*DE*＝（﹣1）*a*；
>
> ⑤*BG*•*DE*+*AF*•*GE*＝*a*^2^．
>
> 其中正确的是[ ①②④⑤ ]{.underline}．（写出所有正确判断的序号）
>
> 
>
> 【分析】①由折叠得*AD*＝*AF*＝*AB*，再由*HL*定理证明Rt△*ABG*≌Rt△*AFG*便可判定正误；
>
> ②设*BG*＝*GF*＝*x*，由勾股定理可得（*x*+*a*）^2^＝*x*^2^+（*a*）^2^，求得*BG*＝*a*，进而得*GC*＝*GF*，得∠*GFC*＝∠*GCF*，再证明∠*AGB*＝∠*GCF*，便可判断正误；
>
> ③设*BG*＝*GF*＝*y*，则*CG*＝*a*﹣*y*，由勾股定理得*y*的方程求得*BG*，*GF*，*EF*，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△*CGF*的面积，便可判断正误；
>
> ④证明∠*FEC*＝∠*FCE*，得*EF*＝*CF*＝*GF*，进而得*EG*＝2*DE*，*CG*＝*CE*＝*a*﹣*DE*，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；
>
> ⑤设*BG*＝*GF*＝*b*，*DE*＝*EF*＝*c*，则*CG*＝*a*﹣*b*，*CE*＝*a*﹣*c*，由勾股定理得*bc*＝*a*^2^﹣*ab*﹣*ac*，再得△*CEG*的面积为*BG*•*DE*，再由五边形*ABGED*的面积加上△*CEG*的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．
>
> 【解答】解：①∵四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴*AB*＝*BC*＝*AD*＝*a*，
>
> ∵将△*ADE*沿*AE*对折至△*AFE*，
>
> ∴∠*AFE*＝∠*ADE*＝∠*ABG*＝90°，*AF*＝*AD*＝*AB*，*EF*＝*DE*，∠*DAE*＝∠*FAE*，
>
> 在Rt△*ABG*和Rt△*AFG*中，
>
> ∴Rt△*ABG*≌Rt△*AFG*（*HL*），
>
> ∴∠*BAG*＝∠*FAG*，
>
> ∴∠*GAE*＝∠*GAF*+∠*EAF*＝90°＝45°，故①正确；
>
> ②∴*BG*＝*GF*，∠*BGA*＝∠*FGA*，
>
> 设*BG*＝*GF*＝*x*，∵*DE*＝*a*，
>
> ∴*EF*＝*a*，
>
> ∴*CG*＝*a*﹣*x*，
>
> 在Rt△*EGC*中，*EG*＝*x*+*a*，*CE*＝*a*，由勾股定理可得（*x*+*a*）^2^＝*x*^2^+（*a*）^2^，
>
> 解得*x*＝*a*，此时*BG*＝*CG*＝*a*，
>
> ∴*GC*＝*GF*＝*a*，
>
> ∴∠*GFC*＝∠*GCF*，
>
> 且∠*BGF*＝∠*GFC*+∠*GCF*＝2∠*GCF*，
>
> ∴2∠*AGB*＝2∠*GCF*，
>
> ∴∠*AGB*＝∠*GCF*，
>
> ∴*AG*∥*CF*，
>
> ∴②正确；
>
> ③若*E*为*CD*的中点，则*DE*＝*CE*＝*EF*＝，
>
> 设*BG*＝*GF*＝*y*，则*CG*＝*a*﹣*y*，
>
> *CG*^2^+*CE*^2^＝*EG*^2^，
>
> 即，
>
> 解得，*y*＝*a*，
>
> ∴*BG*＝*GF*＝，*CG*＝*a*﹣，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> 故③错误；
>
> ④当*CF*＝*FG*，则∠*FGC*＝∠*FCG*，
>
> ∵∠*FGC*+∠*FEC*＝∠*FCG*+∠*FCE*＝90°，
>
> ∴∠*FEC*＝∠*FCE*，
>
> ∴*EF*＝*CF*＝*GF*，
>
> ∴*BG*＝*GF*＝*EF*＝*DE*，
>
> ∴*EG*＝2*DE*，*CG*＝*CE*＝*a*﹣*DE*，
>
> ∴，即，
>
> ∴*DE*＝（﹣1）*a*，
>
> 故④正确；
>
> ⑤设*BG*＝*GF*＝*b*，*DE*＝*EF*＝*c*，则*CG*＝*a*﹣*b*，*CE*＝*a*﹣*c*，
>
> 由勾股定理得，（*b*+*y*）^2^＝（*a*﹣*b*）^2^+（*a*﹣*c*）^2^，整理得*bc*＝*a*^2^﹣*ab*﹣*ac*，
>
> ∴＝，
>
> 即*S*~△*CEG*~＝*BG*•*DE*，
>
> ∵*S*~△*ABG*~＝*S*~△*AFG*~，*S*~△*AEF*~＝*S*~△*ADE*~，
>
> ∴，
>
> ∵*S*~五边形*ABGED*~+*S*~△*CEG*~＝*S*~正方形*ABCD*~，
>
> ∴*BG*•*DE*+*AF*•*EG*＝*a*^2^，
>
> 故⑤正确．
>
> 故答案为：①②④⑤．
>
> 
**三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）**
17．（5分）（2019•随州）解关于*x*的分式方程：＝．
> 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到*x*的值，经检验即可得到分式方程的解．
>
> 【解答】解：去分母得：27﹣9*x*＝18+6*x*，
>
> 移项合并得：15*x*＝9，
>
> 解得：*x*＝，
>
> 经检验*x*＝是分式方程的解．
18．（7分）（2019•随州）已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（2*k*+1）*x*+*k*^2^+1＝0有两个不相等的实数根*x*~1~，*x*~2~．
> （1）求*k*的取值范围；
>
> （2）若*x*~1~+*x*~2~＝3，求*k*的值及方程的根．
>
> 【分析】（1）由于关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（2*k*+1）*x*+*k*^2^+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；
>
> （2）利用根与系数的关系得出*x*~1~+*x*~2~＝2*k*+1，进而得出关于*k*的方程求出即可．
>
> 【解答】解：（1）∵关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（2*k*+1）*x*+*k*^2^+1＝0有两个不相等的实数根，
>
> ∴△＞0，
>
> ∴（2*k*+1）^2^﹣4（*k*^2^+1）＞0，
>
> 整理得，4*k*﹣3＞0，
>
> 解得：*k*＞，
>
> 故实数*k*的取值范围为*k*＞；
>
> （2）∵方程的两个根分别为*x*~1~，*x*~2~，
>
> ∴*x*~1~+*x*~2~＝2*k*+1＝3，
>
> 解得：*k*＝1，
>
> ∴原方程为*x*^2^﹣3*x*+2＝0，
>
> ∴*x*~1~＝1，*x*~2~＝2．
19．（10分）（2019•随州）"校园安全"越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
> 
>
> （1）接受问卷调查的学生共有[ 60 ]{.underline}人，条形统计图中*m*的值为[ 10 ]{.underline}；
>
> （2）扇形统计图中"了解很少"部分所对应扇形的圆心角的度数为[ 96° ]{.underline}；
>
> （3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到"非常了解"和"基本了解"程度的总人数为[ 1020 ]{.underline}人；
>
> （4）若从对校园安全知识达到"非常了解"程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
>
> 【分析】（1）用"基本了解"的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
>
> （2）用360°乘以扇形统计图中"了解很少"部分所占的比例即可；
>
> （3）用总人数1800乘以达到"非常了解"和"基本了解"程度的人数所占的比例即可；
>
> （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
>
> 【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），*m*＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
>
> 故答案为：60，10；
>
> （2）扇形统计图中"了解很少"部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；
>
> 故答案为：96°；
>
> （3）该学校学生中对校园安全知识达到"非常了解"和"基本了解"程度的总人数为：1800×＝1020（人）；
>
> 故答案为：1020；
>
> （4）由题意列树状图：
>
> 由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
>
> ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
>
> 
20．（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船*A*，*B*同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船*B*在*A*的正北方向，事故渔船*P*在救助船*A*的北偏西30°方向上，在救助船*B*的西南方向上，且事故渔船*P*与救助船*A*相距120海里．
> （1）求收到求救讯息时事故渔船*P*与救助船*B*之间的距离；
>
> （2）若救助船*A*，*B*分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船*P*处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
>
> 
>
> 【分析】（1）作*PC*⊥*AB*于*C*，则∠*PCA*＝∠*PB*＝90°，由题意得：*PA*＝120海里，∠*A*＝30°，∠*BPC*＝45°，由直角三角形的性质得出*PC*＝*PA*＝60海里，△*BCP*是等腰直角三角形，得出*PB*＝*PC*＝60海里即可；
>
> （2）求出救助船*A*、*B*所用的时间，即可得出结论．
>
> 【解答】解：（1）作*PC*⊥*AB*于*C*，如图所示：
>
> 则∠*PCA*＝∠*PB*＝90°，
>
> 由题意得：*PA*＝120海里，∠*A*＝30°，∠*BPC*＝45°，
>
> ∴*PC*＝*PA*＝60海里，△*BCP*是等腰直角三角形，
>
> ∴*BC*＝*PC*＝60海里，*PB*＝*PC*＝60海里；
>
> 答：收到求救讯息时事故渔船*P*与救助船*B*之间的距离为60海里；
>
> （2）∵*PA*＝120海里，*PB*＝60海里，救助船*A*，*B*分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
>
> ∴救助船*A*所用的时间为＝3（小时），救助船*B*所用的时间为＝2（小时），
>
> ∵3＞2，
>
> ∴救助船*B*先到达．
>
> 
21．（9分）（2019•随州）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，以*AB*为直径的⊙*O*分别交*AC*，*BC*于点*D*，*E*，点*F*在*AC*的延长线上，且∠*BAC*＝2∠*CBF*．
> （1）求证：*BF*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若⊙*O*的直径为3，sin∠*CBF*＝，求*BC*和*BF*的长．
>
> 
>
> 【分析】（1）连接*AE*，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠*ABF*＝90°．
>
> （2）解直角三角形即可得到结论．
>
> 【解答】（1）证明：连接*AE*，
>
> ∵*AB*是⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*AEB*＝90°，
>
> ∴∠1+∠2＝90°．
>
> ∵*AB*＝*AC*，
>
> ∴2∠1＝∠*CAB*．
>
> ∵∠*BAC*＝2∠*CBF*，
>
> ∴∠1＝∠*CBF*
>
> ∴∠*CBF*+∠2＝90°
>
> 即∠*ABF*＝90°
>
> ∵*AB*是⊙*O*的直径，
>
> ∴直线*BF*是⊙*O*的切线；
>
> （2）解：过点*C*作*CH*⊥*BF*于*H*．
>
> ∵sin∠*CBF*＝，∠1＝∠*CBF*，
>
> ∴sin∠1＝，
>
> ∵在Rt△*AEB*中，∠*AEB*＝90°，*AB*＝3，
>
> ∴*BE*＝*AB*•sin∠1＝3×＝，
>
> ∵*AB*＝*AC*，∠*AEB*＝90°，
>
> ∴*BC*＝2*BE*＝2，
>
> ∵sin∠*CBF*＝＝，
>
> ∴*CH*＝2，
>
> ∵*CH*∥*AB*，
>
> ∴＝，即＝，
>
> ∴*CF*＝6，
>
> ∴*AF*＝*AC*+*CF*＝9，
>
> ∴*BF*＝＝6．
>
> 
22．（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量*p*（百千克）与销售价格*x*（元/千克）满足函数关系式*p*＝*x*+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量*q*（百千克）与销售价格*x*（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
------------------------- ---- ---- -------- ----
销售价格*x*（元/千克） 2 4 ...... 10
市场需求量*q*（百千克） 12 10 ...... 4
------------------------- ---- ---- -------- ----
> 已知按物价部门规定销售价格*x*不低于2元/千克且不高于10元/千克．
>
> （1）直接写出*q*与*x*的函数关系式，并注明自变量*x*的取值范围；
>
> （2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
>
> ①当每天的半成品食材能全部售出时，求*x*的取值范围；
>
> ②求厂家每天获得的利润*y*（百元）与销售价格*x*的函数关系式；
>
> （3）在（2）的条件下，当*x*为[ ]{.underline}[ ]{.underline}元/千克时，利润*y*有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则*x*应定为[ 5 ]{.underline}元/千克．
>
> 【分析】（1）根据表格数据，可设*q*与*x*的函数关系式为：*q*＝*kx*+*b*，利用待定系数法即可求
>
> （2）①根据题意，当每天的半成品食材能全部售出时，有*p*≤*q*，②根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出厂家每天获得的利润*y*（百元）与销售价格*x*的函数关系式
>
> （3）根据（2）中的条件分情况讨论即可
>
> 【解答】解：
>
> （1）由表格的数据，设*q*与*x*的函数关系式为：*q*＝*kx*+*b*
>
> 根据表格的数据得，解得
>
> 故*q*与*x*的函数关系式为：*q*＝﹣*x*+14，其中2≤*x*≤10
>
> （2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有*p*≤*q*
>
> 即*x*+8≤﹣*x*+14，解得*x*≤4
>
> 又2≤*x*≤10，所以此时2≤*x*≤4
>
> ②由①可知，当2≤*x*≤4时，
>
> *y*＝（*x*﹣2）*p*＝（*x*﹣2）（*x*+8）＝*x*^2^+7*x*﹣16
>
> 当4＜*x*≤10时，*y*＝（*x*﹣2）*q*﹣2（*p*﹣*q*）
>
> ＝（*x*﹣2）（﹣*x*+14）﹣2\[*x*+8﹣（﹣*x*+14）\]
>
> ＝﹣*x*^2^+13*x*﹣16
>
> 即有*y*＝
>
> （3）当2≤*x*≤4时，
>
> *y*＝*x*^2^+7*x*﹣16的对称轴为*x*＝＝＝﹣7
>
> ∴当2≤*x*≤4时，除*x*的增大而增大
>
> ∴*x*＝4时有最大值，*y*＝＝20
>
> 当4＜*x*≤10时
>
> *y*＝﹣*x*^2^+13*x*﹣16＝﹣（*x*﹣）^2^+，
>
> ∵﹣1＜0，＞4
>
> ∴*x*＝时取最大值
>
> 即此时*y*有最大利润
>
> 要使每天的利润不低于24百元，则当2≤*x*≤4时，显然不符合
>
> 故*y*＝﹣（*x*﹣）^2^+≥24，解得*x*≤5
>
> 故当*x*＝5时，能保证不低于24百元
>
> 故答案为：，5
23．（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为*m*，*n*，我们可将这个两位数记为，易知＝10*m*+*n*；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100*a*+10*b*+*c*．
> 【基础训练】
>
> （1）解方程填空：
>
> ①若+＝45，则*x*＝[ 2 ]{.underline}；
>
> ②若﹣＝26，则*y*＝[ 4 ]{.underline}；
>
> ③若+＝，则*t*＝[ 7 ]{.underline}；
>
> 【能力提升】
>
> （2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被[ 11 ]{.underline}整除，﹣一定能被[ 9 ]{.underline}整除，•﹣*mn*一定能被[ 10 ]{.underline}整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
>
> 【探索发现】
>
> （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为"卡普雷卡尔黑洞数"．
>
> ①该"卡普雷卡尔黑洞数"为[ 495 ]{.underline}；
>
> ②设任选的三位数为（不妨设*a*＞*b*＞*c*），试说明其均可产生该黑洞数．
>
> 【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可；
>
> （2）按定义式子展开化简即可；
>
> （3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
>
> ②按定义式子化简，注意条件*a*＞*b*＞*c*的应用，化简到出现循环数495即可．
>
> 【解答】解：（1）①∵＝10*m*+*n*
>
> ∴若+＝45，则10×2+*x*+10*x*+3＝45
>
> ∴*x*＝2
>
> 故答案为：2．
>
> ②若﹣＝26，则10×7+*y*﹣（10*y*+8）＝26
>
> 解得*y*＝4
>
> 故答案为：4．
>
> ③由＝100*a*+10*b*+*c*．及四位数的类似公式得
>
> 若+＝，则100*t*+10×9+3+100×5+10*t*+8＝1000×1+100×3+10*t*+1
>
> ∴100*t*＝700
>
> ∴*t*＝7
>
> 故答案为：7．
>
> （2）∵+＝10*m*+*n*+10*n*+*m*＝11*m*+11*n*＝11（*m*+*n*）
>
> ∴则+一定能被 11整除
>
> ∵﹣＝10*m*+*n*﹣（10*n*+*m*）＝9*m*﹣9*n*＝9（*m*﹣*n*）
>
> ∴﹣一定能被9整除．
>
> ∵•﹣*mn*＝（10*m*+*n*）（10*n*+*m*）﹣*mn*＝100*mn*+10*m*^2^+10*n*^2^+*mn*﹣*mn*＝10（10*mn*+*m*^2^+*n*^2^）
>
> ∴•﹣*mn*一定能被10整除．
>
> 故答案为：11；9；10．
>
> （3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
>
> 972﹣279＝693
>
> 963﹣369＝594
>
> 954﹣459＝495
>
> 954﹣459＝495...
>
> 故答案为：495．
>
> ②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100*a*+10*b*+*c*﹣（100*c*+10*b*+*a*）＝99（*a*﹣*c*），
>
> 结果为99的倍数，由于*a*＞*b*＞*c*，故*a*≥*b*+1≥*c*+2
>
> ∴*a*﹣*c*≥2，又9≥*a*＞*c*≥0，
>
> ∴*a*﹣*c*≤9
>
> ∴*a*﹣*c*＝2，3，4，5，6，7，8，9
>
> ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
>
> 再让这些数字经过运算，分别可以得到：
>
> 981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495...故都可以得到该黑洞数495．
24．（12分）（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点*O*为坐标原点，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*与*y*轴交于点*A*（0，6），与*x*轴交于点*B*（﹣2，0），*C*（6，0）．
> （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
>
> （2）如图2，连接*AB*，*AC*，设点*P*（*m*，*n*）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点*P*作*PD*⊥*AC*于点*E*，交*x*轴于点*D*，过点*P*作*PG*∥*AB*交*AC*于点*F*，交*x*轴于点*G*．设线段*DG*的长为*d*，求*d*与*m*的函数关系式，并注明*m*的取值范围；
>
> （3）在（2）的条件下，若△*PDG*的面积为，
>
> ①求点*P*的坐标；
>
> ②设*M*为直线*AP*上一动点，连接*OM*交直线*AC*于点*S*，则点*M*在运动过程中，在抛物线上是否存在点*R*，使得△*ARS*为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点*M*及其对应的点*R*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
>
> 【分析】（1）已知抛物线与*x*轴交点*B*、*C*，故可设交点式，再把点*A*代入即求得抛物线解析式．用配方法或公式求得对称轴．
>
> （2）过点*P*作*PH*⊥*x*轴于点*H*，由*PD*⊥*AD*于点*E*易证∠*PDH*＝45°，故*DH*＝*PH*＝*n*．由*PG*∥*AB*易证△*PGH*∽△*ABO*，利用对应边成比例可得*GH*＝*n*，把含*m*的式子代入*d*＝*DH*﹣*GH*即得到*d*与*m*的函数关系式，再由点*P*的位置确定2＜*m*＜6．
>
> （3）①用*n*表示*DG*、*PH*，代入*S*~△*PDG*~＝*DG*•*PH*＝，求得*n*的值（舍去负值），再利用*n*＝﹣*m*^2^+2*m*+6解关于*m*的方程即求得点*P*坐标．
>
> ②因为△*ARS*为等腰直角三角形且*AS*与*y*轴夹角为45°，故*AR*与*y*轴夹角为45°或90°．由于不确定△*ARS*哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确定点*R*、*S*的位置，进而求点*R*、*S*坐标，再由*S*的坐标求直线*OM*解析式，把直线*OM*与直线*AP*解析式联立方程组，解得点*M*坐标．
>
> 【解答】解：（1）∵抛物线与*x*轴交于点*B*（﹣2，0），*C*（6，0）
>
> ∴设交点式*y*＝*a*（*x*+2）（*x*﹣6）
>
> ∵抛物线过点*A*（0，6）
>
> ∴﹣12*a*＝6
>
> ∴*a*＝﹣
>
> ∴抛物线解析式为*y*＝﹣（*x*+2）（*x*﹣6）＝﹣*x*^2^+2*x*+6＝﹣（*x*﹣2）^2^+8
>
> ∴抛物线对称轴为直线*x*＝2．
>
> （2）过点*P*作*PH*⊥*x*轴于点*H*，如图1
>
> ∴∠*PHD*＝90°
>
> ∵点*P*（*m*，*n*）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
>
> ∴2＜*m*＜6，*PH*＝*n*＝﹣*m*^2^+2*m*+6，*n*＞0
>
> ∵*OA*＝*OC*＝6，∠*AOC*＝90°
>
> ∴∠*ACO*＝45°
>
> ∵*PD*⊥*AC*于点*E*
>
> ∴∠*CED*＝90°
>
> ∴∠*CDE*＝90°﹣∠*ACO*＝45°
>
> ∴*DH*＝*PH*＝*n*
>
> ∵*PG*∥*AB*
>
> ∴∠*PGH*＝∠*ABO*
>
> ∴△*PGH*∽△*ABO*
>
> ∴
>
> ∴*GH*＝*n*
>
> ∴*d*＝*DH*﹣*GH*＝*n*﹣*n*＝*n*＝（﹣*m*^2^+2*m*+6）＝﹣*m*^2^+*m*+4（2＜*m*＜6）
>
> （3）①∵*S*~△*PDG*~＝*DG*•*PH*＝
>
> ∴*n*•*n*＝
>
> 解得：*n*~1~＝，*n*~2~＝﹣（舍去）
>
> ∴﹣*m*^2^+2*m*+6＝
>
> 解得：*m*~1~＝﹣1（舍去），*m*~2~＝5
>
> ∴点*P*坐标为（5，）
>
> ②在抛物线上存在点*R*，使得△*ARS*为等腰直角三角形．
>
> 设直线*AP*解析式为*y*＝*kx*+6
>
> 把点*P*代入得：5*k*+6＝
>
> ∴*k*＝﹣
>
> ∴直线*AP*：*y*＝﹣*x*+6
>
> *i*）若∠*RAS*＝90°，如图2
>
> ∵直线*AC*解析式为*y*＝﹣*x*+6
>
> ∴直线*AR*解析式为*y*＝*x*+6
>
>  解得：（即点*A*）
>
> ∴*R*（2，8）
>
> ∵∠*ASR*＝∠*OAC*＝45°
>
> ∴*RS*∥*y*轴
>
> ∴*x~S~*＝*x~R~*＝2
>
> ∴*S*（2，4）
>
> ∴直线*OM*：*y*＝2*x*
>
> ∵ 解得：
>
> ∴*M*（，）
>
> *ii*）若∠*ASR*＝90°，如图3
>
> ∴∠*SAR*＝∠*ACO*＝45°
>
> ∴*AR*∥*x*轴
>
> ∴*R*（4，6）
>
> ∵*S*在*AR*的垂直平分线上
>
> ∴*S*（2，4）
>
> ∴*M*（，）
>
> *iii*）若∠*ARS*＝90°，如图4，
>
> ∴∠*SAR*＝∠*ACO*＝45°，*RS*∥*y*轴
>
> ∴*AR*∥*x*轴
>
> ∴*R*（4，6）
>
> ∴*S*（4，2）
>
> ∴直线*OM*：*y*＝*x*
>
> ∵ 解得：
>
> ∴*M*（6，3）
>
> 综上所述，*M*~1~（，），*R*~1~（2，8）；*M*~2~（，），*R*~2~（4，6）；*M*~3~（6，3），*R*~3~（4，6）．
>
> 
>
> 
>
> 
>
> 
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/10 10:06:48；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
| 1 | |
科目：数学（初中）
（试题卷）
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并将准考证号下面相应的信息点用2B铅笔涂黑。
2、考生作答时，选择题和非选择题均须写在答题卡上，在草稿纸和本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：
（1）选择题部分用2B铅笔把对应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。
（2）非选择题部分（包括填写填和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。
（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。
（4）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框的答案无效。
3、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4、本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓 名 [ ]{.underline}  [ ]{.underline}
准考证号 [ ]{.underline}
**\
**机密★启用前
**湖南省张家界市2017年普通初中学业水平考试试卷**
**数 学**
**一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)**
1\. 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2\. 正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省 ，起于重庆市黔江区黔江站，止于常德市武陵区常德站．铁路规划线路总长340公里，工程估算金额37500000000元．将数据37500000000用科学记数法表示为( )
 A．0.375×10^11^ B．3.75×10^11^ C．3.75×10^10^ D．375×10^8^
3\. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，
则∠BOC的度数是 ( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
4\. 下列运算正确的有（ ）
 A． B．
 C．  D．
5\. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
 A．6 B．12 C．18 D．24
6\. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与"美"字所在面相对的面上标的字是（ ）
A．丽 B．张 C．家 D．界
7.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ）
A． B． C． D．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数 的图象可能是（ ）
**A B C D**
**二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）**
9.不等式组 的解集是 [ ]{.underline} .
10．因式分解： [ ]{.underline} .
11. 如图， 的度数是 [ ]{.underline} .
12. 已知一元二次方程 的两根是 [ ]{.underline} .
13.某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：
---------- ---- ---- ---- ---
植树棵数 3 4 5 6
人数 20 15 10 5
---------- ---- ---- ---- ---
那么这50名学生平均每人植树 [ ]{.underline} 棵．
14.如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 [ ]{.underline} .
**三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）**
15. （本小题满分5分）
计算：
16\. （本小题满分5分）
先化简，再从不等式的正整数解中选一个适当的数代入求值．
17\. （本小题满分5分）
如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
18. （本小题满分6分）
某校组织"大手拉小手，义卖献爱心"活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
------------ -------------- --------------
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
------------ -------------- --------------
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
19. （本小题满分6分）
位于张家界核心景区内的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成.如图，在Rt△中，，在Rt中，,且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
20\. （本小题满分6分）
阅读理解题：\[来源:学科网ZXXK\]\[来源:学科网ZXXK\]
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部.它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：；
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
(2)计算：；
(3)计算：．
21\. （本小题满分7分）
在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积.
22．（本小题满分8分）
为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行"亲近大自然"户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为"你最想去的景点是？"的问卷调查，要求学生必须从"*A*（洪家关），*B*（天门山），*C*（大峡谷），*D*（黄龙洞）"四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)本次调查的学生人数为 [ ]{.underline} ；
(2)在扇形统计图中，"天门山"部分所占圆心角的度数为 [ ]{.underline} ；
(3)请将两个统计图补充完整；
(4)若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为 [ ]{.underline} .
23．（本小题满分10分）
已知抛物线的顶点为，与轴的交点为
(1)求的解析式；
(2)若直线仅有唯一的交点，求的值；
(3)若抛物线 关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作试结合图形回答：当为何值时，共有：①两个交点；② 三个交点；③四个交点；
(4)若轴正半轴交点记作，试在轴上求点，使△为等腰三角形．
**湖南省张家界市2017年普通****初中学业水平考试试卷**
**数学参考答案**
**一、选择题**（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B 2. C 3. D 4. B 5. B 6. C 7. A 8. D
**二、填空题**（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9\. x≥1 10. x(x+1)(x-1)
11\. 55° 12. 17 13. 4 14.  
**三、解答题**（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）
15.解：原式=...........................4分
=2...........................5分
（说明：第一步计算每对一项得1分）
16.解：原式=...........................2分
解不等式.........3分
其正整数解为1，2，3，...........................4分
当时，原式=．...........................5分
17\. 证明：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠EAG=∠FBG，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AG=BG,
在△AGE和△BGF中，\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
∵
∴△AGE≌△BGF（ASA），...........................3分
（其它方法参照给分）
\(2\) 四边形AFBE是菱形．.............................4分
理由：由（1）得：△AGE≌△BGF
∴AE=BF,
又AE∥BF，
∴四边形AFBE是平行四边形，\[来源:学科网\]
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF,
∴平行四边形AFBE是菱形．...........................5分
（其它方法参照给分）
18\.
解：设购买黑色文化衫x件，白色文化衫y件，根据题意得：...........................1分
解这个二元一次方程组得：
...........................5分
答：购买黑色文化衫60件，白色文化衫80件. ...........................6分
19.解：在*Rt*△*DBC*中，∵∠DBC=45°, ∴*BC*=*DC*=2.3米，...........................2分
在*Rt*△*ABC*中，*AC*=*BC*•米，...........................4分
则*AD*=*AC*﹣*DC*=6.50﹣2.34.2(米)，...........................5分
答：像体*AD*的高度大约为4.2米．...........................6分
20.解：（1）-i，1；...........................2分
（2）原式=3-4i+3i-4i^2^
=3-i+4\[来源:学科网\]
=7-i...........................4分
（3）原式=i+（-1）+（-i）+1+...+i
= i...........................6分
21.解：⑴连接OD，CD，...........................1分
∵BC是⊙O的直径
∴∠BDC=90°即CD⊥AB
∵AC=BC
∴CD平分AB，即点D是AB的中点
又∵点O是BC的中点
∴OD∥AC .....................3分
又∵DF⊥AC
∴DF⊥OD
又∵OD是⊙O的半径
∴DF是⊙O的切线 .....................4分
（2）∠A=60^0^，AC=BC
∴∠OBD=∠A=60^0^
∵OD=OB
∴△BOD为等边三角形
∴∠BOD=60^0^
∵⊙O的半径为6
∴OD=6
∵DF是⊙O的切线
∴∠ODG=90^0^
∴tan60^0^=
即：DG=tan60^0^·OD=...........................5分
∴S~阴影~=S~△ODG~-S~扇形BOD~
=
=
=...........................7分
（其它方法参照给分）
22.解：（1）120人； （2）198°； （3）如下图所示； （4）500人
（每小题2分）
23.解：（1）∵抛物线的顶点为A(-1,4)
∴设的解析式为：
∵抛物线与y轴的交点为D（0,3）
∴3=a+4
即;a=-1
∴
即：...........................2分
(2)∵直线l~1~：y=x+m与仅有唯一的交点
∴
∵△=0
∴
...........................4分
(3)①当n=4时，l~2~与c~1~ 和c~2~有两个交点； ...........................5分
②当n=3时，l ~2~与c~1~和c~2~有三个交点；...........................6分
③当时，l ~2~与c~1~和c~2~有四个交点；...........................7分
⑷∵抛物线c~1~ 关于y轴对称的抛物线记作c~2~
∴c~2~：
∵c~2~与x轴正半轴交点记作B
∴点B（3,0）........................8分
∵点A（-1,4）
∴...........................8分
1. 当PB=AB时，点P或；.....................9分
2. 当PA=AB时，点P（-5,0）；
3. 当PA=PB时，点P（-1,0）......................10分
综上所述，当点P为或或（-5,0）或（-1,0）时，△PAB为等腰三角形。
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试（物理部分）**
**（**福建、安徽、湖北等**）**
二、 选择题（本题共8小题。在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确。，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
14．如图所示，一物体自倾角为*θ*的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角*φ*满足
A.tan*φ*=sin*θ*
B. tan*φ*=cos*θ*
C. tan*φ*=tan*θ*
D. tan*φ*=2tan*θ*
15.如图，一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连，设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态，若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是
A.向右做加速运动
B.向右做减速运动
C.向左做加速运动
D.向左做减速运动
16.一列简谐横波沿x轴传播，周期为T·t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于*x*=3 m处的质点正在向上运动，若*a、b*两质点平衡位置的坐标分别为*x*~a~=2.5 m, *x*=5.5 m,则
A.当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷
B.t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动
C.t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动
D.在某一时刻，*a*、*b*两质点的位移和速度可能相同
17.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
A.0.2 B.2 C.20 D.200
18.三个原子核X、Y、Z，X核放出一个正电子后变为Y核，Y核与质子发生核反应后生成Z核并放出一个个氦（^4^~2~He）,则下面说法正确的是
A.X核比Z核多一个原子
B.X核比Z核少一个中子
C.X核的质量数比Z核质量数大3
D.X核与Z核的总电荷是Y核电荷的2倍
19.已知地球半径约为6.4×10^6^ m，空气的摩尔质量约为29×10^-3^ kg/mol,一个标准大气压约为1.0×10^5^ Pa.利用以上数据可估算出地球表面大气在标准状况下的体积为[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
A.4×10^16^ m^3^ B.4×10^18^ m^3^
C. 4×10^30^ m^3^ D. 4×10^22^ m^3^
20.矩形导线框*abcd*固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直低面向里，磁感应强度*B*随时间变化的规律如图所示.若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是
21.一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角*θ*射入，穿过玻璃砖自下表射出.已知该玻璃对红光的折射率为1.5.设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t~1~和t~2~，则在*θ*从0°逐渐增大至90°的过程中
A.*t*~1~始终大于*t*~2~ B.t~1~始终小于t~2~
C.*t*~1~先大于后小于*t*~2~ D.t~1~先小于后大于t~2~
非选择题 共10大题，共174分
22.（18分）
Ⅰ.（6分）如图所示，两个质量各为m~1~和m~2~的小物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端，已知*m*~1~＞*m*~2~，现要利用此装置验证机械能守恒定律.
（1）若选定物块A从静止开始下落的过程进行测量，则需要测量的物理量有 [ ]{.underline} （在答题卡上对应区域填入选项前的编号）
①物块的质量*m*~1~、*m*~2；~
②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间；
③物块B上升的距离及上升这段距离所用的时间；
④绳子的长度. [易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
（2）为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议：
①绳的质量要轻：
②在"轻质绳"的前提下，绳子越长越好；
③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；
④两个物块的质量之差要尽可能小.
以上建议中确实对提高准确程度有作用的是 [ ]{.underline} 。（在答题卡上对应区域填入选项前的编号）
（3）写出一条上面没有提到的提高实验结果准确程度有益的建议： [ ]{.underline}
[ ]{.underline} .
Ⅱ.（12分）一直流电压表，量程为1 V，内阻为1 000Ω,现将一阻值为5000\~7000Ω之间的固定电阻R~1~与此电压表串联，以扩大电压表的量程.为求得扩大后量程的准确值，再给定一直流电源（电动势E为6\~7 V，内阻可忽略不计），一阻值R~2~=2000Ω的固定电阻，两个单刀开关S~1~、S~2~及若干线
（1）为达到上述目的，将答题卡上对应的图连成一个完整的实验电路图.
（2）连线完成以后，当S~1~与S~2~均闭合时，电压表的示数为0.90 V；当S~1~闭合，S~2~断开时，电压表的示数为0.70 V，由此可以计算出改装后电压表的量程为 [ ]{.underline} V，电源电动势为
[ ]{.underline} V.
23.（14分）
已知*O*、*A*、*B*、*C*为同一直线上的四点、*AB*间的距离为*l*~1~,*BC*间的距离为*l*~2~,一物体自*O*点由静止出发，沿此直线做匀速运动，依次经过*A*、*B*、*C*三点，已知物体通过*AB*段与*BC*段所用的时间相等。求*O*与*A*的距离.
24.（18分）
图中滑块和小球的质量均为*m*，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点*O*由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为*l*~1~开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角*θ*＝60°时小球达到最高点。求
（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。
25.（22分）
如图所示，在坐标系*xoy*中，过原点的直线*OC*与*x*轴正向的夹角*φ*=120°,在*OC*右侧有一匀强电场：在第二、三象限内有一心强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为*y*轴、左边界为图中平行于*y*轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为*B*，方向垂直抵面向里。一带正电荷*q*、质量为*m*的粒子以某一速度自磁场左边界上的*A*点射入磁场区域，并从*O*点射出，粒子射出磁场的速度方向与*x*轴的夹角*θ*＝30°，大小为*v*，粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由*O*点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从*A*点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求
（1）粒子经过*A*点时速度的方向和*A*点到*x*轴的距离；
（2）匀强电场的大小和方向；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。
**答案：**
二、选择题：全部选对的给6分．选对但不全的给 3 分，有选错的给0分。
14、D 15、AD 16、C 17、B 18、CD 19、B 20、D 21、B
22（18分）
Ⅰ(6分)
（1）①②或①③
（2）①③
（3）例如："对同一高度进行多次测量取平均值"；"选取受力后相对伸长尽量小的绳"；等等。
Ⅱ（12分）
（1） 连线如图
（2） 7 6.3
23（14分）
设物体的加速度为*a*，到达A点的速度为*v*~0~,通过AB段和BC段所用的时间为t，则有：
*l*~1~*=v~0~t+at^2^/2* .............................................①
*l*~1~*+l*~2~*=2v~0~t+2at^2^*..........................................②
联立①②式得：
*l~2~－l~1~*=*at^2^...................................................*③
*3l~1~－l~2~=2v~0~t................................................*④
设Ｏ与Ａ的距离为*l,*则有：
*l=v~0~^2^/2a* ...................................................⑤
联立③④⑤式得：
*l=(3l~1~－l~2~)^2^/8(l~1~－l~2~)*
24(18分)
（１）小球第一次到达最低点时，滑快和小球的速度分别为*v*~1~和*v* ~2~，由机械能守恒定律得：
> *mv~1~^2^/2+mv~2~^2^/2=mgl*....................................①
>
> 小球由最低点向左摆动到最高点，由机械能守恒定律得：
>
> *mv~2~^2^/2=mgl（1－cos60^0^）*...........................②
>
> 联立①②两式得：
>
> *v~1~=v~2~=(gl)*^1/2^.............................................③
>
> 设所求的挡板阻力对滑块的冲量为Ｉ，规定动量方向向右为正，有：
>
> Ｉ=0－m*v*~1~
>
> 解得：I=－m*(gl)*^1/2^....................................④
（２）小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳对小球的拉力做的功为Ｗ，由动能定理得：*mgl+W=mv~2~^2^/2....................................*⑤
联立③⑤得：W=*－mgl/2*
小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，绳对小球的拉力做的功大小为*mgl/2*
25（22分）
（1）设磁场左边界与*x*轴相交子D点，与CO相交于O'点，由几何关系可知，直线OO'与粒子过O点的速度*v*垂直。在直角三角形 OO'D中已知∠OO'D =30^0^设磁场左右边界间距为d，则OO'=2d。依题意可知，粒子第一次进人磁场的运动轨迹的圆心即为O'点，圆弧轨迹所对的圈心角为30^0^ ，且OO'为圆弧的半径R。
由此可知，粒子自A点射人磁场的速度与左边界垂直。
A 点到*x*轴的距离：AD=R(1－cos30^0^)....................................①
由洛仑兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律，得：
*qvB=mv^2^/R*.............................................②
联立①②式得：AD=m*v*(1-/2)/qB.......................................③
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T第一次在磁场中飞行的时间为 t~1~，有：
t~1~=T/12................................................④
*T=2πm/qB*.............................................⑤
依题意．匀强电场的方向与*x*轴正向夹角应为150^0^。由几何关系可知，粒子再次从O点进人磁场的速度方向与磁场右边界夹角为60^0^。设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为O''，O''必定在直线OC 上。设粒子射出磁场时与磁场右边界文于P点，则∠OO''P =120^0^．设粒子第二次进人磁场在磁场中运动的时问为t~2~有：
t~2~=T/3................................................⑥
设带电粒子在电场中运动的时间为 t ~3~，依题意得：
t~3~=T－(t~1~+t~2~).......................................⑦
由匀变速运动的规律和牛顿定律可知：
*―v=v―at~3~*..........................................⑧
*a=qE/m* .............................................⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得：
E=12B*v*/7*π*..........................................⑩
粒子自P点射出后将沿直线运动。
设其由P点再次进人电场，由几何关系知：∠O''P'P =30^0^......⑾
消
三角形OPP'为等腰三角形。设粒子在P、P'两点间运动的时问为t~4~，有：
t~4~=PP'/*v*.............................................⑿
又由几何关系知：OP=R.............................................⒀
联立②⑿⒀式得：t~4~=m/qB
| 1 | |
**《搭一搭（一）》同步练习**
> **一、先求商，再按要求把算式填在方框里。**
>
> 26÷3 72÷8 27÷6 37÷5
>
> 30÷9 33÷6 27÷5 49÷7
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> **二、填空。**
>
> **1.**
>
> 
>
> （ ）÷（ ）＝ \_\_\_\_\_\_（束）......\_\_\_\_\_\_ （朵）
>
> （ ）÷（ ）＝ \_\_\_\_\_\_（朵）......\_\_\_\_\_\_ （朵）
>
> 2\. 填空。
>
> 
>
> （1）11÷2＝\_\_\_\_\_（个）......\_\_\_\_\_\_（个）
>
> （2）11÷4＝\_\_ [ ]{.underline} \_\_（盘）......\_\_\_\_\_\_（个）
>
> 3\. 填空。
>
> 
>
> 4\. 填空。
>
> 
>
> 10÷（ ）＝\_\_\_\_\_（个）......\_\_\_\_\_\_ （个）
>
> 10÷（ ）＝\_\_\_\_\_\_（盘）......\_\_\_\_\_\_ （个）
>
> 5\. 填空。
>
> 
>
> （1）13个○，每5个一份，可以分成（ ）份，还剩（ ）个。
>
> （2）13个○，平均分成6份，每份（ ）个，还剩（ ）个。
>
> **三、看图计算。**
>
> 
>
> 23÷3＝\_\_\_\_\_\_ （个）......\_\_\_\_\_\_ （个）
>
> 23÷7＝\_\_\_\_\_\_ （盘）......\_\_\_\_\_\_ （个）
>
> **四、看图填空。\[来源:Z\_xx\_k.Com\]**
>
> 1. ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○
>
> 14÷3＝\_\_\_\_\_\_ （堆）......\_\_\_\_\_\_ （个）；
>
> 14÷4＝\_\_\_\_\_\_ （个）......\_\_\_\_\_\_ （个）
>
> 2\.
>
> △△△△ △△△△ △
>
> 9÷2＝\_\_\_（个）......\_\_\_（个）；9÷4＝\_\_\_（份）......\_\_\_\_（个）
>
> 五． 把竖式写完整。
>
> 
>
> 六.
>
> 
>
> **参考答案：**
>
> **一、先求商，再按要求把算式填在方框里。**
>
> 商没有余数 72÷8 49÷7
>
> 商有余数2 27÷5 37÷5 26÷3
>
> 商有余数3 33÷6 27÷6 30÷9
>
> **二、填空。**
>
> **1.**
>
> 
>
> （17 ）÷（ 4 ）＝ \_\_4\_\_\_\_（束）......\_\_1\_\_\_\_ （朵）
>
> （17 ）÷（4）＝ \_\_\_4\_\_\_（朵）......\_\_\_1\_\_\_ （朵）
>
> 2\. 填空。
>
> 
>
> （1）11÷2＝\_\_5\_\_\_（个）......\_\_\_\_1\_\_（个）
>
> （2）11÷4＝\_\_2 [ ]{.underline} \_\_（盘）......\_\_\_3\_\_\_（个）
>
> 3\. 填空。
>
> 被6除没有余数的 12 30 48 24 18
>
> 被8除没有余数的 48 56 40 24
4\. 填空。\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
> 
>
> 10÷（ 3 ）＝\_\_3\_\_\_（个）......\_\_\_1\_\_\_ （个）
>
> 10÷（ 3 ）＝\_\_\_\_3\_\_（盘）......\_\_1\_\_\_\_ （个）
>
> 5\. 填空。
>
> 
>
> （1）13个○，每5个一份，可以分成（ 2 ）份，还剩（ 3 ）个。
>
> （2）13个○，平均分成6份，每份（ 2 ）个，还剩（ 1 ）个。
>
> **三、看图计算。**
>
> 
>
> 23÷3＝\_\_\_7\_\_\_ （个）......\_\_\_2\_\_\_ （个）\[来源:学&科&网\]
>
> 23÷7＝\_\_\_3\_\_\_ （盘）......\_\_\_2\_\_\_ （个）
>
> **四、看图填空。**
>
> 1. ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○
>
> 14÷3＝\_\_\_4\_\_\_ （堆）......\_\_\_2\_\_\_ （个）；
>
> 14÷4＝\_\_\_3\_\_\_ （个）......\_\_\_2\_\_\_ （个）
>
> 2\. \[来源:学§科§网\]
>
> △△△△ △△△△ △
>
> 9÷2＝\_4\_\_（个）......\_1\_\_（个）；9÷4＝\_\_2\_（份）......\_\_1\_\_（个）
>
> 五． 把竖式写完整。
>
> 8 6 7 3
>
> 
>
> 六.
>
> 被5除没有余数 20 25 40 15
>
> 被8除没有余数 32 40
>
> 被8除被5除都没有余数 40
>
>
| 1 | |
**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
2.若，则（ ）
A. 0 B. 1
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据将化简，再根据向量模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以．
故选：C．
【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，利用得到关于方程，解方程即可得到答案.
详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
4.设*O*为正方形*ABCD*的中心，在*O*，*A*，*B*，*C*，*D*中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从5个点中任取3个有
共种不同取法，
3点共线只有与共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为.
故选：A
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线和圆心与点连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
7.设函数在的图像大致如下图，则*f*(*x*)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到，即，进而求得，得到结果.
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
9.执行下面的程序框图，则输出的*n*=（ ）
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的算法功能可知，要计算满足的最小正奇数，根据等差数列求和公式即可求出．
【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的是满足的最小正奇数，
因为，解得，
所以输出的．
故选：C.
【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题．
10.设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
11.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由是以*P*为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以*P*为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
12.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，
由正弦定理可得，
，根据圆截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中*z*取得最大值时，其几何意义表示直线系在*y*轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点*A*处取得最大值，
联立直线方程：，可得点*A*的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数*z*＝*ax*＋*by*(*ab*≠0)的最值，当*b*＞0时，直线过可行域且在*y*轴上截距最大时，*z*值最大，在*y*轴截距最小时，*z*值最小；当*b*＜0时，直线过可行域且在*y*轴上截距最大时，*z*值最小，在*y*轴上截距最小时，*z*值最大.
14.设向量，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
15.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16.数列满足，前16项和为540，则 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.
【详解】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列前项和为，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为*A，B，C，D*四个等级.加工业务约定：对于*A*级品、*B*级品、*C*级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
------ ----- ----- ----- -----
等级 *A* *B* *C* *D*
频数 40 20 20 20
------ ----- ----- ----- -----
乙分厂产品等级的频数分布表
------ ----- ----- ----- -----
等级 *A* *B* *C* *D*
频数 28 17 34 21
------ ----- ----- ----- -----
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
18.的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知*B*=150°.
（1）若*a*=*c*，*b*=2，求的面积；
（2）若sin*A*+sin*C*=，求*C*.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，
.
【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠*APC*=90°．
（1）证明：平面*PAB*⊥平面*PAC*；
（2）设*DO*=，圆锥的侧面积为，求三棱锥*P*−*ABC*的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得，进而有，可得
，即，从而证得平面，即可证得结论；
（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.
【详解】（1）为圆锥顶点，为底面圆心，平面，
在上，，
是圆内接正三角形，，，
，即，
平面平面，平面平面；
（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，
，解得，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱锥的体积为.
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.
20.已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
21.已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）的左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．*
（1）求*E*的方程；
（2）证明：直线*CD*过定点.
【答案】（1）；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.
（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，即可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
故直线过定点
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，，曲线的参数方程化为为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.
【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或（舍去），
，公共点的直角坐标为.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；
（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．
【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．
所以不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
> 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。
试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2501596199190528)
组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。
学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
| 1 | |
**高考数学选择题专项训练（九）**
1、如果(1＋x)^3^＋(1＋x)^4^＋(1＋x)^5^＋......＋(1＋x)^50^＝a~0~＋a~1~x＋a~2~x^2^＋......＋a~50~x^50^，那么a~3~等于（ ）。
（A）2 （B） （C） （D）
2、2^99^除以9的余数是（ ）。
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）8
3、化简的结果是（ ） 。
（A）－tanx （B）tan （C）tan2x （D）cotx
4、如果函数y＝f (x)的图象关于坐标原点对称，那么它必适合关系式（ ）。
（A）f (x)＋f (－x)＝0 （B）f (x)－f (－x)＝0
（C）f (x)＋f －1(x)＝0 （D）f (x)－f －1(x)＝0
5、画在同一坐标系内的曲线y＝sinx与y＝cosx的交点坐标是（ ）。
（A）(2nπ＋, 1), n∈Z （B）(nπ＋, (－1)n), n∈Z
（C）(nπ＋, ), n∈Z （D）(nπ, 1), n∈Z
6、若sinα＋cosα＝，则tanα＋cotα的值是（ ）。
（A）1 （B）2 （C）－1 （D）－2
7、下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ）。
（A）f (x)＝ （B）f (x)＝
（C）f (x)＝cos^2^－sin^2^ （D）f (x)＝2sin^2^ (x－)
8、在△ABC中，sinBsinC＝cos2，则此三角形是（ ）。
（A）等边三角形 （B）三边不等的三角形
（C）等腰三角形 （D）以上答案都不对
9、下列各命题中，正确的是（ ）。
（A）若直线a, b异面，b, c异面，则a, c异面
（B）若直线a, b异面，a, c异面，则b, c异面
（C）若直线a//平面α，直线b平面α，则a//b
（D）既不相交，又不平行的两条直线是异面直线
10、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有（ ）。
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）6个
11、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是（ ）。
（A）两条线段同时与平面垂直 （B）两条线段互相平行
（C）两条线段相交 （D）两条线段与平面所成的角相等
12、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧棱与底面所成的角θ应属于下列区间（ ）。
（A）(0, ) （B）(, ) （C）(, ) （D）(, )
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **C** **D** **A** **A** **C** **B** **D** **C** **D** **C** **D** **C**
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
| 1 | |
**2018年山东省枣庄市中考数学试卷(解析版)**
**一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分**
1．（3分）的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．
【解答】解：的倒数是﹣2．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a^5^+a^5^=a^10^ B．a^3^÷a^﹣1^=a^2^ C．a•2a^2^=2a^4^ D．（﹣a^2^）^3^=﹣a^6^
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：a^5^+a^5^=2a^5^，A错误；
a^3^÷a^﹣1^=a^3﹣（﹣1）^=a^4^，B错误；
a•2a^2^=2a^3^，C错误；
（﹣a^2^）^3^=﹣a^6^，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．\|a\|＞\|b\| B．\|ac\|=ac C．b＜d D．c+d＞0
【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．
【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、\|a\|＞\|b\|，故选项正确；
B、a、c异号，则\|ac\|=﹣ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边的数．
5．（3分）如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．7
【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得．
【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：
解得：，
∴y=x+1，
将点A（3，m）代入，得：+1=m，
即m=，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有
3a﹣2b+2b×2
=3a﹣2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
9．（3分）如图是二次函数y=ax^2^+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b^2^＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b^2^﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b^2^﹣4ac＞0，即b^2^＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b^2^﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b^2^﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b^2^﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
10．（3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE===；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴=，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴=，
∵FC=FG，
∴=，
解得：FC=，
即CE的长为．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
**二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分**
13．（4分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
【解答】解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b=7，
则a﹣b=，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
14．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为[ 6.18 ]{.underline}米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米．
故答案为：6.18．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
15．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为[ 1 ]{.underline}．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
\[来源:学科网\]
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为[ 9﹣5]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据旋转的思想得PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，
∴∠ABP=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AB=2，
∵AD=2，
∴AE=4，DE=2，
∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，
过P作PF⊥CD于F，
∴PF=PE=2﹣3，
∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9﹣5，
故答案为：9﹣5．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是[ 12 ]{.underline}．
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，\[来源:学\#科\#网\]
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为：×4×6=12
故答案为：12
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．
18．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
...
则2018在第[ 45 ]{.underline}行．
【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n^2^，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵44^2^=1936，45^2^=2025，
∴2018在第45行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
**三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时****，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤**
19．（8分）计算：\|﹣2\|+sin60°﹣﹣（﹣1）^2^+2^﹣2^
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式=2﹣+﹣3﹣+
=﹣．
【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．\[来源:学科网ZXXK\]
20．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；\[来源:Zxxk.Com\]
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；
（2）根据轴对称的性质即可作出图形；
（3）根据旋转的性质即可求出图形．
【解答】解：（1）如图所示，
△DCE为所求作
（2）如图所示，
△ACD为所求作
（3）如图所示
△ECD为所求作
【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型．
21．（8分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当﹣=﹣2x+12时，解得
x~1~=10，x~2~=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S~△CDE~=S~△CDA~+S~△EDA~=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
22．（8分）现今"微信运动"被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日"微信运动"中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
---------------- ------ ------
步数 频数 频率
0≤x＜4000 8 a
4000≤x＜8000 15 0.3
8000≤x＜12000 12 b
12000≤x＜16000 c 0.2
16000≤x＜20000 3 0.06
20000≤x＜24000 d 0.04
---------------- ------ ------
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，
补全频数分布直方图如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；
（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，
20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为=．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴，∴；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．
24．（10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF^2^=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG^2^=GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF^2^=FO•AF．
∵FO=GF，DF=EG，
∴EG^2^=GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG^2^=GF•AF，AG=6，EG=2，
∴20=FG（FG+6），整理得：FG^2^+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2，AF=10，
∴AD==4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即=．
∴GH=．
∴BE=AD﹣GH=4﹣=．\[来源:Zxxk.Com\]
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF^2^=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
25．（10分）如图1，已知二次函数y=ax^2^+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax^2^+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB^2^=20，AC^2^=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S~△AMN~=S~△ABN~﹣S~△BMN~
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax^2^+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x^2^+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x^2^+x+4=0，
解得x~1~=8，x~2~=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB^2^=BO^2^+AO^2^=2^2^+4^2^=20，
在Rt△AOC中AC^2^=AO^2^+CO^2^=4^2^+8^2^=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB^2^+AC^2^=20+80=10^2^=BC^2^
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴=，
∵MN∥AC
∴=，
∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=（n+2），
∵S~△AMN~=S~△ABN~﹣S~△BMN~
=BN•OA﹣BN•MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）^2^
=﹣（n﹣3）^2^+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）
| 1 | |
**数学**
**卷Ⅰ（选择题）**
**一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）**
1．-5的相反数是（ ）
A． B．5 C． D．-5
2．研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源．在我国某海域已探明的可燃冰储存量达150 000 000 000 立方米，其中数字150 000 000 000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
-------------- ------ ------ ------ ------
甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.14 9.15 9.14 9.15
方差 6.6 6.8 6.7 6.6
-------------- ------ ------ ------ ------
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C． 丙 D．丁
6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
7．均匀向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C．  D．
8．在探索"尺规三等分角"这个数学名题的过程中，曾利用了右图，该图中，四边形是矩形，是延长线上一点，是上一点，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．矩形的两条对称轴为坐标轴，点的坐标为，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点重合，此时抛物线的函数表达式为，再次平移透明纸，使这个点与点重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A． B．
C． D．
10．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线翻转，再将它按逆时针方向旋转，所得的竹条编织物是（ ）
A． B． C．  D．
**第Ⅱ卷（非选择题）**
**二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）**
11．分解因式： [ ]{.underline} ．
12．如图，一块含角的直角三角板，它的一个锐角顶点在上，边分别与交于点．则的度数为 [ ]{.underline} ．
13．如图，的两个锐角顶点在函数的图象上，轴，．若点的坐标为，则点的坐标为 [ ]{.underline} ．
14．如图为某城市部分街道示意图，四边形为正方形，点在对角线上，，，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为，则小聪行走的路程为 [ ]{.underline} ．
15．以的锐角顶点为圆心，适当长为半径作弧，与边各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点作直线，与边交于点．若，点到的距离为2，则的长为 [ ]{.underline} ．
16．如图，，点在边上，，，点是边上的点．若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）**
17．（1）计算：．
（2）解不等式：．
18．某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费（元）是用水量（立方米）的函数，其图象如图所示．
（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
（2）求当时，关于的函数表达式．若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
19．为了解本校七年级同学在双休日参加体育锻炼的时间，课题小组进行了问卷调查（问卷调查表如下图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题．
（1）本次接受问卷调查的同学有多少人？补全条形统计图．
（2）本校有七年级同学800人，估计双休日参加体育锻炼时间在3小时以内（不含3小时）的人数．
20．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口测得教学楼顶部的仰角为，教学楼底部的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．
（1）求的度数．
（2）求教学楼的高．
（结果精确到，参考数据：）
21．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为．设饲养室长为，占地面积为．
（1）如图1，问饲养室长为多少时，占地面积最大?
（2）如图2，现要求在图中所示位置留宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说："只要饲养室长比（1）中的长多就行了．"
请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
22．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形，．
①若，求对角线的长．②若，求证：．
（2）如图2，在矩形中，，点是对角线上一点，且，过点作直线分别交边于点，使四边形是等腰直角四边形．求的长．
23．已知为直线上一点，为直线上一点，，设，．
（1）如图，若点在线段上，点在线段上．
①如果，，那么\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_． ②求之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
24．如图1，已知轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是边上的一个动点．
（1）若点在边上，，求点的坐标．
（2）若点在边上，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标．
（3）若点在边上，点是与轴的交点，如图2，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，求点的坐标（直接写出答案）．
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）**
语文试题卷
语文试题卷共8页。考试时间150分钟。第1至10题为选择题，30分；第11至22题为非选择题，120分。满分150分。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准许考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答第1至10题时，必须使用28B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答案11至22题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
1.下列各组词语中加点字的读音，有错误的一组是（ ）
A.对峙zhì 犒劳kào 追本溯源sù 蓦然回首mò
B.侥幸jiào 浇水jiāo 不屈不挠náo 骁勇善战xiāo
C.监察chá 趁机chèn 披荆斩棘jīng 脸色刷白shuà
D.刹那chà 切磋qiè 正当防卫dāng 姗姗来迟shān
2.下列各组词语中，有两个错别字的一组是（ ）
A.朝廷 调济 贸然行事 瞑顽不化
B.惦量 修炼 生灵涂炭 不假思索
C.斑斓 法碣 如法炮制 严惩不贷
D.松驰 困扰 歪门邪道 砰然心动
3.下列各选项中，加点的词语使用恰当的一项是（ ）
A. 英勇而机智的荆轲策划了一个有始有终的行动方案，为了吸引秦王赢政上钩 必须砍下樊於期的头颅，作为看见时奉献的礼品。
B. 有关部门整锐房地产市场，那些八字还没一撇就热热闹闹售房的开发商，终于会到了自己酿造苦酒。
C. 文化领袖的形成，不只需要本人的天赋和努力，还需要一个让公众认同的过程。任凭一两件事，不足积累起文化领袖所需的声望。
D. 漫步万盛石林景区，石林、溶洞、飞瀑显露出鬼斧神工的魅力，浓郁淳相的苗家风情及丰姿绰约的民族歌舞增添了人文情趣。
4.下列各选项中，没有语病的一项是（ ）
A. 当冰雪皑皑之际，唯独梅花昂然绽放于枝头，对生命充满希望和自信，教人精神为之一振。
B. B.那跳跃着鸣禽的绿林，树上缠绕着藤蔓的绿叶，以及时隐时现的山岚雾霭，把我整个心灵都吸引了过去。
C. 坐火车到威尔士北部最高的斯诺登尼亚山峰去观赏高原风光，是威尔士最主要的一个景点。
D. 1984年12月26日，中国首次南极考察队抵达南极洲。12月31日，南极洲上第一次飘起了王星红旗。
二、（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
阅读下文，完成第5～7题。
什么是人体生物钟？科学家研究证实，每个人从他诞生之晶直至生命终结，体内都存在着多种自然节律，如体力、智力、精绪、血压等的变化，人们将这些自然节律称作生物节律或生命节律。人体内还存在一种决定人们睡眠和觉醒的生物节律，它根据大脑的指令，以24小时为周期发挥作用。
早在19世纪末，科学家就注意到了生物体具有"生命节律"的现象。科学家们将体力、情绪与智力盛衰起伏的周期性节奏绘制成三条波浪形的人体生物节律曲线图。到了20世纪中叶，生物学家又根据生物体存在周期性循环节律活动的事实，创造了"生物钟"一词。
生物钟的位置到底在何处？一般认为，生物钟应该存在于大脑中，但对于其体位置的说法却又各不相同。有人认为，生物钟的确切位置在下丘脑前端，视交叉上核内，该核通过视网膜感受外界的光与暗，使之和体内的时钟保持同一节奏。也有人认为：生物钟现象与体内的襚黑素有密切关系，由于褪黑素是松果腺分泌的，因此生物钟也应该位于松果体上。
生物钟是受外界因素的影响，还是由人体自身内在的因素决定的？长期以来，科学家们一直在争论。外源说认为，某些复杂的宇宙信息是控制生命节律现象的动因。学者弗兰克·而朗博士认为，人类对广泛的外界信息，如电场变化、地碰变化、重力场变，宇宙射线、其他行星运动周期、光的变化、月球引力等极为敏感，这些变化的周期性，引起了人的生命节律的周期性。内源说认为，生命节律是由人体自身内在的因素决定的。人在恒温和与外界隔绝的地下，也表现出近似于24小时的节律。
长久以来，生物钟的作用机制一直是个谜。科学家们只知道生物钟可以控制人类睡眠和觉醒的周期、体内激素分泌、新陈代谢速率、体温等多种生理行为，但对生物钟的组成和其通过什么形式完成上述工作不能搞清。
加利福尼晋大学的一个科研小组在《细胞杂志上撰文称》他们发现了人体生物钟是如何发挥作用的：生物钟通过在细胞内部制造蛋白而控制着负责不同功能的基因发挥各自的作用。它的这一系列活动促使着人们感觉饥饿、享受睡眠、改变体温等。这看上去仿佛是人体生物种非常熟练的掌握了整个DNA链上的每一个环节，并在白天或黑夜某个必要的时段中按下所需的按键来控制着人体各个器官的运作。
5.从原文看，下列对"生物钟"的理解最准确的一项是
A.一种决定睡眠和觉醒的生物节律
B.体力、情绪与智力盛衰起伏的周期性节律
C.生物体中存在的周期性循环的生命节律
D.感觉饥饿、改变体温的生命节律
6.根据原文提供的信自，对"生物钟"的形成没有影响的一项是
A.通过视网膜感受光与暗的视交叉上核
B.人体内松果腺所分泌的褪黑素
C.广泛的外界信息的周期性变化
D.体内激素分泌、新陈代谢速率
7.根据原文提供的信息，下列推断不正确的一项是
A.生物钟的研究可以在运动员成绩的提高方面有所作为
B.生物钟的研究可以为合理安排作息时间提供帮助
C.生物钏的研究可以自由改变人的生活与工作状态
D.生物钏的研究可以加深对人体细胞蛋白制造的认识
三、（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
阅读下文，完成第8～10题。
景公出游于寒途，睹死游^［］^,众然不问，晏子谏曰："昔吾先君桓公出游赌饥者之一，疾者与之财，使令劳力籍敛不费民。先君将游，百姓皆说曰：'君举幸游吾乡子？'今子寒途，据四十里之，[禅财不足以奉敛，尽力不能周役，民氓饥寒冻馁，死相望，]{.underline}而君不问，失君道矣。财屈力竭，下无以亲上；骄泰奢侈，上无以亲下。上下交离，君臣无亲，此三代之所以衰也。今君行之，婴惧公族之危，以为异姓之福也。"公曰："然！为上而忘下，厚籍敛而忘民，吾罪大矣！"于是敛死觜，发粟于民，据四十里之氓，不服政期年。公三月不出游。
就公使圉人养所爱马，暴死，公怒，今人操刀解养马者。是时晏子侍前，左右执刀而进。晏子止而问于公曰："尧枝解人，"枢始？"公矍曰："从寡人始"途不支寄。公曰："以属曰："尔罪有三：公使当养马而杀之，当死罪一也；又杀公之所最善马，当死罪二也；使公以一马之古而杀人，百姓闻之必怨吾君，诸侯闻之必轻吾国，当杀公马，使怨积于百姓，兵弱邻国，当当死罪三也。今以属狱。"公喟然叹曰："夫子释之！夫子释之！勿伤吾仁也。"景公走狗死，公今外共之棺，内给之祭。晏子闻之，谏。公曰："亦细物也，特以与左右为笑耳。"晏子曰："君过矣，夫厚籍敛不以反民，充货财而笑左右，傲细民之忧，而学左右之，则国亦无望已。且夫孤老冻馁，而死狗；鳏寡不恤，而死狗有棺。行辟若此，姓闻之。吾君；诸侯闻之，必轻吾国，怨晏子，而权轻于诸侯，而乃以为细物，群其图之。"公曰："善。"趣危治狗；以会相马。
［注］赀（zi）:腐尸。
8.对下列句子中加点词语的解释，不正确的一项是
A.先群将游，百姓皆说曰："君当幸游乡乎？ 说：高兴
B.据四十里之氓，不服政期年 服：服从
C.公曰："以属狱。" 属：交付
D.亦细物也，特以与左右笑耳 特：只是
9.下列各组句子中，分别表现齐景公"荒诏行径"和"苛虚百姓"的一组是
A. 景公出游于寒途，睹死游，默然不同
使怨积于百姓，兵弱于邻国
B. 公怒，令人操刀解养马者
公族之危，以为异姓之福也
C. 景公走狗死，公令外共之棺，内给之祭
夫厚籍敛不以反民
D. 趣庖治狗，以会朝属
财屈国竭，下无以亲上
10.下列对原文的理解和分析，不正确的一项是（ ）
A.在齐景公漠漠百姓族苦，乐之时，晏子指出"上下交离，君臣无亲"是国家衰败的原因。
B.齐景公所爱之马暴死，欲杀养马之人。晏子假意斥责养马人，阻止了这种行为。
C.齐景公能听从晏子的劝谏，也还算是一个知错能改的君主。
D.文章通过三个典型事例，表现了晏子的贤能有德、刚正不屈、机智幽默。
四、（本大题共3小题，共22分）
11.用斜线（/）给第三大题文言文阅读材料中划波浪线的句子断句，并把划横线的句子翻译成现代汉语。（10分）
（1）用斜线（/）断句：
昔吾先君桓公出游睹饥者与之食睹疾者与之财（2分）
（2）翻译：
①殚财不足以奉敛，尽力不能周役，民氓饥寒冻馁，死背相望。（4分）
②傲细民之忧，而崇左右之笑，则国亦无望已。（4分）
12.阅读下面这首宋词，然后回答问题。（6分）
卜算子，送鲍浩然之浙东 王观
水是眼波横，山是眉车聚。欲问行人去那边？眉眼盈盈处。才始送春归，又送君归去。若到江南赶上春，千万和春住。
（1）本词上、下片各写了什么？请作简要概括。（2分）
（2）宋人王灼《碧鸡漫志》评王观词是"新丽处与轻狂处皆足惊人"。这首词"新丽"的特点主要表现在哪些方面？请作简要分析。（4分）
13.补写出下列名句名篇和文学常识的空缺部分。（6分）
（1）皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名： [ ]{.underline} ，字余曰灵均。（屈原《离骚》）
（2）霓为衣兮风为马，云之君兮纷纷而下。虎鼓瑟兮弯回车， [ ]{.underline} 。（李白《梦游天姥吟留别》）
（3）然秦以区区之地，致万乘之势， [ ]{.underline} ，百有余年矣。
（4）虽无丝竹管弦之盛一， [ ]{.underline} 。
（5）《孤独的收割人》的作者 [ ]{.underline} ，是英国浪漫主义诗人，"湖畔派"的代表作家。
（6）1921年鲁迅以"巴人"为笔名发表的，后来又收入小说集《呐喊》中的著名中篇小说
是 [ ]{.underline} 。
五、（本大题共4小题，共22分）
阅读下文，完成第14、17题。
时间怎样地行走 迟子建
墙上的挂钟，曾是我童年最爱着的一道风景。我对它有一种说不出的崇拜因为它常梦着时间，我们的作息似乎都受着它的支配。到了指定的时间，我们得起床上学，得做课间操，得被父母吆喝着去睡觉。虽然说有的时候我们还没睡够不想起床，在户外的月光下还没有戏耍够不想回屋睡觉，都必须因为时间的关系而听从父母的吩咐。他们理直气壮呵斥我们的话与挂钟息息相关："都几点了，还不起床！"要么就是："都几点了，还在外面疯玩，快睡觉去！"这时候，我觉得挂钟就是一个拿着烟袋着我们脑门的狠心的老头，又凶又倔，真怒把他给掀翻在地，让它永远不行走。在我的想象中，它就是一个看不见形影的家长，严古板。但有时候它也是温情的，在除夕夜里，它的每一声脚步都给我们带来快乐，我们可以在子时钟声敲响后得到梦寐以求的压岁钱，想着用这钱可以买糖果来甜甜自己的嘴，真想在雪地上畅快地打几个滚。
我那时天真地以为时间是被一双神秘的大手放在挂钟里的。它每时每刻地行走着，走得不慌不忙，气定神凝，不会因为贪恋窗外鸟语花香的美景而放慢脚步，也不会因为北风肆虐大雪纷飞而加快脚步。它的脚，是世界上最能禁得起诱惑的脚，从来都是循着固定的轨迹行走。我喜欢听它前行的声音总是一个节，好像一首温馨的摇篮曲。时间在挂钟里，与我们一同经历着风霜雨雪、湖源湖落。
我上初中以后，手表就比较普及了。我看见时间躲在一个小小的圆盘里，在手腕上跳舞。它跳得静悄悄的，不像墙上的挂钟那么清脆悦耳，"滴答------滴答------"的声音不绝于耳。手表里的时间给我一种鬼鬼崇崇的感觉，少了几分气势和严，以明明到了上课时间，我还会磨赠一两分钟再进教室，手表里的时间也就因此显得有些落实。
后来，生活变得丰富多彩了，时间栖身的地方就多了。项链坠可以隐藏着时间，台历上镶嵌着时间，玩具里放置着时间，至于电脑和手提电话，只要我们一打开它们，率先映入眼帘的就有时间。时间如果是一样到处闪烁着，它越来越多，也就越来越显得匆匆了。
十几年前的一天，我在北京第一次发现了时间的痕迹。我在梳头时发现一根白发，它在清晨的曙光中像一道明的雪一样了我的眼睛。我知道时间其实一在我的头发里行走，只不过一次露出了痕迹而已。我还看见，时间在母亲的口腔里行走，她的牙齿脱落得越来越多。我明白时间让花朵绽放的时候，也会让人的眼角绽放出花朵------鱼笔纹。
时间让一棵青春的小树越来越枝繁叶茂，让车轮的辐条越来越沾染上锈链，让一座老屋逐渐鸵了背。时间好似变戏法的魔术师，突然让一个活生生的人瞬间消失在他们辛勤劳作过的土地上，我的祖父、外祖父和父亲，就让时间给无声地接走了，再也看不到他们的脚印，又能在黑令的梦中见到他们依稀的身影。他们不在了，可时间还在，它总是持之以恒激情澎湃地行走着------在我们看不到的角落，在我们不经意走过的地方，在日月星辰中，在梦中。
我终于明白挂钟上的时间和手表里的时间只是时间的一个表象而已，它存在于更丰富的日常生活中。只要我们在行走，时间就会行走。我们和时间如同一对伴侣，相依相偎着，不朽的它会在我们不知不觉间，引领着我们一直走到地老天荒。
14.怎样理解"它在清晨的曙，像一道明丽的雪线一样刺痛了我的眼睛"在文中的含意？（4分）
15.文章是围绕人的成长与对时间的感受来展开的，请梳理作者的思路。（6分）
16.文章描绘了"时间"的各种行走方式，请简要概括。（6分）
17.文章写到"不朽"的"时间""会在我们不知不觉间，引领着我们一直走到地老天荒" 。请根据文意简要分析作者对"人"和"时间"关系的观点和态度。（6分）
六、（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
18.根据下列要求为漫画、孵蛋图配上一段文字。（4分）
要求：（1）能够揭示漫画的寓意；（2）句式整齐，有讽刺意味；（3）20～40字。
19.据媒体报道，2008年5月8日9点18分，奥运祥云火炬成功登顶珠穆朗玛峰。冲顶过程中，一朵白云始终停留在珠峰上空。火炬点燃不久，一道彩虹在珠峰上空出现。请以此为内容，展开想象，运用拟人的修辞手法做一副对联。（4分）
20.用四个反问句重组下面的语句。可以增减个别词语，但须保留原意，并保持语意连贯。（4分）
每个人都是一根蜡烛，既然你被点燃了，就应该去点燃更多的人，你自己并不会燃烧得更快，世界却因此变得更加光明美好。
21.在文中横线处填上恰当的关联词语，使上下文连贯起来。（4分）
汶川地震，制造了一场极其可怕的灾难，[ ① ]{.underline}会让我们经历苦痛，[ ② ]{.underline}我们的希望不会沉沦，[ ③ ]{.underline}会升降。[ ④ ]{.underline}从灾难发生那一刻起，我们都在为那些灾难中的生命祈祷，[ ⑤ ]{.underline}这场灾难产生如何可怕的破坏力，我们也都有理由相信，随着我们所有人的力量向同一个方向聚集，爱心与力量[ ⑥ ]{.underline} 能够在最快的时间内传递到灾区。
七、写作（本大题60分）
22\. 《现代汉语词典》对"自然"的释义有：①自然界。②自由发展；不经人力干预。③不勉强；不局促；不呆板。......
请以"在自然中生活"为题目，写一篇文章。
要求：①立意自定；②除诗歌外，文体不限；③不少于800字；④不要套作，不得抄袭。
**2008年重庆市高考语文试题参考答案**
1、D（dàng）
2、A（调剂、冥顽）（B掂量、C法谒、D、怦然）
3、B（A指人做事能坚持到底；B比喻事情还没有任何条件；C不管......；D形容女子姿态柔美）
4、B（A梅花......教人精神一振/人的精神为之一振，主动和被动句式杂糅；C......是景点，缺少主语；D首次抵达，语序不当）
5、C（其他三项都是生物钟调控的某些具体方面）
6、D（这是生物钟发挥作用控制的两个方面）
7、C（自由改变这一说法夸大）
8、B（服政：指服役纳税）
9、D（趣庖治狗，以会朝属是景公听取晏子劝谏后的正确做法）
10、D（表现晏子还是景公有争议，另三个故事未能看出晏子的"刚正不屈"）
11、......出游/睹......食/睹......
（1）用尽财物不能够完成赋税，费尽体力不能够完成劳役，老百姓饥寒交迫，冻饿而死的尸体到处都是。
（2）无视小民百姓的忧伤，却博取身边近臣的高兴，那么国家也就没有什么希望了。
12、（1）上片写眼前送别之景，下片写朋友将去之地。
（2）以美人的眉眼来描写山水的清秀；又想象送走的美丽春光和友人在江南同住。把山水景物写得清新秀丽如佳人。
13、略
14、梳下来的白发让我感叹时光飞逝，人生苦短。
15、小时候贪玩而痛恨时间的管束------初中时漠视时间而不刻苦学习------后来对时间麻木而无所作为------十几年前发现白发而感叹时光飞逝------现在明白应该和时间一起走过充实的人生（即以人生过程为线，贯穿对时间的不同感悟）
16、时间在钟表时行走/时间在生活中行走/时间在生命中行走
17、作者认为时间并不是无情地抛弃我们，而是我们的情侣，伴随我们走过一生。因此我们应该热爱、珍惜时间，让生命在时间里充满意义。
18、（参考）母鸡高高在上，自以为劳苦功高；鸡蛋默默在下，说不出冷暖凄凉。
19、（参考）珠峰白云含情迎圣火吉祥，碧空彩虹有心祝奥运成功
20、每个人不都是一根蜡烛？难道你不该被点燃？难道不应该去点燃更多的人？你自己并不会燃烧得更快，世界不因此变得更加光明美好吗？
每个人不都是一根蜡烛？既然你被点燃了，难道不应该去点燃更多的人？难道你自己会燃烧得更快？难道世界不因此变得更加光明美好？
21、虽然......但是......而......因为......即使......就
22、略
| 1 | |
1. 巩固并熟练掌握分数基本计算；
2. 通过牛吃草问题熟悉差量分析解应用题；
3. 预习讲重点知识（整除、质合、方程）。
**第一部分：分数的四则运算**
1. **分数：****（例如****）**
把单位""平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份，分子表示这样几份的数。
例如把一个蛋糕平均分成份，每份就是，取其中的份，总共就是。
2. **分数与除法：**
把一块蛋糕平均分给个人，每人分得多少？，，因为除数不能为零，所以分母也不能为零。
上面的，既可以当成一个计算结果，一个数值，也可以当做是一个除法运算。
3. **分类：**
真分数： 分子比分母小的分数，例如
假分数： 分子比分母大，或者分子和分母相等的分数，例如
带分数： 把一个假分数化成一个整数和一个真分数加在一起，这样的分数叫做带分数，例
如，其中为带分数。
4. **基本性质：**
把一块比萨平均分给个人，如果分成块，则每人块；如果分成块，则每人块；如果分成块，则每人块。但是，无论分成多少块，每人得到的比萨是一样多的，也就是说
有这样的规律：
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（除外），分数的大小不变。
5. **约分与通分**
约分：分子分母互质（只有公因数）的分数叫做最简分数。根据分数的基本性质，分子分母同时除以它们的不是的公因数，得到的分数大小不变，但新分数的分子分母都比较小且互质，这就是约分。
例如:
通分：根据分数的基本性质，我们可以把分数的分子分母同时乘以一个非零数，分数大小不变，则由此，我们可以把这两个分数变成分母相同的数。例如，，。把异分母分数分别化为和原来分数相等的同分母分数的方法，叫做通分。
6. **分数的四则运算：（可由分数与除法的关系来证明其四则运算）**
```{=html}
<!-- -->
```
1. 加减：
同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化成最简分数。
例如：
异分母加减法：分母不同，需要先通分，变为分母相同的分数，再分子相加减，
结果仍然要化成最简分数。
例如：
2. 乘除：
分数乘以分数：分母乘以分母，分子乘以分子，能约分先约分。
例如：
3. 倒数：
把分数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数乘积是。乘积为的两个数互为倒数。没有倒数。
例如：
4. 分数的除法：
有，所以。又知道。
所以除以一个数等于乘以它的倒数。
5. 分数的四则混合运算：
与整数的四则运算法则相同：顺序是先乘除后加减，有括号先括号内。
 [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，** [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **。**
 [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，****= [ ]{.underline}**
1. **= [ ]{.underline}**
2. **= [ ]{.underline}**
3. **= [ ]{.underline}**
4. **= [ ]{.underline}**
**第二部分：牛吃草问题**
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做"牛顿问题"．
"牛吃草"问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．"牛吃草"问题是小学应用题中的难点．
解"牛吃草"问题的主要依据：
1. 草的每天生长量不变；
2. 每头牛每天的食草量不变；
3. 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
4. 新生的草量每天生长量天数．
> 同一片牧场中的"牛吃草"问题，一般的解法可总结为：
1. 设定头牛天吃草量为""；
2. 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
3. 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
4. 吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
5. 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
"牛吃草"问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了"牛吃草"问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
**一牧场放牛****头，****天把草吃完；若放牛****头，则****天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛****天可以把草吃完?**
**由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供****头牛吃****天，或可供****头牛吃****天．照此计算，可以供多少头牛吃****天？**
**一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供****头牛吃****天，或可供****只羊吃****天。如果****头牛的吃草量等于****只羊的吃草量，那么****头牛与****只羊一起吃可以吃几天？**
**第一部分：整除问题**
1. 一个数的末位能被或整除，这个数就能被或整除；
一个数的末两位能被或整除，这个数就能被或整除；
一个数的末三位能被或整除，这个数就能被或整除；
2. 一个位数数字和能被整除，这个数就能被整除；
一个数各位数数字和能被整除，这个数就能被整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被整除，那么这个数能被整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被、或整除，那么这个数能被、或整除.
5. 如果一个数能被整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是的倍数，这个数一定是的倍数。
**第二部分：质合问题**
**一、质数与合数**
一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的以内的质数：共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.
> ⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是.这也是很多题解题思路.
**二、质因数与分解质因数**
1. **质因数：**如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
2. **互质数：**公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
3. **分解质因数：**把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
4. **分解质因数的方法：短除法**
例如：，（┖是短除法的符号） 所以；
5. **部分特殊数的分解：**；；；；；；；；
**第三部分：解方程**
**一、名词解释**
1. 算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式
2. 等式：表示相等关系的式子
3. 方程：含有未知数的等式
4. 方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：元次方程就是含有个未知数，且含未知数项最高次数是的方程
> 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是的方程；
>
> 如：，，，
>
> 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；
>
> 如：是方程的解，是方程的解，
5. 解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写"解"字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始"解方程"。
6. 方程的解：能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解
**二、解方程的步骤**
1. 解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为。
2. 移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说"移项变号"。
3. 移项的目的：是为了把含有的未知项和数字项分别放在等号的两端，使"未知项=数字项"，从而求出方程的解。
4. 怎样检验方程的解的正确性？
判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。
**有三张卡片，它们上面各写着数字，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.**
**解下列一元一次方程：⑴** **；⑵；⑶** **；⑷**
| 1 | |
**《租船》同步练习**
1. 食堂买来30袋面粉。如果每天吃4袋，可以吃几天？还剩几袋？
> 如果每天吃7袋呢？
>
> \[来源:学科网\]
2. 小刚买来30条金鱼，送给小明5条，剩下多少条金鱼？
> 小刚把剩下的平均放在4个鱼缸，每个鱼缸放多少条金鱼？还剩多少条？
3. 有33本书，最少拿出几本后就可以平均分给6个小朋友？
> 4、列竖式计算下面各题。
>
> 56÷7＝ 60÷7＝ 70÷9＝ 35÷8＝
>
> \[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
>
> 52÷9＝ 46÷6＝ 24÷6＝ 25÷5＝ \[来源:学科网ZXXK\]
>
> 33÷3＝ 35÷7＝ 48÷6＝ 42÷6＝
5、列式计算。
> （1）把34平均分成7份，每份是多少？还余几？
>
> （2）73除以8，商是几余几？
>
> （3）9除一个数，商是4，余数是3，这个数是几？
>
> （4）63是7几倍？
\[来源:Zxxk.Com\]
**参考答案：**
1. 7 2
> 4 2
2. 25
> 6 1
>
> 3、3
>
> 4、列竖式计算下面各题。
>
> 56÷7＝8 60÷7＝8······4 \[来源:学科网ZXXK\]
>
> 70÷9＝7······7 35÷8＝4······3
>
> 52÷9＝5······7 46÷6＝7······4
>
> 24÷6＝4 25÷5＝5
>
> 33÷3＝11 35÷7＝5
>
> 48÷6＝8 42÷6＝7
5、列式计算。
> （1）7 1
>
> （2）9 1
>
> （3）39
>
> （4）9
| 1 | |
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学**
**本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2*B*铅笔将试卷类型(*A*)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处".**
**2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.**
**3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.**
**4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.**
**一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2\. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3\. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
4\. 下列区间中，函数单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5\. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6\. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7\. 若过点可以作曲线两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
8\. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件"第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件"第二次取出的球的数字是2"，丙表示事件"两次取出的球的数字之和是8"，丁表示事件"两次取出的球的数字之和是7"，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
**二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.**
9\. 有一组样本数据，，...，，由这组数据得到新样本数据，，...，，其中(为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
10\. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11\. 已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于
B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时，
D. 当最大时，
12\. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
**三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13\. 已知函数是偶函数，则\_\_\_\_\_\_.
14\. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为\_\_\_\_\_\_.
15\. 函数的最小值为\_\_\_\_\_\_.
16\. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为\_\_\_\_\_\_；如果对折次，那么\_\_\_\_\_\_.
**四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.**
17\. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
18\. 某学校组织"一带一路"知识竞赛，有*A*，*B*两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.*A*类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；*B*类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答*A*类问题的概率为0.8，能正确回答*B*类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答*A*类问题，记为小明累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19\. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
20\. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
21\. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
22\. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
> 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。
试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2738003028606976)
组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。
学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
| 1 | |
**北师大版小学二年级下册数学第一单元《除法》单元测试3（附答案）**一、圈一圈，填一填。(3分)
1．
□÷□＝□
2．
11÷□＝□(盘)......□(个)
二、认真思考，仔细填写。(30分)
1．20÷6＝3......2读作( )。在这道除法算式中，20是( )，6是( )商是( )，余数是( )。
2．计算有余数的除法，余数要比( )小。
3．一个数除以3，如果有余数，余数可能是( )或( )。
4．把18个梨平均分给7个小朋友，每人分( )个，还剩( )个。
5．一根绳子长35米，最多可以剪出9米一段的绳子( )根，还剩( )米。
6．写出4道商和余数都相同的算式。
□÷5＝□......□ □÷5＝□......□来源：www.bcjy123.com/tiku/
□÷5＝□......□ □÷5＝□......□
7．○里最大能填几？
○×8＜40 7×○＜54
9×○＜62 ○×6＜37
50＞8×○ 63＞○×7
三、算一算。(21分)
1．直接写出得数。(9分)
36÷9＝ 9÷2＝ 46－9＝
6÷5＝ 68＋8＝ 11÷4＝
8×4＝ 63÷7＝ 23÷5＝
2．列竖式计算。(12分)
68÷8＝ 73÷9＝
来源：www.bcjy123.com/tiku/
49÷7＝ 50÷6＝
30÷7＝ 45÷6＝
四、改正错误。(6分)
7 8
7 1来源：www.bcjy123.com/tiku/
5 8
6 7
8 2
五、在正确的答案下面画""。(10分)
1．下面哪个数除以7没有余数。
32 47 56
( ) ( ) ( )
2．体检时，每次进去4人，我排在29号，第( )次进去。
6 7 8
( ) ( ) ( )
3．49除以( )，商是9，余数是4。
3 4 5
( ) ( ) ( )
4．( )÷□＝( )......8，那么□中的数最小应该是( )。
9 8 7
( ) ( ) ( )
5．运动会场挂彩旗，按2蓝、2红、2黄的顺序排列。第35面是( )旗。
蓝 黄 红
( ) ( ) ( )
六、连一连。(5分)
45÷7 26÷3 47÷9 42÷8 18÷5
余数是2 余数是3
七、用数学。(每小题5分，共20分)
1．30个篮球，平均放在4个筐里，每筐放几个？还剩几个？
□○□＝□( )......□( )
答：每筐放( )个，还剩( )个。
2．装糖果。
□○□＝□( )......□( )
答：可以装( )盒，还剩( )块。
3．钉扣子。
 有33颗扣子，至少可以钉几件这样的衣服？
□○□＝□( )......□( )
答：至少可以钉( )件这样的衣服。
4．34人准备这样的8张桌子，够吗？
□○□＝□( )......□( )
答： [ ]{.underline} 。
八、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．租房。(5分)
如果够，你觉得怎样分配合理？如果不够，该租几间房？
B．推销商品。(5分)
---------------- ------
晨光超市存货单
商品名称 数量
洗手液 16瓶
肥皂 23块
---------------- ------
为了吸引顾客，超市准备用"2瓶洗手液，3块肥皂"进行捆绑，制成礼盒进行销售。超市里的存货最多可以制成多少个礼盒？
附加题。(5分)
2008年8月8日星期五，北京奥运会开幕，16天后闭幕。你知道闭幕的那一天是星期几吗？
**参考答案**
一、1．12÷3＝4
2．11÷4＝2(盘)......3(个)
二、1．20除以6商3余2 被除数 除数 3 2
2．除数
3．2 1
4．2 4
5．3 8
6．6÷5＝1......1 12÷5＝2......2
18÷5＝3......3 24÷5＝4......4
7．4 7 6 6 6 8
三、1．4 4......1 37 1......1 76 2......3 32 9 4......3
2．8......4 8......1 7 8......2 4......2 7......3
四、7 8
0 7
6 7
2 2
五、1．56 2．8 3．5 4．9 5．黄
六、余数是2：26÷3 47÷9 42÷8
余数是3：45÷7 18÷5
七、1．30÷4＝7(个)......2(个) 7 2
2．56÷6＝9(盒)......2(块) 9 2
3．33÷5＝6(件)......3(颗) 6
4．34÷4＝8(张)......2(人) 不够
八、A．37÷4＝9(间)......1(人) 不够，该租10间房
B．7个
附加题：
16÷7＝2(个)......2(天) 星期日
| 1 | |
**2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.**
1．（4分）（2019•兰州）的相反数是
A． B．2019 C． D．
2．（4分）（2019•兰州）如图，直线，被直线所截，，，则
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•兰州）计算：
A． B． C．3 D．
4．（4分）（2019•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5．（4分）（2019•兰州）是关于的一元二次方程的解，则
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•兰州）如图，四边形内接于，若，则
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•兰州）化简：
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•兰州）已知△，，，则
A．2 B． C．3 D．
9．（4分）（2019•兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为
A． B．
C． D．
10．（4分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形，已知，，，则的坐标为
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•兰州）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
12．（4分）（2019•兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.**
13．（4分）（2019•兰州）因式分解：[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•兰州）在中，，，则[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•兰州）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，，则[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•兰州）如图，矩形，，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共12小题，共86分.**
17．（5分）（2019•兰州）计算：．
18．（5分）（2019•兰州）化简：．
19．（5分）（2019•兰州）解不等式组：．
20．（6分）（2019•兰州）如图，，，，求证：．
21．（6分）（2019•兰州）2019年5月，以"寻根国学，传承文明"为主题的兰州市第三届"国学少年强国学知识挑战赛"总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用，，，表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用，，表示）．
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
22．（7分）（2019•兰州）如图，，分别以、为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）求的长．
23．（7分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标．
24．（7分）（2019•兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1班全班学生名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
+-----------+---+---+----+---+
| 分数段 | | | | |
| | | | | |
| 班级 | | | | |
+-----------+---+---+----+---+
| 八年级1班 | 7 | 5 | 10 | 3 |
+-----------+---+---+----+---+
分析数据：
表二
+-----------+--------+--------------------+------+------+--------+
| 统计量 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 |
| | | | | | |
| 班级 | | | | | |
+-----------+--------+--------------------+------+------+--------+
| 八年级1班 | 78 | [ ]{.underline} | 85 | 36 | 105.28 |
+-----------+--------+--------------------+------+------+--------+
小丽用同样的方法对八年级2班全班学生名）的成绩进行分析，数据如下：
表三
+-----------+--------+--------+------+------+--------+
| 统计量 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 |
| | | | | | |
| 班级 | | | | | |
+-----------+--------+--------+------+------+--------+
| 八年级2班 | 75 | 76 | 73 | 44 | 146.80 |
+-----------+--------+--------+------+------+--------+
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
25．（7分）（2019•兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户"如何设计遮阳蓬"这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面的遮阳蓬．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳蓬的夹角最大；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳蓬的夹角最小．窗户的高度．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳蓬的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
26．（9分）（2019•兰州）如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于、两点，设、两点间的距离为，，两点间的距离为．
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：
-- -------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ -------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
[ ]{.underline} 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 [ ]{.underline} 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
-- -------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ -------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．
（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：[ ]{.underline}．
（4）解决问题：当时，的长度大约是[ ]{.underline}．（保留两位小数）．
27．（10分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为"型"．
推理过程如下：
【模型应用】
如图，在内接于，，，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，连接．求证：．
28．（12分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为"型"．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，当时，求的面积；
（3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标；
（4）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标．
**2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.**
1．（4分）的相反数是
A． B．2019 C． D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的概念求解可得．
【解答】解：的相反数为2019，
故选：．
2．（4分）如图，直线，被直线所截，，，则
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】先利用对顶角相等得到，然后根据平行线的性质，利用可计算出的度数．
【解答】解：如图，，
，
，
，
．
故选：．
3．（4分）计算：
A． B． C．3 D．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：，
故选：．
4．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【解答】解：、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转不能与原图形重合，此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
5．（4分）是关于的一元二次方程的解，则
A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的解
【分析】先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
6．（4分）如图，四边形内接于，若，则
A． B． C． D．
【考点】圆内接四边形的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算的度数．
【解答】解：四边形内接于，
，
．
故选：．
7．（4分）化简：
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法
【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．
【解答】解：原式
，
故选：．
8．（4分）已知△，，，则
A．2 B． C．3 D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：△，
．
故选：．
9．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形，已知，，，则的坐标为
A． B． C． D．
【考点】坐标与图形变化平移
【分析】根据和的坐标得出四边形先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，则的平移方法与点相同，即可得到答案．
【解答】解：由，可知四边形先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，
，
的坐标为，
故选：．
11．（4分）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【解答】解：当时，；
当时，；
所以．
故选：．
12．（4分）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据正方形的性质得到，，，求得，得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，
，，
，，
，
在与中，，
，
，
故选：．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.**
13．（4分）因式分解：[ ]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：．
【解答】解：，
> ，（提取公因式）
>
> ．（完全平方公式）
故答案为：．
14．（4分）在中，，，则[ 70 ]{.underline}．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为70．
15．（4分）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，，则[ 6 ]{.underline}．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积是个定值，即．
【解答】解：根据题意，知，，
又因为反比例函数位于第一象限，，
所以，
故答案为6．
16．（4分）如图，矩形，，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于[ ]{.underline}．
【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【分析】根据矩形的性质得到，求得，由作图知，是的平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，过作于，求得，求得，解直角三角形得到，，于是得到结论．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
由作图知，是的平分线，
，
，
，
过作于，
，
，
，，
矩形的面积，
故答案为：．
**三、解答题：本大题共12小题，共86分.**
17．（5分）计算：．
【考点】零指数幂；实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式．
18．（5分）化简：．
【考点】单项式乘多项式；平方差公式
【分析】先去括号，再注意到可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可
【解答】解：
原式
19．（5分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以，不等式组的解集为．
20．（6分）如图，，，，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】要证明，只要证明即可，要证明，只要证明即可，根据题目中的条件可以证明，本题得以解决．
【解答】证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
．
21．（6分）2019年5月，以"寻根国学，传承文明"为主题的兰州市第三届"国学少年强国学知识挑战赛"总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用，，，表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用，，表示）．
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，
所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
22．（7分）如图，，分别以、为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）求的长．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形为菱形；
（2）根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【解答】解：（1）四边形为菱形；
由作法得，
所以四边形为菱形；
（2）四边形为菱形，
，，，
在中，，
．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标．
【考点】等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数的几何意义；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）作于，根据等边三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得三角形的面积，根据系数的几何意义即可求得，从而求得反比例函数的表达式；
（2）求得三角形的面积，即可求得的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点的坐标．
【解答】解：（1）作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象在一三象限，
，
反比例函数的表达式为；
（2），
，
，
，
把代入，求得，
点的坐标为，．
24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1班全班学生名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
+-----------+---+---+----+---+
| 分数段 | | | | |
| | | | | |
| 班级 | | | | |
+-----------+---+---+----+---+
| 八年级1班 | 7 | 5 | 10 | 3 |
+-----------+---+---+----+---+
分析数据：
表二
+-----------+--------+----------------------+------+------+--------+
| 统计量 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 |
| | | | | | |
| 班级 | | | | | |
+-----------+--------+----------------------+------+------+--------+
| 八年级1班 | 78 | [ 80 ]{.underline} | 85 | 36 | 105.28 |
+-----------+--------+----------------------+------+------+--------+
小丽用同样的方法对八年级2班全班学生名）的成绩进行分析，数据如下：
表三
+-----------+--------+--------+------+------+--------+
| 统计量 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 |
| | | | | | |
| 班级 | | | | | |
+-----------+--------+--------+------+------+--------+
| 八年级2班 | 75 | 76 | 73 | 44 | 146.80 |
+-----------+--------+--------+------+------+--------+
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
【考点】中位数；算术平均数；方差；极差；频数（率分布表；众数
【分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定这一组中最小的数即可；
（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．
【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在这一组中，此组最小的数为第13个数，
所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；
故答案为80；
（2）八年级1班学生的成绩更为优异．
理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．
25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户"如何设计遮阳蓬"这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面的遮阳蓬．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳蓬的夹角最大；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳蓬的夹角最小．窗户的高度．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳蓬的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列式计算即可．
【解答】解：在中，，
则，
在中，，
则，
由题意得，，即，
解得，，
答：遮阳蓬的长约为．
26．（9分）如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于、两点，设、两点间的距离为，，两点间的距离为．
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：
-- --------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ -------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
[ 3 ]{.underline} 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 [ ]{.underline} 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
-- --------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ -------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．
（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：[ ]{.underline}．
（4）解决问题：当时，的长度大约是[ ]{.underline}．（保留两位小数）．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】（1）①当时，则；②，则，即可求解；
（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势；
（3），即，在上图中作直线，即可求解．
【解答】解：（1）①当时，
连接，则，，
，则，
则；
②，
在中，，，
，，
过点作于点，
则，则，
，
则，
故，
则；
故：答案为3，；
（2）描点出如下图象，
从图象可以看出：时，随最大而减小，
当时，随最大而增大；
（3），即，
在上图中作直线，
直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，
故答案为：2.68或7.45．
27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为"型"．
推理过程如下：
【模型应用】
如图，在内接于，，，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，连接．求证：．
【考点】：圆的综合题
【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点在上，为直径，故只需证即可．由和可证得，而、、在同一直线上，用减去即为，得证．
（2）依题意画出图形，由要证的结论联想到对应边成比例，所以需证．其中为公共角，即需证．为圆周角，所对的弧为弧，故连接后有，问题又转化为证．把延长交于点后，有，故问题转化为证．只要，由等腰三角形三线合一即有，故问题继续转化为证．联系【模型呈现】发现能证，得到，，即能求．又因为为中点，可得到，再加上第（1）题证得，可得，所以，，得证．
【解答】证明：（1）为的外接圆
为斜边中点，为直径
是的切线
（2）延长交于点，连接
于点
绕点旋转得到
在与中
，
为中点
，即
平分，即
，
28．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为"型"．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，当时，求的面积；
（3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标；
（4）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点，代入即可；
（2）由已知分别求出，，，根据的面积的面积的面积即可求解；
（3）由已知可得，设，根据勾股定理可得，，再由，得到与的关系式：，因为，则有求出或，即可求点坐标；
（4）当时，，，可知点在抛物线对称性上；过点作的垂线，以为圆心为直径构造圆，圆与的交点分别为与，由，可得圆半径，即可求点坐标分别为，，，．
【解答】解：（1）将点，代入，
，，
；
（2），
的直线解析式为，
当时，，
，
，
，，，
的面积的面积的面积；
（3），
，
设，
，，
，
，
，
，
，
或，
或，
或；
（4）当时，，，
点在抛物线对称性上，
如图：过点作的垂线，以为圆心为直径构造圆，圆与的交点分别为与，
，
，
，，
，
又，
，，
与关于轴对称，
，，
点坐标分别为，，，；
| 1 | |
**-北师大版四年级（下）期中数学试卷（11）**
**一.计算部分**
1．直接写出得数
----------- ----------- ------------- -------------
5.1+0.68= 1﹣0.32= 5.64﹣2.64= 65.8﹣0.01=
25÷1000= 14.5+5.5= 10.1×100= 5.2+0.2=
----------- ----------- ------------- -------------
2．竖式计算
（1）19.5+3.74=
（2）58.6﹣5.86=
（3）60﹣34.57=
3．递等式计算（能巧算的要巧算）
（1）38.25+9.54+8.25+1.56
（2）46×63+37×46
（3）302×（81﹣81÷9）
（4）23.7﹣3.24﹣6.76
（5）20×25×125×48
（6）2400÷25．
4．文字题
（1）一个数的10倍是92.73，这个数比4.05大多少？
（2）用3.8与2.8的差除它们的和，结果是多少？
**二．应用部分**
5．一瓶橙汁第一次倒出0.9升，第二次倒出0.76升，瓶中还有0.34升，这瓶橙汁原有多少毫升？
6．商店第一天运进毛巾450条，比第二天的2倍少30条．两天一共运进毛巾多少条？
7．小亚看一本470页的书，前8天每天看25页，剩下的计划每天看30页，小亚看完这本书还要多少天？
8．水果大卖场运来3车水果，每车装48箱，这些水果共重3600千克，平均每箱水果重多少千克？
9．体育室里皮球比排球多8个，足球的个数比排球的2倍多3个，皮球有21个，体育室里有多少个足球？
10．高师傅做一批零件，原计划每天做150个，8天完成任务．实际只用了6天就完成了任务，实际每天多做多少个？
**三、解答题（共1小题，满分4分）**
11．如图是某班在技能竞赛中，各小组获得的"星数"的情况统计各小组获得的"星数"的情况．
根据统计图回答问题：
（1）第一小组和第四小组各获得多少颗"星"？
（2）五个小组中"星数"获得最多的是哪个小组？
（3）第三小组获得的"星数"是第二小组获得的"星数"的多少倍？
（4）第[ ]{.underline}小组和第[ ]{.underline}小组获得的"星数"相差最多．
**三．概念部分**
12．用小数表示是[ ]{.underline}，这个小数读作[ ]{.underline}．
13．单位换算
13.4cm=[ ]{.underline}m
45米=[ ]{.underline}千米
136g=[ ]{.underline}kg
0.8㎡=[ ]{.underline}cm^2^．
14．0.74是由[ ]{.underline}个0.1，[ ]{.underline}个0.01组成的．[ ]{.underline}个0.01是0.74．
15．填空：八十点零零八写作[ 略]{.underline}100.07读作[ ]{.underline}．
16．把 1.414，1.441，4.141，4.114从小到大排列，排在第3个的是[ ]{.underline}．
17．650.00化简后是[ ]{.underline}．
7.3改写成三位小数是[ ]{.underline}．
18．把一个数的小数点向右移动两位，再向左移动一位得5.07，原来的小数是[ ]{.underline}．
19．选用0，0，2，4，6这5个数字组成最大的三位纯小数是[ ]{.underline}，最小的三位带小数是[ ]{.underline}．
20．将708004添加一个小数点，使这个小数读两个0，写出符合条件的小数：[ ]{.underline}．
**五、判断（共4小题，每小题1分，满分4分）**
21．小数部分的最高位是十分位，整数部分最高位是个位．[ ]{.underline}（判断对错）
22．被除数和除数同时除以120，商不变．[ ]{.underline}（判断对错）
23．0.435的小数点向右移动两位后，原数增加了43.065．[ ]{.underline}（判断对错）
24．0.30表示百分之三．[ ]{.underline}（判断对错）
**六、选择题（共4小题，每小题1分，满分4分）**
25．78.03[ ]{.underline}得780.3，78.03[ ]{.underline}得0.7803．
A．×10B．×100C．÷10D．÷100．
26．（ ）是由15个10，7个和8个组成的．
A．50.078 B．150.87 C．105.78 D．150.78
27．与6.06千米不相等的是（ ）
A．6千米6米 B．6千米60米
C．6060米 D．比7千米少940米
28．8.5＞□＞8.4，□中可填（ ）个两位小数．
A．0 B．9 C．无数 D．100
**-北师大版四年级（下）期中数学试卷（11）**
**参考答案**
**一.计算部分**
1．[略]{.underline}2．[略]{.underline}3．[略]{.underline}4．[略]{.underline}
**二．应用部分**
5．[略]{.underline}6．[略]{.underline}7．[略]{.underline}8．[略]{.underline}9．[略]{.underline}10．[略]{.underline}
**三、解答题（共1小题，满分4分）**
11．[五]{.underline}；[一]{.underline}；
**三．概念部分**
12．[0.53]{.underline}；[零点五三]{.underline}；13．[0.134]{.underline}；[0.045]{.underline}；[0.136]{.underline}；[8000]{.underline}；14．[7]{.underline}；[4]{.underline}；[74]{.underline}；15．[80.008]{.underline}；[一百点零七]{.underline}；16．[4.114]{.underline}；17．[650]{.underline}；[7.300]{.underline}；18．[0.507]{.underline}；19．[0.64200]{.underline}；[642.00]{.underline}；20．[70.8004，7080.04]{.underline}；
**五、判断（共4小题，每小题1分，满分4分）**
21．[×]{.underline}；22．[√]{.underline}；23．[√]{.underline}；24．[×]{.underline}；
**六、选择题（共4小题，每小题1分，满分4分）**
25．[×10]{.underline}；[÷100]{.underline}；26．D；27．A；28．B；
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------比大小》同步检测1（附答案）**
一、快乐小帮手。来源：www.bcjy123.com/tiku/
 1．把一个圆平均分成6份，每份是它的，2份是它的
2．把一个西瓜平均分给我和3个小朋友，每人吃整个西瓜的。
3．分母相同的分数，分子大的分数( )。
4．分子都是1的两个分数，分母( )的分数反而小。
5．比较和的大小，因为3＜4，所以( )＞( )。
二、聪明的小法官。(对的打"√"，错的打"×")
1．读作七分之八。 ( )
2．分母相同的两个分数，分子越大，分数越大。( )
3．因为5＞3，所以。 ( )
4．因为6＜7，所以。 ( )
三、填分数．比大小。
1. 2.
3\. 4.
四、先涂颜色，再比较大小。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1\. 2.
3\.
五、比一比，把大的分数填在里，小的分数填在里。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1\. 2.
3\. 4.
六、数学小诊所。（看看哪个图形涂错了？请在图形下的括号里打"×）
1. 2. 3. 4.
（ ） （ ） （ ） （ ）
参考答案
一、1. 2.
3\. 大
4\. 大
5\.
二、1.× 2.√ 3.× 4.√
三、1. 2. 3. 4.
四、自己涂一涂吧！ 1.＜ 2.＞ 3.＜
五、1.
2\.
3\.
4\.
六、1.× 2.× 4.×
| 1 | |
**2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合M={m∈Z\|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z\|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）设a，b∈R且b≠0，若复数（a+bi）^3^是实数，则（ ）
A．b^2^=3a^2^ B．a^2^=3b^2^ C．b^2^=9a^2^ D．a^2^=9b^2^
3．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
4．（5分）若x∈（e^﹣1^，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln^3^x，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
6．（5分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（1﹣）^6^（1+）^4^的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
8．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则\|MN\|的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（5分）设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，5） D．
10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=[ ]{.underline}．
14．（5分）设曲线y=e^ax^在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设\|FA\|＞\|FB\|，则\|FA\|与\|FB\|的比值等于[ ]{.underline}．
16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①[ ]{.underline}；
充要条件②[ ]{.underline}．
（写出你认为正确的两个充要条件）
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）在△ABC中，cosB=﹣，cosC=．
（1）求sinA的值
（2）设△ABC的面积S~△ABC~=，求BC的长．
18．（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB=4，点E在CC~1~上且C~1~E=3EC．
（Ⅰ）证明：A~1~C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
20．（12分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~．已知a~1~=a，a~n+1~=S~n~+3^n^，n∈N^\*^．
（Ⅰ）设b~n~=S~n~﹣3^n^，求数列{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若a~n+1~≥a~n~，n∈N^\*^，求a的取值范围．
21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
22．（12分）设函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
**2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合M={m∈Z\|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z\|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【分析】由题意知集合M={m∈z\|﹣3＜m＜2}，N={n∈z\|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N={﹣1，0，1}，
故选：B．
【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．
2．（5分）设a，b∈R且b≠0，若复数（a+bi）^3^是实数，则（ ）
A．b^2^=3a^2^ B．a^2^=3b^2^ C．b^2^=9a^2^ D．a^2^=9b^2^
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】复数展开，化为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部为0即可．
【解答】解：（a+bi）^3^=a^3^+3a^2^bi﹣3ab^2^﹣b^3^i=（a^3^﹣3ab^2^）+（3a^2^b﹣b^3^）i，因是实数且b≠0，所以3a^2^b﹣b^3^=0⇒b^2^=3a^2^
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题．
3．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有
【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）
∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．
4．（5分）若x∈（e^﹣1^，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln^3^x，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．
【解答】解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，
故当x∈（e^﹣1^，1）时，a∈（﹣1，0），
于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．
又a﹣c=lnx﹣ln^3^x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．
综上所述，b＜a＜c．
故选：C．
【点评】对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题．
5．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选：D．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
6．（5分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C~30~^3^种结果，而满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C~20~^1^C~10~^2^+C~20~^2^C~10~^1^种结果．代入公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C~30~^3^种结果，
满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C~20~^1^C~10~^2^+C~20~^2^C~10~^1^种结果，
∴由古典概型公式得到
，
故选：D．
【点评】本题考查的是古典概型，可以从它的对立事件来考虑，概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．
7．（5分）（1﹣）^6^（1+）^4^的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】展开式中x的系数由三部分和组成：的常数项与展开式的x的系数积；的展开式的x的系数与的常数项的积；的的系数与的的系数积．利用二项展开式的通项求得各项系数．
【解答】解：的展开式的通项为
∴展开式中常数项为C~6~^0^，含x的项的系数为C~6~^2^，含的项的系数为﹣C~6~^1^
的展开式的通项为
∴的展开式中的x的系数为C~4~^2^，常数项为C~4~^0^，含的项的系数为C~4~^1^
故的展开式中x的系数是
C~6~^0^C~4~^2^+C~6~^2^C~4~^0^﹣C~6~^1^C~4~^1^=6+15﹣24=﹣3
故选：B．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则\|MN\|的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有
【分析】可令F（x）=\|sinx﹣cosx\|求其最大值即可．
【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx
令F（x）=\|sinx﹣cosx\|=\|sin（x﹣）\|
当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题．
9．（5分）设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，5） D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题设条件可知：，然后由实数a的取值范围可以求出离心率e的取值范围．
【解答】解：，
因为是减函数，所以当a＞1时，
所以2＜e^2^＜5，即，
故选：B．
【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用．
10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），
S（0，0，），E，
=，
=（﹣1，﹣1，﹣）
∴cos＜＞=
故选：C．
【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．
11．（5分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y=kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可．
【解答】解：l~1~：x+y﹣2=0，k~1~=﹣1，，设底边为l~3~：y=kx
由题意，l~3~到l~1~所成的角等于l~2~到l~3~所成的角于是有，解得k=3或k=﹣，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．
k=，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），
故选：A．
【点评】两直线成角的概念及公式；本题是由教材的一个例题改编而成．（人教版P49例7）解题过程值得学习．
12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
【解答】解：设两圆的圆心分别为O~1~、O~2~，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO~1~EO~2~为矩形，
于是对角线O~1~O~2~=OE，而OE==，
∴O~1~O~2~=
故选：C．
【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=[ 2 ]{.underline}．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．
【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），
∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．
∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，
∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，
∴λ=2．
故答案为2
【点评】考查两向量共线的充要条件．
14．（5分）设曲线y=e^ax^在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=[ 2 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．
【解答】解：∵y=e^ax^∴y′=ae^ax^
∴曲线y=e^ax^在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0
∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直
∴﹣a=﹣1，即a=2．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
15．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设\|FA\|＞\|FB\|，则\|FA\|与\|FB\|的比值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．
【解答】解：设A（x~1~，y~1~）B（x~2~，y~2~）
由，，（x~1~＞x~2~）
∴由抛物线的定义知
故答案为：
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用
16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①[ 三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体 ]{.underline}；
充要条件②[ 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分； ]{.underline}．
（写出你认为正确的两个充要条件）
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；L2：棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；21：阅读型．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理，由平行六面体与平行四边形的定义相似，故我们可以类比平行四边形的性质，类比推断平行六面体的性质．
【解答】解：类比平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，
则我们类比得到：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体．
类比平行四边形的性质：两条对角线互相平分，
则我们类比得到：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
故答案为：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）在△ABC中，cosB=﹣，cosC=．
（1）求sinA的值
（2）设△ABC的面积S~△ABC~=，求BC的长．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）由cosB，cosC分别求得sinB和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得sinA．
（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB•AC的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
由，得．
所以．
（Ⅱ）由得，
由（Ⅰ）知，
故AB×AC=65，
又，
故，．
所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．
18．（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，由题意知ξ服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险．
（2）写出本险种的收入和支出，表示出它的盈利期望，根据为保证盈利的期望不小于0，列出不等式，解出每位投保人应交纳的最低保费．
【解答】解：由题意知
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10000人中出险的人数为ξ，
由题意知ξ～B（10^4^，p）．
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，
则发生当且仅当ξ=0，
=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）^104^，
又P（A）=1﹣0.999^104^，
故p=0.001．
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），
盈利的期望为Eη=10000a﹣10000Eξ﹣50000，
由ξ～B（10^4^，10^﹣3^）知，
Eξ=10000×10^﹣3^，
Eη=10^4^a﹣10^4^Eξ﹣5×10^4^=10^4^a﹣10^4^×10^4^×10^﹣3^﹣5×10^4^．
Eη≥0⇔10^4^a﹣10^4^×10﹣5×10^4^≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15（元）．
∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．
【点评】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB=4，点E在CC~1~上且C~1~E=3EC．
（Ⅰ）证明：A~1~C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；15：综合题；35：转化思想．
【分析】法一：（Ⅰ）要证A~1~C⊥平面BED，只需证明A~1~C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A~1~H，说明∠A~1~HG是二面角A~1~﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，证明A~1~C⊥平面DBE．
（Ⅱ）求出 平面DA~1~E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
【解答】解：解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A~1~C．（3分）
在平面A~1~CA内，连接EF交A~1~C于点G，
由于，
故Rt△A~1~AC∽Rt△FCE，∠AA~1~C=∠CFE，∠CFE与∠FCA~1~互余．
于是A~1~C⊥EF．A~1~C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A~1~C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A~1~H．由三垂线定理知A~1~H⊥DE，
故∠A~1~HG是二面角A~1~﹣DE﹣B的平面角．（8分）
，，．，．
又，．．
所以二面角A~1~﹣DE﹣B的大小为．（（12分））
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A~1~（2，0，4）．
，．（3分）
（Ⅰ）因为，，
故A~1~C⊥BD，A~1~C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A~1~C⊥平面DBE．（6分）
（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA~1~E的法向量，则，．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9分）等于二面角A~1~﹣DE﹣B的平面角，
所以二面角A~1~﹣DE﹣B的大小为．（12分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
20．（12分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~．已知a~1~=a，a~n+1~=S~n~+3^n^，n∈N^\*^．
（Ⅰ）设b~n~=S~n~﹣3^n^，求数列{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若a~n+1~≥a~n~，n∈N^\*^，求a的取值范围．
【考点】81：数列的概念及简单表示法；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）依题意得S~n+1~=2S~n~+3^n^，由此可知S~n+1~﹣3^n+1^=2（S~n~﹣3^n^）．所以b~n~=S~n~﹣3^n^=（a﹣3）2^n﹣1^，n∈N^\*^．
（Ⅱ）由题设条件知S~n~=3^n^+（a﹣3）2^n﹣1^，n∈N^\*^，于是，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=，由此可以求得a的取值范围是\[﹣9，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，S~n+1~﹣S~n~=a~n+1~=S~n~+3^n^，即S~n+1~=2S~n~+3^n^，
由此得S~n+1~﹣3^n+1^=2S~n~+3^n^﹣3^n+1^=2（S~n~﹣3^n^）．（4分）
因此，所求通项公式为b~n~=S~n~﹣3^n^=（a﹣3）2^n﹣1^，n∈N^\*^．①（6分）
（Ⅱ）由①知S~n~=3^n^+（a﹣3）2^n﹣1^，n∈N^\*^，
于是，当n≥2时，
a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=3^n^+（a﹣3）×2^n﹣1^﹣3^n﹣1^﹣（a﹣3）×2^n﹣2^=2×3^n﹣1^+（a﹣3）2^n﹣2^，
a~n+1~﹣a~n~=4×3^n﹣1^+（a﹣3）2^n﹣2^=，
当n≥2时，⇔a≥﹣9．
又a~2~=a~1~+3＞a~1~．
综上，所求的a的取值范围是\[﹣9，+∞）．（12分）
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
【考点】96：平行向量（共线）；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x~0~，kx~0~），E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），且x~1~，x~2~满足方程（1+4k^2^）x^2^=4，进而求得x~2~的表达式，进而根据求得x~0~的表达式，由D在AB上知x~0~+2kx~0~=2，进而求得x~0~的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知\|BO\|和\|AO\|的值，设y~1~=kx~1~，y~2~=kx~2~，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x~0~，kx~0~），E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），其中x~1~＜x~2~，
且x~1~，x~2~满足方程（1+4k^2^）x^2^=4，
故．①
由知x~0~﹣x~1~=6（x~2~﹣x~0~），得；
由D在AB上知x~0~+2kx~0~=2，得．
所以，
化简得24k^2^﹣25k+6=0，
解得或．
（Ⅱ）由题设，\|BO\|=1，\|AO\|=2．由（Ⅰ）知，E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），
不妨设y~1~=kx~1~，y~2~=kx~2~，由①得x~2~＞0，根据E与F关于原点对称可知y~2~=﹣y~1~＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S~△OBE~+S~△OBF~+S~△OAE~+S~△OAF~
=•（﹣y~1~）
=
=x~2~+2y~2~
===，
当x~2~=2y~2~时，上式取等号．所以S的最大值为．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．
22．（12分）设函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）令g（x）=ax﹣f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分类讨论的方法求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）．（2分）
当（k∈Z）时，，即f\'（x）＞0；
当（k∈Z）时，，即f\'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间（k∈Z）是减函数．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax﹣f（x），则==．
故当时，g\'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
当时，令h（x）=sinx﹣3ax，则h\'（x）=cosx﹣3a．
故当x∈\[0，arccos3a）时，h\'（x）＞0．
因此h（x）在\[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，．
当a≤0时，有．
因此，a的取值范围是．（12分）
【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
| 1 | |
**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第4课《分数、百分数应用题2》试题附答案**
**答案**
\
\
\
\
\
\
六年级奥数上册：第三讲 分数、百分数应用题（二）习题
| 1 | |
**北师大版小学五年级上册数学第1单元《小数除法------人民币兑换》同步检测2（附答案）**
一、竖式计算。
0.728÷0.8 4÷0.125 1.28÷25 2.34÷0.65
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、列式计算。
1、2.5除以24，商是多少？
2、0.96除1.44，商是多少？
三、选择题。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、保留两位小数，表示精确到（ ）。
A、十分位 B、百分位 C、百位 D、千分位
2、一个两位小数的近似值是5.0，这个两位小数可能是（ ）。
A、5.05 B、4.9 C、4.94 D、5.04
3、把8.746精确到百分位约是（ ）。
A、8.75 B、8.74 C、8.80 D、9.00
4、两个数相除，被除数不变，除数扩大100倍，商（ ）。
A、扩大100倍 B、缩小100倍 C、不变 D、无法确定
四、竖式计算。来源：www.bcjy123.com/tiku/
7.5÷28（保留一位小数。） 8÷70（精确到百分位）
3.2÷0.23（保留三位小数。） 1.36×0.48（精确到百分位）
五、小华用10元钱买了1.8千克香蕉，平均每千克香蕉多少钱？（保留一位小数。）
六、葛洲坝水电站的年发电量约是84亿千瓦时，预计三峡水电站年发电是葛洲坝的9.98倍，三峡水电站的年发电量是多少亿千瓦时？（得数保留整数）
七、飞机的速度是汽车的几倍？（得数保留一位小数。）
八、计算下面各题，得数保留两位小数。
4.92÷4.2 3.61÷0.58
0.42÷4.5 0.382÷0.13
九、某小学今年七月份办公费开支1095.6元，平均每天开支多少元？（得数保留整数。）
十、一位驾驶员一天节约汽油3.23千克，已知汽车每行驶1千米需要汽油0.014千克。照这样计算，一天节约汽油能行驶多少千米？（得数保留整数。）
**答案：**
一、0.91 32 0.512 3.6
二、1、2.5÷24≈0.104
2、1.44÷0.96 = 1.5
三、1、B 2、D 3、A 4、B
四、0.3 0.11 13.913 0.65
五、10÷1.8 ≈ 5.6（元）
六、84×9.98 ≈ 838（亿千瓦时）
七、750÷46 ≈ 16.3
八、1.17 6.22 0.09 0.05
九、1095.6÷31 ≈ 35（元）
十、3.22÷0.014 ≈ 231（千米）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
来源：www.bcjy123.com/tiku/
来源：www.bcjy123.com/tiku/
来源：www.bcjy123.com/tiku/
来源：www.bcjy123.com/tiku/
| 1 | |
{width="0.375in" height="0.4861111111111111in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
**数学Ⅰ**
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 注意事项 |
| |
| 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 |
| |
| 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题\~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 |
| |
| 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 |
| |
| 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 |
| |
| 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 |
| |
| 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
参考公式：
> 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．**
1．已知集合，则 [ ▲]{.underline} ．
2．已知是虚数单位，则复数的实部是 [ ▲]{.underline} ．
3．已知一组数据的平均数为4，则的值是 [ ▲]{.underline} ．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 [ ▲]{.underline} ．
5．如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是 [ ▲]{.underline} ．
{width="1.556603237095363in" height="2.4837281277340333in"}
6．在平面直角坐标系*xOy*中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 [ ▲]{.underline} ．
7．已知*y*=*f*(*x*)是奇函数，当*x*≥0时，，则的值是 [ ▲]{.underline} ．
8．已知=，则的值是 [ ▲]{.underline} ．
> 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 [ ▲]{.underline} cm.
{width="1.9402985564304462in" height="1.7055818022747156in"}
> 10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与*y*轴最近的对称轴的方程是
>
> [ ▲]{.underline} ．
11．设{*a~n~*}是公差为*d*的等差数列，{*b~n~*}是公比为*q*的等比数列．已知数列{*a~n~*+*b~n~*}的前*n*项和，则*d*+*q*的值是 [ ▲]{.underline} ．
12．已知，则的最小值是 [ ▲]{.underline} ．
13．在△*ABC*中，*D*在边*BC*上，延长*AD*到*P*，使得*AP*=9，若（*m*为常数），则*CD*的长度是 [ ▲]{.underline} ．
{width="2.8301891951006124in" height="0.9004975940507437in"}
14．在平面直角坐标系*xOy*中，已知，*A*，*B*是圆*C*：上的两个动点，满足，则△*PAB*面积的最大值是 [ ▲]{.underline} ．
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15．（本小题满分14分）
> 在三棱柱*ABC*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*⊥*AC*，*B*~1~*C*⊥平面*ABC*，*E*，*F*分别是*AC*，*B*~1~*C*的中点．
>
> （1）求证：*EF*∥平面*AB*~1~*C*~1~；
>
> （2）求证：平面*AB*~1~*C*⊥平面*ABB*~1~．
>
> {width="2.811111111111111in" height="2.5284722222222222in"}
16．（本小题满分14分）
> 在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
>
> （1）求的值；
>
> （2）在边*BC*上取一点*D*，使得，求的值．
>
> {width="2.3208333333333333in" height="1.3868055555555556in"}
17．（本小题满分14分）
> 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底*O*在水平线*MN*上，桥*AB*与*MN*平行，为铅垂线(在*AB*上)．经测量，左侧曲线*AO*上任一点*D*到*MN*的距离(米)与*D*到的距离*a*(米)之间满足关系式；右侧曲线*BO*上任一点*F*到*MN*的距离(米)与*F*到的距离*b*(米)之间满足关系式.已知点*B*到的距离为40米．
>
> （1）求桥*AB*的长度；
>
> （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩*CD*和*EF*，且*CE*为80米，其中*C*，*E*在*AB*上(不包括端点)．.桥墩*EF*每米造价*k*(万元)、桥墩*CD*每米造价(万元)(*k*\>0)，问为多少米时，桥墩*CD*与*EF*的总造价最低？
>
> {width="1.8122736220472442in" height="1.9164271653543308in"}
18．（本小题满分16分）
> 在平面直角坐标系*xOy*中，已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*A*在椭圆*E*上且在第一象限内，*AF*~2~⊥*F*~1~*F*~2~，直线*AF*~1~与椭圆*E*相交于另一点*B*．
>
> {width="2.750676946631671in" height="1.7395833333333333in"}
>
> （1）求的周长；
>
> （2）在*x*轴上任取一点*P*，直线*AP*与椭圆*E*的右准线相交于点*Q*，求的最小值；
>
> （3）设点*M*在椭圆*E*上，记与的面积分别为*S*~1~，*S*~2~，若，求点*M*的坐标．
19．（本小题满分16分）
> 已知关于*x*的函数与在区间*D*上恒有．
>
> （1）若，求*h*(*x*)的表达式；
>
> （2）若，求*k*的取值范围；
>
> （3）若求证：．
20．（本小题满分16分）
> 已知数列的首项*a*~1~=1，前*n*项和为*S~n~*．设*λ*与*k*是常数，若对一切正整数*n*，均有成立，则称此数列为"*λ*～*k*"数列．
>
> （1）若等差数列是"*λ*～1"数列，求*λ*的值；
>
> （2）若数列是""数列，且，求数列的通项公式；
>
> （3）对于给定的*λ*，是否存在三个不同的数列为"*λ～*3"数列，且？若存在，求*λ*的取值范围；若不存在，说明理由．
>
> **数学Ⅰ试题参考答案**
**一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.**
1． 2．3 3．2 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11．4 12． 13．或0 14．
**二、解答题**
15．**本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.**
> 证明：因为分别是的中点，所以.
>
> 又平面，平面，
>
> 所以平面.
{width="2.395533683289589in" height="1.5623042432195975in"}
> （2）因为平面，平面,
>
> 所以.
>
> 又,平面,平面,
>
> 所以平面.
>
> 又因为平面,所以平面平面.
>
> 16．**本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.**
>
> 解：（1）在中，因为，
>
> 由余弦定理，得，
>
> 所以.
>
> 在中，由正弦定理，
>
> 得，
>
> 所以
>
> （2）在中，因为,所以为钝角，
>
> 而,所以为锐角.
>
> 故则.
>
> 因为，所以，.
>
> 从而.
>
> 17．**本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.**
>
> 解：（1）设都与垂直，是相应垂足.
>
> 由条件知，当时，
>
> 则.
>
> 由得
>
> 所以（米）.
>
> {width="1.90625in" height="2.3020833333333335in"}
>
> （2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.
>
> 设则
>
> .
>
> 因为所以.
>
> 设则
>
> 所以
>
> 记桥墩和的总造价为，
>
> 则
>
> ，
>
> 令 得
>
> {width="4.322916666666667in" height="0.9166666666666666in"}
>
> 所以当时，取得最小值.
>
> 答：（1）桥的长度为120米；
>
> （2）当为20米时，桥墩和的总造价最低.
>
> 18．**本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.**
>
> 解：（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
>
> 则.
>
> 所以的周长为.
>
> （2）椭圆的右准线为.
>
> 设，
>
> 则，
>
> 在时取等号.
>
> 所以的最小值为.
>
> {width="2.4270833333333335in" height="1.8854166666666667in"}
>
> （3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，
>
> 则.
>
> 所以直线
>
> 设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
>
> 由此得，
>
> 则或.
>
> 由得，此方程无解；
>
> 由得，所以或.
>
> 代入直线，对应分别得或.
>
> 因此点的坐标为或.
19．**本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.**
> 解:（1）由条件，得，
>
> 取，得，所以．
>
> 由，得，此式对一切恒成立，
>
> 所以，则，此时恒成立，
>
> 所以．
>
> （2）.
>
> 令，则令，得.
>
> {width="4.385416666666667in" height="0.9166666666666666in"}
>
> 所以.则恒成立，
>
> 所以当且仅当时，恒成立．
>
> 另一方面，恒成立，即恒成立，
>
> 也即恒成立．
>
> 因为，对称轴为，
>
> 所以，解得．
>
> 因此，*k*的取值范围是
>
> （3）①当时，
>
> 由，得，整理得
>
> 令 则．
>
> 记
>
> 则恒成立，
>
> 所以在上是减函数，则，即．
>
> 所以不等式有解，设解为，
>
> 因此．
>
> ②当时，
>
> ．
>
> 设，
>
> 令，得．
>
> 当时，，是减函数；
>
> 当时，，是增函数．
>
> ，，则当时，．
>
> （或证：．）
>
> 则，因此．
>
> 因为，所以．
>
> ③当时，因为，均为偶函数，因此也成立．
>
> 综上所述，．
20．**本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．**
> 解：（1）因为等差数列是"**λ**～1"数列，则，即，
>
> 也即，此式对一切正整数*n*均成立．
>
> 若，则恒成立，故，而，
>
> 这与是等差数列矛盾．
>
> 所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是"1～1"数列）
>
> （2）因为数列是""数列，
>
> 所以，即．
>
> 因为，所以，则．
>
> 令，则，即．
>
> 解得，即，也即，
>
> 所以数列是公比为4的等比数列．
>
> 因为，所以．则
>
> （3）设各项非负的数列为""数列，
>
> 则，即．
>
> 因为，而，所以，则．
>
> 令，则，即．（\*）
>
> ①若或，则（\*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．
>
> （此数列为1，0，0，0，...）
>
> ②若，则（\*）化为，
>
> 因为，所以，则（\*）只有一解为，
>
> 即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，...）
>
> ③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，
>
> 则方程（\*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为*t*）．
>
> 所以或．
>
> 由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个．
>
> 综上所述，能存在三个各项非负的数列为""数列，的取值范围是．
>
> **数学Ⅱ(附加题)**
**21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
> A．\[选修4-2：**矩阵与变换**\]（本小题满分10分）
>
> 平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点．
>
> （1）求实数，的值；
>
> （2）求矩阵的逆矩阵．
>
> B．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分10分）
>
> 在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
>
> （1）求，的值；
>
> （2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
>
> C．\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分10分）
>
> 设，解不等式．
**【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
22．（本小题满分10分）
> 在三棱锥*A*---*BCD*中，已知*CB*=*CD*=,*BD*=2，*O*为*BD*的中点，*AO*⊥平面*BCD*，*AO*=2，*E*为*AC*的中点．
{width="1.1770833333333333in" height="1.3020833333333333in"}
（1）求直线*AB*与*DE*所成角的余弦值；
（2）若点*F*在*BC*上，满足*BF*=*BC*，设二面角*F*---*DE*---*C*的大小为*θ*，求sin*θ*的值．
23．（本小题满分10分）
> 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复*n*次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为*X~n~*，恰有2个黑球的概率为*p~n~*，恰有1个黑球的概率为*q~n~*．
（1）求*p*~1~，*q*~1~和*p*~2~，*q*~2~；
（2）求2*p~n~*+*q~n~*与2*p~n-~*~1~+*q~n-~*~1~的递推关系式和*X~n~*的数学期望*E*(*X~n~*)(用*n*表示) ．
**数学Ⅱ(附加题)参考答案**
**21．【选做题】**
A．**\[选修4-2：矩阵与变换\]**
> **本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．**
>
> 解：（1）因为 ，所以
>
> 解得，所以．
>
> （2）因为，，所以可逆，
>
> 从而．
B．**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
> **本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．**
>
> 解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圆*C*上，
>
> 因此或0．
>
> （2）由得，所以．
>
> 因为，，所以，．
>
> 所以公共点的极坐标为．
C．**\[选修4-5：不等式选讲\]**
> **本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．**
>
> 解：当*x*\>0时，原不等式可化为，解得；
>
> 当时，原不等式可化为，解得；
>
> 当时，原不等式可化为，解得．
>
> 综上，原不等式的解集为．
22．**【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．**
> 解：（1）连结*OC*，因为*CB* =*CD*，*O*为*BD*中点，所以*CO*⊥*B*D．
>
> 又*AO*⊥平面*BCD*，所以*AO*⊥*OB*，*AO*⊥*O*C．
>
> 以为基底，建立空间直角坐标系*O*--*xyz*．
>
> 因为*BD*=2，，*AO*=2，
>
> 所以*B*（1，0，0），*D*（--1，0，0），*C*（0，2，0），*A*（0，0，2）．
>
> 因为*E*为*AC*的中点，所以*E*（0，1，1）．
>
> 则=（1，0，--2），=（1，1，1），
>
> 所以．
>
> 因此，直线*AB*与*DE*所成角的余弦值为．
>
> （2）因为点*F*在*BC*上，，=（--1，2，0）．
>
> 所以．
>
> 又，
>
> 故．
>
> 设为平面*DEF*的一个法向量，
>
> 则即
>
> 取，得，，所以．
>
> 设为平面*DEC*的一个法向量，又=（1，2，0），
>
> 则即取，得，，
>
> 所以．
>
> 故．
>
> 所以．
>
> {width="2.661111111111111in" height="2.747916666666667in"}
23．**【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．**
> 解：（1），，
>
> ，
>
> ．
>
> （2）当时，
>
> ，①
>
> ，②
>
> ，得．
>
> 从而，又，
>
> 所以，．③
>
> 由②，有，又，
>
> 所以，．
>
> 由③，有，．
>
> 故，．
>
> 的概率分布
0 1 2
-- --- --- ---
> 则．
| 1 | |
**北师大版四年级数学上册全套试卷**
特别说明：本试卷为最新北师大版教材（新版）配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.第七单元测评卷
2\. 第二单元测评卷 13.第八单元测评卷
3\. 阶段测评卷（一） 14.阶段测评卷（四）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（一）
5\. 第四单元测评卷 16.分类测评卷（二）
6\. 阶段测评卷（二） 17.分类测评卷（三）
7\. 期中测评卷（一） 18.分类测评卷（四）
8\. 期中测评卷（二） 19.分类测评卷（五）
9\. 第五单元测评卷 20.期末测评卷（一）
10.第六单元测评卷 21.期末测评卷（二）
11.阶段测评卷（三） 22.期末测评卷（三）
附：参考答案
| 1 | |
######### **考研线性代数必考的知识点**
######### **1、行列式**
1. 行列式共有个元素，展开后有**项**，可分解为行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、和的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；
3. 代数余子式和余子式的关系：
4. 设行列式：
将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；
将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；
将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；
将主副角线翻转后，所得行列式为，则；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；
④、和：副对角元素的乘积；
⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
7. 证明的方法：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值；
######### **2、矩阵**
1. 是阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组有非零解；
，总有唯一解；
与等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是的一组基；
是中某两组基的过渡矩阵；
8. 对于阶矩阵： **无条件恒**成立；
9.
10. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
11. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
②、；（主对角分块）
③、；（副对角分块）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
######### **3、矩阵的初等变换与线性方程组**
1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；
等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵、，若；
12. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
13. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
1. 若，则可逆，且；
②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；
③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；
14. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；
③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；
⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；
15. 矩阵秩的基本性质：
①、；
②、；
③、若，则；
④、若、可逆，则；（**可逆矩阵不影响矩阵的秩**）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）
Ⅰ、的**列**向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵，则；
16. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为**列矩阵（向量）行矩阵（向量）**的形式，再采用结合律；
②、型如的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：；
注：Ⅰ、展开后有项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质：；
③、利用特征值和相似对角化：
17. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：；
②、伴随矩阵的特征值：；
③、、
18. 关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）
②、，中有阶子式全部为0；
③、，中有阶子式不为0；
19. 线性方程组：，其中为矩阵，则：
①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；
②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；
20. 线性方程组的求解：
①、对增广矩阵进行初等行变换（**只能使用初等行变换**）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
21. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：
①、；
②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）
③、（全部按列分块，其中）；
④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）
######### **4、向量组的线性相关性**
1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；
个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
22. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
23. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)
24. ；(例15)
25. 维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关 ；
②、线性相关 坐标成比例或共线（平行）；
③、线性相关 共面；
26. 线性相关与无关的两套定理：
若线性相关，则必线性相关；
若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：
若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
27. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则；
向量组能由向量组线性表示，则；
向量组能由向量组线性表示
有解；
向量组能由向量组等价
28. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；
①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解
②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；
③、矩阵等价：（、可逆）；
29. 对于矩阵与：
①、若与行等价，则与的行秩相等；
②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵的行秩等于列秩；
30. 若，则：
①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；
②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）
31. 齐次方程组的解一定是的解，**考试中可以直接作为定理使用，而无需证明**；
①、 只有零解只有零解；
②、 有非零解一定存在非零解；
32. 设向量组可由向量组线性表示为：
（）
其中为，且线性无关，则组线性无关；（**与的列向量组具有相同线性相关性**）
（必要性：；充分性：反证法）
注：当时，为方阵，可当作定理使用；
33. ①、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关；
②、对矩阵，存在， 、的行向量线性无关；
34. 线性相关
存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）
有非零解，即有非零解；
，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
35. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；
36. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；
######### **5、相似矩阵和二次型**
1. 正交矩阵或（定义），性质：
①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；
②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；
③、若、正交阵，则也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记**施密特正交化**和**单位化**；
```{=html}
<!-- -->
```
37. 施密特正交化：
；
;
38. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于**实对称阵**，不同特征值对应的特征向量正交；
39. ①、与等价 经过初等变换得到；
，、可逆；
，、同型；
②、与合同 ，其中可逆；
与有相同的正、负惯性指数；
③、与相似 ；
40. 相似一定合同、合同未必相似；
若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
41. 为对称阵，则为二次型矩阵；
42. 元二次型为正定：
的正惯性指数为；
与合同，即存在可逆矩阵，使；
的所有特征值均为正数；
的各阶顺序主子式均大于0；
；(**必要条件**)
| 1 | |
**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第13课《面积计算》试题附答案**
\
\
\
\
**答案**
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
五年级奥数上册：第十四讲 面积计算 习题解答
| 1 | |
**数一数（二）同步练习**
一、填空。
（1）一个数，从右起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）位；第三位是（ ）位。千位在第（ ）位。第（ ）位是万位。\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
（2）2957个位上的数是（ ），表示（ ）个（ ）；百位上的数是（ ），表示（ ）个（ ）。千位上的数是（ ），表示（ ）个（ ）。
（3）一个四位数，最高位上的数是9，其它数位上的数是最小的一位数，这个数是（ ）。
（4）最大的四位数是（ ），最小的五位数是( ),它们相差（ ）。
（5）4000是一个（ ）位数，比它小1的数是（ ），比它大1的数是（ ）。\[来源:学,科,网\]
（6）用3、0、6、9四个数字组成一个最大的四位数是（ ）。
（7）10个十是（ ），100个十是（ ），100个百是（ ）。
（8）一千一千地数，10个一千是（ ）。
（9）一百一百地数，九百前面的数是（ ），后面的数是（ ）。
（10）最小的四位数和最大的三位数相差（ ）。
（11）数出9800后面的5个数：（ ）,（ ），（ ），（ ），（ ）。
（12）由3个千，4个百，5个一组成的数是（ ）；由7个千，8
个十组成的数是（ ）。
（13）7654是（ ）位数，最高位是（ ）位；208是（ ）位
数，最高位上的数是（ ），表示（ ）个百。
二、读数。
2067（ ） 3302（ ） 1008（ ）
4000（ ） 506（ ） 4100（ ）
三、写数。
七千零一（ ） 两千六百零四（ ） 八千二百（ ）\[来源:Zxxk.Com\]
一万（ ） 三千三百零三（ ） 四千一百零五（ ）
四、填一填。
2097（一个一个数）（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
9800（十个十个数）（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
3002（一个一个倒着数）（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
6800（十个十个倒着数）（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
五、填"十、百、千、万"。
1. 我们学校大约有两（ ）人 2. 一节火车厢大约能坐两（ ）人
3. 一列火车大约能坐两（ ）人 4. 一棵大树上大约有一（ ）片树叶
5. 一个班大约有六（ ）人 6. 一本书大约有二（ ）页
七．判断。（对的打"√"，错的打"×"）
（1）303中的两个3都表示3个一。
（2）889后面的数是900。
（3）与999相邻的两个数是998和1000。
八.估一估，填一填。（十、百、千）
（1）一本书大约有二（ ）页。
（2）一列火车大约有乘客一（ ）人。
（3）一辆汽车大约坐四（ ）人。
九.用2，5，8能组成多少个不同的三位数？写在下面
参考答案：
一、填空。
（1）一个数，从右起，第一位是（个 ）位，第二位是（百 ）位；第三位是（千 ）位。千位在第（3 ）位。第（ 4）位是万位。
（2）2957个位上的数是（7 ），表示（7 ）个（1 ）；百位上的数是（9 ），表示（9）个（100 ）。千位上的数是（ 2），表示（2 ）个（1000 ）。
（3）一个四位数，最高位上的数是9，其它数位上的数是最小的一位数，这个数是（9111 ）。
（4）最大的四位数是（9999 ），最小的五位数是( 10000),它们相差（ 1）。
（5）4000是一个（4 ）位数，比它小1的数是（3999 ），比它大1的数是（4001 ）。
（6）用3、0、6、9四个数字组成一个最大的四位数是（9630 ）。
（7）10个十是（100 ），100个十是（1000 ），100个百是（10000 ）。
（8）一千一千地数，10个一千是（10000 ）。
（9）一百一百地数，九百前面的数是（ 800 ），后面的数是（1000 ）。
（10）最小的四位数和最大的三位数相差（ 1 ）。
（11）数出9800后面的5个数：（ 9801 ）,（ 9802 ），（ 9803 ），（ 9804 ），（ 9805 ）。
（12）由3个千，4个百，5个一组成的数是（ 3401 ）；由7个千，8
个十组成的数是（ 7080 ）。
（13）7654是（ 4 ）位数，最高位是（ 千 ）位；208是（ 3 ）位
数，最高位上的数是（ 百 ），表示（ 2 ）个百。
二、读数。
2067（两千零六十七 ） 3302（三千三百零二 ） 1008（一千零八 ）
4000（四千 ） 506（五百零六 ） 4100（四千一百 ）
三、写数。\[来源:学,科,网\]
七千零一（7001 ） 两千六百零四（2604 ） 八千二百（8200 ）\[来源:Zxxk.Com\]
一万（10000 ） 三千三百零三（ 3303） 四千一百零五（4105 ）
四、填一填。
2097（一个一个数）（2098 ）、（ 2099）、（2100 ）、（2101）。
9800（十个十个数）（9810 ）、（9820 ）、（9830 ）、（9840 ）。
3002（一个一个倒着数）（3001 ）、（3000 ）、（2999 ）、（2998 ）。
6800（十个十个倒着数）（ 6790）、（6780 ）、（6770 ）、（6760 ）。
五、填"十、百、千、万"。
1. 我们学校大约有两（千 ）人 2. 一节火车厢大约能坐两（ 百）人
3. 一列火车大约能坐两（千 ）人 4. 一棵大树上大约有一（万 ）片树叶
5. 一个班大约有六（十 ）人 6. 一本书大约有二（百 ）页
七．判断。（对的打"√"，错的打"×"）
（1）× （2）× （3）√
八.估一估，填一填。（十、百、千）
（1）一本书大约有二（ 百 ）页。
（2）一列火车大约有乘客一（ 千 ）人。
（3）一辆汽车大约坐四（ 十 ）人。
九.用2，5，8能组成多少个不同的三位数？写在下面
258，285，528，582，825，852
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
**2019年安徽省中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．**
1．（4分）（2019•安徽）在，，0，1这四个数中，最小的数是
A． B． C．0 D．1
2．（4分）（2019•安徽）计算的结果是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•安徽）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图
是
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•安徽）2019年"五一"假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•安徽）已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为
A．3 B． C． D．
6．（4分）（2019•安徽）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：为
A．60 B．50 C．40 D．15
7．（4分）（2019•安徽）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
8．（4分）（2019•安徽）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
9．（4分）（2019•安徽）已知三个实数，，满足，，则
A．， B．， C．， D．，
10．（4分）（2019•安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是
A．0 B．4 C．6 D．8
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．（5分）（2019•安徽）计算的结果是[ ]{.underline}．
12．（5分）（2019•安徽）命题"如果，那么，互为相反数"的逆命题为[ ]{.underline}．
13．（5分）（2019•安徽）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为[ ]{.underline}．
14．（5分）（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点．若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）**
15．（8分）（2019•安徽）解方程：．
16．（8分）（2019•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．
（1）将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，请画出线段．
（2）以线段为一边，作一个菱形，且点，也为格点．（作出一个菱形即可）
**四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）**
17．（8分）（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
18．（8分）（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：[ ]{.underline}；
（2）写出你猜想的第个等式：[ ]{.underline}（用含的等式表示），并证明．
**五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）**
19．（10分）（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，，若点为运行轨道的最高点，的连线垂直于，求点到弦所在直线的距离．
（参考数据：，，
20．（10分）（2019•安徽）如图，点在内部，，．
（1）求证：；
（2）设的面积为，四边形的面积为，求的值．
**六、（本题满分12分）**
21．（12分）（2019•安徽）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ --- ------ ------ ------ ------ ------ ---
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ --- ------ ------ ------ ------ ------ ---
按照生产标准，产品等次规定如下：
-------------- ----------
尺寸（单位： 产品等次
特等品
优等品
合格品
或 非合格品
-------------- ----------
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为．
求的值；
将这些优等品分成两组，一组尺寸大于，另一组尺寸不大于，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
**七、（本题满分12分）**
22．（12分）（2019•安徽）一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求，，的值；
（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．
**八、（本题满分14分）**
23．（14分）（2019•安徽）如图，中，，，为内部一点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证．
**2019年安徽省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．**
1．（4分）在，，0，1这四个数中，最小的数是
A． B． C．0 D．1
【考点】有理数大小比较
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
在，，0，1这四个数中，最小的数是．
故选：．
2．（4分）计算的结果是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：．
故选：．
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：
故选：．
4．（4分）2019年"五一"假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为．
故选：．
5．（4分）已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为
A．3 B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；：关于轴、轴对称的点的坐标
【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特征确定的坐标为，然后把的坐标代入中即可得到的值．
【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为，
把代入得．
故选：．
6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：为
A．60 B．50 C．40 D．15
【考点】众数；条形统计图
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：由条形图知，50个数据的中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为，
故选：．
7．（4分）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决．
【解答】解：作交于点，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
，
，
即，
解得，，
，
故选：．
8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
【考点】有理数的混合运算
【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．
【解答】解：2019年全年国内生产总值为：（万亿），
2020年全年国内生产总值为：（万亿），
国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，
故选：．
9．（4分）已知三个实数，，满足，，则
A．， B．， C．， D．，
【考点】不等式的性质；因式分解的应用
【分析】根据，，可以得到与、的关系，从而可以判断的正负和的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
即，，
故选：．
10．（4分）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是
A．0 B．4 C．6 D．8
【考点】正方形的性质
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，可得点到点和点的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，
点，将对角线三等分，且，
，，
点与点关于对称
，
则在线段存在点到点和点的距离之和最小为
在线段上点的左右两边各有一个点使，
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有8个点满足，
故选：．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．（5分）计算的结果是[ 3 ]{.underline}．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：．
故答案为：3
12．（5分）命题"如果，那么，互为相反数"的逆命题为[ 如果，互为相反数，那么 ]{.underline}．
【考点】命题与定理
【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
【解答】解：命题"如果，那么，互为相反数"的逆命题为：
如果，互为相反数，那么；
故答案为：如果，互为相反数，那么．
13．（5分）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为[ ]{.underline}．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【分析】连接并延长交于，连接，于是得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：连接并延长交于，连接，
则，，
的半径为2，
，
，
，，
，
故答案为：．
14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点．若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是[ 或 ]{.underline}．
【考点】：二次函数图象与系数的关系；：一次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征；：一次函数图象与几何变换
【分析】由与轴的交点为，可知当，都在轴的下方时，直线与轴的交点要在的左侧，即可求解；
【解答】解：与轴的交点为，
平移直线，可以使，都在轴的下方，
当时，，
，
或；
故答案为或；
**三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）**
15．（8分）解方程：．
【考点】解一元二次方程直接开平方法
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得：，
或，
解得：，．
16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．
（1）将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，请画出线段．
（2）以线段为一边，作一个菱形，且点，也为格点．（作出一个菱形即可）
【考点】菱形的判定；作图平移变换
【分析】（1）直接利用平移的性质得出，点位置，进而得出答案；
（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：线段即为所求；
（2）如图：菱形即为所求，答案不唯一．
**四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）**
17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米．根据"甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米"列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，
由题意，得，
解得，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：[ ]{.underline}；
（2）写出你猜想的第个等式：[ ]{.underline}（用含的等式表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；
（2）
证明：右边左边．
等式成立，
故答案为：．
**五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）**
19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，，若点为运行轨道的最高点，的连线垂直于，求点到弦所在直线的距离．
（参考数据：，，
【考点】解直角三角形的应用；圆周角定理；垂径定理
【分析】连接并延长，与交于点，由与垂直，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出，进而求出，由求出的长即可．
【解答】解：连接并延长，与交于点，
，（米，
在中，，
，即（米，
，即（米，
则（米．
20．（10分）如图，点在内部，，．
（1）求证：；
（2）设的面积为，四边形的面积为，求的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】（1）根据证明：；
（2）根据点在内部，可知：，可得结论．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
同理得，
在和中，
，
；
（2）点在内部，
，
由（1）知：，
，
，
的面积为，四边形的面积为，
．
**六、（本题满分12分）**
21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ --- ------ ------ ------ ------ ------ ---
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ --- ------ ------ ------ ------ ------ ---
按照生产标准，产品等次规定如下：
-------------- ----------
尺寸（单位： 产品等次
特等品
优等品
合格品
或 非合格品
-------------- ----------
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为．
求的值；
将这些优等品分成两组，一组尺寸大于，另一组尺寸不大于，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
【考点】中位数；列表法与树状图法；频数（率分布表
【分析】（1）由，不合格的有个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案；
（2）由可得答案；由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）不合格．
因为，不合格的有个，给出的数据只有①②两个不合格；
（2）优等品有⑥⑪，中位数在⑧8.98，⑨之间，
，
解得
大于的有⑨⑩⑪，小于的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩
画树状图为：
共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．
抽到两种产品都是特等品的概率．
**七、（本题满分12分）**
22．（12分）一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求，，的值；
（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质
【分析】（1）由交点为，代入，可求得，由可知，二次函数的顶点在轴上，即，则可求得顶点的坐标，从而可求值，最后可求的值
（2）由（1）得二次函数解析式为，令，得，可求的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，，解得，
又二次函数顶点为，
把带入二次函数表达式得，解得
（2）由（1）得二次函数解析式为，令，得
，设，两点的坐标分别为，，，则，
当时，取得最小值7
**八、（本题满分14分）**
23．（14分）如图，中，，，为内部一点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证．
【考点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；
（3）先判断出，得出，即，再由，判断出，即可得出结论．
【解答】解：（1），，
又，
又，
（2）
在中，，
（3）如图，过点作，交、于点，，
，，，
，
，
又
，
，
，即，
，
，
．
即：．
| 1 | |
**高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析**
**"会而不对，对而不全"一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。**
**【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。**
1. **设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？**
**【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。**
**解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。**
**【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡ****Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．**
**（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质"确定性、无序性、互异性"特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。**
**【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是 [ ]{.underline} 。答案：或。**
**【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。**
**例2、已知,求的取值范围**
**【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。**
> **解析：由于得(x+2)^2^=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x^2^+y^2^=-3x^2^-16x-12=**
**+因此当x=-1时x^2^+y^2^有最小值1, 当x=-时，x^2^+y^2^有最大值。故x^2^+y^2^的取值范围是\[1, \]**
**【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。**
**【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（）**
**（A）（B）（C）（D）**
**答案：A**
**【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。**
3. **是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数**
**【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。**
**解析：（1）利用（或）求得a=1.**
**（2）由即，设,则由于故，，而所以**
**【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。**
**（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。**
**【练3】（2004全国理）函数的反函数是（）**
**A、 B、**
**C、 D、**
**答案：B**
**【易错点4】求反函数与反函数值错位**
**例4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线对称，则的解析式为（）**
**A、 B、 C、 D、**
**【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为的反函数是则==而错选A。**
**解析：由得从而再求的反函数得。正确答案：B**
**【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他只是表示中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设则，**
**再将x、y互换即得的反函数为，故的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。**
**【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log~2~x的反函数是y=f^-1^(x)，则函数y= f^-1^(1-x)的图象是（）**
**答案：B**
**【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。**
5. **判断函数的奇偶性。**
**【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。**
**解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。**
**【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。**
**（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。**
**【练5】判断下列函数的奇偶性：**
**①②③**
**答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数**
**【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。**
6. **函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。**
**【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。**
**解析：，故为奇函数从而为奇函数。又令在和上均为增函数且为增函数，故在和上分别为增函数。故分别在和上分别为增函数。**
**【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。**
**【练6】（1）（99全国高考题）已知 ，则如下结论正确的是（）**
**A、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数**
**C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数**
**答案：A**
**（2）（2005天津卷）设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（）A、 B、 C、 D、**
**答案：**A （**时，单调增函数，所以.**）
**【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。**
**例7、试判断函数的单调性并给出证明。**
**【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。**
**解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调性即可。设 ， 由于 故当 时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在和上分别为减函数.**
**【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。**
**（2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函数，在上是减函数，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。**
**（3）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号"∪"和"或"，**
**【练7】（1） （潍坊市统考题）（1）用单调性的定义判断函数在上的单调性。（2）设在的最小值为，求的解析式。**
**答案：（1）函数在为增函数在为减函数。（2）**
**（2） （2001天津）设且为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在上的单调性并给出证明。**
**答案：（1）（2）函数在上为增函数（证明略）**
**【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。**
**例8、（2004全国高考卷）已知函数上是减函数，求a的取值范围。**
**【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。**
**解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。**
**【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。②时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。**
**因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。**
**【练8】（1）（2003新课程）函数是是单调函数的充要条件是（）**
**A、 B、 C、 D、**
**答案：A**
**（2）是否存在这样的K值，使函数在上递减，在上递增？**
**答案：。（提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。）**
**【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。**
**例9、 已知：a\>0 , b\>0 , a+b=1,求(a+)^2^+(b+)^2^的最小值。**
**错解 :(a+)^2^+(b+)^2^=a^2^+b^2^+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)^2^+(b+)^2^的最小值是8**
> **【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a^2^+b^2^≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。**
>
> **解析：原式= a^2^+b^2^+++4=( a^2^+b^2^)+(+)+4=\[(a+b)^2^-2ab\]+ \[(+)^2^-\]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()^2^= 得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)^2^+(b+)^2^的最小值是。**
>
> **【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即"一正、二定、三相等"，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。**
**【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。**
1. **把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；**
2. **为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？**
**答案为:（1）（2）使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度v=；当＞c时，行驶速度v=c。**
**【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。**
> **例10、是否存在实数a使函数在上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。**
>
> **【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。**
**解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a\>1时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有解得a\>1。（2）当a\<1时若使在上是增函数，则在上是减函数且大于零。不等式组无解。综上所述存在实数a\>1使得函数在上是增函数**
**【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。**
**【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设，且试求函数的的单调区间。**
**答案：当，函数在上单调递减在上单调递增当函数在上单调递增在上单调递减。**
**（2）（2005 高考天津）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、**
**答案：B.（记，则当时，要使得是增函数，则需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D当时，要使是函数，则需有恒成立，所以.排除A）**
**【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．**
**例11、已知求的最大值**
**【易错点分析】此题学生都能通过条件将问题转化为关于的函数，进而利用换元的思想令将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，**
**解析：由已知条件有且（结合）得，而==令则原式=根据二次函数配方得：当即时，原式取得最大值。**
**【知识点归类点拔】"知识"是基础，"方法"是手段，"思想"是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是"能力"，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。**
**【练11】（1）（高考变式题）设a\>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。**
**答案：f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为**
**（2）不等式\>ax＋的解集是(4,b)，则a＝\_\_\_\_\_\_\_\_，b＝\_\_\_\_\_\_\_。**
**答案：（提示令换元原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为）**
**【易错点12】已知求时, 易忽略n＝１的情况．**
**例12、（2005高考北京卷）数列前n项和且。（1）求的值及数列的通项公式。**
**【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。**
**解析：易求得。由得故得又，故该数列从第二项开始为等比数列故。**
**【知识点归类点拔】对于数列与之间有如下关系：利用两者之间的关系可以已知求。但注意只有在当适合时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。**
**【练12】（2004全国理）已知数列满足则数列的通项为 [ ]{.underline} 。**
**答案：（将条件右端视为数列的前n-1项和利用公式法解答即可）**
**【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）**
**例13、等差数列的首项，前n项和，当时，。问n为何值时最大?**
**【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。**
**解析：由题意知=此函数是以n为变量的二次函数，因为，当时，故即此二次函数开口向下，故由得当时取得最大值，但由于，故若为偶数，当时，最大。**
**当为奇数时，当时最大。**
**【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由知数列中的点是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和所对应的数列必为一等比数列的前n项和。**
**【练13】（2001全国高考题）设是等差数列，是前n项和，且，，则下列结论错误的是（）A、B、C、 D、和均为的最大值。**
**答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）**
**【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。**
**例14、已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，求的值。**
**【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。**
**解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：故从而=。**
**【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列，若，则；对于等比数列，若，则；若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列；若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列等性质要熟练和灵活应用。**
**【练14】（2003全国理天津理）已知方程和的四个根组成一个首项为的等差数列，则=（） A、1 B、 C、 D、**
**答案：C**
**【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况**
**例15、数列中，，，数列是公比为（）的等比数列。**
**（I）求使成立的的取值范围；（II）求数列的前项的和．**
**【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列是公比为（）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。**
**解：（I）∵数列是公比为的等比数列，∴，，由得，即（），解得．**
**（II）由数列是公比为的等比数列，得，这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是，又，，∴当时，**
**，当时，．**
**【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。**
**【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列的公比为q，前n项和（1）求q的取值范围。**
**答案：**
**【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。**
**例16、．（2003北京理）已知数列是等差数列，且**
**（1）求数列的通项公式（2）令求数列前项和的公式。**
**【思维分析】本题根据条件确定数列的通项公式再由数列的通项公式分析可知数列是一个等差数列和一个等比数列构成的"差比数列"，可用错项相减的方法求和。**
**解析：（1）易求得**
**（2）由（1）得令（Ⅰ）则（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得当当时**
**综上可得：**
**当当时**
**【知识点归类点拔】一般情况下对于数列有其中数列和分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。**
> **【练16】（2005全国卷一理）已知当时，求数列的前n项和**
>
> **答案：时当时.**
**【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。**
**例17、求...．**
**【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。**
**解：由等差数列的前项和公式得，∴，取，，，...，就分别得到，...，∴**
**．**
**【知识归类点拔】"裂项法"有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求，方法还是抓通项，即，问题会很容易解决。另外还有一些类似"裂项法"的题目，如：，求其前项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。**
**【练17】（2005济南统考）求和＋＋＋...＋．**
**答案：...＝．**
**【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。**
**例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~.**
**(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；**
**(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a~n~}，使得对于一切正整数k都有成立.**
**【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件"对于一切正整数k都有成立"这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。**
**解：（I）当时**
**由，即 又.**
**（II）设数列{*a~n~*}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得**
**由（1）得 当**
**若成立 ,**
> **若故所得数列不符合题意.当**
**若**
**若.**
**综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：**
**①{*a~n~*} : *a~n~*=0，即0，0，0，...；②{*a~n~*} : *a~n~*=1，即1，1，1，...； ③{*a~n~*} : *a~n~*=2n－1，即1，3，5，...，**
**【知识点归类点拔】事实上，"条件中使得对于一切正整数k都有成立."就等价于关于k的方程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。**
**【练18】（1）（2000全国）已知数列,其中,且数列为等比数列.求常数p**
**答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）**
**【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.**
**例19、已知双曲线，直线，讨论直线与双曲线公共点的个数**
**【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。**
**解析：联立方程组消去y得到（1）当时，即，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当时即，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当时，方程组有两个交点此时且。（4）当时即或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。**
**综上知当或时直线与双曲线只有一个交点，当且。时直线与双曲线有两个交点，当或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。**
**【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。**
**【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆的方程为，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线与椭圆及双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足，其中O为原点，求k的取值范围。答案：（1）（2）**
**（2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有\_\_\_\_条。答案：4条（可知k~l~存在时，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k^2^)x^2^+2k(k-1)x-**
**(1-k^2^)-4=0,∴ 当4-k^2^=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有，有一个切点另：当k~l~不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线）**
**【易错点20】易遗忘关于和齐次式的处理方法。**
例20、已知，求（1）；（2）的值.
**【思维分析】将式子转化为正切如利用可将（2）式分子分母除去即可。**
解：（1）；
\(2\)
**.**
**【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。**
**这些统称为1的代换) 常数 "1"的种种代换有着广泛的应用．**
**【练20】．（2004年湖北卷理科）**
**已知的值.**
**答案：（**原式可化为，**）**
**【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。**
**例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆\....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为米)**
**【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。**
**解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列，则数列是以米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a~51~=0.05×10^-3^×2^50^=5.63×10^10^,而地球和月球间的距离为4×10^8^\<5.63×10^10^故可建一座桥。**
**【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。**
**【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.**
**(1)设*n*年内(本年度为第一年)总投入为*a~n~*万元，旅游业总收入为*b~n~*万元，写出*a~n~*,*b~n~*的表达式；**
**(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入**
**（1）a~n~=800+800×(1－)+...+800×(1－)^n－1^=800×(1－)^k－1^=4000×［1－()^n^］**
***b~n~*=400+400×(1+)+...+400×(1+)^*k*－1^=400×()^*k*－1^=1600×［()*^n^*－1］**
**（2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入**
**【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。**
**例21、下列命题正确的是（）**
**A、、都是第二象限角，若，则B、、都是第三象限角，若，则C、、都是第四象限角，若，则D、、都是第一象限角，若，则。**
**【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。**
**解析：A、由三角函数易知此时角的正切线的数量比角的正切线的数量要小即B、同理可知C、知满足条件的角的正切线的数量比角的正切线的数量要大即。正确。D、同理可知应为。**
**【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知，等。**
**【练22】（2000全国高考）已知，那么下列命题正确的是（）**
A. **若、都是第一象限角，则B、若、都是第二象限角，则**
B. **若、都是第三象限角，则D、若、都是第四象限角，则**
**答案：D**
**【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将和求错。**
**例23．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）**
A. **先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移个单位。**
B. **先将每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向左平移个单位。**
C. **先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位。**
D. **先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位。**
**【易错点分析】变换成是把每个x值缩小到原来的倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C，再把平移到有的同学平移方向错了，**
**有的同学平移的单位误认为是。**
**解析：由变形为常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，**
**再将函数的图象纵坐标不变，横坐标向右平移单位。即得函数。**
**或者先进行相位变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移个单位，得到函数的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数的图象。**
**【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由得到**
**的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到，再进行周期变换即由 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，再进行相位变换即由横坐标向左（右）平移个单位，即得，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由向左（右）平移个单位，即得到函数的图象，再将其横坐标变为原来的倍即得。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量x来说的。**
**【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的**
A. **横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度。B、横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度。**
**答案：C**
**【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。**
**例24、已知，求的值。**
**【易错点分析】本题可依据条件，利用可解得的值，再通过解方程组的方法即可解得、的值。但在解题过程中易忽视这个隐含条件来确定角范围，主观认为的值可正可负从而造成增解。**
**解析：据已知（1）有，又由于，故有，从而即（2）联立（1）（2）可得，可得。**
**【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若则必有,故必有。**
**【练24】（1994全国高考）已知，则的值是 [ ]{.underline} 。**
**答案：**
**【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。**
**例25、若，且、均为锐角，求的值。**
**【易错点分析】本题在解答过程中，若求的正弦，这时由于正弦函数在区间内不单调故满足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求的余弦就不易出错，这是因为余弦函数在内单调，满足条件的角唯一。**
**解析：由且、均为锐角知解析：由且、均为锐角知,则由、均为锐角即故**
**【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三**
**角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称**
**同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：等。**
**二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。**
**【练25】（1）在三角形中，已知，求三角形的内角C的大小。**
**答案：（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A的范围）**
**（2）（2002天津理，17）已知cos（α＋）＝≤α＜，求cos（2α＋）的值.**
**答案：=**－
**【易错点26】对正弦型函数及余弦型函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。**
**例26、如果函数的图象关于直线对称，那么a等于（ ）**
**A. B.－ C.1 D.－1**
**【易错点分析】函数的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而对称中心是图象与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当时，y=0，导致解答出错。**
**解析：（法一）函数的解析式可化为，故的最大值为，依题意，直线是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即**
**，解得.故选D**
**（法二）依题意函数为,直线是函数的对称轴,故有，即：，而**
**故，从而故选D.**
**（法三）若函数关于直线是函数的对称则必有，代入即得。**
**【知识点归类点拔】对于正弦型函数及余弦型函数它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们的意义是分别使得函数取得最值的x值和使得函数值为零的x值，这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。**
**【练26】（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值.**
**答案：或。**
**（2）（2005全国卷一第17题第一问）设函数的，图象的一条对称轴是直线，求 答案：=**
**【易错点27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。**
**例27、在中，。求的面积**
**【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C，则相应的三角形内角A即可确定再利用即可求得。但由于正弦函数在区间内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。**
**解析：根据正弦定理知：即得，由于即满足条件的三角形有两个故或.则或故相应的三角形面积为或.**
**【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在中，已知a,b和A解的情况如下：**
1. **当A为锐角**
**（2）若A为直角或钝角**
**【练27】（2001全国）如果满足，，的三角表恰有一个那么k的取值范围是（）A、B、C、D、或**
**答案：D**
**【易错点28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。**
**例28、（1）（2005湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.**
**【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。**
**解法一 由得**
**所以即**
**因为所以，从而由知从而.由即由此得所以**
**解法二：由由、，所以即由得**
**所以 即因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.再由，得所以**
**2、（北京市东城区2005年高三年级四月份综合练习）在△ABC中，*a*、*b*、*c*分别是角A、B、C的对边，且 （Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若，求△ABC的面积.**
**【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。**
**（Ⅰ）解法一：由正弦定理得将上式代入已知即故A+B+C=，为三角形的内角，.**
**解法二：由余弦定理得将上式代入 整理得**
**为三角形的内角，.**
**（Ⅱ）将代入余弦定理得**
【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路），三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。
**【练28】（1）（2004年北京春季高考）在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。**
**答案：，**
**（2）（2005天津）在△*AB*C中，∠*A*、∠*B*、∠*C*所对的边长分别为*a*、*b*、*c*，设*a*、*b*、*c*满足条件和。求∠*A*和的值。**
**答案：，**
**【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。**
**例29、解关于*x*的不等式＞1(*a*≠1).**
**【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。**
**解：原不等式可化为：＞0，即［(*a*－1)*x*+(2－*a*)］(*x*－2)＞0.**
**当*a*＞1时，原不等式与(*x*－)(*x*－2)＞0同解.若≥2，即0≤*a*＜1时，原不等式无解；若＜2，即*a*＜0或*a*＞1，于是*a*＞1时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞).**
**当*a*＜1时，若*a*＜0，解集为(，2)；若0＜*a*＜1，解集为(2，)**
**综上所述：当*a*＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜*a*＜1时，解集为(2，)；当*a*=0时，解集为；当*a*＜0时，解集为(，2).**
**【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：**
**(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.**
**(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.**
**(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.**
**(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.**
**(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.**
**【练29】（2005年江西高考）已知函数为常数）,且方程有两个实根为**
**（1）求函数的解析式；（2）设,解关于的不等式：**
**答案：①当时,解集为②当时,不等式为解集为③当时,解集为**
**【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位**
**例30、已知函数（1）如果函数的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为R求实数m的取值范围。**
**【易错点分析】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。**
**解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值范围为或。**
**（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。**
**【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。**
**【练30】已知函数的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）或（2）或**
**【易错点31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。**
**例31、已知*a*＞0，*b*＞0，且*a*+*b*=1.求证：(*a*+)(*b*+)≥.**
**【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然*a*+和 *b*+不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。**
**证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(*ab*)^2^+4(*a*^2^+*b*^2^)－25*ab*+4≥0，即证4(*ab*)^2^－33(*ab*)+8≥0，即证*ab*≤或*ab*≥8.∵*a*＞0，*b*＞0，*a*+*b*=1，∴*ab*≥8不可能成立∵1=*a*+*b*≥2，∴*ab*≤，从而得证.**
**证法二：(均值代换法)设*a*=+*t*~1~，*b*=+*t*~2~.∵*a*+*b*=1，*a*＞0，*b*＞0，∴*t*~1~+*t*~2~=0，\|*t*~1~\|＜，\|*t*~2~\|＜**
**显然当且仅当*t*=0，即*a*=*b*=时，等号成立.**
**证法三：(比较法）∵*a*+*b*=1，*a*＞0，*b*＞0，∴*a*+*b*≥2，∴*ab*≤**
**证法四：(综合法)∵*a*+*b*=1， *a*＞0，*b*＞0，∴*a*+*b*≥2，∴*ab*≤.**
**证法五：(三角代换法)∵ *a*＞0，*b*＞0，*a*+*b*=1，故令*a*=sin^2^*α*，*b*=cos^2^*α*，*α*∈(0，)**
**【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.**
**(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.**
**2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有"至少""惟一"或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.**
**证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.**
**【练31】（2002北京文）数列由下列条件确定：**
1. **证明：对于总有,（2）证明：对于，总有.**
**【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。**
**例32、已知二次函数满足，且对一切实数恒成立. 求； 求的解析式；求证：**
**【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。**
**解：（1）由已知令得：**
**（2）令由得：**即则**对任意实数恒成立就是 对任意实数恒成立，即：**
则
（3）由（2）知 故
**故原不等式成立．**
**【知识点归类点拔】**函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
**【练32】（2005潍坊三月份统考）已知二次函数，满足；且对任意实数x都有；当时有（1）求的值；（2）证明（3）当时，函数是单调的，求证：或**
**（1）（2）运用重要不等式（3）略**
【**易错点33**】**利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。**
**例33、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。**
**【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。**
**解析：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。**
**【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。**
**【练33】（1）（2005辽宁4月份统考题）解关于的不等式**
**答案：当时，解集为当时，解集为 当时解集为**。
2. **（2005全国卷Ⅱ）设函数,求使≥的的x取值范围**。
**答案**：**x取值范围是**
**【易错点34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。**
**例34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（Ⅰ）求与的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意∈（0,2），都有＞0，，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。**
**【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005年高考主要涉及两种类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，这是将来高考的方向，**
**【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为**
**因此即。**
**（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，从而由上式得恒等于零, 故即 因为\>0，所以.猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.**
**（Ⅲ）若b的值使得\>0，，由 知 , 特别地，有. 即，而∈(0, 2)，所以，由此猜测b的最大允许值是1. 下证 当∈(0, 2) ，b=1时，都有∈(0, 2), 。 ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即∈(0, 2),则当n=k+1时，.又因为*.*所以∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的，都有∈(0,2).综上所述，为保证对任意∈(0, 2), 都有\>0， ，则捕捞强度b的最大允许值是1.**
**【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定"对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确"。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。**
**【练34】**（2005年全国卷Ⅰ统一考试理科数学）
**（Ⅰ）设函数，求的最小值；**
**（Ⅱ）设正数满足，证明**
**答案：（Ⅰ）（Ⅱ）用数学归纳法证明。**
**（2）（2005高考辽宁）已知函数设数列}满足，数列}满足**
**（Ⅰ）用数学归纳法证明； （Ⅱ）证明**
**【易错点35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。**
**例35、下列命题：**
**① ② ③ \|·\|=\|\|·\|\|④若∥∥则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使 ⑥若，且≠，则⑦设是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数*x、y*，使成立。⑧若\|+\|=\|－\|则·=0。⑨·=0，则=或=真命题个数为（ ）**
**A．1 B．2 C．3 D．3个以上**
**【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。**
**解析：①正确。根据向量模的计算判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义表示和向量共线的向量，同理表示和向量共线的向量，显然向量和向量不一定是共线向量，故不一定成立。③错误。应为④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 ⑤错误。应加条件"非零向量"⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故·=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。**
**答案：B**
**【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数乘结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律)说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ^２^＝｜ａ｜^２^，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)^２^＝ａ^２^＋２ａ·ｂ＋ｂ^２^**
**【练35】（1）（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ）**
**A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·c C.m（a+b）=ma+mb D.（a·b）c=a（b·c）**
**（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则**
**①（a·b）c－（c·a）b=0 ②\|a\|－\|b\|\<\|a－b\| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9\|a\|^2^－4\|b\|^2^中，是真命题的有（ ）**
**A.①② B.②③ C.③④ D.②④**
**答案：（1）D（2）D**
**【易错点36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。**
例36、**四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?**
**【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。**
**解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)^２^＝（с＋ｄ）^2^即｜ａ｜^２^＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜^２^＝｜с｜^２^＋２с·ｄ＋｜ｄ｜^２^由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜^２^＋｜ｂ｜^２^＝｜с｜^２^＋｜ｄ｜^２^①同理有｜ａ｜^２^＋｜ｄ｜^２^＝｜с｜^２^＋｜ｂ｜^２^②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等****∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形**
**【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的"双重身份"能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜｜+｜｜）=｜－｜+｜+｜（2）向量形式的三角形不等式：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(试问：取等号的条件是什么?)；（3）在△ABC中，若点P满足；=则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论。**
**【练36】（1）（2003高考江苏）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）**
**A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心**
**（2）（2005全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（ ）**
**（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点**
（3）（2005全国卷Ⅰ）**的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = [ ]{.underline}**
**答案：（1）B （2）D （3）m=1**
**【易错点37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。**
**例37、已知中,,求**
**【易错点分析】此题易错误码的认为两向量和夹角为三角形ABC的内角C导致错误答案.**
**解析:由条件根据余弦定理知三角形的内角，故两向量和夹角为的补角即,故据数量积的定义知.**
**【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是，两直线的夹角的范围是，两向量的夹角的范围是，异面直线所成的角的范围是，直线和平面所成的角的范围是二面角的取值范围是。**
**【练37】（2004上海春招）在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（）**
**（1）（2）（3）若，则ΔABC为等腰三角形（4）若，则ΔABC为锐角三角形。**
**A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（2）（3）（4）**
**答案：C**
**【易错点38】向量数积积性质的应用。**
**例38、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a − 5b垂直，a − 4b与7a − 2b垂直，求a与b的夹角。**
**【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。**
**解析：由 (a + 3b)(7a − 5b) = 0 ⇒ 7a^2^ + 16a⋅b −15b^2^ = 0 ① (a − 4b)(7a − 2b) = 0 ⇒ 7a^2^ − 30a⋅b + 8b^2^ = 0 ②两式相减：2a⋅b = b^2^代入①或②得：a^2^ = b^2^设a、b的夹角为θ，则cosθ = ∴θ = 60°。**
**【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜^２^或｜ａ｜＝④ｃｏｓθ＝⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜**
**【练38】（1）（2005高考江西卷）已知向量若则与的夹角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C**
**（2）**（2005浙江卷）已知向量*≠，\|\|＝1，对任意t∈R，恒有\|－t\|≥\|－\|，则*
*(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)答案：C*
**【易错点39】向量与三角函数求值、运算的交汇**
**例39、，与的夹角为θ~1~， 与的夹角为θ~2~，且的值.**
**【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。**
**解析：**故有**因，从而**
**【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。**
**【练39】（1）（2005高考江西）已知向量,令是否存在实数,使（其中是的导函数）？若存在,则求出的值；若不存在,则证明之 答案：存在实数使等式成立。**
**（2）（2005山东卷）已知向量和，且求的值.答案：。**
**【易错点40】向量与解三角形的交汇。**
**例40、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5=。①求数量积，·，·，·；②求ΔABC的面积。**
**【思维分析】第1由题意可知3、4、5三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。**
**解析：①∵\|\|=\|\|=\|\|=1由3＋4＋5=得：3＋4=－5两边平方得：9^2^＋24·＋16^2^=25^2^∴·=0同理：由4＋5=－3求得·=－由3＋5=－4求得·=－**
**②由·=0,故=\|\|\|\|=由·=－得cos∠BOC=－ ∴sin∠BOC=－∴=\|\|\|\|sin∠BOC=，由·=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴=\|\|\|\|sin∠COA=即=＋＋=＋＋=**
**【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。**
【练40】（1）（2005全国卷Ⅲ）**△ABC中，内角A，B，C的对边分别是*a*,b,c，已知*a*,b,c成等比数列，且cosB＝。（1）求cotA+cotC的值；（2）设，求的值。**
**答案：（1）（3）**。
**（2）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，①求向量；**
**②若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形**的三内角A、B、C依次成等差数列，试求\|+\|的取值范围.答案：①或②
**【易错点41】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。**
**例41、已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sinx,)，=(cos2x,1)，=(1,2)，当x∈\[0,π\]时，求不等式f(·)＞f(·)的解集.**
**【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。**
**解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y~1~)、B(1＋x,y~2~)，因为=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y~1~=y~2~由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin^2^x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(·)＞f(·)f(2sin^2^x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin^2^x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜当m＜0时，同理可得0≤x＜或＜x≤π综上所述，不等式f(·)＞f(·)的解集是：当m＞0时，为{x\|＜x＜；当m＞0时，为{x\|0≤x＜或＜x＜π。**
**【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用知识解决综合问题的能力。**
**【练41】若在定义域（－1，1）内可导,且，点A(1,());B((－),1)，对任意∈(－1，1)恒有成立，试在内求满足不等式(sincos)+(cos^2^)\>0的的取值范围.答案：**，()
**【易错点42】向量与解析几何的交汇**
**例42、（03年新课程高考）已知常数a\>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得\|PE\|+\|PF\|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.**
**【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。**
**解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数λ，得点的坐标满足方程.整理得 ......① 因为所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.**
**【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。**
**【练42】（1）（2005全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。**
**答案：（1）（2）=1**
**（2） （02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使·，·,·成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（），记为与的夹角，求；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆②tan=\|y\|**
**（3）（2001高考江西、山西、天津）设坐标原点为*O*，抛物线*y*^2^=2*x*与过焦点的直线交于*A*、*B*两点，则等于（ ）A. B.－ C.3 D.－3答案：B**
**【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。**
**例43、已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。**
**【思维分析】此题解题关键是由条件知从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。**
**解析：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为（1，0）。**
**（2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与C的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点M在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。**
**【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。**
**【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点为圆心，过另一焦点的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,为此平面上一定点，且.（1）求椭圆的方程（2）若直线与椭圆交于如图两点A、B，令。求函数的值域答案：（1）（2）**
**\[易错点44\]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.**
**例44、函数 的导数为 [ ]{.underline} 。**
**\[易错点分析\]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。**
**解析：**
**【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。**
**\[练习44\]（2003年江苏，21）已知，n为正整数。设，证明；**
1. **设，对任意，证明**
**解析：证明：（1）**
**（2）对函数求导数：，当时， 是关于x的增函数因此，当时，。即对任意，.**
**【易错点45】求曲线的切线方程。**
**例45、（2005高考福建卷）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，*f*（－1））处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式；**
**【思维分析】利用导数的几何意义解答。**
**解析：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以**
**由在处的切线方程是，知**
**故所求的解析式是**
**【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.**
**【练45】（1）（2005福建卷）已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为*x*+2y+5=0.**
**（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：**
（2）（2005高考**湖南卷）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示*a*，b，c；答案：**故，，
**【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。**
**例46、( 2005全国卷III)已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；**
**（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在使得成立，求的取值范围。**
**【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间上的值域是函数的值域的子集，从而转化为求解函数在区间上的值域。**
**解析(Ⅰ) ，令解得或,在，所以为单调递减函数；在，所以为单调递增函数；又，即的值域为\[-4，-3\]，所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，的值域为\[-4，-3\].( 单调区间为闭区间也可以).**
**（Ⅱ）∵,又，当时，，**
**因此，当时，为减函数，从而当时，有.**
**又，即当时，有，**
**任给，有，存在使得，**
**则又，所以的取值范围是。**
**【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。**
**【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数*f(x)=－x^3^＋3x^2^＋9x＋a,* （I）求*f*(*x*)的单调递减区间；（II）若*f(x)*在区间\[－2，2\]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，＋∞）（2）－7**
**（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?**
**答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960**
**【易错点47】二项式展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。**
**例47、展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为 [ ]{.underline} 。**
**【易错点分析】本题中若与的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。**
**解析：椐题意有：**
**由**
**【知识点归类点拨】二项式的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。**
**【练47】（潍坊高三质量检测）展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常数项为 [ ]{.underline} 。**
**解析：据题意有，即**
**令得：故展开式中常数项为：**
**【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。**
**例48、在的展开式中，的系数为 [ ]{.underline} ，二项式系数为 [ ]{.underline} 。**
**【易错点分析】在通项公式中，是二项式系数，是项的系数。**
**解析：令，得，则项的二项式系数为，项的系数为。**
**【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。**
**【练48】（2005高考山东卷）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）**
**答案：当时即,根据二项式通项公式得**
> **时对应,即故项系数为.**
**【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。**
**例49、已知的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1**
**求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。**
**【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。**
**解析：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为，若第r+1项的系数绝对值最大，则，解得： 系数最大值为由知第五项的二项式系数最大，此时**
**【知识点归类点拨】在的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组来确定之。**
**【练49】（2000年上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 [ ]{.underline} 。（结果用数值表示）**
**解析：展开式中第r+1项为，要使项的系数最小，则r为奇数，且使为最大，由此得，所以项的系数为。**
**【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。**
**例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？**
1. **分成1本、2本、3本三组；**
2. **分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人两本，1人3本；**
3. **平均分成三组，每组2本；**
4. **分给甲、乙、丙三人，每人2本。**
**【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。**
**解析：(1)分三步：先选一本有种选法，再从余下的5本中选两本，有种选法，最后余下的三本全选有种选法，有分步计数原理知，分配方式有：**
**（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有种。**
**（3）先分三步：则应是种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则中还有（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共种情况，而且这些情况仅是AB，CD，EF顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有种**
5. **在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式种。**
**【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。**
**【练50】（2004年全国9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（ ）**
A. **210种 B、420种 C、630种 D、840种**
**解析：首先选择3位教师的方案有：①一男两女；计；②两男一女：计=40。**
**其次派出3位教师的方案是=6。故不同的选派方案共有种。**
**【易错点51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。**
**例51、四个男同学和三个女同学站成一排。**
1. **三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？**
2. **任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？**
3. **其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？**
4. **甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？**
5. **女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）**
**【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。**
**解析：（1）3个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有种排法；由于3 个同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有种排法。由乘法原理，有种不同排法。**
**（2）先将男生排好，共有种排法；再在这4个男生的中间及两头的5 个空中插入3个女生，有种方案。故符合条件的排法共有种。**
**（3）甲、乙2人先排好，共有种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有种排法，这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有种排法；这样，总共有种不同的排法。**
**（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有种排法；这样，总共有种不同的排法。**
**（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有种不同的排法。**
**【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊位置入手。**
**【练52】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ）**
**A、234 B、346 C、350 D、363**
**解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有种，再加上4种不能算相邻的，共有种。**
**【易错点53】二项式展开式的通项公式为，事件A发生k次的概率：。二项分布列的概率公式：，三者在形式上的相似，在应用容易混淆而导致出错。**
**例53、（2004年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得---100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。**
1. **求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望。**
2. **求这名同学总得分不为负分（即）的概率。**
**【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量以及二项分布的条件的理解出错。**
**解析：（1）的可能取值为---300，---100，100，300。**
**所以的概率分布为**
------- ------------ ------------ ----------- -----------
**---300** **---100** **100** **300**
**P** **0.008** **0.096** **0.384** **0.512**
------- ------------ ------------ ----------- -----------
**根据的概率分布，可得的期望**
**（2）这名同学总得分不为负分的概率为**
**。**
**【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率就是独立重复实验n次其中发生k次的概率。但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。**
**【练53】（2004年重庆理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：**
**（1）的概率分布列及期望；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。**
**解析：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4。用表示"汽车通过第k个路口时不停"'则独立。故**
**从而的分布列为**
------- ------- ------- ------- ------- -------
**0** **1** **2** **3** **4**
**P**
------- ------- ------- ------- ------- -------
**（2）。**
**【易错点54】正态总体的概率密度函数为，当时，，叫作标准正态总体的概率密度函数，两者在使用范围上是不同的。**
**例54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），已知，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为，问灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。**
**【易错点分析】由于服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。**
**解析：因为灯泡的使用寿命，故在的概率为，即在内取值的概率为，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。**
**【知识点归类点拨】在正态分布中，为总体的平均数，为总体的标准差，另外，正态分布在的概率为，在内取值的概率为。解题时，应当注意正态分布在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。**
**【练54】一总体符合，若，则该总体在（1，2）内的概率为 [ ]{.underline} 。**
**解析：由题意可得。**
**【易错点55】对于数列的两个基本极限①；②，两个极限成立的条件不同，前者为；而后者为。**
**例55、在等比数列中，，且n项和，满足那么的取值范围是（ ）**
**A、 B、 C、 D、**
**【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式，求的范围时，容易忽视这个条件。**
**解析：设公比为q，由知所以。**
**【知识点归类点拨】对于，公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和在n无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。**
**【练55】，求a的取值范围。**
**解析：**
**【易错点56】立体图形的截面问题。**
**例56、（2005哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体\--，E、F分别是、的中点，p是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）**
A. **线段B、线段C、线段和一点D、线段和一点C。**
**【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。**
**解析：如图当点P在线段上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面，则过DE的截面DEP与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线的交点在线段上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为也为平行四边形，当点P在线段上时如图分别延长DE、DP交、于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平**
**截面DEP内也在平面内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交、于点K、N（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故选C**
**【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。**
**【练56】（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD---A~1~ B~1~ C~1~ D~1~中，p、q、r、分别是AB、AD、B~1~ C~1~的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）**
**（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D**
**（2）在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。**
**【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数**
**例57、（93全国考试）如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？**
**A、一条 B二条 C三条 D四条**
**【易错点分析】对过点P与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所的角与两异面直线所成的角的内在约束关系。**
**解析：如图，过点P分别作a、b的平行线、，则、所成的角也为，即过点P与、成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的角，由于过点P的直线L与、成相等的角故这样的直线L在、确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有当时，有，此时这样的直线存在且有两条当时，有这样的直线不存在。故选B**
**【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式（其中是直线与平面所成的角）易知，（最小角定理）故一般地，若异面直线a、b所成的角为，L与a、b所成的角均为，据上式有如下结论：当时，这样的直线不存在；当时，这样的直线只有一条；当时，这样的直线有两条；当时这样的直线有3条；当时，这样的直线有四条。**
**【练57】如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？**
**A、一条 B二条 C三条 D四条 答案：C**
**【易错点58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个条件中的某一个。**
**例58、如图，矩形ABCD所在的平面，M，N分别为AB，PC的中点。求证：平面**
**\[易错点分析\]：在描述条件中，容易忽视。**
**解析：取PD中点E，连结AE，EN，则有，**
**为平行四边形，**
**\[知识点归类点拨\]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。**
**【练习58（2005浙江）如图，在三棱锥P---ABC中，，**
**点O，D分别为AC，PC的中点，平面求证：OD//平面PAB**
**证明：分别为AC、PC的中点**
**又平面**
**【易错点59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为"一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行"，容易导致证明过程跨步太大。**
**例59、如图，在正方体中，M、N、P分别是的中点，**
**求证：平面MNP//平面**
**【易错点分析】本题容易证得MN//****,MP//BD，而直接由此得出面**
**解析：连结分别是的中点，**
**又同理：**
**。**
**【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即"线面平行则面面平行"，必须注意这里的"线面"是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。**
**【练59】正方体中，（1）M，N分别是棱的中点，E、F分别是棱的中点，****求证：①E、F、B、D共面；**
**②平面AMN//平面EFDB③平面//平面**
**证明：（1）①则E、F、B、D共面。**
**②易证：MN//EF，设**
**③连结AC，为正方体，，同理可证于是得**
**【易错点60】求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法。**
**例60、（2001全国9）在三棱柱中，若，则所成角的大小为（ ）A、 B、 C、 D、**
**【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。**
**解析：如图分别为中点，**
**连结，设**
**则AD为在平面上的射影。又**
**而垂直。**
**【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采用证明垂直的方法来求之。**
**【练60】（2005年浙江12）**
**设M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E**
**（如图），现将沿DE折起，使二面角**
**为，此时点A在平面BCDE内的**
**射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的**
**大小等于 [ ]{.underline} 。**
**解析：易知取AE中点Q，连MQ，BQ，N为BC的中点**
**，即M，N连线与AE成角。**
**【易错点61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。**
**例61、如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别为的中点。求异面直线所成的角。**
**\[易错点分析\]异面直线所成角的范围是，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。**
**解析：如图，连结，由为中点，**
**则从而**
**故AM和所成的角为所成的角。**
**易证≌。所以，**
**故所成的角为。**
**又设AB的中点为Q，则又从而CN与AM所成的角就是（或其补角）。**
**易求得在中，由余弦定理得，**
**故所成的角为。**
**【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：；直线与平面所成角的范围：；二面角的平面角的取值范围：。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联系与区别。**
**【练61】（济南统考题）已知平行六面体\--中，底面是边长为1的的正方形，侧棱的长为2，且侧棱和与的夹角都等于，（1）求对角线的长（2）求直线与的夹角值。答案：（1）（2）（提示采用向量方法，以、、为一组基底，求得故两异面直线所成的角的余弦值为）**
**【易错点62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。**
**例62、如图，在北纬的纬线圈上有B两点，它们分别在东经与东经**
**的经度上，设地球的半径为R，求B两点的球面距离。**
**【易错点分析】求A、B两点的距离，主要是求B两点的球心角的大小，正确描述纬线角和经度角是关键。**
**解析：设北纬圈的圆心为，地球中心为O，则**
**连结，则。故A、B两点间的球面距离为。**
**【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：**
**图（1）：经度------P点的经度，也是的度数。**
**图（2）：纬度------P点的纬度，也是的度数。**
**【练62】（2005高考山东卷）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（ ）**
**（A） （B） （C） （D）**
**答案：D如图所示东经与北纬线交于A点**
**东经与南纬线交于C点,设球心**
**为B点从而,**
**即以B点为圆心过A、C、D的**
**大圆上即为所求.**
**【易错点63】向量知识在立体几何方面的应用**
**例63、如图, 在直四棱柱*ABCD*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AB*＝*AD*＝2，*DC*＝2，*AA*~1~＝，*AD*⊥*DC*，*AC*⊥*BD*, 垂足未*E*，（I）求证：*BD*⊥*A*~1~*C*；（II）求二面角*A* ~1~－*BD*－*C* ~1~的大小；（III）求异面直线 *AD*与 *BC* ~1~所成角的大小．**
**【易错点分析】本题主要考查学生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.学生在解题中一方面不能根据条件建立恰当的空间坐标系，另一方面建系后学生不能正确找到点的坐标.或者没有运用向量知识解决问题的意识。**
**解析：解法一：（I）在直四棱柱中,**
**底面, 是在平面上的射影.**
**（II）连结**
**与（I）同理可证**
**为二面角的平面角.**
**又且**
**在中, 即二面角的大小为**
**（III）过B作交于,连结 则就是与所成的角.**
**在中,**
**即异面直线与所成角的大小为**
**解法二：（I）同解法一.**
**（II）如图,以D为坐标原点,所**
**在直线分别为轴,轴,轴,建立空间 直角坐标系,**
**连结与（I）同理可证,**
**为二面角的平面角.**
**得**
**二面角的大小为.**
**（II）如图,由**
**异面直线与所成角的大小为**
**解法三：（I）同解法一.**
**（II）如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E.**
**连结**
**与（I）同理可证,**
**为二面角的平面角.**
**由**
**得**
**二面角的大小为**
**（III）如图,由**
**得**
异面直线与所成角的大小为
**【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？**
**【练63】（2005高考淅江东）如图,在三棱锥中,,**
**, 点、分别是、的中点,**
**.(I) 求证; (II) 当时,求直线与**
**平面所成角的大小;(III) 当取何值时,在平面PBC内的射影恰好为的重心?**
**【答案】**方法一：
（Ｉ）Ｏ、Ｄ分别为、的中点.
又平面.平面.
\(II\) ,
又平面.
取中点Ｅ，连结,则平面.
作于F,连结,则平面,
是与平面所成的角.
又与平面所成角的大小等于.
在中，
与平面所成的角为.
（III）由II知，平面，是在平面内的射影.
是的中点，若点是的重心，则、、三点共线，
直线在平面内的射影为直线.
，即.
反之，当时，三棱锥为正三棱锥，
在平面内的射影为的重心.
方法二:
平面,
以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系(如图)，
设则,,.设, 则
\(I\) D为PC的中点，＝，又,＝- 平面.
\(II\) , 即,=
可求得平面的法向量
设与平面所成的角为,则,与平面所成的角为
\(III\) 的重心
平面又 即反之，当时，三棱椎为正三棱锥，在平面内的射影为的重心.
**【易错点64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。**
**例64、（2003年天津理12）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、**
**【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。**
**解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而**
**，故选C。**
**【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求。**
**【练64】（2004全国20）如图四棱锥P---ABCD中，底面ABCD为 矩形，AB=8，AD=，侧面PAD为** **等边三角形，并且与底面成二面角为。求四棱锥P---ABCD的体积。**
**解析：如图，去AD的中点E，连结PE，则。作平面ABCD，垂足为O，连结OE。**
**根据三垂线定理的逆定理得，所以为侧面PAD与底面所成二面角的平面角。由已知条件可，所以，四棱锥P---ABCD的体积。**
**【易错点65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。**
**例65、（2005年春季上海19）如图，已知正三棱锥**
**P---ABC的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为。**
1. **证明；**
2. **求底面中心O到侧面的距离。**
**解析：（1）证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则**
**，故。** 
**（2）解：如图，由（1）可知平面PBC平面APD，则是侧面与底面所成二面角的平面角。**
**过点O做，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离，设OE为h，由题意可知点O在AD上，即底面中心O到侧面的距离为3。**
**【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。**
**【练65】 如图，直三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中，**
**底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，**
**侧棱AA~1~=2，D、E分别是CC~1~与A~1~B的中点，**
**点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.**
**（Ⅰ）求A~1~B与平面ABD所成角的大小**
**（结果用反三角函数值表示）；**
**（Ⅱ）求点A~1~到平面AED的距离.**
**解析：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A~1~B与平面ABD所成的角.**
**设F为AB中点，连结EF、FC，**
**（Ⅱ）连结A~1~D，有**
**, 设A~1~到平面AED的距离为h，**
**则 . 故A~1~到平面AED的距离为.**
**【易错点62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。**
**例62、 如图所示，在正三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~中，已知AA~1~＝A~1~C~1~＝a，E为BB~1~的中点，若截面A~1~EC⊥侧面AC~1~．求截面A~1~EC与底面A~1~B~1~C~1~所成锐二面角度数．**
** 解法1 ∵截面A~1~EC∩侧面AC~1~＝A~1~C．连结AC~1~，在正三棱ABC－A~1~B~1~C~1~中，**
** **
** ∵截面A~1~EC⊥侧面AC~1~，**
**数就是所求二面角的度数．易得∠A~1~AC~1~＝45°，故所求二面角的度数是45°．**
** 解法2 如图3所示，延长CE与C~1~B~1~交于点F，连结AF，则截面A~1~EC∩面A~1~B~1~C＝AF．**
**∵EB~1~⊥面A~1~B~1~C~1~，∴过B~1~作B~1~G⊥A~1~F交A~1~F于点G，**
**连接EG，由三垂线定理知∠EGB~1~就是所求二面角的平面角．**
** **
** 即所求二面角的度数为45°．**
**【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；**
**【练65】如图，已知直三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~，侧棱长为2，底面△ABC中，**
**∠B=90°，AB=1，BC=，D是侧棱CC~1~上一点，且BD与底面所成角为30°.**
**（1）求点D到AB所在直线的距离. （2）求二面角A~1~－BD－B~1~的度数.**
> **解析：①∵CC~1~⊥面ABC， ∠B=90°，∴DB⊥AB，**
>
> **∴DB的长是点D到AB所在直线的距离，**
>
> **∠DBC是BD与底面所成的角，即∠DBC=30°，**
>
> **∵BC=， ∴BD==2 .**
>
> **②过B~1~作B~1~E⊥BD于E，连A~1~E，∵BB~1~⊥AB，AB⊥BC，且BB~1~∩BC=B，∴AB⊥平面BCC~1~B~1~，∵A~1~B~1~∥AB，∴A~1~B~1~⊥平面BCC~1~B~1~，∵B~1~E⊥BD，∴A~1~E⊥BD，即∠A~1~EB~1~是面A~1~BD与面BDC~1~B~1~所成二面角的平面角. 连 B~1~D . ∵BC=，BD=2，∴CD=1 .∵CC~1~=2，∴D为CC~1~的中点 ∴S~△BDB1~=S~BCC1B1~ ∴B~1~E·BD=BC·CC~1~ 即 B~1~E·2=·2∴B~1~E=在Rt△A~1~B~1~E中，**
**tan∠A~1~EB~1~=**
**【易错点66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。**
**例66、过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线只有一个公共点，则直线l的条数是（ ）**
**A、1 B、2 C、3 D、4**
**【易错点分析】在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的。**
**解析：用数形结合的方法：过点（0，3）与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的，有两条；一类是与双曲线相切的有两条。如图所示：**
**故选（D）**
**【知识点归类点拨】直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种：**
**一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。**
1. **若，直线与双曲线相交，有两个交点；若，直线与渐进线平行，有一个交点。**
2. **若，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。**
3. **若，直线与双曲线相离，没有公共点。**
**二是可以利用数形结合的思想。**
**【练66】（2004年浙江，理21）如图已知双曲线的中心在原点，**
**右顶点为A（1，0）P、Q在双曲线的右支上，点M（m，0）到**
**直线AP的距离为1。**
**（1）若直线AP的斜率为1，且，求实数m的取值范围。**
**解析：（1）如图，由条件得直线AP的方程为，即**
**点M到直线AP的距离为1。，即**
**解得m的取值范围是**
| 1 | |
**2020-2021学年河南省濮阳市台前县五年级（上）期末数学试卷**
**一、填空。（每空1分，共22分）**
1．（4分）
0.62公顷＝[ ]{.underline}平方米 3.2平方厘米＝[ ]{.underline}平方分米
------------------------------------------------------ ------------------------------------------
9.23米＝[ ]{.underline}米[ ]{.underline}厘米 12分＝[ ]{.underline}时
2．（3分）14.1÷11的商是循环小数，可以简写成[ ]{.underline}，循环节是[ ]{.underline}，保留三位小数是[ ]{.underline}。
3．（4分）在〇填上"＜"、"＞"或"＝"号。
（1）3.85×0.79〇3.85 （2）2.35×0.6〇2.35
------------------------- -------------------------
（3）3.78÷1.8〇3.78×1.8 （4）14.6÷0.3〇14.6×0.3
4．（3分）小明在教室的位置是（3，4），3表示[ ]{.underline}，4表示[ ]{.underline}；他同桌的位置可能是（[ ]{.underline}，[ ]{.underline}）。
5．（2分）仓库里有货物100吨，运走12车，每车*a*吨，用式子表示现在仓库里货物是[ ]{.underline}吨；当*a*＝5时，现在的货物是[ ]{.underline}吨。
6．（2分）编制一个"福"字需要2.4米，10米丝线可以编织[ ]{.underline}个福字；王老师要把25.5千克的色拉油装在瓶子里，每个空瓶可以装2.5千克，至少需要[ ]{.underline}个这样的瓶子。
7．（2分）两个完全一样的三角形能拼成一个[ ]{.underline}，两个[ ]{.underline}梯形可以拼成一个平行四边形。
8．（2分）用方程表示下面的数量关系。
> （1）如图：方程：[ ]{.underline}。
>
> （2）某时刻物体的影长是其高度的2.3倍。请参看图列方程：[ ]{.underline}。
**二、判断（在括号内打"√"，错的打"×"）。（5分）**
9．（1分）2*a*＝*a*^2^．[ ]{.underline}（判断对错）
10．（1分）方程都是等式，等式也都是方程．[ ]{.underline} （判断对错）
11．（1分）循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数．[ ]{.underline} （判断对错）
12．（1分）掷一枚硬币，国徽朝上的可能性和朝下的可能性一样大。[ ]{.underline}（判断对错）
13．（1分）一个长方形和一个平行四边形的周长相等，面积也相等．[ ]{.underline}（判断对错）
**三、选择。（把正确答案序号填在括号内）（5分）**
14．（1分）1.2÷0.5的商为2时，余数是（ ）
A．2 B．0.2 C．0.02 D．0.002
15．（1分）与0.28÷1.4商相等的算式是（ ）
A．0.28÷14 B．0.028÷0.14 C．28÷14 D．2.8÷1.4
16．（1分）从一副扑克牌中任选两张，下列情况中可能性最小的是（ ）
A．一张黑牌，一张方块 B．两张都是红桃
C．一张*A*，一张*K* D．一张大王，一张5
17．（1分）在一个面积是36平方米的长方形里剪一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）平方米。
A．20 B．18 C．16 D．12
18．（1分）妈妈今年36岁，小明今年*a*岁，再过3年后，他们相差（ ）岁。
A．36﹣*a* B．*a*+3 C．36﹣*a*+3 D．36+*a*﹣3
**四、计算。（共30分）**
19．（6分）直接写出得数。
3﹣0.98＝ 6×0.25＝ 0.63÷0.9＝
------------ ----------- -----------------
1.25×0.8＝ 3.7+6.4＝ 2.8﹣1.7﹣0.3＝
20．（6分）竖式计算．
> （1）0.58×0.025（列竖式验算） （2）4.194÷1.4（商精确到百分位）
21．（9分）脱式计算（能简便算的要简便算）。
------------- ------------- -------------
2.6×7.5÷1.3 2.43÷0.25÷4 2.5×32×1.25
------------- ------------- -------------
22．（9分）解方程。
------------------------- ------------------------ -----------------------
（1）7*x*+1.2*x*＝77.28 （2）3.5×6﹣3*x*＝11.4 （3）10.8*x*÷0.54＝50
------------------------- ------------------------ -----------------------
**五、操作题（10分）**
23．（6分）在下面的平行线中分别画出一个长方形、平行四边形、梯形，让它们的面积相等。（请标上数据）
24．（4分）请你在方格图里描出下列各点，并把这几个点顺次连接成一个封闭图形．
> *A*（2，1）*B*（7，1）*C*（4，4）*D*（9，4）
**六、解决问题（28分）**
25．（8分）把一个长5分米，宽4分米的长方形框架，拉成一个高为3分米的平行四边形。
> （1）请提出一个问题并解答。
>
> （2）通过你的观察、分析与计算，你发现了什么？
26．（5分）妈妈带了100元钱去超市购物，她先买了一箱牛奶，剩下的钱用来买乳酸菌饮料。妈妈可以买几瓶乳酸菌饮料？
27．（5分）甲、乙两队学生从相距15*km*的两地出发，相向而行。如果甲队学生每小时走4*km*，乙队学生每小时走3.5千米，两队学生多长时间相遇？（先写出等量关系式，再列方程解答）
28．（10分）红、黄两队共修一条公路，红队每天修的米数比黄队的2倍少20米。（先提出问题，再解答）
> （1）黄队每天修25米，[ ]{.underline}？
>
> （2）红队每天修30米，[ ]{.underline}？
**2020-2021学年河南省濮阳市台前县五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空。（每空1分，共22分）**
1．【分析】（1）高级单位公顷化低级单位平方米乘进率10000；
> （2）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100；
>
> （3）9.23米看作9米与0.29米之和，把0.29米乘进率100化成29厘米；
>
> （4）低级单位分化高级单位时除以进率60。
>
> 【解答】解：
（1）0.62公顷＝6200平方米 （2）3.2平方厘米＝0.032平方分米
--------------------------- ---------------------------------
（3）9.23米＝9米23厘米 （4）12分＝0.2时
> 故答案为：6200；0.032；9，23；0.2。
>
> 【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率。
2．【分析】写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；
> 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；
>
> 保留三位小数，要看第四位上的小数是几，然后根据四舍五入的方法取近似值。
>
> 【解答】解：14.1÷11＝1.2818181...＝1.21.282
>
> 循环节是81
>
> 保留三位小数是1.282，
>
> 故答案为：1.2，81，1.282。
>
> 【点评】本题主要考查了循环小数的简便记法，循环节的概念以及运用四舍五入的方法取近似值。
3．【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；
> 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；
>
> 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
>
> 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；
>
> 据此解答。
>
> 【解答】解：
（1）3.85×0.79＜3.85 （2）2.35×0.6＜2.35
------------------------- -------------------------
（3）3.78÷1.8＜3.78×1.8 （4）14.6÷0.3＞14.6×0.3
> 故答案为：＜，＜，＜，＞。
>
> 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。
4．【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，他同桌的位置可能比小明的列数少1，或多1；据此即可解答问题。
> 【解答】解：小明在教室的位置是（3，4），3表示第3列，4表示第4行；他同桌的位置可能是（4，4）或（2，4）。
>
> 故答案为：第3列，第4行；（4，4）或（2，4）。
>
> 【点评】此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用，即数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行。
5．【分析】（1）先求出运走12车货物的吨数，再用仓库原有货物的吨数减去运走的货物的吨数，就是要求的答案；
> （2）把*a*＝5，代入（1）中的式子，即可求出答案。
>
> 【解答】解：（1）100﹣12×*a*＝100﹣12*a*（吨）
>
> （2）当*a*＝5时，
>
> 100﹣12*a*＝100﹣12×5＝40（吨）。
>
> 故答案为：（100﹣12*a*）；40。
>
> 【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出其中的数量关系，列式解答即可。
6．【分析】编制一个"福"字需要2.4米，10米丝线可以编织的个数，就是求10米里面有几个2.4米，用10米除以2.4米即可，求出商即可，结果用"去尾法"保留整数；
> 把25.5千克的色拉油装在瓶子里，每个空瓶可以装2.5千克，求至少需要瓶子的个数，就是求25.5千克里面有多少2.5千克，用22.5除以2.5求出商，用"进一法"保留整数。
>
> 【解答】解：10÷2.4≈4（个）
>
> 即：10米丝线可以编织2.4个福字。
>
> 25.5÷2.5＝10.2（个）≈11（个）
>
> 即：至少需要11个这样的瓶子。
>
> 故答案为：2.4；11。
>
> 【点评】解决本题根据除法的包含意义求解，注意结果要根据实际情况进行取值。
7．【分析】两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形或三角形；因平行四边形的对边平行且相等，两个完全一样的梯形可以以腰为公共边，其上底和下底分别对另一梯形的下底和上底，因梯形的上底和下底平行，组成后图形的对边（上底+下底）等于（下底+上底），且平行。据此解答。
> 【解答】解：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，两个完全一样梯形可以拼成一个平行四边形。
>
> 故答案为：平行四边形；完全一样。
>
> 【点评】本题考查图形的拼组，只要注意知识的积累和数学的严密性即可。
8．【分析】（1）由图可知：每份是*x*，3份就是3*x*，3份比1份多了40，即3*x*﹣*x*＝40，由此求解；
> （2）物体的长度是*x*米，影子的长度是物体的2.3倍，物体的长度×2.3＝影长，即2.3*x*＝34.5。
>
> 【解答】解：（1）可得方程：3*x*﹣*x*＝40；
>
> （2）可得方程：2.3*x*＝34.5。
>
> 故答案为：3*x*﹣*x*＝40；2.3*x*＝34.5。
>
> 【点评】解决本题关键是理解题意，找清楚等量关系式，再根据等量关系式列出方程求解。
**二、判断（在括号内打"√"，错的打"&\#215;"）。（5分）**
9．【分析】根据*a*^2^＝*a*×*a*，而2*a*＝*a*+*a*，据此判断即可．
> 【解答】解：*a*^2^＝*a*×*a*，2*a*＝*a*+*a*
>
> 所以2*a*≠*a*^2^．
>
> 所以原题的说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题主要考查了有理数的平方的意义，即*a^n^*表示*n*个*a*相乘．
10．【分析】方程都是等式，但是等式不一定是方程，因为必须是含有未知数的等式才是方程．
> 【解答】解：方程都是等式，此话对；但等式也是方程，就不对，因为等式中不一定有未知数；
>
> 比如：2+3＝5，是等式，但不是方程．
>
> 故判断为：×．
>
> 【点评】此题考查对方程的意义的理解，必须是含有未知数的等式才是方程．
11．【分析】从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数，如2.66...，4.2323...等；
> 无限小数只是位数无限，包括循环小数和不循环的无限小数，所以循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数．
>
> 【解答】解：循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数；
>
> 这种说法是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了学生对循环小数和无限小数概念的理解与区别，无限小数的范围大于循环小数的范围．
12．【分析】因为硬币共有正、反2个面，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法进行解答即可。
> 【解答】解：1÷2
>
> 所以掷一枚硬币，国徽朝上的可能性和朝下的可能性一样大，说法正确；
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题应根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法进行解答。
13．【分析】根据题意，长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可假设长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的一条斜边，那么长方形的宽一定大于平行四边形的高，所以长方形的面积大于平行四边形的面积．
> 【解答】解：如图所示：
>
> 长方形的面积＝长×宽，
>
> 平行四边形的面积＝底×高，
>
> 可假设长方形的长＝平行四边形的底，
>
> 长方形的宽＝平行四边形的一条斜边，
>
> 那么长方形的宽＞平行四边形的高，
>
> 所以长×宽＞底×高，
>
> 则长方形的面积＞平行四边形的面积，
>
> 所以原题的说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要考查的是长方形的面积公式和平行四边形的面积公式的灵活应用．
**三、选择。（把正确答案序号填在括号内）（5分）**
14．【分析】求余数，根据：被除数﹣商×除数＝余数，解答即可。
> 【解答】解：1.2﹣0.5×2
>
> ＝1.2﹣1
>
> ＝0.2
>
> 答：余数是0.2。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题应根据被除数、除数、余数和商之间的关系进行解答。
15．【分析】在计算小数除法时，被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变，由此解答即可。
> 【解答】解：*A*项：0.28÷14，被除数不变，除数扩大到原来的10倍，因为被除数和除数同时扩大倍数不相同，所以得到的商和原商不相等；
>
> *B*项：0.028÷0.14，被除数缩小到原来的十分之一，除数缩小到原来的十分之一，因为被除数和除数同时扩大相同的倍数，由商不变规律可得，所以得到的商和原商相等；
>
> *C*项：28÷14，被除数扩大到原来的100倍，除数扩大到原来的10倍，因为被除数和除数同时扩大倍数不相同，所以得到的商和原商不相等；
>
> *D*项：2.8÷1.4，被除数扩大到原来的10倍，除数不变，因为被除数和除数同时扩大倍数不相同，所以得到的商和原商不相等；
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查商的变化规律。
16．【分析】由一副扑克牌中黑桃、方块、红桃各13张，5，*A*、*K*各有4张，大王，小王只有1张，根据可能性等于所求情况数与总情况数之比，即可求得答案。
> 【解答】解：因为一副扑克牌中黑桃、方块、红桃、梅花各有13张，5、*A*、*K*各有4张，大王，小王只有一张，所以从一副扑克牌中任选两张，下列情况中可能性最小的是：一张大王，一张5，
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查了可能性大小问题，注意用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比。
17．【分析】求长方形内最大的三角形，知道这个三角形的面积等于长方形的面积的一半，即可解答。
> 【解答】解：36÷2＝18（平方米）
>
> 答：这个三角形的面积是18平方米。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】注意长方形内最大的三角形的面积等于这个长方形的面积的一半。
18．【分析】因为年龄差是一个不变的数值，所以妈妈和小明3年后的年龄差，也就是今年的年龄差。
> 【解答】解：36﹣*a*（岁）
>
> 现在相差（36﹣*a*）岁，3年后还是相差（36﹣*a*）岁。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查年龄问题，要注意：两个人的年龄差是一个永远也不变的数值。
**四、计算。（共30分）**
19．【分析】根据小数的乘除法的计算法则口算即可。
> 【解答】解：
3﹣0.98＝2.02 6×0.25＝1.5 0.63÷0.9＝0.7
--------------- --------------- --------------------
1.25×0.8＝1 3.7+6.4＝10.1 2.8﹣1.7﹣0.3＝0.8
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
20．【分析】根据小数的乘除法的竖式计算方法进行解答即可．
> 【解答】解：（1）0.58×0.025＝0.0145，
>
> 验算：
>
> （2）4.194÷1.4≈3.00．
>
> 【点评】用竖式计算小数的乘除法时，要按照它们的计算法则一步步进行解答，特别注意小数点的位置．
21．【分析】（1）先算乘法，再算除法；
> （2）运用除法的性质进行简算；
>
> （3）把32化成4×8，再运用乘法的交换律、结合律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）2.6×7.5÷1.3
>
> ＝19.5÷1.3
>
> ＝15
>
> （2）2.43÷0.25÷4
>
> ＝2.43÷（0.25×4）
>
> ＝2.43÷1
>
> ＝2.43
>
> （3）2.5×32×1.25
>
> ＝2.5×4×8×1.25
>
> ＝（2.5×4）×（8×1.25）
>
> ＝10×10
>
> ＝100
>
> 【点评】此题主要考查了分数的四则混合运算，灵活运用运算定律是本题解题的关键。
22．【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以8.2求解；
> （2）根据等式的性质，方程两边同时加上3*x*，再两边同时减去11.4，然后再两边同时除以3求解；
>
> （3）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以20求解。
>
> 【解答】解：（1）7*x*+1.2*x*＝77.28
>
> 8.2*x*＝77.28
>
> 8.2*x*÷8.2＝77.28÷8.2
>
> *x*＝9
>
> （2）3.5×6﹣3*x*＝11.4
>
> 21﹣3*x*+3*x*＝11.4+3*x*
>
> 21＝11.4+3*x*
>
> 21﹣11.4＝11.4+3*x*﹣11.4
>
> 9.6＝3*x*
>
> 9.6÷3＝3*x*÷3
>
> *x*＝3.2
>
> （3）10.8*x*÷0.54＝50
>
> 20*x*＝50
>
> 20*x*÷20＝50÷20
>
> *x*＝2.5
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、操作题（10分）**
23．【分析】根据题干要求，利用长方形、平行四边形和梯形的面积公式，画面积相等的长方形、平行四边形和梯形即可。
> 【解答】解：测得两平行线间的距离是1.5厘米，
>
> 1.5×2＝1.5×2＝（1+3）×1.5÷2＝3（平方厘米）
>
> 如图：
>
> 。
>
> 【点评】本题主要考查平面图形的面积的应用，关键利用长方形面积：*S*＝*ab*，平行四边形的面积：*S*＝*ah*，梯形面积：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，找对图形各边间的关系，完成作图即可。
24．【分析】根据在数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数，在图中分别找出对应的点，并顺次连接*A*，*B*，*C*，*D*，观察所围成的图形即可得出答案．
> 【解答】解：如图，
>
> 【点评】此题主要考查了数对所表示的意义，即数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数．
**六、解决问题（28分）**
25．【分析】（1）把长方形拉成平行四边形后，长变成了平行四边形的底。这样长方形的长和宽，还有平行四边形的底和高都有信息，根据这些信息我们提关于面积方面的问题：长方形的面积是多少？平行四边形面积是多少？
> （2）长方形的面积＝长×宽也就是高×宽，5×4＝20（平方分米）；变成平行四边形后，宽边必须拉斜，也就是高变矮了，高小于了宽，得到平行四边形面积＝底×高，5×3＝15（平方分米）。从中发现平行四边形面积小于长方形面积，它们的周长没有发生变化。
>
> 【解答】解：（1）长方形的面积是多少平方分米？
>
> 5×4＝20（平方分米）
>
> 答：长方形面积是20平方分米。
>
> 平行四边形的面积是多少平方分米？
>
> 5×3＝15（平方分米）
>
> 平行四边形面积是15平方分米。
>
> （2）通过观察、分析、计算我发现长方形和平行四边形的周长没有变，面积变小了。
>
> 【点评】周长肯定是不变的，因为不管怎么拉外面始终是那四条边在绕。
26．【分析】先用100减去62求出买乳酸菌饮料的总价，再根据总价÷单价＝数量解答即可。
> 【解答】解：（100﹣62）÷5.5
>
> ＝38÷5.5
>
> ≈6（瓶）
>
> 答：妈妈可以买6瓶乳酸菌饮料。
>
> 【点评】解答此题应根据总价、数量和单价三者之间的关系进行解答。单价×数量＝总价，总价÷数量＝单价，总价÷单价＝数量。
27．【分析】根据题意可得等量关系式：速度和×相遇时间＝15千米，设两队学生*x*小时相遇，然后列方程解答即可。
> 【解答】解：速度和×相遇时间＝15千米
>
> 设两队学生*x*小时相遇，
>
> （4+3.5）*x*＝15
>
> 7.5*x*＝15
>
> *x*＝2
>
> 答：两队学生经过2小时相遇。
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
28．【分析】（1）黄队每天修25米，又知道红队每天修的米数比黄队的2倍少20米，即红队每天修的米数比25米的2倍少20米，所以用25乘2再减去20，即可求出红队每天修的米数，所以提的问题是：红队每天修多少米；
> （2）红队每天修30米，又知道红队每天修的米数比黄队的2倍少20米，即红队每天修的米数加上20米就等于黄队的2倍，所以用30米加上20米，求出黄队的2倍是多少米，然后再除以2，即可求出黄队每天修的米数，所以提的问题是：黄队每天修多少米。
>
> 【解答】解：（1）提的问题是：红队每天修多少米？
>
> 25×2﹣20
>
> ＝50﹣20
>
> ＝30（米）
>
> 答：红队每天修30米。
>
> （2）提的问题是：黄队每天修多少米？
>
> （30+20）÷2
>
> ＝50÷2
>
> ＝25（米）
>
> 答：黄队每天修25米。
>
> 故答案为：（1）红队每天修多少米；（2）黄队每天修多少米。
>
> 【点评】本题考查了用两步解决问题的能力，关键是根据题意找出基本数量关系。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 11:00:27；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
| 1 | |
1. 整数四则运算定律
```{=html}
<!-- -->
```
1. 加法交换律：的等比数列求和
2. 加法结合律：
3. 乘法交换律：
4. 乘法结合律：
5. 乘法分配律：；
6. 减法的性质：
7. 除法的性质：；
8. 除法的"左"分配律：；，这里尤其要注意，除法是没有"右"分配律的，**即是不成立的！**
**备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．**
2. 加减法中的速算与巧算
**速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：**
1. 分组凑整法．把几个互为"补数"的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．"补数"就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千......，就把其中的一个数叫做另一个数的"补数"．
2. 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可"借数"或"拆数"凑整．
3. 数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千......的数相加，然后再与其它的数相加．
4. "基准数"法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为"基准数"（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
```{=html}
<!-- -->
```
3. 乘法凑整
**思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：，，**
**（去8数，重点记忆）**
**（三个常用质数的乘积，重点记忆）**
**理论依据：乘法交换率：a×b=b×a**
**乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)**
**乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c**
**积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)**
4. 乘、除法混合运算的性质
```{=html}
<!-- -->
```
1. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：
> ，
2. 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：
3. 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．
> 例如：
4. 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则
> 去括号情形：①括号前是"×"时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即
>
> ②括号前是"÷"时，去括号后，括号内的"×"变为"÷"，"÷"变为"×"．即
>
> 添加括号情形：加括号时，括号前是"×"时，原符号不变；括号前是"÷"时，原符号"×"变为"÷"，"÷"变为"×"．即
5. 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即
> 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．
5. 利用位值原理思想进行巧算
**（1） 位值原理的定义：**
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个"位置值"。例如"2",写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
**（2） 位值原理的表达形式：**
以六位数为例：
以具体数字为例：
6. 提取公因数思想
```{=html}
<!-- -->
```
1. 乘法运算中的提取公因数：
```{=html}
<!-- -->
```
1. 乘法分配律：或
2. **提取公因数即乘法分配律的逆用：或**
```{=html}
<!-- -->
```
2. 除法运算中的提取公因数：
```{=html}
<!-- -->
```
1. 除法的"左"分配律：；
2. 除法的"左"提取公因数：
```{=html}
<!-- -->
```
7. 要注意添括号或者去括号对运算符号的影响
```{=html}
<!-- -->
```
1. 在""号后面添括号或者去括号，括号内的""、""号都不变；
2. 在""号后面添括号或者去括号，括号内的""、""号都改变，其中""号变成""号，""号变成""号；
3. 在""号后面添括号或者去括号，括号内的""、""号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；
4. 在""号后面添括号或者去括号，括号内的""、""号都改变，其中""号变成""号，""号变成""号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
1. **计算：**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **计算：**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **求的末四位数．**
```{=html}
<!-- -->
```
2. **求的末三位数字．**
```{=html}
<!-- -->
```
2. 求算式的计算结果的各位数字之和．
```{=html}
<!-- -->
```
3. **从**1**到**2009**这些自然数中所有的数字和是多少？**
```{=html}
<!-- -->
```
3. **计算：**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **计算：**
```{=html}
<!-- -->
```
4. 计算： **= [ ]{.underline}**
```{=html}
<!-- -->
```
2. 计算：．
```{=html}
<!-- -->
```
5. **计算：**
```{=html}
<!-- -->
```
3.
```{=html}
<!-- -->
```
6. [ ]{.underline} ．
```{=html}
<!-- -->
```
4. 计算：\_\_\_\_\_.
```{=html}
<!-- -->
```
7. **计算**
```{=html}
<!-- -->
```
5. 计算
```{=html}
<!-- -->
```
8. **计算：**
```{=html}
<!-- -->
```
6. 计算： [ ]{.underline} 。
```{=html}
<!-- -->
```
9. 计算：
```{=html}
<!-- -->
```
7. 计算：．
1. 计算：、、．
2. **计算：**
3. 计算：
4. 计算： [ ]{.underline} 。
1.
2. 求这10个数的和．
3. 计算：的得数中有 [ ]{.underline} 个数字是奇数。
4. 计算：
5. **计算：**
6. 计算：
+-----------------------+
| 学生对本次课的评价 |
| |
| ○特别满意 ○满意 ○一般 |
+=======================+
| 家长意见及建议 |
| |
| 家长签字： |
+-----------------------+
| 1 | |
【高考地位】
**最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.**
【方法点评】
**方法一 圆锥曲线的定义转化法**
**解题模板：第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；**
 **第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.\[来源:Zxxk.Com\]**
例1.**已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 [.]{.underline}**
【答案】9
【变式演练1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）
A. B. C. D.
方法二 **切 线 法**
使用情景：**当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时**
解题模板：第一步 **设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，**
> **第二步 切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出 的值，即可求出切线方程；**
**第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.**
例2. **求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.**
【答案】**椭圆上点**到**直线的距离**；学\*科网
**椭圆上点**到**直线的距离**\[来源:Zxxk.Com\]
【解析】
【变式演练2】如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．\[来源:学+科+网\]
【答案】（1）；（2）4.
**方法三 参 数 法**
**解题模板：第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；**
**第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；**
**第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.**
例3.**在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**【答案】2**学\*科网
【解析】
设点坐标为
则
**当时，**
【变式演练3】**设，求的最大值和最小值，并求取得最值时的值.**
**方法四 基本不等式法**
**解题模板：第一步 将所求最值的量用变量表示出来，**
**第二步 用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.**
**例4.** 【2018云南省昆明市高新技术开发区模拟】已知椭圆（）的一个焦点是， 为坐标原点，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点的直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足，当，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）设为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，学\*科网
则，
由点在椭圆上，得，
化简得，
因为，所以，
即，
即，
即，所以，
即，因为，
所以，
所以，即的取值范围为．学\*科网
【变式演练4】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. 学\*科网
方法五 **函 数 法**
**解题模板：第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；**
**第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.**
例5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.
> （1）若，求直线的斜率；
>
> （2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）或；（2）4．
考点：1、直线的斜率；2、直线与抛物线的位置关系；3、弦长公式．\[来源:Zxxk.Com\]
【变式演练5】【2018陕西省西安中学模拟】已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【高考再现】
> 1\. 【2017课标1，文12】设*A*、*B*是椭圆*C*：长轴的两个端点，若*C*上存在点*M*满足∠*AMB*=120°，则*m*的取值范围是
>
> *A*． *B*．
>
> *C*． *D*．
【答案】*A*
 2.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系*xOy*中,已知椭圆*C*:(*a*\>*b*\>0)的离心率为,椭圆*C*截直线*y*=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆*C*的方程；
(Ⅱ)动直线*l*:*y*=*kx*+*m*(*m*≠0)交椭圆*C*于*A*,*B*两点,交*y*轴于点*M*.点*N*是*M*关于*O*的对称点,圆*N*的半径为\|*NO*\|. 设*D*为*AB*的中点,*DE*,*DF*与圆*N*分别相切于点*E*,*F*,求*EDF*的最小值.
\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的最小值为.学\*科网
【解析】
（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由 得 （\*）
且 ，
因此 ，
所以 ，学\*科网
又 ，
所以
等号当且仅当时成立，此时，
所以，
由（\*）得 且，
故，
设，
则 ，
所以得最小值为.学\*科网
从而的最小值为，此时直线的斜率时.
综上所述：当，时，取得最小值为.
【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、 3.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
【答案】（I）.学\*科网
（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【解析】试题分析：（I）本小题由，确定即得.
（Ⅱ）设，联立方程
得，由题意知，且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，所以因此直线的方程为.
联立方程得，因此 .
【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到"目标函数"的解析式，应用确定函数最值的方法\-\--如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 学\*科网
4.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点*A*，，抛物线上的点．过点*B*作直线*AP*的垂线，垂足为*Q*．
> （Ⅰ）求直线*AP*斜率的取值范围；
>
> （Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅱ）联立直线*AP*与*BQ*的方程
解得点*Q*的横坐标是，因为\|*PA*\|==
\|*PQ*\|= ，所以\|*PA*\|\|*PQ*\|=
令，因为，所以 *f*(*k*)在区间上单调递增，上单调递减，因此当*k*=时，取得最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．学\*科网
5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为*A*,直线*l*过点*B*（1,0）且与*x*轴不重合,*l*交圆*A*于*C*,*D*两点,过*B*作*AC*的平行线交*AD*于点*E*.
（I）证明为定值,并写出点*E*的轨迹方程；
（II）设点*E*的轨迹为曲线*C*~1~,直线*l*交*C*~1~于*M*,*N*两点,过*B*且与*l*垂直的直线与圆*A*交于*P*,*Q*两点,求四边形*MPNQ*面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,.学\*科网
所以.
过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以
 6．【2016高考山东理数】（本小题满分14分）\
平面直角坐标系中，椭圆*C*： 的离心率是，抛物线*E*：的焦点*F*是*C*的一个顶点.\
（I）求椭圆*C*的方程；
（II）设*P*是*E*上的动点，且位于第一象限，*E*在点*P*处的切线与*C*交与不同的两点*A*，*B*，线段*AB*的中点为*D*，直线*OD*与过*P*且垂直于*x*轴的直线交于点*M*.
（i）求证：点*M*在定直线上;
（ii）直线与*y*轴交于点*G*，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点*P*的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ii）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标.
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质. 学\*科网
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到"目标函数"的解析式，应用确定函数最值的方法\-\--如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
7\. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）
> 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
> （Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
 解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；学\*科网
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
8\. 【2016高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 学\*科网
【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．
【反馈练习】
1．【2018陕西西安长安区联考】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．
2\. 【2018河南名校联考】已知直线的方程为，抛物线为，若点是抛物线上任一点，则点到直线的最短距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【点睛】曲线上的一点到直线的最短距离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。
3\. 【2018江西宜春六校联考】已知， ， 是圆上不同三点，它们到直线： 的距离分别为， ， ，若， ， 成等比数列，则公比的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】圆的圆心 ,半径,圆心到直线的距离,直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大距离为9,最小距离为1,所以当 时,其公比有最大值为.学\*科网
4.【2018福建四校联考】已知点， 其中是曲线上的两点， ， 两点在轴上的射影分别为点， ，且.
（I）当点的坐标为时，求直线的斜率；
（II）记的面积为，梯形的面积为，求证： .
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合直线的斜率公式可得 ；
(Ⅱ)设直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，可得 ， ，则 .据此即可证得题中的结论
（Ⅱ）法一：设直线的方程为.
则...
由, 得,
所以
所以,
又，所以，所以，
因为，所以,所以.
法二：设直线的方程为.
由, 得,
所以
5\. 【2018四川成都双流中学一模】如图，点是椭圆的一个顶点， 的长轴是圆的直径. 是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点交椭圆于另一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
（2）因为直线，且都过点，所以
①当直线的斜率不存在时，易知直线与椭圆相切，不合题意.
②当直线的斜率存在且不为时，设直线，
直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦；
由，所以，所以
，
（当时，等号成立.）
③当时， .
综上所述，当面积取最大值时直线的方程为.
点睛：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．还有就是转化问题的能力，将要求的面积分割为两个直角三角形的面积。学\*科网
6\. 【2018江西南昌摸底联考】已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）
∴，∴，即，化简得，②，由①②得， ，∵原点到直线的距离，∴，又∵，∴，∴原点到直线的距离的取值范围是
6\. 【2018黑龙江佳木斯一中调研】椭圆中心在原点，焦点在轴上， 、分别为上、下焦点，椭圆的离心率为， 为椭圆上一点且．
（1）若的面积为，求椭圆的标准方程；
（2）若的延长线与椭圆另一交点为，以为直径的圆过点， 为椭圆上动点，求的范围．
【答案】（1）（2）
值范围即可求出的范围.
试题解析：（1）由椭圆的对称性可知， 为椭圆的左、右顶点，可设，
∴解得∴．
点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下五个方面考虑：
利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；
利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
利用基本不等式求出参数的取值范围；
利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
7\. 【2018辽宁鞍山一中二模】已知过点的椭圆的左右焦点分别为， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
  8. 【2018贵州黔东南州联考】已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；
（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（I）由椭圆和抛物线*y*^2^＝4*x*有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a^2^=b^2^+c^2^，即可求得椭圆C的方程；\
（Ⅱ）根据（I）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值,求此时三角形面积即可.
试题解析：（1）由，得，所以，
又椭圆过点，
所以，解得，
故椭圆的方程为，
设点，则由，得，
即，则，
由，得，
所以线段的长度取得最小值.
由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.
故，
即的面积的最大值为.
9\. 【2018湖南师范大学附属中模拟】已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.
  10. 【2018广东省珠海市珠海二中、斗门一中联考】已知椭圆： （）的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点.
（1）已知，椭圆的离心率为，直线交直线于点，
求的周长及的面积；
（2）当且点在第一象限时，直线交轴于点， ，
证明：点在定直线上.
【解析】（1）由题设知： 得，∴椭圆的方程为
∴的周长
| 1 | |
**数学**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.**
1.下列各组数中，把两数相乘，积为的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
2.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．立方体
3.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，则的值是（ ）
A． B． C. D．
5.在下列的计算中，正确的是（ ）
A． B． C. D．
6.对于二次函数是图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，最小值是 B．对称轴是直线，最大值是
C. 对称轴是直线，最小值是 D．对称轴是直线，最大值是
7.如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为（ ）
A． B． C. D．
8.某校举行以"激情五月，唱响青春"为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（ ）
A． B． C. D．
9.若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到的扇形），图中的阴影部分是处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是（ ）
A．处 B．处 C. 处 D．处
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
11.分解因式： [ ]{.underline} ．
12若，则 [ ]{.underline} ．
13.2017年5月28日全国部分宜居城市最高气温的数据如下:
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
宜居城市 大连 靑岛 威海 金华 昆明 三亚
最高气灌(℃)
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
则以上最高气温的中位数为 [ ]{.underline} ℃．
14.如图，已知，直线与相交于两点，把一块含角的三角尺按如图位置摆放若，则 [ ]{.underline} ．
15.如图.已知点和点,点在反比例函数的图象上.作射线,再将射线绕点按逆时针方向旋转，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 [ ]{.underline} ．
16．在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.
(1)如图，若，则 [ ]{.underline} ．
(2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.计算：．
18.解分式方程：．
19.如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为．
(1)作出关于原点成中心对称的．
(2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边界）求的取值范围．
20.（本题8分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级.统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计人，良好漏统计人，于是及时更正,从而形成如下图表.请按正确数据解答下列各题：
(1)填写统计表．
(2)根据调整后数据，补全条形统计图．
(3)若该校共有学生人，请你估算出该校体能测试等级为"优秀"的人数．
学生体能测试成绩各等次人数统计表
---------- ------------ ------------
体能等级 调整前人数 调整后人数
优秀
良好
及格
不及格
合计
---------- ------------ ------------
学生体能测试成绩各等次人数统计图
21.（本题8分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
（1）当时，①求的值．②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．
22.如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点是延长线上的一点，交于点，连接．
(1)求证：平分．
(2)若，．
①求的度数．
②若的半径为，求线段的长．
23.（本题10分）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_.
(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长．
(3)如图4，四边形纸片满足．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．
24.如图1，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，动点与同时从点出发，运动时间为秒，点沿方向以单位长度/秒的速度向点运动，点沿折线运动，在上运动的速度分别为（单位长度/秒）.当中的一点到达点时，两点同时停止运动.
（1）求所在直线的函数表达式；
（2）如图2，当点在上运动时，求的面积关于的函数表达式及的最大值；
（3）在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的值.
**试卷答案**
| 1 | |
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。。**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 Cl 35.5 Ar 40 V 51 Fe 56**
**二、选择题：本题共8小题，每小题6分。共48分。在每小题给出的四个选项中，第1\~5题只有一项符合题目要求，第6\~8题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
1.行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是（ ）
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
【答案】D
【解析】
【详解】A．因安全气囊充气后，受力面积增大，故减小了司机单位面积的受力大小，故A错误；
B．有无安全气囊司机初动量和末动量均相同，所以动量的改变量也相同，故B错误；
C．因有安全气囊的存在，司机和安全气囊接触后会有一部分动能转化为气体的内能，不能全部转化成汽车的动能，故C错误；
D．因为安全气囊充气后面积增大，司机的受力面积也增大，在司机挤压气囊作用过程中由于气囊的缓冲故增加了作用时间，故D正确。
故选D。
2.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】
【详解】设物体质量为*m*，则在火星表面有
在地球表面有
由题意知有
故联立以上公式可得
故选B。
3.如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A. 200 N B. 400 N C. 600 N D. 800 N
【答案】B
【解析】
【详解】在最低点由
知
*T*=410N
即每根绳子拉力约为410N，故选B。
4.图（*a*）所示电路中，K与L间接一智能电源，用以控制电容器*C*两端的电压*U~C~*。如果*U~C~*随时间*t*的变化如图（*b*）所示，则下列描述电阻*R*两端电压*U~R~*随时间*t*变化的图像中，正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【详解】根据电容器的定义式可知
结合图像可知，图像的斜率为，则内的电流与内的电流关系为
且两段时间中的电流方向相反，根据欧姆定律可知两端电压大小关系满足
由于电流方向不同，所以电压方向不同。
故选A。
5.一匀强磁场的磁感应强度大小为*B*，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，*ac*、*bd*与直径*ab*共线，*ac*间的距离等于半圆的半径。一束质量为*m*、电荷量为*q*（*q*\>0）的粒子，在纸面内从*c*点垂直于*ac*射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，
粒子垂直*ac*射入磁场，则轨迹圆心必在*ac*直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。
当半径和时，粒子分别从*ac*、*bd*区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。
当0.5*R*\<*r*\<1.5*R*时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5*R*逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从逐渐增大，当轨迹半径为*R*时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于*R*时轨迹圆心角最大，即轨迹对应的最大圆心角
粒子运动最长时间为
,
故选C。
6.下列核反应方程中，X~1~，X~2~，X~3~，X~4~代表α粒子的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【详解】α粒子为氦原子核He，根据核反应方程遵守电荷数守恒和质量数守恒，A选项中的X~1~为He，B选项中的X~2~为He，C选项中的X~3~为中子n，D选项中的X~4~为He。
故选BD。
7.一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离*s*的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s^2^。则（ ）
A. 物块下滑过程中机械能不守恒
B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s^2^
D 当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【答案】AB
【解析】
【详解】A．下滑5m的过程中，重力势能减少30J，动能增加10J，减小的重力势能并不等与增加的动能，所以机械能不守恒，A正确；
B．斜面高3m、长5m，则斜面倾角为*θ*＝37°。令斜面底端为零势面，则物块在斜面顶端时的重力势能
*mgh*＝30J
可得质量
*m*＝1kg
下滑5m过程中，由功能原理，机械能减少量等于克服摩擦力做的功
*μmg*·cos*θ*·*s*＝20J
求得
*μ*＝0.5
B正确；
C．由牛顿第二定律
*mg*sin*θ*－*μmg*cos*θ*＝*ma*
求得
*a*＝2m/s^2^
C错误；
D．物块下滑2.0m时，重力势能减少12J，动能增加4J，所以机械能损失了8J，D选项错误。
故选AB。
8.如图，U形光滑金属框*abcd*置于水平绝缘平台上，*ab*和*dc*边平行，和*bc*边垂直。*ab*、*dc*足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒*MN*置于金属框上，用水平恒力*F*向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，*MN*与金属框保持良好接触，且与*bc*边保持平行。经过一段时间后（ ）
A. 金属框的速度大小趋于恒定值
B. 金属框的加速度大小趋于恒定值
C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D. 导体棒到金属框*bc*边的距离趋于恒定值
【答案】BC
【解析】
【详解】由*bc*边切割磁感线产生电动势，形成电流，使得导体棒*MN*受到向右的安培力，做加速运动，*bc*边受到向左的安培力，向右做加速运动。当*MN*运动时，金属框的*bc*边和导体棒*MN*一起切割磁感线，设导体棒*MN*和金属框的速度分别为、，则电路中的电动势
电流中的电流
金属框和导体棒*MN*受到的安培力
，与运动方向相反
，与运动方向相同
设导体棒*MN*和金属框的质量分别为、，则对导体棒*MN*
对金属框
初始速度均为零，则*a*~1~从零开始逐渐增加，*a*~2~从开始逐渐减小。当*a*~1~＝*a*~2~时，相对速度
大小恒定。整个运动过程用速度时间图象描述如下。
综上可得，金属框的加速度趋于恒定值，安培力也趋于恒定值，BC选项正确；
金属框的速度会一直增大，导体棒到金属框*bc*边的距离也会一直增大，AD选项错误。
故选BC。
**三、非选择题：共62分，第9\~12题为必考题，每个试题考生都必须作答。第13\~14题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：(共47分）**
9.某同学用伏安法测量一阻值为几十欧姆的电阻*R~x~*，所用电压表的内阻为1 kΩ，电流表内阻为0.5Ω。该同学采用两种测量方案，一种是将电压表跨接在图（a）所示电路的*O*、*P*两点之间，另一种是跨接在*O*、*Q*两点之间。测量得到如图（b）所示的两条*U--I*图线，其中*U*与*I*分别为电压表和电流表的示数。
回答下列问题：
（1）图（b）中标记为II的图线是采用电压表跨接在\_\_\_\_\_\_\_\_（填"*O*、*P*"或"*O*、*Q*"）两点的方案测量得到的。
（2）根据所用实验器材和图（b）可判断，由图线\_\_\_\_\_\_\_\_（填"I"或"II"）得到的结果更接近待测电阻的真实值，结果为\_\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。
（3）考虑到实验中电表内阻的影响，需对（2）中得到的结果进行修正，修正后待测电阻的阻值为\_\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。
【答案】 (1). 、 (2). I (3). (4).
【解析】
【详解】(1)\[1\]若将电压表接、之间，
则
根据一次函数关系可知对应斜率为。
若将电压表接在、之间，电流表分压为
根据欧姆定律变形可知
解得
根据一次函数可知对应斜率为，对比图像的斜率可知
所以II图线是采用电压表跨接在、之间。
（2）\[2\]因为待测电阻为几十欧姆的电阻，通过图像斜率大致估算待测电阻为左右，根据
说明电流表的分压较小，电流表的分流较大，所以电压表应跨接在、之间，所以选择图线I得到的结果较为准确。
\[3\]根据图像可知
\[4\]考虑电流表内阻，则修正后的电阻为
10.某同学用如图所示的实验装置验证动量定理，所用器材包括：气垫导轨、滑块（上方安装有宽度为*d*的遮光片）、两个与计算机相连接的光电门、砝码盘和砝码等。
实验步骤如下：
（1）开动气泵，调节气垫导轨，轻推滑块，当滑块上的遮光片经过两个光电门的遮光时间\_\_\_\_\_\_\_\_时，可认为气垫导轨水平；
（2）用天平测砝码与砝码盘的总质量*m*~1~、滑块（含遮光片）的质量*m*~2~；
（3）用细线跨过轻质定滑轮将滑块与砝码盘连接，并让细线水平拉动滑块；
（4）令滑块在砝码和砝码盘的拉动下从左边开始运动，和计算机连接的光电门能测量出遮光片经过*A*、*B*两处的光电门的遮光时间Δ*t*~1~、Δ*t*~2~及遮光片从*A*运动到*B*所用的时间*t*~12~；
（5）在遮光片随滑块从*A*运动到*B*的过程中，如果将砝码和砝码盘所受重力视为滑块所受拉力，拉力冲量的大小*I*=\_\_\_\_\_\_\_\_，滑块动量改变量的大小Δ*p*=\_\_\_\_\_\_\_\_；（用题中给出的物理量及重力加速度*g*表示）
（6）某次测量得到的一组数据为：*d*=1.000 cm，*m*~1~=1.5010^-2^ kg，*m*~2~=0.400 kg，△*t*~1~=3.90010^-2^ s，Δ*t*~2~=1.27010^-2^ s，*t*~12~=1.50 s，取*g*=9.80 m/s^2^。计算可得*I*=\_\_\_\_\_\_\_\_N·s，Δ*p*=\_\_\_\_ kg·m·s^-1^；（结果均保留3位有效数字）
（7）定义，本次实验*δ*=\_\_\_\_\_\_\_\_%（保留1位有效数字）。
【答案】 (1). 大约相等 (2). *m*~1~*gt*~12~ (3). (4). 0.221 (5). 0.212 (6). 4
【解析】
【详解】（1）\[1\]当经过A,B两个光电门时间相等时，速度相等，此时由于阻力很小，可以认为导轨是水平的。
（5）\[2\]由*I*=*Ft*，知
\[3\] 由知
6)\[4\]代入数值知，冲量
\[5\]动量改变量
（7）\[6\]
11.我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小*F*可用描写，*k*为系数；*v*是飞机在平直跑道上的滑行速度，*F*与飞机所受重力相等时的*v*称为飞机的起飞离地速度，已知飞机质量为时，起飞离地速度为66 m/s；装载货物后质量为，装载货物前后起飞离地时的*k*值可视为不变。
（1）求飞机装载货物后的起飞离地速度；
（2）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1 521 m起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
【答案】(1)；（2）2m/s^2^~，~
【解析】
【详解】（1）空载起飞时，升力正好等于重力：
满载起飞时，升力正好等于重力：
由上两式解得：
（2）满载货物的飞机做初速度为零的匀加速直线运动，所以
解得：
由加速的定义式变形得：
解得：
12.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以*O*为圆心，半径为*R*的圆，*AB*为圆的直径，如图所示。质量为*m*，电荷量为*q*（*q*\>0）的带电粒子在纸面内自*A*点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的*C*点以速率*v*~0~穿出电场，*AC*与*AB*的夹角*θ*=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为*mv*~0~，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【答案】(1) ；(2)；(3)0或
【解析】
【详解】（1）由题意知在*A*点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于*q*\>0，故电场线由*A*指向*C*，根据几何关系可知：
所以根据动能定理有：
解得：
；
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做*AC*垂线并且与圆相切，切点为*D*，即粒子要从*D*点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度：
；
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为*mv*~0~，即在电场方向上速度变化为*v*~0~ ，过C点做AC垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或*B*点射出。当从*B*点射出时由几何关系有
电场力提供加速度有
联立解得；当粒子从C点射出时初速度为0。
**（二）选考题：共15分。请考生从2道物理题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
**\[物理------选修3-3\]**
13.分子间作用力*F*与分子间距*r*的关系如图所示，*r*= *r*~1~时，*F*=0。分子间势能由*r*决定，规定两分子相距无穷远时分子间的势能为零。若一分子固定于原点*O*，另一分子从距*O*点很远处向*O*点运动，在两分子间距减小到*r*~2~的过程中，势能\_\_\_\_\_（填"减小"不变"或"增大"）；在间距由*r*~2~减小到*r*~1~的过程中，势能\_\_\_\_\_ （填"减小""不变"或"增大"）；在间距等于*r*~1~处，势能\_\_\_\_\_（填"大于""等于"或"小于"）零。
【答案】 (1). 减小 (2). 减小 (3). 小于
【解析】
【详解】\[1\]从距点很远处向点运动，两分子间距减小到的过程中，分子间体现引力，引力做正功，分子势能减小；
\[2\]在过程中，分子间仍然体现引力，引力做正功，分子势能减小；
\[3\]在间距等于之前，分子势能一直减小，取无穷远处分子间势能为零，则在处分子势能小于零。
14.甲、乙两个储气罐储存有同种气体（可视为理想气体）。甲罐的容积为*V*，罐中气体的压强为*p*；乙罐的容积为2*V*，罐中气体的压强为。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后：
（i）两罐中气体的压强；
（ii）甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。
【答案】（i）；（ii）
【解析】
【详解】（i）气体发生等温变化，对甲乙中的气体，可认为甲中原气体有体积*V*变成3*V*，乙中原气体体积有2*V*变成3*V*，则根据玻意尔定律分别有
，
则
则甲乙中气体最终压强
（ii）若调配后将甲气体再等温压缩到气体原来的压强为*p*，则
计算可得
由密度定律可得，质量之比等于
**\[物理------选修3-4\]**
15.在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
A. 雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B. 超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C. 观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D. 同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E. 天文学上观察到双星（相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星）光谱随时间的周期性变化
【答案】BCE
【解析】
【详解】A．之所以不能同时观察到是因为声音的传播速度比光的传播速度慢，所以A错误；
B．超声波与血液中的血小板等细胞发生反射时，由于血小板的运动会使得反射声波的频率发生变化，B正确；
C．列车和人的位置相对变化了，所以听得的声音频率发生了变化，所以C正确；
D．波动传播速度不一样是由于波的频率不一样导致的， D错误；
E．双星在周期性运动时，会使得到地球的距离发生周期性变化，故接收到的光频率会发生变化，E正确。
故选BCE。
16.一振动片以频率*f*做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上*a*、*b*两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。*c*是水面上的一点，*a*、*b*、*c*间的距离均为*l*，如图所示。已知除*c*点外，在*ac*连线上还有其他振幅极大的点，其中距*c*最近的点到*c*的距离为。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
【答案】（i）；（ii）
【解析】
【详解】（i）设与*c*点最近的振幅极大点为*d*，则
> 根据干涉加强点距离差的关系：
所以波长为
（ii）由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由知，
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 51 Fe 56**
**一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.国家卫健委公布的新型冠状病毒肺炎诊疗方案指出，乙醚、75%乙醇、含氯消毒剂、过氧乙酸(CH~3~COOOH)、氯仿等均可有效灭活病毒。对于上述化学药品，下列说法错误的是
A. CH~3~CH~2~OH能与水互溶
B. NaClO通过氧化灭活病毒
C. 过氧乙酸相对分子质量为76
D. 氯仿的化学名称是四氯化碳
【答案】D
【解析】
【详解】A.乙醇分子中有羟基，其与水分子间可以形成氢键，因此乙醇能与水互溶，A说法正确；
B.次氯酸钠具有强氧化性，其能使蛋白质变性，故其能通过氧化灭活病毒，B说法正确；
C.过氧乙酸的分子式为C~2~H~4~O~3~，故其相对分子质量为76，C说法正确；
D.氯仿的化学名称为三氯甲烷，D说法不正确。
综上所述，故选D。
2.紫花前胡醇可从中药材当归和白芷中提取得到，能提高人体免疫力。有关该化合物，下列叙述错误的是
A. 分子式为C~14~H~14~O~4~
B. 不能使酸性重铬酸钾溶液变色
C. 能够发生水解反应
D. 能够发生消去反应生成双键
【答案】B
【解析】
【详解】A.根据该有机物的分子结构可以确定其分子式为C~14~H~14~O~4~，A叙述正确；
B.该有机物的分子在有羟基，且与羟基相连的碳原子上有氢原子，故其可以被酸性重铬酸钾溶液氧化，能使酸性重铬酸钾溶液变色，B叙述不正确；
C.该有机物的分子中有酯基，故其能够发生水解反应，C叙述正确；
D.该有机物分子中与羟基相连的碳原子的邻位碳原子上有氢原子，故其可以在一定的条件下发生消去反应生成碳碳双键，D叙述正确。
综上所述，故选B。
3.下列气体去除杂质的方法中，不能实现目的的是
--- -------------- ----------------------
气体(杂质) 方法
A SO~2~(H~2~S) 通过酸性高锰酸钾溶液
B Cl~2~(HCl) 通过饱和的食盐水
C N~2~(O~2~) 通过灼热的铜丝网
D NO(NO~2~) 通过氢氧化钠溶液
--- -------------- ----------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
【详解】A．SO~2~和H~2~S都具有较强的还原性，都可以被酸性高锰酸钾溶液氧化；因此在用酸性高锰酸钾溶液除杂质H~2~S时，SO~2~也会被吸收，故A项不能实现除杂目的；
B．氯气中混有少量的氯化氢气体，可以用饱和食盐水除去；饱和食盐水在吸收氯化氢气体的同时，也会抑制氯气在水中的溶解，故B项能实现除杂目的；
C．氮气中混有少量氧气，在通过灼热的铜丝网时，氧气可以与之发生反应： ，而铜与氮气无法反应，因此可以采取这种方式除去杂质氧气，故C项能实现除杂目的；
D．NO~2~可以与NaOH发生反应：，NO与NaOH溶液不能发生反应；尽管NO可以与NO~2~一同跟NaOH发生反应：，但由于杂质的含量一般较少，所以也不会对NO的量产生较大的影响，故D项能实现除杂的目的；
答案选A。
【点睛】除杂操作原则可概括为"不多不少，简单最好"：首先，避免引入新的杂质；其次，尽量避免产品的损失；最后，方法越简单越好。
4.铑的配合物离子\[Rh(CO)~2~I~2~\]^－^可催化甲醇羰基化，反应过程如图所示。
下列叙述错误的是
A. CH~3~COI是反应中间体
B. 甲醇羰基化反应为CH~3~OH+CO=CH~3~CO~2~H
C. 反应过程中Rh成键数目保持不变
D. 存在反应CH~3~OH+HI=CH~3~I+H~2~O
【答案】C
【解析】
【分析】
题干中明确指出，铑配合物充当催化剂的作用，用于催化甲醇羰基化。由题干中提供的反应机理图可知，铑配合物在整个反应历程中成键数目，配体种类等均发生了变化；并且也可以观察出，甲醇羰基化反应所需的反应物除甲醇外还需要CO，最终产物是乙酸；因此，凡是出现在历程中的，既非反应物又非产物的物种如CH~3~COI以及各种配离子等，都可视作中间物种。
【详解】A．通过分析可知，CH~3~COI属于甲醇羰基化反应的反应中间体；其可与水作用，生成最终产物乙酸的同时，也可以生成使甲醇转化为CH~3~I的HI，A项正确；
B．通过分析可知，甲醇羰基化反应，反应物为甲醇以及CO，产物为乙酸，方程式可写成：，B项正确；
C．通过分析可知，铑配合物在整个反应历程中，成键数目，配体种类等均发生了变化，C项不正确；
D．通过分析可知，反应中间体CH~3~COI与水作用生成的HI可以使甲醇转化为CH~3~I，方程式可写成：，D项正确；
答案选C。
【点睛】对于反应机理图的分析，最基本的是判断反应物，产物以及催化剂；一般的，催化剂在机理图中多是以完整的循环出现的；反应物则是通过一个箭头进入整个历程的物质；而产物一般多是通过一个箭头最终脱离整个历程的物质。
5.1934年约里奥--居里夫妇在核反应中用α粒子(即氦核)轰击金属原子，得到核素，开创了人造放射性核素的先河：+→+。其中元素X、Y的最外层电子数之和为8。下列叙述正确的是
A. 的相对原子质量为26
B. X、Y均可形成三氯化物
C. X的原子半径小于Y的
D. Y仅有一种含氧酸
【答案】B
【解析】
【分析】
原子轰击实验中，满足质子和质量数守恒，因此W+4=30+1，则W=27，X与Y原子之间质子数相差2，因X元素为金属元素，Y的质子数比X大，则Y与X位于同一周期，且Y位于X右侧，且元素X、Y的最外层电子数之和为8，设X最外层电子数为a，则Y的最外层电子为a+2，解得a=3，因此X为Al，Y为P，以此解答。
【详解】A．的质量数为27，则该原子相对原子质量为27，故A错误；
B．Al元素均可形成AlCl~3~，P元素均可形成PCl~3~，故B正确；
C．Al原子与P原子位于同一周期，且Al原子序数大于P原子序数，故原子半径Al\>P，故C错误；
D．P的含氧酸有H~3~PO~4~、H~3~PO~3~、H~3~PO~2~等，故D错误；
故答案：B。
6.科学家近年发明了一种新型Zn−CO~2~水介质电池。电池示意图如图，电极为金属锌和选择性催化材料，放电时，温室气体CO~2~被转化为储氢物质甲酸等，为解决环境和能源问题提供了一种新途径。
下列说法错误的是
A. 放电时，负极反应为
B. 放电时，1 mol CO~2~转化为HCOOH，转移的电子数为2 mol
C. 充电时，电池总反应为
D. 充电时，正极溶液中OH^−^浓度升高
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知，放电时，CO~2~转化为HCOOH，即CO~2~发生还原反应，故放电时右侧电极为正极，左侧电极为负极，Zn发生氧化反应生成；充电时，右侧为阳极，H~2~O发生氧化反应生成O~2~，左侧为阴极，发生还原反应生成Zn，以此分析解答。
【详解】A．放电时，负极上Zn发生氧化反应，电极反应式为：，故A正确，不选；
B．放电时，CO~2~转化为HCOOH，C元素化合价降低2，则1molCO~2~转化为HCOOH时，转移电子数为2mol，故B正确，不选；
C．充电时，阳极上H~2~O转化为O~2~，负极上转化为Zn，电池总反应为：，故C正确，不选；
D．充电时，正极即为阳极，电极反应式为：，溶液中H^+^浓度增大，溶液中*c*(H^+^)•*c*(OH^-^)=*K*~W~，温度不变时，*K*~W~不变，因此溶液中OH^-^浓度降低，故D错误，符合题意；
答案选D。
7.以酚酞为指示剂，用0.1000 mol·L^−1^的NaOH溶液滴定20.00 mL未知浓度的二元酸H~2~A溶液。溶液中，pH、分布系数随滴加NaOH溶液体积V~NaOH~的变化关系如图所示。\[比如A^2−^的分布系数：\]
下列叙述正确的是
A. 曲线①代表，曲线②代表
B. H~2~A溶液的浓度为0.2000 mol·L^−1^
C. HA^−^的电离常数*K*~a~=1.0×10^−2^
D. 滴定终点时，溶液中
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像，曲线①代表的粒子的分布系数随着NaOH的滴入逐渐减小，曲线②代表的粒子的分布系数随着NaOH的滴入逐渐增大；当加入40mLNaOH溶液时，溶液的pH在中性发生突变，且曲线②代表的粒子达到最大值接近1；没有加入NaOH时，pH为1，说明H~2~A第一步完全电离，第二步部分电离，曲线①代表δ(HA^-^)，曲线②代表δ(A^2-^)，根据反应2NaOH+H~2~A=Na~2~A+2H~2~O，*c*(H~2~A)==0.1000mol/L，据此分析作答。
【详解】A．根据分析，曲线①代表δ(HA^-^)，曲线②代表δ(A^2-^)，A错误；
B．当加入40.00mLNaOH溶液时，溶液的pH发生突变，说明恰好完全反应，结合分析，根据反应2NaOH+H~2~A=Na~2~A+2H~2~O，*c*(H~2~A)= =0.1000mol/L，B错误；
C．由于H~2~A第一步完全电离，则HA^-^的起始浓度为0.1000mol/L，根据图像，当V~NaOH~=0时，HA^-^的分布系数为0.9，溶液的pH=1，A^2-^的分布系数为0.1，则HA^-^的电离平衡常数*K*~a~==≈1×10^-2^，C正确；
D．用酚酞作指示剂，酚酞变色的pH范围为8.2\~10，终点时溶液呈碱性，*c*(OH^-^)＞*c*(H^+^)，溶液中的电荷守恒为*c*(Na^+^)+*c*(H^+^)=2*c*(A^2-^)+*c*(HA^-^)+*c*(OH^-^)，则*c*(Na^+^)＞2*c*(A^2-^)+*c*(HA^-^)，D错误；
答案选C。
【点睛】本题的难点是判断H~2~A的电离，根据pH的突变和粒子分布分数的变化确定H~2~A的电离方程式为H~2~A=H^+^+A^2-^，HA^-^⇌H^+^+A^2-^。
**三、非选择题：共174分，第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：共129分。**
8.钒具有广泛用途。黏土钒矿中，钒以+3、+4、+5价的化合物存在，还包括钾、镁的铝硅酸盐，以及SiO~2~、Fe~3~O~4~。采用以下工艺流程可由黏土钒矿制备NH~4~VO~3~。
该工艺条件下，溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
------------ -------- -------- -------- --------
金属离子 Fe^3+^ Fe^2+^ Al^3+^ Mn^2+^
开始沉淀pH 1.9 7.0 3.0 8.1
完全沉淀pH 3.2 9.0 4.7 10.1
------------ -------- -------- -------- --------
回答下列问题：
(1)"酸浸氧化"需要加热，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"酸浸氧化"中，VO^+^和VO^2+^被氧化成，同时还有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_离子被氧化。写出VO^+^转化为反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"中和沉淀"中，钒水解并沉淀为，随滤液②可除去金属离子K^+^、Mg^2+^、Na^+^、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，以及部分的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"沉淀转溶"中，转化为钒酸盐溶解。滤渣③的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"调pH"中有沉淀生产，生成沉淀反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)"沉钒"中析出NH~4~VO~3~晶体时，需要加入过量NH~4~Cl，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全） (2). Fe^2+^ (3). VO^+^+MnO~2~+2H^+^=+Mn^2+^+H~2~O (4). Mn^2+^ (5). Fe^3+^、Al^3+^ (6). Fe(OH)~3~ (7). NaAlO~2~+HCl+H~2~O=NaCl+Al(OH)~3~↓或Na\[Al(OH)~4~\]+HCl= NaCl+Al(OH)~3~↓+H~2~O (8). 利用同离子效应，促进NH~4~VO~3~尽可能析出完全
【解析】
【分析】
黏土钒矿中，钒以+3、+4、+5价的化合物存在，还包括钾、镁的铝硅酸盐，以及SiO~2~、Fe~3~O~4~，用30%H~2~SO~4~和MnO~2~"酸浸氧化"时VO^+^和VO^2+^被氧化成，Fe~3~O~4~与硫酸反应生成的Fe^2+^被氧化成Fe^3+^，SiO~2~此过程中不反应，滤液①中含有、K^+^、Mg^2+^、Al^3+^、Fe^3+^、Mn^2+^、；滤液①中加入NaOH调节pH=3.0\~3.1，钒水解并沉淀为V~2~O~5~·xH~2~O，根据表中提供的溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH，此过程中Fe^3+^部分转化为Fe(OH)~3~沉淀，部分Al^3+^转化为Al(OH)~3~沉淀，滤液②中含有K^+^、Na^+^、Mg^2+^、Al^3+^、Fe^3+^、Mn^2+^、，滤饼②中含V~2~O~5~·xH~2~O、Fe(OH)~3~、Al(OH)~3~，滤饼②中加入NaOH使pH\>13，V~2~O~5~·xH~2~O转化为钒酸盐溶解，Al(OH)~3~转化为NaAlO~2~，则滤渣③的主要成分为Fe(OH)~3~；滤液③中含钒酸盐、偏铝酸钠，加入HCl调pH=8.5，NaAlO~2~转化为Al(OH)~3~沉淀而除去；最后向滤液④中加入NH~4~Cl"沉钒"得到NH~4~VO~3~。
【详解】(1)"酸浸氧化"需要加热，其原因是：升高温度，加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全），故答案为：加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全）；
(2)"酸浸氧化"中，钒矿粉中的Fe~3~O~4~与硫酸反应生成FeSO~4~、Fe~2~(SO~4~)~3~和水，MnO~2~具有氧化性，Fe^2+^具有还原性，则VO^+^和VO^2+^被氧化成的同时还有Fe^2+^被氧化，反应的离子方程式为MnO~2~+2Fe^2+^+4H^+^=Mn^2+^+2Fe^3+^+2H~2~O；VO^+^转化为时，钒元素的化合价由+3价升至+5价，1molVO^+^失去2mol电子，MnO~2~被还原为Mn^2+^，Mn元素的化合价由+4价降至+2价，1molMnO~2~得到2mol电子，根据得失电子守恒、原子守恒和电荷守恒，VO^+^转化为反应的离子方程式为VO^+^+MnO~2~+2H^+^=+Mn^2+^+H~2~O，故答案为：Fe^2+^，VO^+^+MnO~2~+2H^+^=+Mn^2+^+H~2~O；
(3)根据分析，"中和沉淀"中，钒水解并沉淀为V~2~O~5~·xH~2~O，随滤液②可除去金属离子K^+^、Mg^2+^、Na^+^、Mn^2+^，以及部分的Fe^3+^、Al^3+^，故答案为：Mn^2+^，Fe^3+^、Al^3+^；
(4)根据分析，滤渣③的主要成分是Fe(OH)~3~，故答案为：Fe(OH)~3~；
(5)"调pH"中有沉淀生成，是NaAlO~2~与HCl反应生成Al(OH)~3~沉淀，生成沉淀反应的化学方程式是NaAlO~2~+HCl+H~2~O=NaCl+Al(OH)~3~↓或Na\[Al(OH)~4~\]+HCl= NaCl+Al(OH)~3~↓+H~2~O，故答案为：NaAlO~2~+HCl+H~2~O=NaCl+Al(OH)~3~↓或Na\[Al(OH)~4~\]+HCl= NaCl+Al(OH)~3~↓+H~2~O。
(6)"沉钒"中析出NH~4~VO~3~晶体时，需要加入过量NH~4~Cl，其原因是：增大NH~4~^+^离子浓度，利用同离子效应，促进NH~4~VO~3~尽可能析出完全，故答案为：利用同离子效应，促进NH~4~VO~3~尽可能析出完全。
【点睛】本题以黏土钒矿制备NH~4~VO~3~的工艺流程为载体，考查流程的分析、物质的分离和提纯、反应方程式的书写等，解题的关键是根据物质的流向分析每一步骤的作用和目的。
9.为验证不同化合价铁的氧化还原能力，利用下列电池装置进行实验。
回答下列问题：
(1)由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10 mol·L^−1^ FeSO~4~溶液，需要的仪器有药匙、玻璃棒、\_\_\_\_\_\_\_\_\_(从下列图中选择，写出名称)。
(2)电池装置中，盐桥连接两电极电解质溶液。盐桥中阴、阳离子不与溶液中的物质发生化学反应，并且电迁移率(u^∞^)应尽可能地相近。根据下表数据，盐桥中应选择\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_作为电解质。
-------- ------------------------------- -------- -------------------------------
阳离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^) 阴离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^)
Li^+^ 4.07 4.61
Na^+^ 5.19 7.40
Ca^2+^ 6.59 Cl^−^ 7.91
K^+^ 7.62 8.27
-------- ------------------------------- -------- -------------------------------
(3)电流表显示电子由铁电极流向石墨电极。可知，盐桥中的阳离子进入\_\_\_\_\_\_\_\_电极溶液中。
(4)电池反应一段时间后，测得铁电极溶液中*c*(Fe^2+^)增加了0.02 mol·L^−1^。石墨电极上未见Fe析出。可知，石墨电极溶液中*c*(Fe^2+^)=\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)根据(3)、(4)实验结果，可知石墨电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_，铁电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_。因此，验证了Fe^2+^氧化性小于\_\_\_\_\_\_\_\_，还原性小于\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)实验前需要对铁电极表面活化。在FeSO~4~溶液中加入几滴Fe~2~(SO~4~)~3~溶液，将铁电极浸泡一段时间，铁电极表面被刻蚀活化。检验活化反应完成的方法是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 烧杯、量筒、托盘天平 (2). KCl (3). 石墨 (4). 0.09mol/L (5). Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^ (6). Fe-2e^-^=Fe^2+^ (7). Fe^3+^ (8). Fe (9). 取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不出现血红色，说明活化反应完成
【解析】
【分析】
(1)根据物质的量浓度溶液的配制步骤选择所用仪器；
(2)\~(5)根据题给信息选择合适的物质，根据原电池工作的原理书写电极反应式，并进行计算，由此判断氧化性、还原性的强弱；
(6)根据刻蚀活化的原理分析作答。
【详解】(1)由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10mol·L^-1^FeSO~4~溶液的步骤为计算、称量、溶解并冷却至室温、移液、洗涤、定容、摇匀、装瓶、贴标签，由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10mol·L^-1^FeSO~4~溶液需要的仪器有药匙、托盘天平、合适的量筒、烧杯、玻璃棒、合适的容量瓶、胶头滴管，故答案为：烧杯、量筒、托盘天平。
(2)Fe^2+^、Fe^3+^能与反应，Ca^2+^能与反应，FeSO~4~、Fe~2~(SO~4~)~3~都属于强酸弱碱盐，水溶液呈酸性，酸性条件下能与Fe^2+^反应，根据题意"盐桥中阴、阳离子不与溶液中的物质发生化学反应"，盐桥中阴离子不可以选择、，阳离子不可以选择Ca^2+^，另盐桥中阴、阳离子的迁移率（u^∞^）应尽可能地相近，根据表中数据，盐桥中应选择KCl作为电解质，故答案为：KCl。
(3)电流表显示电子由铁电极流向石墨电极，则铁电极为负极，石墨电极为正极，盐桥中阳离子向正极移动，则盐桥中的阳离子进入石墨电极溶液中，故答案为：石墨。
(4)根据(3)的分析，铁电极的电极反应式为Fe-2e^-^=Fe^2+^，石墨电极上未见Fe析出，石墨电极的电极反应式为Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^，电池反应一段时间后，测得铁电极溶液中*c*（Fe^2+^）增加了0.02mol/L，根据得失电子守恒，石墨电极溶液中*c*（Fe^2+^）增加0.04mol/L，石墨电极溶液中*c*（Fe^2+^）=0.05mol/L+0.04mol/L=0.09mol/L，故答案为：0.09mol/L。
(5)根据(3)、(4)实验结果，可知石墨电极的电极反应式为Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^，铁电极的电极反应式为Fe-2e^-^=Fe^2+^；电池总反应为Fe+2Fe^3+^=3Fe^2+^，根据同一反应中，氧化剂的氧化性强于氧化产物、还原剂的还原性强于还原产物，则验证了Fe^2+^氧化性小于Fe^3+^，还原性小于Fe，故答案为：Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^ ，Fe-2e^-^=Fe^2+^ ，Fe^3+^，Fe。
(6)在FeSO~4~溶液中加入几滴Fe~2~(SO~4~)~3~溶液，将铁电极浸泡一段时间，铁电极表面被刻蚀活化，发生的反应为Fe+ Fe~2~(SO~4~)~3~=3FeSO~4~，要检验活化反应完成，只要检验溶液中不含Fe^3+^即可，检验活化反应完成的方法是：取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不出现血红色，说明活化反应完成，故答案为：取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不变红，说明活化反应完成。
【点睛】本题的难点是第(2)题盐桥中电解质的选择和第(6)实验方法的设计，要充分利用题给信息和反应的原理解答。
10.硫酸是一种重要的基本化工产品，接触法制硫酸生产中的关键工序是SO~2~的催化氧化：SO~2~(g)+O~2~(g)SO~3~(g) ΔH=−98 kJ·mol^−1^。回答下列问题：
(1)钒催化剂参与反应的能量变化如图所示，V~2~O~5~(s)与SO~2~(g)反应生成VOSO~4~(s)和V~2~O~4~(s)的热化学方程式为：\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)当SO~2~(g)、O~2~(g)和N~2~(g)起始的物质的量分数分别为7.5%、10.5%和82%时，在0.5MPa、2.5MPa和5.0MPa压强下，SO~2~平衡转化率α随温度的变化如图所示。反应在5.0MPa、550℃时的α=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，判断的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。影响α的因素有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)将组成(物质的量分数)为2m% SO~2~(g)、m% O~2~(g)和q% N~2~(g)的气体通入反应器，在温度t、压强p条件下进行反应。平衡时，若SO~2~转化率为α，则SO~3~压强为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，平衡常数K~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)研究表明，SO~2~催化氧化的反应速率方程为：v=k(−1)^0.8^(1−nα\')。式中：k为反应速率常数，随温度t升高而增大；α为SO~2~平衡转化率，α\'为某时刻SO~2~转化率，n为常数。在α\'=0.90时，将一系列温度下的k、α值代入上述速率方程，得到v\~t曲线，如图所示。
曲线上v最大值所对应温度称为该α\'下反应的最适宜温度t~m~。t\<t~m~时，v逐渐提高；t\>t~m~后，v逐渐下降。原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2V~2~O~5~(s)+ 2SO~2~(g)⇌ 2VOSO~4~(s)+ V~2~O~4~(s) ∆*H*= -351 kJ∙mol^-1^ (2). 0.975 (3). 该反应气体分子数减少，增大压强，*α*提高。所以，该反应在550℃、压强为5.0MPa＞2.5MPa＝*p*~２~的，所以*p*~1~=5.0MPa (4). 反应物（N~2~和O~2~）的起始浓度（组成）、温度、压强 (5). (6). (7). 升高温度，*k*增大使*v*逐渐提高，但*α*降低使*v*逐渐下降。当*t*＜*t*~m~，k增大对v的提高大于*α*引起的降低；当*t*＞*t*~m~，*k*增大对*v*的提高小于*α*引起的降低
【解析】
【分析】
根据盖斯定律，用已知的热化学方程式通过一定的数学运算，可以求出目标反应的反应热；根据压强对化学平衡的影响，分析图中数据找到所需要的数据；根据恒压条件下总压不变，求出各组分的分压，进一步可以求出平衡常数；根据题中所给的速率公式，分析温度对速率常数及二氧化硫的转化率的影响，进一步分析对速率的影响。
【详解】(1)由题中信息可知：
①SO~2~(g)+O~2~(g)⇌SO~3~(g) ∆*H*= -98kJ∙mol^-1^
②V~2~O~4~(s)+ SO~3~(g)⇌V~2~O~5~(s)+ SO~2~(g) ∆*H*~2~= -24kJ∙mol^-1^
③V~2~O~4~(s)+ 2SO~3~(g)⇌2VOSO~4~(s) ∆*H*~1~= -399kJ∙mol^-1^
根据盖斯定律可知，③-②×2得2V~2~O~5~(s)+ 2SO~2~(g)⇌ 2VOSO~4~(s)+ V~2~O~4~(s)，则∆*H*= ∆*H*~1~-2∆*H*~2~=( -399kJ∙mol^-1^)-( -24kJ∙mol^-1^)×2= -351kJ∙mol^-1^，所以该反应的热化学方程式为：2V~2~O~5~(s)+ 2SO~2~(g)⇌ 2VOSO~4~(s)+ V~2~O~4~(s) ∆*H*= -351 kJ∙mol^-1^；
\(2\) SO~2~(g)+O~2~(g)⇌SO~3~(g)，该反应是一个气体分子数减少的放热反应，故增大压强可以使化学平衡向正反应方向移动。因此，在相同温度下，压强越大，SO~2~的平衡转化率越大，所以，该反应在550℃、压强为5.0MPa条件下，SO~2~的平衡转化率一定高于相同温度下、压强为2.5MPa的，因此，*p*~1~=5.0MPa，由图中数据可知，*α*=0.975。影响*α*的因素就是影响化学平衡移动的因素，主要有反应物（N~2~和O~2~）的浓度、温度、压强等。
(3)假设原气体的物质的量为100mol，则SO~2~、O~2~和N~2~的物质的量分别为2m mol、m mol和q mol，2m+m+q=3m+q=100，SO~2~的平衡转化率为*α*，则有下列关系：
平衡时气体的总物质的量为n(总)= 2m(1-*α*)+m(1-*α*)+2m*α*mol+q mol，则SO~3~的物质的量分数为。该反应在恒压容器中进行，因此，SO~3~的分压*p*(SO~3~)=，*p*(SO~2~)=，*p*(O~2~)=，在该条件下，SO~2~(g)+ O~2~(g)⇌2SO~3~(g) 的*K*~p~=。
\(4\) 由于该反应是放热反应，温度升高后*α*降低。由题中信息可知，*v*=，升高温度，*k*增大使*v*逐渐提高，但*α*降低使*v*逐渐下降。当*t*＜*t*~m~，k增大对v提高大于*α*引起的降低；当*t*＞*t*~m~，*k*增大对*v*的提高小于*α*引起的降低。
【点睛】本题有关化学平衡常数的计算是一个难点，尤其题中给的都是字母型数据，这无疑增大了难度。这也是对考生的意志的考验，只要巧妙假设、小心求算，还是可以得到正确结果的，毕竟有关化学平衡的计算是一种熟悉的题型。本题的另一难点是最后一问，考查的是速率公式与化学平衡的综合理解，需要明确化学反应速率与速率常数及平衡转化率之间的函数关系，才能作出正确的解答。所以，耐心和细心才是考好的保证。
**(二)选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
11.Goodenough等人因在锂离子电池及钴酸锂、磷酸铁锂等正极材料研究方面的卓越贡献而获得2019年诺贝尔化学奖。回答下列问题：
(1)基态Fe^2+^与Fe^3+^离子中未成对的电子数之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)Li及其周期表中相邻元素的第一电离能(I~1~)如表所示。I~1~(Li)\> I~1~(Na)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。I~1~(Be)\> I~1~(B)\> I~1~(Li)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)磷酸根离子的空间构型为\_\_\_\_\_\_\_，其中P的价层电子对数为\_\_\_\_\_\_\_、杂化轨道类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)LiFePO~4~的晶胞结构示意图如(a)所示。其中O围绕Fe和P分别形成正八面体和正四面体，它们通过共顶点、共棱形成空间链结构。每个晶胞中含有LiFePO~4~的单元数有\_\_\_\_个。
电池充电时，LiFeO~4~脱出部分Li^+^，形成Li~1−x~FePO~4~，结构示意图如(b)所示，则x=\_\_\_\_\_\_\_，n(Fe^2+^ )∶n(Fe^3+^)=\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 4:5 (2). Na与Li同主族，Na的电子层数更多，原子半径更大，故第一电离能更小 (3). Li，Be和B为同周期元素，同周期元素从左至右，第一电离能呈现增大的趋势；但由于基态Be原子的s能级轨道处于全充满状态，能量更低更稳定，故其第一电离能大于B的 (4). 正四面体形 (5). 4 (6). sp^3^ (7). 4 (8). 或0.1875 (9). 13:3
【解析】
【分析】
题(1)考查了对基态原子电子排布规律的认识；题(2)考查了第一电离能的周期性变化规律；题(3)考查了分子或离子空间构型判断的两大理论；题(4)重点考查通过陌生晶胞的晶胞结构示意图判断晶胞组成。
【详解】(1)基态铁原子的价电子排布式为，失去外层电子转化为Fe^2+^和Fe^3+^，这两种基态离子的价电子排布式分别为和，根据Hund规则可知，基态Fe^2+^有4个未成对电子，基态Fe^3+^有5个未成对电子，所以未成对电子个数比为4:5；
(2)同主族元素，从上至下，原子半径增大，第一电离能逐渐减小，所以；同周期元素，从左至右，第一电离能呈现增大的趋势，但由于ⅡA元素基态原子s能级轨道处于全充满的状态，能量更低更稳定，所以其第一电离能大于同一周期的ⅢA元素，因此；
(3)经过计算，中不含孤电子对，成键电子对数目为4，价层电子对数为4，因此其构型为正四面体形，P原子是采用sp^3^杂化方式形成的4个sp^3^杂化轨道；
(4)由题干可知，LiFePO~4~的晶胞中，Fe存在于由O构成的正八面体内部，P存在由O构成的正四面体内部；再分析题干中给出的(a),(b)和(c)三个不同物质的晶胞结构示意图，对比(a)和(c)的差异可知，(a)图所示的LiFePO~4~的晶胞中，小球表示的即为Li^+^，其位于晶胞的8个顶点，4个侧面面心以及上下底面各自的相对的两条棱心处，经计算一个晶胞中Li^+^的个数为个；进一步分析(a)图所示的LiFePO~4~的晶胞中，八面体结构和四面体结构的数目均为4，即晶胞中含Fe和P的数目均为4；考虑到化学式为LiFePO~4~，并且一个晶胞中含有的Li^+^，Fe和P的数目均为4，所以一个晶胞中含有4个LiFePO~4~单元。对比(a)和(b)两个晶胞结构示意图可知，Li~1-x~FePO~4~相比于LiFePO~4~缺失一个面心的Li^+^以及一个棱心的Li^+^；结合上一个空的分析可知，LiFePO~4~晶胞的化学式为Li~4~Fe~4~P~4~O~16~，那么Li~1-x~FePO~4~晶胞的化学式为Li~3.25~Fe~4~P~4~O~16~，所以有即x=0.1875。结合上一个空计算的结果可知，Li~1-x~FePO~4~即Li~0.8125~FePO~4~；假设Fe^2+^和Fe^3+^数目分别为x和y，则列方程组：，，解得x=0.8125，y=0.1875，则Li~1-x~FePO~4~中。
【点睛】对第一电离能的考查，最常出现的是ⅡA，ⅤA基态原子与同一周期相邻主族元素的基态原子第一电离能的比较；判断分子等构型时，可以通过价层电子对互斥理论或杂化轨道理论以及等电子体原理进行判断；由陌生晶胞结构书写晶体化学式时，一方面要认真分析晶胞中各类粒子的位置信息，另一方面也要注意均摊法的使用。
12.有机碱，例如二甲基胺()、苯胺()，吡啶()等，在有机合成中应用很普遍，目前"有机超强碱"的研究越来越受到关注，以下为有机超强碱F的合成路线：
已知如下信息：
①H~2~C=CH~2~
②+RNH~2~
③苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)由B生成C的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)C中所含官能团的名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由C生成D的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)D结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)E的六元环芳香同分异构体中，能与金属钠反应，且核磁共振氢谱有四组峰，峰面积之比为6∶2∶2∶1的有\_\_\_\_\_\_\_\_种，其中，芳香环上为二取代的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 三氯乙烯 (2). +KOH+KCl+H~2~O (3). 碳碳双键、氯原子 (4). 取代反应 (5).  (6). 6 (7). 
【解析】
【分析】
由合成路线可知，A为三氯乙烯，其先发生信息①的反应生成B，则B为；B与氢氧化钾的醇溶液共热发生消去反应生成C，则C为；C与过量的二环己基胺发生取代反应生成D；D最后与E发生信息②的反应生成F。
【详解】(1)由题中信息可知，A的分子式为C~2~HCl~3~，其结构简式为ClHC=CCl~2~，其化学名称为三氯乙烯。
\(2\) B与氢氧化钾的醇溶液共热发生消去反应生成C（），该反应的化学方程式为+KOH+KCl+H~2~O。
(3)由C的分子结构可知其所含官能团有碳碳双键和氯原子。
\(4\) C（）与过量的二环己基胺发生生成D，D与E发生信息②的反应生成F，由F的分子结构可知，C的分子中的两个氯原子被二环己基胺基所取代，则由C生成D的反应类型为取代反应。
\(5\) 由D的分子式及F的结构可知D的结构简式为。
\(6\) 已知苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体。E（）的六元环芳香同分异构体中，能与金属钠反应，则其分子中也有羟基；核磁共振氢谱有四组峰，峰面积之比为6∶2∶2∶1的有、、、、、，共6种，其中，芳香环上为二取代的结构简式为。
【点睛】本题的同分异构体的书写是难点，要根据题中"苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体"才能找齐符合条件的同分异构体。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）**
**理科综合生物能力测试**
**一、选择题**
1.新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯，提高公共卫生安全意识。下列相关叙述错误的是（ ）
A. 戴口罩可以减少病原微生物通过飞沫在人与人之间的传播
B. 病毒能够在餐具上增殖，用食盐溶液浸泡餐具可以阻止病毒增殖
C. 高温可破坏病原体蛋白质空间结构，煮沸处理餐具可杀死病原体
D. 生活中接触的物体表面可能存在病原微生物，勤洗手可降低感染风险
【答案】B
【解析】
【分析】
新冠肺炎是由新型冠状病毒引起的疾病，该病毒不能离开活细胞独立生活。
【详解】A、戴口罩可以减少飞沫引起的病毒传播，可以在一定程度上预防新冠病毒，A正确；\
B、病毒只能依赖于活细胞才能存活，不能在餐桌上增殖，B错误；\
C、煮沸可以破坏病原体蛋白质的空间结构，进而杀死病原体，C正确；\
D、手可能接触到病毒，勤洗手可以洗去手上的病原体，降低感染风险，D正确。\
故选B。
2.种子贮藏中需要控制呼吸作用以减少有机物的消耗。若作物种子呼吸作用所利用的物质是淀粉分解产生的葡萄糖，下列关于种子呼吸作用的叙述，错误的是（ ）
A. 若产生的CO~2~与乙醇的分子数相等，则细胞只进行无氧呼吸
B. 若细胞只进行有氧呼吸，则吸收O~2~的分子数与释放CO~2~的相等
C. 若细胞只进行无氧呼吸且产物是乳酸，则无O~2~吸收也无CO~2~释放
D. 若细胞同时进行有氧和无氧呼吸，则吸收O~2~的分子数比释放CO~2~的多
【答案】D
【解析】
【分析】
呼吸底物是葡萄糖时，若只进行有氧呼吸，则消耗的氧气=生成的二氧化碳量；若只进行无氧呼吸，当呼吸产物是酒精时，生成的酒精量=生成的二氧化碳量。
【详解】A、若二氧化碳的生成量=酒精的生成量，则说明不消耗氧气，故只有无氧呼吸，A正确；\
B、若只进行有氧呼吸，则消耗的氧气量=生成的二氧化碳量，B正确；\
C、若只进行无氧呼吸，说明不消耗氧气，产乳酸的无氧呼吸不会产生二氧化碳，C正确；\
D、若同时进行有氧呼吸和无氧呼吸，若无氧呼吸产酒精，则消耗的氧气量小于二氧化碳的生成量，若无氧呼吸产乳酸，则消耗的氧气量=二氧化碳的生成量，D错误。\
故选D。
3.某研究人员以小鼠为材料进行了与甲状腺相关的实验，下列叙述错误的是（ ）
A. 切除小鼠垂体，会导致甲状腺激素分泌不足，机体产热减少
B. 给切除垂体的幼年小鼠注射垂体提取液后，其耗氧量会增加
C. 给成年小鼠注射甲状腺激素后，其神经系统的兴奋性会增强
D. 给切除垂体的小鼠注射促甲状腺激素释放激素，其代谢可恢复正常
【答案】D
【解析】
【分析】
甲状腺可以分泌甲状腺激素，甲状腺激素可以促进神经系统的发育，还可以促进细胞代谢，增加产热。
【详解】A、若切除垂体，则垂体分泌的促甲状腺激素减少，会导致甲状腺激素分泌不足，产热减少，A正确；\
B、给切除垂体的幼年小鼠注射垂体提取液后，该提取液中含有促甲状腺激素，可以促进甲状腺激素的分泌，故小鼠的耗氧量会增加，B正确；\
C、甲状腺激素可以促进神经系统的发育，故给成年小鼠注射甲状腺激素后，神经系统的兴奋性会增加，C正确；\
D、促甲状腺激素释放激素作用的靶器官是垂体，故切除垂体后，注射促甲状腺激素释放激素不能让代谢恢复正常，D错误。\
故选D。
4.为达到实验目的，需要选用合适的实验材料进行实验。下列实验目的与实验材料的对应，不合理的是（ ）
--- -------------------- ----------------------------
实验材料 实验目的
A 大蒜根尖分生区细胞 观察细胞的质壁分离与复原
B 蝗虫的精巢细胞 观察细胞的减数分裂
C 哺乳动物的红细胞 观察细胞的吸水和失水
D 人口腔上皮细胞 观察DNA、RNA在细胞中的分布
--- -------------------- ----------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
【分析】
细胞质壁分离及复原的原理：把成熟的植物细胞放置在某些对细胞无毒害的物质溶液中，当细胞液的浓度小于外界溶液的浓度时，细胞液中的水分子就透过原生质层进入到外界溶液中，使原生质层和细胞壁都出现一定程度的收缩。由于原生质层比细胞壁的伸缩性大，当细胞不断失水时，原生质层就会与细胞壁逐渐分离开来，也就是逐渐发生了质壁分离。当细胞液的浓度大于外界溶液的浓度时，外界溶液中的水分子就通过原生质层进入到细胞液中，发生质壁分离的细胞的整个原生质层会慢慢地恢复成原来的状态，使植物细胞逐渐发生质壁分离复原。
【详解】A、根尖分生区无成熟的大液泡，不能用于观察细胞的质壁分离与复原，A符合题意；\
B、蝗虫的精巢细胞可以发生减数分裂，可以用于观察细胞的减数分裂，B不符合题意；\
C、哺乳动物的红细胞吸水会膨胀，失水会皱缩，故可以用于观察细胞的吸水和失水，C不符合题意；\
D、人的口腔上皮细胞无色，且含有DNA和RNA，可以用于观察DNA、RNA在细胞中的分布，D不符合题意。\
故选A。
5.已知果蝇的长翅和截翅由一对等位基因控制。多只长翅果蝇进行单对交配(每个瓶中有1只雌果蝇和1只雄果蝇)，子代果蝇中长翅∶截翅=3∶1。据此无法判断的是（ ）
A. 长翅是显性性状还是隐性性状
B. 亲代雌蝇是杂合子还是纯合子
C. 该等位基因位于常染色体还是X染色体上
D. 该等位基因在雌蝇体细胞中是否成对存在
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，长翅与长翅果蝇杂交的后代中出现截翅果蝇，说明截翅是隐性性状，长翅是显性性状。
【详解】A、根据截翅为无中生有可知，截翅为隐性性状，长翅为显性性状，A不符合题意；\
B、根据杂交的后代发生性状分离可知，亲本雌蝇一定为杂合子，B不符合题意；\
C、无论控制翅形的基因位于X染色体上还是常染色体上，后代中均会出现长翅：截翅=3:1的分离比，C符合题意；\
D、根据后代中长翅：截翅=3:1可知，控制翅形的基因符合基因的分离定律，故可推测该等位基因在雌蝇体细胞中是成对存在的，D不符合题意。\
故选C。
6.土壤小动物对动植物遗体的分解起着重要的作用。下列关于土壤小动物的叙述，错误的是（ ）
A. 调查身体微小、活动力强的小动物数量常用标志重捕法
B. 土壤中小动物类群的丰富度高，则该类群含有的物种数目多
C. 土壤小动物的代谢活动会影响土壤肥力，进而影响植物生长
D. 土壤小动物呼吸作用产生的CO~2~参与生态系统中的碳循环
【答案】A
【解析】
【分析】
物种丰富度指群落中物种数目的多少。常用取样器取样法调查土壤小动物的丰富度。
【详解】A、调查身体微小、活动能力强的小动物数量常用取样器取样法，A错误；\
B、物种丰富度指群落中物种数目的多少，土壤中小动物丰富度高，说明该类群含有的物种数目多，B正确；\
C、一些土壤小动物可以将有机物分解为无机物，增加土壤肥力，进而影响植物的生长，C正确；\
D、土壤小动物可以通过呼吸作用产生二氧化碳，二氧化碳进入大气中，可以参与碳循环，D正确。\
故选A。
**三、非选择题**
7.真核细胞的膜结构具有重要功能。请参照表中内容完成下表。
-------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------------------------------ -------------------------
结构名称 突触 高尔基体 （1）\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 叶绿体的类囊体膜
功能 （2）\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （3）\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 控制物质进出细胞 作为能量转换的场所
膜的主要成分 （4）\_\_\_\_\_\_\_\_\_
功能举例 在缩手反射中参与兴奋在神经元之间的传递 参与豚鼠胰腺腺泡细胞分泌蛋白的形成过程 参与K^+^从土壤进入植物根细胞的过程 （5）\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------------------------------ -------------------------
【答案】 (1). 细胞膜 (2). 参与信息传递 (3). 对蛋白质进行加工修饰 (4). 脂质和蛋白质 (5). 叶肉细胞进行光合作用时，光能转化为化学能的过程发生在类囊体膜上
【解析】
【分析】
1、生物膜主要由脂质和蛋白质组成，还有少量的糖类。脂质中磷脂最丰富，功能越复杂的生物膜，蛋白质的种类和数量越多。
2、细胞膜的功能：①将细胞与外界环境分隔开；②控制物质进出；③进行细胞间的信息交流。
3、分泌蛋白的合成与分泌过程：附着在内质网上的核糖体合成蛋白质→内质网进行粗加工→内质网"出芽"形成囊泡→高尔基体进行再加工形成成熟的蛋白质→高尔基体"出芽"形成囊泡→细胞膜，整个过程还需要线粒体提供能量。
【详解】（1）K^+^进入植物根细胞的过程为主动运输，体现了细胞膜控制物质进出的功能。
（2）兴奋在神经元之间是通过突触传递的，当兴奋传递到突触小体时，突触前膜释放神经递质进入突触间隙，与突触后膜上的受体结合，使突触后膜发生兴奋或抑制，该过程体现了细胞膜参与信息传递的功能。
（3）由分析可知，在分泌蛋白的合成和分泌过程中，高尔基体对来自内质网的蛋白质进行加工修饰后，"出芽"形成囊泡，最终将蛋白质分泌到细胞外。
（4）由分析可知生物膜主要成分是脂质和蛋白质。
（5）类囊体薄膜上分布着光合色素和多种酶，是绿色植物进行光反应的场所，光能转化为化学能的过程发生在类囊体膜上。
【点睛】本题考查生物膜的成分和功能，要求考生能够识记分泌蛋白合成、分泌的过程，掌握各种生物膜的功能，再结合实例具体分析。
8.农业生产中的一些栽培措施可以影响作物的生理活动，促进作物的生长发育，达到增加产量等目的。回答下列问题：
（1）中耕是指作物生长期中，在植株之间去除杂草并进行松土的一项栽培措施，该栽培措施对作物的作用有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
（2）农田施肥的同时，往往需要适当浇水，此时浇水的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（3）农业生产常采用间作（同一生长期内，在同一块农田上间隔种植两种作物）的方法提高农田的光能利用率。现有4种作物，在正常条件下生长能达到的株高和光饱和点（光合速率达到最大时所需的光照强度）见下表。从提高光能利用率的角度考虑，最适合进行间作的两种作物是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，选择这两种作物的理由是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
--------------------------- ------- ------- ----- -----
作物 A B C D
株高/cm 170 65 59 165
光饱和点/μmol·m^-2^·s^-1^ 1 200 1 180 560 623
--------------------------- ------- ------- ----- -----
【答案】 (1). 减少杂草对水分、矿质元素和光的竞争；增加土壤氧气含量，促进根系的呼吸作用 (2). 肥料中的矿质元素只有溶解在水中才能被作物根系吸收 (3). A和C (4). 作物A光饱和点高且长得高，可以利用上层光照进行光合作用；作物C光饱和点低且长得矮，与作物A间作后，能利用下层的弱光进行光合作用
【解析】
【分析】
1、中耕松土是指对土壤进行浅层翻倒、疏松表层土壤。中耕作用有：疏松表土、增加土壤通气性、提高地温，促进好气微生物的活动和养分有效化、去除杂草、促使根系伸展、调节土壤水分状况。
2、矿质元素只有溶解在水中，以离子形式存在，才能被植物的根系选择吸收。
【详解】（1）中耕松土过程中去除了杂草，减少了杂草和农作物之间的竞争；疏松土壤可以增加土壤的含氧量，有利于根细胞的有氧呼吸，促进矿质元素的吸收，从而达到增产的目的。
（2）农田施肥时，肥料中的矿质元素只有溶解在水中，以离子形式存在，才能被作物根系吸收。
（3）分析表中数据可知，作物A、D的株高较高，B、C的株高较低，作物A、B的光饱和点较高，适宜在较强光照下生长，C、D的光饱和点较低，适宜在弱光下生长，综合上述特点，应选取作物A和C进行间作，作物A可利用上层光照进行光合作用，作物C能利用下层的弱光进行光合作用，从而提高光能利用率。
【点睛】本题结合具体实例考查光合作用和呼吸作用的相关内容，掌握光合作用和呼吸作用的原理、影响因素及在生产中的应用是解题的关键。
9.某研究人员用药物W进行了如下实验：给甲组大鼠注射药物W，乙组大鼠注射等量生理盐水，饲养一段时间后，测定两组大鼠的相关生理指标。实验结果表明：乙组大鼠无显著变化；与乙组大鼠相比，甲组大鼠的血糖浓度升高，尿中葡萄糖含量增加，进食量增加，体重下降。回答下列问题：
（1）由上述实验结果可推测，药物W破坏了胰腺中的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_细胞，使细胞失去功能，从而导致血糖浓度升高。
（2）由上述实验结果还可推测，甲组大鼠肾小管液中的葡萄糖含量增加，导致肾小管液的渗透压比正常时的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_， 从而使该组大鼠的排尿量\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）实验中测量到甲组大鼠体重下降，推测体重下降的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）若上述推测都成立，那么该实验的研究意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
【答案】 (1). 胰岛B (2). 高 (3). 增加 (4). 甲组大鼠胰岛素缺乏，使机体不能充分利用葡萄糖来获得能量，导致机体脂肪和蛋白质的分解增加 (5). 获得了因胰岛素缺乏而患糖尿病的动物，这种动物可以作为实验材料用于研发治疗这类糖尿病的药物
【解析】
【分析】
1、胰岛B细胞能分泌胰岛素，其作用是促进组织细胞加速摄取、利用和储存葡萄糖，从而使血糖水平降低；胰岛A细胞能分泌胰高血糖素，其作用是促进糖原分解，并促进一些非糖物质转化为葡萄糖，从而使血糖水平升高。
2、糖尿病的病人由于胰岛B细胞受损，导致胰岛素分泌过少，血糖进入细胞及在细胞内氧化分解发生障碍，而非糖物质转化成糖仍在进行，从而使血糖水平升高，部分糖随尿液排出，而原尿中的葡萄糖又增加了尿液的渗透压，因此导致肾小管、集合管对水分的重吸收减少，进而导致尿量增多。
【详解】（1）由于甲组大鼠注射药物W后，血糖浓度升高，可推知药物W破坏了胰腺中的胰岛B细胞，使胰岛素的分泌量减少，从而导致血糖浓度升高。
（2）由题干信息可知，甲组大鼠肾小管液中的葡萄糖含量增加，会导致肾小管液的渗透压比正常时的高，因此导致肾小管、集合管对水分的重吸收减少，进而导致尿量增加。
（3）甲组大鼠注射药物W后，由于胰岛素分泌不足，使机体不能充分利用葡萄糖来获得能量，导致机体脂肪和蛋白质的分解增加，体重下降。
（4）由以上分析可知，药物W破坏了胰腺中的胰岛B细胞，使大鼠因胰岛素缺乏而患糖尿病，这种动物可以作为实验材料用于研发治疗这类糖尿病的药物。
【点睛】本题结合药物W的实验，主要考查了糖尿病的病因以及"三多一少"症状出现的原因等相关基础知识，意在考查考生从题中获取信息的能力，并运用所学知识对信息进行分析、推理和解释现象的能力。
10.遗传学理论可用于指导农业生产实践。回答下列问题：
（1）生物体进行有性生殖形成配子的过程中，在不发生染色体结构变异的情况下，产生基因重新组合的途径有两条，分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）在诱变育种过程中，通过诱变获得的新性状一般不能稳定遗传，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若要使诱变获得的性状能够稳定遗传，需要采取的措施是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 在减数分裂过程中，随着非同源染色体的自由组合，非等位基因自由组合；同源染色体上的等位基因随着非姐妹染色单体的交换而发生交换，导致染色单体上的基因重组 (2). 控制新性状的基因是杂合的 (3). 通过自交筛选性状能稳定遗传的子代
【解析】
【分析】
1、基因重组是指在生物体进行有性生殖的过程中，控制不同性状的基因的重新组合。它包括：①减数第一次分裂过程中，随着非同源染色体的自由组合，非等位基因自由组合；②减数分裂形成四分体时期，位于同源染色体上的等位基因随着非姐妹染色单体的交换而发生交换，导致染色单体上的基因重组。
2、诱变育种是指利用物理因素或化学因素来处理生物，使生物发生基因突变。用这种方法可以提高突变率，在较短时间内获得更多的优良变异类型。其原理是基因突变。
【详解】（1）由分析可知，减数分裂形成配子过程中，基因重组的途径有减数第一次分裂后期，非同源染色体上的非等位基因自由组合；减数第一次分裂前期同源染色体的非姐妹染色单体之间发生交叉互换。
（2）在诱变育种过程中，诱变获得的新个体通常为杂合子，自交后代会发生性状分离，故可以将该个体进行自交，筛选出符合性状要求的个体后再自交，重复此过程，直到不发生性状分离，即可获得稳定遗传的纯合子。
【点睛】本题考查基因重组和育种的相关知识，要求考生掌握基因重组的概念和分类、诱变育种的原理和应用，并能灵活运用解题。
**\[生物------选修1：生物技术实践\]**
11.某种物质S（一种含有C、H、N有机物）难以降解，会对环境造成污染，只有某些细菌能降解S。研究人员按照下图所示流程从淤泥中分离得到能高效降解S的细菌菌株。实验过程中需要甲、乙两种培养基，甲的组分为无机盐、水和S，乙的组分为无机盐、水、S和Y。
回答下列问题：
（1）实验时，盛有水或培养基的摇瓶通常采用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的方法进行灭菌。乙培养基中的Y物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。甲、乙培养基均属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_培养基。
（2）实验中初步估测摇瓶M中细菌细胞数为2×10^7^ 个/mL，若要在每个平板上涂布100μL稀释后的菌液，且保证每个平板上长出的菌落数不超过200个，则至少应将摇瓶M中的菌液稀释\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_倍。
（3）在步骤⑤的筛选过程中，发现当培养基中的S超过某一浓度时，某菌株对S的降解量反而下降，其原因可能是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（4）若要测定淤泥中能降解S的细菌细胞数，请写出主要实验步骤\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）上述实验中，甲、乙两种培养基所含有的组分虽然不同，但都能为细菌的生长提供4类营养物质，即\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 高压蒸汽灭菌 (2). 琼脂 (3). 选择 (4). 10^4^ (5). S的浓度超过某一值时会抑制菌株的生长 (6). 取淤泥加入无菌水，涂布（或稀释涂布）到乙培养基上，培养后计数 (7). 水、碳源、氮源和无机盐
【解析】
【分析】
培养基一般含有水、碳源、氮源、无机盐等。\
常用的接种方法：平板划线法和稀释涂布平板法。\
常用的灭菌方法：干热灭菌法、灼烧灭菌法、高压蒸汽灭菌法。
【详解】（1）常用高压蒸汽灭菌法处理盛有水或培养基的摇瓶，乙为固体培养基，故需要加入Y琼脂；甲和乙培养基可以用于筛选能降解S的菌株，故均属于选择培养基。\
（2）若要在每个平板上涂布100μL稀释液后的菌液，且每个平板上长出的菌落数不超过200个，则摇瓶M中的菌液稀释的倍数至少为2×10^7^÷1000×100÷200=1×10^4^倍。\
（3）当培养基中的S超过某一浓度后，可能会抑制菌株的生长，从而造成其对S的降解量下降。\
（4）要测定淤泥中能降解S的细菌的细胞数，可以取淤泥加无菌水制成菌悬液，稀释涂布到乙培养基上，培养后进行计数。\
（5）甲和乙培养基均含有水、无机盐、碳源、氮源。
【点睛】培养基常用高压蒸汽灭菌法进行灭菌，接种工具应该进行灼烧灭菌，玻璃器皿等耐高温的、需要干燥的物品，常采用干热灭菌。
**\[生物------选修3：现代生物科技专题\]**
12.为研制抗病毒A的单克隆抗体，某同学以小鼠甲为实验材料设计了以下实验流程。
回答下列问题：
（1）上述实验前必须给小鼠甲注射病毒A，该处理的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）写出以小鼠甲的脾脏为材料制备单细胞悬液的主要实验步骤：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）为了得到能产生抗病毒A的单克隆抗体的杂交瘤细胞，需要进行筛选。图中筛选1所采用的培养基属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，使用该培养基进行细胞培养的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。图中筛选2含多次筛选，筛选所依据的基本原理是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）若要使能产生抗病毒A的单克隆抗体的杂交瘤细胞大量增殖，可采用的方法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
【答案】 (1). 诱导小鼠甲产生能够分泌抗病毒A抗体的B淋巴细胞 (2). 取小鼠甲脾脏剪碎，用胰蛋白酶处理使其分散成单个细胞，加入培养液制成单细胞悬液 (3). 选择培养基 (4). 只有杂交瘤细胞能够生存 (5). 抗原与抗体的反应具有特异性 (6). 将杂交瘤细胞注射到小鼠腹腔内增殖；将杂交瘤细胞在体外培养
【解析】
【分析】
由图可知，筛选1指用选择培养基筛选出杂交瘤细胞，筛选2指进行克隆化培养和专一抗体检测，筛选出能产生特定抗体的杂交瘤细胞。
【详解】（1）实验前给小鼠甲注射病毒A，是为了诱导小鼠甲产生能够分泌抗病毒A抗体的B淋巴细胞。\
（2）取小鼠的脾脏，剪碎组织，用胰蛋白酶处理获得单个细胞，加入培养液可以制成单细胞悬液。\
（3）图中筛选1需要用到选择培养基，只有杂交瘤细胞可以存活。筛选2是为了获得能产生特定抗体的杂交瘤细胞，该过程要用到抗原抗体杂交，故筛选所依据的原理是抗原-抗体反应具有特异性。\
（4）获得能产生抗病毒A的单克隆抗体的杂交瘤细胞后，可以在体外培养液中进行培养，或在小鼠的腹腔中进行培养，使杂交瘤细胞大量增殖。
【点睛】制备单克隆抗体的过程中，需要用到动物细胞融合和动物细胞培养，需要用到两次筛选，第一次筛选的目的是获得杂交瘤细胞，第二次筛选的目的是获得能产生特定抗体的杂交瘤细胞。
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
> 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。
试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2501590735437824)
组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。
学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
| 1 | |
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（三）**
**一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）**
**1**、如果关于*x*的方程至少有一个正根，则实数*a*的取值范围是（ ）
A、 \] B、 C、 D、
**2**、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别交于点，若正方形的面积是240，则四边形的面积等于........................（ ）
A、26 B、{width="1.7291666666666667in" height="1.8020833333333333in"}28
C、24 D、30
**3** 、设是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则代数式
的值是..................... （ ）
A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算
**4**、{width="2.0833333333333335in" height="1.9270833333333333in"}如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：
，则线段的长
是..................... （ ）
A、 B、7 C、4+3 D、3+4
**5**、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成
一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是..................... （ ）
A、296 B、221 C、225 D、641
**二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）**
**6**、已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；
⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：
[ ]{.underline} 。
**7**、函数的最小值是 [ ]{.underline} 。
**8**、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 [ ]{.underline} 。{width="2.25in" height="1.3215277777777779in"}
**9**、已知：，则可用含的
有理系数三次多项式来表示为：=
[ ]{.underline} 。
**10**、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( *p*, *q*, *r* )是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题（共6题，共90分）**
**11、（本题满分12分）**
赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次用这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
；已知对于任意的实数，记号\[\]表示不超过的最大整数；将英文字母转化成密码，如，即 ，再如，即。他们给出下列一组密码：
，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
**12**、**（本题满分15分）**
**如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为"世博数"。**
1. **个"世博数"之积也是"世博数"吗？为什么？**
2. **证明：两个"世博数"（）之商也是"世博数"。**
**13、（本题满分15分）**
如图，在四边形中，已知△、△、△的面积之比是3∶1∶4，点在边上，交于，设。
⑴求的值；
⑵若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示△三边长的平方和。
{width="3.25in" height="2.5375in"}
**14**、**（本题满分16分）**
**观察下列各个等式：。**
**⑴你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；**
**⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：**
**已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段**
**等分，分点从左到右依次为，分别过这个点作轴的垂线依次交抛物线于点，设△、**
**△、△、△、...、△的面积依次为 。**
**①当时，求的值；**
**②试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？**
{width="4.749305555555556in" height="2.7895833333333333in"}
**15**、**（本题满分16分）**
**有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形；**
**②腰长为4、顶角为的等腰三角形；**
**③腰长为5、顶角为的等腰三角形；**
**④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；**
**⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。**
**它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。**
**我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板"可操作"；否则，便称为"不可操作"。**
**⑴证明：第④种塑料板"可操作"；**
**⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种"不可操作"的概率。**
{width="4.749305555555556in" height="1.8506944444444444in"}
**16**、**（本题满分16分）**
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙是△的边上的旁切圆，分别是切点，于点。
⑴试探究：三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设如果△和△的面积之比等于，，试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
{width="2.75in" height="2.7222222222222223in"}
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（三）参考答案**
**一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）**
**1**、如果关于*x*的方程至少有一个正根，则实数*a*的取值范围是（ C ）
A、 \] B、 C、 D、
**2**、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别交于点，若正方形的面积是240，则四边形的面积等于........................（ B ）
A、26 B、{width="1.7291666666666667in" height="1.8020833333333333in"}28
C、24 D、30
**3** 、设是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则代数式
的值是..................... （ A ）
A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算
**4**、{width="2.0833333333333335in" height="1.9270833333333333in"}如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：
，则线段的长
是..................... （ D ）
A、 B、7 C、4+3 D、3+4
**5**、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成
一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是..................... （ B ）
A、296 B、221 C、225 D、641
**二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。不设中间分）**
**6**、已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；
⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：
[ ]{.underline} 。
**7**、函数的最小值是 [8]{.underline} 。
**8**、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 [84---]{.underline} 。{width="2.375in" height="1.395138888888889in"}
**9**、已知：，则可用含的
有理系数三次多项式来表示为：=
[]{.underline} 。
**10**、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( *p*, *q*, *r* )是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题（共6题，共90分。学生若有其它解法，也按标准给分）**
**11、（本题满分12分）**
赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次用这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
；已知对于任意的实数，记号\[\]表示不超过的最大整数。将英文字母转化成密码，如，即 ，再如，即。他们给出下列一组密码：
，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
**略解：由题意，密码对应的英语单词是interest,** **对应的英语单词是is,** **对应的英语单词是best,** **对应的英语单词是teacher. (9分)**
> **所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是"兴趣是最好的老师"。**
>
> **（3分）**
**12**、**（本题满分15分）**
**如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为"世博数"。**
1. **个"世博数"之积也是"世博数"吗？为什么？**
2. **证明：两个"世博数"（）之商也是"世博数"。**
**略解：=，其中是有理数，**
**"世博数"（其中是任意有理数），只须 即可。 （3分）**
**对于任意的两个两个"世博数"，不妨设其中j、k、r、s为任意给定的有理数， （3分）**
**则是"世博数"；（3分）**
**=也是"世博数"。 （3分）**
**13、（本题满分15分）**
如图，在四边形中，已知△、△、△的面积之比是3∶1∶4，点在边上，交于，设。
⑴求的值；
⑵若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示△三边长的平方和。
**略解：**⑴不妨设△、△、△的面积{width="3.9895833333333335in" height="2.6979166666666665in"}分别为3、1、4，
∵， ∴△的面积是6，△的面积是 ，
> △的面积是， △的面积为 ，△的面积是。 （3分）由此可得：+=，即 ，∴ （3分）
**∴**=3 （1分）
⑵由⑴知：分别为的中点，又∵点分线段成的两段，
∴点是△的重心。 （2分）
> 而当延长到，使得，连结后便得到平行四边形，再利用"平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和"就可得：
>
> ，类似地有，其中点为边的中点。∴。（3分）∵ ，，**∴，∴**。（3分）
**14**、**（本题满分16分）**
**观察下列各个等式：。**
**⑴你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；**
**⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：**
**已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段**
**n等分，分点从左到右依次为，分别过这个点作轴的垂线依次交抛物线于点，设△、**
**△、△、△、...、△的面积依次为 。**
**①当时，求的值；**
**②试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？**
{width="4.749305555555556in" height="2.7895833333333333in"}
**略解：⑴∵，∴当式中的从1、2、3、...依次取到时，就可得下列个等式： （2分）**
**，将这个等式的左右两边分别相加得：**
**（2分）**
**即=。（3分）**
**⑵先求得两点的坐标分别为，∴点的横坐标分别为，点的纵坐标分别为。**
**（3分）∴**
**∴=。 （3分）**
**∴①当时，**
**=；**
**②∵**
**∴当取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于。 （3分）**
**15**、**（本题满分16分）**
**有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形；**
**②腰长为4、顶角为的等腰三角形；**
**③腰长为5、顶角为的等腰三角形；**
**④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；**
**⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。**
**它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。**
**我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板"可操作"；否则，便称为"不可操作"。**
**⑴证明：第④种塑料板"可操作"；**
**⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种"不可操作"的概率。**
{width="4.743055555555555in" height="1.9097222222222223in"}
**略解：⑴由题意可知四边形必然是等腰梯形，（2分）不妨设**
**=，分别过点作的垂线，垂足为，则由△∽△得到，即，解得。**
**∴＜2.4,**
**∴第④种塑料板"可操作"。 （5分）**
**⑵如上图所示，分别作直角三角形斜边上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底边上的高，易求得：=2.4, =2.5. (2分)**
**又由⑴可得等腰梯形的锐角底角是，△≌△，∴=.**
**而黄金矩形的宽等于＞2.4， （4分）**
**∴第①②④三种塑料板"可操作"；而第③⑤两种塑料板"不可操作"。**
**∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种"不可操作"的概率。（3分）**
**16**、**（本题满分16分）**
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙是△的边上的旁切圆，分别是切点，于点。
⑴试探究：三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设如果△和△的面积之比等于，，试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
{width="3.25in" height="3.1534722222222222in"}
**略解：**⑴结论：三点是同在一条直线上。（1分）
证明：分别延长交于点，由旁切圆的定义及题中已知条件得：
，，再由切线长定理得：，（3分）
∴。∴，由梅涅劳斯定理的逆定理可证三点共线。 （3分）
⑵∵∴三点共线，，连结，则**△∽△，△∽△，四点共圆。（2分）**
**设**⊙的半径为，则：∴即，，
∴由**△∽△得：，，∴。 （4分）**
∴，因此，由韦达定理可知：分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是。 （3分）
| 1 | |
**2016-2017学年上学期四年级期中检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、填空题。(17分)
1*.* 174000000是(* *)位数,其中"7"在(* *)位上,表示(* *)。
2*.* 189700000读作(* *),改写成用"万"作单位的数是(* *)万,省略亿位后面的尾数约是(* *)亿。
3*.* 由30个亿、508个万和7个千组成的数写作(* *)。
4*.* 线段有(* *)个端点,把线段向两端无限延伸就得到一条(* *)。
5*.* 1个周角*=*(* *)个平角*=*(* *)个直角
6*.* (* *)时整时,钟面上的时针和分针成直角;(* *)时整时,钟面上的时针和分针成平角。
7*.* (60*×*25)*×**=*60*×*(*×*8)
265*×*105*-*265*×*5*=*(*-*)*×*265
二、判断题。(对的画"√",错的画"✕")(5分)
1*.* 个、十、百、千、万......亿都是计数单位。 (* *)
2*.* 我校有学生1351人,1351是精确数。(* *)
3*.* 大于90*°*的角叫作钝角。 (* *)
4*.* 周角是一条射线。 (* *)
5*.* 经过两点只能画一条直线。 (* *)
三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)(5分)
1*.* 从一百万开始,一百万一百万地数,数100次是(* *)。
A. 一千万 B. 一亿 C. 十亿
2*.* 近似数是10万的最大自然数是(* *)。
A. 104999 B. 9999 C. 99999
3*.* 不是锐角的是(* *)。
A. 91° B. 89° C. 62°
4*.* 一个角的大小与(* *)有关。
A. 顶点的位置
B. 两条边的长短
C. 两条边叉开的大小
5*.* 乘法分配律用字母表示为(* *)。
A. *a×b=b×a*
B. (*a×b*)*×c=a×*(*b×c*)
C. (*a+b*)*×c=a×c+b×c*
四、看图填出角的度数。(8分)
1*.*用一副三角尺拼成下面这些角,并写出度数。
2*.*求未知角的度数。
∠1*=*(* *)* *∠2*=*(* *)
五、改写下列各数。(8分)
某省财政筹措并及时发放各类资金2000000000元用于救灾应急及灾后重建;全力支持省外地震救灾:筹措305000000元支援灾区过渡安置建设;安排资金18000000元用于灾区伤员救治;筹措251900000元对支援灾区灾后重建。
2000000000*=*(* *)亿 18000000*=*(* *)万
305000000≈(* *)亿 251900000≈(* *)亿
六、计算题。(29分)
1*.* 直接写出得数。(9分)
35*×*2*= *180*×*4*= * 140*×*6*=*
36*×*20*= * 14*×*6*= * 19*×*5*=*
230*×*3*= * 20*×*70*= * 120*×*5*=*
2*.* 用竖式计算。(8分)
806*×*32*= *348*×*25*=*
448*×*63*= *26*×*134*=*
3*.* 用简便方法计算。(12分)
32*×*55*+*32*×*45* *8*×*19*×*125
78*×*101* * 99*×*32
七、操作题。(9分)
1*.* 画出下面各角,并说出它们分别是哪种角。(3分)
32*° *90*° *128*°*
2\. 如图,将一张圆形纸对折3次,得到的角是多少度?(3分)
3\. 在下图中画出和*AB*平行的线段,和*DC*垂直的线段。(3分)
八、解决问题。(19分)
1\. 有一块面积是108平方米的玉米地,如果每平方米种玉米13棵,这块地能种玉米多少棵?(5分)
2\. 《格林童话》每本18元,《科学家的故事》每本32元。王老师买《格林童话》和《科学家的故事》各26本。王老师一共要用多少元?王老师买《格林童话》比买《科学家的故事》要少用多少元?(9分)
3\. 下图中,游泳运动员在点*A*从南岸游到北岸,怎样游路线最短?为什么?把最短的路线画出来。(5分)
**2016-2017学年上学期四年级期中检测卷**
**参考答案**
一、1*.* 九* *千万* *7个一千万
2*.* 一亿八千九百七十万* *18970* *2
3*.* 3005087000* *4*.* 2* *直线* *5*.* 2* *4
6*.* 3或9* *6* *7*.* 8* *25* *105* *5
二、1*.* √* *2*.* √* *3*.* ✕* *4*.* ✕* *5*.*
三、1*.* B 2. A 3. A 4. C 5. C
四、1*.* 拼角略* *135°* *105°* *2*.* 145°* *55°
五、20* *1800* *3* *3
六、1*.* 70* *720* *840* *720* *84* *95* *690* *1400* *600
2*.* 25792* *8700* *28224* *3484
3*.* 3200* *19000* *7878* *3168
七、1*.* 画角略* *锐角* *直角* *钝角
2*.* 45°* *3*.* 略
八、1*.* 108*×*13*=*1404(棵)
2*.* 26*×*(32*+*18)*=*1300(元)
26*×*(32*-*18)*=*364(元)
3*.* 提示:过点*A*作另一条直线的垂线。直线外一点到这条直线的所有连线中,垂线段最短。画图略。
| 1 | |
**绝密**★**启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件与事件互斥，那么．
·如果事件与事件相互独立，那么．
·球的表面积公式，其中表示球的半径．
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则
> A． B． C． D．
2．设，则""是""的
> A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致为
> 
>
> A B
>
> 
>
> C D
>
> 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：
>
> ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为
> A．10 B．18 C．20 D．36
5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
> A． B． C． D．
6．设，则的大小关系为
> A． B． C． D．
>
> 7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
>
> A． B． C． D．
8．已知函数．给出下列结论：
> ①的最小正周期为；
>
> ②是的最大值；
>
> ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
>
> 其中所有正确结论的序号是
>
> A．① B．①③ C．②③ D．①②③
>
> 9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
>
> A． B．
>
> C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．是虚数单位，复数\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
11．在的展开式中，的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．已知，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若是线段上的动点，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
> 在中，角所对的边分别为．已知．
>
> （Ⅰ）求角的大小；
>
> （Ⅱ）求的值；
>
> （Ⅲ）求的值．
17．（本小题满分15分）
> 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
> （Ⅰ）求证：；
>
> （Ⅱ）求二面角的正弦值；
>
> （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分15分）
> 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
>
> （Ⅰ）求椭圆的方程；
>
> （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
19．（本小题满分15分）
> 已知为等差数列，为等比数列，．
>
> （Ⅰ）求和的通项公式；
>
> （Ⅱ）记的前项和为，求证：；
>
> （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
20．（本小题满分16分）
> 已知函数，为的导函数．
>
> （Ⅰ）当时，
>
> （i）求曲线在点处的切线方程；
>
> （ii）求函数的单调区间和极值；
>
> （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学参考解答
一．选择题：每小题5分，满分45分．
> 1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D
二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
> 10． 11．10 12．5 13．； 14．4 15．；
三．解答题
16．满分14分．
> （Ⅰ）解：在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．
>
> （Ⅱ）解：在中，由正弦定理及，可得．
>
> （Ⅲ）解：由及，可得，
>
> 进而．
>
> 所以，．
17．满分15分．
> 依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得，，．
> （Ⅰ）证明：依题意，，，从而，所以．
>
> （Ⅱ）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得．
>
> 因此有，于是．
>
> 所以，二面角的正弦值为．
>
> （Ⅲ）解：依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
>
> 所以，直线与平面所成角的正弦值为．
18．满分15分．
> （Ⅰ）解：由已知可得．记半焦距为，由可得．又由，可得．所以，椭圆的方程为．
>
> （Ⅱ）解：因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为．由方程组消去，可得，解得，或.依题意，可得点的坐标为．因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为．由，得点的坐标为，故直线的斜率为，即．又因为，所以，整理得，解得，或．
>
> 所以，直线的方程为，或．
19．满分15分．
> （Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．
>
> （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，故，，从而，所以．
>
> （Ⅲ）解：当为奇数时，；当为偶数时，．
>
> 对任意的正整数，有，
>
> 和． ①
>
> 由①得． ②
>
> 由①②得，从而得．
>
> 因此，．
>
> 所以，数列的前项和为．
20．满分16分．
> （Ⅰ）（i）解：当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
>
> （ii）解：依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．
>
> 当变化时，的变化情况如下表：
-- ---- -------- ----
1
\- 0 \+
↘ 极小值 ↗
-- ---- -------- ----
> 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．
>
> （Ⅱ）证明：由，得．
>
> 对任意的，且，令，则
>
> ． ①
>
> 令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．
>
> 因为，，
>
> 所以，
>
> ． ②
>
> 由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，
>
> 故． ③
>
> 由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**文综试卷**
**参考答案**
**第Ⅰ卷（必做 共100分）**
1．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．A 7．B 8．A 9．C
10．D 11．B 12．C 13．D 14．D 15．A 16．A 17．D 18．C
19．B 20．C 21．C 22．B 23．B 24．D 25．A
**第Ⅱ卷（必做110分+选做30分，共140分）**
26．
（1）流量季节变化大（汛期在夏季）；河流落差大，水流急；汛期河水含沙量较大
（2）B支流：开发水能；发展旅游。C支流：发展航运。
（3）土地利用不合理现象：坡地开垦；围湖造田；对湖泊及其下游的环境影响：湖泊淤积，湖面缩小；生物多样性减少 ；调蓄功能减弱，加大下游洪灾威胁。
（4）地质资料；河流水文资料；社会经济资料。
27．
（1）经济危机发生后，工人失业，人民生活贫困。
（2）内容：以工代赈； 劳工组织有与资方谈判的权利；工人可自由参加工会；规定最高工时； 规定最低工资； 禁用童工。
原因：缓和社会矛盾，稳定社会秩序；促进经济恢复。
（3）国家立法
（4）同意第一种观点：以工代赈、发放失业救助金、实行紧急救助等措施都是在危机发生紧急状态下采取的临时性措施。
同意第二种观点：先后颁布了一系列法令，推行养老金制度和失业保险制度等都是旨维护资产阶级民主制的长期性制度建设。
28．
（1）①经济信息：表2说明目前我国农业科技贡献率比过去有较大提高,但与发达国家相比仍有较大差距,农民科技文化素质总体不高.我国必须加快实现传统农业向现代农业的跨越②推进农业科技创新是发展现代农业的关键因素。推进农业科技创新，有利于推进农业和农村经济结构的战略性调整，增加农民收入；有利于提高农民科技文化素质,促进农业科技成果转化应用；有利于提高农业整体素质，促进农业劳动生产率的提高和资源的有效利用。
（2）①文化作为一种精神力量，能够在认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，会促进经济和社会的发展。 提高农民科技文化素质，可以帮助农民更好地掌握农业生产新技术，促进农业增长方式转变，加快社会主义新农村建设。②亿万农民群众是农村社会主义精神文明建设的主体。提高农民科技文化素质，可以培养有文化、懂技术、会经营的新型农民，为发展现代农业提供人才智力支持。
（3）哲学依据：矛盾的普遍性和特殊性辨证关系的原理。主要内容：矛盾的普遍性和特殊性相互联结，普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来；特殊性也离不开普遍性。矛盾的普遍性和特殊性之间相互转化。方法论意义：把马克思主义普遍原理和中国具体实际相结合，建设中国特色社会主义。
29．
（1）政治：山东境内的齐国和鲁国是西周时期的重要封国。经济：春秋时期，齐国"相地而衰征"、鲁国"初税亩"，促进了中国土地私有制的发展。思想：孔子、孟子的儒家思想（墨子的墨家思想、孙膑的军事思想）影响深远。
（2）共同之处：都有中国经学、自然科学和社会科学的内容。作用：培养了新式人才，促进了山东近代经济的发展。
（3）主要集中在东部沿海地带，胶济铁路沿线地带（或沿济南、淄博、潍坊、青岛一线）地理位置；经济基础（产业、工业基础）；基础设施（交通）；政策。
（4）有利影响：有利于生产要素向东部沿梅和胶济沿线地带集中，带动山东区域经济的发展，促进东部沿海和胶济沿线地带产业结构升级（调整）（有利于山东半岛制造业基地的建设）不利影响：扩大山东经济发展的区域差异
（5）①特点：境外投资的主体多元化。②建议：要以国际市场为导向，制定正确的境外投资经营战略；依靠科技创新，提高企 业境外投资的竞争力加强境外投资主体合作，避免恶性竞争；不断优化境外投资结构，招展投资领域，提高投资效益；遵循和利用世贸规则，维护企业合法权益。
（6）①省政府正确行使了组织社会主义经济建设和提供社会公共服务的职能，为对外开放营造公正透明的行政环境，优化全方位的服务环境。②省政府坚持对人民负责的原则，依法行政，依照法律政策规定，为各类企业创造统一开放、公平竞争的市场环境。
**【选做题】**
30．
（1）原始的高原雪域风光；独特的藏族文化（藏传佛教、民族风情）。
（2）①高山深谷②湖泊、河源风光③以原始森林景观为主（森林、草原④以平视为主。
（3）有利于文化交流与发展；促进民族文化的保护和传承。
31．
（1）②区。依据：②区的旱灾粮食损失量占全国旱灾粮食损失总量的百分比（或B）、旱灾面积占全国旱灾面积的百分比（或C）均最高。
（2）②区：春季降水少；升温快，蒸发旺盛。③区：夏秋季受高气压（副高）控制，盛行下沉气流，于燥少雨
（3）森林火灾；遥感技术。
32．
（1）B处。原因：库区两岸支流地区城镇工业、生活等污水排放，其下游受到库水顶托，水流相对变缓，致使污水富集，水质变差。
（2）危害三峡工程安全（ 分）；影响旅游景观（ 分）；阻碍航运。
（3）加强宣传教育，提高公众环保意识；以及利用各种手段（法律、行政、经济等）制止乱倒垃圾行为；对城乡垃圾进行集中收集；采用各种技术进行分类处理、利用。
33．
（1） 士：改革科举制度；
农：青苗法、募役法、农田水利法、方田均税法；
兵：将兵法、保甲法、保马法；
商：市易法，均输法。
（2）"非大坏则不更造"指司马光反对王安石变法，维护旧制；"适应于时代"指梁启超肯定王安石变法，主张变革。
34．
（1）破除缠足陋习；提倡女子学文化；摒弃旧式结婚礼俗；婚姻自主。
（2）资产阶级民主思想；维新变法运动、新文化运动、辛亥革命。
35．
（1）反对战争，向往和平。
（2）二战后，西欧国家先后建立了欧洲煤钢共同体、欧洲经济共同体、欧洲原子能共同体、欧共体、欧盟，发行统一货币欧元；这种团结合作的一体化方式极大促进了西欧各国经济发展和国际地位的提高。
36．
（1）共同主题：---个国家实行什么样的政治制度，是---定社会历史发展的产物，有着深刻政治、经济、文化根源。
（2）我国的政体是人民代表大会制度。它产生于中国共产党领导全国人民争取民族独立、人民解放和国家富强的伟大实践，是历史的必然，是人民的选择。它体现了人民民主专政的国家性质，建立在生产资料公有制为主体的经济基础之上，保障了人民当家作主，是适合中国国情的好制度。
西方国家实行的议会民主制度，是西方各国社会历史发展的产物，反映其各自政治、经 济、文化的具体国情，不符合中国国情，我们绝不照搬西方的政治体制模式。
37．
（1）道德榜样的优秀人格与高贵品质容易使人产生认同感，容易使人们的心灵得到净化。
（2）①发挥道德榜样作用，可以引导人们不断追求更高层次的道德目标，促使公民道德不断得到发展和完善。②以诚实守信作为公民道德建设的重点，是维护社会±义市场经济秩序的客观要求。发挥道德榜样作用，有助于在全社会形成诚实守信的良好风尚，建立良好的社会信用制度。③我国的社会主义市场经济，是与社会主义基本制度结合在一起的。发挥道德榜样作用，有肋于确立与社会±义市场经济相适应的道德体系，促进社会主义市场经济的健康发展。
| 1 | |
{width="0.3333333333333333in" height="0.4027777777777778in"}**化学试题**
可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 Al27 Cl35.5 k 39 Ca 40 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Br 80 Ag108 Il27
**选择题**
**单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。每小题只有一个选项符合题意。**
1.打赢蓝天保卫战，提高空气质量。下列物质不属于空气污染物的是
A. PM2. 5
B.O~2~
C.SO~2~
D. NO
2.反应可用于氯气管道的检漏。下列表示相关微粒的化学用语正确的是
A.中子数为9的氮原子：
B.N~2~分子的电子式：
C.Cl~2~分子的结构式：Cl---Cl
D.Cl^-^的结构示意图：{width="1.0102909011373578in" height="0.7394903762029746in"}
3.下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是
A.铝的金属活泼性强，可用于制作铝金属制品
B.氧化铝熔点高，可用作电解冶炼铝的原料
C.氢氧化铝受热分解，可用于中和过多的胃酸
D.明矾溶于水并水解形成胶体，可用于净水
4.常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是
A. 氨水溶液：Na^+^、K^+^、OH^-^、NO~3~^-^
B. 盐酸溶液：Na^+^、K^+^、SO~4~^2-^、SiO~3~^2-^
C. KMnO~4~溶液：NH~4~^+^、Na^+^、NO~3~^-^、I^-^
D. AgNO~3~溶液：NH~4~^+^、Mg^2+^、Cl^-^、SO~4~^2-^
5.实验室以CaCO~3~为原料，制备CO~2~并获得CaCl~2~﹒6H~2~O晶体。下列图示装置和原理不能达到实验目的的是
A.制备CO~2~{width="0.9269674103237096in" height="1.187351268591426in"}
B.收集CO~2~{width="0.8019827209098863in" height="0.9269674103237096in"}
C.滤去CaCO~3~{width="0.6769991251093613in" height="1.3644127296587927in"}
D.制得CaCl~2~﹒6H~2~O{width="0.8332294400699912in" height="1.2498436132983377in"}
6.下列有关化学反应的叙述正确的是
A.室温下，Na在空气中反应生成Na~2~O~2~
B.室温下，Al与4.0 mol﹒L^-1^NaOH溶液反应生成NaAlO~2~
C.室温下，Cu与浓HNO~3~反应放出NO气体
D.室温下，Fe与浓H~2~SO~4~反应生成FeSO~4~
7.下列指定反应的离子方程式正确的是
A.Cl~2~通入水中制氯水：
B.NO~2~通入水中制硝酸：
C. NaAlO~2~溶液中通入过量CO~2~：
D. AgNO~3~溶液中加入过量浓氨水：
8.反应可用于纯硅的制备。下列有关该反应的说法正确的是
A. 该反应 、
B该反应的平衡常数
C.高温下反应每生成1 mol si需消耗
D.用E表示键能，该反应
阅读下列资料，完成9\~10题
海水晒盐后精制得到NaCl，氯碱工业电解饱和NaCl溶液得到Cl~2~和NaOH，以NaCl、NH~3~、CO~2~等为原料可得到 NaHCO~3~；向海水晒盐得到的卤水中通Cl~2~可制溴；从海水中还能提取镁。
9.下列关于Na、Mg、Cl、Br元素及其化合物的说法正确的是
A.NaOH的碱性比Mg（OH）~2~的强
B.Cl~2~得到电子的能力比Br~2~的弱
C.原子半径r:
D.原子的最外层电子数n:
10.下列选项所示的物质间转化均能实现的是
A.
B.
C .
D.
**不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。每小题只有一个或两个选项符合题意。若正确答案只包括一个选项，多选时，该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得0分。**
11.将金属M连接在钢铁设施表面，可减缓水体中钢铁设施的腐蚀。在题11图所示的情境中，下列有关说法正确的是
{width="1.8122736220472442in" height="1.3644127296587927in"}
A.阴极的电极反应式为
B.金属M的活动性比Fe的活动性弱
C.钢铁设施表面因积累大量电子而被保护
D钢铁设施在河水中的腐蚀速率比在海水中的快
12.化合物Z是合成某种抗结核候选药物的重要中间体，可由下列反应制得。
{width="6.217972440944882in" height="0.9165518372703412in"}
下列有关化合物X、Y和Z的说法正确的是
A.X分子中不含手性碳原子
B.Y分子中的碳原子一定处于同一平面
C.Z在浓硫酸催化下加热可发生消去反应
D.X、Z分别在过量NaOH溶液中加热，均能生成丙三醇
13.根据下列实验操作和现象所得到的结论正确的是
选项 实验操作和现象 结论
------ -------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------
A 向淀粉溶液中加适量20%H~2~SO~4~溶液，加热，冷却后加NaOH溶液至中性，再滴加少量碘水，溶液变蓝 淀粉未水解
B 室温下，向HCl溶液中加入少量镁粉，产生大量气泡，测得溶液温度上升 镁与盐酸反应放热
C 室温下，向浓度均为的BaCl~2~和CaCl~2~混合溶液中加入Na~2~CO~3~溶液，出现白色沉淀 白色沉淀是BaCO~3~
D 向H~2~O~2~溶液中滴加KMnO~4~溶液，溶液褪色 H~2~O~2~具有氧化性
14.室温下，将两种浓度均为的溶液等体积混合，若溶液混合引起的体积变化可忽略，下列各混合溶液中微粒物质的量浓度关系正确的是
A. 混合溶液（pH=10.30）：
B.氨水-NH~4~Cl混合溶液（pH=9.25）：
C. 混合溶液（pH=4.76）:
D. 混合溶液（pH=1.68，H~2~C~2~O~4~为二元弱酸）:
15.CH~4~与CO~2~重整生成H~2~和CO的过程中主要发生下列反应
在恒压、反应物起始物质的量比条件下，CH~4~和CO~2~的平衡转化率随温度变化的曲线如题15图所示。下列有关说法正确的是
{width="2.0205807086614174in" height="2.3017957130358706in"}
A.升高温度、增大压强均有利于提高CH~4~的平衡转化率
B.曲线B表示CH~4~的平衡转化率随温度的变化
C.相同条件下，改用高效催化剂能使曲线A和曲线B相重叠
D.恒压、800K、*n*（CH~4~）：*n*（CO~2~）=1:1条件下，反应至CH~4~转化率达到X点的值，改变除温度外的特定条件继续反应，CH~4~转化率能达到Y点的值
**非选择题**
16.（12分）吸收工厂烟气中的SO~2~，能有效减少SO~2~对空气的污染。氨水、ZnO水悬浊液吸收烟气中SO~2~后经O~2~催化氧化，可得到硫酸盐。
已知：室温下，ZnSO~3~微溶于水，Zn（HSO~3~）~2~易溶于水；溶液中H~2~SO~3~、HSO~3~^-^、SO~3~^2-^的物质的量分数随pH的分布如题16图-1所示。
{width="2.0622419072615923in" height="2.1455653980752407in"}
（1）氨水吸收SO~2~。向氨水中通入少量SO~2~，主要反应的离子方程式为 [ ]{.underline} ；当通入SO~2~至溶液pH=6时，溶液中浓度最大的阴离子是 [ ]{.underline} （填化学式）。
（2）ZnO水悬浊液吸收SO~2~。向ZnO水悬浊液中匀速缓慢通入SO~2~，在开始吸收的40mim内，SO~2~吸收率、溶液pH均经历了从几乎不变到迅速降低的变化（见题16图-2）。溶液pH几乎不变阶段，要产物是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填化学式）； SO~2~吸收率迅速降低阶段，主要反应的离子方程式为 [ ]{.underline} 。
{width="2.426780402449694in" height="2.197642169728784in"}
（3）O~2~催化氧化。其他条件相同时，调节吸收SO~2~得到溶液的pH在4.5-6.5范围内，pH越低SO~4~^2-^生成速率越大，其主要原因是 [ ]{.underline} ；随着氧化的进行，溶液的pH将 [ ]{.underline} （填"增大"、"减小"或"不变"）。
17.（15分）化合物F是合成某种抗肿瘤药物的重要中间体，其合成路线如下：
{width="6.768055555555556in" height="1.836111111111111in"}
（1）A中的含氧官能团名称为硝基、 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} 。
（2）B的结构简式为 [ ]{.underline} 。
（3）C→D的反应类型为 [ ]{.underline} 。
（4）C的一种同分异构体同时满足下列条件，写出该同分异构体的结构简式 [ ]{.underline} 。
①能与FeCl~3~溶液发生显色反应。
②能发生水解反应，水解产物之一是*α*-氨基酸，另一产物分子中不同化学环境的氢原子数目比为1:1且含苯环。
（5）写出以CH~3~CH~2~CHO和{width="0.7915682414698163in" height="0.44786089238845145in"}为原料制备{width="1.5206430446194226in" height="0.5832600612423448in"}的合成路线流程图（无机试剂和有机溶剂任用，合成路线流程图示例见本题题干）。
18.（12分）次氯酸钠溶液和二氯异氰尿酸钠（C~3~N~3~O~3~Cl~2~Na）都是常用的杀菌消毒剂。 NaClO可用于制备二氯异氰尿酸钠.
（1）NaClO溶液可由低温下将Cl~2~缓慢通入NaOH溶液中而制得。制备 NaClO的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；用于环境杀菌消毒的NaClO溶液须稀释并及时使用，若在空气中暴露时间过长且见光，将会导致消毒作用减弱，其原因是 [ ]{.underline} 。
（2）二氯异氰尿酸钠优质品要求有效氯大于60%。通过下列实验检测二氯异氰尿酸钠样品是否达到优质品标准。实验检测原理为
准确称取1.1200g样品，用容量瓶配成250.0mL溶液；取25.00mL上述溶液于碘量瓶中，加入适量稀硫酸和过量KI溶液，密封在暗处静置5min；用Na~2~S~2~O~3~标准溶液滴定至溶液呈微黄色，加入淀粉指示剂继续滴定至终点，消耗Na~2~S~2~O~3~溶液20.00mL。
1. 通过计算判断该样品是否为优质品。
(写出计算过程， )
2. 若在检测中加入稀硫酸的量过少，将导致样品的有效氯测定值 [ ]{.underline} （填"偏高"或"偏低"）。
19.（15分）实验室由炼钢污泥（简称铁泥，主要成份为铁的氧化物）制备软磁性材料*α*-Fe~2~O~3~。
其主要实验流程如下：
{width="5.0618667979002625in" height="0.38536854768153983in"}
（1）酸浸。用一定浓度的H~2~SO~4~溶液浸取铁泥中的铁元素。若其他条件不变，实验中采取下列措施能提高铁元素浸出率的有 [ ]{.underline} （填序号）。
A.适当升高酸浸温度
B.适当加快搅拌速度
C.适当缩短酸浸时间
（2）还原。向"酸浸"后的滤液中加入过量铁粉，使Fe^3+^完全转化为Fe^2+^。"还原"过程中除生成Fe^2+^外，还会生成 [ ]{.underline} （填化学式）；检验Fe^3+^是否还原完全的实验操作是 [ ]{.underline} 。
（3）除杂。向"还原"后的滤液中加入NH~4~F溶液，使Ca^2+^转化为CaF~2~沉淀除去。若溶液的pH偏低、将会导致CaF~2~沉淀不完全，其原因是 [ ]{.underline} \[，\]。
（4）沉铁。将提纯后的FeSO~4~溶液与氨水-NH~4~HCO~3~混合溶液反应，生成FeCO~3~沉淀。
①生成FeCO~3~沉淀的离子方程式为 [ ]{.underline} 。
3. 设计以FeSO~4~溶液、氨水- NH~4~HCO~3~混合溶液为原料，制备FeCO~3~的实验方案： [ ]{.underline} 。
【FeCO~3~沉淀需"洗涤完全"，Fe（OH）~2~开始沉淀的pH=6.5】。
20.（14分）CO~2~/ HCOOH循环在氢能的贮存/释放、燃料电池等方面具有重要应用。
{width="2.2080577427821524in" height="1.9476727909011373in"}
（1）CO~2~催化加氢。在密闭容器中，向含有催化剂的KHCO~3~溶液（CO~2~与KOH溶液反应制得）中通入H~2~生成HCOO^-^，其离子方程式为 [ ]{.underline} ；其他条件不变，HCO~3~^-^转化为HCOO^-^的转化率随温度的变化如题20图-1所示。反应温度在40℃\~80℃范围内，HCO~3~^-^催化加氢的转化率迅速上升，其主要原因是 [ ]{.underline} 。
（2） HCOOH燃料电池。研究 HCOOH燃料电池性能的装置如题20图-2所示，两电极区间用允许K^+^、H^+^通过的半透膜隔开。
{width="2.8017333770778654in" height="2.010165135608049in"}
1. 电池负极电极反应式为 [ ]{.underline} ；放电过程中需补充的物质A为 [ ]{.underline} （填化学式）。
②题20图-2所示的 HCOOH燃料电池放电的本质是通过 HCOOH与O~2~的反应，将化学能转化为电能，其反应的离子方程式为 [ ]{.underline} 。
（3） HCOOH催化释氢。在催化剂作用下， HCOOH分解生成CO~2~和H~2~可能的反应机理如题20图-3所示。
{width="2.8954713473315836in" height="1.770612423447069in"}
①HCOOD催化释氢反应除生成CO~2~外，还生成 [ ]{.underline} （填化学式）。
②研究发现：其他条件不变时，以 HCOOK溶液代替 HCOOH催化释氢的效果更佳，其具体优点是 [ ]{.underline} 。
**21.（12分【选做题】本题包括A、B两小题，请选定其中一小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按A小题评分。**
A.\[物质结构与性质\]
以铁、硫酸、柠檬酸、双氧水、氨水等为原料可制备柠檬酸铁铵【（NH~4~）~3~Fe（C~6~H~5~O~7~）~2~】。
（1）Fe基态核外电子排布式为 [ ]{.underline} ；中与Fe^2+^配位的原子是 [ ]{.underline} （填元素符号）。
（2）NH~3~分子中氮原子的轨道杂化类型是 [ ]{.underline} ；C、N、O元素的第一电离能由大到小的顺序为 [ ]{.underline} 。
（3）与NH~4~^+^互为等电子体的一种分子为 [ ]{.underline} （填化学式）。
（4）柠檬酸的结构简式见题21A图。1 mol柠檬酸分子中碳原子与氧原子形成的*σ*键的数目为 [ ]{.underline} mol。
{width="1.3123359580052494in" height="1.0207053805774278in"}
B.【实验化学】
羟基乙酸钠易溶于热水，微溶于冷水，不溶于醇、醚等有机溶剂。制备少量羟基乙酸钠的反应为
实验步骤如下：
{width="1.9997495625546806in" height="2.6871642607174104in"}
步骤1：在题21B图所示装置的反应瓶中，加入40g氯乙酸、50mL水，搅拌。逐步加入40%NaOH溶液，在95℃继续搅拌反应2小时，反应过程中控制pH约为9。
步骤2：蒸出部分水至液面有薄膜，加少量热水，趁热过滤。滤液冷却至15℃，过滤得粗产品。
步骤3：粗产品溶解于适量热水中，加活性炭脱色，分离掉活性炭。
步骤4：将去除活性炭后的溶液加到适量乙醇中，冷却至15℃以下，结晶、过滤、干燥，得羟基乙酸钠。
（1）步骤1中，题21B图所示的装置中仪器A的名称是 [ ]{.underline} ；逐步加入NaOH溶液的目的是 [ ]{.underline} 。
（2）步骤2中，蒸馏烧瓶中加入沸石或碎瓷片的目的是 [ ]{.underline} 。
（3）步骤3中，粗产品溶解于过量水会导致产率 [ ]{.underline} （填"增大"或"减小"）；去除活性炭的操作名称是 [ ]{.underline} 。
（4）步骤4中，将去除活性炭后的溶液加到适量乙醇中的目的是 [ ]{.underline} 。
**化学试题参考答案**
**选择题（共40分）**
**单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。**
1.B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A 10.C
**不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分**
11.C 12.CD 13.B 14.AD 15.BD
**非选择题（共80分）**
16.（12分）
（1）
或 HSO~3~^-^
（2）ZnSO~3~
或
（3）随着pH降低，HSO~3~^-^浓度增大 减小
17.（15分）
（1）醛基 （酚）羟基
（2）{width="1.416489501312336in" height="0.6145067804024497in"}
（3）取代反应
（4）{width="1.7393657042869641in" height="0.8853062117235345in"}
（5）{width="4.791067366579178in" height="1.260259186351706in"}
18.（12分）
（1）
NaClO溶液吸收空气中的CO~2~后产生HClO，HClO见光分解
（2）①
根据物质转换和电子得失守恒关系：
得
氯元素的质量:
该样品的有效氯为：
该样品的有效氯大于60%，故该样品为优质品
②偏低
19.（15分）
（1）AB （2）H~2~ 取少量清液，向其中滴加几滴KSCN溶液，观察溶液颜色是否呈血红色
（3）pH偏低形成HF，导致溶液中F^-^浓度减小，CaF~2~沉淀不完全
（4）①
或
②在搅拌下向FeSO~4~溶液中缓慢加入氨水-NH~4~HCO~3~混合溶液，控制溶液pH不大于6.5；静置后过滤，所得沉淀用蒸馏水洗涤2\~3次；取最后一次洗涤后的滤液，滴加盐酸酸化的BaCl~2~溶液，不出现白色沉淀
20.（14分）
（1）
温度升高反应速率增大，温度升高催化剂的活性增强
（2）① H~2~SO~4~
②或
（3）①HD ②提高释放氢气的速率，提高释放出氢气的纯度
21.（12分）【选做题】
A.【物质结构与性质】
（1）或 O
（2）sp^3^ N\>O\>C （3）CH~4~或SiH~4~ （4）7
B.【实验化学】
（1）（回流）冷凝管 防止升温太快、控制反应体系pH
（2）防止暴沸 （3）减小 趁热过滤 （4）提高羟基乙酸钠的析出量（产率）
| 1 | |
{width="0.375in" height="0.4722222222222222in"}**专题21 用数形结合法求解零点问题**
**【方法点拨】**
1.函数的零点的实质就是函数图象与*x*轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.
2.分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线，要把构造"好函数"作为第一要务.
3.作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确.
**【典型题示例】**
**例1** 已知函数若函数 （）恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
{width="1.91875in" height="1.3652777777777778in"}{width="1.6861111111111111in" height="1.3944444444444444in"} {width="1.65625in" height="1.2368055555555555in"}
点评：
本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.
**例2** 已知函数，若函数有三个零点，则实数*k*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】作与图象，
{width="3.6194444444444445in" height="2.290277777777778in"}
由得
由得，对应图中分界线①;
由过点得，对应图中分界线②；
当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③；
因为函数有三个零点，所以实数*k*的取值范围是
故答案为：
**例3** 已知函数{width="1.5743055555555556in" height="0.2465277777777778in"}与{width="1.4256944444444444in" height="0.21666666666666667in"}的零点分别为{width="0.41805555555555557in" height="0.2465277777777778in"} 和{width="0.42569444444444443in" height="0.2465277777777778in"}．若{width="1.0895833333333333in" height="0.2465277777777778in"}，则实数{width="0.17916666666666667in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.
【解析】由，得，
> 对于函数，在上单调递增，在上单调递减，
由，得，
> 对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图，
{width="2.6708333333333334in" height="2.4270833333333335in"}
令得，
要，则直线要在点下方，
，
∴实数{width="0.17916666666666667in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围是．
**例4** 已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数*k*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】(27，)
【分析】由知，是偶函数，研究"一半"，问题转化为有且仅有两个不同的零点，分离函数得，两边均为基本初等函数，当曲线在一点相切时，两曲线只有一个交点，利用导数知识求出切点坐标，当抛物线开口变大，即函数值小于切点的纵坐标即可.
【解析】易知是偶函数，
> 问题可转化为有且仅有两个不同的零点.
>
> 分离函数得，由图形易知*k*＞0，
>
> 问题进一步转化为有两个交点问题.
>
> 先考察两曲线相切时的"临界状态"，此时，两曲线只有一个交点
>
> {width="3.0493055555555557in" height="1.96875in"}
>
> 设两个函数图象的公切点为
则，解得，切点为
> 再考虑两曲线有两个交点，当且仅当对于二次函数，当时，其函数值，即图象在的下方
所以当时，即*k*＞27时，上述两个函数图象有两个交点
综上所述，实数*k*的取值范围是(27，)．
点评：
> 1.本题解法较多，但利用"形"最简单，只要函数分离的恰当，这种题实现"分分钟"解决也是可及的.
>
> 2.有关函数零点的问题解法灵活，综合考察函数的图象与性质、导数的几何意义、分离函数的意识、分离参数的意识等，综合性强，较难把握.
>
> 3.利用"数学结合法"求解零点问题的要点有二.一是分离函数，基本策略是"一静一动、一直一曲，动直线、定曲线",函数最好是基本初等函数；二是求解过程中的"临界状态"的确定，若是一直一曲，一般相切是"临界状态"，若是两曲，一般公切是"临界状态"（曲线的凸凹性相反，即曲线在公切线的两侧）
**例5** 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数*m*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点
> 易知，两边均为曲线，较难求解.
>
> 两边取自然对数，，即
问题即为：与有两个交点
先考察直线与相切，即只有一点交点的"临界状态"
设切点为，则，解得，此时切点为
代入，再求与有两个交点时，*m*的取值范围
由图象知，当在直线下方时，满足题意
故，解之得，此时也符合
所以实数*m*的取值范围是．
点评：取对数的目的在于"化双曲为一直一曲"，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.
**例6** 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为 [ ]{.underline} {width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}．
**【答案】**
**【分析】**本题的难点是"分离函数"，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：、，，···，但利用较简单.
【解析】易知0是函数一个的零点，
> 当*x*≠0时，可化为，考虑与有且只有两个非零零点. 如下图，
{width="1.9944444444444445in" height="1.195138888888889in"}
利用导数知识易得：
由图象得：或，解之得： 或
所以实数的取值范围为．
**例7** 已知函数*，*．若关于*x*的方程有四个不相等的实数解，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】从结构上看，首先考虑"对化指"，方程，属于复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设，，则为偶函数，研究 "一半"， 令，*x*＞0，则关于*t*的方程在(，)内有两个不相等的实根，分离参数，利用"形"立得.
【解析】方程
令，，则显然为偶函数，
所以方程有四个实根函数，*x*＞0有两个零点，
令，*x*＞0，则关于*t*的方程，
即在(，)内有两个不相等的实根，
结合函数，的图像，得，
即，则实数*a*的取值范围是．
**\
**
**【巩固训练】**
1.已知函数有四个零点，则实数 的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
> A. B.
>
> C. D.
>
> 2.已知函数，（其中是非零实数），若函数与函数的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 [ ]{.underline} .
3.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_.
4.已知*e*为自然对数的底数，若方程\|*xlnx*---*ex*+*e*\|=*mx*在区间\[,*e*^2^\]上有三个不同实数根，则实数*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
5.已知关于*x*的方程有三个不同的实数解，则实数*k*的取值范围是\_\_\_\_\_\_
**6.已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} .**
7\. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
8\. 若函数{width="2.3854166666666665in" height="0.25in"}有两个零点,则实数{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围是 [ ]{.underline} .
9．已知函数有零点，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
10\. 已知函数，，其中为实数．若关于的方程在上有两个实数解，则实数的取值范围为 [ ]{.underline} ．
11\. 已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
12．已知函数，{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，若关于{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的方程有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}取值的集合为 [ ]{.underline} ．
【答案与提示】
1.【答案】 D
【提示】，根据对称性，只需考察有两个零点，得，故有，前两者是保证两方程各自有两解，这里（）易漏，它是保证两方程解不相同的.
2.【答案】
【提示】转化为函数与函数的图象有且仅有两个交点最简.
3.【答案】
【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为与函数有两个不同的零点.
4.【答案】
【解析】方程两边同时除以，令，问题转化为与的图象在区间\[,*e*^2^\]上有三个交点**.**
∵，
∴当时，，减；当时，，增.
> 故当时，取得极小值，且.又，，
作出的图象，由图象知实数的取值范围是：.
{width="2.3381944444444445in" height="1.479861111111111in"}
5.【答案】
【解析】，画图得出*k*的取值范围．
**6.**【答案】 **或．**
**【提示】参见例6.**
7．【答案】
8.【答案】{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}
9．【答案】
10.【答案】
【提示】完全分参，利用与在上有两个交点即可.
{width="3.657638888888889in" height="1.5590277777777777in"}
11.【答案】(2，)
【提示】设，则，故有且仅有四个不同的零点，即等价于有且仅有四个不同的零点，
> 即有两个零点
>
> 思路一：（全分）
>
> 思路二：（半分）
12.【答案】
【提示】变形为转化为与有且仅有三个不同的交点，而函数的图象是定点在直线上、开口向上的V形折线.
{width="0.5138888888888888in" height="0.3611111111111111in"}**专题22 三点共线充要条件的应用**
**【方法点拨】**
{width="1.1715277777777777in" height="0.9326388888888889in"}在平面内, 是不共线向量,设，*P、A、B*三点共线
说明：
1.上述结论可概括为"起点一致，终点共线，系数和为1",利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值.
2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是"1"时，应化"1".
3.遇到条件"两条线段相交于一点"时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．
**【典型题示例】**
**例1** 在△*ABC*中，*D*在边*BC*上，延长*AD*到*P*，使得*AP*=9，若（*m*为常数），则*CD*的长度是\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="2.8361111111111112in" height="0.8958333333333334in"}
【答案】0或.
【分析】条件中向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1，应先变形为系数和是1的情形，求出.继而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底边.
【解析】可化为
当，且时
∵三点共线
∴，故，，
在，，
.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
**例2 在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（ ）**
**A．9 B．10 C．11 D．12**
【答案】**D**
【分析】使用"三点共线"的向量充要条件，探究出*m*、*n*间的等量关系，再使用基本不等式求解.
{width="2.147222222222222in" height="1.6256944444444446in"}
【解析】因为**，**
**所以**
**又因为***B*、*P*、*E*三点共线
所以*m*＋3*n*=1
**所以，当且仅当**时，"="成立
**所以的最小值是12．**
**例3** 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
{width="2.654166666666667in" height="2.4715277777777778in"}【分析】凑系数使其代数和为1，，取、，即，而可得*M、E、F*三点共线.再由极化恒等式得（其中*D*是*BC*的中点），，所以 的最小值为.
**例4** 在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为 [ ]{.underline} .
【答案】
【分析】设，
则
如图，延长至，使
> 为求的取值范围，只需求点的轨迹.
>
> 遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设
>
> 中，，，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆
>
> ∴，即的取值范围为.
{width="2.95625in" height="2.4270833333333335in"}
点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；
> （2）遇到圆的弦，应联想"取中点、垂径定理"；
>
> （3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？
**例5** 若是锐角的外心，，，，，则.
【答案】
【分析】由得，将变形为.如图，作，，则 三点共线，且.
在，，，故.
**例6** 已知{width="0.47152777777777777in" height="0.19791666666666666in"}中，{width="1.0284722222222222in" height="0.2263888888888889in"} ,且{width="1.8770833333333334in" height="0.3298611111111111in"}的最小值为{width="0.33958333333333335in" height="0.47152777777777777in"}，若{width="0.1701388888888889in" height="0.17916666666666667in"}为边{width="0.2833333333333333in" height="0.17916666666666667in"}上任意一点,则{width="0.5756944444444444in" height="0.2361111111111111in"}的最小值是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由条件 ，
设，则，其系数和为1
设，则，故三点共线
由{width="1.8770833333333334in" height="0.3298611111111111in"}的最小值为{width="0.33958333333333335in" height="0.47152777777777777in"}，即点到的距离是{width="0.33958333333333335in" height="0.47152777777777777in"}
故
> 中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而.
>
> ∴{width="0.5756944444444444in" height="0.2361111111111111in"}的最小值是 .
{width="2.1979166666666665in" height="2.0625in"}
**【巩固练习】**
1\. 如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则 [ ]{.underline} .
{width="1.9625in" height="1.3875in"}
> 2.**如图，在平行四边形中， ， 为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（ ）**
3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足{width="1.6416666666666666in" height="0.27361111111111114in"}，则{width="0.6416666666666667in" height="0.2263888888888889in"}的最小值为 [ ]{.underline} .
4.在平面直角坐标系中，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是\_\_\_\_\_\_.
6.在四边形中，.若，则 [ ]{.underline} ．
**7.** 在△*ABC*中，*D* 为线段*AC*的中点，点*E*在边*BC*上，且*BE*＝*EC*，*AE*与*BD*交于点*O*，则等于( )
A.＋ B.＋ C.＋ D.＋
8\. 在△*ABC*中，过中线*AD*的中点*E*任作一直线分别交*AB*，*AC*于*M*，*N*两点，设＝*x*， ＝*y*(*xy*≠0)，则4*x*＋*y*的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
9.在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线 于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10\. 已知点是的外心，且，，若，则的值为 [ ]{.underline} .
【答案与提示】
1\. 【答案】
【解析】因为是的中点
所以，即
因为三点共线，所以，.
> 2\. 【答案】*A*
>
> 【分析】从**三点共线入手，将用**线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.
>
> 【解析】∵**三点共线**
>
> ∴**（其中）**
>
> **又**，
>
> 所以
>
> **所以，解之得**，选*A*.
3.【答案】{width="0.33958333333333335in" height="0.42430555555555555in"}
【解析】根据题意，{width="1.6416666666666666in" height="0.27361111111111114in"}，∴{width="0.3680555555555556in" height="0.2361111111111111in"}的终点在线段BC上，
∴{width="0.6979166666666666in" height="0.42430555555555555in"}，∴{width="0.5944444444444444in" height="0.42430555555555555in"}，∴{width="0.6979166666666666in" height="0.42430555555555555in"}；
又O是MN的中点，∴{width="0.9902777777777778in" height="0.2361111111111111in"}，
∴{width="2.3208333333333333in" height="0.47152777777777777in"}，
∴{width="2.415277777777778in" height="0.3298611111111111in"}
> {width="3.877083333333333in" height="0.42430555555555555in"}，
∴{width="0.6416666666666667in" height="0.2263888888888889in"}的最小值是{width="0.33958333333333335in" height="0.42430555555555555in"}．
{width="2.0861111111111112in" height="2.0104166666666665in"}
4.【答案】
【简析】设，则，
如图，，设
> 则，由勾股定理得，故．
{width="2.2354166666666666in" height="1.59375in"}
5.【答案】
【分析】由可得在线段上，故，而 ，有基本不等式立得.
【解析】由，得，
因为，所以在线段上
所以，
又因为，
则（当且仅当，即*P*为*CM*中点时，"="成立）．
故的最小值是．
**6.**【答案】－16
【解析】由中向量满足"共起点，系数和为1"联想到"三点共线"
设*E*为上一点，且，则
所以，则四边形是平行四边形，
{width="1.6097222222222223in" height="1.4472222222222222in"}所以.
**7.**【答案】 A
【解析】 如图，设＝*λ*(*λ*\>0)，
{width="1.1270833333333334in" height="0.8729166666666667in"}
又＝＋＝＋，
∴＝*λ*＋*λ*＝*λ*＋*λ*.
又*B*，*O*，*D*三点共线，∴*λ*＋*λ*＝1，
∴*λ*＝，∴＝＋.
**8.**【答案】
【解析】 由*D*为*BC*的中点知，＝＋，
又＝*x*，＝*y*(*xy*≠0)，*E*为*AD*的中点，
故＝＝＋，
∵*M*，*E*，*N*三点共线，∴＋＝1，
∴4*x*＋*y*＝(4*x*＋*y*)＝＋＋
≥2＋＝，
当且仅当＝，即*x*＝，*y*＝时取等号．
∴4*x*＋*y*的最小值为.
9\. 【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.
【解析】
{width="2.1326388888888888in" height="1.4375in"}
因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
10\. 【答案】
【提示】解法同例5.
{width="0.5416666666666666in" height="0.4444444444444444in"}**专题23 极化恒等式**
**【方法点拨】**
极化恒等式：.
说明：
（1）极化恒等式的几何意义是：设点是**△***ABC*边{width="0.2611111111111111in" height="0.17916666666666667in"}的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．
（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让"秒杀"向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.
（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.
**【典型例题】**
{width="1.7916666666666667in" height="1.9583333333333333in"}**例1** 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，
则的值是 [ ]{.underline} ．
1.
【解析】设，
由极化恒等式得，
解之得可得，，因此，，
因此． 21\*cnjy\*co
点评：
紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.
**例2** 已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为[ ]{.underline}．
【答案】
【分析】本题的难点在于如何将"二合一"？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其"二合一"，然后使用极化恒等式.
【解析】设，则，在上
所以
如图，取中点为，由极化恒等式得
在，由余弦定理得
所以当，即为中点时，
所以的最小值，此时为中点.
{width="1.7527777777777778in" height="1.6194444444444445in"}
**例3** 如图所示，矩形*ABCD*的边*AB*=4，*AD*=2，以点*C*为圆心，*CB*为半径的圆与*CD*交于点*E*，若点*P*是圆弧{width="0.2534722222222222in" height="0.21666666666666667in"}(含端点*B*、*E*)上的一点，则·的取值范围是 [ ]{.underline} .
{width="1.925in" height="1.0965277777777778in"}
**【答案】**{width="0.7388888888888889in" height="0.2534722222222222in"}
**【分析】**取*AB*的中点设为*O*，则{width="2.223611111111111in" height="0.4027777777777778in"}，然后利用平几知识确定*PO*的取值范围，代入即可.
**【解析】**取*AB*的中点设为*O*，则{width="2.223611111111111in" height="0.4027777777777778in"}，
> 当*O、P、C*共线时， *PO*取得最小值为；当*P* 与*B*（或*E*）重合时，*PO*取得最大值为*PO**=***2，
>
> 所以{width="0.5in" height="0.20902777777777778in"}的取值范围是{width="0.7388888888888889in" height="0.2534722222222222in"}.
**例4** 半径为2的圆*O*上有三点*A*，*B*，*C*，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）
*A*. *B*. *C*. *D*.
【答案】*A*
【分析】直接两次使用极化恒等式即可.
【解析】由得
在平行四边形中，，
故易知四边形是菱形，且
设四边形对角线的交点为*E*
由极化恒等式得
所以
因为是圆内一点，所以
所以，即，选*A*.
{width="1.8819444444444444in" height="2.0215277777777776in"}
**例5** 在△*ABC*中，*AC*＝2*BC*＝4，∠*AC*B为钝角，*M*，*N*是边*AB*上的两个动点，且*MN*＝1，若的最小值为，则cos∠*ACB*＝ [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】取*MN*的中点*P*，由极化恒等式将"的最小值为"转化为*AB*边上的高*CH*=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.
【解析】取*MN*的中点*P*，则由极化恒等式得
> ∵的最小值为 ∴
>
> 由平几知识知：当*CP*⊥*AB*时，*CP*最小.
>
> 如图，作*CH*⊥*AB*，*H*为垂足，则*CH*=1
>
> 又*AC*＝2*BC*＝4，所以∠*B*＝30^o^，sin*A*=
>
> 所以cos∠*ACB*＝cos（150^o^ －*A*）=.
{width="2.134027777777778in" height="1.4479166666666667in"}
**例6** 已知直角三角形*ABC*中，，*AB*=2，*AC*=4，点*P*在以*A*为圆心且与边*BC*相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
{width="2.433333333333333in" height="1.4979166666666666in"}
【答案】D
【解析】设中点为，
则，
又因为，所以，
故选：D.
**【巩固练习】**
1. {width="1.8694444444444445in" height="0.9631944444444445in"}如图，在平面四边形*ABCD*中，*O*为*BD*的中点，且*OA*＝3，*OC*＝5.若·＝－7，则·＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
2．矩形{width="0.5in" height="0.19375in"}中，{width="0.1638888888888889in" height="0.17916666666666667in"}为矩形{width="0.5in" height="0.19375in"}所在平面内一点，{width="1.0444444444444445in" height="0.22361111111111112in"},矩形对角线{width="0.5444444444444444in" height="0.19375in"}，则{width="0.5819444444444445in" height="0.22361111111111112in"}值为 [ ]{.underline} .
3.若平面向量***a***，***b***满足\|2***a***－***b***\|≤3，则***a***·***b***的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
4.已知平面向量***a***，***b***，***e***满足\|***e***\|＝1，***a***·***e***＝1，***b***·***e***＝－2，\|***a***＋***b***\|＝2，那么***a***·***b***的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
5.在{width="0.44027777777777777in" height="0.17916666666666667in"}中，已知{width="0.48541666666666666in" height="0.17916666666666667in"}，{width="0.7909722222222222in" height="0.21666666666666667in"}，则{width="0.44027777777777777in" height="0.17916666666666667in"}面积的最大值是 [ ]{.underline} ．
6.已知单位向量，，满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7\. 已知，且向量与的夹角为120°，又，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.已知平面向量满足，，，，那么的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
9.已知锐角{width="0.4701388888888889in" height="0.2013888888888889in"}的外接圆的半径为1， {width="0.5819444444444445in" height="0.42569444444444443in"}，则{width="0.5743055555555555in" height="0.2388888888888889in"}的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
10.在中，，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为\_\_\_\_\_.
11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为\_\_\_\_\_.
12.已知正方形*ABCD*的边长为1，中心为*O*，直线*l*经过中心*O*，交*AB*于点*M*，交*CD*于点*N*，*P*为平面上一点，若2＝*λ*＋(1－*λ*)，则·的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
13.设点*P*为正三角形△*ABC*的边*BC*上的一个动点，当·取得最小值时，sin∠*PAC*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.在平面直角坐标系*xOy*中，点*A*，*B*分别在*x*轴，*y*轴正半轴上移动，*AB*＝2，若点*P*满足·＝2，则*OP*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.在△*ABC*中，*E*，*F*分别是线段*AB*，*AC*的中点，点*P*在直线*EF*上，若△*ABC*的面积为2，则·＋^2^的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.在半径为1的扇形*AOB*中，若∠*AOB*＝60°，*C*为弧*AB*上的动点，*AB*与*OC*交于点*P*，则·的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
**\
**
【答案与提示】
1.【答案】9
【提示】两次使用极化恒等式，由得，.
2.【答案】{width="0.33611111111111114in" height="0.4326388888888889in"}
【提示】设矩形的对角线交点为*O*，由，得，.
3.【答案】
【解析】根据极化恒等式得：，
> 故，所以的最小值为．
4.【答案】－$\frac{5}{4}$
【提示】 由***a***·***e***＝1，***b***·***e***＝－2得: ***a***·***e*** －***b***·***e***＝3，即（***a***－***b***）·***e***＝3，\|***a***－***b***\|cosθ＝3
***a***·***b=***$\frac{1}{4}$\[\|***a***＋***b***\|^2^－\|***a***－***b***\|^2^\]≤－$\frac{5}{4}$
5.【答案】{width="0.2534722222222222in" height="0.21666666666666667in"}
【提示】取*BC*的中点为*D*，则，所以
> 因为*BC*边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故{width="0.44027777777777777in" height="0.17916666666666667in"}面积的最大值{width="0.2534722222222222in" height="0.21666666666666667in"}．
6.【答案】A
【解析】∵，∴，
{width="1.1666666666666667in" height="1.1541666666666666in"}如图，
设中点为，则，且，
∴三点共线，，，，
∴为等腰三角形，
∴，
∴.故选：A.
7\. 【答案】C
【解析】连结，则设的中点为，
由，易知，所以
故，故选：C
8.【答案】
【解析】由，得，即
又（其中为向量与的夹角）
所以
所以.
9.【答案】{width="0.7986111111111112in" height="0.4701388888888889in"}
10.【答案】
【提示】方法同上.
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【解析】如图，取*OB*的中点*D*，连接*PD*，
{width="1.6180555555555556in" height="1.4284722222222221in"}
则·＝*PD*^2^－*OD*^2^＝*PD*^2^－，即求*PD*的最小值．
由图可知，当*PD*⊥*OB*时，*PD*~min~＝，
则·的最小值是－.
{width="0.4444444444444444in" height="0.4861111111111111in"}**专题24 利用向量的形解题**
**【方法点拨】**
向量兼具"形"与"数"，在解题中适时构造"形"，可以起到事倍功半的作用，可提高解题的迅捷度.
**【典型题示例】**
**例1** 在中，点满足，且对任意，恒成立，则\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【分析】设，则点*P*在过点*B*且平行于*AC*的直线上，而恒成立的几何意义是：过点*B*且平行于*AC*的直线上的任意一点与点*A*的距离以最小，根据平面几何知识知，必有，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得.
【解析】根据题意，在中，点满足.
设，则.
∵
∴对任意，恒成立，必有，即.
∵ ∴，
∴.
{width="2.5069444444444446in" height="1.6826388888888888in"}∴
故.
**例2** 若非零向量满足，则夹角的余弦值为\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【分析】注意到条件，构造如图所示等腰直角三角形，为底边上的中线.设，，则.在，.
所以夹角的余弦值为.
**例3** 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解法一】 展开得
则的最大值是.
【解法二】注意到题目中两个垂直，及，利用数形结合, 如图,对应的点在圆上即可.
**例4** 设向量都是单位向量，，则的最小值是 [ ]{.underline} .
【答案】
{width="1.3680555555555556in" height="1.4701388888888889in"}【解析】如下图,设,，，则在圆上，且,
取中点为，则由极化恒等式得
易知，所以.
**例5** 已知向量，的夹角为135^o^，且，，设（其中），当取最小值时，向量与的夹角大小为 [ ]{.underline} .
{width="1.8173611111111112in" height="1.5006944444444446in"}**【答案】**$\frac{\pi}{2}$
【解析】如上图，，，
则满足条件的点*C*的轨迹是过且平行于的直线
由平几知识知，当取最小值时，，即
此时，向量与的夹角大小为$\frac{\pi}{2}$.
**【巩固训练】**
1.（2021·全国新高考II卷·15）已知向量，，，则\_\_\_\_\_\_\_．
2.已知在△*OAB*中，*OA*＝，*OB*＝2，∠*AOB*＝135°，*P*为平面*OAB*上一点，且()，当*OP*最小时，向量与的夹角为 [ ]{.underline} ．
3.已知在△*ABC*中，*AB*＝5，*AC*＝10，，点*P*为△*ABC*内（包含边界）一点，且()，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
4.已知向量，，满足，，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
5.已知平面向量*α，β *（*α*≠ 0，*α*≠*β* ）满足\|*β* \|=1，且*α*与*β- α*的夹角为120°，则\|*a*\| 的取值范围是 [ ]{.underline} .
6.已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ .
7.已知向量，，满足，，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
8.已知向量，满足，，设（其中），若最小值为，向量与的夹角大小为 [ ]{.underline} .
9.（1）已知，若对任意，，则为\_\_\_\_\_\_\_三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）
（2）已知，若对任意，，则为\_\_\_\_\_\_三角形
（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）
（3）已知，若对任意，，则为\_\_\_\_\_\_三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）
10.已知向量*a*，*b*，*c*满足\|*a*\|＝\|*b*\|＝2，\|*c*\|＝1，(*a*－*c*)·(*b*－*c*)＝0，则\|*a*－*b*\|的取值范围是 [ ]{.underline} ．
11\. 已知*a*，*b*都是非零向量，满足\|*a－b* \|＝\| *a* \|，(*a*－*b*)·*a*＝0，则*a*－*b*与 *b*的夹角大小是（ ）．
*A．*45^o^ *B．*60^o^ *C．*135^o^ *D．*120^o^
12.已知向量，，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案与提示】
1.【答案】
【解析】仿例2，构造三角形，易知，而使用投影易得，故．
2.【答案】$\frac{\pi}{2}$
【提示】解法同例5.
3.【答案】$3$
【提示】如图，*AD*＝3，*PD∥AC*，易知的最小值为3．
{width="1.66875in" height="1.5819444444444444in"}
4.【答案】
【提示】解法同例2.
5\. 【答案】
> **【解析】**设，，由余弦定理可知：，要求的取值范围，则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得.
6.【答案】
【提示】解法同例4.
7.【答案】
【提示】解法同例4.
8.**【答案】**$\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$
【提示】解法同例5.
9.【答案】（1）直角（2）直角（3）钝角
10.【答案】\[－1，＋1\]．
【解析】如图，设***c***＝(1，0)，设*A*，*B*是以*O*为圆心，2为半径的圆上两点，
且*AC*⊥*BC*，则\|***a***－***b***\|＝*AB*＝2*MC*.
{width="1.96875in" height="1.8020833333333333in"}
∵*MO*^2^＋*MA*^2^＝*OA*^2^，而*MA*＝*MC*，∴*MO*^2^＋*MC*^2^＝4.
设*M*(*x*，*y*)，则*x*^2^＋*y*^2^＋(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝4，
即*x*^2^＋*y*^2^－*x*＝.(\*)，
\|***a***－***b***\|＝*AB*＝2*MC*＝2
＝2＝2＝.
由(\*)知，≤*x*≤，
∴≤≤，
即－1≤≤＋1.∴≤\|***a***－***b***\|≤＋1.
即\|***a***－***b***\|的取值范围为\[－1，＋1\].
11\. 【答案】*C*
12\. 【答案】C
【分析】由已知两边平方得，可判断A；再由得，结合可判断B；由可判断C；由可判断D.
【解析】由得
，
即对任意恒成立，
所以，，
所以，所以A错误；
由得，
由，所以B错误；
由，得，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：C.
{width="0.5138888888888888in" height="0.5138888888888888in"}**专题25 奔驰定理与三角形的四心**
**【方法点拨】**
奔驰定理：{width="1.1875in" height="1.15625in"}设是内一点，的面积分别记作则.
{width="2.4479166666666665in" height="1.3229166666666667in"}
说明：
1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.
2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
（1）是的重心.
（2）是的内心.
（3）是的外心.
（4）是的垂心.
**3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.**
**4.奔驰**定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和"四心"相关的问题，有着决定性的基石作用．
**【典型例题】**
**例1** 为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
【解析一】由，，
{width="1.4583333333333333in" height="0.84375in"}，，
如图设
，即是的重心，
同理可得，，
所以．故选：．
【解析二】由，，
，，
由奔驰定理得：．故选：．
**例2** 在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边为*a*，*b*，*c*，*a*=*b***=4**，*c*=6，*I*是△*ABC*中内切圆的圆心，若{width="1.2083333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，则{width="1.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}．
【答案】{width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}
【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）
易求得{width="0.6145833333333334in" height="0.46875in"}，而{width="1.34375in" height="0.5833333333333334in"}，所以{width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}
另一方面，对上式两边同时作数量积得：{width="1.8854166666666667in" height="0.5833333333333334in"}，
易知{width="1.625in" height="0.46875in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.5833333333333334in"}，{width="0.875in" height="0.5833333333333334in"}
所以{width="0.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，所以{width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}.
【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将{width="1.2090277777777778in" height="0.2611111111111111in"}转化为
整理为：
由奔驰定理得
解之得.
点评：
解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.
**例3** 已知是的重心，且满足，则 = [ ]{.underline} .
【答案】
【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.
【解析】∵是的重心，∴
∴
∴
由正弦定理，
由余弦定理，
∵，∴ .
**例4** 设*H*是△*ABC*的垂心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得
设，，
由代入得，解之得
所以
又因为，所以.
**例5** 已知点*O*为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 直线必过边{width="0.14305555555555555in" height="0.19305555555555556in"}中点
C. D. 若，且，则
【答案】*ACD*
【解析】对于*A*，插入点*A*，，所以；
对于*B*，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；
对于*C*，由奔驰定理知；
对于*D*，由得，两边平方得
.
**例6** 在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*， ，若△*ABC*的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】∵
∴，即
∵，∴，∵，∴，
对两边同时点乘得：
∵，
∴，
即
由正弦定理知
∴.
**【巩固练习】**
1.已知*P*是△*ABC*所在平面内一点，若·＝·＝·，则*P*是△*ABC*的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2.已知*O*是平面上一定点，*A*，*B*，*C*是平面上不共线的三个点，动点*P*满足＝＋*λ*，*λ*∈**R**，则*P*点的轨迹一定经过△*ABC*的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
3．点*P*在△*ABC*内部，满足＋2＋3＝**0**，则*S*~△*ABC*~∶*S*~△*APC*~为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
4．点*O*为△*ABC*内一点，若*S*~△*AOB*~∶*S*~△*BOC*~∶*S*~△*AOC*~＝4∶3∶2，设＝*λ*＋*μ*，则实数*λ*和*μ*的值分别为( )
A.， B.， C.， D.，
**5.**设*O*是△*ABC*的内心，*AB*＝*c*，*AC*＝*b*，*BC*＝*a*，若则（ ）
A． B． C． D．
**6.**已知*O*为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
7.在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边为*a*，*b*，*c*，*a*=5，*b***=**12，*c*=13，*I*是△*ABC*内切圆的圆心，若{width="1.34375in" height="0.5833333333333334in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}=**\_\_\_\_\_\_\_\_．**
8.在△*ABC*中，*AB*=3，*BC*=4，*AC*=5， *I*是△*ABC*内切圆的圆心，若，则=**\_\_\_\_\_\_\_\_．**
9.已知{width="0.1638888888888889in" height="0.2013888888888889in"}是锐角{width="0.49236111111111114in" height="0.2013888888888889in"}的外接圆圆心，{width="2.701388888888889in" height="0.425in"}，则实数{width="0.17916666666666667in" height="0.15694444444444444in"}的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
10.已知是所在平面内一点，且满足，则= [ ]{.underline} .
【答案与提示】
1.【答案】 D
【解析】 由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴*P*是△*ABC*的垂心.
2.【答案】C
【解析】 设*BC*的中点为*M*，则＝，
则有＝＋*λ*，即＝*λ*.
∴*P*的轨迹一定通过△*ABC*的重心.
3.【答案】 C
【解析】 根据奔驰定理得，*S*~△*PBC*~∶*S*~△*PAC*~∶*S*~△*PAB*~＝1∶2∶3.∴*S*~△*ABC*~∶*S*~△*APC*~＝3∶1.
4.【答案】 A
【解析】 根据奔驰定理，得3＋2＋4＝**0**，即3＋2(＋)＋4(＋)＝**0**，
整理得＝＋，故选A.
5.【答案】A
【分析】根据奔驰定理的内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.
【解析】*O*是△*ABC*的内心，*AB*＝*c*，*AC*＝*b*，*BC*＝*a*
则，所以，
所以，所以.
又，所以*，*，所以.
6.【答案】C
【解析】由奔驰定理得，解之得，选C．
7.【答案】{width="0.2534722222222222in" height="0.4326388888888889in"}
8.【答案】
9.【答案】{width="0.2833333333333333in" height="0.4701388888888889in"}
10.【答案】
{width="0.4583333333333333in" height="0.4027777777777778in"}**专题26 有关三角形中的范围问题**
**【方法点拨】**
1.正弦平方差公式sin^2^α－sin^2^β＝sin(α－β) sin(α＋β).
2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.
**【典型题示例】**
**例1** 在锐角中，，则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】∵，利用正弦定理可得：，
由正弦平方差公式得，
即，
易知，故
又为锐角三角形，∴，即，
∴，∴，
∵
又，∴，令，则，
由对勾函数性质知，在上单调递增，
又，，
∴.
**例2** 若的内角满足，则的最小值是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】将已知和所求都"化边"，然后使用基本不等式即可.所求{width="0.41805555555555557in" height="0.2013888888888889in"}的最值可想到余弦定理用边进行表示，{width="1.3659722222222221in" height="0.45555555555555555in"}，考虑{width="1.7013888888888888in" height="0.2388888888888889in"}角化边得到：{width="0.9027777777777778in" height="0.2388888888888889in"}，进而消去{width="0.12708333333333333in" height="0.15694444444444444in"}计算表达式的最值即可
【解析】 ∵sin *A*＋sin *B*＝2sin *C*.
由正弦定理可得*a*＋*b*＝2*c*，即*c*＝，
cos *C*＝＝＝≥＝，
当且仅当3*a*^2^＝2*b*^2^即＝时等号成立.
∴cos *C*的最小值为.
**例3** 在锐角三角形 *ABC* 中，已知 2sin^2^ *A*+ sin^2^*B* = 2sin^2^*C*，则{width="1.4701388888888889in" height="0.42569444444444443in"}的最小值为[ ]{.underline}．
【答案】{width="0.34305555555555556in" height="0.4701388888888889in"}
*【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：*{width="0.9923611111111111in" height="0.21666666666666667in"}*，*
*如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，*
*因为*{width="0.9923611111111111in" height="0.21666666666666667in"}*，所以，*{width="2.216666666666667in" height="0.2534722222222222in"}*，化简，得：*
{width="1.238888888888889in" height="0.2534722222222222in"}*，解得：x＝3y*
{width="2.0833333333333335in" height="1.40625in"}
{width="1.3729166666666666in" height="0.21666666666666667in"}*，*{width="1.6118055555555555in" height="0.42569444444444443in"}*，*{width="1.6569444444444446in" height="0.42569444444444443in"}*，*
{width="1.4701388888888889in" height="0.42569444444444443in"}＝{width="0.9479166666666666in" height="0.42569444444444443in"}{width="1.1118055555555555in" height="0.42569444444444443in"}＝{width="1.0in" height="0.9180555555555555in"}
*＝*{width="0.9923611111111111in" height="0.49236111111111114in"}*＝*{width="1.1340277777777779in" height="0.5in"}*.*
*【解析二】（边化角）*
*由正弦定理，得：*{width="0.9923611111111111in" height="0.21666666666666667in"}*，即*{width="1.2166666666666666in" height="0.2833333333333333in"}，
由余弦定理得：{width="0.9256944444444445in" height="0.20902777777777778in"}，即{width="0.8131944444444444in" height="0.18680555555555556in"}，
*由正弦定理，得：*{width="1.2909722222222222in" height="0.18680555555555556in"}，即{width="1.6041666666666667in" height="0.20902777777777778in"}，化简得{width="0.8958333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，
以{width="0.3659722222222222in" height="0.17916666666666667in"}主元，化简{width="1.2909722222222222in" height="0.38819444444444445in"}得{width="2.6868055555555554in" height="0.42569444444444443in"}.
**例4** 在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析一】（余弦定理+二次函数）
看到式子{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}的结构特征，联想余弦定理得：
{width="2.9895833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
所以{width="4.4375in" height="0.46875in"}
当{width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}时，{width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的面积的最大值为{width="0.3645833333333333in" height="0.46875in"}．
【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）
设*BC*边上的中线为*AM*，则
∵ ∴
代人得：，即
根据基本不等式得：
又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高
所以
所以，，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的面积的最大值为{width="0.3645833333333333in" height="0.46875in"}．
【解法三】（隐圆）
以*AB*的中点为原点，*AB*所在直线为*x*轴，建立平面直角坐标系．
设*A*，*B*，*C*(*x*，*y*)，则由*a*^2^＋*b*^2^＋2*c*^2^＝8，得^2^＋*y*^2^＋^2^＋*y*^2^＋2*c*^2^＝8，即*x*^2^＋*y*^2^＝4－*c*^2^，所以点*C*在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上，所以*S*≤＝≤.
**【巩固训练】**
1\. （多选题）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）
A． B． C． D．
2.在△*ABC*中，若，则*cosB*的最小值是 [ ]{.underline} .
3**.** 已知中， ，则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
4.若{width="0.4701388888888889in" height="0.2013888888888889in"}的内角满足{width="1.4701388888888889in" height="0.2013888888888889in"}，则角{width="0.1638888888888889in" height="0.2013888888888889in"}的最大值是 [ ]{.underline} .
5.已知在锐角三角形*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若，则的取值范围是（ ）
*A*. *B*. *C*. *D*.
6.在锐角中，角$A，B，C$的对边分别是$a，b，c，$，，当$A，B$则变化时，存在最大值，则正数的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
*A*. *B*.
*C*. *D.*
**7.** 在$\text{ΔABC}$中，设角$A，B，C$的对边分别是$a，b，c，$若$\sqrt{2}a，b，c$成等差数列，则$\text{\ \ \ \ \ \ }\frac{3}{\sin A} + \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
**\
**
【答案与提示】
1\. 【答案】BC
【解析】∵，利用正弦定理可得：，
由正弦平方差公式得，
即，
易知，故
∴，即
∵， ∴，∴，故选：*BC*.
2.【答案】
【提示】已知可化为
，弦化切得
∴
∴，，∴.
**3.** 【答案】*A*
【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.
4.【答案】{width="0.17916666666666667in" height="0.42569444444444443in"}
【解析】由{width="1.4701388888888889in" height="0.2013888888888889in"}可得：{width="0.7013888888888888in" height="0.2013888888888889in"}，{width="0.7611111111111111in" height="0.42569444444444443in"}
{width="5.970138888888889in" height="0.7013888888888888in"} ∵{width="0.4027777777777778in" height="0.18680555555555556in"}在{width="0.5298611111111111in" height="0.2833333333333333in"}递减，∴{width="0.6868055555555556in" height="0.41805555555555557in"}
5\. 【答案】**C**
【解析】由得：，即
即，
而，所以
又为锐角三角形，∴，即，
∴，∴
6\. 【答案】*A*
【解析】由，得：
根据正弦定理得：，即
又为锐角三角形，∴，即，
∴，∴ ，
（）
∵
∴欲使存在最大值，必有
∴，故，即.
**7.**【答案】$2\left( \sqrt{3} + 1 \right)$
【解析】由题得$2b = \sqrt{2}a + c，\therefore\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} = \frac{a^{2} + c^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2}a + \frac{c}{2})}^{2}}{2ac}$，
所以$\cos B = \frac{\frac{1}{2}a^{2} + \frac{3}{4}c^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\text{ac}}{2ac} \geq \frac{2\sqrt{\frac{1}{2}a^{2} \cdot \frac{3}{4}c^{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\text{ac}}{2ac} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，所以$0 < B \leq 75^{0}，\therefore 0 < \sin B \leq \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}，$
因为$2\sin B = \sqrt{2}\sin A + \sin C，\therefore\sqrt{2}\sin A + \sin C \leq \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}，\therefore\frac{\sqrt{2}\sin A + \sin C}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} \leq 1．$
所以$\frac{3}{\sin\text{A}} + \frac{\sqrt{2}}{\sin\text{C}}$ $\geq (\frac{3}{\sin A} + \frac{\sqrt{2}}{\sin C}) \cdot \frac{\sqrt{2}\sin A + \sin C}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2} + \frac{2\sin A}{\sin C} + \frac{3\sin C}{\sin A}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} \geq \frac{4\sqrt{2} + 2\sqrt{\frac{2\sin A}{\sin C} \cdot \frac{3\sin C}{\sin A}}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = 2(\sqrt{3} + 1)．$故答案为：$2\left( \sqrt{3} + 1 \right)$．
{width="0.5416666666666666in" height="0.4305555555555556in"}**专题27 以图形为背景的两角差的正切**
**【方法点拨】**
1. 利用作垂线，可以化斜三角形为直角三角形，往往两次解直角三角形较直接使用正余弦定理来的简单.
2. 图形中的张定角问题，往往作垂线后，在两个直角三角形中，求出角的正切值，再使用两角和与差的正切公式，从而布列方程求解；求张角最值问题，方法同上，从而建立目标函数求解.
**【典型题示例】**
**例1** (2021·全国乙卷·理9)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表高"，称为"表距"，和都称为"表目距"，与的差称为"表目距的差"则海岛的高（ ）
{width="3.3881944444444443in" height="1.0972222222222223in"}
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【分析】化斜为直，两次解直角三角形即可解出．
【解析】如图所示：
{width="3.9180555555555556in" height="1.261111111111111in"}
中，，
中，，
∵，∴
∴
另一方面，,
∴
∴．
故选：A.
点评：
本题难度并不大，主要以数学文化为背景，考查学生分析问题的能力，但在应试的背景下，学生往往找不到方向，不会化斜为直，而使用正、余弦定理等去解决，这无疑给解题带来了难度，甚至误入死胡同.
**例2** 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题："今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？"其意为：今有直角三角形，勾（短直角边）长5步，股（长直角边）长12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长为多少？在如图所示中，求得正方形的边长后，可求得\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="1.9701388888888889in" height="1.8958333333333333in"}
【答案】
【分析】利用平几中的三角形相似或三角函数知识，不难求出正方形的边长，这里，应化斜为直，将看作、的差，在直角三角形、求出、，再利用两角差正切公式计算即可.
【解析】设正方形的边长，由题知：，解得.
所以，.
故.
即的值为.
**【巩固训练】**
1.如图，两座建筑物*AB*，*CD*的高度分别是9m和15m，从建筑物*AB*的顶部*A*看建筑物*CD*的张角，则这两座建筑物*AB*和*CD*的底部之间的距离 [ ]{.underline} m．
2.如图**，**有一壁画**，**最高点**A**处离地面**6 m，**最低点**B**处离地面**3.5 m．**若从离地高**2 m**的**C**处观赏它，则**C**离墙\_\_\_\_\_\_\_\_**m**时**，**视角**θ**最大．
{width="1.4479166666666667in" height="1.09375in"}
3.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=.
> （1） 该小组已经测得一{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值是
>
> [ ]{.underline} m；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，当d= [ ]{.underline} m时，-最大.
{width="2.0520833333333335in" height="1.5416666666666667in"}
【答案与提示】
1.【答案】18
【提示】过*A*作*CD*的垂线，利用两角和的正切公式布列方程.
2.【答案】
【提示】过*C*作*AB*的垂线，利用两角差的正切公式建立关于两点地面间距离的目标函数，再利用基本不等式.
3.【答案】（1）124m； （2）m.
【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用.
（1），同理：，.
AD---AB=DB，故得，解得：.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大.
因为，则，所以当时，-最大.
故所求的是m.
{width="0.3472222222222222in" height="0.5138888888888888in"}**专题28 有关三角形中线、角平分线、高线问题**
**【方法点拨】**
1\. 中线长定理：中, 是边上的中线，则.
2\. 内角平分线定理： *AD*为△*AB*C的内角∠*BAD*平分线，则{width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}.
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪形结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中的"定比"类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷.
**【典型题示例】**
**例1** （2021·江苏南京金陵中学期末·8）在△*ABC*中，角*A*､*B*､*C*所对的边分别为*a*､*b*､*c*，角*A*的角平分线交*BC*于点*D*，若*a*sin*A*＝*b*sin*B*＋(*c*－*b*)sin*C*，且*AD*＝，*b*＝3*c*，则*a*的值为( )
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】易求得，利用内角平分线定理及爪形结构将向量 用线性表示为，这是本题之关键.
【解析】由*a*sin*A*＝*b*sin*B*＋(*c*－*b*)sin*C*、正弦定理得：*a*^2^＝*b*^2^＋(*c*－*b*) *c*，
由余弦定理得，
由三角形内角平分线定理得：
所以
两边取模方得：
即，解得
由余弦定理得，.
**例2** 在△*ABC*中，若角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，∠*ABC*＝120°，∠*ABC*的平分线交*AC*于点*D*，且*BD*＝1，则4*a*＋*c*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】9
【分析】本题的关键是探究出*a*、*c*间的关系.
【解析一】(由等面积法探究{width="0.34375in" height="0.14583333333333334in"}间关系)
∵{width="1.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"} ，即{width="3.0729166666666665in" height="0.4166666666666667in"}
∴{width="0.6354166666666666in" height="0.15625in"}，即{width="0.59375in" height="0.4166666666666667in"}
所以{width="3.40625in" height="0.4583333333333333in"}（当且仅当{width="0.4270833333333333in" height="0.1875in"}时，"＝"成立）
所以{width="0.4270833333333333in" height="0.1875in"}的最小值为9．
【解析二】 (由三角形内角平分线定理、向量法探究{width="0.34375in" height="0.14583333333333334in"}间关系)
由三角形内角平分线定理得：{width="0.9479166666666666in" height="0.40625in"}
所以{width="1.625in" height="0.40625in"}，
两边取模得：{width="4.041666666666667in" height="0.46875in"}
化简得：{width="0.6354166666666666in" height="0.15625in"}，即{width="0.59375in" height="0.4166666666666667in"}
所以{width="3.40625in" height="0.4583333333333333in"}（当且仅当{width="0.4270833333333333in" height="0.1875in"}时，"＝"成立）
所以{width="0.4270833333333333in" height="0.1875in"}的最小值为9．
【解析三】(利用建系、三点共线法探究{width="0.34375in" height="0.14583333333333334in"}间关系)
以{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为坐标原点，{width="0.2604166666666667in" height="0.16666666666666666in"}作为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴正半轴，建立直角坐标系，则{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}
∵{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}三点共线 ∴{width="0.9166666666666666in" height="0.8020833333333334in"} 化简得{width="0.59375in" height="0.4166666666666667in"}
所以{width="3.40625in" height="0.4583333333333333in"}（当且仅当{width="0.4270833333333333in" height="0.1875in"}时，"＝"成立）
所以{width="0.4270833333333333in" height="0.1875in"}的最小值为9．
**例3** 在三角形*ABC*中，*D*为*BC*边上一点，且，，则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【分析一】为将已知中相关线段间的关系往所求之角的关系转化，利用"爪形结构"得出，从而将已知中所有条件"据于一式"之中.为出现所求，对其进行"求模"运算起到"化边"的作用，最后运用三角函数知识解决.
【解析一】在*ABC*中，由得：
两边取模得：，又
代入都转化为边得：
即，
由余弦定理得：，即
再由余弦定理得：
> 即，
>
> 所以
所以（当时，"="成立）.
【分析二】设则,在△ABD和△ACD中,由正弦定理化简可得,由两角差的正弦公式,化简可得,根据正弦函数的值域即可求解的最大值.
【解析二】如图,由已知,设则,
在△ABC中,由正弦定理可得: ,
在△ACD中,由正弦定理可得:.
所以
化简可得:,可得: .
可得的最大值为.
{width="2.084722222222222in" height="1.3395833333333333in"}
【分析三】注意到三角形*ABD*是等腰三角形，联想所求，作底边*AB*上的高，过*C*作*AB*上的高，"化斜为直"，充分运用"平几"知识解题.
【解析三】如下图，分别过*D*、*C*作*AB*边上的高*DE*、*CF*，故*DE*∥*CF*
在△*ABD*中，由三线合一知*BE*=*AE*
由*DE*∥*CF*，*BD*=2*CD*得*BF=*2*AF*， *DE*：*CF=*2：3
所以，
{width="2.31875in" height="1.575in"}所以（当时，"="成立）.
**例4** 在△*ABC*中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】基底法，由于已知*AB*，*AC*的长度，应考虑以为基底.本题的关键是将向量如何用基底向量线性表示？------利用三角形内角平分线性质定理为最简途径，易求得，用"爪形"结构即可.
【解析】由角平分线定理可知
> 在△*ABC*中，由"爪形"结构得：
∵
∴，求得
∴．
**例5** 已知*D*是边上一点，且，，，则的最大值为 [ ]{.underline} ．
{width="1.742361111111111in" height="1.0659722222222223in"}【答案】
【解析一】设，则，，
在中，，
在中，，
又，
所以，解得，①
在中，，即，②
由①②可得．
所以，
即，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为．
【解析二】因为，所以，即，
整理得到，两边平方后有，
所以即，
整理得到，
设，所以，
因为，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为．
**例6** 已知点*G*是△*ABC*的重心，且*GA*⊥*GC*，若，则tan*B*的值为 [ ]{.underline} ．
{width="1.8770833333333334in" height="1.19375in"}
【答案】$\frac{1}{2}$
【分析】由已知中的垂直条件想建系设点，角的关系转化为边的关系，利用余弦定理求cosB.
【解析】建立如图所示直角坐标系（其中G是坐标原点），设*A*（0，*n*），*C*（*m*，0），则*B*（－*m*，－*n*）
将切化弦得：，即，
故
又由余弦定理得
所以，故.
**\
**
**【巩固训练】**
1\. 在△ABC中，∠A＝，D是BC的中点．若AD≤BC，则sinBsinC的最大值为 [ ]{.underline} ．
2.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAC的平分线交BC于E，已知AB＝4，{width="1.0in" height="0.4340277777777778in"}，{width="0.9152777777777777in" height="0.4340277777777778in"}，则{width="0.5659722222222222in" height="0.2263888888888889in"}＝ [ ]{.underline} .
3.已知中,分别为边的中线且,则的最小值为 [ ]{.underline} .
4.在△*ABC*中，已知角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，且*a*^2^＋*c*^2^＝*b*^2^－*ac*，若∠*BAC*的平分线*AD*交*BC*边于点*D*，*AD*＝2，*BD*＝1，则cos *C*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
5.已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，，且平分，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
6\. 在△*ABC*中，已知*AC*＝5，*AB*＝12，*AD*为∠*BAC*的平分线，*D*在*BC*上，*CD*＝，则*AD*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
**7.** （2021·浙江·14）在中，，*M*是的中点，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_*.*
8.已知点*G*为的重心，点*D*，*E*，*F*分别为，，的中点.若，，则\_\_\_\_\_\_\_\_.
9.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 [ ]{.underline} ．
【答案与提示】
1.【答案】
【解析】
．
2.【答案】
3.【答案】.
【解法一】如下图建立直角坐标系，设，
> ，.
{width="1.0729166666666667in" height="1.7395833333333333in"}
【解法二】如下图，设，
，要使得最小，只要角最大.
**，所以**的最小值为.
{width="1.2229166666666667in" height="1.8229166666666667in"}
【解法三】，
.
**点评：解题的切入点很重要"中线"、"垂直"对向量工具的使用是一种强烈的暗示，无疑，法三是我们追求的方法.**
{width="1.21875in" height="0.8125in"}4.【答案】
【解析】因为*a*^2^＋*c*^2^＝*b*^2^－*ac*，所以cos *B*＝＝－＝－.
因为*B*∈(0，π)，所以*B*＝.
> 如图，在△*ABD*中，由正弦定理得＝，则sin∠*BAD*＝＝＝，所以cos∠*BAC*＝cos 2∠*BAD*＝1－2sin^2^∠*BAD*＝1－2×＝，所以sin∠*BAC*＝＝＝，所以cos *C*＝cos＝cos cos∠*BAC*＋sin sin∠*BAC*＝×＋×＝.
5.【答案】
6.【答案】
【解析】在△*ABD*，△*ADC*中，由正弦定理可得＝，＝.
> 又∠*BAD*＝∠*CAD*，∠*ADB*＋∠*ADC*＝*π*，所以有＝＝，即*BD*＝，
>
> 故*BC*＝＋＝13.
即*AC*^2^＋*AB*^2^＝144＋25＝169＝*BC*^2^，所以△*ABC*为直角三角形且*A*＝.
在△*ADC*中，由正弦定理可得＝，即*AD*＝×＝.
7.【答案】 (1). (2).
【解析一】由题意作出图形，如图，
{width="2.763888888888889in" height="1.5284722222222222in"}
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
8.【答案】
【解析】，
①,
，
②，
，
②①得：，所以.
{width="1.98125in" height="1.4055555555555554in"}
9.【答案】
【提示】易求得，由中线长定理得，而
所以，，
（当且仅当=时，"="成立）.或求得后，利用"形"易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单.
**专题29 三角形三内角正切积等于正切和的应用**
**【方法点拨】**
斜三角形中，.
**【典型题示例】**
**例1** 在锐角三角形中，，则的最小值是 [ ]{.underline} ．
【答案】8
【解析】由，，
可得（\*），
由三角形为锐角三角形，则，
在（\*）式两侧同时除以可得，
又(\#)，
则，
由可得，
令，由为锐角可得，
由(\#)得，解得
，
，由则，因此最小值为，
当且仅当时取到等号，此时，，
解得（或互换），此时均为锐角．
**例2** △*ABC*中，∠*A*、∠*B*、∠*C*的对边分别为*a*、*b*、*c*，若＝＝，则 cos*A*cos*B*cos*C*＝ [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】由已知联想到正弦定理，得到三内角正切间的关系，求出正切值即可.
【解析】由＝＝及正弦定理得:
代入解得，，
所以，，
故.
**【巩固训练】**
1\. 在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为 [ ]{.underline} ．
2\. 在△*ABC*中，已知sin*A*＝13sin*B*sin*C*，cos*A*＝13cos*B*cos*C*，则tan*A*＋tan*B*＋tan*C*的值为 [ ]{.underline} ．
3.设，且，若，，则 [ ]{.underline} .
4\. 在中，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
**\
**
【答案与提示】
1.【答案】3
【解析】依题意，因为，所以 ，所以，所以.
2.【答案】196
【解析】依题意cos*A*sin*A*＝13cos*B*cos*C*13sin*B*sin*C*，即cos*A*sin*A*＝13cos，
即cos*A*sin*A*＝13cos*A*，所以tan*A*，又易得tan*A*＝tan*B*tan*C*，
而tan*A*＋tan*B*＋tan*C*tan*A*tan*B*tan*C*，所以tan*A*＋tan*B*＋tan*C*tan*A*．
3.【答案】
【提示】①，
②，
又由立得：.
**4.**【答案】D
【解析】由正弦定理可知，，，，（*R*为三角形外接圆半径），
因为，
所以
且*A*，*B*，*C*都为锐角，
所以，
所以
整理可得，，故，．
**专题30 定线段张定角**
**【方法点拨】**
当已知中出现三角形一边及其对角均为定值，即"定线段张定角"时，应考虑其中的隐圆.
**【典型题示例】**
**例1** （2021·江苏金陵中学期末·22改编）在△*ABC*中，角*A*、*B*、*C*所对的边分别为*a*、*b*、*c*，已知3*a*＝3*b*cos*C*＋*c*sin*B*，若点*M*为*AC*中点，且*b*＝，则中线*BM*的最大值是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【分析】易求得*B*＝，问题转化为在一三角形中，已知一边及其对角，求这边上中线的最大值.可以使用中线长定理、基本不等式解决（解析一），作为填空题，利用隐圆，当中线就是该边上的高时最大则更简捷.
【解析一】由射影定理得3(*b*cos*C*＋*c*cos*B*)＝3*b*cos*C*＋*c*sin*B*，
化简得3*c*cos*B*=*c*sin*B*，又因为sin*B*≠0，所以tan*B*＝，
*B*∈(0，π)，所以*B*＝．
在△*ABM*和△*BCM*中，由余弦定理得:
*c*^2^＝*BM*^2^＋－2·*BM*cos∠*BMA*，*a*^2^＝*BM*^2^＋－2·*BM*cos∠*BMC*
两式相加得*BM*^2^＝－．
又由余弦定理*a*^2^＋*c*^2^－3＝*ac*≤，所以(*a*^2^＋*c*^2^)≤3，
即*a*^2^＋*c*^2^≤6，*BM*^2^≤，
所以*BM*最大值为，当且仅当*a*＝*c*＝时等号成立．
【解析二】由射影定理得3(*b*cos*C*＋*c*cos*B*)＝3*b*cos*C*＋*c*sin*B*，
化简得3*c*cos*B*=*c*sin*B*，又因为sin*B*≠0，所以tan*B*＝，
*B*∈(0，π)，所以*B*＝．
在△*ABC*中，*b*＝，*B*＝，故点*B*的轨迹是以*AC*＝为弦，所对角*B*＝的弧
由平面几何知识得，当*AC*边上的中线*BM*就是*AC*边上的高，即当且仅当*a*＝*c*＝时，*BM*最大值为.
**例2** 设向量满足，，，则的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】*D*
【分析】向量是自由向量，故可将其移至同一起点考虑. 由，易知，且其终点间选段长为，由知向量的终点与的终点连线"定线段张定角"，其轨迹是圆弧.
【解析】由,得
如下左图,设,，
{width="1.6069444444444445in" height="1.6861111111111111in"}{width="1.5819444444444444in" height="1.6270833333333334in"}
则，
故点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段弧（端点除外），该圆的半径为1
如上右图，当过圆心，即为直径时，最大，此时
所以的最大值等于，故选*D[.]{.underline}*
**例3** 已知{width="0.47291666666666665in" height="0.19375in"}三个内角{width="0.5152777777777777in" height="0.22430555555555556in"}的对应边分别为{width="0.41805555555555557in" height="0.22430555555555556in"}，且{width="0.47291666666666665in" height="0.4305555555555556in"}，{width="0.37569444444444444in" height="0.19375in"}，当{width="0.5576388888888889in" height="0.22430555555555556in"}取得最大值时，{width="0.16944444444444445in" height="0.4305555555555556in"}的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**【答案】**
**【分析】**发现隐圆后，问题的难点在于如何对{width="0.5576388888888889in" height="0.22430555555555556in"}取得最大值作转化，这里，直接使用数量积的定义.由于，故当最大，即在方向上的投影最大时，{width="0.5576388888888889in" height="0.22430555555555556in"}取得最大值，从"形"上看，此时过点*C*的圆的切线与*AB*垂直.
{width="1.7756944444444445in" height="1.7756944444444445in"}【解析】 如图所示，
在直径为的圆中，弦固定，点在圆上运动，满足题中的，结合数量积的定义可得，当点位于图中的位置时， 取到最大值，
此时，，
{width="1.0416666666666666e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}故，所以．
**【巩固训练】**
1.在中，点*M*是边中点，，，则的最大值为 [ ]{.underline} ．
2.在中，已知，，则面积的最大值为 [ ]{.underline} ．
3.在中，，，点*G*为的重心，点*O*为的外心，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
4.在中，，，点*D*在边上，且，则的最大值为 [ ]{.underline} ．
5\. 锐角△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，，且，则△*ABC*面积的取值范围是 [ ]{.underline} .
6\. **在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，若，则的取值范围**是 [ ]{.underline} .
7.（2021·江苏徐州期末·21改编）在锐角三角形*ABC*中，角*A*、*B*、*C*所对的边分别为*a*、*b*、*c*，已知*a* sin*C*＝ccos *A*，且*a*＝，则*b*^2^＋*c*^2^的取值范围是 [ ]{.underline} ．
**\
**
【答案与提示】
1.【答案】
【提示】同例1，是高时最大.
2.【答案】2
【提示】是等腰三角形时面积最大.
3.【答案】
【提示】求得，以中点为坐标原点建系，求得点*G*的的轨迹为圆.
4.【答案】
【分析】发现隐圆，利用平几知识、余弦定理求出最大值.
【解析】∵，
> ∴根据正弦定理，外接圆的直径，如图，当过圆心时最大.
连结*OB*，在△*OBD*中，∠*OBD*=30^0^，由余弦定理得：
所以即为所求最大值.
{width="2.11875in" height="2.1618055555555555in"}
5.【答案】
【解析】根据正弦定理，可化为
整理得：
由余弦定理得，
由正弦定理得（其中为△*ABC外接圆半径*）
{width="1.7381944444444444in" height="1.8993055555555556in"}如图，下同例2，求出临界值.
**6.【答案】.**
**【提示】因为，得**
**求出临界状态的值立得.**
7.【答案】
【分析】易求得，点*A*的轨迹是以*BC*＝为弦，所对角*A*＝的弧，在点*A*的运动过程中，*b*^2^＋*c*^2^先增后减，故当*b*＝*c*时，达到最大值，而下界是三角形*ABC*是直角三角形，即*AC*（或*AC*）为直径.
【解析】由及正弦定理得
因为为锐角，所以，所以
因为为锐角，所以，所以所以.
点*A*的轨迹是以*BC*＝为弦，所对角*A*＝的弧，
在点*A*的运动过程中，*b*^2^＋*c*^2^先增后减，
故当*b*＝*c*时，*b*^2^＋*c*^2^取得最大值，此时，
又因为*ABC*为锐角三角形，当*AC*（或*AC*）为直径时，
所以的取值范围为
**专题31 对数单身狗、指数找朋友**
**【方法点拨】**
**对数单身狗，指数找朋友：**
> ①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数"独立分离"出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数"孤军奋战"的变形过程，我们形象的称之为"**对数单身狗**".
>
> 由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.
>
> ②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数"结合"起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找"合作伙伴"的变形过程，我们形象的称之为"**指数找朋友**".
>
> 由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
**【典型题示例】**
**例1** 已知函数，当*x*≥0时，*f*（*x*）≥*x*^3^+1，则*a*的取值范围是 [ ]{.underline} .
【答案】
【分析】遇到 *f*(*x*)e*^x^*＋*g*(*x*)的形式变形为e*^x^*·*h*(*x*) ，其求导后的结果是\[e*^x^*·*h*(*x*)\]′＝e*^x^*·\[*h*(*x*)＋*h*′(*x*)\] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.
【解析】{width="0.9076388888888889in" height="0.3875in"}等价于{width="1.5145833333333334in" height="0.3875in"}.
> 设函数{width="2.127083333333333in" height="0.3875in"}，则
>
> {width="2.7569444444444446in" height="0.3875in"}{width="2.0118055555555556in" height="0.3875in"}
>
> {width="1.6534722222222222in" height="0.3875in"}.
>
> （i）若2*a*+1≤0，即{width="0.46805555555555556in" height="0.3875in"}，则当*x*∈（0，2）时，{width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}\>0.所以*g*（*x*）在（0，2）单调递增，而*g*（0）=1，故当*x*∈（0，2）时，*g*（*x*）\>1，不合题意.
>
> （ii）若0\<2*a*+1\<2，即{width="0.7048611111111112in" height="0.3875in"}，则当*x*∈(0，2*a*+1)∪(2，+∞)时，*g\'*(*x*)\<0；当*x*∈(2*a*+1，2)时，*g\'*(*x*)\>0.所以*g*(*x*)在(0，2*a*+1)，(2，+∞)单调递减，在(2*a*+1，2)单调递增.由于*g*(0)=1，所以*g*(*x*)≤1当且仅当*g*(2)=(7−4*a*)e^−2^≤1，即*a*≥{width="0.4222222222222222in" height="0.4048611111111111in"}.所以当{width="0.8729166666666667in" height="0.4048611111111111in"}时，*g*(*x*)≤1.
>
> （iii）若2*a*+1≥2，即{width="0.37569444444444444in" height="0.3875in"}，则*g*(*x*)≤{width="0.9597222222222223in" height="0.3875in"}.
>
> 由于{width="0.8729166666666667in" height="0.4048611111111111in"}，故由（ii）可得{width="0.9597222222222223in" height="0.3875in"}≤1.故当{width="0.37569444444444444in" height="0.3875in"}时，*g*(*x*)≤1.
>
> 综上，*a*的取值范围是{width="0.7513888888888889in" height="0.4048611111111111in"}.
点评：
解决形如*f*(*x*)e*^x^*＋*g*(*x*)常见结论e*^x^*≥*x*＋1（有时甚至e*^x^*≥$\frac{1}{2}x^{2} +$*x*＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．
例2 **若不等式**$\text{xlnx} \geq a(x - 1)$**对所有**$x \geq 1$**都成立，则实数**$a$**的取值范围是 [ ]{.underline} ．**
**【答案】**$( - \infty,1\rbrack$
**【解析】原问题等价于**$lnx - \frac{a(x - 1)}{x} \geq 0$**对所有**$x \geq 1$**都成立，**
**令**$f\left( x \right) = lnx - \frac{a(x - 1)}{x}$**，** $x \geq 1\ $**，则**$f^{'}\left( x \right) = \frac{x - a}{x^{2}}$**．**
**（1）当**$a \leq 1$**时，**$f^{'}\left( x \right) = \frac{x - a}{x^{2}} \geq 0$**恒成立，即**$f(x)$**在**$\lbrack 1, + \infty)$**上单调递增，因而**$f\left( x \right) \geq f\left( 1 \right) = 0$**恒成立；**
**（2）当**$a > 1$**时，令**$f^{'}\left( x \right) = 0$**，则**$x = a$ **，** $f(x)$**在**$(0,a)$**上单调递减，在**$(a, + \infty)$**上单调递增，**${f(x)}_{\min} = f\left( a \right) = lna - a + 1 < 0$**，不合题意．**
**综上所述，实数**$a$**的取值范围是**$( - \infty,1\rbrack$**．**
**点评：**
**上述解法优势在于，将ln*x*的系数化"1"后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．**
**\
**
**【巩固训练】**
1.已知e*^x^*≥1＋*ax*对任意*x*∈\[0,＋∞)成立，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
2.已知函数*f*(*x*)＝e*^x^*－1－*x*－*ax*^2^，当*x*≥0时,*f*(*x*)≥0恒成立，则实数*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
3.已知对任意的，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} .
4\. 已知关于的方程在上有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} .
5\. 已知的零点不少于两个，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} .
6\. 已知有两个零点，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} .
7\. **已知当**$x \geq 1$**时，**$x^{2}lnx - x + 1 \geq m{(x - 1)}^{2}$**恒成立，则实数**$m$**的取值范围是 [ ]{.underline} ．**
【答案与提示】
1.【答案】 (－∞,1\]
【解析】根据常用不等式e*^x^*≥*x*＋1,且*y*＝*x*＋1与*y*＝e*^x^*相切于(0,1),又*y*＝*ax*＋1也过点(0,1),观察图象可知,要使e*^x^*≥1＋*ax*对任意*x*∈\[0,＋∞)成立,则*a*≤1,即实数*a*的取值范围为(－∞,1\].
2.【答案】
【解析一】 由*f*′(*x*)＝e*^x^*－1－2*ax*,又e*^x^*≥*x*＋1,所以*f*′(*x*)＝e*^x^*－1－2*ax*≥*x*－2*ax*＝(1－2*a*)*x*,
> 所以当1－2*a*≥0,即*a*≤时,*f*′(*x*)≥0(*x*≥0),而*f*(0)＝0,于是当*x*≥0时,*f*(*x*)≥0,满足题意；又*x*≠0时,e*^x^*＞*x*＋1,所以可得e^－*x*^＞1－*x*,从而当*a*＞时,*f*′(*x*)＝e*^x^*－1－2*ax*≤e*^x^*－e*^x^*·e^－*x*^＋2*a*(e^－*x*^－1)＝(1－e^－*x*^)·(e*^x^*－2*a*),故当*x*∈(0,ln2*a*)时,*f*′(*x*)＜0,而*f*(0)＝0,于是当*x*∈(0,ln2*a*)时,*f*(*x*)＜0,不合题意．
综上所述,实数*a*的取值范围为.
【解析二】因为e*^x^*≥*x*＋1,所以当*a*≤0时,e*^x^*≥*ax*^2^＋*x*＋1恒成立,故只需讨论*a*＞0的情形．令*F*(*x*)＝e^－*x*^(1＋*x*＋*ax*^2^)－1,问题等价于*F*(*x*)≤0,由*F*′(*x*)＝e^－*x*^\[－*ax*^2^＋(2*a*－1)*x*\]＝0得*x*~1~＝0,*x*~2~＝.
2. 当0＜*a*≤时,*F*(*x*)在\[0,＋∞)上单调递减,所以*F*(*x*)≤*F*(0)＝0恒成立；
> ②当*a*＞时,因为*F*(*x*)在\[0,*x*~2~\]上单调递增,所以*F*(*x*~2~)≥*F*(0)＝0恒成立,此时*F*(*x*)≤0不恒成立．综上所述,实数*a*的取值范围是.
3.【答案】
【提示】
设，则
分类讨论，将导函数的零点、定义域的端点比较，分、、、四种情况.
4.【答案】
5.【答案】
【提示】
6.【答案】
【提示】
7.【答案】$( - \infty,\frac{3}{2}\rbrack$
**【解析】原不等式等价于**$lnx - \frac{m{(x - 1)}^{2} + (x - 1)}{x^{2}} \geq 0$**，**
$\ \ \ \ \ \ \ \ 令f\left( x \right) = lnx - \frac{m{(x - 1)}^{2} + (x - 1)}{x^{2}}\ ，x \geq 1，$**则**$f^{'}(x) = \frac{\left( x - 1 \right)\lbrack x - \left( 2m - 2 \right)\rbrack}{x^{3}}$**，**
**令**$f^{'}\left( x \right) = 0$**，得**$x_{1} = 1$**，**$x_{2} = 2m - 2$**．**
**（1）当**$2m - 2 \leq 1$**时，即**$m \leq \frac{3}{2}$**时，对** $x \geq 1\ $**，**$f^{'}\left( x \right) \geq 0$**，**$f(x)$**在**$\lbrack 1, + \infty)$**上单调递增，所以**$f\left( x \right) \geq f\left( 1 \right) = 0$**，满足题意；**
**（2）当**$2m - 2 > 1$**时，即**$m > \frac{3}{2}$**时，对**$x \in (1,2m - 2)$**，** $f^{'}\left( x \right) < 0$**，**$f(x)$**在**$(1,2m - 2)$**上单调递减，所以**$f\left( 2m - 2 \right) < f\left( 1 \right) = 0$**，不合题意；**
**综上所述，实数**$m$**的取值范围是**$( - \infty,\frac{3}{2}\rbrack$**．**
**专题32 关于指对的两个重要不等式**
**【方法点拨】**
1．重要不等式：
(1)对数形式：*x*≥1＋ln *x*(*x*\>0)，当且仅当*x*＝1时，等号成立．
(2)指数形式：e*^x^*≥*x*＋1(*x*∈**R**)，当且仅当*x*＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：e*^x^*\>*x*＋1\>*x*\>1＋ln *x*(*x*\>0，且*x*≠1)．
2．树立一个转化的意识，即"等"与"不等"间的互化，运用"两边夹逼"的方法，将不等式转化为等式，关注等号成立的条件.
**【典型题示例】**
1. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】思路一：据果变形，直接使用重要不等式，两边夹逼将不等式转化为等式.
思路二：一边一个变量，构造两个函数，分别求出其最值，夹逼将不等式转化为等式.
【解析一】∵
∴
易知，当且仅当*x*=1时，"="成立
∴，当且仅当，时，"="成立
根据不等式性质有
所以
此时必有，（下略）.
【解析二】∵
∴
令，
利用导数知识易求得，
所以，即
故，此时，（下略）.
**例2** 已知{width="0.5819444444444445in" height="0.21666666666666667in"}都是正数，{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}，{width="1.1791666666666667in" height="0.2833333333333333in"}，则{width="0.8430555555555556in" height="0.42569444444444443in"}的最大值是 [ ]{.underline} ．
【答案】{width="0.5076388888888889in" height="0.4701388888888889in"}
【分析】由，换元令，则，考虑"形"， 恒成立，夹逼得，同理处置{width="1.1770833333333333in" height="0.28125in"}，最后使用基本不等式求解.
【解析】，令，则
事实上（当且仅当时，"="成立），故；
，令， 则
{width="1.3347222222222221in" height="0.8944444444444445in"}{width="1.2013888888888888in" height="1.320138888888889in"}
事实上（当且仅当时，"="成立），故；
> 所以，（当且仅当，时，"="成立）
故{width="0.8430555555555556in" height="0.42569444444444443in"}的最大值是{width="0.5076388888888889in" height="0.4701388888888889in"}．
**例3** 已知对任意的，不等式{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}恒成立，则实数的取值范围为\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】因为，当且仅当时，"="成立
所以不等式{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}恒成立转化为对任意的恒成立，解之得.
**【巩固训练】**
1.已知正实数满足，则 [ ]{.underline} ．
2.己知实数*a，b，c*满足$e^{a + c}{+ e}^{2b - c - 1} \leq a + 2b + 1$（e为自然对数的底数），则$a^{2}{+ b}^{2}$的最小值是 [ ]{.underline} .
3.若对于任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 [ ]{.underline} ．
4\. 己知实数*a，b*满足$2\ln a - e^{2b} \geq a^{2} - 2b - 2$（e为自然对数的底数），则*a*+2*b*= [ ]{.underline} .
【答案与提示】
1.【答案】
【解析】
当且仅当，，即，时，"="成立，此时．
2.【答案】{width="0.15694444444444444in" height="0.42569444444444443in"}
【分析】将已知变形为$e^{a + c}{+ e}^{2b - c - 1} \leq$\[($a + c\ ） + 1\rbrack + \lbrack\left( 2b - c - 1 \right) + 1\rbrack$，联系重要不等式$e^{x} \geq x + 1$，夹逼得{width="1.3659722222222221in" height="0.2013888888888889in"}.
【解析】∵{width="0.6569444444444444in" height="0.21666666666666667in"} ∴{width="0.7833333333333333in" height="0.21666666666666667in"}，{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}
所以{width="2.9923611111111112in" height="0.2833333333333333in"}
又∵{width="1.5743055555555556in" height="0.21666666666666667in"} ∴{width="1.5in" height="0.21666666666666667in"}
当且仅当{width="1.3659722222222221in" height="0.2013888888888889in"}时成立
∴{width="2.6638888888888888in" height="0.5076388888888889in"}，所以{width="1.1118055555555555in" height="0.42569444444444443in"}.
3.【答案】
【提示】由，得
，所以.
4\. 【答案】1
【提示】由，得
,而
故，此时，，所以.
**专题32 关于指对的两个重要不等式**
**【方法点拨】**
1．重要不等式：
(1)对数形式：*x*≥1＋ln *x*(*x*\>0)，当且仅当*x*＝1时，等号成立．
(2)指数形式：e*^x^*≥*x*＋1(*x*∈**R**)，当且仅当*x*＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：e*^x^*\>*x*＋1\>*x*\>1＋ln *x*(*x*\>0，且*x*≠1)．
2．树立一个转化的意识，即"等"与"不等"间的互化，运用"两边夹逼"的方法，将不等式转化为等式，关注等号成立的条件.
**【典型题示例】**
2. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】思路一：据果变形，直接使用重要不等式，两边夹逼将不等式转化为等式.
思路二：一边一个变量，构造两个函数，分别求出其最值，夹逼将不等式转化为等式.
【解析一】∵
∴
易知，当且仅当*x*=1时，"="成立
∴，当且仅当，时，"="成立
根据不等式性质有
所以
此时必有，（下略）.
【解析二】∵
∴
令，
利用导数知识易求得，
所以，即
故，此时，（下略）.
**例2** 已知{width="0.5819444444444445in" height="0.21666666666666667in"}都是正数，{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}，{width="1.1791666666666667in" height="0.2833333333333333in"}，则{width="0.8430555555555556in" height="0.42569444444444443in"}的最大值是 [ ]{.underline} ．
【答案】{width="0.5076388888888889in" height="0.4701388888888889in"}
【分析】由，换元令，则，考虑"形"， 恒成立，夹逼得，同理处置{width="1.1770833333333333in" height="0.28125in"}，最后使用基本不等式求解.
【解析】，令，则
事实上（当且仅当时，"="成立），故；
，令， 则
{width="1.3347222222222221in" height="0.8944444444444445in"}{width="1.2013888888888888in" height="1.320138888888889in"}
事实上（当且仅当时，"="成立），故；
> 所以，（当且仅当，时，"="成立）
故{width="0.8430555555555556in" height="0.42569444444444443in"}的最大值是{width="0.5076388888888889in" height="0.4701388888888889in"}．
**例3** 已知对任意的，不等式{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}恒成立，则实数的取值范围为\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】因为，当且仅当时，"="成立
所以不等式{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}恒成立转化为对任意的恒成立，解之得.
**【巩固训练】**
1.已知正实数满足，则 [ ]{.underline} ．
2.己知实数*a，b，c*满足$e^{a + c}{+ e}^{2b - c - 1} \leq a + 2b + 1$（e为自然对数的底数），则$a^{2}{+ b}^{2}$的最小值是 [ ]{.underline} .
3.若对于任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 [ ]{.underline} ．
4\. 己知实数*a，b*满足$2\ln a - e^{2b} \geq a^{2} - 2b - 2$（e为自然对数的底数），则*a*+2*b*= [ ]{.underline} .
**\
**
【答案与提示】
1.【答案】
【解析】
当且仅当，，即，时，"="成立，此时．
2.【答案】{width="0.15694444444444444in" height="0.42569444444444443in"}
【分析】将已知变形为$e^{a + c}{+ e}^{2b - c - 1} \leq$\[($a + c\ ） + 1\rbrack + \lbrack\left( 2b - c - 1 \right) + 1\rbrack$，联系重要不等式$e^{x} \geq x + 1$，夹逼得{width="1.3659722222222221in" height="0.2013888888888889in"}.
【解析】∵{width="0.6569444444444444in" height="0.21666666666666667in"} ∴{width="0.7833333333333333in" height="0.21666666666666667in"}，{width="1.2090277777777778in" height="0.21666666666666667in"}
所以{width="2.9923611111111112in" height="0.2833333333333333in"}
又∵{width="1.5743055555555556in" height="0.21666666666666667in"} ∴{width="1.5in" height="0.21666666666666667in"}
当且仅当{width="1.3659722222222221in" height="0.2013888888888889in"}时成立
∴{width="2.6638888888888888in" height="0.5076388888888889in"}，所以{width="1.1118055555555555in" height="0.42569444444444443in"}.
3.【答案】
【提示】由，得
，所以.
4\. 【答案】1
【提示】由，得
,而
故，此时，，所以.
**专题34 逆用导数的四则运算法则构造函数**
**【方法点拨】**
1.已知中同时出现关于、，应考虑"逆用导数的四则运算法则"构造函数.
2\. 常见的构造函数:
①对于，构造；一般的，对于，构造．
②对于，构造；一般的，对于，构造．
③对于，构造；一般的，对于，构造．
④对于，构造；一般的，对于，构造．
⑤对于，即，构造．
⑥对于，构造．
⑦对于，构造.
⑧对于，构造.
⑨对于，构造.
**【典型题示例】**
**例1** 已知偶函数(*x*≠0)的导函数为，，当*x*＞0时，，则使成立的*x*的取值范围是 [ ]{.underline} ．（其中e为自然对数的底数）
【答案】
【分析】利用构造函数，再使用函数的单调性、奇偶性即可.
【解析】设，则
∵*x*＞0时，
∴当*x*＞0时，，故在（0，+∞）单增
又，所以
∵是偶函数 ∴也是偶函数，且在（－∞，0）单减
等价于，即
由是偶函数且在（0，+∞）单增
得，解之得.
**例2** 已知定义域为的函数的导函数为，且，若（2），则函数的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】由的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出的解析式.
【解析】由，可得，
则，即，
设，，
又（2），所以，
所以，所以，
所以，，
令，，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的最小值为，
则对于，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，当时，，当时，，
所以函数的零点个数为2．
故选：．
点评：
作为选择题，求出后，欲判断零点个数，直接分离函数转化为与交点的个数，则秒杀！
**例3 函数的定义域为，，对任意，，则的解集为** [ ]{.underline} .
【答案】**（，+）**
**【分析】**题目应归结为"解抽象函数型不等式"问题，解决方法是"逆用函数的单调性".题目中哪个条件能让你联想到"函数的单调性"呢？**注意到已知中**，只需构造函数，使得，不难得到（这里为常数，本题中取），进而利用的单调性，即可找到解题的突破口**.**
**【解析】**构造函数，则，故单调递增，且.
> 另一方面所求不等式， 就转化为，逆用单调性定义易知，则不等式的解集为.
**例4** 设*f*(*x*)是定义在R上的可导函数，且满足*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)\>0，则不等式*f*()\>·*f*()的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 \[1,2)
【解析】设*F*(*x*)＝*xf*(*x*)，则由*F*′(*x*)＝*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)\>0，可得函数*F*(*x*)是R上的增函数．
> 又\>0，∴由*f*()\>*f*()可变形得*f*()\>*f*()，即*F*()\>*F*()， ∴解得1≤*x*\<2.
**【巩固训练】**
1.（多选题）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是
A． B．
C． D．
2.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为
A． B．，，
C．，， D．，，
3.设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
4.设是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．定义在{width="0.44027777777777777in" height="0.42569444444444443in"}上的函数{width="0.4027777777777778in" height="0.2763888888888889in"}，{width="0.44027777777777777in" height="0.2763888888888889in"}是它的导函数，且恒有{width="1.3881944444444445in" height="0.2763888888888889in"}成立．则（ ）
A．{width="1.1340277777777779in" height="0.42569444444444443in"} B．{width="1.663888888888889in" height="0.42569444444444443in"}
C．{width="1.238888888888889in" height="0.42569444444444443in"} D．{width="1.1569444444444446in" height="0.42569444444444443in"}
7．函数{width="0.3729166666666667in" height="0.22361111111111112in"}的导函数为{width="0.4027777777777778in" height="0.22361111111111112in"}，对任意的{width="0.4027777777777778in" height="0.2013888888888889in"}，都有成立，则（ ）
A. B.
C. D.与的大小不确定
8.函数*f*(*x*)的定义域是**R**，*f*(0)＝2，对任意*x*∈**R**，*f*(*x*)＋*f*′(*x*)\>1，则不等式e*^x^*·*f*(*x*)\>e*^x^*＋1的解集为\_\_\_\_\_\_．
9.已知定义在*R*上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
10\. 设奇函数*f*(*x*)定义在(－π，0)∪(0，π)上其导函数为*f′*(*x*)，且*f*(π)＝0，当0＜*x*＜π时，*f′*(*x*)sin*x*－*f*(*x*)cos*x*＜0，则关于*x*的不等式*f*(*x*)＜2*f*(π)sin*x*的解集为 [ ]{.underline} ．
**11.** 已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}.
【答案与提示】
1.【答案】
【分析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．
【解答】令，，因为，
则，故在，上单调递减，
因为，则，
结合选项可知，，从而有，即，故错误，
因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，
由可得，故错误；
，从而有，且，即．故正确；，从而有即．故正确．
故选：．
2.【答案】B
【解析】令，则，
在时单调递增，又（1）（1），
时，，时，，
当时，，，，
时，，，，在上恒成立，
又是奇函数，，在上恒成立，
①当时，，，即，
②当时，，，即，
由①②得不等式的解集是，，，故选：．
3.【答案】C
【解析】函数是定义在上的连续函数，，
令，则，为常数），
函数是连续函数，且在处存在导数，
，，，
，，
，
令，则，令，则，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
当时，，，使，
又，函数在的两个零点，分别为和0，
当时，令，则，
当时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
在上有极小值，无极大值．故选：．
4.【答案】D
【解析】构造函数，于是该函数递减，变形为，
于是，得，选D.
5.【答案】A
【解析】构造函数，
> 当时，，即函数单调递增，
>
> 则，，
则，即，选A．
6.【答案】A
【解析】由得，
> 构造函数，则，故单调递增，
>
> 有．故选A．
7.【答案】B
【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.
> 因为,所以
>
> 即.答案选B．
8.【答案】 (0，＋∞)
【解析】构造函数*g*(*x*)＝e*^x^*·*f*(*x*)－e*^x^*，
因为*g*′(*x*)＝e*^x^*·*f*(*x*)＋e*^x^*·*f*′(*x*)－e*^x^*＝e*^x^*\[*f*(*x*)＋*f*′(*x*)\]－e*^x^*\>e*^x^*－e*^x^*＝0，
> 所以*g*(*x*)＝e*^x^*·*f*(*x*)－e*^x^*为**R**上的增函数．又因为*g*(0)＝e^0^·*f*(0)－e^0^＝1，所以原不等式转化为*g*(*x*)\>*g*(0)，解得*x*\>0.
9.【答案】
10.【答案】(－π，0)∪(π，π)
【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于*y*轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道()′＝*′′*，(sin*x*)′＝cos*x*，于是本题的本质是构造来解不等式
【解析】设g(*x*)= ，则g′ (*x*)= ()′＝*′*，
所以当0＜*x*＜π时，g′ (*x*)\<0，g(*x*) 在(0，π)上单调递减
> 又由于在(0，π)上sin*x*＞0，考虑到sinπ＝，所以不等式*f*(*x*)＜2*f*(π)sin*x*等价于＜ππ，即g(*x*)\< *g*(π),所以此时不等式等价于π＜*x*＜π.
>
> 又因为*f*(*x*) 、sin*x*为奇函数，所以g(*x*)是偶函数，且在(－π，0)上sin*x*＜0，所以函数g(*x*)在(－π，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(*x*)＞g(－π)=ππ，所以此时不等式等价于－π＜*x*＜0，
综上，原不等式的解集是(－π，0)∪(π，π)．
11.【答案】
【解析】令，则（当时，满足，从而在，上单调递增，
所以当时，，从而当时，；
当时，（当时取等号），
又当时，，即，
所以在，上单调递增，
由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；
不等式．
令，则原问题等价于有解，从而，
，
在上单减，在上单增，
，所以的最小值为．
**专题35 利用切线求解恒成立、零点问题**
**【方法点拨】**
1.利用"形"解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；
2.解决零点问题的最常见思路是转化为两函数图象交点问题，而求解图象交点个数常常利用相切作为"临界状态".
**【典型题示例】**
**例1** 若不等式对一切*x*R恒成立，其中*a*，*b*R，e为自然对数的底数，则*a*＋*b*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】(－∞，﹣1\]
【分析】思路一：直接转化为为最值问题；
思路二：利用"形"， 不等式对一切*x*R恒成立，即，设，，因为恒过点，故只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可.
【解析一】令，恒成立，显然*a*≤0，
，则，
，
当*a*＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，
*a*＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减
*x*＜，，故符合题意，
综上，*a*≤0，*b*＝﹣1，因此*a*＋*b*(，﹣1\]．
【解析二】不等式可化为，
令，
当时，因为恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，易得，此时.
当时，因为恒过点，为使对一切*x*R恒成立，只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可，
故，此时.
综上，*a*＋*b*的取值范围是.
例2 已知*e*为自然对数的底数，函数{width="1.0444444444444445in" height="0.2534722222222222in"}的图像恒在直线{width="0.6118055555555556in" height="0.4326388888888889in"}上方，则实数*a*的取值范围为 [ ]{.underline} ．
**【答案】**{width="0.5375in" height="0.4326388888888889in"}
**【解析】**依题意，有：{width="0.7090277777777778in" height="0.22361111111111112in"}{width="0.34305555555555556in" height="0.4326388888888889in"}，即{width="0.33611111111111114in" height="0.22361111111111112in"}{width="0.7166666666666667in" height="0.4326388888888889in"}恒成立，
*a*＝0时显然成立，
*a*＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，
所以，要使不等式恒成立，需*a*≤0.
当*a*＜0时，设，
易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的"临界状态"时的切点坐标.
设公切点为，则，解之得
∴切点为
为使， 只需，故
又*a*＜0，所以.
综上，实数*a*的取值范围为{width="0.5375in" height="0.4326388888888889in"}．
**例3** 函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为
A．， B． C．， D．
【答案】A
【分析】分离函数，零点问题转化为两函数 与函数图象有唯一一个交点问题，再使用函数的对称性、导数在零点处的值控制其增减速度，即在零点处的导数值满足（1）（1）即可.
【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点，
（1），（1），
函数 与函数唯一交点为，
又，且，，
在上恒小于零，即在上为单调递减函数，
又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，
可得函数 与函数的大致图象如下图：
要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），
（1），（1），，解得，
又，实数的范围为，．故选：．
{width="1.5916666666666666in" height="1.7416666666666667in"}
**【巩固训练】**
1.设函数 *f*(*x*)＝*ax*2－*a*－ln*x*，其中 *a*∈**R**，若不等式 *f*(*x*)≥1－*a* 恒成立，则实数 *a* 的取值范围为 [ ]{.underline} ．
2.已知{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，设函数{width="2.0416666666666665in" height="0.53125in"}若关于{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的不等式{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}在{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}上恒成立，则{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围为
> A．{width="0.34375in" height="0.28125in"} B．{width="0.375in" height="0.28125in"} C．{width="0.375in" height="0.28125in"} D．{width="0.34375in" height="0.28125in"}
3.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为 [ ]{.underline} ．
4.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 *a* 的取值范围为 [ ]{.underline} ．
【答案与提示】
1.【答案】
【提示】即*ax*2≥1+ ln*x*，相切为下界值.设切点为（*x*~0~，1+ ln*x*~0~）
则有，解得，故有.
2.【答案】 C．
【提示】分离参数、分类讨论.当时，，而，故（当时，）；当时，，利用相切求得.
3.【答案】1
【解析】 遇含参问题能分离变量则分离. 函数有且只有个零点，意即与的图象只有一个交点，由于 与均过点，所以的零点为.
所以与在点处相切，
故与相等，所以.
4.【答案】
【提示】取对数转化为曲线与直线有交点，临界状态是相切.
**专题36 构造形求最值类问题**
**【方法点拨】**
> 一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：
>
> (1)表示两点间的距离或向量的模；
>
> (2)*k＝*表示过点(*a*，*b*)与(x，y)的直线的斜率；
>
> (3)*Ax*＋*By*与直线*Ax*＋*By*＋*C*＝0的截距有关；
>
> (4)*P*(cosθ，sinθ)表示单位圆*x*^2^＋*y*^2^＝1上的任意一点；
>
> (5)*a*^2^±*ab*＋*b*^2^与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数.
**【典型题示例】**
**例1** 已知，，，是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为
A． B．4 C． D．
【答案】*C*
【解析】已知，，，是椭圆上两个不同点，
则，设，，，，，，为坐标原点，
则，，
，且，
、两点均在圆的圆上，且，
为等边三角形且，
根据点到直线的距离公式，知
为、两点到直线的距离、之和．
设的中点为，到直线的距离，
则，
的最大值为，
，
的最大值为，
故选：．
**例2** 已知不等式(*m*－*n*)^2^＋(*m*－*ln*n＋λ)^2^≥2对任意*m*∈**R**，*n*∈(0，＋∞)恒成立，则实数*λ*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】\[1，＋∞)
【分析】由于条件"(*m*－*n*)^2^＋(*m*－ln*n*＋*λ*)^2^≥2"中平方和的特征，可联想到两点(*m*，*m*＋*λ*)，(*n*，ln*n*)的距离公式，而点(*m*，*m*＋*λ*)，(*n*，ln*n*)分别是直线*y*＝*x*＋*λ*和曲线*f*(*x*)＝ln*x*上动点，故可转化为直线*y*＝*x*＋*λ*和曲线*f*(*x*)＝ln*x*上点之间的距离大于等于.
【解析】条件"不等式(*m*－*n*)^2^＋(*m*－ln*n*＋*λ*)^2^≥2对任意*m*∈**R**，*n*∈(0，＋∞)恒成立"可看作"直线*y*＝*x*＋*λ*以及曲线*f*(*x*)＝ln*x*上点之间的距离恒大于等于"．
> 如图，当与直线*y*＝*x*＋*λ*平行的直线与曲线*f*(*x*)＝ln*x*相切时，两平行线间的距离最短，*f*′(*x*)＝＝1，故切点*A*(1,0)，此切点到直线*y*＝*x*＋*λ*的距离为≥，解得*λ*≥1或*λ*≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)．
{width="1.70625in" height="0.9340277777777778in"}
例3 若实数、、、满足，则的最小值为 [ ]{.underline} .
【答案】
【分析】由平方结构特点产生了结构联想：类似两点间的距离公式，
【解析】∵,
∴ 分别为两个函数的图象上任意一点.
> ，所以，所以过点且斜率为3的切线方程为：，
>
> 即:3*x*-*y*-2-2ln2=0,:*y*=3*x*-4
>
> 两直线的距离即为之距的最小值，即为，但是所求为距离的平方，所以结果为.
{width="2.5993055555555555in" height="2.0770833333333334in"}
点评：这种平方和结构从形的角度常想到两点的距离，从数的角度常想到基本不等式.
**例4** 设，其中，则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】的几何意义是：曲线上点与曲线上点的距离与点到轴的距离和再加2，而点到轴的距离利用抛物线的定义，可转化为点到抛物线（第一象限部分）的焦点*F*（1,0）的距离减去1，故所求即为*F*到曲线上点距离的最小值再加1，利用导数知识易求得.
**【巩固训练】**
1.已知，若实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知*a*－ln *b*＝0，*c*－*d*＝1，则(*a*－*c*)^2^＋(*b*－*d*)^2^的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D．2
3\. 已知对于一切*x，y*∈*R*，不等式恒成立，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
4.已知函数{width="1.5104166666666667in" height="0.71875in"}，若{width="0.4375in" height="0.14583333333333334in"}，且{width="0.9583333333333334in" height="0.28125in"}，则{width="0.40625in" height="0.15625in"}的最小值是\_\_\_\_\_.
5.若实数、、、满足，则的最小值为 [ ]{.underline} .
**6.**（多选题）已知，，记M＝，则（ ）
A．M的最小值为 B．当M最小时，
C．M的最小值为 D．当M最小时，
【答案与提示】
1.【答案】C
【解析】点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线上的点到曲线上点的距离最小值的平方，如下图所示：
{width="1.2708333333333333in" height="1.5458333333333334in"}
考查曲线平行于直线的切线，
，令，解得或（舍去），
所以，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离，
故的最小值为，故选：C．
2.【答案】C
【解析】设(*b*，*a*)是曲线*C*：*y*＝ln *x*上的点，(*d*，*c*)是直线*l*：*y*＝*x*＋1上的点，则(*a*－*c*)^2^＋(*b*－*d*)^2^可看成曲线*C*上的点到直线*l*上的点的距离的平方．对函数*y*＝ln *x*求导得*y*′＝，令*y*′＝1，得*x*＝1，则*y*＝0，所以曲线*C*上到直线*y*＝*x*＋1的距离最小的点为(1,0)，该点到直线*y*＝*x*＋1的距离为()＝.因此(*a*－*c*)^2^＋(*b*－*d*)^2^的最小值为()^2^＝2.故选C.
3.【答案】
【解析】将已知整理为
则左边的几何意义是动点与动点的距离平方.
{width="3.0833333333333335in" height="1.5416666666666667in"}4.
【答案】{width="0.6041666666666666in" height="0.1875in"}
【分析】根据几何意义，满足条件的点在曲线上，该点处切线与 平行.
【解析】设为曲线上一点，当该点处切线与平行时，满足题意.
令得满足题意，即
把代入得
把代入得，即
∴即为所求.
5.【答案】
【解析】∵,
设分别为双曲线与圆的任意一点
∴ 的几何意义就是两曲线上点的距离
∴的最小值即（1,1），两点间距离的平方，为.
6.【答案】AB
【分析】看到所求式子的结构特征，立即联想"距离公式"，运用"形"知M的几何意义，为函数{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，再使用导数知识，转化为与直线平行的切线间距离.
【解析】由{width="1.207638888888889in" height="0.21805555555555556in"}，得{width="0.9993055555555556in" height="0.21805555555555556in"}，
> {width="1.582638888888889in" height="0.2388888888888889in"}的最小值可转化为函数{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}得{width="0.5930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，
因为与直线平行的直线斜率为{width="0.24930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，
所以{width="0.6763888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，解得{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}，则切点坐标为{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}，
> 所以{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}到直线上的距离
>
> ，
>
> 即函数{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}上的点到直线上的点的距离最小值为，所以{width="1.2805555555555554in" height="0.2388888888888889in"}的最小值为，
>
> 又过{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}且与垂直的直线为{width="1.0722222222222222in" height="0.2076388888888889in"}，
>
> 即{width="1.176388888888889in" height="0.2076388888888889in"}，
联立，解得{width="0.4263888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，
即当{width="0.19722222222222222in" height="0.16597222222222222in"}最小时，．故选：AB．
**专题37 过曲线上一点的切线、切点弦**
**【方法点拨】**
1\. 已知为圆上的一点，则过点且与圆相切的直线方程是：；
2．已知为椭圆上的一点，则过点且与椭圆相切的直线方程是：；
3\. 已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：.
说明：上述公式的记忆方法均可用"抄一代一"，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，).
**【典型题示例】**
**例1** 过抛物线C：*x*^2^＝2*py*上点M作抛物线D：*y*^2^＝4*x*的两条切线*l*~1~，*l*~2~，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G(1，)，则*p*＝ [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析一】设，
则*l*~1~，*l*~2~的方程分别是，
由解得，，即
又因为△MPQ的重心为G(1，)
所以，解之得，故
将代入*x*^2^＝2*py得*.
【解析二】设
则*PQ*的方程为
由消*x*得
所以，（，）
又因为△MPQ的重心为G(1，)
所以，解之得，.
**例2** 已知斜率为*k*的直线*l*过抛物线*C*：*y*^2^＝2*px*（*p*＞0）的焦点，且与抛物线*C*交于*A*，*B*两点，抛物线*C*的准线上一点*M*（－1，－1）满足·＝0，则｜*AB*｜＝ （ ）
A． B． C．5 D．6
**【答案】**C
【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.
（二）将·＝0直接代入坐标形式，列出关于*A*，*B*中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于*A*，*B*中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，·＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单.
【解析一】易知*p*=2，*y*^2^＝4*x*
由阿基米德三角形得*AB*为切点弦
所以*AB*方程是－*y*＝2（*x*－1），即*y*＝－2 *x*＋2
代入*y*^2^＝4*x*消*y*得：*x*^2^－3*x*＋1=0
设*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~），则*x*~1~＋*x*~2~=3
∴，答案选C.
【解析二】易知*p*=2
设*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~），则*x*~1~*x*~2~=1，*y*~1~*y*~2~=－4，，
∵·＝0
∴，化简得
设*A*、*B*中点坐标为（*x*~0~，*y*~0~），则 ①
又由直线的斜率公式得，
∴，即 ②
由①、②解得
∴，答案选C.
**例3** 在平面直角坐标系 *xoy* 中， 已知圆*C* :(*x* − 2)^2^ + (*y* − 2)^2^ ＝ 20 与*x* 轴交于 *A* 、 *B*（点 *A*在点 *B*的左侧），圆*C* 的弦 *MN* 过点*T*(3，4)，分别过 *M*、*N* 作圆*C* 的切线，交点为 *P*，则线段 *AP* 的最小值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
{width="1.8666666666666667in" height="1.7236111111111112in"}
【分析】设出点*P坐标，根据切点弦求出*点*P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.*
【解析】设点*P坐标为*(*a，b* )
则切点弦*MN的方程为：*(*a* − 2) (*x* − 2) + (*b* − 2) (*y* − 2)＝ 20
又因为弦 *MN* 过点*T*(3，4)，
故(*a* − 2) (*3* − 2) + (*b* − 2) (*4* − 2)＝ 20，即*a* +2*b* − 26＝0
即点*P的轨迹方程是x* +2*y* − 26＝0
点*A（－2,0）到该直线的距离为*，
因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小
所以点*A（－2,0）到该直线的距离即为AP* 的最小值*.*
**例4** 如图，在平面直角坐标系中，直线与椭圆、圆都相切，切点分别是点、，则当线段长度最大时，圆的半径的值为 [ ]{.underline} ．
{width="1.9375in" height="1.4791666666666667in"}【答案】
【分析】先设出点坐标，写出直线的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出关于的目标函数，求出最值及取得最值时的值．
【解析】设点坐标为（）
则过点的椭圆的切线，即直线的方程为：，
> 即
又因为直线与圆相切，所以，且
在中，
> 而，当且仅当时，"="成立，此时，的最大值为1
>
> 所以当线段长度最大时，圆的半径的值为．
**\
**
**【巩固训练】**
**1.** 已知圆，直线，为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆*C*：，点*A*是轴上的一个动点，*AP*，
*AQ*分别切圆*C*于*P*，*Q*两点，则线段*PQ*长的取值范围为 [ ]{.underline} ．
3.若椭圆＋＝1的焦点在*x*轴上，过点作圆*x*^2^＋*y*^2^＝1的切线，切点分别为*A*，*B*，直线*AB*恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是\_[\_\_ \_ \_ \_]{.underline}\_.
4\. 已知为椭圆上的一个动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，到椭圆在点处的切线为，若，则=[ ]{.underline} ．
**5.** 已知点*P*在直线上，过点*P*作圆的两条切线，切点分别为*A*，*B*，则点到直线*AB*距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案与提示】
1.【答案】A
【解析】设
则直线AB的方程是，即
令，解得，所以直线AB过定点 .
2.【答案】
【提示】设*A*，则直线*PQ*的方程是，即
所以直线*PQ*过定点 .
则*PQ*长的最小值是过且平行于轴的弦，易得此时*PQ*，直径是其上界.
3.【答案】＋＝1
【提示】*AB*的方程是2*x*＋*y*－2＝0，令*x*=0，*y*＝2；令*y*=0，*x*＝1.故*c*＝2，*b*＝1.
4.【答案】
【提示】，切线方程：.
5.【答案】D
【解析】设，则直线*AB*的方程是，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线*AB*过定点*N*(1，1)，
点*M*到直线*AB*距离的最大值即为点*M*，*N*之间的距离，，
所以点*M*(3，2)到直线*AB*距离的最大值为.故选:D.
**专题38 与圆相关的张角问题**
**【方法点拨】**
1. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.
2. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.
**【典型题示例】**
例1 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大.所以若圆上存在点，使得，则.由和可知过且与圆相切的一条直线为，切点 ，所以在直角三角形中，，从而 .
例2 已知圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝1，动圆*M*：(*x*－*a*)^2^＋(*y*－*a*＋4)^2^＝1.若圆*M*上存在点*P*，过点*P*作圆*O*的两条切线，切点为*A*，*B*，使得∠*APB*＝60°，则实数*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由题意得圆心*M*(*a*，*a*－4)在直线*x*－*y*－4＝0上运动，所以动圆*M*是圆心在直线*x*－*y*－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆*M*上存在点*P*，过点*P*作圆*O*的两条切线，切点为*A*，*B*，使∠*APB*＝60°，所以*OP*＝2，即点*P*也在*x*^2^＋*y*^2^＝4上，于是2－1≤≤2＋1，即1≤≤3，解得2－≤*a*≤2＋，故实数*a*的取值范围是.
**例3** 已知圆*C*：．若直线*l*：上存在点*P*，过点*P*作圆*O*的两条切线，切点为*A*，*B*，使得，则*m*的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可求得，求出圆心到直线的距离，只要这个距离不大于即可得．
【解析】根据题意，圆*C*：的圆心为，半径，
过点*P*作圆*O*的两条切线，切点为*A*，*B*，连接，
若，则，又由，
则，
若直线*l*：上存在点*P*，满足，
则有*C*到直线*l*的距离，
解可得：，即*m*的取值范围为，
故选：D*．*
**【巩固训练】**
1.设点M（{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"},1），若在圆O:{width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}上存在点N，使得∠OMN=45°，则{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
2.已知圆{width="1.6666666666666667in" height="0.25in"}，直线{width="1.1770833333333333in" height="0.21875in"}为直线{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}上一点，若圆{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}上存在两点{width="0.34375in" height="0.21875in"}，使得{width="0.90625in" height="0.19791666666666666in"}，则点A的横坐标的取值范围是 [ ]{.underline} .
3\. 在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，圆{width="1.53125in" height="0.23958333333333334in"}．若圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}存在以{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为中点的弦{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="0.6770833333333334in" height="0.1875in"}，则实数{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围是 [ ]{.underline} ．
4.已知圆与圆，圆上至少存在一点，使得圆上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是*[ ]{.underline}. *
5\. 在平面直角坐标系*xOy*中，圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝1，圆*M*：(*x*＋*a*＋3)^2^＋(*y*－2*a*)^2^＝1(*a*为实数)．若圆*O*与圆*M*上分别存在点*P*，*Q*，使得∠*OQP*＝30°，则*a*的取值范围为 [ ]{.underline} ．
6.已知圆*C*：(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝4，线段*EF*在直线*l*：*y*＝*x*＋1上运动，点*P*为线段*EF*上任意一点，若圆*C*上存在两点*A*，*B*，使得·≤0，则线段*EF*长度的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
7\. 在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，已知直线{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴分别交于{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}两点，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} 在圆{width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}上运动．若{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}恒为锐角，则实数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案与提示】
1.【答案】 {width="0.42777777777777776in" height="0.2777777777777778in"}
【提示】由解得.
2.【答案】 \[1,5\]
【提示】设，由解得.
3.【答案】 {width="0.6645833333333333in" height="0.2604166666666667in"}
【提示】{width="0.6791666666666667in" height="0.18680555555555556in"}即，故只需
4.【答案】
> 【提示】易知{width="0.5951388888888889in" height="0.18472222222222223in"}，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.
5.【答案】\[－，0\]
【提示】【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将*Q*固定不动，则点*P*在圆*O*运动时，当*PQ*为圆*O*的切线时，∠*OQP*最大，故满足题意，需∠*OQP*≥30°，再将角的范围转化为*O、Q*间的距离问题，即需*OQ*≤2.再固定*P*不动，易得只需*OM*≤3即可，利用两点间距离公式(*a*＋3)^2^＋(2*a*)^2^≤9，解得－ ≤*a*≤ 0.
6.【答案】
【解析】由·≤0得∠*APB*≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠*APB*才是最大的角，不妨设切线为*PM*，*PN*，当∠*APB*≥90°时， ∠*MPN*≥90°，sin∠*MPC*＝≥sin 45°＝，所以*PC*≤2.另当过点*P*，*C*的直线与直线*l*：*y*＝*x*＋1垂直时，*PC*~min~＝，以*C*为圆心，*CP*＝2为半径作圆交直线*l*于*E*，*F*两点，这时的线段长即为线段*EF*长度的最大值，所以*EF*~max~＝2＝.
7.【答案】{width="1.4048611111111111in" height="0.24861111111111112in"}
【错解】考虑若{width="0.48541666666666666in" height="0.17916666666666667in"}为直角,则动圆与以{width="0.37569444444444444in" height="0.19652777777777777in"}为直径的圆相外切，故两圆相离时，满足题意，所以{width="1.2777777777777777in" height="0.30625in"}，解之得：{width="1.4569444444444444in" height="0.21944444444444444in"}.
【错因】当动圆在左侧时，此时，圆与已知直线{width="0.5722222222222222in" height="0.20833333333333334in"}相交，圆上存在点与{width="0.37569444444444444in" height="0.19652777777777777in"}两点连线构成的角为零角，需排除.还需动圆与直线{width="0.5722222222222222in" height="0.20833333333333334in"}相离.
**专题39 圆的弦被内（外）分成定比**
**【方法点拨】**
1.利用垂径定理通过二次解直角三角形求出弦长，进而求出"弦心距"，最后利用"点线距"列方程；
2.利用圆幂定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理)求出弦长，然后同上.
3\. （1）相交弦定理：如下左图，圆*O*的两条弦*AB*、*PC*相交于圆内一点*P*，则
（2）如下右图，*PT*为圆*O*的切线，*PAB*、*PCD*为割线，则：(1)（切割线定理）; (2) （割线定理).
说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.
{width="1.7527777777777778in" height="1.2097222222222221in"}{width="1.4986111111111111in" height="1.3in"}
**【典型题示例】**
例1 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 [ ]{.underline} ．
{width="1.7083333333333333in" height="1.78125in"}【答案】*y*＝*x*－1
【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在*x*轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用"爪"型结构,得,两边平方求得的余弦值.
【解法一】：易知直线*l*的斜率必存在，设直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)．
由＝2，设*BM*＝2*t*，*MA*＝*t*.
如图，过原点*O*作*OH*⊥*l*于点*H*，则*BH*＝.
设*OH*＝*d*，在Rt△*OBH*中，*d*^2^＋^2^＝*r*^2^＝5.
在Rt△*OMH*中，*d*^2^＋^2^＝*OM*^2^＝1，解得*d*^2^＝，
> 则*d*^2^＝＝，解得*k*＝1或*k*＝－1.
>
> 因为点A在第一象限， ＝2，由图知*k*＝1，
>
> 所以所求的直线*l*的方程为*y*＝*x*－1.
【解法二】由，设*BM*＝2*t*，*MA*＝*t*
又过点*M*的直径被*M*分成两段长为、
由相交弦定理得，解之得
> 过原点*O*作*OH*⊥*l*于点*H*，
>
> 在Rt△*OBH*中，*d*^2^＋^2^＝*r*^2^＝5，解得*d*^2^＝，（下同解法一，略）.
【解法三】设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则＝(1－*x*~2~，－*y*~2~)，＝(*x*~1~－1，*y*~1~)．
因为＝2，所以
当直线*AB*的斜率不存在时，＝，不符合题意．
当直线*AB*的斜率存在时，设直线*AB*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)，
联立得(1＋*k*^2^)*y*^2^＋2*ky*－4*k*^2^＝0，则
解得所以*y*~1~·*y*~2~＝＝，即*k*^2^＝1.又点*A*在第一象限，
所以*k*＝1，即直线*AB*的方程为*y*＝*x*－1.
【解法四】设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则＝(1－*x*~2~，－*y*~2~)，＝(*x*~1~－1，*y*~1~)．
> 因为＝2，所以即
>
> 又代入可得解得*x*~1~＝2，代入可得*y*~1~＝±1.又点*A*在第一象限，故*A*(2,1)，由点*A*和点*M*的坐标可得直线*AB*的方程为*y*＝*x*－1.
点评：
上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.
例2 已知圆*M*：，过轴上的点存在一直线与圆*M*相交，交点为*A*、*B*，且满足*PA*=*BA*，则点*P*的横坐标的取值范围为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解法一】取中点，连接、，
> 设，则 ，相减得， ∴，即
∴
【解法二】由圆幂定理得：
设，代人上式得：，即
∴
【解法三】（利用圆中最长弦为直径，得出*PA*范围，而*PA*的两个端点都在动，以静制动，然后再将*PA*范围转化为*PM*范围问题）
因为*PA*=*BA*，所以*PA*的最大值为2，故*PM*的最大值为4（下略）.
**【巩固训练】**
1\. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 [ ]{.underline} ．
2.在平面直角坐标系*xOy*中，**已知点**在圆*C*：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△*PBC*的面积是△*PAC*的面积的2倍，则实数*m*的取值范围为 [ ]{.underline} ．
> 3.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
4.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为 [ ]{.underline} .
【答案与提示】
1.【答案】
【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.
，
即，整理化简得.
过点作的垂线交于，
则，得.
又圆心到直线的距离，所以，.
【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想"三点共线".
由，即
得三点共线（其中是的中点），且，
设{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，
思路一：垂径定理后二次解三角形，，解之得.
思路二：相交弦定理，，解之得.
2.【答案】
【提示】由于△*PBC*与△*PAC*同高，故*PB*=2*PA*.
3.【答案】
【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.
4.【答案】
【提示】直接利用勾股定理转化.
**专题40 圆的"双切线"问题**
**【方法点拨】**
1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住"特征直角三角形"(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.
2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.
**【典型题示例】**
**例1 （2020·新课标Ⅰ·理科·11）**已知⊙*M*：，直线：，为上的动点，过点作⊙*M*的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．
> 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
**例2** {width="0.4027777777777778in" height="0.2916666666666667in"}在平面直角坐标系*xOy*中，已知直线*l*:*y*=*kx*+6上存在点*P*，过点*P*作圆*O*: *x*^2^+ *y*^2^=4的切线，切点分别为*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，且*x*~1~ *x*~2~+ *y*~1~*y*~2~=－2，则实数*k*的取值范围为 [ ]{.underline} .
**【答案】**(－∞，－\]∪\[，＋∞)
> {width="1.775in" height="2.2159722222222222in"}
**【分析】由***x*~1~ *x*~2~+ *y*~1~*y*~2~=－2的结构联想"数量积"的定义，"算两次"得∠*ACB*=120^0^，双切线问题利用对称性，转化为特征直角△*PAC*，易得∠*APC*=30^0^，*PC*=4，故当直线*l*:*y*=*kx*+6上的点*P* 只需满足*PC*=4即满足题意.而点*C*与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需*C*到直线的距离不大于4.
> **【解析】由***x*~1~ *x*~2~+ *y*~1~*y*~2~=－2得：
>
> ，则，
>
> 在△*PAC*，∠*APC*=30^0^，*PC*=4，
>
> 当直线*l*上的点 *P*满足*PC*=4即满足题意.
>
> 又因为点*C*与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需*C*到直线的距离不大于4.
>
> 由点到直线的距离公式得：，解之得
所以*k*的取值范围为(－∞，－\]∪\[，＋∞).
**例3** 过点作圆: 的切线,切点分别为,则 的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【分析】为了求出的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段长为"元".
> 设∠*APC*=θ，则，，
故
又点在直线，故即
所以
故 的最小值为.
{width="2.0166666666666666in" height="1.3444444444444446in"}
点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；
> （2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住"特征直角三角形"，向点与圆心的距离问题转化.
**例4** 已知圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝1，圆*M*：(*x*＋*a*＋3)^2^＋(*y*－2*a*)^2^＝1(*a*为实数)．若圆*O*与圆*M*上分别存在点*P*，*Q*，使得∠*OQP*＝30°，则*a*的取值范围为 [ ]{.underline} ．
【答案】\[－，0\]
【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将*Q*固定不动，则点*P*在圆*O*运动时，当*PQ*为圆*O*的切线时，∠*OQP*最大，故满足题意，需∠*OQP*≥30°，再将角的范围转化为*O、Q*间的距离问题，即需*OQ*≤2.再固定*P*不动，易得只需*OM*≤3即可，利用两点间距离公式(*a*＋3)^2^＋(2*a*)^2^≤9，解得－ ≤*a*≤ 0.
点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.
**例5** 平面直角坐标系*xOy*中，点*P*在*x*轴上，从点*P*向圆*C*~1~：*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝5引切线，切线长为*d*~1~，从点*P*向圆*C*~2~：(*x*－5)^2^＋(*y*＋4)^2^＝7引切线，切线长为*d*~2~，则*d*~1~＋*d*~2~的最小值为\_\_\_\_\_．
【答案】5
【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题.
【解析】设点*P*(*x*，0)，则
> *d*~1~＝，*d*~2~＝，*d*~1~＋*d*~2~＝＋，
>
> 几何意义：点*P*(*x*，0)到点*M*(0，2)，*N*(5，－3)的距离和．
>
> 当*M*，*P*，*N*三点共线时，*d*~1~＋*d*~2~有最小值5，此时*P*(2，0).
**【巩固训练】**
1.在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆*C*：*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝2，点*A*是*x*轴上的一个动点，*AP*，*AQ*分别切圆*C*于*P*，*Q*两点，则线段*PQ*的长的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
2.已知圆*M*：(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝4，直线*l*：*x*＋*y*－6＝0，*A*为直线*l*上一点．若圆*M*上存在两点B，*C*，使得∠*BAC*＝60°，则点*A*横坐标的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
3.已知椭圆*C*~1~：（*a*＞*b*＞0）与圆*C*~2~：，若在椭圆*C*~1~上不存在点*P*，使得由点*P*所作的圆*C*~2~的两条切线互相垂直，则椭圆*C*~1~的离心率的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_
4.在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆*O*: *x*^2^+ *y*^2^= *r*^2^ (*r*＞0) 与圆*C*: (*x*－6)^2^+ (*y*－8)^2^=4，过圆*O*上任意一点*P*作圆*C*的切线，切点分别为*A*，*B*，，则实数*r*的取值范围为 [ ]{.underline} .
5.在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆C：，若对于直线 上的任意一点P，在圆C上总存在Q使∠PQC＝，则实数*m*的取值范围为 [ ]{.underline} ．
6.在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝1，直线*l*：*x*＋*ay*－3＝0(*a*\>0)，过直线*l*上一点*P*作圆*O*的两条切线，切点分别为*M*，*N*.若·＝，则正实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
7\. 过直线*l*：*y*＝*x*－2上任意一点*P*作圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^＝1的两条切线，切点分别为*A*，*B*，当切线最短时，△*PAB*的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
8\. 已知圆*C*：(*x*－1)^2^＋(*y*－4)^2^＝10上存在两点*A*，*B*，*P*为直线*x*＝5上的一个动点．且满足*AP*⊥*BP*，那么点*P*的纵坐标的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案与提示】
1.【答案】 \[,2)
【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化.
2．【答案】\[1，5\]
【提示】∠*BAC*最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.
3.【答案】
{width="1.5597222222222222in" height="1.398611111111111in"}【分析】如图，设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.
【解析】
如图，设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，
可知，
又因为在椭圆*C*~1~上不存在点*P*，使得由点*P*所作的圆*C*~2~的两条切线互相垂直，
所以，即得，所以，
所以椭圆*C*~1~的离心率，
又，所以.
> 4.【答案】
5.【答案】
> 6.【答案】\[，+∞\]
【解析】如下图，设∠*MPO*＝*α*，由切线的性质知∠*NPO*＝*α*，*PM*＝*PN*，
则·＝\|\|·\|\|·cos 2*α*＝\|\|^2^(1－2sin ^2^*α*)＝，
即(*PO*^2^－1)＝，解得*PO*＝，故点*P*的轨迹为*x*^2^＋*y*^2^＝3.
因为点*P*在直线*l*：*x*＋*ay*－3＝0(*a*\>0)上，
{width="1.8625in" height="1.3868055555555556in"}所以直线*l*与圆*x*^2^＋*y*^2^＝3有交点，即圆心到直线*l*的距离为*d*＝≤，解得*a*≥.
> 7.【答案】$\frac{1}{2}$
8.【答案】\[2,6\]
| 1 | |
**搭一搭（二）同步练习**
> 一、数学小天地。
>
> 数一数，下列图形都是由多少个小正方形搭成的。
>
> \[来源:Z,xx,k.Com\]
>
> 二、将下面所看到的图形试着画在下面的方格里。
>
> 
>
> 正面 上面 右面
>
> 三、解答下列各题。
>
> 有36个苹果
>
> （1）如果每4个苹果放一盘，一共可以放多少盘？
>
> （2）如果每6个苹果放一盘，一共可以放多少盘？
>
> \[来源:Z\_xx\_k.Com\]
>
> （3）如果每9个苹果放一盘，一共可以放多少盘？
>
> （4）想一想你从中发现了什么？
四、搭一搭，看一看。找出从正面、上面、侧面分别看到的形状(正面画" "、上面画" "、侧面画" ")。
（1）
⑵
（3）
（4）
> **参考答案：\[来源:Zxxk.Com\]**
>
> 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
>
> 一、数学小天地。
>
> \[来源:学科网\]
>
> （9） （4 ） （5 ） （6）
二、将下面所看到的图形试着画在下面的方格里。
> 正面 上面 右面
>
> 三、解答下列各题。
>
> （1）9
>
> （2）6
>
> （3）4
>
> （4）略
>
> 四、搭一搭，看一看。找出从正面、上面、侧面分别看到的形状(正面画" "、上面画" "、侧面画" ")。
1. 正面画 上面画 侧面画
2. 上面画 正面画 侧面画
3. 上面画 侧面画 正面画
4. 正面画 侧面画 上面画
>
\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
| 1 | |
**进阶求和5作业**
1、将1到200的自然数，分成A、B、C三组：
A组：1 6 7 12 13 18......
B组：2 5 8 11 14 17......
C组：3 4 9 10 15 16......
根据分组的规律，请回答：
（1）B组中一共有（ ）个自然数；
（2）A组中第24个数是（ ）；
（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。
2、自然数如右图排列：
①第一行中自左至右第8个数是几？
②自上至下第10行中第8个数是几？
3、把自然数如右图排列，
①第10行正中的数是哪个？
②1999在第几行左起第几个数？
| 1 | |
**浙江省2020年初中学业水平考试（衢州卷）**
**数学试题卷**
**参考公式：**
**二次函数的图象经过的顶点坐标是（）.**
卷I
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）**
1.比0小1的数是（ ）
A.0 B.-1 C.1 D.±1
【答案】B
【解析】比0小的数是负数，故选B。
2.下列几何图形中，俯视图是圆的几何体是（ ）
【答案】A
【解析】A的俯视图是圆，B的俯视图是正方形，C的俯视图是长方形，D的俯视图是长方形，故选A。
3.计算，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】幂指数运算，底数不变指数相乘，，故选B。
4.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字"II"所示区域内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】"II"所对应的圆心角是120°，所以120°÷360°=
5.要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】D
【解析】因为二次根式要有意义，则x-3≥0，即x≥3，故选D。
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
【答案】C
【解析】解得：x≤1；解得：x＞-1，故选C.
7.某厂家2020年1\~5月份的口罩生产统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩生产的平均余额增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据统计图可知2月份是180（万只），4月份是461（万只），2\~4月份的月增长率为x，故可列方程为，即选B.
8.过直线外一点P作直线的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
【答案】D
【解析】还需要用圆规量取MP的长度，然后以N为圆心MP为半径画弧.
9.二次函数的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是 （ ）
A.向左平移2个单位，向下平移2个单位
B.向左平移1个单位，向上平移2个单位
C.向右平移1个单位，向下平移1个单位
D.向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【解析】可以利用排除法，A选项平移后的解析式为，把（2,0）代入显然不成立，所以A是错误的；B选项平移后为，把（2,0）代入显然不成立，所以B是错误的；C选项平移后为，把（2,0）代入显然成立，所以C是正确的；D选项平移后的解析式为，把（2,0）代入显然不成立，所以D是错误的；故选C.
10.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1,则AB的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由折叠可知BF+EF=BC=1，又∵BE=BF，∴可设BE=BF=x,则EF=1-X，由勾股定理得：，
解得:,所以AB=BC+BE=.故选A
**卷II**
**二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）**
11.一元一次方程2x+1=3的解是x= [ ]{.underline} .
【答案】1
【解析】2x+1=3解得x=1
12.定义，例如，则的结果是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】根据运算定义可知=
13.某班五个兴趣小组的人数分别为4,4,5，x，6.已知这组数据的平均数为5，则这组数据的中位数是 [ ]{.underline} .
【答案】5
【解析】因为平均数为5，所以4+4+5+x+6=5×5，则x=6，所以中位数为5.【中位数数按大小顺序排列，排在中间的那个数（或中间两个数的平均数）是中位数】
14.小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的"行礼图"，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为 [ ]{.underline} dm.
【答案】
【解析】因为正方形ABCD的边长为4dm，所以②的高为2，④和⑥的高加一起也是2，⑦的高由勾股定理可得，所以h=dm.
15如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于M点，反比例函数的图象恰好经过点F,M.若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k= [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】过M作MH⊥AF于点H，∵CD=3，∠AFM=30°，所以FH=3，∴AH=，设F（x,）,则M（x+3,）代入解得k=.
16.图1是七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知O、P两点固定，连杆PA=PC=140cm,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm，O,P两点间距与OQ长度相等.当OQ绕点O旋转时，点A,B,C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动.当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P,Q,A,B在同一直线上（如图3）
（1）点P到MN的距离为 [ ]{.underline} cm；
（2）当点P,O,A在同一直线上时，点Q到MN的距离为 [ ]{.underline} cm.
【答案】（1）160；（2）
【解析】（1）过P作PH⊥MN，∵PO=OQ，∴PO=50cm，∵OQ∥MN，∴，所以PH=160cm。即P到MN距离为160cm.
（2）过Q作QG⊥AP于G点，当POA在同一直线上，则OA=90cm，A到MN的距离=160-140=20cm，设OG=x,则AG=90-x，由勾股定理得：,∴解得：x=，Q到MN的距离=90-+20=.
**三、解答题（本大题有8小题，第17\~19小题每小题6分，第20\~21题每小题8分，第22\~23题每小题10分，第24题12分，共66分，请务必写出解答过程）**
17.（本题满分6分）
计算：
【答案】1
【解析】
18.（本小题6分）
先化简，再求值：，其中a=3.
【答案】
【解析】
19.（本题满分6分）
如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上；
1. 在图1中画出一个以AB为边的平行四边形ABDE，使顶点D,E在格点上.
2. 在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线（至少经过两个格点）.
【答案和解析】
20.（本题8分）
某市在九年级"线上教学"结束后，为了了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检查.根据检查结果，制作下面不完整的统计图表.
1. 求组别C的频数m的值.
2. 求组别A的圆心角度数.
3. 如果势视力值4.8及以上属于"视力良好"，请估计该市25000名九年级学生达到"视力良好"的人数，根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？
【答案和解析】
21.（本题10分）
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10,AC=6.连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F,其中点E是AD的中点.
1. 求证：∠CAD=∠CBA.
2. 求OE的长.
【答案和解析】
22.（本题满分10分）
2020年5月16日，"钱塘江诗路"航道全线开通.一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示，当游轮达到建德境内的"七里扬帆"景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州.已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t(h),两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于时间t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）.
1. 写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在"七里扬帆"停靠时长；
2. 若货轮比游轮早36分钟达到衢州，问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
【答案和解析】
23.（本题满分10分）
**小明尝试用"观察-猜想-验证-应用"的方法进行探究，请你一起来解决问题.**
（1）小明利用"几何画板"软件进行观察，测量，得到随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你再图2中连线，观察图象特征并猜想与m可能满足的函数类别.
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出关于m的函数表达式以及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值.
3. 小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值.
【答案和解析】
24.（本题满分12分）
**【性质探究】**
如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F,G.
1. 判断△AFG的形状并说明理由；
2. 求证：BF=2OG.
**【迁移应用】**
（3）记△DGO的面积为，△DBF的面积为，当时，求的值.
**【拓展延伸】**
（4）若DF交射线AB于点F，**【性质探究】**中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.
【答案和解析】
| 1 | |
**2019年湖北省黄石市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（3分）（2019•黄石）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.5 C． D．
2．（3分）（2019•黄石）国际行星命名委员会将紫金山天文台于2007年9月11日发现的编号为171448的小行星命名为"谷超豪星"，则171448用科学记数法可表示为（ ）
A．0.171448×10^6^ B．1.71448×10^5^
C．0.171448×10^5^ D．1.71448×10^6^
3．（3分）（2019•黄石）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•黄石）如图，该正方体的俯视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•黄石）化简（9*x*﹣3）﹣2（*x*+1）的结果是（ ）
A．2*x*﹣2 B．*x*+1 C．5*x*+3 D．*x*﹣3
6．（3分）（2019•黄石）若式子在实数范围内有意义，则*x*的取值范围是（ ）
A．*x*≥1且*x*≠2 B．*x*≤1 C．*x*＞1且*x*≠2 D．*x*＜1
7．（3分）（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形*ABCD*的边*AB*在*x*轴上，*AB*边的中点是坐标原点*O*，将正方形绕点*C*按逆时针方向旋转90°后，点*B*的对应点*B*\'的坐标是（ ）
> 
A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（3，2） D．（﹣1，0）
8．（3分）（2019•黄石）如图，在△*ABC*中，∠*B*＝50°，*CD*⊥*AB*于点*D*，∠*BCD*和∠*BDC*的角平分线相交于点*E*，*F*为边*AC*的中点，*CD*＝*CF*，则∠*ACD*+∠*CED*＝（ ）
> 
A．125° B．145° C．175° D．190°
9．（3分）（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，点*B*在第一象限，*BA*⊥*x*轴于点*A*，反比例函数*y*＝（*x*＞0）的图象与线段*AB*相交于点*C*，且*C*是线段*AB*的中点，点*C*关于直线*y*＝*x*的对称点*C*\'的坐标为（1，*n*）（*n*≠1），若△*OAB*的面积为3，则*k*的值为（ ）
> 
A． B．1 C．2 D．3
10．（3分）（2019•黄石）如图，矩形*ABCD*中，*AC*与*BD*相交于点*E*，*AD*：*AB*＝：1，将△*ABD*沿*BD*折叠，点*A*的对应点为*F*，连接*AF*交*BC*于点*G*，且*BG*＝2，在*AD*边上有一点*H*，使得*BH*+*EH*的值最小，此时＝（ ）
> 
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•黄石）分解因式：*x*^2^*y*^2^﹣4*x*^2^＝[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•黄石）分式方程：﹣＝1的解为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•黄石）如图，一轮船在*M*处观测灯塔*P*位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达*N*处，再观测灯塔*P*位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔*P*最近的位置*T*处，此时轮船与灯塔之间的距离*PT*为[ ]{.underline}海里（结果保留根号）．
> 
14．（3分）（2019•黄石）根据下列统计图，回答问题：
> 
>
> 该超市10月份的水果类销售额[ ]{.underline}11月份的水果类销售额（请从"＞""＝""＜"中选一个填空）．
15．（3分）（2019•黄石）如图，Rt△*ABC*中，∠*A*＝90°，*CD*平分∠*ACB*交*AB*于点*D*，*O*是*BC*上一点，经过*C*、*D*两点的⊙*O*分别交*AC*、*BC*于点*E*、*F*，*AD*＝，∠*ADC*＝60°，则劣弧的长为[ ]{.underline}．
> 
16．（3分）（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（7分）（2019•黄石）计算：（2019﹣π）^0^+\|﹣1\|﹣2sin45°+（）^﹣1^．
18．（7分）（2019•黄石）先化简，再求值：（+*x*﹣2）÷，其中\|*x*\|＝2．
19．（7分）（2019•黄石）若点*P*的坐标为（，2*x*﹣9），其中*x*满足不等式组，求点*P*所在的象限．
20．（7分）（2019•黄石）已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣6*x*+（4*m*+1）＝0有实数根．
> （1）求*m*的取值范围；
>
> （2）若该方程的两个实数根为*x*~1~、*x*~2~，且\|*x*~1~﹣*x*~2~\|＝4，求*m*的值．
21．（8分）（2019•黄石）如图，在△*ABC*中，∠*BAC*＝90°，*E*为边*BC*上的点，且*AB*＝*AE*，*D*为线段*BE*的中点，过点*E*作*EF*⊥*AE*，过点*A*作*AF*∥*BC*，且*AF*、*EF*相交于点*F*．
> （1）求证：∠*C*＝∠*BAD*；
>
> （2）求证：*AC*＝*EF*．
>
> 
22．（8分）（2019•黄石）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为*m*，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为*n*，组成一数对（*m*，*n*）．
> （1）请写出（*m*，*n*）所有可能出现的结果；
>
> （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
23．（8分）（2019•黄石）"今有善行者行一百步，不善行者行六十步．"（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
> （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
>
> （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
24．（10分）（2019•黄石）如图，*AB*是⊙*O*的直径，点*D*在*AB*的延长线上，*C*、*E*是⊙*O*上的两点，*CE*＝*CB*，∠*BCD*＝∠*CAE*，延长*AE*交*BC*的延长线于点*F*．
> （1）求证：*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）求证：*CE*＝*CF*；
>
> （3）若*BD*＝1，*CD*＝，求弦*AC*的长．
>
> 
25．（10分）（2019•黄石）如图，已知抛物线*y*＝*x*^2^+*bx*+*c*经过点*A*（﹣1，0）、*B*（5，0）．
> （1）求抛物线的解析式，并写出顶点*M*的坐标；
>
> （2）若点*C*在抛物线上，且点*C*的横坐标为8，求四边形*AMBC*的面积；
>
> （3）定点*D*（0，*m*）在*y*轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点*P*在新的抛物线上运动，求定点*D*与动点*P*之间距离的最小值*d*（用含*m*的代数式表示）
>
> 
**2019年湖北省黄石市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（3分）（2019•黄石）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.5 C． D．
> 【考点】算术平方根；实数大小比较．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．
>
> 【解答】解：∵\|﹣3\|＝3，\|﹣0.5\|＝0.5，\|\|＝，\|\|＝且0.5＜＜＜3，
>
> ∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．
>
> 故选：*A*．
2．（3分）（2019•黄石）国际行星命名委员会将紫金山天文台于2007年9月11日发现的编号为171448的小行星命名为"谷超豪星"，则171448用科学记数法可表示为（ ）
A．0.171448×10^6^ B．1.71448×10^5^
C．0.171448×10^5^ D．1.71448×10^6^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：将7760000用科学记数法表示为：1.71448×10^5^．
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•黄石）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
> 【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
>
> 【解答】解：*A*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *B*、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *C*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *D*、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
>
> 故选：*D*．
4．（3分）（2019•黄石）如图，该正方体的俯视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
> 【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断正方体的俯视图．
>
> 【解答】解：正方体的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形都是正方形，
>
> 故选：*A*．
5．（3分）（2019•黄石）化简（9*x*﹣3）﹣2（*x*+1）的结果是（ ）
A．2*x*﹣2 B．*x*+1 C．5*x*+3 D．*x*﹣3
> 【考点】44：整式的加减．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式去括号合并即可得到结果．
>
> 【解答】解：原式＝3*x*﹣1﹣2*x*﹣2＝*x*﹣3，
>
> 故选：*D*．
6．（3分）（2019•黄石）若式子在实数范围内有意义，则*x*的取值范围是（ ）
A．*x*≥1且*x*≠2 B．*x*≤1 C．*x*＞1且*x*≠2 D．*x*＜1
> 【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
>
> 【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．
>
> 【解答】解：依题意，得
>
> *x*﹣1≥0且*x*﹣2≠0，
>
> 解得*x*≥1且*x*≠2．
>
> 故选：*A*．
7．（3分）（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形*ABCD*的边*AB*在*x*轴上，*AB*边的中点是坐标原点*O*，将正方形绕点*C*按逆时针方向旋转90°后，点*B*的对应点*B*\'的坐标是（ ）
> 
A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（3，2） D．（﹣1，0）
> 【考点】LE：正方形的性质；R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据旋转可得：*CB*\'＝*CB*＝2，∠*BCB*\'＝90°，可得*B*\'的坐标．
>
> 【解答】解：如图所示，
>
> 
>
> 由旋转得：*CB*\'＝*CB*＝2，∠*BCB*\'＝90°，
>
> ∵四边形*ABCD*是正方形，且*O*是*AB*的中点，
>
> ∴*OB*＝1，
>
> ∴*B*\'（2+1，2），即*B*\'（3，2），
>
> 故选：*C*．
8．（3分）（2019•黄石）如图，在△*ABC*中，∠*B*＝50°，*CD*⊥*AB*于点*D*，∠*BCD*和∠*BDC*的角平分线相交于点*E*，*F*为边*AC*的中点，*CD*＝*CF*，则∠*ACD*+∠*CED*＝（ ）
> 
A．125° B．145° C．175° D．190°
> 【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△*CDF*是等边三角形，进而得到∠*ACD*＝60°，根据∠*BCD*和∠*BDC*的角平分线相交于点*E*，即可得出∠*CED*＝115°，即可得到∠*ACD*+∠*CED*＝60°+115°＝175°．
>
> 【解答】解：∵*CD*⊥*AB*，*F*为边*AC*的中点，
>
> ∴*DF*＝*AC*＝*CF*，
>
> 又∵*CD*＝*CF*，
>
> ∴*CD*＝*DF*＝*CF*，
>
> ∴△*CDF*是等边三角形，
>
> ∴∠*ACD*＝60°，
>
> ∵∠*B*＝50°，
>
> ∴∠*BCD*+∠*BDC*＝130°，
>
> ∵∠*BCD*和∠*BDC*的角平分线相交于点*E*，
>
> ∴∠*DCE*+∠*CDE*＝65°，
>
> ∴∠*CED*＝115°，
>
> ∴∠*ACD*+∠*CED*＝60°+115°＝175°，
>
> 故选：*C*．
>
> 
9．（3分）（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，点*B*在第一象限，*BA*⊥*x*轴于点*A*，反比例函数*y*＝（*x*＞0）的图象与线段*AB*相交于点*C*，且*C*是线段*AB*的中点，点*C*关于直线*y*＝*x*的对称点*C*\'的坐标为（1，*n*）（*n*≠1），若△*OAB*的面积为3，则*k*的值为（ ）
> 
A． B．1 C．2 D．3
> 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据对称性求出*C*点坐标，进而得*OA*与*AB*的长度，再根据已知三角形的面积列出*n*的方程求得*n*，进而用待定系数法求得*k*．
>
> 【解答】解：∵点*C*关于直线*y*＝*x*的对称点*C*\'的坐标为（1，*n*）（*n*≠1），
>
> ∴*C*（*n*，1），
>
> ∴*OA*＝*n*，*AC*＝1，
>
> ∴*AB*＝2*AC*＝2，
>
> ∵△*OAB*的面积为3，
>
> ∴，
>
> 解得，*n*＝3，
>
> ∴*C*（3，1），
>
> ∴*k*＝3×1＝3．
>
> 故选：*D*．
10．（3分）（2019•黄石）如图，矩形*ABCD*中，*AC*与*BD*相交于点*E*，*AD*：*AB*＝：1，将△*ABD*沿*BD*折叠，点*A*的对应点为*F*，连接*AF*交*BC*于点*G*，且*BG*＝2，在*AD*边上有一点*H*，使得*BH*+*EH*的值最小，此时＝（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【考点】LB：矩形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
>
> 【分析】设*BD*与*AF*交于点*M*．设*AB*＝*a*，*AD*＝*a*，根据矩形的性质可得△*ABE*、△*CDE*都是等边三角形，利用折叠的性质得到*BM*垂直平分*AF*，*BF*＝*AB*＝*a*，*DF*＝*DA*＝*a*．解直角△*BGM*，求出*BM*，再表示*DM*，由△*ADM*∽△*GBM*，求出*a*＝2，再证明*CF*＝*CD*＝2．作*B*点关于*AD*的对称点*B*′，连接*B*′*E*，设*B*′*E*与*AD*交于点*H*，则此时*BH*+*EH*＝*B*′*E*，值最小．建立平面直角坐标系，得出*B*（3，2），*B*′（3，﹣2），*E*（0，），利用待定系数法求出直线*B*′*E*的解析式，得到*H*（1，0），然后利用两点间的距离公式求出*BH*＝4，进而求出＝＝．
>
> 【解答】解：如图，设*BD*与*AF*交于点*M*．设*AB*＝*a*，*AD*＝*a*，
>
> ∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴∠*DAB*＝90°，tan∠*ABD*＝＝，
>
> ∴*BD*＝*AC*＝＝2*a*，∠*ABD*＝60°，
>
> ∴△*ABE*、△*CDE*都是等边三角形，
>
> ∴*BE*＝*DE*＝*AE*＝*CE*＝*AB*＝*CD*＝*a*．
>
> ∵将△*ABD*沿*BD*折叠，点*A*的对应点为*F*，
>
> ∴*BM*垂直平分*AF*，*BF*＝*AB*＝*a*，*DF*＝*DA*＝*a*．
>
> 在△*BGM*中，∵∠*BMG*＝90°，∠*GBM*＝30°，*BG*＝2，
>
> ∴*GM*＝*BG*＝1，*BM*＝*GM*＝，
>
> ∴*DM*＝*BD*﹣*BM*＝2*a*﹣．
>
> ∵矩形*ABCD*中，*BC*∥*AD*，
>
> ∴△*ADM*∽△*GBM*，
>
> ∴＝，即＝，
>
> ∴*a*＝2，
>
> ∴*BE*＝*DE*＝*AE*＝*CE*＝*AB*＝*CD*＝2，*AD*＝*BC*＝6，*BD*＝*AC*＝4．
>
> 易证∠*BAF*＝∠*FAC*＝∠*CAD*＝∠*ADB*＝∠*BDF*＝∠*CDF*＝30°，
>
> ∴△*ADF*是等边三角形，
>
> ∵*AC*平分∠*DAF*，
>
> ∴*AC*垂直平分*DF*，
>
> ∴*CF*＝*CD*＝2．
>
> 作*B*点关于*AD*的对称点*B*′，连接*B*′*E*，设*B*′*E*与*AD*交于点*H*，则此时*BH*+*EH*＝*B*′*E*，值最小．
>
> 如图，建立平面直角坐标系，则*A*（3，0），*B*（3，2），*B*′（3，﹣2），*E*（0，），
>
> 易求直线*B*′*E*的解析式为*y*＝﹣*x*+，
>
> ∴*H*（1，0），
>
> ∴*BH*＝＝4，
>
> ∴＝＝．
>
> 故选：*B*．
>
> 
>
> 
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•黄石）分解因式：*x*^2^*y*^2^﹣4*x*^2^＝[ *x*^2^（*y*+2）（*y*﹣2） ]{.underline}．
> 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
>
> 【解答】解：原式＝*x*^2^（*y*^2^﹣4）＝*x*^2^（*y*+2）（*y*﹣2），
>
> 故答案为：*x*^2^（*y*+2）（*y*﹣2）
12．（3分）（2019•黄石）分式方程：﹣＝1的解为[ *x*＝﹣1 ]{.underline}．
> 【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到*x*的值，经检验即可得到分式方程的解．
>
> 【解答】解：去分母得：4﹣*x*＝*x*^2^﹣4*x*，即*x*^2^﹣3*x*﹣4＝0，
>
> 解得：*x*＝4或*x*＝﹣1，
>
> 经检验*x*＝4是增根，分式方程的解为*x*＝﹣1，
>
> 故答案为：*x*＝﹣1
13．（3分）（2019•黄石）如图，一轮船在*M*处观测灯塔*P*位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达*N*处，再观测灯塔*P*位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔*P*最近的位置*T*处，此时轮船与灯塔之间的距离*PT*为[ 15]{.underline}[ ]{.underline}海里（结果保留根号）．
> 
>
> 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据"若该轮船继续向南航行至灯塔*P*最近的位置*T*处，此时轮船与灯塔之间的距离为*PT*"，得*PT*⊥*MN*，利用锐角三角函数关系进行求解即可
>
> 【解答】解：由题意得，*MN*＝15×2＝30海里，
>
> ∵∠*PMN*＝30°，∠*PNT*＝60°，
>
> ∴∠*MPN*＝∠*PMN*＝30°，
>
> ∴*PN*＝*MN*＝30海里，
>
> ∴*PT*＝*PN*•sin∠*PNT*＝15海里．
>
> 故答案为：15．
14．（3分）（2019•黄石）根据下列统计图，回答问题：
> 
>
> 该超市10月份的水果类销售额[ ＞ ]{.underline}11月份的水果类销售额（请从"＞""＝""＜"中选一个填空）．
>
> 【考点】VC：条形统计图；VD：折线统计图．菁优网版权所有
>
> 【分析】10月份的水果类销售额60×20%＝12（万元），11月份的水果类销售额70×15%＝10.5（万元），所以10月份的水果类销售额＞11月份的水果类销售额．
>
> 【解答】解：10月份的水果类销售额60×20%＝12（万元），
>
> 11月份的水果类销售额70×15%＝10.5（万元），
>
> 所以10月份的水果类销售额＞11月份的水果类销售额，
>
> 故答案为＞．
15．（3分）（2019•黄石）如图，Rt△*ABC*中，∠*A*＝90°，*CD*平分∠*ACB*交*AB*于点*D*，*O*是*BC*上一点，经过*C*、*D*两点的⊙*O*分别交*AC*、*BC*于点*E*、*F*，*AD*＝，∠*ADC*＝60°，则劣弧的长为[ ]{.underline}[π ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】KF：角平分线的性质；M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】连接*DF*，*OD*，根据圆周角定理得到∠*ADF*＝90°，根据三角形的内角和得到∠*AOD*＝120°，根据三角函数的定义得到*CF*＝＝4，根据弧长个公式即可得到结论．
>
> 【解答】解：连接*DF*，*OD*，
>
> ∵*CF*是⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*CDF*＝90°，
>
> ∵∠*ADC*＝60°，∠*A*＝90°，
>
> ∴∠*ACD*＝30°，
>
> ∵*CD*平分∠*ACB*交*AB*于点*D*，
>
> ∴∠*DCF*＝30°，
>
> ∵*OC*＝*OD*，
>
> ∴∠*OCD*＝∠*ODC*＝30°，
>
> ∴∠*COD*＝120°，
>
> 在Rt△*CAD*中，*CD*＝2*AD*＝2，
>
> 在Rt△*FCD*中，*CF*＝＝＝4，
>
> ∴⊙*O*的半径＝2，
>
> ∴劣弧的长＝＝π，
>
> 故答案为π．
16．（3分）（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是[ 625 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
>
> 【解答】解：由图可得，
>
> 第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，...，则前20行的数字有：1+2+3+...+19+20＝210个数，
>
> ∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
>
> ∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
>
> 故答案为：625．
**三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（7分）（2019•黄石）计算：（2019﹣π）^0^+\|﹣1\|﹣2sin45°+（）^﹣1^．
> 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
>
> 【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×+3＝3．
18．（7分）（2019•黄石）先化简，再求值：（+*x*﹣2）÷，其中\|*x*\|＝2．
> 【考点】15：绝对值；6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
>
> 【解答】解：原式＝÷
>
> ＝•
>
> ＝，
>
> ∵\|*x*\|＝2时，
>
> ∴*x*＝±2，
>
> 由分式有意义的条件可知：*x*＝2，
>
> ∴原式＝3．
19．（7分）（2019•黄石）若点*P*的坐标为（，2*x*﹣9），其中*x*满足不等式组，求点*P*所在的象限．
> 【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．菁优网版权所有
>
> 【分析】先求出不等式组的解集，进而求得*P*点的坐标，即可求得点*P*所在的象限．
>
> 【解答】解：，
>
> 解①得：*x*≥4，
>
> 解②得：*x*≤4，
>
> 则不等式组的解是：*x*＝4，
>
> ∵＝1，2*x*﹣9＝﹣1，
>
> ∴点*P*的坐标为（1，﹣1），
>
> ∴点*P*在的第四象限．
20．（7分）（2019•黄石）已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣6*x*+（4*m*+1）＝0有实数根．
> （1）求*m*的取值范围；
>
> （2）若该方程的两个实数根为*x*~1~、*x*~2~，且\|*x*~1~﹣*x*~2~\|＝4，求*m*的值．
>
> 【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于*m*的一元一次不等式，解之即可得出*m*的取值范围；
>
> （2）由根与系数的关系可得出*x*~1~+*x*~2~＝6，*x*~1~*x*~2~＝4*m*+1，结合\|*x*~1~﹣*x*~2~\|＝4可得出关于*m*的一元一次方程，解之即可得出*m*的值．
>
> 【解答】解：（1）∵关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣6*x*+（4*m*+1）＝0有实数根，
>
> ∴△＝（﹣6）^2^﹣4×1×（4*m*+1）≥0，
>
> 解得：*m*≤2．
>
> （2）∵方程*x*^2^﹣6*x*+（4*m*+1）＝0的两个实数根为*x*~1~、*x*~2~，
>
> ∴*x*~1~+*x*~2~＝6，*x*~1~*x*~2~＝4*m*+1，
>
> ∴（*x*~1~﹣*x*~2~）^2^＝（*x*~1~+*x*~2~）^2^﹣4*x*~1~*x*~2~＝4^2^，即32﹣16*m*＝16，
>
> 解得：*m*＝1．
21．（8分）（2019•黄石）如图，在△*ABC*中，∠*BAC*＝90°，*E*为边*BC*上的点，且*AB*＝*AE*，*D*为线段*BE*的中点，过点*E*作*EF*⊥*AE*，过点*A*作*AF*∥*BC*，且*AF*、*EF*相交于点*F*．
> （1）求证：∠*C*＝∠*BAD*；
>
> （2）求证：*AC*＝*EF*．
>
> 
>
> 【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得*AD*⊥*BC*，由余角的性质可得∠*C*＝∠*BAD*；
>
> （2）由"*ASA*"可证△*ABC*≌△*EAF*，可得*AC*＝*EF*．
>
> 【解答】证明：（1）∵*AB*＝*AE*，*D*为线段*BE*的中点，
>
> ∴*AD*⊥*BC*
>
> ∴∠*C*+∠*DAC*＝90°，
>
> ∵∠*BAC*＝90°
>
> ∴∠*BAD*+∠*DAC*＝90°
>
> ∴∠*C*＝∠*BAD*
>
> （2）∵*AF*∥*BC*
>
> ∴∠*FAE*＝∠*AEB*
>
> ∵*AB*＝*AE*
>
> ∴∠*B*＝∠*AEB*
>
> ∴∠*B*＝∠*FAE*，且∠*AEF*＝∠*BAC*＝90°，*AB*＝*AE*
>
> ∴△*ABC*≌△*EAF*（*ASA*）
>
> ∴*AC*＝*EF*
22．（8分）（2019•黄石）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为*m*，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为*n*，组成一数对（*m*，*n*）．
> （1）请写出（*m*，*n*）所有可能出现的结果；
>
> （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
>
> 【考点】D1：点的坐标；X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）利用枚举法解决问题即可．
>
> （2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断．
>
> 【解答】解：（1）（*m*，*n*）所有可能出现的结果：（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．
>
> （2）数字之和为奇数的概率＝，数字之和为偶数的概率＝，
>
> ≠，
>
> ∴这个游戏不公平．
23．（8分）（2019•黄石）"今有善行者行一百步，不善行者行六十步．"（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
> （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
>
> （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
>
> 【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走*x*步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；
>
> （2）设走路快的人走*y*步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．
>
> 【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走*x*步，由题意得
>
> *x*：600＝100：60
>
> ∴*x*＝1000
>
> ∴1000﹣600﹣100＝300
>
> 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
>
> （2）设走路快的人走*y*步才能追上走路慢的人，由题意得
>
> *y*＝200+*y*
>
> ∴*y*＝500
>
> 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
24．（10分）（2019•黄石）如图，*AB*是⊙*O*的直径，点*D*在*AB*的延长线上，*C*、*E*是⊙*O*上的两点，*CE*＝*CB*，∠*BCD*＝∠*CAE*，延长*AE*交*BC*的延长线于点*F*．
> （1）求证：*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）求证：*CE*＝*CF*；
>
> （3）若*BD*＝1，*CD*＝，求弦*AC*的长．
>
> 
>
> 【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）连接*OC*，可证得∠*CAD*＝∠*BCD*，由∠*CAD*+∠*ABC*＝90°，可得出∠*OCD*＝90°，即结论得证；
>
> （2）证明△*ABC*≌△*AFC*可得*CB*＝*CF*，又*CB*＝*CE*，则*CE*＝*CF*；
>
> （3）证明△*CBD*∽△*DCA*，可求出*DA*的长，求出*AB*长，设*BC*＝*a*，*AC*＝*a*，则由勾股定理可得*AC*的长．
>
> 【解答】解：（1）连接*OC*，
>
> 
>
> ∵*AB*是⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∴∠*CAD*+∠*ABC*＝90°，
>
> ∵*CE*＝*CB*，
>
> ∴∠*CAE*＝∠*CAB*，
>
> ∵∠*BCD*＝∠*CAE*，
>
> ∴∠*CAB*＝∠*BCD*，
>
> ∵*OB*＝*OC*，
>
> ∴∠*OBC*＝∠*OCB*，
>
> ∴∠*OCB*+∠*BCD*＝90°，
>
> ∴∠*OCD*＝90°，
>
> ∴*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）∵∠*BAC*＝∠*CAE*，∠*ACB*＝∠*ACF*＝90°，*AC*＝*AC*，
>
> ∴△*ABC*≌△*AFC*（*ASA*），
>
> ∴*CB*＝*CF*，
>
> 又∵*CB*＝*CE*，
>
> ∴*CE*＝*CF*；
>
> （3）∵∠*BCD*＝∠*CAD*，∠*ADC*＝∠*CDB*，
>
> ∴△*CBD*∽△*DCA*，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴*DA*＝2，
>
> ∴*AB*＝*AD*﹣*BD*＝2﹣1＝1，
>
> 设*BC*＝*a*，*AC*＝*a*，由勾股定理可得：，
>
> 解得：*a*＝，
>
> ∴．
25．（10分）（2019•黄石）如图，已知抛物线*y*＝*x*^2^+*bx*+*c*经过点*A*（﹣1，0）、*B*（5，0）．
> （1）求抛物线的解析式，并写出顶点*M*的坐标；
>
> （2）若点*C*在抛物线上，且点*C*的横坐标为8，求四边形*AMBC*的面积；
>
> （3）定点*D*（0，*m*）在*y*轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点*P*在新的抛物线上运动，求定点*D*与动点*P*之间距离的最小值*d*（用含*m*的代数式表示）
>
> 
>
> 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）函数的表达式为：*y*＝（*x*+1）（*x*﹣5），即可求解；
>
> （2）*S*~四边形*AMBC*~＝*AB*（*y~C~*﹣*y~D~*），即可求解；
>
> （3）抛物线的表达式为：*y*＝*x*^2^，即可求解．
>
> 【解答】解：（1）函数的表达式为：*y*＝（*x*+1）（*x*﹣5）＝（*x*^2^﹣4*x*﹣5）＝*x*^2^﹣*x*﹣，
>
> 点*M*坐标为（2，﹣3）；
>
> （2）当*x*＝8时，*y*＝（*x*+1）（*x*﹣5）＝9，即点*C*（8，9），
>
> *S*~四边形*AMBC*~＝*AB*（*y~C~*﹣*y~D~*）＝×6×（9+3）＝36；
>
> （3）*y*＝（*x*+1）（*x*﹣5）＝（*x*^2^﹣4*x*﹣5）＝（*x*﹣2）^2^﹣3，
>
> 抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，
>
> 则新抛物线表达式为：*y*＝*x*^2^，
>
> 则定点*D*与动点*P*之间距离*PD*＝＝，
>
> ∵，*PD*有最小值，当*x*^2^＝3*m*﹣时，
>
> *PD*最小值*d*＝＝．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/10 9:59:38；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第四单元《面积》单元测试2（附答案）**一、试一试，你准行。(第1题5分，第6题3分，其他每空1分，共15分)
1．30dm＝( )cm 3400cm^2^＝( )dm^2^ 50dm^2^＝( )cm^2^
12m^2^＝( )dm^2^ 400dm^2^＝( )m^2^ 120分＝( )时
600cm＝( )m ( )m^2^＝900dm^2^ 7kg＝( )g
2．面积为1dm^2^的正方形，它的边长为( )。
3．两个相同的正方形拼成一个长方形，它的( )不变，( )减少。
4．已知长方形的( )和( )，就可以求出长方形的面积和周长。
5．当一个正方形的边长扩大3cm后，它的周长扩大( )cm。
6．在括号里填上适当的单位名称。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1)课桌高约为8( )。
(2)教室的面积约为54( )。
(3)一棵大树高约6( )。
(4)一张报纸的面积约是21( )。
(5)一枝铅笔长约18( )。
(6)正方形手帕的面积大约是400( )。
7．一个长方形的周长是50分米，已知它的宽是7分米，这个长方形的面积是( )平方分米。
二、我是小法官。(对的打"√"，错的打"×")(10分)
1．物体的大小叫做它的面积。 ( )
2．边长为4cm的正方形，它的周长和面积相等。 ( )
3．一个长方形和一个正方形的面积相等，周长也一定相等。 ( )
4．小红身高130厘米。 ( )
5．面积为1平方米的图形，一定是一个正方形。 ( )
6．用8cm的铁丝围成一个正方形，面积是4cm^2^。 ( )
7．希望小学的面积大约是10000平方厘米。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
8．一个正方形的边长是15厘米，面积是60平方厘米。( )
9．500公顷与5平方千米一样大。( )
10．一棵大树高14平方米。( )
三、计算下面各图形的面积和周长。(8分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.
面积： [ ]{.underline}
周长： [ ]{.underline}
2.
面积： [ ]{.underline}
周长： [ ]{.underline}
3.
面积： [ ]{.underline}
周长： [ ]{.underline}
4.
面积： [ ]{.underline}
周长： [ ]{.underline}
四、精挑细选。(8分)
1．计量一片操场的面积，通常使用的单位是( )。
①cm^2^ ②dm^2^ ③m^2^ ④m
2．一个长方形面积是24cm^2^，长是8cm，宽是( )。
①4cm ②3cm ③3cm^2^ ④192cm
3．5平方分米与5分米比较( )。
①5平方分米大 ②5分米大 ③一样大 ④无法比较
4．从一块长9dm、宽6dm的长方形铁皮上，剪去一个最大的正方形，剪去的铁皮的面积是( )。
①18dm^2^ ②36dm^2^ ③9dm^2^ ④54dm^2^
5．观察右图，下面说法正确的是( )。
①甲的周长大于乙的周长 ②甲的面积等于乙的面积
③甲的周长等于乙的周长
6．正方形的周长扩大到原来的3倍，那么它的面积就( )。
①扩大到原来的3倍 ②扩大到原来的6倍 ③扩大到原来的9倍
7．边长为5000米的正方形的面积是( )。
①25平方千米 ②250公顷 ③25000平方米
8．下面的面积单位中，进率是100的两个面积单位是( )。
①平方千米和平方米 ②平方分米和平方厘米 ③公顷和平方米
五、连一连。(3分)
1公顷 1m^2^ 1cm^2^
小宇本上1个小方格的面积是 边长为100米得正方形的面积是 方桌面的面积是
六、比眼力。(4分)
下面3个图形中，哪个面积最大？哪个面积最小？每小格代表1平方厘米！
最大的是( )最小的是( )
七、比大小。(6分)
1\. 320公顷 3000m^2^ 3800dm^2^ 2km^2^ 360000cm^2^
（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）
2\. 150dm^2^ 15m^2^ 360cm^2^ 1公顷 21cm^2^
（ ）﹤（ ）﹤（ ）﹤（ ）﹤（ ）
八、把一张边长为2cm的正方形纸片，中间剪一刀，拼成一个长方形，如下图。(5分)
比一比，在正确的答案后面画"√"。
(1)长方形的面积＝正方形的面积。( )
(2)长方形的面积﹥正方形的面积。( )
(3)长方形的周长﹥正方形的周长。( )
(4)长方形的周长﹤正方形的周长。( )
(5)长方形的周长＝正方形的周长。( )
九、智力拼盘。(14分)
1．1个方格代表1cm^2^，数一数，填一填。(6分)
( )cm^2^ ( )cm^2^ ( )cm^2^
2．把下面的长方形按要求分割成两块。(4分)
(1)周长相等，面积也相等。 (2)周长相等，面积不等。
3．(4分)
在下面的方格纸上画出面积是8cm^2^的图形，至少画2种，超过1种奖2分，每格1cm^2。^
十、解决问题。(27分)
1．在一块长方形菜地里，划出一个边长为10米的正方形地种茄子。(6分)
(1)茄子占地多少m^2^ ？ (2)剩下地的面积是多少？
2．小明家的书柜门破了，他要配一块同样大小的玻璃。(5分)
玻璃1平方分米2元钱，我带了100元钱，够吗？
3．楚源花园有一个长方形的花坛。(6分)
(1)这个花坛的占地面积是多少平方米？
(2)在这个花坛的四周围上一圈栏杆，围栏的长度是多少米？
4．(5分)这块白菜地围了一圈90米长的栅栏，能求出它的面积吗？
5．一个长方形游泳池，长30m，宽25m，沿这个游泳池走3圈，走了多少m？游泳池的面积是多少？(5分)
参考答案
一、1. 略 2. 略 3．面积 周长 4．长 宽 5．12
6．(1)dm (2)m^2^ (3)m (4)dm^2^ (5)cm (6)cm^2^
7．126
二、1．× 2．× 3．× 4．√ 5．× 6．√ 7．× 8．× 9．√ 10．×
三、略
四、1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B
五、略
六、略
七、1．320公顷﹥2km^2^﹥3000m^2^﹥3800dm^2^﹥360000cm^2^
2．360cm^2^﹤150dm^2^﹤15m^2^﹤1公顷﹤21cm^2^
八、(1) √ (3)√
九、1．6 7 7 8
2．（1）（2）
十、1. (1)100m^2^ (2)80m^2^
2．45dm^2^ 45×2﹤100 够
3．(1)756m^2^ (2)120m
4．416平方米
5．330m 750m^2^
| 1 | |
**2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（4分）（2019•淄博）比小1的数是
A． B． C．1 D．3
2．（4分）（2019•淄博）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•淄博）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是
A． B．
C． D．
4．（4分）（2019•淄博）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南20方向行走至点处，则等于
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•淄博）解分式方程时，去分母变形正确的是
A． B．
C． D．
6．（4分）（2019•淄博）与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为
A． B．2 C． D．6
8．（4分）（2019•淄博）如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•淄博）若，，则以，为根的一元二次方程是
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.**
10．（4分）（2019•淄博）单项式的次数是[ ]{.underline}．
11．（4分）（2019•淄博）分解因式：．
12．（4分）（2019•淄博）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点△，点与点，点与点，点与点是对应点，则[ ]{.underline}度．
13．（4分）（2019•淄博）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的"中国梦青春梦"演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•淄博）如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图1，当时，；
如图2，当时，；
如图3，当时，；
依此类推，当为正整数）时，[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.**
15．（5分）（2019•淄博）解不等式
16．（5分）（2019•淄博）已知，在如图所示的"风筝"图案中，，，．求证：．
17．（8分）（2019•淄博）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月"亚洲文明对话大会"在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
------- -------- --------------
组别 年龄段 频数（人数）
第1组 5
第2组
第3组 35
第4组 20
第5组 15
------- -------- --------------
（1）请直接写出[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是[ ]{.underline}度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有岁的市民300万人，问岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？
18．（8分）（2019•淄博）"一带一路"促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润售价成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
---------------------- --- ---
成本（单位：万元件） 2 4
售价（单位：万元件） 5 7
---------------------- --- ---
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
19．（8分）（2019•淄博）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．
20．（9分）（2019•淄博）如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．
（1）试证明，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．
21．（9分）（2019•淄博）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．
**2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（4分）比小1的数是
A． B． C．1 D．3
【考点】：有理数的减法
【分析】用减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：．
故选：．
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：40亿用科学记数法表示为：，
故选：．
3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是
A． B．
C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；
、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；
、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：．
4．（4分）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南20方向行走至点处，则等于
A． B． C． D．
【考点】：方向角
【分析】根据平行线性质求出，再求出即可得出答案．
【解答】解：如图：
小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南20方向行走至点处，
，，
向北方向线是平行的，即，
，
，
，
，
故选：．
5．（4分）解分式方程时，去分母变形正确的是
A． B．
C． D．
【考点】：解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
【解答】解：去分母得：，
故选：．
6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是
A． B． C． D．
【考点】：计算器有理数；：有理数的混合运算
【分析】根据科学计算器按键功能可得．
【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是，
故选：．
7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为
A． B．2 C． D．6
【考点】：二次根式的应用
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
图中阴影部分的面积为：，
故选：．
8．（4分）如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为
A． B． C． D．
【考点】：相似三角形的判定与性质
【分析】证明，根据相似三角形的性质求出的面积为，计算即可．
【解答】解：，，
，
，即，
解得，的面积为，
的面积为：，
故选：．
9．（4分）若，，则以，为根的一元二次方程是
A． B． C． D．
【考点】：根与系数的关系
【分析】利用完全平方公式计算出，然后根据根与系数的关系写出以，为根的一元二次方程．
【解答】解：，
，
而，
，
，
以，为根的一元二次方程为．
故选：．
**二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.**
10．（4分）单项式的次数是[ 5 ]{.underline}．
【考点】42：单项式
【分析】根据单项式的次数的定义解答．
【解答】解：单项式的次数是．
故答案为5．
11．（4分）分解因式：．
【考点】57：因式分解十字相乘法等
【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解：，
，
．
12．（4分）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点△，点与点，点与点，点与点是对应点，则[ 90 ]{.underline}度．
【考点】：旋转的性质
【分析】作，的垂直平分线交于点，可得点是旋转中心，即．
【解答】解：如图，
连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，
，的垂直平分线交于点，
点是旋转中心，
旋转角
故答案为：90
13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的"中国梦青春梦"演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是[ ]{.underline}．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
恰好选中一男一女的概率是，
故答案为：．
14．（4分）如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图1，当时，；
如图2，当时，；
如图3，当时，；
依此类推，当为正整数）时，[ ]{.underline}．
【考点】38：规律型：图形的变化类；：等腰直角三角形；：翻折变换（折叠问题）；：解直角三角形
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，，，中的中间一个．
．
故答案为：．
**三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.**
15．（5分）解不等式
【考点】：解一元一次不等式
【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集．
【解答】解：将不等式两边同乘以2得，
解得．
16．（5分）已知，在如图所示的"风筝"图案中，，，．求证：．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】由""可证，可得．
【解答】证明：
，且，
17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月"亚洲文明对话大会"在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
------- -------- --------------
组别 年龄段 频数（人数）
第1组 5
第2组
第3组 35
第4组 20
第5组 15
------- -------- --------------
（1）请直接写出[ 25 ]{.underline}，[ ]{.underline}，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是[ ]{.underline}度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有岁的市民300万人，问岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？
【考点】：用样本估计总体；：频数（率分布表；：频数（率分布直方图；：扇形统计图
【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得、的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以计算出岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少．
【解答】解：（1），
，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：，
故答案为：25，20，126；
（2）由（1）值，有25人，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）（万人），
答：岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．
18．（8分）"一带一路"促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润售价成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
---------------------- --- ---
成本（单位：万元件） 2 4
售价（单位：万元件） 5 7
---------------------- --- ---
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【考点】：二元一次方程组的应用
【分析】设，两种产品的销售件数分别为件、件；由题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设，两种产品的销售件数分别为件、件；
由题意得：，
解得：；
答：，两种产品的销售件数分别为件、180件．
19．（8分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．
【考点】：圆的综合题
【分析】（1）①证明，即可求解；②证明，即可求解；
（2）证明、是等边三角形，，即可求解．
【解答】解：（1）①连接，
是的平分线，，
，，
，
，而，
，
是的切线；
②连接，
是的切线，，
，，
；
（2）连接、，设圆的半径为，
点是劣弧的中点，是是中垂线，
，，
，，
，
，
、是等边三角形，
，
，而，
，
．
20．（9分）如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．
（1）试证明，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．
【考点】32：列代数式；：相似三角形的判定与性质；：菱形的性质
【分析】（1）如图1中，延长交的延长线于．证明是等腰直角三角形即可，连接，，设，则，，，求出，即可解决问题．
（2）（1）中的值有变化．如图2中，连接，交于点，连接，，，交于．首先证明，，共线，再证明点在直线上，设，则，想办法求出，（用表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长交的延长线于．
四边形，四边形都是正方形，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，
，，
连接，，设，则，，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：（1）中的值有变化．
理由：如图2中，连接，交于点，连接，，，交于．
，，
，，
，
，，共线，
，
，
，，
，
与互相平分，
，
点在直线上，
，
四边形是矩形，
，
，，
，设，则，
易知，，，
，，
．
21．（9分）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
（2）用配方法求抛物线顶点，求，设点坐标为，用表示和．为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得的值即求得点坐标．
（3）由点是内心联想到过点作三边的垂线段、、，根据内心到三角形三边距离相等即有．此时以点为圆心、为半径长的即为内切圆，根据切线长定理可得，，．设点坐标为，可用含、的式子表示、的长，又由，即可用勾股定理列得关于、的方程．化简再配方后得到式子：，从图形上可理解为点与定点，的距离为，所以点的运动轨迹为圆弧．所以当点在连线上时，最短．
【解答】解：（1）抛物线过点，
解得：
这条抛物线对应的函数表达式为
（2）在轴上存在点，使得为直角三角形．
顶点
设点坐标为
，
①若，则
解得：
②若，则
解得：，
或
③若，则
解得：
综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形．
（3）如图，过点作轴于点，于点，于点
轴于点
四边形是矩形
点为的内心
，，，
矩形是正方形
设点坐标为
，
化简得：
配方得：
点与定点，的距离为
点在以点，为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动
当点在线段上时，最小
最小值为．
| 1 | |
**2017年苏州市初中毕业暨升学考试试卷**
**数学**
**第Ⅰ卷（共30分）**
**一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.的结果是
A． B． C． D．
2.有一组数据：，，，，，这组数据的平均数为
A． B． C． D．
3.小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为
A． B． C． D．
4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A． B． C. D．
5.为了鼓励学生课外阅读，学校公布了"阅读奖励"方案，并设置了"赞成、反对、无所谓"三种意见．现从学校所有名学生中随机征求了名学生的意见，其中持"反对"和"无所谓"意见的共有名学生，估计全校持"赞成"意见的学生人数约为
A． B． C. D．
6.若点在一次函数的图像上，且，则的取值范围为
A． B． C. D．
7.如图，在正五边形中，连接，则的度数为
A． B． C. D．
8.若二次函数的图像经过点，则关于的方程的实数根为
A．， B．， C.， D．，
9.如图，在中，，．以为直径的交于点，是上一点，且，连接，过点作，交的延长线于点，则的度数为
A． B． C. D．
10.如图，在菱形中，，，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共100分）**
**二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
11.计算： [ ]{.underline} ．
12.如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为
[ ]{.underline} ．
13.某射击俱乐部将名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，名成员射击成绩的中位数是 [ ]{.underline} 环．
14.因式分解： [ ]{.underline} ．
15.如图，在""网格中，有个涂成黑色的小方格．若再从余下的个小方格中随机选取个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 [ ]{.underline} ．
16.如图，是的直径，是弦，，．若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 [ ]{.underline} ．
17.如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则 [ ]{.underline} （结果保留根号）．
18.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则 [ ]{.underline} （结果保留根号）．
**三、解答题 （本大题共10小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19\. （本题满分5分）
计算：．
20\. （本题满分5分）
解不等式组：．
21\. （本题满分6分）
先化简，再求值：，其中．
22\. （本题满分6分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）是行李质量（）的一次函数．已知行李质量为时需付行李费元，行李质量为时需付行李费元．
（1）当行李的质量超过规定时，求与之间的函数表达式；
（2）求旅客最多可免费携带行李的质量．
23\. （本题满分8分）初一（1）班针对"你最喜爱的课外活动项目"对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1） [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 [ ]{.underline} ；
（3）从选航模项目的名学生中随机选取名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的名学生中恰好有名男生、名女生的概率．
24.（本题满分8分）如图，，，点在边上，，和相交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
25.（本题满分8分）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数（）的图像经过点，交于点．已知，．
（1）若，求的值；
（2）连接，若，求的长．
26.（本题满分10分）某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速移动，到达点时停止移动．已知机器人的速度为个单位长度/，移动至拐角处调整方向需要（即在、处拐弯时分别用时）．设机器人所用时间为时，其所在位置用点表示，到对角线的距离（即垂线段的长）为个单位长度，其中与的函数图像如图②所示．
（1）求、的长；
（2）如图②，点、分别在线段、上，线段平行于横轴，、的横坐标分别为、．设机器人用了到达点处，用了到达点处（见图①）．若，求、的值．
27.（本题满分10分）如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交边于点．
（1）求证：∽；
（2）求证：；
（3）连接，设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
28.（本题满分10分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
**一、选择题**
1-5:BCDAC 6-10:DBACA
**二、填空题**
11\. 12. 13. 14.
15\. 16. 17. 18.
**三、解答题**
19\. 解：原式.
20\. 解：由，解得，由，解得，所以不等式组的解集是.
21\. 解：原式.当时，
原式.
22\. 解：(1)根据题意，设与的函数表达式为.
当时，，得.当时，，得.
解方程组，得，所求函数表达式为.
\(2\) 当时，，得.
答：旅客最多可免费携带行李.
23\. 解：（1）；
(2)；
(3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码. 用表格列出所有可能出现的结果：
由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中" 名男生、 名女生"有种可能.( 名男生、 名女生).(如用树状图，酌情相应给分)
24\. 解：(1)证明：和相交于点.在和中，.又.在和中，
.
（2）.在中，，.
25.解：（1）作，垂足为，.在中，，点的坐标为，点在的图象上，.
(2)设点的坐标为.两点的坐标分别为.
点都在的图象上，点的坐标为.作轴，垂足为.在中，.
26\. （1）作 垂足为，由题意得， 在中， 即
（2）在图①中，连接 过分别作的垂线，垂足为 则 .
在图②中，线段 平行于横轴， 即.
即 又 设的横坐标分别为 ，由题意得，
27.解：是⊙的直径，.
～ .
（2）～ 和是 所对的圆周角，.
（3） ，即 ，， ，即 . ， ， ，即 .
28.解：（1） 轴， ， 抛物线对称轴为直线
点的坐标为
解得 或 （舍去），
（2）设点的坐标为 对称轴为直线点关于直线 的对称点 的坐标为.
直线 经过点 利用待定系数法可得直线的表达式为 .
因为点在上， 即点的坐标为
（3）存在点 满足题意.设点坐标为 ，则
作 垂足为
①点 在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为 在中， 时， 取最小值 .此时点的坐标为
②点在直线的右侧时，点的坐标为同理， 时， 取最小值 .此时点的坐标为
综上所述：满足题意得点的坐标为和
| 1 | |
**2016届九年级下学期入学数学试卷**
**一．选择题（共8小题）**
1．若关于x的方程x^2^+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
2．若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y=的图象在（ ）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
3．已知二次函数y=x^2^+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
5．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
6．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C．2 D．
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格
-------- -------- ------ ------
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
-------- -------- ------ ------
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
**二．填空题（共8小题）**
9．如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为[ ]{.underline}．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
10．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为[ ]{.underline}．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为[ ]{.underline}．
12．二次函数y=ax^2^+bx的图象如图，若一元二次方程ax^2^+bx+m=0有实数根，则m的最大值为[ ]{.underline}．
13．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为[ ]{.underline}．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a^2^﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x=[ ]{.underline}．
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是[ ]{.underline}．
16．如图，已知点A~1~，A~2~，...，A~2011~在函数y=x^2^位于第二象限的图象上，点B~1~，B~2~，...，B~2011~在函数y=x^2^位于第一象限的图象上，点C~1~，C~2~，...，C~2011~在y轴的正半轴上，若四边形OA~1~C~1~B~1~、C~1~A~2~C~2~B~2~，...，C~2010~A~2011~C~2011~B~2011~都是正方形，则正方形C~2010~A~2011~C~2011~B~2011~的边长为[ ]{.underline}．
**三．解答题（共10小题）**
17．用公式法解下列方程
2x^2^+6=7x．
18．计算：sin45°+cos^2^30°﹣+2sin60°．
19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
20．已知y=y~1~+y~2~，y~1~与x成正比例，y~2~与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
（1）求两支架落点E、F之间的距离；
（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）
22．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
23．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．
24．"铁路建设助推经济发展"，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．
25．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为[ ]{.underline}．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为[ ]{.underline}；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．
26．如图，已知二次函数y=ax^2^+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax^2^+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
**2016届九年级下学期入学数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共8小题）**
1．若关于x的方程x^2^+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【解答】解：设一元二次方程的另一根为x~1~，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x~1~=﹣3，
解得：x~1~=﹣2．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax^2^+bx+c=0的两根为x~1~，x~2~，则x~1~+x~2~=﹣，x~1~•x~2~=．
2．若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y=的图象在（ ）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质．
【分析】先由一次函数的性质判断出k，b的正负，再根据反比例函数的性质即可得出结果．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，kb＞0，
反比例函数y=中，kb＞0，
∴图象在一、三象限．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，应注意y=中k的取值．
3．已知二次函数y=x^2^+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】求y＞0时x的取值范围，就是二次函数的图象在x轴下方时对应的x的范围．
【解答】解：根据图象可得x的范围是x＜﹣1或x＞3．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求y＞0时x的取值范围，就是二次函数的图象在x轴下方时对应的x的范围是关键．
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
【考点】相似三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，然后解方程求出x后计算2x和3x即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应中线的比2：3，
∴两个相似三角形的周长的比为2：3，
设这两个三角形的周长分别为2x，3x，
则2x+3x=20，解得x=4，
∴2x=8，3x=12，
即两个三角形的周长分别8和12．
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
5．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3=2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
6．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据sinA=，可设BC=5x，AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴可设BC=5x，AB=13x，
∴AC==12x，
∴tanB===．
故选C．
【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】网格型．
【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格
-------- -------- ------ ------
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
-------- -------- ------ ------
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【考点】统计量的选择．
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
**二．填空题（共8小题）**
9．如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为[ 4.9m ]{.underline}．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【专题】应用题．
【分析】根据∠ACB的正弦函数和AB的长度求AC的长，再加上AD即可．
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC．
∴在Rt△ABC中，sin∠ACB=，
∴AC===≈4.39，
∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）．
故答案为：4.9m．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用，属于理论联系实际的题目，难度不大，关键是根据三角函数值得到所求线段的相应的线段的长度．
10．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为[ （﹣]{.underline}[，]{.underline}[）或（]{.underline}[，﹣]{.underline}[） ]{.underline}．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A\'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为[ ]{.underline}[π ]{.underline}．
【考点】扇形面积的计算；坐标与图形性质；旋转的性质．
【分析】根据点A的坐标（﹣2，0），可得OA=2，再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长，再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA=2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB=OA=1，
∴边OB扫过的面积为：=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．
12．二次函数y=ax^2^+bx的图象如图，若一元二次方程ax^2^+bx+m=0有实数根，则m的最大值为[ 3 ]{.underline}．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax^2^+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0．
﹣=﹣3，即b^2^=12a，
∵一元二次方程ax^2^+bx+m=0有实数根，
∴△=b^2^﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案为3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为[ 10 ]{.underline}．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S~△AOC~=\|ab\|=2，S~△BOD~=\|cd\|=2，
S~矩形MCDO~=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S~△AOC~+S~△BOD~+S~矩形MCDO~，即可解答．
【解答】解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y=的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S~△AOC~=\|ab\|=2，S~△BOD~=\|cd\|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S~矩形MCDO~=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S~△AOC~+S~△BOD~+S~矩形MCDO~=2+2+6=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S~△AOC~=\|ab\|=2，S~△BOD~=\|cd\|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a^2^﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x=[ ﹣2 ]{.underline}．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】新定义．
【分析】根据新定义得到x^2^﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可．
【解答】解：根据题意得x^2^﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，
整理得x^2^+4x+4=0，
（x+2）^2^=0，
所以x~1~=x~2~=﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）^2^=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是[ 20 ]{.underline}．
【考点】切线长定理．
【分析】根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．
16．如图，已知点A~1~，A~2~，...，A~2011~在函数y=x^2^位于第二象限的图象上，点B~1~，B~2~，...，B~2011~在函数y=x^2^位于第一象限的图象上，点C~1~，C~2~，...，C~2011~在y轴的正半轴上，若四边形OA~1~C~1~B~1~、C~1~A~2~C~2~B~2~，...，C~2010~A~2011~C~2011~B~2011~都是正方形，则正方形C~2010~A~2011~C~2011~B~2011~的边长为[ 2011]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】二次函数综合题．
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB~1~与y轴的夹角为45°，然后表示出OB~1~的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B~1~的坐标，然后求出OB~1~的长，再根据正方形的性质求出OC~1~，表示出C~1~B~2~的解析式，与抛物线联立求出B~2~的坐标，然后求出C~1~B~2~的长，再求出C~1~C~2~的长，然后表示出C~2~B~3~的解析式，与抛物线联立求出B~3~的坐标，然后求出C~2~B~3~的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
【解答】解：∵OA~1~C~1~B~1~是正方形，
∴OB~1~与y轴的夹角为45°，
∴OB~1~的解析式为y=x
联立，
解得或，
∴点B~1~（1，1），
OB~1~==，
∵OA~1~C~1~B~1~是正方形，
∴OC~1~=OB~1~=×=2，
∵C~1~A~2~C~2~B~2~是正方形，
∴C~1~B~2~的解析式为y=x+2，
联立，
解得，或，
∴点B~2~（2，4），
C~1~B~2~==2，
∵C~1~A~2~C~2~B~2~是正方形，
∴C~1~C~2~=C~1~B~2~=×2=4，
∴C~2~B~3~的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立，
解得，或，
∴点B~3~（3，9），
C~2~B~3~==3，
...，
依此类推，正方形C~2010~A~2011~C~2011~B~2011~的边长C~2010~B~2011~=2011．
故答案为：2011．
【点评】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
**三．解答题（共10小题）**
17．用公式法解下列方程
2x^2^+6=7x．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：方程整理得：2x^2^﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
解得：x~1~=2，x~2~=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
18．计算：sin45°+cos^2^30°﹣+2sin60°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=•+（）^2^﹣+2×
=+﹣+
=1+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
【考点】作图---复杂作图；切线的性质；弧长的计算．
【专题】作图题．
【分析】（1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠DCE=90°﹣∠A=60°，∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可计算出CD=，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，
⊙C为所求；
（2）∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴CD=3cos30°=，
∴的长==π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和弧长公式．
20．已知y=y~1~+y~2~，y~1~与x成正比例，y~2~与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】首先根据正比例和反比例的定义可得y=kx+，再把x=﹣1，y=3；x=3，y=7代入得到关于k、m的方程组，再解可得k、m的值，进而可得y与x的解析式，再把x=﹣3代入计算出y的值即可．
【解答】解：∵y~1~与x成正比例，
∴y~1~=kx，
∵y~2~与x+2成反比例，
∴y~2~=，
∵y=y~1~+y~2~，
∴y=kx+，
∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，
∴，
解得：，
∴y=2x+，
当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确表示出y与x的关系式．
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
（1）求两支架落点E、F之间的距离；
（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得出，利用平行四边形的判定与性质进而求出即可；
（2）利用四边形ONHE是平行四边形，进而得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°，利用MP=110sin60°求出即可．
【解答】解：（1）连接EF．
∵CD平行于地面，
∴GD∥EF．
∴．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
而OE∥DM，
则四边形OGDN是平行四边形．
∴OG=DN，GD=ON．
∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，
∴GD=40cm，OG=GD=20cm，又EG=30cm，
即，得EF=100cm．
（2）延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．
∵四边形ONHE是平行四边形，
∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．
由于MN=60cm，∴MH=110cm．
在Rt△MHP中，MP=MH•sin∠MHP，
即MP=110sin60°=110×=55≈95（cm）．
答：躺椅的高度约为95cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
22．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
【考点】条形统计图；扇形统计图；加权平均数．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的有30辆电动汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出电动汽车的总量；分别计算出C、D所占的百分比，即可得到A所占的百分比，即可求出A的电动汽车的辆数，即可补全统计图；
（2）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
【解答】解：（1）这次被抽检的电动汽车共有：30÷30%=100（辆），
C所占的百分比为：40÷100×100%=40%，D所占的百分比为：20÷100×100%=20%，
A所占的百分比为：100%﹣40%﹣20%﹣30%=10%，
A等级电动汽车的辆数为：100×10%=10（辆），
补全统计图如图所示：
（2）这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为：230）=217（千米），
∴估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217千米．
【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
23．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连接OD，进而利用等腰三角形的性质以及切线的性质得出∠CDO+∠CDE=90°，进而得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出AG的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，
∠EFD=∠CDE，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD^2^+DE^2^=EO^2^，
∴3^2^+x^2^=（x+1）^2^，
解得：x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴==，
即=，
解得：AG=6．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，正确得出Rt△EOD∽Rt△EGA是解题关键．
24．"铁路建设助推经济发展"，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）利用"从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时"，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600进而求出即可．
【解答】解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
，
解得：，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，
解得：m~1~=20，m~2~=0（不合题意舍去），
答：m的值为20．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
25．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为[ 1 ]{.underline}；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到AN=A′N，再由三角函数求得；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形；
③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，利用三角形相似得到结果．
【解答】解：（1）如图1，过点N作NG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴==1，
∴BN=DM=AD=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBG=60°
∴BG=，GN=，
∴AN===；
故答案为：；
（2）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，
∵∠DAB=60°AM=2，
∴AN=AM=1，
故答案为：1；
②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，
∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
∴AM=A′M=AN=A′N，
∴四边形AM A′N是菱形；
③在菱形ABCD中，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，
∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，
∴∠NA′B=∠DMA′，
∴△DMA′∽△BA′N，
∴=，
∵MD=AD=1，A′M=2，
∴=．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，翻折的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是利用翻折的性质得到线段、角相等、三角形相似．
26．如图，已知二次函数y=ax^2^+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax^2^+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB^2^=20，AC^2^=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S~△AMN~=S~△ABN~﹣S~△BMN~
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax^2^+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x^2^+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x^2^+x+4=0，
解得x~1~=8，x~2~=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB^2^=BO^2^+AO^2^=2^2^+4^2^=20，
在Rt△AOC中AC^2^=AO^2^+CO^2^=4^2^+8^2^=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB^2^+AC^2^=20+80=10^2^=BC^2^
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴=，
∵MN∥AC
∴=，
∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=（n+2），
∵S~△AMN~=S~△ABN~﹣S~△BMN~
=BN•OA﹣BN•MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）^2^
=﹣（n﹣3）^2^+5，
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第四单元《面积》单元测试5（附答案）**
一、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）（每题2分，共12分）
1、两个周长相等的长方形，它们的面积也一定相等。 （ ）
2、边长4分米的正方形，它的周长和面积相等。 （ ）
3、15平方米 = 1500平方分米 （ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/
4、教室门的面积约260平方米。 （ ）
5、边长100米的正方形面积是1公顷。 （ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/
6、一间办公室的面积80平方厘米。 （ ）
二、选择题。（将正确答案的序号填在括号里。）（每题4分，共20分）
1、一个长方形长8（ ），宽4（ ），面积是32（ ），周长是24（ ）。
A、米 B、平方米
> 2、用3个1平方分米的正方形拼成一个长方形，它的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。
A、3 B、6 C、8 D、10来源：www.bcjy123.com/tiku/
3、求长方形的周长用（ ），面积用（ ）。
A、长×宽 B、长＋宽 C、（长＋宽）×2
4、一张饭桌桌面的面积是81（ ）。
A、平方米 B、平方分米 C、平方厘米
5、在下面两个图形中，它们的周长（ ）长，面积（ ）长。
A、一样 B、不一样 C、不一定一样
三、先量出边长，再计算出它们的周长与面积。（每题5分，共10分）
1、 2、
四、填一填。（每题1分，共6分）
3平方米 =（ ）平方分米 6平方分米 =（ ）平方厘米
800平方厘米 =（ ）平方分米 500平方分米 =（ ）平方米
1公顷 =（ ）平方米 1平方千米 =（ ）公顷
五、解答题。（第1、2、4、5题每题8分，第3、6题每题10分，共52分）
1、有一块铁皮长3米，宽8分米，它的面积有多大？
> 2、王老师把一张长12分米，宽9分米的彩纸剪成边长是3分米的小正方形，可以剪多少个？
3、右图是铺了正方形地砖的会议室地面。
（1）这个会议室用了多少块地砖？
（2）如果每块地砖的边长是5分米，这个会议室
面积有多少平方米？
> 4、下图是某产粮区的一块长方形的小麦田，长100米，宽50米。田中有两条引水渠，宽度分别是1米与2米。小麦田的面积是多少？
5、在下面每格1平方厘米的方格上，画出两个20平方厘米的不同长方形。
6、有一间教室地面的长9米，宽6米。计划用如下的一种方砖来铺。
（1）你认为采用哪种砖的费用较省？为什么？
（2）算一算，需要多少钱？
**第四单元测试卷的部分答案：**
一、× × √ × √ ×
二、1、A A B A
2、C A
3、C A
4、B
5、A B
四、300 600 8 5 10000 100
五、1、240平方分米
2、12个
3、（1）160块
（2）40平方米
4、4802平方米
6、（1）9÷（3×3） = 1（元）
6÷（2×2） = 1.5（元） 采用较大方砖较省
（2）5400元
| 1 | |
衡水中学2017届高三上学期第16周周测
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题
1、命题："，使"，这个命题的否定是
A．，使 B．，使
C．，使 D．，使
2、
A．8 B． C． D．
3、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题；把120个面包分成5份，使每份的面包等等差数列，且较多的三份和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
4、的展开式中的一次项系数是
A．5 B．14 C．20 D．35
5、已知函数，若是的一个单调递增区间，则的取值范围是
A． B． C． D．
6、直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为
A．或 B．或 C．或 D．
7、某人将英语单词"apple"记错字母顺序，他可能犯错误的次数最多是
（假定错误不重犯）
A．60 B．59 C．58 D．57
8、已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图
如下图所示，则几何体的体积为
A．8 B．7 C． D．
9、双曲线的左右焦点分别为，两点在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
10、已知函数为自然对数的底数）与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11、如图，在矩形中，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成的轨迹的长度为
A． B． C． D．
12、已知，且对恒成立，则的最大值是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、若的内角满足，则 的最小值是 [ ]{.underline}
14、如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，当与满足下列 [ ]{.underline} （填序号）条件时，该船没有触礁危险.
 （1）；
> （2）；
>
> （1）；（4）
15、高为的四棱锥的地面是边长为1的正方形，点均为在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点S之间的距离为 [ ]{.underline}
16、定义，若实数满足，则的最小值为 [ ]{.underline}
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分10分）
已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求使对任意恒成立的实数 的取值范围.
18、（本小题满分12分）
 如图，在直角梯形中，平面， .
（1）求证：平面；
（2）在直线上是否存在点M，使二面角的大小为？
若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由.
19、（本小题满分12分）
如图，已知AB是半圆的直径，是将半圆圆周四等分的三个分点.
（1）从这5个点钟任取3个点，求这3个点组成的直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点S，求的面积大于 的概率.
20、（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与 相交两点（两点均不在坐标轴上），且使得直线 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明 理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数是常数，且.
（1）讨论零点的个数；
（2）证明：.
22、（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线为参数）与曲线为参数，）.
（1）若曲线与曲线有一个公共点在轴上，求的值；
（2）当时，曲线与曲线交于两点，求两点的距离.
23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲
已知且，若恒成立.
（1）求的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
（实验班附加）24、已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在区间上存在不相等的实数，使成立，求 的取值范围；
（3）若函数有两个不同的极值点，求证：.
| 1 | |
**2017-2018学年度上学期高三年级七调考试**
**数学（理科）试卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设集合，，全集，若，则有（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. -2 B. 4 C.  D. -4
3\. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ）
A.  B.  C. 或 D. 
4\. 如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
学\#科\#网\...学\#科\#网\...
A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大
C. 相关指数变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强
5\. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
6\. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 函数的图像大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
8\. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下："可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之."下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（ ）
A. 68 B. 17 C. 34 D. 36
9\. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
10\. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）
A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7
11\. 已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 如图，在半径为2的扇形中，，为弧上的一点，若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（把你认为是正确论断的序号都写上）
①若，则；
②若，，，则满足条件的三角形共有两个；
> ③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；
>
> ④若，，的面积，则.
>
> 16\. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18\. 如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.
（1）求证：.
（2）若，，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19\. 某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.
（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；
（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
20\. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，且点在轴的同一侧.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21\. 已知函数，函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证不等式成立.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数).
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求.
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------买文具》同步检测1（附答案）**
一、直接写出下面各题的得数。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.2×3 = 12×0.3 = 1.2×0.3 =
2.3×4 = 2.5×0.4 = 1.6×5 =
2.6×5 = 3.5×0.3 = 720÷24 =
23×0.01 = 1.6×2 = 2.9＋7.1 =
二、在下面的图中用阴影表示出算式的结果。
 
三、小红和妈妈一起到商店买回一些商品，妈妈让小红按商品的用途分类，统计各买了什么，每类各花了多少钱、总共花了多少钱。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、把你的分类方法填在下表里。（格不够自己补上）
2、将下表填完整，然后根据表中信息提出数学问题，并解答。
| 1 | |
初二数学竞赛班讲义
第一讲 因式分解(一) 1
[第二讲 因式分解(二) 10](\l)
[第三讲 实数的若干性质和应用 17](\l)
[第四讲 分式的化简与求值 26](\l)
[第五讲 恒等式的证明 34](\l)
[第六讲 代数式的求值 44](\l)
[第七讲 根式及其运算 52](\l)
[第八讲 非负数 63](\l)
[第九讲 一元二次方程 73](\l)
[第十讲 三角形的全等及其应用 81](\l)
[第十一讲 勾股定理与应用 90](\l)
[第十二讲 平行四边形 101](\l)
[第十三讲 梯形 108](\l)
[第十四讲 中位线及其应用 116](\l)
[第十五讲 相似三角形(一) 124](\l)
[第十六讲 相似三角形(二) 132](\l)
[第十八讲 归纳与发现 153](\l)
[第十九讲 特殊化与一般化 162](\l)
[第二十讲 类比与联想 171](\l)
[第二十一讲 分类与讨论 180](\l)
[第二十二讲 面积问题与面积方法 188](\l)
[第二十三讲 几何不等式 197](\l)
[第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 222](\l)
[第二十七讲 列方程解应用问题中的量与等量 230](\l)
[第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题(一) 239](\l)
[第二十九讲 生活中的数学(一) 247](\l)
[第三十讲 生活中的数学(二) 254](\l)
[复习题 260](\l)
[自测题 268](\l)
> [自测题一 268](\l)
>
> [自测题二 270](\l)
>
> [自测题三 271](\l)
>
> [自测题四 273](\l)
>
> [自测题五 274](\l)
>
> [复习题解答 276](\l)
[自测题解答 304](\l)
> [自测题一 304](\l)
>
> [自测题二 309](\l)
>
> [自测题三 314](\l)
>
> [自测题四 321](\l)
>
> [自测题五 327](\l)
第一讲 因式分解(一)
> 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
>
> ** 1．运用公式法**
>
> 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
>
> (1)a^2^-b^2^=(a+b)(a-b)；
>
> (2)a^2^±2ab+b^2^=(a±b)^2^；
>
> (3)a^3^+b^3^=(a+b)(a^2^-ab+b^2^)；
>
> (4)a^3^-b^3^=(a-b)(a^2^+ab+b^2^)．
>
> 下面再补充几个常用的公式：
>
> (5)a^2^+b^2^+c^2^+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2^；
>
> (6)a^3^+b^3^+c^3^-3abc=(a+b+c)(a^2^+b^2^+c^2^-ab-bc-ca)；
>
> (7)a^n^-b^n^=(a-b)(a^n-1^+a^n-2^b+a^n-3^b^2^+...+ab^n-2^+b^n-1^)其中n为正整数；
>
> (8)a^n^-b^n^=(a+b)(a^n-1^-a^n-2^b+a^n-3^b^2^-...+ab^n-2^-b^n-1^)，其中n为偶数；
>
> (9)a^n^+b^n^=(a+b)(a^n-1^-a^n-2^b+a^n-3^b^2^-...-ab^n-2^+b^n-1^)，其中n为奇数．
>
> 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
>
> **例1** 分解因式：
>
> (1)-2x^5n-1^y^n^+4x^3n-1^y^n+2^-2x^n-1^y^n+4^；
>
> (2)x^3^-8y^3^-z^3^-6xyz；
>
> (3)a^2^+b^2^+c^2^-2bc+2ca-2ab；
>
> (4)a^7^-a^5^b^2^+a^2^b^5^-b^7^．
>
> **解** (1)原式=-2x^n-1^y^n^(x^4^n-2x^2^ny^2^+y^4^)
>
> =-2x^n-1^y^n^\[(x^2^n)^2^-2x^2^ny^2^+(y^2^)^2^\]
>
> =-2x^n-1^y^n^(x^2^n-y^2^)^2^
>
> =-2x^n-1^y^n^(x^n^-y)^2^(x^n^+y)^2^．
>
> (2)原式=x^3^+(-2y)^3^+(-z)^3^-3x(-2y)(-Z)
>
> =(x-2y-z)(x^2^+4y^2^+z^2^+2xy+xz-2yz)．
>
> (3)原式=(a^2^-2ab+b^2^)+(-2bc+2ca)+c^2^
>
> ＝(a-b)^2^+2c(a-b)+c^2^
>
> =(a-b+c)^2^．
>
> 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
>
> 原式=a^2^+(-b)^2^+c^2^+2(-b)c+2ca+2a(-b)
>
> =(a-b+c)^2^
>
> (4)原式=(a^7^-a^5^b^2^)+(a^2^b^5^-b^7^)
>
> =a^5^(a^2^-b^2^)+b^5^(a^2^-b^2^)
>
> =(a^2^-b^2^)(a^5^+b^5^)
>
> =(a+b)(a-b)(a+b)(a^4^-a^3^b+a^2^b^2^-ab^3^**+**b^4^)
>
> =(a+b)^2^(a-b)(a^4^-a^3^b+a^2^b^2^**-**ab^3^+b^4^)
>
> **例2** 分解因式：a^3^**+**b^3^+c^3^-3abc．
>
> 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
>
> **分析** 我们已经知道公式
>
> (a+b)^3^=a^3^+3a^2^b+3ab^2^+b^3^
>
> 的正确性，现将此公式变形为
>
> a^3^+b^3^=(a+b)^3^-3ab(a+b)．
>
> 这个{width="0.20833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
>
> **解** 原式=(a+b)^3^-3ab(a+b)+c^3^-3abc
>
> =［(a+b)3+c^3^］-3ab(a+b+c)
>
> =(a+b+c)［(a+b)^2^-c(a+b)+c^2^\]-3ab(a+b+c)
>
> =(a+b+c)(a^2^+b^2^+c^2^-ab-bc-ca)．
>
> **说明** 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多**有用的**结论，例如：我们将公式(6)变形为
>
> a^3^+b^3^+c^3^-3abc
>
> {width="3.6770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 显然，当a+b+c=0时，则a^3^+b^3^+c^3^=3abc；当a+b+c＞0时，则a^3^+b^3^+c^3^**-**3abc≥0，即a^3^+b^3^**+**c^3^≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
>
> 如果令x=a^3^≥0，y=b^3^≥0，z=c^3^≥0，则有
>
> {width="1.25in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
>
> **例3** 分解因式：x^15^**+**x^14^+x^13^+...+x^2^+x+1．
>
> **分析** 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x^15^开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a^n^-b^n^来分解．
>
> **解** 因为
>
> x^16^-1=(x-1)(x^15^**+**x^14^+x^13^+...x^2^+x+1)，
>
> 所以
>
> {width="3.6875in" height="1.1770833333333333in"}
>
> **说明** 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
>
> ** 2．拆项、添项法**
>
> 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
>
> **例4** 分解因式：x^3^-9x+8．
>
> **分析** 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
>
> **解法1** 将常数项8拆成-1+9．
>
> 原式=x^3^-9x-1+9
>
> =(x^3^-1)-9x+9
>
> =(x-1)(x^2^+x+1)-9(x-1)
>
> =(x-1)(x^2^+x-8)．
>
> **解法2** 将一次项-9x拆成-x-8x．
>
> 原式=x^3^-x-8x+8
>
> =(x^3^-x)+(-8x+8)
>
> =x(x+1)(x-1)-8(x-1)
>
> =(x-1)(x^2^+x-8)．
>
> **解法3** 将三次项x^3^拆成9x^3^-8x^3^．
>
> 原式=9x^3^-8x^3^-9x+8
>
> =(9x^3^-9x)+(-8x^3^+8)
>
> =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x^2^+x+1)
>
> =(x-1)(x^2^+x-8)．
>
> **解法4** 添加两项-x^2^+x^2^．
>
> 原式=x^3^-9x+8
>
> =x^3^-x^2^+x^2^-9x+8
>
> =x^2^(x-1)+(x-8)(x-1)
>
> =(x-1)(x^2^+x-8)．
>
> **说明** 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
>
> **例5** 分解因式：
>
> (1)x^9^+x^6^+x^3^-3；
>
> (2)(m^2^**-**1)(n^2^-1)+4mn；
>
> (3)(x+1)^4^+(x^2^-1)^2^+(x-1)^4^；
>
> (4)a^3^b-ab^3^**+**a^2^+b^2^+1．
>
> **解** (1)将-3拆成-1-1-1．
>
> 原式=x^9^+x^6^+x^3^-1-1-1
>
> =(x^9^-1)+(x^6^-1)+(x^3^-1)
>
> =(x^3^-1)(x^6^+x^3^+1)+(x^3^-1)(x^3^+1)+(x^3^-1)
>
> =(x^3^-1)(x6+2x3+3)
>
> =(x-1)(x^2^+x+1)(x^6^**+**2x^3^+3)．
>
> (2)将4mn拆成2mn+2mn．
>
> 原式=(m^2^-1)(n^2^-1)+2mn+2mn
>
> =m^2^n^2^-m^2^-n^2^+1+2mn+2mn
>
> =(m^2^n^2^+2mn+1)-(m^2^-2mn+n^2^)
>
> =(mn+1)^2^-(m-n)^2^
>
> =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
>
> (3)将(x^2^-1)^2^拆成2(x^2^-1)^2^-(x^2^**-**1)^2^．
>
> 原式=(x+1)^4^+2(x^2^-1)^2^-(x^2^**-**1)^2^+(x-1)^4^
>
> =［(x+1)^4^+2(x+1)^2^(x-1)^2^+(x-1)^4^\]-(x^2^-1)^2^
>
> =［(x+1)^2^+(x-1)^2^\]^2^-(x^2^-1)^2^
>
> =(2x^2^+2)^2^**-**(x^2^-1)^2^=(3x^2^**+**1)(x^2^+3)．
>
> (4)添加两项+ab-ab．
>
> 原式=a^3^b-ab^3^+a^2^+b^2^+1+ab-ab
>
> =(a^3^b-ab^3^)+(a^2^-ab)+(ab+b^2^+1)
>
> =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b^2^+1)
>
> =a(a-b)［b(a+b)+1\]+(ab+b^2^+1)
>
> =\[a(a-b)+1\](ab+b^2^+1)
>
> =(a^2^-ab+1)(b^2^+ab+1)．
>
> **说明** (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
>
> ** 3．换元法**
>
> 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
>
> **例6** 分解因式：(x^2^+x+1)(x^2^+x+2)-12．
>
> **分析** 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x^2^+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
>
> **解** 设x^2^+x=y，则
>
> 原式=(y+1)(y+2)-12=y^2^+3y-10
>
> =(y-2)(y+5)=(x^2^+x-2)(x^2^+x+5)
>
> =(x-1)(x+2)(x^2^+x+5)．
>
> **说明** 本题也可将x^2^+x+1看作一个整体，比如今x^2^+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
>
> **例7** 分解因式：
>
> (x^2^+3x+2)(4x^2^+8x+3)-90．
>
> **分析** 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
>
> **解** 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
>
> =\[(x+1)(2x+3)\]\[(x+2)(2x+1)\]-90
>
> =(2x^2^+5x+3)(2x^2^+5x+2)-90．
>
> 令y=2x^2^+5x+2，则
>
> 原式=y(y+1)-90=y^2^+y-90
>
> =(y+10)(y-9)
>
> =(2x^2^+5x+12)(2x^2^+5x-7)
>
> =(2x^2^+5x+12)(2x+7)(x-1)．
>
> **说明** 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
>
> **例8** 分解因式：
>
> (x^2^+4x+8)2+3x(x^2^+4x+8)+2x^2^．
>
> **解** 设x^2^+4x+8=y，则
>
> 原式=y^2^+3xy+2x^2^=(y+2x)(y+x)
>
> =(x^2^**+**6x+8)(x^2^+5x+8)
>
> =(x+2)(x+4)(x^2^+5x+8)．
>
> **说明** 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
>
> **例9** 分解因式：6x^4^+7x^3^-36x^2^-7x+6．
>
> **解法1** 原式=6(x^4^+1)＋7x(x^2^-1)-36x^2^
>
> =6［(x^4^-2x^2^+1)+2x^2^］+7x(x^2^-1)-36x^2^
>
> =6\[(x^2^-1)2+2x^2^\]+7x(x^2^**-**1)-36x^2^
>
> =6(x^2^-1)^2^+7x(x^2^-1)-24x^2^
>
> =\[2(x^2^-1)-3x］［3(x^2^-1)+8x\]
>
> =(2x^2^-3x-2)(3x^2^+8x-3)
>
> =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
>
> **说明** 本解法实际上是将x^2^-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．
>
> **解法2**
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.2291666666666665in" height="0.9375in"}
>
> 原式=x^2^\[6(t^2^+2)+7t-36\]
>
> =x^2^(6t^2^+7t-24)=x^2^(2t-3)(3t+8)
>
> =x^2^\[2(x-1/x)-3\]\[3(x-1/x)+8\]
>
> =(2x^2^-3x-2)(3x^2^+8x-3)
>
> =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
>
> **例10** 分解因式：(x^2^+xy+y^2^)-4xy(x^2^+y^2^)．
>
> **分析** 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
>
> **解** 原式=\[(x+y)^2^-xy\]^2^-4xy\[(x+y)^2^-2xy\]．令x+y=u，xy=v，则
>
> 原式=(u^2^-v)^2^-4v(u^2^-2v)
>
> =u^4^-6u^2^v+9v^2^
>
> =(u^2^-3v)^2^
>
> =(x^2^+2xy+y^2^-3xy)^2^
>
> =(x^2^-xy+y^2^)^2^．
>
> **练习一**
>
> 1．分解因式：
>
> {width="1.9270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (2)x^10^+x^5^-2；
>
> {width="3.6458333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (4)(x^5^+x^4^+x^3^+x^2^+x+1)^2^-x^5^．
>
> 2．分解因式：
>
> (1)x^3^+3x^2^-4；
>
> (2)x^4^-11x^2^y^2^+y^2^；
>
> (3)x^3^+9x^2^+26x+24；
>
> (4)x^4^-12x+323．
>
> 3．分解因式：
>
> (1)(2x^2^-3x+1)^2^-22x^2^+33x-1；
>
> (2)x^4^+7x^3^+14x^2^+7x+1；
>
> (3)(x+y)^3^+2xy(1-x-y)-1；
>
> (4)(x+3)(x^2^-1)(x+5)-20．
第二讲 因式分解(二)
> ** 1．双十字相乘法**
>
> 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax^2^+bxy+cy^2^+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
>
> 例如，分解因式2x^2^-7xy-22y^2^-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
>
> 2x^2^-(5+7y)x-(22y^2^-35y+3)，
>
> 可以看作是关于x的二次三项式．
>
> 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
>
> {width="0.9375in" height="0.8854166666666666in"}
>
> 即
>
> -22y^2^+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
>
> 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
>
> {width="1.2916666666666667in" height="0.9375in"}
>
> 所以
>
> 原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
>
> =(x+2y-3)(2x-11y+1)．
>
> 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 它表示的是下面三个关系式：
>
> (x+2y)(2x-11y)=2x^2^-7xy-22y^2^；
>
> (x-3)(2x+1)=2x^2^-5x-3；
>
> (2y-3)(-11y+1)=-22y^2^+35y-3．
>
> 这就是所谓的双十字相乘法．
>
> 用双十字相乘法对多项式ax^2^+bxy+cy^2^+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
>
> (1)用十字相乘法分解ax^2^+bxy+cy^2^，得到一个十字相乘图(有两列)；
>
> (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
>
> **例1** 分解因式：
>
> (1)x^2^-3xy-10y^2^+x+9y-2；
>
> (2)x^2^-y^2^+5x+3y+4；
>
> (3)xy+y^2^+x-y-2；
>
> (4)6x^2^**-**7xy-3y^2^-xz+7yz-2z^2^．
>
> **解** (1)
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.8125in"}
>
> 原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
>
> (2)
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.8020833333333334in"}
>
> 原式=(x+y+1)(x-y+4)．
>
> (3)原式中缺x^2^项，可把这一项的系数看成0来分解．
>
> {width="1.7083333333333333in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 原式=(y+1)(x+y-2)．
>
> (4)
>
> {width="1.71875in" height="0.8333333333333334in"}
>
> 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
>
> **说明** (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
>
> ** 2．求根法**
>
> 我们把形如a~n~x^n^+a~n-1~x^n-1^+...+a~1~x+a~0~(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，...等记号表示，如
>
> f(x)=x^2^-3x+2，g(x)=x^5^+x^2^+6，...，
>
> 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
>
> f(1)=1^2^-3×1+2=0；
>
> f(-2)=(-2)^2^-3×(-2)+2=12．
>
> 若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
>
> **定理1(因式定理)** 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
>
> 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
>
> **定理2**
>
> {width="3.53125in" height="0.7291666666666666in"}
>
> 的根，则必有p是a~0~的约数，q是a~n~的约数．特别地，当a~0~=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a~n~的约数．
>
> 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
>
> **例2** 分解因式：x^3^-4x^2^+6x-4．
>
> **分析** 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
>
> f(2)=2^3^-4×2^2^+6×2-4=0，
>
> 即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
>
> **解法1** 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
>
> 原式=(x^3^-2x^2^)-(2x^2^-4x)+(2x-4)
>
> =x^2^(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
>
> =(x-2)(x^2^-2x+2)．
>
> **解法2** 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
>
> {width="1.4166666666666667in" height="1.5625in"}
>
> 所以
>
> 原式=(x-2)(x^2^-2x+2)．
>
> **说明** 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
>
> **例3** 分解因式：9x^4^-3x^3^+7x^2^-3x-2．
>
> **分析** 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±{width="5.177083333333333in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 为：
>
> {width="2.34375in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 所以，原式有因式9x^2^-3x-2．
>
> **解** 9x^4^-3x^3^+7x^2^-3x-2
>
> =9x^4^-3x^3^-2x^2^**+**9x^2^-3x-2
>
> =x^2^(9x^3^-3x-2)+9x^2^-3x-2
>
> =(9x^2^-3x-2)(x^2^+1)
>
> =(3x+1)(3x-2)(x^2^+1)
>
> **说明** 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
>
> {width="2.0in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 可以化为9x^2^-3x-2，这样可以简化分解过程．
>
> 总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
>
> ** 3．待定系数法**
>
> 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
>
> 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
>
> **例4** 分解因式：x^2^+3xy+2y^2^+4x+5y+3．
>
> **分析** 由于
>
> (x^2^+3xy+2y^2^)=(x+2y)(x+y)，
>
> 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
>
> **解** 设
>
> x^2^+3xy+2y^2^+4x+5y+3
>
> =(x+2y+m)(x+y+n)
>
> =x^2^+3xy+2y^2^+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
>
> 比较两边对应项的系数，则有
>
> {width="1.0104166666666667in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 解之得m=3，n=1．所以
>
> 原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
>
> **说明** 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
>
> **例5** 分解因式：x^4^-2x^3^-27x^2^-44x+7．
>
> **分析** 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x^2^**+**ax+b)(x^2^+cx+d)的形式．
>
> **解** 设
>
> 原式=(x^2^+ax+b)(x^2^+cx+d)
>
> =x^4^+(a+c)x^3^+(b+d+ac)x^2^+(ad+bc)x+bd，
>
> 所以有
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.0729166666666667in"}
>
> 由bd=7，先考虑b=1，d=7有
>
> {width="1.1041666666666667in" height="0.8229166666666666in"}
>
> {width="2.2291666666666665in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 所以
>
> 原式=(x^2^-7x+1)(x^2^+5x+7)．
>
> **说明** 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
>
> 本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
>
> **练习二**
>
> 1．用双十字相乘法分解因式：
>
> (1)x^2^-8xy+15y^2^+2x-4y-3；
>
> (2)x^2^-xy+2x+y-3；
>
> (3)3x^2^-11xy+6y^2^-xz-4yz-2z^2^．
>
> 2．用求根法分解因式：
>
> (1)x^3^+x^2^-10x-6；
>
> (2)x^4^+3x^3^-3x^2^-12x-4；
>
> (3)4x^4^+4x^3^-9x^2^-x+2．
>
> 3．用待定系数法分解因式：
>
> (1)2x^2^+3xy-9y^2^+14x-3y+20；
>
> (2)x^4^+5x^3^+15x-9．
--
--
第三讲 实数的若干性质和应用
> 实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．
>
> {width="4.802083333333333in" height="0.4270833333333333in"}用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．
>
> **性质1** 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．
>
> **例1**
>
> {width="3.53125in" height="0.3020833333333333in"}
>
> **分析** 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．
>
> **证** 设
>
> {width="1.1458333333333333in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 两边同乘以100得
>
> {width="2.21875in" height="0.3020833333333333in"}
>
> ②-①得
>
> 99x=261.54-2.61=258.93，
>
> {width="2.0104166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.96875in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理{width="5.03125in" height="0.75in"}\
> 是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．
>
> **性质2** 设a为有理数，b为无理数，则
>
> (1)a+b，a-b是无理数；
>
> {width="2.8125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 有理数和无理数统称为实数，即
>
> {width="3.6979166666666665in" height="1.09375in"}
>
> 在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．
>
> **例2**
>
> {width="2.1979166666666665in" height="0.6770833333333334in"}
>
> ** 分析**
>
> {width="5.114583333333333in" height="0.84375in"}
>
> ** 证**
>
> {width="3.1354166666666665in" height="1.2708333333333333in"}
>
> {width="3.0625in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 所以
>
> {width="1.75in" height="0.6770833333333334in"}
>
> {width="4.114583333333333in" height="0.6770833333333334in"}
>
> {width="1.8229166666666667in" height="0.25in"}
>
> **分析** 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．
>
> **证** 用反证法．
>
> {width="3.65625in" height="0.25in"}
>
> {width="3.1145833333333335in" height="0.7291666666666666in"}
>
> 所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得
>
> 4m^2^＝2q^2^，q^2^＝2m^2^，
>
> {width="4.854166666666667in" height="0.53125in"}
>
> {width="5.072916666666667in" height="0.5208333333333334in"}
>
> **例4** 若a~1~+b~1~a=a~2~+b~2~a(其中a~1~，a~2~，b~1~，b~2~为有理数，a为无理数)，则a~1~=a~2~，b~1~=b~2~，反之，亦成立．
>
> **分析** 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．
>
> **证** 将原式变形为(b~1~-b~2~)a=a~2~-a~1~．若b~1~≠b~2~，则
>
> {width="0.96875in" height="0.46875in"}
>
> {width="5.03125in" height="0.75in"}
>
> 反之，显然成立．
>
> **说明** 本例的结论是一个常用的重要运算性质．
>
> {width="4.6875in" height="0.5in"}是无理数，并说明理由．
>
> {width="2.9479166666666665in" height="1.0in"}
>
> 整理得
>
> {width="1.5208333333333333in" height="0.25in"}
>
> 由例4知
>
> a＝Ab，1=A，
>
> {width="4.927083333333333in" height="1.0in"}
>
> **说明** 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结{width="4.927083333333333in" height="0.5in"}有理数作为立足点，以其作为推理的基础．
>
> **例6** 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．
>
> **分析** 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．
>
> **证** 因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以
>
> {width="1.1145833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="5.020833333333333in" height="0.8645833333333334in"}{width="5.052083333333333in" height="0.6875in"}
>
> **说明** 构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．
>
> **例7** 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？
>
> {width="2.3229166666666665in" height="0.25in"}
>
> {width="2.2604166666666665in" height="0.5520833333333334in"}
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 即
>
> {width="2.3854166666666665in" height="0.2604166666666667in"}
>
> 由①，②有
>
> {width="2.8020833333333335in" height="0.7708333333333334in"}
>
> {width="3.8958333333333335in" height="0.5in"}
>
> {width="5.0625in" height="0.4270833333333333in"}存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
>
> {width="2.6041666666666665in" height="0.25in"}
>
> b^4^+12b^3^+37b^2^+6b-20
>
> 的值．
>
> **分析** 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．
>
> {width="5.15625in" height="0.53125in"}
>
> 14=9+6b+b^2^，所以b^2^+6b=5．
>
> b^4^+12b^3^+37b^2^+6b-20
>
> =(b^4^+2·6b^3^+36b^2^)+(b^2^+6b)-20
>
> =(b^2^+6b)^2^+(b^2^+6b)-20
>
> =5^2^+5-20=10．
>
> **例9** 求满足条件
>
> {width="1.4791666666666667in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 的自然数a，x，y．
>
> **解** 将原式两边平方得
>
> {width="2.5729166666666665in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="5.197916666666667in" height="0.5625in"}
>
> 由①式变形为
>
> {width="1.6041666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="4.927083333333333in" height="0.5625in"}
>
> {width="1.0104166666666667in" height="0.2708333333333333in"}
>
> 两边平方得
>
> {width="2.34375in" height="0.5520833333333334in"}
>
> {width="4.927083333333333in" height="0.5520833333333334in"}
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.53125in"}
>
> {width="5.0625in" height="0.5729166666666666in"}
>
> **例10** 设a~n~是1^2^+2^2^+3^2^+...+n^2^的个位数字，n=1，2，3，...，求证：0.a~1~a~2~a~3~...a~n~...是有理数．
>
> **分析** 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a~1~a~2~a~3~...a~n~...是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．
>
> **证** 计算a~n~的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，...发现：a~20~=0，a~21~=a~1~，a~22~=a~2~，a~23~=a~3~，...，于是猜想：a~k+20~=a~k~，若此式成立，说明0.a~1~a~2~...a~n~...是由20个数字组成循环节的循环小数，即
>
> {width="3.1458333333333335in" height="0.3125in"}
>
> 下面证明a~k+20~=a~k~．
>
> 令f(n)=1^2^+2^2^+...+n^2^，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而
>
> f(n+20)-f(n)
>
> =(n+1)^2^+(n+2)^2^+...+(n+20)^2^
>
> =10(2n^2^+4^2^·n)+(1^2^+2^2^+...+20^2^)．
>
> 由前面计算的若干值可知：1^2^+2^2^+...+20^2^是10的倍数，故a~k+20~=a~k~成立，所以0.a^1^a^2^...a^n^...是一个有理数．
>
> **练习三**
>
> 1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？
>
> {width="3.0in" height="0.4791666666666667in"}{width="2.3645833333333335in" height="0.3020833333333333in"}
>
> {width="2.6145833333333335in" height="0.6041666666666666in"}
>
> {width="1.84375in" height="0.25in"}
>
> 5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：
>
> α=β=0．
>
> {width="5.09375in" height="0.5208333333333334in"}
第四讲 分式的化简与求值
> 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
>
> **例1** 化简分式：
>
> {width="3.6979166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> **分析** 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．
>
> {width="3.65625in" height="0.90625in"}
>
> {width="3.25in" height="0.9479166666666666in"}
>
> ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］
>
> {width="2.3645833333333335in" height="1.3854166666666667in"}
>
> {width="2.1041666666666665in" height="0.9375in"}
>
> **说明** 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
>
> **例2** 求分式
>
> {width="3.15625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 当a=2时的值．
>
> **分析与解** 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：
>
> a^2^-b^2^=(a+b)(a-b)，
>
> 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
>
> {width="3.8958333333333335in" height="1.3958333333333333in"}
>
> {width="3.40625in" height="1.3125in"}
>
> **例3** 若abc=1，求{width="2.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析** 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
>
> **解法1** 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．
>
> {width="3.5520833333333335in" height="0.8645833333333334in"}
>
> {width="2.8020833333333335in" height="0.8645833333333334in"}
>
> **解法2** 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．
>
> {width="3.3229166666666665in" height="1.3125in"}
>
> {width="3.1770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.53125in" height="1.2708333333333333in"}
>
> **例4** 化简分式：
>
> {width="2.8020833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析与解** 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．
>
> {width="3.8854166666666665in" height="1.34375in"}
>
> ** 说明**
>
> ** **{width="5.104166666666667in" height="1.15625in"}
>
> 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫"拆项相消"法，它是分式化简中常用的技巧．
>
> **例5** 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：
>
> {width="3.8229166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．
>
> ** 解**
>
> ** **{width="4.09375in" height="0.8958333333333334in"}
>
> **说明** 本例也是采取"拆项相消"法，所不同的是利用{width="2.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例6** 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
>
> {width="3.4479166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> **分析** 本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．
>
> **解** 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为{width="4.947916666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> u^2^+v^2^+w^2^+2(uv+vw+wu)=0．
>
> 由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u^2^+v^2^+w^2^≠0，从而有
>
> {width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.8541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．
>
> **例7** 化简分式：
>
> {width="3.78125in" height="0.8854166666666666in"}
>
> {width="4.96875in" height="0.8958333333333334in"}
>
> {width="2.6145833333333335in" height="0.8645833333333334in"}
>
> {width="2.8854166666666665in" height="1.0520833333333333in"}
>
> {width="2.65625in" height="1.2604166666666667in"}
>
> {width="2.90625in" height="0.7708333333333334in"}
>
> {width="4.65625in" height="0.2708333333333333in"}适当变形，化简分式后再计算求值．
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.5729166666666666in"}
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.2604166666666667in"}
>
> (x-4)^2^=3，即x^2^-8x+13＝0．
>
> 原式分子=(x^4^-8x^3^+13x^2^)+(2x^3^-16x^2^+26x)+(x^2^-8x+13)+10
>
> =x^2^(x^2^-8x+13)+2x(x^2^-8x+13)+(x^2^-8x+13)+10
>
> =10，
>
> 原式分母=(x^2^-8x+13)+2=2，
>
> {width="2.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** 本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．
>
> {width="3.4270833333333335in" height="0.8645833333333334in"}
>
> **解法1** 利用比例的性质解决分式问题．
>
> (1)若a+b+c≠0，由等比定理有
>
> {width="3.2604166666666665in" height="1.1145833333333333in"}
>
> 所以
>
> a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
>
> 于是有
>
> {width="2.8854166666666665in" height="0.4375in"}
>
> (2)若a+b+c=0，则
>
> a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
>
> 于是有
>
> {width="2.8854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．
>
> **解法2** 设参数法．令
>
> {width="2.6458333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 则
>
> a+b=(k+1)c，①
>
> a+c=(k+1)b，②
>
> b+c=(k+1)a．③
>
> ①+②+③有
>
> 2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
>
> 所以 (a+b+c)(k-1)=0，
>
> 故有k=1或 a+b+c=0．
>
> 当k=1时，
>
> {width="2.7291666666666665in" height="0.4375in"}
>
> {width="2.8854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 当a+b+c=0时，
>
> **说明** 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
>
> **练习四**
>
> 1．化简分式：
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 2．计算：
>
> {width="3.1145833333333335in" height="0.9375in"}
>
> 3．已知：
>
> (y-z)^2^+(z-x)^2^+(x-y)^2^
>
> =(x+y-2z)^2^+(y+z-2x)^2^+(z+x-2y)^2^，
>
> {width="2.5104166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="3.8645833333333335in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 的值．
>
> {width="3.4479166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.78125in" height="0.4479166666666667in"}
>
>
第五讲 恒等式的证明
> 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．
>
> 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．
>
> 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．
>
> 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．
>
> ** 1．由繁到简和相向趋进**
>
> 恒等式证明最基本的思路是"由繁到简"(即由等式较繁的一边向另一边推导)和"相向趋进"(即将等式两边同时转化为同一形式)．
>
> **例1** 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y^2^)(1-z^2^)+y(1-x^2^)(1-z^2^)+z(1-x^2^)(1-y^2^)=4xyz．
>
> **分析** 将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．
>
> **证** 因为x+y+z=xyz，所以
>
> 左边=x(1-z^2^-y^2^-y^2^z^2^)+y(1-z^2^-x^2^+x^2^z^2^)+(1-y^2^-x^2^+x^2^y^2^)
>
> =(x+y+z)-xz^2^-xy^2^+xy^2^z^2^-yz^2^+yx^2^+yx^2^z^2^-zy^2^-zx^2^+zx^2^y^2^
>
> =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
>
> =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
>
> =xyz+xyz+xyz+xyz
>
> =4xyz=右边．
>
> **说明** 本例的证明思路就是"由繁到简"．
>
> **例2** 已知1989x^2^=1991y^2^=1993z^2^，x＞0，y＞0，z＞0，且
>
> {width="3.5520833333333335in" height="0.75in"}
>
> **证** 令1989x^2^=1991y^2^=1993z^2^=k(k＞0)，则
>
> {width="3.15625in" height="0.9375in"}
>
> {width="3.3541666666666665in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 又因为
>
> {width="2.71875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以
>
> {width="3.3854166666666665in" height="0.5in"}
>
> 所以
>
> {width="3.5520833333333335in" height="0.2708333333333333in"}
>
> **说明** 本例的证明思路是"相向趋进"，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．
>
> 2．比较法
>
> {width="4.822916666666667in" height="0.4270833333333333in"}\
> a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．
>
> **例3** 求证：
>
> {width="3.15625in" height="0.4791666666666667in"}
>
> **分析** 用比差法证明左-右=0．本例中，
>
> {width="3.9270833333333335in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．
>
> **证** 因为
>
> {width="2.2604166666666665in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="2.5104166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以
>
> {width="2.0625in" height="0.96875in"}
>
> 所以
>
> {width="3.8854166666666665in" height="0.90625in"}
>
> **说明** 本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．
>
> {width="4.65625in" height="0.4270833333333333in"}全不为零．证明：
>
> (1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
>
> {width="2.2604166666666665in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 同理
>
> {width="2.0625in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 所以
>
> {width="3.4270833333333335in" height="0.46875in"}
>
> {width="2.8125in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
>
> **说明** 本例采用的是比商法．
>
> ** 3．分析法与综合法**
>
> 根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓"执果索因"．而综合法正好相反，它是"由因导果"，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．
>
> {width="3.6145833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **证** 要证 a^2^+b^2^+c^2^=(a+b-c)^2^，只要证
>
> {width="3.3958333333333335in" height="0.8645833333333334in"}
>
> a^2^+b^2^+c^2^=a^2^+b^2^+c^2^+2ab-2ac-2bc，
>
> 只要证 ab=ac+bc，
>
> 只要证 c(a+b)=ab，
>
> 只要证
>
> 这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．
>
> **说明** 本题采用的方法是典型的分析法．
>
> **例6** 已知a^4^+b^4^+c^4^+d^4^=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．
>
> **证** 由已知可得
>
> a^4^+b^4^+c^4^+d^4^-4abcd=0，
>
> (a^2^-b^2^)^2^+(c^2^-d^2^)^2^**+**2a^2^b^2^+2c^2^d^2^-4abcd=0，
>
> 所以
>
> (a^2^-b^2^)^2^+(c^2^-d^2^)^2^+2(ab-cd)^2^=0．
>
> 因为(a^2^-b^2^)^2^≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以
>
> a^2^-b^2^=c^2^-d^2^**=**ab-cd=0，
>
> 所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
>
> 又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
>
> a＝b，c=d．
>
> 所以
>
> ab-cd=a^2^-c^2^=(a+c)(a-c)=0，
>
> 所以a＝c．故a=b＝c=d成立．
>
> **说明** 本题采用的方法是综合法．
>
> ** 4．其他证明方法与技巧**
>
> ** **{width="4.15625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 求证：8a+9b+5c=0．
>
> {width="3.03125in" height="0.4479166666666667in"}
>
> a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，
>
> (c+a)=3k(c-a)．
>
> 所以
>
> 6(a+b)=6k(a-b)，
>
> 3(b+c)=6k(b-c)，
>
> 2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得
>
> 6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)
>
> =6k(a-b+b-c+c-a)，
>
> 即 8a+9b+5c=0．
>
> **说明** 本题证明中用到了"遇连比设为k"的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．
>
> **例8** 已知a+b+c=0，求证
>
> 2(a^4^+b^4^+c^4^)＝(a^2^+b^2^+c^2^)^2^．
>
> **分析与证明** 用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．
>
> 左-右=2(a^4^+b^4^+c^4^)-(a^2^+b^2^+c^2^)^2^
>
> =a^4^+b^4^+c^4^-2a^2^b^2^-2b^2^c^2^-2c^2^a^2^
>
> =(a^2^-b^2^-c^2^)^2^-4b^2^c^2^
>
> =(a^2^-b^2^-c^2^+2bc)(a^2^-b^2^-c^2^-2bc)
>
> =\[a^2^-(b-c)^2^\]\[a^2^-(b+c)^2^\]
>
> =(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．
>
> **说明** 本题证明过程中主要是进行因式分解．
>
> {width="3.8541666666666665in" height="0.4791666666666667in"}
>
> **分析** 本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．
>
> **证** 由已知
>
> {width="1.28125in" height="0.9375in"}
>
> {width="2.4375in" height="0.9791666666666666in"}
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.90625in"}
>
> **说明** 本题利用的是"消元"法，它是证明条件等式的常用方法．
>
> **例10** 证明：
>
> (y+z-2x)^3^+(z+x-2y)^3^+(x+y-2z)^3^
>
> =3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．
>
> **分析与证明** 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令
>
> y+z-2x=a，①
>
> z+x-2y=b，②
>
> x+y-2z=c，③
>
> 则要证的等式变为
>
> a^3^+b^3^+c^3^=3abc．
>
> 联想到乘法公式：
>
> a^3^+b^3^+c^3^-3abc=(a+b+c)(a^2^+b^2^+c^2^-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有
>
> a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，
>
> 所以 a^3^+b^3^+c^3^-3abc=0，
>
> 所以
>
> (y+z-2x)^3^+(z+x-2y)^3^+(x+y-2z)^3^
>
> =3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．
>
> **说明** 由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．
>
> **例11** 设x，y，z为互不相等的非零实数，且
>
> {width="1.53125in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 求证：x^2^y^2^z^2^=1．
>
> **分析** 本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的{width="4.947916666666667in" height="1.1979166666666667in"}
>
> {width="1.1875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以x^2^y^2^=1．三元与二元的结构类似．
>
> **证** 由已知有
>
> {width="1.0729166666666667in" height="1.3854166666666667in"}
>
> ①×②×③得x^2^y^2^z^2^=1．
>
> **说明** 这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．
>
> 总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．
>
> **练习五**
>
> 1．已知(c-a)^2^-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．
>
> 2．证明：
>
> (x+y+z)^3^xyz-(yz+zx+xy)^3^
>
> =xyz(x^3^+y^3^+z^3^)-(y^3^z^3^+z^3^x^3^+x^3^y^3^)．
>
> 3．求证：
>
> {width="3.09375in" height="0.8958333333333334in"}
>
> {width="4.010416666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 5．证明：
>
> {width="2.7708333333333335in" height="0.9479166666666666in"}
>
> 6．已知x^2^-yz=y^2^-xz=z^2^-xy，求证：
>
> x=y=z或x+y+z=0．
>
> 7．已知an-bm≠0，a≠0，ax^2^+bx+c=0，mx^2^+nx+p=0，求证：
>
> (cm-ap)^2^=(bp-cn)(an-bm)．
第六讲 代数式的求值
> 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
>
> ** 1．利用因式分解方法求值**
>
> 因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
>
> {width="3.5104166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析** x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
>
> **解** 已知条件可变形为3x^2^+3x-1=0，所以
>
> 6x^4^+15x^3^+10x^2^
>
> =(6x^4^+6x^3^-2x^2^)+(9x^3^+9x^2^-3x)+(3x^2^+3x-1)+1
>
> =(3x^2^+3x-1)(2z^2^+3x+1)+1
>
> =0+1=1．
>
> **说明** 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
>
> **例2** 已知a，b，c为实数，且满足下式：
>
> a^2^+b^2^**+**c^2^=1，①
>
> {width="3.1875in" height="0.46875in"}
>
> 求a+b+c的值．
>
> **解** 将②式因式分解变形如下
>
> {width="4.21875in" height="0.46875in"}
>
> 即
>
> {width="3.3229166666666665in" height="0.46875in"}
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.90625in"}
>
> 所以
>
> a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
>
> 若bc+ac+ab=0，则
>
> (a+b+c)^2^=a^2^+b^2^+c^2^+2(bc+ac+ab)
>
> =a^2^+b^2^+c^2^=1，
>
> 所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
>
> **说明** 本题也可以用如下方法对②式变形：
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.90625in"}
>
> 即
>
> {width="3.0104166666666665in" height="0.90625in"}
>
> 前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
>
> ** 2．利用乘法公式求值**
>
> **例3** 已知x+y=m，x^3^+y^3^=n，m≠0，求x^2^**+**y^2^的值．
>
> **解** 因为x+y=m，所以
>
> m^3^=(x+y)^3^=x^3^+y^3^+3xy(x+y)=n+3m·xy，
>
> {width="1.71875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以
>
> {width="4.0in" height="0.5208333333333334in"}
>
> {width="3.21875in" height="0.4270833333333333in"}求x^2^+6xy+y^2^的值．
>
> **分析** 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
>
> **解** x^2^+6xy+y^2^=x^2^+2xy+y^2^+4xy
>
> =(x+y)^2^+4xy
>
> {width="2.0625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ** 3．设参数法与换元法求值**
>
> 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
>
> {width="3.59375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析** 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
>
> {width="2.90625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
>
> 所以
>
> x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
>
> {width="4.25in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="4.6875in" height="1.1458333333333333in"}
>
> {width="3.21875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> u+v+w=1，①
>
> {width="1.3541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由②有
>
> {width="1.9375in" height="0.6875in"}
>
> 把①两边平方得
>
> u^2^+v^2^+w^2^+2(uv+vw+wu)=1，
>
> 所以u^2^+v^2^+w^2^=1，
>
> 即
>
> {width="1.2291666666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="1.9479166666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="3.3958333333333335in" height="0.2604166666666667in"}
>
> {width="5.1875in" height="0.6979166666666666in"}
>
> {width="2.6979166666666665in" height="0.75in"}
>
> 两边平方有
>
> {width="2.0104166666666665in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 所以
>
> {width="3.4270833333333335in" height="0.5520833333333334in"}
>
> ** 4．利用非负数的性质求值**
>
> 若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
>
> **例8** 若x^2^-4x+\|3x-y\|=-4，求y^x^的值．
>
> **分析与解** x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
>
> 因为x^2^-4x+\|3x-y\|=-4，所以
>
> x^2^-4x＋4＋\|3x-y\|=0，
>
> 即 (x-2)^2^+\|3x-y\|=0．
>
> {width="2.1979166666666665in" height="1.1041666666666667in"}
>
> 所以 y^x^=6^2^=36．
>
> **例9** 未知数x，y满足
>
> (x^2^＋y^2^)m^2^-2y(x+n)m+y^2^+n^2^=0， 其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
>
> **分析与解** 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
>
> 将已知等式变形为
>
> m^2^x^2^+m^2^y^2^-2mxy-2mny+y^2^+n^2^=0，
>
> (m^2^x^2^-2mxy+y^2^)+(m^2^y^2^-2mny+n^2^)=0，即 (mx-y)^2^+(my-n)^2^=0．
>
> {width="2.09375in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.46875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ** 5．利用分式、根式的性质求值**
>
> 分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
>
> **例10** 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
>
> {width="4.614583333333333in" height="0.4479166666666667in"}
>
> **分析** 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
>
> **解** 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
>
> {width="2.5in" height="0.9375in"}
>
> 同理
>
> {width="2.2708333333333335in" height="0.9375in"}
>
> {width="2.6041666666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="3.40625in" height="0.9270833333333334in"}
>
> **分析** 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是{width="5.135416666666667in" height="0.25in"}分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
>
> {width="3.5520833333333335in" height="1.46875in"}
>
> 同样(但请注意算术根！)
>
> {width="3.28125in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 将①，②代入原式有
>
> {width="2.03125in" height="1.0104166666666667in"}
>
> {width="1.8125in" height="1.1875in"}
>
> **练习六**
>
> {width="4.15625in" height="0.5in"}
>
> 2．已知x+y=a，x^2^+y^2^=b^2^，求x^4^+y^4^的值．
>
> 3．已知a-b+c=3，a^2^+b^2^+c^2^=29，a^3^+b^3^+c^3^=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．
>
> {width="3.3020833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 5．设a+b+c=3m，求(m-a)^3^+(m-b)^3^+(m-c)^3^-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．
>
> {width="3.2708333333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.260416666666667in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 8．已知13x^2^-6xy+y^2^-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．
第七讲 根式及其运算
> 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．
>
> {width="3.7604166666666665in" height="0.25in"}
>
> 二次根式的性质：
>
> {width="1.96875in" height="0.2604166666666667in"}
>
> {width="2.46875in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 二次根式的运算法则：
>
> {width="3.0729166666666665in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.5104166666666665in" height="1.0625in"}
>
> 设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅{width="2.8958333333333335in" height="0.25in"}
>
> {width="3.9479166666666665in" height="0.2604166666666667in"}
>
> 当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．
>
> **例1** 化简：
>
> {width="3.0729166666666665in" height="0.6041666666666666in"}
>
> {width="5.145833333333333in" height="0.28125in"}法是配方去掉根号，所以
>
> {width="2.6145833333333335in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 因为x-2＜0，1-x＜0，所以
>
> 原式=2-x+x-1=1．
>
> {width="3.3125in" height="0.8541666666666666in"}
>
> ＝a-b-a+b-a+b=b-a．
>
> **说明** 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．
>
> **例2** 化简：
>
> {width="2.15625in" height="1.0in"}
>
> **分析** 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．
>
> {width="3.1145833333333335in" height="0.5104166666666666in"}
>
> {width="1.8958333333333333in" height="1.4479166666666667in"}
>
> {width="2.9791666666666665in" height="1.5520833333333333in"}
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.03125in"}
>
> {width="1.8229166666666667in" height="0.28125in"}
>
> {width="5.135416666666667in" height="0.5520833333333334in"}
>
> **解法1** 配方法．
>
> {width="2.53125in" height="0.6145833333333334in"}
>
> 配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则
>
> {width="3.0104166666666665in" height="0.6041666666666666in"}
>
> **解法2** 待定系数法．
>
> {width="2.78125in" height="0.6041666666666666in"}
>
> {width="1.8645833333333333in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.8020833333333335in" height="0.8541666666666666in"}
>
> **例4** 化简：
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.3645833333333333in"}
>
> {width="3.1770833333333335in" height="1.0208333333333333in"}
>
> {width="3.78125in" height="0.5in"}
>
> (2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
>
> {width="2.0729166666666665in" height="1.0625in"}
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.6145833333333334in"}
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.2708333333333333in"}
>
> **分析** 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成{width="5.21875in" height="0.2708333333333333in"}
>
> **解** 设
>
> {width="2.9270833333333335in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 两边平方得
>
> {width="2.71875in" height="0.5520833333333334in"}
>
> {width="3.1354166666666665in" height="1.0729166666666667in"}
>
> ②×③×④得
>
> (xyz)^2^=5×7×35=35^2^．
>
> 因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
>
> xyz=35．⑤
>
> ⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以
>
> {width="1.3958333333333333in" height="0.25in"}
>
> {width="3.2708333333333335in" height="0.3229166666666667in"}
>
> **解** 设原式=x，则
>
> {width="3.5in" height="0.65625in"}
>
> {width="2.1354166666666665in" height="0.5729166666666666in"}
>
> {width="2.5729166666666665in" height="0.25in"}
>
> {width="3.03125in" height="0.28125in"}
>
> **解法1** 利用(a＋b)^3^＝a^3^＋b^3^＋3ab(a＋b)来解．
>
> {width="3.84375in" height="0.8541666666666666in"}
>
> 将方程左端因式分解有
>
> (x-4)(x^2^＋4x＋10)＝0．
>
> 因为
>
> x^2^＋4x＋10＝(x＋2)^2^＋6＞0，
>
> 所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
>
> **解法2**
>
> {width="2.6979166666666665in" height="0.6145833333333334in"}
>
> {width="2.8229166666666665in" height="0.5729166666666666in"}
>
> **说明** 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．
>
> **例8** 化简：
>
> {width="3.9479166666666665in" height="0.34375in"}
>
> **解(1)**
>
> {width="4.197916666666667in" height="1.0729166666666667in"}
>
> {width="3.1145833333333335in" height="0.9375in"}
>
> {width="2.7708333333333335in" height="1.0in"}
>
> {width="2.7604166666666665in" height="1.0104166666666667in"}
>
> 本小题也可用换元法来化简．
>
> {width="2.7708333333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="3.3958333333333335in" height="0.96875in"}
>
> {width="3.7604166666666665in" height="0.5208333333333334in"}
>
> **解** 用换元法．
>
> {width="3.9375in" height="0.78125in"}
>
> {width="3.0in" height="0.84375in"}
>
> {width="4.697916666666667in" height="0.5in"}
>
> **解** 直接代入较繁，观察x，y的特征有
>
> {width="2.0625in" height="0.53125in"}
>
> 所以
>
> 3x^2^-5xy＋3y^2^＝3x^2^＋6xy＋3y^2^-11xy
>
> ＝3(x＋y)^2^-11xy
>
> ＝3×10^2^-11×1＝289．
>
> **例11** 求
>
> {width="3.7604166666666665in" height="0.3020833333333333in"}
>
> **分析** 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．
>
> **解** 设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a^2^-b^2^，所以
>
> A＝(2-1)(2＋1)(2^2^＋1)(2^4^＋1)...(2^2^56＋1)＋1
>
> ＝(2^2^-1)(2^2^＋1)(2^4^＋1)(2^8^＋1)...(2^2^56＋1)＋1
>
> ＝(2^4^-1)(2^4^＋1)(2^8^＋1)(2^16^＋1)...(2^2^56＋1)＋1
>
> ＝...＝(2^2^56-1)(2^256^＋1)＋1
>
> ＝2^2×256^-1＋1＝2^2×256^，
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.28125in"}
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.25in"}
>
> {width="2.28125in" height="2.1458333333333335in"}
>
> 的值．
>
> **分析与解** 先计算几层，看一看有无规律可循．
>
> {width="2.0in" height="0.75in"}
>
> {width="3.1875in" height="1.0729166666666667in"}
>
> {width="2.96875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.3229166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **解** 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有
>
> {width="1.1458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}
>
> 两边平方得
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 两边再平方得
>
> x^4^-4x^2^＋4＝2＋x，所以x^4^-4x^2^-x＋2＝0．
>
> 观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有
>
> (x＋1)(x-2)(x^2^＋x-1)＝0．
>
> {width="2.65625in" height="0.46875in"}
>
> {width="4.197916666666667in" height="0.9375in"}
>
> {width="1.1979166666666667in" height="0.46875in"}
>
> {width="5.0625in" height="0.75in"}
>
> **解** 因为
>
> {width="2.8645833333333335in" height="0.5in"}
>
> {width="3.46875in" height="0.46875in"}
>
> {width="3.2604166666666665in" height="0.90625in"}
>
> **练习七**
>
> 1．化简：
>
> {width="2.75in" height="0.5729166666666666in"}
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}
>
> 2．计算：
>
> {width="2.1875in" height="0.7708333333333334in"}
>
> {width="1.9375in" height="0.6875in"}
>
> 3．计算：
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.5in"}
>
> {width="4.71875in" height="0.53125in"}
>
> {width="4.572916666666667in" height="1.0in"}
>
> {width="4.854166666666667in" height="0.6770833333333334in"}
>
>
第八讲 非负数
> 所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．
>
> ** 1．实数的偶次幂是非负数**
>
> 若a是任意实数，则a^2n^≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a^2^≥0．
>
> ** 2．实数的绝对值是非负数**
>
> 若a是实数，则
>
> {width="1.8854166666666667in" height="0.8229166666666666in"}
>
> **性质** 绝对值最小的实数是零．\`
>
> ** 3．一个正实数的算术根是非负数**
>
> ** **{width="2.7604166666666665in" height="0.28125in"}
>
> ** 4．非负数的其他性质**
>
> (1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a~1~，a~2~，...，a~n~为非负数，则
>
> a~1~＋a~2~＋...＋a~n~≥0．
>
> (3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a~1~，a~2~，...，a~n~为非负数，且a~1~＋a~2~＋...＋a~n~=0，则必有a~1~＝a~2~＝...＝a~n~＝0．
>
> 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．
>
> (4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．
>
> (5)最小非负数为零，没有最大的非负数．
>
> (6)一元二次方程ax^2^＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b^2^-4ac为非负数．
>
> 应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．
>
> {width="3.5520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.4375in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 解得a=3，b=-2．代入代数式得
>
> {width="1.9375in" height="0.46875in"}
>
> {width="3.5208333333333335in" height="0.3020833333333333in"}
>
> **解** 因为(20x-3)^2^为非负数，所以
>
> -(20x-3)^2^≤0． ①
>
> {width="2.5104166666666665in" height="0.3020833333333333in"}
>
> -(20x-3)^2^≥0． ②
>
> 由①，②可得：-(20x-3)^2^=0．所以
>
> 原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．
>
> **说明** 本题解法中应用了"若a≥0且a≤0，则a=0"，这是个很有用的性质．
>
> **例3** 已知x，y为实数，且{width="2.7708333333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> **解** 因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有
>
> {width="0.90625in" height="0.53125in"}
>
> {width="3.90625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.447916666666667in" height="0.53125in"}
>
> **解** 因为a^2^+b^2^-4a-2b+5=0，所以
>
> a^2^-4a+4+b^2^-2b+1=0，
>
> 即 (a-2)^2^+(b-1)^2^=0．
>
> (a-2)^2^=0，且 (b-1)^2^=0．
>
> 所以a=2，b=1．所以
>
> {width="2.7708333333333335in" height="1.3958333333333333in"}
>
> **例5** 已知x，y为实数，求
>
> u=5x^2^-6xy+2y^2^+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．
>
> **解** u=5x^2^-6xy+2y^2^+2x-2y+3
>
> =x^2^+y^2^+1-2xy+2x-2y+4x^2^-4xy+yg2+2
>
> =(x-y+1)^2^+(2x-y)^2^+2．
>
> 因为x，y为实数，所以
>
> (x-y+1)^2^≥0，(2x-y)^2^≥0，所以u≥2．所以当
>
> {width="1.0729166666666667in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 时，u有最小值2，此时x=1，y=2．
>
> **例6** 确定方程(a^2^+1)x^2^-2ax+(a^2^+4)=0的实数根的个数．
>
> **解** 将原方程化为
>
> a^2^x^2^-2ax+1+x^2^+a^2^+3=0，
>
> 即
>
> (ax-1)^2^+x^2^+a^2^+3=0．
>
> 对于任意实数x，均有
>
> (ax-1)^2^≥0，x^2^≥0，a^2^≥0，3＞0，所以，(ax-1)^2^+x^2^+a^2^+3恒大于0，故
>
> (a^2^+1)x^2^-2ax+(a^2^+4)=0无实根．
>
> **例7** 求方程{width="2.3229166666666665in" height="0.3020833333333333in"}的实数根．
>
> **分析** 本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．
>
> {width="3.59375in" height="0.9270833333333334in"}
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.3020833333333333in"}
>
> {width="1.3854166666666667in" height="0.59375in"}
>
> 解之得
>
> {width="1.8020833333333333in" height="0.8958333333333334in"}
>
> 经检验，均为原方程的解．
>
> **说明** 应用非负数的性质"几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零"，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．
>
> **例8** 已知方程组
>
> {width="1.0520833333333333in" height="2.34375in"}
>
> 求实数x~1~，x~2~，...，x~n~的值．
>
> **解** 显然，x~1~=x~2~=...=x~n~=0是方程组的解．
>
> 由已知方程组可知，在x~1~，x~2~，...，x~n~ 中，只要有一个值为零，则必有x~1~=x~2~=...=x~n~=0．所以当x~1~≠0，x~2~≠0，...，x~n~≠0时，将原方程组化为
>
> {width="1.0in" height="1.71875in"}
>
> 将上面n个方程相加得
>
> {width="2.8125in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 又因为x~i~为实数，所以
>
> {width="3.6875in" height="0.9479166666666666in"}
>
> 经检验，原方程组的解为
>
> {width="1.8854166666666667in" height="1.0729166666666667in"}
>
> **例9** 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．
>
> **解** 由于a，b为非负整数，所以
>
> {width="2.3958333333333335in" height="0.53125in"}
>
> 解得
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.53125in"}
>
> **例10** 当a，b为何值时，方程
>
> x^2^+2(1+a)x+3a^2^+4ab+4b^2^+2=0有实数根？
>
> **解** 因为方程有实数根，所以△≥0，即
>
> △=4(1+a)^2^-4(3a^2^+4ab+4b^2^+2)
>
> =4a^2^+8a+4-12a^2^-16ab-16b^2^-8
>
> =-8a^2^-16ab-16b^2^+8a-4≥0，
>
> 所以
>
> 2a^2^-4ab-4b^2^+2a-1≥0，
>
> -a^2^+2a-1-a^2^-4ab-4b^2^≥0，
>
> -(a-1)^2^-(a+2b)^2^≥0．
>
> 因为(a-1)2≥0，(a+2b)^2^≥0，所以
>
> {width="0.96875in" height="0.53125in"}
>
> {width="4.802083333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例11** 已知实数a，b，c，r，p满足
>
> pr＞1，pc-2b+ra=0，
>
> 求证：一元二次方程ax^2^+2bx+c=0必有实数根．
>
> **证** 由已知得2b=pc+ra，所以
>
> △=(2b)^2^-4ac=(pc+ra)^2^-4ac
>
> =p^2^c^2^+2pcra+r^2^a^2^-4ac
>
> =p^2^c^2^-2pcra+r^2^a^2^+4pcra-4ac
>
> =(pc-ra)^2^+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)^2^≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)^2^-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．
>
> **例12** 对任意实数x，比较3x^2^+2x-1与x^2^+5x-3的大小．
>
> **解** 用比差法．
>
> (3x^2^+2x-1)-(x^2^+5x-3)
>
> =2x^2^-3x+2
>
> {width="1.9375in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 即
>
> (3x^2^+2x-1)-(x^2^+5x-3)＞0，
>
> 所以 3x^2^+2x-1＞x^2^+5x-3．
>
> **说明** 比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．
>
> **例13** 已知a，b，c为实数，设
>
> {width="3.6770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 证明：A，B，C中至少有一个值大于零．
>
> **证** 由题设有
>
> A+B+C
>
> {width="3.78125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> =(a^2^-2a+1)+(b^2^-2b+1)+(c^2^-2c+1)+π-3
>
> =(a-1)^2^+(b-1)^2^+(c-1)^2^+(π-3)．
>
> 因为(a-1)^2^≥0，(b-1)^2^≥0，(c-1)^2^≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．
>
> 若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．
>
> **例14** 已知a≥0，b≥0，求证：
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析与证明** 对要求证的不等式两边分别因式分解有
>
> {width="2.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由不等式的性质知道，只须证明
>
> {width="2.1145833333333335in" height="0.8958333333333334in"}
>
> 因为a≥0，b≥0，所以
>
> {width="2.6145833333333335in" height="0.71875in"}
>
> 又因为
>
> {width="2.3229166666666665in" height="1.3125in"}
>
> {width="2.1979166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以原不等式成立．
>
> **例15** 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式
>
> a^4^**+**b^4^+c^4^+d^4^=4abcd，
>
> 试判断四边形的形状．
>
> **解** 由已知可得
>
> a^4^+b^4^+c^4^+d^4^-4abcd=0，
>
> 所以
>
> (a^4^-2a^2^b^2^+b^4^)+(c^2^-2c^2^d^2^+d^4^)+(2a^2^b^2^-4abcd+2c^2^d^2^)=0，
>
> 即 (a^2^-b^2^)^2^+(c^2^-d^2^)^2^+2(ab-cd)^2^=0．
>
> 因为a，b，c，d都是实数，所以
>
> (a^2^-b^2^)^2^≥0，(c^2^-d^2^)^2^≥0，(ab-cd)^2^≥0，
>
> 所以
>
> {width="1.65625in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
>
> a=b=c=d．
>
> 故此四边形为菱形．
>
> **练 习 八**
>
> 1．求x，y的值：
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.59375in"}
>
> {width="4.479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.052083333333333in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 4．若实数x，y，z满足条件
>
> {width="3.8020833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a^2^+b^2^+c^2^=x^2^+y^2^+z^2^=ax+by-cz，
>
> {width="1.4791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 6．若方程k(x^2^-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．
第九讲 一元二次方程
> 一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．
>
> 方程ax^2^+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．
>
> 一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．
>
> 对于方程ax^2^+bx+c=0(a≠0)，△=b^2^-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
>
> {width="1.40625in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 当△=0时，方程有两个相等的实数根，即
>
> {width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 当△＜0时，方程无实数根．
>
> {width="3.6354166666666665in" height="0.25in"}
>
> **分析** 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
>
> {width="4.40625in" height="0.25in"}
>
> {width="2.6770833333333335in" height="0.25in"}
>
> 因为
>
> {width="2.6979166666666665in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 所以
>
> {width="3.5520833333333335in" height="0.8125in"}
>
> {width="3.1770833333333335in" height="0.2604166666666667in"}
>
> **例2** 解关于x的方程：
>
> x^2^-(p^2^+q^2^)x+pq(p+q)(p-q)=0．
>
> **解** 用十字相乘法分解因式得
>
> \[x-p(p-q)\]\[x-q(p+q)\]=0，
>
> 所以x~1~=p(p-q)，x~2~=q(p+q)．
>
> **例3** 已知方程(2000x)^2^-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x^2^+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．
>
> **解** 由方程(2000x)^2^-2001×1999x-1=0得
>
> (2000^2^x+1)(x-1)=0，
>
> {width="4.78125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (x+1999)(x-1)=0，
>
> 故x~1~=-1999，x~2~=1，所以β=-1999．所以
>
> α-β=1-(-1999)=2000．
>
> **例4** 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．
>
> **分析** 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为
>
> 3x-1=4x+1，
>
> 所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．
>
> **解** (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，
>
> (x-1)\[(3x-1)-(4x+1)\]=0，
>
> (x-1)(x+2)=0，
>
> 所以 x~1~=1，x~2~=-2．
>
> **例5** 解方程：x^2^-3｜x｜-4=0．
>
> **分析** 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．
>
> **解法1** 显然x≠0．当x＞0时，x^2^-3x-4=0，所以x~1~=4，x~2~=-1(舍去)．当x＜0时，x^2^+3x-4=0，所以x~3~=-4，x~4~=1(舍去)．
>
> 所以原方程的根为x~1~=4，x~2~=-4．
>
> **解法2** 由于x^2^=｜x｜^2^，所以
>
> ｜x｜^2^-3｜x｜-4=0，
>
> 所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，
>
> 所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．
>
> 所以 x~1~=4，x~2~=-4．
>
> **例6** 已知二次方程
>
> 3x^2^-(2a-5)x-3a-1=0
>
> 有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．
>
> **解** 由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以
>
> 3×2^2^-(2a-5)×2-3a-1=0，
>
> 故a=3．原方程为
>
> 3x^2^-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，
>
> {width="1.8541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例7** 解关于x的方程：ax^2^+c=0(a≠0)．
>
> **分析** 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．
>
> {width="2.1875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 当c=0时，x~1~=x~2~=0；
>
> {width="3.3020833333333335in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．
>
> **例8** 解关于x的方程：
>
> (m-1)x^2^+(2m-1)x+m-3=0．
>
> **分析** 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．
>
> **解** 分类讨论．
>
> (1)当m=1时，原方程变为一元一次方程
>
> x-2=0，
>
> 所以x=2．
>
> (2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．
>
> △=(2m-1)^2^-4(m-1)(m-3)=12m-11．
>
> {width="4.364583333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.0104166666666665in" height="0.5in"}
>
> {width="3.5104166666666665in" height="0.8958333333333334in"}
>
> {width="2.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例9** 解关于x的方程：
>
> a^2^(x^2^**-**x+1)-a(x^2^-1)=(a^2^-1)x．
>
> **解** 整理方程得
>
> (a^2^-a)x^2^-(2a^2^-1)x+(a^2^+a)=0．
>
> (1)当a^2^-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为
>
> \[ax-(a+1)\]\[(a-1)x-a\]=0，
>
> {width="1.71875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (2)当a^2^-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．
>
> **例10** 求k的值，使得两个一元二次方程
>
> x^2^+kx-1=0，x^2^+x+(k-2)=0
>
> 有相同的根，并求两个方程的根．
>
> **解** 不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
>
> a^2^+ka-1=0， ①
>
> a^2^+a+(k-2)=0． ②
>
> ①-②有
>
> ka-1-a-(k-2)=0，
>
> 即 (k-1)(a-1)=0，
>
> 所以k=1，或a=1．
>
> (1)当k=1时，两个方程都变为x^2^+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根
>
> {width="1.2708333333333333in" height="0.46875in"}
>
> 没有相异的根；
>
> (2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为
>
> x^2^-1=0，x^2^+x-2=0．
>
> 解这两个方程，x^2^-1=0的根为x~1~=1，x~2~=-1；x^2^+x-2=0的根为x~1~=1，x~2~=-2．x=1为两个方程的相同的根．
>
> **例11** 若k为正整数，且关于x的方程
>
> (k^2^-1)x^2^-6(3k-1)x+72=0
>
> 有两个不相等的正整数根，求k的值．
>
> **解** 原方程变形、因式分解为
>
> (k+1)(k-1)x^2^-6(3k-1)x+72=0，
>
> \[(k+1)x-12\]\[(k-1)x-6\]=0，
>
> 即
>
> {width="1.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="5.197916666666667in" height="0.4270833333333333in"}4，7．所以k=2，3使得x~1~，x~2~同时为正整数，但当k=3时，x~1~=x~2~=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．
>
> **例12** 关于x的一元二次方程x^2^-5x=m^2^-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．
>
> **解** 不妨设方程的根α≥β，由求根公式得
>
> {width="3.0729166666666665in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="5.0625in" height="0.53125in"}
>
> ｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，
>
> 符合要求，所以m^2^≤1．
>
> {width="4.770833333333333in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="2.1354166666666665in" height="1.0208333333333333in"}
>
> {width="5.114583333333333in" height="0.9375in"}
>
> **例13** 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x^2^+2ax+b^2^与x^2^+2cx-b^2^有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．
>
> **证** 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x^2^+2ax+b^2^=0与x^2^+2cx-b^2^=0必有公共根，设公共根为x~0~ ，则
>
> {width="1.7604166666666667in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 两式相加得
>
> {width="1.8020833333333333in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 若x~0~=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x~0~=-(a＋c)．把x~0~=-(a＋c)代入①式得
>
> (a+c)^2^-2a(a+c)+bg2=0，
>
> 整理得
>
> a^2^=b^2^+c^2^
>
> 所以△ABC为直角三角形．
>
> **例14** 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．
>
> **解** 设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球
>
> {width="2.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 此时正方形共有(x-2)^2^个球，所以
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即 x^2^-9x+8=0，
>
> x~1~=1，x~2~=8．
>
> 因为x-2≥1，所以x~1~=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)^2^=36个．
>
> **练 习 九**
>
> 1．解方程：
>
> {width="2.6770833333333335in" height="0.2604166666666667in"}
>
> (2)20x^2^+253x+800=0；
>
> (3)x^2^+｜2x-1｜-4=0．
>
> 2．解下列关于x的方程：
>
> (1)abx^2^-(a^4^+b^4^)x+a^3^b^3^=0；
>
> (2)(2x^2^-3x-2)a^2^+(1-x^2^)b^2^=ab(1+x^2^)．
>
> 3．若对任何实数a，关于x的方程
>
> x^2^-2ax-a+2b=0
>
> 都有实数根，求实数b的取值范围．
>
> 4．若方程x^2^+ax+b=0和x^2^+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)^2^000的值．
>
> 5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程
>
> 4x^2^+4(a^2^+b^2^+c^2^)x+3(a^2^b^2^+b^2^c^2^+c^2^a^2^)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．
第十讲 三角形的全等及其应用
> 在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理：
>
> **(1)边角边公理** 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成"SAS")．
>
> **(2)角边角公理** 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成"ASA")．
>
> **推论** 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成"AAS")．
>
> **(3)边边边公理** 有三边对应相等的两个三角形全等(简写成"SSS")．
>
> 关于直角三角形有：
>
> **(4)斜边、直角边公理** 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成"HL")．
>
> 利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接利用这些性质．
>
> 借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题．
>
> **例1** 如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．
>
> **分析** 用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的全等三角形之中．本题的AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.2395833333333333in"}
>
> **证** 由已知，∠1=∠2，
>
> ∠ABC=∠DCB，而
>
> ∠EBC=∠ABC-∠1，
>
> ∠ECB=∠DCB-∠2，
>
> 所以∠EBC=∠ECB．在
>
> △ABC及△BCD中，
>
> ∠ABC=∠BCD，
>
> ∠EBC=∠ECB，BC=BC，
>
> 所以 △ABC≌△DCB(ASA)，
>
> 所以 AB=CD．
>
> **说明** 线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接证明这两个三角形全等．
>
> **例2** 如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.8229166666666667in"}
>
> **分析** 从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一．
>
> **证** 过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中， ∠BGD=∠EGF(对顶角)， ①
>
> ∠B=∠F(两直线平行内错角相等)． ②
>
> 又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又因为EC=BD，所以
>
> BD=EF． ③
>
> 由①，②，③
>
> △GBD≌△GEF(AAS)，
>
> 所以 GD=GE．
>
> **说明** 适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法：
>
> (1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．
>
> (2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．
>
> {width="1.3333333333333333in" height="1.4270833333333333in"} {width="1.3854166666666667in" height="1.4270833333333333in"}
>
> 做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的．
>
> **例3** 如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
>
> **分析** 首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP的一个外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．
>
> {width="1.5625in" height="1.3020833333333333in"}
>
> **证** 在△ABE与△CAD中，
>
> ∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD，
>
> 所以
>
> △ABE≌△CAD(SAS)，
>
> 所以 ∠ABE=∠CAD．
>
> 由于∠BPQ是△ABP的外角，所以
>
> ∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．
>
> 在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于斜边的一半)．
>
> **说明** 发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理"凑齐"三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE与△CAD中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们寻找有希望全等的三角形，例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等．
>
> **例4** 如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：
>
> {width="1.6666666666666667in" height="1.28125in"}
>
> ∠AMB=∠DMC．
>
> **分析1** 从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以"当作已知"来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM"应该"与△CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA．
>
> **证法1** 作∠BAC的平分线AG，交BM于G．在△AGB与△CDA中，因为
>
> AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°，
>
> ∠ABG=90°-∠AMB， ①
>
> ∠MAD=90°-∠EAB． ②
>
> 由于，在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD，所以
>
> △AGB≌△ADC(ASA)，
>
> 于是 AG=CD．
>
> 在△AMG与△CMD中，还有
>
> AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°，
>
> 所以 △AMG≌△CMD，
>
> 从而 ∠AMB=∠DMC．
>
> {width="1.78125in" height="1.3958333333333333in"}
>
> **分析2** 如图2-7所示．注意到在Rt△ABM中，由AE⊥BM得到∠MAE=∠MBA，若延长AE，过C作CF⊥AC交AE延长线于F，可构成Rt△ABM≌Rt△ACF，从而有∠AMB=∠F．设法证明∠DMC=∠F，则问题获解．
>
> **证法2** 引辅助线如分析2所述．在Rt△ABM与Rt△CAF中，∠ABM=∠CAF，AB=AC，及
>
> ∠BAM=∠ACF=90°，
>
> 所以
>
> Rt△ABM≌Rt△CAF(ASA)，
>
> 所以
>
> ∠AMB=∠F，AM=CF． ①
>
> 在△MCD与△FCD中，FC=AM=MC(因为M是AC中点)．由于∠ACF=90°，∠ACB=45°，所以
>
> ∠FCD=∠MCD=45°，CD=CD，
>
> 所以 △FCD≌△MCD(SAS)，
>
> 所以 ∠F=∠DMC． ②
>
> 由①，② ∠AMB=∠DMC．
>
> **说明** 这两个证法的思路较为复杂．添加辅助线的结果造出两对全等三角形，第一对全等三角形产生一些对应相等的元素，为第二对全等三角形做了铺垫；第一对全等三角形将欲证的一个角"转移"到第二对全等三角形中，从而最后使问题获解．对一些较复杂的问题采用迂回的办法，因势利导地创造全等三角形，产生更多的相等条件，使欲证的角(或边)转移位置，走出"死角"，最终使问题获解．
>
> {width="1.4375in" height="1.4895833333333333in"}
>
> **例5** 如图2-8所示．正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ．求证：OP⊥OQ．
>
> **分析** 欲证OP⊥OQ，即证明∠COP+∠COQ=90°．然而，∠COQ+∠QOD=90°，因此只需证明∠COP=∠DOQ即可．这归结为证明△COP≌△DOQ，又归结为证明CP=DQ，最后，再归结为证明△ADQ≌△DCP的问题．
>
> **证** 在正方形ABCD中，因为AQ⊥DP，所以，在Rt△ADQ与Rt△RDQ中有∠RDQ=∠QAD．所以，在Rt△ADQ与Rt△DCP中有
>
> AD=DC，∠ADQ=∠DCP=90°，
>
> ∠QAD=∠PDC，
>
> 所以
>
> △ADQ≌△DCP(ASA)，DQ=CP．
>
> 又在△DOQ与△COP中，
>
> DO=CO，∠ODQ=∠OCP=45°，
>
> 所以
>
> △DOQ≌△COP(SAS)，∠DOQ=∠COP．
>
> 从而
>
> ∠POQ=∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ
>
> =∠COD=90°，
>
> 即OP⊥OQ．
>
> **说明** (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成45°角，及OA=OB=OC=OD等均在推证全等三角形中被用到．
>
> (2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧．
>
> {width="1.4583333333333333in" height="1.65625in"}
>
> **例6** 如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．
>
> **分析** 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：
>
> (1)通过添辅助线"构造"一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．
>
> (2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．
>
> **证** 延长AB到F，使BF=CE，则由正方形性质知
>
> AF=AB+BF=BC+CE．
>
> 下面我们利用全等三角形来证明AE=AF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE，所以
>
> Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，
>
> 从而
>
> {width="2.1770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 于是
>
> Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，
>
> 所以
>
> {width="2.96875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 过G引GH⊥AE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以
>
> ∠F=∠HEG，
>
> 则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，
>
> 即 AE=BC+CE．
>
> **说明** 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．
>
> **练 习 十**
>
> 1．如图2-10所示．AD，EF，BC相交于O点，且AO=OD，BO=OC，EO=OF．求证：△AEB≌△DFC．
>
> 2．如图2-11所示．正三角形ABC中，P，Q，R分别为AB，AC，BC的中点，M为BC上任意一点(不同于R)，且△PMS为正三角形．求证：RM=QS．
>
> {width="1.8958333333333333in" height="1.75in"}
>
> {width="1.6979166666666667in" height="1.5729166666666667in"}
>
> 3．如图2-12所示．P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．
>
> 4．如图2-13所示．△ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC．求证：∠BCH=∠ABC．
>
> {width="1.4583333333333333in" height="1.5625in"}
>
> {width="1.7083333333333333in" height="1.53125in"}
>
> 5．如图2-14所示．在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ=45°．求证：PQ=PB+DQ．
>
> 6．如图2-15所示．过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．
>
> {width="1.2395833333333333in" height="1.3229166666666667in"}
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.2083333333333333in"}
第十一讲 勾股定理与应用
> 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．
>
> **勾股定理** 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
>
> a^2^+b^2^=c^2^．
>
> **勾股定理逆定理** 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
>
> a^2^+b^2^=c^2^
>
> 那么这个三角形是直角三角形．
>
> 早在3000年前，我国已有"勾广三，股修四，径阳五"的说法．
>
> 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
>
> **证法1** 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c^2^，a^2^，b^2^．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
>
> 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
>
> AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
>
> 所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
>
> {width="2.28125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.7604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.15625in" height="2.5in"}
>
> 所以 S~AEML~=b^2^． ①
>
> 同理可证 S~BLMD~=a^2^． ②
>
> ①+②得
>
> S~ABDE~=S~AEML~+S~BLMD~=b^2^+a^2^，
>
> 即 c^2^=a^2^+b^2^．
>
> **证法2** 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知
>
> △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
>
> 所以
>
> AG=GH=HB=AB=c，
>
> ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
>
> 因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即
>
> {width="2.03125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 化简得 a^2^+b^2^=c^2^．
>
> {width="1.6145833333333333in" height="1.7291666666666667in"}
>
> {width="1.65625in" height="1.75in"}
>
> **证法3** 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
>
> △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
>
> 设五边形ACKDE的面积为S，一方面
>
> S=S~ABDE~+2S~△ABC~， ①
>
> 另一方面
>
> S=S~ACGF~+S~HGKD~+2S~△ABC~． ②
>
> 由①，②
>
> {width="2.5208333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 c^2^=a^2^+b^2^．
>
> 关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
>
> 利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
>
> **定理** 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
>
> {width="1.5729166666666667in" height="1.4479166666666667in"}
>
> **证** (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
>
> AB^2^=AD^2^+BD^2^， ①
>
> 在直角三角形ACD中，
>
> AD^2^=AC^2^-CD^2^， ②
>
> 又
>
> BD^2^=(BC-CD)^2^， ③
>
> ②，③代入①得
>
> AB^2^=(AC^2^-CD^2^)+(BC-CD)^2^
>
> =AC^2^-CD^2^+BC^2^+CD^2^-2BC·CD
>
> =AC^2^+BC^2^-2BC·CD，
>
> 即
>
> c^2^=a^2^+b^2^-2a·CD． ④
>
> (2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，
>
> AB^2^=AD^2^+BD^2^， ⑤
>
> 在直角三角形ACD中，
>
> {width="1.9791666666666667in" height="1.0833333333333333in"}
>
> AD^2^=AC^2^-CD^2^， ⑥
>
> 又
>
> BD^2^=(BC+CD)^2^， ⑦
>
> 将⑥，⑦代入⑤得
>
> AB^2^=(AC^2^-CD^2^)+(BC+CD)^2^
>
> =AC^2^-CD^2^+BC^2^+CD^2^+2BC·CD
>
> =AC^2^+BC^2^+2BC·CD，
>
> 即
>
> c^2^=a^2^+b^2^+2a·cd． ⑧
>
> 综合④，⑧就是我们所需要的结论
>
> {width="1.7604166666666667in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
>
> c^2^=a^2^+b^2^．
>
> 因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
>
> 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
>
> (1)若c^2^=a^2^+b^2^，则∠C=90°；
>
> (2)若c^2^＜a^2^+b^2^，则∠C＜90°；
>
> (3)若c^2^＞a^2^+b^2^，则∠C＞90°．
>
> 勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
>
> **例1** 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB^2^=2FG^2^．
>
> {width="1.40625in" height="1.5in"}
>
> **分析** 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF^2^=2FG^2^，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
>
> **证** 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
>
> Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
>
> 所以 AF=AB． ①
>
> 在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
>
> AG=FG，
>
> AF^2^=AG^2^+FG^2^=2FG^2^． ②
>
> 由①，②得
>
> AB^2^=2FG^2^．
>
> **说明** 事实上，在审题中，条件"AE平分∠BAC"及"EF⊥AC于F"应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB"过渡"到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
>
> **例2** 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB^2^+AC^2^=2(AM^2^+BM^2^)．
>
> {width="1.6354166666666667in" height="1.46875in"}
>
> **证** 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，
>
> AB^2^=AM^2^+BM^2^+2BM·MD． ①
>
> 在△ACM中，
>
> AC^2^=AM^2^+MC^2^-2MC·MD． ②
>
> ①+②，并注意到MB=MC，所以
>
> AB^2^+AC^2^=2(AM^2^+BM^2^)． ③
>
> 如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为m~a~，m~b~，m~c~，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
>
> **推论** △ABC的中线长公式：
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.5729166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.5729166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的m~a~，m~b~，m~c~分别表示a，b，c边上的中线长．
>
> **例3** 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．
>
> {width="1.7916666666666667in" height="1.3854166666666667in"}
>
> **分析** 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．
>
> **证** 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，
>
> {width="3.6041666666666665in" height="0.5in"}
>
> 即
>
> 2BQ^2^+2DQ^2^=4PQ^2^+BD^2^． ①
>
> 在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以
>
> {width="3.5104166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以
>
> {width="3.5in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 将②，③代入①得
>
> {width="3.8958333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> =4PQ^2^+BD^2^，
>
> 即
>
> AB^2^+BC^2^+CD^2^+DA^2^=AC^2^+BD^2^+4PQ^2^．
>
> **说明** 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．
>
> **例4** 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD^2^+BE^2^=AB^2^+DE^2^．
>
> **分析** 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
>
> **证** AD^2^=AC^2^+CD^2^，BE^2^=BC^2^+CE^2^，所以
>
> AD^2^+BE^2^=(AC^2^+BC^2^)+(CD^2^+CE^2^)=AB^2^+DE^2^
>
> **例5** 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．
>
> 如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：
>
> 4(AM^2^+BN^2^)=5AB^2^．
>
> {width="1.8229166666666667in" height="1.0625in"}
>
> {width="1.8125in" height="1.0833333333333333in"}
>
> **分析** 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况------即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．
>
> **证** 连接MN，利用例4的结论，我们有
>
> AM^2^+BN^2^=AB^2^+MN^2^，
>
> 所以 4(AM^2^+BN^2^)=4AB^2^+4MN^2^． ①
>
> 由于M，N是BC，AC的中点，所以
>
> {width="1.8541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 4MN^2^=AB^2^． ②
>
> 由①，②
>
> 4(AM^2^+BN^2^)=5AB^2^．
>
> **说明** 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质："MN∥AB且MN={width="5.25in" height="0.4270833333333333in"}图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S~△ACM~=S~△BCN~，两边减去公共部分△CMN后得S~△AMN~=S~△BMN~，从而AB必与MN平行．又S~△ABM~={width="4.645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}高相同，而S~△ABM~=2S~△BMN~，所以AB=2MN．
>
> {width="1.7083333333333333in" height="1.46875in"}
>
> **练习十一**
>
> 1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：
>
> (1)赵君卿图(图2-27)；
>
> {width="1.3958333333333333in" height="1.5416666666666667in"}
>
> (2)项名达图(2-28)；
>
> (3)杨作枚图(图2-29)．
>
> 2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA^2^+PC^2^=PB^2^+PD^2^．
>
> {width="1.8333333333333333in" height="1.8541666666666667in"}
>
> {width="1.625in" height="1.71875in"}
>
> (提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)
>
> 3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：
>
> AF^2^+BD^2^+CE^2^=FB^2^+DC^2^+EA^2^．
>
> 4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC^2^+BD^2^=AD^2^+BC^2^．它的逆定理是否成立？证明你的结论．
>
> 5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：
>
> BC^2^=AB·BF+AC·CE．
>
> {width="1.71875in" height="1.3854166666666667in"}
>
> {width="1.75in" height="1.4479166666666667in"}
第十二讲 平行四边形
> 平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形------矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
>
> 由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
>
> (1)平行四边形对角相等；
>
> (2)平行四边形对边相等；
>
> (3)平行四边形对角线互相平分．
>
> 除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
>
> (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
>
> (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
>
> (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
>
> (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
>
> **例1** 如图2-32所示．在{width="0.21875in" height="0.14583333333333334in"}ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
>
> {width="1.65625in" height="0.9895833333333334in"}
>
> **分析** 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
>
> **证** 因为ABCD是平行四边形，所以
>
> AD{width="0.21875in" height="0.23958333333333334in"}BC，AB{width="0.21875in" height="0.23958333333333334in"}CD，∠B=∠D．
>
> 又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
>
> AE=CF．
>
> 所以
>
> Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
>
> △BEM≌△DFN(SAS)，
>
> ME=NF． ①
>
> 又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
>
> △MAF≌△NCE(SAS)，
>
> 所以 MF=NF． ②
>
> 由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
>
> **例2** 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
>
> {width="2.2395833333333335in" height="1.25in"}
>
> **分析** AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE"转移"到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
>
> **证** 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而
>
> △ABG≌△HBG(AAS)，
>
> 所以 AB=HB． ①
>
> 在△ABE及△HBE中，
>
> ∠ABE=∠CBE，BE=BE，
>
> 所以 △ABE≌△HBE(SAS)，
>
> 所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
>
> 下面证明四边形EHCF是平行四边形．
>
> 因为AD∥GH，所以
>
> ∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
>
> 又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
>
> ∠AGB=∠GEH．
>
> 从而
>
> EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．
>
> 由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以
>
> FC=EH=AE．
>
> **说明** 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．
>
> 人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．
>
> **例3** 如图2-34所示．{width="0.21875in" height="0.14583333333333334in"}ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．
>
> **分析** 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.3645833333333333in"}
>
> **证** 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
>
> △MCF≌△MBE(AAS)，
>
> 所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
>
> ∠F=∠MDC，
>
> 又由已知MC=CD，所以
>
> ∠MDC=∠CMD，
>
> 则
>
> ∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
>
> 从而
>
> ∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
>
> **例4** 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
>
> **分析** 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
>
> {width="1.6145833333333333in" height="1.4791666666666667in"}
>
> **证** 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，
>
> ∠FCH=∠CAD． ①
>
> 又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
>
> ∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
>
> 所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
>
> 由①，②
>
> ∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
>
> 于是在三角形CAF中，有
>
> CA=CF．
>
> **例5** 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：
>
> {width="1.5208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.8020833333333333in" height="1.2708333333333333in"}
>
> **分析** 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．
>
> **证** 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以
>
> FA=FH．
>
> 设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
>
> {width="3.15625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 从而
>
> {width="2.2291666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，
>
> {width="1.6354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 从而
>
> Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例6** 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
>
> {width="2.0416666666666665in" height="1.1979166666666667in"}
>
> **分析** 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．
>
> **证** 因为DE{width="0.21875in" height="0.23958333333333334in"}BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以
>
> {width="2.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.7291666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 BC=GC=CD．
>
> 因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
>
> {width="2.8958333333333335in" height="0.4375in"}
>
> 又
>
> {width="3.3854166666666665in" height="0.4375in"}
>
> 所以 ∠HDG=∠GHD，
>
> 从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
>
> **练习十二**
>
> 1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
>
> 2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.0208333333333333in"}
>
> {width="1.8854166666666667in" height="1.5208333333333333in"}
>
> 3．如图2-40所示．{width="0.21875in" height="0.14583333333333334in"}ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．
>
> 4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．
>
> 5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分{width="3.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.5104166666666667in" height="1.40625in"}
>
> {width="1.4791666666666667in" height="1.3958333333333333in"}
>
> {width="1.65625in" height="1.5520833333333333in"}
第十三讲 梯形
> 与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．
>
> **例1** 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．
>
> {width="1.34375in" height="1.5520833333333333in"}
>
> **分析** 因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．
>
> **证** 因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以
>
> ED∥BF．
>
> 又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以
>
> EC=DF． ①
>
> 又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以
>
> EC=EB． ②
>
> 由①，②
>
> EB=DF．
>
> 下面证明EB与DF不平行．
>
> 若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EB{width="0.19791666666666666in" height="0.1875in"}DF．
>
> 根据定义，EBFD是等腰梯形．
>
> **例2** 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．
>
> {width="1.9166666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
>
> **分析** 由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．
>
> **解** 过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知
>
> AF^2^+BF^2^=AB^2^，
>
> 即
>
> {width="2.46875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="1.40625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 又
>
> BC^2^=AB^2^+AC^2^=2AB^2^=2a^2^，
>
> 由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，
>
> {width="1.9375in" height="0.6458333333333334in"}
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，
>
> {width="2.9270833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例3** 如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．
>
> {width="1.53125in" height="1.2708333333333333in"}
>
> **分析** MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．
>
> **证** 连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知
>
> ∠C=45°，
>
> 从而
>
> ∠NDC=45°．
>
> 在△NDC中，
>
> ∠DNC=90°(=∠DNB)，
>
> 所以ABND是矩形，所以
>
> AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．
>
> △BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又
>
> AD=BN，
>
> 所以 AD=BF．
>
> **例4** 如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．
>
> {width="1.53125in" height="1.6354166666666667in"}
>
> **分析** 由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F，{width="5.0625in" height="0.4270833333333333in"}(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以
>
> AG^2^=AB^2^-BG^2^=(8+2)^2^-(8-2)^2^=100-36=64，
>
> 所以AG=8．这样S~△ABE~(=S~△AEF~+S~△BEF~)可求．
>
> **解** 取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知
>
> EF∥AD(或BC)，
>
> {width="2.9270833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知
>
> AG^2^=AB^2^-BG^2^
>
> =(AD+BC)^2^-(BC-AD)^2^
>
> =10^2^-6^2^=8^2^，
>
> 所以 AG=8，
>
> 从而 AH=GH=4，
>
> 所以
>
> S~△ABE~=S~△AEF~+S~△BEF~
>
> {width="1.8229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.65625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.2604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例5** 如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．
>
> {width="1.71875in" height="1.3854166666666667in"}
>
> (1)求证：ADCF是等腰梯形；
>
> (2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．
>
> **分析** 欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．
>
> **解** (1)因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以
>
> EA=ED．
>
> 又 AC=DF，
>
> 所以 EC=EF．
>
> 所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明
>
> △ACD≌△DFA(SAS)，
>
> 所以 AF=DC．
>
> 若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．
>
> 综上所述，ADCF是等腰梯形．
>
> (2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF． ①
>
> 由于
>
> △ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)， ②
>
> AF=3(厘米)， ③
>
> FC=AC-3， ④
>
> 将②，③，④代入①
>
> 四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF
>
> =(AD+DC+AC)-3+3
>
> =16(厘米)．
>
> **例6** 如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．
>
> {width="1.4270833333333333in" height="1.5625in"}
>
> **分析** 首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．
>
> **证** 因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以
>
> {width="2.2604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又RP是△OAD的中位线，所以
>
> {width="2.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为 AD=BC， ③
>
> 由①，②，③得
>
> PQ=QR=RP，
>
> 即△PQR是正三角形．
>
> **说明** 本题证明引人注目之处有二：
>
> (1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BP⊥OA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质．
>
> (2)等腰梯形的"等腰"就如一座桥梁"接通"了"两岸"的髀{width="5.09375in" height="0.4270833333333333in"}使△PQR的三边相等．
>
> **练习十三**
>
> 1．如图2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度数．
>
> 2．如图2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．
>
> {width="1.9270833333333333in" height="0.96875in"}
>
> {width="1.9479166666666667in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 3．如图2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点．求EF．
>
> 4．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．
>
> {width="2.1145833333333335in" height="1.0729166666666667in"}
>
> {width="1.7083333333333333in" height="1.0104166666666667in"}
>
> 5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}
第十四讲 中位线及其应用
> 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
>
> {width="1.625in" height="1.3958333333333333in"}
>
> **例1** 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，{width="5.020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}△ABC的面积．
>
> **分析** 由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．
>
> **解** 由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以
>
> {width="1.9791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由条件AD+EF=12(厘米)得
>
> EF=4(厘米)，
>
> 从而 AD=8(厘米)，
>
> {width="2.46875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以
>
> BC=2EG=2×6=12(厘米)，
>
> 显然，AD是BC上的高，所以
>
> {width="3.8125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例2** 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
>
> {width="1.7083333333333333in" height="1.2916666666666667in"}
>
> (1)求证：GH∥BC；
>
> (2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
>
> **分析** 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
>
> (1)**证** 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以
>
> △ABG≌△MBG(ASA)．
>
> 从而，G是AM的中点．同理可证
>
> △ACH≌△NCH(ASA)，
>
> 从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即
>
> HG∥BC．
>
> (2)**解** 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
>
> AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
>
> 又BC=18厘米，所以
>
> BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，
>
> MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
>
> 从而
>
> MN=18-4-9=5(厘米)，
>
> {width="3.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理："若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形"．
>
> (2)"等腰三角形三线合一定理"的下述逆命题也是正确的："若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边"．同学们不妨自己证明．
>
> (3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件"∠B，∠C的平分线"改为"∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线"(如图2-55所示)，或改为"∠B，∠C的外角平分线"(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．
>
> {width="1.6458333333333333in" height="1.3125in"}
>
> {width="1.625in" height="1.15625in"}
>
> **例3** 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．
>
> **分析** 由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．
>
> {width="2.5416666666666665in" height="1.09375in"}
>
> **证** 连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而
>
> A′B′∥AB，B′C′∥PQ，
>
> C′D′∥AB，D′A′∥PQ，
>
> 所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以
>
> AB⊥BC，BC∥PQ．
>
> 从而
>
> AB⊥PQ，
>
> 所以 A′B′⊥B′C′，
>
> 所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以
>
> A′C′=B′D′． ①
>
> **说明** 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用"四边形四边中点连线是平行四边形"这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．
>
> **例4** 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：
>
> {width="1.75in" height="1.5104166666666667in"}
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析** 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不{width="4.9375in" height="0.4270833333333333in"}形中构造中位线，为此，取AD中点．
>
> **证** 取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以
>
> {width="1.90625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 在△EFG中，
>
> EF＞EG-FG． ③
>
> 由①，②，③
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例5** 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．
>
> {width="1.2916666666666667in" height="1.6770833333333333in"}
>
> **分析** 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．
>
> 在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．
>
> **证** 取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为AD=AB+CD，所以
>
> {width="1.7291666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 从而
>
> ∠1=∠2，∠3=∠4，
>
> 所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而
>
> ∠AED=∠2+∠3=90°，
>
> 所以 DE⊥AE．
>
> **例6** 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA~1~，FF~1~，DD~1~，EE~1~都垂直l于A~1~，F~1~，D~1~，E~1~．求证：
>
> AA~1~+EE~1~=FF~1~+DD~1~．
>
> {width="1.8958333333333333in" height="2.0416666666666665in"}
>
> **分析** 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO~1~恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．
>
> **证** 连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO~1~⊥l于O~1~，则OO~1~是梯形AA~1~E~1~E及FF~1~D~1~D的公共中位线，所以
>
> {width="3.2708333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即 AA~1~+EE~1~=FF~1~+DD~1~．
>
> **练习十四**
>
> 1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．
>
> 2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．
>
> 3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．
>
> 4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．
>
> 5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．
>
> {width="1.6770833333333333in" height="1.84375in"}
>
> {width="1.7395833333333333in" height="1.4895833333333333in"}
>
> 6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．
>
> {width="1.6979166666666667in" height="1.4479166666666667in"}
>
> 7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD{width="2.8125in" height="0.4270833333333333in"}
第十五讲 相似三角形(一)
> 两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
>
> 关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．
>
> **例1** 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
>
> {width="2.2916666666666665in" height="1.375in"}
>
> **分析** 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
>
> **解** 在△ABC中，因为EF∥AB，所以
>
> {width="2.3541666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同样，在△DBC中有
>
> {width="2.3125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ①＋②得
>
> {width="2.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
>
> {width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.40625in" height="0.8645833333333334in"}
>
> **说明** 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论："如本题{width="5.489583333333333in" height="0.4895833333333333in"}
>
> 请同学自己证明．
>
> **例2** 如图2-65所示． {width="0.21875in" height="0.14583333333333334in"}ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
>
> {width="2.65625in" height="1.2291666666666667in"}
>
> **分析** 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段"集中"到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．
>
> **解** 过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以
>
> {width="2.5208333333333335in" height="0.5in"}
>
> 在△FOG中，由于GO∥EB，所以
>
> {width="4.375in" height="1.2708333333333333in"}
>
> **例3** 如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分{width="3.1666666666666665in" height="0.40625in"}
>
> {width="1.8020833333333333in" height="0.9479166666666666in"}
>
> **分析** 因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
>
> **证** 过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以
>
> ∠BAD=∠CAD=60°．
>
> 又
>
> ∠BAD=∠EDA=60°，
>
> 所以△ADE是正三角形，所以
>
> EA=ED=AD． ①
>
> 由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
>
> {width="3.65625in" height="0.46875in"}
>
> 由①，②得
>
> {width="1.0625in" height="0.4895833333333333in"}
>
> 从而
>
> {width="1.21875in" height="0.46875in"}
>
> **例4** 如图2-67所示． {width="0.21875in" height="0.14583333333333334in"}ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
>
> {width="1.0833333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="1.8020833333333333in" height="2.1354166666666665in"}
>
> **分析** 与例2类似，求证中诸线段的位置过于"分散"，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段"集中"到一个三角形中来求证．
>
> **证** 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
>
> {width="0.9895833333333334in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.625in" height="1.2291666666666667in"}
>
> 在△OED与△OBH中，
>
> ∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
>
> 所以 △OED≌△OBH(AAS)．
>
> 从而
>
> DE=BH=AI，
>
> {width="4.541666666666667in" height="1.15625in"}
>
> **例5(梅内劳斯定理)** 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求{width="1.9166666666666667in" height="0.4583333333333333in"}
>
> {width="2.0104166666666665in" height="1.46875in"}
>
> **分析** 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段"集中"到同一直线上进行求证．
>
> **证** 过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知
>
> {width="4.125in" height="1.03125in"}
>
> **说明** 本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段"集中"到边AB所在直线上进行求证．
>
> **例6** 如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.5833333333333333in"}
>
> **分析** 由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：
>
> {width="3.9375in" height="1.1979166666666667in"}
>
> 进而求d．
>
> {width="4.46875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而
>
> {width="2.6458333333333335in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 将②代入①左端得
>
> {width="2.8541666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为
>
> DE=PE＋PD=AI＋FB， ④
>
> AF=AI＋FI， ⑤
>
> BI=IF＋FB． ⑥
>
> 由④，⑤，⑥知，③的分子为
>
> DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
>
> 从而
>
> {width="2.1666666666666665in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 即
>
> {width="1.6354166666666667in" height="0.5in"}
>
> 下面计算d．
>
> 因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得
>
> {width="2.1041666666666665in" height="0.6354166666666666in"}
>
> 解得d＝306．
>
> **练习十五**
>
> 1．如图2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
>
> {width="1.6145833333333333in" height="1.21875in"}
>
> 2．已知P为{width="0.21875in" height="0.14583333333333334in"}ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q{width="3.5729166666666665in" height="0.46875in"}
>
> {width="2.1354166666666665in" height="1.0208333333333333in"}
>
> 3．如图 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
>
> {width="1.28125in" height="1.4479166666666667in"}
>
> {width="1.5104166666666667in" height="1.4479166666666667in"}
>
> 4．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)．求证：
>
> {width="3.8541666666666665in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 5．如图 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．
>
> {width="2.2916666666666665in" height="1.2083333333333333in"}
>
> 6．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：
>
> {width="3.3125in" height="0.4375in"}
>
> {width="1.4583333333333333in" height="1.4479166666666667in"}
>
> {width="4.9375in" height="0.4375in"}不少于2．
第十六讲 相似三角形(二)
> 上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用．
>
> **例1** 如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
>
> **分析** 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．
>
> {width="1.5416666666666667in" height="2.2083333333333335in"}
>
> **证** 过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以
>
> ∠2=∠3．
>
> 从而∠1=∠3，AB=BE．显然
>
> △BDE∽△CDA，
>
> 所以 BE∶AC=BD∶DC，
>
> 所以 AB∶AC=BD∶DC．
>
> **说明** 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．
>
> 在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角"转移"到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法．
>
> **例2** 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
>
> **分析** 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．
>
> {width="1.2604166666666667in" height="1.8958333333333333in"}
>
> **证** 过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以
>
> ∠BAE=∠CAE．
>
> 因为BG∥AC，所以
>
> ∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，
>
> 所以 BA=BG．
>
> 又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以
>
> ∠ABF=∠HBF，
>
> 从而
>
> AB∶BH=AF∶FH．
>
> 又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而
>
> BH=AC，
>
> 所以 AB∶AC=AF∶FH．
>
> 因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以
>
> AB∶AC=BE∶EC，
>
> 所以 AF∶FH=BE∶EC，
>
> 即
>
> (AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为
>
> AM∶MB=FM∶ME．
>
> 在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以
>
> △MEF∽△MAB
>
> (两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以
>
> ∠ABM=∠FEM，
>
> 所以 EF∥AB．
>
> **例3** 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
>
> {width="1.6875in" height="0.5in"}
>
> {width="2.34375in" height="1.03125in"}
>
> {width="2.9583333333333335in" height="0.3645833333333333in"}
>
> {width="2.7291666666666665in" height="0.53125in"}
>
> 即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．
>
> 注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．
>
> **证** 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．
>
> 设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则
>
> ∠A+∠B+∠C=7α=180°．
>
> 由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以
>
> ∠ACE=180°-4α＝3α，
>
> 所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
>
> 从而
>
> ∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．
>
> 又由作图
>
> AE=AC，AE=BD，
>
> 所以 BE=BD，
>
> △BDE是等腰三角形，所以
>
> ∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，
>
> 所以 △ABC∽△DAE，
>
> {width="2.375in" height="0.4166666666666667in"}
>
> 所以
>
> {width="1.21875in" height="0.4895833333333333in"}
>
> **例4** 如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH.
>
> **分析** 要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似．
>
> **证** 在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以
>
> ∠PBC=∠PHB=90°，
>
> 从而 ∠PBH=∠PCB．
>
> 显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以
>
> {width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="1.4270833333333333in" height="1.4583333333333333in"}
>
> 由已知，BP=BQ，BC=DC，所以
>
> {width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}
>
> 因为∠ABC=∠BCD=90°，所以
>
> ∠HBQ=∠HCD，
>
> 所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，
>
> ∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．
>
> 又因为
>
> ∠BHQ＋∠QHC=90°，
>
> 所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，
>
> 即 DH⊥HQ．
>
> **例5** 如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：
>
> PB^2^＋QC^2^=PM^2^＋QM^2^．
>
> **分析与证明** 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则
>
> PM^2^＋QM^2^=PQ^2^=AP^2^＋AQ^2^．
>
> 于是求证式等价于
>
> PB^2^+QC^2^=PA^2^+QA^2^， ①
>
> {width="1.5833333333333333in" height="1.4895833333333333in"}
>
> 等价于
>
> PB^2^-PA^2^=QA^2^-QC^2^． ②
>
> 因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有
>
> AD=BD，AE=CE，
>
> ②等价于
>
> (AD＋PD)^2^-(AD-PD)^2^
>
> =(AE＋EQ)^2^-(AE-EQ)^2^， ③
>
> ③等价于
>
> AD·PD=AE·EQ． ④
>
> 因为ADME是矩形，所以
>
> AD=ME，AE=MD，
>
> 故④等价于
>
> ME·PD=MD·EQ． ⑤
>
> 为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．
>
> 下面我们来证明这一点．
>
> 事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME为矩形，所以
>
> ∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥
>
> 在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即
>
> ∠PMD=∠QME． ⑦
>
> 由⑥，⑦，所以
>
> △MPD∽△MEQ．
>
> 由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．
>
> **例6** 如图2-81所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长．
>
> {width="2.03125in" height="1.5729166666666667in"}
>
> **解** 取AF的中点G，连接DF，EG．由平行线等分线段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以
>
> △CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．
>
> {width="2.5in" height="0.4583333333333333in"}
>
> 所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以
>
> FM=3(厘米)．
>
> 又在△BDF中，E是BD的中点，且EH∥DF，所以
>
> {width="2.3958333333333335in" height="0.4375in"}
>
> 因为EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，从而
>
> {width="3.65625in" height="1.0208333333333333in"}
>
> 显然，H是BF的中点，所以
>
> {width="4.020833333333333in" height="1.5833333333333333in"}
>
> 故所求的三条线段长分别为
>
> {width="3.25in" height="0.375in"}
>
> **练习十六**
>
> 1．如图2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
>
> 2．如图2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．
>
> {width="3.2291666666666665in" height="1.2916666666666667in"}
>
> 3．如图2-84所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：
>
> {width="1.4166666666666667in" height="1.3333333333333333in"}
>
> PB^2^＝PA·PC．
>
> (提示：设法证明△PAB∽△PBC．)
>
> 4．如图2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AE∶EB=2∶1．求证：CE⊥AD．
>
> 5．如图2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF^2^=AE·EC．
>
> 6．在△ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．
>
> {width="2.9583333333333335in" height="1.2291666666666667in"}
>
> **第十七讲\* 集合与简易逻辑**
>
> **§17．1集合**
>
> 我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C...等表示集合，小写字母a，b，c，...等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n{width="3.96875in" height="0.21875in"}
>
> (i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．
>
> (ii)自然数全体1，2，3，...组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．
>
> (iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．
>
> 总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识．
>
> ** 1．集合的描述方法**
>
> (1)列举法
>
> 当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如：
>
> (i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作
>
> A=｛a，b，c，d，e｝，
>
> 也可记作
>
> A=｛b，a，c，d，e)．
>
> (ii)由小于40的质数组成的集合B，记作
>
> B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．
>
> (iii)平方等于1的有理数集合C，记作
>
> C=｛1，-1｝．
>
> (iv)三条直线l~1~，l~2~，l~3~组成的集合D，记作
>
> D=｛l1，l2，l3｝．
>
> (2)特征性质描述法
>
> 当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法．
>
> 所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素．
>
> 例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是
>
> A=｛x│x^2^=1｝，
>
> 或者
>
> A=｛x││x│=1｝．
>
> 全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是
>
> B=｛x│x是能被2整除的整数｝，
>
> 或者
>
> B=｛2n│n是整数｝．
>
> 全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是
>
> C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，
>
> 或者
>
> C=｛2n＋1│n是整数｝，
>
> C=｛2n-1│n是整数｝．
>
> 一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：
>
> A=｛x│x具有性质α｝．
>
> ** 2．集合之间的关系和运算**
>
> (1)包含与子集
>
> {width="5.041666666666667in" height="1.0in"}
>
> {width="1.1875in" height="1.3125in"}
>
> (i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者．
>
> (ii)设集合
>
> {width="5.864583333333333in" height="2.4375in"}
>
> **例1** 设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．
>
> ｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．
>
> (2)交集运算
>
> 对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图2-88)．例如
>
> (i)如图2-89，设
>
> {width="2.8958333333333335in" height="1.1875in"}
>
> A=｛x│x是12的正因数｝，
>
> B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，
>
> 则
>
> A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．
>
> 所以 A∩B=｛6，12｝．
>
> (ii)设l~1~，l~2~是平面上两条不同的直线，则l~1~∩l~2~就是由它们的交点组成的集合．
>
> 如果l~1~与l~2~相交于一点P，则l~1~∩l~2~=｛P｝(图2-90)；
>
> {width="3.1666666666666665in" height="0.28125in"}
>
> {width="2.5729166666666665in" height="1.0208333333333333in"}
>
> (3)并集运算
>
> 对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如
>
> {width="1.46875in" height="1.1979166666666667in"}
>
> (i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合．
>
> (ii)设
>
> A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，
>
> 则 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．
>
> **注意** 在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．
>
> (iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝，
>
> F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x^2^≥16}．
>
> 则 E∪F=G．
>
> 一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即
>
> A={x│x具有性质α} ，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是
>
> A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，
>
> 或者
>
> A∪B={x│x∈A或x∈B}．
>
> **例2** 设
>
> A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，
>
> C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．
>
> 求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．
>
> **解** 根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)).
>
> (1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；
>
> (2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．
>
> {width="2.46875in" height="1.4479166666666667in"}
>
> **例3** 设A={1，a，a^2^} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．
>
> **解** 因为A=｛1，a，a^2^｝，B=｛1，a，b｝，所以
>
> A∩B＝｛1，a｝．
>
> 已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于
>
> A∪B=｛1，a，b，a^2^｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．
>
> {width="6.020833333333333in" height="2.6354166666666665in"}
>
> {width="2.0in" height="0.3020833333333333in"}
>
> {width="2.2291666666666665in" height="0.2916666666666667in"}
>
> {width="4.916666666666667in" height="4.395833333333333in"}
>
> **§17．2简易逻辑**
>
> 逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍．
>
> ** 1．推出关系**
>
> 如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α------4的倍数；B中元素具有性质β------2的倍数．我们知道：如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质{width="2.0520833333333335in" height="0.20833333333333334in"}
>
> 一般地说，如果具有性质α的元素也具有性质β，我们便说由α推
>
> 下面再举一个例子．
>
> {width="5.385416666666667in" height="1.4270833333333333in"}
>
> {width="2.1458333333333335in" height="1.3125in"}
>
> {width="5.458333333333333in" height="0.7083333333333334in"}
>
> {width="1.1666666666666667in" height="1.28125in"}
>
> {width="5.416666666666667in" height="1.84375in"}
>
> ** 2．命题和证明**
>
> (1)命题和逆命题
>
> 人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断．例如：
>
> (i)雪是白的；
>
> (ii)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；
>
> (iii)3+4=6；
>
> {width="2.9583333333333335in" height="0.40625in"}
>
> 上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真)，也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命题．
>
> 关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0(x＞y)，那么
>
> {width="1.25in" height="0.40625in"}
>
> 因此，命题(iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)．
>
> 数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是"若α，则β"，"如果α，那么β"．
>
> 命题"若α，则β"或是真命题，或是假命题，二者必居其一．"若
>
> 当由α不可能推出β时，"若α，则β"便是假命题．
>
> 在命题"若α，则β"中，α叫作这个命题的条件，β叫作这个命题的结论．如果将命题"若α，则β"的条件和结论互换，就得到一个新命题"若β，则α"，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题．
>
> 当"如果α，则β"为真命题时，它的逆命题"如果β，则α"不一定是真命题．例如：
>
> (i)"如果2×3=6，那么6÷3=2"是真命题．它的逆命题"如果6÷3=2，那么2×3=6"也是真命题．
>
> (ii)"若a=0并且b=0，则ab=0"是真命题，但它的逆命题"若ab=0，则a=0并且b=0"就不是真命题．
>
> (iii)"如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2"是真命题，但它的逆命题"∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角"就是假命题．
>
> {width="5.104166666666667in" height="0.25in"}
>
> (2)证明
>
> 我们要说明"若α，则β"是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即：
>
> 如果
>
> {width="1.6041666666666667in" height="0.53125in"}
>
> 那么
>
> {width="1.4791666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
>
> 例如，(i)若
>
> ∠1和∠2是对顶角，①
>
> 对顶角相等，②
>
> 则 ∠1=∠2．③
>
> (ii) 张三是人，①
>
> 凡人必有死，②
>
> 所以张三必有死．③
>
> 上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论．
>
> 实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如"对顶角相等"的证明过程，可以像下面这样来理解．
>
> 已知：∠1是∠2的对顶角(图2-98)，求证：∠1=∠2．
>
> {width="1.34375in" height="0.9375in"}
>
> 证
>
> {width="2.8958333333333335in" height="1.59375in"}
>
> 从上述证明过程可知，要证明"若α，则β"，我们先设法找出一{width="5.885416666666667in" height="0.875in"}
>
> 应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法)．演绎法是证明数学问题的重要方法．
>
> {width="3.40625in" height="1.25in"}
>
> {width="1.1875in" height="0.23958333333333334in"}
>
> {width="2.40625in" height="0.4895833333333333in"}
>
> ＝a^2^＋b^2^＋c^2^
>
> (a+b-c)^2^=a^2^+b^2^+c^2^.
>
> **例2** 某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名．A说："或者F，或者H是第一名．"B说："我是第一名．"C说："G是第一名．"D说："B不是第一名．"E说："A说的不对．"F说："我不是第一名．"G说："C不是第一名．"H说："我同意A的意见．"老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？
>
> **分解与解** 由已知条件可知：A与H同真假，E与F同真假，B与D必定一真一假．
>
> (i)如果A与H猜对了，那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，因此，A与H必定都猜错了．
>
> (ii)如果E与F猜对了，即F与H都不是第一名，这时若B猜对了，那么D就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．因此B猜的不对，D猜对了，这时已有E，F，D三人猜对，所以G，C都必定猜错了，所以C是第一名．
>
> **练习十七**
>
> 1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8} ，写出集合：
>
> (1)A∩B∩C； (2)A∪B∪C；
>
> (3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．
>
> {width="4.5in" height="1.125in"}
>
> 3．有某种产品100个，通过两种检查，第一种检查合格品有90个，第二种检查合格品有78个，两种检查都合格的有72个．试问这100个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？
>
> {width="5.854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}
>
> (1)a＞0□│a│＞0；
>
> (2)a＝0且b=0□a^2^＋b^2^=0；
>
> (3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b；
>
> (4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．
>
> 5．写出下列命题的逆命题，并指出其真假．
>
> (1)若a=b，则(a-b)^2^ =0；
>
> (2)若a=b，则a^2^-b^2^=0；
>
> (3)若a≠b，则a^2^＋b^2^＞2ab；
>
> {width="2.125in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 6．已知3(a^2^＋b^2^＋c^2^)=(a+b+c)^2^，求证：a=b=c．
第十八讲 归纳与发现
> 归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．
>
> **例1** 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，...这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
>
> {width="2.46875in" height="2.0833333333333335in"}
>
> **分析与解** 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．
>
> 第一层有点数：1；
>
> 第二层有点数：1×6；
>
> 第三层有点数：2×6；
>
> 第四层有点数：3×6；
>
> ......
>
> 第n层有点数：(n-1)×6.
>
> 因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为
>
> {width="2.7916666666666665in" height="1.0416666666666667in"}
>
> **例2** 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：
>
> {width="2.59375in" height="1.9479166666666667in"}
>
> (1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？
>
> (2)这n个圆共有多少个交点？
>
> **分析与解** (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．
>
> {width="2.9895833333333335in" height="1.0625in"}
>
> 由表18．1易知
>
> S~2~-S~1~=2，
>
> S~3~-S~2~＝3，
>
> S~4~-S~3~＝4，
>
> S~5~-S~4~＝5，
>
> ......
>
> 由此，不难推测
>
> S~n~-S~n-1~＝n．
>
> 把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到
>
> S~n~-S~1~＝2＋3＋4＋...＋n，
>
> 因为S~1~=2，所以
>
> {width="3.3958333333333335in" height="0.7395833333333334in"}
>
> {width="5.0625in" height="0.5in"}下面对S~n~-S~n-1~=n，即S~n~=S~n-1~＋n的正确性略作说明．
>
> 因为S~n-1~为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S~n-1~上，所以有S~n~=S~n-1~＋n．
>
> (2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．
>
> {width="3.84375in" height="1.09375in"}
>
> 由表18．2容易发现
>
> a~1~＝1，
>
> a~2~-a~1~＝1，
>
> a~3~-a~2~＝2，
>
> a~4~-a~3~＝3，
>
> a~5~-a~4~＝4，
>
> ......
>
> a~n-1~-a~n-2~＝n-2，
>
> a~n~-a~n-1~＝n-1．
>
> n个式子相加
>
> {width="2.3333333333333335in" height="0.71875in"}
>
> {width="5.125in" height="0.5208333333333334in"}
>
> **注意** 请读者说明a~n~=a~n-1~＋(n-1)的正确性．
>
> **例3** 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？
>
> **分析与解** 我们先来研究一些特殊情况：
>
> (1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，...．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．
>
> (2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．
>
> {width="2.8854166666666665in" height="1.2916666666666667in"}
>
> 这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．
>
> (3)设b=n=3，类似地可得表18．4．
>
> {width="3.5833333333333335in" height="1.5in"}
>
> 这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．
>
> 通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
>
> {width="1.9791666666666667in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，...，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，...，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
>
> {width="2.0520833333333335in" height="0.5520833333333334in"}
>
> **例4** 设1×2×3×...×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋...＋n！×n.
>
> **分析与解** 先观察特殊情况：
>
> (1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；
>
> (2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；
>
> (3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；
>
> (4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．
>
> 由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.
>
> 下面我们证明这个猜想的正确性．
>
> 1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+...+n！×n)
>
> =1！×2＋2！×2＋3！×3+...+n！×n
>
> =2！+2！×2＋3！×3＋...+n！×n
>
> =2！×3+3！×3+...＋n！×n
>
> =3！+3！×3+...+n！×n＝...
>
> =n！+n！×n=(n＋1)！，
>
> 所以原式=(n+1)！-1.
>
> **例5** 设x＞0，试比较代数式x^3^和x^2^+x+2的值的大小．
>
> **分析与解** 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有
>
> x^3^＜x^2^+x+2．①
>
> 设x=10，则有x^3^=1000，x^2^+x＋2=112，所以
>
> x^3^＞x^2^+x+2．②
>
> 设x=100，则有x^3^＞x^2^+x+2．
>
> 观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x^3^＜x^2^+x+2；当x值较大时，x^3^＞x^2^+x+2．
>
> 那么自然会想到：当x=？时，x^3^=x^2^+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的"临界点"．为此，设x^3^=x^2^＋x＋2，则
>
> x^3^-x^2^-x-2＝0，
>
> (x^3^-x^2^-2x)＋(x-2)=0，
>
> (x-2)(x^2^+x+1)=0．
>
> 因为x＞0，所以x^2^+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
>
> (1)当x=2时，x^3^=x^2^+x+2；
>
> (2)当0＜x＜2时，因为
>
> x-2＜0，x^2^+x+2＞0，
>
> 所以 (x-2)(x^2^＋x+2)＜0，
>
> 即
>
> x^3^-(x^2^＋x+2)＜0，
>
> 所以 x^3^＜x^2^＋x＋2.
>
> (3)当x＞2时，因为
>
> x-2＞0，x^2^+x+2＞0，
>
> 所以 (x-2)(x^2^+x+2)＞0，
>
> 即
>
> x^3^-(x^2^＋x＋2)＞0，
>
> 所以 x^3^＞x^2^＋x＋2．
>
> 综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．
>
> {width="2.0520833333333335in" height="0.4375in"}
>
> **分析** 先由特例入手，注意到
>
> {width="1.59375in" height="1.03125in"}
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.4166666666666667in"}
>
> {width="4.0in" height="1.8020833333333333in"}
>
> **例7** 已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2---101)．
>
> {width="1.5in" height="1.3020833333333333in"}
>
> {width="3.34375in" height="0.9270833333333334in"}
>
> (2)当上述条件中比值为3，4，...，n时(n为自然数)，那S么S~四边形EFGH~与S~四边形ABCD~之比是多少？
>
> {width="4.46875in" height="0.4791666666666667in"}G引GM∥AC交DA于M点．由平行截割定理易知
>
> {width="4.604166666666667in" height="2.625in"}
>
> (2)设
>
> {width="3.2604166666666665in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18．5.
>
> {width="3.1041666666666665in" height="1.3229166666666667in"}
>
> 观察表18．5中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有
>
> {width="1.03125in" height="0.5833333333333334in"}
>
> 以上推测是完全正确的，证明留给读者．
>
> **练习十八**
>
> 1．试证明例7中：
>
> {width="0.90625in" height="0.5416666666666666in"}
>
> 2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：
>
> (1)这n条直线共有多少个交点？
>
> (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？
>
> {width="4.177083333333333in" height="1.1145833333333333in"}
>
> 然后做出证明.)
>
> 4．求适合x^5^=656356768的整数x．
>
> (提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：50^5^＜656356768＜60^5^，所以50^2^＜x＜60^2^．＝
第十九讲 特殊化与一般化
> 特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．
>
> 另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．
>
> ** 1．特殊化、一般化和类比推广**
>
> **命题1** 在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD^2^=AD·BD．
>
> 这是大家所熟知的直角三角形射影定理．
>
> 类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2．
>
> **命题2** 在△ABC中，∠C=90°， CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD．
>
> {width="2.0625in" height="1.2916666666666667in"}
>
> 这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD^2^=AD·BD)．
>
> 再类比，如果CD是∠C的平分线，将怎样？于是得到命题3．
>
> {width="1.0208333333333333in" height="1.7395833333333333in"}
>
> **命题3** 在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线(图2-104)，则有
>
> {width="1.7083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 这是一个新命题，证明如下.
>
> 引DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
>
> 因为
>
> {width="1.65625in" height="0.65625in"}
>
> 所以
>
> {width="1.1666666666666667in" height="0.6145833333333334in"}
>
> {width="4.479166666666667in" height="2.4270833333333335in"}
>
> 我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．
>
> **命题4** 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有
>
> {width="3.3541666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **证** 引DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为
>
> CD^2^-BD^2^＝CE^2^-BE^2^=(CE-BE)BC，
>
> 而
>
> {width="1.7083333333333333in" height="0.5416666666666666in"}
>
> 所以
>
> {width="2.625in" height="0.3645833333333333in"}
>
> 所以
>
> {width="2.125in" height="0.5416666666666666in"}
>
> 即
>
> {width="2.2708333333333335in" height="0.5416666666666666in"}
>
> **命题5** 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2---106)，则有
>
> {width="3.0in" height="0.5416666666666666in"}
>
> **证** 只要令命题4之结论中AD为-AD，则有
>
> {width="1.1458333333333333in" height="1.5416666666666667in"}
>
> {width="3.96875in" height="0.9166666666666666in"}
>
> 我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD│=0)，那么无论是①式或②式都有
>
> AB^2^=BC^2^+AC^2^.
>
> 这就是我们熟知的勾股定理．
>
> 命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．
>
> **定理** 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，
>
> 时，取"-"号，∠B为钝角时，取"＋"号)．
>
> **证** 我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．
>
> {width="2.9583333333333335in" height="1.4270833333333333in"}
>
> 为此，我们作图2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得
>
> {width="2.25in" height="0.3645833333333333in"}
>
> {width="3.4375in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 得
>
> {width="1.7916666666666667in" height="0.8854166666666666in"}
>
> {width="1.3958333333333333in" height="1.7916666666666667in"}
>
> {width="1.8645833333333333in" height="1.1770833333333333in"}
>
> 所以
>
> b^2^=a^2^+c^2^-^2^cn．
>
> 同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．
>
> ** 2．特殊化、一般化在解题中的应用**
>
> **例1** 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且
>
> {width="2.21875in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 求证：x^2^y^2^z^2^w^2^=1
>
> **分析与解** 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命{width="4.46875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> (1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上，因为
>
> {width="2.7291666666666665in" height="0.5416666666666666in"}
>
> 又因为
>
> {width="2.09375in" height="0.2916666666666667in"}
>
> {width="2.4583333333333335in" height="0.5520833333333334in"}
>
> {width="5.020833333333333in" height="0.3229166666666667in"}到原命题，由
>
> {width="1.4375in" height="1.9791666666666667in"}
>
> 容易想到变形
>
> {width="2.125in" height="1.1979166666666667in"}
>
> 去分母变形为
>
> ①×②×③×④，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到
>
> x^2^y^2^z^2^w^2^=1.
>
> **例2** 设凸四边形O~1~O~2~O~3~O~4~的周长为l，以顶点O~1~，O~2~，O~3~，O~4~为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)．
>
> {width="2.28125in" height="2.1666666666666665in"}
>
> **解**(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O~1~，⊙O~2~，2│O~1~O~2~│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为
>
> s=l＇+2πR．
>
> {width="1.5520833333333333in" height="1.09375in"}
>
> (2)再回到原题，我们猜想：
>
> s=l＋2πR．
>
> 以下证实这个猜想是正确的．
>
> 为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为
>
> {width="2.3541666666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．
>
> 事实上，引O~1~A＇~3~∥O~2~A~3~，由于O~1~A~1~∥O~2~A~2~，所以∠A~1~O~1~A＇ {width="2.9791666666666665in" height="0.3541666666666667in"} {width="5.21875in" height="0.3541666666666667in"} {width="5.291666666666667in" height="0.3333333333333333in"} {width="5.135416666666667in" height="0.3958333333333333in"}O~1~为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O~1~O~2~=A~1~A~2~，O~2~O~3~=A~3~A~4~，O~3~O~4~=A~5~A~6~，O~1~O~4~=A~7~A~8~，所以
>
> l＝A~1~A~2~＋A~3~A~4~＋A~5~A~6~＋A~7~A~8~．
>
> 所以，所求皮带长为
>
> s=l＋2πR．
>
> **例3** 设a~1~，a~2~，...，a~n~都是正数．试证：
>
> {width="3.4479166666666665in" height="0.5520833333333334in"}
>
> **证** 欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证
>
> {width="2.4375in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 把②变形为
>
> {width="3.1666666666666665in" height="0.6041666666666666in"}
>
> 即证
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 由于④中左边有(a~1~-a~2~)，(a~2~-a~3~)，(a~3~-a~1~)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a~1~-a~2~)，(a~2~-a~3~)，(a~3~-a~1~)之和即可．为此，我们证更简单的事实．
>
> 设a，b是任意正整数，则有
>
> {width="2.3333333333333335in" height="0.3958333333333333in"}
>
> 事实上，由(a-b)^2^≥0有
>
> a^2^-ab≥ab-b^2^，
>
> {width="2.9375in" height="0.6666666666666666in"}
>
> 根据⑤，④显然成立，因为
>
> {width="2.9166666666666665in" height="0.5416666666666666in"}
>
> ≥(a~1~-a~2~)+(a~2~-a~3~)+(a~3~-a~1~)≥0，
>
> 从而③式成立，②式成立．
>
> 剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
>
> {width="2.3854166666666665in" height="1.4583333333333333in"}
>
> ** **
>
> **练习十九**
>
> 1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：
>
> ＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．
>
> {width="1.71875in" height="1.5416666666666667in"}
>
> 2．在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．
>
> 3．在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA＇，BB＇，CC＇，DD＇只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．
>
> 4．如果△ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度．
第二十讲 类比与联想
> 类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．
>
> 联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．
>
> 利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．
>
> 1．类比与发现
>
> **例1** 已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．
>
> {width="1.1979166666666667in" height="1.21875in"}
>
> **解** 引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以
>
> {width="3.6041666666666665in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 因为∠C=∠BDE=90°，所以
>
> ∠ADE=∠CBH．
>
> 又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以
>
> {width="3.40625in" height="0.9791666666666666in"}
>
> **类比** 如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．
>
> {width="1.46875in" height="1.2083333333333333in"}
>
> **例2** 如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S~△ABC~=1，求S~△AED~．
>
> **解** 类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件
>
> ∠C=4∠B=4∠A，
>
> 则
>
> ∠A=∠B=30°，∠C=120°．
>
> 由于CF平分∠C，所以
>
> ∠ACF＝60°．
>
> 又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以
>
> △ADE∽△ABC，
>
> 所以
>
> {width="1.0416666666666667in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则
>
> {width="1.5416666666666667in" height="0.2916666666666667in"}
>
> {width="3.3854166666666665in" height="1.4166666666666667in"}
>
> {width="4.447916666666667in" height="0.4895833333333333in"}
>
> **类比** 如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．
>
> **例3** 已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S~△CBH~．
>
> {width="1.5729166666666667in" height="1.25in"}
>
> **解** 本题直接求S~△CBH~有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．
>
> 由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以
>
> ∠CBH=∠ADE=45°．
>
> 因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以
>
> △CBH≌△ADE，
>
> 所以 S~△CBH~=S~△ADE~.
>
> 因此只要求出S~△ADE~即可，为此，设DE=x，则
>
> {width="4.25in" height="2.8958333333333335in"}
>
> {width="5.166666666666667in" height="0.8125in"}
>
> (2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S~△ADE~，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S~△CBH~．
>
> 我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有
>
> │b-c│＜a＜b＋c，①
>
> 即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．
>
> 我们对①类比：是否有
>
> {width="2.40625in" height="0.3333333333333333in"}
>
> 存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．
>
> {width="5.291666666666667in" height="1.6875in"}
>
> {width="4.635416666666667in" height="2.9791666666666665in"}
>
> {width="3.0208333333333335in" height="0.3229166666666667in"}
>
> ** 2．联想与解题**
>
> **例5** a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有
>
> a^2^＋pa＋q=0，b^2^+pb＋q=0，
>
> {width="1.0520833333333333in" height="0.4166666666666667in"}
>
> **分析与解** 由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x^2^＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有
>
> {width="2.34375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="5.385416666666667in" height="1.0625in"}
>
> **例6** 如果(z-x)^2^-4(x-y)(y-z)=0，求证：
>
> x+z=2y．
>
> **分析与解** (1)展开原式有
>
> z^2^-2xz+x^2^-4(xy-y^2^-xz+yz)=0，
>
> 合并、配方得
>
> (x+z)^2^-4y(x+z)＋4y^2^=0，
>
> 即 (x+z-2y)^2^=0，
>
> 所以 x+z＝2y．
>
> (2)如果看已知条件：
>
> (z-x)^2^-4(x-y)(y-z)=0，
>
> 很像二次方程根的判别式b^2^-4ac的形式，因此，可联想到方程
>
> (x-y)t^2^＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由
>
> (x-y)+(z-x)+(y-z)=0
>
> 可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知
>
> {width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以 x+z=2y．
>
> 当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以
>
> x+z=2y．
>
> **例7** 化简
>
> {width="1.8854166666666667in" height="0.5208333333333334in"}
>
> **分析与解** 这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．
>
> {width="3.4166666666666665in" height="2.1875in"}
>
> **例8** 图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的"弦图"，其中"弦实"是弦平方的面积，"弦图"以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在"弦图"内部作四个直角三角形(如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据"出入相补原理"就有
>
> {width="1.40625in" height="1.5104166666666667in"}
>
> {width="1.8229166666666667in" height="0.8333333333333334in"}
>
> 即 c^2^=2ab+b^2^-2ab+a^2^,
>
> 即 c^2^=a^2^+b^2^.
>
> 这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用"出入相补原理"，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了"勾股定理"的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．
>
> 设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．
>
> (1)在图 2-117中，有
>
> {width="1.7291666666666667in" height="1.65625in"}
>
> a^2^+b^2^＝(S~3~+S~5~)+(S~1~+S~2~+S~4~)
>
> ＝(S~4~+S~5~)+(S~1~+S~2~+S~3~)
>
> ＝2S~2~+S~1~+S~3~=c~2~．
>
> (2)在图 2-118中，有
>
> a^2^+b^2^＝(S~3~+S~4~)＋(S~1~+S~2~)
>
> =S~1~＋S~3~＋S~4~＋S＇~2~＋S~5~=c~2~
>
> {width="3.28125in" height="1.5520833333333333in"}
>
> (3)在图2-119中，有
>
> a^2^＋b^2^＝(S~2~＋S~5~)+(S~1~＋S~3~＋S~4~)
>
> =S~1~＋S~2~＋S~3~＋S~4~＋S~5~＝c~2~．
>
> (4)在图2-120中，有
>
> {width="1.9166666666666667in" height="1.9270833333333333in"}
>
> a^2^＋b^2^=(S＇~2~＋S~5~)＋(S~1~＋S~3~＋S~4~)
>
> =(S＇~2~+S~4~)+(S~1~+S~3~+S~5~)
>
> ＝S~1~+S~2~+S~3~+S~5~=c~2~．
>
> **练习二十**
>
> 1．在直角△ABC中，∠C=90°．
>
> (1)如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形(如图2-121)，那么面积S~1~，S~2~，S~3~之间有什么关系？
>
> (2)如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S~1~，S~2~，S~3~之间有什么关系(如图2-122)？
>
> {width="2.9375in" height="0.22916666666666666in"}
>
>
>
> {width="1.4375in" height="1.8020833333333333in"}
>
> {width="0.9895833333333334in" height="0.9375in"}
>
> (提示：联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小．)
>
> {width="3.3229166666666665in" height="0.5104166666666666in"}
>
> (提示：如联想到已知公比之比值k，则可化难为易．)
>
> 4．参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明．
>
> 5．已知：△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，BD是∠B的分角线，E点在AB上，且∠ADE=∠DBC，S~△ABC~=1，求S~△ADE~．
第二十一讲 分类与讨论
> 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．
>
> 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？
>
> 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．
>
> 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．
>
> 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．
>
> 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．
>
> **例1** 求方程
>
> x^2^-│2x-1│-4=0
>
> 的实根．
>
> {width="2.1770833333333335in" height="0.3541666666666667in"}
>
> x^2^+2x-1-4=0，
>
> {width="1.0416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}
>
> {width="1.8645833333333333in" height="0.8541666666666666in"}
>
> x^2^-2x＋1-4=0，
>
> x~1~＝3，x~2~=-1．
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.375in"}
>
> {width="2.9375in" height="0.25in"}
>
> **说明** 在去绝对值时，常常要分类讨论．
>
> **例2** 解方程x^2^-\[x\]=2，其中\[x\]是不超过x的最大整数．
>
> **解** 由\[x\]的定义，可得
>
> x≥\[x\]=x^2^-2，
>
> 所以 x^2^-x-2≤0，
>
> 解此不等式得
>
> -1≤x≤2．
>
> 现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解．
>
> (1)当-1≤x≤0时，原方程为
>
> x^2^-(-1)=2，
>
> 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x＜0)．
>
> (2)当0≤x＜1时，原方程为
>
> x^2^=2．
>
> (3)当1≤x＜2时，原方程为
>
> x^2^-1=2，
>
> 所以
>
> {width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}
>
> (4)当x=2时，满足原方程．
>
> **例3** a是实数，解方程
>
> x│x+1│+a=0．
>
> **分析** 方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x的取值范围来求解．
>
> **解** (1)当x＜-1时，原方程变形为
>
> x^2^＋x-a=0．①
>
> 当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为
>
> {width="1.3645833333333333in" height="0.5625in"}
>
> {width="3.40625in" height="0.5in"}
>
> (2)当x≥-1时，原方程为
>
> x^2^＋x＋a=0．②
>
> {width="2.8229166666666665in" height="0.3958333333333333in"}
>
> {width="1.3333333333333333in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 又x≥-1，即
>
> {width="1.375in" height="0.4583333333333333in"}
>
> {width="4.9375in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 综上所述，可得：当a＜0时，原方程的解为
>
> {width="1.3958333333333333in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.4791666666666665in" height="0.4166666666666667in"}
>
> {width="2.6770833333333335in" height="0.6145833333333334in"}
>
> {width="2.03125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.3333333333333333in" height="0.6354166666666666in"}
>
> {width="4.666666666666667in" height="0.6770833333333334in"}
>
> {width="4.822916666666667in" height="2.5625in"}
>
> **例5** 已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求n的取值范围．
>
> **解** 设三角形的三个角度数分别是α，β，γ，且有α≥β≥γ． 由题设α-γ=24．
>
> (1)若β+γ=n，则α=180°-n，
>
> γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．
>
> 所以
>
> 156°-n≤2n-156°≤180°-n，
>
> 所以 104°≤n≤112°．
>
> (2)若α＋γ=n，则β=180°-n，于是
>
> {width="2.1145833333333335in" height="0.40625in"}
>
> 所以
>
> {width="2.3645833333333335in" height="0.4583333333333333in"}
>
> 所以 112°≤n≤128°．
>
> (3)若α＋β=n，则γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α=2n-204°．于是
>
> 180°- n≤2n-204°≤204°-n，
>
> 所以 128°≤n≤136°．
>
> 综上所述，n的取值范围是104°≤n≤136°．
>
> **例6** 证明：若p是大于5的质数，则p^2^-1是24的倍数．
>
> **分析** 关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．
>
> **证** 把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类．
>
> 当p=6k＋1时，
>
> p^2^-1=36k^2^+12k=12k(3k+1)．
>
> 因k，3k＋1中必有一个偶数，此时24│p^2^-1．
>
> 当p=6k＋5时，
>
> p^2^-1=36k^2^＋60k＋24
>
> ＝12k2＋12k
>
> =12k(k＋1)≡0(mod 24)．
>
> 所以，P^2^-1是24的倍数．
>
> **例7** 证明
>
> A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
>
> ＝4max｛x，y，z｝，
>
> 其中max｛x，y，z｝表示x，y，z这三个数中的最大者．
>
> **分析** 欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得．
>
> **证** (1)当x≥y，x≥z时，
>
> A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
>
> =2x-2z+2x+2z=4x.
>
> (2)当y≥z，y≥x时，
>
> A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
>
> =2y-2z+2y+2z=4y．
>
> (3)当z≥x，z≥y时，因为
>
> │x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，
>
> 所以
>
> A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
>
> 从而 A=4max｛x，y，z｝．
>
> **例8** 在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．
>
> **解** 两个小矩形的放置情况有如下几种：
>
> {width="1.5625in" height="0.7916666666666666in"}
>
> {width="4.96875in" height="1.1145833333333333in"}
>
> (2)两个小矩形都"横放"，如图2-124及图2-125所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
>
> 2(a＋3a)＋2\[1-a＋3(1-a)\]＝8．
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.84375in"}
>
> {width="1.625in" height="0.8958333333333334in"}
>
> (3)两个小矩形一个"横放"，一个"竖放"，如图2-126，这时两个小矩形的周长和为
>
> {width="3.0208333333333335in" height="0.4166666666666667in"}
>
> {width="1.9375in" height="0.875in"}
>
> {width="4.697916666666667in" height="1.28125in"}
>
> **练习二十一**
>
> 1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．
>
> 2．解关于x的不等式：a(ax-1)＞x-1.
>
> 3．解方程：││x-3│-2│=a．
>
> 4．解方程：x^2^-2\[x\]-3=0．
>
> {width="4.510416666666667in" height="0.4375in"}
>
> 6．设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x^2^-bx＋a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．
>
> 7．x，y都是自然数，求证：x^2^+y+1和y^2^＋4x＋3的值不能同时是完全平方．
第二十二讲 面积问题与面积方法
> 几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．
>
> 下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．
>
> (1)三角形的面积
>
> (i)三角形的面积公式
>
> {width="4.552083333333333in" height="0.8020833333333334in"}
>
> b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．
>
> (ii)等底等高的两个三角形面积相等．
>
> (iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．
>
> (iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
>
> (2)梯形的面积
>
> 梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．
>
> (3)扇形面积
>
> {width="2.2083333333333335in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．
>
> ** 1．有关图形面积的计算和证明**
>
> {width="1.7395833333333333in" height="1.5833333333333333in"}
>
> {width="4.8125in" height="1.2708333333333333in"}
>
> **解** 因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得 {width="5.125in" height="0.6666666666666666in"}
>
> 所以，阴影部分AEFBDA的面积是
>
> {width="3.5833333333333335in" height="1.5104166666666667in"}
>
> **例2** 已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S~1~=5，S~2~=10，S~3~=6．求△ABO的面积(图2-128)．
>
> **解** 首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO
>
> {width="2.65625in" height="0.5in"}{width="1.8854166666666667in" height="1.46875in"}
>
>
>
> {width="1.78125in" height="1.375in"}
>
> 由题设
>
> {width="2.1979166666666665in" height="1.0208333333333333in"}
>
> 设S~△AOB~=S，则
>
> {width="1.4270833333333333in" height="0.5625in"}
>
> 所以
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.5208333333333334in"}
>
> **例3** 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.4479166666666667in"}
>
> **分析** 如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．
>
> **解** 设未知的两个小三角形的面积为x和y，则
>
> {width="1.40625in" height="0.4375in"}
>
> 即
>
> {width="2.3020833333333335in" height="0.4166666666666667in"}
>
> 又
>
> {width="1.4791666666666667in" height="0.4583333333333333in"}
>
> 即
>
> {width="2.7708333333333335in" height="0.5in"}
>
> ①÷②得
>
> {width="1.71875in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 再由②得x=56．因此
>
> S~△ABC~＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．
>
> {width="1.8333333333333333in" height="1.1875in"}
>
> **例4** 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S~1~，S~2~，S~3~，求△ABC的面积．
>
> **解** 为方便起见，设
>
> S△QDG=S′~1~，S△QIE=S′~2~，S△QFH=S′~3~，则
>
> {width="2.6770833333333335in" height="0.7604166666666666in"}
>
> 所以
>
> {width="2.1666666666666665in" height="0.40625in"}
>
> 同理可得
>
> {width="2.1666666666666665in" height="0.8854166666666666in"}
>
> 从①，②，③中可以解得
>
> {width="2.7708333333333335in" height="0.5729166666666666in"}
>
> 所以
>
> {width="3.0416666666666665in" height="0.53125in"}
>
> {width="1.3645833333333333in" height="1.375in"}
>
> **例5** 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰{width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **解** 如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
>
> {width="2.65625in" height="0.8854166666666666in"}
>
> {width="2.90625in" height="0.96875in"}
>
> n^2^-n-90=0，
>
> 所以n=10．
>
> ** 2．利用面积解题**
>
> 有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．
>
> {width="1.6770833333333333in" height="1.4895833333333333in"}
>
> **例6** 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．
>
> **证** 如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则
>
> S~△ABC~＝S~△PAB~＋S~△PCB~＋S~△PCA~
>
> {width="2.03125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 ax＋by＋cz=2S~△ABC~，
>
> 即ax＋by＋cz为常数．
>
> **说明** 若△ABC为等边三角形，则
>
> {width="1.7604166666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
>
> **例7** 如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：
>
> {width="1.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **证** 首先，同例2类似，容易证明
>
> {width="0.9791666666666666in" height="0.5104166666666666in"}
>
> {width="3.1770833333333335in" height="0.78125in"}
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.78125in"}
>
> {width="1.4375in" height="1.40625in"}
>
> {width="1.4895833333333333in" height="1.4479166666666667in"}
>
> **说明** 本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
>
> **例8** 如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
>
> **解** 由上题知
>
> {width="3.4270833333333335in" height="1.1458333333333333in"}
>
> {width="2.5in" height="0.9375in"}
>
> 去分母整理得
>
> 3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324
>
> =xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，
>
> 所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．
>
> **练习二十二**
>
> 1．填空：
>
> {width="4.822916666666667in" height="0.25in"}\_\_\_\_\_\_\_\_．
>
> (2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_．
>
> (3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是\_\_\_\_\_\_．
>
> (4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S~△ABO~=p~2~，S~△CDO~=q~2~，则S~ABCD~=\_\_\_\_．
>
> {width="4.645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}△~ABC~=40．若BE，CD相交于F，则S~△DEF~=\_\_\_\_\_\_．
>
> 2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．
>
> 3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．
>
> 4．在凸五边形ABCDE中，S~△ABC~=S~△BCD~=S~△CDE~=S~△DEA~=S~△EAB~=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．
>
> 5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S~1~=30，S~2~=6，求△ADC的面积S．
>
> 6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
>
> {width="1.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．
第二十三讲 几何不等式
> 平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．
>
> 在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．
>
> 几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．
>
> **定理1** 在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
>
> **定理2** 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．
>
> **定理3** 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．
>
> **定理4** 三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．
>
> **定理5** 自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
>
> {width="1.4270833333333333in" height="1.3645833333333333in"}
>
> 说明 如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，
>
> 由勾股定理知
>
> PA^2^-HA^2^=PH^2^=PB^2^-HB^2^，
>
> 所以
>
> PA^2^-PB^2^=HA^2^-HB^2^．
>
> 从而定理容易得证．
>
> **定理6** 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有
>
> PA≤max｛AB，AC｝，
>
> 当点P为A或B时等号成立．
>
> **说明** max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而
>
> PA≤max｛AB，AC｝．
>
> {width="1.28125in" height="1.3958333333333333in"}
>
> 同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．
>
> **例1** 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．
>
> **证** 在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．
>
> 过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则
>
> BH＞BM=MC＞HC．
>
> 如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．
>
> {width="1.5416666666666667in" height="1.4375in"}
>
> {width="1.4375in" height="1.28125in"}
>
> **例2** 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．
>
> (1)求证：
>
> {width="2.1875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ＜a＋b＋c；
>
> (2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：
>
> PA+PB＋PC＜2．
>
> **证** (1)由三角形两边之和大于第三边得
>
> PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得
>
> {width="2.3958333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又由定理4可知
>
> PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，
>
> PC+PA＜c＋a．
>
> 把它们相加，再除以2，便得
>
> PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
>
> 所以
>
> {width="3.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是
>
> PA＜max｛AD，AE｝＝AD，
>
> PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，
>
> 所以
>
> PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC
>
> =AB＋AE＋EC=2．
>
> {width="1.6354166666666667in" height="1.8541666666666667in"}
>
> **例3** 如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．
>
> **证** 在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC
>
> =AB+AC=2AC，
>
> 所以 DB＞AC．
>
> 由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以
>
> DC＋BF=AC=AB．
>
> 在△ABF中，
>
> AF＞AB-BF=DC．
>
> 在△ADC和△ADF中，
>
> AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
>
> 由定理3，∠1＞∠2，所以
>
> AE＞DE．
>
> **例4** 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **分析** 在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所{width="4.895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}为边的三角形．
>
> **证** 如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则
>
> {width="1.7604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以
>
> ∠GCM=∠MGC．
>
> 而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是
>
> ∠MGC＞45°，
>
> 所以
>
> ∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．
>
> {width="1.9166666666666667in" height="1.3645833333333333in"}
>
> {width="1.625in" height="1.1770833333333333in"}
>
> 由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例5** 如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：
>
> (1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；
>
> (2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
>
> **证** (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以
>
> OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．
>
> 又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以
>
> BX＞XS=OC′．
>
> 同理
>
> CY＞OB′．
>
> 所以
>
> OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．
>
> {width="2.75in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 所以
>
> OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′
>
> ≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
>
> =max｛AA′，BB′，CC′｝
>
> 下面我们举几个与角有关的不等式问题．
>
> **例6** 在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．
>
> {width="1.1666666666666667in" height="1.3541666666666667in"}
>
> **证** 在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．
>
> 在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以
>
> ∠ACB＞∠ABC．
>
> **说明** 在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．
>
> {width="3.0104166666666665in" height="0.8645833333333334in"}
>
> {width="1.5833333333333333in" height="0.8333333333333334in"}
>
> **证** 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2{width="4.635416666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，
>
> {width="2.5625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即 BC＞2BD．
>
> 又 CD＞BC-BD，
>
> 所以
>
> BC＋CD＞2BD＋BC-BD，
>
> 所以 CD＞BD．
>
> 从而命题得证．
>
> **例8** 在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．
>
> {width="1.7916666666666667in" height="1.4583333333333333in"}
>
> {width="1.5833333333333333in" height="1.59375in"}
>
> **证** 作MH~1~⊥BC于H~1~，由于M是中点，所以
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 于是在Rt△MH~1~B中，
>
> ∠MBH~1~=30°．
>
> 延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最{width="5.020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}ABC中的最短边，所以
>
> AN=BC＜AB，
>
> 从而
>
> ∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，
>
> ∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．
>
> 下面是一个非常著名的问题------费马点问题．
>
> **例9** 如图2-145．设O为△ABC内一点，且
>
> ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
>
> P为任意一点(不是O)．求证：
>
> PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．
>
> **证** 过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A~1~，B~1~，C~1~(如图2-145)，考虑四边形AOBC~1~．因为
>
> ∠OAC~1~=∠OBC~1~=90°，∠AOB=120°，
>
> 所以∠C~1~=60°．同理，∠A~1~=∠B~1~=60°．所以△A1B1C1为正三角形．
>
> 设P到△A~1~B~1~C~1~三边B~1~C~1~，C~1~A~1~，A~1~B~1~的距离分别为ha，hb，hc，且△A~1~B~1~C~1~的边长为a，高为h．由等式
>
> S△A~1~B~1~C~1~=S△PB~1~C~1~+S△PC~1~A~1~＋S△PA~1~B~1~
>
> 知
>
> {width="2.28125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 h=h~a~＋h~b~＋h~c~．
>
> 这说明正△A~1~B~1~C~1~内任一点P到三边的距离和等于△A~1~B~1~C~1~的高h，这是一个定值，所以
>
> OA＋OB＋OC=h=定值．
>
> 显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以
>
> PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．
>
> 这就是我们所要证的结论．
>
> 由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．
>
> **练习二十三**
>
> 1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．
>
> 2．AM是△ABC的中线，求证：
>
> {width="1.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．
>
> 4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．
>
> 5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：
>
> AB+CF≥AC＋BE．
>
> 6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：
>
> PB-PC＞AB-AC．
>
> 7．在等腰△ABC中，AB=AC．
>
> (1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．
>
> (2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．
>
> **第二十四讲\* 整数的整除性**
>
> 整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．
>
> ** 1．整除的基本概念与性质**
>
> 所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．
>
> 定义 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}a．
>
> 关于整数的整除，有如下一些基本性质：
>
> **性质1** 若b｜a，c｜b，则c｜a．
>
> **性质2** 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．
>
> **性质3** 若c｜a，c{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}b，则c{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}(a±b)．
>
> **性质4** 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．
>
> **性质5** 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．
>
> **性质6** 若b｜a，c｜a，则\[b，c\]｜a(此处\[b，c\]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．
>
> **性质7** 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．
>
> **性质8** 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a^n^-b^n^)．
>
> **性质9** 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a^n^-b^n^)．
>
> **性质10** 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a^n^＋b^n^)．
>
> ** 2．证明整除的基本方法**
>
> 证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．
>
> **例1** 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．
>
> **分析** 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．
>
> **证** 设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是
>
> (2n-1)^2^+(2n+1)^2^+(2n+3)^2^＋1
>
> =12(n^2^＋n＋1)．
>
> 所以
>
> 12｜\[(2n-1)^2^＋(2n＋1)^2^＋(2n＋3)^2^\]．
>
> 又n^2^+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故
>
> 24{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"} \[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2\]．
>
> **例2** 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．
>
> **证** 设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得
>
> 3v-5u=17x．①
>
> 所以 17｜3v．
>
> 因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．
>
> 若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．
>
> {width="3.7291666666666665in" height="0.4479166666666667in"}q＞1．求pq的值．
>
> **解** 若p=q，则
>
> {width="1.6041666666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是
>
> {width="2.0520833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="3.5in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="1.6145833333333333in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以
>
> pq=3×5=15．
>
> **例4** 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．
>
> **分析** 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．
>
> {width="4.75in" height="0.4479166666666667in"}最小的一个：
>
> {width="1.5in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.75in" height="0.4479166666666667in"}
>
> y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是
>
> {width="1.3645833333333333in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.864583333333333in" height="0.4479166666666667in"}数两两互质，所以x=1．
>
> 所求的三个数为1，2，3．
>
> **例5** 设n是奇数，求证：
>
> 60｜6^n^-3^n^-2^n^-1．
>
> **分析** 因为60=2^2^×3×5，2^2^，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明2^2^，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．
>
> **证** 60=2^2^×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有
>
> 2^2^｜6^n^-2^n^，2^2^｜3^n^＋1，
>
> 所以
>
> 2^2^｜6^n^-2^n^-3^n^-1， 3｜6^n^-3^n^， 3｜2^n^+1，
>
> 所以
>
> 3｜6^n^-3^n^-2^n^-1，5｜6^n^-1，5｜3^n^+2^n^，
>
> 所以
>
> 5｜6^n^-1-3^n^-2^n^．
>
> 由于2^2^，3，5两两互质，所以
>
> 60｜6^n^-3^n^-2^n^-1．
>
> 我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．
>
> **例6** 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a^2^-1)．
>
> **分析** 因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．
>
> **证** 因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a^2^-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a^2^-1)．
>
> **例7** 求证：3^n^+1(n为正整数)能被2或2^2^整除，但不能被2的更高次幂整除．
>
> **证** 按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则
>
> 3^n^＋1=3^2k^＋1=(3^k^)2＋1．
>
> 由3^k^是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是
>
> 3^n^＋1=8l＋2=2(4l＋1)．
>
> 4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3^n^＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．
>
> 若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则
>
> 3^n^+1=3^2k＋1^+1=3·(3^k^)2＋1
>
> =3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．
>
> 由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被2^2^整除，但不能被2的更高次幂整除．
>
> 在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．
>
> **例8** 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．
>
> **证** 用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：
>
> (1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是
>
> a^2^+b^2^=9m^2^+9n^2^±6n+1
>
> =3(3m^2^＋3n^2^±2n)+1，
>
> 不是3的倍数，矛盾．
>
> (2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则
>
> a^2^＋b^2^=(3m±1)2+(3n±1)2
>
> =9m^2^±6m+1+9n^2^±6n＋1
>
> =3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，
>
> 不能被3整除，矛盾．
>
> 由此可知，a，b都是3的倍数．
>
> **例9** 设p是质数，证明：满足a^2^=pb^2^的正整数a，b不存在．
>
> **证** 用反证法．假定存在正整数a，b，使得
>
> a^2^=pb^2^
>
> 令(a，b)=d，a=a~1~d，b=b~1~d，则(a~1~，b~1~)=1．所以
>
> {width="1.6770833333333333in" height="0.25in"}
>
> {width="5.0in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 与(a~1~，b~1~)=1矛盾．
>
> **例10** 设p，q均为自然数，且
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 求证：29｜p．
>
> **证** 注意到29是质数．令a=10×11×...×19．
>
> {width="3.1979166666666665in" height="1.4375in"}
>
> {width="2.71875in" height="1.40625in"}
>
> 所以 ap=29q·b，
>
> {width="3.9791666666666665in" height="0.5in"}
>
> 29｜a·p，29是质数，且29{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}a，所以29｜p．
>
> **练习二十四**
>
> 1．求证：对任意自然数n，2×7^n^＋1能被3整除．
>
> 2．证明：当a是奇数时，a(a^2^-1)能被24整除．
>
> 3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：
>
> 7｜(9x＋5y)．
>
> 4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p^2^-1)．
>
> 5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．
>
> 6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．
>
> 7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．
>
> **第二十五讲\* 同余式**
>
> 数论有它自己的代数，称为同余理论．最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯．
>
> 先看一个游戏：有n＋1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜．问是先走者胜还是后走者胜？应该怎样走才能取胜？
>
> 取胜之道是：你只要设法使余下的空格数是4的倍数，以后你的对手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格．最后只剩4个空格时，你的对手就必输无疑了．因此，若n除以4的余数是1，2或3时，那么先走者甲胜；若n除以4的余数是0的话，那么后走者乙胜．
>
> 在这个游戏里，我们可以看出，有时我们不必去关心一个数是多少，而要关心这个数用m除后的余数是什么．又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52＋1，所以2000年的元旦是星期六．这里我们关心的也是余数．这一讲中，我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用．
>
> 同余，顾名思义，就是余数相同．
>
> **定义1** 给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作
>
> a≡b(modm)，
>
> 并读作a同余b，模m．
>
> 若a与b对模m同余，由定义1，有
>
> a=mq~1~＋r，b=mq~2~+r．
>
> 所以 a-b=m(q~1~-q~2~)，
>
> 即 m｜a-b．
>
> 反之，若m｜a-b，设
>
> a=mq~1~＋r~1~，b=mq~2~＋r~2~，0≤r~1~，r~2~≤m-1，
>
> 则有m｜r~1~-r~2~．因｜r~1~-r~2~｜≤m-1，故r~1~-r~2~=0，即r~1~＝r~2~．
>
> 于是，我们得到同余的另一个等价定义：
>
> **定义2** 若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．
>
> 同余式的写法，使我们联想起等式．其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面的定理1．
>
> **定理1** (1)a≡a(modm)．
>
> (2) 若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．
>
> (3) 若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．
>
> 在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立．
>
> **定理2** 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
>
> a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．
>
> **证** 由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以
>
> m｜(a±c)-(b±d)， m｜c(a-b)＋b(c-d)，
>
> 即
>
> a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．
>
> 由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则
>
> a±k≡b±k(modm)，
>
> ak≡bk(modm)，a^n^≡b^n^(modm)．
>
> 对于同余式ac≡bc(modm)，我们是否能约去公约数c，得到一个正确的同余式a≡b(modm)？
>
> 在这个问题上，同余式与等式是不同的．例如
>
> 25≡5(mod 10)，
>
> 约去5得
>
> 5≡1(mod 10)．
>
> 这显然是不正确的．但下面这种情形，相约是可以的．
>
> **定理3** 若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则
>
> a≡b(modm)．
>
> **证** 由题设知
>
> ac-bc=(a-b)c=mk．
>
> 由于(m，c)=1，故m｜a-b，即a≡b(modm)．
>
> **定理4** 若n≥2，
>
> a≡b(modm~1~)，
>
> a≡b(modm~2~)，
>
> ............
>
> a≡b(modm~n~)，
>
> 且M=\[m~1~，m~2~，...，m~n~\]表示m~1~，m~2~，...，m~n~的最小公倍数，则
>
> a≡b(modM)．
>
> 前面介绍了同余式的一些基本内容，下面运用同余这一工具去解决一些具体问题．
>
> 应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(modm)即可．
>
> **例1** 求证：
>
> (1)8｜(55^1999^＋17)；
>
> (2) 8(3^2n^＋7)；
>
> (3)17｜(19^1000^-1)．
>
> **证** (1)因55≡-1(mod 8)，所以55^1999^≡-1(mod 8)，55^1999^＋17≡-1＋17=16≡0(mod 8)，于是8｜(55^1999^＋17)．
>
> (2)3^2^=9≡1(mod 8)，3^2n^≡1(mod 8)，所以3^2n^＋7≡1＋7≡0(mod 8)，即8｜(3^2n^＋7)．
>
> (3)19≡2(mod 17)，19^4^≡2^4^=16≡-1(mod 17)，所以19^1000^=(19^4^)250≡(-1)250≡1(mod 17)，于是
>
> 17｜(19^1000^-1)．
>
> **例2** 求使2^n^-1为7的倍数的所有正整数n．
>
> **解** 因为2^3^≡8≡1(mod 7)，所以对n按模3进行分类讨论．
>
> (1) 若n=3k，则
>
> 2^n^-1＝(2^3^)^k^-1＝8^k^-1≡1^k^-1＝0(mod 7)；
>
> (2) 若n=3k＋1，则
>
> 2^n^-1=2·(2^3^)^k^-1=2·8^k^-1
>
> ≡2·1^k^-1＝1(mod 7)；
>
> (3) 若n=3k＋2，则
>
> 2^n^-1=2^2^·(2^3^)^k^-1=4·8^k^-1
>
> ≡4·1^k^-1＝3(mod 7)．
>
> 所以，当且仅当3｜n时，2^n^-1为7的倍数．
>
> **例3** 对任意的自然数n，证明
>
> A=2903^n^-803^n^-464^n^＋261^n^
>
> 能被1897整除．
>
> **证** 1897=7×271，7与271互质．因为
>
> 2903≡5(mod 7)，
>
> 803≡5(mod 7)，
>
> 464≡2(mod 7)，
>
> 261≡2(mod 7)，
>
> 所以
>
> A=2903^n^-803^n^-464^n^+261^n^
>
> ≡5n-5n-2n+2n=0(mod 7)，
>
> 故7｜A．又因为
>
> 2903≡193(mod 271)，
>
> 803≡261(mod 271)，
>
> 464≡193(mod 271)，
>
> 所以
>
> {width="2.1354166666666665in" height="0.7708333333333334in"}
>
> 故271｜A．因(7，271)=1，所以1897整除A．
>
> **例4** 把1，2，3...，127，128这128个数任意排列为a~1~，a~2~，...，a~128~，计算出
>
> ｜a~1~-a~2~｜，｜a~3~-a~4~｜ ，...，｜a~127~-a~128~｜，
>
> 再将这64个数任意排列为b~1~，b~2~，...，b~64~，计算
>
> ｜b~1~-b~2~｜，｜b~3~-b~4~｜，...，｜b~63~-b~64~｜．
>
> 如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
>
> **解** 因为对于一个整数a，有
>
> ｜a｜≡a(mod 2)， a≡-a(mod 2)，
>
> 所以
>
> b~1~＋b~2~＋...＋b~64~
>
> =｜a~1~-a~2~｜+｜a~3~-a~4~｜+...+｜a~127~-a~128~｜
>
> ≡a~1~-a~2~＋a~3~-a~4~+...+a~127~-a~128~
>
> ≡a~1~＋a~2~＋a~3~＋a~4~+...+a~127~＋a~128~(mod 2)，
>
> 因此，每经过一次"运算"，这些数的和的奇偶性是不改变的．最终得到的一个数
>
> x≡a~1~＋a~2~＋...＋a~128~＝1＋2＋...＋128
>
> ＝64×129≡0(mod 2)，
>
> 故x是偶数．
>
> 如果要求一个整数除以某个正整数的余数，同余是一个有力的工具．另外，求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数．
>
> **例5** 求证：一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．
>
> {width="3.3125in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 10≡1(mod 9)，
>
> 故对任何整数k≥1，有
>
> 10^k^≡1^k^＝1(mod 9)．
>
> 因此
>
> {width="3.1875in" height="0.8020833333333334in"}
>
> 即A被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．
>
> **说明** (1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．
>
> (2)算术中的"弃九验算法"就是依据本题的结论．
>
> **例6** 任意平方数除以4余数为0和1(这是平方数的重要特征)．
>
> **证** 因为
>
> 奇数^2^=(2k＋1)^2^=4k^2^＋4k+1≡1(mod 4)，
>
> 偶数^2^=(2k)^2^=4k^2^≡0(mod 4)，
>
> 所以
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.53125in"}
>
> **例7** 任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征)．
>
> **证** 奇数可以表示为2k＋1，从而
>
> 奇数^2^=4k^2^＋4k+1=4k(k＋1)+1．
>
> 因为两个连续整数k，k＋1中必有偶数，所以4k(k＋1)是8的倍数，从而
>
> 奇数^2^=8t+1≡1(mod 8)，
>
> 偶数^2^=(2k)^2^=4k^2^(k为整数)．
>
> (1)若k=偶数=2t，则
>
> 4k^2^=16t^2^＝0(mod 8)．
>
> (2)若k=奇数=2t+1，则
>
> 4k^2^=4(2t＋1)^2^=16(t^2^＋t)+4≡4(mod 8)，
>
> 所以
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 求余数是同余的基本问题．在这种问题中，先求出与±1同余的数是一种基本的解题技巧．
>
> **例8** (1)求33除2^1998^的余数．
>
> (2)求8除7^2n+1^-1的余数．
>
> **解** (1)先找与±1(mod 33)同余的数．因为
>
> 2^5^＝32≡-1(mod 33)，
>
> 所以 2^10^≡1(mod 33)，
>
> 2^1998^=(2^10^)^199^·2^5^·2^3^≡-8≡25(mod 33)，
>
> 所求余数为25．
>
> (2)因为7≡-1(mod 8)，所以
>
> 7^2n＋1^≡(-1)^2n＋1^＝-1(mod 8)，
>
> 7^2n＋1^-1≡-2≡6(mod 8)，
>
> 即余数为6．
>
> **例9** 形如
>
> F~n~＝2^2n^+1，n=0，1，2，...
>
> 的数称为费马数．证明：当n≥2时，F~n~的末位数字是7．
>
> 证 当n≥2时，2^n^是4的倍数，故令2^n^=4t．于是
>
> F~n~=2^2n^＋1=2^4t^+1=16^t^＋1
>
> ≡6^t^＋1≡7(mod 10)，
>
> 即F~n~的末位数字是7．
>
> **说明** 费马数的头几个是
>
> F~0~＝3，F~1~＝5，F~2~＝17，F~3~＝257，F~4~＝65537，
>
> 它们都是素数．费马便猜测：对所有的自然数n，F~n~都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数F~5~是合数．证明F~5~是合数，留作练习．
>
> 利用同余还可以处理一些不定方程问题．
>
> **例10** 证明方程
>
> x^4^+y^4^+2=5z
>
> 没有整数解．
>
> **证** 对于任一整数x，以5为模，有
>
> x≡0，±1，±2(mod 5)，
>
> x^2^≡0，1，4(mod 5)，
>
> x^4^≡0，1，1(mod 5)，
>
> 即对任一整数x，
>
> x^4^≡0，1(mod 5)．
>
> 同样，对于任一整数y
>
> y^4^≡0，1(mod 5)，
>
> 所以 x^4^+y^4^+2≡2，3，4(mod 5)，
>
> 从而所给方程无整数解．
>
> **说明** 同余是处理不定方程的基本方法，但这种方法也非常灵活，关键在于确定所取的模(本例我们取模5)，这往往应根据问题的特点来确定．
>
> **练习二十五**
>
> 1．求证：17｜(19^1000^-1)．
>
> 2．证明：对所有自然数n，330｜(6^2n^-5^2n^-11)．
>
> {width="3.3333333333333335in" height="0.2708333333333333in"}
>
> 4．求2^1000^除以13的余数．
>
> 5．求1^5^＋2^5^＋3^5^＋...＋99^5^＋100^5^除以4所得的余数．
>
> 6．今天是星期天，过3^100^天是星期几？再过5^1998^天又是星期几？
>
> 7．求n=1×3×5×7×...×1999的末三位数字．
>
> 8．证明不定方程x^2^+y^2^-8z=6无整数解．
>
>
第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
> 对于一元二次方程ax^2^＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b^2^-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．
>
> **例1** m是什么整数时，方程
>
> (m^2^-1)x^2^-6(3m-1)x＋72＝0
>
> 有两个不相等的正整数根．
>
> **解法1** 首先，m^2^-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)^2^＞0，所以m≠3．用求根公式可得
>
> {width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由于x~1~，x~2~是正整数，所以
>
> m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
>
> 解得m=2．这时x~1~=6，x~2~=4．
>
> **解法2** 首先，m^2^-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x~1~，x~2~，则由根与系数的关系知
>
> {width="2.9791666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以m^2^-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
>
> m^2^＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
>
> 只有m^2^=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
>
> 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
>
> **说明** 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
>
> **例2** 已知关于x的方程
>
> a^2^x^2^-(3a^2^-8a)x＋2a^2^-13a＋15=0
>
> (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
>
> **分析** "至少有一个整数根"应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
>
> **解** 因为a≠0，所以
>
> {width="3.6875in" height="0.96875in"}
>
> 所以
>
> {width="2.3229166666666665in" height="0.90625in"}
>
> 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
>
> **例3** 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
>
> mx^2^-(m-1)x＋1＝0
>
> 有有理根，求m的值．
>
> **解** 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
>
> Δ=(m-1)^2^-4m＝n^2^，
>
> 其中n是非负整数，于是
>
> m^2^-6m+1=n^2^，
>
> 所以 (m-3)2-n2=8，
>
> (m-3＋n)(m-3-n)＝8．
>
> 由于m-3＋n≥m-3-n，并且
>
> (m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
>
> 是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.53125in"}
>
> {width="3.75in" height="0.53125in"}
>
> {width="3.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
>
> **例4** 关于x的方程
>
> ax^2^+2(a-3)x+(a-2)=0
>
> 至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
>
> **解** 当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
>
> 当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
>
> Δ＝4(a-3)^2^-4a(a-2)＝4(9-4a)
>
> 为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n^2^，则n是正奇数，
>
> {width="3.90625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="2.34375in" height="0.8645833333333334in"}
>
> {width="3.5520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 要使x~1~为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x~2~为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
>
> 综上所述，a的值为2，-4，-10．
>
> **说明** 本题是前面两种方法的"综合"．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
>
> **例5** 已知关于x的方程
>
> x^2^＋(a-6)x＋a=0
>
> 的两根都是整数，求a的值．
>
> **解** 设两个根为x~1~≥x~2~，由韦达定理得
>
> {width="1.2291666666666667in" height="0.53125in"}
>
> 从上面两式中消去a得
>
> x~1~x~2~+x~1~+x~2~＝6，
>
> 所以 (x~1~＋1)(x~2~+1)=7，
>
> {width="3.6041666666666665in" height="0.53125in"}
>
> {width="3.4270833333333335in" height="0.53125in"}
>
> 所以a=x~1~x~2~=0或16．
>
> **说明** 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x~1~，x~2~的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
>
> **例6** 求所有有理数r，使得方程
>
> rx^2^+(r+1)x＋(r-1)=0
>
> 的所有根是整数．
>
> **分析** 首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
>
> **解** 当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
>
> {width="1.3229166666666667in" height="0.8958333333333334in"}
>
> 当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x~1~，x~2~，且x~1~≥x~2~，则
>
> 消去r得
>
> x~1~x~2~-x~1~-x~2~＝2，
>
> 所以(x~1~-1)(x~2~-1)=3．
>
> {width="3.2708333333333335in" height="1.1041666666666667in"}
>
> {width="3.21875in" height="0.46875in"}
>
> {width="4.177083333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **例7** 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
>
> ax^2^＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
>
> 至少有一个整数根，求a的值．
>
> **解** 将原方程变形为
>
> (x＋2)^2^a= 2(x＋6)．
>
> 显然x＋2≠0，于是
>
> {width="1.0625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 由于a是正整数，所以a≥1，即
>
> {width="1.0520833333333333in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以 x^2^+2x-8≤0，
>
> (x＋4)(x-2)≤0，
>
> 所以 -4≤x≤2(x≠-2)．
>
> 当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，{width="2.65625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> **说明** 从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
>
> **例8** 已知方程x^2^+bx+c=0与x^2^+cx＋b=0各有两个整数根x~1~，x~2~{width="2.5104166666666665in" height="0.25in"}
>
> {width="3.28125in" height="0.25in"}
>
> (2)求证：b-1≤c≤b＋1；
>
> (3)求b，c的所有可能的值．
>
> **解** (1)由x~1~x~2~＞0知，x~1~与x~2~同号．若x~1~＞0，则x~2~＞0，
>
> {width="5.104166666666667in" height="0.25in"}{width="2.4791666666666665in" height="0.25in"}
>
> (2)由(1)知，x~1~＜0，x~2~＜0，所以x~1~≤-1，x~2~≤-1．由韦达定理
>
> c-(b-1)=x~1~x~2~＋x~1~＋x~2~＋1
>
> =(x1＋1)(x2+1)≥0，
>
> 所以 c≥b-1．
>
> 同理有
>
> {width="2.8958333333333335in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 所以 c≤b+1，
>
> 所以 b-1≤c≤b+1．
>
> (3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
>
> (i)c=b＋1．由韦达定理知
>
> x~1~x~2~=-(x~1~＋x~2~)＋1，
>
> 所以 (x~1~＋1)(x~2~＋1)=2，
>
> {width="3.53125in" height="0.53125in"}
>
> 解得x~1~＋x~2~=-5，x~1~x~2~=6，所以b=5，c=6．
>
> (ii)c=b．由韦达定理知
>
> x~1~x~2~=-(x~1~＋x~2~)，
>
> 所以 (x~1~+1)(x~2~＋1)=1，
>
> 所以x~1~=x~2~=-2，从而b=4，c=4．
>
> (iii)c=b-1．由韦达定理知
>
> {width="1.96875in" height="0.25in"}
>
> 所以
>
> {width="1.9375in" height="0.25in"}
>
> {width="3.4270833333333335in" height="0.25in"}
>
> 综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．
>
> **练习二十六**
>
> 1．填空：
>
> (1)方程x^2^+px+1997=0恰有两个正整数根x~1~，x~2~，{width="2.5625in" height="0.46875in"}
>
> (2)已知k为整数，且关于x的方程
>
> (k^2^-1)x^2^-3(3k-1)x＋18=0
>
> 有两个不相同的正整数根，则k=\_\_\_\_．
>
> (3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x^2^-21x＋t=0的两个根，{width="1.46875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (4)方程x^2^+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于\_\_\_\_．
>
> (5)已知方程(a^2^-1)x^2^-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是\_\_\_\_．
>
> 2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程
>
> (x^2^-2(2m-3)x+4m^2^-14m+8＝0
>
> 有两个整数根，求m的值及方程的根．
>
> 3．已知关于x的一元二次方程
>
> x^2^+(m-17)x+m-2=0
>
> 的两个根都是正整数，求整数m的值．
>
> 4．求使关于x的方程a^2^x^2^＋ax＋1-7a^2^=0的两根都是整数的所有正数a．
>
> 5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程
>
> ax^2^＋2ax＋a-9＝0
>
> 至少有一个整数根．
第二十七讲 列方程解应用问题中的量与等量
> 列方程解应用问题时，比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系．又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工程问题，行程问题，浓度问题，等等，如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律，这不仅太繁杂，而且罗列也不是真正的概括．那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？
>
> 为此，我们必须先对"量"做个基本的分析和介绍，只有对量有了比较明确的认识，才便于了解"等量"，那么找等量关系也就有了依据．所谓"量"就是表现物体属性的一个侧面．例如拿一根金属棒来说，为了弄清它的性状，就要知道这根金属棒的重量、长度、体积、密度、比重、价格，等等，这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的，这就是所谓的量．
>
> 一般说来，常用的量基本上可以分为两大类．例如，一群羊、一堆蛋等，因为它们具有天然的个别单位，所以处理这种量只要数一数它们的个数1，2，3，...就可以了．这种量我们称它为分离量，分离量的特点是可数的．另一种量，例如一根绳子的长度，一桶水的重量等，长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数，但这种量的基本特点是它们可以无限细分，因此我们可以选取人为的单位去度量它们．比如，度量长度，我们可以选用米或厘米作为长度单位；度量重量，我们可以选用千克或克等作为重量单位．取定了度量单位之后，就可以度量这种量的多少了．我们称这种量为连续量，它的一个基本特点是可以度量．
>
> 在连续量之中，例如长度、面积、体积、重量、时间等等，这些量既可以细分又可以广延，我们称这种量为外延量．连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的，用以表示"强度"，这种量称为内涵量．例如表示单位面积上承受多少压力的"压强"就是一个内涵量．这是因为
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.46875in"}
>
> 它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的．
>
> 如果把内涵量再分类，又可以分为两种，其中一种是由不同种外延量之比产生的量，我们称它为度．例如
>
> {width="3.09375in" height="0.46875in"}
>
> 等等都是度．
>
> 另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的，我们称它为率．例如
>
> {width="3.4270833333333335in" height="0.46875in"}
>
> 等等都是率．
>
> 这样，可以把常见的量的分类归纳如下：
>
> {width="3.3854166666666665in" height="1.1354166666666667in"}
>
> 我们对量有了一定的了解之后，从量的种类入手，找等量关系，就有了可以遵循的基本原则和方法了．
>
> 第一，因为分离量不能和连续量相等，外延量不能和内涵量相等，度不能和率相等，因此，等量关系只能在同种量中寻找，即
>
> 分离量=分离量，外延量=外延量，
>
> 度=度，率=率．
>
> 第二，因为分离量和外延量是可加的，所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系，便可以利用"全量=部分量之和"(它的推理是"部分量=全量的一部分量"，"部分量之和=部分量之和"，特例是"全量=全量")的原则．
>
> 第三，因为度和率是两种外延量之比，如果要确定的是度或率的某种相等关系，只须找到同一个度或率的两种不同表达式，然后用等号连接起来就可以列出方程了．我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法．
>
> 下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用．
>
> **例1** 设A，B两地相距82千米(km)，甲骑自行车由A向B驶去，9分钟(min)后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去，两人在距B地40千米处相遇，问甲乙的速度各是多少？
>
> **分析与解** 首先我们列出题中的各种已知量和待求的量：
>
> (1)A，B两地的距离是82千米；
>
> (2)甲乙两人相向而行，甲比乙先行9分钟；
>
> (3)每小时乙比甲多走2千米；
>
> (4)两人相遇地点距B地40千米；
>
> (5)求甲乙的速度．
>
> 其次，就要设一个适当的未知量，并把它看作"已知量"，根据题中所给的条件，把已知量和未知量联系起来，找等量关系列方程．为此，我们可有不同的思考方法．
>
> 第一，可以从外延量考虑等量关系．本题中，时间、距离都是外延量．比如，我们考虑时间这个外延量，那么如何找出本题中有关时间的一个等量关系呢？因为甲乙中途相遇，那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间？乙由B出发到与甲相遇走了多少时间？这两者又有什么关系？联系已知条件，利用全量=部分量之和可知
>
> 甲由A出发到遇到乙的时间
>
> =乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟，①
>
> 又考虑到
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.46875in"}
>
> 如果设甲的速度为x千米/小时(km/h)，那么乙的速度为(x＋2)千{width="4.9375in" height="0.4270833333333333in"}{width="5.21875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.8125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ②的解是x=30千米(方程②的解法留给读者)，所以甲的速度是每小时行30千米，乙的速度是每小时32千米．
>
> 第二，也可以从内涵量找等量关系．在本题中，速度就是个内涵量，以速度来找等量关系，就是寻找甲的速度和乙的速度之间的关系问题．由已知条件可知，乙每小时比甲多走2千米，即
>
> 甲的速度=乙的速度-2，③
>
> 因此，如果设甲与乙相遇时正好走了x小时，那么乙遇甲时走了
>
> {width="5.09375in" height="0.46875in"}时．由③式，可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2，即
>
> {width="3.2291666666666665in" height="0.6354166666666666in"}
>
> {width="1.6354166666666667in" height="0.6354166666666666in"}
>
> {width="3.6145833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.6354166666666666in"}
>
> 乙的速度为32(千米/小时)．
>
> 在以上两种找等量关系的思考方法中，第一种方法，从外延量考虑，利用了"全量=部分量之和"的原则．第二种方法从内涵量考虑，注意到了"度"的等比表示法．
>
> **例2** 甲乙两台打麦机，甲机工作效率是乙机的2倍，先用甲机打{width="5.03125in" height="0.4270833333333333in"}打完麦子所需时间多11天，问分别用一台机器打完全部麦子各需多少时间？
>
> **分析与解** 首先列出题中有关的各种量：
>
> (1)甲机工作效率是乙机的2倍；
>
> {width="3.96875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (3)按(2)的打法所需时间比同时用两台机器打完全部麦子多11天的时间；
>
> (4)求分别用一台机器打完全部麦子所需的天数．
>
> 其次，为了找出等量关系列出方程，我们仍像例1那样，从外延量和内涵量这两种不同的量入手来分析思考．
>
> 第一，从外延量考虑等量关系．本题中的时间就是个外延量，因为外延量是可加的，那么利用前面提到的找等量关系的第二条原则，注意到"全量=部分量之和"或其推论，只要找到同一个时间的两种不同表示法，等量关系也就找出来了．为此，如果我们设x为甲机打完全部麦子所需要的时间(天数)，那么2x就是乙机打完全部麦子所需要的时间(天{width="5.09375in" height="0.4270833333333333in"}{width="5.135416666666667in" height="0.46875in"}{width="4.947916666666667in" height="0.6354166666666666in"}{width="4.864583333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天"可知，这一关键语给{width="5.114583333333333in" height="0.6354166666666666in"}
>
> {width="1.46875in" height="0.46875in"}
>
> 这两个表达式，表示的是同一时间，因此它们相等，这就得到如下方程
>
> {width="2.1458333333333335in" height="0.6458333333333334in"}
>
> 解这个方程，得到
>
> x=15(天)......甲机打完全部麦子的天数，
>
> 那么
>
> 2x=30(天)......乙机打完全部麦子的天数．
>
> 第二，从内涵量考虑等量关系．本题中甲乙两机的工作效率就是个内涵量，如果设x为甲机打完全部麦子所需时间(天数)，则2x为乙机打完全部麦子所需时间(天数)，那么
>
> {width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 就是甲乙两机每天共同的工作效率．如果再找出甲乙两机每天工作效率的另一种表示法，那么方程也就列出来了．
>
> 由于全部的工作量设为1，而甲乙两机同时工作打完全部麦子的时间为
>
> {width="1.0625in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 所以甲乙两机每天共同的工作效率又可写成
>
> {width="1.1041666666666667in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来，就得到方程
>
> {width="1.5729166666666667in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 解这个方程，就得到
>
> x=15(天)......甲打完全部麦子的时间，
>
> 2x=30(天)......乙打完全部麦子的时间．
>
> 例2的分析和例1类似，从外延量考虑等量关系时，注意到时间这个外延量的可加性，并利用了"全量=部分量之和"的原则．从内涵量考虑等量关系时，是利用了工作效率这个内涵量的等比表示法．
>
> **例3** 要在含50％酒精的800克(g)酒中，倒入含酒精85％的酒多少克，才能配成含酒精75％的酒？
>
> **分析与解** 本题涉及的量有溶液、溶质和浓度，其中溶液、溶质是外延量，浓度是内涵量，这三者之间的关系是
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.46875in"}
>
> 因此，在找等量关系时，既可以从外延量(溶液、溶质)来考虑，也可以从内涵量(浓度)来考虑．
>
> 第一，从外延量来考虑等量关系．由题意可知
>
> (1)要求的混合溶液的重量=已知两种溶液重量的和；
>
> (2)要求的混合溶液中，溶质的重量=已知的两种溶液中溶质重量的和．
>
> 所以无论从溶液还是溶质来考虑等量关系，都可以用"全量=部分量之和"的原则来确定等量关系．如果设x为倒入含酒精85％的酒的重量，那么由(1)可知，混合溶液重量=800+x，再由(2)就可列出方程
>
> {width="2.6458333333333335in" height="0.5625in"}
>
> 解上述方程，就得到
>
> x=2000(克)．
>
> 第二，从内涵量考虑等量关系．由于本题中浓度是内涵量，因此只须找出混合溶液浓度的两种不同表示式，即可列出方程．现在已知混合溶液的浓度是75％，所以再找出混合溶液浓度的另一种表达式就行了．因为
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.46875in"}
>
> 所以，只须找到混合溶液中的溶质和溶液的重量即可．为此，若设x为倒入的含酒精85％的酒的重量，则混合溶液重量=800＋x．因为，甲种酒中含酒精的重量为50％×800，乙种酒中含酒精的重量为85％x，所以由(2)可知：混合溶液中含酒精的重量为50％×800＋85％x．所以，混合溶液浓度的另一种表达式为
>
> {width="1.34375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 上式表示式等于75％，于是得到方程
>
> {width="1.8229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 解这个方程，得到
>
> x=2000(克)．
>
> 综上，例1、例2、例3表面上看是三类问题，其实是完全类似的．在这三例中所涉及的量有如下对应关系：
>
> {width="2.6770833333333335in" height="1.21875in"}
>
> 这样，一般所说的行程问题、工程问题、浓度问题，从上面的分析解法可知是完全类似的．因为工作效率可以看成工作速度，而浓度表示的是强度，在这样的意义下，它们自然可以看成是类似问题，因此，从外延量或内涵量来找等量关系列方程，也就有了统一的方法．
>
> 其实，广而言之，如果应用题所涉及的量是内涵量，或由它转化而{width="5.15625in" height="0.46875in"}
>
> 外延量=外延量÷内涵量)，那么，在表示某种强度的意义下，都可看成同类问题．当然各自的物理意义不同，因此，结合各个具体问题，作出具体分析，但是找等量关系列方程的基本思考方法却是共同的．
>
> **练习二十七**
>
> 1．解下列方程：
>
> {width="2.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.09375in" height="0.6354166666666666in"}
>
> {width="2.6875in" height="0.6458333333333334in"}
>
> (4)75%(800+x)=50%×800+85%x；
>
> {width="2.46875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.2291666666666665in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 2．两条船分别从河的两岸同时相对开出，它们的速度各自一定，第一次相遇在距河的一岸800米(m)处，然后继续前进，各自到达对岸后立即折回，第二次相遇在距河的另一岸600米处，如果认定船到对岸反向航行时不耽误时间，并且不考虑水流速度，问河宽有多少米？
>
> 3．甲乙两个小组合作完成一件工作，乙组单独做1天后，由甲乙两组合作了2天就完成了全部工作．问甲乙两组单独完成此项工作，各需多少天？
>
> 4．已知甲种盐水含盐40％，乙种盐水含盐15％，现在要制成5千克(kg)含盐25％的盐水，试问需要甲乙两种盐水各多少千克？
>
> 5．植树节这一天，某校学生去植树，如果每人植树6株，只能完成{width="5.0625in" height="0.4270833333333333in"}植树40株，求参加植树的人数及原计划植树的株数．
第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题(一)
> 数学从逻辑上讲，是训练思维的工具．通过学习数学可以使人更加聪明，办事更有条理，思维更加灵活而富于创造性．另一方面，如果从应用上讲，数学也是一种应用技术，应用数学知识、原理和方法可以解决各种实际问题．那么怎样把一个实际问题化成数学问题来解决呢？这是一个比较复杂的过程，大体上可以通过以下步骤进行：
>
> (1)了解实际问题中量的关系和图形元素的关联；
>
> (2)根据量或图形间的关系，寻找相应的数学模式；
>
> (3)考虑数学模式中的条件与结论的蕴涵关系，提出数学问题；
>
> (4)应用数学知识、原理，求出数学问题的解答；
>
> (5)由数学问题的解答，对实际问题作出解释与讨论；
>
> (6)推广数学模式所能解决的更广泛的实际问题．
>
> 但是由于实际问题千变万化，特别复杂，所以当把实际问题化成数学问题求解时，也有不同的思考方法．下面提出几点较为常见的方法，供读者参考．
>
> ** 1．抽象分析法**
>
> **例1** "七桥问题"．在18世纪东普鲁士的首府哥尼斯堡有一条河，叫作布勒格尔河，横贯城区，在这条河上共架有七座桥(图2-146)．所谓"七桥问题"就是：一个人要一次走过这七座桥，但对每一座桥只许通过一次，问如何走才能成功？这个问题，引起当时德国人的好奇，很多人都热衷于解决它，但谁也没有成功．
>
> {width="2.6666666666666665in" height="1.5416666666666667in"}
>
> 欧拉(Euler)是一位大数学家，由于千百人的失败，使他猜想：这种走法可能根本不存在．但是怎样证明这种走法不可能呢？欧拉运用抽象分析法，将之化成数学问题，于1736年证明了他的猜想，使"七桥问题"得到圆满的解决．那么欧拉是怎样抽象成数学问题进行思考的呢？
>
> 使问题简单化．
>
> 作为解决实际问题的第一步，要尽可能使问题简单化．为此要抓住问题的要点，做初步的抽象处理．显然岛的大小和桥的长短与问题无关，因此可以不加考虑．如果把岛及陆地用点表示，桥用线表示，那么这个问题就成了一笔画问题(图2-147)．
>
> {width="1.2083333333333333in" height="1.40625in"}
>
> 在图2-147中，由A到B有桥1；由B到D有桥2，桥3；由D到C有桥4，桥5；由C到A有桥7；由A到D有桥6，共七座桥．这样，就把实际问题数学化了，使问题的解决推进了一步．
>
> 一般说来，在数学思考中，常把原问题不改变本质地加以变形，使其简单化，以利于找到解答．例如，列方程解应用问题就是这种思想的一种体现．先把实际问题化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解变形，化为最简方程，较容易地求出方程的解，实际问题也就解决了．
>
> 寻找解决问题的方法．
>
> 问题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓住本质加以分析，从中发现规律性．为此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．
>
> (1)假如只有三座桥(图2-148)．对于图2-148(a)来说，无论从哪个端点起一笔画出总是可能的．但对图2-148(b)来说，无论从哪个端点起，一笔画完总是不可能的．
>
> {width="2.4166666666666665in" height="1.3541666666666667in"}
>
> (2)假如有四座桥(图2-149)．对于图2-149(a)，(b)来说，显然可以一笔画成．但对图2-149(c)来说，却不能一笔画成．
>
> {width="3.3229166666666665in" height="1.4791666666666667in"}
>
> 研究了这些简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数学家提出了网络这一概念，以便利用新概念的特性，解决已经提出的问题．
>
> **定义** 网络是由有限个点(称作网络的顶点)和有限条线(称作网络的弧)所组成的图形．这些点和线满足以下条件：
>
> (i)每条弧都以不同的两个顶点作为端点；
>
> (ii)每个顶点至少是一条弧的端点；
>
> (iii)各弧彼此不相交．
>
> 这样，所谓一笔画问题，就是网络中的同一条弧不许画两次，而把网络全部勾画出来的问题．
>
> (3)研究网络能一笔画出的特点，寻找解决问题的方法．我们假定一个网络能一笔画出来，那么这个网络中显然有一点为起点，另一点为终点，其他各点为通过点．设某点为起点，如果以某点为顶点的弧不只一条，那么由某点沿一条弧画出去，必沿另一条弧画回来，因此，最初是画出去，然后进出若干次后，把集中在某点的弧全部通过完毕为止，最后一次必须是画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条．而终点的情况刚好与起点相反，先是画进，再画出，进出若干次，最后一次必是画进，因此终点也集中奇数条弧．但起点与终点同为一点时，必是先出后进，中间或许经过若干次进出，最终回到起点．因此在该点集中的弧必是偶数条，而在中途通过的点所集中的弧显然也必定是偶数条．
>
> 通过上面分析可知：一个网络中的点可分为两类，一类顶点集中了偶数条弧，另一类顶点集中了奇数条弧．我们称前者为偶点，后者为奇点．例如，在图2-149(b)中，A，B为奇点，C，D为偶点．通过对图2-148和图2-149的考察，我们可以直观地想到如下结论：
>
> (i)一个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是0或2．
>
> (ii)一个网络中的奇点个数若是0或2，那么这个网络一定能一笔画出来．
>
> 欧拉证明了以上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔画的条件是当且仅当这个网络的任意两个顶点都有弧连接，并且奇数点的个数等于0或2．
>
> (4)回到原问题．利用欧拉定理，"七桥问题"很容易就解决了．因为在图2-147中，奇点个数是4，不满足欧拉定理的条件，因此不可能按约定条件通过七座桥．
>
> (5)推广．如果一个网络的奇点个数不是0或2，则这个网络不可能一笔画成．那么要多少笔才能画成呢？这就成为多笔画的问题了．多笔画的研究发展了网络理论的研究与应用，后来发展成现代数学的一个分支------图论．
>
> 归纳上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解决实际问题的思维过程：
>
> (1)把实际问题简单化，抽象成数学问题．
>
> (2)解决问题是靠发现事物间由简单到复杂、由特殊到一般的内在联系．
>
> (3)发现的思路是以具体实例作为经验观察，由简到繁地考察构成实例间的基本事实和关系；再由诸特例作出一般的归纳猜想，并加以理论证明．
>
> (4)应用论证后的法则，解决各种难题，实际上是化难为易．
>
> (5)把法则加以推广，以解决更多的实际问题，并扩展数学的理论和应用．
>
> ** 2．数据处理法**
>
> 有些实际问题需要收集问题中的若干对应数据，从数据中观察相关变量的依存关系或对应关系，可以得到大致体现实际问题有关变量变化规律的数学模型，从而解答实际问题．下面举一个实例，说明这种方法的应用．
>
> **例2** 怎样由树的断面直径来推断树的高度．
>
> **解** 第一步：设计变量．根据这个问题，我们可以设预测的某种树的高度为y，离地面1.5米处的直径为x厘米．
>
> 第二步：收集x，y的对应数据，为此我们测量12棵树的x，y的对应值，列表如表28．1．
>
> {width="4.21875in" height="0.8958333333333334in"}
>
> 第三步：由对应数据求出y对x的函数关系式．
>
> 常用的方法是作图法．把直径x看作自变量，高度y看作因变量．每一对(x，y)看作一个点，画在坐标纸上(图2-150)，作成散点图．从散点图可以直观地看出两个变量之间的大致关系．我们从图2-150可看出，y随x的增大而增大，并且这些点的分布近似一条直线．
>
> 这时，我们在图上画出尽可能接近这些点的一条直线，自然，有些点正好在直线上，有的点却有所偏离，不在直线上，这说明有些误差，但如果重复测量几次，误差不会太大．因此，我们所画出的直线近似地表示着x和y之间的线性关系，所以这条直线的函数表达式------一次函数式就可作为树的高度y和直径x间的关系式了．下面我们就来求出这个一次函数式．
>
> {width="2.21875in" height="2.1770833333333335in"}
>
> 设这条直线的一次函数式为：
>
> y=ax＋b．
>
> 为了求出常数a，b，在直线上取两点，取点的原则是：为使直线位置稳定，取直线上距离较远的两点；为便于计算，取坐标数据整齐些的两点．为此，我们取点(4，8.6)和(40，26)，将此两点的坐标代入y=ax＋b，得方程组
>
> {width="1.3020833333333333in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 所以 y=0.48x+6.68．
>
> 第四步：利用上述函数关系式，根据直径x的数值，预报树高y的数值．例如，当x=15厘米时，树高y等于多少米？显然，此时
>
> y=0.48×15＋6.68=13.88(厘米)．
>
> 这就是说，当树的直径为15厘米时，树高为13.88米．
>
> 上面是用两对实验数据(两个点)求出的直线方程．利用实验数据的信息较少，因此准确性较差．下面利用平均值法改进一下，作法是：在直线的上、下取两组靠近直线的点，如(4，8.6)，(9.3，10.7)，(14.3，13.5)为一组；(32，22.4)，(40，26)，(42，28)为一组，用每组x，y的平均值(9.2，10.93)和(38，25.47)作为两点，再按上面的方法求出直线方程y=0.50x＋6.28，以此作为实验数据，y对x间的函数关系就比较准确些．
>
> **说明** 上面的方法，是数学在解决实际问题时的一种应用，经常用在处理实验数据中，当实验数据为有序数对(x，y)时，相应地在直角坐标系中描出点(x，y)的散点图．如果散点图近于一条直线，要找出变量x，y间的函数关系时，就可用这种方法．然而由实验数据作出的散点图不一定近于直线，而近于一条曲线时，也可找到x，y间的函数关系式，不过需要更多的数学知识，我们在此就不介绍了．
>
> ** 3．运筹优化法**
>
> 有些实际问题，可以根据问题的要求，首先筹划一些可行的处理方案，然后比较这些方案的优劣，选择其中一种或几种方案加以优化组合，并用数学方法加以处理，以便得到最佳的解决方案．下面举一个实例说明这种方法的应用．
>
> **例3** 要做20个矩形钢框，每个由2.2米和1.5米的钢材各两根组成，已知原钢材长4.6米，应如何下料，使用的原钢材最省？
>
> **分析与解** 要做成20个矩形的钢框，就需要2.2米和1.5米的钢材各40根．一种简单的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的钢材各一根，这样每根原钢材剩下0.9米的料头，要做20个钢框，就要用原钢材40根，而剩下的料头总数为0.9×40=36米．
>
> 显然，上述想法，浪费材料，不太合理．因此，我们可以考虑合理套裁，就可以节省原料．下面有三种下料方案可供采用．
>
> {width="3.9166666666666665in" height="2.0208333333333335in"}
>
> 为了省料而得到20个钢框，需要混合使用各种下料方案．设用第Ⅰ种方案下料的原材料根数为x~1~；用第Ⅱ种方案下料的原材料根数为x~2~；用第Ⅲ种方案下料的原材料根数为x~3~．所谓原材料最省，也就是使所剩下的料头总和最少．为此根据表28．2的方案，可以列出以下的数学模型
>
> y=0.1x~1~+0.2x~2~＋0.9x~3~，
>
> {width="1.2291666666666667in" height="0.53125in"}
>
> 解之得
>
> {width="2.15625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 其中0≤x~3~≤40．把x~1~，x~2~代入y得
>
> {width="2.8125in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 可以看出，x~3~越大，y的值也越大，所以x~3~的取值应尽量小．
>
> 当x~3~=0时，可取x~1~=14，x~2~=20．
>
> 当x~3~=1时，x~1~=13，x~2~=20，都是用原材料34根，料头的总数为
>
> y=34×4.6-(2.2+1.5)×40=8.4(米)．
>
> 所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13(或14)根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1(或0)根，这样只需34根原材料就可做出20个钢框．
>
> **练习二十八**
>
> 1．下列图形是否可以一笔画出？
>
> {width="2.75in" height="1.125in"}
>
> 2．图2-154是3×3的方格型道路网，如果每个小方格的边长为1千米，那么由A点出发走完全部路段，最后又回到A点，最少要走多少千米？
>
> {width="0.9270833333333334in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 3．设x表示排在弹簧上的物品的重量(千克)，y表示弹簧伸长的长度(厘米)，已知(x，y)有如下的对应测量值：
>
> (1)画出此组数据的散点图；
>
> (2)求出y关于x的函数表示式；
>
> (3)当x=2.3千克时，试预报弹簧伸长的长度．
>
> {width="3.9270833333333335in" height="0.8958333333333334in"}
>
> 4．有一批长50米的钢筋，现要截成长度为9.5米和7米的两种钢筋备用，问怎样截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？
第二十九讲 生活中的数学(一)
> **------镜子中的世界**
>
> 在日常生活中，人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮，常常要照镜子．如果镜面是很平的，那么在镜子中，人或物体与其像是完全一样的．而且我们都有这样的经验：当人走近镜面，人在镜中的像也走进镜面；当人远离镜面，人在镜中的像也远离镜面．如果你留心的话，就可以发现：人和像与镜面的距离保持相等(图2-155)，这种现象叫作面对称．如果我们只取一个侧面，那么镜面就可用一条直线来表示，人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示，这样，人、像与镜就成了轴对称，也叫直线对称(图2-155)．
>
> {width="1.71875in" height="1.6041666666666667in"}
>
> 如果实物是△ABC，那么它在镜中的像就成了图形△A′B′C′．直线l表示镜，这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156)．图中，A与A′，B与B′，C与C′是对称点．以对称点为端点所连结的线段AA′，BB′，CC′被对称轴l垂直平分，因此，如果以直线l为折痕，把△ABC翻折过来，它必与△A′B′C′重合，所以成轴对称的两个图形必全等．
>
> {width="1.5416666666666667in" height="1.1979166666666667in"}
>
> **例1** 设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a))，试以直线l为对称轴，画出整个蝴蝶来．
>
> {width="2.03125in" height="1.5625in"}
>
> **解** 为了画出整个蝴蝶，只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形就可以了．因为A点、F点在直线l上，所以它们的对称点分别和A，F是同一点，这样，只要画出B，C，D，E关于l的对称点就行了．为此，先分别过B，C，D，E向l作垂线，设垂足分别为M，N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的延长线上取B′，C′，D′和E′点，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，E′Q=QE，最后连结AB′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F，于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图 2-157(b))．
>
> **例2** 设直线l~1~和直线l~2~平行，且l~1~和l~2~间的距离为a．如果线段AB在l~1~的右侧，并设AB关于l~1~的对称图形是A′B′，而A′B′关于l~2~的对称图形是A″B″(图2-158)，那么，线段AB和A″B″有什么关系？
>
> {width="1.875in" height="1.2916666666666667in"}
>
> **解** 因为l~1~平行于l~2~，并且AA′A″垂直于l~1~，当然也垂直于l~2~，同理BB′B″也垂直于l~1~和l~2~．我们知道："在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行"，所以
>
> AA′A″∥BB′B″． ①
>
> 另一方面，因为AP=PA′，A′P′=P′A″，所以
>
> AA′A″＝2PP′=2a，
>
> 同理BB′B″=2a，所以
>
> AA′A″=BB′B″． ②
>
> {width="4.96875in" height="0.2708333333333333in"}通过例2，我们可知，如果在平面上两条直线互相平行，有一个图形以这两条直线为对称轴，连续作了两次轴对称移动，那么相当于这个图形作了一次平行移动，平行移动的距离刚好是这两个对称轴间距离的2倍．
>
> 如果我们反复利用例2的原理，就可以做成带形的花边图案．例如，我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来，并在上面用小刀刻出一个三角形的洞，然后再展开这张纸条，就会得到如图2-160那样的带形图案．
>
> {width="2.5625in" height="0.9270833333333334in"}
>
> 如果我们把图2-160中的m~2~，m~1~，m~0~，m~-1~，m~-2~，m~-3~看成镜子，A~0~看作实物，那么A~1~，A~2~和A~-1~，A~-2~就是A~0~在镜子中的像了．其实，图中的A~1~是A~0~以m~0~为对称轴作对称移动的对称图形，也可以把A~1~看作是A~-1~作一次平行移到所得到的图形．由此，怎样看待A~1~和A~2~的关系以及A~2~和A~0~的关系呢？请同学们自己作出回答．
>
> 有了上面的知识，同学们不仅可以自己设计一些带形花边图案，还可以了解某些广告上画的花边图案的原理了．下面的图2-161和图2-162是两个带形图案，你能看出它们是怎样设计的吗？
>
> {width="3.1770833333333335in" height="1.1666666666666667in"}
>
> {width="2.0625in" height="0.7604166666666666in"}
>
> 如果我们把前面图2-160中的m~2~，m~1~，m~0~，m~-1~，m~-2~等看作平行的镜子，A~0~看作一个人，如果这个人在镜子中m~0~和m~-1~之间反复映照，那么就会看到图2-163的情况．
>
> {width="3.4479166666666665in" height="1.3541666666666667in"}
>
> 可以想象，在镜子m~0~中的像A~1~，A~2~，A~3~，...，以及在镜子m~1~中的像A~-1~，A~-2~，A~-3~，...是无限多的．还可以知道：A~0~在镜m~0~中的像是A~1~，A~1~在镜m~-1~中的像是A~-2~，A~-2~在镜m~0~中的像是A~3~，...如此等等．因为A~0~和A~1~，A~1~和A~2~是轴对称移动，所以A~0~到A~2~是平行移动．
>
> **例3** 设直线l~1~和直线l~2~相交，交点为O，其夹角为α．如果线段AB关于l~1~的轴对称图形是A′B′，而A′B′关于l~2~的轴对称图形是A″B″．试问AB和A″B″间有什么关系？(见图2-164)
>
> **解** 因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′，A′B′关于l2的对称图形是A″B″，所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，所以
>
> AB=A″B″，①
>
> {width="2.1770833333333335in" height="1.3229166666666667in"}
>
> 由于∠AOP=∠A′OP，∠A′OP′=∠A″OP′，所以
>
> ∠AOA″＝2∠POP′＝2α．
>
> 同理∠BOB″=2∠POP′=2α，所以
>
> ∠AOA″＝∠BOB″＝2α． ②
>
> 由①，②可知：在平面上，如果两条直线相交，一个图形以这两条直线为对称轴，连续作两次对称移动，那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心，以这两条直线的交角的2倍为旋转角，作了一个旋转移动，在旋转移动下，图形的大小不变．
>
> **例4** 同学们小时候常常玩万花筒，它是由三块等宽、等长的玻璃片围成的．为什么在万花筒中会出现美丽奇特的图案呢？试用前边的知识揭开万花筒的秘密．
>
> **解** 万花筒中所以能呈现千变万化、美丽而奇特的图案，主要是利用了图形的对称和旋转原理．为具体说明，给出的图2-165为万花筒中的一个图案，它是用一个小圆、一个平行四边形和一段短线在万花筒中连续反射而成的图形．
>
> 为了清楚地说明上图形成的原理，我们取出图形中的一部分(图2-166)加以分析．
>
> {width="2.28125in" height="2.6979166666666665in"}
>
> {width="1.7291666666666667in" height="1.0208333333333333in"}
>
> 正△ABO以OB为对称轴作轴对称移动，就得到△CBO；△CBO以OC为对称轴作轴对称移动，就得到△CDO．经过这样两个轴对称移动，实际上相当于△ABO以O为中心，以120°为旋转角，作了一个旋转移动．这样：
>
> 点A→点C，边AO→边CO，
>
> 点B→点D，边AB→边CD，
>
> 点O→点O，边BO→边DO．
>
> 在这样旋转移动下，△ABO中的平行四边形、小圆和曲线也跟着旋转了120°．经多次反复，就形成了图2-165的绮丽景色．如果同学们有兴趣，可以自己在纸上再现万花筒中的世界！
>
> **练习二十九**
>
> 1．设l~1~和l~2~是两面平行相对的镜子，如果把一个小球放在l~1~和l~2~之间(图2-167)，试问：
>
> {width="1.3645833333333333in" height="0.8125in"}
>
> (1)小球A在镜l~1~中的像A′在什么位置？
>
> (2)小球A在镜l~1~中的像A′在镜l~2~中的像A″又在什么位置？分别画在图上；
>
> (3)小球A和像A″之间的距离与l~1~和l~2~之间的距离有什么关系？
>
> 2．图2-168是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．
>
> {width="1.5833333333333333in" height="2.3229166666666665in"}
>
> (A)60°；
>
> (B)120°；
>
> (C)180°；
>
> (D)以上答案都不对．
>
> 3．图2-169是游乐园中的大型旋转车的简图，游人坐在旋转车的车斗中，任凭旋转车不停地旋转，但总是头朝上，绝不会掉下来．试问车斗所作的移动是什么移动？请在下面答案中选一个正确的答案．
>
> (A)旋转； (B)对称；
>
> (C)平移； (D)以上答案都不对．
>
> 4．图2-170表示一张长方形球台，设P，Q为两个球，若击P球，使它碰CD边后，反弹正好击中Q球．试问P应碰撞CD边的哪一点？
>
> {width="1.65625in" height="2.3125in"}
第三十讲 生活中的数学(二)
> **──买鱼的学问**
>
> 鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？
>
> {width="2.6041666666666665in" height="0.7291666666666666in"}
>
> 有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！
>
> 在平面几何中，我们已经知道以下定理．
>
> **定理1** 相似形周长的比等于相似比．
>
> **定理2** 相似形面积的比等于相似比的平方．
>
> **例1** 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)．
>
> {width="1.9270833333333333in" height="1.3125in"}
>
> **证** △ABC的周长是
>
> 2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)，
>
> △A′B′C′的周长是
>
> 3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)，
>
> 所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是
>
> 2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3．
>
> {width="1.8645833333333333in" height="1.0208333333333333in"}
>
> **例2** 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是3^2^∶4^2^．
>
> **证** 矩形ABCD的面积是3a·3b=3^2^ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=4^2^ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是
>
> 3^2^ab∶4^2^ab=3^2^∶4^2^．
>
> 从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子．
>
> **例3** 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．
>
> **解** 长方体(a)的体积是
>
> 3a·3b·3c=3^3^abc，
>
> 长方体(b)的体积是
>
> 5a·5b·5c=5^3^abc，
>
> {width="1.7395833333333333in" height="1.1770833333333333in"}
>
> 所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是
>
> 3^3^abc∶5^3^abc＝3^3^∶5^3^
>
> **例4** 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比．
>
> {width="1.34375in" height="1.0833333333333333in"}
>
> **解** 小圆柱的体积是
>
> (2a)^2^π·2b＝2^3^a^2^bπ，大圆柱的体积是
>
> (3a)^2^π·3b＝3^3^a^2^bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为2^3^∶3^3^．
>
> **定理3** 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．
>
> 有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，对于鱼A和鱼B来说，A与B的相似比为13∶10，因此，根据定理3，A与B的体积之比为
>
> {width="1.59375in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 由于A鱼的价格是1.5元，B鱼的价格是1元，所以价格比是1.5∶1=1.5，我们可以看到，A的体积是B的体积的2.197倍，可是A的价格却是B的价格的1.5倍，所以买大鱼A比买小鱼B更合算．
>
> 下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规定标准：设M鱼高1厘米时，体积是2厘米^3^，那么N鱼高是x厘米时，体积是y厘米^3^．由于M和N是相似形，所以由相似形体积之比与相似{width="2.75in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 根据上式，当x的值变化时，y的值相应地跟着变化，于是，我们就得到表30.1．
>
> {width="4.125in" height="1.125in"}
>
> 从表中可以看到：当x=1时，x^3^=1，y=2x^3^=2．这就是M鱼的身高与体积的关系．
>
> 当x的长度由1厘米增长到2厘米，即增长2倍时，其体积y相应地由2厘米^3^增长到16厘米^3^，即增长了8(2^3^)倍．
>
> 当x的长度由1厘米增长到3厘米，即增长3倍时，其体积y相应地由2厘米^3^增长到54厘米^3^，即增长了27(3^3^)倍．
>
> 一般地，当x增长n倍时，则体积y相应地增长n^3^倍．
>
> 根据上表中的x和y的对应数值，可以画出y=2x^3^的图像(图2-176)．
>
> {width="1.53125in" height="1.5208333333333333in"}
>
> **例5** 利用y=2x^3^的图像(图2-176)，解答下列问题：
>
> (1)当x=2.75时，y的值是多少？
>
> (2)当y=10时，x的值是多少？
>
> **解** (1)在x轴上，对应于x＝2.75取一个点，通过这一点作y轴平行线交y=2x^3^的图像上的某一点，过这一点再作x轴的平行线交y轴于一点，这一点对应的数值是40，这样，就在y轴上得到了x=2.75时对应的y值，即y=40．这就说明，当鱼N的高度为2.75厘米时，它的体积约为40厘米^3^．
>
> (2)在y轴上对应于y=10取一点，过此点作x轴的平行线，交y=2x^3^的图像于某点，再过这点作y轴的平行线，在x轴上得到了y=10对应的x值1.75．这说明当N的体积为10厘米^3^时，高度约为1.75厘米．
>
> 上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的身高和价格的关系．为此，引用前面的条件，设鱼B的身高为10厘米，价格是每斤1元，其体积假定为50厘米^3^．由于鱼是相似的，在买鱼的时候，考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身高和价格之间有着怎样的关系呢？为此，设鱼C的身高为x厘米，体积是y厘米^3^，价格是z元，那么我们列出表30.2．
>
> {width="3.7708333333333335in" height="1.65625in"}
>
> 首先，由于"鱼的体积与其身高的三次方成正比例"，所
>
> y＝ax^3^， ①
>
> 考虑到鱼B的身高和体积，即x=10时，y=50，代入①式，就有50=a×10^3^，所以a=0.05．于是①式就成为
>
> y=0.05x^3^ ①′
>
> 其次，根据"鱼的价格和体积成正比例"的假定，对于鱼C则有
>
> z=by， ②
>
> 由于②式对于鱼B也是成立的，即y=50时，z=100，代入②式，有100=b×50，所以b=2，这样②式就成为
>
> z=2y． ②′
>
> 再把①′代入②′，就得到
>
> z=2×0.05x^3^，
>
> 所以 z=0.1x^3^ ③
>
> 这就是鱼的身高和价格的关系表达式．利用③式就可以计算下面的问题．
>
> **例6** 设鱼的身高为13厘米，它的价格每斤是多少元？
>
> **解** 把x=13代入③式，
>
> z＝0.1×13^3^＝0.1×2197=219.7
>
> =220(分)=2.2(元)．
>
> 即每斤约二元二角．
>
> 如果把③式中x和z的关系用数值来表示，就有表30.3．
>
> {width="3.71875in" height="1.125in"}
>
> 这个表中，以x=10时，z=100作标准，联系到前面表中的结果，可以看出：
>
> (1)鱼的身高增到1.5倍，价格便增到3.375倍(1.5^3^倍)；
>
> (2)鱼的身高增到2倍，价格便增到8倍(2^3^倍)；
>
> (3)鱼的身高增到2.5倍，价格便增到15.625倍(2.5^3^倍)；
>
> (4)鱼的身高增到3倍，价格便增到27倍(3^3^倍)．
>
> ......
>
> 一般地，鱼的身高增到n倍，其价格便增到n^3^倍，根据表中x和z的对应数值，画出z=0.1x^3^的图像，就得到图2-177.
>
> {width="1.8333333333333333in" height="2.5in"}
>
> **练习三十**
>
> 1．根据图2-177回答：
>
> (1)鱼的身高为20厘米时，它的每斤的价格是多少元？
>
> (2)鱼的价格是每斤4元时，其身高是多少厘米？
>
> 2．两张照片是同一张底片拍出的．如果两张照片对应边长的比是1∶2，并且第一张照片的面积是96厘米^2^，那么第二张照片的面积是多少平方厘米？
>
> 3．设桌子正上方有一盏电灯，距离桌面100厘米，桌子高30厘米，如果桌子的长为60厘米，宽为35厘米，那么桌面被电灯照射后的影子是多少平方厘米？又影子周长是多少厘米？
>
> {width="4.697916666666667in" height="0.4270833333333333in"}一个半径为2厘米的银球，乙有五个半径为1厘米的银球，乙要用他的五个银球换甲的那一个银球，如果交换成功，甲乙谁合算呢？
复习题
> 1．分解因式：3x^2^+5xy-2y^2^+x＋9y-4．
>
> 2．分解因式：(x^2^＋xy＋y^2^)(x^2^+xy+2y^2^)-12y^4^．
>
> {width="3.9479166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.010416666666667in" height="0.4375in"}
>
> 5．已知
>
> {width="1.0520833333333333in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 求ab＋cd的值．
>
> {width="4.90625in" height="0.4270833333333333in"}为任意正数，证明1＜s＜2.
>
> 7．设a，b是互不相等的正数，
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.5in"}
>
> 比较M，N的大小．
>
> 8．求分式
>
> {width="1.1770833333333333in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 的值．
>
> 9．已知：
>
> {width="2.15625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
>
> {width="1.7708333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.0520833333333335in" height="0.5208333333333334in"}
>
> 11．已知实数x，y满足等式
>
> {width="3.6979166666666665in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 求x，y的值．
>
> 12．若14(a^2^+b^2^+c^2^)=(a＋2b＋3c)^2^，求a∶b∶c．
>
> 13．解方程：x^2^＋2x-3丨x+1丨+3=0．
>
> 14．已知三个二次方程x^2^-3x＋a=0，2x^2^＋ax-4=0，ax^2^＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．
>
> {width="1.6041666666666667in" height="1.0208333333333333in"}
>
> 15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．
>
> 16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．
>
> 17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．
>
> 18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．
>
> {width="1.5in" height="1.0104166666666667in"}
>
> {width="1.1666666666666667in" height="1.375in"}
>
> {width="0.875in" height="1.34375in"}
>
> 19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．
>
> 20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：
>
> CD=CE．
>
> 21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：
>
> {width="1.7604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．
>
> {width="1.0416666666666667in" height="1.25in"}
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.9375in"}
>
> 23．在(凸)四边形ABCD中，求证：
>
> AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
>
> {width="1.1354166666666667in" height="1.0625in"}
>
> 24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：
>
> {width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 25．已知n是正整数，且n^2^-71能被7n＋55整除，求n的值．
>
> 26．求具有下列性质的最小正整数n：
>
> (1)它以数字6结尾；
>
> (2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．
>
> 27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
>
> 28．把 1，2，3，...，81这 81个数任意排列为：a~1~，a~2~，a~3~，...，a~81~．计算
>
> 丨a~1~-a~2~＋a~3~丨，丨a~4~-a~5~＋a~6~丨，...，丨a~79~-a~80~＋a~81~丨；
>
> 再将这27个数任意排列为b~1~，b~2~，...，b~27~，计算
>
> 丨b~1~-b~2~+b~3~丨，丨b~4~-b~5~+b~6~丨，...，丨b~25~-b~26~＋b~27~丨．
>
> 如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
>
> 29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，{width="3.9375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：
>
> BC＋AD＞AB+CD．
>
> 31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．
>
> {width="1.1770833333333333in" height="1.1041666666666667in"}
>
> 32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，{width="5.020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}的面积．
>
> 33．已知一元二次方程
>
> x^2^-x+1-m=0
>
> 的两实根x~1~，x~2~满足丨x~1~丨+丨x~2~丨≤5，求实数m的取值范围．
>
> 34．求所有的正实数a，使得方程x^2^-ax＋4a=0仅有整数根．
>
> 35．求证：当p，q为奇数时，方程
>
> x^2^＋px＋q=0
>
> 无整数根．
>
> 36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．
>
> {width="1.1354166666666667in" height="1.2083333333333333in"}
>
> 37．设A={2，x，y}，B={2，x，y^2^}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
>
> 38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
>
> {width="1.2395833333333333in" height="1.1979166666666667in"}
>
> 39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？
>
> 40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？
>
> 41．如果三角形的三边用m^2^＋n^2^，m^2^-n^2^，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m^2^＋n^2^=4mn，又将怎样？
>
> 42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？
>
> 43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写"有票"，3个签上写"无票"，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？
>
> 44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？
>
> {width="1.65625in" height="1.7083333333333333in"}
>
> 45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：
>
> 白日依山尽，黄河入海流．
>
> 欲穷千里目，更上一层楼．
>
> 按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．
>
> 46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？
>
> {width="2.2708333333333335in" height="1.21875in"}
>
> {width="0.8645833333333334in" height="0.9270833333333334in"}
>
> 47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？
>
> 48．要在一条河边修一座水塔， 以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方， 才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？
>
> {width="1.0625in" height="0.8958333333333334in"}
>
> 49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？
>
> 50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：
>
> {width="1.3854166666666667in" height="1.8645833333333333in"}
>
> {width="2.6145833333333335in" height="0.6770833333333334in"}
>
> (1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；
>
> (2)求出关于x的函数y的表达式，
>
> (3)求当x＝500克时，y的长度．
自测题
自测题一
> 1．分解因式：x^4^-x^3^＋6x^2^-x+15．
>
> 2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足
>
> a^2^＋b^2^＋c^2^＋338=10a+24b+26c，
>
> 试确定这个三角形的形状．
>
> 3．已知a，b，c，d均为自然数，且
>
> a^5^＝b^4^，c^3^＝d^2^，c-a＝19，
>
> 求d-b的值．
>
> 4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax^2^＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．
>
> 5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点， P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交{width="3.25in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.4479166666666667in"}
>
> 6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时， 另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？
>
> 7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△{width="4.729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.40625in" height="1.1979166666666667in"}
>
> {width="1.4270833333333333in" height="1.2083333333333333in"}
>
> 8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．
>
> 9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？
自测题二
> 1．分解因式：(x^2^+3x+5)^2^+2x^3^+3x^2^+1Ox．
>
> 2．对于集合
>
> p={x丨x是1到100的整数}
>
> 中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号\<a，b\>表示．例如17除以4，商是4，余数是1，就表示成\<17，4\>=1，3除以7，商是0，余数是3，即表示成\<3，7\>=3．试回答下列问题：
>
> (1)本集合{x丨\<78，x\>=6，x∈p}中元素的个数；
>
> (2)用列举法表示集合
>
> {x丨\<x，6\>=\<x，8\>=5，x∈P}．
>
> 3．已知：x+y+z＝1，x^2^＋y^2^+z^2^=2，x^3^＋y^3^+z^3^=3，试求：(1)xyz的值；(2)x^4^＋y^4^＋z^4^的值．
>
> 4．已知方程x^2^-3x＋a＋4=0有两个整数根．
>
> (1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；
>
> (2)求证：a是负偶数；
>
> (3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．
>
> 5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
>
> {width="3.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.1145833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：
>
> {width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．
>
> {width="1.1875in" height="1.4583333333333333in"}
>
> {width="1.25in" height="1.28125in"}
>
> 9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？
>
> {width="2.1979166666666665in" height="1.34375in"}
自测题三
> {width="2.1875in" height="0.25in"}
>
> 2．对于任意实数k，方程
>
> (k^2^＋1)x^2^-2(a＋k)^2^x＋k^2^＋4k＋b＝0
>
> 总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="1.0833333333333333in" height="1.2291666666666667in"}
>
> 4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q， R．求证：
>
> {width="1.34375in" height="0.46875in"}
>
> 5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．
>
> {width="1.3541666666666667in" height="1.0208333333333333in"}
>
> 6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB={width="3.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.3645833333333333in" height="1.1875in"}
>
> 7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周{width="1.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7^y^+12y-1．
>
> 9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
>
> (1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
>
> (2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
>
> (3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？
自测题四
> 1．求多项式2x^2^-4xy＋5y^2^-12y+13的最小值．
>
> 2．设{width="3.25in" height="0.46875in"}
>
> 试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋...＋f(1999)．
>
> 3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．
>
> {width="1.7708333333333333in" height="1.09375in"}
>
> 4．若a，b，c为有理数，且等式{width="1.28125in" height="0.22916666666666666in"}成立，则a=b=c=0 ．
>
> 5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．
>
> {width="1.125in" height="1.4270833333333333in"}
>
> 6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．
>
> 7．设x~1~，x~2~，...，x~9~均为正整数，且
>
> x~1~＜x~2~＜...＜x~9~，x~1~＋x~2~+...＋x~9~＝220．
>
> 当x~1~+x~2~+...+x~5~的值最大时，求x~9~-x~1~的值．
>
> 8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？
>
> 9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：
>
> FA·BC=AE·CD．
>
> {width="1.2083333333333333in" height="1.1875in"}
>
> (2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？
>
> (3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？
自测题五
> {width="2.7291666666666665in" height="0.3229166666666667in"}
>
> 2．关于x的二次方程6x^2^-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根{width="5.114583333333333in" height="0.6770833333333334in"}
>
> 3．设x＋y=1，x^2^＋y^2^=2，求x^7^＋y^7^的值．
>
> 4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b^2^=c^2^＋ac．
>
> 5．若4x-y能被3整除，则4x^2^+7xy-2y^2^能被9整除．
>
> 6．a，b，c是三个自然数，且满足
>
> abc＝a＋b＋c，
>
> 求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．
>
> 7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．
>
> 8．设AD是△ABC的中线，
>
> (1)求证：AB^2^＋AC^2^=2(AD^2^＋BD^2^)；
>
> (2)当A点在BC上时，将怎样？
>
> {width="5.177083333333333in" height="0.25in"}按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A到B的运费最省？
>
> {width="1.3125in" height="1.1770833333333333in"}
>
> {width="1.4479166666666667in" height="1.0416666666666667in"}
复习题解答
> 1．用双十字相乘法
>
> {width="2.1354166666666665in" height="0.5625in"}
>
> 所以原式=(3x-y+4)(x+2y-1)．
>
> 2．令x^2^+xy+y^2^=u，则
>
> 原式=u(u＋y^2^)-12y^4^=u^2^+y^2^u-12y^4^
>
> =(u+4y^2^)(u-3y^2^)
>
> =(x^2^+xy+5y^2^)(x^2^+xy-2y^2^)
>
> =(x^2^＋xy+5y^2^)(x＋2y)(x-y)．
>
> {width="4.46875in" height="0.4479166666666667in"}为整数，p≠0，p≠q)，所以
>
> (a＋b)p=(a-b)q，(p＋q)b=(q-p)a，
>
> {width="2.8541666666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.010416666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.1770833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="2.5in" height="0.4375in"}
>
> {width="2.5in" height="0.4375in"}
>
> 5．因为
>
> (ab＋bc)(ac＋bd)=(c^2^＋d^2^)ab+(a^2^＋b^2^)cd
>
> ＝ab＋cd，
>
> 由题设ac＋bd=0，所以ab＋cd=0．
>
> 6．由于a，b，c，d均大于零，故有
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又
>
> {width="4.552083333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以1＜s＜2．
>
> {width="4.572916666666667in" height="0.2604166666666667in"}
>
> {width="1.8125in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 所以
>
> {width="1.8020833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="2.1979166666666665in" height="0.5104166666666666in"}
>
> {width="1.9479166666666667in" height="0.5208333333333334in"}
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.53125in"}
>
> 所以N＞M．
>
> 8．令
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.8645833333333334in"}
>
> {width="2.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 x^2^-x-2=0，
>
> 所以 x=2或x=-1．
>
> 因为x一定为正数，故x=-1应舍去．所以分式的值=2．
>
> 9．令
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以
>
> p＝k(x^2^-yz)， q＝k(y^2^-zx)， r＝k(z^2^-xy)，
>
> 所以
>
> px＋qy＋rz
>
> =k(x^2^-yz)x＋k(y^2^-zx)y+k(z^2^-xy)z
>
> =k(x^3^＋y^3^+z^3^-3xyz)
>
> =k(x+y+z)(x^2^+y^2^+z^2^-xy-yz-zx)
>
> =(kx^2^-kyz+k^2^y-kzx+kz^2^-kxy)(x+y+z)
>
> =(p＋q+r)(x＋y+z)．
>
> {width="2.84375in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="4.114583333333333in" height="0.5208333333333334in"}
>
> ={width="2.7604166666666665in" height="0.53125in"}
>
> =1=右边．
>
> 11．将等式化为
>
> {width="3.3229166666666665in" height="0.2708333333333333in"}
>
> 由非负数性质有
>
> {width="1.6354166666666667in" height="0.59375in"}
>
> 可解得x=4，y=0．
>
> 12．由14(a^2^＋b^2^＋c^2^)=(a＋2b＋3c)^2^化简得
>
> 13a^2^＋10b^2^＋5c^2^-4ab-12bc-6ac＝0，
>
> 所以
>
> (4a^2^-4ab＋b^2^)+(9a^2^-6ac＋c^2^)+(9b^2^-12bC＋4c^2^)＝0，
>
> 即
>
> (2a-b)^2^＋(3a-c)^2^＋(3b-2c)^2^＝0，
>
> {width="1.0104166666666667in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 解得b=2a，c=3a．所以
>
> a∶b∶C=1∶2∶3．
>
> 13．当x+1≥0时，即x≥-1时，
>
> x^2^＋2x-3(x＋1)＋3=0，
>
> 即 x^2^-x=0，
>
> 所以 x~1~=0，或x~2~=1．
>
> 当x+1＜0时，即x＜-1时，
>
> x^2^＋2x＋3(x＋1)+3=0，
>
> 即 x^2^＋5x+6=0．
>
> 所以 x~1~=-2，或x~2~=-3．
>
> 所以原方程的解为0，1，-2，-3．
>
> 14．
>
> {width="3.1979166666666665in" height="0.8229166666666666in"}
>
> ②-①得
>
> x^2^＋(a＋3)x-(a＋4)=0，
>
> \[ x＋(a＋4)］(x-1)＝0，
>
> 所以 x＝1，或x＝-a-4．
>
> 将x=1代入①得a=2．将x=-a-4代入①，推出a不是整数，所以只有a=2．将x=1，a=2代入③得b=1．所以
>
> a＝2， b＝1．
>
> 15．在图2-206中，延长BD交AC的延长线于F．在△ABF中，AD是∠A的平分线，AD⊥BF，由等腰三角形顶角的平分线性质定理的逆定理知，AD平分边BF，即D是BF的中点，又由已知DE∥AF，所以E是AB中点．
>
> {width="1.4895833333333333in" height="1.6666666666666667in"}
>
> 16．如图2-207所示．设CD是Rt△ABC斜边AB上的高，由面积公式知
>
> AC·BC=AB·CD，
>
> 即
>
> AC^2^·BC^2^=AB^2^·CD^2^
>
> 所以
>
> {width="2.5520833333333335in" height="0.4791666666666667in"}
>
> {width="3.46875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.46875in"}
>
> {width="1.71875in" height="1.125in"}
>
> {width="1.9375in" height="1.1666666666666667in"}
>
> 17．因为C是△ABD中BD边上的中线，由中线公式得
>
> AB^2^＋AD^2^=2AC^2^+2BC^2^ ①
>
> (如图2-208所示)．又因为AE是△ABC中BC边上的中线，
>
> 所以
>
> AB^2^＋AC^2^=2AE^2^＋2BE^2^ ②
>
> 因为
>
> {width="1.8125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.8020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 将③，④代入②得
>
> {width="2.21875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即
>
> AD^2^＋BC^2^=2AB^2^＋2AC^2^， ⑤
>
> ①＋⑤得
>
> 3AB^2^＋2AC^2^＋AD^2^=3BC^2^＋2AC^2^＋AD^2^． ⑥
>
> 化简⑥得
>
> AB=BC．
>
> 18．设AC，EG交于O，分别延长AD，CG交于P(图2-209)．由已知ABCD是平行四边形及BCGH，CDFE为正方形，所以AP∥BC，所以AP⊥CP．从而△PDC为直角三角形，所以
>
> ∠1+∠PDC=90°． ①
>
> 又∠2＋∠PDC=90°，所以∠1=∠2，从而∠GCE=∠ADC．
>
> 又
>
> AD=CG， CD=EC，
>
> 所以 △CGE≌△DAC(S．A．S)，
>
> 所以 ∠3=∠4． ②
>
> 由于
>
> ∠DCA=∠BAC， ③
>
> 由①，②，③知
>
> ∠1＋∠3＋∠DCA=∠2＋∠4＋∠BAC=90°．
>
> 在△COG中，∠COG=90°，所以
>
> AC⊥EG．
>
> {width="1.7916666666666667in" height="2.0in"}
>
> 19．如图2-210所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC．设E，F分别是AC，BD的中点．
>
> 首先证明：EF∥BC(或AD)．为此，过D作DH∥AC与BC的延长线交于H，取DH的中点G，连接FG，则FG∥BH，连接EG．由于ACHD是平行四边形，所以AC{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}DH，从而E{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}CGH，则ECHG是平行四边形，这样，EG∥CH．由前已证得FG∥CH可知，E，F，G三点在同一条直线FG上，且FG∥CH(及AD)．设 FG与CD交于P，则P为CD的中点．在△DBC中，FP∥BC，
>
> {width="2.1354166666666665in" height="1.3333333333333333in"}
>
> {width="1.4791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 在△CAD中，EP∥AD，
>
> {width="1.5104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为EF＝FP-EP，由①，②，所以
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 20．如图2-211所示，过E引EF∥AB交梯形腰AD于F，则EF是梯形ABCD的中位线，且EF⊥AD．从而，EF是AD的垂直平分线，所以
>
> EA=ED．
>
> 由等腰三角形三线合一定理知
>
> ∠AEF=∠DEF． ①
>
> 设∠EAB=α，则∠AEC=3α．因为EF∥AB，所以
>
> ∠AEF＝∠EAB＝α，
>
> {width="1.3020833333333333in" height="1.9895833333333333in"}
>
> 从而
>
> ∠FEC＝2α．
>
> 又因为①，所以
>
> ∠FED＝α，
>
> 所以 ∠CED=α． ②
>
> 显然EF∥CD，所以
>
> ∠FED＝∠CDE＝α． ③
>
> 由②，③
>
> ∠CED=∠CDE，
>
> 所以 CD=CE．
>
> {width="1.7708333333333333in" height="1.4583333333333333in"}
>
> 21．因为EF∥AD(图2-212)，所以
>
> {width="1.7291666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为EF∥BC，所以
>
> {width="1.71875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ①+②得
>
> {width="2.0in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.7708333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理可证
>
> {width="1.9479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由③，④知
>
> {width="1.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 从而
>
> {width="1.8645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理，对于梯形BCFE有
>
> {width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> ⑤＋⑥并整理得
>
> {width="1.7604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 22．设MN与对角线AC交于O，则O是矩形的中心．过O作BC的平行线交QN于K点，连接MK(如图2-213所示)．因为
>
> MO∥PC，
>
> 所以
>
> {width="1.65625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为
>
> KO∥NC，
>
> {width="3.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由①，②
>
> {width="1.0in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.5in" height="2.0520833333333335in"}
>
> 所以
>
> MK∥PN．
>
> 于是
>
> ∠MNP=∠KMN． ③
>
> 又因为△KMN是等腰三角形，所以
>
> ∠KMN=∠KNM． ④
>
> 由③，④
>
> ∠QNM=∠PNM．
>
> {width="1.7395833333333333in" height="1.6041666666666667in"}
>
> 23．如图2-214所示．在四边形ABCD中，取∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，连结AE，BE，DE，则△ABE∽△ACD，所以
>
> {width="1.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由①及∠BAC=∠EAD得
>
> △BAC∽△EAD，
>
> {width="3.6041666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由②得
>
> {width="1.6979166666666667in" height="0.4375in"}
>
> 由③得
>
> {width="1.7708333333333333in" height="0.4375in"}
>
> 由于在△BED中，BE＋ED≥BD，所以
>
> {width="2.1041666666666665in" height="0.4375in"}
>
> 即
>
> AC·BD≤AB·CD+BC·AD
>
> **注意** 这道题是著名的托勒密定理．在证明中，我们构造了相似三角形．这种方法，在相似形的证明中颇具代表性。
>
> {width="1.0208333333333333in" height="1.2604166666666667in"}
>
> 24．设∠B=3α，则∠ENB=∠EBN=2α(图2-215)，所以
>
> EB=EN． ①
>
> 因为AN是△AEC中∠EAC的平分线，所以
>
> {width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即
>
> {width="2.9791666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为BM是△ABN中∠ABN的平分线，所以
>
> {width="2.40625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由①，②，③
>
> {width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.4375in" height="0.4479166666666667in"}
>
> n^2^- 7kn-(55k＋71)＝0，
>
> 它的判别式
>
> △=49k^2^＋4(55k＋71)＝49k^2^＋220k＋284
>
> 是完全平方数．由于
>
> (7k+15)^2^=49k^2^＋210k＋225
>
> ＜49k^2^+220k+284
>
> ＜49k^2^+238k+289
>
> =(7k+17)^2^，
>
> 所以 49k^2^＋220k＋284=(7k＋16)^2^，
>
> 解得k=7．于是n^2^-49n-458=0，因n＞0，故n=57．26．设删去最后的数字6后，所得的数为x，且x是m位数，则原数为n=10x+6．于是
>
> 4(10x+6)=6×10^m^+x，
>
> {width="3.1979166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 取m=1，2，...，可知当m=1，2，3，4时，x均不是整数，当m=5时，x=15384是整数，所以，所求的最小数是153846．
>
> 27．由题意可设
>
> {width="2.96875in" height="0.8229166666666666in"}
>
> 从①，②中消去n得
>
> 9x-20y=1．
>
> 通解为
>
> {width="1.8020833333333333in" height="0.53125in"}
>
> 所以n=-1-15u．代入③得
>
> 7z+75u=-8，
>
> 通解为
>
> {width="1.8854166666666667in" height="0.53125in"}
>
> 从而n=-61＋105t，t是整数．
>
> 28．因为对每一个整数a，有
>
> 丨a丨≡a(mod 2)，a≡-a(mod 2)．
>
> 所以
>
> b~1~＋b~2~＋...＋b~27~=丨a~1~-a~2~+a~3~丨＋...＋丨a~79~-a~80~＋a~81~丨
>
> ＝(a~1~-a~2~＋a~3~)+...＋(a~79~-a~80~＋a~81~)
>
> ＝(a~1~＋a~2~＋a~3~)+...+(a~79~＋a~80~＋a~81~)
>
> =1＋2+...＋81
>
> =81×41≡1(mod 2)．
>
> 所以，每经过一次"运算"，这些数的和的奇偶性不变，并且初始时是奇数，故x仍是奇数．
>
> 29．如图2-216所示．延长BA至D，使AD=a，延长BC至E，使CE=c，作平行四边形ADFC，则△FCE≌△CBA．所以
>
> DE≤DF＋FE=2b＜a＋c=BD=BE，
>
> 从而∠B是△BDE中的最小角，∠B＜60°，因此
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.4375in" height="1.46875in"}
>
> 30．如图2-217所示．在OA，OB上分别取点C′，D′，使OC′=OC，OD′=OD，连结AD′，BC′，C′D′，且AD′和BC′相交于E．BD是C′C的中垂线，所以BC′=BC．同理AD′=AD．因为AE＋EB＞AB，C′E＋D′E＞C′D′，所以，AE＋EB+C′E＋D′E＞AB＋C′D′。即 AD′＋BC′＞AB＋C′D′，亦即AD＋BC＞AB＋C′D′．又△C′OD′≌△COD，于是C′D′=CD．从而AD＋BC＞AB+CD．
>
> 31．延长BA，CD相交于G，设梯形AEFD和梯形BCFE的面积都是S，△ADG的面积为S′，EF=x，由△GAD∽△GEF得
>
> {width="2.3541666666666665in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 由△GAD∽△GBC得
>
> {width="2.4479166666666665in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 所以 b^2^-a^2^=2x^2^-2a^2^
>
> {width="2.1979166666666665in" height="0.5in"}
>
> {width="1.5729166666666667in" height="0.5in"}
>
> {width="1.2708333333333333in" height="1.40625in"}
>
> 32．如图2-218．将四边形分解为两个三角形，为此连接AC，CM，BD，DQ，有
>
> {width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.21875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="0.8958333333333334in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理可得
>
> {width="1.3541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.34375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理可得
>
> {width="1.34375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以
>
> {width="3.71875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因此
>
> {width="1.6041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 33．因一元二次方程有两个实根，故
>
> △=1-4(1-m)≥0，
>
> {width="2.3854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 根据韦达定理
>
> {width="1.09375in" height="0.53125in"}
>
> 由已知丨x~1~丨+丨x~2~丨≤5得
>
> x~21~+x~22~+2丨x~1~x~2~丨≤25，
>
> 所以 0≤(x~1~+x~2~)^2^+2丨x~1~x~2~丨-2x~1~x~2~≤25，
>
> 0≤1-2(1-m)+2丨1-m丨≤25，
>
> 即
>
> {width="2.34375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (1)当m≥1时，
>
> {width="2.0520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.1145833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.1770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.8958333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 34．设两整数根为x，y，x≤y，由韦达定理知
>
> {width="1.1458333333333333in" height="0.53125in"}
>
> 所以x，y均大于0，并且 xy=4(x+y)．于是
>
> (x-4)(y-4)=16．
>
> 易知x＞4，从而y＞4．所以
>
> {width="2.9270833333333335in" height="0.53125in"}
>
> 所以a=x+y=25，18，16．
>
> 35．用反证法．设方程有整数根x~0~。当x~0~是偶数时，有
>
> 偶^2^+奇×偶+奇=奇=0，
>
> 矛盾！当x~0~是奇数时，
>
> 奇^2^+奇×奇+奇=奇=0，
>
> 矛盾！故原方程没有整数根．
>
> {width="1.125in" height="1.15625in"}
>
> 36．连AD，BC(图2-219)．因为AD∥CE，所以
>
> ∠DAE+∠AEC=180°．
>
> 又因为
>
> ∠DAE＋∠BCD=180°，
>
> 所以∠AEC=∠BCD．
>
> 又因为∠1=∠2，所以
>
> △EAC∽△CDB，
>
> {width="3.0208333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即
>
> {width="1.0208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 b(a＋BE)=cd，
>
> {width="3.1875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 37．因为A={2，x，y}，B={2，x，y^2^}，所以
>
> A∩B＝{2，x}={2，4}，
>
> 所以 x=4．
>
> 又由
>
> A∪B={2，x，2x，16x}={2，x，y，y^2^}，
>
> {width="2.3125in" height="0.2604166666666667in"}
>
> 即x=4，y=8．
>
> {width="1.3333333333333333in" height="1.1666666666666667in"}
>
> 38．连AC交PQ于E(图2-220)．由PE∥BC有
>
> {width="1.5104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以
>
> {width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理
>
> {width="1.4791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以
>
> {width="3.2291666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 39．(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以
>
> {width="1.7291666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为∠A，∠B的平分线相交于p时，则
>
> ∠APB＝90°，
>
> 同理
>
> ∠BSC＝90°，
>
> ∠CRD=90°，∠AQD＝90°．
>
> 所以四边形PQRS是矩形(图2-221)．
>
> {width="1.2916666666666667in" height="0.96875in"}
>
> (2)若四边形ABCD为矩形(图2-222)，则AP=BP，AQ=BS，所以PS=PQ．结合(1)之结论，所以四边形PQRS为正方形．
>
> {width="1.15625in" height="1.09375in"}
>
> 40．如图2-223．设△ABD∽△ACF∽△BCE，则
>
> {width="1.3333333333333333in" height="1.1875in"}
>
> {width="2.1875in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 所以
>
> {width="2.4479166666666665in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 所以 S~△BCE~＋S~△ACF~=S~△ABD~．
>
> 41．因为
>
> (m^2^+n^2^)^2^=m^4^＋2m^2^n^2^＋n^4^，
>
> (m^2^-n^2^)^2^＝m^4^-2m^2^n^2^＋n^4^，
>
> (2mn)^2^＝4m^2^n^2^，
>
> 所以 (m^2^＋n^2^)^2^-(m^2^-n^2^)^2^=4m^2^n^2^．
>
> 所以三角形为直角三角形．
>
> 如果m^2^＋n^2^=4mn．由于
>
> {width="2.8229166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 且
>
> (m^2^＋n^2^)^2^-(2mn)^2^=m^4^+2m^2^n^2^＋n^4^-4m^2^n^2^
>
> =(m^2^-n^2^)^2^， ②
>
> 由①，②可知，此三角形仍为直角三角形，且两锐角分别为30°和60°．
>
> 42．设水面高度为x厘米，容器中每升高1厘米的水重量增加a千克，总重量为y．由于水面上升高度与水的重量是均匀变化的，所以y与x之间成直线关系，故有
>
> y=ax＋b(0≤x≤10)．
>
> {width="3.1354166666666665in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.5625in" height="0.53125in"}
>
> 所以所求的函数关系为
>
> y=0.6x＋0.8(0≤x≤10)．
>
> 其图像如图2-224．
>
> 当x=8厘米时，y=0.6×8＋0.8=5.6(千克)．
>
> {width="2.8645833333333335in" height="1.9895833333333333in"}
>
> 43．看到这个问题，很容易做出如下的回答：显然第一个人抽到的{width="5.114583333333333in" height="0.4270833333333333in"}{width="5.052083333333333in" height="0.4270833333333333in"}{width="3.3854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 上述说法似乎很有道理，但实际上求出来的只是第一人抽到或抽不到的情况下，第二人抽到的可能性，而不是第二人抽到的可能性．
>
> {width="4.78125in" height="0.4270833333333333in"}{width="5.28125in" height="0.4270833333333333in"}{width="5.052083333333333in" height="0.4270833333333333in"}{width="4.947916666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因此，第二人抽到的可能：性是：
>
> {width="2.3854166666666665in" height="0.46875in"}
>
> {width="5.114583333333333in" height="0.4270833333333333in"}的方法，可以做出第三人，第四人，...，直至第十人抽到的可能性都是{width="2.4270833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 44．连接三个小圆圆心A，B，C，用d表示小圆直径(图2-225)，则
>
> ∠ABC=90°，AB=BC=d，AC=50-d．
>
> 由勾股定理有
>
> AC^2^=AB^2^＋BC^2^=2d^2^，
>
> 即
>
> (50-d)^2^=2d^2^．
>
> 展开得
>
> 2500-100d＋d^2^=2d^2^，
>
> 所以
>
> d^2^+100d-2500=0，
>
> 解得
>
> d≈20.7(毫米)，
>
> 即垫圈最大直径是20.7毫米．
>
> {width="2.7916666666666665in" height="1.6354166666666667in"}
>
> 45．如图2-226所示，把地球看成一个球体．在地球表面某点A建造一座建筑物，其高为AB=x千米．问题则化为：当x为多少千米时，站在B点可以看到千里之外的景物E或F呢？
>
> 依题意，AB过球心O，则AC是地球直径．那么由AC=2R(R≈6400千米)，AB=x(千米)，BE=BF=1000(里)=500(千米)，根据切割线定理
>
> BE^2^=BF^2^=BA·BC=BA·(BA＋AC)，
>
> 即
>
> 500^2^=x(x+12800)．
>
> 整理得
>
> x^2^+12800x-250000=0，
>
> 所以
>
> {width="3.75in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 所以 x≈19.50(千米)．
>
> 可见，欲看到千里之外的景物，需要站在高19.50千米的建筑物上．如果设想19.50千米是一幢楼房的高度，假设每层楼高5米，则此楼需3900层，这是很难想象的，但借助现代飞行工具------飞机，去领略千里之外的景色，就不难想象了．
>
> 46．先量AB的长，AB=a，再拉动水草使A移到水面A′的位置，这时假定A′B=b，则BC=(x-a)(其中x=AC)(图2-227)．由于在△A′BC中，∠A′BC=90°，所以
>
> {width="2.1145833333333335in" height="1.3645833333333333in"}
>
> BC^2^+A′B^2^=A′C^2^，
>
> 即
>
> (x-a)^2^＋b^2^=x^2^，
>
> 所以 (x-x＋a)(x+x-a)=b^2^，
>
> 所以 a(2x-a)=b^2^，
>
> {width="3.1458333333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以水深
>
> {width="2.5625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 如果已知a=2米，b=4.5米，则水深
>
> {width="2.1770833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 47．设河的两岸为直线l~1~，l~2~，l~1~∥l~2~(图2-228)，河宽为a，那么过A引AC⊥l~1~，且令AC=a，连CB交l~2~于E，引ED⊥l~1~于D，则DE为架桥的位置．这时，可证AD＋DE＋EB=AC＋CB为A到B之最短路程．
>
> {width="1.6666666666666667in" height="1.8125in"}
>
> 因为如果另架一桥MN，由于
>
> {width="2.2395833333333335in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 所以ADEC和ANMC均为平行四边形，所以
>
> AD=CE，AN=CM．
>
> 显然CM＋MB＞CB，即AN＋MB＞CB，所以
>
> AN＋NM＋MB＞CB＋DE，
>
> 即
>
> AN＋NM＋MB＞AD+DE＋EB．
>
> 所以从A到B以AD＋DE＋EB路程最短．
>
> 48．作点A关于河岸EF的对称点A′，然后连结A′B交EF于C，则C点即为水塔所在点．这是因为：如果在EF上另选一点C′建水塔，连结AC′，A′C′，BC′(图2-229)，则有AC′＋BC′= A′C′＋BC′＞A′B，即
>
> {width="1.6770833333333333in" height="1.9895833333333333in"}
>
> AC′＋BC′＞A′C＋BC
>
> (因为A′B=A′C＋CB)，也就是
>
> AC′＋BC′＞AC＋BC(因为A′C=AC)．
>
> 所以C点恰为合乎要求的建塔地点．
>
> 49．设这辆汽车的号码的第一位和第二位数字是a，第三位和第四位数字是b，这样汽车牌号所表示的四位数应是
>
> 1000a＋100a＋10b＋b=11(100a＋b)．
>
> 由于这是一个两位数的平方数，所以100a＋b也能被11整除．又因为
>
> 100a＋b=99a+a＋b，
>
> 且99a能被11整除，所以a＋b一定能被11整除．由于a，b都是0，1，2，...，9这十个数字中的某一个，所以a＋b≤18，所以一定有a＋b=11．由于这四位数恰好是一个两位数的平方数，因此末位数字b只能是0，1，4，5，6，9．所以可能的a，b是
>
> {width="3.0104166666666665in" height="0.53125in"}
>
> 因此，这辆汽车的车号可能是：2299，5566，6655，7744，但前三个四位数都不是某两位数的平方数，只有7744=88^2^，所以这辆汽车的车号为7744．
>
> 50．(1)x，y间的散点图为图2-230．
>
> {width="2.1354166666666665in" height="2.0833333333333335in"}
>
> (2)由散点图观察这些点似乎都在一条直线上．我们取(0，5)及(400，13)两点．画一直线，设其表示式为y=ax＋b，则有
>
> {width="1.3645833333333333in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.6354166666666665in" height="0.6979166666666666in"}
>
> {width="3.0520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (3)当x=500(克)时，
>
> {width="2.2604166666666665in" height="0.4375in"}
自测题解答
自测题一
> 1．设
>
> 原式=(x^2^+ax＋b)(x^2^＋cx＋d)
>
> =x^4^+(c+a)x^3^+(d+ac＋b)x^2^+(ad＋bc)x+bd．
>
> {width="3.0104166666666665in" height="1.0729166666666667in"}
>
> 解之得a=1，b=3，c=-2，d=5．所以
>
> 原式=(x^2^＋x+3)(x^2^-2x＋5)．
>
> 2．配方得
>
> (a-5)^2^+(b-12)^2^＋(c-13)^2^=0，
>
> 所以a=5，b=12，c=13．显然有c^2^=a^2^＋b^2^，所以此三角形是直角三角形．
>
> {width="4.770833333333333in" height="0.5in"}
>
> a＝t^4^，b＝at＝t^5^．
>
> {width="4.260416666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> c-a＝m^2^-t^4^=(m+t^2^)(m-t^2^)=19．
>
> 因为m＋t^2^与m-t^2^均为自然数，且19为质数，所以
>
> {width="1.0729166666666667in" height="0.5520833333333334in"}
>
> {width="2.4375in" height="0.5104166666666666in"}
>
> 所以
>
> d-b=m^3^-t^5^＝10^3^-3^5^＝757．
>
> 4．由韦达定理知
>
> {width="1.0208333333333333in" height="0.8958333333333334in"}
>
> {width="1.1041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> a^2^＋ab＋b=0，
>
> 即(a＋1)b=-a^2^，所以
>
> {width="2.1770833333333335in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 故a+1=±1，a=-2，a=0(舍去)．当a=-2时，b=4，c=16，所以
>
> a＋b＋c=18．
>
> {width="4.260416666666667in" height="0.4270833333333333in"}交点为H，△ABC的重心为G．因为DQ∥HR，所以
>
> {width="0.7291666666666666in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 又因为DP∥CF，所以
>
> {width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因而
>
> {width="0.5729166666666666in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="1.4375in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 6．设∠B，∠D的平分线BM，DN有一个公共点P，则根据四边形内角和为360°，及已知条件，必有∠BPD=180°，因此MP，NP必重合，如图2-231．
>
> 又设∠B，∠D的平分线 BM，DN没有公共点，即BM∥DN，如图2-232．
>
> {width="2.7916666666666665in" height="1.8020833333333333in"}
>
> 7．设BC=a，AC=b，AB=c，则m=a＋b＋c．因为∠1=∠2=∠3，所以DE∥AC，△EBD∽△ABC．因为∠2=∠1，所以△DAC∽△ABC．从而
>
> {width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.1354166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 又因为
>
> {width="2.3854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以
>
> {width="1.6354166666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.9270833333333333in" height="0.5in"}
>
> {width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.6458333333333335in" height="0.46875in"}
>
> {width="3.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 8．如图2-233所示．过A作AB的垂线，在其上截AK=CN=MB，连KM，KC，则ANCK为平行四边形．因为
>
> {width="2.03125in" height="1.59375in"}
>
> AK=NC=MB，
>
> AM=BC，
>
> ∠KAM=∠MBC=90°，
>
> 所以△KAM≌△MBC，所以
>
> KM=CM，∠AMK=∠BCM．
>
> 因为
>
> ∠CMB+∠MCB=90°，
>
> 所以 ∠CMB＋∠AMK=90°，
>
> 所以 ∠KMC=90°，
>
> △KMC为等腰直角三角形，∠MCK=45°．因为
>
> KC∥AN，
>
> 所以∠APM=∠MCK=45°(同位角相等)．
>
> 9．方案1：用零售价买6件，需要70×6=420(元)；
>
> 方案2：以2件130，买6件，需要130×3=390(元)；
>
> 方案3：以零售价买4件，再买2件130元，则需70×4＋130=410(元)；
>
> 方案4：以零售价买两件， 2件130元的买4件，则需70×2＋130×2=400(元)；
>
> 方案5：以零售价的9折买5件，零售价买1件，需要70×90％×5+70=385(元)；
>
> 方案6：与另一买2件者搭帮，以买7件送1件方式买8件，从中给另一人2件，需要
>
> {width="2.5208333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 方案7：搭帮买，以买7件送一件买8件，以零售价的9折给另一人2件，需要
>
> 70×7-70×90％×2=364(元)；
>
> 综上，共有7种方案，第7种方案买6件花钱最省，为364元．
自测题二
> 1．令u=x^2^＋3x＋5，则
>
> 原式=u^2^+2xu-3x^2^
>
> ＝(u-x)(u＋3x)
>
> =(x^2^+2x＋5)(x^2^+6x＋5)
>
> =(x^2^＋2x+5)(x＋5)(x＋1)．
>
> 2．(1)在78-6=72的约数里考虑比6大的数，即得
>
> {8，9，12，18，24，36，72}
>
> 共7个元素．
>
> (2)(6的倍数+5)的集合与(8的倍数+5)的集合的交集，即(6和8的公倍数+5)的数的集合：{5，29，53，77}．
>
> 3．(1)(x＋y+z)^2^=x^2^＋y^2^+z^2^＋2xy+2yz＋2zx，
>
> 所以 1=2＋2(xy+yz+zx)，
>
> {width="3.0in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为
>
> x^3^+y^3^＋z^3^-3xyz=(x＋y＋z)(x^2^＋y^2^＋z^2^-xy-yz-zx)，
>
> {width="3.5625in" height="0.46875in"}
>
> {width="2.7604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (2)(xy＋yz+zx)^2^=x^2^y^2^+y^2^z^2^+z^2^x^2^+2xyz(x+y＋z)，
>
> 所以
>
> {width="3.0in" height="0.5in"}
>
> {width="3.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为
>
> {width="4.34375in" height="0.25in"}
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.46875in"}
>
> {width="3.1979166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 4．设方程的两个整数根为x~1~，x~2~．
>
> (1)因为x~1~+x~2~=3是奇数，故x~1~，x~2~为一奇一偶．(2)由(1)知，x~1~，x~2~为一奇一偶，所以a+4=x~1~x~2~为偶数，所以a是偶数．又
>
> △=(-3)^2^-4(a＋4)=-4a-7＞0，
>
> {width="2.28125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.364583333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> a+4=x~1~x~2~＞0，即a＞-4，所以a=-2．原方程为
>
> x^2^-3x＋2=0，
>
> 所以x~1~=1，x~2~=2．
>
> 5．因为对于任意整数a，有
>
> a^2^≡0，1，4(mod8)．
>
> 所以
>
> {width="3.78125in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 从而
>
> 8n＋7≠a^2^＋b^2^＋c^2^．
>
> {width="2.6041666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (a＋b＋c)(ab+bc＋ca)=abc，
>
> (a＋b+c)(ab+bc)＋ca(a+c)=0，
>
> (a＋c)\[b(a＋b+c)＋ca\]=0，
>
> (a+b)(b+c)(a＋c)=0，
>
> 即
>
> a=-b或b=-c或c=-a．
>
> 由对称性，不妨设a=-b，所以
>
> {width="3.5520833333333335in" height="1.3645833333333333in"}
>
> 7．如图2-234所示．过E作EK∥BG，交AB于K，延长BC，直线GE与AB交于P，与BC延长线交于G．因为
>
> ∠1=∠2，
>
> 所以△GEB≌△PEB，所以E是PG中点，EK是△PBG的中位线，所以
>
> {width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又
>
> EK=2EH=2DF，②
>
> 由①，②
>
> {width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.5208333333333335in" height="2.0208333333333335in"}
>
> 8．如图2-235所示．过A点作BC的平行线交BE，CF，DE，DF的延长线于P，Q，R，S．下面证明AR=AS．
>
> 因为 AR∥CD，所以
>
> {width="1.1145833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (△EAR∽△ECD)，又因为PR∥BD，所以
>
> {width="2.7604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.53125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 从而
>
> {width="2.0104166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 同理可得
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由③，④得
>
> {width="2.3541666666666665in" height="0.8645833333333334in"}
>
> 由⑤
>
> AP×DC＝AQ×BD，
>
> 所以 AR=AS．
>
> 因为AD⊥SR，△DSR是等腰三角形，AD是底SR的垂直平分线，因而是顶角的平分线，所以
>
> ∠EDO=∠FDO．
>
> 9．设A部门分别运给甲、乙两校x~1~和x~2~本书；B部门分别运给甲、乙两校x~3~，x~4~本书，则可列出下表：
>
> {width="3.4791666666666665in" height="0.96875in"}
>
> 由此表可得
>
> {width="1.9270833333333333in" height="1.0729166666666667in"}
>
> 其中x~1~，x~2~，x~3~，x~4~为不小于零的整数．
>
> 设运费总额为N，则
>
> N=0.2x~1~+0.15x~2~＋0.3x~3~+0.1x~4~，②
>
> 由①
>
> x~2~=150-x1，
>
> x~4~＝240-x~2~＝240-(150-x~1~)＝90+x~1~，
>
> x~3~＝200-x~1~，
>
> 将x~2~，x~3~，x~4~代入②，则
>
> N＝0.2x~1~＋0.15(150-x~1~)+0.3(200-x~1~)＋0.1(90＋x1)
>
> =0.15×150＋0.3×200＋0.1×90+(0.2-0.15-0.3+0.1)x~1~
>
> ＝91.5-0.15x~1~．
>
> 由于①中x~1~+x~2~=150，且x~2~≥0，所以
>
> 0≤x~1~≤150，
>
> 因此，取x~1~=150时，则
>
> N~最小~=91.5-0.15×150=69(元)．
>
> 即某书店A部门运给甲校150本，B部门运给甲校50本；且由B部门运给乙校240本，学校支出的运费最省为69元．
自测题三
> {width="1.7708333333333333in" height="0.25in"}
>
> {width="0.8854166666666666in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 两边立方得
>
> {width="2.0208333333333335in" height="0.25in"}
>
> {width="3.84375in" height="0.2604166666666667in"}
>
> 两边平方得
>
> x^6^＋81x^2^＋4＋18x^4^-4x^3^-36x=27(x^4^＋2x^2^＋1)，
>
> 所以 x^6^-9x^4^-4x^3^+27x^2^-36x-23=0．
>
> 这是个整系数方程，若有有理根，只可能是±1，±23(23的约数)，{width="5.052083333333333in" height="0.53125in"}
>
> 2．将x=1代入原方程，得
>
> 4(1-a)k＋(b-2a^2^＋1)=0．①
>
> 因为对任意实数k，①式都成立，所以
>
> {width="1.25in" height="0.5520833333333334in"}
>
> 解得a=1，b=1，代入原方程得
>
> (k^2^＋1)x^2^-2(1＋k)2x＋k^2^＋4k＋1=0，
>
> \[(k^2^+1)x-(k^2^+4k+1)\](x-1)=0，
>
> 另一根为
>
> {width="1.15625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 去分母，整理得
>
> (x^2^-1)k^2^-4k+(x^2^-1)=0， ②
>
> 将②视为关于k的二次方程，由于k为实数，所以
>
> △=(-4)^2^-4(x^2^-1)^2^≥0，
>
> 所以 (x^2^-1)^2^≤4，
>
> 所以 -1≤x^2^≤3．
>
> 3．解法1 因为x≠0，所以
>
> {width="3.0104166666666665in" height="2.09375in"}
>
> {width="5.052083333333333in" height="0.4270833333333333in"}{width="1.1354166666666667in" height="0.25in"}
>
> 解法2 令原式=u，
>
> {width="1.8645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
>
> 则uv=1．因为
>
> {width="2.4270833333333335in" height="1.03125in"}
>
> {width="2.3229166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="1.1145833333333333in" height="0.28125in"}
>
> 故当x=1时，
>
> {width="2.1979166666666665in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 4．连BP，易知△ABD∽△QBP(图2-236)，所以
>
> {width="0.7604166666666666in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以
>
> {width="1.2291666666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 因为
>
> AP∥CD，
>
> 所以
>
> {width="0.75in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 于是
>
> {width="1.1354166666666667in" height="0.46875in"}
>
> 5．如图2-237所示．因为AE是∠A的平分线，所以
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.3020833333333333in"}
>
> {width="1.09375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为DF∥AB，所以
>
> {width="1.15625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 在Rt△ABC中，由于CH⊥AB，所以
>
> △ABC∽△ACH，
>
> 所以
>
> {width="4.21875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由①，②及③
>
> {width="0.6979166666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 由和比定理
>
> {width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.6770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 BF=CE．
>
> 6．如图2-238所示．因为AB＞AC，所以
>
> {width="1.9166666666666667in" height="1.6145833333333333in"}
>
> ∠ACB＞∠ABC，
>
> 所以 ∠ACE＞∠ABF．因此可作 ∠GCM=∠EBM．由于
>
> {width="2.0625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 MB=MC，
>
> 所以
>
> △MBE≌△MCG(ASA)，
>
> 所以 BE=CG．①
>
> 由三角形外角性质知
>
> {width="2.6041666666666665in" height="1.5104166666666667in"}
>
> 所以 ∠GFC=∠FGC．
>
> 从而
>
> CG=CF．②
>
> 由①，②
>
> BE=CF．
>
> 7．设△ABC的三边为a，b，c，其中a=2c(图2-239)．因为
>
> {width="1.6458333333333333in" height="1.1354166666666667in"}
>
> b＞a-c，a=2c，
>
> 所以b＞C，因此C是最小边，所以
>
> {width="2.5729166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为b＜a＋c，所以b＜3c．因此
>
> {width="3.1875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.3854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 8．当y=1时，7^y^+12y-1=18，所以x丨18，x≤18．另一方面，显然2丨7^y^＋12y-1．对自然数y，
>
> (1)当y=3k+1时，
>
> 7^y^＋12y-1=7·7^3k^＋12(3k＋1)-1
>
> ＝7＋12-1＝0(mod9)．
>
> (2)当y=3k+2时，
>
> 7^y^＋12y-1=49·7^3k^＋12(3k+2)-1
>
> ＝4＋24-1＝0(mod9)．
>
> (3)当y=3k+3时，
>
> 7^y^+12y-1=343·7^3k^+12(3k＋3)-1
>
> ＝1＋0-1＝0(mod9)．
>
> 由此推得18丨7^y^+12y-1．故x的最大值为18．
>
> 9．(1)设游园人数为x人，则有：x＜8时，买个人票总门票费最省；x=8时，买个人票或团体票都可以；x＞8时，买团体票总门票费最省(见右表)．
>
> {width="2.75in" height="1.1875in"}
>
> (2)
>
> {width="3.8125in" height="1.1875in"}
>
> 因此，当10＜x＜10＋8时，买一张团体票、6张个人票使总门票费最省；当x=10＋8时，买一张团体票、8张个人票，或买两张团体票，总门票费最省；当20＞x＞10+8时，买两张团体票总门票费最省．
>
> (3)设游园人数为x，总门票数为y．则一般买门票费最省的规律是：
>
> (i)当o＜x＜10n＋8时(其中n为非负整数)，
>
> y＝40n+5(x-10n)，
>
> 即买n张团体票，再买x-10n张个人票，总门票费最省．
>
> (ii)当x≥10n＋8时(其中n为非负整数)，
>
> y＝40(n＋1)，
>
> 即买(n＋1)张团体票，总门票费最省．
自测题四
> 1．原式=2(x^2^-2xy＋y^2^)+(3y^2^-12y+12)+1
>
> =2(x-y)^2^+3(y-2)^2^＋1≥1．
>
> 所以当
>
> {width="1.8854166666666667in" height="0.53125in"}
>
> 时，原式有最小值为1．
>
> {width="3.5729166666666665in" height="0.53125in"}
>
> {width="2.4270833333333335in" height="0.25in"}
>
> {width="2.1354166666666665in" height="1.0520833333333333in"}
>
> 所以
>
> {width="4.520833333333333in" height="1.15625in"}
>
> 3．如图2-240所示．因为EO∥CD及OF∥BC，所以
>
> {width="1.1875in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 又
>
> {width="1.6041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="3.0208333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又 ∠BOP=∠DOT，②
>
> 所以 △BOP∽△DOT(由①，②)．
>
> 所以 ∠DBP＝∠BDQ，
>
> 所以 BP∥DQ．
>
> {width="2.3541666666666665in" height="1.46875in"}
>
> {width="2.5625in" height="0.25in"}
>
> {width="0.7708333333333334in" height="0.25in"}
>
> {width="1.8958333333333333in" height="0.2604166666666667in"}
>
> ①×a-②×c有
>
> {width="2.0208333333333335in" height="0.22916666666666666in"}
>
> {width="3.8854166666666665in" height="0.2604166666666667in"}
>
> 若 ab-2c^2^≠0，则
>
> {width="1.40625in" height="0.4479166666666667in"}
>
> {width="4.979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}
>
> 所以④式矛盾，即假设ab-2c^2^≠0不成立，所以应有
>
> ab-2c=0，⑤
>
> 故由③式有
>
> a^2^-2bc＝0．⑥
>
> 若a≠0，b≠0，则由⑤，⑥可得
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 这也是不可能的(因为a，b是有理数)，所以
>
> a=0，或b=0．
>
> 无论a=0或b=0，由⑤均可推出c=0，再由①得
>
> a=b=c=0．
>
> 5．如图2-241．因为
>
> ∠ABC=∠ACB=60°，
>
> ∠DBC=∠DCB=30°，
>
> {width="2.0in" height="2.0416666666666665in"}
>
> 所以 ∠ABD=∠ACD=90°．
>
> 延长AC至M~1~，使CM~1~=BM，连结DM~1~．易知
>
> Rt△BDM≌Rt△CDM~1~(SAS)．
>
> 所以 ∠MDB=∠M~1~DC，DM=DM~1~，
>
> 从而
>
> ∠MDM~1~=(120°-∠MDB)＋∠M1DC=120°．
>
> 又已知∠MDN=60°，所以
>
> ∠M1DN=∠MDN=60°，
>
> 所以 △MDN≌△M~1~DN．
>
> MN=NM~1~=NC＋CM~1~=NC＋MB，①
>
> 则由①
>
> △AMN的周长=AM＋MN＋AN
>
> =AM＋NC＋MB＋AN
>
> =(AM＋MB)+(AN＋NC)
>
> =AB＋AC=2．
>
> {width="4.1875in" height="0.2604166666666667in"}
>
> (a~0~＋a~2~＋a~4~)-(a~1~+a~3~+a~5~)＝11n．
>
> 其中n是整数，即
>
> a~0~＋a~1~＋a~2~＋a~3~＋a~4~＋a~5~=11n＋2(a~1~＋a~3~＋a~5~)，
>
> 所以 15=11n＋2(a~1~＋a~3~＋a~5~)．①
>
> 当n=-1时，a~1~＋a~3~＋a~5~=13，这不可能．
>
> 当n=0时，15＝2(a~1~＋a~3~＋a~5~)，奇数=偶数，不可能．
>
> 当n=1时，a~1~+a~3~＋a~5~=2，这也不可能．
>
> n取更大的整数值，①显然不成立．
>
> 7．(1)先证明x~5~≤24且x~1~+x~2~+...+x~5~≤110．
>
> 假设x~1~+x~2~+...＋x~5~＞110，则x~5~≥25，所以x~6~≥26，x~7~≥27，x~8~≥28，x~9~≥29．于是
>
> x~1~＋x~2~＋...+x~9~＞220，
>
> 与已知条件矛盾．
>
> (2)若取x~1~=20，x~2~=21，x~3~=22，x~4~=23，x~5~=24，则
>
> x~1~＋x~2~＋...＋x~5~＝110．
>
> 所以，当x~1~+x~2~＋...＋x~5~取得最大值110时，x~1~的值是20，x~5~的值是25．
>
> (3)若取x~6~=26，x~7~=27，x~8~=28，x~9~=29，则
>
> x~6~＋x~7~＋x~8~＋x~9~＝110．
>
> 所以，当x~1~+x~2~＋...+x~5~取得最大值110时，x~9~的值是29．
>
> 因此，x~9~-x~1~的值是29-20=9．
>
> 8．设甲乙两部门去旅游的人数分别为x，y．则
>
> {width="1.6145833333333333in" height="0.53125in"}
>
> 因为x=m-y，所以
>
> 120(m-y)＋110y=2250，
>
> 所以
>
> 10y＝120m-2250， y＝12m-225，
>
> x=m-y=m-12m＋225=225-11m．
>
> 因为x＞0，y＞0，所以
>
> {width="1.1979166666666667in" height="0.53125in"}
>
> {width="3.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 因为m为整数，所以m＝19或m＝20．所以
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.53125in"}
>
> 所以甲乙两部门去旅游的人数分别为16人和3人或5人和15人．
>
> 9．(1)连BD(图2-242)．因为四边形ABCD内接于圆，所以
>
> {width="1.6458333333333333in" height="1.6354166666666667in"}
>
> ∠FAE=∠BCD．
>
> 又因为
>
> EF∥AC，
>
> 所以
>
> ∠FEA=∠EAC=∠DBC，
>
> 所以△AEF∽△CBD，所以
>
> {width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 AF·BC=AE·DC．
>
> (2)当E点移动到D点时，有图2-243．与(1)同理，△ADF∽△CBD，所以
>
> {width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即 AF·BC=AD·DC．
>
> (3)当E点在AD的延长线上时，有图2-244．易知△AEF∽△CDB，所以
>
> {width="3.8958333333333335in" height="1.7604166666666667in"}
>
> {width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 AF·BC=AE·DC．
>
> **注意** (1)，(2)，(3)之结论相同．
自测题五
> ** **{width="2.5729166666666665in" height="0.25in"}
>
> {width="1.6041666666666667in" height="0.25in"}
>
> 所以
>
> a^2^＋b^2^=(a+b)^2^-2ab=10，
>
> (a^2^＋b^2^)^3^=a^6^+b^6^＋3(ab)^2^(a^2^+b^2^)，
>
> 所以 10^3^=a^6^+b^6^＋3×1×10，
>
> 所以 a^6^＋b^6^=970．
>
> {width="4.614583333333333in" height="0.2604166666666667in"}部分为969．
>
> 2．用求根公式可求得原方程的根为
>
> {width="1.8645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.1145833333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="4.03125in" height="0.4270833333333333in"}
>
> α要满足不等式丨α丨≤2000，所以
>
> {width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即 -6000≤m＋1≤6000．
>
> {width="2.46875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> m=-1＋5n(n=0，±1，±2，...)，
>
> 所以 -6000≤(-1+5n)＋1≤6000，
>
> 所以 -1200≤n≤1200，
>
> 则n=0，±1，±2，...，±1200，故m可取1200×2＋1=2401个值．
>
> 3．(x+y)^2^=x^2^+y^2^+2xy，所以
>
> 1=2+2xy，
>
> {width="2.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> (x+y)^3^=x^3^+y^3^＋3xy(x+y)，
>
> {width="3.7291666666666665in" height="0.46875in"}
>
> {width="2.9479166666666665in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为
>
> (x^2^＋y^2^)^2^=x^4^+y^4^+2x^2^y^2^，
>
> {width="3.5in" height="0.4270833333333333in"}
>
> {width="2.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 又因为
>
> (x^3^+y^3^)(x^4^+y^4^)=x^7^+x^3^y^4^+y^3^x^4^+y^7^
>
> =x^7^+y^7^+x^3^y^3^(x+y)，
>
> 所以
>
> {width="1.96875in" height="0.5in"}
>
> {width="3.15625in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 4．如图2-245所示．延长AB到D，使BD=BC，则AD=a＋c．连结 DC，△BCD是等腰三角形，∠D=∠BCD，所以
>
> {width="1.4791666666666667in" height="1.75in"}
>
> ∠ABC=∠D＋∠BCD
>
> =2∠BCD，
>
> 又
>
> ∠ABC=2∠ACB，
>
> 所以
>
> ∠ACD=∠ACB+∠BCD
>
> =2∠ACB．
>
> 所以 △ABC∽△ACD，
>
> {width="2.8958333333333335in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 即
>
> {width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}
>
> 所以 b^2^=c^2^+ac．
>
> 5．因为4x^2^+7xy-2y^2^=(x+2y)(4x-y)，所以欲证9丨4x^2^＋7xy+2y^2^，只需证3丨(x＋2y)．由于3丨4x-y，所以3丨(4x-y)＋3(y-x)，即3丨x＋2y．
>
> 6．不妨设a≤b≤c．ab与3比较，只能是
>
> ab＞3， ab＝3， ab＜3
>
> 三种情况之一．
>
> 若ab＞3，则abc＞3c，即a＋b＞2c．这与a≤b≤c矛盾，故ab≯3．
>
> 若ab=3，由a≤b，故a=1，b=3．
>
> a＋b＋c=abc=3c，
>
> 4+c=3c，c=2．
>
> 与b≤c矛盾，故ab≠3，故只能ab＜3．由于 a，b是自然数，有ab≤2，若a=1，b=1，代入
>
> a＋b＋c=abc
>
> 有2＋c=c．等式矛盾，则只能有
>
> a＝1，b＝2，C＝3．
>
> 7．如图2-246所示．延长AE至F，使EF=AE，连结BF，DF，则ABFD是平行四边形．
>
> {width="1.8541666666666667in" height="1.6354166666666667in"}
>
> 下面证明△AFD与△ACD全等．
>
> 由已知AB=BD及平行四边形对边相等性质知
>
> DF=AB＝BD＝DC，
>
> 因为
>
> ∠1=∠2及∠BDA＝∠BAD，
>
> 所以
>
> ∠ADC=∠BAD＋∠2=∠BDA＋∠1=∠ADF，
>
> AD=AD，
>
> 所以 △AFD≌△ACD，
>
> 所以 AC=AF=2AE．
>
> 8．(1)作AH⊥BC于H(图2-247(a)，则
>
> AB^2^=AH^2^+BH^2^，AC^2^=AH^2^＋CH^2^，
>
> 所以
>
> AB^2^＋AC^2^=2AH^2^＋BH^2^+CH^2^
>
> =2AH^2^+(BD+DH)^2^＋(BD-DH)^2^
>
> =2AH^2^+2BD^2^＋2DH^2^
>
> =2(AH^2^＋BD^2^+DH^2^)．
>
> 2(AH^2^+DH^2^)=2AD^2^，
>
> 所以
>
> 2(AD^2^＋BD^2^)=2(AH^2^+BD^2^＋DH^2^)，
>
> {width="3.1979166666666665in" height="1.6770833333333333in"}
>
> 所以
>
> AB^2^＋AC^2^=2(AD^2^＋BD^2^)．
>
> 用同样的方法可以证明图2-247(b)时的情况。
>
> (2)当A点在BC上时，如图2-248．由
>
> {width="1.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}
>
> BA=BD-AD，
>
> AC=BD＋AD，
>
> 所以
>
> AB^2^＋AC^2^=(BD-AD)^2^＋(BD+AD)^2^
>
> =2(AD^2^+BD^2^)．
>
> 结论仍成立．
>
> 9．在AC上选一点D，设AD=x，令A到D走水路，D到B走公路，则DC=40-x．若设水路运费为每千米1元，则公路运费为每千米2元，依题意总运费y为
>
> {width="2.3541666666666665in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 化简得
>
> y^2^-2xy＋x^2^=4(1600-80x+x^2^+300)，
>
> 所以
>
> 3x^2^-2(160-y)x+(7600-y^2^)=0．
>
> 因为x有实数解，所以△≥0，即
>
> 4(160-y)^2^-12(7600-y^2^)≥0．
>
> 化简、整理有
>
> y^2^-80y＋700≥0，
>
> 所以 (y-10)(y-70)≥0，
>
> 所以y≤10(不合理，舍去)，或y≥70．所以y~最小~=70，代入①式得
>
> {width="2.09375in" height="0.3020833333333333in"}
>
> 化简得
>
> 3x^2^-180x+2700=0，
>
> x^2^-60x+900＝0，
>
> 所以 (x-30)^2^=0，
>
> 所以 x=30(千米)，
>
> 即D点应选在河岸上距A为30千米处，可使运费最省．
| 1 | |
**高考数学选择题专项训练（十）**
1、平面α与平面β平行，它们之间的距离为d (d\>0)，直线a在平面α内，则在平面β内与直线a相距2d的直线有（ ）。
（A）一条 （B）二条 （C）无数条 （D）一条也没有
2、互不重合的三个平面可能把空间分成（ ）部分。
（A）4或9 （B）6或8 （C）4或6或8 （D）4或6或7或8
3、若a, b是异面直线，aα,bβ,α∩β＝c，那么c（ ）。
（A）同时与a, b相交 （B）至少与a, b中一条相交
（C）至多与a, b中一条相交（D）与a, b中一条相交, 另一条平行
4、直线a//平面M，直线bM, 那么a//b是b//M的（ ）条件。
（A）充分不必要（B）必要而不充（C）充要（D）不充分也不必要
5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是（ ）。
（A）7个 （B）6个 （C）4个 （D）3个
6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点，那么过这三点的截面一定是（ ）。
（A）三角形或四边形 （B）锐角三角形
（C）锐角三角形或钝角三角形 （D）钝角三角形
7、圆锥底面半径为r，母线长为l，且l\>2r, M是底面圆周上任意一点，从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M，那么这条绳子的最短长度是（ ）。
（A）2πr （B）2l （C）2lsin （D）lcos
8、α、β是互不重合的两个平面，在α内取5个点，在β内取
4个点，这些点最多能确定的平面个数是（ ）。
（A） 142 （B）72 （C）70 （D）66
9、各点坐标为A(1, 1)、B(－1, 1)、C(－1, －1)、D(1, －1)，则
> "点P在y轴"是"∠APD＝∠BPC"的（ ）。
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分也不必要条件
10、函数y＝1－\|x－x^2^\|的图象大致是（ ）。
 （A） （B） （C） （D）
11、若直线y＝x＋b和函数y＝有两个不同的交点，则b的取值范围是（ ）。
（A）(－, ) （B）\[－, \]
（ C）(－∞,－)∪\[, ＋∞） （D）\[1, ）
12、已知函数y＝ax＋b和y＝ax^2^＋bx＋c (a≠0)，则它们的图象
可能是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **B** **D** **B** **A** **A** **B** **C** **B** **A** **C** **D** **B**
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
| 1 | |
**一年级数学下册同步练习及解****析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第六节：回收废品**
1、图书角借出48本书，还剩下8本，原来有图书多少本？
\[来源:Z+xx+k.Com\]
2、一个篮球比一个排球贵33元，一个排球是35元，一个篮球是多少元？
3、今年小明8岁，爷爷66岁，爷爷比小明大多少岁？
\[来源:学§科§网\]
4、
------ ------------------------------------------ --------
书包 水彩笔 文具盒
34元 26元 8元
------ ------------------------------------------ --------
> （1）小明要买其中两种文具，至少要带多少钱？
>
> □○□＝□（元）
>
> （2）妈妈带了50元，买了一个书包，还剩多少钱？
>
> □○□＝□（元）
>
> （3）你还能提出什么问题？ [ ]{.underline}
>
> □○□＝□（元）
>
>
5、填空。
（1）、23和66合起来是（ ）。
（2）、10个十减去8个十是（ ）。
（3）、比21多13的数是（ ）．
（4）、58里面去掉（ ）还剩10。
（5）、96比84多（ ），53比79少（ ）。
6、计算。
81-13= 36+18= 75-16= 34-17= 100-26=
45+45= 76-28= 81-26= 100-51= 90-24=
> 答案
1、 48+8=56本 答：原来有图书56本。
2、35+33=68元 答：一个篮球是68元。
3、 66-8=58岁 答：爷爷比小明大58岁。
4、
------ ----------------------- --------
书包 水彩笔\[来源:学科网\] 文具盒
34元 26元 8元
------ ----------------------- --------
> （1） 26+8=34元 答：小明要买其中两种文具，至少要带34钱
>
> （2） 50-34=16元 答：还剩16元钱
>
> （3） 书包比水彩笔贵多少钱？
>
> 34-26=8元 答：书包比水彩笔贵8元钱。
5、填空。
> （1）、89\[来源:学。科。网\]
>
> （2）、20
>
> （3）、34
>
> （4）、48
>
> （5）、12，26。
6、计算。
81-13=68 36+18=81 75-16=59 34-17=17 100-26=74  \[来源:学。科。网\]
45+45=90 76-28=48 81-26=55 100-51=49 90-24=66
| 1 | |
**2017---2018学年度上学期高三年级二调考试**
**数学（理科）**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）
A. 63或120 B. 256 C. 120 D. 63
4\. 的展开式中的系数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 12
5\. 已知中，，则为（ ）
A. 等腰三角形 B. 的三角形
C. 等腰三角形或的三角形 D. 等腰直角三角形
6\. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
学\|科\|网\...学\|科\|网\...
A.  B.  C.  D. 
8\. 已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（ ）
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 关于点 对称 D. 关于直线对称
9\. 设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
10\. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
11\. 已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为（ ）
A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1
12\. 已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 数列满足，则数列的前100项和为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的"弯曲度"，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的"弯曲度"为常数；
③设点，是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．
其中真命题的序号为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（将所有真命题的序号都填上）
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
18\. 如图所示，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），点坐标为，平行四边形的面积为．
（1）求的最大值；
（2）若，求的值．
19\. 已知数列满足对任意的都有，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
20\. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
21\. 已知函数（其中，为自然对数的底数，...）．
（1）若函数仅有一个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，函数有两个零点，，且．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求的取值范围．
| 1 | |
**等差数列**
1、2+5+8+\...+29+32+35
2、（2+4+6+\...+100）-（1+3+5+\...+99）
3、1÷2001+2÷2001+3÷2001+4÷2001+\...+1999÷2001+2000÷2001+2001÷2001
4、3+7+11+15+\...\....+79+83+87
| 1 | |
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的****四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
> A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．
2.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
> 
>
> A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，设（且为实数），则为负实数，对应点在轴负半轴，即为，共轭复数是，故选B．
考点：复数的概念．
3.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ）
> ①；②；③；④
>
> A．①② B．①③ C．③④ D．②③
【答案】D
【解析】
试题分析：①中，恒成立，所以函数在上递增，无极值点；②中，当时函数单调递增，当时函数单调递减，且，符合题意；③中结合该函数图象可知当时函数单调递增，当时函数单调递减，且，符合题意；④中，由函数的图象知其在上递增，无极值点，故选D．
考点：函数的极值．
4.已知变量满足：，则的最大值为（ ）
> A． B． C．2 D．4
【答案】D
考点：简单的线性规划问题．\[来源:Z.xx.k.Com\]
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
> 
>
> A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
试题分析：第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得＝；第四次循环，得；第五次循环，得＝，，
此时不满足循环条件，退出循环，输出，故选B．
考点：程序框图．
6.两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
> A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设这两个数列的前项和分别为，则，故选B．
考点：1、等差数列的前项和；2、等差数列的性质．
7.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）
> A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】B
考点：正态分布．
8.函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
> 
>
> A．0 B．  C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由图知，，所以，所以．由正弦函数的对称性知，所以＝，故选A．
考点：1、三角函数的图象及周期性．
【方法点睛】由周期确定，即由求出．常用的确定值的方法有：（1）曲线与轴的相邻两个交点之间的距离为；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为；（4）有时还可以从图中读出或的长度来确定．
9.若，则的值是（ ）
> A．-2 B．-3 C．125 D．-131
【答案】C
考点：二项式定理．
10.已知圆，圆，椭圆（，焦距为），若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
> A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，所以离心率，故选B．
考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．
11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
> A． B． C． D．
【答案】D
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．
【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号""求解．
12.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）
> A．7 B．19 C． D．
【答案】A
考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．
【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以该几何体的体积为．
考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．
【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．
14.已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数的值为 [ ]{.underline} .
【答案】1
【解析】
试题分析：因为，所以．－＝＝，解得．
考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．
15.已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．
【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．
16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，的因数有1,2,5,10，，那么 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前项和．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.(本小题满分12分)在锐角中，角所对的边分别为，已知
.
> (1)求角的大小；
>
> (2)求的面积.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．
试题解析：(1)在中，由正弦定理，得，即.(3分)
又因为，所以. (5分)
因为为锐角三角形，所以. (6分)
考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．
18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
> 
>
> 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的"星级卖场".
>
> (1)当时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为，乙型号电视机的"星级卖场"数量为，比较，的大小关系；
>
> (2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求的分布列和数学期望；
>
> (3)若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值.(只需写出结论)\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）0．
【解析】
试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为.(1分)
乙组数据的平均数为.(2分)
由茎叶图，知甲型号电视剧的"星级卖场"的个数，乙型号电视剧的"星级卖场"的个数，所以. (4分)
考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．
19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
> 
>
> (1)求证：平面；
>
> (2)求二面角的余弦值；
>
> (3)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．
（3）假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，则
，，设平面的法向量为，由，
，得，令，得，∵平面平面，∴，即，解得，
∵，∴在线段上不存在点，使得平面平面．(12分 )
考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．
【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．
20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点.
> 
>
> (1)若，求的值；
>
> (2)求四边形面积的最大值.
【答案】（1）或；（2）．
故，由知，，得，由点在线段上，知，得，
所以，化简，得，解得或.（6分）
\[来源:学科网\]
考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式．\[来源:Zxxk.Com\]
21.(本小题满分12分)设函数.
> (1)求函数的单调区间；
>
> (2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
>
> (3)若方程有两个不相等的实数根，比较与0的大小.\[来源:学科网ZXXK\]
【答案】(1) 当时，单调增区间为，无单调减区间；时，单调增区间为，单调减区间为；(2)3；(3) ．
【解析】
试题分析：(1)求导后，分、，根据导函数与0的关系求得单调区间；(2) 由(1)知的最小值，即，令，求得，通过讨论的单调性求得的值；(3) 由是方程的两个不等实根，则，，两式相减，得，然后通过换元求导即可证明．
 (3)  ，结论证明如下：
因为是方程的两个不等实根，由(1)知.
不妨设，则
两式相减得，
即．
所以.
因为，当时，，当时，，
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由 ()解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．
**请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.**
22\.
(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
> 如图，直线与⊙相切于点是⊙的弦，的平分线交⊙于点，连接，并延长与直线相交于点.
>
> 
>
> (1)求证：；
>
> (2)若，求弦的长.
【答案】(1)见解析； (2)．
考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形．
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
> 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为.
>
> (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
>
> (2)若点坐标，圆与直线交于两点，求的值.
【答案】(1) 直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）．
【解析】
试题分析：(1) 把直线的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据与求圆的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．
试题解析：(1)由得直线的普通方程为.(2分)
又由得圆的直角坐标方程为，即.(5分)
（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于，故可设是上述方程的两实数根，所以，又直线的过点，两点对应的参数分别为，所以.(10分)
考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．
【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的 (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
> (1)已知函数，求的取值范围，使为常函数；
>
> (2)若，求的最大值.
【答案】(1) ；（2）3．
考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．
| 1 | |
{width="0.9694444444444444in" height="1.176388888888889in"}**华师一附中高中提前自主招生考试数学训练题**
一、选择题
1．如图，四边形*ABCD*中，*AC*，*BD*是对角线，△*ABC*是等边三角形．，
*AD* = 3，*BD* = 5，则*CD*的长为（ ）．
（A）{width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"} B）4 （C）{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} （D）4.5
2\. 设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
3\. 如图AC⊥BC于C，BC＝a, CA=b, AB=c, ⊙O与直线AB、BC、AC
都相切，则⊙O的半径为（ ）
A. B. C. D.
4\. 如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为 （ ）
 A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2
5\. 如图线段AB,CD将大长方形分成四个小长方形，
其中，，，则（ ）
A. B. C.10 D.
 6. 如图，正方形的边，和都是以为半径的
圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )
A、 B、
C、 D、
7\. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为（ ）
A. B.
> C. 1 D.
8\. .已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a^2^+b^2^+c^2^-ab-bc-ca的值为 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9\. 如图9-2，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE，设AF、CE交于点G，则等于 （ ）
A. B. C. D.
{width="1.9375in" height="1.3569444444444445in"}10. 如图，*D*、*E*在*BC*上，*F*、*G*分别在*AC*、*AB*上，且四边形
*DEFG*为正方形．如果*S*~△*CFE*~＝*S*~△*AGF*~＝1，*S*~△*BDG*~＝3，那么
*S*~△*ABC*~等于 ( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
11\. 如果*a*+*b*+*c*=0,，那么的值为
(A)3 (B)8 (C)16 (D) 20
12\. 如果*a*、*b*是关于*x*的方程(*x*+*c*)(*x*+*d*)=1的两个根，那么(*a*+*c*)(*b*+*c*)等于
\(A\) 1 (B) -1 (C) 0 (D) c^2^
13. .如图，Rt△ABC的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB、AC为直径分别作圆.
则这两圆的公共部分面积为( )
{width="0.9583333333333334in" height="0.8333333333333334in"} (A) (B) (C) (D)
14\. 如果关于*x*的方程至少有一个正根，则实数*a*的取值范围是（ ）
A、 \] B、 C、 D、
15\. 如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，
分别交于点，若正方形的面积是240，
则四边形的面积等于........................（ ）
A、26 B、{width="1.7291666666666667in" height="1.8020833333333333in"}28
C、24 D、3
{width="2.4479166666666665in" height="1.35in"}16. 有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分;选乙题答对得90分，答错得-90分.若四位同学的总分为0，则这四位同学不同得分情况的种数是( ) .
(A)18 (B) 24 (C)36 (D)48
17\. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于( B )
A．AB B．AC C．AB D．AC
2. 填空题
{width="1.0625in" height="1.15625in"}{width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"}1. 如果*a*，*b*，*c*是正数，且满足{width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}， 那么{width="1.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}的值为 [ ]{.underline} ．
2\. 如图，正方形*ABCD*的边长为2{width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，*E*，*F*分别是*AB*，*BC*的中点，
*AF*与*DE*，*DB*分别交于点*M*，*N*，则△*DMN*的面积是 [ ]{.underline} .
3 已知为方程的两实根，则 [ ]{.underline}
4\. 在△*ABC*中，*AC=*2011*,BC=*2010, 则 [ ]{.underline}
5 如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1......的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 [ ]{.underline} ．
6\. 两个反比例函数，在第一象限内的图象点、、、...、在反比例函数上，它们的横坐标分别为、、、...、，纵坐标分别是、、...共个连续奇数，过、、、...、分别作轴的平行线，与的图象交点依次为、、...、，
> 则 [ ]{.underline}
7\. 已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）......问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长 [ ]{.underline}
{width="2.3020833333333335in" height="1.96875in"}8. 如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，...，按此做法进行下去，点的坐标为（ [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ）；点（ [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ）．
9\. 在一个口袋中有4个完全相同的小球， 把它们分别标号为 1， 2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球。则两次摸出的小球 的 标 号 的 和 等 于 6 的 概 率 为 [ ]{.underline}
{width="3.59375in" height="1.5416666666666667in"}10. 将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 [ ]{.underline} ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 [ ]{.underline} 行第 [ ]{.underline} 列.
{width="1.238888888888889in" height="1.2166666666666666in"}
11\. 如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是 [ ]{.underline} ，它是自然数 [ ]{.underline} 的平方，第8行共有 [ ]{.underline} 个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 [ ]{.underline} ，最后一个数是 [ ]{.underline} ，第n行共有 [ ]{.underline} 个数
**12.** 已知满足关于x的方程│1-│x││=m-2 008的实数x恰有两个，则实数m的取值范围是\_\_\_\_\_\_．
13、已知为实数且，则= [ ]{.underline}
三、解答题
1．已知关于*x*的方程有两个正整数根（*m*是整数）。
△*ABC*的三边*a*、*b*、*c*满足，，。
> 求：⑴ *m*的值；⑵ △*ABC*的面积。
2\. 在直角中，，直角边与直角坐标系中的轴重合，其内切圆的圆心坐标为，若抛物线的顶点为*A*。求：
⑴ 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
⑵ 用表示B点的坐标；
⑶ 当取何值时，
3\. 如图1，在平面直角坐标系*xOy*中，以*y*轴正半轴上一点（*m*为非零常数）为端点，作与*y*轴正方向夹角为60°的射线*l*，在*l*上取点*B*，使*AB*=4*k* (*k*为正整数)，并在*l*下方作∠*ABC* =120°，*BC=*2*OA* ，线段*AB*，*OC*的中点分别为*D*，*E*．
（1）当*m*=4，*k*=1时，直接写出*B*，*C*两点的坐标；
（2）若抛物线的顶点恰好为*D*点，且*DE=*，求抛物线的解析式及此时cos∠*ODE*的值；
（3）当*k*=1时，记线段*AB*，*OC*的中点分别为*D*~1~，*E*~1~；当*k*=3时，记线段*AB*，*OC*的中点分别为*D*~3~，*E*~3~，求直线的解析式及四边形的面积（用含*m*的代数式表示）．
{width="4.0in" height="1.5166666666666666in"}
4\. 如图所示，已知抛物线与轴交于*A*、*B*两点，与轴交于点*C*．
（1）求*A*、*B*、*C*三点的坐标．
（2）过点*A*作*AP*∥*CB*交抛物线于点*P*，求四边形*ACBP*的面积．
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点*M*，过*M*作*MG*轴于
点*G*，使以*A*、*M*、*G*三点为顶点的三角形与*PCA*相似．若存在，
请求出*M*点的坐标；否则，请说明理由．
5\. 如图，已知⊙和⊙相交于,两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线分别交⊙,⊙于,,与相交于点。
（1）求证：；
（2）求证： ；
（3）当⊙的面积与⊙的面积相等且时，求与的面积的比值。
6\. 在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕*O*点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线于点M，BC边交轴于点N（如图1)。
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
> （2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
>
> {width="4.364583333333333in" height="2.0083333333333333in"}（3）设MN=，当为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径。
7\. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以
点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称
轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点
之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？
并求出此时点的坐标和的最大面积.
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）**
**文综试卷**
**参考答案**
**第Ⅰ卷**
1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C
9．A 10．B 11．C 12．D 13．A 14．A 15．B 16．D
17．B 18．D 19．D 20．C 21．C 22．B 23．A 24．D
25．C 26．A 27．A 28．B 29．C 30．C 31．D 32．C
33．C 34．D 35．A
**第Ⅱ卷**
36．【答案要点】
（1）西 太平 印度
（2）乙 8 15（下午3） 东南
（3）内 山地（丘陵） 中间高，四周低（高差大，坡度陡）
（4）乙 地形
（5）甲岛西侧中部交通线交点处为该岛最大的城镇，如图。
理由：①位于环岛公路与横穿岛屿公路的交点（交通枢纽）；②附近有机场；③地处海滨。
37．【答案要点】
（1）有利条件：接近原料产地；靠近水、陆交通线（交通运输便利）。
影响：森林减少，水土流失；环境污染等。
对策：合理采伐和育林相结合，采取防治污染措施等。
（2）b地
有利：位于几个大城市的中间（靠近几个大城市），便于旅客和货物的集散（交通便利）
不利：占用大量农田和湿地。
C地
有利：（通过填海兴建机场，）可以保护农田和湿地。
不利：位置偏离大城市，不利于旅客和货物的集散。（交通不便）填海造陆，工程造价较高。
38．【答案要点】
铸鼎，在古代是帝王之事，但今天农民铸造"告别田赋鼎"则是人民认可政府的具体表现。 农民铸鼎的原因在于政府免除了农业税，使农民告别了千年"皇粮国税"。在全国范围免除农业税是我国政府依法有效履行其职能的体现。 农民铸鼎一事表明，政府只有坚持权为民所用、情为民所系、利为民所谋，才能得到人民认可，真正树立起权威。
39．【答案要点】
（1）材料显示，农民工大多从中西部流向东部。 原因在于东部与中西部经济发展不平衡，东部经济较中西部发达，且东中西部的差距呈现逐渐拉大的趋势； 东部较中西部有更强的吸纳农民工就业的能力。
（2）材料二表明，我国东中西部经济发展不平衡，这不利于国民经济的健康发展。落实科学发展观，必须统筹区域发展。在鼓励东部地区率先发展的同时，积极推进西部大开发，促进中部地区崛起，形成东中西部共同发展的新格局，促进国民经济均衡发展。
（3）价值选择的最高标准是人民群众的利益，应该以更好地满足人民群众的利益作为自己最高的价值追求。 个人在劳动和奉献中创造和实现价值，对社会的贡献越多，自身的价值就越大。
40．【答案要点】
（1）文化发展具有相对独立性，经济落后的小省区可以"办大文化"，用先进的、健康的文化促进人的全面发展，满足人们日益增长的精神文化需求，为物质文明建设提供精神动力、智力支持和思想保证。文化产业本身也是重要的经济部门，发展文化产业，可以直接促进经济发展。。
（2）从实际出发，就是以实际情况作为决策的根据，体现了物质决定意识的唯物主义原理。从实际出发，就是要根据本地区特殊的优势和特点，具体问题具体分析，有针对性地做出决策，体现了矛盾特殊性的原理。
41．【答案要点】
（1）当时双方实力差距不大，但中国存在着根本性的弱点。日本通过明治维新，建立君主立宪制度；中国仍为君主专制，且政治腐败。日本由国家推动工业化，国力增强；中国近代工业发展缓慢，国力增长迟缓。日本已建成近代化军队，制定了详细的侵略计划，战争准备充分；中国军队近代化进程缓慢，军队素质低下，仓促应战。 （2）日本在战争期间能一致对外；清政府腐败无能，内部矛盾重重，难以动员全国力量抗击日本侵略。 （3）甲午战败使中国损失巨大，民族危机加深，引发维新运动。
42．【答案要点】
**A．【答案要点】**
（1）西方和日本变革取得成功；甲午战败，中国民族危机加深；康有为希望通过变法，独立自强，尽快摆脱被瓜分的命运。
（2）变法过程中急于求成；变法内容上贪大求全；触动了既得利益者，树敌太多；变法理论有偏激之处，内部意见分歧。
> **B．【答案要点】**
（1）经济大萧条和罗斯福新政；法西斯国家不断扩大侵略战争，世界人民奋起反抗法西斯侵略。 （2）历史背景：世界反法西斯战争和抗日战争胜利；国共重庆谈判。意义：有利于建立统一战线，团结国内一切可以团结的力量，并取得国际支持；有利于反对蒋介石的独裁统治；有利于实现民主政治、和平建国的目标。
**C．【答案要点】**
（1）变化：由认为战争是正义的、是保卫和强化国家到认识战争是丑陋的、对国家毫无意义。原因：战争持续的时间比预期的长，代价巨大；相持阶段（堑壕战）军事上难有明显进展，结局难料；对战争意义和目的的反思。 （2）角度：第一次世界大战是帝国主义性质的战争，但就某一国家而言，还应从侵略与被侵略的角度来分析。
**D．【答案要点】**
（1）资本主义不断发展，启蒙思想兴起与传播，近代科学不断取得进展。哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡儿、巴罗。
（2）在物理学、数学、天文学等领域做出杰出贡献，并确立了相关学科的科学体系和科学的研究与思维方法；为心理学、经济学和社会学等学科树立了楷模；推动了启蒙运动。机械决定论对启蒙思想及某些社会科学研究产生了一定的负面影响。
| 1 | |
**2013年江西省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）若集合A={x∈R\|ax^2^+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
3．（5分）若sin=，则cosα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
A．08 B．07 C．02 D．01
6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x^2^成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11
8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x^2^=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则\|FM\|：\|MN\|=（ ）
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
10．（5分）如图．已知l~1~⊥l~2~，圆心在l~1~上、半径为1m的圆O在t=0时与l~2~相切于点A，圆O沿l~1~以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l~2~所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
**二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）若曲线y=x^a^+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=[ ]{.underline}．
12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N^\*^）等于[ ]{.underline}．
13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有\|f（x）\|≤a，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是[ ]{.underline}．
15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为[ ]{.underline}．
**三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（12分）正项数列{a~n~}满足：a~n~^2^﹣（2n﹣1）a~n~﹣2n=0．
（1）求数列{a~n~}的通项公式a~n~；
（2）令b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=，求的值．
18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋
（1）写出数量积X的所有可能取值
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA~1~=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB~1~C~1~C；
（2）求点B~1~到平面EA~1~C~1~ 的距离．
20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．
21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．
（1）当a=时，求f（f（））；
（2）若x~0~满足f（f（x~0~））=x~0~，但f（x~0~）≠x~0~，则称x~0~为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x~1~，x~2~；
（3）对于（2）中x~1~，x~2~，设A（x~1~，f（f（x~1~））），B（x~2~，f（f（x~2~））），C（a^2^，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间\[，\]上的最大值和最小值．
**2013年江西省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i^2^=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．
【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i^2^=1﹣2i，
故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
2．（5分）若集合A={x∈R\|ax^2^+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．
【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件
当a≠0时，△=a^2^﹣4a=0，解得a=4
故选：A．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．
3．（5分）若sin=，则cosα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin^2^，代入已知化简即可．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin^2^
=1﹣2×=1﹣=
故选：C．
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．
4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，
而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，
故所求的概率为：=．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
5．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
A．08 B．07 C．02 D．01
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，...，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x^2^成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．
【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x^2，得到^＜，显然不成立，选项B不正确；
当x=时，代入x＜＜x^2，得到^，显然不正确，排除C；
当x=2时，代入x＜＜x^2，得到^，显然不正确，排除D．
故选：A．
【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．
7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11
【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2\*i+2，是偶数执行S=2\*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．
【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；
判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；
判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；
此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．
若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．
8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．
【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和
长方体的三度为：10、4、5；
圆柱的底面半径为3，高为2，
所以几何体的体积=10×4×5+3^2^π×2=200+9π．
故选：A．
【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．
9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x^2^=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则\|FM\|：\|MN\|=（ ）
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得\|FM\|=\|PM\|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到\|PN\|=2\|PM\|，进而算出\|MN\|=\|PM\|，由此即可得到\|FM\|：\|MN\|的值．
【解答】解：∵抛物线C：x^2^=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）
∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得\|FM\|=\|PM\|
∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，
∴=，可得\|PN\|=2\|PM\|，得\|MN\|==\|PM\|
因此，，可得\|FM\|：\|MN\|=\|PM\|：\|MN\|=1：
故选：C．
【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
10．（5分）如图．已知l~1~⊥l~2~，圆心在l~1~上、半径为1m的圆O在t=0时与l~2~相切于点A，圆O沿l~1~以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l~2~所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．
【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，
当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，
所以选项B满足题意，C正好相反．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．
**二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）若曲线y=x^a^+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=[ 2 ]{.underline}．
【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x^a^+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．
【解答】解：由y=x^a^+1，得y′=ax^a﹣1^．
所以y′\|~x=1~=a，则曲线y=x^a^+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：
y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．
把（0，0）代入切线方程得，a=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．
12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N^\*^）等于[ 6 ]{.underline}．
【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a~n~是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s~n~≥100，解不等式可求
【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a~n~是以2为首项，以2为公比的等比数列
s~n~==2^n+1^﹣2≥100
∴2^n+1^≥102
∵n∈N^\*^
∴n+1≥7
∴n≥6，即n的最小值为6
故答案为：6
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定
13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有\|f（x）\|≤a，则实数a的取值范围是[ a≥2 ]{.underline}．
【分析】构造函数F（x）=\|f（x）\|=\|sin3x+cos3x\|，利用正弦函数的特点求出F（x）~max~，从而可得答案．
【解答】解：∵不等式\|f（x）\|≤a对任意实数x恒成立，
令F（x）=\|f（x）\|=\|sin3x+cos3x\|，
则a≥F（x）~max~．
∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）
∴﹣2≤f（x）≤2
∴0≤F（x）≤2
F（x）~max~=2
∴a≥2．
即实数a的取值范围是a≥2
故答案为：a≥2．
【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．
14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．
【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，
因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，
所以，
解得，
所求圆的方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．
15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为[ 4 ]{.underline}．
【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．
【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，
所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．
**三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（12分）正项数列{a~n~}满足：a~n~^2^﹣（2n﹣1）a~n~﹣2n=0．
（1）求数列{a~n~}的通项公式a~n~；
（2）令b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{a~n~}，直接求数列{a~n~}的通项公式a~n~；
（2）利用数列的通项公式化简b~n~=，利用裂项法直接求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【解答】解：（1）由正项数列{a~n~}满足：﹣（2n﹣1）a~n~﹣2n=0，
可得（a~n~﹣2n）（a~n~+1）=0
所以a~n~=2n．
（2）因为a~n~=2n，b~n~=，
所以b~n~=
=
=，
T~n~=
=
=．
数列{b~n~}的前n项和T~n~为．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=，求的值．
【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin^2^B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b^2^，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）^2^=a^2^+b^2^﹣2ab•cosC，化简可得 5ab=3b^2^，由此可得  的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin^2^B．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b^2^，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）^2^=a^2^+b^2^﹣2ab•cosC=a^2^+b^2^+ab．
化简可得 5ab=3b^2^，∴=．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋
（1）写出数量积X的所有可能取值
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，
（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，
（2）数量积为﹣2的有，共1种，
数量积为﹣1的有，，，，
，共6种，
数量积为0的有，，，共4种，
数量积为1的有，，，共4种，
故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P~1~=，去唱歌的概率P~2~=，
故不去唱歌的概率为：P=1﹣P~2~=1﹣=
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA~1~=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB~1~C~1~C；
（2）求点B~1~到平面EA~1~C~1~ 的距离．
【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB~1~利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB~1~C~1~C；
（2）根据AA~1~⊥平面A~1~B~1~C~1~，算出三棱锥E﹣A~1~B~1~C~1~的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A~1~C~1~=EC~1~=3、A~1~E=2，从而得到等腰△A~1~EC~1~的面积=3，设B~1~到平面EA~1~C~1~ 的距离为d，可得三棱锥B~1~﹣A~1~C~1~E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B~1~到平面EA~1~C~1~的距离．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：
BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2
在Rt△BEF中，BE==；
在Rt△BCF中，BC==
因此，△BCE中可得BE^2^+BC^2^=9=CE^2^
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB~1~⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
∴BE⊥BB~1~，
又∵BC、BB~1~是平面BB~1~C~1~C内的相交直线，
∴BE⊥平面BB~1~C~1~C；
（2）∵AA~1~⊥平面A~1~B~1~C~1~，得AA~1~是三棱锥E﹣A~1~B~1~C~1~的高线
∴三棱锥E﹣A~1~B~1~C~1~的体积V=×AA~1~×=
在Rt△A~1~D~1~C~1~中，A~1~C~1~==3
同理可得EC~1~==3，A~1~E==2
∴等腰△A~1~EC~1~的底边A~1~C~1~上的中线等于=，
可得=×2×=3
设点B~1~到平面EA~1~C~1~的距离为d，则三棱锥B~1~﹣A~1~C~1~E的体积为V=××d=d，
可得=d，解之得d=
即点B~1~到平面EA~1~C~1~的距离为．
【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．
20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．
【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a^2^=b^2^+c^2^列式求出a，b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，
由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．
【解答】（1）解：因为，所以，即a^2^=4b^2^，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．
联立，得（4k^2^+1）x^2^﹣16k^2^x+16k^2^﹣4=0．
所以，．
则．
所以P（）．
又直线AD的方程为．
联立，解得M（）．
由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，
得，所以N（）．
所以MN的斜率为=．
则．
所以2m﹣k为定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．
21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．
（1）当a=时，求f（f（））；
（2）若x~0~满足f（f（x~0~））=x~0~，但f（x~0~）≠x~0~，则称x~0~为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x~1~，x~2~；
（3）对于（2）中x~1~，x~2~，设A（x~1~，f（f（x~1~））），B（x~2~，f（f（x~2~））），C（a^2^，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间\[，\]上的最大值和最小值．
【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；
（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；
（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间\[，\]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．
【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=
（2）f（f（x））=
当0≤x≤a^2^时，由=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
当a^2^＜x≤a时，由=x，解得x=
因为f（）==≠，
故x=是函数的二阶周期点；
当a＜x≤a^2^﹣a+1时，由=x，解得x=∈（a，a^2^﹣a+1），因为f（）=，故得x=不是函数的二阶周期点；
当a^2^﹣a+1＜x≤1时，由，解得x=∈（a^2^﹣a+1，1），因为f（）=≠，故x=是函数的二阶周期点；
因此函数有两个二阶周期点，x~1~=，x~2~=
（3）由（2）得A（，），B（，）
则s（a）=S~△OCB~﹣S~△OCA~=×，所以s′（a）=×，
因为a∈（），有a^2^+a＜1，所以s′（a）=×=＞0（或令g（a）=a^3^﹣2a^2^﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）
s（a）在区间\[，\]上是增函数，
故s（a）在区间\[，\]上的最小值为s（）=，最大值为s（）=
【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．
| 1 | |
**2020-2021学年四川省成都市武侯区五年级（上）期末数学试卷**
**一、直接写出下面各题的结果。**
1．直接写出下面各题的结果。
------------ ----------- ------------ ------------
2.4÷3＝ 0.6×9＝ 1.9×2＝ 7.5+1.8＝
3.5×0.2＝ 83÷10＝ 9.93÷3＝ 7.2÷0.9＝
4.2÷0.07＝ 570÷100＝ 650×0.01＝ 5.6﹣0.8＝
------------ ----------- ------------ ------------
**二、列竖式计算。（除不尽的保留两位小数）**
2．列竖式计算。（除不尽的保留两位小数）
> 49÷14
>
> 4.26÷0.9
**三、递等式计算。（能简算的要简算）**
3．递等式计算。（能简算的要简算）
------------------- --------------------------- -------------------------------
（1）8.9÷12.5÷0.8 （2）0.55×4.19+4.19×0.45 （3）（5.83+2.57）÷14
（4）10﹣3.24×1.5 （5）34.17÷1.7﹣130×0.042 （6）\[（6.1+9.02）×0.5\]÷8.4
------------------- --------------------------- -------------------------------
4．先通分、再比较每组分数的大小。
------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------
和 和 和
------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------
**五、填空。**
5．18×2＝36，36是18和2的[ ]{.underline}数；18和2是36的[ ]{.underline}数。
6．小于20的合数有[ ]{.underline}，在这些合数中，[ ]{.underline}是32的因数，[ ]{.underline}既是3的倍数也是5的倍数。
7．用分数表示如图的阴影部分。
> 
8．根据分数涂一涂。
> 
9．一个图形的是，在下面的方格纸上画出这个图形。
> 
10．（3分）下面两句话中各把什么量看作"单位1"？在横线里写一写。
> （1）全班有的同学戴眼镜。[ ]{.underline}
>
> （2）今年销售量不到去年的。[ ]{.underline}
11．＝[ ]{.underline}÷[ ]{.underline}＝＝＝。
12．（1）在上面的括号里填假分数，在下面的括号里填带分数。
> 
>
> （2）分数*A*的分子是1，分母是最小的质数；分数*B*里面有7个，在上面的数轴上标出分数*A*和分数*B*。
13．12颗糖平均分给3个同学，每个同学分[ ]{.underline}颗，每个同学分得这些糖果的[ ]{.underline}。
14．如图直角三角形的周长是12厘米，它的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
15．直线*AB*与直线*DC*互相平行（如图）。
> 
>
> 比较三角形*ADC*与三角形*BDC*的面积，淘气认为无法比较，你认为呢？
16．淘气说："任意一个大于5的奇数，只要减1，一定是合数"。
> （1）你认为淘气说的对吗？[ ]{.underline}
>
> （2）你这样判断的理由是[ ]{.underline}。
**六、选择题。（选择正确答案的番号填在括号里）**
17．用竖式计算"12.6÷4"的过程如图。箭头所指"20"表示的意义是（ ）
> 
A．20个1 B．20个0.1 C．20个0.01 D．2个10
18．淘气在空白的黑板上任意写出了10个偶数，笑笑又添了两个奇数，这时黑板上就有12个数。关于这些数的和，下面说法正确的是（ ）
A．这些数的和可能是奇数、也可能是偶数
B．这些数的和可能是质数
C．这些数的和一定是偶数
D．这些数的和不可能是7的倍数
19．学校合唱团里女生占，下面说法正确的是（ ）
A．合唱团里男生比女生多
B．合唱团女生比男生多2人
C．合唱团男生增加一人就会达到半数
D．合唱团女生超过总人数的一半
20．在三角形面积的推导过程中，下面说法正确的是（ ）
A．两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形
B．两个面积相等的三角形能拼成一个平行四边形
C．只能用两个完全一样的锐角三角形才能拼成一个平行四边形
D．只能用两个完全一样的锐角三角形或直角三角形才能拼成一个平行四边形
21．一个袋子里面装有8个红球和5个黄球，任意摸一个球，如果摸到红球甲赢，摸到黄球乙贏。下面说法正确的是（ ）
A．甲一定赢
B．乙不一定输
C．第一次如果摸到红球，第二次一定摸黄球
D．不可能连续两次摸到黄球
**七、作图题。**
22．以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。
> 
23．画出图形向左平移3格后的图形。
> 
24．用线段图表示分数的意义。"因天气原因，今天全班的同学迟到。"
25．做出给定底边上的高。
> 
**八、求下面各题中图形的面积。（单位：厘米）**
26．大三角形*ABC*被分成了一个小三角形和一个梯形，他们的高分别是6厘米和4厘米。梯形的上底是6厘米。求大三角形*ABC*的面积。
> 
27．求阴影部分面积。
> 
**九、解决问题。**
28．学校有57名教师，其中女老师有50人。
> （1）女老师占全校教师人数的几分之几？
>
> （2）男老师人数是女老师人数的几分之几？
29．工厂男工和女工共30人。男工每天能加工零件30个，女工每天能加工零件35个。某天全天共加工零件1000个。工厂里男工和女工各多少人？
30．公园广场区域一角是用边长1米的正方形地砖铺成的。现在要在这个区域内划出一块平行四边形的地方建一个幼儿小型活动场，并在上面铺上地垫，如果每平方米地垫需花费12元，至少需多少钱？
> 
31．五位同学手中都有一些球，*A*同学有3个球、*B*同学有6个球、*C*同学有9个球、*D*同学有12个球、*E*同学有15个球，每次都从球数最多的人那里拿出部分球给球数最少的那个人。拿的时候他们约定：如果球数是双数就拿走一半，如果球数是单数就拿走1个。比如说：第一次*E*同学最多，他就拿1个给*A*同学......这样，拿了12次，球最多的是哪个同学？（请写出解答主要解答过程）
32．用数字1﹣9各一次，组成三个能被3整除的三位数，这样的三个三位数有很多。请写出其中一组三个三位数[ ]{.underline}。
33．用小棒摆出1个正五边形需要5根小棒，摆2个正五边需要9根小棒...（如图），如果像这样摆10个正五边形需要[ ]{.underline}根小棒。
> 
34．循环小数0.3456734567......和0.987987987......在小数点后第[ ]{.underline}位时，首次在该位的数字都是"7"。
35．请在100以内找出连续7个自然数，并且它们都是合数。这七个数是[ ]{.underline}。
36．中国的属相是按照鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪的顺序排列的，猪年过完了又是鼠年。比方说今年（2021）是牛年，明年（2022）是虎年，妈妈生于1990年，那一年是[ ]{.underline}年。
37．如图边长为3厘米的正方形的每条边都被平均分成3份。以这8个点中的4个为顶点的可以连出很多四边形，请连出一个面积为3.5平方厘米的四边形。
> 
38．长方形*ABCD*中，阴影部分直角三角形的面积是54平方厘米，*DE*的长为16厘米，*BE*的长为9厘米，长方形的宽是15厘米，这个长方形的长为多少厘米？（请写出主要解答过程）
> 
39．三件运动衣上的号码分别是"一、二、三"，甲乙两三个同学各穿一件。现有25个小球。首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定三个同学从剩下的球中各取一次球，其中穿"一号"衣的人取的和他手中的球数同样多，穿"二号"衣的人取他手中球数的3倍，穿"三号"衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下2个球。甲乙丙三人各穿几号运动衣？（请写出主要解答过程）
40．一段公路每天维修2.4千米，25天可以维修完成，如果每天维修2.5千米，几天可以维修完成？
**2020-2021学年四川省成都市武侯区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、直接写出下面各题的结果。**
1．【分析】根据小数加减乘除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
-------------- -------------- --------------- ---------------
2.4÷3＝0.8 0.6×9＝5.4 1.9×2＝3.8 7.5+1.8＝9.3
3.5×0.2＝0.7 83÷10＝8.3 9.93÷3＝3.31 7.2÷0.9＝8
4.2÷0.07＝60 570÷100＝5.7 650×0.01＝6.5 5.6﹣0.8＝4.8
-------------- -------------- --------------- ---------------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
**二、列竖式计算。（除不尽的保留两位小数）**
2．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算，除不尽的根据四舍五入法保留两位小数。
> 【解答】解：49÷14＝3.5
>
> 
>
> 4.26÷0.9≈4.73
>
> 
>
> 【点评】考查了小数除法的笔算，根据其计算方法进行计算，注意除不尽的根据四舍五入法保留两位小数。
**三、递等式计算。（能简算的要简算）**
3．【分析】（1）运用除法的性质进行简算；
> （2）运用乘法的分配律进行简算；
>
> （3）先算小括号里的加法，再算括号外的除法；
>
> （4）先算乘法，再算减法；
>
> （5）先算乘除法，再算减法；
>
> （6）先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。
>
> 【解答】解：（1）8.9÷12.5÷0.8
>
> ＝8.9÷（12.5×0.8）
>
> ＝8.9÷10
>
> ＝0.89
>
> （2）0.55×4.19+4.19×0.45
>
> ＝（0.55+0.45）×4.19
>
> ＝1×4.19
>
> ＝4.19
>
> （3）（5.83+2.57）÷14
>
> ＝8.4÷14
>
> ＝0.6
>
> （4）10﹣3.24×1.5
>
> ＝10﹣4.86
>
> ＝5.14
>
> （5）34.17÷1.7﹣130×0.042
>
> ＝20.1﹣5.46
>
> ＝14.64
>
> （6）\[（6.1+9.02）×0.5\]÷8.4
>
> ＝\[15.12×0.5\]÷8.4
>
> ＝7.56÷8.4
>
> ＝0.9
>
> 【点评】本题考查了小数的四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
4．【分析】根据通分的意义，把异分母分数分别化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分，根据分数的基本性质把各组分数进行通分，然后根据分数大小比较的方法进行比较。
> 【解答】解：（1）和
>
> ＝＝
>
> ＝
>
> 因为＜
>
> 所以＜
>
> （2）和
>
> ＝＝
>
> ＝＝
>
> 因为＞
>
> 所以＞
>
> （3）和
>
> ＝＝
>
> ＝＝
>
> 因为＞
>
> 所以＞
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握通分的方法、分数大小比较的方法及应用。
**五、填空。**
5．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数*a*能被数*b*整除（*b*≠0），*a*就叫做*b*的倍数，*b*就叫做*a*的因数；进行解答即可。
> 【解答】解：18×2＝36，则36÷2＝18，36÷18＝2，即36是18和2的倍数；18和2是36的因数。
>
> 故答案为：倍，因。
>
> 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
6．【分析】在自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，4、8、16是32的因数，能被3整除又能被5整除的数是3的倍数又是5的倍数，据此解答。
> 【解答】解：小于20的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18。4、8、16是32的因数，15既是3的倍数也是5的倍数。
>
> 故答案为：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18；4、8、16；15。
>
> 【点评】通过本题可以发现，自然数中，质数与合数的排列是没有规律的，偶数与奇数的排列是有规律的。
7．【分析】两个相同的正方形，把每个正方形的面积看作单位"1"，把它平均分成9份，每份是一个正方形的，这样的13份涂色，表示（或左图全部涂色，表示1，右图其中4份涂色，表示，合起来表示1）。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】此题是考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
8．【分析】把这些三角形的个数看作单位"1"，把它平均分成3份（9个三角形平均分成3份，每份3个），每份是它的，表示其中2份涂色。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】此题是考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
9．【分析】一个图形的是，根据给出的图形的形状，这个图形可能是长方形，长是4个格子，宽是2个格子，然后画图即可。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> （答案不唯一。）
>
> 【点评】解决本题求格子总数，然后确定图形即可。
10．【分析】根据判断单位"1"的方法：一般是把"比、占、是、相当于"后面的量看作单位"1"，即分数"的"字前面的量看作单位"1"，据此解答。
> 【解答】解：（1）全班有的同学戴眼镜；把全班人数看作单位"1"；
>
> （2）今年销售量不到去年的，把去年的销售量看作单位"1"。
>
> 故答案为：全班人数；去年的销售量。
>
> 【点评】此题考查了判断单位"1"的方法，应注意灵活运用。
11．【分析】根据分数的基本性质的分子、分母都乘3就是；都乘8就是；都乘2就是（此步答案不唯一）；根据分数与除法的关系＝5÷3（此步答案不唯一）。
> 【解答】解：＝5÷3＝＝＝。
>
> 故答案为：5，3（答案不唯一）；15；24；（答案不唯一）。
>
> 【点评】此题是考查分数与除法的关系及分数基本性质的应用。
12．【分析】由图可得：在2和3之间有3段，即三等分点，每段为，由此填出即可；分母是最小的质数是2，分子是1，则分数*A*为；分数*B*里面有7个，则*B*为。由此解答即可。
> 【解答】解：（1）2＝，2++＝；如图：
>
> 
>
> （2）分母是最小的质数是2，分子是1，则分数*A*为；分数*B*里面有7个，则*B*为。如图：
>
> 
>
> 故答案为：（1），，如图：；
>
> （2）如图：
>
> 。
>
> 【点评】此题考查分数的意义和读写及其应用。
13．【分析】12颗糖平均分给3个同学，每个同学分多少颗，求的是数量；每个同学分得这些糖果的多少，求的是分率，把12颗糖看作单位"1"，然后除以3，由此解答即可。
> 【解答】解：12颗糖平均分给3个同学，每个同学分：12÷3＝4（颗），每个同学分得这些糖果的：1÷3＝。
>
> 故答案为：4，。
>
> 【点评】考查分数的意义和应用。
14．【分析】首先用这个三角形的周长减去已知的两条边的长度，求出另一条直角边的长度，然后根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：12﹣（3+5）
>
> ＝12﹣8
>
> ＝4（厘米）
>
> 4×3÷2
>
> ＝12÷2
>
> ＝6（平方厘米）
>
> 答：它的面积是6平方厘米。
>
> 故答案为：6。
>
> 【点评】此题主要考查三角形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．【分析】根据平行线的性质，两条平行线之间的距离相等。等底等高的三角形的面积相等。据此解答。
> 【解答】解：我认为这两个三角形的面积相等，因为三角形*ADC*与三角形*BDC*等底等高。
>
> 【点评】此题解答关键是明确：等底等高的三角形的面积相等。
16．【分析】根据自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此可知：任意一个大于5的奇数，只要减1，一定是偶数，这个偶数至少有1、2和本身三个因数，所以是合数；由此判断即可。
> 【解答】解：淘气说："任意一个大于5的奇数，只要减1，一定是合数"。
>
> （1）我认为淘气说法正确；
>
> （2）这样判断的理由是：任意一个大于5的奇数，只要减1，一定是偶数，这个偶数至少有1、2和本身三个因数，所以是合数。
>
> 故答案为：√；任意一个大于5的奇数，只要减1，一定是偶数，这个偶数至少有1、2和本身三个因数，所以是合数。
>
> 【点评】灵活掌握奇数和偶数、合数的意义，是解答此题的关键。
**六、选择题。（选择正确答案的番号填在括号里）**
17．【分析】根据小数除法的计算法则可知，20表示20个百分之一，也就是20个0.01，据此解答。
> 【解答】解：
>
> 箭头所指"20"表示的意义是20个0.01。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握小数除法计算法则。
18．【分析】根据奇数和偶数的性质，奇数+偶数＝奇数，奇数+奇数＝偶数，偶数+偶数＝偶数，可知这些数的和一定是偶数。
> 【解答】解：10个偶数的和＝偶数，奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数，
>
> 所以这些数的和一定是偶数。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查的是简单事件发生的可能性及奇数和偶数的性质，掌握好奇数和偶数的性质是解决此题的关键。
19．【分析】学校合唱团里女生占，是把合唱队看作单位"1"，平均分成了12份，女生占其中的7份，则男生占其中的5份。由此解答即可。
> 【解答】解：学校合唱团里女生占，是把合唱队看作单位"1"，平均分成了12份，女生占其中的7份，则男生占其中的5份。得：
>
> 男生比女生人数少，故*A*选项错；
>
> 女生占其中的7份，则男生占其中的5份，则合唱团女生比男生多2份，故*B*错；
>
> 合唱团男生增加一人为：5份+1≠6份，故*C*错；
>
> 合唱团女生女生占其中的7份，超过总人数的一半，故*D*对。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】本题考查分数的意义及其应用。
20．【分析】根据三角形面积公式的推导过程可知，两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，所以每个三角形的面积是这个平行四边形面积的一半。据此解答。
> 【解答】解：在三角形面积的推导过程中，两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形面积公式的推导过程及应用。
21．【分析】摸到红球和黄球的具有不确定性，甲、乙都有可能摸到红球，也都有可能摸到黄球，所以甲不一定赢，乙不一定输。
> 【解答】解：摸到红球甲赢，可是红球有8个，黄球有5个，所以甲不一定摸到红球，乙也不一定摸到黄球。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题考查的是事件发生的可能性，可能性具有不确定性，如果袋子里全部是红球，甲摸到红球的可能性是100%，这时甲一定赢，如果袋子里全部是黄球，乙摸到黄球的可能性是100%，而本题袋子里既有红球又有黄球，因此乙不一定输，甲不一定赢。
**七、作图题。**
22．【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图（数字"6"）的关键对称点，依次连结即可画出这个图形的轴对称图形。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可。
23．【分析】根据平移的特征，把这个平行四边形的各顶点分别向左平移3格，依次连结即可得到平移后的图形。
> 【解答】解：画出图形向左平移3格后的图形（图中红色部分）。
>
> 
>
> 【点评】平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
24．【分析】把全班人数看作单位"1"，把它平均分成5份，每份是它的，今天全班的同学迟到，表示其中1份的同学迟到。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】此题是考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
25．【分析】过底所对角的顶点向底作垂直线段，顶点与垂足之间的线段就是这个三角形给定底边上的高，用三角板的直角即可画出。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题是考查作三角形的高。注意作高通常用虚线，并标出垂足。
**八、求下面各题中图形的面积。（单位：厘米）**
26．【分析】根据图示可知，该组合图形*ABC*的面积等于一个三角形面积加上一个梯形的面积。利用三角形面积公式：*S*＝*ah*÷2，梯形面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数代入计算即可。
> 【解答】解：6×6÷2+（6+10）×4÷2
>
> ＝18+32
>
> ＝50（平方厘米）
>
> 答：大三角形*ABC*的面积50平方厘米。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，再计算。
27．【分析】根据图示可知，阴影部分可以转化为对角线长为8厘米的正方形的面积，利用正方形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可。
> 【解答】解：8×8÷2
>
> ＝64÷2
>
> ＝32（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是32平方厘米。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，再计算。
**九、解决问题。**
28．【分析】（1）把全校教师人数看作单位"1"，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答；
> （2）把女老师人数看作单位"1"，先求出男老师人数，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。
>
> 【解答】解：（1）50÷57＝；
>
> 答：女老师占全校教师人数的；
>
> （2）男老师人数：57﹣50＝7（人），
>
> 7÷50＝；
>
> 答：男老师人数是女老师人数的。
>
> 故答案为：（1）；（2）。
>
> 【点评】此题属于简单的分数除法应用题，关键是确定单位"1"作除数，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。
29．【分析】本题已知男工和女工共30人，可列方程来解答，如果设女工有*x*人，则男工有（30﹣*x*）人，根据题意可以发现等量关系：女工加工零件个数+男工加工零件个数＝全天共加工的零件个数。
> 【解答】解：设女工有*x*人，则男工有（30﹣*x*）人，根据题意得：
>
> 35*x*+30（30﹣*x*）＝1000
>
> 35*x*+900﹣30*x*＝1000
>
> 5*x*＝100
>
> *x*＝20
>
> 则男工有30﹣20＝10（人）
>
> 答：工厂里有男工10人，女工20人。
>
> 【点评】此题是较难的工程问题，可用列方程的方法来解答，也可用假设法来解答。
30．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式求出平行四边形的面积，然后再乘每平方米的费用即可。
> 【解答】解：6×4×12
>
> ＝24×12
>
> ＝288（元）
>
> 答：至少花费288元。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．【分析】根据题意，第一次，*E*给*A*1个，五人的球的个数分别为：*A*有4个、*B*有6个、*C*有9个、*D*有12个、*E*有14个；第二次*E*给*A*7个，*A*有11个、*B*有6个、*C*有9个、*D*有12个、*E*有7个；这样*B*最少，*D*最多，然后二人交替分一半给对方。即从第三次开始，奇数次后*B*最多，偶数次后*D*最多。因为12是偶数，所以第12次后，球最多的是*D*。据此解答。
> 【解答】解：第一次，*E*给*A*1个，五人的球的个数分别为：*A*有4个、*B*有6个、*C*有9个、*D*有12个、*E*有14个；
>
> 第二次*E*给*A*7个，*A*有11个、*B*有6个、*C*有9个、*D*有12个、*E*有7个；
>
> 这样*B*最少，*D*最多，然后二人交替分一半给对方。
>
> 即从第三次开始，奇数次后*B*最多，偶数次后*D*最多。
>
> 因为12是偶数，所以第12次后，球最多的是*D*。
>
> 答：拿了12次，球最多的是*D*同学。
>
> 【点评】本题主要考查逻辑推理，关键是根据每次拿球后的结果，找到规律，并利用规律做题。
32．【分析】本题主要考查3的倍数的特征，这个数各位上数的和是3的倍数。
> 【解答】解：根据3的倍数的特征，这样的三位数可以是981、765、432等。
>
> 根据题意写出一组即可。
>
> 【点评】本题考查的是3的倍数的特征，关键是把握好各位上的数字和是3的倍数。
33．【分析】根据题意，摆1个正五边形需要5根小棒，摆2个正五边形需要9根小棒...摆*n*个正五边形需要5+4（*n*﹣1）＝（4*n*+1）根小棒，据此解答即可。
> 【解答】解：摆1个正五边形需要5根小棒
>
> 摆2个正五边需要5+4×（2﹣1）＝9根小棒
>
> ......
>
> 摆*n*个正五边形需要5+4（*n*﹣1）＝（4*n*+1）根小棒
>
> ......
>
> 摆10个正五边形需要小棒：
>
> 10×4+1
>
> ＝40+1
>
> ＝41（根）
>
> 答：摆10个正五边形需要41根小棒。
>
> 故答案为：41。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
34．【分析】0.3456734567......循环节是34567，共五位，7在第五位，0.987987987......的循环节是987，7在第三位上，同一个数位出现7，也就是位数正好是3和5的倍数，据此解答。
> 【解答】解：0.3456734567......循环节是34567，共五位，7在第五位，
>
> 0.987987987......的循环节是987，7在第三位上，
>
> 3和5的最小公倍数为：3×5＝15，也就是15的倍数位上都是数字7，
>
> 首次出现数字都是7，在小数点后第15位上。
>
> 答：在小数点后第十五位时，首次在该位的数字都是"7"。
>
> 故答案为：十五。
>
> 【点评】本题主要考查了周期性问题，根据循环小数的周期性，得出数位上的数字都是"7"的数位是3和5的公倍数，是本题解题的关键。
35．【分析】除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数叫做合数。
> 【解答】解：100以内连续7个自然数，并且它们都是合数。这七个数是90，91，92，93，94，95，96。
>
> 故答案为：90，91，92，93，94，95，96。
>
> 【点评】这道题解题的关键就是熟练掌握合数的概念，并会判断哪些数是合数。
36．【分析】根据题意，每12年一循环，计算1990年离今年是第几组循环另几年，即可判断是什么年。
> 【解答】解：2021﹣1990＝31（年）
>
> 31÷12＝2（组）......7（年）
>
> 7年前是马年，1990年也是马年。
>
> 答：那一年是马年。
>
> 故答案为：马。
>
> 【点评】先找到规律，再根据规律求解。
37．【分析】依据题目条件，先将正方形画成方格，根据每个方格是的边长是1厘米，再按照梯形和三角形的面积公式得出面积为1平方厘米和2.5平方厘米的两个图形，再进行拼接可得3.5平方厘米的四边形。
> 【解答】解：假设正方形的边长为3厘米，
>
> 如图所示，梯形*DEBC*的面积为：（2+3）×1÷2＝2.5（平方厘米），
>
> 三角形*ADE*的面积为：2×1÷2＝1（平方厘米），
>
> 所以四边形*ABCD*的面积为：2.5+1＝3.5（平方厘米）；
>
> 因此，四边形*ABCD*就是所要求画的四边形。
>
> （答案不唯一）
>
> 【点评】解答此题的关键是先将正方形9等分，画一个面积为1厘米的三角形和1个面积为2.5厘米的梯形，即可组成一个面积为3.5平方厘米的四边形。
38．【分析】根据三角形面积公式：*S*＝*ah*÷2，阴影部分直角三角形的面积是54平方厘米，*BE*的长为9厘米，所以*AE*的长为：54×2÷9＝12（厘米）；然后利用三角形面积公式求三角形*AED*的面积，长方形*ABCD*的面积等于三角形*ABE*的面积与三角形*AED*面积的和的2倍，再利用长方形面积公式：*S*＝*ab*，求长方形*ABCD*的长即可。
> 【解答】解：54×2÷9
>
> ＝108÷9
>
> ＝12（厘米）
>
> 12×16÷2
>
> ＝192÷2
>
> ＝96（平方厘米）
>
> （96+54）×2÷15
>
> ＝150×2÷15
>
> ＝20（厘米）
>
> 答：长方形的长是20厘米。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，再计算。
39．【分析】先取走了6个球，最后还剩下2个球，那么剩下的17个球就按照"穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍"取球；把17分解成1×*a*+3×*b*+4×*c*（*abc*分别表示1，2，3中的一个）；找出*a*，再根据*a*是1的几倍找出他所穿的衣服的号码。
> 【解答】解：3人自己取走的球数是：25﹣（1+2+3）＝19（个）
>
> 19﹣2＝17（个）
>
> 17＝3×2+3×1+4×2
>
> 所以，穿2号球衣的人取走手中球数1的3倍，这是甲，那么乙的号码是1，丙的号码是3。
>
> 答：甲穿的运动衣的号码是2，乙的号码是1，丙的号码是3。
>
> 【点评】解决本题关键是把17正确的分解成1、2、3这3个数的2倍、3倍、4倍相加的形式，从中找出甲取走的个数，进而得出甲的运动衣的号码。
40．【分析】根据题意，先用原来每天修的长度乘天数，求整段路的长度，再除以现在每天修的长度，就是现在需要的天数。
> 【解答】解：2.4×25÷2.5
>
> ＝60÷2.5
>
> ＝24（天）
>
> 答：24天可以维修完成。
>
> 【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键是利用工作效率、工作时间和工作总量之间的关系做题。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 15:30:17；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
| 1 | |
**人教新课标小升初数学模拟试卷（13）**
1．（2分）3.4平方米=[ ]{.underline}平方分米 1500千克=[ ]{.underline}吨．
2．（2分）用4个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是[ ]{.underline}平方厘米，体积是[ ]{.underline}立方厘米．
3．（2分）一个圆柱形水桶，桶的内直径是4分米，桶深5分米，现将47.1升水倒进桶里，水占水桶容积的[ ]{.underline}%．
4．（2分）某车间有200人，某一天有10人缺勤，这天的出勤率是[ ]{.underline}．
5．（2分）七百二十亿零五百六十三万五千写作[ ]{.underline}，精确到亿位，约是[ ]{.underline}亿．
6．（2分）把5：{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}化成最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}．
7．（2分）[ ]{.underline}÷15={width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}=1.2：[ ]{.underline}=[ ]{.underline}%=[ ]{.underline}成．
8．（2分）如图是甲、乙、丙三个人单独完成某项工程所需天数统计图．请看图填空．
①甲、乙合作这项工程，[ ]{.underline}天可以完成．
②先由甲做3天，剩下的工程由丙做，还需要[ ]{.underline}天完成．
{width="2.0in" height="1.875in"}
9．（2分）三年期国库券的年利率是2.4%，某人购买国库券1500元，到期连本带息共[ ]{.underline}元．
10．（2分）一个三角形的周长是36厘米，三条边的长度比是5：4：3，其中最长的一条边是[ ]{.underline}厘米．
11．（2分）下列各式中，是方程的是（ ）
A.5+x=7.5 B.5+x＞7.5 C.5+x D.5+2.5=7.5
12．（2分）下列图形中，（ ）的对称轴最多．
A.正方形 B.等边三角形 C.等腰梯形
13．（2分）a、b、c为自然数，且a×1=b×=c÷，则a、b、c中最小的数是（ ）
A.a B.b C.c
14．（2分）在圆内剪去一个圆心角为45°的扇形，余下部分的面积是剪去部分面积的（ ）倍．
A. B.8 C.7
15．（2分）在2、4、7、8中互为质数的有（ ）对．
A.2 B.3 C.4
16．（2分）六年级同学春季植树91棵，其中9棵没活，成活率是91%．[ ]{.underline}．（判断对错）
17．（2分）把：0.6化成最简整数比是．[ ]{.underline}．（判断对错）
18．（2分）两个三角形一定可以拼成一个平行四边形．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（2分）一个圆的半径扩大2倍，它的面积就扩大4倍．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．（2分）小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
21．（6分）直接写出得数．
578+216= 18.25﹣3.3= 3.2﹣=
×8.1= += ÷3=
0.99×9+0.99= ×=
22．（8分）计算，能简算的要简算
14.85﹣1.58×8+31.2÷1.2； 2.25×+2.75÷+60%
23．（8分）解方程
2：=x：5； x﹣x=6.25．
24．（8分）列式计算：
（1）4乘以的积减去1.5，再除以0.5，商是多少？
（2）甲数是18，乙数的是40，甲数是乙数的百分之几？
25．（5分）一个建筑队挖地基，长40.5米，宽24米，深2米，挖出的土平均每4立方米重7吨，如果用载重4.5吨的一辆汽车把这些土的运走，需运多少次？
26．（5分）红光小学师生向灾区捐款，第一次捐款4000元，第二次捐款4500元，第一次比第二次少捐百分之几？
27．（5分）用铁皮制作一个圆柱形油桶，要求底面半径是6分米，高与底面半径之比是3：1，制作10个这样的油桶至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计）
28．（5分）新华书店运到一批图书，第一天卖出这批图书的32%，第二天卖出这批图书的45%，已知第一天卖出640本，两天一共卖出多少本？
29．（5分）两列火车从甲乙两地同时相对开出，4小时后在距中点48千米处相遇，已知慢车是快车速度的，快车和慢车的速度各是多少？甲乙两地相距多少千米？
**参考答案**
1．340，1.5．
【解析】
试题分析：把3.4平方米化成平方分米数，用3.4乘进率100；把1500千克化成吨数，用1500除以进率1000，即可得解．
解：3.4×100=340（平方分米），
3.4平方米=340平方分米；
1500÷1000=1.5（吨），
1500千克=1.5吨；
故答案为：340，1.5．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率．
2．18或16；4．
【解析】
试题分析：由四个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，有两种情况：①拼成长为4厘米、宽为1厘米、高为1厘米的长方体；②拼成长为2厘米、宽为2厘米、高为1厘米的长方体．由它们的体积公式和表面积公式即可求得答案．
解：①（4×1+4×1+1×1）×2=18（平方厘米），
（2×2+2×1+2×1）×2=16（平方厘米）；
②4×1×1=4（立方厘米），
2×2×1=4（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是 18或16平方厘米，体积是 4立方厘米．
故答案为：18或16，4．
点评：此题考查了长方体的体积公式与表面积公式的应用．
3．75
【解析】
试题分析：根据容积的意义和容积的计算方法（圆柱的体积公式）求出水桶的容积，再根据百分数的意义，列式解答．
解：3.14×（4÷2）^2^×5
=3.14×4×5
=62.8（立方分米）；
62.8立方分米=62.8升；
47.1÷62.8=0.75=75%；
答：水占水桶容积的75%；
故答案为：75．
点评：此题主要考查容积的计算，根据圆柱的体积（容积）公式计算出水桶的容积；再根据求一个数是另一个数的百分之几，解答即可．
4．95%
【解析】
试题分析：先用"200﹣10"求出这天的出勤人数，进而根据公式：出勤率=×100%，代入数值，解答即可．
解：×100%=95%；
答：这天的出勤率为95%；
故答案为：95%．
点评：此题属于百分率问题，解答时都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百即可．
5．72005635000，720．
【解析】
试题分析：（1）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此写出；
（2）省略亿后面的尾数，就是求它的近似数，要把亿位的下一位进行四舍五入，同时带上"亿"字．
解：（1）七百二十亿零五百六十三万五千写作：72005635000；
（2）72005635000≈720；
故答案为：72005635000，720．
点评：本题主要考查整数的写法和求近似数，注意求近似数时要带计数单位．
6．25：3；{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}．
【解析】
试题分析：（1）根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；
（2）用比的前项除以后项即可．
解：（1）5：{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}，
=（5×5）：（{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}×5），
=25：3；
（2）5：{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}，
=5{width="0.2916666666666667in" height="0.36666666666666664in"}，
={width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
故答案为：25：3；{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}．
点评：此题主要考查了化简比和求比值的方法，注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．
7．12，1.5，80，八．
【解析】
试题分析：解决此题关键在于{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}，{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}可转化成4÷5，被除数和除数同时乘3可化成12÷15，{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}也可转化成4：5，比的前项和后项同时乘0.3可化成1.2：1.5，{width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}的分子除以分母可化成0.8，0.8可化成80%和八成．由此进行填空．
解：12÷15={width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}=1.2：1.5=80%=八成．
故答案为：12，1.5，80，八．
点评：此题考查比、分数、除法之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可．
8．{width="0.20833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}，20．
【解析】
试题分析：①设这项工程的工作量为单位1，所以可以写出甲的工作效率和乙的工作效率，然后用单位1除以甲与乙的工作效率之和；
②先求出丙的工作效率，然后用总的工作量减去甲3天的工作量，用剩下的工作量除以丙的工作效率即可；
解：①设这项工程的工作量为单位1，
可知甲的工作效率：1÷15={width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
乙的工作效率：1÷20={width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
1÷（{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.36666666666666664in"}），
=1÷{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
={width="0.20833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}（天）；
答：甲、乙合作这项工程，{width="0.20833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}天可以完成．
②丙的工作效率：1÷25={width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
（1﹣{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}×3）÷{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
={width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}÷{width="0.19166666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，
={width="0.10833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}×25，
=20（天）；
答：还需要20天完成．
故答案为：{width="0.20833333333333334in" height="0.36666666666666664in"}，20．
点评：此题的关键点是设这项工程的工作量为单位1，然后根据工作量与工作效率和工作时间的关系来做题．
9．1608
【解析】
试题分析：利息=本金×利率×时间，代入数据求出利息，然后用本金加上利息就是最后拿到的钱．
解：1500×2.4%×3，
=36×3，
=108（元）；
1500+108=1608（元）；
答：到期连本带息共1608元．
故答案为：1608．
点评：这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，利息=本金×利率×时间（注意时间和利率的对应），本息=本金+利息，找清数据与问题，代入公式计算即可．
10．15．
【解析】
试题分析：据题意可知：可以把三角形的周长平均分成5+4+3=12份，其中最长的边占周长的，然后计算即可．
解：5+4+3=12，
36×=15（厘米）．
故答案为：15．
点评：此题考查比的应用．
11．A．
【解析】
试题分析：方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此逐项进行分析再选择．
解：A、5+x=7.5，是含有未知数的等式，是方程；
B、5+x＞7.5，含有未知数，但不是等式，不是方程；
C、5+x，含有未知数，但不是等式，不是方程；
D、5+2.5=7.5，是等式，但不含有未知数，不是方程；
故选：A．
点评：此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
12．A．
【解析】
试题分析：依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可进行选择．
解：（1）因为正方形沿其两组对边中点的连线所在的直线和两条对角线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，其两组对边中点的连线所在的直线和两条对角线所在的直线就是其对称轴，
所以正方形有4条对称轴；
（2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，
则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，
所以等边三角形有3条对称轴；
（3）因为等腰梯形沿上底和下底的中点的连线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，
则等腰梯形是轴对称图形，其上底和下底的中点的连线所在的直线就是其对称轴，
所以等腰梯形有1条对称轴；
故选：A．
点评：此题主要考查轴对称图形的意义的灵活应用．
13．A．
【解析】
试题分析：根据"a、b、c为自然数，且a×1=b×=c÷，"原式可转化为：a×=b×=c×，根据积不变的性质：在乘法中，一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），另一个因数缩小或扩大相同的倍数，积不变．因为＞＞，所以a＜c＜b．
解：根据a×1=b×=c÷，
原式转化为：a×=b×=c×，
因为＞＞，
所以a＜c＜b．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较，解答此题运用积不变的性质解答．
14．C．
【解析】
试题分析：由于圆的圆心角为360°，根据扇形的面积公式，可知余下部分的面积与剪去部分的面积之间的倍数关系，可以直接由它们的圆心角得出．
解：（360°﹣45°）÷45°，
=315°÷45°，
=7倍；
答：余下部分的面积是剪去部分面积的7倍．
故选：C．
点评：考查了扇形的面积，扇形面积公式=，半径相等的扇形面积比等于圆心角之比．
15．B．
【解析】
试题分析：互质数是指公约数只有1的两个数．根据互质数的概念，可知在2、4、7、8中，互质的数的有2和7、4和7、7和8，共有3对．
解：在2、4、7、8中互质的数的有：2和7、4和7、7和8，共有3对．
故选：B．
点评：解答本题要明确互质数的概念：互质数是指公约数只有1的两个数．
16．错误
【解析】
试题分析：成活率是指活的树的棵数占总数的百分之几，计算方法为：×100%=成活率，由此列式解答即可．
解：×100%=90.1%，
答：成活率是90.1%；
故答案为：错误．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百，解题的时候不要被表面数字困惑．
17．正确．
【解析】
试题分析：根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变．
解：：0.6，
=：，
=（×）：（×），
=5：4，
=，
故判断为：正确．
点评：此题主要考查了化简比的方法，注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数，也可以写成分数的形式．
18．错误
【解析】
试题分析：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，如果不完全相同就拼不出平行四边形．
解：两个不完全相同的三角形拼不成平行四边形；如图：
故答案为：错误．
点评：两个三角形拼成平行四边形的条件是：只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形．
19．正确．
【解析】
试题分析：设圆的半径为r，则扩大2倍后的半径为2r，利用圆的面积公式分别求出原来和现在的面积，即可求得扩大的倍数．
解：设圆的半径为r，则扩大2倍后的半径为2r，
扩大后的圆的面积：π×（2r）^2^=4πr^2^，
原来的面积：πr^2^，
面积扩大：4πr^2^÷πr^2^=4倍；
故答案为：正确．
点评：此题主要考查圆的面积公式的灵活应用．
20．正确．
【解析】
试题分析：根据小数的性质：在小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变．据此进行判断即可．
解：根据小数的性质可知：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变．此说法是正确的．
故答案为：正确．
点评：此题考查的目的是理解掌握小数的性质．
21．794；14.95；2.7；0.9； ；9.9；；
【解析】
试题分析：利用四则运算的法则进行计算即可．
解：578+216=794 18.25﹣3.3=14.95 3.2﹣═2.7
×8.1=0.9 +=÷3=
0.99×9+0.99=9.9 =
点评：遇到口算题时，由于各种数比较多，需要认真去梳理分析，找出最佳解决方法．
22．28.21；3.6
【解析】
试题分析：（1）先算乘法和除法，再算减法，最后算加法；
（2）根据乘法分配律进行简算．
解：（1）14.85﹣1.58×8+31.2÷1.2
=14.85﹣12.64+26
=2.21+26
=28.21；
（2）2.25×+2.75÷+60%
=2.25×0.6+2.75×0.6+0.6
=（2.25+2.75+1）×0.6
=6×0.6
=3.6．
点评：考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．
23．x=4；x=5
【解析】
试题分析：①根据比例的性质写成方程的形式，然后方程两边同时除以2.5即可；
②把左边先算出来，然后两边同时除以1.25即可．
解：①2：=x：5
2.5x=2×5
2.5x÷2.5=2×5÷2.5
x=4
②x﹣x=6.25
x=6.25
1.25x÷1.25=6.25÷1.25
x=5
点评：本题考查方程的解法：注意应用等式性质，还得是恒等变形．
24．（1）商是3．（2）33.3%
【解析】
试题分析：（1）4乘以的积的积为4×，其积减去1.5的差为4×﹣1.5，所以4乘以的积减去1.5，再除以0.5，商是：（4×﹣1.5）÷0.5；
（2）乙数的是40，则乙数是40÷，所以甲数是乙数的：÷（40÷）．
解：（1）（4×﹣1.5）÷0.5
=（﹣1.5）÷0.5，
=（3﹣1.5）÷0.5，
=1.5÷0.5，
=3．
答：商是3．
（2）÷（40÷）
=÷56，
=，
≈33.3%
答：甲数是乙数的33.3%．
点评：完成问题（2）时要注意是求甲数是乙数的百分之几，因此要将结果化为百分数．
25．504次．
【解析】
试题分析：要求需要运多少次，需要求出要运多少吨土；所以要先求出挖出土的体积，再求出这些土的吨数，再求出需要运土的吨数，然后就可求出运的次数．
解：挖出土的体积：40.5×24×2=1944（立方米）；
挖出土的重量：1944÷4×7═3402（吨）；
要运的土的吨数：3402×=2268（吨）；
2268÷4.5=504（次）；
答：需运504次．
点评：此题考查了长方体体积的应用，主要是利用倍数关系求出挖出土的重量．
26．11.11%．
【解析】
试题分析：先求出第一次比第二次少捐多少元，再用少捐的钱数除以第二次捐的钱数即可．
解：（4500﹣4000）÷4500，
=500÷4500，
≈11.11%；
答：第一次比第二次少捐11.11%．
点评：本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位"1"，单位"1"的量为除数．
27．9043.2平方分米
【解析】
试题分析：根据"底面半径是6分米，高与底面半径之比是3：1"，可求得油桶的高为18分米；要求制作10个这样的油桶至少需要铁皮的平方分米数，要先求得做一个油桶需要铁皮的平方分米数，也就是求圆柱形油桶的表面积，即一个侧面面积与两个底面圆的面积的和，由圆柱体侧面积和圆的面积计算公式列式解答即可．
解：油桶的高：6×3=18（分米），
油桶的侧面积：
2×3.14×6×18，
=6.28×6×18，
=37.68×18，
=678.24（平方分米），
水桶的底面积：
3.14×6^2^×2，
=3.14×72，
=3.14×72，
=226.08（平方分米）
水桶的表面积：678.24+226.08=904.32（平方分米）；
10个这样的油桶至少需要铁皮的面积：
904.32×10=9043.2（平方分米）；
答：制作10个这样的油桶至少需要铁皮9043.2平方分米．
点评：解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或表面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决即可．
28．1540本
【解析】
试题分析：把这批图书的总数量看成单位"1"，它的32%对应的数量是640本，由此用除法求出这批书的总数量，然后用总数量乘45%求出第二天卖出的数量；再把两天的数量加在一起即可．
解：640÷32%×45%，
=2000×45%，
=900（本）；
640+900=1540（本）；
答：两天一共卖出1540本．
点评：解答此题的关键是找出单位"1"，求单位"1"的百分之几用乘法；已知单位"1"的百分之几是多少，求单位"1"用除法．
29．快车的速度是每小时42千米，慢车的速度是每小时18千米；甲乙两地相距240千米．
【解析】
试题分析：根据题意，可得相遇时快车比慢车多行驶了48×2=96（千米），再除以4，求出快车比慢车每小时多行驶多少千米；然后根据慢车是快车速度的，用两车的速度之差除以1﹣，即可求出快车的速度，进而求出慢车的速度是多少；最后根据速度×时间=路程，用两车的速度之和乘以4，求出甲乙两地相距多少千米即可．
解：快车的速度：
（48×2÷4）
=24
=42（千米）
慢车的速度：42×=18（千米）
甲乙两地相距：（42+18）×4=60×4=240（千米）
答：快车每小时行驶42千米，慢车的速度各是每小时18千米，甲乙两地相距240千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握；解答此题的关键是首先求出快车比慢车多行驶了96千米，进而求出快车的速度是多少．
| 1 | |
北师大小学一年级上册数学期中质量调研
**班级 [ ]{.underline} 姓名 [ ]{.underline} 成绩 [ ]{.underline}**
1. 看图写数字。
2. 请你填一填。
1. 5、9、7、4、10、1、2、6 一共有（ ）个数，最大的数 是（ ）。从左往右数，第5个数是（ ），第7个数是（ ）。从右往左数，第4个数是（ ），第8个数是（ ）。
2. 找规律填数。
> （ ）、（ ）、8、7、（ ）、（ ）、（ ）
>
> （ ）、3、5、（ ）、（ ）、
>
> 3、9比6多（ ），3比7少（ ），
>
> 4、比4小的数有（ ）、（ ）、（ ）、还有（ ）。
>
> 5、最大一位数是（ ）。
>
> 6、和8相邻的两个数是（ ）和（ ）。
三、 比一比。
3. 最近的画√最远的画×
> 
4. 在○里填上＜、＞、＝，在（ ）里填数。
3＜（ ） 8＞（ ） 9＜（ ） （ ）＝5
4＋6○9 2＋6○6 8○10－4 9－8○1
6－6○0＋1 8＋2○4＋6
5. 我是小小计算家。
1. 直接写得数。
> 5＋4＝ 2＋7＝ 3＋6＝ 4＋3＝
9－7＝ 10－8＝ 6－2＝ 10－10＝
2. 算一算
> 8－7＋3＝ 9－4＋3＝ 7－2＋4＝ 4＋4－5＝
>
> 10－2－8＝ 5＋5－5＝ 8－3－2＝ 3＋4－5＝
6. 看图列算式。
3、＊＊＊＊ ＊＊＊
□○□＝□ □○□＝□
□○□＝□ □○□＝□
4、 
七、比一比，算一算。
1、○ ○ ○
＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊
（ ）比（ ）多 （ ）比（ ）少
列式（ ）
2、□ □ □
○ ○ ○ ○ ○ ○
＊ ＊
□比○（ ） 列算式（ ）
＊比□（ ） 列算式（ ）
○比＊（ ） 列算式 （ ）
○和□共有（ ）个 列算式（ ）
八、唱歌比赛。
1、合唱的女同学比男同学多（ ）人，算式（ ）。
2、合唱的男同学比女同学少（ ）人，算式（ ）。
智力比拼
已知 ★---●＝8 ★＝（ ）■＝（ ）●＝（ ）\
■＋■=10\
●+■=15\
★ -■=( )
答案
一、6、3、0、1、
10、2、5、7
二、8、10、10、2、10、5
10、9、6、5、4
1、7、9
3、4
3、2、1、0
9、
6、7
三、西瓜；苹果；
四、＞；＞；＞；＜；＜；＝
五、9；9；9；7；2；2；4；0
4；8；9；3；0；5；3；2
六、5＋2＝7；10－2＝8；4＋3＝7；3＋4＝7；7－4＝3；7－3＝4
5＋2＋3＝10
七、7－3＝4；6－3＝3；3－2＝1；6－2＝4；3＋6＝9
八、7；4－3＝1
评分标准：
1. 每空1分，共8分
2. 每空1分，共23分
3. 每题2分，共8分
4. 每题1分，共10分
5. 每题1分，共16分
6. 每题2分，共14分
7. 1、每空1分，共5分；2、每空1分，算式2分，共12分
8. 每题2分，共4分。
> 智力比拼做对加6分。
>
> 命题意图：
>
> 检测学生上半学期对基本知识的掌握情况，发现自己在教学中的不足，提高学生解决问题的能力，体现数学与生活的联系。
| 1 | |
**2019---2020学年上期期末测试**
**二年级数学**
**（满分：100分,卷面分5分 时间：60分钟）**
----------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ -----------
**题 次** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **卷面分** **总 分**
**得 分**
----------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ -----------
------------ --
**评卷人**
**得 分**
------------ --
**一、我 会 填 一 填。（每空1分，共25分)**
1\. 你喜欢的乘法口诀是（ ），请你根据这个口诀写出两个不同的算式 ( ）和（ ）。
2\. 在括号里（ ）填上适当的单位名称。
①一本语文课本厚约2（ ） ②一座楼房高12（ ）
③ 小学生每天在校时间是6 （ ） ④看一场电影的时间是120（ ）
3\. 分针从8走到11走了（ ）分钟。
时针从8走到11走了（ ） 小时。
4\. 2和7的和是（ ）,2个7的和是（ ）,2个7的积是（ ）.
5\. 在 里填上"\>""\<"或"="。 **（6分）**
9+8 2×9 4×6 3×8 70厘米---50厘米 19厘米
6\. 在 里填上"＋""－"或"×"。
5○7＝35 9○9＝18 40○8＝4○8
7\. 括号里最大能填几？
8×（ ）＜ 60 42＞（ ）×6 27＞4×（ ）
8\. 按规律填数。
① 7 14 21 （ ） （ ） ② 64 56 48 （ ） （ ）
------------ --
**评卷人**
**得 分**
------------ --
**二、小 法 官 断 案（对的打"√", 错的打"×" ）（每题1分,共5分）**
1.一个角有1个顶点和2条边。 （ ）
2.图书封面上的直角比三角板上的直角小。 （ ）
3.用6、7、8这3个数字可以组成3个不同的两位数。 （ ）
4.两个乘数都是9,积就是18。 （ ）
5.所有的加法算式都可以改写成乘法算式。 （ ）
------------ --
**评卷人**
**得 分**
------------ --
**三、我 会 选 一 选。（每题1分,共5分）**
1.下面可以用测量物体长度单位的是（ ）。
①时 ②角 ③米
2\. 下列线中，线段是（ ）。
1. ② ③
3\. 5个8相加，正确的算式是（ ）。
①5＋8 ② 8×5 ③ 5×5
4\. 是  的5倍， 有（ ）个。
①5个 ②10个 ③ 20个
5\. 5×9和9×5的（ ）相同。
①读法 ②写法 ③ 计算结果
------------ --
**评卷人**
**得 分**
------------ --
**四、我 会 算 一 算。（共18分）**
1.口算小能手。**（每题1分,共12分）**
6×8= 5×9= 6×4－10=
3×6= 8×7= 7×8＋5=
37＋9= 23-8= 6×9－30=
3×3＝ 8×5= 4×9＋40=
2.竖式计算我能行。**（每题2分,共6分）**
28＋34＋23= 67－25＋28= 40－23－12=
---------- --
**座号**
---------- --
------------ --
**评卷人**
**得 分**
------------ --
**五、操 作 题（21分）**
1.画一条比2厘米长3厘米的线段。（2分）
2.以给出的点为顶点，画一个比直角小的角，并写出它各部分的名称。（3分）
●
3.右边的图片分别是谁看到的？连一连。（3分）
4.用两种方法表示下面的时刻（6分）
  
（ ） （ ） （ ）
 （ ） （ ） （ ）
5\. 如图： 一共有（ ）个角，请你标出直角。**（7分）**
------------ --
**评卷人**
**得 分**
------------ --
**六、我 会 解 问 题。（21分）**
1．一套《百科全书》76元，一套《趣味数学》比一套《百科全书》少18元。一套《趣
味数学》多少元？**（2分）**
2.参加科技组的同学一共分成6个组做，第1组至第5组都是6人，第6组
只有4人,参加科技组的总共有多少人？**（2分）**
3.车上有42人，到东门车站下了18人，又上车12人，现在车上有多少人？ **（3分）**
4\. 10年以后父亲比女儿大多少岁？**（3分）**
5.
15元 5元 3元 8元 56元
（1）买6枝 要用多少元？**（2分）**
（2）**小明的妈妈带了60元钱，买**1个和1个，**钱够吗？不够的话,还差多少元？（3分）**
（3）小花拿60元买9个，还剩下多少元？**（3分）**
4. 你还能提出哪些数学问题？请提出问题并解决。**（3分）**
2019---2020学年上期期末测试二年级
数学试卷答案
1. **我 会 填 一 填。**
```{=html}
<!-- -->
```
1. 答案不唯一,正确即可得分.
2. 厘米 米 小时 分钟
3. 15 3 4. 9 14 49
> 5\. **\< = \> 6. × ＋ － ×**
>
> 7\. 7 6 6 8. 28 35 40 32
**二、小 法 官 断 案**
**1. √ 2. × 3. × 4. × 5. ×**
**三、我 会 选 一 选。**
**1. ③ 2. ③ 3. ② 4. ③ 5. ③**
**四、我 会 算 一 算。**
1.口算小能手。
6×8= 24 5×9= 45 6×4－10=14
3×6= 18 8×7= 56 7×8＋5= 61
37＋9= 46 23-8= 15 6×9－30= 24
3×3＝ 9 8×5= 40 4×9＋40= 76
2.竖式计算我能行。
28＋34＋23= 85 67－25＋28= 70 40－23－12= 5
**五、操作题**
**1.2.3.略**
4.（ 10:30 ） （ 6：40 ） （ 2:20 ）
（ 10时30分 ） （ 6时40分 ） （ 2时20分）
5\. 9个 6个直角,图略
**六、我 会 解 问 题。**
1.76－18 = 58**（元） 2.** 5×6＋4= 34（ 个 ）
3\. 42－18＋12 = 12（ 人 ） 4. 51－23 = 28（ 岁）或者41－13 = 28（ 岁）
5.（1）6×5= 30（ 元）
（2）56＋8 = 64（ 元） 64－60= 4（ 元） 差4元
（3）9×3=27 （ 元） 60－27=33（ 元）
（4）合理即可得分.
| 1 | |
**北师大版小学二年级下册数学第四单元《生活中的大数》单元测试1（附答案）**
一、填一填。(20分)
1．数一数，写下来。
(1) ( )块
(2)
100根 100根 ( )根
2．认一认，读出来。
写作： [ ]{.underline} 写作： [ ]{.underline} 写作： [ ]{.underline}
读作： [ ]{.underline} 读作： [ ]{.underline} 读作： [ ]{.underline}
3．想一想，就会填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1)一千里有( )个百；10个一千是( )。
(2)9个百、4个1组成的数是( )。
(3)7608里面有( )个千、( )个百和( )个一。
(4)比最大的三位数多1的数是( )，它是最小的( )位数。
(5)与7000相邻的两个数分别是( )和( )。
(6)一个数的千位上是8，个位上是6，其余各位都是0，这个数是( )。它后面的第五个数是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、猜猜我是谁。(连一连)(6分)
最大的两位数 最大的四位数 最大的三位数
99 999 9999
1000 10 9
最大的一位数 最小的四位数 最小的两位数
三、将正确答案的序号填入( )中。(12分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．2900里有( )个百。
①290 ②29 ③9 ④20
2．一个数加上1就是最小的四位数，它是( )。
①990 ②909 ③1000 ④999
3．下面4个数中，最接近3000的数是( )。
①3100 ②12998 ③3008 ④3010
4．一本《新华字典》大约有七( )页。
①十 ②百 ③千 ④万
5．与8889相邻的两个数是谁？( )
①8888 ②8900 ③8890 ④9000
6．用0、9、5三个数字可以组成( )个没有重复数字的三位数。
①4 ②5 ③6
四、判断。(对的打"√"，错的打"×")(8分)
1．八千零八写作80008。 ( )
2．因为1万是个五位数，所以1后面应该写5个0。 ( )
3．四位数一定比三位数大。 ( )
4．读9500的时候，一个零也不读。 ( )
5．8889中从高位起，第二个8表示8个十。 ( )
6．从10数到40，数了30个数。 ( )
7．最大的四位数与最小的四位数相差8999。 ( )
8．3070=3000＋7。 ( )
五、数字接龙。(12分)
1．2410→2420→( )→( )
2．999→( )→1001→( )→( )
3．( )→9000→8000→( )→( )**→**5000
4．2560→( )→4560→( )→( )→7560→( )
六、比一比。(18分)
1．在○里填"＞"、"＜"或"="。(10分)
3900○4000 2468○3468
8100○8010 7863○7862
5072○5712 2999○2990
989○1089 2486○2486
7010○7001 6053○6035
2．□里最大能填几？(8分)
5□10＜5900 3824＜□624
32□3＞3243 9800＜9□00
471＞4□2 80□9＜8100
7006＞□910 85□4＞8574
七、组数。(13分)
用组成一个四位数。
1．组成的最大的四位数是( )，最小的四位数是( )。(2分)
2．只读一个零的数有( )。(4分)
3．两个零都不读的有( )。(2分)
4．最接近8000的数是( )。(2分)
5．把组成的四位数按从大到小的顺序排列：(3分)
( )＞( )＞( )＞( )＞( )＞( )
八、猜一猜，估一估。(在你认为正确的答案下面画上"√")(6分)
1．猜一猜，汪老师剪了多少个？
李红：我剪了1053个☆。
汪老师：我剪的比你俩剪的多得多。
张英：我剪了1040个☆。
-------- ------- -------- --------
1055个 748个 1048个 2725个
-------- ------- -------- --------
2．估一估。
665页 80页
小明有一本科技书，比字典薄一些，比故事书厚得多。这本科技书可能有多少页？
------ ------- -------
85页 210页 590页
------ ------- -------
九、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．(5分)
(1)一个四位数，它的各个数位上数字和是34。最大是多少？
(2)这个四位数最小又是多少？
B．学校购回一批书，书的编号为100到398。一共有多少本？(5分)
附加题。(5分)
投飞镖游戏，根据落点不同，
可以得10分、100分、1000分。
明明投了4次靶，4次都中靶。
1．明明最多得( )分，最少得( )分。
2．他可能得的分数有( )。
**参考答案**
一、1．(1)1258 (2)246
2．9605 九千六百零五 5002 五千零二
1073 一千零七十三
3．(1)10 10000 (2)904 (3)7 6 8 (4)1000 四 (5)6999 7001
(6)8006 8011
二、最大的两位数：99 最大的四位数：9999
最大的三位数：999 最大的一位数：9
最小的四位数：1000 最小的两位数：10
三、1．② 2．④ 3．② 4．② 5．①③ 6．①
四、1．× 2．× 3．√ 4．√ 5．× 6．× 7．√ 8．×
五、1．2430 2440
2．1000 1002 1003
3．10000 7000 6000
4．3560 5560 6560 8560
六、1．＜ ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ = ＞ ＞
2．8 4 5 9 6 9 6 8
七、1．8700 7008
2．7008 7080 8007 8070
3．8700 7800
4．8007
5．8700＞8070＞8007＞7800＞7080＞7008
八、1．2725个 2．590页
九、A．(1)最大 9997 (2)最小 7999
B．398－100＋1=299(本)
附加题：
1．4000 40 2．略
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
**分数综合练习**
{width="5.540972222222222in" height="0.6458333333333334in"}1、
2、化成分数：0.61=
3. 计算：
{width="1.8069444444444445in" height="0.5298611111111111in"}{width="1.2444444444444445in" height="0.5680555555555555in"}{width="1.6652777777777779in" height="0.6354166666666666in"}{width="0.9319444444444445in" height="0.5680555555555555in"}
4. 一件物品将进价加价后出售，售价为120元，求进价.设进价为x元，那么列方程正确的是（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
A. B、 C、 D、
{width="2.451388888888889in" height="2.334722222222222in"}
```{=html}
<!-- -->
```
5. 求图中输出的结果
6、两件物品均以200元的价格出售，其中一件盈利，另一件亏损，问最终商家是赚了钱还是亏了？赚或亏的金额是多少？
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识图形》单元测试1（附答案）**
一、我会填。(每题2分，共20分)
1．( )个角都是锐角的三角形是锐角三角形，( )个角是钝角的三角形是钝角三角形。
2．三角形具有( )性，而四边形不具有( )性。
3．当平行四边形的一个角是直角时，它就变成了( )形或( )形。
4．等腰三角形的顶角是90°，它的一个底角是( )，这个三角形又叫做( )三角形。来源：www.bcjy123.com/tiku/
5．一个平行四边形可以分成两个完全相同的三角形，或( )或( )。
6．三角形的内角和是( )，三角形任意两边的和( )第三边。
7．一个三角形中最少有( )个锐角；一个三角形中最多有( )个锐角。
8．一个三角形两条边是5厘米和3厘米，第三边有可能是( )厘米(取整厘米)。
9．正方形、长方形、平行四边形、直角梯形中，不是轴对称图形的是( )和( )。
10．一个直角三角形的一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，这两个锐角分别是( )和( )。
二、我会辨。(对的打"√"，错的打"×")(5分)
1．平行四边形的两组对边分别平行，并且长度相等。 ( )
2．一个三角形中最多有一个角是直角或钝角。 ( )
3．用一张长方形纸能剪出两个梯形。 ( )
4．所有等边三角形都是等腰三角形，所有等腰三角形都是等边三角形。( )
5．一个三角形的三条边分别长2厘米、3厘米、5厘米。 ( )
三、快乐ABC。(把正确答案的序号填在括号里)(5分)
1．下面的三组小棒中，( )组能围成三角形。
A．4厘米 5厘米 9厘米来源：www.bcjy123.com/tiku/
B．5厘米 2厘米 6厘米
C．3厘米 1厘米 5厘米
2．如果三角形的两条边都是5厘米，那么第三边一定( )。
A．大于10厘米 B．小于10厘米 C．不能确定
3．在图中被遮住的图形一定不是( )。
A．梯形 B．平行四边形 C．三角形
4．一个三角形的三个角剪下后可以拼成一个( )。
A．直角 B．周角 C．平角
5．把一个大三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的三个内角的和是( )。
A．90° B．180° C．360°
四、选一选，填一填。(10分)
锐角三角形有( )；
钝角三角形有( )；
直角三角形有( )；
等腰三角形有( )；
等边三角形有( )。
五、动手操作。(8分)
1．(4分)在方格纸上分别画一个锐角三角形、钝角三角形、平行四边形、直角梯形。
2．(4分)(1)在图①内加一条线段，把它分割成一个三角形和一个平行四边形。
(2)在图②内加一条线段，把它分割成两个三角形。
(3)在图③内加一条线段，把它分割成一个三角形和一个梯形。
(4)在图④里加一条线段，把它分割成一个梯形和一个平行四边形。
六、用你喜欢的方法计算。(8分)
9.73－5.58－1.42 5.36＋3.8＋4.64＋2.2
7.54＋19.4＋9.6 34.45－(7.98＋4.45)
七、数一数。(12分)
1．(4分)右边的图形有多少个角？
2．(4分)下图中，各有多少个三角形？
3．(4分)下图中有多少个正方形？
八、我会运用。(12分)
1．(6分)已知∠1=41°，∠2=42°，∠3=44°，求∠4，∠5，∠6的度数。
2．(6分)已知∠1=62°，∠2=33°，求∠3，∠4的度数。
九、解决问题。(15分)
1．(5分)把一根长l4厘米的小棒分成三段，再围成一个三角形，可以怎样分？(至少写出两种方案)
2．(5分)小区花园建了一个等边三角形花坛，边长15米，沿花坛修一条绕坛小道，这条小道最少有多少米？
3．(5分)三角形ABC的周长是60厘米，∠1=∠2，AB=18厘米，求BC的长。
十、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
1．选做题A(5分)
如果三角形的两条边的长分别是12厘米和9厘米，那么第三边的长可能是多少厘米？(第三条边也是整厘米)
2．选做题B(5分)
在"我为灾区重建出把力"活动中，小红为灾区某小学设计了两套三角形地砖，请你判断一下，这些数据可靠吗？说说你的理由。(用你学过的知识分析一下吧！)
附加题。(5分)
图中有6个点，9条线段，机器猫要从A点回到D点的家中，每个点或每条边只经过一次，请你帮帮忙，机器猫回家最多可以有几种走法？哪一条路线较近？
| 1 | |
**小升初总复习数与代数篇**
**第一单元 数的认识**
3. **分数和百分数**
**知识梳理**
**分数的意义与分数单位**
**分数与除法的关系**
**真分数**
**分数的分类**
**假分数**
**约分**
**分数的基本性质及其应用**
**通分**
**分数和百分数 分数大小的比较**
**百分数的意义**
**互化：**
**典例精讲**
**【例1】分数单位是****的所有最简分数的和是多少？**
**【分析】这道题实质上有三个要求：一是分数单位是****的分数，二是必须是分母是12的最简分数，三是求这些最简真分数的和。**
**【解】（1）先找出分数单位是****的最简真分数：****、****、****、**
**（2）再求和：****+****+****+****=2**
**即时演练**
**1.3****的分数单位是（ ），它含有（ ）个这样的单位。**
**2.写出分母是16的所有最简真分数：（ ）。**
**【例2】A、B、C、D、E是五个不同的数，已知A×1****=B×80%=C×****=D÷****=E÷2.5，B把A、B、C、D、E这五个数从小到大排列起来。**
**【分析】为了便于比较，我们先把"÷"统一为"×"，再把百分数和小数都化为分数，并保持等式成立。原式可变形为：**
**A×1****=B×****=C×****=D×****=E×**
**我们可以假设它们的结果等于1，这样可以分别求出A、B、C、D、E这五个数的值，再比较大小。**
**【解】 假设A×1****=B×80%=C×****=D×****=E×****=1**
**则A=** **B=** **C=**  **D=** **E=**
**因为****﹤****﹤****﹤****﹤****，所以C﹤A﹤B﹤D﹤E**
**即时演练**
**3.在3****，2.74，3.****，383% ，3****这几个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。**
**4. 已知A×150%=B×****=C÷****=D÷****（A、B、C、D都不为0），把A、B、C、D这四个数从小到大排列起来。**
**【例3】一个带分数，它的分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是43。这个带分数可能是多少？**
**【分析】根据题意，原带分数的分子是3，化成假分数后，分子是43，那么43减去3的差就是原带分数的整数部分与分母的乘积，由于43-3=40，而40=1×40=2×20=4×10=5×8，从而求出这个带分数。**
**【解】这个带分数可能是1****、2****、4****、10****、5****或8****。**
**即时演练**
**5. 将****的分子加上14，分母应加上（ ）才能使分数的大小不变。**
**6. 一个带分数，它的分数部分的分子是5，把它化成假分数后，分子是47，这个带分数可能是多少？**
**毕业升学训练**
**\*轻松过关节节练**
**一、知识储备所。（40分）**
**1.把3米长的绳子平均分成8份，其中一份占全长的****，其中一份长是（ ）米。**
**2．在括号里填上﹤、﹥或﹦。**
**○1** **○1 3****○** **○** **○** **○**
**3．6=5****=4****=3****=****=****=（ ）%**
**4.在****中，a是整数，当a=（ ）时，该分数无意义；当a（ ）时，它是真分数；当a（ ）时，它是假分数；当a是（ ）时，它和50%一样大。**
**5. 在****、****、1.01、****、60%中，（ ）最大，（ ）最小。**
**二、火眼金睛辨对错。（12分）**
**1.如果A﹥B﹥C，那么****﹥****﹥****。 （ ）**
**2.5****吨=5吨50千克 =5.5吨=550%吨 （ ）**
**3.水结成冰体积增加****，那么冰化成水后体积减少****。 （ ）**
**4.因为****的分母含有质因数3，所以它不能化成有限小数。 （ ）**
**5. 一个假分数，当分子是分母的倍数时，这个假分数一定可以化成整数。（ ）**
**6. 大于****而小于****的最简分数只有2个。 （ ）**
**三、对号入座。（10分）**
**1.与****相等的分数是（ ）。**
**A.** **B.** **C.** **D.25%**
**2.****的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，分母应（ ）。**
**A.扩大到原来的4倍 B.加上4 C.缩小到原来的** **D.减去4**
**3.****的分子减去12，要使分数大小不变，分母应减去（ ）。**
**A.21 B. 14 C.18 D.20**
**4.75%，****，****，****中最大数与最小数的差是（ ）。**
**A.** **B.** **C.** **D.**
**5. 一个真分数，分子分母的最小公倍数是280，如果把它约成最简分数，那么在分子上加1，分数值就等于1，这个分数是（ ）。**
**A.**  **B.**  **C.** **D.** 
**四、按要求做。（19分）**
**1.把下面各分数约分，能化成整数或带分数的，要化成整数或带分数。（10分）**
**（1）** **（2）** **（3）** **（4）** **（5）**
**2.把下面各组分数通分。（9分）**
**和** **和** **、****和**
**五、解决问题。（19分）**
**1.星期天少先队员拾废铁，第一组5人拾了8千克，第二组6人拾了9千克，第三组7人拾了10千克。按人平均，哪一组拾得废铁多？（9分）**
**2. 在分数****中，当x为何数时，****无意义。当x为何数时，****为分子是6的最大真分数？（10分）**
**\*冲刺名校**
**一个最简分数，如果分子加上1，约分可得****；如果分子减去1，约分可得****，这个分数是多少？ （10分）**
**答案**
**即时演练:**
**1.1/5 17 2 .1/16 3/16 5/16 7/16 9/16 11/16 13/16 15/16 3. 3.83 2.74**
**4.A\<D\<C\<B 5.18 6.1 5/42 2 2/21 3 5/14 6 5/7 7 5/6**
**轻松过关节节练：**
**一：1. 1/8 3/8 2. \< \> = = = \< 3 .9 3 2 10 36 600 4. 0\>7 \<=7 14**
**5.1.01 10/50**
**二、1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.×**
**三、1.D 2.A 3.B 4.C 5.D**
**四、1.（1）****=****=5** **（2）** **（3）****=** **（4）****（5）** **2.**      
**五、1.****（千克）** **（千克）** **（千克） 因为1****﹤1****﹤1****，所以，第一组拾的废铁多。**
**2.4X-8=0，X=2时，原式无意义;4X-8=7,X=3(3/4)时，它是分子为6的最大真分数。**
**冲刺名校：**
**(5分之4+3分之2)/2=11/15**
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
| 1 | |
> **娄底市2018年初中毕业学业考试试题卷**
**数学**
**一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)**
1.2018的相反数是（ ）
A． B．2018 C．-2018 D．
2.一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A．-3 B．2 C．0 D．1
3.随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将"210万"用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4.下列运算正确的是（ ）\[来源:Zxxk.Com\]
A． B．
C． D．
5.关于的一元二次方程的根的情况是（  ）\[来源:学\*科\*网\]
A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根
C.无实数根 D.不能确定
6.不等式组的最小整数解是（ ）
A．-1   B．0 C． 1 D． 2
7.下图所示立体图形的俯视图是（ ）
A B C D
8.函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
9.将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，往竖直放置的在处山短软管连接的粗细均匀细管组成的"形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知: 表示不超过的最大整数例: 令关于的函数 (是正整数)例：则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．或1
**二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，****满分18分)\[来源:学科网\]**
13.如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数二图像上的一点， 轴于点，则的面积为 [ ]{.underline} .
14.如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则 [ ]{.underline} .(填"\<"或"="或"\>")
15.从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科日参加等级考试.学生已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科日中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为 [ ]{.underline} .
16.如图，中，，于点，于点，于点，，则 [ ]{.underline} .
\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:学科网ZXXK\]
17.如图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则 [ ]{.underline} .
18.设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则 [ ]{.underline} .
**三、解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)**
19.计算: .
20.先化简，再求值: ，其中.
**四、解答题（本大题2小题，每小题8分，共16分）**
21.为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个不同的等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；
(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空: [ ]{.underline} ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少?
22.如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为，
求发射塔的高度.\[来源:学科网\]
**五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)**
23."绿水青山，就是金山银山"，某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨:;每台型设备日处理能力为15吨;购回的设备日处理能力不低于140吨.
(1)请你为该景区设计购买两种设备的方案;\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为44万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠;问:采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么?
24.如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.
(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.\[来源:Z&xx&k.Com\]
**六、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)**
25.如图， 是以为直径的上的点， ，弦交于点.
(1)当是的切线时，求证: ；
(2)求证: ；
(3)已知，是半径的中点，求线段的长.
26.如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.\[来源:学科网ZXXK\]
(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
\(2\) 是抛物线上的动点；
①当时，求的面积的最大值；
②当时，求点的坐标.
1. 选择题
> 1---5 CBBDA 6---10 BBCAC 11---12 DC
>
> 二、填空题
>
> ⒀、1 ⒁、＜ ⒂、 ⒃、6
⒄、1 ⒅、4035
三、解答题
19、10
20**、** **=3+2**
21、(1)60 (2)10 (3)2000\[来源:Zxxk.Com\]
22、解： 设AB的高度为x米，
过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米
∴BF＝452－340＝112米
∴AF＝（112+x）米
在Rt△AEF中，∠FAB＝∠AEF＝45°
∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米
Rt△ACD中，sinａ=，则tanａ=
Rt△ACD中，AC=（452+x）米
tanａ＝AC/CD= 
解得X＝28
23、解：（1）设购买x台A型，则购买（10－x）台B型
12x+15（10－x）≥140
解得x≤
∵x是非负整数
∴x＝3，2，1，0
∴B型相应的台数分别为7，8，9，10
∴共有3种方案：方案一，A 3台、 B 7台
方案二，A 2台、B 8台 方案三，A 1台、B 9台
方案四，A 0台 、B 10台
（2）3x+4.4（10－x）≥40
解得x≤
24、（1）易证四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC
则∠DAC＝∠BCA，易证△AOE≌△COF（ASA）
（2）四边形BEDF是菱形
理由如下：先证△DOE≌△BOF
∴DE＝BF
∴DE∥＝BF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵EF⊥BD
∴平行四边形DEBF是菱形
25、（1）∵AB是直径
∴∠ADB＝90°即∠DAB+∠ABD＝90°
 又 ∵ PB是⊙O的切线，
∴PB⊥AB
∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°
∴∠PBD＝∠DAB
（2）、∵弧AC＝弧BC
∴∠BDC＝∠EBC
又∵∠BCE＝BCD
∴△BCE∽△DCB
∴BC/CE=CD/BC
∴BC^2^＝CE×CD
∴BC^2^＝CE(CE+DE)
∴BC^2^＝CE^2^+CE×DE
∴BC^2^- CE^2^= CE×DE
(3)连接OC
∵E是OA的中点
∴AE＝OE＝2
∴BE＝4+2＝6
∵弧AC＝弧BC
∴∠AOC＝∠BOC＝90°
Rt△ACD中，OC＝4
由勾股定理得CE＝2√5
∵弧BD＝弧BD
∴∠DAB＝∠BCD
又∵∠AED＝∠BEC
∴△ADE∽△BCE
∴AE/CE＝DE/BE
∴=
∴DE＝ (1.2)
26、（1）y=-x^2^+2x+3
D(1,4)
\(2\) ∵x＞1,y＞0
∴点F是直线BD上方抛物线上的动点
则F（x, -x^2^+2x+3）
过点F作FH⊥x轴交直线BD于M
∵B（3，0） D（1，4）
∴y~BD~=-2x+6
则M（x, -2x+6）
∴FM=-x^2^+2x+3-(-2x+6)= -x^2^+4x-3=-(x-2)^2^+1
∴当x=2时，S~最大值＝1~
（3）① 当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，
设CE的解析式为y=-2x+b
∵直线CE过点E（1，0）
∴b=2
y~CE~=-2x+2
联立y=-2x+2与y=-x^2^+2x+3
解得F（2－√5，－2+2√5）
②当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点H
∵∠AEF=∠HEB
又∵∠AEF＝∠DBE
∴∠HEB＝∠DBE
HE=HB
∴点Ｈ的横坐标为２
又∵点Ｈ在直线y~BD~=-2x+6上
∴Ｈ（２，２）
∴y~ＥＨ~＝２x-2
联立y=2x-2与y=-x^2^+2x+3
解得Ｆ（－，－2－２）
综上所述Ｆ（－，－2－２）或（2－，－2+2）
| 1 | |
**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法------分数除法（一）》同步检测1（附答案）**
1．先看清左右两题的关系，再用你发现的规律计算下面两题。
÷7＝ ×7＝
÷4＝ ×＝来源：www.bcjy123.com/tiku/
÷3＝×＝
÷2＝×＝
2．填一填。
( )×4＝ ( ) × 5＝
( )×6＝ ( ) ×18＝
24×( )＝ 14×( )＝
3．连一连。
÷3 ×
÷6 ×
÷8 ×
÷18 ×
4．计算。
÷2＝ ÷6＝
÷33＝ ÷6＝
÷9＝ ÷7＝
5．芳芳将m长的丝带剪成同样长的8段，每段丝带有多长？
6．一瓶炼乳有千克，小丽家吃了3周，平均每天吃多少千克？
7．猪八戒3分钟吃完一个重千克的西瓜，它平均每分钟吃多少千克西瓜？
8．小英把一个数除以5看成乘以5，结果她算出的答案是，问正确的答案应该是多少？
来源：www
**参考答案**
1\. ×＝ ×＝
2\.
3\. 略
4\.
5\. ÷8＝（m）
6\. ÷21＝（千克）
7\. ÷3＝（千克）
8\.
来源：www.bcjy123.com/tiku/
| 1 | |
**2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷**
**一、选择题**
1.下列各数中，是负数的是（ ）
A. －1 B. 0 C. 0.2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据小于0的数为负数，可作出正确的选择．
【详解】解：A、-1＜0，是负数，故选项正确；\
B、0既不是正数，也不是负数，故选项错误；\
C、0.2＞0，是正数，故选项错误；\
D、＞0，是正数，故选项错误．\
故选：A．
【点睛】本题考查了负数．能够准确理解负数的概念是解题的关键．
2.如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据俯视图是从上边看的到的视图，可得答案．
【详解】解：从上边可以看到4列，每列都是一个小正方形，故C符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看的到的视图是俯视图．掌握俯视图的含义是解题的关键．
3.下列运算不正确的是（ ）
A. x^2^·x^3 ^= x^6^ B. C. x^3^+x^3^=2x^6^ D. (-2x)^3^=x^3^
【答案】B
【解析】
【分析】
由同底数幂的乘法判断A，由同底数幂的除法判断B，由合并同类项判断C，由积的乘方判断D．
【详解】解： 故A错误，
故B正确，
故C错误，
故D错误，
故选B．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，掌握以上知识是解题的关键．
4.实数*a*，*b*在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. *a*＞*b* B. \|*a*\|＞\|*b*\| C. ﹣*a*＜*b* D. *a*+*b*＞0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据比较a、b在数轴上的位置进行解答即可．
【详解】解：如图所示：
*A*、*a*＜*b*，故此选项错误；
*B*、\|*a*\|＞\|*b*\|，正确；
*C*、﹣*a*＞*b*，故此选项错误；
*D*、*a*+*b*＜0，故此选项错误；
故选：*B*．
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置确定式子的正负，掌握数形结合思想是解答本题的关键.
5.下列关于x的方程有两个不相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用逐一计算，根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由所以方程有两个相等的实数根，故A不符合题意，
由所以方程没有实数根，故B不符合题意，
由所以方程没有实数根，故C不符合题意，
由所以方程有两个不相等的实数根，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
6.不等式组的解集是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得：
由②得：
不等式组的解集是
故选A．
【点睛】本题考查的是解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
7.在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形、圆，
其中正方形、正六边形、圆是中心对称图形，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8.二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，\
∴a＞0，\
∵对称轴为直线＞0，\
∴b＜0，\
∵与y轴的正半轴相交，\
∴c＞0，\
∴y=ax+b的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，\
反比例函数图象在第一、三象限，
∴只有D选项的图像符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
9.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A. B. 5 C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
利用D为AB的中点，DE//BC，证明DE是中位线，求得的面积，利用相似三角形的性质求解的面积，由勾股定理可得答案．
【详解】解：是AB的中点，
是的中位线，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
**二、填空题**
10.如图，若*AB*∥*CD*，∠*A*＝110°，则∠1＝\_\_\_\_\_°．
【答案】70
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求出∠2＝∠*A*＝110°，再由平角的定义求出∠1的度数即可．
【详解】如图，
∵*AB*∥*CD*，
∴∠2＝∠*A*＝110°．
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握并熟练运用"两直线平行，同位角相等"是解答此题的关键．
11.分解因式\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
原式提取*a*，再利用平方差公式分解即可．
【详解】原式，
故答案为
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
12.某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：
--------------- ------- ------- ------- ------- -------
移植总数（n） 200 500 800 2000 12000
成活数（m） 187 446 730 1790 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903
--------------- ------- ------- ------- ------- -------
根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为\_\_\_（精确到0.1）．
【答案】0.9
【解析】
【分析】
由题意根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可．
【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．
13.如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的坐标为()，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】3
【解析】
分析】
由题意根据角平分线的性质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答案．
【详解】解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，
∴，解得．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查角平分线性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题的关键．
14.如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意根据圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π进行计算即可求解．
【详解】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=30°，AC=2AD，
∴AC=2OA×cos30°=2，
∴，
∴圆锥的底面圆的半径．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的计算；注意掌握圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；解题的关键是得到扇形的半径．
15.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为\_\_\_\_\_．
【答案】6
【解析】
【分析】
取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
【详解】解：如图，
取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，
过A作于H，则由
为BC的中点，
即的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
**三、解答题**
16.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算平方，绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查是乘方，绝对值，零次幂，算术平方根的运算，掌握以上运算是解题的关键．
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】
【分析】
先利用整式的乘除与加减运算化简代数式，再代入求值即可．
【详解】解：
当，上式
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，二次根式的乘方运算，掌握整式加减乘除运算是解题的关键．
18.如图，四边形ABCD是平行四边形，//，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）结合题目条件，通过证明△BCF≌△DAE来证明AE=CF即可；
（2）由△BCF≌△DAE，得到BF=DE，而//，得到四边形BFDE为平行四边形，结合BE=DE，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形；
∴AD//BC，AD=BC
∴∠BCF=∠DAE;
又∵DE//BF
∴∠BFE=∠DEF;
∴∠BFC=∠DEA;
在△BCF和△DAE中：
∴△BCF≌△DAE（AAS）
∴CF=AE
（2）由（1）得△BCF≌△DAE；
∴BF=DE;
又∵BF//DE；
∴四边形BFDE为平行四边形；
又∵BE=DE；
∴平行四边形BFDE为菱形
【点睛】本题主要考察了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关的判定和性质进行推理证明．
19.为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩（x）分为四个等级：优秀；良好；及格；不及格，并绘制成以下两幅统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是\_\_\_\_\_\_；
（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；
（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．
【答案】（1）5%；（2）所抽取学生测试成绩的平均分79.8（分）；（3）估算出该校九年级学生中优秀等级的人数为200人．
【解析】
【分析】
（1）用100%减去优秀，良好，和及格部分对应的百分比；
（2）利用加权平均数的方法计算即可；
（3）先算出抽取的总人数，再算出抽取人数中优秀的人数，再除以10%可得结果.
【详解】解：（1）由题意可得：
100%-50%-20%-25%=5%，
∴在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是5%；
（2）由题意可得：
90×50%+78×25%+66×20%+42×5%=79.8（分），
∴所抽取学生测试成绩的平均分为79.8分；
（3）∵不及格学生的人数为2人，
∴2÷5%×50%÷10%=200（人），
∴该校九年级学生中优秀等级的人数为200人.
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，加权平均数，样本估计总体，解题的关键是从图表中获取信息，正确进行计算.
20.如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：）
【答案】CD的高度是16米．
【解析】
【分析】
设建筑物CD的高度为xm，在Rt△CBD中，由于∠CBD=58°，用含x的代数式表示BC，在Rt△ACD中，利用22°的锐角三角函数求出x，即可得到答案．
【详解】解：设建筑物CD的高度为xm；
由
由
解得：
答：CD的高度是16米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．
21.某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
（1）A,B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A,B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B保温杯的2倍，A保温杯的售价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）A款保温杯的售价为30元，B款保温杯的售价为40元；（2）进货80个A款保温杯,40个B款保温杯，利润最大，为1440元．
【解析】
【分析】
（1）设：A款保温杯的售价为x元，B款保温杯的售价为（x+10）元；利用数量相等列方程求解即可；（2）设进货A款保温杯m个，B款保温杯（120-m）个，总利润为w，根据题意得出函数关系式，同时列出不等式组得到m的范围，再利用一次函数的性质得到答案．
【详解】（1）设：A款保温杯的售价为x元，B款保温杯的售价为（x+10）元；
解得x=30，经检验，x=30是原方程的根；
因此A款保温杯的售价为30元，B款保温杯的售价为40元；
（2）由题意得：B款保温杯的售价为40×（1-10%）=36元；
设进货A款保温杯m个，B款保温杯（120-m）个，总利润为w；
w=
，
∵w=中k=-6＜0
∴当m最小时，w最大；
∴当m=80时，W~最大~=1440（元）
答：进货80个A款保温杯,40个B款保温杯，利润最大，为1440元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
22.如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DP是⨀的切线；
（2）若AC=5，,求AP的长．
【答案】（1）见解析；（2）AP=．
【解析】
【分析】
（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；
（2）根据题意连接BC，交于OP于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.
【详解】解：（1）证明：连接OP；
∵OP=OA;
∴∠1=∠2；
又∵P为D的中点；
∴
∴∠1=∠3；
∴∠3=∠2；
∴OP∥DA；
∵∠D=90°；
∴∠OPD=90°；
又∵OP为⨀O半径；
∴DP为⨀O切线；
（2）连接BC，交于OP于点G；
∵AB是圆O的直径；
∴∠ACB为直角；
∵
∴sin∠ABC=
AC=5,则AB=13,半径为
由勾股定理的BC=，那么CG=6
又∵四边形DCGP为矩形；
∴GP=DC=6.5-2.5=4
∴AD=5+4=9;
在Rt△ADP中，AP=.
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.
23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．
设点P的纵坐标为m．
①当在内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】；（2）①；②存在，满足m的值为或．
【解析】
【分析】
（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，OD=OE，
∵顶点A为（1，3），
∴AD=BE=1，OD=OE=3，
∴点B的坐标为（3，），
设抛物线的解析式为，
把点B代入，得
，
∴，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）①∵P是线段AC上一动点，
∴，
∵当在内部时，
当点恰好与点C重合时，如图：
∵点B为（3，），
∴直线OB的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为（1，），
∴AC=，
∵P为AC的中点，
∴AP=，
∴，
∴m的取值范围是；
②当点M在线段OA上，点N在AB上时，如图：
∵点P在线段AC上，则点P为（1，m），
∵点与点A关于MN对称，则点的坐标为（1，2m3），
∴，，
设直接OA为，直线AB为，
分别把点A，点B代入计算，得
直接OA为；直线AB为，
令，
则点M的横坐标为，点N的横坐标为，
∴；
∵；
；
又∵，
∴，
解得：或（舍去）；
当点M在边OB上，点N在边AB上时，如图：
把代入，则，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
综合上述，m的值为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**文综试卷**
**第Ⅰ卷**
本卷共35分，每小题4分，共140分。要每小题给出的四选项中，只有一个是最符合题目要求的。
图1是我国某山脉东、西坡地质剖面图。读图回答1-2题。
1．结合图例，推断甲处岩石形成处的古地理环境是
A．沙漠 B．沼泽 C．海洋 D．苔原
2．由图1得出的推断，正确的是
A．东坡有丰富的水能资源 B．山麓气温比山顶约高210C
C．该山以西绿洲农业特色突出 D．该山为种植业与畜牧业的分界线
图2是世界各国城市人口比重与人均国民生产总值关系图。回答3-4题。
3．由图2可作出的正确判断是
A．中国城市化进程可以用曲线MN段表示
B．a线表示发达国家目前的城市化平均水平
C．人均国民生产总值高的国家，通常城市化速度也快
D．人均国民生产总值高的国家，一般城市化水平也高
4．现阶段中国城市化进程表现为
A．城市人口老龄化加快 B．东、西部城市化速度同步
C．大城市周围卫星城发展较快 D．大城市人口开始向乡村回流
根据表1资料，回答5-7题
表1 97W附近某山东坡平均年均温、自然带垂直分布
------------- ------------ ------------ ------------- ------------- -------------
海拔（m） \<640 640\--1800 1800\--3420 3420\--4100 4100\--5700
年均温（℃） 28\--24 24\--18 18\--12 12---6 \<6
自然带 热带雨林带 ① ② ③ ④
------------- ------------ ------------ ------------- ------------- -------------
5．下列选项中，数码代号、自然带、农作物的正确组合是
A．①------亚热带和温带阔叶林带------水稻 B．②------高山针叶林带------玉米
C．③------高山针阔混交林带------花生 D．④------高山草地带------小麦
6．该山地最适宜人类聚居的地带是
A．① B．② C．③ D．④
7．对该山所在地的叙述，正确的是
A．终年受赤道暖流影响 B．东北信风对自然带基带的形成有影响
C．位于板块生长边界 D．河流源远流长
图3为某区域模式图，读图回答8\-\--11题
8．图3中所示区域的数码代号与文化景观描述连线正确的是
A．①------梯田层层稻花香
B．②------草原茫茫牧牛羊
C．③------翠竹青青有人家
D．④------山歌阵阵采茶忙
9．关于图3中各区域突出环境问题的叙述，正确的是
A．①区常绿阔叶林破坏严重
B．②区水土流失面积广大
C．③区泥石流、滑坡灾害频发
D．⑤区土壤盐渍化普遍
10．关于图3中各河流水文特征的叙述，正确的是
A．①区河流水位季节变化小 B．②区河流春汛长于夏汛
C．③区河流含沙量大，有结冰期
D．⑥区河流汛期短，径流量季节变化小
11．深秋季节，一旅游者从图3某区域乘火车外出旅游。出发时落叶纷飞，满目金黄，穿越重重隧道后，蓦然树木葱郁，山清水秀。火车经过的区域是
A．从①到② B．从②到④ C．从③到⑤ D．从⑤到⑥
整顿吏治是制度文明建设的重要内容。回答12-14题。
12．加强对官吏的监察是实现吏治清明的重要措施。历史上，下列机构或官职具有监察职权的是
①御史大夫 ②通判 ③御史台 ④军机处
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
13．出身"布衣"，重视经济立法并严惩贪污贿赂的古代皇帝是
A．隋文帝 B．唐玄宗 C．明太祖 D．乾隆帝
14．新中国建立之初，中国共产党就很重视严惩干部队伍中的腐化堕落分子。图4反映的运动的作用不包括
A．教育了广大干部和群众
B．抑制了资产阶级的腐蚀
C．肃清了反革命残余势力
D．纠正了官僚主义的作风
"天下最大事，莫非万民之忧乐。"民生问题是关系社会稳定与发展的基石。回答15---18题。
15．宋元时期，话本、杂剧的出现丰富了人们的精神生活。其流行主要是适应了下列哪一社会阶层的需要
A．官僚 B．市民 C．皇族 D．农民
16．在近代中国，系统阐述了民生思想并把它作为纲领的政治派别是
A．地主阶级洋务派 B．资产阶级维新派
C．资产阶级立宪派 D．资产阶级革命派
17．图5所示票证曾是百姓购买生活物资的凭证，但现在已经抢劫了它原本的作用。这一变化的主要原因不包括
A．经济体制改革深化 B．农业产量稳步增加
C．生活物资日益丰富 D．粮棉物资统一管理
18．"大萧条"时期，主要资本主义工业国都采取了一系列增加就业的措施。其中美国实行的主要施措是
A．兴办公共工程 B．发展军事工业 C．调整农业生产 D．加紧殖民掠夺
德国是影响欧洲政治格局演变的重要角色。回答19---21题。
19．小说《最后一课》中，韩麦尔先生对他的学生说："孩子们，......柏林来了命令，阿尔萨斯和洛林两省的学校只准教德语......今天是你们最后一堂法语课。"与这一情景密切相关的历史事件是
A．普奥战争 B．第一次世界大战
C．普法战争 D．第二次世界大战
20．下列有关德国影响欧洲局势的表述，符合历史实际的是
A．"一战"中德国的盟国包括奥匈帝国、罗马尼亚和保加利亚
B．德国在希特勒成为元首后退出了国际联盟
C．通过慕尼黑协定德国割占了捷克斯洛伐克
D．莫斯科战役后德军在欧洲战场已无力全面进攻
21．图6反映的历史事件对当时的德国人意味着
A．欧洲将从此出现和平局面
B．德意志民族即将再度统一
C．东西德经济差距将迅速缩小
D．影响德国分裂的苏联即将解体
民俗文化遗产是近年来历史研究关注的重要领域。回答22-23题
22．"好男当兵上前线，抗日队伍出四川。坐上大船到武汉，武汉火线扯得宽。哪怕飞机丢炸弹，哪怕四处起狼烟......"（《川江号子·好男当兵上前线》）。这一作品创作的时间最早可能是在
A．1931年 B．1936年 C．1938年 D．1939年
23．图7反映的艺术形式，具有浓郁四川地方特色的是
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②④
24．温家宝总理在第十届全国人民代表大会第五次会议上所作的《政府工作报告》中指出："今年要在全国范围建立农村最低生活保障制度......各地要根据实际，合理确定低保对象范围和标准，中央财政对困难地区给予适当补助。"农村最低生活保障制度
①是一种社会救济制度 ②是一种社会福利制度
③有利于促进社会公平 ④有利于农民充分就业
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
25．国务院近期颁发了《关于加快发展服务业的若干意见》。下列关于服务业的说法，正确的有
①经过多年的迅速发展，服务业已经成为我国国民经济的主体
②交通运输业、仓储业、旅游业、咨询业、保险业属于服务业
③通常一国经济越发达，服务业在国内生产总值中的比重越低
④通常一国经济越发达，服务业在国内生产总值中的比重越高
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
货币在现代经济生活中扮演着重要角色。回答26---27题。
26．某国去年的商品价格总额为16万亿元，流通中需要的货币量为2万亿元。假如今年该国商品价格总额增长10%，其他条件不变，理论上今年流通中需要的货币量为
A．1.8万亿元 B．2万亿元
C．2.2万亿元 D．2.4万亿元
27．下列银行中，经营货币存款业务、已经或可能成为股份有限公司的有
①中国人民银行 ②中国农业银行 ③深圳发展银行 ④中国农业发展银行
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
28．GDP是衡量一个国家或地区经济规模、综合国力和国民收入水平的重要指标。它是分析和判断宏观经济运行状况、正确实施宏观调控政策的重要依据，但是它的局限性在于难以反映经济与社会发展的协调性。这反映了
①矛盾有主要和次要方面 ②事物都是一分为二的
③矛盾有主要和次要之分 ④事物都是表里如一的
A．①② B．②④ C．③④ D．②③
29．"兵者。诡道也。故能而示之不能，用而示之不用，近而示之远，远而示之近......"（《孙子兵法》）这段话启示我们要
A．按客观规律办事 B．透过现象看本质
C．准备走曲折的路 D．坚持从实际出发
30．"威客"是英文Witkey（Wit智慧、key钥匙）的音译。目前，"威客"主要通过在网上提供创意、标志设计等各类智慧点子和知识产品，来为客户服务并以此获利。"威客"提供智慧点子获利的内在原因有
①创造性思维来源于人的主观想象 ②创造性思维能发现并解决问题
③正确的认识对事物发展起促进作用
④正确的认识对事物的发展起决定作用
A．①② B．②④ C．③④ D．②③
31．著名科学家爱因斯坦在学术界担任要职，但对薪金要求却很低，对名利十分淡泊。他曾把一张1500美元的支票当书签用，有人见了在为惊讶，他却平静地说："重要的不是这个，而是科学。"这表明爱因斯坦追求的是
①不求享乐的人生观 ②集体主义的价值观
③符合事物发展规律的价值观 ④符合人类根本利益的价值观
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
32．下列选项与图8漫画体现相同哲理的是
①战战兢兢，如履薄冰
②唯利是图，贪得无厌
③日有所思，夜有所梦
④事出有因，因必有果
A．①② B．②④
C．③④ D．②③
33．2007年全国人大会议期间，为了更好地反映民情民意，部分人民代表在互联网上利用QQ、e-mail、Blog（博客）等现代信息交流方式征求网民意见，并及时予以反馈，深受网民欢迎。这表明
①人民代表由人民选举产生 ②人民代表对人民负责
③人民代表的发言不受追究 ④人民代表受人民监督
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
34．作为2007年"十大惠民行动"的具体举措，四川省人民政府在深圳设立了异地办理第二代居民身份证受理点。当地川籍农民工可就地办理第二代居民身份证，不必再回川办理。此举可为办证农民工省去往返开销6亿元以上。这体现了政府
①坚持对人民负责原则 ②接受人民群众的监督
③履行社会公共服务职能 ④履行管理经济的职能
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
35．目前，全国各级人大代表和政协委员中有党外人士50余万人，担任县处级以上领导职务的党外干部有3.2万人，各省、市、自治区政府基本上都有民主党派或无党派人士担任副省级职务。广大党外干部和我们党的干部亲密团结、真诚合作，依法管理国家事务。这体现了
①我国的国家机构实行民主集中制的原则
②人民代表大会制度是我国的根本政治制度
③各民主党派在国家政治生活中发挥着重要作用
④我国实行中国共产党领导的多党合作和政治协商制度
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
**第Ⅱ卷**
本卷共4大题，共160分
36．（36分）根据材料，回答下列问题
**材料一**
**材料二**
2005年10月2日13时30分（当地区时），"和平之旅"使者哥德堡号仿古木帆船于图9中A港启航，经大西洋、印度洋、太平洋，于2006年8月29日10时30分（抵达地区时）抵达图10中B港。
（1）哥德堡号从A港至B港，共航行了[ ]{.underline}天[ ]{.underline}小时。航行期间，A港白昼长短的变化依次是[ ]{.underline}。（8分）
（2）位于C洪西南方向且距离最近的世界著名海峡名称是[ ]{.underline}。试分析C港成为世界著名大港的重要交通位置条件。（8分）
（3）指出图9中甲阴影区与图10中乙阴影区农业结构的不同，并分析其形成的主要自然原因。（8分）
（4）甲区以加工、组装工业为主；油气开采和化工、机械设备、食品工业为其三大主导部门；该区工业主要集中在西部。试用你所学地理知识对上述工业特点的成因分别给予合理解释。（12分）
以加工、组装工业为主：[ ]{.underline}；
油气开采和化工、机械设备、食品工业为其三大主导部门：[ ]{.underline}
[ ]{.underline}；
该区工业主要集中在西部：[ ]{.underline}。
37．（32 分）不同文明之间的相互交流与学习是影响历史发展变迁的重要因素。阅读下列材料
**材料一**
**材料二**
17一18世纪，中国古代的主要经典和儒家学说，通过传教士的介绍、研究，在欧洲知识界和上层社会得到了流传和宣扬，成为伏尔泰等启蒙运动者汲取精神力量的源泉。......中国历史上传统的仁君统治和大一统的思想，更是主张开明君主专制的启蒙思想家反对欧洲王权所追求的社会楷模。... ... （启萦思想家）霍尔巴赫说："中国是世界上唯一的将政治和伦理道德相结合的国家。"
------摘编自沈福伟《中西文化交流史》
**材料三**
19世纪末20世纪初，中国（知识界）对外国作品的兴趣从纯科技转向制度和政治方面。......对自然科学和应用科学的热情向杜会科学和人文科学转移。新的着重点对以后几年中国的政治和社会发展起着重大影响。
------摘编自费正清、刘广京《 剑桥中国晚清史》
回答：
（l）历史学家翦伯赞认为，丝绸之路的开通，其意义不亚于新航路的发现。西汉时期开通的陆上丝绸之路和海上丝绸之路，促进了中国同亚洲哪些地区之间的经济文化交流？（4 分）从全球史观的角度看，新航路的开辟有何重要意义？（3 分）
（2）根据材料一图示发明并结合所学知识，概括人类文明交流的发展趋向。（4 分）这些趋向对20 世纪后期世界经济发展有何重大影响？（4 分）
（3）根据材料二，指出西方启蒙思想家在汲取中国文化时的侧重点。（3分）这对他们的什么政治主张产生了影响？（3分）
（4）根据材料三，指出在学习西方文化的过程中，中国知识界关注的重点有何变化？（2 分）这一变化为五四运动前中国的哪些重大历史事件提供了思想准备？（3 分）请任选一事件概述其主导思想。（4 分）
（5）以文明的相互交流与学习为主题，另拟一篇历史小论文的标短。（要求：内容具体，有新意。）（2 分）
38．（32 分）构建社会主义和谐社会，必须完善法律制度，夯实社会和谐的法治基础。2007 年3月16日，第十届全国人民代表大会第五次会议审议通过了《中华人民共和国物权法》（以下简称《物权法》）。《物权法》是规范财产关系的民事基本法律，在中国特色社会主义法律体系中起支架作用。阅读下列材料，回答问题。
**材料一**
表2 改革开放以来我国居民材产增长情况
+----------------------------+--------+-----------------------------------+-----------------------------------+--------------+
| | 1978年 | 2005年 | 2006年 | |
+----------------------------+--------+-----------------------------------+-----------------------------------+--------------+
| 城乡居民储蓄（亿元） | 210.6 | 141051 | 161587 | |
+----------------------------+--------+-----------------------------------+-----------------------------------+--------------+
| 股票市值（亿元） | 0 | 32430 | 89404 | |
| | | | | |
| | | （其中约1/3为居民持有的公众流通股 | （其中约1/3为居民持有的公众流通股 | |
+----------------------------+--------+-----------------------------------+-----------------------------------+--------------+
| 居民人均居住面积（平方米） | 城镇 | 6.7 | 26.1 | （数据暂缺） |
+----------------------------+--------+-----------------------------------+-----------------------------------+--------------+
| | 农村 | 8.1 | 29.7 | （数据暂缺） |
+----------------------------+--------+-----------------------------------+-----------------------------------+--------------+
**材料二**
改革开放以来，中国共产党高度重视立法工作。党的十六届六中全会指出，要"坚持科学立法、民主立法，完善发展民主政治、保障公民权利、推进社会事业......等方面的法律法规"。本届全国人大通过的《物权法》，其立法工作历时13 年，先后召开过100 多次座谈会，收到了l万多件意见，经全国人大常委会7次审议，充分反映了国情民意，符合宪法的基本原则。
**材料三**
《物权法》 规定："国家、集体、私人的物权和其他权利人的物权受法律保护，任何单位和个人不得侵犯。""国家实行社会主义市场经济，保障一切市场主体的平等法律地位和发展权利。"注：《物权法》所称物权，是指权利人依法对特定的物享有直接支配和排他的权利，包括所有权、用益物权和担保物权。
（l）古人说，有恒产者有恒心。结合上述材料，运用唯物论的基本原理．分析制定《物权法》的必要性。（12 分）
（2）结合材料二，运用政治常识，说明《物权法》的制定体现了党的领导、人民当家作主和依法治国三者的统一。（lO 分）
（3）结合材料三，用市场经济一般特征的知识，说明《物权法》的实施对于维护社会主义市场经济秩序的意义。（10 分）
39．（60分）阅读下列材料，回答相关问题
**材料一**
（1）在图12所示气压形势下，a等压线的数值为[ ]{.underline}百帕，①地可能出现的风向是[ ]{.underline}。若甲天气系统中心气压值增大，几天后长江中下游地区出现寒潮天气，在此期间，②地的气压和天气变化状况是[ ]{.underline}。随着季节变化，当甲天气系统消失时，控制澳大利亚大陆西南角的气压带或风带是[ ]{.underline}。（8分）
（2）图12中A---B---B---C一线年降水量大致呈现出"由A至B逐渐减少、由C至B逐渐减少"的变化特点，试分析其成因。（8分）
**材料二**
（3）图13所示为风力侵蚀作用形成的自然景观。在图12中的①、②、③、④四地，可能见到这种景观的是[ ]{.underline}地。观赏该景观时，为了获得特定的形态美感，从旅游景观欣赏的角度看，关键在于[ ]{.underline}。（4分）
**材料三**
**材料四**
（表3 据王斯德《世界现代史参考资料》编制，表4 据国家统计局《新中国五十五年统计资料汇编》编制）
**材料五**
1933年，（苏联）宣布实行农产品义务交售制。......提高工业品的出售价格，压低农产品的收购价格，......以加快（工业化的）资金积累。
1953年，中国实行以固定价格强制收购粮食的制度，......为拟定的工业化规划提供资源，......低价的收购制度提供了把物资部分无偿地转出农业部门的手段。
（摘编自齐世荣《世界史·现代史编》、费正清《剑桥中华人民共和国史》）
（4）材料三中图14 人物对中国革命的帮助主要体现在哪些方面？（3 分）参照图15 、16、17并结合所学知识，分析苏联的支持对建设新中国的主要作用。（3 分）
（5）根据材料四、五，概括20 世纪二三十年代苏联和五十年代中国经济发展的主要相似特点及存在的主要问题，（10分）并分析新中国存在这些问题的主要原因。（4分）
**材料六**
俄罗斯和韩国是中国的重要邻邦。近年来，中俄、中韩贸易发展迅速。见表5 ：
表五 中俄、中韩贸易基本情况
（6）表5 反映了哪些经济现象？请运用经济常识说明中俄、中韩贸易迅速发展的原因。（10 分）
**材料七**
改革开放以来，我国政府多次公开阐明：中国过去不称霸，现在不称霸，将来强大了也不称霸。今年3月温家宝总理在《政府工作报告》中再次强调．面对复杂多变的国际形势，我们要高举和平、发展、合作的旗帜，坚定不移地走和平发展道路。
（7）指出我国走和平发展进路的政治学依据，并以近年来我国处理与图12（见本卷14 页）所示地区一国（或多国）关系的事实，说明我国走和平发展道路的正确性。（10分）
| 1 | |
秘密★启用前 试卷类型：A
**2017年潍坊市初中学业水平考试**
**数 学 试 题** 2017.06
注意事项： \
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第I卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分；共4页，120分.考试时间为120分钟. \
2.答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚.所有答案都必须涂、写在答
题卡相应位置，答在本试卷上一律无效.
**第Ⅰ卷（选择题 共36分）**
一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分） \
1.下列计算，正确的是（ ）. \
A. B. C. D.\
2.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）.
3.可燃冰，学名叫"天然气水合物"，是一种高效清洁、储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为（ ）. \
A. B. C. D.
4.小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子.如图，棋盘中心方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是（ ）.
A. B. C. D.
5.用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（ ）之间.
A.B与C B.C与D C、E与F D、A与B \
6.如图，，,则与满足（ ）A. B. \
C. D.\
7.甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击了10次、甲、乙两人的成绩如表所示，丙、丁两人的成绩如图所示.欲选一名运动员参赛，从平均数和方差两个因素分析，应选（ ）.
------------ -------- --------
**甲** **乙**
**平均数** **9** **8**
**方差** **1** **1**
------------ -------- --------
A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 \
8.一次函数与反比例函数，其中,为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）.
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）. \
A. B. C. D. \
10.如图，四边形为⊙的内接四边形.延长与相交于点,,垂足为,连接,，则的度数为（ ）. \
A.50° B.60° \
C.80° D.85° \
11.定义表示不超过实数的最大整数，如\[1.8\]=1，\[-1.4\]=-2，\[-3\]=-3.函数的图象如图所示，则方程的解为（ ）.\
A.或 B.或
C.或 D.或
12.点为半径是3的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形,顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）.
A.或 B.或 C.或 D.或
**第Ⅱ卷（非选择题 共84分）**
说明： \
将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.\
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分） \
13.计算： [ ]{.underline} .\
14.因式分解： [ ]{.underline} .\
15.如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点为边上一点，添加一个条件: [ ]{.underline} ，可以使得与相似.（只需写出一个） \
16.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 [ ]{.underline} .\
17.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；...按照此规律，第个图中正方形和等边三角形的个数之和为 [ ]{.underline} 个.
\
18.如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在上，记为，折痕为；再将边斜向下对折，使点落在上，记为，折痕为,，.则矩形纸片的面积为 [ ]{.underline} .
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）\
19.（本题满分8分） \
某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级.学校绘制了如下不完整的统计图. \
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；\
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名? \
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
20.（本题满分8分）\
如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在处测得五楼顶部点的仰角为，在处测得四楼顶部点的仰角为，米.求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）. \
21.（本题满分8分） \
某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tai）共100吨.第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨，这两批蒜薹共用去16万元. \
（1）求两批次购进蒜薹各多少吨? \
（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润，精加工数量应为多少吨?最大利润是多少? \
22.（本题满分8分） \
如图，为半圆的直径，是⊙的一条弦，为的中点，作,交的延长线于点,连接. \
（1）求证：为半圆的切线； \
（2）若，求阴影区域的面积.（结果保留根号和π） \
23.（本题满分9分） \
工人师傅用一块长为10，宽为6的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形，（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长多大?
 （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?
24.（本题满分12分） \
边长为6的等边中，点、分别在、边上, , . \
（l）如图1，将沿射线方向平移，得到，边与的交点为,边与的角平分线交于点.当多大时，四边形为菱形?并说明理由. \
（2）如图2，将绕点旋转（），得到,连接、，边的中点为. \
①在旋转过程中，和有怎样的数量关系?并说明理由.
②连接,当最大时，求的值.（结果保留根号）
25.（本题满分13分） \
如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为. \
（1）求抛物线的解析式； \
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根； \
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
| 1 | |
**北师大版三年级（下）期末数学试卷**
**一、填空题．（每小题2分，共18分）**
1．三十元九角写作[ ]{.underline}元；5.05读作[ ]{.underline}．
2．填上适当的单位：练习本的面积约2[ ]{.underline}，教室的门高约2[ ]{.underline}．
3．
+------------------------------------------------+-------------------------------------------------+
| 比较大小，在横线里填上"＞"、"＜"、"=" | 3平方千米[ ]{.underline}3000公顷 |
| | |
| 4公顷[ ]{.underline}4900平方米 | |
+------------------------------------------------+-------------------------------------------------+
| 60000平方厘米[ ]{.underline}6平方米 | 15平方米[ ]{.underline}150平方厘米． |
+------------------------------------------------+-------------------------------------------------+
4．淘气三次数学考试的平均成绩是91分，已知第一次和第二次的数学考试成绩是都是90分，她的第三次成绩是[ ]{.underline}分．
5．把面积是1米^2^的正方形，平均切成100个小正方形，每个小正方形的面积是[ ]{.underline}．
6．由100人组成的体操表演的方阵（方阵就是排成正方形的队形），方阵最外一周的人数为[ ]{.underline}．
7．三年级6个班之间将举行拔河比赛，每两个班之间都要进行一场比赛，三（1）班要进行[ ]{.underline}场比赛，全年级一共要进行[ ]{.underline}场比赛．
8．在一个不透明的箱子里，放入除颜色外都相同的8个白球，2个红球，5个蓝球，摇匀后任意摸出一个球，可能出现[ ]{.underline}种情况，摸到[ ]{.underline}的可能性最大．
**二、计算题．（共25分）**
9．直接写出得数．
-------------------------------------------------------------------------- ----------- ------------ -----------------------------------------
13×20= 12.6+4.2= 22.7﹣6.7= 1﹣=
+= 0.5+1.2= 1﹣0.25= 22×3=
13×40= 124÷4=
-------------------------------------------------------------------------- ----------- ------------ -----------------------------------------
10．用竖式计算下面各题．
5.1﹣1.5=
8﹣3.2=
29×47=
312÷6=
11．用脱式计算．
25×24+125
400﹣126÷3
（6.5﹣2.5）×16
49×68÷7．
**三、选择题．（请将符合要求的字母代号填写在括号里）（每小题2分，共10分）**
12．在如图所示的竖式里，64表示（ ）
A．64个十 B．64个百 C．64个千 D．64个一
13．翻开书本的运动是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．都不是
14．下面图形中的阴影部分能用来表示的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列图形中是对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
16．用16个边长为1分米的正方形拼图，（ ）
A．拼成的正方形的面积大 B．拼成的长方形的面积大
C．面积一样大 D．都有可能
**四、操作题．（共10分）**
17．画一画，填一填．
（1）用直尺在下面三条线段上分别画出、、，
（2）把、、按照从大到小的顺序排列是[ ]{.underline}．
（3）比较像这样的分数大小的方法是[ ]{.underline}．
18．在下面的方格图中画一个周长10厘米的长方形，并写出它的面积．（每小格边长为1厘米）
**五、走进生活，解决问题（共37分）**
19．我们班的男同学占．
①女同学占几分之几？
②男同学比女同学多几分之几？
20．商店一个乒乓球拍13.50元，一个羽毛球拍19.80元，一根跳绳8.60元，一个键子1.90元，小青有20元钱．请你提出一个数学问题，并解答．提出的问题[ ]{.underline}？解答：[ ]{.underline}．
21．有一个长方形水池，长20米，长比宽长8米，这个长方形水池周长是多少？面积是多少？
22．李虹家准备在客厅地面上铺上方砖，选择哪种方砖便宜？需要这种方砖多少块？
23．下面是一个超市某种饮料一年四个季度的销售量统计图．
（1）哪个季度的销售量最多？你认为该季度销量最多的原因是什么？比最少的季度多多少？
（2）平均每个季度的销售量是多少？
24．酒店房间标价是4人间100元，3人间80元．一旅游团15人，请你帮忙设计租房方案，并选出最佳方案，画☆．
-------- --------- ---------------------------- ---------------------------- ----------------------------
4人间数 3人间数 可住人数 钱数（元）
方案一 4 0 16 400
方案二 3 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
方案三 2 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
方案四 1 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
方案五 0 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
-------- --------- ---------------------------- ---------------------------- ----------------------------
**北师大版三年级（下）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题．（每小题2分，共18分）**
1．三十元九角写作[ 30.9 ]{.underline}元；5.05读作[ 五点零五 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类；货币、人民币的单位换算．
【分析】（1）小数的写法是：整数部分的写法按整数的写法去写，小数部分要依次写出每个数；
（2）小数的读法是：整数部分的读法按整数的读法去读，小数部分要依次读出每个数．
【解答】解：三十元九角写作 30.9元；5.05读作 五点零五；
故答案为：30.9，五点零五．
2．填上适当的单位：练习本的面积约2[ 平方分米 ]{.underline}，教室的门高约2[ 米 ]{.underline}．
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】根据情景根据生活经验，对长度单位、面积单位和数据大小的认识，可知计量练习本的面积用"平方分米"做单位；可知计量教室的门高用"米"做单位．
【解答】解：练习本的面积约2 平方分米，教室的门高约2 米；
故答案为：平方分米，米．
3．
+-----------------------------------------+-------------------------------------------+
| 比较大小，在横线里填上"＞"、"＜"、"=" | 3平方千米[ ＜ ]{.underline}3000公顷 |
| | |
| 4公顷[ ＞ ]{.underline}4900平方米 | |
+-----------------------------------------+-------------------------------------------+
| 60000平方厘米[ = ]{.underline}6平方米 | 15平方米[ ＞ ]{.underline}150平方厘米． |
+-----------------------------------------+-------------------------------------------+
【考点】长度的单位换算．
【分析】本题是名数的大小比较，不同单位的名数的大小比较要先化成相同单位，再根据整数或小数或分数的大小比较方法进行比较．
【解答】解：（1）4公顷=40000平方米，
4公顷＞4900平方米；
（2）3平方千米=300公顷，
3平方千米＜3000公顷；
（3）60000平方厘米=6平方米
（4）15平方米=150000平方厘米
15平方米＞150平方厘米．
故答案为：＞，＜，=，＞．
4．淘气三次数学考试的平均成绩是91分，已知第一次和第二次的数学考试成绩是都是90分，她的第三次成绩是[ 93 ]{.underline}分．
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【分析】根据"平均成绩×测验次数=总成绩"分别求出前三次考试的成绩和及前两次考试的成绩和，进而根据"前三次考试的成绩和﹣前两次考试的成绩和=第三次考试的成绩"进行解答即可．
【解答】解：91×3﹣90×2
=273﹣180
=93（分）；
答：第三次得93分；
故答案为：93．
5．把面积是1米^2^的正方形，平均切成100个小正方形，每个小正方形的面积是[ 0.01平方米 ]{.underline}．
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】把面积是1米^2^的正方形，平均切成100个小正方形，求每个小正方形的面积是多少，用正方形的面积除以100，即可求出每个小正方形的面积，列式解答即可．
【解答】解：1÷100=0.01（平方米）
答：每个小正方形的面积是0.01平方米．
故答案为：0.01平方米．
6．由100人组成的体操表演的方阵（方阵就是排成正方形的队形），方阵最外一周的人数为[ 36 ]{.underline}．
【考点】方阵问题．
【分析】100人组成正方形的方阵，那么最外层每行10人，用每行的人数乘上4行，再减去4个顶点的人数即可求解．
【解答】解：因为10×10=100，所以最外层每行10人，
10×4﹣4
=40﹣4
=36（人）
答：方阵最外一周的人数为36．
故答案为：36．
7．三年级6个班之间将举行拔河比赛，每两个班之间都要进行一场比赛，三（1）班要进行[ 5 ]{.underline}场比赛，全年级一共要进行[ 15 ]{.underline}场比赛．
【考点】握手问题．
【分析】由于每个班都要和另外的5个班赛一场，一共要赛：5×6=30（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：30÷2=15（场），据此解答．
【解答】解：6﹣1=5（场）
5×6÷2=15（场）
答：三（1）班要进行5场比赛，全年级一共要进行15场比赛．
故答案为：5，15．
8．在一个不透明的箱子里，放入除颜色外都相同的8个白球，2个红球，5个蓝球，摇匀后任意摸出一个球，可能出现[ 3 ]{.underline}种情况，摸到[ 白球 ]{.underline}的可能性最大．
【考点】可能性的大小．
【分析】由一只不透明的箱子里共有15个球，其中8个白球，2个红球，5个蓝球，它们除颜色外均相同，即可得摸到球的颜色是无法预测的，可能是白球也可能是红球也可能是蓝球，3中情况；因为总数量不变，白球的个数最多，所以可得摸到白球的可能性最大．
【解答】解：在一个不透明的箱子里，放入除颜色外都相同的8个白球，2个红球，5个蓝球，摇匀后任意摸出一个球，可能出现3种情况；
8＞5＞2，总数量不变，白球的个数最多，
所以摸到白球的可能性最大．
故答案为：3，白球．
**二、计算题．（共25分）**
9．直接写出得数．
---------------------------------------------------------------------------- ----------- ------------ ------------------------------------------
13×20= 12.6+4.2= 22.7﹣6.7= 1﹣=
+= 0.5+1.2= 1﹣0.25= 22×3=
13×40= 124÷4=
---------------------------------------------------------------------------- ----------- ------------ ------------------------------------------
【考点】整数的乘法及应用；小数的加法和减法．
【分析】根据小数、分数的加减法和整数乘除法的计算方法解答．
【解答】解：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- -------------- ------------------------------------------------------------------------------
13×20=260 12.6+4.2=16.8 22.7﹣6.7=16 1﹣=
+= 0.5+1.2=1.7 1﹣0.25=0.75 22×3=66
13×40=520 124÷4=31
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- -------------- ------------------------------------------------------------------------------
10．用竖式计算下面各题．
5.1﹣1.5=
8﹣3.2=
29×47=
312÷6=
【考点】小数的加法和减法；整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据小数减法、整数乘除法的计算方法进行计算即可得到答案．
【解答】解：5.1﹣1.5=3.6
；
8﹣3.2=4.8
；
29×47=1363
；
312÷6=52
．
11．用脱式计算．
25×24+125
400﹣126÷3
（6.5﹣2.5）×16
49×68÷7．
【考点】整数四则混合运算．
【分析】（1）先算乘法，再算加法；
（2）先算除法，再算减法；
（3）先算小括号内的减法，再算括号外面的乘法；
（4）按照从左到右的顺序计算．
【解答】解：（1）25×24+125
=600+125
=725
（2）400﹣126÷3
=400﹣42
=358
（3）（6.5﹣2.5）×16
=4×16
=64
（4）49×68÷7
=3332÷7
=476
**三、选择题．（请将符合要求的字母代号填写在括号里）（每小题2分，共10分）**
12．在如图所示的竖式里，64表示（ ）
A．64个十 B．64个百 C．64个千 D．64个一
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据乘法竖式，64是因数十位上的2相乘得到的结果，应是64个十．
【解答】解：2个十乘以32得64个十，
故答案为：A
13．翻开书本的运动是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．都不是
【考点】平移；旋转．
【分析】根据旋转的含义，物体绕着某一点或轴运动，这种运动现象称为旋转；平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，据此解答．
【解答】解：根据旋转的意义可知：翻开书本的运动是旋转；
故选：B．
14．下面图形中的阴影部分能用来表示的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】表示把单位"1"平均分成3份，表示其中的1份，发现B不是平均分成3份，C和D虽然是分成3份，但不是平均分，所以B、C、D都不正确，据此解答．
【解答】解：表示把单位"1"平均分成3份，表示其中的1份，观察图形只有A是平均分成3份，表示其中的1份，所以选择A．
故选：A．
15．下列图形中是对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形的辨识．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的意义，并结合选项可知：是对称图形；
故选：B．
16．用16个边长为1分米的正方形拼图，（ ）
A．拼成的正方形的面积大 B．拼成的长方形的面积大
C．面积一样大 D．都有可能
【考点】图形的拼组．
【分析】在拼图中无论怎样拼，它们的面积不变，改变的只是它们的形状和周长，据此解答即可．
【解答】解：因在拼图中无论怎样拼，它们的面积不变，所以用16个边长为1分米的正方形拼图，无论拼成什么样的图形，它的面积都是16平方分米．
故选：C．
**四、操作题．（共10分）**
17．画一画，填一填．
（1）用直尺在下面三条线段上分别画出、、，
（2）把、、按照从大到小的顺序排列是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
（3）比较像这样的分数大小的方法是[ 分子相同的分数，分母越小分数越大，分母越大分数越小 ]{.underline}．
【考点】分数的意义、读写及分类；分数大小的比较．
【分析】（1）是把线段平均分成2份，表示其中的1份，是把线段平均分成4份，表示其中的1份，是把线段平均分成8份，表示其中的1份．
（2）分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（3）分子相同的分数，分母越小分数越大，分母越大分数越小．
【解答】解：（1）
（2）因为
所以
（3）比较像这样的分数大小的方法是分子相同的分数，分母越小分数越大，分母越大分数越小．
故答案为：（1）
（2）
（3）分子相同的分数，分母越小分数越大，分母越大分数越小．
18．在下面的方格图中画一个周长10厘米的长方形，并写出它的面积．（每小格边长为1厘米）
【考点】画指定面积的长方形、正方形、三角形．
【分析】根据长方形的周长公式可得，周长为10厘米的长方形的一条长与宽的和是5厘米，则长方形的长与宽可以分别是4厘米，1厘米；根据面积公式算出面积．
【解答】解：图形如下：
长方形的面积是：1×4=4（平方厘米）．
**五、走进生活，解决问题（共37分）**
19．我们班的男同学占．
①女同学占几分之几？
②男同学比女同学多几分之几？
【考点】分数的意义、读写及分类；分数除法．
【分析】①将全班同学当做单位"1"，男同学占，根据分数减法的意义，女同学占全班同学的1﹣=；
②根据分数减法的意义，用男生所占的分率减去女生所占分率即男生比女生多几之几．
【解答】解：①1﹣=；
答：女同学占．
②﹣=．
答：男同学比女同学多．
20．商店一个乒乓球拍13.50元，一个羽毛球拍19.80元，一根跳绳8.60元，一个键子1.90元，小青有20元钱．请你提出一个数学问题，并解答．提出的问题[ 小青要买一根跳绳和一个键子需多少钱？ ]{.underline}？解答：[ 8.60+1.90=10.50（元） ]{.underline}．
【考点】"提问题"、"填条件"应用题．
【分析】问题：小青要买一根跳绳和一个键子需多少钱？把一根跳绳的价钱与一个键子的价钱相加即可．
【解答】解：问题：小青要买一根跳绳和一个键子需多少钱？
8.60+1.90=10.50（元）
答：小青要买一根跳绳和一个键子需10.50元钱．
故答案为：小青要买一根跳绳和一个键子需多少钱？8.60+1.90=10.50（元）．
21．有一个长方形水池，长20米，长比宽长8米，这个长方形水池周长是多少？面积是多少？
【考点】长方形的周长；长方形、正方形的面积．
【分析】长方形的周长C=（a+b）×2，长方形的面积S=ab，据此代入数据即可求解．
【解答】解：（20+20﹣8）×2
=32×2
=64（米），
20×8=160（平方米）；
答：这个长方形水池的周长是64米，面积是160平方米．
22．李虹家准备在客厅地面上铺上方砖，选择哪种方砖便宜？需要这种方砖多少块？
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】先求出客厅的面积和两种方砖的面积，用客厅的面积除以方砖的面积，得出需要的方砖的块数，再乘每种方砖的价格，得出需要的钱数，问题即可得解．
【解答】解：4分米=0.4米，2分米=0.2米，
6×4=24（平方米），
24÷（0.4×0.4）=150（块），
150×5=750（元）；
24÷（0.2×0.2）=600（块）；
600×3=1800（元）；
答：选择边长为4分米的方砖便宜，需要这种方砖150块．
23．下面是一个超市某种饮料一年四个季度的销售量统计图．
（1）哪个季度的销售量最多？你认为该季度销量最多的原因是什么？比最少的季度多多少？
（2）平均每个季度的销售量是多少？
【考点】从统计图表中获取信息．
【分析】（1）根据条形统计图可知，第二季度的销售量最多，第四季度的销售量最少，第二季度的销售量最多可能是因为该季度天气渐热或超市对这种饮料进行了促销活动，所以该季度的销售量最多；用第二季度的销售量减去第四季度的销售量即可得比最少的季度多多少；
（2）可把四个季度销售量相加的和除以4，列式解答即可．
【解答】解：（1）53﹣30=23（箱），
答：第二季度销售量最多，比最少的多23箱；第二季度的销售量最多可能是因为该季度天气渐热或超市对这种饮料进行了促销活动，所以该季度的销售量最多；
（2）（35+53+40+30）÷4
=158÷4
=39.5（箱），
答：平均每个季度销售量是39.5箱．
24．酒店房间标价是4人间100元，3人间80元．一旅游团15人，请你帮忙设计租房方案，并选出最佳方案，画☆．
-------- --------- --------------------- ---------------------- -----------------------
4人间数 3人间数 可住人数 钱数（元）
方案一 4 0 16 400
方案二 3 [ 1 ]{.underline} [ 15 ]{.underline} [ 380 ]{.underline}
方案三 2 [ 3 ]{.underline} [ 17 ]{.underline} [ 440 ]{.underline}
方案四 1 [ 4 ]{.underline} [ 16 ]{.underline} [ 420 ]{.underline}
方案五 0 [ 5 ]{.underline} [ 15 ]{.underline} [ 400 ]{.underline}
-------- --------- --------------------- ---------------------- -----------------------
【考点】最佳方法问题．
【分析】根据题意可知：4人间，每人100÷4=25（元）；3人间，每人80÷3=26（元）；所以尽量安排在4人间较省钱．
【解答】解：如表格：
-------- --------- --------- ---------- ------------
4人间数 3人间数 可住人数 钱数（元）
方案一 4 0 16 400
方案二 3 1 15 380☆
方案三 2 3 17 440
方案四 1 4 16 420
方案五 0 5 15 400
-------- --------- --------- ---------- ------------
**2016年8月20日**
| 1 | |
**2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）i（2+3i）=（ ）
A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知向量，满足\|\|=1，=﹣1，则•（2）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+...+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
9．（5分）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为棱CC~1~的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[0，a\]是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
11．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF~1~⊥PF~2~，且∠PF~2~F~1~=60°，则C的离心率为（ ）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，已知a~1~=﹣7，S~3~=﹣15．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求S~n~，并求S~n~的最小值．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
20．（12分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^﹣a（x^2^+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
**2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）i（2+3i）=（ ）
A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】解：i（2+3i）=2i+3i^2^=﹣3+2i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，
∴A∩B={3，5}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
4．（5分）已知向量，满足\|\|=1，=﹣1，则•（2）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足\|\|=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C~5~^2^=10种，其中全是女生的有C~3~^2^=3种，根据概率公式计算即可，
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C~5~^2^=10种，其中全是女生的有C~3~^2^=3种，
故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，
则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，
故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，
故选：D．
【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．
6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，
则=====，
即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，
BC=1，AC=5，则AB====4．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+...+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+...+（﹣）；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为棱CC~1~的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值．
【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），
C（0，2，0），
=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），
设异面直线AE与CD所成角为θ，
则cosθ===，
sinθ==，
∴tanθ=．
∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[0，a\]是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为\[﹣，\]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），
由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，
得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为\[﹣，\]，
由f（x）在\[0，a\]是减函数，
得a≤．
则a的最大值是．
故选：C．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
11．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF~1~⊥PF~2~，且∠PF~2~F~1~=60°，则C的离心率为（ ）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：F~1~，F~2~是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF~1~⊥PF~2~，且∠PF~2~F~1~=60°，可得椭圆的焦点坐标F~2~（c，0），
所以P（c，c）．可得：，可得，可得e^4^﹣8e^2^+4=0，e∈（0，1），
解得e=．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=12\[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）\]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为[ y=2x﹣2 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2lnx，
∴y′=，
当x=1时，y′=2
∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ 9 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．
【解答】解：∵tan（α﹣）=，
∴tan（α）=，
则tanα=tan（α+）=====，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为[ 8π ]{.underline}．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：，解得SA=4，
SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的高为：2，
则该圆锥的体积为：V==8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，已知a~1~=﹣7，S~3~=﹣15．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求S~n~，并求S~n~的最小值．
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据a~1~=﹣7，S~3~=﹣15，可得a~1~=﹣7，3a~1~+3d=﹣15，求出等差数列{a~n~}的公差，然后求出a~n~即可；
（2）由a~1~=﹣7，d=2，a~n~=2n﹣9，得S~n~===n^2^﹣8n=（n﹣4）^2^﹣16，由此可求出S~n~以及S~n~的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{a~n~}中，a~1~=﹣7，S~3~=﹣15，
∴a~1~=﹣7，3a~1~+3d=﹣15，解得a~1~=﹣7，d=2，
∴a~n~=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
（2）∵a~1~=﹣7，d=2，a~n~=2n﹣9，
∴S~n~===n^2^﹣8n=（n﹣4）^2^﹣16，
∴当n=4时，前n项的和S~n~取得最小值为﹣16．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；
（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，
计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：=99+17.5t，
计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明：可得AB^2^+BC^2^=AC^2^，即△ABC是直角三角形，
又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面ABC；
（2）设点C到平面POM的距离为d．由V~P﹣OMC~=V~C﹣POM~⇒，解得d即可
【解答】（1）证明：∵AB=BC=2，AC=4，∴AB^2^+BC^2^=AC^2^，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；
（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=，
在△COM中，OM==．
S=××=，
S~△COM~==．
设点C到平面POM的距离为d．由V~P﹣OMC~=V~C﹣POM~⇒，
解得d=，
∴点C到平面POM的距离为．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．
20．（12分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式\|AB\|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；
（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y^2^=4x的焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则，整理得：k^2^x^2^﹣2（k^2^+2）x+k^2^=0，则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=1，
由\|AB\|=x~1~+x~2~+p=+2=8，解得：k^2^=1，则k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y^2^=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式\|AB\|===8，解得：sin^2^θ=，
∴θ=，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x~0~，y~0~），则，
解得：或，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣2）^2^=16或（x﹣11）^2^+（y+6）^2^=144．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^﹣a（x^2^+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果．
（2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性．
【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x^3^﹣a（x^2^+x+1），
所以f′（x）=x^2^﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3，
当x∈（﹣∞，3﹣2），x∈（3+2，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
当x∈（3﹣2时，f′（x）＜0，函数是单调递减，
综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2），（3+2，+∞），上是增函数，在（3﹣2上递减．
（2）证明：因为x^2^+x+1=（x+）^2^+，
所以f（x）=0等价于，
令，
则，仅当x=0时，g′（x）=0，所以g（x）在R上是增函数；
g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又因为f（3a﹣1）=﹣6a^2^+2a﹣=﹣6（a﹣）^2^﹣＜0，
f（3a+1）=＞0，
故f（x）有一个零点，
综上，f（x）只有一个零点．
【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用．考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：．
直线l的参数方程为（t为参数）．
转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1
整理得：（4cos^2^α+sin^2^α）t^2^+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则：，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
无解故舍去．
②当直线的斜率存在时，（由于t~1~和t~2~为A、B对应的参数）
所以利用中点坐标公式，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=．
当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为\[﹣2，3\]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|≤1，
∴\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4，
∴\|x+a\|+\|x﹣2\|=\|x+a\|+\|2﹣x\|≥\|x+a+2﹣x\|=\|a+2\|，
∴\|a+2\|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6\]∪\[2，+∞）．
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
| 1 | |
**2014年湖南省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设命题p：∀x∈R，x^2^+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＞0 B．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0
C．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＜0 D．∀x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0
2．（5分）已知集合A={x\|x＞2}，B={x\|1＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|x＞2} B．{x\|x＞1} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|1＜x＜3}
3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（ ）
A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（ ）
A．f（x）= B．f（x）=x^2^+1 C．f（x）=x^3^ D．f（x）=2^﹣x^
5．（5分）在区间\[﹣2，3\]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若圆C~1~：x^2^+y^2^=1与圆C~2~：x^2^+y^2^﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（ ）
A．21 B．19 C．9 D．﹣11
7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（ ）
A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\]
8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（5分）若0＜x~1~＜x~2~＜1，则（ ）
A．﹣＞lnx~2~﹣lnx~1~ B．﹣＜lnx~2~﹣lnx~1~
C．x~2~＞x~1~ D．x~2~＜x~1~
10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足\|\|=1，则\|++\|的取值范围是（ ）
A．\[4，6\] B．\[﹣1，+1\] C．\[2，2\] D．\[﹣1，+1\]
**二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于[ ]{.underline}．
12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（5分）若f（x）=ln（e^3x^+1）+ax是偶函数，则a=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，75分）**
16．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=+（﹣1）^n^a~n~，求数列{b~n~}的前2n项和．
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），
（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）
其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．
（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C~1~：﹣=1（a~1~＞0，b~1~＞0）和椭圆C~2~：+=1（a~2~＞b~2~＞0）均过点P（，1），且以C~1~的两个顶点和C~2~的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C~1~交于A、B两点，与C~2~只有一个公共点，且\|+\|=\|\|？证明你的结论．
21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记x~i~为f（x）的从小到大的第i（i∈N^\*^）个零点，证明：对一切n∈N^\*^，有++...+＜．
**2014年湖南省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设命题p：∀x∈R，x^2^+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＞0 B．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0
C．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＜0 D．∀x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0
【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项
【解答】解∵命题p：∀x∈R，x^2^+1＞0，是一个特称命题．
∴￢p：∃x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0．
故选：B．
【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．
2．（5分）已知集合A={x\|x＞2}，B={x\|1＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|x＞2} B．{x\|x＞1} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|1＜x＜3}
【分析】直接利用交集运算求得答案．
【解答】解：∵A={x\|x＞2}，B={x\|1＜x＜3}，
∴A∩B={x\|x＞2}∩{x\|1＜x＜3}={x\|2＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．
3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（ ）
A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P~1~=P~2~=P~3~．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（ ）
A．f（x）= B．f（x）=x^2^+1 C．f（x）=x^3^ D．f（x）=2^﹣x^
【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．
【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．
∵f（x）=x^﹣2^，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增； 适合题意．
选项B，f（x）=x^2^+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．
选项C，f（x）=x^3^是奇函数，不是偶函数，不合题意．
选项D，f（x）=2^﹣x^在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．
5．（5分）在区间\[﹣2，3\]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．
【解答】解：在区间\[﹣2，3\]上随机选取一个数X，
则﹣2≤X≤3，
则X≤1的概率P=，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．
6．（5分）若圆C~1~：x^2^+y^2^=1与圆C~2~：x^2^+y^2^﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（ ）
A．21 B．19 C．9 D．﹣11
【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．
【解答】解：由C~1~：x^2^+y^2^=1，得圆心C~1~（0，0），半径为1，
由圆C~2~：x^2^+y^2^﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=25﹣m，
∴圆心C~2~（3，4），半径为．
∵圆C~1~与圆C~2~外切，
∴，
解得：m=9．
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（ ）
A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\]
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈\[﹣3，﹣1\]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t^2^+1∈（1，9\]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6\]，
综上：S=t﹣3∈\[﹣3，6\]，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．
8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r=，
∴r=2．
故选：B．
【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．（5分）若0＜x~1~＜x~2~＜1，则（ ）
A．﹣＞lnx~2~﹣lnx~1~ B．﹣＜lnx~2~﹣lnx~1~
C．x~2~＞x~1~ D．x~2~＜x~1~
【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e^x^+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x~1~＜x~2~＜1得答案．
【解答】解：令f（x）=e^x^﹣lnx，
则f′（x）=，
当x趋近于0时，xe^x^﹣1＜0，当x=1时，xe^x^﹣1＞0，
因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，
因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；
令g（x）=，
，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，
∵0＜x~1~＜x~2~＜1，
∴，
即．
∴选项C正确而D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．
10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足\|\|=1，则\|++\|的取值范围是（ ）
A．\[4，6\] B．\[﹣1，+1\] C．\[2，2\] D．\[﹣1，+1\]
【分析】由于动点D满足\|\|=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈\[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵动点D满足\|\|=1，C（3，0），
∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈\[0，2π））．
又A（﹣1，0），B（0，），
∴++=．
∴\|++\|===，（其中sinφ=，cosφ=）
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴=sin（θ+φ）≤=，
∴\|++\|的取值范围是．
或\|++\|=\|++\|，=（2，），
将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即\|++\|的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
**二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于[ ﹣3 ]{.underline}．
【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．
【解答】解：∵=．
∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为[ x﹣y﹣1=0 ]{.underline}．
【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程．
【解答】解：∵曲线C：（t为参数），
∴两式相减可得x﹣y﹣1=0．
故答案为：x﹣y﹣1=0．
【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化．
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为[ 7 ]{.underline}．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，即C（3，1），
此时z=2×3+1=7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是[ k＜﹣1或k＞1 ]{.underline}．
【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y^2^=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．
【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y^2^=4x，
过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），
代入y^2^=4x，可得k^2^x^2^+（2k^2^﹣4）x+k^2^=0，
∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，
∴△=（2k^2^﹣4）^2^﹣4k^4^＜0，
∴k＜﹣1或k＞1．
故答案为：k＜﹣1或k＞1．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
15．（5分）若f（x）=ln（e^3x^+1）+ax是偶函数，则a=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：若f（x）=ln（e^3x^+1）+ax是偶函数，
则f（﹣x）=f（x），
即ln（e^3x^+1）+ax=ln（e^﹣3x^+1）﹣ax，
即2ax=ln（e^﹣3x^+1）﹣ln（e^3x^+1）=ln=ln=lne^﹣3x^=﹣3x，
即2a=﹣3，解得a=﹣，
故答案为：﹣，
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键．
**三、解答题（共6小题，75分）**
16．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=+（﹣1）^n^a~n~，求数列{b~n~}的前2n项和．
【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；
（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a~1~=s~1~=1，
当n≥2时，a~n~=s~n~﹣s~n﹣1~=﹣=n，
∴数列{a~n~}的通项公式是a~n~=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b~n~=2^n^+（﹣1）^n^n，记数列{b~n~}的前2n项和为T~2n~，则
T~2n~=（2^1^+2^2^+...+2^2n^）+（﹣1+2﹣3+4﹣...+2n）
=+n=2^2n+1^+n﹣2．
∴数列{b~n~}的前2n项和为2^2n+1^+n﹣2．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），
（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）
其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．
（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．
（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决．
【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
则=，
==
乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，
==．
因为
所以甲的研发水平高于乙的研发水平．
（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，
恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，
故事件E发生的频率为，
将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．
【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力．
18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；
（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．
【解答】（1）证明：如图
∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，
连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，
又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，
∴AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，
∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，
由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，
∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，
从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，
在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题．
19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，
在△CDE中，由余弦定理得EC^2^=CD^2^+ED^2^﹣2CD•DEcos∠CDE，
即7=CD^2^+1+CD，则CD^2^+CD﹣6=0，
解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），
在△CDE中，由正弦定理得，
则sinα=，
即sin∠CED=．
（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，
而∠AEB=，
∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sinsinα=，
在Rt△EAB中，cos∠AEB=，
故BE=．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．
20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C~1~：﹣=1（a~1~＞0，b~1~＞0）和椭圆C~2~：+=1（a~2~＞b~2~＞0）均过点P（，1），且以C~1~的两个顶点和C~2~的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C~1~交于A、B两点，与C~2~只有一个公共点，且\|+\|=\|\|？证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）由条件可得a~1~=1，c~2~=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C~1~的方程．再由椭圆的定义求得a~2~=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C~2~的方程．
（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足\|+\|≠\|\|．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得y~1~•y~2~ =．由 可得 （2k^2^+3）x^2^+4kmx+2m^2^﹣6=0，根据直线l和C~1~仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k^2^=m^2^﹣3，可得≠0，可得\|+\|≠\|\|．综合（1）、（2）可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C~2~的焦距为2c~2~，由题意可得2a~1~=2，∴a~1~=1，c~2~=1．
由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，
∴双曲线C~1~的方程为：x^2^﹣=1．
再由椭圆的定义可得 2a~2~=+=2，∴a~2~=，
∴=﹣=2，∴椭圆C~2~的方程为：+=1．
（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．
（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=﹣．
当x=时，可得 A（，）、B（，﹣），求得\|\|=2，\|\|=2，
显然，\|+\|≠\|\|．
同理，当x=﹣时，也有\|+\|≠\|\|．
（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得
（3﹣k^2^）x^2^﹣2mkx﹣m^2^﹣3=0，∴x~1~+x~2~=，x~1~•x~2~=．
于是，y~1~•y~2~=k^2^x~1~•x~2~+km（x~1~+x~2~）+m^2^=．
由 可得 （2k^2^+3）x^2^+4kmx+2m^2^﹣6=0，根据直线l和C~1~仅有一个交点，
∴判别式△=16k^2^m^2^﹣8（2k^2^+3）（m^2^﹣3）=0，∴2k^2^=m^2^﹣3．
∴=x~1~•x~2~+y~1~•y~2~=≠0，∴≠，
∴\|+\|≠\|\|．
综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．
【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记x~i~为f（x）的从小到大的第i（i∈N^\*^）个零点，证明：对一切n∈N^\*^，有++...+＜．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），
∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，
由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N^\*^），
当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，
故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N^\*^）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，
又f（）=0，故x~1~=，
当n∈N^\*^，
∵f（nπ）f（（n+1）π）=\[（﹣1）^n^nπ+1\]\[（﹣1）^n+1^（n+1）π+1\]＜0，
且函数f（x）的图象是连续不间断的，
∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，
又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，
故nπ＜x~n+1~＜（n+1）π，
因此当n=1时，有=＜成立．
当n=2时，有+＜＜．
当n≥3时，
...
++...+＜\[\]\[\]
（6﹣）＜．
综上证明：对一切n∈N^\*^，有++...+＜．
【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
| 1 | |
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）**
**数学**
**本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.**
**考生注意：**
**1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.**
**2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.**
**参考公式：**
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| **如果事件*A*，*B*互斥，那么** | **柱体的体积公式** |
| | |
| **如果事件*A*，*B*相互独立，那么** | **其中表示柱体的底面积，表示柱体的高** |
| | |
| **如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，那么*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率** | **锥体的体积公式** |
| | |
| **台体的体积公式** | **其中表示锥体的底面积，表示锥体的高** |
| | |
| **其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高** | **球的表面积公式** |
| | |
| | **球的体积公式** |
| | |
| | **其中表示球的半径** |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
**选择题部分（共40分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合*P*=，，则*PQ*=（ ）
A. B.
C. D.
2.已知*a*∈**R**，若*a*--1+(*a*--2)*i*(*i*为虚数单位)是实数，则*a*=（ ）
A. 1 B. --1 C. 2 D. --2
3.若实数*x*，*y*满足约束条件，则*z*=2*x*+*y*的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数*y*=*x*cos*x*+sin*x*在区间\[--π，+π\]的图象大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（ ）
A. B. C. 3 D. 6
6.已知空间中不过同一点的三条直线*m*，*n*，*l*，则"*m*，*n*，*l*在同一平面"是"*m*，*n*，*l*两两相交"的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{*a~n~*}前*n*项和*S~n~*，公差*d*≠0，．记*b*~1~=*S*~2~，*b~n+~*~1~=*S~n+~*~2~--*S*~2*n*~，，下列等式不可能成立的是（ ）
A. 2*a*~4~=*a*~2~+*a*~6~ B. 2*b*~4~=*b*~2~+*b*~6~ C. D.
8.已知点*O*（0，0），*A*（--2，0），*B*（2，0）．设点*P*满足\|*PA*\|--\|*PB*\|=2，且*P*为函数*y*=图像上的点，则\|*OP*\|=（ ）
A. B. C. D.
9.已知*a*，*b***R**且*ab*≠0，若(*x*--*a*)(*x--b*)(*x--*2*a--b*)≥0在*x*≥0上恒成立，则（ ）
A. *a*\<0 B. *a*\>0 C. *b*\<0 D. *b*\>0
10.设集合*S*，*T*，*S***N***^\*^*，*T***N***^\*^*，*S*，*T*中至少有两个元素，且*S*，*T*满足：
①对于任意*x*，*yS*，若*x*≠*y*，都有*xyT*
②对于任意*x*，*yT*，若*x*\<*y*，则*S*；
下列命题正确是（ ）
A. 若*S*有4个元素，则*S*∪*T*有7个元素
B. 若*S*有4个元素，则*S*∪*T*有6个元素
C. 若*S*有3个元素，则*S*∪*T*有4个元素
D. 若*S*有3个元素，则*S*∪*T*有5个元素
**非选择题部分（共110分）**
**二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.**
11.已知数列{*a~n~*}满足，则*S*~3~=\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.设，则*a*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_；*a*~1~+*a*~2~ + *a*~3~=\_\_\_\_\_\_\_\_．
13.已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_．
14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为\_\_\_\_\_\_\_．
15.设直线，圆，，若直线与，都相切，则\_\_\_\_\_\_\_；*b*=\_\_\_\_\_\_．
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_．
17.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
18.在锐角△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*对边分别为*a*，*b*，*c*，且．
（I）求角*B*；
（II）求cos*A*+cos*B*+cos*C*取值范围．
19.如图，三棱台*DEF*---*ABC*中，面*ADFC*⊥面*ABC*，∠*ACB*=∠*ACD*=45°，*DC* =2*BC*．
（I）证明：*EF*⊥*DB*；
（II）求*DF*与面*DBC*所成角的正弦值．
20.已知数列{*a~n~*}，{*b~n~*}，{*c~n~*}中，．
（Ⅰ）若数列{*b~n~*}为等比数列，且公比，且，求*q*与*a~n~*的通项公式；
（Ⅱ）若数列{*b~n~*}为等差数列，且公差，证明：．
21.如图，已知椭圆，抛物线，点*A*是椭圆与抛物线的交点，过点*A*的直线*l*交椭圆于点*B*，交抛物线于*M*（*B*，*M*不同于*A*）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点直线*l*使*M*为线段*AB*的中点，求*p*的最大值．
22.已知，函数，其中*e*=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记*x*~0~为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
> 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。
试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2502032879017984)
组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。
学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
| 1 | |
**2020年贵州省黔西南州中考数学试卷**
**一、选择题**
1.2的倒数是（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2×=1，
∴2的倒数是，
故选B .
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.
2.某市为做好"稳就业、保民生"工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ）
A. 0.36×10^6^ B. 3.6×10^5^ C. 3.6×10^6^ D. 36×10^5^
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解： 360 000＝3.6×10^5^，
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：\
\
故选D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
4.下列运算正确的是（ ）
A. *a*^3^＋*a*^2^＝*a*^5^ B. *a*^3^÷*a*＝*a*^3^ C. *a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^ D. (*a*^2^)^4^＝*a*^6^
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后即可求解．
【详解】*A*、*a*^3^、*a*^2^不是同类项，不能合并，故*A*错误；
*B*、*a*^3^÷*a*＝*a*^2^，故*B*错误；
*C*、*a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^，故*C*正确；
*D*、(*a*^2^)^4^＝*a*^8^，故*D*错误．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A. 4，5 B. 5，4 C. 4，4 D. 5，5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【详解】解：本题考查了求一组数据的中位数，众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将4，3，5，5，2，5，3，4，1按由小到大的顺序排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，处在最中间的数是4，所以中位数是4，其中5出现了3次，出现次数最多，所以众数是5，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
6.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）
A. 37° B. 43° C. 53° D. 54°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线性质得出，再根据即可求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠FEG＝90°，
∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53°
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
7.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8.已知关于x的一元二次方程(m－1)x^2^＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2且m≠1 D. m≤2且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程x^2^－2x＋m＝0有实数根，所以b^2^－4ac＝2^2^－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x^2^＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
9.如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【详解】解：因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°．
如答图，过点C作CD⊥OB于点D，
则OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2×＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2×＝．
因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1，）．
因为顶点C在反比例函数y═的图象上，所以＝，得k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝，
因此本题选B．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．
10.如图，抛物线y＝ax^2^＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线y=ax^2^+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【详解】解：因为抛物线y＝ax^2^＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax^2^＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
**二、填空题**
11.多项式分解因式的结果是\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：a^3^-4a=a（a^2^-4）=a（a+2）（a-2）．\
故答案为a（a+2）（a-2）．
【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法．
12.若7a^x^b^2^与－a^3^b^y^和为单项式，则y^x^＝\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】8
【解析】
【分析】
直接利用合并同类项法则进而得出x，y的值，即可得出答案．
【详解】解：因为7a^x^b^2^与－a^3^b^y^的和为单项式，所以7a^x^b^2^与－a^3^b^y^是同类项，所以x＝3，y＝2，所以y^x^＝2^3^＝8，因此本题答案为8．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确得出x，y的值是解题关键．
13.不等式组的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】－6＜x≤13
【解析】
【分析】
根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
【详解】，解得
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜≤13
故答案为：﹣6＜≤13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
15.如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】y＝－2x
【解析】
【分析】
首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
【详解】∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为（－1，2）．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x，
故答案为：y＝－2x．
【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．
16.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．
【详解】解：如答图，由第一次折叠得EF⊥AD，AE＝DE，
∴∠AEF＝90°，AD＝2AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠AEF＝∠D，
∴EF∥CD，
∴△AEN∽△ADM，
∴＝＝，
∴AN＝AM，
∴AN＝MN，
又由第二次折叠得∠AGM＝∠D＝90°，
∴NG＝AM，
∴AN＝NG，
∴∠2＝∠4．
由第二次折叠得∠1＝∠2，
∴∠1＝∠4．
∵AB∥CD，EF∥CD，
∴EF∥AB，∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3．
∵∠1＋∠2＋∠3＝∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2．
由第二次折叠得AG＝AD＝2．
由第一次折叠得AE＝AD＝×2＝1．
在Rt△AEG中，由勾股定理得EG＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．
17.如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入*x*的值为625，则第2020次输出的结果为\_\_\_\_\_．
【答案】1．
【解析】
【分析】
依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】当x＝625时，x＝125，
当x＝125时，x＝25，
当x＝25时，x＝5，
当x＝5时，x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时，x＝1，
...
依此类推，以5，1循环，
（2020﹣2）÷2＝1010，
即输出的结果是1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了\_\_\_\_人．
【答案】10
【解析】
【分析】
如果设每轮传染中平均每人传染了x人，那么第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x（x+1）人被传染，已知"共有121人患了流感"，那么可列方程，然后解方程即可．
详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，
则第一轮传染中有x人被传染，
第二轮则有x(x+1)人被传染，
又知：共有121人患了流感，
∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，
解得，（不符合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.
故答案为10.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系.
19.如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，...，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】57
【解析】
【分析】
根据题意得出第n个图形中菱形的个数为；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数．
【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，；
第②个图形中共有7个菱形，；
第③个图形中共有13个菱形，；
...，
第n个图形中菱形的个数为：；
则第⑦个图形中菱形的个数为．
故答案为：57．
【点睛】本题考查了整式加减的探究规律---图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律．
20.如图，在中，，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形，点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【详解】如解图，连接，过点作于点，于点．
设交于点，交于点，
，，点为的中点，，，
，四边形是正方形，，
则，
，
，
在和中，，
，
，
．
【点睛】
**三、解答题**
21.（1）计算：(－2)^2^－\|\|－2cos45°＋(2020－π)^0^；
（2）先化简，再求值：()÷，其中a＝－1．
【答案】（1）5－；（2），
【解析】
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；\
（2）直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式＝4－－2×＋1＝＝4－－＋1＝5－．
（2）解：原式＝\[\]÷＝·＝
·＝．
当a＝－1时，原式＝＝＝
【点睛】此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是\_\_\_\_\_\_\_\_；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：\_\_\_\_\_\_\_\_（填序号）；
 
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，\
故选：B．\
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．\
故答案为：(1)(3)(5)．\
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．\
（4）图形如图所示：
【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.新学期，某校开设了"防疫宣传""心理疏导"等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是\_\_\_\_\_\_\_\_名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是\_\_\_\_\_\_\_\_，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为\_\_\_\_；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析，
【解析】
【分析】
（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
（2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
（4）根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
（2）∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；
（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：
（4）画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝
【点睛】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
24."节能环保，绿色出行"意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．
【解析】
【分析】
（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y=a+（60﹣a），
y=﹣300a+36000．
∵B型车进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣300a+36000．
∴k=﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y~最大~=30000元．
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
25.古希腊数学家毕达哥拉斯认为："一切平面图形中最美的是圆"．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），解析
【解析】
【分析】
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用"两组边成比例，夹角相等"证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
26.已知抛物线y＝ax^2^＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
【答案】（1）y＝－x^2^＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；\
（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t^2^+6t=-（t-3）^2^+9，即可得出结论；\
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax^2^＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），
∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x^2^＋5x＋6．
∵y＝－x^2^＋5x＋6＝－(x)^2^＋，
∴抛物线的解析式为y＝－x^2^＋5x＋6，顶点坐标为（，）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x^2^＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A（6，0），C（0，6）代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t^2^＋5t＋6），
∴PE＝－t^2^＋5t＋6－(－t＋6)＝－t^2^＋6t＝－(t－3)^2^＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t^2^＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为．
∵点N在抛物线上，
∴－x^2^＋5x＋6＝，解得，x~1~＝或x~2~＝，
∴点N坐标为（，）或（，）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．
| 1 |
Subsets and Splits