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|---|---|---|
**衡水中学2016---2017 学年度下学****期六调考试**
**高三年级(理科)数学试卷**
**第Ⅰ卷（选择题部分，共 60 分）**
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．全集，集合A= ，集合B=，若~,~
则的取值范围是（ ）\[来源:Zxxk.Com\]
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差， ，的大小关系是. ( )
A. *\< \<* B. *\< \<* C*\<\<* D. *\<\<*
4．已知双曲线*，它*的一条渐近
线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．  C． D．
5．已知，，，成等差数列，
，，，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．或
6．.执行如图所示的框图，若输出的sum的位为2047，则条\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
件框中应城写的是( )
A． B． C． D．
7.已知展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出\[来源:\]
的是某个多面体的三视图，若该多面休的所有顶\[来源:Zxxk.Com\]
点都在球O表面上，则球O的表面积是( )
A． B．
C． D．
9.已知锐角、满足.设侧下列判断正确的是( )
A． B．
C． D．
10.以抛物线的一点为直角顶点作抛物线的两个内接,,则线段AB与线段CD的交点E的坐标为( )
A． B． C． D．
11．将单位正方体放置在水平桌面上(一面与桌面完全接触).
沿其一条棱翻动一次后.使得正方体的另一面与桌面完全接触.
称一次翻转.如图，正方体的顶点A.经任意翻转三次后.点A
与其终结位置的直线距离不可能为( )
A． B． C． D．
12.已知为函数的导函致.且若，则方程有且仅有一个根时，的取值范围是（ ）
A． B．  C． D．
**第II卷(非选择题90分)**
二、填空题(每小题5分.共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)
13.如图.BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，.则的值是\_\_\_。
14..在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为"格点"，.
如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为"阶格点函数"，下列函数中是"一阶格点函数"的有\_\_\_\_\_\_
①；②；③；
④；⑤
15．已知实数满足，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．\[来源:学,科,网\]
16.各顶均为正数的数列 首项为2，且满足，
公差不为零的等差的前项和为，，且、、成等比数列，设.求数列的前项和
三、解答题(共5小题，共60分.把每题的答案填在答题纸的相应位置)
17．(本题满分12分)在△ABC中，，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC.
(1)若△BDC的面积为,求CD.
(2)若AC，求
18.(本题满分12分)如图所示，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1. AE⊥平面ABC.，CD//AE，且CD= AE
(1)设CE与平面ABE所成的角为，.若.求k的取值范.;
 (2)在（I)和条件下.当k取拼最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值
\[来源:Zxxk.Com\]
19.（本小题12分)中石化集团获得了某地深海油田块的开采权.集闭在该地区随机初步勘探了部分几口井.取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高.如果新设计的井位与原有井位重合成接近.便利用旧井的地质资料.不必打这口新井.以节钓勘探费用，劫探初期效据资料见下表:
\(1\) 1-6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为.
求，并估计的预报值;
(2)现准备勘探新井7 (1. 25).若通过1、3、5、7号井计算出的、的值
(,精确到0.01)与(1)中, 的值差不超过10%. 则使用位置最接近的已有旧井6 (1. ).否则在新位置打开.请判断可否使用旧井?
(3)设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井.那么在原有6口井中任意勘探4口井.求勘探优质井数X的分布列与数学期望.
\[来源:ZXXK\]
20.(本小题满分12)已知抛物找C的方程为,
点(4,4)为抛物线上一点，F为抛物线的焦点.曲线在一
点的法线即与该点切线垂直的直线。
(1)若点P的法线被抛物线所截的线段最短.求点P坐标.
(2)任意一条和y轴平行的直线交曲线C于点Q,. 关
于在点Q的法线对称的直线为.直线,通过一个定点M.求定点
.坐标.
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
21.(本小题满分12分)已知函数
(1)若在处和图a的切线平行.求的值:
（2）设函数，讨论函数零点的个数。
22.（本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中.曲线的参数方程为
.曲线的上点对应的参数，将曲线通过伸缩变换
后得到曲线，直线的参数方程为
(1)说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程
(2)求曲线上的点到直线的距离的最小值
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
23.(本小题满分10分)已知函数 \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
(1)求的解集
(2)若对任意的都存在一个使得.求的取位范圈
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**2019年四川省遂宁市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）**
1．（4分）（2019•遂宁）的值为
A． B． C． D．2
2．（4分）（2019•遂宁）下列等式成立的是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与其对面上的数字
之积是
A． B．0 C． D．
4．（4分）（2019•遂宁）某校为了了解家长对"禁止学生带手机进入校园"这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
5．（4分）（2019•遂宁）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为
A．0 B． C．1 D．
6．（4分）（2019•遂宁）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•遂宁）如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，
若的周长为28，则的周长为
A．28 B．24 C．21 D．14
8．（4分）（2019•遂宁）关于的方程的解为正数，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
9．（4分）（2019•遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是
A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，随的增大而增大
10．（4分）（2019•遂宁）如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
**二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）**
11．（4分）（2019•遂宁）2018年10月24日，我国又一项世界级工程港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•遂宁）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•遂宁）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为[ ]{.underline}分．
14．（4分）（2019•遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
；
；
根据以上信息，完成下面计算：
[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点落在坐标原点，点、点分别位于轴，轴的正半轴，为线段上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，反比例函数经过点．二次函数的图象经过、、三点，则该二次函数的解析式为[ ]{.underline}．（填一般式）
**三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）**
16．（7分）（2019•遂宁）计算：
17．（7分）（2019•遂宁）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
18．（7分）（2019•遂宁）先化简，再求值：，其中，满足．
19．（9分）（2019•遂宁）如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证：
（1）．
（2）四边形是平行四边形．
20．（9分）（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从至共有30级阶梯，平均每级阶梯高，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
21．（9分）（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批仙桃每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润售价进价）
22．（10分）（2019•遂宁）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：
------ ----------------
代号 活动类型
经典诵读与写作
数学兴趣与培优
英语阅读与写作
艺体类
其他
------ ----------------
为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．
（1）此次共调查了[ ]{.underline}名学生．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）"数学兴趣与培优"所在扇形的圆心角的度数为[ ]{.underline}．
（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢、、三类活动的学生共有多少人？
（5）学校将从喜欢""类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园"金话筒"朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．
23．（10分）（2019•遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线交直线于点，连接，若的面积为3，求出点的坐标．
24．（10分）（2019•遂宁）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接
，若，．
（1）求证：；
（2）求的半径；
（3）求证：是的切线．
25．（12分）（2019•遂宁）如图，顶点为的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接、．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并求出此时点的坐标．
②求证：．
**2019年四川省遂宁市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）**
1．（4分）的值为
A． B． C． D．2
【考点】22：算术平方根；28：实数的性质；21：平方根
【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可．
【解答】解：．
故选：．
2．（4分）下列等式成立的是
A． B． C． D．
【考点】35：合并同类项；78：二次根式的加减法；：整式的除法；47：幂的乘方与积的乘方
【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，无法计算，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
、故，此选项错误；
故选：．
3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与其对面上的数字
之积是
A． B．0 C． D．
【考点】：专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，所以数字为的面的对面上的数字是6，其积为．
【解答】解：数字为的面的对面上的数字是6，其积为．
故选：．
4．（4分）某校为了了解家长对"禁止学生带手机进入校园"这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
【考点】：总体、个体、样本、样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：某校为了了解家长对"禁止学生带手机进入校园"这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
故选：．
5．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为
A．0 B． C．1 D．
【考点】：一元二次方程的解
【分析】直接把代入进而方程，再结合，进而得出答案．
【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，，
则的值为：．
故选：．
6．（4分）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【考点】：扇形面积的计算；：三角形的外接圆与外心
【分析】根据圆周角定理得到，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：，
，
阴影部分的面积，
故选：．
7．（4分）如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，
若的周长为28，则的周长为
A．28 B．24 C．21 D．14
【考点】：平行四边形的性质；：线段垂直平分线的性质
【分析】先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由平行四边形的周长为24，即可得出答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为28，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故选：．
8．（4分）关于的方程的解为正数，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【考点】：分式方程的解；：解一元一次不等式
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到的值，根据分式方程解是正数，即可确定出的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：．
9．（4分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是
A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，随的增大而增大
【考点】：二次函数的性质；：二次函数的图象
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【解答】解：二次函数
对称轴为直线
，故选项正确；
当时，
顶点的坐标为，故选项正确；
当时，由图象知此时
即
，故选项不正确；
对称轴为直线且图象开口向上
当时，随的增大而增大，故选项正确；
故选：．
10．（4分）如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【考点】：等边三角形的性质；：正方形的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】由等边三角形及正方形的性质求出、，从而判断①；证可判断②；作，设，则，，，由求出，从而求得、的长，据此可判断③，证，根据求解可判断④．
【解答】解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，
，
则，故①正确；
，
，
又，
，故②正确；
如图，过点作于，
设，则，，
，
由知，
解得，
，
，
，
则，故③错误；
，，
，
又，
，
，
，故④正确；
故选：．
**二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）**
11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于55000有5位，所以可以确定．
【解答】解：，
故答案为．
12．（4分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为[ ]{.underline}．
【考点】：根的判别式
【分析】利用根的判别式进行计算，令△即可得到关于的不等式，解答即可．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
即，
．
故答案为：．
13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为[ 88.8 ]{.underline}分．
【考点】：加权平均数
【分析】根据加权平均数的计算方法求值即可．
【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为：
故答案为：88.8
14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
；
；
根据以上信息，完成下面计算：
[ ]{.underline}．
【考点】：实数的运算
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点落在坐标原点，点、点分别位于轴，轴的正半轴，为线段上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，反比例函数经过点．二次函数的图象经过、、三点，则该二次函数的解析式为[ ]{.underline}．（填一般式）
【考点】：二次函数的性质；：矩形的性质；：二次函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的三种形式；：反比例函数图象上点的坐标特征；：翻折变换（折叠问题）
【分析】点，反比例函数经过点，则点，由勾股定理得：，故点，，将点、、坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解答】解：点，反比例函数经过点，则点，
则，，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，故点，，
将点、、坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：．
**三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）**
16．（7分）计算：
【考点】：特殊角的三角函数值；：零指数幂；：实数的运算；：负整数指数幂
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
17．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
【考点】：解一元一次不等式组；：一元一次不等式组的整数解；：在数轴上表示不等式的解集
【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【解答】解：
解不等式①，，
解不等式②，，
，
解集在数轴上表示如下：
的整数解为，，0，1，2．
18．（7分）先化简，再求值：，其中，满足．
【考点】23：非负数的性质：算术平方根；：非负数的性质：偶次方；：分式的化简求值
【分析】先化简分式，然后将、的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
，满足，
，，
，，
原式．
19．（9分）如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证：
（1）．
（2）四边形是平行四边形．
【考点】：全等三角形的判定与性质；：平行四边形的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1），
，
点是的中点，
，
在与中，，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从至共有30级阶梯，平均每级阶梯高，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】过 作于，过作于，于是得到四边形是矩形，求得，，得到，求得，得到，根据梯形的面积公式求得梯形的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
【解答】解：过 作于，过作于，
则四边形是矩形，
，，
米，
斜坡的坡度，
，
，
斜坡的坡度，
，
，
，
共需土石为立方米．
21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批仙桃每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润售价进价）
【考点】：一元一次不等式的应用；：分式方程的应用
【分析】（1）设第一批仙桃每件进价是元，则第二批每件进价是元，再根据等量关系：第二批仙桃所购件数是第一批的倍，列方程解答；
（2）设剩余的仙桃每件售价元，由利润售价进价，根据第二批的销售利润不低于440元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价元，则，
解得．
经检验，是原方程的根．
答：第一批仙桃每件进价为180元；
（2）设剩余的仙桃每件售价打折．
则：，
解得．
答：剩余的仙桃每件售价至少打7折．
22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：
------ ----------------
代号 活动类型
经典诵读与写作
数学兴趣与培优
英语阅读与写作
艺体类
其他
------ ----------------
为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．
（1）此次共调查了[ 200 ]{.underline}名学生．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）"数学兴趣与培优"所在扇形的圆心角的度数为[ ]{.underline}．
（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢、、三类活动的学生共有多少人？
（5）学校将从喜欢""类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园"金话筒"朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．
【考点】：用样本估计总体；：加权平均数；：条形统计图；：列表法与树状图法；：扇形统计图
【分析】（1）由类型人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得的人数，据此可补全图形；
（3）用乘以类型人数所占比例；
（4）总人数乘以前三项人数之和所占比例即可得；
（5）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：（1）此次调查的总人数为（人，
故答案为：200；
（2）类型人数为（人，
类型人数为（人，
补全图形如下：
（3）"数学兴趣与培优"所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
（4）估计该校喜欢、、三类活动的学生共有（人；
（5）画树状图如下：
，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有12种结果，
刚好一男一女参加决赛的概率．
23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线交直线于点，连接，若的面积为3，求出点的坐标．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法将代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
（2）设点的坐标为，，用表示出的面积，从而列出关于的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）将代入一次函数中得：
将代入反比例函数中得：
反比例函数的表达式为；
（2）如图：
设点的坐标为，，则
，点到直线的距离为
的面积
解得：或或1或2
点不与点重合，且
又
或1或2
点的坐标为或或．
24．（10分）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接
，若，．
（1）求证：；
（2）求的半径；
（3）求证：是的切线．
【考点】：圆周角定理；：切线的判定与性质；：解直角三角形
【分析】（1）根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）设，，得到，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由，得到，求得，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到是的切线．
【解答】解：（1）是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
设，，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
的半径为；
（3），
，
，
，
，
，
是的切线．
25．（12分）如图，顶点为的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接、．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并求出此时点的坐标．
②求证：．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由于已知二次函数顶点坐标，故可设顶点式，再把点代入求即求得二次函数关系式．
（2）设点横坐标为，用表示直线的值即得到直线解析式，把代入即用表示点坐标．根据、关于点对称，求得，且能用表示点坐标．①由，可列得关于的方程，求解即得到点、坐标．求、、的值得到，判断是等腰直角三角形．②有点、坐标求直线解析式（含，令求得直线与轴交点的坐标，发现为中点即直线垂直平分，根据垂直平分线性质得，由等腰三角形三线合一得，得证．
【解答】解：（1）二次函数顶点为
设顶点式
二次函数图象过点
，解得：
二次函数的关系式为
（2）设，
直线解析式为：
交对称轴于点
当时，
点、关于点对称
，
，即
①
解得：
，，
，，
，
是等腰直角三角形，此时点坐标为，．
②证明：如图，设直线与轴交于点
、
设直线解析式为
解得：
直线
当时，，解得：
，轴
垂直平分
| 1 | |
2015-2016学年度上学期高三年级六调考试
理数试卷
命题人:张贺
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第I卷(选择题共60分）
―、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={xx+1∣≤2，xz}，B={y\|y=x^2^－1≤x≤1}，则A B= ( )
A. B. C D
2.若z是复数，且（3+z）i=l（ i为虚数单位），则z的值为 ( )
A. －3＋+i B. －3－i C、3＋i D、 3－i
+---------------------+-----+-----------+
| *乙* | | *甲* |
+---------------------+-----+-----------+
| *8、6、4、3* | *1* | *5* |
| | | |
| *8 6 3* | *2* | *4 3* |
| | | |
| *\[来源:Zxxk.Com\]* | *3* | *1 6 7 9* |
| | | |
| *1* | *4* | *9 4* |
| | | |
| | *5* | *0* |
+---------------------+-----+-----------+
3.已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，
> 则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为 ()
>
> A. **＜**，**＜** B. \<，\>
>
> C. \>, \> D. \>, \<
4、设x，y满足 ，若目标函数z=ax+y（a＞0）的最大值为14，则a=（）
A.1 B2 C12 D 
5、设Sn是等比数列 的前n项和，S~m-1\ =~45 ，S~m=~93 S~m,+1=~189~，~，则m=（）
A. 6 B.5 C.4 D.3
6在ABC中，点D满足 = ,当E点在线段AD上移动时，若= + ，则t=的最小值是
A B C D
7、设集合I= ，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有
A 50种 B49种 C48种 D47种
8、设集合A= ，B= ，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记"点P（a，b）落在直线x+y=n上"为事件C~n~（2≤n≤5，nN），若事件C~n~的概率最大，则n的所有可能值为
A.3 B.4 C. 2和5 D.3和4
9、已知函数f（x）= 若存在x1，x2，当0≤x~1~＜4≤x~2~≤ 6时，f（x~1~）= f（x~2~），则x~1~. f（x~2~）的取值范围是
A. B. C D.
10、某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为
A 16+6
B16+6
D10+6
C10+6
11、已知抛物线C~1~：y= （p＞0）的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M，若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则P=
A B C D
12、 关于曲线C： + =1,给出下四个列命题：① 曲线C关于原点对称; ② 曲线C 有且仅有两条对称轴；③曲线C的周长 满足＞4 ；④曲线C上的点到原点距离的最小值为 ，上述命题中，真命题的个数是
A 1 B 2 C 3 D4
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13、为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为
45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上）在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为 [ ]{.underline} 米。
14.在（1+x）+（1+x）^2^+...+ （1+x）^9^ 的展开式中，x^2^ 项的系数是 [ ]{.underline} .
15、已知抛物线y=4x^2^ 的准线与双曲线 （a＞0 ，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 [ ]{.underline}  。
16、半径为1的球的内部装有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径为r的可能的最大值为 [ ]{.underline} 。
三、解答题（本大题共六小题共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知函数
1. 求函数 的单调递减区间
2. 将函数=的图像向左平移 个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，求函数在区间 上的值域。
18.(本小题满分12分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P---ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，PD丄平面ABCD， AD= 1 AB = BC=4.
(1)求证:BD丄PC;
（2)求直线AB与平面PDC所成的角；
(3)设点E在棱PC上， =，若DE//平面PAB,求的值.
19.(本小题满分12分）
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推 出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商).为了调查每 天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为"微信控"，否则称其为"非微信控"，调查结果 如下
------ -------- ---------------------------------------------- ------
微信控  非微信控 合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
------ -------- ---------------------------------------------- ------
(1)根据以上数据，能否有60%的把握认为"微信控"与"性别"有关？
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中 "微信控"和"非微信控"的人数；
(3)从（2)中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中"微信控" 的人数为X，试求X的分布列与数学期望.
参考公式：K^2^ =
其中 n=a+b+c+d
参考数据：
-------------- ------------------------------------ ------- ----------------------------------------- ------- ------- -------
P(K^2^≥k~0~) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
K~0~ 0.456\[来源:学。科。网Z。X。X。K\] 0.708 1.321 3.840 5.024 6.635
-------------- ------------------------------------ ------- ----------------------------------------- ------- ------- -------
20.(本小题满分12分）
已知椭圆)的两个焦点分别为F1（ ---c，0)和F2(c，0)(c\>0),过点E
( ，0)的直线与椭圆相交于A，B两点,**F1 AF~2~B** ，
(1)求椭圆的离心率；
(2)求直线AB的斜率；
(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F~2~B上有一点H(m，n)(m0)在三角形AF~1~C的外接圆上，求的n/m值
21.(本小题满分12分）
设函数 f(x) =
(1)求函数f（x）的单调区间和极值；
(2)是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为 ？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由。.
22.(本小题满分10分)选修4一 1:几何证明选讲
已知AB为半圆O的直径，AB = 4,C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD,过A点作 AD丄CD于D，交半圆于点E，DE=1.
(1)证明：AC平分∠BAD;
(2)求BC的长.
\[来源:\]
23.(本小题满分10分)选修4---4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程 （t为参数）曲线C的极坐标方程是
\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
以极点为原点，极轴为x轴正方向建立坐标系，点M（－1，0），直线L与曲线C交于A、B两点。
(1)试写出直线L的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA,MB长度分别记为 求的值。
24.(本小题满分10分)选修4一5不等式选讲 \[来源:学+科+网\]
设函数 f（x）=丨x ---1丨＋丨x ---2丨,
(1)求 不等式f(x) ≤3的解集
(2)若不等式 ≤丨a丨f（x）（a≠0，a b）恒成立，求实数x的取值范围.
| 1 | |
**2020-2021学年甘肃省白银市会宁县五年级（上）期末数学试卷**
**一、我会填。（每空1分，共25分）**
1．（5分）
--------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------
350公顷＝[ ]{.underline}平方千米 30分＝[ ]{.underline}时
0.68平方千米＝[ ]{.underline}公顷 4620平方厘米＝[ ]{.underline}平方分米＝[ ]{.underline}平方米
--------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------
2．（2分）8.666...的循环节是[ ]{.underline}，保留两位小数是[ ]{.underline}。
3．（1分）互质的两个数的最大公因数是[ ]{.underline}．
4．（2分）把3米长的彩带平均分给4个小朋友，每人分到这根彩带的[ ]{.underline}，每人分到[ ]{.underline}米。
5．（2分）[ ]{.underline}个是，1里面有[ ]{.underline}个。
6．（1分）一个梯形的上、下底之和是4.8厘米，高是3.5厘米，这个梯形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
7．（1分）一个合数至少有[ ]{.underline}个因数．
8．（3分）12和18的最大公因数是[ ]{.underline}。4和6的最小公倍数是[ ]{.underline}。26和39的最大公因数是[ ]{.underline}。
9．（1分）一个平行四边形的面积是16平方分米，它的高是8厘米，它的底是[ ]{.underline}厘米．
10．（3分）＝5÷[ ]{.underline}＝＝[ ]{.underline}（填小数）。
11．（1分）12的所有因数的和是[ ]{.underline}．
12．（1分）一个三角形与平行四边形的面积相等，高相等，已知平行四边形的底是16*cm*，三角形的底是[ ]{.underline}*cm*．
13．（1分）一个三角形的面积是6*cm*^2^，底是2*cm*，高是[ ]{.underline}*cm*。
14．（1分）把的分子上加上4，要使这个分数大小不变，分母应加上[ ]{.underline}．
**二、我会判断。（对的在括号里画"√"，错的画"×"）（每题1分，共5分）**
15．（1分）如果是一个假分数，那么*a*小于或等于*b*。[ ]{.underline}（判断对错）
16．（1分）因为4×5＝20，所以20是倍数，4和5是因数．[ ]{.underline}（判断对错）
17．（1分）一个数的因数总比它的倍数小．[ ]{.underline}．（判断对错）
18．（1分）两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（1分）大于而小于的分数只有一个．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、我会选。（把正确答案的字母填在括号里）（每题2分，共10分）**
20．（2分）三个连续自然数的和一定是（ ）
A．3的倍数 B．偶数 C．奇数
21．（2分）有两根铁丝，分别长24*m*和18*m*，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余，每小段铁丝最长是（ ）*m*。
A．2 B．3 C．6 D．8
22．（2分）丽丽和思思看同一本书，丽丽每天看全书的，思思7天看完全书，（ ）看得快一些．
A．丽丽 B．思思 C．无法判断谁
23．（2分）笑笑买课外书用了自己零花钱的，淘气买课外书也用了自己零花钱的，（ ）花的钱多。
A．笑笑 B．淘气 C．无法判断
24．（2分）如图，第8个点阵的点数是（ ）个。
> 
A．36 B．35 C．32 D．28
**四、我会算。（共18分）**
25．（5分）直接写出得数。
------------ ----------- ----------- -------------- --------------
1﹣0.55＝ 0.4×0.3＝ 0.36÷4＝ 1.8×0.5＝ 0.09×0.9＝
0.15×0.2＝ 10.5+5＝ 4.8÷0.3＝ 16.7﹣0.84＝ 5.82÷0.6×0＝
------------ ----------- ----------- -------------- --------------
26．（4分）列竖式计算，除不尽的保留两位小数。
---------- ---------
9.36÷5.2 62.8÷17
---------- ---------
27．（9分）用你喜欢的方法计算。
------------------------- -------------- -------------
40×\[（1.12+2.2）÷0.2\] 0.125÷0.25÷4 8.89+8.89×9
------------------------- -------------- -------------
**五、我会画。（共12分）**
28．（8分）画出下面各图形给定底边上的高。
> 
29．（4分）涂一涂，表示出。
> 
**六、我会思考。（每题5分，共25分）**
30．（5分）将10克盐放入90克水中，盐占水的几分之几？盐占盐水的几分之几？
31．（5分）一块平行四边形街头广告牌，底是8.5米，高是5.4米．要粉刷这块广告牌，每平方米要用油漆0.5千克，至少准备多少千克油漆？
32．（5分）森林运动会上，小兔和小山羊进行跑步比赛。在相同的时间内，小山羊跑了全程的，小兔跑了全程的。谁跑得快呢？
33．（5分）一块平行四边形绿地，因为盖房子被占掉了一部分，剩下部分如图阴影部分所示。剩下部分的面积是多少平方米？
> 
34．（5分）有5元和2元的人民币共18张，一共是60元，5元和2元的人民币各有多少张？
**2020-2021学年甘肃省白银市会宁县五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、我会填。（每空1分，共25分）**
1．【分析】（1）低级单位公顷化高级单位平方千米除以进率100；
> （2）低级单位分化高级单位时除以进率60；
>
> （3）高级单位平方千米化低级单位公顷乘进率100；
>
> （4）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100；化高级单位平方米除以进率10000。
>
> 【解答】解：
--------------------------- ----------------------------------------------
（1）350公顷＝3.5平方千米 （2）30分＝0.5时
（3）0.68平方千米＝68公顷 （4）4620平方厘米＝46.2平方分米＝0.462平方米
--------------------------- ----------------------------------------------
> 故答案为：3.5；0.5；68；46.2，0.462。
>
> 【点评】本题是考查面积的单位换算、时间的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。
2．【分析】循环小数中重复出现的部分叫做循环节；近似到哪一位就看它的下一位，运用四舍五入法进行取值即可。
> 【解答】解：8.666...的循环节是6，保留两位小数是8.67。
>
> 故答案为：6，8.67。
>
> 【点评】本题主要考查了循环节的定义和近似值的求法，属于基础题，较为简单。
3．【分析】两个数互质，它们的最大公因数是1，依此即可解答．
> 【解答】解：两个数互质，它们的最大公因数是1．
>
> 故答案为：1．
>
> 【点评】此题考查了两个数互质的最大公因数：两个数互质，最大公因数是1．
4．【分析】把这条彩带的长度看作单位"1"，把它平均分成4份，每个小朋友得到1份，每份是这条彩带的，求每人分到的长度，用这条彩带的长度除以小朋友人数。
> 【解答】解：1÷4＝
>
> 3÷4＝（米）
>
> 答：每人分到这根彩带的，每人分到米。
>
> 故答案为：，。
>
> 【点评】解决此题关键是弄清求的是"分率"还是"具体的数量"，求分率：平均分的是单位"1"；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
5．【分析】的分数单位是，它里面有7个这样的分数单位；1＝，它的分数单位是，它里面有11个这样的分数单位。
> 【解答】解：7个是，1里面有11个。
>
> 故答案为：7，11。
>
> 【点评】解决本题关键是理解分数的意义和分数单位的意义。
6．【分析】根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：4.8×3.5÷2
>
> ＝4.8÷2×3.5
>
> ＝2.4×3.5
>
> ＝8.4（平方厘米）
>
> 答：这个梯形的面积是8.4平方厘米。
>
> 故答案为：8.4。
>
> 【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用。
7．【分析】自然数中，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．由此可知，一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数即共至少有3个因数，如4，共有1，2，4三个因数．
> 【解答】解：根据合数的意义可知，
>
> 一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数即共至少有3个因数．
>
> 故答案为：3．
>
> 【点评】本题重点考查了学生对于合数意义的理解．
8．【分析】两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
> 【解答】解：12＝2×2×3
>
> 18＝2×3×3
>
> 12和18的最大公因数是3×2＝6；
>
> 4＝2×2
>
> 6＝2×3
>
> 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12；
>
> 26＝2×13
>
> 39＝3×13
>
> 26和39的最大公因数是13。
>
> 故答案为：6，12，13。
>
> 【点评】此题考查了求两个数最大公因数和最小公倍数的方法，要熟练掌握。
9．【分析】由平行四边形的面积公式*S*＝*ah*，知道*a*＝*S*÷*h*，把平行四边形的面积是16平方分米，高8厘米代入公式，求出平行四边形的底．
> 【解答】解：16平方分米＝1600平方厘米
>
> 1600÷8＝200（厘米）
>
> 答：它的底是200厘米．
>
> 故答案为：200．
>
> 【点评】本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式*S*＝*ah*解决问题．
10．【分析】根据分数与除法的关系，转化为20÷16，根据商不变的性质，转化为5÷4；
> 根据分数的基本性质，转化为；
>
> 根据分数与小数的互化，转化为1.25。
>
> 【解答】解：＝5÷4＝＝1.25
>
> 故答案为：4，15，1.25。
>
> 【点评】此题考查了小数与分数的互化，要熟练掌握。
11．【分析】根据找一个数因数的方法，列举出12的所有因数，然后把所有因数相加即可．
> 【解答】解：12的因数有：1、2、3、4、6、12，
>
> 因数之和为：1+2+3+4+6+12＝28；
>
> 故答案为：28．
>
> 【点评】明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键．
12．【分析】根据平行四边形的面积公式*S*＝*ah*及三角形的面积公式*S*＝*ah*÷2，推导出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系，再列式解答即可．
> 【解答】解：平行四边形的面积是：*S*＝*ah*~1~，
>
> 三角形的面积是：*S*＝*ah*~2~÷2，
>
> 所以*ah*~1~＝*ah*~2~÷2，
>
> *h*~1~＝*h*~2~÷2，
>
> 即：*h*~2~＝2*h*~1~，
>
> 三角形的高是：16×2＝32（*cm*）．
>
> 答：三角形的高是32*cm*．
>
> 故答案为：32．
>
> 【点评】本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导：一个平行四边形和一个三角形的面积相等，高边长相等时，三角形的底是平行四边形的底的2倍．
13．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，可知*h*＝2*S*÷*a*，已知三角形的面积是6平方厘米，底是2厘米，据此解答。
> 【解答】解：6×2÷2
>
> ＝12÷2
>
> ＝6（厘米）
>
> 答：高是6厘米。
>
> 故答案为：6。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对三角形面积公式的掌握情况。
14．【分析】首先发现分子之间的变化，由2变为（2+4）＝6，扩大了3倍，要使分数的大小相等，分母也应扩大3倍，由此通过计算就可以得出．
> 【解答】解：原分数分子是2，现在分数的分子是2+4＝6，扩大3倍，
>
> 要使分数大小不变，分母也应扩大3倍，
>
> 原分数分母是9，变为9×3＝27，即分母增加了27﹣9＝18．
>
> 故答案为：18．
>
> 【点评】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．
**二、我会判断。（对的在括号里画"√"，错的画"&\#215;"）（每题1分，共5分）**
15．【分析】假分数≥1，那么*b*≥*a*，即*a*≤*b*，据此解答即可。
> 【解答】解：如果是一个假分数，那么*a*小于或等于*b*，
>
> 说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题考查了假分数的定义，要熟练掌握。
16．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数*a*能被数*b*整除（*b*≠0），*a*就叫做*b*的倍数，*b*就叫做*a*的因数；进行解答即可．
> 【解答】解：因为4×5＝20，所以20是4和5的倍数，4和5是20的因数，因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，所以本题说法错误；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．
17．【分析】根据"一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身；进行判断即可．
> 【解答】解：因为一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身，即一个数的最大因数和它的最小倍数相等，
>
> 所以本题说法错误；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】解答此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
18．【分析】两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而不是面积相等的两个三角形，据此解答．
> 【解答】解：面积相等的两个三角形，不一定能拼成一个平行四边形．如下图
>
> 
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题考查了两个完全一样的两个三角形，才能拼成一个平行四边形．
19．【分析】此题可从两个方面考虑①大于而小于的同分母分数的个数有1个②不同分母的分数的个数，找法可根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大2、3、4...倍即可找出中间的数．
> 【解答】解：①大于而小于的同分母分数的个数有1个；
>
> ②不同分母的分数的个数：
>
> 根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大2、3、4...倍的方法找，
>
> 如：比大，比小的分母是14的分数的分数有、、，
>
> 比大，比小的分母是21的分数的分数有、、、、，
>
> 因为7的倍数的个数是无限的；
>
> 所以不同分母的分数的个数有无限个．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题的关键是引导学生走出：比大，比小的分数有1个的误区，分母是7的同分母的分数有1个，还有很多7的倍数作分母的分数．
**三、我会选。（把正确答案的字母填在括号里）（每题2分，共10分）**
20．【分析】设三个连续自然数中的第一个为*a*，由这三个连续的自然数可表示为*a*、*a*+1，*a*+2．其和为：*a*+（*a*+1）+（*a*+2）＝3×（*a*+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．
> 【解答】解：设三个连续自然数中的第一个为*a*，则三个连续自然数的和为：
>
> *a*+（*a*+1）+（*a*+2）＝3×（*a*+1）．
>
> 所以，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求出个连续自然数的和是3的倍数的．
21．【分析】因为是截成相等的小段且没有剩余，所以每段的长度应是两根铁丝长度的最大公因数，先找出24和18的最大公因数，再解答即可。
> 【解答】解：24和18的公因数有：1，2,3，6
>
> 所以最大公因数是6，
>
> 所以每小段铁丝最长是6*m*。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查了最大公因数的实际应用，掌握最大公因数的求法是解答本题的关键。
22．【分析】丽丽和思思看同一本书，把这一本书看作"1"，思思7天看完全书，用1除以7，求出思思每天看全书的几分之几，和丽丽每天看全书的进行比较，哪个分数大，谁就看的快，因此得解．
> 【解答】解：1÷7＝
>
> ＞
>
> 所以思思看的快些．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】同分子分数的大小比较：分子相同，分母大的分数值反而小．
23．【分析】如果笑笑、淘气的零花钱数相同，他们都用了自己零花钱数的，他们花的钱数一样多；在不知笑笑、淘气谁的零花钱数是否相等的情况下，无法判断谁花的钱数多。
> 【解答】解：笑笑买课外书用了自己零花钱的，淘气买课外书也用了自己零花钱的，无法判断谁花的钱多。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】表示把笑笑、淘气各自零花钱数看作单位"1"，把它平均分成2份，每份是它的，他们各花了自己钱数的1份，只有在确定他们的钱数是否相等的情况下，才能确定谁花的多。
24．【分析】根据点阵中点子的排列规律可知：第1个点阵有1个点；第2个点阵有1+2＝3（个）点；第3个点阵有1+2+3＝6（个）点；......根据规律做题即可。
> 【解答】解：第1个点阵有1个点
>
> 第2个点阵有1+2＝3（个）点
>
> 第3个点阵有1+2+3＝6（个）点
>
> ......
>
> 第8个点阵有点数：
>
> 1+2+3+......+8
>
> ＝8×9÷2
>
> ＝36（个）
>
> 答：第8个点阵的点数是36个。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
**四、我会算。（共18分）**
25．【分析】根据小数加减乘除法以及整数的乘除法的计算方法进行解答。
> 【解答】解：
---------------- --------------- -------------- ------------------- -----------------
1﹣0.55＝0.45 0.4×0.3＝0.12 0.36÷4＝0.09 1.8×0.5＝0.9 0.09×0.9＝0.081
0.15×0.2＝0.03 10.5+5＝15.5 4.8÷0.3＝16 16.7﹣0.84＝15.86 5.82÷0.6×0＝0
---------------- --------------- -------------- ------------------- -----------------
> 【点评】此题考查了小数加减乘除法以及整数的乘除法的口算能力，注意灵活运用运算定律进行简算。
26．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算，除不尽的根据四舍五入法保留两位小数。
> 【解答】解：9.36÷5.2＝1.8
>
> 
>
> 62.8÷17≈3.69
>
> 
>
> 【点评】考查了小数除法的笔算，根据其计算方法进行计算，注意除不尽的根据四舍五入法保留两位小数。
27．【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的乘法；
> （2）根据除法的性质简算；
>
> （3）根据乘法分配律简算。
>
> 【解答】解：（1）40×\[（1.12+2.2）÷0.2\]
>
> ＝40×\[3.32÷0.2\]
>
> ＝40×16.6
>
> ＝664
>
> （2）0.125÷0.25÷4
>
> ＝0.125÷（0.25×4）
>
> ＝0.125÷1
>
> ＝0.125
>
> （3）8.89+8.89×9
>
> ＝8.89×（1+9）
>
> ＝8.89×10
>
> ＝88.9
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**五、我会画。（共12分）**
28．【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高；经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；据此解答。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形、梯形、三角形高的意义及高的画法。
29．【分析】（1）把整个长方形的面积看作单位"1"，把它平均分成4份，每份是它的，表示其中3份涂色。
> （2）把这些椭圆的个数看作单位"1"，把它平均分成4份，每份是它的，表示其中3份涂色。
>
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】此题是考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
**六、我会思考。（每题5分，共25分）**
30．【分析】欲求盐占水的几分之几，只要分别知道盐和水的质量就可以了，利用公式盐的质量÷水的质量解答即可；欲求盐占盐水的几分之几，只要知道盐和盐水的质量就可以了，利用公式盐的质量÷盐水的质量解答即可．
> 【解答】解：10÷90＝；
>
> 10÷（90+10）
>
> ＝10÷100
>
> ＝；
>
> 答：盐占水的，盐占盐水的．
>
> 【点评】此题属于分数除法应用题基本类型．求一个数是另一个数的几分之几．
31．【分析】平行四边形广告牌的底和高已知，利用平行四边形的面积公式，即可求出其面积；因每平方米用油漆0.5千克，用广告牌的总面积乘每平方米的用漆量，就是这个广告牌总的用漆量．
> 【解答】解：8.5×5.4×0.5
>
> ＝45.9×0.5
>
> ＝22.95（千克）
>
> 答：至少准备22.95千克油漆．
>
> 【点评】解答此题的关键是先求出广告牌的总面积，进而求得广告牌总的用漆量．
32．【分析】全程的单位"1"相同，可比较和的大小，因用的时间相同，跑的路程多的就跑的快。
> 【解答】解：，，，所以小兔跑得快。
>
> 答：小兔跑得快。
>
> 【点评】本题考查异分母分数的大小比较，化成同分母的分数再进行比较即可。
33．【分析】该阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去三角形面积，利用平行四边形面积公式：*S*＝*ah*，三角形面积公式：*S*＝*ah*÷2，计算即可。
> 【解答】解：15×8﹣6×8÷2
>
> ＝120﹣24
>
> ＝96（*m*^2^）
>
> 答：剩下部分的面积是96*m*^2^。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，再计算。
34．【分析】假设都是5元，求出应为多少钱，再减去实际的钱数，求假设的钱数与实际钱数的差；再除以每张5元与每张2元钱数的差，求2元的张数，进而求出5元的张数。
> 【解答】解：（18×5﹣60）÷（5﹣2）
>
> ＝（90﹣60）÷3
>
> ＝30÷3
>
> ＝10（张）
>
> 18﹣10＝8（张）
>
> 答：5元的有8张，2元的有10张。
>
> 【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可。
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**一、选择题：本题共16小题，共44分。第1\~10小题，每小题2分；第11\~16小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 今年五一假期，人文考古游持续成为热点。很多珍贵文物都记载着中华文明的灿烂成就，具有深邃的文化寓意和极高的学术价值。下列国宝级文物主要由合金材料制成的是
------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------
选项 A B C D
文物    
名称 铸客大铜鼎 河姆渡出土陶灶 兽首玛瑙杯 角形玉杯
------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
分析】
【详解】A．铸客大铜鼎属于铜的合金，A符合题意；
B．河姆渡出土陶灶属于陶器，主要成分为硅酸盐，不属于合金，B不符合题意；
C．兽首玛瑙杯主要成分为二氧化硅，不属于合金，C不符合题意；
D．角形玉杯主要成分为硅酸盐，不属于合金，D不符合题意；
故选A。
2\. 广东有众多国家级非物质文化遗产，如广东剪纸、粤绣、潮汕工夫茶艺和香云纱染整技艺等。下列说法不正确的是
A. 广东剪纸的裁剪过程不涉及化学变化
B. 冲泡工夫茶时茶香四溢，体现了分子是运动的
C. 制作粤绣所用的植物纤维布含有天然高分子化合物
D. 染整技艺中去除丝胶所用纯碱水溶液属于纯净物
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．广东剪纸的裁剪过程中没有新物质生成，故不涉及化学变化，A正确；
B．冲泡工夫茶时茶香四溢，是因为茶水的香味分子不停地做无规则的运动，扩散到空气中，B正确；
C．制作粤绣所用的植物纤维布含有纤维素，属于天然高分子化合物，C正确；
D．染整技艺中去除丝胶所用的纯碱水溶液属于混合物，D错误。
故选D。
3\. "天问一号"着陆火星，"嫦娥五号"采回月壤。腾飞中国离不开化学，长征系列运载火箭使用的燃料有液氢和煤油等化学品。下列有关说法正确的是
A. 煤油是可再生能源
B. 燃烧过程中热能转化为化学能
C. 火星陨石中的质量数为20
D. 月壤中的与地球上的互为同位素
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．煤油来源于石油，属于不可再生能源，故A错误；
B．氢气的燃烧过程放出热量，将化学能变为热能，故B错误；
C．元素符号左上角数字为质量数，所以火星陨石中的 ^20^Ne 质量数为20，故C正确；
D．同位素须为同种元素，^3^He 和 ^3^H的质子数不同，不可能为同位素关系，故D错误；
故选C。
4\. 化学创造美好生活。下列生产活动中，没有运用相应化学原理的是
------ ------------------------------ ------------------------------
选项 生产活动 化学原理
A 用聚乙烯塑料制作食品保鲜膜 聚乙烯燃烧生成和
B 利用海水制取溴和镁单质 可被氧化、可被还原
C 利用氢氟酸刻蚀石英制作艺术品 氢氟酸可与反应
D 公园的钢铁护栏涂刷多彩防锈漆 钢铁与潮湿空气隔绝可防止腐蚀
------ ------------------------------ ------------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．聚乙烯是一种无毒的塑料，是最常见的食品包装袋材料之一，则用聚乙烯塑料制作食品包装袋与燃烧生成二氧化碳和水无关，故A符合题意；
B．溴离子具有还原性，能与氯气反应生成溴单质，镁离子具有弱氧化性，能用电解熔融氯化镁的方法制得镁，则海水制取溴和镁与单质，与溴离子可被氧化、镁离子可被还原有关，故B不符合题意；
C．氢氟酸能与二氧化硅反应，常用来刻蚀石英制作艺术品，则用氢氟酸刻蚀石英制作艺术品，与氢氟酸能与二氧化硅反应有关，故C不符合题意；
D．钢铁在潮湿的空气中易发生吸氧腐蚀，在护栏上涂油漆可以隔绝钢铁与潮湿空气接触，防止钢铁腐蚀，则公园的钢铁护栏涂刷多彩油漆防锈，与隔绝钢铁与潮湿的空气防止腐蚀有关，故D不符合题意；
故选A。
5\. 昆虫信息素是昆虫之间传递信号的化学物质。人工合成信息素可用于诱捕害虫、测报虫情等。一种信息素的分子结构简式如图所示，关于该化合物说法不正确的是
A. 属于烷烃 B. 可发生水解反应
C. 可发生加聚反应 D. 具有一定的挥发性
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．根据结构简式可知，分子中含C、H、O，含碳碳双键和酯基，不属于烷烃，A错误；
B．分子中含酯基，在酸性条件或碱性条件下可发生水解反应，B正确；
C．分子中含碳碳双键，可发生加聚反应，C正确；
D．该信息素"可用于诱捕害虫、测报虫情"，可推测该有机物具有一定的挥发性，D正确；
故选A。
6\. 劳动成就梦想。下列劳动项目与所述的化学知识没有关联的是
------ -------------------------------------- ----------------------
选项 劳动项目 化学知识
A 社区服务：用84消毒液对图书馆桌椅消毒 含氯消毒剂具有氧化性
B 学农活动：用厨余垃圾制肥料 厨余垃圾含、、等元素
C 家务劳动：用白醋清洗水壶中的水垢 乙酸可由乙醇氧化制备
D 自主探究：以油脂为原料制肥皂 油脂可发生皂化反应
------ -------------------------------------- ----------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．84消毒液中含有具有强氧化性的次氯酸钠，能起到杀菌消毒的作用，则用84消毒液对图书馆桌椅消毒与含氯消毒剂具有氧化性有关，故A不符合题意；
B．含有氮、磷、钾的物质常用做化肥，则厨余垃圾制肥料与厨余垃圾含有氮、磷、钾等元素有关，故B不符合题意；
C．用白醋清洗水壶中的水垢与乙酸的酸性有关，与乙酸可由乙醇氧化制备无关，故C符合题意；
D．油脂在碱性条件下可发生水解反应生成甘油和可制作肥皂的高级脂肪酸盐，则以油脂为原料制备肥皂与油脂可发生皂化反应有关，故D不符合题意；
故选C。
7\. 测定浓硫酸试剂中含量的主要操作包括：①量取一定量的浓硫酸，稀释；②转移定容得待测液；③移取待测液，用的溶液滴定。上述操作中，不需要用到的仪器为
A.  B. \
C. \
D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】实验过程中，①量取一定量的浓硫酸并稀释所需仪器为：量筒、烧杯、玻璃棒；②转移定容得待测液所需仪器为：玻璃棒、容量瓶、胶头滴管；③移取20.00mL待测液，用0.1000mol/L的NaOH溶液滴定所需仪器为：酸式滴定管、碱式滴定管、锥形瓶，选项中A为容量瓶，B为分液漏斗，C为锥形瓶，D为碱式滴定管，上述操作中，不需要用到的仪器为分液漏斗，综上所述，故答案为B。
8\. 鸟嘌呤()是一种有机弱碱，可与盐酸反应生成盐酸盐(用表示)。已知水溶液呈酸性，下列叙述正确的是
A. 水溶液的
B. 水溶液加水稀释，升高
C. 在水中的电离方程式为：
D. 水溶液中：
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．GHCl为强酸弱碱盐，电离出的GH^+^会发生水解，弱离子的水解较为微弱，因此0.001mol/L GHCl水溶液的pH\>3，故A错误；
B．稀释GHCl溶液时，GH^+^水解程度将增大，根据勒夏特列原理可知溶液中*c*(H^+^)将减小，溶液pH将升高，故B正确；
C．GHCl为强酸弱碱盐，在水中电离方程式为GHCl=GH^+^+Cl^-^，故C错误；
D．根据电荷守恒可知，GHCl溶液中*c*(OH^-^)*+c*(Cl^-^)=*c*(H^+^)+*c*(GH^+^)，故D错误；
综上所述，叙述正确的是B项，故答案为B。
9\. 火星大气中含有大量，一种有参加反应的新型全固态电池有望为火星探测器供电。该电池以金属钠为负极，碳纳米管为正极，放电时
A. 负极上发生还原反应 B. 在正极上得电子
C. 阳离子由正极移向负极 D. 将电能转化为化学能
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】根据题干信息可知，放电时总反应为4Na+3CO~2~=2Na~2~CO~3~+C。
A．放电时负极上Na发生氧化反应失去电子生成Na^+^，故A错误；
B．放电时正极为CO~2~得到电子生成C，故B正确；
C．放电时阳离子移向还原电极，即阳离子由负极移向正极，故C错误；
D．放电时装置为原电池，能量转化关系为化学能转化为电能和化学能等，故D正确；
综上所述，符合题意的为B项，故答案为B。
10\. 部分含铁物质的分类与相应化合价关系如图所示。下列推断不合理的是
A. 可与反应生成
B. 既可被氧化，也可被还原
C. 可将加入浓碱液中制得胶体
D. 可存在的循环转化关系
【答案】C
【解析】
【分析】图中所示铁元素不同化合价的物质：a为Fe，b为FeCl~2~、FeSO~4~、Fe(NO~3~)~2~等Fe(II)的盐类物质，c为Fe(OH)~2~，e为FeCl~3~、Fe~2~(SO~4~)~3~、Fe(NO~3~)~3~等Fe(III)的盐类物质，d为Fe(OH)~3~。
【详解】A．Fe与Fe(III)的盐类物质可发生反应生成Fe(II)的盐类物质，如Fe+2FeCl~3~=3FeCl~2~，故A不选；
B．Fe(II)为铁元素的中间价态，既有还原性也有氧化性，因此既可被氧化，也可被还原，故B不选；
C．Fe(III)的盐类物质与浓碱液反应生成Fe(OH)~3~沉淀，制备Fe(OH)~3~胶体操作为：向沸水中滴加饱和FeCl~3~溶液，继续煮沸至溶液呈红褐色，停止加热，故C选；
D．转化如，故D不选；
综上所述，答案为C。
11\. 设为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 含有键的数目为
B. 的盐酸含有阴离子总数为
C. 与混合后的分子数目为
D. 与足量反应生成的分子数目为
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．1个分子中含有3个键，微粒个数与物质的量成正比，故含有3mol键，键的数目为，A正确；
B．盐酸为氯化氢的水溶液，氯化氢会全部电离出阴离子Cl^-^，水会部分电离出阴离子OH^-^，水的质量及电离程度未知，故无法计算的盐酸含有阴离子总数，B错误；
C．未提到具体的温度、压强（如标况下），故无法计算与混合后的分子数目，C错误；
D．为1mol，钠与足量的水反应生成氢气的关系式为:，故1mol Na应对应生成0.5mol H~2~，分子数目应为0.5，D错误；
故选A。
12\. 化学是以实验为基础的科学。下列实验操作或做法正确且能达到目的的是
------ ---------------------------------- --------------------------
选项 操作或做法 目的
A 将铜丝插入浓硝酸中 制备
B 将密闭烧瓶中的降温 探究温度对平衡移动的影响
C 将溴水滴入溶液中，加入乙醇并振荡 萃取溶液中生成的碘
D 实验结束，将剩余固体放回原试剂瓶 节约试剂
------ ---------------------------------- --------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．将铜丝插入浓硝酸中开始会产生二氧化氮，不能达到实验目的，A不符合题意；
B．二氧化氮气体在一定条件下存在平衡：，正反应为放热反应，NO~2~为红棕色气体，将密闭烧瓶中NO~2~降温，会使该平衡向正反应方向移动，气体颜色变浅，因此可达到实验目的，B符合题意；
C．乙醇与水互溶，不能作碘单质的萃取剂，做法不正确，C不符合题意；
D．一般情况下，剩余试剂需放到指定的容器中，不能放回原试剂瓶，以防污染原试剂，操作错误，D不符合题意；
故选B。
13\. 一种麻醉剂的分子结构式如图所示。其中，的原子核只有1个质子；元素、、原子序数依次增大，且均位于的下一周期；元素的原子比原子多8个电子。下列说法不正确的是
A. 是一种强酸
B. 非金属性：
C. 原子半径：
D. 中，的化合价为+2价
【答案】C
【解析】
【分析】题给化合物结构中X、W、E均形成1个共价键、Y形成4个共价键、Z形成2个共价键。
的原子核只有1个质子，则X为H元素；元素、、原子序数依次增大，且均位于的下一周期，即第二周期元素，则Y为C元素，Z为O元素，W为F元素；元素的原子比原子多8个电子，则E为Cl元素，综合以上分析可知，X、Y、Z、W、E分别为H、C、O、F、Cl元素。
据此分析解答。
【详解】A．氯元素非金属性较强，其最高价氧化物的水化物HClO~4~是一种强酸，故A正确；
B．同一周期元素从左到右非金属性逐渐增强，所以非金属性：F\>O\>C，故B正确；
C．同一周期从左到右原子半径逐渐减小，同一主族从上到下原子半径逐渐增大，电子层越多半径越大，所以原子半径：Cl\>C\>F，故C错误；
D．OF~2~中，F为-1价，则O的化合价为+2价，故D正确；
答案选C。
14\. 反应经历两步：①；②。反应体系中、、的浓度c随时间t的变化曲线如图所示。下列说法不正确的是
A. a为随t的变化曲线
B. 时，
C. 时，的消耗速率大于生成速率
D. 后，
【答案】D
【解析】
【分析】由题中信息可知，反应经历两步：①；②。因此，图中呈不断减小趋势的ａ线为X的浓度随时间的变化曲线，呈不断增加趋势的线为Z的浓度随时间的变化曲线，先增加后减小的线为Y的浓度随时间的变化曲线。
【详解】A．X是唯一的反应物，随着反应的发生，其浓度不断减小，因此，由图可知，为随的变化曲线，A正确；
B．由图可知，分别代表3种不同物质的曲线相交于时刻，因此，时，B正确；
C．由图中信息可知，时刻以后，Y的浓度仍在不断减小，说明时刻反应两步仍在向正反应方向发生，而且反应①生成Y的速率小于反应②消耗Y的速率，即时的消耗速率大于生成速率，C正确；
D．由图可知，时刻反应①完成，X完全转化为Y，若无反应②发生，则，由于反应②的发生，时刻Y浓度的变化量为，变化量之比等于化学计量数之比，所以Z的浓度的变化量为，这种关系在后仍成立， 因此，D不正确。
综上所述，本题选D。
15\. 宏观辨识与微观探析是化学学科核心素养之一。下列物质性质实验对应的反应方程式书写正确的是
A. 放入水中：
B. 通过灼热铁粉：
C. 铜丝插入热的浓硫酸中：
D. 通入酸性溶液中：
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．放入水中化学方程式应该是：，A选项中氧元素不守恒，A错误；
B．通过灼热铁粉应高温条件下生成四氧化三铁和氢气，B错误；
C．铜丝插入热的浓硫酸中生成的气体不是氢气，应是二氧化硫，C错误；
D．通入酸性溶液中，被氧化为，被还原为，再根据得失电子守恒、电荷守恒和元素守恒可得离子方程式为，D正确；
故选D。
16\. 钴()的合金材料广泛应用于航空航天、机械制造等领域。如图为水溶液中电解制备金属钴的装置示意图。下列说法正确的是
A. 工作时，Ⅰ室和Ⅱ室溶液的均增大
B. 生成，Ⅰ室溶液质量理论上减少
C. 移除两交换膜后，石墨电极上发生的反应不变
D. 电解总反应：
【答案】D
【解析】
【分析】由图可知，该装置为电解池，石墨电极为阳极，水在阳极失去电子发生氧化反应生成氧气和氢离子，电极反应式为2H~2~O-4e^-^=O~2~↑+4H^+^，Ⅰ室中阳离子电荷数大于阴离子电荷数，放电生成氢离子通过阳离子交换膜由Ⅰ室向Ⅱ室移动，钴电极为阴极，钴离子在阴极得到电子发生还原反应生成钴，电极反应式为Co^2+^+2e^-^=Co，Ⅲ室中阴离子电荷数大于阳离子电荷数，氯离子过阴离子交换膜由Ⅲ室向Ⅱ室移动，电解的总反应的离子方程式为2Co^2+^+2H~2~O2 Co +O~2~↑+4H^+^。
【详解】A．由分析可知，放电生成的氢离子通过阳离子交换膜由Ⅰ室向Ⅱ室移动，使Ⅱ室中氢离子浓度增大，溶液pH减小，故A错误；
B．由分析可知，阴极生成1mol钴，阳极有1mol水放电，则Ⅰ室溶液质量减少18g，故B错误；
C．若移除离子交换膜，氯离子的放电能力强于水，氯离子会在阳极失去电子发生氧化反应生成氯气，则移除离子交换膜，石墨电极的电极反应会发生变化，故C错误；
D．由分析可知，电解的总反应的离子方程式为2Co^2+^+2H~2~O2 Co +O~2~↑+4H^+^，故D正确；
故选D。
**二、非选择题：共56分。第17\~19题为必考题，考生都必须作答。第20\~21题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：共42分。**
17\. 含氯物质在生产生活中有重要作用。1774年，舍勒在研究软锰矿(主要成分是)的过程中，将它与浓盐酸混合加热，产生了一种黄绿色气体。1810年，戴维确认这是一种新元素组成的单质，并命名为chlorine(中文命名"氯气")。
(1)实验室沿用舍勒的方法制取的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)实验室制取干燥时，净化与收集所需装置的接口连接顺序为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)某氯水久置后不能使品红溶液褪色，可推测氯水中\_\_\_\_\_\_\_已分解。检验此久置氯水中存在的操作及现象是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)某合作学习小组进行以下实验探究。
①实验任务。通过测定溶液电导率，探究温度对溶解度的影响。
②查阅资料。电导率是表征电解质溶液导电能力的物理量。温度一定时，强电解质稀溶液的电导率随溶液中离子浓度的增大而增大；离子浓度一定时，稀溶液电导率随温度的升高而增大。25℃时，。
③提出猜想。
猜想a：较高温度的饱和溶液的电导率较大。
猜想b：在水中的溶解度。
④设计实验、验证猜想。取试样Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ(不同温度下配制的饱和溶液)，在设定的测试温度下，进行表中实验1\~3，记录数据。
---------- ------------------ ------------ ---------
实验序号 试样 测试温度/℃ 电导率/
1 Ⅰ：25℃的饱和溶液 25
2 Ⅱ：35℃的饱和溶液 35
3 Ⅲ：45℃的饱和溶液 45
---------- ------------------ ------------ ---------
⑤数据分析、交流讨论。25℃的饱和溶液中，\_\_\_\_\_\_\_。
实验结果为。小组同学认为，此结果可以证明③中猜想成立，但不足以证明猜想成立。结合②中信息，猜想不足以成立的理由有\_\_\_\_\_\_\_。
⑥优化实验。小组同学为进一步验证猜想，在实验1\~3的基础上完善方案，进行实验4和5。请在答题卡上完成表中内容。
---------- ---------------- ---------------- ---------
实验序号 试样 测试温度/℃ 电导率/
4 Ⅰ \_\_\_\_\_\_\_
5 \_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_
---------- ---------------- ---------------- ---------
⑦实验总结。根据实验1\~5的结果，并结合②中信息，小组同学认为猜想也成立。猜想成立的判断依据是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). MnO~2~+4HCl(浓)MnCl~2~+Cl~2~↑+2H~2~O (2). c-d-b-a-e (3). HClO (4). 向溶液中加入过量稀硝酸，防止溶液中含有C、HC等，再加入少量AgNO~3~溶液，若有白色沉淀生成，则证明原溶液中含有Cl^-^ (5). 1.3410^-5^ (6). 测试温度不同，根据电导率结果无法判断不同温度下饱和溶液的溶解度 (7). 45℃ (8). II (9). 45℃ (10). A~3~\>B~2~\>B~1~
【解析】
【分析】
【详解】(1)实验室通常采用浓盐酸和MnO~2~制取，化学方程式为：MnO~2~+4HCl(浓)MnCl~2~+Cl~2~↑+2H~2~O，故答案为：MnO~2~+4HCl(浓)MnCl~2~+Cl~2~↑+2H~2~O；
(2)根据化学方程式可知，制取的氯气中混有氯化氢、水蒸气，氯气有毒，必须进行尾气处理，因此使用饱和食盐水吸收氯化氢气体，浓硫酸除去水蒸气，最后用NaOH溶液吸收尾气，因此接口连接顺序为c-d-b-a-e，故答案为：c-d-b-a-e；
(3)久置后不能使品红溶液褪色，说明HClO已分解；检验的方法为向溶液中加入过量稀硝酸，防止溶液中含有C、HC等，再加入少量AgNO~3~溶液，若有白色沉淀生成，则证明原溶液中含有Cl^-^，故答案为：HClO；向溶液中加入过量稀硝酸，防止溶液中含有C、HC等，再加入少量AgNO~3~溶液，若有白色沉淀生成，则证明原溶液中含有Cl^-^；
(4)⑤25℃时，，根据沉淀溶解平衡可知，饱和的溶液中，所以有==1.3410^-5^；
实验1\~3中，不同的饱和溶液浓度不同且测试温度不同，根据资料显示离子浓度一定时，稀溶液电导率随温度的升高而增大，所以根据实验1\~3无法判断温度较高的饱和溶液离子浓度大，进而不能得出溶解度关系，故答案为：1.3410^-5^；测试温度不同，根据电导率结果无法判断不同温度下饱和溶液的溶解度；
⑥如果要判断AgCl在水中的溶解度随温度的变化情况，可以设计不相同温度下的饱和溶液在相同温度下测试，如果温度较高下的饱和溶液电导率比温度较低的饱和溶液电导率高，则可以得出温度升高饱和溶液中离子浓度高。所以可以设计试样Ⅰ在45℃下测试与实验3比较；设计试样II在45℃下测试与实验3比较。故答案为：45℃；II；45℃；
⑦猜想成立的判断依据是A~3~\>B~2~\>B~1~，故答案为：A~3~\>B~2~\>B~1~。
18\. 对废催化剂进行回收可有效利用金属资源。某废催化剂主要含铝()、钼()、镍()等元素的氧化物，一种回收利用工艺的部分流程如下：
已知：25℃时，的，；；；该工艺中，时，溶液中元素以的形态存在。
(1)"焙烧"中，有生成，其中元素的化合价为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"沉铝"中，生成的沉淀为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"沉钼"中，为7.0。
①生成的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
②若条件控制不当，也会沉淀。为避免中混入沉淀，溶液中\_\_\_\_\_\_\_(列出算式)时，应停止加入溶液。
(4)①滤液Ⅲ中，主要存在的钠盐有和，为\_\_\_\_\_\_\_。
②往滤液Ⅲ中添加适量固体后，通入足量\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)气体，再通入足量，可析出。
(5)高纯(砷化铝)可用于芯片制造。芯片制造中的一种刻蚀过程如图所示，图中所示致密保护膜为一种氧化物，可阻止刻蚀液与下层(砷化镓)反应。
①该氧化物为\_\_\_\_\_\_\_。
②已知：和同族，和同族。在与上层的反应中，元素的化合价变为+5价，则该反应的氧化剂与还原剂物质的量之比为\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). +6 (2). (3). +=↓ (4). (5). (6). (7). (8).
【解析】
【分析】由题中信息可知，废催化剂与氢氧化钠一起焙烧后，铝和钼都发生了反应分别转化为偏铝酸钠和钼酸钠，经水浸、过滤，分离出含镍的固体滤渣，滤液I中加入过量的二氧化碳，偏铝酸钠转化为氢氧化铝沉淀，过滤得到的沉淀X为氢氧化铝，滤液II中加入适量的氯化钡溶液沉钼后，过滤得到钼酸钡。
【详解】（1）"焙烧"中，有生成，其中Na和O的化合价为+1和-2，根据化合价的代数和为0可知，元素的化合价为+6。
（2）"沉铝"中，偏铝酸钠转化为氢氧化铝，因此，生成的沉淀为。
（3）①滤液II中含有钼酸钠，加入氯化钡溶液后生成沉淀，该反应的离子方程式为+=↓。
②若开始生成沉淀，则体系中恰好建立如下平衡：，该反应的化学平衡常数为。为避免中混入沉淀，必须满足，由于"沉钼"中为7.0，，所以溶液中时，开始生成沉淀， 因此， 时，应停止加入溶液。
（4）①滤液I中加入过量的二氧化碳，偏铝酸钠转化为氢氧化铝沉淀，同时生成碳酸氢钠，过滤得到的滤液II中含有碳酸氢钠和钼酸钠。滤液II中加入适量的氯化钡溶液沉钼后，因此，过滤得到的滤液Ⅲ中，主要存在的钠盐有和，故为。
②根据侯氏制碱法的原理可知，往滤液Ⅲ中添加适量固体后，通入足量，再通入足量，可析出。
（5）①由题中信息可知，致密的保护膜为一种氧化物，是由与反应生成的，联想到金属铝表面容易形成致密的氧化膜可知，该氧化物为。
②由和同族、和同族可知，中显+3价（其最高价）、显-3价。在与上层的反应中，元素的化合价变为+5价，其化合价升高了8，元素被氧化，则该反应的氧化剂为，还原剂为。中的O元素为-1价，其作为氧化剂时，O元素要被还原到-2价，每个参加反应会使化合价降低2，根据氧化还原反应中元素化合价升高的总数值等于化合价降低的总数值可知，该反应的氧化剂与还原剂物质的量之比为。
19\. 我国力争于2030年前做到碳达峰，2060年前实现碳中和。CH~4~与CO~2~重整是CO~2~利用的研究热点之一。该重整反应体系主要涉及以下反应：
a)CH~4~(g)+CO~2~(g)2CO(g)+2H~2~(g) ∆*H*~1~
b)CO~2~(g)+H~2~(g)CO(g)+H~2~O(g) ∆*H*~2~
c)CH~4~(g)C(s)+2H~2~(g) ∆*H*~3~
d)2CO(g)CO~2~(g)+C(s) ∆*H*~4~
e)CO(g)+H~2~(g)H~2~O(g)+C(s) ∆*H*~5~
(1)根据盖斯定律，反应a的∆*H*~1~=\_\_\_\_\_\_\_(写出一个代数式即可)。
(2)上述反应体系在一定条件下建立平衡后，下列说法正确的有\_\_\_\_\_\_\_。
A. 增大CO~2~与CH~4~的浓度，反应a、b、c的正反应速率都增加
B. 移去部分C(s)，反应c、d、e的平衡均向右移动
C. 加入反应a的催化剂，可提高CH~4~的平衡转化率
D. 降低反应温度，反应a\~e的正、逆反应速率都减小
(3)一定条件下，CH~4~分解形成碳的反应历程如图所示。该历程分\_\_\_\_\_\_\_步进行，其中，第\_\_\_\_\_\_\_步的正反应活化能最大。
(4)设*K*为相对压力平衡常数，其表达式写法：在浓度平衡常数表达式中，用相对分压代替浓度。气体的相对分压等于其分压（单位为kPa）除以*p*~0~（*p*~0~=100kPa）。反应a、c、e的ln *K*随（温度的倒数）的变化如图所示。
①反应a、c、e中，属于吸热反应的有\_\_\_\_\_\_\_(填字母)。
②反应c的相对压力平衡常数表达式为*K*=\_\_\_\_\_\_\_。
③在图中A点对应温度下、原料组成为*n*(CO~2~):*n*(CH~4~)=1:1、初始总压为100kPa的恒容密闭容器中进行反应，体系达到平衡时H~2~的分压为40kPa。计算CH~4~的平衡转化率，写出计算过程\_\_\_\_\_\_\_。
(5)CO~2~用途广泛，写出基于其物理性质的一种用途：\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). ∆*H*~2~+∆*H*~3~-∆*H*~5~或∆*H*~3~-∆*H*~4~ (2). AD (3). 4 (4). 4 (5). ac (6). (7). 68% (8). 做冷冻剂
【解析】
【分析】根据盖斯定律计算未知反应的反应热；根据影响化学反应速率和化学平衡的因素判断反应速率的变化及转化率的变化；根据图像及曲线高低判断反应进程和活化能的相对大小；根据平衡时反应物的分压计算平衡转化率；根据CO~2~的物理性质推测CO~2~的用途。
【详解】(1)根据题目所给出的反应方程式关系可知，a=b+c-e=c-d，根据盖斯定律则有∆*H*~1~=∆*H*~2~+∆*H*~3~-∆*H*~5~=∆*H*~3~-∆*H*~4~；
(2)A．增大CO~2~和CH~4~的浓度，对于反应a、b、c来说，均增大了反应物的浓度，反应的正反应速率增大，A正确；
B．移去部分C(s)，没有改变反应体系中的压强，反应的正逆反应速率均不变，平衡不移动，B错误；
C．催化剂可以同等条件下增大正逆反应速率，只能加快反应进程，不改变反应的平衡状态，平衡转化率不变，C错误；
D．降低温度，体系的总能量降低，正、逆反应速率均减小，D正确；
故答案选AD；
(3)由图可知，反应过程中能量变化出现了4个峰，即吸收了4次活化能，经历了4步反应；且从左往右看4次活化能吸收中，第4次对应的峰最高，即正反应方向第4步吸收的能量最多，对应的正反应活化能最大。
(4)①随着温度的升高，反应a和c的ln *K*增大，说明*K*的数值增大，反应向正反应方向进行，反应a和c为吸热反应，同理反应e的ln *K*减小，说明*K*的减小，反应向逆反应方向进行，反应e为放热反应，故答案为ac；
②用相对分压代替浓度，则反应c的平衡常数表达式*K*=；
③由图可知，A处对应反应c的ln *K*=0，即*K*==1，解方程的p^2^(H~2~)=*p*(CH~4~)，已知反应平衡时*p*(H~2~)=40kPa，则有*p*(CH~4~)=16kPa，且初始状态时*p*(CH~4~)=×100kPa=50kPa，故CH~4~的平衡转化率为×100%=68%；
(5)固态CO~2~即为干冰，干冰用于制冷或人工降雨均是利用其物理性质。
【点睛】本题难点在于*K*与关系曲线的判断，在曲线中斜率为正为放热反应，斜率为负为吸热反应。
**【化学---选修3：物质结构与性质】**
20\. 很多含巯基（-SH）的有机化合物是重金属元素汞的解毒剂。例如，解毒剂化合物I可与氧化汞生成化合物Ⅱ。
（1）基态硫原子价电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）H~2~S、CH~4~、H~2~O的沸点由高到低顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）汞的原子序数为80，位于元素周期表第\_\_\_\_\_\_周期第ⅡB族。
（4）化合物Ⅲ也是一种汞解毒剂。化合物Ⅳ是一种强酸。下列说法正确的有\_\_\_\_\_\_\_\_。
A. 在I中S原子采取sp^3^杂化 B. 在Ⅱ中S元素的电负性最大
C. 在Ⅲ中C-C-C键角是180° D. 在Ⅲ中存在离子键与共价键
E. 在Ⅳ中硫氧键的键能均相等
（5）汞解毒剂的水溶性好，有利于体内 重金属元素汞的解毒。化合物I与化合物Ⅲ相比，水溶性较好的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）理论计算预测，由汞（Hg）、锗（Ge）、锑（Sb）形成的一种新物质X为潜在的拓扑绝缘体材料。X的晶体可视为Ge晶体（晶胞如图9a所示）中部分Ge原子被Hg和Sb取代后形成。
①图9b为Ge晶胞中部分Ge原子被Hg和Sb取代后形成的一种单元结构，它不是晶胞单元，理由是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②图9c为X的晶胞，X的晶体中与Hg距离最近的Sb的数目为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该晶胞中粒子个数比Hg：Ge：Sb = \_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③设X的最简式的式量为*M*~r~，则X晶体的密度为\_\_\_\_\_\_\_\_g/cm^3^（列出算式）。
【答案】 (1). 3s^2^3p^4^ (2). H~2~O\>H~2~S\>CH~4~ (3). 六 (4). D (5). 化合物III (6). 由图9c可知，图9b中Sb、Hg原子取代位置除图9b外还有其它形式 (7). 4 (8). 1：1：2 (9).
【解析】
【分析】
【详解】(1)基态硫原子核外电子排布式为1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^4^，因此基态硫原子价电子排布式为3s^2^3p^4^，故答案为：3s^2^3p^4^。
(2)H~2~S、CH~4~、H~2~O均为分子晶体，H~2~O分子间存在氢键，沸点较高，H~2~S、CH~4~的分子间范德华力随相对分子质量增大而增加，因此沸点由高到低顺序为：H~2~O\>H~2~S\>CH~4~，故答案为：H~2~O\>H~2~S\>CH~4~。
(3)第六周期0族元素的原子序数为86，因此第80号元素Hg位于第六周期第ⅡB族，故答案为：六。
(4)A．中S原子的价层电子对数=2+=4，因此S原子采取sp^3^杂化，故A正确；
B．中含有的元素为H、C、O、S、Hg，同周期元素从左至右元素的电负性逐渐增大，同主族元素从上至下元素的电负性逐渐减小，因此5种元素中电负性最大的为O元素，故B错误；
C．中C原子成键均为单键，因此C原子采取sp^3^杂化，所以C-C-C键角接近109^º^28'，故C错误；
D．中存在C-H、C-C、C-S、S=O、S-O、S-H共价键和与Na^+^之间的离子键，故D正确；
综上所述，说法正确的是BD项，故答案为BD。
(5)中羟基能与水分子之间形成分子间氢键，为易溶于水的钠盐，溶于水后电离出的中O原子均能与水分子之间形成氢键，相同物质的量两种物质溶于水后，形成的氢键更多，因此化合物III更易溶于水，故答案为：化合物III。
(6)①对比图9b和图9c可得X晶体的晶胞中上下两个单元内的原子位置不完全相同，不符合晶胞晶胞是晶体的最小重复单位要求，故答案为：由图9c可知，图9b中Sb、Hg原子取代位置除图9b外还有其它形式。
②以晶胞上方立方体中右侧面心中Hg原子为例，同一晶胞中与Hg距离最近的Sb的数目为2，右侧晶胞中有2个Sb原子与Hg原子距离最近，因此X的晶体中与Hg距离最近的Sb的数目为4；该晶胞中Sb原子均位于晶胞内，因此1个晶胞中含有Sb原子数为8，Ge原子位于晶胞顶点、面心、体心，因此1个晶胞中含有Ge原子数为1+8×+4×=4，Hg原子位于棱边、面心，因此1个晶胞中含有Hg原子数为6×+4×=4，则该晶胞中粒子个数比Hg：Ge：Sb =4：4：8=1：1：2，故答案为：4；1：1：2。
③1个晶胞的质量*m*=，1个晶胞的体积*V*=(x×10^-7^cm)^2^×(y×10^-7^cm)=x^2^y×10^-21^cm^3^，则X晶体的密度为== g/cm^3^，故答案为：。
**【化学---选修5：有机化学基础】**
21\. 天然产物Ⅴ具有抗疟活性，某研究小组以化合物Ⅰ为原料合成Ⅴ及其衍生物Ⅵ的路线如下(部分反应条件省略，Ph表示-C~6~H~5~)：
已知：
(1)化合物Ⅰ中含氧官能团有\_\_\_\_\_\_\_(写名称)。
(2)反应①的方程式可表示为：I+II=III+Z，化合物Z的分子式为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)化合物IV能发生银镜反应，其结构简式为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)反应②③④中属于还原反应的有\_\_\_\_\_\_\_，属于加成反应的有\_\_\_\_\_\_\_。
(5)化合物Ⅵ的芳香族同分异构体中，同时满足如下条件的有\_\_\_\_\_\_\_种，写出其中任意一种的结构简式：\_\_\_\_\_\_\_。
条件：a.能与NaHCO~3~反应；b. 最多能与2倍物质的量的NaOH反应；c. 能与3倍物质的量的Na发生放出H~2~的反应；d.核磁共振氢谱确定分子中有6个化学环境相同的氢原子；e.不含手性碳原子(手性碳原子是指连有4个不同的原子或原子团的饱和碳原子)。
(6)根据上述信息，写出以苯酚的一种同系物及HOCH~2~CH~2~Cl为原料合成的路线\_\_\_\_\_\_\_(不需注明反应条件)。
【答案】 (1). （酚）羟基、醛基 (2). C~18~H~15~OP (3).  (4). ②④ (5). ② (6). 10 (7).  (8). 
【解析】
【分析】
【详解】(1)根据有机物Ⅰ的结构，有机物Ⅰ为对醛基苯酚，其含氧官能团为（酚）羟基、醛基；
(2)反应①的方程式可表示为：Ⅰ+Ⅱ=Ⅲ+Z，根据反应中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的分子式和质量守恒定律可知，反应前与反应后的原子个数相同，则反应后Z的分子式为C~18~H~15~OP；
(3)已知有机物Ⅳ可以发生银镜反应，说明有机物Ⅳ中含有醛基，又已知有机物Ⅳ可以发生反应生成，则有机物Ⅳ一定含有酚羟基，根据有机物Ⅳ的分子式和可以得出，有机物Ⅳ的结构简式为；
(4)还原反应时物质中元素的化合价降低，在有机反应中一般表现为加氢或者去氧，所以反应②和④为还原反应，其中反应②为加成反应；
(5)化合物Ⅳ的分子式为C~10~H~12~O~4~，能与NaHCO~3~反应说明含有羧基，能与NaOH反应说明含有酚羟基或羧基或酯基，最多能与2倍物质的量的NaOH反应，说明除一个羧基外还可能含有酚羟基、羧基、酯基其中的一个，能与Na反应的挂能能团为醇羟基、酚羟基、羧基，能与3倍物质的量的发生放出的反应，说明一定含有醇羟基，综上该分子一定含有羧基和醇羟基，由于该分子共有4个碳氧原子，不可能再含有羧基和酯基，则还应含有酚羟基，核磁共振氢谱确定分子中有6个化学环境相同的氢原子，说明含有两个甲基取代基，并且高度对称，据此可知共有三个取代基，分别是-OH、-COOH和，当-OH与-COOH处于对位时，有两种不同的取代位置，即和；当-OH与处于对位时，-COOH有两种不同的取代位置，即和；当-COOH与处于对位时，-OH有两种不同的取代位置，即和；当三个取代基处于三个连续碳时，共有三种情况，即、和；当三个取代基处于间位时，共有一种情况，即，综上分析该有机物的同分异构体共有十种。
(6)根据题给已知条件对甲苯酚与HOCH~2~CH~2~Cl反应能得到，之后水解反应得到，观察题中反应可知得到目标产物需要利用反应④，所以合成的路线为。
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**北师大版小学五年级上册数学第1单元《小数除法------精打细算》同步检测1（附答案）**
一、填一填。
1.计算11.5÷5，按照( )的法则去计算，只要商的小数点与被除数的小数点( )就行了。
2.8.2÷5的商的最高位在( )位上，结果是( )。
3.根据1.8×4-7.2，把下题补充完整。
7.2÷4=( )
4.( )×5=25.05 17×( )=115.6
5.9的( )倍是48.6。
二、划去每个算式的错误答案。
1.13.98÷6 (2.33 2.13) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
2.12.3÷3 (4.01 4.1)
3.15.6÷3 (5.2 5.02)
4.12.78÷6 (2.03 2.13)
5.6.16÷4 (1.54 1.04)
三、用竖式计算。
12.8÷5 26.5÷25
8.48÷8 8.32÷4
来源：www.bcjy123.com/tiku/
95.1÷15 31.5÷14
四、森林医院。(对的打"√"，错的打"×"，并改正)
1\. 2 0 5 改正：
14 2 8.7
[2 8]{.underline}
7 0
[7 0]{.underline}
0 （ ）
2\. 2.1 改正：
6 1 2.9
[1 2]{.underline}
9
[6]{.underline}
3 （ ）
五、完成下表。
-------- ------ ----- ------ -------
被除数 20.1 4.18 18.36
除数 15 12 3
商 3.2 4
-------- ------ ----- ------ -------
六、小兔采蘑菇。
3.7÷2 30.6÷15 19.8÷18
1.1 1.85 2.04
七、解决问题。
1.购物小票被弄坏了，你能算出雕牌肥皂的单价吗？
2.小明在商店买了6张动画卡片，一共付了l9.2元，你能帮小明算一算平均每张卡片的价钱吗？
八、甲、乙两袋大米的总质量是26.8千克，如果从甲袋中取出3.2千克放入乙袋，这时两袋大米的质量相等，原来甲、乙两袋大米各重多少千克？
**参考答案**
一、
1.整数除法 对齐
2.个 1.64
3\. 1.8
4\. 5.01 6.8
5\. 5.4
二、1. 2.13 2. 4.01 3. 5.02 4. 2.03 5. 1.04
三、2.56 1.06 1.06 2.08 6.34 2.25
四、1.× 2.05 2.× 2.15
五、1.34 38.4 1.045 6.12
六、
七、1. 12.50÷5＝2.5（元） 2. 19.2÷6＝3.2（元）
八、26.8÷2＝13.4（千克） 甲：13.4+3.2＝16.6（千克）
乙：13.4－3.2＝10.2（千克）
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**黄石市2020年初中毕业生学业水平考试**
**数学试题卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1.3的相反数是（ ）．
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得．
【详解】3的相反数是-3
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键．
2.下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
利用中心对称图与轴对称图形定义对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图与轴对称图形定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键．
3.如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义判断即可．
【详解】俯视图即从上往下看的视图,因此题中的几何体从上往下看是左右对称的两个矩形．
故选B．
【点睛】本题考查俯视图的定义,关键在于牢记定义．
4.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．
【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误
B、，此项错误
C、，此项错误
D、，此项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键．
5.函数自变量*x*的取值范围是（ ）
A. ，且 B. C. D. ，且
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式与二次根式的性质即可求解．
【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0
解得，且
故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．
6.不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
【详解】解
由①得， x＜−2；
由②得，x≥−3，
所以不等式组的解集为．
故选：C．
【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7.在平面直角坐标系中，点*G*的坐标是，连接，将线段绕原点*O*旋转，得到对应线段，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
详解】根据题意可得，与G关于原点对称，
∵点*G*的坐标是，
∴点的坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键．
8.如图，在中，，点*H*、*E*、*F*分别是边、、的中点，若，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵，
∴=4
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9.如图，点*A*、*B*、*C*在上， ，垂足分别为*D*、*E*，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：在优弧AB上取一点F，连接AF，BF．
∵ ，
∴∠CDO=∠CEO=90°．
∵，
∴∠O=140°，
∴∠F=70°，
∴∠ACB=180°-70°=110°．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10.若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
11.计算：\_\_\_\_\_\_．
【答案】4-
【解析】
【分析】
根据实数的性质即可化简求解．
【详解】3-+1=4-
故答案为：4-．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算．
12.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解．
【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得，再利用公式法得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
13.据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目20个，总投资137.6亿元，用科学计数法表示137.6亿元，可写为\_\_\_\_\_元．
【答案】1.376×10^10^
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将137.6亿用科学记数法表示为：1.376×10^10^．
故答案为：1.376×10^10^．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是\_\_\_\_\_\_分．
【答案】85
【解析】
【分析】
按照的比例算出本学期的体育成绩即可．
【详解】解：小明本学期的体育成绩为：=85（分），
故答案为：85．
【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15.如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中*A*、*B*、*C*为格点，作的外接圆，则的长等于\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
【详解】∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC^2^＋BC^2^＝AB^2^，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
16.匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有*n*个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的*n*个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点*A*、*B*、*C*、*D*、*O*构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是\_\_\_\_\_．
【答案】18°
【解析】
【分析】
先证明△AOB≌△BOC≌△COD，得出∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，然后求出正五边形每个角的度数为108°，从而可得∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，∠AOB=∠BOC=∠COD=72°，可计算出∠AOD=144°，根据OA=OD，即可求出∠ADO．
【详解】∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∴根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD，
∴△AOB≌△BOC≌△COD，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵正五边形每个角的度数为：=108°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=（180°-2×54°）=72°，
∴∠AOD=360°-3×72°=144°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=（180°-144°）=18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键．
**三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）**
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先根据分式的减法法则进行化简，再将代入求值即可．
【详解】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的减法运算与求值，熟练掌握分式的减法运算法则是解题关键．
18.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部*B*点，测得乙栋楼房顶部*D*点的仰角是，底部*C*点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．
【答案】18(+1)m
【解析】
【分析】
根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】如图，依题意可得∠BCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CE=
∵∠DBE=30°
∴DE=BE×tan30°=18
∴的高度为CE+ED=18(+1)m．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
19.如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
20.如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、*B*两点，点*C*在第四象限，BC∥x轴．
（1）求*k*的值；
（2）以、为边作菱形，求*D*点坐标．
【答案】（1）k=2；（2）D点坐标为(1+，2)．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，可求出a值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；
（2）根据（1）中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出AB的长，最后利用已知条件四边形ABCD为菱形，BC∥x，即可求出D点坐标．
【详解】（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为，将A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．
故k=2．
（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得，解得，，如图，已知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB=，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD=，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+，2)．
故点D坐标为(1+，2)．
【点睛】（1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键．
（2）本题主要考查求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式，掌握求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式是解答本题的关键．
21.已知：关于*x*一元二次方程有两个实数根．
（1）求*m*的取值范围；
（2）设方程的两根为、，且满足，求*m*的值．
【答案】（1）m＞−8（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】（1）根据题意得△＝（）^2^−4×（−2）＞0，
解得m＞−8．
故m的取值范围是m＞−8；
（2）方程的两根为、，
∴=-，=-2
∵
∴
即m+8=17
解得m＝9
∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x~1~，x~2~是一元二次方程ax^2^＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x~1~＋x~2~＝−，x~1~•x~2~＝．
22.我市将面向全市中小学开展"经典诵读"比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛．
（1）请列举所有可能出现的选派结果；
（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）6种，见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）用列举法写出所有可能的结果即可；
（2）根据（1）中的数据进行求解即可；
【详解】（1）设2名男生分别为x和y，2名女生分别为n和m，则根据题意可得不同的结果有；，，，，，共6种结果；
（2）由（1）可得，恰好为1名男生1名女生的结果有4种，
∴．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点，通过所给数据准确分析是解题的关键．
23.我国传统数学名著《九章算术》记载："今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【解析】
【分析】
(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛*x*银两,每只羊*y*银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛*a*头,买养*b*只．
3*a*+2*b*=19,即．
解得*a*=5,*b*=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
24.如图，在中，，平分交于点*D*，*O*为上一点，经过点*A*、*D*的分别交、于点*E*、*F*．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径；
（3）求证：．
【答案】（1）见解析（2）8（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义即可求出r的值；
（3）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论．
【详解】（1）如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5;
\(3\) 连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD^2^＝AB•AF．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．
25.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为*N*．
（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与*y*轴交于点*B*，连接，*C*为抛物线上一点，且位于线段的上方，过*C*作垂直*x*轴于点*D*，交于点*E*，若，求点*C*坐标；
（3）已知点，且无论*k*取何值，抛物线都经过定点*H*，当时，求抛物线的解析式．
 
【答案】（1）（2）C（-2,4）（3）．
【解析】
【分析】
（1）把代入即可求解；
（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；
（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．
【详解】（1）把代入
得-9-3k-2k=1
解得k=-2
∴抛物线的解析式为；
（2）设C（t, ）,则E（t, ）,
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+4
∵E（t, ）在直线AB上
∴=t+4
解得t=-2（舍去正值），
∴C（-2,4）；
（3）由=k（x-2）-x^2^,
当x-2=0即x=2时，y=-4
故无论*k*取何值，抛物线都经过定点*H*（2，-4）
二次函数的顶点为N（）
1°如图，过H点做HI⊥x轴，若＞2时，则k＞4
∵，*H*（2，-4）
∴MI=，
∵HI=4
∴tan∠MHI=
∴∠MHI=30°
∵
∴∠NHI=30°
即∠GNH=30°
由图可知tan∠GNH=
解得k=4+2，或k=4（舍）
2°如图，若＜2，则k＜4
同理可得∠MHI=30°
∵
∴HN⊥IH，即
解得k=4不符合题意；
3°若=2，N、H重合，舍去．
∴k=4+2
∴抛物线的解析式为．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数的定义．
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------变化的量》同步检测1（附答案）**
一、快乐小帮手。(填一填)
1．一辆三轮车行驶的时间和路程如下表，请根据下表试着回答问题。
------------ ---- ---- ---- ---- ---- ----
时间(小时) 1 2 3 4 5 6
路程(千米) 15 30 45 60 75 90
------------ ---- ---- ---- ---- ---- ----
(1)( )和( )是两种相关联的量，( )随着( )的变化而变化。
(2)这两种量相对应的两个数的( )一定，所以这两种量叫做成( )的量，它们的关系叫做( )关系。
2．看表回答问题。
---------------------- ---- ---- ----- ----- ----- -----
轮船行驶的时间(小时) 2 4 8 12 16 18
路程(千米) 45 90 180 270 360 405
---------------------- ---- ---- ----- ----- ----- -----
在上表中，( )和( )是两种相关联的量，( )随着( )的变化而变化，相对应的两个量的比值( )，这个比值所表示的意义是( )，因此轮船行驶的路程和时间成( )比例。
3．根据表格回答问题。
一辆汽车由甲地开往乙地，行驶的速度和时间如下表：
------------------ ---- ---- ----- ---- ---- -----
速度(千米／小时) 80 40 75 60 30 50
时间(小时) 3 6 3.2 4 8 4.8
------------------ ---- ---- ----- ---- ---- -----
(1)表中有（ )和( )两种相关联的量。
(2)请你任意写出两个"速度与相对时间"相乘的式子，并求出乘积。
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
二、小法官来断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。( )
2．电脑的单价一定，购买电脑的总价和数量不成比例。( )
3．汽车的速度一定，所行时间和所行路程成反比例。( )
4．商一定，被除数和除数成正比例。( )
三、对号入座。(将正确答案的序号填在括号里)
1．ɑ:b= , ɑ和b( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．成正比例
B．成反比例
C．不成比例
2．成正比例的两种量，一种量扩大，另一种量( )。
A．随着扩大
B．反而缩小
C．不变
3．购买花布的单价一定，总价与米数成( )。
A．正比例
B．不成比例
四、有问题,我来答。
一辆满载救灾物资的汽车正开往青海玉树地震地区，汽车3小时行120千米，
1.7小时行多少千米？
2．速度一定，路程随时间怎样变化？
五、在生活中，找出三种相关联的量，并写明这三种量在什么情况下可以组成比例关系，是哪种比例关系？来源：www.bcjy123.com/tiku/
**参考答案**
一、1．(1)时间 路程 路程 时间 (2)比值 正比例 正比例
2．时间 路程 路程 时间 一定 单位时间内路程 正
3．(1)速度 时间 (2)答案不唯一。80×3=240(千米) 60×4=240(千米)
二、1．√ 2．× 3．× 4．√
三、1．A 2．A 3．A
四、1．280千米 2．时间越长行驶的路程越长
五、答案不唯一。大米的单价 数量 总价
单价一定，总价和数量成正比例
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**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.""是"复数（其中是虚数单位）为纯虚数"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意得，是纯虚数，故是必要不充分条件，故选B.
考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．
2.设全集，函数的定义域为，集合，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4\[来源:学\#科\#网\]
【答案】C.
考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算．\[来源:ZXXK\]
3.若点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据任意角的三角函数的定义，，故选A.
考点：任意角的三角函数．
4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B.
考点：1.统计的运用；2.程序框图．
5.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C.\[来源:学,科,网\]
【解析】
试题分析：由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.
考点：三角函数的图象和性质．
6.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A.  B． C． D．
【答案】D.
考点：函数性质的综合运用．
7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．
8.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
考点：数列的通项公式．
9.已知非零向量，，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ）\[来源:\]
A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是4
【答案】D.
【解析】
试题分析：∵，∴，即，∵，
∴，解得，（），故，，
∴，故选D.
考点：平面向量数量积．
10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
考点：空间几何体的外接球．
【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为，，的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即；2.棱长为的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即；棱长为a的正四面体：外接球的半径为，内切球的半径为；
11.已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：如下图所示，设，∴，，∴，
，又∵，∴，
∴，∴，故选C.
考点：双曲线的标准方程及其性质．
【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如等.
12.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A.
当时，方程有两个正根，一个小于的负根，∴有六个根，当时，方程有一个正根一个小于的负根，∴有四个根，∴根的个数可能为，，，，，，故选A.
考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.
【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）**
13.已知，展开式的常数项为15，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
考点：定积分的计算及其性质.
14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
考点：线性规划.
15.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作它的弦，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】.
考点：抛物线焦点弦的性质.
【名师点睛】若为抛物线的焦点弦，为抛物线焦点，，两点的坐标分别为
，，则：，，以为直径的圆与抛物线的准线相切，
.
16.已知数列满足，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
考点：数列的通项公式.
【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由和递推关系求出前几项，再归纳、猜想的方法，以及"累加法"，"累乘法"等：1.已知且，可以用"累加法"得：，；
2.已知且，可以用"累乘法"得：，.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.（本小题满分12分）
如图，在中，已知点在边上，且，，，.
（1）求长； （2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用已知条件首先求得的值，再在中，利用余弦定理即可求解；（2）在中利用正弦定理即可求解.
试题解析：（1）∵，则，∴，
即，在中，由余弦定理，可知，
即，解得，或，∵，∴；......6分
（2）在中，由正弦定理，可知.
又由，可知，∴.
∵，∴.............12分
考点：正余弦定理解三角形．
18.（本小题满分12分）
已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
在中，，，\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
，∴二面角的余弦值为.............12分
考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解．
19.(本小题满分12分)
2015年7月9日21时15分，台风"莲花"在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有95%以上的
把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
----------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ------------------------------------------
经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计
捐款超过500元  
捐款不超过500元  
合计
----------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ------------------------------------------
-------------------------------------- ------- ------- ------------------------------------------ ------------------------------------------- ------- ------- --------
 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-------------------------------------- ------- ------- ------------------------------------------ ------------------------------------------- ------- ------- --------
附：临界值表参考公式：.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
的分布列为
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
   
   
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
；............8分
（3）解得，，，，，，，
，
∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.............12分
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.
【答案】（1）；（2）详见解析.
法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．
【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
21.(本小题满分12分)
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数，的值；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得，分类讨论，构造函数，求导研究其单调性即可得到，和是方程的两根，从而求解.
考点：导数的综合运用．
【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）详见解析；（2）.
考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）求.
【答案】（1）直线的普通方程是，曲线的普通方程是；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.
【解析】
考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）解不等式，根据整数解为，即可求解；（2）问题等价于恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.
试题解析：（1）由，即，，
得，∵不等式的整数解为，∴，解得，
又∵不等式仅有一个整数解，∴；............4分
（2）函数的图象恒在函数的上方，故，
∴对任意恒成立，设，
则，则在区间上是减函数，
考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．
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**江西省2017年中等学校招生考试**
**数学试题卷**
**一、选择题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.-6的相反数是（ ）
A． B． C． 6 D．-6
2\. 在国家"一带一路"战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列.行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000，将13000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3.下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．  B．  C． D．
4\. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C. D．
5.已知一元二次方程的两个根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C. 都是有理数 D．都是正数
6\. 如图，任意四边形中，分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当是各边中点，且时，四边形为菱形
B．当是各边中点，且时，四边形为矩形
C. 当不是各边中点时，四边形可以为平行四边形
D．当不是各边中点时，四边形不可能为菱形
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
7\. 函数中，自变量的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
8\. 如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中，若剪刀张开的角为30°，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_度．
9\. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在"正负术"的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
10.如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
11.已知一组从小到大排列的数据：2，5，，， ，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知点，连接得到矩形，点的边上，将边沿折叠，点的对应边为，若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共5小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
13.（1）计算：；
（2）如图，正方形中，点分别在上，且.
求证：.
14.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
15.端午节那天，小贤回家看到桌上有一盘粽子，其中有豆沙粽、肉粽各1个，蜜枣粽2个，这些粽子除馅外无其他差别．
（1）小贤随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？
（2）小贤随机地从盘中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率.
16.如图，已知正七边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画出一个以为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以为边的菱形.
17\. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的"视线角"约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的"手肘角"约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线水平，且与屏幕垂直.
（1）若屏幕上下宽，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离，上臂，下臂水平放置在键盘上，其到地面的距离.请判断此时是否符合科学要求的100°？
（参考数据：，所有结果精确到个位）
**四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.**
18\. 为了解某市市民"绿色出行"方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
---------- ---------- ------ -------- ------ --------
种类
出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车
---------- ---------- ------ -------- ------ --------
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人，其中选择类的人数有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人；
（2）在扇形统计图中，求类对应扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将这三类出行方式均视为"绿色出行"方式，请估计该市"绿色出行"方式的人数.
19.如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短.设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量，得到如下数据：
+------------------+-----+----+----+----+----+-----+-----+
| 单层部分的长度（ | ... | 4 | 6 | 8 | 10 | ... | 150 |
| | | | | | | | |
| ） | | | | | | | |
+------------------+-----+----+----+----+----+-----+-----+
| 双层部分的长度 | ... | 73 | 72 | 71 | | ... | |
+------------------+-----+----+----+----+----+-----+-----+
（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出关于的函数解析式；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
（3）设挎带的长度为，求的取值范围.
20\. 如图，直线与双曲线相交于点.已知点，连接，将沿方向平移，使点移动到点，得到．过点作轴交双曲线于点.
（1）求与的值；
（2）求直线的表达式；
（3）直接写出线段扫过的面积.
**五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）.**
21.如图1，的直径是弦上一动点（与点不重合），，过点作交于点.
（1）如图2，当时，求的长；
（2）如图3，当时，延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②求的长．
22.已知抛物线．
（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线，直接写出的表达式；
（3）若（2）中抛物线的顶点到轴的距离为2，求的值.
**六、（本大题共12分）**
23\. 我们定义：如图1，在看，把点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接.当时，我们称是的"旋补三角形"， 边上的中线叫做的"旋补中线"，点叫做"旋补中心".
特例感知：
（1）在图2，图3中，是的"旋补三角形"， 是的"旋补中心".
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
②如图3，当时，则长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明.
拓展应用
（3）如图4，在四边形，，.在四边形内部是否存在点，使是的"旋补三角形"？若存在，给予证明，并求的"旋补中线"长；若不存在，说明理由.
参考答案
CBCADD
75° -3 8 5
13\.
14\.
15\.
16\.
解答：
17\.
18\.
800人，240人，，
19\.
20\.
21\.
22\.
23\.
，4，
解（2）猜想
解题过程：如图，将三角形 绕点D逆时针旋转，使DC与 重合，证明
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**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64
一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于真核生物的遗传信息及其传递的叙述，错误的是
> A．遗传信息可以从DNA流向RNA，也可以从RNA流向蛋白质
>
> B．细胞中以DNA的一条单链为模板转录出的RNA均可编码多肽
>
> C．细胞中DNA分子的碱基总数与所有基因的碱基数之和不相等
>
> D．染色体DNA分子中的一条单链可以转录出不同的 RNA分子
2．取燕麦胚芽鞘切段，随机分成三组，第1组置于一定浓度的蔗糖（Suc）溶液中（蔗糖能进入胚芽鞘细胞），第2组置于适宜浓度的生长素（IAA）溶液中，第3组置于IAA+ Suc溶液中，一定时间内测定胚芽鞘长度的变化，结果如图所示。用KCI代替蔗糖进行上述实验可以得到相同的结果。下列说法不合理的是
> A．KCI可进入胚芽鞘细胞中调节细胞的渗透压
>
> B．胚芽鞘伸长生长过程中，件随细胞对水分的吸收
>
> C．本实验中Suc是作为能源物质来提高IAA作用效果的
>
> D．IAA促进胚芽鞘伸长的效果可因加入Suc或KC1而提高
3．细胞内有些tRNA分子的反密码子中含有稀有碱基次黄嘌呤（I），含有I的反密码子在与mRNA中的密码子互补配对时，存在如图所示的配对方式（Gly表示甘氨酸）。下列说法错误的是
> A．一种反密码子可以识别不同的密码子
>
> B．密码子与反密码子的碱基之间通过氢键结合
>
> C．tRNA 分子由两条链组成，mRNA分子由单链组成
>
> D．mRNA中的碱基改变不一定造成所编码氨基酸的改变
4．下列有关人体免疫调节的叙述，合理的是
> A．若病原体不具有细胞结构，就不会使人体产生抗体
>
> B．病原体裂解后再注射到人体，就不会使人体产生抗体
>
> C．病原体表面若不存在蛋白质分子，就不会使人体产生抗体
>
> D．病原体经吞噬细胞处理后暴露出的抗原可使人体产生抗体
5．新冠病毒是一种RNA病毒。新冠肺炎疫情给人们的生活带来了巨大影响。下列与新冠肺炎疫情防控相关的叙述，错误的是
> A．新冠病毒含有核酸和蛋白质，通过核酸检测可排查新冠病毒感染者
>
> B．教室经常开窗通风可以促进空气流动，降低室内病原微生物的密度
>
> C．通常新冠肺炎患者的症状之一是发烧， 因此可以通过体温测量初步排查
>
> D．每天适量饮酒可以预防新冠肺炎，因为酒精可以使细胞内的病毒蛋白变性
6．生态系统的物质循环包括碳循环和氮循环等过程。下列有关碳循环的叙述，错误的是
> A．消费者没有参与碳循环的过程
>
> B．生产者的光合作用是碳循环的重要环节
>
> C．土壤中微生物的呼吸作用是碳循环的重要环节
>
> D．碳在无机环境与生物群落之间主要以CO~2~形式循环
>
> 7．宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料（主要成分为Cu(OH)~2~·CuCO~3~），青色来自蓝铜矿颜料（主要成分为Cu(OH)~2~·2CuCO~3~）。下列说法错误的是
>
> A．保存《千里江山图》需控制温度和湿度
>
> B．孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化
>
> C．孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱
>
> D．Cu(OH)~2~·CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~·2CuCO~3~
8．金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：
> 下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是
>
> A．可与氢气发生加成反应 B．分子含21个碳原子
>
> C．能与乙酸发生酯化反应 D．不能与金属钠反应
9．*N*~A~是阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
> A．22.4 L（标准状况）氮气中含有7*N*~A~个中子
>
> B．1 mol重水比1 mol水多*N*~A~个质子
>
> C．12 g石墨烯和12 g金刚石均含有*N*~A~个碳原子
>
> D．1 L 1 mol·L^−1^ NaCl溶液含有28*N*~A~个电子
10．喷泉实验装置如图所示。应用下列各组气体---溶液，能出现喷泉现象的是
----- ------- ------------------
气体 溶液
A． H~2~S 稀盐酸
B． HCl 稀氨水
C． NO 稀H~2~SO~4~
D． CO~2~ 饱和NaHCO~3~溶液
----- ------- ------------------
11．对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是
> A．用Na~2~SO~3~溶液吸收少量Cl~2~：3+Cl~2~+H~2~O = 2+2+
>
> B．向CaCl~2~溶液中通入CO~2~：Ca^2+^+H~2~O+CO~2~=CaCO~3~↓+2H^+^
>
> C．向H~2~O~2~溶液中滴加少量FeCl~3~：2Fe^3+^ +H~2~O~2~=O~2~↑+2H^+^+2Fe^2+^
>
> D．同浓度同体积NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合：+OH^－^=NH~3~·H~2~O
12．一种高性能的碱性硼化钒（VB~2~）---空气电池如下图所示，其中在VB~2~电极发生反应：
> 该电池工作时，下列说法错误的是
>
> 
>
> A．负载通过0.04 mol电子时，有0.224 L（标准状况）O~2~参与反应
>
> B．正极区溶液的pH降低、负极区溶液的pH升高
>
> C．电池总反应为
>
> D．电流由复合碳电极经负载、VB~2~电极、KOH溶液回到复合碳电极
13．W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z；化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟。下列叙述正确的是
> A．非金属性：W\> X\>Y\> Z B．原子半径：Z\>Y\>X\>W
>
> C．元素X的含氧酸均为强酸 D．Y的氧化物水化物为强碱
二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第14\~18题只有一项符合题目要求，第19\~21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．如图，水平放置的圆柱形光滑玻璃棒左边绕有一线圈，右边套有一金属圆环。圆环初始时静止。将图中开关S由断开状态拨至连接状态，电路接通的瞬间，可观察到
> A．拨至*M*端或*N*端，圆环都向左运动
>
> B．拨至*M*端或*N*端，圆环都向右运动
>
> C．拨至*M*端时圆环向左运动，拨至*N*端时向右运动
>
> D．拨至*M*端时圆环向右运动，拨至*N*端时向左运动
15．甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1 kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为
> A．3 J B．4 J C．5 J D．6 J
16．"嫦娥四号"探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的*K*倍。已知地球半径*R*是月球半径的*P*倍，地球质量是月球质量的*Q*倍，地球表面重力加速度大小为*g*．则"嫦娥四号"绕月球做圆周运动的速率为
> A． B． C． D．
17．如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上*O*点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，*O*点两侧绳与竖直方向的夹角分别为*α*和*β*。若*α*=70°，则*β*等于
> A．45° B．55° C．60° D．70°
18．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为*a*和3*a*的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为*v*的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为*m*，电荷量为*e*，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为
> A． B． C． D．
19．1934年，约里奥---居里夫妇用α粒子轰击铝箔，首次产生了人工放射性同位素X，反应方程为：。*X*会衰变成原子核*Y*，衰变方程为，则
A．X的质量数与Y的质量数相等 B．X的电荷数比Y的电荷数少1
C．X的电荷数比的电荷数多2 D．X的质量数与的质量数相等
20．在图（a）所示的交流电路中，电源电压的有效值为220V，理想变压器原、副线圈的匝数比为10∶1，*R*~1~、*R*~2~、*R*~3~均为固定电阻，*R*~2~=10，*R*~3~=20，各电表均为理想电表。已知电阻*R*~2~中电流*i*~2~随时间*t*变化的正弦曲线如图（b）所示。下列说法正确的是
A．所用交流电的频率为50Hz B．电压表的示数为100V
C．电流表的示数为1.0A D．变压器传输的电功率为15.0W
21．如图，∠*M*是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为*q*（*q*\>0）的点电荷固定在*P*点。下列说法正确的是
A．沿*MN*边，从*M*点到*N*点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿*MN*边，从*M*点到*N*点，电势先增大后减小
C．正电荷在*M*点的电势能比其在*N*点的电势能大
D．将正电荷从*M*点移动到*N*点，电场力所做的总功为负
三、非选择题：共174分。第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共129分。
22．（6分）
某同学利用图（a）所示装置验证动能定理。调整木板的倾角平衡摩擦阻力后，挂上钩码，钩码下落，带动小车运动并打出纸带。某次实验得到的纸带及相关数据如图（b）所示。
 
已知打出图（b）中相邻两点的时间间隔为0.02 s，从图（b）给出的数据中可以得到，打出*B*点时小车的速度大小*v~B~*=\_\_\_\_\_\_\_\_m/s，打出*P*点时小车的速度大小*v~P~*=\_\_\_\_\_\_\_\_m/s。（结果均保留2位小数）
若要验证动能定理，除了需测量钩码的质量和小车的质量外，还需要从图（b）给出的数据中求得的物理量为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
23．（9分）
已知一热敏电阻当温度从10 ℃升至60 ℃时阻值从几千欧姆降至几百欧姆，某同学利用伏安法测量其阻值随温度的变化关系。所用器材：电源*E*、开关S、滑动变阻器*R*（最大阻值为20 Ω）、电压表（可视为理想电表）和毫安表（内阻约为100 Ω）。
（1）在答题卡上所给的器材符号之间画出连线，组成测量电路图。
（2）实验时，将热敏电阻置于温度控制室中，记录不同温度下电压表和亳安表的示数，计算出相应的热敏电阻阻值。若某次测量中电压表和毫安表的示数分别为5.5 V和3.0 mA，则此时热敏电阻的阻值为\_\_\_\_\_\_\_\_kΩ（保留2位有效数字）。实验中得到的该热敏电阻阻值*R*随温度*t*变化的曲线如图（a）所示。
（3）将热敏电阻从温控室取出置于室温下，测得达到热平衡后热敏电阻的阻值为2.2kΩ。由图（a）求得，此时室温为\_\_\_\_\_\_\_℃（保留3位有效数字）。
（4）利用实验中的热敏电阻可以制作温控报警器，其电路的一部分如图（b）所示。图中，*E*为直流电源（电动势为10 V，内阻可忽略）；当图中的输出电压达到或超过6.0 V时，便触发报警器（图中未画出）报警。若要求开始报警时环境温度为50 ℃，则图中\_\_\_\_\_（填
"*R*~1~"或"*R*~2~"）应使用热敏电阻，另一固定电阻的阻值应为\_\_\_\_\_kΩ（保留2位有效数字）。
24．（12分）
如图，一边长为*l*~0~的正方形金属框*abcd*固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为*B*的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率*v*自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与*ac*垂直且中点位于*ac*上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为*r*，金属框电阻可忽略。将导体棒与*a*点之间的距离记为*x*，求导体棒所受安培力的大小随*x*（）变化的关系式。
25．（20分）
如图，相距*L*=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小*v*可以由驱动系统根据需要设定。质量*m*=10 kg的载物箱（可视为质点），以初速度*v*~0~=5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数*μ=* 0.10，重力加速度取*g* = 10 m/s^2^。
（1）若*v*=4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
（2）求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度；
（3）若*v*=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。
26．（14分）
氯可形成多种含氧酸盐，广泛应用于杀菌、消毒及化工领域。实验室中利用下图装置（部分装置省略）制备KClO~3~和NaClO，探究其氧化还原性质。
回答下列问题：
（1）盛放MnO~2~粉末的仪器名称是 [ ]{.underline} ，a中的试剂为 [ ]{.underline} 。
（2）b中采用的加热方式是 [ ]{.underline} ，c中化学反应的离子方程式是 [ ]{.underline} ，采用冰水浴冷却的目的是 [ ]{.underline} 。
（3）d的作用是 [ ]{.underline} ，可选用试剂 [ ]{.underline} （填标号）。
A．Na~2~S B．NaCl C．Ca(OH)~2~ D．H~2~SO~4~
（4）反应结束后，取出b中试管，经冷却结晶， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ，干燥，得到KClO~3~晶体。
（5）取少量KClO~3~和NaClO溶液分别置于1号和2号试管中，滴加中性KI溶液。1号试管溶液颜色不变。2号试管溶液变为棕色，加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显\_\_\_\_色。可知该条件下KClO~3~的氧化能力\_\_\_\_NaClO(填"大于"或"小于\")。
27．（15分）
某油脂厂废弃的油脂加氢镍催化剂主要含金属Ni、Al、Fe及其氧化物，还有少量其他不溶性物质。采用如下工艺流程回收其中的镍制备硫酸镍晶体（NiSO~4~·7H~2~O）：
溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
+--------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 金属离子 | Ni^2+^ | Al^3+^ | Fe^3+^ | Fe^2+^ |
+--------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 开始沉淀时（*c*=0.01 mol·L^−1^）的pH | 7.2 | 3.7 | 2.2 | 7.5 |
| | | | | |
| 沉淀完全时（*c*=1.0×10^−5^ mol·L^−1^）的pH | 8.7 | 4.7 | 3.2 | 9.0 |
+--------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
回答下列问题：
（1）"碱浸"中NaOH的两个作用分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。为回收金属，用稀硫酸将"滤液①"调为中性，生成沉淀。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）"滤液②"中含有的金属离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）"转化"中可替代H~2~O~2~的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若工艺流程改为先"调pH"后"转化"，即，"滤液③"中可能含有的杂质离子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）利用上述表格数据，计算Ni(OH)~2~的*K*~sp~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（列出计算式）。如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0 mol·L^−1^，则"调pH"应控制的pH范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）硫酸镍在强碱溶液中用NaClO氧化，可沉淀出能用作镍镉电池正极材料的NiOOH。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）将分离出硫酸镍晶体后的母液收集、循环使用，其意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
28．（14分）
二氧化碳催化加氢合成乙烯是综合利用CO~2~的热点研究领域。回答下列问题：
（1）CO~2~催化加氢生成乙烯和水的反应中，产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)∶*n*(H~2~O)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。当反应达到平衡时，若增大压强，则*n*(C~2~H~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"变大""变小"或"不变")。
（2）理论计算表明，原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1MPa，反应达到平衡时，四种组分的物质的量分数*x*随温度*T*的变化如图所示。
图中，表示C~2~H~4~、CO~2~变化的曲线分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。CO~2~催化加氢合成C~2~H~4~反应的Δ*H*\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")。
（3）根据图中点A(440K，0.39)，计算该温度时反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(MPa)^−3^(列出计算式。以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
（4）二氧化碳催化加氢合成乙烯反应往往伴随副反应，生成C~3~H~6~、C~3~H~8~、C~4~H~8~等低碳烃。一定温度和压强条件下，为了提高反应速率和乙烯选择性，应当\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
29．（10分）
参照表中内容，围绕真核细胞中ATP的合成来完成下表。
------------------- ------------- ------------------ --------------------
反应部位 （1） 叶绿体的类囊体膜 线粒体
反应物 葡萄糖 丙酮酸等
反应名称 （2） 光合作用的光反应 有氧呼吸的部分过程
合成ATP的能量来源 化学能 （3） 化学能
终产物（除ATP外） 乙醇、CO~2~ （4） （5）
------------------- ------------- ------------------ --------------------
30．（10分）
> 给奶牛挤奶时其乳头上的感受器会受到制激，产生的兴奋沿着传入神经传到脊髓能反射性地引起乳腺排乳；同时该兴奋还能上传到下丘脑促使其合成催产素，进而促进乳腺排乳。回答下列问题：
>
> （1）在完成一个反射的过程中，一个神经元和另个神经元之间的信息传递是通过\_\_\_\_\_\_\_这一结构来完成的。
>
> （2）上述排乳调节过程中，存在神经调节和体液调节。通常在哺乳动物体内，这两种调节方式之间的关系是\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （3）牛奶的主要成分有乳糖和蛋白质等，组成乳糖的2种单糖是\_\_\_\_\_\_\_。牛奶中含有人体所需的必需氨基酸，必需氨基酸是指\_\_\_\_\_\_\_。
31．（9分）
> 假设某种蓝藻（A）是某湖泊中唯一的生产者，其密度极大，使湖水能见度降低。某种动物（B）是该湖泊中唯一的消费者。 回答下列问题：
>
> （1）该湖泊水体中A种群密度极大的可能原因是\_\_\_\_\_\_\_ （答出2 点即可）。
>
> （2）画出该湖泊生态系统能量流动的示意图。
>
> （3）假设该湖泊中引入一种仅以A为食的动物（C）后，C种群能够迅速壮大，则C和B的种间关系是\_\_\_\_\_\_\_。
32．（10分）
> 普通小麦是目前世界各地栽培的重要粮食作物。普通小麦的形成包括不同物种杂交和染色体加倍过程，如图所示（其中A、B、D分别代表不同物种的一个染色体组，每个染色体组均含7条染色体）。在此基础上，人们又通过杂交育种培育出许多优良品种。回答下列问题：
> （1）在普通小麦的形成过程中，杂种一是高度不育的，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。已知普通小麦是杂种二染色体加倍形成的多倍体，普通小麦体细胞中有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_条染色体。一般来说，与二倍体相比，多倍体的优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
>
> （2）若要用人工方法使植物细胞染色体加倍，可采用的方法有\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
>
> （3）现有甲、乙两个普通小麦品种（纯合体），甲的表现型是抗病易倒伏，乙的表现型是易感病抗倒伏。若要以甲、乙为实验材料设计实验获得抗病抗倒伏且稳定遗传的新品种，请简要写出实验思路。
**（二）选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
33．\[物理------选修3--3\]（15分）
（1）（5分）如图，一开口向上的导热气缸内。用活塞封闭了一定质量的理想气体，活塞与气缸壁间无摩擦。现用外力作用在活塞上。使其缓慢下降。环境温度保持不变，系统始终处于平衡状态。在活塞下降过程中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（填正确答案标号。选对1个得2分。选对2个得4分，选对3个得5分；每选错1个扣3分，最低得分为0分）
> A．气体体积逐渐减小，内能增知
>
> B．气体压强逐渐增大，内能不变
>
> C．气体压强逐渐增大，放出热量
>
> D．外界对气体做功，气体内能不变
>
> E．外界对气体做功，气体吸收热量
（2）（10分）如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为*H*=18cm的U型管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高*h*~0~= 4cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离*l*= 12cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为*T*~1~= 283K。大气压强*P*~0~ = 76cmHg。
（i）现从右侧端口缓慢注入水银（与原水银柱之间无气隙），恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少?
（ii）再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少?
34．\[物理选修3--4\]（15分）
（1）（5分）如图，一列简谐横波平行于*x*轴传播，图中的实线和虚线分别为*t*=0和*t*=0.1 s时的波形图。已知平衡位置在*x*=6 m处的质点，在0到0.l s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为\_\_\_\_\_\_\_\_\_s，波速为\_\_\_\_\_\_\_\_\_m/s，传播方向沿*x*轴\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"正方向"或"负方向"）。
（2）（10分）如图，一折射率为的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形*ABC*，∠*A*=90°，∠*B*=30°。一束平行光平行于*BC*边从*AB*边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求*AC*边与*BC*边上有光出射区域的长度的比值。
35．［化学------选修3：物质结构与性质］（15分）
氨硼烷（NH~3~BH~3~）含氢量高、热稳定性好，是一种具有潜力的固体储氢材料。回答下列问题：
（1）H、B、N中，原子半径最大的是\_\_\_\_\_\_。根据对角线规则，B的一些化学性质与元素\_\_\_\_\_\_的相似。
（2）NH~3~BH~3~分子中，N---B化学键称为\_\_\_\_键，其电子对由\_\_\_\_提供。氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气：
3NH~3~BH~3~+6H~2~O=3NH~3~++9H~2~
的结构为。在该反应中，B原子的杂化轨道类型由\_\_\_\_\_\_变为\_\_\_\_\_\_。
（3）NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性（H^δ+^），与B原子相连的H呈负电性（H^δ-^），电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。与NH~3~BH~3~原子总数相等的等电子体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（写分子式），其熔点比NH~3~BH~3~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"高"或"低"），原因是在NH~3~BH~3~分子之间，存在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也称"双氢键"。
（4）研究发现，氦硼烷在低温高压条件下为正交晶系结构，晶胞参数分别为*a* pm、*b* pm、*c* pm，*α*=*β*=*γ*=90°。氨硼烷的2×2×2超晶胞结构如图所示。
氨硼烷晶体的密度*ρ*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ g·cm^−3^（列出计算式，设*N*~A~为阿伏加德罗常数的值）。
36．\[化学------选修5：有机化学基础\]（15分）
苯基环丁烯酮（ PCBO）是一种十分活泼的反应物，可利用它的开环反应合成一系列多官能团化合物。近期我国科学家报道用PCBO与醛或酮发生\[4+2\]环加成反应，合成了具有生物活性的多官能团化合物（E），部分合成路线如下：
已知如下信息：
回答下列问题：
（1）A的化学名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）由C生成D所用的试别和反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步反应中，若反应温度过高，C易发生脱羧反应，生成分子式为C~8~H~8~O~2~的副产物，该副产物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）写出化合物E中含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中手性碳（注：连有四个不同的原子或基团的碳）的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）M为C的一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）对于，选用不同的取代基R\'，在催化剂作用下与PCBO发生的\[4+2\]反应进行深入研究，R\'对产率的影响见下表：
-------- ---------- ------------- -----------------------
R\' ---CH~3~ ---C~2~H~5~ ---CH~2~CH~2~C~6~H~5~
产率/% 91 80 63
-------- ---------- ------------- -----------------------
请找出规律，并解释原因\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
37．\[生物------选修1：生物技术实践\]（15分）
> 水果可以用来加工制作果汁、果酒和果醋等。回答下列问题：
>
> （1）制作果汁时，可以使用果胶酶、纤维素酶等提高水果的出汁率和澄清度。果胶酶是分解果胶的一类酶的总称，包括多聚半乳糖醛酸酶、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2种即可）。纤维素酶可以分解植物\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"细胞膜\"或"细胞壁"）中的纤维素。
>
> （2）用果胶酶处理果泥时，为了提高出汁率，需要控制反应的温度，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （3）现有甲乙丙三种不同来源的果胶酶，某同学拟在果泥用量、温度、pH等所有条件都相同的前提下比较这三种酶的活性。通常，酶活性的高低可用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_来表示。
>
> （4）获得的果汁（如苹果汁）可以用来制作果酒或者果醋，制作果酒需要\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_菌，这一过程中也需要O~2~，O~2~的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。制作果醋需要醋酸菌，醋酸菌属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"好氧"或"厌氧"）细菌。
38．\[生物------选修3：现代生物科技专题\](15分)
> W是一种具有特定功能的人体蛋白质。某研究小组拟仿照制备乳腺生物反应器的研究思路，制备一种膀胱生物反应器来获得W，基本过程如图所示。
> （1）步骤①中需要使用的工具酶有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。步骤②和③所代表的操作分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。步骤④称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （2）与乳腺生物反应器相比，用膀胱生物反应器生产W的优势在于不受转基因动物的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）的限制。
>
> （3）一般来说，在同一动物个体中，乳腺上皮细胞与膀胱上皮细胞的细胞核中染色体DNA所含的遗传信息\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"相同"或"不同"），原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （4）从上述流程可知，制备生物反应器涉及胚胎工程，胚胎工程中所用到的主要技术有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合 参考答案
1．B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．A
7．C 8．D 9．C 10．B 11．A 12．B 13．D
14．B 15．A 16．D 17．B 18．C 19．AC 20．AD 21．BC
22．0.36 1.80 *B*、*P*之间的距离
23．（1）如图所示。 （2）1.8 （3）25.5 （4）*R*~1~ 1.2
24．解：当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为*l*时，由法拉第电磁感应定律知，导体棒上感应电动势的大小为 ①
> 由欧姆定律，流过导体棒的感应电流为
>
> ②
>
> 式中，*R*为这一段导体棒的电阻。按题意有
>
> ③
>
> 此时导体棒所受安培力大小为
>
> ④
>
> 由题设和几何关系有
>
> ⑤
>
> 联立①②③④⑤式得
>
> ⑥
25．解：（1）传送带的速度为*v*=4.0 m/s时，载物箱在传送带上先做匀减速运动，设其加速度大小为*a*，由牛顿第二定律有
> *μmg*=*ma* ①
>
> 设载物箱滑上传送带后匀减速运动的距离为*s*~1~，由运动学公式有
>
> *v*^2^-- *v*~0~^2^= --2*as*~1~ ②
>
> 联立①②式，代入题给数据得
>
> *s*~1~=4.5 m ③
>
> 因此，载物箱在到达右侧平台前，速度先减小到*v*，然后开始做匀速运动。设载物箱从滑上传送带到离开传送带所用的时间为*t*~1~，做匀减速运动所用的时间为，由运动学公式有
>
> *v*= *v*~0~--*at*~1~´ ④
>
> ⑤
>
> 联立①③④⑤式并代入题给数据得
>
> *t*~1~=2.75 s ⑥
>
> （2）当载物箱滑上传送带后一直做匀减速运动时，到达右侧平台时的速度最小，设为*v*~1~；当载物箱滑上传送带后一直做匀加速运动时，到达右侧平台时的速度最大，设为*v*~2~。由动能定理有
⑦
> ⑧
>
> 由⑦⑧式并代入题给条件得
>
> m/s， m/s ⑨
>
> （3）传送带的速度为*v*=6.0 m/s时，由于*v*~0~\<*v*\<*v*~2~，载物箱先做匀加速运动，加速度大小仍为*a*。设载物箱做匀加速运动通过的距离为*s*~2~，所用时间为*t*~2~，由运动学公式有
>
> *v*=*v*~0~+*at*~2~ ⑩
>
> *v*^2^--*v*~0~^2^=2*as*~2~ ⑪
>
> 联立①⑩⑪式并代入题给数据得
>
> *t*~2~=1.0 s ⑫
>
> *s*~2~=5.5 m ⑬
>
> 因此载物箱加速运动1.0 s、向右运动5.5 m时，达到与传送带相同的速度。此后载物箱与传送带共同运动（Δ*t*--*t*~2~）的时间后，传送带突然停止。设载物箱匀速运动通过的距离为*s*~3~，有
>
> *s*~3~=（Δ*t*--*t*~2~）*v* ⑭
>
> 由①⑫⑬⑭式可知，，即载物箱运动到右侧平台时速度大于零，设为*v*~3~。由运动学公式有
>
> *v*~3~^2^--*v*^2^= --2*a*（*L*--*s*~2~--*s*~3~） ⑮
>
> 设载物箱通过传送带的过程中，传送带对它的冲量为*I*，由动量定理有
>
> *I*=*m*（*v*~3~--*v*~0~） ⑯
>
> 联立①⑫⑬⑭⑮⑯式并代入题给数据得
>
> *I*=0 ⑰
26．（14分）（1）圆底烧瓶 饱和食盐水
（2）水浴加热 Cl~2~+2OH^−^=ClO^−^+Cl^−^+H~2~O 避免生成NaClO~3~
（3）吸收尾气（Cl~2~） AC
（4）过滤 少量（冷）水洗涤
（5）紫 小于
27．（15分）
> （1）除去油脂，溶解铝及其氧化物 +H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O
>
> （2）Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^
>
> （3）O~2~或空气 Fe^3+^
>
> （4）0.01×(10^7.2−14^)^2^\[或10^−5^×(10^8.7−14^)^2^\] 3.2\~6.2
>
> （5）2Ni^2+^+ClO^−^+4OH^−^=2NiOOH↓+ Cl^−^+H~2~O
>
> （6）提高镍回收率
28．（14分）
> （1）1∶4 变大
>
> （2）d c 小于
>
> （3）或等
>
> （4）选择合适催化剂等
29．（10分）
（1）细胞质基质
（2）无氧呼吸
（3）光能
（4）O~2~、NADPH
（5）H~2~O、CO~2~
30．（10分）
（1）突触
（2）有些内分泌腺直接或间接地受中枢神经系统的调节；内分泌腺所分泌的激素也可以影响神经系统的发育和功能
（3）葡萄糖和半乳糖 人体细胞自身不能合成，必须从食物中获取的氨基酸
31．（9分）
（1）水体富营养化，没有其他生产者的竞争
（2）答案如图
（3）竞争
32．（10分）
（1）无同源染色体，不能进行正常的减数分裂 42 营养物质含量高、茎秆粗壮
（2）秋水仙素处理
（3）甲、乙两个品种杂交，F~1~自交，选取F~2~中既抗病又抗倒伏、且自交后代不发生性状分离的植株
33．（1）BCD
> （2）解：（i）设密封气体初始体职为*V*~1~，压强为*p*~1~，左、右管的截面积均为*S*，密封气体先经等温压缩过程体积变为*V*~2~，压强变为*p*~2~，由玻意耳定律有
>
> *p*~1~*V*~1~=*p*~2~*V*~2~ ①
>
> 设注入水银后水银柱高度为*h*，水银的密度为*ρ*，按题设条件有
>
> *p*~1~=*p*~0~ +*ρgh*~0~ ②
>
> *p*~2~=*p*~0~ +*ρgh* ③
>
> *V*~1~=（2*H*--*l*--*h*~0~）*S*，*V*~2~=*HS* ④
>
> 联立①②③④式并代入题给数据得
>
> *h*=12.9 cm ⑤
>
> （ii）密封气体再经等压膨胀过程体积变为*V*~3~，温度变为*T*~2~，由盖---吕萨克定律有
>
> ⑥
>
> 按题设条件有
>
> *V*~3~ =（2*H*-- *h*）*S* ⑦
>
> 联立④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
>
> *T*~2~=363 K ⑧
34．（1）0.4 10 负方向
> （2）如图（a）所示，设从*D*点入射的光线经折射后恰好射向*C*点，光在*AB*边上的入射角为*θ*~1~，折射角为*θ*~2~，由折射定律有
>
> 
>
> sin*θ*~1~=*n*sin*θ*~2~ ①
>
> 设从*DB*范围入射的光折射后在*BC*边上的入射角为*θ*′，由几何关系
>
> *θ*′=30°+*θ*~2~ ②
>
> 由①②式并代入题给数据得
>
> *θ*~2~=30° ③
>
> *n*sin*θ*′\>1 ④
>
> 所以，从*DB*范围入射的光折射后在*BC*边上发生全反射，反射光线垂直射到*AC*边，*AC*边上全部有光射出。
>
> 设从*AD*范围入射的光折射后在*AC*边上的入射角为*θ*′′，如图（b）所示。由几何关系
>
> 
>
> *θ*′′=90°--*θ*~2~ ⑤
>
> 由③⑤式和已如条件可知
>
> *n*sin*θ*′′\>l ⑥
>
> 即从*AD*范围入射的光折射后在*AC*边上发生全反射，反射光线垂直射到*BC*边上。设*BC*边上有光线射出的部分为*CF*，由几何关系得
>
> *CF*=*AC*·sin30° ⑦
>
> *AC*边与*BC*边有光出射区域的长度的比值为
>
> ⑧
35．（15分）
> （1）B Si（硅）
>
> （2）配位 N sp^3^ sp^2^
>
> （3）N＞H＞B CH~3~CH~3~ 低 H^δ+^与H^δ−^的静电引力
>
> （4）
36．（15分）
> （1）2−羟基苯甲醛（水杨醛）
>
> （2）
>
> （3）乙醇、浓硫酸/加热 
>
> （4）羟基、酯基 2
>
> （5）
>
> （6）随着R\'体积增大，产率降低；原因是R\'体积增大，位阻增大
37．（15分）
（1）果胶分解酶、果胶酯酶 细胞壁
（2）温度对果胶酶活性有影响，在最适温度下酶活性最高，出汁率最高
（3）在一定条件下，单位时间内、单位体积中反应物的消耗量或者产物的增加量
（4）酵母 促进有氧呼吸，使酵母菌大量繁殖 好氧
38．（15分）
（1）限制性核酸内切酶、DNA连接酶 显微注射 体外培养 胚胎移植
（2）性别、年龄
（3）相同 两种上皮细胞都是体细胞，且来源于同一个受精卵
（4）体外受精、胚胎移植
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第15课《一个图形的等积变换》试题附答案**
**答案**
一年级奥数上册：第十五讲 一个图形的等积变换 习题
一年级奥数上册：第十五讲 一个图形的等积变换 习题解答
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**四川省凉山州2020年中考数学试题**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.（﹣1）^2020^等于（ ）
A. ﹣2020 B. 2020 C. ﹣1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据负数的偶次方是正数可以解答．
【详解】（﹣1）^2020^=1，
故选：*D*．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．
2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．
【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
3.点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.
【详解】关于*x*轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数
∴点关于*x*轴对称的点的坐标是（2，-3）
故选B
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于*x*轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于*y*轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.
4.已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A. -1 B. 3 C. -1和3 D. 1和3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平均数的定义求出*x*的值，再根据众数的定义解答即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：，
所以这组数据的众数是：﹣1和3．
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键．
5.一元二次方程x^2^=2x的解为（ ）
A. x=0 B. x=2 C. x=0或x=2 D. x=0且x=2
【答案】C
【解析】
【详解】
或
故选C.
6.下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】A.，故错误；
B. ，故错误；
C.，正确；
D.∵，
∴无意义；
故选C．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值．
7.已知一次函数*y* =（2*m*+1）*x*+*m*-3的图像不经过第二象限，则*m*的取值范围（ ）
A. m\>- B. m\<3 C. -\<m\<3 D. -\<m≤3
【答案】D
【解析】
【分析】
一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.
【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，
，解得：－＜m＜3.
当函数图象经过第一，三象限时，
，解得m＝3.
∴－＜m≤3.
故选D.
【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况.
8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ）
A. 10cm B. 8cm C. 8cm或10cm D. 2cm或4cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC=AB=6cm
当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故选C．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
9.下列命题是真命题的是（ ）
A. 顶点在圆上的角叫圆周角
B. 三点确定一个圆
C. 圆的切线垂直于半径
D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
10.如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【详解】如图，取格点E，连接BE，
由题意得：，，，
∴．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．
11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．
12.二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.函数中，自变量x的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】*x*≥﹣1.
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件判断即可.
【详解】由于二次根式需要有意义,则*x*+1≥0,*x*≥﹣1.
故答案为*x*≥﹣1.
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识.
14.因式分解：=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】a(a+b)(a-b).
【解析】
分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
解析：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
15.如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴O为BD和AC的中点，
又∵，
∴，，E为AD的中点，
又∵OA=1，的周长等于5，
∴AE+OE=4，
∴，
∴的周长=．
故答案为16．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键．
16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面，则半圆的半径OA的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：
【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
17.如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线相交于点D，且，则k的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝AB，DN＝BC，代入矩形的面积即可求出答案．
【详解】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
设D的坐标是（x，y），
则DM＝y，DN＝x，
∵OB：OD＝5：3，四边形是OABC矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵DM⊥OA，
∴DM∥BA，
∴△ODM∽△OBA，
∴，
∴DM＝AB，
同理DN＝BC，
∵四边形OABC的面积为3，
∴AB×BC＝3，
∴DM×DN＝xy＝AB×BC＝×3＝，
即k＝xy＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM＝AB和DN＝BC是解此题的关键．
**三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．**
18.解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
19.化简求值：，其中
【答案】，5
【解析】
【分析】
利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将代入求值即可．
【详解】原式=
=
=
将代入得3×2-1=5．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键．
20.如图，△*ABC*是一块锐角三角形的材料，边*BC*＝120*mm*，高*AD*＝80*mm*，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在*BC*上，其余两个顶点分别在*AB*、*AC*上，这个正方形零件的边长是多少*mm*．
【答案】48*mm*
【解析】
【分析】
设正方形的边长为*x*，表示出*AI*的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为*x mm*，
> 则*AI*＝*AD*﹣*x*＝80﹣*x*，
>
> ∵*EFHG*是正方形，
>
> ∴*EF*∥*GH*，
>
> ∴△*AEF*∽△*ABC*，
>
> ∴,
>
> 即，
>
> 解得*x*＝48 *mm*，
∴这个正方形零件的边长是48*mm*．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21.某校团委在"五·四"青年节举办了一次"我的中国梦"作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 [ ]{.underline} 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 [ ]{.underline} ；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品两个不同班级的概率．
【答案】（1）24；150°（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；
（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；
（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，
∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
（2）∵C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）依题意可得到树状图：
∴P（抽取的作品在两个不同班级）=．
【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆切线；
（2）若，，求半圆的直径．
【答案】（1）见详解；（2）12
【解析】
【分析】
（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=，
在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径．
【详解】（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AH，
∵DH⊥AH，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，
∴OE=DH=，
在Rt△AOE中，
∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，
∴AO==×=6，
∴AB=2OA=12，
∴半圆的直径长为12．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．
23.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】-≤a＜-
【解析】
【分析】
解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．
【详解】
解不等式①得，x＞8；
解不等式②得，x＜2-4a；
∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.
∵不等式组有4个整数解，
∴12＜2-4a≤13，
∴-≤a＜-
24.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置，如图利用勾股定理计算，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接
则＞，
定值，
当落在上时，最短，
图
如图，连接，
由勾股定理得：
即的最小值为：
故答案为：
图
【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25.如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．
【解析】
【分析】
（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可；
（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相等可得的度数；
（3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．
【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，
∴．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，
∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键．
26.如图，已知直线
（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围
（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点、，当时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式的解集
【答案】（1）；（2）；或；
【解析】
【分析】
（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；
（2）根据韦达定理，可得方程两根关系，结合，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．
【详解】解：（1）∵与的图像在第一象限内至少有一个交点，
∴令，则，
∴，
∴；
∴k的取值范围为：；
（2）由（1）得，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴；
∴，
解得：，，
∴不等式的解集是：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题．
27.如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c
（1）求证：
（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值
【答案】(1)详见解析;(2)AB=,.
【解析】
【分析】
(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.
(2)利用(1)中的结论代入求出AB,在作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出.
【详解】(1)
如图所示,连接BO并延长交圆于A~1~,连接A~1~C,可得,,根据三角函数可得,则.
同理可得,.
∴.\
(2)根据(1)结论可得,
,,.将值代入得:
,解得,即AB=.
过点B作BD⊥AC,由题意可得,,
∴AD=AB·sin=, AD=BC·sin=.
∴AC=AD+CD=.
∴即,得.
【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线.
28.如图，二次函数的图象过、、三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把、、代入
得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立
得到
解得x~1~=-,x~2~=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------手拉手》同步检测2（附答案）**
一、填一填。
1.计算2.4×0.8×0.1时，要按( )的顺序进行计算。
2.计算20.8－3.2×2.6时，要先算( )法，再算( )法。
3.计算小数混合运算时，有括号的要先算( )，再算( )。
4.6.4×4+3.6×4=( + )×4
5.(8+0.8)×12.5=( )×12.5+( )×12.5
6.2.5×6.08×0.4=2.5×( )×( )
二、对号入座。
1.2.5×0.64×0.8=2.5×0.8×O.64运用了( )。
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律
2.1.25×8.8的简便算式是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A.1.25×8×0.8
B.1.25×8+1.25×0.8
C.1×8.8+0.25×8.8
3.4.25×12+0.8=( )。
A.15.4 B.46 C.51.8
三、计算下面各题。(能简算的要简算)
6.4×12+0.85 48-2.3×6
0.2×12.8×5 0.84×5.2＋0.84×4.8
44×2.5 6.5×0.4－2.4×0.5
来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、改正下面各题中的错误。
1.10.2×6.4＋3.6 改正：
=10.2×10
=l02
2.0.25＋1.4×4 改正：
=0.25×4+1.4
=1+1.4
=2.4
3.0.25×(4＋0.4) 改正：
=0.25×4＋0.4
=1＋0.4
=14
五、解决问题。
1.笑笑随爸爸、妈妈、爷爷、奶奶参观世博园，他们觉得口渴了，就让笑笑买3瓶矿泉水和2瓶饮料，笑笑应付多少元钱？
---------- ---------- ----------
矿泉水 饮料 雪糕
2.5元/瓶 5.5元/瓶 1.5元/根
---------- ---------- ----------
> 2.国家实行了九年义务教育，学生上学免除学杂费。按这样的规定，每个班每学期大约要免除0.7万元。实验一小有36个班，实验二小有30个班。这两所小学每学期一共大约免除多少万元的学杂费？
>
> 3.我们班赠给希望小学12名同学每人一本16.5元的字典和一本6.8元的作文选。一共要花多少钱？
六、动脑想一想。
科学家从地球上向月球发射激光信号，约经过2.56秒收到从月球反射问来的信号。已知光速是30万千米/秒，算一算这时月球到地球的距离是多少？
**参考答案**
一、1.从左往右 2.乘 减 3.括号里面的 括号外面的 4. 6.4 3.6
> 5\. 8 0.8 6. 0.4 6.08来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、1.A 2.B 3.C
三、77.65 34.2 12.8 8.4 110 1.4
四、1. 68.88 2. 5.85 3. 1.1
五、1. 2.5×3＋5.5×2＝18.5（元） 2.（36+30）×0.7＝46.2（万元）
3.（16.5+6.8）×12＝279.6（元）
六、2.56×30÷2＝38.4（万千米）
| 1 | |
**一、我会填。**
1.（ ）÷8 = 12∶（ ）= 0.375 ==（ ）%
2\. 27公顷的是（ ）公顷；( )米的是36米。
3.大圆的半径是7厘米，小圆的半径3厘米，大圆与小圆的周长比是（ ），面积比是（ ）。
4.把0.8:化成最简整数比是( )，它的比值是( )。
5\. 20比16多（ ）%，16比20少（ ）%。
6.固定绳子的一端，另一端旋转一圈可以在操场上画出一个大圆，如果需要画一个周长是28.26米的圆，那么这根绳子最短得需要（ ）米。
7.在7:4中，如果前项加上21，要使比值不变，后项应加上（ ）。
8.看图列式计算。
9.在边长20厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）厘米；面积是（ ）平方厘米。
10.++++++ ... =( )。
**二、我会判。**
1.夏季的一天，白昼、黑夜的时间比是7:5，这天白昼有7个小时。 ( )
2.周长相等的两个圆，它们的面积也相等。 ( )
3\. 30%和表示的意义相同。 ( )
4.甲数比乙数多，则乙数比甲数少。 ( )
5.种99棵果树，全部成活，果树的成活率是99％。 ( )
**三、我会选。**(请将正确答案的字母填在括号里)
1\. a×= b÷ (a、b均不为0 )，则（ ）。
A、a﹥b B、 a=b C、 a﹤b
2\. 一根绳子长米，用去了米，还剩多少米？根据题意，正确的算式是（ ）。
A、× B、×(1-) C、-
3\. 把 吨煤平均分成7份，每份是这些煤的几分之几？每份是多少吨？（ ）。
A、 ， B、 ， C、 ，
4\. 一个数的倒数是它本身，这个数是( )。
A、0 B、1 C、0或1 D、不存在
5\. 图中圆的半径为r，长方形的长为πr，图中甲、乙两块阴影部分的面积相比较，（ ）。
A、甲的面积大 B、乙的面积大 C、一样大 D、无法比较
**四、我会算。**
1.直接写出得数。
9×= ×= 4.8×= 1÷=
5-4÷= 24÷= 0.36÷20%=
1÷×= 170×20%= ×4÷×4=
2.计算（能用简便方法的用简便方法算）。
×÷ +×
× + × ×0.125÷
34× （＋－）×36
3.解方程。
χ÷=18 χ-10％χ ＝36
**五、作图解答。**
1.请画一个直径为3厘米的圆，并标出圆心和半径。
2\.
如上图，以学校为观察点：
（1）公园在学校的北偏东45°方向上，距离400米处，请你在图中标出公园的位置。
（2）超市在学校的南偏东30°方向上，距离600米处，请你在图中标出超市的位置。
3.下图是某班学生喜欢的球类运动项目统计图。
1. 喜欢乒乓球的有15人，全班共有（ ）人，喜欢足球的有（ ）人。
2. 喜欢篮球的比喜欢排球的少（ ）%。
**六、解决问题。**
1.学校食堂运来吨面粉，用去，还剩下多少吨？
2.超市购进了一批矿泉水，已经卖了，还剩120箱，超市购进了多少箱矿泉水？
3\. 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。现在甲乙合作多少天可以完成这项工程？
4.工人叔叔要沿一个直径是8米的圆形花坛铺设一圈石子小路，小路的宽是2米，这条小路的面积是多少平方米？
5.一套桌椅现价560元，比原价降低了80元，这套桌椅比原价降低了百分之几？
6.用一根144厘米长的铁丝围成一个长方形，已知长方形长和宽的比是5:4，这个长方形的面积是多少平方厘米？
**附加题：**
合唱队原来女生的人数占总人数的 ，后来又有3名女生加入，此时，女生占总人数的 ，现在合唱队有( )人。
| 1 | |
**2014年北京市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y= B．y=（x﹣1）^2^ C．y=2^﹣x^ D．y=log~0.5~（x+1）
3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上
4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．7 B．42 C．210 D．840
5．（5分）设{a~n~}是公比为q的等比数列，则"q＞1"是"{a~n~}为递增数列"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S~1~，S~2~，S~3~分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S~1~=S~2~=S~3~ B．S~2~=S~1~且S~2~≠S~3~ C．S~3~=S~1~且S~3~≠S~2~ D．S~3~=S~2~且S~3~≠S~1~
8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为"优秀""合格""不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称"学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
**二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）**
9．（5分）复数（）^2^=[ ]{.underline}．
10．（5分）已知向量，满足\|\|=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则\|λ\|=[ ]{.underline}．
11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x^2^=1具有相同渐近线，则C的方程为[ ]{.underline}；渐近线方程为[ ]{.underline}．
12．（5分）若等差数列{a~n~}满足a~7~+a~8~+a~9~＞0，a~7~+a~10~＜0，则当n=[ ]{.underline}时，{a~n~}的前n项和最大．
13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有[ ]{.underline}种．
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间\[，\]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）**
15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
------- ---------- ---------- ------- ---------- ----------
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
------- ---------- ---------- ------- ---------- ----------
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．
17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈\[0，\]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x^2^+y^2^=2的位置关系，并证明你的结论．
20．（13分）对于数对序列P：（a~1~，b~1~），（a~2~，b~2~），...，（a~n~，b~n~），记T~1~（P）=a~1~+b~1~，T~k~（P）=b~k~+max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}（2≤k≤n），其中max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}表示T~k﹣1~（P）和a~1~+a~2~+...+a~k~两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T~1~（P），T~2~（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T~2~（P）和T~2~（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T~5~（P）最小，并写出T~5~（P）的值（只需写出结论）．
**2014年北京市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．
【解答】解：∵A={x\|x^2^﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选：C．
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y= B．y=（x﹣1）^2^ C．y=2^﹣x^ D．y=log~0.5~（x+1）
【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
由于函数y=（x﹣1）^2^在（0，1）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=2^﹣x^在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log~0.5~（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．
3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上
【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．
【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，
故选：B．
【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．
4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．7 B．42 C．210 D．840
【分析】算法的功能是求S=7×6×...×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×...×k的值，
当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，
∴跳出循环的k值为4，
∴输出S=7×6×5=210．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．
5．（5分）设{a~n~}是公比为q的等比数列，则"q＞1"是"{a~n~}为递增数列"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，...，满足公比q=2＞1，但{a~n~}不是递增数列，充分性不成立．
若a~n~=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，
故"q＞1"是"{a~n~}为递增数列"的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．
6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，
当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，
∴B（﹣）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时，解得：k=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S~1~，S~2~，S~3~分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S~1~=S~2~=S~3~ B．S~2~=S~1~且S~2~≠S~3~ C．S~3~=S~1~且S~3~≠S~2~ D．S~3~=S~2~且S~3~≠S~1~
【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．
【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A\'，B\'，C\'，D\'，
在xOy坐标平面上的正投影A\'（2，0，0），B\'（2，2，0），C\'（0，2，0），D\'（1，1，0），S~1~=．
在yOz坐标平面上的正投影A\'（0，0，0），B\'（0，2，0），C\'（0，2，0），D\'（0，1，），S~2~=.
在zOx坐标平面上的正投影A\'（2，0，0），B\'（2，0，0），C\'（0，0，0），D\'（0，1，），S~3~=，
则S~3~=S~2~且S~3~≠S~1~，
故选：D．
【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．
8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为"优秀""合格""不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称"学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．
【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，
语文成绩得B得也最多只有一个，
得C最多只有一个，
因此学生最多只有3人，
显然（AC）（BB）（CA）满足条件，
故学生最多有3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．
**二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）**
9．（5分）复数（）^2^=[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．
【解答】解：（）^2^=．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
10．（5分）已知向量，满足\|\|=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则\|λ\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设=（x，y）．由于向量，满足\|\|=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．
【解答】解：设=（x，y）．
∵向量，满足\|\|=1，=（2，1），且+=（λ∈R），
∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），
∴，化为λ^2^=5．
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x^2^=1具有相同渐近线，则C的方程为[ ]{.underline}[ ]{.underline}；渐近线方程为[ y=±2x ]{.underline}．
【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．
【解答】解：与﹣x^2^=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x^2^=m，（m≠0），
∵双曲线C经过点（2，2），
∴m=，
即双曲线方程为﹣x^2^=﹣3，即，
对应的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：，y=±2x．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）若等差数列{a~n~}满足a~7~+a~8~+a~9~＞0，a~7~+a~10~＜0，则当n=[ 8 ]{.underline}时，{a~n~}的前n项和最大．
【分析】可得等差数列{a~n~}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．
【解答】解：由等差数列的性质可得a~7~+a~8~+a~9~=3a~8~＞0，
∴a~8~＞0，又a~7~+a~10~=a~8~+a~9~＜0，∴a~9~＜0，
∴等差数列{a~n~}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{a~n~}的前8项和最大，
故答案为：8．
【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．
13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有[ 36 ]{.underline}种．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．
【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12=36种．
故答案为：36．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间\[，\]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为[ π ]{.underline}．
【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间\[，\]上具有单调性，且f（）=﹣f（）
可得函数的半周期，则周期可求．
【解答】解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，
则x=离最近对称轴距离为．
又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），
由于f（x）在区间\[，\]上具有单调性，
则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．
**三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）**
15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，
∴sin∠ADC====，
则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，
在△ABC中，由余弦定理得AC^2^=AB^2^+CB^2^﹣2AB•BCcosB=8^2^+5^2^﹣2×8×=49，
即AC=7．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．
16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
------- ---------- ---------- ------- ---------- ----------
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
------- ---------- ---------- ------- ---------- ----------
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．
【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，
（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．
（3）求出平均数和EX，比较即可．
【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场
所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，
（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，
故P（B）=P~1~×（1﹣P~2~）+P~2~×（1﹣P~1~）=；
（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4
EX=
【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．
17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；
（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=\|cos\|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．
【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG；
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F（0，1，1），，
设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则
即，
令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），
设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
sinα=\|cos＜，＞\|=\|\|=，
∴直线BC与平面ABF所成的角为，
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，
即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量，
∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），
∴PH==2．
【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．
18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈\[0，\]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈\[0，\]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．
（2）当x＞0时，"＞a"等价于"sinx﹣ax＞0"，"＜b"等价于"sinx﹣bx＜0"构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．
【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得
f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，
此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，
所以f（x）在区间∈\[0，\]上单调递减，
从而f（x）≤f（0）=0．
（2）当x＞0时，"＞a"等价于"sinx﹣ax＞0"，"＜b"等价于"sinx﹣bx＜0"
令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，
所以g（x）在区间\[0，\]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x~0~∈（0，）使得g′（x~0~）=cosx~0~﹣c=0，
g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：
--------- ------------- ------ ------------------------------------------------
x （0，x~0~） x~0~ （x~0~，）
g′（x） \+ ﹣
g（x） ↑ ↓
--------- ------------- ------ ------------------------------------------------
因为g（x）在区间（0，x~0~）上是增函数，
所以g（x~0~）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，
当且仅当
综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，
所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．
19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x^2^+y^2^=2的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x~0~，y~0~），（t，2），其中x~0~≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x^2^+y^2^=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切．
【解答】解：（1）由x^2^+2y^2^=4，得椭圆C的标准方程为．
∴a^2^=4，b^2^=2，从而c^2^=a^2^﹣b^2^=2．
因此a=2，c=．
故椭圆C的离心率e=；
（2）直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x~0~，y~0~），（t，2），其中x~0~≠0．
∵OA⊥OB，
∴，即tx~0~+2y~0~=0，解得．
当x~0~=t时，，代入椭圆C的方程，得．
故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．
此时直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切．
当x~0~≠t时，直线AB的方程为，
即（y~0~﹣2）x﹣（x~0~﹣t）y+2x~0~﹣ty~0~=0．
圆心O到直线AB的距离d=．
又，t=．
故=．
此时直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．
20．（13分）对于数对序列P：（a~1~，b~1~），（a~2~，b~2~），...，（a~n~，b~n~），记T~1~（P）=a~1~+b~1~，T~k~（P）=b~k~+max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}（2≤k≤n），其中max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}表示T~k﹣1~（P）和a~1~+a~2~+...+a~k~两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T~1~（P），T~2~（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T~2~（P）和T~2~（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T~5~（P）最小，并写出T~5~（P）的值（只需写出结论）．
【分析】（Ⅰ）利用T~1~（P）=a~1~+b~1~，T~k~（P）=b~k~+max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}（2≤k≤n），可求T~1~（P），T~2~（P）的值；
（Ⅱ）T~2~（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T~2~（P）和T~2~（P′）的大小；
（Ⅲ）根据新定义，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）T~1~（P）=2+5=7，T~2~（P）=1+max{T~1~（P），2+4}=1+max{7，6}=8；
（Ⅱ）T~2~（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．
当m=a时，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，
∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T~2~（P）≤T~2~（P′）；
当m=d时，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，
∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T~2~（P）≤T~2~（P′）；
∴无论m=a和m=d，T~2~（P）≤T~2~（P′）；
（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T~5~（P）最小；
T~1~（P）=10，T~2~（P）=26；T~3~（P）42，T~4~（P）=50，T~5~（P）=52．
【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．
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**2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷**
**一、填空题（每题3分，满分30分）**
1．（3分）（2019•黑龙江）中国政府提出的"一带一路"倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
2．（3分）（2019•黑龙江）在函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
3．（3分）（2019•黑龙江）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件[ ]{.underline}，使四边形是平行四边形．
4．（3分）（2019•黑龙江）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是[ ]{.underline}．
5．（3分）（2019•黑龙江）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是[ ]{.underline}．
6．（3分）（2019•黑龙江）如图，在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为[ ]{.underline}．
7．（3分）（2019•黑龙江）若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是[ ]{.underline}．
8．（3分）（2019•黑龙江）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为[ ]{.underline}．
9．（3分）（2019•黑龙江）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•黑龙江）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则[ ]{.underline}．
**二、选择题（每题3分，满分30分）**
11．（3分）（2019•黑龙江）下列各运算中，计算正确的是
A． B． C． D．
12．（3分）（2019•黑龙江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
13．（3分）（2019•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6 B．5 C．4 D．3
14．（3分）（2019•黑龙江）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的"一分钟跳绳"成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
15．（3分）（2019•黑龙江）某校"研学"活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（3分）（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是
A． B． C．4 D．6
17．（3分）（2019•黑龙江）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A． B． C． D．
18．（3分）（2019•黑龙江）如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则
A． B． C． D．
19．（3分）（2019•黑龙江）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在"经典诵读"活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
20．（3分）（2019•黑龙江）如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
**三、解答题（满分60分）**
21．（5分）（2019•黑龙江）先化简，再求值：，期中．
22．（6分）（2019•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
23．（6分）（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．
24．（7分）（2019•黑龙江）"世界读书日"前夕，某校开展了"读书助我成长"的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是[ ]{.underline}；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？
25．（8分）（2019•黑龙江）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
26．（8分）（2019•黑龙江）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
27．（10分）（2019•黑龙江）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28．（10分）（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（每题3分，满分30分）**
1．（3分）中国政府提出的"一带一路"倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为，
故答案是：．
2．（3分）在函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：在函数中，有，解得，
故其自变量的取值范围是．
故答案为．
3．（3分）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件[ （答案不唯一） ]{.underline}，使四边形是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定
【分析】可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是[ ]{.underline}．
【考点】列表法与树状图法
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
摸出的2个球都是黄球的概率；
故答案为：．
5．（3分）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
6．（3分）如图，在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为[ ]{.underline}．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是[ ]{.underline}．
【考点】圆锥的计算
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【解答】解：圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面扇形的弧长为，
，
解得：
故答案为．
8．（3分）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为[ ]{.underline}．
【考点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称最短路线问题
【分析】由于，这两个三角形等底同高，可得点在线段的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得此时最小，有勾股定理可求结果．
【解答】解：
为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为：
9．（3分）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为[ 3或 ]{.underline}．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理
【分析】依据沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，分两种情况讨论：或，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到的长．
【解答】解：分两种情况：
①若，则，，
连接，则，
，，
设，则，
中，，
，
解得，
；
②若，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为3或，
故答案为：3或．
10．（3分）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则[ ]{.underline}．
【考点】三角形的面积；规律型：图形的变化类
【分析】首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，，
，
，
故答案为：．
**二、选择题（每题3分，满分30分）**
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式；同底数幂的除法
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确；
故选：．
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、是中心对称图形，本选项正确；
、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】由三视图判断几何体
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故选：．
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的"一分钟跳绳"成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
【考点】中位数；算术平均数；极差；方差
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的"中点"，不受极端值影响，
所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：．
15．（3分）某校"研学"活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：（舍去），．
故选：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是
A． B． C．4 D．6
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．
【解答】解：如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数的几何意义，，，
四边形的面积，
故选：．
17．（3分）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式
【分析】根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程的解是非正数，，
，
解得，，
故选：．
18．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则
A． B． C． D．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；矩形的性质
【分析】如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形是菱形，则与垂直平分，易得，．所以由锐角三角函数定义作答即可．
【解答】解：矩形的对角线、相交于点，，
设，．
如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
与垂直平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
．
故选：．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在"经典诵读"活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设一等奖个数个，二等奖个数个，根据题意，得，根据方程可得三种方案；
【解答】解：设一等奖个数个，二等奖个数个，
根据题意，得，
使方程成立的解有，，，
方案一共有3种；
故选：．
20．（3分）如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正方形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】①先证明，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
②由，得，进而得的值，便可判断正误；
③根据，进行推理说明便可；
④由与的面积关系和与的面积关系，便可得四边形的面积与的面积关系．
【解答】解：①，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，故此题结论正确；
②，
，
，
，，
，故此小题结论正确；
③，
，
，，
，
，故此小题结论正确；
④，
，
，
，
，，
，
，故此小题结论正确．
故选：．
**三、解答题（满分60分）**
21．（5分）先化简，再求值：，期中．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值化简代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
【考点】作图旋转变换；扇形面积的计算；作图轴对称变换
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得的长，从而可以求得线段在旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【分析】（1）将点、点代入即可；
（2），设，直线与轴交点为，则有，可求或，得：直线为或，当时，或；
【解答】解：（1）将点、点代入，
可得，，
；
（2），
，
，
设，直线与轴交点为，
则，
，
或，
直线为或，
当时，或，
或；
24．（7分）"世界读书日"前夕，某校开展了"读书助我成长"的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是[ ]{.underline}；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？
【考点】用样本估计总体；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）由1本的人数及其所占百分比可得答案；
（2）求出2本和3本的人数即可补全条形图；
（3）用乘以2本人数所占比例；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为（人；
（2）3本人数为（人，
则2本人数为（人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有（人．
25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据"小明的路程小明的速度小明步行的时间"即可求解；
（2）根据的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据"路程、速度与时间"的关系解答即可；
（3）由（2）可知点的坐标，再运用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）；
（2）小明的速度为：（米分），
小强的速度为：（米分）；
（3）由题意得，
设所在的直线的解析式为：，
把、代入得：
，解得，
线段所在的直线的解析式为．
26．（8分）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）连接，由垂心的性质得出，证出，由平行线的性质得出，证明得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出，，由直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）同（1）可证：，再由等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接，如图①所示：
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：图②猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
；
图③猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
．
27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据"购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元"列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
，
解得，
是整数，
，37，38，39，40．
有5种购买方案；
（3），
，
随的增大而增大，
当时，（元，
．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）解方程求出的值，由，可得答案；
（2）设交轴于点，当时，，由知，即，据此得，根据面积公式可得此时解析式；当时，，由知，即，据此得，根据三角形面积公式可得答案；
（3）设，由，知，，，再分三种情况列出方程求解可得．
【解答】解：（1），
，，
，
，，
，
，，
四边形是矩形，
点的坐标为；
（2）设交轴于点，
如图1，当时，，
，
，
，即，
，
；
如图2，当时，，
，
，
，即，
，
；
综上所述，；
（3）由题意知，当点在上时，显然不能构成等腰三角形；
当点在上运动时，设，
，，
，，，
①当时，，解得，
则，；
②当时，，解得，
则；
③当时，，解得，
则；
综上，，或或．
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日期：2019/7/10 10:09:18；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁~U~（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）
A．{x\|0＜x＜1}∪{x\|x＞1} B．{x\|0＜x＜1}
C．{x\|﹣1＜x＜0} D．{x\|x＜0}
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x^2^+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC~1~所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么\|φ\|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C：+y^2^=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则\|\|=（ ）
A． B．2 C． D．3
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（x﹣y）^10^的展开式中，x^7^y^3^的系数与x^3^y^7^的系数之和等于[ ]{.underline}．
14．（5分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~9~=81，则a~2~+a~5~+a~8~=[ ]{.underline}．
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA~1~=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于[ ]{.underline}．
16．（5分）若，则函数y=tan2xtan^3^x的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a^2^﹣c^2^=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
20．（12分）在数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n+1~=（1+）a~n~+．
（1）设b~n~=，求数列{b~n~}的通项公式；
（2）求数列{a~n~}的前n项和S~n~．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
22．（12分）设函数f（x）=x^3^+3bx^2^+3cx有两个极值点x~1~、x~2~，且x~1~∈\[﹣1，0\]，x~2~∈\[1，2\]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）证明：．
**2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁~U~（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，
A∩B={4，7，9}∴∁~U~（A∩B）={3，5，8}故选A．
也可用摩根律：∁~U~（A∩B）=（∁~U~A）∪（∁~U~B）
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．
【解答】解：，∴z=1﹣3i
故选：B．
【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．
3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）
A．{x\|0＜x＜1}∪{x\|x＞1} B．{x\|0＜x＜1} C．{x\|﹣1＜x＜0} D．{x\|x＜0}
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．
【解答】解：∵＜1，
∴\|x+1\|＜\|x﹣1\|，
∴x^2^+2x+1＜x^2^﹣2x+1．
∴x＜0．
∴不等式的解集为{x\|x＜0}．
故选：D．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x^2^+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．
【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，
代入抛物线方程整理得ax^2^﹣bx+a=0，
因渐近线与抛物线相切，所以b^2^﹣4a^2^=0，
即，
故选：C．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C~5~^1^•C~3~^1^•C~6~^2^=225种选法；
（2）乙组中选出一名女生有C~5~^2^•C~6~^1^•C~2~^1^=120种选法．故共有345种选法．
故选：D．
【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！
6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】由题意可得 =，故要求的式子即 ﹣（）•+=1﹣ cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．
【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴，=．
∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣ cos
=1﹣cos≥．
故选：D．
【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC~1~所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【分析】首先找到异面直线AB与CC~1~所成的角（如∠A~1~AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A~1~B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
【解答】解：设BC的中点为D，连接A~1~D、AD、A~1~B，易知θ=∠A~1~AB即为异面直线AB与CC~1~所成的角；
并设三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长为1，则\|AD\|=，\|A~1~D\|=，\|A~1~B\|=，
由余弦定理，得cosθ==．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么\|φ\|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HB：余弦函数的对称性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得\|φ\|的最小值．
【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．
∴∴由此易得．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x~0~，y~0~），则y~0~=x~0~+1，y~0~=ln（x~0~+a），
又∵
∴x~0~+a=1
∴y~0~=0，x~0~=﹣1
∴a=2．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
【解答】解：如图
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，
又∵
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
【考点】3I：奇函数、偶函数．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．
【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，
∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，
故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），
函数f（x）是周期T=\[2﹣（﹣2）\]=4的周期函数．
∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），
f（﹣x+3）=﹣f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．
12．（5分）已知椭圆C：+y^2^=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则\|\|=（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得\|AF\|．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意，
故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±
即BM=，
故AN=1，
∴．
故选：A．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（x﹣y）^10^的展开式中，x^7^y^3^的系数与x^3^y^7^的系数之和等于[ ﹣240 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）^n^=C~n~^0^a^n^b^0^+C~n~^1^a^n﹣1^b^1^+C~n~^2^a^n﹣2^b^2^++C~n~^r^a^n﹣r^b^r^++C~n~^n^a^0^b^n^，各项的通项公式为：T~r+1~=C~n~^r^a^n﹣r^b^r^．然后根据题目已知求解即可．
【解答】解：因为（x﹣y）^10^的展开式中含x^7^y^3^的项为C~10~^3^x^10﹣3^y^3^（﹣1）^3^=﹣C~10~^3^x^7^y^3^，
含x^3^y^7^的项为C~10~^7^x^10﹣7^y^7^（﹣1）^7^=﹣C~10~^7^x^3^y^7^．
由C~10~^3^=C~10~^7^=120知，x^7^y^3^与x^3^y^7^的系数之和为﹣240．
故答案为﹣240．
【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）^n^=C~n~^0^a^n^b^0^+C~n~^1^a^n﹣1^b^1^+C~n~^2^a^n﹣2^b^2^++C~n~^r^a^n﹣r^b^r^++C~n~^n^a^0^b^n^，属于重点考点，同学们需要理解记忆．
14．（5分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~9~=81，则a~2~+a~5~+a~8~=[ 27 ]{.underline}．
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【分析】由s~9~解得a~5~即可．
【解答】解：∵
∴a~5~=9
∴a~2~+a~5~+a~8~=3a~5~=27
故答案是27
【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA~1~=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于[ 20π ]{.underline}．
【考点】LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O\'，球心为O，在RT△OBO\'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O\'，球心为O，在RT△OBO\'中，
易得球半径，
故此球的表面积为4πR^2^=20π
故答案为：20π
【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．
16．（5分）若，则函数y=tan2xtan^3^x的最大值为[ ﹣8 ]{.underline}．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．
【解答】解：令tanx=t，∵，
∴
故填：﹣8．
【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a^2^﹣c^2^=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a^2^﹣c^2^=2b即可得到答案．
【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
，
化简并整理得：2（a^2^﹣c^2^）=b^2^．
又由已知a^2^﹣c^2^=2b∴4b=b^2^．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a^2^﹣c^2^=b^2^﹣2bccosA．
又a^2^﹣c^2^=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；
法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；
法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．
（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，
设MN=x，则NC=EB=x，
在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．
在RT△MNE中由ME^2^=NE^2^+MN^2^∴3x^2^=x^2^+2
解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．
（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．
设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则，，
由题得，
即
解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）
所以M是侧棱SC的中点．
（I）证法三：设，
则
又
故，
即，
解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
又，，
设分别是平面SAM、MAB的法向量，
则且，
即且
分别令得z~1~=1，y~1~=1，y~2~=0，z~2~=2，
即，
∴
二面角S﹣AM﹣B的大小．
【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．
【解答】解：记A~i~表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）
B~i~表示第j局乙获胜，j=3、4
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，
∵前2局中，甲、乙各胜1局，
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，
∴B=A~3~A~4~+B~3~A~4~A~5~+A~3~B~4~A~5~
由于各局比赛结果相互独立，
∴P（B）=P（A~3~A~4~）+P（B~3~A~4~A~5~）+P（A~3~B~4~A~5~）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3
由于各局相互独立，得到ξ的分布列
P（ξ=2）=P（A~3~A~4~+B~3~B~4~）=0.52
P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48
∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．
【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．
20．（12分）在数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n+1~=（1+）a~n~+．
（1）设b~n~=，求数列{b~n~}的通项公式；
（2）求数列{a~n~}的前n项和S~n~．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】（1）由已知得=+，即b~n+1~=b~n~+，由此能够推导出所求的通项公式．
（2）由题设知a~n~=2n﹣，故S~n~=（2+4+...+2n）﹣（1++++...+），设T~n~=1++++...+，由错位相减法能求出T~n~=4﹣．从而导出数列{a~n~}的前n项和S~n~．
【解答】解：（1）由已知得b~1~=a~1~=1，且=+，
即b~n+1~=b~n~+，从而b~2~=b~1~+，
b~3~=b~2~+，
b~n~=b~n﹣1~+（n≥2）．
于是b~n~=b~1~+++...+=2﹣（n≥2）．
又b~1~=1，
故所求的通项公式为b~n~=2﹣．
（2）由（1）知a~n~=2n﹣，
故S~n~=（2+4+...+2n）﹣（1++++...+），
设T~n~=1++++...+，①
T~n~=+++...++，②
①﹣②得，
T~n~=1++++...+﹣
=﹣=2﹣﹣，
∴T~n~=4﹣．
∴S~n~=n（n+1）+﹣4．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．
（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y^2^=x代入圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）的方程，
消去y^2^，整理得x^2^﹣7x+16﹣r^2^=0（1）
抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴
即．
解这个方程组得，．
（II）设四个交点的坐标分别为
、、、．
则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x~1~），y+=（x﹣x~1~），
解得点P的坐标为（，0），
则由（I）根据韦达定理有x~1~+x~2~=7，x~1~x~2~=16﹣r^2^，
则
∴
令，
则S^2^=（7+2t）^2^（7﹣2t）下面求S^2^的最大值．
由三次均值有：
当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．
经检验此时满足题意．
故所求的点P的坐标为．
【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．
22．（12分）设函数f（x）=x^3^+3bx^2^+3cx有两个极值点x~1~、x~2~，且x~1~∈\[﹣1，0\]，x~2~∈\[1，2\]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）证明：．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x~1~、x~2~是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x~2~）的值域，再利用参数c的范围求出f（x~2~）的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f\'（x）=3x^2^+6bx+3c，（2分）
依题意知，方程f\'（x）=0有两个根x~1~、x~2~，且x~1~∈\[﹣1，0\]，x~2~∈\[1，2\]
等价于f\'（﹣1）≥0，f\'（0）≤0，f\'（1）≤0，f\'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为（4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
（Ⅱ）由题设知f\'（x~2~）=3x~2~^2^+6bx~2~+3c=0，
则，
故．（8分）
由于x~2~∈\[1，2\]，而由（Ⅰ）知c≤0，
故．
又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）
所以．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．
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**2019年四川省宜宾市中考数学试卷**
**一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。**
1．（3分）（2019•宜宾）2的倒数是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•宜宾）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•宜宾）如图，四边形是边长为5的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•宜宾）一元二次方程的两根分别为和，则为
A． B． C．2 D．
5．（3分）（2019•宜宾）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（3分）（2019•宜宾）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 次数 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 第7次 | 第8次 |
| | | | | | | | | |
| 环数 | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| 运动员 | | | | | | | | |
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 甲 | 10 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 9 | 7 |
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 乙 | 10 | 5 | 5 | 8 | 9 | 9 | 8 | 10 |
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
7．（3分）（2019•宜宾）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•宜宾）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
**二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。**
9．（3分）（2019•宜宾）分解因式：[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•宜宾）如图，六边形的内角都相等，，则[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•宜宾）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•宜宾）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•宜宾）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•宜宾）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•宜宾）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确结论的序号）．
①；②；③；④
**三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17．（10分）（2019•宜宾）（1）计算：
（2）化简：
18．（6分）（2019•宜宾）如图，，，．求证：．
19．（8分）（2019•宜宾）某校在七、八、九三个年级中进行"一带一路"知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．
20．（8分）（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从、两城同时沿高速公路向城运送货物．已知、两城相距450千米，、两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米小时，甲车比乙车早半小时到达城．求两车的速度．
21．（8分）（2019•宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）
22．（10分）（2019•宜宾）如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都过点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为，过作轴的垂线，垂足为，求五边形的面积．
23．（10分）（2019•宜宾）如图，线段经过的圆心，交于、两点，，为的弦，连结，，连结并延长交于点，连结交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的半径的长；
（3）求线段的长．
24．（12分）（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．
**2019年四川省宜宾市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。**
1．（3分）2的倒数是
A． B． C． D．
【考点】17：倒数
【分析】根据倒数的定义，可以求得题目中数字的倒数，本题得以解决．
【解答】解：2的倒数是，
故选：．
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较小的数
【分析】由科学记数法可知；
【解答】解：；
故选：．
3．（3分）如图，四边形是边长为5的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则
A． B． C． D．
【考点】：正方形的性质；：旋转的性质
【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由旋转变换的性质可知，，
正方形的面积四边形的面积，
，，
，，
．
故选：．
4．（3分）一元二次方程的两根分别为和，则为
A． B． C．2 D．
【考点】：根与系数的关系
【分析】根据"一元二次方程的两根分别为和"，结合根与系数的关系，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
，
故选：．
5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】：由三视图判断几何体
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，
则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，
组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．
故选：．
6．（3分）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 次数 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 第7次 | 第8次 |
| | | | | | | | | |
| 环数 | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| 运动员 | | | | | | | | |
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 甲 | 10 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 9 | 7 |
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 乙 | 10 | 5 | 5 | 8 | 9 | 9 | 8 | 10 |
+--------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【考点】：算术平均数；：方差
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【解答】解：（1）；；
；
，
，，
故选：．
7．（3分）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【考点】：三角形的重心；：全等三角形的判定与性质；：等边三角形的性质
【分析】连接、，过点作，垂足为，由点是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积．
【解答】解：连接、，过点作，垂足为，
为等边三角形，
，
点为的内心
，．
．
．，
，，
，
，
．
，
，即．
在和中，
，
．
故选：．
8．（3分）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
【考点】：正比例函数的性质；：二次函数的性质；：一次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象上点的坐标特征；：等腰三角形的判定；：等边三角形的判定
【分析】通过画图可解答．
【解答】解：、如图1，可以得为等腰三角形，正确；
、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为和，正确；
、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确；
、不存在实数，使得为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：．
**二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。**
9．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】56：因式分解分组分解法
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
【解答】解：原式．
故答案为：
10．（3分）如图，六边形的内角都相等，，则[ 60 ]{.underline}．
【考点】：平行线的性质；：多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和公式求出六边形的内角和，再除以6即可求出的度数，由平行线的性质可求出的度数．
【解答】解：在六边形中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．（3分）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为[ ]{.underline}．
【考点】：二次函数图象与几何变换
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为：．
故答案为：．
12．（3分）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则[ ]{.underline}．
【考点】：勾股定理；：射影定理
【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：在中，，
由射影定理得，，
，
故答案为：．
13．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是[ ]{.underline}．
【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为，
依题意，得：．
故答案为：．
14．（3分）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，
，
解得：，
故答案为．
15．（3分）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是[ ]{.underline}．
【考点】：圆周角定理
【分析】由，而，所以，得到为等边三角形，又，从而求得半径，即可得到的面积．
【解答】解：，
而，
，
为等边三角形，
，
圆的半径为4，
的面积是，
故答案为：．
16．（3分）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是[ ①③④ ]{.underline}（写出所有正确结论的序号）．
①；②；③；④
【考点】：等边三角形的性质；：全等三角形的判定与性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】①根据等边三角形性质得出，，，求出，根据推出两三角形全等即可；
②根据，求出，可推出，找不出全等的条件；
③根据角的关系可以求得，可求得，根据可解题；
④根据，，可求得，可判定，可求得，可解题．
【解答】证明：①和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，，
在和中，
，
，
，，
，即；
②，
，
，
，
，找不出全等的条件；
③，，
，
，
，
，
；
④，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
两边同时除得，
．
故答案为①③④
**三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17．（10分）（1）计算：
（2）化简：
【考点】：特殊角的三角函数值；：负整数指数幂；：分式的混合运算；：实数的运算；：零指数幂
【分析】（1）先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值，计算出、、的值，再加减；
（2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果．
【解答】解：（1）原式
（2）原式
．
18．（6分）如图，，，．求证：．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】由""可证，可得．
【解答】证明：
，且，
19．（8分）某校在七、八、九三个年级中进行"一带一路"知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．
【考点】：列表法与树状图法；：扇形统计图
【分析】（1）由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案；
（2）先求出获得三等奖所占百分比，再根据百分比之和为1可得一等奖对应百分比，从而补全图形；
（3）画树状图（用、、分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）三个年级获奖总人数为（人；
（2）三等奖对应的百分比为，
则一等奖的百分比为，
补全图形如下：
（3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用、、分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为．
20．（8分）甲、乙两辆货车分别从、两城同时沿高速公路向城运送货物．已知、两城相距450千米，、两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米小时，甲车比乙车早半小时到达城．求两车的速度．
【考点】：分式方程的应用
【分析】设乙车的速度为千米时，则甲车的速度为千米时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达城，以时间做为等量关系列方程求解．
【解答】解：设乙车的速度为千米时，则甲车的速度为千米时．
根据题意，得：，
解得：，或（舍去），
，
经检验，，80是原方程的解，且符合题意．
当时，．
答：甲车的速度为90千米时，乙车的速度为80千米时．
21．（8分）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】设米，根据等腰三角形的性质求出，利用正切的定义用表示出，根据题意列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设米，
在中，，
，
在中，，
则，
由题意得，，即，
解得，，
，
答：该建筑物的高度为米．
22．（10分）如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都过点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为，过作轴的垂线，垂足为，求五边形的面积．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据系数的几何意义即可求得，进而求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）设直线交轴、轴于、两点，求出点、的坐标，然后联立方程求得、的坐标，最后根据，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为1．
，
，
在第一象限，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数的图象过点，
，
，
次函数的图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）设直线交轴、轴于、两点，
，，
解得或，
，，
，，，，
五边形的面积为：．
23．（10分）如图，线段经过的圆心，交于、两点，，为的弦，连结，，连结并延长交于点，连结交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的半径的长；
（3）求线段的长．
【考点】：圆周角定理；：切线的判定与性质
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）解直角三角形得到，，根据勾股定理得到，根据切割线定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
的半径的长为1；
（3），
，，
，
是的切线，是 的割线，
，
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
（2）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标；
（3）如图，作轴交直线于点，设，则，可由，得到的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
【解答】解：（1）抛物线经过、两点，
，
，
抛物线的解析式为，
直线经过、两点，
，解得：，
直线的解析式为，
（2），
抛物线的顶点的坐标为，
轴，
，
，
①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
，
，
解得：，（舍去），
，
②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
，
，
解得：，（舍去），
，，
综合可得点的坐标为或．
（3）如图，作轴交直线于点，
设，则，
，
，
当时，面积的最大值是，此时点坐标为．
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**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------吃西瓜》同步检测2（附答案）**
1．比大小。
○ ○ ○1来源：www.bcjy123.com/tiku/
○ ○ ○
2．填空。
(1)同分母分数相加减，分母( )，分子( )。
(2)同分子分数比大小，分母( )，分数就( )。
(3)计算＋，可以这样想：( )个加上( )个是( )个，就是( )。
(4)计算－，可以这样想：( )个减去( )个是( )个，就是( )。
\(5\) 、、三个分数中，( )最大，( )最小。
3．填一填。
\(1\)
○＝
（2）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
1○＝
4．我会算。
＋＝ －＝ ＋＝ ＋＝
＋＝ －＝ －＝ 1－＝
－＝ ＋＝ －＝ 1－＝
5．妈妈买回一块蛋糕，哥哥吃了它的，弟弟吃了它的，两人一共吃了这个蛋糕的几分之几？
6．小明喝了这杯水的，小红喝了这杯水的，小明比小红多喝了这杯水的几分之几？
7．你会填吗？
＋＝ －＝
1－＝ ＋＝1
参考答案
1\. 略
2．(1)不变 相加减 (2)大 小(或小，大) (3)2 3 5
(4)6 3 3 (5)
3．(1)＋＝ (2)1－＝
4\. 略
5\. ＋＝
6\. －＝
7．1 2 6 5 (答案不唯一)
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**2014年安徽省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设i是虚数单位，复数i^3^+=（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
2．（5分）命题"∀x∈R，\|x\|+x^2^≥0"的否定是（ ）
A．∀x∈R，\|x\|+x^2^＜0 B．∀x∈R，\|x\|+x^2^≤0
C．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^＜0 D．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^≥0
3．（5分）抛物线y=x^2^的准线方程是（ ）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2
4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
5．（5分）设a=log~3~7，b=2^3.3^，c=0.8^1.1^，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x^2^+y^2^=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．（0，\] C．\[0，\] D．\[0，\]
7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C．6 D．7
9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
10．（5分）设，为非零向量，\|\|=2\|\|，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4\|\|^2^，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．0
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）（）+log~3~+log~3~=[ ]{.underline}．
12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A~1~，过点A~1~作AC的垂线，垂足为A~2~，过点A~2~作A~1~C的垂线，垂足为A~3~...，依此类推，设BA=a~1~，AA~1~=a~2~，A~1~A~2~=a~3~，...，A~5~A~6~=a~7~，则a~7~=[ ]{.underline}．
13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为[ ]{.underline}．
14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在\[0，2\]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=[ ]{.underline}．
15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x~0~，y~0~）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处"切过"曲线C．
下列命题正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=x^3^
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处"切过"曲线C：y=（x+1）^2^
③直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处"切过"曲线C：y=lnx．
**三、解答题（本大题共6小题，共75分）**
16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．
17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：\[0，2\]，（2，4\]，（4，6\]，（6，8\]，（8，10\]，（10，12\]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"．
---------------- ------- ------- ------- -------
P（K^2^≥k~0~） 0.10 0.05 0.010 0.005
k~0~ 2.706 3.841 6.635 7.879
---------------- ------- ------- ------- -------
附：K^2^=．
18．（12分）数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1），n∈N^\*^．
（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设b~n~=3^n^•，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．
20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
21．（13分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A，B两点，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|．
（Ⅰ）若\|AB\|=4，△ABF~2~的周长为16，求\|AF~2~\|；
（Ⅱ）若cos∠AF~2~B=，求椭圆E的离心率．
**2014年安徽省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设i是虚数单位，复数i^3^+=（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
【解答】解：复数i^3^+=﹣i+=﹣i+=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（5分）命题"∀x∈R，\|x\|+x^2^≥0"的否定是（ ）
A．∀x∈R，\|x\|+x^2^＜0 B．∀x∈R，\|x\|+x^2^≤0
C．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^＜0 D．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^≥0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题"∀x∈R，\|x\|+x^2^≥0"的否定∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）抛物线y=x^2^的准线方程是（ ）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2
【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】解：抛物线y=x^2^的标准方程为x^2^=4y，焦点在y轴上，2p=4，
∴=1，
∴准线方程 y=﹣=﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，
故选：B．
【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．
5．（5分）设a=log~3~7，b=2^3.3^，c=0.8^1.1^，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．
【解答】解：1＜log~3~7＜2，b=2^3.3^＞2，c=0.8^1.1^＜1，
则c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．
6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x^2^+y^2^=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．（0，\] C．\[0，\] D．\[0，\]
【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．
【解答】解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x^2^+y^2^=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，
则直线方程为 y+1=k（x+），即 kx﹣y+k﹣1=0．
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ≤1，
即 3k^2^﹣2k+1≤k^2^+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是\[0，\]，
故选：D．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．
【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，
所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），
图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，
即φ=﹣，
当k=﹣1时，φ的最小正值是．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．
8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C．6 D．7
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，
正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，
故几何体的体积为：V~正方体~﹣2V~棱锥侧~=．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．
9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
【分析】分类讨论，利用f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；
﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；
x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，
∴﹣1=3或a﹣2=3，
∴a=8或a=5，
a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；
≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；
﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；
x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，
∴2﹣a=3或﹣+1=3，
∴a=﹣1或a=﹣4，
a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；
综上，a=﹣4或8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
10．（5分）设，为非零向量，\|\|=2\|\|，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4\|\|^2^，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．0
【分析】两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．
【解答】解：由题意，设与的夹角为α，
分类讨论可得
①•+•+•+•=•+•+•+•=10\|\|^2^，不满足
②•+•+•+•=•+•+•+•=5\|\|^2^+4\|\|^2^cosα，不满足；
③•+•+•+•=4•=8\|\|^2^cosα=4\|\|^2^，满足题意，此时cosα=
∴与的夹角为．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）（）+log~3~+log~3~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．
【解答】解：（）+log~3~+log~3~=+log~3~5﹣log~3~4+log~3~4﹣log~3~5
=．
故答案为：．
【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．
12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A~1~，过点A~1~作AC的垂线，垂足为A~2~，过点A~2~作A~1~C的垂线，垂足为A~3~...，依此类推，设BA=a~1~，AA~1~=a~2~，A~1~A~2~=a~3~，...，A~5~A~6~=a~7~，则a~7~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据条件确定数列{a~n~}是等比数列，即可得到结论．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，
∴sin45°=，即=，
同理=，=，
由归纳推理可得{a~n~}是公比q=的等比数列，首项a~1~=2，
则a~7~==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{a~n~}是公比q=的等比数列是解决本题的关键．
13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为[ 4 ]{.underline}．
【分析】由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：由不等式组作平面区域如图，
由图可知A（2，0），C（0，2），
联立，解得：B（8，﹣2）．
∴\|BC\|=．
点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．
∴．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在\[0，2\]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在\[0，2\]上的解析式为f（x）=，
则f（）+f（）
=f（8﹣）+f（8﹣）
=f（﹣）+f（﹣）
=﹣f（）﹣f（）
=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x~0~，y~0~）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处"切过"曲线C．
下列命题正确的是[ ①③④ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=x^3^
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处"切过"曲线C：y=（x+1）^2^
③直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处"切过"曲线C：y=lnx．
【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．
【解答】解：对于①，由y=x^3^，得y′=3x^2^，则y′\|~x=0~=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，
∴命题①正确；
对于②，由y=（x+1）^2^，得y′=2（x+1），则y′\|~x=﹣1~=0，
而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，
∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′\|~x=0~=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈时x＜sinx，x∈时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得，则y′\|~x=0~=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈时tanx＜x，x∈时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得，则y′\|~x=1~=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，
设g（x）=x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，
命题⑤错误．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．
**三、解答题（本大题共6小题，共75分）**
16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．
【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．
【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，
∴=，
∴sinA=，
又∵sin^2^A+cos^2^A=1
∴cosA=±，
由余弦定理可得a==2或2．
【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：\[0，2\]，（2，4\]，（4，6\]，（6，8\]，（8，10\]，（10，12\]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"．
---------------- ------- ------- ------- -------
P（K^2^≥k~0~） 0.10 0.05 0.010 0.005
k~0~ 2.706 3.841 6.635 7.879
---------------- ------- ------- ------- -------
附：K^2^=．
【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．
（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．
（3）利用独立性检验进行求解即可
【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表
+----------------------+------+------+------+
| | 男生 | 女生 | 总计 |
+----------------------+------+------+------+
| 每周平均体育运动时间 | 45 | 30 | 75 |
| | | | |
| 不超过4小时 | | | |
+----------------------+------+------+------+
| 每周平均体育运动时间 | 165 | 60 | 225 |
| | | | |
| 超过4小时 | | | |
+----------------------+------+------+------+
| 总计 | 210 | 90 | 300 |
+----------------------+------+------+------+
结合列联表可算得K^2^==≈4.762＞3.841
所以，有95%的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"．
【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础
18．（12分）数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1），n∈N^\*^．
（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设b~n~=3^n^•，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
【分析】（Ⅰ）将na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b~n~=3^n^•=n•3^n^，利用错位相减求出数列{b~n~}的前n项和S~n~．
【解答】证明（Ⅰ）∵na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1），
∴，
∴，
∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
b~n~=3^n^•=n•3^n^，
∴•3^n﹣1^+n•3^n^①
•3^n^+n•3^n+1^②
①﹣②得3^n^﹣n•3^n+1^
=
=
∴
【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．
【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；
（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴，
∴KB=，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=PO，即G为PB中点，且GH=，
由已知可得OB=4，PO===6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S===18．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．
20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在\[0，1\]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x^2^，
由f′（x）=0，得x~1~=，x~2~=，x~1~＜x~2~，
∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；
由f′（x）＞0得＜x＜；
故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，
在（，）上单调递增；
（Ⅱ）∵a＞0，∴x~1~＜0，x~2~＞0，∵x∈\[0，1\]，当时，即a≥4
①当a≥4时，x~2~≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，1\]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x~2~＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，x~2~\]单调递增，在\[x~2~，1\]上单调递减，
因此f（x）在x=x~2~=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．
21．（13分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A，B两点，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|．
（Ⅰ）若\|AB\|=4，△ABF~2~的周长为16，求\|AF~2~\|；
（Ⅱ）若cos∠AF~2~B=，求椭圆E的离心率．
【分析】（Ⅰ）利用\|AB\|=4，△ABF~2~的周长为16，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，结合椭圆的定义，即可求\|AF~2~\|；
（Ⅱ）设\|F~1~B\|=k（k＞0），则\|AF~1~\|=3k，\|AB\|=4k，由cos∠AF~2~B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF~1~F~2~是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．
【解答】解：（Ⅰ）∵\|AB\|=4，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，
∴\|AF~1~\|=3，\|F~1~B\|=1，
∵△ABF~2~的周长为16，
∴4a=16，
∴\|AF~1~\|+\|AF~2~\|=2a=8，
∴\|AF~2~\|=5；
（Ⅱ）设\|F~1~B\|=k（k＞0），则\|AF~1~\|=3k，\|AB\|=4k，
∴\|AF~2~\|=2a﹣3k，\|BF~2~\|=2a﹣k
∵cos∠AF~2~B=，
在△ABF~2~中，由余弦定理得，\|AB\|^2^=\|AF~2~\|^2^+\|BF~2~\|^2^﹣2\|AF~2~\|•\|BF~2~\|cos∠AF~2~B，
∴（4k）^2^=（2a﹣3k）^2^+（2a﹣k）^2^﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），
化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴\|AF~2~\|=\|AF~1~\|=3k，\|BF~2~\|=5k，
∴\|BF~2~\|^2^=\|AF~2~\|^2^+\|AB\|^2^，
∴AF~1~⊥AF~2~，
∴△AF~1~F~2~是等腰直角三角形，
∴c=a，
∴e==．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法》单元测试4（附答案）**
**一、**填空题。（每空1分，共12分）
> 1、0.6＋0.6＋0.6 =（ ）×（ ）。
>
> 2、0.8×4 =（ ）＋（ ）＋（ ）＋（ ）
>
> 3、8.2×1.54的积有（ ）位小数，0.729×8.1的积有（ ）位小数。
>
> 4、将4.95的小数点向右移动一位，这个数就扩大（ ）倍，结果是（ ）。
>
> 5、3.9×0.4的积一定比3.9（ ）；4.5×2.2的积一定比4.5（ ）。
二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）（每题3分，共12分）
> 1、4个1和3个0.2组成的数是4.6。 （ ）
>
> 2、整数乘法的运算定律，对于小数乘法同样适用。 （ ）
>
> 3、0.6时等于6分。 （ ）
>
> 4、一个数的1.03倍比原来的数要大。 （ ）
三、计算下面各题。（第1题18分，第2题21分，共39分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、直接写得数。
0.9×6 = 7×0.08 = 1.92×102 =
0.25×2 = 4×0.25 = 60×0.8 =
1.6×5 = 1.4×0.3 = 0.13×6 =
2、怎样简便就怎样计算。
9.8×25 0.78×101 1.50×102
0.25×0.7×0.8 0.56×99＋0.56
1.2×2.5＋0.8×2.5 0.038×5×2.1
4. 一个滴水的水龙头一天要白白流掉0.25吨水。如不及时修理，六月份会浪费掉多少吨水？（共12分）
五、松柏林能分泌杀菌素，可以净化空气。如果1公顷松柏林每天分泌杀菌素54千克，28.5公顷松柏林31天分泌杀菌素多少千克？（共12分）
6. 小华家来客人了，妈妈让他上街买50元的菜。请你根据下面每种菜和价格，替小华设计一种买菜的方案。并算出共了多少钱？（共13分）
**第三单元测试卷的部分答案：**
一、1、0.6 3 来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、0.8 0.8 0.8 0.8
3、三 四
4、十 49.5
5、小 大
二、√ √ × √
三、1、5.4 0.56 0 0.5 1 48 8 0.42 0.78
2、245 78.78 153 0.14 56 5 0.399
四、7.5吨
五、47709千克
六、有多种方案
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绝密★启用前
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**数学Ⅰ**
**注意事项**
**考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求**
**1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题\~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.**
**2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.**
**3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.**
**4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.**
**5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.**
**参考公式：**
**柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．**
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．**
1.已知集合，则\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】∵,
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
2.已知是虚数单位，则复数的实部是\_\_\_\_\_.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
3.已知一组数据的平均数为4，则的值是\_\_\_\_\_.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】∵数据的平均数为4
∴，即.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值.
【详解】由于，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.
6.在平面直角坐标系*xOy*中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=*x*，则该双曲线的离心率是\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
7.已知*y*=*f*(*x*)是奇函数，当*x*≥0时， ，则*f*(-8)的值是\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.已知 =，则的值是\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是\_\_\_\_cm.
【答案】
【解析】
【分析】
先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.将函数*y*=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与*y*轴最近的对称轴的方程是\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
11.设{*a~n~*}是公差为*d*的等差数列，{*b~n~*}是公比为*q*的等比数列．已知数列{*a~n~*+*b~n~*}的前*n*项和，则*d*+*q*的值是\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
12.已知，则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
分析】
根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握"一正，二定，三相等"的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
13.在△*ABC*中，*D*在边*BC*上，延长*AD*到*P*，使得*AP*=9，若（*m*为常数），则*CD*的长度是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线
∴可设
∵
∴，即
∵三点共线
∴，即
∵
∴
∵,,
∴
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，
∵
∴，解得.
∴的长度为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
14.在平面直角坐标系*xOy*中，已知，*A*，*B*是圆*C*：上的两个动点，满足，则△*PAB*面积的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15.在三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*⊥*AC*，*B*~1~*C*⊥平面*ABC*，*E*，*F*分别是*AC*，*B*~1~*C*的中点．
（1）求证：*EF*∥平面*AB*~1~*C*~1~；
（2）求证：平面*AB*~1~*C*⊥平面*ABB*~1~．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过证明，来证得平面.
（2）通过证明平面，来证得平面平面.
【详解】（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.
16.在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
（1）求的值；
（2）在边*BC*上取一点*D*，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.
17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底*O*在水平线*MN*上、桥*AB*与*MN*平行，为铅垂线(在*AB*上).经测量，左侧曲线*AO*上任一点*D*到*MN*的距离(米)与*D*到的距离*a*(米)之间满足关系式；右侧曲线*BO*上任一点*F*到*MN*的距离(米)与*F*到的距离*b*(米)之间满足关系式.已知点*B*到的距离为40米.
（1）求桥*AB*的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩*CD*和*EF*，且*CE*为80米，其中*C*，*E*在*AB*上(不包括端点).桥墩*EF*每米造价*k*(万元)、桥墩*CD*每米造价(万元)(*k*\>0).问为多少米时，桥墩*CD*与*EF*的总造价最低?
【答案】（1）120米（2）米
【解析】
【分析】
（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.
【详解】（1）由题意得
米
（2）设总造价为万元，，设，
(0舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
18.在平面直角坐标系*xOy*中，已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*A*在椭圆*E*上且在第一象限内，*AF*~2~⊥*F*~1~*F*~2~，直线*AF*~1~与椭圆*E*相交于另一点*B*．
（1）求△*AF*~1~*F*~2~的周长；
（2）在*x*轴上任取一点*P*，直线*AP*与椭圆*E*的右准线相交于点*Q*，求的最小值；
（3）设点*M*在椭圆*E*上，记△*OAB*与△*MAB*的面积分别为*S*~1~，*S*~2~，若*S*~2~=3*S*~1~，求点*M*的坐标．
【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长；
（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；
（3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
【详解】（1）∵椭圆的方程为
∴,
由椭圆定义可得：.
∴的周长为
（2）设，根据题意可得.
∵点在椭圆上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴，当且仅当时取等号.
∴的最小值为.
（3）设，点到直线的距离为.
∵，
∴直线的方程为
∵点到直线的距离为，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得，.
∴或.
【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.
19.已知关于*x*的函数与在区间*D*上恒有．
（1）若，求*h*(*x*)的表达式；
（2）若，求*k*的取值范围；
（3）若求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）求得与的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式.
（2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围.
（3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立.
【详解】（1）由，解得，所以与有唯一公共点.
，，所以和在处有公切线.结合图象可知，满足在上恒成立.
（2）令，.
.若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.
当时，，符合题意.
当时， 在上递减，在上递增，则，
即，符合题意.
综上所述，.
由，结合二次函数的性质得：
当，即时，存在，使，不符合题意.
当，即时，，符合题意.
当，即时，则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
（3），
所以在处切线为
，
所以是函数的图象在处的切线，
由，得或；由得或.
因为
所以要使，则需.
由得，设其两根为，则，
所以.
令，则.
构造函数，，
所以时，，递减，.
所以，即.
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
20.已知数列的首项*a*~1~=1，前*n*项和为*S~n~*．设**λ**与*k*是常数，若对一切正整数*n*，均有成立，则称此数列为"**λ**--*k*"数列．
（1）若等差数列是"**λ**--1"数列，求**λ**的值；
（2）若数列是""数列，且*a~n~*＞0，求数列的通项公式；
（3）对于给定的**λ**，是否存在三个不同的数列为"**λ**--3"数列，且*a~n~*≥0?若存在，求**λ**的取值范围；若不存在，说明理由，
【答案】（1）1
（2）
（3）
【解析】
【分析】
（1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果；
（2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得；
（3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果
详解】（1）
（2）
，
（3）假设存在三个不同的数列为数列.
或
或
∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且
或有两个不等的正根.
可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.
> ① 当时，，即，此时，，满足题意.
>
> ② 当时，，即，此时，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.
**数学Ⅱ(附加题)**
**【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**A．\[选修4-2：矩阵与变换\]**
21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点．
（1）求实数，的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数的值；
（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.
【详解】（1）∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点
∴
∴，解得
（2）设，则
∴，解得
∴
【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．
**B．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）将A,B点坐标代入即得结果；
（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】（1）
（2）
当时；当时（舍）；即所求交点坐标为当
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
**C．\[选修4-5：不等式选讲\]**
23.设，解不等式．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】或或
或或
所以解集为
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
**【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
24.在三棱锥*A*---*BCD*中，已知*CB*=*CD*=,*BD*=2，*O*为*BD*的中点，*AO*⊥平面*BCD*，*AO*=2，*E*为*AC*的中点．
（1）求直线*AB*与*DE*所成角的余弦值；
（2）若点*F*在*BC*上，满足*BF*=*BC*，设二面角*F*---*DE*---*C*的大小为*θ*，求sin*θ*的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复*n*次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为*X~n~*，恰有2个黑球的概率为*p~n~*，恰有1个黑球的概率为*q~n~*．
（1）求*p*~1~·*q*~1~和*p*~2~·*q*~2~；
（2）求2*p~n~*+*q~n~*与2*p~n-~*~1~+*q~n-~*~1~递推关系式和*X~n~*的数学期望*E*(*X~n~*)(用*n*表示) ．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】（1）；
（2）
因此
从而
即
【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.
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**2019年湖北省黄冈市中考数学试卷**
**一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）**
1．（3分）（2019•黄冈）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．±3
2．（3分）（2019•黄冈）为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以"祖国在我心中"为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×10^6^ B．5.5×10^5^ C．55×10^4^ D．0.55×10^6^
3．（3分）（2019•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．*a*•*a*^2^＝*a*^2^ B．5*a*•5*b*＝5*ab* C．*a*^5^÷*a*^3^＝*a*^2^ D．2*a*+3*b*＝5*ab*
4．（3分）（2019•黄冈）若*x*~1~，*x*~2~是一元二次方程*x*^2^﹣4*x*﹣5＝0的两根，则*x*~1~•*x*~2~的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
5．（3分）（2019•黄冈）已知点*A*的坐标为（2，1），将点*A*向下平移4个单位长度，得到的点*A*′的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（﹣2，1） C．（2，5） D．（2，﹣3）
6．（3分）（2019•黄冈）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（ ）
> 
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点*O*是这段弧所在圆的圆心，*AB*＝40*m*，点*C*是的中点，且*CD*＝10*m*，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
> 
A．25*m* B．24*m* C．30*m* D．60*m*
8．（3分）（2019•黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中*x*表示时间，*y*表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
> 
A．体育场离林茂家2.5*km*
B．体育场离文具店1*km*
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50*m*/*min*
D．林茂从文具店回家的平均速度是60*m*/*min*
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
9．（3分）（2019•黄冈）计算（）^2^+1的结果是[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•黄冈）﹣*x*^2^*y*是[ ]{.underline}次单项式．
11．（3分）（2019•黄冈）分解因式3*x*^2^﹣27*y*^2^＝[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•黄冈）一组数据1，7，8，5，4的中位数是*a*，则*a*的值是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•黄冈）如图，直线*AB*∥*CD*，直线*EC*分别与*AB*，*CD*相交于点*A*、点*C*，*AD*平分∠*BAC*，已知∠*ACD*＝80°，则∠*DAC*的度数为[ ]{.underline}．
> 
14．（3分）（2019•黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•黄冈）如图，一直线经过原点*O*，且与反比例函数*y*＝（*k*＞0）相交于点*A*、点*B*，过点*A*作*AC*⊥*y*轴，垂足为*C*，连接*BC*．若△*ABC*面积为8，则*k*＝[ ]{.underline}．
> 
16．（3分）（2019•黄冈）如图，*AC*，*BD*在*AB*的同侧，*AC*＝2，*BD*＝8，*AB*＝8，点*M*为*AB*的中点，若∠*CMD*＝120°，则*CD*的最大值是[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题（本题共9题，满分72分）**
17．（6分）（2019•黄冈）先化简，再求值．
> （+）÷，其中*a*＝，*b*＝1．
18．（6分）（2019•黄冈）解不等式组．
19．（6分）（2019•黄冈）如图，*ABCD*是正方形，*E*是*CD*边上任意一点，连接*AE*，作*BF*⊥*AE*，*DG*⊥*AE*，垂足分别为*F*，*G*．求证：*BF*﹣*DG*＝*FG*．
> 
20．（7分）（2019•黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了"清明节祭扫"活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
21．（8分）（2019•黄冈）某校开发了"书画、器乐、戏曲、棋类"四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
> （1）本次随机调查了多少名学生？
>
> （2）补全条形统计图中"书画"、"戏曲"的空缺部分；
>
> （3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择"戏曲"类的人数；
>
> （4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加"全市青少年才艺展示活动"，用树形图或列表法求处恰好抽到"器乐"和"戏曲"类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕*A*，*B*，*C*，*D*表示）
22．（7分）（2019•黄冈）如图，两座建筑物的水平距离*BC*为40*m*，从*A*点测得*D*点的俯角α为45°，测得*C*点的俯角β为60°．求这两座建筑物*AB*，*CD*的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．）
> 
23．（8分）（2019•黄冈）如图，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，以*AC*为直径的⊙*O*交*AB*于点*D*，过点*D*作⊙*O*的切线交*BC*于点*E*，连接*OE*．
> （1）求证：△*DBE*是等腰三角形；
>
> （2）求证：△*COE*∽△*CAB*．
>
> 
24．（10分）（2019•黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价*y*（万元）与产量*x*（吨）之间的关系如图所示（0≤*x*≤100）．已知草莓的产销投入总成本*p*（万元）与产量*x*（吨）之间满足*p*＝*x*+1．
> （1）直接写出草莓销售单价*y*（万元）与产量*x*（吨）之间的函数关系式；
>
> （2）求该合作社所获利润*w*（万元）与产量*x*（吨）之间的函数关系式；
>
> （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润*w*′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
>
> 
25．（14分）（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系*xOy*中，已知*A*（﹣2，2），*B*（﹣2，0），*C*（0，2），*D*（2，0）四点，动点*M*以每秒个单位长度的速度沿*B*→*C*→*D*运动（*M*不与点*B*、点*D*重合），设运动时间为*t*（秒）．
> （1）求经过*A*、*C*、*D*三点的抛物线的解析式；
>
> （2）点*P*在（1）中的抛物线上，当*M*为*BC*的中点时，若△*PAM*≌△*PBM*，求点*P*的坐标；
>
> （3）当*M*在*CD*上运动时，如图②．过点*M*作*MF*⊥*x*轴，垂足为*F*，*ME*⊥*AB*，垂足为*E*．设矩形*MEBF*与△*BCD*重叠部分的面积为*S*，求*S*与*t*的函数关系式，并求出*S*的最大值；
>
> （4）点*Q*为*x*轴上一点，直线*AQ*与直线*BC*交于点*H*，与*y*轴交于点*K*．是否存在点*Q*，使得△*HOK*为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有*Q*点的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
**2019年湖北省黄冈市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）**
1．（3分）（2019•黄冈）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．±3
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用绝对值的定义求解即可．
>
> 【解答】解：﹣3的绝对值是3．
>
> 故选：*C*．
2．（3分）（2019•黄冈）为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以"祖国在我心中"为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×10^6^ B．5.5×10^5^ C．55×10^4^ D．0.55×10^6^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：将550000用科学记数法表示为：5.5×10^5^．
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．*a*•*a*^2^＝*a*^2^ B．5*a*•5*b*＝5*ab* C．*a*^5^÷*a*^3^＝*a*^2^ D．2*a*+3*b*＝5*ab*
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘单项式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、*a*•*a*^2^＝*a*^3^，故此选项错误；
>
> *B*、5*a*•5*b*＝25*ab*，故此选项错误；
>
> *C*、*a*^5^÷*a*^3^＝*a*^2^，正确；
>
> *D*、2*a*+3*b*，无法计算，故此选项错误．
>
> 故选：*C*．
4．（3分）（2019•黄冈）若*x*~1~，*x*~2~是一元二次方程*x*^2^﹣4*x*﹣5＝0的两根，则*x*~1~•*x*~2~的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
> 【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用根与系数的关系可得出*x*~1~•*x*~2~＝﹣5，此题得解．
>
> 【解答】解：∵*x*~1~，*x*~2~是一元二次方程*x*^2^﹣4*x*﹣5＝0的两根，
>
> ∴*x*~1~•*x*~2~＝＝﹣5．
>
> 故选：*A*．
5．（3分）（2019•黄冈）已知点*A*的坐标为（2，1），将点*A*向下平移4个单位长度，得到的点*A*′的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（﹣2，1） C．（2，5） D．（2，﹣3）
> 【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
>
> 【分析】将点*A*的横坐标不变，纵坐标减去4即可得到点*A*′的坐标．
>
> 【解答】解：∵点*A*的坐标为（2，1），
>
> ∴将点*A*向下平移4个单位长度，得到的点*A*′的坐标是（2，﹣3），
>
> 故选：*D*．
6．（3分）（2019•黄冈）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】左视图有1列，含有2个正方形．
>
> 【解答】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．
>
> 故选：*B*．
7．（3分）（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点*O*是这段弧所在圆的圆心，*AB*＝40*m*，点*C*是的中点，且*CD*＝10*m*，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
> 
A．25*m* B．24*m* C．30*m* D．60*m*
> 【考点】垂径定理的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意，可以推出*AD*＝*BD*＝20，若设半径为*r*，则*OD*＝*r*﹣10，*OB*＝*r*，结合勾股定理可推出半径*r*的值．
>
> 【解答】解：∵*OC*⊥*AB*，
>
> ∴*AD*＝*DB*＝20*m*，
>
> 在Rt△*AOD*中，*OA*^2^＝*OD*^2^+*AD*^2^，
>
> 设半径为*r*得：*r*^2^＝（*r*﹣10）^2^+20^2^，
>
> 解得：*r*＝25*m*，
>
> ∴这段弯路的半径为25*m*
>
> 故选：*A*．
8．（3分）（2019•黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中*x*表示时间，*y*表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
> 
A．体育场离林茂家2.5*km*
B．体育场离文具店1*km*
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50*m*/*min*
D．林茂从文具店回家的平均速度是60*m*/*min*
> 【考点】函数的图象．菁优网版权所有
>
> 【分析】从图中可得信息：体育场离文具店1000*m*，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度．
>
> 【解答】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5﹣1.5＝1*km*＝1000*m*，
>
> 所用时间是（45﹣30）＝15分钟，
>
> ∴体育场出发到文具店的平均速度＝＝*m*/*min*
>
> 故选：*C*．
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
9．（3分）（2019•黄冈）计算（）^2^+1的结果是[ 4 ]{.underline}．
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>
> 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
>
> 【解答】解：原式＝3+1＝4．
>
> 故答案为：4．
10．（3分）（2019•黄冈）﹣*x*^2^*y*是[ 3 ]{.underline}次单项式．
> 【考点】单项式．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
>
> 【解答】解：∵单项式﹣*x*^2^*y*中所有字母指数的和＝2+1＝3，
>
> ∴此单项式的次数是3．
>
> 故答案为：3．
11．（3分）（2019•黄冈）分解因式3*x*^2^﹣27*y*^2^＝[ 3（*x*+3*y*）（*x*﹣3*y*） ]{.underline}．
> 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
>
> 【解答】解：原式＝3（*x*^2^﹣9*y*^2^）＝3（*x*+3*y*）（*x*﹣3*y*），
>
> 故答案为：3（*x*+3*y*）（*x*﹣3*y*）
12．（3分）（2019•黄冈）一组数据1，7，8，5，4的中位数是*a*，则*a*的值是[ 5 ]{.underline}．
> 【考点】中位数．菁优网版权所有
>
> 【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．
>
> 【解答】解：先把原数据按从小到大排列：1，4，5，7，8，正中间的数5，
>
> 所以这组数据的中位数*a*的值是5．
>
> 故答案为：5．
13．（3分）（2019•黄冈）如图，直线*AB*∥*CD*，直线*EC*分别与*AB*，*CD*相交于点*A*、点*C*，*AD*平分∠*BAC*，已知∠*ACD*＝80°，则∠*DAC*的度数为[ 50° ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠*BAC*的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠*DAC*的度数．
>
> 【解答】解：∵*AB*∥*CD*，∠*ACD*＝80°，
>
> ∴∠*BAC*＝100°，
>
> 又∵*AD*平分∠*BAC*，
>
> ∴∠*DAC*＝∠*BAC*＝50°，
>
> 故答案为：50°．
14．（3分）（2019•黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为[ 4π ]{.underline}．
> 【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
>
> 【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
>
> ∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
>
> ∴面积为：4π，
>
> 故答案为：4π．
15．（3分）（2019•黄冈）如图，一直线经过原点*O*，且与反比例函数*y*＝（*k*＞0）相交于点*A*、点*B*，过点*A*作*AC*⊥*y*轴，垂足为*C*，连接*BC*．若△*ABC*面积为8，则*k*＝[ 8 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知*A*、*B*两点关于原点对称，则*O*为线段*AB*的中点，故△*BOC*的面积等于△*AOC*的面积，都等于4，然后由反比例函数*y*＝的比例系数*k*的几何意义，可知△*AOC*的面积等于\|*k*\|，从而求出*k*的值．
>
> 【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于*A*、*B*两点，
>
> ∴*A*、*B*两点关于原点对称，
>
> ∴*OA*＝*OB*，
>
> ∴△*BOC*的面积＝△*AOC*的面积＝8÷2＝4，
>
> 又∵*A*是反比例函数*y*＝图象上的点，且*AC*⊥*y*轴于点*C*，
>
> ∴△*AOC*的面积＝\|*k*\|，
>
> ∴\|*k*\|＝4，
>
> ∵*k*＞0，
>
> ∴*k*＝8．
>
> 故答案为8．
16．（3分）（2019•黄冈）如图，*AC*，*BD*在*AB*的同侧，*AC*＝2，*BD*＝8，*AB*＝8，点*M*为*AB*的中点，若∠*CMD*＝120°，则*CD*的最大值是[ 14 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】如图，作点*A*关于*CM*的对称点*A*′，点*B*关于*DM*的对称点*B*′，证明△*A*′*MB*′为等边三角形，即可解决问题．
>
> 【解答】解：如图，作点*A*关于*CM*的对称点*A*′，点*B*关于*DM*的对称点*B*′．
>
> ∵∠*CMD*＝120°，
>
> ∴∠*AMC*+∠*DMB*＝60°，
>
> ∴∠*CMA*′+∠*DMB*′＝60°，
>
> ∴∠*A*′*MB*′＝60°，
>
> ∵*MA*′＝*MB*′，
>
> ∴△*A*′*MB*′为等边三角形
>
> ∵*CD*≤*CA*′+*A*′*B*′+*B*′*D*＝*CA*+*AM*+*BD*＝2+4+8＝14，
>
> ∴*CD*的最大值为14，
>
> 故答案为14．
>
> 
**三、解答题（本题共9题，满分72分）**
17．（6分）（2019•黄冈）先化简，再求值．
> （+）÷，其中*a*＝，*b*＝1．
>
> 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
>
> 【解答】解：原式＝÷
>
> ＝•*ab*（*a*+*b*）
>
> ＝5*ab*，
>
> 当*a*＝，*b*＝1时，
>
> 原式＝5．
18．（6分）（2019•黄冈）解不等式组．
> 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
>
> 【解答】解：，
>
> 解①得：*x*＞﹣1，
>
> 解②得：*x*≤2，
>
> 则不等式组的解集是：﹣1＜*x*≤2．
19．（6分）（2019•黄冈）如图，*ABCD*是正方形，*E*是*CD*边上任意一点，连接*AE*，作*BF*⊥*AE*，*DG*⊥*AE*，垂足分别为*F*，*G*．求证：*BF*﹣*DG*＝*FG*．
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正方形的性质可得*AB*＝*AD*，再利用同角的余角相等求出∠*BAF*＝∠*ADG*，再利用"角角边"证明△*BAF*和△*ADG*全等，根据全等三角形对应边相等可得*BF*＝*AG*，根据线段的和与差可得结论．
>
> 【解答】证明：∵四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴*AB*＝*AD*，∠*DAB*＝90°，
>
> ∵*BF*⊥*AE*，*DG*⊥*AE*，
>
> ∴∠*AFB*＝∠*AGD*＝∠*ADG*+∠*DAG*＝90°，
>
> ∵∠*DAG*+∠*BAF*＝90°，
>
> ∴∠*ADG*＝∠*BAF*，
>
> 在△*BAF*和△*ADG*中，
>
> ∵，
>
> ∴△*BAF*≌△*ADG*（*AAS*），
>
> ∴*BF*＝*AG*，*AF*＝*DG*，
>
> ∵*AG*＝*AF*+*FG*，
>
> ∴*BF*＝*AG*＝*DG*+*FG*，
>
> ∴*BF*﹣*DG*＝*FG*．
20．（7分）（2019•黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了"清明节祭扫"活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
> 【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】设其他班步行的平均速度为*x*米/分，则九（1）班步行的平均速度为1.25*x*米/分，根据时间＝路程÷速度结合九（1）班比其他班提前10分钟到达，即可得出关于*x*的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
>
> 【解答】解：设其他班步行的平均速度为*x*米/分，则九（1）班步行的平均速度为1.25*x*米/分，
>
> 依题意，得：﹣＝10，
>
> 解得：*x*＝80，
>
> 经检验，*x*＝80是原方程的解，且符合题意，
>
> ∴1.25*x*＝100．
>
> 答：九（1）班步行的平均速度为100米/分，其他班步行的平均速度为80米/分．
21．（8分）（2019•黄冈）某校开发了"书画、器乐、戏曲、棋类"四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
> （1）本次随机调查了多少名学生？
>
> （2）补全条形统计图中"书画"、"戏曲"的空缺部分；
>
> （3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择"戏曲"类的人数；
>
> （4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加"全市青少年才艺展示活动"，用树形图或列表法求处恰好抽到"器乐"和"戏曲"类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕*A*，*B*，*C*，*D*表示）
>
> 【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
>
> （2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
>
> （3）利用样本估计总体思想求解可得；
>
> （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
>
> 【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
>
> （2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
>
> 补全图形如下：
>
> 
>
> （3）估计全校学生选择"戏曲"类的人数约为1200×＝240（人）；
>
> （4）列表得：
----- ------ ------ ------ ------
*A* *B* *C* *D*
*A* *AB* *AC* *AD*
*B* *BA* *BC* *BD*
*C* *CA* *CB* *CD*
*D* *DA* *DB* *DC*
----- ------ ------ ------ ------
> ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到"器乐"和"戏曲"类的有2种结果，
>
> ∴恰好抽到"器乐"和"戏曲"类的概率为＝．
22．（7分）（2019•黄冈）如图，两座建筑物的水平距离*BC*为40*m*，从*A*点测得*D*点的俯角α为45°，测得*C*点的俯角β为60°．求这两座建筑物*AB*，*CD*的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．）
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】延长*CD*，交过*A*点的水平线*AE*于点*E*，可得*DE*⊥*AE*，在直角三角形*ABC*中，由题意确定出*AB*的长，进而确定出*EC*的长，在直角三角形*AED*中，由题意求出*ED*的长，由*EC*﹣*ED*求出*DC*的长即可
>
> 【解答】解：延长*CD*，交*AE*于点*E*，可得*DE*⊥*AE*，
>
> 
>
> 在Rt△*AED*中，*AE*＝*BC*＝40*m*，∠*EAD*＝45°，
>
> ∴*ED*＝*AE*tan45°＝20*m*，
>
> 在Rt△*ABC*中，∠*BAC*＝30°，*BC*＝40*m*，
>
> ∴*AB*＝40≈69.3*m*，
>
> 则*CD*＝*EC*﹣*ED*＝*AB*﹣*ED*＝40﹣20≈29.3*m*．
>
> 答：这两座建筑物*AB*，*CD*的高度分别为69.3*m*和29.3*m*．
23．（8分）（2019•黄冈）如图，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，以*AC*为直径的⊙*O*交*AB*于点*D*，过点*D*作⊙*O*的切线交*BC*于点*E*，连接*OE*．
> （1）求证：△*DBE*是等腰三角形；
>
> （2）求证：△*COE*∽△*CAB*．
>
> 
>
> 【考点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）连接*OD*，由*DE*是⊙*O*的切线，得出∠*ODE*＝90°，∠*ADO*+∠*BDE*＝90°，由∠*ACB*＝90°，得出∠*CAB*+∠*CBA*＝90°，证出∠*CAB*＝∠*ADO*，得出∠*BDE*＝∠*CBA*，即可得出结论；
>
> （2）证出*CB*是⊙*O*的切线，得出*DE*＝*EC*，推出*EC*＝*EB*，再由*OA*＝*OC*，得出*OE*∥*AB*，即可得出结论．
>
> 【解答】证明：（1）连接*OD*，如图所示：
>
> ∵*DE*是⊙*O*的切线，
>
> ∴∠*ODE*＝90°，
>
> ∴∠*ADO*+∠*BDE*＝90°，
>
> ∵∠*ACB*＝90°，
>
> ∴∠*CAB*+∠*CBA*＝90°，
>
> ∵*OA*＝*OD*，
>
> ∴∠*CAB*＝∠*ADO*，
>
> ∴∠*BDE*＝∠*CBA*，
>
> ∴*EB*＝*ED*，
>
> ∴△*DBE*是等腰三角形；
>
> （2）∵∠*ACB*＝90°，*AC*是⊙*O*的直径，
>
> ∴*CB*是⊙*O*的切线，
>
> ∵*DE*是⊙*O*的切线，
>
> ∴*DE*＝*EC*，
>
> ∵*EB*＝*ED*，
>
> ∴*EC*＝*EB*，
>
> ∵*OA*＝*OC*，
>
> ∴*OE*∥*AB*，
>
> ∴△*COE*∽△*CAB*．
>
> 
24．（10分）（2019•黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价*y*（万元）与产量*x*（吨）之间的关系如图所示（0≤*x*≤100）．已知草莓的产销投入总成本*p*（万元）与产量*x*（吨）之间满足*p*＝*x*+1．
> （1）直接写出草莓销售单价*y*（万元）与产量*x*（吨）之间的函数关系式；
>
> （2）求该合作社所获利润*w*（万元）与产量*x*（吨）之间的函数关系式；
>
> （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润*w*′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
>
> 
>
> 【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）分0≤*x*≤30；30≤*x*≤70；70≤*x*≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
>
> （2）利用*w*＝*yx*﹣*p*和（1）中*y*与*x*的关系式得到*w*与*x*的关系式；
>
> （3）把（2）中各段中的*w*分别减去0.3*x*得到*w*′与*x*的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
>
> 【解答】解：（1）当0≤*x*≤30时，*y*＝2.4；
>
> 当30≤*x*≤70时，设*y*＝*kx*+*b*，
>
> 把（30，2.4），（70，2）代入得，解得，
>
> ∴*y*＝﹣0.01*x*+2.7；
>
> 当70≤*x*≤100时，*y*＝2；
>
> （2）当0≤*x*≤30时，*w*＝2.4*x*﹣（*x*+1）＝1.4*x*﹣1；
>
> 当30≤*x*≤70时，*w*＝（﹣0.01*x*+2.7）*x*﹣（*x*+1）＝﹣0.01*x*^2^+1.7*x*﹣1；
>
> 当70≤*x*≤100时，*w*＝2*x*﹣（*x*+1）＝*x*﹣1；
>
> （3）当0≤*x*＜30时，*w*′＝1.4*x*﹣1﹣0.3*x*＝1.1*x*﹣1，当*x*＝30时，*w*′的最大值为32，不合题意；
>
> 当30≤*x*≤70时，*w*′＝﹣0.01*x*^2^+1.7*x*﹣1﹣0.3*x*＝﹣0.01*x*^2^+1.4*x*﹣1＝﹣0.01（*x*﹣70）^2^+48，当*x*＝70时，*w*′的最大值为48，不合题意；
>
> 当70≤*x*≤100时，*w*′＝*x*﹣1﹣0.3*x*＝0.7*x*﹣1，当*x*＝100时，*w*′的最大值为69，此时0.7*x*﹣1≥55，解得*x*≥80，
>
> 所以产量至少要达到80吨．
25．（14分）（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系*xOy*中，已知*A*（﹣2，2），*B*（﹣2，0），*C*（0，2），*D*（2，0）四点，动点*M*以每秒个单位长度的速度沿*B*→*C*→*D*运动（*M*不与点*B*、点*D*重合），设运动时间为*t*（秒）．
> （1）求经过*A*、*C*、*D*三点的抛物线的解析式；
>
> （2）点*P*在（1）中的抛物线上，当*M*为*BC*的中点时，若△*PAM*≌△*PBM*，求点*P*的坐标；
>
> （3）当*M*在*CD*上运动时，如图②．过点*M*作*MF*⊥*x*轴，垂足为*F*，*ME*⊥*AB*，垂足为*E*．设矩形*MEBF*与△*BCD*重叠部分的面积为*S*，求*S*与*t*的函数关系式，并求出*S*的最大值；
>
> （4）点*Q*为*x*轴上一点，直线*AQ*与直线*BC*交于点*H*，与*y*轴交于点*K*．是否存在点*Q*，使得△*HOK*为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有*Q*点的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）设函数解析式为*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*，将点*A*（﹣2，2），*C*（0，2），*D*（2，0）代入解析式即可；
>
> （2）由已知易得点*P*为*AB*的垂直平分线与抛物线的交点，点*P*的纵坐标是1，则有1＝﹣﹣*x*+2，即可求*P*；
>
> （3）*S*＝（*GM*+*BF*）×*MF*＝（2*t*﹣4+*t*）×（4﹣*t*）＝﹣+8*t*﹣8＝﹣（*t*﹣）^2^+；
>
> （4）设点*Q*（*m*，0），直线*BC*的解析式*y*＝﹣*x*+2，直线*AQ*的解析式*y*＝﹣（*x*+2）+2，求出点*K*（0，），*H*（，），由勾股定理可得*OK*^2^＝，*OH*^2^＝+，*HK*^2^＝+，分三种情况讨论△*HOK*为等腰三角形即可；
>
> 【解答】解：（1）设函数解析式为*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*，
>
> 将点*A*（﹣2，2），*C*（0，2），*D*（2，0）代入解析式可得
>
> ，
>
> ∴，
>
> ∴*y*＝﹣﹣*x*+2；
>
> （2）∵△*PAM*≌△*PBM*，
>
> ∴*PA*＝*PB*，*MA*＝*MB*，
>
> ∴点*P*为*AB*的垂直平分线与抛物线的交点，
>
> ∵*AB*＝2，
>
> ∴点*P*的纵坐标是1，
>
> ∴1＝﹣﹣*x*+2，
>
> ∴*x*＝﹣1+或*x*＝﹣1﹣，
>
> ∴*P*（﹣1﹣，1）或*P*（﹣1+，1）；
>
> （3）*CM*＝*t*﹣2，*MG*＝*CM*＝2*t*﹣4，
>
> *MD*＝4﹣（*BC*+*CM*）＝4﹣（2+*t*﹣2）＝4﹣*t*，
>
> *MF*＝*MD*＝4﹣*t*，
>
> ∴*BF*＝4﹣4+*t*＝*t*，
>
> ∴*S*＝（*GM*+*BF*）×*MF*＝（2*t*﹣4+*t*）×（4﹣*t*）＝﹣+8*t*﹣8＝﹣（*t*﹣）^2^+；
>
> 当*t*＝时，*S*最大值为；
>
> （4）设点*Q*（*m*，0），直线*BC*的解析式*y*＝﹣*x*+2，
>
> 直线*AQ*的解析式*y*＝﹣（*x*+2）+2，
>
> ∴*K*（0，），*H*（，），
>
> ∴*OK*^2^＝，*OH*^2^＝+，*HK*^2^＝+，
>
> ①当*OK*＝*OH*时，＝+，
>
> ∴*m*^2^﹣4*m*﹣8＝0，
>
> ∴*m*＝2+2或*m*＝2﹣2；
>
> ②当*OH*＝*HK*时，+＝+，
>
> ∴*m*^2^﹣8＝0，
>
> ∴*m*＝2或*m*＝﹣2；
>
> ③当*OK*＝*HK*时，＝+，不成立；
>
> 综上所述：*Q*（2+2，0）或*Q*（2﹣2，0）或*Q*（2，0）或*Q*（﹣2，0）；
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日期：2019/7/11 8:50:00；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第1课《速算与巧算1》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第一讲 速算与巧算习题解答
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**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------分一分（二）》同步检测1（附答案）**
1．填一填。
(1)一批运往青海玉树的救灾物资，平均分成10份，王叔叔运走1份，刘叔叔运走2份，那么王叔叔运了它的，刘叔叔运了它的。
(2)有一盘苹果，客人吃了3个，小红和妈妈各吃了3个就吃完了。小红吃了苹果的( )，客人吃了苹果的( )。
(3)全班有36人，其中男生20人，女生16人。男生占全班人数的( )，女生占全班人数的( )。
(4)4个 是( )， 是( )个。
2．看阴影图写分数。
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3．我会填。
\(1\) 花铅笔 红铅笔 蓝铅笔
占铅笔总数的( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
占铅笔总数的( )
占铅笔总数的( )
(2)
占全部水果的( )
占全部水果的( )
4．依照左图，按分数圈一圈。
5．阴影部分是整个图形的几分之几？来源：www.bcjy123.com/tiku/
( ) ( )
6．哪根小棒长？
参考答案
1\. 略2. 略
3.（1） （2）
4．略
5\.
6．B
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）》单元测试1（附答案）**
一、填空题。（每空1分，共19分）
1、已知长方体或正方体的体积和高，要求它们的底面积，可以用底面积 =
（ ）÷（ ）来计算，字母公式为*S* =（ ）。
2、把1个棱长是2厘米的正方体棱长扩大3倍，这个大正方体的表面积是（ ）厘米，体积是（ ）厘米。
3、4.3米 =（ ）分米 =（ ）升 5.2米 =（ ）厘米来源：www.bcjy123.com/tiku/
3260毫升 =（ ）升（ ）毫升 48厘米 =（ ）分米
4、一种滴眼液每瓶的容量为10毫升，现在有滴眼液0.5升，可以装（ ）瓶；一箱滴眼液有200瓶，共有（ ）升。
5、在（ ）里填上适当的单位。
一只手机的体积约是85（ ）。
一个水塔大约能容纳90（ ）的水。来源：www.bcjy123.com/tiku/
一瓶饮料的容积为550（ ）。
6、一个表面积是54厘米的正方体，它的每个面面积是（ ）厘米，它的棱长是（ ）厘米，它的体积是（ ）厘米。
二、判断题。（对的打"√"，"×"）
1、一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等。 （ ）
2、一个长方体的长为4米，宽为2米，高为5分米，体积是40平方米。 （ ）
3、计量一个物体的体积有多大，就看它包含多少个体积单位。 （ ）
4、两个体积单位之间的进率是1000。 （ ）
三、选择题。（将正确答案序号填在括号里）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、一个正方体的棱长扩大为原来的3倍，表面积扩大为原来的（ ）倍，体积扩大为原来的（ ）倍。
A、3 B、9 C、27 D、6
2、一根长为8分米，宽和高都是2分米的长方体木料，锯成3段，表面积至少增加（ ）。
A、4分米 B、8分米 C、16分米 D、20分米
3、*a*表示（ ）。
A、*a*×*a*×*a* B、*a*×3 C、*a*＋*a*＋*a* D、*a*＋3
4、一个棱长是4分米的正方体，棱长之和是（ ）。
A、16分米 B、24分米 C、32分米 D、48分米
5、棱长之和相等的长方体和正方体，体积（ ）。
A、长方体大 B、正方体大 C、一样大 D、不一定哪个大
四、求下面图形的表面积和体积。（单位：分米）（每题6分，共12分）
1、 2、
表面积： [ ]{.underline} 表面积： [ ]{.underline}
体积： [ ]{.underline} 体积： [ ]{.underline}
五、解决问题。（每题6分，共36分）
> 1、一块长方体木器厂料，长为20分米，宽为4分米，高为1.5分米，它的体积是多少立方分米？
>
> 2、一根长方体木料，长为1.5米，宽为0.8米，厚0.2米。如果每立方米木料重450千克，那么这根木料重多少千克？
>
> 3、一个长方体木箱，它的底面积是80平方分米，高是2米，这个木箱的容积是多少升？
>
> 4、把一个棱长为0.4米的正方体钢坯锻造成一个长为0.8米，宽为0.2米的长方体钢坯，锻成的钢坯有多高？
>
> 5、有一个装满米的正方体米桶，它的长是6分米，宽是5分米，高是4分米。如果每天吃10分米的米，那么这一整桶米够吃15天吗？
>
> 6、一间教室的长为8米，宽为6米，高为3.5米，要粉刷教室的四壁及天花板，除去门窗、黑板共23米，要粉刷的面积有多大？如果教室里坐着48位学生，那么平均每位学生所占空间是多少立方米？
六、思考题。（共10分）
> 一个长方体，底面是一个边长是2分米的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的体积是多少立方分米？
**第四单元测试卷的部分答案：**
一、1、体积÷高 *V*÷*h*
2、216 216
3、4300 4300 5200000 3 260 0.048
4、50 2
5、厘米 米 毫升
6、9 3 27
二、× × √ ×
三、1、B C 2、C 3、A 4、D 5、B
四、1、192分米 160分米
2、22分米 4分米
五、1、120分米
2、108千克
3、1600升
4、0.4米
5、不够
6、123米 3.5米
六、32分米
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**泰州市二0二0年初中学业水平测试**
**数学试题**
**请注意：**
**1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．**
**2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．**
**3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．**
**4．考试时间：120分钟 满分150分．**
**第一部分 选择题（区18分）**
**一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1.-2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是-
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折线部分折回立体图形判断即可.
【详解】由图形折线部分可知,有两个三角形面平行,三个矩形相连,可知为三棱柱.
故选A.
【点睛】本题考查折叠与展开相关知识点,关键在于利用空间想象能力折叠回立体图形.
3.下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
【详解】解：A、3和不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
4.如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，"小灯泡发光"这个事件是随机事件的是（ ）
A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关
【答案】B
【解析】
【分析】
观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键．
5.点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果；
【详解】把代入函数解析式得：，
化简得到：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．
6.如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题．
【详解】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形．
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积．
．
故选：A．
【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具．
**第二部分 非选择题（共132分）**
**二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
7.9的平方根是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】**±3**
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）^2^=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8.因式分解： [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
9.据新华社年月日消息，全国各地和军队约名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将用科学计数法表示为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往左移动到4的后面，所以
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
10.方程的两根为、则的值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接根据韦达定理x~1~·x~2~=可得．
【详解】解：∵方程的两根为x~1~、x~2~，
∴x~1~·x~2~==-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查韦达定理，x~1~、x~2~是一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x~1~+x~2~=−，x~1~·x~2~=．
11.今年月日是第个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这名学生视力的中位数所在范围是\_\_\_\_\_\_．
【答案】4.65-4.95．
【解析】
【分析】
根据频率直方图的数据和中位数概念可知，在这50个数据的中位数位于第四组，据此求解即可．
【详解】解：由中位数概念知道这个数据位于中间位置，共50个数据，根据频率直方图的数据可知，中位数位于第四组，即这名学生视力的中位数所在范围是4.65-4.95．
故答案为：4.65-4.95．
【点睛】本题考查学生对频率直方图认识和应用，以及对中位数的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
12.如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13.以水平数轴的原点为圆心过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到条射线，构成如图所示的"圆"坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．
【详解】解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，、的坐标分别表示为、，根据点的特征，所以点的坐标表示为；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．
14.如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】3或5
【解析】
【分析】
根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
【详解】∵
∴与直线相切，OH=1
当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5．
【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
15.如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为\_\_\_\_\_\_．
【答案】（2，3）
【解析】
【分析】
根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S~△ABC~=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．
16.如图，点在反比例函数的图像上且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图像相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上且横坐标为，
∴点P的坐标为：（1，3），
如图，AP∥x轴，BP∥y轴，
∵点A、B在反比例函数的图像上，
∴点A为（），点B为（1，），
∴直线与轴所夹锐角的正切值为：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题．
**三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）应用零指数幂、负指数幂和特殊角三角函数值化简求值即可；
（2）分别求出两个不等式的解集即可得到结果；
【详解】（1）原式=．
（2）解不等式得；
解不等式得；
综上所述，不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算及不等式组的求解，计算准确是解本题的关键．
18.年月日起，公安部在全国开展"一盔一带"安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成图表如下：
年月日月日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
年月日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
（1）根据以上信息，小明认为月日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为．你是否同意他的观点？请说明理由；
（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
（3）求统计表中的值．
【答案】（1）不同意，理由见解析；（2）应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据本次调查是从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，可知数据代表比较单一，没有普遍性，据此判断即可；
（2）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，据此判断即可；
（3）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为55%，则有，据此求解即可．
【详解】解：（1）不同意。
由题目可知，本次调查是从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表月日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率；
（2）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，故应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度；
（3）由折线统计图可知，年月日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%，则骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为：1-45%=55%，
∴
∴．
【点睛】本题考查了统计表和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19.一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是\_\_\_\_\_\_（精确到），由此估出红球有\_\_\_\_\_\_个．
（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．
【答案】（1）0.33，2；（2）．
【解析】
【分析】
（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由个，由题意得：
，解得：，经检验：是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键；还考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出*n*，再从中选出符合事件*A*的结果数目*m*，然后根据概率公式求出事件*A*的概率．
20.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
【答案】75km/h
【解析】
【分析】
根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
∴走路线的平均速度为：（km/h）；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
21.如图，已知线段，点在平面直角坐标系内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）P（5,5）．
【解析】
【分析】
（1）作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；
（2）根据题意，设点P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答．
【详解】解：（1）如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；
（2）∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P（t，t），
则AP=，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）．
【点睛】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题意．
22.我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】两次观测期间龙舟前进了18米．
【解析】
【分析】
设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，
根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了18米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
23.如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
【答案】(1)AD=；(2) ，2≤*x*＜4.
【解析】
【分析】
(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.
(2)把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出*S*与*x*的函数表达式,再由条件求出范围即可.
【详解】(1)∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=*x*,
∴,即.
∴.
∴AD=.
(2).
对称轴为,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时*x*的取值为2≤*x*＜4.
【点睛】本题考查三角形动点问题和二次函数图象问题,关键在于熟练掌握基础运算方法.
24.如图，在中，点为中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为，的度数为，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合、互相垂直，证明，可得结果；
（2）连接AC，OA，OB，AB，证明M为AE中点，得MN为的中位线，结合的度数为90°，半径为8，得到AB的长度，进而得到MN长度．
【详解】（1）∵点为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴°
在和中
∴
∴
∴点N为BE中点
（2）连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点为的中点
∴
在和中
∴
∴，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为的中位线
又∵的半径为，的度数为
∴，OA=OB=8
∴
∴
【点睛】本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键．
25.如图，正方形的边长为，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）不变，；（3）当时，点落在的内部．
【解析】
【分析】
（1）由""可证；
（2）连接，过点作于，由""可证，可得，，，由直角三角形的性质可求，由锐角三角函数可求，由全等三角形的性质可求，即可求；
（3）当点落在上时，，当点落在上时，分别求出点落在上和上时的值，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，,
∴,
∴
即有：，
∵四边形是正方形，
∴
在和中
∴
（2）的值不变，
理由如下：如图1，连接，过点作于，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）当点落在上时，如图2示，
，
，
，
是等边三角形，
当点落在上时，点关于的对称点为，
△，
点与点重合，点与点重合，
，
如图3，当点落在上时，
同理可求：，
综上所述，当时，点落在的内部．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26.如图，二次函数、的图像分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为．
（1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值；
（2）设直线与轴所夹的角为．
①当，且为的顶点时，求的值；
②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变；
（3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3）点A是C~1~的顶点，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）将顶点坐标为和点P的坐标代入中即可解答；
（2）①如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，得到△MAP为等腰直角三角形，从而确定P（0，n-m），代入化简即可；
②将x=0代入，得到，再求出A，B的坐标，表达出PA，PB即可解答；
（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，得到△BDP∽△ACP，设，根据PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD=，确定点A的坐标，代入，解出x，进而得到即可．
【详解】解：（1）∵顶点坐标为，
∴，
将点P（0,2）代入得：，
解得：；
（2）①由题意可知，，
如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，则M（0，n），MA=m，
∵直线与轴所夹的角为，
∴△MAP为等腰直角三角形，
∴MA=MP=m，
∴OP=n-m，
∴P（0，n-m），代入得：，
解得：；
②如图所示，当时，
将x=0代入，得，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴AP=2m，
当时，即，
解得：，
∵点B在y轴左侧，
∴，
∴PB=，
∴，不变．
（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，
则BD∥AC，
∴△BDP∽△ACP，
设，则PD=-x，BD=，
∵PA=2PB，
∴CP=2PD=-2x，AC=2BD=，
∴，
代入得：，
化简得：，解得：，（舍去），
∴，则点A是C~1~的顶点．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，难度较大，计算量较多，解题的关键是综合运用二次函数和几何知识进行推理．
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**北师大版小学五年级上册数学第3单元《倍数与因数》单元检测1（附答案）**
1\. 填一填。
(1)在0.7、8、1、－3、97、0、中，整数有( )，自然数有( )。
(2)最小的奇数是( )，最小的质数是( )，最小的合数是( )。
(3)50以内8的倍数有( )。
(4)28的因数中，最小的是( )，最大的是( )。
(5)20以内既是合数又是奇数的数有( )；既是质数又是偶数的数有( )。
2．辨一辨。(对的在括号里打"√"，错的打"×")
(1)合数的因数至少有3个。 来源：www.bcjy123.com/tiku/ ( )
(2)在1，2，3，4，5......中，除了质数以外都是合数。 ( )
(3)12的因数一定小于12。 ( )
(4)所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。 ( )
(5)6的所有倍数都是合数。 ( )
3．选一选。(把正确答案的序号填在括号里)
(1)，b是两个不为0的整数，8＝b，b是的( )。
①质数 ②因数 ③倍数
(2)用1、4、7三个数字组成的三位数，都是( )的倍数。
①2 ②3 ③7
(3)20以内所有质数的和是( )。
①75 ②77 ③86
(4)两个质数相乘，积一定是( )。
①质数 ②合数 ③奇数
(5)个位上是0的自然数，一定( )。
①是2和5的倍数 ②不是3的倍数 ③是2和3的倍数
4．在□里填上合适的数字。
7□ 2□ 1□□ □4
质数。 合数。 2、3、5的倍数。 3的倍数。
5□ □3 9□ 1□
5的倍数， 3的倍数， 最大的两 有因数1，2，
奇数。 合数。 位数，奇数。 3，4，6，12。
5\. 把下面的数填在合适的圈里。来源：www.bcjy123.com/tiku/
45 28 1996 2007 180 30 95 43
2的倍数 3的倍数 5的倍数 2、3、5的倍数
6．做一做。 来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1)分一分：在括号里填上合适的质数。
6＝( )＋( ) 30＝( )＋( )
24＝( )＋( ) 28＝( )＋( )
(2)圈一圈：在下表中先用"○"圈出2的倍数，再用"△"圈出3的倍数。
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
既圈上"○"又圈上"△"的数都是( )的倍数。
(3)连一连。
321 237 33 110 78 221 312 27
奇数 偶数 合数 质数
7\. 小明班有40人，小方班人数在40～50，人数是6和7的倍数。你知道小方班的人数吗？
8．把24朵花平均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数可能是多少？
9．有一只小鸭子在河的两岸之间来回地游，若规定小鸭子从此岸游到彼岸叫渡河一次，请想一想：
> (1)如果小鸭子最初在右岸，来回游若干次后，它又回到右岸，那么小鸭子渡河的次数是奇数还是偶数？为什么？
>
> (2)如果小鸭子最初在右岸，来回地游，共渡河101次之后，小鸭子到了左岸还是右岸？为什么？
>
> **参考答案**
1．(1)8 1 －3 97 0；8 1 97 0
(2)1 2 4
(3)8 16 24 32 40 48
(4)1 28
(5)9、15 2
2．(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
3．(1)③ (2)② (3)② (4)② (5)①
4．71 73 79；20 21 22 24 25 26 27 28；120 150 180；24 54 84；55；33 63 93；99；12
5．2的倍数：28 1996 180 30；
3的倍数：45 2007 180 30；
5的倍数：45 180 30 95；
2、3、5的倍数：180 30。
6．(1)3＋3 11＋13或7＋17 7＋23或13＋17或11＋19 5＋23或11＋17
(2)圈数略 6 (3)略
7．42人
8．可能是2人、3人、4人、6人、8人、12人、24人。
9．(1)小鸭渡河的次数是偶数。因为游一个"来回"是渡河两次，是个偶数，游若干个"来回"又回到右岸就是若干个偶数相加，所以总的渡河次数是偶数。
(2)到左岸。因为渡河1次、3次...等奇数次以后肯定到达左岸。
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**北师大版小学四年级数学上册期中考试试卷二（附答案）**
一.填空（每空1分，共25分）
1.两千零八十亿零八百七十万写作（ ），把它改写成以"万"作单位的数是（ ），四舍五入到"亿"位是（ ）。
2.射线只有（ ）个端点，可以向（ ）端无限延长，不可以（ ）。
3.比最小的五位数小1的数是（ ）比最大的六位数大1的数是（ ）。
4.钟面上（ ）时整的时候，时针和分针成平角。
5.12个125的和是（ ）。108的12倍是（ ）。
6.在同一个平面内，两条直线的位置关系是（ ）或（ ）。
7\. （a+b）×c= a×c+ b×c是根据（ ）定律。
8.把下面各数从大到小排列：9006万 96000 9007万 9060万
（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）
9.把三角形向右平移5格后，再向下平移5格，仍是一个（ ）形。
10.（ ）个一百万是一千万；十亿里面有（ ）个亿。
11.144×25在计算时先算（ ）再算（ ）。
12.用3个5和3个0组成一个六位数：只读出一个零的六位数（ ）；读出两个零的六位数（ ）；组成最小的六位数（ ）。
二.判断(10分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.800 8000 8000读作：八十亿八百万八千。 （ ）
2.个位、十位、百位、千位、......都是数位。（ ）
3.用因数35十位上的3去乘142，得到的是426个十。（ ）
4.一个圆围绕圆心旋转180°后还在原来位置上。（ ）
5.乘法的交换律和乘法结合律可以同时应用。（ ）
三、选择题（6分）
1.在计算器上用来清除的键是（ ）
①CE ②ON ③OEF ④DATE
2.估算203×18下面哪个结果比较合理（ ）
① 6000 ② 1 ③ 89999 ④ 4000
3.如果96□300≈97万，那么□里可以填的数是 （ ）
① 1 ② 3 ③ 5 ④ 0
4.在乘法算式中一个因数扩大10倍，另一个因数扩大10倍，积（ ）①扩大10倍 ② 扩大100倍 ③扩大20倍
5.1030507中有（ ）个零可以读出来。 （ ）
① 1 ② 2 ③ 3
6.下图中共有几个角。（ ）① 4 ② 5 ③ 6
四.计算（26分）
1.直接写得数(6分)
220×20= 37万+35万= 25×40= 13万+560000=
17×3+9= 190×30= 184万-56万= 800×0=
50×50= 9×5+52= 7×180= 30×10×2=
2.用竖式计算（8分）
126×35 209×72 47×210 260×40
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3.用简便方法计算。（8分）
（8+40）×25 （125+25）×（8×4）
34×102 72×125
4.文字题（4分）
①78加上130与15的积，和是多少？
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②99与100的和乘以它们俩的差是多少？
五.操作题：(8分)
1.画出80°、105°的角。（4分）
2.过直线外一点A画直线L的平行线和垂线。（4分）
A · L
六.应用题（31分）
1.我国陆地国土面积约960万平方千米，俄罗斯的国土面积约为1710万平方千米，俄罗斯的面积比我国的多多少万平方千米？(6分)
2.某电视机厂原来每天生产116台电视机，现在每天生产的台数是原来的12倍，现在每天能生产多少台电视机？(6分)
3.中美饭店想买12张桌子和136把椅子，已知每张桌子156元，每把椅子48元，他准备8000元钱够不够?请你用所学的数学知识解答.(6分)
4.红红的座位票是第19区的42排78号,这是体育场中心最后一个看区,也是最后一排最后一个座位.如果每个看区的座位数相同,你能估算出这个体育场的座位数吗? (6分)
5.某商店运来25箱苹果和24箱梨,每箱都是50千克,运来的苹果和梨共少千克?(7分)
四年级数学期中试题答案
答案: 一填空.1. 208008700000;20800870万;2080亿。
2\. 1; 1; 测量。3. 9999；1000000。4. 6。 5.1500；1926。
6.平行或垂直。 7.乘法分配律。8.略。9.三角。10. 10; 10
11\. 144×5; 144×20; 12.①550005答案不唯一,答对即可.
②500505 ③5000055
二.判断1.( × )2. ( √ )3. (√ )4. ( √ )5. ( √ )
三.选择1. ②2.④3.③4.②5.③6. ③
四.略
五.1略2.垂线应标明垂直符号.(不标明垂直符号不得分)
六.1.1770-960=750(万平方米)答:略
2.116×12=1392(台) 答:略
3.156×12+48×136=8400(元) 8400元﹥8000元 不够
4.19×42×78≈64000(个)答:略
5.50×(25+24)=2450(千克)
50×25+50×24=2450(千克) 答:略
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）**
**数学（理科）试卷**
**第I卷（选择题 共60分）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．复数等于
A．
B．－ 
C．
D．－
2．数列{}的前n项和为S~L~，若，则等于
A． 1
B．
C．
D．
3．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的取值范围是
A．a≤1
B．a\<1
C．a≥2
D．a\>2
4．对于向量，a 、b、c和实数，下列命题中真命题是
A．若a·b=0，则a=0或b=0
B．若a=0，则=0或a=0
C．若a^2^=b^2^，则a=b或a=-b
D．若a·b=a·c，则b=c
5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x＝对称
6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
A．x^2^+y^2^-10x+9=0 
B．x^2^+y^2^-10x+16=0
C．x^2^+y^2^+10x+16=0
D．x^2^+y^2^+10x+9=0
7．已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是
A．（-1，1）
B．（0，1）
C．（-1，0）（0，1）
D．（-∞，-1）（1，+∞）
8．已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．m∥β，n∥βa∥β 
B．a∥β，m∥n
C．m⊥a,m⊥nn∥a
D．n∥m,n⊥am⊥a
9．把展开成关于x的多项式，其各项系数和为，则等于
A．
B．
C．1
D．2
10．顶点在同一球面上的正四棱柱－中，AB＝1，，则A、C两点间的球面距离为
A．
B．
C．
D．
11．已知对任意实数x有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，，，则x＜0时
A． ，
B．，
C．，
D．，
12．如图，三行三列的方阵有9个数（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是
A．
B．
C．
D．
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。**
13．已知实数x、y满足 ，则z=2x-y的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
14．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_。
15．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望=\_\_\_\_\_\_\_。
16．中学数学中存在许多关系，比如"相等关系"、"平行关系"等等，如果集合A中元素之间的一个关系"～"满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意aA，都有a～a；
（2）对称性：对于a，bA，若a～b，则有b～a；
（3）传递性：对于a，b，cA，若a～b，b～c则有a～c
则称""是集合A的一个等价关系，例如："数的相等"是等价关系，而"直线的平行"不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，，。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长。
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~的所有棱长都为2，D为CC~1~中点。
（Ⅰ）求证：AB~1~⊥面A~1~BD；
（Ⅱ）求二面角A-A~1~D-B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A~1~BD的距离。
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）^2^万件。
（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。
20．（本小题满分12分）
如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且
（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。
21．（本题满分12分）
等差数列的前项和为，，。
（I）求数列{}的通项与前项和为；
（II）设（），求证：数列{}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。
22．（本小题满分14分）
已知函数，x∈R
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k\>0，且对于任意恒成立，试求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（x）+f（-x），求证：（）
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**沈丘县2020\--2021学年度上期期末教学质量监测试卷**
**一年级数学**
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**题 号** **一** **二** **三** **四** **五** **总 分**
**得 分**
----------- -------- -------- -------- -------- -------- -----------
**一、填空题。（29分）**
**1．看图写数。（4分）**
**2．**
**上面几个数中，最大的数是（ ）；最接近10的数是（ ）；最接近20的数是（ ）；大于14又小于16的数是（ ）。（4分）**
**3．**
**一共有（ ）盆花。第1盆有1朵花，第4盆有（ ）朵花，有2朵花的是第（ ）盆，有5朵花的是第（ ）盆。（4分）**
**4．数一数，有几个？（3分）**
**（ ）个正方体** **（ ）个圆柱** **（ ）个长方体**
**5．如图，笑笑左手拿（ ）支铅笔，比右手少拿（ ）支铅笔，笑笑手上共拿（ ）支铅笔。（3分）**
**6．在□里填上合适的数。（5分）**
**□+5=15 11-□=11 □+□=10**
**7．在○里填上""""或""。（6分）**
**16-8○9 15-4○4+5 14+6○16+4**
**7+3○10 8+2○10-2 11-9○9+1**
**二、计算题。（共29分）**
**1．看谁算得又对又快。（15分）**
**6 + 8 = 14 - 6 = 5 + 15 = 7 + 7 - 3 =**
**8 - 2 = 10 + 3 = 19 - 9 = 10 - 5 + 5 =**
**0 + 9 = 12 - 8 = 11 + 9 = 18 - 8 - 2 =**
**13--5 ＜（ ）--9 11 + 4＞（ ）+4 7--（ ）＜（ ）--4**
2. **看一看，两个算式中，第(1)题+3，+4不变，第(2)题-7不变，你还能写出什么**
**算式？（6分）**
**（1）****（2）**
**□○□○□=□ □○□=□**
**3．给你14和5两个数，请你添上一个数，写出两道加法和两道减法算式。（8分）**
 
**三、找规律填一填。（共9分）**
 
**四、作图题。（共12分）**
**1.把不属于同一类的物品圈起来。（8分）**
**(1)**
**(2)**
**(3)**
**(4)**
**2．高的画"√"。 （2分） 3．最重的画√。（2分）**
 
**五、解答题。（共21分）**
**1．陈叔叔从下面的蛋糕中买了2盒。（6分）**
**他最多买了多少个蛋糕？最少呢？**
**2．**
**一共有15个小朋友，每人一个苹果，这些苹果够吗？在□里画√。（5分）**
**够□ 不够□**
**3．****（5分）**
**4．一共有12只，房子里还有几只？（5分）**
**（只）**
2020---2021学年上学期一年级数学期末测试
参考答案
一、填空题。（29分）
1．20， 12， 14， 6
2．19 11 19 15
3．7 3 3 7
4．6 3 7
5．2 1 5
6．10； 0；答案不唯一； 16；（ 1、6、10 ）； 13；（ 3、2、10 ）
7．＜； ＞； ＝； ＝； ＞； ＜
二、计算题。（共29分）
1．看谁算得又对又快。（15分）
14， 8， 20， 11； 6， 13， 10， 10； 9， 4， 20， 8
最后三个答案不唯一
2．看一看，你还能写出什么算式？（加和减的数字不变）（6分）
（1）6+3+4=13或8+3+4=15
（2）19－7＝12
3．给你14和5两个数，请你添上一个数，写出两道加法和两道减法算式。（8分）
9+5=14 5+9=14 14-5=9 14-9=5
或者14+5=19 5+14=19 19-5=14 19-14=5
三、找规律填一填。（共9分）
（1）9，5,3 （2）10,3,2,5,1,1
四、作图题。（共12分）
1.把不属于同一类的物品圈起来。（8分）
(1)圈茄子，(2)圈足球，(3)圈台灯，(4)圈气球
2．高的画"√"。 （2分）
第1个画√
3．最重的画√。（2分）
菠萝画√
五、解答题。（共21分）
1.6+9=15（个）；4+6=10（个）
2.7+7=14（个） 不够√
3．8－3＝5
4．12－5－2＝5（只）
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**2007年普通高等学招生全国统一考试（安徽卷）**
**数 学（文科）**
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中"座位号、姓名、科类"与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
**参考公式：**
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=PA．+PB． S=4лR^2^
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=PA．+PB． 球的体积公式
1+2+...+n V=
1^2^+2^2^+...+n^2^= 其中R表示球的半径
1^3^+2^3^++n^3^=
**[一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。]{.smallcaps}**
[1．若，则＝]{.smallcaps}
> [A．]{.smallcaps}
>
> [B．]{.smallcaps}
>
> [C．]{.smallcaps}
>
> [D．]{.smallcaps}
[2．椭圆的离心率为]{.smallcaps}
> [A．]{.smallcaps}
>
> [B．]{.smallcaps}
>
> [C．]{.smallcaps}
>
> [D．]{.smallcaps}
[3．等差数列的前项和为若]{.smallcaps}
[A．12]{.smallcaps}
[B．10]{.smallcaps}
[C．8]{.smallcaps}
[D．6]{.smallcaps}
4．下列函数中,反函数是其自身的函数为
A．
B．
C．
D．
5．若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为
A．-2或2
B．
C．2或0
D．-2或0
6．设均为直线，其中在平面的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．图中的图象所表示的函数的解析式为
A． （0≤x≤2）
B．（0≤x≤2）
C．（0≤x≤2）
D． （0≤x≤2）
8．设a＞1，且，则的大小关系为
A． n＞m＞p
B． m＞p＞n
C． m＞n＞p
D． p＞m＞n
9．如果点P在平面区域上，点O在曲线
最小值为
A．
B．
C．
D．
10．把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为
A．
B．
C．
D．
11．R上的函数f （x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期。若将方程f （x）=0在闭区间\[-T，T\]上的根的个数记为n，则n可能为
A．0
B．1
C．3
D．5
**二、填空题：本大共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。**
12．，
则（ 的值等于 [ ]{.underline} 。
13．在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= [ ]{.underline} （用a，b，c表示）
14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 [ ]{.underline} 。
15．函数的图象为*C*，如下结论中正确的是 [ ]{.underline} （写出所有正确结论的编号）。
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数）内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C。
**三、解答题：本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
**（16）（本小题满分10分）**
解不等式＞0。
17．（本小题满分4分）
如图，在六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面ABCD，
（Ⅰ）求证：与AC共面，B~1~D~1~与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面
（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）。
18．（本小题满分4分）
设F是抛物线G：x^2^=4y的焦点。
（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：
（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足，延长AF、BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值。
19．（本小题满分3分）
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象。一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。
（Ⅰ）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
（Ⅱ）求笼内至少剩下5只果蝇的概率。
20．（本小题满分4分）
设函数f（x）=-cos^2^x-4tsincos+4t^2^+t^2^-3t+4，x∈R，
其中≤1，将f（x）的最小值记为g（t）。
（Ⅰ）求g（t）的表达式；
（Ⅱ）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值。
21．（本小题满分4分）
某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a~1~，以后第年交纳的数目均比上一年增加d（d\>0），因此，历年所交纳的储备金数目a~1~，a~2~，...是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r（r\>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a~1~（1+r）^n-1^，第二年所交纳的储备金就变为a~2~（1+r）^n-2^，......，以T~n~表示到第n年末所累计的储备金总额。
（Ⅰ）写出T~n~与T~n-1~（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T~n~=A~n~+B~n~，其中是一个等比数列，是一个等差数列。
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**2019贵州省遵义市中考数学试卷**
**一、选择题（本题共12小题、每小题4分，共48分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）**
1．（4分）（2018•遵义）遵义市2019年6月1日的最高气温是，最低气温是，遵义市这一天的最高气温比最低气温高
A． B． C． D．
2．（4分）（2018•遵义）如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是
A． B． C． D．
3．（4分）（2018•遵义）今年5月26日月29日，2019中国国际大数据产业博览会在贵阳举行，贵州省共签约项目125个，金额约1008亿元．1008亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）（2018•遵义）如图，，，则的度数是
A． B． C． D．
5．（4分）（2018•遵义）下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）（2018•遵义）为参加全市中学生足球赛．某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建校足球队，这22名运动员的年龄（岁如下表所示，该足球队队员的平均年龄
是
------------ ---- ---- ---- ----
年龄（岁 12 13 14 15
人数 7 10 3 2
------------ ---- ---- ---- ----
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
7．（4分）（2018•遵义）圆锥的底面半径是，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是
A． B． C． D．
8．（4分）（2018•遵义）一元二次方程的两个根为，，则的值是
A．10 B．9 C．8 D．7
9．（4分）（2018•遵义）如图所示，直线与直线交于点，不等式的解集是
A． B． C． D．
10．（4分）（2018•遵义）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形的中点四边形是正方形，对角线与的关系，下列说法正确的是
A．，相等且互相平分 B．，垂直且互相平分
C．，相等且互相垂直 D．，垂直且平分对角
11．（4分）（2018•遵义）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为，可列方程为
A． B．
C． D．
12．（4分）（2018•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．6
**二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上.）**
13．（4分）（2018•遵义）计算的结果是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2018•遵义）小明用中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是[ ]{.underline}．
15．（4分）（2018•遵义）如图，平行四边形纸片的边，的长分别是和，将其四个角向内对折后，点与点重合于点，点与点重合于点．四条折痕围成一个"信封四边形" ，其顶点分别在平行四边形的四条边上，则[ ]{.underline}．
16．（4分）（2018•遵义）如图，已知的半径为1，，是的两条弦，且，延长交于点，连接，，若，则[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题共8小题，共86分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相应位置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤**
17．（6分）（2018•遵义）计算：
18．（8分）（2018•遵义）化简式子，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
19．（10分）（2018•遵义）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚到山腰沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从到修建电动扶梯，经测量，山高米，步行道米，，在处测得山顶的仰角为．求电动扶梯的长（结果保留根号）．
20．（12分）（2018•遵义）电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届"掌握新技术，走进数时代"信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）
"掌握新技术，走进数时代"信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
------ ---------- ------
组别 成绩（分 人数
10
16
4
------ ---------- ------
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中[ ]{.underline}；统计图中[ ]{.underline}，组的圆心角是[ ]{.underline}度．
（2）组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从组随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的概率．
21．（12分）（2018•遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量45人，型客车每辆载客量30人．若租用4辆型客车和3辆型客车共需费用10700元；若租用3辆型客车和4辆型客车共需费用10300元．
（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
22．（12分）（2018•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点旋转，连接，．探究与的比是否为定值．
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有角的直角三角板时，是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②
（3）两块三角板中，，，，，，，，为常数），是否为定值？如果是，用含，，，的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③
23．（12分）（2018•遵义）如图，是的直径，弦与交于点，且，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求弦的长；
（3）在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线．
24．（14分）（2018•遵义）如图，抛物线与抛物线开口大小相同、方向相反，它们相交于，两点，且分别与轴的正半轴交于点，点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）是直线上方抛物线上的一个动点，连接，，运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．
**2019贵州省遵义市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题共12小题、每小题4分，共48分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）**
1．（4分）遵义市2019年6月1日的最高气温是，最低气温是，遵义市这一天的最高气温比最低气温高
A． B． C． D．
【考点】有理数的减法
【分析】所求的数值就是最高气温与最低气温的差，利用有理数的减法法则即可求解．
【解答】解：．
故选：．
2．（4分）如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：3，1，1．
故选：．
3．（4分）今年5月26日月29日，2019中国国际大数据产业博览会在贵阳举行，贵州省共签约项目125个，金额约1008亿元．1008亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：1008亿，
故选：．
4．（4分）如图，，，则的度数是
A． B． C． D．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
5．（4分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】完全平方公式；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：
选项，完全平方公式，，错误；
选基，积的乘方，，错误；
选项，同底数幂相乘，，错误；
选项，同底数幂相除，，正确．
故选：．
6．（4分）为参加全市中学生足球赛．某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建校足球队，这22名运动员的年龄（岁如下表所示，该足球队队员的平均年龄是
------------ ---- ---- ---- ----
年龄（岁 12 13 14 15
人数 7 10 3 2
------------ ---- ---- ---- ----
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
【考点】加权平均数
【分析】直接利用加权平均数的定义计算可得．
【解答】解：该足球队队员的平均年龄是（岁，
故选：．
7．（4分）圆锥的底面半径是，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是
A． B． C． D．
【考点】圆锥的计算
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得．
即圆锥的母线长为，
圆锥的高为：．
故选：．
8．（4分）一元二次方程的两个根为，，则的值是
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】根与系数的关系
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到，则，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：为一元二次方程的根，
，
，
，
根据题意得，，
．
故选：．
9．（4分）如图所示，直线与直线交于点，不等式的解集是
A． B． C． D．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】利用函数图象写出直线与在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当时，，
所以不等式的解集是．
故选：．
10．（4分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形的中点四边形是正方形，对角线与的关系，下列说法正确的是
A．，相等且互相平分 B．，垂直且互相平分
C．，相等且互相垂直 D．，垂直且平分对角
【考点】线段垂直平分线的性质；中点四边形；正方形的性质
【分析】利用中点四边形的判定方法得到答案即可．
【解答】解：顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到的是菱形，
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点得到的是矩形，
顺次连接对角线相等且垂直的四边形的四边中点得到的四边形是正方形，
故选：．
11．（4分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为，可列方程为
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设投入的年平均增长率为，由题意得等量关系：2016年销量增长率）年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设年平均增长率为，可列方程为：
，
故选：．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】菱形的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】过点作轴的垂线，交的延长线于点，根据，两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得，的长，根据菱形的面积为，求得的长，在中，即可得出的值．
【解答】解：过点作轴的垂线，交的延长线于点，
，两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为4，2，
，，，，
，，
菱形的面积为，
，即，
，
在中，
，
．
故选：．
**二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上.）**
13．（4分）计算的结果是[ ]{.underline}．
【考点】二次根式的加减法
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
14．（4分）小明用中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是[ ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】最后一个数字可能是中任一个．总共有十种情况，其中开锁只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：随意拨动最后一位号码正好开锁的概率是：．
故答案为：．
15．（4分）如图，平行四边形纸片的边，的长分别是和，将其四个角向内对折后，点与点重合于点，点与点重合于点．四条折痕围成一个"信封四边形" ，其顶点分别在平行四边形的四条边上，则[ 10 ]{.underline}．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质
【分析】先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形是矩形，再证明，可得，可知，即可得结论．
【解答】解：如图中，
由翻折可知：，，
，
同法可证：，
四边形是矩形．
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
由翻折得：，，
，
，
，
，
故答案为：10．
16．（4分）如图，已知的半径为1，，是的两条弦，且，延长交于点，连接，，若，则[ ]{.underline}．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【分析】可证，推出，，，，即可证明；依据对应边成比例，设，表示出、，根据，列方程求解即可．
【解答】解：在和中，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
，，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
因此，
故答案为：．
**三、解答题（本题共8小题，共86分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相应位置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤**
17．（6分）计算：
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
18．（8分）化简式子，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
19．（10分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚到山腰沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从到修建电动扶梯，经测量，山高米，步行道米，，在处测得山顶的仰角为．求电动扶梯的长（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】作于，根据矩形的性质得到，，根据直角三角形的性质求出，得到的长，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：作于，
则四边形为矩形，
，，
在中，，
，
，
，
在中，，
（米，
答：电动扶梯的长为米．
20．（12分）电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届"掌握新技术，走进数时代"信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）
"掌握新技术，走进数时代"信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
------ ---------- ------
组别 成绩（分 人数
10
16
4
------ ---------- ------
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中[ 20 ]{.underline}；统计图中[ ]{.underline}，组的圆心角是[ ]{.underline}度．
（2）组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从组随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的概率．
【考点】频数（率分布表；列表法与树状图法；扇形统计图
【分析】（1）先根据组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出组人数的值，用乘以组人数所占比例可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被调查的总人数为，
则，
，即，
组的圆心角是，
故答案为：20、32、28.8；
（2）①设男同学标记为、；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
--- -- -- --- ---
1 2
1
2
--- -- -- --- ---
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有8种，
恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率为；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的有10种结果，
至少1名女生被抽取参加体验活动的概率为．
21．（12分）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量45人，型客车每辆载客量30人．若租用4辆型客车和3辆型客车共需费用10700元；若租用3辆型客车和4辆型客车共需费用10300元．
（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得租用，两型客车，每辆的费用；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到有哪几种租车方案和最省钱的方案．
【解答】解：（1）设租用，两型客车，每辆费用分别是元、元，
，
解得，，
答：租用，两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用型客车辆，租用型客车辆，
，
解得，，，，
共有三种租车方案，
方案一：租用型客车2辆，型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用型客车4辆，型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用型客车5辆，型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用型客车4辆，型客车2辆最省钱．
22．（12分）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点旋转，连接，．探究与的比是否为定值．
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有角的直角三角板时，是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②
（3）两块三角板中，，，，，，，，为常数），是否为定值？如果是，用含，，，的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③
【考点】几何变换综合题
【分析】（1）结论：定值．如图1中，作于，交的延长线于．首先证明，利用三角形的面积公式计算即可．
（2）结论：定值．如图1中，作于，交的延长线于．首先证明，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）结论：定值．如图1中，作于，交的延长线于．首先证明，利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）结论：定值．
理由：如图1中，作于，交的延长线于．
，
，，
，
，
．
（2）如图2中，定值．
理由：如图1中，作于，交的延长线于．
不妨设，则，，
，
，，
，
．
（3）如图3中，如图2中，定值．
理由：如图1中，作于，交的延长线于．
，
，，
，
，，，
．
23．（12分）如图，是的直径，弦与交于点，且，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求弦的长；
（3）在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）可证，则由定理可证明结论；
（2）可证，则，由直角三角形的性质可求出的长；
（3）可得出，，连接，可证出，则结论得证．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
是的切线．
24．（14分）如图，抛物线与抛物线开口大小相同、方向相反，它们相交于，两点，且分别与轴的正半轴交于点，点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）是直线上方抛物线上的一个动点，连接，，运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）、开口大小相同、方向相反，则，将点的坐标代入的表达式，即可求解；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接交函数的对称轴与点，此时的值最小，即可求解；
（3），即可求解．
【解答】解：（1）令：，则或2，即点，
、开口大小相同、方向相反，则，
则点，将点的坐标代入的表达式得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）联立、表达式并解得：或3，
故点，
作点关于对称轴的对称点，
连接交函数的对称轴与点，
此时的值最小为：线段的长度；
（3）直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
则，
，故，
最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/23 15:35:28；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**小学数学小升初列方程解应用题轻松闯关**
1．甲船载油595吨，乙船载油225吨，要使甲船的载油量为乙船的4倍，必须从乙船抽多少吨油给甲船？
2．甲、乙两人骑自行车同时从西镇出发去东镇，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。甲行30分钟后，因事用原速返回西镇，在西镇耽搁了半小时，又以原速去东镇，结果比乙晚到30分钟，试求两镇间的距离。
3．哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥、弟弟现在多少岁？
4．两筐苹果，每筐的个数相等，从甲筐卖出150个，从乙筐卖出194个后，剩下的苹果甲筐是乙筐的3倍，原来每筐有多少个？
5．**高中学生的人数是初中学生人数的5/6，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的12/17。高、初中的毕业生离校后，高、初中留下的人数都是520。那么，高、初毕业生共有多少人？**
6．某商店原来将一批苹果按100%的利润（即利润是成本的100%）定价出售，由于定价过高，无人购买，后来不得不按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%。此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%。那么，第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？
7．**学校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有一同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的** **加上现在到关校门时间的****，就是现在的时间。那么现在的时间是下午几点？**
8．甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米。一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米。求这艘船一共航行多少小时？
9．某校100名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，有1人三项都没有参加，问三项都参加的有多少人？
**参考答案**
1．61吨
【解析】先找相等的关系。乙船抽出一部分油给甲船后，使甲船的油等于乙船的油的4倍，即：
甲船的油+乙船抽出的油=（乙船的油-乙船抽出的油）×4，我们可以设乙船抽出的油为x吨，利用等量关系列出方程求解。
解：设从乙船抽出x吨油，则
595＋x=（225－x）×4
595＋x=900－4x
4x＋x=900－595
5x=305
x=61
答：必须从乙船抽出61吨油给甲船。
总结：这类题目的难度为易，告诉你其中一个条件，就是谁如何，而其他的是它的多少倍（在多多少或少多少），那么，直接设问题问的问题，来得出等式，求出答案。
2．30千米
【解析】由甲从西镇出发，行了30分钟，因有事用原速返回西镇，这样又得需要30分钟，到西镇后又耽搁了半小时，甲前后共耽误了0.5×3=1.5小时，但在甲耽误的时间里，乙没有停留，因此可以看作乙比甲从西镇提前1．5小时出发，然后甲追乙，结果比乙晚30分钟到达东镇，如果设甲第二次从西镇出发到东镇所用时间为x小时，我们可以得出东西两镇的距离为：
甲时速×x=乙在甲前的路程＋乙时速×（x－0.5），根据这样的等量关系，可以列出方程求解。
解：设甲第二次从西镇出发到东镇所用的时间为x小时，则
15x=10×（0.5×3）＋10（x－0.5）
15x=15＋10x－5
15x－10x=15－5
5x=10
x=2
代入15x=15×2=30
答：东西两镇的距离是30千米。
总结：像这类应用题，老生常谈的路程问题，在小学五年级的智力闯关资料中，用代数方法，解析了路程问题。其实这就是行程问题中经常遇到的相遇问题。两者同时从两地相向而行，这就是相遇问题。当然，大家也一定知道了，相遇的时间该如何表示了。
3．哥哥现在的年龄是18岁，弟弟现在的年龄是12岁。
【解析】解答有关年龄方面的问题时，注意两人的年龄差经过多少年都不会变，因此可以根据这个差不变找等量关系．如果假设哥哥现在的年龄为x岁，由于哥哥与弟弟现在的年龄和是30岁，所以弟弟现在的年龄为30-x岁，又因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，所以哥哥当年的年龄为30-x岁，又由于哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，所以弟弟当年的年龄为X/3岁，列表如下：
他们的年龄差不变。
设哥哥现在的年龄为x，则
X－（30－x）=30－x－
X－30＋x=30－x－
2x－30=30－x－
方程两边同乘以3，得
6x-90=90-3x-x
6x＋4x=90＋90
10x=180
x=18
代入30-x=30-18=12
答：哥哥现在的年龄是18岁，弟弟现在的年龄是12岁．
思考：如果设弟弟现在的年龄为x岁，如何列方程呢？
总结：这类的实际问题，做出试题答案后，要注意放到实际中检验，可遵循，一下方法来解答。
（1）"设"：用字母（例如x）表示问题的未知量；
（2）"找"：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的等量关系；
（3）"列"：用字母的代数式表示相关的量，根据等量关系列出方程。
（4）"解"：解方程；
（5）"验"：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；
（6）"答"：答出题目中所问的问题。
4．216个
【解析】设：原来每筐x个。
甲筐剩下的=乙筐剩下的3倍
x一150=(x一194)×3
x一150=3x一582
2x=432
x=216
答：原来甲筐有苹果216个。
总结：这些问题，可以转变看做实际应用问题，初学应用题时，往往见到"多"字就用加法计算，这是造成错解一的主要原因；再就是认为应用题总是"前面的数量加上后面的数量"，或者是"前面的数量减去后面的数量"，这是造成错解二的主要原因。要防止这种错误的产生，从乙开始学习应用题，就要注意培养分析题中已知条件和要求问题的习惯，确定解法后要进行检验，想一想这样计算对不对。
5．1160人
【解析】要想求出高、初中毕业生共有的人数，可以先分别求出高中毕业生与初中毕业生各是多少。已知条件中高中毕业生是初中毕业生人数的12/17，又知高、初中毕业生离校后都留下520人，如果设初中毕业生为x人，则原初中生有（x+520）人，高中毕业生为x人，原高中生有（x＋520）人。根据高中学生人数是初中学生人数的找出等量关系。
解：设初中毕业生有x人，依题意，有
x＋520=（x＋520）
x=
x=680
高中毕业生共有x =×680=480(人)
高、初中毕业生共有：680+480=1160(人)。
总结：调配问题是应用题中的一种类型，初步学会列方程解调配问题各类型的应用题；各部分量之和等于总量是解决这类应用题的基关键所在。
6．62.5%
【解析】根据"实际获得的总利润是原定利润的30.2%"列方程。
解：设成本为单位1。原定价是按100%的利润定价的，则原定价是200%。
第一次降价是按38%的利润定价的，则第一次降价后的定价是138%。
设第二次降价是按x%的利润定价的，则第二次降价后的定价是x%+1。
根据题意列方程：38%×40%+x%×（1－40%）=30.2%×1
解得x%=25%。
则第二次降价后的定价是25%＋1=125%。125%÷200%=62.5%。
所以第二次降价后的价格是原价格的62.5%。
总结：在一些数学问题中要清楚商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得 40％的利润.因此
利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100%。
卖价=成本×（1＋利润的百分数）。
成本=卖价÷（1＋利润的百分数）。
商品的定价按照期望的利润来确定。
定价=成本×（1＋期望利润的百分数）
定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣、减价25％，就是按定价的（1-25％）＝ 75％出售，通常就称为75折，因此卖价=定价×折扣的百分数。
**7．**4点
【解析】根据"**从开校门到现在时间的加上现在到关校门时间的，就是现在的时间"列方程。**
解：设现在的时间是下午x点。由从早上6：00到现在的时间是12-6+x=6+x小时，从现在到晚上6：40的时间是-x小时。
根据题意得方程：
＋=x
解得：x=4
答：现在的时间是下午4点。
总结：两车没有相遇，从表面上看虽然不是相遇问题，但是两车所有的时间是相同的，因此可以当做相遇问题来解答。要注意表面现象是相遇，实质上有追及的特点。因此可以按照追及问题来解答。在做题过程中要抓住题目的本质，究竟考虑速度和，还是考虑速度差，要针对题目中的条件认真思考。千万不要"两人面对面"就是"相遇"，"两人一前一后"就是"追及"。
8．13小时
【解析】分此题应该将甲河、乙河以及船航行的情况画在图上，帮助我们理解题意。
船在两条河流中航行，速度、时间、路程都不相等，但是船在静水中的速度（即船本身的速度）是相等的。
解：设这艘船在甲河中航行了小时，则船在乙河中的逆水速度为千米/时，船在甲河的顺水速度为（＋2＋3）千米/时，根据题意得（+2+3）x=133，解得x=7，x+6=13（小时）
答：这艘船一共航行了13小时。
9．6人
【解析】此题的数量较多，关系也比较复杂，我们可以借助表示集合的韦恩图来表示它们。
设三项都参加的有人，则既参加语文又参加数学，但不参加外语的有14-X人，其他数据见下图，根据题意，得
39+\[41-13-(9-X)\]+\[49-14-(13-x)\]+(13-x)+1=100
解得x=6
答：三项都参加的有6人。
总结：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
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> **《东南西北》同步练习**
1. 填一填
> 1.早上你面对太阳，前面是（ ），后面是（ ），左边是（ ），右边是（ ）。
>
> 2.教室里小红坐在小华的北面，小华应该坐在小红的（ ）面。
>
> 3.东东上学时向西方走，放学时应向（ ）方走。
>
> 二、观察中国地图，以陕西为参照，
>
> 
>
> 河南、江苏大致在陕西的（ ）方向，\
> 内蒙、甘肃大致在陕西的（ ）方向，\
> 青海、西藏大致在陕西的（ ）方向，\
> 广西、重庆大致在陕西的（ ）方向．
>
> 三、想一想，你会填吗？
>
> （1）当你面对东面时，后面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。
>
> （2）当你面对南面时，后面是（ ），右面是（ ），左面是（ ）。
>
> （3）当你面对西面时，后面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。
>
> （4）当你面对北面是，后面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。\[来源:Z§xx§k.Com\]
>
> 四、填空
>
> （1）黄昏时，当你背对太阳时，你的前面是 （ ）东左面是 （ ）。
>
> 北
>
> （2）当你面向东面时，你的后面是 （ ）。
>
> 西
>
> （3）旗杆的影子在西面，那么阳光是从 （ ）东面射来的．\
> （4）丽丽面向东北站立，她的前面是 ( )东北方向，后面是 ( )西南方向．
五、傍晚，小明面向夕阳，他的前面是 （ ）后面是（ ）左面是（ ）右面是（ ）。
> 六、小朋友站队做操，丽丽站在小兰的东面，小兰站在丽丽的（ ） 面．
>
> 七、
>
> \[来源:学科网\]
>
> \[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
>
> 八、
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> \[来源:Z§xx§k.Com\]
>
> **参考答案：**
1. 填一填
> 1\. （东） （西） （北） （南）
>
> 2\. （南）
>
> 3\. （东）
>
> 二、河南、江苏大致在陕西的（东 ）方向，\
> 内蒙、甘肃大致在陕西的（北 ）方向，\
> 青海、西藏大致在陕西的（西 ）方向，\
> 广西、重庆大致在陕西的（南 ）方向．
>
> 三、想一想，你会填吗？
>
> （1）当你面对东面时，后面是（西），左面是（北），右面是（南）。
>
> （2）当你面对南面时，后面是（北），右面是（西），左面是（东）。
>
> （3）当你面对西面时，后面是（东），左面是（南），右面是（北）。
>
> （4）当你面对北面是，后面是（南），左面是（西），右面是（东）。
>
> 四、填空
>
> （1）黄昏时，当你背对太阳时，你的前面是 （东）东左面是 （北）。
>
> 北
>
> （2）当你面向东面时，你的后面是 （西）。
>
> 西
>
> （3）旗杆的影子在西面，那么阳光是从 （东）东面射来的．\
> （4）丽丽面向东北站立，她的前面是 (东北)东北方向，后面是 (西南)西南方向．
>
> 五、傍晚，小明面向夕阳，他的前面是 （ 西 ）后面是（ 东 ）左面是（ 南 ）右面是（ 北 ）。
>
> 六、小朋友站队做操，丽丽站在小兰的东面，小兰站在丽丽的（ 西 ） 面．
>
> 七、（1）红心街的东面有（超市）、（邮局）。
（2）医院在长安街的（南）面。
（3）商场在电影院的（西）面，超市在电影 院的（东）面。
（4）电影院在花店的（北）面，医院在花店 的（ 南）面。
（5）平府路的（西面）有广场。
> 八、红红的妈妈在银行工作，今天她下班后，先向（南）走到鞋店帮红红买了一双运动鞋，再向（东）走到学校接红红，再向（北）走到书店帮红红买了一本童话书，然后向（东）走到花店买了一束花，最后向（南）走回到家。
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**2016年天津市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y\|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（ ）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）设{a~n~}是首项为正数的等比数列，公比为q，则"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．\[，\] C．\[，\]∪{} D．\[，）∪{}
**二、填空题**
9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为[ ]{.underline}．
10．（5分）（x^2^﹣）^8^的展开式中x^7^的系数为[ ]{.underline}（用数字作答）
11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
[ ]{.underline}m^3^
12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[ ]{.underline}．
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣），则a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若\|CF\|=2\|AF\|，且△ACE的面积为3，则p的值为[ ]{.underline}．
**三、计算题**
15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间\[﹣，\]上的单调性．
16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A为事件"选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；
（ II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
18．（13分）已知{a~n~}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N^+^，b~n~是a~n~和a~n+1~的等比中项．
（1）设c~n~=b~n+1~^2^﹣b~n~^2^，n∈N^+^，求证：数列{c~n~}是等差数列；
（2）设a~1~=d，T~n~=（﹣1）^k^b~k~^2^，n∈N^\*^，求证：＜．
19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于．
**2016年天津市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y\|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（ ）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l~0~：2x+5y=0，平移直线l~0~，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
【解答】解：作出不等式组表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l~0~：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l~0~，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．
3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB^2^=BC^2^+AC^2^﹣2AC•BCcosC，
可得：13=9+AC^2^+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．
【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3不满足条件，
第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
5．（5分）设{a~n~}是首项为正数的等比数列，公比为q，则"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．
【解答】解：{a~n~}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"不一定成立，
例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，...，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；
而"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"，前提是"q＜0"，
则"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"的必要而不充分条件，
故选：C．
【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x^2^+y^2^=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x^2^+y^2^=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1
将A（1，）代入x^2^+y^2^=4，可得1+=4，∴b^2^=12，
∴双曲线的方程为﹣=1，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，
∴•==
==
===
=．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．\[，\] C．\[，\]∪{} D．\[，）∪{}
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．
【解答】解：y=loga（x+1）+1在\[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在\[0，+∞）上，\|f（x）\|=2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，\|f（x）\|=2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞时，联立\|x^2^+（4a﹣3）x+3a\|=2﹣x，
则△=（4a﹣2）^2^﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为\[，\]∪{}，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．
**二、填空题**
9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为[ 2 ]{.underline}．
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，
∴，
解得：，
∴=2，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
10．（5分）（x^2^﹣）^8^的展开式中x^7^的系数为[ ﹣56 ]{.underline}（用数字作答）
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：T~r+1~==x^16﹣3r^，
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x^2^﹣）^8^的展开式中x^7^的系数为=﹣56．
故答案为：﹣56．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
[ 2 ]{.underline}m^3^
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m^2^，
棱锥的高h=3m，
故体积V==2m^3^，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH^2^=AH•BH=2，则DH=，
在Rt△DHE中，则，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣），则a的取值范围是[ （]{.underline}[，]{.underline}[） ]{.underline}．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间\[0，+∞）上单调递减，
则f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣），等价为f（2^\|a﹣1\|^）＞f（），
即﹣＜2^\|a﹣1\|^＜，
则\|a﹣1\|＜，即＜a＜，
故答案为：（，）
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若\|CF\|=2\|AF\|，且△ACE的面积为3，则p的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．
【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y^2^=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．\|CF\|=2\|AF\|，
\|CF\|=3p，\|AB\|=\|AF\|=p，A（p，），
△ACE的面积为3，，
可得=S~△ACE~．
即：=3，
解得p=．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
**三、计算题**
15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间\[﹣，\]上的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x\|x≠kπ+，k∈Z}，
则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣
=4sinx（cosx+sinx）﹣
=2sinxcosx+2sin^2^x﹣
=sin2x+（1﹣cos2x）﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣），
则函数的周期T=；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为\[kπ﹣，kπ+\]，k∈Z，
当k=0时，增区间为\[﹣，\]，k∈Z，
∵x∈\[﹣，\]，∴此时x∈\[﹣，\]，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为\[kπ+，kπ+\]，k∈Z，
当k=﹣1时，减区间为\[﹣，﹣\]，k∈Z，
∵x∈\[﹣，\]，∴此时x∈\[﹣，﹣\]，
即在区间\[﹣，\]上，函数的减区间为∈\[﹣，﹣\]，增区间为\[﹣，\]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A为事件"选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；
（ II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（ I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；
（Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值，
计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（ I）由已知得：，
所以，事件A发生的概率为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
计算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以，随机变量X的分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 1 2
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
随机变量X的数学期望为
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．
17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；
（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I是中点，
∴GI∥BD，GI=BD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OB=BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四边形EFIG是平行四边形，
∴EG∥FI，
∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），
F（0，0，2），
设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），
∵\|cos＜，＞\|=
∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；
（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．
设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．
∴a=﹣，b=0，c=，
∴=（﹣，，），
∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=\|cos＜，＞\|==．
【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（13分）已知{a~n~}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N^+^，b~n~是a~n~和a~n+1~的等比中项．
（1）设c~n~=b~n+1~^2^﹣b~n~^2^，n∈N^+^，求证：数列{c~n~}是等差数列；
（2）设a~1~=d，T~n~=（﹣1）^k^b~k~^2^，n∈N^\*^，求证：＜．
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c~n~}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．
（2）求出T~n~=（﹣1）^k^b~k~^2^的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．
【解答】证明：（1）∵{a~n~}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N^+^，b~n~是a~n~和a~n+1~的等比中项．
∴c~n~=b﹣b=a~n+1~a~n+2~﹣a~n~a~n+1~=2da~n+1~，
∴c~n+1~﹣c~n~=2d（a~n+2~﹣a~n+1~）=2d^2^为定值；
∴数列{c~n~}是等差数列；
（2）T~n~=（﹣1）^k^b~k~^2^=（﹣b~1~^2^+b~2~^2^）+（﹣b~3~^2^+b~4~^2^）+...+（﹣b~2n﹣1~^2^+b~2n~^2^）=2d（a~2~+a~4~+...+a~2n~）=2d
=2d^2^n（n+1），
∴==（1﹣...+﹣）=（1﹣）．
即不等式成立．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
【分析】（1）由题意画出图形，把\|OF\|、\|OA\|、\|FA\|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x~0~≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．
【解答】解：（1）由+=，得，
即，
∴a\[a^2^﹣（a^2^﹣3）\]=3a（a^2^﹣3），解得a=2．
∴椭圆方程为；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x~1~，y~1~），M（x~0~，k（x~0~﹣2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x~0~≥1，
再设H（0，y~H~），
联立，得（3+4k^2^）x^2^﹣16k^2^x+16k^2^﹣12=0．
△=（﹣16k^2^）^2^﹣4（3+4k^2^）（16k^2^﹣12）=144＞0．
由根与系数的关系得，
∴，，
MH所在直线方程为，
令x=0，得，
∵BF⊥HF，
∴，
即1﹣x~1~+y~1~y~H~=，
整理得：，即8k^2^≥3．
∴或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了"整体运算"思想方法和"设而不求"的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于．
【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）f′（x~0~）=0，可得3（x~0~﹣1）^2^=a，分别计算f（x~0~），f（3﹣2x~0~），化简整理即可得证；
（3）要证g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于，即证在\[0，2\]上存在x~1~，x~2~，使得f（x1）﹣f（x~2~）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）^3^﹣ax﹣b的导数为
f′（x）=3（x﹣1）^2^﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，
当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，
可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；
（2）证明：f′（x~0~）=0，可得3（x~0~﹣1）^2^=a，
由f（x~0~）=（x~0~﹣1）^3^﹣3x~0~（x~0~﹣1）^2^﹣b=（x~0~﹣1）^2^（﹣2x~0~﹣1）﹣b，
f（3﹣2x~0~）=（2﹣2x~0~）^3^﹣3（3﹣2x~0~）（x~0~﹣1）^2^﹣b
=（x~0~﹣1）^2^（8﹣8x~0~﹣9+6x~0~）﹣b=（x~0~﹣1）^2^（﹣2x~0~﹣1）﹣b，
即为f（3﹣2x~0~）=f（x~0~）=f（x~1~），
即有3﹣2x~0~=x~1~，即为x~1~+2x~0~=3；
（3）证明：要证g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于，
只需证在\[0，2\]上存在x~1~，x~2~，使得f（x~1~）﹣f（x~2~）≥．
当a≥3时，f（x）在\[0，2\]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；
当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）^3^﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b
=﹣a﹣b，
f（1+）=（）^3^﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b
=﹣﹣a﹣b，
f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（2）﹣f（0）=2﹣2a，
若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；
若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．
综上可得，g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．
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**2015年福建省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）**
1．（5分）若集合A={i，i^2^，i^3^，i^4^}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（ ）
A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅
2．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．y= B．y=\|sinx\| C．y=cosx D．y=e^x^﹣e^﹣x^
3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点P在双曲线E上，且\|PF~1~\|=3，则\|PF~2~\|等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
--------------- ----- ----- ------ ------ ------
收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
--------------- ----- ----- ------ ------ ------
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"是"l∥α"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）若a，b是函数f（x）=x^2^﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.**
11．（4分）（x+2）^5^的展开式中，x^2^的系数等于[ ]{.underline}．（用数字作答）
12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于[ ]{.underline}．
13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x^2^，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于[ ]{.underline}．
14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是\[4，+∞），则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x~k~（k=1，2，...，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x~1~x~2~...x~7~的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于[ ]{.underline}．
**三、解答题**
16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在\[0，2π）内有两个不同的解α，β
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．
20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x~0~＞0，使得对任意x∈（0，x~0~），恒有f（x）＞g（x）；
（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x^2^．
**四、选修4-2：矩阵与变换**
21．（7分）已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A^﹣1^；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
**五、选修4-4：坐标系与参数方程**
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）
（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
**六、选修4-5：不等式选讲**
23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣b\|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a^2^+b^2^+c^2^的最小值．
**2015年福建省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）**
1．（5分）若集合A={i，i^2^，i^3^，i^4^}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（ ）
A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅
【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A={i，i^2^，i^3^，i^4^}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，
∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
2．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．y= B．y=\|sinx\| C．y=cosx D．y=e^x^﹣e^﹣x^
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．函数的定义域为\[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．
B．f（﹣x）=\|sin（﹣x）\|=\|sinx\|=f（x），则f（x）为偶函数．
C．y=cosx为偶函数．
D．f（﹣x）=e^﹣x^﹣e^x^=﹣（e^x^﹣e^﹣x^）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点P在双曲线E上，且\|PF~1~\|=3，则\|PF~2~\|等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．
∵\|PF~1~\|=3，∴P在双曲线的左支上，
∴由双曲线的定义可得\|PF~2~\|﹣\|PF~1~\|=6，
∴\|PF~2~\|=9．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
--------------- ----- ----- ------ ------ ------
收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
--------------- ----- ----- ------ ------ ------
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．
【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得A（﹣1，）．
∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，S=0
S=cos，i=2
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"是"l∥α"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．
【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"可能"l∥α"也可能l⊂α，反之，"l∥α"一定有"l⊥m"，
所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"是"l∥α"的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．
8．（5分）若a，b是函数f（x）=x^2^﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4•+t），由基本不等式可得．
【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（，0），C（0，t），
∵，∴P（1，4），
∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），
∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），
由基本不等式可得+4t≥2=4，
∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，
当且仅当4t=即t=时取等号，
∴的最大值为13，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．
10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．
【解答】解；∵f′（0）=
f′（x）＞k＞1，
∴＞k＞1，
即＞k＞1，
当x=时，f（）+1＞×k=，
即f（）﹣1=
故f（）＞，
所以f（）＜，一定出错，
另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1，
g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0，
g（x）在R上递增，
k＞1，对选项一一判断，可得C错．
故选：C．
【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.**
11．（4分）（x+2）^5^的展开式中，x^2^的系数等于[ 80 ]{.underline}．（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x^2^项的系数．
【解答】解：（x+2）^5^的展开式的通项公式为T~r+1~=•x^5﹣r^•2^r^，
令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x^2^项的系数为=80，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于[ 7 ]{.underline}．
【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．
【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，
所以，
所以sinA=，
所以A=60°，
所以cosA=，
所以BC==7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．
13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x^2^，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，
阴影部分的面积为=（4x﹣）\|=，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；
故答案为：．
【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．
14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是\[4，+∞），则实数a的取值范围是[ （1，2\] ]{.underline}．
【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．
【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是\[4，+∞），
故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．
①若a＞1，f（x）=3+log~a~x在它的定义域上单调递增，
当x＞2时，由f（x）=3+log~a~x≥4，∴log~a~x≥1，∴log~a~2≥1，∴1＜a≤2．
②若0＜a＜1，f（x）=3+log~a~x在它的定义域上单调递减，
f（x）=3+log~a~x＜3+log~a~2＜3，不满足f（x）的值域是\[4，+∞）．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2\]．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x~k~（k=1，2，...，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x~1~x~2~...x~7~的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于[ 5 ]{.underline}．
【分析】根据二元码x~1~x~2~...x~7~的码元满足的方程组，及"⊕"的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．
【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x~1~=0，x~2~=1，x~3~=0，x~4~=1，x~5~=1，x~6~=0，x~7~=1，
从而由校验方程组，得x~4~⊕x~5~⊕x~6~⊕x~7~=1，故k≠1；
②若k=2，则x~1~=1，x~2~=0，x~3~=0，x~4~=1，x~5~=1，x~6~=0，x~7~=1，
从而由校验方程组，得x~2~⊕x~3~⊕x~6~⊕x~7~=1，故k≠2；
③若k=3，则x~1~=1，x~2~=1，x~3~=1，x~4~=1，x~5~=1，x~6~=0，x~7~=1，
从而由校验方程组，得x~2~⊕x~3~⊕x~6~⊕x~7~=1，故k≠3；
④若k=4，则x~1~=1，x~2~=1，x~3~=0，x~4~=0，x~5~=1，x~6~=0，x~7~=1，
从而由校验方程组，得x~1~⊕x~3~⊕x~5~⊕x~7~=1，故k≠4；
⑤若k=5，则x~1~=1，x~2~=1，x~3~=0，x~4~=1，x~5~=0，x~6~=0，x~7~=1，
从而由校验方程组，得x~4~⊕x~5~⊕x~6~⊕x~7~=0，x~2~⊕x~3~⊕x~6~⊕x~7~=0，x~1~⊕x~3~⊕x~5~⊕x~7~=0，
故k=5符合题意；
⑥若k=6，则x~1~=1，x~2~=1，x~3~=0，x~4~=1，x~5~=1，x~6~=1，x~7~=1，
从而由校验方程组，得x~2~⊕x~3~⊕x~6~⊕x~7~=1，故k≠6；
⑦若k=7，则x~1~=1，x~2~=1，x~3~=0，x~4~=1，x~5~=1，x~6~=0，x~7~=0，
从而由校验方程组，得x~2~⊕x~3~⊕x~6~⊕x~7~=1，故k≠7；
综上，k等于5．
故答案为：5．
【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号"⊕"可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．
**三、解答题**
16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（1）设"当天小王的该银行卡被锁定"的事件为A，
则P（A）=．
（2）有可能的取值是1，2，3
又则P（X=1）=，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
所以X的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 1 2 3
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
EX=1×+2×+3×=．
【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；
（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．
解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．
【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，
又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，
∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，
又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）
∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，
设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）
由垂直关系可得，取z=2可得．
∴cos＜，＞==
∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，
又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE
又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，
∴GM∥平面ADE．
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．
又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．
又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF
∴平面GMF∥平面ADE，
∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE
（2）同解法一．
【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．
18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．
（2）设点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），AB中点为H（x~0~，y~0~）．直线方程与椭圆方程联立化为（m^2^+2）y^2^﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y~0~=．\|GH\|^2^=．=，作差\|GH\|^2^﹣即可判断出．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m^2^+2）y^2^﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．
【解答】解法一：（1）由已知得，解得，
∴椭圆E的方程为．
（2）设点A（x~1~y~1~），B（x~2~，y~2~），AB中点为H（x~0~，y~0~）．
由，化为（m^2^+2）y^2^﹣2my﹣3=0，
∴y~1~+y~2~=，y~1~y~2~=，∴y~0~=．
G，
∴\|GH\|^2^==+=++．
===，
故\|GH\|^2^﹣=+=﹣+=＞0．
∴，故G在以AB为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x~1~y~1~），B（x~2~，y~2~），则=，=．
由，化为（m^2^+2）y^2^﹣2my﹣3=0，
∴y~1~+y~2~=，y~1~y~2~=，
从而=
=+y~1~y~2~
=+
=﹣+=＞0．
∴＞0，又，不共线，
∴∠AGB为锐角．
故点G在以AB为直径的圆外．
【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在\[0，2π）内有两个不同的解α，β
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．
【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．
（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=），从而可求\|\|＜1，即可得解．
（ii）由题意可得sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣＜m＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin^2^（β+φ）﹣1，从而得证．
【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，
从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．
（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）
依题意，sin（x+φ）=在区间\[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当\|\|＜1，故m的取值范围是（﹣，）．
（ii）因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间\[0，2π）内的两个不同的解，
所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．
当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；
当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；
所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin^2^（β+φ）﹣1=2（）^2^﹣1=．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．
20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x~0~＞0，使得对任意x∈（0，x~0~），恒有f（x）＞g（x）；
（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x^2^．
【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求导得到F′（x）≤0，说明F（x）在\[0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；
（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x~0~＞0，使得对任意x∈（0，x~0~），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x~0~），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；
（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式\|f（x）﹣g（x）\|＜x^2^的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得\|f（x）﹣g（x）\|＞x^2^，满足题意的t不存在．
当k＜1时，由（2）知存在x~0~＞0，使得对任意的任意x∈（0，x~0~），f（x）＞g（x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x^2^，x∈\[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，\|f（x）﹣g（x）\|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x^2^，x∈\[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在\[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x^2^，此时，满足t＞0的实数t存在．
【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，
则有F′（x）=﹣1=﹣，
∵x≥0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）在\[0，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时，有F（x）＜F（0）=0，
∴x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），
则有G′（x）=﹣k=，
当k≤0时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴G（x）＞G（0）=0，
故对任意正实数x~0~均满足题意．
当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．
取，对任意x∈（0，x~0~），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x~0~）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．
综上，当k＜1时，总存在x~0~＞0，使得对任意的x∈（0，x~0~），恒有f（x）＞g（x）；
（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），
\|f（x）﹣g（x）\|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），
令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x^2^，x∈（0，+∞），则有，
故当时，M′（x）＞0，M（x）在\[0，）上单调递增，
故M（x）＞M（0）=0，即\|f（x）﹣g（x）\|＞x^2^，∴满足题意的t不存在．
当k＜1时，由（2）知存在x~0~＞0，使得对任意的x∈（0，x~0~），f（x）＞g（x）．
此时\|f（x）﹣g（x）\|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，
令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x^2^，x∈\[0，+∞），则有，
故当时，N′（x）＞0，N（x）在\[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，
即f（x）﹣g（x）＞x^2^，记x~0~与中较小的为x~1~，
则当x∈（0，x~1~）时，恒有\|f（x）﹣g（x）\|＞x^2^，故满足题意的t不存在．
当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，\|f（x）﹣g（x）\|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），
令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x^2^，x∈\[0，+∞），则有，
当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在\[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，
故当x＞0时，恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x^2^，满足t＞0的实数t存在．
综上，k=1．
【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．
**四、选修4-2：矩阵与变换**
21．（7分）已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A^﹣1^；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A^﹣1^；
（2）由AC=B得（A^﹣1^A）C=A^﹣1^B，即可求矩阵C，使得AC=B．
【解答】解：（1）因为\|A\|=2×3﹣1×4=2，
所以；
（2）由AC=B得（A^﹣1^A）C=A^﹣1^B，
故．
【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
**五、选修4-4：坐标系与参数方程**
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）
（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．
（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．
【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）^2^+（y+2）^2^=9，
由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，
所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．
（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．
【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
**六、选修4-5：不等式选讲**
23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣b\|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a^2^+b^2^+c^2^的最小值．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）=\|x+a\|+\|x﹣b\|+c≥\|（x+a）﹣（x﹣b）\|+c=\|a+b\|+c，
当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以\|a+b\|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（a^2^+b^2^+c^2^）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）^2^=（a+b+c）^2^=16，
即a^2^+b^2^+c^2^≥
当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．
所以a^2^+b^2^+c^2^的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．
| 1 | |
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2019 数学试题
+-------------------+---------------+
| 考试时间 100 分钟 | > 满分 100 分 |
+-------------------+---------------+
> 说明：（ 1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！
- 2）请在背面的答题纸上作答。 另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！
一、选择题（共 **8** 个小题，每小题 **4** 分，共 **32** 分）。每小题均给出了代号为 **A** ，**B**， **C**，
D. 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的
> 表格里，不填、多填或错填都得 **0** 分。
>
> 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
>
> 气温的雷达图．图中 A 点表
>
> 示十月的平均最高气温约为 15 C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C ．下面叙述不
>
> 正确的是
>
> A ．各月的平均最低气温都在 0 C 以上 B．七月的平均温差比一月的平均温
>
> 差大
>
> C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于 20 C 的月份有 5 个
+--------+----------+--------+---+
| | > 十二月 | > 一月 | |
+========+==========+========+===+
| | | > 二月 | |
+--------+----------+--------+---+
| | | | |
+--------+----------+--------+---+
| | | > 20 C | |
+--------+----------+--------+---+
| 十一月 | | > 15 C | |
+--------+----------+--------+---+
| | | > 三月 | |
+--------+----------+--------+---+
10. C 5 C
y
> 十月 ^A^ ^B^ 四月
>
> 九月 ~五月~
>
> 八月 六月
>
> 七月
>
> 平均最低气温 平均最高气温
O 2 ^5^ ^x^
- 2 题
> 2．上图是二次函数 y ax^2^ bx c 的部分图象，由图象可知不等式 ax^2^ bx c 0 的解
>
> 集为
>
> A ． x 1 或 x 5 B ． x 5 C． 1 x 5 D．无法确定
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<table><thead><tr class="header"><th>3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是</th><th></th><th></th><th>M , I , N 中的一</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr class="odd"><td><blockquote><p>个字母，第二位是</p></blockquote></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>1，2， 3， 4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>机的概率是</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>A ． <sup>1</sup></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B ． <sup>8</sup></td><td>C． <sup>1</sup></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>D ． <sup>1</sup></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td>15</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>15</p></blockquote></td><td></td><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>30</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>4．在</td><td><blockquote><p>ABC 中，内角</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>A 、 B 、 C 的对边分别为</p></blockquote></td><td><blockquote><p>a 、 b 、 c ．若 b<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>c<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>2b 4c</p></blockquote></td><td><blockquote><p>5 且</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>a<sup>2</sup></p></blockquote></td><td>b<sup>2</sup></td><td>c<sup>2</sup></td><td><blockquote><p>bc ，则</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>ABC 的面积为</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B ．</td><td><blockquote><p>3</p></blockquote></td><td>C．</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>D ．</p></blockquote></td><td><blockquote><p>3</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>A ．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，</td><td></td><td></td><td>则</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>该几何体的 表面积 （表面面积，也叫全面积）</td><td>为</td><td></td><td></td><td><blockquote><p>2</p></blockquote></td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td><blockquote><p>．．．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>A ． 20</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B ．</td><td>24</td><td>C．</td><td><blockquote><p>28</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>D ． 32</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>参考公式： 圆锥侧面积 S</td><td><blockquote><p>rl ，圆柱侧面积</p></blockquote></td><td><blockquote><p>S</p></blockquote></td><td>2</td><td><blockquote><p>rl ，</p></blockquote></td><td></td><td>4</td><td></td><td></td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>其中 r</td><td><blockquote><p>为底面圆的半径，</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>l 为母线长．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>正视图</p></blockquote></td><td></td><td></td><td>侧视图</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>6．如下图，在</td><td></td><td>ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点，</td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>第 5 题图</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>BE</p></blockquote></td><td><blockquote><p>AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP</p></blockquote></td><td><blockquote><p>3 ， PE</p></blockquote></td><td>1，</td><td><blockquote><p>俯视图</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>则 AE</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B ． 2</td><td>C． 3</td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>D ． 6</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>A ．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>． ABC 的内角</p></blockquote></td><td><blockquote><p>A</p></blockquote></td><td><blockquote><p>、</p></blockquote></td><td><blockquote><p>B</p></blockquote></td><td><blockquote><p>、 C 的对边分别为</p></blockquote></td><td><blockquote><p>a</p></blockquote></td><td>、 b 、</td><td><blockquote><p>c</p></blockquote></td><td>．已知 a</td><td><blockquote><p>5 ， c</p></blockquote></td><td><blockquote><p>2 ，</p></blockquote></td><td>cos A</td><td><blockquote><p>2 <sub>，</sub></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>3</p></blockquote></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>则 b</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>A ． 2</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B ． 3</td><td>C． 2</td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>D ．3</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>8．如下图，小明从街道的</td><td></td><td><blockquote><p>E 处出发，先到 F 处与小红</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>会合，再一起到位于</td><td><blockquote><p>G</p></blockquote></td><td><blockquote><p>处的老年公寓参加志愿者活动，</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>G</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>则小明到老年公寓可以选择的</td><td><blockquote><p>最短 路径条数为</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>F</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>．．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>A ．9</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B ．12</td><td>C． 18</td><td></td><td></td><td><blockquote><p>E</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>D ．24</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
{width="11.497222222222222in" height="16.221527777777776in"}
> 二、填空题：本大题共 **8** 小题，每小题 **4** 分，共 **32** 分。请将答案填入下面表格里的横线
<table><thead><tr class="header"><th>上。</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr class="odd"><td>9．设 x</td><td><blockquote><p><strong>R</strong> ，则不等式 | x</p></blockquote></td><td><blockquote><p>3|</p></blockquote></td><td>1</td><td><blockquote><p>的解集为 ______________．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>x<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>xy</p></blockquote></td><td><blockquote><p>12</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>的解为 ______________．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>10．方程组</td><td><blockquote><p>y<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>4</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>xy</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>11．在</td><td><blockquote><p>ABC 中，若 a<sup>4</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>b<sup>4</sup></p></blockquote></td><td>c<sup>4</sup></td><td><blockquote><p>2(a<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>b<sup>2</sup> )c<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>2a<sup>2</sup> b<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>0 ，则 C _______．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>12．有三张卡片，分别写有</td><td></td><td><blockquote><p>1 和 2， 1 和 3， 2 和 3．甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是</td><td><blockquote><p>2”，乙看了丙的卡片后说： “我与</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
> 丙的卡片上相同的数字不是 1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是 5"，则甲的卡片上的数字是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
<table><thead><tr class="header"><th>13．如图，在 Rt ABC 中，</th><th></th><th><blockquote><p>C 90 ，</p></blockquote></th><th><blockquote><p>A 30 ， BD 是</p></blockquote></th><th><blockquote><p>ABC 的平分线， CD</p></blockquote></th><th><blockquote><p>5 ，则</p></blockquote></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr class="odd"><td><blockquote><p>AD _______ ．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>A</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>B</p></blockquote></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>E</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td><blockquote><p>P</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>A</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>D</p></blockquote></td><td><blockquote><p>C</p></blockquote></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>B</p></blockquote></td><td>D</td><td></td><td><blockquote><p>C</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>第 13 题图</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td><blockquote><p>第 6 题图</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td>， B 是弦 CD 上任意一点（与</td><td><blockquote><p>C , D 不重合），过 B 作 OC 的</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>14．如图，圆 O 的周长为 4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>平行线交 OD 于点 E ，则 EO</td><td><blockquote><p>EB</p></blockquote></td><td><blockquote><p>_________．（用数字表示）</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>15．已知 x</td><td><blockquote><p>1</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>x</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>_________ ．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>3 ，则</p></blockquote></td><td>x <sup>2</sup></td><td><blockquote><p>3x</p></blockquote></td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td><blockquote><p>x</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>16．如图，在</td><td>ABC 中，</td><td><blockquote><p>C</p></blockquote></td><td><blockquote><p>90</p></blockquote></td><td>，</td><td><blockquote><p>A</p></blockquote></td><td><blockquote><p>60 ， AC</p></blockquote></td><td><blockquote><p>1 ， D 在 BC 上， E 在 AB 上，使</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td>得 ADE 为等腰直角三角形，</td><td><blockquote><p>ADE</p></blockquote></td><td>90</td><td><blockquote><p>，则 BE</p></blockquote></td><td><blockquote><p>_________．</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td><blockquote><p>C</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>C</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>D</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>O</p></blockquote></td><td>B</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>E</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td>D</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>A</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>E</p></blockquote></td><td><blockquote><p>B</p></blockquote></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
> 第 14 题图 ^第\ 16\ 题图^
{width="11.497222222222222in" height="16.221527777777776in"}
<table><thead><tr class="header"><th>三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共</th><th></th><th><blockquote><p><strong>36</strong> 分．</p></blockquote></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr class="odd"><td>17．（ 本小题 <strong>12</strong></td><td><blockquote><p>分） 已知一元二次方程</p></blockquote></td><td><blockquote><p>ax <sup>2</sup></p></blockquote></td><td>bx c 0 的两根为 x1 ,x2 ．</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>（ 1）证明：</td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>b</p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p>c</p></blockquote></td><td></td><td></td><td>2</td><td><blockquote><p>1</p></blockquote></td><td><blockquote><p>1</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td><blockquote><p>x</p></blockquote></td><td>1</td><td><blockquote><p>x</p></blockquote></td><td>2</td><td><blockquote><p>， 1 2</p></blockquote></td><td><blockquote><p>；（ 2）若方程为 2x</p></blockquote></td><td></td><td>3x 1 0 ，求①</td><td><blockquote><p>；②</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>a</p></blockquote></td><td><blockquote><p>x x</p></blockquote></td><td><blockquote><p>a</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p>x<sub>1</sub></p></blockquote></td><td><blockquote><p>x<sub>2</sub></p></blockquote></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>x<sub>1</sub></p></blockquote></td><td>2</td><td><blockquote><p>x<sub>2</sub></p></blockquote></td><td><sup>2</sup> ；（ 3）若二次函数</td><td><blockquote><p>y 2 x<sup>2</sup></p></blockquote></td><td><blockquote><p>3x</p></blockquote></td><td><blockquote><p>1与一次函数 y</p></blockquote></td><td><blockquote><p>x</p></blockquote></td><td><blockquote><p>1 的图象交于 A, B 两点，求</p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
> 线段 AB 的长．
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| 18 | ．（本小题 | **10** 分） 如图，在 | > ABC 中， D 是 BC 边上的中点， AD | AC ， DE | > BC ， | | | |
+=================================================+===============+======================+====================================+==========+=========+=====+=====+===+
| > DE 与 AB 相交于点 E ， EC 与 AD 相交于点 F ． | | | | | | | | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| （ | 1）求证： | > ABC \~ | FCD ； | | | | | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| （ | 2）若 S ~FCD~ | > 5 ， BC | > 10 ，求 DE 的长． | | A | | | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| | | | | | > E | | | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| | | | | | | > F | | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| | | | | > B | > D | | > C | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
| | | | | | | | | |
+-------------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------------------------+----------+---------+-----+-----+---+
> 19．（ 本小题 **14** 分）（ 1）已知正数 a ,b 满足 ~a\ 1~ ~b~^2^ ~b\ 1\ a~^2^ ~1~，求 a^2^ b^2^ 的值．
<table><thead><tr class="header"><th>（ 2 ） 先 填 空 ：</th><th>3</th><th>3</th><th>3</th><th><blockquote><p>， 1<sup>3</sup></p></blockquote></th><th>2<sup>3</sup></th><th>3<sup>3</sup></th><th>___ ， 1<sup>3</sup></th><th>2<sup>3</sup></th><th>3<sup>3</sup></th><th>4<sup>3</sup></th><th><blockquote><p>___ ，</p></blockquote></th><th></th></tr></thead><tbody><tr class="odd"><td></td><td>1</td><td><blockquote><p>1 ， 1 2</p></blockquote></td><td>9</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td><blockquote><p>1<sup>3</sup></p></blockquote></td><td>2<sup>3</sup></td><td>3<sup>3</sup></td><td>4<sup>3</sup></td><td>5<sup>3</sup></td><td></td><td><blockquote><p>___，然后根据发现的规律，试写出</p></blockquote></td><td>1<sup>3</sup></td><td>2<sup>3</sup></td><td>3<sup>3</sup></td><td></td><td><blockquote><p>n<sup>3</sup> 的结果（用</p></blockquote></td><td></td></tr><tr class="odd"><td><blockquote><p>n 表示）．可参考公式</p></blockquote></td><td><blockquote><p>1 2 3</p></blockquote></td><td>n</td><td><blockquote><p>n( n</p></blockquote></td><td><sup>1)</sup> ， n 为正整数．</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
2
| 1 | |
**2017年株洲中考试卷**
**一、选择题**(每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共计30分)
1、计算的结果是( )
A、 B、 C、 D、
解答：同底数幂的乘法：答案选C
2、如图，数轴上A所表示的数的绝对值是
A、 2 B、-2 C、±2 D、以上都不对
解答：数轴上的点表示的数与绝对值的意义，或者直接看这个点到原点的距离
3、如图，直线、被直线所截，且，则的度数是
A、41° B、49° C、51° D、59°
解答：平行线的性质，内错角相等；答案选B
4、已知实数、满足，则下列选项可能错误的是
A、 B、 C、 D、
解答： 不等式的性质；答案选D
5、如图，在△ABC中，，，，则的度数为
A、145° B、150° C、155° D、160°
解答：三角形的内角和，外角性质，邻补角的性质，答案选B
6、下列圆的内接正多边中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形
解答：正多边形平分弧平分圆心角，故分的份数越多圆心角越小，答案先A
7、株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下表，则馆内人数变化最大的时间段是
---------- ---------------- ----------------- ----------------- -----------------
9：00---10：00 10：00---11：00 14：00---15：00 15：00---16：00
进馆人数 50 24 55 32
出馆人数 30 65 28 45
---------- ---------------- ----------------- ----------------- -----------------
A、9：00---10：00 B、10：00---11：00 C、14：00---15：00 D、15：00---16：00
解答：观察进出人数的变化过程，答案选B
8、三名学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就座，恰好有两名同学没有坐回原来的座位的概率是
A、 B、 C、 D、
解答：频率的概念及运用；
假设三名学生为A、B、C，他们首先对应的座位为1,2，3
故：答案为D
9、如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形GEGH，下列说法正确的是
A、一定不是平行四边形 B、一定不是中心对称图形
C、可能是轴对称图形 D、当AC=BD时，它为矩形
解答：三角形中位线的性质，可以确定四边形EFGH为平行四边形，故A、B错误，当AC=BD时，它是菱形，故D也错误。
故：答案为C
10、如图，若△ABC内一点满足，则点P为△ABC的布洛卡点，三角形的布洛卡点(Brocard)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle, 1780---1855)gf 1816年首次发现，但他的发现并未被当时人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好才法国军官布洛卡(Brocard,1845---1922)重新发现，并用他的名字命名，问题：已知在等腰直角三角形DEF中，，若Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为
A、5 B、4 C、 D、
答案为D，解答如下：方法一：
方法二：(等腰直角三角形，利用旋转90°，可得全等)
如图2
将DQ绕点D，分别逆时针旋转90°
顺时针旋转90°至DA、DB
连接AQ、AF、BQ、BE
易证：，利用
易证：△ADF≌△QDE，△DBE≌△DQF
故可得：，，
由已知可知：，
故可知：，即:
在Rt△ADF与Rt△BDQ中，DQ=DB=DA，，DQ=1
故：BQ=AQ=
∵，DB=DA=DQ；∴，∵
∴；∵，∴
∵，，BQ=AQ=
∴FQ=AQ=，EQ=2；∴答案选D
二、填空题：(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11、如图，在Rt△ABC中，的度数是 [ ]{.underline} 。
解答：直角三角形的性质，两锐角互余。答案：25°
12、分解因式：= [ ]{.underline} 。
解答：因式分解，提公因式及平方差公式的运用。答案：
13、分式方程的解是 [ ]{.underline} 。
解答：去分母两边同乘以
经检验是原方程的解
14、的3倍大于5，且的一半与1的差小于或等于2，则的取值范围是 [ ]{.underline} 。
解答：解：由①得： ，由②得，故解集 为：
15、如图，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E， ，则= [ ]{.underline} 。
解答：∵AB=AC，∴AM⊥BC
∵AM是⊙O的直径，∴DM⊥AB
∵， ∴
∵AM⊥BC ∴
∴ ∴
16、如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，当直线绕点A顺时针方向旋转到与轴首次重合时，点B运动的路径的长度是 [ ]{.underline}
解答：求点B运动的路径就是求长度
需要知道半径与圆心角
半径就是AB的长，可利用勾股定理求得AB=2
由直角三角形的三边关系
AB=2，AO=1，BO=，可知
故：=
17、如图，一块30°、60°、90°的直角三角形板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于轴，顶点A在函数的图像上，顶点B在函数的图像上，，则= [ ]{.underline}
解答：在Rt△ACO与Rt△BCO中
，设AC=
则：OC=，BC=
则可知A(，)，B(，)
故，，故
18、如图，二次函数的对称轴在轴的右侧，其图像与轴交于点
A(-1,0)，点C，且与轴将于点B(0，-2)，小强得到以下结论：
①②③④以上结论中，正确的结论序号是 [ ]{.underline} 。
解答：由图像可知抛物线开口向上，
经过A(-1,0)，B(0，-2)，对称轴在轴的右侧可得：
可得: ，
故，综合可知
由可得：，
代入：得故
，故,又，故可知
故原函数为，当=0时，即，解之得，
故正确答案为：①④
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19、(本题满分6分)计算：
解答：原式
20、(本题满分6分)先化简，再求值：，其中
解答：分式的混合运算
21、(本题满分8分)某次世界魔方大赛吸引了世界各地600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行了3×3阶魔方赛，组委会随机地将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐，下图3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求
(1)A区3×3阶魔方赛爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示)
(2)若3×3阶魔方赛各区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后本次大赛进入下一轮角逐的人数；
(3)若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的频率(结果用最简分数表示)
解答：(1)由图可知小于8秒的人数为4人，总人数为30人
故进入下一轮的角逐的比例为：
(2)进入下轮角逐的比例为，总共参赛人数有600人，
故进入下一轮角逐的人数为: =80名
(其实最简单的方法是：每个区域都约有4人进入角逐
故进入下一轮角逐的人数为：20×4=80名)
(3)由平均完成时间为8.8可知：
频数之得等于总数据个数：由总人数为30人可知：
解之得，故该区域完成时间为8秒的频率为：
22、(本题满分8分)如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF
(1)求证：△DAE≌△DCF
(2)△ABG∽△CFG
解答：(1)∵等腰直角三角形DEF，正方形ABCD
∴DE=DF，DC=DA，
∵
∴
∵在△DAE与△DCF中
∴△DAE≌△DCF
∴
\(2\) ∵，
∴
即：
∴
∵
∴△ABG∽△CFG
23、(本题满分8分)如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点测得正前方的桥的左端点P俯角为α，其中,无人机的飞行高度AH=米，桥的长为1225米
(1)求H到桥的左端点P的距离
(2)无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这款无人机的长度。
解答：(1)在Rt△AHP中
(2)过Q作QM⊥AB的延长线于点M，则可得AM=HQ=HP+PQ=1255+250=1505，QM=AH=
∵在Rt△QMB中，；∴BM=1500
∴AB=AM-BM=5米
24、(本题满分8分)如图，Rt△PAB的直角顶点P(3,4)在函数的图像上，顶点A、B在函数的图像上，PB∥轴，连接OP、OA，记△OPA的面积为，Rt△PAB的面积为，设，
(1)求的值及关于的表达式
(2)若用和表示函数的最大值和最小值。令，其中为实数，求
解答：
∵点P(3,4) ，PB∥轴，
25、(本题满分10分)如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧AB的中点，E是优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D
(1)求证：CE*∥*BF
(2)若线段BD的长为2，且求的面积。
(注：根据圆的对称性可知OC⊥AB)
解答：(1)
\(2\)
26、(本题满分12分)已知二次函数
(1)当时，求这个二次函数的对称轴方程
(2)若，问：为何值时，二次函数的图像与轴相切
(3)若二次函数的图像与轴交于点且，与轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴与轴、直线BM、直线AM分别相交于点D、E、F且满足，求二次函数的表达式。
解答：(1)第一问易得：
(2)与轴相切就是与轴只有一个交点
有相等的实数根，即
\(3\)
| 1 | |
难点 函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数*f*(*x*)的定义域为**R**，对任意实数*x*、*y*都有*f*(*x*+*y*)=*f*(*x*)+*f*(*y*),当*x*\>0时*f*(*x*)\<0且*f*(3)=－4.
(1)求证：*f*(*x*)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求*f*(*x*)的最值.
●案例探究
［例1］设*f*(*x*)是定义在**R**上的偶函数，其图象关于直线*x*=1对称，对任意*x*~1~、*x*~2~∈［0,］,都有*f*(*x*~1~+*x*~2~)=*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~),且*f*(1)=*a*\>0.
(1)求*f*()、*f*();
(2)证明*f*(*x*)是周期函数；
(3)记*a~n~*=*f*(*n*+),求
命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件*f*(*x*~1~+*x*~2~)=*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~)找到问题的突破口.
错解分析：不会利用*f*(*x*~1~+*x*~2~)=*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~)进行合理变形.
技巧与方法：由*f*(*x*~1~+*x*~2~)=*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~)变形为是解决问题的关键.
(1) 解：因为对*x*~1~,*x*~2~∈［0,］,都有*f*(*x*~1~+*x*~2~)=*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~),所以*f*(*x*)=≥0,
*x*∈［0,1］
又因为*f*(1)=*f*(+)=*f*()·*f*()=［*f*()］^2^
*f*()=*f*(+)=*f*()·*f*()=［*f*（）］^2^
又*f*(1)=*a*\>0
∴*f*()=*a*,*f*()=*a*
(2)证明：依题意设*y*=*f*(*x*)关于直线*x*=1对称，故*f*(*x*)=*f*(1+1－*x*),即*f*(*x*)=*f*(2－*x*),*x*∈**R**.
又由*f*(*x*)是偶函数知*f*(－*x*)=*f*(*x*),*x*∈**R**
∴*f*(－*x*)=*f*(2－*x*),*x*∈**R**.
将上式中－*x*以*x*代换得*f*(*x*)=*f*(*x*+2)，这表明*f*(*x*)是**R**上的周期函数，且2是它的一个
周期.
(3)解：由(1)知*f*(*x*)≥0,*x*∈［0,1］
∵*f*()=*f*(*n*·)=*f*(+(*n*－1) )=*f*()·*f*((*n*－1)·)
=......
=*f*()·*f*()·......·*f*()
=［*f*()］*^n^*=*a*
∴*f*()=*a*.
又∵*f*(*x*)的一个周期是2
∴*f*(2*n*+)=*f*(),因此*a~n~*=*a*
∴
［例2］甲、乙两地相距*S*千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过*c*千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度*v*(km/h)的平方成正比，比例系数为*b*,固定部分为*a*元.
(1)把全程运输成本*y*(元)表示为*v*(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.
解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为*y*=*a*·+*bv*^2^·=*S*(+*bv*)
∴所求函数及其定义域为*y*=*S*(+*bv*),*v*∈(0,*c*.
(2)依题意知，*S*、*a*、*b*、*v*均为正数
∴*S*(+*bv*)≥2*S* ①
当且仅当=*bv*,即*v*=时，①式中等号成立.若≤*c*则当*v*=时，有*y*~min~；
若\>*c*,则当*v*∈(0,*c*时，有*S*(+*bv*)－*S*(+*bc*)
=*S*［(－)+(*bv*－*bc*)］= (*c*－*v*)(*a*－*bcv*)
∵*c*－*v*≥0,且*c*\>*bc*^2^,∴*a*－*bcv*≥*a*－*bc*^2^\>0
∴*S*(+*bv*)≥*S*(+*bc*),当且仅当*v*=*c*时等号成立，也即当*v*=*c*时，有*y*~min~；
综上可知，为使全程运输成本*y*最小，当≤*c*时，行驶速度应为*v*=,当\>*c*时行驶速度应为*v*=*c*.
解法二：(1)同解法一.
(2)∵函数*y*=*x*+ (*k*\>0),*x*∈(0,+∞),当*x*∈(0,)时，*y*单调减小，当*x*∈(,+∞)时*y*单调增加，当*x*=时*y*取得最小值，而全程运输成本函数为*y*=*Sb*(*v*+),*v*∈(0,*c*.
∴当≤*c*时，则当*v*=时，*y*最小，若\>*c*时，则当*v*=*c*时，*y*最小.结论同上.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数*y*=*x*+*a*与*y*=log*~a~x*的图象可能是( )
2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数*f*(*x*)为增函数，偶函数*g*(*x*)在区间［0，+∞)的图象与*f*(*x*)的图象重合，设*a*\>*b*\>0,给出下列不等式：
①*f*(*b*)－*f*(－*a*)\>*g*(*a*)－*g*(－*b*) ②*f*(*b*)－*f*(－*a*)\<*g*(*a*)－*g*(－*b*) ③*f*(*a*)－*f*(－*b*)\>*g*(*b*)－*g*(－*a*) ④*f*(*a*)－*f*(－*b*)\<*g*(*b*)－*g*(－*a*)
其中成立的是( )
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
二、填空题
3.(★★★★)若关于*x*的方程2^2*x*^+2*^x^a*+*a*+1=0有实根，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
三、解答题
4.(★★★★)设*a*为实数，函数*f*(*x*)=*x*^2^+\|*x*－*a*\|+1,*x*∈**R**.
(1)讨论*f*(*x*)的奇偶性；
(2)求*f*(*x*)的最小值.
5.(★★★★★)设*f*(*x*)=.
(1)证明：*f*(*x*)在其定义域上的单调性；
(2)证明：方程*f*^-1^(*x*)=0有惟一解；
(3)解不等式*f*［*x*(*x*－)］\<.
6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数*f*(*x*)满足①对任意*x*、*y*∈(－1,1),都有*f*(*x*)+*f*(*y*)=*f*();②当*x*∈(－1,0)时，有*f*(*x*)\>0.
求证：.
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).
(1)写出总造价*y*(元)与污水处理池长*x*(米)的函数关系式，并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.
8.(★★★★★)已知函数*f*(*x*)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，*f*(1)=0,又*g*(*θ*)=sin^2^*θ*－*m*cos*θ*－2*m*,*θ*∈［0,］,设*M*={*m*\|*g*(*θ*)\<0,*m*∈**R**},*N*={*m*\|*f*［*g*(*θ*)］\<0},求*M*∩*N*.
［学法指导］怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质，强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1）证明：令*x*=*y*=0,得*f*(0)=0
令*y*=－*x*,得*f*(0)=*f*(*x*)+*f*(－*x*),即*f*(－*x*)=－*f*(*x*)
∴*f*(*x*)是奇函数
(2）解：1°,任取实数*x*~1~、*x*~2~∈［－9,9］且*x*~1~＜*x*~2~,这时，*x*~2~－*x*~1~\>0,*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)=*f*［(*x*~1~－*x*~2~)+*x*~2~］－*f*(*x*~2~)=*f*(*x*~1~－*x*~2~)+*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)=－*f*(*x*~2~－*x*~1~)
因为*x*\>0时*f*(*x*)＜0,∴*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\>0
∴*f*(*x*)在［－9，9］上是减函数
故*f*(*x*)的最大值为*f*(－9),最小值为*f*(9).
而*f*(9)=*f*(3+3+3)=3*f*(3)=－12,*f*(－9)=－*f*(9)=12.
∴*f*(*x*)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.
歼灭难点训练
一、1.解析：分类讨论当*a*\>1时和当0＜*a*＜1时.
答案：C
2.解析：用特值法，根据题意，可设*f*(*x*)=*x*,*g*(*x*)=\|*x*\|,又设*a*=2,*b*=1,
则*f*(*a*)=*a*,*g*(*a*)=\|*a*\|,*f*(*b*)=*b*,*g*(*b*)=\|*b*\|,*f*(*a*)－*f*(*b*)=*f*(2)－*f*(－1)=2+1=3.
*g*(*b*)－*g*(－*a*)=*g*(1)－*g*(－2)=1－2=－1.∴*f*(*a*)－*f*(－*b*)\>*g*(1)－*g*(－2)=1－2=－1.
又*f*(*b*)－*f*(－*a*)=*f*(1)－*f*(－2)=1+2=3.
*g*(*a*)－*g*(－*b*)=*g*(2)－*g*(1)=2－1=1,∴*f*(*b*)－*f*(－*a*)=*g*(*a*)－*g*(－*b*).
即①与③成立.
答案：C
二、3.解析：设2*^x^*=*t*\>0，则原方程可变为*t*^2^+*at*+*a*+1=0 ①
方程①有两个正实根，则
解得：*a*∈(－1,2－2.
答案：(－1，2－2
三、4.解：(1)当*a*=0时，函数*f*(－*x*)=(－*x*)^2^+\|－*x*\|+1=*f*(*x*),此时*f*(*x*)为偶函数；当*a*≠0时，*f*(*a*)=*a*^2^+1,*f*(－*a*)=*a*^2^+2\|*a*\|+1,*f*(－*a*)≠*f*(*a*),*f*(－*a*)≠－*f*(*a*).此时函数*f*(*x*)既不是奇函数也不是偶
函数.
(2)①当*x*≤*a*时，函数*f*(*x*)=*x*^2^－*x*+*a*+1=(*x*－)^2^+*a*+,若*a*≤,则函数*f*(*x*)在(－∞,*a*上单调递减，从而，函数*f*(*x*)在(－∞,*a*上的最小值为*f*(*a*)=*a*^2^+1.
若*a*\>,则函数*f*(*x*)在(－∞,*a*上的最小值为*f*()=+*a*,且*f*()≤*f*(*a*).
②当*x*≥*a*时，函数*f*(*x*)=*x*^2^+*x*－*a*+1=(*x*+)^2^－*a*+;当*a*≤－时，则函数*f*(*x*)在［*a*,+∞上的最小值为*f*(－)=－*a*,且*f*(－)≤*f*(*a*).若*a*\>－,则函数*f*(*x*)在［*a*,+∞)上单调递增，从而，函数*f*(*x*)在［*a*,+∞］上的最小值为*f*(*a*)=*a*^2^+1.
综上，当*a*≤－时，函数*f*(*x*)的最小值是－*a*,当－＜*a*≤时，函数*f*(*x*)的最小值是*a*^2^+1;当*a*\>时，函数*f*(*x*)的最小值是*a*+.
5.(1)证明：由 得*f*(*x*)的定义域为(－1，1)，易判断*f*(*x*)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明：∵*f*(0)=,∴*f*^-－1^()=0,即*x*=是方程*f*^-－1^(*x*)=0的一个解.若方程*f*^-－1^(*x*)=0还有另一个解*x*~0~≠,则*f*^-－1^(*x*~0~)=0,由反函数的定义知*f*(0)=*x*~0~≠,与已知矛盾，故方程*f*^-－1^(*x*)=0有惟一解.
(3)解：*f*［*x*(*x*－)］＜,即*f*［*x*(*x*－)］＜*f*(0).
6.证明：对*f*(*x*)+*f*(*y*)=*f*()中的*x*,*y*,令*x*=*y*=0,得*f*(0)=0,再令*y*=－*x*,又得*f*(*x*)+*f*(－*x*)=*f*(0)=0,即*f*(－*x*)=－*f*(*x*),∴*f*(*x*)在*x*∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜*x*~1~＜*x*~2~＜0,则*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)=*f*(*x*~1~)+*f*(－*x*~2~)=*f*(),∵－1＜*x*~1~＜*x*~2~＜0,∴*x*~1~－*x*~2~＜0,1－*x*~1~*x*~2~\>0.∴＜0,于是由②知*f*()\>0,从而*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\>0,即*f*(*x*~1~)\>*f*(*x*~2~),故*f*(*x*)在*x*∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知*f*(*x*)在*x*∈(0,1)上仍是递减函数，且*f*(*x*)＜0.
7.解：(1)因污水处理水池的长为*x*米，则宽为米，总造价*y*=400(2*x*+2×)+248××2+80×200=800(*x*+)+1600,由题设条件
解得12.5≤*x*≤16,即函数定义域为［12.5，16］.
(2)先研究函数*y*=*f*(*x*)=800(*x*+)+16000在［12.5,16］上的单调性，对于任意的*x*~1~,*x*~2~∈［12.5,16］,不妨设*x*~1~＜*x*~2~,则*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)=800［(*x*~2~－*x*~1~)+324()］=800(*x*~2~－*x*~1~)(1－),∵12.5≤*x*~1~≤*x*~2~≤16.∴0＜*x*~1~*x*~2~＜16^2^＜324,∴\>1,即1－＜0.又*x*~2~－*x*~1~\>0,∴*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)＜0,即*f*(*x*~2~)＜*f*(*x*~1~),故函数*y*=*f*(*x*)在［12.5,16］上是减函数.∴当*x*=16时，*y*取得最小值，此时，*y*~min~=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）
综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.
8.解：∵*f*(*x*)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴*f*(*x*)在(－∞,0)上也是增函数.
又*f*(1)=0,∴*f*(－1)=－*f*(1)=0,从而，当*f*(*x*)＜0时，有*x*＜－1或0＜*x*＜1,
则集合*N*={*m*\|*f*［*g*(*θ*)］＜*θ*＝={*m*\|*g*(*θ*)＜－1或0＜*g*(*θ*)＜1,
∴*M*∩*N*={*m*\|*g*(*θ*)＜－1.由*g*(*θ*)＜－1,得cos^2^*θ*\>*m*(cos*θ*－2)+2,*θ*∈［0,］,令*x*=cos*θ*,*x*∈［0,1］得：*x*^2^\>*m*(*x*－2)+2,*x*∈［0,1］，令①：*y*~1~=*x*^2^,*x*∈［0,1］及②*y*~2~=*m*(*m*－2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由*x*∈［0,1］得*y*~1~\>*y*~2~.∴*m*\>4－2,故*M*∩*N*={*m*\|*m*\>4－2}.
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**北师大版三年级上册数学期中试卷**
**班级 [ ]{.underline} 姓名 [ ]{.underline} 成绩 [ ]{.underline}** [ ]{.underline}
+------------------------+----+----+------+--------+
| 评价等级 | 优 | 良 | 达标 | 待达标 |
+------------------------+----+----+------+--------+
| 在相应等级 | | | | |
| | | | | |
| 上划"√"\[来源:学科网\] | | | | |
+------------------------+----+----+------+--------+
同学们，当我们睁大眼睛仔细看题时，我们的眼睛是最明亮的；当我们用心解题时，我们就是最棒的。
**一、动动脑筋，我****会填。**
**1．**在（ ）里填上合适的单位:
一个鸡蛋重约50（ ） 一头大象的体重约是5（ ）
李明体重35( ) 一辆汽车载5( )
2、在（ ）里填上合适的数：
4000千克＝( )吨 6千克＝( )克 8吨＝( )千克 \
**3****、**在○里填上"＞、＜或＝":
3㎏ ○30t 2000g○20㎏ 990克○1千克
4、括号里最大能填几？
（ ）×6＜49 8×（ ）＜63 （ ）×5＜44
**二、判断：（对的在括号内打"√"，错的打"×"）**
1、5000克的铁比5千克的棉花重。 ( )
2、845-649＞200。 （ ）
3、一辆卡车载重8吨。 （ ）
4、5t煤比5t水重。 ( )
5、25÷5 = 4......5 （ ）\[来源:学\#科\#网\]
**三、精挑细选，我最棒！：**（把你认为正确答案的序号填在括号内。）
1、姐姐3小时( )行了135千米。
> ①步行 ②骑自行车 ③乘汽车
2、44×2和22×4的（ ）相同。
①表示的意义 ②计算的结果 ③算式的读法
3、计量大宗物品，通常用( )作单位。
> ①吨 ②千克 ③克
4、6乘198的积最接近（ ）
①1200 ②1000 ③600
5、20×405的积的末尾有（ ）个0.
①1 ②2 ③3
**四、下面的立体图形从上面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画.**
**五、我是计算小能手！\[来源:学\|科\|网\]**
**1、直接写出得数：**
> **88 + 12 =**  **120×3 = 50×6 = 4×300=**
**81×9 = 8×700 = 90×5 = 4×60 =**
**2、列竖式计算（第3、4小题要验算）**
> **207×4= 205×4=**
>
> ** 更多免费试卷下载绿色圃中小学教育网www.lSpjy.com 分站www.fydaxue.com\[来源:Zxxk.Com\]**
>
> ** **
>
> **216×4= 480×5=**
**验算： 验算：**
**六、生活中的数学：**
1、一本书有315页，小方已经看了77页，剩下的打算一周看完。小方每天至少要看多少页？
2、服装厂制作校服，3天做了210套。照这样的速度，该服装厂一个星期能完成500套校服的任务？
\[来源:学科网ZXXK\]
3、请你算出每筒乒乓球多少元。
**4、妈妈去买家具。**
> ** ** 
>
> **（1）买三张桌子一共要花多少钱？**
** **
**（2）买四把椅子和一个柜子共需多少钱？**
(3)一千元能买2个柜子吗？
> **小学三年级数学上册期中试题说明**
>
> **命题意图：**
>
> **本套试题知识覆盖面广，重点难点突出，基础知识考察全面，难易适度，照顾到三年级不同层次学生的水平。试卷着重考察学生对知识的积累和灵活运用的能力，题型合理、丰****富。适合学生发展的特点，充分体现了"以学生发展为本"的新课改理念。有利于学生应用、理解等数学综合能力的训练和培养，也为数学教学指明了方向。**
>
> **评分标准：**
**一、:（每空2分，共26分）**
> **二、：（每小题2分，共10分）**
**三、**：（每小题2分，共10分）
**四、 (4分)**
五、 1、（每小题1分）
**2、（第1、2小题每小题3分，第3、4小题每小题4分。）**
**六、（第1-3小题每题6分，第4小题9分）**
参考答案：
一、填空
1.克 吨 千克 吨 2. 4 6000 8000 3.＜ ＜ ＜ 4. 8 7 8
二、判断
1.×2. × 3. √ 4.× 5.×
三、选择
1.③ 2.② 3.① 4.① 5. ③
四、（略）
五、（略）
六、生活中的数学
1.（317-77）÷ 7
2\. （210÷3）×7 不能
3\. 略
4\. ①302×3 ②98×4+524 ③524×2 不能
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**中学学科网2008年高考福建卷数学(理) 全解全析**
解析作者：李辉
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⑴若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A）1 B）2 C）1或2 D）-1
**【标准答案】B**\
**【试题解析】由得,且**
**【高考考点】虚数的有关概念及二次方程的解**
**【易错提醒】对于纯虚数一定要使虚部不为0才可,往往很多考生就忽视了这点.**
**【学科网备考提示】对于书上的概念一定要熟记,特别注意易错点.**
⑵设集合,,那么""是""的（ ）
A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件 C）充要条件 D）既不充分也不必要条件\
**【标准答案】A**\
**【试题解析】由得,可知**""是""的充分而不必要条件.
**【高考考点】本题主要考查分式不等式及四种命题**
**【易错提醒】很容易混淆充分条件和必要条件的推导方向即那个为条件那个为结论.**
**【学科网备考提示】一定要劳记充分条件或者必要条件是由谁推谁?特别注意"A的充分不必要条件是（）"题型.**
⑶设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项的和为（ ）\
A）63 B）64 C）127 D）128\
⑷函数，若，则的值为（ ）\
A）3 B）0 C）-1 D）-2\
**【标准答案】B**\
**【试题解析】注意到为奇函数，又故**即.
**【高考考点】函数奇偶性的应用.**
**【易错提醒】往往有的考生不注意观察函数在形式上的特征以至于找不到问题的切入点.**
**【学科网备考提示】在备考过程中要多引导学生自己发现并及时总结.**
⑸某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）\
A） B） C） D）\
**【标准答案】B\
【试题解析】由**
**【高考考点】独立重复实验的判断及计算**
**【易错提醒】容易记成二项展开式的通项,当然这题因为数字的原因不涉及.**
**【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.**
(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A. B. C. D.
**【标准答案】D**\
**【试题解析】连与交与O点,再连BO,则为所成角,下面就是计算了.**
**【高考考点】线面角的做法**
**【易错提醒】有的考生可能会误认为线面角就是.**
**【学科网备考提示】主要是要一个线面垂直关系,所以只要做到了这点对于计算只要考生认真就一定没有问题.**
(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14 B.24 C.28 D.48
(8)若实数x、y满足 则的取值范围是
A.(0,1) B. C.(1,+) D.
**【标准答案】C\
【试题解析】可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率.**
**【高考考点】简单的线性规划及目标函数的几何意义.**
**【易错提醒】对于可行域的确定.**
**【学科网备考提示】对于线性规划考纲中也明确说明只要掌握简单的线性目标函数即可,所以这部分不需要过多的提高.**
(9)函数f(x)=cosx (xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为
A. B. C.－ D.－
**【标准答案】A\
【试题解析】,而**f(x)=cosx (xR)**的图象按向量(m,0) 平移后得到,所以,故可以为.**
**【高考考点】三角函数的平移变换及导函数.**
**【易错提醒】按向量平移要注意方向.**
**【学科网备考提示】劳记三角函数诱导公式及平移变换法则.对于三角这一部分考纲应该要求是在降低,所以一定要把握基础.**
(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若,则角B的值为
A. B. C.或 D.或
**【标准答案】D**\
**【试题解析】由得即**
**,又在**△**中所以B为或**.
**【高考考点】余弦定理及三角中的切化弦**
**【易错提醒】很多人会考虑对于角B的取舍问题,而此题两种都可以,因为我们的过程是恒等变形.条件中也没有其它的限制条件,所以有的同学就多虑了.**
**【学科网备考提示】虽然此题没有涉及到取舍问题,但在平时的练习过程中一定要注意此点.**
(11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
**【标准答案】B\
【试题解析】可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系**
**【高考考点】关于离心率范围的确定.**
**【易错提醒】有些同学想直接算出e,然后再通过确定其中参数的范围从而确定e, 这是不可能的,既然题目要范畴所以一定要想办法构造不等式才可以.**
**【学科网备考提示】可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.**
(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
**【标准答案】D**\
**【试题解析】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x).**
**【高考考点】导函数的意义**
**【易错提醒】有的同学只知道导函数反映单调性,却不知道它还可以反映斜率的变化.**
**【学科网备考提示】建议让学生在最后一轮一定要回归课本,抓课本基本概念.**
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
（13）若(x-2)^5^=a~5~x^5^+a~4~x^4^+a~3~x^3^+a~2~x^2^+a~1~x+a~0~,则a~1~+a~2~+a~3~+a~4~+a~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.(用数字作答)
**【标准答案】31**\
**【试题解析】令,再令**
**【高考考点】二项式中关于系数的确定(赋值法)**
**【易错提醒】可能会粗心的把题目看成求所有系数和,或者二项式的系数和,而题目少了一项.**
**【学科网备考提示】看清再动手,这部分的内容应该不会太难,所以一定要认真.**
(14)若直线3x+4y+m=0与圆 （为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 [ ]{.underline} .
**【标准答案】**\
**【试题解析】此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的.**
**【高考考点】圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断.**
**【易错提醒】本题出现最多的问题应该是计算上的问题,我班上有个平时相当不错的学生就跟我说他就算错了.哭死...**
**【学科网备考提示】平时要强化基本功的练习.因为使用新课标后他们小学的计算都是按计算器过来的,而高考又不能用,所以有的学生计算能力就相当差了.**
（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是[ ]{.underline}.
**【标准答案】**\
**【试题解析】依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.**
**,**
**【高考考点】立几中的构造法及球的表面积计算.**
**【易错提醒】体红外线应该是外接球的直径,往往有的学生就当成半径来算导致错误.**
**【学科网备考提示】对于有关外接球的问题要注意归纳几种的典型的构造方法,再比如正四面体的外接球的构造法,还有对棱相等的构造方法等.**
（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、 ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集，则数集M必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）
**【标准答案】**③④\
**【试题解析】要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如①对除法如不满足，所以排除；对②当M中多一个元素则会出现所以它也不是一个数域**；③④**成立**.
**【高考考点】新定义概念的理解能力.**
**【易错提醒】很多学生考完后对我说**③**也不是**,**他的例子是殊不知**，**导致不应有的失分**.
**【学科网备考提示】对于新定义一定要强调读懂题目再入手,任何一个条件都没有多余的.**
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.
**【标准答案】**解:(Ⅰ)由题意得,
由A为锐角得,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
因为,所以,因此,当时,有最大值,
当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.属于简单题.**
**【易错提醒】不注意正弦函数的有界性.**
**【学科网备考提示】第二问属于二次函数在区间上的值域问题,要注意结合单调性在区间上取最值.**
（18）（本小题满分12分）
 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
**【标准答案】 **
 解法一：
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.
设*QD*＝*x*，则，由（Ⅱ）得*CD*=*OB*=，
在Rt△*POC*中，
所以*PC*=*CD*=*DP*,
由*V~p-DQC~=V~Q-PCD~,*得2，所以存在点*Q*满足题意，此时.
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以*O*为坐标原点，的方向分别为*x*轴、*y*轴、*z*轴的正方向，建立空间直角坐标系*O-xyz*,依题意，易得*A*(0,-1,0),*B*(1,-1,0),*C*(1,0,0),*D*(0,1,0),
> *P*(0,0,1),
所以
> 所以异面直线*PB*与*CD*所成的角是arccos，
(Ⅲ)假设存在点*Q*，使得它到平面*PCD*的距离为，
> 由(Ⅱ)知
>
> 设平面*PCD*的法向量为*n*=(*x*~0~,*y*~0~,*z*~0~).
>
> 则所以即，
>
> 取*x*~0~=1,得平面*PCD*的一个法向量为*n*=(1,1,1).
>
> 设由，得解*y*=-或*y*=(舍去)，
>
> 此时，所以存在点*Q*满足题意，此时.
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力**。
**【易错提醒】第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在才可**
**【学科网备考提示】因为立几的难度一再降低,所以一定要求学生掌握坐标法,劳记公式.**
（19）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N\*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
**【标准答案】**(Ⅰ)证明：因为所以′(*x*)=*x*^2^+2*x*,
由点在函数*y*=*f*′(*x*)的图象上,
又所以
所以,又因为′(*n*)=*n*^2^+2*n*,所以,
故点也在函数*y=f′*(*x*)的图象上.
> (Ⅱ)解:,
>
> 由得.
>
> 当*x*变化时,﹑的变化情况如下表:
----------- --------- -------- -------- -------- --------
*x* (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)
*f*′(*x*) \+ 0 \- 0 \+
*f*(*x*) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
----------- --------- -------- -------- -------- --------
> 注意到,从而
>
> ①当,此时无极小值；
>
> ②当的极小值为,此时无极大值；
>
> ③当既无极大值又无极小值.
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.**
**【易错提醒】对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误.**
**【学科网备考提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面的训练.**
（20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科
目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证
书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试
成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.
**【标准答案】**解:设"科目*A*第一次考试合格"为事件，"科目*A*补考合格"为事件；"科目*B*第一次考试合格"为事件，"科目*B*补考合格"为事件.
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为*A*~1~·*B*~1~,注意到*A*~1~与*B*~1~相互独立，
> 则.
>
> 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.
>
> (Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
>
> 故
>
> 答：该考生参加考试次数的数学期望为.
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题,解决问题的能力.**
**【易错提醒】理解不了题意,如当次数为时表示什么意思,有的同学就认为是只要两次考试即可,就会出现分别算等就大错特错了,因为这样的话按题目意思就应该还要进行一次考试,而你算的是的概率,后面的依次类推.**
**【学科网备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分.**
（21）（本小题满分12分）
如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.
**【标准答案】**解法一：(Ⅰ)设*M，N*为短轴的两个三等分点，
> 因为△*MNF*为正三角形，
所以,
即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线 *AB*与*x*轴重合时，
(ⅱ)当直线*AB*不与*x*轴重合时，
设直线*AB*的方程为：
整理得
所以
因为恒有，所以*AOB*恒为钝角.
即恒成立.
又*a*^2^+*b*^2^*m*^2^\>0,所以-*m*^2^*a*^2^*b*^2^+*b*^2^-*a*^2^*b*^2^+*a*^2^\<0对*m*R恒成立，
即*a*^2^*b*^2^*m*^2^\> *a*^2^ -*a*^2^*b*^2^+*b*^2^对*m*R恒成立.
当*m*R时，*a*^2^*b*^2^*m*^2^最小值为0，所以*a*^2^- *a*^2^*b*^2^+*b*^2^\<0.
*a*^2^\<*a*^2^*b*^2^- *b*^2,^ *a*^2^\<( *a*^2^-1)*b*^2^= *b*^4^,
因为*a*\>0,*b*\>0,所以*a*\<*b*^2^,即*a*^2^-*a*-1\>0,
解得*a*\>或*a*\<(舍去)，即*a*\>,
综合（i）(ii)，*a*的取值范围为（，+）.
故*x*~1~+*x*~2=~
因为恒有\|*OA*\|^2^+\|*OB*\|^2^\<\|*AB*\|^2^,
所以*x*^2^~1~+*y*^2^~1~+ *x*^2^~2~+ *y*^2^~2~\<( *x*~2~-*x*~1~)^2^~+~(*y*~2~-*y*~1~)^2^~,~
得*x*~1~*x*~2~+ *y*~1~*y*~2~\<0恒成立.
*x*~1~*x*~2~+ *y*~1~*y*~2~= *x*~1~*x*~2~+*k*^2^(*x*~1~-1) (*x*~2~-1)=(1+*k*^2^) *x*~1~*x*~2~-*k*^2^(*x*~1+~*x*~2~)+ *k*^2^
=(1+*k*^2^).
由题意得（*a*^2^- *a*^2^ *b*^2^+*b*^2^）*k*^2^- *a*^2^ *b*^2^\<0对*k*R恒成立.
①当*a*^2^- *a*^2^ *b*^2^+*b*^2^\>0时，不合题意；
②当*a*^2^- *a*^2^ *b*^2^+*b*^2^=0时，*a*=;
③当*a*^2^- *a*^2^ *b*^2^+*b*^2^\<0时，*a*^2^- *a*^2^(*a*^2^-1)+ (*a*^2^-1)\<0，*a*^4^- 3*a*^2^ +1\>0,
解得*a*^2^\>或*a*^2^\>（舍去），*a*\>，因此*a*.
综合（i）（ii），*a*的取值范围为（，+）.
 （i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
（ii）求证：
**【标准答案】**解法一：
（I）因为*f(x)=*ln(*1+x*)-*x*，所以函数定义域为（-1,+）,且*f〃(x)*=-1=.
由*f*〃(*x*)\>0得-1\<*x*\<0，*f*(*x*)的单调递增区间为（-1，0）；
由*f*〃(*x*)\<0得*x*\>0，*f*(*x*)的单调递增区间为（0，+）.
(II)因为*f*(*x*)在\[0,n\]上是减函数，所以*b~n~*=*f*(*n*)=ln(1+*n*)-*n*,
则*a~n~*=ln(1+*n*)-*b~n~*=ln(1+*n*)-ln(1+*n*)+*n*=*n*.
\(i\)
\>
又lim,
因此*c*\<1，即实数*c*的取值范围是（-，1）.
（II）由（i）知
**N**\*）
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为*f*(*x*)在上是减函数，所以
则
> （i）因为对*n*∈N\*恒成立.所以对*n*∈N\*恒成立.
>
> 则对*n*∈N\*恒成立.
>
> 设 *n*∈N\*，则*c*＜*g*(*n*)对*n*∈N\*恒成立.
>
> 考虑
>
> 因为＝0，
>
> 所以内是减函数；则当*n*∈N\*时，*g*(*n*)随*n*的增大而减小，
又因为＝1.
所以对一切因此*c*≤1,即实数*c*的取值范围是(-∞，1\].
(ⅱ) 由(ⅰ)知
下面用数学归纳法证明不等式
①当*n*=1时，左边＝，右边＝，左边\<右边.不等式成立.
②假设当*n=k*时,不等式成立.即
当*n=k*+1时，
=
即n＝k＋1时，不等式成立
综合①、②得，不等式成立.
所以
即.
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.**
**【易错提醒】第一问中导数记不住公式**
**【学科网备考提示】此题为压轴题,所以平时可以让学生学会放弃一些自己能力范围之外的题目,把多余的时间多花点在中低档题目上,可是80%的分数呀,多么可观,可是纵观历年的高考成绩来看又有多少人真正的做到了这120分?**
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**一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1. 若集合，且，则集合可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C.  D.
4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知数列中，，，为其前项和，则的值为（ ）
A.57 B.61 C.62 D.63
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.为了得到，只需要将作如下变换（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
9.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
12.函数的部分图象如图所示，且，对不同的，，若，有，则（ ）
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.在上是减函数 D.在上是增函数
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）**
13.的展开式中项的系数为\_\_\_\_\_\_\_.
14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数\_\_\_\_\_\_\_.
15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶C为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，点测得，已知山高m，则山高\_\_\_\_\_\_\_m.
16.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文****字说明、证明过程或演算步骤）**
17. （本小题满分12分）
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.99^10^=(1-0.01)^10^≈0.9）
18. （本小题满分12分）
如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．
（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
 \[来源:学.科.网\]
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，...，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
-- ---------------------- --- --- ------------------
5\[来源:Z.xx.k.Com\] 6 7 8
0.4 0.1\[来源:ZXXK\]
-- ---------------------- --- --- ------------------
且的数字期望，求，的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
**注**：①产品的"性价比"=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②"性价比"大的产品更具可购买性．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线，分别交椭圆C于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数(常数且).
（1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；\[\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
（2）若函数存在两个极值点，，证明：且.
**请****考生****在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．
（1）若，，求的值；
（2）若，证明：．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线\[来源:学\#科\#网\]
的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．
（1）写出C的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线C相交于，两点，求值．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数,.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
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**2016-2017学年上学期五年级期中检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、填空题。(26分) 绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
1\. 在2,7,0,1,120,25,3.4,中,自然数有( ),整数有( ),质数有( ),合数有( ),奇数有( ),偶数有( )。
2.如果*a*,*b*,*c*是三个不等于零的自然数,那么在*a÷b=c*中,( )是( )的因数,( )是( )的倍数。
3.最小的自然数是( ),最小的奇数是( ),最小的质数是( ),既是偶数又是质数的数是( )。
4\.
上图中平行四边形向( )平移了( )格;五边形向( )平移了( )格。
5.在里填上"\>""\<"或"="。
10.5÷0.310.5 4.8÷0.324.8
4÷250.2 4.2÷0.3÷0.34.2÷6
6.明明在计算4.56除以一个小数,移动除数的小数点时,把被除数的小数点向右少移动了一位,得到商是0.15,这道题的除数是( ),正确的商是( )。
7.100mL牛奶里含钙( )g,含蛋白质( )g。
二、判断题。(正确的画"√",错误的画"✕")(5分)
1\. 32.5除以一个小数,所得的商一定大于32.5。 ( )
2.运送3.7吨货物,每人一次只能运0.15吨,一次运完至少需要24人。 ( )
3.奇数一定是质数。 ( )
4.所有的偶数都是合数,所有的奇数都是质数。 ( )
5.计算除数是小数的除法,只要同时把除数和被除数的小数点向右移,使它们都变成整数再相除。 ( )
三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)(8分)
1\. 如果甲数除以一个小数, 乙数乘一个相同的小数,那么甲、乙两数的大小关系是( )。
A.甲\>乙 B.甲\<乙 C.无法比较
2.张叔叔正在经营一家饭馆,他每隔一天需要进一次菜,如果12月2日进了一次菜,那么12月17日( )。
A.进菜 B.不进菜 C.无法确定
3.质数和合数的积( )。
A.是质数 B.是合数
C.可能是质数也可能是合数
4.下面几幅图中,对称轴最多的是( )。
四、计算题。(32分) 绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
1.直接写得数。(8分)
1.2÷0.3= 10.4÷0.1=
0.7×0.9= 4×(2.5+0.25)=
0÷0.26= 0.45÷0.9=
0.92÷0.23= 0.57×8×1.25=
2.用竖式计算。(12分)
91.2÷3.8= 4.2÷4.5≈
(精确到百分位)
2.05÷0.82= 5.87÷1.9≈
(精确到百分位)
3.计算,能简算的要简算。(12分)
9×5.4÷0.9
9.23÷0.4+0.77÷0.4
47.3×10.1-4.73
0.3×0.25-0.2÷4
五、按要求完成下题。(4分)
请把下图中的黑色箭头向右平移10格得到图A,再把图A向下平移2格得到图B。
六、解决问题。(25分)
1.军犬的耐力是比较大的。有关资料显示,在某次战斗中,已知军犬用50分跑完
21.7km的路程,准时传送了重要情报。这只军犬平均每分跑多少千米?(6分)
2.一个汽油桶最多能装汽油5.7kg,要装70kg汽油需要多少个这样的汽油桶?(6分)
3.周末了,明明班的同学去登山。从山脚到山顶共计2.85km。同学们上山用了
2.5时,沿原路下山用了1.5时,上山、下山的平均速度分别是多少?(8分)
4.有56个桃子,三个三个地装能正好装完吗?两个两个地装呢?五个五个地装呢?
(5分)
**2016-2017学年上学期五年级期中检测卷**
**参考答案**
一、1.2,7,0,1,120,25 2,7,0,1,120,25 2,7
25,120 7,1,25 2,0,120 2.*b*,*c a a b*,*c*
3.0 1 2 2 4.右 7 下 3
5.\> \> \< \>
6.3.04 1.5 7. 0.12 3.4
二、1.✕ 2.✕ 3.✕ 4.✕ 5.✕
三、1.C 2.B 3.B 4.C
四、1.4 104 0.63 11 0 0.5 4 5.7
2.24 0.93 2.5 3.09
3.54 25 473 0.025
五、略
六、1.21.7÷50=0.434(km)
2.70÷5.7≈13(个)
3.2.85÷2.5=1.14(km) 2.85÷1.5=1.9(km)
4.不能 能 不能
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**2020-2021学年吉林省长春市绿园区汽开区二年级（上）期末数学试卷**
**一、填空（29分）**
1．（5分）
> 每盘有[ ]{.underline}个桃子，有[ ]{.underline}盘，一共有[ ]{.underline}个桃子。
>
> 写成加法算式是[ ]{.underline}（个）
>
> 写成乘法算式是[ ]{.underline}（个）
2．（3分）先把口诀补充完整，再根据口诀写出1个乘法算式和1个除法算式。
> 四九[ ]{.underline}；[ ]{.underline}；[ ]{.underline}。
3．（1分）被除数是24，除数是3，商是[ ]{.underline}。
4．（1分）1张50元、4张5元和3张1元，一共是[ ]{.underline}元。
5．（6分）横线里最大能填几？
[ ]{.underline}×5＜11 [ ]{.underline}×4＜31 6×[ ]{.underline}＜40
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
[ ]{.underline}×7＜54 8×[ ]{.underline}＜71 9×[ ]{.underline}＜50
6．（6分）在横线里填上"＞""＜"或"＝"。
6×4[ ]{.underline}6×5 48÷6[ ]{.underline}48÷8 3×3[ ]{.underline}72÷8
------------------------------ ----------------------------- -------------------------------
98厘米[ ]{.underline}1米 5元[ ]{.underline}10角 14角[ ]{.underline}1元4角
7．（2分）在横线里填上合适的长度单位。
> 一棵大树高约10[ ]{.underline}。
>
> 课桌长约60[ ]{.underline}。
8．（2分）在横线里填上合适的人民币单位。
> 1支铅笔的价钱约为8[ ]{.underline}。
>
> 1个书包的价钱约为50[ ]{.underline}。
9．（3分）看图填数。
> 铅笔长[ ]{.underline}厘米
>
> 钥匙长[ ]{.underline}厘米
>
> 树叶长[ ]{.underline}厘米
**二.计算（29分）**
10．（20分）直接写得数。
3×2＝ 5×4＝ 7×3＝ 14÷2＝ 2×8＝
-------- -------- -------- -------- --------
9×1＝ 42÷7＝ 9×2＝ 5×5＝ 32÷4＝
40÷8＝ 5×3＝ 27÷3＝ 56÷8＝ 9×9＝
6×6＝ 63÷7＝ 9×6＝ 72÷9＝ 28÷7＝
11．（9分）竖式计算。
------------ ------------- ---------------
36+28+23＝ 63+12﹣38＝ 100﹣55﹣19＝
------------ ------------- ---------------
**三.按要求完成下列各题（18分）**
12．（8分）想一想，连一连。
13．（2分）画一条比8厘米短2厘米长的线段．
14．（4分）按要求画图，再写出算式。
> （1）先画出10个〇，再把这些〇平均分成2份。[ ]{.underline}；[ ]{.underline}
>
> （2）△的个数是▲的4倍，请你画出△。
>
> [ ]{.underline}；[ ]{.underline}
15．（4分）第一行的图案是从第二行的哪张纸上剪下来的？连一连。
**四.解决问题（24分）**
16．（6分）1辆轿车有4个轮子，4辆轿车一共有多少个轮子？
17．（6分）摆1个三角形需要3根小棒，这些小棒能摆几个三角形？
18．（6分）购物。
> （1）1条裙子多少元？
>
> （2）1件衣服的价钱比1条裙子便宜多少元？
>
> （3）1件衣服的价钱是1顶帽子的几倍？
19．（6分）二年一班共有42名同学，发给每人1个苹果，还剩几个苹果？
**五、附加题（10分）**
20．妈妈买来一些梨，每个盘子里放3个余1个，每个盘子里放5个余3个，每个盘子里放4个正好放完。这些梨一共有[ ]{.underline}个。
21．一根绳子对折后再对折，每段长8米，这根绳子一共长[ ]{.underline}米。
**2020-2021学年吉林省长春市绿园区汽开区二年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空（29分）**
1．【分析】根据图意可得：每盘有3个桃子，有4盘，求一共有多少个桃子，就相当于求4个3是多少，可以用加法计算，也可以用乘法计算。
> 【解答】解：每盘有3个桃子，有4盘，一共有12个桃子。
>
> 写成加法算式是：3+3+3+3＝12（个）
>
> 写成乘法算式是：3×4＝12（个）
>
> 故答案为：3、4、12；3+3+3+3＝12（个）；3×4＝12（个）。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
2．【分析】两个乘数是4和9，口诀就是四九三十六，乘积是36，用乘数×乘数＝积可以得出乘法算式，再用积÷一个因数＝另一个因数，得到除法算式。
> 【解答】解：四九三十六；
>
> 乘法算式：4×9＝36或9×4＝36；
>
> 除法算式：36÷4＝9或36÷9＝4。
>
> 故答案为：三十六，4×9＝36（或9×4＝36），36÷4＝9（或36÷9＝4）。
>
> 【点评】本题考查了乘除法最基础的内容乘法口诀，要熟记口诀，并能根据口诀写出乘法和除法算式。
3．【分析】已知被除数和除数，用被除数除以除数即可得到商。
> 【解答】解：24÷3＝8
>
> 商是8。
>
> 故答案为：8。
>
> 【点评】解决本题根据被除数÷除数＝商求解。
4．【分析】1张50元是50元、4张5元是20元，3张1元的是3元，把它们相加即可。
> 【解答】解：50+4×5+3×1
>
> ＝50+20+3
>
> ＝73（元）
>
> 答：一共是73元。
>
> 故答案为：73。
>
> 【点评】解决本题关键是根据乘法的意义得出4张5元和3张1元各是多少元，再根据加法的意义求解。
5．【分析】要求最大能填几，用所比较的数除以已知的因数，如果有余数，所得的商就是要填的最大的数；没有余数，所得的商减去1，就是要填的最大的数；然后再进一步解答。
> 【解答】解：
2×5＜11 7×4＜31 6×6＜40
--------- --------- ---------
7×7＜54 8×8＜71 9×5＜50
> 故答案为：2，7，6，7，8，5。
>
> 【点评】先把大于号或者小于号看成等号，再根据算式中各部分的关系求出未知项，如果有余数，运算的商就是可以填的最大的数；填上数后注意验证一下。
6．【分析】先根据整数乘除法的运算法则计算出各算式的结果再比较，单位不统一的统一单位。
> 【解答】解：
6×4＜6×5 48÷6＞48÷8 3×3＝72÷8
------------- ------------ --------------
98厘米＜1米 5元＞10角 14角＝1元4角
> 故答案为：＜；＞；＝；＜；＞；＝。
>
> 【点评】本题主要考查整数大小的比较，关键是利用整数乘除法的运算法则，先计算，再根据整数大小比较的方法比较。
7．【分析】根据生活经验以及对长度单位和数据大小的认识，结合实际情况可知：计量一棵大树的高度用"米"做单位，计量课桌的长度用"厘米"做单位，据此解答即可。
> 【解答】解：一棵大树高约10米。
>
> 课桌长约60厘米。
>
> 故答案为：米，厘米。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
8．【分析】根据生活经验，对人民币单位和数据大小的认识，可知计量1支铅笔的价钱用"角"做单位；计量1个书包的价钱用"元"做单位，由此解答即可。
> 【解答】解：1支铅笔的价钱约为8角。
>
> 1个书包的价钱约为50元。
>
> 故答案为：角，元。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
9．【分析】根据图示，物体的一端与0刻度对齐，根据另一端的刻度，即可读出物体的长度。
> 【解答】解：铅笔长9厘米；
>
> 钥匙长6厘米；
>
> 树叶长4厘米。
>
> 故答案为：9；6；4。
>
> 【点评】本题主要考查长度的测量方法，关键是培养学生的观察能力和动手操作能力。
**二.计算（29分）**
10．【分析】根据整数乘除法的计算方法直接进行口算即可。
> 【解答】解：
3×2＝6 5×4＝20 7×3＝21 14÷2＝7 2×8＝16
--------- --------- --------- --------- ---------
9×1＝9 42÷7＝6 9×2＝18 5×5＝25 32÷4＝8
40÷8＝5 5×3＝15 27÷3＝9 56÷8＝7 9×9＝81
6×6＝36 63÷7＝9 9×6＝54 72÷9＝8 28÷7＝4
> 【点评】直接写得数时，要注意运算数据和运算符号，细心计算即可。
11．【分析】根据整数加减法和四则运算的顺序进行计算即可。
> 【解答】解：36+28+23＝87
>
> 63+12﹣38＝37
>
> 100﹣55﹣19＝26
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的竖式计算方法，注意相同数位要对齐。
**三.按要求完成下列各题（18分）**
12．【分析】左边图：有5盘苹果，每盘3个，也就是5个3，可以用加法算式3+3+3+3+3求解，也可以用乘法算式3×5或者5×3求解；
> 右边图：有3盘梨，每盘5个，也就是3个5，可以用加法算式5+5+5求解，也可以用乘法算式3×5或者5×3求解。
>
> 【解答】解：连线如下：
>
> 【点评】本题考查了学生对于乘法意义的理解：求几个相同加数和的简便运算。
13．【分析】比8厘米短2厘米就是8﹣2＝6厘米；先画一个点，用直尺的"0"刻度和这点重合，然后在直尺上找出6厘米的刻度，点上点，然后过这两点画线段即可．
> 【解答】解：8厘米﹣2厘米＝6厘米，
>
> 如图所示，先画一个点*A*，用直尺的"0"刻度和这点重合，然后在直尺上找出厘米的刻度，点上点*B*，然后过这两点画线段即可．
>
> 【点评】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握．
14．【分析】（1）画出10个圆，把这10平均分成2份，所以用10除以2求出一份是5个圆。
> （2）▲有2个，△的个数是▲的4倍，即△的个数是2的4倍，所以△的个数是2×4＝8（ 个）。
>
> 【解答】解：（1）
>
> 10÷2＝5（个）
>
> （2）
>
> 故答案为：
>
> ，10÷2＝5（个）；，2×4＝8（个）。
>
> 【点评】本题考查了平均分的意义和倍数的意义。
15．【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征。
**四.解决问题（24分）**
16．【分析】求4辆轿车一共有多少个轮子，就相当于求4个4是多少，用乘法计算即可。
> 【解答】解：4×4＝16（个）
>
> 答：4辆轿车一共有16个轮子。
>
> 【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键。
17．【分析】根据图意可得共有24根，求这些小棒能摆几个三角形，就相当于求24里面有几个3，用除法计算。
> 【解答】解：24÷3＝8（个）
>
> 答：这些小棒能摆8个三角形。
>
> 【点评】本题解答依据是：包含除法的意义，求一个数里面有几个几，用除法计算。
18．【分析】（1）一顶帽子的价格是9元，一条裙子的价格是帽子的8倍，求一条裙子多少元，根据求一个数的几倍是多少，用乘法解答。
> （2）一件上衣的价格是45元，求一件上衣比一条裙子便宜多少元，根据求一个数比另一个数少几，用减法解答。
>
> （3）根据求一个数是另一个数的几倍，用除法解答。
>
> 【解答】解：（1）9×8＝72（元）
>
> 答：1条裙子72元。
>
> （2）72﹣45＝27（元）
>
> 答：1件衣服的价钱比1条裙子便宜27元。
>
> （3）45÷9＝5
>
> 答：1件上衣的价格是1顶帽子的5倍。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
19．【分析】两筐共有32×2＝64个，然后根据减法的意义，用64减去42即可。
> 【解答】解：32×2＝64（个）
>
> 64﹣42＝22（个）
>
> 答：发给每人1个苹果，还剩22个苹果。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
**五、附加题（10分）**
20．【分析】根据题意，这些梨，每个盘子里放3个余1个，每个盘子里放5个余3个，每个盘子里放4个正好放完。根据求一个数的倍数的方法，先求出4的倍数，4的倍数有4、8、12、16、20、24、28、32...，再根据3、5的倍数的特征，一个各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数，由此可知，28是4的倍数，28除以3商是9，余数是1；28除以5商是5，余数是3；据此解答。
> 【解答】解：4的倍数有4、8、12、16、20、24、28、32...，
>
> 其中28÷3＝9...1
>
> 28÷5＝5...3
>
> 答：这些梨一共有28个。
>
> 故答案为：28。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的倍数的方法及应用。
21．【分析】每对折一次绳子的长度是原来的一半，先用8米乘2求出对折一次后的长度，再乘2就是原来的长度。
> 【解答】解：8×2×2
>
> ＝16×2
>
> ＝32（米）
>
> 答：这根绳子一共长32米。
>
> 故答案为：32。
>
> 【点评】解决本题关键是明确：每对折一次绳子的长度是原来的一半。
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**2017年高考衡水猜题卷**
**理科数学**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.某样本中共有个个体，其中四个值分别为，第五个值丢失，但该样本的数为，则样本方差为（ ）
A． B． C． D．
4.双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）
A． B． C. D．
5.若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）
A． B． C. D．或
6.已知，则（ ）
A． B． C. D．
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章"均输"中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）
A． B． C. D．
8.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）
A． B． C. D．
9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是（ ）
A． B． C.  D．
10.在中，，则的值所在区间为（ ）
A． B． C. D．
11.已知符号函数那么的大致图象是（ ）
A． B． C.  D．
12.已知函数，对于任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知，则的值是 [ ]{.underline} ．
14.已知一个公园的形状如图所示，现有种不同的植物要种在此公园的，这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有 [ ]{.underline} 种．
15.已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
16.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角为，则四面体的外接球的表面积为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）令，求数列的前项和.
18\. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知为线段的中点.
（I）求证：平面；
（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦角.
19\. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在年月日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日名游客中抽取人进行统计分析，结果如下：
------ ------ ------ ---- ----
年龄 频数 频率 男 女
① ② ③ ④
4
合计
------ ------ ------ ---- ----
（I）完成表一中的空位①\~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计年月日当日接待游客中岁以下的游戏的人数.
(II)完成表二，并判断能否有的把握认为在观花游客中"年龄达到岁以上"与"性别"相关；
(表二）
------ -------- -------- ------
岁以上 岁以下 合计
男生
女生
合计
------ -------- -------- ------
-- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- --
（参考公式：，其中）
（III）按分层抽样（分岁以上与岁以下两层）抽取被调查的位游客中的人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这人中选取人接受电视台采访，设这人中年龄在岁以上（含岁）的人数为，求的分布列.
20\. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的"准圆".若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(I)求椭圆的方程和其"准圆"的方程；
(II)点是椭圆的"准圆"上的动点，过点作椭圆的切线交"准圆"于点.
(i)当点为"准圆"与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；
(ii)求证:线段的长为定值.
21\. 已知函数.
(I）若函数在处的切线方程为，求和的值;
(II)讨论方程的解的个数，并说明理由.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.
(I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
(II)将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
(I)当时，解不等式；
(II)当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
**试卷答案**
**一、选择题**
1-5: 6-10: 11、12：
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（I）因为，
，
，
由题意，得，
解得，
所以.
（II）由题意，可知
.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
所以
（或）
18.解：（1）连接和交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点.
因为为的中点，所以.
因为平面平面，
所以平面.
(II)因为平面平面，
所以.
因为为正方形，所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
因为平面平面,
所以.
因为，所以.
因为四边形为正方形，
所以，
所以.
由四边形为正方形，
得,
所以.
设平面的一个法向量为，又知，
由
令，得，
所以.
设平面的一个法向量为，又知,
由
令，得，
所以.
设平面与平面所成的锐二面角为，
又，
则.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19.解：（I）完成表（一）：.
完成以下频率分布直方图：
因为年龄在岁以下的频率为，
以频率作为概率，估计年月日当日接待游客中岁以下的人数为.
（II）完成列联表如下：
------ -------- -------- ------
岁以上 岁以下 合计
男生
女生
合计
------ -------- -------- ------
的观测值，
所以没有的把握认为在观花游客中"年龄达到岁以上"与"性别"相关.
(III)由分层抽样应从这人中抽取到岁以上的人的人数为人，
岁以下的人的人数为人，
故的所有可能的取值为.
，
，
，
故的分布列为
-- -- -- --
-- -- -- --
20.解：（I）因为由题易知，
所以，
所以椭圆的方程为，
准圆的方程为.
(II)(i)因为准圆与轴的正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
由
得.
因为直线与椭圆相切，
所以，解得.
所以的方程分别为，.
因为，所以.
\(ii\) 当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在，则的方程为.
当的方程为，与准圆交于点，，
此时的方程为（或）
显然直线垂直.
同理可证，直线垂直.
②当直线斜率均存在时，
设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为
由
得.
由，化简整理，得.
因为，
所以有.
设直线的斜率分别为，
因为与椭圆相切，
所以满足方程.
所以，即.
综合①②知，因为经过，
又分别交准圆于点，且相互垂直，
所以线段为准圆的直径，
所以，
所以经段的长为定值.
21.解：（I）因为，
又在处的切线方程为，
所以，
解得.
（II）当时，在定义域内恒大于，此时方程无解.
当时，在区间内恒成立，
所以的定义域内为增函数.
因为，
所以方程有唯一解.
当时，.
当时，，
在区间内为减函数，
当时，，
在区间内为增函数，
所以当时，
取得最小值.
当时，，无方程解；
当时，，方程有唯一解.
当时，，
因为，且，
所以方程在区间内有唯一解，
当时，
设，
所以在区间内为增函数，
又，所以，即，
故.
因为，
所以.
所以方程在区间内有唯一解，
所以方程在区间内有两解，
综上所述，当时，方程无解，
当，或时，方程有唯一解，
当时，方程有两个解.
22.解：（I）直线的一般方程为，
曲线的直角坐标方程为.
因为，
所以直线和曲线相切.
（II）曲线为.
曲线经过伸缩变换
得到曲线的方程为，
则点的参数方程为（为参数），
所以，
所以的取值范围为.
23.解：（I）当时，原不等式等价于，
即，
所以解集为.
（II）当时，.
令
由图象，易知时，取得最小值.
由题意，知，
所以实数的取值范围为.
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> **函数及表示**
**【考纲要求】**
1\. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
2\. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3\. 了解简单的分段函数，并能简单应用．
**【知识网络】**
**【考点梳理】**
**1、映射的定义**
设是两个非空的集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B中的元素在集合A中没有元素和它对应。
**2、函数的概念**
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：.
其中叫做自变量，叫做函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。
**3、函数的三要素**
函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。
**4、两个函数能成为同一函数的条件**
当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
**5、区间的概念和记号**
设，且，我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半闭半开区间，分别表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。
（4）实数可以用区间表示为""读作"无穷大"，""读作"负无穷大"，""读作"正无穷大"。我们可以把满足的实数表示为
**6、函数的表示方法**
函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。
**7、分段函数**
在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。
**8、求函数的定义域的主要依据**
（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数；（4）指数函数和对数函数的底数且；（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。
**【典型例题】**
**类型一：映射的概念**
**例1．**以下对应中，从集合A到集合B的映射有 [ ]{.underline} ；其中 [ ]{.underline} 是函数 。
   
（1） （2） （3） （4）
**解析：**（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。
**点评：**1.判断是否映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每个元素的象是否唯一；
2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数.
**举一反三：**
【变式】设集合A=R，集合B=R^＋^，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）
A 、 B、
C、 D 、
**【答案】**C；
**解析：**A、B、D中元素没有象。
**例2.** 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。
**解析：**，
所以在作用下的像是；
或
所以在作用下的原像是.
**点评：**弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.
**举一反三：**
【变式】在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）
A、 B、 C、 D、
**【答案】**A；
**解析：**
**类型二：函数的概念**
**例3．**下列各组函数中表示同一函数的是 [ ]{.underline} 。
（1），； （2）；
（3）； （4）。
**解析：**表示同一函数的是（1）、（3）。
其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。
**点评：**对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）的对应法则是相同的。
**举一反三：**
【变式】下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
**【答案】**C；
**解析：**A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同。
**例4．**已知是一次函数，且满足，求
**解析：**由题可设，
所以
化简得
所以 所以
**点评：**换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。
**举一反三：**
【变式】 **已知函数分别由下表给出：**
 
则满足的的值是 [ ]{.underline} .
**【答案】**2；
**解析：**∵；
；
.
∴中.
**类型三：函数的定义域**
**例5．**求下列函数的定义域
⑴； ⑵；
**解析：**（1）由得，
所以函数的定义域为：。
（2）由得，
所以函数的定义域为：。
**点评：**求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。
**举一反三：**
【变式】已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
**【答案】**由的定义域是R，则恒成立，
当时，显然成立；
当时，；
当时，，
综上，选C。
【变式3】若的定义域为，求的定义域。
**【答案】**；
**解析：**本题的实质是求在时的值域。
令，当时，。
故的定义域为。
**例6．**已知的定义域为，求的定义域.
**解析：**∵中,
∴中，即，解得或
∴所求定义域是.
**点评：**有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量的取值范围.如本题中的定义域为即；而的定义域，同样只指中的单一的自变量的取值范围.
（2）在同一法则之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中，应是函数的自变量的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的的定义域是中的取值范围，此处的取值范围已不是中的的取值范围；但中的与中的的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。
**举一反三：**
【变式】设函数，则函数的定义域是 [ ]{.underline} 。
**【答案】**由函数知，所以
**类型四：分段函数**
**例7．**已知函数，求：
（1）的值；（2）的定义域、值域。
**解析：**
（1）∵， ∴
∴
（2）的定义域为，即
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得的值域为。
**点评：**分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。
**举一反三：**
【变式】设，，则 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} .
**【答案】**：。
**解析：**，；
，.
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第7课《旋转体的计算》试题附答案**
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**答案**
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六年级奥数上册：第七讲 旋转体的计算 习题解答
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------体积与容积》同步检测1（附答案）**
一、物体所占（ ）的大小叫做物体的体积。容器所容纳物体的体积，叫做容器的（ ）。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、数一数，下面图形分别是由几个小正方体组成的。
三、把12个棱长为1厘米的正方体木块摆成不同形状的长方体，有几种不同的摆法？它们的长、宽、高分别是多少？
四、有一个长方体的蓄水池，池壁厚15厘米，空蓄水池的体积和容积一样大吗？
五、把长为2米，宽为1米，高为1米的木板箱放入一个长为6米，宽为4米，高为3米的房间，最多可以放入几个同样大小的木板箱？
六、把一个正方体的六个面都涂上油漆，如果按右图所示把它贫割成27个小正方体，那么：来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 三面涂油漆的小正方体有 [ ]{.underline} 个，
>
> 两面涂油漆的小正方体有 [ ]{.underline} 个，
>
> 一面涂油漆的小正方体有 [ ]{.underline} 个，
>
> 没有涂油漆的小正方体有 [ ]{.underline} 个。
七、幼儿园小朋友捏橡皮泥玩。同样的一团橡皮泥，第一个小朋友把它捏成小鸡的形状，
> 第二个小朋友把它捏成小狗的形状，捏成的两种形状哪一个体积大？
八、明明认为外面看上去大一些的容器，它的容积肯定也大一些，你同意他的观点吗？
九、把一块长方体的豆腐切成两半，切成的两块下豆腐和原来相比，体积发生了什么变化？表面积呢？变大还是变小？
十、课外调查。
> 日常生活中随处可见的饮料瓶上和包装袋上常常可以看到这个的字眼：容积550毫升，你能试着收集几个有关容积的数据吗？
**部分答案：**
一、空间 容积
二、4 6 18
四、不一样大
五、36个
六、8 12 6 1
七、一样大
八、不同意
九、体积不变，表面积变大来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合A={x\|\|x\|≤2，x∈R}，B={x\|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．\[0，2\] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知复数Z=，则\|z\|=（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）曲线y=x^3^﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2
5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P~0~（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．3πa^2^ B．6πa^2^ C．12πa^2^ D．24πa^2^
8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），则{x\|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A．{x\|x＜﹣2或x＞4} B．{x\|x＜0或x＞4} C．{x\|x＜0或x＞6} D．{x\|x＜﹣2或x＞2}
10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）
A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20）
12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为[ ]{.underline}．
14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1\]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1\]上的均匀随机数x~1~，x~2~，...，x~n~和y~1~，y~2~，...，y~n~，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2...，N）．再数出其中满足y~1~≤f（x）（i=1，2...，N）的点数N~1~，那么由随机模拟方法可得S的近似值为[ ]{.underline}．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的[ ]{.underline}（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（10分）设等差数列{a~n~}满足a~3~=5，a~10~=﹣9．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求{a~n~}的前n项和S~n~及使得S~n~最大的序号n的值．
18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
+----------------+-----+-----+
| 性别 | 男 | 女 |
| | | |
| 是否需要志愿者 | | |
+----------------+-----+-----+
| 需要 | 40 | 30 |
+----------------+-----+-----+
| 不需要 | 160 | 270 |
+----------------+-----+-----+
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
附：K^2^=．
20．（10分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：x^2^+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F~1~的直线l与E相交于A、B两点，且\|AF~2~\|，\|AB\|，\|BF~2~\|成等差数列．
（Ⅰ）求\|AB\|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．
21．设函数f（x）=x（e^x^﹣1）﹣ax^2^
（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC^2^=BE•CD．
23．（10分）已知直线C~1~（t为参数），C~2~（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C~1~与C~2~的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C~1~的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（10分）设函数f（x）=\|2x﹣4\|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
**2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合A={x\|\|x\|≤2，x∈R}，B={x\|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．\[0，2\] C．{0，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可得A={x\|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求
【解答】解：∵A={x\|\|x\|≤2}={x\|﹣2≤x≤2}
B={x\|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}
则A∩B={0，1，2}
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题
2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦
【解答】解：设=（x，y），
∵a=（4，3），2a+b=（3，18），
∴
∴cosθ=
=，
故选：C．
【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．
3．（5分）已知复数Z=，则\|z\|=（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．
【解答】解：化简得Z===•
=•=•=，
故\|z\|==，
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．
4．（5分）曲线y=x^3^﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题．
【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上
∵y=x^3^﹣2x+1，
y′=3x^2^﹣2，所以k=y′\|~x﹣1~=1，得切线的斜率为1，所以k=1；
所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求渐近线斜率，再用c^2^=a^2^+b^2^求离心率．
【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，
∴2=•4，=，a=2b，
c==a，e==，
即它的离心率为．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质．
6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P~0~（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．
【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，
再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．
7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．3πa^2^ B．6πa^2^ C．12πa^2^ D．24πa^2^
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）^2^=6a^2^，代入球的表面积公式，S~球~=4πR^2^，即可得到答案．
【解答】解：根据题意球的半径R满足
（2R）^2^=6a^2^，
所以S~球~=4πR^2^=6πa^2^．
故选：B．
【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．
8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】28：操作型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=的值．
∵S==1﹣=
故选：D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），则{x\|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A．{x\|x＜﹣2或x＞4} B．{x\|x＜0或x＞4} C．{x\|x＜0或x＞6} D．{x\|x＜﹣2或x＞2}
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），可得f（x）=f（\|x\|）=2^\|x\|^﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．
【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），可得f（x）=f（\|x\|）=2^\|x\|^﹣4，
则f（x﹣2）=f（\|x﹣2\|）=2^\|x﹣2\|^﹣4，要使f（\|x﹣2\|）＞0，只需2^\|x﹣2\|^﹣4＞0，\|x﹣2\|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．
10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．
【解答】解：∵α是第三象限的角
∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．
11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）
A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20）
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．
【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），
由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，
即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，
又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．
如图：故选B．
【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．
12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为[ x^2^+y^2^=2 ]{.underline}．
【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．
【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x^2^+y^2^=2．
故答案为：x^2^+y^2^=2
【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1\]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1\]上的均匀随机数x~1~，x~2~，...，x~n~和y~1~，y~2~，...，y~n~，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2...，N）．再数出其中满足y~1~≤f（x）（i=1，2...，N）的点数N~1~，那么由随机模拟方法可得S的近似值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．菁优网版权所有
【分析】由题意知本题是求∫~0~^1^f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．
【解答】解：∵∫~0~^1^f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）
的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，
∴根据几何概型易知∫~0~^1^f（x）dx≈．
故答案为：．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的[ ①②③⑤ ]{.underline}（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．
【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；
④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；
故答案为：①②③⑤
【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．
16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=[ 2+]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理 AC^2^=CD^2^+2﹣2CD 得AC^2^=4BD^2^+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．
【解答】用余弦定理求得
AB^2^=BD^2^+AD^2^﹣2AD•BDcos135°
AC^2^=CD^2^+AD^2^﹣2AD•CDcos45°
即 AB^2^=BD^2^+2+2BD ①AC^2^=CD^2^+2﹣2CD ②
又BC=3BD
所以 CD=2BD
所以 由（2）得AC^2^=4BD^2^+2﹣4BD（3）
因为 AC=AB
所以 由（3）得 2AB^2^=4BD^2^+2﹣4BD （4）
（4）﹣2（1）
BD^2^﹣4BD﹣1=0
求得 BD=2+
故答案为：2+
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（10分）设等差数列{a~n~}满足a~3~=5，a~10~=﹣9．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求{a~n~}的前n项和S~n~及使得S~n~最大的序号n的值．
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【分析】（1）设出首项和公差，根据a~3~=5，a~10~=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．
（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a~n~}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
【解答】解：（1）由a~n~=a~1~+（n﹣1）d及a~3~=5，a~10~=﹣9得
a~1~+9d=﹣9，a~1~+2d=5
解得d=﹣2，a~1~=9，
数列{a~n~}的通项公式为a~n~=11﹣2n
（2）由（1）知S~n~=na~1~+d=10n﹣n^2^．
因为S~n~=﹣（n﹣5）^2^+25．
所以n=5时，S~n~取得最大值．
【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．
18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．
【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．
（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】解：
（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．
所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD（6分）
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．
所以HA=HB=．
因为∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=，HD=HC=1．
可得PH=．
等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）
所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．
19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
+----------------+-----+-----+
| 性别 | 男 | 女 |
| | | |
| 是否需要志愿者 | | |
+----------------+-----+-----+
| 需要 | 40 | 30 |
+----------------+-----+-----+
| 不需要 | 160 | 270 |
+----------------+-----+-----+
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
附：K^2^=．
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，
（2）求K^2^的观测值查表，下结论；
（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．
【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
（2）K^2^的观测值 
因为9.967＞6.635，且P（K^2^≥6.635）=0.01，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．
【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．
20．（10分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：x^2^+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F~1~的直线l与E相交于A、B两点，且\|AF~2~\|，\|AB\|，\|BF~2~\|成等差数列．
（Ⅰ）求\|AB\|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）由椭圆定义知\|AF~2~\|+\|AB\|+\|BF~2~\|=4，再由\|AF~2~\|，\|AB\|，\|BF~2~\|成等差数列，能够求出\|AB\|的值．
（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x~1~，y~1~），B（x~1~，y~1~），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b^2^）x^2^+2cx+1﹣2b^2^=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．
【解答】解：（1）由椭圆定义知\|AF~2~\|+\|AB\|+\|BF~2~\|=4
又2\|AB\|=\|AF~2~\|+\|BF~2~\|，得
（2）L的方程式为y=x+c，其中
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则A，B两点坐标满足方程组．，
化简得（1+b^2^）x^2^+2cx+1﹣2b^2^=0．
则．
因为直线AB的斜率为1，所以
即．
则．
解得．
【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．
21．设函数f（x）=x（e^x^﹣1）﹣ax^2^
（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．
【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（II）f（x）=x（e^x^﹣1﹣ax），令g（x）=e^x^﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．
【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e^x^﹣1）﹣x^2^，=（e^x^﹣1）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；
∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；
（II）f（x）=x（e^x^﹣1﹣ax）．
令g（x）=e^x^﹣1﹣ax，则g\'（x）=e^x^﹣a．
若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g\'（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g\'（x）＜0，g（x）为减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
综合得a的取值范围为（﹣∞，1\]．
另解：当x=0时，f（x）=0成立；
当x＞0，可得e^x^﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，
由y=e^x^﹣x﹣1的导数为y′=e^x^﹣1，
当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，
可得函数y取得最小值0，即e^x^﹣x﹣1≥0，
x＞0时，可得≥1，
则a≤1．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC^2^=BE•CD．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（I）先根据题中条件：""，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．
（II）欲证BC^2^=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故．
即BC^2^=BE×CD．（10分）
【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．
23．（10分）已知直线C~1~（t为参数），C~2~（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C~1~与C~2~的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C~1~的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（I）先消去参数将曲线C~1~与C~2~的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．
【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C~1~的普通方程为，C~2~的普通方程为x^2^+y^2^=1．
联立方程组，
解得C~1~与C~2~的交点为（1，0）．
（Ⅱ）C~1~的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．
则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，
联立①②可得x=sin^2^α，y=﹣cosαsinα；
A点坐标为（sin^2^α，﹣cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，
P点轨迹的普通方程．
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．
24．（10分）设函数f（x）=\|2x﹣4\|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．
【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；
（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，
函数y=f（x）的图象如图所示．
（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）
当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．
故不等式f（x）≤ax的解集非空时，
a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪\[，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
| 1 | |
**北师大版小学数学总复习《正比例、反比例》检测试题（附答案）**
一、认真考虑，仔细填一填。
> 1、书桌长80cm，宽60cm，长与宽的比是（ ），化成最简便的整数比是（ ），比值是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 2、3:4 = =（ ）（小数）=（ ）%。
>
> 3、4:9 =（ ）:0.9，外项有（ ），内项有（ ）。
>
> 4、两地路程一定，汽车行驶的速度和所用时间成（ ）比例。
>
> 5、单价一定，购买物品的数量和总价成（ ）比例。
二、判断下列各题中的两个量是否成比例关系，如果成比例，是成正比例关系，还是成反比例关系。
1、西瓜的单价一定，购买西瓜的数量和总价。 （ ）
2、轮船行驶的路程一定，行驶速度和时间。 （ ）
3、加工零件的时间一定，工作效率和工作总量。 （ ）
4、在同一个圆里，他的直径和半径。 （ ）
三、认真思考，仔细填写。
1、下面表格中的两个数量是否成正比例或反比例？为什么？来源：www.bcjy123.com/tiku/
彩带的长度和所需要的钱数。
2、请把表中的两个数量关系在方格纸上用点表示出来。
（1）连接各点，它们在一条直线上吗？
（2）买彩带2.5米大约需要多少元？4.5米呢？
四、一个面积为16m^2^的长方形。
1、长方形的长和宽成反比例吗？为什么？
> 2、在下图中描出表示长和相应宽的点，然后它们按顺序连起来，观察图形的特点，并利用图像估计如果长5m，宽大约是多少？
五、解决问题。
> 十一黄金周，亮亮和梦梦的爸爸
>
> 分别开着小轿车出发了。请根据
>
> 右图回答问题。（亮亮家的车为甲
>
> 车，梦梦家的车为乙车）
1、汽车行驶的路程与时间是否成
比例？成什么比例？为什么？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、甲乙两车的速差是多少？
3、2.5小时后两车相距多少千米？
六、在夏令营营地，有5名同学打电话持续时间和所花钱数如下图所示，谁打电话每分花的钱最多？
**部分答案：**
一、1、80:60 4:3 1
2、 0.75 75
3、0.4 4和0.9 9和0.4
4、反
5、正
二、1、正比例 2、反比例 3、正比例 4、正比例
四、1、面积一定，长方形的长与宽成反比例。
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**目录**
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国Ⅰ卷） 1
2019年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅱ卷） 12](\l)
2019年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅲ卷） 22](\l)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅰ卷） 33](\l)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅱ卷） 52](\l)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅲ卷） 60](\l)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（北京卷） 70](\l)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（天津卷） 80](\l)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 [数学（浙江卷） 91](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅰ卷） 101](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅱ卷） 111](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅲ卷） 122](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（北京卷） 132](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（天津卷） 141](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [数学（浙江卷） 150](\l)
2017年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（山东卷） 161](\l)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅰ卷） 176](\l)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅱ卷） 189](\l)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅲ卷） 199](\l)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（北京卷） 209](\l)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（天津卷） 218](\l)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（山东卷） 229](\l)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅰ卷） 243](\l)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅱ卷） 254](\l)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（北京卷） 263](\l)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（天津卷） 272](\l)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（山东卷） 283](\l)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅰ卷） 295](\l)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（全国Ⅱ卷） 304](\l)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（北京卷） 313](\l)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（天津卷） 322](\l)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 [理科数学（山东卷） 334](\l)
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅰ卷）
===================
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则=
> A． B． C． D．
2．设复数*z*满足，*z*在复平面内对应的点为(*x*，*y*)，则
> A． B． C． D．
3．已知，则
> A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
> A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数*f*(*x*)=在的图像大致为
> A． B．
>
> C． D．
6．我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化．每一"重卦"由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻"------"和阴爻"--- ---"，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
> A． B． C． D．
7．已知非零向量***a***，***b***满足，且***b***，则***a***与***b***的夹角为
> A． B． C． D．
8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
> A．*A*= B．*A*= C．*A*= D．*A*=
9．记为等差数列的前*n*项和．已知，则
> A． B． C． D．
10．已知椭圆*C*的焦点为，过*F*~2~的直线与*C*交于*A*，*B*两点．若，，则*C*的方程为
> A． B． C． D．
11．关于函数有下述四个结论：
> ①*f*(*x*)是偶函数 ②*f*(*x*)在区间（，）单调递增
>
> ③*f*(*x*)在有4个零点 ④*f*(*x*)的最大值为2
>
> 其中所有正确结论的编号是
>
> A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥*P*−*ABC*的四个顶点在球*O*的球面上，*PA*=*PB*=*PC*，△*ABC*是边长为2的正三角形，*E*，*F*分别是*PA*，*AB*的中点，∠*CEF*=90°，则球*O*的体积为
> A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．记*S~n~*为等比数列{*a~n~*}的前*n*项和．若，则*S*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为"主主客客主客主"．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．已知双曲线*C*：的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，过*F*~1~的直线与*C*的两条渐近线分别交于*A*，*B*两点．若，，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
> 的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，设．
>
> （1）求*A*；
>
> （2）若，求sin*C*．
18．（12分）
> 如图，直四棱柱*ABCD--A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面是菱形，*AA*~1~=4，*AB*=2，∠*BAD*=60°，*E*，*M*，*N*分别是*BC*，*BB*~1~，*A*~1~*D*的中点．
（1）证明：*MN*∥平面*C*~1~*DE*；
（2）求二面角*A−MA*~1~*−N*的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线*C*：*y*^2^=3*x*的焦点为*F*，斜率为的直线*l*与*C*的交点为*A*，*B*，与*x*轴的交点为*P*．
（1）若\|*AF*\|+\|*BF*\|=4，求*l*的方程；
（2）若，求\|*AB*\|．
20．（12分）
> 已知函数，为的导数．证明：
>
> （1）在区间存在唯一极大值点；
>
> （2）有且仅有2个零点．
21．（12分）
> 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为*α*和*β*，一轮试验中甲药的得分记为*X*．
>
> （1）求的分布列；
>
> （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示"甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效"的概率，则，，，其中，，．假设，．
>
> (i)证明：为等比数列；
>
> (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*t*为参数）．以坐标原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线*l*的极坐标方程为．
>
> （1）求*C*和*l*的直角坐标方程；
>
> （2）求*C*上的点到*l*距离的最小值．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知*a*，*b*，*c*为正数，且满足*abc*=1．证明：
>
> （1）；
>
> （2）．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题
13．*y*=3*x* 14． 15．0.18 16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得，故由正弦定理得．
> 由余弦定理得．
>
> 因为，所以．
>
> （2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
>
> 即，可得．
>
> 由于，所以，故
>
> ．
18．解：（1）连结*B*~1~*C*，*ME*．
> 因为*M*，*E*分别为*BB*~1~，*BC*的中点，
>
> 所以*ME*∥*B*~1~*C*，且*ME*=*B*~1~*C*．
>
> 又因为*N*为*A*~1~*D*的中点，所以*ND*=*A*~1~*D*．
>
> 由题设知*A*~1~*B*~1~*DC*，可得*B*~1~*CA*~1~*D*，故*MEND*，
>
> 因此四边形*MNDE*为平行四边形，*MN*∥*ED*．
>
> 又*MN*平面*EDC*~1~，所以*MN*∥平面*C*~1~*DE*．
>
> （2）由已知可得*DE*⊥*DA*．
>
> 以*D*为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系*D*−*xyz*，则
>
> 
>
> ，*A*~1~(2，0，4)，，，，，，．
>
> 设为平面*A*~1~*MA*的法向量，则，
>
> 所以可取．
>
> 设为平面*A*~1~*MN*的法向量，则
>
> 所以可取．
>
> 于是，
>
> 所以二面角的正弦值为．
19．解：设直线．
> （1）由题设得，故，由题设可得．
>
> 由，可得，则．
>
> 从而，得．
>
> 所以的方程为．
>
> （2）由可得．
>
> 由，可得．
>
> 所以．从而，故．
>
> 代入的方程得．
>
> 故．
20．解：（1）设，则，.
> 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
>
> 设为.
>
> 则当时，；当时，.
>
> 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
>
> （2）的定义域为.
>
> （i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
>
> （ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
>
> 又，，所以当时，.从而， 在没有零点.
>
> （iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
>
> （iv）当时，，所以\<0，从而在没有零点.
>
> 综上，有且仅有2个零点.
21．解：*X*的所有可能取值为.
> 所以的分布列为
>
> 
>
> （2）（i）由（1）得.
>
> 因此，故，即
>
> .
>
> 又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列．
>
> （ii）由（i）可得
>
> .
>
> 由于，故，所以
>
> 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
>
> 22．解：（1）因为，且，所以*C*的直角坐标方程为.
>
> 的直角坐标方程为.
>
> （2）由（1）可设*C*的参数方程为（为参数，）.
>
> *C*上的点到的距离为.
>
> 当时，取得最小值7，故*C*上的点到距离的最小值为.
23．解：（1）因为，又，故有
> .
>
> 所以.
>
> （2）因为为正数且，故有
>
> =24.
>
> 所以.
**绝密★启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（全国Ⅱ卷）
===================
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
**1．**设集合*A*={*x*\|*x*^2^--5*x*+6\>0}，*B*={*x*\|*x*--1\<0}，则***A*∩*B*=**
> **A．**(--∞，1) **B．**(--2，1)
>
> **C．**(--3，--1) **D．**(3，+∞)
>
> **2．**设*z*=--3+2i，则在复平面内对应的点位于
>
> **A．**第一象限 **B．**第二象限
>
> **C．**第三象限 **D．**第四象限
>
> 3**．**已知=(2,3)，=(3，*t*)，=1，则=
>
> **A．--3 B．--2**
>
> **C．2 D．3**
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为*M*~１~，月球质量为*M*~２~，地月距离为*R*，点到月球的距离为*r*，根据牛顿运动定律和万有引力定律，*r*满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则*r*的近似值为
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
>
> **A．中位数 B．**平均数
>
> **C．**方差 **D．**极差
6．若*a*\>*b*，则
> A．ln(*a*−*b*)\>0 B．3*^a^*\<3*^b^*
>
> C．*a*^3^−*b*^3^\>0 D．│*a*│\>│*b*│
7．设*α*，*β*为两个平面，则*α*∥*β*的充要条件是
> A．*α*内有无数条直线与*β*平行 B．*α*内有两条相交直线与*β*平行
>
> C．*α*，*β*平行于同一条直线 D．*α*，*β*垂直于同一平面
8．若抛物线*y*^2^=2*px*(*p*\>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则*p*=
> A．2 B．3
>
> C．4 D．8
9．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
> A．*f*(*x*)=│cos2*x*│ B．*f*(*x*)=│sin2*x*│
>
> C．*f*(*x*)=cos│*x*│ D．*f*(*x*)=sin│*x*│
10．已知*α*∈(0，)，2sin2*α*=cos2*α*+1，则sin*α*=
> A． B．
>
> C． D．
11．设*F*为双曲线*C*：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于*P*，*Q*两点．若，则*C*的离心率为
> A． B．
>
> C．2 D．
12．设函数的定义域为**R**，满足，且当时，．若对任意，都有，则*m*的取值范围是
> A． B．
>
> C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
> 13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．已知是奇函数，且当时，.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．的内角的对边分别为.若，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有\_\_\_\_\_\_\_\_个面，其棱长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 如图，长方体*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面*ABCD*是正方形，点*E*在棱*AA*~1~上，*BE*⊥*EC*~1~．
>
> 
>
> （1）证明：*BE*⊥平面*EB*~1~*C*~1~；
>
> （2）若*AE*=*A*~1~*E*，求二面角*B*--*EC*--*C*~1~的正弦值．
18．（12分）
> 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了*X*个球该局比赛结束.
>
> （1）求*P*（*X*=2）；
>
> （2）求事件"*X*=4且甲获胜"的概率.
19．（12分）
> 已知数列{*a~n~*}和{*b~n~*}满足*a*~1~=1，*b*~1~=0，，.
>
> （1）证明：{*a~n~*+*b~n~*}是等比数列，{*a~n~*--*b~n~*}是等差数列；
>
> （2）求{*a~n~*}和{*b~n~*}的通项公式.
20．（12分）
> 已知函数.
>
> （1）讨论*f*(*x*)的单调性，并证明*f*(*x*)有且仅有两个零点；
>
> （2）设*x*~0~是*f*(*x*)的一个零点，证明曲线*y*=ln*x*在点*A*(*x*~0~，ln*x*~0~)处的切线也是曲线的切线.
21．（12分）
> 已知点*A*(−2,0)，*B*(2,0)，动点*M*(*x*,*y*)满足直线*AM*与*BM*的斜率之积为−.记*M*的轨迹为曲线*C*.
>
> （1）求*C*的方程，并说明*C*是什么曲线；
>
> （2）过坐标原点的直线交*C*于*P*，*Q*两点，点*P*在第一象限，*PE*⊥*x*轴，垂足为*E*，连结*QE*并延长交*C*于点*G*.
>
> （i）证明：是直角三角形；
>
> （ii）求面积的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在极坐标系中，*O*为极点，点在曲线上，直线*l*过点且与垂直，垂足为*P*.
>
> （1）当时，求及*l*的极坐标方程；
>
> （2）当*M*在*C*上运动且*P*在线段*OM*上时，求*P*点轨迹的极坐标方程.
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知
>
> （1）当时，求不等式的解集；
>
> （2）若时，，求的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B
11．A 12．B
13．0.98 14．--3
15．6 16．26；
17．解：（1）由已知得，平面，平面，
> 故．
>
> 又，所以平面．
>
> （2）由（1）知．由题设知≌，所以，
>
> 故，．
>
> 以为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系*D*--*xyz*，
>
> 
>
> 则*C*（0，1，0），*B*（1，1，0），（0，1，2），*E*（1，0，1），，，．
>
> 设平面*EBC*的法向量为***n***=（*x*，*y*，*x*），则
>
> 即
>
> 所以可取***n***=.
>
> 设平面的法向量为***m***=（*x*，*y*，*z*），则
>
> 即
>
> 所以可取***m***=（1，1，0）．
>
> 于是．
>
> 所以，二面角的正弦值为．
18．解：（1）*X*=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此*P*（*X*=2）=0.5×0.4+（1--0.5）×（1--0.4）=0.5．
> （2）*X*=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
>
> 因此所求概率为\[0.5×（1--0.4）+（1--0.5）×0.4\]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得，即．
> 又因为*a*~1~+*b*~1~=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
>
> 由题设得，即．
>
> 又因为*a*~1~--*b*~1~=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
>
> （2）由（1）知，，．
>
> 所以，
>
> ．
20．解：（1）*f*（*x*）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
> 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
>
> 因为*f*（e）=，，所以*f*（*x*）在（1，+∞）有唯一零点*x*~1~，即*f*（*x*~1~）=0．又，，故*f*（*x*）在（0，1）有唯一零点．
>
> 综上，*f*（*x*）有且仅有两个零点．
>
> （2）因为，故点*B*（--ln*x*~0~，）在曲线*y*=e*^x^*上．
>
> 由题设知，即，故直线*AB*的斜率．
>
> 曲线*y*=e*^x^*在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
>
> 所以曲线在点处的切线也是曲线*y*=e*^x^*的切线．
21．解：（1）由题设得，化简得，所以*C*为中心在坐标原点，焦点在*x*轴上的椭圆，不含左右顶点．
> （2）（i）设直线*PQ*的斜率为*k*，则其方程为．
>
> 由得．
>
> 记，则．
>
> 于是直线的斜率为，方程为．
>
> 由得
>
> ．①
>
> 设，则和是方程①的解，故，由此得．
>
> 从而直线的斜率为．
>
> 所以，即是直角三角形．
>
> （ii）由（i）得，，所以△*PQG*的面积．
>
> 设*t*=*k*+，则由*k*\>0得*t*≥2，当且仅当*k*=1时取等号．
>
> 因为在\[2，+∞）单调递减，所以当*t*=2，即*k*=1时，*S*取得最大值，最大值为．
>
> 因此，△*PQG*面积的最大值为．
22．解：（1）因为在*C*上，当时，．
由已知得．
设为*l*上除*P*的任意一点．在中，，
经检验，点在曲线上．
所以，*l*的极坐标方程为．
（2）设，在中， 即．
因为*P*在线段*OM*上，且，故的取值范围是．
所以，*P*点轨迹的极坐标方程为 ．
23．解：（1）当*a*=1时，．
> 当时，；当时，．
>
> 所以，不等式的解集为．
>
> （2）因为，所以．
>
> 当，时，．
>
> 所以，的取值范围是．
**绝密★启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅲ卷）
===================
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
> A． B． C． D．
2．若，则*z*=
> A． B． C． D．
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（1+2*x*^2^ ）（1+*x*）^4^的展开式中*x*^3^的系数为
> A．12 B．16 C．20 D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{*a~n~*}的前4项和为15，且*a*~5~=3*a*~3~+4*a*~1~，则*a*~3~=
> A．16 B．8 C．4 D．2
6．已知曲线在点（1，*a*e）处的切线方程为*y*=2*x*+*b*，则
> A． B．*a=*e，*b*=1 C． D．，
7．函数在的图像大致为
> A． B．C． D．
8．如图，点*N*为正方形*ABCD*的中心，△*ECD*为正三角形，平面*ECD*⊥平面*ABCD*，*M*是线段*ED*的中点，则
> A．*BM*=*EN*，且直线*BM*，*EN* 是相交直线B．*BM*≠*EN*，且直线*BM*，*EN* 是相交直线C．*BM*=*EN*，且直线*BM*，*EN* 是异面直线
>
> D．*BM*≠*EN*，且直线*BM*，*EN* 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于
> A． B． C． D．
10．双曲线*C*：=1的右焦点为*F*，点*P*在*C*的一条渐近线上，*O*为坐标原点，若，则△*PFO*的面积为
> A． B． C． D．
11．设是定义域为**R**的偶函数，且在单调递减，则
A．（log~3~）＞（）＞（）
B．（log~3~）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log~3~）
D．（）＞（）＞（log~3~）
12．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是\[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知***a***，***b***为单位向量，且***a***·***b***=0，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14．记*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15．设为椭圆*C*:的两个焦点，*M*为*C*上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则*M*的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥*O*---*EFGH*后所得的几何体，其中*O*为长方体的中心，*E*，*F*，*G*，*H*分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm^3^，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
>
> 
>
> 记*C*为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到*P*（*C*）的估计值为0.70．
>
> （1）求乙离子残留百分比直方图中*a*，*b*的值；
>
> （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18．（12分）
> △*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
>
> （1）求*B*；
>
> （2）若△*ABC*为锐角三角形，且*c*=1，求△*ABC*面积的取值范围．
19．（12分）
> 图1是由矩形*ADEB*，Rt△*ABC*和菱形*BFGC*组成的一个平面图形，其中*AB*=1，*BE*=*BF*=2，∠*FBC*=60°，将其沿*AB*，*BC*折起使得*BE*与*BF*重合，连结*DG*，如图2.
（1）证明：图2中的*A*，*C*，*G*，*D*四点共面，且平面*ABC*⊥平面*BCGE*；
（2）求图2中的二面角*B−CG−A*的大小.
20．（12分）
> 已知函数.
>
> （1）讨论的单调性；
>
> （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
21．已知曲线*C*：*y*=，*D*为直线*y*=上的动点，过*D*作*C*的两条切线，切点分别为*A*，*B*.
> （1）证明：直线*AB*过定点：
>
> （2）若以*E*(0，)为圆心的圆与直线*AB*相切，且切点为线段*AB*的中点，求四边形*ADBE*的面积.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4−4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 如图，在极坐标系*Ox*中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
>
> （1）分别写出，，的极坐标方程；
>
> （2）曲线由，，构成，若点在*M*上，且，求*P*的极坐标.
>
> 
23．\[选修4−5：不等式选讲\]（10分）
> 设，且.
>
> （1）求的最小值；
>
> （2）若成立，证明：或.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D
二、填空题
13． 14．4 15． 16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=*a*+0.20+0.15，故*a*=0.35．
> *b*=1--0.05--0.15--0.70=0.10．
>
> （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
>
> 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
>
> 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
>
> 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得．
> 因为sin*A*0，所以．
>
> 由，可得，故．
>
> 因为，故，因此*B*=60°．
>
> （2）由题设及（1）知△*ABC*的面积．
>
> 由正弦定理得．
>
> 由于△*ABC*为锐角三角形，故0°\<*A*\<90°，0°\<*C*\<90°，由（1）知*A*+*C*=120°，所以30°\<*C*\<90°，故，从而．
>
> 因此，△*ABC*面积的取值范围是．
19．解：（1）由已知得*ADBE*，*CGBE*，所以*ADCG*，故*AD*，*CG*确定一个平面，从而*A*，*C*，*G*，*D*四点共面．
> 由已知得*ABBE*，*ABBC*，故*AB*平面*BCGE*．
>
> 又因为*AB*平面*ABC*，所以平面*ABC*平面*BCGE*．
>
> （2）作*EHBC*，垂足为*H*．因为*EH*平面*BCGE*，平面*BCGE*平面*ABC*，所以*EH*平面*ABC*．
>
> 由已知，菱形*BCGE*的边长为2，∠*EBC*=60°，可求得*BH*=1，*EH*=．
>
> 以*H*为坐标原点，的方向为*x*轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系*H*--*xyz*，
> 则*A*（--1，1，0），*C*（1，0，0），*G*（2，0，），=（1，0，），=（2，--1，0）．
>
> 设平面*ACGD*的法向量为***n***=（*x*，*y*，*z*），则
>
> 即
>
> 所以可取***n***=（3，6，--）．
>
> 又平面*BCGE*的法向量可取为***m***=（0，1，0），所以．
>
> 因此二面角*B*--*CG*--*A*的大小为30°．
20\. 解：（1）．
> 令，得*x*=0或.
>
> 若*a*\>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
>
> 若*a*=0，在单调递增；
>
> 若*a*\<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
>
> （2）满足题设条件的*a*，*b*存在.
>
> （i）当*a*≤0时，由（1）知，在\[0，1\]单调递增，所以在区间\[0，l\]的最小值为，最大值为.此时*a*，*b*满足题设条件当且仅当，，即*a*=0，．
>
> （ii）当*a*≥3时，由（1）知，在\[0，1\]单调递减，所以在区间\[0，1\]的最大值为，最小值为．此时*a*，*b*满足题设条件当且仅当，*b*=1，即*a*=4，*b*=1．
>
> （iii）当0\<*a*\<3时，由（1）知，在\[0，1\]的最小值为，最大值为*b*或．
>
> 若，*b*=1，则，与0\<*a*\<3矛盾.
>
> 若，，则或或*a*=0，与0\<*a*\<3矛盾．
>
> 综上，当且仅当*a*=0，或*a*=4，*b*=1时，在\[0，1\]的最小值为-1，最大值为1．
21．解：（1）设，则.
由于，所以切线*DA*的斜率为，故 .
整理得
设，同理可得.
故直线*AB*的方程为.
所以直线*AB*过定点.
（2）由（1）得直线*AB*的方程为.
由，可得.
于是，
.
设分别为点*D*，*E*到直线*AB*的距离，则.
因此，四边形*ADBE*的面积.
设*M*为线段*AB*的中点，则.
> 由于，而，与向量平行，所以.解得*t*=0或.
当=0时，*S*=3；当时，.
因此，四边形*ADBE*的面积为3或.
22.解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.
> 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.
>
> （2）设，由题设及（1）知
>
> 若，则，解得；
>
> 若，则，解得或；
>
> 若，则，解得.
>
> 综上，*P*的极坐标为或或或.
23．解：（1）由于
> ，
>
> 故由已知得，
>
> 当且仅当*x*=，*y*=--，时等号成立．
>
> 所以的最小值为.
>
> （2）由于
>
> ，
>
> 故由已知，
>
> 当且仅当，，时等号成立．
>
> 因此的最小值为．
>
> 由题设知，解得或．
**绝密★启用前**
2018年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅰ卷）
===================
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则【C】
> A． B． C． D．
2．已知集合，则【B】
> A． B．
>
> C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
 
> 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
>
> 则下面结论中不正确的是【A】
>
> A．新农村建设后，种植收入减少
>
> B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
>
> C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
>
> D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记为等差数列的前项和.若，，则【B】
> A． B． C． D．
5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为【D】
> A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，为的中点，则【A】
> A． B． C． D．
>
> 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为【B】
>
> 
>
> A． B． C．3 D．2
8．设抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点为*F*，过点（--2，0）且斜率为的直线与*C*交于*M*，*N*两点，则=【D】
> A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数．若*g*（*x*）存在2个零点，则*a*的取值范围是【C】
> A．\[--1，0） B．\[0，+∞） C．\[--1，+∞） D．\[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形*ABC*的斜边*BC*，直角边*AB*，*AC*．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为*p*~1~，*p*~2~，*p*~3~，则【A】
A．*p*~1~=*p*~2~ B．*p*~1~=*p*~3~
C．*p*~2~=*p*~3~ D．*p*~1~=*p*~2~+*p*~3~
11．已知双曲线*C*：，*O*为坐标原点，*F*为*C*的右焦点，过*F*的直线与*C*的两条渐近线的交点分别为*M、N*.若为直角三角形，则\|*MN*\|=【B】
> A． B．3 C． D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面*α*所成的角都相等，则*α*截此正方体所得截面面积的最大值为【A】
> A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，满足约束条件，则的最大值为 [6]{.underline} ．
14．记为数列的前项和.若，则 [ ]{.underline} ．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 [16]{.underline} 种．（用数字填写答案）
16．已知函数，则的最小值是 [ ]{.underline} ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
> 17．（12分）
>
> 在平面四边形中，，，，.
>
> （1）求；
>
> （2）若，求.
>
> 解：（1）在中，由正弦定理得.
>
> 由题设知，，所以.
>
> 由题设知，，所以.
>
> （2）由题设及（1）知，.
>
> 在中，由余弦定理得
>
> 
>
> 
>
> .
>
> 所以.
18．（12分）
> 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
> 解：（1）由已知可得，*BF*⊥*PF*，*BF*⊥*EF*，所以*BF*⊥平面*PEF*.
>
> 又平面*ABFD*，所以平面*PEF*⊥平面*ABFD*.
>
> （2）作*PH*⊥*EF*，垂足为*H*.由（1）得，*PH*⊥平面*ABFD*.
>
> 以*H*为坐标原点，的方向为*y*轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系*H*−*xyz*.
> 由（1）可得，*DE*⊥*PE*.又*DP*=2，*DE*=1，所以*PE*=.又*PF*=1，*EF*=2，故*PE*⊥*PF*.
>
> 可得.
>
> 则为平面*ABFD*的法向量.
>
> 设*DP*与平面*ABFD*所成角为，则.
>
> 所以*DP*与平面*ABFD*所成角的正弦值为.
19．（12分）
设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
> 解：（1）由已知得，*l*的方程为*x*=1.
>
> 由已知可得，点*A*的坐标为或.
>
> 所以*AM*的方程为或.
>
> （2）当*l*与*x*轴重合时，.
>
> 当*l*与*x*轴垂直时，*OM*为*AB*的垂直平分线，所以.
>
> 当*l*与*x*轴不重合也不垂直时，设*l*的方程为，，
>
> 则，直线*MA*，*MB*的斜率之和为.
>
> 由得
.
> 将代入得
.
> 所以，.
>
> 则.
>
> 从而，故*MA*，*MB*的倾斜角互补，所以.
>
> 综上，.
20．（12分）
> **某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品**．**检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为****，且各件产品是否为不合格品相互独立**．
>
> **（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为****,求****的最大值点**．
>
> **（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的****作为****的值**．**已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用**．
>
> **（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为****，求****;**
>
> **（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？**
>
> 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
>
> .
>
> 令，得.当时，；当时，.
>
> 所以的最大值点为.
>
> （2）由（1）知，.
>
> （i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
>
> 所以.
>
> （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
>
> 由于，故应该对余下的产品作检验.
21．（12分）
**已知函数**．
**（1）讨论****的单调性；**
**（2）若****存在两个极值点****，证明：**．
> 解:（1）的定义域为，.
>
> （i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
>
> （ii）若，令得，或.
>
> 当时，；
>
> 当时，.所以在单调递减，在单调递增.
>
> （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
>
> 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
>
> ，
>
> 所以等价于.
>
> 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
>
> 所以，即.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> **在直角坐标系****中，曲线****的方程为****.以坐标原点为极点，****轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线****的极坐标方程为****.**
**（1）求****的直角坐标方程；**
**（2）若****与****有且仅有三个公共点，求****的方程.**
> 解:（1）由，得的直角坐标方程为．
>
> （2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
>
> 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
>
> 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
>
> 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
>
> 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
>
> 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
>
> 综上，所求的方程为．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
**已知****.**
**（1）当****时，求不等式****的解集；**
**（2）若****时不等式****成立，求****的取值范围.**
> 解：（1）当时，，即
>
> 故不等式的解集为．
>
> （2）当时成立等价于当时成立．
>
> 若，则当时；
>
> 若，的解集为，所以，故．
>
> 综上，的取值范围为．
**绝密★启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
**1．**设集合*A*={*x*\|*x*^2^--5*x*+6\>0}，*B*={*x*\|*x*--1\<0}，则***A*∩*B*=**
> **A．**(--∞，1) **B．**(--2，1)
>
> **C．**(--3，--1) **D．**(3，+∞)
>
> **2．**设*z*=--3+2i，则在复平面内对应的点位于
>
> **A．**第一象限 **B．**第二象限
>
> **C．**第三象限 **D．**第四象限
>
> 3**．**已知=(2,3)，=(3，*t*)，=1，则=
>
> **A．--3 B．--2**
>
> **C．2 D．3**
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为*M*~１~，月球质量为*M*~２~，地月距离为*R*，点到月球的距离为*r*，根据牛顿运动定律和万有引力定律，*r*满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则*r*的近似值为
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
>
> **A．中位数 B．**平均数
>
> **C．**方差 **D．**极差
6．若*a*\>*b*，则
> A．ln(*a*−*b*)\>0 B．3*^a^*\<3*^b^*
>
> C．*a*^3^−*b*^3^\>0 D．│*a*│\>│*b*│
7．设*α*，*β*为两个平面，则*α*∥*β*的充要条件是
> A．*α*内有无数条直线与*β*平行 B．*α*内有两条相交直线与*β*平行
>
> C．*α*，*β*平行于同一条直线 D．*α*，*β*垂直于同一平面
8．若抛物线*y*^2^=2*px*(*p*\>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则*p*=
> A．2 B．3
>
> C．4 D．8
9．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
> A．*f*(*x*)=│cos2*x*│ B．*f*(*x*)=│sin2*x*│
>
> C．*f*(*x*)=cos│*x*│ D．*f*(*x*)=sin│*x*│
10．已知*α*∈(0，)，2sin2*α*=cos2*α*+1，则sin*α*=
> A． B．
>
> C． D．
11．设*F*为双曲线*C*：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于*P*，*Q*两点．若，则*C*的离心率为
> A． B．
>
> C．2 D．
12．设函数的定义域为**R**，满足，且当时，．若对任意，都有，则*m*的取值范围是
> A． B．
>
> C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
> 13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．已知是奇函数，且当时，.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．的内角的对边分别为.若，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有\_\_\_\_\_\_\_\_个面，其棱长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 如图，长方体*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面*ABCD*是正方形，点*E*在棱*AA*~1~上，*BE*⊥*EC*~1~．
>
> 
>
> （1）证明：*BE*⊥平面*EB*~1~*C*~1~；
>
> （2）若*AE*=*A*~1~*E*，求二面角*B*--*EC*--*C*~1~的正弦值．
18．（12分）
> 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了*X*个球该局比赛结束.
>
> （1）求*P*（*X*=2）；
>
> （2）求事件"*X*=4且甲获胜"的概率.
19．（12分）
> 已知数列{*a~n~*}和{*b~n~*}满足*a*~1~=1，*b*~1~=0，，.
>
> （1）证明：{*a~n~*+*b~n~*}是等比数列，{*a~n~*--*b~n~*}是等差数列；
>
> （2）求{*a~n~*}和{*b~n~*}的通项公式.
20．（12分）
> 已知函数.
>
> （1）讨论*f*(*x*)的单调性，并证明*f*(*x*)有且仅有两个零点；
>
> （2）设*x*~0~是*f*(*x*)的一个零点，证明曲线*y*=ln*x*在点*A*(*x*~0~，ln*x*~0~)处的切线也是曲线的切线.
21．（12分）
> 已知点*A*(−2,0)，*B*(2,0)，动点*M*(*x*,*y*)满足直线*AM*与*BM*的斜率之积为−.记*M*的轨迹为曲线*C*.
>
> （1）求*C*的方程，并说明*C*是什么曲线；
>
> （2）过坐标原点的直线交*C*于*P*，*Q*两点，点*P*在第一象限，*PE*⊥*x*轴，垂足为*E*，连结*QE*并延长交*C*于点*G*.
>
> （i）证明：是直角三角形；
>
> （ii）求面积的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在极坐标系中，*O*为极点，点在曲线上，直线*l*过点且与垂直，垂足为*P*.
>
> （1）当时，求及*l*的极坐标方程；
>
> （2）当*M*在*C*上运动且*P*在线段*OM*上时，求*P*点轨迹的极坐标方程.
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知
>
> （1）当时，求不等式的解集；
>
> （2）若时，，求的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B
11．A 12．B
13．0.98 14．--3
15．6 16．26；
17．解：（1）由已知得，平面，平面，
> 故．
>
> 又，所以平面．
>
> （2）由（1）知．由题设知≌，所以，
>
> 故，．
>
> 以为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系*D*--*xyz*，
>
> 
>
> 则*C*（0，1，0），*B*（1，1，0），（0，1，2），*E*（1，0，1），，，．
>
> 设平面*EBC*的法向量为***n***=（*x*，*y*，*x*），则
>
> 即
>
> 所以可取***n***=.
>
> 设平面的法向量为***m***=（*x*，*y*，*z*），则
>
> 即
>
> 所以可取***m***=（1，1，0）．
>
> 于是．
>
> 所以，二面角的正弦值为．
18．解：（1）*X*=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此*P*（*X*=2）=0.5×0.4+（1--0.5）×（1--0.4）=0.5．
> （2）*X*=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
>
> 因此所求概率为\[0.5×（1--0.4）+（1--0.5）×0.4\]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得，即．
> 又因为*a*~1~+*b*~1~=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
>
> 由题设得，即．
>
> 又因为*a*~1~--*b*~1~=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
>
> （2）由（1）知，，．
>
> 所以，
>
> ．
20．解：（1）*f*（*x*）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
> 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
>
> 因为*f*（e）=，，所以*f*（*x*）在（1，+∞）有唯一零点*x*~1~，即*f*（*x*~1~）=0．又，，故*f*（*x*）在（0，1）有唯一零点．
>
> 综上，*f*（*x*）有且仅有两个零点．
>
> （2）因为，故点*B*（--ln*x*~0~，）在曲线*y*=e*^x^*上．
>
> 由题设知，即，故直线*AB*的斜率．
>
> 曲线*y*=e*^x^*在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线*y*=e*^x^*的切线．
21．解：（1）由题设得，化简得，所以*C*为中心在坐标原点，焦点在*x*轴上的椭圆，不含左右顶点．
> （2）（i）设直线*PQ*的斜率为*k*，则其方程为．
>
> 由得．
>
> 记，则．
>
> 于是直线的斜率为，方程为．
>
> 由得．①
>
> 设，则和是方程①的解，故，由此得．
>
> 从而直线的斜率为．
>
> 所以，即是直角三角形．
>
> （ii）由（i）得，，所以△*PQG*的面积．
>
> 设*t*=*k*+，则由*k*\>0得*t*≥2，当且仅当*k*=1时取等号．
>
> 因为在\[2，+∞）单调递减，所以当*t*=2，即*k*=1时，*S*取得最大值，最大值为．
>
> 因此，△*PQG*面积的最大值为．
22．解：（1）因为在*C*上，当时，．
由已知得．
设为*l*上除*P*的任意一点．在中，，
经检验，点在曲线上．
所以，*l*的极坐标方程为．
（2）设，在中， 即．
因为*P*在线段*OM*上，且，故的取值范围是．
所以，*P*点轨迹的极坐标方程为 ．
23．解：（1）当*a*=1时，．
> 当时，；当时，．
>
> 所以，不等式的解集为．
>
> （2）因为，所以．
>
> 当，时，．
>
> 所以，的取值范围是．
**绝密★启用前**
2018年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅱ卷）
===================
注意事项：
> 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
>
> 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
>
> 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【D】
> A． B． C． D．
2．已知集合，则中元素的个数为【A】
> A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数的图像大致为【B】
4．已知向量，满足，，则【B】
> A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为【A】
> A． B． C． D．
6．在中，，，，则【A】
> A． B． C． D．
7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入【B】
> A．
>
> B．
>
> C．
>
> D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是【C】
A． B． C． D．
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为【C】
> A． B． C． D．
10．若在是减函数，则的最大值是【A】
> A． B． C． D．
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则【C】
> A． B．0 C．2 D．50
12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为【D】
A.  B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为 [ ]{.underline}  [.]{.underline}
14．若满足约束条件 则的最大值为 [9]{.underline} .
15．已知，，则 [ ]{.underline}  [.]{.underline}
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 [ ]{.underline}  [.]{.underline}
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 记为等差数列的前项和，已知，．
>
> （1）求的通项公式；
>
> （2）求，并求的最小值．
解：（1）设的公差为*d*，由题意得．
> 由得*d*=2．
>
> 所以的通项公式为．
>
> （2）由（1）得．
>
> 所以当*n*=4时，取得最小值，最小值为−16．
18．（12分）
> 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
> 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
>
> （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
>
> （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元)．
> 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元)．
> （2）利用模型②得到的预测值更可靠．
>
> 理由如下：
>
> （ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
>
> （ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．（12分）
> 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
>
> （1）求的方程；
>
> （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得，*l*的方程为．
> 设，
>
> 由得．
>
> ，故．
>
> 所以．
>
> 由题设知，解得（舍去），．
>
> 因此*l*的方程为．
>
> （2）由（1）得*AB*的中点坐标为，所以*AB*的垂直平分线方程为，即．
>
> 设所求圆的圆心坐标为，则
>
> 解得或
>
> 因此所求圆的方程为或．
20．（12分）
> 如图，在三棱锥中，，，为的中点．
>
> （1）证明：平面；
>
> （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
解：（1）因为，为的中点，所以，且．
> 连结．因为，所以为等腰直角三角形，
>
> 且，．
>
> 由知．
>
> 由知平面．
>
> （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
> 由已知得取平面的法向量．
>
> 设，则．
>
> 设平面的法向量为．
>
> 由得，可取，
>
> 所以．
>
> 由已知可得．
>
> 所以．解得（舍去），．
>
> 所以．
>
> 又，所以．
>
> 所以与平面所成角的正弦值为．
21．（12分）
> 已知函数．
>
> （1）若，证明：当时，；
>
> （2）若在只有一个零点，求．
解：（1）当时，等价于．
> 设函数，则．
>
> 当时，，所以在单调递减．
>
> 而，故当时，，即．
>
> （2）设函数．
>
> 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
>
> （i）当时，，没有零点；
>
> （ii）当时，．
>
> 当时，；当时，．
>
> 所以在单调递减，在单调递增．
>
> 故是在的最小值．
>
> ①若，即，在没有零点；
>
> ②若，即，在只有一个零点；
>
> ③若，即，由于，所以在有一个零点，
>
> 由（1）知，当时，，所以．
>
> 故在有一个零点，因此在有两个零点．
>
> 综上，在只有一个零点时，．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．\[选修4－4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为
>
> （为参数）．
>
> （1）求和的直角坐标方程；
>
> （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
解：（1）曲线的直角坐标方程为．
> 当时，的直角坐标方程为，
>
> 当时，的直角坐标方程为．
>
> （2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
>
> ．①
>
> 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
>
> 又由①得，故，于是直线的斜率．
23．\[选修4－5：不等式选讲\]（10分）
> 设函数．
>
> （1）当时，求不等式的解集；
>
> （2）若，求的取值范围．
解：（1）当时，
> 可得的解集为．
>
> （2）等价于．
>
> 而，且当时等号成立．故等价于．
>
> 由可得或，所以的取值范围是．
**绝密★启用前**
2018年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅲ卷）
===================
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则【C】
> A． B． C． D．
2．【D】
> A． B． C． D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【A】
> 
4．若，则【B】
> A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为【C】
> A．10 B．20 C．40 D．80
6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是【A】
> A． B． C． D．
7．函数的图像大致为【D】
> 
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则【B】
> A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则【C】
> A． B． C． D．
10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为【B】
> A． B． C． D．
11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为【C】
> A． B．2 C． D．
12．设，，则【B】
> A． B．
>
> C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，．若，则 [ ]{.underline}  [.]{.underline}
14．曲线在点处的切线的斜率为，则 [ ]{.underline} .
15．函数在的零点个数为 [3]{.underline} .
16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 [2]{.underline} .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 等比数列中，．
>
> （1）求的通项公式；
>
> （2）记为的前项和．若，求．
>
> 解：（1）设的公比为，由题设得.
>
> 由已知得，解得（舍去），或.
>
> 故或.
>
> （2）若，则.由得，此方程没有正整数解.
>
> 若，则.由得，解得.
>
> 综上，.
18．（12分）
> 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
>
> 
>
> （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
>
> （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------
超过 不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------
> （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
>
> 附：，
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
   
   
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
> 解：（1）第二种生产方式的效率更高.
>
> 理由如下：
>
> （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
>
> （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
>
> （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
>
> （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
> （2）由茎叶图知.
>
> 列联表如下：
---------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------
超过 不超过
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
---------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------
> （3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．（12分）
如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
> （1）证明：平面平面；
>
> （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
> 解：（1）由题设知,平面*CMD*⊥平面*ABCD*,交线为*CD*.因为*BC*⊥*CD*,*BC*平面*ABCD*,所以*BC*⊥平面*CMD*,故*BC*⊥*DM*.
>
> 因为*M*为上异于*C*，*D*的点,且*DC*为直径，所以 *DM*⊥*CM*.
>
> 又 *BC**CM*=*C*,所以*DM*⊥平面*BMC*.
>
> 而*DM*平面*AMD*,故平面*AMD*⊥平面*BMC*.
>
> （2）以*D*为坐标原点,的方向为*x*轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系*D*−*xyz*.
>
> 
>
> 当三棱锥*M*−*ABC*体积最大时，*M*为的中点.
>
> 由题设得，
>
> 
>
> 设是平面*MAB*的法向量,则
>
> 即
>
> 可取.
>
> 是平面*MCD*的法向量,因此
>
> ，
>
> ，
>
> 所以面*MAB*与面*MCD*所成二面角的正弦值是.
20．（12分）
> 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
>
> （1）证明：；
>
> （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
>
> 解：（1）设，则.
>
> 两式相减，并由得
.
> 由题设知，于是
.①
> 由题设得，故.
>
> （2）由题意得，设，则
.
> 由（1）及题设得.
>
> 又点*P*在*C*上，所以，从而，.
>
> 于是
.
> 同理.
>
> 所以.
>
> 故，即成等差数列.
>
> 设该数列的公差为*d*，则
.②
> 将代入①得.
>
> 所以*l*的方程为，代入*C*的方程，并整理得.
>
> 故，代入②解得.
>
> 所以该数列的公差为或.
21．（12分）
> 已知函数．
>
> （1）若，证明：当时，；当时，；
>
> （2）若是的极大值点，求．
>
> 解：（1）当时，，.
>
> 设函数，则.
>
> 当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.
>
> 所以在单调递增.
>
> 又，故当时，；当时，.
>
> （2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.
>
> （ii）若，设函数.
>
> 由于当时，，故与符号相同.
>
> 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
>
> .
>
> 如果，则当，且时，，故不是的极大值点.
>
> 如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.
>
> 如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
>
> 综上，.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
>
> （1）求的取值范围；
>
> （2）求中点的轨迹的参数方程．
>
> 解:（1）的直角坐标方程为．
>
> 当时，与交于两点．
>
> 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
>
> 综上，的取值范围是．
>
> （2）的参数方程为为参数，．
>
> 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
>
> 于是，．又点的坐标满足
>
> 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 设函数．
>
> （1）画出的图像；
>
> （2）当，，求的最小值．
> 解:（1）的图像如图所示．
> （2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．
**绝密★启用前**
2018年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（北京卷）
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本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合*A*={*x*\|\|*x*\|\<2}，*B*={--2，0，1，2}，则*AB*=【A】
> （A）{0，1} （B）{--1，0，1}
>
> （C）{--2，0，1，2} （D）{--1，0，1，2}
（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于【D】
> （A）第一象限 （B）第二象限
>
> （C）第三象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为【B】
> （A） （B）
>
> （C） （D）
（4）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为*f*，则第八个单音的频率为【D】
> （A） （B）
>
> （C） （D）
（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为【C】
> （A）1 （B）2
>
> （C）3 （D）4
（6）设***a***，***b***均为单位向量，则""是"***a***⊥***b***"的【C】
> （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
>
> （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在平面直角坐标系中，记*d*为点*P*（cos*θ*，sin*θ*）到直线的距离，当*θ*，*m*变化时，*d*的最大值为【C】
> （A）1 （B）2
>
> （C）3 （D）4
（8）设集合则【D】
> （A）对任意实数*a*， （B）对任意实数*a*，（2，1）
>
> （C）当且仅当*a*\<0时，（2，1） （D）当且仅当时，（2，1）
第二部分（非选择题 共110分）
**二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。**
（9）设是等差数列，且*a*~1~=3，*a*~2~+*a*~5~=36，则的通项公式为 [ .]{.underline}
（10）在极坐标系中，直线与圆相切，则*a*= [ .]{.underline}
（11）设函数*f*（*x*）=，若对任意的实数*x*都成立，则*ω*的最小值为 [ .]{.underline}
（12）若*x*，*y*满足*x*+1≤*y*≤2*x*，则2*y−x*的最小值是 [ 3 .]{.underline}
（13）能说明"若*f*（*x*）\>*f*（0）对任意的*x*∈（0，2］都成立，则*f*（*x*）在［0，2］上是增函数"为假命题的一个函数是 [ =sinx（答案不唯一） .]{.underline}
（14）已知椭圆，双曲线．若双曲线*N*的两条渐近线与椭圆*M*的四个交点及椭圆*M*的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆*M*的离心率为 [ ]{.underline} ；双曲线*N*的离心率为 [2]{.underline} ．
**三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。**
（15）（本小题13分）
> 在△*ABC*中，*a*=7，*b*=8，cos*B*=--．（Ⅰ）求∠*A*；
>
> （Ⅱ）求*AC*边上的高．
>
> 解：（Ⅰ）在△*ABC*中，∵cos*B*=--，∴*B*∈（，π），∴sin*B*=．
>
> 由正弦定理得=，∴sin*A*=．
>
> ∵*B*∈（，π），∴*A*∈（0，），∴∠*A*=．
>
> （Ⅱ）在△*ABC*中，∵sin*C*=sin（*A*+*B*）=sin*A*cos*B*+sin*B*cos*A*==．
>
> 如图所示，在△*ABC*中，∵sin*C*=，∴*h*==，
>
> ∴*AC*边上的高为．
（16）（本小题14分）
> 如图，在三棱柱*ABC*−中，平面*ABC*，*D*，*E*，*F*，*G*分别为，*AC*，，的中点，*AB=BC*=，*AC*==2．
> （Ⅰ）求证：*AC*⊥平面*BEF*；
>
> （Ⅱ）求二面角*B−CD*−*C*~1~的余弦值；
>
> （Ⅲ）证明：直线*FG*与平面*BCD*相交．
>
> 解：（Ⅰ）在三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，
>
> ∵*CC*~1~⊥平面*ABC*，
>
> ∴四边形*A*~1~*ACC*~1~为矩形．
>
> 又*E*，*F*分别为*AC*，*A*~1~*C*~1~的中点，
>
> ∴*AC*⊥*EF*．
>
> ∵*AB*=*BC*．
>
> ∴*AC*⊥*BE*，
>
> ∴*AC*⊥平面*BEF*．
>
> （Ⅱ）由（I）知*AC*⊥*EF*，*AC*⊥*BE*，*EF*∥*CC*~1~．
>
> 又*CC*~1~⊥平面*ABC*，∴*EF*⊥平面*ABC*．
>
> ∵*BE*平面*ABC*，∴*EF*⊥*BE*．
>
> 如图建立空间直角坐标系*E*-*xyz*．
> 由题意得*B*（0，2，0），*C*（-1，0，0），*D*（1，0，1），*F*（0，0，2），*G*（0，2，1）．
>
> ∴，
>
> 设平面*BCD*的法向量为，
>
> ∴，∴，
>
> 令*a*=2，则*b*=-1，*c*=-4，
>
> ∴平面*BCD*的法向量，
>
> 又∵平面*CDC*~1~的法向量为，
>
> ∴．
>
> 由图可得二面角*B*-*CD*-*C*~1~为钝角，所以二面角*B*-*CD*-*C*~1~的余弦值为．
>
> （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面*BCD*的法向量为，∵*G*（0，2，1），*F*（0，0，2），
>
> ∴，∴，∴与不垂直，
>
> ∴*GF*与平面*BCD*不平行且不在平面*BCD*内，∴*GF*与平面*BCD*相交．
（17）（本小题12分）
> 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
> 假设所有电影是否获得好评相互独立．
>
> （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用""表示第*k*类电影得到人们喜欢，""表示第*k*类电影没有得到人们喜欢（*k*=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
>
> 解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
>
> 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
>
> 故所求概率为．
>
> （Ⅱ）设事件*A*为"从第四类电影中随机选出的电影获得好评"，
>
> 事件*B*为"从第五类电影中随机选出的电影获得好评"．
>
> 故所求概率为*P*（）=*P*（）+*P*（）
>
> =*P*（*A*）（1--*P*（*B*））+（1--*P*（*A*））*P*（*B*）．
>
> 由题意知：*P*（*A*）估计为0.25，*P*（*B*）估计为0.2．
>
> 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
>
> （Ⅲ）\>\>=\>\>．
（18）（本小题13分）
> 设函数=\[\]．
>
> （Ⅰ）若曲线*y= f*（*x*）在点（1，）处的切线与轴平行，求*a*；
>
> （Ⅱ）若在*x*=2处取得极小值，求*a*的取值范围．
>
> 解：（Ⅰ）因为=\[\]，
>
> 所以*f ′*（*x*）=［2*ax*--（4*a*+1）］e*^x^*+［*ax*^2^--（4*a*+1）*x*+4*a*+3］e*^x^*
>
> =［*ax*^2^--（2*a*+1）*x*+2］e*^x^*．
>
> *f* ′(1)=(1--*a*)e．
>
> 由题设知*f* ′(1)=0，即(1--*a*)e=0，解得*a*=1．
>
> 此时*f* (1)=3e≠0．
>
> 所以*a*的值为1．
>
> （Ⅱ）由（Ⅰ）得*f* ′（*x*）=［*ax*^2^--（2*a*+1）*x*+2］e*^x^=*（*ax*--1）(*x*--2)e*^x^*．
>
> 若*a*\>，则当*x*∈(，2)时，*f* ′(*x*)\<0；
>
> 当*x*∈(2，+∞)时，*f* ′(*x*)\>0．
>
> 所以*f* (*x*)在*x*=2处取得极小值．
>
> 若*a*≤，则当*x*∈(0，2)时，*x*--2\<0，*ax*--1≤*x*--1\<0，
>
> 所以*f* ′(*x*)\>0．
>
> 所以2不是*f* (*x*)的极小值点．
>
> 综上可知，*a*的取值范围是（，+∞）．
（19）（本小题14分）
> 已知抛物线*C*：=2*px*经过点（1，2）．过点*Q*（0，1）的直线*l*与抛物线*C*有两个不同的交点*A*，*B*，且直线*PA*交*y*轴于*M*，直线*PB*交*y*轴于*N*．
>
> （Ⅰ）求直线*l*的斜率的取值范围；
>
> （Ⅱ）设*O*为原点，，，求证：为定值．
>
> 解：（Ⅰ）因为抛物线*y*^2^=2*px*经过点*P*（1，2），
>
> 所以4=2*p*，解得*p*=2，所以抛物线的方程为*y*^2^=4*x*．
>
> 由题意可知直线*l*的斜率存在且不为0，
>
> 设直线*l*的方程为*y*=*kx*+1（*k*≠0）．
>
> 由得．
>
> 依题意，解得*k*\<0或0\<*k*\<1．
>
> 又*PA*，*PB*与*y*轴相交，故直线*l*不过点（1，-2）．从而*k*≠-3．
>
> 所以直线*l*斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
>
> （Ⅱ）设*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~）．
>
> 由（I）知，．
>
> 直线*PA*的方程为．
>
> 令*x*=0，得点*M*的纵坐标为．
>
> 同理得点*N*的纵坐标为．
>
> 由，得，．
>
> 所以．
>
> 所以为定值．
（20）（本小题14分）
> 设*n*为正整数，集合*A*=．对于集合*A*中的任意元素和，记
>
> *M*（）=．
>
> （Ⅰ）当*n*=3时，若，，求*M*（）和*M*（）的值；
>
> （Ⅱ）当*n*=4时，设*B*是*A*的子集，且满足：对于*B*中的任意元素，当相同时，*M*（）是奇数；当不同时，*M*（）是偶数．求集合*B*中元素个数的最大值；
>
> （Ⅲ）给定不小于2的*n*，设*B*是*A*的子集，且满足：对于*B*中的任意两个不同的元素，
>
> *M*（）=0．写出一个集合*B*，使其元素个数最多，并说明理由．
>
> 解：（Ⅰ）因为*α*=（1，1，0），*β*=（0，1，1），所以
>
> *M*(*α*，*α*)=\[(1+1−\|1−1\|)+(1+1−\|1−1\|)+(0+0−\|0−0\|)\]=2，
>
> *M*(*α*，*β*）=\[(1+0--\|1−0\|)+(1+1--\|1--1\|)+(0+1--\|0--1\|)\]=1．
>
> （Ⅱ）设*α*=（*x*~1~，*x* ~2~，*x*~3~，*x*~4~）∈*B*，则*M*(*α*，*α*）= *x*~1~+*x*~2~+*x*~3~+*x*~4~．
>
> 由题意知*x*~1~，*x* ~2~，*x*~3~，*x*~4~∈{0，1}，且*M*(*α*，*α*)为奇数，
>
> 所以*x*~1~，*x* ~2~，*x*~3~，*x*~4~中1的个数为1或3．
>
> 所以*B*{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.
>
> 将上述集合中的元素分成如下四组：
>
> （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).
>
> 经验证，对于每组中两个元素*α*，*β*，均有*M*(*α*，*β*）=1.
>
> 所以每组中的两个元素不可能同时是集合*B*的元素．
>
> 所以集合*B*中元素的个数不超过4.
>
> 又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，
>
> 所以集合*B*中元素个数的最大值为4.
>
> （Ⅲ）设*S~k~*={( *x*~1~，*x* ~2~，...，*x~n~*）\|( *x*~1~，*x* ~2~，...，*x~n~*）∈*A*，*x~k~* =1，*x*~1~=*x*~2~=...=*x~k~*~--1~=0)}（*k*=1，2，...，*n*)，
>
> *S~n~*~+1~={( *x*~1~，*x* ~2~，...，*x~n~*）\| *x*~1~=*x*~2~=...=*x~n~*=0}，
>
> 则*A*=*S*~1~∪*S*~1~∪...∪*S~n~*~+1~．
>
> 对于*S~k~*（*k*=1，2，...，*n*--1）中的不同元素*α*，*β*，经验证，*M*(*α*，*β*)≥1.
>
> 所以*S~k~*（*k*=1，2 ，...，*n*--1）中的两个元素不可能同时是集合*B*的元素．
>
> 所以*B*中元素的个数不超过*n*+1.
>
> 取*e~k~*=( *x*~1~，*x* ~2~，...，*x~n~*）∈*S~k~*且*x~k~*~+1~=...=*x~n~*=0（*k*=1，2，...，*n*--1）.
>
> 令*B*=（*e*~1~，*e*~2~，...，*e~n~*~--1~）∪*S~n~*∪*S~n~*~+1~，则集合*B*的元素个数为*n*+1，且满足条件.
>
> 故*B*是一个满足条件且元素个数最多的集合．
**绝密★启用前**
2018年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（天津卷）
==================
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第I卷**
**注意事项：**
> 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
>
> 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
**参考公式：**
**·**如果事件*A*，*B*互斥，那么 .
**·**如果事件*A*，*B*相互独立，那么 .
**·**棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.
**·**棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
**一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
(1)设全集为**R**，集合，，则 【B】
> \(A\) (B)
>
> \(C\) (D)
(2)设变量*x*，*y*满足约束条件 则目标函数的最大值为 【C】
> \(A\) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入*N*的值为20，则输出*T*的值为 【B】
> \(A\) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(4)设，则""是""的 【A】
> (A)充分而不必要条件
>
> (B)必要而不充分条件
>
> (C)充要条件
>
> (D)既不充分也不必要条件
(5)已知，，，则*a*，*b*，*c*的大小关系为 【D】
> \(A\) (B) (C) (D)
(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 【A】
> (A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减
>
> (C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减
>
> (7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于*x*轴的直线与双曲线交于*A*，*B*两点. 设*A*，*B*到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为【C】
>
> \(A\) (B)
>
> \(C\) (D)
>
> (8)如图，在平面四边形*ABCD*中，，，，. 若点*E*为边*CD*上的动点，则的最小值为 【A】
>
> \(A\) (B) (C) (D)
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
1\. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2\. 本卷共12小题，共110分。
**二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。**
\(9\) i是虚数单位，复数 [ 4--i]{.underline} .
\(10\) 在的展开式中，的系数为 [ .]{.underline}
\(11\) 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点*E*，*F*，*G*，*H*，*M*(如图)，则四棱锥的体积为 [ ]{.underline} .
> (12)已知圆的圆心为*C*，直线(为参数)与该圆相交于*A*，*B*两点，则的面积为 [ .]{.underline}
(13)已知，且，则的最小值为 [ .]{.underline}
> (14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 [ .]{.underline}
**三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
（15）**（本小题满分13分）**
> 在中，内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c.*已知.
>
> （I）求角*B*的大小；
>
> （II）设*a*=2，*c*=3，求*b*和的值.
>
> （Ⅰ）解：在△*ABC*中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得*B*=．
>
> （Ⅱ）解：在△*ABC*中，由余弦定理及*a*=2，*c*=3，*B*=，有，故*b*=．
>
> 由，可得．因为*a*\<*c*，故．因此，
>
> 所以，
(16)**(本小题满分13分)**
> 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
>
> （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
>
> （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
>
> （i）用*X*表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量*X*的分布列与数学期望；
>
> （ii）设*A*为事件"抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工"，求事件*A*发生的概率.
>
> （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
>
> （Ⅱ）（i）解：随机变量*X*的所有可能取值为0，1，2，3．
>
> *P*（*X*=*k*）=（*k*=0，1，2，3）．
>
> 所以，随机变量*X*的分布列为
----- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
> 随机变量*X*的数学期望．
>
> （ii）解：设事件*B*为"抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人"；事件*C*为"抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人"，则*A*=*B*∪*C*，且*B*与*C*互斥，由（i）知，*P*(*B*)=*P*(*X*=2)，*P*(*C*)=*P*(*X*=1)，故*P*(*A*)=*P*(*B*∪*C*)=*P*(*X*=2)+*P*(*X*=1)=．
>
> 所以，事件*A*发生的概率为．
(17)(本小题满分13分)
> 如图，且*AD*=2*BC*，,且*EG*=*AD*，且*CD*=2*FG*，，*DA*=*DC*=*DG*=2.
>
> （I）若*M*为*CF*的中点，*N*为*EG*的中点，求证：；
>
> （II）求二面角的正弦值；
>
> （III）若点*P*在线段*DG*上，且直线*BP*与平面*ADGE*所成的角为60°，求线段*DP*的长.
> 依题意，可以建立以*D*为原点，分别以，，的方向为*x*轴，*y*轴，*z*轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得*D*（0，0，0），*A*（2，0，0），*B*（1，2，0），*C*（0，2，0），*E*（2，0，2），*F*（0，1，2），*G*（0，0，2），*M*（0，，1），*N*（1，0，2）．
> （Ⅰ）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设***n***~0~=(*x*，*y*，*z*)为平面*CDE*的法向量，则 即 不妨令z=--1，可得***n***~0~=（1，0，--1）．又=（1，，1），可得，又因为直线*MN*平面*CDE*，所以*MN*∥平面*CDE*．
>
> （Ⅱ）解：依题意，可得=（--1，0，0），，=（0，--1，2）．
>
> 设***n***=（*x*，*y*，*z*）为平面*BCE*的法向量，则 即 不妨令*z*=1，可得***n***=（0，1，1）．
>
> 设***m***=（*x*，*y*，*z*）为平面*BCF*的法向量，则 即 不妨令*z*=1，可得***m***=（0，2，1）．
>
> 因此有cos\<***m*，*n***\>=，于是sin\<***m*，*n***\>=．
>
> 所以，二面角*E*--*BC*--*F*的正弦值为．
>
> （Ⅲ）解：设线段*DP*的长为*h*（*h*∈［0，2］），则点*P*的坐标为（0，0，*h*），可得．
>
> 易知，=（0，2，0）为平面*ADGE*的一个法向量，故
>
> ，
>
> 由题意，可得=sin60°=，解得*h*=∈［0，2］．
>
> 所以线段的长为.
(18)**(本小题满分13分)**
> 设是等比数列，公比大于0，其前*n*项和为，是等差数列. 已知，，，.
>
> （I）求和的通项公式；
>
> （II）设数列的前*n*项和为，
>
> （i）求；
>
> （ii）证明.
>
> （I）解：设等比数列的公比为*q.*由可得.
>
> 因为，可得，故.
>
> 设等差数列的公差为*d*，由，可得由，
>
> 可得 从而 故
>
> 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为
>
> （II）（i）解：由（I），有，故
>
> .
>
> （ii）证明：因为
>
> ，
>
> 所以，.
(19)**(本小题满分14分)**
> 设椭圆(*a*\>*b*\>0)的左焦点为*F*，上顶点为*B*. 已知椭圆的离心率为，点*A*的坐标为，且.
>
> （I）求椭圆的方程；
>
> （II）设直线*l*：与椭圆在第一象限的交点为*P*，且*l*与直线*AB*交于点*Q*.
>
> 若(*O*为原点) ，求*k*的值.
>
> （Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2*c*，由已知有，又由*a*^2^=*b*^2^+*c*^2^，可得2*a*=3*b*．由已知可得，，，由，可得*ab*=6，从而*a*=3，*b*=2．
>
> 所以，椭圆的方程为．
>
> （Ⅱ）解：设点*P*的坐标为（*x*~1~，*y*~1~），点*Q*的坐标为（*x*~2~，*y*~2~）．由已知有*y*~1~\>*y*~2~\>0，故．又因为，而∠*OAB*=，故．由，可得5*y*~1~=9*y*~2~．
>
> 由方程组消去*x*，可得．易知直线*AB*的方程为*x*+*y*--2=0，由方程组消去*x*，可得．由5*y*~1~=9*y*~2~，可得5（*k*+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
>
> 所以，*k*的值为
(20)**(本小题满分14分)**
> 已知函数，，其中*a*\>1.
>
> （I）求函数的单调区间；
>
> （II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
>
> （III）证明当时，存在直线*l*，使*l*是曲线的切线，也是曲线的切线.
>
> （I）解：由已知，，有.
>
> 令，解得*x*=0.
>
> 由*a*\>1，可知当*x*变化时，，的变化情况如下表：
----- -- -------- ----
*x* 0
0 \+
极小值
----- -- -------- ----
> 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
>
> （II**）证明：**由，可得曲线在点处的切线斜率为.
>
> 由，可得曲线在点处的切线斜率为.
>
> 因为这两条切线平行，故有，即.
>
> 两边取以*a*为底的对数，得，所以.
>
> （III）**证明：**曲线在点处的切线*l*~1~：.
>
> 曲线在点处的切线*l*~2~：.
>
> 要证明当时，存在直线*l*，使*l*是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得*l*~1~与*l*~2~重合.
>
> 即只需证明当时，方程组有解．
>
> 由①得，代入②，得. ③
>
> 因此，只需证明当时，关于*x*~1~的方程③存在实数解.
>
> 设函数，即要证明当时，函数存在零点.
>
> ，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的*x*~0~，且*x*~0~\>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.
>
> 因为，故，
>
> 所以.
>
> 下面证明存在实数*t*，使得.
>
> 由（I）可得，
>
> 当时，
>
> 有，
>
> 所以存在实数*t*，使得．
>
> 因此，当时，存在，使得.
>
> 所以，当时，存在直线*l*，使*l*是曲线的切线，也是曲线的切线.
**绝密★启用前**
2018年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
数学（浙江卷）
==============
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
**参考公式：**
若事件*A*，*B*互斥，则 柱体的体积公式
 *V*=*Sh*
若事件*A*，*B*相互独立，则 其中*S*表示棱柱的底面面积，*h*表示棱柱的高
 锥体的体积公式
若事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，则*n*次 
独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率 其中*S*表示棱锥的底面面积，*h*表示棱锥的高
 球的表面积公式
台体的体积公式 
 球的体积公式
其中*S~a~*，*S~b~*分别表示台体的上、下底面积 
*h*表示台体的高
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1\. 已知全集*U*={1，2，3，4，5}，*A*={1，3}，则【C】
A.  B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
2\. 双曲线的焦点坐标是【B】
> A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0)
>
> C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)
3\. 某几何体的三视图如图所示(单位：*cm*)，则该几何体的体积(单位：*cm*^3^)是【C】
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 复数 (i为虚数单位)的共轭复数是【B】
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
5\. 函数*y*=sin2*x*的图象可能是【D】
A.  B. 
C.  D. 
6 .已知平面*α*，直线*m*，*n*满足*m*⊄*α*，*n*⊂*α*，则"*m∥n*"是"*m∥α*"的【A】
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7\. 设0\<*p*\<1，随机变量*ξ*的分布列是
----- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
*ξ* 0 1 2
*P*   
----- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
则当*p*在(0，1)内增大时【D】
A.*D(ξ)减小* B. *D(ξ)增大*
C*. D(ξ)先减小后增大* D*. D(ξ)先增大后减小*
8\. 已知四棱锥*S*−*ABCD*的底面是正方形，侧棱长均相等，*E*是线段*AB*上的点(不含端点)，设*SE*与*BC*所成的角为*θ*~1~，*SE*与平面*ABCD*所成的角为*θ*~2~，二面角*S*−*AB*−*C*的平面角为*θ*~3~，则【D】
> A. *θ*~1~≤*θ*~2~≤*θ*~3~ B*. θ*~3~≤*θ*~2~≤*θ*~1~
>
> C. *θ*~1~≤*θ*~3~≤*θ*~2~ D. *θ*~2~≤*θ*~3~≤*θ*~1~
9\. 已知***a***，***b***，***e***是平面向量，***e***是单位向量，若非零向量***a***与***e***的夹角为，向量***b***满足***b***^2^−4***e***•***b***+3=0，则\|***a***−***b***\|的最小值是【A】
> A. B.
>
> C. 2 D.
10\. 已知*a*~1~，*a*~2~，*a*~3~，*a*~4~成等比数列，且*a*~1~+*a*~2~+*a*~3~+*a*~4~=*ln*(*a*~1~+*a*~2~+*a*~3~)，若*a*~1~\>1，则【B】
> A. *a*~1~\<*a*~3~，*a*~2~\<*a*~4~ B. *a*~1~\>*a*~3~，*a*~2~\<*a*~4~
>
> C. *a*~1~\<*a*~3~，*a*~2~\>*a*~4~ D. *a*~1~\>*a*~3~，*a*~2~\>*a*~4~
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11 . 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题："今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？"设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x= [8]{.underline} ，y= [11 .]{.underline}
12. 若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是 [-2]{.underline} ，最大值是 [8 .]{.underline}
13 . 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c= [8 .]{.underline}
14\. 二项式(+)8的展开式的常数项是 [7]{.underline}
15\. 已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)\<0的解集是 [（1,4）]{.underline} ，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 [（1,3）∪（1，+）.]{.underline}
16\. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 [1260]{.underline} 个没有重复数字的四位数(用数字作答)
17\. 已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m\>1)上两点A，B满足=2，则当m= [5]{.underline} 时，点B横坐标的绝对值最大
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）已知角*α*的顶点与原点*O*重合，始边与*x*轴的非负半轴重合，它的终边过点*P*（）．
（Ⅰ）求sin（*α*+π）的值；
（Ⅱ）若角*β*满足sin（*α*+*β*）=，求cos*β*的值．
解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
> 所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
> 由得.
>
> 由得，
>
> 所以或.
19.（本题满分15分）如图，已知多面体*ABCA~1~B~1~C~1~，A~1~A，B~1~B，C~1~C*均垂直于平面*ABC，∠ABC*=120°，*A~1~A*=4，*C~1~C*=1，*AB=BC=B~1~B*=2．
（Ⅰ）证明：AB~1~⊥平面A~1~B~1~C~1~；
（Ⅱ）求直线AC~1~与平面ABB~1~所成的角的正弦值．
解：方法一：
（Ⅰ）由得，
> 所以.
>
> 故.
>
> 由， 得，
>
> 由得，
>
> 由，得，所以，故.
>
> 因此平面.
（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.
> 由平面得平面平面，
>
> 由得平面，
>
> 所以是与平面所成的角.
>
> 由得，
>
> 所以，故.
>
> 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
方法二：
（Ⅰ）如图，以*AC*的中点*O*为原点，分别以射线*OB*，*OC*为*x*，*y*轴的正半轴，建立空间直角坐标系*O*-*xyz*.
> 
>
> 由题意知各点坐标如下：
>
> 
>
> 因此
>
> 由得.
>
> 由得.
>
> 所以平面.
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.
> 由（Ⅰ）可知
>
> 设平面的法向量.
>
> 由即可取.
>
> 所以.
>
> 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
20.（本题满分15分）已知等比数列{*a~n~*}的公比*q*\>1，且*a*~3~+*a*~4~+*a*~5~=28，*a*~4~+2是*a*~3~，*a*~5~的等差中项．数列{*b~n~*}满足*b*~1~=1，数列{（*b~n~*~+1~−*b~n~*）*a~n~*}的前*n*项和为2*n*^2^+*n*．
（Ⅰ）求*q*的值；
（Ⅱ）求数列{*b~n~*}的通项公式．
解：（Ⅰ）由是的等差中项得，
> 所以，
>
> 解得.
>
> 由得，
>
> 因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前*n*项和为.
> 由解得.
>
> 由（Ⅰ）可知，
>
> 所以，
>
> 故，
>
>  .
>
> 设，
>
> 所以，
>
> 因此，
>
> 又，所以.
21.（本题满分15分）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y^2^=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x^2^+=1(x\<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
解：（Ⅰ）设，，．
> 因为，的中点在抛物线上，所以，为方程
>
> 即的两个不同的实数根．
>
> 所以．
>
> 因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
> 所以，．
>
> 因此，的面积．
>
> 因为，所以．
>
> 因此，面积的取值范围是．
22.（本题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在x=x~1~，x~2~(x~1~≠x~2~)处导数相等，证明：f(x~1~)+f(x~2~)\>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k\>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
解：（Ⅰ）函数*f*（*x*）的导函数，
> 由得，
>
> 因为，所以．
>
> 由基本不等式得．
>
> 因为，所以．
>
> 由题意得．
>
> 设，
>
> 则，
>
> 所以
--------------------------------------- --------------------------------------- -------- ---------------------------------------
*x* （0，16） 16 （16，+∞）
 \- 0 \+
  2-4ln2 
--------------------------------------- --------------------------------------- -------- ---------------------------------------
> 所以*g*（*x*）在\[256，+∞）上单调递增，
>
> 故，
>
> 即．
（Ⅱ）令*m*=，*n*=，则
> *f*（*m*）--*km*--*a*\>\|*a*\|+*k*--*k*--*a*≥0，
>
> *f*（*n*）--*kn*--*a*\<≤\<0，
>
> 所以，存在*x*~0~∈（*m*，*n*）使*f*（*x*~0~）=*kx*~0~+*a*，
>
> 所以，对于任意的*a*∈**R**及*k*∈（0，+∞），直线*y*=*kx*+*a*与曲线*y*=*f*（*x*）有公共点．
>
> 由*f*（*x*）=*kx*+*a*得．
>
> 设*h*（*x*）=，
>
> 则*h*′（*x*）=，
>
> 其中*g*（*x*）=．
>
> 由（Ⅰ）可知*g*（*x*）≥*g*（16），又*a*≤3--4ln2，
>
> 故--*g*（*x*）--1+*a*≤--*g*（16）--1+*a*=--3+4ln2+*a*≤0，
>
> 所以*h*′（*x*）≤0，即函数*h*（*x*）在（0，+∞）上单调递减，因此方程*f*（*x*）--*kx*--*a*=0至多1个实根．
>
> 综上，当*a*≤3--4ln2时，对于任意*k*\>0，直线*y*=*kx*+*a*与曲线*y*=*f*（*x*）有唯一公共点．
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅰ卷）
===================
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
> 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
>
> 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合*A*={*x*\|*x*\<1}，*B*={*x*\|}，则【A】
A． B．
C． D．
2．如图，正方形*ABCD*内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是【B】
A． B．
C． D．
3．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
> ：若复数，则.
>
> 其中的真命题为【B】
>
> A． B． C． D．
>
> 4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为【C】
>
> A．1 B．2 C．4 D．8
>
> 5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是【D】
>
> A． B． C． D．
6．展开式中的系数为【C】
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【B】
> A．10 B．12 C．14 D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3*^n^*−2*^n^*\>1000的最小偶数*n*，那么在和两个空白框中，可以分别填入【D】
A．*A*\>1 000和*n*=*n*+1
B．*A*\>1 000和*n*=*n*+2
C．*A*1 000和*n*=*n*+1
D．*A*1 000和*n*=*n*+2
9．已知曲线*C*~1~：*y*=cos *x*，*C*~2~：*y*=sin (2*x*+)，则下面结论正确的是【D】
> A．把*C*~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
>
> B．把*C*~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
>
> C．把*C*~1~上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
>
> D．把*C*~1~上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
10．已知*F*为抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，过*F*作两条互相垂直的直线*l*~1~，*l*~2~，直线*l*~1~与*C*交于*A*、*B*两点，直线*l*~2~与*C*交于*D*、*E*两点，则\|*AB*\|+\|*DE*\|的最小值为【A】
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设*xyz*为正数，且，则【D】
A．2*x*\<3*y*\<5*z* B．5*z*\<2*x*\<3*y* C．3*y*\<5*z*\<2*x* D．3*y*\<2*x*\<5*z*
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，...，其中第一项是2^0^，接下来的两项是2^0^，2^1^，再接下来的三项是2^0^，2^1^，2^2^，依此类推.求满足如下条件的&最小整数*N*：*N*\>100且该数列的前*N*项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是【A】
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量***a***，***b***的夹角为60°，\|***a***\|=2，\|***b***\|=1，则\| ***a*** +2 ***b*** \|= [ ]{.underline} .
14．设*x*，*y*满足约束条件，则的最小值为 [ ]{.underline} .
15．已知双曲线*C*：（*a*\>0，*b*\>0）的右顶点为*A*，以*A*为圆心，*b*为半径做圆*A*，圆*A*与双曲线*C*的一条渐近线交于*M*、*N*两点。若∠*MAN*=60°，则*C*的离心率为 [ ]{.underline} .
16．如图，圆形纸片的圆心为*O*，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形*ABC*的中心为*O*。*D*、*E*、*F*为圆*O*上的点，△*DBC*，△*ECA*，△*FAB*分别是以*BC*，*CA*，*AB*为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以*BC*，*CA*，*AB*为折痕折起△*DBC*，△*ECA*，△*FAB*，使得*D*、*E*、*F*重合，得到三棱锥。当△*ABC*的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm^3^）的最大值为 [ ]{.underline} .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
> 17．（12分）
△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知△*ABC*的面积为
（1）求sin*B*sin*C*;
（2）若6cos*B*cos*C*=1，*a*=3，求△*ABC*的周长.
解：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
18.（12分）
如图，在四棱锥*P-ABCD*中，*AB//CD*，且.
（1）证明：平面*PAB*⊥平面*PAD*；
（2）若*PA*=*PD*=*AB*=*DC*，，求二面角*A*-*PB*-*C*的余弦值.
解：（1）由已知，得*AB*⊥*AP*，*CD*⊥*PD*.
由于*AB*∥*CD*，故*AB*⊥*PD*，从而*AB*⊥平面*PAD*.
又*AB* 平面*PAB*，所以平面*PAB*⊥平面*PAD*.
（2）在平面内做，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记*X*表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
> 附：若随机变量服从正态分布，则，
>
> ，．
解:（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此
.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.
，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
20.（12分）
已知椭圆*C*：（*a*\>*b*\>0），四点*P*~1~（1,1），*P*~2~（0,1），*P*~3~（--1，），*P*~4~（1，）中恰有三点在椭圆*C*上.
（1）求*C*的方程；
（2）设直线*l*不经过*P*~2~点且与*C*相交于*A*，*B*两点.若直线*P*~2~*A*与直线*P*~2~*B*的斜率的和为--1，证明：*l*过定点.
解：（1）由于，两点关于*y*轴对称，故由题设知*C*经过，两点.
又由知，*C*不经过点*P*~1~，所以点*P*~2~在*C*上.
因此，解得.
故*C*的方程为.
（2）设直线*P*~2~*A*与直线*P*~2~*B*的斜率分别为*k*~1~，*k*~2~，
如果*l*与*x*轴垂直，设*l*：*x*=*t*，由题设知，且，可得*A*，*B*的坐标分别为（*t*，），（*t*，）.
则，得，不符合题设.
从而可设*l*：（）.将代入得
由题设可知~.~
设*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~），则*x*~1~+*x*~2~=，*x*~1~*x*~2~=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使*l*：，即，
所以*l*过定点（2，）.
21.（12分）
已知函数*a*e^2*x*^+(*a*﹣2) e*^x^*﹣*x*.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求*a*的取值范围.
解：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4―4：坐标系与参数方程\]（10分）
在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*θ*为参数），直线*l*的参数方程为
.
（1）若*a*=−1，求*C*与*l*的交点坐标；
（2）若*C*上的点到*l*的距离的最大值为，求a.
解：（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
已知函数*f*（*x*）=--*x*^2^+*ax*+4，*g*(*x*)=│*x*+1│+│*x*--1│.
（1）当*a*=1时，求不等式*f*（*x*）≥*g*（*x*）的解集；
（2）若不等式*f*（*x*）≥*g*（*x*）的解集包含\[--1，1\]，求*a*的取值范围.
解：（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（全国Ⅱ卷）
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注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。\
1.【D】
A． B． C． D．
2.设集合，．若，则【C】
A． B． C． D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题："远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯【B】
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为【B】
A． B． C． D．
5.设，满足约束条件，则的最小值是【A】
A． B． C． D．
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有【D】
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则【D】
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的【B】
A．2 B．3 C．4 D．5
9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为【A】
A．2 B． C． D．
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为【C】
A． B． C． D．
11.若是函数的极值点，则的极小值为【A】
A. B. C. D.1
12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是【B】
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 [ 1.96]{.underline} ．
14.函数（）的最大值是 [ 1]{.underline} ．
15.等差数列的前项和为，，，则 [ ]{.underline} ．
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 [ 6]{.underline} ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17\~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
解：（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2.
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
1. 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
2. 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
3. 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
--------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- --------
P（） 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
--------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- --------
解：（1）记B表示事件"旧养殖法的箱产量低于" ，表示事件"新养殖法的箱产量不低于"
由题意知
旧养殖法的箱产量低于的频率为
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于的频率为
故的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
+------------+----------+----------+
| | > 箱产量 | > 箱产量 |
+------------+----------+----------+
| > 旧养殖法 | > 62 | > 38 |
+------------+----------+----------+
| > 新养殖法 | > 34 | > 66 |
+------------+----------+----------+
> 由于
>
> 故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．
>
> （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为
>
> ，
>
> 箱产量低于的直方图面积为
>
> 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
>
> ．
19.（12分）
如图，四棱锥*P*-*ABCD*中，侧面*PAD*为等比三角形且垂直于底面*ABCD*， *E*是*PD*的中点.
（1）证明：直线 平面*PAB;*
（2）点*M*在棱*PC* 上，且直线*BM*与底面*ABCD*所成锐角为 ，求二面角*M*-*AB*-*D*的余弦值.
> 
>
> 解：**（1）取中点，连结，．**
**因为为的中点，所以,,由得，又**
**所以．四边形为平行四边形， ．**
**又，，故**
**（2）**
**由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则**
**则，，，，**
**,则**
**，**
**因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以**
**，，**
**即（x-1）²+y²-z²=0，**
**又M在棱PC上，设**
**，**
**由①，②得**
所以M，从而，
设是平面ABM的法向量，则
，
所以可取***m***=（0，-，2）.于是.
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
20\. （12分）
设*O*为坐标原点，动点*M*在椭圆*C*：上，过*M*做*x*轴的垂线，垂足为*N*，点*P*满足.
(1) 求点*P*的轨迹方程；
(2) 设点*Q*在直线*x*=-3上，且.证明：过点*P*且垂直于*OQ*的直线*l*过*C*的左焦点*F*.
解：（1）设P（x,y）,M（x~0~,y~0~）,设N（x~0~,0）,
由得
因为M（x~0~,y~0~）在C上，所以
因此点P的轨迹方程为
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
，
由得，又由（1）知，故
3+3m-tn=0
所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）
已知函数且.
（1）求*a*；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
解：（1）的定义域为，
设，则等价于，
因为，
若*a*=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故，
综上，a=1.
（2）由（1）知，
设，
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，
又，所以在有唯一零点x~0~，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.
因为，所以x=x~0~是f(x)的唯一极大值点.
由.
由得.
因为x=x~0~是f(x)在（0,1）的最大值点，由得
，
所以.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
在直角坐标系*xOy*中，以坐标原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）*M*为曲线上的动点，点*P*在线段*OM*上，且满足,求点*P*的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点*A*的极坐标为，点*B*在曲线上，求面积的最大值．
解：（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知
，
由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
（2）设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积
当时，S取得最大值，
所以△OAB面积的最大值为.
23.\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
已知，证明：
（1）；
（2）．
解：（1）
（2）因为
所以，因此a+b≤2.
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅲ卷）
===================
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．已知集合*A*=，*B*=，则*AB*中元素的个数为【B】
> A．3 B．2 C．1 D．0
2．设复数*z*满足(1+i)*z*=2i，则∣*z*∣=【C】
> A． B． C． D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
> 根据该折线图，下列结论错误的是【A】
>
> A．月接待游客量逐月增加
>
> B．年接待游客量逐年增加
>
> C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
>
> D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．(+)(2-)^5^的展开式中^33^的系数为【C】
> A．-80 B．-40 C．40 D．80
5．已知双曲线*C*： (*a*＞0,*b*＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则*C*的方程为【B】
> A． B． C． D．
6．设函数*f*(*x*)=cos(*x*+)，则下列结论错误的是【D】
> A．*f*(*x*)的一个周期为−2π B．*y*=*f*(*x*)的图像关于直线*x*=对称
>
> C．*f*(*x*+π)的一个零点为*x*= D．*f*(*x*)在(,π)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出*S*的值小于91，则输入的正整数*N*的最小值为【D】
> A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为【B】
> A． B． C． D．
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若*a*~2~，*a*~3~，*a*~6~成等比数列，则前6项的和为【A】
> A．-24 B．-3 C．3 D．8
10．已知椭圆*C*：，（*a*\>*b*\>0）的左、右顶点分别为*A*~1~，*A*~2~，且以线段*A*~1~*A*~2~为直径的圆与直线相切，则*C*的离心率为【A】
> A． B． C． D．
11．已知函数有唯一零点，则*a*=【C】
> A． B． C． D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为【A】
> A．3 B．2 C． D．2
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．若，满足约束条件，则的最小值为 [-1]{.underline} ．
14．设等比数列满足*a*~1~ + *a*~2~ = --1, *a*~1~ -- *a*~3~ = --3，则*a*~4~ = [-8]{.underline} ．
15．设函数则满足的*x*的取值范围是 [ ]{.underline} .
> 16．*a*，*b*为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形*ABC*的直角边*AC*所在直线与*a*，*b*都垂直，斜边*AB*以直线*AC*为旋转轴旋转，有下列结论：
>
> ①当直线*AB*与*a*成60°角时，*AB*与*b*成30°角；
>
> ②当直线*AB*与*a*成60°角时，*AB*与*b*成60°角；
>
> ③直线*AB*与*a*所成角的最小值为45°；
>
> ④直线*AB*与*a*所成角的最小值为60°；
>
> 其中正确的是 [ ②③]{.underline} ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
> 17．（12分）
>
> △*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知sin*A*+cos*A*=0，*a*=2,*b*=2．
>
> （1）求*c*；
>
> （2）设D为*BC*边上一点，*且AD AC,*求△*ABD*的面积．
解：（1）由已知得 tanA=
在 △ABC中，由余弦定理得
（2）有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
> 18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
+----------+------------+------------+------------+------------+------------+------------+
| 最高气温 | \[10，15） | \[15，20） | \[20，25） | \[25，30） | \[30，35） | \[35，40） |
+----------+------------+------------+------------+------------+------------+------------+
| > 天数 | > 2 | > 16 | > 36 | > 25 | > 7 | > 4 |
+----------+------------+------------+------------+------------+------------+------------+
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量*X*（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为*Y*（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量*n*（单位：瓶）为多少时，*Y*的数学期望达到最大值？
解：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
.
因此的分布列为
-- ----- ----- -----
0.2 0.4 0.4
-- ----- ----- -----
⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。
> 19．（12分）
如图，四面体*ABCD*中，△*ABC*是正三角形，△*ACD*是直角三角形，∠*ABD*=∠*CBD*，*AB*=*BD*．
（1）证明：平面*ACD*⊥平面*ABC*；
（2）过*AC*的平面交*BD*于点*E*，若平面*AEC*把四面体*ABCD*分成体积相等的两部分，求二面角*D*--*AE*--*C*的余弦值．
解：（1）由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以
（2）
由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故
设是平面DAE的法向量，则
可取
设是平面AEC的法向量，则同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
> 20．（12分）
>
> 已知抛物线*C*：*y*^2^=2*x*，过点（2,0）的直线*l*交*C*与*A*,*B*两点，圆*M*是以线段*AB*为直径的圆．
>
> （1）证明：坐标原点*O*在圆*M*上；
>
> （2）设圆*M*过点*P*（4，-2），求直线*l*与圆*M*的方程．
解：（1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得
故圆心M的坐标为，圆M的半径
由于圆M过点P（4，-2），因此,故
即
由（1）可得，
所以，解得.
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为
当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为.
> 21．（12分）
>
> 已知函数 =*x*﹣1﹣*a*ln*x*．
>
> （1）若 ，求*a*的值；
>
> （2）设*m*为整数，且对于任意正整数*n*，﹤*m*，求*m*的最小值．
解：（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当*a*=1时，.
故*a*=1
（2）由（1）知当时，
令得，从而
故
而，所以*m*的最小值为3.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修44：坐标系与参数方程\]（10分）
在直角坐标系*xOy*中，直线*l*~1~的参数方程为（*t*为参数），直线*l*~2~的参数方程为．设*l*~1~与*l*~2~的交点为*P*，当*k*变化时，*P*的轨迹为曲线*C*．
（1）写出*C*的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，设*l*~3~：*ρ*(cos*θ*+sin*θ*)-=0，*M*为*l*~3~与*C*的交点，求*M*的极径．
解：（1）消去参数*t*得*l*~1~的普通方程；消去参数*m*得*l*~2~的普通方程
设P（*x,y*）,由题设得，消去*k*得.
所以C的普通方程为
（2）C的极坐标方程为
联立得.
故，从而
代入得，所以交点M的极径为.
23．\[选修45：不等式选讲\]（10分）
> 已知函数*f*（*x*）=│*x*+1│--│*x*--2│．
>
> （1）求不等式*f*（*x*）≥1的解集；
>
> （2）若不等式*f*（*x*）≥*x*^2^--*x* +*m*的解集非空，求*m*的取值范围．
解：（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而
且当时，.
故*m*的取值范围为.
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（北京卷）
==================
**本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合*A*={*x*\|--2*x*1}，B={*x*\|*x*--1或*x*3}，则*A**B*=【A】
> （A）{*x*\|--2*x*--1} （B）{*x*\|--2*x*3}
>
> （C）{*x*\|--1*x*1} （D）{*x*\|1*x*3}
（2）若复数（1--i）（*a*+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数*a*的取值范围是【B】
> （A）（--∞，1） （B）（--∞，--1）
>
> （C）（1，+∞） （D）（--1，+∞）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为【C】
> 
>
> （A）2 （B） （C） （D）
（4）若*x*，*y*满足 则*x* + 2*y*的最大值为【D】
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
（5）已知函数，则【A】
（A）是奇函数，且在**R**上是增函数 （B）是偶函数，且在**R**上是增函数
（C）是奇函数，且在**R**上是减函数 （D）是偶函数，且在**R**上是减函数
（6）设***m**,**n***为非零向量，则"存在负数，使得"是""的【A】
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为【B】
（A）3 （B）2 （C）2 （D）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限*M*约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数*N*约为10^80^.则下列各数中与最接近的是【D】
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）10^33^ （B）10^53^
（C）10^73^ （D）10^93^
第二部分**（非选择题 共110分）**
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线的离心率为，则实数*m*= [2]{.underline} .
（10）若等差数列和等比数列满足*a*~1~=*b*~1~=--1，*a*~4~=*b*~4~=8，则= [1]{.underline} .
（11）在极坐标系中，点*A*在圆上，点*P*的坐标为（1,0），则\|*AP*\|的最小值为 [1]{.underline} .
（12）在平面直角坐标系*xOy*中，角*α*与角*β*均以*Ox*为始边，它们的终边关于*y*轴对称.若，则= [ ]{.underline} .
（13）能够说明"设*a*，*b*，*c*是任意实数．若*a*＞*b*＞*c*，则*a*+*b*＞*c*"是假命题的一组整数*a*，*b*，*c*的值依次为 [ （答案不唯一）]{.underline}．
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点*A~i~*的横、纵坐标分别为第*i*名工人上午的工作时间和加工的零件数，点*B~i~*的横、纵坐标分别为第*i*名工人下午的工作时间和加工的零件数，*i*=1，2，3.
①记*Q~i~*为第*i*名工人在这一天中加工的零件总数，则*Q*~1~，*Q*~2~，*Q*~3~中最大的是 [ *Q*~1~]{.underline} .
②记*p~i~*为第*i*名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则*p*~1~，*p*~2~，*p*~3~中最大的是 [ *p*~2~]{.underline} .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△*ABC*中， =60°，*c*=*a*.
（Ⅰ）求sin*C*的值；
（Ⅱ）若*a*=7，求△*ABC*的面积.
解：（Ⅰ）在△*ABC*中，因为，，
所以由正弦定理得.
（Ⅱ）因为，所以.
由余弦定理得，
解得或（舍）.
所以△*ABC*的面积.
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥*P-ABCD*中，底面*ABCD*为正方形，平面*PAD*⊥平面*ABCD*，点*M*在线段*PB*上，*PD//*平面*MAC*，*PA*=*PD*=，AB=4．
（I）求证：*M*为*PB*的中点；
（II）求二面角*B*-*PD*-*A*的大小；
（III）求直线*MC*与平面*BDP*所成角的正弦值．
解：（I）设交点为，连接.
因为平面，平面平面，所以.
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.
（II）取的中点，连接，.
因为，所以.
又因为平面平面，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系，则，，，
，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，.于是.
平面的法向量为，所以.
由题知二面角为锐角，所以它的大小为.
（III）由题意知，，.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标*x*和*y*的数据，并制成下图，其中"\*"表示服药者，"+"表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标*y*的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标*x*的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望*E*（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 0 1 2
   
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
（18）（本小题14分）
已知抛物线*C*：*y*^2^=2*px*过点*P*（1，1）.过点（0，）作直线*l*与抛物线*C*交于不同的两点*M*，*N*，过点*M*作*x*轴的垂线分别与直线*OP*，*ON*交于点*A*，*B*，其中*O*为原点.
（Ⅰ）求抛物线*C*的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：*A*为线段*BM*的中点.
解：（Ⅰ）由抛物线*C*：过点*P*（1，1），得.
所以抛物线*C*的方程为.
抛物线*C*的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线*l*的方程为（），*l*与抛物线*C*的交点为，.
由，得.
则，.
因为点*P*的坐标为（1，1），所以直线*OP*的方程为，点*A*的坐标为.
直线*ON*的方程为，点*B*的坐标为.
因为
，
所以.
故*A*为线段*BM*的中点.
（19）（本小题13分）
已知函数*f*（*x*）=e*^x^*cos*x*−*x*.
（Ⅰ）求曲线*y*= *f*（*x*）在点（0，*f*（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数*f*（*x*）在区间\[0，\]上的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
（20）（本小题13分）
设和是两个等差数列，记
，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
解：（Ⅰ）
，
.
当时，，
所以关于单调递减.
所以.
所以对任意，于是，
所以是等差数列.
（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则
.
所以
①当时，取正整数，则当时，，因此.
此时，是等差数列.
②当时，对任意，
此时，是等差数列.
③当时，
当时，有.
所以
对任意正数，取正整数，
故当时，.
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（天津卷）
==================
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
> **参考公式：**
>
> ·如果事件 *A*，*B* 互斥，那么 ·如果事件 *A*，*B* 相互独立，那么
>
> *P*(*A*∪*B*)=*P*(*A*)+*P*(*B*)． *P*(*AB*)=*P*(*A*) *P*(*B*)．
>
> ·棱柱的体积公式*V*=*Sh*. ·球的体积公式.
>
> 其中*S*表示棱柱的底面面积， 其中表示球的半径．
>
> *h*表示棱柱的高．
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
（1）设集合，则【B】
（A） （B）（C）（D）
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为【D】
（A） （B）1（C） （D）3
（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为【C】
（A）0 （B）1（C）2（D）3
（4）设，则""是""的【A】
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【B】
（A） （B）（C）（D）
（6）已知奇函数在**R**上是增函数，.若，，，则*a*，*b*，*c*的大小关系为【C】
（A） （B） （C） （D）
（7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则【A】
（A）， （B）， （C）， （D），
（8）已知函数设，若关于*x*的不等式在**R**上恒成立，则*a*的取值范围是【A】
（A） （B） （C） （D）
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
> **1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。**
>
> **2．本卷共12小题，共110分。**
**二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则*a*的值为 [ −2 .]{.underline}
（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}.
（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为 [ 2 .]{.underline}
（12）若，，则的最小值为 [ 4 .]{.underline}
（13）在中，，，.若，，且，则的值为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 [ 1080 .]{.underline}个.（用数字作答）
**三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15.（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
（Ⅰ）解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
16.（本小题满分13分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.
（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 0 1 2 3
    
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
随机变量的数学期望.
（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
> **（17）（本小题满分13分）**
如图，在三棱锥*P*-*ABC*中，*PA*⊥底面*ABC*，.点*D*，*E*，*N*分别为棱*PA*，P*C*，*BC*的中点，*M*是线段*AD*的中点，*PA*=*AC*=4，*AB*=2.
（Ⅰ）求证：*MN*∥平面*BDE*；
（Ⅱ）求二面角*C*-*EM*-*N*的正弦值；
（Ⅲ）已知点*H*在棱*PA*上，且直线*NH*与直线*BE*所成角的余弦值为，求线段*AH*的长.
如图，以*A*为原点，分别以，，方向为*x*轴、*y*轴、*z*轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
*A*（0，0，0），*B*（2，0，0），*C*（0，4，0），*P*（0，0，4），*D*（0，0，2），*E*（0，2，2），*M*（0，0，1），*N*（1，2，0）.
（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面*BDE*的法向量，
则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.
因为平面*BDE*，所以*MN*//平面*BDE*.
（Ⅱ）解：易知为平面*CEM*的一个法向量.设为平面*EMN*的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.
因此有，于是.
所以，二面角*C*---*EM*---*N*的正弦值为.
（Ⅲ）解：依题意，设*AH*=*h*（），则*H*（0，0，*h*），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，线段*AH*的长为或.
18.（本小题满分13分）
已知为等差数列，前*n*项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前*n*项和.
解：（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
> 由已知，得，而，所以.
>
> 又因为，解得.所以，.
>
> 由，可得 ①.
>
> 由，可得 ②，
>
> 联立①②，解得，，由此可得.
>
> 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.
>
> （II）解：设数列的前项和为，
>
> 由，，有，
>
> 故，
>
> ，
>
> 上述两式相减，得
>
> 
>
> 得.
>
> 所以，数列的前项和为.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
> **（20）（本小题满分14分）**
设，已知定义在**R**上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，函数，求证：；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.
（Ⅰ）解：由，可得，
进而可得.令，解得，或.
当*x*变化时，的变化情况如下表：
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
*x*   
 \+ \- \+
 ↗ ↘ ↗
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
（Ⅱ）证明：由，得，
> .
>
> 令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.
>
> 令函数，则.由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.
>
> 所以，.
（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，
> 令，函数.
>
> 由（II）知，当时，在区间内有零点；
>
> 当时，在区间内有零点.
>
> 所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.
>
> 由（I）知在上单调递增，故，
>
> 于是.
>
> 因为当时，，故在上单调递增，
>
> 所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.
>
> 又因为，，均为整数，所以是正整数，
>
> 从而.
>
> 所以.所以，只要取，就有.
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
数学（浙江卷）
==============
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
**参考公式：**
> 球的表面积公式 锥体的体积公式
>
>  
>
> 球的体积公式 其中*S*表示棱锥的底面面积，*h*表示棱锥的高
>
>  台体的体积公式
>
> 其中*R*表示球的半径 
>
> 柱体的体积公式 其中*S~a~*，*S~b~*分别表示台体的上、下底面积
>
> *V*=*Sh h*表示台体的高
>
> 其中*S*表示棱柱的底面面积，*h*表示棱柱的高
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，那么【A】
> A． B． C． D．
2．椭圆的离心率是【B】
> A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm^3^）是【A】
（第3题图）
> A． B． C． D．
4．若，满足约束条件则的取值范围是【D】
> A．\[0，6\] B．\[0，4\]
>
> C．\[6， D．\[4，
5．若函数*f*(*x*)=*x*^2^+ *ax*+*b*在区间\[0，1\]上的最大值是*M*，最小值是*m*，则*M* -- *m*【B】
> A．与*a*有关，且与*b*有关 B．与*a*有关，但与*b*无关
>
> C．与*a*无关，且与*b*无关 D．与*a*无关，但与*b*有关
6．已知等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，前*n*项和为*S~n~*，则"*d*\>0"是"*S*~4~ + *S*~6~\>2*S*~5~"的【C】
> A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
>
> C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数*y=f*(*x*)的导函数的图象如图所示，则函数*y=f*(*x*)的图象可能是【D】
（第7题图）
8．已知随机变量满足*P*（=1）=*p~i~*，*P*（=0）=1--*p~i~*，*i*=1，2． 若0\<*p*~1~\<*p*~2~\<，则【A】
> A．\<，\< B．\<，\>
>
> C．\>，\< D．\>，\>
>
> 9．如图，已知正四面体*D*--*ABC*（所有棱长均相等的三棱锥），*P*，*Q*，*R*分别为*AB*，*BC*，*CA*上的点，*AP=PB*，，分别记二面角*D--PR--Q*，*D--PQ--R*，*D--QR--P*的平面角为*α*，*β*，*γ*，则【B】
（第9题图）
> A．*γ*\<*α*\<*β* B．*α*\<*γ*\<*β* C．*α*\<*β*\<*γ* D．*β*\<*γ*\<*α*
>
> 10．如图，已知平面四边形*ABCD*，*AB*⊥*BC*，*AB*＝*BC*＝*AD*＝2，*CD*＝3，*AC*与*BD*交于点*O*，记，，，则【C】
（第10题图）
A． B．
C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．
12．已知*a*，*b*∈**R**，（i是虚数单位）则 [5]{.underline} ，*ab*= [2]{.underline} ．
13．已知多项式，则= [16]{.underline} ，= [4]{.underline} ．
> 14．已知△*ABC*，*AB*=*AC*=4，*BC*=2． 点*D*为*AB*延长线上一点，*BD*=2，连结*CD*，则△*BDC*的面积是，cos∠*BDC*=．
15．已知向量***a***，***b***满足则的最小值是 [4]{.underline} ，最大值是 [ ]{.underline} ．
> 16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 [660]{.underline} 种不同的选法．（用数字作答）
17．已知*α***R**，函数在区间\[1，4\]上的最大值是5，则的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知函数*f*（*x*）=sin^2^*x*--cos^2^*x*-- sin *x* cos *x*（*x***R**）．
> （Ⅰ）求的值；
>
> （Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．
>
> 解：
>
> （Ⅰ）由，，
>
> ．
得．
> （Ⅱ）由与得
>
> ．
>
> ．
>
> 所以的最小正周期是．
>
> 由正弦函数的性质得
>
> ，
>
> 解得
>
> ，
>
> 所以，的单调递增区间是．
19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥*P*--*ABCD*，△*PAD*是以*AD*为斜边的等腰直角三角形，，*CD*⊥*AD*，*PC*=*AD*=2*DC*=2*CB*，*E*为*PD*的中点．
（第19题图）
> （Ⅰ）证明：平面*PAB*；
>
> （Ⅱ）求直线*CE*与平面*PBC*所成角的正弦值．
>
> 解：
（Ⅰ）如图，设*PA*中点为*F*，连接*EF*，*FB*．
> 因为*E*，*F*分别为*PD*，*PA*中点，所以
>
> 且，
>
> 又因为，，所以
>
> 且，
>
> 即四边形*BCEF*为平行四边形，所以
>
> ，
>
> 因此
>
> 平面*PAB*．
>
> （Ⅱ）分别取*BC，AD*的中点为*M，N.* 连接*PN*交*EF*于点*Q*，连接*MQ.*
>
> 因为*E，F，N*分别是*PD，PA，AD*的中点，所以*Q*为*EF*中点，
>
> 在平行四边形*BCEF*中，
>
> 由*DC*⊥*AD*，*N*是*AD*的中点得
>
> *MQ∥CE，*
>
> 由△*PAD*为等腰直角三角形得
>
> *PN⊥AD，*
>
> 由*DC*⊥*AD，N*是*AD*的中点得
>
> *BN*⊥*AD*．
>
> 所以
>
> *AD*⊥平面*PBN*，
>
> 由*BC*//*AD*得
>
> *BC*⊥平面*PBN*，
>
> 那么
>
> 平面*PBC*⊥平面*PBN*．
>
> 过点*Q*作*PB*的垂线，垂足为*H*，连接*MH*．
>
> *MH*是*MQ*在平面*PBC*上的射影，
>
> 所以∠*QMH*是直线*CE*与平面*PBC*所成的角．
>
> 设*CD*=1．
>
> 在△*PCD*中，由*PC*=2，*CD*=1，*PD=*得*CE*=，
>
> 在△*PBN*中，由*PN*=*BN*=1，*PB*=得*QH*=，
>
> 在Rt△*MQH*中，*QH=*，*MQ*=，
>
> 所以
>
> sin∠*QMH*=，
>
> 所以直线*CE*与平面*PBC*所成角的正弦值是．
20．（本题满分15分）已知函数*f*(*x*)=（*x*--）（）．
> （Ⅰ）求*f*(*x*)的导函数；
>
> （Ⅱ）求*f*(*x*)在区间上的取值范围．
>
> 解：
>
> 
>
> （Ⅱ）由
>
> ，
>
> 解得
>
> 或．
>
> 因为
--------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------------- --- ---------------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
*x*  （，1） 1 （1，）  （，）
 -- 0 \+ 0 --
*f*（*x*）   0   
--------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------------- --- ---------------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
> 又，
所以*f*（*x*）在区间上的取值范围是．
21．（本题满分15分）如图，已知抛物线，点*A*，，抛物线上的点．过点*B*作直线*AP*的垂线，垂足为*Q*．
（第20题图）
> （Ⅰ）求直线*AP*斜率的取值范围；
>
> （Ⅱ）求的最大值．
>
> 解：
>
> （Ⅰ）设直线*AP*的斜率为*k*，
>
> ，
>
> 因为，所以直线*AP*斜率的取值范围是．
>
> （Ⅱ）联立直线*AP*与*BQ*的方程
>
> 
>
> 解得点*Q*的横坐标是
>
> ．
>
> 因为
>
> \|*PA*\|==，
>
> \|*PQ*\|= ，
>
> 所以．
>
> 令，
>
> 因为
>
> ，
>
> 所以 *f*(*k*)在区间上单调递增，上单调递减，
>
> 因此当*k*=时，取得最大值．
22．（本题满分15分）已知数列{*x~n~*}满足：*x*~1~=1，*x~n~*=*x~n~*~+1~+ln(1+*x~n~*~+1~)（）．
> 证明：当时，
>
> （Ⅰ）0＜*x~n~*~+1~＜*x~n~*；
>
> （Ⅱ）2*x~n~*~+1~− *x~n~*≤；
>
> （Ⅲ）≤*x~n~*≤．
解：
（Ⅰ）用数学归纳法证明：．
> 当*n*=1时，*x*~1~=1\>0．
>
> 假设*n*=*k*时，*x~k~*\>0，
>
> 那么*n*=*k*+1时，若，则，矛盾，故．
>
> 因此．
>
> 所以
>
> ，
>
> 因此．
>
> 
>
> 故
>
> ．
>
> （Ⅲ）因为
>
> ，
>
> 所以
>
> ，
>
> 由，得
>
> ，
>
> 所以
>
> ，
>
> 故
>
> ．
>
> 综上，
>
> ．
**绝密★启用前**
2017年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（山东卷）
==================
> **本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。**
**考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A、B独立，那么P（AB）=P(A)﹒P(B)
**第I卷（共50分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.**
（1）设函数的定义域，函数的定义域为,则【D】
（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）\[-2,1)
（2）已知,i是虚数单位，若，则a=【A】
（A）1或-1 （B） （C）- （D）
（3）已知命题*p:*；命题*q*：若*a*＞*b*，则，下列命题为真命题的是【B】
（A）  （B） （C）  （D）
（4）已知*x,y*满足，则*z=x+*2*y*的最大值是【C】
（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6
（5）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为【C】
（A） （B） （C） （D）
（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为【D】
（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0
（7）若，且，则下列不等式成立的是【B】
（A） （B）
（C） （D）
（8）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是【C】
（A） （B） （C） （D）
（9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是【A】
（A） （B） （C） （D）
（10）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是【B】
（A） （B）
（C） （D）
第II卷（共100分）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分**
（11）已知的展开式中含有项的系数是，则 [4]{.underline} .
（12）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
（14）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
（15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 [ ]{.underline} [①④]{.underline} .
① ② ③ ④
**三、解答题：本大题共6小题，共75分。**
（16）（本小题满分12分）
设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
解：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
（17）（本小题满分12分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.
（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；
（Ⅱ）当，，求二面角的大小.
解：（Ⅰ）因为，，
，平面，，
所以平面，
又平面，
所以，又，
因此
（Ⅱ）解法一：
取的中点，连接，，.
因为，
所以四边形为菱形，
所以.
取中点，连接，，.
则，，
所以为所求二面角的平面角.
又，所以.
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此为等边三角形，
故所求的角为.
解法二：
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得，，，故，，，
设是平面的一个法向量.
由可得
取，可得平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量.
由可得
取，可得平面的一个法向量.
所以.
因此所求的角为.
（18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者*A*~1~，*A*~2~，*A*~3~，*A*~4~，*A*~5~，*A*~6~和4名女志愿者*B*~1~，*B*~2~，*B*~3~，*B*~4~，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含*A*~1~但不包含的频率。
（II）用*X*表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求*X*的分布列与数学期望*EX*.
解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为：.则
因此X的分布列为
--- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
X 0 1 2 3 4
P     
--- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
X的数学期望是
=
=2
（19）（本小题满分12分）
已知{*x*~n~}是各项均为正数的等比数列，且*x~1~*+*x~2~*=3，*x~3~*-*x~2~*=2
（Ⅰ）求数列{*x*~n~}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系*xOy*中，依次连接点*P~1~*(*x~1~*, 1)，*P~2~*(*x~2~*, 2)...*P~n+1~*(*x~n+1~*, n+1)得到折线*P~1~ P~2~*...*P~n+1~*，求由该折线与直线*y*=0，所围成的区域的面积.
解：(I)设数列的公比为，由已知.
由题意得，所以，
因为,所以，
因此数列的通项公式为
（II）过......向轴作垂线，垂足分别为......,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意，
所以
......+
=......+ ①
又......+ ②
①-②得
=
所以
（20）（本小题满分13分）
已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
（21）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
解：（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此 曲线在点处的切线方程为
，
即 .
（Ⅱ）由题意得 ，
因为
，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以 当时取得极大值.
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值.
极小值是.
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
（21）
解：（I）由题意知 ，，
所以 ，
因此 椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得，
因此 .
由题意可知 ，
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以 ，
因此，
所以 最大值为.
综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
**绝密★启用前**
2016年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅰ卷）
===================
**本试题卷共5页，24题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟**
**注意事项：**
1\. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小时选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上帝非答题区域均无效。.
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5\. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
**第Ⅰ卷**
1. **选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
> （1）设集合，，则【D】
>
> （A）（B）（C）（D）
>
> （2）设，其中*x*，*y*是实数，则【B】
>
> （A）1（B）（C）（D）2
>
> （3）已知等差数列前9项的和为27，，则【C】
>
> （A）100（B）99（C）98（D）97
>
> （4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是【B】
（A）（B）（C）（D）
（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则*n*的取值范围是【A】
（A）(--1,3) （B）(--1,) （C）(0,3) （D）(0,)
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是【A】
（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π
（7）函数*y*=2*x*^2^--在\[--2,2\]的图像大致为【D】
（A）（B）
（C）（D）
（8）若，则【C】
（A）（B）（C）（D）
（9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出*x*，*y*的值满足【C】
（A）（B）（C）（D）
(10)以抛物线*C*的顶点为圆心的圆交*C*于*A*，*B*两点，交*C*的标准线于*D*，*E*两点.已知\|*AB*\|=，\|*DE\|=*，则*C*的焦点到准线的距离为【B】
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)平面*a*过正方体*ABCD*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的顶点*A*，*a*//平面*CB*~1~*D*~1~，平面*ABCD*=*m*，平面*ABA*~1~*B*~1~=*n*，则*m*，*n*所成角的正弦值为【A】
(A)(**B**) (C) (D)
12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为【A】
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
第**II**卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题 (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题 (24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分
(13)设向量***a***=(*m*，1)，***b***=(1，2)，且\|***a***+***b***\|^2^=\|***a***\|^2^+\|***b***\|^2^，则*m*= [ -2]{.underline} .
(14)的展开式中，*x*^3^的系数是 [ 10 .]{.underline}（用数字填写答案）
（15）设等比数列满足*a*~1~+*a*~3~=10，*a*~2~+*a*~4~=5，则*a*~1~*a*~2~*...a~n~*的最大值为 [ 64]{.underline} .
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 [ 216000]{.underline} 元。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分为12分）
的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知
（I）求*C*；
（II）若的面积为，求的周长．
解：（I）由已知及正弦定理得，，
即．
故．
可得，所以．
（II）由已知，．
又，所以．
由已知及余弦定理得，．
故，从而．
所以的周长为．
（18）（本小题满分为12分）
如图，在以*A*，*B*，*C*，*D*，*E*，*F*为顶点的五面体中，面*ABEF*为正方形，*AF*=2*FD*，，且二面角*D*-*AF*-*E*与二面角*C*-*BE*-*F*都是．
（I）证明：平面*ABEF**EFDC*；
（II）求二面角*E*-*BC*-*A*的余弦值．
解：（I）由已知可得，，所以平面．
又平面，故平面平面．
（II）过作，垂足为，由（I）知平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．
由已知，，所以平面．
又平面平面，故，．
由，可得平面，所以为二面角的平面角，
．从而可得．
所以，，，．
设是平面的法向量，则
，即，
所以可取．
设是平面的法向量，则，
同理可取．则．
故二面角的余弦值为．
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 16 17 18 19 20 21 22
       
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
.
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
20\. （本小题满分12分）
设圆的圆心为*A*，直线*l*过点*B*（1,0）且与*x*轴不重合，*l*交圆*A*于*C*，*D*两点，过*B*作*AC*的平行线交*AD*于点*E*.
（I）证明为定值，并写出点*E*的轨迹方程；
（II）设点*E*的轨迹为曲线*C*~1~，直线*l*交*C*~1~于*M*,*N*两点，过*B*且与*l*垂直的直线与圆*A*交于*P*,*Q*两点，求四边形*MPNQ*面积的取值范围.
解：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
（21）（本小题满分12分）
已知函数有两个零点.
(I)求*a*的取值范围；
(II)设*x*~1~，*x*~2~是的两个零点，证明：+*x*~2~\<2.
解：（Ⅰ）．
（i）设，则，只有一个零点．
（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，取满足且，则
，
故存在两个零点．
（iii）设，由得或．
若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．
由于，而，所以
．
设，则．
所以当时，，而，故当时，．
从而，故．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号**
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△*OAB*是等腰三角形，∠*AOB*=120°.以⊙*O*为圆心，*OA*为半径作圆.
(I)证明：直线*AB*与⊙*O*相切；
(II)点*C*,*D*在⊙*O*上，且*A*,*B*,*C*,*D*四点共圆，证明：*AB*∥*CD*.
解：（Ⅰ）设是的中点，连结，
因为，所以，．
在中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙相切．
（Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线．
由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以．
同理可证，．所以．
（23）（本小题满分10分）选修4---4：坐标系与参数方程
在直线坐标系*xoy*中，曲线*C*~1~的参数方程为（*t*为参数，*a*＞0）。在以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线*C*~2~：*ρ*=4cos*θ*.
（I）说明*C*~1~是哪种曲线，并将*C*~1~的方程化为极坐标方程；
（II）直线*C*~3~的极坐标方程为*θ=α*~0~，其中*α*~0~满足tan*α*~0~=2，若曲线*C*~1~与*C*~2~的公共点都在*C*~3~上，求*a*。
解：⑴  （均为参数）
> ∴ ①
>
> ∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
>
> ∵
>
> ∴ 即为的极坐标方程
>
> ⑵ 
>
> 两边同乘得
>
> 
>
> 即 ②
>
> ：化为普通方程为
>
> 由题意：和的公共方程所在直线即为
>
> ①---②得：，即为
>
> ∴
>
> ∴
（24）（本小题满分10分），选修4---5：不等式选讲
已知函数*f*(*x*)= ∣*x*+1∣-∣2*x*-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出*y*= *f*(*x*)的图像；
（II）求不等式∣*f*(*x*)∣﹥1的解集。
解：⑴ 
如图所示：
> 
>
> ⑵ 
>
> 
>
> 当，，解得或
>
> 
>
> 当，，解得或
>
> 或
>
> 当，，解得或
>
> 或
>
> 综上，或或
>
> ，解集为.
**绝密★启用前**
2016年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅱ卷）
===================
**注意事项：**
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4\. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数*m*的取值范围是【A】
（A） （B）（C）（D）
（2）已知集合，，则【C】
（A）（B）（C）（D）
（3）已知向量，且，则*m*=【D】
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则*a=*【A】
（A） （B） （C） （D）2
（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【B】
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为【C】
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
（7）若将函数*y*=2sin 2*x*的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为【B】
（A）*x*=-- (*k*∈**Z**) （B）*x*=+ (*k*∈**Z**) （C）*x*=-- (*k*∈**Z**) （D）*x*=+ (*k*∈**Z**)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的*x*=2，*n*=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的*s*=【C】
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）若cos(--α)= ，则sin 2α=【D】
（A） （B） （C）-- （D）--
（10）从区间随机抽取2*n*个数,，...，， ，，...，，构成*n*个数对，，...，，其中两数的平方和小于1的数对共有*m*个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为【C】
> （A） （B） （C） （D）
>
> （11）已知*F~1~，F~2~*是双曲线*E：*的左，右焦点，点*M*在*E*上，*M F~1~*与 轴垂直，sin ,则E的离心率为【A】
>
> （A） （B） （C） （D）2
>
> （12）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则【B】
>
> （A）0 （B）*m* （C）2*m* （D）4*m*
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题\~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题\~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
(13)△*ABC*的内角A，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，c，若cos *A*=，cos *C*=，*a*=1，则*b*= [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
(14)*α、β*是两个平面，*m*、*n*是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果*m*⊥*n*，*m*⊥*α*，*n*∥*β*，那么*α*⊥*β.*
（2）如果*m*⊥*α*，*n*∥*α*，那么*m*⊥*n*.
（3）如果*α*∥*β*，*m**α*，那么*m*∥*β*.
（4）如果*m*∥*n*，*α*∥*β*，那么*m*与*α*所成的角和*n*与*β*所成的角相等.
其中正确的命题有 [ （2）（3）（4） .]{.underline}(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是 [ 1和3 .]{.underline}
（16）若直线*y=kx*+*b*是曲线*y*=ln*x*+2的切线，也是曲线*y*=ln（*x*+1）的切线，则*b*= [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
为等差数列的前*n*项和，且记，其中表示不超过*x*的最大整数，如.
（I）求；
（II）求数列的前1 000项和.
解：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
18.（本小题满分12分）
某险种的基本保费为*a*（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
---------------- --------- ----- --------- -------- --------- ----------------------------------------
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
保费 0.85*a* *a* 1.25*a* 1.5*a* 1.75*a* 2*a*
---------------- --------- ----- --------- -------- --------- ----------------------------------------
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ----------------------------------------
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0\. 05
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ----------------------------------------
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解：（Ⅰ）设表示事件："一续保人本年度的保费高于基本保费"，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件："一续保人本年度的保费比基本保费高出"，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
      
      
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
19.（本小题满分12分）
如图，菱形*ABCD*的对角线*AC*与*BD*交于点*O*，*AB*=5，*AC*=6，点*E*,*F*分别在*AD*,*CD*上，*AE*=*CF*=，*EF*交*BD*于点*H*.将△*DEF*沿*EF*折到△的位置，.
（I）证明：平面*ABCD*；
（II）求二面角的正弦值.
解：（I）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，
故.
又，而，
所以.
（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.
20\. （本小题满分12分）
已知椭圆*E*:的焦点在轴上，*A*是*E*的左顶点，斜率为*k*(*k*\>0)的直线交*E*于*A*,*M*两点，点*N*在*E*上，*MA*⊥*NA.*
（I）当*t*=4，时，求△*AMN*的面积；
（II）当时，求*k*的取值范围.
解：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数 的单调性，并证明当 \>0时，
(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.
解：（Ⅰ）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有最小值，的值域是
**请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号**
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形*ABCD*，E,G分别在边*DA*,*DC*上（不与端点重合），且*DE*=*DG*，过*D*点作*DF*⊥*CE*，垂足为*F*.
\(I\) 证明：*B,C,G,F*四点共圆；
(II)若*AB*=1，*E*为*DA*的中点，求四边形*BCGF*的面积.
解：（I）因为,所以
则有
所以由此可得
因此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即
（23）（本小题满分10分）选修4---4：坐标系与参数方程
在直角坐标系*xoy*中，圆*C*的方程为（*x*+6）^2^+*y*^2^=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求*C*的极坐标方程；
（II）直线*l*的参数方程是（*t*为参数）,*l*与*C*交于*A*、*B*两点，∣*AB*∣=，求*l*的斜率。
解：（I）由可得圆的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是
由得，
所以的斜率为或.
（24）（本小题满分10分），选修4---5：不等式选讲
已知函数，*M*为不等式*f*(*x*) ＜2的解集.
（I）求*M*；
（II）证明：当*a*,*b*∈*M*时，∣*a*+*b*∣＜∣1+*ab*∣。
解：（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此
**绝密★启用前**
2016年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅲ卷）
===================
**注意事项：**
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4\. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
**第Ⅰ卷**
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 ，则*S**T*=【D】
\(A\) \[2，3\] (B)（- ，2\] \[3,+）
\(C\) \[3,+） (D)（0，2\] \[3,+）
（2）若z=1+2i，则【C】
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
（3）已知向量 , 则ABC=【A】
(A)30^0^ (B) 45^0^ (C) 60^0^ (D)120^0^
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15^0^C，B点表示四月的平均最低气温约为5^0^C。下面叙述不正确的是【D】
\(A\) 各月的平均最低气温都在0^0^C以上
\(B\) 七月的平均温差比一月的平均温差大
\(C\) 三月和十一月的平均最高气温基本相同
\(D\) 平均最高气温高于20^0^C的月份有5个
（5）若 ，则 【A】
(A) (B)  (C) 1 (D)
（6）已知，，，则【A】
（A） （B）（C）（D）
（7）执行下图的程序框图，如果输入的*a*=4，*b*=6，那么输出的*n*=【B】
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（8）在中，，*BC*边上的高等于,则【C】
> （A） （B） （C） （D）
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为【B】
（A）
（B）
（C）90
（D）81
\(10\) 在封闭的直三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~内有一个体积为*V*的球，若*AB**BC*，*AB*=6，*BC*=8，AA~1~=3，则*V*的最大值是【B】
（A）4π （B） （C）6π （D）
（11）已知*O*为坐标原点，*F*是椭圆*C*：的左焦点，*A*，*B*分别为*C*的左，右顶点.*P*为*C*上一点，且*PF*⊥*x*轴.过点*A*的直线*l*与线段*PF*交于点*M*，与*y*轴交于点*E*.若直线*BM*经过*OE*的中点，则*C*的离心率为【A】
（A） （B） （C） （D）
（12）定义"规范01数列"{*a~n~*}如下：{*a~n~*}共有2*m*项，其中*m*项为0，*m*项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若*m*=4，则不同的"规范01数列"共有【C】
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
第*II*卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题\~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题\~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分
（13）若x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}个单位长度得到。
（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在点（1，-3）处的切线方程是 [ .]{.underline}
（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则 [4 .]{.underline}
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，其中0.
（I）证明是等比数列，并求其通项公式
（II）若 ，求
解：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，
解得．
（18）（本小题满分12分）
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥*P-ABCD*中，*PA*⊥底面*ABCD*，*AD∥BC*，*AB=AD=AC*=3，*PA=BC*=4，*M*为线段*AD*上一点，*AM=*2*MD*，*N*为*PC*的中点.
（I）证明*MN∥*平面*PAB*;
（II）求直线*AN*与平面*PMN*所成角的正弦值.
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故 ，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，
，，，，
，，.
设为平面的法向量，则，即，可取，
于是.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线*C*： 的焦点为*F*，平行于*x*轴的两条直线分别交*C*于*A*，*B*两点，交*C*的准线于*P*，*Q*两点.
（I）若*F*在线段*AB*上，*R*是*PQ*的中点，证明*AR*∥*FQ*；
（II）若△*PQF*的面积是△*ABF*的面积的两倍，求*AB*中点的轨迹方程.
解：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为.
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以.
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.
（21）（本小题满分12分）
设函数，其中＞0，记的最大值为*A*.
（Ⅰ）求*f＇*（*x*）；
（Ⅱ）求*A*；
（Ⅲ）证明≤2*A*.
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，． .........4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．
（ⅱ）当时，由，知．
又，所以．
综上，． .........9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
当时，.
当时，，所以.
当时，，所以.
**请考生在\[22\]、\[23\]、\[24\]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙*O*中的中点为*P*，弦*PC*，*PD*分别交*AB*于*E*，*F*两点.
（I）若∠*PFB*=2∠*PCD*，求∠*PCD*的大小；
（II）若*EC*的垂直平分线与*FD*的垂直平分线交于点*G*，证明*OG*⊥*CD*.
解：（Ⅰ）连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系*xOy*中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以*x*轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（I）写出的普通方程和的直角坐标系方程；
（II）设点*P*在上，点*Q*在上，求\|*PQ*\|的最小值及此时*P*的直角坐标.
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）当*a*=2时，求不等式的解集；
（II）设函数当时，*f*（*x*）+*g*（*x*）≥3，求*a*的取值范围.
解：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
**绝密★启用前**
2016年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（北京卷）
==================
**本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第一部分**（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合*A*=*B*=，则【C】
（A） （B）
（C）  （D）
（2）若*x,y*满足  ，则*2x+y*的最大值为【C】
（A）0 （B）3
（C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的*a*值为1，则输出的*k*值为【B】
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（4）设***a**,**b***是向量，则""是""的【D】
*（A）* 充分而不必要条件 *（B）*必要而不充分条件
*（C）* 充分必要条件 *（D）*既不充分也不必要条件
*（5）*已知*x,y**R,*且*x**y**o，*则【C】
*（A）**-* *（B）*
*（C）* *(-**0 （D）lnx+lny*
*(6)*某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为【A】
*（A）*
*（B）*
*（C）*
*（D）1*
(7)将函数图像上的点*P*（ ，*t* ）向左平移*s*（*s*﹥0） 个单位长度得到点*P*′.若 *P*′位于函数的图像上，则【A】
（A）*t*= ，*s*的最小值为 （B）*t*= ，*s*的最小值为
（C）*t*= ，*s*的最小值为 （D）*t*= ，*s*的最小值为
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则【B】
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球
（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
**第二部分**（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= [-1 .]{.underline}
（10）在的展开式中，的系数为 [60 .]{.underline}（用数字作答）
（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，
则 = [2 .]{.underline}
（12）已知为等差数列，为其前n项和，若 ，，则 [6 .]{.underline}
（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a= [2 .]{.underline}
（14）设函数
①若a=0，则f(x)的最大值为 [2]{.underline} ；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 [ ]{.underline}  [.]{.underline}
**三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）**
（15）（本小题13分）
在ABC中，
（I）求 的大小
（II）求 的最大值
解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得.
又因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
,
因为，所以当时，取得最大值.
（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
----- ----------------------------
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
----- ----------------------------
（I） 试估计C班的学生人数；
（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为  ，试判断  和的大小，（结论不要求证明）
解：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为.
（Ⅱ）设事件为"甲是现有样本中班的第个人"，，
事件为"乙是现有样本中班的第个人"，，
由题意可知，，；，.
,,.
设事件为"该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长".由题意知，
因此
.
（Ⅲ）.
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,
（I）求证：PD平面PAB; 
（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）因为平面平面，，
所以平面.
所以.
又因为，
所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结.
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以.
如图建立空间直角坐标系.由题意得，
.
设平面的法向量为，则
即
令，则.
所以.
又，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.
因此点.
因为平面，所以平面当且仅当，
即，解得.
所以在棱上存在点使得平面，此时.
（18）（本小题13分）
设函数f(x)=xe +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（I）求a,b的值；
(I I) 求f(x)的单调区间。
解：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由即知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C： （a\>b\>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（I）求椭圆C的方程；
(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：lANl lBMl为定值。
解：（Ⅰ）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得.从而.
直线的方程为.
令，得.从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
（20）（本小题13分）
设数列A： ， ,... (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ＜ ，则称n是数列A的一个"G时刻"。记"G（A）是数列A 的所有"G时刻"组成的集合。
（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
(I I)证明：若数列A中存在使得\>，则G（A）  ；
(I I I）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, ...,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。
解：（Ⅰ）的元素为和.
（Ⅱ）因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数.
因此，从而.
（Ⅲ）当时，结论成立.
以下设.
由（Ⅱ）知.
设，记.
则.
对，记.
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.
从而对任意，，特别地，.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数不小于.
**绝密★启用前**
2016年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（天津卷）
==================
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
1\. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2\. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
**参考公式：**
•如果事件，互斥，那么
•如果事件，相互独立，那么. .
•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.
其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，
表示圆柱的高.表示圆锥的高.
**一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
（1）已知集合，，则【D】
（A） （B）
（C） （D）
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为【B】
（A） （B） （C） （D）
3. 在中，若，，，
则【A】
A.  （B）
（C） （D）
4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为【B】
A.  （B）
（C） （D）
5. 设是首项为正数的等比数列，公比为则
""是"对任意的正整数，"的【C】
A. 充要条件
> （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为【D】
（A） （B） （C）（D）
7. 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接
并延长到点，使得，则的值为【B】
A. （B） （C） （D）
（8）已知函数（，且）在**R**上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是【C】
A.  （B）
（C）{} （D）{}
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
> 1\. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
>
> 2\. 本卷共12小题, 共110分.
**二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.**
（9）已知，**R**，是虚数单位，若，则的值为 [2 .]{.underline}
（10）的展开式中的系数为 [-56 .]{.underline}（用数字作答）
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱
锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积
为 [2]{.underline} .
12. 如图，是圆的直径，弦与相交于点，，，则线段的长
为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
13. 已知是定义在**R**上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，
则的取值范围是 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
14. 设抛物线（为参数，）的焦
点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为
.设，与相交于点.若，
且的面积为，则的值为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
**三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
（15）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.
解： 解：的定义域为.
.
所以, 的最小正周期
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
16. （**本小题满分13分**）
某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分
别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设为事件"选出的人参加义工活动次数之和为"，求事件发生的概率；
（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列
和数学期望.
解：由已知，有
所以，事件发生的概率为.
随机变量的所有可能取值为
，
，
.
所以，随机变量分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
   
   
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
随机变量的数学期望.
17. （**本小题满分13分**）
如图，正方形的中心为，四边形为
矩形，平面平面，点为的中
点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为线段上的点，且，
求直线和平面所成角的正弦值.
解：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.
（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.
（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.
因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.
（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.
18. （**本小题满分13分**）
已知是各项均为正数的等差数列，公差为.对任意的，是和的等比中项.
（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，，，求证.
解：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.
（II）证明：
所以.
19. （**本小题满分14分**）
设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，
其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范
围.
（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
20. （**本小题满分14分**）
设函数，**R**，其中**，****R**.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于
（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
     
 ＋ 0 － 0 ＋
 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，
进而.
又
，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
，所以.
（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.
**绝密★启用前**
2016年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（山东卷）
==================
**本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。**
**注意事项：**
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3\. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A，B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)
**第Ⅰ卷（共50分）**
1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1）若复数*z*满足其中i为虚数单位，则*z*=【B】
> （A）1+2i （B）12i （C） （D）
（2）设集合则=【C】
> （A） （B） （C） （D）
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是【D】
> （A）56 （B）60
>
> （C）120 （D）140
（4）若变量*x*，*y*满足则的最大值是【C】
> （A）4 （B）9 （C）10 （D）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为【C】
（A）（B）（C）（D）
（6）已知直线*a*，*b*分别在两个不同的平面*α*，*β*内.则"直线*a*和直线*b*相交"是"平面*α*和平面*β*相交"的【A】
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（7）函数*f*（*x*）=（sin*x*+cos*x*）（cos*x* --sin*x*）的最小正周期是【B】
（A）（B）π （C）（D）2π
（8）已知非零向量***m***，***n***满足4│***m***│=3│***n***│，cos\<***m***，***n***\>=.若***n***⊥（*t**m***+***n***），则实数*t*的值为【B】
（A）4 （B）--4 （C）（D）--
（9）已知函数*f*(*x*)的定义域为**R**.当*x*\<0时，；当时，；当时， .则*f*(6)=【D】
（A）−2（B）−1（C）0（D）2
（10）若函数*y*=*f*(*x*)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称*y*=*f*(*x*)具有T性质.下列函数中具有T性质的是【A】
（A）*y*=sin*x*（B）*y*=ln*x*（C）*y*=*e^x^*（D）*y*=*x*^3^
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入的*a*,*b*的值分别为0和9，则输出的*i*的值为 [3 .]{.underline}
(12)若（a*x*^2^+）^5^的展开式中*x*^5^的系数是---80，则实数a= [-2 .]{.underline}
（13）已知双曲线E~1~：（*a*＞0，*b*＞0），若矩形*ABCD*的四个顶点在*E*上，*AB*，*CD*的中点为*E*的两个焦点，且2\|*AB*\|=3\|*BC*\|，则E的离心率是 [2 .]{.underline}
（14）在上随机地取一个数*k*，则事件"直线*y*=*kx*与圆相交"发生的概率为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
（15）已知函数其中，若存在实数*b*，使得关于*x*的方程*f*（*x*）*=b*有三个不同的根，则*m*的取值范围是 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）
在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知
（Ⅰ）证明：*a*+*b*=2*c*;
（Ⅱ）求cos*C*的最小值.
解：由题意知，
化简得，
即.
因为,
所以.
从而.
由正弦定理得.
由知,
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
故 的最小值为.
17（本小题满分12分）
.在如图所示的圆台中，*AC*是下底面圆*O*的直径，*EF*是上底面圆*O*的直径，*FB*是圆台的一条母线.
（I）已知*G*,*H*分别为*EC*，*FB*的中点，求证：*GH*∥平面*ABC*；
（II）已知*EF*=*FB*=*AC*=*AB*=*BC*.求二面角的余弦值.
（I）证明：设的中点为,连接,
在,因为是的中点，所以
又所以
在中，因为是的中点，所以，
又,所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（II）**解法一**：
连接,则平面，
又且是圆的直径，所以
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，过点作于点，
所以
可得
故.
设是平面的一个法向量.
由
可得
可得平面的一个法向量
因为平面的一个法向量
所以.
所以二面角的余弦值为.
**解法二**：
连接，过点作于点，
则有,
又平面，
所以*FM*⊥平面*ABC,*
可得
过点作于点，连接，
可得,
从而为二面角的平面角.
又,是圆的直径，
所以
从而，可得
所以二面角的余弦值为.
（18）（本小题满分12分）
已知数列的前*n*项和S*~n~*=3*n*^2^+8*n*，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前*n*项和*T~n~*.
解：（Ⅰ）由题意知当时，，
当时，，
所以.
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又，
得，
，
两式作差，得
> 
>
> 
所以
（19）（本小题满分12分）
甲、乙两人组成"星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则"星队"得3分；如果只有一个人猜对，则"星队"得1分；如果两人都没猜对，则"星队"得0分。已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设"星队"参加两轮活动，求：
（I）"星队"至少猜对3个成语的概率；
（II）"星队"两轮得分之和X的分布列和数学期望EX
解：(Ⅰ)记事件A:"甲第一轮猜对"，记事件B："乙第一轮猜对"，
记事件C："甲第二轮猜对"，记事件D："乙第二轮猜对"，
记事件E："'星队'至少猜对3个成语".
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
> 
 ,
所以"星队"至少猜对3个成语的概率为.
(Ⅱ)由题意，随机变量*X*的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
 ,
,
 ,
 ,
 ,
.
可得随机变量*X*的分布列为
----- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
*X* 0 1 2 3 4 6
*P*      
----- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
所以数学期望.
(20)(本小题满分13分)
已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立
解：（Ⅰ）的定义域为；
.
当， 时，，单调递增；
> ，单调递减.
当时，.
（1），，
> 当或时，，单调递增；
>
> 当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，
> 当或时，，单调递增；
>
> 当时，，单调递减.
综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
> 当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，
> 
>
> ，，
令，.
则，
由可得，当且仅当时取得等号.
又，
设，则在单调递减，
因为，
所以在上使得 时，时，，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
由于，因此，当且仅当取得等号，
所以，
即对于任意的成立。
（21）本小题满分14分）\
平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点。\
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
解：（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆*C*的方程为.
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得
且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
**绝密★启用前**
2015年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅰ卷）
===================
**注意事项：**
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4\. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
（1）设复数*z*满足＝*i*，则\|*z*\|＝【A】
> (*A*)1 (*B*) (*C*) (*D*)2
(2)*sin*20°*cos*10°－*con*160°*sin*10°＝【D】
(*A*) (*B*) (*C*) (*D*)
(3)设命题*P*：*n**N*，\>，则*P*为【C】
(*A*)*n**N*， \> (*B*) *n**N*， ≤
(*C*)*n**N*， ≤ (*D*) *n**N*， ＝
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为【A】
(*A*)0.648 (*B*)0.432 (*C*)0.36 (*D*)0.312
(5)已知*M*(*x*~0，~*y*~0~)是双曲线*C*： 上的一点，*F*~1~、*F*~2~是*C*上的两个焦点，若＜0，则*y*~0~的取值范围是【A】
(*A*)(－，) (*B*)(－，)
(*C*)(，) (*D*)(，)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:"今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?"其意思为:"在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有【B】
(*A*)14斛 (*B*)22斛 (*C*)36斛 (*D*)66斛
(7)设*D*为*ABC*所在平面内一点，则【A】
(*A*)  (*B*) 
(*C*)  (*D*) 
(8)函数*f*(*x*)＝的部分图像如图所示，则*f*(*x*)的单调递减区间为【D】
(*A*)()，*k* (*b*)()，*k*
(*C*)()，*k* (*D*)()，*k*
(9)执行右面的程序框图，如果输入的*t*＝0.01，则输出的*n*＝【C】
(*A*)5 (*B*)6 (*C*)7 (*D*)8
10. 的展开式中，的系数为【C】
(*A*)10 (*B*)20 (*C*)30 (*D*)60
11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为*r*)组成一个几何体，
该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的
表面积为16 ＋ 20，则*r*＝【B】
(*A*)1
(*B*)2
(*C*)4
(*D*)8
12.设函数*f*(*x*)＝*e^x^*(2*x*－1)－*ax*＋*a*，其中*a*1，若存在唯一的
整数*x*~0~，使得*f*(*x*~0~)0，则*a*的取值范围是【D】
*A*.\[，1) *B*. \[) *C*. \[) *D*. \[，1)
第*II*卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题\~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题\~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数*f*(*x*)＝*xln*(*x*＋)为偶函数，则*a*＝ [1 .]{.underline}
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在*x*轴上，则该圆的标准方程为 [ ]{.underline} [.]{.underline}
(15)若*x*，*y*满足约束条件，则的最大值为 [3 .]{.underline}
(16)在平面四边形*ABCD*中，∠*A*＝∠*B*＝∠*C*＝75°，*BC*＝2，则*AB*的取值范围是 [ ]{.underline} [.]{.underline}
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
*S~n~*为数列{*a~n~*}的前*n*项和.已知*a~n~*\>0，
(Ⅰ)求{*a~n~*}的通项公式：
(Ⅱ)设 ，求数列}的前*n*项和
解：（I）由，可知
可得 即
由于可得
又，解得
所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为
（II）由
设数列的前n项和为，则
(18)如图，四边形*ABCD*为菱形，∠*ABC*＝120°，
*E*，*F*是平面*ABCD*同一侧的两点，*BE*⊥平面*ABCD*，
*DF*⊥平面*ABCD*，*BE*＝2*DF*，*AE*⊥*EC*.
(1)证明：平面*AEC*⊥平面*AFC*
(2)求直线*AE*与直线*CF*所成角的余弦值
解：（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.
在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，
> 可得AG=GC=.由 BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.
>
> 又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，
>
> 可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.
>
> 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，
>
> 可得FE=.从而
>
> 又因为
>
> 所以平面
>
> 
I. 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I）可得所以
故
所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费*x*(单位：千元)对年销售量*y*(单位：*t*)和年利润*z*(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费*x~i~*和年销售量*y~i~*(*i*＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
---------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
   (*x*~i~－)^2^ (*w*~i~－)^2^ (*x*~i~－)(*y~i~*－) (*w*~i~－)(*y~i~*－)
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
---------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
表中*w*~i~ ＝~，\ ，~ ＝
(Ⅰ)根据散点图判断，*y*＝*a*＋*bx*与*y*＝*c*＋*d*哪一个适宜作为年销售量*y*关于年宣传费*x*的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立*y*关于*x*的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率*z*与*x*、*y*的关系为*z*＝0.2*y*－*x*.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
i. 年宣传费*x*＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
ii. 年宣传费*x*为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(*u*~1~ *v*~1~)，(*u*~2~ *v*~2~)........ (*u~n~* *v~n~*)，其回归线*v*＝*u*的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
解： （I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于
。
所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。
（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值
年利润z的预报值
。
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
所以当，即x=46.24时，取得最大值
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系*xoy*中，曲线*C*：*y*＝与直线l:*y*＝*kx*＋*a*(*a*\>0)交于*M*，*N*两点，
(Ⅰ)当*k*＝0时，分别求*C*在点*M*和*N*处的切线方程；
(Ⅱ)*y*轴上是否存在点*P*，使得当*k*变动时，总有∠*OPM*＝∠*OPN*？说明理由.
解：（I）有题设可得又
处的导数值为，C在点出的切线方程为
，即.
股所求切线方程为
I. 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为
故
从而
当b=-a时，有
(21)(本小题满分12分)
已知函数*f*(*x*)＝
(Ⅰ)当*a*为何值时，*x*轴为曲线 的切线；
(Ⅱ)用  表示*m*，*n*中的最小值，设函数 ，讨论*h*(*x*)零点的个数
解：
（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点
因此，当
（II）当
是的零点
综上，当
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2*B*铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，*AB*是☉*O*的直径，*AC*是☉*O*的切线，*BC*交☉*O*于点*E*
(I)若*D*为*AC*的中点，证明：*DE*是☉*O*的切线；
（II）若*OA*＝*CE*，求∠*ACB*的大小.
解：（I）链接AE，由已知得，
在中，由已知得，DE=DC故
链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°
故，DE是得切线
（II）设CE=1，AE=X，由已知得，
由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即
可得，所以
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系*xOy*中.直线:*x*＝－2，圆：(*x*－1)^2^＋(*y*－2)^2^＝1，以坐标原点为极点， *x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求△*C*~2~*MN*的面积
解： （I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。
（II）将代入，得，解得，。故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。
(24)(本小题满分10分)选修4---5：不等式选讲
已知函数＝\|*x*＋1\|－2\|*x*－*a*\|，*a*\>0.
(Ⅰ)当*a*＝1时，求不等式*f*(*x*)\>1的解集；
(Ⅱ)若*f*(*x*)的图像与*x*轴围成的三角形面积大于6，求*a*的取值范围
解： （I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得。
所以的解集为。
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。
由题设得，故。
所以a的取值范围为 .
**绝密★启用前**
2015年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅱ卷）
===================
**注意事项：**
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4\. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
> **第Ⅰ卷**
**一、选择题：**本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
\(1\) 已知集合*A*=｛-2，-1，0，2｝，*B*=｛*x*\|（*x*-1）（*x*+2）＜0｝，则*A*∩*B*=【A】
> （*A*）｛-1，0｝ （*B*）｛0，1｝ （*C*）｛-1，0，1｝ （*D*）｛0，1，2｝
\(2\) 若*a*为实数且（2+*ai*）（*a*-2*i*）=-4*i*,则*a*=【B】
> （*A*）-1 （*B*）0 （*C*）1 （*D*）2
\(3\) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是【D】
A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.
B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.
C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.
D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.
（4）等比数列｛*a*~n~｝满足*a*~1~=3，*a*~1~+ *a*~3~+ *a*~5~=21，则*a*~3~+ *a*~5~+ *a*~7~ =【B】
（*A*）21 （*B*）42 （*C*）63 （*D*）84
（5）设函数则【C】
（*A*）3 （*B*）6 （*C*）9 （*D*）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D】
（*A*） （*B*） （*C*） （*D*）
（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于*y*轴于*M*、*N*两点，则=【C】
（*A*）2 （*B*）8 （*C*）4 （*D*）10
（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术".执行该程序框图，若输入*a*,*b*分别为14,18，则输出的*a*=【B】
（*A*）0 （*B*）2 （*C*）4 （*D*）14 
（9）已知*A*,*B*是球*O*的球面上两点，∠*AOB*=90°，*C*为该球面上的动点，若三棱锥*O*-*ABC*体积的最大值为36，则球*O*的表面积为【C】
*A*．36*π* *B*.64*π* *C*.144*π* *D*.256*π*
(10).如图，长方形*ABCD*的边*AB*=2，*BC*=1，*O*是*AB*的中点，点*P*沿着边*BC*，*CD*与*DA*运动，∠*BOP*=*x.*将动点*P*到*A*，*B*两点距离之和表示为*x*的函数*f*（*x*），则*f*（*x*）的图像大致为【B】 
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为【D】
A． B．2 C． D．
（12）设函数是奇函数的导函数，，当*x*\>0时，＜0，则使得*f* (*x*) \>0成立的*x*的取值范围是【A】
*A*． *B*．
*C*． *D*．
> **第Ⅱ卷**
**二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。**
（13）设向量***a，b***不平行，向量与平行，则实数**=** [ ]{.underline}  [ ]{.underline} **；**
（14）若*x*，*y*满足约束条件，则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ；
（15） 的展开式中*x*的奇数次幂项的系数之和为32，则*α*= [ 3]{.underline} ；
（16）设*S~n~*是数列{*a~n~*}的前项和，且，则S~n~[=]{.underline}  [ ]{.underline} ．
**三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
（17）（本小题满分12分）
∆*ABC*中，*D*是*BC*上的点，*AD*平分∠*BAC*，∆*ABD*是∆*ADC*面积的2倍。
(Ⅰ)求  ； (Ⅱ) 若*AD*=1，*DC*= ，求*BD*和*AC*的长．
解：(Ⅰ)S~△ABD~＝AB·AD*sin*∠BAD，
S~△ADC~＝AC·AD*sin*∠CAD.
因为S~△ABD~＝2S~△ADC~，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(Ⅱ)因为S~△ABD~∶S~△ADC~＝BD∶DC及DC＝，
所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB^2^＝AD^2^＋BD^2^－2AD·BD*cos*∠ADB，AC^2^＝AD^2^＋DC^2^－2AD·DC*cos*∠ADC.
故AB^2^＋2AC^2^＝3AD^2^＋BD^2^＋2DC^2^＝6.
由(Ⅰ)知AB＝2AC，所以AC＝1.
\(18\) (本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从*A*，*B*两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
*A*地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
*B*地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
记事件*C*："*A*地区用户的满意度等级高于*B*地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求*C*的概率。
解：(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下(画图注意数据不重不漏)：
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(Ⅱ)记C~A1~表示事件："A地区用户的满意度等级为满意或非常满意"；
C~A2~表示事件："A地区用户的满意度等级为非常满意；"
C~B1~表示事件："B地区用户的满意度等级为不满意"；
C~B2~表示事件："B地区用户的满意度等级为满意"．
则C~A1~与C~B1~独立，C~A2~与C~B2~独立，C~B1~与C~B2~互斥，
C＝C~B1~C~A1~∪C~B2~C~A2~，
P(C)＝P(C~B1~C~A1~∪C~B2~C~A2~)＝P(C~B1~C~A1~)＋P(C~B2~C~A2~)＝P(C~B1~)P(C~A1~)＋P(C~B2~)P(C~A2~)．
由所给数据得C~A1~，C~A2~，C~B1~，C~B2~发生的频率分别为，，，，
故P(C~A1~)＝，P(C~A2~)＝，P(C~B1~)＝，P(C~B2~)＝，
P(C)＝×＋×＝0.48.
（19）(本小题满分12分）
如图，长方体*ABCD*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中*AB*=16，*BC*=10，*AA*~1~=8，点*E*，*F*分别在*A*~1~*B*~1~，*D*~1~*C*~1~上，*A*~1~*E*=*D*~1~*F*=4，过点*E*，*F*的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线*AF*与平面所成角的正弦值.
解：(Ⅰ)交线围成的正方形*EHGF*如图①：
(Ⅱ)作*EM*⊥*AB*，垂足为*M*，则*AM*＝*A*~1~*E*＝4，*EM*＝*AA*~1~＝8.
因为*EHGF*为正方形，所以*EH*＝*EF*＝*BC*＝10.
于是*MH*＝＝6，所以*AH*＝10.
以*D*为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，建立如图①所示的空间直角坐标系*D*－*xyz*，则*A*(10，0，0)，*H*(10，10，0)，*E*(10，4，8)，*F*(0，4，8)，＝(10，0，0)，＝(0，－6，8)．
设***n***＝(*x*，*y*，*z*)是平面*EHGF*的一个法向量，
则，即，
所以可取***n***＝(0，4，3)．
又＝(－10，4，8)，
故\|cos〈***n***，〉\|＝＝，
所以*AF*与平面*EHGF*所成角的正弦值为.
（20）(本小题满分12分）
已知椭圆*C*：(m＞0)，直线不过原点*O*且不平行于坐标轴，*l*与*C*有两个交点*A*，*B*，线段*AB*的中点为*M*.
(Ⅰ) 证明：直线*OM*的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若*l*过点，延长线段*OM*与*C*交于点*P*，四边形*OAPB*能否平行四边行？若能，求此时*l*的斜率；若不能，说明理由．
解：(Ⅰ)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
A(x~1~，y~1~)，B(x~2~，y~2~)，M(x~M~，y~M~)．
将y＝kx＋b代入9x^2^＋y^2^＝m^2^得(k^2^＋9)x^2^＋2kbx＋b^2^－m^2^＝0，故x~M~＝＝，
y~M~＝kx~M~＋b＝.
于是直线OM的斜率k~OM~＝＝－，即k~OM~·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(Ⅱ)四边形OAPB可以为平行四边形．理由如下：
因为直线l过点(，m)，所以l不过原点与C有两个交点的充要条件是k\>0，k≠3.
由(Ⅰ)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为x~P~.
由，得x＝，即x~P~＝ .
将点(，m)的坐标代入l的方程得b＝，
因此x~M~＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x~P~＝2x~M~.
于是＝2×，
解得k~1~＝4－，k~2~＝4＋.
因为k~i~\>0，k~i~≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
（21）(本小题满分12分）
设函数.
(Ⅰ)证明：*f*(*x*)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
(Ⅱ)若对于任意*x*~1~,，*x*~2~∈\[-1,1\]，都有｜*f*(*x*~1~)- *f*(*x*~2~)｜≤*e*-1，求*m*的取值范围．
解：(Ⅰ)f ′(x)＝m(*e*^mx^－1)＋2x.(一般利用导函数正负判断函数单调性)
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，*e*^mx^－1≤0，f ′(x)\<0；当x∈(0，＋∞)时，*e*^mx^－1≥0，f ′(x)\>0.
若m\<0，则当x∈(－∞，0)时，*e*^mx^－1\>0，f ′(x)\<0；当x∈(0，＋∞)时，*e*^mx^－1\<0，f ′(x)\>0.
所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m，f(x)在\[－1，0\]单调递减，在\[0，1\]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x~1~，x~2~∈\[－1，1\]，\|f(x~1~)－f(x~2~)\|≤*e*－1的充要条件是，即. ①
设函数g(t)＝*e*^t^－t－*e*＋1，则g′(t)＝*e*^t^－1.
当t\<0时，g′(t)\<0；当t\>0时，g′(t)\>0.故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
又g(1)＝0，g(－1)＝*e*^－1^＋2－*e*\<0，
故当t∈\[－1，1\]时，g(t)≤0.
当m∈\[－1，1\]，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；
当m\>1时，由g(t)的单调性，g(m)\>0，即*e*^m^－m\>*e*－1，不符题意；
当m\<－1时，g(－m)\>0，即*e*^－m^＋m\>*e*－1，不符题意．
综上，m的取值范围是\[－1，1\]．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。**
（22）（本小题满分10分）选修4---1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆*O*与△ABC的底边BC交于M*、N*两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E*、F*两点.
(Ⅰ)证明：*EF∥BC*
(Ⅱ) 若*AG*等于圆*O*的半径，且*AE=MN=*,求四边形*EBCF*的面积.
解：(Ⅰ)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于E，F，
所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AE＝AF，AD⊥EF，
故AD是EF的垂直平分线．
又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．
如图连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.
因此△ABC和△AEF都是等边三角形．
因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.
因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1，
于是AD＝5，AB＝.
所以四边形EBCF的面积为×()^2^×－×(2)^2^×＝.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
> 在直角坐标系中，曲线C~1~：（t为参数，t≠0）其中，在以*O*为极点，*x*轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：，C~3~：.
(Ⅰ).求C~2~与C~3~交点的直角坐标；
(Ⅱ).若C~1~与C~2~相交于点*A*，C~1~与C~3~相交于点*B*，求\|*AB*\|的最大值.
解：(Ⅰ)曲线*C*~2~的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*y*＝0，曲线*C*~3~的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*＝0.
联立.
解得或.
所以*C*~2~与*C*~3~交点的直角坐标为(0，0)和(，)．
(Ⅱ)曲线*C*~1~的极坐标方程为*θ*＝*α*(*ρ*∈**R**，*ρ*≠0)，其中0≤*α*＜π.
因此*A*的极坐标为(2sin*α*，*α*)，*B*的极坐标为(2cos*α*，*α*)，
所以\|*AB*\|＝\|2sin*α*－2cos*α*\|＝4\|sin(*α*－)\|.
当*α*＝时，\|*AB*\|取得最大值，最大值为4.
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且，证明：
(Ⅰ) 若*\>*，则；
(Ⅱ) 是 的充要条件.
解：(Ⅰ)因为(＋)^2^＝a＋b＋2，(＋)^2^＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)^2^＞(＋)^2^.
因此＋＞＋.
(Ⅱ)(ⅰ)若\|a－b\|＜\|c－d\|，则(a－b)^2^＜(c－d)^2^，
即(a＋b)^2^－4ab＜(c＋d)^2^－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(Ⅰ)得＋＞＋ .
(ⅱ)若＋＞＋， 则(＋)^2^\>(＋)^2^，
即a＋b＋2＞c＋d＋2 .
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
于是(a－b)^2^＝(a＋b)^2^－4ab＜(c＋d)^2^－4cd＝(c－d)^2^，
因此\|a－b\|＜\|c－d\|.
综上，＋＞＋是\|a－b\|\<\|c－d\|的充要条件．
**绝密★启用前**
2015年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（北京卷）
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**本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第一部分**（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数【A】
A． B． C． D．
2．若，满足则的最大值为【D】
A．0 B．1 C． D．2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为【B】
A． B． C． D．
4．设，是两个不同的平面，是直线且．""是""的【B】
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是【C】
A． B． C． D．5
6．设是等差数列. 下列结论中正确的是【C】
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是【C】
A． B．
C． D．
8．汽车的"燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是【D】
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
**第二部分**（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在的展开式中，的系数为 [ 40]{.underline} ．（用数字作答）
10．已知双曲线的一条渐近线为，则 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
11．在极坐标系中，点到直线的距离为 [ 1]{.underline} ．
12．在中，，，，则 [ 1]{.underline} ．
13．在中，点，满足，．若，则 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ； [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
14．设函数
①若，则的最小值为 [ 1]{.underline} ；
> ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} [≤ a \<1 或a ≥ 2]{.underline} ．
**三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）**
**15．（本小题13分）**
**已知函数****．**
**(Ⅰ) 求****的最小正周期；**
**(Ⅱ) 求****在区间****上的最小值．**
**解：（I）因为**
**所以**的最小正周期为2
（Ⅱ）因为，所以
当，即时，取得最小值。
所以在区间上的最小值为
**16．（本小题13分）**
**，****两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：**
**组：10，11，12，13，14，15，16**
**组：12，13，15，16，17，14，**
> **假设所有病人的康复时间互相独立，从****，****两组随机各选1人，****组选出的人记为甲，****组选出的人记为乙．**
>
> **(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；**
>
> **(Ⅱ) 如果****，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；**
>
> **(Ⅲ) 当****为何值时，****，****两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）**
解：设时间为"甲是A组的第i个人"，
时间为"乙是B组的第i个人"，i=1,2，...，7.
由题意可知, i=1,2，...，7.
> （Ⅰ）由题意知，时间"甲的康复时间不少于14天"等价于"甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人"，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
（Ⅱ）设时间C为"甲的康复时间比乙的康复时间长".由题意知，
C=.
因此
=10
=10
=
（Ⅲ）a=11或a=18
**17．（本小题14分）**
> **如图，在四棱锥****中，****为等边三角形，平面****平面****，****，****，****，****，****为****的中点．**
>
> **(Ⅰ) 求证：****；**
>
> **(Ⅱ) 求二面角****的余弦值；**
>
> **(Ⅲ) 若****平面****，求****的值．**
解：**（I）因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，**
**所以AO⊥EF.**
**又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO****平面AEF，**
**所以AO⊥平面EFCB.**
**所以AO⊥BE.\
**（Ⅱ）取BC中点G，连接OG.
由题设知EFCB是等腰梯形，
所以**OG⊥EF.**
由**（I）知AO⊥平面EFCB**
**又OG****平面EFCB，**
所以**OA⊥OG.**
如图建立空间直角坐标系**O-xyz，**
**则E（a,0,0），A（0，0，****），**
**B（2，****（2-a），0），****=（-a，0，****），**
**=（a-2，****（a-2）,0）.**
**设平面ABE的法向量为n=（x,y,z）**
**则：** **即**
**令z=1，则x=****，y=-1.于是n=（****，-1,1）**
**平面AEF是法向量为p=（0,1,0）**
**所以cos（n，p）=****=****.**
**由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为**
**（Ⅲ）因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即****.**
**因为**=（a-2 ，**（**a-2），0），=（-2，**（**2-a），0），
所以**=-2（a-2）-3****.**
**由****及0\<a\<2，解得a=****，**
**18．（本小题13分）**
**已知函数****．**
**（Ⅰ）求曲线****在点****处的切线方程；**
**（Ⅱ）求证：当****时，****；**
**（Ⅲ）设实数****使得****对****恒成立，求****的最大值．**
**解：（I）因为****=ln（1+x）-ln（1-x），所以**
**=****，****=2.**
**又因为****=0，所以曲线y=** **在点（0 ，****）处的切线方程为y=2x.**
（Ⅱ）令**=****-2(x+****)，则**
**=****-2（1+****）=****.**
**因为****\>0（0\<x\<1），所以****在区间（0,1）上单调递增。**
**所以****\>****=0，x∈（0，1），**
**即当x∈（0，1）时，****\>2(x+****).**
**（Ⅲ）由**（Ⅱ）知，当k《2时，**\>k(x+****)对x∈（0，1）恒成立.**
**当k\>2时，令****=****- k(x+****)，则**
**=****-k（1+****）=****.**
所以当时，**\<0，因此****在区间（0，****）上单调递减.**
**当**时，**\<****=0，即****\< k(x+****).**
**所以当K\>2时，****\> k(x+****)并非对x∈（0，1）恒成立.**
**综上可知，k的最大值为2。**
19．（本小题14分）
> 已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
>
> （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
>
> （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
**解：（Ⅰ）由题意得****解得**=2.
故椭圆C的方程为
设M（，0）.
因为m≠0，所以-1\<n\<1.
直线PA的方程为y-1=，
所以=，即M（，0）.\
**（Ⅱ）因为点B与点A关于x轴对称，所以B（m，-n），**
**设N(**,0**)，\\则**=.
"存在点Q（0，）使得ZOQM=ZONQ等价"，"存在点Q（0，）使得
="即满足.
因为，，，
所以.
所以=或=-.
故在y轴上存在点Q，使得OQM=ONQ.点Q的坐标为（0，）或（0，-）.
20．（本小题13分）
已知数列满足：，，且．
记集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
（Ⅰ）{6，12，24}
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数.
由可归纳证明对任意，是3的倍数.
如果k=1，则M的所有元素都是3的倍数.
如果k\>1，因为=2或=2-36，所以2是3的倍数，于是是3的倍数，；类似可得，，...，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数.
（Ⅲ）由，可归纳证明.
由于是正整数，所以是2的倍数.
从而当时，是4的倍数.
如果是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n，是3的倍数.
因此当时，.这时M的元素个数不超过5.
如果不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正整数n，不是3的倍数.
因此当时.这时M的元素个数不超过8.
当=1时，有8个元素.
综上可知，集合M的元素个数最大值为8.
**绝密★启用前**
2015年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（天津卷）
==================
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
**答卷前**，**考生务必将自己的姓名**、**准考证**号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第I卷**
注意事项：
·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
**参考公式：**
如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh
其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A∩C ~u~ B=【A】
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为【C】
（A）3（B）4（C）18（D）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【B】
（A） （B）6（C）14（D）18
（4）设 ，则" "是" "的【A】
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦分别经过点 .若 ，则线段 的长为【A】
（A） （B）3（C） （D）
（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为【D】
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为【C】
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是【D】
（A） （B）
（C） （D）
**第II卷**
**注意事项：**
**1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.**
**2、本卷共12小题，共计110分.**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
（9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 [ -2]{.underline} .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline}  .
（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
（12）在 的展开式中， 的系数为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则 的值为 [ 8]{.underline} .
（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,  [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
**三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15.（本小题满分13分）已知函数，
(I)求最小正周期；
(II)求在区间上的最大值和最小值.
（I）解：由已知，有
=
所以，的最小正周期T=
(II)解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.
16\. （本小题满分13分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件"选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
（I）解：由已知，有
所以，事件A发生的概率为.
（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
所以，随见变量的分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 1 2 3 4
    
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
随机变量的数学期望
17\. （本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，侧棱,,,
,且点M和N分别为的中点.
(I)求证： MN∥平面ABCD
(II)求二面角的正弦值；
(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长
解： 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,
,.又因为M,N分别为和的中点，
得,.
(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量. =.由此可得=0，又因为直线平面，所以∥平面.
（II）解：，.设为平面的法向量，则
即不妨设，可得.
设为平面DE 法向量，则又，得
不妨设z=1，可得.
因此有，于是.
所以，二面角的正弦值为。
（III）解：依题意，可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得
=，整理得，又因为，解得.
所以，线段的长为.
18\. （本小题满分13分）
已知数列满足，且成等差数列.
(I)求q的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前n项和.
（I）解：由已知，有，即，所以.又因为，故，由，得.
当时，；
当时，.
所以，的通项公式为
（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则
 ，
，
上述两式相减，得
，
整理得，.
所以，数列的前n项和为，.
19\. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.
(I)求直线FM的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
（I）解：由已知有，又由，可得.
设直线的斜率为，则直线的方程为.由已知，有+，解得.
（II）解：由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，解得，所以椭圆的方程为.
（III）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，
与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得，或.
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.
①当时，有，因此，于是，得.
②当时，有，因此，于是，得.
综上，直线的斜率的取值范围是.
20\. （本小题满分14分）
已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .
（I）解：由=，可得==，其中，且.
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时.
令=0，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
   
 \- \+ \-
   
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
所以，在，上单调递减，在内单调递增。
（2）当为偶数时.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.
由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.
（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.
设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故.
所以，.
**绝密★启用前**
2015年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（山东卷）
==================
**本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。**
**注意事项：**
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3\. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
**第Ⅰ卷（共50分）**
2. **选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的**
（1）已知集合A={X\|X²-4X+3\<0}，B={X\|2\<X\<4},则AB=【C】
> （A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）
（2）若复数Z满足，其中i为虚数单位，则Z=【A】
（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i
（3）要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像【C】
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
（4）已知菱形*ABCD* 的边长为a，∠ABC=60^o^ ,则＝【D】
（A）-  （B）-  （C）  （D） 
（5）不等式\|x-1\|-\|x-5\|\<2的解集是【A】
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=【B】
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为【C】
（A） （B） （C）  （D）2
（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3^2^），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为【B】
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ\<ξ\<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ\<ξ\<μ+2σ）=95.44%.）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%
（9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为【D】
（A）或（B或
（C）或（D）或
（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的取值范围是【C】
（A）\[,1\]（B）\[0,1\]
（C）\[（D）\[1, +
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
C~1~^0^=4^0^
......
照此规律，当nN时，
C^0^~2n-1~ + C^1^~2n-1~ + C^2^~2n-1~ +...+ C^n-1^~2n-1~ = [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
(12)若"x\[0,\]，tanxm"是真命题，则实数m的最小值为 [ 1]{.underline}
（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
(14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C~1~：（a\>0,b\>0）的渐近线与抛物线C~2：~X^2^=2py(p\>0)交于O，若△OAB的垂心为C~2~的焦点，则C~1~的离心率为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）
设f（x）=^2^（x+）.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。
解：（Ⅰ）由题意
由 
可得 
由 
得 
所以的单调递增区间是（）
单调递减区间是（）
（II）
由题意A是锐角，所以 
由余弦定理：
，且当时成立
面积最大值为
(17)(本小题满分12分)
如图，在三棱台DEF-ABC中，
AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.
（Ⅰ）证法一：
连接，设，连接
在三棱台中，
，为的中点，
可得,
所以 四边形为平行四边形，
则 为的中点，
又 为的中点，
所以,
又平面 平面，
所以平面
证法二：
在三棱台中，
由,为的中点，
可得 ,
所以四边形为平行四边形，
可得 ,
在中，为的中点，为的中点，
所以,
又,所以平面平面,
因为 平面,
所以 平面。
（II）解法一：
设,则,
在三棱台中，
为的中点，
由,
可得 四边形为平行四边形，
因此,
又 平面，
所以 平面，
在中，由，，是中点，
所以 ,
因此 两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 
可得 
故，
设是平面的一个法向量，则
由 可得
可得 平面的一个法向量，
因为是平面的一个法向量，
所以 
所以平面与平面所成角（锐角）的大小为
解法二：
作与点，作与点，连接
由平面,得,
又 ,
所以平面，
因此 ,
所以即为所求的角，
在中，,
由,
可得,
从而,
由 平面，平面，
得 ，
因此 ,
所以 ,
所以 平面与平面所成角（锐角）的大小为。
（18）（本小题满分12分）
设数列的前n项和为.已知2=+3.
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足，求的前n项和.
解：（I）因为，
所以，故 ，
当时，，
此时 ，即，
所以 
（II）因为，所以 ，
当时，，
所以；
，
所以
两式相减，得
，
所以
经检验，也适合，
综上可得 
（19）（本小题满分12分）
> 若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为"三位递增数"（如137,359,567等）.
>
> 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.
（I）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.
解：（I）个位数是5的"三位递增数"有
125，135，145，235，245，345；
（II）由题意知，全部"三位递增数"的个数为，
随机变量是取值为：0，-1,1，因此
，
，
所以的分布列为
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 0 -1 1
   
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
则 
（20）（本小题满分13分）
> 平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
>
> (Ⅰ)求椭圆的方程；
>
> （Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线  交椭圆 于两点，射线 交椭圆 于点 .
>
> ( i )求的值；
>
> （ii）求△面积的最大值.
解：（I）由题意知，则，
又，
可得 
所以椭圆的方程为
（II）由（I）知椭圆的方程为
（i）设,由题意知，
因为
又， 即 
所以 ，即
（ii）设，
将代入椭圆的方程，
可得，
由 ，可得 
则有 
所以 
因为 直线与轴交点的坐标为，
所以 的面积
令
将代入椭圆的方程，
可得 ，
由，可得 
由①②可知 ，
因此，
故 ，
当且仅当时，即时取得最大值，
由（i）知，面积为，
所以 面积的最大值为.
> (21)(本小题满分14分)
>
> 设函数，其中。
>
> （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
>
> （Ⅱ）若\>0，成立，求的取值范围。
解：（Ⅰ）由题意知 函数的定义域为，
，
令，
（1）当时，，
此时，函数在单调递增，无极值点；
（2）当时，，
①当时，，,
，函数在单调递增，无极值点；
②当时，，
设方程的两根为，
因为，
所以，
由 ，可得，
所以 当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此 函数有两个极值点。
（3）当时，，
由，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数有一个极值点。
综上所述：
当时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点。
（II）由（I）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为 ，
所以 时，，符合题意；
（2）当时，由，得，
所以 函数在上单调递增，
又，所以时，，符合题意；
（3）当时，由，可得，
所以时，函数单调递减；
因为，
所以时，，不合题意；
（4）当时，设，
因为时，
所以 在上单调递增。
因此 当时，，
即 ，
可得 ，
当时，，
此时 ，不合题意，
综上所述，的取值范围是
**绝密★启用前**
2014年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅰ卷）
===================
注意事项：
1\. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3\. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4\. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={\|}，B={\|－2≤＜2＝，则=【A】
.\[-2,-1\] .\[-1,2） .\[-1,1\] .\[1,2）
2.=【D】
. . . .
3.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是【B】
.是偶函数 .\|\|是奇函数
.\|\|是奇函数 .\|\|是奇函数
4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为【A】
. .3 . .
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】
. . . .
6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在\[0,\]上的图像大致为【B】
   
7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=【D】
. . . .
8.设，，且，则【B】
. . . .
9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：
：，：,
：，：.
其中真命题是【C】
.， .， .， .，
10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=【C】
. . .3 .2
11.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为【C】
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C】
. . .6 .4
**第Ⅱ卷**
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
**二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。**
13.的展开式中的系数为 [ -20]{.underline} .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 [ A]{.underline} .
15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 [90°]{.underline} .
16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
**三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
解：（I）由题设，
两式相减得 
由于，所以 
（II）由题设，，，可得
由（I）知，
令，解得
故，由此可得
是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，.
所以，.
因此存在，使得数列为等差数列.
18\. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
(i)利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.
附：≈12.2.
若～，则=0.6826，=0.9544.
解：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
=200
（II）（i）由（I）知，，从而
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6，
依题意知X-B(100，0.682 6)，所以
19\. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.
(Ⅰ) 证明：；
（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.
解：(Ⅰ)连接BC~1~，交B~1~C于点O，连接AO，因为侧面BB~1~C~1~C为菱形，所以B~1~C⊥BC~1~，且O为B~1~C及BC~1~的中点，又AB⊥B~1~C，所以B~1~C⊥平面ABO，由于AO⊂平面ABO，故B~1~C⊥AO.(线面垂直⇒线线垂直)
又B~1~O＝CO，故AC＝AB~1~.
(Ⅱ)因为AC⊥AB~1~，且O为B~1~C的中点，
所以AO＝CO，又因为AB＝BC，
所以△BOA≌△BOC，
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB~1~两两互相垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，\|\|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为∠CBB~1~＝60°，所以△CBB~1~为等边三角形，又AB＝BC，
则A(0，0，)，B(1，0，0)，B~1~(0，，0)，C(0，－，0)，＝(0，，－)，＝＝(1，0，－)，＝＝(－1，－，0)，
设***n***＝(*x*，*y*，*z*)是平面*AA*~1~*B*~1~的一个法向量，
则，即，
所以取***n***＝(1，，)．
设***m***是平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~的一个法向量，则.
同理可取***m***＝(1，－，)．
则cos〈***n***，***m***〉＝＝，
所以二面角*A*－*A*~1~*B*~1~－*C*~1~的余弦值为.
20\. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
解：(Ⅰ)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝，又＝，所以a＝2，b^2^＝a^2^－c^2^＝1，
故E的方程为＋y^2^＝1.
(Ⅱ)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x~1~，y~1~)，Q(x~2~，y~2~)．
将y＝kx－2代入＋y^2^＝1，得(1＋4k^2^)x^2^－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k^2^－3)＞0，即k^2^＞时，
x~1，2~＝，
从而\|PQ\|＝\|x~1~－x~2~\|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S~△OPQ~＝d·\|PQ\|＝.
设＝t，则t\>0，S~△OPQ~＝＝.
因为t＋≥4.当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
21\. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.
解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a*e*^x^*ln*x＋*e*^x^－*e*^x－1^＋*e*^x－1^.
由题意可得f(1)＝2，f ′(1)＝*e*.
故a＝1，b＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝*e*^x^*ln*x＋*e*^x－1^，从而f(x)\>1等价于x*ln*x\>x*e*^－x^－.
设函数g(x)＝x*ln*x，则g′(x)＝1＋*ln*x.
所以当x∈(0，)时，g′(x)\<0；当x∈(，＋∞)，g′(x)\>0.
故g(x)在(0，)单调递减，在(，＋∞)单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)的最小值为g()＝－.
设函数h(x)＝x*e*^－x^－，则h′(x)＝*e*^－x^(1－x)．
所以当x∈(0，1)时，h′(x)\>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)\<0，
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)的最大值为h(1)＝－.
综上，当x\>0时，g(x)\>h(x)，即f(x)\>1.
**请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。**
22.（本小题满分10分）选修4---1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE
.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.
解：(Ⅰ)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.
由CB＝CE得∠CBE＝∠E，
故∠D＝∠E.
(Ⅱ)设BC的中点为N，连接MN，则由BM＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，
故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(Ⅰ)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
23\. （本小题满分10分）选修4---4：坐标系与参数方程
已知曲线：，直线：（为 参数）.
(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.
解：(Ⅰ)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(Ⅱ)曲线C上任意一点P(2*cos*θ，3*sin*θ)到l的距离为
d＝\|4*cos*θ＋3*sin*θ－6\|.
则\|PA\|＝＝\|5*sin*(θ＋α)－6\|，其中α为锐角，且*tan*α＝.
当*sin*(θ＋α)＝－1时，\|PA\|取得最大值，最大值为；
当*sin*(θ＋α)＝1时，\|PA\|取得最小值，最小值为.
24\. （本小题满分10分）选修4---5：不等式选讲
若，且.
(Ⅰ) 求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.
解：(Ⅰ)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a^3^＋b^3^≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a^3^＋b^3^的最小值为4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4\>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
**绝密★启用前**
2014年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（全国Ⅱ卷）
===================
注意事项：
1\. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3\. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4\. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=【D】
---------- ---------- ------------- -------------
A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝
---------- ---------- ------------- -------------
2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则【A】
-------- ------ ------------- --------------
A. - 5 B. 5 C. - 4+ *i* D. - 4 - *i*
-------- ------ ------------- --------------
3.设向量*a,b*满足\|*a+b*\|=，\|*a-b*\|=，则*a**b* =【A】
------ ------ ------ ------
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
------ ------ ------ ------
4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=【B】
------ ------------------------------------------ ------ ------
A. 5 B.  C. 2 D. 1
------ ------------------------------------------ ------ ------
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是【A】
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为【C】
A.  B.  C.  D. 
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=【D】
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.设曲线y=*a*x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则*a*= 【D】
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.设x,y满足约束条件，则的最大值为【B】
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为【D】
A.  B.  C.  D. 
11.直三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，BC=CA=CC~1~，
则BM与AN所成的角的余弦值为【C】
A.  B.  C.  D. 
12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是【C】
A.  B.  C.  D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题\~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题\~第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
13.的展开式中，的系数为15，则*a*= [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .(用数字填写答案)
14.函数的最大值为 [1]{.underline} .
15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 [ （]{.underline}[）]{.underline} .
16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
解：
（I）由得。
又，所以是首项为，公比为3的等比数列。
，因此的通项公式为.
（Ⅱ）由（I）知
因为当时，，所以。
于是。
所以 
18\. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.
解：
（I）连接BD交AC于点O,连结EO。
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。
又E为PD的中点，所以EO∥PB。
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.
（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直。
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则.
设，则。
设为平面ACE的法向量，
则即，
可取。
又为平面DAE的法向量，
由题设，即
，解得。
因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为.
三菱锥的体积
.
19\. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
--------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号*t* 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入*y* 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
--------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
解：
（I） 由所给数据计算得
（1+2+3+4+5+6+7）=4
（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5
+2×0.9+3×1.6
=14.
，
.
所求回归方程为
.
（Ⅱ） 由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。
将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
20\. （本小题满分12分）
设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与*x*轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求*a,b*.
解：（I）根据及题设知
将代入，解得（舍去）
故C的离心率为.
> （Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即
 ①
由得。
设，由题意知，则
，即
代入C的方程，得。
将①及代入②得
解得，
故.
21\. （本小题满分12分）
已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
解：
（I）=，等号仅当时成立。
所以在
（Ⅱ）=
=
=
（i）当时，≥0，等号仅当时成立，所以在单调递增。而=0，所以对任意；
（ii）当时，若满足，即时
＜0.而=0，因此当时，＜0.
综上，b的最大值为2.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.
当b=2时，＞0；＞＞0.6928；
当时，，
=＜0，
＜＜0.6934
所以的近似值为0.693.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4---1：几何证明选讲
如图，P是*O*外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与*O*相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交*O*于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）ADDE=2
解：（Ⅰ）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.
> 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA
>
> ∠PAD=∠BAD+∠PAB
>
> ∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD，从而。
因此BE=EC.
（Ⅱ）由切割线定理得。
因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。
由相交弦定理得，
所以.
23\. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，
.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
解： （I）C的普通方程为.
> 可得C的参数方程为
>
> （t为参数，）
（Ⅱ）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，
.
故D的直角坐标为，即。
24\. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
解：（I）由，有.
所以≥2.
（Ⅱ）.
当时a＞3时，=，由＜5得3＜a＜。
当0＜a≤3时，=，由＜5得＜a≤3.
综上，a的取值范围是（，）.
**绝密★启用前**
2014年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（北京卷）
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一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合，则【C】
   
2.下列函数中，在区间上为增函数的是【A】
   
3.曲线（为参数）的对称中心【B】
在直线上 在直线上
在直线上 在直线上
4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为【C】
   
5.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的【D】
充分且不必要条件 必要且不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
6.若满足且的最小值为-4，则的值为【D】
   
7. 在空间直角坐标系中，已知，，，，若
，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的
面积，则【D】
（A） （B）且 
（C）且  （D）且 
8. 有语文、数学两学科，成绩评定为"优秀""合格""不合格"三种.若同学每科成绩不
低于同学，且至少有一科成绩比高，则称"同学比同学成绩好."现有若干同学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
的.问满足条件的最多有多少学生【B】
（A） （B） （C） （D）
2. 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
```{=html}
<!-- -->
```
9. 复数[\_\_\_\_-1\_\_\_\_.]{.underline}
10. 已知向量、满足，，且，则[\_\_\_\_]{.underline}[\_\_\_\_.]{.underline}
11. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为[\_\_\_\_]{.underline}[\_\_\_\_]{.underline}；
渐近线方程为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
12. 若等差数列满足，，则当 [8]{.underline} 时的前
项和最大.
13\. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有 [36]{.underline} 种.
14\. 设函数，，若在区间上具有单调性，且
，则的最小正周期为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
三．解答题（共6题，满分80分）
15\. （本小题13分）如图，在中，，点在边上，且
（1）求
（2）求的长
解：（I）在中，因为，所以。
所以
（Ⅱ）在中，由正弦定理得
，
在中，由余弦定理得
所以
16\. （本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一
场不超过的概率.
3. 记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明
> 在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）
解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.
（Ⅱ）设事件A为"在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6"，
事件B为"在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6"，
事件C为"在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6"。
则C=，A,B独立。
根据投篮统计数据，.
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
（Ⅲ）.
17.（本小题14分）
如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥
中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并
求线段的长.
解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。
又因为平面PDE，
所以∥平面PDE，
因为平面ABF，且平面平面，
所以∥。
（Ⅱ）因为底面ABCDE,所以，.
如图建立空间直角坐标系，则，,,,, 
 .
设平面ABF的法向量为，则
即
令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则.
因此直线BC与平面ABF 所成角的大小为，
设点H的坐标为
因为点H在棱PC上，所以可设，
即。所以。
因为是平面ABF的法向量，所以，即。
解得，所以点H的坐标为
所以.
18. （本小题13分）
已知函数，
1. 求证：；
```{=html}
<!-- -->
```
2. 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.
解：（I）由得
。
因为在区间上，所以在区间上单调递减。
从而。
（Ⅱ）当时，""等价于""""等价于""。
令，则，
当时，对任意恒成立。
当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。
当时，存在唯一的使得。
与在区间上的情况如下：
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
   
 → 0 →
 ↗ ↘
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
因为在区间上是增函数，所以。进一步，"对
任意恒成立"当且仅当，即，
综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，
对任意恒成立。
所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.
19. （本小题14分）
已知椭圆，
1. 求椭圆的离心率.
2. 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。
所以，从而。因此。
故椭圆C的离心率。
（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：
设点A,B的坐标分别为，，其中。
因为，所以，即，解得。
当时，，代入椭圆C的方程，得，
故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。
此时直线AB与圆相切。
当时，直线AB的方程为，
即，
圆心0到直线AB的距离
又，故
此时直线AB与圆相切。
20.（本小题13分）
对于数对序列，记，
，其中
表示和两个数中最大的数，
1. 对于数对序列，求的值.
```{=html}
<!-- -->
```
2. 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.
（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.
解：（I）
=8
（Ⅱ）
.
当m=a时，==
因为，且，所以≤
当m=d时，
因为≤，且所以≤。
所以无论m=a还是m=d，≤都成立。
（Ⅲ）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，
=10， =26， =42， =50， =52
**绝密★启用前**
2014年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
理科数学（天津卷）
==================
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
•如果事件，互斥，那么 •如果事件，相互独立，那么
 .
•圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式.
其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，
表示圆柱的高. 表示圆锥的高.
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.**
（1）是虚数单位，复数【A】
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为【B】
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为【B】
（A）15 （B）105
（C）245 （D）945
（4）函数的单调递增区间是【D】
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为【A】
（A） （B）
（C） （D）
（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.
则所有正确结论的序号是【D】
（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④
（7）设，则\|""是""的【C】
（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件
（8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则【C】
（A） （B） （C） （D）
**第Ⅱ卷**
注意事项：
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）**
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 [ 60]{.underline} 名学生.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
（11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
（12）在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 [ ]{.underline}  [ .]{.underline}
（13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为 [ 3]{.underline} .
（14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为\_\_\_\_[或]{.underline}\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题（本题共6道大题，满分80分**．**解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**．**）**
（15）（**本小题满分13分**）
已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.
（Ⅰ）**解：**由已知，有
.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）**解：**因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.
，，.
所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
（16）（**本小题满分13分**）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
（Ⅰ）**解：**设"选出的3名同学来自互不相同的学院"为事件，则
.
所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）**解：**随机变量的所有可能值为0，1，2，3.
.
所以，随机变量的分布列是
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 0 1 2 3
    
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
随机变量的数学期望.
（17）（**本小题满分13分**）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
（方法一）
依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.
（Ⅰ）**证明：**向量，，故. 所以，.
（Ⅱ）**解：**向量，.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有
.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）**解：**向量，，，.
由点在棱上，设，.
故.
由，得，
因此，，解得.即.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量，则
.
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.
（方法二）
（Ⅰ）**证明：**如图，取中点，连接，.
由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.
因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.
（Ⅱ）**解：**连接，由（Ⅰ）有平面，得，而，故.
又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.
依题意，有，而为中点，可得，进而.
故在直角三角形中，，因此.
 所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）**解：**如图，在中，过点作交于点.
因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.
在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.
由于，故，所以四点共面.
由，，得平面，故.
所以为二面角的平面角.
在中，，，，
由余弦定理可得，.
所以，二面角的斜率值为.
（18）（**本小题满分13分**）
设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.
（Ⅰ）**解：设**椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.
所以，椭圆的离心率.
，所以，解得，.
（Ⅱ）**解：**由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.
设.由，，有，.
由已知，有，即.又，故有
. ①
又因为点在椭圆上，故
. ②
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.
设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.
设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.
由与圆相切，可得，即，
整理得，解得.
所以，直线的斜率为或.
（19）（**本小题满分14分**）
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中
（Ⅰ）**解：**当，时，，.
可得，.
（Ⅱ）**证明：**由，，，，及，可得
.
所以，.
（20）（**本小题满分14分**）
已知函数，.已知函数有两个零点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）证明 随着的减小而增大；
（Ⅲ）证明 随着的减小而增大.
（Ⅰ）**解：**由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）时
在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.
（2）时，
由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
   
 ＋ 0 －
 ↗  ↘
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.
于是，"函数有两个零点"等价于如下条件同时成立：
1°；2°存在，满足；
3°存在，满足.
由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.
所以，的取值范围是.
（Ⅱ）**证明：**由，有.
设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.
由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.
对于任意的，设，，其中；，其中.
因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.
又由，得.
所以，随着的减小而增大.
（Ⅲ）**证明：**由，，可得，.
故.
设，则，且解得，.所以，
. ①
令，，则.
令，得.
当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.
因此，由①可得随着的增大而增大.
而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.
**绝密★启用前**
2014年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学（山东卷）
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**一、选择题**
1\. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则【D】
A. B.  C.  D. 
2\. 设集合，则【C】
A.  B.  C.  D. \[来源:Z\*xx\*k.Com\]
3\. 函数的定义域为【C】
A.  B.  C.  D. 
4\. 用反证法证明命题"设为实数，则方程至少有一个实根"时，要做的假设是【A】
A. 方程没有实根 B.方程至多有一个实根
C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根
5\. 已知实数满足，则下面关系是恒成立的是【A】
A.   B.
C. D.
6\. 直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为【D】
A.  B. C. D.4
7\. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12,13),\[13,14),\[14,15),\[15,16),\[16,17\],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为【C】
A.6 B.8 C.12 D.18
8\. 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是【B】
A. B. C. D.
9\. 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为【B】
A.5 B.4  C. D.2
10\. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为【A】
A. B. C. D.
**二、填空题**
11\. 执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为 [3]{.underline} .
12\. 在中，已知，当时，的面积为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
13\. 三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
14\. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值 [2]{.underline} .
15.已知函数，对函数,定义关于的对称函数为函数，满足：对于任意，两个点关于点对称，若是关于的"对称函数"，且恒成立，则实数的取值范围是 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
已知向量，，设函数，且的图象过点和点.\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.
解：（Ⅰ）已知，
过点
解得
（Ⅱ）
左移后得到
设的对称轴为，解得
，解得
的单调增区间为
（17）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：；\[来源:Z§xx§k.Com\]
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.\[来源:学科网\]
解：（Ⅰ）连接
为四棱柱， 
又为的中点，
,
,
为平行四边形
又 
（Ⅱ）方法一： 
作,连接
则即为所求二面角
在中， 
在中，, 
方法二：作于点
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
设平面的法向量为
 
显然平面的法向量为
显然二面角为锐角，
所以平面和平面所成角的余弦值为
（18）（本小题满分12分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为
（II）
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
 0 1 2 3 4 6
      
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
（19）（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.\
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
解：
（II）
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，（或）
（20）（本小题满分13分）
设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
21\. （本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
解：（I）由题意知
整理可得，
直线AE恒过点.
当时，直线AE的方程为，过点，
所以直线AE过定点.
可求得，，
所以点B到直线AE的距离为
\[来源:Zxxk.Com\]
| 1 | |
**《辨认方向》同步练习**
一、看图填空
>
>
> 小猪要到小猴家玩，它可以怎么走？
>
> 1、小猪从家出发，向南走到（ ）家，再向（ ）走到小猴家。
>
> 2、小猪从家出发，向（ ）走到小狗家，再向（ ）走到小猴家。
>
> 3、小猪从家出发，向（ ）走到小兔家，再向（ ）走到小猴家。
>
> 4、在上面三种走法中，你觉得小猪怎样走，到小猴家会近些？
>
> 5、算一算，小猪从家出发，经过小鹿家到小猴家要走多少米。
>
> 小狗从家出发，到小鹿家去玩。你觉得它怎样走近些？
>
> 二、1、.在（ ）里填出八个方向
>
> 2．
>
> 
>
> (1)刚刚家在学校的\_\_\_\_\_\_\_\_面。
>
> (2)亮亮家在学校的\_\_\_\_\_\_\_\_面。
>
> (3)飞飞家在学校的\_\_\_\_\_\_\_\_面。
>
> (4)说出从飞飞家到亮亮家的路线：从飞飞家出发向（ ）走，再向（ ）走就到亮亮家。
>
> 3．
>
> (1)小飞从人民广场出发向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到文化路，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到动物园，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到商场路，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到少年宫，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到图书馆。
>
> (2)说一说小飞从图书馆返回人民广场的路线：
>
> 小飞从图书馆出发向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到 [ ]{.underline} ，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到 [ ]{.underline} ，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到 [ ]{.underline} ，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到 [ ]{.underline} ，再向\_\_\_\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_\_\_\_站到人民广场。
>
> (3)小红如果坐了4站，在拥军路下车，她可能从哪站上车的?
>
> [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline}
>
> (4)小明在爱民路上车坐3站，她可能在哪站下车?
>
> [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline}
>
> 4．
>
> (1)天安门在长安街的\_\_\_\_\_\_\_\_面，
>
> 中山公园在天安门广场的\_\_\_\_\_\_\_\_面，
>
> 正阳门在毛主席纪念堂的\_\_\_\_\_\_\_\_面，\[来源:学\#科\#网\]
>
> 中国革命历史博物馆在天安门广场的\_\_\_\_\_\_\_\_面。
(2) 你在图中还发现哪些方向关系? （ ）在（ ）的\_\_\_面
**参考答案：**
一、看图填空
>
>
> \[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
>
> 小猪要到小猴家玩，它可以怎么走？
>
> 1、小猪从家出发，向南走到（ 小鹿 ）家，再向（东 ）走到小猴家。
>
> 2、小猪从家出发，向（ 东 ）走到小狗家，再向（ 南 ）走到小猴家。
>
> 3、小猪从家出发，向（ 东南 ）走到小兔家，再向（东南 ）走到小猴家。
>
> 4、经过小兔家到小猴家会近些
>
> 5、110米
>
> 略
二、
1、在（ ）里填出八个方向
> 2．
>
> 
>
> (1)刚刚家在学校的\_\_\_东南\_\_\_\_\_面。
>
> (2)亮亮家在学校的\_\_\_东北\_\_\_\_\_面。
>
> (3)飞飞家在学校的\_\_\_西南\_\_\_\_\_面。
>
> (4)说出从飞飞家到亮亮家的路线：从飞飞家出发向（ 北 ）走，再向（ 东 ）走就到亮亮家。
>
> 3．
>
> (1)小飞从人民广场出发向\_\_南\_\_行驶\_\_\_\_\_4\_\_\_站到文化路，再向\_\_\_西北\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_2\_\_\_站到动物园，再向\_\_\_\_西\_\_\_\_行驶\_\_\_\_2\_\_\_\_站到商场路，再向\_\_\_西南\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_2\_\_\_站到少年宫，再向\_\_\_\_东\_\_\_\_行驶\_\_\_\_\_1\_\_\_站到图书馆。
>
> (2)说一说小飞从图书馆返回人民广场的路线：
>
> 小飞从图书馆出发向\_\_\_\_西\_\_\_\_行驶\_\_\_1\_\_\_\_\_站到 [ 少年宫]{.underline} ，再向\_\_\_东北\_\_\_\_\_行驶\_\_\_\_2\_\_\_\_站到 [ 商场路]{.underline} ，再向\_\_\_东\_\_\_\_\_行驶\_\_\_2\_\_\_站到 [ 动物园]{.underline} ，再向\_\_\_东南\_\_\_\_\_行驶\_\_\_2\_\_\_\_\_站到 [ 文化路]{.underline} ，再向\_\_\_\_北\_\_\_\_行驶\_\_\_4\_\_\_\_\_站到人民广场。
>
> (3)小红如果坐了4站，在拥军路下车，她可能从哪站上车的?
>
> [ 人民医院]{.underline} 或 [ 幸福街]{.underline}
>
> (4)小明在爱民路上车坐3站，她可能在哪站下车?
>
> [ 少年宫]{.underline} 或 [ 文化路]{.underline}
>
> 4．
>
> (1)天安门在长安街的\_\_\_南\_\_\_\_\_面，
>
> 中山公园在天安门广场的\_\_西北\_\_\_\_\_\_面，\[来源:Z.xx.k.Com\]
>
> 正阳门在毛主席纪念堂的\_\_\_\_南\_\_\_\_面，
>
> 中国革命历史博物馆在天安门广场的\_\_\_东\_\_\_\_\_面。
(3) 你在图中还发现哪些方向关系? （ 长安街 ）在（ 中山公园 ）的\_东\_\_面
\[来源:学科网\]
\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**数学（理科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分**
（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C
（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B
**二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分**
（13） （14） （15） （16）① ④
**三、解答题：**
**（17）**本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以
**（18）**本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记"厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品"为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）可能的取值为
，，
-- -- -- --
-- -- -- --
记"商家任取2件产品检验，都合格"为事件B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
**（19）**本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为
∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形
∴
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离
∵，
∴
**（20）**本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
**（21）**本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得
所以过曲线上点的切线方程为，
即
令，得，即
显然 ∴
（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数，则，即，而，∴，即有
（充分性）若，由
用数学归纳法易得，从而，即
又 ∴
于是，
即对一切正整数成立
（Ⅲ）由，知，同理，
故
从而，即
所以，数列成等比数列，故，
即，从而
所以
**（22）**本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）
**证法一：**
因
**证法二：**
因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
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**北师大版小学三年级下册数学第四单元《面积》单元测试3（附答案）**
一、填空题。（共14分）
> 1、如果用边长是1厘米的小正方形摆可以摆（ ）行，
>
> 每行摆（ ）个小正方形，一共摆（ ）个小正
>
> 方形，如果用面积公式计算，列式为（ ）。
>
> 2、一个长方形长是5厘米，面积是20平方厘米，宽是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3、一根长4米的绳子正好绕方桌一周，这个方桌的面积是（ ）平方米。
> 4、两个边长是1分米的正方形才可拼成一个长方形，这个长方形的面积是（ ）平方米，周长是（ ）分米。
5、边长是1分米的正方形，能分割成（ ）个边长是1厘米的小正方形。
> 6、至少用（ ）个边长是1厘米的小正方形，拼成较大的正方形。这个正方形的面积是（ ）平方厘米，周长是（ ）厘米。
>
> 7、王华家卧室铺边长为30厘米的方砖铺地，共铺了200块，王华家的卧室面积是（ ）平方米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、选择题。（将正确答案的序号填在括号里。）（共8分）
> 1、将4个边长是1厘米的小正方形拼成一个长方形和一个大正方形，它们的面积比较是（ ），它们的周长比较是（ ）。
A、相等
B、正方形比较大
C、长方形比较大
2、边长4厘米的正方形，周长与面积比较是（ ）。
A、一样大小
B、面积大
C、无法比较
3、一个长方形长2分米，宽10厘米，它的面积是（ ）。
A、20平方分米
B、20平方厘米
C、2平方分米
4、正方形的边长3厘米，它的面积是（ ）。
A、12厘米
B、12平方厘米
C、9平方厘米
三、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）（共8分）
1、 图①与图②都画了9个方格，它们一样大。（ ）
2、我们大拇指指甲的面积大约是1平方米。 （ ）
3、1平方米 = 100平方分米 （ ）
4、1公顷的土地可以分割成10000块1平方米的土地。 （ ）
四、计算题。（共28分）
1、直接写出得数。
42＋24 = 20×5 = 12×4 =
40－18 = 2000＋400 = 78－69 =
11×50 = 15×2 =
35＋17 = 0.5＋1.2 =
2、脱式计算。
128＋18×6 300－129÷3
（128＋132）÷5 312×（300－296）
五、根据单位间的关系填空。（共4分）
70平方分米 =（ ）平方厘米 5000平方厘米 =（ ）平方米
7公顷 =（ ）平方米 700公顷 =（ ）平方千米
六、用12个边长为1分米的正方形，拼成一个长方形，试一试有多少种拼的方法，并完成下表。（共12分）
七、解决问题。（共26分）
1、边长为16米的正方形，可以剪成面积是4平方米的小正方形多少个？
2、李红家给厨房铺地砖，有两种设计方案。
（1）第一种设计用了90块地砖，计算这个厨房的面积。
（2）第二种设计需要多少块地砖？
（3）哪种设计比较便宜？
**答案：**
一、1、2 4 8 2×4 = 8（平方厘米）
2、4 18
3、1
4、2 6
5、100
6、4 4 8
7、18
二、1、A C
2、C
3、C
4、C
三、1、× \[提示\] 虽说图①和图②都画了9个方格，但它们基本的方格大小不一样，所以它们不一样大。
2、× \[提示\] 我们大拇指指甲的面积应大约是1平方厘米。
3、√
4、√
四、1、66 100 48 22 2400 9 550 30 52 1.7
2、236 257 52 1248
五、7000 0.5 70000 7
六、
七、1、64个
2、（1）360平方分米 （2）360块 （3）第一种比较便宜
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**2019年山东省泰安市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）**
1．（4分）（2019•泰安）在实数，，，中，最小的数是
A． B． C． D．
2．（4分）（2019•泰安）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•泰安）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射"嫦娥四号"探测器，"嫦娥四号"进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（4分）（2019•泰安）下列图形：
是轴对称图形且有两条对称轴的是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．（4分）（2019•泰安）如图，直线，，则
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•泰安）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
7．（4分）（2019•泰安）不等式组的解集是
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•泰安）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为 ．
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•泰安）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为
A． B． C． D．
10．（4分）（2019•泰安）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•泰安）如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为
A． B． C． D．
12．（4分）（2019•泰安）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．
**二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）**
13．（4分）（2019•泰安）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题："今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？"意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•泰安）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点、点，交于点，若，则阴影都分的面积为[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•泰安）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为[ ]{.underline}．
17．（4分）（2019•泰安）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则前个正方形对角线长的和是[ ]{.underline}．
18．（4分）（2019•泰安）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）**
19．（8分）（2019•泰安）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）（2019•泰安）为弘扬泰山文化，某校举办了"泰山诗文大赛"活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）
------- ------ ------
组别 分数 人数
第1组 8
第2组
第3组 10
第4组
第5组 3
------- ------ ------
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出，的值；
（2）计算扇形统计图中"第5组"所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
21．（11分）（2019•泰安）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标．
22．（11分）（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的1.2倍．
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
23．（13分）（2019•泰安）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，于点，如图①，证明四边形是菱形；
（2）若，如图②，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
24．（13分）（2019•泰安）若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；
（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．
25．（14分）（2019•泰安）如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．
（1）试判断与是否相等？并给出证明；
（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
**2019年山东省泰安市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）**
1．（4分）在实数，，，中，最小的数是
A． B． C． D．
【考点】22：算术平方根；：实数大小比较
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．
【解答】解：
、项为正数，、项为负数，
正数大于负数，
故选：．
2．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；35：合并同类项；48：同底数幂的除法
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，故此选项正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射"嫦娥四号"探测器，"嫦娥四号"进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：42万公里用科学记数法表示为：米，
故选：．
4．（4分）下列图形：
是轴对称图形且有两条对称轴的是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【考点】：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．
【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；
④不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
5．（4分）如图，直线，，则
A． B． C． D．
【考点】：平行线的性质
【分析】过点作，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点作，
，，
，
，，
，
故选：．
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【考点】：算术平均数；：中位数；：折线统计图；：方差；：众数
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是，故选项正确；
平均数为，故选项正确；
方差为，故选项错误；
故选：．
7．（4分）不等式组的解集是
A． B． C． D．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
所以不等式组的解集是．
故选：．
8．（4分）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为 ．
A． B． C． D．
【考点】：解直角三角形的应用方向角问题
【分析】根据题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，，，，
过作于，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，两港之间的距离为，
故选：．
9．（4分）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】：切线的性质
【分析】连接、，由切线的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为
A． B． C． D．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，
两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为；
故选：．
11．（4分）如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为
A． B． C． D．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：垂径定理；：弧长的计算
【分析】连接、，作于，根据翻转变换的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接、，作于，
由题意得，，
，
，
，
，
的长，
故选：．
12．（4分）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．
【考点】：矩形的性质；：垂线段最短；：轨迹
【分析】根据中位线定理可得出点点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且
当点在上除点、的位置处时，有
由中位线定理可知：且
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值
矩形中，，，为的中点，
、、为等腰直角三角形，
，
，即，
的最小值为的长
在等腰直角中，
的最小值是
故选：．
**二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）**
13．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：根的判别式
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△，求出的取值范围；
【解答】解：原方程有两个不相等的实数根，
△，
解得；
故答案为：．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题："今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？"意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为[ ]{.underline}．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量）枚白银的重量枚黄金的重量）两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，由题意得：
，
故答案为：．
15．（4分）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点、点，交于点，若，则阴影都分的面积为[ ]{.underline}．
【考点】：含30度角的直角三角形；：扇形面积的计算
【分析】连接，作于，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明为等边三角形，得到，，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接，作于，
，，
，，
由勾股定理得，，
，，
为等边三角形，
，
，
，，
阴影都分的面积，
故答案为：．
16．（4分）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为[ ， ]{.underline}．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点
【分析】根据对称轴方程求得，再解一元二次方程得解．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
，
得，
则可化为：，
解得，，．
故意答案为：，．
17．（4分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则前个正方形对角线长的和是[ ]{.underline}．
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：一次函数的性质；：规律型：点的坐标
【分析】根据题意和函数图象可以求得点，，，的坐标，从而可以得到前个正方形对角线长的和，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，
，，，，，
前个正方形对角线长的和是：，
设，则，
则，
，
，
前个正方形对角线长的和是：，
故答案为：，
18．（4分）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是[ ]{.underline}．
【考点】：矩形的性质；：翻折变换（折叠问题）
【分析】连接，利用矩形的性质，求出，的长度，证明平分，再证，最后证，利用相似的性质即可求出的长度．
【解答】解：如图，连接，
四边形为矩形，
，，，
为中点，
由翻折知，，
，，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
**三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）**
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【考点】：分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了"泰山诗文大赛"活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）
------- ------ ------
组别 分数 人数
第1组 8
第2组
第3组 10
第4组
第5组 3
------- ------ ------
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出，的值；
（2）计算扇形统计图中"第5组"所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
【考点】：频数（率分布表；：扇形统计图
【分析】（1）抽取学生人数（人，第2组人数（人，第4组人数（人，所以，；
（2），所以"第5组"所在扇形圆心角的度数为；
（3）成绩高于80分：（人，所以成绩高于80分的共有900人．
【解答】解：（1）抽取学生人数（人，
第2组人数（人，
第4组人数（人，
，；
（2），
"第5组"所在扇形圆心角的度数为；
（3）成绩高于80分：（人，
成绩高于80分的共有900人．
21．（11分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标．
【考点】：反比例函数综合题
【分析】（1）先求出，进而求出，得出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当时，得出，即可得出结论；
②当时，利用点与点关于对称，得出，即可得出结论；
③当时，先表示出，，进而建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
将点坐标代入反比例函数中得，，
反比例函数的解析式为，
将点，代入直线中，，
，
直线的解析式为；
（2）由（1）知，，
是等腰三角形，
①当时，
，
或，
②当时，如图2，
由（1）知，，
易知，点与点关于对称，
，
，，
③当时，设，
，，
，，
，
，，
即：满足条件的点的坐标为或或或，．
22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的1.2倍．
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
【考点】：一元一次不等式的应用；：分式方程的应用
【分析】（1）设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用3000元购进、两种粽子1100个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过7000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为3元个，种粽子单价为2.5元个．
（2）设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进1000个．
23．（13分）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，于点，如图①，证明四边形是菱形；
（2）若，如图②，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【考点】：相似形综合题
【分析】（1）想办法证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题．
（2）证明，可得，由此即可解决问题．
（3）利用（2）中结论．求出，即可．
【解答】（1）证明：如图①中，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，平分，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）证明：如图②中，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
．
24．（13分）若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；
（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）用、、三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．
（2）设点横坐标为，用代入二次函数表达式得其纵坐标．把当常数求直线解析式，进而求直线与轴交点坐标（用表示），即能用表示的长．把以轴为界分成与，即得到，用含的式子代入即得到关于的方程，解之即求得点坐标．
（3）作点关于直线的对称点，根据轴对称性质即有垂直平分，连接交抛物线于点，即有，根据等腰三角形三线合一得，即在抛物线上下方）存在点使．设与交于点，则为中点且，利用面积即求得进而得的长．易求得，求的正弦和余弦值，应用到即求得、的长，即得到点坐标．求直线解析式，把解析式与抛物线解析式联立，求得的解一个为点横坐标，另一个即为点横坐标，即求出点到轴的距离．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、、
解得：
二次函数表达式为
（2）如图1，设直线交轴于点，过点作轴于点
设，
，
设直线解析式为
把点代入得：
直线
当时，，解得：
，
，即点一定在点左侧
解得：，（舍去）
点的坐标为
（3）在抛物线上下方）存在点，使．
如图2，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，过点作轴于点
垂直平分
，
、，
，，
，
中，，
，
，
设直线解析式为
把点代入得：，解得：
直线
当，解得：（舍去），
点横坐标为，即点到轴的距离为．
25．（14分）如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．
（1）试判断与是否相等？并给出证明；
（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
【考点】：正方形的性质；：等腰直角三角形；：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）过点作交的延长线于点，可证四边形是矩形，可得，，由""可证，可得，，可得；
（2）延长交于点，由平行线分线段成比例可得，且，可得，，即可求，由等腰三角形的性质可得．
【解答】解：（1），
理由如下：如图，过点作交的延长线于点
四边形是正方形
，
，，
四边形是矩形
，，
，
，
，且，
，
，
（2）
理由如下：如图，延长交于点，
，
，且，
，
又，
，且
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2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案
一 1. 已知可导函数满足, 则
解： 在方程两边求导得
,.
从而
由于，故。
2．求
解 由于
=。
3\. 设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数。则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
解: ，，
，
。
所以。
4**. 设**有二阶导数连续，且，则=\_\_\_\_\_\_
解：，所以。
这样。
5不定积分=\_\_\_\_\_\_\_\_.
解: 由于
。
6\. 记曲面和围成空间区域为，则三重积分=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
解：使用球面坐标
。
二（本题满分14分)
设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数
.
若对任何都有且. 证明是的极小值.
解： 由于对一切成立，故, 即是的驻点. \-\-\-\--4分
记，则
.
\-\-\-\--10分
> 上式对任何单位向量成立，故是一个正定阵, 而是极小值. \-\-\-\-\--14分
三 (本题满分14分) 设曲线为在
，，
上从到的一段. 求曲线积分
解: 记为从到的直线段, 则，
> . \-\-\-\--4分
设和围成的平面区域，方向按右手法则. 由Stokes公式得到
> .
>
> \-\-\-\-\--8分
右边三个积分都是在各个坐标面上的投影面积，而在面上投影面积为零. 故
.
曲线在面上投影的方程为
> . \-\-\-\-\--12分
又该投影（半个椭圆）的面积得知. 同理，.
> 这样就有. \-\-\-\-\--14分
四(本题满分15分) 设函数且在实轴上连续，若对任意实数，有，则，。
证. 由于，有
。
> 因此 。 \-\-\-\-\--4分
然而 ，
其中 .
> 这样就有 ......(1) \-\-\-\-\--10分
即 .
> 注意到 ，和。\-\-\-\--13分
>
> 把以上两个式子入(1)，即得结论。 \-\-\-\-\--15分
五(本题满分15分) 设为一个数列，为固定的正整数。若
，其中为常数，证明。
证明：对于，记 。由题设，从而
> 。 \-\-\-\-\--5分
>
> 而。 由题设知
>
> 。 \-\-\-\-\--10分
对正整，设，其中，从而可以把正整数依照分为个子列类。考虑任何这样的子列，下面极限
> ，故。 \-\-\-\-\--15分
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**2017-2018学年度上学期高三年级七调考试**
**数学（理科）试卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合，，全集，若，则有（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．-2 B．4 C． D．-4
3.已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C． 或 D．
4.如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数变大 B．残差平方和变大
C.相关指数变大 D．解释变量与预报变量的相关性变强
5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）
A．  B．  C.  D．
7.函数的图像大致为（ ）
A． B．
C.  D．
8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下："可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之."下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（ ）
A． 68 B．17 C.34 D．36
9.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）
A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7
11.已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
12.已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.如图，在半径为2的扇形中，，为弧上的一点，若，则的值为 [ ]{.underline} ．
14.若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为 [ ]{.underline} ．
15.已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是 [ ]{.underline} ．（把你认为是正确论断的序号都写上）
①若，则；
②若，，，则满足条件的三角形共有两个；
③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；
④若，，的面积，则.
16.设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.
（1）求证：.
（2）若，，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.
（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；
（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
20.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，且点在轴的同一侧.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21\. 已知函数，函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证不等式成立.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数).
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
**试卷答案**
**一、选择题**
1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD
**二、填空题**
13\. 14. 15. ①③ 16.
**三、解答题**
17.解：（1）当时，，所以；
当时，，则，
即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，所以， ①
， ②
②①，得，
所以.
18.（1）证明：如图，连接，，，设交于点，连接.
由，，，得，所以.
又是线段的中点，所以，又根据菱形的性质得，且，
所以平面，从而.
（2）解：由题意知平面，又，即，所以，，两两垂直. 以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设，由，可知，，
所以，从而，，，.
所以.由，得，所以.
设平面的法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
又平面的一个法向量为，
所以.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19.解：（1）设工种的每份保单保费为元，保险公司每单的收益为随机变量元，则的分布列为
保险公司的期望收益为（元）.
由题意得，解得(元).
设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元），
则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）.
设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元），
则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）.
综上，工种的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元.
（2）购买类产品的份数为（份），
购买类产品的份数为（份），
购买类产品的份数为（份），
企业支付的总保费为（元），
保险公司在这宗交易中的期望利润为（元）.
20.解：（1）由题意知，椭圆离心率，即，又，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程为.
所以椭圆的焦点坐标为，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为.
（2）设，则，，
因为点在双曲线上，所以.
设，，直线的方程为，
所以直线的方程为，
联立，得，
所以，，
所以.
同理可得.
由题知，
即.
因为，
即，
又因为，所以，所以，.
即存在满足题意的点，且点的坐标为.
21.（1）解：函数的定义域为，
因为，，所以.
当时，在区间内恒成立，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：在区间内恒成立，
即在区间内恒成立.
设，则，
在区间内单调递增，所以.
当时，，在区间内为增函数，所以恒成立；
当时，，因为在区间内单调递增，所以，在区间内，有，所以在区间内单调递减，所以，这时不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）证明：要证明在区间内，，只需证明，
由（2）知，当时，在区间内，有恒成立.
令，在区间内，，
所以函数在区间内单调递增，所以，即.
所以，所以原不等式成立.
22.解：（1）由，得，
令，，得.
因为，消去得，
所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.
（2）点的直角坐标为，点在直线上.
设直线的参数方程为，（为参数），代入，得.
设点对应的参数分别为，，则，，
所以.
23.解：（1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以的解集为或.
（2）因为，，使得成立，
所以.又，所以.
当，即时，，解得，所以；
当，即时，，解得，所以；
当，即时，，解得或，
所以或.综上，实数的取值范围为.
| 1 | |
**2016-2017学年上学期二年级期末检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、填一填。(14分)
1\.
 
这支铅笔长( )厘米。 这根纸条长( )厘米
2.2张20元可以换( )张5元;一张50元可以换( )张10元。
3.3个9相加是( );5的6倍是( )。
4.补充口诀:六( )五十四,根据这个口诀写出一道乘法算式和一道除法算式是( )和( )。X k B 1 . c o m
5.1米-45厘米=( )厘米 86米-40米=( )米
6.6×( )=48 ( )×4=36 8×( )=40
二、算一算。(24分)
1.直接写得数。(8分)
2×4= 6×3=
4×4= 5×2=
6×6= 3×4=
5×1= 4×6=
2.列竖式计算。(18分)
36+27+32= 70-29-24= 95-57+30=
[新 课 标 第 一 网](http://www.xkb1.com/)
49+8+13= 90-29-37= 33-15+43=
三、在里填上"\>""\<"或"="。(6分)
24÷618 18÷62 12÷33
7×93×9 2×96×3 6×98×7
四、( )里最大能填几?(8分) 新- 课-标-[第](http://www.xkb1.com/) -一-网
( )×8\<65 6×( )\<40 30\>5×( ) 25\>4×( )
( )×7\<30 5×( )\<36 6×( )\<40 56\>7×( )
五、圈一圈、画一画。(9分)
1. 按要求画一画。
(1)画○,个数是☆的3倍。☆☆☆☆
[ ]{.underline}
(2)画□,个数是△的3倍。
[ ]{.underline}
2.买一支钢笔要用8元3角。把要用的钱圈出来。
六、看图列式计算。(6分)
1\.
2\.
七、解决问题。(33分)
1.商场原有80台电视机。卖出39台,运来43台。现在有多少台电视机?(6分)
2.欢欢和她的4位同学做红花,每人做6朵,一共做了多少朵?(6分)
3.一共有18盆花。(10分)
(1)每人搬2盆,多少人能把花一次搬完? [新 课 标第 一 网](http://www.xkb1.com/)
(2)如果6人把花一次搬完,平均每人搬几盆?
4.(11分)
(1) 爸爸今年多少岁? X\|k \| B\| 1 . c \|O \|m
(2)爷爷今年多少岁?
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.若z=1+*i*，则\|z^2^--2*z*\|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2.设集合*A*={*x*\|*x*^2^--4≤0}，*B*={*x*\|2*x*+*a*≤0}，且*A*∩*B*={*x*\|--2≤*x*≤1}，则*a*=（ ）
A --4 B. --2 C. 2 D. 4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知*A*为抛物线*C*:*y*^2^=2*px*（*p*\>0）上一点，点*A*到*C*的焦点的距离为12，到*y*轴的距离为9，则*p*=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.设函数在的图像大致如下图，则*f*(*x*)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
8.的展开式中*x*^3^*y*^3^的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
9.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知⊙*M*：，直线：，为上的动点，过点作⊙*M*的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
12.若，则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13.若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.设为单位向量，且，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.已知*F*为双曲线的右焦点，*A*为*C*的右顶点，*B*为*C*上的点，且*BF*垂直于*x*轴.若*AB*的斜率为3，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.如图，在三棱锥*P*--*ABC*的平面展开图中，*AC*=1，，*AB*⊥*AC*，*AB*⊥*AD*，∠*CAE*=30°，则cos∠*FCB*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18.如图，为圆锥顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角余弦值．
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20.已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）的左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．*
（1）求*E*的方程；
（2）证明：直线*CD*过定点.
21.已知函数.
（1）当*a*=1时，讨论*f*（*x*）的单调性；
（2）当*x*≥0时，*f*（*x*）≥*x*^3^+1，求*a*的取值范围.
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
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**数一数（二）同步练习**
一、看一看,填一填,估一估。
北 小强家约500米
学校 邮局
1. 小强家在邮局的 面，在学校的 面，邮局在学校的 面。
2. 小强家到学校的路程大约500米,请你估计小强家到邮局的路程有多少米?\[来源:学科网ZXXK\]
----------- ----------- ----------------------------------------
600米 100米 250米
----------- ----------- ----------------------------------------
二、
二、写出数字
1. 岷山在四川省北部，海拔大约四千米。（ ）。
2. 喜马拉雅山是世界上最高的山脉，其中珠穆朗玛峰海拔八千八百四十八米，是世界第一高峰。（ ）。
3. 千山在辽宁省鞍山市，海拔七百零八米。（ ）。
4. 黄山在安徽省南部，最高处莲花峰海拔一千八百六十米（ ）。
5. 峨眉山是中国佛教四大名山之一，在四川中部偏西南，主峰万佛顶海拔三千零九十九米（ ）。
三、说出紧挨着它后面的一个数。
2739 5199 9999
（ ） （ ） （ ）\[来源:Z&xx&k.Com\]
四、找规律数数。
A. 996 997 998 （ ） （ ） （ ）\[来源:学,科,网\]
B. 2260 2270 2280 （ ） （ ） （ ）
C. 5600 5700 5800 （ ） （ ） （ ）
参考答案：
一、看一看,填一填,估一估。
北 小强家约500米 \[来源:Z.xx.k.Com\]
学校 邮局
1. 小强家在邮局的西北 面，在学校的东北 面，邮局在学校的东 面。
2.
----------- ----------- ------------
600米 100米 250米√
----------- ----------- ------------
二、写出数字
1.（4000 ）
2. （8848 ）
3.（ 708）
4.（1860 ）
5.（3099 ）
三、说出紧挨着它后面的一个数。
（两千七百四十） （五千一百九十九 ） （九千九百九十九）
四、找规律数数。
A. 996 997 998 （999） （1000） （1001）\[来源:Zxxk.Com\]
B. 2260 2270 2280 （2290） （2300） （2310）
C. 5600 5700 5800 （5900） （6000） （6100）
| 1 | |
**二年级下册数学第三次月检测试题**
**一、填一填（每空1分，共19分）\
**1、青海湖湖面海拔为三千一百九十四米，写作（ ）米。\
北岳恒山主峰高2017米，读作（ ）米。\
2、一个数由3个百，6个千和5个一组成，这个数是（ ）。\
3、用3，6，0这三个数字组成的最大三位数是（ ），组成最小的三位数是（ ），它们相差（ ）。
4、与599相邻的两个数是（ ）和（ ）。与258相差4的数是（ ）和（ ）。\
5、填上合适的单位。\
（1）黑板的长度约4（ ）\
（2）数学课本的厚度约6（ ）\
（3）汽车每小时行70（ ）\
（4）珠穆朗玛峰是世界上最高的山峰，海拔约8844（ ）。\
（5）一支粉笔长约1（ ）\
6、★☆○●◇★☆○●◇★☆○●◇...第42个图形是（ ），第50个图形是（ ）
7、○÷○=○......4，除数最小是（ ），○÷4=○......○，余数最大是（ ）
**二、判断对错（对的打√，错的打×）（每題2分，共10分）**
1、40÷4=9......4。（ ）
2、5555中的4个5都表示5个一。（ ）
3、最小的三位数与最大的四位数相差9899（ ）
4、在有余数的除法中，除数一定比余数大（ ）
5、19分米+41分米=6米。（ ）
**三、选一选（每小题1分，共5分）**
1、下列各数中，最接近4000的是（ ）
A、3904 B、3205 C、4008
2、100毫米=（ ）分米
A、1000 B、10 C、1
3、下面各数中，一个零也不读的是（ ）
A、1509 B、2500 C、2001
4、一百一百地数，数到3900，下一个数应是（ ）
A、3901 B、3910 、C4000
5、6个十和4个百组成的数是（ ）。
A、640 B、460 C、406
**四、计算（共22分）**
1、直接写得数（12分）
150-70= 195-83= 1000-600= 37÷4=
50+400= 48+84= 300-280= 40÷7=
298+101≈ 798-307≈ 405-296≈ 1米-5分米= 厘米
2、列竖式计算，带△的要验算（每题2分）
34÷5= △284+569= △ 1000-386=
535-384+279= 422+333-195=
**五、做一做（每题3分，共6分）**
1、看图列式
2、下面各图分别是从哪个方向看到的？连一连
**六、解决问题（1题-4每小题5分，5题每题4分，第6题6分，共38分）**
1、54个同学去春游，每7人租一条船，需要几条船？
2、跳绳比赛。二年级有38人参加跳绳比赛，每组5人，可以分几组？还剩几人？
3、每个南瓜8元钱，每个西瓜的价钱比南瓜的2倍少3元，每个西瓜多少钱？
4、柳树367棵，杨树比柳树多45棵，柳树和杨树一共多少棵？
5**、奉献爱心。**
**振兴小学的同学把省下的零花钱支援给灾区小朋友，各年级捐款数额如下：**
-------- -------- -------- -------- -------- --------
一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级
278元 446元 320元 ？元 514元 683元
-------- -------- -------- -------- -------- --------
1. 一年级和二年级共捐款多少元？
2. 五年级比一年级多捐了多少元？
3. 三年级比四年级多捐了87元，四年级捐款多少元？
**6、同学们去沙滩玩，一年级去了86人，二年级138人，三年级去的人数比一、二年级的总数少37人，三年级去了多少人？**
**二年级下册数学五月份月检测试题答案及评分标准**
**一、填一填（每空1分，共19分）**
**1、3194 二千零一十七**
**2、6305**
**3、630 306 324**
**4、598 600；254 262**
**5、米 毫米 千米 米 分米**
**6、**☆ ◇
7、5 3
**二、判断对错（对的打√，错的打×）（每題2分，共10分）**
**1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√**
**三、选一选（每小题1分，共5分）**
**1、C 2、C 3、B 4、A 5、B**
**四、计算（共22分）**
1、直接写得数（12分）
**略**
2、列竖式计算，带△的要验算（每题2分）
**略**
**五、做一做（每题3分，共6分）**
**1、235---46+235=189+235=424（千克）**
**2、略**
**六、解决问题（1题-4每小题5分，5题每题4分，第6题6分，共38分）**
**1、54**÷7=7（条）......5（人）≈8（条）
**2、38**÷5=7（组）......3（人）
3、8**×2---3=16---3=13（元）**
**4、367+45+367=412+367=779（棵）**
**5、（1）278+446=724（元）**
**（2）514---278=236（元）**
**（3）320---87=233（元）**
**6、86+138---37=224---37=187（人）**
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**2017---2018学年度第一学期高三十模考试**
**数学试卷（理科）**
**一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）**
1\. 设集合，，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3\. 已知中，，，则的值是（ ）
A.  B.  C.  D. 
4\. 设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
5\. 函数的图象大致是（ ）
A.  B. 学+科+网\...学+科+网\...
C.  D. 
6\. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
7\. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A.  B.  C.  D. 
8\. 执行如下程序框图，则输出结果为（ ）
A.  B.  C.  D. 
9\. 如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
10\. 设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A.  B.  C.  D. 
11\. 已知函数，其中为函数的导数，求 （ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的"绝对曲线".下面给出的四条曲线方程：
①；②；③；④.
其中直线的"绝对曲线"的条数为（ ）
A.  B.  C.  D. 
**二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）**
13\. 已知实数，满足，且，则实数的取值范围\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 观察下列各式：
；
；
；
；
> ......
>
> 若按上述规律展开后，发现等式右边含有""这个数，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）**
17\. 已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
18\. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：
（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.
（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.
（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）
19\. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于.
（1）试判定点的位置，并加以证明；
（2）求二面角的余弦值.
20\. 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③.
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，.
①求四边形的面积的最小值；
②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.
21\. 已知函数.
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知，，均为正实数，且，求证 .
**请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. \[选修4-4：坐标系与参数方程\]
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.
23\. \[选修4-5：不等式选讲\]
已知.
（1）当时，解不等式.
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
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**青海省2020年初中毕业升学考试数学试卷**
**一、填空题**
1.(-3+8)的相反数是\_\_\_\_\_\_\_\_；的平方根是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
第1空：先计算-3+8的值，根据相反数的定义写出其相反数；
第2空：先计算的值，再写出其平方根．
【详解】第1空：∵，则其相反数为：
第2空：∵，则其平方根为：
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相反数，平方根，熟知相反数，平方根的知识是解题的关键．
2.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_；不等式组的整数解为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
综合利用提取公因式法和公式法即可得；先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分得出不等式组的解集，由此即可得出答案．
【详解】
；
解不等式①得
解不等式②得
则不等式组的解为
因此，不等式组的整数解
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法和公式法分解因式、求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握因式分解的方法和一元一次不等式组的解法是解题关键．
3.岁末年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_米（1纳米米）
【答案】
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^-n^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将数据125纳米用科学记数法表示为：125×10^-9^米=1.25×10^-7^米．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^-n^，其中1≤\|a\|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.如图，将周长为8的沿BC边向右平移2个单位，得到，则四边形的周长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】12
【解析】
【分析】
先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得．
【详解】由平移的性质得：
的周长为8
则四边形ABFD的周长为
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键．
5.如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,ΔDBC的周长是24cm,则BC=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_cm．
> 
【答案】10
【解析】
【分析】
由MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．
【详解】∵，
∴BD+DC+BC=24cm，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD+DC+BC=24cm，
即AC+BC=24cm，
又∵AC=14cm，
∴BC=24-14=10cm．
故答案为：10
点睛：解答本题关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．
6.如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为\_\_\_\_\_\_\_\_cm．
【答案】6cm
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可得对角线相等且平分，由可得,根据所对直角边是斜边的一半即可得到结果．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在Rt△ABC中，．
故答案为6cm．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键．
7.已知a，b，c为的三边长．b，c满足，且a为方程的解，则的形状为\_\_\_\_\_\_\_\_三角形．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵a是方程的解且a，b，c为的三边长，
∴,
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键．
8.在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：将，代入一元二次方程得，
解得：，
∵小明看错了一次项，
∴c的值为6，
将，代入一元二次方程得，
解得：，
∵小刚看错了常数项，
∴b=-5，
∴一元二次方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
9.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_cm．
【答案】7或1．
【解析】
【分析】
分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
\
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，\
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，\
∴E、F分别为CD、AB的中点，\
∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，\
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，\
根据勾股定理得：OF=3cm，\
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，\
根据勾股定理得：OE═4cm，\
则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；\
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，\
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，\
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
10.在中，，，，则的内切圆的半径为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【详解】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=4-r，AF=AD=3-r，
∴4-r+3-r=5，
∴r=1．
∴△ABC的内切圆的半径为 1．
11.对于任意不相等的两个实数a，b（ a \> b ）定义一种新运算a※b=，如3※2=，那么12※4=\_\_\_\_\_\_
【答案】
【解析】
【分析】
按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
【详解】解：12※4＝
故答案为：
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
12.观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式\_\_\_\_\_\_\_\_．用含有字母的式子表示第n个算式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）按照前三个算式的规律书写即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【详解】（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
**二、选择题**
13.下面是某同学在一次测试中的计算：
①；②；③；④，其中运算正确个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可．
【详解】与不是同类项，不可合并，则①错误
，则②错误
，则③错误
，则④正确
综上，运算正确的个数为1个
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．
14.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A. 55°，55° B. 70°，40°或70°，55° C. 70°，40° D. 55°，55°或70°，40°
【答案】D
【解析】
分析】
先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角
则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
15.根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得相等关系的量为"水的体积"，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.
【详解】解：大量筒中的水的体积为：，
小量筒中的水的体积为：，
则可列方程为：.
故选A.
【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可.
16.将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
故选A．
【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
17.在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟共有（ ）
A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 17个
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据俯视图得出碟子共有3摞，再根据主视图和俯视图得出每摞上碟子的个数，由此即可得．
【详解】由俯视图可知，碟子共有3摞
由主视图和左视图可知，这个桌子上碟子的摆放为，其中，数字表示每摞上碟子的个数
则这个桌子上的碟共有（个）
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的组成，掌握理解3种视图的定义是解题关键．
18.若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
【详解】A. 由图象可知：，故A错误；
B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．
19.如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. 3.6 B. 1.8 C. 3 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径．
【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360°252°=108°
阴影部分的弧长为：
设阴影部分构成的圆锥的底面半径为r：则，即
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的弧长与其构成的圆锥之间的对应关系，熟练的把握这一对应关系是解题的关键．
20.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
用排除法可直接得出答案.
【详解】圆柱形小水杯事先盛有部分水，起点处小水杯内水面的高度必然是大于0的，用排除法可以排除掉A、D；
注水管沿大容器内壁匀速注水，在大容器内水面高度到达h之前，小水杯中水边高度保持不变，大容器内水面高度到达h后，水匀速从大容器流入小容器，小容器水面高度匀速上升，达到最大高度h后，小容器内盛满了，水面高度一直保持h不变，因此可以排除C，正确答案选B.
考点：1.函数；2.数形结合；3.排除法.
**三、解答题**
21.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂，绝对值的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值进行计算即可
【详解】
【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，熟知以上计算是解题的关键．
22.化简求值：；其中．
【答案】，１
【解析】
【分析】
括号内先通分，合并同类项，括号外进行因式分解，之后变除为乘进行约分，之后利用代入计算即可．
【详解】
∵
∴
∴原式＝．
【点睛】本题考查了分式的化简，及整体代入求值的应用，熟知以上计算是解题的关键．
23.如图，中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC =6，BC =8，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
（2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD．
【详解】（1）作图如下：
（2）连接AD，OD，如图所示
由（1）知：平分，且°
∴°
∴°
在中，，
∴，即
在中，
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．
24.某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米，）
【答案】94.6米
【解析】
【分析】
先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ=BQ，设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，根据勾股定理可得BC=x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可．
【详解】∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ=BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，
根据勾股定理可得BC==x，
∴AB+BC=PQ+QC
即60+x=x+x
解得：x=60+=60+20×1.732=94.64≈94.6，
∴PQ的高度为94.6米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键．
25.如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD//OC交于点D，连接CD．
（1）求证：CD是的切线．
（2）若，直径，求线段BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，又根据平行线的性质可得，从而可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理得出，再根据勾股定理可得BD的长，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】（1）如图，连接OD，则
直线BC与相切于点B
在和中，
又是的半径
是的切线；
（2）如图，连接BD
由圆周角定理得：
，
，
在和中，
，即
解得．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
26.每年6月26日是"国际禁毒日"．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了"禁毒知识网络答题"活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如下不完整的统计图．请你根据图1、图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_名学生，"优秀"所占圆心角的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次"禁毒知识网络答题"活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
【答案】（1）500,108°；（2）见解析；（3）1500名；（4）．
【解析】
【分析】
（1）由条形统计图和扇形统计图得到良好的人数及其所对应的百分比，即可得到该校八年级总人数；通过计算优秀人员所占比例，即可得到其所对的圆心角；
（2）计算出等级"一般"的学生人数，补充图形即可；
（3）用该校八年级成绩及格的比例乘以该市的学生人数即可；
（4）画出树状图，根据概率公式求概率即可．
【详解】（1）由条形统计图知：等级"良好"的人数为：200名
由扇形统计图知：等级"良好"的所占的比例为：40%
则该校八年级总人数为：（名）
由条形统计图知：等级"优秀"的人数为：150名
其站该校八年级总人数的比例为：
所以其所对的圆心角为：
故答案为：500，108°
（2）等级"一般"的人数为：（名）
补充图形如图所示：
（3）该校八年级中不合格人数所占的比例为：
故该市15000名学生中不合格的人数为：（名）
（4）从甲，乙，丙，丁四名学生中任取选出两人，所得基本事件有：
共计12种，
其中必有甲同学参加的有6种，
必有甲同学参加的概率为：．
【点睛】本题考查了统计与概率的综合，熟知以上知识是解题的关键．
27.在中，，交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
【答案】（1）证明见详解；（2）DE+DF=CG，证明见详解；（3）成立．
【解析】
【分析】
（1）通过条件证明△BFC≌△CGB，即可得到；
（2）过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，通过△BMC≌△CGB，得到BM=CG，然后由四边形MHDF为矩形，MH=DF，最后再证明△BDH≌△DBE，得到BH=DE，即可得到结论；
（3）同（2）中的方法．
【详解】（1）∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BFC和△CGB中，
∴△BFC≌△CGB，
∴
（2）DE+DF=CG，
如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，
∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，
∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四边形MHDF为矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，
∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG，
（3）成立，
如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，
同（2）中的方法
∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，
∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四边形MHDF为矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，
∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于几何动态问题，能够正确的构造辅助线找到全等三角形是解题的关键．
28.如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）
【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为：或（4，）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）由图可知点B、点D的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M作ME⊥AB于点E，由二次函数的性质，分别求出点A、C、M的坐标，然后得到OE、BE的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；
（3）由点Q在y轴上，设Q（0，y），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB为对角线时；②当BQ~2~为对角线时；③当AQ~3~为对角线时；分别求出三种情况的点P的坐标，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，抛物线经过B、D两点，
点D为（，），点B为（3，0），
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴点M的坐标为（1，2）
令，
解得：，，
∴点A为（，0）；
令，则，
∴点C为（0，）；
∴OA=1，OC=，
过点M作ME⊥AB于点E，如图：
∴，，，
∴，
∴；
（3）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），
∵点P在抛物线上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
如图所示，可分为三种情况进行分析：
①AB为对角线时，则为对角线；
由平行四边形的性质，
∴点E为AB和的中点，
∵E为（1，0），
∵点Q~1~为（0，y），
∴点P~1~的横坐标为2；
当时，代入，
∴，
∴点；
②当BQ~2~是对角线时，AP也是对角线，
∵点B（3，0），点Q~2~（0，y），
∴BQ~2~中点的横坐标为，
∵点A为（，0），
∴点P~2~的横坐标为4，
当时，代入，
∴，
∴点P~2~的坐标为（4，）；
③当AQ~3~为对角线时，BP~3~也是对角线；
∵点A为（，0），点Q~3~（0，y），
∴AQ~3~的中点的横坐标为，
∵点B（3，0），
∴点P~3~的横坐标为，
当时，代入，
∴，
∴点P~3~的坐标为（，）；
综合上述，点P的坐标为：或（4，）或（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析.
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第11课《做立体模型》试题无答案**
一年级奥数上册：第十一讲 做立体模型
一年级奥数：第十一讲 做立体模型 习题
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x\|x=n^2^，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}
2．（5分）=（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2^x^＜3^x^；命题q：∃x∈R，x^3^=1﹣x^2^，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，则（ ）
A．S~n~=2a~n~﹣1 B．S~n~=3a~n~﹣2 C．S~n~=4﹣3a~n~ D．S~n~=3﹣2a~n~
7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（ ）
A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\]
8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，P为C上一点，若\|PF\|=4，则△POF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在\[﹣π，π\]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos^2^A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
12．（5分）已知函数f（x）=，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\]
**二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．**
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=[ ]{.underline}．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为[ ]{.underline}．
16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=[ ]{.underline}．
**三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）已知等差数列{a~n~}的前n项和S~n~满足S~3~=0，S~5~=﹣5．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，CA=CB，AB=AA~1~，∠BAA~1~=60°
（Ⅰ）证明：AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A~1~C=，求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积．
20．（12分）已知函数f（x）=e^x^（ax+b）﹣x^2^﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
21．（12分）已知圆M：（x+1）^2^+y^2^=1，圆N：（x﹣1）^2^+y^2^=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。**
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．已知曲线C~1~的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C~1~的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C~1~与C~2~交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣，\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
**2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x\|x=n^2^，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．
【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）=（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．
【解答】解：====﹣1+i．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力．
3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C~4~^2^种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C~4~^2^=6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 =．
故选：B．
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由离心率和abc的关系可得b^2^=4a^2^，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b^2^=a^2^，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2^x^＜3^x^；命题q：∃x∈R，x^3^=1﹣x^2^，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑．
【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x^3^+x^2^﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．
【解答】解：因为x=﹣1时，2^﹣1^＞3^﹣1^，所以命题p：∀x∈R，2^x^＜3^x^为假命题，则￢p为真命题．
令f（x）=x^3^+x^2^﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x^3^+x^2^﹣1在（0，1）上存在零点，
即命题q：∃x∈R，x^3^=1﹣x^2^为真命题．
则￢p∧q为真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．
6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，则（ ）
A．S~n~=2a~n~﹣1 B．S~n~=3a~n~﹣2 C．S~n~=4﹣3a~n~ D．S~n~=3﹣2a~n~
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．
【解答】解：由题意可得a~n~=1×=，
∴S~n~==3﹣=3﹣2=3﹣2a~n~，
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题．
7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（ ）
A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\]
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．
【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：
函数分为两段，即t＜1与t≥1，
又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；
不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t^2^
故分段函数的解析式为：s=，
如果输入的t∈\[﹣1，3\]，画出此分段函数在t∈\[﹣1，3\]时的图象，
则输出的s属于\[﹣3，4\]．
故选：A．
【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的"是"与"否"分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．
8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，P为C上一点，若\|PF\|=4，则△POF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合\|PF\|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．
【解答】解：∵抛物线C的方程为y^2^=4x
∴2p=4，可得=，得焦点F（）
设P（m，n）
根据抛物线的定义，得\|PF\|=m+=4，
即m+=4，解得m=3
∵点P在抛物线C上，得n^2^=4×3=24
∴n==
∵\|OF\|=
∴△POF的面积为S=\|OF\|×\|n\|==2
故选：C．
【点评】本题给出抛物线C：y^2^=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在\[﹣π，π\]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数，故可排除B，
又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，
故f（x）＞0，可排除A，
又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′
=sin^2^x+cosx﹣cos^2^x=cosx﹣cos2x，
故可得f′（0）=0，可排除D，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题．
10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos^2^A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
【解答】解：∵23cos^2^A+cos2A=23cos^2^A+2cos^2^A﹣1=0，即cos^2^A=，A为锐角，
∴cosA=，
又a=7，c=6，
根据余弦定理得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bc•cosA，即49=b^2^+36﹣b，
解得：b=5或b=﹣（舍去），
则b=5．
故选：D．
【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积=×2^2^×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力
12．（5分）已知函数f（x）=，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\]
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象，
由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=\|f（x）\|在第二象限的部分解析式为y=x^2^﹣2x，
求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈\[﹣2，0\]
故选：D．
【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
**二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．**
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=[ 2 ]{.underline}．
【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵，，∴=0，
∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．
故答案为2．
【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为[ 3 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
由得A（3，3），
z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，
即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，
∵α截球O所得截面的面积为π，
∴d=R时，r=1，
故由R^2^=r^2^+d^2^得R^2^=1^2^+（R）^2^，∴R^2^=
∴球的表面积S=4πR^2^=．
故答案为：．
【点评】若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R^2^=r^2^+d^2^
16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin^2^θ+cos^2^θ=1联立即可求出cosθ的值．
【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，
又sin^2^θ+cos^2^θ=1，
联立得（2cosθ+）^2^+cos^2^θ=1，解得cosθ=﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
**三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）已知等差数列{a~n~}的前n项和S~n~满足S~3~=0，S~5~=﹣5．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设出等差数列{a~n~}的首项和公差，直接由S~3~=0，S~5~=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的首项为a~1~，公差为d，则．
由已知可得，即，解得a~1~=1，d=﹣1，
故{a~n~}的通项公式为a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
从而数列{}的前n项和
S~n~=
=．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．
18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；
（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．
【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，
则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．
×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．
由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．
（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．
【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，CA=CB，AB=AA~1~，∠BAA~1~=60°
（Ⅰ）证明：AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A~1~C=，求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA~1~，可通过证明AB⊥平面OA~1~C得要证的结论；
（Ⅱ）在三角形OCA~1~中，由勾股定理得到OA~1~⊥OC，再根据OA~1~⊥AB，得到OA~1~为三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
取AB的中点O，连结OC，OA~1~，A~1~B．
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA~1~，，故△AA~1~B为等边三角形，
所以OA~1~⊥AB．
因为OC∩OA~1~=O，所以AB⊥平面OA~1~C．
又A~1~C⊂平面OA~1~C，故AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA~1~B都是边长为2的等边三角形，
所以．
又，则，故OA~1~⊥OC．
因为OC∩AB=O，所以OA~1~⊥平面ABC，OA~1~为三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高．
又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积．
【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）=e^x^（ax+b）﹣x^2^﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x^（ax+b）﹣x^2^﹣4x，
∴f′（x）=e^x^（ax+a+b）﹣2x﹣4，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4
∴f（0）=4，f′（0）=4
∴b=4，a+b=8
∴a=4，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e^x^（x+1）﹣x^2^﹣4x，f′（x）=4e^x^（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e^x^﹣），
令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2
∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）
当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e^﹣2^）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
21．（12分）已知圆M：（x+1）^2^+y^2^=1，圆N：（x﹣1）^2^+y^2^=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|．
【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4，而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）^2^+y^2^=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得\|AB\|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（I）由圆M：（x+1）^2^+y^2^=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）^2^+y^2^=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4，
而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴a=2，c=1，b^2^=a^2^﹣c^2^=3．
∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）^2^+y^2^=4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得\|AB\|=．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），
由l于M相切可得：，解得．
当时，联立，得到7x^2^+8x﹣8=0．
∴，．
∴\|AB\|===
由于对称性可知：当时，也有\|AB\|=．
综上可知：\|AB\|=或．
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。**
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径=．
【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．
23．已知曲线C~1~的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C~1~的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C~1~与C~2~交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）曲线C~1~的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C~1~的极坐标方程．
（2）曲线C~2~的极坐标方程化为直角坐标方程，与C~1~的普通方程联立，求出C~1~与C~2~交点的直角坐标，由此能求出C~1~与C~2~交点的极坐标．
【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）^2^+（y﹣5）^2^=25，
即C~1~：x^2^+y^2^﹣8x﹣10y+16=0，
将代入x^2^+y^2^﹣8x﹣10y+16=0，
得ρ^2^﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
∴C~1~的极坐标方程为ρ^2^﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
（2）∵曲线C~2~的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴曲线C~2~的直角坐标方程为x^2^+y^2^﹣2y=0，
联立，
解得或，
∴C~1~与C~2~交点的极坐标为（）和（2，）．
【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣，\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0．设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈\[﹣，\]都成立，分析可得﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0．
设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣，\]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，
故 x≥a﹣2对x∈\[﹣，\]都成立．
故﹣≥a﹣2，
解得 a≤，
故a的取值范围为（﹣1，\]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式．
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**2019-2020学年四川省成都市嘉祥外校四年级（上）期末数学试卷（2）**
**一、填空题．**
1．赵阿姨所在城市出租车收费标准为：起步价10元（3千米以内），3千米以上部分每千米2元．她从甲地打车到乙地共行驶*s*千米（大于3千米），表示应付车款的算式是[ ]{.underline}．
2．在一个三角形中，最多有[ ]{.underline}个锐角，最少有[ ]{.underline}个，最多可有[ ]{.underline}钝角和直角．
3．笑笑家一年水电支出*a*元，平均每月水电支出[ ]{.underline}元．
4．如图，∠1＝80°，∠4＝48°，∠3＝[ ]{.underline}°
5．妈妈烙饼，每次只能烙两张，两面都要烙，每面烙2分钟，烙5张饼至少要[ ]{.underline}分钟．
6．淘气期末考试考了语文、数学、英语三门科目，平均分92分．如果不算数学，平均分89分，数学考了[ ]{.underline}分．
7．从[ ]{.underline}统计图中能直观地看出各种数量的多少；从[ ]{.underline}统计图中不仅能看出那个数量的多少，还能看出数量的增减变化情况．
8．在锐角三角形中，任何两个内角的度数之和都[ ]{.underline}90°．
9．等腰三角形*ABC*，其中*AB*等于*AC*，∠*B*＝[ ]{.underline}，∠*A*＝[ ]{.underline}．
10．三个连续自然数的和是3*a*，那么其中最大的数是[ ]{.underline}，最小的数是[ ]{.underline}．
11．玩搭积木游戏，每一阶段增多的积木的个数相同，所搭起来的积木的形状如下图所示．搭第8阶段一共需要积木[ ]{.underline}个．
**二、判断题．**
12．计算小数乘法时，算出来的积不一定比乘数大．[ ]{.underline}（判断对错）
13．等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．在小数点的后面添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择题．**
17．如图，可以看出在解方程时运用了（ ）
A．商不变的规律 B．等式的性质
C．乘数＝积÷另一个乘数
18．将厚度为0.05毫米的一张纸连续对折4次后，总厚度将达到（ ）
A．0.2毫米 B．0.4毫米 C．0.8毫米
19．依据如图所提供的信息，这个立体图形一共用了（ ）个小正方体（不考虑棱相接情况）．
A．一定是3个 B．一定是4个 C．4个或5个
20．笑笑打算从273里连续减去13，要计算减去多少次后结果还是13．下列方程错误的是（ ）
A．273﹣13*x*＝13 B．13*x*＝273﹣13 C．13*x*＝273 D．13*x*+13＝273
21．一位同学在计算*a*+235时，把235当做23.5，那么（ ）
A．和增加10倍 B．和减少10倍
C．和减少了235﹣23.5
22．一个三角形的两个内角和是100°，这是一个（ ）三角形．
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．以上都有可能
23．在梯形里，画一条线段，将梯形变成一个三角形和一个平行四边形，最多有（ ）种画法．
A．1 B．2 C．3 D．无数
24．有一列数按如下方式排列：2，4，6，8，10......*x*，□......那么方框里应填（ ）
A．*x*+2 B．2*x* C．*y*
25．小丽参加了三次英语测试，第一次得90分，第二次95分，第三次比第二次成绩好，但不超过97分，请估计小丽这三次的平均成绩在（ ）
A．90分以下 B．90分到95分之间
C．95分到97分之间 D．97分以上
26．一个乘数缩小到原来的，另一个乘数（ ），积不变．
A．扩大到原来的10倍 B．不变
C．缩小到原来的
27．长方形、正方形的两组对边分别（ ）
A．平行且相等 B．平行且垂直 C．垂直且相等
28．两个完全一样的（ ）可以拼成一个正方形．
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形
29．6．□3＞6.3，□里可以填的符合条件的数字有（ ）个．
A．8 B．无数 C．7
30．5*x*﹣3错写成5（*x*﹣3），结果比原来（ ）
A．多12 B．少12 C．多3
31．甲数是*a*，比乙数的2倍少*b*，表示乙数的式子是（ ）
A．2*a*﹣*b* B．*a*÷2﹣*b* C．（*a*﹣*b*）÷2 D．（*a*+*b*）÷2
32．小勇今年*a*岁，爸爸今年*b*岁，爸爸比小勇大*k*岁．*m*年后爸爸比小勇大多少岁？可列出等式（ ）
A．*a*﹣*b*＝*k* B．*b*﹣*a*＝*k* C．*b*﹣*a*＝*k*+*m*
33．游泳池平均水深130厘米，小红身高1.35米，她在游泳池里一定不会有危险．这句话对吗？（ ）
A．对 B．不对 C．不知道
**四、解决问题．**
34．甲、乙两辆车分别从*A*、*B*两站同时相对开出，甲每小时行驶82.3千米，乙每小时行驶97.7千米，经过2.5小时后，两车还相距32.5千米，*A*、*B*两地相距多少千米？
35．一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？
36．看图列式并解答．
37．沙场用卡车运沙子，3辆卡车5时运走465吨沙子，照这样的速度计算，5辆卡车2.5时能运走多少吨沙子？
38．有甲、乙两袋球，甲袋里有39个，乙袋里有27个，如果小刚每次从甲袋里取出4个，从乙袋里取出2个，那么取几次后，甲、乙袋里剩下的球的个数相等？
39．看图列方程并解答．
40．小力在文具店买了2支钢笔和5个文具盒，共用去74元，已知1支钢笔7元，求1个文具盒多少元？
41．如图，∠1＝65°，∠2＝25°，求∠3的度数．
42．笑笑和爸爸、妈妈乘车去故宫参观，单程票价每人22.5元，儿童票半价．请你计算出他们家三口人往返的总票价．
**2019-2020学年四川省成都市嘉祥外校四年级（上）期末数学试卷（2）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题．**
1．【分析】首先根据：总价＝单价×路程，用3千米以上部分每千米的车费乘超过3千米的路程，求出超过3千米的车费是多少；然后用它加上起步价，求出应付车款多少元即可．
> 【解答】解：2（*s*﹣3）+10
>
> ＝2*s*﹣6+10
>
> ＝2*s*+4（元）
>
> 答：应付车款（2*s*+4）元．
>
> 故答案为：（2*s*+4）．
>
> 【点评】此题主要考查了乘法、加法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、路程的关系．
2．【分析】根据三角形内角和是180°，可知在一个三角形中，最多有3个锐角，最少有2个，最多可有1个钝角和直角．
> 【解答】解：在一个三角形中，最多有3个锐角，最少有2个，最多可有1个钝角和直角．
>
> 故答案为：3，2，1个．
>
> 【点评】本题考查了三角形内角和以及角的分类，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．
3．【分析】求平均每个月水电支出多少元，根据：总价÷数量＝单价，由此带入解答即可．
> 【解答】解：笑笑家一年水电支出*a*元，平均每月水电支出 （*a*÷12）元．
>
> 故答案为：（*a*÷12）．
>
> 【点评】明确总价、数量和单价之间的关系，是解答此题的关键．
4．【分析】根据三角形的内角和是180度，再根据平角的定义，平角是180度，根据图形可知：∠2＝90°﹣∠4＝90°﹣48°＝42°，因为∠1+∠2+∠3＝180°，所以∠3＝180°﹣∠1﹣∠2，据此解答．
> 【解答】解：∠2＝90°﹣∠4＝90°﹣48°＝42°
>
> 因为∠1+∠2+∠3＝180°
>
> 所以∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣80°﹣42°＝58°
>
> 故答案为：58．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和（180°），平角的定义（180°）及应用．
5．【分析】先烙前2张饼，共需4分钟，为了便于说明问题把剩下三张饼分别编号为1、2、3号，可以采用交替烙的办法，先放1、2号，2分钟后把其中的一个取出，比如把2号取出，再把3号放入，1号烙反面；2分钟后，1号熟了取出，再把2号放入；再过2分钟，2、3都熟了；这样后三张一共用了6分钟．所以一共需要：4+6＝10分钟．
> 【解答】解：2×2+2×3
>
> ＝4+6
>
> ＝10（分钟）
>
> 答：烙五张饼最少需要10分钟．
>
> 故答案为：10．
>
> 【点评】本题需要采用交替烙的办法，这样使锅里始终没有空位，能比先烙两个后烙一个要节省2分钟．
6．【分析】根据题意，用92×3即可求出语文、数学和英语三科的总成绩，用89×2即可求出语文和英语的总成绩，进而相减即可求出数学的成绩．
> 【解答】解：92×3﹣89×2
>
> ＝276﹣178
>
> ＝98（分）
>
> 答：数学考了98分．
>
> 故答案为：98．
>
> 【点评】解决此题关键是明确要求数学的成绩，就用语、数、英三科的总成绩减去语、英两科的总成绩得解．
7．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
> 【解答】解：由统计图的特点可知：从条形统计图中能直观地看出各种数量的多少；
>
> 从折线统计图中不仅能看出那个数量的多少，还能看出数量的增减变化情况．
>
> 故答案为：条形，折线．
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．
8．【分析】根据锐角三角形的性质和三角形内角和是180°解答即可．
> 【解答】解：锐角三角形中，三个角都是锐角，因为三角形的内角和是180°，所以任意两个锐角之和都大于90°．
>
> 故答案为：大于．
>
> 【点评】此题是考查了三角形内角和以及锐角三角形的性质的灵活应用．
9．【分析】已知角为145°，它的补角是等腰三角形的一个底角，可求出底角度数为180°﹣145°＝35°，两底角度数相等，三角形内角和是180°，则顶角度数为180°﹣35°﹣35°＝110°．
> 【解答】解：∠*B*＝∠*C*＝180°﹣145°＝35°
>
> ∠*A*＝180°﹣35°﹣35°＝110°
>
> 故答案为：35°，110°．
>
> 【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．
10．【分析】因为三个连续自然数的和是3*a*，所以3个三个连续自然数中，中间的数即是这三个数的平均数，平均数加1即是最大的数；平均数减1即是最小的数；据此解答．
> 【解答】解：3*a*÷3＝*a*；
>
> 最大：*a*+1，最小：*a*﹣1；
>
> 答：这三个自然数最大的数是 *a*+1，最小的数是 *a*﹣1；
>
> 故答案为：*a*+1，*a*﹣1．
>
> 【点评】此题主要考查连续自然数的特点，即每相邻两个自然数相差1，所以只要求出三个自然数的平均数（即中间的数），即可求出前、后相邻的数．
11．【分析】观察图形可知，第一阶段，积木个数是3＝3×1；第二阶段，积木个数是6＝3×2；第三阶段，积木个数是9＝3×3，第四阶段，积木个数是12＝3×4...，据此可得，第*n*阶段，积木个数是3*n*；据此即可解答．
> 【解答】解：根据题干分析可得：第*n*阶段，积木个数是3*n*；
>
> 当*n*＝8时，3×8＝24（个），
>
> 答：第8阶段有24个积木．
>
> 故答案为：24．
>
> 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
**二、判断题．**
12．【分析】当一个小数与0相乘时，积为0，此时积会小于这个小数；据此解答．
> 【解答】解：当一个小数与0相乘时，积为0；
>
> 例如：1.5×0＝0
>
> 所以，计算小数乘法时，算出来的积不一定比乘数大，题干的说法是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】本题主要考查因数与积的关系，运用举例的方法解答更容易．
13．【分析】等式的性质：等式的两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；据此直接进行判断即可．
> 【解答】解：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，一定注意是同一个不为0的数，所以此说法错误；
>
> 故判定为：×．
>
> 【点评】此题考查等式的性质，要注意：除以一个相同的数时，必须此数不等于0．
14．【分析】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角相等，如果这个60度的角是底角，则另一个底角也是60度，三角形内角和是180度，所以第三个角也是180﹣60﹣60＝60度，即三个角相等，即为等边三角形；
> 如果这个角是顶角，则另外两个底角是（180﹣60）÷2＝60度，即三个角相等，也是等边三角形．
>
> 所以等腰三角形中有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形．
>
> 【解答】解：如果这个60度的角是底角，则另一个底角也是60度，
>
> 所以第三个角也是180﹣60﹣60＝60度，
>
> 即三个角相等，即为等边三角形；
>
> 如果这个角是顶角，则另外两个底角是（180﹣60）÷2＝60度，
>
> 即三个角相等，也是等边三角形．
>
> 所以等腰三角形中有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】等腰三角形两腰相等，底角相等；等边三角形等边等角．
15．【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
> 【解答】解：4﹣4＜第三边＜4+4
>
> 即0＜第三边＜8，所以一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米，说法错误；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】解答此题的关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答即可．
16．【分析】根据小数的性质：在小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变，这叫做小数的性质．据此判断即可．
> 【解答】解：在小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变．
>
> 所以，在小数点的后面添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变．此说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握小数的性质，在小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变．
**三、选择题．**
17．【分析】根据等式的性质，方程两边同时除以4求解．
> 【解答】解：4*y*＝2000
>
> 4*y*÷4＝2000÷4
>
> *y*＝500
>
> 解方程时运用了等式的性质；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以一个不为0的数，等式仍相等．同时注意"＝"上下要对齐．．
18．【分析】首先用这张纸的厚度乘2，求出对折1次后的厚度是多少；然后用它乘2，求出对折2次后的厚度是多少；最后用对折2次后的厚度乘2×2，求出这张纸连续对折4次后，总厚度将达到多少毫米即可．
> 【解答】解：0.05×2×2×2×2
>
> ＝0.1×2×2×2
>
> ＝0.2×2×2
>
> ＝0.8（毫米）
>
> 答：将厚度为0.05毫米的一张纸连续对折4次后，总厚度将达到0.8毫米．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题主要考查了乘法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系．
19．【分析】根据从正面、右面看到的形状，这个立体图形最少用4个相同的小正方体，最多用5个相同的小正方体．用4个小正方体时，这4个小正方体分前、后两排，上、下两层．下层前排2个，后排1个，左齐；上层在前排左边1个；用5个小正方体时，这5个小正方体分前、后两排，上、下两层．下层前排2个，后排2个，呈"田"字形；上层在前排左边1个．
> 【解答】解：根据从正面、右面看到的形状，这个立体图形的形状如下：
>
> 即这个立体图形一共用了4个或5个小正方体．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形．
20．【分析】设笑笑要连续减去*x*次，连续减去*x*次13是13*x*，根据从273里减去13*x*次后结果还是13，列出方程求解即可．
> 【解答】解：设笑笑要连续减去*x*次，可列方程，
>
> 273﹣13*x*＝13，13*x*＝273﹣13，13*x*+13＝273
>
> 所以方程错误的是13*x*＝273；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】完成本题要注意分析题目中数量之间的关系，然后列出方程解答即可．
21．【分析】把235当作23.5来加就是少加了235﹣23.5＝211.5，就是和减少了211.5，据此选择．
> 【解答】解：一位同学在计算*a*+235时，把235当做23.5，那么和减少了（235﹣23.5）；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】解答本题关键是理解：把235当作23.5来加就是少加了（235﹣23.5）．
22．【分析】和为100°的两个角有可能含有钝角或直角或锐角，根据三角形的分类：三个角都是锐角的三角形，是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；依此即可作答．
> 【解答】解：因为一个三角形的两个内角之和是100°，这两个角中可能含有钝角，也可能含有锐角，还有可能含有直角；
>
> 根据三角形的分类可知：这个三角形可能是锐角三角形，可能是直角三角形，可能是钝角三角形．
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】此题主要考查三角形的分类，应明确锐角、直角和钝角三角形的含义，并灵活运用．
23．【分析】将三角板的一条直角边和直尺的上边缘都与梯形的一个腰重合，然后平移直尺，当直尺的上边缘正好与梯形上底的另一个端点重合时，过这个端点沿直尺上边缘画线段，与梯形的下底交于一点，此线段即为平行于梯形腰的线段，从而可以得到符合要求的平行四边形和三角形．
> 【解答】解：根据题干分析可得：
>
> 把梯形形分割成一个三角形和一个平行四边形，最多有2种画法；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、三角形、梯形的定义来对图形进行分割的能力．
24．【分析】2，4，6，8，10，后一个数比前一个数多2，所以□里面的前一个数加上2即可求解．
> 【解答】解：□里面的前一个数是*x*，则□里面应填：*x*+2．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题；注意用字母表示数的方法．
25．【分析】根据"第二次得了95分，第三次比第二次成绩好，"知道第三次的成绩大于95分，再由题中条件知不超过97分．所以小丽的第三次成绩在95分与97分之间，由此根据平均数的意义即可求出小丽这三次的平均成绩的范围．
> 【解答】解：假设小丽的成绩是96分，则平均成绩是：
>
> （90+95+96）÷3
>
> ＝281÷3
>
> ≈93.67（分）
>
> 假设小丽的第三次成绩是97分，则平均成绩是：
>
> （90+95+97）÷3
>
> ＝282÷3
>
> ＝94（分）
>
> 所以小丽这三次的平均成绩在93.67到94之间；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】关键是根据题意判断出小丽第三次成绩的范围，再利用平均数的计算方法解决问题．
26．【分析】一个因数扩大（或缩小）若干倍（0除外），另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变；据此解答．
> 【解答】解：根据积不变性质可知，
>
> 如果一个乘数缩小到原来的，另一个乘数应扩大到原来的10倍，积不变．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题考查了积不变性质的灵活运用．
27．【分析】四个角都为直角的平行四边形是长方形，四条边都相等的长方形是正方形；也就是说：长方形和正方形的两组对边分别平行且相等，由此解答即可．
> 【解答】解：长方形、正方形的两组对边分别平行且相等；
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题应根据长方形和正方形的含义进行解答．
28．【分析】因正方形的四条边都相等，四个角都是直角．所以拼成正方形的两个三角形，一定得是等腰直角三角形．
> 【解答】解：如图：两个完全一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题关键是根据拼成图形的特点，来寻找能拼成正方形的图形．
29．【分析】由小数大小的比较方法可知：□里可以填的符合条件的数字应该大于等于3小于等于9，据此即可得解．
> 【解答】解：6．□3＞6.3，□里可以填的符合条件的数字有3～9，一共7个．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】考查了小数大小的比较，属于基础题．
30．【分析】根据题意知道，用5（*x*﹣3）减去5*x*﹣3，得出的数大于0说明结果比原来大，得出的数小于0说明结果比原来小．
> 【解答】解：5（*x*﹣3）﹣（5*x*﹣3）
>
> ＝5*x*﹣15﹣5*x*+3
>
> ＝﹣12
>
> 答：把5*x*﹣3错写成5（*x*﹣3），结果比原来少12，
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】注意括号前面是减号，去掉括号时，括号里面的运算符合要改变．
31．【分析】根据题意得出甲数＝乙数×2﹣*b*，由此先求出乙数的2倍，再除以2即可．
> 【解答】解：甲数是*a*，比乙数的2倍少*b*，表示乙数的式子是：（*a*+*b*）÷2；
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】解答本题的关键是根据题意得出数量关系式：乙数×2﹣*b*＝甲数；进而求出乙数．
32．【分析】爸爸今年比小勇大*k*岁，*m*年后小勇年龄长大*m*岁，小勇爸爸也长*m*岁，爸爸还是比小勇大*k*岁，进而解答即可．
> 【解答】解：*b*﹣*a*＝*k*（岁）；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】解答此题的关键：应明确爸爸现在比小勇大多少岁，那么*m*年后还是比小勇大多少岁，因为小勇年龄增长多少岁，爸爸也增长同样的岁数．
33．【分析】平均数只能反映一组数据的平均水平，并不能反应这组数据的中所有数据的大小，游泳池平均水深130厘米，可能有的地方水深超过130厘米好多，所以下水游泳不一定没有危险，据此解答即可．
> 【解答】解：平均数只能反映一组数据的平均水平，并不能反应这组数据的中所有数据的大小，小红身高1.35米化成厘米是135厘米，
>
> 游泳池平均水深130厘米，可能有的地方水深超过130厘米，甚至超过135厘米，所以她下水游泳不一定没有危险，
>
> 所以原题说法错误；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题主要考查了平均数的含义的应用，解答此题的关键是要明确：平均数只能反映一组数据的平均水平，并不能反应这组数据的中所有数据的大小．
**四、解决问题．**
34．【分析】首先根据：速度×时间＝路程，用两车的速度之和乘2.5，求出两车2.5小时行驶的路程之和是多少；然后用它加上32.5，求出*A*、*B*两地相距多少千米即可．
> 【解答】解：（82.3+97.7）×2.5+32.5
>
> ＝180×2.5+32.5
>
> ＝450+32.5
>
> ＝482.5（千米）
>
> 答：*A*、*B*两地相距482.5千米．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
35．【分析】设底角为*x*度，那么顶角是4*x*度，依据三角形的内角和是180度，及等腰三角形的两个底角相等，根据等量关系式：底角+底角+顶角＝180度，列方程解答即可．
> 【解答】解：设底角为*x*度，那么顶角是4*x*度，
>
> 则*x*+*x*+4*x*＝180
>
> 6*x*＝180
>
> *x*＝30
>
> 30°×4＝120°；
>
> 答：这个等腰三角形度底角是30°，顶角是120°．
>
> 【点评】此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的角的度数特点．
36．【分析】由图文可知，白菜的价格是4.7元，黄瓜是白菜的3倍还多0.8元，所以用4.7+（4.7×3+0.8）计算即可得到白菜和黄瓜总的钱数，本题得以解决．
> 【解答】解：4.7+（4.7×3+0.8）
>
> ＝4.7+（14.1+0.8）
>
> ＝4.7+14.9
>
> ＝19.6（元）
>
> 答：白菜和黄瓜一共19.6元．
>
> 【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
37．【分析】根据题意，首先用除法求出每辆卡车每小时运沙子多少吨，照这样的速度计算，也就是运沙子的吨数不变，再根据乘法的意义，求出5辆卡车2.5时能运货多少吨．
> 【解答】解：465÷3÷5×5×2.5
>
> ＝31×5×2.5
>
> ＝155×2.5
>
> ＝387.5（吨）
>
> 答：5辆卡车2.5时能运走387.5吨沙子．
>
> 【点评】此题属于"二次正归一"应用题，首先根据"等分"除法的意义，用除法求出单一量，再乘法求出总数量．
38．【分析】甲袋里有39个，乙袋里有27个，那么甲比乙多39﹣27＝12个；小刚每次从甲袋里取出4个，从乙袋里取出2个，那么每次甲比乙多取出4﹣2＝2个；12个里面有几个2，那么就取几次，甲乙剩下的个数就相等，据此解答．
> 【解答】解：（39﹣27）÷（4﹣2）
>
> ＝12÷2
>
> ＝6（次）
>
> 答：取6次后，甲、乙袋里剩下的球的个数相等．
>
> 【点评】本题关键是求出甲乙两袋之间的个数差以及每次取出的个数差，然后再根据除法的意义进行解答．
39．【分析】设连环画有*x*本，故事书比连环画本数的4倍多28本，则故事书就是4*x*+28本，已知故事书一共有320本，可列方程4*x*+28＝320，解答即可．
> 【解答】解：设连环画有*x*本，
>
> 4*x*+28＝320
>
> 4*x*＝292
>
> *x*＝73
>
> 答：连环画有73本．
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题．
40．【分析】根据题意，1支钢笔7元，2支钢笔用去2个7元，即7×2＝14元，用总钱数减去2支钢笔的钱数，就是5个文具盒的钱数，即74﹣14＝60元，然后再除以文具盒的数量即可．
> 【解答】解：（74﹣7×2）÷5
>
> ＝（74﹣14）÷5
>
> ＝60÷5
>
> ＝12（元）
>
> 答：1个文具盒12元．
>
> 【点评】考查了整数乘除法和减法的意义的灵活运用．
41．【分析】∠2＝25°，则在直角三角形*ABD*中，∠*ADB*＝180°﹣90°﹣∠2＝65°，∠1、∠*ADB*和∠*EDC*组成一个平角，则∠*EDC*＝180°﹣65°﹣65°＝50°，在直角三角形*EDC*中，∠3＝180°﹣90°﹣∠*EDC*＝40°．
> 【解答】解：在直角三角形*ABD*中，
>
> ∠*ADB*＝180°﹣90°﹣25°＝65°
>
> 则∠*EDC*＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
>
> 在直角三角形*EDC*中，
>
> ∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°
>
> 【点评】此题考查了三角形内角和的灵活运用．
42．【分析】首先用每张单程票的价格乘2，求出2张单程票的价格是多少，再用它加上一张儿童票的价格，求出一共需要多少钱；然后用它乘2，求出他们家三口人往返的总票价是多少即可．
> 【解答】解：（22.5×2+22.5÷2）×2
>
> ＝（45+11.25）×2
>
> ＝56.25×2
>
> ＝112.5（元）
>
> 答：他们家三口人往返的总票价是112.5元．
>
> 【点评】此题主要考查了乘法、加法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系．
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**2015年山东省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）设a=0.6^0.6^，b=0.6^1.5^，c=1.5^0.6^，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（ ）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
5．（5分）当m∈N^\*^，命题"若m＞0，则方程x^2^+x﹣m=0有实根"的逆否命题是（ ）
A．若方程x^2^+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x^2^+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x^2^+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x^2^+x﹣m=0没有实根，则m≤0
6．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．（5分）在区间\[0，2\]上随机地取一个数x，则事件"﹣1≤log（x+）≤1"发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C．2π D．4π
10．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（ ）
A．1 B． C． D．
**二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）**
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是[ ]{.underline}．
12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为[ ]{.underline}．
13．（5分）过点P（1，）作圆x^2^+y^2^=1的两条切线，切点分别为A，B，则=[ ]{.underline}．
14．（5分）定义运算"⊗"x⊗y=（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
---------------- -------------- ----------------
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
---------------- -------------- ----------------
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，3名女同学B~1~，B~2~，B~3~．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A~1~被选中且B~1~未被选中的概率．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
18．（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
19．（12分）已知数列{a~n~}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~=（a~n~+1）•2，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
20．（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．
21．（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．
**2015年山东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．
【解答】解：B={x\|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x\|1＜x＜3}，A={x\|2＜x＜4}，
∴A∩B={x\|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．（5分）设a=0.6^0.6^，b=0.6^1.5^，c=1.5^0.6^，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小．
【解答】解：函数y=0.6^x^为减函数；
故a=0.6^0.6^＞b=0.6^1.5^，
函数y=x^0.6^在（0，+∞）上为增函数；
故a=0.6^0.6^＜c=1.5^0.6^，
故b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档．
4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（ ）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin\[4（x﹣）\]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
5．（5分）当m∈N^\*^，命题"若m＞0，则方程x^2^+x﹣m=0有实根"的逆否命题是（ ）
A．若方程x^2^+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x^2^+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x^2^+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x^2^+x﹣m=0没有实根，则m≤0
【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．
【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N^\*^，命题"若m＞0，则方程x^2^+x﹣m=0有实根"的逆否命题是：若方程x^2^+x﹣m=0没有实根，则m≤0．
故选：D．
【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
6．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案
【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31
乙：28，29，30，31，32；
可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，
乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，
故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
甲地该月14时温度的方差为：=\[（26﹣29）^2^+（28﹣29）^2^+（29﹣29）^2^+（31﹣29）^2^+（31﹣29）^2^\]=3.6
乙地该月14时温度的方差为：=\[（28﹣30）^2^+（29﹣30）^2^+（30﹣30）^2^+（31﹣30）^2^+（32﹣30）^2^\]=2，
故＞，
所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差．
故选：B．
【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题
7．（5分）在区间\[0，2\]上随机地取一个数x，则事件"﹣1≤log（x+）≤1"发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间\[0，2\]的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
∵﹣1≤log（x+）≤1
∴
解得0≤x≤，
∵0≤x≤2
∴0≤x≤
∴所求的概率为：P=
故选：A．
【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
8．（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．
【解答】解：∵f（x）=是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
即
整理可得，
∴1﹣a•2^x^=a﹣2^x^
∴a=1，
∴f（x）=
∵f（x））=＞3
∴﹣3=＞0，
整理可得，，
∴1＜2^x^＜2
解可得，0＜x＜1
故选：C．
【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．
9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C．2π D．4π
【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．
【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V=2×S•h=2×πR^2^•h
=2×π×（）^2^×=．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．
10．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，
可得f（）=4，
若，即b≤，可得，解得b=．
若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．
**二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）**
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是[ 13 ]{.underline}．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=1
满足条件x＜2，x=2
不满足条件x＜2，y=13
输出y的值为13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．
12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为[ 7 ]{.underline}．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部，由
可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z~最大值~=1+2×3=7．
故答案为：7
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
13．（5分）过点P（1，）作圆x^2^+y^2^=1的两条切线，切点分别为A，B，则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．
【解答】解：连接OA，OB，PO
则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，
Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=
∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°
∴===
故答案为：
【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．
14．（5分）定义运算"⊗"x⊗y=（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】通过新定义可得x⊗y+（2y）⊗x=，利用基本不等式即得结论．
【解答】解：∵x⊗y=，
∴x⊗y+（2y）⊗x=+=，
由∵x＞0，y＞0，
∴x^2^+2y^2^≥2=xy，
当且仅当x=y时等号成立，
∴≥=，
故答案为：．
【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为[ 2+]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论．
【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），
∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，
∴=
∴e==2+．
故答案为：2+．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
---------------- -------------- ----------------
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
---------------- -------------- ----------------
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，3名女同学B~1~，B~2~，B~3~．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A~1~被选中且B~1~未被选中的概率．
【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，"至少参加一个社团"事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出"A~1~被选中，而B~1~未被选中"事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设"至少参加一个社团"为事件A；
从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；
通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；
这是一个古典概型，∴P（A）=；
（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；
∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；
设"A~1~被选中，而B~1~未被选中"为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；
这是一个古典概型，∴．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；
②利用正弦定理解之．
【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，
sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，
所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin^2^A+cos^2^A=1②，
由①②解得27sin^2^A﹣6sinA﹣16=0，
解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；
②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，
所以a=2c，又ac=2，所以c=1．
【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．
18．（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
【分析】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH．
（II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．
【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴，
∴四边形BHFE为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC．
∴EFCH是矩形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．
【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．
19．（12分）已知数列{a~n~}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~=（a~n~+1）•2，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（1）通过对c~n~=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；
（2）通过b~n~=n•4^n^，写出T~n~、4T~n~的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．
【解答】解：（1）设等差数列{a~n~}的首项为a~1~、公差为d，则a~1~＞0，
∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d，a~n+1~=a~1~+nd，
令c~n~=，
则c~n~==\[﹣\]，
∴c~1~+c~2~+...+c~n﹣1~+c~n~=\[﹣+﹣+...+﹣\]
=\[﹣\]
=
=，
又∵数列{}的前n项和为，
∴，
∴a~1~=1或﹣1（舍），d=2，
∴a~n~=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）由（1）知b~n~=（a~n~+1）•2=（2n﹣1+1）•2^2n﹣1^=n•4^n^，
∴T~n~=b~1~+b~2~+...+b~n~=1•4^1^+2•4^2^+...+n•4^n^，
∴4T~n~=1•4^2^+2•4^3^+...+（n﹣1）•4^n^+n•4^n+1^，
两式相减，得﹣3T~n~=4^1^+4^2^+...+4^n^﹣n•4^n+1^=•4^n+1^﹣，
∴T~n~=．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；
（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，
由切线与直线2x﹣y=0平行，
则a+1=2，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，
令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，
当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．
当x=1时，h（x）~min~=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，
g（x）=的导数为g′（x）=，
当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减．
则x=2取得最大值，
令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，
T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，
T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+﹣，
由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣，即有lnx+1+＞2；
e^x^＞1+x，可得﹣＞，
可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，
即为T′（x）＞0在（1，2）成立，
则T（x）在（1，2）递增，
由零点存在定理可得，存在自然数k=1，
使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x~0~∈（1，2），
且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，
则有m（x）的最大值为m（2）=．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题．
21．（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）通过将点点（，）代入椭圆C方程，结合=及a^2^﹣c^2^=b^2^，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）知椭圆E的方程为：+=1．（i）通过设P（x~0~，y~0~）、=λ可得Q（﹣λx~0~，﹣λy~0~），利用+=1及+=1，计算即可；（ii）设A（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~），分别将y=kx+m代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点（，）在椭圆C上，
∴，①
∵=，a^2^﹣c^2^=b^2^，
∴=，②
联立①②，解得：a^2^=4，b^2^=1，
∴椭圆C的方程为：+y^2^=1；
（Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为：+=1．
（i）设P（x~0~，y~0~），=λ，
由题意可得Q（﹣λx~0~，﹣λy~0~），
∵+=1，及+=1，即（+）=1，
∴λ=2，即=2；
（ii）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣16=0，
由△＞0，可得m^2^＜4+16k^2^，
由韦达定理，可得x~1~+x~2~=﹣，x~1~•x~2~=，
∴\|x~1~﹣x~2~\|=，
∵直线y=kx+m交y轴于点（0，m），
∴S~△OAB~=\|m\|•\|x~1~﹣x~2~\|
=\|m\|•
=
=2，
设t=，将y=kx+m代入椭圆C的方程，
可得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣4=0，
由△≥0，可得m^2^≤1+4k^2^，
又∵m^2^＜4+16k^2^，
∴0＜t≤1，
∴S=2=2=≤2，
当且仅当t=1，即m^2^=1+4k^2^时取得最大值2，
由（i）知S~△ABQ~=3S，
∴△ABQ面积的最大值为6．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
| 1 | |
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.若为纯虚数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：，若其为纯虚数，则，解得.
法二：因为为纯虚数，设为纯虚数，设（为实数），
则则，且，则.选B.
2.已知全集，集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，若，则. 选D.
3.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.
方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.
5.已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.或
【答案】B
考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.
6.执行如图所示的框图，若输出的的值为，则条件框中应填写的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】，故选.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.学科网
7.已知的展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
8.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
根据三视图知几何体是：三棱锥为棱长为的正方体一部分，直观图如图所示：该多面体的所有顶点都在球，且球心是正方体的中心，由正方体的性质得，球心到平面的距离，由正方体的性质可得，,设的外接圆的半径为，在中，由余弦定理得，,，则，由正弦定理可得，，则，则球的半径，球的表面积. 选C.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
9.已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】A
【解析】解：若锐角满足，则，即；同理可得这与矛盾，故锐角满足，即且，，单调递减，
故选：.
10.以抛物线的一点为直角顶点作抛物线的两个内接，则线段与线段的交点的坐标为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】设，则，的方程为因为，所以带入上式可得于是在直线上，同理点也在上，因为交点为.故选：.
11.将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转。如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为（ ）
A． B． C.  D．
【答案】B
考点：几何体翻转
12.已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时，的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.\[来源:学科网\]
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.如图，是半径为的圆的两条直径，,则的值是 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】,
且.
14.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为"格点"，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为"阶格点函数"，下列函数中是"一阶格点函数"的有 [ ]{.underline} ．
① ② ③ ④ ⑤
【答案】②
15.已知实数x,y满足，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 [ ]{.underline} ．
【答案】9
【解析】
设五个数分别为,则等差数列的公差 ,则 ,可设 ,由约束条件画出可行域,令 ,得 ,结合图像可知当经过点 时,目标函数有最大值 ,此时 有最大值.故本题填.
**点睛:**本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.
16.各项均为正数的数列首项为，且满足，公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列设，求数列的前项和 [ ]{.underline} ．
【答案】\[来源:学科网\]
.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.在中，,点在边上，，且 .
（1）若的面积为，求；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）或.
试题解析：解：（1）因为，即，又，所以.
在中，由余弦定理得，，解得.
（2）在中，，可设，则，又，由正弦定理，有，所以.在中，，由正弦定理得，，即，
化简得，于是，
因为，所以，
所以或，
解得或，故或.
18.如图所示，五面体中，正的边长为，平面,,且
（1）设与平面所成的角为，，若，求k的取值范围；
（2）在（1）和条件下，当取得最大值时，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直确定线面角：取中点，则由正三角形性质得，又由面，得，因此面，所以为与平面所成角，再根据，由，求k的取值范围；（2）先作二面角平面角：延长交与点，计算易得，根据三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；最后利用直角三角形求余弦值为.学科网
试题解析：解：方法一：
（Ⅱ）延长交与点，连，可知平面.
由，且，又因为从而，
又面,由三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；
则.
方法二：（Ⅰ）如图以为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），则设，取的中点，则，易知，的一个法向量为，由题意,由，则，得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，最大值为，则当时，设平面法向量为，则
，取，又平面法向量为，，平面与平面所成角余弦值为.
19.中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口断井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
井号      
坐标      
钻探深度      
出油量      
------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（1）～号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求，并估计的预报值；
（2）现准备勘探新井，若通过号并计算出的的值（精确到）与（1）中的值差不超过，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（参考公式和计算结果：）
（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有口井中任意勘探口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.
【答案】（1）24（2）使用位置最接近的已有旧井.（3）
【解析】试题分析：（1）先求平均值，再根据求，再求当时对应函数值为的预
报值；（2）先求平均值，再根据求，利用求，最后计算比值差，根据结果确定选择.（3）根据定义确定这口井是优质井，因此随机变量取值为，再利用组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.学科网
（Ⅱ）， ，即 ，均不超过，使用位置最接近的已有旧井.
（Ⅲ）由题意，这口井是优质井，这两口井是非优质井，勘察优质井数的可能取值为，，可得 的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 2 3 4
p   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是"判断取值"，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是"探求概率"，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是"写分布列"，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是"求期望值"，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
20\. 已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。
（1）若点的法线被抛物线所截的线段最短，求点坐标；
（2）任意一条和轴平行的直线交曲线于点，关于在点Q的法线对称的直线为，直线通过一个定点，求定点坐标.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：解：（1）把 代入抛物线方程，解得，
抛物线方程为，设切点为，
显然点不为原点，在点处的法线方程为，
即，
消元得 ，
法线被抛物线截得的线段的长度为，
（2）设直线：，其关于法线对称的直线为，\[来源:学\#科\#网\]
设与抛物线的交点交轴的点为，切线交轴的点为，
由于平行于轴，且与关于法线对称，
由此可以推出，因此为等腰三角形，
于是，从而，化简得，
所以，对称直线都过定点.
21.已知函数 .
**（1）若在****处，****和****图象的切线平行，求****的值；**
**（2）设函数****，讨论函数****零点的个数.**
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得解得，（2）按正负讨论函数单调性及值域：当时，在单增，, 没有零点; 当时，有唯一的零点; 当时，在上单调递减，在上单调递增，;在单增，，所以时有个零点；时有个零点.学科网
（2）当时，显然有唯一的零点
（3）当时，设，
令有，故在上单调递增，在上单调递减，
所以，，即 在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当等号成立）有两个根（当时只有一个根）
在单增，令为减函数，
故只有一个根.
时有个零点；时有个零点；时有个零点；时有个零点；时，有个零点.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的上点对应的参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线，直线的参数方程为
（1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最小值.
【答案】（1），（2）\[来源:学科网ZXXK\]
【解析】试题分析：（1）先由对应的参数得，解得，再代入得，根据三角函数同角关系：消参数得普通方程，最后利用 将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用参数方程表示点到直线距离公式得，最后利用三角函数有界性求最值.
（2）直线的普通方程为，点到直线的方程距离为所以最小值为
23.选修4-5：不等式选讲已知函数
（1）求的解集；
（2）若对任意的，都存在一个使得，求的取值范围.
【答案】（1）（2）或.
（2）依题意可得 所以，解之得或.
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**1956年试题**
**下列各题顺次解答,不必抄题（但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等）.**
**一、**甲、利用对数性质,计算lg25+lg2·lg50.
（log是以10为底的对数log10的记号）
乙、设m是实数,求证方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0的两
个根必定都是实数.
丙、设M是△ABC的边AC的中点,过M作直线交AB直线于E,过B作直线平行于ME交AC直线于F.求证△AEF的面积等于△ABC的面积的一半.
**\[Key\] 一 、**甲、解: ∵lg2=1-lg5,lg50=1+lg5,
原式=lg25+lg2·lg50=lg25+(1-lg5)(1+lg5)=lg25+1-lg25=1.
乙、解:方程的判别式Δ=(4m-1)2+8(m2+m)=24m2+1,
∵ m2 ≥0 ,∴Δ\>0,
所以二个根全是实数.
丙、解:连BM.
△AEF的面积=△ABF的面积+△BEF的面积,
∵ BF∥MF,
∴ △BEF的面积=△BFM的面积,
∴ △AEF的面积=△BAM的面积.
丁、解:最大角对最大边,由余弦定律得
37=32+42-2·3·4cosθ
∴ θ=120°.
戊、解:tanα+tanβ=-6,tanα·tanβ=7;
**二、**解联立方程
\[Key\] 
两边分别平方,x+y=9,或x+y=16.
分别与(2)联立:
解方程组(Ⅰ),得
解方程组(Ⅱ)得
综上述,共得四组解:
经检验,以上四组解均为原方程的解.
**\[Key\] 三、解:**令AP与BC的交点是M,
∵ ∠APB=∠ABM.
∴ △ABP∽△AMB,∴ AP·AM=AB2,(1)
∵ ∠APC=∠BPM,∠PAC=∠PBM,
∴ △ACP∽△BMP,∴AP·MP=PB·PC, (2)
(1)+(2),得 AP·AM+AP·MP=AB2+PB·PC,
即 AP2=AB2+PB·PC.
**四、**有一四棱柱体,底面ABCD为菱形,∠A抇AB=∠A抇AD（如右图）,求证平面A抇ACC挻怪庇诘酌鎋ABCD.
**\[Key\] 四、**
**五、**若三角形的三个角成等差级数,则其中一定有一个角是60°;若这样的三角形的三边又成等比级数,则三个角都是60°,试证明之.
**\[Key\] 五、解:**令三角形的三个角是A,B,C,
由 A-B=B-C,A+B+C=180°,
得 B=60°
设三边的长为a,aq,aq2,则长边aq的边所对的角即为60°,
根据余弦定理,
(aq)2=a2+(aq2)2-2a·aq2cos60°,
a2q2=a2+a2q4-a2q2.
∴ q=±1.但q=-1不合题意,
于是此三角形边长各为a因而三个角都是60°.
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1. 巩固并熟练掌握分数基本计算；
2. 通过牛吃草问题熟悉差量分析解应用题；
3. 预习讲重点知识（整除、质合、方程）。
**第一部分：分数的四则运算**
1. **分数：****（例如****）**
把单位""平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份，分子表示这样几份的数。
例如把一个蛋糕平均分成份，每份就是，取其中的份，总共就是。
2. **分数与除法：**
把一块蛋糕平均分给个人，每人分得多少？，，因为除数不能为零，所以分母也不能为零。
上面的，既可以当成一个计算结果，一个数值，也可以当做是一个除法运算。
3. **分类：**
真分数： 分子比分母小的分数，例如
假分数： 分子比分母大，或者分子和分母相等的分数，例如
带分数： 把一个假分数化成一个整数和一个真分数加在一起，这样的分数叫做带分数，例
如，其中为带分数。
4. **基本性质：**
把一块比萨平均分给个人，如果分成块，则每人块；如果分成块，则每人块；如果分成块，则每人块。但是，无论分成多少块，每人得到的比萨是一样多的，也就是说
有这样的规律：
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（除外），分数的大小不变。
5. **约分与通分**
约分：分子分母互质（只有公因数）的分数叫做最简分数。根据分数的基本性质，分子分母同时除以它们的不是的公因数，得到的分数大小不变，但新分数的分子分母都比较小且互质，这就是约分。
例如:
通分：根据分数的基本性质，我们可以把分数的分子分母同时乘以一个非零数，分数大小不变，则由此，我们可以把这两个分数变成分母相同的数。例如，，。把异分母分数分别化为和原来分数相等的同分母分数的方法，叫做通分。
6. **分数的四则运算：（可由分数与除法的关系来证明其四则运算）**
```{=html}
<!-- -->
```
1. 加减：
同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化成最简分数。
例如：
异分母加减法：分母不同，需要先通分，变为分母相同的分数，再分子相加减，
结果仍然要化成最简分数。
例如：
2. 乘除：
分数乘以分数：分母乘以分母，分子乘以分子，能约分先约分。
例如：
3. 倒数：
把分数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数乘积是。乘积为的两个数互为倒数。没有倒数。
例如：
4. 分数的除法：
有，所以。又知道。
所以除以一个数等于乘以它的倒数。
5. 分数的四则混合运算：
与整数的四则运算法则相同：顺序是先乘除后加减，有括号先括号内。
 [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，** [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **。**
 [ ]{.underline} **，**  [ ]{.underline} **，****= [ ]{.underline}**
1. **= [ ]{.underline}**
2. **= [ ]{.underline}**
3. **= [ ]{.underline}**
4. **= [ ]{.underline}**
**第二部分：牛吃草问题**
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做"牛顿问题"．
"牛吃草"问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．"牛吃草"问题是小学应用题中的难点．
解"牛吃草"问题的主要依据：
1. 草的每天生长量不变；
2. 每头牛每天的食草量不变；
3. 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
4. 新生的草量每天生长量天数．
> 同一片牧场中的"牛吃草"问题，一般的解法可总结为：
1. 设定头牛天吃草量为""；
2. 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
3. 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
4. 吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
5. 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
"牛吃草"问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了"牛吃草"问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
**一牧场放牛****头，****天把草吃完；若放牛****头，则****天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛****天可以把草吃完?**
**由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供****头牛吃****天，或可供****头牛吃****天．照此计算，可以供多少头牛吃****天？**
**一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供****头牛吃****天，或可供****只羊吃****天。如果****头牛的吃草量等于****只羊的吃草量，那么****头牛与****只羊一起吃可以吃几天？**
**第一部分：整除问题**
1. 一个数的末位能被或整除，这个数就能被或整除；
一个数的末两位能被或整除，这个数就能被或整除；
一个数的末三位能被或整除，这个数就能被或整除；
2. 一个位数数字和能被整除，这个数就能被整除；
一个数各位数数字和能被整除，这个数就能被整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被整除，那么这个数能被整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被、或整除，那么这个数能被、或整除.
5. 如果一个数能被整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是的倍数，这个数一定是的倍数。
**第二部分：质合问题**
**一、质数与合数**
一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的以内的质数：共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.
> ⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是.这也是很多题解题思路.
**二、质因数与分解质因数**
1. **质因数：**如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
2. **互质数：**公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
3. **分解质因数：**把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
4. **分解质因数的方法：短除法**
例如：，（┖是短除法的符号） 所以；
5. **部分特殊数的分解：**；；；；；；；；
**第三部分：解方程**
**一、名词解释**
1. 算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式
2. 等式：表示相等关系的式子
3. 方程：含有未知数的等式
4. 方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：元次方程就是含有个未知数，且含未知数项最高次数是的方程
> 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是的方程；
>
> 如：，，，
>
> 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；
>
> 如：是方程的解，是方程的解，
5. 解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写"解"字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始"解方程"。
6. 方程的解：能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解
**二、解方程的步骤**
```{=html}
<!-- -->
```
1. 解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为。
2. 移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说"移项变号"。
3. 移项的目的：是为了把含有的未知项和数字项分别放在等号的两端，使"未知项=数字项"，从而求出方程的解。
4. 怎样检验方程的解的正确性？
判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。
**有三张卡片，它们上面各写着数字，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.**
**解下列一元一次方程：⑴** **；⑵；⑶** **；⑷**
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**湖南省张家界市2020年中考数学**
**一、选择题**
1.的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义解答即可．
【详解】解：∵×2020=1，\
∴的倒数是2020．\
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【详解】解：A、，故原式错误；
B、，故原式错误；
C、，故原式错误；
D、，故原式正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4.下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．
B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．
C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【详解】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，
故选B．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有*x*人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设有*x*人，根据车的辆数不变，即可得出关于*x*的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x^2^－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；\
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
8.如图所示，过*y*轴正半轴上的任意一点*P*，作*x*轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点*A*和点*B*，若点*C*是*x*轴上任意一点，连接，则的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【详解】解：∵AB∥*x*轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
**二、填空题**
9.因式分解：\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据公式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键．
10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元．
【答案】2.11×10^8^
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|\<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值\<1时，n是负整数．
【详解】211000000的小数点向左移动8位得到2.11，
所以211000000用科学记数法表示为2.11×10^8^，
故答案为：2.11×10^8^．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|\<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点*C*射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点*E*处，则的度数是\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】全班共有学生30+24=54（人），
其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点*C*按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点*B*落在对角线上，则阴影部分的面积是\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=*x*，则EP=BP=，解出*x*，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
【详解】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，
∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN=EC=，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=*x*，则EP=BP=，
∵MP+BP=MB，
∴，解得，
∴BP=，
∴阴影部分的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长.
14.观察下面的变化规律：
，......
根据上面的规律计算：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【详解】由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故．
故答案：．
【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
**三、解答题**
15.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
详解】
【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
16.如图，在矩形中，过对角线的中点*O*作的垂线，分别交于点．
（1）求证：；
（2）若，连接，求四边形的周长．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）25
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质可得，，，即可证的两个三角形全等；
（2）设，根据已知条件可得，由（1）可推得,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在△DOE和△BOF中，
，
∴．
（2）由（1）可得，，，
∴四边形BFDE是平行四边形，
在△EBO和△EDO中，
，
∴，
∴，
∴四边形BFDE是菱形，
根据，设，可得，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴四边形的周长=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【解析】
【分析】
括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．
【详解】
=
=
=
=，
当时，原式==1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算------化简求值，涉及了二次根式的运算，分式的约分，分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展"安全知识进校园"宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为"A：69分及以下，B：70\~79分，C：80\~89分，D：90\~100分"四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：
*D*组成绩的具体情况是：
------------ ---- ---- ---- ---- ----
分数（分） 93 95 97 98 99
人数（人） 2 3 5 2 1
------------ ---- ---- ---- ---- ----
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）*D*组成绩的中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？
【答案】（1）见解析；（2）97；（3）690人．
【解析】
【分析】
（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．
【详解】解：（1）∵随机抽取40名学生，根据条形统计图可以得出：*A*为5人，*B*为12人，*D*为13人，
∴*C*的人数为：，
补全条形统计图如下图：
（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：
93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99
第七个数据为中位数，是97，
故答案为：97；
（3）80分以上的是C、D两组，共有10+13=23人，所占的比列为：23÷40=0.575
所以1200名学生中80分以上的人数有：1200×0.575=690（人），
故答案为：690人．
【点睛】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．
19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
【答案】第一批购进的消毒液的单价为10元．
【解析】
【分析】
设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解．
【详解】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，
根据题意可得：，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系列出方程，分式方程要记得验根．
20.阅读下面材料：
对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）\_\_\_\_\_\_；
（2）当时，求*x*的取值范围．
【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥
【解析】
【分析】
（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得﹣1
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x－3）≥2（x+2）
6x－9≥2x+4
4x≥13
X≥
∴x的取值范围为x≥．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21."南天一柱"是张家界"三千奇峰"中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，"南天一柱"正式命名为《阿凡达》的"哈利路亚山"．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的"南天一柱"美景．在*A*处测得"南天一柱"底部*C*的俯角为，继续飞行到达*B*处，这时测得"南天一柱"底部*C*的俯角为，已知"南天一柱"的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，）
 
【答案】安全
【解析】
【分析】
设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
【详解】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=，
∴AD=．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴BD=．
∵AD-BD=AB，
∴-=9×6，
∴x=162，
∵162\>150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
22.如图，在中，，以为直径作，过点*C*作直线交的延长线于点*D*，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交于点，当时，求的长．
【答案】(1)见解析；（2）EF=．
【解析】
【分析】
（1）如图，连接OC，欲证明CD是的切线，只需求得∠OCD=；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF长．
【详解】
（1）证明：如图，连接OC
∵为的直径
∴，即∠A+∠ABC=
又∵OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵
∴∠BCD+∠OCB=，即∠OCD=
∵OC是圆O的半径
∴CD是的切线．
（2）解：∵平分
∴∠CDE=∠ADE
又∵
∴，即∠CEF=∠CFE
∵∠ACB=，
∴CE=CF=2
∴EF=
【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．
23.如图，抛物线交*x*轴于两点，交*y*轴于点*C*．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴*l*与直线相交于点*P*，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点*M*，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点*M*的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M~1~（），M~2~（，）．
【解析】
【分析】
（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M~1~E的解析式；然后联立直线BC和M~1~E的解析式即可求得M~1~的坐标；在直线BC上作点M~1~关于N点的对称点M~2~，利用中点坐标公式即可确定点M~2~的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x~1~=1，x~2~=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M~1~A=M~1~C，
∴∠ACM~1~=∠CAM~1~
∴∠AM~1~B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM~1~的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM~1~的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M~1~的坐标为（）；
在直线BC上作点M~1~关于N点的对称点M~2~
设M~2~（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M~2~的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M~1~（），M~2~（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
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**2017年天津市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．计算（﹣3）+5的结果等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
3．在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（ ）
A．0.1263×10^8^ B．1.263×10^7^ C．12.63×10^6^ D．126.3×10^5^
5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．计算的结果为（ ）
A．1 B．a C．a+1 D．
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
10．若点A（﹣1，y~1~），B（1，y~2~），C（3，y~3~）在反比例函数的图象上，则y~1~，y~2~，y~3~的大小关系是（ ）
A．y~1~＜y~2~＜y~3~ B．y~2~＜y~3~＜y~1~ C．y~3~＜y~2~＜y~1~ D．y~2~＜y~1~＜y~3~
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
12．已知抛物线y=x^2^﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M\'落在x轴上，点B平移后的对应点B\'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A．y=x^2^+2x+1 B．y=x^2^+2x﹣1 C．y=x^2^﹣2x+1 D．y=x^2^﹣2x﹣1
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13．计算x^7^÷x^4^的结果等于[ ]{.underline}．
14．计算的结果等于[ ]{.underline}．
15．不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是[ ]{.underline}．
16．若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是[ ]{.underline}（写出一个即可）．
17．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为[ ]{.underline}．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于[ ]{.underline}；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S~△PAB~：S~△PBC~：S~△PCA~=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）**
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得[ ]{.underline}；
（2）解不等式②，得[ ]{.underline}；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为[ ]{.underline}．
20．某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为[ ]{.underline}，图①中m的值为[ ]{.underline}；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．
23．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．
（1）根据题意，填写下表：
-------------------- ----- --------------------- ----- --------------------- -----
一次复印页数（页） 5 10 20 30 ...
甲复印店收费（元） 0.5 [ ]{.underline} 2 [ ]{.underline} ...
乙复印店收费（元） 0.6 [ ]{.underline} 2.4 [ ]{.underline} ...
-------------------- ----- --------------------- ----- --------------------- -----
（2）设在甲复印店复印收费y~1~元，在乙复印店复印收费y~2~元，分别写出y~1~，y~2~关于x的函数关系式；
（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
24．将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A\'．
（1）如图①，当点A\'在第一象限，且满足A\'B⊥OB时，求点A\'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A\'B的长；
（3）当∠BPA\'=30^°^时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线y=x^2^+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P\'．
①当点P\'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P\'落在第二象限内，P\'A^2^取得最小值时，求m的值．
**2017年天津市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．计算（﹣3）+5的结果等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【考点】19：有理数的加法．
【分析】依据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：（﹣3）+5=5﹣3=2．
故选：A．
2．cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：cos60°=，
故选：D．
3．在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
4．据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（ ）
A．0.1263×10^8^ B．1.263×10^7^ C．12.63×10^6^ D．126.3×10^5^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于12630000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：12630000=1.263×10^7^．
故选：B．
5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
【分析】利用二次根式的性质，得出＜＜，进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
∴的值在整数6和7之间．
故选C．
7．计算的结果为（ ）
A．1 B．a C．a+1 D．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式==1，
故选（A）
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】98：解二元一次方程组．
【分析】利用代入法求解即可．
【解答】解：，
①代入②得，3x+2x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得，y=2×3=6，
所以，方程组的解是．
故选D．
9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
故选C．
10．若点A（﹣1，y~1~），B（1，y~2~），C（3，y~3~）在反比例函数的图象上，则y~1~，y~2~，y~3~的大小关系是（ ）
A．y~1~＜y~2~＜y~3~ B．y~2~＜y~3~＜y~1~ C．y~3~＜y~2~＜y~1~ D．y~2~＜y~1~＜y~3~
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵k=﹣3＜0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y~2~＜y~3~＜0，
∵y~1~＞0，
∴y~2~＜y~3~＜y~1~，
故选：B．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KH：等腰三角形的性质．
【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE，
故选B．
12．已知抛物线y=x^2^﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M\'落在x轴上，点B平移后的对应点B\'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A．y=x^2^+2x+1 B．y=x^2^+2x﹣1 C．y=x^2^﹣2x+1 D．y=x^2^﹣2x﹣1
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向，即可得出平移后解析式．
【解答】解：当y=0，则0=x^2^﹣4x+3，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x~1~=1，x~2~=3，
∴A（1，0），B（3，0），
y=x^2^﹣4x+3
=（x﹣2）^2^﹣1，
∴M点坐标为：（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M\'落在x轴上，点B平移后的对应点B\'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为：y=（x+1）^2^=x^2^+2x+1．
故选：A．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13．计算x^7^÷x^4^的结果等于[ x^3^ ]{.underline}．
【考点】48：同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案．
【解答】解：原式=x^3^，
故答案为：x^3^
14．计算的结果等于[ 9 ]{.underline}．
【考点】79：二次根式的混合运算．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：
=16﹣7
=9．
故答案为：9．
15．不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6个球，有5个红球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．
故答案为：．
16．若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是[ ﹣2 ]{.underline}（写出一个即可）．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可．
【解答】解：∵若正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴符合要求的k的值是﹣2，
故答案为：﹣2．
17．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LL：梯形中位线定理；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH=OA=（3﹣1）=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG===．
故答案是：．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S~△PAB~：S~△PBC~：S~△PCA~=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）[ 如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求． ]{.underline}．
【考点】N4：作图---应用与设计作图；KQ：勾股定理．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）AB==．
故答案为．
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB：平行四边形DEMG=1：2：3，
△PAB的面积=平行四边形ABME的面积，△PBC的面积=平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的面积，
∴S~△PAB~：S~△PBC~：S~△PCA~=1：2：3．
**三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）**
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得[ x≥1 ]{.underline}；
（2）解不等式②，得[ x≤3 ]{.underline}；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为[ 1≤x≤3 ]{.underline}．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥1；
（2）解不等式②，得：x≤3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为1≤x≤3，
故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．
20．某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为[ 40 ]{.underline}，图①中m的值为[ 30 ]{.underline}；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：（1）4÷10%=40（人），
m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；
故答案为40，30．
（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15，
16出现12次，次数最多，众数为16；
按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．
21．已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图①，∵连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB=90°，
∵∠ABT=50°，
∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°，
∴∠CDB=∠CAB=40°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°，
∴∠BAD=∠BCD=65°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=65°，
∵∠ADC=∠ABC=50°，
∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．
22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】如图作PC⊥AB于C．分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．
【解答】解：如图作PC⊥AB于C．
由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，
在Rt△APC中，sinA=，cosA=，
∴PC=PA•sinA=120•sin64°，
AC=PA•cosA=120•cos64°，
在Rt△PCB中，∵∠B=45°，
∴PC=BC，
∴PB==≈153．
∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64°
≈120×0.90+120×0.44
≈161．
答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．
23．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．
（1）根据题意，填写下表：
-------------------- ----- ----------------------- ----- ----------------------- -----
一次复印页数（页） 5 10 20 30 ...
甲复印店收费（元） 0.5 [ 1 ]{.underline} 2 [ 3 ]{.underline} ...
乙复印店收费（元） 0.6 [ 1.2 ]{.underline} 2.4 [ 3.3 ]{.underline} ...
-------------------- ----- ----------------------- ----- ----------------------- -----
（2）设在甲复印店复印收费y~1~元，在乙复印店复印收费y~2~元，分别写出y~1~，y~2~关于x的函数关系式；
（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据收费标准，列代数式求得即可；
（2）根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y~1~=0.1x（x≥0）；当一次复印页数不超过20时，根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y~2~=0.12x，当一次复印页数超过20时，根据题意求得y~2~=0.09x+0.6；
（3）设y=y~1~﹣y~2~，得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判断．
【解答】解：（1）当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费为：0.12×10=1.2；
当x=30时，甲复印店收费为：0，1×30=3；乙复印店收费为：0.12×20+0.09×10=3.3；
故答案为1，3；1.2，3.3；
（2）y~1~=0.1x（x≥0）；
y~2~=；
（3）顾客在乙复印店复印花费少；
当x＞70时，y~1~=0.1x，y~2~=0.09x+0.6，
∴y~1~﹣y~2~=0.1x﹣（0.09x+0.6）=0.01x﹣0.6，
设y=0.01x﹣0.6，
由0.01＞0，则y随x的增大而增大，
当x=70时，y=0.1
∴x＞70时，y＞0.1，
∴y~1~＞y~2~，
∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．
24．将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A\'．
（1）如图①，当点A\'在第一象限，且满足A\'B⊥OB时，求点A\'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A\'B的长；
（3）当∠BPA\'=30^°^时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【考点】RB：几何变换综合题．
【分析】（1）由点A和B的坐标得出OA=，OB=1，由折叠的性质得：OA\'=OA=，由勾股定理求出A\'B==，即可得出点A\'的坐标为（，1）；
（2）由勾股定理求出AB==2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA\'=∠OPA=120°，PA\'=PA=1，证出OB∥PA\'，得出四边形OPA\'B是平行四边形，即可得出A\'B=OP=1；
（3）分两种情况：①点A\'在y轴上，由SSS证明△OPA\'≌△OPA，得出∠A\'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+1，即可得出点P的坐标；
②由折叠的性质得：∠A\'=∠A=30°，OA\'=OA，作出四边形OAPA\'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM=PA=，把y=代入y=﹣x+1求出点P的纵坐标即可．
【解答】解：（1）∵点，点B（0，1），
∴OA=，OB=1，
由折叠的性质得：OA\'=OA=，
∵A\'B⊥OB，
∴∠A\'BO=90°，
在Rt△A\'OB中，A\'B==，
∴点A\'的坐标为（，1）；
（2）在Rt△ABO中，OA=，OB=1，
∴AB==2，
∵P是AB的中点，
∴AP=BP=1，OP=AB=1，
∴OB=OP=BP
∴△BOP是等边三角形，
∴∠BOP=∠BPO=60°，
∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，
由折叠的性质得：∠OPA\'=∠OPA=120°，PA\'=PA=1，
∴∠BOP+∠OPA\'=180°，
∴OB∥PA\'，
又∵OB=PA\'=1，
∴四边形OPA\'B是平行四边形，
∴A\'B=OP=1；
（3）设P（x，y），分两种情况：
①如图③所示：点A\'在y轴上，
在△OPA\'和△OPA中，，
∴△OPA\'≌△OPA（SSS），
∴∠A\'OP=∠AOP=∠AOB=45°，
∴点P在∠AOB的平分线上，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点，点B（0，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
∵P（x，y），
∴x=﹣x+1，
解得：x=，
∴P（，）；
②如图④所示：
由折叠的性质得：∠A\'=∠A=30°，OA\'=OA，
∵∠BPA\'=30°，
∴∠A\'=∠A=∠BPA\'，
∴OA\'∥AP，PA\'∥OA，
∴四边形OAPA\'是菱形，
∴PA=OA=，作PM⊥OA于M，如图④所示：
∵∠A=30°，
∴PM=PA=，
把y=代入y=﹣x+1得： =﹣x+1，
解得：x=，
∴P（，）；
综上所述：当∠BPA\'=30^°^时，点P的坐标为（，）或（，）．
25．已知抛物线y=x^2^+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P\'．
①当点P\'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P\'落在第二象限内，P\'A^2^取得最小值时，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A^2^，再由点P′在抛物线上，可用消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=x^2^+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，
∴抛物线解析式为y=x^2^﹣2x﹣3，
∵y=x^2^﹣2x﹣3=（x﹣1）^2^﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m^2^﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（﹣m，﹣t），
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t=（﹣m）^2^﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m^2^﹣2m+3，
∴m^2^﹣2m﹣3=﹣m^2^﹣2m+3，解得m=或m=﹣；
②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t=m^2^﹣2m﹣3，
∴m^2^﹣2m=t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
∴P′A^2^=（﹣m+1）^2^+（﹣t）^2^=m^2^﹣2m+1+t^2^=t^2^+t+4=（t+）^2^+；
∴当t=﹣时，P′A^2^有最小值，
∴﹣=m^2^﹣2m﹣3，解得m=或m=，
∵m＞0，
∴m=不合题意，舍去，
∴m的值为．
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**中学学科网2008年陕西高考数学文理科试题全解全析**
2008年陕西高考数学试题， 突出了知识的基础性和综合性，以主干知识为主体，注意在知识网络交汇点设计试题．着力体现概念性、思辨性和应用的广泛性，在数学思想、理性思维以及数学潜能方面作了比较深入的考查．试题总体难度与近三年基本相当，除了个别试题较难外，大部分试题平和稳定，似曾相识，但同时又稳中有变，推陈出新．既体现了"平安高考、以生为本"的人文关怀，又符合高考选拔功能的要求．\
1 依纲靠本，控制难度
高考试题的命制要依据"两纲"，依托现行教材．2008年陕西高考数学试题的命制，很好地遵循了"两纲"，关注了课本．如 理科 1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10，13，17 ，19等都可以在课本中找到其原型．这类原于课本，高于课本的试题约占试题总量的50%，它既有力地发挥了课本中例题、练习题、习题、复习参考题的教学功能，又有效地控制了试题的总体难度．
2注重双基，突出重点\
《考试说明》中要求"对基础知识的考查，既全面又突出重点．" 2008年陕西高考数学试题，对高中各章知识的考查较为全面，在此基础上，一方面突出了重点知识重点考查的要求，另一方面，突出了对蕴涵在数学知识本身的数学思想的考查．
文理11题的抽象函数如何求值的问题，不同的求解思维方法反应了不同数学思想的具体应用。对于法则特殊化处理，化归等差型数列求通项解决，这是特殊化思想和等价转化思想的具体体现，这是抽象函数求解的法宝，凸现数列和函数之间的依赖关系，给我们后继复习很多启示；对对应法则合理的反复赋值求解，这是特殊化思想的具体应用，也是求解抽象函数必需想到的思维方法，其中如何赋值？ 赋那几个值？这是由题设对应法则的认识和目标意识决定的，简单优化的赋值过程凸现演绎推理和方程思想的应用，来源于平时学习的积累和体验。
> 3 注意交汇，考查能力\
> 在知识网络交汇点处命制试题，是近年来数学试题的一个突出特点，2008年陕西卷高考数学试题，在这方面有着较好的体现．以理科为例，第（6）题体现了充要条件与不等式的交汇，第（9）题体现了立体几何与三角知识的交汇，第（14）题体现了空间图形与平面图形的交汇，第（18）题体现了两个计数原理与概率统计的交汇；第19题凸现不规则体为载体下的特殊线面垂直的转化和三垂线法作平面角的思维方法，其中利用空间概念化归平几算证垂直式求解的关键，网络了平几知识的考查，凸现空间问题平面化的特点。
第20题 以直线和抛物线相交为载体，考查解析几何的"设而不求，整体思维"的特点，切线与直线的平行可产生两种不同的方法，利用导数的几何意义可简化运算途径，也给导数的应用开辟了新的应用天地；第二问的向量垂直条件下的参数求解，关键是如何利用直角三角形中线的性质和方程导致了两种不同的构建参数的方程的解法，凸现平面几何结论在解析几何中简化运算的功能，反映了解析几何的"形助数和数研究"的本质属性；
第（21）题体现了函数与导数的交汇，第（22）题体现了数列与不等式及导数的交汇．这些试题，既有纵向发展，又有横向联系，具有较强的综合性，充分展现了考查考生数学能力的力度．\
4 适度创新，考查潜能
《 考试说明》明确指出，"考试的指导思想是：......有助于培养学生的创新精神......．"事实上，创新精神是当代中华民族自强不息、勇于进取的精神，创新意识是理性思维的高层次表现．高考数学创新问题，对于考查考生面对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，有着十分重要的作用．2008年陕西卷高考数学试题，有着浓郁的创新味．
文理科第（9）题，设计非常新颖，除了考查空间想象能力外，还着意考查了直觉思维和构图的能力，以面面垂直的性质定理切入，考查斜线在面上的射影及线面角，构造直角三角形转化比大小，使空间问题与三角知识有机的结合。
理科第（12）题新背景下的信息转换问题，信息量大，需要考生耐着性子，认真阅读理解对应关系，在对应关系下求出原象，再依据对应关系判断原象的象的错误，稍不留意常常出错；
（14）题长方体中探究点的球面距离之比，尽管背景学生不陌生，但需构造两次三角形求两次球心交，这在以前的训练中很少涉及过，它对空间想象力和球面距离及解三角形等能力的要求较高；
（19）题 ，新定义的非规则载体下的垂直关系和二面角的探讨 ，凸现空间问题平面化， 以背景陌生的三棱台出现，逐步与新教材接轨，为现行版课程的高考怎样逐步向课标版课程的高考过渡敲响了警钟；
21题分式类函数的极值和范围问题，这在人们的预料之中，但以一个极值已知，构造判别式待定另一个极值，逆向思维很有新意， 不等式恒成立确定参数范围，借助导数研究单调性化归，具有操作性；
22题数列不等式证明中用通项放缩证明数列不等式以及用导数研究单调性证明不等式等都是比较优秀的创新型试题．
值得指出的是，这些题尽管新颖，但难度不很大，很容易切入，体现了"新题不难"的命题要求．
**2008年陕西高考数学文理科试题解析**
1（ 理科） 复数 等于
A  B  C 1 D 
D；
，选D；
点评 分母实数化和复数代数运算 。
易错指导 分母实数化过程中运算出错；
（文科） 的值为
A  B C  D 
B ；诱导公式的应用和特殊值，
，选B；
2（理科） 已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B；
解析 集合之间的关系和运算，化简，于是其补集元素个数为2个，选B；
点评 集合之间的关系和运算，基本题。
易错指导 不注意集合B的意义致错；
（文科）已知全集，集合，则集合
A  B  C  D 
D；
解析 求交集 ，， 选D；
点评 集合之间的关系和运算，基本题。
易错指导 不注意交集和补集的意义致错；
3（理科） 的内角的对边分别为，若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
理科 D；
解析
，选D；
点评 三角形中的三角变换依据正与弦定理，本题正弦定理的两次使用解斜三角形边；
易错点指导 ：目标意识较弱，加大了运算量，不注意隐含条件导致两解。
（文科）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
C；
解析 分层抽样就是按比例抽样，则有 ，选C；
点评 认识分层抽样就是按比例抽样，合理进行计算；
易错指导 没理解粪臭抽样的意义，导致思维中断错选；
4 已知是等差数列，，则该数列的前10项和等于
\(A\) 64 (B) 100 (C) 110 (D) 120
答案: B；
解析: 法一：设公差为，则由已知得
而，故选B
法二：由已知得
即，则
，。
点评 等差数列求和时，基本思路有两个：
（1）列方程组求首项与公差；
（2） 利用等差数列的性质，整体计算。
易错指导 本题易错处在于利用性质时，对应于而不是， 以及。
[5](http://www.mathschina.com)．直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
D；
解析 ，选D；
点评 直线和圆的位置关系，借助平几解析法求解；
易错指导 直线和圆相切条件不会利用点到直线的距离公式法翻译，或运算出错；
6 ""是"对任意的正数，"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A；
解析 若，则选A；
点评 不等式和充要条件结合的判断，注意到均值不等式的条件；
易错指导 充要条件的判断不坚持双向推理的原则，导致出错，或缺少用子集的关系认识充要条件使问题复杂出错；
7 已知函数是的反函数，若，则
的值为
\(A\)  (B) 1 (C) 4 (D) 10
答案：A；
解析：法一 由已知可得，则
，选A；
法二 设，则由互反函数的关系可知
，于是得
。
点评 两种不同的求解方法反映出对反函数概念的理解和认识，都应当熟练掌握；
易错指导：由于弄错符号，易错选C。
8 （理科）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
B；
解析 圆锥曲几何量之间的关系，借助直角三角形和半通径沟通，易知
注意到倾斜角
；
点评 几何量之间的关系借助倾斜角和通经沟通，化归特殊三角形构建方程求解，设计巧妙，耐人回味。
易错指导 缺少形助数和数研究形的意识，导致繁杂的运算出错；
（文科 ）长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为( )
A． B． C． D．
C；
解析 正方体的外接球中的球面距离问题，特殊化注意球心为长方体的中心，可求得体对角线球心O和A，B构成的三角形为等腰三角形且，注意到球半径为1的特点，选C；
点评 正方体中的球面距离关键是化归球心角的问题，借助解三角形求解；
易错指导 不会将球面距离进行转化，解三角形不注意特殊性使问题复杂化；
9 （理科）如图, ,到的距离分别是和，和和所成的角分别为和，在和内的射影分别为。若，则
\(A\)  (B)  (C)  (D) 
答案：D
解析1：设A，B在上的射影分别为，则由已知可得
，，则易的
，故选D
解析2 面面垂直的性质定理切入，斜线在面上的射影及线面角，构造直角三角形转化比大小，使空间问题与三角知识有机的结合，如图所示，，用这两个角的余弦值，，综上选D；
点评 设计非常新颖，除了考查空间想象能力外，还着意考查了直觉思维和构图的能力，以面面垂直的性质定理切入，考查斜线在面上的射影及线面角，构造直角三角形转化比大小，使空间问题与三角知识有机的结合。
易错指导 确少空间概念的操作性，不会构造直角三角形比大小；
（文科）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
B；
解析 圆锥曲几何量之间的关系，借助直角三角形和半通径沟通，易知
注意到倾斜角
；
点评 几何量之间的关系借助倾斜角和通经沟通，化归特殊三角形构建方程求解，设计巧妙，耐人回味。
易错指导 缺少形助数和数研究形的意识，导致繁杂的运算出错；
10已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
B；
解析，考虑特殊的交点再验证，由题设可能在 ，运动变化的观念验证满足，则选B；
点评 线性规划问题作出可行域，首先考虑交点，注意本题已知最优解待定参数的特点解交点在上寻求到了简洁的途径。
易错指导 缺少特殊化思想的具体应用，解交点后缺乏运动变化的观念，导致思维中断；
11 定义在上的函数满足，，
则等于
\(A\)  (B) 3 (C) 6 (D) 9
答案: C；
解析: 法一 令，则得
即，于是可得，则，选C。
法二 由已知可得，
可猜，以下同上。
法三 抽象函数问题，对对应法则合理使用，反复赋值求解，
，
点评 抽象函数如何求值的问题，不同的求解思维方法反应了不同数学思想的具体应用。对于法则特殊化处理，化归等差型数列求通项解决，这是特殊化思想和等价转化思想的具体体现，这是抽象函数求解的法宝，凸现数列和函数之间的依赖关系，给我们后继复习很多启示；对对应法则合理的反复赋值求解，这是特殊化思想的具体应用，也是求解抽象函数必需想到的思维方法，
易错指导：不能充分利用函数所满足的条件进行探索，不能从特殊现象中发现一般规律。
12 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按照一定规则加入相关数据组成传递信息。设定原信息为，传输信息为，其中
，运算规则为：，例如原信息为111，则传输信息为01111。传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受错误信息，则下列接受信息一定有误的是
\(A\) 11010 (B) 01100 (C) 10111 (D) 00011
答案： C
解析： 由题设规则，若原信息为011，则接收信应为10110，故可知C为错误接受信息；其他均可验证为正确。
点评 新背景下的信息转换问题，信息量大，需要考生耐着性子，认真阅读理解对应关系，在对应关系下求出原象，再依据对应关系判断原象的象的错误，稍不留意常常出错；
易错指导： 不能理解题意，不能从传输信息中提取原信息，按照规则来检验接受信息。
13 （理科） ，则 ．
1；
解析 分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有 ；
点评 分式类函数的极限值常常是不存在，0，最高项的系数比，要注意结论的逆向思维问题；
易错指导 没有分式类极限值的经验积累导致问题复杂化；
（文科） 的内角的对边分别为，若，则等于 [ ]{.underline}
14 （理科） 长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ．
；
正方体的外接球中的球面距离问题，特殊化注意球心为长方体的中心，可求得体对角线 球心O和A，B构成的三角形为等腰三角形且，球心O和A， 构成的三角形为等腰三角形且，
点评 长方体中探究点的球面距离之比，尽管背景学生不陌生，但需构造两次三角形求两次球心交，这在以前的训练中很少涉及过，它对空间想象力和球面距离及解三角形等能力的要求较高；
易错指导 不会将球面距离进行转化，解三角形不注意特殊性使问题复杂化；
（文科）的展开式中的系数为 [ ]{.underline}
84；
解析 通项公式写指定项；
点评 利用展开式的通项公式写指定项，基本题；
易错指导 忽略系数铸错；
15关于平面向量．有下列三个命题：
① 若，则．② 若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
（２）；
解析 向量有观念概念和运算的判断，逐一进行验证，
对于（1）向量不满足消去律错；对于（2） 两向量平行的坐标表示知正确；对（3）在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为，错；则正确的命题为（２）；
点评 向量有观念概念和运算的判断，逐一进行验证，涉及到学生易出错的消去律 、加减法构成的平行四边形以及平行的垂直的充要条件的应用。
易错指导 判断不彻底，不成立 找不到反例易选3个都正确；
１６ 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 [ ]{.underline} 种．（用数字作答）．
９６；
解析 排列组合应用问题，弄清题意 从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类，甲为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，乙为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，则有；
点评 排列组合应用问题 注意优先原本则下的特殊问题的处理方法的积累；
易错指导 不注意特殊位置，没有确定分类标准，导致重复和遗漏；
17 （本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由。
解析：（Ⅰ）
的最小正周期
当时，取得最小值；当时，
取得最大值
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
则，为偶函数。
点评：本体考查三角变换的基本知识和方法，
易错指导 第二问中求解析式出错或奇偶性判断出错；
18 （理科 本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击；第次击中目标得分；3次均未击中目标得0分。已知某射手每次击中目标得概率为，且各次射击结果互不影响。
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望 。
解析：（Ⅰ）记该射手第次击中目标的事件为，
则，
，即为所求；
（Ⅱ）的可能取值为，的分布列为
-------------------------------------- -------- -------- ------- ------
 0 1 2 3
 0．008 0．032 0．16 0．8
-------------------------------------- -------- -------- ------- ------
点评：考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，及其分布列和数学期望。
易错指导 第一问集合分布模型认识不到位，第二问变量取值或概率及期望算错；
（文科 12分）（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解析 （1）从袋中依次摸出2个红球共有种结果，，第一次摸出黑球，第二次摸出白球的结果有，则所求概率为 ，或；
（2）第一次摸出红球的概率，第二次摸出红球的概率，第三次摸出红球的概率，则摸球次数不超过3的概率为+ + ；
点评 几何分布的模型，注意互斥事件的概率计算；
易错指导 摸球认不清不放回的特征，误用独立重复试验模型求解；
19 （本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
解析：法一（Ⅰ）平面，平面，，
又在中，由已知得，而，
由余弦定理可得
，
又平面，而平面，
故平面平面。
（Ⅱ）由已知可得平面，则过作于，
于是由三垂线定理知，
则为二面角的平面角。
过作于，则由
可得，
，于是在中，，
即二面角的大小为；
法二（Ⅰ） 如图建立空间直角坐标系，
则
,,
则点的坐标为，
，，，
又平面，而平面，
故平面平面。
（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，
设平面的法向量为，则
，可取，
则，则易得，
则知二面角的大小为。
点评：虽然以棱台的载体出现，但考察的仍然是重点的垂直关系和二面角和常规方法，其中利用平面几何方法证明垂直关系，值得重视。
易错指导 传统的方法不会合理的向平面转化，向量的方法不会选择基地或计算出错；
20 （理科，本小题满分12分）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线，交于点。
（Ⅰ）证明: 抛物线在点处的切线与直线平行；
（Ⅱ）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解析：（Ⅰ）由已知可设，
把带入到，
得，由韦达定理得
，
则可得点坐标为，，
则抛物线在点处的切线的斜率为，。
（Ⅱ）若存在实数，使得，则，
又是线段的中点，
由（Ⅰ）知
又轴，，
而，
，
即存在，。
点评：充分利用坐标关系简化计算，其中平面图形几何性质在寻求等量关系和简化计算中起了重要的作用。
易错指导 缺少利用平面几何知识简化运算的意识，运算出错；
（文科 本小题满分12分）
已知数列的首项，，...．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）数列的前项和．
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
设...， ①
则...，②
由①②得
...，
．又...．
数列的前项和 ．
点评 目标意识化归定义法证明等比数列，方程观念求通项，错位相减法求和。
易错指导 缺少整体思维，不会部分错位相减法求和 。
21 （理科本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是。
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围。
解析：（Ⅰ）
由题意知，
由，由韦达定理得
另一个极值点为（或）
（Ⅱ）由得，即
当时，；当时，
ⅰ）当时，在和内是减函数，在内是增函数，
， 
及得
ⅱ）当时，在和内是增函数，在内是减函数，
，
恒成立
综上所述，所求的取值范围为。
点评：分式函数、导数、方程、不等式的综合问题，考察分类讨论的思维和计算能力。
易错指导 求导出错，或求导后缺少分类意识 ， 分离参数和目标意识意识差，构建不出函数模型；
（文科，12分） 同理科20题
22 （理科 本小题满分14分）已知数列的首项，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对于任意的，
（Ⅲ）证明：
解析：（Ⅰ）
又，是以为首项，为公比的等比数列，
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
 故原不等式成立。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对于任意的，有
 
取
则
故原不等式成立。
点评：函数与数列、不等式的综合问题 ，考察递推变换、整体计算、放缩法，其中第三问通过取特殊值放缩，是一个难度较高的技巧。
易错指导 数列不等式证明中用通项放缩证明数列不等式以及用导数研究单调性证明不等式等都是比较优秀的创新型试题，但借助通项公式和不等式防缩大部分学生难以完成．
（文科 本小题满分14分）
设函数其中实数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
解析 （1）又，
或时，当时，
在和内是增函数，在内是减函数。
（2）由题意知即恰有一根（含重根）
即又，
当时，才存在最小值 ，
的值域为
（3）当时，在 和内是增函数，在内是增函数，由题意得 ，
当时，在 和内是增函数，在内是增函数，由题意得
综上可知， 实数的取值范围为 ；
点评 三次函数与二次函数单调性的研究方法，凸现导数和二次函数的工具性。
易错指导 不明确分类的标准和为什么分类，导致重复和遗漏。
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**2014年重庆市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）对任意等比数列{a~n~}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a~1~，a~3~，a~9~成等比数列 B．a~2~，a~3~，a~6~成等比数列
C．a~2~，a~4~，a~8~成等比数列 D．a~3~，a~6~，a~9~成等比数列
3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4
4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（ ）
A．﹣ B．0 C．3 D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．s＞ B．s＞ C．s＞ D．s＞
6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2^x^＞0；q："x＞1"是"x＞2"的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）
A．54 B．60 C．66 D．72
8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=3b，\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168
10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
**二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．**
11．（5分）设全集U={n∈N\|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁~U~A）∩B=[ ]{.underline}．
12．（5分）函数f（x）=log~2~•log（2x）的最小值为[ ]{.underline}．
13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）^2^+（y﹣a）^2^=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=[ ]{.underline}．
**三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分**
14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin^2^θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=[ ]{.underline}．
16．若不等式\|2x﹣1\|+\|x+2\|≥a^2^+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
**四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．
18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．
（Ⅰ）求PO的长；
（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．
20．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（Ⅰ）确定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．
21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上．DF~1~⊥F~1~F~2~，=2，△DF~1~F~2~的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
22．（12分）设a~1~=1，a~n+1~=+b（n∈N^\*^）
（Ⅰ）若b=1，求a~2~，a~3~及数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a~2n~＜c＜a~2n+1~对所有的n∈N^\*^成立，证明你的结论．
**2014年重庆市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选：A．
【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．
2．（5分）对任意等比数列{a~n~}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a~1~，a~3~，a~9~成等比数列 B．a~2~，a~3~，a~6~成等比数列
C．a~2~，a~4~，a~8~成等比数列 D．a~3~，a~6~，a~9~成等比数列
【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
【解答】解：A项中a~3~=a~1~•q^2^，a~1~•a~9~=•q^8^，（a~3~）^2^≠a~1~•a~9~，故A项说法错误，
B项中（a~3~）^2^=（a~1~•q^2^）^2^≠a~2~•a~6~=•q^6^，故B项说法错误，
C项中（a~4~）^2^=（a~1~•q^3^）^2^≠a~2~•a~8~=•q^8^，故C项说法错误，
D项中（a~6~）^2^=（a~1~•q^5^）^2^=a~3~•a~9~=•q^10^，故D项说法正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．
3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（ ）
A．﹣ B．0 C．3 D．
【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）
∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），
∵（2﹣3）⊥，
∴（2﹣3）•=0\'
∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，
解得，k=3．
故选：C．
【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．s＞ B．s＞ C．s＞ D．s＞
【分析】程序运行的S=××...×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．
【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××...×，
∵输出的k=6，∴S=××=，
∴判断框的条件是S＞，
故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．
6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2^x^＞0；q："x＞1"是"x＞2"的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q："x＞1"是"x＞2"的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．
【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2^x^＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；
命题q："x＞1"不能推出"x＞2"；但是"x＞2"能推出"x＞1"所以："x＞1"是"x＞2"的必要不充分条件，故q是假命题；
所以p∧￢q为真命题；
故选：D．
【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）
A．54 B．60 C．66 D．72
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5
∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=3b，\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有\|PF~1~\|=ex+a，\|PF~2~\|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有\|PF~1~\|=ex+a，\|PF~2~\|=ex﹣a，
∵\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=3b，\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=ab，
∴2ex=3b，（ex）^2^﹣a^2^=ab
∴b^2^﹣a^2^=ab，即9b^2^﹣4a^2^﹣9ab=0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）=0
∴a=b，
∴c==b，
∴e==．
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．
9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分2步进行分析：
1、先将3个歌舞类节目全排列，有A~3~^3^=6种情况，排好后，有4个空位，
2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，
分2种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C~2~^1^A~2~^2^=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A~2~^2^=2种情况，
排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；
则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．
10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，
∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，
∴sin2A+sin2B+sin2C=，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，
2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，
化为2sinA\[﹣2sinBsin（﹣C）\]=，
∴sinAsinBsinC=．
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：=2R，
由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，
即R^2^=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R^2^≤8，即2≤R≤，
由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，
A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，
故选：A．
【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
**二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．**
11．（5分）设全集U={n∈N\|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁~U~A）∩B=[ {7，9} ]{.underline}．
【分析】由条件利用补集的定义求得∁~U~A，再根据两个集合的交集的定义求得（∁~U~A）∩B．
【解答】解：∵全集U={n∈N\|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（∁~U~A）={4，6，7，9 }，∴（∁~U~A）∩B={7，9}，
故答案为：{7，9}．
【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
12．（5分）函数f（x）=log~2~•log（2x）的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．
【解答】解：∵f（x）=log~2~•log（2x）
∴f（x）=log（）•log（2x）
=logx•log（2x）
=logx（logx+log2）
=logx（logx+2）
=，
∴当logx+1=0
即x=时，函数f（x）的最小值是．
故答案为：﹣
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．
13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）^2^+（y﹣a）^2^=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=[ 4±]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线AB的距离d=，
即d=，
平方得a^2^﹣8a+1=0，
解得a=4±，
故答案为：4±
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．
**三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分**
14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=[ 4 ]{.underline}．
【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．
【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴，
∵PA=6，AC=8，BC=9，
∴，
∴PB=3，AB=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．
15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin^2^θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．
【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，
曲线C的极坐标方程为ρsin^2^θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y^2^=4x，
直线l与曲线C联立可得（x﹣1）^2^=0，
∴x=1，y=2，
∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==．
故答案为：．
【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．若不等式\|2x﹣1\|+\|x+2\|≥a^2^+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[ \[﹣1，]{.underline}[\] ]{.underline}．
【分析】利用绝对值的几何意义，确定\|2x﹣1\|+\|x+2\|的最小值，然后让a^2^+a+2小于等于它的最小值即可．
【解答】解：\|2x﹣1\|+\|x+2\|=，
∴x=时，\|2x﹣1\|+\|x+2\|的最小值为，
∵不等式\|2x﹣1\|+\|x+2\|≥a^2^+a+2对任意实数x恒成立，
∴a^2^+a+2≤，
∴a^2^+a﹣≤0，
∴﹣1≤a≤，
∴实数a的取值范围是\[﹣1，\]．
故答案为：\[﹣1，\]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．
**四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．
【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得 φ 的值．
（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin\[（α﹣）+\]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．
再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z．
结合﹣≤φ＜可得 φ=﹣．
（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），
∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．
再根据 0＜α﹣＜，
∴cos（α﹣）==，
∴cos（α+）=sinα=sin\[（α﹣）+\]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin
=+=．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．
18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；
第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．
【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P=，
（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P（X=1）=，
P（X=2）=，
P（X=3）=，
所以X的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 1 2 3
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
所以E（X）=．
【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．
（Ⅰ）求PO的长；
（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．
【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到•=0，进而求出PO的长；
（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，
∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，
∵AB=2，∠BAD=，
∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），
=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），
又∵BM=，
∴=（﹣，﹣，0），
则=+=（﹣，，0），
设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），
∵MP⊥AP，
∴•=﹣a^2^=0，
解得a=，
即PO的长为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），
设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），
由，得，
令x=1，则=（1，，2），
由，得，
令a=1，则=（1，﹣，﹣2），
∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：
cosθ===﹣
故sinθ==
【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
20．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（Ⅰ）确定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；
（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；
（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae^2x^+2be^﹣2x^﹣c，
由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e^2x^﹣e^﹣2x^）=0，
即a=b，
又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，
即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，
故a=b=1；
（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e^2x^+2e^﹣2x^﹣3≥2=1＞0恒成立，
故f（x）在定义域R为均增函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e^2x^+2e^﹣2x^﹣c，
而2e^2x^+2e^﹣2x^≥2=4，当且仅当x=0时取等号，
当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；
当c＞4时，令t=e^2x^，方程2t+﹣c=0的两根均为正，
即f′（x）=0有两个根x~1~，x~2~，
当x∈（x~1~，x~2~）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x~1~）∪（x~2~，+∞）时，f′（x）＞0，
故当x=x~1~，或x=x~2~时，f（x）有极值，
综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．
21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上．DF~1~⊥F~1~F~2~，=2，△DF~1~F~2~的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
【分析】（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），依题意，可求得c=1，易求得\|DF~1~\|==，\|DF~2~\|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|，
由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得x~1~=﹣或x~1~=0，分类讨论即可求得圆的半径．
【解答】解：（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），其中c^2^=a^2^﹣b^2^，
由=2，得\|DF~1~\|==c，
从而=\|DF~1~\|\|F~1~F~2~\|=c^2^=，故c=1．
从而\|DF~1~\|=，由DF~1~⊥F~1~F~2~，得=+=，
因此\|DF~2~\|=，
所以2a=\|DF~1~\|+\|DF~2~\|=2，故a=，b^2^=a^2^﹣c^2^=1，
因此，所求椭圆的标准方程为+y^2^=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点，
y~1~＞0，y~2~＞0，F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，且F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，由圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|，
由（Ⅰ）知F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），所以=（x~1~+1，y~1~），=（﹣x~1~﹣1，y~1~），再由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得﹣+=0，
由椭圆方程得1﹣=，即3+4x~1~=0，解得x~1~=﹣或x~1~=0．
当x~1~=0时，P~1~，P~2~重合，此时题设要求的圆不存在；
当x~1~=﹣时，过P~1~，P~2~，分别与F~1~P~1~，F~2~P~2~垂直的直线的交点即为圆心C．
由F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，且F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，知CP~1~⊥CP~2~，又\|CP~1~\|=\|CP~2~\|，
故圆C的半径\|CP~1~\|=\|P~1~P~2~\|=\|x~1~\|=．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．
22．（12分）设a~1~=1，a~n+1~=+b（n∈N^\*^）
（Ⅰ）若b=1，求a~2~，a~3~及数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a~2n~＜c＜a~2n+1~对所有的n∈N^\*^成立，证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）若b=1，利用a~n+1~=+b，可求a~2~，a~3~；证明{（a~n~﹣1）^2^}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设f（x）=，则a~n+1~=f（a~n~），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a~2n~＜c＜a~2n+1~＜1即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a~1~=1，a~n+1~=+b，b=1，
∴a~2~=2，a~3~=+1；
又（a~n+1~﹣1）^2^=（a~n~﹣1）^2^+1，
∴{（a~n~﹣1）^2^}是首项为0，公差为1的等差数列；
∴（a~n~﹣1）^2^=n﹣1，
∴a~n~=+1（n∈N^\*^）；
（Ⅱ）设f（x）=，则a~n+1~=f（a~n~），
令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．
下面用数学归纳法证明加强命题a~2n~＜c＜a~2n+1~＜1．
n=1时，a~2~=f（1）=0，a~3~=f（0）=﹣1，∴a~2~＜c＜a~3~＜1，成立；
设n=k时结论成立，即a~2k~＜c＜a~2k+1~＜1
∵f（x）在（﹣∞，1\]上为减函数，
∴c=f（c）＞f（a~2k+1~）＞f（1）=a~2~，
∴1＞c＞a~2k+2~＞a~2~，
∴c=f（c）＜f（a~2k+2~）＜f（a~2~）=a~3~＜1，
∴c＜a~2k+3~＜1，
∴a~2（k+1）~＜c＜a~2（k+1）+1~＜1，即n=k+1时结论成立，
综上，c=使得a~2n~＜c＜a~2n+1~对所有的n∈N^\*^成立．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
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**2020-2021学年吉林省长春市绿园区汽开区三年级（上）期末数学试卷**
**一、填空。（16分）**
1．（2分）120的3倍是[ ]{.underline}，120是[ ]{.underline}的3倍．
2．（1分）小明每天跳绳300下，他一星期能跳[ ]{.underline}下．
3．（1分）2元4角8分＝[ ]{.underline}元
> 1元5分＝[ ]{.underline}元
4．（2分）2020年有[ ]{.underline}个月，2月有[ ]{.underline}天，7、8、9这三个月共有[ ]{.underline}天，全年有[ ]{.underline}天。
5．（2分）下午2时25分用24时计时法表示是[ ]{.underline}，22：35用普通计时法表示是晚上[ ]{.underline}时[ ]{.underline}分
6．（2分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"
------------ ------------ ---------- ------------
6×15〇5×15 0×100〇0×1 9×0〇2+0 48÷4〇84÷4
------------ ------------ ---------- ------------
7．（2分）比210多325的数是[ ]{.underline}；632比421多[ ]{.underline}。
8．（2分）看数线图判断数的大小，并在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
---------- ----------- ----------- -----------
0.1〇0.3 0.5〇0.50 0.2〇0.02 0.35〇0.4
---------- ----------- ----------- -----------
9．（1分）王叔叔上周末出租车的里程表读数为551千米，本周末读数为868千米，本周行驶路程为[ ]{.underline}千米。
10．（1分）一个长方形长5厘米，宽4厘米，它的周长是[ ]{.underline}厘米．
**二、选择正确答案的序号填在括号里（10分）**
11．（1分）五十点四零元写作（ ）元。
A．50.40 B．50.04 C．5.40
12．（1分）从正面看到的形状是的立体图形是（ ）
A． B． C．
13．（1分）一个汉堡12元，买3个汉堡，付了100元，应找回（ ）元．
A．88 B．36 C．64
14．（1分）40减8的差再除以4，列成综合算式是（ ）
A．40﹣8÷4 B．（40﹣8）÷4 C．40﹣（8÷4）
15．（1分）一件上衣和一条裤子搭配成一套衣服，3件不同颜色的上衣和2条不同款式的裤子一共可以搭配成（ ）套衣服。
A．2 B．5 C．6
16．（1分）坐动车从北京到上海要经过11（ ）
A．时 B．天 C．月
17．（1分）298×3的积大约是（ ）
A．600 B．700 C．900
18．（1分）与228×2不相等的算式是（ ）
A．228+2 B．2×228 C．228+228
19．（1分）笑笑从家到学校要走20分，她早上7时45分出发，到学校是（ ）
A．7时65分 B．7时5分 C．8时5分
20．（1分）周末，淘气妈妈从下午3时10分开始看电视剧，一直看到下午4时40分。淘气妈妈看了（ ）的电视剧。
A．1时30分 B．7时50分 C．1时50分
**三、计算（40分）**
21．（10分）直接写得数。
800﹣300＝ 190+60＝ 300×2＝ 99÷3＝
------------ ----------- ------------ --------
800÷2＝ 2.4+1.2＝ 4.8﹣2.4＝ 16×5＝
20﹣2×7＝ 5×4÷4＝
22．（12分）竖式计算。
468﹣176＝ 532+168＝ 408×2＝ 250×7＝
---------------------- ---------------------- --------- ---------
12.5元+3.7元＝（元） 6.5元﹣5.6元＝（元）
23．（18分）脱式计算。
905﹣17×3 （71+37）×3 1000﹣165﹣235 200÷5÷2
------------- ------------- ---------------- ---------
（34+38）÷9 80﹣45÷5
**四、实践与操作（6分）**
24．（4分）下面这几幅图分别是谁看到的？把他们的编号写在图片下面的括号里．
25．（2分）画出下列各立体图形从右面看到的形状．
**五、解决问题（28分）**
26．（4分）滑雪场上，上午来了265人，中午有162人离开，同时又来了334人，这时滑雪场上一共有多少人？
27．（8分）小明的妈妈有80元。
> （1）她要给小明买一个足球和一件上衣，钱够吗？
>
> （2）一条裤子比一双运动鞋便宜多少元？
28．（4分）星期天，笑笑从家出发去书店买书，再去看望外婆，然后回家。笑笑一共要走多少千米的路？
29．（4分）笑笑跟妈妈去果园摘苹果，她们一共摘了多少个苹果？
30．（4分）两个边长10厘米的正方形拼成一个长方形（如图），这个长方形的周长是多少厘米？
31．（4分）火车3时行驶了300千米，汽车每时行驶40千米。火车每时比汽车多行驶多少千米？
**2020-2021学年吉林省长春市绿园区汽开区三年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空。（16分）**
1．【分析】根据乘法的意义，用120乘3即得120的3倍是多少．根据除法的意义，用120除以3，即得120是多少的3倍．
> 【解答】解：120×3＝360
>
> 120÷3＝40
>
> 即120的3倍是 360，120是 40的3倍．
>
> 故答案为：360，40．
>
> 【点评】求一个数的几倍是多少，用乘法．求一个数是另一个数的几倍用除法．
2．【分析】小明每天跳绳300下，一星期有7天，就是7个300下，即300×7，据此加大即可．
> 【解答】解：300×7＝2100（下）
>
> 答：他一星期能跳2100下．
>
> 故答案为：2100．
>
> 【点评】求几个相同加数的和，用乘法．
3．【分析】根据1元＝10角＝100分，把4角8分化成以元为单位的量，再加上2，即可把2元4角8分化成以元为单位的量；把5分先化成元数，再加上1，即可把1元5分化成以元为单位的量。
> 【解答】解：因为4角8分＝0.48元，0.48+2＝2.48（元），
>
> 即2元4角8分＝2.48元；
>
> 5分＝0.05元，1+0.05＝1.05（元），
>
> 即1元5分＝1.05元。
>
> 故答案为：2.48，1.05。
>
> 【点评】本题是考查人民币的单位换算，单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。
4．【分析】根据年月日的知识可知：闰年2月29天，全年一共有366天；平年二月28天，全年一共有365天，所以只要判断一下2020年是闰年还是平年即可；一年有12个月，其中1、3、5、7、8、10、12月是大月，有31天，4、6、9、11是小月都是30天；据此即可解答。
> 【解答】解：2020年有12个月，2020÷4＝505，2020是4的倍数，所以2020年是闰年，2月有29天；
>
> 7、8月是大月，有31天，9月是小月，有30天，所以31+31+30＝92（天）；
>
> 闰年全年有366天。
>
> 故答案为：12，29，92，366。
>
> 【点评】此题主要考查关于年月日的知识，根据"一三五七八十腊、三十一天永不差"，熟记大小月。
5．【分析】把24计时法转化成普通计时法时，上午时刻不变，只要在时刻前加上"早晨、上午"等词语即可；下午时数减12时，同时加上"下午、晚上"等词语即可．把普通计时法转化成24记时法时，上午时刻不变，只要去掉"早晨、上午"等词语即可；下午时数加12时，同时去掉"下午、晚上"等词语即可．
> 【解答】解：下午2时25分用24时计时法表示是 14：25，22：35用普通计时法表示是晚上 10时 35分．
>
> 故答案为：14：25，10，35．
>
> 【点评】本题是考查普通计时法与24计时法的相互转化，属于基础知识，要记住．
6．【分析】根据整数加法和乘除法的计算方法口算出得数，再比较大小即可。
> 【解答】解：
------------ ------------ ---------- ------------
6×15＞5×15 0×100＝0×1 9×0＜2+0 48÷4＜84÷4
------------ ------------ ---------- ------------
> 故答案为：＞，＝，＜，＜。
>
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
7．【分析】要求比210多325的数是多少，用210加上325即可；要求632比421多多少，用632减去421即可。
> 【解答】解：210+325＝535
>
> 632﹣421＝211
>
> 答：比210多325的数是535；632比421多211。
>
> 故答案为：535，211。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的计算方法，属于基础题，比较简单。
8．【分析】小数大小的比较，先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大...，据此解答即可。
> 【解答】解：
---------- ----------- ----------- -----------
0.1＜0.3 0.5＝0.50 0.2＞0.02 0.35＜0.4
---------- ----------- ----------- -----------
> 【点评】此题主要考查了小数比较大小的方法的应用，要熟练掌握。
9．【分析】根据生活经验可知，汽车上的里程表是连续计数的，所以用本周末里程表上的读数减去上周末里程表上的读数就是本周行驶的里程。据此列式解答。
> 【解答】解：868﹣551＝317（千米）
>
> 答：本周行驶路程为317千米。
>
> 317。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解整数减法的意义，掌握整数减法的计算法则及应用。
10．【分析】根据长方形的周长＝（长+宽）×2，把数据代入公式解答即可．
> 【解答】解：（4+5）×2
>
> ＝9×2
>
> ＝18（厘米）
>
> 答：这个长方形的周长是18厘米．
>
> 故答案为：18．
>
> 【点评】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用．
**二、选择正确答案的序号填在括号里（10分）**
11．【分析】小数的写法：整数部分按整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一个数位上的数字。
> 【解答】解：五十点四零元写作：50.40元。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题主要考查小数的写法，应注意基础知识的灵活运用。
12．【分析】分别画出三个几何体的正视图，进行比较选择即可。
> 【解答】解：*A*的正视图为：
>
> *B*的正视图为：
>
> *C*的正视图为：
>
> 所以，只有*B*是正确的。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了从不同方向观察物体或几何体，画出所求视图进行判断是本题解题的关键。
13．【分析】用汉堡的单价乘数量求出总价，用付的钱数减去总价求出应找回的钱数．
> 【解答】解：100﹣12×3
>
> ＝100﹣36
>
> ＝64（元）
>
> 答：应找回64元．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题解答的依据是：单价×数量＝总价．
14．【分析】先用40减去8求出差，再用求出的差除以4即可。
> 【解答】解：40减8的差再除以4，列成综合算式是：（40﹣8）÷4。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解决这类题目，要分清楚先算什么，再算什么，根据运算顺序列出综合算式，注意合理利用小括号。
15．【分析】从2条不同的裤子中选一件有2种选法、从3件上衣中选一件有3种选法，根据乘法原理可得一共可以搭配成2×3＝6套衣服。
> 【解答】解：2×3＝6（套）
>
> 答：一共可以搭配成6套衣服。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成*n*个步骤，做第一步有*m*~1~种不同的方法，做第二步有*m*~2~种不同的方法，...，做第*n*步有*m~n~*种不同的方法，那么完成这件事共有*N*＝*m*~1~×*m*~2~×*m*~3~×...×*m~n~*种不同的方法。
16．【分析】根据生活经验以及对时间单位和数据大小的认识，结合实际情况可知：计量坐动车从北京到上海要经过的时间用"时"做单位，据此解答即可。
> 【解答】解：坐动车从北京到上海要经过11时。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
17．【分析】根据整数乘法的估算方法，利用"四舍五入法"，把因数看作与它接近的整十数、整百数，然后进行口算即可．
> 【解答】解：298×3≈900；
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查的目的是使学生掌握整数乘法的估算方法．利用"四舍五入法"，把因数看作与它接近的整十数、整百数，然后进行口算．
18．【分析】根据乘法交换律的意义，两个数相乘，交换因数的位置，积不变。再根据整数乘法的意义，表示求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。据此解答。
> 【解答】解：选项*A*，228+2＝230，228×2＝456，230＜456；
>
> 选项*B*，根据乘法交换律可知，2×228＝228×2；
>
> 选项*C*，根据乘法的意义可知，228+228＝228×2.
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握乘法交换律的意义、整数乘法的意义及应用。
19．【分析】时间的推算，结束时间＝开始时间+经过时间．本题用7时45分+20分＝8时5分，据此解答．
> 【解答】解：7时45分+20分＝8时5分；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题考查了时间的推算，经过时间＝结束时间﹣开始时间．
20．【分析】用淘气妈妈看电视剧结束时刻（下午4时40分）减她开始看电视剧的时刻（3时10分）就是她看电视剧的时间。根据计算结果选择。
> 【解答】解：4时40分﹣3时10分＝1时30分
>
> 答：淘气妈妈看了1时30分的电视剧。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题是考查时间的推算。结束时刻﹣开始时刻＝经过时间。
**三、计算（40分）**
21．【分析】根据整数加减乘除法、小数加减法和整数四则运算的顺序，直接进行口算即可。
> 【解答】解：
800﹣300＝500 190+60＝250 300×2＝600 99÷3＝33
--------------- -------------- --------------- ----------
800÷2＝400 2.4+1.2＝3.6 4.8﹣2.4＝2.4 16×5＝80
20﹣2×7＝6 5×4÷4＝5
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
22．【分析】根据整数加减法和乘法以及小数加减法的计算方法进行计算即可。
> 【解答】解：468﹣176＝292
>
> 532+168＝700
>
> 408×2＝816
>
> 250×7＝1750
>
> 12.5元+3.7元＝16.2（元）
>
> 6.5元﹣5.6元＝0.9（元）
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法、乘法以及小数加减法的竖式计算方法，注意相同数位要对齐。
23．【分析】（1）先算乘法，再算减法；
> （2）先算小括号里面的加法，再算乘法；
>
> （3）按照减法的性质计算；
>
> （4）按照除法的性质计算；
>
> （5）先算小括号里面的加法，再算除法；
>
> （6）先算除法，再算减法。
>
> 【解答】解：（1）905﹣17×3
>
> ＝905﹣51
>
> ＝854
>
> （2）（71+37）×3
>
> ＝108×3
>
> ＝324
>
> （3）1000﹣165﹣235
>
> ＝1000﹣（165+235）
>
> ＝1000﹣400
>
> ＝600
>
> （4）200÷5÷2
>
> ＝200÷（5×2）
>
> ＝200÷10
>
> ＝20
>
> （5）（34+38）÷9
>
> ＝72÷9
>
> ＝8
>
> （6）80﹣45÷5
>
> ＝80﹣9
>
> ＝71
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**四、实践与操作（6分）**
24．【分析】①号同学在茶壶的左边（对答题者而言），他看到提茶壶的侧面，壶嘴在左手方向，壶把在右手方向；②号同学是从茶壶上部看的，他看到的是壶的上部，可以看到壶盖；③号同学在茶壶的右边（对答题者而言），她看到提茶壶的侧面，壶嘴在右手方向，壶把在左手方向；④号同学是从茶壶底部看的，他看到提壶底，看不到壶盖．
> 【解答】解：
>
> 【点评】从茶壶的上部、底部看到的形状比较好辨别，从侧面看到的形状，确定壶嘴、壶把的方向是关键．
25．【分析】观察图形可得，第一个图形从右面看到的图形是一行2个正方形；第二个图形从右面看到的图形是2层：下层2个正方形，上层1个靠右边；第三个图形从右面看到的图形是一个正方形，据此即可解答问题．
> 【解答】解：根据题干分析可得：
>
> 【点评】题考查了从不同方向看物体和几何体所得视图的画法，关键是学生要有空间想象能力，能体会到从不同方向看能看到的小正方形列数及每列的个数．
**五、解决问题（28分）**
26．【分析】用原来的人数减去中午离开的人数，再加上又来的人数即可。
> 【解答】解：265﹣162+334
>
> ＝103+334
>
> ＝437（人）
>
> 答：这时滑雪场上一共有437人。
>
> 【点评】本题考查了加减法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系。
27．【分析】（1）先把一个足球和一件上衣的单价相加求出总钱数，再和80元比较即可。
> （2）用一双运动鞋的价钱减去一条裤子的价钱。
>
> 【解答】解：（1）34.8+44.95＝79.75（元）
>
> 79.75＜80
>
> 答：钱够了。
>
> （2）45.5﹣33.5＝12（元）
>
> 【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键。
28．【分析】求笑笑一共要走多少千米的路，把三段路程的长度相加即可。
> 【解答】解：1.6+0.85+2.1
>
> ＝2.45+2.1
>
> ＝4.55（千米）
>
> 答：笑笑一共要走4.55千米的路。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
29．【分析】根据倍数关系，用12乘2求出妈妈摘的个数，再加上笑笑摘的个数即可。
> 【解答】解：12×2+12
>
> ＝24+12
>
> ＝36（个）
>
> 答：她们一共摘了36个苹果。
>
> 【点评】本题解答依据是：求一个数的几倍是多少，用乘法计算。
30．【分析】如图所示，把两个边长为10厘米的正方形拼成一个长方形，则二者各重合了一条边，每个正方形还剩3条边，则长方形的周长由2个正方形的6条边组成，从而可以计算出长方形的周长．
> 【解答】解：长方形的周长：
>
> 10×6＝60（厘米）；
>
> 答：这个长方形的周长是60厘米．
>
> 【点评】解答此题的关键是利用直观画图，找清长方形的周长由哪些线段组成．
31．【分析】先利用公式：速度＝路程÷时间，计算火车的速度，再减去汽车的速度，就是火车每时比汽车多行驶的路程。
> 【解答】解：300÷3﹣40
>
> ＝100﹣40
>
> ＝60（千米）
>
> 答：火车每时比汽车多行驶60千米。
>
> 【点评】本题主要考查简单的行程问题，关键是利用路程、速度和时间的关系做题。
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高考英语一轮复习冲刺班
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**高考数学选择题专项训练（四）**
1、已知集合Z={θ\| cosθ\<sinθ, 0≤θ≤2π}, F={θ\| tanθ\<sinθ}，那么Z∩F的区间（ ）。
（A）(, π) （B）(, ) （C）(π, ) （D）(, )
2、如果直线y=ax＋2与直线y=3x＋b关于直线y=x对称，那么（ ）。
（A）a=, b=6 （B）a=, b=－6
（C）a=3, b=－2 （D）a=3, b=6
3、已知f()=，则f (x)=（ ）。
（A）(x＋1)^2^ （B）(x－1)^2^ （C）x^2^－x＋1 （D）x^2^＋x＋1
4、若函数f (x)=的定义域是R，则实数k的取值范围是（ ）。
（A）\[0, \] （B）(－∞, 0)∪(, ＋∞)
（C）\[0, \] （D）\[, ＋∞\]
5、设P是棱长相等的四面体内任意一点，则P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）。
（A）四面体的棱长 （B）四面体的斜高
（C）四面体的高 （D）四面体两对棱间的距离
6、过定点(1, 3)可作两条直线与圆x^2^＋y^2^＋2kx＋2y＋k^2^－24=0相切，则k的取值范围是（ ）。
（A）k\>2 （B）k\<－4 （C）k\>2或k\<－4 （D）－4\<k\<2
7、设a, b是满足ab\<0的实数，那么（ ）。
（A）\|a＋b\|\>\|a－b\| （B）\|a＋b\|\<\|a－b\|
（C）\|a－b\|\<\|\|a\|－\|b\|\| （D）\|a－b\|\<\|a\|＋\|b\|
8、如果AC\<0且BC\<0, 那么直线Ax＋By＋C=0不通过（ ）。
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
9、直线的倾斜角是（ ）。
（A）20° （B）70° （C）110° （D）160°
10、函数y=sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是（ ）。
（A） （B） （C）1＋ （D）＋
11、在△ABC中，A\>B是cos2B\>cos2C的（ ）。
（A）非充分非必要条件 （B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件 （D）充要条件
12、直线xcosθ－y＋1=0的倾斜角的范围是（ ）。
（A）\[－, \] （B）\[, \]
（C）(0, )∪(, π) （D）\[0, \]∪\[, π\]
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **A** **B** **C** **A** **C** **C** **B** **C** **C** **D** **A** **D**
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第2课《认识图形二》试题附答案**
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小学一年级奥数题：认识图形例题讲解（二）
答案
例3
例4
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------街心广场》同步检测1（附答案）**
一、下面的三组计算题，请你先观察再计算，你能总结出规律吗？
结论： [ ]{.underline}
二、填一填。把你填的和同学交流，看看一样吗。
三、根据28×57 = 1596直接写出下面各题的得数。
2.8×57 = 28×5.7 =来源：www.bcjy123.com/tiku/
2.8×5.7 = 0.28×57 =
0.28×5.7 = 2.8×0.57 =
28×0.057 = 0.028×57 =
四、根据已知算式填空。
因为*a*×*b* = 30，所以：
1、（*a*×5）×*b* = 2、*a*×（*b*×8）=
3、（*a*×2）×（*b*×5）= 4、（*a*×10）×（*b*×100）=
5、（*a*×5）×（*b*÷5）= 6、（*a*÷8）×（*b*×8）=
7、（*a*×10）×（*b*×10）= 8、（*a*×100）×（*b*×100）=
五、一个长方形广场的面积是200米，回答下面各题。
1、如果长扩大10倍，宽不变，面积是多少？
2、如果长缩小到原来的，宽不变，面积是多少？
3、如果长扩大10倍，宽缩小到原来的，面积是多少？
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4、如果长和宽都扩大5倍，面积是多少？
六、1千克小麦可加工面粉0.81千克，100千克小麦可加工面粉多少千克？1吨小麦呢？
七、服装厂加工一种西服套装，每套用布5.2米。加工1000套这样的服装，用布多少米？
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八、100千克蓖麻籽可榨出40千克蓖麻油，照这样计算，1000千克蓖麻籽可榨蓖麻油多少千克？
九、一种铁矿石，10吨可炼铁6.05吨，1000吨这样的铁矿石可以炼铁多少吨？
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**小学数学小升初还原（逆推）问题闯关**
1．一位青年，将月工资的一半存入银行，又将剩下的一半又10元用于生活费，还花25元买两本书，剩下120元，这位青年每月工资多少元？
2．一桶油，第一次用去它的一半多5千克，第二次用去余下的一半少3千克，第三次用去12千克，还剩8千克．这桶油原来有多少千克？
3．一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走了剩下的一半零一个，第三个猴子取走了第二个猴子剩下的一半零一个......直到第7个猴子恰好取完。这堆桃子一共有多少个？
4．篮子里有一些苹果，妈妈拿他的一半又一个给了爷爷，再拿剩余的一半又二个给了爸爸，又取最后所余的一半又三个给了女儿，篮子里的苹果正好拿完．问篮子里原来有苹果多少个？
5．甲、乙两位同学同算同一道减法题，甲得5618，计算正确，乙得38，计算错误，乙算错的原因是将减数末尾的0多写一个，问这道减法算式的被减数、减数各是多少？
6．超市原有一些大米，卖出28袋，又运进25袋，现在还有51袋，超市原有大米多少袋？
7．有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m．问这根电线原来有多少米？
8．一条小虫由幼虫长到成虫，每天长大一倍，10天长到20厘米，第8天时，幼虫长到几厘米？
9．喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序：
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小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年几岁？
10．文具柜上的某种笔盒每次卖出一半时，就从仓库中调来15个补充。到第八次卖出一半后，恰好余下15个。文具柜原有这种笔盒的个数是多少个？
11．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？
12．一个数减去5，乘以5，加上5，除以5，最后的结果还是5，那么这个数是多少？
13．一篮苹果，取篮中的一半又一个给第一人，再取余下的一半又一个给第二人，又去第二人余下的一半又3个给第三人，篮中苹果正好分完，问篮中原有苹果多少个？
14．一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，原来桶里有油多少千克？
15．三个兔笼共关着38只兔子．如果往甲笼里再放入7只兔子，从乙笼里拿出5只，丙笼里取出一半，这时三个兔笼内兔子的只数相等．原来乙笼的兔子只数是甲笼只数的几倍？
16．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？
17．美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？
18．便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果．求水果店里原来一共有多少个芒果？
19．小明去文具店买了1支钢笔后，发现所用的钱比所带的总钱数的一半多0.5元；接着买了1支圆珠笔，所用的钱比买钢笔后余下的钱的一半少0.5元；又买了2.8元的本子，最后剩下0.8元。小明带了多少元钱？
20．妈妈买回来一些鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天吃了第二天余下的一半又半个。这时还剩下1个鸡蛋，妈妈一共买回多少个鸡蛋？
21．盒子里有红、黄两种颜色的小球，其中红球比黄球多48个．每次从盒子里取出9个黄球，12个红球，取了若干次后，红球和黄球同时取完．盒子里原有红球多少个？
22．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说："你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。"财迷算了算挺合算，就同意了。他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下。问：财迷身上原有多少个铜板？
23．一根竹笋从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过10天长到40分米．求当竹笋长到2.5分米时，经过了多少天？
24．公共汽车上原有一些人，又上来25人，然后再下去了8人，这时还剩34人．公共汽车上原来有多少人？
25．有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一个夜晚，容器里的微生物就会增加一倍，但是若在白天揭开盖子，容器内的微生物正好减少16个。小丽在实验室的当天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二，三，四天都开封看了看，到了第五天，当他又启封查看时，惊讶得发现微生物都没了，请问，小丽开始往容器里放了多少微生物？
26．司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如图）．每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？
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27．{width="4.427083333333333in" height="0.40625in"}
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28．一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升．这瓶果汁原有多少毫升？
29．华联超市展开"庆六一童车促销"活动，6月1日上午售出总数的一半少3辆，下午售出剩下的一半多2辆，还剩12辆没有卖出．华联超市这次活动准备了多少辆童车？
30．狐狸教授做实验，他在实验室里喂养了一条虫，用特殊的营养液使这条小虫生长的速度很快，从幼虫长到成虫，每天都长长1倍，20天就长到20厘米长了．狐狸教授问它的助手小鸭："当幼虫长到5厘米时用了多少天？"
小鸭说："20天长到20厘米，又知1天长1厘米，长到5厘米时用了5天。"
小朋友，你们认为小鸭说得对吗？你们是怎样想的？
31．两个因数相乘，如果其中一个因数增加了5，另一个因数不变，积就增加75，变成750。请计算出这两个数分别是多少？
32．如图是一个运算流程，如果输出的结果是1，那么输入的数字是什么？
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33．小白兔上山采摘了许多蘑菇，它把这些蘑菇先平均分成4堆，3堆送给它的好朋友，自己留一堆。后来它又把留下的这一堆平均分成3堆，两堆送给别的小白兔，一堆自己吃，自己吃的这一堆有7个蘑菇。你知道小白兔共采摘了多少蘑菇吗？
**参考答案**
1．620元
【解析】最后题干，剩下的120元加上买书的25元，再加上10元，就是存入银行后剩下的一半，乘2就是这位青年的月工资的一半，再乘2就是他的月工资。
解：（120+25+10）×2×2
=155×4
=620（元）
答：他的月工资是620元。
点评：从结果倒着推回去，在逆推过程中总数是不变的，分析题中的数量关系，列式解答。
考点：还原问题。
2．78千克
【解析】先由最后的状态找出第三次使用之前的状态："第三次用去12千克，还剩8千克"，说明第三次用去之前应是12+8=20千克；
再找出第二次使用之前的状态："第二次用去余下的一半少3千克"，说明20千克减去3千克就是第二次用之前的一半；
最后找出第一次用之前的状态："第一次用去它的一半多5千克"说明第二次用之前的数量加5千克是原来的一半。
解：（12+8-3）×2
=（20-3）×2
=17×2
=34（千克）
（34+5）×2
=39×2
=78（千克）
答：这桶油原来有78千克。
3．254个
【解析】先求出第6个猴子拿走以后剩余桃子数，即（0+1）×2=2（个），然后求第5个猴子剩桃子数为（2+1）×2=6（个）......，以此类推，最终得出结果。
解：第6个猴子剩桃子数为（0+1）×2=2（个）；
第5个猴子剩桃子数为（2+1）×2=6（个）；
第4个猴子剩桃子数为（6+1）×2=14（个）；
第3个猴子剩桃子数为（14+1）×2=30（个）；
第2个猴子剩桃子数为（30+1）×2=62（个）；
第1个猴子剩桃子树为（62+1）×2=126（个）；
原有桃子数为（126+1）×2=254（个）。
答：这堆桃子一共有254个。
4．34个
【解析】最后的一半又3个给女儿，说明最后的一半就是3个，女儿得到6个苹果；由"再拿剩余的一半又二个给了爸爸"，则给爷爷后剩余：（3×2+2）×2=16（个）；那么总数为（16+1）×2=34（个）。
解：\[（3×2+2）×2+1\]×2
=\[8×2+1\]×2
=17×2
=34（个）
答：篮中原有苹果34个。
5．被减数是6238，减数是620。
【解析】两个人的被减数都是一样的，两个人算出来的差相差5618-38=5580，为什么会有这样的差呢？因为乙把减数扩大10倍，而甲的减数还是原来的，减数两个人差10-1=9倍，就是因为减数差别9倍才造成了差相差5580，说明减数的9倍就是5580，那么减数就是5580÷9=620，那么被减数就是620+5618=6238。
解：根据题干分析可得：
减数是（5618-38）÷（10-1）
=5580÷9
=620
则被减数是：5681+620=6238
答：被减数是6238，减数是620。
考点：还原问题。
6．54袋
【解析】原有大米的袋数=现有大米的袋数-运进大米的袋数+卖出大米的袋数，依此列式计算即可求解。
解：51-25+28
=26+28
=54（袋）
答：超市原有大米54袋。
7．38米
【解析】由"第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m"可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）。
解：（6×2+5）×2+4
=（12+5×2）+4
=17×2+4
=34+4
=38（米）
答：这根电线原来有38米。
8．5厘米
【解析】因为每天长大一倍，10天长到20厘米，则倒着推算，9天就长到20÷2=10（厘米），第8天，就能长到10÷2=5（厘米）。
解：20÷2÷2=5（厘米）
答：第8天时，幼虫长到5厘米。
9．13岁
【解析】由题意可知，把小松的年龄乘3，减去5，再乘2，再加9，结果是77，要求小松的年龄是多少，可从结果77向前逆推，即用77减去9，除以2，再加5，再除以3即可。
解：根据分析可得：
\[（77－9）÷2+5\]÷3
=\[68÷2+5\]÷3
=39÷3
=13（岁）
答：小松今年13岁。
考点：还原问题。
10．30个
【解析】每次卖出一半余下15个，就补15个，这样不管多少次，始终余15个，所以原有笔盒的个数就是15×2。
解：15×2=30（个）
答：文具柜原有这种笔盒的个数是30个。
考点：还原问题。
总结：每次卖出一半余下n个，就补n个，这样不管多少次，始终余n个，所以原有的个数是2n个。
11．100页
【解析】（1）根据第二天看了余下的一半又10页，可知：第三天看的10页是第一天余下的一半少10页，所以第一天余下的页数的一半就是：10+10=20（页），所以第一天余下的页数是20×2=40（页）；（2）根据第一天看了这本书的一半又10页，说明这40页是这本书的一半少10页，所以这本书的一半就是40+10=50（页），所以这本书的页数是50×2=100（页）。
解：根据题干分析可得：
\[（10+10×2+10）\]×2
=\[40+10\]×2
=50×2
=100（页）
答：这本书有100页。
12．9
【解析】从后向前来推算，①"除以5，结果还是5"，则前一个数是5×5=25；
②"加上5等于25"，则前一个数是25-5=20；
③"乘以5等于20"，则前一个数是20÷5=4；
④"减去5，等于4"，则原来的数是4+5=9。
解：（5×5-5）÷5+5
=（25-5）÷5+5
=20÷5+5
=4+5
=9
答：这个数是9。
13．30个
【解析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个苹果；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个苹果；若干苹果，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个苹果。
解：\[(3×2+1)×2+1\]×2
=\[7×2+1\]×2
=15×2
=30（个）
答：篮中原有苹果30个。
考点：还原问题。
14．52千克
【解析】由题意，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，则油重（8-1.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（8-1.5）×2，同理第二次没倒前油重（8-1.5）×2×2，第一次没倒前油重（8-1.5）×2×2×2。
解：（8-1.5）×2×2×2
=6.5×2×2×2
=52（千克）
答：原来桶里有油52千克。
15．5倍
【解析】设原来甲笼有x只，根据题意知乙笼原来有（x+7+5）只，丙笼原来有2（x+7）只，再根据原来"三个兔笼共关着38只兔子"，列方程求出甲笼，乙笼原有兔子的只数，那问题即可解决。
解：设原来甲原来有x只，则乙原来有（x+7+5）只，丙原来有2（x+7）只。
x+x+7+5+2（x+7）=38
4x+26=38
4x=12
x=3
x+7+5=3+7+5=15
15÷3=5
答：原来乙笼的兔子只数是甲笼只数的5倍。
16．
【解析】第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙数为60×=30（个）。所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个。
解：57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个）
原来第一袋：15－7=8（个）
原来第二袋：15+4=19（个）
原来第三袋：15×2=30（个）
答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个。
考点：还原问题。
17．380台
【解析】此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数。
解：\[（105-20）×2+20\]×2
=\[85×2+20\]×2
=190×2
=380（台）
答：美红商店原有380台洗衣机。
考点：逆推问题。
18．88个
【解析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）。
解：{\[(11－1)×2+1\]×2+2}×2
=\[（10×2+1）×2+2\]×2
=（21×2+2）×2
=44×2
=88（个）
答：水果店里原来一共有88个芒果。
19．13.4元
【解析】用还原问题的思考方法来解答，由买圆珠笔后余下的钱可以求买钢笔后余下的钱，进而得出小明带了多少钱。
解：买圆珠笔后余下：2.8+0.8=3.6（元）
买钢笔后余下：（3.6-0.5）×2=6.2（元）
小明带的钱：（6.2+0.5）×2=13.4（元）
答：小明带了13.4元。
20．15个
【解析】根据最后篮内的鸡蛋个数是1，那第三天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×（1+0.5），第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×\[2×（1+0.5）+0.5\]，同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，那原有鸡蛋的个数即可求出。
解：第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+0.5）=3（个），
第一天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+0.5）=7（个），
原有鸡蛋的个数是：2×（7+0.5）=2×7.5=15（个），
答：妈妈买回15个鸡蛋。
21．192个
【解析】设取了x次，那么黄球的个数就是9x个，红球的个数就有12x个，它们之间的差是48个，由此列出方程。
解：设取了x次，由题意得：
12x-9x=48
3x=48
x=16
红球：16×12=192（个）
答：箱子里有红球192个。
考点：还原问题。
22．31个
【解析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个；
第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个；
第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个；
第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个；
第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个。
解：第五次后有：32÷2=16（个）
第四次后有：（32+16）÷2=24（个）
第三次后有：（32+24）÷2=28（个）
第二次后有：（32+28）÷2=30（个）
第一次原有：（32+30）÷2=31（个）
答：财迷身上原有31个铜板。
23．2.5分米
【解析】因为笋从发芽到长大，每天长高一倍，所以经过9天时，长到40÷2=20（分米），经过8天时，长到20÷2=10（分米），经过7天时，长到10÷2=5分米，经过6天时，长到5÷2=2.5（分米）。
解：因为10天长到40分米，
9天长了：40÷2=20（分米）；
8天长了：20÷2=10（分米）；
7天长了：10÷2=5（分米）；
6天长了：5÷2=2.5（分米）
答：经过了6天竹笋长到2.5分米。
24．17人
【解析】根据车上最后剩下34人，运用逆推的方法，那在下去8人之前的人数是（34+8）人，在又上了25人之前的人数是34+8-25（人）。
解：34+8-25
=42-25
=17（人）
答：公共汽车上原来有17人。
25．15个
【解析】这是一道还原问题，从正面来看这道题目，觉得会很困难．这就需要我们采取倒推法还原：0←16←8←24←12←28←14←30←15，所以原来容器内放了15个微生物。
解：①第四天晚上有0+16=16（个）；
第四天白天有16÷2=8（个）；
②第三天晚上有8+16=24（个）；
第三天白天有24÷2=12（个）；
③第二天晚上有12+16=28（个）；
第二天白天有28÷2=14（个）；
④第一天晚上有14+16=30（个）；
第一天白天有30÷2=15（个）。
答：小丽开始往容器里放了15个微生物。
考点：还原问题。
26．31个
【解析】5个站依次减半，那么从最后的一站（第5站）至少要上1个人，依次第4站为2人，第3站为4人，第2站为8人，第一站为16人。相加得：1+2+4+8+16=31（个）。
解：最后的一站（第5站）至少要上1个人，依次第4站为2人，第3站为4人，第2站为8人，第一站为16人。
1+2+4+8+16=31（个）
答：车上最少有31个学生。
27．100岁
【解析】用最后的结果除以0.5，再加上2，最后除以2求出输入的年龄。
解：（99÷0.5+2）÷2
=200÷2
=100（岁）
答：今年100岁。
28．500毫升
【解析】由"第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升"，那么第二次没喝之前应为（125+25）×2=300（毫升）；由"第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升"，那么这瓶果汁原有（300-50）×2。
解：\[(125+25)×2－50\]×2
=\[300－50\]×2
=250×2
=500（毫升）
答：这瓶果汁原有500毫升。
29．50辆
【解析】由"下午售出剩下的一半多2辆，还剩12辆没有卖出"，可知12辆加上2辆是上午卖出后剩下的一半，那么上午卖出后剩下（12+2）×2=28（辆）；由"上午售出总数的一半少3辆，剩下28辆"，那么28辆减去3辆就是总数的一半，则总数是（28-3）×2。
解：\[（12+2）×2-3\]×2
=\[28-3\]×2
=25×2
=50（辆）
答：华联超市这次活动准备了50辆童车。
考点：还原问题。
30．小鸭说得不对，当幼虫长到5厘米时用了18天
【解析】根据"每天都长长1倍，20天就长到20厘米长了，"倒着考虑，第19天的长度为：20÷2=10（厘米），第18天的长度为：10÷2=5（厘米），所以长到5厘米时用了18天。
解：因为小虫每天都长长1倍，20天就长到20厘米了，所以：
第19天的长度为：20÷2=10（厘米）
第18天的长度为：10÷2=5（厘米）
答：小鸭说得不对，当幼虫长到5厘米时用了18天。
31．45、15
【解析】由题意知，其中一个因数增加了5，另一个因数不变，积就增加75，则75就是另一个因数的5倍，由此用75÷5可求得另一个因数是多少，再由"积就增加75，变成750"可得原来的积是750-75=675，根据"积÷另一个因数=一个因数"解答即可。
解：另一个因数：75÷5=15
一个因数：（750－75）÷15
=675÷15
=45
答：这两个数分别是45、15。
32．或者
【解析】运用逆推法，分两种情况讨论：
来输入的数字大于，用运算的结果1加上即可；
②原来输入的数字不大于，用运算的结果1减去即可。
解：①1+=
②1-=
答：输入的数字可能是或者。
考点：还原问题。
33．84个
【解析】从最后一步入手，最后自己吃的这一堆有7个蘑菇，再送给别的小白兔两堆之前一共有7×3=21（个）蘑菇；再往前推，这21个蘑菇在平均分成4堆，3堆送给它的好朋友之前，一共有21×4=84（个）。
解：7×3×4
=21×4
=84（个）
答：小白兔共采摘了84个蘑菇。
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**2017年呼和浩特市中考试卷**
**第Ⅰ卷（共30分）**
**一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.我市冬季里某一天的最低气温是，最高气温是，这一天的温差为（ ）
A． B． C． D．
2.中国的陆地面积为，将这个数用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3.如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） \[来源:学科网
4.如图，是根据某市2010年至2014年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图获得以下信息，其中信息判断错误的是（ ）
A．2010年至2014年间工业生产总值逐年增加
B．2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元
C．2012年与2013年每一年与前一年比，其增长额相同
D．从2011年至2014年，每一年与前一年比，2014年的增长率最大
5.关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
6.一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9.如图，四边形是边长为1的正方形，，为所在直线上的两点，若，，则以下结论正确的是（ ）\[来源:学\*科\*网\]
A． B． C． D．四边形的面积为
10.函数的大致图象是（ ）
\[来源:学科网\]
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
11.使式子有意义的的取值范围为 [ ]{.underline} ．
12.如图，，平分交于点，若，则为 [ ]{.underline} ．\[来源:Z.xx.k.Com\]
13.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为 [ ]{.underline} ．
14.下面三个命题：
①若是方程组的解，则或；
②函数通过配方可化为；
③最小角等于的三角形是锐角三角形．
其中正确命题的序号为 [ ]{.underline} ．
15.如图，在中，，，是两条对角线的交点，过点作的垂线分别交边，于点，，点是边的一个三等分点，则与的面积比为 [ ]{.underline} ．
16.我国魏晋时期数学家刘徽首创"割圆术"计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率进行估计．用计算机随机产生个有序对（，是实数，且，），它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有个，则据此可估计的值为 [ ]{.underline} ．（用含，的式子表示）
**三、解答题 （本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18.如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．
（1）求证：；
（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．
19.为了解某个某个季度的气温情况，用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高气温（单位：）进行调查，并将所得的数据按照，，，，分成五组，得到如图频率分布直方图．
（1）求这30天最高气温的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值代表）；
（2）每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数；
（3）如果从最高气温不低于的两组内随机选取两天，请你直接写出这两天都在气温最高一组内的概率．
20.某专卖店有，两种商品．已知在打折前，买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元；，两种商品打相同折以后，某人买500件商品和450件商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
21.已知关于的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）取何值时，该不等式有解，并求出解集．
22.如图，地面上小山的两侧有，两地，为了测量，两地的距离，让一热气球从小山西侧地出发沿与成角的方向，以每分钟的速度直线飞行，分钟后到达处，此时热气球上的人测得与成角，请你用测得的数据求，两地的距离长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
23.已知反比例函数（为常数）． \[来源:Zxxk.Com\]
（1）若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小；
（2）设点（）是其图象上的一点，过点作轴于点，若，（为坐标原点），求的值，并直接写出不等式的解集．
24.如图，点，，，是直径为的上的四个点，是劣弧的中点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求证：是正三角形；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，求的面积．
25.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围；
（3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值．
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**绝密★启用前**
**河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项:**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2\. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3\. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4\. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
5\. 若满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
6\. （ ）
A. B. C. D.
7\. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
8\. 下列函数中最小值为4是（ ）
A. B.
C. D.
9\. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
10\. 在正方体中，*P*为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
11\. 设*B*是椭圆的上顶点，点*P*在*C*上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
12\. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．**
13\. 已知向量，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 双曲线的右焦点到直线的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 记内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，面积为，，，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为\_\_\_\_\_\_\_\_\_（写出符合要求的一组答案即可）．
**三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共60分．**
17\. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
-------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ---------------------------------------- ------ ---------------------------------------
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 97
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 105 10.4 10.5
-------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ---------------------------------------- ------ ---------------------------------------
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18\. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，*M*为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
19\. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前*n*项和．证明：．
20\. 已知抛物线的焦点*F*到准线的距离为2．
（1）求*C*的方程;
（2）已知*O*为坐标原点，点*P*在*C*上，点*Q*满足，求直线斜率的最大值.
21\. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
**（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．**
**\[选修4-4:坐标系与参数方程\]**
22\. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
**\[选修4---5:不等式选讲\]**
23\. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求*a*的取值范围．
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**2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x\|x^2^﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题："远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）^2^+y^2^=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC~1~=1，则异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e^﹣3^ C．5e^﹣3^ D．1
12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=[ ]{.underline}．
14．（5分）函数f（x）=sin^2^x+cosx﹣（x∈\[0，\]）的最大值是[ ]{.underline}．
15．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~3~=3，S~4~=10，则 =[ ]{.underline}．
16．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则\|FN\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin^2^．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg"，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
K^2^=．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y^2^=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21．（12分）已知函数f（x）=ax^2^﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x~0~，且e^﹣2^＜f（x~0~）＜2^﹣2^．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~1~的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C~1~上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C~2~的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C~2~上，求△OAB面积的最大值．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知a＞0，b＞0，a^3^+b^3^=2．证明：
（1）（a+b）（a^5^+b^5^）≥4；
（2）a+b≤2．
**2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．
【解答】解：===2﹣i，
故选：D．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x\|x^2^﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x\|x^2^﹣4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，
可得1﹣4+m=0，解得m=3，
即有B={x\|x^2^﹣4x+3=0}={1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．
3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题："远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】设塔顶的a~1~盏灯，由题意{a~n~}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．
【解答】解：设塔顶的a~1~盏灯，
由题意{a~n~}是公比为2的等比数列，
∴S~7~==381，
解得a~1~=3．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V=π•3^2^×10﹣•π•3^2^×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6×=36种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）^2^+y^2^=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）^2^+y^2^=4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）^2^+y^2^=4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：=，
解得：，可得e^2^=4，即e=2．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC~1~=1，则异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角．
【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB~1~和B~1~C~1~的中点，得出AB~1~、BC~1~夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．
【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB~1~和B~1~C~1~的中点，
则AB~1~、BC~1~夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，\]），
可知MN=AB~1~=，
NP=BC~1~=；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣）
=7，
∴AC=，
∴MQ=；
在△MQP中，MP==；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP===﹣；
又异面直线所成角的范围是（0，\]，
∴AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~，求∠BC~1~D即可；
BC~1~=，BD==，
C~1~D=，
∴+BD^2^=，
∴∠DBC~1~=90°，
∴cos∠BC~1~D==．
故选：C．
【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e^﹣3^ C．5e^﹣3^ D．1
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^，
可得f′（x）=（2x+a）e^x﹣1^+（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^，
x=﹣2是函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^的极值点，
可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e^﹣3^+（4﹣2a﹣1）e^﹣3^=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0．
解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）e^x﹣1^+（x^2^﹣x﹣1）e^x﹣1^，
=（x^2^+x﹣2）e^x﹣1^，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x=1时，函数取得极小值：f（1）=（1^2^﹣1﹣1）e^1﹣1^=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），
则•（+）=2x^2^﹣2y+2y^2^=2\[x^2^+（y﹣）^2^﹣\]
∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=[ 1.96 ]{.underline}．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．
14．（5分）函数f（x）=sin^2^x+cosx﹣（x∈\[0，\]）的最大值是[ 1 ]{.underline}．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
【解答】解：f（x）=sin^2^x+cosx﹣=1﹣cos^2^x+cosx﹣，
令cosx=t且t∈\[0，1\]，
则y=﹣t^2^+t+=﹣（t﹣）^2^+1，
当t=时，f（t）~max~=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题
15．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~3~=3，S~4~=10，则 =[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
【解答】解：等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~3~=3，S~4~=10，S~4~=2（a~2~+a~3~）=10，
可得a~2~=2，数列的首项为1，公差为1，
S~n~=，=，
则 =2\[1﹣++...+\]=2（1﹣）=．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．
16．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则\|FN\|=[ 6 ]{.underline}．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
【解答】解：抛物线C：y^2^=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，
\|FN\|=2\|FM\|=2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin^2^．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin^2^，结合sin^2^B+cos^2^B=1，求出cosB，
（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin^2^，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin^2^B+cos^2^B=1，
∴16（1﹣cosB）^2^+cos^2^B=1，
∴16（1﹣cosB）^2^+cos^2^B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）^2^+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=；
（2）由（1）可知sinB=，
∵S~△ABC~=ac•sinB=2，
∴ac=，
∴b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB=a^2^+c^2^﹣2××
=a^2^+c^2^﹣15=（a+c）^2^﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg"，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
K^2^=．
【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．
【解答】解：（1）记B表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg"，C表示事件"新养殖法的箱产量不低于50kg"，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估计值为，
则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A发生的概率为0.4092；
（2）2×2列联表：
---------- -------------- ------------- ------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
---------- -------------- ------------- ------
则K^2^=≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，
箱产量低于55kg的直方图面积为：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，
可得：1+BN^2^=BN^2^，BN=，MN=，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
=，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y^2^=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0），
设P（x，y），由点P满足=．
可得（x﹣x~0~，y）=（0，y~0~），
可得x﹣x~0~=0，y=y~0~，
即有x~0~=x，y~0~=，
代入椭圆方程+y^2^=1，可得+=1，
即有点P的轨迹方程为圆x^2^+y^2^=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），
•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，
即为﹣3cosα﹣2cos^2^α+msinα﹣2sin^2^α=1，
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m=，
即有Q（﹣3，），
椭圆+y^2^=1的左焦点F（﹣1，0），
由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）
=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•=1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m^2^+nt﹣n^2^=1，
又P在圆x^2^+y^2^=2上，可得m^2^+n^2^=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
•=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则⊥，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ax^2^﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x~0~，且e^﹣2^＜f（x~0~）＜2^﹣2^．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）~min~=h（），从而可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）=x^2^﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）~min~=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x~0~，x~2~，利用f（x）必存在唯一极大值点x~0~及x~0~＜可知f（x~0~）＜，另一方面可知f（x~0~）＞f（）=．
【解答】（1）解：因为f（x）=ax^2^﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x~0~＞1时，h（x~0~）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，
所以h（x）~min~=h（），
又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以=1，解得a=1；
另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），
所以等价于f（x）在x=1处是极小值，
所以解得a=1；
（2）证明：由（1）可知f（x）=x^2^﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，
令t′（x）=0，解得：x=，
所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x）~min~=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x~0~，x~2~，
且不妨设f′（x）在（0，x~0~）上为正、在（x~0~，x~2~）上为负、在（x~2~，+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x~0~，且2x~0~﹣2﹣lnx~0~=0，
所以f（x~0~）=﹣x~0~﹣x~0~lnx~0~=﹣x~0~+2x~0~﹣2=x~0~﹣，
由x~0~＜可知f（x~0~）＜（x~0~﹣）~max~=﹣+=；
由f′（）＜0可知x~0~＜＜，
所以f（x）在（0，x~0~）上单调递增，在（x~0~，）上单调递减，
所以f（x~0~）＞f（）=；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x~0~，且e^﹣2^＜f（x~0~）＜2^﹣2^．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~1~的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C~1~上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C~2~的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C~2~上，求△OAB面积的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据\|OM\|•\|OP\|=16列方程化简即可；
（2）求出曲线C~2~的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
【解答】解：（1）曲线C~1~的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y~0~），则，∴y~0~=，
∵\|OM\|\|OP\|=16，
∴=16，
即（x^2^+y^2^）（1+）=16，
∴x^4^+2x^2^y^2^+y^4^=16x^2^，即（x^2^+y^2^）^2^=16x^2^，
两边开方得：x^2^+y^2^=4x，
整理得：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0），
∴点P的轨迹C~2~的直角坐标方程：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C~2~上，\|OA\|=2，
∴曲线C~2~的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，
∴△AOB的最大面积S=\|OA\|•（2+）=2+．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知a＞0，b＞0，a^3^+b^3^=2．证明：
（1）（a+b）（a^5^+b^5^）≥4；
（2）a+b≤2．
【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a^3^+b^3^=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）^2^，即可得到（a+b）^3^≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a^5^+b^5^）≥（+）^2^=（a^3^+b^3^）^2^≥4，
当且仅当=，即a=b=1时取等号，
（2）∵a^3^+b^3^=2，
∴（a+b）（a^2^﹣ab+b^2^）=2，
∴（a+b）\[（a+b）^2^﹣3ab\]=2，
∴（a+b）^3^﹣3ab（a+b）=2，
∴=ab，
由均值不等式可得：=ab≤（）^2^，
∴（a+b）^3^﹣2≤，
∴（a+b）^3^≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
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**答案与解析**
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第10课《列方程解应用题》试题附答案**
**答案**
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五年级奥数上册：第十讲 列方程解应用题 习题解答
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题三（附答案）**
一、小小探索家。(填空)
1．把两个数( )的运算叫做加法。
2．已知两个数的( )与其中的( )，求另一个( )的运算叫做减法。
3．7×表示( )。
4．10×0.2表示( )。
5．把4米长的绳子平均分成五段，每段长用分米表示( )分米，用小数表示是( )米。
二、公正的法官。(对的打"√"，错的打"×")
1．7.222是循环小数。( )
2．两个因数的积一定大于其中一个因数。( )
3．0除以任何数都得零。( )
4．任何非0的数和1相乘都得这个数。( )
三、在○里填上\>、\<或=。
×○ ○÷
12×○12÷3×2 ÷○
12÷○12÷2×3 ×1○×
四、连一连。
450×0.2 13
2+35％ 80
× 90
(-)×24 2.35
0.8+99×0.8
五、我会算。
1．计算并验算。
7356÷40
3947-1935
2．我会列式计算。
(1)是的几分之几？
(2)18个与1.3除2.6的和是多少？
六、问题银行。
我国青海玉树发生地震，许多道路被毁，筑路工人抢修道路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，剩下的第三天修完，第三天修多少？
七、想一想。
你能说出化成小数后，小数点后第100位上的数字是多少吗？
**参考答案**
一、1．合并成一个数 2．和 一个数 数 3．7的是多少
4．10的0.2是多少 5．8 0.8
二、1．×2．×3．× 4．√
三、\< \< = \> = \>
四、· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
五、1．183.9 2012 2．(1) (2)17 列式略
六、
七、8
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）**
**数学（理科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。**
1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ａ
10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｂ
**二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。**
13． 14． 15． 16．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）**
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
由已知，得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为。
18．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）记"该选手能正确回答第轮的问题"的事件为，则，，，
该选手被淘汰的概率
。
（Ⅱ）的可能值为，，
，
。
的分布列为
-- --- --- ---
1 2 3
-- --- --- ---
。
解法二：（Ⅰ）记"该选手能正确回答第轮的问题"的事件为，则，，。
该选手被淘汰的概率
。
（Ⅱ）同解法一。
19．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）平面，平面。。
又，。
，，，即。
又。平面。
（Ⅱ）过作，垂足为，连接。
平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，
为二面角的平面角。
又，
，
，
又，，。
由得。
在中，，。
二面角的大小为。
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，。，，
又，平面。
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则，，
又，，
解得
平面的法向量取为，
，。
二面角的大小为。
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为。
（Ⅱ），令，得。
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为。
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。
（1）当轴时，。
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。
由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。
。
当且仅当，即时等号成立。当时，，
综上所述。
当最大时，面积取最大值。
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当，由及，得。
当时，由，得。
因为，所以。从而。
，。故。
（Ⅱ）因为，所以。
所以
。
故
。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）**
**数学（文科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：**
**CCDAAB DBDBBC**
**二、填空题：**
**13．15 14．\[-5,7\] 15．**
**16．不唯一："图形的全等""图形的相似""命题的充要条件"**
**三、解答题**
**17．解：**
**18．**
**解：设"甲第i次试跳成功"为事件，"乙第i次试跳成功"为事件，则：**
**(2)"甲、乙在第1次试跳中至少有一人成功"的事件为：C，则：**
**设"甲在2次试跳中成功i次"为事件，"乙在2次试跳中成功i次"为事件，则：**
**19．（2）或**
**20．**
**解：（1），当时，取最小值，**
**即：**
**（2）令由得（舍去负）**
**在（0，2）内有最大值**
**在（0，2）内恒成立等价于在（0，2）内恒成立。**
**即等价于，所以**
**21．**
**解：（1）**
**数列是首项为1，公比为3的等比数列：**
**当时，**
**（2）当时，；当时，**
**，又当时，上式也成立。**
**22．**
**解：（1）；（2）①，②最小值：16**
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**一年级数学下册同步练习及****解析\|北师大版(秋)**
**第6单元 第一节：图书馆**
一、计算。
8＋54= 38+4= 55＋6= 22+9=
6＋57= 49+7= 5＋38= 6＋56=\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
二、连一连。
三、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。
54+8○61 48+4○60 32+9○9+32\[来源:学+科+网\]
35+7○40 7+93 ○100 2+89○2+98
四、填一填。
1、连续加7，写出每次加得的和。\[来源:学科网ZXXK\]
7 14 （ ）、（ ）、（ ）、42、（ ）、（ ）、（ ）、70
2、连续加8，写出每次加得的和。
8 16 （ ）、（ ）、（ ）、48、（ ）、（ ）、（ ）、80
五、填空。
1、一个加数是59，另一个加数是2，和是（ ）。
2、 比38多6的数是（ ） ，比38少6的数是（  ）。
六、比较大小。
27+8 ○ 27+6 45+6 ○ 46+5
35-4 ○ 35-3 6+3 ○ 56+30
**答案**
一、
8＋54=62 38+4=42  55＋6=61 22+9=31
6＋57=63 49+7=56 5＋38=43 6＋56=62
二、
三、
54+8＞61 48+4＜60 32+9＝9+32
35+7＞40 7+93＝100 2+89＜2+98
四、\[来源:Zxxk.Com\]
1、 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
2、 8 16 24 30 36 42 48 56 72 80
五、
1、61 \[来源:学科网ZXXK\]
2、44 ， 32  
六、
27+8 ＞27+6 45+6 ＝ 46+5
35-4＜ 35-3 6+3 ＜ 56+30
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**2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数=（ ）
A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i
2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a~n~}，a~1~a~2~a~3~=5，a~7~a~8~a~9~=10，则a~4~a~5~a~6~=（ ）
A． B．7 C．6 D．
5．（5分）（1+2）^3^（1﹣）^5^的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
7．（5分）正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，BB~1~与平面ACD~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设a=log~3~2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
9．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=1的左、右焦点，点P在C上，∠F~1~PF~2~=60°，则P到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）=\|lgx\|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A． B． C．（3，+∞） D．\[3，+∞）
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）不等式的解集是[ ]{.underline}．
14．（5分）已知α为第三象限的角，，则=[ ]{.underline}．
15．（5分）直线y=1与曲线y=x^2^﹣\|x\|+a有四个交点，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x^2^+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．
21．（12分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．
22．（12分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n+1~=c﹣．
（Ⅰ）设c=，b~n~=，求数列{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a~n~＜a~n+1~＜3成立的c的取值范围．
**2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数=（ ）
A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】复数的分子中利用﹣i^2^=1代入3，然后化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧．
2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．
法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．
【解答】解：法一，
所以tan100°=﹣tan80°=．：
法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=
【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，
由图可知，
当直线l经过点A（1，﹣1）时，
z最大，且最大值为z~max~=1﹣2×（﹣1）=3．
故选：B．
【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a~n~}，a~1~a~2~a~3~=5，a~7~a~8~a~9~=10，则a~4~a~5~a~6~=（ ）
A． B．7 C．6 D．
【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有
【分析】由数列{a~n~}是等比数列，则有a~1~a~2~a~3~=5⇒a~2~^3^=5；a~7~a~8~a~9~=10⇒a~8~^3^=10．
【解答】解：a~1~a~2~a~3~=5⇒a~2~^3^=5；
a~7~a~8~a~9~=10⇒a~8~^3^=10，
a~5~^2^=a~2~a~8~，
∴，∴，
故选：A．
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．
5．（5分）（1+2）^3^（1﹣）^5^的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出x的系数．
【解答】解：（1+2）^3^（1﹣）^5^=（1+6+12x+8x）（1﹣）^5^
故（1+2）^3^（1﹣）^5^的展开式中含x的项为1×C~5~^3^（）^3^+12x=﹣10x+12xC~5~^0^=2x，
所以x的系数为2．
故选：C．
【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力
6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
【考点】D1：分类加法计数原理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C~3~^1^C~4~^2^种不同的选法；
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C~3~^2^C~4~^1^种不同的选法．
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C~3~^1^C~4~^2^+C~3~^2^C~4~^1^=18+12=30种．
故选：A．
【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C~7~^3^﹣C~3~^3^﹣C~4~^3^=30．
7．（5分）正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，BB~1~与平面ACD~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB~1~，上下底面中心的连线与平面ACD~1~所成角，即为BB~1~与平面ACD~1~所成角，
直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O~1~，O，设正方体的棱长等于1，
则O~1~O与平面ACD~1~所成角就是BB~1~与平面ACD~1~所成角，即∠O~1~OD~1~，
直角三角形OO~1~D~1~中，cos∠O~1~OD~1~===，
故选：D．
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面
ACD~1~的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．
8．（5分）设a=log~3~2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．
【解答】解：a=log~3~2=，b=ln2=，
而log~2~3＞log~2~e＞1，所以a＜b，
c==，而，
所以c＜a，综上c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．
9．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=1的左、右焦点，点P在C上，∠F~1~PF~2~=60°，则P到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设点P（x~0~，y~0~）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F~1~PF~2~=，由此可求出P到x轴的距离．
【解答】解：不妨设点P（x~0~，y~0~）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．
由余弦定理得
cos∠F~1~PF~2~=，即cos60°=，
解得，所以，故P到x轴的距离为
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．
10．（5分）已知函数f（x）=\|lgx\|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A． B． C．（3，+∞） D．\[3，+∞）
【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间；4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用"对勾"函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
确定a+2b的取值范围．
【解答】解：因为f（a）=f（b），所以\|lga\|=\|lgb\|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由"对勾"函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．
故选：C．
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处．
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．菁优网版权所有
【专题】5C：向量与圆锥曲线．
【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．
【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），
则PA=PB=，
∠APO=α，则∠APB=2α，
sinα=，
=
=×（1﹣2sin^2^α）
=（x^2^﹣1）（1﹣）=
=x^2^+﹣3≥2﹣3，
∴当且仅当x^2^=时取"="，故的最小值为2﹣3．
故选：D．
【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．
【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，
则有，
当直径通过AB与CD的中点时，，故．
故选：B．
【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）不等式的解集是[ \[0，2\] ]{.underline}．
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可；
法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集．
【解答】解：法一：原不等式等价于
解得0≤x≤2．
法二：
故答案为：\[0，2\]
【点评】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致．
14．（5分）已知α为第三象限的角，，则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．
方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．
【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），
又＜0，所以，
于是有，，
所以=．
方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，
【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．
15．（5分）直线y=1与曲线y=x^2^﹣\|x\|+a有四个交点，则a的取值范围是[ （1，]{.underline}[） ]{.underline}．
【考点】3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x^2^﹣\|x\|+a的图象，观察求解．
【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x^2^﹣\|x\|+a，
观图可知，a的取值必须满足，
解得．
故答案为：（1，）
【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由椭圆的性质求出\|BF\|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出\|FD\|的值，又由\|BF\|=2\|FD\|建立关于a、c的方程，解方程求出 的值．
【解答】解：如图，，
作DD~1~⊥y轴于点D~1~，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由\|BF\|=2\|FD\|，得，a^2^=3c^2^，解得e==，
故答案为：．
【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点："数研究形，形助数"，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A﹣）=sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C的值可求．
【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB，
∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB
∴sin（A﹣）=sin（B+），
∵0＜A＜π，0＜B＜π
∴﹣＜A﹣＜＜B+＜
∴A﹣+B+=π，
∴A+B=，C=π﹣（A+B）=
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．
18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有
【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．
（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是0篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．
【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D=A+B•C，
P（A）=0.5×0.5=0.25，
P（B）=2×0.5×0.5=0.5，
P（C）=0.3，
P（D）=P（A+B•C）
=P（A）+P（B•C）
=P（A）+P（B）P（C）
=0.25+0.5×0.3
=0.40．
（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，
则P（E）=（1﹣0.4）^4^+C~4~^1^×0.4×（1﹣0.4）^3^
=0.1296+0.3456
=0.4752，
∴=1﹣0.4752=0.5248，
即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．
【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；
（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．
SB=，
DE=
EB=
所以SE=2EB
（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE==1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．
连接AG，AG=，FG=，
cos∠AFG=，
所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．
【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x^2^+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）先根据导数公式求出导函数f′（x），代入xf′（x）≤x^2^+ax+1，将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数a的取值范围；
（Ⅱ）根据（I）可知g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0，然后讨论x与1的大小，从而确定（x﹣1）的符号，然后判定f（x）与0的大小即可证得结论．
【解答】解：（Ⅰ），
xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x^2^+ax+1等价于lnx﹣x≤a．
令g（x）=lnx﹣x，则
当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=﹣1
综上，a的取值范围是\[﹣1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）==≥0
所以（x﹣1）f（x）≥0．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），根据韦达定理求得y~1~+y~2~和y~1~y~2~的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x~2~=y2^2^，依题意可知等式成立进而推断出k~1~=k~2~原式得证．
（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y~2~﹣y~1~的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y^2^=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，
代入①，整理得
y^2^﹣4my+4=0，
设L与C 的交点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则
y~1~+y~2~=4m，y~1~y~2~=4，
点A关于X轴的对称点D为（x~1~，﹣y~1~）．
BD的斜率k~1~===，
BF的斜率k~2~=．
要使点F在直线BD上
需k~1~=k~2~
需4（x~2~﹣1）=y~2~（y~2~﹣y~1~），
需4x~2~=y2^2^，
上式成立，∴k~1~=k~2~，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）=（x~1~﹣1，y~1~）（x~2~﹣1，y~2~）=（x~1~﹣1）（x~2~﹣1）+y~1~y~2~=（my~1~﹣2）（my~2~﹣2）+y~1~y~2~=4（m^2^+1）﹣8m^2^+4=8﹣4m^2^=，
∴m^2^=，m=±．
y~2~﹣y~1~==4=，
∴k~1~=，BD：y=（x﹣1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即
\|a+1\|×=\|（（a﹣1）\|×，
∴4\|a+1\|=5\|a﹣1\|，﹣1＜a＜1，
解得a=．
∴半径r=，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）^2^+y^2^=．
【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．
22．（12分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n+1~=c﹣．
（Ⅰ）设c=，b~n~=，求数列{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a~n~＜a~n+1~＜3成立的c的取值范围．
【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）令c=代入到a~n+1~=c﹣中整理并令b~n~=进行替换，得到关系式b~n+1~=4b~n~+2，进而可得到{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，先得到{}的通项公式，即可得到数列{b~n~}的通项公式．
（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时a~n~＜a~n+1~，然后当c＞2时，令α=，根据由可发现c＞时不能满足条件，进而可确定c的范围．
【解答】解：（1），
，即b~n+1~=4b~n~+2
，a~1~=1，故
所以{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，
，
（Ⅱ）a~1~=1，a~2~=c﹣1，由a~2~＞a~1~得c＞2．
用数学归纳法证明：当c＞2时a~n~＜a~n+1~．
（ⅰ）当n=1时，a~2~=c﹣＞a~1~，命题成立；
（ii）设当n=k时，a~k~＜a~k+1~，
则当n=k+1时，
故由（i）（ii）知当c＞2时，a~n~＜a~n+1~
当c＞2时，令α=，由
当2＜c≤时，a~n~＜α≤3
当c＞时，α＞3且1≤a~n~＜α
于是
α﹣a~n+1~≤（α﹣1），
当n＞
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范围是（2，\]．
【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．
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**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）不等式组的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0} C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1） C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R）
6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y^2^=1 C．+=1 D．+=1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[ ]{.underline}．
15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2．
（Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值．
21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．
【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．
∴cosα===﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
3．（5分）不等式组的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0} C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1}
【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．
【解答】解：由不等式组可得 ，解得0＜x＜1，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
取AD中点F，连接EF，CF，
∵E为AB的中点，
∴EF∥DB，
则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，
∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，
∴CE=CF．
设正四面体的棱长为2a，
则EF=a，
CE=CF=．
在△CEF中，由余弦定理得：
=．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．
5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1） C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R）
【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．
【解答】解：∵y=ln（+1），
∴+1=e^y^，即=e^y^﹣1，
∴x=（e^y^﹣1）^3^，
∴所求反函数为y=（e^x^﹣1）^3^，
故选：D．
【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．
6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．
【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，
∴（2﹣）•=2﹣=0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C~6~^2^=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C~5~^1^=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【分析】由等比数列的性质可得S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】解：S~2~=a~1~+a~2~，S~4~﹣S~2~=a~3~+a~4~=（a~1~+a~2~）q^2^，S~6~﹣S~4~=a~5~+a~6~=（a~1~+a~2~）q^4^，
所以S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列，
即3，12，S~6~﹣15成等比数列，
可得12^2^=3（S~6~﹣15），
解得S~6~=63
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质，得出S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列是解决问题的关键，属基础题．
9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y^2^=1 C．+=1 D．+=1
【分析】利用△AF~1~B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF~1~B的周长为4，
∵△AF~1~B的周长=\|AF~1~\|+\|AF~2~\|+\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO~1~上，记为O，求出PO~1~，OO~1~，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R^2^=（4﹣R）^2^+（）^2^，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）^2^=．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．
【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，
则c=2a，b=，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，
∴d=，
即，
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C．
【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），
则g（﹣x）=g（x），
即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），
即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，
∴f（8）+f（9）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[ ﹣160 ]{.underline}．（用数字作答）
【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）^6^的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T~4~=﹣160x^3^，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（x﹣2）^6^的展开式的通项为T~r+1~=C~6~^r^x^6﹣r^（﹣2）^r^=（﹣1）^r^•2^r^•C~6~^r^x^6﹣r^，
令6﹣r=3可得r=3，
此时T~4~=（﹣1）^3^•2^3^•C~6~^3^x^3^=﹣160x^3^，即x^3^的系数是﹣160；
故答案为﹣160．
【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）^6^的展开式的通项．
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin^2^x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值
【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin^2^x+2sinx=
又∵﹣1≤sinx≤1
当sinx=时，函数有最大值
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．
15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为[ 5 ]{.underline}．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z~max~=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．
【解答】解：设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
**三、解答题**
17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2．
（Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）求{a~n~}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）将a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2变形为：a~n+2~﹣a~n+1~=a~n+1~﹣a~n~+2，再由条件得b~n+1~=b~n~+2，根据条件求出b~1~，由等差数列的定义证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b~n~，代入b~n~=a~n+1~﹣a~n~并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a~n~}的通项公式a~n~．
【解答】解：（Ⅰ）由a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2得，
a~n+2~﹣a~n+1~=a~n+1~﹣a~n~+2，
由b~n~=a~n+1~﹣a~n~得，b~n+1~=b~n~+2，
即b~n+1~﹣b~n~=2，
又b~1~=a~2~﹣a~1~=1，
所以{b~n~}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b~n~=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由b~n~=a~n+1~﹣a~n~得，a~n+1~﹣a~n~=2n﹣1，
则a~2~﹣a~1~=1，a~3~﹣a~2~=3，a~4~﹣a~3~=5，...，a~n~﹣a~n﹣1~=2（n﹣1）﹣1，
所以，a~n~﹣a~1~=1+3+5+...+2（n﹣1）﹣1
==（n﹣1）^2^，
又a~1~=1，
所以{a~n~}的通项公式a~n~=（n﹣1）^2^+1=n^2^﹣2n+2．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=，
∴2tanC=3×=1，解得tanC=．
∴tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A~1~D⊥平面ABC，A~1~D⊂平面AA~1~C~1~C，
∴平面AA~1~C~1~C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA~1~C~1~C，连结A~1~C，
由侧面AA~1~C~1~C为菱形可得AC~1~⊥A~1~C，
又AC~1~⊥BC，A~1~C∩BC=C，
∴AC~1~⊥平面A~1~BC，AB~1~⊂平面A~1~BC，
∴AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA~1~C~1~C，BC⊂平面BCC~1~B~1~，
∴平面AA~1~C~1~C⊥平面BCC~1~B~1~，
作A~1~E⊥CC~1~，E为垂足，可得A~1~E⊥平面BCC~1~B~1~，
又直线AA~1~∥平面BCC~1~B~1~，
∴A~1~E为直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离，即A~1~E=，
∵A~1~C为∠ACC~1~的平分线，∴A~1~D=A~1~E=，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A~1~F，
又可得AB⊥A~1~D，A~1~F∩A~1~D=A~1~，
∴AB⊥平面A~1~DF，∵A~1~F⊂平面A~1~DF
∴A~1~F⊥AB，
∴∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，
由AD==1可知D为AC中点，
∴DF==，
∴tan∠A~1~FD==，
∴二面角A~1~﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值．
【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得"同一工作日需使用设备的人数大于3"的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得"同一工作日至少3人需使用设备"的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则"同一工作日需使用设备的人数大于2"的概率为0.31＞0.1，不满足条件．
若k=3，则"同一工作日需使用设备的人数大于3"的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．
故k的最小值为3．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x，
∴f′（x）=3ax^2^+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax^2^+6x+3=0，则△=36（1﹣a），
①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；
②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x~1~=，x~2~=，
当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x~2~）或（x~1~，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x~2~）或（x~1~，+∞）是增函数；在（x~2~，x~1~）是减函数；
当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x~1~）或（x~2~，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x~1~）或（x~2~，+∞）是减函数；在（x~1~，x~2~）是增函数；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax^2^+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，
a的取值范围\[）∪（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x~0~=，根据\|QF\|=\|PQ\|求得 p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长\|AB\|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得\|MN\|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=\|MN\|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y^2^=2px（p＞0），
可得x~0~=，∵点P（0，4），∴\|PQ\|=．
又\|QF\|=x~0~+=+，\|QF\|=\|PQ\|，
∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y^2^=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y^2^=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y^2^﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m^2^+16＞0，y~1~+y~2~=4m，y~1~•y~2~=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m^2^+1，2m），弦长\|AB\|=\|y~1~﹣y~2~\|==4（m^2^+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m^2^+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y^2^+y﹣4（2m^2^+3）=0，∴y~3~+y~4~=，y~3~•y~4~=﹣4（2m^2^+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（+2m^2^+3，），∴\|MN\|=\|y~3~﹣y~4~\|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=\|MN\|，
∴+DE^2^=MN^2^，
∴4（m^2^+1）^2^ ++=×，化简可得 m^2^﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
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**2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试**
**理数试卷**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】分析：复数分子、分母同乘以，可化为，根据实部和虚部的定义可得结果.
详解：因为复数 ，
所以，复数的实部是，虚部是，故选A.
点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.
2\. 已知集合，，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】分析：利用三角函数的有界性化简集合，然后根据交集的定义求解即可..
详解：，，
，故选C.
点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.
3\. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到的值.
详解：
随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，且，
由，可知，故选B.
点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线对称；（2）在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为.
4\. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题"若，则"的否命题为"若，则"
B. 命题"若，则，互为相反数"的逆命题是真命题
C. 命题"，使得"的否定是"，都有"
D. 命题"若，则"的逆否命题为真命题
【答案】B
【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.
详解："若，则"的否命题为"若，则"，错误；
逆命题是 "若则，互为相反数，"，正确；
"，使得"的否定是"，都有"，错误；
"若，则"为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.
点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的"逆命题""否命题""逆否命题"，注意利用"原命题"与"逆否命题"同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.
5\. 已知满足，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
，选A.
6\. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故体积为，故选D.
7\. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】将函数向左平移个单位，可得对应的函数解析式为:，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式为:，则
∵
∴
∴
∴
∴
故选A
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循"左加右减"；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.
8\. 我国古代著名《九章算术》用"更相减损术"求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法------"辗转相除法"实质一样.如图的程序框图即源于"辗转相除法"，当输入，，输出的（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】依次运行程序框图中的程序．
*a*=6402，*b*=2046，
执行循环体，*r*=264，*a*=2046，*b*=264；
不满足条件，执行循环体，*r*=198，*a*=264，*b*=198；
不满足条件，执行循环体，*r*=66，*a*=198，*b*=66；
不满足条件，执行循环体，*r*=0，*a*=66，*b*=0．
满足条件*r*=0，退出循环．输出*a*的值为66．选A．
9\. 已知实数，满足约束条件若不等式 恒成立，则实数的最大值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，
在点或点处取得最小值，即.
题中的不等式即：，
则：恒成立，
原问题转化为求解函数的最小值，
整理函数的解析式有：
，
令，则，
令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，据此可得，当时，函数取得最大值，
则此时函数取得最小值，最小值为：.
综上可得，实数的最大值为.
本题选择*A*选项.
10\. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时，；当时，；所以当时， ，从而，因为，所以当时，；当时，；因此当时， ，选C.
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
11\. 设双曲线： 的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；
若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；
若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,
> 所以 是直角三角形，且 ,
>
> 所以由勾股定理，得，得,
>
> 故选B.
【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，分类讨论思想，属于中档题，首先对是的一个四等分点进行分类讨论，经过讨论，只有成立，经过分析，发现证明了 是直角三角形，且，因此可利用勾股定理得到之间的关系，进而得到的值，综合分析发现得到 是直角三角形是解决问题的关键.
12\. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】分析：根据的周期和对称性得出不等式在上有正整数解的个数为，利用导数研究函数的单调性，计算的值，结合函数图象列不等式，即可得出的范围.
详解：偶函数满足，
，
的周期为，且的图象关于直线对称，
由于上含有个周期，
且在每个周期内都是对称轴图形，
关于的不等式在上有个正整数解，
当时，，
中上单调递增，在上单调递减，，
当时，，
当时， 在上有个正整数，不符合题意， ，由可得或，
显然在上无正整数解，
故而在上有个正整数，分别为，，
，故选D.
点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，先将上有且只有个整数解，转化为关于的不等式在上有个正整数解，再转化为利用函数研究函数的单调性，从而得到结论.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为\_\_\_\_\_ ．
【答案】
【解析】分析：由，且求出向量平面向量的夹角，设出，，然后利用向量的坐标运算求解.
详解：由，且，
得，，
设出，
，的最大值为，故答案为.
点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，  （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
14\. 二项式展开式中的常数项是\_\_\_\_\_ ．
【答案】5
【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.
15\. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是\_\_\_\_\_ ．
【答案】
【解析】由题意，可知，所以，所以。
16\. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】分析：利用与投影面所成角，，，建立正视图的面积为和侧视图的面积为的关系，利用，求解最大值.
详解：
与投影面所成角时，平面如图所示，
，
，
，
故正视图的面积为，
因为，所以，
侧视图的面积为，
，
，，
，
，
，
故得的最大值为，故答案为.
点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值常见类型有：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)，.(2).
【解析】分析：（1）根据，列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列和的通项公式；（2）由（1）可得利用分组求和以及裂项相消法求和即可得结果.
详解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，
∴
∴，，
∴，.
（2）由（1）知
∴
∴  
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）  ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.学§科§网\...学§科§网\...学§科§网\...学§科§网\...学§科§网\...学§科§网\...学§科§网\...学§科§网\...
18\. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.
（1）已知平面平面，求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得平面,在根据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得 ， ∵平面，由此可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.
试题解析：（1）∵,平面,平面.
∴平面,
∵平面,平面平面
∴.
（2）∵底面是菱形，为的中点 ∴
∴ ∵平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则
∴，，
设平面的法向量为，有得
设，则，
则解之得，∴，
设直线与平面所成角为
则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19\. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的"朋友"，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的"井喷式"增长，也充分反映了人们消费方式的变化.
全国方便面销量情况（单位"亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）
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年份    
时间代号    
年销量（亿包/桶）    
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(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；
(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：回归方程：，其中，.
参考数据：.
【答案】(1)356;(2)见解析.
【解析】分析：（1）根据平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；(2)的可能值为，，，，结合组合知识，根据古典概型概率公式求出随机变量的概率，从而可得分布列，利用期望公式可得结果.
详解：（1），，
，，，
所以
当时，
（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，
所以；；；，
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
    
    
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
.
点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20\. 如图，设抛物线 （）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.
（1）当取最小值时，求和的方程；
（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.
【答案】(1),;(2)的面积最大值为，：.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.
试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，
此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；
（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，
由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，
于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为，，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，
设到直线的距离为，则，当时，，所以的面积最大值为．此时．
21\. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）求出，根据曲线在点处的切线与轴垂直即切线斜率为，求出的值，解即得函数的单调递增区间和递减区间；（2）由于，所以整理得，分别证明时，和，根据（1）可知：当时，由（1）知成立；当时，，，即证，构造函数，利用导数研究其在单调性，求出其在上的最大值即可证得，再构造函数，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.
试题解析：（1）因为，由已知得，∴．
所以，
设，则，在上恒成立，即在上是减函数，
由知，当时，从而，当时，从而．
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）因为，要证原式成立即证成立，
现证明：对任意恒成立，
当时，由（1）知成立；
当时，，且由（1）知，∴．
设，则，
当时，，当时，，所以当时，取得最大值．所以，即时，．
综上所述，对任意．①
令，则恒成立，所以在上递增，
恒成立，即，即．②
当时，有；当时，由①②式，，
综上所述，时，成立，故原不等式成立
考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.
方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ；
（2）设直线的参数方程为（为参数）
又直线与曲线：存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：可得则
联立直线与曲线：可得，则
即
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知，
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; （2）.作出函数的图象, 当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，由图可得结果.
详解：（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.
点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用"零点分段法"求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
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**衡水金卷2018届全国高三大联考理数**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，，则（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\....
所以,.
故选C.
2\. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】.
故的虚部为-3，即.
故选B.
3\. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则 （ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由，得，故.
故选C.
4\. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，
设军旗的面积为*S*，由题意可得：.
本题选择*B*选项.
5\. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.
依题意得.
故其离心率为.
故选A.
6\. 已知数列为等比数列，且，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】依题意，得，所以.
由,得，或（由于与同号，故舍去）.
所以.
.
故选A.
7\. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由图，可知.
故①中应填.
故选C.
8\. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】函数是奇函数，则，
即当时，，
构造函数，满足，则函数是偶函数，
则，
当时，，据此可得：，
即偶函数在区间上单调递减，
且：，
结合函数的单调性可得：，即：.
本题选择D选项.
**点睛：**对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号"*f*"，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若*f*(*x*)为偶函数，则*f*(－*x*)＝*f*(*x*)＝*f*(\|*x*\|)．
9\. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.
故选A.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循"长对正，高平齐，宽相等"的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
10\. 已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（ ）
A. 为真 B. 为假 C. 为真 D. 为真
【答案】D
【解析】由，可得.解得.
因为，所以，故为真命题；
将图象所有点向右平移个单位，
得.的图象，故为假命题，
所以为假，为真，为假，为真.
故选D.
11\. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】令，得，即.
由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.
消去，得.则，所以.
.
将代入得，故.
故.
故的周长为.
故选B.
点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.
12\. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】已知， ，两式子做差得到 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到 ，故  ，故裂项求和得到 ，由条件恒成立，得到K的最小值为．
故答案选B．
**点睛**：本题考查到了通项公式的求法，
从而得到数列是等差数列，再求出 ，根据裂项求和的方法可以求出前n项和。
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，
所以.所以.
14\. 已知（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为、，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】显然.令，得.
所以.
当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.
15\. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）
设，作出直线，
当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.
即，
当或时，.
当时，.
所以，解得.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
16\. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】设的中点为，如图，
由，且为直角三角形，得.
由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.
由等体积法，知.
即，
解得.
故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知函数，.
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.
【答案】(1)，（）；(2).
【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；
（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解.
试题解析：
（1）原式可化为，
，
，
，
故其最小正周期，
令，
解得，
即函数图象的对称轴方程为，
.
（2）由（1），知，
因为，所以.
又，
故得，解得.
由正弦定理及，得.
故.
18\. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.
（1）试探究的值，使平面，并给予证明；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；
（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.
试题解析：
（1）当时，平面.
证明如下：连接交于点，连接.
∵，
∴.
∵，∴.
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）取的中点,连接.则.
∵平面平面，平面平面，且，
∴平面.
∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴.
又∵，∴.
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
当时，有，
∴可得.
∴，，.
设平面的一个法向量为，
则有即
令，得，.
即.
设与平面所成的角为，
则 .
∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.
点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
19\. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
------ ------------------ -------------------- ------
经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计
男性 50 50 100
女性 60 40 100
合计 110 90 200
------ ------------------ -------------------- ------
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
-------------------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
-------------------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关；
(2)①；②答案见解析.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合列联表计算可得可知的观测值 ，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关；
(2)①依题意可得经常使用网络外卖的有人，偶尔或不用网络外卖的有人.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.
②由题意可得，随机变量服从二项分布，则；.
试题解析：
（1）由列联表可知的观测值 ，
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.
（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），
偶尔或不用网络外卖的有（人）.
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.
②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.
由题意得，∴；.
20\. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；
（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.
试题解析：
（1）由已知，得，，
又，
故解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1），知，如图，
易知直线不能平行于轴.
所以令直线的方程为，
，.
联立方程，
得，
所以，.
此时，
同理，令直线的方程为，
，，
此时，，
此时.
故.
所以四边形是平行四边形.
若是菱形，则，即，
于是有.
又，
，
所以有，
整理得到，
即，上述关于的方程显然没有实数解，
故四边形不可能是菱形.
21\. 已知函数（，），其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性及极值；
（2）若不等式在内恒成立，求证：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；
（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时， ，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.
试题解析：
（1）由题意得.
当，即时，，在内单调递增，没有极值.
当，即，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故当时，取得最小值，无极大值.
综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.
（2）由（1），知当时，在内单调递增，
当时，成立.
当时，令为和中较小的数，
所以，且.
则，.
所以，
与恒成立矛盾，应舍去.
当时， ，
即，
所以.
令，
则.
令，得，
令，得，
故在区间内单调递增，
在区间内单调递减.
故，
即当时，.
所以.
所以.
而，
所以.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.
(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1）直线的直角坐标方程为.
曲线上的点到直线的距离
 ，
当时，，
即曲线上的点到直线的距离的最大值为.
（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，
∴对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
∴.
又，∴解得，
∴实数的取值范围为.
23\. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的值域为，若，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）利用绝对值三角不等式求最小值得3，所以作差得，根据因子符号证明不等式
试题解析：（1）依题意，得
于是得或或
解得.
即不等式的解集为.
（2），
当且仅当时，取等号，
∴.
原不等式等价于.
∵，∴，.
∴.
∴.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
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**2015年上海市高考数学试卷（理科）**
**一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．**
1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x\|2≤x≤3}，则Α∩∁~U~Β=[ ]{.underline}．
2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=[ ]{.underline}．
3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c~1~﹣c~2~=[ ]{.underline}．
4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=[ ]{.underline}．
5．（4分）抛物线y^2^=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=[ ]{.underline}．
6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为[ ]{.underline}．
7．（4分）方程log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~（3^x﹣1^﹣2）+2的解为[ ]{.underline}．
8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为[ ]{.underline}（结果用数值表示）．
9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C~1~和C~2~．若C~1~的渐近线方程为y=±x，则C~2~的渐近线方程为[ ]{.underline}．
10．（4分）设f^﹣1^（x）为f（x）=2^x﹣2^+，x∈\[0，2\]的反函数，则y=f（x）+f^﹣1^（x）的最大值为[ ]{.underline}．
11．（4分）在（1+x+）^10^的展开式中，x^2^项的系数为[ ]{.underline}（结果用数值表示）．
12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ~1~和ξ~2~分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ~1~﹣Eξ~2~=[ ]{.underline}（元）．
13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x~1~，x~2~，...，x~m~满足0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，且\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12（m≥2，m∈N^\*^），则m的最小值为[ ]{.underline}．
14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．**
15．（5分）设z~1~，z~2~∈C，则"z~1~、z~2~中至少有一个数是虚数"是"z~1~﹣z~2~是虚数"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．记方程①：x^2^+a~1~x+1=0，方程②：x^2^+a~2~x+2=0，方程③：x^2^+a~3~x+4=0，其中a~1~，a~2~，a~3~是正实数．当a~1~，a~2~，a~3~成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
18．（5分）设 P~n~（x~n~，y~n~）是直线2x﹣y=（n∈N^\*^）与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点，则极限=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2
**三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.**
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A~1~、C~1~、F、E四点共面，并求直线CD~1~与平面A~1~C~1~FE所成的角的大小．
20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t~1~时乙到达C地．
（1）求t~1~与f（t~1~）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t~1~≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t~1~，1\]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）已知椭圆x^2^+2y^2^=1，过原点的两条直线l~1~和l~2~分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），用A、C的坐标表示点C到直线l~1~的距离，并证明S=2\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|；
（2）设l~1~与l~2~的斜率之积为﹣，求面积S的值．
22．（16分）已知数列{a~n~}与{b~n~}满足a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~），n∈N^\*^．
（1）若b~n~=3n+5，且a~1~=1，求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设{a~n~}的第n~0~项是最大项，即a≥a~n~（n∈N^\*^），求证：数列{b~n~}的第n~0~项是最大项；
（3）设a~1~=λ＜0，b~n~=λ^n^（n∈N^\*^），求λ的取值范围，使得{a~n~}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈\[f（a），f（b）\]，存在x~0~∈\[a，b\]，使得f（x~0~）=c；
（3）证明："u~0~为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上得解，"的充要条件是"u~0~+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解"，并证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
**2015年上海市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．**
1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x\|2≤x≤3}，则Α∩∁~U~Β=[ {1，4} ]{.underline}．
【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x\|2≤x≤3}，
∴（∁~U~B）={x\|x＞3或x＜2}，
∴A∩（∁~U~B）={1，4}，
故答案为：{1，4}．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．
2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+=1+i，
∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a=，b=．
∴z=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c~1~﹣c~2~=[ 16 ]{.underline}．
【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
【解答】解：由题意知，是方程组的解，
即，
则c~1~﹣c~2~=21﹣5=16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=[ 4 ]{.underline}．
【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．
【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，
∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
5．（4分）抛物线y^2^=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y^2^=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以=1，
所以p=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，
∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
∴l=2h，
设母线与轴的夹角为θ，
则cosθ==，
故θ=，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．
7．（4分）方程log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~（3^x﹣1^﹣2）+2的解为[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
【解答】解：∵log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~（3^x﹣1^﹣2）+2，∴log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~\[4×（3^x﹣1^﹣2）\]，
∴9^x﹣1^﹣5=4（3^x﹣1^﹣2），
化为（3^x^）^2^﹣12•3^x^+27=0，
因式分解为：（3^x^﹣3）（3^x^﹣9）=0，
∴3^x^=3，3^x^=9，
解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为[ 120 ]{.underline}（结果用数值表示）．
【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，
在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C~9~^5^=126种；
其中只有女教师的有C~6~^5^=6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；
故答案为：120．
【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C~1~和C~2~．若C~1~的渐近线方程为y=±x，则C~2~的渐近线方程为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设C~1~的方程为y^2^﹣3x^2^=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C~2~的渐近线方程．
【解答】解：设C~1~的方程为y^2^﹣3x^2^=λ，
设Q（x，y），则P（x，2y），代入y^2^﹣3x^2^=λ，可得4y^2^﹣3x^2^=λ，
∴C~2~的渐近线方程为4y^2^﹣3x^2^=0，即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（4分）设f^﹣1^（x）为f（x）=2^x﹣2^+，x∈\[0，2\]的反函数，则y=f（x）+f^﹣1^（x）的最大值为[ 4 ]{.underline}．
【分析】由f（x）=2^x﹣2^+在x∈\[0，2\]上为增函数可得其值域，得到y=f^﹣1^（x）在\[\]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f^﹣1^（x）的最大值．
【解答】解：由f（x）=2^x﹣2^+在x∈\[0，2\]上为增函数，得其值域为\[\]，
可得y=f^﹣1^（x）在\[\]上为增函数，
因此y=f（x）+f^﹣1^（x）在\[\]上为增函数，
∴y=f（x）+f^﹣1^（x）的最大值为f（2）+f^﹣1^（2）=1+1+2=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．
11．（4分）在（1+x+）^10^的展开式中，x^2^项的系数为[ 45 ]{.underline}（结果用数值表示）．
【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x^2^项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．
【解答】解：∵（1+x+）^10^ =，
∴仅在第一部分中出现x^2^项的系数．
再由，令r=2，可得，
x^2^项的系数为．
故答案为：45．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ~1~和ξ~2~分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ~1~﹣Eξ~2~=[ 0.2 ]{.underline}（元）．
【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．
【解答】解：赌金的分布列为
------ ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
ξ~1~ 1 2 3 4 5
P     
------ ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
所以 Eξ~1~=（1+2+3+4+5）=3，
奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，
则P（ξ~2~=1.4）==，P（ξ~2~=2.8）==，P（ξ~2~=4.2）==，P（ξ~2~=5.6）==
------ ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
ξ~2~ 1.4 2.8 4.2 5.6
P    
------ ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
所以 Eξ~2~=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，
则 Eξ~1~﹣Eξ~2~=3﹣2.8=0.2元．
故答案为：0.2
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．
13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x~1~，x~2~，...，x~m~满足0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，且\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12（m≥2，m∈N^\*^），则m的最小值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2，要使m取得最小值，尽可能多让x~i~（i=1，2，3，...，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】解：∵y=sinx对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2，
要使m取得最小值，尽可能多让x~i~（i=1，2，3，...，m）取得最高点，
考虑0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12，
按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2是解答该题的关键，是难题．
14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，
可得，，∴．
又tanA=，∴，联立sin^2^A+cos^2^A=1，得，cosA=．
由，得．
则．
∴•==．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．
**二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．**
15．（5分）设z~1~，z~2~∈C，则"z~1~、z~2~中至少有一个数是虚数"是"z~1~﹣z~2~是虚数"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．
【解答】解：设z~1~=1+i，z~2~=i，满足z~1~、z~2~中至少有一个数是虚数，则z~1~﹣z~2~=1是实数，则z~1~﹣z~2~是虚数不成立，
若z~1~、z~2~都是实数，则z~1~﹣z~2~一定不是虚数，因此当z~1~﹣z~2~是虚数时，
则z~1~、z~2~中至少有一个数是虚数，即必要性成立，
故"z~1~、z~2~中至少有一个数是虚数"是"z~1~﹣z~2~是虚数"的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．
16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），
∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，
将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，
则OB的倾斜角为θ+，则\|OB\|=\|OA\|=，
则点B的纵坐标为y=\|OB\|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
17．记方程①：x^2^+a~1~x+1=0，方程②：x^2^+a~2~x+2=0，方程③：x^2^+a~3~x+4=0，其中a~1~，a~2~，a~3~是正实数．当a~1~，a~2~，a~3~成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a~1~^2^≥4，a~2~^2^＜8，结合a~1~，a~2~，a~3~成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．
【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△~1~=a~1~^2^﹣4≥0，△~2~=a~2~^2^﹣8＜0，
即a~1~^2^≥4，a~2~^2^＜8，
∵a~1~，a~2~，a~3~成等比数列，
∴a~2~^2^=a~1~a~3~，
即a~3~=，
则a~3~^2^=（）^2^=，
即方程③的判别式△~3~=a~3~^2^﹣16＜0，此时方程③无实根，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．
18．（5分）设 P~n~（x~n~，y~n~）是直线2x﹣y=（n∈N^\*^）与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点，则极限=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2
【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 P~n~（x~n~，y~n~）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x^2^+y^2^=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．
∴=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.**
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A~1~、C~1~、F、E四点共面，并求直线CD~1~与平面A~1~C~1~FE所成的角的大小．
【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．
【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A~1~C~1~，
所以EF∥A~1~C~1~，
所以A~1~、C~1~、F、E四点共面．
以D为坐标原点，DA、DC、DD~1~分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得
，
设平面A~1~C~1~EF的法向量为
则，所以，即，
z=1，得x=1，y=1，所以，
所以=，
所以直线CD~1~与平面A~1~C~1~FE所成的角的大小arcsin．
【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．
20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t~1~时乙到达C地．
（1）求t~1~与f（t~1~）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t~1~≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t~1~，1\]上的最大值是否超过3？说明理由．
【分析】（1）由题意可得t~1~==h，由余弦定理可得f（t~1~）=PC=，代值计算可得；
（2）当t~1~≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈\[0，\]，可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得t~1~==h，
设此时甲运动到点P，则AP=v~甲~t~1~=5×=千米，
∴f（t~1~）=PC=
==千米；
（2）当t~1~≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，
∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，
∴f（t）=PQ=
=
=，
当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，
∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t
∴f（t）=
∴当＜t≤1时，f（t）∈\[0，\]，
故f（t）的最大值没有超过3千米．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．
21．（14分）已知椭圆x^2^+2y^2^=1，过原点的两条直线l~1~和l~2~分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），用A、C的坐标表示点C到直线l~1~的距离，并证明S=2\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|；
（2）设l~1~与l~2~的斜率之积为﹣，求面积S的值．
【分析】（1）依题意，直线l~1~的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l~1~的距离d=，再利用\|AB\|=2\|AO\|=2，可证得S=\|AB\|d=2\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|；当l~1~与l~2~时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l~1~的斜率为k，则直线l~2~的斜率为﹣，可得直线l~1~与l~2~的方程，联立方程组，可求得x~1~、x~2~、y~1~、y~2~，继而可求得答案．
方法二：设直线l~1~、l~2~的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x~1~，y~1~）、C（x~2~，y~2~）在椭圆x^2^+2y^2^=1上，可求得面积S的值．
【解答】解：（1）依题意，直线l~1~的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l~1~的距离d==，
因为\|AB\|=2\|AO\|=2，所以S=\|AB\|d=2\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|；
当l~1~与l~2~时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l~1~的斜率为k，则直线l~2~的斜率为﹣，
设直线l~1~的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，
根据对称性，设x~1~=，则y~1~=，
同理可得x~2~=，y~2~=，所以S=2\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=．
方法二：设直线l~1~、l~2~的斜率分别为、，则=﹣，
所以x~1~x~2~=﹣2y~1~y~2~，
∴=4=﹣2x~1~x~2~y~1~y~2~，
∵A（x~1~，y~1~）、C（x~2~，y~2~）在椭圆x^2^+2y^2^=1上，
∴（）（）=+4+2（+）=1，
即﹣4x~1~x~2~y~1~y~2~+2（+）=1，
所以（x~1~y~2~﹣x~2~y~1~）^2^=，即\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=，
所以S=2\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．
22．（16分）已知数列{a~n~}与{b~n~}满足a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~），n∈N^\*^．
（1）若b~n~=3n+5，且a~1~=1，求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设{a~n~}的第n~0~项是最大项，即a≥a~n~（n∈N^\*^），求证：数列{b~n~}的第n~0~项是最大项；
（3）设a~1~=λ＜0，b~n~=λ^n^（n∈N^\*^），求λ的取值范围，使得{a~n~}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．
【分析】（1）把b~n~=3n+5代入已知递推式可得a~n+1~﹣a~n~=6，由此得到{a~n~}是等差数列，则a~n~可求；
（2）由a~n~=（a~n~﹣a~n﹣1~）+（a~n﹣1~﹣a~n﹣2~）+...+（a~2~﹣a~1~）+a~1~，结合递推式累加得到a~n~=2b~n~+a~1~﹣2b~1~，求得，进一步得到得答案；
（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a~n~的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．
【解答】（1）解：∵a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~），b~n~=3n+5，
∴a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，
∴{a~n~}是等差数列，首项为a~1~=1，公差为6，
则a~n~=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；
（2）∵a~n~=（a~n~﹣a~n﹣1~）+（a~n﹣1~﹣a~n﹣2~）+...+（a~2~﹣a~1~）+a~1~
=2（b~n~﹣b~n﹣1~）+2（b~n﹣1~﹣b~n﹣2~）+...+2（b~2~﹣b~1~）+a~1~
=2b~n~+a~1~﹣2b~1~，
∴，
∴．
∴数列{b~n~}的第n~0~项是最大项；
（3）由（2）可得，
①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；
单调递增，有最小值m=a~1~=λ，
∴∈（﹣2，2），
∴λ∈，
∴．
②当λ=﹣1时，a~2n~=3，a~2n﹣1~=﹣1，
∴M=3，m=﹣1，
（﹣2，2），不满足条件．
③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a~2n~→+∞，无最大值；
当n→+∞时，a~2n﹣1~→﹣∞，无最小值．
综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．
23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈\[f（a），f（b）\]，存在x~0~∈\[a，b\]，使得f（x~0~）=c；
（3）证明："u~0~为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上得解，"的充要条件是"u~0~+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解"，并证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；
（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x~0~，使得f（x~0~）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x~0~∈\[a，b\]，从而完成证明；
（3）只需证明u~0~+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解得出u~0~为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k~1~π，k~1~∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k~1~＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在\[T，2T\]和它在\[0，T\]上解的个数的情况说明k~1~=3，和k~1~≥5是不存在的，而k~1~=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．
【解答】解：（1）g（x）=x+sin；
∴==cosg（x）
∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）∵f（x）的值域为R；
∴存在x~0~，使f（x~0~）=c；
又c∈\[f（a），f（b）\]；
∴f（a）≤f（x~0~）≤f（b），而f（x）为增函数；
∴a≤x~0~≤b；
即存在x~0~∈\[a，b\]，使f（x~0~）=c；
（3）证明：若u~0~+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解；
则：cosf（u~0~+T）=1，T≤u~0~+T≤2T；
∴cosf（u~0~）=1，且0≤u~0~≤T；
∴u~0~为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上的解；
∴"u~0~为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上得解"的充分条件是"u~0~+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解"；下面证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：
①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；
②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；
∴f（2T）=2k~1~π，（k~1~∈Z），f（T）=4π，且2k~1~π＞4π，∴k~1~＞2；
1）若k~1~=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x~0~∈（0，T），使f（x~0~）=2π；
cosf（x~0~+T）=cosf（x~0~）=1⇒f（x~0~+T）=2k~2~π，k~2~∈Z；
∴f（T）＜f（x~0~+T）＜f（2T）；
∴4π＜2k~2~π＜6π；
∴2＜k~2~＜3，无解；
2）若k~1~≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x~1~＜x~2~＜2T，使得f（x~1~）=6π，f（x~2~）=8π；
则T，x~1~，x~2~，2T为cosf（x）=1在\[T，2T\]上的4个解；
但方程cosf（x）=1在\[0，2T\]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；
3）当k~1~=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；
③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；
设其解为f（x~1~），f（x~2~），...，f（x~n~），（x~1~＜x~2~＜...＜x~n~）；
则f（x~1~+T），f（x~2~+T），...，f（x~n~+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
又f（x+T）∈（4π，8π）；
而f（x~1~）+4π，f（x~2~）+4π，...，f（x~n~）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
∴f（x~i~+T）=f（x~i~）+4π=f（x~i~）+f（T）；
∴综上对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数》单元测试4（附答案）**
1. 想一想，填一填。
1．边长是( )米的正方形的面积是1公顷。
2．一个长方形花坛的长是12米，宽是长的一半，这个长方形的周长是( )，面积是( )。
3．比较两个图形面积的大小时，要用统一的( )单位。
4．分子是( )，分母是( )，读作( )。
5\. 计算，就是用（ ）个减去( )个，剩下（ ）个，也就是（ ）。
二、小法官巧断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．边长为10厘米的正方形的面积是1平方分米。 ( )
2．图中甲图与乙图的周长不相等，面积也不相等。 ( )
3．用8厘米长的铁丝围成的正方形要比围成的长方形面积大。 ( )
4．一条路，走了五分之二，剩下的比已经走的路少。 ( )
5．因为7＜9，所以。 ( )
6．在和1中，最大的数是。 ( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、在（ ）里填上适当的单位名称。
1．一个脚印的面积大约是190（ ）。
2．香港特区的总面积约为1100（ ）。
3.的面积大约是80（ ）。
4\. 一根跳绳长约2（ ）。
5\. 北京天安门广场是世界上最大的广场，面积约440000（ ）。
四、连一连。
五、算一算。
六、解决问题。
 1．为创办绿色奥运，让世人看到中国的碧水蓝天。某小区积极行动，在小区内挂出了警示牌。警示牌的面积是多少平方分米呢？
2.为做好防控甲型流感工作，希望小学特重新装修隔离室，用长3分米，宽2分米的瓷砖铺地，用250块刚好将地面铺满。隔离室占地面积为多少平方米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3.在建设国家森林公园时，修建某路段，用去沙子吨，水泥吨。沙子和水泥一共用多少吨？
参考答案
一、1．100
2．36米 72平方米
3．面积
4．5 9 九分之五
5．6 2 4
二、1．√ 2．× 3．√ 4．× 5．× 6．×
三、1．平方厘米
2．平方千米
3．平方厘米
4．米
5．平方米
四、
五、 1
六、1．80×50=4000(平方厘米)
4000平方厘米=40平方分米
2．3×2＝6(平方分米)
250×6＝1500(平方分米)
1500平方分米＝15平方米
3\. （吨）
| 1 | |
**2019年北京市中考数学试卷**
**一、选择题（本题共16分,每小题2分)**
1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星"东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×10^6^ B．4.39×10^6^ C．4.39×10^5^ D．439×10^3^
2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点*A*，*B*在原点*O*的两侧，分别表示数*a*，2，将点*A*向右平移1个单位长度，得到点*C*，若*CO*＝*BO*，则*a*的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠*AOB*，如图，
> （1）在射线*OA*上取一点*C*，以点*O*为圆心，*OC*长为半径作，交射线*OB*于点*D*，连接*CD*；
>
> （2）分别以点*C*，*D*为圆心，*CD*长为半径作弧，交于点*M*，*N*；
>
> （3）连接*OM*，*MN*．
>
> 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
>
> 
A．∠*COM*＝∠*COD* B．若*OM*＝*MN*．则∠*AOB*＝20°
C．*MN*∥*CD* D．*MN*＝3*CD*
6．（2分）（2019•北京）如果*m*+*n*＝1，那么代数式（+）•（*m*^2^﹣*n*^2^）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．（2分）（2019•北京）用三个不等式*a*＞*b*，*ab*＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| 时间*t* | 0≤*t*＜10 | 10≤*t*＜20 | 20≤*t*＜30 | 30≤*t*＜40 | *t*≥40 | |
| | | | | | | |
| 人数 | | | | | | |
| | | | | | | |
| 学生类型 | | | | | | |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| 性别 | 男 | 7 | 31 | 25 | 30 | 4 |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| | 女 | 8 | 29 | 26 | 32 | 8 |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| 学段 | 初中 | | 25 | 36 | 44 | 11 |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| | 高中 | | | | | |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
> 
>
> 下面有四个推断：
>
> ①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
>
> ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
>
> ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
>
> ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
>
> 所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
**二、填空题（本题共16分，每小题2分）**
9．（2分）（2019•北京）分式的值为0，则*x*的值是[ ]{.underline}．
10．（2分）（2019•北京）如图，已知△*ABC*，通过测量、计算得△*ABC*的面积约为[ ]{.underline}*cm*^2^．（结果保留一位小数）
> 
11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是[ ]{.underline}．（写出所有正确答案的序号）
> 
12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠*PAB*+∠*PBA*＝[ ]{.underline}°（点*A*，*B*，*P*是网格线交点）．
> 
13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系*xOy*中，点*A*（*a*，*b*）（*a*＞0，*b*＞0）在双曲线*y*＝上，点*A*关于*x*轴的对称点*B*在双曲线*y*＝，则*k*~1~+*k*~2~的值为[ ]{.underline}．
14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为[ ]{.underline}．
> 
15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差*s*~0~^2^，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为*s*~1~^2^，则*s*~1~^2^[ ]{.underline}*s*~0~^2^（填"＞"，"＝"或"＜"）
16．（2分）（2019•北京）在矩形*ABCD*中，*M*，*N*，*P*，*Q*分别为边*AB*，*BC*，*CD*，*DA*上的点（不与端点重合），对于任意矩形*ABCD*，下面四个结论中，
> ①存在无数个四边形*MNPQ*是平行四边形；
>
> ②存在无数个四边形*MNPQ*是矩形；
>
> ③存在无数个四边形*MNPQ*是菱形；
>
> ④至少存在一个四边形*MNPQ*是正方形．
>
> 所有正确结论的序号是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，**
17．（5分）（2019•北京）计算：\|﹣\|﹣（4﹣π）^0^+2sin60°+（）^﹣1^．
18．（5分）（2019•北京）解不等式组：
19．（5分）（2019•北京）关于*x*的方程*x*^2^﹣2*x*+2*m*﹣1＝0有实数根，且*m*为正整数，求*m*的值及此时方程的根．
20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形*ABCD*中，*AC*为对角线，点*E*，*F*分别在*AB*，*AD*上，*BE*＝*DF*，连接*EF*．
> （1）求证：*AC*⊥*EF*；
>
> （2）延长*EF*交*CD*的延长线于点*G*，连接*BD*交*AC*于点*O*．若*BD*＝4，tan*G*＝，求*AO*的长．
>
> 
21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
> *a*．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤*x*＜40，40≤*x*＜50，50≤*x*＜60，60≤*x*＜70，70≤*x*＜80，80≤*x*＜90，90≤*x*≤100）；
>
> 
>
> *b*．国家创新指数得分在60≤*x*＜70这一组的是：
>
> 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
>
> *c*．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
>
> 
>
> *d*．中国的国家创新指数得分为69.5．
>
> （以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
>
> 根据以上信息，回答下列问题：
>
> （1）中国的国家创新指数得分排名世界第[ ]{.underline}；
>
> （2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线*l*~1~的上方，请在图中用"〇"圈出代表中国的点；
>
> （3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为[ ]{.underline}万美元；（结果保留一位小数）
>
> （4）下列推断合理的是[ ]{.underline}．
>
> ①相比于点*A*，*B*所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出"加快建设创新型国家"的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
>
> ②相比于点*B*，*C*所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出"决胜全面建成小康社会"的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点*A*，*B*，*C*，如图所示，点*O*到点*A*，*B*，*C*的距离均等于*a*（*a*为常数），到点*O*的距离等于*a*的所有点组成图形*G*，∠*ABC*的平分线交图形*G*于点*D*，连接*AD*，*CD*．
> （1）求证：*AD*＝*CD*；
>
> （2）过点*D*作*DE*⊥*BA*，垂足为*E*，作*DF*⊥*BC*，垂足为*F*，延长*DF*交图形*G*于点*M*，连接*CM*．若*AD*＝*CM*，求直线*DE*与图形*G*的公共点个数．
>
> 
23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
> ①将诗词分成4组，第*i*组有*x~i~*首，*i*＝1，2，3，4；
>
> ②对于第*i*组诗词，第*i*天背诵第一遍，第（*i*+1）天背诵第二遍，第（*i*+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，*i*＝1，2，3，4；
------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- --------
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 *x*~1~ *x*~1~ *x*~1~
第2组 *x*~2~ *x*~2~ *x*~2~
第3组
第4组 *x*~4~ *x*~4~ *x*~4~
------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- --------
> ③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
>
> 解答下列问题：
>
> （1）填入*x*~3~补全上表；
>
> （2）若*x*~1~＝4，*x*~2~＝3，*x*~3~＝4，则*x*~4~的所有可能取值为[ ]{.underline}；
>
> （3）7天后，小云背诵的诗词最多为[ ]{.underline}首．
24．（6分）（2019•北京）如图，*P*是与弦*AB*所围成的图形的外部的一定点，*C*是上一动点，连接*PC*交弦*AB*于点*D*．
> 小腾根据学习函数的经验，对线段*PC*，*PD*，*AD*的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
>
> （1）对于点*C*在上的不同位置，画图、测量，得到了线段*PC*，*PD*，*AD*的长度的几组值，如下表：
----------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
*PC*/*cm* 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
*PD*/*cm* 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
*AD*/*cm* 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
----------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
> 在*PC*，*PD*，*AD*的长度这三个量中，确定[ ]{.underline}的长度是自变量，[ ]{.underline}的长度和[ ]{.underline}的长度都是这个自变量的函数；
>
> （2）在同一平面直角坐标系*xOy*中，画出（1）中所确定的函数的图象；
>
> 
>
> （3）结合函数图象，解决问题：当*PC*＝2*PD*时，*AD*的长度约为[ ]{.underline}*cm*．
>
> 
25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系*xOy*中，直线*l*：*y*＝*kx*+1（*k*≠0）与直线*x*＝*k*，直线*y*＝﹣*k*分别交于点*A*，*B*，直线*x*＝*k*与直线*y*＝﹣*k*交于点*C*．
> （1）求直线*l*与*y*轴的交点坐标；
>
> （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段*AB*，*BC*，*CA*围成的区域（不含边界）为*W*．
>
> ①当*k*＝2时，结合函数图象，求区域*W*内的整点个数；
>
> ②若区域*W*内没有整点，直接写出*k*的取值范围．
26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系*xOy*中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*﹣与*y*轴交于点*A*，将点*A*向右平移2个单位长度，得到点*B*，点*B*在抛物线上．
> （1）求点*B*的坐标（用含*a*的式子表示）；
>
> （2）求抛物线的对称轴；
>
> （3）已知点*P*（，﹣），*Q*（2，2）．若抛物线与线段*PQ*恰有一个公共点，结合函数图象，求*a*的取值范围．
27．（7分）（2019•北京）已知∠*AOB*＝30°，*H*为射线*OA*上一定点，*OH*＝+1，*P*为射线*OB*上一点，*M*为线段*OH*上一动点，连接*PM*，满足∠*OMP*为钝角，以点*P*为中心，将线段*PM*顺时针旋转150°，得到线段*PN*，连接*ON*．
> （1）依题意补全图1；
>
> （2）求证：∠*OMP*＝∠*OPN*；
>
> （3）点*M*关于点*H*的对称点为*Q*，连接*QP*．写出一个*OP*的值，使得对于任意的点*M*总有*ON*＝*QP*，并证明．
>
> 
28．（7分）（2019•北京）在△*ABC*中，*D*，*E*分别是△*ABC*两边的中点，如果上的所有点都在△*ABC*的内部或边上，则称为△*ABC*的中内弧．例如，图1中是△*ABC*的一条中内弧．
> 
>
> （1）如图2，在Rt△*ABC*中，*AB*＝*AC*＝，*D*，*E*分别是*AB*，*AC*的中点，画出△*ABC*的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
>
> （2）在平面直角坐标系中，已知点*A*（0，2），*B*（0，0），*C*（4*t*，0）（*t*＞0），在△*ABC*中，*D*，*E*分别是*AB*，*AC*的中点．
>
> ①若*t*＝，求△*ABC*的中内弧所在圆的圆心*P*的纵坐标的取值范围；
>
> ②若在△*ABC*中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心*P*在△*ABC*的内部或边上，直接写出*t*的取值范围．
**2019年北京市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题共16分,每小题2分)**
1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星"东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×10^6^ B．4.39×10^6^ C．4.39×10^5^ D．439×10^3^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×10^5^．
>
> 故选：*C*．
2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
>
> 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
>
> 【解答】解：*A*、不是轴对称图形，故此选项错误；
>
> *B*、不是轴对称图形，故此选项错误；
>
> *C*、是轴对称图形，故此选项正确；
>
> *D*、不是轴对称图形，故此选项错误．
>
> 故选：*C*．
3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
> 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
>
> 【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
>
> 所以正十边形的外角和等于360°，．
>
> 故选：*B*．
4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点*A*，*B*在原点*O*的两侧，分别表示数*a*，2，将点*A*向右平移1个单位长度，得到点*C*，若*CO*＝*BO*，则*a*的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
> 【考点】数轴．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据*CO*＝*BO*可得点*C*表示的数为﹣2，据此可得*a*＝﹣2﹣1＝﹣3．
>
> 【解答】解：∵点*C*在原点的左侧，且*CO*＝*BO*，
>
> ∴点*C*表示的数为﹣2，
>
> ∴*a*＝﹣2﹣1＝﹣3．
>
> 故选：*A*．
5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠*AOB*，如图，
> （1）在射线*OA*上取一点*C*，以点*O*为圆心，*OC*长为半径作，交射线*OB*于点*D*，连接*CD*；
>
> （2）分别以点*C*，*D*为圆心，*CD*长为半径作弧，交于点*M*，*N*；
>
> （3）连接*OM*，*MN*．
>
> 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
>
> 
A．∠*COM*＝∠*COD* B．若*OM*＝*MN*．则∠*AOB*＝20°
C．*MN*∥*CD* D．*MN*＝3*CD*
> 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图---复杂作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】由作图知*CM*＝*CD*＝*DN*，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
>
> 【解答】解：由作图知*CM*＝*CD*＝*DN*，
>
> ∴∠*COM*＝∠*COD*，故*A*选项正确；
>
> 
>
> ∵*OM*＝*ON*＝*MN*，
>
> ∴△*OMN*是等边三角形，
>
> ∴∠*MON*＝60°，
>
> ∵*CM*＝*CD*＝*DN*，
>
> ∴∠*MOA*＝∠*AOB*＝∠*BON*＝∠*MON*＝20°，故*B*选项正确；
>
> ∵∠*MOA*＝∠*AOB*＝∠*BON*＝20°，
>
> ∴∠*OCD*＝∠*OCM*＝80°，
>
> ∴∠*MCD*＝160°，
>
> 又∠*CMN*＝∠*AON*＝20°，
>
> ∴∠*MCD*+∠*CMN*＝180°，
>
> ∴*MN*∥*CD*，故*C*选项正确；
>
> ∵*MC*+*CD*+*DN*＞*MN*，且*CM*＝*CD*＝*DN*，
>
> ∴3*CD*＞*MN*，故*D*选项错误；
>
> 故选：*D*．
6．（2分）（2019•北京）如果*m*+*n*＝1，那么代数式（+）•（*m*^2^﹣*n*^2^）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
> 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
>
> 【解答】解：原式＝•（*m*+*n*）（*m*﹣*n*）＝•（*m*+*n*）（*m*﹣*n*）＝3（*m*+*n*），
>
> 当*m*+*n*＝1时，原式＝3．
>
> 故选：*D*．
7．（2分）（2019•北京）用三个不等式*a*＞*b*，*ab*＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
> 【考点】命题与定理．菁优网版权所有
>
> 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
>
> 【解答】解：①若*a*＞*b*，*ab*＞0，则＜，真命题；
>
> ②若*ab*＞0，＜，则*a*＞*b*，真命题；
>
> ③若*a*＞*b*，＜，则*ab*＞0，真命题；
>
> ∴组成真命题的个数为3个；
>
> 故选：*D*．
8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| 时间*t* | 0≤*t*＜10 | 10≤*t*＜20 | 20≤*t*＜30 | 30≤*t*＜40 | *t*≥40 | |
| | | | | | | |
| 人数 | | | | | | |
| | | | | | | |
| 学生类型 | | | | | | |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| 性别 | 男 | 7 | 31 | 25 | 30 | 4 |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| | 女 | 8 | 29 | 26 | 32 | 8 |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| 学段 | 初中 | | 25 | 36 | 44 | 11 |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
| | 高中 | | | | | |
+----------+-----------+------------+------------+------------+--------+----+
> 
>
> 下面有四个推断：
>
> ①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
>
> ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
>
> ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
>
> ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
>
> 所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
> 【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数．菁优网版权所有
>
> 【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
>
> 【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；
>
> ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间，正确；
>
> ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间，正确；
>
> ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间，错误．
>
> 故选：*C*．
**二、填空题（本题共16分，每小题2分）**
9．（2分）（2019•北京）分式的值为0，则*x*的值是[ 1 ]{.underline}．
> 【考点】63：分式的值为零的条件．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式的值为零的条件得到*x*﹣1＝0且*x*≠0，易得*x*＝1．
>
> 【解答】解：∵分式的值为0，
>
> ∴*x*﹣1＝0且*x*≠0，
>
> ∴*x*＝1．
>
> 故答案为1．
10．（2分）（2019•北京）如图，已知△*ABC*，通过测量、计算得△*ABC*的面积约为[ 1.9 ]{.underline}*cm*^2^．（结果保留一位小数）
> 
>
> 【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
>
> 【分析】过点*C*作*CD*⊥*AB*的延长线于点*D*，测量出*AB*，*CD*的长，再利用三角形的面积公式即可求出△*ABC*的面积．
>
> 【解答】解：过点*C*作*CD*⊥*AB*的延长线于点*D*，如图所示．
>
> 经过测量，*AB*＝2.2*cm*，*CD*＝1.7*cm*，
>
> ∴*S*~△*ABC*~＝*AB*•*CD*＝×2.2×1.7≈1.9（*cm*^2^）．
>
> 故答案为：1.9．
>
> 
11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是[ ①② ]{.underline}．（写出所有正确答案的序号）
> 
>
> 【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
>
> 【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
>
> 圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
>
> 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
>
> 故答案为：①②．
12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠*PAB*+∠*PBA*＝[ 45 ]{.underline}°（点*A*，*B*，*P*是网格线交点）．
> 
>
> 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
>
> 【分析】延长*AP*交格点于*D*，连接*BD*，根据勾股定理得到*PD*^2^＝*BD*^2^＝1+2^2^＝5，*PB*^2^＝1^2^+3^2^＝10，求得*PD*^2^+*DB*^2^＝*PB*^2^，于是得到∠*PDB*＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
>
> 【解答】解：延长*AP*交格点于*D*，连接*BD*，
>
> 则*PD*^2^＝*BD*^2^＝1+2^2^＝5，*PB*^2^＝1^2^+3^2^＝10，
>
> ∴*PD*^2^+*DB*^2^＝*PB*^2^，
>
> ∴∠*PDB*＝90°，
>
> ∴∠*DPB*＝∠*PAB*+∠*PBA*＝45°，
>
> 故答案为：45．
>
> 
13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系*xOy*中，点*A*（*a*，*b*）（*a*＞0，*b*＞0）在双曲线*y*＝上，点*A*关于*x*轴的对称点*B*在双曲线*y*＝，则*k*~1~+*k*~2~的值为[ 0 ]{.underline}．
> 【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
>
> 【分析】由点*A*（*a*，*b*）（*a*＞0，*b*＞0）在双曲线*y*＝上，可得*k*~1~＝*ab*，由点*A*与点*B*关于*x*轴的对称，可得到点*B*的坐标，进而表示出*k*~2~，然后得出答案．
>
> 【解答】解：∵点*A*（*a*，*b*）（*a*＞0，*b*＞0）在双曲线*y*＝上，
>
> ∴*k*~1~＝*ab*；
>
> 又∵点*A*与点*B*关于*x*轴的对称，
>
> ∴*B*（*a*，﹣*b*）
>
> ∵点*B*在双曲线*y*＝上，
>
> ∴*k*~2~＝﹣*ab*；
>
> ∴*k*~1~+*k*~2~＝*ab*+（﹣*ab*）＝0；
>
> 故答案为：0．
14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为[ 12 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】菱形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由菱形的性质得出*OA*＝*OC*，*OB*＝*OD*，*AC*⊥*BD*，设*OA*＝*x*，*OB*＝*y*，由题意得：，解得：，得出*AC*＝2*OA*＝6，*BD*＝2*OB*＝4，即可得出菱形的面积．
>
> 【解答】解：如图1所示：
>
> ∵四边形*ABCD*是菱形，
>
> ∴*OA*＝*OC*，*OB*＝*OD*，*AC*⊥*BD*，
>
> 设*OA*＝*x*，*OB*＝*y*，
>
> 由题意得：，
>
> 解得：，
>
> ∴*AC*＝2*OA*＝6，*BD*＝2*OB*＝4，
>
> ∴菱形*ABCD*的面积＝*AC*×*BD*＝×6×4＝12；
>
> 故答案为：12．
>
> 
15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差*s*~0~^2^，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为*s*~1~^2^，则*s*~1~^2^[ ＝ ]{.underline}*s*~0~^2^（填"＞"，"＝"或"＜"）
> 【考点】算术平均数；方差．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
>
> 【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
>
> ∴则*s*~1~^2^＝*S*~0~^2^．
>
> 故答案为＝．
16．（2分）（2019•北京）在矩形*ABCD*中，*M*，*N*，*P*，*Q*分别为边*AB*，*BC*，*CD*，*DA*上的点（不与端点重合），对于任意矩形*ABCD*，下面四个结论中，
> ①存在无数个四边形*MNPQ*是平行四边形；
>
> ②存在无数个四边形*MNPQ*是矩形；
>
> ③存在无数个四边形*MNPQ*是菱形；
>
> ④至少存在一个四边形*MNPQ*是正方形．
>
> 所有正确结论的序号是[ ①②③ ]{.underline}．
>
> 【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
>
> 【解答】解：①如图，∵四边形*ABCD*是矩形，连接*AC*，*BD*交于*O*，
>
> 过点*O*直线*MP*和*QN*，分别交*AB*，*BC*，*CD*，*AD*于*M*，*N*，*P*，*Q*，
>
> 则四边形*MNPQ*是平行四边形，
>
> 故当*MQ*∥*PN*，*PQ*∥*MN*，四边形*MNPQ*是平行四边形，
>
> 故存在无数个四边形*MNPQ*是平行四边形；故正确；
>
> ②如图，当*PM*＝*QN*时，四边形*MNPQ*是矩形，故存在无数个四边形*MNPQ*是矩形；故正确；
>
> ③如图，当*PM*⊥*QN*时，存在无数个四边形*MNPQ*是菱形；故正确；
>
> ④当四边形*MNPQ*是正方形时，*MQ*＝*PQ*，
>
> 则△*AMQ*≌△*DQP*，
>
> ∴*AM*＝*QD*，*AQ*＝*PD*，
>
> ∵*PD*＝*BM*，
>
> ∴*AB*＝*AD*，
>
> ∴四边形*ABCD*是正方形与任意矩形*ABCD*矛盾，故错误；
>
> 故答案为：①②③．
>
> 
**三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，**
17．（5分）（2019•北京）计算：\|﹣\|﹣（4﹣π）^0^+2sin60°+（）^﹣1^．
> 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案
>
> 【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．
18．（5分）（2019•北京）解不等式组：
> 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
>
> 【解答】解：，
>
> 解①得：*x*＜2，
>
> 解②得*x*＜，
>
> 则不等式组的解集为*x*＜2．
19．（5分）（2019•北京）关于*x*的方程*x*^2^﹣2*x*+2*m*﹣1＝0有实数根，且*m*为正整数，求*m*的值及此时方程的根．
> 【考点】根的判别式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用根的判别式得出*m*的取值范围进而解方程得出答案．
>
> 【解答】解：∵关于*x*的方程*x*^2^﹣2*x*+2*m*﹣1＝0有实数根，
>
> ∴*b*^2^﹣4*ac*＝4﹣4（2*m*﹣1）≥0，
>
> 解得：*m*≤1，
>
> ∵*m*为正整数，
>
> ∴*m*＝1，
>
> ∴*x*^2^﹣2*x*+1＝0，
>
> 则（*x*﹣1）^2^＝0，
>
> 解得：*x*~1~＝*x*~2~＝1．
20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形*ABCD*中，*AC*为对角线，点*E*，*F*分别在*AB*，*AD*上，*BE*＝*DF*，连接*EF*．
> （1）求证：*AC*⊥*EF*；
>
> （2）延长*EF*交*CD*的延长线于点*G*，连接*BD*交*AC*于点*O*．若*BD*＝4，tan*G*＝，求*AO*的长．
>
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由菱形的性质得出*AB*＝*AD*，*AC*⊥*BD*，*OB*＝*OD*，得出*AB*：*BE*＝*AD*：*DF*，证出*EF*∥*BD*即可得出结论；
>
> （2）由平行线的性质得出∠*G*＝∠*ADO*，由三角函数得出tan*G*＝tan∠*ADO*＝＝，得出*OA*＝*OD*，由*BD*＝4，得出*OD*＝2，得出*OA*＝1．
>
> 【解答】（1）证明：连接*BD*，如图1所示：
>
> ∵四边形*ABCD*是菱形，
>
> ∴*AB*＝*AD*，*AC*⊥*BD*，*OB*＝*OD*，
>
> ∵*BE*＝*DF*，
>
> ∴*AB*：*BE*＝*AD*：*DF*，
>
> ∴*EF*∥*BD*，
>
> ∴*AC*⊥*EF*；
>
> （2）解：如图2所示：
>
> ∵由（1）得：*EF*∥*BD*，
>
> ∴∠*G*＝∠*ADO*，
>
> ∴tan*G*＝tan∠*ADO*＝＝，
>
> ∴*OA*＝*OD*，
>
> ∵*BD*＝4，
>
> ∴*OD*＝2，
>
> ∴*OA*＝1．
>
>  
21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
> *a*．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤*x*＜40，40≤*x*＜50，50≤*x*＜60，60≤*x*＜70，70≤*x*＜80，80≤*x*＜90，90≤*x*≤100）；
>
> 
>
> *b*．国家创新指数得分在60≤*x*＜70这一组的是：
>
> 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
>
> *c*．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
>
> 
>
> *d*．中国的国家创新指数得分为69.5．
>
> （以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
>
> 根据以上信息，回答下列问题：
>
> （1）中国的国家创新指数得分排名世界第[ 17 ]{.underline}；
>
> （2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线*l*~1~的上方，请在图中用"〇"圈出代表中国的点；
>
> （3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为[ 2.8 ]{.underline}万美元；（结果保留一位小数）
>
> （4）下列推断合理的是[ ①② ]{.underline}．
>
> ①相比于点*A*，*B*所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出"加快建设创新型国家"的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
>
> ②相比于点*B*，*C*所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出"决胜全面建成小康社会"的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
>
> 【考点】近似数和有效数字；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
>
> （2）根据中国在虚线*l*~1~的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
>
> （3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
>
> （4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
>
> 【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
>
> ∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
>
> 故答案为：17；
>
> （2）如图所示：
>
> （3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
>
> 故答案为：2.8；
>
> （4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
>
> ①相比于点*A*、*B*所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出"加快建设创新型国家"的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
>
> ②相比于点*B*，*C*所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出"决胜全面建成小康社会"的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
>
> 故答案为：①②．
>
> 
22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点*A*，*B*，*C*，如图所示，点*O*到点*A*，*B*，*C*的距离均等于*a*（*a*为常数），到点*O*的距离等于*a*的所有点组成图形*G*，∠*ABC*的平分线交图形*G*于点*D*，连接*AD*，*CD*．
> （1）求证：*AD*＝*CD*；
>
> （2）过点*D*作*DE*⊥*BA*，垂足为*E*，作*DF*⊥*BC*，垂足为*F*，延长*DF*交图形*G*于点*M*，连接*CM*．若*AD*＝*CM*，求直线*DE*与图形*G*的公共点个数．
>
> 
>
> 【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）利用圆的定义得到图形*G*为△*ABC*的外接圆⊙*O*，由∠*ABD*＝∠*CBD*得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到*AD*＝*CD*；
>
> （2）如图，证明*CD*＝*CM*，则可得到*BC*垂直平分*DM*，利用垂径定理得到*BC*为直径，再证明*OD*⊥*DE*，从而可判断*DE*为⊙*O*的切线，于是得到直线*DE*与图形*G*的公共点个数．
>
> 【解答】（1）证明：∵到点*O*的距离等于*a*的所有点组成图形*G*，
>
> ∴图形*G*为△*ABC*的外接圆⊙*O*，
>
> ∵*AD*平分∠*ABC*，
>
> ∴∠*ABD*＝∠*CBD*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*AD*＝*CD*；
>
> （2）如图，∵*AD*＝*CM*，*AD*＝*CD*，
>
> ∴*CD*＝*CM*，
>
> ∵*DM*⊥*BC*，
>
> ∴*BC*垂直平分*DM*，
>
> ∴*BC*为直径，
>
> ∴∠*BAC*＝90°，
>
> ∵＝，
>
> ∴*OD*⊥*AC*，
>
> ∴*OD*∥*AB*，
>
> ∵*DE*⊥*AB*，
>
> ∴*OD*⊥*DE*，
>
> ∴*DE*为⊙*O*的切线，
>
> ∴直线*DE*与图形*G*的公共点个数为1．
>
> 
23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
> ①将诗词分成4组，第*i*组有*x~i~*首，*i*＝1，2，3，4；
>
> ②对于第*i*组诗词，第*i*天背诵第一遍，第（*i*+1）天背诵第二遍，第（*i*+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，*i*＝1，2，3，4；
------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- --------
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 *x*~1~ *x*~1~ *x*~1~
第2组 *x*~2~ *x*~2~ *x*~2~
第3组
第4组 *x*~4~ *x*~4~ *x*~4~
------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- --------
> ③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
>
> 解答下列问题：
>
> （1）填入*x*~3~补全上表；
>
> （2）若*x*~1~＝4，*x*~2~＝3，*x*~3~＝4，则*x*~4~的所有可能取值为[ 4，5，6 ]{.underline}；
>
> （3）7天后，小云背诵的诗词最多为[ 23 ]{.underline}首．
>
> 【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
>
> （2）根据题意列不等式即可得到结论；
>
> （3）根据题意列不等式，即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）
------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 *x*~1~ *x*~1~ *x*~1~
第2组 *x*~2~ *x*~2~ *x*~2~
第3组 *x*~3~ *x*~3~ *x*~3~
第4组 *x*~4~ *x*~4~ *x*~4~
------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
> （2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
>
> ∴*x*~1~≥4，*x*~3~≥4，*x*~4~≥4，
>
> ∴*x*~1~+*x*~3~≥8①，
>
> ∵*x*~1~+*x*~3~+*x*~4~≤14②，
>
> 把①代入②得，*x*~4~≤6，
>
> ∴4≤*x*~4~≤6，
>
> ∴*x*~4~的所有可能取值为4，5，6，
>
> 故答案为：4，5，6；
>
> （3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
>
> ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
>
> *x*~1~+*x*~2~≤14①，*x*~2~+*x*~3~≤14②，*x*~1~+*x*~3~+*x*~4~≤14③，*x*~2~+*x*~4~≤14④，
>
> ①+②+④﹣③得，3*x*~2~≤28，
>
> ∴*x*~2~≤，
>
> ∴*x*~1~+*x*~2~+*x*~3~+*x*~4~≤+14＝，
>
> ∴*x*~1~+*x*~2~+*x*~3~+*x*~4~≤23，
>
> ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
>
> 故答案为：23．
24．（6分）（2019•北京）如图，*P*是与弦*AB*所围成的图形的外部的一定点，*C*是上一动点，连接*PC*交弦*AB*于点*D*．
> 小腾根据学习函数的经验，对线段*PC*，*PD*，*AD*的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
>
> （1）对于点*C*在上的不同位置，画图、测量，得到了线段*PC*，*PD*，*AD*的长度的几组值，如下表：
----------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
*PC*/*cm* 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
*PD*/*cm* 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
*AD*/*cm* 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
----------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
> 在*PC*，*PD*，*AD*的长度这三个量中，确定[ *AD* ]{.underline}的长度是自变量，[ *PD* ]{.underline}的长度和[ *PC* ]{.underline}的长度都是这个自变量的函数；
>
> （2）在同一平面直角坐标系*xOy*中，画出（1）中所确定的函数的图象；
>
> 
>
> （3）结合函数图象，解决问题：当*PC*＝2*PD*时，*AD*的长度约为[ 1.59（答案不唯一） ]{.underline}*cm*．
>
> 
>
> 【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，*PC*、*PD*不可能为自变量，只能是*AD*为自变量，即可求解；
>
> （2）描点画出如图图象；
>
> （3）*PC*＝2*PD*，即*PD*＝*PC*，画出*y*＝*x*，交曲线*AD*的值为所求，即可求解．
>
> 【解答】解：（1）根据函数的定义，*PC*、*PD*不可能为自变量，只能是*AD*为自变量
>
> 故答案为：*AD*、*PC*、*PD*；
>
> （2）描点画出如图图象；
>
> 
>
> （3）*PC*＝2*PD*，即*PD*＝*PC*，
>
> 画出*y*＝*x*，交曲线*AD*的值约为1.59，
>
> 故答案为1.59（答案不唯一）．
25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系*xOy*中，直线*l*：*y*＝*kx*+1（*k*≠0）与直线*x*＝*k*，直线*y*＝﹣*k*分别交于点*A*，*B*，直线*x*＝*k*与直线*y*＝﹣*k*交于点*C*．
> （1）求直线*l*与*y*轴的交点坐标；
>
> （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段*AB*，*BC*，*CA*围成的区域（不含边界）为*W*．
>
> ①当*k*＝2时，结合函数图象，求区域*W*内的整点个数；
>
> ②若区域*W*内没有整点，直接写出*k*的取值范围．
>
> 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）令*x*＝0，*y*＝1，直线*l*与*y*轴的交点坐标（0，1）；
>
> （2）①当*k*＝2时，*A*（2，5），*B*（﹣，﹣2），*C*（2，﹣2），在*W*区域内有6个整数点；②当*x*＝*k*+1时，*y*＝﹣*k*+1，则有*k*^2^+2*k*＝0，*k*＝﹣2，当0＞*k*≥﹣1时，*W*内没有整数点；
>
> 【解答】解：（1）令*x*＝0，*y*＝1，
>
> ∴直线*l*与*y*轴的交点坐标（0，1）；
>
> （2）由题意，*A*（*k*，*k*^2^+1），*B*（，﹣*k*），*C*（*k*，﹣*k*），
>
> ①当*k*＝2时，*A*（2，5），*B*（﹣，﹣2），*C*（2，﹣2），
>
> 在*W*区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
>
> ②直线*AB*的解析式为*y*＝*kx*+1，
>
> 当*x*＝*k*+1时，*y*＝﹣*k*+1，则有*k*^2^+2*k*＝0，
>
> ∴*k*＝﹣2，
>
> 当0＞*k*≥﹣1时，*W*内没有整数点，
>
> ∴当0＞*k*≥﹣1或*k*＝﹣2时*W*内没有整数点；
26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系*xOy*中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*﹣与*y*轴交于点*A*，将点*A*向右平移2个单位长度，得到点*B*，点*B*在抛物线上．
> （1）求点*B*的坐标（用含*a*的式子表示）；
>
> （2）求抛物线的对称轴；
>
> （3）已知点*P*（，﹣），*Q*（2，2）．若抛物线与线段*PQ*恰有一个公共点，结合函数图象，求*a*的取值范围．
>
> 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）*A*（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点*B*（2，﹣）；
>
> （2）*A*与*B*关于对称轴*x*＝1对称；
>
> （3）①*a*＞0时，当*x*＝2时，*y*＝﹣＜2，当*y*＝﹣时，*x*＝0或*x*＝2，所以函数与*AB*无交点；
>
> ②*a*＜0时，当*y*＝2时，*ax*^2^﹣2*ax*﹣＝2，*x*＝或*x*＝当≤2时，*a*≤﹣；
>
> 【解答】解：（1）*A*（0，﹣）
>
> 点*A*向右平移2个单位长度，得到点*B*（2，﹣）；
>
> （2）*A*与*B*关于对称轴*x*＝1对称，
>
> ∴抛物线对称轴*x*＝1；
>
> （3）∵对称轴*x*＝1，
>
> ∴*b*﹣2*a*，
>
> ∴*y*＝*ax*^2^﹣2*ax*﹣，
>
> ①*a*＞0时，
>
> 当*x*＝2时，*y*＝﹣＜2，
>
> 当*y*＝﹣时，*x*＝0或*x*＝2，
>
> ∴函数与*AB*无交点；
>
> ②*a*＜0时，
>
> 当*y*＝2时，*ax*^2^﹣2*ax*﹣＝2，
>
> *x*＝或*x*＝
>
> 当≤2时，*a*≤﹣；
>
> ∴当*a*≤﹣时，抛物线与线段*PQ*恰有一个公共点；
27．（7分）（2019•北京）已知∠*AOB*＝30°，*H*为射线*OA*上一定点，*OH*＝+1，*P*为射线*OB*上一点，*M*为线段*OH*上一动点，连接*PM*，满足∠*OMP*为钝角，以点*P*为中心，将线段*PM*顺时针旋转150°，得到线段*PN*，连接*ON*．
> （1）依题意补全图1；
>
> （2）求证：∠*OMP*＝∠*OPN*；
>
> （3）点*M*关于点*H*的对称点为*Q*，连接*QP*．写出一个*OP*的值，使得对于任意的点*M*总有*ON*＝*QP*，并证明．
>
> 
>
> 【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据题意画出图形．
>
> （2）由旋转可得∠*MPN*＝150°，故∠*OPN*＝150°﹣∠*OPM*；由∠*AOB*＝30°和三角形内角和180°可得∠*OMP*＝180°﹣30°﹣∠*OPM*＝150°﹣∠*OPM*，得证．
>
> （3）根据题意画出图形，以*ON*＝*QP*为已知条件反推*OP*的长度．由（2）的结论∠*OMP*＝∠*OPN*联想到其补角相等，又因为旋转有*PM*＝*PN*，已具备一边一角相等，过点*N*作*NC*⊥*OB*于点*C*，过点*P*作*PD*⊥*OA*于点*D*，即可构造出△*PDM*≌△*NCP*，进而得*PD*＝*NC*，*DM*＝*CP*．此时加上*ON*＝*QP*，则易证得△*OCN*≌△*QDP*，所以*OC*＝*QD*．利用∠*AOB*＝30°，设*PD*＝*NC*＝*a*，则*OP*＝2*a*，*OD*＝*a*．再设*DM*＝*CP*＝*x*，所以*QD*＝*OC*＝*OP*+*PC*＝2*a*+*x*，*MQ*＝*DM*+*QD*＝2*a*+2*x*．由于点*M*、*Q*关于点*H*对称，即点*H*为*MQ*中点，故*MH*＝*MQ*＝*a*+*x*，*DH*＝*MH*﹣*DM*＝*a*，所以*OH*＝*OD*+*DH*＝*a*+*a*＝+1，求得*a*＝1，故*OP*＝2．证明过程则把推理过程反过来，以*OP*＝2为条件，利用构造全等证得*ON*＝*QP*．
>
> 【解答】解：（1）如图1所示为所求．
>
> 
>
> （2）设∠*OPM*＝α，
>
> ∵线段*PM*绕点*P*顺时针旋转150°得到线段*PN*
>
> ∴∠*MPN*＝150°，*PM*＝*PN*
>
> ∴∠*OPN*＝∠*MPN*﹣∠*OPM*＝150°﹣α
>
> ∵∠*AOB*＝30°
>
> ∴∠*OMP*＝180°﹣∠*AOB*﹣∠*OPM*＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α
>
> ∴∠*OMP*＝∠*OPN*
>
> （3）*OP*＝2时，总有*ON*＝*QP*，证明如下：
>
> 过点*N*作*NC*⊥*OB*于点*C*，过点*P*作*PD*⊥*OA*于点*D*，如图2
>
> ∴∠*NCP*＝∠*PDM*＝∠*PDQ*＝90°
>
> ∵∠*AOB*＝30°，*OP*＝2
>
> ∴*PD*＝*OP*＝1
>
> ∴*OD*＝
>
> ∵*OH*＝+1
>
> ∴*DH*＝*OH*﹣*OD*＝1
>
> ∵∠*OMP*＝∠*OPN*
>
> ∴180°﹣∠*OMP*＝180°﹣∠*OPN*
>
> 即∠*PMD*＝∠*NPC*
>
> 在△*PDM*与△*NCP*中
>
> 
>
> ∴△*PDM*≌△*NCP*（*AAS*）
>
> ∴*PD*＝*NC*，*DM*＝*CP*
>
> 设*DM*＝*CP*＝*x*，则*OC*＝*OP*+*PC*＝2+*x*，*MH*＝*MD*+*DH*＝*x*+1
>
> ∵点*M*关于点*H*的对称点为*Q*
>
> ∴*HQ*＝*MH*＝*x*+1
>
> ∴*DQ*＝*DH*+*HQ*＝1+*x*+1＝2+*x*
>
> ∴*OC*＝*DQ*
>
> 在△*OCN*与△*QDP*中
>
> 
>
> ∴△*OCN*≌△*QDP*（*SAS*）
>
> ∴*ON*＝*QP*
>
> 
28．（7分）（2019•北京）在△*ABC*中，*D*，*E*分别是△*ABC*两边的中点，如果上的所有点都在△*ABC*的内部或边上，则称为△*ABC*的中内弧．例如，图1中是△*ABC*的一条中内弧．
> 
>
> （1）如图2，在Rt△*ABC*中，*AB*＝*AC*＝，*D*，*E*分别是*AB*，*AC*的中点，画出△*ABC*的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
>
> （2）在平面直角坐标系中，已知点*A*（0，2），*B*（0，0），*C*（4*t*，0）（*t*＞0），在△*ABC*中，*D*，*E*分别是*AB*，*AC*的中点．
>
> ①若*t*＝，求△*ABC*的中内弧所在圆的圆心*P*的纵坐标的取值范围；
>
> ②若在△*ABC*中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心*P*在△*ABC*的内部或边上，直接写出*t*的取值范围．
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得*DE*＝2，最长中内弧即以*DE*为直径的半圆，的长即以*DE*为直径的圆周长的一半；
>
> （2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在*DE*的中垂线上，①当*t*＝时，要注意圆心*P*在*DE*上方的中垂线上均符合要求，在*DE*下方时必须*AC*与半径*PE*的夹角∠*AEP*满足90°≤∠*AEP*＜135°；②根据题意，*t*的最大值即圆心*P*在*AC*上时求得的*t*值．
>
> 【解答】解：（1）如图2，以*DE*为直径的半圆弧，就是△*ABC*的最长的中内弧，
>
> 连接*DE*，∵∠*A*＝90°，*AB*＝*AC*＝，*D*，*E*分别是*AB*，*AC*的中点，
>
> ∴*BC*＝＝＝4，*DE*＝*BC*＝×4＝2，
>
> ∴弧＝×2π＝π；
>
> （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段*DE*的垂直平分线上，连接*DE*，作*DE*垂直平分线*FP*，作*EG*⊥*AC*交*FP*于*G*，
>
> ①当*t*＝时，*C*（2，0），∴*D*（0，1），*E*（1，1），*F*（，1），
>
> 设*P*（，*m*）由三角形中内弧定义可知，圆心线段*DE*上方射线*FP*上均可，∴*m*≥1，
>
> ∵*OA*＝*OC*，∠*AOC*＝90°
>
> ∴∠*ACO*＝45°，
>
> ∵*DE*∥*OC*
>
> ∴∠*AED*＝∠*ACO*＝45°
>
> 作*EG*⊥*AC*交直线*FP*于*G*，*FG*＝*EF*＝
>
> 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点*G*的下方（含点*G*）直线*FP*上时也符合要求；
>
> ∴*m*≤
>
> 综上所述，*m*≤或*m*≥1．
>
> ②如图4，设圆心*P*在*AC*上，
>
> ∵*P*在*DE*中垂线上，
>
> ∴*P*为*AE*中点，作*PM*⊥*OC*于*M*，则*PM*＝，
>
> ∴*P*（*t*，），
>
> ∵*DE*∥*BC*
>
> ∴∠*ADE*＝∠*AOB*＝90°
>
> ∴*AE*＝＝＝，
>
> ∵*PD*＝*PE*，
>
> ∴∠*AED*＝∠*PDE*
>
> ∵∠*AED*+∠*DAE*＝∠*PDE*+∠*ADP*＝90°，
>
> ∴∠*DAE*＝∠*ADP*
>
> ∴*AP*＝*PD*＝*PE*＝*AE*
>
> 由三角形中内弧定义知，*PD*≤*PM*
>
> ∴*AE*≤，*AE*≤3，即≤3，解得：*t*≤，
>
> ∵*t*＞0
>
> ∴0＜*t*≤．
>
>   
| 1 | |
**一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1. 若集合，且，则集合可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析：∵，∴，故只有A符合题意，故选A.
考点：集合的关系及其运算.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限  C.第三象限 D.第四象限
【答案】D.
考点：复数的概念及其运算.
3.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析：由题意得，，故选C.
考点：平面向量数量积.
4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
【解析】
试题分析：依次执行程序中的语句，可得：，①：，；②：，；
③：，跳出循环，故输出，故选B.
考点：程序框图.
5.已知数列中，，，为其前项和，则的值为（ ）
A.57 B.61 C.62 D.63
【答案】A.
考点：数列的通项公式.
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴，故选D.
考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.
7.为了得到，只需要将作如下变换（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】C.
考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换
8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A.1  B.1.5 C.0.75 D.1.75
【答案】D.
【解析】\[来源:\]
试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为
，故选D.
考点：线性规划.
9.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换
10.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.
【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.
11.已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D.
【解析】
试题分析：如下图所示，作出函数的函数图象，从而可知，①：有2个不等正根，
∴有4个不等实根；②：：有1个正根，1个根为0，
∴有3个不等实根；③：：有1个正根，1个负根，
∴有2个不等实根；④：：有2个不等正根，1个负根，
∴有4个不等实根；⑤：：有1个正根，1个负根，
∴有2个不等实根；⑥：：有1个负根，
∴无实数根，故综上可知，的可能的实根个数为，，，，故选D.
考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.
【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
12.函数的部分图象如图所示，且，对不同的，，若，有，则（ ）
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.在上是减函数 D.在上是增函数
【答案】B.
考点：三角函数的图象和性质.
【名师点睛】根据，的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到与；2.求的值时最好选用最值点求：峰点：，谷点：，
也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与轴的交点)：；降零点(图象下降时与轴的交点)：(以上)．
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）**
13.的展开式中项的系数为\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
试题分析：由二项式定理可知中，，令，可知的系数为，令，可知的系数为，故的展开式中的系数为，故填：.
考点：二项式定理.
14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
考点：二项式定理.
15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶C为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，点测得，已知山高m，则山高\_\_\_\_\_\_\_m.
【答案】.
【解析】
试题分析：由题意得，，在中，根据正弦定理可知，∴，故填：.
考点：正余弦定理解三角形.
【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．
16.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.
【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17. （本小题满分12分）
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.99^10^=(1-0.01)^10^≈0.9）
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得的值，即可得出结论.
考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前项和．
18. （本小题满分12分）
如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．
（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.
试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面，
∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，∴，又∵，，∴平面，∴平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，
∵平面，∴平面的法向量，
又∵，，，∴，，设平面的法向量，则，令，得，∴，
又∵为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解．
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，...，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
-- ----- ------------------------------- --- -----
5 6 7 8
0.4 \[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\] 0.1
-- ----- ------------------------------- --- -----
且的数字期望，求，的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3  4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
**注**：①产品的"性价比"=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②"性价比"大的产品更具可购买性．
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.
 （2）由已知得，样本的频率分布表如下：
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
∴，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为，据此，乙厂的产品更具可购买性.
考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线，分别交椭圆C于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
（3）由（2）知
，令时取等号，
∴时，当取等号，即.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题．
【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知函数(常数且).
（1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；\[
（2）若函数存在两个极值点，，证明：且.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.\[来源:学\*科\*网\]
考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．
【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
**请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．
（1）若，，求的值；
（2）若，证明：．
【答案】（1）；（2）详见解析.
考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线
的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．
（1）写出C的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线C相交于，两点，求值．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用，，即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线方程与圆方程联立，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.
试题解析：（1）∵，∴，由，，得，
∴曲线的直角坐标方程为，又由，消去解得，
∴直线的普通方程为；（2）把代入，整理得，设其两根分别为，，，，∴.
考点：1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数,.
（1）解不等式；\[来源:学&科&网\]
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
考点：1.绝对值不等式；2.转化的数学思想．
\[来源:Zxxk.Com\]
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