Search is not available for this dataset
text
stringlengths 0
31.2k
| en
stringlengths 1
6.69k
⌀ | id
stringlengths 1
36
| dataset_id
stringclasses 4
values | source
null | filename
stringlengths 4
78
| title
stringclasses 360
values | author
stringclasses 53
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
, vero suo
corpori connaturale et conformatum, discipulis suis,
id est corpori suo, quod sumus nos vel Ecclesia,
obtulit communicandum. « Nemo quippe ascendit in
coelum, nisi qui descendit de coelo, Filius hominis,
qui est in coelo (Joan. III, 13). » Sed caro ascendit,
quae non descenderat, jam quippe deitati unita erat.
Unde et beata Maria non solum #Christotocos@# ( Χριστοτόκος),
sed etiam #theotocos@# ( Θεοτόκος) meruit fieri.
Quapropter sic intelligendum: Nemo ascendit in
coelum cum carne, nisi qui descendit cum deitate.
Ad hoc enim particeps factus est humanitatis nostrae,
assumendo carnem nostram de Virgine: ut nos, id
est Ecclesiam, participes factos divinitatis suae,
uniret corpori suo, sumpto de Virgine, eucharistia,
quae sumitur de altari, mediante et confirmante.
Ipse namque reformavit corpus humilitatis suae. Ergo
sicut Pater in Filio per deitatem naturaliter, et sicut
Filius in nobis secundum assumptionem humanitatis
naturaliter, et sicut nos in eo sumus per unitionem
carnis naturaliter, dum secum hoc, quod
nos sumus, in Deo est: ita naturam carnis suae ad
naturam aeternitatis sub sacramento nobis communicandae
carnis admiscuit. Sicut ait ipse Christus:
« Ut omnes unum sint, sicut tu Pater in me, et ego
in te, ut et ipsi in nobis sint (Joan. XVII, 21). » Et
iterum: « Ut sint unum, sicut et nos unum sumus,
et ego in eis, et tu in me (Joan. XVII, 22). Ecce evidens
et manifesta ex ipsius Christi Domini nostri
[verbis] praefata distinctio! Et ut per hoc evidentius
elucescat hujus etiam sacrificii distinctio, ponamus
figuratim.
KRYCTUC.
Eucharistiam
Ecclesia
Inconsumptibilis
Sumendam
Sumens,
Invescibilis,
Vescendam
Vescens.
Dat ab
Datam
Accipit.
Ipso
Ex ipso
Corpus.
ejus.
Quod ita potest construi: Christus, inconsumptibilis,
invescibilis. Eucharistiam, sumendam, vescendam,
datam ex ipso. Ecclesia corpus ejus sumens,
vescens, accipit ab ipso datam. Quod nisi ita construatur,
putabit aliquis esse accusativum casum;
nos autem dicimus nominativum #Ecclesia,@# quod est
corpus ejus. Accepit itaque Christus carnem nostram,
non phantasticam, sed naturalem. Ergo et
caro nostra naturalis, unde sumpta est illa. Sed et
illa naturalis, quae uniret utrasque, et faceret connaturales,
et ipsa connaturalis. Sed, ut ait quidam
sapiens, non ob hoc plures carnes vel corpora, sicut
nec multa sacrificia, sed unum; licet a multis
offeratur per loca diversa et tempora. Quia divinitas
Verbi Dei, quae una est, et omnia replet, et tota
ubique est, ipsa facit ut non plura sint sacrificia,
sed unum licet a multis offeratur, et sit unum
corpus Christi cum illo quod suscepit in utero virginali.
Quam vigilanter, quam aperte, fit, inquit,
unum corpus Christi cum illo quod suscepit de
utero virginali! Vere enim et incunctanter credendum,
in ipsa immolationis hora ad sacerdotis precem
coelos aperiri, et illud angelico ministerio in
sublime deportari altare, quod est ipse Christus,
qui et pontifex et hostia, contactuque illius unum
fieri. « O quales, » ut ait S. Basilius, « oportet sacerdotis
esse manus, tantarum rerum ministras, quae
communem Dominum angelico iterum revectum officio
subinde contigerint [ #cod.,@# contigerit]! » Sed jam
Paschasium Radbertum sufficiat excusatum, librumque
ejus plurimorum utilitati defensum, qui in
hoc tantum peccavit, quia de sententia beati Ambrosii
non verbum de verbo, sed sensum de sensu
expressit. Quod autem iterum objiciunt, eum dixisse
« toties Christum pati quoties missas contingat
quotidie ubique celebrari, » ego certe in libro
ejus non reperi: cum et Augustinus et caeteri, #illo
manente integro,@# dicant. Et S. Andreas: « Agnus, inquit,
in suo regno integer perseverat et vivus. »
Et beatus Petrus: « Christus, inquit, semel pro peccatis
nostris mortuus est (I Petr. III, 18). » Et Paulus:
« Christus resurgens jam non moritur (Rom. VI,
9) » : et pene totus textus Epistolae ad Hebraeos idem
sonat.
IX.
Sed illorum jam ineptiis respondendum, qui
humano aut saeculi | null | 9707831c-8dfb-4dd2-9c8d-1f1d701be332 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
sensu in Dei rebus putant loquendum.
Dominus etenim noster non de spiritali
cibo, sed de carnali locutus est, cum diceret: « Omne
quod intrat in os, in ventrem vadit, et in secessum
emittitur (Matth. XV, 17). » Non autem in Scripturis
omnibus semper pro categorico syllogismo praediffinite
accipitur: cum, etsi #de corde exeunt cogitationes
malae (Matth. XV, 19)
@#, ut idem Dominus dicit,
non possunt exire etiam bonae? Calumniati sunt
haeretici ex hoc sermone, Dominum physicae ignarum
fuisse; physica enim sic se habet: Ignea virtus,
cujus sedes in corde est, cibi potusque subtilem
per occultos poros in diversas corporis partes vaporem
distribuit; faeculentum vero in secessum discernit.
Et nos saepe videmus non modo infirmos
sed etiam sanos, quod per os intromittunt, per vomitum
rejectare, et aliquos per multa tempora sine
digestione duxisse [ #f. suppl.@# vitam] Et, licet quod
sumebant, per nauseam stomachi revomeretur, subtilior
tamen succus per membra usque ad ungues
diffundebatur. Ergo dicendum, aut Dominum non
praediffinite locutum, aut quamcunque aporiam corporis,
qua se subtilis cibi vapor diffundit, secessum
dictum; et hoc, ne haereticus garriat. Caeterum quia
vere credimus non solum animam sed et carnem
nostram hoc mysterio recreari (totum enim hominem
assumpsit qui totum hominem in Sabbato curavit),
carni quidem caro spiritaliter conviscerata
transformatur, ut et Christi substantia in nostra
carne inveniatur, sicut et ipse nostram in suam constat
assumpsisse deitatem: ut qui manducat ejus
carnem et bibit sanguinem, vivat per animam et
nunc et in aeternum, et caro de terrae pulvere resuscitata
vivificetur in novissimo die. Quapropter
cujus potenti virtute panis iste communis quem
quotidie sumimus, cum sit candidus, mutatur intra
nos in colorem sanguineum vel alium humorem
fluidum, ipsius potentia caro et sanguis ejus sumpta
non in noxios et superfluos humores, sed in carne
vere resuscitanda debeat reservari conformata.
Et quia totum quod diximus, non ex nostro sumpsimus,
de isto etiam quid quidam sapiens diffinierit,
dicamus. « Scimus, inquit, hoc sacramentum mysterio
et reverentia omnimodis a communibus escis secernendum
quae naturali et necessario usu sumuntur;
ita enim omnes exposuerunt quod Apostolus dixit:
« Non dijudicans » corpus Christi, id est, a caeteris
escis non discernens, vel cujus excellentiae sit, inconsiderans,
quod unum idemque est. » Non enim
excellentiam ejus reveretur qui secessui dicit obnoxium,
sicut caeteras escas. Sed tamen eodem
modo, quantum ad comestionem et haustum pertinet,
percipitur [ #cod.,@# percipiuntur], videlicet trajiciendo
per os, et in ventrem mittendo. Ubi quid Dominus
de mysterio suo agere voluerit, suae scimus
tantum cognitum esse voluntati. Scimus enim consumi
posse spiritali virtute; scimus et reservari posse
inconsumptibili perennitate; quia quaecunque ex
his Christus elegerit, de suo sacramento perficit.
Absit tamen ut tantum mysterium secessui fiat obnoxium!
in quo si forte ordo naturae servatur, mysterium,
quod sola fide conspicitur, humilietur. Si
corpus in corpore ordinem servat, non violatur mysterium
quod divinitatis firmavit sacramentum; nec
spiritus amittit quod fide integra in re corporali
spiritaliter sumpsit.
X.
Sed jam forti syllogismo quod praemisimus,
concludamus. Dixeramus Dominum non de spiritalibus
escis, sed de carnalibus dixisse: #Omne quod intrat
in os,@# et reliqua. Est homo exterior, qui corrumpitur,
est et interior, qui renovatur. Est autem
corpus Christi spiritualis alimonia pertinens potius
ad interiorem hominem, de quo digestio non praedicatur.
Quod si ad exteriorem pertineat hominem
pium sit et salutare, diffundi per membra credere
profuturum resuscitandis in generali resurrectione
Liquet igitur non obnoxium secessui esse.
De corpore et sanguine Domini
I.
Sicut ante nos dixit quidam sapiens, cujus sententiam
probamus, licet nomen ignoremus: Intuentes,
inquiens, Apostoli sententiam, qua dicitur:
Quia « animalis homo non percipit ea, quae sunt
Spiritus Dei, » haesitamus vehementer, ne minus
spiritualiter viventes, cum de spiritualibus responsa
paramus, qualia forte nec dum percepimus, in lapidem
offensionis et petram scandali incidamus. Sed
iterum cum internum aspectum ad eum dirigimus,
qui dixit: « Aperi os tuum, et ego adimplebo illud (Psal. LXXX, 11),
fidei integritate manente, provocamur | null | ff38451b-d314-4b8d-b662-f43b9c683353 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
respondere, de quo dignum est non tacere,
de mysterio videlicet corporis et sanguinis Domini;
dicentibus quibusdam idem esse quod sumitur de
altari, quod et illud quod est ex Virgine natum;
aliis autem negantibus, et dicentibus aliud esse;
quibusdam etiam diabolica inspiratione blasphemantibus,
secessui obnoxium fore. Super quibus
periculosum esset aliquid respondere, sed magis
aures obturare, nisi periculosius foret, eos talia
proposuisse; quia hoc est pro lacte ab uberibus
butyrum aut sanguinem elicere. « Mel, inquit Sapientia,
invenisti? Comede, quantum sufficit (Prov.
XXV, 16). » Et: « Nimius noli scrutator esse majestatis,
nea gloria opprimaris (Ibid., 27). » Et his quidem,
qui dixerunt, secessui obnoxium (quod nunquam
est auditum) id est, Heribaldo Antisiodorensi episcopo,
qui turpiter proposuit, et Rabano Mogontino,
qui turpius assumpsit, turpissime vero conclusit,
suus ad respondendum locus servetur.
Propter eos autem qui idem quod natum ex Virgine,
aut aliud dixerunt esse, diversae sanctorum
Patrum ponantur sententiae: quae eis quidem videntur
diversae, sed possent sufficere si ad plenum
et discrete essent intellectae. Dico autem Paschasium
Ratpertum Corbeiensem abbatem, qui rogatus,
incertum an provocatus, scripsit de eadem re libellum
ad centum fere capitula satis utilem: quem
cum resperserit multa multorum auctoritate Patrum,
ponit ex nomine S. Ambrosii, « quod non
alia plane sit caro quae sumitur de altari, quam
quae nata est de Maria virgine, et passa in cruce,
et quae surrexit de sepulcro, quaeque pro mundi
vita adhuc hodie offeratur. » Contra quem satis argumentantur
et Rabanus in epistola ad Egilonem
abbatem, et Ratramnus quidam in libro composito
ad Carolum regem, dicentes esse aliam; vel testimonio
Hieronymi, qui dicit, #dupliciter dici@# corpus
Domini; vel auctoritate S. Augustini, qui dicit #tripliciter
dici.@# Et quia contendunt in libris Ambrosii
non ita ad litteram inveniri, ponamus non solum
ejus immutabiliter dicta; sed et beatorum Augustini
et Hieronymi, et caeterorum, ut sunt inventa: ut,
his diligenter perspectis, cui Deus, aut per quem
dignatus fuerit aperire, pateat et tantos viros non
dissentire, et in catholica Ecclesia unum et idem
debere omnes sapere, et schisma non esse. Verum
cum ad eos venerimus qui moderno tempore his
contentionibus non timuerunt inservire, et ob hoc
nihil dignum meruerunt diffinire, nec posteritati
venturae potuerunt satisfacere, illud beati Hilarii (lib. VIII De Trinit.)
non dubitemus inculcare:
« Non est, inquit, humano, aut saeculi sensu in Dei
rebus loquendum; neque per violentiam aut imprudentem
praedicationem coelestium dictorum sanitati
alienae atque impiae intelligentiae extorquenda perversitas
est. Quae scripta sunt, legamus: et quae legerimus,
intelligamus; tunc perfectae fidei fungemur
officio. » Haec contra eos, qui putant Christum categorizasse,
ubi ait: #Omne quod in os,@# et reliqua. Vel
contra eos, qui dogmatizant, quidquid de corpore
Domini dicitur, vel in veritate, vel in figura, ac per
hoc in umbra dici. Sed de his posterius. Nunc ut
sese habent sanctorum Patrum dicta, immutabiliter
ponamus.
II.
Ambrosius, in lib. De sacramentis: « Ista esca,
inquit, quam accipis: iste panis vivus, qui de coelo
descendit, vitae aeternae substantiam subministrat:
et quicunque manducaverit hunc, non morietur in
aeternum, et corpus Christi est. » Item: « Liquet
igitur quod praeter naturae ordinem Virgo generavit,
et hoc, quod conficimus, corpus ex virgine est. Quid
hic quaeris naturae ordinem in Christi corpore, cum
praeter naturam sit ipse Dominus Jesus partus ex
virgine? Vera utique caro Christi quae crucifixa est,
quae sepulta est; vere ergo carnis illius sacramentum
est. » Item: « Sicut verus est Dei Filius Dominus
noster Jesus Christus, non quemadmodum homines
per gratiam, sed quasi Filius ex substantia
Patris; ita vera caro, sicut ipse dixit, quam accipimus,
et verus est potus. » Leo papa: « Sic sacrae
mensae communicare debetis, ut nihil prorsus de
veritate corporis Christi et sanguinis ambigatis. »
Augustinus: « Suscepit Christus de terra terram
(quia caro de terra est) et de carne Mariae carnem
suscepit | null | caee585b-1cbf-4d16-91a5-b30d9479b7b2 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
; et quia in ipsa carne ambulavit, ipsam
carnem nobis manducandam ad salutem dedit. »
Basilius: « O miraculum! o Dei in nos benevolentia!
qui sursum sedet ad dexteram Patris, sacrificii tamen
tempore hominum manibus continetur, traditurque
lambere cupientibus eum, et cum benedictione
complecti, fitque hoc totum sub oculis humanis. »
Item ipse: « Cum, inquit, sacerdos etiam
sanctum Spiritum advocaverit, et reverendam illam
immolaverit hostiam, communemque Dominum subinde
contigerit, » et reliqua. Gregorius: « Christus
resurgens a mortuis, jam, licet non moritur, et mors
illi ultra non dominabitur, tamen, in seipso immortaliter
atque incorruptibiliter vivens, pro nobis iterum
in hoc mysterio sacrae oblationis immolatur. »
Haec ideo hic posita sunt, si forte per ea simplicitas
Paschasii Ratberti possit excusari, unde maxime ab
loquentibus [ #f.@# obloquentibus] Rabano et Ratrammo
[ #Cod.,@# Ratmanno] videtur suggillari, videlicet quia
dixerat eamdem esse carnem, quae de altari sumitur,
et Virgine generatur, et quia quotidie adhuc
pro mundi salute immoletur. Quia, licet nobis nihil
placeat gratius et jucundius quam quod de hoc
mysterio valet dici sublimius; tamen quod oblocutores
ejus econtrario asserant quod non sit eadem,
breviter ponamus.
III.
Hieronymus: « Dupliciter, inquit, sanguis
Christi et caro intelligitur; vel spiritalis illa atque
divina, de qua ipse dicit: « Caro mea vere est cibus,
« et sanguis meus verus est potus; » vel caro quae crucifixa
est, et sanguis qui militis effusus est lancea. »
Augustinus autem scribens corpus Christi tripliciter
dici, id est Ecclesiam, qui Christi corpus sumus,
et illud mysticum, quod ex substantia panis et
vini per Spiritum sanctum consecratur, subintulit,
dicens: « Caeterum illud corpus, quod natum est ex
Maria virgine, in quo illud corpus transfertur, quod
pependit in cruce, sepultum est in sepulcro, resurrexit
a mortuis, penetravit coelos, et pontifex factus
in aeternum, quotidie interpellat pro nobis. Ad quem,
si recte communicamus, mentem dirigimus; ut ex
ipso, et ab ipso, nos corpus ejus, carnem ejus, illo
manente integro, sumanus: quae nimirum ipsa caro
est, et fructus ipsius carnis, ut idem semper maneat,
et universos qui sunt in corpore pascat. »
Fulgentius: « Firmissime tene, et nullatenus dubites,
ipsum unigenitum Deum Verbum carnem factum,
se pro nobis obtulisse sacrificium et hostiam Deo
in odorem suavitatis: cui cum Patre et Spiritu
sancto a patriarchis, a prophetis et sacerdotibus
tempore Veteris Testamenti animalia sacrificabantur:
et cui nunc, id est, tempore Novi Testamenti,
cum Patre et Spiritu sancto, cum quibus illi est una
divinitas, sacrificium panis et vini in fide et charitate
sancta Ecclesia catholica per universum orbem
terrae offerre non cessat. In illis enim carnalibus
victimis significatio fuit carnis Christi, quam pro
peccatis nostris ipse sine peccato fuerat oblaturus,
et sanguis, quem erat effusurus in remissionem
peccatorum nostrorum. In isto autem sacrificio gratiarum
actio atque commemoratio est carnis Christi,
quam pro nobis obtulit, et sanguinis quem pro nobis
idem Deus effudit. De quo beatus Paulus apostolus
dicit in Actibus apostolorum: « Attendite vobis
et universo gregi, in quo vos Spiritus sanctus posuit
episcopos regere Ecclesiam Dei, quam acquisivit
sanguine suo. » In illis ergo sacrificiis, quid nobis
esset donandum, figurate significabatur; in hoc autem
sacrificio, quid nobis jam donandum sit, evidenter
ostenditur. » Eusebius: « Quia Christus corpus
assumptum ablaturus erat ex oculis nostris, et
sideribus illaturus; necessarium erat ut nobis in
hac die sacramentum corporis et sanguinis consecraret,
ut coleretur jugiter per mysterium, quod
semel offerebatur in pretium; ut, quia quotidiana et
indefessa currebat pro hominum salute redemptio,
perpetuo etiam esset redemptionis oblatio, et perennis
illa victima viveret in memoria, et semper
praesens esset in gratia. Vere unica et perfecta
hostia, fide aestimanda, non specie: nec exterioris
hominis censenda visu, sed interioris affectu. Unde
merito coelestis confirmat auctoritas quia « caro mea
vere est cibus, et sanguis meus vere est potus. »
Recedat ergo omne infidelitatis ambiguum: quandoquidem
qui auctor est muneris, ipse etiam testis
est veritatis. » | null | 3864c7ee-ec0c-43a0-9224-73af543d2440 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
IV.
Poteramus et aliorum, tam antiquorum quam
et modernorum, sed et ipsius Ambrosii dicta his
consentanea ponere, nisi putaremus haec posse sufficere,
videlicet haec dici figurate, et tamen corpus
Christi esse in veritate. Sed haec non intelligentes
nec ad liquidum discernere valentes, sed potius majorem
minus capacibus errorem immittentes, non attendentes
quod supra dixit Hilarius: « Non humano
est aut saeculi sensu in Dei rebus loquendum, » argumentantur:
aut omnino figuratum, et nihil veritatis
in hoc mysterio constare; aut si veritas sit, jam
figuram non esse. Sed Paschasius Radbertus sicut
et alia multa in eodem libro ultra humanam aestimationem
utiliter tractat; ita et huic sophismati
fortiter obviat dicens: « Figuram non semper umbram
esse, et jure simul hoc mysterium et figura
et veritate dici posse. » Quod si quis plenius voluerit
scire, de ejus volumine, plena fultum auctoritate poterit
mutuare. Nos autem #non alta sapientes, sed
humilibus consentientes (Rom. XII, 16)
@#, simpliciter
fateamur quia figura est, dum panis et vinum extra
videtur; veritas autem, dum corpus et sanguis
Christi in veritate interius creditur. Et quemadmodum
quidam sapiens moderno tempore dixit: « Sicut
omnia in Christo vera credimus, veram videlicet
divinitatem et veram humanitatem, verum Verbum
et veram carnem, verum Deum et verum hominem:
ita in mysterio corporis et sanguinis ejus, quod virtute
coelestis benedictionis et Verbi divini in id
quod non erat consecratur, nihil falsum, nihil frivolum,
nihil infidum sentiamus. » Sed quid ad nostram
tantilitatem de tantorum, quorum praelibata
sunt dicta, virorum discrepantia, sed videntibus
consentanea dijudicare? At forte omnipotens Deus,
et nostrae humilitatis conscius, et magis fidelium
suorum, non impie dubitantium, saluti et haesitationi
sanandae providus, dignabitur patefacere per
nostrae inquisitionis munus, ut et tantae utilitatis,
quae in eodem libro est, propter unum verbum non
depereat fructus: et beati Ambrosii, cujus prae caeteris
libri indigent expositore (quia nullus Latinus
ita Graecos secutus videtur esse) ipsius, inquam,
auctoritas palmam digna sit obtinere.
V.
Cyrillus; « Necessarie igitur et hoc adjicimus,
annuntiantes, secundum carnem mortem unigeniti
Filii Dei, id est Jesu Christi, et resurrectionem ejus,
et in coelos ascensionem pariter confitentes, incruentam
celebramus in Ecclesiis sacrificii servitutem.
Sic etiam ad mysticas benedictiones accedimus,
et sanctificamur participes sacri corporis et
sanguinis pretiosi Christi, omnium nostrorum redemptionis
effecti: non communem carnem percipientes
(quod absit!) nec ut viri sanctificati et Verbo
conjuncti secundum dignitatis unitatem, aut sicut
divinam possidentis habitationem; sed vere vivificatricem,
et ipsius Verbi propriam factam. Vita
enim naturaliter ut Deus existens, quia propriae
carni adjunctus est, vivificatricem eam esse professus
est. Et ideo, quamvis dicat ad nos: « Amen,
amen dico vobis, nisi manducaveritis carnem Filii
hominis, et biberitis ejus sanguinem, » non tamen
eam ut hominis unius ex nobis aestimare debemus
(quomodo juxta naturam suam vivificatrix esse caro
hominis poterit?), sed ut vere propriam ejus factam,
qui propter nos Filius hominis est factus, et vocatus. »
Magna auctoritas tanti viri, qua et carnem
Christi vere vivificatricem esse dixit, et ipsius Verbi
propriam factam, et vitam ut Deum naturaliter
existentem. Hujus itaque tanti viri auctoritate solvitur
ambiguum omne quod beatus Ambrosius dimisit
in subauditione, #naturaliter@# scilicet carnem
Christi, quae sumitur de altari, eamdem fore, quae
nata est de Virgine. Et idcirco, sive secundum
Hieronymum dupliciter, sive secundum Augustinum
dicatur corpus Christi tripliciter, #specialiter@# debeat
dici, cum sit #naturaliter@# unum. Unde et Augustinus:
« Ut ex ipso, inquit, et ab ipso nos, corpus ejus,
carnem ipsius, illo manente integro, sumamus. »
Quam bene facta distinctio! quod ita construitur: #Ut nos,@#
inquit, qui sumus corpus Christi, id est Ecclesia, #ab ipso,@#
qui natus est de virgine Maria #ex
ipso;@# id est, carnem ejus, quae consecratur in altari, #illo manente integro, sumamus.@#
Ut autem certius demonstraret
idem beatus Cyrillus hanc triplicem
secundum Augustinum discretionem, specialiter dictam,
naturaliter esse unam: « Non, inquit, ut viri
sanctificati et | null | 3a35c2be-50f4-4692-96e6-03c027288ada | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Verbo conjuncti secundum dignitatis
unitatem, aut sicut divinam possidentis habitationem;
sed vere vivificatricem, et ipsius Verbi propriam
factam. » Ariani enim, qui negabant unam
Patris et Filii substantiam, illud, quod ipse Filius
dicit: #Ego et Pater unum sumus (Joan. X, 30)
@#, asserebant,
intelligendum ex concordia voluntatis;
quos manifestius confutat Hilarius, vere Romanorum
Lucifer: quod ad intelligendum, quod Cyrillus dixerat,
valet multipliciter.
VI.
Hilarius (VIII, De Trinit.): « Eos, » inquit,
« nunc, qui inter Patrem et Filium voluntatem ingerunt
unitam, interrogo, utrumne per naturae veritatem
hodie Christus in nobis sit, an per concordiam
voluntatis? Si enim vere Verbum caro factum
est, et vere nos Verbum carnem factum cibo Dominico
suminus, quomodo non naturaliter manere in
nobis existimandus est, qui et naturam carnis nostrae
jam inseparabilem sibi, homo natus assumpsit, et
naturam carnis suae ad naturam aeternitatis sub sacramento
nobis communicandae carnis admiscuit?
Ita enim in Deo omnes sumus: quia et in Christo
Pater est, et Christus in nobis est. Quisquis ergo
naturaliter Patrem in Christo negabit, neget prius,
non naturaliter vel se in Christo, vel sibi Christum
non esse; quia in Christo Pater, et Christus in nobis,
unum in his esse nos faciunt. Si vere igitur carnem
corporis nostri Christus assumpsit, et vere
homo ille, qui ex Maria natus fuit, Christus est, nosque
vere sub mysterio carnem corporis sui sumimus,
et per hoc unum crimus (quia Pater in eo est, et
ille in nobis), quomodo voluntatis unitas asseritur,
cum naturalis per sacramentum proprietas perfectae
sacramentum sit unitatis? Ipse enim ait: « Caro mea
vere est esca, et sanguis meus vere est potus. Qui
edit carnem meam et bibit sanguinem meum, in
me manet et ego in eo. » De veritate carnis et sanguinis
non est relictus ambigendi locus. Nunc enim,
et professione ipsius Domini et fide nostra, vere caro
est et vere sanguis est; et haec accepta atque hausta
id efficiunt, ut nos in Christo, et Christus in nobis
sit. Anne hoc veritas non est? contingat plane his
verum non esse, qui Christum Jesum verum esse
Deum denegant. Est ergo in nobis ipse per carnem,
et sumus in eo, dum secum hoc, quod nos sumus,
in Deo est. » Item post pauca: « Haec ergo vitae
nostrae causa est, quod in nobis carnalibus per carnem
Christum manentem habemus, victuris nobis
per eum ea conditione qua vivit ille per Patrem. Si
nos ergo naturaliter secundum carnem per eum vivimus,
id est, naturam carnis suae sumus adepti, quomodo
non naturaliter secundum spiritum in se Patrem
habeat, cum vivat ipse per Patrem? »
VII.
Hic videndum quomodo per id etiam quod
haereticis erat indubitatum, voluerit arguere quod
erat dubium. Dubitabatur ab eis de unica Patris et
Filii substantia; quia quod dictum est: « Ego et Pater
unum sumus (Joan. X, 30), » moliebantur ad
unanimitatis referre consensum, ut unitas solum
esset voluntatis, non naturae; sicut « multitudinis
credentium erat cor unum et anima una (Act. IV,
32). » Indubitatum vero erat quod vere Verbum caro
factum fuerat. Nihilominus, quia Deus naturam carnis
nostrae inseparabilem sibi homo natus assumpsit,
et naturam carnis suae ad naturam aeternitatis sub
sacramento hoc nobis communicandae carnis admiscuit,
ac per hoc nos in Christo unum corpus efficimur;
et ideo per hoc omnes in Deo Patre et Filio
unum sumus; quia Pater in Christo, et Christus in
nobis esse probatur, videamus distinctionem. Christus
naturam nostrae carnis assumpsit, cum de Virgine
natus homo processit. Ecce caro de Virgine!
sub sacramento communicandae carnis. Ecce quod
sumitur de altari! Ad naturam aeternitatis nos univit.
Ecce corpus nostrum, quod est Ecclesia! Jam
credo patere, quod beatus Ambrosius dixerat, tandem
esse, ut subaudiatur #naturaliter.@# Et Augustinus,
Hieronymus et Fulgentius: aliud esse, ut subaudiatur #specialiter.@#
Et quia cultus justitiae pietas est, vel sapientia
pietatis est fructus, aliquando quidam simplices
et idiotae, ferventes vero bonis operibus et
pietate, melius pura proficere | null | a296bb47-512b-4d8e-8a3c-5a546cf3120b | latin_170m_raw | null | None | None | None |
fide, quam fucato sermone.
Senes illi in Vita Patrum, alium aeque senem
ac virum sanctum, sed pro hoc mysterio dubium,
non dialecticis argumentationibus, sed verbis simplicibus
et oratione compulerunt ad credendum, illud
quod suminus de altari, naturaliter esse corpus
Domini, cum et in veritate, non figuratum. Ecce
quantum fides proficit, ubi sermo deficit! Et nos aliquando,
antequam tantorum virorum, Cyrilli dico et
Hilarii, auctoritatibus instrueremur, hanc supra
dictorum sanctorum (quae [ #cod.,@# quia] posterioribus
visa est) discrepantiam [ #cod.,@# discrepantia] alicujus
dialectici argumenti sede absolvere meditabamur.
Non enim ars illa, quae dividit genera in species, et
species in genera resolvit, ab humanis machinationibus
est facta; sed in natura rerum ab Auctore omnium
artium, quae verae artes sunt, et a sapientibus
inventa, et ad utilitatem solertis rerum indaginis est
usitata; sicut scriptum est: « Producat terra animalia
in species suas (Genes. I, 24). » Sed primo
occurrebat, aliquam medietatem arithmeticae ponere,
secundum aliquam de proportionalitatibus numerorum,
quas in proportionibus, inque differentiis terminorum
contemplamur. Sed nec et ista humanis
machinationibus est facta, quia ineffabilis atque divinae
virtutis in ea est sapientiae constantia, ad quam
dicitur: « Omnia in mensura et pondere et numero
constituisti » (Sap. II, 21). Constituantur duo termini
supremi, et horum medius, aequis quidem differentiis,
sed proportionaliter differentes. Ad hanc
similitudinem iterum constituantur duo termini supremi,
praedicatus, et subjectus, et horum medius
subalternus; ut sicut primus praedicatur de medio,
ita medius de ultimo, ac per hoc primus de ultimo.
Ne ergo dubites ultimum inesse primo, id est primum
praedicari de ultimo: cum, si ultimus insit medio,
medius vero primo; certissime ultimus insit primo.
Hac etenim similitudine et cosmopoeia, id est, mundi
factura, solidata est, scilicet quod duo extrema, id
est ignem et terram, duo media, id est aer et aqua,
indissolubiliter devinxerunt. Et hae quidem similitudines
sunt, quae non ex toto, sed ex parte sui, sicut
et aliae multae in divinis Scripturis aptantur triplicitati,
secundum Augustinum, corporis Domini. In
istis enim similitudinibus major terminus et minor,
et praedicatum, et subjectum invenitur; in sacramento
autem corporis Domini quid humana ad divina?
Nihil majus, aut minus, non praedicatum et
subjectum invenitur. Non est enim diversitas, ubi
est unum; quia non duo aut tria corpora, sed unum.
« Unus panis, » ait Apostolus, « unum corpus multi
sumus in Christo (I Cor. X, 17). » Et: « Erunt duo
in carne una (I Cor. VI, 16). Sacramentum hoc, »
ait Apostolus, « magnum est; ego autem dico in
Christo, et in Ecclesia (Ephes. V, 32), » id est in nobis,
qui sumus corpus Christi, quod est Ecclesia, et
in carne Christi, quae nata est de Virgine Maria;
quibus, vel cui intervenit media, quae utrasque juvat,
quae sumitur de altari, digne percepta.
VIII.
Quam triplicitatem, sed unitam, significavit
David in libris Regnorum, qui #efferebatur in manibus
suis.@# Non enim ad litteram quisquam ferri potest
in manibus suis. Sed verus David, id est Christus,
efferebatur in manibus suis, quando recumbens
in coena cum integro corpore, quod natum
fuerat de Virgine, in morte ponendum, resurrecturum,
coelis tamen glorificatum inferendum, ad dexteram
Patris collocandum, corpus, quod nos nunc
sumimus de altari, manibus suis, id est, vero suo
corpori connaturale et conformatum, discipulis suis,
id est corpori suo, quod sumus nos vel Ecclesia,
obtulit communicandum. « Nemo quippe ascendit in
coelum, nisi qui descendit de coelo, Filius hominis,
qui est in coelo (Joan. III, 13). » Sed caro ascendit,
quae non descenderat, jam quippe deitati unita erat.
Unde et beata Maria non solum #Christotocos@# ( Χριστοτόκος),
sed etiam #theotocos@# ( Θεοτόκος) meruit fieri.
Quapropter sic intelligendum: Nemo ascendit in
coelum cum carne, nisi qui descendit cum deitate. | null | 9a8c5c38-dce2-4732-bbb2-4a7468593aa1 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Ad hoc enim particeps factus est humanitatis nostrae,
assumendo carnem nostram de Virgine: ut nos, id
est Ecclesiam, participes factos divinitatis suae,
uniret corpori suo, sumpto de Virgine, eucharistia,
quae sumitur de altari, mediante et confirmante.
Ipse namque reformavit corpus humilitatis suae. Ergo
sicut Pater in Filio per deitatem naturaliter, et sicut
Filius in nobis secundum assumptionem humanitatis
naturaliter, et sicut nos in eo sumus per unitionem
carnis naturaliter, dum secum hoc, quod
nos sumus, in Deo est: ita naturam carnis suae ad
naturam aeternitatis sub sacramento nobis communicandae
carnis admiscuit. Sicut ait ipse Christus:
« Ut omnes unum sint, sicut tu Pater in me, et ego
in te, ut et ipsi in nobis sint (Joan. XVII, 21). » Et
iterum: « Ut sint unum, sicut et nos unum sumus,
et ego in eis, et tu in me (Joan. XVII, 22). Ecce evidens
et manifesta ex ipsius Christi Domini nostri
[verbis] praefata distinctio! Et ut per hoc evidentius
elucescat hujus etiam sacrificii distinctio, ponamus
figuratim.
KRYCTUC.
Eucharistiam
Ecclesia
Inconsumptibilis
Sumendam
Sumens,
Invescibilis,
Vescendam
Vescens.
Dat ab
Datam
Accipit.
Ipso
Ex ipso
Corpus.
ejus.
Quod ita potest construi: Christus, inconsumptibilis,
invescibilis. Eucharistiam, sumendam, vescendam,
datam ex ipso. Ecclesia corpus ejus sumens,
vescens, accipit ab ipso datam. Quod nisi ita construatur,
putabit aliquis esse accusativum casum;
nos autem dicimus nominativum #Ecclesia,@# quod est
corpus ejus. Accepit itaque Christus carnem nostram,
non phantasticam, sed naturalem. Ergo et
caro nostra naturalis, unde sumpta est illa. Sed et
illa naturalis, quae uniret utrasque, et faceret connaturales,
et ipsa connaturalis. Sed, ut ait quidam
sapiens, non ob hoc plures carnes vel corpora, sicut
nec multa sacrificia, sed unum; licet a multis
offeratur per loca diversa et tempora. Quia divinitas
Verbi Dei, quae una est, et omnia replet, et tota
ubique est, ipsa facit ut non plura sint sacrificia,
sed unum licet a multis offeratur, et sit unum
corpus Christi cum illo quod suscepit in utero virginali.
Quam vigilanter, quam aperte, fit, inquit,
unum corpus Christi cum illo quod suscepit de
utero virginali! Vere enim et incunctanter credendum,
in ipsa immolationis hora ad sacerdotis precem
coelos aperiri, et illud angelico ministerio in
sublime deportari altare, quod est ipse Christus,
qui et pontifex et hostia, contactuque illius unum
fieri. « O quales, » ut ait S. Basilius, « oportet sacerdotis
esse manus, tantarum rerum ministras, quae
communem Dominum angelico iterum revectum officio
subinde contigerint [ #cod.,@# contigerit]! » Sed jam
Paschasium Radbertum sufficiat excusatum, librumque
ejus plurimorum utilitati defensum, qui in
hoc tantum peccavit, quia de sententia beati Ambrosii
non verbum de verbo, sed sensum de sensu
expressit. Quod autem iterum objiciunt, eum dixisse
« toties Christum pati quoties missas contingat
quotidie ubique celebrari, » ego certe in libro
ejus non reperi: cum et Augustinus et caeteri, #illo
manente integro,@# dicant. Et S. Andreas: « Agnus, inquit,
in suo regno integer perseverat et vivus. »
Et beatus Petrus: « Christus, inquit, semel pro peccatis
nostris mortuus est (I Petr. III, 18). » Et Paulus:
« Christus resurgens jam non moritur (Rom. VI,
9) » : et pene totus textus Epistolae ad Hebraeos idem
sonat.
IX.
Sed illorum jam ineptiis respondendum, qui
humano aut saeculi sensu in Dei rebus putant loquendum.
Dominus etenim noster non de spiritali
cibo, sed de carnali locutus est, cum diceret: « Omne
quod intrat in os, in ventrem vadit, et in secessum
emittitur (Matth. XV, 17). » Non autem in Scripturis
omnibus semper pro categorico syllogismo praediffinite
accipitur: cum, etsi #de corde exeunt cogitationes
malae (Matth. XV, 19)
@#, ut idem Dominus dicit,
non possunt exire etiam bonae? Calumniati sunt
haeretici ex hoc sermone, Dominum physicae ignarum
fuisse; physica enim sic se habet: Ignea virtus | null | 342c8fc5-a303-4c80-be1b-951a012c1a59 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
,
cujus sedes in corde est, cibi potusque subtilem
per occultos poros in diversas corporis partes vaporem
distribuit; faeculentum vero in secessum discernit.
Et nos saepe videmus non modo infirmos
sed etiam sanos, quod per os intromittunt, per vomitum
rejectare, et aliquos per multa tempora sine
digestione duxisse [ #f. suppl.@# vitam] Et, licet quod
sumebant, per nauseam stomachi revomeretur, subtilior
tamen succus per membra usque ad ungues
diffundebatur. Ergo dicendum, aut Dominum non
praediffinite locutum, aut quamcunque aporiam corporis,
qua se subtilis cibi vapor diffundit, secessum
dictum; et hoc, ne haereticus garriat. Caeterum quia
vere credimus non solum animam sed et carnem
nostram hoc mysterio recreari (totum enim hominem
assumpsit qui totum hominem in Sabbato curavit),
carni quidem caro spiritaliter conviscerata
transformatur, ut et Christi substantia in nostra
carne inveniatur, sicut et ipse nostram in suam constat
assumpsisse deitatem: ut qui manducat ejus
carnem et bibit sanguinem, vivat per animam et
nunc et in aeternum, et caro de terrae pulvere resuscitata
vivificetur in novissimo die. Quapropter
cujus potenti virtute panis iste communis quem
quotidie sumimus, cum sit candidus, mutatur intra
nos in colorem sanguineum vel alium humorem
fluidum, ipsius potentia caro et sanguis ejus sumpta
non in noxios et superfluos humores, sed in carne
vere resuscitanda debeat reservari conformata.
Et quia totum quod diximus, non ex nostro sumpsimus,
de isto etiam quid quidam sapiens diffinierit,
dicamus. « Scimus, inquit, hoc sacramentum mysterio
et reverentia omnimodis a communibus escis secernendum
quae naturali et necessario usu sumuntur;
ita enim omnes exposuerunt quod Apostolus dixit:
« Non dijudicans » corpus Christi, id est, a caeteris
escis non discernens, vel cujus excellentiae sit, inconsiderans,
quod unum idemque est. » Non enim
excellentiam ejus reveretur qui secessui dicit obnoxium,
sicut caeteras escas. Sed tamen eodem
modo, quantum ad comestionem et haustum pertinet,
percipitur [ #cod.,@# percipiuntur], videlicet trajiciendo
per os, et in ventrem mittendo. Ubi quid Dominus
de mysterio suo agere voluerit, suae scimus
tantum cognitum esse voluntati. Scimus enim consumi
posse spiritali virtute; scimus et reservari posse
inconsumptibili perennitate; quia quaecunque ex
his Christus elegerit, de suo sacramento perficit.
Absit tamen ut tantum mysterium secessui fiat obnoxium!
in quo si forte ordo naturae servatur, mysterium,
quod sola fide conspicitur, humilietur. Si
corpus in corpore ordinem servat, non violatur mysterium
quod divinitatis firmavit sacramentum; nec
spiritus amittit quod fide integra in re corporali
spiritaliter sumpsit.
X.
Sed jam forti syllogismo quod praemisimus,
concludamus. Dixeramus Dominum non de spiritalibus
escis, sed de carnalibus dixisse: #Omne quod intrat
in os,@# et reliqua. Est homo exterior, qui corrumpitur,
est et interior, qui renovatur. Est autem
corpus Christi spiritualis alimonia pertinens potius
ad interiorem hominem, de quo digestio non praedicatur.
Quod si ad exteriorem pertineat hominem
pium sit et salutare, diffundi per membra credere
profuturum resuscitandis in generali resurrectione
Liquet igitur non obnoxium secessui esse.
I.
Sicut ante nos dixit quidam sapiens, cujus sententiam
probamus, licet nomen ignoremus: Intuentes,
inquiens, Apostoli sententiam, qua dicitur:
Quia « animalis homo non percipit ea, quae sunt
Spiritus Dei, » haesitamus vehementer, ne minus
spiritualiter viventes, cum de spiritualibus responsa
paramus, qualia forte nec dum percepimus, in lapidem
offensionis et petram scandali incidamus. Sed
iterum cum internum aspectum ad eum dirigimus,
qui dixit: « Aperi os tuum, et ego adimplebo illud (Psal. LXXX, 11),
fidei integritate manente, provocamur
respondere, de quo dignum est non tacere,
de mysterio videlicet corporis et sanguinis Domini;
dicentibus quibusdam idem esse quod sumitur de
altari, quod et illud quod est ex Virgine natum;
aliis autem negantibus, et dicentibus aliud esse;
quibusdam etiam diabolica inspiratione blasphemantibus,
secessui obnoxium fore. Super quibus
periculosum esset aliquid respondere, sed magis
aures obturare, nisi periculosius foret, eos talia
proposuisse; quia hoc est pro lacte ab uberibus
butyrum aut sanguinem elicere. « Mel, inquit Sapientia,
invenisti? Comede, quantum sufficit (Prov.
XXV, 16). » Et: « Nimius noli scrutator | null | c148c1ee-5b9e-45b3-8a48-8bb8235d77c2 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
esse majestatis,
nea gloria opprimaris (Ibid., 27). » Et his quidem,
qui dixerunt, secessui obnoxium (quod nunquam
est auditum) id est, Heribaldo Antisiodorensi episcopo,
qui turpiter proposuit, et Rabano Mogontino,
qui turpius assumpsit, turpissime vero conclusit,
suus ad respondendum locus servetur.
Propter eos autem qui idem quod natum ex Virgine,
aut aliud dixerunt esse, diversae sanctorum
Patrum ponantur sententiae: quae eis quidem videntur
diversae, sed possent sufficere si ad plenum
et discrete essent intellectae. Dico autem Paschasium
Ratpertum Corbeiensem abbatem, qui rogatus,
incertum an provocatus, scripsit de eadem re libellum
ad centum fere capitula satis utilem: quem
cum resperserit multa multorum auctoritate Patrum,
ponit ex nomine S. Ambrosii, « quod non
alia plane sit caro quae sumitur de altari, quam
quae nata est de Maria virgine, et passa in cruce,
et quae surrexit de sepulcro, quaeque pro mundi
vita adhuc hodie offeratur. » Contra quem satis argumentantur
et Rabanus in epistola ad Egilonem
abbatem, et Ratramnus quidam in libro composito
ad Carolum regem, dicentes esse aliam; vel testimonio
Hieronymi, qui dicit, #dupliciter dici@# corpus
Domini; vel auctoritate S. Augustini, qui dicit #tripliciter
dici.@# Et quia contendunt in libris Ambrosii
non ita ad litteram inveniri, ponamus non solum
ejus immutabiliter dicta; sed et beatorum Augustini
et Hieronymi, et caeterorum, ut sunt inventa: ut,
his diligenter perspectis, cui Deus, aut per quem
dignatus fuerit aperire, pateat et tantos viros non
dissentire, et in catholica Ecclesia unum et idem
debere omnes sapere, et schisma non esse. Verum
cum ad eos venerimus qui moderno tempore his
contentionibus non timuerunt inservire, et ob hoc
nihil dignum meruerunt diffinire, nec posteritati
venturae potuerunt satisfacere, illud beati Hilarii (lib. VIII De Trinit.)
non dubitemus inculcare:
« Non est, inquit, humano, aut saeculi sensu in Dei
rebus loquendum; neque per violentiam aut imprudentem
praedicationem coelestium dictorum sanitati
alienae atque impiae intelligentiae extorquenda perversitas
est. Quae scripta sunt, legamus: et quae legerimus,
intelligamus; tunc perfectae fidei fungemur
officio. » Haec contra eos, qui putant Christum categorizasse,
ubi ait: #Omne quod in os,@# et reliqua. Vel
contra eos, qui dogmatizant, quidquid de corpore
Domini dicitur, vel in veritate, vel in figura, ac per
hoc in umbra dici. Sed de his posterius. Nunc ut
sese habent sanctorum Patrum dicta, immutabiliter
ponamus.
II.
Ambrosius, in lib. De sacramentis: « Ista esca,
inquit, quam accipis: iste panis vivus, qui de coelo
descendit, vitae aeternae substantiam subministrat:
et quicunque manducaverit hunc, non morietur in
aeternum, et corpus Christi est. » Item: « Liquet
igitur quod praeter naturae ordinem Virgo generavit,
et hoc, quod conficimus, corpus ex virgine est. Quid
hic quaeris naturae ordinem in Christi corpore, cum
praeter naturam sit ipse Dominus Jesus partus ex
virgine? Vera utique caro Christi quae crucifixa est,
quae sepulta est; vere ergo carnis illius sacramentum
est. » Item: « Sicut verus est Dei Filius Dominus
noster Jesus Christus, non quemadmodum homines
per gratiam, sed quasi Filius ex substantia
Patris; ita vera caro, sicut ipse dixit, quam accipimus,
et verus est potus. » Leo papa: « Sic sacrae
mensae communicare debetis, ut nihil prorsus de
veritate corporis Christi et sanguinis ambigatis. »
Augustinus: « Suscepit Christus de terra terram
(quia caro de terra est) et de carne Mariae carnem
suscepit; et quia in ipsa carne ambulavit, ipsam
carnem nobis manducandam ad salutem dedit. »
Basilius: « O miraculum! o Dei in nos benevolentia!
qui sursum sedet ad dexteram Patris, sacrificii tamen
tempore hominum manibus continetur, traditurque
lambere cupientibus eum, et cum benedictione
complecti, fitque hoc totum sub oculis humanis. »
Item ipse: « Cum, inquit, sacerdos etiam
sanctum Spiritum advocaverit, et reverendam illam
immolaverit hostiam, communemque Dominum subinde
contigerit, » et reliqua. Gregorius: « Christus
resurgens a mortuis, jam, licet non moritur, et mors
illi ultra non dominabitur, tamen | null | ae37bc89-8825-4558-97b4-cc383a422656 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, in seipso immortaliter
atque incorruptibiliter vivens, pro nobis iterum
in hoc mysterio sacrae oblationis immolatur. »
Haec ideo hic posita sunt, si forte per ea simplicitas
Paschasii Ratberti possit excusari, unde maxime ab
loquentibus [ #f.@# obloquentibus] Rabano et Ratrammo
[ #Cod.,@# Ratmanno] videtur suggillari, videlicet quia
dixerat eamdem esse carnem, quae de altari sumitur,
et Virgine generatur, et quia quotidie adhuc
pro mundi salute immoletur. Quia, licet nobis nihil
placeat gratius et jucundius quam quod de hoc
mysterio valet dici sublimius; tamen quod oblocutores
ejus econtrario asserant quod non sit eadem,
breviter ponamus.
III.
Hieronymus: « Dupliciter, inquit, sanguis
Christi et caro intelligitur; vel spiritalis illa atque
divina, de qua ipse dicit: « Caro mea vere est cibus,
« et sanguis meus verus est potus; » vel caro quae crucifixa
est, et sanguis qui militis effusus est lancea. »
Augustinus autem scribens corpus Christi tripliciter
dici, id est Ecclesiam, qui Christi corpus sumus,
et illud mysticum, quod ex substantia panis et
vini per Spiritum sanctum consecratur, subintulit,
dicens: « Caeterum illud corpus, quod natum est ex
Maria virgine, in quo illud corpus transfertur, quod
pependit in cruce, sepultum est in sepulcro, resurrexit
a mortuis, penetravit coelos, et pontifex factus
in aeternum, quotidie interpellat pro nobis. Ad quem,
si recte communicamus, mentem dirigimus; ut ex
ipso, et ab ipso, nos corpus ejus, carnem ejus, illo
manente integro, sumanus: quae nimirum ipsa caro
est, et fructus ipsius carnis, ut idem semper maneat,
et universos qui sunt in corpore pascat. »
Fulgentius: « Firmissime tene, et nullatenus dubites,
ipsum unigenitum Deum Verbum carnem factum,
se pro nobis obtulisse sacrificium et hostiam Deo
in odorem suavitatis: cui cum Patre et Spiritu
sancto a patriarchis, a prophetis et sacerdotibus
tempore Veteris Testamenti animalia sacrificabantur:
et cui nunc, id est, tempore Novi Testamenti,
cum Patre et Spiritu sancto, cum quibus illi est una
divinitas, sacrificium panis et vini in fide et charitate
sancta Ecclesia catholica per universum orbem
terrae offerre non cessat. In illis enim carnalibus
victimis significatio fuit carnis Christi, quam pro
peccatis nostris ipse sine peccato fuerat oblaturus,
et sanguis, quem erat effusurus in remissionem
peccatorum nostrorum. In isto autem sacrificio gratiarum
actio atque commemoratio est carnis Christi,
quam pro nobis obtulit, et sanguinis quem pro nobis
idem Deus effudit. De quo beatus Paulus apostolus
dicit in Actibus apostolorum: « Attendite vobis
et universo gregi, in quo vos Spiritus sanctus posuit
episcopos regere Ecclesiam Dei, quam acquisivit
sanguine suo. » In illis ergo sacrificiis, quid nobis
esset donandum, figurate significabatur; in hoc autem
sacrificio, quid nobis jam donandum sit, evidenter
ostenditur. » Eusebius: « Quia Christus corpus
assumptum ablaturus erat ex oculis nostris, et
sideribus illaturus; necessarium erat ut nobis in
hac die sacramentum corporis et sanguinis consecraret,
ut coleretur jugiter per mysterium, quod
semel offerebatur in pretium; ut, quia quotidiana et
indefessa currebat pro hominum salute redemptio,
perpetuo etiam esset redemptionis oblatio, et perennis
illa victima viveret in memoria, et semper
praesens esset in gratia. Vere unica et perfecta
hostia, fide aestimanda, non specie: nec exterioris
hominis censenda visu, sed interioris affectu. Unde
merito coelestis confirmat auctoritas quia « caro mea
vere est cibus, et sanguis meus vere est potus. »
Recedat ergo omne infidelitatis ambiguum: quandoquidem
qui auctor est muneris, ipse etiam testis
est veritatis. »
IV.
Poteramus et aliorum, tam antiquorum quam
et modernorum, sed et ipsius Ambrosii dicta his
consentanea ponere, nisi putaremus haec posse sufficere,
videlicet haec dici figurate, et tamen corpus
Christi esse in veritate. Sed haec non intelligentes
nec ad liquidum discernere valentes, sed potius majorem
minus capacibus errorem immittentes, non attendentes
quod supra dixit Hilarius: « Non humano
est aut saeculi sensu in Dei rebus loquendum, » argumentantur:
aut omnino figuratum, et nihil veritatis
in hoc mysterio constare; aut si veritas sit, jam
figuram non esse. Sed Paschasius Radbertus sicut
et alia multa in eodem libro | null | 5af8a9ff-e455-4ca7-89f0-7e0587a9073c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
ultra humanam aestimationem
utiliter tractat; ita et huic sophismati
fortiter obviat dicens: « Figuram non semper umbram
esse, et jure simul hoc mysterium et figura
et veritate dici posse. » Quod si quis plenius voluerit
scire, de ejus volumine, plena fultum auctoritate poterit
mutuare. Nos autem #non alta sapientes, sed
humilibus consentientes (Rom. XII, 16)
@#, simpliciter
fateamur quia figura est, dum panis et vinum extra
videtur; veritas autem, dum corpus et sanguis
Christi in veritate interius creditur. Et quemadmodum
quidam sapiens moderno tempore dixit: « Sicut
omnia in Christo vera credimus, veram videlicet
divinitatem et veram humanitatem, verum Verbum
et veram carnem, verum Deum et verum hominem:
ita in mysterio corporis et sanguinis ejus, quod virtute
coelestis benedictionis et Verbi divini in id
quod non erat consecratur, nihil falsum, nihil frivolum,
nihil infidum sentiamus. » Sed quid ad nostram
tantilitatem de tantorum, quorum praelibata
sunt dicta, virorum discrepantia, sed videntibus
consentanea dijudicare? At forte omnipotens Deus,
et nostrae humilitatis conscius, et magis fidelium
suorum, non impie dubitantium, saluti et haesitationi
sanandae providus, dignabitur patefacere per
nostrae inquisitionis munus, ut et tantae utilitatis,
quae in eodem libro est, propter unum verbum non
depereat fructus: et beati Ambrosii, cujus prae caeteris
libri indigent expositore (quia nullus Latinus
ita Graecos secutus videtur esse) ipsius, inquam,
auctoritas palmam digna sit obtinere.
V.
Cyrillus; « Necessarie igitur et hoc adjicimus,
annuntiantes, secundum carnem mortem unigeniti
Filii Dei, id est Jesu Christi, et resurrectionem ejus,
et in coelos ascensionem pariter confitentes, incruentam
celebramus in Ecclesiis sacrificii servitutem.
Sic etiam ad mysticas benedictiones accedimus,
et sanctificamur participes sacri corporis et
sanguinis pretiosi Christi, omnium nostrorum redemptionis
effecti: non communem carnem percipientes
(quod absit!) nec ut viri sanctificati et Verbo
conjuncti secundum dignitatis unitatem, aut sicut
divinam possidentis habitationem; sed vere vivificatricem,
et ipsius Verbi propriam factam. Vita
enim naturaliter ut Deus existens, quia propriae
carni adjunctus est, vivificatricem eam esse professus
est. Et ideo, quamvis dicat ad nos: « Amen,
amen dico vobis, nisi manducaveritis carnem Filii
hominis, et biberitis ejus sanguinem, » non tamen
eam ut hominis unius ex nobis aestimare debemus
(quomodo juxta naturam suam vivificatrix esse caro
hominis poterit?), sed ut vere propriam ejus factam,
qui propter nos Filius hominis est factus, et vocatus. »
Magna auctoritas tanti viri, qua et carnem
Christi vere vivificatricem esse dixit, et ipsius Verbi
propriam factam, et vitam ut Deum naturaliter
existentem. Hujus itaque tanti viri auctoritate solvitur
ambiguum omne quod beatus Ambrosius dimisit
in subauditione, #naturaliter@# scilicet carnem
Christi, quae sumitur de altari, eamdem fore, quae
nata est de Virgine. Et idcirco, sive secundum
Hieronymum dupliciter, sive secundum Augustinum
dicatur corpus Christi tripliciter, #specialiter@# debeat
dici, cum sit #naturaliter@# unum. Unde et Augustinus:
« Ut ex ipso, inquit, et ab ipso nos, corpus ejus,
carnem ipsius, illo manente integro, sumamus. »
Quam bene facta distinctio! quod ita construitur: #Ut nos,@#
inquit, qui sumus corpus Christi, id est Ecclesia, #ab ipso,@#
qui natus est de virgine Maria #ex
ipso;@# id est, carnem ejus, quae consecratur in altari, #illo manente integro, sumamus.@#
Ut autem certius demonstraret
idem beatus Cyrillus hanc triplicem
secundum Augustinum discretionem, specialiter dictam,
naturaliter esse unam: « Non, inquit, ut viri
sanctificati et Verbo conjuncti secundum dignitatis
unitatem, aut sicut divinam possidentis habitationem;
sed vere vivificatricem, et ipsius Verbi propriam
factam. » Ariani enim, qui negabant unam
Patris et Filii substantiam, illud, quod ipse Filius
dicit: #Ego et Pater unum sumus (Joan. X, 30)
@#, asserebant,
intelligendum ex concordia voluntatis;
quos manifestius confutat Hilarius, vere Romanorum
Lucifer: quod ad intelligendum, quod Cyrillus dixerat,
valet multipliciter.
VI.
Hilarius (VIII, De Trinit.): « Eos, » inquit,
« nunc, qui inter Patrem et Filium voluntatem ingerunt
unitam, interrogo, utrumne | null | 5895edb5-986c-4105-ab92-5bb8b3f3168c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
per naturae veritatem
hodie Christus in nobis sit, an per concordiam
voluntatis? Si enim vere Verbum caro factum
est, et vere nos Verbum carnem factum cibo Dominico
suminus, quomodo non naturaliter manere in
nobis existimandus est, qui et naturam carnis nostrae
jam inseparabilem sibi, homo natus assumpsit, et
naturam carnis suae ad naturam aeternitatis sub sacramento
nobis communicandae carnis admiscuit?
Ita enim in Deo omnes sumus: quia et in Christo
Pater est, et Christus in nobis est. Quisquis ergo
naturaliter Patrem in Christo negabit, neget prius,
non naturaliter vel se in Christo, vel sibi Christum
non esse; quia in Christo Pater, et Christus in nobis,
unum in his esse nos faciunt. Si vere igitur carnem
corporis nostri Christus assumpsit, et vere
homo ille, qui ex Maria natus fuit, Christus est, nosque
vere sub mysterio carnem corporis sui sumimus,
et per hoc unum crimus (quia Pater in eo est, et
ille in nobis), quomodo voluntatis unitas asseritur,
cum naturalis per sacramentum proprietas perfectae
sacramentum sit unitatis? Ipse enim ait: « Caro mea
vere est esca, et sanguis meus vere est potus. Qui
edit carnem meam et bibit sanguinem meum, in
me manet et ego in eo. » De veritate carnis et sanguinis
non est relictus ambigendi locus. Nunc enim,
et professione ipsius Domini et fide nostra, vere caro
est et vere sanguis est; et haec accepta atque hausta
id efficiunt, ut nos in Christo, et Christus in nobis
sit. Anne hoc veritas non est? contingat plane his
verum non esse, qui Christum Jesum verum esse
Deum denegant. Est ergo in nobis ipse per carnem,
et sumus in eo, dum secum hoc, quod nos sumus,
in Deo est. » Item post pauca: « Haec ergo vitae
nostrae causa est, quod in nobis carnalibus per carnem
Christum manentem habemus, victuris nobis
per eum ea conditione qua vivit ille per Patrem. Si
nos ergo naturaliter secundum carnem per eum vivimus,
id est, naturam carnis suae sumus adepti, quomodo
non naturaliter secundum spiritum in se Patrem
habeat, cum vivat ipse per Patrem? »
VII.
Hic videndum quomodo per id etiam quod
haereticis erat indubitatum, voluerit arguere quod
erat dubium. Dubitabatur ab eis de unica Patris et
Filii substantia; quia quod dictum est: « Ego et Pater
unum sumus (Joan. X, 30), » moliebantur ad
unanimitatis referre consensum, ut unitas solum
esset voluntatis, non naturae; sicut « multitudinis
credentium erat cor unum et anima una (Act. IV,
32). » Indubitatum vero erat quod vere Verbum caro
factum fuerat. Nihilominus, quia Deus naturam carnis
nostrae inseparabilem sibi homo natus assumpsit,
et naturam carnis suae ad naturam aeternitatis sub
sacramento hoc nobis communicandae carnis admiscuit,
ac per hoc nos in Christo unum corpus efficimur;
et ideo per hoc omnes in Deo Patre et Filio
unum sumus; quia Pater in Christo, et Christus in
nobis esse probatur, videamus distinctionem. Christus
naturam nostrae carnis assumpsit, cum de Virgine
natus homo processit. Ecce caro de Virgine!
sub sacramento communicandae carnis. Ecce quod
sumitur de altari! Ad naturam aeternitatis nos univit.
Ecce corpus nostrum, quod est Ecclesia! Jam
credo patere, quod beatus Ambrosius dixerat, tandem
esse, ut subaudiatur #naturaliter.@# Et Augustinus,
Hieronymus et Fulgentius: aliud esse, ut subaudiatur #specialiter.@#
Et quia cultus justitiae pietas est, vel sapientia
pietatis est fructus, aliquando quidam simplices
et idiotae, ferventes vero bonis operibus et
pietate, melius pura proficere fide, quam fucato sermone.
Senes illi in Vita Patrum, alium aeque senem
ac virum sanctum, sed pro hoc mysterio dubium,
non dialecticis argumentationibus, sed verbis simplicibus
et oratione compulerunt ad credendum, illud
quod suminus de altari, naturaliter esse corpus
Domini, cum et in veritate, non figuratum. Ecce
quantum fides proficit, ubi sermo deficit! Et nos aliquando,
antequam tantorum virorum, Cyrilli dico et
Hilarii, auctoritatibus instrueremur, hanc supra
dictorum sanctorum (quae [ #cod.,@# quia] posterioribus
visa est) discrepantiam [ #cod.,@# discrepantia] alicujus
dialectici argumenti sede absolvere meditabamur. | null | 639f11f8-5eaf-4ca4-84d3-e8d486d7bf7a | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Non enim ars illa, quae dividit genera in species, et
species in genera resolvit, ab humanis machinationibus
est facta; sed in natura rerum ab Auctore omnium
artium, quae verae artes sunt, et a sapientibus
inventa, et ad utilitatem solertis rerum indaginis est
usitata; sicut scriptum est: « Producat terra animalia
in species suas (Genes. I, 24). » Sed primo
occurrebat, aliquam medietatem arithmeticae ponere,
secundum aliquam de proportionalitatibus numerorum,
quas in proportionibus, inque differentiis terminorum
contemplamur. Sed nec et ista humanis
machinationibus est facta, quia ineffabilis atque divinae
virtutis in ea est sapientiae constantia, ad quam
dicitur: « Omnia in mensura et pondere et numero
constituisti » (Sap. II, 21). Constituantur duo termini
supremi, et horum medius, aequis quidem differentiis,
sed proportionaliter differentes. Ad hanc
similitudinem iterum constituantur duo termini supremi,
praedicatus, et subjectus, et horum medius
subalternus; ut sicut primus praedicatur de medio,
ita medius de ultimo, ac per hoc primus de ultimo.
Ne ergo dubites ultimum inesse primo, id est primum
praedicari de ultimo: cum, si ultimus insit medio,
medius vero primo; certissime ultimus insit primo.
Hac etenim similitudine et cosmopoeia, id est, mundi
factura, solidata est, scilicet quod duo extrema, id
est ignem et terram, duo media, id est aer et aqua,
indissolubiliter devinxerunt. Et hae quidem similitudines
sunt, quae non ex toto, sed ex parte sui, sicut
et aliae multae in divinis Scripturis aptantur triplicitati,
secundum Augustinum, corporis Domini. In
istis enim similitudinibus major terminus et minor,
et praedicatum, et subjectum invenitur; in sacramento
autem corporis Domini quid humana ad divina?
Nihil majus, aut minus, non praedicatum et
subjectum invenitur. Non est enim diversitas, ubi
est unum; quia non duo aut tria corpora, sed unum.
« Unus panis, » ait Apostolus, « unum corpus multi
sumus in Christo (I Cor. X, 17). » Et: « Erunt duo
in carne una (I Cor. VI, 16). Sacramentum hoc, »
ait Apostolus, « magnum est; ego autem dico in
Christo, et in Ecclesia (Ephes. V, 32), » id est in nobis,
qui sumus corpus Christi, quod est Ecclesia, et
in carne Christi, quae nata est de Virgine Maria;
quibus, vel cui intervenit media, quae utrasque juvat,
quae sumitur de altari, digne percepta.
VIII.
Quam triplicitatem, sed unitam, significavit
David in libris Regnorum, qui #efferebatur in manibus
suis.@# Non enim ad litteram quisquam ferri potest
in manibus suis. Sed verus David, id est Christus,
efferebatur in manibus suis, quando recumbens
in coena cum integro corpore, quod natum
fuerat de Virgine, in morte ponendum, resurrecturum,
coelis tamen glorificatum inferendum, ad dexteram
Patris collocandum, corpus, quod nos nunc
sumimus de altari, manibus suis, id est, vero suo
corpori connaturale et conformatum, discipulis suis,
id est corpori suo, quod sumus nos vel Ecclesia,
obtulit communicandum. « Nemo quippe ascendit in
coelum, nisi qui descendit de coelo, Filius hominis,
qui est in coelo (Joan. III, 13). » Sed caro ascendit,
quae non descenderat, jam quippe deitati unita erat.
Unde et beata Maria non solum #Christotocos@# ( Χριστοτόκος),
sed etiam #theotocos@# ( Θεοτόκος) meruit fieri.
Quapropter sic intelligendum: Nemo ascendit in
coelum cum carne, nisi qui descendit cum deitate.
Ad hoc enim particeps factus est humanitatis nostrae,
assumendo carnem nostram de Virgine: ut nos, id
est Ecclesiam, participes factos divinitatis suae,
uniret corpori suo, sumpto de Virgine, eucharistia,
quae sumitur de altari, mediante et confirmante.
Ipse namque reformavit corpus humilitatis suae. Ergo
sicut Pater in Filio per deitatem naturaliter, et sicut
Filius in nobis secundum assumptionem humanitatis
naturaliter, et sicut nos in eo sumus per unitionem
carnis naturaliter, dum secum hoc, quod
nos sumus, in Deo est: ita naturam carnis suae ad
naturam aeternitatis sub sacramento nobis communicandae
carnis admiscuit. Sicut ait ipse | null | d788bf30-7f08-4189-8ee0-78d554baa4e5 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Christus:
« Ut omnes unum sint, sicut tu Pater in me, et ego
in te, ut et ipsi in nobis sint (Joan. XVII, 21). » Et
iterum: « Ut sint unum, sicut et nos unum sumus,
et ego in eis, et tu in me (Joan. XVII, 22). Ecce evidens
et manifesta ex ipsius Christi Domini nostri
[verbis] praefata distinctio! Et ut per hoc evidentius
elucescat hujus etiam sacrificii distinctio, ponamus
figuratim.
KRYCTUC.
Eucharistiam
Ecclesia
Inconsumptibilis
Sumendam
Sumens,
Invescibilis,
Vescendam
Vescens.
Dat ab
Datam
Accipit.
Ipso
Ex ipso
Corpus.
ejus.
Quod ita potest construi: Christus, inconsumptibilis,
invescibilis. Eucharistiam, sumendam, vescendam,
datam ex ipso. Ecclesia corpus ejus sumens,
vescens, accipit ab ipso datam. Quod nisi ita construatur,
putabit aliquis esse accusativum casum;
nos autem dicimus nominativum #Ecclesia,@# quod est
corpus ejus. Accepit itaque Christus carnem nostram,
non phantasticam, sed naturalem. Ergo et
caro nostra naturalis, unde sumpta est illa. Sed et
illa naturalis, quae uniret utrasque, et faceret connaturales,
et ipsa connaturalis. Sed, ut ait quidam
sapiens, non ob hoc plures carnes vel corpora, sicut
nec multa sacrificia, sed unum; licet a multis
offeratur per loca diversa et tempora. Quia divinitas
Verbi Dei, quae una est, et omnia replet, et tota
ubique est, ipsa facit ut non plura sint sacrificia,
sed unum licet a multis offeratur, et sit unum
corpus Christi cum illo quod suscepit in utero virginali.
Quam vigilanter, quam aperte, fit, inquit,
unum corpus Christi cum illo quod suscepit de
utero virginali! Vere enim et incunctanter credendum,
in ipsa immolationis hora ad sacerdotis precem
coelos aperiri, et illud angelico ministerio in
sublime deportari altare, quod est ipse Christus,
qui et pontifex et hostia, contactuque illius unum
fieri. « O quales, » ut ait S. Basilius, « oportet sacerdotis
esse manus, tantarum rerum ministras, quae
communem Dominum angelico iterum revectum officio
subinde contigerint [ #cod.,@# contigerit]! » Sed jam
Paschasium Radbertum sufficiat excusatum, librumque
ejus plurimorum utilitati defensum, qui in
hoc tantum peccavit, quia de sententia beati Ambrosii
non verbum de verbo, sed sensum de sensu
expressit. Quod autem iterum objiciunt, eum dixisse
« toties Christum pati quoties missas contingat
quotidie ubique celebrari, » ego certe in libro
ejus non reperi: cum et Augustinus et caeteri, #illo
manente integro,@# dicant. Et S. Andreas: « Agnus, inquit,
in suo regno integer perseverat et vivus. »
Et beatus Petrus: « Christus, inquit, semel pro peccatis
nostris mortuus est (I Petr. III, 18). » Et Paulus:
« Christus resurgens jam non moritur (Rom. VI,
9) » : et pene totus textus Epistolae ad Hebraeos idem
sonat.
IX.
Sed illorum jam ineptiis respondendum, qui
humano aut saeculi sensu in Dei rebus putant loquendum.
Dominus etenim noster non de spiritali
cibo, sed de carnali locutus est, cum diceret: « Omne
quod intrat in os, in ventrem vadit, et in secessum
emittitur (Matth. XV, 17). » Non autem in Scripturis
omnibus semper pro categorico syllogismo praediffinite
accipitur: cum, etsi #de corde exeunt cogitationes
malae (Matth. XV, 19)
@#, ut idem Dominus dicit,
non possunt exire etiam bonae? Calumniati sunt
haeretici ex hoc sermone, Dominum physicae ignarum
fuisse; physica enim sic se habet: Ignea virtus,
cujus sedes in corde est, cibi potusque subtilem
per occultos poros in diversas corporis partes vaporem
distribuit; faeculentum vero in secessum discernit.
Et nos saepe videmus non modo infirmos
sed etiam sanos, quod per os intromittunt, per vomitum
rejectare, et aliquos per multa tempora sine
digestione duxisse [ #f. suppl.@# vitam] Et, licet quod
sumebant, per nauseam stomachi revomeretur, subtilior
tamen succus per membra usque ad ungues
diffundebatur. Ergo dicendum, aut Dominum non
praediffinite locutum, aut quamcunque aporiam corporis,
qua se subtilis cibi vapor diffundit, secessum
dictum; et hoc, ne haereticus | null | a3d03752-dde4-467a-bdb4-55ebddb04825 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
garriat. Caeterum quia
vere credimus non solum animam sed et carnem
nostram hoc mysterio recreari (totum enim hominem
assumpsit qui totum hominem in Sabbato curavit),
carni quidem caro spiritaliter conviscerata
transformatur, ut et Christi substantia in nostra
carne inveniatur, sicut et ipse nostram in suam constat
assumpsisse deitatem: ut qui manducat ejus
carnem et bibit sanguinem, vivat per animam et
nunc et in aeternum, et caro de terrae pulvere resuscitata
vivificetur in novissimo die. Quapropter
cujus potenti virtute panis iste communis quem
quotidie sumimus, cum sit candidus, mutatur intra
nos in colorem sanguineum vel alium humorem
fluidum, ipsius potentia caro et sanguis ejus sumpta
non in noxios et superfluos humores, sed in carne
vere resuscitanda debeat reservari conformata.
Et quia totum quod diximus, non ex nostro sumpsimus,
de isto etiam quid quidam sapiens diffinierit,
dicamus. « Scimus, inquit, hoc sacramentum mysterio
et reverentia omnimodis a communibus escis secernendum
quae naturali et necessario usu sumuntur;
ita enim omnes exposuerunt quod Apostolus dixit:
« Non dijudicans » corpus Christi, id est, a caeteris
escis non discernens, vel cujus excellentiae sit, inconsiderans,
quod unum idemque est. » Non enim
excellentiam ejus reveretur qui secessui dicit obnoxium,
sicut caeteras escas. Sed tamen eodem
modo, quantum ad comestionem et haustum pertinet,
percipitur [ #cod.,@# percipiuntur], videlicet trajiciendo
per os, et in ventrem mittendo. Ubi quid Dominus
de mysterio suo agere voluerit, suae scimus
tantum cognitum esse voluntati. Scimus enim consumi
posse spiritali virtute; scimus et reservari posse
inconsumptibili perennitate; quia quaecunque ex
his Christus elegerit, de suo sacramento perficit.
Absit tamen ut tantum mysterium secessui fiat obnoxium!
in quo si forte ordo naturae servatur, mysterium,
quod sola fide conspicitur, humilietur. Si
corpus in corpore ordinem servat, non violatur mysterium
quod divinitatis firmavit sacramentum; nec
spiritus amittit quod fide integra in re corporali
spiritaliter sumpsit.
X.
Sed jam forti syllogismo quod praemisimus,
concludamus. Dixeramus Dominum non de spiritalibus
escis, sed de carnalibus dixisse: #Omne quod intrat
in os,@# et reliqua. Est homo exterior, qui corrumpitur,
est et interior, qui renovatur. Est autem
corpus Christi spiritualis alimonia pertinens potius
ad interiorem hominem, de quo digestio non praedicatur.
Quod si ad exteriorem pertineat hominem
pium sit et salutare, diffundi per membra credere
profuturum resuscitandis in generali resurrectione
Liquet igitur non obnoxium secessui esse. | null | f2488117-6f92-4374-bb2f-ac681dc1645b | latin_170m_raw | null | None | None | None |
INCIPIT PROLOGUS IN GEOMETRIAM GERBERTI.(Apud R. P. Bernardum Pezium, #Thes. Anecd. noviss.,@# tom. III, part. II, pag. 5.)
In quatuor matheseos ordine disciplinarum tertium
post arithmeticae musicaeque tractatum geometrica
speculatio naturaliter obtinet locum. Cujus
videlicet ordinis ratio, quia in ipsis arithmeticae institutionis
principiis a doctissimo et disertissimo liberalium
artium tractatore Boetio satis luculenta datur,
a nostris melius fatuitate, utpote nota, reticetur.
Haec vero disciplina, ut simplicibus loquar,
a terrae mensura Graecum nomen accepit: γῆ enim,
Graeca lingua, #terra,@# μέτρον #mensura@# dicitur.
Hujus inventores primi traduntur Aegyptii, qui
propter Nili fluminis eluvionem, agrorum limites
inundatione sui saepius confundentis, talis solertiam
artis excogitavere, cujus exercitatione sui quisque
quantitatem agelli facilius a continenti posset secernere.
Sed quamvis ad dimensionis terrae utilitatem
primitus inventa vocabulumque inde sortita sit, a
posterioribus tamen, rationem ejus diligentius investigantibus,
ad alia quoque nonnulla, quae vel cognitu
utilia, vel exercitio jocunda videbantur, speculatio
ejus accommodata est. Cui etiam talem quidam
diffinitionis terminum aptavere: Geometria
est disciplina magnitudinis et formarum, quae secundum
magnitudinem contemplantur. Potest quoque
et ita, ni fallor, aliquo modo diffiniri: Geometria
est magnitudinum rationabilium propositarum
ratione vestigata probabilis dimensionis scientia.
Utilitas vero disciplinae hujus omnibus sapientiae
amatoribus quam maxima est. Nam et ad animi
ingeniique vires exercitandas intuitumque exacuendum
subtilissima, et ad plurima certa veraque ratione
vestiganda, quae multis miranda et inopinabilia
videntur, jocundissima, atque ad miram naturae
vim, Creatoris omnia in numero et mensura et
pondere disponentis (Sap. XI, 21) potentiam et ineffabilem
sapientiam contemplandam, admirandam,
et laudandam, subtilium speculationum plenissima
est. De cujus ratione et regulis aliqua pro ingenioli
nostri facultatula undecunque collecturi, ut ordinatius
ingredientis animum ad subtiliora deducamus,
ab ipsius artis elementis, quem terminum dicunt,
exordium sumamus.
#Explicit Prologus@#
INCIPIT GEOMETRIA GERBERTI.
CAPUT PRIMUM. #Quid sit corpus solidum? Quid linea, punctum, superficies? Quid pes solidus, constratus,@# etc.?
Artis hujus initia et quasi elementa videntur
punctum, linea, superficies, atque soliditas. De
quibus cum saepe Boetius aliique tam saecularis
quam divinae tractatores litteraturae in plurimis
scriptorum suorum locis satis superque disputent,
tum beatus et eloquentissimus Ecclesiae doctor, Augustinus,
in nonnullis libris suis, et praecipue in eo
qui De quantitate animae inscribitur, copiose disserit:
Ubi etiam tantis oculum corporearum rerum
imaginationibus obtusum per talium artium exercitia
ad spiritalia veraque utcunque contemplanda non
modicum purgari et exacui ostendit. Sed prudentibus,
si qui hoc forte vel aspicere dignati fuerint,
taediosum non sit, si a solido corpore, quod communi
hominum sensui notius est, praepostero incipiens
ordine simplicioribus, quid haec singula sint
paucis tentabo monstrare.
#Solidum corpus@# est quidquid tribus intervallis seu
dimensionibus porrigitur, id est, quidquid longitudine,
latitudine altitudineque distenditur, sicuti est
quidquid visu tactuve comprehendi potest, ut haec
praesens, in qua scribo, tabella. Hoc autem Graece #stereon@#
dicitur. Hujus autem termini seu super
obducta planities #superficiei@# apud nos nomen accepit,
Graece autem epiphaniae. Quae ita intellectu capienda
est, ut nihil sibi altitudinis, id est, crassitudinis
usurpet, sed tantum longitudine latitudineque contenta
se dilatat. Nam si his altitudinem adjicis, jam
non superficies, sed corporis pars, atque ideo solidum
corpus erit.
Superficiei vero extremitas sive terminus #linea,@#
seu Graece #gramma@# est. Quam ita mente percipias
oportet, ut latitudinis expers solius longitudinis se
rigore producat, ne latitudine addita jam non linea,
sed superficies sit. #Lineae@# autem principium et extremitatem #punctum@#
determinat, quod ita se intelligibili
ratione coarctat, ut #lineae@# tantummodo finis existens
nullam in eo partis aut alicujus omnino magnitudinis
quantitatem obtineat. Itaque ut singula juxta
praedictam rationem diffiniam: #Punctum@# est parvissimum
et indivisibile signum. Quod Graece #simion@#
dicitur. Hoc vice unitatis, quae est numerorum
omnium principium, nec tamen ipsa numerus,
omnium origo est mensurarum; ipsum tamen
nullius mensurae aut magnitudinis capax. #Linea@#
est longitudo sine latitudine, haecque solum in longitudine
sui sectionem admittit. #Superficies@# est latitudo
sine | null | 01453c96-5d42-4a65-ae27-5d032ff3c058 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
altitudine. Haec et superficies in rerum
natura subsistere nequeunt praeter corpora, mente
tamen intelliguntur incorporalia, et quasi praeter
corpora esse suum habentia. #Soliditas@# vero supra
diffinita in solidis manens corporibus, sensibus etiam
comprehendi valet, eaque omnifariis et in longitudine
ac latitudine, nec non etiam et altitudine sectionibus
subjacet. Atque haec interim simplicioribus
de praefatis rebus ratiuncula data sufficiet. Doctiores
siquidem de talibus sufficientius alias instructos diutius
in his detineri non oportet.
Itaque per praedictas tres solidi corporis dimensiones
quaecunque rationabiliter metienda proponuntur,
geometricali theoremate ducatus rationis mensurantur.
Aut enim #longitudo,@# aut #latitudo,@# aut
certe #crassitudo,@# quae consueto nomine #altitudo@# a
geometricis vocatur, metiendo indagatur. #Longitudo,@#
ut in lineis aliquam figurae agrive aream includentibus,
ut in itinerum spatiis, ut in arborum aedificiorumque
sublimitatibus, ut in fluminum, curtium
aliarumve rerum lineari in directum proposita usque
ad certum terminum mensuratione, quae videlicet #linearis mensura@#
vocatur. #Latitudo@# vero, ut in areae
ipsius vel planitiei, quae linearum certis includitur
terminis, quantitate #constrata@# vel #plana@# dicitur mensura,
et Graece #epipeda@# dicitur. #Altitudo@# autem ut
crassitudine vel spissitudine quarumdam certae mensurae
structurarum; seu capacitate diffinitae quantitatis
vasorum: quae #mensura solida@# vocatur. Atque
hinc est, quod mensuras quasdam utpote #pedes@#
nunc #lineares,@# nunc #constratos,@# nunc vero #solidos@#
vocitare solemus.
#Linearis pes,@# per quem lineas vel longitudinem
aliquam metimur nihil interim de altitudine et latitudine
curantes, et est talis.--· #Constratus@# pes sive
planus, per quem superficies sive planities, seu area
lineis circumsepta mensurata, et est in longitudine
et latitudine aequalis et quadratus, sed altitudine carens
ita . #Solidus@# autem est longitudine, latitudine,
altitudine aequaliter distans et quadratus, per quem
solida metiuntur corpora, formam videlicet cubi seu
tesserae retinens, qui in planitiei quidem aequalitate
non potest aperte figurari, sed vel mente intelligi,
vel cera, vel ligno, aliave ejusmodi materia facile
valet formari, quamvis Calcidius Timeum Platonis
exponens solidum in plano corpus figuratum utrumque
descripserit.
Aliae etiam, de quibus paulo post dicemus, mensurae
trifaria, ut de pede jam dictum est, distinguentur
ratione. Aut enim et ipsae lineares, aut constratae,
aut solidae intelliguntur. Sciendum autem magnopere
est quod per lineares mensuras constratae
investigandae sunt. Si enim lincares in se vel inter
se multiplicentur, constratae nascentur. Et si constratas
itidem per lineares multiplices, solidas invenies.
Quod ut facile clarescat, exempli causa linea vice
pedis linearis in longum ducatur, eaque in quatuor
lineares palmos hoc modo secetur Hic
ergo linearis pes si latitudine ejusdem quantitatis
addita in quadrum aequaliter describatur, constratus
hujusmodi informatur:
Si ergo quatuor lineares palmos longitudinis per
totidem, qui in latitudine notantur, hoc est, quatuor
per quaternos multiplices, in constrati nimirum pedis
planitie, sedecim palmos constratos hoc modo
invenies:
Quod si item eumdem pedem solidum efficiens parem
longitudini latitudinique ei altitudinem superimponis,
hicque per quatuor lineares super adjectae
altitudinis palmos sedecim planitiei constratos multiplices,
in solido nimirum pede, sexaginta quatuor
solidos palmos reperies, quod a quolibet poterit facilius
intelligi quam in palmo describi. Sic itaque
linearis pes lineares palmos quatuor, constratus sedecim
constratos, solitus sexaginta quatuor solidos
palmos recipit, eademque in caeteris mensuris ratio
multiplicationis juxta cujusque quantitatem observetur.
CAPUT II. #De vocabulis et quantitate mensurarum ab antiquis inventarum.@#
Mensurarum autem vocabula ab antiquis inventa,
et in usu posterorum hactenus reservata, ferme haec
sunt: digitus, uncia, palmus, sextaque; quae et dodrans,
pes, laterculus, cubitus, gradus, passus, pertica;
quae et decempeda, actus minimus, clima,
porca, actus quadratus; qui et agripennus, seu aripennus,
jugerum, seu juger, vel jugus, centuria,
stadium, milliarium, leuca. Quorum quantitas singulorum
primum juxta lineares mensuras videatur, ut
postmodum ad constratas solidasque commodius
traducatur.
#Digitus@# est minima qua in agris metiendis antiqui
utebantur mensura, continens hordei quatuor
grana, in longitudinem scilicet continuatim disposita.
Non autem quorumcunque hominum digitos, qui
utique multum dispares sunt, passim accipias oportet,
sed spatium | null | b675d153-dc77-49be-80bf-cf87141ae9dd | latin_170m_raw | null | None | None | None |
quod latitudo digiti alicujus mediocris
illius temporis hominum transversim occupabat,
pro longitudine certa geometricalis digiti
uniformiter teneas. Idemque de palmo, pede, cubito,
et caeteris ejusmodi faciendum est.
#Uncia,@# juxta antiquiores tres, digitos recipit. Sed
quia cujuslibet rei duodecima pars uncia dicitur,
posteriores unum tantum digitum et tertiam digiti
partem unciae deputavere, ut pedis, qui sedecim digitis
constat, pars duodecima possit existere. Nam
as et triens 16 sunt.
#Palmus@# autem, quarta pars pedis, quatuor digitos
recipit, uncias autem tres. Dictus autem #palmus@# a #palma,@#
id est, a manu extensa, quae quatuor digitis
constat.
#Sexta,@# quae et #dodrans,@# habet digitos duodecim,
uncias novem, palmos tres. Dictus autem #dodrans,@#
quod ab integro pede dempto quadrante constet.
#Pes@# continet digitos sedecim, uncias duodecim,
palmos quatuor, sextam unam, tertiam ejus; cujus
mensura in quibuslibet metiendis usitatior est.
#Laterculus@# non in sola longitudine, ut superiores,
accipi potest, sed ei latitudo etiam est, ut constratus
fiat, habetque in latitudine pedem unum, in
longitudine quoque pedem unum et deuncem ejus,
in lato uncias duodecim, in longo viginti tres; hicque
in tota area sua habet uncias constratas 276.
Dictus autem laterculus diminutive a #latere,@# id est
tegula, quia hujus mensurae ad tegenda seu consternenda
aedificia fieri solebat.
#Cubitus@# recipit pedem unum et semissem, sextas
duas, palmos sex, uncias 18, digitos 24. Hic etiam
in quibusdam locis pro statura hominum recipitur.
#Gradus@# recipit cubitos 2, pedes 3, sextas 4, palmos
12, uncias 36, digitos 48. Dictus, quod gradientes
homines saepius tantum spatii alternatim metiantur.
Passus continet gradum unum et ( #Vetus
Glossa in cod. exponit@# bissem; #alias@# est dodrans)
cubitos 3 et ( #Eadem Glossa,@# trientem) pedes
quinque, sextas 6 et , palmos 20, uncias 60, digitos
80. Hujus in itinerum spatiis maximus usus est
metiendis. Dictus passus a #patendo@# videtur, pro eo
quod patentibus intercapedine quinque pedum cruribus
figuratur: unde et #passi crines@# dicuntur.
#Pertica,@# quae et #decempeda,@# continet passus 2, gradus
3 et trientem, cubitos 6 et bissem, pedes 10,
sextas 13 et , palmos 40, uncias 120, digitos 160.
Dicta pertica quasi #portica@# a portando scilicet. Manu
namque mensoris ad agros dimetiendos virga mensuralis
portatur.
#Actus minimus@# in quantitate tantum superficiei
agrorum consideratur, habetque in lato pedes 4, in
longo 140. Qui invicem ducti, id est, quater 140, in
tota agri superficie constratos pedes 560 ostendunt.
Ductus autem ab #agendo@# rurali opere videtur.
#Clima,@# eodem modo agri quantitatem designans,
habet et in longo et in lato pedes 60. Qui invicem
ducti 1600 pedes constratos complent.
#Porta,@# nihilhominus agri mensuram indicans, in
longitudine 80, in latitudine 36 pedes habet. Qui
invicem ducti 2400 indicant constratos.
#Actus quadratus,@# qui et #agripennus@# seu #aripennus@#
dicitur, quo agri modum discriminamus, per singula
quatuor latera perticas 12, id est, pedes 120 recipit.
Qui in se ducti 144 perticas constratas, pedesque
ejusmodi constratos 14400 in agripenno demonstrant.
#Jugerum@# seu #juger,@# seu #jugus,@# quod junctis duobus
aripennis confit, indeque ab #jungendo@# nomen accipit,
quantitatem itidem agri . . . niens, habet in longitudine
perticas 24, id est pedes 240; in latitudine
perticas 12, id est 120 pedes. Qua latitudine per
longitudinem ducta in superficie jugeri perticas constratas
288, pedes vero 28800 invenies. Hujus quartam
partem #tabulam@# appellant, continentem perticas
constratas 72.
#Centuria@# est ager 200 continens jugera, dicta,
quod apud antiquiores centenis tantum jugeribus
computabatur. Hae tamen, quae agrorum quantitatem
designant, mensurae, magis in quantitate areae planitieque
lineis circumscripta, quam ipsarum, quibus
circumscribitur, linearum longitudine, considerandae
sunt. Cujus enim longitudinis lineae aream includant,
nihil interest, si tamen ipsa propriam quantitatem
area non | null | 76f95c8c-4ae7-44ed-b2e9-46a756c40d80 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
amittat, ut in jugero. Utrum enim in longo
24 perticas, in lato vero 12, ut supra dictum est,
habeat, an in longo 18, in lato 16; an in longo 32,
in lato vero 9; an alio atque alio modo longitudo
latitudoque permutentur, si tamen mutua multiplicatione
288 constratas perticas efficere possunt,
jugerum nihilominus implebunt. Idemque in agripenno
et caeteris agrorum mensuris sentiendum
est.
#Stadium@# autem, quod magis in itinerum dimensionibus
usuale est, continet passus 125, gradus 208 et
trientem, cubitos 416 et , pedes 625, sextas
933 et trientem, palmos 2500, uncias 7500, digitos
1000. Dictum autem stadium dicitur a #stando,@# seu
quod juvenes currentes emenso hoc spatio ad metam
starent; seu quod Hercules primus hoc spatium
uno anhelitu transcursum stando signaverat.
#Milliarium@# habet stadia 8, passus #mille@# (unde et
nomen accepit), gradus 1600, 61 , cubitos
3300, 33 , pedes 5000, sextas 6600, 66 ,
palmos 20000, uncias 60000, digitos 80000. Hoc
permissu priscae legis iter Sabbati fuit.
#Leuca@# recipit milliarium unum et dimidium, stadia
12, passus mille quingentos, gradus 2500, cubitos
5000, pedes 7500, sextas 10000, palmos 30000, uncias
90000, digitos 120000. Dicta leuca a #levando,@#
id est, relevando post tantum iter corpore. Unde et
apud Teutonicos #Rasta@# a requiescendo appellatur.
CAPUT III. #De descriptione quantitatis earumdem mensurarum trifaria.@#
Sed quia haec de linearibus, id est solam longitudinem
designantibus mensuris utcunque dicta sunt,
nunc quoque earumdem quantitatem, si constratae
aut solidae fiant, per passus, pedes et digitos in
subjecta, si placet, paginula quam brevissime subnotemus,
eas videlicet intermittentes quas, quantitates
tantum superficiei agrorum, demonstrare praediximus.
#Leuca@# habet lineares passus 1500, constratos his
M. I. CC. L, solidos ter MMM, et ter CMM, et LXX, es
MM, et Ves II.
#Milliarium@# habet lineares passus mille, constrato
MI, solidos MM, millia MM millia.
#Pertica@# habet lineares passus duos, constratos
quatuor, solidos octo.
#Passus@# habet lineares pedes quinque, constratos
25, solidos 125.
#Gradus@# habet lineares pedes 3, constratos 9, solidos
27.
#Cubitus@# habet linearem pedem I, unum S.,
constratos duos, unum trientem, solidos tres,.
L #Pes@# habet lineares digitos 16, constratos 256, solidos
4096.
#Sexta@# habet lineares digitos 12, constratos 144,
solidos 1728.
#Palmus@# habet lineares digitos 4, constratos 16,
solidos 64.
#Uncia@# habet linearem digitum unum, constratos
unum et solidos duos, .
#Digitus@# habet linearia hordei grana 4, constrata
16, solida 64.
Et hactenus de mensuris, quae a prioribus nobis relicta
sunt, satis et non superflue, ut reor, dictum est.
Quod si prioribus in mensurando partibus indiget,
diligens quisque unamquamque mensurarum praedictarum,
ut necesse fuerit, seu per minutias usitatas
sive per intellectuales multimodis habere poterit.
CAPUT IV. #De planis figuris.@#
Nunc vero de figuris, quae praefatis linearibus
includuntur mensuris, speculandum est. Figura,
quae Graece #schema@# vocatur, est spatium certis terminis
inclusum. Hujus species duae sunt. Aut enim #planae@#
aut #solidae@# sunt. Sed de solidis in posterioribus;
nunc de planis videamus.
#Planae@# dicuntur figurae, quae profunditate, id est,
altitudine carentes, in longitudine tantum latitudine
que considerantur. Hae vero si rationabiliter proponuntur,
aut rectis lineis, quae Graece #euthyae,@# determinantur,
et angulatae sunt, appellanturque #euthygrammae;@#
aut curvis seu circumferentibus lineis,
quas Graeci #cyclicas@# sive cycloides ( #Cod.,@# licoides)
sive #capellas@# vocant, includuntur, et rotundae sive
oblongae sunt, et #campylogrammae@# nominantur: vel
certe utrisque, id est rectis et curvatis, componuntur,
et partim angulatae, partim lunatae seu rotundae
sunt, quod genus #micton@# a Graecis dicitur. Quae
singulae, prout commodum et utile videbitur, in
consequentibus apertius | null | 6e397ce3-7700-4886-9b1a-fbfa7db7d7cf | latin_170m_raw | null | None | None | None |
describentur. Spatium autem
sive planities planarum figurarum lineis circumscripta, #embadum@#
a Graecis appellatur, quod a nostris
interpretatum #area@# nuncupatur, ad cujus videlicet et
areae quantitatem investigandam variae, pro diversitate
figurarum et theorematum, regulae passim dispersae
feruntur, ex quibus aliquas, quas nostri attingere
potuit diligentia, quae utiliores videbantur,
aliquantisper ordinatius digestas aggredi tentabimus,
si prius pauca de #angulorum@# speciebus, et
alia quaedam ingredientibus necessaria probaverimus.
Itaque planae figurae quas rectis lineis determinari
angulatasque esse diximus, trinis necessario
planorum angulorum formantur speciebus. Est autem
#planus angulus@#
duarum linearum in planitie e
diverso ductarum ad unum punctum coadunatio.
Sive aliter: Angulus est spatium quod sub duabus
lineis continetur se invicem tangentibus. Qui nimirum,
trimodis speciebus discretus, aut #rectus@# est,
aut #hebes,@# aut #acutus.@#
#Rectus,@# qui et #normalis@# dicitur, hoc modo fit, si
rectam lineam jacentem altera stans recta contingat,
et ex utraque sui parte aequos angulos ita
facit:
Hic autem, quasi viae virtutis medium tenens, sibique
ipsi semper et uniformiter aequalis, nec se plus
aequo dilatat, nec minus justo coarctat.
#Hebes@# autem, qui et plus normali vel #obtusus@#
dicitur angulus, qui, quasi pleonasiae more, semel
rectum excedens, incerta indefinitaque quantitate,
donec in lineam deficiat, dilatari et expandi potest.
Fit autem si jacenti lineae altera ab ea inclinata
jungatur ita:
#Acutus@# est, qui, neomesiam imitans, et infra rectum
subsistens, identidem quantitate indefinita usque
in lineam directam coarctari valet. Fit vero si
jacentem lineam rectam altera ad eam inclinis tangat,
ita:
Et hi quidem anguli, ex rectis scilicet facti, #euthygrammi@#
Graece, #rectilinei@# possunt Latine appellari.
Possunt tamen eaedem tres angulorum species aliquomodo
ex rectis et circumferentibus lineis, item
ex circumferentibus solis figurari. Ex rectis namque
et circumferentibus lineis recti anguli figurantur,
si circulus aequaliter a puncto circumductus rectam
lineam per ipsum punctum in duo aequa secat
ita:
#Hebetes@# autem, qui et obtusi anguli, si major
dimidio circuli pars hoc modo formetur;
Acuti vero fiunt, si minor medietate circuli pars
scribitur:
Ex solis autem circumferentibus lineis, si eas, id
est, tres angulorum species, velis figurare, duos
aequales circulos ita sibi invicem innexos circumducito,
ut uterque circumductione sua secet alterius
punctum; sicque et in media, ni fallor, area, et in
singulis partibus altrinsecus positis rectos omnes ad
sui modum angulos pernotabis ita:
Quod si duos alios connexueris, ita ut uterque
suo ambitu punctum includat in medio embado
duos hebetes, in quatuor altrinsecus vero positis
acutos nihilominus angulos formabis ita:
Sin autem ita bini sibi nectantur, ut punctum alterutrius
ab altero immune omnino relinquatur, in
media nimirum areola acuti in extremis utrinque
hebetis anguli species figurantur, ut cernis.
Ut autem omnes angulorum species in una pariter
inspiciantur, talis circulorum componitur connexio:
Sciendum quoque est quod acuti anguli #interiores,@#
hebetes vero #exteriores@# ad comparationem scilicet
recti anguli solent appellari. Rectus quippe angulus
ab hebete, utpote exteriore, latioreque includitur;
sed ipse rursus acutum, ut videlicet amplior, interiorem
includit; quod in subjecta formula rectilinea,
ubi omnes angulorum species ad unum eo adunatae
sunt punctum, describitur hoc modo.
Intuendum etiam est quod rectae lineae jacenti si
recta una, quae perpendicularis dicitur, erecta superstet,
ubi jacentem tangit, ex utraque sui parte
rectum angulum efficiet hoc modo:
Si vero ad alterutram partem linea superstans inclinetur,
in illa, ad quam inclinetur, parte interiorem,
id est, acutum angulum efficit, in altera vero
exteriorem, id est hebetem, ita tamen ut hi duo anguli,
interior scilicet et exterior duobus rectis sint
aequales, hoc modo:
Quantum enim interior a recto minus habet, tantum
exterior rectum supervadit. Quod si rectae jacenti
lineae duae adversis partibus inclinatae ita superstent,
ut et illam et se invicem ad unum punctum
tangant, tres nimirum interiores angulos formant,
ita tamen, ut hi tres anguli duobus rectis
aequales sint. Nam tantumdem spatii quantum duo
recti occupant, hoc modo:
Si duae rectae sese invicem altera per alteram | null | f6707cae-0532-40fa-abac-88d4d76ec1f7 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
ductae secent, aut quatuor rectos efficiunt angulos,
aut duos exteriores, totidemque interiores ex adverso
sibi invicem aequos reddunt, qui tamen quatuor
rectis angulis sunt aequales, hoc modo:
Duae rectae lineae aequali a se invicem spatio inductione
sua distantes et in infinitum ductae, nunquam
invicem concurrentes #paralellae,@# id est aeque
distantes dicuntur, ita:
Quod si recta linea ab una ad aliam ducta fuerit,
aut rectos angulos quatuor, ubi tangit eas, efficiet,
aut totidem rectis aequos, binos scilicet interiores,
binosque exteriores sibi ex opposito invicem
aequales taliter:
Possent quidem et alia nonnulla de lineis et angulis
inveniri et dici. Sed haec ingredientibus sufficere
putavi.
CAPUT V. #His tribus anguli speciebus omnis coagulata consistit figura.@#
In omnibus ergo, ut dictum est, planis figuris,
quae quidem angulatae sunt, unam vel duas, vel
certe omnes has angulorum species necessario invenis;
unam, ut omnes angulos rectos habeant aut
hebetes omnes, vel omnes acutos; duas, ut alios
angulos rectos habeant, alios acutos, aut alios hebetes,
alios acutos, aut alios rectos, alios hebetes; omnes,
ut et rectus, et hebes et acutus, quod tamen
rarius evenit, ut in una aliqua inveniatur figura.
Quod totum posterius in earum satis formationibus
clarebit. Nunc jam de #triangulo,@# qui in planis figuris
naturaliter primus occurrit, sequens ratio quae
videbuntur aggredi tentabit.
CAPUT VI. #De principalitate trianguli.@#
#Triangulus,@# ut in arithmeticis satis a Boetio declaratum
est, ideo planarum principium existit figurarum,
quia tria primum rectae lineae superficiem
seu latitudinem aliquam possunt includere. Duae
quippe rectae nihil possunt spatii circumdare, atque
ille ideo, quia tribus lineis distensus figuras
angulatas planasque primus efficit, jure in eisdem
figuris principatus locum obtinebit. Qui et ideo
principium et quasi elementum exstat in angulatis
figuris, quod unaquaeque earum ex eo componatur,
et in eumdem resolvatur. Si enim ipsius trianguli
sive tetragoni vel pentagoni, hexagonive ceu caeterorum
sequentium multiangulorum superficiem, id
est aream mediam puncto designaveris, et ab eodem
puncto ad angulos rectas lineas deduxeris, unumquemque
eorum ex tot compositum et in tot triangulos
divisum pernotabis, quot ipse constat ex angulis.
Nam eodem modo ipse triangulus in tres alios
triangulos; tetragonus in 4; pentagonus in 5; aliique
sequentes juxta numerum angulorum suorum
in triangulos dividuntur. Ubi subtiliter id etiam
evenit ut, quia in triangulos cujusque eorum divisio
fit, per triangulorum quoque regulas uniuscujusque
eorum a diligentibus embadum inveniri possit. Quare
satis cuipiam potest declarari omnium planarum
figurarum triangulum principium esse.
CAPUT VII. #De speciebus trianguli.@#
Est autem #triangulus,@# qui et #trigonus@# sive #tripleurus@#
dicitur, plane figura tribus rectis lineis sive lateribus
et totidem angulis terminata. Hujus species
tres sunt, #orthogonius@# scilicet, et #ampligonius,@# atque
#oxygonius.@#
#Orthigonius@# est triangulus unum rectum angulum
habens et duos acutos, taliter:
A recto autem angulo, quem habet, nomen possidet. #Orthon@#
quippe Graece rectum: #gone@# angulum
sonat. Inde #Orthogonius@# quasi #rectiangulus@# dicitur.
#Ampligonius@# est triangulus unum hebetem et duos
acutos habens angulos, ita:
Qui et ipse ab hebete angulo suo identidem accepit
vocabulum.
#Oxygonius@# autem est triangulus omnibus acutis
angulis determinatus, ita:
Unde ab acuto, quia #oxya@# sonat, appellatus est.
Hic vero et unius speciei angulos et aequa latera
potest habere: quod in prioribus omnino est impossibile,
ut et quivis facile intelligere, et in figuris
eorum oculis valet approbare.
Habent etiam iidem trigoni quaedam alia quoque
tria ad discretionem sui vocabula. Alius enim eorum #isopleurus,@#
alius #isoceles,@# alius #scalenos@# dicitur.
#Isopleurus@# est qui omnibus aequalibus continetur
lateribus. #Isos@# quippe #aequalis; pleuros latus@# dicitur.
#Isoceles,@# qui duo habet latera aequalia, qui etiam
quasi cruribus insistit; tertium inaequale, unde et
isoceles, quasi aequicrurius dicitur.
#Scalenos,@# qui omnia latera inaequalia invicem continet;
dictusque #scalenos@# quasi #gradatus,@# eo quod
velut gradibus, de uno in aliud transfertur latus.
Sed #isoplevrus,@# id est | null | 245d303d-bc53-4b57-a9ee-6dc4f2667d49 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
aequilaterus solus dictus potest
esse trigonus oxygonius; isoceles vero atque scaleni
et #orthogonii@# et #ampligonii,@# ipsique item #oxygonii@#
poterunt fieri. Singuli quippe eorum et duobus
lateribus aequalibus, tertio inaequali, et omnibus inaequalibus
solent formari.
CAPUT VIII. #De natura triangulorum.@#
Illud quoque in his triangulis speculare, quod
juxta supradictam superius angulorum quantitatem
in omni trigono ampligonio exterior, id est hebes
angulus major est utrisque interioribus, id est acutis
in ipso scilicet ampligonio trigono ex adverso
constitutis, ipsique duo non solum exteriore sed
etiam recto angulo minores probantur, ut in hoc:
In omni quoque triangulo duo anguli quoquomodo
sumpti duobus rectis angulis minores sunt.
In omni etiam triangulo minus latus majorem
angulum, majus vero minorem efficit.
Si in quolibet trianguli latere a finibus lateris duae
rectae lineae introrsum inclinatae angulum faciant,
ipsae quidem caeteris trianguli lateribus minores
sunt; angulum vero majorem efficiunt ita:
In omni orthogonio triangulo, solus rectus angulus
duobus reliquis interioribus, id est acutis, probatur
aequalis. In oxygonio autem tres interiores, id est
acuti singuli duobus rectis angulis aequi sunt, et
omnino in omnibus triangulis idem evenit, ut tres
eorum anguli duobus rectis angulis aequi sint. Nam
in ampligonio quantum exterior, id est hebes angulus
rectum superat, tantum duo interiores, id est
acuti superantur a recto. Et in orthogonio unus rectus
est, et interiores, id est acuti, qui item, ut dictum
est, unum rectum angulum complent.
In oxygonio quoque duo acuti unum rectum superant,
sed duobus tantum minores sunt, quantum
tertius supplere poterit angulus. Et juxta hanc rationem,
ni fallor, erit intelligendum quod in categoriarum
Aristotelis Commentariis a Boetio dictum
est: #Multi saepe movere soliti sunt scrupulum: scimus
triangulum tres interiores angulos duobus rectis
angulis habere aequos.@#
His interim de natura triangulorum expeditis,
qualiter quisque angulus, utrum rectus an hebes
aut acutus sit, discerni queat breviter dicamus, ut
certius requirenti utrum triangulus quisque orthogonius,
an ampligonius sive oxygonius sit, probare
valeamus.
CAPUT IX. #Quomodo tres angulorum species discerni valeant?@#
Si de aliquo angulo, utrum rectus an hebes acutusve
sit, dubitaveris, hujusmodi experimento uti
poteris. Ab angulo, de quo dubitas, in utraque linea,
quae in eo conveniunt, aequalem mensuram cujusvis
longitudinis sumptam punctis utrinque notato,
et ab uno ad aliud punctum rectam lineam ducens,
eamque in duo aequa dividens, medietatem
ejus puncto signabis. A quo videlicet puncto si ipsa
eademque mensura, qua medietatem lineae esse invenisti,
angulus ille, de quo quaesieras, distabit,
rectus erit. Si longius distans ab ea mensura attingi
nequiverit, acutus; si autem propior a praefata
transgreditur mensura, obtusus, id est hebes esse
dignoscitur. Verbi gratia, sit angulus, de quo dubitas, #a:@#
a quo in utraque linea aequali mensura distet #b@# et #c.@#
Medietas lineae a #b@# ad #c@# ductae fit #d.@# Si ergo a #d@# puncto #b@#
et #c@# et #a@# aequali mensura distent, rectus angulus #a@#
erit. Si minor ad #a@# fuerit, quam ad #b@# et #c,@# hebes.
Si autem major, acutus angulus #a@# esse non dubitatur.
Vel aliter, juxta Pythagorae inventum. Ab angulo,
de quo dubitas, in una ejus linea tres aequales longitudinis
mensuras, utpote pedes, in altera ejus longitudinis
quatuor dimetiens, ubi utrinque fuerint terminatae,
punctis signato, et ab uno horum puncto
ad alterum lineam rectam deducito. Et si haec linea
quinque aequaliter pedes habuerit, angulus ille, de
quo dubitas, rectus erit; si plus quam quinque,
hebes; si autem minus, acutus apparebit. Exempli
causa, sit ipse angulus #e@#
ab hoc in una linea tres mensuras quasi pedes
usque ad #g@# metior, ab eodem in altera linea usque
ad #f@# duo. Si ergo in hac linea inter #f@# et #g,@# quinque
ejusdem longitudinis mensuras invenio, #a@# angulum
rectissimum natura cogente minime dubito; si autem
plus quam quinque, hebetem; si minus, inter | null | c61b648c-7369-4a02-a969-016e092f9247 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
acutos eumdem putari debere certissimum teneo, ut
in subjecta formula patet. Lineae vero rectae, quibus
trigoni seu tetragoni, et aliae quaedam planae figurae
determinantur, his ferme vocabulis designantur.
CAPUT X. #Le appellationibus linearum in figuris.@#
Linea quae in una parte figurae directe et non oblique
jacet, #basis@# nomen accepit, eo quod super ipsam
figura fundata sit. Quae vero in summo quasi in culmine
figurae similiter directim ducitur, #coraustus@# appellatur,
atque jusum [deorsum] a summo directim more
perpendiculi pendens, ubi basi coraustove conjungitur,
rectum angulum efficit, #catheti@# sive #perpendicularis@#
vocabulum suscipit. Illa autem quae, oblique
jusum sive susum deducta, hebetis vel acuti anguli
effectrix videtur, #hypotenusa,@# id est obliqua sive #podismus@#
nominatur.
Ex harum autem linearum mensura, maximeque
catheti et basis seu corausti, quae scilicet longitudinem
latitudinemque figurae determinant, constratam
embadi mensuram, ut superius commemoravimus,
vestigare debemus. Sed quamvis ampligonius
propter angulum majorem a quibusdam praeponatur,
oxygonius vero propter isopleuron, qui et
angulorum et laterum aequalitate gaudet, principalior
putatur. Nos tamen orthogonium cum reliquis suis
tum propter recti anguli principatum, tum quod
ratio ejus apertior certiorque sit, et ab eo ampligonius
oxygoniusque regulas accipere videantur, merito
his anteponendum aestimamus.
CAPUT XI. #De Pythagoricis orthogoniis.@#
Inter omnes diversorum laterum triangulos orthogonius
ille quodammodo speciale privilegium et meritum
habere videtur, qui ab inventore Pythagora #Pythagoricus@#
appellatur; quod quare videatur, in
consequentibus manifestatur. Hic autem talibus laterum
proportionibus continetur, ut #basis@# ad cathetum
sesquitertia, hypotenusa ad basim sesquiquarta,
itemque ad cathetum superbipartiens tertias
sit. Habet quippe cathetus pedes, aliasve minores
vel majores mensuras in eisdem proportionibus, ut
subscripti.
CAPUT XII. #Quomodo minutiae addantur figuris.@#
Quod autem interdum quaedam vel omnia latera
hujusmodi orthogoniorum minutiis admistis solent
propani (neque enim sagacem geometren minutiandi
solertiam decet ignorare), horum etiam re erit
exempla subnotare:
In his itaque aliisque orthogoniis in eisdem laterum
proportionibus constitutis, videlicet et Pythagoricis,
hoc modo invenire per cathetum alia latera
poteris.
Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur;
residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem,
quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam
habebis, ut in eo, quem primum posui,
cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata
nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia
basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui
basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur,
hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque
in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis
numeris compactis invenitur, ut in his 4,
quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt.
Horum nona parte, id est unitate ablata et triente
residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et
triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim
juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.
Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato,
nonaque parte inde ablata, basim habeto.
Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto,
dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat.
Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos
novem addita fiet 10 hypotenusa.
Similiter in eo cui et quadrantem in catheto
posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti
7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id
est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem
8 et hypotenusae tribuit.
Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona
inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur.
Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat.
Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27
efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet
dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est
nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.
Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto,
dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata,
19 facit. Inde | null | 323a9d01-86aa-4c6d-a547-aa46a8b4f127 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
nona parte, quae est 2 ( #Glossa
vetus: z.@# siliquam interpretatur) #z.@# S. et S. abblata
remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id
est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata
superaddita podismum, id est 10, et S. quinque
φ
facit cum summa dubietate seposita.
Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione
dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis
prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis
vel omnino vera vel veritati proxima est.
Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per
duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas
naturae constitutione certissima hoc modo:
Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus
in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus
in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul
summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus
tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus
esse sciatur.
Tetragonus autem, ut ex arithmeticis notissimum
est, dicitur numerus ex alio in se ducto procreatus,
ut 4, qui ex binario; ut 9, qui ex ternario; ut 16,
qui ex 4 in se ducto procreatur. Duo enim bis quatuor,
et tres ter novem, et quater quatuor 16 creant.
Numerus autem qui ita tetragonum in se ductus
efficit, ejusdem effecti a se tetragoni #latus tetragonale@#
vocatur.
Ut autem basis quantitas pernoscatur, ex numero
hypotenusae ducto in se, catheti numerus item in se
ductus auferatur, et residui numeri latus tetragonale
basi, ut naturaliter insita quantitas tribuatur.
Ad catheti vero mensuram vestigandam ex hypotenusae
numero item in se ducto, numerum basis in
se ductum adime, et latus reliqui tetragonale pro
catheto tene. Quae singula ut clarescant exemplis ex
superioribus orthogoniis minimum sumo, et per
cathetum ejus ac basim hoc modo hypotenusam invenio.
Cathetus, id est 3, in se ductus 9, tetragonum
facit. Item basis, id est 4, in se ducta in 16,
tetragonum surgit. Qui duo tetragonii 9, et 16
conjuncti 25, rursus tetragonum compaginabunt.
Cujus latus tetragonale, quod est 5 (quinquies enim
quinque 25 numerum complet), hypotenusae.
Per cathetum autem et hypotenusam hoc modo basim
invenies. Ex numero hypotenusae, id est 25,
cathetum in se ductum 9 aufero, et reliqui, id est
16, latus tetragonale, quod est 4, basi ascribo. Ad
cathetum vero reperiendum ex eodem 25, hypotenusae
numero in se ducto basim in se ductam, id est
16 detraho, et reliqui novenarii latus, id est 3, dabo
catheto.
Item, ut et in majori exemplum dem, sumo eum
qui in catheto 12, et in basi 16 tenet, numerosque ex
utrisque in se ductis confectos, scilicet 144 et 256,
conjungo, et ex utrisque confecti 400 numeri latus
tetragonale, id est 20, do hypotenusae. Ex quibus
iterum 400, si cathetum in se ductum, id est 144,
abstraho, reliqui 256 numeri latus, id est 16, basi
tribuo. Quod si eisdem 400, basis in se ducta, id est
256, adimatur, 12 qui residui, id est 144, illius numeri
latus est, perpendiculari, id est catheto donatur.
Et ne in minutiatis quoque orthogoniis exemplum
dare subterfugiam, eum accipio, cui superius 6 et
in catheto posueram, ipsumque cathetum regulariter,
quod abacistae facillimum est, in se duco, et 40
S. tetragonum invenio. Item basi, quae est 64,
3 3. II. M
M et tertia. 8 in se ducta fit tetragonus 71.
et duae et tertia unius. Hi duo tetragoni
simul juncti faciunt tetragonum 101
et duas siliquas et tertiam unius siliquae continentem.
Cujus latus tetragonale inventum, quod est 10
S. E et C. (nam hoc in se multiplicatum eumdem
restituit) hypotenusae ostendit quantitatem. Ex eodem
autem hypotenusae numero in se ducto, id est
duabus siliquis et tertia parte siliquae, si
cathetum in se, id est 40, S. dempseris, reliqui,
id est 71 duarum siliquarum et trientis
siliquae latus erit basis, id est 8 Ex eodem
hypotenusae numero basis in se ducta dempta si
fuerit, remanentis, id est 408, et latus tetragonale,
quod est 6, cathetum restituit | null | 9623770d-2db4-4472-b853-274581c2d65c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
. Atque haec regula
in caeteris quoque orthogoniis probare volentem
nunquam fallit, si lineares laterum mensuras invenire
libuerit.
Ad constratam vero embadi, id est areae quantitatem
in his Pythagoricis orthogoniis inveniendam hujusmodi
habe regulam; trium laterum quantitates,
videlicet catheti, basis et hypotenusae in unum colligantur;
medietas hinc sumatur, et ab hac basis
auferatur; qui remanet, per cathetum multiplicetur,
et summa inde nata duplicetur; duplicata per quartam
sui partem multiplicetur, nataeque inde summae
latus tetragonale pro embado habeatur. Verbi gratia:
minimi in superioribus orthogoniis trium laterum numeros,
id est 3, 4, 5 conjungo, fient mihi 12; horum
medietas 6 erit. Inde sublata 4, basi, 2 residui
per cathetum, id est 3, ducti 6 faciunt; qui multiplicati
12 redduntur. Hi per quartam sui partem, id
est per 3 ducti, 36 efficiunt. Horum si latus tetragonale,
quod est 6, accipio, areae orthogoniique
hanc summam habeo.
In primo quoque, quem cum minutiis posui, eodem
modo, si laterum sumas, id est 4, 5, 6
copulo, 16 conficio. Media, id est 8, inde sumpta,
basique, id est 5 inde ablata, residuis, id est 2
per cathetum, id est 4, ductis, 10 habeto.
His duplicatis, 20 i. facio, quibus per 4 sui, id
est 5 ductis fient 113, Hujus tetragonale
latus, quod est 10 , si sumpsero, embadi
totius planitiem impleo, et ita in caeteris.
Multum vero simplicior faciliorque et expeditior
erit regula embadi inveniendi in omnibus orthogoniis
una in omnibus prorsus triangulis universalibus,
ut scilicet per dimidium basis cathetus multiplicetur,
et quod inde creverit, pro embado habeatur. Quod
idem erit, si conversim per dimidium catheti multiplicetur
basis integra, et inde natum embadum
dicatur; vel si tota basis per totam perpendicularem
ducatur, et nati inde numeri medietas areae tribuatur.
Cum enim per cathetum basis, vel per longitudinem
latitudo ducitur, quadrati areae quantitas invenitur.
Quem cum transversim ab angulo ad anangulum
medium divido, duos nimirum triangulos
sibi invicem aequos efficio, quia in utroque eorum
medietatem areae tetragoni invenio.
Sed huic ut exempla quoque regulae subjiciam, ex
superioribus orthogoniis ille mihi proponatur, cujus
cathetus 15, basis 20 pedibus annotatur. Multiplico
itaque per cathetum basim hoc modo: 15, 20, fient
300. Horum dimidia, id est 150, totius areae pedum
constratorum indicat numerum.
Eodem modo in illo cum minutiis misto, cujus
cathetus pedes 6 , basis 8 possidet, basis
per cathetum regularem ducta efficit constratos pedes
53 9 siliquam. Horum medietas, quae est
ped. 26 G. 9 2, et medietas siliquae, totius
quantitatem indicat areae. Eodemque modo in caeteris.
Quod si minores quoque pede mensuras utpote
palmos, uncias, digitos in praedictis embadis, quot
sint, velis scire, respicito in superioribus, quantas
ex his singulis pedis constrati capiat mensuras. Recipit
quippe pes constratus, ut dictum est, palmos
quater quaternos, id est 16, uncias vero duodecies
duodenas, id est 144, digitos decies sexies sedenos,
id est 256. Per hos singulos numeros priorum aream
orthogoniorum multiplicato, et in priori quidem
area, quae 150 pedes constratos habet, invenies palmos
constratos 2400, uncias 21600, digitos autem
constratos 38400.
In sequentibus vero, cujus area constratos pedes
26 5. et medium ejus continet,
reperies palmos 427, et duas siliquas;
uncias vero 3850 quinque , digitos 6863,
quinque , et duas siliquas contineri. Et
eodem in caeteris modo.
Quod si etiam ager hujusmodi orthogonii schema
tenens proponitur, utpote cujus cathetus 60, basis
80, hypotenusa 100 perticis metiatur, et, quot jugera
vel quot agripennos contineat, inquiratur;
primo, per cathetum, id est 60, basim, quae est 80,
multiplico: fient 4800. Horum medietatem, id est
2400 pro constratis totius agri perticis habeo. Post
autem, quoties in hoc numero constratae perticae
unius jugeri 288, vel agrippenni unius, id est 144
cohibeantur, inquiro. Sunt vero in 2400 octies 288,
et insuper tertia eorum pars: 144 vero in eodem
numero sedecies habentur et bisse eorum | null | 0c9424e2-6224-43d7-b993-59a4741ecab6 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
; igitur in
proposito agro orthogonio triangulo 8 jugera, et tertiam
partem jugeri, agrippennos autem 16, et duas
tertias agrippenni unius contineri non dubium est.
Sed quoniam de invenienda in his orthogoniis embadi
quantitate satis dictum est, aliam regulam adhuc,
qua per hypotenusae et embadi numeros cathetum
et basim reperiunt, subjici putamus, quae est
hujusmodi:
Numero hypotenusae in se ducto quatuor embadorum
numerositas adjiciatur, et hujus simul summae
latus tetragonale sumatur, idque basis et catheti numerum
simul complecti non dubitetur. Ut vero utrique
eorum, basi scilicet et catheto, suus distincte numerus
reddatur, ex numero hypotenusae in se ducto
4 embada subtraho, et residui adhuc numeri latus
tetragonale sumo; idque superius invento numero,
qui basim et cathetum confuse continebat, adjungo,
et horum simul medietatem majori ex his, utpote
basi, propriam tribuo. Ipsum vero latus tetragonale
si ab eodem numero, qui basim simul et cathetum
continet, aufero, et residui dimidium sumpsero, minus
ex his latus, utpote cathetum reperio. Vel aliter:
ex numero, qui basim cathetumque pariter continet,
inventam basim aufero, et remanet cathetus
vel cathetum repertum adimo, et reliqua erit basis.
Quae omnia ut apertis certificentur exemplis, in
quibuslibet superiorum probentur orthogoniis. Sumo
itaque eum, cujus hypotenusa 10, embadum 24 pedes
possidet. Ducta in se hypotenusa sic progreditur.
Huic quatuor embada juncta 196 consurgunt. Cujus
numeri latus, quod est 14, basis simul et catheti
numerum concludit. Quae ut cernere valeam ex numero
hypothenusae in se ductae, id est 100, embada
quatuor, id est 96, aufero, et remanentis quaternarii
latus tetragonale communi utrorumque numero,
id est 14, adjungens, 16 habeo. Cujus medietatem,
quae est 8, basi assigno. Si vero ex communi utrorumque
numero, id est 14, ipsum latus, qui binarius,
adimo, remanent duodecim. Cujus dimidium, id est
6 repraesentant cathetum. Quod idem erit, si inventam
basim, id est 8, a communi utrorumque numero,
qui est 14, aufero, vel si inventum cathetum,
id est 6, ab eodem communi numero, qui est 14,
aufero.
Item illum assumo, cujus podismus 6. embadum
10, continet. Podismus, id est 6 in se ductus
44. creat. Cui embada 4, id est 42
adjungo 87. S. conficio. Cujus latus tetragonale,
quod est 9, catheti simul et basis quantitates
comprehendit. Qui ut segregentur ex numero podismi
in se, id est 44, embada 4, id est 42
subduco, et remanent 8, Cujus latus
tetragonale quod est 1 si a communi utrorumque
numero, qui est 6 , adimatur, residui, id
est 8, dimidium, scilicet quaternarius, cathetum determinat.
Idem vero latus, quod est 1 ad eumdem
communem numerum, qui est 9 adjunctum,
10 conficit. Cujus medietas, quae 5 et est, basim
haud dubie reddit. Et hae quidem interim sufficiant
regulae, quas de Pythagoricis ad praesens potuimus
invenire.
Formantur vero et alii ex ipsis Pythagoricis quos
supra diximus, tripleuri, si eam quantitatem, quam
supra basis habuerat, cathetus accipiat, et, quam
cathetus possederat, basis alternatim quantitatem
sibi assumat, ut in subscriptis. Sed in eorum regulis
orthogoniorum diutius non arbitror immorandum.
Nam universae regulae quae in superioribus Pythagoricis
sive ad laterum quantitatem alternatim dignoscendam,
sive ad mensuram areae inveniendam
traditae sunt, et exemplis dilucidatae sunt, in his nihilominus
eamdem consequentiam probantur retinere
tantum (Notat hic sequentia vetus glossator:
Littera falsa est. Sed is est sensus: in hoc differunt
a Pythagoricis, quod basis Pythagoricorum erit cathetus
istorum et e converso), quantum si in quibusdam
illarum ad cathetum specialiter videtur pertinere;
hic basi, et quod ibi basi, hic catheto quis
meminit attribuere. Quod ob cavendam prolixitatem
ne jam videar replicare, diligentiae et probationi lectoris
malui relinquere.
CAPUT XIII. #De Geometria trigoniorum praedictorum.@#
Sed nequaquam silentio puto transeundum quod
interim, dum haec scriptitarem, ipsa mihi natura
obtulit speculandum. Quemcunque superiorum orthogoniorum
ad alium comparare volueris juxta
quod Plato in Cosmopaeia Timaei de planis figuris
proponit, Boetiusque in arithmeticis de tetragonis
tantum per exemplum ostendit, | null | 3c1ce875-6f3b-44de-a927-eedf98d2b6d3 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
unam inter eos geometricam
medietatem, quae utrumque una proportione
conjungat, te invenire miraberis.
Primam quippe ex praescriptis Orthogoniis aream
6 implet; quem si ad secundum, qui 24 continet,
comparaveris, unum solum inter eos numerum, id
est 12, qui utrosque una, id est dupla proportione
continet, reperire poteris.
Item inter secundum et tertium, id est, 24 et 54,
medius numerus 36 invenitur, qui ad utrumque
sesquialtera habitudine comparatur. Inter tertium
et quartum, id est 54 et 96, medium 72 numerum
sesquitertia utrosque proportione continuantem adinvenis;
et quoscunque quibuslibet intermissis sibi
invicem conferes, idem sine errore pernosces. Nam
si item primum ad quintum, id est 6 ad 150 conferas,
in medio nihilominus 30, qui quincupla utrosque
collatione continuet, investiges. Item si secundum
et sextum, id est 24 et 216 compares, 72 medium
tripla utrosque proportione coadunantem recognosces.
Nec si integros ad minutiatos, et minutiatos item
ad minutiatos ad se invicem orthogonios conferre
cupias, aliquem te scrupulum offendere metuas. Nam
si item primum, id est 6 ad eum qui 10 embado
continet conferas, in medio 8, qui sesquitertia ad
utrosque habitudine se copulet, mox aspicias. Item
si eumdem, qui 10 ad sequentem, qui 18
concludit, velis comparare, medius 14 numerus geometricae
medietatis proprietates inter eos probatur
obtinere; 14 namque numerus 10 in se continet
et ejus quinque sextas decimas, et item 18 .
eodem modo 14 in se continet et ejus 5 sextas decimas;
quae proportio super quinque partiens sextas
decimas appellatur. Itaque ne diutius immorer,
quaecunque talium orthogoniorum alii conferas,
unum inter eos, ut dictum est, numerum, qui omnes
geometricae medietatis proprietates custodiat,
intitubanter invenire poteris. Sed hic numerus, geometricam
scilicet proportionalitatem efficiens, hoc
modo erit inveniendus:
Cathetus prioris orthogonii per basim multiplicetur
sequentis, sive, quod idem erit, basis prioris
per cathetum ducatur sequentis, et nati inde numeri
medietas sumatur, et pro medietate geometrica
inter ipsos orthogonios habeatur, ut inter 6 et 24.
Cathetus prioris, qui est 3, per basim sequentis, quae
8 habet, ducatur, et 24 creantur. Cujus medietas,
quae est 12, loco geometricae medietatis inter 6 et
24 statuatur. Vel aliter
Ipsa Orthogoniorum embada inter se multiplicentur,
natique inde numeri latus tetragonale pro geometrica
inter eos collocetur medietate, ut in supradictis,
qui 28 , et 57 in embadis suis continent,
embada inter se ducta in 1606 φ surgunt. Horum
latus tetragonale 4 et S. invenitur, geometricaeque
medietatis proprietates inter ipsos orthogonios conservare
dignoscitur.
Illud quoque in his volo consideres quod ipsa eademque
proportione per geometricam medietatem,
de qua dixi, orthogonii ipsi continuantur, qua videlicet
latera eorum univoca, id est cathetus catheto,
basis basi, podismus podismo sibi invicem
conferuntur. Nam si latera ad se invicem dupla sunt,
dupla nihilominus orthogonii ipsi collatione per intervenientem
copulantur medietatem; si sesqualtera,
sesqualtera, et in caeteris similiter. Sed de his hactenus.
Nunc et de reliquis orthogoniis videamus.
Sunt item alii orthogonii non iisdem laterum proportionibus,
quibus superiores, conjugati, sed ad
ipsorum tamen similitudinem tali in lateribus numero
insigniti, ut cathetus itemque basis in se singilatim
ducti tales duos tetragonos efficiant, qui
item conjunctione sui tertium tetragonum componant.
Cujus videlicet tetragonale latus, juxta regulam
superius prolatam, podismi quantitatem faciant,
ut subjecti sunt, una sibi invicem laterum proportione
germani.
Hi sunt omnes tali proportione laterum connexi,
ut cathetus et basis in se ducti duos tetragonos faciant,
qui duo conjuncti tertium efficiant, cujus latus
tetragonale constituat hypotenusam. Porro isti
sequentes, quisque ab alio diversa laterum proportione
connexus item ut praedicti cathetus in se, basis
in se, et hi duo tetragoni conjuncti, talem tertium
faciunt, cujus latus est hypotenusa.
CAPUT XIV. #Quas utilitates ars geometrica spondeat?@#
Geometricales tractanti diversitates praemonstrandum
est quas ipsius artis tractatus spondeat utilitates,
quatenus lectoris ingenium, insinuationis trifidae
ratione incitatum, promptius ad legendum, studiosius
sequentis operis perscrutetur tractatum. Est
enim hujus disciplinae scrupulosa descriptio, sed
totius dimensionis indagatione indagationumque
commoditate copiosa descriptio. Quam tamen quamvis
arduum sit consequi, potis erit qui in ea infatigabili
sudaverit studio. | null | fea82c66-64c7-42e6-a711-d68b6f5e6734 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Quae ut facilius, ut dictum
est, a studiosis consequamur, cuique theoremati sua
figura subjungatur.
CAPUT XV. #Nomina mensurarum quibus geometrae utuntur.@#
Mensuram appellationes, quibus utimur, sunt hae:
digitus, uncia, palmus, sexta, quae et dodrans appellatur,
pes, laterculus, cubitus, gradus, passus,
decempeda, quae et pertica appellatur quasi portica
a portando, clima, actus, qui et aripennus dicitur,
jugerum, centuria, stadium, milliarium.
#Digitus@# est minima pars agrestium mensurarum.
#Uncia,@# secundum quosdam, digitos habet tres;
secundum quosdam, quod verius est, digitum unum
et tertiam digiti.
#Palmus@# habet digitos quatuor, uncias tres.
#Sexta@# digitos duodecim, uncias novem, palmos
tres.
#Pes@# digitos 16, uncias 12, palmos 4, sextam unam
et tertiam ejus.
#Laterculus@# pedem unum in latitudine, uncias 23
in longitudine.
#Cubitus@# sesquipedem, sextas 2, palmos 6, uncias
18, digitos 24.
#Gradus@# habet pedes 2; #passus 5; pertica 9;
clima@# 60.
#Actus@# in latitudine 110, in longitudine 120.
#Jugerum,@# quod fit junctis duobus actibus, in longitudine
240, in latitudine 220.
#Centuria@# 200.
#Stadium@# pedes 625, passus 125.
#Milliarium@# passus 1000, stadia 8.
CAPUT XVI. #Ad altitudinem cum astrolabio metiendum.@#
Si fuerit altitudo in aequalitate, tali poterit mensurari
inspectione. Sumatur ab altimetra astrolabium,
et in medietate quadrati in postica ejus planitie
exarati constituatur mediclinium, ut hac scilicet
positione stet mediclinium alterius partis astrolabii
in numero graduum dierum 45, et tandiu ab eo ante
et retro aestimando pergatur, donec per utrumque
ipsius mediclinii foramen altitudinis summitas inspiciatur.
Qua inspecta, loco in quo stetit mensor nota
imprimatur, et huic impressioni statura mensoris
adjungatur. Post haec locus ipse diligenter notetur,
et ab eo usque ad radicem altitudinis tota planities
caute mensuretur; et quot pedum ipsa planities fuerit,
tot sine dubio altitudo erit. Si vero non in medietate
quadrati mediclinium steterit, sed in primo,
aut in secundo, aut in tertio, aut in aliquo quadrati
gradu, 12 gradibus collatis, qualis fuerit collatio inter
illos aliquos quadrati gradus et 12, talis erit inter
planitiem et altitudinem mensurandam, statura mensoris
adjuncta.
CAPUT XVII. #Ad altitudinem inaccessibilem cum horoscopo metiendam.@#
Ad altitudinem inaccessibilem ob fluvii vel vallis
impeditionem sit altitudo quaelibet, ut est #a b,@# sitque
fluvii vel vallis impeditio, ut est #b c.@# Sume horoscopum
stans in ripa #c,@# et per utrumque foramen
mediclinii summitatem #a@# diligenter inspice. Considera
numerum graduum in mensura quadrati, qui
verbi causa notatur quaternario numero, per quem
summa totius quadrati scilicet 144 dividatur, et
quarta pars reperta, videlicet 36 conscribatur. Post
haec de #c@# ad #d@# certa spatii quantitas metiatur, quae
exempli 40 pedum praeponatur. Iterum sume horoscopum
stans in fine #d,@# et per utrumque foramen,
ut prius summitatem #a@# inspice. Perpende iterum
numerum graduum in quadrato, qui signatur in ternario
numero, per quem denuo summa totius quadrati
dividatur, et pars tertia, quae est 48, juxta
quartam, quae est 36, conscribatur, et minor numerus
de majore, id est 36 de 48 tollatur, et quod remanet,
id est 12 cum latere quadrati, quod est 12,
comparetur, et numerus remanens et latus quadrati
aequalis pronuntietur, et sicut ultimum remanens 12,
quadrati lateri 12 aequale habetur, sic spatium #d c@#
spatio #a b@# aequale affirmetur, et quota pars ternarius,
qui est ultimus numerus graduum in 12, judicatur,
eadem pars #a b@# spatium in #d b@# spatio sine dubio dicatur.
Est igitur 40 #a b,@# sicut est 40 #c d,@# et est 160
totum #b d,@# et est 120 #b c.@#
CAPUT XVIII. #Item de eodem@#
Si quid eminens inaccessibile fuerit aestimandum
cum horoscopo, stet altimensor in metiendi eminentis
artifinio, suspiciatque per utrumque mediclinii
foramen, quosque intueatur | null | d1dae843-1c50-4912-8364-19812c36b1ee | latin_170m_raw | null | None | None | None |
altitudinis mensurandae
cacumen. Quo inspecto, gradus quadrati numerentur,
qui exempli manifestatione 3 computentur, qui
in 12 quadrati latere quater continetur. Hoc peracto
tandiu ante et retro pergatur, donec jam visum cacumen
altitudinis metiendae iterum videatur. Quo
viso numerus graduum quadrati denuo inspiciatur,
et verbi gratia 2 habeantur, qui in 12, id est quadrati
latere sexies contineri non dubitantur, et intervallum
stationum mensoris 12 pedum notabile habeatur. His
peractis minus continens ternarii, id est quaterna
rius de majori continenti, id est senario semel tollatur,
et binarius, qui remanet, in mente habeatur,
et ipsum intervallum stationum mensoris duplum
inaccessibilis alti dicatur. Et ut, quod dicimus, in
omnibus notum habeatur, universalis regula in nullo
vacillans ponatur. Subtractione continentium numerorum
facta, si unus remanserit, intervallum stationum
mensoris alto aequale erit; si duo, duplum; si
tria, triplum, et sic in sequentibus:
#Tali pictura fit declaratio pura.@#
CAPUT XIX. #Ad altitudinem cum horoscopo metiendam.@#
Si vis cum horoscopo quamlibet planitiem metiri,
dirige intuitum per utrumque foramen mediclinii,
donec terminetur intuitus in metiendae quantitatis
limite. Post haec in quoto gradu quadrati mediclinium
stet, inspiciatur, et ipse numerus graduum
superior cum 12 conferatur, et qualis computatio
fuerit graduum ad 12, talis comparatio staturae metientis
ad totam planitiem. Verbi gratia: sit statura
mensoris #a b,@# planities #b c,@# numerus graduum 3, qui
ad 12 comparatus quarta pars ejus dubietate sublata
invenitur. Igitur #a b,@# quae est statura metientis, sic #b c,@#
id est planitiei quarta pars invenitur, sicut ternarius
in 12 pars quarta computatur.
CAPUT XX. #Ad metiendum cum horoscopo puteum.@#
Primo perpendatur diligenter a geometra quatenus
circulatio putei perpendiculo perpensa aequalis
habeatur. Deinde cujus quantitudinis sit ejus diametrum
inquiratur. Invento diametro, stans mensor
super putei labrum despiciat per mediclinium
astrolabii lateris oppositi terminum. Quo viso, numerus
graduum, in quo mediclinium steterit in quadrato,
cum 12 comparetur. Et quo modo se habuerit
numerus graduum in quadrato ad 12, sic se
habebit diametrum ad profunditatem putei et ad
staturam mensoris.
Sint autem gradus, exempli causa, 4 et diametrum
4 pedum. Sicut ergo 4; est ter in 12; sic diametrum
est in profunditate putei et statura mensoris.
Qua statura ablata, quod remanserit, habe
profunditatem putei. Subjiciamus ergo figuram putei
certis litteris insignitam. Sit ergo 4 pedum #a c,@#
hoc est diametrum; sit putei altitudo #a b,@# sit ejus
diametrum #a c;@# sit statura geometrae #c d@# 4 pedum.
Eia constituamus 4 pedum #a c,@# id est diametrum, et
dirigamus intuitum per mediclinium de #a d@# ad #b.@#
Post haec gradus, qui, exempli causa, sunt 4 cum 12,
tripla proportione conferamus, et #a c,@# qui et ipsi 4
sunt ad #d e,@# in eadem comparatione ponamus. Est
igitur 4 pedum #a c,@# 12 pedum #d e,@# 4 pedum #a c,@#
quae est statura metientis. Quibus 4 sublatis, id est #d c@#
de #d e,@# remanent #c e@# octo pedum, quod est altitudo
putei.
CAPUT XXI. #Ad altitudinem arboris, columnae, vel turris per umbram cum astrolabio inveniendam.@#
Si vis alicujus arboris aut columnae vel turris, vel
cujusquam talium in plano duntaxat loco stantis
altitudinem per umbram ipsius invenire, suspenso
astrolabio, solisque radio per utraque foramina halhidadae
directim immisso, vide in qua parte lateris
quadrati, quod in 12 divisum est, directa ipsius
halhidadae stet linea, et quamcunque proportionem
numerus partium supra alhidada apparentium ad 12
id est ad totum latus quadrati habuerit, eamdem
procul dubio proportionem altitudo, quam invenire
voluisti, ad umbram in planitie a se factam habebit.
v. g., si duae partes supra apparent, ad quas 12
sescuplam habeat proportionem, sescupla quoque
ad altitudinem umbra; si tres appareant, quadrupla;
si 4, tripla; si 5, duplex superbipartiens
quintas; si 6, dupla; si 7, super quinque partiens
septimas; si 8, sesquialtera; si 9, sesquitertia; | null | 165c0c6b-43e1-42e5-8f26-c90d0c4d928b | latin_170m_raw | null | None | None | None |
si
10, sesquiquinta; si 11, sesquiundecima; si omnes,
aequa erit altitudo et umbra. Et omnino cujuscunque
proportionis triangulum alhidada in quadrato ipso
effecerit, ejusdem proportionis triangulum umbra
cujuslibet erecti corporis in planitie stantis formabit.
In quo videlicet triangulo ipsa inumbrata
planities basis est, erecta altitudo cathetus, radius
solis umbram transversim limitans hypotenusae vicem
dignoscitur habere.
CAPUT XXII. #Item de eadem re.@#
Si vis invenire qualis comparatio sit alicujus umbrae
cum aliquo corpore in quacunque diei hora,
sumatur astrolapsus, et, radio solis per mediclinii
foramina exeunte, aspiciatur in quadrato in quo
gradu mediclinium stet; et, qualis collatio illius
gradus cum 12, talis umbrae cum corpore; hoc
tantum proviso quod, quando mediclinium stet in
dextro latere climatis, major est umbra quam corpus;
quando vero in sinistro, majus est corpus
quam umbra.
CAPUT XXIII. #Ad altitudinem cum speculo vel pelvi metiendam@#
Posito in speculo centro, vel in media scutella
plena aqua, constituatur in plano arvo, et tandiu a
geometra huc illucque trahatur, donec per medium
centrum unius supra dictorum cacumen rei metiendae
aspiciatur. Cacumine invento, spatium, quod
continetur inter pedes mensurantis et centrum
speculi, vel medium vasis limphae pleni, diligenter
mensuretur, et post haec non minus caute staturae
metientis comparetur; et, ut fuerit illud spatium
metientis staturae, sic erit linea a medio centro speculi
usque ad altitudinis radicem rei metiendae.
Exempli causa, addatur plana figura:
CAPUT XXIV. #Ad aestimandam cujusque rei altitudinem sole lucente.@#
Quaecunque res posita fuerit sub divo, umbram
emittit, sed non sibi semper aequalem. Quapropter
umbrae ipsius quotam partem volueris, eligas. Deinde
virgulam coaequalem huic parti in terra statuas,
et umbram exinde cadentem seu per pedes,
seu per palmos, seu per uncias dividas. Si major
inventa fuerit umbra quam virgula, quantum umbra
virgulam superat, tantum a singulis, quarum mensuram
virgula habet, subtrahas. Si autem minor est
umbra, quantum virga superat, tantum praedictis
partibus adjicias. Quidquid autem in umbra vel
augmentatione creverit, vel subtractione remanserit,
pro mensura illius rei habeto.
Componitur etiam aliud instrumentum ad altitudinem
sine difficultate inveniendam, quod hac de
causa a sapiente ( #Glossula:@# Pythagora) inventum
putatur, quia visum humi adjungere difficile mensori,
inconveniens spectatori putabatur, sumitque quantitatem
suae magnitudinis a magnitudine staturae metientis.
Constituamus arundinem tali magnitudine, ut duplari
proportione proportionetur mensoris longitudini;
cujus medio altera arundo orthogonaliter conjungatur,
quae, staturae mensoris longitudini aequalis,
ei cui conjungitur, subdupla habeatur. Hoc ergo instrumentum
sic compositum tandiu ducatur a mensore
per planum, donec per summitates istarum
virgarum rei metiendae conspiciatur summum. Quo
inspecto tanta altitudo dicatur, quantum spatium a
loco in quo mensor stat ad radicem altitudinis, adjuncta
statura, mensuratur. V. g. sit statura mensoris #a, b,@#
arundo sibi dupla #c, d,@# altera arundo istius
medio orthogonaliter juncta #a, e,@# altitudo metienda #f, g,@#
spatium a mensore ad radicem altitudinis #b, g.@#
Hoc tamen nullo modo mensor obliviscatur, quin
huic dimensioni omnique perpendiculo aequipendium
appendatur, quod geometricaliter institutum ad
mensuram paratur. Exempli causa, subdatur plana
figura.
CAPUT XXV. #Ad planitiem virga vel arundine quaerendam.@#
Stabiliatur arundo visui aequiparata metientis in
termino epiphaniae, cui jungatur altera cujuslibet
quantitatis orthogonali ratione, quae scilicet sursum
jusumque tandiu a planimetra ducatur, donec per
utriusque arundinis summitates oppositus limes
planitiei cernatur. Quo inspecto, ipsa conjunctio
arundinum diligenter notetur, et superior pars fixae
arundinis a conjunctione alterius cum tota sui quantitate
comparetur, et eadem comparatio pendentis
virgae planique incunctanter dicatur, quae superioris
partis a conjunctione cum tota quantitate fixae arundinis
superius dicebatur. Et ut clarius reddatur
quod litterali inflexione computamus, picturam apertius
obscura monstrantem visui legentium supponamus.
Sit arundo stans visui metientis aequiparata #a, c;@#
sit planities metienda #c d;@# virga orthogonaliter
pendens #b e;@# sit igitur #a b,@# medium #a c;@# et erit #b e,@#
medium #c d.@#
CAPUT XXVI. #Figura ad altitudinem mensurandam.@#
Si quis superioris figurae retro positae vim, qua planitiem
mensuravimus, subtiliter inspexerit | null | ab587879-fcf0-4723-b0f2-283608c78956 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, istius
quoque figurae vis, qua altitudines metimur, eum
prorsus latere non poterit. Parum enim haec distat a
superiori figura, excepto quod superior in planitie,
haec operatur in altitudine mensuranda. Sit altitudo
mensuranda #a b;@# statura metientis #c d;@# arundo,
cum qua altitudo metiatur, statura longior, #e f;@#
linea orthogonaliter ducta a visu metientis per arundinem
usque ad altitudinem #g b.@# His peractis #d g@#
ad #g f@# comparantur, et eadem comparatio #d b@# ad #b a@#
pronuntietur, quae #d g@# ad #g f@# pronuntiabatur.
V. g. #d g@# ad #g f@# dupla ponatur, et non minus; #d h@#
ad #h a@# dupla indubitanter dicatur. Quod
si #h h, h a@# mensurabiliter comparatur, quae #d c@#
staturae metientis aequalis habetur, tota altitudo #a b,@#
mensurata non dubitatur. Sed quia potest evenire
quod #c b@# sit interdum non meabile, #h a@# non es
omnino nobis notum, quamvis sit proportionale,
qua de causa planities #b c@# retro erit metienda,
et similiter superiori alia componenda erit
figura.
CAPUT XXVII. #Figura ad metiendam planitiem.@#
Metiatur planities #b i,@# sitque statura metientis #i
k;@# sit arundo aequalis superiori #l m;@# sit linea orthogonaliter
ducta #a,@# visu metientis tendens ad altum
per arundinem #k n.@# Post haec #k n, n l@# in quadrupla
proportione conferatur, et similiter totum #k h,
h a,@# quadruplum indubitanter dicatur. Et quia jam
superius #d h, h a,@# duplum discebatur, modo autem #k h, h a,@#
quadruplum pronuntiatur, sublato #d h,@#
de toto #k h,@# remanet #k d,@# quod est mensurabile
duplum ad #h a.@# Quod si #a d, h a, k i,@#
statura metientis, quae est aequalis #n m,@# et #d c,@# et #g e,@#
et #h b,@# mensurabiliter apponatur totum #b a,@#
quod est altitudo mensuratum nullo modo dubietur.
CAPUT XXVIII. #Ad metiendam planitiem per arundinem.@#
Stans mensor in metiendae planitiei extremitato
componat sibi arundinem minorem suae longitudinis
prolixitate; quae scilicet tandiu diversis locis planitiei
directa figatur, donec per summitatem ipsius
arundinis altera extremitas planitiei ex opposito cernatur.
Quo facto, a summitate arundinis orthogonalis
linea usque ad mensoris staturam dirigatur, et
locus ipsius staturae, in quo linea terminabitur, diligenter
signetur, et ipsa pars staturae ab ipsa nota
usque ad visum cum linea orthogonaliter ducta
conferatur. Et qualis comparatio ipsius partis staturae
cum tota linea orthogonaliter ducta habebitur, eadem
comparatio totius staturae ad planitiem totam pronuntiabitur.
V. g., sit statura metientis #a b,@# planities
metienda #b c,@# canna, cum qua mensurabitur, #d e,@#
linea orthogonaliter ducta #d f.@# Quota pars
fuerit #a f@# in #f d,@# tota pars erit #a b@# in #b c.@# Sit
#a f@#
quarta pars in #f d,@# et eodem modo #a b@# quarta
pars in #b c.@#
CAPUT XXIX. #Ad mensurandum puteum.@#
Ut in superiori figura putei dictum est, primo a
geometra diligenter perpendatur quatenus circumductio
putei circularis habeatur deinde cujus quantitatis
sit diametrum inquiratur. Quo invento, stans
mensor super summitatem putei supponat pedibus
suis cujuslibet longitudinis scorpionem ( #Glossa vet.@#
quaelibet virga), et tandiu ante et retro pedetentim
ducat, donec per summitatem ipsius scorpionis alterius
putei profunditatem cernat. Quo facto pars
ipsa scorpionis, quae puteo superjacet, a pedibus
mensoris impressa nota caute notetur, quae
staturae non minus diligenter comparetur; et quota
comparatio ipsius partis fuerit ad metientis staturam,
eadem comparatio erit diametri cum statura mensoris
ad totam summam putei. V. g. sit profunditas
putei #a b,@# diametrum ejusdem putei #a c,@# statura
mensoris #a f,@# arundo, quae staturae comparatur, et
per quam putei profunditas investigatur, #a e,@# altera
pars putei # | null | a8ab2444-ea10-40ab-953e-cd06296d8024 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
c d;@# fit #a f,@# quadruplum ad #e a;@# igitur #b f@#
quadruplum est ad #a c.@#
Sumas mensuram putei, si vis auferre staturam.
CAPUT XXX. #Ad altitudinem metiendam cum orthogonio.@#
Componatur a geometra orthogonium basi cathetoque
ejusdem numeri compositum, hypotenusae vero
proportio praetermittatur, quae ad altum vestigandum
in hoc orthogonio prorsus inutilis judicatur. Compositum
autem tandiu per planum a mensore trahatur,
donec oculo humi apposito per catheti summitatem
summitas altitudinis investigandae cernatur.
Qua visa, a loco cui visus inhaeserat, planities ad radicem
usque metiatur; et quanta fuerit, tanta altitudo
dicatur. Quod ut apertius intelligatur, orthogonium
cum altitudine metienda figuraliter visui supponatur.
CAPUT XXXI. #Orthogonium Pythagoricum ad metiendam altitudinem.@#
Est etiam aliud aestimandae altitudinis orthogonium,
quod ab inventore denominative nuncupatur
Pythagoricum, naturalibus catheti, basis, hypotenusae
compaginatum, catheto ternario insignito, basi
insignita quaternario, hypotenusa praenotata quinario.
Quod si volueris cathetum quaternario insignire,
et basim ternario, idem tibi eveniet per contrarium,
scilicet ut basis catheto sexquitertio proportionetur,
hypotenusa basi sesquiquarto comparetur. De quo
cuncta fiunt quaecunque dicta sunt in praecedenti
figura, scilicet tandiu trahatur donec per catheti
summitatem summitas rei cernatur, hoc solo excepto
quod in hac demensa quantitate planitiei quarta
pars est auferenda, hac videlicet ratione quod basis
jacens cathetum erectum superat cum suaquarta
parte. Quod ut melius animadvertatur, et aliud orthogonium
subterius depingatur:
CAPUT XXXII. #Ad rem inaccessibilem nobis altioribus metiendum.@#
Ad rem inaccessibilem nobis altioribus ut, metiatur,
quamvis laboriose, hoc modo faciamus figuram.
Sit rei metiendae quantitas #a b,@# et quot cubitorum,
vel ulnarum, vel pedum, vel digitorum, vel etiam
unciarum, vel cujuslibet alterius mensurae sit nobis
propositum scire. Re orthogonaliter constituta, sit
spatium immeabile inter nos et rem, ut est #g b.@#
Erigatur nobis orthogonium #d g,@# et sit linea sursum
ducta de #g@# ad #d,@# sicut primo dictum est de #a
b,@# ducatur plane linea de #d@# ad #z,@# sicut plana jacet
linea de #g@# ad #d,@# et sit notum quanta sit linea #g d,@#
et linea #d z.@# Nos enim eas facimus. Erigamus orthogonaliter
lineam de #z@# sursum ad #u,@# et ponamus
oculum in linea #z u@# orthogonaliter erecta, ut exeat
visus noster per #d@# ad #b;@# et locus lineae istius ubi
stetit oculus, notetur puncto ipso #u,@# et metiamur #z@# et #u@#
quanta sit. Et post hoc ponamus iterum oculum
in linea #z u,@# ita ut valeamus videre per #d a;@# et locus
in quo visus steterit, notetur puncto #b;@# et videamus
ubi haec linea tangens terram conjungitur
lineae #g b,@# et sit punctum #e,@# ita ut linea #g e@# sit recta.
Et post haec notemus quantum sit inter #z@# et #h;@# et
quota pars est #z h@# ad #z d@# et #z d,@# ad #d g,@# tanta est #d g@#
ad #g e,@# et notae sunt lineae #h z@# et #z d,@# quia nos eas
fecimus. Et igitur notum est quanta est linea #g e;@# et
quanta est linea #u z@# ad #z d,@# tanta est linea #d g@# ad
lineam #g b,@# et lineae #u z@# et #z d@# et #d g@# nobis sunt notae;
notum erit igitur linea quarta #g b.@# Et quia dudum
sapuimus lineam #g e,@# et sapimus inde lineam #g b,@#
possumus sapere quanta est linea #b e;@# et quanta est
linea #d g@# ad lineam #g e,@# tanta est linea #n b@# ad lineam #b e,@#
et lineae #d g@# et #g h@# et #b e@# notae sunt. Igitur #a b@#
linea nota est, et haec est quam quaerebamus.
Et ut brevius, quod superius diffuse dictum
est, comprehendatur | null | a2cc5569-465e-4180-a4af-f02fd33c9ec4 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, compendium, quo philosophia
gaudet, ponatur. Qualis comparatio fuerit #z u@# ad #h u,@#
talis erit #g d@# ad #b a,@# et sit #z u@# duplum ad #h u,@#
erit #g d@# duplum ad #b a.@#
CAPUT XXXIII. #Ad metiendum planum quolibet modo propositum.@#
Si fuerit nobis propositum quolibet modo metiri
planum, sumamus unius cubiti in longitudine lignum,
cui alia tria in dimensione aequalia tali conjunctione
innectantur, ut conjuncta quadrati diffinitionem suscipere
videantur, quod quatuor angulis est orthogonale;
cujus unius lateris summitatibus duo semipedalia
ligna erecta infigantur, quae in summitatibus
perforata per utrumque foramen visum metientis
admittere videantur. Post haec extremitati oppositi
lateris mediclinium horoscopo sic copuletur, ut dum
per oppositum sibi latus certis dimensionibus distinctum
trahitur, formam orthogonii Pythagorici imitetur,
vel imitari videatur. V. g., sit quadrati figura #a b c d;@#
duo semipedalia ligna in summitatibus unius
lateris posita #e f;@# mediclinium in alterius oppositi
summitate locatum per oppositum sibi larus discurrens #d g@#
in hunc modum:
Composita quadrati figura hac ratione ponatur jacens
in metiendae planitiei extremitate, et tandiu a
metiente ex altera parte erigatur, donec per feramina #e f@#
opposita extremitas plani cernatur, et in
hoc loco, quo visus steterit, nota ponatur. Post haec
per mediclinium ex adverso constitutum visus mensoris
dirigatur, donec jam notata extremitas videatur.
Quo facto locus, quo #g@# steterit, notetur, et #c g@#
ad #g b@# comparetur; et qualis comparatio #c g@# ad #g b@#
fuerit, eadem comparatio #a b@# ad totam planitiem
erit. V. g., tota planities #a h@# dicatur, et #c g@# (id est
a summitate superioris quadrati usque ad inferiorem
partem mediclinii) #g b,@# (hoc est a mediclinio ad inferiorem
angulum ejusdem lateris) aequalis constituatur.
Igitur #a b,@# id est latitudo, #b h@# ), id est a quadrato
usque ad limitem planitiei aequalis esse non dubitetur.
Sic et in caeteris proportionibus #c g@# ad #g b@# consideretur.
CAPUT XXXIV. #Ad putei vel fossae altitudinem metiendam.@#
Putei aut cujuslibet fossae altitudinem sic probabis.
Accipe lignum directum et pone super buccam putei,
et cujus umbram videbis in #e f,@# id est profunditate
putei, et lignum quatuor cubitos . . plus habeat, et
exeat subtus pedes ejus alia hasta directa similis
sibi, et est profunditas putei #a e,@# et hasta directa #a
d,@# et alia hasta #a c b@# jacens super buccam putei
truncat #d e@# super angulos directos, et intuere in
aqua putei umbram #a c@# de #d@# usque ad #f@# et invenies #a c@#
toties est #a c b@# vel #e f@# in #a e d,@# ut puta si #a c@# habeat
palmum, et #d a@# tres, tribus vicibus est #a c@# in
#d a,@#
sicut est #a c b@# tribus vicibus in #d a c.@# Abstrahe #a d,@#
remanet #a e.@#
CAPUT XXXV. #Ad altitudinem montis inveniendam.@#
Cum quaeris altitudinem alicujus montis, pone
hastam ante te in plano pro monte longiorem quam
tu: et est hasta #a b,@# et tu #c d.@# Postea contemplare
hac illac te movens recto oculorum visu per #a@# usque
videas #f.@# Tunc considera quanta sit #g c@# ad #g a,@# tanta
est #c b@# ad #b f@# ut puta. Si #g c,@# dupla est ad #g a,@# dupla
est #c h@# ad #h f;@# et quantalibet #g c@# ad #g a,@# tanta est
procul dubio #c h@# ad #h f;@# et quanta est #a g@# ad #g c,@#
tanta est #f h@# ad #h c;@# et #h f@# est mons, et quanta est #d b@# | null | 6e475807-68ff-46ce-8c3c-1735f5c1a5e8 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
ad #h g@# tanta est #d i@# ad #f i.@# Quod si fluvius habeatur
vel aliud obstaculum inter #c h,@# et non possis
pertingere ad montis radicem, ut praedictam invenias
mensuram, accipe #a g b,@# id est hastam, et ambula
retro 30 cubitos aut quantumlibet et iterum
contemplare recto visu de #m@# per #n@# usque ad #d f,@#
quod est summitas montis, et postea vide, quanta sit
#m c@#
ad #c n@# tanta est #m h@# ad #h f.@# Abstrahe de #m h c h,@#
et vide quod remanet, tanta est altitudo montis;
ut puta, si invenisti #c h@# duplum ad #h f,@# et post #m h@#
quadruplum ad #h f;@# tolle #c h@# de #m h,@# id est duo de
quatuor, remanent duo, quod est #m c,@# dices: quia #m c@#
duplum est #h f,@# dona 30, vel 20 cubitos, ad #m c@#
et 15, vel 10 ad #h f,@# et sic #c h@# triplum est ad #h f@#
et #m h,@# septuplum ad #h f.@# Abstrahe #c h@# de #m h,@#
id est 3, de 7 remanent 4, quadruplum est #m c@# ad #h f,@#
sic in aliis.
CAPUT XXXVI. #De eodem.@#
Si quaeris sine mutatione hastae, sic facies. Est
mons #a b;@# accipe hastam duorum cubitorum longiorem
te, et pone ante te in plano. Postea considera
ipsam hastam, quae est #c d e,@# et mitte visum
tuum recte de #f@# per #d@# usque #a,@# dividens ipsam hastam
super unum cubitum et vide quantum sit #f e@#
ad #e d,@# tantum est #f g@# ad #g a.@# Ambula retro,
quousque videas de #h@# per #c@# usque ad #a,@# ubi est summitas
montis, et vidi quantum sit #h e@# ad #e c,@# tantum
est #h g@# ad #g a.@# Invenisti forsitam antea #f g,@# quadruplum #g a,@#
et #h g@# decuplum ad #g a.@# Minue #f g@# de #h g,@#
id est 4 de 10, remanent 6. Sic est #h f@# sescuplum
ad #g a@# vel #g a@# sescuplum ad #f h.@#
CAPUT XXXVII. #Ad inveniendam per speculum altitudinem turrium, etc.@#
Si per speculum aut per concham plenam aquae
quaeris scire altitudinem turrium vel montium, accipe
speculum, et pone prope montem in plano, et tu
tantum te ipsum et speculum positum in terra moveas
huc et illuc, quousque videas #a@# in #b,@# id est
summitatem montis in medio speculo, et vide quomodo
sint, et quanta inter se invicem #d c,@# et #c b,@# sic
sunt invicem #b e,@# et #e a.@# Et si sit obstaculum, quod
non possis probare, hic ambula retro cum ipso speculo,
et pone in terra, et videas movendo te #a@# in #z,@#
et quantam proportionem habent invicem #p r,@# et #r z@#
eamdem habent, #z e,@# et #e a@# invicem. Minue inde #b e,@#
remanent #b z.@#
CAPUT XXXVIII. #Ad inveniendam latitudinem fluvii vel campi, etc.@#
Si quaeris scire latitudinem fluvii vel alicujus campi
vel curtis aut cujuslibet rei, accipe lignum, quod
pertingat usque ad oculos tuos, secundum alios minus
uno cubito, et pone in ripa fluvii, et sta prope
eum, et est lignum, ut subtus vides, quasi #a b,@# et
pone aliud lignum super ipsum prius erectum, sicut
est #c d.@# Postea contemplatio recto oculorum visu per #a d@#
usque videas #e,@# id est ripam ex altera parte;
nam #b e@# est fluvius, et #a e@# | null | ffbaf074-a0de-4c7a-b80c-27cb46544c92 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
directus visus. Postea considera
quantum sit #a c@# ad #c d,@# vel econtra quantum
est #d c@# ad #a c,@# tantum est #a c b@# ad #b e@# ut puta, si #d c@#
duplum est #a c@# duplum est #b e@# ad #d c a@# si triplum,
triplum, etc.
CAPUT XXXIX. #Ad idem alius modus.@#
Si quaeris aliter scire, pone hastam minorem te
quasi ad pectus, et pone in ripa fluvii, et accipe
aliud lignum pertingens usque ad oculos, sicut est
#c d,@#
et ambula retro quantum placet, et pone
ipsum fustem, et tu tantum te hac et illac move,
quousque de #c@# per #a,@# usque #e@# videas, id est ad alteram
ripam fluminis. De hinc minue #a b@# de #c d,@# remanet #f c.@#
Vide, quomodo sint #a f@# ad #f c,@# sic sunt #b e@#
ad #b a,@# si triplum est #a f@# ad #f c,@# triplum est #b e@#
ad #b a.@#
CAPUT XL. #Ad altum cum sagittis et filo mensurandum.@#
Cum geometricis figuris intenti philosophorum
jam fatigabundi inventionibus inhaeremus, ne omnino
fatigati deficiamus militaribus exercitiis animum
relevemus. Sicut enim corpus quotidianis sumptibus
fastidiens inusitato recreatur cibo, sic mens
philosophicis onerata austeritatibus conjecturali poetarum
relevatur figmento. Quapropter ut animum
nostrum reficiamus, militare inventum post multa
supponamus.
Si cujuslibet rei altitudinem investigare volueris,
hoc modo jaculari ingenio investigare poteris. Sume
arcum cum sagitta et filo, et una fili summitate sagittae
postremitati inhaerente, altera in manu remanente.
Sagitta arcu emissa altitudinis mensurandae
cacumen percutiat. Post haec alterius fili summitas
eodem modo sagittae vel aliqui jaculo illigetur, et
horum utrum vis projectum altitudinis radicem, ut
prius cacumen feriat. Quo facto utrumque filum retrahas,
et quot pedum vel cubitorum sit, utrumque
diligenter mensuratum inspicias. Deinde cujusque
fili quisque numerus in se ductus multiplicetur, et
quanta utriusque multiplicationis summa fuerit, perpendatur,
ac minor summa de majori subtrahatur, et
tunc ejus numeri, qui de majori summa remanserit,
tetragonale latus diligenter inquiratur. Hoc vero diligenter
inquisito et sapienter invento, tot pedum vel cubitorum
ambiguitate semota altitudo, de qua inquiritur,
pronuntietur quot pedum vel cubitorum
tetragoni illius latus unum habet. Et ut, quae diximus,
apertius cognoscantur, altitudo et filo cum notis
figuraliter subjiciantur. Sit altitudo, quae investigatur, #a b;@#
sit prioris fili, quod altitudinis summitatem
tetigit, quantitas quinario numero terminata, #a c;@#
sit alterius fili, quod altitudinis radicem
percussit, longitudo quaternario numero diffinita #c b.@#
Post haec vero prioris fili numerus in se multiplicatus
in 25 concrescat; quatuor vero posterioris fili
numerus in se ductus in 16 consurgat. Deinde minor
numero de 25 sublato, erit remanens 9, cujus
tetragonale latus 3 invenitur, quia 3 in se ductus in
9 cumulatur; trium igitur pedum erit altitudo #a b.@#
Sed quia potest accidere, quod remanentis tetragonale
latus interdum in integris numerus nequit
inveniri, subtilitas minutiarum debet necessario
adhiberi, de quibus quia longum est disserere, praetermittatur,
et figura cum numeris et notis supponatur.
CAPUT XLI. #Ad inveniendam in ampligonio ejecturam, quanta sit,@# etc.
Ampligonio tribus lineis datis, majore scilicet
hypotenusa 18 pedum, basi 8, hypotenusa vero minore
10, ejecturam, super qua perpendicularis cadit,
sic quaeras. Ex summa majoris hypotenusae multiplicatione
aggregata duarum minorum linearum,
basis scilicet minorisque hypotenusae, in se multiplicationem
( #Cod.,@# multiplicatione) subtrahas. Exinde
summae, quae superabundaverit, adjecto uno medietatem
sumas, in qua quoties fuerit numerus basis,
tot unitates ejecturae distribuas. Cathetum vero sic
investiges. Ex multiplicatione minoris hypotenusae
ejecturam in se multiplicatam distrahens, reliqui,
qui superfuerit, latus sumas; qui numerus erit perpendicularis.
Hujus autem ampligonii invenire si vis
embadum, duc per cathetum, id est perpendicularem
basim horum. Deinde qui ex hac multiplicatione
excreverint, sume mediam, quae absque dubio
ampligonii fiet embadum.
CAPUT XLII. #Quomodo in | null | 8f38f79d-5cd0-4aa4-9165-1a178feadde8 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
trigono orthogonio cathetus et basis quaerantur.@#
In trigono orthogonio, cujus podismus pedum est
25, embadum 150, cathetus et basis sic quaerantur.
Hypotenusae numerus in se multiplicetur. Ad hanc,
quae hinc excreverit, summam, 4 embada, quae faciunt
600 adjiciantur: quae conjunctio 1225 repraesentat.
Hujus summae erit latus 35. Deinde ut interstitium
duarum rectarum inveniatur, catheti scilicet
et basis, ducto hypotenusae numero in se fient 625.
Hinc embadis 4 sublatis, 25 remanent. Hujus latus
erit 5. Quo ad latus superioris numeri nimirum 225
juncto, fient 40. Hujus pars media basim trigoni
constituet. Ex hac vero sublato numero quinario
videlicet, qui superiori, id est 35, ad basim constituendam
fuerat aggregatus, aderit cathetus.
CAPUT XLIII. #Ad inveniendam basis et catheti disjunctionem in trigono.@#
Si datum fuerit trigonum, cujus cathetus et basis
simul juncti sint pedum 23, embadum 60, hypotenusa
17, basis et catheti sic quaeratur disjunctio.
Hypotenusae numerus in se ducatur, qui consurget
in 289. Hinc sublatis 4 embadis, id est 240 et reliqui,
qui superabundaverit, id est 49, latere sumpto,
atque basis et catheti summae, 23 juncto fient pedes
30. Hujus sumpta medietas erit basis ejusdem trigoni.
Hac vero de 23, id est basis simul et catheti
de numero sublata relinquitur octonarius, quo constituitur
cathetus. In hac vero figura catheti inventi
dimidia multiplicata, et ex ea summa uno dempto
invenitur basis, quae duobus sumptis fit hypotenusa.
CAPUT XLIV. #In trigono oxygonio, cujus in lateribus numeri quantitate dissimiles sint, invenire perpendicularem,@# etc.
Dato trigonio oxygonio, cujus lateribus numeri
quantitate dissimiles sint distributi, minori scilicet
hypotenusae 13, basi 14, majori vero hypotenusae 15,
ejusdem oxygonii si perpendicularem invenire desideras,
et praescissuras dignoscere singulas, numero
minoris hypotenusae in se ductae, id est 13, et basis,
id est 14, utriusque multiplicationis summam aggreges,
quae fiunt 395. Ex hac vero majoris hypotenusae
numerum in se ductum diducas, id est 225, reliqui
vero, qui superfuerint, id est 140, sumpta dimidia
parte, id est 70, et hac ad basim, id est 14 partita,
quinquies 14, in eisdem 70 reperies; quae denominatio
numerus fiet praescissurae minoris.
Item de multiplicatione minoris hypotenusae in se
ad inveniendum perpendicularem minorem praescissuram
ductam in se subtrahas. Qua detracta latus
superabundantis numerus erit perpendicularis.
CAPUT XLV. #Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum basim invenire.@#
Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum
sic invenies basim. Cathetus ter ducatur, nona pars
auferatur, reliqui dimidium sumatur, et erit basis.
Basi ablatum restituatur, erit hypotenusa. Vel ita:
dimidium sumatur, quod ter ducatur, de ea summa
tollatur nona, remanet basis. Vel dimidium catheti
sexies ducatur, nona tollatur, reliqui dimidium erit
basis; basi reddita nona erit hypotenusa.
CAPUT XLVI. #Trigoni orthogonii embadum invenire.@#
Si quaeratur trigoni orthogonii embadum, trium
linearum, id est catheti, et basis atque hypotenusae
numeri in unum redigantur, ut puta 6, 8, 10. Nam
hi juncti 24 reddunt. Medietas hinc sumatur. Ex his
basis seducatur, id est 8; quod remanet, scilicet
quatuor per cathetum, id est 6 multiplicetur; illud
quoque duplicetur, et fient 48. Quibus per quartam
sui multiplicatis, illius summae latus habeatur pro
embado.
In ampligoniis autem vel oxygoniis jam dicta regula
habet consequentiam, nec etiam in orthogoniis,
nisi in illis, quos sesquitertia, vel sesquiquarta regit
proportio. In aliis autem vel orthogoniis sufficiat regula
universalis, scilicet per cathetum basim ducere,
ejus medium pro embado tenere. Nam per cathetum
basim ducere nihil aliud est, nisi aream quadrati vel
antelongioris ( #Glossa vet.,@# id est, altera parte longioris)
implere, quam, dum ab angulo in angulum
dividis, trigonum reddis.
CAPUT XLVII. #Per cathetum basim invenire.@#
Per cathetum basim invenire si vis, cathetum
ipsum ducas in se, id est 5, qui fiunt 25. Ex his uno
dempto reliqui 24 dimidium sumas, id est 12, quod
erit basis. Huic vero adjicias unum superius demptum,
et invenies hypotenusam.
Embadi autem | null | f0a20dd9-9e2a-40cc-b4c9-24195d4ef697 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
pedes invenire cupiens, basim per
cathetum, id est 12 per 5 ducas, fient 60. Hujus
sumpta dimidia id est 30, erit embadum.
CAPUT XLVIII. #Trapizotici embadum invenire.@#
Trapizeticus est basis pedum 40, cathetus 30,
coraustus 25. Embadum dignoscere si vis, per cathetum
multiplica coraustum, id est trigesies 25
fiunt 750. Tunc, quod reliquum est basis, ducas per
cathetum, id est trigesies 15 sunt 450 medium 225,
junge superioribus, sunt 975. Ecce invenitur embadum.
CAPUT XLIX. #Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30, embadi pedes comprehendere.@#
Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30,
embadi pedes comprehendere si vis, prius cathetum
sic invenias. Latus unum in se duc, fient 900; item
alterius lateris mediam in se, fient 225. Hos detrahas
de 900, remanebunt 675. Quibus si addideris
unum, fient 676. Hujus latus est 26. Ecce cathetum
quo per basis dimidiam multiplicato, id est 15 per
26, pedes invenies embadi 390.
In omni igitur orthogonio cathetum et basim efficere
hypotenusam contingit; hypotenusam vero et
cathetum basim; hypotenusam iterum et basim cathetum.
Catheto namque in se multiplicato id est 5,
qui fient 25, et basi, id est 12, qui 144 accumulant,
et utrisque simul in unum junctis fiunt 169, et
ex hac latus sumptum erit hypotenusa. Ex hypotenusa
autem in se multiplicata, id est 13, qui fiunt
169, si deduxeris cathetum in se, id est 25 reliqui,
id est 144, sumas latus, id est 12, erit basis. Hypotenusam
vero si multiplicaveris in se, et exinde
summulae accretae basim inde subduxeris, id est 144
reliqui, id est 25, latus catheti fiet numerus. Cathetum
et basim in eisdem orthogoniis contingit
efficere embadum taliter. Catheto, id est 5, per basim,
id est 12 multiplicato, fient 60; hujus vero
dimidium, id est 30, erit embadum. Quod idem
fieret, si per catheti dimidiam basis, vel per basis
dimidium cathetus multiplicaretur.
CAPUT L. #Trigoni isoscelis cathetum invenire vel embadum.@#
Trigoni isocelis ( #Cod.,@# isoscelis), cujus singula
latera sunt pedum 25, basis vero 14, si cathetus
quaeratur, vel embadum. Uno latere in se ducto, id
est 25, fient 625. His si subduxeris dimidium basis
in se 49, reliqui, id est 576 sumas latus, id est 24,
et tot pedum erit cathetus. Quo per basis dimidium
multiplicato, invenies embadi numerum 169.
CAPUT LI. #Trigoni scaleni cathetum invenire.@#
Trigoni scaleni, cujus minus latus sit pedum 15,
basis 25, majus latus 20, cathetum inveniendi haec
erit regula: minore latere in se multiplicato, id est,
15 fient 225, basi vero, id est 25, erunt 625. His
utrimque summulis in unum junctis fient 850. Quibus
si subduxeris majus latus in se, id est 400; ex
reliquo, qui superfuerit, id est 450, sume dimidium,
id est 225, eodem numero denominatam accipias
partem, quo superscribitur basis, id est 25,
nonam vero 25 dicti numeri invenies, et tot pedum
erit minor praecisura, qua in se multiplicata fient 81.
Quos si subduxeris de minoris lateris in se multiplicatione,
id est de 225, reliqui, qui superfuerit, id
est 144, latus fiet catheti numerus.
CAPUT LII. #In quadrato diagonum invenire.@#
In quadrato diagonum invenire si vis, ut in orthogoniis
jam diximus, latus unum, cui superest 4, in
se ducas, et fient 16. Altero vero in se ducto, id est
3, 9. Quibus in unum junctis fient 25. Cujus vero si
sumpseris latus, effecisti diagonum. Per quod embadum
invenire si vis, duc in se, fient 25. Hujus
sumpta medietas fit embadum. Sed quod propius
est veritati, et in omni contingit quadrato, per latitudinem
longitudo est multiplicanda, et qui inde
excreverit fiunt pedes areae.
CAPUT LIII. #Numerum arborum in agro invenire@#
Ager, cujus longitudo est pedum 120, latitudo 70,
in quo arbores dispositae sunt inter pedes 5; quarum
numerus | null | 812beaf7-6b4e-41d4-8b07-bfd539b3ad77 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, si quaeratur, utriusque partis, quanta
est, sumenda est, longitudinis scilicet 24, latitudinis
14. Quibus invicem multiplicatis, fient 336. Ecce
numerus arborum.
Est et alia inveniendi regula, ut per longitudinem
latitudo multiplicetur, et fient 8400, quibus per
quinquies quinque, id est 25, partitis fient 336, et
tot erunt arbores. Sub scientia vero longitudine
cum numero arborum comprehensa latitudo sic
quaeratur, 120 qui numerus est longitudinis, partiatur
per 5, et erunt 24, quos numerus arborum
336 continet decies quater; qui 14, et ipsi quinquies
ducti efficiunt 70; quae est latitudo agri.
CAPUT LIV. #Rhombi cathetum quaerere.@#
Rhombi ( #Cod.@# cumbi) vero, cujus fient singula
latera pedum 10, et diagonum 12, cathetum sic
quaeras. Diagonum dimidium, id est 6, in se multiplica,
fiunt 36. His subductis de multiplicatione
unius lateris in se, id est de 100, reliqui, id est 64,
sumas latus, id est 8, et tot pedum rhombi cathetus.
Quo per diagonum, id est 12, multiplicato fient 95;
et tot pedum erit area.
CAPUT LV. #Quomodo trigonus, tetragonus, hexagonus, etc., aequiateri suas areas impleant.@#
Omnis trigonus aequilaterus unum latus in se
multiplicat, ipsum latus ad eam multiplicatione addit,
horum dimidiam sumit, et sic aream suam
implet.
Omnis autem tetragonus aequa latera habens
unum latus in se multiplicat, ea semel multiplicatione
aream suam implet.
Pentagonus, qui aequis continetur lateribus, ter
multiplicationem unius lateris in se expostulat, et
ex illius summa multiplicationis semel aream diducere
et reliqui medietatem sumere.
Hexagonus quater lateris multiplicationem in se
expostulat, et ex summa multiplicationis bis aream
diducere et reliqui sumere medietatem.
Heptagonus quinquies, aream ter.
Octogonus septies, aream quater.
Ennagonus septies, aream quinquies. Et caeteri
ad hanc consequentiam.
CAPUT LVI. #Cujuscunque rotundi vel circuli diametrum invenire et embadum.@#
Cujuscunque rotundi vel circuli si vis diametrum
invenire et embadum, sic quaeras: ex ipso ambitu
22 unitate sublata, reliqui, qui superfuerit, sumas
tertiam; quae fiet diametrum.
Embadum si vis invenire, vel tota circuitio per
integrum diametrum ducenda est, et tunc quarta
sumenda; vel dimidium circuitus per diametrum
integrum, et tunc medietas, vel quarta pars circuitus
per diametrum, et tunc totum. Quod idem esset,
si per dimidium circuitus diametri duceretur dimidium.
CAPUT LVII. #In hemicyclo aream invenire.@#
In hemicyclo, cujus basis sit pedum 28, diametrum
18, aream sic quaeras: per diametrum ducas
basim; fient pedes 392. His undecies ductis fiunt
pedes 312. Hujus sumpta decima quarta parte fiet
398; et tot pedum est hujus hemicycli area.
CAPUT LVIII. #Sphaerae aream colligere.@#
Sphaerae, cujus est pedum longitudo 4, latitudo 3
sic colligatur area: longitudine et latitudine
simul junctis fient 7, dimidium horum 3, 5. His in
se 12 et . Hi undecies fient 434. SS. Horum sumpta
parte decima quarta fient pedes 9, unciae 7 et
semis uncia, id est septunx, et semuncia. Sphaerae
igitur haec erit area. Regula autem haec vera est in
omni sphaera sive rotunda, sive oblonga.
CAPUT LIX. #In trigoni orthogonio circuli inscripti et singula latera tangentis diametrum invenire.@#
In trigonio orthogonio circuli inscripti et singula
latera tangentis, ex numeris catheti et basis simul
junctis hypotenusae numerum si subduxeris, invenies
diametrum. Sed si vis dignoscere quantum embadi
partibus ipsius trigoni circulum extracedentibus
relinquitur, embado totius trigoni prius per
supradictas regulas invento vigesimam primam subtrahas;
ipsamque undecies multiplicatam circuli
areae tribuas. Quod vero reliquum fuerit, id est 140,
pro embado dictarum partium, scilicet extracedentium,
teneas, ut subjecta descriptio docet; videlicet
tolle vicesimam primam, et multiplicata undecies,
fit area circuli. Multiplica decies, fiunt excessiones
trigoni.
CAPUT LX. #Regula ad constituendas pyramides in omnibus figuris a multis angulis procedentibus et aequi lateris.@#
In omnibus figuris a multis angulis procedentibus,
et aequa latera habentibus ad pyramides constituendas
haec sufficiat regula: dictarum cujuscunque
ngurarum area inventa bis ducatur, eique summae
lateris unius numerus jungatur, et haec permistio per
numerum | null | afb0a022-6bf3-4cdb-9874-24b5aedaff0a | latin_170m_raw | null | None | None | None |
unitate tantummodo latus unum praecedentem
multiplicetur, et ejus summae sexta pars
sumatur, quae fiet pyramis superficiei ante duplicatae.
Sed ut exemplum de singulis demus, prius trigonium,
oxygonium, et aequilaterum sub oculis ponamus
latera singula habentem denario numero designata,
cujus embadum sit 55; quod bis ducatur, et
fient, 110, quibus uno latere juncto, id est 101 fient
120. Hi, per numerum unitate latus unum praecedentem,
id est undecies ducti, fient 1320. Hujus sexta
sumpta, id ex 220 jam dicti oxygonii fiet pyramis.
CAPUT LXI. #Invenire pyramidem in tetragono, cujus sint singula latera pedes 10 et embadum@# 100.
Tetragonum vero, cujus sint singula latera pedes
10, et embadum 100, pyramis sic quaeratur, ut in
trigonio superius descripto, videlicet ut embadum
ejus, quod est 100 bis ducatur: fiunt 200 eique
summae latus unum jungatur, fient 210. Hi undecies
propter supradictam causam ducti fient 2310. Hujus
sexta, id est 385, fiet pyramis descripti tetragoni.
CAPUT LXII. #In pentagono aequilatero denarii numeri pyramidem indagare.@#
In pentagono quoque, qui aequalibus continetur
lateribus, et denario numero supernotatis eamdem
regulam ad pyramidem constituendam indiscrepanter
invenies. Hujus namque pentagonii area, id est:
145, bis in se ducta fient 290, et unius lateris numero
augmentato repraesentat 300, et his undecies ductis
fiunt 33. Post cujus sextam, id est: 550 area jam
dicta suae accumulatur pyramidi. Hanc igitur regulam
nemo in caeteris, id est: hexagonis, vel heptagonis,
vel octogonis, vel ennagonis, vel decagonis,
vel in omnibus a multiangulo procedentibus, et
aequa latera habentibus dubitet habere consequentiam,
et non tantum denario innotatis, sed quolibet
numero.
CAPUT LXIII. #In omni circulo, duobus circumscripto tetragonis, scire, quantum ab extracedente vincatur, etc.@#
In omni circulo, qui duobus circumscribitur tetragonis,
uno interius, altero exterius, si vis comprehendere,
quantum ab extracedente vincatur, et
subscriptum vincat, diametrum ejus duc in se. Quod
cum facis, cathetum suprascripti tetragonii per
basim multiplicatum reddis, et ea multiplicatione
aream ejus imples. Ex illius vero summae integritate
ad circuli aream inveniendam tres 14 subducas.
Quibus subductis, quod reliquum fuerit, si per superius
dictam regulam, et dimidio circuitus multiplicante
dimidium diametri, esse circuli invenies
aream, ab extracedente tetragono ipsum scias circulum
tribus 14 ejusdem superari. Ab eodem vero
embado suprascripti tetragoni si sumpseris medietatem,
et quatuor decimas quartas ejusdem quantitatis,
cujus fuerint superiores ab integritate sumptae
addideris, jam dicti circuli aream implebis. Quod
cum facis, ipsam medietatem sumptam ab integro
embado majoris tetragonii aream scias fuisse minoris,
eam quatuor decimis quartis a circulo superari,
dum eadem area eisdem quatuordecimis ad embadum
supplendum augmentatur. Quod ut manifestius
appareat in descriptione, circulus cum tetragonis
ponatur. Quid partibus majoris tetragoni circulum
extracedentibus relinquitur? 42. Quid partibus circuli
extracedentibus minorem tetragonum relinquitur?
56
CAPUT LXIV. #Montis jugera invenire.@#
Montis si quaerantur jugera, qui in verticis circuitu
habeat pedes 300, ascensu 800, in uno per
circuitum 1000, jungantur duae circuitiones, id
est: 1300. Ex his media sumatur, id est 650.
Hi per ascensum 800 ducantur, fient DXX tot
erunt pedes totius, id est: XXVIII, DCCX supradictus
numerus dividatur. Quo facto in monte jugera
invenientur 18 remanentibus pedibus 1600.
CAPUT LXV. #Quomodo quadrata, et latera trigoni, tetragoni, pentagoni, etc., nascantur.@#
Omnis trigonus, qui ducitur octies, accepto uno
facit quadratum, cujus quadrati latus dempto uno
et dicta parte secunda facit trigoni latus.
Omnis tetragonus ductus decies sexies facit quadratum,
cujus quadrati latus dicta parte quarta facit
tetragoni latus.
Omnis pentagonus ductus vigesies quater et accepto
uno facit quadratum, cujus quadrati latus
accepto uno et dicta parte sexta facit pentagoni latus.
Omnis hexagonus ductus trigesies bis acceptis
quatuor facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
duobus et dicta parte octava facit hexagoni
latus.
Omnis heptagonus quadragies ductus acceptis 9
facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis tribus
et dicta parte decima facit heptagoni latus.
Omnis octogonus quadragies octies ductus acceptis
16 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
4 et dicta parte duodecima | null | 1463b12d-a0d3-48b0-bda3-b1415be7cb54 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
facit octogoni latus.
Omnis ennagonus ductus quinquagies sexies acceptis
25 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
5 dicta parte decimaquarta facit ennagoni latus.
Omnis decagonus ductus sexagies quater acceptis
36 et dicta parte decima sexta facit decagoni
latus.
Omnis undecagonus ductus septuagies bis acceptis
49 facit quadratum, cujus latus acceptis 7 et
dicta parte decima nona facit undecagoni latus.
Omnis duodecagonus ductus octuagies acceptis 64
facit quadratum, cujus latus acceptis 8 dicta parte
vigesima facit duodecagoni latus.
Vide consequentiam, ut horum ductio octenario
semper numero accrescat, augmentationes a pentagono
numero impari naturaliter. Trigonus namque
octies, tetragonus decies sexies, pentagonus vigesies
quater, hexagonus trigesies bis ducitur, ut est ab
octo octies, a sedecim sedecies, et sic subsequenter.
Inter quas denominationes octo semper inesse nemo
dubitet differentiam, et sic in caeteris. A pentagono
autem incipientes augmentationes omnium multiplicationum
impari naturaliter numero discrepare
manifestum est. Pentagoni enim multiplicatio uno
tantummodo, hexagoni 4 heptagoni 9 augmentatur,
octogoni 16. Inter primos namque, id est: 5 et 4
primus impar numerus differentiae locum obtinet, id
est: tres inter quatuor, et novem: secundus, id est:
quinarius inter novem, et sedecim: tertius, id est:
septimus.
CAPUT LXVI. #In oxygonio cathetum et embadum invenire.@#
In oxygonio, cujus sit latus minus ped. 13, majus
15, basis vero 14, cathetum et embadum sic
quaeras. Latus minus in se ductum sit 169, et basis
in se fiunt 196, utrumque in unum fiunt 365. Deinde
hypotenusa in se fient 225. His deductis de 365 fit
reliquum 140. Hujus pars dimidia erit 70. Cujus decima
quarta id est: 5 erit praecisura minor, in qua
cadet cathetus. Hi in se fient 25. His ductis de 169
fit reliquum 164. Hujus latus, id est: 12 erit cathetus.
Quo per basis dimidium multiplicato invenitur
embadum.
In omni quadrato aequilatero scito diagonum
ipsum habere in sui longitudine latus unum et
lateris quadrati aream duplicare si vis, diagonum
quadrati minoris spacio latus majoris.
CAPUT LXVII. #Oves in campo sic collocare, ut quaevis certum spatium occupet.@#
In campo, qui habet in longitudine pedes 200 in
latitudine 100 si sic oves mittere (velis) ut unaquaeque
habeat in longo pedes 5, in lato 4, sic facito:
duc 5, vicenos, vel quintam partem de 100, fient 40;
ac deinde 100 divide per 4 quarta pars centenarii 25
sunt. Sive ergo 40 vigesies quinquies, sive 25 quadragies
duxeris, implebis 1000, qui est numerus
collocatarum ovium.
CAPUT LXVIII. #Scire, quot agripennos claudat campus fastigiosus.@#
Campus fastigiosus, qui habet in unoquoque latere
perticas 100, in unaquaque fronte 50, in medio
60, si vis scire quot agripennos claudat, facito
ita: Junge frontem 50 et medium 60, fient 110.
Tunc medietatem, id est 55 per longitudinem, id
est 100 multiplica: fient 5500. Hae sunt perticae totius
campi. Ut autem agripennos invenias, divide 5500
per perticas unius agripenni, id est per 144, secundum
quosdam, qui dicunt agripennum in unoquoque
latere 12 perticas habere, et invenies trigesies
octies 144 in 5500, remanentibus perticis 28 sic
scias esse agripennorum 38 numerum.
Si fuerit autem divisio per 72 (dicunt enim quidam
apripennum in longo habere 12, in lato vero 6,
sexies autem 12 sunt 72), erunt 72 agripenni, remanentibus
similiter supradictis perticis. Hanc autem
si probare vis regulam, taliter proba. Semotum
ducas longilaterum, et dicas: quinquagies 100
erunt 5000. Deinde curvaturarum embada perpendere
si vis, per cathetum utriusque curvaturae, id
est, 5 et 5, si dictae regulae in orthogoniis non immemor
fueris, embadum invenies unius curvaturae
250, alterius vero aequaliter, qui simul sunt 500.
Ecce numerus perticarum fastigiosi campi 5500.
CAPUT LIX. #In campo quadrangulo agripennos cognoscere.@#
In campo quadrangulo, qui habet in uno latere
perticas 30, in altero 32, in fronte una 32, in altera
34, sic cognoscas quot agripenni claudi debeant.
Duae hujus campi longitudines faciunt 62. Duc mediam
de 62, fiunt 31. Duae quoque latitudines ejusdem
campi junctae, | null | 011c8ab4-46de-4da1-8141-c04a9d4726c6 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
faciunt 66. Duc etiam mediam
de 66, fiunt 33. Has duas medietates invicem confer,
fient 1023. Ecce numerus perticarum totius campi.
Hunc divides per numerum unius agripenni, id est
per 144, et invenies 7 esse agripennos in illo campo,
remanentibus perticis 15.
CAPUT LXX. #In campo triangulo agripennos invenire.@#
In campo triangulo, qui habet in uno latere perticas
30, in alio totidem, in fronte vero 18, quot
agripenni concludi debeant, sic accipito. Junge simul
duas longitudines, fient 60. Et duc mediam
de 60, fient 30. Et quia in fronte 18 habet perticas,
duc mediam de 18, fient 9. Duc novies 30, fient 270.
In hoc igitur numero agripennus unus est et remanentibus
54 perticis. Scias autem nos ubique
intendere, agripennum esse circumquaque 12 perticis.
CAPUT LXXI. #In campo rotundo numerum agripennorum nosse.@#
In campo rotundo, qui habeat in gyro perticas 418,
sic numerum agripennorum comprehendere potes.
De 418, vigesima secunda parte sublata, id est 19,
reliquorum diametrum, id est tertiam sumas, id
est 133. Deinde hujus tertiae dimidiam, id est 66 S
per medietatem totius circuitus, id est 209 ducas,
et totam indubitanter implebis aream 14898 et S
perticis. Quibus per 144 partitis, erunt agripenni
96 S remanentibus perticis duabus et dimidia, sive
agripenni 96 S 100, et nihil remanet.
CAPUT LXXII. #In civitate quadrangula ponere domos certae longitudinis et latitudinis.@#
In civitate quadrangula, quae habet in uno latere
pedes 1100, in altero 1000, et in fronte una pedes
600, in altera totidem, si vis ponere domos ita ut
cujusque longitudo sit pedum 40, latitudo vero 30,
sic facito. Junge duas hujus civitatis longitudines:
junctae fient 2100. Similiter si fuerint duae latitudines
junctae, fient 1200. Ergo duc mediam de 1200,
fiunt 600. Rursus duc mediam de 2100, fiunt 1050.
Et quia unaquaeque domus habet in longo pedes 40,
et in lato pedes 30, duc quadragesimam partem de
1050, fiunt 26, remanentibus 10; atque iterum assume
trigesimam de 600, fiunt 20. Viginti ergo
vigesies sexies ducti fiunt 520. Tot domus capiendae
sunt.
CAPUT LXXIII. #In civitate triangula de eadem re.@#
In civitate triangula, quae habet in uno latere pedes
100, in altero 100, in fronte vero 90, si vis
scire quot domus capiat, ita ut quaeque domus
habeat in longitudine pedes 20, in latitudine 10, ita
facito. Duc mediam de lateribus junctis, id est de
200, fiunt 100. De fronte similiter, id est de 90, 45
fiunt. Et quia longitudo uniuscujusque domus habet
pedes 20, et latitudo 10, duc vigesimam de 100,
fiunt 5, et decimam de 40, fient 4. Duc igitur quinquies
quatuor, fient 20; tot domus capiet hujusmodi
civitas.
CAPUT LXXIV. #In civitate rotunda domos certae longitudinis et latitudinis locare.@#
In civitate rotunda, cujus ambitus est 8008 pedum,
domos locare si vis, quarum longitudo 30 sit
pedum, latitudo vero 20, sic facias: vigesimam secundam
partem, id est 364 auferas, reliquorum vero
7644 tertiam sumas, id est 2548; hos pro diametro
habeto. Hujus igitur diametri medietas, id est 1274,
si per medietatem ambitus, id est 4000 et 4 ducatur,
impletur area tota pedibus quinquies millies
ICMXCVI qui per 600, id est per vigesies 30 divisi
faciunt domos 8501, remanentibus 496 pedibus.
CAPUT LXXV. #Basilicae pavimentum quot laterculi debeant supplere.@#
Basilicae, cujus longitudo pedum sit 240, latitudo
120, pavimentum quot laterculi supplere debeant,
sic accipe (laterculus autem in longitudine 23 habeat
uncias, in latitudine 12). Longitudo per latitudinem
multiplicetur, id est 120 per 240, fiunt 28800. Hos
per duodecies duodecim, id est per 164 (tot enim
uncias habet pes unus multiplicans) invenies uncias
quater MMCXLVII. CC. Quas si diviseris per duodecies
23, id est per uncias unius laterculi, quae sunt
276, fient 15026, remanentibus 24 unciis. Tot igitur
laterculi dictae basilicae pavimentum contegere possunt.
CAPUT LXXVI. #In | null | fd07161f-a258-472d-b42e-f8fc8a8d0f7c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
lacuna, canna, etc., viam certa latitudine ducere.@#
In lacuna una, vel canna, vel cavana [ #Glossa vet.,@#
cavana, id est cellarium], quae in longitudine pedes
habet 100, in latitudine 64, cuppas longas pedibus 7,
latas 4, si sic locare velis, ut pervium pedibus 4
latus in longum ducatur, sic facito. Vide quoties 7
in 100, et 4 in 64 habeantur: invenies quaterdecies
7 in 100, remanentibus duobus, et decies sexies
4 in 64. Sed ex his 4 ad pervium deputantur. Quia
ergo in 60 quindecies 4 sunt, et in 100 quaterdecies
7, fiunt 210. Tot cuppas igitur in cavana dicta locare
poteris.
CAPUT LXXVII. #In circulo embadum invenire.@#
In circulo, cujus diametrum sit pedum 14, embadum
sic quaeras. Duc diametrum in se, fiunt 196.
Ducundecies, fiunt 2156, sume partem decimam
quartam, fiunt 154; et tot pedum erit embadum.
CAPUT LXXVIII. #Ex diametro circulum indagare.@#
Ex diametro circulum sic quaeras: diametrum,
exempli gratia, 14 vigesies bis, fient 308, sumas
partem septimam, fit 44; quod est circulus.
CAPUT LXXIX. #In hemicyclo embadum invenire.@#
In hemicyclo, cujus sit basis pedum 10, linea in
centrum 5, embadum sic quaeras: duc in se diametrum,
fit 100. Hoc undecies multiplica, fit 1100.
Hujus vigesimam octavam sume, erit in pedibus 39,
duabus septimis remanentibus, id est 8; et haec est
area. Idem esset, si basim per lineam quae ducitur
in centrum multiplicatam undecies duceres, ac
exinde decimam quartam acciperes. Quod verum est
in omni integre dimidiata sphaera.
In circulo, cujus sit area pedum 616, diametrum
sic quaeras. Quater decies ducatur, fient area 8624.
Hinc pars undecima fit 784. Hujus numeri latus fit
28; et hoc erit diametrum.
CAPUT LXXX. #In orthogonio, cujus cathetus sit pari numero notatus, basim et hypotenusam invenire.@#
In orthogonio, cujus cathetus sit pari numero adnotatus,
velut 8, sic basim et hypotenusam quaeras.
Catheti sumpta pars dimidia, id est 4, in se multiplicentur,
fient 16, et in his uno dempto remanet
basis, cui duobus redditis fit hypotenusa.
CAPUT LXXXI. #In monte strabo jugera invenire.@#
In monte strabo [ #Glossa vet.,@# qui in altero latere
praeceps, in altero extentam declivitatem habet] qui
habet ad pedem in circuitu pedes 1400, in acumine
200, in altitudine dexterae partis 850, in laevae vero
750, sic quaeras jugera. Superioris circuitionis cum
inferiore junctae sume dimidiam, quae fit in 800 pedibus.
Has medietates invicem multiplica, et fiunt
640. In his vigesies bis reperies unius jugeri pedes
28800, remanentibus 6400.
CAPUT LXXXII. #Columnam facere, circulum incrassare, altitudinem rerum invenire.@#
Ad columnam faciendam longitudinis, septimam
in inferiori circuitu des, octavam superiori.
Circulum incrassare si vis, diametrum ejus cubices,
ipsam cubicationem ejus undecies ducas, et ex
ea summa vigesimam primam accipias, et haec erit
sphaerae crassitudo.
Est etiam ratio alia altitudinem videndi, quae est
hujusmodi. Orthogonium, cujus cathetus 6 vel trium
pedum sit, basis 8 vel 4, hypotenusa 10 vel 5, erigas
ita ut terrae basis adjaceat: cathetus adversus illam
rem, cujus altitudo perpendi debet, erectus habeatur;
hypotenusa vero a summo catheti ad terram,
in summum basis deducatur. Sic directo illuc, ubi
basis et hypotenusa junguntur, oculum apponas ad
terram prostratus. Deinde huc illucque tandiu detrahas,
oculo tamen semper apposito, donec tibi
summum catheti illius rei, cujus altitudinem quaeris,
summitati adaequari videatur. Quo facto ponas signum,
ubi oculum tenebat, et ex eo signo metire
spatium usque ad pedem rei illius. Huic spatio per 4
partito quartam unam detrahas; caeteras 3 pro altitudine
illius rei, de qua quaerebas, habeto. Haec
altitudinem videndi certissima ratio est, si tamen
area, per quam cathetus erectus detrahitur non
montuosa, non vallosa, sed plana fuerit.
CAPUT LXXXIII. #Putei amphoras nosse.@#
Puteus, cujus sit diametrum 7, altitudo 40 pedum,
tot amphoras capiet quot processerint pedes | null | d5708f39-3cd6-4e86-a51c-1ee04016bb96 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
ex hujusmodi diametri area, altitudineque in invicem
multiplicata, si pede uno longa et alta fuerit
amphora.
CAPUT LXXXIV. #Cuppa quod pedum solidorum sit, quotque amphoras capiat, invenire.@#
Cuppa, cujus latitudo ima pedum sit 3, summa
2, media 5, altitudo vero 12, quot pedum sit
solidorum, ac per hoc quot amphoras capiat, sic
quaeras: latitudine media in se ducta, ac summa
deinde excreta triplicata, diametrisque summo et
imo in se singulatim ductis, omne in unum fit 88.
His undecies ductis ac summae exinde notae quarta
decima sumpta fiunt 69 et duae quartae decimae,
id est una septima. His per tertiam altitudinis, id
est per quaternarium multiplicatis venit numerus
amphorarum 276 et 8 quartae decimae, id est 4
septimae.
Si fuerit cuppa, cujus ima latitudo sit pedum 5,
summa 3, altitudo 9, quot amphoras capiat sic quaeras:
ima in se fit 25, summa quoque in se fit 9,
utriusque in invicem fiunt 15. His tribus summis
simul junctis fiunt 49. His undecies ductis fiunt 539.
Horum pars decima quarta fit 38 S. Haec per altitudinis
tertiam ducta fiunt 115 S. Tot erunt amphorae
vel pedes solidi.
His tribus regulis, de puteo scilicet et de duabus
cuppis diligenter inspectis, pene nullus erit puteus,
vel cuppa, vel tonna aliqua, quin ejus possit indagari
profunditas, nisi mira in eis fuerit diversitas.
CAPUT LXXXV. #Ex adunatione omnium numerorum, secundum ordinem naturalem prolatorum, scire quanta profunditas crescat,@# etc.
Ex adunatione omnium numerorum secundum
ordinem naturalem prolatorum si vis scire quanta
profunditas crescat, haec tibi regula sufficiat, si
tantum coadunatio illa ab unitate incipiat, et sic
per regulas et per ordinem continuatim procedat.
Si par numerus coacervabitur, per medium ultimi
sequens multiplicabitur, v. g., 1 2 3 4 5 6, vel
scire quot sint, per senarii medietatem subsequens,
id est septenarius multiplicetur, et fient 21; quam
summam similiter reddet supradicta coadunatio. Si
autem impar numerus numerorum aggregabitur,
per majorem sui partem ultimus aggregatus multiplicabitur,
ut est 1 2 3 4 5 6 7. Multiplica septenarium
per maximam sui partem, id est per 4. Quater
7 fiunt 28, qui omnes supra scriptos terminos
claudunt. Si solummodo par, ut est 2 4 6 8, ducatur
medietas ultimi aggregati per illum, qui sequitur
ipsam, et si impar, ut 1 3 5 7 9, major pars
ultimi in se ducatur.
CAPUT LXXXVI. #Circuli inauraturam invenire.@#
Circuli inauraturam sic quaeras: diametrum circuli
in se ductum vigesies bis multiplica. Effectae
summae septimam accipias, et haec circuli erit
inauratura; quod idem esset, si per diametrum
circulum multiplicares.
CAPUT LXXXVII. #Columnae inaequalis pedes invenire@#
Si fuerit columna inaequalis, cujus ima latitudo
pedum sit 13, summa 5, altitudo 30, ejus pedes
sic quaeras. Ima latitudine in se multiplicata, ac
summa in se, ac utraque invicem, hisque tribus
summis simul compositis fiunt pedes 259. His undecies
ductis, ac exinde effectae summae quartadecima
detracta venient 203 S., scilicet pedes
arearum summae et mediae ac infimae. His deinde
per tertiam altitudinis multiplicatis erunt solidi
penes 2035.
CAPUT LXXXVIII. #Hexagonum facere.@#
Si volueris hexagonum facere, cujus latus habeat
pedes 10, facies 10 pedum, lineam et in extremitate
ejus circinum figas, et circulum facias; et
qualis est linea a medio centro circuli usque ad
extremitatem ejusdem, similes sex per extremitates
circuli ducas, et hexagonum habebis.
CAPUT LXXXIX. #Intra quadratum aequilaterum octogonum designare.@#
Si volueris intra quadratum aequilaterum octogonum
designare, diagonum medium sumas. Hic
circinum spatiatum [ #Glossa vet.,@# extentum] in angulo
quadrati infigas, et in utroque latere punctum,
quousque circulus pervenerit, facias, ac
sic per singulos angulos perque latera percurras.
Deinde a nuncto in punctum angulis quadrati extraclausis
semper lineam ducas, et octogonum habebis.
CAPUT XC. #Structurae circa puteum positae pedes invenire.@#
Si datus fuerit puteus, cujus diametrum sit pedum
5, et circa eum fuerit structura alta pedum 20,
lata pedum 2, ejus structurae pedes sic quaeras:
structurae latitudinem ducas in se | null | 826ff129-621c-4665-a83b-8dbdd1245621 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, fiunt 4. His
adjicias putei diametrum, erunt 9. Hi in se fient 81.
Ab his diametro putei ducto in se dempto remanent
56. His undecies ductis, et a summa, quae
inde excreverit, quarta decima sumpta erunt pedes
areae 44. Hi per altitudinem, id est vigesies ducti
fiunt 880. Tot erunt pedes areae 44. Hi per altitudinem,
id est vigesies ducti fiunt 880. Tot erunt
pedes structurae.
CAPUT XCI. #Prismatis pedes invenire in orthogonio.@#
Si data prisma fuerit orthogonii, cujus sit cathetus
19, basis 12, altitudo 20, ejus pedes sic
quaeras: per cathetum et basim aream prius orthogonii
reperias, quae erit 54. Hanc per altitudinem,
id est 20 ducas, fient 1080; tot erunt pedes prismae.
Quam inaurare si vis, circuitum ipsius orthogonii,
id est 36 per altitudinem, id est 20 ducas
et fient 720; qui erunt pedes inauraturae.
CAPUT XCII. #In omni tetragono diagonium invenire,@# etc.
In omni tetragono sive aequilatero, sive longilatero
diagonium sic invenies: latitudinem et longitudinem
sigillatim in se multiplices, summarum
crescentium in unum latus quaeras. Hoc pro diagono
habeto.
Trigoni orthogonii per cathetum sic invenis basim:
cathetus ter ducatur, nona pars auferatur,
reliqui dimidium sumatur, erit basis. Basi ablatum
restituatur, erit hypotenusa. Vel ita: catheti dimidium
sumatur, quod ter ducatur, remanet basis.
Vel dimidium catheti sexies ducatur, nona tollatur,
reliqui dimidium erit basis. Basi reddita nona erit
hypotenusa.
CAPUT XCIII. #Quot stadia in terris respondeant Zodiaci partibus,@# etc.
Erat Osthenes philosophus, idemque geometra
subtilissimus, magnitudinem terreni orbis noscero
volens, tali hujus artis dicitur usus argumento.
Nam a mensoribus regis Ptolomaei, qui totam
Aegyptum tenebat, adjutus a Siene usque ad Meroen
stadiorum numerum invenit. Dispositis namque
per intervalla locorum a septentrione meridiem
versus horoscopicis vasis simili dimensione et gnomonum
aequa longitudine formatis totidem doctos
gnomonicae supputationis homines, quot vasa fuerant,
singulis quibusque in locis imposuit, atque
una die omnes umbram meridiam temporis observare
fecit, notare etiam unumquemque sui gnominis
umbram, quantae fuisset longitudinis. Atque
ita comperit, quod ultra 700 stadia ad unius longitudinis
gnomonem umbra non respondit, atque hac
tali probatione conclusit quod partes 360, quibus
omnis zodiaci circuli tractus dividitur, ad terras usque
perveniant, et pars, quae ibi incomperta et inaestimabilis
mensurae est, in terris non amplius quam
septingentorum, aut paulo minus, stadiorum mensuram
obtineat. Compertaque in terris unius partis,
quae ad zodiacum pertinet, et magnitudinem hanc
ter centis sexagies complicando, circulum mensuramque
terrae incunctanter quot millibus stadiorum
ambiretur absolvit. Nam 25000 stadiorum circuitum
universi terreni orbis esse pronuntiavit. Quae summa,
si in 360 partes aequaliter dividatur, liquebit,
quod stadiorum unaquaeque portio in terris esse
debeat, quae in coelesti circulo ab ullo nullam humanae
conjecturae dimensionem admittit.
Optimum est ergo umbram horae sextae deprehendere,
et ab ea limitem inchoare, ut sint semper
meridiano tempore ordinati, sequitur, ut orientis
occidentisque linea huic normaliter conveniat. Scribamus
primum circulum in terra loco plano, et in
puncto ejus sciotherum ponemus, cujus umbra et
intra circulum aliquando exeat, et aliquando intret.
Certum est enim tam orientis quam occidentis umbras
deprehendere. Attendemus igitur, quemadmodum
a primo solis ortu umbra cohibeatur. Deinde
cum ad circuli lineam pervenerit, notabimus eum
circumferentiae locum. Similiter exeuntem notabimus.
Notatis ergo duabus circuli partibus intrantis
umbrae et exeuntis loco rectam lineam a signo ad
signum circumferentiae ducemus, et medium notabimus,
per quem locum recta linea exire debet a
puncto circuli; per quam lineam cardinem dirigemus,
et ab ea normaliter in rectum decumanos
emittemus, et ex quacunque ejus lineae parte normaliter
invenerimus, decumanum recte constituamus.
CAPUT XCIV. #Alia ratio meridianum describendi.@#
Est et alia ratio, qua tribus umbris comprehensis
meridianum describemus. In loco plano gnomonem
constituemus #a b,@# et umbras ejus tres enotabimus #c b e.@#
Has umbras normaliter comprehendemus, qua
latitudine altera ab altera distent. Si autem meridiem
constituamus, prima umbra erit longissima.
Si post meridiem, novissima. Has deinde umbras
proportione ad multiplicationem in tabula describemus,
et sic in terram servabimus. Stat | null | 45f6e0fc-c455-42ec-b0cd-5508a4e6f380 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
igitur gnomon #a b@#
planitie #b.@# Tollamus maximam umbram in
planitie, notemus signo #d.@# Sic et terram signo #e,@# ut
sint in vasi proportione longitudinis sine #b e d c e,@#
numeramus hypotenusas ex #c,@# in #a,@# et ex #d@# in #a;@#
nunc puncto #a@# et intervallo #e@# circulum scribimus.
INCIPIT PROLOGUS IN GEOMETRIAM GERBERTI.(Apud R. P. Bernardum Pezium, #Thes. Anecd. noviss.,@# tom. III, part. II, pag. 5.)
In quatuor matheseos ordine disciplinarum tertium
post arithmeticae musicaeque tractatum geometrica
speculatio naturaliter obtinet locum. Cujus
videlicet ordinis ratio, quia in ipsis arithmeticae institutionis
principiis a doctissimo et disertissimo liberalium
artium tractatore Boetio satis luculenta datur,
a nostris melius fatuitate, utpote nota, reticetur.
Haec vero disciplina, ut simplicibus loquar,
a terrae mensura Graecum nomen accepit: γῆ enim,
Graeca lingua, #terra,@# μέτρον #mensura@# dicitur.
Hujus inventores primi traduntur Aegyptii, qui
propter Nili fluminis eluvionem, agrorum limites
inundatione sui saepius confundentis, talis solertiam
artis excogitavere, cujus exercitatione sui quisque
quantitatem agelli facilius a continenti posset secernere.
Sed quamvis ad dimensionis terrae utilitatem
primitus inventa vocabulumque inde sortita sit, a
posterioribus tamen, rationem ejus diligentius investigantibus,
ad alia quoque nonnulla, quae vel cognitu
utilia, vel exercitio jocunda videbantur, speculatio
ejus accommodata est. Cui etiam talem quidam
diffinitionis terminum aptavere: Geometria
est disciplina magnitudinis et formarum, quae secundum
magnitudinem contemplantur. Potest quoque
et ita, ni fallor, aliquo modo diffiniri: Geometria
est magnitudinum rationabilium propositarum
ratione vestigata probabilis dimensionis scientia.
Utilitas vero disciplinae hujus omnibus sapientiae
amatoribus quam maxima est. Nam et ad animi
ingeniique vires exercitandas intuitumque exacuendum
subtilissima, et ad plurima certa veraque ratione
vestiganda, quae multis miranda et inopinabilia
videntur, jocundissima, atque ad miram naturae
vim, Creatoris omnia in numero et mensura et
pondere disponentis (Sap. XI, 21) potentiam et ineffabilem
sapientiam contemplandam, admirandam,
et laudandam, subtilium speculationum plenissima
est. De cujus ratione et regulis aliqua pro ingenioli
nostri facultatula undecunque collecturi, ut ordinatius
ingredientis animum ad subtiliora deducamus,
ab ipsius artis elementis, quem terminum dicunt,
exordium sumamus.
#Explicit Prologus@#
INCIPIT GEOMETRIA GERBERTI.
CAPUT PRIMUM. #Quid sit corpus solidum? Quid linea, punctum, superficies? Quid pes solidus, constratus,@# etc.?
Artis hujus initia et quasi elementa videntur
punctum, linea, superficies, atque soliditas. De
quibus cum saepe Boetius aliique tam saecularis
quam divinae tractatores litteraturae in plurimis
scriptorum suorum locis satis superque disputent,
tum beatus et eloquentissimus Ecclesiae doctor, Augustinus,
in nonnullis libris suis, et praecipue in eo
qui De quantitate animae inscribitur, copiose disserit:
Ubi etiam tantis oculum corporearum rerum
imaginationibus obtusum per talium artium exercitia
ad spiritalia veraque utcunque contemplanda non
modicum purgari et exacui ostendit. Sed prudentibus,
si qui hoc forte vel aspicere dignati fuerint,
taediosum non sit, si a solido corpore, quod communi
hominum sensui notius est, praepostero incipiens
ordine simplicioribus, quid haec singula sint
paucis tentabo monstrare.
#Solidum corpus@# est quidquid tribus intervallis seu
dimensionibus porrigitur, id est, quidquid longitudine,
latitudine altitudineque distenditur, sicuti est
quidquid visu tactuve comprehendi potest, ut haec
praesens, in qua scribo, tabella. Hoc autem Graece #stereon@#
dicitur. Hujus autem termini seu super
obducta planities #superficiei@# apud nos nomen accepit,
Graece autem epiphaniae. Quae ita intellectu capienda
est, ut nihil sibi altitudinis, id est, crassitudinis
usurpet, sed tantum longitudine latitudineque contenta
se dilatat. Nam si his altitudinem adjicis, jam
non superficies, sed corporis pars, atque ideo solidum
corpus erit.
Superficiei vero extremitas sive terminus #linea,@#
seu Graece #gramma@# est. Quam ita mente percipias
oportet, ut latitudinis expers solius longitudinis se
rigore producat, ne latitudine addita jam non linea,
sed superficies sit. #Lineae@# autem principium et extremitatem #punctum@#
determinat, quod ita se intelligibili
ratione coarctat, ut #lineae@# tantummodo finis existens
nullam in eo partis aut alicujus omnino magnitudinis
quantitatem obtineat. | null | 1e8a6b74-0299-4cd3-ad5b-dd15003ba21d | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Itaque ut singula juxta
praedictam rationem diffiniam: #Punctum@# est parvissimum
et indivisibile signum. Quod Graece #simion@#
dicitur. Hoc vice unitatis, quae est numerorum
omnium principium, nec tamen ipsa numerus,
omnium origo est mensurarum; ipsum tamen
nullius mensurae aut magnitudinis capax. #Linea@#
est longitudo sine latitudine, haecque solum in longitudine
sui sectionem admittit. #Superficies@# est latitudo
sine altitudine. Haec et superficies in rerum
natura subsistere nequeunt praeter corpora, mente
tamen intelliguntur incorporalia, et quasi praeter
corpora esse suum habentia. #Soliditas@# vero supra
diffinita in solidis manens corporibus, sensibus etiam
comprehendi valet, eaque omnifariis et in longitudine
ac latitudine, nec non etiam et altitudine sectionibus
subjacet. Atque haec interim simplicioribus
de praefatis rebus ratiuncula data sufficiet. Doctiores
siquidem de talibus sufficientius alias instructos diutius
in his detineri non oportet.
Itaque per praedictas tres solidi corporis dimensiones
quaecunque rationabiliter metienda proponuntur,
geometricali theoremate ducatus rationis mensurantur.
Aut enim #longitudo,@# aut #latitudo,@# aut
certe #crassitudo,@# quae consueto nomine #altitudo@# a
geometricis vocatur, metiendo indagatur. #Longitudo,@#
ut in lineis aliquam figurae agrive aream includentibus,
ut in itinerum spatiis, ut in arborum aedificiorumque
sublimitatibus, ut in fluminum, curtium
aliarumve rerum lineari in directum proposita usque
ad certum terminum mensuratione, quae videlicet #linearis mensura@#
vocatur. #Latitudo@# vero, ut in areae
ipsius vel planitiei, quae linearum certis includitur
terminis, quantitate #constrata@# vel #plana@# dicitur mensura,
et Graece #epipeda@# dicitur. #Altitudo@# autem ut
crassitudine vel spissitudine quarumdam certae mensurae
structurarum; seu capacitate diffinitae quantitatis
vasorum: quae #mensura solida@# vocatur. Atque
hinc est, quod mensuras quasdam utpote #pedes@#
nunc #lineares,@# nunc #constratos,@# nunc vero #solidos@#
vocitare solemus.
#Linearis pes,@# per quem lineas vel longitudinem
aliquam metimur nihil interim de altitudine et latitudine
curantes, et est talis.--· #Constratus@# pes sive
planus, per quem superficies sive planities, seu area
lineis circumsepta mensurata, et est in longitudine
et latitudine aequalis et quadratus, sed altitudine carens
ita . #Solidus@# autem est longitudine, latitudine,
altitudine aequaliter distans et quadratus, per quem
solida metiuntur corpora, formam videlicet cubi seu
tesserae retinens, qui in planitiei quidem aequalitate
non potest aperte figurari, sed vel mente intelligi,
vel cera, vel ligno, aliave ejusmodi materia facile
valet formari, quamvis Calcidius Timeum Platonis
exponens solidum in plano corpus figuratum utrumque
descripserit.
Aliae etiam, de quibus paulo post dicemus, mensurae
trifaria, ut de pede jam dictum est, distinguentur
ratione. Aut enim et ipsae lineares, aut constratae,
aut solidae intelliguntur. Sciendum autem magnopere
est quod per lineares mensuras constratae
investigandae sunt. Si enim lincares in se vel inter
se multiplicentur, constratae nascentur. Et si constratas
itidem per lineares multiplices, solidas invenies.
Quod ut facile clarescat, exempli causa linea vice
pedis linearis in longum ducatur, eaque in quatuor
lineares palmos hoc modo secetur Hic
ergo linearis pes si latitudine ejusdem quantitatis
addita in quadrum aequaliter describatur, constratus
hujusmodi informatur:
Si ergo quatuor lineares palmos longitudinis per
totidem, qui in latitudine notantur, hoc est, quatuor
per quaternos multiplices, in constrati nimirum pedis
planitie, sedecim palmos constratos hoc modo
invenies:
Quod si item eumdem pedem solidum efficiens parem
longitudini latitudinique ei altitudinem superimponis,
hicque per quatuor lineares super adjectae
altitudinis palmos sedecim planitiei constratos multiplices,
in solido nimirum pede, sexaginta quatuor
solidos palmos reperies, quod a quolibet poterit facilius
intelligi quam in palmo describi. Sic itaque
linearis pes lineares palmos quatuor, constratus sedecim
constratos, solitus sexaginta quatuor solidos
palmos recipit, eademque in caeteris mensuris ratio
multiplicationis juxta cujusque quantitatem observetur.
CAPUT II. #De vocabulis et quantitate mensurarum ab antiquis inventarum.@#
Mensurarum autem vocabula ab antiquis inventa,
et in usu posterorum hactenus reservata, ferme haec
sunt: digitus, uncia, palmus, sextaque; quae et dodrans,
pes, laterculus, cubitus, gradus, passus, pertica;
quae et decempeda, actus minimus, clima,
porca, actus quadratus; qui et agripennus, seu aripennus,
jugerum | null | f16793e9-5633-4ce5-8938-eeb94169c6a6 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, seu juger, vel jugus, centuria,
stadium, milliarium, leuca. Quorum quantitas singulorum
primum juxta lineares mensuras videatur, ut
postmodum ad constratas solidasque commodius
traducatur.
#Digitus@# est minima qua in agris metiendis antiqui
utebantur mensura, continens hordei quatuor
grana, in longitudinem scilicet continuatim disposita.
Non autem quorumcunque hominum digitos, qui
utique multum dispares sunt, passim accipias oportet,
sed spatium quod latitudo digiti alicujus mediocris
illius temporis hominum transversim occupabat,
pro longitudine certa geometricalis digiti
uniformiter teneas. Idemque de palmo, pede, cubito,
et caeteris ejusmodi faciendum est.
#Uncia,@# juxta antiquiores tres, digitos recipit. Sed
quia cujuslibet rei duodecima pars uncia dicitur,
posteriores unum tantum digitum et tertiam digiti
partem unciae deputavere, ut pedis, qui sedecim digitis
constat, pars duodecima possit existere. Nam
as et triens 16 sunt.
#Palmus@# autem, quarta pars pedis, quatuor digitos
recipit, uncias autem tres. Dictus autem #palmus@# a #palma,@#
id est, a manu extensa, quae quatuor digitis
constat.
#Sexta,@# quae et #dodrans,@# habet digitos duodecim,
uncias novem, palmos tres. Dictus autem #dodrans,@#
quod ab integro pede dempto quadrante constet.
#Pes@# continet digitos sedecim, uncias duodecim,
palmos quatuor, sextam unam, tertiam ejus; cujus
mensura in quibuslibet metiendis usitatior est.
#Laterculus@# non in sola longitudine, ut superiores,
accipi potest, sed ei latitudo etiam est, ut constratus
fiat, habetque in latitudine pedem unum, in
longitudine quoque pedem unum et deuncem ejus,
in lato uncias duodecim, in longo viginti tres; hicque
in tota area sua habet uncias constratas 276.
Dictus autem laterculus diminutive a #latere,@# id est
tegula, quia hujus mensurae ad tegenda seu consternenda
aedificia fieri solebat.
#Cubitus@# recipit pedem unum et semissem, sextas
duas, palmos sex, uncias 18, digitos 24. Hic etiam
in quibusdam locis pro statura hominum recipitur.
#Gradus@# recipit cubitos 2, pedes 3, sextas 4, palmos
12, uncias 36, digitos 48. Dictus, quod gradientes
homines saepius tantum spatii alternatim metiantur.
Passus continet gradum unum et ( #Vetus
Glossa in cod. exponit@# bissem; #alias@# est dodrans)
cubitos 3 et ( #Eadem Glossa,@# trientem) pedes
quinque, sextas 6 et , palmos 20, uncias 60, digitos
80. Hujus in itinerum spatiis maximus usus est
metiendis. Dictus passus a #patendo@# videtur, pro eo
quod patentibus intercapedine quinque pedum cruribus
figuratur: unde et #passi crines@# dicuntur.
#Pertica,@# quae et #decempeda,@# continet passus 2, gradus
3 et trientem, cubitos 6 et bissem, pedes 10,
sextas 13 et , palmos 40, uncias 120, digitos 160.
Dicta pertica quasi #portica@# a portando scilicet. Manu
namque mensoris ad agros dimetiendos virga mensuralis
portatur.
#Actus minimus@# in quantitate tantum superficiei
agrorum consideratur, habetque in lato pedes 4, in
longo 140. Qui invicem ducti, id est, quater 140, in
tota agri superficie constratos pedes 560 ostendunt.
Ductus autem ab #agendo@# rurali opere videtur.
#Clima,@# eodem modo agri quantitatem designans,
habet et in longo et in lato pedes 60. Qui invicem
ducti 1600 pedes constratos complent.
#Porta,@# nihilhominus agri mensuram indicans, in
longitudine 80, in latitudine 36 pedes habet. Qui
invicem ducti 2400 indicant constratos.
#Actus quadratus,@# qui et #agripennus@# seu #aripennus@#
dicitur, quo agri modum discriminamus, per singula
quatuor latera perticas 12, id est, pedes 120 recipit.
Qui in se ducti 144 perticas constratas, pedesque
ejusmodi constratos 14400 in agripenno demonstrant.
#Jugerum@# seu #juger,@# seu #jugus,@# quod junctis duobus
aripennis confit, indeque ab #jungendo@# nomen accipit,
quantitatem itidem agri . . . niens, habet in longitudine
perticas 24, id est pedes 240; in latitudine
perticas 12, id est 120 pedes. Qua latitudine per
longitudinem ducta in superficie jugeri perticas constratas
288, pedes vero 28800 invenies. Hujus quartam
partem #tabulam | null | 94365f52-9aa1-4ac0-87c8-c44a0d48ca02 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
@# appellant, continentem perticas
constratas 72.
#Centuria@# est ager 200 continens jugera, dicta,
quod apud antiquiores centenis tantum jugeribus
computabatur. Hae tamen, quae agrorum quantitatem
designant, mensurae, magis in quantitate areae planitieque
lineis circumscripta, quam ipsarum, quibus
circumscribitur, linearum longitudine, considerandae
sunt. Cujus enim longitudinis lineae aream includant,
nihil interest, si tamen ipsa propriam quantitatem
area non amittat, ut in jugero. Utrum enim in longo
24 perticas, in lato vero 12, ut supra dictum est,
habeat, an in longo 18, in lato 16; an in longo 32,
in lato vero 9; an alio atque alio modo longitudo
latitudoque permutentur, si tamen mutua multiplicatione
288 constratas perticas efficere possunt,
jugerum nihilominus implebunt. Idemque in agripenno
et caeteris agrorum mensuris sentiendum
est.
#Stadium@# autem, quod magis in itinerum dimensionibus
usuale est, continet passus 125, gradus 208 et
trientem, cubitos 416 et , pedes 625, sextas
933 et trientem, palmos 2500, uncias 7500, digitos
1000. Dictum autem stadium dicitur a #stando,@# seu
quod juvenes currentes emenso hoc spatio ad metam
starent; seu quod Hercules primus hoc spatium
uno anhelitu transcursum stando signaverat.
#Milliarium@# habet stadia 8, passus #mille@# (unde et
nomen accepit), gradus 1600, 61 , cubitos
3300, 33 , pedes 5000, sextas 6600, 66 ,
palmos 20000, uncias 60000, digitos 80000. Hoc
permissu priscae legis iter Sabbati fuit.
#Leuca@# recipit milliarium unum et dimidium, stadia
12, passus mille quingentos, gradus 2500, cubitos
5000, pedes 7500, sextas 10000, palmos 30000, uncias
90000, digitos 120000. Dicta leuca a #levando,@#
id est, relevando post tantum iter corpore. Unde et
apud Teutonicos #Rasta@# a requiescendo appellatur.
CAPUT III. #De descriptione quantitatis earumdem mensurarum trifaria.@#
Sed quia haec de linearibus, id est solam longitudinem
designantibus mensuris utcunque dicta sunt,
nunc quoque earumdem quantitatem, si constratae
aut solidae fiant, per passus, pedes et digitos in
subjecta, si placet, paginula quam brevissime subnotemus,
eas videlicet intermittentes quas, quantitates
tantum superficiei agrorum, demonstrare praediximus.
#Leuca@# habet lineares passus 1500, constratos his
M. I. CC. L, solidos ter MMM, et ter CMM, et LXX, es
MM, et Ves II.
#Milliarium@# habet lineares passus mille, constrato
MI, solidos MM, millia MM millia.
#Pertica@# habet lineares passus duos, constratos
quatuor, solidos octo.
#Passus@# habet lineares pedes quinque, constratos
25, solidos 125.
#Gradus@# habet lineares pedes 3, constratos 9, solidos
27.
#Cubitus@# habet linearem pedem I, unum S.,
constratos duos, unum trientem, solidos tres,.
L #Pes@# habet lineares digitos 16, constratos 256, solidos
4096.
#Sexta@# habet lineares digitos 12, constratos 144,
solidos 1728.
#Palmus@# habet lineares digitos 4, constratos 16,
solidos 64.
#Uncia@# habet linearem digitum unum, constratos
unum et solidos duos, .
#Digitus@# habet linearia hordei grana 4, constrata
16, solida 64.
Et hactenus de mensuris, quae a prioribus nobis relicta
sunt, satis et non superflue, ut reor, dictum est.
Quod si prioribus in mensurando partibus indiget,
diligens quisque unamquamque mensurarum praedictarum,
ut necesse fuerit, seu per minutias usitatas
sive per intellectuales multimodis habere poterit.
CAPUT IV. #De planis figuris.@#
Nunc vero de figuris, quae praefatis linearibus
includuntur mensuris, speculandum est. Figura,
quae Graece #schema@# vocatur, est spatium certis terminis
inclusum. Hujus species duae sunt. Aut enim #planae@#
aut #solidae@# sunt. Sed de solidis in posterioribus;
nunc de planis videamus.
#Planae@# dicuntur figurae, quae profunditate, id est,
altitudine carentes, in longitudine tantum latitudine
que considerantur. Hae vero si rationabiliter proponuntur,
aut rectis lineis, quae Graece #euthyae,@# determinantur,
et angulatae sunt, appellanturque #euthygrammae;@#
aut curvis seu circumferentibus lineis,
quas Graeci | null | 03120ba6-f19e-4cd9-8b9f-e02a13f0cf38 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
#cyclicas@# sive cycloides ( #Cod.,@# licoides)
sive #capellas@# vocant, includuntur, et rotundae sive
oblongae sunt, et #campylogrammae@# nominantur: vel
certe utrisque, id est rectis et curvatis, componuntur,
et partim angulatae, partim lunatae seu rotundae
sunt, quod genus #micton@# a Graecis dicitur. Quae
singulae, prout commodum et utile videbitur, in
consequentibus apertius describentur. Spatium autem
sive planities planarum figurarum lineis circumscripta, #embadum@#
a Graecis appellatur, quod a nostris
interpretatum #area@# nuncupatur, ad cujus videlicet et
areae quantitatem investigandam variae, pro diversitate
figurarum et theorematum, regulae passim dispersae
feruntur, ex quibus aliquas, quas nostri attingere
potuit diligentia, quae utiliores videbantur,
aliquantisper ordinatius digestas aggredi tentabimus,
si prius pauca de #angulorum@# speciebus, et
alia quaedam ingredientibus necessaria probaverimus.
Itaque planae figurae quas rectis lineis determinari
angulatasque esse diximus, trinis necessario
planorum angulorum formantur speciebus. Est autem
#planus angulus@#
duarum linearum in planitie e
diverso ductarum ad unum punctum coadunatio.
Sive aliter: Angulus est spatium quod sub duabus
lineis continetur se invicem tangentibus. Qui nimirum,
trimodis speciebus discretus, aut #rectus@# est,
aut #hebes,@# aut #acutus.@#
#Rectus,@# qui et #normalis@# dicitur, hoc modo fit, si
rectam lineam jacentem altera stans recta contingat,
et ex utraque sui parte aequos angulos ita
facit:
Hic autem, quasi viae virtutis medium tenens, sibique
ipsi semper et uniformiter aequalis, nec se plus
aequo dilatat, nec minus justo coarctat.
#Hebes@# autem, qui et plus normali vel #obtusus@#
dicitur angulus, qui, quasi pleonasiae more, semel
rectum excedens, incerta indefinitaque quantitate,
donec in lineam deficiat, dilatari et expandi potest.
Fit autem si jacenti lineae altera ab ea inclinata
jungatur ita:
#Acutus@# est, qui, neomesiam imitans, et infra rectum
subsistens, identidem quantitate indefinita usque
in lineam directam coarctari valet. Fit vero si
jacentem lineam rectam altera ad eam inclinis tangat,
ita:
Et hi quidem anguli, ex rectis scilicet facti, #euthygrammi@#
Graece, #rectilinei@# possunt Latine appellari.
Possunt tamen eaedem tres angulorum species aliquomodo
ex rectis et circumferentibus lineis, item
ex circumferentibus solis figurari. Ex rectis namque
et circumferentibus lineis recti anguli figurantur,
si circulus aequaliter a puncto circumductus rectam
lineam per ipsum punctum in duo aequa secat
ita:
#Hebetes@# autem, qui et obtusi anguli, si major
dimidio circuli pars hoc modo formetur;
Acuti vero fiunt, si minor medietate circuli pars
scribitur:
Ex solis autem circumferentibus lineis, si eas, id
est, tres angulorum species, velis figurare, duos
aequales circulos ita sibi invicem innexos circumducito,
ut uterque circumductione sua secet alterius
punctum; sicque et in media, ni fallor, area, et in
singulis partibus altrinsecus positis rectos omnes ad
sui modum angulos pernotabis ita:
Quod si duos alios connexueris, ita ut uterque
suo ambitu punctum includat in medio embado
duos hebetes, in quatuor altrinsecus vero positis
acutos nihilominus angulos formabis ita:
Sin autem ita bini sibi nectantur, ut punctum alterutrius
ab altero immune omnino relinquatur, in
media nimirum areola acuti in extremis utrinque
hebetis anguli species figurantur, ut cernis.
Ut autem omnes angulorum species in una pariter
inspiciantur, talis circulorum componitur connexio:
Sciendum quoque est quod acuti anguli #interiores,@#
hebetes vero #exteriores@# ad comparationem scilicet
recti anguli solent appellari. Rectus quippe angulus
ab hebete, utpote exteriore, latioreque includitur;
sed ipse rursus acutum, ut videlicet amplior, interiorem
includit; quod in subjecta formula rectilinea,
ubi omnes angulorum species ad unum eo adunatae
sunt punctum, describitur hoc modo.
Intuendum etiam est quod rectae lineae jacenti si
recta una, quae perpendicularis dicitur, erecta superstet,
ubi jacentem tangit, ex utraque sui parte
rectum angulum efficiet hoc modo:
Si vero ad alterutram partem linea superstans inclinetur,
in illa, ad quam inclinetur, parte interiorem,
id est, acutum angulum efficit, in altera vero
exteriorem, id est hebetem, ita tamen ut hi duo anguli,
interior scilicet et exterior duobus rectis sint
aequales, hoc modo | null | c35ce1f7-f83c-48e9-abfc-3391acb6e588 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
:
Quantum enim interior a recto minus habet, tantum
exterior rectum supervadit. Quod si rectae jacenti
lineae duae adversis partibus inclinatae ita superstent,
ut et illam et se invicem ad unum punctum
tangant, tres nimirum interiores angulos formant,
ita tamen, ut hi tres anguli duobus rectis
aequales sint. Nam tantumdem spatii quantum duo
recti occupant, hoc modo:
Si duae rectae sese invicem altera per alteram
ductae secent, aut quatuor rectos efficiunt angulos,
aut duos exteriores, totidemque interiores ex adverso
sibi invicem aequos reddunt, qui tamen quatuor
rectis angulis sunt aequales, hoc modo:
Duae rectae lineae aequali a se invicem spatio inductione
sua distantes et in infinitum ductae, nunquam
invicem concurrentes #paralellae,@# id est aeque
distantes dicuntur, ita:
Quod si recta linea ab una ad aliam ducta fuerit,
aut rectos angulos quatuor, ubi tangit eas, efficiet,
aut totidem rectis aequos, binos scilicet interiores,
binosque exteriores sibi ex opposito invicem
aequales taliter:
Possent quidem et alia nonnulla de lineis et angulis
inveniri et dici. Sed haec ingredientibus sufficere
putavi.
CAPUT V. #His tribus anguli speciebus omnis coagulata consistit figura.@#
In omnibus ergo, ut dictum est, planis figuris,
quae quidem angulatae sunt, unam vel duas, vel
certe omnes has angulorum species necessario invenis;
unam, ut omnes angulos rectos habeant aut
hebetes omnes, vel omnes acutos; duas, ut alios
angulos rectos habeant, alios acutos, aut alios hebetes,
alios acutos, aut alios rectos, alios hebetes; omnes,
ut et rectus, et hebes et acutus, quod tamen
rarius evenit, ut in una aliqua inveniatur figura.
Quod totum posterius in earum satis formationibus
clarebit. Nunc jam de #triangulo,@# qui in planis figuris
naturaliter primus occurrit, sequens ratio quae
videbuntur aggredi tentabit.
CAPUT VI. #De principalitate trianguli.@#
#Triangulus,@# ut in arithmeticis satis a Boetio declaratum
est, ideo planarum principium existit figurarum,
quia tria primum rectae lineae superficiem
seu latitudinem aliquam possunt includere. Duae
quippe rectae nihil possunt spatii circumdare, atque
ille ideo, quia tribus lineis distensus figuras
angulatas planasque primus efficit, jure in eisdem
figuris principatus locum obtinebit. Qui et ideo
principium et quasi elementum exstat in angulatis
figuris, quod unaquaeque earum ex eo componatur,
et in eumdem resolvatur. Si enim ipsius trianguli
sive tetragoni vel pentagoni, hexagonive ceu caeterorum
sequentium multiangulorum superficiem, id
est aream mediam puncto designaveris, et ab eodem
puncto ad angulos rectas lineas deduxeris, unumquemque
eorum ex tot compositum et in tot triangulos
divisum pernotabis, quot ipse constat ex angulis.
Nam eodem modo ipse triangulus in tres alios
triangulos; tetragonus in 4; pentagonus in 5; aliique
sequentes juxta numerum angulorum suorum
in triangulos dividuntur. Ubi subtiliter id etiam
evenit ut, quia in triangulos cujusque eorum divisio
fit, per triangulorum quoque regulas uniuscujusque
eorum a diligentibus embadum inveniri possit. Quare
satis cuipiam potest declarari omnium planarum
figurarum triangulum principium esse.
CAPUT VII. #De speciebus trianguli.@#
Est autem #triangulus,@# qui et #trigonus@# sive #tripleurus@#
dicitur, plane figura tribus rectis lineis sive lateribus
et totidem angulis terminata. Hujus species
tres sunt, #orthogonius@# scilicet, et #ampligonius,@# atque
#oxygonius.@#
#Orthigonius@# est triangulus unum rectum angulum
habens et duos acutos, taliter:
A recto autem angulo, quem habet, nomen possidet. #Orthon@#
quippe Graece rectum: #gone@# angulum
sonat. Inde #Orthogonius@# quasi #rectiangulus@# dicitur.
#Ampligonius@# est triangulus unum hebetem et duos
acutos habens angulos, ita:
Qui et ipse ab hebete angulo suo identidem accepit
vocabulum.
#Oxygonius@# autem est triangulus omnibus acutis
angulis determinatus, ita:
Unde ab acuto, quia #oxya@# sonat, appellatus est.
Hic vero et unius speciei angulos et aequa latera
potest habere: quod in prioribus omnino est impossibile,
ut et quivis facile intelligere, et in figuris
eorum oculis valet approbare.
Habent etiam iidem trigoni quaedam alia quoque
tria ad discretionem sui vocabula. Alius enim eorum #isopleurus,@#
alius #isoceles,@# alius #scalenos@# dicitur.
#Isopleurus@# est qui omnibus aequalibus continetur
lateribus. | null | ccbf3c65-38ed-4ec5-8afd-2fb1f8414ec2 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
#Isos@# quippe #aequalis; pleuros latus@# dicitur.
#Isoceles,@# qui duo habet latera aequalia, qui etiam
quasi cruribus insistit; tertium inaequale, unde et
isoceles, quasi aequicrurius dicitur.
#Scalenos,@# qui omnia latera inaequalia invicem continet;
dictusque #scalenos@# quasi #gradatus,@# eo quod
velut gradibus, de uno in aliud transfertur latus.
Sed #isoplevrus,@# id est aequilaterus solus dictus potest
esse trigonus oxygonius; isoceles vero atque scaleni
et #orthogonii@# et #ampligonii,@# ipsique item #oxygonii@#
poterunt fieri. Singuli quippe eorum et duobus
lateribus aequalibus, tertio inaequali, et omnibus inaequalibus
solent formari.
CAPUT VIII. #De natura triangulorum.@#
Illud quoque in his triangulis speculare, quod
juxta supradictam superius angulorum quantitatem
in omni trigono ampligonio exterior, id est hebes
angulus major est utrisque interioribus, id est acutis
in ipso scilicet ampligonio trigono ex adverso
constitutis, ipsique duo non solum exteriore sed
etiam recto angulo minores probantur, ut in hoc:
In omni quoque triangulo duo anguli quoquomodo
sumpti duobus rectis angulis minores sunt.
In omni etiam triangulo minus latus majorem
angulum, majus vero minorem efficit.
Si in quolibet trianguli latere a finibus lateris duae
rectae lineae introrsum inclinatae angulum faciant,
ipsae quidem caeteris trianguli lateribus minores
sunt; angulum vero majorem efficiunt ita:
In omni orthogonio triangulo, solus rectus angulus
duobus reliquis interioribus, id est acutis, probatur
aequalis. In oxygonio autem tres interiores, id est
acuti singuli duobus rectis angulis aequi sunt, et
omnino in omnibus triangulis idem evenit, ut tres
eorum anguli duobus rectis angulis aequi sint. Nam
in ampligonio quantum exterior, id est hebes angulus
rectum superat, tantum duo interiores, id est
acuti superantur a recto. Et in orthogonio unus rectus
est, et interiores, id est acuti, qui item, ut dictum
est, unum rectum angulum complent.
In oxygonio quoque duo acuti unum rectum superant,
sed duobus tantum minores sunt, quantum
tertius supplere poterit angulus. Et juxta hanc rationem,
ni fallor, erit intelligendum quod in categoriarum
Aristotelis Commentariis a Boetio dictum
est: #Multi saepe movere soliti sunt scrupulum: scimus
triangulum tres interiores angulos duobus rectis
angulis habere aequos.@#
His interim de natura triangulorum expeditis,
qualiter quisque angulus, utrum rectus an hebes
aut acutus sit, discerni queat breviter dicamus, ut
certius requirenti utrum triangulus quisque orthogonius,
an ampligonius sive oxygonius sit, probare
valeamus.
CAPUT IX. #Quomodo tres angulorum species discerni valeant?@#
Si de aliquo angulo, utrum rectus an hebes acutusve
sit, dubitaveris, hujusmodi experimento uti
poteris. Ab angulo, de quo dubitas, in utraque linea,
quae in eo conveniunt, aequalem mensuram cujusvis
longitudinis sumptam punctis utrinque notato,
et ab uno ad aliud punctum rectam lineam ducens,
eamque in duo aequa dividens, medietatem
ejus puncto signabis. A quo videlicet puncto si ipsa
eademque mensura, qua medietatem lineae esse invenisti,
angulus ille, de quo quaesieras, distabit,
rectus erit. Si longius distans ab ea mensura attingi
nequiverit, acutus; si autem propior a praefata
transgreditur mensura, obtusus, id est hebes esse
dignoscitur. Verbi gratia, sit angulus, de quo dubitas, #a:@#
a quo in utraque linea aequali mensura distet #b@# et #c.@#
Medietas lineae a #b@# ad #c@# ductae fit #d.@# Si ergo a #d@# puncto #b@#
et #c@# et #a@# aequali mensura distent, rectus angulus #a@#
erit. Si minor ad #a@# fuerit, quam ad #b@# et #c,@# hebes.
Si autem major, acutus angulus #a@# esse non dubitatur.
Vel aliter, juxta Pythagorae inventum. Ab angulo,
de quo dubitas, in una ejus linea tres aequales longitudinis
mensuras, utpote pedes, in altera ejus longitudinis
quatuor dimetiens, ubi utrinque fuerint terminatae,
punctis signato, et ab uno horum puncto
ad alterum lineam rectam deducito. Et si haec linea
quinque aequaliter pedes habuerit, angulus ille, de
quo dubitas, rectus erit; si plus quam quinque,
hebes; si autem minus, acutus apparebit. Exempli
causa, sit | null | b9cc9b3d-bfc8-4a85-94dd-82466d82c211 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
ipse angulus #e@#
ab hoc in una linea tres mensuras quasi pedes
usque ad #g@# metior, ab eodem in altera linea usque
ad #f@# duo. Si ergo in hac linea inter #f@# et #g,@# quinque
ejusdem longitudinis mensuras invenio, #a@# angulum
rectissimum natura cogente minime dubito; si autem
plus quam quinque, hebetem; si minus, inter
acutos eumdem putari debere certissimum teneo, ut
in subjecta formula patet. Lineae vero rectae, quibus
trigoni seu tetragoni, et aliae quaedam planae figurae
determinantur, his ferme vocabulis designantur.
CAPUT X. #Le appellationibus linearum in figuris.@#
Linea quae in una parte figurae directe et non oblique
jacet, #basis@# nomen accepit, eo quod super ipsam
figura fundata sit. Quae vero in summo quasi in culmine
figurae similiter directim ducitur, #coraustus@# appellatur,
atque jusum [deorsum] a summo directim more
perpendiculi pendens, ubi basi coraustove conjungitur,
rectum angulum efficit, #catheti@# sive #perpendicularis@#
vocabulum suscipit. Illa autem quae, oblique
jusum sive susum deducta, hebetis vel acuti anguli
effectrix videtur, #hypotenusa,@# id est obliqua sive #podismus@#
nominatur.
Ex harum autem linearum mensura, maximeque
catheti et basis seu corausti, quae scilicet longitudinem
latitudinemque figurae determinant, constratam
embadi mensuram, ut superius commemoravimus,
vestigare debemus. Sed quamvis ampligonius
propter angulum majorem a quibusdam praeponatur,
oxygonius vero propter isopleuron, qui et
angulorum et laterum aequalitate gaudet, principalior
putatur. Nos tamen orthogonium cum reliquis suis
tum propter recti anguli principatum, tum quod
ratio ejus apertior certiorque sit, et ab eo ampligonius
oxygoniusque regulas accipere videantur, merito
his anteponendum aestimamus.
CAPUT XI. #De Pythagoricis orthogoniis.@#
Inter omnes diversorum laterum triangulos orthogonius
ille quodammodo speciale privilegium et meritum
habere videtur, qui ab inventore Pythagora #Pythagoricus@#
appellatur; quod quare videatur, in
consequentibus manifestatur. Hic autem talibus laterum
proportionibus continetur, ut #basis@# ad cathetum
sesquitertia, hypotenusa ad basim sesquiquarta,
itemque ad cathetum superbipartiens tertias
sit. Habet quippe cathetus pedes, aliasve minores
vel majores mensuras in eisdem proportionibus, ut
subscripti.
CAPUT XII. #Quomodo minutiae addantur figuris.@#
Quod autem interdum quaedam vel omnia latera
hujusmodi orthogoniorum minutiis admistis solent
propani (neque enim sagacem geometren minutiandi
solertiam decet ignorare), horum etiam re erit
exempla subnotare:
In his itaque aliisque orthogoniis in eisdem laterum
proportionibus constitutis, videlicet et Pythagoricis,
hoc modo invenire per cathetum alia latera
poteris.
Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur;
residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem,
quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam
habebis, ut in eo, quem primum posui,
cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata
nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia
basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui
basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur,
hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque
in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis
numeris compactis invenitur, ut in his 4,
quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt.
Horum nona parte, id est unitate ablata et triente
residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et
triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim
juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.
Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato,
nonaque parte inde ablata, basim habeto.
Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto,
dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat.
Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos
novem addita fiet 10 hypotenusa.
Similiter in eo cui et quadrantem in catheto
posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti
7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id
est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem
8 et hypotenusae tribuit.
Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona
inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur.
Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat | null | b544fdfa-d35c-4223-9107-4fdcba087865 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
.
Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27
efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet
dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est
nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.
Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto,
dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata,
19 facit. Inde nona parte, quae est 2 ( #Glossa
vetus: z.@# siliquam interpretatur) #z.@# S. et S. abblata
remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id
est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata
superaddita podismum, id est 10, et S. quinque
φ
facit cum summa dubietate seposita.
Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione
dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis
prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis
vel omnino vera vel veritati proxima est.
Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per
duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas
naturae constitutione certissima hoc modo:
Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus
in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus
in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul
summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus
tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus
esse sciatur.
Tetragonus autem, ut ex arithmeticis notissimum
est, dicitur numerus ex alio in se ducto procreatus,
ut 4, qui ex binario; ut 9, qui ex ternario; ut 16,
qui ex 4 in se ducto procreatur. Duo enim bis quatuor,
et tres ter novem, et quater quatuor 16 creant.
Numerus autem qui ita tetragonum in se ductus
efficit, ejusdem effecti a se tetragoni #latus tetragonale@#
vocatur.
Ut autem basis quantitas pernoscatur, ex numero
hypotenusae ducto in se, catheti numerus item in se
ductus auferatur, et residui numeri latus tetragonale
basi, ut naturaliter insita quantitas tribuatur.
Ad catheti vero mensuram vestigandam ex hypotenusae
numero item in se ducto, numerum basis in
se ductum adime, et latus reliqui tetragonale pro
catheto tene. Quae singula ut clarescant exemplis ex
superioribus orthogoniis minimum sumo, et per
cathetum ejus ac basim hoc modo hypotenusam invenio.
Cathetus, id est 3, in se ductus 9, tetragonum
facit. Item basis, id est 4, in se ducta in 16,
tetragonum surgit. Qui duo tetragonii 9, et 16
conjuncti 25, rursus tetragonum compaginabunt.
Cujus latus tetragonale, quod est 5 (quinquies enim
quinque 25 numerum complet), hypotenusae.
Per cathetum autem et hypotenusam hoc modo basim
invenies. Ex numero hypotenusae, id est 25,
cathetum in se ductum 9 aufero, et reliqui, id est
16, latus tetragonale, quod est 4, basi ascribo. Ad
cathetum vero reperiendum ex eodem 25, hypotenusae
numero in se ducto basim in se ductam, id est
16 detraho, et reliqui novenarii latus, id est 3, dabo
catheto.
Item, ut et in majori exemplum dem, sumo eum
qui in catheto 12, et in basi 16 tenet, numerosque ex
utrisque in se ductis confectos, scilicet 144 et 256,
conjungo, et ex utrisque confecti 400 numeri latus
tetragonale, id est 20, do hypotenusae. Ex quibus
iterum 400, si cathetum in se ductum, id est 144,
abstraho, reliqui 256 numeri latus, id est 16, basi
tribuo. Quod si eisdem 400, basis in se ducta, id est
256, adimatur, 12 qui residui, id est 144, illius numeri
latus est, perpendiculari, id est catheto donatur.
Et ne in minutiatis quoque orthogoniis exemplum
dare subterfugiam, eum accipio, cui superius 6 et
in catheto posueram, ipsumque cathetum regulariter,
quod abacistae facillimum est, in se duco, et 40
S. tetragonum invenio. Item basi, quae est 64,
3 3. II. M
M et tertia. 8 in se ducta fit tetragonus 71.
et duae et tertia unius. Hi duo tetragoni
simul juncti faciunt tetragonum 101
et duas siliquas et tertiam unius siliquae continentem.
Cujus latus tetragonale inventum, quod est 10
S. E et C. (nam hoc in se multiplicatum eumdem
restituit) hypotenusae ostendit quantitatem. Ex eodem | null | b304410e-2600-424a-bb0e-1f3ad91064c4 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
autem hypotenusae numero in se ducto, id est
duabus siliquis et tertia parte siliquae, si
cathetum in se, id est 40, S. dempseris, reliqui,
id est 71 duarum siliquarum et trientis
siliquae latus erit basis, id est 8 Ex eodem
hypotenusae numero basis in se ducta dempta si
fuerit, remanentis, id est 408, et latus tetragonale,
quod est 6, cathetum restituit. Atque haec regula
in caeteris quoque orthogoniis probare volentem
nunquam fallit, si lineares laterum mensuras invenire
libuerit.
Ad constratam vero embadi, id est areae quantitatem
in his Pythagoricis orthogoniis inveniendam hujusmodi
habe regulam; trium laterum quantitates,
videlicet catheti, basis et hypotenusae in unum colligantur;
medietas hinc sumatur, et ab hac basis
auferatur; qui remanet, per cathetum multiplicetur,
et summa inde nata duplicetur; duplicata per quartam
sui partem multiplicetur, nataeque inde summae
latus tetragonale pro embado habeatur. Verbi gratia:
minimi in superioribus orthogoniis trium laterum numeros,
id est 3, 4, 5 conjungo, fient mihi 12; horum
medietas 6 erit. Inde sublata 4, basi, 2 residui
per cathetum, id est 3, ducti 6 faciunt; qui multiplicati
12 redduntur. Hi per quartam sui partem, id
est per 3 ducti, 36 efficiunt. Horum si latus tetragonale,
quod est 6, accipio, areae orthogoniique
hanc summam habeo.
In primo quoque, quem cum minutiis posui, eodem
modo, si laterum sumas, id est 4, 5, 6
copulo, 16 conficio. Media, id est 8, inde sumpta,
basique, id est 5 inde ablata, residuis, id est 2
per cathetum, id est 4, ductis, 10 habeto.
His duplicatis, 20 i. facio, quibus per 4 sui, id
est 5 ductis fient 113, Hujus tetragonale
latus, quod est 10 , si sumpsero, embadi
totius planitiem impleo, et ita in caeteris.
Multum vero simplicior faciliorque et expeditior
erit regula embadi inveniendi in omnibus orthogoniis
una in omnibus prorsus triangulis universalibus,
ut scilicet per dimidium basis cathetus multiplicetur,
et quod inde creverit, pro embado habeatur. Quod
idem erit, si conversim per dimidium catheti multiplicetur
basis integra, et inde natum embadum
dicatur; vel si tota basis per totam perpendicularem
ducatur, et nati inde numeri medietas areae tribuatur.
Cum enim per cathetum basis, vel per longitudinem
latitudo ducitur, quadrati areae quantitas invenitur.
Quem cum transversim ab angulo ad anangulum
medium divido, duos nimirum triangulos
sibi invicem aequos efficio, quia in utroque eorum
medietatem areae tetragoni invenio.
Sed huic ut exempla quoque regulae subjiciam, ex
superioribus orthogoniis ille mihi proponatur, cujus
cathetus 15, basis 20 pedibus annotatur. Multiplico
itaque per cathetum basim hoc modo: 15, 20, fient
300. Horum dimidia, id est 150, totius areae pedum
constratorum indicat numerum.
Eodem modo in illo cum minutiis misto, cujus
cathetus pedes 6 , basis 8 possidet, basis
per cathetum regularem ducta efficit constratos pedes
53 9 siliquam. Horum medietas, quae est
ped. 26 G. 9 2, et medietas siliquae, totius
quantitatem indicat areae. Eodemque modo in caeteris.
Quod si minores quoque pede mensuras utpote
palmos, uncias, digitos in praedictis embadis, quot
sint, velis scire, respicito in superioribus, quantas
ex his singulis pedis constrati capiat mensuras. Recipit
quippe pes constratus, ut dictum est, palmos
quater quaternos, id est 16, uncias vero duodecies
duodenas, id est 144, digitos decies sexies sedenos,
id est 256. Per hos singulos numeros priorum aream
orthogoniorum multiplicato, et in priori quidem
area, quae 150 pedes constratos habet, invenies palmos
constratos 2400, uncias 21600, digitos autem
constratos 38400.
In sequentibus vero, cujus area constratos pedes
26 5. et medium ejus continet,
reperies palmos 427, et duas siliquas;
uncias vero 3850 quinque , digitos 6863,
quinque , et duas siliquas contineri. Et
eodem in caeteris modo.
Quod si etiam ager hujusmodi orthogonii schema
tenens proponitur, utpote cujus cathetus 60, basis
80, hypotenusa 100 perticis metiatur, et, quot jugera
vel quot agripennos contineat, inquiratur;
primo, per cathetum, id | null | 03b4ce30-a9dd-49b0-8e7e-c46cd42be841 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
est 60, basim, quae est 80,
multiplico: fient 4800. Horum medietatem, id est
2400 pro constratis totius agri perticis habeo. Post
autem, quoties in hoc numero constratae perticae
unius jugeri 288, vel agrippenni unius, id est 144
cohibeantur, inquiro. Sunt vero in 2400 octies 288,
et insuper tertia eorum pars: 144 vero in eodem
numero sedecies habentur et bisse eorum; igitur in
proposito agro orthogonio triangulo 8 jugera, et tertiam
partem jugeri, agrippennos autem 16, et duas
tertias agrippenni unius contineri non dubium est.
Sed quoniam de invenienda in his orthogoniis embadi
quantitate satis dictum est, aliam regulam adhuc,
qua per hypotenusae et embadi numeros cathetum
et basim reperiunt, subjici putamus, quae est
hujusmodi:
Numero hypotenusae in se ducto quatuor embadorum
numerositas adjiciatur, et hujus simul summae
latus tetragonale sumatur, idque basis et catheti numerum
simul complecti non dubitetur. Ut vero utrique
eorum, basi scilicet et catheto, suus distincte numerus
reddatur, ex numero hypotenusae in se ducto
4 embada subtraho, et residui adhuc numeri latus
tetragonale sumo; idque superius invento numero,
qui basim et cathetum confuse continebat, adjungo,
et horum simul medietatem majori ex his, utpote
basi, propriam tribuo. Ipsum vero latus tetragonale
si ab eodem numero, qui basim simul et cathetum
continet, aufero, et residui dimidium sumpsero, minus
ex his latus, utpote cathetum reperio. Vel aliter:
ex numero, qui basim cathetumque pariter continet,
inventam basim aufero, et remanet cathetus
vel cathetum repertum adimo, et reliqua erit basis.
Quae omnia ut apertis certificentur exemplis, in
quibuslibet superiorum probentur orthogoniis. Sumo
itaque eum, cujus hypotenusa 10, embadum 24 pedes
possidet. Ducta in se hypotenusa sic progreditur.
Huic quatuor embada juncta 196 consurgunt. Cujus
numeri latus, quod est 14, basis simul et catheti
numerum concludit. Quae ut cernere valeam ex numero
hypothenusae in se ductae, id est 100, embada
quatuor, id est 96, aufero, et remanentis quaternarii
latus tetragonale communi utrorumque numero,
id est 14, adjungens, 16 habeo. Cujus medietatem,
quae est 8, basi assigno. Si vero ex communi utrorumque
numero, id est 14, ipsum latus, qui binarius,
adimo, remanent duodecim. Cujus dimidium, id est
6 repraesentant cathetum. Quod idem erit, si inventam
basim, id est 8, a communi utrorumque numero,
qui est 14, aufero, vel si inventum cathetum,
id est 6, ab eodem communi numero, qui est 14,
aufero.
Item illum assumo, cujus podismus 6. embadum
10, continet. Podismus, id est 6 in se ductus
44. creat. Cui embada 4, id est 42
adjungo 87. S. conficio. Cujus latus tetragonale,
quod est 9, catheti simul et basis quantitates
comprehendit. Qui ut segregentur ex numero podismi
in se, id est 44, embada 4, id est 42
subduco, et remanent 8, Cujus latus
tetragonale quod est 1 si a communi utrorumque
numero, qui est 6 , adimatur, residui, id
est 8, dimidium, scilicet quaternarius, cathetum determinat.
Idem vero latus, quod est 1 ad eumdem
communem numerum, qui est 9 adjunctum,
10 conficit. Cujus medietas, quae 5 et est, basim
haud dubie reddit. Et hae quidem interim sufficiant
regulae, quas de Pythagoricis ad praesens potuimus
invenire.
Formantur vero et alii ex ipsis Pythagoricis quos
supra diximus, tripleuri, si eam quantitatem, quam
supra basis habuerat, cathetus accipiat, et, quam
cathetus possederat, basis alternatim quantitatem
sibi assumat, ut in subscriptis. Sed in eorum regulis
orthogoniorum diutius non arbitror immorandum.
Nam universae regulae quae in superioribus Pythagoricis
sive ad laterum quantitatem alternatim dignoscendam,
sive ad mensuram areae inveniendam
traditae sunt, et exemplis dilucidatae sunt, in his nihilominus
eamdem consequentiam probantur retinere
tantum (Notat hic sequentia vetus glossator:
Littera falsa est. Sed is est sensus: in hoc differunt
a Pythagoricis, quod basis Pythagoricorum erit cathetus
istorum et e converso), quantum si in quibusdam
illarum ad cathetum specialiter videtur pertinere;
hic basi, et quod ibi basi, hic catheto quis | null | 99cf2808-5c5c-4178-8e8d-7be9e71183a7 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
meminit attribuere. Quod ob cavendam prolixitatem
ne jam videar replicare, diligentiae et probationi lectoris
malui relinquere.
CAPUT XIII. #De Geometria trigoniorum praedictorum.@#
Sed nequaquam silentio puto transeundum quod
interim, dum haec scriptitarem, ipsa mihi natura
obtulit speculandum. Quemcunque superiorum orthogoniorum
ad alium comparare volueris juxta
quod Plato in Cosmopaeia Timaei de planis figuris
proponit, Boetiusque in arithmeticis de tetragonis
tantum per exemplum ostendit, unam inter eos geometricam
medietatem, quae utrumque una proportione
conjungat, te invenire miraberis.
Primam quippe ex praescriptis Orthogoniis aream
6 implet; quem si ad secundum, qui 24 continet,
comparaveris, unum solum inter eos numerum, id
est 12, qui utrosque una, id est dupla proportione
continet, reperire poteris.
Item inter secundum et tertium, id est, 24 et 54,
medius numerus 36 invenitur, qui ad utrumque
sesquialtera habitudine comparatur. Inter tertium
et quartum, id est 54 et 96, medium 72 numerum
sesquitertia utrosque proportione continuantem adinvenis;
et quoscunque quibuslibet intermissis sibi
invicem conferes, idem sine errore pernosces. Nam
si item primum ad quintum, id est 6 ad 150 conferas,
in medio nihilominus 30, qui quincupla utrosque
collatione continuet, investiges. Item si secundum
et sextum, id est 24 et 216 compares, 72 medium
tripla utrosque proportione coadunantem recognosces.
Nec si integros ad minutiatos, et minutiatos item
ad minutiatos ad se invicem orthogonios conferre
cupias, aliquem te scrupulum offendere metuas. Nam
si item primum, id est 6 ad eum qui 10 embado
continet conferas, in medio 8, qui sesquitertia ad
utrosque habitudine se copulet, mox aspicias. Item
si eumdem, qui 10 ad sequentem, qui 18
concludit, velis comparare, medius 14 numerus geometricae
medietatis proprietates inter eos probatur
obtinere; 14 namque numerus 10 in se continet
et ejus quinque sextas decimas, et item 18 .
eodem modo 14 in se continet et ejus 5 sextas decimas;
quae proportio super quinque partiens sextas
decimas appellatur. Itaque ne diutius immorer,
quaecunque talium orthogoniorum alii conferas,
unum inter eos, ut dictum est, numerum, qui omnes
geometricae medietatis proprietates custodiat,
intitubanter invenire poteris. Sed hic numerus, geometricam
scilicet proportionalitatem efficiens, hoc
modo erit inveniendus:
Cathetus prioris orthogonii per basim multiplicetur
sequentis, sive, quod idem erit, basis prioris
per cathetum ducatur sequentis, et nati inde numeri
medietas sumatur, et pro medietate geometrica
inter ipsos orthogonios habeatur, ut inter 6 et 24.
Cathetus prioris, qui est 3, per basim sequentis, quae
8 habet, ducatur, et 24 creantur. Cujus medietas,
quae est 12, loco geometricae medietatis inter 6 et
24 statuatur. Vel aliter
Ipsa Orthogoniorum embada inter se multiplicentur,
natique inde numeri latus tetragonale pro geometrica
inter eos collocetur medietate, ut in supradictis,
qui 28 , et 57 in embadis suis continent,
embada inter se ducta in 1606 φ surgunt. Horum
latus tetragonale 4 et S. invenitur, geometricaeque
medietatis proprietates inter ipsos orthogonios conservare
dignoscitur.
Illud quoque in his volo consideres quod ipsa eademque
proportione per geometricam medietatem,
de qua dixi, orthogonii ipsi continuantur, qua videlicet
latera eorum univoca, id est cathetus catheto,
basis basi, podismus podismo sibi invicem
conferuntur. Nam si latera ad se invicem dupla sunt,
dupla nihilominus orthogonii ipsi collatione per intervenientem
copulantur medietatem; si sesqualtera,
sesqualtera, et in caeteris similiter. Sed de his hactenus.
Nunc et de reliquis orthogoniis videamus.
Sunt item alii orthogonii non iisdem laterum proportionibus,
quibus superiores, conjugati, sed ad
ipsorum tamen similitudinem tali in lateribus numero
insigniti, ut cathetus itemque basis in se singilatim
ducti tales duos tetragonos efficiant, qui
item conjunctione sui tertium tetragonum componant.
Cujus videlicet tetragonale latus, juxta regulam
superius prolatam, podismi quantitatem faciant,
ut subjecti sunt, una sibi invicem laterum proportione
germani.
Hi sunt omnes tali proportione laterum connexi,
ut cathetus et basis in se ducti duos tetragonos faciant,
qui duo conjuncti tertium efficiant, cujus latus
tetragonale constituat hypotenusam. Porro isti
sequentes, quisque ab alio diversa laterum proportione
connexus item ut praedicti cathetus in se, basis
in se, et hi duo tetragoni conjuncti, talem tertium
faciunt, cujus latus est hypotenusa | null | 1f0607a4-ed7a-41bf-91ec-2a91408f66c6 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
.
CAPUT XIV. #Quas utilitates ars geometrica spondeat?@#
Geometricales tractanti diversitates praemonstrandum
est quas ipsius artis tractatus spondeat utilitates,
quatenus lectoris ingenium, insinuationis trifidae
ratione incitatum, promptius ad legendum, studiosius
sequentis operis perscrutetur tractatum. Est
enim hujus disciplinae scrupulosa descriptio, sed
totius dimensionis indagatione indagationumque
commoditate copiosa descriptio. Quam tamen quamvis
arduum sit consequi, potis erit qui in ea infatigabili
sudaverit studio. Quae ut facilius, ut dictum
est, a studiosis consequamur, cuique theoremati sua
figura subjungatur.
CAPUT XV. #Nomina mensurarum quibus geometrae utuntur.@#
Mensuram appellationes, quibus utimur, sunt hae:
digitus, uncia, palmus, sexta, quae et dodrans appellatur,
pes, laterculus, cubitus, gradus, passus,
decempeda, quae et pertica appellatur quasi portica
a portando, clima, actus, qui et aripennus dicitur,
jugerum, centuria, stadium, milliarium.
#Digitus@# est minima pars agrestium mensurarum.
#Uncia,@# secundum quosdam, digitos habet tres;
secundum quosdam, quod verius est, digitum unum
et tertiam digiti.
#Palmus@# habet digitos quatuor, uncias tres.
#Sexta@# digitos duodecim, uncias novem, palmos
tres.
#Pes@# digitos 16, uncias 12, palmos 4, sextam unam
et tertiam ejus.
#Laterculus@# pedem unum in latitudine, uncias 23
in longitudine.
#Cubitus@# sesquipedem, sextas 2, palmos 6, uncias
18, digitos 24.
#Gradus@# habet pedes 2; #passus 5; pertica 9;
clima@# 60.
#Actus@# in latitudine 110, in longitudine 120.
#Jugerum,@# quod fit junctis duobus actibus, in longitudine
240, in latitudine 220.
#Centuria@# 200.
#Stadium@# pedes 625, passus 125.
#Milliarium@# passus 1000, stadia 8.
CAPUT XVI. #Ad altitudinem cum astrolabio metiendum.@#
Si fuerit altitudo in aequalitate, tali poterit mensurari
inspectione. Sumatur ab altimetra astrolabium,
et in medietate quadrati in postica ejus planitie
exarati constituatur mediclinium, ut hac scilicet
positione stet mediclinium alterius partis astrolabii
in numero graduum dierum 45, et tandiu ab eo ante
et retro aestimando pergatur, donec per utrumque
ipsius mediclinii foramen altitudinis summitas inspiciatur.
Qua inspecta, loco in quo stetit mensor nota
imprimatur, et huic impressioni statura mensoris
adjungatur. Post haec locus ipse diligenter notetur,
et ab eo usque ad radicem altitudinis tota planities
caute mensuretur; et quot pedum ipsa planities fuerit,
tot sine dubio altitudo erit. Si vero non in medietate
quadrati mediclinium steterit, sed in primo,
aut in secundo, aut in tertio, aut in aliquo quadrati
gradu, 12 gradibus collatis, qualis fuerit collatio inter
illos aliquos quadrati gradus et 12, talis erit inter
planitiem et altitudinem mensurandam, statura mensoris
adjuncta.
CAPUT XVII. #Ad altitudinem inaccessibilem cum horoscopo metiendam.@#
Ad altitudinem inaccessibilem ob fluvii vel vallis
impeditionem sit altitudo quaelibet, ut est #a b,@# sitque
fluvii vel vallis impeditio, ut est #b c.@# Sume horoscopum
stans in ripa #c,@# et per utrumque foramen
mediclinii summitatem #a@# diligenter inspice. Considera
numerum graduum in mensura quadrati, qui
verbi causa notatur quaternario numero, per quem
summa totius quadrati scilicet 144 dividatur, et
quarta pars reperta, videlicet 36 conscribatur. Post
haec de #c@# ad #d@# certa spatii quantitas metiatur, quae
exempli 40 pedum praeponatur. Iterum sume horoscopum
stans in fine #d,@# et per utrumque foramen,
ut prius summitatem #a@# inspice. Perpende iterum
numerum graduum in quadrato, qui signatur in ternario
numero, per quem denuo summa totius quadrati
dividatur, et pars tertia, quae est 48, juxta
quartam, quae est 36, conscribatur, et minor numerus
de majore, id est 36 de 48 tollatur, et quod remanet,
id est 12 cum latere quadrati, quod est 12,
comparetur, et numerus remanens et latus quadrati
aequalis pronuntietur, et sicut ultimum remanens 12,
quadrati lateri 12 aequale habetur, sic spatium #d c@#
spatio #a b@# aequale affirmetur, et quota pars ternarius,
qui est ultimus numerus graduum in 12, judicatur,
eadem pars #a | null | db75e515-3356-4b16-a80c-be466a215ea3 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
b@# spatium in #d b@# spatio sine dubio dicatur.
Est igitur 40 #a b,@# sicut est 40 #c d,@# et est 160
totum #b d,@# et est 120 #b c.@#
CAPUT XVIII. #Item de eodem@#
Si quid eminens inaccessibile fuerit aestimandum
cum horoscopo, stet altimensor in metiendi eminentis
artifinio, suspiciatque per utrumque mediclinii
foramen, quosque intueatur altitudinis mensurandae
cacumen. Quo inspecto, gradus quadrati numerentur,
qui exempli manifestatione 3 computentur, qui
in 12 quadrati latere quater continetur. Hoc peracto
tandiu ante et retro pergatur, donec jam visum cacumen
altitudinis metiendae iterum videatur. Quo
viso numerus graduum quadrati denuo inspiciatur,
et verbi gratia 2 habeantur, qui in 12, id est quadrati
latere sexies contineri non dubitantur, et intervallum
stationum mensoris 12 pedum notabile habeatur. His
peractis minus continens ternarii, id est quaterna
rius de majori continenti, id est senario semel tollatur,
et binarius, qui remanet, in mente habeatur,
et ipsum intervallum stationum mensoris duplum
inaccessibilis alti dicatur. Et ut, quod dicimus, in
omnibus notum habeatur, universalis regula in nullo
vacillans ponatur. Subtractione continentium numerorum
facta, si unus remanserit, intervallum stationum
mensoris alto aequale erit; si duo, duplum; si
tria, triplum, et sic in sequentibus:
#Tali pictura fit declaratio pura.@#
CAPUT XIX. #Ad altitudinem cum horoscopo metiendam.@#
Si vis cum horoscopo quamlibet planitiem metiri,
dirige intuitum per utrumque foramen mediclinii,
donec terminetur intuitus in metiendae quantitatis
limite. Post haec in quoto gradu quadrati mediclinium
stet, inspiciatur, et ipse numerus graduum
superior cum 12 conferatur, et qualis computatio
fuerit graduum ad 12, talis comparatio staturae metientis
ad totam planitiem. Verbi gratia: sit statura
mensoris #a b,@# planities #b c,@# numerus graduum 3, qui
ad 12 comparatus quarta pars ejus dubietate sublata
invenitur. Igitur #a b,@# quae est statura metientis, sic #b c,@#
id est planitiei quarta pars invenitur, sicut ternarius
in 12 pars quarta computatur.
CAPUT XX. #Ad metiendum cum horoscopo puteum.@#
Primo perpendatur diligenter a geometra quatenus
circulatio putei perpendiculo perpensa aequalis
habeatur. Deinde cujus quantitudinis sit ejus diametrum
inquiratur. Invento diametro, stans mensor
super putei labrum despiciat per mediclinium
astrolabii lateris oppositi terminum. Quo viso, numerus
graduum, in quo mediclinium steterit in quadrato,
cum 12 comparetur. Et quo modo se habuerit
numerus graduum in quadrato ad 12, sic se
habebit diametrum ad profunditatem putei et ad
staturam mensoris.
Sint autem gradus, exempli causa, 4 et diametrum
4 pedum. Sicut ergo 4; est ter in 12; sic diametrum
est in profunditate putei et statura mensoris.
Qua statura ablata, quod remanserit, habe
profunditatem putei. Subjiciamus ergo figuram putei
certis litteris insignitam. Sit ergo 4 pedum #a c,@#
hoc est diametrum; sit putei altitudo #a b,@# sit ejus
diametrum #a c;@# sit statura geometrae #c d@# 4 pedum.
Eia constituamus 4 pedum #a c,@# id est diametrum, et
dirigamus intuitum per mediclinium de #a d@# ad #b.@#
Post haec gradus, qui, exempli causa, sunt 4 cum 12,
tripla proportione conferamus, et #a c,@# qui et ipsi 4
sunt ad #d e,@# in eadem comparatione ponamus. Est
igitur 4 pedum #a c,@# 12 pedum #d e,@# 4 pedum #a c,@#
quae est statura metientis. Quibus 4 sublatis, id est #d c@#
de #d e,@# remanent #c e@# octo pedum, quod est altitudo
putei.
CAPUT XXI. #Ad altitudinem arboris, columnae, vel turris per umbram cum astrolabio inveniendam.@#
Si vis alicujus arboris aut columnae vel turris, vel
cujusquam talium in plano duntaxat loco stantis
altitudinem per umbram ipsius invenire, suspenso
astrolabio, solisque radio per utraque foramina halhidadae
directim immisso, vide in qua parte lateris
quadrati, quod in 12 divisum est, directa ipsius
halhidadae stet linea, et quamcunque proportionem
numerus partium supra alhidada apparentium ad 12
id est ad totum latus quadrati habuerit, eamdem
procul dubio proportionem altitudo, quam invenire
voluisti | null | dfb044b0-5bb6-4aa4-bce7-55b4bc24906b | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, ad umbram in planitie a se factam habebit.
v. g., si duae partes supra apparent, ad quas 12
sescuplam habeat proportionem, sescupla quoque
ad altitudinem umbra; si tres appareant, quadrupla;
si 4, tripla; si 5, duplex superbipartiens
quintas; si 6, dupla; si 7, super quinque partiens
septimas; si 8, sesquialtera; si 9, sesquitertia; si
10, sesquiquinta; si 11, sesquiundecima; si omnes,
aequa erit altitudo et umbra. Et omnino cujuscunque
proportionis triangulum alhidada in quadrato ipso
effecerit, ejusdem proportionis triangulum umbra
cujuslibet erecti corporis in planitie stantis formabit.
In quo videlicet triangulo ipsa inumbrata
planities basis est, erecta altitudo cathetus, radius
solis umbram transversim limitans hypotenusae vicem
dignoscitur habere.
CAPUT XXII. #Item de eadem re.@#
Si vis invenire qualis comparatio sit alicujus umbrae
cum aliquo corpore in quacunque diei hora,
sumatur astrolapsus, et, radio solis per mediclinii
foramina exeunte, aspiciatur in quadrato in quo
gradu mediclinium stet; et, qualis collatio illius
gradus cum 12, talis umbrae cum corpore; hoc
tantum proviso quod, quando mediclinium stet in
dextro latere climatis, major est umbra quam corpus;
quando vero in sinistro, majus est corpus
quam umbra.
CAPUT XXIII. #Ad altitudinem cum speculo vel pelvi metiendam@#
Posito in speculo centro, vel in media scutella
plena aqua, constituatur in plano arvo, et tandiu a
geometra huc illucque trahatur, donec per medium
centrum unius supra dictorum cacumen rei metiendae
aspiciatur. Cacumine invento, spatium, quod
continetur inter pedes mensurantis et centrum
speculi, vel medium vasis limphae pleni, diligenter
mensuretur, et post haec non minus caute staturae
metientis comparetur; et, ut fuerit illud spatium
metientis staturae, sic erit linea a medio centro speculi
usque ad altitudinis radicem rei metiendae.
Exempli causa, addatur plana figura:
CAPUT XXIV. #Ad aestimandam cujusque rei altitudinem sole lucente.@#
Quaecunque res posita fuerit sub divo, umbram
emittit, sed non sibi semper aequalem. Quapropter
umbrae ipsius quotam partem volueris, eligas. Deinde
virgulam coaequalem huic parti in terra statuas,
et umbram exinde cadentem seu per pedes,
seu per palmos, seu per uncias dividas. Si major
inventa fuerit umbra quam virgula, quantum umbra
virgulam superat, tantum a singulis, quarum mensuram
virgula habet, subtrahas. Si autem minor est
umbra, quantum virga superat, tantum praedictis
partibus adjicias. Quidquid autem in umbra vel
augmentatione creverit, vel subtractione remanserit,
pro mensura illius rei habeto.
Componitur etiam aliud instrumentum ad altitudinem
sine difficultate inveniendam, quod hac de
causa a sapiente ( #Glossula:@# Pythagora) inventum
putatur, quia visum humi adjungere difficile mensori,
inconveniens spectatori putabatur, sumitque quantitatem
suae magnitudinis a magnitudine staturae metientis.
Constituamus arundinem tali magnitudine, ut duplari
proportione proportionetur mensoris longitudini;
cujus medio altera arundo orthogonaliter conjungatur,
quae, staturae mensoris longitudini aequalis,
ei cui conjungitur, subdupla habeatur. Hoc ergo instrumentum
sic compositum tandiu ducatur a mensore
per planum, donec per summitates istarum
virgarum rei metiendae conspiciatur summum. Quo
inspecto tanta altitudo dicatur, quantum spatium a
loco in quo mensor stat ad radicem altitudinis, adjuncta
statura, mensuratur. V. g. sit statura mensoris #a, b,@#
arundo sibi dupla #c, d,@# altera arundo istius
medio orthogonaliter juncta #a, e,@# altitudo metienda #f, g,@#
spatium a mensore ad radicem altitudinis #b, g.@#
Hoc tamen nullo modo mensor obliviscatur, quin
huic dimensioni omnique perpendiculo aequipendium
appendatur, quod geometricaliter institutum ad
mensuram paratur. Exempli causa, subdatur plana
figura.
CAPUT XXV. #Ad planitiem virga vel arundine quaerendam.@#
Stabiliatur arundo visui aequiparata metientis in
termino epiphaniae, cui jungatur altera cujuslibet
quantitatis orthogonali ratione, quae scilicet sursum
jusumque tandiu a planimetra ducatur, donec per
utriusque arundinis summitates oppositus limes
planitiei cernatur. Quo inspecto, ipsa conjunctio
arundinum diligenter notetur, et superior pars fixae
arundinis a conjunctione alterius cum tota sui quantitate
comparetur, et eadem comparatio pendentis
virgae planique incunctanter dicatur, quae superioris
partis a conjunctione cum tota quantitate fixae arundinis
superius dicebatur. Et ut clarius reddatur
quod litterali inflexione computamus, picturam apertius
obscura monstrantem | null | bca4f8f2-3192-4b45-9f3f-7e865ab59dc1 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
visui legentium supponamus.
Sit arundo stans visui metientis aequiparata #a, c;@#
sit planities metienda #c d;@# virga orthogonaliter
pendens #b e;@# sit igitur #a b,@# medium #a c;@# et erit #b e,@#
medium #c d.@#
CAPUT XXVI. #Figura ad altitudinem mensurandam.@#
Si quis superioris figurae retro positae vim, qua planitiem
mensuravimus, subtiliter inspexerit, istius
quoque figurae vis, qua altitudines metimur, eum
prorsus latere non poterit. Parum enim haec distat a
superiori figura, excepto quod superior in planitie,
haec operatur in altitudine mensuranda. Sit altitudo
mensuranda #a b;@# statura metientis #c d;@# arundo,
cum qua altitudo metiatur, statura longior, #e f;@#
linea orthogonaliter ducta a visu metientis per arundinem
usque ad altitudinem #g b.@# His peractis #d g@#
ad #g f@# comparantur, et eadem comparatio #d b@# ad #b a@#
pronuntietur, quae #d g@# ad #g f@# pronuntiabatur.
V. g. #d g@# ad #g f@# dupla ponatur, et non minus; #d h@#
ad #h a@# dupla indubitanter dicatur. Quod
si #h h, h a@# mensurabiliter comparatur, quae #d c@#
staturae metientis aequalis habetur, tota altitudo #a b,@#
mensurata non dubitatur. Sed quia potest evenire
quod #c b@# sit interdum non meabile, #h a@# non es
omnino nobis notum, quamvis sit proportionale,
qua de causa planities #b c@# retro erit metienda,
et similiter superiori alia componenda erit
figura.
CAPUT XXVII. #Figura ad metiendam planitiem.@#
Metiatur planities #b i,@# sitque statura metientis #i
k;@# sit arundo aequalis superiori #l m;@# sit linea orthogonaliter
ducta #a,@# visu metientis tendens ad altum
per arundinem #k n.@# Post haec #k n, n l@# in quadrupla
proportione conferatur, et similiter totum #k h,
h a,@# quadruplum indubitanter dicatur. Et quia jam
superius #d h, h a,@# duplum discebatur, modo autem #k h, h a,@#
quadruplum pronuntiatur, sublato #d h,@#
de toto #k h,@# remanet #k d,@# quod est mensurabile
duplum ad #h a.@# Quod si #a d, h a, k i,@#
statura metientis, quae est aequalis #n m,@# et #d c,@# et #g e,@#
et #h b,@# mensurabiliter apponatur totum #b a,@#
quod est altitudo mensuratum nullo modo dubietur.
CAPUT XXVIII. #Ad metiendam planitiem per arundinem.@#
Stans mensor in metiendae planitiei extremitato
componat sibi arundinem minorem suae longitudinis
prolixitate; quae scilicet tandiu diversis locis planitiei
directa figatur, donec per summitatem ipsius
arundinis altera extremitas planitiei ex opposito cernatur.
Quo facto, a summitate arundinis orthogonalis
linea usque ad mensoris staturam dirigatur, et
locus ipsius staturae, in quo linea terminabitur, diligenter
signetur, et ipsa pars staturae ab ipsa nota
usque ad visum cum linea orthogonaliter ducta
conferatur. Et qualis comparatio ipsius partis staturae
cum tota linea orthogonaliter ducta habebitur, eadem
comparatio totius staturae ad planitiem totam pronuntiabitur.
V. g., sit statura metientis #a b,@# planities
metienda #b c,@# canna, cum qua mensurabitur, #d e,@#
linea orthogonaliter ducta #d f.@# Quota pars
fuerit #a f@# in #f d,@# tota pars erit #a b@# in #b c.@# Sit
#a f@#
quarta pars in #f d,@# et eodem modo #a b@# quarta
pars in #b c.@#
CAPUT XXIX. #Ad mensurandum puteum.@#
Ut in superiori figura putei dictum est, primo a
geometra diligenter perpendatur quatenus circumductio
putei circularis habeatur deinde cujus quantitatis
sit diametrum inquiratur. Quo invento, stans
mensor super summitatem putei supponat pedibus
suis cujuslibet longitudinis scorpionem ( #Glossa vet.@#
quaelibet virga), et tandiu ante et retro pedetentim
ducat, donec per summitatem ipsius scorpionis alterius
putei profunditatem cernat. Quo facto pars
ipsa scorpionis, quae puteo superjacet, a pedibus
mensoris impressa nota caute notetur, | null | 0d552d44-4992-4ad1-8dde-92e650f17443 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
quae
staturae non minus diligenter comparetur; et quota
comparatio ipsius partis fuerit ad metientis staturam,
eadem comparatio erit diametri cum statura mensoris
ad totam summam putei. V. g. sit profunditas
putei #a b,@# diametrum ejusdem putei #a c,@# statura
mensoris #a f,@# arundo, quae staturae comparatur, et
per quam putei profunditas investigatur, #a e,@# altera
pars putei #c d;@# fit #a f,@# quadruplum ad #e a;@# igitur #b f@#
quadruplum est ad #a c.@#
Sumas mensuram putei, si vis auferre staturam.
CAPUT XXX. #Ad altitudinem metiendam cum orthogonio.@#
Componatur a geometra orthogonium basi cathetoque
ejusdem numeri compositum, hypotenusae vero
proportio praetermittatur, quae ad altum vestigandum
in hoc orthogonio prorsus inutilis judicatur. Compositum
autem tandiu per planum a mensore trahatur,
donec oculo humi apposito per catheti summitatem
summitas altitudinis investigandae cernatur.
Qua visa, a loco cui visus inhaeserat, planities ad radicem
usque metiatur; et quanta fuerit, tanta altitudo
dicatur. Quod ut apertius intelligatur, orthogonium
cum altitudine metienda figuraliter visui supponatur.
CAPUT XXXI. #Orthogonium Pythagoricum ad metiendam altitudinem.@#
Est etiam aliud aestimandae altitudinis orthogonium,
quod ab inventore denominative nuncupatur
Pythagoricum, naturalibus catheti, basis, hypotenusae
compaginatum, catheto ternario insignito, basi
insignita quaternario, hypotenusa praenotata quinario.
Quod si volueris cathetum quaternario insignire,
et basim ternario, idem tibi eveniet per contrarium,
scilicet ut basis catheto sexquitertio proportionetur,
hypotenusa basi sesquiquarto comparetur. De quo
cuncta fiunt quaecunque dicta sunt in praecedenti
figura, scilicet tandiu trahatur donec per catheti
summitatem summitas rei cernatur, hoc solo excepto
quod in hac demensa quantitate planitiei quarta
pars est auferenda, hac videlicet ratione quod basis
jacens cathetum erectum superat cum suaquarta
parte. Quod ut melius animadvertatur, et aliud orthogonium
subterius depingatur:
CAPUT XXXII. #Ad rem inaccessibilem nobis altioribus metiendum.@#
Ad rem inaccessibilem nobis altioribus ut, metiatur,
quamvis laboriose, hoc modo faciamus figuram.
Sit rei metiendae quantitas #a b,@# et quot cubitorum,
vel ulnarum, vel pedum, vel digitorum, vel etiam
unciarum, vel cujuslibet alterius mensurae sit nobis
propositum scire. Re orthogonaliter constituta, sit
spatium immeabile inter nos et rem, ut est #g b.@#
Erigatur nobis orthogonium #d g,@# et sit linea sursum
ducta de #g@# ad #d,@# sicut primo dictum est de #a
b,@# ducatur plane linea de #d@# ad #z,@# sicut plana jacet
linea de #g@# ad #d,@# et sit notum quanta sit linea #g d,@#
et linea #d z.@# Nos enim eas facimus. Erigamus orthogonaliter
lineam de #z@# sursum ad #u,@# et ponamus
oculum in linea #z u@# orthogonaliter erecta, ut exeat
visus noster per #d@# ad #b;@# et locus lineae istius ubi
stetit oculus, notetur puncto ipso #u,@# et metiamur #z@# et #u@#
quanta sit. Et post hoc ponamus iterum oculum
in linea #z u,@# ita ut valeamus videre per #d a;@# et locus
in quo visus steterit, notetur puncto #b;@# et videamus
ubi haec linea tangens terram conjungitur
lineae #g b,@# et sit punctum #e,@# ita ut linea #g e@# sit recta.
Et post haec notemus quantum sit inter #z@# et #h;@# et
quota pars est #z h@# ad #z d@# et #z d,@# ad #d g,@# tanta est #d g@#
ad #g e,@# et notae sunt lineae #h z@# et #z d,@# quia nos eas
fecimus. Et igitur notum est quanta est linea #g e;@# et
quanta est linea #u z@# ad #z d,@# tanta est linea #d g@# ad
lineam #g b,@# et lineae #u z@# et #z d@# et #d g@# nobis sunt notae;
notum erit igitur linea quarta #g b.@# Et quia dudum
sapuimus lineam #g e,@# et sapimus inde lineam #g b,@#
possumus sapere quanta est linea #b | null | 3135437a-37ac-4ea5-8bc4-b8402031be41 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
e;@# et quanta est
linea #d g@# ad lineam #g e,@# tanta est linea #n b@# ad lineam #b e,@#
et lineae #d g@# et #g h@# et #b e@# notae sunt. Igitur #a b@#
linea nota est, et haec est quam quaerebamus.
Et ut brevius, quod superius diffuse dictum
est, comprehendatur, compendium, quo philosophia
gaudet, ponatur. Qualis comparatio fuerit #z u@# ad #h u,@#
talis erit #g d@# ad #b a,@# et sit #z u@# duplum ad #h u,@#
erit #g d@# duplum ad #b a.@#
CAPUT XXXIII. #Ad metiendum planum quolibet modo propositum.@#
Si fuerit nobis propositum quolibet modo metiri
planum, sumamus unius cubiti in longitudine lignum,
cui alia tria in dimensione aequalia tali conjunctione
innectantur, ut conjuncta quadrati diffinitionem suscipere
videantur, quod quatuor angulis est orthogonale;
cujus unius lateris summitatibus duo semipedalia
ligna erecta infigantur, quae in summitatibus
perforata per utrumque foramen visum metientis
admittere videantur. Post haec extremitati oppositi
lateris mediclinium horoscopo sic copuletur, ut dum
per oppositum sibi latus certis dimensionibus distinctum
trahitur, formam orthogonii Pythagorici imitetur,
vel imitari videatur. V. g., sit quadrati figura #a b c d;@#
duo semipedalia ligna in summitatibus unius
lateris posita #e f;@# mediclinium in alterius oppositi
summitate locatum per oppositum sibi larus discurrens #d g@#
in hunc modum:
Composita quadrati figura hac ratione ponatur jacens
in metiendae planitiei extremitate, et tandiu a
metiente ex altera parte erigatur, donec per feramina #e f@#
opposita extremitas plani cernatur, et in
hoc loco, quo visus steterit, nota ponatur. Post haec
per mediclinium ex adverso constitutum visus mensoris
dirigatur, donec jam notata extremitas videatur.
Quo facto locus, quo #g@# steterit, notetur, et #c g@#
ad #g b@# comparetur; et qualis comparatio #c g@# ad #g b@#
fuerit, eadem comparatio #a b@# ad totam planitiem
erit. V. g., tota planities #a h@# dicatur, et #c g@# (id est
a summitate superioris quadrati usque ad inferiorem
partem mediclinii) #g b,@# (hoc est a mediclinio ad inferiorem
angulum ejusdem lateris) aequalis constituatur.
Igitur #a b,@# id est latitudo, #b h@# ), id est a quadrato
usque ad limitem planitiei aequalis esse non dubitetur.
Sic et in caeteris proportionibus #c g@# ad #g b@# consideretur.
CAPUT XXXIV. #Ad putei vel fossae altitudinem metiendam.@#
Putei aut cujuslibet fossae altitudinem sic probabis.
Accipe lignum directum et pone super buccam putei,
et cujus umbram videbis in #e f,@# id est profunditate
putei, et lignum quatuor cubitos . . plus habeat, et
exeat subtus pedes ejus alia hasta directa similis
sibi, et est profunditas putei #a e,@# et hasta directa #a
d,@# et alia hasta #a c b@# jacens super buccam putei
truncat #d e@# super angulos directos, et intuere in
aqua putei umbram #a c@# de #d@# usque ad #f@# et invenies #a c@#
toties est #a c b@# vel #e f@# in #a e d,@# ut puta si #a c@# habeat
palmum, et #d a@# tres, tribus vicibus est #a c@# in
#d a,@#
sicut est #a c b@# tribus vicibus in #d a c.@# Abstrahe #a d,@#
remanet #a e.@#
CAPUT XXXV. #Ad altitudinem montis inveniendam.@#
Cum quaeris altitudinem alicujus montis, pone
hastam ante te in plano pro monte longiorem quam
tu: et est hasta #a b,@# et tu #c d.@# Postea contemplare
hac illac te movens recto oculorum visu per #a@# usque
videas #f.@# Tunc considera quanta sit #g c@# ad #g a,@# tanta
est #c b@# ad #b f@# ut puta. Si #g c,@# dupla est ad #g a | null | 0d99a01a-ba1f-4cfc-9c07-a796717d0df8 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
,@# dupla
est #c h@# ad #h f;@# et quantalibet #g c@# ad #g a,@# tanta est
procul dubio #c h@# ad #h f;@# et quanta est #a g@# ad #g c,@#
tanta est #f h@# ad #h c;@# et #h f@# est mons, et quanta est #d b@#
ad #h g@# tanta est #d i@# ad #f i.@# Quod si fluvius habeatur
vel aliud obstaculum inter #c h,@# et non possis
pertingere ad montis radicem, ut praedictam invenias
mensuram, accipe #a g b,@# id est hastam, et ambula
retro 30 cubitos aut quantumlibet et iterum
contemplare recto visu de #m@# per #n@# usque ad #d f,@#
quod est summitas montis, et postea vide, quanta sit
#m c@#
ad #c n@# tanta est #m h@# ad #h f.@# Abstrahe de #m h c h,@#
et vide quod remanet, tanta est altitudo montis;
ut puta, si invenisti #c h@# duplum ad #h f,@# et post #m h@#
quadruplum ad #h f;@# tolle #c h@# de #m h,@# id est duo de
quatuor, remanent duo, quod est #m c,@# dices: quia #m c@#
duplum est #h f,@# dona 30, vel 20 cubitos, ad #m c@#
et 15, vel 10 ad #h f,@# et sic #c h@# triplum est ad #h f@#
et #m h,@# septuplum ad #h f.@# Abstrahe #c h@# de #m h,@#
id est 3, de 7 remanent 4, quadruplum est #m c@# ad #h f,@#
sic in aliis.
CAPUT XXXVI. #De eodem.@#
Si quaeris sine mutatione hastae, sic facies. Est
mons #a b;@# accipe hastam duorum cubitorum longiorem
te, et pone ante te in plano. Postea considera
ipsam hastam, quae est #c d e,@# et mitte visum
tuum recte de #f@# per #d@# usque #a,@# dividens ipsam hastam
super unum cubitum et vide quantum sit #f e@#
ad #e d,@# tantum est #f g@# ad #g a.@# Ambula retro,
quousque videas de #h@# per #c@# usque ad #a,@# ubi est summitas
montis, et vidi quantum sit #h e@# ad #e c,@# tantum
est #h g@# ad #g a.@# Invenisti forsitam antea #f g,@# quadruplum #g a,@#
et #h g@# decuplum ad #g a.@# Minue #f g@# de #h g,@#
id est 4 de 10, remanent 6. Sic est #h f@# sescuplum
ad #g a@# vel #g a@# sescuplum ad #f h.@#
CAPUT XXXVII. #Ad inveniendam per speculum altitudinem turrium, etc.@#
Si per speculum aut per concham plenam aquae
quaeris scire altitudinem turrium vel montium, accipe
speculum, et pone prope montem in plano, et tu
tantum te ipsum et speculum positum in terra moveas
huc et illuc, quousque videas #a@# in #b,@# id est
summitatem montis in medio speculo, et vide quomodo
sint, et quanta inter se invicem #d c,@# et #c b,@# sic
sunt invicem #b e,@# et #e a.@# Et si sit obstaculum, quod
non possis probare, hic ambula retro cum ipso speculo,
et pone in terra, et videas movendo te #a@# in #z,@#
et quantam proportionem habent invicem #p r,@# et #r z@#
eamdem habent, #z e,@# et #e a@# invicem. Minue inde #b e,@#
remanent #b z.@#
CAPUT XXXVIII. #Ad inveniendam latitudinem fluvii vel campi, etc.@#
Si quaeris scire latitudinem fluvii vel alicujus campi
vel curtis aut cujuslibet rei, accipe lignum, quod
pertingat usque ad oculos tuos, secundum alios minus
uno cubito, | null | cb45ebc3-dbf7-4bb6-975c-cde391a0c403 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
et pone in ripa fluvii, et sta prope
eum, et est lignum, ut subtus vides, quasi #a b,@# et
pone aliud lignum super ipsum prius erectum, sicut
est #c d.@# Postea contemplatio recto oculorum visu per #a d@#
usque videas #e,@# id est ripam ex altera parte;
nam #b e@# est fluvius, et #a e@# directus visus. Postea considera
quantum sit #a c@# ad #c d,@# vel econtra quantum
est #d c@# ad #a c,@# tantum est #a c b@# ad #b e@# ut puta, si #d c@#
duplum est #a c@# duplum est #b e@# ad #d c a@# si triplum,
triplum, etc.
CAPUT XXXIX. #Ad idem alius modus.@#
Si quaeris aliter scire, pone hastam minorem te
quasi ad pectus, et pone in ripa fluvii, et accipe
aliud lignum pertingens usque ad oculos, sicut est
#c d,@#
et ambula retro quantum placet, et pone
ipsum fustem, et tu tantum te hac et illac move,
quousque de #c@# per #a,@# usque #e@# videas, id est ad alteram
ripam fluminis. De hinc minue #a b@# de #c d,@# remanet #f c.@#
Vide, quomodo sint #a f@# ad #f c,@# sic sunt #b e@#
ad #b a,@# si triplum est #a f@# ad #f c,@# triplum est #b e@#
ad #b a.@#
CAPUT XL. #Ad altum cum sagittis et filo mensurandum.@#
Cum geometricis figuris intenti philosophorum
jam fatigabundi inventionibus inhaeremus, ne omnino
fatigati deficiamus militaribus exercitiis animum
relevemus. Sicut enim corpus quotidianis sumptibus
fastidiens inusitato recreatur cibo, sic mens
philosophicis onerata austeritatibus conjecturali poetarum
relevatur figmento. Quapropter ut animum
nostrum reficiamus, militare inventum post multa
supponamus.
Si cujuslibet rei altitudinem investigare volueris,
hoc modo jaculari ingenio investigare poteris. Sume
arcum cum sagitta et filo, et una fili summitate sagittae
postremitati inhaerente, altera in manu remanente.
Sagitta arcu emissa altitudinis mensurandae
cacumen percutiat. Post haec alterius fili summitas
eodem modo sagittae vel aliqui jaculo illigetur, et
horum utrum vis projectum altitudinis radicem, ut
prius cacumen feriat. Quo facto utrumque filum retrahas,
et quot pedum vel cubitorum sit, utrumque
diligenter mensuratum inspicias. Deinde cujusque
fili quisque numerus in se ductus multiplicetur, et
quanta utriusque multiplicationis summa fuerit, perpendatur,
ac minor summa de majori subtrahatur, et
tunc ejus numeri, qui de majori summa remanserit,
tetragonale latus diligenter inquiratur. Hoc vero diligenter
inquisito et sapienter invento, tot pedum vel cubitorum
ambiguitate semota altitudo, de qua inquiritur,
pronuntietur quot pedum vel cubitorum
tetragoni illius latus unum habet. Et ut, quae diximus,
apertius cognoscantur, altitudo et filo cum notis
figuraliter subjiciantur. Sit altitudo, quae investigatur, #a b;@#
sit prioris fili, quod altitudinis summitatem
tetigit, quantitas quinario numero terminata, #a c;@#
sit alterius fili, quod altitudinis radicem
percussit, longitudo quaternario numero diffinita #c b.@#
Post haec vero prioris fili numerus in se multiplicatus
in 25 concrescat; quatuor vero posterioris fili
numerus in se ductus in 16 consurgat. Deinde minor
numero de 25 sublato, erit remanens 9, cujus
tetragonale latus 3 invenitur, quia 3 in se ductus in
9 cumulatur; trium igitur pedum erit altitudo #a b.@#
Sed quia potest accidere, quod remanentis tetragonale
latus interdum in integris numerus nequit
inveniri, subtilitas minutiarum debet necessario
adhiberi, de quibus quia longum est disserere, praetermittatur,
et figura cum numeris et notis supponatur.
CAPUT XLI. #Ad inveniendam in ampligonio ejecturam, quanta sit,@# etc.
Ampligonio tribus lineis datis, majore scilicet
hypotenusa 18 pedum, basi 8, hypotenusa vero minore
10, ejecturam, super qua perpendicularis cadit,
sic quaeras. Ex summa majoris hypotenusae multiplicatione
aggregata duarum minorum linearum,
basis scilicet minorisque hypotenusae, in se multiplicationem
( #Cod.,@# multiplicatione) subtrahas. Exinde
summae, quae superabundaverit, adjecto uno medietatem
sumas, in qua quoties fuerit numerus basis, | null | 65d0f08c-2e6c-4587-982b-1681a84c12ab | latin_170m_raw | null | None | None | None |
tot unitates ejecturae distribuas. Cathetum vero sic
investiges. Ex multiplicatione minoris hypotenusae
ejecturam in se multiplicatam distrahens, reliqui,
qui superfuerit, latus sumas; qui numerus erit perpendicularis.
Hujus autem ampligonii invenire si vis
embadum, duc per cathetum, id est perpendicularem
basim horum. Deinde qui ex hac multiplicatione
excreverint, sume mediam, quae absque dubio
ampligonii fiet embadum.
CAPUT XLII. #Quomodo in trigono orthogonio cathetus et basis quaerantur.@#
In trigono orthogonio, cujus podismus pedum est
25, embadum 150, cathetus et basis sic quaerantur.
Hypotenusae numerus in se multiplicetur. Ad hanc,
quae hinc excreverit, summam, 4 embada, quae faciunt
600 adjiciantur: quae conjunctio 1225 repraesentat.
Hujus summae erit latus 35. Deinde ut interstitium
duarum rectarum inveniatur, catheti scilicet
et basis, ducto hypotenusae numero in se fient 625.
Hinc embadis 4 sublatis, 25 remanent. Hujus latus
erit 5. Quo ad latus superioris numeri nimirum 225
juncto, fient 40. Hujus pars media basim trigoni
constituet. Ex hac vero sublato numero quinario
videlicet, qui superiori, id est 35, ad basim constituendam
fuerat aggregatus, aderit cathetus.
CAPUT XLIII. #Ad inveniendam basis et catheti disjunctionem in trigono.@#
Si datum fuerit trigonum, cujus cathetus et basis
simul juncti sint pedum 23, embadum 60, hypotenusa
17, basis et catheti sic quaeratur disjunctio.
Hypotenusae numerus in se ducatur, qui consurget
in 289. Hinc sublatis 4 embadis, id est 240 et reliqui,
qui superabundaverit, id est 49, latere sumpto,
atque basis et catheti summae, 23 juncto fient pedes
30. Hujus sumpta medietas erit basis ejusdem trigoni.
Hac vero de 23, id est basis simul et catheti
de numero sublata relinquitur octonarius, quo constituitur
cathetus. In hac vero figura catheti inventi
dimidia multiplicata, et ex ea summa uno dempto
invenitur basis, quae duobus sumptis fit hypotenusa.
CAPUT XLIV. #In trigono oxygonio, cujus in lateribus numeri quantitate dissimiles sint, invenire perpendicularem,@# etc.
Dato trigonio oxygonio, cujus lateribus numeri
quantitate dissimiles sint distributi, minori scilicet
hypotenusae 13, basi 14, majori vero hypotenusae 15,
ejusdem oxygonii si perpendicularem invenire desideras,
et praescissuras dignoscere singulas, numero
minoris hypotenusae in se ductae, id est 13, et basis,
id est 14, utriusque multiplicationis summam aggreges,
quae fiunt 395. Ex hac vero majoris hypotenusae
numerum in se ductum diducas, id est 225, reliqui
vero, qui superfuerint, id est 140, sumpta dimidia
parte, id est 70, et hac ad basim, id est 14 partita,
quinquies 14, in eisdem 70 reperies; quae denominatio
numerus fiet praescissurae minoris.
Item de multiplicatione minoris hypotenusae in se
ad inveniendum perpendicularem minorem praescissuram
ductam in se subtrahas. Qua detracta latus
superabundantis numerus erit perpendicularis.
CAPUT XLV. #Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum basim invenire.@#
Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum
sic invenies basim. Cathetus ter ducatur, nona pars
auferatur, reliqui dimidium sumatur, et erit basis.
Basi ablatum restituatur, erit hypotenusa. Vel ita:
dimidium sumatur, quod ter ducatur, de ea summa
tollatur nona, remanet basis. Vel dimidium catheti
sexies ducatur, nona tollatur, reliqui dimidium erit
basis; basi reddita nona erit hypotenusa.
CAPUT XLVI. #Trigoni orthogonii embadum invenire.@#
Si quaeratur trigoni orthogonii embadum, trium
linearum, id est catheti, et basis atque hypotenusae
numeri in unum redigantur, ut puta 6, 8, 10. Nam
hi juncti 24 reddunt. Medietas hinc sumatur. Ex his
basis seducatur, id est 8; quod remanet, scilicet
quatuor per cathetum, id est 6 multiplicetur; illud
quoque duplicetur, et fient 48. Quibus per quartam
sui multiplicatis, illius summae latus habeatur pro
embado.
In ampligoniis autem vel oxygoniis jam dicta regula
habet consequentiam, nec etiam in orthogoniis,
nisi in illis, quos sesquitertia, vel sesquiquarta regit
proportio. In aliis autem vel orthogoniis sufficiat regula
universalis, scilicet per cathetum basim ducere,
ejus medium pro embado tenere. Nam per cathetum
basim ducere nihil aliud est, nisi aream quadrati vel
antelongioris ( #Glossa vet.,@# id est, altera parte longioris) | null | 829f7e4a-808b-4416-b3f8-bd8873ce7040 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
implere, quam, dum ab angulo in angulum
dividis, trigonum reddis.
CAPUT XLVII. #Per cathetum basim invenire.@#
Per cathetum basim invenire si vis, cathetum
ipsum ducas in se, id est 5, qui fiunt 25. Ex his uno
dempto reliqui 24 dimidium sumas, id est 12, quod
erit basis. Huic vero adjicias unum superius demptum,
et invenies hypotenusam.
Embadi autem pedes invenire cupiens, basim per
cathetum, id est 12 per 5 ducas, fient 60. Hujus
sumpta dimidia id est 30, erit embadum.
CAPUT XLVIII. #Trapizotici embadum invenire.@#
Trapizeticus est basis pedum 40, cathetus 30,
coraustus 25. Embadum dignoscere si vis, per cathetum
multiplica coraustum, id est trigesies 25
fiunt 750. Tunc, quod reliquum est basis, ducas per
cathetum, id est trigesies 15 sunt 450 medium 225,
junge superioribus, sunt 975. Ecce invenitur embadum.
CAPUT XLIX. #Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30, embadi pedes comprehendere.@#
Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30,
embadi pedes comprehendere si vis, prius cathetum
sic invenias. Latus unum in se duc, fient 900; item
alterius lateris mediam in se, fient 225. Hos detrahas
de 900, remanebunt 675. Quibus si addideris
unum, fient 676. Hujus latus est 26. Ecce cathetum
quo per basis dimidiam multiplicato, id est 15 per
26, pedes invenies embadi 390.
In omni igitur orthogonio cathetum et basim efficere
hypotenusam contingit; hypotenusam vero et
cathetum basim; hypotenusam iterum et basim cathetum.
Catheto namque in se multiplicato id est 5,
qui fient 25, et basi, id est 12, qui 144 accumulant,
et utrisque simul in unum junctis fiunt 169, et
ex hac latus sumptum erit hypotenusa. Ex hypotenusa
autem in se multiplicata, id est 13, qui fiunt
169, si deduxeris cathetum in se, id est 25 reliqui,
id est 144, sumas latus, id est 12, erit basis. Hypotenusam
vero si multiplicaveris in se, et exinde
summulae accretae basim inde subduxeris, id est 144
reliqui, id est 25, latus catheti fiet numerus. Cathetum
et basim in eisdem orthogoniis contingit
efficere embadum taliter. Catheto, id est 5, per basim,
id est 12 multiplicato, fient 60; hujus vero
dimidium, id est 30, erit embadum. Quod idem
fieret, si per catheti dimidiam basis, vel per basis
dimidium cathetus multiplicaretur.
CAPUT L. #Trigoni isoscelis cathetum invenire vel embadum.@#
Trigoni isocelis ( #Cod.,@# isoscelis), cujus singula
latera sunt pedum 25, basis vero 14, si cathetus
quaeratur, vel embadum. Uno latere in se ducto, id
est 25, fient 625. His si subduxeris dimidium basis
in se 49, reliqui, id est 576 sumas latus, id est 24,
et tot pedum erit cathetus. Quo per basis dimidium
multiplicato, invenies embadi numerum 169.
CAPUT LI. #Trigoni scaleni cathetum invenire.@#
Trigoni scaleni, cujus minus latus sit pedum 15,
basis 25, majus latus 20, cathetum inveniendi haec
erit regula: minore latere in se multiplicato, id est,
15 fient 225, basi vero, id est 25, erunt 625. His
utrimque summulis in unum junctis fient 850. Quibus
si subduxeris majus latus in se, id est 400; ex
reliquo, qui superfuerit, id est 450, sume dimidium,
id est 225, eodem numero denominatam accipias
partem, quo superscribitur basis, id est 25,
nonam vero 25 dicti numeri invenies, et tot pedum
erit minor praecisura, qua in se multiplicata fient 81.
Quos si subduxeris de minoris lateris in se multiplicatione,
id est de 225, reliqui, qui superfuerit, id
est 144, latus fiet catheti numerus.
CAPUT LII. #In quadrato diagonum invenire.@#
In quadrato diagonum invenire si vis, ut in orthogoniis
jam diximus, latus unum, cui superest 4, in
se ducas, et fient 16. Altero vero in se ducto, id est
3, 9. Quibus in unum junctis fient 25. Cujus vero si
sumpseris latus, effecisti diagonum. Per quod embadum
invenire | null | a3f06863-663a-41ba-a5a4-7e01bf0711c8 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
si vis, duc in se, fient 25. Hujus
sumpta medietas fit embadum. Sed quod propius
est veritati, et in omni contingit quadrato, per latitudinem
longitudo est multiplicanda, et qui inde
excreverit fiunt pedes areae.
CAPUT LIII. #Numerum arborum in agro invenire@#
Ager, cujus longitudo est pedum 120, latitudo 70,
in quo arbores dispositae sunt inter pedes 5; quarum
numerus, si quaeratur, utriusque partis, quanta
est, sumenda est, longitudinis scilicet 24, latitudinis
14. Quibus invicem multiplicatis, fient 336. Ecce
numerus arborum.
Est et alia inveniendi regula, ut per longitudinem
latitudo multiplicetur, et fient 8400, quibus per
quinquies quinque, id est 25, partitis fient 336, et
tot erunt arbores. Sub scientia vero longitudine
cum numero arborum comprehensa latitudo sic
quaeratur, 120 qui numerus est longitudinis, partiatur
per 5, et erunt 24, quos numerus arborum
336 continet decies quater; qui 14, et ipsi quinquies
ducti efficiunt 70; quae est latitudo agri.
CAPUT LIV. #Rhombi cathetum quaerere.@#
Rhombi ( #Cod.@# cumbi) vero, cujus fient singula
latera pedum 10, et diagonum 12, cathetum sic
quaeras. Diagonum dimidium, id est 6, in se multiplica,
fiunt 36. His subductis de multiplicatione
unius lateris in se, id est de 100, reliqui, id est 64,
sumas latus, id est 8, et tot pedum rhombi cathetus.
Quo per diagonum, id est 12, multiplicato fient 95;
et tot pedum erit area.
CAPUT LV. #Quomodo trigonus, tetragonus, hexagonus, etc., aequiateri suas areas impleant.@#
Omnis trigonus aequilaterus unum latus in se
multiplicat, ipsum latus ad eam multiplicatione addit,
horum dimidiam sumit, et sic aream suam
implet.
Omnis autem tetragonus aequa latera habens
unum latus in se multiplicat, ea semel multiplicatione
aream suam implet.
Pentagonus, qui aequis continetur lateribus, ter
multiplicationem unius lateris in se expostulat, et
ex illius summa multiplicationis semel aream diducere
et reliqui medietatem sumere.
Hexagonus quater lateris multiplicationem in se
expostulat, et ex summa multiplicationis bis aream
diducere et reliqui sumere medietatem.
Heptagonus quinquies, aream ter.
Octogonus septies, aream quater.
Ennagonus septies, aream quinquies. Et caeteri
ad hanc consequentiam.
CAPUT LVI. #Cujuscunque rotundi vel circuli diametrum invenire et embadum.@#
Cujuscunque rotundi vel circuli si vis diametrum
invenire et embadum, sic quaeras: ex ipso ambitu
22 unitate sublata, reliqui, qui superfuerit, sumas
tertiam; quae fiet diametrum.
Embadum si vis invenire, vel tota circuitio per
integrum diametrum ducenda est, et tunc quarta
sumenda; vel dimidium circuitus per diametrum
integrum, et tunc medietas, vel quarta pars circuitus
per diametrum, et tunc totum. Quod idem esset,
si per dimidium circuitus diametri duceretur dimidium.
CAPUT LVII. #In hemicyclo aream invenire.@#
In hemicyclo, cujus basis sit pedum 28, diametrum
18, aream sic quaeras: per diametrum ducas
basim; fient pedes 392. His undecies ductis fiunt
pedes 312. Hujus sumpta decima quarta parte fiet
398; et tot pedum est hujus hemicycli area.
CAPUT LVIII. #Sphaerae aream colligere.@#
Sphaerae, cujus est pedum longitudo 4, latitudo 3
sic colligatur area: longitudine et latitudine
simul junctis fient 7, dimidium horum 3, 5. His in
se 12 et . Hi undecies fient 434. SS. Horum sumpta
parte decima quarta fient pedes 9, unciae 7 et
semis uncia, id est septunx, et semuncia. Sphaerae
igitur haec erit area. Regula autem haec vera est in
omni sphaera sive rotunda, sive oblonga.
CAPUT LIX. #In trigoni orthogonio circuli inscripti et singula latera tangentis diametrum invenire.@#
In trigonio orthogonio circuli inscripti et singula
latera tangentis, ex numeris catheti et basis simul
junctis hypotenusae numerum si subduxeris, invenies
diametrum. Sed si vis dignoscere quantum embadi
partibus ipsius trigoni circulum extracedentibus
relinquitur, embado totius trigoni prius per
supradictas regulas invento vigesimam primam subtrahas;
ipsamque undecies multiplicatam circuli
areae tribuas. Quod vero reliquum fuerit, id est 140,
pro embado dictarum partium, scilicet extracedentium,
teneas, ut subjecta descriptio docet; videlicet
tolle vicesimam primam | null | 8b384c0b-2da9-4f20-b8cc-4f7f69587420 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, et multiplicata undecies,
fit area circuli. Multiplica decies, fiunt excessiones
trigoni.
CAPUT LX. #Regula ad constituendas pyramides in omnibus figuris a multis angulis procedentibus et aequi lateris.@#
In omnibus figuris a multis angulis procedentibus,
et aequa latera habentibus ad pyramides constituendas
haec sufficiat regula: dictarum cujuscunque
ngurarum area inventa bis ducatur, eique summae
lateris unius numerus jungatur, et haec permistio per
numerum unitate tantummodo latus unum praecedentem
multiplicetur, et ejus summae sexta pars
sumatur, quae fiet pyramis superficiei ante duplicatae.
Sed ut exemplum de singulis demus, prius trigonium,
oxygonium, et aequilaterum sub oculis ponamus
latera singula habentem denario numero designata,
cujus embadum sit 55; quod bis ducatur, et
fient, 110, quibus uno latere juncto, id est 101 fient
120. Hi, per numerum unitate latus unum praecedentem,
id est undecies ducti, fient 1320. Hujus sexta
sumpta, id ex 220 jam dicti oxygonii fiet pyramis.
CAPUT LXI. #Invenire pyramidem in tetragono, cujus sint singula latera pedes 10 et embadum@# 100.
Tetragonum vero, cujus sint singula latera pedes
10, et embadum 100, pyramis sic quaeratur, ut in
trigonio superius descripto, videlicet ut embadum
ejus, quod est 100 bis ducatur: fiunt 200 eique
summae latus unum jungatur, fient 210. Hi undecies
propter supradictam causam ducti fient 2310. Hujus
sexta, id est 385, fiet pyramis descripti tetragoni.
CAPUT LXII. #In pentagono aequilatero denarii numeri pyramidem indagare.@#
In pentagono quoque, qui aequalibus continetur
lateribus, et denario numero supernotatis eamdem
regulam ad pyramidem constituendam indiscrepanter
invenies. Hujus namque pentagonii area, id est:
145, bis in se ducta fient 290, et unius lateris numero
augmentato repraesentat 300, et his undecies ductis
fiunt 33. Post cujus sextam, id est: 550 area jam
dicta suae accumulatur pyramidi. Hanc igitur regulam
nemo in caeteris, id est: hexagonis, vel heptagonis,
vel octogonis, vel ennagonis, vel decagonis,
vel in omnibus a multiangulo procedentibus, et
aequa latera habentibus dubitet habere consequentiam,
et non tantum denario innotatis, sed quolibet
numero.
CAPUT LXIII. #In omni circulo, duobus circumscripto tetragonis, scire, quantum ab extracedente vincatur, etc.@#
In omni circulo, qui duobus circumscribitur tetragonis,
uno interius, altero exterius, si vis comprehendere,
quantum ab extracedente vincatur, et
subscriptum vincat, diametrum ejus duc in se. Quod
cum facis, cathetum suprascripti tetragonii per
basim multiplicatum reddis, et ea multiplicatione
aream ejus imples. Ex illius vero summae integritate
ad circuli aream inveniendam tres 14 subducas.
Quibus subductis, quod reliquum fuerit, si per superius
dictam regulam, et dimidio circuitus multiplicante
dimidium diametri, esse circuli invenies
aream, ab extracedente tetragono ipsum scias circulum
tribus 14 ejusdem superari. Ab eodem vero
embado suprascripti tetragoni si sumpseris medietatem,
et quatuor decimas quartas ejusdem quantitatis,
cujus fuerint superiores ab integritate sumptae
addideris, jam dicti circuli aream implebis. Quod
cum facis, ipsam medietatem sumptam ab integro
embado majoris tetragonii aream scias fuisse minoris,
eam quatuor decimis quartis a circulo superari,
dum eadem area eisdem quatuordecimis ad embadum
supplendum augmentatur. Quod ut manifestius
appareat in descriptione, circulus cum tetragonis
ponatur. Quid partibus majoris tetragoni circulum
extracedentibus relinquitur? 42. Quid partibus circuli
extracedentibus minorem tetragonum relinquitur?
56
CAPUT LXIV. #Montis jugera invenire.@#
Montis si quaerantur jugera, qui in verticis circuitu
habeat pedes 300, ascensu 800, in uno per
circuitum 1000, jungantur duae circuitiones, id
est: 1300. Ex his media sumatur, id est 650.
Hi per ascensum 800 ducantur, fient DXX tot
erunt pedes totius, id est: XXVIII, DCCX supradictus
numerus dividatur. Quo facto in monte jugera
invenientur 18 remanentibus pedibus 1600.
CAPUT LXV. #Quomodo quadrata, et latera trigoni, tetragoni, pentagoni, etc., nascantur.@#
Omnis trigonus, qui ducitur octies, accepto uno
facit quadratum, cujus quadrati latus dempto uno
et dicta parte secunda facit trigoni latus.
Omnis tetragonus ductus decies sexies facit quadratum,
cujus quadrati latus dicta parte quarta facit
tetragoni latus.
Omnis pentagonus ductus vigesies quater et accepto
uno facit quadratum, cujus quadrati latus | null | ba3baa1c-79c6-46de-91b3-19ef8c1863d9 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
accepto uno et dicta parte sexta facit pentagoni latus.
Omnis hexagonus ductus trigesies bis acceptis
quatuor facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
duobus et dicta parte octava facit hexagoni
latus.
Omnis heptagonus quadragies ductus acceptis 9
facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis tribus
et dicta parte decima facit heptagoni latus.
Omnis octogonus quadragies octies ductus acceptis
16 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
4 et dicta parte duodecima facit octogoni latus.
Omnis ennagonus ductus quinquagies sexies acceptis
25 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
5 dicta parte decimaquarta facit ennagoni latus.
Omnis decagonus ductus sexagies quater acceptis
36 et dicta parte decima sexta facit decagoni
latus.
Omnis undecagonus ductus septuagies bis acceptis
49 facit quadratum, cujus latus acceptis 7 et
dicta parte decima nona facit undecagoni latus.
Omnis duodecagonus ductus octuagies acceptis 64
facit quadratum, cujus latus acceptis 8 dicta parte
vigesima facit duodecagoni latus.
Vide consequentiam, ut horum ductio octenario
semper numero accrescat, augmentationes a pentagono
numero impari naturaliter. Trigonus namque
octies, tetragonus decies sexies, pentagonus vigesies
quater, hexagonus trigesies bis ducitur, ut est ab
octo octies, a sedecim sedecies, et sic subsequenter.
Inter quas denominationes octo semper inesse nemo
dubitet differentiam, et sic in caeteris. A pentagono
autem incipientes augmentationes omnium multiplicationum
impari naturaliter numero discrepare
manifestum est. Pentagoni enim multiplicatio uno
tantummodo, hexagoni 4 heptagoni 9 augmentatur,
octogoni 16. Inter primos namque, id est: 5 et 4
primus impar numerus differentiae locum obtinet, id
est: tres inter quatuor, et novem: secundus, id est:
quinarius inter novem, et sedecim: tertius, id est:
septimus.
CAPUT LXVI. #In oxygonio cathetum et embadum invenire.@#
In oxygonio, cujus sit latus minus ped. 13, majus
15, basis vero 14, cathetum et embadum sic
quaeras. Latus minus in se ductum sit 169, et basis
in se fiunt 196, utrumque in unum fiunt 365. Deinde
hypotenusa in se fient 225. His deductis de 365 fit
reliquum 140. Hujus pars dimidia erit 70. Cujus decima
quarta id est: 5 erit praecisura minor, in qua
cadet cathetus. Hi in se fient 25. His ductis de 169
fit reliquum 164. Hujus latus, id est: 12 erit cathetus.
Quo per basis dimidium multiplicato invenitur
embadum.
In omni quadrato aequilatero scito diagonum
ipsum habere in sui longitudine latus unum et
lateris quadrati aream duplicare si vis, diagonum
quadrati minoris spacio latus majoris.
CAPUT LXVII. #Oves in campo sic collocare, ut quaevis certum spatium occupet.@#
In campo, qui habet in longitudine pedes 200 in
latitudine 100 si sic oves mittere (velis) ut unaquaeque
habeat in longo pedes 5, in lato 4, sic facito:
duc 5, vicenos, vel quintam partem de 100, fient 40;
ac deinde 100 divide per 4 quarta pars centenarii 25
sunt. Sive ergo 40 vigesies quinquies, sive 25 quadragies
duxeris, implebis 1000, qui est numerus
collocatarum ovium.
CAPUT LXVIII. #Scire, quot agripennos claudat campus fastigiosus.@#
Campus fastigiosus, qui habet in unoquoque latere
perticas 100, in unaquaque fronte 50, in medio
60, si vis scire quot agripennos claudat, facito
ita: Junge frontem 50 et medium 60, fient 110.
Tunc medietatem, id est 55 per longitudinem, id
est 100 multiplica: fient 5500. Hae sunt perticae totius
campi. Ut autem agripennos invenias, divide 5500
per perticas unius agripenni, id est per 144, secundum
quosdam, qui dicunt agripennum in unoquoque
latere 12 perticas habere, et invenies trigesies
octies 144 in 5500, remanentibus perticis 28 sic
scias esse agripennorum 38 numerum.
Si fuerit autem divisio per 72 (dicunt enim quidam
apripennum in longo habere 12, in lato vero 6,
sexies autem 12 sunt 72), erunt 72 agripenni, remanentibus
similiter supradictis perticis. Hanc autem
si probare vis regulam, taliter proba. Semotum
ducas longilaterum, et dicas: quinquagies 100
erunt 5000. Deinde curvaturarum embada perpendere
si vis, per cathetum utriusque curvaturae, id
est, 5 et 5, si dictae regulae in orthogoniis non immemor
fueris, embadum invenies unius curvaturae
250, alterius vero aequaliter, qui simul | null | a2b6d537-9a7e-43cd-998f-326cf37f665c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
sunt 500.
Ecce numerus perticarum fastigiosi campi 5500.
CAPUT LIX. #In campo quadrangulo agripennos cognoscere.@#
In campo quadrangulo, qui habet in uno latere
perticas 30, in altero 32, in fronte una 32, in altera
34, sic cognoscas quot agripenni claudi debeant.
Duae hujus campi longitudines faciunt 62. Duc mediam
de 62, fiunt 31. Duae quoque latitudines ejusdem
campi junctae, faciunt 66. Duc etiam mediam
de 66, fiunt 33. Has duas medietates invicem confer,
fient 1023. Ecce numerus perticarum totius campi.
Hunc divides per numerum unius agripenni, id est
per 144, et invenies 7 esse agripennos in illo campo,
remanentibus perticis 15.
CAPUT LXX. #In campo triangulo agripennos invenire.@#
In campo triangulo, qui habet in uno latere perticas
30, in alio totidem, in fronte vero 18, quot
agripenni concludi debeant, sic accipito. Junge simul
duas longitudines, fient 60. Et duc mediam
de 60, fient 30. Et quia in fronte 18 habet perticas,
duc mediam de 18, fient 9. Duc novies 30, fient 270.
In hoc igitur numero agripennus unus est et remanentibus
54 perticis. Scias autem nos ubique
intendere, agripennum esse circumquaque 12 perticis.
CAPUT LXXI. #In campo rotundo numerum agripennorum nosse.@#
In campo rotundo, qui habeat in gyro perticas 418,
sic numerum agripennorum comprehendere potes.
De 418, vigesima secunda parte sublata, id est 19,
reliquorum diametrum, id est tertiam sumas, id
est 133. Deinde hujus tertiae dimidiam, id est 66 S
per medietatem totius circuitus, id est 209 ducas,
et totam indubitanter implebis aream 14898 et S
perticis. Quibus per 144 partitis, erunt agripenni
96 S remanentibus perticis duabus et dimidia, sive
agripenni 96 S 100, et nihil remanet.
CAPUT LXXII. #In civitate quadrangula ponere domos certae longitudinis et latitudinis.@#
In civitate quadrangula, quae habet in uno latere
pedes 1100, in altero 1000, et in fronte una pedes
600, in altera totidem, si vis ponere domos ita ut
cujusque longitudo sit pedum 40, latitudo vero 30,
sic facito. Junge duas hujus civitatis longitudines:
junctae fient 2100. Similiter si fuerint duae latitudines
junctae, fient 1200. Ergo duc mediam de 1200,
fiunt 600. Rursus duc mediam de 2100, fiunt 1050.
Et quia unaquaeque domus habet in longo pedes 40,
et in lato pedes 30, duc quadragesimam partem de
1050, fiunt 26, remanentibus 10; atque iterum assume
trigesimam de 600, fiunt 20. Viginti ergo
vigesies sexies ducti fiunt 520. Tot domus capiendae
sunt.
CAPUT LXXIII. #In civitate triangula de eadem re.@#
In civitate triangula, quae habet in uno latere pedes
100, in altero 100, in fronte vero 90, si vis
scire quot domus capiat, ita ut quaeque domus
habeat in longitudine pedes 20, in latitudine 10, ita
facito. Duc mediam de lateribus junctis, id est de
200, fiunt 100. De fronte similiter, id est de 90, 45
fiunt. Et quia longitudo uniuscujusque domus habet
pedes 20, et latitudo 10, duc vigesimam de 100,
fiunt 5, et decimam de 40, fient 4. Duc igitur quinquies
quatuor, fient 20; tot domus capiet hujusmodi
civitas.
CAPUT LXXIV. #In civitate rotunda domos certae longitudinis et latitudinis locare.@#
In civitate rotunda, cujus ambitus est 8008 pedum,
domos locare si vis, quarum longitudo 30 sit
pedum, latitudo vero 20, sic facias: vigesimam secundam
partem, id est 364 auferas, reliquorum vero
7644 tertiam sumas, id est 2548; hos pro diametro
habeto. Hujus igitur diametri medietas, id est 1274,
si per medietatem ambitus, id est 4000 et 4 ducatur,
impletur area tota pedibus quinquies millies
ICMXCVI qui per 600, id est per vigesies 30 divisi
faciunt domos 8501, remanentibus 496 pedibus.
CAPUT LXXV. #Basilicae pavimentum quot laterculi debeant supplere.@#
Basilicae, cujus longitudo pedum sit 240, latitudo
120, pavimentum quot laterculi supplere debeant,
sic accipe (laterculus autem in longitudine 23 habeat
uncias, in latitudine 12). Longitudo per latitudinem
multiplicetur | null | f54e0d2e-ea42-4c7a-9e8f-fe56dbf87c1a | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, id est 120 per 240, fiunt 28800. Hos
per duodecies duodecim, id est per 164 (tot enim
uncias habet pes unus multiplicans) invenies uncias
quater MMCXLVII. CC. Quas si diviseris per duodecies
23, id est per uncias unius laterculi, quae sunt
276, fient 15026, remanentibus 24 unciis. Tot igitur
laterculi dictae basilicae pavimentum contegere possunt.
CAPUT LXXVI. #In lacuna, canna, etc., viam certa latitudine ducere.@#
In lacuna una, vel canna, vel cavana [ #Glossa vet.,@#
cavana, id est cellarium], quae in longitudine pedes
habet 100, in latitudine 64, cuppas longas pedibus 7,
latas 4, si sic locare velis, ut pervium pedibus 4
latus in longum ducatur, sic facito. Vide quoties 7
in 100, et 4 in 64 habeantur: invenies quaterdecies
7 in 100, remanentibus duobus, et decies sexies
4 in 64. Sed ex his 4 ad pervium deputantur. Quia
ergo in 60 quindecies 4 sunt, et in 100 quaterdecies
7, fiunt 210. Tot cuppas igitur in cavana dicta locare
poteris.
CAPUT LXXVII. #In circulo embadum invenire.@#
In circulo, cujus diametrum sit pedum 14, embadum
sic quaeras. Duc diametrum in se, fiunt 196.
Ducundecies, fiunt 2156, sume partem decimam
quartam, fiunt 154; et tot pedum erit embadum.
CAPUT LXXVIII. #Ex diametro circulum indagare.@#
Ex diametro circulum sic quaeras: diametrum,
exempli gratia, 14 vigesies bis, fient 308, sumas
partem septimam, fit 44; quod est circulus.
CAPUT LXXIX. #In hemicyclo embadum invenire.@#
In hemicyclo, cujus sit basis pedum 10, linea in
centrum 5, embadum sic quaeras: duc in se diametrum,
fit 100. Hoc undecies multiplica, fit 1100.
Hujus vigesimam octavam sume, erit in pedibus 39,
duabus septimis remanentibus, id est 8; et haec est
area. Idem esset, si basim per lineam quae ducitur
in centrum multiplicatam undecies duceres, ac
exinde decimam quartam acciperes. Quod verum est
in omni integre dimidiata sphaera.
In circulo, cujus sit area pedum 616, diametrum
sic quaeras. Quater decies ducatur, fient area 8624.
Hinc pars undecima fit 784. Hujus numeri latus fit
28; et hoc erit diametrum.
CAPUT LXXX. #In orthogonio, cujus cathetus sit pari numero notatus, basim et hypotenusam invenire.@#
In orthogonio, cujus cathetus sit pari numero adnotatus,
velut 8, sic basim et hypotenusam quaeras.
Catheti sumpta pars dimidia, id est 4, in se multiplicentur,
fient 16, et in his uno dempto remanet
basis, cui duobus redditis fit hypotenusa.
CAPUT LXXXI. #In monte strabo jugera invenire.@#
In monte strabo [ #Glossa vet.,@# qui in altero latere
praeceps, in altero extentam declivitatem habet] qui
habet ad pedem in circuitu pedes 1400, in acumine
200, in altitudine dexterae partis 850, in laevae vero
750, sic quaeras jugera. Superioris circuitionis cum
inferiore junctae sume dimidiam, quae fit in 800 pedibus.
Has medietates invicem multiplica, et fiunt
640. In his vigesies bis reperies unius jugeri pedes
28800, remanentibus 6400.
CAPUT LXXXII. #Columnam facere, circulum incrassare, altitudinem rerum invenire.@#
Ad columnam faciendam longitudinis, septimam
in inferiori circuitu des, octavam superiori.
Circulum incrassare si vis, diametrum ejus cubices,
ipsam cubicationem ejus undecies ducas, et ex
ea summa vigesimam primam accipias, et haec erit
sphaerae crassitudo.
Est etiam ratio alia altitudinem videndi, quae est
hujusmodi. Orthogonium, cujus cathetus 6 vel trium
pedum sit, basis 8 vel 4, hypotenusa 10 vel 5, erigas
ita ut terrae basis adjaceat: cathetus adversus illam
rem, cujus altitudo perpendi debet, erectus habeatur;
hypotenusa vero a summo catheti ad terram,
in summum basis deducatur. Sic directo illuc, ubi
basis et hypotenusa junguntur, oculum apponas ad
terram prostratus. Deinde huc illucque tandiu detrahas,
oculo tamen semper apposito, donec tibi
summum catheti illius rei, cujus altitudinem quaeris,
summitati adaequari videatur. Quo facto ponas signum,
ubi oculum tenebat, et ex eo signo metire
spatium usque ad pedem rei illius | null | 85973566-6485-4775-abf4-8e4720a62595 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
. Huic spatio per 4
partito quartam unam detrahas; caeteras 3 pro altitudine
illius rei, de qua quaerebas, habeto. Haec
altitudinem videndi certissima ratio est, si tamen
area, per quam cathetus erectus detrahitur non
montuosa, non vallosa, sed plana fuerit.
CAPUT LXXXIII. #Putei amphoras nosse.@#
Puteus, cujus sit diametrum 7, altitudo 40 pedum,
tot amphoras capiet quot processerint pedes
ex hujusmodi diametri area, altitudineque in invicem
multiplicata, si pede uno longa et alta fuerit
amphora.
CAPUT LXXXIV. #Cuppa quod pedum solidorum sit, quotque amphoras capiat, invenire.@#
Cuppa, cujus latitudo ima pedum sit 3, summa
2, media 5, altitudo vero 12, quot pedum sit
solidorum, ac per hoc quot amphoras capiat, sic
quaeras: latitudine media in se ducta, ac summa
deinde excreta triplicata, diametrisque summo et
imo in se singulatim ductis, omne in unum fit 88.
His undecies ductis ac summae exinde notae quarta
decima sumpta fiunt 69 et duae quartae decimae,
id est una septima. His per tertiam altitudinis, id
est per quaternarium multiplicatis venit numerus
amphorarum 276 et 8 quartae decimae, id est 4
septimae.
Si fuerit cuppa, cujus ima latitudo sit pedum 5,
summa 3, altitudo 9, quot amphoras capiat sic quaeras:
ima in se fit 25, summa quoque in se fit 9,
utriusque in invicem fiunt 15. His tribus summis
simul junctis fiunt 49. His undecies ductis fiunt 539.
Horum pars decima quarta fit 38 S. Haec per altitudinis
tertiam ducta fiunt 115 S. Tot erunt amphorae
vel pedes solidi.
His tribus regulis, de puteo scilicet et de duabus
cuppis diligenter inspectis, pene nullus erit puteus,
vel cuppa, vel tonna aliqua, quin ejus possit indagari
profunditas, nisi mira in eis fuerit diversitas.
CAPUT LXXXV. #Ex adunatione omnium numerorum, secundum ordinem naturalem prolatorum, scire quanta profunditas crescat,@# etc.
Ex adunatione omnium numerorum secundum
ordinem naturalem prolatorum si vis scire quanta
profunditas crescat, haec tibi regula sufficiat, si
tantum coadunatio illa ab unitate incipiat, et sic
per regulas et per ordinem continuatim procedat.
Si par numerus coacervabitur, per medium ultimi
sequens multiplicabitur, v. g., 1 2 3 4 5 6, vel
scire quot sint, per senarii medietatem subsequens,
id est septenarius multiplicetur, et fient 21; quam
summam similiter reddet supradicta coadunatio. Si
autem impar numerus numerorum aggregabitur,
per majorem sui partem ultimus aggregatus multiplicabitur,
ut est 1 2 3 4 5 6 7. Multiplica septenarium
per maximam sui partem, id est per 4. Quater
7 fiunt 28, qui omnes supra scriptos terminos
claudunt. Si solummodo par, ut est 2 4 6 8, ducatur
medietas ultimi aggregati per illum, qui sequitur
ipsam, et si impar, ut 1 3 5 7 9, major pars
ultimi in se ducatur.
CAPUT LXXXVI. #Circuli inauraturam invenire.@#
Circuli inauraturam sic quaeras: diametrum circuli
in se ductum vigesies bis multiplica. Effectae
summae septimam accipias, et haec circuli erit
inauratura; quod idem esset, si per diametrum
circulum multiplicares.
CAPUT LXXXVII. #Columnae inaequalis pedes invenire@#
Si fuerit columna inaequalis, cujus ima latitudo
pedum sit 13, summa 5, altitudo 30, ejus pedes
sic quaeras. Ima latitudine in se multiplicata, ac
summa in se, ac utraque invicem, hisque tribus
summis simul compositis fiunt pedes 259. His undecies
ductis, ac exinde effectae summae quartadecima
detracta venient 203 S., scilicet pedes
arearum summae et mediae ac infimae. His deinde
per tertiam altitudinis multiplicatis erunt solidi
penes 2035.
CAPUT LXXXVIII. #Hexagonum facere.@#
Si volueris hexagonum facere, cujus latus habeat
pedes 10, facies 10 pedum, lineam et in extremitate
ejus circinum figas, et circulum facias; et
qualis est linea a medio centro circuli usque ad
extremitatem ejusdem, similes sex per extremitates
circuli ducas, et hexagonum habebis.
CAPUT LXXXIX. #Intra quadratum aequilaterum octogonum designare.@#
Si volueris intra quadratum aequilaterum octogonum
designare, diagonum medium sumas. Hic
circinum spatiatum [ #Glossa vet.,@# extentum] in angulo
quadrati infigas, et in utroque latere punctum,
quousque circulus pervenerit | null | 3f5029c8-28fb-4e8f-8a5c-3e9e8132e3d0 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, facias, ac
sic per singulos angulos perque latera percurras.
Deinde a nuncto in punctum angulis quadrati extraclausis
semper lineam ducas, et octogonum habebis.
CAPUT XC. #Structurae circa puteum positae pedes invenire.@#
Si datus fuerit puteus, cujus diametrum sit pedum
5, et circa eum fuerit structura alta pedum 20,
lata pedum 2, ejus structurae pedes sic quaeras:
structurae latitudinem ducas in se, fiunt 4. His
adjicias putei diametrum, erunt 9. Hi in se fient 81.
Ab his diametro putei ducto in se dempto remanent
56. His undecies ductis, et a summa, quae
inde excreverit, quarta decima sumpta erunt pedes
areae 44. Hi per altitudinem, id est vigesies ducti
fiunt 880. Tot erunt pedes areae 44. Hi per altitudinem,
id est vigesies ducti fiunt 880. Tot erunt
pedes structurae.
CAPUT XCI. #Prismatis pedes invenire in orthogonio.@#
Si data prisma fuerit orthogonii, cujus sit cathetus
19, basis 12, altitudo 20, ejus pedes sic
quaeras: per cathetum et basim aream prius orthogonii
reperias, quae erit 54. Hanc per altitudinem,
id est 20 ducas, fient 1080; tot erunt pedes prismae.
Quam inaurare si vis, circuitum ipsius orthogonii,
id est 36 per altitudinem, id est 20 ducas
et fient 720; qui erunt pedes inauraturae.
CAPUT XCII. #In omni tetragono diagonium invenire,@# etc.
In omni tetragono sive aequilatero, sive longilatero
diagonium sic invenies: latitudinem et longitudinem
sigillatim in se multiplices, summarum
crescentium in unum latus quaeras. Hoc pro diagono
habeto.
Trigoni orthogonii per cathetum sic invenis basim:
cathetus ter ducatur, nona pars auferatur,
reliqui dimidium sumatur, erit basis. Basi ablatum
restituatur, erit hypotenusa. Vel ita: catheti dimidium
sumatur, quod ter ducatur, remanet basis.
Vel dimidium catheti sexies ducatur, nona tollatur,
reliqui dimidium erit basis. Basi reddita nona erit
hypotenusa.
CAPUT XCIII. #Quot stadia in terris respondeant Zodiaci partibus,@# etc.
Erat Osthenes philosophus, idemque geometra
subtilissimus, magnitudinem terreni orbis noscero
volens, tali hujus artis dicitur usus argumento.
Nam a mensoribus regis Ptolomaei, qui totam
Aegyptum tenebat, adjutus a Siene usque ad Meroen
stadiorum numerum invenit. Dispositis namque
per intervalla locorum a septentrione meridiem
versus horoscopicis vasis simili dimensione et gnomonum
aequa longitudine formatis totidem doctos
gnomonicae supputationis homines, quot vasa fuerant,
singulis quibusque in locis imposuit, atque
una die omnes umbram meridiam temporis observare
fecit, notare etiam unumquemque sui gnominis
umbram, quantae fuisset longitudinis. Atque
ita comperit, quod ultra 700 stadia ad unius longitudinis
gnomonem umbra non respondit, atque hac
tali probatione conclusit quod partes 360, quibus
omnis zodiaci circuli tractus dividitur, ad terras usque
perveniant, et pars, quae ibi incomperta et inaestimabilis
mensurae est, in terris non amplius quam
septingentorum, aut paulo minus, stadiorum mensuram
obtineat. Compertaque in terris unius partis,
quae ad zodiacum pertinet, et magnitudinem hanc
ter centis sexagies complicando, circulum mensuramque
terrae incunctanter quot millibus stadiorum
ambiretur absolvit. Nam 25000 stadiorum circuitum
universi terreni orbis esse pronuntiavit. Quae summa,
si in 360 partes aequaliter dividatur, liquebit,
quod stadiorum unaquaeque portio in terris esse
debeat, quae in coelesti circulo ab ullo nullam humanae
conjecturae dimensionem admittit.
Optimum est ergo umbram horae sextae deprehendere,
et ab ea limitem inchoare, ut sint semper
meridiano tempore ordinati, sequitur, ut orientis
occidentisque linea huic normaliter conveniat. Scribamus
primum circulum in terra loco plano, et in
puncto ejus sciotherum ponemus, cujus umbra et
intra circulum aliquando exeat, et aliquando intret.
Certum est enim tam orientis quam occidentis umbras
deprehendere. Attendemus igitur, quemadmodum
a primo solis ortu umbra cohibeatur. Deinde
cum ad circuli lineam pervenerit, notabimus eum
circumferentiae locum. Similiter exeuntem notabimus.
Notatis ergo duabus circuli partibus intrantis
umbrae et exeuntis loco rectam lineam a signo ad
signum circumferentiae ducemus, et medium notabimus,
per quem locum recta linea exire debet a
puncto circuli; per quam lineam cardinem dirigemus,
et ab ea normaliter in rectum decumanos
emittemus, et ex quacunque ejus lineae parte normaliter
invenerimus, decumanum recte constituamus.
CAPUT XCIV. #Alia ratio meridianum describendi.@#
Est et | null | a67567b4-55cb-401f-aeb4-afbd15c73a65 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
alia ratio, qua tribus umbris comprehensis
meridianum describemus. In loco plano gnomonem
constituemus #a b,@# et umbras ejus tres enotabimus #c b e.@#
Has umbras normaliter comprehendemus, qua
latitudine altera ab altera distent. Si autem meridiem
constituamus, prima umbra erit longissima.
Si post meridiem, novissima. Has deinde umbras
proportione ad multiplicationem in tabula describemus,
et sic in terram servabimus. Stat igitur gnomon #a b@#
planitie #b.@# Tollamus maximam umbram in
planitie, notemus signo #d.@# Sic et terram signo #e,@# ut
sint in vasi proportione longitudinis sine #b e d c e,@#
numeramus hypotenusas ex #c,@# in #a,@# et ex #d@# in #a;@#
nunc puncto #a@# et intervallo #e@# circulum scribimus.
CAPUT PRIMUM. #Quid sit corpus solidum? Quid linea, punctum, superficies? Quid pes solidus, constratus,@# etc.?
Artis hujus initia et quasi elementa videntur
punctum, linea, superficies, atque soliditas. De
quibus cum saepe Boetius aliique tam saecularis
quam divinae tractatores litteraturae in plurimis
scriptorum suorum locis satis superque disputent,
tum beatus et eloquentissimus Ecclesiae doctor, Augustinus,
in nonnullis libris suis, et praecipue in eo
qui De quantitate animae inscribitur, copiose disserit:
Ubi etiam tantis oculum corporearum rerum
imaginationibus obtusum per talium artium exercitia
ad spiritalia veraque utcunque contemplanda non
modicum purgari et exacui ostendit. Sed prudentibus,
si qui hoc forte vel aspicere dignati fuerint,
taediosum non sit, si a solido corpore, quod communi
hominum sensui notius est, praepostero incipiens
ordine simplicioribus, quid haec singula sint
paucis tentabo monstrare.
#Solidum corpus@# est quidquid tribus intervallis seu
dimensionibus porrigitur, id est, quidquid longitudine,
latitudine altitudineque distenditur, sicuti est
quidquid visu tactuve comprehendi potest, ut haec
praesens, in qua scribo, tabella. Hoc autem Graece #stereon@#
dicitur. Hujus autem termini seu super
obducta planities #superficiei@# apud nos nomen accepit,
Graece autem epiphaniae. Quae ita intellectu capienda
est, ut nihil sibi altitudinis, id est, crassitudinis
usurpet, sed tantum longitudine latitudineque contenta
se dilatat. Nam si his altitudinem adjicis, jam
non superficies, sed corporis pars, atque ideo solidum
corpus erit.
Superficiei vero extremitas sive terminus #linea,@#
seu Graece #gramma@# est. Quam ita mente percipias
oportet, ut latitudinis expers solius longitudinis se
rigore producat, ne latitudine addita jam non linea,
sed superficies sit. #Lineae@# autem principium et extremitatem #punctum@#
determinat, quod ita se intelligibili
ratione coarctat, ut #lineae@# tantummodo finis existens
nullam in eo partis aut alicujus omnino magnitudinis
quantitatem obtineat. Itaque ut singula juxta
praedictam rationem diffiniam: #Punctum@# est parvissimum
et indivisibile signum. Quod Graece #simion@#
dicitur. Hoc vice unitatis, quae est numerorum
omnium principium, nec tamen ipsa numerus,
omnium origo est mensurarum; ipsum tamen
nullius mensurae aut magnitudinis capax. #Linea@#
est longitudo sine latitudine, haecque solum in longitudine
sui sectionem admittit. #Superficies@# est latitudo
sine altitudine. Haec et superficies in rerum
natura subsistere nequeunt praeter corpora, mente
tamen intelliguntur incorporalia, et quasi praeter
corpora esse suum habentia. #Soliditas@# vero supra
diffinita in solidis manens corporibus, sensibus etiam
comprehendi valet, eaque omnifariis et in longitudine
ac latitudine, nec non etiam et altitudine sectionibus
subjacet. Atque haec interim simplicioribus
de praefatis rebus ratiuncula data sufficiet. Doctiores
siquidem de talibus sufficientius alias instructos diutius
in his detineri non oportet.
Itaque per praedictas tres solidi corporis dimensiones
quaecunque rationabiliter metienda proponuntur,
geometricali theoremate ducatus rationis mensurantur.
Aut enim #longitudo,@# aut #latitudo,@# aut
certe #crassitudo,@# quae consueto nomine #altitudo@# a
geometricis vocatur, metiendo indagatur. #Longitudo,@#
ut in lineis aliquam figurae agrive aream includentibus,
ut in itinerum spatiis, ut in arborum aedificiorumque
sublimitatibus, ut in fluminum, curtium
aliarumve rerum lineari in directum proposita usque
ad certum terminum mensuratione, quae videlicet #linearis mensura@#
vocatur. #Latitudo@# vero, ut in areae
ipsius vel planitiei, quae linearum certis includitur
terminis, quantitate #constrata@# vel #plana@# dicitur | null | a020c450-6050-4cdd-858d-4cb5d87f4ae0 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
mensura,
et Graece #epipeda@# dicitur. #Altitudo@# autem ut
crassitudine vel spissitudine quarumdam certae mensurae
structurarum; seu capacitate diffinitae quantitatis
vasorum: quae #mensura solida@# vocatur. Atque
hinc est, quod mensuras quasdam utpote #pedes@#
nunc #lineares,@# nunc #constratos,@# nunc vero #solidos@#
vocitare solemus.
#Linearis pes,@# per quem lineas vel longitudinem
aliquam metimur nihil interim de altitudine et latitudine
curantes, et est talis.--· #Constratus@# pes sive
planus, per quem superficies sive planities, seu area
lineis circumsepta mensurata, et est in longitudine
et latitudine aequalis et quadratus, sed altitudine carens
ita . #Solidus@# autem est longitudine, latitudine,
altitudine aequaliter distans et quadratus, per quem
solida metiuntur corpora, formam videlicet cubi seu
tesserae retinens, qui in planitiei quidem aequalitate
non potest aperte figurari, sed vel mente intelligi,
vel cera, vel ligno, aliave ejusmodi materia facile
valet formari, quamvis Calcidius Timeum Platonis
exponens solidum in plano corpus figuratum utrumque
descripserit.
Aliae etiam, de quibus paulo post dicemus, mensurae
trifaria, ut de pede jam dictum est, distinguentur
ratione. Aut enim et ipsae lineares, aut constratae,
aut solidae intelliguntur. Sciendum autem magnopere
est quod per lineares mensuras constratae
investigandae sunt. Si enim lincares in se vel inter
se multiplicentur, constratae nascentur. Et si constratas
itidem per lineares multiplices, solidas invenies.
Quod ut facile clarescat, exempli causa linea vice
pedis linearis in longum ducatur, eaque in quatuor
lineares palmos hoc modo secetur Hic
ergo linearis pes si latitudine ejusdem quantitatis
addita in quadrum aequaliter describatur, constratus
hujusmodi informatur:
Si ergo quatuor lineares palmos longitudinis per
totidem, qui in latitudine notantur, hoc est, quatuor
per quaternos multiplices, in constrati nimirum pedis
planitie, sedecim palmos constratos hoc modo
invenies:
Quod si item eumdem pedem solidum efficiens parem
longitudini latitudinique ei altitudinem superimponis,
hicque per quatuor lineares super adjectae
altitudinis palmos sedecim planitiei constratos multiplices,
in solido nimirum pede, sexaginta quatuor
solidos palmos reperies, quod a quolibet poterit facilius
intelligi quam in palmo describi. Sic itaque
linearis pes lineares palmos quatuor, constratus sedecim
constratos, solitus sexaginta quatuor solidos
palmos recipit, eademque in caeteris mensuris ratio
multiplicationis juxta cujusque quantitatem observetur.
CAPUT II. #De vocabulis et quantitate mensurarum ab antiquis inventarum.@#
Mensurarum autem vocabula ab antiquis inventa,
et in usu posterorum hactenus reservata, ferme haec
sunt: digitus, uncia, palmus, sextaque; quae et dodrans,
pes, laterculus, cubitus, gradus, passus, pertica;
quae et decempeda, actus minimus, clima,
porca, actus quadratus; qui et agripennus, seu aripennus,
jugerum, seu juger, vel jugus, centuria,
stadium, milliarium, leuca. Quorum quantitas singulorum
primum juxta lineares mensuras videatur, ut
postmodum ad constratas solidasque commodius
traducatur.
#Digitus@# est minima qua in agris metiendis antiqui
utebantur mensura, continens hordei quatuor
grana, in longitudinem scilicet continuatim disposita.
Non autem quorumcunque hominum digitos, qui
utique multum dispares sunt, passim accipias oportet,
sed spatium quod latitudo digiti alicujus mediocris
illius temporis hominum transversim occupabat,
pro longitudine certa geometricalis digiti
uniformiter teneas. Idemque de palmo, pede, cubito,
et caeteris ejusmodi faciendum est.
#Uncia,@# juxta antiquiores tres, digitos recipit. Sed
quia cujuslibet rei duodecima pars uncia dicitur,
posteriores unum tantum digitum et tertiam digiti
partem unciae deputavere, ut pedis, qui sedecim digitis
constat, pars duodecima possit existere. Nam
as et triens 16 sunt.
#Palmus@# autem, quarta pars pedis, quatuor digitos
recipit, uncias autem tres. Dictus autem #palmus@# a #palma,@#
id est, a manu extensa, quae quatuor digitis
constat.
#Sexta,@# quae et #dodrans,@# habet digitos duodecim,
uncias novem, palmos tres. Dictus autem #dodrans,@#
quod ab integro pede dempto quadrante constet.
#Pes@# continet digitos sedecim, uncias duodecim,
palmos quatuor, sextam unam, tertiam ejus; cujus
mensura in quibuslibet metiendis usitatior est.
#Laterculus@# non in sola longitudine, ut superiores,
accipi potest, sed ei latitudo etiam est, ut constratus
fiat, | null | 977af0fa-3677-4142-9e36-129b1e9a61cd | latin_170m_raw | null | None | None | None |
habetque in latitudine pedem unum, in
longitudine quoque pedem unum et deuncem ejus,
in lato uncias duodecim, in longo viginti tres; hicque
in tota area sua habet uncias constratas 276.
Dictus autem laterculus diminutive a #latere,@# id est
tegula, quia hujus mensurae ad tegenda seu consternenda
aedificia fieri solebat.
#Cubitus@# recipit pedem unum et semissem, sextas
duas, palmos sex, uncias 18, digitos 24. Hic etiam
in quibusdam locis pro statura hominum recipitur.
#Gradus@# recipit cubitos 2, pedes 3, sextas 4, palmos
12, uncias 36, digitos 48. Dictus, quod gradientes
homines saepius tantum spatii alternatim metiantur.
Passus continet gradum unum et ( #Vetus
Glossa in cod. exponit@# bissem; #alias@# est dodrans)
cubitos 3 et ( #Eadem Glossa,@# trientem) pedes
quinque, sextas 6 et , palmos 20, uncias 60, digitos
80. Hujus in itinerum spatiis maximus usus est
metiendis. Dictus passus a #patendo@# videtur, pro eo
quod patentibus intercapedine quinque pedum cruribus
figuratur: unde et #passi crines@# dicuntur.
#Pertica,@# quae et #decempeda,@# continet passus 2, gradus
3 et trientem, cubitos 6 et bissem, pedes 10,
sextas 13 et , palmos 40, uncias 120, digitos 160.
Dicta pertica quasi #portica@# a portando scilicet. Manu
namque mensoris ad agros dimetiendos virga mensuralis
portatur.
#Actus minimus@# in quantitate tantum superficiei
agrorum consideratur, habetque in lato pedes 4, in
longo 140. Qui invicem ducti, id est, quater 140, in
tota agri superficie constratos pedes 560 ostendunt.
Ductus autem ab #agendo@# rurali opere videtur.
#Clima,@# eodem modo agri quantitatem designans,
habet et in longo et in lato pedes 60. Qui invicem
ducti 1600 pedes constratos complent.
#Porta,@# nihilhominus agri mensuram indicans, in
longitudine 80, in latitudine 36 pedes habet. Qui
invicem ducti 2400 indicant constratos.
#Actus quadratus,@# qui et #agripennus@# seu #aripennus@#
dicitur, quo agri modum discriminamus, per singula
quatuor latera perticas 12, id est, pedes 120 recipit.
Qui in se ducti 144 perticas constratas, pedesque
ejusmodi constratos 14400 in agripenno demonstrant.
#Jugerum@# seu #juger,@# seu #jugus,@# quod junctis duobus
aripennis confit, indeque ab #jungendo@# nomen accipit,
quantitatem itidem agri . . . niens, habet in longitudine
perticas 24, id est pedes 240; in latitudine
perticas 12, id est 120 pedes. Qua latitudine per
longitudinem ducta in superficie jugeri perticas constratas
288, pedes vero 28800 invenies. Hujus quartam
partem #tabulam@# appellant, continentem perticas
constratas 72.
#Centuria@# est ager 200 continens jugera, dicta,
quod apud antiquiores centenis tantum jugeribus
computabatur. Hae tamen, quae agrorum quantitatem
designant, mensurae, magis in quantitate areae planitieque
lineis circumscripta, quam ipsarum, quibus
circumscribitur, linearum longitudine, considerandae
sunt. Cujus enim longitudinis lineae aream includant,
nihil interest, si tamen ipsa propriam quantitatem
area non amittat, ut in jugero. Utrum enim in longo
24 perticas, in lato vero 12, ut supra dictum est,
habeat, an in longo 18, in lato 16; an in longo 32,
in lato vero 9; an alio atque alio modo longitudo
latitudoque permutentur, si tamen mutua multiplicatione
288 constratas perticas efficere possunt,
jugerum nihilominus implebunt. Idemque in agripenno
et caeteris agrorum mensuris sentiendum
est.
#Stadium@# autem, quod magis in itinerum dimensionibus
usuale est, continet passus 125, gradus 208 et
trientem, cubitos 416 et , pedes 625, sextas
933 et trientem, palmos 2500, uncias 7500, digitos
1000. Dictum autem stadium dicitur a #stando,@# seu
quod juvenes currentes emenso hoc spatio ad metam
starent; seu quod Hercules primus hoc spatium
uno anhelitu transcursum stando signaverat.
#Milliarium@# habet stadia 8, passus #mille@# (unde et
nomen accepit), gradus 1600, 61 , cubitos
3300, 33 , pedes 5000, sextas 6600, 66 ,
palmos 20000, uncias 60000, digitos 80000. Hoc
permissu priscae legis iter Sabbati fuit. | null | 4f5e971a-5388-46c3-ac26-02a61c3b4570 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
#Leuca@# recipit milliarium unum et dimidium, stadia
12, passus mille quingentos, gradus 2500, cubitos
5000, pedes 7500, sextas 10000, palmos 30000, uncias
90000, digitos 120000. Dicta leuca a #levando,@#
id est, relevando post tantum iter corpore. Unde et
apud Teutonicos #Rasta@# a requiescendo appellatur.
CAPUT III. #De descriptione quantitatis earumdem mensurarum trifaria.@#
Sed quia haec de linearibus, id est solam longitudinem
designantibus mensuris utcunque dicta sunt,
nunc quoque earumdem quantitatem, si constratae
aut solidae fiant, per passus, pedes et digitos in
subjecta, si placet, paginula quam brevissime subnotemus,
eas videlicet intermittentes quas, quantitates
tantum superficiei agrorum, demonstrare praediximus.
#Leuca@# habet lineares passus 1500, constratos his
M. I. CC. L, solidos ter MMM, et ter CMM, et LXX, es
MM, et Ves II.
#Milliarium@# habet lineares passus mille, constrato
MI, solidos MM, millia MM millia.
#Pertica@# habet lineares passus duos, constratos
quatuor, solidos octo.
#Passus@# habet lineares pedes quinque, constratos
25, solidos 125.
#Gradus@# habet lineares pedes 3, constratos 9, solidos
27.
#Cubitus@# habet linearem pedem I, unum S.,
constratos duos, unum trientem, solidos tres,.
L #Pes@# habet lineares digitos 16, constratos 256, solidos
4096.
#Sexta@# habet lineares digitos 12, constratos 144,
solidos 1728.
#Palmus@# habet lineares digitos 4, constratos 16,
solidos 64.
#Uncia@# habet linearem digitum unum, constratos
unum et solidos duos, .
#Digitus@# habet linearia hordei grana 4, constrata
16, solida 64.
Et hactenus de mensuris, quae a prioribus nobis relicta
sunt, satis et non superflue, ut reor, dictum est.
Quod si prioribus in mensurando partibus indiget,
diligens quisque unamquamque mensurarum praedictarum,
ut necesse fuerit, seu per minutias usitatas
sive per intellectuales multimodis habere poterit.
CAPUT IV. #De planis figuris.@#
Nunc vero de figuris, quae praefatis linearibus
includuntur mensuris, speculandum est. Figura,
quae Graece #schema@# vocatur, est spatium certis terminis
inclusum. Hujus species duae sunt. Aut enim #planae@#
aut #solidae@# sunt. Sed de solidis in posterioribus;
nunc de planis videamus.
#Planae@# dicuntur figurae, quae profunditate, id est,
altitudine carentes, in longitudine tantum latitudine
que considerantur. Hae vero si rationabiliter proponuntur,
aut rectis lineis, quae Graece #euthyae,@# determinantur,
et angulatae sunt, appellanturque #euthygrammae;@#
aut curvis seu circumferentibus lineis,
quas Graeci #cyclicas@# sive cycloides ( #Cod.,@# licoides)
sive #capellas@# vocant, includuntur, et rotundae sive
oblongae sunt, et #campylogrammae@# nominantur: vel
certe utrisque, id est rectis et curvatis, componuntur,
et partim angulatae, partim lunatae seu rotundae
sunt, quod genus #micton@# a Graecis dicitur. Quae
singulae, prout commodum et utile videbitur, in
consequentibus apertius describentur. Spatium autem
sive planities planarum figurarum lineis circumscripta, #embadum@#
a Graecis appellatur, quod a nostris
interpretatum #area@# nuncupatur, ad cujus videlicet et
areae quantitatem investigandam variae, pro diversitate
figurarum et theorematum, regulae passim dispersae
feruntur, ex quibus aliquas, quas nostri attingere
potuit diligentia, quae utiliores videbantur,
aliquantisper ordinatius digestas aggredi tentabimus,
si prius pauca de #angulorum@# speciebus, et
alia quaedam ingredientibus necessaria probaverimus.
Itaque planae figurae quas rectis lineis determinari
angulatasque esse diximus, trinis necessario
planorum angulorum formantur speciebus. Est autem
#planus angulus@#
duarum linearum in planitie e
diverso ductarum ad unum punctum coadunatio.
Sive aliter: Angulus est spatium quod sub duabus
lineis continetur se invicem tangentibus. Qui nimirum,
trimodis speciebus discretus, aut #rectus@# est,
aut #hebes,@# aut #acutus.@#
#Rectus,@# qui et #normalis@# dicitur, hoc modo fit, si
rectam lineam jacentem altera stans recta contingat,
et ex utraque sui parte aequos angulos ita
facit:
Hic autem, quasi viae virtutis medium tenens, sibique
ipsi semper et uniformiter aequalis | null | 38e000db-3d69-4e67-8dfa-0240da9d1f80 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
, nec se plus
aequo dilatat, nec minus justo coarctat.
#Hebes@# autem, qui et plus normali vel #obtusus@#
dicitur angulus, qui, quasi pleonasiae more, semel
rectum excedens, incerta indefinitaque quantitate,
donec in lineam deficiat, dilatari et expandi potest.
Fit autem si jacenti lineae altera ab ea inclinata
jungatur ita:
#Acutus@# est, qui, neomesiam imitans, et infra rectum
subsistens, identidem quantitate indefinita usque
in lineam directam coarctari valet. Fit vero si
jacentem lineam rectam altera ad eam inclinis tangat,
ita:
Et hi quidem anguli, ex rectis scilicet facti, #euthygrammi@#
Graece, #rectilinei@# possunt Latine appellari.
Possunt tamen eaedem tres angulorum species aliquomodo
ex rectis et circumferentibus lineis, item
ex circumferentibus solis figurari. Ex rectis namque
et circumferentibus lineis recti anguli figurantur,
si circulus aequaliter a puncto circumductus rectam
lineam per ipsum punctum in duo aequa secat
ita:
#Hebetes@# autem, qui et obtusi anguli, si major
dimidio circuli pars hoc modo formetur;
Acuti vero fiunt, si minor medietate circuli pars
scribitur:
Ex solis autem circumferentibus lineis, si eas, id
est, tres angulorum species, velis figurare, duos
aequales circulos ita sibi invicem innexos circumducito,
ut uterque circumductione sua secet alterius
punctum; sicque et in media, ni fallor, area, et in
singulis partibus altrinsecus positis rectos omnes ad
sui modum angulos pernotabis ita:
Quod si duos alios connexueris, ita ut uterque
suo ambitu punctum includat in medio embado
duos hebetes, in quatuor altrinsecus vero positis
acutos nihilominus angulos formabis ita:
Sin autem ita bini sibi nectantur, ut punctum alterutrius
ab altero immune omnino relinquatur, in
media nimirum areola acuti in extremis utrinque
hebetis anguli species figurantur, ut cernis.
Ut autem omnes angulorum species in una pariter
inspiciantur, talis circulorum componitur connexio:
Sciendum quoque est quod acuti anguli #interiores,@#
hebetes vero #exteriores@# ad comparationem scilicet
recti anguli solent appellari. Rectus quippe angulus
ab hebete, utpote exteriore, latioreque includitur;
sed ipse rursus acutum, ut videlicet amplior, interiorem
includit; quod in subjecta formula rectilinea,
ubi omnes angulorum species ad unum eo adunatae
sunt punctum, describitur hoc modo.
Intuendum etiam est quod rectae lineae jacenti si
recta una, quae perpendicularis dicitur, erecta superstet,
ubi jacentem tangit, ex utraque sui parte
rectum angulum efficiet hoc modo:
Si vero ad alterutram partem linea superstans inclinetur,
in illa, ad quam inclinetur, parte interiorem,
id est, acutum angulum efficit, in altera vero
exteriorem, id est hebetem, ita tamen ut hi duo anguli,
interior scilicet et exterior duobus rectis sint
aequales, hoc modo:
Quantum enim interior a recto minus habet, tantum
exterior rectum supervadit. Quod si rectae jacenti
lineae duae adversis partibus inclinatae ita superstent,
ut et illam et se invicem ad unum punctum
tangant, tres nimirum interiores angulos formant,
ita tamen, ut hi tres anguli duobus rectis
aequales sint. Nam tantumdem spatii quantum duo
recti occupant, hoc modo:
Si duae rectae sese invicem altera per alteram
ductae secent, aut quatuor rectos efficiunt angulos,
aut duos exteriores, totidemque interiores ex adverso
sibi invicem aequos reddunt, qui tamen quatuor
rectis angulis sunt aequales, hoc modo:
Duae rectae lineae aequali a se invicem spatio inductione
sua distantes et in infinitum ductae, nunquam
invicem concurrentes #paralellae,@# id est aeque
distantes dicuntur, ita:
Quod si recta linea ab una ad aliam ducta fuerit,
aut rectos angulos quatuor, ubi tangit eas, efficiet,
aut totidem rectis aequos, binos scilicet interiores,
binosque exteriores sibi ex opposito invicem
aequales taliter:
Possent quidem et alia nonnulla de lineis et angulis
inveniri et dici. Sed haec ingredientibus sufficere
putavi.
CAPUT V. #His tribus anguli speciebus omnis coagulata consistit figura.@#
In omnibus ergo, ut dictum est, planis figuris,
quae quidem angulatae sunt, unam vel duas, vel
certe omnes has angulorum species necessario invenis;
unam, ut omnes angulos rectos habeant aut
hebetes omnes, vel omnes acutos; duas, ut alios
angulos rectos habeant, alios acutos, aut alios hebetes,
alios acutos, aut alios rectos, alios hebetes | null | ee38ee09-bdb7-4d66-a898-1359ca751d27 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
; omnes,
ut et rectus, et hebes et acutus, quod tamen
rarius evenit, ut in una aliqua inveniatur figura.
Quod totum posterius in earum satis formationibus
clarebit. Nunc jam de #triangulo,@# qui in planis figuris
naturaliter primus occurrit, sequens ratio quae
videbuntur aggredi tentabit.
CAPUT VI. #De principalitate trianguli.@#
#Triangulus,@# ut in arithmeticis satis a Boetio declaratum
est, ideo planarum principium existit figurarum,
quia tria primum rectae lineae superficiem
seu latitudinem aliquam possunt includere. Duae
quippe rectae nihil possunt spatii circumdare, atque
ille ideo, quia tribus lineis distensus figuras
angulatas planasque primus efficit, jure in eisdem
figuris principatus locum obtinebit. Qui et ideo
principium et quasi elementum exstat in angulatis
figuris, quod unaquaeque earum ex eo componatur,
et in eumdem resolvatur. Si enim ipsius trianguli
sive tetragoni vel pentagoni, hexagonive ceu caeterorum
sequentium multiangulorum superficiem, id
est aream mediam puncto designaveris, et ab eodem
puncto ad angulos rectas lineas deduxeris, unumquemque
eorum ex tot compositum et in tot triangulos
divisum pernotabis, quot ipse constat ex angulis.
Nam eodem modo ipse triangulus in tres alios
triangulos; tetragonus in 4; pentagonus in 5; aliique
sequentes juxta numerum angulorum suorum
in triangulos dividuntur. Ubi subtiliter id etiam
evenit ut, quia in triangulos cujusque eorum divisio
fit, per triangulorum quoque regulas uniuscujusque
eorum a diligentibus embadum inveniri possit. Quare
satis cuipiam potest declarari omnium planarum
figurarum triangulum principium esse.
CAPUT VII. #De speciebus trianguli.@#
Est autem #triangulus,@# qui et #trigonus@# sive #tripleurus@#
dicitur, plane figura tribus rectis lineis sive lateribus
et totidem angulis terminata. Hujus species
tres sunt, #orthogonius@# scilicet, et #ampligonius,@# atque
#oxygonius.@#
#Orthigonius@# est triangulus unum rectum angulum
habens et duos acutos, taliter:
A recto autem angulo, quem habet, nomen possidet. #Orthon@#
quippe Graece rectum: #gone@# angulum
sonat. Inde #Orthogonius@# quasi #rectiangulus@# dicitur.
#Ampligonius@# est triangulus unum hebetem et duos
acutos habens angulos, ita:
Qui et ipse ab hebete angulo suo identidem accepit
vocabulum.
#Oxygonius@# autem est triangulus omnibus acutis
angulis determinatus, ita:
Unde ab acuto, quia #oxya@# sonat, appellatus est.
Hic vero et unius speciei angulos et aequa latera
potest habere: quod in prioribus omnino est impossibile,
ut et quivis facile intelligere, et in figuris
eorum oculis valet approbare.
Habent etiam iidem trigoni quaedam alia quoque
tria ad discretionem sui vocabula. Alius enim eorum #isopleurus,@#
alius #isoceles,@# alius #scalenos@# dicitur.
#Isopleurus@# est qui omnibus aequalibus continetur
lateribus. #Isos@# quippe #aequalis; pleuros latus@# dicitur.
#Isoceles,@# qui duo habet latera aequalia, qui etiam
quasi cruribus insistit; tertium inaequale, unde et
isoceles, quasi aequicrurius dicitur.
#Scalenos,@# qui omnia latera inaequalia invicem continet;
dictusque #scalenos@# quasi #gradatus,@# eo quod
velut gradibus, de uno in aliud transfertur latus.
Sed #isoplevrus,@# id est aequilaterus solus dictus potest
esse trigonus oxygonius; isoceles vero atque scaleni
et #orthogonii@# et #ampligonii,@# ipsique item #oxygonii@#
poterunt fieri. Singuli quippe eorum et duobus
lateribus aequalibus, tertio inaequali, et omnibus inaequalibus
solent formari.
CAPUT VIII. #De natura triangulorum.@#
Illud quoque in his triangulis speculare, quod
juxta supradictam superius angulorum quantitatem
in omni trigono ampligonio exterior, id est hebes
angulus major est utrisque interioribus, id est acutis
in ipso scilicet ampligonio trigono ex adverso
constitutis, ipsique duo non solum exteriore sed
etiam recto angulo minores probantur, ut in hoc:
In omni quoque triangulo duo anguli quoquomodo
sumpti duobus rectis angulis minores sunt.
In omni etiam triangulo minus latus majorem
angulum, majus vero minorem efficit.
Si in quolibet trianguli latere a finibus lateris duae
rectae lineae introrsum inclinatae angulum faciant,
ipsae quidem caeteris trianguli lateribus minores
sunt; angulum vero majorem efficiunt ita:
In omni orthogonio triangulo, solus rectus angulus
duobus reliquis interioribus, id est acutis, probatur
aequalis. In oxygonio autem tres interiores, id est
acuti singuli duobus rectis angulis aequi sunt, et | null | 33664633-271b-441c-a4d0-d23d491e71a3 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
omnino in omnibus triangulis idem evenit, ut tres
eorum anguli duobus rectis angulis aequi sint. Nam
in ampligonio quantum exterior, id est hebes angulus
rectum superat, tantum duo interiores, id est
acuti superantur a recto. Et in orthogonio unus rectus
est, et interiores, id est acuti, qui item, ut dictum
est, unum rectum angulum complent.
In oxygonio quoque duo acuti unum rectum superant,
sed duobus tantum minores sunt, quantum
tertius supplere poterit angulus. Et juxta hanc rationem,
ni fallor, erit intelligendum quod in categoriarum
Aristotelis Commentariis a Boetio dictum
est: #Multi saepe movere soliti sunt scrupulum: scimus
triangulum tres interiores angulos duobus rectis
angulis habere aequos.@#
His interim de natura triangulorum expeditis,
qualiter quisque angulus, utrum rectus an hebes
aut acutus sit, discerni queat breviter dicamus, ut
certius requirenti utrum triangulus quisque orthogonius,
an ampligonius sive oxygonius sit, probare
valeamus.
CAPUT IX. #Quomodo tres angulorum species discerni valeant?@#
Si de aliquo angulo, utrum rectus an hebes acutusve
sit, dubitaveris, hujusmodi experimento uti
poteris. Ab angulo, de quo dubitas, in utraque linea,
quae in eo conveniunt, aequalem mensuram cujusvis
longitudinis sumptam punctis utrinque notato,
et ab uno ad aliud punctum rectam lineam ducens,
eamque in duo aequa dividens, medietatem
ejus puncto signabis. A quo videlicet puncto si ipsa
eademque mensura, qua medietatem lineae esse invenisti,
angulus ille, de quo quaesieras, distabit,
rectus erit. Si longius distans ab ea mensura attingi
nequiverit, acutus; si autem propior a praefata
transgreditur mensura, obtusus, id est hebes esse
dignoscitur. Verbi gratia, sit angulus, de quo dubitas, #a:@#
a quo in utraque linea aequali mensura distet #b@# et #c.@#
Medietas lineae a #b@# ad #c@# ductae fit #d.@# Si ergo a #d@# puncto #b@#
et #c@# et #a@# aequali mensura distent, rectus angulus #a@#
erit. Si minor ad #a@# fuerit, quam ad #b@# et #c,@# hebes.
Si autem major, acutus angulus #a@# esse non dubitatur.
Vel aliter, juxta Pythagorae inventum. Ab angulo,
de quo dubitas, in una ejus linea tres aequales longitudinis
mensuras, utpote pedes, in altera ejus longitudinis
quatuor dimetiens, ubi utrinque fuerint terminatae,
punctis signato, et ab uno horum puncto
ad alterum lineam rectam deducito. Et si haec linea
quinque aequaliter pedes habuerit, angulus ille, de
quo dubitas, rectus erit; si plus quam quinque,
hebes; si autem minus, acutus apparebit. Exempli
causa, sit ipse angulus #e@#
ab hoc in una linea tres mensuras quasi pedes
usque ad #g@# metior, ab eodem in altera linea usque
ad #f@# duo. Si ergo in hac linea inter #f@# et #g,@# quinque
ejusdem longitudinis mensuras invenio, #a@# angulum
rectissimum natura cogente minime dubito; si autem
plus quam quinque, hebetem; si minus, inter
acutos eumdem putari debere certissimum teneo, ut
in subjecta formula patet. Lineae vero rectae, quibus
trigoni seu tetragoni, et aliae quaedam planae figurae
determinantur, his ferme vocabulis designantur.
CAPUT X. #Le appellationibus linearum in figuris.@#
Linea quae in una parte figurae directe et non oblique
jacet, #basis@# nomen accepit, eo quod super ipsam
figura fundata sit. Quae vero in summo quasi in culmine
figurae similiter directim ducitur, #coraustus@# appellatur,
atque jusum [deorsum] a summo directim more
perpendiculi pendens, ubi basi coraustove conjungitur,
rectum angulum efficit, #catheti@# sive #perpendicularis@#
vocabulum suscipit. Illa autem quae, oblique
jusum sive susum deducta, hebetis vel acuti anguli
effectrix videtur, #hypotenusa,@# id est obliqua sive #podismus@#
nominatur.
Ex harum autem linearum mensura, maximeque
catheti et basis seu corausti, quae scilicet longitudinem
latitudinemque figurae determinant, constratam
embadi mensuram, ut superius commemoravimus,
vestigare debemus. Sed quamvis ampligonius
propter angulum majorem a quibusdam praeponatur,
oxygonius vero propter isopleuron, qui et
angulorum et laterum aequalitate gaudet, principalior
putatur | null | d907bdf6-aa35-4b80-8ed0-2fd1cb079b7c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
. Nos tamen orthogonium cum reliquis suis
tum propter recti anguli principatum, tum quod
ratio ejus apertior certiorque sit, et ab eo ampligonius
oxygoniusque regulas accipere videantur, merito
his anteponendum aestimamus.
CAPUT XI. #De Pythagoricis orthogoniis.@#
Inter omnes diversorum laterum triangulos orthogonius
ille quodammodo speciale privilegium et meritum
habere videtur, qui ab inventore Pythagora #Pythagoricus@#
appellatur; quod quare videatur, in
consequentibus manifestatur. Hic autem talibus laterum
proportionibus continetur, ut #basis@# ad cathetum
sesquitertia, hypotenusa ad basim sesquiquarta,
itemque ad cathetum superbipartiens tertias
sit. Habet quippe cathetus pedes, aliasve minores
vel majores mensuras in eisdem proportionibus, ut
subscripti.
CAPUT XII. #Quomodo minutiae addantur figuris.@#
Quod autem interdum quaedam vel omnia latera
hujusmodi orthogoniorum minutiis admistis solent
propani (neque enim sagacem geometren minutiandi
solertiam decet ignorare), horum etiam re erit
exempla subnotare:
In his itaque aliisque orthogoniis in eisdem laterum
proportionibus constitutis, videlicet et Pythagoricis,
hoc modo invenire per cathetum alia latera
poteris.
Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur;
residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem,
quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam
habebis, ut in eo, quem primum posui,
cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata
nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia
basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui
basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur,
hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque
in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis
numeris compactis invenitur, ut in his 4,
quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt.
Horum nona parte, id est unitate ablata et triente
residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et
triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim
juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.
Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato,
nonaque parte inde ablata, basim habeto.
Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto,
dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat.
Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos
novem addita fiet 10 hypotenusa.
Similiter in eo cui et quadrantem in catheto
posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti
7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id
est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem
8 et hypotenusae tribuit.
Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona
inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur.
Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat.
Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27
efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet
dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est
nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.
Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto,
dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata,
19 facit. Inde nona parte, quae est 2 ( #Glossa
vetus: z.@# siliquam interpretatur) #z.@# S. et S. abblata
remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id
est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata
superaddita podismum, id est 10, et S. quinque
φ
facit cum summa dubietate seposita.
Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione
dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis
prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis
vel omnino vera vel veritati proxima est.
Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per
duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas
naturae constitutione certissima hoc modo:
Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus
in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus
in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul
summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus
tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus
esse sciatur.
Tetragonus autem, ut ex arithmeticis notissimum
est, dicitur numerus ex alio in se ducto procreatus,
ut 4, qui ex binario; ut 9, qui ex ternario; ut 16,
qui ex 4 in se ducto procreatur. Duo enim bis quatuor | null | defe51d6-5b52-420c-9dd5-42660b2c3b89 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
,
et tres ter novem, et quater quatuor 16 creant.
Numerus autem qui ita tetragonum in se ductus
efficit, ejusdem effecti a se tetragoni #latus tetragonale@#
vocatur.
Ut autem basis quantitas pernoscatur, ex numero
hypotenusae ducto in se, catheti numerus item in se
ductus auferatur, et residui numeri latus tetragonale
basi, ut naturaliter insita quantitas tribuatur.
Ad catheti vero mensuram vestigandam ex hypotenusae
numero item in se ducto, numerum basis in
se ductum adime, et latus reliqui tetragonale pro
catheto tene. Quae singula ut clarescant exemplis ex
superioribus orthogoniis minimum sumo, et per
cathetum ejus ac basim hoc modo hypotenusam invenio.
Cathetus, id est 3, in se ductus 9, tetragonum
facit. Item basis, id est 4, in se ducta in 16,
tetragonum surgit. Qui duo tetragonii 9, et 16
conjuncti 25, rursus tetragonum compaginabunt.
Cujus latus tetragonale, quod est 5 (quinquies enim
quinque 25 numerum complet), hypotenusae.
Per cathetum autem et hypotenusam hoc modo basim
invenies. Ex numero hypotenusae, id est 25,
cathetum in se ductum 9 aufero, et reliqui, id est
16, latus tetragonale, quod est 4, basi ascribo. Ad
cathetum vero reperiendum ex eodem 25, hypotenusae
numero in se ducto basim in se ductam, id est
16 detraho, et reliqui novenarii latus, id est 3, dabo
catheto.
Item, ut et in majori exemplum dem, sumo eum
qui in catheto 12, et in basi 16 tenet, numerosque ex
utrisque in se ductis confectos, scilicet 144 et 256,
conjungo, et ex utrisque confecti 400 numeri latus
tetragonale, id est 20, do hypotenusae. Ex quibus
iterum 400, si cathetum in se ductum, id est 144,
abstraho, reliqui 256 numeri latus, id est 16, basi
tribuo. Quod si eisdem 400, basis in se ducta, id est
256, adimatur, 12 qui residui, id est 144, illius numeri
latus est, perpendiculari, id est catheto donatur.
Et ne in minutiatis quoque orthogoniis exemplum
dare subterfugiam, eum accipio, cui superius 6 et
in catheto posueram, ipsumque cathetum regulariter,
quod abacistae facillimum est, in se duco, et 40
S. tetragonum invenio. Item basi, quae est 64,
3 3. II. M
M et tertia. 8 in se ducta fit tetragonus 71.
et duae et tertia unius. Hi duo tetragoni
simul juncti faciunt tetragonum 101
et duas siliquas et tertiam unius siliquae continentem.
Cujus latus tetragonale inventum, quod est 10
S. E et C. (nam hoc in se multiplicatum eumdem
restituit) hypotenusae ostendit quantitatem. Ex eodem
autem hypotenusae numero in se ducto, id est
duabus siliquis et tertia parte siliquae, si
cathetum in se, id est 40, S. dempseris, reliqui,
id est 71 duarum siliquarum et trientis
siliquae latus erit basis, id est 8 Ex eodem
hypotenusae numero basis in se ducta dempta si
fuerit, remanentis, id est 408, et latus tetragonale,
quod est 6, cathetum restituit. Atque haec regula
in caeteris quoque orthogoniis probare volentem
nunquam fallit, si lineares laterum mensuras invenire
libuerit.
Ad constratam vero embadi, id est areae quantitatem
in his Pythagoricis orthogoniis inveniendam hujusmodi
habe regulam; trium laterum quantitates,
videlicet catheti, basis et hypotenusae in unum colligantur;
medietas hinc sumatur, et ab hac basis
auferatur; qui remanet, per cathetum multiplicetur,
et summa inde nata duplicetur; duplicata per quartam
sui partem multiplicetur, nataeque inde summae
latus tetragonale pro embado habeatur. Verbi gratia:
minimi in superioribus orthogoniis trium laterum numeros,
id est 3, 4, 5 conjungo, fient mihi 12; horum
medietas 6 erit. Inde sublata 4, basi, 2 residui
per cathetum, id est 3, ducti 6 faciunt; qui multiplicati
12 redduntur. Hi per quartam sui partem, id
est per 3 ducti, 36 efficiunt. Horum si latus tetragonale,
quod est 6, accipio, areae orthogoniique
hanc summam habeo.
In primo quoque, quem cum minutiis posui, eodem
modo, si laterum sumas, id est 4, 5, 6
copulo, 16 conficio | null | 1b47cc57-704e-4368-b804-ccc764b109f0 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
. Media, id est 8, inde sumpta,
basique, id est 5 inde ablata, residuis, id est 2
per cathetum, id est 4, ductis, 10 habeto.
His duplicatis, 20 i. facio, quibus per 4 sui, id
est 5 ductis fient 113, Hujus tetragonale
latus, quod est 10 , si sumpsero, embadi
totius planitiem impleo, et ita in caeteris.
Multum vero simplicior faciliorque et expeditior
erit regula embadi inveniendi in omnibus orthogoniis
una in omnibus prorsus triangulis universalibus,
ut scilicet per dimidium basis cathetus multiplicetur,
et quod inde creverit, pro embado habeatur. Quod
idem erit, si conversim per dimidium catheti multiplicetur
basis integra, et inde natum embadum
dicatur; vel si tota basis per totam perpendicularem
ducatur, et nati inde numeri medietas areae tribuatur.
Cum enim per cathetum basis, vel per longitudinem
latitudo ducitur, quadrati areae quantitas invenitur.
Quem cum transversim ab angulo ad anangulum
medium divido, duos nimirum triangulos
sibi invicem aequos efficio, quia in utroque eorum
medietatem areae tetragoni invenio.
Sed huic ut exempla quoque regulae subjiciam, ex
superioribus orthogoniis ille mihi proponatur, cujus
cathetus 15, basis 20 pedibus annotatur. Multiplico
itaque per cathetum basim hoc modo: 15, 20, fient
300. Horum dimidia, id est 150, totius areae pedum
constratorum indicat numerum.
Eodem modo in illo cum minutiis misto, cujus
cathetus pedes 6 , basis 8 possidet, basis
per cathetum regularem ducta efficit constratos pedes
53 9 siliquam. Horum medietas, quae est
ped. 26 G. 9 2, et medietas siliquae, totius
quantitatem indicat areae. Eodemque modo in caeteris.
Quod si minores quoque pede mensuras utpote
palmos, uncias, digitos in praedictis embadis, quot
sint, velis scire, respicito in superioribus, quantas
ex his singulis pedis constrati capiat mensuras. Recipit
quippe pes constratus, ut dictum est, palmos
quater quaternos, id est 16, uncias vero duodecies
duodenas, id est 144, digitos decies sexies sedenos,
id est 256. Per hos singulos numeros priorum aream
orthogoniorum multiplicato, et in priori quidem
area, quae 150 pedes constratos habet, invenies palmos
constratos 2400, uncias 21600, digitos autem
constratos 38400.
In sequentibus vero, cujus area constratos pedes
26 5. et medium ejus continet,
reperies palmos 427, et duas siliquas;
uncias vero 3850 quinque , digitos 6863,
quinque , et duas siliquas contineri. Et
eodem in caeteris modo.
Quod si etiam ager hujusmodi orthogonii schema
tenens proponitur, utpote cujus cathetus 60, basis
80, hypotenusa 100 perticis metiatur, et, quot jugera
vel quot agripennos contineat, inquiratur;
primo, per cathetum, id est 60, basim, quae est 80,
multiplico: fient 4800. Horum medietatem, id est
2400 pro constratis totius agri perticis habeo. Post
autem, quoties in hoc numero constratae perticae
unius jugeri 288, vel agrippenni unius, id est 144
cohibeantur, inquiro. Sunt vero in 2400 octies 288,
et insuper tertia eorum pars: 144 vero in eodem
numero sedecies habentur et bisse eorum; igitur in
proposito agro orthogonio triangulo 8 jugera, et tertiam
partem jugeri, agrippennos autem 16, et duas
tertias agrippenni unius contineri non dubium est.
Sed quoniam de invenienda in his orthogoniis embadi
quantitate satis dictum est, aliam regulam adhuc,
qua per hypotenusae et embadi numeros cathetum
et basim reperiunt, subjici putamus, quae est
hujusmodi:
Numero hypotenusae in se ducto quatuor embadorum
numerositas adjiciatur, et hujus simul summae
latus tetragonale sumatur, idque basis et catheti numerum
simul complecti non dubitetur. Ut vero utrique
eorum, basi scilicet et catheto, suus distincte numerus
reddatur, ex numero hypotenusae in se ducto
4 embada subtraho, et residui adhuc numeri latus
tetragonale sumo; idque superius invento numero,
qui basim et cathetum confuse continebat, adjungo,
et horum simul medietatem majori ex his, utpote
basi, propriam tribuo. Ipsum vero latus tetragonale
si ab eodem numero, qui basim simul et cathetum
continet, aufero, et residui dimidium sumpsero, minus
ex his latus, utpote cathetum reperio. Vel aliter:
ex numero, qui basim cathetumque pariter continet,
inventam basim aufero, et remanet | null | a74db647-443d-4db9-bccc-3d09262a9a23 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
cathetus
vel cathetum repertum adimo, et reliqua erit basis.
Quae omnia ut apertis certificentur exemplis, in
quibuslibet superiorum probentur orthogoniis. Sumo
itaque eum, cujus hypotenusa 10, embadum 24 pedes
possidet. Ducta in se hypotenusa sic progreditur.
Huic quatuor embada juncta 196 consurgunt. Cujus
numeri latus, quod est 14, basis simul et catheti
numerum concludit. Quae ut cernere valeam ex numero
hypothenusae in se ductae, id est 100, embada
quatuor, id est 96, aufero, et remanentis quaternarii
latus tetragonale communi utrorumque numero,
id est 14, adjungens, 16 habeo. Cujus medietatem,
quae est 8, basi assigno. Si vero ex communi utrorumque
numero, id est 14, ipsum latus, qui binarius,
adimo, remanent duodecim. Cujus dimidium, id est
6 repraesentant cathetum. Quod idem erit, si inventam
basim, id est 8, a communi utrorumque numero,
qui est 14, aufero, vel si inventum cathetum,
id est 6, ab eodem communi numero, qui est 14,
aufero.
Item illum assumo, cujus podismus 6. embadum
10, continet. Podismus, id est 6 in se ductus
44. creat. Cui embada 4, id est 42
adjungo 87. S. conficio. Cujus latus tetragonale,
quod est 9, catheti simul et basis quantitates
comprehendit. Qui ut segregentur ex numero podismi
in se, id est 44, embada 4, id est 42
subduco, et remanent 8, Cujus latus
tetragonale quod est 1 si a communi utrorumque
numero, qui est 6 , adimatur, residui, id
est 8, dimidium, scilicet quaternarius, cathetum determinat.
Idem vero latus, quod est 1 ad eumdem
communem numerum, qui est 9 adjunctum,
10 conficit. Cujus medietas, quae 5 et est, basim
haud dubie reddit. Et hae quidem interim sufficiant
regulae, quas de Pythagoricis ad praesens potuimus
invenire.
Formantur vero et alii ex ipsis Pythagoricis quos
supra diximus, tripleuri, si eam quantitatem, quam
supra basis habuerat, cathetus accipiat, et, quam
cathetus possederat, basis alternatim quantitatem
sibi assumat, ut in subscriptis. Sed in eorum regulis
orthogoniorum diutius non arbitror immorandum.
Nam universae regulae quae in superioribus Pythagoricis
sive ad laterum quantitatem alternatim dignoscendam,
sive ad mensuram areae inveniendam
traditae sunt, et exemplis dilucidatae sunt, in his nihilominus
eamdem consequentiam probantur retinere
tantum (Notat hic sequentia vetus glossator:
Littera falsa est. Sed is est sensus: in hoc differunt
a Pythagoricis, quod basis Pythagoricorum erit cathetus
istorum et e converso), quantum si in quibusdam
illarum ad cathetum specialiter videtur pertinere;
hic basi, et quod ibi basi, hic catheto quis
meminit attribuere. Quod ob cavendam prolixitatem
ne jam videar replicare, diligentiae et probationi lectoris
malui relinquere.
CAPUT XIII. #De Geometria trigoniorum praedictorum.@#
Sed nequaquam silentio puto transeundum quod
interim, dum haec scriptitarem, ipsa mihi natura
obtulit speculandum. Quemcunque superiorum orthogoniorum
ad alium comparare volueris juxta
quod Plato in Cosmopaeia Timaei de planis figuris
proponit, Boetiusque in arithmeticis de tetragonis
tantum per exemplum ostendit, unam inter eos geometricam
medietatem, quae utrumque una proportione
conjungat, te invenire miraberis.
Primam quippe ex praescriptis Orthogoniis aream
6 implet; quem si ad secundum, qui 24 continet,
comparaveris, unum solum inter eos numerum, id
est 12, qui utrosque una, id est dupla proportione
continet, reperire poteris.
Item inter secundum et tertium, id est, 24 et 54,
medius numerus 36 invenitur, qui ad utrumque
sesquialtera habitudine comparatur. Inter tertium
et quartum, id est 54 et 96, medium 72 numerum
sesquitertia utrosque proportione continuantem adinvenis;
et quoscunque quibuslibet intermissis sibi
invicem conferes, idem sine errore pernosces. Nam
si item primum ad quintum, id est 6 ad 150 conferas,
in medio nihilominus 30, qui quincupla utrosque
collatione continuet, investiges. Item si secundum
et sextum, id est 24 et 216 compares, 72 medium
tripla utrosque proportione coadunantem recognosces.
Nec si integros ad minutiatos, et minutiatos item
ad minutiatos ad se invicem orthogonios conferre
cupias, aliquem te scrupulum offendere metuas. Nam
si item primum, id est 6 ad eum qui 10 embado
continet | null | 8b64bb17-ab6d-4ffd-8af1-2c51722e5f1e | latin_170m_raw | null | None | None | None |
conferas, in medio 8, qui sesquitertia ad
utrosque habitudine se copulet, mox aspicias. Item
si eumdem, qui 10 ad sequentem, qui 18
concludit, velis comparare, medius 14 numerus geometricae
medietatis proprietates inter eos probatur
obtinere; 14 namque numerus 10 in se continet
et ejus quinque sextas decimas, et item 18 .
eodem modo 14 in se continet et ejus 5 sextas decimas;
quae proportio super quinque partiens sextas
decimas appellatur. Itaque ne diutius immorer,
quaecunque talium orthogoniorum alii conferas,
unum inter eos, ut dictum est, numerum, qui omnes
geometricae medietatis proprietates custodiat,
intitubanter invenire poteris. Sed hic numerus, geometricam
scilicet proportionalitatem efficiens, hoc
modo erit inveniendus:
Cathetus prioris orthogonii per basim multiplicetur
sequentis, sive, quod idem erit, basis prioris
per cathetum ducatur sequentis, et nati inde numeri
medietas sumatur, et pro medietate geometrica
inter ipsos orthogonios habeatur, ut inter 6 et 24.
Cathetus prioris, qui est 3, per basim sequentis, quae
8 habet, ducatur, et 24 creantur. Cujus medietas,
quae est 12, loco geometricae medietatis inter 6 et
24 statuatur. Vel aliter
Ipsa Orthogoniorum embada inter se multiplicentur,
natique inde numeri latus tetragonale pro geometrica
inter eos collocetur medietate, ut in supradictis,
qui 28 , et 57 in embadis suis continent,
embada inter se ducta in 1606 φ surgunt. Horum
latus tetragonale 4 et S. invenitur, geometricaeque
medietatis proprietates inter ipsos orthogonios conservare
dignoscitur.
Illud quoque in his volo consideres quod ipsa eademque
proportione per geometricam medietatem,
de qua dixi, orthogonii ipsi continuantur, qua videlicet
latera eorum univoca, id est cathetus catheto,
basis basi, podismus podismo sibi invicem
conferuntur. Nam si latera ad se invicem dupla sunt,
dupla nihilominus orthogonii ipsi collatione per intervenientem
copulantur medietatem; si sesqualtera,
sesqualtera, et in caeteris similiter. Sed de his hactenus.
Nunc et de reliquis orthogoniis videamus.
Sunt item alii orthogonii non iisdem laterum proportionibus,
quibus superiores, conjugati, sed ad
ipsorum tamen similitudinem tali in lateribus numero
insigniti, ut cathetus itemque basis in se singilatim
ducti tales duos tetragonos efficiant, qui
item conjunctione sui tertium tetragonum componant.
Cujus videlicet tetragonale latus, juxta regulam
superius prolatam, podismi quantitatem faciant,
ut subjecti sunt, una sibi invicem laterum proportione
germani.
Hi sunt omnes tali proportione laterum connexi,
ut cathetus et basis in se ducti duos tetragonos faciant,
qui duo conjuncti tertium efficiant, cujus latus
tetragonale constituat hypotenusam. Porro isti
sequentes, quisque ab alio diversa laterum proportione
connexus item ut praedicti cathetus in se, basis
in se, et hi duo tetragoni conjuncti, talem tertium
faciunt, cujus latus est hypotenusa.
CAPUT XIV. #Quas utilitates ars geometrica spondeat?@#
Geometricales tractanti diversitates praemonstrandum
est quas ipsius artis tractatus spondeat utilitates,
quatenus lectoris ingenium, insinuationis trifidae
ratione incitatum, promptius ad legendum, studiosius
sequentis operis perscrutetur tractatum. Est
enim hujus disciplinae scrupulosa descriptio, sed
totius dimensionis indagatione indagationumque
commoditate copiosa descriptio. Quam tamen quamvis
arduum sit consequi, potis erit qui in ea infatigabili
sudaverit studio. Quae ut facilius, ut dictum
est, a studiosis consequamur, cuique theoremati sua
figura subjungatur.
CAPUT XV. #Nomina mensurarum quibus geometrae utuntur.@#
Mensuram appellationes, quibus utimur, sunt hae:
digitus, uncia, palmus, sexta, quae et dodrans appellatur,
pes, laterculus, cubitus, gradus, passus,
decempeda, quae et pertica appellatur quasi portica
a portando, clima, actus, qui et aripennus dicitur,
jugerum, centuria, stadium, milliarium.
#Digitus@# est minima pars agrestium mensurarum.
#Uncia,@# secundum quosdam, digitos habet tres;
secundum quosdam, quod verius est, digitum unum
et tertiam digiti.
#Palmus@# habet digitos quatuor, uncias tres.
#Sexta@# digitos duodecim, uncias novem, palmos
tres.
#Pes@# digitos 16, uncias 12, palmos 4, sextam unam
et tertiam ejus.
#Laterculus@# pedem unum in latitudine, uncias 23
in longitudine.
#Cubitus@# sesquipedem, sextas 2, palmos 6, uncias
18, digitos 24.
#Gradus@# habet pedes 2; #passus 5; pertica 9 | null | f4751d23-b21d-4570-873b-c3b8f9e4a80b | latin_170m_raw | null | None | None | None |
;
clima@# 60.
#Actus@# in latitudine 110, in longitudine 120.
#Jugerum,@# quod fit junctis duobus actibus, in longitudine
240, in latitudine 220.
#Centuria@# 200.
#Stadium@# pedes 625, passus 125.
#Milliarium@# passus 1000, stadia 8.
CAPUT XVI. #Ad altitudinem cum astrolabio metiendum.@#
Si fuerit altitudo in aequalitate, tali poterit mensurari
inspectione. Sumatur ab altimetra astrolabium,
et in medietate quadrati in postica ejus planitie
exarati constituatur mediclinium, ut hac scilicet
positione stet mediclinium alterius partis astrolabii
in numero graduum dierum 45, et tandiu ab eo ante
et retro aestimando pergatur, donec per utrumque
ipsius mediclinii foramen altitudinis summitas inspiciatur.
Qua inspecta, loco in quo stetit mensor nota
imprimatur, et huic impressioni statura mensoris
adjungatur. Post haec locus ipse diligenter notetur,
et ab eo usque ad radicem altitudinis tota planities
caute mensuretur; et quot pedum ipsa planities fuerit,
tot sine dubio altitudo erit. Si vero non in medietate
quadrati mediclinium steterit, sed in primo,
aut in secundo, aut in tertio, aut in aliquo quadrati
gradu, 12 gradibus collatis, qualis fuerit collatio inter
illos aliquos quadrati gradus et 12, talis erit inter
planitiem et altitudinem mensurandam, statura mensoris
adjuncta.
CAPUT XVII. #Ad altitudinem inaccessibilem cum horoscopo metiendam.@#
Ad altitudinem inaccessibilem ob fluvii vel vallis
impeditionem sit altitudo quaelibet, ut est #a b,@# sitque
fluvii vel vallis impeditio, ut est #b c.@# Sume horoscopum
stans in ripa #c,@# et per utrumque foramen
mediclinii summitatem #a@# diligenter inspice. Considera
numerum graduum in mensura quadrati, qui
verbi causa notatur quaternario numero, per quem
summa totius quadrati scilicet 144 dividatur, et
quarta pars reperta, videlicet 36 conscribatur. Post
haec de #c@# ad #d@# certa spatii quantitas metiatur, quae
exempli 40 pedum praeponatur. Iterum sume horoscopum
stans in fine #d,@# et per utrumque foramen,
ut prius summitatem #a@# inspice. Perpende iterum
numerum graduum in quadrato, qui signatur in ternario
numero, per quem denuo summa totius quadrati
dividatur, et pars tertia, quae est 48, juxta
quartam, quae est 36, conscribatur, et minor numerus
de majore, id est 36 de 48 tollatur, et quod remanet,
id est 12 cum latere quadrati, quod est 12,
comparetur, et numerus remanens et latus quadrati
aequalis pronuntietur, et sicut ultimum remanens 12,
quadrati lateri 12 aequale habetur, sic spatium #d c@#
spatio #a b@# aequale affirmetur, et quota pars ternarius,
qui est ultimus numerus graduum in 12, judicatur,
eadem pars #a b@# spatium in #d b@# spatio sine dubio dicatur.
Est igitur 40 #a b,@# sicut est 40 #c d,@# et est 160
totum #b d,@# et est 120 #b c.@#
CAPUT XVIII. #Item de eodem@#
Si quid eminens inaccessibile fuerit aestimandum
cum horoscopo, stet altimensor in metiendi eminentis
artifinio, suspiciatque per utrumque mediclinii
foramen, quosque intueatur altitudinis mensurandae
cacumen. Quo inspecto, gradus quadrati numerentur,
qui exempli manifestatione 3 computentur, qui
in 12 quadrati latere quater continetur. Hoc peracto
tandiu ante et retro pergatur, donec jam visum cacumen
altitudinis metiendae iterum videatur. Quo
viso numerus graduum quadrati denuo inspiciatur,
et verbi gratia 2 habeantur, qui in 12, id est quadrati
latere sexies contineri non dubitantur, et intervallum
stationum mensoris 12 pedum notabile habeatur. His
peractis minus continens ternarii, id est quaterna
rius de majori continenti, id est senario semel tollatur,
et binarius, qui remanet, in mente habeatur,
et ipsum intervallum stationum mensoris duplum
inaccessibilis alti dicatur. Et ut, quod dicimus, in
omnibus notum habeatur, universalis regula in nullo
vacillans ponatur. Subtractione continentium numerorum
facta, si unus remanserit, intervallum stationum
mensoris alto aequale erit; si duo, duplum; si
tria, triplum, et sic in sequentibus:
#Tali pictura fit declaratio pura.@#
CAPUT XIX. #Ad altitudinem cum horoscopo metiendam.@#
Si vis cum horoscopo quamlibet planitiem metiri,
dirige intuitum per utrumque foramen mediclinii,
donec terminetur intuitus in | null | d26e0a1d-d908-4bdf-981a-559343f9f33c | latin_170m_raw | null | None | None | None |
metiendae quantitatis
limite. Post haec in quoto gradu quadrati mediclinium
stet, inspiciatur, et ipse numerus graduum
superior cum 12 conferatur, et qualis computatio
fuerit graduum ad 12, talis comparatio staturae metientis
ad totam planitiem. Verbi gratia: sit statura
mensoris #a b,@# planities #b c,@# numerus graduum 3, qui
ad 12 comparatus quarta pars ejus dubietate sublata
invenitur. Igitur #a b,@# quae est statura metientis, sic #b c,@#
id est planitiei quarta pars invenitur, sicut ternarius
in 12 pars quarta computatur.
CAPUT XX. #Ad metiendum cum horoscopo puteum.@#
Primo perpendatur diligenter a geometra quatenus
circulatio putei perpendiculo perpensa aequalis
habeatur. Deinde cujus quantitudinis sit ejus diametrum
inquiratur. Invento diametro, stans mensor
super putei labrum despiciat per mediclinium
astrolabii lateris oppositi terminum. Quo viso, numerus
graduum, in quo mediclinium steterit in quadrato,
cum 12 comparetur. Et quo modo se habuerit
numerus graduum in quadrato ad 12, sic se
habebit diametrum ad profunditatem putei et ad
staturam mensoris.
Sint autem gradus, exempli causa, 4 et diametrum
4 pedum. Sicut ergo 4; est ter in 12; sic diametrum
est in profunditate putei et statura mensoris.
Qua statura ablata, quod remanserit, habe
profunditatem putei. Subjiciamus ergo figuram putei
certis litteris insignitam. Sit ergo 4 pedum #a c,@#
hoc est diametrum; sit putei altitudo #a b,@# sit ejus
diametrum #a c;@# sit statura geometrae #c d@# 4 pedum.
Eia constituamus 4 pedum #a c,@# id est diametrum, et
dirigamus intuitum per mediclinium de #a d@# ad #b.@#
Post haec gradus, qui, exempli causa, sunt 4 cum 12,
tripla proportione conferamus, et #a c,@# qui et ipsi 4
sunt ad #d e,@# in eadem comparatione ponamus. Est
igitur 4 pedum #a c,@# 12 pedum #d e,@# 4 pedum #a c,@#
quae est statura metientis. Quibus 4 sublatis, id est #d c@#
de #d e,@# remanent #c e@# octo pedum, quod est altitudo
putei.
CAPUT XXI. #Ad altitudinem arboris, columnae, vel turris per umbram cum astrolabio inveniendam.@#
Si vis alicujus arboris aut columnae vel turris, vel
cujusquam talium in plano duntaxat loco stantis
altitudinem per umbram ipsius invenire, suspenso
astrolabio, solisque radio per utraque foramina halhidadae
directim immisso, vide in qua parte lateris
quadrati, quod in 12 divisum est, directa ipsius
halhidadae stet linea, et quamcunque proportionem
numerus partium supra alhidada apparentium ad 12
id est ad totum latus quadrati habuerit, eamdem
procul dubio proportionem altitudo, quam invenire
voluisti, ad umbram in planitie a se factam habebit.
v. g., si duae partes supra apparent, ad quas 12
sescuplam habeat proportionem, sescupla quoque
ad altitudinem umbra; si tres appareant, quadrupla;
si 4, tripla; si 5, duplex superbipartiens
quintas; si 6, dupla; si 7, super quinque partiens
septimas; si 8, sesquialtera; si 9, sesquitertia; si
10, sesquiquinta; si 11, sesquiundecima; si omnes,
aequa erit altitudo et umbra. Et omnino cujuscunque
proportionis triangulum alhidada in quadrato ipso
effecerit, ejusdem proportionis triangulum umbra
cujuslibet erecti corporis in planitie stantis formabit.
In quo videlicet triangulo ipsa inumbrata
planities basis est, erecta altitudo cathetus, radius
solis umbram transversim limitans hypotenusae vicem
dignoscitur habere.
CAPUT XXII. #Item de eadem re.@#
Si vis invenire qualis comparatio sit alicujus umbrae
cum aliquo corpore in quacunque diei hora,
sumatur astrolapsus, et, radio solis per mediclinii
foramina exeunte, aspiciatur in quadrato in quo
gradu mediclinium stet; et, qualis collatio illius
gradus cum 12, talis umbrae cum corpore; hoc
tantum proviso quod, quando mediclinium stet in
dextro latere climatis, major est umbra quam corpus;
quando vero in sinistro, majus est corpus
quam umbra.
CAPUT XXIII. #Ad altitudinem cum speculo vel pelvi metiendam@#
Posito in speculo centro, vel in media scutella
plena aqua, constituatur in plano arvo, et tandiu a
geometra huc illucque trahatur, donec per medium
centrum unius supra dictorum cacumen rei metiendae | null | f99defd8-c3ad-4130-b507-d8a65fbe39ad | latin_170m_raw | null | None | None | None |
aspiciatur. Cacumine invento, spatium, quod
continetur inter pedes mensurantis et centrum
speculi, vel medium vasis limphae pleni, diligenter
mensuretur, et post haec non minus caute staturae
metientis comparetur; et, ut fuerit illud spatium
metientis staturae, sic erit linea a medio centro speculi
usque ad altitudinis radicem rei metiendae.
Exempli causa, addatur plana figura:
CAPUT XXIV. #Ad aestimandam cujusque rei altitudinem sole lucente.@#
Quaecunque res posita fuerit sub divo, umbram
emittit, sed non sibi semper aequalem. Quapropter
umbrae ipsius quotam partem volueris, eligas. Deinde
virgulam coaequalem huic parti in terra statuas,
et umbram exinde cadentem seu per pedes,
seu per palmos, seu per uncias dividas. Si major
inventa fuerit umbra quam virgula, quantum umbra
virgulam superat, tantum a singulis, quarum mensuram
virgula habet, subtrahas. Si autem minor est
umbra, quantum virga superat, tantum praedictis
partibus adjicias. Quidquid autem in umbra vel
augmentatione creverit, vel subtractione remanserit,
pro mensura illius rei habeto.
Componitur etiam aliud instrumentum ad altitudinem
sine difficultate inveniendam, quod hac de
causa a sapiente ( #Glossula:@# Pythagora) inventum
putatur, quia visum humi adjungere difficile mensori,
inconveniens spectatori putabatur, sumitque quantitatem
suae magnitudinis a magnitudine staturae metientis.
Constituamus arundinem tali magnitudine, ut duplari
proportione proportionetur mensoris longitudini;
cujus medio altera arundo orthogonaliter conjungatur,
quae, staturae mensoris longitudini aequalis,
ei cui conjungitur, subdupla habeatur. Hoc ergo instrumentum
sic compositum tandiu ducatur a mensore
per planum, donec per summitates istarum
virgarum rei metiendae conspiciatur summum. Quo
inspecto tanta altitudo dicatur, quantum spatium a
loco in quo mensor stat ad radicem altitudinis, adjuncta
statura, mensuratur. V. g. sit statura mensoris #a, b,@#
arundo sibi dupla #c, d,@# altera arundo istius
medio orthogonaliter juncta #a, e,@# altitudo metienda #f, g,@#
spatium a mensore ad radicem altitudinis #b, g.@#
Hoc tamen nullo modo mensor obliviscatur, quin
huic dimensioni omnique perpendiculo aequipendium
appendatur, quod geometricaliter institutum ad
mensuram paratur. Exempli causa, subdatur plana
figura.
CAPUT XXV. #Ad planitiem virga vel arundine quaerendam.@#
Stabiliatur arundo visui aequiparata metientis in
termino epiphaniae, cui jungatur altera cujuslibet
quantitatis orthogonali ratione, quae scilicet sursum
jusumque tandiu a planimetra ducatur, donec per
utriusque arundinis summitates oppositus limes
planitiei cernatur. Quo inspecto, ipsa conjunctio
arundinum diligenter notetur, et superior pars fixae
arundinis a conjunctione alterius cum tota sui quantitate
comparetur, et eadem comparatio pendentis
virgae planique incunctanter dicatur, quae superioris
partis a conjunctione cum tota quantitate fixae arundinis
superius dicebatur. Et ut clarius reddatur
quod litterali inflexione computamus, picturam apertius
obscura monstrantem visui legentium supponamus.
Sit arundo stans visui metientis aequiparata #a, c;@#
sit planities metienda #c d;@# virga orthogonaliter
pendens #b e;@# sit igitur #a b,@# medium #a c;@# et erit #b e,@#
medium #c d.@#
CAPUT XXVI. #Figura ad altitudinem mensurandam.@#
Si quis superioris figurae retro positae vim, qua planitiem
mensuravimus, subtiliter inspexerit, istius
quoque figurae vis, qua altitudines metimur, eum
prorsus latere non poterit. Parum enim haec distat a
superiori figura, excepto quod superior in planitie,
haec operatur in altitudine mensuranda. Sit altitudo
mensuranda #a b;@# statura metientis #c d;@# arundo,
cum qua altitudo metiatur, statura longior, #e f;@#
linea orthogonaliter ducta a visu metientis per arundinem
usque ad altitudinem #g b.@# His peractis #d g@#
ad #g f@# comparantur, et eadem comparatio #d b@# ad #b a@#
pronuntietur, quae #d g@# ad #g f@# pronuntiabatur.
V. g. #d g@# ad #g f@# dupla ponatur, et non minus; #d h@#
ad #h a@# dupla indubitanter dicatur. Quod
si #h h, h a@# mensurabiliter comparatur, quae #d c@#
staturae metientis aequalis habetur, tota altitudo #a b,@#
mensurata non dubitatur. Sed quia potest evenire
quod #c b@# sit interdum non meabile, #h a@# non es
omnino | null | bcacea67-16d0-4db7-b37a-ac9c6bb8dbe2 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
nobis notum, quamvis sit proportionale,
qua de causa planities #b c@# retro erit metienda,
et similiter superiori alia componenda erit
figura.
CAPUT XXVII. #Figura ad metiendam planitiem.@#
Metiatur planities #b i,@# sitque statura metientis #i
k;@# sit arundo aequalis superiori #l m;@# sit linea orthogonaliter
ducta #a,@# visu metientis tendens ad altum
per arundinem #k n.@# Post haec #k n, n l@# in quadrupla
proportione conferatur, et similiter totum #k h,
h a,@# quadruplum indubitanter dicatur. Et quia jam
superius #d h, h a,@# duplum discebatur, modo autem #k h, h a,@#
quadruplum pronuntiatur, sublato #d h,@#
de toto #k h,@# remanet #k d,@# quod est mensurabile
duplum ad #h a.@# Quod si #a d, h a, k i,@#
statura metientis, quae est aequalis #n m,@# et #d c,@# et #g e,@#
et #h b,@# mensurabiliter apponatur totum #b a,@#
quod est altitudo mensuratum nullo modo dubietur.
CAPUT XXVIII. #Ad metiendam planitiem per arundinem.@#
Stans mensor in metiendae planitiei extremitato
componat sibi arundinem minorem suae longitudinis
prolixitate; quae scilicet tandiu diversis locis planitiei
directa figatur, donec per summitatem ipsius
arundinis altera extremitas planitiei ex opposito cernatur.
Quo facto, a summitate arundinis orthogonalis
linea usque ad mensoris staturam dirigatur, et
locus ipsius staturae, in quo linea terminabitur, diligenter
signetur, et ipsa pars staturae ab ipsa nota
usque ad visum cum linea orthogonaliter ducta
conferatur. Et qualis comparatio ipsius partis staturae
cum tota linea orthogonaliter ducta habebitur, eadem
comparatio totius staturae ad planitiem totam pronuntiabitur.
V. g., sit statura metientis #a b,@# planities
metienda #b c,@# canna, cum qua mensurabitur, #d e,@#
linea orthogonaliter ducta #d f.@# Quota pars
fuerit #a f@# in #f d,@# tota pars erit #a b@# in #b c.@# Sit
#a f@#
quarta pars in #f d,@# et eodem modo #a b@# quarta
pars in #b c.@#
CAPUT XXIX. #Ad mensurandum puteum.@#
Ut in superiori figura putei dictum est, primo a
geometra diligenter perpendatur quatenus circumductio
putei circularis habeatur deinde cujus quantitatis
sit diametrum inquiratur. Quo invento, stans
mensor super summitatem putei supponat pedibus
suis cujuslibet longitudinis scorpionem ( #Glossa vet.@#
quaelibet virga), et tandiu ante et retro pedetentim
ducat, donec per summitatem ipsius scorpionis alterius
putei profunditatem cernat. Quo facto pars
ipsa scorpionis, quae puteo superjacet, a pedibus
mensoris impressa nota caute notetur, quae
staturae non minus diligenter comparetur; et quota
comparatio ipsius partis fuerit ad metientis staturam,
eadem comparatio erit diametri cum statura mensoris
ad totam summam putei. V. g. sit profunditas
putei #a b,@# diametrum ejusdem putei #a c,@# statura
mensoris #a f,@# arundo, quae staturae comparatur, et
per quam putei profunditas investigatur, #a e,@# altera
pars putei #c d;@# fit #a f,@# quadruplum ad #e a;@# igitur #b f@#
quadruplum est ad #a c.@#
Sumas mensuram putei, si vis auferre staturam.
CAPUT XXX. #Ad altitudinem metiendam cum orthogonio.@#
Componatur a geometra orthogonium basi cathetoque
ejusdem numeri compositum, hypotenusae vero
proportio praetermittatur, quae ad altum vestigandum
in hoc orthogonio prorsus inutilis judicatur. Compositum
autem tandiu per planum a mensore trahatur,
donec oculo humi apposito per catheti summitatem
summitas altitudinis investigandae cernatur.
Qua visa, a loco cui visus inhaeserat, planities ad radicem
usque metiatur; et quanta fuerit, tanta altitudo
dicatur. Quod ut apertius intelligatur, orthogonium
cum altitudine metienda figuraliter visui supponatur.
CAPUT XXXI. #Orthogonium Pythagoricum ad metiendam altitudinem.@#
Est etiam aliud aestimandae altitudinis orthogonium,
quod ab inventore denominative nuncupatur
Pythagoricum, naturalibus catheti, basis, hypotenusae
compaginatum, catheto ternario insignito, basi
insignita quaternario, hypotenusa praenotata quinario.
Quod si volueris cathetum quaternario insignire,
et basim ternario, idem tibi eveniet per contrarium,
scilicet ut basis catheto sexquitertio proportionetur,
hypotenusa basi sesquiquarto comparetur. De quo | null | 9de73725-c1da-4cdc-880a-15b22d9f0d95 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
cuncta fiunt quaecunque dicta sunt in praecedenti
figura, scilicet tandiu trahatur donec per catheti
summitatem summitas rei cernatur, hoc solo excepto
quod in hac demensa quantitate planitiei quarta
pars est auferenda, hac videlicet ratione quod basis
jacens cathetum erectum superat cum suaquarta
parte. Quod ut melius animadvertatur, et aliud orthogonium
subterius depingatur:
CAPUT XXXII. #Ad rem inaccessibilem nobis altioribus metiendum.@#
Ad rem inaccessibilem nobis altioribus ut, metiatur,
quamvis laboriose, hoc modo faciamus figuram.
Sit rei metiendae quantitas #a b,@# et quot cubitorum,
vel ulnarum, vel pedum, vel digitorum, vel etiam
unciarum, vel cujuslibet alterius mensurae sit nobis
propositum scire. Re orthogonaliter constituta, sit
spatium immeabile inter nos et rem, ut est #g b.@#
Erigatur nobis orthogonium #d g,@# et sit linea sursum
ducta de #g@# ad #d,@# sicut primo dictum est de #a
b,@# ducatur plane linea de #d@# ad #z,@# sicut plana jacet
linea de #g@# ad #d,@# et sit notum quanta sit linea #g d,@#
et linea #d z.@# Nos enim eas facimus. Erigamus orthogonaliter
lineam de #z@# sursum ad #u,@# et ponamus
oculum in linea #z u@# orthogonaliter erecta, ut exeat
visus noster per #d@# ad #b;@# et locus lineae istius ubi
stetit oculus, notetur puncto ipso #u,@# et metiamur #z@# et #u@#
quanta sit. Et post hoc ponamus iterum oculum
in linea #z u,@# ita ut valeamus videre per #d a;@# et locus
in quo visus steterit, notetur puncto #b;@# et videamus
ubi haec linea tangens terram conjungitur
lineae #g b,@# et sit punctum #e,@# ita ut linea #g e@# sit recta.
Et post haec notemus quantum sit inter #z@# et #h;@# et
quota pars est #z h@# ad #z d@# et #z d,@# ad #d g,@# tanta est #d g@#
ad #g e,@# et notae sunt lineae #h z@# et #z d,@# quia nos eas
fecimus. Et igitur notum est quanta est linea #g e;@# et
quanta est linea #u z@# ad #z d,@# tanta est linea #d g@# ad
lineam #g b,@# et lineae #u z@# et #z d@# et #d g@# nobis sunt notae;
notum erit igitur linea quarta #g b.@# Et quia dudum
sapuimus lineam #g e,@# et sapimus inde lineam #g b,@#
possumus sapere quanta est linea #b e;@# et quanta est
linea #d g@# ad lineam #g e,@# tanta est linea #n b@# ad lineam #b e,@#
et lineae #d g@# et #g h@# et #b e@# notae sunt. Igitur #a b@#
linea nota est, et haec est quam quaerebamus.
Et ut brevius, quod superius diffuse dictum
est, comprehendatur, compendium, quo philosophia
gaudet, ponatur. Qualis comparatio fuerit #z u@# ad #h u,@#
talis erit #g d@# ad #b a,@# et sit #z u@# duplum ad #h u,@#
erit #g d@# duplum ad #b a.@#
CAPUT XXXIII. #Ad metiendum planum quolibet modo propositum.@#
Si fuerit nobis propositum quolibet modo metiri
planum, sumamus unius cubiti in longitudine lignum,
cui alia tria in dimensione aequalia tali conjunctione
innectantur, ut conjuncta quadrati diffinitionem suscipere
videantur, quod quatuor angulis est orthogonale;
cujus unius lateris summitatibus duo semipedalia
ligna erecta infigantur, quae in summitatibus
perforata per utrumque foramen visum metientis
admittere videantur. Post haec extremitati oppositi
lateris mediclinium horoscopo sic copuletur, ut dum
per oppositum sibi latus certis dimensionibus distinctum
trahitur, formam orthogonii Pythagorici imitetur,
vel imitari videatur. V. g., sit quadrati figura #a b c d;@#
duo semipedalia ligna in summitatibus unius
lateris posita #e f;@# mediclinium in alterius oppositi
summitate locatum per oppositum sibi larus discurrens #d g@#
in hunc modum:
Composita quadrati | null | af27c4d8-aa94-4a0a-8544-7fd6d089e75a | latin_170m_raw | null | None | None | None |
figura hac ratione ponatur jacens
in metiendae planitiei extremitate, et tandiu a
metiente ex altera parte erigatur, donec per feramina #e f@#
opposita extremitas plani cernatur, et in
hoc loco, quo visus steterit, nota ponatur. Post haec
per mediclinium ex adverso constitutum visus mensoris
dirigatur, donec jam notata extremitas videatur.
Quo facto locus, quo #g@# steterit, notetur, et #c g@#
ad #g b@# comparetur; et qualis comparatio #c g@# ad #g b@#
fuerit, eadem comparatio #a b@# ad totam planitiem
erit. V. g., tota planities #a h@# dicatur, et #c g@# (id est
a summitate superioris quadrati usque ad inferiorem
partem mediclinii) #g b,@# (hoc est a mediclinio ad inferiorem
angulum ejusdem lateris) aequalis constituatur.
Igitur #a b,@# id est latitudo, #b h@# ), id est a quadrato
usque ad limitem planitiei aequalis esse non dubitetur.
Sic et in caeteris proportionibus #c g@# ad #g b@# consideretur.
CAPUT XXXIV. #Ad putei vel fossae altitudinem metiendam.@#
Putei aut cujuslibet fossae altitudinem sic probabis.
Accipe lignum directum et pone super buccam putei,
et cujus umbram videbis in #e f,@# id est profunditate
putei, et lignum quatuor cubitos . . plus habeat, et
exeat subtus pedes ejus alia hasta directa similis
sibi, et est profunditas putei #a e,@# et hasta directa #a
d,@# et alia hasta #a c b@# jacens super buccam putei
truncat #d e@# super angulos directos, et intuere in
aqua putei umbram #a c@# de #d@# usque ad #f@# et invenies #a c@#
toties est #a c b@# vel #e f@# in #a e d,@# ut puta si #a c@# habeat
palmum, et #d a@# tres, tribus vicibus est #a c@# in
#d a,@#
sicut est #a c b@# tribus vicibus in #d a c.@# Abstrahe #a d,@#
remanet #a e.@#
CAPUT XXXV. #Ad altitudinem montis inveniendam.@#
Cum quaeris altitudinem alicujus montis, pone
hastam ante te in plano pro monte longiorem quam
tu: et est hasta #a b,@# et tu #c d.@# Postea contemplare
hac illac te movens recto oculorum visu per #a@# usque
videas #f.@# Tunc considera quanta sit #g c@# ad #g a,@# tanta
est #c b@# ad #b f@# ut puta. Si #g c,@# dupla est ad #g a,@# dupla
est #c h@# ad #h f;@# et quantalibet #g c@# ad #g a,@# tanta est
procul dubio #c h@# ad #h f;@# et quanta est #a g@# ad #g c,@#
tanta est #f h@# ad #h c;@# et #h f@# est mons, et quanta est #d b@#
ad #h g@# tanta est #d i@# ad #f i.@# Quod si fluvius habeatur
vel aliud obstaculum inter #c h,@# et non possis
pertingere ad montis radicem, ut praedictam invenias
mensuram, accipe #a g b,@# id est hastam, et ambula
retro 30 cubitos aut quantumlibet et iterum
contemplare recto visu de #m@# per #n@# usque ad #d f,@#
quod est summitas montis, et postea vide, quanta sit
#m c@#
ad #c n@# tanta est #m h@# ad #h f.@# Abstrahe de #m h c h,@#
et vide quod remanet, tanta est altitudo montis;
ut puta, si invenisti #c h@# duplum ad #h f,@# et post #m h@#
quadruplum ad #h f;@# tolle #c h@# de #m h,@# id est duo de
quatuor, remanent duo, quod est #m c,@# dices: quia #m c@#
duplum est #h f,@# dona 30, vel 20 cubitos, ad #m c@# | null | 2702cba6-9f12-4638-a294-bb250ce6673d | latin_170m_raw | null | None | None | None |
et 15, vel 10 ad #h f,@# et sic #c h@# triplum est ad #h f@#
et #m h,@# septuplum ad #h f.@# Abstrahe #c h@# de #m h,@#
id est 3, de 7 remanent 4, quadruplum est #m c@# ad #h f,@#
sic in aliis.
CAPUT XXXVI. #De eodem.@#
Si quaeris sine mutatione hastae, sic facies. Est
mons #a b;@# accipe hastam duorum cubitorum longiorem
te, et pone ante te in plano. Postea considera
ipsam hastam, quae est #c d e,@# et mitte visum
tuum recte de #f@# per #d@# usque #a,@# dividens ipsam hastam
super unum cubitum et vide quantum sit #f e@#
ad #e d,@# tantum est #f g@# ad #g a.@# Ambula retro,
quousque videas de #h@# per #c@# usque ad #a,@# ubi est summitas
montis, et vidi quantum sit #h e@# ad #e c,@# tantum
est #h g@# ad #g a.@# Invenisti forsitam antea #f g,@# quadruplum #g a,@#
et #h g@# decuplum ad #g a.@# Minue #f g@# de #h g,@#
id est 4 de 10, remanent 6. Sic est #h f@# sescuplum
ad #g a@# vel #g a@# sescuplum ad #f h.@#
CAPUT XXXVII. #Ad inveniendam per speculum altitudinem turrium, etc.@#
Si per speculum aut per concham plenam aquae
quaeris scire altitudinem turrium vel montium, accipe
speculum, et pone prope montem in plano, et tu
tantum te ipsum et speculum positum in terra moveas
huc et illuc, quousque videas #a@# in #b,@# id est
summitatem montis in medio speculo, et vide quomodo
sint, et quanta inter se invicem #d c,@# et #c b,@# sic
sunt invicem #b e,@# et #e a.@# Et si sit obstaculum, quod
non possis probare, hic ambula retro cum ipso speculo,
et pone in terra, et videas movendo te #a@# in #z,@#
et quantam proportionem habent invicem #p r,@# et #r z@#
eamdem habent, #z e,@# et #e a@# invicem. Minue inde #b e,@#
remanent #b z.@#
CAPUT XXXVIII. #Ad inveniendam latitudinem fluvii vel campi, etc.@#
Si quaeris scire latitudinem fluvii vel alicujus campi
vel curtis aut cujuslibet rei, accipe lignum, quod
pertingat usque ad oculos tuos, secundum alios minus
uno cubito, et pone in ripa fluvii, et sta prope
eum, et est lignum, ut subtus vides, quasi #a b,@# et
pone aliud lignum super ipsum prius erectum, sicut
est #c d.@# Postea contemplatio recto oculorum visu per #a d@#
usque videas #e,@# id est ripam ex altera parte;
nam #b e@# est fluvius, et #a e@# directus visus. Postea considera
quantum sit #a c@# ad #c d,@# vel econtra quantum
est #d c@# ad #a c,@# tantum est #a c b@# ad #b e@# ut puta, si #d c@#
duplum est #a c@# duplum est #b e@# ad #d c a@# si triplum,
triplum, etc.
CAPUT XXXIX. #Ad idem alius modus.@#
Si quaeris aliter scire, pone hastam minorem te
quasi ad pectus, et pone in ripa fluvii, et accipe
aliud lignum pertingens usque ad oculos, sicut est
#c d,@#
et ambula retro quantum placet, et pone
ipsum fustem, et tu tantum te hac et illac move,
quousque de #c@# per #a,@# usque #e@# videas, id est ad alteram
ripam fluminis. De hinc minue #a b@# de #c d,@# remanet #f c.@#
Vide, quomodo sint #a f@# ad #f c,@# sic sunt #b e@#
ad #b a,@# si triplum est | null | b38e790c-a36a-4229-ab17-5992e9d3bef8 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
#a f@# ad #f c,@# triplum est #b e@#
ad #b a.@#
CAPUT XL. #Ad altum cum sagittis et filo mensurandum.@#
Cum geometricis figuris intenti philosophorum
jam fatigabundi inventionibus inhaeremus, ne omnino
fatigati deficiamus militaribus exercitiis animum
relevemus. Sicut enim corpus quotidianis sumptibus
fastidiens inusitato recreatur cibo, sic mens
philosophicis onerata austeritatibus conjecturali poetarum
relevatur figmento. Quapropter ut animum
nostrum reficiamus, militare inventum post multa
supponamus.
Si cujuslibet rei altitudinem investigare volueris,
hoc modo jaculari ingenio investigare poteris. Sume
arcum cum sagitta et filo, et una fili summitate sagittae
postremitati inhaerente, altera in manu remanente.
Sagitta arcu emissa altitudinis mensurandae
cacumen percutiat. Post haec alterius fili summitas
eodem modo sagittae vel aliqui jaculo illigetur, et
horum utrum vis projectum altitudinis radicem, ut
prius cacumen feriat. Quo facto utrumque filum retrahas,
et quot pedum vel cubitorum sit, utrumque
diligenter mensuratum inspicias. Deinde cujusque
fili quisque numerus in se ductus multiplicetur, et
quanta utriusque multiplicationis summa fuerit, perpendatur,
ac minor summa de majori subtrahatur, et
tunc ejus numeri, qui de majori summa remanserit,
tetragonale latus diligenter inquiratur. Hoc vero diligenter
inquisito et sapienter invento, tot pedum vel cubitorum
ambiguitate semota altitudo, de qua inquiritur,
pronuntietur quot pedum vel cubitorum
tetragoni illius latus unum habet. Et ut, quae diximus,
apertius cognoscantur, altitudo et filo cum notis
figuraliter subjiciantur. Sit altitudo, quae investigatur, #a b;@#
sit prioris fili, quod altitudinis summitatem
tetigit, quantitas quinario numero terminata, #a c;@#
sit alterius fili, quod altitudinis radicem
percussit, longitudo quaternario numero diffinita #c b.@#
Post haec vero prioris fili numerus in se multiplicatus
in 25 concrescat; quatuor vero posterioris fili
numerus in se ductus in 16 consurgat. Deinde minor
numero de 25 sublato, erit remanens 9, cujus
tetragonale latus 3 invenitur, quia 3 in se ductus in
9 cumulatur; trium igitur pedum erit altitudo #a b.@#
Sed quia potest accidere, quod remanentis tetragonale
latus interdum in integris numerus nequit
inveniri, subtilitas minutiarum debet necessario
adhiberi, de quibus quia longum est disserere, praetermittatur,
et figura cum numeris et notis supponatur.
CAPUT XLI. #Ad inveniendam in ampligonio ejecturam, quanta sit,@# etc.
Ampligonio tribus lineis datis, majore scilicet
hypotenusa 18 pedum, basi 8, hypotenusa vero minore
10, ejecturam, super qua perpendicularis cadit,
sic quaeras. Ex summa majoris hypotenusae multiplicatione
aggregata duarum minorum linearum,
basis scilicet minorisque hypotenusae, in se multiplicationem
( #Cod.,@# multiplicatione) subtrahas. Exinde
summae, quae superabundaverit, adjecto uno medietatem
sumas, in qua quoties fuerit numerus basis,
tot unitates ejecturae distribuas. Cathetum vero sic
investiges. Ex multiplicatione minoris hypotenusae
ejecturam in se multiplicatam distrahens, reliqui,
qui superfuerit, latus sumas; qui numerus erit perpendicularis.
Hujus autem ampligonii invenire si vis
embadum, duc per cathetum, id est perpendicularem
basim horum. Deinde qui ex hac multiplicatione
excreverint, sume mediam, quae absque dubio
ampligonii fiet embadum.
CAPUT XLII. #Quomodo in trigono orthogonio cathetus et basis quaerantur.@#
In trigono orthogonio, cujus podismus pedum est
25, embadum 150, cathetus et basis sic quaerantur.
Hypotenusae numerus in se multiplicetur. Ad hanc,
quae hinc excreverit, summam, 4 embada, quae faciunt
600 adjiciantur: quae conjunctio 1225 repraesentat.
Hujus summae erit latus 35. Deinde ut interstitium
duarum rectarum inveniatur, catheti scilicet
et basis, ducto hypotenusae numero in se fient 625.
Hinc embadis 4 sublatis, 25 remanent. Hujus latus
erit 5. Quo ad latus superioris numeri nimirum 225
juncto, fient 40. Hujus pars media basim trigoni
constituet. Ex hac vero sublato numero quinario
videlicet, qui superiori, id est 35, ad basim constituendam
fuerat aggregatus, aderit cathetus.
CAPUT XLIII. #Ad inveniendam basis et catheti disjunctionem in trigono.@#
Si datum fuerit trigonum, cujus cathetus et basis
simul juncti sint pedum 23, embadum 60, hypotenusa
17, basis et catheti sic quaeratur disjunctio.
Hypotenusae numerus in se ducatur, qui consurget
in 289. Hinc sublatis 4 embadis, id est 240 et reliqui,
qui superabundaverit, id | null | 7a239dff-3a93-4556-92ea-a8a5c7fe91a9 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
est 49, latere sumpto,
atque basis et catheti summae, 23 juncto fient pedes
30. Hujus sumpta medietas erit basis ejusdem trigoni.
Hac vero de 23, id est basis simul et catheti
de numero sublata relinquitur octonarius, quo constituitur
cathetus. In hac vero figura catheti inventi
dimidia multiplicata, et ex ea summa uno dempto
invenitur basis, quae duobus sumptis fit hypotenusa.
CAPUT XLIV. #In trigono oxygonio, cujus in lateribus numeri quantitate dissimiles sint, invenire perpendicularem,@# etc.
Dato trigonio oxygonio, cujus lateribus numeri
quantitate dissimiles sint distributi, minori scilicet
hypotenusae 13, basi 14, majori vero hypotenusae 15,
ejusdem oxygonii si perpendicularem invenire desideras,
et praescissuras dignoscere singulas, numero
minoris hypotenusae in se ductae, id est 13, et basis,
id est 14, utriusque multiplicationis summam aggreges,
quae fiunt 395. Ex hac vero majoris hypotenusae
numerum in se ductum diducas, id est 225, reliqui
vero, qui superfuerint, id est 140, sumpta dimidia
parte, id est 70, et hac ad basim, id est 14 partita,
quinquies 14, in eisdem 70 reperies; quae denominatio
numerus fiet praescissurae minoris.
Item de multiplicatione minoris hypotenusae in se
ad inveniendum perpendicularem minorem praescissuram
ductam in se subtrahas. Qua detracta latus
superabundantis numerus erit perpendicularis.
CAPUT XLV. #Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum basim invenire.@#
Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum
sic invenies basim. Cathetus ter ducatur, nona pars
auferatur, reliqui dimidium sumatur, et erit basis.
Basi ablatum restituatur, erit hypotenusa. Vel ita:
dimidium sumatur, quod ter ducatur, de ea summa
tollatur nona, remanet basis. Vel dimidium catheti
sexies ducatur, nona tollatur, reliqui dimidium erit
basis; basi reddita nona erit hypotenusa.
CAPUT XLVI. #Trigoni orthogonii embadum invenire.@#
Si quaeratur trigoni orthogonii embadum, trium
linearum, id est catheti, et basis atque hypotenusae
numeri in unum redigantur, ut puta 6, 8, 10. Nam
hi juncti 24 reddunt. Medietas hinc sumatur. Ex his
basis seducatur, id est 8; quod remanet, scilicet
quatuor per cathetum, id est 6 multiplicetur; illud
quoque duplicetur, et fient 48. Quibus per quartam
sui multiplicatis, illius summae latus habeatur pro
embado.
In ampligoniis autem vel oxygoniis jam dicta regula
habet consequentiam, nec etiam in orthogoniis,
nisi in illis, quos sesquitertia, vel sesquiquarta regit
proportio. In aliis autem vel orthogoniis sufficiat regula
universalis, scilicet per cathetum basim ducere,
ejus medium pro embado tenere. Nam per cathetum
basim ducere nihil aliud est, nisi aream quadrati vel
antelongioris ( #Glossa vet.,@# id est, altera parte longioris)
implere, quam, dum ab angulo in angulum
dividis, trigonum reddis.
CAPUT XLVII. #Per cathetum basim invenire.@#
Per cathetum basim invenire si vis, cathetum
ipsum ducas in se, id est 5, qui fiunt 25. Ex his uno
dempto reliqui 24 dimidium sumas, id est 12, quod
erit basis. Huic vero adjicias unum superius demptum,
et invenies hypotenusam.
Embadi autem pedes invenire cupiens, basim per
cathetum, id est 12 per 5 ducas, fient 60. Hujus
sumpta dimidia id est 30, erit embadum.
CAPUT XLVIII. #Trapizotici embadum invenire.@#
Trapizeticus est basis pedum 40, cathetus 30,
coraustus 25. Embadum dignoscere si vis, per cathetum
multiplica coraustum, id est trigesies 25
fiunt 750. Tunc, quod reliquum est basis, ducas per
cathetum, id est trigesies 15 sunt 450 medium 225,
junge superioribus, sunt 975. Ecce invenitur embadum.
CAPUT XLIX. #Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30, embadi pedes comprehendere.@#
Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30,
embadi pedes comprehendere si vis, prius cathetum
sic invenias. Latus unum in se duc, fient 900; item
alterius lateris mediam in se, fient 225. Hos detrahas
de 900, remanebunt 675. Quibus si addideris
unum, fient 676. Hujus latus est 26. Ecce cathetum
quo per basis dimidiam multiplicato, id est 15 per
26, pedes invenies embadi 390.
In omni igitur orthogonio cathetum et basim efficere
hypotenusam contingit; hypotenusam | null | 89ecfbfc-9236-45c3-bbca-93cf6106ef5d | latin_170m_raw | null | None | None | None |
vero et
cathetum basim; hypotenusam iterum et basim cathetum.
Catheto namque in se multiplicato id est 5,
qui fient 25, et basi, id est 12, qui 144 accumulant,
et utrisque simul in unum junctis fiunt 169, et
ex hac latus sumptum erit hypotenusa. Ex hypotenusa
autem in se multiplicata, id est 13, qui fiunt
169, si deduxeris cathetum in se, id est 25 reliqui,
id est 144, sumas latus, id est 12, erit basis. Hypotenusam
vero si multiplicaveris in se, et exinde
summulae accretae basim inde subduxeris, id est 144
reliqui, id est 25, latus catheti fiet numerus. Cathetum
et basim in eisdem orthogoniis contingit
efficere embadum taliter. Catheto, id est 5, per basim,
id est 12 multiplicato, fient 60; hujus vero
dimidium, id est 30, erit embadum. Quod idem
fieret, si per catheti dimidiam basis, vel per basis
dimidium cathetus multiplicaretur.
CAPUT L. #Trigoni isoscelis cathetum invenire vel embadum.@#
Trigoni isocelis ( #Cod.,@# isoscelis), cujus singula
latera sunt pedum 25, basis vero 14, si cathetus
quaeratur, vel embadum. Uno latere in se ducto, id
est 25, fient 625. His si subduxeris dimidium basis
in se 49, reliqui, id est 576 sumas latus, id est 24,
et tot pedum erit cathetus. Quo per basis dimidium
multiplicato, invenies embadi numerum 169.
CAPUT LI. #Trigoni scaleni cathetum invenire.@#
Trigoni scaleni, cujus minus latus sit pedum 15,
basis 25, majus latus 20, cathetum inveniendi haec
erit regula: minore latere in se multiplicato, id est,
15 fient 225, basi vero, id est 25, erunt 625. His
utrimque summulis in unum junctis fient 850. Quibus
si subduxeris majus latus in se, id est 400; ex
reliquo, qui superfuerit, id est 450, sume dimidium,
id est 225, eodem numero denominatam accipias
partem, quo superscribitur basis, id est 25,
nonam vero 25 dicti numeri invenies, et tot pedum
erit minor praecisura, qua in se multiplicata fient 81.
Quos si subduxeris de minoris lateris in se multiplicatione,
id est de 225, reliqui, qui superfuerit, id
est 144, latus fiet catheti numerus.
CAPUT LII. #In quadrato diagonum invenire.@#
In quadrato diagonum invenire si vis, ut in orthogoniis
jam diximus, latus unum, cui superest 4, in
se ducas, et fient 16. Altero vero in se ducto, id est
3, 9. Quibus in unum junctis fient 25. Cujus vero si
sumpseris latus, effecisti diagonum. Per quod embadum
invenire si vis, duc in se, fient 25. Hujus
sumpta medietas fit embadum. Sed quod propius
est veritati, et in omni contingit quadrato, per latitudinem
longitudo est multiplicanda, et qui inde
excreverit fiunt pedes areae.
CAPUT LIII. #Numerum arborum in agro invenire@#
Ager, cujus longitudo est pedum 120, latitudo 70,
in quo arbores dispositae sunt inter pedes 5; quarum
numerus, si quaeratur, utriusque partis, quanta
est, sumenda est, longitudinis scilicet 24, latitudinis
14. Quibus invicem multiplicatis, fient 336. Ecce
numerus arborum.
Est et alia inveniendi regula, ut per longitudinem
latitudo multiplicetur, et fient 8400, quibus per
quinquies quinque, id est 25, partitis fient 336, et
tot erunt arbores. Sub scientia vero longitudine
cum numero arborum comprehensa latitudo sic
quaeratur, 120 qui numerus est longitudinis, partiatur
per 5, et erunt 24, quos numerus arborum
336 continet decies quater; qui 14, et ipsi quinquies
ducti efficiunt 70; quae est latitudo agri.
CAPUT LIV. #Rhombi cathetum quaerere.@#
Rhombi ( #Cod.@# cumbi) vero, cujus fient singula
latera pedum 10, et diagonum 12, cathetum sic
quaeras. Diagonum dimidium, id est 6, in se multiplica,
fiunt 36. His subductis de multiplicatione
unius lateris in se, id est de 100, reliqui, id est 64,
sumas latus, id est 8, et tot pedum rhombi cathetus.
Quo per diagonum, id est 12, multiplicato fient | null | af941c88-ddca-4f86-9361-51d6d7207769 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
95;
et tot pedum erit area.
CAPUT LV. #Quomodo trigonus, tetragonus, hexagonus, etc., aequiateri suas areas impleant.@#
Omnis trigonus aequilaterus unum latus in se
multiplicat, ipsum latus ad eam multiplicatione addit,
horum dimidiam sumit, et sic aream suam
implet.
Omnis autem tetragonus aequa latera habens
unum latus in se multiplicat, ea semel multiplicatione
aream suam implet.
Pentagonus, qui aequis continetur lateribus, ter
multiplicationem unius lateris in se expostulat, et
ex illius summa multiplicationis semel aream diducere
et reliqui medietatem sumere.
Hexagonus quater lateris multiplicationem in se
expostulat, et ex summa multiplicationis bis aream
diducere et reliqui sumere medietatem.
Heptagonus quinquies, aream ter.
Octogonus septies, aream quater.
Ennagonus septies, aream quinquies. Et caeteri
ad hanc consequentiam.
CAPUT LVI. #Cujuscunque rotundi vel circuli diametrum invenire et embadum.@#
Cujuscunque rotundi vel circuli si vis diametrum
invenire et embadum, sic quaeras: ex ipso ambitu
22 unitate sublata, reliqui, qui superfuerit, sumas
tertiam; quae fiet diametrum.
Embadum si vis invenire, vel tota circuitio per
integrum diametrum ducenda est, et tunc quarta
sumenda; vel dimidium circuitus per diametrum
integrum, et tunc medietas, vel quarta pars circuitus
per diametrum, et tunc totum. Quod idem esset,
si per dimidium circuitus diametri duceretur dimidium.
CAPUT LVII. #In hemicyclo aream invenire.@#
In hemicyclo, cujus basis sit pedum 28, diametrum
18, aream sic quaeras: per diametrum ducas
basim; fient pedes 392. His undecies ductis fiunt
pedes 312. Hujus sumpta decima quarta parte fiet
398; et tot pedum est hujus hemicycli area.
CAPUT LVIII. #Sphaerae aream colligere.@#
Sphaerae, cujus est pedum longitudo 4, latitudo 3
sic colligatur area: longitudine et latitudine
simul junctis fient 7, dimidium horum 3, 5. His in
se 12 et . Hi undecies fient 434. SS. Horum sumpta
parte decima quarta fient pedes 9, unciae 7 et
semis uncia, id est septunx, et semuncia. Sphaerae
igitur haec erit area. Regula autem haec vera est in
omni sphaera sive rotunda, sive oblonga.
CAPUT LIX. #In trigoni orthogonio circuli inscripti et singula latera tangentis diametrum invenire.@#
In trigonio orthogonio circuli inscripti et singula
latera tangentis, ex numeris catheti et basis simul
junctis hypotenusae numerum si subduxeris, invenies
diametrum. Sed si vis dignoscere quantum embadi
partibus ipsius trigoni circulum extracedentibus
relinquitur, embado totius trigoni prius per
supradictas regulas invento vigesimam primam subtrahas;
ipsamque undecies multiplicatam circuli
areae tribuas. Quod vero reliquum fuerit, id est 140,
pro embado dictarum partium, scilicet extracedentium,
teneas, ut subjecta descriptio docet; videlicet
tolle vicesimam primam, et multiplicata undecies,
fit area circuli. Multiplica decies, fiunt excessiones
trigoni.
CAPUT LX. #Regula ad constituendas pyramides in omnibus figuris a multis angulis procedentibus et aequi lateris.@#
In omnibus figuris a multis angulis procedentibus,
et aequa latera habentibus ad pyramides constituendas
haec sufficiat regula: dictarum cujuscunque
ngurarum area inventa bis ducatur, eique summae
lateris unius numerus jungatur, et haec permistio per
numerum unitate tantummodo latus unum praecedentem
multiplicetur, et ejus summae sexta pars
sumatur, quae fiet pyramis superficiei ante duplicatae.
Sed ut exemplum de singulis demus, prius trigonium,
oxygonium, et aequilaterum sub oculis ponamus
latera singula habentem denario numero designata,
cujus embadum sit 55; quod bis ducatur, et
fient, 110, quibus uno latere juncto, id est 101 fient
120. Hi, per numerum unitate latus unum praecedentem,
id est undecies ducti, fient 1320. Hujus sexta
sumpta, id ex 220 jam dicti oxygonii fiet pyramis.
CAPUT LXI. #Invenire pyramidem in tetragono, cujus sint singula latera pedes 10 et embadum@# 100.
Tetragonum vero, cujus sint singula latera pedes
10, et embadum 100, pyramis sic quaeratur, ut in
trigonio superius descripto, videlicet ut embadum
ejus, quod est 100 bis ducatur: fiunt 200 eique
summae latus unum jungatur, fient 210. Hi undecies
propter supradictam causam ducti fient 2310. Hujus
sexta, id est 385, fiet pyramis descripti tetragoni.
CAPUT LXII. #In pentagono aequilatero denarii numeri pyramidem indagare.@#
In pentagono quoque, | null | 1e6cfa6d-81d7-4cc1-ace6-10c92080397e | latin_170m_raw | null | None | None | None |
qui aequalibus continetur
lateribus, et denario numero supernotatis eamdem
regulam ad pyramidem constituendam indiscrepanter
invenies. Hujus namque pentagonii area, id est:
145, bis in se ducta fient 290, et unius lateris numero
augmentato repraesentat 300, et his undecies ductis
fiunt 33. Post cujus sextam, id est: 550 area jam
dicta suae accumulatur pyramidi. Hanc igitur regulam
nemo in caeteris, id est: hexagonis, vel heptagonis,
vel octogonis, vel ennagonis, vel decagonis,
vel in omnibus a multiangulo procedentibus, et
aequa latera habentibus dubitet habere consequentiam,
et non tantum denario innotatis, sed quolibet
numero.
CAPUT LXIII. #In omni circulo, duobus circumscripto tetragonis, scire, quantum ab extracedente vincatur, etc.@#
In omni circulo, qui duobus circumscribitur tetragonis,
uno interius, altero exterius, si vis comprehendere,
quantum ab extracedente vincatur, et
subscriptum vincat, diametrum ejus duc in se. Quod
cum facis, cathetum suprascripti tetragonii per
basim multiplicatum reddis, et ea multiplicatione
aream ejus imples. Ex illius vero summae integritate
ad circuli aream inveniendam tres 14 subducas.
Quibus subductis, quod reliquum fuerit, si per superius
dictam regulam, et dimidio circuitus multiplicante
dimidium diametri, esse circuli invenies
aream, ab extracedente tetragono ipsum scias circulum
tribus 14 ejusdem superari. Ab eodem vero
embado suprascripti tetragoni si sumpseris medietatem,
et quatuor decimas quartas ejusdem quantitatis,
cujus fuerint superiores ab integritate sumptae
addideris, jam dicti circuli aream implebis. Quod
cum facis, ipsam medietatem sumptam ab integro
embado majoris tetragonii aream scias fuisse minoris,
eam quatuor decimis quartis a circulo superari,
dum eadem area eisdem quatuordecimis ad embadum
supplendum augmentatur. Quod ut manifestius
appareat in descriptione, circulus cum tetragonis
ponatur. Quid partibus majoris tetragoni circulum
extracedentibus relinquitur? 42. Quid partibus circuli
extracedentibus minorem tetragonum relinquitur?
56
CAPUT LXIV. #Montis jugera invenire.@#
Montis si quaerantur jugera, qui in verticis circuitu
habeat pedes 300, ascensu 800, in uno per
circuitum 1000, jungantur duae circuitiones, id
est: 1300. Ex his media sumatur, id est 650.
Hi per ascensum 800 ducantur, fient DXX tot
erunt pedes totius, id est: XXVIII, DCCX supradictus
numerus dividatur. Quo facto in monte jugera
invenientur 18 remanentibus pedibus 1600.
CAPUT LXV. #Quomodo quadrata, et latera trigoni, tetragoni, pentagoni, etc., nascantur.@#
Omnis trigonus, qui ducitur octies, accepto uno
facit quadratum, cujus quadrati latus dempto uno
et dicta parte secunda facit trigoni latus.
Omnis tetragonus ductus decies sexies facit quadratum,
cujus quadrati latus dicta parte quarta facit
tetragoni latus.
Omnis pentagonus ductus vigesies quater et accepto
uno facit quadratum, cujus quadrati latus
accepto uno et dicta parte sexta facit pentagoni latus.
Omnis hexagonus ductus trigesies bis acceptis
quatuor facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
duobus et dicta parte octava facit hexagoni
latus.
Omnis heptagonus quadragies ductus acceptis 9
facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis tribus
et dicta parte decima facit heptagoni latus.
Omnis octogonus quadragies octies ductus acceptis
16 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
4 et dicta parte duodecima facit octogoni latus.
Omnis ennagonus ductus quinquagies sexies acceptis
25 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis
5 dicta parte decimaquarta facit ennagoni latus.
Omnis decagonus ductus sexagies quater acceptis
36 et dicta parte decima sexta facit decagoni
latus.
Omnis undecagonus ductus septuagies bis acceptis
49 facit quadratum, cujus latus acceptis 7 et
dicta parte decima nona facit undecagoni latus.
Omnis duodecagonus ductus octuagies acceptis 64
facit quadratum, cujus latus acceptis 8 dicta parte
vigesima facit duodecagoni latus.
Vide consequentiam, ut horum ductio octenario
semper numero accrescat, augmentationes a pentagono
numero impari naturaliter. Trigonus namque
octies, tetragonus decies sexies, pentagonus vigesies
quater, hexagonus trigesies bis ducitur, ut est ab
octo octies, a sedecim sedecies, et sic subsequenter.
Inter quas denominationes octo semper inesse nemo
dubitet differentiam, et sic in caeteris. A pentagono
autem incipientes augmentationes omnium multiplicationum
impari naturaliter numero discrepare
manifestum est. Pentagoni enim multiplicatio uno
tantummodo, hexagoni 4 heptagoni 9 augmentatur,
octogoni 16. Inter primos namque, id est: 5 et 4
primus impar numerus differentiae locum obtinet, id
est: tres inter quatuor, et | null | 703bd676-c94a-4d1f-8853-ed124d159b40 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
novem: secundus, id est:
quinarius inter novem, et sedecim: tertius, id est:
septimus.
CAPUT LXVI. #In oxygonio cathetum et embadum invenire.@#
In oxygonio, cujus sit latus minus ped. 13, majus
15, basis vero 14, cathetum et embadum sic
quaeras. Latus minus in se ductum sit 169, et basis
in se fiunt 196, utrumque in unum fiunt 365. Deinde
hypotenusa in se fient 225. His deductis de 365 fit
reliquum 140. Hujus pars dimidia erit 70. Cujus decima
quarta id est: 5 erit praecisura minor, in qua
cadet cathetus. Hi in se fient 25. His ductis de 169
fit reliquum 164. Hujus latus, id est: 12 erit cathetus.
Quo per basis dimidium multiplicato invenitur
embadum.
In omni quadrato aequilatero scito diagonum
ipsum habere in sui longitudine latus unum et
lateris quadrati aream duplicare si vis, diagonum
quadrati minoris spacio latus majoris.
CAPUT LXVII. #Oves in campo sic collocare, ut quaevis certum spatium occupet.@#
In campo, qui habet in longitudine pedes 200 in
latitudine 100 si sic oves mittere (velis) ut unaquaeque
habeat in longo pedes 5, in lato 4, sic facito:
duc 5, vicenos, vel quintam partem de 100, fient 40;
ac deinde 100 divide per 4 quarta pars centenarii 25
sunt. Sive ergo 40 vigesies quinquies, sive 25 quadragies
duxeris, implebis 1000, qui est numerus
collocatarum ovium.
CAPUT LXVIII. #Scire, quot agripennos claudat campus fastigiosus.@#
Campus fastigiosus, qui habet in unoquoque latere
perticas 100, in unaquaque fronte 50, in medio
60, si vis scire quot agripennos claudat, facito
ita: Junge frontem 50 et medium 60, fient 110.
Tunc medietatem, id est 55 per longitudinem, id
est 100 multiplica: fient 5500. Hae sunt perticae totius
campi. Ut autem agripennos invenias, divide 5500
per perticas unius agripenni, id est per 144, secundum
quosdam, qui dicunt agripennum in unoquoque
latere 12 perticas habere, et invenies trigesies
octies 144 in 5500, remanentibus perticis 28 sic
scias esse agripennorum 38 numerum.
Si fuerit autem divisio per 72 (dicunt enim quidam
apripennum in longo habere 12, in lato vero 6,
sexies autem 12 sunt 72), erunt 72 agripenni, remanentibus
similiter supradictis perticis. Hanc autem
si probare vis regulam, taliter proba. Semotum
ducas longilaterum, et dicas: quinquagies 100
erunt 5000. Deinde curvaturarum embada perpendere
si vis, per cathetum utriusque curvaturae, id
est, 5 et 5, si dictae regulae in orthogoniis non immemor
fueris, embadum invenies unius curvaturae
250, alterius vero aequaliter, qui simul sunt 500.
Ecce numerus perticarum fastigiosi campi 5500.
CAPUT LIX. #In campo quadrangulo agripennos cognoscere.@#
In campo quadrangulo, qui habet in uno latere
perticas 30, in altero 32, in fronte una 32, in altera
34, sic cognoscas quot agripenni claudi debeant.
Duae hujus campi longitudines faciunt 62. Duc mediam
de 62, fiunt 31. Duae quoque latitudines ejusdem
campi junctae, faciunt 66. Duc etiam mediam
de 66, fiunt 33. Has duas medietates invicem confer,
fient 1023. Ecce numerus perticarum totius campi.
Hunc divides per numerum unius agripenni, id est
per 144, et invenies 7 esse agripennos in illo campo,
remanentibus perticis 15.
CAPUT LXX. #In campo triangulo agripennos invenire.@#
In campo triangulo, qui habet in uno latere perticas
30, in alio totidem, in fronte vero 18, quot
agripenni concludi debeant, sic accipito. Junge simul
duas longitudines, fient 60. Et duc mediam
de 60, fient 30. Et quia in fronte 18 habet perticas,
duc mediam de 18, fient 9. Duc novies 30, fient 270.
In hoc igitur numero agripennus unus est et remanentibus
54 perticis. Scias autem nos ubique
intendere, agripennum esse circumquaque 12 perticis.
CAPUT LXXI. #In campo rotundo numerum agripennorum nosse.@#
In campo rotundo, qui habeat in gyro perticas 418,
sic numerum agripennorum comprehendere potes.
De 418, vigesima secunda parte sublata, id est 19,
reliquorum diametrum, id est tertiam sumas, | null | c893f71f-08bd-4eff-bdd4-ea056085f9ee | latin_170m_raw | null | None | None | None |
id
est 133. Deinde hujus tertiae dimidiam, id est 66 S
per medietatem totius circuitus, id est 209 ducas,
et totam indubitanter implebis aream 14898 et S
perticis. Quibus per 144 partitis, erunt agripenni
96 S remanentibus perticis duabus et dimidia, sive
agripenni 96 S 100, et nihil remanet.
CAPUT LXXII. #In civitate quadrangula ponere domos certae longitudinis et latitudinis.@#
In civitate quadrangula, quae habet in uno latere
pedes 1100, in altero 1000, et in fronte una pedes
600, in altera totidem, si vis ponere domos ita ut
cujusque longitudo sit pedum 40, latitudo vero 30,
sic facito. Junge duas hujus civitatis longitudines:
junctae fient 2100. Similiter si fuerint duae latitudines
junctae, fient 1200. Ergo duc mediam de 1200,
fiunt 600. Rursus duc mediam de 2100, fiunt 1050.
Et quia unaquaeque domus habet in longo pedes 40,
et in lato pedes 30, duc quadragesimam partem de
1050, fiunt 26, remanentibus 10; atque iterum assume
trigesimam de 600, fiunt 20. Viginti ergo
vigesies sexies ducti fiunt 520. Tot domus capiendae
sunt.
CAPUT LXXIII. #In civitate triangula de eadem re.@#
In civitate triangula, quae habet in uno latere pedes
100, in altero 100, in fronte vero 90, si vis
scire quot domus capiat, ita ut quaeque domus
habeat in longitudine pedes 20, in latitudine 10, ita
facito. Duc mediam de lateribus junctis, id est de
200, fiunt 100. De fronte similiter, id est de 90, 45
fiunt. Et quia longitudo uniuscujusque domus habet
pedes 20, et latitudo 10, duc vigesimam de 100,
fiunt 5, et decimam de 40, fient 4. Duc igitur quinquies
quatuor, fient 20; tot domus capiet hujusmodi
civitas.
CAPUT LXXIV. #In civitate rotunda domos certae longitudinis et latitudinis locare.@#
In civitate rotunda, cujus ambitus est 8008 pedum,
domos locare si vis, quarum longitudo 30 sit
pedum, latitudo vero 20, sic facias: vigesimam secundam
partem, id est 364 auferas, reliquorum vero
7644 tertiam sumas, id est 2548; hos pro diametro
habeto. Hujus igitur diametri medietas, id est 1274,
si per medietatem ambitus, id est 4000 et 4 ducatur,
impletur area tota pedibus quinquies millies
ICMXCVI qui per 600, id est per vigesies 30 divisi
faciunt domos 8501, remanentibus 496 pedibus.
CAPUT LXXV. #Basilicae pavimentum quot laterculi debeant supplere.@#
Basilicae, cujus longitudo pedum sit 240, latitudo
120, pavimentum quot laterculi supplere debeant,
sic accipe (laterculus autem in longitudine 23 habeat
uncias, in latitudine 12). Longitudo per latitudinem
multiplicetur, id est 120 per 240, fiunt 28800. Hos
per duodecies duodecim, id est per 164 (tot enim
uncias habet pes unus multiplicans) invenies uncias
quater MMCXLVII. CC. Quas si diviseris per duodecies
23, id est per uncias unius laterculi, quae sunt
276, fient 15026, remanentibus 24 unciis. Tot igitur
laterculi dictae basilicae pavimentum contegere possunt.
CAPUT LXXVI. #In lacuna, canna, etc., viam certa latitudine ducere.@#
In lacuna una, vel canna, vel cavana [ #Glossa vet.,@#
cavana, id est cellarium], quae in longitudine pedes
habet 100, in latitudine 64, cuppas longas pedibus 7,
latas 4, si sic locare velis, ut pervium pedibus 4
latus in longum ducatur, sic facito. Vide quoties 7
in 100, et 4 in 64 habeantur: invenies quaterdecies
7 in 100, remanentibus duobus, et decies sexies
4 in 64. Sed ex his 4 ad pervium deputantur. Quia
ergo in 60 quindecies 4 sunt, et in 100 quaterdecies
7, fiunt 210. Tot cuppas igitur in cavana dicta locare
poteris.
CAPUT LXXVII. #In circulo embadum invenire.@#
In circulo, cujus diametrum sit pedum 14, embadum
sic quaeras. Duc diametrum in se, fiunt 196.
Ducundecies, fiunt 2156, sume partem decimam
quartam, fiunt 154; et tot pedum erit embadum.
CAPUT LXXVIII. #Ex diametro circulum indagare.@#
Ex diametro circulum sic quaeras: diametrum,
exempli gratia, 14 vigesies bis, fient | null | b69db52c-4e52-4535-b792-7b03689387a4 | latin_170m_raw | null | None | None | None |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.