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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | QuadraticForm.baseChange.Equivalent | [251, 1] | [268, 10] | simp [*] | case intro.val.Cp.intro
R M : Type
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M₂ : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R M₂
A✝ : Type ?u.496082
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R A✝
inst✝² : Invertible 2
A : Type
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : ↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝) = ↑(baseChange A Q) x✝
a✝ : ↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) y✝) = ↑(baseChange A Q) y✝
B : BilinForm A (A ⊗[R] M₂)
hB : ∀ (x y : A ⊗[R] M₂), ↑(baseChange A S) (x + y) = ↑(baseChange A S) x + ↑(baseChange A S) y + BilinForm.bilin B x y
⊢ ↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝) +
↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) y✝) +
BilinForm.bilin B (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝)
(↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) y✝) =
↑(baseChange A Q) (x✝ + y✝) | case intro.val.Cp.intro
R M : Type
inst✝⁹ : CommRing R
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inst✝⁷ : Module R M
M₂ : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R M₂
A✝ : Type ?u.496082
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R A✝
inst✝² : Invertible 2
A : Type
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : ↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝) = ↑(baseChange A Q) x✝
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B : BilinForm A (A ⊗[R] M₂)
hB : ∀ (x y : A ⊗[R] M₂), ↑(baseChange A S) (x + y) = ↑(baseChange A S) x + ↑(baseChange A S) y + BilinForm.bilin B x y
⊢ ↑(baseChange A Q) x✝ + ↑(baseChange A Q) y✝ +
BilinForm.bilin B (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝)
(↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) y✝) =
↑(baseChange A Q) (x✝ + y✝) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | QuadraticForm.baseChange.Equivalent | [251, 1] | [268, 10] | sorry | case intro.val.Cp.intro
R M : Type
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M₂ : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R M₂
A✝ : Type ?u.496082
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inst✝² : Invertible 2
A : Type
inst✝¹ : CommRing A
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Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : ↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝) = ↑(baseChange A Q) x✝
a✝ : ↑(baseChange A S) (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) y✝) = ↑(baseChange A Q) y✝
B : BilinForm A (A ⊗[R] M₂)
hB : ∀ (x y : A ⊗[R] M₂), ↑(baseChange A S) (x + y) = ↑(baseChange A S) x + ↑(baseChange A S) y + BilinForm.bilin B x y
⊢ ↑(baseChange A Q) x✝ + ↑(baseChange A Q) y✝ +
BilinForm.bilin B (↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) x✝)
(↑(LinearEquiv.baseChange val.toLinearEquiv) y✝) =
↑(baseChange A Q) (x✝ + y✝) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | base_change_module_rank_preserved | [282, 1] | [284, 65] | obtain ⟨⟨_, bM⟩⟩ := Module.Free.exists_basis (R := k) (M := M) | k : Type u_3
M : Type (max u_1 u_2)
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module k M
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra k A
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower k A M
inst✝³ : StrongRankCondition A
inst✝² : Module.Free k M
inst✝¹ : Module.Free A M
inst✝ : Module.Free k A
⊢ Module.rank k M = Module.rank A (A ⊗[k] M) | case intro.mk
k : Type u_3
M : Type (max u_1 u_2)
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
inst✝⁹ : AddCommGroup M
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inst✝⁷ : Ring A
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fst✝ : Type (max u_1 u_2)
bM : Basis fst✝ k M
⊢ Module.rank k M = Module.rank A (A ⊗[k] M) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | base_change_module_rank_preserved | [282, 1] | [284, 65] | rw [← bM.mk_eq_rank'', (bM.base_change (A := A)).mk_eq_rank''] | case intro.mk
k : Type u_3
M : Type (max u_1 u_2)
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module k M
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra k A
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inst✝¹ : Module.Free A M
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fst✝ : Type (max u_1 u_2)
bM : Basis fst✝ k M
⊢ Module.rank k M = Module.rank A (A ⊗[k] M) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | simp only [BilinForm.Nondegenerate, not_forall, exists_prop] at * | M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
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inst✝³ : Module.Free A M
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inst✝ : Invertible 2
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hB : ¬Nondegenerate B
⊢ ¬Nondegenerate (baseChange A B) | M k A : Type
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inst✝ : Invertible 2
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⊢ ∃ x, (∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) x n = 0) ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | obtain ⟨x, hn, hx⟩ := hB | M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
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inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
hB : ∃ x, (∀ (n : M), bilin B x n = 0) ∧ ¬x = 0
⊢ ∃ x, (∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) x n = 0) ∧ ¬x = 0 | case intro.intro
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
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inst✝⁵ : StrongRankCondition A
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inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
⊢ ∃ x, (∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) x n = 0) ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | refine ⟨(1 ⊗ₜ x), ?_, ?_⟩ | case intro.intro
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
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hx : ¬x = 0
⊢ ∃ x, (∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) x n = 0) ∧ ¬x = 0 | case intro.intro.refine_1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
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inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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⊢ ∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) n = 0
case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
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inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
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⊢ ¬1 ⊗ₜ[k] x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | . intro n
induction n using TensorProduct.induction_on
. simp
. simp [hn]
. simp [*] | case intro.intro.refine_1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
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inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
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inst✝³ : Module.Free A M
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inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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⊢ ∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) n = 0
case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
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inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
⊢ ¬1 ⊗ₜ[k] x = 0 | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
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B : BilinForm k M
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⊢ ¬1 ⊗ₜ[k] x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | . simp
intro h
apply hx
sorry | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
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inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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⊢ ¬1 ⊗ₜ[k] x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | intro n | case intro.intro.refine_1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
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inst✝ : Invertible 2
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hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
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⊢ ∀ (n : TensorProduct k A M), bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) n = 0 | case intro.intro.refine_1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
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inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
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inst✝ : Invertible 2
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | induction n using TensorProduct.induction_on | case intro.intro.refine_1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
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⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) n = 0 | case intro.intro.refine_1.C0
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝ : Invertible 2
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case intro.intro.refine_1.C1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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case intro.intro.refine_1.Cp
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝ : Invertible 2
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x✝ y✝ : TensorProduct k A M
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a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | . simp | case intro.intro.refine_1.C0
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
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inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
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inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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case intro.intro.refine_1.C1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
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inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝⁹ : CommRing A
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inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
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inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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x✝ y✝ : TensorProduct k A M
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a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 | case intro.intro.refine_1.C1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝⁹ : CommRing A
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inst✝ : Invertible 2
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case intro.intro.refine_1.Cp
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
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inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ y✝ : TensorProduct k A M
a✝¹ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) x✝ = 0
a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | . simp [hn] | case intro.intro.refine_1.C1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ : A
y✝ : M
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ ⊗ₜ[k] y✝) = 0
case intro.intro.refine_1.Cp
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ y✝ : TensorProduct k A M
a✝¹ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) x✝ = 0
a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 | case intro.intro.refine_1.Cp
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
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inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ y✝ : TensorProduct k A M
a✝¹ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) x✝ = 0
a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | . simp [*] | case intro.intro.refine_1.Cp
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
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inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ y✝ : TensorProduct k A M
a✝¹ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) x✝ = 0
a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | simp | case intro.intro.refine_1.C0
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) 0 = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | simp [hn] | case intro.intro.refine_1.C1
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ : A
y✝ : M
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ ⊗ₜ[k] y✝) = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | simp [*] | case intro.intro.refine_1.Cp
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
x✝ y✝ : TensorProduct k A M
a✝¹ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) x✝ = 0
a✝ : bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) y✝ = 0
⊢ bilin (baseChange A B) (1 ⊗ₜ[k] x) (x✝ + y✝) = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | intro h | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
⊢ ¬1 ⊗ₜ[k] x = 0 | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
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inst✝⁹ : CommRing A
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inst✝⁷ : Module A M
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inst✝² : Module.Free k A
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inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
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hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
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h : 1 ⊗ₜ[k] x = 0
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | apply hx | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
h : 1 ⊗ₜ[k] x = 0
⊢ False | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
h : 1 ⊗ₜ[k] x = 0
⊢ x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | BilinForm.baseChange_of_degenerate | [307, 1] | [320, 10] | sorry | case intro.intro.refine_2
M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
B : BilinForm k M
x : M
hn : ∀ (n : M), bilin B x n = 0
hx : ¬x = 0
h : 1 ⊗ₜ[k] x = 0
⊢ x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | baseChange_of_degenerate | [323, 1] | [326, 48] | simp only [baseChange_associated] | M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm k M
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated (baseChange A Q)) | M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm k M
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ ¬BilinForm.Nondegenerate (BilinForm.baseChange A (↑associated Q)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/BaseChange.lean | baseChange_of_degenerate | [323, 1] | [326, 48] | exact BilinForm.baseChange_of_degenerate _ hQ | M k A : Type
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module k M
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra k A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : IsScalarTower k A M
inst✝⁵ : StrongRankCondition A
inst✝⁴ : Module.Free k M
inst✝³ : Module.Free A M
inst✝² : Module.Free k A
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm k M
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ ¬BilinForm.Nondegenerate (BilinForm.baseChange A (↑associated Q)) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | rootsOfUnity.integer_power_of_ringEquiv | [59, 1] | [62, 28] | obtain ⟨m, hm⟩ := MonoidHom.map_cyclic (g.restrictRootsOfUnity n).toMonoidHom | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
⊢ ∃ m, ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ m) | case intro
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
m : ℤ
hm : ∀ (g_1 : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑(MulEquiv.toMonoidHom (RingEquiv.restrictRootsOfUnity g n)) g_1 = g_1 ^ m
⊢ ∃ m, ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ m) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | rootsOfUnity.integer_power_of_ringEquiv | [59, 1] | [62, 28] | exact ⟨m, by simp [← hm]⟩ | case intro
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
m : ℤ
hm : ∀ (g_1 : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑(MulEquiv.toMonoidHom (RingEquiv.restrictRootsOfUnity g n)) g_1 = g_1 ^ m
⊢ ∃ m, ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ m) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | rootsOfUnity.integer_power_of_ringEquiv | [59, 1] | [62, 28] | simp [← hm] | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
m : ℤ
hm : ∀ (g_1 : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑(MulEquiv.toMonoidHom (RingEquiv.restrictRootsOfUnity g n)) g_1 = g_1 ^ m
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ m) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | Group.pow_eq_zpow_mod | [83, 1] | [87, 35] | have h2 : x ^ m = x ^ ((n : ℤ) * (m / (n : ℤ)) + m % (n : ℤ)) :=
congr_arg (fun a => x ^ a) ((Int.add_comm _ _).trans (Int.emod_add_ediv _ _)).symm | L : Type u
inst✝¹ : Field L
n✝ : ℕ+
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x : G
m : ℤ
n : ℕ
h : x ^ n = 1
⊢ x ^ m = x ^ (m % ↑n) | L : Type u
inst✝¹ : Field L
n✝ : ℕ+
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x : G
m : ℤ
n : ℕ
h : x ^ n = 1
h2 : x ^ m = x ^ (↑n * (m / ↑n) + m % ↑n)
⊢ x ^ m = x ^ (m % ↑n) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | Group.pow_eq_zpow_mod | [83, 1] | [87, 35] | simp [h, h2, zpow_add, zpow_mul] | L : Type u
inst✝¹ : Field L
n✝ : ℕ+
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x : G
m : ℤ
n : ℕ
h : x ^ n = 1
h2 : x ^ m = x ^ (↑n * (m / ↑n) + m % ↑n)
⊢ x ^ m = x ^ (m % ↑n) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.spec | [94, 1] | [98, 67] | rintro t | L : Type u
inst✝ : Field L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ ZMod.val (χ n g)) | L : Type u
inst✝ : Field L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ ZMod.val (χ n g)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.spec | [94, 1] | [98, 67] | rw [ModularCyclotomicCharacter_aux_spec g n t, ← zpow_ofNat, ModularCyclotomicCharacter.toFun,
ZMod.val_int_cast, ←Group.pow_eq_zpow_mod _ pow_card_eq_one] | L : Type u
inst✝ : Field L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑g ↑↑t = ↑↑(t ^ ZMod.val (χ n g)) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.ext | [100, 1] | [108, 51] | obtain ⟨g, hg⟩ := IsCyclic.exists_generator (α := G) | L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ ZMod.val a = t ^ ZMod.val b
⊢ a = b | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ ZMod.val a = t ^ ZMod.val b
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ a = b |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.ext | [100, 1] | [108, 51] | have hgord := orderOf_eq_card_of_forall_mem_zpowers hg | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ ZMod.val a = t ^ ZMod.val b
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ a = b | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ ZMod.val a = t ^ ZMod.val b
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
⊢ a = b |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.ext | [100, 1] | [108, 51] | specialize h g | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ ZMod.val a = t ^ ZMod.val b
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
⊢ a = b | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
h : g ^ ZMod.val a = g ^ ZMod.val b
⊢ a = b |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.ext | [100, 1] | [108, 51] | rw [pow_eq_pow_iff_modEq, hgord, hGcard, ← ZMod.nat_cast_eq_nat_cast_iff] at h | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
h : g ^ ZMod.val a = g ^ ZMod.val b
⊢ a = b | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
h : ↑(ZMod.val a) = ↑(ZMod.val b)
⊢ a = b |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.ext | [100, 1] | [108, 51] | subst hGcard | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
h : ↑(ZMod.val a) = ↑(ZMod.val b)
⊢ a = b | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : ↑(ZMod.val a) = ↑(ZMod.val b)
⊢ a = b |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.ext | [100, 1] | [108, 51] | simpa [ZMod.nat_cast_val, ZMod.cast_id'] using h | case intro
L : Type u
inst✝³ : Field L
n : ℕ+
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
hgord : orderOf g = Fintype.card G
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : ↑(ZMod.val a) = ↑(ZMod.val b)
⊢ a = b | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | refine ext (G := rootsOfUnity n L) rfl ?_ | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
⊢ χ n (RingEquiv.refl L) = 1 | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), t ^ ZMod.val (χ n (RingEquiv.refl L)) = t ^ ZMod.val 1 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | intro ζ | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), t ^ ZMod.val (χ n (RingEquiv.refl L)) = t ^ ZMod.val 1 | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ ^ ZMod.val (χ n (RingEquiv.refl L)) = ζ ^ ZMod.val 1 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | ext | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ ^ ZMod.val (χ n (RingEquiv.refl L)) = ζ ^ ZMod.val 1 | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n (RingEquiv.refl L))) = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | rw [← spec] | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n (RingEquiv.refl L))) = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | have : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L } := Fin.size_positive' | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | obtain (h | h) := this.lt_or_eq | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | case a.a.inl
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 < Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1)
case a.a.inr
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | have := Fact.mk h | case a.a.inl
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 < Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | case a.a.inl
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 < Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Fact (1 < Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L })
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | simp [ZMod.val_one] | case a.a.inl
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 < Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Fact (1 < Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L })
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | have := Fintype.card_le_one_iff_subsingleton.mp h.ge | case a.a.inr
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | case a.a.inr
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Subsingleton { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | obtain rfl : ζ = 1 := by apply Subsingleton.elim | case a.a.inr
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Subsingleton { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val 1) | case a.a.inr
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Subsingleton { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑1 = ↑↑(1 ^ ZMod.val 1) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | simp | case a.a.inr
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Subsingleton { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(RingEquiv.refl L) ↑↑1 = ↑↑(1 ^ ZMod.val 1) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.id | [110, 1] | [121, 9] | apply Subsingleton.elim | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this✝ : 1 ≤ Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
h : 1 = Fintype.card { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
this : Subsingleton { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ = 1 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | refine ext (G := rootsOfUnity n L) rfl ?_ | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
⊢ χ n (g * h) = χ n g * χ n h | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), t ^ ZMod.val (χ n (g * h)) = t ^ ZMod.val (χ n g * χ n h) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | intro ζ | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }), t ^ ZMod.val (χ n (g * h)) = t ^ ZMod.val (χ n g * χ n h) | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ ^ ZMod.val (χ n (g * h)) = ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | ext | L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ ^ ZMod.val (χ n (g * h)) = ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h) | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n (g * h))) = ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | rw [← spec] | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n (g * h))) = ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h)) | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(g * h) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | change g (h (ζ : Lˣ)) = _ | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑(g * h) ↑↑ζ = ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h)) | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑g (↑h ↑↑ζ) = ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | rw [spec, spec, mul_comm, ← pow_mul, eq_comm] | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑g (↑h ↑↑ζ) = ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n g * χ n h)) | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n h * χ n g)) = ↑↑(ζ ^ (ZMod.val (χ n h) * ZMod.val (χ n g))) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | congr 2 | case a.a
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ↑↑(ζ ^ ZMod.val (χ n h * χ n g)) = ↑↑(ζ ^ (ZMod.val (χ n h) * ZMod.val (χ n g))) | case a.a.e_self.e_self
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ ^ ZMod.val (χ n h * χ n g) = ζ ^ (ZMod.val (χ n h) * ZMod.val (χ n g)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/CyclotomicCharacter.lean | ModularCyclotomicCharacter.comp | [123, 1] | [133, 91] | simp only [pow_eq_pow_iff_modEq, ← ZMod.nat_cast_eq_nat_cast_iff, SubmonoidClass.coe_pow,
ZMod.nat_cast_val, Nat.cast_mul, ZMod.cast_mul (m := orderOf ζ) orderOf_dvd_card_univ] | case a.a.e_self.e_self
L : Type u
inst✝ : Field L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : { x // x ∈ rootsOfUnity n L }
⊢ ζ ^ ZMod.val (χ n h * χ n g) = ζ ^ (ZMod.val (χ n h) * ZMod.val (χ n g)) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | rw [QuadraticForm.Isotropic, QuadraticForm.Anisotropic] | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
⊢ Isotropic Q | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | have h : ∃ (w : W), w ≠ 0 := by
simpa only [ne_eq, rank_zero_iff_forall_zero, not_forall] using h₂ | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
h : ∃ w, w ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | obtain ⟨w, hw⟩ := h | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
h : ∃ w, w ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 | case intro
V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | have : Q w = 0 := by
rw [h₁]
simp only [zero_apply] | case intro
V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 | case intro
V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
this : ↑Q w = 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | tauto | case intro
V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
this : ↑Q w = 0
⊢ ¬∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | simpa only [ne_eq, rank_zero_iff_forall_zero, not_forall] using h₂ | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
⊢ ∃ w, w ≠ 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | rw [h₁] | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
⊢ ↑Q w = 0 | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
⊢ ↑0 w = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.Isotropic_of_zero_quadForm_dim_ge1 | [91, 1] | [100, 8] | simp only [zero_apply] | V : Type ?u.12934
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.13476
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q = 0
h₂ : Module.rank k W ≠ 0
w : W
hw : w ≠ 0
⊢ ↑0 w = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | rw [EverywhereLocallyIsotropic] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
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⊢ EverywhereLocallyIsotropic F | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
h : Isotropic F
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)) ∧ Isotropic (baseChange ℝ F) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | simp only [Isotropic, Anisotropic, not_forall, exists_prop] at h ⊢ | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
h : Isotropic F
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)) ∧ Isotropic (baseChange ℝ F) | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
h : ∃ x, ↑F x = 0 ∧ ¬x = 0
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0) ∧
∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | push_neg at h | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
h : ∃ x, ↑F x = 0 ∧ ¬x = 0
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0) ∧
∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
h : ∃ x, ↑F x = 0 ∧ x ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0) ∧
∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | obtain ⟨x, hx, hne⟩ := h | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
h : ∃ x, ↑F x = 0 ∧ x ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0) ∧
∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | case intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0) ∧
∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | constructor | case intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0) ∧
∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0
case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | . intro p hp
use (1 ⊗ₜ x)
simp only [baseChange_eval, mul_one, hx, _root_.map_zero, mul_zero, true_and]
sorry | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0
case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | . use (1 ⊗ₜ x)
simp only [baseChange_eval, mul_one, hx, _root_.map_zero, mul_zero, true_and]
sorry | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | intro p hp | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | use (1 ⊗ₜ x) | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℚ_[p] F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(baseChange ℚ_[p] F) (1 ⊗ₜ[ℚ] x) = 0 ∧ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | simp only [baseChange_eval, mul_one, hx, _root_.map_zero, mul_zero, true_and] | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(baseChange ℚ_[p] F) (1 ⊗ₜ[ℚ] x) = 0 ∧ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | sorry | case intro.intro.left
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | use (1 ⊗ₜ x) | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ↑(baseChange ℝ F) x = 0 ∧ ¬x = 0 | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ↑(baseChange ℝ F) (1 ⊗ₜ[ℚ] x) = 0 ∧ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | simp only [baseChange_eval, mul_one, hx, _root_.map_zero, mul_zero, true_and] | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ↑(baseChange ℝ F) (1 ⊗ₜ[ℚ] x) = 0 ∧ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
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⊢ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_global_to_local | [103, 1] | [116, 10] | sorry | case intro.intro.right
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.23512
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
x : V
hx : ↑F x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ ¬1 ⊗ₜ[ℚ] x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_Equivalent | [120, 1] | [127, 74] | simp only [HasseMinkowski, Isotropic, EverywhereLocallyIsotropic] at * | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski S | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ (¬Anisotropic Q ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)) ↔
(¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] S)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_Equivalent | [120, 1] | [127, 74] | simp only [anisotropic_iff _ _ h] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ (¬Anisotropic Q ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)) ↔
(¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] S)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ (¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)) ↔
(¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] S)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_Equivalent | [120, 1] | [127, 74] | rw [anisotropic_iff _ _ (baseChange.Equivalent ℝ _ _ h)] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ (¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)) ↔
(¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] S)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ (¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) ↔
(¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] S)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_Equivalent | [120, 1] | [127, 74] | conv in (Anisotropic (baseChange _ Q)) =>
rw [anisotropic_iff _ _ (baseChange.Equivalent (R := ℚ) ℚ_[p] _ _ h)] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
S : QuadraticForm ℚ V₂
h : Equivalent Q S
⊢ (¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) ↔
(¬Anisotropic S ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] S)) ∧ ¬Anisotropic (baseChange ℝ S)) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_quadForm_dim_zero | [133, 1] | [137, 12] | intro (w : W) _ | V : Type ?u.62236
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.62778
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h : Module.rank k W = 0
⊢ Anisotropic Q | V : Type ?u.62236
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.62778
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h : Module.rank k W = 0
w : W
a✝ : ↑Q w = 0
⊢ w = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_quadForm_dim_zero | [133, 1] | [137, 12] | rw [rank_zero_iff_forall_zero] at h | V : Type ?u.62236
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.62778
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h : Module.rank k W = 0
w : W
a✝ : ↑Q w = 0
⊢ w = 0 | V : Type ?u.62236
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.62778
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h : ∀ (x : W), x = 0
w : W
a✝ : ↑Q w = 0
⊢ w = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_quadForm_dim_zero | [133, 1] | [137, 12] | exact h w | V : Type ?u.62236
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.62778
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h : ∀ (x : W), x = 0
w : W
a✝ : ↑Q w = 0
⊢ w = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | intro F | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
⊢ ∀ (F : QuadraticForm ℚ V), HasseMinkowski F | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ HasseMinkowski F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | rw [HasseMinkowski] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ Isotropic F ↔ EverywhereLocallyIsotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | constructor | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ Isotropic F ↔ EverywhereLocallyIsotropic F | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ Isotropic F → EverywhereLocallyIsotropic F
case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ EverywhereLocallyIsotropic F → Isotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | contrapose | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ Isotropic F → EverywhereLocallyIsotropic F | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ ¬EverywhereLocallyIsotropic F → ¬Isotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | intro | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ ¬EverywhereLocallyIsotropic F → ¬Isotropic F | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬EverywhereLocallyIsotropic F
⊢ ¬Isotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | rw [QuadraticForm.Isotropic] | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬EverywhereLocallyIsotropic F
⊢ ¬Isotropic F | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬EverywhereLocallyIsotropic F
⊢ ¬¬Anisotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | simp only [not_not] | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬EverywhereLocallyIsotropic F
⊢ ¬¬Anisotropic F | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬EverywhereLocallyIsotropic F
⊢ Anisotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | apply anisotropic_of_quadForm_dim_zero _ _ F hV | case mp
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬EverywhereLocallyIsotropic F
⊢ Anisotropic F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | contrapose | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ EverywhereLocallyIsotropic F → Isotropic F | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ ¬Isotropic F → ¬EverywhereLocallyIsotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | intro | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ ¬Isotropic F → ¬EverywhereLocallyIsotropic F | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
⊢ ¬EverywhereLocallyIsotropic F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | rw [QuadraticForm.EverywhereLocallyIsotropic] | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
⊢ ¬EverywhereLocallyIsotropic F | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
⊢ ¬((∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)) ∧ Isotropic (baseChange ℝ F)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | push_neg | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
⊢ ¬((∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)) ∧ Isotropic (baseChange ℝ F)) | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)) → ¬Isotropic (baseChange ℝ F) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | intro | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
⊢ (∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)) → ¬Isotropic (baseChange ℝ F) | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
_✝ : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)
⊢ ¬Isotropic (baseChange ℝ F) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | simp only [not_not] | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
_✝ : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)
⊢ ¬Isotropic (baseChange ℝ F) | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
_✝ : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)
⊢ Anisotropic (baseChange ℝ F) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | apply anisotropic_of_quadForm_dim_zero | case mpr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
_✝ : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)
⊢ Anisotropic (baseChange ℝ F) | case mpr.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
_✝ : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)
⊢ Module.rank ℝ (TensorProduct ℚ ℝ V) = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski0 | [140, 1] | [156, 50] | rw [← base_change_module_rank_preserved, hV] | case mpr.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.68408
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : Module.rank ℚ V = 0
F : QuadraticForm ℚ V
a✝ : ¬Isotropic F
_✝ : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] F)
⊢ Module.rank ℝ (TensorProduct ℚ ℝ V) = 0 | no goals |
Subsets and Splits
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