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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | have h: ∃ (w : W), Q w ≠ 0 := by
rw [ne_eq, ext_iff,not_forall] at h₁
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⊢ ∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | obtain ⟨w, hw⟩ := h | V : Type ?u.84490
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | have h': ∀ (v : W) (h'': v ≠ 0), Q v ≠ 0 := by sorry | case intro
V : Type ?u.84490
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V : Type ?u.84490
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | intro | case intro
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w : W
hw : ↑Q w ≠ 0
h' : ∀ (v : W), v ≠ 0 → ↑Q v ≠ 0
⊢ ∀ (x : W), ↑Q x = 0 → x = 0 | case intro
V : Type ?u.84490
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hw : ↑Q w ≠ 0
h' : ∀ (v : W), v ≠ 0 → ↑Q v ≠ 0
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | contrapose | case intro
V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
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F : QuadraticForm ℚ V
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x✝ : W
⊢ ↑Q x✝ = 0 → x✝ = 0 | case intro
V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.85032
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F : QuadraticForm ℚ V
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Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q ≠ 0
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w : W
hw : ↑Q w ≠ 0
h' : ∀ (v : W), v ≠ 0 → ↑Q v ≠ 0
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⊢ ¬x✝ = 0 → ¬↑Q x✝ = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | apply h' | case intro
V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.85032
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
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inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q ≠ 0
h₂ : Module.rank k W = 1
w : W
hw : ↑Q w ≠ 0
h' : ∀ (v : W), v ≠ 0 → ↑Q v ≠ 0
x✝ : W
⊢ ¬x✝ = 0 → ¬↑Q x✝ = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | rw [ne_eq, ext_iff,not_forall] at h₁ | V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.85032
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q ≠ 0
h₂ : Module.rank k W = 1
⊢ ∃ w, ↑Q w ≠ 0 | V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.85032
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : ∃ x, ¬↑Q x = ↑0 x
h₂ : Module.rank k W = 1
⊢ ∃ w, ↑Q w ≠ 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | convert h₁ | V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.85032
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : ∃ x, ¬↑Q x = ↑0 x
h₂ : Module.rank k W = 1
⊢ ∃ w, ↑Q w ≠ 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_nonzero_quadForm_dim_1 | [178, 1] | [188, 11] | sorry | V : Type ?u.84490
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.85032
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module k W
Q : QuadraticForm k W
h₁ : Q ≠ 0
h₂ : Module.rank k W = 1
w : W
hw : ↑Q w ≠ 0
⊢ ∀ (v : W), v ≠ 0 → ↑Q v ≠ 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_degenerate | [197, 1] | [204, 108] | have degenQ := Q.nondegenerate_of_anisotropic.mt hQ | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.104463
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.104463
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
⊢ HasseMinkowski Q |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_degenerate | [197, 1] | [204, 108] | have degenR := (nondegenerate_of_anisotropic _).mt (baseChange_of_degenerate (A := ℝ) _ hQ) | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.104463
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
⊢ HasseMinkowski Q | V : Type
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V₂ : Type ?u.104463
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
degenR : ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)
⊢ HasseMinkowski Q |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_degenerate | [197, 1] | [204, 108] | simp only [HasseMinkowski, Isotropic, degenQ, not_false_eq_true,
EverywhereLocallyIsotropic, degenR, and_true, true_iff] | V : Type
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V₂ : Type ?u.104463
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degenR : ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)
⊢ HasseMinkowski Q | V : Type
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F : QuadraticForm ℚ V
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hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
degenR : ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)
⊢ ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_degenerate | [197, 1] | [204, 108] | intro p hp | V : Type
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V₂ : Type ?u.104463
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
degenR : ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)
⊢ ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q) | V : Type
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V₂ : Type ?u.104463
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F : QuadraticForm ℚ V
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Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
degenR : ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_of_degenerate | [197, 1] | [204, 108] | exact (nondegenerate_of_anisotropic (Q.baseChange ℚ_[p])).mt (baseChange_of_degenerate (A := ℚ_[p]) _ hQ) | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.104463
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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Q : QuadraticForm ℚ V
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
degenQ : ¬Anisotropic Q
degenR : ¬Anisotropic (baseChange ℝ Q)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ¬Anisotropic (baseChange ℚ_[p] Q) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | by_cases hQ : (associated (R₁ := ℚ) Q).Nondegenerate | V : Type
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V₂ : Type ?u.130041
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F : QuadraticForm ℚ V
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Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
⊢ HasseMinkowski Q | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q
case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | . obtain ⟨w, hw1, hw0, hEQ⟩ := equivalent_weightedSumSquares_units_of_nondegenerate'' Q (by simp [h]) h.symm hQ have := HasseMinkowski_of_Equivalent (V := V) hEQ
rw [this]
rw [HasseMinkowski, Isotropic, EverywhereLocallyIsotropic, Isotropic]
simp at *
sorry | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q
case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | . exact HasseMinkowski_of_degenerate Q hQ | case neg
V : Type
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F : QuadraticForm ℚ V
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Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
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⊢ HasseMinkowski Q | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | obtain ⟨w, hw1, hw0, hEQ⟩ := equivalent_weightedSumSquares_units_of_nondegenerate'' Q (by simp [h]) h.symm hQ | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.130041
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inst✝³ : Module ℚ V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski Q |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | have := HasseMinkowski_of_Equivalent (V := V) hEQ | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
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hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski Q | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski Q |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | rw [this] | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.130041
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F : QuadraticForm ℚ V
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hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
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hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski Q | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | rw [HasseMinkowski, Isotropic, EverywhereLocallyIsotropic, Isotropic] | case pos.intro.intro.intro
V : Type
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hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
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this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ ¬Anisotropic (weightedSumSquares ℚ w) ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬Anisotropic (baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | simp at * | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.130041
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F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ ¬Anisotropic (weightedSumSquares ℚ w) ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬Anisotropic (baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w 0 = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ ¬Anisotropic (weightedSumSquares ℚ w) ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬Anisotropic (baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | sorry | case pos.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w 0 = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEQ : Equivalent Q (weightedSumSquares ℚ w)
this : HasseMinkowski Q ↔ HasseMinkowski (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ ¬Anisotropic (weightedSumSquares ℚ w) ↔
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬Anisotropic (baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | simp [h] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.ex | [207, 1] | [221, 44] | exact HasseMinkowski_of_degenerate Q hQ | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.130041
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
Q : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
hQ : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated Q)
⊢ HasseMinkowski Q | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.weightedSumSquares_basechange_anisotropic_iff | [233, 1] | [234, 8] | sorry | V : Type ?u.142725
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.143267
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
a p : ℕ
w : Fin a → ℤ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Anisotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w)) ↔ Anisotropic (weightedSumSquares ℚ_[p] fun i => ↑(w i)) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | by_cases hF : (associated (R₁ := ℚ) F).Nondegenerate | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
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⊢ HasseMinkowski F
case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
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hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
⊢ HasseMinkowski F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V := by rw [hV]; norm_num | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.151517
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F : QuadraticForm ℚ V
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⊢ HasseMinkowski F | case pos
V : Type
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F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
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⊢ HasseMinkowski F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | obtain ⟨w, hw1, hw0, hEF⟩ := equivalent_weightedSumSquares_units_of_nondegenerate'' F hV0 hV.symm hF | case pos
V : Type
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V₂ : Type ?u.151517
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hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | case pos.intro.intro.intro
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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F : QuadraticForm ℚ V
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w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski F |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rw [HasseMinkowski_of_Equivalent (V := V) hEF, HasseMinkowski] | case pos.intro.intro.intro
V : Type
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V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ HasseMinkowski F | case pos.intro.intro.intro
V : Type
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V₂ : Type ?u.151517
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F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) ↔ EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | constructor | case pos.intro.intro.intro
V : Type
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V₂ : Type ?u.151517
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F : QuadraticForm ℚ V
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) ↔ EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) | case pos.intro.intro.intro.mp
V : Type
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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inst✝¹ : Field k
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hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
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hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) → EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
case pos.intro.intro.intro.mpr
V : Type
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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inst✝¹ : Field k
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F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) → Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rw [hV] | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | norm_num | V : Type
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | intro h | case pos.intro.intro.intro.mp
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⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) → EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) | case pos.intro.intro.intro.mp
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
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⊢ EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | exact HasseMinkowski_global_to_local _ h | case pos.intro.intro.intro.mp
V : Type
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w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
h : Isotropic (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | intro hl | case pos.intro.intro.intro.mpr
V : Type
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hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w) → Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) | case pos.intro.intro.intro.mpr
V : Type
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hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
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w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | by_cases hw : w ⟨1, (by norm_num)⟩ = -1 | case pos.intro.intro.intro.mpr
V : Type
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
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⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) | case pos
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
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⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w)
case neg
V : Type
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V₂ : Type ?u.151517
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F : QuadraticForm ℚ V
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hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | norm_num | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.151517
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F : QuadraticForm ℚ V
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hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
⊢ 1 < 2 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rw [Isotropic, Anisotropic] | case pos
V : Type
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V₂ : Type ?u.151517
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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inst✝ : AddCommGroup W
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F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ ¬∀ (x : Fin 2 → ℚ), ↑(weightedSumSquares ℚ w) x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | push_neg | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ ¬∀ (x : Fin 2 → ℚ), ↑(weightedSumSquares ℚ w) x = 0 → x = 0 | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ ∃ x, ↑(weightedSumSquares ℚ w) x = 0 ∧ x ≠ 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ ∃ x, ↑(weightedSumSquares ℚ w) x = 0 ∧ x ≠ 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | exfalso | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ Isotropic (weightedSumSquares ℚ w) | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rw [EverywhereLocallyIsotropic, Isotropic, Anisotropic] at hl | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl : EverywhereLocallyIsotropic (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ False | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl :
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | let a := w 1 | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl :
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
⊢ False | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl :
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have ha : Squarefree a := hw0 1 | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl :
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
⊢ False | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl :
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rcases hl with ⟨hlf, hli⟩ | case neg.h
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hl :
(∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))) ∧
¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
⊢ False | case neg.h.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | let n := a.natAbs | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
⊢ False | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have ngt1 : n > 1 := by sorry | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
⊢ False | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rw [← squarefree_natAbs] at ha | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
⊢ False | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | let f := n.factors | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
⊢ False | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
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hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | by_cases hf : f = [] | case neg.h.intro.inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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F : QuadraticForm ℚ V
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
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ha : Squarefree (natAbs a)
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hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
⊢ False | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
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case neg
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V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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n : ℕ := natAbs a
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⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have : n = 1 := by
sorry | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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F : QuadraticForm ℚ V
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w : Fin 2 → ℤ
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hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
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ha : Squarefree (natAbs a)
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n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
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⊢ False | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.151517
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n : ℕ := natAbs a
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this : n = 1
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | case pos
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inst✝⁶ : AddCommGroup V
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hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : f = []
this : n = 1
⊢ False | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
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⊢ n = 1 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have hp := List.exists_mem_of_ne_nil f hf | case neg
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inst✝⁶ : AddCommGroup V
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f : List ℕ := Nat.factors n
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⊢ False | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
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hp : ∃ x, x ∈ f
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rcases hp with ⟨p, hp⟩ | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
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a : ℤ := w 1
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hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
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n : ℕ := natAbs a
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f : List ℕ := Nat.factors n
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hp : ∃ x, x ∈ f
⊢ False | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
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hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
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hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
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⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have hp2 := Nat.prime_of_mem_factors hp | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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inst✝¹ : Field k
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F : QuadraticForm ℚ V
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hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
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f : List ℕ := Nat.factors n
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p : ℕ
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⊢ False | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
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hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
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⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have : Fact (p.Prime) := by exact { out := hp2 } | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
⊢ False | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
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a : ℤ := w 1
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hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | specialize hlf p | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
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hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ False | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
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hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
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ha : Squarefree (natAbs a)
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ngt1 : n > 1
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hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
hlf : Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rw [Isotropic, weightedSumSquares_basechange_anisotropic_iff w, Anisotropic] at hlf | case neg.intro
V : Type
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inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
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this : Fact (Nat.Prime p)
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⊢ False | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | push_neg at hlf | case neg.intro
V : Type
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⊢ False | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | rcases hlf with ⟨x, ⟨ hx1, hx2⟩ ⟩ | case neg.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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hp : p ∈ f
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this : Fact (Nat.Prime p)
hlf : ∃ x, ↑(weightedSumSquares ℚ_[p] fun i => ↑(w i)) x = 0 ∧ x ≠ 0
⊢ False | case neg.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
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inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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n : ℕ := natAbs a
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f : List ℕ := Nat.factors n
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this : Fact (Nat.Prime p)
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⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | simp only [weightedSumSquares_apply, smul_eq_mul, Fin.sum_univ_two] at hx1 | case neg.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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inst✝ : AddCommGroup W
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hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
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n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
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p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
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⊢ False | case neg.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
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inst✝ : AddCommGroup W
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ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
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⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | by_cases hx3 : x 0 = 0 | case neg.intro.intro.intro
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
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F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
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a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
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n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
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⊢ False | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
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hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : x 0 = 0
⊢ False
case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : ¬x 0 = 0
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | exact { out := hp2 } | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
⊢ Fact (Nat.Prime p) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have : x = 0 := by
simp?
sorry | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : x 0 = 0
⊢ False | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : x 0 = 0
this : x = 0
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | exact hx2 this | case pos
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : x 0 = 0
this : x = 0
⊢ False | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
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hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : x 0 = 0
⊢ x = 0 | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | have : (w 1 : ℚ_[p]) * (x 1 * x 1) = -(x 0 * x 0) := by sorry | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : ¬x 0 = 0
⊢ False | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : ¬x 0 = 0
this : ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = -(x 0 * x 0)
⊢ False |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : ¬x 0 = 0
this : ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = -(x 0 * x 0)
⊢ False | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree (natAbs a)
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hneg : a < 0
n : ℕ := natAbs a
ngt1 : n > 1
f : List ℕ := Nat.factors n
hf : ¬f = []
p : ℕ
hp : p ∈ f
hp2 : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
x : Fin 2 → ℚ_[p]
hx2 : x ≠ 0
hx1 : ↑(w 0) * (x 0 * x 0) + ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = 0
hx3 : ¬x 0 = 0
⊢ ↑(w 1) * (x 1 * x 1) = -(x 0 * x 0) | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | sorry | case neg.h.intro.inr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
hV0 : 0 < FiniteDimensional.finrank ℚ V
w : Fin 2 → ℤ
hw1 : w { val := 0, isLt := (_ : 0 < 2) } = 1
hw0 : ∀ (i : Fin 2), Squarefree (w i)
hEF : Equivalent F (weightedSumSquares ℚ w)
hw : ¬w { val := 1, isLt := (_ : 1 < 2) } = -1
a : ℤ := w 1
ha : Squarefree a
hlf : ∀ (p : ℕ) [inst : Fact (Nat.Prime p)], Isotropic (baseChange ℚ_[p] (weightedSumSquares ℚ w))
hli : ¬∀ (x : TensorProduct ℚ ℝ (Fin 2 → ℚ)), ↑(baseChange ℝ (weightedSumSquares ℚ w)) x = 0 → x = 0
hpos : a > 0
⊢ False | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski2 | [236, 1] | [284, 44] | exact HasseMinkowski_of_degenerate F hF | case neg
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.151517
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
hV : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
F : QuadraticForm ℚ V
hF : ¬BilinForm.Nondegenerate (↑associated F)
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | match h : FiniteDimensional.finrank ℚ V with
| 0 => sorry
| 1 => sorry
| 2 => exact HasseMinkowski2 h F
| 3 => sorry
| 4 => sorry
| (n + 5) => sorry | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | sorry | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 0
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | sorry | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 1
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | exact HasseMinkowski2 h F | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 2
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | sorry | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 3
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | sorry | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = 4
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_finite | [290, 1] | [297, 21] | sorry | V : Type
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.180812
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module ℚ V₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
n : ℕ
h : FiniteDimensional.finrank ℚ V = Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof_infinite | [299, 1] | [318, 8] | sorry | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.183933
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
h : ¬Module.Finite ℚ V
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof | [320, 1] | [323, 67] | cases em (Module.Finite ℚ V) with
| inl finite => exact HasseMinkowski_proof_finite F
| inr infinite => exact HasseMinkowski_proof_infinite infinite F | V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.186171
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof | [320, 1] | [323, 67] | exact HasseMinkowski_proof_finite F | case inl
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.186171
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
finite : Module.Finite ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/HasseMinkowski.lean | QuadraticForm.HasseMinkowski_proof | [320, 1] | [323, 67] | exact HasseMinkowski_proof_infinite infinite F | case inr
V : Type
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module ℚ V
V₂ : Type ?u.186171
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module ℚ V₂
inst✝² : FiniteDimensional ℚ V
F✝ : QuadraticForm ℚ V
k W : Type
inst✝¹ : Field k
inst✝ : AddCommGroup W
F : QuadraticForm ℚ V
infinite : ¬Module.Finite ℚ V
⊢ HasseMinkowski F | no goals |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/Diagonalize.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_Equivalent | [71, 1] | [81, 16] | rcases h with ⟨val⟩ | ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
h : Equivalent Q S
⊢ Anisotropic Q → Anisotropic S | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
⊢ Anisotropic Q → Anisotropic S |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/Diagonalize.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_Equivalent | [71, 1] | [81, 16] | intro h | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
⊢ Anisotropic Q → Anisotropic S | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
h : Anisotropic Q
⊢ Anisotropic S |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/Diagonalize.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_Equivalent | [71, 1] | [81, 16] | simp only [Anisotropic] at * | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
h : Anisotropic Q
⊢ Anisotropic S | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
h : ∀ (x : M), ↑Q x = 0 → x = 0
⊢ ∀ (x : M₂), ↑S x = 0 → x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/Diagonalize.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_Equivalent | [71, 1] | [81, 16] | intro x hx | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
h : ∀ (x : M), ↑Q x = 0 → x = 0
⊢ ∀ (x : M₂), ↑S x = 0 → x = 0 | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
h : ∀ (x : M), ↑Q x = 0 → x = 0
x : M₂
hx : ↑S x = 0
⊢ x = 0 |
https://github.com/alexjbest/ant-lorentz.git | 1f97add294b2d50f99537c15583666d78b0d7e24 | AntLorentz/Diagonalize.lean | QuadraticForm.anisotropic_of_Equivalent | [71, 1] | [81, 16] | specialize h (val.symm x) | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
h : ∀ (x : M), ↑Q x = 0 → x = 0
x : M₂
hx : ↑S x = 0
⊢ x = 0 | case intro
ι : Type ?u.84107
R✝ : Type ?u.84110
K : Type ?u.84113
M✝ : Type ?u.84116
M₁ : Type ?u.84119
M₂ : Type u_1
M₃ : Type ?u.84125
V : Type ?u.84128
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : FiniteDimensional R M
inst✝² : Invertible 2
Q✝ : QuadraticForm R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
Q : QuadraticForm R M
S : QuadraticForm R M₂
val : Isometry Q S
x : M₂
hx : ↑S x = 0
h : ↑Q (↑(Isometry.symm val) x) = 0 → ↑(Isometry.symm val) x = 0
⊢ x = 0 |
Subsets and Splits
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