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Les trois théorèmes d'isomorphisme.
Soit formula_39 un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de "f" et par Im(f) son image formula_40. Si deux éléments "x" et "y" de "G" appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par "f", donc pour toute classe "X", il existe un et un seul élément "z" de Im(f) possédant la propriété suivante :
formula_41.
Si à chaque classe "X", nous faisons correspondre cet élément "z", nous définissons une application formula_42 telle que, pour tout formula_43,
formula_44.
Pour tous éléments "x", "y" de "G",
formula_45,
donc formula_46 est un homomorphisme de "G/Ker(f)" dans "H".
La relation (1) montre que formula_46 (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par formula_46.
La même relation (1) montre que si formula_49, alors f(x) = 1, donc formula_50, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de formula_46 est l'élément neutre, donc formula_46 est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).
Nous avons ainsi prouvé le
On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si formula_53 et formula_54 sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de formula_53 sur formula_54 si et seulement si formula_54 est isomorphe à un quotient de formula_58 (Voir les exercices.) Au lieu de dire que formula_54 est isomorphe à un quotient de formula_53, on dit souvent (abusivement) que formula_54 "est un quotient" de formula_53. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B)
Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par "p" l'homomorphisme canonique de "G" sur "G"/Ker("f") et par i l'injection canonique formula_63 de Im(f) dans H ("i" est évidemment un homomorphisme). Alors "f" se décompose en formula_64.
Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation
formula_65
que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G,
formula_66.
En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G.
Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme.
Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme.
Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc :
Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application "h" de G/H sur G/K telle que, pour tout "x" dans G,
La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient). L'application déduite de "h" par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices :
Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici :



Polynôme/Définitions

Dans toute la suite, formula_1 représentera indistinctement le corps formula_2 des réels ou celui formula_3 des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).
Unicité.
Théorème :
Soit deux fonctions polynomiales formula_4 et formula_5 telles que formula_6 et
formula_7 formula_8
formula_9 formula_10
Alors, formula_11
Démonstration
On définit la fonction polynomiale formula_12
formula_13
Donc, formula_14 pour tout formula_15
Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale formula_16 nulle pour toute valeur de formula_15 (on dit que formula_16 est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.
Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel formula_19 tel que formula_20, formula_21 . En effet, la fonction polynôme est continue.
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
Initialisation : Si formula_22, formula_23et donc formula_24
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour formula_25. Montrons que c'est aussi le cas pour formula_26.
Soit le polynôme formula_27 tel que formula_28 et formula_29 pour tout formula_30.
Donc, formula_31.
On peut donc écrire formula_27 sous la forme formula_33.
On pose maintenant le polynôme formula_34 tel que formula_35. Ainsi, formula_36
D'autre part, pour tout formula_37, formula_38. Or, d'après le lemme démontré précédemment, formula_39. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel formula_19 tel que formula_20, formula_42 ce qui est faux.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, formula_43.
Donc, la propriété est démontrée pour le rang formula_26.
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
Ainsi, formula_45 est identiquement nulle. Donc, formula_11: le théorème est démontré.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
Propriété :
Soit deux fonctions polynomiales formula_4 et formula_5 telles que formula_6 et
formula_7 formula_8
formula_9 formula_53
Avec formula_26 et formula_55 différents de 0.
On a alors formula_56 et formula_57.
Degré d'un polynôme.
Soit formula_58.
La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.
On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.

On note formula_59 le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à formula_26 (par convention, on pose formula_61 ).



Applications techniques des nombres complexes





Arithmétique





Vocabulaire et notations mathématiques





Fondements des mathématiques





Symétrie axiale

Les trois théorèmes d'isomorphisme.

Soit formula_39 un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de "f" et par Im(f) son image formula_40. Si deux éléments "x" et "y" de "G" appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par "f", donc pour toute classe "X", il existe un et un seul élément "z" de Im(f) possédant la propriété suivante :

formula_41.

Si à chaque classe "X", nous faisons correspondre cet élément "z", nous définissons une application formula_42 telle que, pour tout formula_43,

formula_44.

Pour tous éléments "x", "y" de "G",

formula_45,

donc formula_46 est un homomorphisme de "G/Ker(f)" dans "H".

La relation (1) montre que formula_46 (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par formula_46.

La même relation (1) montre que si formula_49, alors f(x) = 1, donc formula_50, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de formula_46 est l'élément neutre, donc formula_46 est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).

Nous avons ainsi prouvé le

On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si formula_53 et formula_54 sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de formula_53 sur formula_54 si et seulement si formula_54 est isomorphe à un quotient de formula_58 (Voir les exercices.) Au lieu de dire que formula_54 est isomorphe à un quotient de formula_53, on dit souvent (abusivement) que formula_54 "est un quotient" de formula_53. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B)

Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par "p" l'homomorphisme canonique de "G" sur "G"/Ker("f") et par i l'injection canonique formula_63 de Im(f) dans H ("i" est évidemment un homomorphisme). Alors "f" se décompose en formula_64.

Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation

formula_65

que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G,

formula_66.

En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G.

Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme.

Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme.

Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc :

Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application "h" de G/H sur G/K telle que, pour tout "x" dans G,

La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient). L'application déduite de "h" par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices :

Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici :

Polynôme/Définitions

Dans toute la suite, formula_1 représentera indistinctement le corps formula_2 des réels ou celui formula_3 des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

Unicité.

Théorème :

Soit deux fonctions polynomiales formula_4 et formula_5 telles que formula_6 et

formula_7 formula_8

formula_9 formula_10

Alors, formula_11

Démonstration

On définit la fonction polynomiale formula_12

formula_13

Donc, formula_14 pour tout formula_15

Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale formula_16 nulle pour toute valeur de formula_15 (on dit que formula_16 est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.

Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel formula_19 tel que formula_20, formula_21 . En effet, la fonction polynôme est continue.

Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :

Initialisation : Si formula_22, formula_23et donc formula_24

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour formula_25. Montrons que c'est aussi le cas pour formula_26.

Soit le polynôme formula_27 tel que formula_28 et formula_29 pour tout formula_30.

Donc, formula_31.

On peut donc écrire formula_27 sous la forme formula_33.

On pose maintenant le polynôme formula_34 tel que formula_35. Ainsi, formula_36

D'autre part, pour tout formula_37, formula_38. Or, d'après le lemme démontré précédemment, formula_39. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel formula_19 tel que formula_20, formula_42 ce qui est faux.

Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, formula_43.

Donc, la propriété est démontrée pour le rang formula_26.

Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.

Ainsi, formula_45 est identiquement nulle. Donc, formula_11: le théorème est démontré.

Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante

Propriété :

Soit deux fonctions polynomiales formula_4 et formula_5 telles que formula_6 et

formula_7 formula_8

formula_9 formula_53

Avec formula_26 et formula_55 différents de 0.

On a alors formula_56 et formula_57.

Degré d'un polynôme.

Soit formula_58.

La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.

On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.

On note formula_59 le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à formula_26 (par convention, on pose formula_61 ).

Applications techniques des nombres complexes

Arithmétique

Vocabulaire et notations mathématiques

Fondements des mathématiques

Symétrie axiale