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Pour rassembler les trois lois de Snell-Descartes que l’on vient de voir, on peut utiliser les notations suivantes : |
Les lois de Snell-Descartes se résument à : |
Conséquence : théorème de Malus. |
Pour démontrer ce théorème, il faut d’abord se rendre compte que dans un milieu homogène, il est forcément vrai. En effet, dans un tel milieu les rayons partant en ligne droite du centre "O" forment une onde sphérique. Les surfaces d'ondes sont alors perpendiculaires aux rayons. |
Dans un milieu non-homogène, ce n’est pas aussi évident. Pour simplifier, on va montrer que le théorème est vrai pour une succession de dioptres (un milieu dont l'indice varie par paliers). Ensuite il suffira de supposer que ces dioptres sont infiniment proches pour obtenir un milieu dont l'indice varie continûment. Mais d’abord, considérons le cas où l’on place un seul dioptre sur le trajet d’un rayon. On note "A" le point d'incidence du rayon sur le dioptre, et "B" un point que ce rayon atteint après le dioptre avec un chemin optique "L". On note également formula_20 le vecteur directeur de formula_25 et formula_21 le vecteur directeur de formula_27. Le chemin optique s'écrit : |
Prenons alors un autre rayon infiniment proche passant par "O", "A' " et "B' ". On note formula_29 et formula_30 ses vecteurs directeurs. Pour trouver la différence de chemin optique entre ces deux rayons, on calcule la différentielle de "L" : |
Donc finalement, si "B" et "B’" font partie de la même surface d'onde (d"L" = 0 par définition), alors les vecteurs formula_21 et formula_32 sont perpendiculaires. Autrement dit, le rayon est perpendiculaire à la surface d'onde. |
On a ainsi démontré le théorème de Malus pour un seul dioptre. Pour terminer la démonstration, une récurrence serait nécessaire, mais les étapes sont identiques à cette dernière. |
Notions de base d'optique géométrique/Observations expérimentales |
Pour justifier les résultats que l’on vient d'obtenir, il faut pouvoir les observer dans la nature. On donne d’abord quelques exemples d'observations des phénomènes de réflexion et de réfraction : |
Ces exemples sont relativement simples à expliquer car les rayons s'y propagent dans des milieux homogènes. Mais que se passe-t-il lorsqu'on utilise un milieu non-homogène ? Tout d’abord, il faut fabriquer un tel milieu. Une façon simple de faire cela est de dissoudre une grande quantité de sucre dans une cuve d'eau et d'attendre que celui-ci, à cause de la gravité, s'accumule davantage au fond qu'au dessus. Ainsi la densité de sucre est d'autant plus importante que l’on va vers le fond de la cuve. |
On observe (voir image ci-contre) que le rayon d’un laser est dévié vers le bas lorsqu’il traverse l'eau sucrée inhomogène. Pour cela, et comme l'indique l’image en la regardant précisément, il faut que le rayon soient légèrement incliné vers le bas. |
On peut interpréter ce phénomène en imaginant que cette eau est composée d’une infinité de dioptres horizontaux infiniment proches les uns des autres et que le rayon est successivement réfracté vers le bas par tous ces dioptres. Or d’après la formule formula_1 valable pour le passage d’un de ces dioptres, la déviation sera vers le bas (formula_2) si formula_3. |
On peut en déduire une loi pratique à retenir : |
Ce phénomène existe dans la nature par ce que l’on appelle les "mirages". Ce sont par exemple les reflets que l’on voit parfois sur la route les jours de forte chaleur (voir image en bas). L'explication est identique à celle de l'eau sucrée : la route chauffe davantage l'air juste au-dessus d'elle que l'air plus éloigné. Ainsi la température de l'air, et donc son indice, varie en fonction de la distance à la route. On a donc encore une fois un milieu dont l'indice n’est pas homogène. Les rayons seront alors déviés vers le haut, et lorsqu’ils arrivent sur notre œil, ils semblent venir du bas (voir le schéma explicatif ci-contre). |
Formation d'images et stigmatisme/Cas particulier des foyers |
Foyers. |
Cette définition est assez difficile à retenir sous cette forme. Une meilleure façon de la comprendre est donnée par les schémas suivants : |
Sur l’image de gauche, il y a un objet à l'infini vers la gauche qui envoie des rayons parallèles à l’axe optique. Ces rayons sont déviés par le système optique et convergent vers le foyer image. Sur l’image de droite, le foyer objet envoie des rayons déviés par le système optique qui forment une image à l'infini vers la droite. |
Plans focaux. |
D'après ce qu'on vient de voir, si l’on met une source au foyer objet d’un système optique, l’image formée est à l'infini. Que se passe-t-il si l’on déplace un peu cette source ? La réponse n’est pas évidente, mais il est possible de montrer que pour un système dans les conditions de Gauss, alors l’image est encore renvoyée à l'infini même si on déplace la source dans le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer. |
L'animation suivante montre un exemple de ce qui se passe lorsqu'on déplace une source dans le plan focal objet : l’image est toujours à l'infini, mais elle n'est plus située sur l'axe. |
La même chose se produit à l’envers si l’on place une source à l'infini : l’image se trouvera dans le plan focal image. |
Formation d'images et stigmatisme/Qualité d'une image |
Critère de qualité de la formation d’une image à partir d’un objet. |
La plupart des instruments d'optique utilisés (lentilles, miroirs…) ne forment pas "parfaitement" l’image des objets, c'est-à-dire que les rayons issus "A" ne passent pas tous par "A' ". Si c’était le cas on aurait un stigmatisme rigoureux. Mais ces instruments permettent toutefois d’avoir des images de relativement bonne qualité. On parle alors de stigmatisme approché. |
On peut montrer qu’il n'existe que très peu d'instruments permettant d'obtenir un stigmatisme rigoureux, mais il n'est alors valable qu'avec un nombre très limité de points ! Par exemple, un miroir parabolique permet de conjuguer rigoureusement un objet à l'infini (rayons parallèles) à une image en son foyer. Mais dès que l’objet n’est pas en face de la parabole, le stigmatisme n'est plus rigoureux. C’est pourquoi les paraboles permettant de capter la télévision par satellite doivent être correctement orientées. |
Une autre façon de tester la qualité d’une image est de savoir si, lorsque l’objet est un plan, alors l’image est également un plan. |
De la même façon que le stigmatisme, très peu d'objets (pratiquement aucun instrument d'optique) sont capables d’être rigoureusement aplanétiques. |
Conditions de Gauss. |
On utilise pour la suite uniquement des systèmes centrés. On peut trouver quelques conditions sur les rayons pour que ces systèmes soient approximativement stigmatiques et aplanétiques. Ces raisons sont les suivantes. |
On admet les conséquences suivantes : un système centré utilisé dans les conditions de Gauss est stigmatique et aplanétique. |
Les écarts aux conditions de Gauss sont nommés aberrations. On voit très bien les défauts engendrés sur les images ci-contre. La première montre que plus les rayons sont éloignés du centre, moins ils convergent au bon endroit (aberration de "sphéricité"), il faut donc des rayons proches de l'axe. La deuxième montre que cela s'aggrave avec des rayons trop inclinés (aberration de "coma"), il faut donc des rayons peu inclinés. Les systèmes optiques qui doivent fonctionner hors des conditions de Gauss doivent être corrigés pour limiter les effets de ces défauts. |
Formation d'images et stigmatisme/Objets et images |
Système optique. |
La figure suivante représente un système optique centré avec son axe optique et quelques rayons qui traversent ce système. |
Par exemple, plusieurs lentilles centrées sur le même axe forment un système optique centré. |
Objet et image. |
On peut alors remarquer qu’il existe deux types d'images et deux types d'objets, qui sont résumés par les schémas suivants : |
Un objet virtuel est au prolongement des rayons incidents. Une image virtuelle est au prolongement des rayons sortants. Un exemple connu d'une image virtuelle est celle que l’on voit dans un miroir : elle n'existe pas vraiment, mais les rayons semblent en venir. |
Grandissement. |
Si l’on considère deux points objets dont on fait l’image par un système optique, ils ne seront plus séparés de la même distance (voir la figure ci-contre). |
Le grandissement "G" peut également être négatif dans le cas où l’image apparaît de l'autre côté de l’axe optique. |
Miroirs en optique géométrique/Miroir plan |
Le type le plus simple de miroirs est le miroir plan. D'après les lois de Snell-Descartes, les rayons sont réfléchis de façon symétrique à la normale au plan (image de gauche ci-dessous). Que se passe-t-il si la source de lumière est un point (un objet "A") ? Où est son image ? Sur le schéma ci-dessous (à droite), on remarque que les rayons ne se croisent pas après avoir été réfléchis, mais leurs prolongements se croisent de l'autre côté du miroir. On a donc une "image virtuelle" notée "A' ". |
On peut remarquer que "A" et "A' " sont symétriques par rapport au miroir. Et étant donné que l'observateur ne peut voir qu'un petit faisceau de ces rayons, on peut choisir de ne représenter que celui-ci. C’est ce que l’on fait dans l’image suivante (à gauche) : on y a aussi rajouté un plus grand nombre de points objets formant une figure de flèche. |
Les rayons parvenant à l'œil (4) semblent provenir de l’image virtuelle de la flèche qui est symétrique à l’objet réel. Cela explique pourquoi on voit, dans l’image de droite, une image virtuelle de la montagne sous le miroir formé par le lac. |
Miroirs en optique géométrique/Miroirs sphériques |
Centre et sommet. |
Les miroirs sphériques sont des portions de calottes sphériques. Ils peuvent être concaves ou convexes. On note souvent "C" le centre de la sphère et "R" son rayon. |
Dans le cas d’un système centré, on peut placer un miroir sphérique dont le centre est sur l’axe optique (on a ainsi la symétrie par révolution). L'intersection "S" entre le miroir et l’axe optique est appelé sommet du miroir. |
La première chose que l’on peut remarquer est que l’image du centre est le centre, et l’image du sommet est le sommet. En effet, un rayon issu de "C" est réfléchi en direction de "C", et tout rayon issu de "S" passe automatiquement par ce même point. Cela est illustré par les quatre images suivantes : |
On voit donc que le stigmatisme est rigoureux pour le centre et le sommet, mais ce n’est pas le cas pour les autres points ! On va maintenant utiliser les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme approché. |
Stigmatisme approché, relation de conjugaison. |
On commence par étudier le cas d’un miroir concave. On considère un objet "A" et son image "A' " comme le montre l’image ci-contre. On veut alors que le système soit stigmatique, c'est-à-dire que quelle que soit la position du point "I", le rayon passe toujours par le même point "A' ". Comme on va le voir, les conditions de Gauss sont nécessaires. |
Dans les triangles "AIC" et "CIA' ", les sommes des angles donnent respectivement : α + i + π − β = π et β + i + π − θ = π, ce que l’on peut réécrire par α + i = β et β + i = θ. En soustrayant ces deux relations, on obtient : α − β = β − θ d'où |
formula_1. |
D'autre part, on calcule les tangentes de ces trois angles : |
formula_2, formula_3 et formula_4. |
Or lorsqu'on se place dans les conditions de Gauss les angles sont supposés petits. Ainsi on sait que formula_5 (même chose pour β et θ). De plus, comme le point "I" est très proche de l’axe optique, on peut pratiquement assimiler "H" à "S". Les relations précédentes deviennent donc : |
formula_6, formula_7 et formula_8. |
Donc en utilisant la relation α + θ = 2 β, puis en divisant le tout par formula_9, on obtient : |
Ces relations sont très importantes car elles sont aussi valables pour un miroir sphérique convexe. |
On a donc effectivement montré que dans les conditions de Gauss, il y a un stigmatisme approché. |
La relation de conjugaison donnée ci-dessus est effectuée par rapport au sommet "S". Il est possible de transformer cette relation pour utiliser le foyer à la place du sommet (ce sera fait en exercice). Le résultat est le suivant : |
Foyers. |
Le foyer objet "F" d’un miroir sphérique est, par définition, le point de l’axe optique dont l’image est à l'infini, c'est-à-dire formula_10 ou encore formula_11. Or le foyer vérifie la relation de conjugaison : |
formula_12 donc |
formula_13 et finalement |
formula_14 |
Cela est illustré par les images suivantes dans le cas d’un miroir concave puis convexe. |
On remarque effectivement que les rayons issus de "F" sont toujours renvoyés à l'infini (c'est la définition du foyer objet). |
Le même raisonnement est applicable pour le foyer image "F' ". On obtient alors formula_15 |
ce qui est identique à la relation obtenue pour "F". |
Distance focale. |
Les paragraphes précédents nous permettent donc d'écrire : |
Subsets and Splits