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formula_7
Dans ce cas, formula_6 est appelée incertitude absolue et a la même unité que formula_9.
On définit également l'incertitude relative :
formula_10
qui est forcément sans unité et souvent donnée en pourcent. Dans l'exemple précédent de la règle graduée, on a formula_11 et formula_12, donc l'incertitude relative vaut "0,1 / 9,1=0,01=1%".
Origine des incertitudes.
On distingue plusieurs types d'incertitudes selon leur origine. Tout d’abord il peut arriver que l'expérimentateur ait fait des erreurs de lecture. Par exemple en lisant la valeur indiquée par un multimètre à aiguille, on ne voit pas la même valeur selon l'angle de vue. Ce type d'erreur est souvent supposé inexistant lorsque l'expérience est bien réalisée.
Aucun appareil de mesure est infiniment précis : il impose une barre d'erreur minimale. Par exemple la mesure d’une longueur avec une règle graduée ne peut pas se faire avec une incertitude de moins d’un millimètre. Cela est aussi valable pour la lecture d’un volume contenu dans une burette ou une pipette. On rencontre le même type d'incertitude sur un multimètre à affichage numérique car il affiche un nombre limité de chiffres et car il n’est pas forcément suffisamment technologiquement avancé pour pouvoir assurer que tous les chiffres affichés soient justes. Dans tous les cas, il est nécessaire, pour effectuer une mesure de qualité, de noter l'incertitude indiquée par le constructeur de l'appareil.
Il peut arriver que la grandeur à mesurer n'ait pas une valeur infiniment précise. Par exemple si l’on veut mesurer la vitesse d’un écoulement d'air, celui-ci ne va pas exactement à une vitesse donnée : chacune de ses zones va à une vitesse différente de sa voisine. On dit que la grandeur est dispersée autour d’une valeur moyenne. Ainsi, à chaque fois que l’on répète l'expérience, la valeur mesurée sera différente de la précédente. On s'aperçoit que l’on obtient plus fréquemment des mesures proches de la valeur moyenne. Ces mesures sont souvent réparties selon une courbe "gaussienne" :
formula_13
où formula_14 est la probabilité d'obtenir la valeur formula_5, formula_16 est la valeur moyenne, et formula_17 est la largeur de la gaussienne.
Selon l'expérience, on peut choisir, soit d'inclure cette dispersion dans l'incertitude, soit de ne prendre en compte que la valeur moyenne.



Incertitudes en physique/Calculs d'incertitudes

Calcul d'incertitudes absolues.
Supposons que l’on mesure des grandeurs indépendantes formula_1 avec les incertitudes respectives formula_2. On veut alors en déduire l'incertitude d’une grandeur formula_3 dépendant des variables formula_4. D'après les notions sur les différentielles vues au début de ce cours, on peut écrire :
formula_5
On peut alors calculer un majorant de "df" :
formula_6
Puis en notant les incertitudes formula_7 pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :
formula_8
On prend par exemple la mesure d’une résistance électrique "R". Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité "I" passant dans le circuit à l'aide d’un ampèremètre et la tension "U" aux bornes de la résistance à l'aide d’un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées formula_9 et formula_10. On obtient les valeurs suivantes :
formula_11, formula_12, formula_13 et formula_14.
Tout d’abord on calcule la valeur moyenne de "R" sachant que formula_15 ; cela donne formula_16. Il faut ensuite calculer l'incertitude formula_17.
Pour cela, on doit calculer les dérivées partielles de "R" par rapport à "U" et "I" :
formula_18 et formula_19
On a alors en n'oubliant pas la conversion mA => A :
formula_20
Finalement, la mesure que l’on a effectué nous donne : formula_21
Calcul d'incertitudes relatives.
Dans le cas général, il n’est pas pratique de calculer directement des incertitudes absolues. Mais si la fonction "f" s'exprime sous forme d’un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante :
formula_22
où "a", "b" et "c" sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation :
formula_23
Puis on prend la différentielle de cette équation :
formula_24
D'où, en remplaçant les différentielles par des incertitudes :
formula_25.
Cette expression permet donc de relier facilement des incertitudes relatives.



Incertitudes en physique





Étude des systèmes électriques





Notions de base d'optique géométrique/Définir la "Lumière"

Lumière: propriétés essentielles.
La lumière est une onde électromagnétique qui se propage sans nécessité d'un milieu matériel: elle se propage donc dans le vide ("contrairement au son qui est une onde mécanique nécessitant un support matériel de propagation"). Cette onde électromagnétique est périodique dans le temps, et oscille à la fréquence formula_1("lettre grecque nu, souvent préférée à f en optique)". A cette fréquence est associée une période temporelle d'oscillation, formula_2. Si l'onde se propage à une vitesse souvent notée formula_3("ou" formula_4"vitesse dans le milieu X)", alors on peut aussi définir sa longueur d'oscillation spatiale aussi appelée longueur d'onde, par la relation essentielle:
Indice d’un milieu.
Lorsque la lumière traverse un milieu transparent comme l'air, le verre ou l'eau, elle ne se propage pas à la même vitesse que dans le vide. Cette différence de vitesse de propagation permet d'introduire la notion d' "indice optique du milieu" ou plus simplement d"'indice du milieu".
On sait aussi que la vitesse maximale que la lumière peut atteindre est celle qu'elle a dans le vide. Autrement dit, "v ≤ c" quel que soit le milieu traversé. On en déduit donc que :
Chemin optique.
Comme la vitesse de la lumière n’est pas la même dans les différents milieux, le temps qu'elle met à parcourir une certaine distance diffère également selon le milieu. Pour exprimer cela mathématiquement, on introduit la notion de "chemin optique".
L'intégrale correspond à la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant le temps qu'elle met à aller, dans le milieu considéré, du point "A" au point "B". Il peut également s'écrire :
Or, comme cela est indiqué dans la leçon de mécanique du point, l"'abscisse curviligne" s'écrit "ds = v.dt". On peut donc réécrire l’expression du chemin optique :
Il faut alors retenir le résultat important suivant :
En effet, dans un milieu homogène, la lumière va en ligne droite.
Surface d'onde.
Supposons qu'une source de lumière envoie en même temps un grand nombre de rayons lumineux dans toutes les directions. Ils ne rencontreront pas tous les mêmes obstacles ou les mêmes milieux, donc la forme générale du faisceau va être modifiée petit à petit. On peut décrire cette déformation à l'aide des "surfaces d'onde".



Notions de base d'optique géométrique/Les principes

D'après les observations des physiciens, des principes empiriques ont été formulés afin qu’il soit possible de déterminer les trajets des rayons lumineux.
Ce dernier principe est très important car il nous permettra de connaître le trajet de tout rayon lumineux une fois connues les propriétés du milieu dans lequel il se propage.
On peut procéder de la manière suivante : pour deux points fixes "A" et "B", on détermine le chemin optique parcouru par un rayon lumineux le long d’un trajet quelconque reliant ces deux points, en fonction d’un paramètre : par exemple la position d’un point intermédiaire sur le trajet. On calcule ensuite la dérivée de ce chemin optique par rapport à ce paramètre. Le principe de Fermat impose à la trajectoire réelle d’avoir cette dérivée nulle. Dans notre exemple on en déduit alors les positions possibles des points intermédiaires et donc les seuls trajets possibles pour le rayon.
Notons que le principe de Fermat, s'il mène dans la majorité des cas au chemin optique le plus court (solution intuitive), n'exclut pas comme solution à certains problèmes un chemin optique maximal (cas des réflexions sur des miroirs à concavité plus grande que l'ellipsoïde).
Le principe de Fermat est un principe variationnel que l’on retrouve en Mécanique sous la forme du principe de Maupertuis (ou principe d'Euler-Lagrange).
Nous allons utiliser le principe de Fermat dans le chapitre suivant pour démontrer des lois importantes en optique géométrique.



Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes expliquent la déviation et la réflexion d’un rayon lorsqu’il rencontre un dioptre (une surface séparant deux milieux homogènes). Pour exprimer mathématiquement ces lois, on définit les notions suivantes illustrées sur le schéma ci-contre :
Loi de la réflexion.
Tout ou partie de la lumière est susceptible d’être réfléchie lorsqu'elle rencontre un objet totalement ou partiellement réfléchissant. C’est ce qui se produit par exemple sur un miroir ou sur des vitres.
Loi de la réfraction.
Le temps total formula_2 = formula_3 et formula_4 sera une fonction de formula_5 qui devra être minimisée :
Pour obtenir la valeur de formula_7 correspondant à ce minimum, calculons la dérivée de formula_5 :
Quelle est la valeur de x qui annule cette dérivée Les numérateurs et dénominateurs ont un sens géométrique simple et on obtient :
Chacun des deux termes de cette différence concerne un triangle rectangle : formula_11 pour le premier et formula_12 pour le second. On y reconnaît le rapport d'un côté à l'hypoténuse et donc la définition d'un sinus :
On obtient finalement
La loi de réfraction s'exprime traditionnellement en utilisant les indices de réfraction.
L'indice de réfraction formula_15 d'un milieu est défini comme le rapport entre la vitesse formula_16 de la lumière dans le vide et sa vitesse formula_17 dans le milieu considéré. On a donc formula_18. Il est donc inversement proportionnel à la vitesse de la lumière dans le milieu. On retrouve ainsi la loi des sinus :
Expression plus générale.

formula_7

Dans ce cas, formula_6 est appelée incertitude absolue et a la même unité que formula_9.

On définit également l'incertitude relative :

formula_10

qui est forcément sans unité et souvent donnée en pourcent. Dans l'exemple précédent de la règle graduée, on a formula_11 et formula_12, donc l'incertitude relative vaut "0,1 / 9,1=0,01=1%".

Origine des incertitudes.

On distingue plusieurs types d'incertitudes selon leur origine. Tout d’abord il peut arriver que l'expérimentateur ait fait des erreurs de lecture. Par exemple en lisant la valeur indiquée par un multimètre à aiguille, on ne voit pas la même valeur selon l'angle de vue. Ce type d'erreur est souvent supposé inexistant lorsque l'expérience est bien réalisée.

Aucun appareil de mesure est infiniment précis : il impose une barre d'erreur minimale. Par exemple la mesure d’une longueur avec une règle graduée ne peut pas se faire avec une incertitude de moins d’un millimètre. Cela est aussi valable pour la lecture d’un volume contenu dans une burette ou une pipette. On rencontre le même type d'incertitude sur un multimètre à affichage numérique car il affiche un nombre limité de chiffres et car il n’est pas forcément suffisamment technologiquement avancé pour pouvoir assurer que tous les chiffres affichés soient justes. Dans tous les cas, il est nécessaire, pour effectuer une mesure de qualité, de noter l'incertitude indiquée par le constructeur de l'appareil.

Il peut arriver que la grandeur à mesurer n'ait pas une valeur infiniment précise. Par exemple si l’on veut mesurer la vitesse d’un écoulement d'air, celui-ci ne va pas exactement à une vitesse donnée : chacune de ses zones va à une vitesse différente de sa voisine. On dit que la grandeur est dispersée autour d’une valeur moyenne. Ainsi, à chaque fois que l’on répète l'expérience, la valeur mesurée sera différente de la précédente. On s'aperçoit que l’on obtient plus fréquemment des mesures proches de la valeur moyenne. Ces mesures sont souvent réparties selon une courbe "gaussienne" :

formula_13

où formula_14 est la probabilité d'obtenir la valeur formula_5, formula_16 est la valeur moyenne, et formula_17 est la largeur de la gaussienne.

Selon l'expérience, on peut choisir, soit d'inclure cette dispersion dans l'incertitude, soit de ne prendre en compte que la valeur moyenne.

Incertitudes en physique/Calculs d'incertitudes

Calcul d'incertitudes absolues.

Supposons que l’on mesure des grandeurs indépendantes formula_1 avec les incertitudes respectives formula_2. On veut alors en déduire l'incertitude d’une grandeur formula_3 dépendant des variables formula_4. D'après les notions sur les différentielles vues au début de ce cours, on peut écrire :

formula_5

On peut alors calculer un majorant de "df" :

formula_6

Puis en notant les incertitudes formula_7 pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :

formula_8

On prend par exemple la mesure d’une résistance électrique "R". Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité "I" passant dans le circuit à l'aide d’un ampèremètre et la tension "U" aux bornes de la résistance à l'aide d’un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées formula_9 et formula_10. On obtient les valeurs suivantes :

formula_11, formula_12, formula_13 et formula_14.

Tout d’abord on calcule la valeur moyenne de "R" sachant que formula_15 ; cela donne formula_16. Il faut ensuite calculer l'incertitude formula_17.

Pour cela, on doit calculer les dérivées partielles de "R" par rapport à "U" et "I" :

formula_18 et formula_19

On a alors en n'oubliant pas la conversion mA => A :

formula_20

Finalement, la mesure que l’on a effectué nous donne : formula_21

Calcul d'incertitudes relatives.

Dans le cas général, il n’est pas pratique de calculer directement des incertitudes absolues. Mais si la fonction "f" s'exprime sous forme d’un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante :

formula_22

où "a", "b" et "c" sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation :

formula_23

Puis on prend la différentielle de cette équation :

formula_24

D'où, en remplaçant les différentielles par des incertitudes :

formula_25.

Cette expression permet donc de relier facilement des incertitudes relatives.

Incertitudes en physique

Étude des systèmes électriques

Notions de base d'optique géométrique/Définir la "Lumière"

Lumière: propriétés essentielles.

La lumière est une onde électromagnétique qui se propage sans nécessité d'un milieu matériel: elle se propage donc dans le vide ("contrairement au son qui est une onde mécanique nécessitant un support matériel de propagation"). Cette onde électromagnétique est périodique dans le temps, et oscille à la fréquence formula_1("lettre grecque nu, souvent préférée à f en optique)". A cette fréquence est associée une période temporelle d'oscillation, formula_2. Si l'onde se propage à une vitesse souvent notée formula_3("ou" formula_4"vitesse dans le milieu X)", alors on peut aussi définir sa longueur d'oscillation spatiale aussi appelée longueur d'onde, par la relation essentielle:

Indice d’un milieu.

Lorsque la lumière traverse un milieu transparent comme l'air, le verre ou l'eau, elle ne se propage pas à la même vitesse que dans le vide. Cette différence de vitesse de propagation permet d'introduire la notion d' "indice optique du milieu" ou plus simplement d"'indice du milieu".

On sait aussi que la vitesse maximale que la lumière peut atteindre est celle qu'elle a dans le vide. Autrement dit, "v ≤ c" quel que soit le milieu traversé. On en déduit donc que :

Chemin optique.

Comme la vitesse de la lumière n’est pas la même dans les différents milieux, le temps qu'elle met à parcourir une certaine distance diffère également selon le milieu. Pour exprimer cela mathématiquement, on introduit la notion de "chemin optique".

L'intégrale correspond à la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant le temps qu'elle met à aller, dans le milieu considéré, du point "A" au point "B". Il peut également s'écrire :

Or, comme cela est indiqué dans la leçon de mécanique du point, l"'abscisse curviligne" s'écrit "ds = v.dt". On peut donc réécrire l’expression du chemin optique :

Il faut alors retenir le résultat important suivant :

En effet, dans un milieu homogène, la lumière va en ligne droite.

Surface d'onde.

Supposons qu'une source de lumière envoie en même temps un grand nombre de rayons lumineux dans toutes les directions. Ils ne rencontreront pas tous les mêmes obstacles ou les mêmes milieux, donc la forme générale du faisceau va être modifiée petit à petit. On peut décrire cette déformation à l'aide des "surfaces d'onde".

Notions de base d'optique géométrique/Les principes

D'après les observations des physiciens, des principes empiriques ont été formulés afin qu’il soit possible de déterminer les trajets des rayons lumineux.

Ce dernier principe est très important car il nous permettra de connaître le trajet de tout rayon lumineux une fois connues les propriétés du milieu dans lequel il se propage.

On peut procéder de la manière suivante : pour deux points fixes "A" et "B", on détermine le chemin optique parcouru par un rayon lumineux le long d’un trajet quelconque reliant ces deux points, en fonction d’un paramètre : par exemple la position d’un point intermédiaire sur le trajet. On calcule ensuite la dérivée de ce chemin optique par rapport à ce paramètre. Le principe de Fermat impose à la trajectoire réelle d’avoir cette dérivée nulle. Dans notre exemple on en déduit alors les positions possibles des points intermédiaires et donc les seuls trajets possibles pour le rayon.

Notons que le principe de Fermat, s'il mène dans la majorité des cas au chemin optique le plus court (solution intuitive), n'exclut pas comme solution à certains problèmes un chemin optique maximal (cas des réflexions sur des miroirs à concavité plus grande que l'ellipsoïde).

Le principe de Fermat est un principe variationnel que l’on retrouve en Mécanique sous la forme du principe de Maupertuis (ou principe d'Euler-Lagrange).

Nous allons utiliser le principe de Fermat dans le chapitre suivant pour démontrer des lois importantes en optique géométrique.

Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes expliquent la déviation et la réflexion d’un rayon lorsqu’il rencontre un dioptre (une surface séparant deux milieux homogènes). Pour exprimer mathématiquement ces lois, on définit les notions suivantes illustrées sur le schéma ci-contre :

Loi de la réflexion.

Tout ou partie de la lumière est susceptible d’être réfléchie lorsqu'elle rencontre un objet totalement ou partiellement réfléchissant. C’est ce qui se produit par exemple sur un miroir ou sur des vitres.

Loi de la réfraction.

Le temps total formula_2 = formula_3 et formula_4 sera une fonction de formula_5 qui devra être minimisée :

Pour obtenir la valeur de formula_7 correspondant à ce minimum, calculons la dérivée de formula_5 :

Quelle est la valeur de x qui annule cette dérivée Les numérateurs et dénominateurs ont un sens géométrique simple et on obtient :

Chacun des deux termes de cette différence concerne un triangle rectangle : formula_11 pour le premier et formula_12 pour le second. On y reconnaît le rapport d'un côté à l'hypoténuse et donc la définition d'un sinus :

On obtient finalement

La loi de réfraction s'exprime traditionnellement en utilisant les indices de réfraction.

L'indice de réfraction formula_15 d'un milieu est défini comme le rapport entre la vitesse formula_16 de la lumière dans le vide et sa vitesse formula_17 dans le milieu considéré. On a donc formula_18. Il est donc inversement proportionnel à la vitesse de la lumière dans le milieu. On retrouve ainsi la loi des sinus :

Expression plus générale.