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Miroirs en optique géométrique/Construction des rayons
Ce chapitre ne concerne que les miroirs sphériques car la construction des rayons pour un miroir plan est simple, et a déjà été vue dans le premier chapitre.
Pour tracer des rayons réfléchis par un miroir sphérique, on n’est pas obligé de calculer à chaque fois la relation de conjugaison. Il est possible d'effectuer ces tracés grâce à des règles simples que l’on va expliquer par la suite. Pour cela, on récapitule les différents rayons que l’on sait déjà tracer :
Trouver l’image d’un point.
On se pose ici la question suivante : comment trouver l’image "A' " d’un point "A" faite par un miroir sphérique ? Pour faire cela, il faut se rappeler que tous les rayons issus de "A" sont réfléchis en direction de "A' ". Mais on est pas obligés de tracer "tous" les rayons ! On se contentera des rayons bleu, rouge et vert définis plus haut.
Ces trois rayons se croisent en un point : on a trouvé l’image "A' " !
Les "prolongements" de ces trois rayons se croisent en un point : on a trouvé l’image "A' " ! Mais attention, cette image "A' " est une image "virtuelle".
Trouver la façon dont un rayon est réfléchi.
On suppose ici que l’on aie un rayon incident (en mauve) et que l’on cherche le rayon réfléchi. Pour ce faire, il faut se rappeler qu'un ensemble de rayons incidents parallèles entre eux sont réfléchis de façon à converger dans le plan focal image. On va alors imaginer des rayons fictifs parallèles au rayon incident.
Ces trois rayons se croisent en un point "A" appartenant au plan focal image. On sait alors que la réflexion du rayon mauve passe par "A". On a donc trouvé le rayon réfléchi !
Les "prolongements" de ces trois rayons se croisent en un point "A" appartenant au plan focal image. On sait alors que la réflexion du rayon mauve passe par "A". On a donc trouvé le rayon réfléchi !
Trigonométrie/Théorème du sinus
Le théorème du sinus est applicable à des triangles non rectangles. Ce théorème permet d'établir une relation de proportionnalité entre le sinus des angles et les longueurs des côtés du triangle.
L'énoncé du théorème du sinus, en français, est le suivant :
"Dans un triangle plan quelconque, le quotient du sinus d'un angle par la longueur du côté opposé à cet angle est le même pour les trois points de vue."
Énoncé.
Soit un triangle quelconque formula_1 formé par deux triangles formula_2 et formula_3, rectangles en formula_4.
L'image représentant le triangle quelconque est la suivante :
En utilisant la définition littérale du théorème du sinus, il est possible de montrer l'égalité des quotients des sinus des angles par les longueurs de leurs côtés opposés.
On note les paramètres et informations géométriques suivants :
Les égalités sont les suivantes :
formula_19
Démonstration.
La démonstration du théorème du sinus est réalisée en utilisant la représentation graphique du triangle formula_1 et les différentes informations géométriques présentes dans la section "Énoncé".
Triangle formula_2 rectangle en formula_4.
Les différentes informations que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :
Triangle formula_3 rectangle en formula_4.
Les différentes informations que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :
Triangle formula_1.
Les informations existantes et nouvelles que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :
En reprenant les résultats des sinus des angles composant le triangle formula_1 et en les divisant par leurs côtés opposés respectifs, nous obtenons un seul et même résultat :
■ CQFD
Lentilles en optique géométrique
Lentilles en optique géométrique/Dioptre sphérique
Un dioptre est une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents. Par exemple la surface de la mer est un dioptre car elle sépare l'air de l'eau.
Un dioptre sphérique est tout simplement un dioptre de forme sphérique, ou plutôt d’une "portion" de sphère ou calotte sphérique. Par exemple la surface de notre œil est un dioptre sphérique.
Relation de conjugaison.
On note les indices d’un côté et de l'autre du dioptre par "n" et "n' " et on utilise les notations du schéma suivant :
On pourra montrer dans le cadre d’un exercice que les conditions de Gauss aboutissent à la relation de conjugaison suivante :
</math>
Cette relation va nous être utile dans le chapitre suivant pour déterminer les propriétés d’une lentille sphérique.
Théorie des groupes/Sous-groupe distingué et groupe quotient
Sous-groupe distingué.
Cette définition est équivalente à dire que formula_1 pour tout g dans G.
En effet, si formula_2 pour tout g, ceci est aussi vrai pour formula_3, donc formula_4, d'où en multipliant correctement formula_5.
Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H formula_6 G ou encore H ⊴ G.
Remarques :
Soient "G" un groupe et "H" un sous-groupe de "G". On vérifie facilement que les éléments "g" de "G" qui normalisent H forment un sous-groupe de "G".
Il est clair que N"G"("H") contient "H" et que c’est le plus grand sous-groupe de "G" contenant "H" dans lequel "H" est normal.
Un sous-groupe "H" de "G" est sous-groupe normal de "G" si et seulement si N"G"("H") est "G" tout entier.
Démonstration. Quitte à remplacer "G" par N"G"("H"), nous pouvons supposer que "H" est sous-groupe distingué de "G". Nous avons
formula_16.
Comme les classes à droite suivant "H" sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire
formula_17.
Ainsi, "HK" = "KH". Nous avons vu (dans un exercice de la série Groupes, premières notions) que, de façon générale, si "A" et "B" sont deux sous-groupes de "G" tels que "AB" = "BA", alors "AB" est un sous-groupe de "G" ; c’est évidemment le sous-groupe de "G" engendré par formula_18, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que "K" soit lui aussi distingué dans "G" et prouvons que "HK" est distingué dans "G". Pour tout élément "g" de "G", nous avons "g"("HK")"g" = ("gHg")("gKg") = "HK", d'où la thèse.
Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement.
Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe "G" est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de "G".
Notion de groupe simple.
Exemples :
Définition d’un groupe quotient.
Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y.
Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G.
Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)
Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy).
De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition formula_20 dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation
Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle formula_21, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire formula_23) et à droite (faire formula_24); ainsi, H est neutre pour notre loi formula_20. Enfin, la règle formula_21 donne formula_27 et aussi formula_28, ce qui montre que la classe xH admet la classe formula_29 pour inverse.
Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H.
En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, formula_30 signifie formula_31; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles.
La relation
montre que la surjection formula_33 de "G" sur "G"/"H" est un homomorphisme de groupes, dit "homomorphisme canonique," ou "surjection canonique," de "G" sur "G"/"H" (on trouve également les appellations "projection canonique", "application canonique" et bien sûr "morphisme canonique").
Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est "H", ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe "G" est noyau d’un homomorphime de groupes partant de "G".
Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation
montre que la surjection formula_33 de "G" sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si formula_36 est un homomorphisme surjectif de magmas et que formula_37 est un groupe, alors formula_38 est un groupe et "f" est un homomorphisme de groupes.
Sous-groupes d’un groupe quotient.
Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon.
Sous-groupes normaux maximaux.
Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G.
Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de "G" contenant "H", en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour "H" le sous-groupe normal propre 1).
On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si "H" est un sous-groupe normal d’un groupe "G", alors "H" est sous-groupe normal maximal de "G" si et seulement si le groupe quotient G/H est simple.