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Nombre entier relatif/Représentation
= Nombres relatifs sur un axe gradué =
Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif.
On peut le représenter sur un axe gradué.
Par convention, on place les positifs à droite et les négatifs à gauche.
Valeur absolue.
La valeur absolue d’un nombre relatif correspond à sa « distance à 0 » c'est-à-dire sa partie numérique.
On la note : formula_1 et on lit « valeur absolue de a »
Mesure en géométrie/Périmètre
Le périmètre est un nombre égal à la longueur totale des cotés d'une figure géométrique. Il s'agit donc de mesurer et d'additionner les longueurs de chaque côté de la figure. Habituellement, le périmètre est noté avec la lettre formula_1.
Le périmètre est une grandeur à une dimension. Il doit donc être exprimé, de façon générale, en unité de longueur de dimension 1 (unité de longueur notée formula_2) (si l'unité n'est pas explicitement précisée).
Racine carrée/Introduction
Racines carrées.
À quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?
Certains nombres ne peuvent pas être écrits exactement sous forme décimale, ni sous forme de fractions.
On a la possibilité de les écrire sous forme de racines carrées.
Premières propriétés.
​
Il est important d'observer les différents placements du carré dans ces formules.
Exemples.
formula_1
formula_2
formula_3
Racines carrées et multiplications.
La racine carrée « se comporte bien » avec les multiplications.
Exemple.
formula_4
formula_5
On obtient bien le même résultat.
Application à la simplification d’une racine carrée.
Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication : formula_6.
Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible.
Un même nombre a plusieurs écritures de la forme : formula_7
Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier b le plus petit possible.
Ainsi, un résultat comportant une racine carrée a une écriture unique et irréductible, comme les fractions.
Le calcul du PGD (plus grand diviseur) du nombre initial est utile pour simplifier et rendre irréductible le nombre b restant dans la racine carrée. Ceci est faisable en fonction des caractéristiques du nombre entier, de la valeur de son chiffre des unités etc.
Dans l'ensemble englobant tous les diviseurs existants du nombre initial, le PGD doit être inférieur au nombre lui-même.
Exemple.
formula_8
Mais :
formula_9
donc : formula_10
mais la forme la plus simple est : formula_11 car "b" = 2 est le plus petit possible.
Racines carrées et division.
La racine carrée « se comporte bien » avec les divisions.
Exemple.
formula_12
formula_13
On obtient bien le même résultat.
</math>
formula_14
formula_15
Application à la simplification d’une racine carrée.
Simplifier en utilisant la propriété de la division : formula_16.
Des fractions sans racines carrées au dénominateur.
Pour avoir une écriture simplifiée unique, on a l'habitude d'écrire les fractions comportant des racines carrées sans racines au dénominateur (sous le trait de fraction). On utilise la propriété de la division.
Exemple.
Donner une écriture de : formula_17 sans racine carrée au dénominateur.
Initiation à l'arithmétique
Identités remarquables/Définition
Identités remarquables.
À quoi sert une identité remarquable ?
Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer ou factoriser des expressions algébriques ou calculs littéraux. En troisième, on en voit seulement trois différentes, mais il en existe d’autres….
La première identité remarquable.
Soient "a" et "b" deux nombres quelconques, calculons formula_1.
formula_2
La deuxième identité remarquable.
Soient "a" et "b" deux nombres quelconques, calculons formula_3.
formula_4
La troisième identité remarquable.
Soient "a" et "b" deux nombres quelconques, calculons formula_5.
formula_6
Factorisation.
Quand on transforme une somme de termes en un produit de facteurs, on dit que l’on factorise. La factorisation est donc la transformation inverse du développement. On peut utiliser les identités remarquables pour factoriser les expressions.
Factoriser avec la première identité remarquable.
Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_7.
L’expression comporte trois termes avec uniquement des additions, on utilise donc la première identité remarquable.
formula_8 donc formula_9
formula_10 donc formula_11
Finalement,
formula_12
Factoriser avec la deuxième identité remarquable.