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Initiation à l'arithmétique/Annexe/Triplets pythagoriciens

Définition.
Par exemple, formula_1 est un triplet pythagoricien car formula_2.
formula_3 n’est pas un triplet pythagoricien car formula_4.



Puissances/Annexe/Approfondissements

Vous trouverez sur cette page quelques approfondissements sur la leçon puissances.
Ils ne sont pas strictement au programme de quatrième et sont réservés à ceux qui veulent aller plus loin, soit par curiosité, soit dans le but de se préparer à des études plus difficiles.
Certaines parties de cette page sont seulement suggérées, pour laisser au lecteur le plaisir de trouver les réponses par lui-même.
Démonstrations.
Règle 1.
Nous voulons montrer que :
formula_1
Supposons que m et n sont positifs, alors :
formula_2
et
formula_3
donc
formula_4
Règle 2.
Il suffit d'écrire la définition et de réordonner les facteurs
Puissances et divisions.
Règle 3.
En supposant que m est supérieur à n, il faut simplifier m-n fois par a.
Sinon, il faut simplifier n-m fois par a.
Règle 4.
Il faut se rappeler de la règle de multiplication des fractions.
« Fausses règles ».
La plus célèbre est :
formula_5
Pour se rendre compte qu'elle est fausse, prendre un exemple avec formula_6
Pourquoi formula_7 ?
Calculons
formula_8
Mais
formula_9
donc
formula_10
Remarque : Cette démonstration n'est valable que si "a" est non nul.
L'égalité 00 = 1 est reliée à la limite en (0;0) de la fonction
formula_11



Histoire des mathématiques/Algèbre

Calcul littéral.
Le calcul littéral (calcul avec des lettres) appelé aussi calcul algébrique, du mot , est un puissant outil développé par le mathématicien français François Viète (1540 – 1603) qui a attribué une lettre à des quantités inconnues dans des calculs, mais aussi à des coefficients.
"notons le caractère « judicieux » du choix de ces lettres dans les formules…"
« J'achète 3 CD à plein tarif et 5 CD qui coûtent 4 fois moins chers. Je paie , quel est le prix d’un CD plein tarif ? »
Les techniques de calcul littéral sont un puissant outil qui servent à manipuler les calculs contenant des lettres, de façon à les simplifier au maximum dans le but de résoudre des équations simples :
<math>{3x}+



Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège

Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.
= Propriétés des symétries =
Axiomes.
La symétrie axiale ne change pas les longueurs.
Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite (d), alors AB = A'B'
La symétrie axiale ne change pas les angles.
Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite (d), alors : formula_1
Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.
Elle existe et est unique d’après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Parallèles et sécantes.
Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (strictement parallèles), soit tous (parallèles et confondues).
Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : "Par deux points distincts, il passe une et une seule droite".
Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre.
Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit :
Autres propriétés des symétries axiales.
Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie..
Évident par définition de la symétrie axiale.
L'image, par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe, est parallèle à la droite d'origine.
Supposons qu’elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'.
Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.
Droites parallèles et perpendiculaires.
Si deux droites distinctes sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont strictement parallèles entre elles..
(d) et (d') sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : "Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie", (d) et (d') sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' est le symétrique de O par rapport à (AB) et appartient aussi à (d) et à (d'). Ces deux droites ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Soit (d) et (d') les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d’après :"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre".
Soit formula_2 la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à (d) et formula_2 qui sont donc parallèles d’après la propriété : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles".
Mais alors l’image de (d) par rapport à formula_2 est parallèle à (d) (d'après la propriété : "L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine"), et passe par B. De plus par l'axiome : "La symétrie axiale ne change pas les angles" et l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée" elle est égale à (d'). Donc (d') est parallèle à (d).



Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale

Exercice 4-1.
Soit formula_1 continue telle que formula_2.
Montrer que formula_3 est constante et égale à 0 ou 1.
Soit formula_4 continue. Montrer que formula_5 si et seulement si formula_3 est de signe constant.

Initiation à l'arithmétique/Annexe/Triplets pythagoriciens

Définition.

Par exemple, formula_1 est un triplet pythagoricien car formula_2.

formula_3 n’est pas un triplet pythagoricien car formula_4.

Puissances/Annexe/Approfondissements

Vous trouverez sur cette page quelques approfondissements sur la leçon puissances.

Ils ne sont pas strictement au programme de quatrième et sont réservés à ceux qui veulent aller plus loin, soit par curiosité, soit dans le but de se préparer à des études plus difficiles.

Certaines parties de cette page sont seulement suggérées, pour laisser au lecteur le plaisir de trouver les réponses par lui-même.

Démonstrations.

Règle 1.

Nous voulons montrer que :

formula_1

Supposons que m et n sont positifs, alors :

formula_2

et

formula_3

donc

formula_4

Règle 2.

Il suffit d'écrire la définition et de réordonner les facteurs

Puissances et divisions.

Règle 3.

En supposant que m est supérieur à n, il faut simplifier m-n fois par a.

Sinon, il faut simplifier n-m fois par a.

Règle 4.

Il faut se rappeler de la règle de multiplication des fractions.

« Fausses règles ».

La plus célèbre est :

formula_5

Pour se rendre compte qu'elle est fausse, prendre un exemple avec formula_6

Pourquoi formula_7 ?

Calculons

formula_8

Mais

formula_9

donc

formula_10

Remarque : Cette démonstration n'est valable que si "a" est non nul.

L'égalité 00 = 1 est reliée à la limite en (0;0) de la fonction

formula_11

Histoire des mathématiques/Algèbre

Calcul littéral.

Le calcul littéral (calcul avec des lettres) appelé aussi calcul algébrique, du mot , est un puissant outil développé par le mathématicien français François Viète (1540 – 1603) qui a attribué une lettre à des quantités inconnues dans des calculs, mais aussi à des coefficients.

"notons le caractère « judicieux » du choix de ces lettres dans les formules…"

« J'achète 3 CD à plein tarif et 5 CD qui coûtent 4 fois moins chers. Je paie , quel est le prix d’un CD plein tarif ? »

Les techniques de calcul littéral sont un puissant outil qui servent à manipuler les calculs contenant des lettres, de façon à les simplifier au maximum dans le but de résoudre des équations simples :

<math>{3x}+

Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège

Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.

= Propriétés des symétries =

Axiomes.

La symétrie axiale ne change pas les longueurs.

Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite (d), alors AB = A'B'

La symétrie axiale ne change pas les angles.

Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite (d), alors : formula_1

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.

Elle existe et est unique d’après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

Parallèles et sécantes.

Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (strictement parallèles), soit tous (parallèles et confondues).

Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : "Par deux points distincts, il passe une et une seule droite".

Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre.

Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit :

Autres propriétés des symétries axiales.

Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie..

Évident par définition de la symétrie axiale.

L'image, par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe, est parallèle à la droite d'origine.

Supposons qu’elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'.

Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.

Droites parallèles et perpendiculaires.

Si deux droites distinctes sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont strictement parallèles entre elles..

(d) et (d') sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : "Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie", (d) et (d') sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' est le symétrique de O par rapport à (AB) et appartient aussi à (d) et à (d'). Ces deux droites ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Soit (d) et (d') les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d’après :"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre".

Soit formula_2 la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à (d) et formula_2 qui sont donc parallèles d’après la propriété : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles".

Mais alors l’image de (d) par rapport à formula_2 est parallèle à (d) (d'après la propriété : "L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine"), et passe par B. De plus par l'axiome : "La symétrie axiale ne change pas les angles" et l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée" elle est égale à (d'). Donc (d') est parallèle à (d).

Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale

Exercice 4-1.

Soit formula_1 continue telle que formula_2.

Montrer que formula_3 est constante et égale à 0 ou 1.

Soit formula_4 continue. Montrer que formula_5 si et seulement si formula_3 est de signe constant.