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Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_13
L’expression comporte trois termes avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.
formula_8 donc formula_9
formula_16 donc formula_17
Finalement,
formula_18
Factoriser avec la troisième identité remarquable.
Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_19
L’expression comporte deux termes et c’est une différence, on utilise donc la troisième identité remarquable.
formula_8 donc formula_9
formula_22 donc formula_23
Finalement ,
formula_24
Factoriser en trouvant un facteur commun.
Parfois, l’expression à factoriser n’est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu’à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.
Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_25
Le facteur commun est formula_26.
Finalement,
formula_27



Initiation à la statistique/Médiane

Les statistiques sont le domaine des mathématiques dont le but est d’organiser de grandes masses de données pour les utiliser et les interpréter.
Elles sont utiles dans les sciences (notamment humaines : économie, sociologie, démographie…)
et dans des domaines appliqués : commerce, médecine…
Exemple 1 : Les notes des élèves d’une classe à un devoir.
Les élèves d’une classe ont obtenu les notes suivantes à un devoir :
Notes sur 20 : 10, 9, 12, 11, 10, 8, 14 ,11 ,9 ,16 ,5 ,12 ,10 ,11 ,10 ,13
On présente les résultats de l’enquête sous forme d’un tableau d’effectifs.
Moyenne.
Tableau des effectifs et moyenne.
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
Une première méthode permettant de calculer la moyenne de la classe, consiste tout d’abord à déterminer le total de points que totalise la classe car par définition la moyenne de la classe répond à la question suivante:
Si tous les élèves avaient eu la même note, quelle serait-elle pour que la classe totalise toujours ce même nombre de points ?
Pour calculer la note moyenne de la classe, on applique donc la formule suivante :
formula_1
Tableau des fréquences et moyenne.
La fréquence de la note 10, par exemple, se calcule ainsi :
formula_2
En procédant de même pour les autres notes, on obtient le tableau des fréquences (qu'on ne transforme pas en pourcentages pour calculer la moyenne) :
On trouve ici la seconde méthode de calcul de la moyenne comme somme des produits des notes par leurs fréquences.
Médiane.
Tableau des effectifs cumulés et médiane.
Reprenons l'exemple 1 des notes des élèves :
La médiane d’une série statistique quantitative est
la valeur du caractère qui partage l'effectif en deux parties égales.
Ici, on peut lire la médiane dans le tableau des effectifs ;
comme il y a 16 élèves, l'effectif se partage entre les 8 notes les plus basses
et les 8 notes les plus hautes.
La huitième note la plus haute est 11.
La huitième note la plus basse est 10.
On prendra la médiane entre les deux, soit 10,5
Tableau des fréquences cumulées.
En procédant comme pour les effectifs cumulés, on peut construire
un tableau des fréquences cumulées,
par exemple avec l'exemple 1 des notes :
Etendue.
L'étendue d’une série statistique quantitative est l'écart entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur.
Exemple 1 des notes.
La note la plus élevée est 16, la note la plus basse est 5
L'étendue est donc :
formula_3
Regroupement en classes : exemple 2 des salaires.
Lorsque le caractère statistique peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, on les regroupe en classes (ou intervalles, ou tranches …).
En troisième, on travaille avec des classes de même largeur.
Tableaux et moyenne.
"Répartition des revenus annuels en milliers d’euros dans une population de 4370 personnes."
Quand on regroupe une série statistique en classe, on calcule la moyenne en prenant comme valeurs les centres de chaque classe.
On a regroupé dans le même tableau les effectifs et les fréquences ainsi que les centres des classes.
On retrouve le salaire moyen par le calcul : 106000/4370 = 24,25 soit environ 24250 euros.
La légère différence entre les méthodes de calcul avec les fréquences et avec les effectifs s'explique par l'arrondi des fréquences. Cependant, étant donnée la perte d'information due au regroupement en classes, cette différence est sans importance.
Médiane.
On pourrait calculer la médiane comme dans l'exemple 1 avec les effectifs, mais c’est encore plus facile avec les fréquences cumulées : il suffit de regarder quand on dépasse les 50 %, c'est-à-dire la fréquence cumulée 0,5.
La médiane se situe donc dans la classe [25,30[, donc le salaire annuel médian se situe entre 25000 Euros et . Il est plus élevé que le salaire moyen.
Histogramme.
On représente cette étude statistique par un histogramme formé de rectangles qui recouvrent toute la classe considérée. On a placé les effectifs en ordonnées, mais on aurait pu travailler avec les fréquences.

Polygone des fréquences cumulées.
On retrouve le résultat précédent entre 25 et 30, environ pour le salaire médian. Un calcul exact pourrait être fait en utilisant la proportionnalité ou les fonctions affines.



Triangles et parallèles/Théorème de Thalès

Le théorème direct de Thalès.
Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
alors il y a proportionnalité dans le tableau :
Exemple dans la configuration « triangle ».
Si AB = , AD = et AE = . Calculer AC.
il y a proportionnalité dans le tableau :
!
!



Trigonométrie

Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_13

L’expression comporte trois termes avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.

formula_8 donc formula_9

formula_16 donc formula_17

Finalement,

formula_18

Factoriser avec la troisième identité remarquable.

Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_19

L’expression comporte deux termes et c’est une différence, on utilise donc la troisième identité remarquable.

formula_8 donc formula_9

formula_22 donc formula_23

Finalement ,

formula_24

Factoriser en trouvant un facteur commun.

Parfois, l’expression à factoriser n’est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu’à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.

Exemple : Soit à factoriser l’expression formula_25

Le facteur commun est formula_26.

Finalement,

formula_27

Initiation à la statistique/Médiane

Les statistiques sont le domaine des mathématiques dont le but est d’organiser de grandes masses de données pour les utiliser et les interpréter.

Elles sont utiles dans les sciences (notamment humaines : économie, sociologie, démographie…)

et dans des domaines appliqués : commerce, médecine…

Exemple 1 : Les notes des élèves d’une classe à un devoir.

Les élèves d’une classe ont obtenu les notes suivantes à un devoir :

Notes sur 20 : 10, 9, 12, 11, 10, 8, 14 ,11 ,9 ,16 ,5 ,12 ,10 ,11 ,10 ,13

On présente les résultats de l’enquête sous forme d’un tableau d’effectifs.

Moyenne.

Tableau des effectifs et moyenne.

L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.

Une première méthode permettant de calculer la moyenne de la classe, consiste tout d’abord à déterminer le total de points que totalise la classe car par définition la moyenne de la classe répond à la question suivante:

Si tous les élèves avaient eu la même note, quelle serait-elle pour que la classe totalise toujours ce même nombre de points ?

Pour calculer la note moyenne de la classe, on applique donc la formule suivante :

formula_1

Tableau des fréquences et moyenne.

La fréquence de la note 10, par exemple, se calcule ainsi :

formula_2

En procédant de même pour les autres notes, on obtient le tableau des fréquences (qu'on ne transforme pas en pourcentages pour calculer la moyenne) :

On trouve ici la seconde méthode de calcul de la moyenne comme somme des produits des notes par leurs fréquences.

Médiane.

Tableau des effectifs cumulés et médiane.

Reprenons l'exemple 1 des notes des élèves :

La médiane d’une série statistique quantitative est

la valeur du caractère qui partage l'effectif en deux parties égales.

Ici, on peut lire la médiane dans le tableau des effectifs ;

comme il y a 16 élèves, l'effectif se partage entre les 8 notes les plus basses

et les 8 notes les plus hautes.

La huitième note la plus haute est 11.

La huitième note la plus basse est 10.

On prendra la médiane entre les deux, soit 10,5

Tableau des fréquences cumulées.

En procédant comme pour les effectifs cumulés, on peut construire

un tableau des fréquences cumulées,

par exemple avec l'exemple 1 des notes :

Etendue.

L'étendue d’une série statistique quantitative est l'écart entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur.

Exemple 1 des notes.

La note la plus élevée est 16, la note la plus basse est 5

L'étendue est donc :

formula_3

Regroupement en classes : exemple 2 des salaires.

Lorsque le caractère statistique peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, on les regroupe en classes (ou intervalles, ou tranches …).

En troisième, on travaille avec des classes de même largeur.

Tableaux et moyenne.

"Répartition des revenus annuels en milliers d’euros dans une population de 4370 personnes."

Quand on regroupe une série statistique en classe, on calcule la moyenne en prenant comme valeurs les centres de chaque classe.

On a regroupé dans le même tableau les effectifs et les fréquences ainsi que les centres des classes.

On retrouve le salaire moyen par le calcul : 106000/4370 = 24,25 soit environ 24250 euros.

La légère différence entre les méthodes de calcul avec les fréquences et avec les effectifs s'explique par l'arrondi des fréquences. Cependant, étant donnée la perte d'information due au regroupement en classes, cette différence est sans importance.

Médiane.

On pourrait calculer la médiane comme dans l'exemple 1 avec les effectifs, mais c’est encore plus facile avec les fréquences cumulées : il suffit de regarder quand on dépasse les 50 %, c'est-à-dire la fréquence cumulée 0,5.

La médiane se situe donc dans la classe [25,30[, donc le salaire annuel médian se situe entre 25000 Euros et . Il est plus élevé que le salaire moyen.

Histogramme.

On représente cette étude statistique par un histogramme formé de rectangles qui recouvrent toute la classe considérée. On a placé les effectifs en ordonnées, mais on aurait pu travailler avec les fréquences.

Polygone des fréquences cumulées.

On retrouve le résultat précédent entre 25 et 30, environ pour le salaire médian. Un calcul exact pourrait être fait en utilisant la proportionnalité ou les fonctions affines.

Triangles et parallèles/Théorème de Thalès

Le théorème direct de Thalès.

Si, dans les figures suivantes, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

alors il y a proportionnalité dans le tableau :

Exemple dans la configuration « triangle ».

Si AB = , AD = et AE = . Calculer AC.

il y a proportionnalité dans le tableau :

!

Trigonométrie