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Exercice 4-2. |
Soit formula_7 continue telle que formula_8 |
Montrer qu’il existe formula_9 tel que formula_10 |
Exercice 4-3. |
Montrer que la suite définie par formula_11 converge et calculer sa limite. |
=\frac1n\sum_{k=1}^n \frac1{1+\left(\frac kn\right)^2}=\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right) |
</math>. |
On reconnaît une somme de Riemann de formula_3 associée à la partition de formula_13 en formula_14 sous-segments. Or formula_3 est continue et intégrable sur formula_13. Sa somme de Riemann formula_17 converge donc vers formula_18. De plus, formula_3 est une fraction rationnelle donc on en connaît une primitive : la fonction arctan. |
Calculer de même les limites de |
Exercice 4-5. |
Soit formula_38 et formula_39 de classe formula_40 telle que formula_41. Montrer que : |
formula_42 |
Exercice 4-6. |
Soit formula_38 et formula_44 de classe formula_45. Montrer que : |
formula_46. |
Exercice 4-7. |
Référence : , lemme 7.23 |
Soient formula_47, formula_48 et formula_49 une fonction continue telle que |
formula_50. |
Démontrer que formula_51. |
Exercice 4-8. |
Soient formula_3 et formula_53 des fonctions continues sur un intervalle formula_54 (avec <math>a). |
On suppose que formula_3 est croissante et que formula_53 prend ses valeurs dans formula_13. On pose : |
Exercice 4-9. |
Soient formula_67 un nombre complexe de partie réelle strictement positive et formula_68 une application de classe C telle que formula_69. Montrer que formula_70. |
Exercice 4-10. |
Soient formula_71 une application continue et formula_72. |
Exercice 4-11. |
Soient formula_80 continues, strictement positives, et équivalentes en formula_74. Montrer que : |
Exercice 4-12. |
Soient formula_86 tels que <math>a et formula_4 une fonction intégrable. Pour formula_88, on pose : formula_89. |
Soient formula_86 tels que <math>a et formula_4 une fonction bornée, localement intégrable sur formula_100. Montrer que formula_3 est intégrable sur formula_54. |
Exercice 4-13. |
Soient formula_86 tels que <math>a et formula_4 une fonction de classe C. Montrer que : |
Démontrer la même convergence vers 0 pour une fonction formula_4 en escalier. |
Soit formula_7 une fonction continue. Montrer que |
Exercice 4-14. |
Pour formula_110 on pose |
Pour formula_123 on pose |
Fondements des mathématiques/Que sont les mathématiques ? |
Ce chapitre expose et discute diverses réponses aux questions sur la nature des mathématiques. |
La science des nombres et de l’espace. |
Depuis l’Antiquité, l’arithmétique et la géométrie sont considérées comme les sciences mathématiques par excellence. Euclide fait figure de père fondateur. La méthode axiomatique utilisée par Euclide était considérée comme un idéal de perfection du raisonnement, à tel point que pour désigner la logique, Pascal disait « l’esprit de géométrie ». |
Les développements modernes des mathématiques ont cependant rendu obsolète cette définition traditionnelle des objets mathématiques, parce que de nouveaux types de nombres et d’espaces abstraits sont apparus. |
La science des formes de déduction. |
Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. |
Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. |
Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques — l’espace euclidien par exemple —, et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables pour de nombreux objets différents. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. |
Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées, parce qu’il s'agit de théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités…) qui ont une utilité générale pour toutes les sciences. Elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer ces théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences. |
La science de tous les mondes possibles. |
Pour un mathématicien, rien n’est impossible sauf ce qui est contradictoire. Par là on veut dire qu’un discours non contradictoire est à propos d’un monde concevable, imaginable, idéal. |
De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. |
On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers-exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début (bien qu'il y ait des courants de pensée qui remettent en cause ce principe logique : l'intuitionnisme par exemple). |
Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes…) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. |
Logique (mathématiques)/Introduction |
Ce chapitre expose les principes de la logique, c’est-à-dire les principes qu’il faut respecter pour faire des déductions valides. |
L’évidence naturelle. |
Une déduction est valide lorsque chaque étape est en accord avec une règle logique. Les règles logiques sont souvent reconnues par une sorte d’évidence intuitive. Par exemple le syllogisme, « de ("P") et de (Si "P" alors "Q") on peut déduire ("Q") » est une règle dont la validité est intuitivement évidente et qu’on ne peut réfuter sans mettre en doute sa propre existence. Tout être rationnel qui comprend les mots « si … alors » comprend du même coup que la règle est valide ou accepte le doute de sa propre existence que permet d’écarter l’assurance de cette assertion. |
Les logiciens emploient couramment le terme naturel dans leurs discours en référant en deux concepts : |
Les raisons du formalisme. |
L’évidence des principes logiques fait qu’ils sont souvent laissés dans l’implicite. Il semble qu’on n’a pas besoin de les apprendre pour les connaître. Puisque tout le monde les connaît, il n’est pas nécessaire de les rappeler. |
Il y a cependant plusieurs raisons de ne pas se satisfaire de cette logique implicite. |
Les évidences sont parfois trompeuses. Des études de psychologie ont montré que les êtres humains font des erreurs de logique de façon systématique et que ces erreurs dépendent de la façon dont on présente le problème. L’étude de la logique est donc aussi l’acquisition d’un savoir faire, d’une discipline de l’esprit. Elle est surtout utile pour les théories mathématiques mais elle peut aussi servir plus largement à reconnaître tous les sophismes qui sont hélas très généralement acceptés. |
Lors de la crise des fondements des mathématiques, les logiciens et les mathématiciens se sont rendus compte que même des axiomes dont la validité semblait naturelle peuvent conduire à des contradictions. L’axiome de Frege, par exemple, disant que « tout concept a une extension, autrement dit, pour tout concept il existe un ensemble de tous les êtres pour lesquels ce concept est vrai », conduit à une contradiction. Nous en donnerons la preuve plus loin avec l’exposé du paradoxe de Russell. Plus généralement, la théorie des ensembles, développée initialement par Georg Cantor, se heurtait à des paradoxes. On pouvait déduire à partir de prémisses qui semblaient justes et par une suite d’étapes valides des énoncés contradictoires du type, « c’est ainsi "et" ce n’est pas ainsi ». |
Pour résoudre ce problème, il faut être prudent dans le choix de ses axiomes. On est alors conduit à se demander, peut-on oui ou non déduire une contradiction à partir des axiomes ? Pour que cette question puisse recevoir une réponse, il faut être précis, à la fois sur l’énoncé des axiomes et sur les règles de déduction que l’on se propose d’appliquer. |
Les méthodes formelles répondent à ce problème. On se donne un langage artificiel, c’est-à-dire un ensemble de symboles (un alphabet), des règles de formation des mots et des phrases (une grammaire), et des règles de déduction (une logique). On peut alors reconnaître si oui ou non une déduction est en accord avec les règles même si on ne comprend pas la signification des phrases. Même les ordinateurs sont alors capables de faire la différence entre les déductions correctes et les autres. La question de la cohérence des théories peut alors être posée d’une façon précise parce qu’une théorie est définie de façon mathématique : l’ensemble de tous les énoncés qui sont ou bien des axiomes, ou bien déduits des axiomes en un nombre fini d’étapes dont chacune respecte une règle formelle. |
Les langues naturelles ne sont pas adaptées pour la recherche d’une telle précision dans l’énoncé des principes. Elles sont beaucoup trop compliquées. Elles se prêtent mal aux méthodes logiques, parce que si l’on veut respecter les usages, il n’est pas possible de donner des règles à la fois simples, universellement appliquées et valides. Pour le néophyte, les langages formels utilisés par les logiciens semblent parfois très compliqués, mais après les avoir étudiés, il se rendra compte qu’ils sont infiniment plus simples que les langues naturelles. C’est le devoir de paresse, d’économie des moyens, qui est à l’origine de l’invention des formalismes : adopter les moyens d’expression les plus simples pour ne pas s’embarrasser de complications liés à des phénomènes considérés comme interférences irraisonnables et vide de sens. |
L’intérêt des formalismes n’est pas vraiment de remplacer les langues naturelles puisqu'on peut les utiliser pour s’exprimer. Les mathématiciens et les physiciens en font un usage très intense. Mais il n’est jamais souhaitable qu’ils remplacent complètement les raisonnements naturels. Il faudrait changer toutes ses habitudes de pensée. Cela ne présente pas d’intérêt parce qu'on sait reconnaître leur validité pour la plupart des raisonnements courants. On peut souvent traduire les expressions familières dans un formalisme logique. La validité logique d’un raisonnement naturel est alors établie parallèlement à la validité de sa traduction. |
Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions |
Ce chapitre expose les problèmes de l’existence des êtres mathématiques. Qu’est-ce qui existe au sens mathématique ? |
L’ontologie mathématique. |
La question de l’existence est aussi nommée la question ontologique. L’ontologie d’une théorie, c’est l’ensemble de tous les énoncés d’existence des objets qu’elle étudie. |
L’ontologie des mathématiques a été très controversée. Les nouveaux êtres mathématiques, les nombres négatifs, complexes, infinis, les lignes continues non-différentiables, les espaces abstraits et beaucoup d’autres ont tous rencontré des résistances avant d’être assez généralement acceptés. On dispose aujourd’hui de méthodes ontologiques très tolérantes, les théories des ensembles, qui sont suffisantes pour la grande majorité des besoins des mathématiciens. Elles permettent d’attribuer l’existence à presque tous les êtres abstraits concevables. Mais cette section et les suivantes montreront qu’on ne peut pas supprimer le « presque » dans la phrase précédente, que l’incomplétude ontologique est fondamentale. |
Si on définit les mathématiques comme la science des formes de déduction, la question ontologique ne se pose pas. On suppose que les prémisses sont vraies. Tous les énoncés d’existence qu’elles contiennent sont des hypothèses dont la vérité dépend des objets (non-mathématiques) auxquels elles sont appliquées. Autrement dit tous les énoncés d’existence mathématique auraient un caractère hypothétique. Mais cette approche ne rend pas complètement compte des questions qui se posent aux mathématiciens. |
Quand on a prouvé par exemple qu’il existe un corps ordonné, archimédien et complet, à savoir l’ensemble des nombres réels, on interprète en général ce théorème comme une vérité absolue, qui ne dépend pas d’hypothèses sur l’existence des êtres non-mathématiques. Cela revient à croire d’une certaine façon en l’existence d’un monde idéal, platonicien, où les êtres mathématiques existent vraiment et où ils sont comme nous disons qu’ils sont. Mais comment savoir que ce monde idéal existe vraiment ? |
La théorie des modèles apporte une réponse plus prudente. Elle ne dit pas qu’il existe un monde idéal mais seulement qu’on peut l’imaginer. On interprète alors le théorème d’existence de l’ensemble des nombres réels, non comme une affirmation sur un mystérieux au-delà, mais seulement comme l’affirmation qu’il est possible de développer une théorie cohérente à propos d’un corps (au sens de l’algèbre), ordonné, archimédien et complet. |
De ce point de vue, la théorie des ensembles est interprétée non en référence à l’au-delà mais seulement à l’ici-bas, parce qu’ici nous sommes bien sûrs qu’il y a des êtres humains qui font des théories. On peut alors voir les théories des ensembles comme des théories de toutes les théories, ou de tous les mondes possibles, ceux-ci étant déterminés par celles-là. |
Les théories des ensembles apportent donc un point de vue très général. En fait, tous les théorèmes mathématiques peuvent être démontrés à l’intérieur d’une théorie des ensembles. Mais la puissance de ces théories posent des difficultés. Nous allons voir qu’il n’est pas facile de les formuler d’une façon cohérente. |
L’existence des extensions conceptuelles, Frege et le paradoxe de Russell. |
Frege est l’un des premiers à avoir proposé une liste explicite des principes d’existence des ensembles. Il l’avait incorporée à une œuvre destinée à fonder l’ensemble des mathématiques sur des méthodes complètement formalisées. Son principal axiome dit que pour tout concept C il existe un ensemble, l’ensemble E des êtres pour lesquels ce concept est vrai. E est l’extension conceptuelle de C. |
L’axiome de Frege semble assez naturel, et il est adopté sous une forme restreinte dans toutes les théories modernes des ensembles. Mais Bertrand Russell a montré que sous la forme originale proposée par Frege, l’axiome conduit à une contradiction. Quand Frege a reçu la lettre de Russell, il eut le sentiment injustifié que toute son œuvre s’était effondrée d’un seul coup. En vérité Frege a été et demeure l’un des plus grands logiciens de tous les temps. On lui doit l’une des premières formulations complètes du calcul des prédicats et de son application aux fondements des mathématiques. Son erreur était assez naturelle, elle a révélé des aspects jusque là inconnus de la raison, et elle peut être corrigée tout en conservant l’essentiel du système. |
Le concept, ou prédicat, qui a posé problème pour l’axiome de Frege est celui des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, (x est un ensemble et x n’est pas dans x). |
En général les ensembles n’appartiennent pas à eux-mêmes. Un ensemble de nombres n’est pas lui-même un nombre, un ensemble de personnes n’est pas une personne… Les éléments existent en un sens avant l’ensemble. L’ensemble ne fait que réunir des éléments préexistants. Mais on peut trouver des exceptions, l’ensemble de tous les ensembles, par exemple, peut être considéré comme un ensemble, il est donc élément de lui-même. |
D’après l’axiome de Frege, il devrait exister un ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. Cet ensemble contiendrait la plupart des ensembles usuels mais il ne contiendrait pas l’ensemble de tous les ensembles ni quelques autres un peu bizarres. Cet ensemble, appelons le BR, est il élément de lui-même ? |
Si BR est élément de BR alors il n’est pas élément de lui-même par définition de BR, puisque BR contient tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. On a donc dans ce cas une contradiction. BR appartient à BR et BR n’appartient pas à BR. |
Si BR n’est pas élément de BR alors il est élément de lui-même, toujours par définition de BR. On a donc également une contradiction. |
Le principe du tiers exclu, la règle de disjonction des hypothèses et la règle du détachement permettent alors de conclure à (BR appartient à BR et BR n’appartient pas à BR). Comme tous ces principes étaient acceptés par Frege, son système contenait une contradiction. Pour un logicien, c’est une catastrophe, parce qu’un système contradictoire permet de démontrer n’importe quoi, qu’il soit vrai ou faux, à l’aide du principe du raisonnement par l’absurde. Un système qui permet de démontrer des faussetés ne démontre rien du tout. |
On peut donner au paradoxe de Russell la forme plus intuitive suivante : un barbier rase tous les hommes de son village qui ne se rasent pas eux-mêmes. Ce barbier se rase-t-il ? |
Subsets and Splits
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