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Ces deux axiomes (singleton et réunion finie) peuvent être déduits d’autres axiomes qui seront introduits plus loin.
L’axiome de l’infini.
Le nombre infini des ensembles finis.
Les axiomes précédents permettent de prouver l’existence de tous les ensembles finis, construits à partir des atomes ou du seul ensemble vide. Les ensembles finis sont en nombre infini, comme les nombres entiers et comme les suites finies de mots.
Mais de l’existence d’un nombre infini d’ensembles finis il ne s’ensuit pas qu’il existe un ensemble infini, c’est-à-dire un ensemble qui contient plus qu’un nombre fini d’éléments. L’existence d’un tel ensemble doit être postulée par un axiome supplémentaire qu’on appelle l’axiome de l’infini. On peut lui donner plusieurs formes, différentes quant à la taille de l’ensemble infini dont on postule l’existence.
La théorie ZFC fait un choix minimaliste. L’axiome de l’infini dit qu’il existe un ensemble assez grand pour contenir des représentants de tous les nombres entiers, et c’est tout. Les autres axiomes, exposés plus loin, suffisent alors pour construire tous les autres ensembles infinis dont on a couramment besoin. D’autres axiomes de l’infini, les axiomes des très grands ensembles, peuvent être introduits ultérieurement si on le souhaite.
Les nombres entiers sont-ils des ensembles ou des expressions formelles ?
La façon la plus naturelle d’introduire les nombres entiers est de les considérer comme des atomes, des non-ensembles, qui ont une existence indépendante de celle des ensembles. Mais ZFC permet de représenter tous les nombres entiers par des ensembles. Cette représentation est fondée sur les idées de Cantor à propos de la notion de nombre et de sa généralisation aux nombres infinis. Elle enrichit beaucoup les outils conceptuels du mathématicien parce qu’elle conduit à généraliser d’une façon naturelle des théorèmes énoncés initialement à propos des seuls ensembles finis. Elle est tellement intéressante qu’elle a parfois conduit certains mathématiciens, plus cantoriens que Cantor, à voir dans la théorie des ensembles la clé de tous les mystères sur l’essence des nombres, c’est-à-dire sur notre capacité à dire des vérités générales à leur sujet. Ce point de vue est très important à bien des égards mais il ne doit pas faire oublier qu’il y a d’autres approches possibles sur la nature des nombres entiers.
Définir les nombres entiers comme des mots, des expressions formelles, a l‘inconvénient de manquer la généralisation aux nombres infinis mais présente d’autres avantages. La théorie des systèmes formels est en un sens plus fondamentale qu’une théorie générale des ensembles comme celle de Zermelo, parce qu’elle est plus élémentaire.
Au point de vue de la fiabilité des principes, les théories élémentaires sont plus fondamentales que les autres. La question si ZFC est absurde ou non est une question qui se pose vraiment. Qu’elle soit en accord avec l’intuition ne suffit pas pour prouver sa cohérence. La théorie contradictoire de Frege était en accord avec l’intuition. Pour prouver que ZFC est cohérente on a besoin de la considérer comme un système formel, un ensemble de formules. La théorie des systèmes formels est donc une théorie des ensembles plus fondamentale que ZFC.
La représentation des nombres entiers par des ensembles.
On pourrait représenter 0 par l’ensemble vide, 1 par formula_12, 2 par formula_13, 3 par formula_14 et ainsi de suite. D’autres définitions sont possibles. La suivante est la plus avantageuse.
formula_15 est représenté par l’ensemble vide formula_16.
formula_17 est représenté par Singleton de 0, c’est-à-dire formula_18, l’ensemble qui contient un seul élément, formula_15
formula_20 est représenté par formula_21, c’est-à-dire l’ensemble qui contient deux éléments, 0 et 1 : formula_22.
formula_23 est représenté par formula_24, c’est-à-dire formula_25.
De manière générale, formula_26 est représenté par formula_27 et contient formula_26 éléments, formula_29.
De cette façon tout nombre entier formula_30 est représenté par un ensemble qui contient exactement formula_30 éléments. La théorie générale des ordinaux, exposée plus loin, montre que cette représentation est très utile pour prouver commodément les théorèmes de Cantor.
L’existence de l’ensemble N des entiers positifs.
Sous sa forme la plus élémentaire, l’axiome de l’infini peut être écrit comme ci-dessous.
Autrement dit,
Les autres axiomes qui vont être exposés permettent alors de prouver qu’il existe un ensemble qui contient tous les entiers positifs et seulement eux, c’est-à-dire l’ensemble N des nombres naturels.
L’axiome de la somme.
L’axiome de l’existence de la réunion de deux ensembles suffit pour construire la réunion d’un nombre fini d’ensembles, mais il ne suffit pas pour construire la réunion d’un ensemble infini d’ensembles. Pour cela un axiome supplémentaire est nécessaire, l’axiome de la somme, qu’on peut aussi appeler axiome de la réunion infinie.
Autrement dit :
L’ensemble y est la réunion des éléments de x. On l’appelle aussi l’ensemble-somme de x, ou la somme de x, quand il n’y a pas d’ambiguïté.
On peut déduire l’axiome de la réunion de deux ensembles à partir de l’axiome de la somme si on introduit l’axiome de la paire.
Autrement dit :
L’axiome du singleton est une conséquence de l’axiome de la paire parce que Singleton de x égale Paire de x et x.
L’axiome de l’ensemble des sous-ensembles.
Cet axiome permet de construire des grands ensembles infinis à partir de ce petit ensemble infini qu’est N. Ces nouveaux ensembles infinis sont tellement grands qu’ils sont indicibles. Nulle théorie ne peut nommer tous leurs éléments. Ils seront appelés aussi infinitaires, par contraste avec des ensembles infinis plus élémentaires, tels que N et les systèmes formels, qui seront dits finitaires.
Autrement dit :
ou plus brièvement :
y est aussi appelé l’ensemble P(x) des parties de x, ou l’ensemble-puissance de x, ou 2 puissance x, pour des raisons qui seront exposées plus loin.
Avec cet axiome, on peut construire P(N), P(P(N)) et ainsi de suite, en répétant cette opération un nombre fini de fois.
L’axiome de séparation de Zermelo.
La plupart des ensembles sont définis comme des extensions conceptuelles, c’est-à-dire qu’ils sont définis comme des ensembles qui contiennent tous les êtres pour lesquels un prédicat est vrai. Comme l’axiome de Frege (tout concept a une extension) est contradictoire, et comme les axiomes précédents suffisent pour faire des ensembles infinis assez grands, Zermelo a réintroduit l’axiome de Frege sous une forme affaiblie, en limitant les extensions conceptuelles à des sous-ensembles d’ensembles déjà définis. Son axiome de séparation peut être énoncé plus précisément comme suit :
Pour tout ensemble x et tout concept, il existe un sous-ensemble de x qui contient tous les éléments de x pour lesquels ce concept est vrai et seulement eux.
Plus formellement, l’axiome de séparation est défini par un schéma d’axiomes, qui détermine des axiomes en nombre infini, qui sont tous des formes particulières de l’axiome de séparation.
Le schéma des axiomes de séparation
Pour tout prédicat formula_37 qui contient n+1 variables libres et qui est défini à partir des seuls prédicats fondamentaux « être dans » et « égale » et des opérateurs de la logique du premier ordre, la formule suivante est un axiome :
La construction des extensions relationnelles.
Il semble que les axiomes de séparation, tels qu’ils viennent d’être énoncés, ne permettent de définir que les extensions des prédicats unaires et qu’ils nous laissent dépourvus pour les extensions des concepts relationnels. Une astuce formelle montre cependant que tel n’est pas le cas.
L’extension d’un concept relationnel, binaire formula_39 pour fixer les idées, peut être définie comme l’ensemble des couples (x, y) qui satisfont à la relation formula_40. La notion de couple n’a pas été introduite mais on peut la définir de plusieurs façons à partir des constructions précédentes. Par exemple, on peut définir le couple de x et y par l’ensemble Paire de Singleton de x et Paire de x et y.
Définir Couple de x et y par Paire de x et y ne convient pas parce qu’on veut que Couple de x et y soit différent de Couple de y et x, quand x et y sont différents, pour des raisons formelles. En revanche Paire de Singleton de x et Paire de x et y convient très bien.
L’extension de la relation binaire formula_40 limitée à un ensemble x est alors définie par l’ensemble y tel que
pour tout z, z est dans y équivaut à il existe v et w tels que (z = (Couple de v et w) et z est dans x et formula_42)
L’existence de y est garantie par un axiome de séparation de Zermelo.
La même construction peut être faite pour toutes les relations ternaires et plus. On peut définir Triplet de x, y et z par Couple de x et Couple de y et z, par exemple.
L’axiome de remplacement de Fraenkel.
Fraenkel et Skolem se sont rendus compte que les axiomes de séparation de Zermelo ne suffisaient pas pour démontrer certains théorèmes de Cantor, mais que pour cela il suffit d’échanger le schéma d’axiomes de Zermelo contre un autre, un peu différent, qui formalise l’idée de la construction d’un ensemble par des remplacements simultanés de tous les éléments d’un ensemble déjà construit.
Plus précisément, on suppose que si formula_40 est une relation binaire fonctionnelle alors :
formula_5 est appelé ensemble-image, ou image, de formula_2 par la relation formula_40.
On peut alors formuler l'axiome de remplacement sous la forme suivante :
formula_40 est une relation fonctionnelle veut dire ici qu’elle associe au plus un élément z à tout élément w, autrement dit, pour tout w il existe au plus un z tel que formula_49, autrement dit encore, pour tous w, z et z’, si (formula_49 et formula_51) alors z = z’.
L’axiome de remplacement est formulé par un schéma d’axiomes.
Pour tout prédicat P(w, z, x1…, xn) avec n+2 variables libres (et construit avec « être dans », « = » et la logique du premier ordre) la formule suivante est un axiome :
L’axiome de séparation de Zermelo peut être déduit de l’axiome de remplacement. Pour tout prédicat P(x, x1…, xn) il suffit de considérer la relation (P(x, x1…, xn) et x = y).
L’axiome de remplacement respecte la logique de construction progressive adoptée par Zermelo. Il ne permet pas de construire les grands ensembles contradictoires comme celui de Russell parce qu’un ensemble défini par remplacement n’est jamais plus grand que l’ensemble à partir duquel il est défini.
L’axiome de remplacement peut être formulé d’une façon apparemment plus restrictive, mais en fait équivalente, en imposant à une relation fonctionnelle de toujours associer un élément et un seul (et non au plus un) à tout élément de l’ensemble de départ.
Les ensembles finitaires.
Les ensembles finitaires sont définis avec des moyens élémentaires mais ils sont souvent infinis.
Les mathématiques finitaires consistent à mettre en pratique un principe de progression ontologique, commencer par ce qui est simple, évident, élémentaire, pour poursuivre sur des bases solides.
Texte déplacé ici
Les axiomes d’une théorie élémentaire des ensembles finitaires.
Les axiomes de Finitaire1.
L’axiome d’extensionalité
Les axiomes d’existence des ensembles
Le principe d’induction complète



Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence

Ce chapitre expose des preuves de cohérence des principes mathématiques. Il est plus audacieux que les précédents, pour lesquels presque tous les résultats présentés sont connus et prouvés depuis des décennies.
Comment prouver la fiabilité des principes ?
Les preuves de la vérité et de la fiabilité des principes sont confrontées à un problème de circularité : à partir de quels principes peut-on prouver la fiabilité des principes ? L’examen de ce problème requiert quelques préliminaires.
Qu’est-ce qu’une preuve ?
L’un des principes mathématiques les plus importants est que les vérités doivent être prouvées. Une part importante du travail mathématique consiste précisément à imaginer et à écrire des preuves.
La façon la plus ordinaire de penser à une preuve est de la définir comme une progression par étapes de prémisses vers une conclusion. Si les prémisses sont vraies et si la progression est logique alors la conclusion est prouvée. La logique du premier ordre donne une définition précise et complète de la notion de progression logique et de preuve formelle.
Quand elles sont définies de cette façon, les preuves sont définies avec précision, mais elles sont seulement des moyens pour trouver de nouvelles vérités à partir de vérités déjà connues. Dans une théorie mathématique, tous les théorèmes sont ainsi prouvés à partir des axiomes. Si nous voulons que les théorèmes soient vrais, il nous faut des axiomes vrais. Mais comment savoir que les axiomes sont vrais ?
Comment prouver la vérité des axiomes ?
Leibniz a posé en principe que tout axiome, tout principe, doit être prouvé. Mais il n’a pas dit très précisément comment le faire. À partir de quels principes peut-on prouver la vérité des principes ?
Pour prouver que quelque chose est vrai, il faut avoir une idée de la vérité. La théorie des modèles donne une telle idée et un moyen de prouver qu’un axiome est vrai. Un système d’axiomes est vrai quand il y a un modèle pour lui. Il suffit de trouver un modèle et la vérité de tous les axiomes est automatiquement établie. C’est vrai pour toutes les formules, pas seulement les axiomes. Pour prouver la vérité d’une formule, il faut prouver qu’elle est vraie dans un modèle. Mais habituellement une formule est prouvée à partir d’axiomes et le modèle, s’il existe, est seulement implicite. Cela suffit pour prouver la vérité de cette formule dans le modèle pourvu que l’on sache déjà que les axiomes y sont vrais et que les déductions logiques soient valides.
Cette définition de la vérité par la théorie des modèles laisse cependant des questions sans réponses. Comment prouve-t-on que des axiomes sont vrais dans un modèle ? Un modèle est défini avec des ensembles et des fonctions. Si on veut prouver qu’un modèle existe pour un système d’axiomes, on a besoin d’une théorie des ensembles et des fonctions.
Il semble qu’il y a un cercle vicieux dans cette approche de la vérité mathématique. Pour prouver qu’une théorie est vraie, il faut prouver l’existence d’un modèle. Mais pour cela, on a besoin d’une théorie des ensembles, et plus précisément d’une vraie théorie des ensembles. Mais comment sait-on que cette théorie est vraie ?
Quand on dit qu’une théorie des ensembles est vraie, on veut dire bien sûr qu’elle est cohérente, mais on veut dire plus que cela. Une théorie cohérente n’est pas forcément une théorie des ensembles. La notion première, ou concept fondamental, des théories des ensembles est la relation binaire d’appartenance. Tout être rationnel a une compréhension intuitive de cette notion. Rien qu’avec les ensembles finis on peut lui trouver de nombreuses applications. L’axiome d’extensionalité, selon lequel deux ensembles sont égaux s’ils ont les mêmes éléments, et d’autres loi générales sur les constructions élémentaires des ensembles sont connus de façon intuitive. On peut formuler des théories axiomatiques en accord avec ces connaissances intuitives du concept d’appartenance à un ensemble.
Les connaissances intuitives conduisent parfois à des contradictions, même quand on fait attention à supprimer toute équivoque. Qu’une théorie des ensembles est intuitive ne prouve donc pas qu’elle est vraie. Si en revanche on a prouvé pour une théorie des ensembles qu’elle est cohérente, et si en plus elle est en accord avec nos connaissances intuitives sur les ensembles, alors on peut estimer que cela suffit pour prouver la vérité de cette théorie. On peut alors se reposer sur elle pour prouver l’existence de modèles et donc la vérité d’autres théories. Une théorie des ensembles est une sorte de théorie universelle, au sens où elle permet de raisonner sur toutes les théories.
Mais il y a ici une circularité. Pour prouver qu’une théorie des ensembles est cohérente par la théorie des modèles, il faut prouver l’existence d’un modèle, c’est-à-dire un ensemble, qui est un univers de tous les ensembles de cette théorie. Pour échapper à cette circularité, on pourrait songer à prouver la cohérence de la théorie d’une façon directe, sans passer par la preuve d’existence d’un modèle. Mais on n’y échapperait pas non plus, parce qu’alors il faut raisonner sur toutes les conséquences que l‘on peut déduire logiquement des axiomes et cela revient à définir l’ensemble de toutes ces conséquences et à prouver qu’il ne contient pas de contradiction. Dans ce cas aussi, on a donc besoin d’une théorie des ensembles.
Toute preuve de la fiabilité des principes de preuve a quelque chose de circulaire. Mais ce cercle n’est pas vicieux, ou pas trop, au sens où il ne remet pas en question la vérité de nos principes. S’il l’était alors on ne pourrait rien connaître avec certitude en mathématiques. Même les théories les plus élémentaires seraient douteuses. Par exemple, il est facile de définir une théorie qui contient toutes les égalités de la forme n + p = q où n, p et q sont des entiers positifs. Que cette théorie ne contient pas 2+2 = 5 peut être prouvé à partir de sa définition. Mais dans cette preuve, on raisonne sur l’ensemble de toutes les égalités qui définit la théorie. Ce serait cependant un absurde excès de rigueur logique d’avoir le moindre doute sur sa validité. Les seuls problèmes que posent cette preuve et d’autres semblables sont d’une part la portée des principes utilisés et d’autre part la façon de les formuler avec précision. Tant qu’on se limite à des techniques élémentaires, on peut être sûr de leur fiabilité, mais qu’en est-il quand on veut étendre leur puissance ?
Avant de définir la moindre théorie axiomatique des ensembles, nous savons qu’il y a des systèmes d’axiomes cohérents pour les ensembles parce que nous savons que les ensembles existent d’une façon idéale. Il y a parfois des doutes sur la justesse d’une théorie particulière. Russell a prouvé que la théorie fregeienne des ensembles est contradictoire. On peut aussi avoir des doutes sur le choix de règles formelles particulières. Des logiciens se sont déjà trompés dans l’énoncé des règles pour les variables, par exemple, en omettant de mentionner des contraintes sur les occurrences libres et liées dans les règles de déduction. Mais il n’y a pas de raison d’être plus sceptique sur l’existence idéale de nombreux ensembles élémentaires que sur l’existence des nombres entiers.
Avant de définir des méthodes formelles, nous savons que certains de nos raisonnements naturels sont fiables, parce que leurs principes sont nécessaires pour tout être rationnel, au sens où toute personne qui prend le temps d’y penser tombe d’accord sur leur nécessité. Si nous n’étions pas convaincus par la vérité de ces principes élémentaires (règles de déduction, vérités sur les mots, les formules et leurs ensembles…) alors nous ne pourrions pas être rationnels. Nous sommes convaincus que certaines preuves ont quelque chose à voir avec la vérité. Avant d’énoncer formellement nos principes, nous savons ou nous croyons qu’ils ont une part de vérité. Pourrions-nous avoir tort ?
Que les principes fondamentaux de la raison soient faux ne pourra jamais être prouvé parce que cette preuve affirmerait qu’il n’y a aucune preuve valide et se contredirait elle-même. Est-ce que cet argument prouve que les principes fondamentaux de la raison contiennent une part de vérité ? Il peut être considéré comme une sorte de confirmation, mais le point important est que la preuve de la fiabilité des principes de preuve n’est pas une étape préliminaire obligatoire pour établir la validité d’une preuve. Cette interprétation du principe de Leibniz conduirait à une régression à l’infini et serait donc absurde. À chaque fois que nous donnons une preuve, nous pouvons supposer une sorte d’accord tacite et préalable sur la validité d’au moins quelques principes de preuve, même s’ils ne sont pas clairement formulés.
Les découvertes scientifiques sont en vérité de bien meilleures preuves de la validité de nos principes de preuve que tout argument "a priori".
Tant qu’on se limite aux cas les plus élémentaires, on peut se fier à nos connaissances intuitives sur les principes de preuve. Mais si on veut aller plus loin, alors il faut s’interroger de façon critique sur la fiabilité de nos méthodes et prouver avec des moyens élémentaires que des méthodes non-élémentaires sont fiables. Ce point est développé dans ce chapitre. Il résume à lui seul tout l’esprit de cette approche des fondements des mathématiques. C’est l’histoire du lion, la vérité, qui se fait aider par une souris, les évidences élémentaires.
À quoi servent les méthodes formelles ?
Quand on se limite à des questions élémentaires, on peut être sûr que les preuves informelles sont valides. On n’a pas besoin des méthodes formelles pour s’assurer de l’absolue vérité de ce qu’on dit, les évidences naturelles suffisent. Mais ce n’est qu’un commencement. Les méthodes formelles permettent d’aller beaucoup plus loin, pour plusieurs raisons.
Les façons naturelles de parler et de raisonner marchent bien quand le sujet étudié n’est pas trop compliqué. Quand ce n’est pas le cas, on a besoin de moyens d’expression plus précis que ceux des langues naturelles. Les méthodes formelles permettent de combiner avec justesse des étapes simples, élémentaires, mais qui ensemble permettent de répondre à des questions précises sur des objets très complexes. L’inefficacité des raisonnements courants vient dans ce cas de leur manque de précision.
Les sophismes et les paradoxes montrent que les évidences naturelles peuvent conduire à des absurdités. Les prémisses choisies comme point de départ semblent vraies, ou au moins acceptables, les étapes du raisonnement semblent correctes et pourtant la conclusion est absurde. Dans les sophismes on arrive à reconnaître une sorte de malveillance à l’égard du langage. L’indétermination partielle des significations des notions familières est utilisée pour duper l’auditoire. Typiquement pour faire un sophisme il suffit de se servir du même mot en deux sens différents sans souligner cette nécessaire distinction. Les méthodes formelles permettent de se protéger contre les sophismes parce qu’elles imposent de tout expliciter. La confusion des significations n’est alors plus possible.
Les sophismes n’épuisent pas toutes les absurdités que l’on peut trouver à partir des évidences naturelles. Dans certains cas très importants, le raisonnement qui conduit à une conclusion absurde résiste aux efforts de clarification des significations. Dans ce cas, il s’agit d’un paradoxe. Donnons un exemple. Que toute phrase qui a un sens précis et non-équivoque soit nécessairement ou bien vraie, ou bien non, semble être un principe naturel de la raison. Considérons alors la phrase suivante. Cette phrase est fausse. Elle a un sens précis et non équivoque quand son sujet, « cette phrase » renvoie à la phrase complète. Est-elle vraie ? Si elle était vraie, elle serait fausse. On voudrait en conclure qu’elle n’est pas vraie mais cette option aussi est interdite parce qu’alors elle serait vraie. Elle ne peut donc être ni vraie, ni fausse, contrairement au principe pourtant naturel qui a été précédemment énoncé.

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