Kant1/French_Wikiversity_articles · Datasets at Hugging Face

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Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :
C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de formula_11 dont le diamètre tend vers formula_12 constitue une base de voisinages de formula_11.



Topologie générale/Connexité

La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de formula_1 est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.
Espaces et ensembles connexes.
Une autre condition équivalente est : formula_2 est connexe si pour toute décomposition formula_3, où formula_4 sont des ouverts disjoints, on a : formula_5 ou formula_6 est vide.
La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles formula_7 et formula_8 le sont mais leur réunion ne l'est pas.
Application définie sur un connexe.
<br>
Composantes connexes et connexité locale.
Composante connexe.
Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point formula_9 d’un espace topologique formula_2 l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de formula_2 contenant formula_9.
On dit qu'un espace est "totalement discontinu" si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.
Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).
Connexité par arcs.
Définitions et premières propriétés.
<br>
Notion de composante connexe par arcs.
<br>
La classe de formula_9 est alors le plus grand connexe par arcs de formula_2 (au sens de l'inclusion) contenant formula_9.



Proportionnalité





Topologie générale





Proportionnalité/Tableau de proportionnalité

Tableaux de proportionnalité.
Exemples : Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?



Proportionnalité/Relation de proportionnalité

Pourcentages d’augmentation ou de diminution.
Voir aussi la leçon Pourcentage
L’augmentation est de formula_1 donc le nouveau prix est : 80 +12 = 92 Euros.
donc augmenter un nombre de 15% revient à le multiplier par 1,15.
Exemples :



Proportionnalité/Quiz/Unités de temps

Unités de temps.
<quiz display="simple">
1 h 30 min = { 1.5 _6}h
2 h 51 min = { 2.85 _6}h
2 h 13 min 20 s = { 2.22 _6}h
5 h 21 min 45 s = { 5.3625 _6}h
1,5 h = { 1 _2}h { 30 _2} min { 0 _2}s
2,32 h = { 2 _2} h { 19 _2} min { 12 _2} s
6,4567 h = { 6 _2}h { 27 _2} min { 24 _2} s
5,12 h = { 5 _2} h { 7 _2} min { 12 _2} s
</quiz>



Proportionnalité/Quiz/Unités de vitesse

On peut donc écrire le tableau
Donc pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6.
Et pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6.
<quiz display="simple">
Coureur de 100 m : 10 m/s = { 36 _2} km/h
(bon) nageur : 100m/min = { 6 _2} km/h
Voiture : 90 km/h = { 25 _2} m/s
Sachant que le temps de réaction est de une seconde, quel distance parcourt-on pendant ce temps ? { 25 _2} m
</quiz>



Proportionnalité/Quatrième proportionnelle

Le coefficient de proportionnalité.
Exemples: En calculant le coefficient dans chaque colonne, déterminer si ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité.
La quatrième proportionnelle.
Exemple : Supposons le tableau de proportionnalité ci-dessous. Le nombre x est inconnu, c’est la quatrième proportionnelle.
Exemples: Calculer dans chaque cas la quatrième proportionnelle.
Pour simplifier la résolution, il est possible de multiplier les deux nombres connus situés en diagonale dans le tableau, et de diviser le résultat par le troisième nombre.
Ainsi : formula_1.
Pourcentages et proportionnalité.
Exemple : Prendre 20 % de 30 est un problème de quatrième proportionnelle :
Le coefficient est : 20/100 donc "x" = 30 × 20/100 = 6. Donc 20 % de 30 est égal à 6.
Pour s'habituer à construire de tels tableaux, on peut penser à un cas concret : Une classe de 30 élèves, dont 20 % aiment le chou-fleur. Il faudrait donc prévoir 20 portions de chou-fleur s'il y avait 100 personnes. On remplit une colonne du tableau. Mais dans la classe, il y a 30 personnes, pas 100. On met 30 sur la même ligne que 100, car on compte la même chose (des personnes). Sur la ligne d'en-dessous, on compte les parts de chou-fleur; la case restante va indiquer la quantité de chou-fleur à prévoir pour 30 personnes.
Exercice : Calculer les pourcentages suivants :

Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :

C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de formula_11 dont le diamètre tend vers formula_12 constitue une base de voisinages de formula_11.

Topologie générale/Connexité

La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de formula_1 est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.

Espaces et ensembles connexes.

Une autre condition équivalente est : formula_2 est connexe si pour toute décomposition formula_3, où formula_4 sont des ouverts disjoints, on a : formula_5 ou formula_6 est vide.

La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles formula_7 et formula_8 le sont mais leur réunion ne l'est pas.

Application définie sur un connexe.

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Composantes connexes et connexité locale.

Composante connexe.

Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point formula_9 d’un espace topologique formula_2 l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de formula_2 contenant formula_9.

On dit qu'un espace est "totalement discontinu" si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.

Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).

Connexité par arcs.

Définitions et premières propriétés.

<br>

Notion de composante connexe par arcs.

<br>

La classe de formula_9 est alors le plus grand connexe par arcs de formula_2 (au sens de l'inclusion) contenant formula_9.

Proportionnalité

Topologie générale

Proportionnalité/Tableau de proportionnalité

Tableaux de proportionnalité.

Exemples : Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?

Proportionnalité/Relation de proportionnalité

Pourcentages d’augmentation ou de diminution.

Voir aussi la leçon Pourcentage

L’augmentation est de formula_1 donc le nouveau prix est : 80 +12 = 92 Euros.

donc augmenter un nombre de 15% revient à le multiplier par 1,15.

Exemples :

Proportionnalité/Quiz/Unités de temps

Unités de temps.

1 h 30 min = { 1.5 _6}h

2 h 51 min = { 2.85 _6}h

2 h 13 min 20 s = { 2.22 _6}h

5 h 21 min 45 s = { 5.3625 _6}h

1,5 h = { 1 _2}h { 30 _2} min { 0 _2}s

2,32 h = { 2 _2} h { 19 _2} min { 12 _2} s

6,4567 h = { 6 _2}h { 27 _2} min { 24 _2} s

5,12 h = { 5 _2} h { 7 _2} min { 12 _2} s

</quiz>

Proportionnalité/Quiz/Unités de vitesse

On peut donc écrire le tableau

Donc pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6.

Et pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6.

Coureur de 100 m : 10 m/s = { 36 _2} km/h

(bon) nageur : 100m/min = { 6 _2} km/h

Voiture : 90 km/h = { 25 _2} m/s

Sachant que le temps de réaction est de une seconde, quel distance parcourt-on pendant ce temps ? { 25 _2} m

</quiz>

Proportionnalité/Quatrième proportionnelle

Le coefficient de proportionnalité.

Exemples: En calculant le coefficient dans chaque colonne, déterminer si ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité.

La quatrième proportionnelle.

Exemple : Supposons le tableau de proportionnalité ci-dessous. Le nombre x est inconnu, c’est la quatrième proportionnelle.

Exemples: Calculer dans chaque cas la quatrième proportionnelle.

Pour simplifier la résolution, il est possible de multiplier les deux nombres connus situés en diagonale dans le tableau, et de diviser le résultat par le troisième nombre.

Ainsi : formula_1.

Pourcentages et proportionnalité.

Exemple : Prendre 20 % de 30 est un problème de quatrième proportionnelle :

Le coefficient est : 20/100 donc "x" = 30 × 20/100 = 6. Donc 20 % de 30 est égal à 6.

Pour s'habituer à construire de tels tableaux, on peut penser à un cas concret : Une classe de 30 élèves, dont 20 % aiment le chou-fleur. Il faudrait donc prévoir 20 portions de chou-fleur s'il y avait 100 personnes. On remplit une colonne du tableau. Mais dans la classe, il y a 30 personnes, pas 100. On met 30 sur la même ligne que 100, car on compte la même chose (des personnes). Sur la ligne d'en-dessous, on compte les parts de chou-fleur; la case restante va indiquer la quantité de chou-fleur à prévoir pour 30 personnes.

Exercice : Calculer les pourcentages suivants :