Kant1/French_Wikiversity_articles · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 7.83k
Que représente une économie de 5% sur un achat de ?
Pour , on ferait une économie de ; pour …
Dans une assemblée de 300 personnes, un groupe a une représentativité de 1%;
De combien de personnes est composé ce groupe ?
Dans cette ville de habitants, 0 % de la population a plus de .
Combien de personnes recevront une médaille pour leur longévité exceptionnelle ?
200 %, qu'est-ce que ça veut dire ?
On utilise beaucoup les pourcentages pour partitionner une quantité :
Mais les pourcentages sont aussi bien pratiques pour décrire une évolution :



Langage C++





Ensemble (mathématiques)/Définitions

Ensembles.
Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance.
Un ensemble est une collection ou un "groupement" d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.
Soit formula_1 un ensemble. Quand formula_2 est un élément de formula_1, nous disons que formula_2 est dans formula_1 ou que formula_2 appartient à formula_1 et nous écrivons formula_8, ce qui se lit « formula_2 appartient à formula_1 ». Quand, au contraire, formula_2 n’est pas élément de formula_1, nous disons que formula_2 n'appartient pas à formula_1 et nous écrivons formula_15, ce qui se lit « formula_2 n'appartient pas à formula_1 ».
Définition/Notation : ensemble vide.
Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide formula_18 ou plus souvent formula_19.
Définition d’un ensemble en extension et en compréhension.
Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.
La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2.
Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : formula_21 = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}.
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers relatifs pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2.
Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique "P" qui dépend de "x". L'ensemble est alors constitué de tous les objets "x" pour lesquels la condition "P" est vraie. Cet ensemble se note {"x" \| "P"("x")}. Par exemple, {"x" \| "x" est un nombre réel} désigne l’ensemble formula_29 des nombres réels.
Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont :
Définition : égalité de deux ensembles.
Deux ensembles formula_1 et formula_34 sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. formula_35 signifie donc :
formula_36.
Prédicat collectivisant.
Référence :



Relation (mathématiques)/Définition

Relation sur un ensemble.
Si formula_1, on dit que formula_2 est une relation sur formula_3. Cette relation est :



Application (mathématiques)/Définitions

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.
Applications.
Définition intuitive d’une application.
La partie formula_1 formée des couples de "E" × "F" de la forme ("x", "f"("x")) où "x" parcourt l’ensemble "E" s’appelle le graphe de "f".
Une représentation graphique de "f" est une représentation du graphe de "f".
L'ensemble des applications de "E" dans "F" se note habituellement formula_2 ou formula_3 ; l’ensemble formula_4 des applications de "E" dans "E" se note plus simplement formula_5.
Prolongements et restrictions.
À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.
Restriction de l’ensemble d'arrivée.
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "F"' une partie de "F". Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application "f", pour former une application "g" de "E" dans "F"' qui à un élément "x" de "E" associe "f"("x"), à condition que tout élément "x" de "E" ait une image dans "F"' (c'est-à-dire que l’image de "f" soit incluse dans "F"').
Dans ce cas l’application "g" se note formula_6.
Extension de l’ensemble d'arrivée.
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "F"' un ensemble contenant "F". On peut toujours considérer l’application "g" de "E" dans "F"' qui à un élément "x" de "E" associe "f"("x").
Image directe, image réciproque d’une partie par une application.
Soient formula_7 et formula_8 deux ensembles et formula_9 une application.



Loi (mathématiques)





Monoïde/Définition d’un monoïde

Définition.
La loi de composition de E induit alors sur S une loi de composition qui fait de S un monoïde.



Espace vectoriel/Définitions

Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire. Autrement dit, on peut ajouter deux éléments d’un tel espace, ou les multiplier par un nombre, le résultat appartiendra encore à l'espace de départ.
Espace vectoriel.
Définition.
Soient un ensemble E non vide et formula_1 un corps (généralement formula_2 ou formula_3). Son neutre pour + sera formula_4 et son neutre pour formula_5 sera noté formula_6.
Remarques.
Exemples.
Pour tout corps formula_7, les structures suivantes sont des formula_7-espaces vectoriels.
En particulier, formula_9. Nous reviendrons sur ce genre de manipulation plus loin.
Dorénavant, formula_10 est un formula_7-espace vectoriel et formula_12 est une famille d'éléments de formula_10.
Conventions implicites de l'algèbre linéaire.
En algèbre linéaire, on a l'habitude de noter :
Ceci permet de s'affranchir facilement de la notation fléchée formula_14, volontiers utilisée en « géométrie classique » pour désigner les vecteurs. Cette notation deviendrait en effet extrêmement lourde en algèbre linéaire.
Très souvent, pour alléger les notations, on omet le symbole formula_15 pour alléger les notations multiplicatives. Le signe de multiplication devient alors implicite.
Enfin, lorsqu'on étudie un ensemble en tant qu'espace vectoriel, le nom des lois est connu et est souvent omis. Par convention, les lois interne et externe seront notées respectivement + et formula_16.
Sous-espace vectoriel.
Sous-espace vectoriel engendré par une partie.
La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite « linéaire », c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires d'objets mathématiques, ainsi que des ensembles stables par ces combinaisons linéaires.

Que représente une économie de 5% sur un achat de ?

Pour , on ferait une économie de ; pour …

Dans une assemblée de 300 personnes, un groupe a une représentativité de 1%;

De combien de personnes est composé ce groupe ?

Dans cette ville de habitants, 0 % de la population a plus de .

Combien de personnes recevront une médaille pour leur longévité exceptionnelle ?

200 %, qu'est-ce que ça veut dire ?

On utilise beaucoup les pourcentages pour partitionner une quantité :

Mais les pourcentages sont aussi bien pratiques pour décrire une évolution :

Langage C++

Ensemble (mathématiques)/Définitions

Ensembles.

Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance.

Un ensemble est une collection ou un "groupement" d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.

Soit formula_1 un ensemble. Quand formula_2 est un élément de formula_1, nous disons que formula_2 est dans formula_1 ou que formula_2 appartient à formula_1 et nous écrivons formula_8, ce qui se lit « formula_2 appartient à formula_1 ». Quand, au contraire, formula_2 n’est pas élément de formula_1, nous disons que formula_2 n'appartient pas à formula_1 et nous écrivons formula_15, ce qui se lit « formula_2 n'appartient pas à formula_1 ».

Définition/Notation : ensemble vide.

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide formula_18 ou plus souvent formula_19.

Définition d’un ensemble en extension et en compréhension.

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : formula_21 = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}.

Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers relatifs pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2.

Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique "P" qui dépend de "x". L'ensemble est alors constitué de tous les objets "x" pour lesquels la condition "P" est vraie. Cet ensemble se note {"x" | "P"("x")}. Par exemple, {"x" | "x" est un nombre réel} désigne l’ensemble formula_29 des nombres réels.

Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont :

Définition : égalité de deux ensembles.

Deux ensembles formula_1 et formula_34 sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. formula_35 signifie donc :

formula_36.

Prédicat collectivisant.

Référence :

Relation (mathématiques)/Définition

Relation sur un ensemble.

Si formula_1, on dit que formula_2 est une relation sur formula_3. Cette relation est :

Application (mathématiques)/Définitions

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications.

Définition intuitive d’une application.

La partie formula_1 formée des couples de "E" × "F" de la forme ("x", "f"("x")) où "x" parcourt l’ensemble "E" s’appelle le graphe de "f".

Une représentation graphique de "f" est une représentation du graphe de "f".

L'ensemble des applications de "E" dans "F" se note habituellement formula_2 ou formula_3 ; l’ensemble formula_4 des applications de "E" dans "E" se note plus simplement formula_5.

Prolongements et restrictions.

À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction de l’ensemble d'arrivée.

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "F"' une partie de "F". Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application "f", pour former une application "g" de "E" dans "F"' qui à un élément "x" de "E" associe "f"("x"), à condition que tout élément "x" de "E" ait une image dans "F"' (c'est-à-dire que l’image de "f" soit incluse dans "F"').

Dans ce cas l’application "g" se note formula_6.

Extension de l’ensemble d'arrivée.

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "F"' un ensemble contenant "F". On peut toujours considérer l’application "g" de "E" dans "F"' qui à un élément "x" de "E" associe "f"("x").

Image directe, image réciproque d’une partie par une application.

Soient formula_7 et formula_8 deux ensembles et formula_9 une application.

Loi (mathématiques)

Monoïde/Définition d’un monoïde

Définition.

La loi de composition de E induit alors sur S une loi de composition qui fait de S un monoïde.

Espace vectoriel/Définitions

Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire. Autrement dit, on peut ajouter deux éléments d’un tel espace, ou les multiplier par un nombre, le résultat appartiendra encore à l'espace de départ.

Espace vectoriel.

Définition.

Soient un ensemble E non vide et formula_1 un corps (généralement formula_2 ou formula_3). Son neutre pour + sera formula_4 et son neutre pour formula_5 sera noté formula_6.

Remarques.

Exemples.

Pour tout corps formula_7, les structures suivantes sont des formula_7-espaces vectoriels.

En particulier, formula_9. Nous reviendrons sur ce genre de manipulation plus loin.

Dorénavant, formula_10 est un formula_7-espace vectoriel et formula_12 est une famille d'éléments de formula_10.

Conventions implicites de l'algèbre linéaire.

En algèbre linéaire, on a l'habitude de noter :

Ceci permet de s'affranchir facilement de la notation fléchée formula_14, volontiers utilisée en « géométrie classique » pour désigner les vecteurs. Cette notation deviendrait en effet extrêmement lourde en algèbre linéaire.

Très souvent, pour alléger les notations, on omet le symbole formula_15 pour alléger les notations multiplicatives. Le signe de multiplication devient alors implicite.

Enfin, lorsqu'on étudie un ensemble en tant qu'espace vectoriel, le nom des lois est connu et est souvent omis. Par convention, les lois interne et externe seront notées respectivement + et formula_16.

Sous-espace vectoriel.

Sous-espace vectoriel engendré par une partie.

La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite « linéaire », c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires d'objets mathématiques, ainsi que des ensembles stables par ces combinaisons linéaires.