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On s'intéresse maintenant à la conservation de la structure d'espace vectoriel lorsqu'on choisit une famille de vecteurs d’un espace vectoriel formula_10. En particulier, comment construire le « plus petit sous-espace vectoriel de formula_10 » contenant tous les formula_19 ?



Algèbre sur un corps





Axiomes de Peano

Les axiomes de Peano.
L'ensemble des entiers naturels, noté formula_1, est défini par les axiomes de Peano :
Suite définie par une relation de récurrence.
On en déduit la généralisation suivante :
Addition et multiplication.
On peut ensuite définir l'addition de la façon suivante. Pour un élément formula_5, le théorème ci-dessus permet de définir la suite formula_6 par :
On pose formula_8. On remarque alors que formula_9.
On peut définir de même la multiplication. Pour un élément formula_5, la suite formula_11 est définie par :
Les axiomes de Peano permettent de "démontrer", et non plus d"'admettre", toutes les propriétés des deux opérations de base. Ainsi, on démontre :
Axiomatisation équivalente.
Les axiomes P1 à P5 ci-dessus (associés à la définition de ≤ qu'ils permettent) sont équivalents à :
formula_28 est un ensemble ordonné non vide vérifiant :



Nombre entier relatif/Définition

Introduction.
Un nombre entier relatif est un nombre entier (sans virgule), dont la valeur est positive ou négative. Il existe une infinité de nombres entiers relatifs. Ils sont rangés dans un ensemble, appelé ensemble des nombres entiers relatifs et noté formula_1.



Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore

Théorème de Pythagore.
Le théorème.
Par exemple, dans un triangle ABC, rectangle en C, on a l'égalité : formula_1
Applications.
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle lorsque l’on connaît les longueurs des deux autres côtés.
1er exemple : on connaît les longueurs des deux côtés de l'angle droit.
Soit GZK un triangle rectangle en Z, tel que ZK = 8 et ZG = 6.
Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.
D'après le théorème de Pythagore :
GK étant une longueur, elle est donc un nombre positif dont le carré est égal à 100 d'où formula_3.
2 exemple : on connaît les longueurs d’un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse.
Soit LDS un triangle rectangle en S, tel que LD = 13 et DS = 12.
Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.
D'après le théorème de Pythagore :
LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 : formula_6.
Montrer qu'un triangle n’est pas rectangle.
Le théorème de Pythagore peut être utile pour démontrer qu'un triangle, dont on connait les longueurs des trois côtés, n’est pas un triangle rectangle.
Par exemple, considérons le triangle JML tel que JM = 4, ML = 6 et JL = 7.
Si ce triangle était rectangle, l'hypoténuse serait le côté [JL] puisqu’il a la plus grande longueur.
D'après le théorème de Pythagore, si le triangle était rectangle, les deux nombres ci-dessus devraient être égaux. Comme ils ne le sont pas, le triangle JML n’est pas rectangle.
Réciproque du théorème de Pythagore.
La réciproque.
Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle, une relation est vérifiée.
On peut se poser la question suivante : «Est ce que tous les triangles qui vérifient cette relation sont des triangles rectangles?». La réponse est oui et cette propriété est appelée réciproque du théorème de Pythagore.
Application.
La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.
Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c’est le plus grand.
Les deux expressions sont égales, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.



Triangle rectangle/Triangles rectangles et cercles

Cercle circonscrit d’un triangle rectangle.
Le théorème.
Dans la pratique, quand le triangle est rectangle, il n'est pas nécessaire de tracer deux médiatrices pour localiser le centre du cercle circonscrit.
Triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre est représenté par l'un de ses côtés.
Ce théorème peut également être formulé ainsi :



Puissances/Les puissances de 10 et leur usage scientifique

Puissances de 10.
On a :
formula_1
plus généralement si "n" est un entier positif:
formula_2
et l'on note :
formula_3
Règles pour multiplier par une puissance de 10.
Si "n" est un entier positif
Exercices.
Faites des exercices pour vous familiariser avec les puissances de 10.
Écriture scientifique.
L'écriture scientifique d’un nombre est de la forme :
formula_12
où formula_13 est un chiffre non nul ; formula_14 est un chiffre et formula_15 est un entier.
Exemples.
formula_17
Écriture d'ingénieur.
L'écriture d'ingénieur d’un nombre est de la forme :
formula_18

On s'intéresse maintenant à la conservation de la structure d'espace vectoriel lorsqu'on choisit une famille de vecteurs d’un espace vectoriel formula_10. En particulier, comment construire le « plus petit sous-espace vectoriel de formula_10 » contenant tous les formula_19 ?

Algèbre sur un corps

Axiomes de Peano

Les axiomes de Peano.

L'ensemble des entiers naturels, noté formula_1, est défini par les axiomes de Peano :

Suite définie par une relation de récurrence.

On en déduit la généralisation suivante :

Addition et multiplication.

On peut ensuite définir l'addition de la façon suivante. Pour un élément formula_5, le théorème ci-dessus permet de définir la suite formula_6 par :

On pose formula_8. On remarque alors que formula_9.

On peut définir de même la multiplication. Pour un élément formula_5, la suite formula_11 est définie par :

Les axiomes de Peano permettent de "démontrer", et non plus d"'admettre", toutes les propriétés des deux opérations de base. Ainsi, on démontre :

Axiomatisation équivalente.

Les axiomes P1 à P5 ci-dessus (associés à la définition de ≤ qu'ils permettent) sont équivalents à :

formula_28 est un ensemble ordonné non vide vérifiant :

Nombre entier relatif/Définition

Introduction.

Un nombre entier relatif est un nombre entier (sans virgule), dont la valeur est positive ou négative. Il existe une infinité de nombres entiers relatifs. Ils sont rangés dans un ensemble, appelé ensemble des nombres entiers relatifs et noté formula_1.

Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore

Théorème de Pythagore.

Le théorème.

Par exemple, dans un triangle ABC, rectangle en C, on a l'égalité : formula_1

Applications.

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle lorsque l’on connaît les longueurs des deux autres côtés.

1er exemple : on connaît les longueurs des deux côtés de l'angle droit.

Soit GZK un triangle rectangle en Z, tel que ZK = 8 et ZG = 6.

Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.

D'après le théorème de Pythagore :

GK étant une longueur, elle est donc un nombre positif dont le carré est égal à 100 d'où formula_3.

2 exemple : on connaît les longueurs d’un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse.

Soit LDS un triangle rectangle en S, tel que LD = 13 et DS = 12.

Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.

D'après le théorème de Pythagore :

LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 : formula_6.

Montrer qu'un triangle n’est pas rectangle.

Le théorème de Pythagore peut être utile pour démontrer qu'un triangle, dont on connait les longueurs des trois côtés, n’est pas un triangle rectangle.

Par exemple, considérons le triangle JML tel que JM = 4, ML = 6 et JL = 7.

Si ce triangle était rectangle, l'hypoténuse serait le côté [JL] puisqu’il a la plus grande longueur.

D'après le théorème de Pythagore, si le triangle était rectangle, les deux nombres ci-dessus devraient être égaux. Comme ils ne le sont pas, le triangle JML n’est pas rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore.

La réciproque.

Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle, une relation est vérifiée.

On peut se poser la question suivante : «Est ce que tous les triangles qui vérifient cette relation sont des triangles rectangles?». La réponse est oui et cette propriété est appelée réciproque du théorème de Pythagore.

Application.

La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.

Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c’est le plus grand.

Les deux expressions sont égales, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.

Triangle rectangle/Triangles rectangles et cercles

Cercle circonscrit d’un triangle rectangle.

Le théorème.

Dans la pratique, quand le triangle est rectangle, il n'est pas nécessaire de tracer deux médiatrices pour localiser le centre du cercle circonscrit.

Triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre est représenté par l'un de ses côtés.

Ce théorème peut également être formulé ainsi :

Puissances/Les puissances de 10 et leur usage scientifique

Puissances de 10.

On a :

formula_1

plus généralement si "n" est un entier positif:

formula_2

et l'on note :

formula_3

Règles pour multiplier par une puissance de 10.

Si "n" est un entier positif

Exercices.

Faites des exercices pour vous familiariser avec les puissances de 10.

Écriture scientifique.

L'écriture scientifique d’un nombre est de la forme :

formula_12

où formula_13 est un chiffre non nul ; formula_14 est un chiffre et formula_15 est un entier.

Exemples.

formula_17

Écriture d'ingénieur.

L'écriture d'ingénieur d’un nombre est de la forme :

formula_18