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Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :
formula_1
Attention : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l’on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.
Exercice : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.



Repérage et coordonnées/Vecteur

Coordonnées d’un vecteur.
</math> sont :
Remarque : les coordonnées d’un vecteur n’indiquent pas où il se trouve (un vecteur n’a pas de lieu), mais comment aller de l’origine du vecteur à son extrémité.
Exemple :
Dans l'exemple ci-dessous, les flèches pointillées indiquent que pour aller de l'origine à l'extrémité du vecteur, il faut se déplacer de 8 unités vers la droite (première coordonnée du vecteur +8 = 4-(-4)) et monter de 8 unités (deuxième coordonnée +8=5-(-3)).



Calcul avec les nombres complexes/Introduction de i

Forme algébrique d’un nombre complexe.
Note.
Là où nous utilisions plus volontiers la lettre formula_3 pour désigner des réels, nous utilisons plutôt la notation formula_4 pour les nombres complexes.



Calcul avec les nombres complexes/Représentation géométrique

Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.
Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi "plan d'Argand" ou "plan d'Argand-Cauchy") permet de résoudre ce problème.
Affixe d’un point du plan.
On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes :
Graphiquement, on obtient :
Propriétés de l'affixe.
Affixe d’un vecteur.
=z_B-z_A=(4+3\mathrm i)-(1+\mathrm i)=3+2\mathrm i</math>.
En effet, les coordonnées de formula_1 sont :
Affixe d’un milieu.
=\frac{z_B+z_A}2=\frac{(4+3\mathrm i)+(1+\mathrm i)}2=\frac{5+4\mathrm i}2=\frac52+2\mathrm i</math>.
Les coordonnées de formula_3 sont :



Calcul avec les nombres complexes/Module et argument





Complexes et géométrie/Détermination d'ensembles de points

Ensemble de définition.
Nous pouvons considérer des fonctions complexes, comme nous faisons habituellement avec des fonctions réelles.
Nous utilisons, pour ces fonctions, la même définition que pour les fonctions réelles :
Détermination d’un ensemble.
Nous connaissons la détermination d'ensembles de points réels (vue en classe de Seconde) qui se limitait à la fois à une dimension (la droite des réels) et aux inégalités, nous pouvons faire de même avec les complexes. La seule différence étant que les points appartiennent au plan complexe (deux dimensions).
Nous avons listé ici les différentes possibilités envisageables en classe de Terminale Scientifique.
Équation d’un ensemble.
Nous pouvons aussi déterminer une équation d’un ensemble de points, c'est-à-dire (pour le niveau Terminale) déterminer l'équation d’une droite ou d’un cercle.



Calcul avec les nombres complexes/Équations

Les équations dans l’ensemble des complexes se résolvent de la même façon que celles dans l’ensemble des réels. Il ne faut pas oublier que les nombres réels sont des nombres complexes particuliers, il faut donc les donner si nécessaire. Il est parfois nécessaire de poser formula_1 mais à d’autres moments, laisser z facilite les calculs.
Pour comprendre comment résoudre ces équations, nous allons utiliser des exemples.
Équations du premier degré.
Équations du premier degré avec uniquement formula_2.
Dans ce genre d'équation, il n’est pas utile de poser formula_1.
Équations du premier degré avec formula_2 et formula_5.
À l'inverse, il est nécessaire ici de poser formula_1 et formula_7, et il faut appliquer la définition de l'égalité de deux nombres complexes.
Équations du second degré.
Équations en formula_9.
Nous pouvons résoudre des équations simples où formula_10. Il suffit dans ce cas de calculer le déterminant complexe.
Nous pouvons aussi résoudre des équations où formula_11. Seulement, nous avons généralement des informations en plus dans l'énoncé. Soit il faut trouver une solution imaginaire pure ou bien une solution réelle. Dans ce cas là, il faut remplacer formula_2.
Équations particulières du troisième degré.
Comme pour les équations réelles du troisième degré, nous ne savons pas résoudre ce type d'équation, pour trouver les solutions, nous devons trouver une solution évidente ou nous devons être guidés. Les solutions évidentes sont toujours très simples, c'est-à-dire formula_26. Si la solution n’est pas assez simple, l'exercice demande de vérifier une solution.
\mbox{quation est vraie} \end{cases}</math>
Donc formula_27
formula_29 donc formula_30 ou formula_31.
Cette équation est du second degré.
formula_32Donc formula_33.



Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

Il existe une seconde forme d'écriture des complexes.
L'écriture exponentielle d’un nombre complexe permet d'extraire du premier coup d’œil son module et son argument, et permet aussi de mémoriser plus aisément les propriétés vues dans le chapitre précédent sur les modules et les arguments.
Notation exponentielle.
Formule d'Euler.
Voir l'annexe « Démonstration de la formule d'Euler ».
Écriture exponentielle.
Pour tout nombre complexe formula_1 non nul, de module formula_2 et d'argument principal formula_3, on a : formula_4.
Exemple.
Donc formula_6
2) Soit formula_7 et formula_8, écrire ce complexe sous forme cartésienne.
Propriétés des arguments et des modules.
Soit "z" et "z deux nombres complexes non nuls"' sous la forme exponentielle : formula_12 et formula_13 avec formula_14 et formula_15.
Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.
Exemples.

Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :

formula_1

Attention : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l’on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.

Exercice : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.

Repérage et coordonnées/Vecteur

Coordonnées d’un vecteur.

</math> sont :

Remarque : les coordonnées d’un vecteur n’indiquent pas où il se trouve (un vecteur n’a pas de lieu), mais comment aller de l’origine du vecteur à son extrémité.

Exemple :

Dans l'exemple ci-dessous, les flèches pointillées indiquent que pour aller de l'origine à l'extrémité du vecteur, il faut se déplacer de 8 unités vers la droite (première coordonnée du vecteur +8 = 4-(-4)) et monter de 8 unités (deuxième coordonnée +8=5-(-3)).

Calcul avec les nombres complexes/Introduction de i

Forme algébrique d’un nombre complexe.

Note.

Là où nous utilisions plus volontiers la lettre formula_3 pour désigner des réels, nous utilisons plutôt la notation formula_4 pour les nombres complexes.

Calcul avec les nombres complexes/Représentation géométrique

Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.

Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi "plan d'Argand" ou "plan d'Argand-Cauchy") permet de résoudre ce problème.

Affixe d’un point du plan.

On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes :

Graphiquement, on obtient :

Propriétés de l'affixe.

Affixe d’un vecteur.

=z_B-z_A=(4+3\mathrm i)-(1+\mathrm i)=3+2\mathrm i</math>.

En effet, les coordonnées de formula_1 sont :

Affixe d’un milieu.

=\frac{z_B+z_A}2=\frac{(4+3\mathrm i)+(1+\mathrm i)}2=\frac{5+4\mathrm i}2=\frac52+2\mathrm i</math>.

Les coordonnées de formula_3 sont :

Calcul avec les nombres complexes/Module et argument

Complexes et géométrie/Détermination d'ensembles de points

Ensemble de définition.

Nous pouvons considérer des fonctions complexes, comme nous faisons habituellement avec des fonctions réelles.

Nous utilisons, pour ces fonctions, la même définition que pour les fonctions réelles :

Détermination d’un ensemble.

Nous connaissons la détermination d'ensembles de points réels (vue en classe de Seconde) qui se limitait à la fois à une dimension (la droite des réels) et aux inégalités, nous pouvons faire de même avec les complexes. La seule différence étant que les points appartiennent au plan complexe (deux dimensions).

Nous avons listé ici les différentes possibilités envisageables en classe de Terminale Scientifique.

Équation d’un ensemble.

Nous pouvons aussi déterminer une équation d’un ensemble de points, c'est-à-dire (pour le niveau Terminale) déterminer l'équation d’une droite ou d’un cercle.

Calcul avec les nombres complexes/Équations

Les équations dans l’ensemble des complexes se résolvent de la même façon que celles dans l’ensemble des réels. Il ne faut pas oublier que les nombres réels sont des nombres complexes particuliers, il faut donc les donner si nécessaire. Il est parfois nécessaire de poser formula_1 mais à d’autres moments, laisser z facilite les calculs.

Pour comprendre comment résoudre ces équations, nous allons utiliser des exemples.

Équations du premier degré.

Équations du premier degré avec uniquement formula_2.

Dans ce genre d'équation, il n’est pas utile de poser formula_1.

Équations du premier degré avec formula_2 et formula_5.

À l'inverse, il est nécessaire ici de poser formula_1 et formula_7, et il faut appliquer la définition de l'égalité de deux nombres complexes.

Équations du second degré.

Équations en formula_9.

Nous pouvons résoudre des équations simples où formula_10. Il suffit dans ce cas de calculer le déterminant complexe.

Nous pouvons aussi résoudre des équations où formula_11. Seulement, nous avons généralement des informations en plus dans l'énoncé. Soit il faut trouver une solution imaginaire pure ou bien une solution réelle. Dans ce cas là, il faut remplacer formula_2.

Équations particulières du troisième degré.

Comme pour les équations réelles du troisième degré, nous ne savons pas résoudre ce type d'équation, pour trouver les solutions, nous devons trouver une solution évidente ou nous devons être guidés. Les solutions évidentes sont toujours très simples, c'est-à-dire formula_26. Si la solution n’est pas assez simple, l'exercice demande de vérifier une solution.

\mbox{quation est vraie} \end{cases}</math>

Donc formula_27

formula_29 donc formula_30 ou formula_31.

Cette équation est du second degré.

formula_32Donc formula_33.

Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

Il existe une seconde forme d'écriture des complexes.

L'écriture exponentielle d’un nombre complexe permet d'extraire du premier coup d’œil son module et son argument, et permet aussi de mémoriser plus aisément les propriétés vues dans le chapitre précédent sur les modules et les arguments.

Notation exponentielle.

Formule d'Euler.

Voir l'annexe « Démonstration de la formule d'Euler ».

Écriture exponentielle.

Pour tout nombre complexe formula_1 non nul, de module formula_2 et d'argument principal formula_3, on a : formula_4.

Exemple.

Donc formula_6

2) Soit formula_7 et formula_8, écrire ce complexe sous forme cartésienne.

Propriétés des arguments et des modules.

Soit "z" et "z deux nombres complexes non nuls"' sous la forme exponentielle : formula_12 et formula_13 avec formula_14 et formula_15.

Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.

Exemples.