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= 2 e^{\left(-i\frac{\pi}{4}\right)}</math>
Calculer le cosinus et le sinus d’un angle.
On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d’un angle formula_3.
Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles "a" et "b" dont leur somme est égale à formula_3, et de connaître leurs cosinus et sinus.
Voici ensuite la démarche à suivre :
2+ \frac{i\sqrt{2}}2</math>.
Ce qui nous amène à traiter le cas général : les formules d'addition des cosinus et des sinus.
Formules d'addition des cosinus et sinus.
Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes :
formula_35.
On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les "x" par des "cos", les "y" par des "sin", et bien sûr avec formula_36 !
Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple formula_37 ou encore formula_38, en développant des formules plus compliquées.



Complexes et géométrie/Utilisation des complexes en géométrie

Écriture complexe d’une similitude plane directe.
Les translations sont des similitudes planes directes particulières : elles n'ont pas de centre.
Toute similitude plane directe à centre est la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre.
La formule générale d’une similitude plane directe est donc : formula_1 avec formula_2.
Écriture complexe d’une similitude plane indirecte.
L'étude des similitudes planes quelconques dépasse le niveau de cette leçon. Signalons seulement que la formule générale d’une similitude plane indirecte est formula_3 avec formula_2.



Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Utilisation

Pour les mathématiques, nous avons vu que les nombres complexes sont utilisés pour résoudre certaines équations et pour comprendre certains aspects des transformations géométriques. Ils sont en plus utilisés pour l'étude des polynômes, pour l’analyse complexe ainsi que pour l'étude des fractales.
Néanmoins, ce n’est pas en mathématiques que les nombres complexes sont le plus utilisés, mais en sciences physiques et plus particulièrement en électromagnétisme et en mécanique des fluides. En effet, les physiciens doivent souvent travailler avec des fonctions sinusoïdales, pour simplifier les calculs, ils utilisent la forme exponentielle pour faire les calculs et à la dernière ligne rappellent que seule la partie réelle est importante. Il faut alors faire attention puisque les physiciens ont noté formula_1 le nombre imaginaire (le formula_2 en mathématiques) parce que formula_2 (ou formula_4) désigne déjà l'intensité dans leurs notations.
La mécanique quantique est la dernière branche de la physique à s'être approprié les nombres complexes aussi pour simplifier les équations lorsque le nombre de dimensions est trop important (jusqu'à 11 dimensions).
Cas des phénomènes périodiques.
Un phénomène périodique se représente par une forme de type
où
On peut donner une forme complexe à cette expression
ou encore avec la forme trigonométrique
sachant que seule la partie réelle de A a un sens physique :
Cette notation permet de simplifier les opérations de dérivation et d'intégration :
soit
De la même manière, on obtient une primitive en divisant par "i"ω.
Si tous les phénomènes étudiés ont la même pulsation ω, on a alors une dépendance temporelle formula_10 identique pour toutes les grandeurs, qui se met en facteur. On peut donc ne s'intéresser qu’à la partie spécifique formula_11, qui peut se représenter par un vecteur dans le plan complexe. "Voir Vecteur de Fresnel".
Cas des ondes.
De même, un phénomène ondulatoire se représente par une forme de type
où
Ceci peut se représenter par



Interférence





Bac à sable





Wikimedia





Protides/Acide aminé

Nature chimique des acides aminés.
"Des molécules carbonées présentant une partie moléculaire identique montrent des propriétés communes : l’ensemble des propriétés est la fonction et la partie moléculaire commune est le groupement fonctionnel correspondant."
Les 20 acides aminés courants.
On dénombre 20 acides aminés naturels variant par leur radical.
Les 20 acides aminés sont:
Une planche décrivant les acides aminés peut être consultée ici.
Il existe des acides aminés, dits rares, comme la Sélénocystéine (SEC ou U), la Pyrrolysine (PYL ou J)…
Ionisation des Acides aminés.
Les acides aminés sont des molécules amphotères, c'est-à-dire qu’ils se comportent comme des acides en milieu basique (alcalin) et comme des bases en milieu acide.
Ainsi l'acide aminé devient un cation en milieu acide (structure sur la gauche) et un anion en milieu basique (structure sur le droit). La structure du milieu est la forme zwitterion de l'acide aminé neutre.
Comme on peut ioniser les acides aminés, on pourra de cette manière les séparer d’un mélange en utilisant la technique de l'électrophorèse.



Mécanique des milieux continus élastiques isotropes/Introduction

Préambule.
La mécanique des milieux continus élastiques isotropes est un cas particulier de la mécanique des milieux continus. Le milieu étudié est considéré élastique, c'est-à-dire qu’il reprend sa forme initiale lors de la disparition des contraintes qui lui ont été appliquées, et isotropes, ce qui signifie que ses propriétés physiques sont indépendantes de la direction. Cette théorie est ainsi tout à fait adaptée à l'étude des pièces métallique en petites déformations.
Par soucis de clarté, le cours utilisera exclusivement le repère cartésien dans un premier temps. Les repères cylindriques et sphériques seront introduits après. On ne traitera également uniquement l'état d'équilibre.



Python





Python/L'interpréteur

Il existe deux manières de coder en Python. La première, la plus classique pour ceux qui ont déjà travaillé avec d'autres langages de programmation, est d'écrire des fichiers de code source (dont l'extension est ".py"), puis d'exécuter ces fichiers, à la manière du Perl.
La seconde, qui est abordée dans ce cours, est d’utiliser l'interpréteur.

= 2 e^{\left(-i\frac{\pi}{4}\right)}</math>

Calculer le cosinus et le sinus d’un angle.

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d’un angle formula_3.

Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles "a" et "b" dont leur somme est égale à formula_3, et de connaître leurs cosinus et sinus.

Voici ensuite la démarche à suivre :

2+ \frac{i\sqrt{2}}2</math>.

Ce qui nous amène à traiter le cas général : les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Formules d'addition des cosinus et sinus.

Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes :

formula_35.

On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les "x" par des "cos", les "y" par des "sin", et bien sûr avec formula_36 !

Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple formula_37 ou encore formula_38, en développant des formules plus compliquées.

Complexes et géométrie/Utilisation des complexes en géométrie

Écriture complexe d’une similitude plane directe.

Les translations sont des similitudes planes directes particulières : elles n'ont pas de centre.

Toute similitude plane directe à centre est la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre.

La formule générale d’une similitude plane directe est donc : formula_1 avec formula_2.

Écriture complexe d’une similitude plane indirecte.

L'étude des similitudes planes quelconques dépasse le niveau de cette leçon. Signalons seulement que la formule générale d’une similitude plane indirecte est formula_3 avec formula_2.

Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Utilisation

Pour les mathématiques, nous avons vu que les nombres complexes sont utilisés pour résoudre certaines équations et pour comprendre certains aspects des transformations géométriques. Ils sont en plus utilisés pour l'étude des polynômes, pour l’analyse complexe ainsi que pour l'étude des fractales.

Néanmoins, ce n’est pas en mathématiques que les nombres complexes sont le plus utilisés, mais en sciences physiques et plus particulièrement en électromagnétisme et en mécanique des fluides. En effet, les physiciens doivent souvent travailler avec des fonctions sinusoïdales, pour simplifier les calculs, ils utilisent la forme exponentielle pour faire les calculs et à la dernière ligne rappellent que seule la partie réelle est importante. Il faut alors faire attention puisque les physiciens ont noté formula_1 le nombre imaginaire (le formula_2 en mathématiques) parce que formula_2 (ou formula_4) désigne déjà l'intensité dans leurs notations.

La mécanique quantique est la dernière branche de la physique à s'être approprié les nombres complexes aussi pour simplifier les équations lorsque le nombre de dimensions est trop important (jusqu'à 11 dimensions).

Cas des phénomènes périodiques.

Un phénomène périodique se représente par une forme de type

où

On peut donner une forme complexe à cette expression

ou encore avec la forme trigonométrique

sachant que seule la partie réelle de A a un sens physique :

Cette notation permet de simplifier les opérations de dérivation et d'intégration :

soit

De la même manière, on obtient une primitive en divisant par "i"ω.

Si tous les phénomènes étudiés ont la même pulsation ω, on a alors une dépendance temporelle formula_10 identique pour toutes les grandeurs, qui se met en facteur. On peut donc ne s'intéresser qu’à la partie spécifique formula_11, qui peut se représenter par un vecteur dans le plan complexe. "Voir Vecteur de Fresnel".

Cas des ondes.

De même, un phénomène ondulatoire se représente par une forme de type

où

Ceci peut se représenter par

Interférence

Bac à sable

Wikimedia

Protides/Acide aminé

Nature chimique des acides aminés.

"Des molécules carbonées présentant une partie moléculaire identique montrent des propriétés communes : l’ensemble des propriétés est la fonction et la partie moléculaire commune est le groupement fonctionnel correspondant."

Les 20 acides aminés courants.

On dénombre 20 acides aminés naturels variant par leur radical.

Les 20 acides aminés sont:

Une planche décrivant les acides aminés peut être consultée ici.

Il existe des acides aminés, dits rares, comme la Sélénocystéine (SEC ou U), la Pyrrolysine (PYL ou J)…

Ionisation des Acides aminés.

Les acides aminés sont des molécules amphotères, c'est-à-dire qu’ils se comportent comme des acides en milieu basique (alcalin) et comme des bases en milieu acide.

Ainsi l'acide aminé devient un cation en milieu acide (structure sur la gauche) et un anion en milieu basique (structure sur le droit). La structure du milieu est la forme zwitterion de l'acide aminé neutre.

Comme on peut ioniser les acides aminés, on pourra de cette manière les séparer d’un mélange en utilisant la technique de l'électrophorèse.

Mécanique des milieux continus élastiques isotropes/Introduction

Préambule.

La mécanique des milieux continus élastiques isotropes est un cas particulier de la mécanique des milieux continus. Le milieu étudié est considéré élastique, c'est-à-dire qu’il reprend sa forme initiale lors de la disparition des contraintes qui lui ont été appliquées, et isotropes, ce qui signifie que ses propriétés physiques sont indépendantes de la direction. Cette théorie est ainsi tout à fait adaptée à l'étude des pièces métallique en petites déformations.

Par soucis de clarté, le cours utilisera exclusivement le repère cartésien dans un premier temps. Les repères cylindriques et sphériques seront introduits après. On ne traitera également uniquement l'état d'équilibre.

Python

Python/L'interpréteur

Il existe deux manières de coder en Python. La première, la plus classique pour ceux qui ont déjà travaillé avec d'autres langages de programmation, est d'écrire des fichiers de code source (dont l'extension est ".py"), puis d'exécuter ces fichiers, à la manière du Perl.

La seconde, qui est abordée dans ce cours, est d’utiliser l'interpréteur.