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['__add__', '__class__', '__contains__', '__delattr__', '__doc__', '__eq__', '__
format__', '__ge__', '__getattribute__', '__getitem__', '__getnewargs__', '__get
slice__', '__gt__', '__hash__', '__init__', '__le__', '__len__', '__lt__', '__mo
d__', '__mul__', '__ne__', '__new__', '__reduce__', '__reduce_ex__', '__repr__',
'__rmod__', '__rmul__', '__setattr__', '__sizeof__', '__str__', '__subclasshook
__', '_formatter_field_name_split', '_formatter_parser', 'capitalize', 'center',
'count', 'decode', 'encode', 'endswith', 'expandtabs', 'find', 'format', 'index
', 'isalnum', 'isalpha', 'isdigit', 'islower', 'isspace', 'istitle', 'isupper',
'join', 'ljust', 'lower', 'lstrip', 'partition', 'replace', 'rfind', 'rindex', '
rjust', 'rpartition', 'rsplit', 'rstrip', 'split', 'splitlines', 'startswith', '
strip', 'swapcase', 'title', 'translate', 'upper', 'zfill']
On peut donc exécuter toutes ces méthodes avec un texte, ex :
»> "textes".capitalize() # Met la première lettre en majuscule
'Textes'



Arithmétique/Divisibilité et congruences dans Z

Soient formula_1, formula_2 et formula_3 trois entiers (relatifs).
Congruences.
La relation de congruence ne ressemble pas aux relations habituelles, en effet les relations que nous utilisons depuis que nous faisons des mathématiques (=, <, > …) comparent deux nombres alors que la relation de congruence compare les restes des deux nombres étudiés.
Soit formula_4 un entier strictement positif.
Les notations changent d’un ouvrage à l'autre mais désignent toutes la même chose :



Arithmétique/PGCD

Diviseurs communs à deux entiers naturels.
Deux entiers naturels non tous deux nuls ont toujours un nombre fini de diviseurs et donc de diviseurs communs (dont –1 et 1). Il existe donc un diviseur commun à ces deux nombres plus grand que les autres.
Conséquence : formula_1.
Algorithme d'Euclide.
Soient formula_2 et formula_3 deux entiers naturels tels que formula_4.
Ceci fournit une définition alternative du PGCD.
Propriétés du PGCD.
Conséquence : si formula_5 est un entier naturel non nul, diviseur commun à formula_2 et formula_3, alors formula_8.



Arithmétique/Nombres premiers

Définition.
Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
Critère de primalité.
"Application :" tant que formula_1, on tente la division de formula_2 par formula_3.
Lemme d'Euclide.
Le lemme suivant est un corollaire immédiat du théorème de Gauss.
Décomposition en facteurs premiers.
On peut choisir par exemple le plus petit facteur premier dans la décomposition de formula_2 ou remarquer, plus directement que le plus petit entier strictement supérieur à formula_4 divisant formula_2 est premier.
Application au calcul de PGCD.
Une alternative à l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de deux entiers formula_8 est, si l'on connait leurs décompositions respectives, de former le produit de tous les nombres premiers formula_9 intervenant dans ces deux décompositions, élevé chacun à une certaine puissance : l'exposant de formula_9 dans formula_11 est le plus petit des deux exposants de formula_9 dans formula_13 et dans formula_14.
Lien externe.
https://oeis.org/A000040 : liste des premiers nombres premiers et leurs propriétés (en anglais)



Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss

Identité de Bézout.
L'identité de Bézout est aussi appelée "Petit théorème de Bézout".
Théorème de Bézout.
Ce théorème est un cas particulier de l'identité de Bézout.
Théorème de Gauss.
<br>
<br>



Cours de mathématiques de lycée (France)





Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD1

Définitions.
Un état logique est représenté par une valeur binaire (ou booléenne) qui peut prendre deux valeurs souvent notées : {0,1}, {vrai, faux}, {true, false}. On utilisera {0,1} dans la suite de ce TD.
Une variable booléenne (ou variable logique) est une grandeur représentée par un symbole pouvant prendre des valeurs booléennes.
Une fonction logique est une fonction d’une ou plusieurs variables booléennes. Cette fonction sera représentée par un dessin ou en langage de description matérielle VHDL (VHDL) comme ci-dessous :
Cette fonction comporte deux entrées a et b et une sortie y.
Représentation.
Comment savoir ce que fait une fonction booléenne ? Tout simplement en énumérant toutes les possibilités sur les entrées et en regardant la sortie correspondante : c’est ce que l’on appelle une table de vérité.
Avec cette table on connaît parfaitement la fonction F. Voici un exemple :
Chaque fonction booléenne peut être écrite sous forme algébrique à l'aide de trois opérateurs, le complément (noté / ou avec une barre au-dessus formula_1), le ET (noté .) et le OU (noté +). Le principe est le suivant : on cherche les 1 dans la partie sortie de la table de vérité et à chaque 1 trouvé correspond un terme trouvé à l'aide de la partie entrée de cette même table. Chacun des termes est alors séparé par un OU (+). Les termes sont des ET entre les variables (complémentées si elles sont à 0 et non complémentées si elles sont à 1. Dans l'exemple ci-dessus, il y a un seul 1 dans la partie sortie, donc un seul terme formé par a . b car il y a un 1 pour chacune des variables.
Fonctions élémentaires.
Les fonctions élémentaires de la logique sont déjà présentées ici :
Remarque : dans la référence ci-dessus certaines fonctions sont appelées NON-OU et NON-ET alors que nous avons tendance à les appeler OU-NON et ET-NON. Il est bon de garder à l'esprit les deux appellations avec en plus l'appellation anglaise correspondante : NOR et NAND.
Exercices.
Exercice 1.
On appellera dans toute la suite de ce cours "fonction identité" le complément de la fonction ou exclusif. On rappelle la table de vérité du ou exclusif :
La fonction identité est appelée ainsi car elle vaut 1 dès que les entrées sont identiques.
Établir la table de vérité de la fonction identité.
Établir les équations algébriques du OU EXCLUSIF et de la fonction identité.
Exercice 2.
Compléter le tableau suivant. Pour la partie ET on cherchera des fonctions sous la forme de ET (comme /a . b par exemple). Pour la partie OU on cherchera des fonctions sous la forme de OU (comme a + /b par exemple)
Pour trouver l'équivalent d’après /F on procède ainsi : on part de F, on cherche la fonction qui correspond à son complément et on la complémente encore une fois. Cela permet de passer de l'écriture en ET à l'écriture en OU (et inversement) avec des règles que l’on appellera plus tard règles de De Morgan.

['__add__', '__class__', '__contains__', '__delattr__', '__doc__', '__eq__', '__

format__', '__ge__', '__getattribute__', '__getitem__', '__getnewargs__', '__get

slice__', '__gt__', '__hash__', '__init__', '__le__', '__len__', '__lt__', '__mo

d__', '__mul__', '__ne__', '__new__', '__reduce__', '__reduce_ex__', '__repr__',

'__rmod__', '__rmul__', '__setattr__', '__sizeof__', '__str__', '__subclasshook

__', '_formatter_field_name_split', '_formatter_parser', 'capitalize', 'center',

'count', 'decode', 'encode', 'endswith', 'expandtabs', 'find', 'format', 'index

', 'isalnum', 'isalpha', 'isdigit', 'islower', 'isspace', 'istitle', 'isupper',

'join', 'ljust', 'lower', 'lstrip', 'partition', 'replace', 'rfind', 'rindex', '

rjust', 'rpartition', 'rsplit', 'rstrip', 'split', 'splitlines', 'startswith', '

strip', 'swapcase', 'title', 'translate', 'upper', 'zfill']

On peut donc exécuter toutes ces méthodes avec un texte, ex :

»> "textes".capitalize() # Met la première lettre en majuscule

'Textes'

Arithmétique/Divisibilité et congruences dans Z

Soient formula_1, formula_2 et formula_3 trois entiers (relatifs).

Congruences.

La relation de congruence ne ressemble pas aux relations habituelles, en effet les relations que nous utilisons depuis que nous faisons des mathématiques (=, <, > …) comparent deux nombres alors que la relation de congruence compare les restes des deux nombres étudiés.

Soit formula_4 un entier strictement positif.

Les notations changent d’un ouvrage à l'autre mais désignent toutes la même chose :

Arithmétique/PGCD

Diviseurs communs à deux entiers naturels.

Deux entiers naturels non tous deux nuls ont toujours un nombre fini de diviseurs et donc de diviseurs communs (dont –1 et 1). Il existe donc un diviseur commun à ces deux nombres plus grand que les autres.

Conséquence : formula_1.

Algorithme d'Euclide.

Soient formula_2 et formula_3 deux entiers naturels tels que formula_4.

Ceci fournit une définition alternative du PGCD.

Propriétés du PGCD.

Conséquence : si formula_5 est un entier naturel non nul, diviseur commun à formula_2 et formula_3, alors formula_8.

Arithmétique/Nombres premiers

Définition.

Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

Critère de primalité.

"Application :" tant que formula_1, on tente la division de formula_2 par formula_3.

Lemme d'Euclide.

Le lemme suivant est un corollaire immédiat du théorème de Gauss.

Décomposition en facteurs premiers.

On peut choisir par exemple le plus petit facteur premier dans la décomposition de formula_2 ou remarquer, plus directement que le plus petit entier strictement supérieur à formula_4 divisant formula_2 est premier.

Application au calcul de PGCD.

Une alternative à l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de deux entiers formula_8 est, si l'on connait leurs décompositions respectives, de former le produit de tous les nombres premiers formula_9 intervenant dans ces deux décompositions, élevé chacun à une certaine puissance : l'exposant de formula_9 dans formula_11 est le plus petit des deux exposants de formula_9 dans formula_13 et dans formula_14.

Lien externe.

https://oeis.org/A000040 : liste des premiers nombres premiers et leurs propriétés (en anglais)

Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss

Identité de Bézout.

L'identité de Bézout est aussi appelée "Petit théorème de Bézout".

Théorème de Bézout.

Ce théorème est un cas particulier de l'identité de Bézout.

Théorème de Gauss.

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Cours de mathématiques de lycée (France)

Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD1

Définitions.

Un état logique est représenté par une valeur binaire (ou booléenne) qui peut prendre deux valeurs souvent notées : {0,1}, {vrai, faux}, {true, false}. On utilisera {0,1} dans la suite de ce TD.

Une variable booléenne (ou variable logique) est une grandeur représentée par un symbole pouvant prendre des valeurs booléennes.

Une fonction logique est une fonction d’une ou plusieurs variables booléennes. Cette fonction sera représentée par un dessin ou en langage de description matérielle VHDL (VHDL) comme ci-dessous :

Cette fonction comporte deux entrées a et b et une sortie y.

Représentation.

Comment savoir ce que fait une fonction booléenne ? Tout simplement en énumérant toutes les possibilités sur les entrées et en regardant la sortie correspondante : c’est ce que l’on appelle une table de vérité.

Avec cette table on connaît parfaitement la fonction F. Voici un exemple :

Chaque fonction booléenne peut être écrite sous forme algébrique à l'aide de trois opérateurs, le complément (noté / ou avec une barre au-dessus formula_1), le ET (noté .) et le OU (noté +). Le principe est le suivant : on cherche les 1 dans la partie sortie de la table de vérité et à chaque 1 trouvé correspond un terme trouvé à l'aide de la partie entrée de cette même table. Chacun des termes est alors séparé par un OU (+). Les termes sont des ET entre les variables (complémentées si elles sont à 0 et non complémentées si elles sont à 1. Dans l'exemple ci-dessus, il y a un seul 1 dans la partie sortie, donc un seul terme formé par a . b car il y a un 1 pour chacune des variables.

Fonctions élémentaires.

Les fonctions élémentaires de la logique sont déjà présentées ici :

Remarque : dans la référence ci-dessus certaines fonctions sont appelées NON-OU et NON-ET alors que nous avons tendance à les appeler OU-NON et ET-NON. Il est bon de garder à l'esprit les deux appellations avec en plus l'appellation anglaise correspondante : NOR et NAND.

Exercices.

Exercice 1.

On appellera dans toute la suite de ce cours "fonction identité" le complément de la fonction ou exclusif. On rappelle la table de vérité du ou exclusif :

La fonction identité est appelée ainsi car elle vaut 1 dès que les entrées sont identiques.

Établir la table de vérité de la fonction identité.

Établir les équations algébriques du OU EXCLUSIF et de la fonction identité.

Exercice 2.

Compléter le tableau suivant. Pour la partie ET on cherchera des fonctions sous la forme de ET (comme /a . b par exemple). Pour la partie OU on cherchera des fonctions sous la forme de OU (comme a + /b par exemple)

Pour trouver l'équivalent d’après /F on procède ainsi : on part de F, on cherche la fonction qui correspond à son complément et on la complémente encore une fois. Cela permet de passer de l'écriture en ET à l'écriture en OU (et inversement) avec des règles que l’on appellera plus tard règles de De Morgan.