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Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD2

Assemblage des fonctions élémentaires.
À partir des fonctions élémentaires présentées au TD 1, il est possible d’en construire de plus complexes, ayant par exemple 3 variables d'entrées… Une question vient alors à l'esprit : comment trouver la table de vérité correspondante ?
En calculant d’abord d, puis y, on trouve la table de vérité complète :
À partir d’un schéma il est donc très simple de trouver une table de vérité ou une équation. Cette équation possédera plusieurs parenthèses si elle est établie directement à partir du schéma. On peut supprimer ces parenthèses en utilisant la distributivité (elle sera utilisée plus tard). Un moyen de ne pas avoir de parenthèses est d’établir les équations à partir de la table de vérité.
Il est facile de montrer que plusieurs schémas différents peuvent donner une même table de vérité. On peut donc avoir plusieurs équations logiques pour une même fonction. Le but de la logique est en général de trier un peu ces équations et de trouver quelles sont celles qui ont un intérêt.
Exercice 1.
Vérifier si les deux circuits combinatoires ci-dessous ont la même table de vérité, écrire ensuite la ou les équations booléennes correspondantes.
Retour sur VHDL.
Pour écrire un programme VHDL qui décrit un schéma, on commence par décrire les portes élémentaires. Un programme VHDL comporte une partie entité et une partie architecture (VHDL).
On suppose que les portes élémentaires du TD1 s'appellent oui, inverseur, et, et_non, ou, ou_non, ouex.
À partir de ces fonctions élémentaires on peut décrire un schéma (description structurelle) de la façon suivante :
Remarque : l'écriture du programme précédent n’est pas tout à fait complète, il manque le "package" mais nous n'évoquons pas ce problème pour le moment.
Les tableaux de Karnaugh.
Une représentation plus synthétique existe pour les fonctions à plusieurs variables, c’est le tableau de Karnaugh :
On rappelle leur structure maintenant pour deux, trois et quatre variables :
Exercice 2.
Trouver les tables de vérités et les tableaux de Karnaugh pour S1 et S2 donnés par les schémas ci-dessous. Écrire les programmes VHDL correspondants.
Exercice 3.
Pour une des relations de De Morgan du TD précédent, faire deux schémas (à partir des sept fonctions élémentaires) et écrire les programmes VHDL (descriptions structurelles) correspondants.



Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD3

Simplification par Karnaugh.
Une équation obtenue à partir d’une table de vérité s’appelle une forme disjonctive ou somme de produits.
Les tableaux de Karnaugh permettent de simplifier ces formes disjonctives en regroupant des termes.
Pour obtenir un terme à partir d’un regroupement, on se « balade » dans le regroupement et on regarde toutes les variables qui changent : elles sont alors éliminées. L'objectif d’une simplification par tableaux de Karnaugh est de réaliser les regroupements les plus grands possibles et en nombre le plus petit possible. Voir ( Table de Karnaugh)
La forme simplifiée obtenue à l'aide d’un tableau de Karnaugh est une forme disjonctive simplifiée. Celle obtenue à partir de la table de vérité est dite disjonctive canonique.
Exercice 1.
Trouver la forme disjonctive simplifiée correspondante au tableau de Karnaugh.
Parfois il arrive que pour une fonction donnée, une ou plusieurs combinaisons des entrées ne peut se produire. Dans ce cas ce qui se passera en sortie n'a aucune importance : on dit que l’on a des cas indéterminés. Ils sont notés x ou X ou Ø. On les choisit alors comme cela nous arrange.
Implantation d’une forme disjonctive.
Une forme disjonctive, qu'elle soit simplifiée ou non, s'implante de manière naturelle en une structure ET-OU (les ET d’abord pour finir par les OU). Cette forme ET-OU conduit directement, en utilisant De Morgan, à un schéma en ET-NON (NAND). Prenons comme exemple la forme simplifiée du tableau de Karnaugh.
La figure ci-dessous explique la démarche pour obtenir un schéma en ET-NON (NAND).
On part d’une forme disjonctive si possible simplifiée et on fait une schéma en trois couches ET/OU (d’abord les ET puis le OU) puis on transforme le OU final en ET-NON en faisant glisser les inverseurs de ses entrées. Le schéma obtenu est alors en trois couches ET-NON qui utilise des portes à nombre d'entrées illimité. Si on limite le nombre d'entrées des ET-NON on ne limite alors plus le nombre de couches à trois. On peut partir d’un schéma à trois couches et utiliser les équivalences suivantes.
Remarque : tout serait très simple si la règle suivante était vraie : à toute meilleure simplification d’une forme disjonctive correspond le meilleur schéma (celui qui utilise le moins de portes possible). Montrons sur deux exemples que ce n’est pas vrai, qu’il faut parfois éviter les formes disjonctives.
Cette figure nous montre le gain de deux portes en partie supérieure et le gain d’une porte en partie inférieure.
Après toute synthèse en ET-NON, il faudra chercher si une des deux optimisations ci-dessus n’est pas applicable.
Exercice 2.
Pour chacune des équations ci-dessous, trouver la forme disjonctive simplifiée, réaliser la synthèse trois couches avec des portes ET-NON.
formula_1 avec 3 portes
formula_2 avec 2 portes
formula_3 avec 4 portes
formula_4 avec 4 portes
formula_5 avec 4 portes
formula_6 avec 5 portes



Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD4

Simplification par Karnaugh.
Les tableaux de Karnaugh permettent d'obtenir les formes conjonctives simplifiées en regroupant des termes (représentés par des 0).
On peut avoir des regroupements de 2, 4, 8, 16…termes. Ce sont des puissances de 2. Pour obtenir la forme somme de produit simplifiée on regroupe les zéros du tableaux de Karnaugh pour obtenir /y. Puis on applique deux fois De Morgan :
formula_1
soit :
formula_2
J'applique une première fois de Morgan :
formula_3
puis une deuxième fois :
formula_4
Sipour une raison quelconque une ou plusieurs combinaisons des entrées ne peut arriver, ce qui se passera en sortie n'a aucune importance pour ces combinaisons. On dit que l’on a des cas indéterminés. Ils sont traités comme dans le TD précédent.
Implantation d’une forme conjonctive.
Une forme conjonctive, qu'elle soit simplifiée ou non, s'implante de manière naturelle en une structure OU-ET (les OU d’abord pour finir un ET). Cette forme OU-ET conduit directement, en utilisant De Morgan, à un schéma en OU-NON (NOR). Prenons comme exemple la forme simplifiée du tableau de Karnaugh précédent.
Pour obtenir un schéma en OU-NON (NOR) on part d’une forme conjonctive si possible simplifiée et on fait une schéma en trois couches OU/ET puis on transforme le ET final en OU-NON en faisant glisser les inverseurs de ses entrées. Le schéma obtenu est alors en trois couches mais utilise des portes à nombre d'entrées illimité. Si on limite le nombre d'entrées des OU-NON on ne limite alors plus le nombre de couches à trois. On peut partir d’un schéma trois couches et utiliser les équivalences. Elles sont tellement similaires aux équivalences du TD précédent qu’elles ne sont pas reproduites ici. De même pour les optimisations.
Exercice.
Pour chacune des équations ci-dessous, trouver la forme disjonctive simplifiée, réaliser la synthèse trois couches avec des portes 0U-NON.
formula_5 avec 3 portes
formula_6 avec 4 portes
formula_7 avec 4 portes
formula_8 avec 5 portes
formula_9 avec 4 portes
formula_10 avec 7 portes



Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD5

Simplification par Karnaugh.
Les tableaux de Karnaugh permettent d'obtenir les formes disjonctives ou conjonctives simplifiées en regroupant des termes (représentés par des 0). Cela fonctionne très bien jusqu'à 4 variables. Que se passe-t-il après ?
Si l’on réalise un tableau de Karnaugh à 5 variables on remarque qu’à côté des regroupements traditionnels il en existe qui ne sont plus contigus (flèche sur le dessin). Une technique plus intéressante consiste à réaliser un tableau de Karnaugh dans l'espace.
Il s'agit de réaliser deux tableaux de Karnaugh, un pour la cinquième variable e = 0 et un pour e = 1. On regroupe ensuite dans l'espace, sur un ou deux tableaux (avec des carrés, des rectangles, des cubes et des parallélépipèdes ayant tous une puissance de deux cases.
Pour éviter cela on utilise la simplification algébrique.
Simplification algébrique.
Ce chapitre utilise les propriétés de l'algèbre de Boole expliquée ici : ( Algèbre de Boole)
La technique pour obtenir une forme disjonctive simplifiée consiste à effectuer les parenthèses et ensuite à appliquer une des règles suivantes :
Si l’on cherche une forme disjonctive simplifiée on peut procéder de la manière suivante :
- on effectue d’abord toutes les parenthèses pour trouver une forme disjonctive,
- on regroupe tous les termes qui ne diffèrent que d’une variable (combinaison) en ajoutant ces termes simplifiés,
- on retire ensuite tous les termes qui sont inclus dans d'autres termes,
- on cherche les simplifications par consensus.
Les combinaisons peuvent se faire plusieurs fois.
Exemple de combinaison :
formula_1
Exemple d'inclusion
formula_2

Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD2

Assemblage des fonctions élémentaires.

À partir des fonctions élémentaires présentées au TD 1, il est possible d’en construire de plus complexes, ayant par exemple 3 variables d'entrées… Une question vient alors à l'esprit : comment trouver la table de vérité correspondante ?

En calculant d’abord d, puis y, on trouve la table de vérité complète :

À partir d’un schéma il est donc très simple de trouver une table de vérité ou une équation. Cette équation possédera plusieurs parenthèses si elle est établie directement à partir du schéma. On peut supprimer ces parenthèses en utilisant la distributivité (elle sera utilisée plus tard). Un moyen de ne pas avoir de parenthèses est d’établir les équations à partir de la table de vérité.

Il est facile de montrer que plusieurs schémas différents peuvent donner une même table de vérité. On peut donc avoir plusieurs équations logiques pour une même fonction. Le but de la logique est en général de trier un peu ces équations et de trouver quelles sont celles qui ont un intérêt.

Exercice 1.

Vérifier si les deux circuits combinatoires ci-dessous ont la même table de vérité, écrire ensuite la ou les équations booléennes correspondantes.

Retour sur VHDL.

Pour écrire un programme VHDL qui décrit un schéma, on commence par décrire les portes élémentaires. Un programme VHDL comporte une partie entité et une partie architecture (VHDL).

On suppose que les portes élémentaires du TD1 s'appellent oui, inverseur, et, et_non, ou, ou_non, ouex.

À partir de ces fonctions élémentaires on peut décrire un schéma (description structurelle) de la façon suivante :

Remarque : l'écriture du programme précédent n’est pas tout à fait complète, il manque le "package" mais nous n'évoquons pas ce problème pour le moment.

Les tableaux de Karnaugh.

Une représentation plus synthétique existe pour les fonctions à plusieurs variables, c’est le tableau de Karnaugh :

On rappelle leur structure maintenant pour deux, trois et quatre variables :

Exercice 2.

Trouver les tables de vérités et les tableaux de Karnaugh pour S1 et S2 donnés par les schémas ci-dessous. Écrire les programmes VHDL correspondants.

Exercice 3.

Pour une des relations de De Morgan du TD précédent, faire deux schémas (à partir des sept fonctions élémentaires) et écrire les programmes VHDL (descriptions structurelles) correspondants.

Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD3

Simplification par Karnaugh.

Une équation obtenue à partir d’une table de vérité s’appelle une forme disjonctive ou somme de produits.

Les tableaux de Karnaugh permettent de simplifier ces formes disjonctives en regroupant des termes.

Pour obtenir un terme à partir d’un regroupement, on se « balade » dans le regroupement et on regarde toutes les variables qui changent : elles sont alors éliminées. L'objectif d’une simplification par tableaux de Karnaugh est de réaliser les regroupements les plus grands possibles et en nombre le plus petit possible. Voir ( Table de Karnaugh)

La forme simplifiée obtenue à l'aide d’un tableau de Karnaugh est une forme disjonctive simplifiée. Celle obtenue à partir de la table de vérité est dite disjonctive canonique.

Exercice 1.

Trouver la forme disjonctive simplifiée correspondante au tableau de Karnaugh.

Parfois il arrive que pour une fonction donnée, une ou plusieurs combinaisons des entrées ne peut se produire. Dans ce cas ce qui se passera en sortie n'a aucune importance : on dit que l’on a des cas indéterminés. Ils sont notés x ou X ou Ø. On les choisit alors comme cela nous arrange.

Implantation d’une forme disjonctive.

Une forme disjonctive, qu'elle soit simplifiée ou non, s'implante de manière naturelle en une structure ET-OU (les ET d’abord pour finir par les OU). Cette forme ET-OU conduit directement, en utilisant De Morgan, à un schéma en ET-NON (NAND). Prenons comme exemple la forme simplifiée du tableau de Karnaugh.

La figure ci-dessous explique la démarche pour obtenir un schéma en ET-NON (NAND).

On part d’une forme disjonctive si possible simplifiée et on fait une schéma en trois couches ET/OU (d’abord les ET puis le OU) puis on transforme le OU final en ET-NON en faisant glisser les inverseurs de ses entrées. Le schéma obtenu est alors en trois couches ET-NON qui utilise des portes à nombre d'entrées illimité. Si on limite le nombre d'entrées des ET-NON on ne limite alors plus le nombre de couches à trois. On peut partir d’un schéma à trois couches et utiliser les équivalences suivantes.

Remarque : tout serait très simple si la règle suivante était vraie : à toute meilleure simplification d’une forme disjonctive correspond le meilleur schéma (celui qui utilise le moins de portes possible). Montrons sur deux exemples que ce n’est pas vrai, qu’il faut parfois éviter les formes disjonctives.

Cette figure nous montre le gain de deux portes en partie supérieure et le gain d’une porte en partie inférieure.

Après toute synthèse en ET-NON, il faudra chercher si une des deux optimisations ci-dessus n’est pas applicable.

Exercice 2.

Pour chacune des équations ci-dessous, trouver la forme disjonctive simplifiée, réaliser la synthèse trois couches avec des portes ET-NON.

formula_1 avec 3 portes

formula_2 avec 2 portes

formula_3 avec 4 portes

formula_4 avec 4 portes

formula_5 avec 4 portes

formula_6 avec 5 portes

Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD4

Simplification par Karnaugh.

Les tableaux de Karnaugh permettent d'obtenir les formes conjonctives simplifiées en regroupant des termes (représentés par des 0).

On peut avoir des regroupements de 2, 4, 8, 16…termes. Ce sont des puissances de 2. Pour obtenir la forme somme de produit simplifiée on regroupe les zéros du tableaux de Karnaugh pour obtenir /y. Puis on applique deux fois De Morgan :

formula_1

soit :

formula_2

J'applique une première fois de Morgan :

formula_3

puis une deuxième fois :

formula_4

Sipour une raison quelconque une ou plusieurs combinaisons des entrées ne peut arriver, ce qui se passera en sortie n'a aucune importance pour ces combinaisons. On dit que l’on a des cas indéterminés. Ils sont traités comme dans le TD précédent.

Implantation d’une forme conjonctive.

Une forme conjonctive, qu'elle soit simplifiée ou non, s'implante de manière naturelle en une structure OU-ET (les OU d’abord pour finir un ET). Cette forme OU-ET conduit directement, en utilisant De Morgan, à un schéma en OU-NON (NOR). Prenons comme exemple la forme simplifiée du tableau de Karnaugh précédent.

Pour obtenir un schéma en OU-NON (NOR) on part d’une forme conjonctive si possible simplifiée et on fait une schéma en trois couches OU/ET puis on transforme le ET final en OU-NON en faisant glisser les inverseurs de ses entrées. Le schéma obtenu est alors en trois couches mais utilise des portes à nombre d'entrées illimité. Si on limite le nombre d'entrées des OU-NON on ne limite alors plus le nombre de couches à trois. On peut partir d’un schéma trois couches et utiliser les équivalences. Elles sont tellement similaires aux équivalences du TD précédent qu’elles ne sont pas reproduites ici. De même pour les optimisations.

Exercice.

Pour chacune des équations ci-dessous, trouver la forme disjonctive simplifiée, réaliser la synthèse trois couches avec des portes 0U-NON.

formula_5 avec 3 portes

formula_6 avec 4 portes

formula_7 avec 4 portes

formula_8 avec 5 portes

formula_9 avec 4 portes

formula_10 avec 7 portes

Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD5

Simplification par Karnaugh.

Les tableaux de Karnaugh permettent d'obtenir les formes disjonctives ou conjonctives simplifiées en regroupant des termes (représentés par des 0). Cela fonctionne très bien jusqu'à 4 variables. Que se passe-t-il après ?

Si l’on réalise un tableau de Karnaugh à 5 variables on remarque qu’à côté des regroupements traditionnels il en existe qui ne sont plus contigus (flèche sur le dessin). Une technique plus intéressante consiste à réaliser un tableau de Karnaugh dans l'espace.

Il s'agit de réaliser deux tableaux de Karnaugh, un pour la cinquième variable e = 0 et un pour e = 1. On regroupe ensuite dans l'espace, sur un ou deux tableaux (avec des carrés, des rectangles, des cubes et des parallélépipèdes ayant tous une puissance de deux cases.

Pour éviter cela on utilise la simplification algébrique.

Simplification algébrique.

Ce chapitre utilise les propriétés de l'algèbre de Boole expliquée ici : ( Algèbre de Boole)

La technique pour obtenir une forme disjonctive simplifiée consiste à effectuer les parenthèses et ensuite à appliquer une des règles suivantes :

Si l’on cherche une forme disjonctive simplifiée on peut procéder de la manière suivante :

- on effectue d’abord toutes les parenthèses pour trouver une forme disjonctive,

- on regroupe tous les termes qui ne diffèrent que d’une variable (combinaison) en ajoutant ces termes simplifiés,

- on retire ensuite tous les termes qui sont inclus dans d'autres termes,

- on cherche les simplifications par consensus.

Les combinaisons peuvent se faire plusieurs fois.

Exemple de combinaison :

formula_1

Exemple d'inclusion

formula_2