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Exemples d'équations différentielles dont l'inconnue est une fonction "f" dépendant d’une seule variable "x" :
On ne s'intéressera, dans ce cours, qu’à des équations différentielles "linéaires à coefficients constants" d'ordre 1 ou 2, c'est-à-dire à des équations du type :
formula_4
où "a", "b" et "c" sont des constantes, "a" ou "b" non nul, et "g" est une fonction connue appelée "le second membre".
Élimination du second membre.
On peut montrer, en mathématiques, que si l’on connait une solution, on peut trouver toutes les autres en suivant ces étapes :
formula_6
formula_8
Autrement dit, on peut énoncer le théorème suivant :
Par conséquent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car il suffit d'ajouter une solution particulière à leurs solutions pour pouvoir les résoudre complètement.



Résolution d'équations différentielles simples/Équations sans second membre

D'après le chapitre précédent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car en ajoutant une solution particulière à leurs solutions on les résoud complètement.
Équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre.
Une telle équation est de la forme :
formula_1
Pour la résoudre, on utilise une démonstration pas très rigoureuse, mais qui s'avère pratique en physique. Elle consiste à utiliser la relation formula_2 obtenue pendant le chapitre sur les différentielles. Les étapes du raisonnement sont les suivantes :
formula_3
formula_4
formula_5 d’après les résultats qu'on avait obtenus sur la dérivée logarithmique.
formula_6 après intégration ("B" est une constante d'intégration).
formula_7 en ayant posé formula_8
Finalement, en appliquant la fonction exponentielle aux deux membres de cette dernière relation, on obtient la solution générale de l'équation différentielle du premier ordre :
où "C" est une constante que l’on peut déterminer si l’on connaît une certaine valeur de "f" (une "condition initiale"). On remarque donc que la solution est une exponentielle croissante ou décroissante. Ce résultat est très utilisé en physique car on rencontre souvent ce type d'équations.
Équations différentielles linéaires du second ordre sans second membre.
Une telle équation est de la forme :
formula_9
On ne démontrera pas le résultat suivant dans ce cours car il sera vu en cours de mathématiques : on admet que la solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :
où "C₁" et "C₂" sont des constantes, et "r₁" et "r₂" sont les solutions de l'équation du second degré formula_10 qui est appelée "équation caractéristique".
Plusieurs possibilités apparaissent à ce stade : les racines "r₁" et "r₂" peuvent être des nombres réels ou des nombres complexes. Si ce sont des réels, on a deux exponentielles réelles. Mais si ce sont des complexes, alors il apparaîtra des termes du type formula_11 qui sont clairement oscillants. On pourra donc voir apparaître des régimes d'oscillation, et même d'oscillation amortie.



Résolution d'équations différentielles simples





Résolution d'équations différentielles simples/Exemples concrets

Équation du premier ordre avec second membre constant.
On prend l'exemple d’un parachutiste tombant à la verticale, qui, à un instant "t = 0" ouvre son parachute alors qu’il avait une vitesse "v(0)". On suppose, pour simplifier le problème, que son parachute lui fait subir une force de frottement opposée à sa vitesse. On peut alors montrer en mécanique que l'équation différentielle que vérifie la vitesse "v" est :
formula_1 où "g" (accélération de la pesanteur) et "a" (coefficient de frottement) sont des constantes.
On cherche d’abord une "solution particulière", notée "vp". Pour cela, on peut remarquer qu'en la supposant constante, le terme faisant intervenir sa dérivée est forcément nul (la dérivée d’une constante est nulle). Ainsi, il resterait "a vp = g" ou encore "vp = g/a". On peut vérifier, en introduisant cette relation dans l'équation différentielle, que c’est effectivement une solution particulière : on la retient pour la suite.
Il nous faut maintenant calculer les solutions "v₀" de l'équation sans second membre qui s'écrit :
formula_2
Le paragraphe sur l'équation différentielle du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution à cette équation :
formula_3
où "C" est une constante qu’il nous faudra déterminer.
On sait alors que toute solution générale de l'équation de départ est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation sans second membre :
formula_4
Il nous reste à déterminer la constante C. Pour cela, on évalue l’expression précédente en "t = 0" :
formula_5
On a donc "C = v(0) - g/a". D'où :
formula_6
Finalement, on s'aperçoit que la vitesse évolue de façon exponentielle depuis la vitesse initiale "v(0)" à une vitesse finale "g/a". Donc au bout d’un moment, le parachutiste va être maintenu à une vitesse maximale, appelée "vitesse limite".
Équation du premier ordre avec second membre oscillant.
On considère un circuit électrique contenant une résistance "R", un condensateur "C" et un « générateur basse fréquence » (amplitude "E" et fréquence formula_7) associés en série. On obtient alors en électricité l'équation différentielle vérifiée par la charge "q" du condensateur :
formula_8
Premièrement, on cherche la solution particulière "qp" sous la forme formula_9. Pour déterminer "A" et "B", on insère l’expression de "qp" dans l'équation différentielle, ce qui donne :
formula_10
Or cela est vrai quel que soit "t". On choisit donc successivement deux valeurs différentes de "t". En l’occurrence, les valeurs "0" et formula_11 nous donnent respectivement :
formula_12 et formula_13
On en déduit, après quelques calculs, que
formula_14
Nous avons donc déterminé la solution particulière.
Deuxièmement on résout l'équation sans second membre qui s'écrit de la manière suivante :
formula_15
Le paragraphe sur les équations différentielles du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution :
formula_16
On obtient finalement la solution de l'équation de départ en sommant "q₀" et "qp" :
formula_17
Il ne reste plus qu’à déterminer la constante formula_18. Pour cela, on suppose connue la charge initiale "q(0)". Cela donne l’expression finale de "q(t)" :
formula_19
Ainsi on remarque que la charge du condensateur va suivre, au bout d’un temps de l’ordre de "R C", l'oscillation de la tension, avec toutefois un certain décalage.
Équation du second ordre avec second membre nul.
On considère un atome formé d’un noyau supposé ponctuel et fixe, et d’un électron gravitant autour à une distance "x(t)". Cet électron est soumis à l'attraction du noyau (force de rappel élastique) et à un ralentissement (car il émet de la lumière en bougeant). On peut alors montrer que l'équation différentielle que vérifie "x(t)" est :
formula_20
où "a" et "b" sont des constantes positives caractéristiques du ralentissement et de l'attraction respectivement.
Pour résoudre cette équation, on écrit l"'équation caractéristique" : formula_21. Ses solutions sont :
formula_22 et formula_23
Les solutions de l'équation différentielle sont alors :
formula_24
On ne va pas chercher à calculer les constantes "C₁" et "C₂" car le calcul est fastidieux et peu intéressant. À ce stade, on ne sait pas si "r₁" et "r₂" sont des nombres réels ou complexes. On distingue donc différents cas :
formula_26
formula_27
On retrouve ce type de mouvement dans de nombreux problèmes de physique. Il est important de se souvenir qu’il existe deux régimes : un amortissement simple, ou un amortissement avec oscillation.



Incertitudes en physique/Qu'est-ce qu'une incertitude ?

Définition et notations.
Tandis qu'un modèle théorique permet d'obtenir un comportement "exact" du système étudié, une mesure en physique ne donne jamais un résultat infiniment précis. Il y a toujours une "barre d'erreur" sur la mesure effectuée, c'est-a-dire un intervalle de valeurs dans lequel le résultat se trouve. Par exemple, supposons que l’on mesure la longueur d’un objet à l'aide d’une règle : il est incorrect de dire que l’objet mesure "d = ". Il faut au contraire indiquer la "précision" de la mesure. Plusieurs écritures sont possibles :
La dernière notation est la plus souvent employée par les physiciens.
D'une manière plus générale, si l’on mesure une grandeur formula_4 et que l’on obtient une valeur moyenne formula_5 avec une incertitude formula_6, on notera :

Exemples d'équations différentielles dont l'inconnue est une fonction "f" dépendant d’une seule variable "x" :

On ne s'intéressera, dans ce cours, qu’à des équations différentielles "linéaires à coefficients constants" d'ordre 1 ou 2, c'est-à-dire à des équations du type :

formula_4

où "a", "b" et "c" sont des constantes, "a" ou "b" non nul, et "g" est une fonction connue appelée "le second membre".

Élimination du second membre.

On peut montrer, en mathématiques, que si l’on connait une solution, on peut trouver toutes les autres en suivant ces étapes :

formula_6

formula_8

Autrement dit, on peut énoncer le théorème suivant :

Par conséquent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car il suffit d'ajouter une solution particulière à leurs solutions pour pouvoir les résoudre complètement.

Résolution d'équations différentielles simples/Équations sans second membre

D'après le chapitre précédent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car en ajoutant une solution particulière à leurs solutions on les résoud complètement.

Équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre.

Une telle équation est de la forme :

formula_1

Pour la résoudre, on utilise une démonstration pas très rigoureuse, mais qui s'avère pratique en physique. Elle consiste à utiliser la relation formula_2 obtenue pendant le chapitre sur les différentielles. Les étapes du raisonnement sont les suivantes :

formula_3

formula_4

formula_5 d’après les résultats qu'on avait obtenus sur la dérivée logarithmique.

formula_6 après intégration ("B" est une constante d'intégration).

formula_7 en ayant posé formula_8

Finalement, en appliquant la fonction exponentielle aux deux membres de cette dernière relation, on obtient la solution générale de l'équation différentielle du premier ordre :

où "C" est une constante que l’on peut déterminer si l’on connaît une certaine valeur de "f" (une "condition initiale"). On remarque donc que la solution est une exponentielle croissante ou décroissante. Ce résultat est très utilisé en physique car on rencontre souvent ce type d'équations.

Équations différentielles linéaires du second ordre sans second membre.

Une telle équation est de la forme :

formula_9

On ne démontrera pas le résultat suivant dans ce cours car il sera vu en cours de mathématiques : on admet que la solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :

où "C₁" et "C₂" sont des constantes, et "r₁" et "r₂" sont les solutions de l'équation du second degré formula_10 qui est appelée "équation caractéristique".

Plusieurs possibilités apparaissent à ce stade : les racines "r₁" et "r₂" peuvent être des nombres réels ou des nombres complexes. Si ce sont des réels, on a deux exponentielles réelles. Mais si ce sont des complexes, alors il apparaîtra des termes du type formula_11 qui sont clairement oscillants. On pourra donc voir apparaître des régimes d'oscillation, et même d'oscillation amortie.

Résolution d'équations différentielles simples

Résolution d'équations différentielles simples/Exemples concrets

Équation du premier ordre avec second membre constant.

On prend l'exemple d’un parachutiste tombant à la verticale, qui, à un instant "t = 0" ouvre son parachute alors qu’il avait une vitesse "v(0)". On suppose, pour simplifier le problème, que son parachute lui fait subir une force de frottement opposée à sa vitesse. On peut alors montrer en mécanique que l'équation différentielle que vérifie la vitesse "v" est :

formula_1 où "g" (accélération de la pesanteur) et "a" (coefficient de frottement) sont des constantes.

On cherche d’abord une "solution particulière", notée "vp". Pour cela, on peut remarquer qu'en la supposant constante, le terme faisant intervenir sa dérivée est forcément nul (la dérivée d’une constante est nulle). Ainsi, il resterait "a vp = g" ou encore "vp = g/a". On peut vérifier, en introduisant cette relation dans l'équation différentielle, que c’est effectivement une solution particulière : on la retient pour la suite.

Il nous faut maintenant calculer les solutions "v₀" de l'équation sans second membre qui s'écrit :

formula_2

Le paragraphe sur l'équation différentielle du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution à cette équation :

formula_3

où "C" est une constante qu’il nous faudra déterminer.

On sait alors que toute solution générale de l'équation de départ est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation sans second membre :

formula_4

Il nous reste à déterminer la constante C. Pour cela, on évalue l’expression précédente en "t = 0" :

formula_5

On a donc "C = v(0) - g/a". D'où :

formula_6

Finalement, on s'aperçoit que la vitesse évolue de façon exponentielle depuis la vitesse initiale "v(0)" à une vitesse finale "g/a". Donc au bout d’un moment, le parachutiste va être maintenu à une vitesse maximale, appelée "vitesse limite".

Équation du premier ordre avec second membre oscillant.

On considère un circuit électrique contenant une résistance "R", un condensateur "C" et un « générateur basse fréquence » (amplitude "E" et fréquence formula_7) associés en série. On obtient alors en électricité l'équation différentielle vérifiée par la charge "q" du condensateur :

formula_8

Premièrement, on cherche la solution particulière "qp" sous la forme formula_9. Pour déterminer "A" et "B", on insère l’expression de "qp" dans l'équation différentielle, ce qui donne :

formula_10

Or cela est vrai quel que soit "t". On choisit donc successivement deux valeurs différentes de "t". En l’occurrence, les valeurs "0" et formula_11 nous donnent respectivement :

formula_12 et formula_13

On en déduit, après quelques calculs, que

formula_14

Nous avons donc déterminé la solution particulière.

Deuxièmement on résout l'équation sans second membre qui s'écrit de la manière suivante :

formula_15

Le paragraphe sur les équations différentielles du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution :

formula_16

On obtient finalement la solution de l'équation de départ en sommant "q₀" et "qp" :

formula_17

Il ne reste plus qu’à déterminer la constante formula_18. Pour cela, on suppose connue la charge initiale "q(0)". Cela donne l’expression finale de "q(t)" :

formula_19

Ainsi on remarque que la charge du condensateur va suivre, au bout d’un temps de l’ordre de "R C", l'oscillation de la tension, avec toutefois un certain décalage.

Équation du second ordre avec second membre nul.

On considère un atome formé d’un noyau supposé ponctuel et fixe, et d’un électron gravitant autour à une distance "x(t)". Cet électron est soumis à l'attraction du noyau (force de rappel élastique) et à un ralentissement (car il émet de la lumière en bougeant). On peut alors montrer que l'équation différentielle que vérifie "x(t)" est :

formula_20

où "a" et "b" sont des constantes positives caractéristiques du ralentissement et de l'attraction respectivement.

Pour résoudre cette équation, on écrit l"'équation caractéristique" : formula_21. Ses solutions sont :

formula_22 et formula_23

Les solutions de l'équation différentielle sont alors :

formula_24

On ne va pas chercher à calculer les constantes "C₁" et "C₂" car le calcul est fastidieux et peu intéressant. À ce stade, on ne sait pas si "r₁" et "r₂" sont des nombres réels ou complexes. On distingue donc différents cas :

formula_26

formula_27

On retrouve ce type de mouvement dans de nombreux problèmes de physique. Il est important de se souvenir qu’il existe deux régimes : un amortissement simple, ou un amortissement avec oscillation.

Incertitudes en physique/Qu'est-ce qu'une incertitude ?

Définition et notations.

Tandis qu'un modèle théorique permet d'obtenir un comportement "exact" du système étudié, une mesure en physique ne donne jamais un résultat infiniment précis. Il y a toujours une "barre d'erreur" sur la mesure effectuée, c'est-a-dire un intervalle de valeurs dans lequel le résultat se trouve. Par exemple, supposons que l’on mesure la longueur d’un objet à l'aide d’une règle : il est incorrect de dire que l’objet mesure "d = ". Il faut au contraire indiquer la "précision" de la mesure. Plusieurs écritures sont possibles :

La dernière notation est la plus souvent employée par les physiciens.

D'une manière plus générale, si l’on mesure une grandeur formula_4 et que l’on obtient une valeur moyenne formula_5 avec une incertitude formula_6, on notera :