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|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | wlog acd : sbtw a c d generalizing a c | case intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
acd : sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | clear hd' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
acd : sbtw a c d
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | let S : Set V := setOf (sbtw a c) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | obtain ⟨d, hd : sbtw _ _ d, hdmin⟩ := S.toFinite.exists_minimal_wrt (dist c) S ⟨d, acd⟩ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have hbd' : b ≠ d := by
rintro rfl
have := habc.2.2.2.2.2.2 (Line a c) (Line_isLine hd.ne12)
simp [right_extend_mem_Line hd] at this | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | replace hdmin : ∀ d', sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' := by
intro d' hd'
by_contra! hd''
exact hd''.ne' (hdmin d' hd' hd''.le) | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have hcd : SimpleEdges.Adj c d := by
use hd.2.2.1
intro e he
have : 0 ≤ dist e d := dist_nonneg
have : dist e d = 0 := by linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)]
simp only [dist_eq_zero] at this
exact he.ne23 this | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have hbd := eqn_7 habc hmin hd hcd | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | let S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : S.Finite := by
have ⟨n, hn⟩ := uniformly_bounded_of_chain_ne_of_pathLength_le V [a, b, d].pathLength
exact (List.finite_length_le _ _).subset fun l hl => hn l hl.chain_ne hl.pathLength_le | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have ⟨P, (hP : P.Special a b d), hPmin⟩ :=
this.exists_minimal_wrt List.pathLength S ⟨[a, b, d], abd_special habc hd hbd' hbd⟩ | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | replace hPmin : ∀ P' : List V, P'.Special a b d → P.pathLength ≤ P'.pathLength := by
intro P' hP'
by_contra! h
exact h.ne' (hPmin P' hP' h.le) | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → P.pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro a' b' c' h | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! h' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
h' : Delta a' b' c' < Delta a b c
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact h'.ne' (hmin (a', b', c') h h'.le) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
h' : Delta a' b' c' < Delta a b c
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rw [Line_comm] at hd h3 | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rw [Set.pair_comm] at h3 | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have h' := hd'.resolve_right acd | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | refine this c a habc.swap ?_ h3 hd (Or.inr h'.symm) h'.symm | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta c b a ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro a' b' c' h' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta c b a ≤ Delta a' b' c' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta c b a ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rw [Delta_comm] | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
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d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta c b a ≤ Delta a' b' c' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact hmin _ _ _ h' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rintro rfl | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
⊢ b ≠ d | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have := habc.2.2.2.2.2.2 (Line a c) (Line_isLine hd.ne12) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
this : ¬{a, b, c} ⊆ Line a c
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp [right_extend_mem_Line hd] at this | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
this : ¬{a, b, c} ⊆ Line a c
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro d' hd' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
⊢ ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
⊢ dist c d ≤ dist c d' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! hd'' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
⊢ dist c d ≤ dist c d' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
hd'' : dist c d' < dist c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact hd''.ne' (hdmin d' hd' hd''.le) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
hd'' : dist c d' < dist c d
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | use hd.2.2.1 | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ SimpleEdges.Adj c d | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ ∀ (x : V), ¬sbtw c x d |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro e he | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ ∀ (x : V), ¬sbtw c x d | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : 0 ≤ dist e d := dist_nonneg | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
⊢ False | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this : 0 ≤ dist e d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : dist e d = 0 := by linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)] | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this : 0 ≤ dist e d
⊢ False | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : dist e d = 0
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp only [dist_eq_zero] at this | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : dist e d = 0
⊢ False | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : e = d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact he.ne23 this | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : e = d
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this : 0 ≤ dist e d
⊢ dist e d = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have ⟨n, hn⟩ := uniformly_bounded_of_chain_ne_of_pathLength_le V [a, b, d].pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
⊢ S.Finite | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
n : ℕ
hn : ∀ (l : List V), List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l → l.pathLength ≤ [a, b, d].pathLength → l.length ≤ n
⊢ S.Finite |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact (List.finite_length_le _ _).subset fun l hl => hn l hl.chain_ne hl.pathLength_le | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
n : ℕ
hn : ∀ (l : List V), List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l → l.pathLength ≤ [a, b, d].pathLength → l.length ≤ n
⊢ S.Finite | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro P' hP' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
⊢ ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → P.pathLength ≤ P'.pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
⊢ P.pathLength ≤ P'.pathLength |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! h | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
⊢ P.pathLength ≤ P'.pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
h : P'.pathLength < P.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact h.ne' (hPmin P' hP' h.le) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
h : P'.pathLength < P.pathLength
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp only [List.Special] at hP | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hP : List.Special a b d (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hP :
a₁ = a ∧
NotCollinear a₁ a₂ a₃ ∧
(¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d ∧
List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rcases hP with ⟨ha₁, hα, hβ, hPd, hPc, _⟩ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hP :
a₁ = a ∧
NotCollinear a₁ a₂ a₃ ∧
(¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d ∧
List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : (¬ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∨
(SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∨
(¬ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) := by tauto | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
⊢ False | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this✝ : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
this :
¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨
SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rcases this with (⟨c₁1, c₁2⟩ | ⟨c₂1, c₂2⟩ | ⟨c₃1, c₃2⟩) | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this✝ : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
this :
¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨
SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | case intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₂1 : SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₂2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₃1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₃2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | tauto | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
⊢ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨
SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact case1 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₁1 c₁2 | case intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact case2 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₂1 c₂2 | case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₂1 : SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₂2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact case3 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₃1 c₃2 | case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₃1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₃2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | by_cases h : ∀ x y z : V, ¬ NotCollinear x y z | V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case pos
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ¬∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | push_neg at h | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ¬∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | replace h := one_implies_two h | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | obtain ⟨a, b, h, hl⟩ := two_implies_three h | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case neg.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
a b : V
h : a ≠ b
hl : Line a b = {a, b}
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | exact ⟨a, b, h, Or.inl hl⟩ | case neg.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
a b : V
h : a ≠ b
hl : Line a b = {a, b}
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | obtain ⟨L, hL, a, b, hab, rfl⟩ := thm_two' h | case pos
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case pos.intro.intro.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
a b : V
hab : a ≠ b
hL : Line a b = Set.univ
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | exact ⟨a, b, hab, Or.inr hL⟩ | case pos.intro.intro.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
a b : V
hab : a ≠ b
hL : Line a b = Set.univ
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosRenyi/Basic.lean | ErdosRenyi.meas | [51, 1] | [54, 35] | simpa using hG.meas H.edgeFinset | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
G : Ω → SimpleGraph α
H : SimpleGraph α
inst✝⁴ : (ω : Ω) → DecidableRel (G ω).Adj
p : ℝ≥0
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
hG : ErdosRenyi G p μ
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel H.Adj
⊢ μ {ω | G ω = H} = ↑p ^ H.edgeFinset.card * (1 - ↑p) ^ (Fintype.card (Sym2 α) - H.edgeFinset.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/MinkowskiCaratheodory.lean | convexHull_extremePoints | [20, 1] | [23, 53] | sorry | E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s B : Set E
hscomp : IsCompact s
hsconv : Convex ℝ s
⊢ (convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s) = s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/MinkowskiCaratheodory.lean | closed_convexHull_extremePoints_of_compact_of_convex | [32, 1] | [35, 96] | rw [closure_convexHull_extremePoints hscomp hsconv, convexHull_extremePoints hscomp hsconv] | E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s B : Set E
hscomp : IsCompact s
hsconv : Convex ℝ s
⊢ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)) = (convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | Real.closedBall_eq_segment | [26, 1] | [27, 96] | rw [closedBall_eq_Icc, segment_eq_Icc ((sub_le_self _ hε).trans $ le_add_of_nonneg_right hε)] | ε r : ℝ
hε : 0 ≤ ε
⊢ closedBall r ε = segment ℝ (r - ε) (r + ε) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | classical
lift x to affineSpan ℝ s using subset_affineSpan _ _ hx
set x : affineSpan ℝ s := x with hx
clear_value x
subst hx
obtain ⟨ε, hε, hεx⟩ := (Metric.nhds_basis_closedBall.1 _).1 (isOpen_iff_mem_nhds.1 hs _ hx)
set f : Finset (Fin $ finrank ℝ $ vectorSpan ℝ s) → vectorSpan ℝ s :=
fun u ↦ (ε / ∑ i, ‖finBasis ℝ (vectorSpan ℝ s) i‖) • ∑ i, if i ∈ u then
finBasis ℝ (vectorSpan ℝ s) i else -finBasis ℝ (vectorSpan ℝ s) i
with hf
sorry | E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t, x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | lift x to affineSpan ℝ s using subset_affineSpan _ _ hx | E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t, x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | set x : affineSpan ℝ s := x with hx | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x✝ : ↥(affineSpan ℝ s)
x : ↥(affineSpan ℝ s) := x✝
hx✝ : ↑x ∈ s
hx : x = x✝
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | clear_value x | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x✝ : ↥(affineSpan ℝ s)
x : ↥(affineSpan ℝ s) := x✝
hx✝ : ↑x ∈ s
hx : x = x✝
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x✝ x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx✝ : ↑x ∈ s
hx : x = x✝
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | subst hx | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x✝ x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx✝ : ↑x ∈ s
hx : x = x✝
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | obtain ⟨ε, hε, hεx⟩ := (Metric.nhds_basis_closedBall.1 _).1 (isOpen_iff_mem_nhds.1 hs _ hx) | case intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hεx : closedBall x ε ⊆ Subtype.val ⁻¹' s
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | set f : Finset (Fin $ finrank ℝ $ vectorSpan ℝ s) → vectorSpan ℝ s :=
fun u ↦ (ε / ∑ i, ‖finBasis ℝ (vectorSpan ℝ s) i‖) • ∑ i, if i ∈ u then
finBasis ℝ (vectorSpan ℝ s) i else -finBasis ℝ (vectorSpan ℝ s) i
with hf | case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hεx : closedBall x ε ⊆ Subtype.val ⁻¹' s
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hεx : closedBall x ε ⊆ Subtype.val ⁻¹' s
f : Finset (Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s))) → ↥(vectorSpan ℝ s) :=
fun u =>
(ε / ∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)), ‖(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i‖) •
∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)),
if i ∈ u then (finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i else -(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i
hf :
f = fun u =>
(ε / ∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)), ‖(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i‖) •
∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)),
if i ∈ u then (finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i else -(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | IsOpen.exists_mem_intrinsicInterior_convexHull_finset | [52, 1] | [68, 8] | sorry | case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
x : ↥(affineSpan ℝ s)
hx : ↑x ∈ s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hεx : closedBall x ε ⊆ Subtype.val ⁻¹' s
f : Finset (Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s))) → ↥(vectorSpan ℝ s) :=
fun u =>
(ε / ∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)), ‖(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i‖) •
∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)),
if i ∈ u then (finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i else -(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i
hf :
f = fun u =>
(ε / ∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)), ‖(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i‖) •
∑ i : Fin (finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)),
if i ∈ u then (finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i else -(finBasis ℝ ↥(vectorSpan ℝ s)) i
⊢ ∃ t, ↑x ∈ intrinsicInterior ℝ ((convexHull ℝ) ↑t) ∧ (convexHull ℝ) ↑t ⊆ s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | ConvexOn.continuousOn | [104, 1] | [115, 8] | classical
sorry | E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
hf : ConvexOn ℝ s f
⊢ ContinuousOn f (intrinsicInterior ℝ s) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ConvexContinuous.lean | ConvexOn.continuousOn | [104, 1] | [115, 8] | sorry | E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
hf : ConvexOn ℝ s f
⊢ ContinuousOn f (intrinsicInterior ℝ s) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean | Nat.prime_composite_induction | [5, 1] | [12, 69] | refine induction_on_primes zero one ?_ _ | P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ
⊢ P n | P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ
⊢ ∀ (p a : ℕ), p.Prime → P a → P (p * a) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean | Nat.prime_composite_induction | [5, 1] | [12, 69] | rintro p (_ | _ | a) hp ha | P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ
⊢ ∀ (p a : ℕ), p.Prime → P a → P (p * a) | case zero
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n p : ℕ
hp : p.Prime
ha : P 0
⊢ P (p * 0)
case succ.zero
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n p : ℕ
hp : p.Prime
ha : P (0 + 1)
⊢ P (p * (0 + 1))
case succ.succ
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n p a : ℕ
hp : p.Prime
ha : P (a + 1 + 1)
⊢ P (p * (a + 1 + 1)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean | Nat.prime_composite_induction | [5, 1] | [12, 69] | simpa | case zero
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n p : ℕ
hp : p.Prime
ha : P 0
⊢ P (p * 0) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean | Nat.prime_composite_induction | [5, 1] | [12, 69] | simpa using prime _ hp | case succ.zero
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n p : ℕ
hp : p.Prime
ha : P (0 + 1)
⊢ P (p * (0 + 1)) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean | Nat.prime_composite_induction | [5, 1] | [12, 69] | exact composite _ hp.two_le (prime _ hp) _ a.one_lt_succ_succ ha | case succ.succ
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), p.Prime → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n p a : ℕ
hp : p.Prime
ha : P (a + 1 + 1)
⊢ P (p * (a + 1 + 1)) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.ext | [97, 1] | [102, 66] | refine' DFunLike.coe_injective' (funext₂ fun a b ↦ _) | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a b : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
⊢ f = g | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a✝ b✝ : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
a b : α
⊢ f a b = g a b |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.ext | [97, 1] | [102, 66] | by_cases hab : a ≤ b | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a✝ b✝ : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
a b : α
⊢ f a b = g a b | case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a✝ b✝ : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ f a b = g a b
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a✝ b✝ : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
a b : α
hab : ¬a ≤ b
⊢ f a b = g a b |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.ext | [97, 1] | [102, 66] | exact h _ _ hab | case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a✝ b✝ : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ f a b = g a b | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.ext | [97, 1] | [102, 66] | rw [apply_eq_zero_of_not_le hab, apply_eq_zero_of_not_le hab] | case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Zero 𝕜
inst✝ : LE α
a✝ b✝ : α
f g : IncidenceAlgebra 𝕜 α
h : ∀ (a b : α), a ≤ b → f a b = g a b
a b : α
hab : ¬a ≤ b
⊢ f a b = g a b | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_zeta | [345, 1] | [350, 49] | rw [mul_apply, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (zeta 𝕜 * zeta 𝕜) a b = ↑(Icc a b).card | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = ∑ x ∈ Icc a b, 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_zeta | [345, 1] | [350, 49] | refine' sum_congr rfl fun x hx ↦ _ | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = ∑ x ∈ Icc a b, 1 | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : x ∈ Icc a b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_zeta | [345, 1] | [350, 49] | rw [mem_Icc] at hx | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : x ∈ Icc a b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_zeta | [345, 1] | [350, 49] | rw [zeta_of_le hx.1, zeta_of_le hx.2, one_mul] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_kappa | [352, 1] | [357, 49] | rw [mul_apply, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (zeta 𝕜 * zeta 𝕜) a b = ↑(Icc a b).card | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = ∑ x ∈ Icc a b, 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_kappa | [352, 1] | [357, 49] | refine' sum_congr rfl fun x hx ↦ _ | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = ∑ x ∈ Icc a b, 1 | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : x ∈ Icc a b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_kappa | [352, 1] | [357, 49] | rw [mem_Icc] at hx | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : x ∈ Icc a b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.zeta_mul_kappa | [352, 1] | [357, 49] | rw [zeta_of_le hx.1, zeta_of_le hx.2, one_mul] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
⊢ (zeta 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.muAux_apply | [375, 1] | [377, 13] | rw [muAux] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ muAux 𝕜 a b = if a = b then 1 else -∑ x ∈ (Ico a b).attach, muAux 𝕜 a ↑x | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_apply | [392, 1] | [393, 43] | rw [mu, coe_mk, muAux_apply, sum_attach] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ (mu 𝕜) a b = if a = b then 1 else -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_apply_of_eq | [395, 1] | [395, 88] | rw [mu_apply, if_pos h] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a = b
⊢ (mu 𝕜) a b = 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_apply_of_ne | [399, 1] | [400, 26] | rw [mu_apply, if_neg h] | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | have : mu 𝕜 a b = _ := mu_apply_of_ne h | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | by_cases hab : a ≤ b | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 | case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | rw [Icc_eq_cons_Ico hab] | case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 | case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ cons b (Ico a b) ⋯, (mu 𝕜) a x = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | simp [this, neg_add_self] | case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ cons b (Ico a b) ⋯, (mu 𝕜) a x = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | have : ∀ x ∈ Icc a b, ¬a ≤ x := by
intro x hx hn
apply hab
rw [mem_Icc] at hx
exact le_trans hn hx.2 | case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 | case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬a ≤ x
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | convert sum_const_zero | case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬a ≤ x
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x = 0 | case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬a ≤ x
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (mu 𝕜) a x✝ = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | simp [apply_eq_zero_of_not_le (this ‹_› ‹_›)] | case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬a ≤ x
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (mu 𝕜) a x✝ = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | intro x hx hn | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ¬a ≤ x | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : a ≤ x
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | apply hab | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : a ≤ x
⊢ False | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : a ≤ x
⊢ a ≤ b |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Incidence.lean | IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right | [408, 1] | [419, 50] | rw [mem_Icc] at hx | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : a ≤ x
⊢ a ≤ b | 𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
hn : a ≤ x
⊢ a ≤ b |
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