url
stringclasses 147
values | commit
stringclasses 147
values | file_path
stringlengths 7
101
| full_name
stringlengths 1
94
| start
stringlengths 6
10
| end
stringlengths 6
11
| tactic
stringlengths 1
11.2k
| state_before
stringlengths 3
2.09M
| state_after
stringlengths 6
2.09M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | apply hCmin (s * t) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ s * t ∉ convergent | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ (s * t).mulStab ⊂ H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [hstab] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ (s * t).mulStab ⊂ H | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ 1 ⊂ H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine (hC.mulStab_nontrivial.mp hCstab).symm.ssubset_of_subset ?_ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ 1 ⊂ H | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ 1 ⊆ C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [one_subset, one_mem_mulStab, hC] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
⊢ 1 ⊆ C.mulStab | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ S.card + T.card + (s ∪ t).card ≤ ((s ∪ t) * H).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | conv_lhs => rw [← card_union_of_disjoint hST, ← card_union_of_disjoint hSTst, ← mul_one (s ∪ t)] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ S.card + T.card + (s ∪ t).card ≤ ((s ∪ t) * H).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ (S ∪ T ∪ (s ∪ t) * 1).card ≤ ((s ∪ t) * H).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' card_le_card
(union_subset (union_subset _ _) $ mul_subset_mul_left $ one_subset.2 hC.one_mem_mulStab) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ (S ∪ T ∪ (s ∪ t) * 1).card ≤ ((s ∪ t) * H).card | case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ S ⊆ (s ∪ t) * H
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ T ⊆ (s ∪ t) * H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hSst.trans (sdiff_subset.trans $ smul_finset_subset_smul $ mem_union_left _ ha) | case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ S ⊆ (s ∪ t) * H | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hTst.trans (sdiff_subset.trans $ smul_finset_subset_smul $ mem_union_right _ hb) | case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ T ⊆ (s ∪ t) * H | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← le_sub_iff_add_le'] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑H₁.card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $
mul_subset_mul_left hH₁H.subset).trans_lt aux1₁) $ dvd_sub
(dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₁ne.mul ht₁ne) hH₁H.subset).natCast
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑H₁.card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [sub_sub] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card + ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $
Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card + ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← le_sub_iff_add_le'] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑H₂.card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $
mul_subset_mul_left hH₂H.subset).trans_lt aux1₂) $ dvd_sub
(dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₂ne.mul ht₂ne) hH₂H.subset).natCast
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑H₂.card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [sub_sub] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card + ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $
Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card + ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have ih₁ :=
(add_le_add (card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne).trans
(ih _ _ hst₁) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
ih₁ : s₁.card + t₁.card ≤ (s₁ * t₁).card + (s₁ * t₁).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | zify at ih₁ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
ih₁ : s₁.card + t₁.card ≤ (s₁ * t₁).card + (s₁ * t₁).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
ih₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card ≤ ↑(s₁ * t₁).card + ↑(s₁ * t₁).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [hstconv, ih₁] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
ih₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card ≤ ↑(s₁ * t₁).card + ↑(s₁ * t₁).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | suffices (C.card : ℤ) + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card by linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card ≤
↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑C.card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑(s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
this : ↑C.card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑(s * t).card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card ≤
↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑C.card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑(s * t).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ C.card + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [← card_union_of_disjoint hCst₁, card_le_card hC₁st] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ C.card + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [sub_le_iff_le_add, ← Int.ofNat_add, Int.ofNat_le, add_comm _ C.card,
add_comm _ (s ∩ t).card, hCcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card ≤ ↑H.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have ih₂ :=
(add_le_add (card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne).trans
(ih _ _ hst₂) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
ih₂ : s₂.card + t₂.card ≤ (s₂ * t₂).card + (s₂ * t₂).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | zify at hstconv ih₂ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
ih₂ : s₂.card + t₂.card ≤ (s₂ * t₂).card + (s₂ * t₂).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
ih₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card ≤ ↑(s₂ * t₂).card + ↑(s₂ * t₂).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [ih₂] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
ih₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card ≤ ↑(s₂ * t₂).card + ↑(s₂ * t₂).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | suffices (C.card : ℤ) + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card by linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card ≤
↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
this : ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card ≤
↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ C.card + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [← card_union_of_disjoint hCst₂, card_le_card hC₂st] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ C.card + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [sub_le_iff_le_add, ← Int.ofNat_add, Int.ofNat_le, add_comm _ C.card,
add_comm _ (s ∩ t).card, hCcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card ≤ ↑H.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← card_smul_finset a H] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ (a • H).card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ (a • H).card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← card_smul_finset b H] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ (b • H).card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ (b • H).card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂ | [48, 1] | [56, 50] | refine (add_le_add (totalDegree_finset_sum _ _) $ (totalDegree_finset_sum _ _).trans $
Finset.sup_mono_fun fun a _ ↦ totalDegree_smul_le _ _).trans_lt ?_ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ (ZMod.f₁ s).totalDegree + (ZMod.f₂ s).totalDegree < 2 * p - 1 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ ((s.toEnumFinset.attach.sup fun i => (X i ^ (p - 1)).totalDegree) +
s.toEnumFinset.attach.sup fun a => (X a ^ (p - 1)).totalDegree) <
2 * p - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂ | [48, 1] | [56, 50] | simp only [totalDegree_X_pow, ← two_mul] | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ ((s.toEnumFinset.attach.sup fun i => (X i ^ (p - 1)).totalDegree) +
s.toEnumFinset.attach.sup fun a => (X a ^ (p - 1)).totalDegree) <
2 * p - 1 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ (2 * s.toEnumFinset.attach.sup fun i => p - 1) < 2 * p - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂ | [48, 1] | [56, 50] | refine (mul_le_mul_left' Finset.sup_const_le _).trans_lt ?_ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ (2 * s.toEnumFinset.attach.sup fun i => p - 1) < 2 * p - 1 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ 2 * (p - 1) < 2 * p - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂ | [48, 1] | [56, 50] | rw [mul_tsub, mul_one] | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ 2 * (p - 1) < 2 * p - 1 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ 2 * p - 2 < 2 * p - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂ | [48, 1] | [56, 50] | exact tsub_lt_tsub_left_of_le ((Fact.out : p.Prime).two_le.trans $
le_mul_of_one_le_left' one_le_two) one_lt_two | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
⊢ 2 * p - 2 < 2 * p - 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | haveI : NeZero p := inferInstance | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | set N := Fintype.card {x // eval x (f₁ s) = 0 ∧ eval x (f₂ s) = 0} | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | let zero_sol : {x // eval x (f₁ s) = 0 ∧ eval x (f₂ s) = 0} :=
⟨0, by simp [f₁, f₂, map_sum, (Fact.out : p.Prime).one_lt, tsub_eq_zero_iff_le]⟩ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | have hN₀ : 0 < N := @Fintype.card_pos _ _ ⟨zero_sol⟩ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | have hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card s.toEnumFinset := by simp [hs] | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | have hpN : p ∣ N := char_dvd_card_solutions_of_add_lt p
(totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂.trans_eq hs') | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | obtain ⟨x, hx⟩ := Fintype.exists_ne_of_one_lt_card ((Fact.out : p.Prime).one_lt.trans_le $
Nat.le_of_dvd hN₀ hpN) zero_sol | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | case intro
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | refine ⟨(s.toEnumFinset.attach.filter $ fun a ↦ x.1 a ≠ 0).1.map
(Prod.fst ∘ ((↑) : s.toEnumFinset → ZMod p × ℕ)), le_iff_count.2 $ fun a ↦ ?_, ?_, ?_⟩ | case intro
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ count a (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) ≤
count a s
case intro.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ Multiset.card (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) =
p
case intro.refine_3
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val).sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simp [f₁, f₂, map_sum, (Fact.out : p.Prime).one_lt, tsub_eq_zero_iff_le] | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
⊢ (eval 0) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval 0) (ZMod.f₂ s) = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simp [hs] | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
⊢ 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simp only [← Finset.filter_val, Finset.card_val, Function.comp_apply, count_map] | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ count a (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) ≤
count a s | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach)).card ≤ count a s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | refine (Finset.card_le_card $ Finset.filter_subset_filter _ $
Finset.filter_subset _ _).trans_eq ?_ | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach)).card ≤ count a s | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) s.toEnumFinset.attach).card = count a s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | refine (Finset.card_filter_attach (fun c : ZMod p × ℕ ↦ a = c.1) _).trans ?_ | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) s.toEnumFinset.attach).card = count a s | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ (Finset.filter (fun c => a = c.1) s.toEnumFinset).card = count a s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simp [toEnumFinset_filter_eq] | case intro.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
a : ZMod p
⊢ (Finset.filter (fun c => a = c.1) s.toEnumFinset).card = count a s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simp only [card_map, ← Finset.filter_val, Finset.card_val, Function.comp_apply,
count_map, ← Finset.map_val] | case intro.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ Multiset.card (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) =
p | case intro.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card = p |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | refine Nat.eq_of_dvd_of_lt_two_mul (Finset.card_pos.2 ?_).ne' ?_ $
(Finset.card_filter_le _ _).trans_lt ?_ | case intro.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card = p | case intro.refine_2.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty
case intro.refine_2.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ p ∣ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card
case intro.refine_2.refine_3
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ s.toEnumFinset.attach.card < 2 * p |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | rw [← Subtype.coe_ne_coe, Function.ne_iff] at hx | case intro.refine_2.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty | case intro.refine_2.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : ∃ a, ↑x a ≠ ↑zero_sol a
⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | exact hx.imp (fun a ha ↦ mem_filter.2 ⟨Finset.mem_attach _ _, ha⟩) | case intro.refine_2.refine_1
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : ∃ a, ↑x a ≠ ↑zero_sol a
⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | rw [← CharP.cast_eq_zero_iff (ZMod p), ← Finset.sum_boole] | case intro.refine_2.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ p ∣ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card | case intro.refine_2.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (∑ x_1 ∈ s.toEnumFinset.attach, if ↑x x_1 ≠ 0 then 1 else 0) = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simpa only [f₁, map_sum, ZMod.pow_card_sub_one, map_pow, eval_X] using x.2.1 | case intro.refine_2.refine_2
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (∑ x_1 ∈ s.toEnumFinset.attach, if ↑x x_1 ≠ 0 then 1 else 0) = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | rw [Finset.card_attach, card_toEnumFinset, hs] | case intro.refine_2.refine_3
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ s.toEnumFinset.attach.card < 2 * p | case intro.refine_2.refine_3
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ 2 * p - 1 < 2 * p |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | exact tsub_lt_self (mul_pos zero_lt_two (Fact.out : p.Prime).pos) zero_lt_one | case intro.refine_2.refine_3
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ 2 * p - 1 < 2 * p | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.aux | [58, 1] | [101, 74] | simpa only [f₂, map_sum, ZMod.pow_card_sub_one, Finset.sum_map_val, Finset.sum_filter,
smul_eval, map_pow, eval_X, mul_ite, mul_zero, mul_one] using x.2.2 | case intro.refine_3
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : Multiset.card s = 2 * p - 1
this : NeZero p
N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩
hN₀ : 0 < N
hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
hpN : p ∣ N
x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 }
hx : x ≠ zero_sol
⊢ (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val).sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | induction n using Nat.prime_composite_induction | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod n)
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ t.sum = 0 | case zero
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 0)
hs : 2 * 0 - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 0 ∧ t.sum = 0
case one
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 1)
hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0
case prime
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
p✝ : ℕ
a✝ : p✝.Prime
s : Multiset (ZMod p✝)
hs : 2 * p✝ - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p✝ ∧ t.sum = 0
case composite
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a✝⁴ : ℕ
a✝³ : 2 ≤ a✝⁴
a✝² : ∀ {s : Multiset (ZMod a✝⁴)}, 2 * a✝⁴ - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a✝⁴ ∧ t.sum = 0
b✝ : ℕ
a✝¹ : 2 ≤ b✝
a✝ : ∀ {s : Multiset (ZMod b✝)}, 2 * b✝ - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b✝ ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a✝⁴ * b✝))
hs : 2 * (a✝⁴ * b✝) - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a✝⁴ * b✝ ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | case zero => exact ⟨0, s.zero_le, card_zero, sum_zero⟩ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 0)
hs : 2 * 0 - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 0 ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | case one => obtain ⟨t, ht, hn⟩ := exists_le_card_eq hs; exact ⟨t, ht, hn, Subsingleton.elim _ _⟩ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 1)
hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | case prime p hp =>
haveI := Fact.mk hp
obtain ⟨t, hts, ht⟩ := exists_le_card_eq hs
obtain ⟨u, hut, hu⟩ := aux ht
exact ⟨u, hut.trans hts, hu⟩ | n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | exact ⟨0, s.zero_le, card_zero, sum_zero⟩ | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 0)
hs : 2 * 0 - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 0 ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | obtain ⟨t, ht, hn⟩ := exists_le_card_eq hs | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 1)
hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0 | case intro.intro
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 1)
hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s
t : Multiset (ZMod 1)
ht : t ≤ s
hn : Multiset.card t = 2 * 1 - 1
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | exact ⟨t, ht, hn, Subsingleton.elim _ _⟩ | case intro.intro
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
s : Multiset (ZMod 1)
hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s
t : Multiset (ZMod 1)
ht : t ≤ s
hn : Multiset.card t = 2 * 1 - 1
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | haveI := Fact.mk hp | n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
this : Fact p.Prime
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | obtain ⟨t, hts, ht⟩ := exists_le_card_eq hs | n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
this : Fact p.Prime
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | case intro.intro
n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
this : Fact p.Prime
t : Multiset (ZMod p)
hts : t ≤ s
ht : Multiset.card t = 2 * p - 1
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | obtain ⟨u, hut, hu⟩ := aux ht | case intro.intro
n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
this : Fact p.Prime
t : Multiset (ZMod p)
hts : t ≤ s
ht : Multiset.card t = 2 * p - 1
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | case intro.intro.intro.intro
n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
this : Fact p.Prime
t : Multiset (ZMod p)
hts : t ≤ s
ht : Multiset.card t = 2 * p - 1
u : Multiset (ZMod p)
hut : u ≤ t
hu : Multiset.card u = p ∧ u.sum = 0
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | exact ⟨u, hut.trans hts, hu⟩ | case intro.intro.intro.intro
n p✝ : ℕ
inst✝ : Fact p✝.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p✝)
p : ℕ
hp : p.Prime
s : Multiset (ZMod p)
hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s
this : Fact p.Prime
t : Multiset (ZMod p)
hts : t ≤ s
ht : Multiset.card t = 2 * p - 1
u : Multiset (ZMod p)
hut : u ≤ t
hu : Multiset.card u = p ∧ u.sum = 0
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | suffices ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m : Multiset (Multiset $ ZMod $ a * b), Multiset.card m = n ∧
m.Pairwise _root_.Disjoint ∧ ∀ ⦃u : Multiset $ ZMod $ a * b⦄, u ∈ m →
Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples (a : ZMod $ a * b) by
obtain ⟨m, hm⟩ := this _ le_rfl
sorry | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0 | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∀ n ≤ 2 * b - 1,
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | rintro n hn | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∀ n ≤ 2 * b - 1,
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
hn : n ≤ 2 * b - 1
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | induction' n with n ih | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
hn : n ≤ 2 * b - 1
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | case zero
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
hn : 0 ≤ 2 * b - 1
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = 0 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
case succ
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n + 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | obtain ⟨m, hm⟩ := ih (Nat.le_of_succ_le hn) | case succ
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n + 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | case succ.intro
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n + 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | have : 2 * a - 1 ≤ Multiset.card ((s - m.sum).map $ castHom (dvd_mul_right _ _) $ ZMod a) := by
rw [card_map]
refine (le_tsub_of_add_le_left $ le_trans ?_ hs).trans le_card_sub
have : m.map Multiset.card = replicate (2 * a - 1) n := sorry
rw [map_multiset_sum, this, sum_replicate, ← le_tsub_iff_right, tsub_tsub_tsub_cancel_right,
← mul_tsub, ← mul_tsub_one]
sorry
sorry
sorry | case succ.intro
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n + 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | case succ.intro
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑(castHom ⋯ (ZMod a))) (s - m.sum))
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n + 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | sorry | case succ.intro
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑(castHom ⋯ (ZMod a))) (s - m.sum))
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = n + 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | obtain ⟨m, hm⟩ := this _ le_rfl | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
this :
∀ n ≤ 2 * b - 1,
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0 | case intro
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
this :
∀ n ≤ 2 * b - 1,
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = 2 * b - 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | sorry | case intro
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
this :
∀ n ≤ 2 * b - 1,
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = 2 * b - 1 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | exact ⟨0, by simp⟩ | case zero
n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
hn : 0 ≤ 2 * b - 1
⊢ ∃ m,
Multiset.card m = 0 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | simp | n p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
hn : 0 ≤ 2 * b - 1
⊢ Multiset.card 0 = 0 ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint 0 ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ 0 → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | rw [card_map] | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑(castHom ⋯ (ZMod a))) (s - m.sum)) | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (s - m.sum) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | refine (le_tsub_of_add_le_left $ le_trans ?_ hs).trans le_card_sub | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (s - m.sum) | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | have : m.map Multiset.card = replicate (2 * a - 1) n := sorry | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1 | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | rw [map_multiset_sum, this, sum_replicate, ← le_tsub_iff_right, tsub_tsub_tsub_cancel_right,
← mul_tsub, ← mul_tsub_one] | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1 | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ (2 * a - 1) • n ≤ 2 * (a * (b - 1))
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 1 ≤ 2 * a
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | sorry | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ (2 * a - 1) • n ≤ 2 * (a * (b - 1))
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 1 ≤ 2 * a
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1 | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 1 ≤ 2 * a
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | sorry | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 1 ≤ 2 * a
n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1 | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/ErdosGinzburgZiv.lean | ZMod.exists_submultiset_eq_zero | [105, 1] | [136, 10] | sorry | n✝ p : ℕ
inst✝ : Fact p.Prime
s✝ : Multiset (ZMod p)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0
s : Multiset (ZMod (a * b))
hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s
n : ℕ
ih :
n ≤ 2 * b - 1 →
∃ m,
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1
m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b)))
hm :
Multiset.card m = n ∧
Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧
∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n
⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.not_mem_bot | [34, 1] | [35, 81] | simp [← mem_faces_iff] | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ s ∉ ⊥ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.eq_bot_of_forall_not_mem | [40, 1] | [41, 37] | ext s | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K✝ K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
h : ∀ (s : Finset E), s ∉ K
⊢ K = ⊥ | case faces.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K✝ K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s✝ t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
h : ∀ (s : Finset E), s ∉ K
s : Finset E
⊢ s ∈ K.faces ↔ s ∈ ⊥.faces |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.eq_bot_of_forall_not_mem | [40, 1] | [41, 37] | exact iff_of_false (h s) id | case faces.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K✝ K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s✝ t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
h : ∀ (s : Finset E), s ∉ K
s : Finset E
⊢ s ∈ K.faces ↔ s ∈ ⊥.faces | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.space_eq_empty | [43, 1] | [48, 74] | simp only [Set.eq_empty_iff_forall_not_mem, mem_space_iff, SimplicialComplex.ext_iff,
@forall_swap E, mem_faces_iff, exists_prop, not_exists, not_and, faces_bot] | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ K.space = ∅ ↔ K = ⊥ | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ (∀ y ∈ K, ∀ (x : E), x ∉ (convexHull 𝕜) ↑y) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.space_eq_empty | [43, 1] | [48, 74] | simp only [← Set.eq_empty_iff_forall_not_mem, convexHull_empty_iff, coe_eq_empty] | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ (∀ y ∈ K, ∀ (x : E), x ∉ (convexHull 𝕜) ↑y) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ (∀ y ∈ K, y = ∅) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.space_eq_empty | [43, 1] | [48, 74] | exact forall₂_congr fun s hs ↦ iff_false_intro (K.nonempty hs).ne_empty | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ (∀ y ∈ K, y = ∅) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean | Geometry.SimplicialComplex.coe_eq_empty | [54, 1] | [56, 68] | simp [Set.eq_empty_iff_forall_not_mem, SimplicialComplex.ext_iff] | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E
x y : E
s t : Finset E
A : Set (Finset E)
m n : ℕ
⊢ ↑K = ∅ ↔ K = ⊥ | no goals |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.