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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
apply hCmin (s * t)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ s * t ∉ convergent
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ (s * t).mulStab ⊂ H
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [hstab]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ (s * t).mulStab ⊂ H
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ 1 ⊂ H
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine (hC.mulStab_nontrivial.mp hCstab).symm.ssubset_of_subset ?_
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ 1 ⊂ H
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ 1 ⊆ C.mulStab
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [one_subset, one_mem_mulStab, hC]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ 1 ⊆ C.mulStab
no goals
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
norm_cast
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ S.card + T.card + (s ∪ t).card ≤ ((s ∪ t) * H).card
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
conv_lhs => rw [← card_union_of_disjoint hST, ← card_union_of_disjoint hSTst, ← mul_one (s ∪ t)]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ S.card + T.card + (s ∪ t).card ≤ ((s ∪ t) * H).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ (S ∪ T ∪ (s ∪ t) * 1).card ≤ ((s ∪ t) * H).card
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine' card_le_card (union_subset (union_subset _ _) $ mul_subset_mul_left $ one_subset.2 hC.one_mem_mulStab)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ (S ∪ T ∪ (s ∪ t) * 1).card ≤ ((s ∪ t) * H).card
case refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ S ⊆ (s ∪ t) * H case refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ T ⊆ (s ∪ t) * H
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact hSst.trans (sdiff_subset.trans $ smul_finset_subset_smul $ mem_union_left _ ha)
case refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ S ⊆ (s ∪ t) * H
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact hTst.trans (sdiff_subset.trans $ smul_finset_subset_smul $ mem_union_right _ hb)
case refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ T ⊆ (s ∪ t) * H
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [← le_sub_iff_add_le']
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑H₁.card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card)
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $ mul_subset_mul_left hH₁H.subset).trans_lt aux1₁) $ dvd_sub (dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₁ne.mul ht₁ne) hH₁H.subset).natCast (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $ (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑H₁.card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [sub_sub]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card + ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card)
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card + ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₁.card + ↑t₁.card)
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [← le_sub_iff_add_le']
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑H₂.card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card)
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $ mul_subset_mul_left hH₂H.subset).trans_lt aux1₂) $ dvd_sub (dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₂ne.mul ht₂ne) hH₂H.subset).natCast (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $ (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑H₂.card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card)
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Finset.mul_kneser
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[530, 54]
rw [sub_sub]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card + ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card)
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑C.mulStab.card - (↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card + ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card) ≤ ↑H.card - (↑s₂.card + ↑t₂.card)
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have ih₁ := (add_le_add (card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne).trans (ih _ _ hst₁)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ih₁ : s₁.card + t₁.card ≤ (s₁ * t₁).card + (s₁ * t₁).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
zify at ih₁
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ih₁ : s₁.card + t₁.card ≤ (s₁ * t₁).card + (s₁ * t₁).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ih₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card ≤ ↑(s₁ * t₁).card + ↑(s₁ * t₁).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [hstconv, ih₁]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ih₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card ≤ ↑(s₁ * t₁).card + ↑(s₁ * t₁).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
suffices (C.card : ℤ) + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card by linarith [this, hSTcard]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑C.card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑(s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [this, hSTcard]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card this : ↑C.card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑(s * t).card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
norm_cast
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑C.card + ↑(s₁ * t₁).card ≤ ↑(s * t).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ C.card + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [← card_union_of_disjoint hCst₁, card_le_card hC₁st]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ C.card + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [sub_le_iff_le_add, ← Int.ofNat_add, Int.ofNat_le, add_comm _ C.card, add_comm _ (s ∩ t).card, hCcard]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card ≤ ↑H.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have ih₂ := (add_le_add (card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne).trans (ih _ _ hst₂)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ih₂ : s₂.card + t₂.card ≤ (s₂ * t₂).card + (s₂ * t₂).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
zify at hstconv ih₂
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ih₂ : s₂.card + t₂.card ≤ (s₂ * t₂).card + (s₂ * t₂).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ih₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card ≤ ↑(s₂ * t₂).card + ↑(s₂ * t₂).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [ih₂]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ih₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card ≤ ↑(s₂ * t₂).card + ↑(s₂ * t₂).mulStab.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card
no goals
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
suffices (C.card : ℤ) + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card by linarith [this, hSTcard]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [this, hSTcard]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card this : ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card ⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
norm_cast
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ C.card + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [← card_union_of_disjoint hCst₂, card_le_card hC₂st]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ C.card + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [sub_le_iff_le_add, ← Int.ofNat_add, Int.ofNat_le, add_comm _ C.card, add_comm _ (s ∩ t).card, hCcard]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card ⊢ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card ≤ ↑H.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [← card_smul_finset a H]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card ⊢ H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card ⊢ (a • H).card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card ⊢ (a • H).card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [← card_smul_finset b H]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) ⊢ H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) ⊢ (b • H).card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card)
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) ⊢ (b • H).card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card)
no goals
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ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂
[48, 1]
[56, 50]
refine (add_le_add (totalDegree_finset_sum _ _) $ (totalDegree_finset_sum _ _).trans $ Finset.sup_mono_fun fun a _ ↦ totalDegree_smul_le _ _).trans_lt ?_
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ (ZMod.f₁ s).totalDegree + (ZMod.f₂ s).totalDegree < 2 * p - 1
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ ((s.toEnumFinset.attach.sup fun i => (X i ^ (p - 1)).totalDegree) + s.toEnumFinset.attach.sup fun a => (X a ^ (p - 1)).totalDegree) < 2 * p - 1
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ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂
[48, 1]
[56, 50]
simp only [totalDegree_X_pow, ← two_mul]
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ ((s.toEnumFinset.attach.sup fun i => (X i ^ (p - 1)).totalDegree) + s.toEnumFinset.attach.sup fun a => (X a ^ (p - 1)).totalDegree) < 2 * p - 1
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ (2 * s.toEnumFinset.attach.sup fun i => p - 1) < 2 * p - 1
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ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂
[48, 1]
[56, 50]
refine (mul_le_mul_left' Finset.sup_const_le _).trans_lt ?_
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ (2 * s.toEnumFinset.attach.sup fun i => p - 1) < 2 * p - 1
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ 2 * (p - 1) < 2 * p - 1
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ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂
[48, 1]
[56, 50]
rw [mul_tsub, mul_one]
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ 2 * (p - 1) < 2 * p - 1
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ 2 * p - 2 < 2 * p - 1
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ZMod.totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂
[48, 1]
[56, 50]
exact tsub_lt_tsub_left_of_le ((Fact.out : p.Prime).two_le.trans $ le_mul_of_one_le_left' one_le_two) one_lt_two
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) ⊢ 2 * p - 2 < 2 * p - 1
no goals
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
haveI : NeZero p := inferInstance
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
set N := Fintype.card {x // eval x (f₁ s) = 0 ∧ eval x (f₂ s) = 0}
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
let zero_sol : {x // eval x (f₁ s) = 0 ∧ eval x (f₂ s) = 0} := ⟨0, by simp [f₁, f₂, map_sum, (Fact.out : p.Prime).one_lt, tsub_eq_zero_iff_le]⟩
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
have hN₀ : 0 < N := @Fintype.card_pos _ _ ⟨zero_sol⟩
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
have hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card s.toEnumFinset := by simp [hs]
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
have hpN : p ∣ N := char_dvd_card_solutions_of_add_lt p (totalDegree_f₁_add_totalDegree_f₂.trans_eq hs')
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
obtain ⟨x, hx⟩ := Fintype.exists_ne_of_one_lt_card ((Fact.out : p.Prime).one_lt.trans_le $ Nat.le_of_dvd hN₀ hpN) zero_sol
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
case intro n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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[58, 1]
[101, 74]
refine ⟨(s.toEnumFinset.attach.filter $ fun a ↦ x.1 a ≠ 0).1.map (Prod.fst ∘ ((↑) : s.toEnumFinset → ZMod p × ℕ)), le_iff_count.2 $ fun a ↦ ?_, ?_, ?_⟩
case intro n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ count a (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) ≤ count a s case intro.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ Multiset.card (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) = p case intro.refine_3 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val).sum = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simp [f₁, f₂, map_sum, (Fact.out : p.Prime).one_lt, tsub_eq_zero_iff_le]
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } ⊢ (eval 0) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval 0) (ZMod.f₂ s) = 0
no goals
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simp [hs]
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N ⊢ 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset }
no goals
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simp only [← Finset.filter_val, Finset.card_val, Function.comp_apply, count_map]
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ count a (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) ≤ count a s
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach)).card ≤ count a s
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
refine (Finset.card_le_card $ Finset.filter_subset_filter _ $ Finset.filter_subset _ _).trans_eq ?_
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach)).card ≤ count a s
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) s.toEnumFinset.attach).card = count a s
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
refine (Finset.card_filter_attach (fun c : ZMod p × ℕ ↦ a = c.1) _).trans ?_
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ (Finset.filter (fun a_1 => a = (↑a_1).1) s.toEnumFinset.attach).card = count a s
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ (Finset.filter (fun c => a = c.1) s.toEnumFinset).card = count a s
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simp [toEnumFinset_filter_eq]
case intro.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol a : ZMod p ⊢ (Finset.filter (fun c => a = c.1) s.toEnumFinset).card = count a s
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simp only [card_map, ← Finset.filter_val, Finset.card_val, Function.comp_apply, count_map, ← Finset.map_val]
case intro.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ Multiset.card (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val) = p
case intro.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card = p
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
refine Nat.eq_of_dvd_of_lt_two_mul (Finset.card_pos.2 ?_).ne' ?_ $ (Finset.card_filter_le _ _).trans_lt ?_
case intro.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card = p
case intro.refine_2.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty case intro.refine_2.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ p ∣ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card case intro.refine_2.refine_3 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ s.toEnumFinset.attach.card < 2 * p
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
rw [← Subtype.coe_ne_coe, Function.ne_iff] at hx
case intro.refine_2.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty
case intro.refine_2.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : ∃ a, ↑x a ≠ ↑zero_sol a ⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
exact hx.imp (fun a ha ↦ mem_filter.2 ⟨Finset.mem_attach _ _, ha⟩)
case intro.refine_2.refine_1 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : ∃ a, ↑x a ≠ ↑zero_sol a ⊢ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).Nonempty
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
rw [← CharP.cast_eq_zero_iff (ZMod p), ← Finset.sum_boole]
case intro.refine_2.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ p ∣ (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).card
case intro.refine_2.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (∑ x_1 ∈ s.toEnumFinset.attach, if ↑x x_1 ≠ 0 then 1 else 0) = 0
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simpa only [f₁, map_sum, ZMod.pow_card_sub_one, map_pow, eval_X] using x.2.1
case intro.refine_2.refine_2 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (∑ x_1 ∈ s.toEnumFinset.attach, if ↑x x_1 ≠ 0 then 1 else 0) = 0
no goals
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
rw [Finset.card_attach, card_toEnumFinset, hs]
case intro.refine_2.refine_3 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ s.toEnumFinset.attach.card < 2 * p
case intro.refine_2.refine_3 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ 2 * p - 1 < 2 * p
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
exact tsub_lt_self (mul_pos zero_lt_two (Fact.out : p.Prime).pos) zero_lt_one
case intro.refine_2.refine_3 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ 2 * p - 1 < 2 * p
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ZMod.aux
[58, 1]
[101, 74]
simpa only [f₂, map_sum, ZMod.pow_card_sub_one, Finset.sum_map_val, Finset.sum_filter, smul_eval, map_pow, eval_X, mul_ite, mul_zero, mul_one] using x.2.2
case intro.refine_3 n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : Multiset.card s = 2 * p - 1 this : NeZero p N : ℕ := Fintype.card { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } zero_sol : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } := ⟨0, ⋯⟩ hN₀ : 0 < N hs' : 2 * p - 1 = Fintype.card { x // x ∈ s.toEnumFinset } hpN : p ∣ N x : { x // (eval x) (ZMod.f₁ s) = 0 ∧ (eval x) (ZMod.f₂ s) = 0 } hx : x ≠ zero_sol ⊢ (Multiset.map (Prod.fst ∘ Subtype.val) (Finset.filter (fun a => ↑x a ≠ 0) s.toEnumFinset.attach).val).sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
induction n using Nat.prime_composite_induction
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod n) hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ t.sum = 0
case zero n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 0) hs : 2 * 0 - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 0 ∧ t.sum = 0 case one n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 1) hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0 case prime n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) p✝ : ℕ a✝ : p✝.Prime s : Multiset (ZMod p✝) hs : 2 * p✝ - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p✝ ∧ t.sum = 0 case composite n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a✝⁴ : ℕ a✝³ : 2 ≤ a✝⁴ a✝² : ∀ {s : Multiset (ZMod a✝⁴)}, 2 * a✝⁴ - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a✝⁴ ∧ t.sum = 0 b✝ : ℕ a✝¹ : 2 ≤ b✝ a✝ : ∀ {s : Multiset (ZMod b✝)}, 2 * b✝ - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b✝ ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a✝⁴ * b✝)) hs : 2 * (a✝⁴ * b✝) - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a✝⁴ * b✝ ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
case zero => exact ⟨0, s.zero_le, card_zero, sum_zero⟩
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 0) hs : 2 * 0 - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 0 ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
case one => obtain ⟨t, ht, hn⟩ := exists_le_card_eq hs; exact ⟨t, ht, hn, Subsingleton.elim _ _⟩
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 1) hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0
no goals
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
case prime p hp => haveI := Fact.mk hp obtain ⟨t, hts, ht⟩ := exists_le_card_eq hs obtain ⟨u, hut, hu⟩ := aux ht exact ⟨u, hut.trans hts, hu⟩
n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
exact ⟨0, s.zero_le, card_zero, sum_zero⟩
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 0) hs : 2 * 0 - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 0 ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
obtain ⟨t, ht, hn⟩ := exists_le_card_eq hs
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 1) hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0
case intro.intro n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 1) hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s t : Multiset (ZMod 1) ht : t ≤ s hn : Multiset.card t = 2 * 1 - 1 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
exact ⟨t, ht, hn, Subsingleton.elim _ _⟩
case intro.intro n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) s : Multiset (ZMod 1) hs : 2 * 1 - 1 ≤ Multiset.card s t : Multiset (ZMod 1) ht : t ≤ s hn : Multiset.card t = 2 * 1 - 1 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = 1 ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
haveI := Fact.mk hp
n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s this : Fact p.Prime ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
obtain ⟨t, hts, ht⟩ := exists_le_card_eq hs
n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s this : Fact p.Prime ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
case intro.intro n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s this : Fact p.Prime t : Multiset (ZMod p) hts : t ≤ s ht : Multiset.card t = 2 * p - 1 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
obtain ⟨u, hut, hu⟩ := aux ht
case intro.intro n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s this : Fact p.Prime t : Multiset (ZMod p) hts : t ≤ s ht : Multiset.card t = 2 * p - 1 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
case intro.intro.intro.intro n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s this : Fact p.Prime t : Multiset (ZMod p) hts : t ≤ s ht : Multiset.card t = 2 * p - 1 u : Multiset (ZMod p) hut : u ≤ t hu : Multiset.card u = p ∧ u.sum = 0 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
exact ⟨u, hut.trans hts, hu⟩
case intro.intro.intro.intro n p✝ : ℕ inst✝ : Fact p✝.Prime s✝ : Multiset (ZMod p✝) p : ℕ hp : p.Prime s : Multiset (ZMod p) hs : 2 * p - 1 ≤ Multiset.card s this : Fact p.Prime t : Multiset (ZMod p) hts : t ≤ s ht : Multiset.card t = 2 * p - 1 u : Multiset (ZMod p) hut : u ≤ t hu : Multiset.card u = p ∧ u.sum = 0 ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = p ∧ t.sum = 0
no goals
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
suffices ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m : Multiset (Multiset $ ZMod $ a * b), Multiset.card m = n ∧ m.Pairwise _root_.Disjoint ∧ ∀ ⦃u : Multiset $ ZMod $ a * b⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples (a : ZMod $ a * b) by obtain ⟨m, hm⟩ := this _ le_rfl sorry
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
rintro n hn
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s ⊢ ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ hn : n ≤ 2 * b - 1 ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
induction' n with n ih
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ hn : n ≤ 2 * b - 1 ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
case zero n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s hn : 0 ≤ 2 * b - 1 ⊢ ∃ m, Multiset.card m = 0 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a case succ n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n + 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
obtain ⟨m, hm⟩ := ih (Nat.le_of_succ_le hn)
case succ n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n + 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
case succ.intro n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n + 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
have : 2 * a - 1 ≤ Multiset.card ((s - m.sum).map $ castHom (dvd_mul_right _ _) $ ZMod a) := by rw [card_map] refine (le_tsub_of_add_le_left $ le_trans ?_ hs).trans le_card_sub have : m.map Multiset.card = replicate (2 * a - 1) n := sorry rw [map_multiset_sum, this, sum_replicate, ← le_tsub_iff_right, tsub_tsub_tsub_cancel_right, ← mul_tsub, ← mul_tsub_one] sorry sorry sorry
case succ.intro n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n + 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
case succ.intro n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑(castHom ⋯ (ZMod a))) (s - m.sum)) ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n + 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
sorry
case succ.intro n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑(castHom ⋯ (ZMod a))) (s - m.sum)) ⊢ ∃ m, Multiset.card m = n + 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
no goals
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
obtain ⟨m, hm⟩ := this _ le_rfl
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s this : ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0
case intro n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s this : ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = 2 * b - 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
sorry
case intro n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s this : ∀ n ≤ 2 * b - 1, ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = 2 * b - 1 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a * b ∧ t.sum = 0
no goals
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
exact ⟨0, by simp⟩
case zero n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s hn : 0 ≤ 2 * b - 1 ⊢ ∃ m, Multiset.card m = 0 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
no goals
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
simp
n p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s hn : 0 ≤ 2 * b - 1 ⊢ Multiset.card 0 = 0 ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint 0 ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ 0 → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a
no goals
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
rw [card_map]
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑(castHom ⋯ (ZMod a))) (s - m.sum))
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (s - m.sum)
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
refine (le_tsub_of_add_le_left $ le_trans ?_ hs).trans le_card_sub
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ 2 * a - 1 ≤ Multiset.card (s - m.sum)
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
have : m.map Multiset.card = replicate (2 * a - 1) n := sorry
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a ⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
rw [map_multiset_sum, this, sum_replicate, ← le_tsub_iff_right, tsub_tsub_tsub_cancel_right, ← mul_tsub, ← mul_tsub_one]
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ Multiset.card m.sum + (2 * a - 1) ≤ 2 * (a * b) - 1
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ (2 * a - 1) • n ≤ 2 * (a * (b - 1)) n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 1 ≤ 2 * a n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
sorry
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ (2 * a - 1) • n ≤ 2 * (a * (b - 1)) n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 1 ≤ 2 * a n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 1 ≤ 2 * a n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
sorry
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 1 ≤ 2 * a n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1
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ZMod.exists_submultiset_eq_zero
[105, 1]
[136, 10]
sorry
n✝ p : ℕ inst✝ : Fact p.Prime s✝ : Multiset (ZMod p) a : ℕ ha : 2 ≤ a iha : ∀ {s : Multiset (ZMod a)}, 2 * a - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = a ∧ t.sum = 0 b : ℕ hb : 2 ≤ b ihb : ∀ {s : Multiset (ZMod b)}, 2 * b - 1 ≤ Multiset.card s → ∃ t ≤ s, Multiset.card t = b ∧ t.sum = 0 s : Multiset (ZMod (a * b)) hs : 2 * (a * b) - 1 ≤ Multiset.card s n : ℕ ih : n ≤ 2 * b - 1 → ∃ m, Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a hn : n + 1 ≤ 2 * b - 1 m : Multiset (Multiset (ZMod (a * b))) hm : Multiset.card m = n ∧ Multiset.Pairwise _root_.Disjoint m ∧ ∀ ⦃u : Multiset (ZMod (a * b))⦄, u ∈ m → Multiset.card u = 2 * a + 1 ∧ u.sum ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑a this : Multiset.map (⇑Multiset.card) m = replicate (2 * a - 1) n ⊢ 2 * a - 1 ≤ 2 * (a * b) - 1
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.not_mem_bot
[34, 1]
[35, 81]
simp [← mem_faces_iff]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ s ∉ ⊥
no goals
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LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
Geometry.SimplicialComplex.eq_bot_of_forall_not_mem
[40, 1]
[41, 37]
ext s
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K✝ K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ K : SimplicialComplex 𝕜 E h : ∀ (s : Finset E), s ∉ K ⊢ K = ⊥
case faces.h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K✝ K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s✝ t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ K : SimplicialComplex 𝕜 E h : ∀ (s : Finset E), s ∉ K s : Finset E ⊢ s ∈ K.faces ↔ s ∈ ⊥.faces
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Geometry.SimplicialComplex.eq_bot_of_forall_not_mem
[40, 1]
[41, 37]
exact iff_of_false (h s) id
case faces.h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K✝ K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s✝ t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ K : SimplicialComplex 𝕜 E h : ∀ (s : Finset E), s ∉ K s : Finset E ⊢ s ∈ K.faces ↔ s ∈ ⊥.faces
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.space_eq_empty
[43, 1]
[48, 74]
simp only [Set.eq_empty_iff_forall_not_mem, mem_space_iff, SimplicialComplex.ext_iff, @forall_swap E, mem_faces_iff, exists_prop, not_exists, not_and, faces_bot]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ K.space = ∅ ↔ K = ⊥
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ (∀ y ∈ K, ∀ (x : E), x ∉ (convexHull 𝕜) ↑y) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K
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Geometry.SimplicialComplex.space_eq_empty
[43, 1]
[48, 74]
simp only [← Set.eq_empty_iff_forall_not_mem, convexHull_empty_iff, coe_eq_empty]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ (∀ y ∈ K, ∀ (x : E), x ∉ (convexHull 𝕜) ↑y) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ (∀ y ∈ K, y = ∅) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
Geometry.SimplicialComplex.space_eq_empty
[43, 1]
[48, 74]
exact forall₂_congr fun s hs ↦ iff_false_intro (K.nonempty hs).ne_empty
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ (∀ y ∈ K, y = ∅) ↔ ∀ (x : Finset E), x ∉ K
no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
Geometry.SimplicialComplex.coe_eq_empty
[54, 1]
[56, 68]
simp [Set.eq_empty_iff_forall_not_mem, SimplicialComplex.ext_iff]
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : OrderedRing 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E K K₁ K₂ : SimplicialComplex 𝕜 E x y : E s t : Finset E A : Set (Finset E) m n : ℕ ⊢ ↑K = ∅ ↔ K = ⊥
no goals