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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_aux1
[133, 1]
[158, 69]
linarith [hconv, hnotconv]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hdisj : Disjoint C (s' * t') H : Finset α := C.mulStab H' : Finset α := (s' * t').mulStab hsub : H' ⊆ H C' : Finset α := C ∪ s' * t' hCun : C'.mulStab = H' hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card hnotconv : ↑C'.card + ↑C'.mulStab.card < ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * C'.mulStab).card ih : ↑(s' * H').card + ↑(t' * H').card ≤ ↑(s' * t').card + ↑H'.card ⊢ ↑((s ∪ t) * H).card - ↑((s ∪ t) * C'.mulStab).card < ↑C.card + ↑H.card - ↑(s ∩ t).card - (↑C'.card + ↑C'.mulStab.card - ↑(s ∩ t).card)
no goals
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Finset.mul_aux1
[133, 1]
[158, 69]
rw [card_union_of_disjoint hdisj, Int.ofNat_add]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hdisj : Disjoint C (s' * t') H : Finset α := C.mulStab H' : Finset α := (s' * t').mulStab hsub : H' ⊆ H C' : Finset α := C ∪ s' * t' hCun : C'.mulStab = H' hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card hnotconv : ↑C'.card + ↑C'.mulStab.card < ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * C'.mulStab).card ih : ↑(s' * H').card + ↑(t' * H').card ≤ ↑(s' * t').card + ↑H'.card ⊢ ↑C.card + ↑H.card - ↑(s ∩ t).card - (↑C'.card + ↑H'.card - ↑(s ∩ t).card) = ↑H.card - ↑(s' * t').card - ↑H'.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hdisj : Disjoint C (s' * t') H : Finset α := C.mulStab H' : Finset α := (s' * t').mulStab hsub : H' ⊆ H C' : Finset α := C ∪ s' * t' hCun : C'.mulStab = H' hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card hnotconv : ↑C'.card + ↑C'.mulStab.card < ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * C'.mulStab).card ih : ↑(s' * H').card + ↑(t' * H').card ≤ ↑(s' * t').card + ↑H'.card ⊢ ↑C.card + ↑H.card - ↑(s ∩ t).card - (↑C.card + ↑(s' * t').card + ↑H'.card - ↑(s ∩ t).card) = ↑H.card - ↑(s' * t').card - ↑H'.card
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Finset.mul_aux1
[133, 1]
[158, 69]
abel
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hdisj : Disjoint C (s' * t') H : Finset α := C.mulStab H' : Finset α := (s' * t').mulStab hsub : H' ⊆ H C' : Finset α := C ∪ s' * t' hCun : C'.mulStab = H' hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card hnotconv : ↑C'.card + ↑C'.mulStab.card < ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * C'.mulStab).card ih : ↑(s' * H').card + ↑(t' * H').card ≤ ↑(s' * t').card + ↑H'.card ⊢ ↑C.card + ↑H.card - ↑(s ∩ t).card - (↑C.card + ↑(s' * t').card + ↑H'.card - ↑(s ∩ t).card) = ↑H.card - ↑(s' * t').card - ↑H'.card
no goals
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Finset.mul_aux1
[133, 1]
[158, 69]
linarith [ih]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hdisj : Disjoint C (s' * t') H : Finset α := C.mulStab H' : Finset α := (s' * t').mulStab hsub : H' ⊆ H C' : Finset α := C ∪ s' * t' hCun : C'.mulStab = H' hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card hnotconv : ↑C'.card + ↑C'.mulStab.card < ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * C'.mulStab).card ih : ↑(s' * H').card + ↑(t' * H').card ≤ ↑(s' * t').card + ↑H'.card ⊢ ↑H.card - ↑(s' * t').card - ↑H'.card ≤ ↑H.card - ↑(s' * H').card - ↑(t' * H').card
no goals
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Finset.disjoint_smul_mulStab
[160, 1]
[168, 29]
suffices Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab) by simpa [mul_comm, disjoint_comm, mulStab_mul]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ Disjoint s (a • s.mulStab)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab)
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Finset.disjoint_smul_mulStab
[160, 1]
[168, 29]
apply disjoint_smul_finset_mulStab_mul_mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab)
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s * s.mulStab
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Finset.disjoint_smul_mulStab
[160, 1]
[168, 29]
rw [mul_comm, mulStab_mul]
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s * s.mulStab
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s
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Finset.disjoint_smul_mulStab
[160, 1]
[168, 29]
contrapose! has
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t ⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : a • s.mulStab ⊆ s ⊢ a • s.mulStab ⊆ t
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Finset.disjoint_smul_mulStab
[160, 1]
[168, 29]
exact subset_trans has hst
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : a • s.mulStab ⊆ s ⊢ a • s.mulStab ⊆ t
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Finset.disjoint_smul_mulStab
[160, 1]
[168, 29]
simpa [mul_comm, disjoint_comm, mulStab_mul]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hst : s ⊆ t has : ¬a • s.mulStab ⊆ t this : Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab) ⊢ Disjoint s (a • s.mulStab)
no goals
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
obtain rfl | hC := C.eq_empty_or_nonempty
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C : Finset α a✝ b✝ a b : α s t : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • ∅.mulStab) hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab ⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * ∅.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab).card case inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
simp
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C : Finset α a✝ b✝ a b : α s t : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • ∅.mulStab) hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab ⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * ∅.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab).card
no goals
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [card_sdiff (subset_trans (mul_subset_mul_left hst) (subset_trans (mul_subset_mul_right inter_subset_right) _)), card_smul_finset, Int.ofNat_sub]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card = ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤ C.mulStab.card α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
apply le_trans (card_le_card (mul_subset_mul_left hst))
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤ C.mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab * C.mulStab).card ≤ C.mulStab.card
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
apply le_trans (card_le_card inter_mul_subset) (le_of_le_of_eq (card_le_card inter_subset_right) _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab * C.mulStab).card ≤ C.mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (a • C.mulStab * C.mulStab).card = C.mulStab.card
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, card_smul_finset]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (a • C.mulStab * C.mulStab).card = C.mulStab.card
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
simp only [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, Subset.rfl]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
no goals
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [← Int.ofNat_sub (card_le_card (mul_subset_mul_left hst)), ← card_sdiff (mul_subset_mul_left hst)]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ ↑(((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
norm_cast
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ ↑(((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ (((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
apply card_le_card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ (((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)).card
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) ⊆ ((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
refine' fun x hx => mem_sdiff.mpr ⟨_, _⟩
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) ⊆ ((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)
case a.refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∈ (s ∪ t) * C.mulStab case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
have hx' := (mem_sdiff.mp hx).2
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∉ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
contrapose! hx'
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∉ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
obtain ⟨y, hyst, d, hd, hxyd⟩ := mem_mul.mp hx'
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
obtain ⟨c, hc, hcx⟩ := mem_smul_finset.mp (mem_sdiff.mp hx).1
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x c : α hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [← hcx, ← eq_mul_inv_iff_mul_eq] at hxyd
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x c : α hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
have hyC : y ∈ a • C.mulStab := by rw [hxyd, smul_mul_assoc, smul_mem_smul_finset_iff, ← mulStab_mul_mulStab] apply mul_mem_mul hc ((mem_mulStab hC).mpr (inv_smul_eq_iff.mpr _)) exact Eq.symm ((mem_mulStab hC).mp (hst hd))
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
replace hyst : y ∈ s := by apply or_iff_not_imp_right.mp (mem_union.mp hyst) contrapose! hsC exact not_disjoint_iff.mpr ⟨y, hsC, hyC⟩
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hyst : y ∈ s ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [eq_mul_inv_iff_mul_eq, hcx] at hxyd
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hyst : y ∈ s ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hyst : y ∈ s ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [← hxyd]
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hyst : y ∈ s ⊢ x ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hyst : y ∈ s ⊢ y * d ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
exact mul_mem_mul (mem_inter.mpr ⟨hyst, hyC⟩) hd
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hyst : y ∈ s ⊢ y * d ∈ s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab
no goals
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
apply smul_finset_subset_smul (mem_union_left t has) (mem_sdiff.mp hx).1
case a.refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∈ (s ∪ t) * C.mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
rw [hxyd, smul_mul_assoc, smul_mem_smul_finset_iff, ← mulStab_mul_mulStab]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ y ∈ a • C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ c * d⁻¹ ∈ C.mulStab * C.mulStab
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
apply mul_mem_mul hc ((mem_mulStab hC).mpr (inv_smul_eq_iff.mpr _))
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ c * d⁻¹ ∈ C.mulStab * C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ C = d • C
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
exact Eq.symm ((mem_mulStab hC).mp (hst hd))
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ C = d • C
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
apply or_iff_not_imp_right.mp (mem_union.mp hyst)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ y ∈ s
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ y ∉ t
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
contrapose! hsC
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hsC : Disjoint t (a • C.mulStab) hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ y ∉ t
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hsC : y ∈ t ⊢ ¬Disjoint t (a • C.mulStab)
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Finset.disjoint_mul_sub_card_le
[170, 1]
[218, 55]
exact not_disjoint_iff.mpr ⟨y, hsC, hyC⟩
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b✝ a b : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab hsC : y ∈ t ⊢ ¬Disjoint t (a • C.mulStab)
no goals
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
obtain rfl | hC := C.eq_empty_or_nonempty
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C : Finset α a✝ b a : α s t : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab ⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * ∅.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card case inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
simp
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C : Finset α a✝ b a : α s t : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab ⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * ∅.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [card_sdiff, Int.ofNat_sub (card_le_card _), card_smul_finset]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑(a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑C.mulStab.card - ↑((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
all_goals apply subset_trans (mul_subset_mul_left hst) rw [← union_inter_distrib_right] refine' subset_trans (mul_subset_mul_right inter_subset_right) _ simp only [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, Subset.rfl]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [union_mul, le_sub_iff_add_le]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑C.mulStab.card - ↑((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card + ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑C.mulStab.card
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
apply le_trans (add_le_add_left (Int.ofNat_le.mpr $ card_union_le _ _) _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card + ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑C.mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card + ↑((s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card + (t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card) ≤ ↑C.mulStab.card
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
norm_num
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card - ↑(t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card + ↑((s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card + (t ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card) ≤ ↑C.mulStab.card
no goals
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
apply subset_trans (mul_subset_mul_left hst)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [← union_inter_distrib_right]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
refine' subset_trans (mul_subset_mul_right inter_subset_right) _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
simp only [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, Subset.rfl]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab
no goals
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [← Int.ofNat_sub (card_le_card (mul_subset_mul_left hst)), ← card_sdiff (mul_subset_mul_left hst)]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑(a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑(a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ ↑(((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
norm_cast
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ ↑(a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ ↑(((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ (((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
apply card_le_card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ (a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card ≤ (((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).card
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) ⊆ ((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
refine' fun x hx => mem_sdiff.mpr ⟨_, _⟩
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty ⊢ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) ⊆ ((s ∪ t) * C.mulStab) \ ((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)
case a.refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∈ (s ∪ t) * C.mulStab case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
have hx' := (mem_sdiff.mp hx).2
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∉ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
contrapose! hx'
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∉ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∉ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∈ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [← union_inter_distrib_right]
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∈ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
obtain ⟨y, hyst, d, hd, hxyd⟩ := mem_mul.mp hx'
case a.refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
obtain ⟨c, hc, hcx⟩ := mem_smul_finset.mp (mem_sdiff.mp hx).1
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x c : α hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [← hcx, ← eq_mul_inv_iff_mul_eq] at hxyd
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab hxyd : y * d = x c : α hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
have hyC : y ∈ a • C.mulStab := by rw [hxyd, smul_mul_assoc, smul_mem_smul_finset_iff, ← mulStab_mul_mulStab] apply mul_mem_mul hc ((mem_mulStab hC).mpr (inv_smul_eq_iff.mpr _)) exact Eq.symm ((mem_mulStab hC).mp (hst hd))
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [eq_mul_inv_iff_mul_eq, hcx] at hxyd
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [← hxyd]
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ x ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ y * d ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
exact mul_mem_mul (mem_inter.mpr ⟨hyst, hyC⟩) hd
case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y * d = x hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x hyC : y ∈ a • C.mulStab ⊢ y * d ∈ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab
no goals
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
apply smul_finset_subset_smul (mem_union_left t has) (mem_sdiff.mp hx).1
case a.refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) ⊢ x ∈ (s ∪ t) * C.mulStab
no goals
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
rw [hxyd, smul_mul_assoc, smul_mem_smul_finset_iff, ← mulStab_mul_mulStab]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ y ∈ a • C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ c * d⁻¹ ∈ C.mulStab * C.mulStab
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
apply mul_mem_mul hc ((mem_mulStab hC).mpr (inv_smul_eq_iff.mpr _))
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ c * d⁻¹ ∈ C.mulStab * C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ C = d • C
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Finset.inter_mul_sub_card_le
[220, 1]
[267, 55]
exact Eq.symm ((mem_mulStab hC).mp (hst hd))
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α a✝ b a : α s t C : Finset α has : a ∈ s hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab hC : C.Nonempty x : α hx : x ∈ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab) hx' : x ∈ (s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab y : α hyst : y ∈ s ∪ t d : α hd : d ∈ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab c : α hxyd : y = a • c * d⁻¹ hc : c ∈ C.mulStab hcx : a • c = x ⊢ C = d • C
no goals
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Finset.card_mul_add_card_lt
[269, 1]
[277, 20]
rw [← tsub_pos_iff_lt, ← card_sdiff (mul_subset_mul hs ht), card_pos]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hC : C.Nonempty hs : s' ⊆ s ht : t' ⊆ t hCst : C ⊆ s * t hCst' : Disjoint C (s' * t') ⊢ (s' * t').card < (s * t).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hC : C.Nonempty hs : s' ⊆ s ht : t' ⊆ t hCst : C ⊆ s * t hCst' : Disjoint C (s' * t') ⊢ ((s * t) \ (s' * t')).Nonempty
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Finset.card_mul_add_card_lt
[269, 1]
[277, 20]
exact hC.mono (subset_sdiff.2 ⟨hCst, hCst'⟩)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α hC : C.Nonempty hs : s' ⊆ s ht : t' ⊆ t hCst : C ⊆ s * t hCst' : Disjoint C (s' * t') ⊢ ((s * t) \ (s' * t')).Nonempty
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set n : ℕ := (s * t).card + s.card with hn
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α n : ℕ := (s * t).card + s.card hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
clear_value n
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α n : ℕ := (s * t).card + s.card hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α n : ℕ hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
clear s' t' C a b
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s s' t t' C : Finset α a b : α n : ℕ hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α n : ℕ hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
induction' n using Nat.strong_induction_on with n ih generalizing α
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α n : ℕ hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h n : ℕ ih : ∀ m < n, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
subst hn
case h n : ℕ ih : ∀ m < n, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hn : n = (s * t).card + s.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain rfl | hs := s.eq_empty_or_nonempty
case h α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α t : Finset α ih : ∀ m < (∅ * t).card + ∅.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card ⊢ (∅ * (∅ * t).mulStab).card + (t * (∅ * t).mulStab).card ≤ (∅ * t).card + (∅ * t).mulStab.card case h.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain rfl | ht := t.eq_empty_or_nonempty
case h.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty ih : ∀ m < (s * ∅).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card ⊢ (s * (s * ∅).mulStab).card + (∅ * (s * ∅).mulStab).card ≤ (s * ∅).card + (s * ∅).mulStab.card case h.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp
case h.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α t : Finset α ih : ∀ m < (∅ * t).card + ∅.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card ⊢ (∅ * (∅ * t).mulStab).card + (t * (∅ * t).mulStab).card ≤ (∅ * t).card + (∅ * t).mulStab.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp
case h.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty ih : ∀ m < (s * ∅).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card ⊢ (s * (s * ∅).mulStab).card + (∅ * (s * ∅).mulStab).card ≤ (s * ∅).card + (s * ∅).mulStab.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain hstab | hstab := ne_or_eq (s * t).mulStab 1
case h.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card case h.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [hstab, mul_one, card_one] at ih ⊢
case h.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
replace ih := fun s' t' h => @ih _ h α _ _ s' t' rfl
case h.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain ⟨a, rfl⟩ | ⟨a, ha, b, hb, hab⟩ := hs.exists_eq_singleton_or_nontrivial
case h.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inl.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α t : Finset α ht : t.Nonempty a : α hs : {a}.Nonempty hstab : ({a} * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < ({a} * t).card + {a}.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card ⊢ {a}.card + t.card ≤ ({a} * t).card + 1 case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have : b / a ∉ t.mulStab := by refine' fun h => hab (Eq.symm (eq_of_div_eq_one _)) replace h := subset_mulStab_mul_right hs h rw [hstab, mem_one] at h exact h
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b this : b / a ∉ t.mulStab ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [mem_mulStab' ht, smul_eq_mul, Classical.not_forall, exists_prop] at this
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b this : b / a ∉ t.mulStab ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b this : ∃ x ∈ t, b / a * x ∉ t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain ⟨c, hc, hbac⟩ := this
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b this : ∃ x ∈ t, b / a * x ∉ t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set t' := (a / c) • t with ht'
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t t' : Finset α := (a / c) • t ht' : t' = (a / c) • t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
clear_value t'
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t t' : Finset α := (a / c) • t ht' : t' = (a / c) • t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t t' : Finset α ht' : t' = (a / c) • t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [← inv_smul_eq_iff] at ht'
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t t' : Finset α ht' : t' = (a / c) • t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t t' : Finset α ht' : (a / c)⁻¹ • t' = t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
subst ht'
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α hc : c ∈ t hbac : b / a * c ∉ t t' : Finset α ht' : (a / c)⁻¹ • t' = t ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t' : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t').Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t').mulStab = 1 ih : ∀ (s' t'_1 : Finset α), (s' * t'_1).card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t').card + s.card → (s' * (s' * t'_1).mulStab).card + (t'_1 * (s' * t'_1).mulStab).card ≤ (s' * t'_1).card + (s' * t'_1).mulStab.card hc : c ∈ (a / c)⁻¹ • t' hbac : b / a * c ∉ (a / c)⁻¹ • t' ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t').card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t').card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rename' t' => t
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t' : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t').Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t').mulStab = 1 ih : ∀ (s' t'_1 : Finset α), (s' * t'_1).card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t').card + s.card → (s' * (s' * t'_1).mulStab).card + (t'_1 * (s' * t'_1).mulStab).card ≤ (s' * t'_1).card + (s' * t'_1).mulStab.card hc : c ∈ (a / c)⁻¹ • t' hbac : b / a * c ∉ (a / c)⁻¹ • t' ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t').card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t').card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t).Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : c ∈ (a / c)⁻¹ • t hbac : b / a * c ∉ (a / c)⁻¹ • t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [mem_inv_smul_finset_iff, smul_eq_mul, div_mul_cancel] at hc
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t).Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : c ∈ (a / c)⁻¹ • t hbac : b / a * c ∉ (a / c)⁻¹ • t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t).Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : a ∈ t hbac : b / a * c ∉ (a / c)⁻¹ • t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [div_mul_comm, mem_inv_smul_finset_iff, smul_eq_mul, ← mul_assoc, div_mul_div_cancel', div_self', one_mul] at hbac
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t).Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : a ∈ t hbac : b / a * c ∉ (a / c)⁻¹ • t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t).Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : a ∈ t hbac : b ∉ t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [smul_finset_nonempty] at ht
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : ((a / c)⁻¹ • t).Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : a ∈ t hbac : b ∉ t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : a ∈ t hbac : b ∉ t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [mul_smul_comm, smul_mul_assoc, mulStab_smul, card_smul_finset] at *
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * (a / c)⁻¹ • t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * (a / c)⁻¹ • t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hc : a ∈ t hbac : b ∉ t ⊢ s.card + ((a / c)⁻¹ • t).card ≤ (s * (a / c)⁻¹ • t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hc : a ∈ t hbac : b ∉ t hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hst : (s ∩ t).Nonempty := ⟨_, mem_inter.2 ⟨ha, hc⟩⟩
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hc : a ∈ t hbac : b ∉ t hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hc : a ∈ t hbac : b ∉ t hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hsts : s ∩ t ⊂ s := ⟨inter_subset_left, not_subset.2 ⟨_, hb, fun h => hbac $ inter_subset_right h⟩⟩
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hc : a ∈ t hbac : b ∉ t hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hc : a ∈ t hbac : b ∉ t hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
clear! a b
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hc : a ∈ t hbac : b ∉ t hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have convergent_nonempty : convergent.Nonempty := by refine' ⟨s ∩ t * (s ∪ t), inter_mul_union_subset, (add_le_add_right (card_le_card $ subset_mul_left _ $ one_mem_mulStab.2 $ hst.mul $ hs.mono subset_union_left) _).trans $ ih (s ∩ t) (s ∪ t) _⟩ exact add_lt_add_of_le_of_lt (card_le_card inter_mul_union_subset) (card_lt_card hsts)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
let C := argminOn (fun C : Finset α => C.mulStab.card) IsWellFounded.wf _ convergent_nonempty
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1