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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set H := C.mulStab with hH
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain ⟨hCst, hCcard⟩ : C ∈ convergent := argminOn_mem _ _ _ _
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hCmin : ∀ D : Finset α, D.mulStab ⊂ H → ¬D ∈ convergent := fun D hDH hD => (card_lt_card hDH).not_le $ argminOn_le (fun D : Finset α => D.mulStab.card) _ _ hD
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
clear_value C
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α := argminOn (fun C => C.mulStab.card) ⋯ convergent convergent_nonempty H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
clear convergent_nonempty
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} convergent_nonempty : convergent.Nonempty C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain rfl | hC := C.eq_empty_or_nonempty
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} H : Finset α := ∅.mulStab hH : H = ∅.mulStab hCst : ∅ ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * ∅.mulStab).card ≤ ∅.card + ∅.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1 case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain hCstab | hCstab := eq_singleton_or_nontrivial (one_mem_mulStab.2 hC)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab = {1} ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1 case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exfalso
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have : ¬s * t * H ⊆ s * t := by rw [mul_subset_left_iff (hs.mul ht), hstab, ← coe_subset, coe_one] exact hCstab.not_subset_singleton
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial this : ¬s * t * H ⊆ s * t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp_rw [mul_subset_iff_left, Classical.not_forall, mem_mul] at this
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial this : ¬s * t * H ⊆ s * t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial this : ∃ x, ∃ (_ : ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x), ¬x • H ⊆ s * t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain ⟨_, ⟨a, ha, b, hb, rfl⟩, hab⟩ := this
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial this : ∃ x, ∃ (_ : ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x), ¬x • H ⊆ s * t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set s₁ := s ∩ a • H with hs₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set s₂ := s ∩ b • H with hs₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set t₁ := t ∩ b • H with ht₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set t₂ := t ∩ a • H with ht₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hs₁s : s₁ ⊆ s := inter_subset_left
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hs₂s : s₂ ⊆ s := inter_subset_left
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have ht₁t : t₁ ⊆ t := inter_subset_left
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have ht₂t : t₂ ⊆ t := inter_subset_left
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have has₁ : a ∈ s₁ := mem_inter.mpr ⟨ha, mem_smul_finset.2 ⟨1, one_mem_mulStab.2 hC, mul_one _⟩⟩
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hbt₁ : b ∈ t₁ := mem_inter.mpr ⟨hb, mem_smul_finset.2 ⟨1, one_mem_mulStab.2 hC, mul_one _⟩⟩
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hs₁ne : s₁.Nonempty := ⟨_, has₁⟩
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have ht₁ne : t₁.Nonempty := ⟨_, hbt₁⟩
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set C₁ := C ∪ s₁ * t₁ with hC₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set C₂ := C ∪ s₂ * t₂ with hC₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set H₁ := (s₁ * t₁).mulStab with hH₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set H₂ := (s₂ * t₂).mulStab with hH₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hC₁st : C₁ ⊆ s * t := union_subset hCst (mul_subset_mul hs₁s ht₁t)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hC₂st : C₂ ⊆ s * t := union_subset hCst (mul_subset_mul hs₂s ht₂t)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H := by rw [hH, ← mulStab_mul_mulStab C, ← smul_mul_smul] apply mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H := by rw [hH, ← mulStab_mul_mulStab C, ← smul_mul_smul, mul_comm s₂ t₂] apply mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hCst₁ := disjoint_of_subset_right hstabH₁ (disjoint_smul_mulStab hCst hab)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hCst₂ := disjoint_of_subset_right hstabH₂ (disjoint_smul_mulStab hCst hab)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card := card_mul_add_card_lt hC hs₁s ht₁t hCst hCst₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card := card_mul_add_card_lt hC hs₂s ht₂t hCst hCst₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card ⊢ False
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ := mulStab_union hs₁ne ht₁ne hab hCst₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hH₁H : H₁ ⊂ H := mulStab_mul_ssubset_mulStab hs₁ne ht₁ne hab
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux1₁ := mul_aux1 (ih _ _ hst₁) hCcard (not_le.1 fun h => hCmin _ (hC₁stab.trans_ssubset hH₁H) ⟨hC₁st, h⟩) hC₁stab hH₁H.subset hCst₁
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain ht₂ | ht₂ne := t₂.eq_empty_or_nonempty
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂✝ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ : t₂ = ∅ ⊢ False case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain hs₂ | hs₂ne := s₂.eq_empty_or_nonempty
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ ⊢ False case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty ⊢ False
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ := mulStab_union hs₂ne ht₂ne (by rwa [mul_comm]) hCst₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ ⊢ False
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hH₂H : H₂ ⊂ H := mulStab_mul_ssubset_mulStab hs₂ne ht₂ne (by rwa [mul_comm])
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H ⊢ False
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux1₂ := mul_aux1 (ih _ _ hst₂) hCcard (not_le.1 fun h => hCmin _ (hC₂stab.trans_ssubset hH₂H) ⟨hC₂st, h⟩) hC₂stab hH₂H.subset hCst₂
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
obtain habH | habH := eq_or_ne (a • H) (b • H)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H = b • H ⊢ False case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set S := a • H \ (s₁ ∪ t₂) with hS
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
set T := b • H \ (s₂ ∪ t₁) with hT
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hST : Disjoint S T := (C.pairwiseDisjoint_smul_finset_mulStab (Set.mem_range_self _) (Set.mem_range_self _) habH).mono sdiff_le sdiff_le
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) := by simp only [hS, hs₁, ht₂, ← union_inter_distrib_right, sdiff_inter_self_right, Subset.rfl]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) := by simp only [hT, hs₂, ht₁, ← union_inter_distrib_right, sdiff_inter_self_right, Subset.rfl]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) := (subset_sdiff.1 hSst).2.sup_left (subset_sdiff.1 hTst).2
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hstconv : s * t ∉ convergent := by apply hCmin (s * t) rw [hstab] refine (hC.mulStab_nontrivial.mp hCstab).symm.ssubset_of_subset ?_ simp only [one_subset, one_mem_mulStab, hC]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : s * t ∉ convergent ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [Set.mem_setOf_eq, Subset.rfl, true_and_iff, not_le, hstab, mul_one, card_one, convergent] at hstconv
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : s * t ∉ convergent ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : (s * t).card + 1 < (s ∩ t).card + (s ∪ t).card ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
zify at hstconv
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : (s * t).card + 1 < (s ∩ t).card + (s ∪ t).card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hH₁ne : H₁.Nonempty := (hs₁ne.mul ht₁ne).mulStab
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have hH₂ne : H₂.Nonempty := (hs₂ne.mul ht₂ne).mulStab
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux2₁ : (s₁.card : ℤ) + t₁.card + H₁.card ≤ H.card := by rw [← le_sub_iff_add_le'] refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $ mul_subset_mul_left hH₁H.subset).trans_lt aux1₁) $ dvd_sub (dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₁ne.mul ht₁ne) hH₁H.subset).natCast (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $ (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _ rw [sub_sub] exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) _
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ False
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux2₂ : (s₂.card : ℤ) + t₂.card + H₂.card ≤ H.card := by rw [← le_sub_iff_add_le'] refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $ mul_subset_mul_left hH₂H.subset).trans_lt aux1₂) $ dvd_sub (dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₂ne.mul ht₂ne) hH₂H.subset).natCast (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $ (card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _ rw [sub_sub] exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) _
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card ⊢ False
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) := by rw [← card_smul_finset a H] exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) ⊢ False
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux4₂ : H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) := by rw [← card_smul_finset b H] exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) aux4₂ : H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [aux2₁, aux2₂, aux3₁, aux3₂, aux4₁, aux4₂]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t) hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t) hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card hH₁ne : H₁.Nonempty hH₂ne : H₂.Nonempty aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) aux4₂ : H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) ⊢ False
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have image_coe_mul : ((s * t).image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))) = s.image (↑) * t.image (↑) := sorry
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
suffices hineq : (s * t).mulStab.card * ((s.image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))).card + (t.image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))).card - 1) ≤ (s * t).card by rw [mul_tsub, mul_one, mul_add, tsub_le_iff_left, card_mulStab_mul_card_image_coe', card_mulStab_mul_card_image_coe'] at hineq convert hineq using 1 exact add_comm _ _
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (s * t).mulStab.card * ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1) ≤ (s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine le_of_le_of_eq (mul_le_mul_left' ?_ _) (card_mul_card_eq_mulStab_card_mul_coe s t).symm
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (s * t).mulStab.card * ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1) ≤ (s * t).card
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have := ih _ ?_ (s.image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))) (t.image (↑)) rfl
case h.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card
case h.inr.inr.inl.refine_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t this : (image QuotientGroup.mk s * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card + (image QuotientGroup.mk t * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card ≤ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card case h.inr.inr.inl.refine_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simpa only [← image_coe_mul, mulStab_image_coe_quotient (hs.mul ht), mul_one, tsub_le_iff_right, card_one] using this
case h.inr.inr.inl.refine_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t this : (image QuotientGroup.mk s * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card + (image QuotientGroup.mk t * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card ≤ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card case h.inr.inr.inl.refine_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card
case h.inr.inr.inl.refine_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [← image_coe_mul, card_mul_card_eq_mulStab_card_mul_coe]
case h.inr.inr.inl.refine_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card
case h.inr.inr.inl.refine_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).mulStab.card * (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + s.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact add_lt_add_of_lt_of_le (lt_mul_left ((hs.mul ht).image _).card_pos $ Finset.one_lt_card.2 ((hs.mul ht).mulStab_nontrivial.2 hstab)) card_image_le
case h.inr.inr.inl.refine_1 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t ⊢ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).mulStab.card * (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + s.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [mul_tsub, mul_one, mul_add, tsub_le_iff_left, card_mulStab_mul_card_image_coe', card_mulStab_mul_card_image_coe'] at hineq
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t hineq : (s * t).mulStab.card * ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1) ≤ (s * t).card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
convert hineq using 1
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case h.e'_4 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card ⊢ (s * t).card + (s * t).mulStab.card = (s * t).mulStab.card + (s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact add_comm _ _
case h.e'_4 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ih : ∀ m < (s * t).card + s.card, ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α), m = (s * t).card + s.card → (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab ≠ 1 image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card ⊢ (s * t).card + (s * t).mulStab.card = (s * t).mulStab.card + (s * t).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [card_singleton, card_singleton_mul, add_comm]
case h.inr.inr.inr.inl.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α t : Finset α ht : t.Nonempty a : α hs : {a}.Nonempty hstab : ({a} * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < ({a} * t).card + {a}.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card ⊢ {a}.card + t.card ≤ ({a} * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine' fun h => hab (Eq.symm (eq_of_div_eq_one _))
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b ⊢ b / a ∉ t.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b h : b / a ∈ t.mulStab ⊢ b / a = 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
replace h := subset_mulStab_mul_right hs h
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b h : b / a ∈ t.mulStab ⊢ b / a = 1
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b h : b / a ∈ (s * t).mulStab ⊢ b / a = 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [hstab, mem_one] at h
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b h : b / a ∈ (s * t).mulStab ⊢ b / a = 1
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b h : b / a = 1 ⊢ b / a = 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact h
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card a : α ha : a ∈ ↑s b : α hb : b ∈ ↑s hab : a ≠ b h : b / a = 1 ⊢ b / a = 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine' ⟨s ∩ t * (s ∪ t), inter_mul_union_subset, (add_le_add_right (card_le_card $ subset_mul_left _ $ one_mem_mulStab.2 $ hst.mul $ hs.mono subset_union_left) _).trans $ ih (s ∩ t) (s ∪ t) _⟩
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} ⊢ convergent.Nonempty
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} ⊢ (s ∩ t * (s ∪ t)).card + (s ∩ t).card < (s * t).card + s.card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact add_lt_add_of_le_of_lt (card_le_card inter_mul_union_subset) (card_lt_card hsts)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} ⊢ (s ∩ t * (s ∪ t)).card + (s ∩ t).card < (s * t).card + s.card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp [hst.ne_empty, hH] at hCcard
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} H : Finset α := ∅.mulStab hH : H = ∅.mulStab hCst : ∅ ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * ∅.mulStab).card ≤ ∅.card + ∅.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [hH, hCstab, card_singleton, card_mul_singleton, card_inter_add_card_union] at hCcard
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab = {1} ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab = {1} hCcard : s.card + t.card ≤ C.card + 1 ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact hCcard.trans (add_le_add_right (card_le_card hCst) _)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab = {1} hCcard : s.card + t.card ≤ C.card + 1 ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [mul_subset_left_iff (hs.mul ht), hstab, ← coe_subset, coe_one]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ ¬s * t * H ⊆ s * t
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ ¬↑H ⊆ 1
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact hCstab.not_subset_singleton
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial ⊢ ¬↑H ⊆ 1
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [hH, ← mulStab_mul_mulStab C, ← smul_mul_smul]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t ⊢ s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t ⊢ s₁ * t₁ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
apply mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t ⊢ s₁ * t₁ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [hH, ← mulStab_mul_mulStab C, ← smul_mul_smul, mul_comm s₂ t₂]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H ⊢ s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H ⊢ t₂ * s₂ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
apply mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H ⊢ t₂ * s₂ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux₁_contr := disjoint_mul_sub_card_le b (hs₁s has₁) (disjoint_iff_inter_eq_empty.2 ht₂) hH₁H.subset
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂✝ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ : t₂ = ∅ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂✝ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ : t₂ = ∅ aux₁_contr : ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [aux1₁, aux₁_contr, Int.natCast_nonneg (t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂✝ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ : t₂ = ∅ aux₁_contr : ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ⊢ False
no goals
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LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
have aux1₁_contr := disjoint_mul_sub_card_le a (ht₁t hbt₁) (disjoint_iff_inter_eq_empty.2 hs₂) (by rw [mul_comm]; exact hH₁H.subset)
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ aux1₁_contr : ↑C.mulStab.card - ↑(t ∩ b • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((t ∪ s) * C.mulStab).card - ↑((t ∪ s) * (t ∩ b • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean
Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [union_comm t s, mul_comm t₁ s₁] at aux1₁_contr
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ aux1₁_contr : ↑C.mulStab.card - ↑(t ∩ b • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ≤ ↑((t ∪ s) * C.mulStab).card - ↑((t ∪ s) * (t ∩ b • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ aux1₁_contr : ↑C.mulStab.card - ↑(t ∩ b • C.mulStab * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
linarith [aux1₁, aux1₁_contr, Int.natCast_nonneg (s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ aux1₁_contr : ↑C.mulStab.card - ↑(t ∩ b • C.mulStab * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card ⊢ False
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [mul_comm]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ ⊢ (t ∩ b • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ ⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
exact hH₁H.subset
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ : s₂ = ∅ ⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rwa [mul_comm]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty ⊢ ¬(b * a) • C.mulStab ⊆ s * t
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rwa [mul_comm]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ ⊢ ¬(b * a) • C.mulStab ⊆ s * t
no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
rw [hH₁, hs₁, ht₁, ← habH, hH] at hH₁H
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H = b • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊂ C.mulStab aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H = b • H ⊢ False
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
refine' aux1₁.not_le _
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊂ C.mulStab aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H = b • H ⊢ False
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊂ C.mulStab aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H = b • H ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [hs₁, ht₁, ← habH, inter_mul_sub_card_le (hs₁s has₁) hH₁H.subset]
case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊂ C.mulStab aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H = b • H ⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ≤ ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [hS, hs₁, ht₂, ← union_inter_distrib_right, sdiff_inter_self_right, Subset.rfl]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T ⊢ S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
no goals
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Finset.mul_kneser
[287, 1]
[530, 54]
simp only [hT, hs₂, ht₁, ← union_inter_distrib_right, sdiff_inter_self_right, Subset.rfl]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty c : α t : Finset α ht : t.Nonempty hstab : (s * t).mulStab = 1 ih : ∀ (s' t' : Finset α), (s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card → (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card hst : (s ∩ t).Nonempty hsts : s ∩ t ⊂ s convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card} C : Finset α H : Finset α := C.mulStab hH : H = C.mulStab hCst : C ⊆ s * t hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent hC : C.Nonempty hCstab : C.mulStab.Nontrivial a : α ha : a ∈ s b : α hb : b ∈ t hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t s₁ : Finset α := s ∩ a • H hs₁ : s₁ = s ∩ a • H s₂ : Finset α := s ∩ b • H hs₂ : s₂ = s ∩ b • H t₁ : Finset α := t ∩ b • H ht₁ : t₁ = t ∩ b • H t₂ : Finset α := t ∩ a • H ht₂ : t₂ = t ∩ a • H hs₁s : s₁ ⊆ s hs₂s : s₂ ⊆ s ht₁t : t₁ ⊆ t ht₂t : t₂ ⊆ t has₁ : a ∈ s₁ hbt₁ : b ∈ t₁ hs₁ne : s₁.Nonempty ht₁ne : t₁.Nonempty C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁ hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁ C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂ hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂ H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab hC₁st : C₁ ⊆ s * t hC₂st : C₂ ⊆ s * t hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁) hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂) hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card hC₁stab : C₁.mulStab = H₁ hH₁H : H₁ ⊂ H aux1₁ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card ht₂ne : t₂.Nonempty hs₂ne : s₂.Nonempty hC₂stab : C₂.mulStab = H₂ hH₂H : H₂ ⊂ H aux1₂ : ↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card < ↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card habH : a • H ≠ b • H S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂) hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂) T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁) hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁) hST : Disjoint S T hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t) ⊢ T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
no goals