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https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	have h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 := by rw [norm_mul] by_cases h : g x = 0 case pos => simp [h, half_pos hε] case neg => convert mul_lt_mul (hF x hx) (h1 x hx) (norm_pos_iff.mpr h) (by positivity) using 1 simp only [div_mul, mul_div_cancel, hMg.ne.symm, Ne.def, not_false_iff]	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖(f * g) x - (F * G) i x‖ < ε	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 ⊢ ‖(f * g) x - (F * G) i x‖ < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	have h3 : ‖F i x * (g x - G i x)‖ < ε / 2 := by rw [norm_mul] by_cases h : F i x = 0 case pos => simp [h, half_pos hε] case neg => convert mul_lt_mul' (hf x hx) (hG x hx) (norm_nonneg _) hMf using 1 field_simp [hMf.ne.symm]; ring	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 ⊢ ‖(f * g) x - (F * G) i x‖ < ε	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h3 : ‖F i x * (g x - G i x)‖ < ε / 2 ⊢ ‖(f * g) x - (F * G) i x‖ < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	simp_rw [Pi.mul_apply, lxyab]	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h3 : ‖F i x * (g x - G i x)‖ < ε / 2 ⊢ ‖(f * g) x - (F * G) i x‖ < ε	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h3 : ‖F i x * (g x - G i x)‖ < ε / 2 ⊢ ‖(f x - F i x) * g x + F i x * (g x - G i x)‖ < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	exact (norm_add_le _ _).trans_lt (add_halves' ε ▸ add_lt_add h2 h3)	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h3 : ‖F i x * (g x - G i x)‖ < ε / 2 ⊢ ‖(f x - F i x) * g x + F i x * (g x - G i x)‖ < ε	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	positivity	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 ⊢ 0 < Mf	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	positivity	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf ⊢ 0 < Mg	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	filter_upwards [hf] with i hF x hx using (hF x hx).trans ((le_abs_self mf).trans (lt_add_one _).le)	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	filter_upwards [hg] with i hG x hx using (hG x hx).trans ((le_abs_self mg).trans (lt_add_one _).le)	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	intro x hx	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg ⊢ ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖g x‖ ≤ Mg
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	refine le_of_tendsto ((continuous_norm.tendsto (g x)).comp (hG.tendsto_at hx)) ?_	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖g x‖ ≤ Mg	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg x : α hx : x ∈ s ⊢ ∀ᶠ (c : ι) in p, ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => G n x) c ≤ Mg
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	filter_upwards [hg] with i hg using hg x hx	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg x : α hx : x ∈ s ⊢ ∀ᶠ (c : ι) in p, ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => G n x) c ≤ Mg	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	positivity	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ ε / (2 * Mg) > 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	positivity	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ ε / (2 * Mf) > 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	rw [norm_mul]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	by_cases h : g x = 0	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2	case pos 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : g x = 0 ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2 case neg 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : ¬g x = 0 ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	case pos => simp [h, half_pos hε]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : g x = 0 ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	case neg => convert mul_lt_mul (hF x hx) (h1 x hx) (norm_pos_iff.mpr h) (by positivity) using 1 simp only [div_mul, mul_div_cancel, hMg.ne.symm, Ne.def, not_false_iff]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : ¬g x = 0 ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	simp [h, half_pos hε]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : g x = 0 ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	convert mul_lt_mul (hF x hx) (h1 x hx) (norm_pos_iff.mpr h) (by positivity) using 1	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : ¬g x = 0 ⊢ ‖f x - F i x‖ * ‖g x‖ < ε / 2	case h.e'_4 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : ¬g x = 0 ⊢ ε / 2 = ε / (2 * Mg) * Mg
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	simp only [div_mul, mul_div_cancel, hMg.ne.symm, Ne.def, not_false_iff]	case h.e'_4 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : ¬g x = 0 ⊢ ε / 2 = ε / (2 * Mg) * Mg	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	positivity	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h : ¬g x = 0 ⊢ 0 ≤ ε / (2 * Mg)	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	rw [norm_mul]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 ⊢ ‖F i x * (g x - G i x)‖ < ε / 2	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	by_cases h : F i x = 0	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2	case pos 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : F i x = 0 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2 case neg 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	case pos => simp [h, half_pos hε]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : F i x = 0 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	case neg => convert mul_lt_mul' (hf x hx) (hG x hx) (norm_nonneg _) hMf using 1 field_simp [hMf.ne.symm]; ring	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	simp [h, half_pos hε]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : F i x = 0 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	convert mul_lt_mul' (hf x hx) (hG x hx) (norm_nonneg _) hMf using 1	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ‖F i x‖ * ‖g x - G i x‖ < ε / 2	case h.e'_4 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ε / 2 = Mf * (ε / (2 * Mf))
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	field_simp [hMf.ne.symm]	case h.e'_4 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ε / 2 = Mf * (ε / (2 * Mf))	case h.e'_4 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ε * (2 * Mf) = Mf * ε * 2
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_le	[76, 1]	[113, 72]	ring	case h.e'_4 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ h✝ : NeBot p Mf : ℝ := \|mf\| + 1 Mg : ℝ := \|mg\| + 1 hMf : 0 < Mf hMg : 0 < Mg hf✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hg : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ Mg h1 : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ Mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ε : ℝ hε : ε > 0 i : ι hf : ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ Mf hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < ε / (2 * Mg) hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < ε / (2 * Mf) x : α hx : x ∈ s h2 : ‖(f x - F i x) * g x‖ < ε / 2 h : ¬F i x = 0 ⊢ ε * (2 * Mf) = Mf * ε * 2	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	have h1 : ∀ᶠ i in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 := by simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hF filter_upwards [hF 1 zero_lt_one] with i hF x hx have : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖ := by simpa [← norm_neg (F i x - f x)] using norm_add_le (F i x - f x) (f x) linarith [hF x hx, hf x hx]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	have h2 : ∀ᶠ i in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1 := by simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hG filter_upwards [hG 1 zero_lt_one] with i hG x hx have : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖ := by simpa [← norm_neg (G i x - g x)] using norm_add_le (G i x - g x) (g x) linarith [hG x hx, hg x hx]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 h2 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1 ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	exact hF.mul_of_le hG h1 h2	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 h2 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1 ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hF	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	filter_upwards [hF 1 zero_lt_one] with i hF x hx	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε i : ι hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	have : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖ := by simpa [← norm_neg (F i x - f x)] using norm_add_le (F i x - f x) (f x)	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε i : ι hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε i : ι hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s this : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖ ⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	linarith [hF x hx, hf x hx]	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε i : ι hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s this : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖ ⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	simpa [← norm_neg (F i x - f x)] using norm_add_le (F i x - f x) (f x)	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε i : ι hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hG	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hG : TendstoUniformlyOn G g p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	filter_upwards [hG 1 zero_lt_one] with i hG x hx	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε i : ι hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	have : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖ := by simpa [← norm_neg (G i x - g x)] using norm_add_le (G i x - g x) (g x)	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε i : ι hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε i : ι hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s this : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖ ⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	linarith [hG x hx, hg x hx]	case h 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε i : ι hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s this : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖ ⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_bound	[115, 1]	[131, 30]	simpa [← norm_neg (G i x - g x)] using norm_add_le (G i x - g x) (g x)	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x✝ y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ hF : TendstoUniformlyOn F f p s hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε i : ι hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.inv_of_compact	[135, 1]	[140, 93]	apply hF.inv	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hf : ContinuousOn f K hK : IsCompact K hfz : ∀ x ∈ K, f x ≠ 0 ⊢ TendstoUniformlyOn F⁻¹ f⁻¹ p K	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hf : ContinuousOn f K hK : IsCompact K hfz : ∀ x ∈ K, f x ≠ 0 ⊢ 𝓟 (f '' K) ⊓ 𝓝 0 = ⊥
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.inv_of_compact	[135, 1]	[140, 93]	rw [inf_comm, inf_principal_eq_bot]	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hf : ContinuousOn f K hK : IsCompact K hfz : ∀ x ∈ K, f x ≠ 0 ⊢ 𝓟 (f '' K) ⊓ 𝓝 0 = ⊥	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hf : ContinuousOn f K hK : IsCompact K hfz : ∀ x ∈ K, f x ≠ 0 ⊢ (f '' K)ᶜ ∈ 𝓝 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.inv_of_compact	[135, 1]	[140, 93]	exact (hK.image_of_continuousOn hf).isClosed.compl_mem_nhds (λ ⟨z, h1, h2⟩ => hfz z h1 h2)	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hf : ContinuousOn f K hK : IsCompact K hfz : ∀ x ∈ K, f x ≠ 0 ⊢ (f '' K)ᶜ ∈ 𝓝 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	by_cases h : K = ∅	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	case pos 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : K = ∅ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K case neg 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : ¬K = ∅ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	case pos => simpa only [h] using tendstoUniformlyOn_empty	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : K = ∅ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	case neg => replace h : K.Nonempty := Set.nonempty_iff_ne_empty.2 h have h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K := continuous_norm.comp_continuousOn hf have h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K := continuous_norm.comp_continuousOn hg obtain ⟨xf, _, h4⟩ : ∃ x ∈ K, ∀ y ∈ K, ‖f y‖ ≤ ‖f x‖ := hK.exists_forall_ge h h2 obtain ⟨xg, _, h5⟩ : ∃ x ∈ K, ∀ y ∈ K, ‖g y‖ ≤ ‖g x‖ := hK.exists_forall_ge h h3 exact hF.mul_of_bound hG h4 h5	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : ¬K = ∅ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	simpa only [h] using tendstoUniformlyOn_empty	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : K = ∅ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	replace h : K.Nonempty := Set.nonempty_iff_ne_empty.2 h	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : ¬K = ∅ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	have h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K := continuous_norm.comp_continuousOn hf	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	have h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K := continuous_norm.comp_continuousOn hg	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	obtain ⟨xf, _, h4⟩ : ∃ x ∈ K, ∀ y ∈ K, ‖f y‖ ≤ ‖f x‖ := hK.exists_forall_ge h h2	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	case intro.intro 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K xf : α left✝ : xf ∈ K h4 : ∀ y ∈ K, ‖f y‖ ≤ ‖f xf‖ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	obtain ⟨xg, _, h5⟩ : ∃ x ∈ K, ∀ y ∈ K, ‖g y‖ ≤ ‖g x‖ := hK.exists_forall_ge h h3	case intro.intro 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K xf : α left✝ : xf ∈ K h4 : ∀ y ∈ K, ‖f y‖ ≤ ‖f xf‖ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	case intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K xf : α left✝¹ : xf ∈ K h4 : ∀ y ∈ K, ‖f y‖ ≤ ‖f xf‖ xg : α left✝ : xg ∈ K h5 : ∀ y ∈ K, ‖g y‖ ≤ ‖g xg‖ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.mul_of_compact	[142, 1]	[154, 35]	exact hF.mul_of_bound hG h4 h5	case intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hK : IsCompact K h : Set.Nonempty K h2 : ContinuousOn (norm ∘ f) K h3 : ContinuousOn (norm ∘ g) K xf : α left✝¹ : xf ∈ K h4 : ∀ y ∈ K, ‖f y‖ ≤ ‖f xf‖ xg : α left✝ : xg ∈ K h5 : ∀ y ∈ K, ‖g y‖ ≤ ‖g xg‖ ⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p K	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.div_of_compact	[156, 1]	[160, 99]	simpa [div_eq_mul_inv] using hF.mul_of_compact (hG.inv_of_compact hg hK hgK) hf (hg.inv₀ hgK) hK	𝕜 : Type u_1 ι : Type u_2 α : Type u_3 s K : Set α inst✝¹ : NormedField 𝕜 F G : ι → α → 𝕜 f g : α → 𝕜 x y : 𝕜 η η' : ℝ p : Filter ι mf mg : ℝ inst✝ : TopologicalSpace α hF : TendstoUniformlyOn F f p K hG : TendstoUniformlyOn G g p K hf : ContinuousOn f K hg : ContinuousOn g K hgK : ∀ z ∈ K, g z ≠ 0 hK : IsCompact K ⊢ TendstoUniformlyOn (F / G) (f / g) p K	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	Filter.Eventually.exists'	[167, 1]	[169, 89]	simpa [and_comm, exists_prop] using (frequently_nhdsWithin_iff.mp h.frequently).exists	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ P : ℝ → Prop t₀ : ℝ h : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] t₀, P t ⊢ ∃ t > t₀, P t	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	rw [hp.locally_zero_iff]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = 0	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	by_cases h : p = 0	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0	case pos ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : p = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0 case neg ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	case pos => simp [h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : p = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	case neg => simp [FormalMultilinearSeries.order_eq_zero_iff h, h] ext1 rw [hp.coeff_zero, hz₀]; rfl	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	simp [h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : p = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	simp [FormalMultilinearSeries.order_eq_zero_iff h, h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 ⊢ FormalMultilinearSeries.order p = 0 ↔ p = 0	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 ⊢ p 0 = 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	ext1	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 ⊢ p 0 = 0	case H ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 x✝ : Fin 0 → ℂ ⊢ (p 0) x✝ = 0 x✝
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	rw [hp.coeff_zero, hz₀]	case H ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 x✝ : Fin 0 → ℂ ⊢ (p 0) x✝ = 0 x✝	case H ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 x✝ : Fin 0 → ℂ ⊢ 0 = 0 x✝
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_eq_zero_iff	[171, 1]	[180, 33]	rfl	case H ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 h : ¬p = 0 x✝ : Fin 0 → ℂ ⊢ 0 = 0 x✝	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	order_pos_iff	[182, 1]	[185, 57]	simp [pos_iff_ne_zero, (order_eq_zero_iff hp hz₀).not]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ hz₀ : f z₀ = 0 ⊢ 0 < FormalMultilinearSeries.order p ↔ ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	cindex_pos	[187, 1]	[191, 89]	obtain ⟨p, hp⟩ := h1	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ h1 : AnalyticAt ℂ f z₀ h2 : f z₀ = 0 h3 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0 ⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, cindex z₀ r f ≠ 0	case intro ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ h2 : f z₀ = 0 h3 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0 p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ ⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, cindex z₀ r f ≠ 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	cindex_pos	[187, 1]	[191, 89]	filter_upwards [cindex_eventually_eq_order hp] with r h4	case intro ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ h2 : f z₀ = 0 h3 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0 p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ ⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, cindex z₀ r f ≠ 0	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r✝ : ℝ U : Set ℂ h2 : f z₀ = 0 h3 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0 p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ r : ℝ h4 : cindex z₀ r f = ↑(FormalMultilinearSeries.order p) ⊢ cindex z₀ r f ≠ 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	cindex_pos	[187, 1]	[191, 89]	simpa [h4, order_eq_zero_iff hp h2] using h3.frequently.filter_mono nhdsWithin_le_nhds	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p✝ : Filter ι r✝ : ℝ U : Set ℂ h2 : f z₀ = 0 h3 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0 p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ ℂ hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀ r : ℝ h4 : cindex z₀ r f = ↑(FormalMultilinearSeries.order p) ⊢ cindex z₀ r f ≠ 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	by_cases h : K = ∅	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	case pos ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : K = ∅ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0 case neg ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	case pos => simp [h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : K = ∅ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	case neg => obtain ⟨z₀, h1, h2⟩ : ∃ z₀ ∈ K, ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ := hK.exists_forall_le (nonempty_iff_ne_empty.2 h) (continuous_norm.comp_continuousOn hf1) have h3 := tendstoUniformlyOn_iff.1 F_conv (‖f z₀‖) (norm_pos_iff.2 (hf2 _ h1)) filter_upwards [h3] with n hn z hz h specialize hn z hz specialize h2 z hz simp [h] at hn h2 linarith	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	simp [h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : K = ∅ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	obtain ⟨z₀, h1, h2⟩ : ∃ z₀ ∈ K, ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ := hK.exists_forall_le (nonempty_iff_ne_empty.2 h) (continuous_norm.comp_continuousOn hf1)	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	case intro.intro ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	have h3 := tendstoUniformlyOn_iff.1 F_conv (‖f z₀‖) (norm_pos_iff.2 (hf2 _ h1))	case intro.intro ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	case intro.intro ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	filter_upwards [h3] with n hn z hz h	case intro.intro ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ z ∈ K, F n z ≠ 0	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι hn : ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 ⊢ False
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	specialize hn z hz	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι hn : ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 ⊢ False	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 hn : dist (f z) (F n z) < ‖f z₀‖ ⊢ False
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	specialize h2 z hz	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h2 : ∀ z ∈ K, ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 hn : dist (f z) (F n z) < ‖f z₀‖ ⊢ False	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 hn : dist (f z) (F n z) < ‖f z₀‖ h2 : ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ ⊢ False
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	simp [h] at hn h2	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 hn : dist (f z) (F n z) < ‖f z₀‖ h2 : ‖f z₀‖ ≤ ‖f z‖ ⊢ False	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 h2 : Complex.abs (f z₀) ≤ Complex.abs (f z) hn : Complex.abs (f z) < Complex.abs (f z₀) ⊢ False
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	hurwitz2_1	[194, 1]	[207, 13]	linarith	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀✝ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U K : Set ℂ hK : IsCompact K F_conv : TendstoUniformlyOn F f p K hf1 : ContinuousOn f K hf2 : ∀ z ∈ K, f z ≠ 0 h✝ : ¬K = ∅ z₀ : ℂ h1 : z₀ ∈ K h3 : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ K, dist (f x) (F n x) < ‖f z₀‖ n : ι z : ℂ hz : z ∈ K h : F n z = 0 h2 : Complex.abs (f z₀) ≤ Complex.abs (f z) hn : Complex.abs (f z) < Complex.abs (f z₀) ⊢ False	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	by_cases h : NeBot p	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	case pos ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z)) case neg ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : ¬NeBot p ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	case neg => simp at h; simp [h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : ¬NeBot p ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	case pos => have f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) := F_conv.continuousOn F_cont rw [Metric.tendsto_nhds] intro ε hε have twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 := by simp [Real.pi_ne_zero, hr.ne.symm] have : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 := mul_pos (inv_pos.mpr (mul_pos (mul_pos two_pos Real.pi_pos) hr)) hε.lt filter_upwards [tendstoUniformlyOn_iff.mp F_conv ((2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε) this, F_cont] with n h h' simp_rw [dist_comm (f _) _, Complex.dist_eq, ← Complex.norm_eq_abs] at h rw [Complex.dist_eq, ← circleIntegral.integral_sub (h'.circleIntegrable hr.le) (f_cont.circleIntegrable hr.le), ← Complex.norm_eq_abs] have : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε := by have : z₀ + r ∈ sphere z₀ r := by simp [hr.le, Real.norm_eq_abs] exact ⟨z₀ + r, this, h _ this⟩ convert circleIntegral.norm_integral_lt_of_norm_le_const_of_lt hr (h'.sub f_cont) (λ z hz => (h z hz).le) this field_simp [hr.ne, Real.pi_ne_zero, two_ne_zero]; ring	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	simp at h	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : ¬NeBot p ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : p = ⊥ ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	simp [h]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : p = ⊥ ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	have f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) := F_conv.continuousOn F_cont	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	rw [Metric.tendsto_nhds]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ⊢ Tendsto (fun i => ∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F i z) p (𝓝 (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z))	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	intro ε hε	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	have twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 := by simp [Real.pi_ne_zero, hr.ne.symm]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 ⊢ ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	have : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 := mul_pos (inv_pos.mpr (mul_pos (mul_pos two_pos Real.pi_pos) hr)) hε.lt	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 ⊢ ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	filter_upwards [tendstoUniformlyOn_iff.mp F_conv ((2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε) this, F_cont] with n h h'	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x : ι) in p, dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F x z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, dist (f x) (F n x) < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) ⊢ dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	simp_rw [dist_comm (f _) _, Complex.dist_eq, ← Complex.norm_eq_abs] at h	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, dist (f x) (F n x) < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) ⊢ dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	rw [Complex.dist_eq, ← circleIntegral.integral_sub (h'.circleIntegrable hr.le) (f_cont.circleIntegrable hr.le), ← Complex.norm_eq_abs]	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ dist (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z) (∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), f z) < ε	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z - f z‖ < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	have : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε := by have : z₀ + r ∈ sphere z₀ r := by simp [hr.le, Real.norm_eq_abs] exact ⟨z₀ + r, this, h _ this⟩	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z - f z‖ < ε	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z - f z‖ < ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	convert circleIntegral.norm_integral_lt_of_norm_le_const_of_lt hr (h'.sub f_cont) (λ z hz => (h z hz).le) this	case h ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(z₀, r), F n z - f z‖ < ε	case h.e'_4 ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ε = 2 * Real.pi * r * ((2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε)
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	field_simp [hr.ne, Real.pi_ne_zero, two_ne_zero]	case h.e'_4 ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ε = 2 * Real.pi * r * ((2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε)	case h.e'_4 ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ε * (2 * Real.pi * r) = 2 * Real.pi * r * ε
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	ring	case h.e'_4 ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ε * (2 * Real.pi * r) = 2 * Real.pi * r * ε	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	simp [Real.pi_ne_zero, hr.ne.symm]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ 2 * Real.pi * r ≠ 0	no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git	c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c	RMT4/hurwitz.lean	TendstoUniformlyOn.tendsto_circle_integral	[209, 1]	[231, 59]	have : z₀ + r ∈ sphere z₀ r := by simp [hr.le, Real.norm_eq_abs]	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε ⊢ ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε	ι : Type u_1 F : ι → ℂ → ℂ f : ℂ → ℂ z₀ : ℂ p : Filter ι r : ℝ U : Set ℂ hr : 0 < r F_cont : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) F_conv : TendstoUniformlyOn F f p (sphere z₀ r) h✝ : NeBot p f_cont : ContinuousOn f (sphere z₀ r) ε : ℝ hε : ε > 0 twopir_ne_zero : 2 * Real.pi * r ≠ 0 this✝ : (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε > 0 n : ι h' : ContinuousOn (F n) (sphere z₀ r) h : ∀ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε this : z₀ + ↑r ∈ sphere z₀ r ⊢ ∃ x ∈ sphere z₀ r, ‖F n x - f x‖ < (2 * Real.pi * r)⁻¹ * ε

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