Datasets:
internlm
/
Lean-Github

Dataset card Data Studio Files Community
1
url
stringclasses
147 values
commit
stringclasses
147 values
file_path
stringlengths
7
101
full_name
stringlengths
1
94
start
stringlengths
6
10
end
stringlengths
6
11
tactic
stringlengths
1
11.2k
state_before
stringlengths
3
2.09M
state_after
stringlengths
6
2.09M
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RMT4/to_mathlib.lean
uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
simp [mem_uIoo] at hh
case h.mp π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : t ∈ uIoo a b ⊒ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
case h.mp π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : a < t ∧ t < b ∨ b < t ∧ t < a ⊒ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
cases hh with | inl h => simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne] | inr h => simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne]
case h.mp π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : a < t ∧ t < b ∨ b < t ∧ t < a ⊒ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
no goals
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne]
case h.mp.inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ h : a < t ∧ t < b ⊒ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
no goals
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne]
case h.mp.inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ h : b < t ∧ t < a ⊒ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
simp_rw [uIoc, mem_diff, mem_Ioc, mem_insert_iff, mem_singleton_iff] at hh
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : t ∈ Ξ™ a b \ {a, b} ⊒ t ∈ uIoo a b
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : (min a b < t ∧ t ≀ max a b) ∧ Β¬(t = a ∨ t = b) ⊒ t ∈ uIoo a b
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
push_neg at hh
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : (min a b < t ∧ t ≀ max a b) ∧ Β¬(t = a ∨ t = b) ⊒ t ∈ uIoo a b
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : (min a b < t ∧ t ≀ max a b) ∧ t β‰  a ∧ t β‰  b ⊒ t ∈ uIoo a b
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
refine ⟨hh.1.1, lt_of_le_of_ne hh.1.2 ?_⟩
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : (min a b < t ∧ t ≀ max a b) ∧ t β‰  a ∧ t β‰  b ⊒ t ∈ uIoo a b
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : (min a b < t ∧ t ≀ max a b) ∧ t β‰  a ∧ t β‰  b ⊒ t β‰  a βŠ” b
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
cases le_total a b <;> simp [*]
case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : (min a b < t ∧ t ≀ max a b) ∧ t β‰  a ∧ t β‰  b ⊒ t β‰  a βŠ” b
no goals
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uIoo_eq_uIcc_sdiff_ends
[73, 1]
[76, 40]
cases le_total a b
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b}
case inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• h✝ : a ≀ b ⊒ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b} case inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• h✝ : b ≀ a ⊒ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b}
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uIoo_eq_uIcc_sdiff_ends
[73, 1]
[76, 40]
simp [uIoo, uIcc, *]
case inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• h✝ : a ≀ b ⊒ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b}
no goals
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uIoo_eq_uIcc_sdiff_ends
[73, 1]
[76, 40]
simp [uIoo, uIcc, *, pair_comm a b]
case inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• h✝ : b ≀ a ⊒ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b}
no goals
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uIoo_subset_uIcc
[78, 1]
[79, 67]
cases le_total a b <;> simp [uIoo, uIcc, Ioo_subset_Icc_self, *]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ uIoo a b βŠ† uIcc a b
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eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc
[87, 1]
[91, 32]
apply eventually_of_mem (U := {a, b}ᢜ)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ βˆ€α΅ (x : ℝ), x ∈ Ξ™ a b β†’ x ∈ uIoo a b
case hU π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ {a, b}ᢜ ∈ Measure.ae volume case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ {a, b}ᢜ, x ∈ Ξ™ a b β†’ x ∈ uIoo a b
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eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc
[87, 1]
[91, 32]
simpa only [mem_ae_iff, compl_compl] using measure_union_null volume_singleton volume_singleton
case hU π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ {a, b}ᢜ ∈ Measure.ae volume
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eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc
[87, 1]
[91, 32]
rw [uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends]
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ {a, b}ᢜ, x ∈ Ξ™ a b β†’ x ∈ uIoo a b
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ {a, b}ᢜ, x ∈ Ξ™ a b β†’ x ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc
[87, 1]
[91, 32]
exact λ t h1 h2 => ⟨h2, h1⟩
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ {a, b}ᢜ, x ∈ Ξ™ a b β†’ x ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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derivWithin_of_mem_uIoo
[98, 1]
[99, 74]
rw [derivWithin, deriv, fderivWithin_of_mem_nhds (uIcc_mem_nhds ht)]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f✝ g f : ℝ β†’ E ht : t ∈ uIoo a b ⊒ derivWithin f (uIcc a b) t = deriv f t
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intervalIntegral.integral_congr_uIoo
[101, 1]
[103, 84]
apply intervalIntegral.integral_congr_ae
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f g : ℝ β†’ E h : EqOn f g (uIoo a b) ⊒ ∫ (t : ℝ) in a..b, f t = ∫ (t : ℝ) in a..b, g t
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f g : ℝ β†’ E h : EqOn f g (uIoo a b) ⊒ βˆ€α΅ (x : ℝ) βˆ‚volume, x ∈ Ξ™ a b β†’ f x = g x
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intervalIntegral.integral_congr_uIoo
[101, 1]
[103, 84]
filter_upwards [eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc] with t ht1 ht2 using h (ht1 ht2)
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f g : ℝ β†’ E h : EqOn f g (uIoo a b) ⊒ βˆ€α΅ (x : ℝ) βˆ‚volume, x ∈ Ξ™ a b β†’ f x = g x
no goals
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ContDiffOn.continuousOn_derivWithin''
[111, 1]
[115, 79]
by_cases hab : a = b
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ n : β„•βˆž h : ContDiffOn ℝ n f (uIcc a b) hn : 1 ≀ n ⊒ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b)
case pos π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ n : β„•βˆž h : ContDiffOn ℝ n f (uIcc a b) hn : 1 ≀ n hab : a = b ⊒ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b) case neg π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ n : β„•βˆž h : ContDiffOn ℝ n f (uIcc a b) hn : 1 ≀ n hab : Β¬a = b ⊒ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b)
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ContDiffOn.continuousOn_derivWithin''
[111, 1]
[115, 79]
simp [continuousOn_singleton, hab]
case pos π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ n : β„•βˆž h : ContDiffOn ℝ n f (uIcc a b) hn : 1 ≀ n hab : a = b ⊒ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b)
no goals
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ContDiffOn.continuousOn_derivWithin''
[111, 1]
[115, 79]
refine h.continuousOn_derivWithin (uniqueDiffOn_Icc (min_lt_max.2 hab)) hn
case neg π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ n : β„•βˆž h : ContDiffOn ℝ n f (uIcc a b) hn : 1 ≀ n hab : Β¬a = b ⊒ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b)
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ContDiffOn.integral_eq_sub'
[117, 1]
[124, 67]
apply integral_eq_sub_of_hasDerivAt_of_le hab.le h.continuousOn
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
case hderiv π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ βˆ€ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) x) x case hint π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ IntervalIntegrable (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) volume a b
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ContDiffOn.integral_eq_sub'
[117, 1]
[124, 67]
intro t ht
case hderiv π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ βˆ€ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) x) x
case hderiv π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b t : ℝ ht : t ∈ Ioo a b ⊒ HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) t) t
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ContDiffOn.integral_eq_sub'
[117, 1]
[124, 67]
apply ((h.differentiableOn le_rfl) t (Ioo_subset_Icc_self ht)).hasDerivWithinAt.hasDerivAt
case hderiv π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b t : ℝ ht : t ∈ Ioo a b ⊒ HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) t) t
case hderiv π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b t : ℝ ht : t ∈ Ioo a b ⊒ Icc a b ∈ 𝓝 t
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ContDiffOn.integral_eq_sub'
[117, 1]
[124, 67]
exact Icc_mem_nhds ht.1 ht.2
case hderiv π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b t : ℝ ht : t ∈ Ioo a b ⊒ Icc a b ∈ 𝓝 t
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub'
[117, 1]
[124, 67]
apply ContinuousOn.intervalIntegrable_of_Icc hab.le
case hint π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ IntervalIntegrable (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) volume a b
case hint π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ ContinuousOn (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) (Icc a b)
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ContDiffOn.integral_eq_sub'
[117, 1]
[124, 67]
exact h.continuousOn_derivWithin (uniqueDiffOn_Icc hab) le_rfl
case hint π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a < b ⊒ ContinuousOn (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) (Icc a b)
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub
[126, 1]
[130, 31]
cases lt_or_eq_of_le hab
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
case inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b h✝ : a < b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a case inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b h✝ : a = b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
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ContDiffOn.integral_eq_sub
[126, 1]
[130, 31]
case inl hab => exact h.integral_eq_sub' hab
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab✝ : a ≀ b hab : a < b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub
[126, 1]
[130, 31]
exact h.integral_eq_sub' hab
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab✝ : a ≀ b hab : a < b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub
[126, 1]
[130, 31]
case inr hab => simp [hab]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab✝ : a ≀ b hab : a = b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub
[126, 1]
[130, 31]
simp [hab]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab✝ : a ≀ b hab : a = b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
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ContDiffOn.integral_derivWithin_smul_comp
[132, 1]
[137, 32]
refine integral_comp_smul_deriv'' hg.continuousOn (Ξ» t ht => ?_) (hg.continuousOn_derivWithin'' le_rfl) hf
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ hg : ContDiffOn ℝ 1 g (uIcc a b) hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b) ⊒ ∫ (x : ℝ) in a..b, derivWithin g (uIcc a b) x β€’ (f ∘ g) x = ∫ (x : ℝ) in g a..g b, f x
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ hg : ContDiffOn ℝ 1 g (uIcc a b) hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b) t : ℝ ht : t ∈ Ioo (min a b) (max a b) ⊒ HasDerivWithinAt g (derivWithin g (uIcc a b) t) (Ioi t) t
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ContDiffOn.integral_derivWithin_smul_comp
[132, 1]
[137, 32]
apply (hg.differentiableOn le_rfl t (uIoo_subset_uIcc ht)).hasDerivWithinAt.mono_of_mem
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ hg : ContDiffOn ℝ 1 g (uIcc a b) hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b) t : ℝ ht : t ∈ Ioo (min a b) (max a b) ⊒ HasDerivWithinAt g (derivWithin g (uIcc a b) t) (Ioi t) t
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ hg : ContDiffOn ℝ 1 g (uIcc a b) hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b) t : ℝ ht : t ∈ Ioo (min a b) (max a b) ⊒ uIcc a b ∈ 𝓝[>] t
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ContDiffOn.integral_derivWithin_smul_comp
[132, 1]
[137, 32]
exact uIcc_mem_nhds_within ht
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ hg : ContDiffOn ℝ 1 g (uIcc a b) hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b) t : ℝ ht : t ∈ Ioo (min a b) (max a b) ⊒ uIcc a b ∈ 𝓝[>] t
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub'''
[139, 1]
[145, 19]
convert h.integral_eq_sub hab using 1
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a
case h.e'_2 π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y
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ContDiffOn.integral_eq_sub'''
[139, 1]
[145, 19]
apply integral_congr_uIoo
case h.e'_2 π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = ∫ (y : ℝ) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y
case h.e'_2.h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ⊒ EqOn (fun t => deriv f t) (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (uIoo a b)
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ContDiffOn.integral_eq_sub'''
[139, 1]
[145, 19]
intro t ht
case h.e'_2.h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ⊒ EqOn (fun t => deriv f t) (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (uIoo a b)
case h.e'_2.h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b t : ℝ ht : t ∈ uIoo a b ⊒ (fun t => deriv f t) t = (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) t
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ContDiffOn.integral_eq_sub'''
[139, 1]
[145, 19]
convert (derivWithin_of_mem_uIoo ht).symm using 3
case h.e'_2.h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b t : ℝ ht : t ∈ uIoo a b ⊒ (fun t => deriv f t) t = (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) t
case h.e'_3.h.e.h.e'_7 π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b t : ℝ ht : t ∈ uIoo a b ⊒ Icc a b = uIcc a b
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ContDiffOn.integral_eq_sub'''
[139, 1]
[145, 19]
simp [uIcc, hab]
case h.e'_3.h.e.h.e'_7 π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b t : ℝ ht : t ∈ uIoo a b ⊒ Icc a b = uIcc a b
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub_u
[147, 1]
[151, 52]
cases le_total a b <;> simp only [uIcc_of_le, uIcc_of_ge, *] at h
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (uIcc a b) ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a
case inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h✝ : a ≀ b h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a case inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h✝ : b ≀ a h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc b a) ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a
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ContDiffOn.integral_eq_sub_u
[147, 1]
[151, 52]
simp [integral_eq_sub''', *]
case inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h✝ : a ≀ b h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub_u
[147, 1]
[151, 52]
simp [integral_symm b a, integral_eq_sub''', *]
case inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h✝ : b ≀ a h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc b a) ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
have l1 : Icc a t βŠ† Icc a b := Icc_subset_Icc_right ht.2
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
have l2 := (h.mono l1).integral_eq_sub''' ht.1
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
rw [← l2]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
apply integral_congr_uIoo
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a ⊒ ∫ (y : ℝ) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a ⊒ EqOn (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (fun t => deriv f t) (uIoo a t)
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
intro u hu
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a ⊒ EqOn (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (fun t => deriv f t) (uIoo a t)
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t ⊒ (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) u = (fun t => deriv f t) u
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
simp
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t ⊒ (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) u = (fun t => deriv f t) u
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t ⊒ derivWithin f (Icc a b) u = deriv f u
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
convert (derivWithin_of_mem_uIoo l3) using 2
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t l3 : u ∈ uIoo a b ⊒ derivWithin f (Icc a b) u = deriv f u
case h.e'_2.h.e'_7 π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t l3 : u ∈ uIoo a b ⊒ Icc a b = uIcc a b
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
simp [uIcc, hab]
case h.e'_2.h.e'_7 π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t l3 : u ∈ uIoo a b ⊒ Icc a b = uIcc a b
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
rw [uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t ⊒ u ∈ uIoo a b
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
simp [uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends, mem_uIoc] at hu
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : u ∈ uIoo a t ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
cases hu.1
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
case inl π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) h✝ : a < u ∧ u ≀ t ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b} case inr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) h✝ : t < u ∧ u ≀ a ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
case inl hh => simp [mem_uIoc] push_neg at hu ⊒ refine ⟨Or.inl ⟨hh.1, hh.2.trans ht.2⟩, hu.2.1, ?_⟩ intro hub subst_vars cases hu.2.2 (le_antisymm hh.2 ht.2)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) hh : a < u ∧ u ≀ t ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
simp [mem_uIoc]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) hh : a < u ∧ u ≀ t ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) hh : a < u ∧ u ≀ t ⊒ (a < u ∧ u ≀ b ∨ b < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = b)
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
push_neg at hu ⊒
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) hh : a < u ∧ u ≀ t ⊒ (a < u ∧ u ≀ b ∨ b < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = b)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t ⊒ (a < u ∧ u ≀ b ∨ b < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  b
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
refine ⟨Or.inl ⟨hh.1, hh.2.trans ht.2⟩, hu.2.1, ?_⟩
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t ⊒ (a < u ∧ u ≀ b ∨ b < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  b
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t ⊒ u β‰  b
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
intro hub
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t ⊒ u β‰  b
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t hub : u = b ⊒ False
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
subst_vars
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t hub : u = b ⊒ False
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a u) hab : a ≀ u ht : t ∈ Icc a u l1 : Icc a t βŠ† Icc a u ⊒ False
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
cases hu.2.2 (le_antisymm hh.2 ht.2)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hh : a < u ∧ u ≀ t hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ u β‰  a ∧ u β‰  t h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a u) hab : a ≀ u ht : t ∈ Icc a u l1 : Icc a t βŠ† Icc a u ⊒ False
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
case inr hh => linarith [ht.1]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) hh : t < u ∧ u ≀ a ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
no goals
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ContDiffOn.integral_eq_sub''
[153, 1]
[174, 19]
linarith [ht.1]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E f : ℝ β†’ E g : ℝ β†’ ℝ h : ContDiffOn ℝ 1 f (Icc a b) hab : a ≀ b ht : t ∈ Icc a b l1 : Icc a t βŠ† Icc a b l2 : ∫ (y : ℝ) in a..t, deriv f y = f t - f a u : ℝ hu : (a < u ∧ u ≀ t ∨ t < u ∧ u ≀ a) ∧ Β¬(u = a ∨ u = t) hh : t < u ∧ u ≀ a ⊒ u ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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RMT4/to_mathlib.lean
List.Sorted.toFinset_sort
[194, 1]
[195, 60]
simp
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• Ξ± : Type u_4 inst✝ : LinearOrder Ξ± l l1 l2 : List Ξ± s : Finset Ξ± hl : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l ⊒ βˆ€ (x : Ξ±), x ∈ Finset.sort (fun x x_1 => x ≀ x_1) (toFinset l) ↔ x ∈ l
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
apply (hf.analyticOn hU).eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero hU' hzβ‚€
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 ⊒ EqOn f 0 U
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 ⊒ f =αΆ [𝓝 zβ‚€] 0
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
obtain ⟨r, hr, hrU⟩ := nhds_basis_ball.mem_iff.1 (hU.mem_nhds hzβ‚€)
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 ⊒ f =αΆ [𝓝 zβ‚€] 0
case intro.intro z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U ⊒ f =αΆ [𝓝 zβ‚€] 0
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
refine eventually_nhds_iff.2 ⟨r, hr, λ z hz => ?_⟩
case intro.intro z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U ⊒ f =αΆ [𝓝 zβ‚€] 0
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r ⊒ f z = 0 z
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
rw [Pi.zero_apply, ← hfzβ‚€]
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r ⊒ f z = 0 z
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r ⊒ f z = f zβ‚€
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
suffices h : βˆ€ z ∈ ball zβ‚€ r, fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) z = 0 by exact (convex_ball zβ‚€ r).is_const_of_fderivWithin_eq_zero (hf.mono hrU) h hz (mem_ball_self hr)
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r ⊒ f z = f zβ‚€
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r ⊒ βˆ€ z ∈ ball zβ‚€ r, fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) z = 0
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
rintro w hw
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r ⊒ βˆ€ z ∈ ball zβ‚€ r, fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) z = 0
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r ⊒ fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) w = 0
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
have : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w := isOpen_ball.uniqueDiffWithinAt hw
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r ⊒ fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) w = 0
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r this : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w ⊒ fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) w = 0
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
rw [fderivWithin_eq_fderiv this (hf.differentiableAt (hU.mem_nhds (hrU hw)))]
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r this : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w ⊒ fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) w = 0
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r this : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w ⊒ fderiv β„‚ f w = 0
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
ext1
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r this : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w ⊒ fderiv β„‚ f w = 0
case intro.intro.h z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r this : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w ⊒ (fderiv β„‚ f w) 1 = 0 1
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
simpa [fderiv_deriv] using hf' (hrU hw)
case intro.intro.h z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r w : β„‚ hw : w ∈ ball zβ‚€ r this : UniqueDiffWithinAt β„‚ (ball zβ‚€ r) w ⊒ (fderiv β„‚ f w) 1 = 0 1
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EqOn_zero_of_deriv_eq_zero
[18, 1]
[31, 42]
exact (convex_ball zβ‚€ r).is_const_of_fderivWithin_eq_zero (hf.mono hrU) h hz (mem_ball_self hr)
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfzβ‚€ : f zβ‚€ = 0 r : ℝ hr : 0 < r hrU : ball zβ‚€ r βŠ† U z : β„‚ hz : dist z zβ‚€ < r h : βˆ€ z ∈ ball zβ‚€ r, fderivWithin β„‚ f (ball zβ‚€ r) z = 0 ⊒ f z = f zβ‚€
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EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
set g := Ξ» z => f z - f zβ‚€
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
have h2 : EqOn (deriv g) 0 U := Ξ» z hz => by rw [deriv_sub_const, hf' hz]
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
have h3 : g zβ‚€ = 0 := by simp [g]
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U h3 : g zβ‚€ = 0 ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
have := EqOn_zero_of_deriv_eq_zero hU hU' (hf.sub_const _) h2 hzβ‚€ h3
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U h3 : g zβ‚€ = 0 ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U h3 : g zβ‚€ = 0 this : EqOn (fun y => f y - f zβ‚€) 0 U ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
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EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
exact Ξ» z hz => sub_eq_zero.1 (this hz)
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U h3 : g zβ‚€ = 0 this : EqOn (fun y => f y - f zβ‚€) 0 U ⊒ EqOn f (fun x => f zβ‚€) U
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EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
rw [deriv_sub_const, hf' hz]
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ deriv g z = 0 z
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_of_deriv_eq_zero
[33, 1]
[40, 42]
simp [g]
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U f : β„‚ β†’ β„‚ hf : DifferentiableOn β„‚ f U hf' : EqOn (deriv f) 0 U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U g : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => f z - f zβ‚€ h2 : EqOn (deriv g) 0 U ⊒ g zβ‚€ = 0
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
refine Ξ» z hz => sub_eq_zero.1 ?_
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ ⊒ EqOn f g U
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ f z - g z = 0
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
have h2 : EqOn (deriv (Ξ» y => f y - g y)) 0 U := by rintro z hz have e1 : U ∈ 𝓝 z := hU.mem_nhds hz rw [deriv_sub (hf.differentiableAt e1) (hg.differentiableAt e1), hfg hz, sub_self] rfl
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ f z - g z = 0
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U h2 : EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U ⊒ f z - g z = 0
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RMT4/has_sqrt.lean
EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
exact EqOn_zero_of_deriv_eq_zero hU hU' (hf.sub hg) h2 hzβ‚€ (by simp [hfgzβ‚€]) hz
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U h2 : EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U ⊒ f z - g z = 0
no goals
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
rintro z hz
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U
z✝¹ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z✝ : β„‚ hz✝ : z✝ ∈ U z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
have e1 : U ∈ 𝓝 z := hU.mem_nhds hz
z✝¹ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z✝ : β„‚ hz✝ : z✝ ∈ U z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z
z✝¹ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z✝ : β„‚ hz✝ : z✝ ∈ U z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : U ∈ 𝓝 z ⊒ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
rw [deriv_sub (hf.differentiableAt e1) (hg.differentiableAt e1), hfg hz, sub_self]
z✝¹ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z✝ : β„‚ hz✝ : z✝ ∈ U z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : U ∈ 𝓝 z ⊒ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z
z✝¹ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z✝ : β„‚ hz✝ : z✝ ∈ U z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : U ∈ 𝓝 z ⊒ 0 = 0 z
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
rfl
z✝¹ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z✝ : β„‚ hz✝ : z✝ ∈ U z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : U ∈ 𝓝 z ⊒ 0 = 0 z
no goals
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EqOn_of_EqOn_deriv
[42, 1]
[51, 82]
simp [hfgzβ‚€]
z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ f g : β„‚ β†’ β„‚ hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U hf : DifferentiableOn β„‚ f U hg : DifferentiableOn β„‚ g U hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U hfgzβ‚€ : f zβ‚€ = g zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ U h2 : EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U ⊒ f zβ‚€ - g zβ‚€ = 0
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has_logs.has_sqrt
[53, 1]
[57, 42]
rintro f hfz hf
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U ⊒ _root_.has_sqrt U
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U f : β„‚ β†’ β„‚ hfz : βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0 hf : DifferentiableOn β„‚ f U ⊒ βˆƒ g, DifferentiableOn β„‚ g U ∧ EqOn f (g ^ 2) U
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has_logs.has_sqrt
[53, 1]
[57, 42]
obtain ⟨l, hl, hlf⟩ := h f hf hfz
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U f : β„‚ β†’ β„‚ hfz : βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0 hf : DifferentiableOn β„‚ f U ⊒ βˆƒ g, DifferentiableOn β„‚ g U ∧ EqOn f (g ^ 2) U
case intro.intro z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U f : β„‚ β†’ β„‚ hfz : βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0 hf : DifferentiableOn β„‚ f U l : β„‚ β†’ β„‚ hl : DifferentiableOn β„‚ l U hlf : EqOn f (cexp ∘ l) U ⊒ βˆƒ g, DifferentiableOn β„‚ g U ∧ EqOn f (g ^ 2) U
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has_logs.has_sqrt
[53, 1]
[57, 42]
refine ⟨λ z => exp (l z / 2), differentiable_exp.comp_differentiableOn (hl.div_const _), λ z hz => ?_⟩
case intro.intro z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U f : β„‚ β†’ β„‚ hfz : βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0 hf : DifferentiableOn β„‚ f U l : β„‚ β†’ β„‚ hl : DifferentiableOn β„‚ l U hlf : EqOn f (cexp ∘ l) U ⊒ βˆƒ g, DifferentiableOn β„‚ g U ∧ EqOn f (g ^ 2) U
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U f : β„‚ β†’ β„‚ hfz : βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0 hf : DifferentiableOn β„‚ f U l : β„‚ β†’ β„‚ hl : DifferentiableOn β„‚ l U hlf : EqOn f (cexp ∘ l) U z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ f z = ((fun z => cexp (l z / 2)) ^ 2) z
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has_logs.has_sqrt
[53, 1]
[57, 42]
simpa [pow_two, ← exp_add] using hlf hz
case intro.intro z✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ h : has_logs U f : β„‚ β†’ β„‚ hfz : βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0 hf : DifferentiableOn β„‚ f U l : β„‚ β†’ β„‚ hl : DifferentiableOn β„‚ l U hlf : EqOn f (cexp ∘ l) U z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ f z = ((fun z => cexp (l z / 2)) ^ 2) z
no goals
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RMT4/has_sqrt.lean
has_primitives.has_logs
[59, 1]
[85, 9]
by_cases h : U = βˆ…
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U ⊒ _root_.has_logs U
case pos z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U h : U = βˆ… ⊒ _root_.has_logs U case neg z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U h : Β¬U = βˆ… ⊒ _root_.has_logs U
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RMT4/has_sqrt.lean
has_primitives.has_logs
[59, 1]
[85, 9]
case pos => exact Ξ» f => by simp [h, DifferentiableOn]
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U h : U = βˆ… ⊒ _root_.has_logs U
no goals
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RMT4/has_sqrt.lean
has_primitives.has_logs
[59, 1]
[85, 9]
case neg => obtain ⟨zβ‚€, hzβ‚€βŸ© := nonempty_iff_ne_empty.2 h rintro f hf hfz obtain ⟨lf, hlf1, hlf2⟩ := hp (deriv f / f) ((hf.deriv hU).div hf hfz) let g : β„‚ β†’ β„‚ := Ξ» z => lf z + (log (f zβ‚€) - lf zβ‚€) set h : β„‚ β†’ β„‚ := f / (exp ∘ g) have h3 : DifferentiableOn β„‚ g U := hlf1.add (differentiableOn_const _) have e4 : DifferentiableOn β„‚ (exp ∘ g) U := differentiable_exp.comp_differentiableOn h3 have e1 : DifferentiableOn β„‚ h U := hf.div e4 (Ξ» z _ => exp_ne_zero _) refine ⟨g, h3, ?_⟩ suffices h : EqOn h (Ξ» _ => 1) U by exact Ξ» z hz => eq_of_div_eq_one (h hz) have : 1 = h zβ‚€ := by unfold_let ; simp [exp_log, hfz zβ‚€ hzβ‚€] rw [this] refine EqOn_of_deriv_eq_zero hU hU' e1 (Ξ» z hz => ?_) hzβ‚€ have f0 : U ∈ 𝓝 z := hU.mem_nhds hz dsimp unfold_let rw [Pi.div_def, deriv_div (hf.differentiableAt f0) (e4.differentiableAt f0) (exp_ne_zero _)] rw [deriv.scomp z differentiableAt_exp (h3.differentiableAt f0)] have e5 : deriv g z = deriv lf z := by unfold_let ; simp field_simp [exp_ne_zero, hlf2 hz, hfz z hz, e5] ring
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U h : Β¬U = βˆ… ⊒ _root_.has_logs U
no goals
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has_primitives.has_logs
[59, 1]
[85, 9]
exact Ξ» f => by simp [h, DifferentiableOn]
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U h : U = βˆ… ⊒ _root_.has_logs U
no goals
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has_primitives.has_logs
[59, 1]
[85, 9]
simp [h, DifferentiableOn]
z zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ hp : has_primitives U hU : IsOpen U hU' : IsPreconnected U h : U = βˆ… f : β„‚ β†’ β„‚ ⊒ DifferentiableOn β„‚ f U β†’ (βˆ€ z ∈ U, f z β‰  0) β†’ βˆƒ g, DifferentiableOn β„‚ g U ∧ EqOn f (cexp ∘ g) U
no goals