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|
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | simp [mem_uIoo] at hh | case h.mp
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : t β uIoo a b
β’ t β Ξ a b \ {a, b} | case h.mp
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : a < t β§ t < b β¨ b < t β§ t < a
β’ t β Ξ a b \ {a, b} |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | cases hh with
| inl h => simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne]
| inr h => simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne] | case h.mp
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : a < t β§ t < b β¨ b < t β§ t < a
β’ t β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne] | case h.mp.inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
h : a < t β§ t < b
β’ t β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | simp [uIoc, h, h.2.le, h.1.ne.symm, h.2.ne] | case h.mp.inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
h : b < t β§ t < a
β’ t β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | simp_rw [uIoc, mem_diff, mem_Ioc, mem_insert_iff, mem_singleton_iff] at hh | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : t β Ξ a b \ {a, b}
β’ t β uIoo a b | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : (min a b < t β§ t β€ max a b) β§ Β¬(t = a β¨ t = b)
β’ t β uIoo a b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | push_neg at hh | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : (min a b < t β§ t β€ max a b) β§ Β¬(t = a β¨ t = b)
β’ t β uIoo a b | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : (min a b < t β§ t β€ max a b) β§ t β a β§ t β b
β’ t β uIoo a b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | refine β¨hh.1.1, lt_of_le_of_ne hh.1.2 ?_β© | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : (min a b < t β§ t β€ max a b) β§ t β a β§ t β b
β’ t β uIoo a b | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : (min a b < t β§ t β€ max a b) β§ t β a β§ t β b
β’ t β a β b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends | [61, 1] | [71, 36] | cases le_total a b <;> simp [*] | case h.mpr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
t : β
hh : (min a b < t β§ t β€ max a b) β§ t β a β§ t β b
β’ t β a β b | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIcc_sdiff_ends | [73, 1] | [76, 40] | cases le_total a b | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b} | case inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
hβ : a β€ b
β’ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b}
case inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
hβ : b β€ a
β’ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b} |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIcc_sdiff_ends | [73, 1] | [76, 40] | simp [uIoo, uIcc, *] | case inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
hβ : a β€ b
β’ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_eq_uIcc_sdiff_ends | [73, 1] | [76, 40] | simp [uIoo, uIcc, *, pair_comm a b] | case inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
hβ : b β€ a
β’ uIoo a b = uIcc a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | uIoo_subset_uIcc | [78, 1] | [79, 67] | cases le_total a b <;> simp [uIoo, uIcc, Ioo_subset_Icc_self, *] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ uIoo a b β uIcc a b | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc | [87, 1] | [91, 32] | apply eventually_of_mem (U := {a, b}αΆ) | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ βα΅ (x : β), x β Ξ a b β x β uIoo a b | case hU
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ {a, b}αΆ β Measure.ae volume
case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ β x β {a, b}αΆ, x β Ξ a b β x β uIoo a b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc | [87, 1] | [91, 32] | simpa only [mem_ae_iff, compl_compl] using measure_union_null volume_singleton volume_singleton | case hU
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ {a, b}αΆ β Measure.ae volume | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc | [87, 1] | [91, 32] | rw [uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends] | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ β x β {a, b}αΆ, x β Ξ a b β x β uIoo a b | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ β x β {a, b}αΆ, x β Ξ a b β x β Ξ a b \ {a, b} |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc | [87, 1] | [91, 32] | exact Ξ» t h1 h2 => β¨h2, h1β© | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
β’ β x β {a, b}αΆ, x β Ξ a b β x β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | derivWithin_of_mem_uIoo | [98, 1] | [99, 74] | rw [derivWithin, deriv, fderivWithin_of_mem_nhds (uIcc_mem_nhds ht)] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
fβ g f : β β E
ht : t β uIoo a b
β’ derivWithin f (uIcc a b) t = deriv f t | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | intervalIntegral.integral_congr_uIoo | [101, 1] | [103, 84] | apply intervalIntegral.integral_congr_ae | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
f g : β β E
h : EqOn f g (uIoo a b)
β’ β« (t : β) in a..b, f t = β« (t : β) in a..b, g t | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
f g : β β E
h : EqOn f g (uIoo a b)
β’ βα΅ (x : β) βvolume, x β Ξ a b β f x = g x |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | intervalIntegral.integral_congr_uIoo | [101, 1] | [103, 84] | filter_upwards [eventually_mem_uIoo_of_mem_uIoc] with t ht1 ht2 using h (ht1 ht2) | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒΉ : NormedAddCommGroup E
instβ : NormedSpace β E
f g : β β E
h : EqOn f g (uIoo a b)
β’ βα΅ (x : β) βvolume, x β Ξ a b β f x = g x | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.continuousOn_derivWithin'' | [111, 1] | [115, 79] | by_cases hab : a = b | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
nβ : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
n : ββ
h : ContDiffOn β n f (uIcc a b)
hn : 1 β€ n
β’ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b) | case pos
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
nβ : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
n : ββ
h : ContDiffOn β n f (uIcc a b)
hn : 1 β€ n
hab : a = b
β’ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b)
case neg
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
nβ : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
n : ββ
h : ContDiffOn β n f (uIcc a b)
hn : 1 β€ n
hab : Β¬a = b
β’ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b) |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.continuousOn_derivWithin'' | [111, 1] | [115, 79] | simp [continuousOn_singleton, hab] | case pos
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
nβ : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
n : ββ
h : ContDiffOn β n f (uIcc a b)
hn : 1 β€ n
hab : a = b
β’ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b) | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.continuousOn_derivWithin'' | [111, 1] | [115, 79] | refine h.continuousOn_derivWithin (uniqueDiffOn_Icc (min_lt_max.2 hab)) hn | case neg
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
nβ : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
n : ββ
h : ContDiffOn β n f (uIcc a b)
hn : 1 β€ n
hab : Β¬a = b
β’ ContinuousOn (derivWithin f (uIcc a b)) (uIcc a b) | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub' | [117, 1] | [124, 67] | apply integral_eq_sub_of_hasDerivAt_of_le hab.le h.continuousOn | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a | case hderiv
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ β x β Ioo a b, HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) x) x
case hint
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ IntervalIntegrable (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) volume a b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub' | [117, 1] | [124, 67] | intro t ht | case hderiv
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ β x β Ioo a b, HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) x) x | case hderiv
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
t : β
ht : t β Ioo a b
β’ HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) t) t |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub' | [117, 1] | [124, 67] | apply ((h.differentiableOn le_rfl) t (Ioo_subset_Icc_self ht)).hasDerivWithinAt.hasDerivAt | case hderiv
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
t : β
ht : t β Ioo a b
β’ HasDerivAt f (derivWithin f (Icc a b) t) t | case hderiv
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
t : β
ht : t β Ioo a b
β’ Icc a b β π t |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub' | [117, 1] | [124, 67] | exact Icc_mem_nhds ht.1 ht.2 | case hderiv
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
t : β
ht : t β Ioo a b
β’ Icc a b β π t | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub' | [117, 1] | [124, 67] | apply ContinuousOn.intervalIntegrable_of_Icc hab.le | case hint
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ IntervalIntegrable (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) volume a b | case hint
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ ContinuousOn (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) (Icc a b) |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub' | [117, 1] | [124, 67] | exact h.continuousOn_derivWithin (uniqueDiffOn_Icc hab) le_rfl | case hint
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a < b
β’ ContinuousOn (fun y => derivWithin f (Icc a b) y) (Icc a b) | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub | [126, 1] | [130, 31] | cases lt_or_eq_of_le hab | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a | case inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
hβ : a < b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a
case inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
hβ : a = b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub | [126, 1] | [130, 31] | case inl hab => exact h.integral_eq_sub' hab | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
habβ : a β€ b
hab : a < b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub | [126, 1] | [130, 31] | exact h.integral_eq_sub' hab | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
habβ : a β€ b
hab : a < b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub | [126, 1] | [130, 31] | case inr hab => simp [hab] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
habβ : a β€ b
hab : a = b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub | [126, 1] | [130, 31] | simp [hab] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
habβ : a β€ b
hab : a = b
β’ β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y = f b - f a | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_derivWithin_smul_comp | [132, 1] | [137, 32] | refine integral_comp_smul_deriv'' hg.continuousOn (Ξ» t ht => ?_) (hg.continuousOn_derivWithin'' le_rfl) hf | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hg : ContDiffOn β 1 g (uIcc a b)
hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b)
β’ β« (x : β) in a..b, derivWithin g (uIcc a b) x β’ (f β g) x = β« (x : β) in g a..g b, f x | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hg : ContDiffOn β 1 g (uIcc a b)
hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b)
t : β
ht : t β Ioo (min a b) (max a b)
β’ HasDerivWithinAt g (derivWithin g (uIcc a b) t) (Ioi t) t |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_derivWithin_smul_comp | [132, 1] | [137, 32] | apply (hg.differentiableOn le_rfl t (uIoo_subset_uIcc ht)).hasDerivWithinAt.mono_of_mem | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hg : ContDiffOn β 1 g (uIcc a b)
hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b)
t : β
ht : t β Ioo (min a b) (max a b)
β’ HasDerivWithinAt g (derivWithin g (uIcc a b) t) (Ioi t) t | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hg : ContDiffOn β 1 g (uIcc a b)
hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b)
t : β
ht : t β Ioo (min a b) (max a b)
β’ uIcc a b β π[>] t |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_derivWithin_smul_comp | [132, 1] | [137, 32] | exact uIcc_mem_nhds_within ht | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hg : ContDiffOn β 1 g (uIcc a b)
hf : ContinuousOn f (g '' uIcc a b)
t : β
ht : t β Ioo (min a b) (max a b)
β’ uIcc a b β π[>] t | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub''' | [139, 1] | [145, 19] | convert h.integral_eq_sub hab using 1 | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = f b - f a | case h.e'_2
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub''' | [139, 1] | [145, 19] | apply integral_congr_uIoo | case h.e'_2
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = β« (y : β) in a..b, derivWithin f (Icc a b) y | case h.e'_2.h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
β’ EqOn (fun t => deriv f t) (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (uIoo a b) |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub''' | [139, 1] | [145, 19] | intro t ht | case h.e'_2.h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
β’ EqOn (fun t => deriv f t) (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (uIoo a b) | case h.e'_2.h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
t : β
ht : t β uIoo a b
β’ (fun t => deriv f t) t = (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) t |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub''' | [139, 1] | [145, 19] | convert (derivWithin_of_mem_uIoo ht).symm using 3 | case h.e'_2.h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
t : β
ht : t β uIoo a b
β’ (fun t => deriv f t) t = (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) t | case h.e'_3.h.e.h.e'_7
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
t : β
ht : t β uIoo a b
β’ Icc a b = uIcc a b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub''' | [139, 1] | [145, 19] | simp [uIcc, hab] | case h.e'_3.h.e.h.e'_7
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b tβ : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
t : β
ht : t β uIoo a b
β’ Icc a b = uIcc a b | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub_u | [147, 1] | [151, 52] | cases le_total a b <;> simp only [uIcc_of_le, uIcc_of_ge, *] at h | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (uIcc a b)
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = f b - f a | case inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hβ : a β€ b
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = f b - f a
case inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hβ : b β€ a
h : ContDiffOn β 1 f (Icc b a)
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = f b - f a |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub_u | [147, 1] | [151, 52] | simp [integral_eq_sub''', *] | case inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hβ : a β€ b
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = f b - f a | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub_u | [147, 1] | [151, 52] | simp [integral_symm b a, integral_eq_sub''', *] | case inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
hβ : b β€ a
h : ContDiffOn β 1 f (Icc b a)
β’ β« (y : β) in a..b, deriv f y = f b - f a | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | have l1 : Icc a t β Icc a b := Icc_subset_Icc_right ht.2 | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | have l2 := (h.mono l1).integral_eq_sub''' ht.1 | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | rw [β l2] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = f t - f a | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = β« (y : β) in a..t, deriv f y |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | apply integral_congr_uIoo | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
β’ β« (y : β) in a..t, derivWithin f (Icc a b) y = β« (y : β) in a..t, deriv f y | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
β’ EqOn (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (fun t => deriv f t) (uIoo a t) |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | intro u hu | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
β’ EqOn (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) (fun t => deriv f t) (uIoo a t) | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
β’ (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) u = (fun t => deriv f t) u |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | simp | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
β’ (fun t => derivWithin f (Icc a b) t) u = (fun t => deriv f t) u | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
β’ derivWithin f (Icc a b) u = deriv f u |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | convert (derivWithin_of_mem_uIoo l3) using 2 | case h
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
l3 : u β uIoo a b
β’ derivWithin f (Icc a b) u = deriv f u | case h.e'_2.h.e'_7
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
l3 : u β uIoo a b
β’ Icc a b = uIcc a b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | simp [uIcc, hab] | case h.e'_2.h.e'_7
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
l3 : u β uIoo a b
β’ Icc a b = uIcc a b | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | rw [uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
β’ u β uIoo a b | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
β’ u β Ξ a b \ {a, b} |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | simp [uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends, mem_uIoc] at hu | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : u β uIoo a t
β’ u β Ξ a b \ {a, b} | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
β’ u β Ξ a b \ {a, b} |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | cases hu.1 | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
β’ u β Ξ a b \ {a, b} | case inl
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hβ : a < u β§ u β€ t
β’ u β Ξ a b \ {a, b}
case inr
π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hβ : t < u β§ u β€ a
β’ u β Ξ a b \ {a, b} |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | case inl hh =>
simp [mem_uIoc]
push_neg at hu β’
refine β¨Or.inl β¨hh.1, hh.2.trans ht.2β©, hu.2.1, ?_β©
intro hub
subst_vars
cases hu.2.2 (le_antisymm hh.2 ht.2) | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hh : a < u β§ u β€ t
β’ u β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | simp [mem_uIoc] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hh : a < u β§ u β€ t
β’ u β Ξ a b \ {a, b} | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hh : a < u β§ u β€ t
β’ (a < u β§ u β€ b β¨ b < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = b) |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | push_neg at hu β’ | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hh : a < u β§ u β€ t
β’ (a < u β§ u β€ b β¨ b < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = b) | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
β’ (a < u β§ u β€ b β¨ b < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | refine β¨Or.inl β¨hh.1, hh.2.trans ht.2β©, hu.2.1, ?_β© | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
β’ (a < u β§ u β€ b β¨ b < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β b | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
β’ u β b |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | intro hub | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
β’ u β b | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
hub : u = b
β’ False |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | subst_vars | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
hub : u = b
β’ False | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a u)
hab : a β€ u
ht : t β Icc a u
l1 : Icc a t β Icc a u
β’ False |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | cases hu.2.2 (le_antisymm hh.2 ht.2) | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hh : a < u β§ u β€ t
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ u β a β§ u β t
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a u)
hab : a β€ u
ht : t β Icc a u
l1 : Icc a t β Icc a u
β’ False | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | case inr hh => linarith [ht.1] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hh : t < u β§ u β€ a
β’ u β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | ContDiffOn.integral_eq_sub'' | [153, 1] | [174, 19] | linarith [ht.1] | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
instβΒ² : NormedAddCommGroup E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : CompleteSpace E
f : β β E
g : β β β
h : ContDiffOn β 1 f (Icc a b)
hab : a β€ b
ht : t β Icc a b
l1 : Icc a t β Icc a b
l2 : β« (y : β) in a..t, deriv f y = f t - f a
u : β
hu : (a < u β§ u β€ t β¨ t < u β§ u β€ a) β§ Β¬(u = a β¨ u = t)
hh : t < u β§ u β€ a
β’ u β Ξ a b \ {a, b} | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/to_mathlib.lean | List.Sorted.toFinset_sort | [194, 1] | [195, 60] | simp | π : Type u_1
E : Type u_2
V : Type u_3
r : β
z : β
a b t : β
n : β
Ξ± : Type u_4
instβ : LinearOrder Ξ±
l l1 l2 : List Ξ±
s : Finset Ξ±
hl : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
β’ β (x : Ξ±), x β Finset.sort (fun x x_1 => x β€ x_1) (toFinset l) β x β l | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | apply (hf.analyticOn hU).eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero hU' hzβ | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
β’ EqOn f 0 U | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
β’ f =αΆ [π zβ] 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | obtain β¨r, hr, hrUβ© := nhds_basis_ball.mem_iff.1 (hU.mem_nhds hzβ) | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
β’ f =αΆ [π zβ] 0 | case intro.intro
z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
β’ f =αΆ [π zβ] 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | refine eventually_nhds_iff.2 β¨r, hr, Ξ» z hz => ?_β© | case intro.intro
z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
β’ f =αΆ [π zβ] 0 | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
β’ f z = 0 z |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | rw [Pi.zero_apply, β hfzβ] | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
β’ f z = 0 z | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
β’ f z = f zβ |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | suffices h : β z β ball zβ r, fderivWithin β f (ball zβ r) z = 0
by exact (convex_ball zβ r).is_const_of_fderivWithin_eq_zero (hf.mono hrU) h hz (mem_ball_self hr) | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
β’ f z = f zβ | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
β’ β z β ball zβ r, fderivWithin β f (ball zβ r) z = 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | rintro w hw | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
β’ β z β ball zβ r, fderivWithin β f (ball zβ r) z = 0 | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
β’ fderivWithin β f (ball zβ r) w = 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | have : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w := isOpen_ball.uniqueDiffWithinAt hw | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
β’ fderivWithin β f (ball zβ r) w = 0 | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
this : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w
β’ fderivWithin β f (ball zβ r) w = 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | rw [fderivWithin_eq_fderiv this (hf.differentiableAt (hU.mem_nhds (hrU hw)))] | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
this : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w
β’ fderivWithin β f (ball zβ r) w = 0 | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
this : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w
β’ fderiv β f w = 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | ext1 | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
this : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w
β’ fderiv β f w = 0 | case intro.intro.h
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
this : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w
β’ (fderiv β f w) 1 = 0 1 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | simpa [fderiv_deriv] using hf' (hrU hw) | case intro.intro.h
zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
w : β
hw : w β ball zβ r
this : UniqueDiffWithinAt β (ball zβ r) w
β’ (fderiv β f w) 1 = 0 1 | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_zero_of_deriv_eq_zero | [18, 1] | [31, 42] | exact (convex_ball zβ r).is_const_of_fderivWithin_eq_zero (hf.mono hrU) h hz (mem_ball_self hr) | zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
hfzβ : f zβ = 0
r : β
hr : 0 < r
hrU : ball zβ r β U
z : β
hz : dist z zβ < r
h : β z β ball zβ r, fderivWithin β f (ball zβ r) z = 0
β’ f z = f zβ | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | set g := Ξ» z => f z - f zβ | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | have h2 : EqOn (deriv g) 0 U := Ξ» z hz => by rw [deriv_sub_const, hf' hz] | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | have h3 : g zβ = 0 := by simp [g] | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
h3 : g zβ = 0
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | have := EqOn_zero_of_deriv_eq_zero hU hU' (hf.sub_const _) h2 hzβ h3 | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
h3 : g zβ = 0
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
h3 : g zβ = 0
this : EqOn (fun y => f y - f zβ) 0 U
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | exact Ξ» z hz => sub_eq_zero.1 (this hz) | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
h3 : g zβ = 0
this : EqOn (fun y => f y - f zβ) 0 U
β’ EqOn f (fun x => f zβ) U | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | rw [deriv_sub_const, hf' hz] | zβ zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
z : β
hz : z β U
β’ deriv g z = 0 z | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_deriv_eq_zero | [33, 1] | [40, 42] | simp [g] | z zβ : β
U : Set β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : β β β
hf : DifferentiableOn β f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hzβ : zβ β U
g : β β β := fun z => f z - f zβ
h2 : EqOn (deriv g) 0 U
β’ g zβ = 0 | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | refine Ξ» z hz => sub_eq_zero.1 ?_ | z zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
β’ EqOn f g U | zβ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
z : β
hz : z β U
β’ f z - g z = 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | have h2 : EqOn (deriv (Ξ» y => f y - g y)) 0 U := by
rintro z hz
have e1 : U β π z := hU.mem_nhds hz
rw [deriv_sub (hf.differentiableAt e1) (hg.differentiableAt e1), hfg hz, sub_self]
rfl | zβ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
z : β
hz : z β U
β’ f z - g z = 0 | zβ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
z : β
hz : z β U
h2 : EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U
β’ f z - g z = 0 |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | exact EqOn_zero_of_deriv_eq_zero hU hU' (hf.sub hg) h2 hzβ (by simp [hfgzβ]) hz | zβ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
z : β
hz : z β U
h2 : EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U
β’ f z - g z = 0 | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | rintro z hz | zβ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
z : β
hz : z β U
β’ EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U | zβΒΉ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
zβ : β
hzβ : zβ β U
z : β
hz : z β U
β’ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | have e1 : U β π z := hU.mem_nhds hz | zβΒΉ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
zβ : β
hzβ : zβ β U
z : β
hz : z β U
β’ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z | zβΒΉ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
zβ : β
hzβ : zβ β U
z : β
hz : z β U
e1 : U β π z
β’ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | rw [deriv_sub (hf.differentiableAt e1) (hg.differentiableAt e1), hfg hz, sub_self] | zβΒΉ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
zβ : β
hzβ : zβ β U
z : β
hz : z β U
e1 : U β π z
β’ deriv (fun y => f y - g y) z = 0 z | zβΒΉ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
zβ : β
hzβ : zβ β U
z : β
hz : z β U
e1 : U β π z
β’ 0 = 0 z |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | rfl | zβΒΉ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
zβ : β
hzβ : zβ β U
z : β
hz : z β U
e1 : U β π z
β’ 0 = 0 z | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | EqOn_of_EqOn_deriv | [42, 1] | [51, 82] | simp [hfgzβ] | zβ zβ : β
U : Set β
f g : β β β
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
hf : DifferentiableOn β f U
hg : DifferentiableOn β g U
hfg : EqOn (deriv f) (deriv g) U
hzβ : zβ β U
hfgzβ : f zβ = g zβ
z : β
hz : z β U
h2 : EqOn (deriv fun y => f y - g y) 0 U
β’ f zβ - g zβ = 0 | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_logs.has_sqrt | [53, 1] | [57, 42] | rintro f hfz hf | z zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
β’ _root_.has_sqrt U | z zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
f : β β β
hfz : β z β U, f z β 0
hf : DifferentiableOn β f U
β’ β g, DifferentiableOn β g U β§ EqOn f (g ^ 2) U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_logs.has_sqrt | [53, 1] | [57, 42] | obtain β¨l, hl, hlfβ© := h f hf hfz | z zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
f : β β β
hfz : β z β U, f z β 0
hf : DifferentiableOn β f U
β’ β g, DifferentiableOn β g U β§ EqOn f (g ^ 2) U | case intro.intro
z zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
f : β β β
hfz : β z β U, f z β 0
hf : DifferentiableOn β f U
l : β β β
hl : DifferentiableOn β l U
hlf : EqOn f (cexp β l) U
β’ β g, DifferentiableOn β g U β§ EqOn f (g ^ 2) U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_logs.has_sqrt | [53, 1] | [57, 42] | refine β¨Ξ» z => exp (l z / 2), differentiable_exp.comp_differentiableOn (hl.div_const _), Ξ» z hz => ?_β© | case intro.intro
z zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
f : β β β
hfz : β z β U, f z β 0
hf : DifferentiableOn β f U
l : β β β
hl : DifferentiableOn β l U
hlf : EqOn f (cexp β l) U
β’ β g, DifferentiableOn β g U β§ EqOn f (g ^ 2) U | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
f : β β β
hfz : β z β U, f z β 0
hf : DifferentiableOn β f U
l : β β β
hl : DifferentiableOn β l U
hlf : EqOn f (cexp β l) U
z : β
hz : z β U
β’ f z = ((fun z => cexp (l z / 2)) ^ 2) z |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_logs.has_sqrt | [53, 1] | [57, 42] | simpa [pow_two, β exp_add] using hlf hz | case intro.intro
zβ zβ : β
U : Set β
h : has_logs U
f : β β β
hfz : β z β U, f z β 0
hf : DifferentiableOn β f U
l : β β β
hl : DifferentiableOn β l U
hlf : EqOn f (cexp β l) U
z : β
hz : z β U
β’ f z = ((fun z => cexp (l z / 2)) ^ 2) z | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_primitives.has_logs | [59, 1] | [85, 9] | by_cases h : U = β
| z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
β’ _root_.has_logs U | case pos
z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
h : U = β
β’ _root_.has_logs U
case neg
z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
h : Β¬U = β
β’ _root_.has_logs U |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_primitives.has_logs | [59, 1] | [85, 9] | case pos => exact Ξ» f => by simp [h, DifferentiableOn] | z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
h : U = β
β’ _root_.has_logs U | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_primitives.has_logs | [59, 1] | [85, 9] | case neg =>
obtain β¨zβ, hzββ© := nonempty_iff_ne_empty.2 h
rintro f hf hfz
obtain β¨lf, hlf1, hlf2β© := hp (deriv f / f) ((hf.deriv hU).div hf hfz)
let g : β β β := Ξ» z => lf z + (log (f zβ) - lf zβ)
set h : β β β := f / (exp β g)
have h3 : DifferentiableOn β g U := hlf1.add (differentiableOn_const _)
have e4 : DifferentiableOn β (exp β g) U := differentiable_exp.comp_differentiableOn h3
have e1 : DifferentiableOn β h U := hf.div e4 (Ξ» z _ => exp_ne_zero _)
refine β¨g, h3, ?_β©
suffices h : EqOn h (Ξ» _ => 1) U
by exact Ξ» z hz => eq_of_div_eq_one (h hz)
have : 1 = h zβ := by unfold_let ; simp [exp_log, hfz zβ hzβ]
rw [this]
refine EqOn_of_deriv_eq_zero hU hU' e1 (Ξ» z hz => ?_) hzβ
have f0 : U β π z := hU.mem_nhds hz
dsimp
unfold_let
rw [Pi.div_def, deriv_div (hf.differentiableAt f0) (e4.differentiableAt f0) (exp_ne_zero _)]
rw [deriv.scomp z differentiableAt_exp (h3.differentiableAt f0)]
have e5 : deriv g z = deriv lf z := by unfold_let ; simp
field_simp [exp_ne_zero, hlf2 hz, hfz z hz, e5]
ring | z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
h : Β¬U = β
β’ _root_.has_logs U | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_primitives.has_logs | [59, 1] | [85, 9] | exact Ξ» f => by simp [h, DifferentiableOn] | z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
h : U = β
β’ _root_.has_logs U | no goals |
https://github.com/vbeffara/RMT4.git | c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c | RMT4/has_sqrt.lean | has_primitives.has_logs | [59, 1] | [85, 9] | simp [h, DifferentiableOn] | z zβ : β
U : Set β
hp : has_primitives U
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
h : U = β
f : β β β
β’ DifferentiableOn β f U β (β z β U, f z β 0) β β g, DifferentiableOn β g U β§ EqOn f (cexp β g) U | no goals |
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