Datasets:
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Lean-Github

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https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
norm_cast
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ Complex.abs (1 - ↑(normSq u)) ≀ 1
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ |1 - normSq u| ≀ 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
rw [abs_sub_le_iff]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ |1 - normSq u| ≀ 1
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ 1 - normSq u ≀ 1 ∧ normSq u - 1 ≀ 1
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
refine ⟨?_, ?_⟩
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ 1 - normSq u ≀ 1 ∧ normSq u - 1 ≀ 1
case refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ 1 - normSq u ≀ 1 case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ normSq u - 1 ≀ 1
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
repeat linarith
case refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ 1 - normSq u ≀ 1 case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ normSq u - 1 ≀ 1
no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
simpa [normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm] using one_sub_mul_conj_ne_zero u_in_𝔻 u_in_𝔻
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 ⊒ 1 - ↑(normSq u) β‰  0
no goals
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
set w := 1 - conj u * u with hw
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 ⊒ deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u ⊒ deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
have : w β‰  0 := by simpa [normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm u] using e1
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u ⊒ deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u this : w β‰  0 ⊒ deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
rw [Ο†_deriv u_in_𝔻 u_in_𝔻, normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm u, ← hw]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u this : w β‰  0 ⊒ deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u))
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u this : w β‰  0 ⊒ w / w ^ 2 = 1 / w
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
field_simp
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u this : w β‰  0 ⊒ w / w ^ 2 = 1 / w
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u this : w β‰  0 ⊒ w * w = w ^ 2
https://github.com/vbeffara/RMT4.git
c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
ring
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u this : w β‰  0 ⊒ w * w = w ^ 2
no goals
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
simpa [normSq_eq_conj_mul_self, mul_comm u] using e1
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 w : β„‚ := 1 - (starRingEnd β„‚) u * u hw : w = 1 - (starRingEnd β„‚) u * u ⊒ w β‰  0
no goals
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
rw [normSq_eq_abs]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊒ normSq u < 1
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊒ Complex.abs u ^ 2 < 1
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
have : abs u < 1 := mem_𝔻_iff.mp u_in_𝔻
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u ⊒ Complex.abs u ^ 2 < 1
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u this : Complex.abs u < 1 ⊒ Complex.abs u ^ 2 < 1
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
simp only [sq_lt_one_iff_abs_lt_one, Complex.abs_abs, this]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 g'0_eq_mul : deriv g 0 = deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u * deriv f 0 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u this : Complex.abs u < 1 ⊒ Complex.abs u ^ 2 < 1
no goals
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RMT4/etape2.lean
non_injective_schwarz
[62, 1]
[112, 37]
linarith
case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U f : β„‚ β†’ β„‚ f_diff : DifferentiableOn β„‚ f 𝔻 f_img : MapsTo f 𝔻 𝔻 f_noninj : Β¬InjOn f 𝔻 u : β„‚ := f 0 u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 g : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† u_in_𝔻).to_fun ∘ f g_diff : DifferentiableOn β„‚ g 𝔻 g_maps : MapsTo g 𝔻 𝔻 g_0_eq_0 : g 0 = 0 h : Β¬Complex.abs (deriv g 0) = 1 g'0_le_1 : Complex.abs (deriv g 0) ≀ 1 g'0_lt_1 : Complex.abs (deriv g 0) < 1 e1 : 1 - ↑(normSq u) β‰  0 Ο†'u_u : deriv (Ο† u_in_𝔻).to_fun u = 1 / (1 - ↑(normSq u)) e2 : 0 ≀ normSq u e3 : normSq u < 1 g'0_eq_mul : deriv f 0 = (1 - ↑(normSq u)) * deriv g 0 ⊒ normSq u - 1 ≀ 1
no goals
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
obtain ⟨u, u_in_𝔻, u_not_in_f_U⟩ := exists_of_ssubset hf
z u zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
let Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
let Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := Ο†α΅€.comp f
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f z β‰  0 := Ξ» z z_in_U hz => by refine u_not_in_f_U ⟨z, z_in_U, ?_⟩ apply Ο†α΅€.is_inj (f.maps_to z_in_U) u_in_𝔻 dsimp [Ο†α΅€f] at hz rw [hz] simp [Ο†α΅€, Ο†]
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
obtain ⟨g, hg⟩ := Ο†α΅€f.sqrt' Ο†α΅€f_ne_zero
case intro.intro z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
let v : β„‚ := g zβ‚€
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
have v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 := g.maps_to hzβ‚€
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
let h : embedding U 𝔻 := (Ο† v_in_𝔻).comp g
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
have h_zβ‚€_eq_0 : h zβ‚€ = 0 := by simp [h, Ο†]
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
let Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := Ξ» z => z ^ 2
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
let ψ : β„‚ β†’ β„‚ := Ο† (neg_in_𝔻 u_in_𝔻) ∘ Οƒ ∘ Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have f_eq_ψ_h : EqOn f (ψ ∘ h) U := Ξ» z hz => by have e1 := Ο†_inv v_in_𝔻 (g.maps_to hz) have e2 := hg hz have e3 := Ο†_inv u_in_𝔻 (f.maps_to hz) dsimp [Ο†α΅€f] at e2 simp [ψ, Οƒ, h, e1, ← e2, e3]
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have deriv_eq_mul : deriv f zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h zβ‚€ := by have e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ := good_domain.is_open.mem_nhds hzβ‚€ have e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 (0 : β„‚) := ball_mem_nhds _ zero_lt_one have e3 : deriv f zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h) zβ‚€ := (eventuallyEq_of_mem e1 f_eq_ψ_h).deriv_eq rw [e3, ← h_zβ‚€_eq_0] refine deriv.comp zβ‚€ ?_ (h.is_diff.differentiableAt e1) rw [h_zβ‚€_eq_0] exact ψ_is_diff.differentiableAt e2
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [deriv_eq_mul, norm_mul]
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ h, β€–deriv f.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ h_1, β€–deriv ψ 0β€– * β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h_1.to_fun zβ‚€β€–
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine ⟨h, mul_lt_of_lt_one_left ?_ ?_⟩
case intro.intro.mk z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ h_1, β€–deriv ψ 0β€– * β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€– < β€–deriv h_1.to_fun zβ‚€β€–
case intro.intro.mk.refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ 0 < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€– case intro.intro.mk.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ β€–deriv ψ 0β€– < 1
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine u_not_in_f_U ⟨z, z_in_U, ?_⟩
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€f.to_fun z = 0 ⊒ False
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€f.to_fun z = 0 ⊒ f.to_fun z = u
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply Ο†α΅€.is_inj (f.maps_to z_in_U) u_in_𝔻
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€f.to_fun z = 0 ⊒ f.to_fun z = u
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€f.to_fun z = 0 ⊒ Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = Ο†α΅€.to_fun u
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
dsimp [Ο†α΅€f] at hz
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€f.to_fun z = 0 ⊒ Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = Ο†α΅€.to_fun u
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊒ Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = Ο†α΅€.to_fun u
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [hz]
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊒ Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = Ο†α΅€.to_fun u
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊒ 0 = Ο†α΅€.to_fun u
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [Ο†α΅€, Ο†]
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f z : β„‚ z_in_U : z ∈ U hz : Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = 0 ⊒ 0 = Ο†α΅€.to_fun u
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [h, Ο†]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g ⊒ h.to_fun zβ‚€ = 0
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e1 := Ο†_inv v_in_𝔻 (g.maps_to hz)
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e2 := hg hz
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : Ο†α΅€f.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e3 := Ο†_inv u_in_𝔻 (f.maps_to hz)
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : Ο†α΅€f.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : Ο†α΅€f.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z e3 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
dsimp [Ο†α΅€f] at e2
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : Ο†α΅€f.to_fun z = (g.to_fun ^ 2) z e3 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = g.to_fun z ^ 2 e3 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [ψ, Οƒ, h, e1, ← e2, e3]
z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun z : β„‚ hz : z ∈ U e1 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (g.to_fun z)) = g.to_fun z e2 : Ο†α΅€.to_fun (f.to_fun z) = g.to_fun z ^ 2 e3 : (Ο† β‹―).to_fun ((Ο† u_in_𝔻).to_fun (f.to_fun z)) = f.to_fun z ⊒ f.to_fun z = (ψ ∘ h.to_fun) z
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine (Ο† (neg_in_𝔻 u_in_𝔻)).is_diff.comp ?_ ?_
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻
case refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun) 𝔻 case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo (Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun) 𝔻 𝔻
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RMT4/etape2.lean
step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply DifferentiableOn.comp
case refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun) 𝔻
case refine_1.hg z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ Οƒ ?refine_1.t case refine_1.hf z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (Ο† β‹―).to_fun 𝔻 case refine_1.st z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo (Ο† β‹―).to_fun 𝔻 ?refine_1.t case refine_1.t z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ Set β„‚
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case t => exact 𝔻
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ Set β„‚
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case hg => apply DifferentiableOn.pow exact differentiable_id.differentiableOn
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ Οƒ 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case hf => exact (Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).is_diff
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (Ο† β‹―).to_fun 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
case st => exact (Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo (Ο† β‹―).to_fun 𝔻 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact 𝔻
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ Set β„‚
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply DifferentiableOn.pow
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ Οƒ 𝔻
case ha z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (fun x => x) 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact differentiable_id.differentiableOn
case ha z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (fun x => x) 𝔻
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact (Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).is_diff
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ DifferentiableOn β„‚ (Ο† β‹―).to_fun 𝔻
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact (Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo (Ο† β‹―).to_fun 𝔻 𝔻
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine MapsTo.comp ?_ (Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to
case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo (Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun) 𝔻 𝔻
case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo Οƒ 𝔻 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
intros z hz
case refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ⊒ MapsTo Οƒ 𝔻 𝔻
case refine_2 z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U z : β„‚ hz : z ∈ 𝔻 ⊒ Οƒ z ∈ 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simpa [Οƒ, 𝔻] using hz
case refine_2 z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U z : β„‚ hz : z ∈ 𝔻 ⊒ Οƒ z ∈ 𝔻
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ := good_domain.is_open.mem_nhds hzβ‚€
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 (0 : β„‚) := ball_mem_nhds _ zero_lt_one
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e3 : deriv f zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h) zβ‚€ := (eventuallyEq_of_mem e1 f_eq_ψ_h).deriv_eq
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [e3, ← h_zβ‚€_eq_0]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ = deriv ψ (h.to_fun zβ‚€) * deriv h.to_fun zβ‚€
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine deriv.comp zβ‚€ ?_ (h.is_diff.differentiableAt e1)
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ = deriv ψ (h.to_fun zβ‚€) * deriv h.to_fun zβ‚€
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ DifferentiableAt β„‚ ψ (h.to_fun zβ‚€)
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
rw [h_zβ‚€_eq_0]
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ DifferentiableAt β„‚ ψ (h.to_fun zβ‚€)
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ DifferentiableAt β„‚ ψ 0
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact ψ_is_diff.differentiableAt e2
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 e1 : U ∈ 𝓝 zβ‚€ e2 : 𝔻 ∈ 𝓝 0 e3 : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv (ψ ∘ h.to_fun) zβ‚€ ⊒ DifferentiableAt β„‚ ψ 0
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
exact norm_pos_iff.2 (embedding.deriv_ne_zero good_domain.is_open hzβ‚€)
case intro.intro.mk.refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ 0 < β€–deriv h.to_fun zβ‚€β€–
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply non_injective_schwarz ψ_is_diff
case intro.intro.mk.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ β€–deriv ψ 0β€– < 1
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ MapsTo ψ 𝔻 𝔻 case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ Β¬InjOn ψ 𝔻
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine Ξ» z hz => (Ο† (neg_in_𝔻 u_in_𝔻)).maps_to (mem_𝔻_iff.mpr ?_)
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ MapsTo ψ 𝔻 𝔻
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ 𝔻 ⊒ β€–(Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun) zβ€– < 1
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simpa [Οƒ] using mem_𝔻_iff.mp ((Ο† (neg_in_𝔻 v_in_𝔻)).maps_to hz)
case intro.intro.mk.refine_2.f_img z✝ u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ z : β„‚ hz : z ∈ 𝔻 ⊒ β€–(Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun) zβ€– < 1
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp only [InjOn, not_forall, exists_prop]
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ Β¬InjOn ψ 𝔻
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ x ∈ 𝔻, βˆƒ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ Β¬x = x_1
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e1 : (2⁻¹ : β„‚) ∈ 𝔻 := by apply mem_𝔻_iff.mpr; norm_num
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ βˆƒ x ∈ 𝔻, βˆƒ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ Β¬x = x_1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ βˆƒ x ∈ 𝔻, βˆƒ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ Β¬x = x_1
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have e2 : (-2⁻¹ : β„‚) ∈ 𝔻 := neg_in_𝔻 e1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ βˆƒ x ∈ 𝔻, βˆƒ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ Β¬x = x_1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ βˆƒ x ∈ 𝔻, βˆƒ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ Β¬x = x_1
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
refine βŸ¨Ο† v_in_𝔻 2⁻¹, (Ο† v_in_𝔻).maps_to e1, Ο† v_in_𝔻 (-2⁻¹), (Ο† v_in_𝔻).maps_to e2, ?_, ?_⟩
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ βˆƒ x ∈ 𝔻, βˆƒ x_1 ∈ 𝔻, ψ x = ψ x_1 ∧ Β¬x = x_1
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ ψ ((Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ψ ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)) case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ Β¬(Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
apply mem_𝔻_iff.mpr
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ 2⁻¹ ∈ 𝔻
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ β€–2⁻¹‖ < 1
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
norm_num
z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ ⊒ β€–2⁻¹‖ < 1
no goals
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
unfold_let
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ ψ ((Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ψ ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹))
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ ((Ο† β‹―).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (Ο† β‹―).to_fun) ((Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ((Ο† β‹―).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (Ο† β‹―).to_fun) ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹))
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
simp [Ο†_inv v_in_𝔻 e1, Ο†_inv v_in_𝔻 e2]
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_1 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ ((Ο† β‹―).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (Ο† β‹―).to_fun) ((Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹) = ((Ο† β‹―).to_fun ∘ (fun z => z ^ 2) ∘ (Ο† β‹―).to_fun) ((Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹))
no goals
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
intro h
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 ⊒ Β¬(Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹)
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h✝.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) ⊒ False
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
have := (Ο† v_in_𝔻).is_inj e1 e2 h
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h✝.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) ⊒ False
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h✝.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) this : 2⁻¹ = -2⁻¹ ⊒ False
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step_2
[114, 1]
[174, 25]
norm_num at this
case intro.intro.mk.refine_2.f_noninj.refine_2 z u✝ zβ‚€ : β„‚ U : Set β„‚ inst✝ : good_domain U hzβ‚€ : zβ‚€ ∈ U f : embedding U 𝔻 hf : f.to_fun '' U βŠ‚ 𝔻 u : β„‚ u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻 u_not_in_f_U : u βˆ‰ f.to_fun '' U Ο†α΅€ : embedding 𝔻 𝔻 := Ο† u_in_𝔻 Ο†α΅€f : embedding U 𝔻 := embedding.comp Ο†α΅€ f Ο†α΅€f_ne_zero : βˆ€ z ∈ U, Ο†α΅€f.to_fun z β‰  0 g : embedding U 𝔻 hg : EqOn Ο†α΅€f.to_fun (g.to_fun ^ 2) U v : β„‚ := g.to_fun zβ‚€ v_in_𝔻 : v ∈ 𝔻 h✝ : embedding U 𝔻 := embedding.comp (Ο† v_in_𝔻) g h_zβ‚€_eq_0 : h✝.to_fun zβ‚€ = 0 Οƒ : β„‚ β†’ β„‚ := fun z => z ^ 2 ψ : β„‚ β†’ β„‚ := (Ο† β‹―).to_fun ∘ Οƒ ∘ (Ο† β‹―).to_fun f_eq_ψ_h : EqOn f.to_fun (ψ ∘ h✝.to_fun) U ψ_is_diff : DifferentiableOn β„‚ ψ 𝔻 deriv_eq_mul : deriv f.to_fun zβ‚€ = deriv ψ 0 * deriv h✝.to_fun zβ‚€ e1 : 2⁻¹ ∈ 𝔻 e2 : -2⁻¹ ∈ 𝔻 h : (Ο† v_in_𝔻).to_fun 2⁻¹ = (Ο† v_in_𝔻).to_fun (-2⁻¹) this : 2⁻¹ = -2⁻¹ ⊒ False
no goals
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isCompact_segment
[8, 1]
[12, 74]
simpa only [segment_eq_image] using isCompact_Icc.image (by continuity)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝⁸ : OrderedRing π•œ inst✝⁷ : TopologicalSpace π•œ inst✝⁢ : TopologicalAddGroup π•œ inst✝⁡ : CompactIccSpace π•œ inst✝⁴ : TopologicalSpace E inst✝³ : AddCommGroup E inst✝² : ContinuousAdd E inst✝¹ : Module π•œ E inst✝ : ContinuousSMul π•œ E x y : E ⊒ IsCompact (segment π•œ x y)
no goals
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isCompact_segment
[8, 1]
[12, 74]
continuity
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝⁸ : OrderedRing π•œ inst✝⁷ : TopologicalSpace π•œ inst✝⁢ : TopologicalAddGroup π•œ inst✝⁡ : CompactIccSpace π•œ inst✝⁴ : TopologicalSpace E inst✝³ : AddCommGroup E inst✝² : ContinuousAdd E inst✝¹ : Module π•œ E inst✝ : ContinuousSMul π•œ E x y : E ⊒ Continuous fun ΞΈ => (1 - ΞΈ) β€’ x + ΞΈ β€’ y
no goals
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mem_closed_ball_neg_iff_mem_neg_closed_ball
[14, 1]
[16, 33]
rw [← neg_closedBall r v]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊒ u ∈ closedBall (-v) r ↔ -u ∈ closedBall v r
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊒ u ∈ -closedBall v r ↔ -u ∈ closedBall v r
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mem_closed_ball_neg_iff_mem_neg_closed_ball
[14, 1]
[16, 33]
rfl
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• inst✝ : SeminormedAddCommGroup V u v : V ⊒ u ∈ -closedBall v r ↔ -u ∈ closedBall v r
no goals
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
have h1 : g z β‰  0 := Ξ» h => fz_nonzero (by simp [Eventually.self_of_nhds hg, h, n_pos.ne.symm])
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 ⊒ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 ⊒ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
have h2 : n * (g z) ^ (n - 1) β‰  0 := by simp [pow_ne_zero, h1, n_pos.ne.symm]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 ⊒ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) β‰  0 ⊒ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
rw [(EventuallyEq.deriv hg).self_of_nhds, deriv_pow'' _ g_diff, eq_div_iff h2]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) β‰  0 ⊒ deriv g z = deriv f z / (↑n * g z ^ (n - 1))
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) β‰  0 ⊒ deriv g z * (↑n * g z ^ (n - 1)) = ↑n * g z ^ (n - 1) * deriv g z
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
ring
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 h2 : ↑n * g z ^ (n - 1) β‰  0 ⊒ deriv g z * (↑n * g z ^ (n - 1)) = ↑n * g z ^ (n - 1) * deriv g z
no goals
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
simp [Eventually.self_of_nhds hg, h, n_pos.ne.symm]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h : g z = 0 ⊒ f z = 0
no goals
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DifferentiableAt.deriv_eq_deriv_pow_div_pow
[18, 1]
[24, 7]
simp [pow_ne_zero, h1, n_pos.ne.symm]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n✝ n : β„• n_pos : 0 < n f g : β„‚ β†’ β„‚ hg : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 z, f z = g z ^ n g_diff : DifferentiableAt β„‚ g z fz_nonzero : f z β‰  0 h1 : g z β‰  0 ⊒ ↑n * g z ^ (n - 1) β‰  0
no goals
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
simp only [intervalIntegral, not_lt, hab, Ioc_eq_empty, Measure.restrict_empty, integral_zero_measure, sub_zero]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (t : ℝ) in a..b, Ο† z t) (∫ (t : ℝ) in a..b, ψ t) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
let ΞΌ : Measure ℝ := volume.restrict (Ioc a b)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h1 : βˆ€αΆ  z in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ := Ο†_cts.mono (Ξ» z h => (h.mono Ioc_subset_Icc_self).aestronglyMeasurable measurableSet_Ioc)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ := Ο†_cts.self_of_nhds.integrableOn_Icc.mono_set Ioc_subset_Icc_self
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h3 : AEStronglyMeasurable ψ μ := ψ_cts.aestronglyMeasurable measurableSet_Ioc
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h4 : βˆ€α΅ t βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (Real.nnabs C) (Ξ» z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) := (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc).mpr (eventually_of_forall Ο†_lip)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ h4 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h5 : Integrable (Ξ» _ => C) ΞΌ := integrable_const _
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ h4 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ h4 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) h5 : Integrable (fun x => C) ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
have h6 : βˆ€α΅ t βˆ‚ΞΌ, HasDerivAt (Ξ» z => Ο† z t) (ψ t) zβ‚€ := (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc).mpr (eventually_of_forall Ο†_der)
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ h4 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) h5 : Integrable (fun x => C) ΞΌ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ h4 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) h5 : Integrable (fun x => C) ΞΌ h6 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, HasDerivAt (fun z => Ο† z t) (ψ t) zβ‚€ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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has_deriv_at_integral_of_continuous_of_lip
[30, 1]
[50, 80]
exact (hasDerivAt_integral_of_dominated_loc_of_lip Ξ΄_pos h1 h2 h3 h4 h5 h6).2
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a✝ b✝ t : ℝ n : β„• Ο† : β„‚ β†’ ℝ β†’ β„‚ ψ : ℝ β†’ β„‚ zβ‚€ : β„‚ a b C Ξ΄ : ℝ hab : a ≀ b Ξ΄_pos : 0 < Ξ΄ Ο†_cts : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, ContinuousOn (Ο† z) (Icc a b) Ο†_der : βˆ€ t ∈ Ioc a b, HasDerivAt (fun x => Ο† x t) (ψ t) zβ‚€ Ο†_lip : βˆ€ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun x => Ο† x t) (ball zβ‚€ Ξ΄) ψ_cts : ContinuousOn ψ (Ioc a b) ΞΌ : Measure ℝ := Measure.restrict volume (Ioc a b) h1 : βˆ€αΆ  (z : β„‚) in 𝓝 zβ‚€, AEStronglyMeasurable (Ο† z) ΞΌ h2 : Integrable (Ο† zβ‚€) ΞΌ h3 : AEStronglyMeasurable ψ ΞΌ h4 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, LipschitzOnWith (nnabs C) (fun z => Ο† z t) (ball zβ‚€ Ξ΄) h5 : Integrable (fun x => C) ΞΌ h6 : βˆ€α΅ (t : ℝ) βˆ‚ΞΌ, HasDerivAt (fun z => Ο† z t) (ψ t) zβ‚€ ⊒ HasDerivAt (fun z => ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, Ο† z x βˆ‚volume) (∫ (x : ℝ) in Ioc a b, ψ x βˆ‚volume) zβ‚€
no goals
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c2a092d029d0e6d29a381ac4ad9e85b10d97391c
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uIoo_eq_union
[56, 1]
[57, 40]
cases le_total a b <;> simp [*, uIoo]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ uIoo a b = Ioo a b βˆͺ Ioo b a
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mem_uIoo
[59, 1]
[59, 93]
simp [uIoo_eq_union]
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ t ∈ uIoo a b ↔ a < t ∧ t < b ∨ b < t ∧ t < a
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
ext t
π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t : ℝ n : β„• ⊒ uIoo a b = Ξ™ a b \ {a, b}
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ ⊒ t ∈ uIoo a b ↔ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
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uIoo_eq_uIoc_sdiff_ends
[61, 1]
[71, 36]
constructor <;> intro hh
case h π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ ⊒ t ∈ uIoo a b ↔ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b}
case h.mp π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : t ∈ uIoo a b ⊒ t ∈ Ξ™ a b \ {a, b} case h.mpr π•œ : Type u_1 E : Type u_2 V : Type u_3 r : ℝ z : β„‚ a b t✝ : ℝ n : β„• t : ℝ hh : t ∈ Ξ™ a b \ {a, b} ⊒ t ∈ uIoo a b