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Exercice 2.
Pour tout entier formula_13, on pose formula_14.
Exercice 3.
Soit formula_1 un réel strictement positif. Pour tout entier formula_13, on pose formula_25.
Exercice 4.
On veut affiner l'équivalent ln("n"!) ~ "n" ln("n"). Pour tout entier formula_2, on pose
Exercice 5.
Calculer formula_46, où formula_47.
Exercice 6.
On se propose, pour
de démontrer que
Exercice 7.
Soit formula_55.
+a^{\frac1{n-1}}}2>a^{\frac{\frac1{n+1}+\frac1{n-1}}2}=a^\frac n{n^2-1}>a^\frac1n</math> donc formula_64 et de même, si formula_65 alors formula_66.



Java





Anglais/Grammaire/Possessifs

L'adjectif possessif sert à indiquer la possession d'un objet, d'une personne ou d'un animal. Ils sont l'équivalent en français de mon, ton, son, nos, vos, leur:
L'adjectif possessif anglais a la particularité de s'accorder avec le possesseur (à l'inverse du français) :
Attention:
L'apostrophe est un signe qu'on ne doit pas négliger.
Il existe un autre adjectif possessif "whose" qui sert à indiquer le possesseur d'un objet, d'une personne ou d'un animal. Il est l'équivalent en français de "lequel":
La forme contractée de "whose" est "who's", qui signifie "qui est".
Attention:
L'apostrophe est un signe qu'on ne doit pas négliger.



Coréen/Grammaire/Alphabet

Alphabet.
Liste.
Hangeul (한글) en Corée du Sud :
Joseongeul (조선글) en Corée du Nord :
Explications.
Comme toute écriture différente de celle à laquelle on est habituée (l'alphabet latin en ce qui nous concerne) l'apprentissage de l'écriture coréenne peut présenter quelques difficultés. Au delà de ces difficultés communes à tous les apprentissages de nouveaux systèmes d'écritures, le système d'écriture coréen, qui est un alphabet, se révèle en fait assez simple.
L'alphabet coréen se nomme "Hangeul" (한글) en Corée du Sud et "Joseongeul" (조선글) en Corée du Nord.
Contrairement au latin il n'y a pas de distinction entre majuscule et minuscule dans l'alphabet coréen. Les 'lettres' de cet alphabet, appelées "jamos" (prononcé "tchamosse") ne se présentent jamais isolément. Plus précisément, ils sont toujours associés à l'intérieur de blocs pour former une syllabe. Les composants de ces syllabes sont inséparable et forment ensembles les caractères de l'écriture coréenne.
Les jamos ont chacun un nom qui diffère pour certaines consonnes entre Corée du Nord et Corée du Sud. Il y a deux classements pour ordonner les jamos, un pour les consonnes, un pour les voyelles. De plus, ces classements sont différents en Corée du Nord et en Corée du Sud. En outre les Hanjas, les caractères chinois traditionnels, peuvent être utilisés en Corée du Sud alors que leur utilisation est interdite en Corée du Nord. En dépit de ces différences, la prononciation et la langue sont identiques dans les deux Corées à l'exception d’un certain nombre d'expressions idiomatiques et noms de pays.
Il existe une romanisation, c'est-à-dire un moyen de noter l'écriture coréenne par l’utilisation de caractères latins, qui est standardisée. Elle sert notamment à définir les noms de domaine internet coréens.
L'écriture coréenne est essentiellement phonétique et un certain nombre de règles permet de prononcer exactement la majorité des textes écrits en coréen.
Notamment, la prononciation de certaines consonnes varie suivant leur place dans la syllabe.
Pour ce qui est des syllabes commençant par une voyelle, la formation des caractères coréen nécessite la présence d’un jamos particulier le ㅇ atone qui remplace la consonne initiale des syllabes commençant par une consonne.
Prononciation.
Les jamos coréens ont une prononciation de base qui peut être modifiée selon le contexte selon des règles précises.
Les tableaux suivants décrivent de façon précise les prononciation et romanisations standard des divers jamos.
Ex : « 없다 » se lira "eobda" (le "ㅅ" n’est pas prononcé) alors que « 없어 » se lira "eopseo" (le "ㅅ" est prononcé).
Prononciation des voyelles.
La prononciation d’un jamos voyelle est indépendante du contexte. Il suffit donc de connaitre pour chaque jamos voyelle la manière dont il est prononcé.
Les voyelles 'a' (ㅏ), 'u' (ㅜ) (prononcé comme le 'ou' français) et 'i' (ㅣ) n'opposent aucune difficulté à un locuteur français.
La différence entre 'eo' (ㅓ) et 'o' (ㅗ) est à peu près celle qu’il y a entre les 'o' français des mots 'botte' et 'vélo', le premier étant 'o' prononcé avec la bouche plus ouverte que pour le second. De même, une bonne approximation de ce qui distingue les voyelles 'ae' (ㅐ) et 'e' (ㅔ) serait la différence entre les prononciations des 'e' des mots français 'appel' et 'léger', le 'e' du premier mot est prononcé, comme pour le 'è', avec la bouche plus ouverte que le 'é' du second mot.
La voyelle 'eu' (ㅡ), peut, en première approximation, être prononcé comme un 'eu' bref français.
À partir de là, la prononciation des jamos voyelles 'ya', 'yeo', 'yo', 'yu', 'yae' et 'ye' ne pose pas de problème.
Les voyelles composées 'we' (ㅚ), 'wi' (ㅟ), 'wa' (ㅘ), 'weo' (ㅝ), 'wae' (ㅙ), 'we' (ㅞ) consistent, à l'exception de ㅚ (prononcé comme le 'we'), à l'ajout du son 'w' devant la voyelle du jamos vertical.
Une approximation de la prononciation du jamos 'eui' (ㅢ) peut s'obtenir en faisant suivre simplement la voyelle coréenne 'eu' de la voyelle coréenne 'i'.



Série numérique/Rappels

Linéarité de la série numérique.
formula_1
formula_2
Produit et distributivité.
formula_3
Découpage.
formula_4 avec formula_5.
On a donc :
formula_6
Inégalité de Cauchy-Schwarz.
formula_7



Géorgien/Grammaire/Alphabet

Alphabet.
Le géorgien n'a pas de caractères spécifiques pour écrire les chiffres. De ce fait, chaque lettre a, en plus de sa valeur phonétique, une valeur numérique. En pratique, on a recours normalement en géorgien aux « chiffres arabes » (1, 2, 3, etc.) tels que nous les connaissons.

Lettres archaïques.
L'alphabet comportait à l'origine cinq autres lettres, désormais obsolètes :
Lettres additionnelles.
Les lettres suivantes sont utilisées pour transcrire d'autres langues kartvéliennes :



Opérations sur les fonctions/Produit et quotient

Produits de fonctions.
Exemple.
formula_2
formula_3

Exercice 2.

Pour tout entier formula_13, on pose formula_14.

Exercice 3.

Soit formula_1 un réel strictement positif. Pour tout entier formula_13, on pose formula_25.

Exercice 4.

On veut affiner l'équivalent ln("n"!) ~ "n" ln("n"). Pour tout entier formula_2, on pose

Exercice 5.

Calculer formula_46, où formula_47.

Exercice 6.

On se propose, pour

de démontrer que

Exercice 7.

Soit formula_55.

+a^{\frac1{n-1}}}2>a^{\frac{\frac1{n+1}+\frac1{n-1}}2}=a^\frac n{n^2-1}>a^\frac1n</math> donc formula_64 et de même, si formula_65 alors formula_66.

Java

Anglais/Grammaire/Possessifs

L'adjectif possessif sert à indiquer la possession d'un objet, d'une personne ou d'un animal. Ils sont l'équivalent en français de mon, ton, son, nos, vos, leur:

L'adjectif possessif anglais a la particularité de s'accorder avec le possesseur (à l'inverse du français) :

Attention:

L'apostrophe est un signe qu'on ne doit pas négliger.

Il existe un autre adjectif possessif "whose" qui sert à indiquer le possesseur d'un objet, d'une personne ou d'un animal. Il est l'équivalent en français de "lequel":

La forme contractée de "whose" est "who's", qui signifie "qui est".

Attention:

L'apostrophe est un signe qu'on ne doit pas négliger.

Coréen/Grammaire/Alphabet

Alphabet.

Liste.

Hangeul (한글) en Corée du Sud :

Joseongeul (조선글) en Corée du Nord :

Explications.

Comme toute écriture différente de celle à laquelle on est habituée (l'alphabet latin en ce qui nous concerne) l'apprentissage de l'écriture coréenne peut présenter quelques difficultés. Au delà de ces difficultés communes à tous les apprentissages de nouveaux systèmes d'écritures, le système d'écriture coréen, qui est un alphabet, se révèle en fait assez simple.

L'alphabet coréen se nomme "Hangeul" (한글) en Corée du Sud et "Joseongeul" (조선글) en Corée du Nord.

Contrairement au latin il n'y a pas de distinction entre majuscule et minuscule dans l'alphabet coréen. Les 'lettres' de cet alphabet, appelées "jamos" (prononcé "tchamosse") ne se présentent jamais isolément. Plus précisément, ils sont toujours associés à l'intérieur de blocs pour former une syllabe. Les composants de ces syllabes sont inséparable et forment ensembles les caractères de l'écriture coréenne.

Les jamos ont chacun un nom qui diffère pour certaines consonnes entre Corée du Nord et Corée du Sud. Il y a deux classements pour ordonner les jamos, un pour les consonnes, un pour les voyelles. De plus, ces classements sont différents en Corée du Nord et en Corée du Sud. En outre les Hanjas, les caractères chinois traditionnels, peuvent être utilisés en Corée du Sud alors que leur utilisation est interdite en Corée du Nord. En dépit de ces différences, la prononciation et la langue sont identiques dans les deux Corées à l'exception d’un certain nombre d'expressions idiomatiques et noms de pays.

Il existe une romanisation, c'est-à-dire un moyen de noter l'écriture coréenne par l’utilisation de caractères latins, qui est standardisée. Elle sert notamment à définir les noms de domaine internet coréens.

L'écriture coréenne est essentiellement phonétique et un certain nombre de règles permet de prononcer exactement la majorité des textes écrits en coréen.

Notamment, la prononciation de certaines consonnes varie suivant leur place dans la syllabe.

Pour ce qui est des syllabes commençant par une voyelle, la formation des caractères coréen nécessite la présence d’un jamos particulier le ㅇ atone qui remplace la consonne initiale des syllabes commençant par une consonne.

Prononciation.

Les jamos coréens ont une prononciation de base qui peut être modifiée selon le contexte selon des règles précises.

Les tableaux suivants décrivent de façon précise les prononciation et romanisations standard des divers jamos.

Ex : « 없다 » se lira "eobda" (le "ㅅ" n’est pas prononcé) alors que « 없어 » se lira "eopseo" (le "ㅅ" est prononcé).

Prononciation des voyelles.

La prononciation d’un jamos voyelle est indépendante du contexte. Il suffit donc de connaitre pour chaque jamos voyelle la manière dont il est prononcé.

Les voyelles 'a' (ㅏ), 'u' (ㅜ) (prononcé comme le 'ou' français) et 'i' (ㅣ) n'opposent aucune difficulté à un locuteur français.

La différence entre 'eo' (ㅓ) et 'o' (ㅗ) est à peu près celle qu’il y a entre les 'o' français des mots 'botte' et 'vélo', le premier étant 'o' prononcé avec la bouche plus ouverte que pour le second. De même, une bonne approximation de ce qui distingue les voyelles 'ae' (ㅐ) et 'e' (ㅔ) serait la différence entre les prononciations des 'e' des mots français 'appel' et 'léger', le 'e' du premier mot est prononcé, comme pour le 'è', avec la bouche plus ouverte que le 'é' du second mot.

La voyelle 'eu' (ㅡ), peut, en première approximation, être prononcé comme un 'eu' bref français.

À partir de là, la prononciation des jamos voyelles 'ya', 'yeo', 'yo', 'yu', 'yae' et 'ye' ne pose pas de problème.

Les voyelles composées 'we' (ㅚ), 'wi' (ㅟ), 'wa' (ㅘ), 'weo' (ㅝ), 'wae' (ㅙ), 'we' (ㅞ) consistent, à l'exception de ㅚ (prononcé comme le 'we'), à l'ajout du son 'w' devant la voyelle du jamos vertical.

Une approximation de la prononciation du jamos 'eui' (ㅢ) peut s'obtenir en faisant suivre simplement la voyelle coréenne 'eu' de la voyelle coréenne 'i'.

Série numérique/Rappels

Linéarité de la série numérique.

formula_1

formula_2

Produit et distributivité.

formula_3

Découpage.

formula_4 avec formula_5.

On a donc :

formula_6

Inégalité de Cauchy-Schwarz.

formula_7

Géorgien/Grammaire/Alphabet

Alphabet.

Le géorgien n'a pas de caractères spécifiques pour écrire les chiffres. De ce fait, chaque lettre a, en plus de sa valeur phonétique, une valeur numérique. En pratique, on a recours normalement en géorgien aux « chiffres arabes » (1, 2, 3, etc.) tels que nous les connaissons.

Lettres archaïques.

L'alphabet comportait à l'origine cinq autres lettres, désormais obsolètes :

Lettres additionnelles.

Les lettres suivantes sont utilisées pour transcrire d'autres langues kartvéliennes :

Opérations sur les fonctions/Produit et quotient

Produits de fonctions.

Exemple.

formula_2

formula_3