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Le vecteur accélération.
La formule trouvée ci-dessus, nous donne en simplifiant par formula_5 :
formula_6
On déduit ainsi facilement les coordonnées de l'accélération qui sont les mêmes que celle du vecteur formula_7 :
formula_8
On voit en effet que sur l’axe formula_9 le vecteur pesanteur est nul et sur formula_10 sa projection est égale à sa norme et on rajoute un formula_11 puisqu’il est en sens opposé à formula_12
On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.
Le vecteur vitesse.
Les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent par intégration selon le temps de celles du vecteur accélération, d’après la relation
formula_13
Ainsi, on obtient :
formula_14
Où "C1", "C2" et "C3" sont des constantes que l’on va déterminer d’après les conditions initiales.
En effet, on sait que la vitesse initiale, donc :
formula_15
On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan formula_16
Le vecteur "OM".
De manière analogue que pour le vecteur vitesse, on a : formula_17
On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :
formula_18
Toujours de façon similaire, on détermine les constantes "C1", "C2" et "C3" en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point "M" à formula_19, qui sont celles du point A. On arrive enfin aux équations du mouvement a proprement parler :
formula_20



Anglais/Grammaire/Genres et nombres

Le genre des noms.
Il y a trois genres en anglais, qui ne sont utilisés qu’avec les pronoms "he", "she", et "it" :
Les noms pouvant être de deux genres, comme les noms de métiers, changent suivant le porteur du métier. Un professeur sera "he" ou "she" suivant que c’est un homme ou une femme. En anglais, le genre n’est que de la personne, jamais le nom.
Le genre n’est visible que lors de l’emploi d’un verbe. Il n’y a pas de modification de l’article défini suivant le genre.
Les nombres des noms.
Le singulier.
Le singulier d’un nom se forme avec l’article du nom + le nom (voir Articles définis et indéfinis)
Le pluriel.
On peut séparer les noms anglais en deux catégories :
La marque normale du pluriel est -s. Ce -s doit toujours s’entendre.
Les noms qui se terminent par -s, -sh, -ch, -x prennent -es.
Les noms qui se terminent par -o prennent un -es.
Les noms qui se terminent par une consonne +y prennent ies.
Les noms se terminent par -f ou -fe prennent au pluriel -ves (à quelques exceptions près).
Les noms invariables.
Certains noms n’existent qu’au pluriel : "trousers" (un pantalon), "jeans" (un jean). Généralement, les pantalons et tous les dérivés sont au pluriel car ils proviennent de l’expression "a pair of trousers", etc. (une "paire" de pantalons, par rapport au fait que l’on a deux jambes).
Le nom "people" (des gens) est un nom pluriel mais il ne prend pas de -s.
Pluriel des noms composés.
En général, c’est le deuxième nom qui prend la marque du pluriel.
an exercise-book, two exercise-books
Les noms propres.
Les noms propres prennent le pluriel à l’inverse du français :



Anglais/Grammaire/Démonstratifs

En anglais, les démonstratifs (ce, ces) se classe en 2 catégories, les adjectifs et les pronoms.
On distingue ce qui est près de ce qui est loin, comme en français avec "ceci" et "cela"
Ces démonstratifs sont adjectifs quand ils sont suivis d’un nom:
Ce sont les seuls adjectifs avec much et many dont le pluriel est différent du singulier.
Les démonstratifs sont quelquefois utilisés pour montrer l'insistance:
Si on veut être plus précis, on peut utiliser les mots "here" (ici) et "there" (là-bas).
Si jamais on doit parler de quelque chose qui n'est pas visible, on utilise les mots "it" et "them".



Série numérique





Sommation/Exercices/Mise en route

Calculer les sommes suivantes où "a" désigne un paramètre réel ≠ 1 et ≠ -1 :
Exercices de base.
formula_1
formula_3
formula_4
formula_5
formula_6
formula_7
formula_8
Exercices plus difficiles.
formula_9
formula_10
formula_11.
avec



Série numérique/Exercices/Cosinus et sinus





Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage

Exercice 1.
Soit formula_1 un réel strictement positif. Pour tout entier formula_2, on pose formula_3.
</math>.

Le vecteur accélération.

La formule trouvée ci-dessus, nous donne en simplifiant par formula_5 :

formula_6

On déduit ainsi facilement les coordonnées de l'accélération qui sont les mêmes que celle du vecteur formula_7 :

formula_8

On voit en effet que sur l’axe formula_9 le vecteur pesanteur est nul et sur formula_10 sa projection est égale à sa norme et on rajoute un formula_11 puisqu’il est en sens opposé à formula_12

On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse.

Les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent par intégration selon le temps de celles du vecteur accélération, d’après la relation

formula_13

Ainsi, on obtient :

formula_14

Où "C1", "C2" et "C3" sont des constantes que l’on va déterminer d’après les conditions initiales.

En effet, on sait que la vitesse initiale, donc :

formula_15

On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan formula_16

Le vecteur "OM".

De manière analogue que pour le vecteur vitesse, on a : formula_17

On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :

formula_18

Toujours de façon similaire, on détermine les constantes "C1", "C2" et "C3" en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point "M" à formula_19, qui sont celles du point A. On arrive enfin aux équations du mouvement a proprement parler :

formula_20

Anglais/Grammaire/Genres et nombres

Le genre des noms.

Il y a trois genres en anglais, qui ne sont utilisés qu’avec les pronoms "he", "she", et "it" :

Les noms pouvant être de deux genres, comme les noms de métiers, changent suivant le porteur du métier. Un professeur sera "he" ou "she" suivant que c’est un homme ou une femme. En anglais, le genre n’est que de la personne, jamais le nom.

Le genre n’est visible que lors de l’emploi d’un verbe. Il n’y a pas de modification de l’article défini suivant le genre.

Les nombres des noms.

Le singulier.

Le singulier d’un nom se forme avec l’article du nom + le nom (voir Articles définis et indéfinis)

Le pluriel.

On peut séparer les noms anglais en deux catégories :

La marque normale du pluriel est -s. Ce -s doit toujours s’entendre.

Les noms qui se terminent par -s, -sh, -ch, -x prennent -es.

Les noms qui se terminent par -o prennent un -es.

Les noms qui se terminent par une consonne +y prennent ies.

Les noms se terminent par -f ou -fe prennent au pluriel -ves (à quelques exceptions près).

Les noms invariables.

Certains noms n’existent qu’au pluriel : "trousers" (un pantalon), "jeans" (un jean). Généralement, les pantalons et tous les dérivés sont au pluriel car ils proviennent de l’expression "a pair of trousers", etc. (une "paire" de pantalons, par rapport au fait que l’on a deux jambes).

Le nom "people" (des gens) est un nom pluriel mais il ne prend pas de -s.

Pluriel des noms composés.

En général, c’est le deuxième nom qui prend la marque du pluriel.

an exercise-book, two exercise-books

Les noms propres.

Les noms propres prennent le pluriel à l’inverse du français :

Anglais/Grammaire/Démonstratifs

En anglais, les démonstratifs (ce, ces) se classe en 2 catégories, les adjectifs et les pronoms.

On distingue ce qui est près de ce qui est loin, comme en français avec "ceci" et "cela"

Ces démonstratifs sont adjectifs quand ils sont suivis d’un nom:

Ce sont les seuls adjectifs avec much et many dont le pluriel est différent du singulier.

Les démonstratifs sont quelquefois utilisés pour montrer l'insistance:

Si on veut être plus précis, on peut utiliser les mots "here" (ici) et "there" (là-bas).

Si jamais on doit parler de quelque chose qui n'est pas visible, on utilise les mots "it" et "them".

Série numérique

Sommation/Exercices/Mise en route

Calculer les sommes suivantes où "a" désigne un paramètre réel ≠ 1 et ≠ -1 :

Exercices de base.

formula_1

formula_3

formula_4

formula_5

formula_6

formula_7

formula_8

Exercices plus difficiles.

formula_9

formula_10

formula_11.

avec

Série numérique/Exercices/Cosinus et sinus

Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage

Exercice 1.

Soit formula_1 un réel strictement positif. Pour tout entier formula_2, on pose formula_3.

</math>.