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Propriétés
Un premier résultat (facile à vérifier) est le suivant :
Pour toute relation d'équivalence formula_3, l'ensemble formula_64 de toutes les classes d'équivalences forme une partition de formula_1. Réciproquement tout partition formula_49 de formula_1 permet de définir une relation d'équivalence par formula_68.
Remarque
Il en découle qu'une classe est totalement définie par n'importe lequel de ses éléments. On parle alors de "représentant" de la classe. L'ensemble formula_64 de toutes les classes d'équivalences est appelé "quotient" de formula_1 par formula_3. Pour plus de commodité chaque élément de formula_64 est représenté par un de ses représentants.
Exemple
Si formula_17 est un groupe et formula_16 en est un sous-groupe, les classes pour la relation formula_75 sont les formula_76.
Quotients.
Définition
Soit formula_1 un ensemble et formula_3 une relation sur formula_1. On définit le "quotient de formula_1 par formula_3", que l'on note formula_82, comme l'ensemble des classes modulo formula_3.



S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7

Leçon 7 - La division
En toute théorie, diviser un nombre par n consiste à ôter à ce nombre autant de fois n qu'il est possible. Le nombre de soustractions donne le quotient et le reste nous donne ... le reste.
Par exemple, diviser 17 par 5 peut s'opérer de la manière suivante :
Dans la division de 17 par 5, le quotient est 3 et le reste est 2.
Sur un boulier, on peut effectivement utiliser cette méthode quand le quotient reste petit (inférieur à 5). Mais celle-ci se révèle inefficace si le quotient est trop grand. Il faut alors utiliser des méthodes ressemblant à la pose d'une division.
Tableau des quotients et restes.
On aura besoin du tableau suivant fournissant pour un dividende (dd) donné et un diviseur (dv) donné, le quotient et le reste sous forme d'un couple (q ; r).
Les valeurs qui figurent en rouge sont celles qui nécessitent de descendre d'une unité.
Les valeurs en noir se retrouvent facilement, il ne reste alors qu'à mémoriser un triangle de 36 couples.
Division par un nombre à un chiffre.
Avec le tableau.
La division, comme la multiplication, commence par le poids le plus fort.
Si on cherche à diviser 9573 par 4, on commence par écrire à droite du boulier (ou sur une feuille de papier) le diviseur 4.
On laisse une rangée vide puis on inscrit le dividende 9573. Le quotient s'écrira dans la partie gauche du boulier.
Dans la division de 9573 par 4, le quotient est 2393 et le reste est 1.
Pour aller plus vite.
Si on connaît bien la technique de division vue dans notre enfance, on peut réduire un peu les étapes :
Le quotient est toujours 2393 et le reste est toujours 1.
Division par un nombre à plusieurs chiffres.
C'est la technique la plus compliquée. Il s'agit d'ôter le maximum de fois le diviseur du dividende. On peut s'y reprendre à plusieurs fois pour déterminer le quotient tant que le quotient est déterminé par défaut. Il faut donc arrondir par excès le diviseur. Dans ce cas, le tableau établi précédemment n'est plus vraiment d'utilité.
Voir l'exemple : Comment diviser 57 683 par 157.
Pour les nombres à virgule.
On peut rencontrer des virgules dans 3 types de situations :
Quotient à virgule.
Pour prolonger une division entière au delà de la virgule, il faut réserver, à droite du dividende, autant de colonnes que de chiffres après la virgule que l'on souhaite. On identifie alors la colonne des unités par un marqueur. Et on opère la division comme dans les entiers. À l'instant où l'on passe au delà de la colonne unité, il faut identifier la colonne unité dans le quotient par un marqueur.
Voir l'exemple : division de 358 par 7 avec 3 chiffres après la virgule.
Dividende à virgule.
Si le dividende est à virgule, la technique est la même que précédemment. La difficulté consiste comme dans le cas précédent à bien identifier les colonnes unités dans le dividende et dans le quotient.
On peut pour s'entraîner reprendre l'exemple de la division de 57 683 par 157 et effectuer la division de 576,83 par 157 pour repérer la colonne unité (le quotient doit être de 3,67).
Diviseur à virgule.
On ne sait pas faire au boulier une division par un nombre non entier. Il faut effectuer la division par le nombre entier puis multiplier le nombre final par la puissance de 10 adéquate.
"Exemple" : Pour diviser 576,83 par 15,7, il faut diviser 576,83 par 157, puis multiplier le résultat par 10 car on a divisé par un nombre 10 fois trop grand (le résultat est 36,7).



Algèbre linéaire/Matrices

Dans ce chapitre formula_1 désigne un corps commutatif.
Définitions.
Soient "n" et "p" deux entiers naturels non nuls.
Nous appelons matrice à éléments dans formula_1 de type ("n", "p") toute application de formula_3 dans formula_1 (famille d'éléments de formula_1 indexée par formula_3), c'est à dire un tableau rectangulaire à "n" lignes et "p" colonnes de la forme :
où formula_8 de formula_1 s'appellent les éléments ou les coefficients de la matrice.
Une telle matrice se note aussi formula_10 ou plus simplement formula_11.
L'ensemble des matrices de type ("n","p") à éléments dans formula_1, se note formula_13.
Quand "n" = "p", la matrice est dite carrée de dimension "n".
Quand "p" = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments : formula_14 . On parle de vecteur.
L'ensemble des matrices carrées de type ("n","n") ou d'ordre "n", se note formula_15.
Lorsque formula_16 la matrice est dite réelle.
Lorsque formula_17 la matrice est dite complexe.
Les éléments formula_18 forment la diagonale principale de la matrice.
Matrices particulières.
Matrice inverse.
Soit formula_19 une matrice. L'inverse de formula_19, si elle existe, est définie comme l'unique matrice formula_21 telle que :
formula_22
Matrice transposée.
Avant tout, on parle de la transposée d'une matrice.
La transposée d'une matrice formula_19 est notée formula_24.
Elle est la matrice obtenue à partir de formula_19 en inversant les ligne et les colonnes. C'est-à-dire que pour obtenir formula_26, on a formula_27 (avec formula_28 et formula_29)
Autre notation : formula_30 notation sans renommer la transposée de formula_19
Propriété : Lorsque la matrice formula_19 est dite symétrique on a alors formula_33, ce qui donne formula_34
Matrice diagonale.
Une matrice carrée formula_11 est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale sont nuls, c'est à dire si
Une telle matrice se note formula_37.
L'ensemble des matrices diagonales se note formula_38.
Matrice triangulaire.
Matrice triangulaire inférieure.
Une matrice carrée formula_11 est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si
Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure).
formula_41 Une matrice triangulaire inférieure
formula_42 Une matrice strictement triangulaire inférieure
L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note formula_43.
Matrice triangulaire supérieure.
De manière analogue, une matrice carrée formula_11 est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si
Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire supérieure (ou strictement trigonale supérieure).
formula_46 Une matrice triangulaire supérieure
formula_47 Une matrice strictement triangulaire supérieure
L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note formula_48.
Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale.
Pour le premier exemple : det = 1 x 4 x 6 = 24
Matrice diagonale.
Une matrice carrée est dite "matrice diagonale" lorsque formula_49, pour tout formula_50, ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite "matrice scalaire".
formula_51 Une matrice diagonale
formula_52 Une matrice scalaire
Matrice identité.
Une matrice identité est une matrice scalaire où formula_53.

Propriétés

Un premier résultat (facile à vérifier) est le suivant :

Pour toute relation d'équivalence formula_3, l'ensemble formula_64 de toutes les classes d'équivalences forme une partition de formula_1. Réciproquement tout partition formula_49 de formula_1 permet de définir une relation d'équivalence par formula_68.

Remarque

Il en découle qu'une classe est totalement définie par n'importe lequel de ses éléments. On parle alors de "représentant" de la classe. L'ensemble formula_64 de toutes les classes d'équivalences est appelé "quotient" de formula_1 par formula_3. Pour plus de commodité chaque élément de formula_64 est représenté par un de ses représentants.

Exemple

Si formula_17 est un groupe et formula_16 en est un sous-groupe, les classes pour la relation formula_75 sont les formula_76.

Quotients.

Définition

Soit formula_1 un ensemble et formula_3 une relation sur formula_1. On définit le "quotient de formula_1 par formula_3", que l'on note formula_82, comme l'ensemble des classes modulo formula_3.

S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7

Leçon 7 - La division

En toute théorie, diviser un nombre par n consiste à ôter à ce nombre autant de fois n qu'il est possible. Le nombre de soustractions donne le quotient et le reste nous donne ... le reste.

Par exemple, diviser 17 par 5 peut s'opérer de la manière suivante :

Dans la division de 17 par 5, le quotient est 3 et le reste est 2.

Sur un boulier, on peut effectivement utiliser cette méthode quand le quotient reste petit (inférieur à 5). Mais celle-ci se révèle inefficace si le quotient est trop grand. Il faut alors utiliser des méthodes ressemblant à la pose d'une division.

Tableau des quotients et restes.

On aura besoin du tableau suivant fournissant pour un dividende (dd) donné et un diviseur (dv) donné, le quotient et le reste sous forme d'un couple (q ; r).

Les valeurs qui figurent en rouge sont celles qui nécessitent de descendre d'une unité.

Les valeurs en noir se retrouvent facilement, il ne reste alors qu'à mémoriser un triangle de 36 couples.

Division par un nombre à un chiffre.

Avec le tableau.

La division, comme la multiplication, commence par le poids le plus fort.

Si on cherche à diviser 9573 par 4, on commence par écrire à droite du boulier (ou sur une feuille de papier) le diviseur 4.

On laisse une rangée vide puis on inscrit le dividende 9573. Le quotient s'écrira dans la partie gauche du boulier.

Dans la division de 9573 par 4, le quotient est 2393 et le reste est 1.

Pour aller plus vite.

Si on connaît bien la technique de division vue dans notre enfance, on peut réduire un peu les étapes :

Le quotient est toujours 2393 et le reste est toujours 1.

Division par un nombre à plusieurs chiffres.

C'est la technique la plus compliquée. Il s'agit d'ôter le maximum de fois le diviseur du dividende. On peut s'y reprendre à plusieurs fois pour déterminer le quotient tant que le quotient est déterminé par défaut. Il faut donc arrondir par excès le diviseur. Dans ce cas, le tableau établi précédemment n'est plus vraiment d'utilité.

Voir l'exemple : Comment diviser 57 683 par 157.

Pour les nombres à virgule.

On peut rencontrer des virgules dans 3 types de situations :

Quotient à virgule.

Pour prolonger une division entière au delà de la virgule, il faut réserver, à droite du dividende, autant de colonnes que de chiffres après la virgule que l'on souhaite. On identifie alors la colonne des unités par un marqueur. Et on opère la division comme dans les entiers. À l'instant où l'on passe au delà de la colonne unité, il faut identifier la colonne unité dans le quotient par un marqueur.

Voir l'exemple : division de 358 par 7 avec 3 chiffres après la virgule.

Dividende à virgule.

Si le dividende est à virgule, la technique est la même que précédemment. La difficulté consiste comme dans le cas précédent à bien identifier les colonnes unités dans le dividende et dans le quotient.

On peut pour s'entraîner reprendre l'exemple de la division de 57 683 par 157 et effectuer la division de 576,83 par 157 pour repérer la colonne unité (le quotient doit être de 3,67).

Diviseur à virgule.

On ne sait pas faire au boulier une division par un nombre non entier. Il faut effectuer la division par le nombre entier puis multiplier le nombre final par la puissance de 10 adéquate.

"Exemple" : Pour diviser 576,83 par 15,7, il faut diviser 576,83 par 157, puis multiplier le résultat par 10 car on a divisé par un nombre 10 fois trop grand (le résultat est 36,7).

Algèbre linéaire/Matrices

Dans ce chapitre formula_1 désigne un corps commutatif.

Définitions.

Soient "n" et "p" deux entiers naturels non nuls.

Nous appelons matrice à éléments dans formula_1 de type ("n", "p") toute application de formula_3 dans formula_1 (famille d'éléments de formula_1 indexée par formula_3), c'est à dire un tableau rectangulaire à "n" lignes et "p" colonnes de la forme :

où formula_8 de formula_1 s'appellent les éléments ou les coefficients de la matrice.

Une telle matrice se note aussi formula_10 ou plus simplement formula_11.

L'ensemble des matrices de type ("n","p") à éléments dans formula_1, se note formula_13.

Quand "n" = "p", la matrice est dite carrée de dimension "n".

Quand "p" = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments : formula_14 . On parle de vecteur.

L'ensemble des matrices carrées de type ("n","n") ou d'ordre "n", se note formula_15.

Lorsque formula_16 la matrice est dite réelle.

Lorsque formula_17 la matrice est dite complexe.

Les éléments formula_18 forment la diagonale principale de la matrice.

Matrices particulières.

Matrice inverse.

Soit formula_19 une matrice. L'inverse de formula_19, si elle existe, est définie comme l'unique matrice formula_21 telle que :

formula_22

Matrice transposée.

Avant tout, on parle de la transposée d'une matrice.

La transposée d'une matrice formula_19 est notée formula_24.

Elle est la matrice obtenue à partir de formula_19 en inversant les ligne et les colonnes. C'est-à-dire que pour obtenir formula_26, on a formula_27 (avec formula_28 et formula_29)

Autre notation : formula_30 notation sans renommer la transposée de formula_19

Propriété : Lorsque la matrice formula_19 est dite symétrique on a alors formula_33, ce qui donne formula_34

Matrice diagonale.

Une matrice carrée formula_11 est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale sont nuls, c'est à dire si

Une telle matrice se note formula_37.

L'ensemble des matrices diagonales se note formula_38.

Matrice triangulaire.

Matrice triangulaire inférieure.

Une matrice carrée formula_11 est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure).

formula_41 Une matrice triangulaire inférieure

formula_42 Une matrice strictement triangulaire inférieure

L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note formula_43.

Matrice triangulaire supérieure.

De manière analogue, une matrice carrée formula_11 est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire supérieure (ou strictement trigonale supérieure).

formula_46 Une matrice triangulaire supérieure

formula_47 Une matrice strictement triangulaire supérieure

L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note formula_48.

Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale.

Pour le premier exemple : det = 1 x 4 x 6 = 24

Matrice diagonale.

Une matrice carrée est dite "matrice diagonale" lorsque formula_49, pour tout formula_50, ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite "matrice scalaire".

formula_51 Une matrice diagonale

formula_52 Une matrice scalaire

Matrice identité.

Une matrice identité est une matrice scalaire où formula_53.