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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Skeleton.lean | Geometry.SimplicialComplex.Pure.skeleton | [53, 1] | [61, 18] | obtain ⟨t, ht, hst⟩ := subfacet (skeleton_le hs.1) | case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
m n k : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t : Finset E
A : Set (Finset E)
hK : K.Pure n
hn : n ≤ k
s : Finset E
hs : s ∈ (K.skeleton k).facets
⊢ s.card = n + 1 | case inr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
m n k : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t✝ : Finset E
A : Set (Finset E)
hK : K.Pure n
hn : n ≤ k
s : Finset E
hs : s ∈ (K.skeleton k).facets
t : Finset E
ht : t ∈ K.facets
hst : s ⊆ t
⊢ s.card = n + 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Skeleton.lean | Geometry.SimplicialComplex.Pure.skeleton | [53, 1] | [61, 18] | rw [hs.2 ⟨facets_subset ht, (hK.2 ht).le.trans (add_le_add_right hn _)⟩ hst] | case inr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
m n k : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t✝ : Finset E
A : Set (Finset E)
hK : K.Pure n
hn : n ≤ k
s : Finset E
hs : s ∈ (K.skeleton k).facets
t : Finset E
ht : t ∈ K.facets
hst : s ⊆ t
⊢ s.card = n + 1 | case inr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
m n k : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t✝ : Finset E
A : Set (Finset E)
hK : K.Pure n
hn : n ≤ k
s : Finset E
hs : s ∈ (K.skeleton k).facets
t : Finset E
ht : t ∈ K.facets
hst : s ⊆ t
⊢ t.card = n + 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Skeleton.lean | Geometry.SimplicialComplex.Pure.skeleton | [53, 1] | [61, 18] | exact hK.2 ht | case inr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
m n k : ℕ
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t✝ : Finset E
A : Set (Finset E)
hK : K.Pure n
hn : n ≤ k
s : Finset E
hs : s ∈ (K.skeleton k).facets
t : Finset E
ht : t ∈ K.facets
hst : s ⊆ t
⊢ t.card = n + 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | haveI : Fact p.Prime := ⟨hp⟩ | p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card | p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | obtain h | h := eq_bot_or_eq_top (AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t)) | p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card | case inl
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t) = ⊥
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card
case inr
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t) = ⊤
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | refine' min_le_of_right_le _ | case inl
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t) = ⊥
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card | case inl
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t) = ⊥
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s + t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | rw [← AddSubgroup.coe_eq_zero, ← coe_addStab (hs.add ht), coe_eq_zero] at h | case inl
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t) = ⊥
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s + t).card | case inl
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : (s + t).addStab = 0
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s + t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | simpa [*] using add_kneser s t | case inl
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : (s + t).addStab = 0
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s + t).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | rw [← AddSubgroup.coe_eq_univ, ← coe_addStab (hs.add ht), coe_eq_univ] at h | case inr
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : AddAction.stabilizer (ZMod p) (s + t) = ⊤
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card | case inr
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : (s + t).addStab = univ
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | refine' card_addStab_le_card.trans' _ | case inr
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : (s + t).addStab = univ
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card | case inr
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : (s + t).addStab = univ
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).addStab.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Archive/CauchyDavenportFromKneser.lean | ZMod.min_le_card_add' | [27, 1] | [37, 24] | simp [*, card_univ] | case inr
p : ℕ
hp : p.Prime
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : Fact p.Prime
h : (s + t).addStab = univ
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).addStab.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.map_id | [17, 1] | [17, 99] | ext <;> simp | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
G' : G.Subgraph
⊢ Subgraph.map Hom.id G' = G' | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.map_comp | [19, 1] | [21, 30] | ext <;> simp [Subgraph.map] | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
G' : G.Subgraph
f : G →g H
g : H →g I
⊢ Subgraph.map (g.comp f) G' = Subgraph.map g (Subgraph.map f G') | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_map | [23, 1] | [31, 35] | ext e | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
⊢ (Subgraph.map f G').edgeSet = Sym2.map ⇑f '' G'.edgeSet | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
e : Sym2 β
⊢ e ∈ (Subgraph.map f G').edgeSet ↔ e ∈ Sym2.map ⇑f '' G'.edgeSet |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_map | [23, 1] | [31, 35] | induction' e using Sym2.ind with a b | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
e : Sym2 β
⊢ e ∈ (Subgraph.map f G').edgeSet ↔ e ∈ Sym2.map ⇑f '' G'.edgeSet | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : β
⊢ s(a, b) ∈ (Subgraph.map f G').edgeSet ↔ s(a, b) ∈ Sym2.map ⇑f '' G'.edgeSet |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_map | [23, 1] | [31, 35] | simp only [mem_edgeSet, Sym2.exists, Relation.Map, and_or_left, exists_or, map_adj,
Set.mem_image, Sym2.map_pair_eq, Sym2.eq, Sym2.rel_iff] | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : β
⊢ s(a, b) ∈ (Subgraph.map f G').edgeSet ↔ s(a, b) ∈ Sym2.map ⇑f '' G'.edgeSet | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : β
⊢ (∃ a_1 b_1, G'.Adj a_1 b_1 ∧ f a_1 = a ∧ f b_1 = b) ↔
(∃ a_1 b_1, G'.Adj a_1 b_1 ∧ f a_1 = a ∧ f b_1 = b) ∨ ∃ x x_1, G'.Adj x x_1 ∧ f x = b ∧ f x_1 = a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_map | [23, 1] | [31, 35] | refine' (or_iff_left_of_imp _).symm | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : β
⊢ (∃ a_1 b_1, G'.Adj a_1 b_1 ∧ f a_1 = a ∧ f b_1 = b) ↔
(∃ a_1 b_1, G'.Adj a_1 b_1 ∧ f a_1 = a ∧ f b_1 = b) ∨ ∃ x x_1, G'.Adj x x_1 ∧ f x = b ∧ f x_1 = a | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : β
⊢ (∃ x x_1, G'.Adj x x_1 ∧ f x = b ∧ f x_1 = a) → ∃ a_2 b_1, G'.Adj a_2 b_1 ∧ f a_2 = a ∧ f b_1 = b |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_map | [23, 1] | [31, 35] | rintro ⟨a, b, hab, rfl, rfl⟩ | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : β
⊢ (∃ x x_1, G'.Adj x x_1 ∧ f x = b ∧ f x_1 = a) → ∃ a_2 b_1, G'.Adj a_2 b_1 ∧ f a_2 = a ∧ f b_1 = b | case h.h.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : α
hab : G'.Adj a b
⊢ ∃ a_1 b_1, G'.Adj a_1 b_1 ∧ f a_1 = f b ∧ f b_1 = f a |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_map | [23, 1] | [31, 35] | exact ⟨b, a, hab.symm, rfl, rfl⟩ | case h.h.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G✝ H✝ : SimpleGraph V
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
f : G →g H
G' : G.Subgraph
a b : α
hab : G'.Adj a b
⊢ ∃ a_1 b_1, G'.Adj a_1 b_1 ∧ f a_1 = f b ∧ f b_1 = f a | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_coe | [33, 1] | [34, 52] | ext e | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G'.coe.edgeSet = Sym2.map Subtype.val ⁻¹' G'.edgeSet | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
e : Sym2 ↑G'.verts
⊢ e ∈ G'.coe.edgeSet ↔ e ∈ Sym2.map Subtype.val ⁻¹' G'.edgeSet |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_coe | [33, 1] | [34, 52] | induction' e using Sym2.ind with a b | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
e : Sym2 ↑G'.verts
⊢ e ∈ G'.coe.edgeSet ↔ e ∈ Sym2.map Subtype.val ⁻¹' G'.edgeSet | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
a b : ↑G'.verts
⊢ s(a, b) ∈ G'.coe.edgeSet ↔ s(a, b) ∈ Sym2.map Subtype.val ⁻¹' G'.edgeSet |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.edgeSet_coe | [33, 1] | [34, 52] | simp | case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
a b : ↑G'.verts
⊢ s(a, b) ∈ G'.coe.edgeSet ↔ s(a, b) ∈ Sym2.map Subtype.val ⁻¹' G'.edgeSet | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.image_coe_edgeSet_coe | [36, 1] | [41, 83] | rw [edgeSet_coe, Set.image_preimage_eq_iff] | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ Sym2.map Subtype.val '' G'.coe.edgeSet = G'.edgeSet | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G'.edgeSet ⊆ Set.range (Sym2.map Subtype.val) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.image_coe_edgeSet_coe | [36, 1] | [41, 83] | rintro e he | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G'.edgeSet ⊆ Set.range (Sym2.map Subtype.val) | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
e : Sym2 V
he : e ∈ G'.edgeSet
⊢ e ∈ Set.range (Sym2.map Subtype.val) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.image_coe_edgeSet_coe | [36, 1] | [41, 83] | induction' e using Sym2.ind with a b | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
e : Sym2 V
he : e ∈ G'.edgeSet
⊢ e ∈ Set.range (Sym2.map Subtype.val) | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
a b : V
he : s(a, b) ∈ G'.edgeSet
⊢ s(a, b) ∈ Set.range (Sym2.map Subtype.val) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.image_coe_edgeSet_coe | [36, 1] | [41, 83] | rw [Subgraph.mem_edgeSet] at he | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
a b : V
he : s(a, b) ∈ G'.edgeSet
⊢ s(a, b) ∈ Set.range (Sym2.map Subtype.val) | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
a b : V
he : G'.Adj a b
⊢ s(a, b) ∈ Set.range (Sym2.map Subtype.val) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean | SimpleGraph.Subgraph.image_coe_edgeSet_coe | [36, 1] | [41, 83] | exact ⟨s(⟨a, edge_vert _ he⟩, ⟨b, edge_vert _ he.symm⟩), Sym2.map_pair_eq _ _ _⟩ | case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
V : Type u_4
G H : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
a b : V
he : G'.Adj a b
⊢ s(a, b) ∈ Set.range (Sym2.map Subtype.val) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | ext t | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
⊢ ∂ (initSeg s) = initSeg (s.erase (s.min' hs)) | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ t ∈ ∂ (initSeg s) ↔ t ∈ initSeg (s.erase (s.min' hs)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | simp only [mem_shadow_iff_insert_mem, mem_initSeg, exists_prop] | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ t ∈ ∂ (initSeg s) ↔ t ∈ initSeg (s.erase (s.min' hs)) | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (∃ a ∉ t, s.card = (insert a t).card ∧ { ofColex := insert a t } ≤ { ofColex := s }) ↔
(s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := s.erase (s.min' hs) } |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | constructor | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (∃ a ∉ t, s.card = (insert a t).card ∧ { ofColex := insert a t } ≤ { ofColex := s }) ↔
(s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := s.erase (s.min' hs) } | case a.mp
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (∃ a ∉ t, s.card = (insert a t).card ∧ { ofColex := insert a t } ≤ { ofColex := s }) →
(s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := s.erase (s.min' hs) }
case a.mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := s.erase (s.min' hs) } →
∃ a ∉ t, s.card = (insert a t).card ∧ { ofColex := insert a t } ≤ { ofColex := s } |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | simp_rw [le_iff_eq_or_lt, lt_iff_exists_forall_lt_mem_iff_mem] | case a.mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := s.erase (s.min' hs) } →
∃ a ∉ t, s.card = (insert a t).card ∧ { ofColex := insert a t } ≤ { ofColex := s } | case a.mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧
({ ofColex := t } = { ofColex := s.erase (s.min' hs) } ∨
∃ w ∈ s.erase (s.min' hs), w ∉ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))) →
∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
({ ofColex := insert a t } = { ofColex := s } ∨
∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | simp only [toColex_inj, ofColex_toColex, ne_eq, and_imp] | case a.mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (s.erase (s.min' hs)).card = t.card ∧
({ ofColex := t } = { ofColex := s.erase (s.min' hs) } ∨
∃ w ∈ s.erase (s.min' hs), w ∉ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))) →
∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
({ ofColex := insert a t } = { ofColex := s } ∨
∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (s.erase (s.min' hs)).card = t.card →
(t = s.erase (s.min' hs) ∨
∃ w ∈ s.erase (s.min' hs), w ∉ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))) →
∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rintro cards' (rfl | ⟨k, hks, hkt, z⟩) | case a.mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
⊢ (s.erase (s.min' hs)).card = t.card →
(t = s.erase (s.min' hs) ∨
∃ w ∈ s.erase (s.min' hs), w ∉ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))) →
∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = (s.erase (s.min' hs)).card
⊢ ∃ a ∉ s.erase (s.min' hs),
s.card = (insert a (s.erase (s.min' hs))).card ∧
(insert a (s.erase (s.min' hs)) = s ∨
∃ w ∈ s,
w ∉ insert a (s.erase (s.min' hs)) ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a (s.erase (s.min' hs)) ↔ a_1 ∈ s))
case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | set j := min' tᶜ ⟨k, mem_compl.2 hkt⟩ | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | have hjk : j ≤ k := min'_le _ _ (mem_compl.2 ‹k ∉ t›) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | have : j ∉ t := mem_compl.1 (min'_mem _ _) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | have hcard : card s = card (insert j t) := by
rw [card_insert_of_not_mem ‹j ∉ t›, ← ‹_ = card t›, card_erase_add_one (min'_mem _ _)] | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | refine' ⟨j, ‹_›, hcard, _⟩ | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
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z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
⊢ ∃ a ∉ t,
s.card = (insert a t).card ∧
(insert a t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert a t ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a t ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
⊢ insert j t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert j t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert j t ↔ a ∈ s) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | obtain hjk | r₁ := hjk.lt_or_eq | case a.mpr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
⊢ insert j t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert j t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert j t ↔ a ∈ s) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk✝ : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
hjk : j < k
⊢ insert j t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert j t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert j t ↔ a ∈ s)
case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
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⊢ insert j t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert j t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert j t ↔ a ∈ s) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | refine' Or.inl (eq_of_subset_of_card_le (fun a ha ↦ _) hcard.ge).symm | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rcases lt_trichotomy k a with (lt | rfl | gt) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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α : Type u_1
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α : Type u_1
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rintro ⟨a, ha, hst, hts⟩ | case a.mp
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | constructor | case a.mp.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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α : Type u_1
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α : Type u_1
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | refine' ⟨min' s hs, not_mem_erase _ _, _⟩ | case a.mpr.inl
α : Type u_1
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𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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inst✝ : Fintype α
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⊢ ∃ a ∉ s.erase (s.min' hs),
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(insert a (s.erase (s.min' hs)) = s ∨
∃ w ∈ s,
w ∉ insert a (s.erase (s.min' hs)) ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, w < a_1 → (a_1 ∈ insert a (s.erase (s.min' hs)) ↔ a_1 ∈ s)) | case a.mpr.inl
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(insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs)) = s ∨
∃ w ∈ s,
w ∉ insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs)) ∧
∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs)) ↔ a ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rw [insert_erase (min'_mem _ _)] | case a.mpr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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inst✝ : Fintype α
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cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = (s.erase (s.min' hs)).card
⊢ s.card = (insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs))).card ∧
(insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs)) = s ∨
∃ w ∈ s,
w ∉ insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs)) ∧
∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert (s.min' hs) (s.erase (s.min' hs)) ↔ a ∈ s)) | case a.mpr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
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inst✝ : Fintype α
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⊢ s.card = s.card ∧ (s = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ s)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | exact ⟨rfl, Or.inl rfl⟩ | case a.mpr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = (s.erase (s.min' hs)).card
⊢ s.card = s.card ∧ (s = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ s)) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rw [card_insert_of_not_mem ‹j ∉ t›, ← ‹_ = card t›, card_erase_add_one (min'_mem _ _)] | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
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z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | refine Or.inr ⟨k, mem_of_mem_erase ‹_›, fun hk ↦ hkt $ mem_of_mem_insert_of_ne hk hjk.ne',
fun x hx ↦ ?_⟩ | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
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hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk✝ : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
hjk : j < k
⊢ insert j t = s ∨ ∃ w ∈ s, w ∉ insert j t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ insert j t ↔ a ∈ s) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk✝ : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
hjk : j < k
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⊢ x ∈ insert j t ↔ x ∈ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | simpa only [mem_insert, z hx, (hjk.trans hx).ne', mem_erase, Ne, false_or_iff,
and_iff_right_iff_imp] using fun _ ↦ ((min'_le _ _ $ mem_of_mem_erase hks).trans_lt hx).ne' | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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hjk✝ : j ≤ k
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hcard : s.card = (insert j t).card
hjk : j < k
x : α
hx : k < x
⊢ x ∈ insert j t ↔ x ∈ s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | apply mem_insert_of_mem | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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hjk : j ≤ k
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hcard : s.card = (insert j t).card
r₁ : j = k
a : α
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⊢ a ∈ insert j t | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
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k : α
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hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
r₁ : j = k
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rw [z lt] | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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⊢ a ∈ t | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
j : α := tᶜ.min' ⋯
hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
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r₁ : j = k
a : α
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lt : k < a
⊢ a ∈ s.erase (s.min' hs) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | refine' mem_erase_of_ne_of_mem (lt_of_le_of_lt _ lt).ne' ha | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
hks : k ∈ s.erase (s.min' hs)
hkt : k ∉ t
z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
r₁ : j = k
a : α
ha : a ∈ s
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⊢ a ∈ s.erase (s.min' hs) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
hs : s.Nonempty
t : Finset α
cards' : (s.erase (s.min' hs)).card = t.card
k : α
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z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
r₁ : j = k
a : α
ha : a ∈ s
lt : k < a
⊢ s.min' hs ≤ k |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | apply min'_le _ _ (mem_of_mem_erase ‹_›) | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inl.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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t : Finset α
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hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
hcard : s.card = (insert j t).card
r₁ : j = k
a : α
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lt : k < a
⊢ s.min' hs ≤ k | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rw [r₁] | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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r₁ : j = k
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⊢ k ∈ insert j t | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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r : ℕ
inst✝ : Fintype α
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hcard : s.card = (insert j t).card
r₁ : j = k
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⊢ k ∈ insert k t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | apply mem_insert_self | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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hjk : j ≤ k
this : j ∉ t
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r₁ : j = k
ha : k ∈ s
⊢ k ∈ insert k t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | apply mem_insert_of_mem | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rw [← r₁] at gt | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr.h
α : Type u_1
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⊢ a ∈ t | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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⊢ a ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | by_contra | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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⊢ a ∈ t | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
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gt : a < j
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⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | apply (min'_le tᶜ _ _).not_lt gt | case a.mpr.inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr.h
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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inst✝ : Fintype α
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z : ∀ ⦃a : α⦄, k < a → (a ∈ t ↔ a ∈ s.erase (s.min' hs))
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hjk : j ≤ k
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⊢ False | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
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this : j ∉ t
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x✝ : a ∉ t
⊢ a ∈ tᶜ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.shadow_initSeg | [83, 1] | [131, 20] | rwa [mem_compl] | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
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inst✝ : Fintype α
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r₁ : j = k
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⊢ a ∈ tᶜ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | cases nonempty_fintype α | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
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α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 r
val✝ : Fintype α
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (r - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | obtain rfl | hr := Nat.eq_zero_or_pos r | case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 r
val✝ : Fintype α
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (r - 1) | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
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⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1)
case intro.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 r
val✝ : Fintype α
hr : r > 0
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (r - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | obtain rfl | h𝒜 := 𝒜.eq_empty_or_nonempty | case intro.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
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α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
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r : ℕ
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⊢ IsInitSeg (∂ ∅) (r - 1)
case intro.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 r
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h𝒜 : 𝒜.Nonempty
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (r - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | obtain ⟨s, rfl, rfl⟩ := h₁.exists_initSeg h𝒜 | case intro.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 r
val✝ : Fintype α
hr : r > 0
h𝒜 : 𝒜.Nonempty
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (r - 1) | case intro.inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
s : Finset α
hr : s.card > 0
h𝒜 : (initSeg s).Nonempty
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⊢ IsInitSeg (∂ (initSeg s)) (s.card - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | rw [shadow_initSeg (card_pos.1 hr), ← card_erase_of_mem (min'_mem _ _)] | case intro.inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
s : Finset α
hr : s.card > 0
h𝒜 : (initSeg s).Nonempty
h₁ : IsInitSeg (initSeg s) s.card
⊢ IsInitSeg (∂ (initSeg s)) (s.card - 1) | case intro.inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
s : Finset α
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⊢ IsInitSeg (initSeg (s.erase (s.min' ⋯))) (s.erase (s.min' ?m.16021)).card
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
s : Finset α
hr : s.card > 0
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⊢ s.Nonempty |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | exact isInitSeg_initSeg | case intro.inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
s : Finset α
hr : s.card > 0
h𝒜 : (initSeg s).Nonempty
h₁ : IsInitSeg (initSeg s) s.card
⊢ IsInitSeg (initSeg (s.erase (s.min' ⋯))) (s.erase (s.min' ?m.16021)).card
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
s : Finset α
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h𝒜 : (initSeg s).Nonempty
h₁ : IsInitSeg (initSeg s) s.card
⊢ s.Nonempty | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | have : 𝒜 ⊆ {∅} := fun s hs ↦ by rw [mem_singleton, ← Finset.card_eq_zero]; exact h₁.1 hs | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
this : 𝒜 ⊆ {∅}
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | have := shadow_monotone this | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
this : 𝒜 ⊆ {∅}
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
this✝ : 𝒜 ⊆ {∅}
this : ∂ 𝒜 ≤ ∂ {∅}
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | simp only [subset_empty, le_eq_subset, shadow_singleton_empty] at this | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
this✝ : 𝒜 ⊆ {∅}
this : ∂ 𝒜 ≤ ∂ {∅}
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
this✝ : 𝒜 ⊆ {∅}
this : ∂ 𝒜 = ∅
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | simp [this] | case intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
this✝ : 𝒜 ⊆ {∅}
this : ∂ 𝒜 = ∅
⊢ IsInitSeg (∂ 𝒜) (0 - 1) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | rw [mem_singleton, ← Finset.card_eq_zero] | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ s ∈ {∅} | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ s.card = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | exact h₁.1 hs | α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
h₁ : IsInitSeg 𝒜 0
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ s.card = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.Colex.IsInitSeg.shadow | [133, 1] | [145, 26] | simp | case intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
r : ℕ
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
hr : r > 0
h₁ : IsInitSeg ∅ r
⊢ IsInitSeg (∂ ∅) (r - 1) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.toColex_compress_lt_toColex | [156, 1] | [165, 26] | rw [compress, ite_ne_right_iff] at hA | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : compress U V s ≠ s
⊢ { ofColex := compress U V s } < { ofColex := s } | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
⊢ { ofColex := compress U V s } < { ofColex := s } |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.toColex_compress_lt_toColex | [156, 1] | [165, 26] | rw [compress, if_pos hA.1, lt_iff_exists_forall_lt_mem_iff_mem] | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
⊢ { ofColex := compress U V s } < { ofColex := s } | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
⊢ ∃ w ∈ s, w ∉ (s ⊔ U) \ V ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.toColex_compress_lt_toColex | [156, 1] | [165, 26] | refine ⟨_, hA.1.2 $ max'_mem _ hV, not_mem_sdiff_of_mem_right $ max'_mem _ _, fun a ha ↦ ?_⟩ | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
⊢ ∃ w ∈ s, w ∉ (s ⊔ U) \ V ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s) | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
a : α
ha : V.max' hV < a
⊢ a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.toColex_compress_lt_toColex | [156, 1] | [165, 26] | have : a ∉ V := fun H ↦ ha.not_le (le_max' _ _ H) | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
a : α
ha : V.max' hV < a
⊢ a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
a : α
ha : V.max' hV < a
this : a ∉ V
⊢ a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.toColex_compress_lt_toColex | [156, 1] | [165, 26] | have : a ∉ U := fun H ↦ ha.not_lt ((le_max' _ _ H).trans_lt h) | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
a : α
ha : V.max' hV < a
this : a ∉ V
⊢ a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
a : α
ha : V.max' hV < a
this✝ : a ∉ V
this : a ∉ U
⊢ a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.toColex_compress_lt_toColex | [156, 1] | [165, 26] | simp [‹a ∉ U›, ‹a ∉ V›] | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
h : U.max' hU < V.max' hV
hA : (Disjoint U s ∧ V ≤ s) ∧ (s ⊔ U) \ V ≠ s
a : α
ha : V.max' hV < a
this✝ : a ∉ V
this : a ∉ U
⊢ a ∈ (s ⊔ U) \ V ↔ a ∈ s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | obtain ⟨UVd, same_size, hU, hV, max_lt⟩ := h₁ | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₁ : Finset.UV.UsefulCompression U V
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
⊢ (∂ (𝓒 U V 𝒜)).card ≤ (∂ 𝒜).card | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
⊢ (∂ (𝓒 U V 𝒜)).card ≤ (∂ 𝒜).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | refine' card_shadow_compression_le _ _ fun x Hx ↦ ⟨min' V hV, min'_mem _ _, _⟩ | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
⊢ (∂ (𝓒 U V 𝒜)).card ≤ (∂ 𝒜).card | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | obtain hU' | hU' := eq_or_lt_of_le (succ_le_iff.2 hU.card_pos) | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜
case intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | refine' h₂ ⟨UVd.mono (erase_subset _ _) (erase_subset _ _), _, _, _, _⟩ (card_erase_lt_of_mem Hx) | case intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (U.erase x).card = (V.erase (V.min' hV)).card
case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (U.erase x).Nonempty
case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_3
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (V.erase (V.min' hV)).Nonempty
case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (U.erase x).max' ?intro.intro.intro.intro.inr.refine'_2 <
(V.erase (V.min' hV)).max' ?intro.intro.intro.intro.inr.refine'_3 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rw [← hU'] at same_size | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | have : erase U x = ∅ := by rw [← Finset.card_eq_zero, card_erase_of_mem Hx, ← hU'] | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this : U.erase x = ∅
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | have : erase V (min' V hV) = ∅ := by
rw [← Finset.card_eq_zero, card_erase_of_mem (min'_mem _ _), ← same_size] | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this : U.erase x = ∅
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this✝ : U.erase x = ∅
this : V.erase (V.min' hV) = ∅
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rw [‹erase U x = ∅›, ‹erase V (min' V hV) = ∅›] | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this✝ : U.erase x = ∅
this : V.erase (V.min' hV) = ∅
⊢ IsCompressed (U.erase x) (V.erase (V.min' hV)) 𝒜 | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this✝ : U.erase x = ∅
this : V.erase (V.min' hV) = ∅
⊢ IsCompressed ∅ ∅ 𝒜 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | exact isCompressed_self _ _ | case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this✝ : U.erase x = ∅
this : V.erase (V.min' hV) = ∅
⊢ IsCompressed ∅ ∅ 𝒜 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rw [← Finset.card_eq_zero, card_erase_of_mem Hx, ← hU'] | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
⊢ U.erase x = ∅ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rw [← Finset.card_eq_zero, card_erase_of_mem (min'_mem _ _), ← same_size] | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : succ 0 = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 = U.card
this : U.erase x = ∅
⊢ V.erase (V.min' hV) = ∅ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rw [card_erase_of_mem (min'_mem _ _), card_erase_of_mem Hx, same_size] | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (U.erase x).card = (V.erase (V.min' hV)).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rwa [← card_pos, card_erase_of_mem Hx, tsub_pos_iff_lt] | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (U.erase x).Nonempty | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rwa [← Finset.card_pos, card_erase_of_mem (min'_mem _ _), ← same_size, tsub_pos_iff_lt] | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_3
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (V.erase (V.min' hV)).Nonempty | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | refine' (Finset.max'_subset _ $ erase_subset _ _).trans_lt (max_lt.trans_le $
le_max' _ _ $ mem_erase.2 ⟨(min'_lt_max'_of_card _ _).ne', max'_mem _ _⟩) | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ (U.erase x).max' ⋯ < (V.erase (V.min' hV)).max' ⋯ | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ 1 < V.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.compression_improved | [174, 1] | [195, 22] | rwa [← same_size] | case intro.intro.intro.intro.inr.refine'_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h₂ : ∀ ⦃U₁ V₁ : Finset α⦄, Finset.UV.UsefulCompression U₁ V₁ → U₁.card < U.card → IsCompressed U₁ V₁ 𝒜
UVd : Disjoint U V
same_size : U.card = V.card
hU : U.Nonempty
hV : V.Nonempty
max_lt : U.max' hU < V.max' hV
x : α
Hx : x ∈ U
hU' : succ 0 < U.card
⊢ 1 < V.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.isInitSeg_of_compressed | [197, 1] | [218, 73] | refine' ⟨h₁, _⟩ | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
ℬ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Set.Sized r ↑ℬ
h₂ : ∀ (U V : Finset α), Finset.UV.UsefulCompression U V → IsCompressed U V ℬ
⊢ IsInitSeg ℬ r | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
ℬ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Set.Sized r ↑ℬ
h₂ : ∀ (U V : Finset α), Finset.UV.UsefulCompression U V → IsCompressed U V ℬ
⊢ ∀ ⦃s t : Finset α⦄, s ∈ ℬ → { ofColex := t } < { ofColex := s } ∧ t.card = r → t ∈ ℬ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.isInitSeg_of_compressed | [197, 1] | [218, 73] | rintro A B hA ⟨hBA, sizeA⟩ | α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
ℬ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Set.Sized r ↑ℬ
h₂ : ∀ (U V : Finset α), Finset.UV.UsefulCompression U V → IsCompressed U V ℬ
⊢ ∀ ⦃s t : Finset α⦄, s ∈ ℬ → { ofColex := t } < { ofColex := s } ∧ t.card = r → t ∈ ℬ | case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
ℬ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Set.Sized r ↑ℬ
h₂ : ∀ (U V : Finset α), Finset.UV.UsefulCompression U V → IsCompressed U V ℬ
A B : Finset α
hA : A ∈ ℬ
hBA : { ofColex := B } < { ofColex := A }
sizeA : B.card = r
⊢ B ∈ ℬ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/KruskalKatona.lean | Finset.UV.isInitSeg_of_compressed | [197, 1] | [218, 73] | by_contra hB | case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
ℬ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Set.Sized r ↑ℬ
h₂ : ∀ (U V : Finset α), Finset.UV.UsefulCompression U V → IsCompressed U V ℬ
A B : Finset α
hA : A ∈ ℬ
hBA : { ofColex := B } < { ofColex := A }
sizeA : B.card = r
⊢ B ∈ ℬ | case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s U V : Finset α
n : ℕ
ℬ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Set.Sized r ↑ℬ
h₂ : ∀ (U V : Finset α), Finset.UV.UsefulCompression U V → IsCompressed U V ℬ
A B : Finset α
hA : A ∈ ℬ
hBA : { ofColex := B } < { ofColex := A }
sizeA : B.card = r
hB : B ∉ ℬ
⊢ False |
Subsets and Splits
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