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6
2.09M
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
ext x
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => Fin.cons gₙ g k (x (Fin.cons iₙ i k)) * Fin.cons hₙ h k fun j x_1 => x j
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) x = (∑ k : Fin (n + 1), fun x => Fin.cons gₙ g k (x (Fin.cons iₙ i k)) * Fin.cons hₙ h k fun j x_1 => x j) x
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hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
simp only [ne_eq, Pi.add_apply, Finset.sum_apply, add_comm (_ * _), Fin.sum_univ_succ, Fin.cons_zero, Fin.cons_succ]
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) x = (∑ k : Fin (n + 1), fun x => Fin.cons gₙ g k (x (Fin.cons iₙ i k)) * Fin.cons hₙ h k fun j x_1 => x j) x
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ ((∑ c : Fin n, g c (x (i c)) * h c fun j x_1 => x j) + gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) = (∑ x_1 : Fin n, g x_1 (x (Fin.cons iₙ i x_1.succ)) * h x_1 fun j x_2 => x j) + gₙ (x (Fin.cons iₙ i 0)) * hₙ fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
congr
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ ((∑ c : Fin n, g c (x (i c)) * h c fun j x_1 => x j) + gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) = (∑ x_1 : Fin n, g x_1 (x (Fin.cons iₙ i x_1.succ)) * h x_1 fun j x_2 => x j) + gₙ (x (Fin.cons iₙ i 0)) * hₙ fun j x_1 => x j
no goals
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hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
rintro ⟨i, g, h, rfl⟩
case succ.mpr ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) → ∃ f' i g h, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j
case succ.mpr.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ ∃ f' i_1 g_1 h_1, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ (∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) = f' + fun x => g_1 (x i_1) * h_1 fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
refine ⟨_, i 0, g 0, h 0, ⟨Fin.tail i, Fin.tail g, Fin.tail h, rfl⟩, ?_⟩
case succ.mpr.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ ∃ f' i_1 g_1 h_1, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ (∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) = f' + fun x => g_1 (x i_1) * h_1 fun j x_1 => x j
case succ.mpr.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ (∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) = (∑ k : Fin n, fun x => Fin.tail g k (x (Fin.tail i k)) * Fin.tail h k fun j x_1 => x j) + fun x => g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
ext x
case succ.mpr.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ (∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) = (∑ k : Fin n, fun x => Fin.tail g k (x (Fin.tail i k)) * Fin.tail h k fun j x_1 => x j) + fun x => g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j
case succ.mpr.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ (∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) x = ((∑ k : Fin n, fun x => Fin.tail g k (x (Fin.tail i k)) * Fin.tail h k fun j x_1 => x j) + fun x => g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j) x
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
simp only [ne_eq, Pi.add_apply, Finset.sum_apply, add_comm (_ * _), Fin.sum_univ_succ, Fin.cons_zero, Fin.cons_succ]
case succ.mpr.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ (∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) x = ((∑ k : Fin n, fun x => Fin.tail g k (x (Fin.tail i k)) * Fin.tail h k fun j x_1 => x j) + fun x => g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j) x
case succ.mpr.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ ((∑ i_1 : Fin n, g i_1.succ (x (i i_1.succ)) * h i_1.succ fun j x_1 => x j) + g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j) = (∑ c : Fin n, Fin.tail g c (x (Fin.tail i c)) * Fin.tail h c fun j x_1 => x j) + g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
congr
case succ.mpr.intro.intro.intro.h ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j i : Fin (n + 1) → ι g : (k : Fin (n + 1)) → α (i k) → R h : (k : Fin (n + 1)) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R x : (i : ι) → α i ⊢ ((∑ i_1 : Fin n, g i_1.succ (x (i i_1.succ)) * h i_1.succ fun j x_1 => x j) + g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j) = (∑ c : Fin n, Fin.tail g c (x (Fin.tail i c)) * Fin.tail h c fun j x_1 => x j) + g 0 (x (i 0)) * h 0 fun j x_1 => x j
no goals
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HasSliceRankLE.add
[51, 1]
[54, 74]
simpa
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R h₁ : HasSliceRankLE m f₁ ⊢ HasSliceRankLE (m + 0) (f₁ + 0)
no goals
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
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HasSliceRankLE.add
[51, 1]
[54, 74]
simpa [add_assoc] using (h₁.add h₂).succ g h
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R h₁ : HasSliceRankLE m f₁ n✝ : ℕ f✝ : ((i : ι) → (fun i => α i) i) → R i✝ : ι g : α i✝ → R h : ((j : ι) → j ≠ i✝ → α j) → R h₂ : HasSliceRankLE n✝ f✝ ⊢ HasSliceRankLE (m + (n✝ + 1)) (f₁ + (f✝ + fun x => g (x i✝) * h fun j x_1 => x j))
no goals
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hasSliceRankLE_card
[56, 1]
[60, 8]
rw [hasSliceRankLE_iff_exists_sum]
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Fintype ι inst✝ : (i : ι) → Fintype (α i) f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE (Fintype.card ((i : ι) → α i)) f
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Fintype ι inst✝ : (i : ι) → Fintype (α i) f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (Fintype.card ((i : ι) → α i)), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_card
[56, 1]
[60, 8]
sorry
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Fintype ι inst✝ : (i : ι) → Fintype (α i) f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (Fintype.card ((i : ι) → α i)), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
no goals
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
exists_hasSliceRankLE
[62, 1]
[67, 35]
cases nonempty_fintype ι
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Finite ι inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (α i) f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ ∃ n, HasSliceRankLE n f
case intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Finite ι inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (α i) f : ((i : ι) → α i) → R val✝ : Fintype ι ⊢ ∃ n, HasSliceRankLE n f
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
exists_hasSliceRankLE
[62, 1]
[67, 35]
have (i) := Fintype.ofFinite (α i)
case intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Finite ι inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (α i) f : ((i : ι) → α i) → R val✝ : Fintype ι ⊢ ∃ n, HasSliceRankLE n f
case intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Finite ι inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (α i) f : ((i : ι) → α i) → R val✝ : Fintype ι this : (i : ι) → Fintype (α i) ⊢ ∃ n, HasSliceRankLE n f
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
exists_hasSliceRankLE
[62, 1]
[67, 35]
exact ⟨_, hasSliceRankLE_card _⟩
case intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝² : Semiring R m n : ℕ f✝ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R inst✝¹ : Finite ι inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (α i) f : ((i : ι) → α i) → R val✝ : Fintype ι this : (i : ι) → Fintype (α i) ⊢ ∃ n, HasSliceRankLE n f
no goals
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LeanCamCombi/Kneser/KneserRuzsa.lean
Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
obtain rfl | hs := s.eq_empty_or_nonempty
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α t : Finset α ⊢ min (∅.card + ∅.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (∅ ∪ t).card + (∅ ∪ t).mulStab.card case inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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LeanCamCombi/Kneser/KneserRuzsa.lean
Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
obtain rfl | ht := t.eq_empty_or_nonempty
case inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (∅.card + ∅.mulStab.card) ≤ (s ∪ ∅).card + (s ∪ ∅).mulStab.card case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
set Hs := s.mulStab with hHs
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs : Hs = s.mulStab ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
set Ht := t.mulStab with hHt
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs : Hs = s.mulStab ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt : Ht = t.mulStab ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
set H := Hs * Ht with hH
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt : Ht = t.mulStab ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH : H = Hs * Ht ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
have hHs : Hs.Nonempty := hs.mulStab
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH : H = Hs * Ht ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
have hHt : Ht.Nonempty := ht.mulStab
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
have hH : H.Nonempty := hHs.mul hHt
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
wlog h1: Hs ∩ Ht = 1
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card α✝ : Type u_1 inst✝³ : CommGroup α✝ inst✝² : DecidableEq α✝ s✝ t✝ : Finset α✝ α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty h1 : Hs ∩ Ht = 1 ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
sorry
α✝ : Type u_1 inst✝³ : CommGroup α✝ inst✝² : DecidableEq α✝ s✝ t✝ : Finset α✝ α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty h1 : Hs ∩ Ht = 1 ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp [-zero_le']
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α t : Finset α ⊢ min (∅.card + ∅.mulStab.card) (t.card + t.mulStab.card) ≤ (∅ ∪ t).card + (∅ ∪ t).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp [-zero_le']
case inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ min (s.card + s.mulStab.card) (∅.card + ∅.mulStab.card) ≤ (s ∪ ∅).card + (s ∪ ∅).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
set N := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t with hN
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
have hNmulstab : (N : Set α) = ↑(Hs ∩ Ht) := by aesop
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
specialize this (α := α ⧸ N) (s := s.image (↑)) (t := t.image (↑))
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : (image QuotientGroup.mk s).Nonempty → (image QuotientGroup.mk t).Nonempty → let Hs := (image QuotientGroup.mk s).mulStab; Hs = (image QuotientGroup.mk s).mulStab → let Ht := (image QuotientGroup.mk t).mulStab; Ht = (image QuotientGroup.mk t).mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min ((image QuotientGroup.mk s).card + Hs.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + Ht.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [image_nonempty, mulStab_nonempty, mul_nonempty, and_imp, forall_true_left, hs, ht, h1] at this
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : (image QuotientGroup.mk s).Nonempty → (image QuotientGroup.mk t).Nonempty → let Hs := (image QuotientGroup.mk s).mulStab; Hs = (image QuotientGroup.mk s).mulStab → let Ht := (image QuotientGroup.mk t).mulStab; Ht = (image QuotientGroup.mk t).mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min ((image QuotientGroup.mk s).card + Hs.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + Ht.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
calc min (card s + card Hs) (card t + card Ht) = min (Nat.card N * card (s.image (QuotientGroup.mk (s := N))) + Nat.card N * card (Hs.image (QuotientGroup.mk (s := N)))) (Nat.card N * card (t.image (QuotientGroup.mk (s := N))) + Nat.card N * card (Ht.image (QuotientGroup.mk (s := N)))) := by rw [← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N s, ← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N t, ← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N Hs, ← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N Ht] all_goals { aesop } _ = Nat.card N * min (card (s.image (QuotientGroup.mk (s := N))) + card (Hs.image (QuotientGroup.mk (s := N)))) (card (t.image (QuotientGroup.mk (s := N))) + card (Ht.image (QuotientGroup.mk (s := N)))) := by rw [← mul_add, ← mul_add, Nat.mul_min_mul_left] _ = Nat.card N * min (card (image (QuotientGroup.mk (s := N)) s) + card (mulStab (image (QuotientGroup.mk (s := N)) s))) (card (image (QuotientGroup.mk (s := N)) t) + card (mulStab (image (QuotientGroup.mk (s := N)) t))) := by rw [mulStab_quotient_commute_subgroup N t, mulStab_quotient_commute_subgroup N s] all_goals simp [*] _ ≤ Nat.card N * (card (image (QuotientGroup.mk (s := N)) s ∪ image (QuotientGroup.mk (s := N)) t) + card (mulStab (image (QuotientGroup.mk (s := N)) s ∪ image (QuotientGroup.mk (s := N)) t))) := Nat.mul_le_mul_left _ this _ ≤ card (s ∪ t) + card (s ∪ t).mulStab := by rw [mul_add, ← image_union, subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N (s ∪ t), ← mulStab_quotient_commute_subgroup N (s ∪ t), subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N (s ∪ t).mulStab] all_goals { simp only [hNmulstab, mulStab_idem]; norm_cast; exact inter_mulStab_subset_mulStab_union }
case inr.inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
aesop
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t ⊢ ↑N = ↑(Hs ∩ Ht)
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
ext x
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) ⊢ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ↔ x ∈ 1
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
constructor
case a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ↔ x ∈ 1
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab → x ∈ 1 case a.mpr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ 1 → x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [image_nonempty, mem_one, and_imp, ← QuotientGroup.mk_one]
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab → x ∈ 1
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab → x = ↑1
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
intro hx
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab → x = ↑1
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ x = ↑1
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [← mulStab_quotient_commute_subgroup N s, ← mulStab_quotient_commute_subgroup N t] at hx
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ x = ↑1
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ image QuotientGroup.mk t.mulStab ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [mem_inter, mem_image] at hx
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ image QuotientGroup.mk t.mulStab ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : (∃ a ∈ s.mulStab, ↑a = x) ∧ ∃ a ∈ t.mulStab, ↑a = x ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/KneserRuzsa.lean
Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
obtain ⟨⟨y, hy, hyx⟩, ⟨z, hz, hzx⟩⟩ := hx
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : (∃ a ∈ s.mulStab, ↑a = x) ∧ ∃ a ∈ t.mulStab, ↑a = x ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Kneser/KneserRuzsa.lean
Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
obtain ⟨w, hwx⟩ := Quotient.exists_rep x
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x w : α hwx : ⟦w⟧ = x ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
have : ⟦w⟧ = QuotientGroup.mk (s := N) w := by exact rfl
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x w : α hwx : ⟦w⟧ = x ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [← hwx, this, QuotientGroup.eq] at hyx hzx ⊢
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w ⊢ x = ↑1 case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hzx : z⁻¹ * w ∈ N hyx : y⁻¹ * w ∈ N hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w ⊢ w⁻¹ * 1 ∈ N case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [mul_one, inv_mem_iff, Subgroup.mem_inf, mem_stabilizer_iff, N] at hyx hzx ⊢
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hzx : z⁻¹ * w ∈ N hyx : y⁻¹ * w ∈ N hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w ⊢ w⁻¹ * 1 ∈ N case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = s ∧ w • t = t case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
constructor
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = s ∧ w • t = t case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.left α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = s case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.right α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • t = t case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
all_goals { aesop }
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ image QuotientGroup.mk s.mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
exact rfl
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab hyx : ↑y = x z : α hz : z ∈ t.mulStab hzx : ↑z = x w : α hwx : ⟦w⟧ = x ⊢ ⟦w⟧ = ↑w
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
convert hyx.1 using 1
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.left α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = s
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = (y⁻¹ * w) • s
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [mul_comm, mul_smul]
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = (y⁻¹ * w) • s
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = w • y⁻¹ • s
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
congr
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • s = w • y⁻¹ • s
case h.e'_2.e_a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ s = y⁻¹ • s
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [← inv_smul_eq_iff, inv_inv, ← (mem_mulStab hs), hy]
case h.e'_2.e_a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ s = y⁻¹ • s
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
convert hzx.2 using 1
case a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.right α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • t = t
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • t = (z⁻¹ * w) • t
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [mul_comm, mul_smul]
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • t = (z⁻¹ * w) • t
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • t = w • z⁻¹ • t
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
congr
case h.e'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ w • t = w • z⁻¹ • t
case h.e'_2.e_a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ t = z⁻¹ • t
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [← inv_smul_eq_iff, inv_inv, ← (mem_mulStab ht), hz]
case h.e'_2.e_a α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this✝ : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N y : α hy : y ∈ s.mulStab z : α hz : z ∈ t.mulStab w : α hwx : ⟦w⟧ = x this : ⟦w⟧ = ↑w hyx : (y⁻¹ * w) • s = s ∧ (y⁻¹ * w) • t = t hzx : (z⁻¹ * w) • s = s ∧ (z⁻¹ * w) • t = t ⊢ t = z⁻¹ • t
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
aesop
case a.mp α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N hx : x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp (config := { contextual := true }) [*]
case a.mpr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty this : ∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] {s t : Finset α}, s.Nonempty → t.Nonempty → let Hs := s.mulStab; Hs = s.mulStab → let Ht := t.mulStab; Ht = t.mulStab → let H := Hs * Ht; H = Hs * Ht → Hs.Nonempty → Ht.Nonempty → H.Nonempty → Hs ∩ Ht = 1 → min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card h1 : ¬Hs ∩ Ht = 1 N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) x : α ⧸ N ⊢ x ∈ 1 → x ∈ (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N s, ← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N t, ← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N Hs, ← subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N Ht]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ min (s.card + Hs.card) (t.card + Ht.card) = min (Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk s).card + Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk Hs).card) (Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk t).card + Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk Ht).card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑Ht.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑Hs.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
all_goals { aesop }
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑Ht.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑Hs.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
aesop
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [← mul_add, ← mul_add, Nat.mul_min_mul_left]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ min (Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk s).card + Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk Hs).card) (Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk t).card + Nat.card ↥N * (image QuotientGroup.mk Ht).card) = Nat.card ↥N * min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk Hs).card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk Ht).card)
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [mulStab_quotient_commute_subgroup N t, mulStab_quotient_commute_subgroup N s]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ Nat.card ↥N * min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk Hs).card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk Ht).card) = Nat.card ↥N * min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
all_goals simp [*]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑s.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp [*]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑t.mulStab
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
rw [mul_add, ← image_union, subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N (s ∪ t), ← mulStab_quotient_commute_subgroup N (s ∪ t), subgroup_mul_card_eq_mul_of_mul_stab_subset N (s ∪ t).mulStab]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ Nat.card ↥N * ((image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (s ∪ t).card + (s ∪ t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
all_goals { simp only [hNmulstab, mulStab_idem]; norm_cast; exact inter_mulStab_subset_mulStab_union }
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab.mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab
no goals
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
simp only [hNmulstab, mulStab_idem]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑N ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑(Hs ∩ Ht) ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
norm_cast
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ ↑(Hs ∩ Ht) ⊆ ↑(s ∪ t).mulStab
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ Hs ∩ Ht ⊆ (s ∪ t).mulStab
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Finset.le_card_union_add_card_mulStab_union
[39, 1]
[149, 8]
exact inter_mulStab_subset_mulStab_union
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty Hs : Finset α := s.mulStab hHs✝ : Hs = s.mulStab Ht : Finset α := t.mulStab hHt✝ : Ht = t.mulStab H : Finset α := Hs * Ht hH✝ : H = Hs * Ht hHs : Hs.Nonempty hHt : Ht.Nonempty hH : H.Nonempty N : Subgroup α := stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hN : N = stabilizer α s ⊓ stabilizer α t hNmulstab : ↑N = ↑(Hs ∩ Ht) h1 : (image QuotientGroup.mk s).mulStab ∩ (image QuotientGroup.mk t).mulStab = 1 this : min ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk s).mulStab.card) ((image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk t).mulStab.card) ≤ (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s ∪ image QuotientGroup.mk t).mulStab.card ⊢ Hs ∩ Ht ⊆ (s ∪ t).mulStab
no goals
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Finset.le_card_sup_add_card_mulStab_sup
[190, 1]
[200, 79]
induction' s using Finset.cons_induction with i s hi ih
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 s : Finset ι f : ι → Finset α hs : s.Nonempty ⊢ (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card
case empty α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α hs : ∅.Nonempty ⊢ (∅.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (∅.sup f).card + (∅.sup f).mulStab.card case cons α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s ih : ∀ (hs : s.Nonempty), (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card hs : (cons i s hi).Nonempty ⊢ ((cons i s hi).inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ ((cons i s hi).sup f).card + ((cons i s hi).sup f).mulStab.card
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Finset.le_card_sup_add_card_mulStab_sup
[190, 1]
[200, 79]
obtain rfl | hs := s.eq_empty_or_nonempty
case cons α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s ih : ∀ (hs : s.Nonempty), (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card hs : (cons i s hi).Nonempty ⊢ ((cons i s hi).inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ ((cons i s hi).sup f).card + ((cons i s hi).sup f).mulStab.card
case cons.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι hi : i ∉ ∅ ih : ∀ (hs : ∅.Nonempty), (∅.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (∅.sup f).card + (∅.sup f).mulStab.card hs : (cons i ∅ hi).Nonempty ⊢ ((cons i ∅ hi).inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ ((cons i ∅ hi).sup f).card + ((cons i ∅ hi).sup f).mulStab.card case cons.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s ih : ∀ (hs : s.Nonempty), (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card hs✝ : (cons i s hi).Nonempty hs : s.Nonempty ⊢ ((cons i s hi).inf' hs✝ fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ ((cons i s hi).sup f).card + ((cons i s hi).sup f).mulStab.card
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Finset.le_card_sup_add_card_mulStab_sup
[190, 1]
[200, 79]
simp only [hs, inf'_cons, sup_cons, sup_eq_union]
case cons.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s ih : ∀ (hs : s.Nonempty), (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card hs✝ : (cons i s hi).Nonempty hs : s.Nonempty ⊢ ((cons i s hi).inf' hs✝ fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ ((cons i s hi).sup f).card + ((cons i s hi).sup f).mulStab.card
case cons.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s ih : ∀ (hs : s.Nonempty), (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card hs✝ : (cons i s hi).Nonempty hs : s.Nonempty ⊢ (((f i).card + (f i).mulStab.card) ⊓ s.inf' ⋯ fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (f i ∪ s.sup f).card + (f i ∪ s.sup f).mulStab.card
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Finset.le_card_sup_add_card_mulStab_sup
[190, 1]
[200, 79]
exact (inf_le_inf_left _ $ ih hs).trans le_card_union_add_card_mulStab_union
case cons.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s ih : ∀ (hs : s.Nonempty), (s.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (s.sup f).card + (s.sup f).mulStab.card hs✝ : (cons i s hi).Nonempty hs : s.Nonempty ⊢ (((f i).card + (f i).mulStab.card) ⊓ s.inf' ⋯ fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (f i ∪ s.sup f).card + (f i ∪ s.sup f).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_sup_add_card_mulStab_sup
[190, 1]
[200, 79]
cases not_nonempty_empty hs
case empty α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α hs : ∅.Nonempty ⊢ (∅.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (∅.sup f).card + (∅.sup f).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_sup_add_card_mulStab_sup
[190, 1]
[200, 79]
simp
case cons.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α ι : Type u_2 f : ι → Finset α i : ι hi : i ∉ ∅ ih : ∀ (hs : ∅.Nonempty), (∅.inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ (∅.sup f).card + (∅.sup f).mulStab.card hs : (cons i ∅ hi).Nonempty ⊢ ((cons i ∅ hi).inf' hs fun i => (f i).card + (f i).mulStab.card) ≤ ((cons i ∅ hi).sup f).card + ((cons i ∅ hi).sup f).mulStab.card
no goals
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
have : ∀ b : t, ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card := fun b => ⟨_, s, t, b.2, Subset.rfl, Subset.rfl, rfl, rfl⟩
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
choose s' t' hbt' hs' hst' hstcard ht' using fun b => Nat.find_spec (this b)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
have : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b := by refine' le_antisymm _ (Finset.sup_le_iff.2 fun _ _ => hst' _) exact mul_subset_iff_right.2 fun b hb => (smul_finset_subset_smul_finset $ hs' ⟨b, hb⟩).trans $ (op_smul_finset_subset_mul $ hbt' ⟨b, hb⟩).trans $ @le_sup _ _ _ _ _ (fun b => s' b * t' b) _ $ mem_univ _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
rw [this]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b ⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b ⊢ s.card + t.card ≤ (univ.sup fun b => s' b * t' b).card + (univ.sup fun b => s' b * t' b).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' (le_inf' ht.attach _ fun b _ => _).trans (le_card_sup_add_card_mulStab_sup _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b ⊢ s.card + t.card ≤ (univ.sup fun b => s' b * t' b).card + (univ.sup fun b => s' b * t' b).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ s.card + t.card ≤ (s' b * t' b).card + (s' b * t' b).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
rw [← hstcard b]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ s.card + t.card ≤ (s' b * t' b).card + (s' b * t' b).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ (s' b).card + (t' b).card ≤ (s' b * t' b).card + (s' b * t' b).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' add_le_add (card_le_card_mul_right _ ⟨_, hbt' _⟩) ((card_mono $ subset_mulStab_mul_left ⟨_, hbt' _⟩).trans' _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ (s' b).card + (t' b).card ≤ (s' b * t' b).card + (s' b * t' b).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ (t' b).card ≤ (s' b).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
rw [← card_smul_finset (b : α)⁻¹ (t' _)]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ (t' b).card ≤ (s' b).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ ((↑b)⁻¹ • t' b).card ≤ (s' b).mulStab.card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' card_mono ((mul_subset_left_iff $ hs.mono $ hs' _).1 _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ ((↑b)⁻¹ • t' b).card ≤ (s' b).mulStab.card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ s' b * (↑b)⁻¹ • t' b ⊆ s' b
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' mul_subset_iff_left.2 fun c hc => _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach ⊢ s' b * (↑b)⁻¹ • t' b ⊆ s' b
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ c • (↑b)⁻¹ • t' b ⊆ s' b
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
rw [← mul_smul]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ c • (↑b)⁻¹ • t' b ⊆ s' b
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ (c * (↑b)⁻¹) • t' b ⊆ s' b
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' smul_finset_subset_iff.2 (inter_eq_left.1 $ eq_of_subset_of_card_le inter_subset_left _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ (c * (↑b)⁻¹) • t' b ⊆ s' b
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ (t' b).card ≤ (t' b ∩ (c * (↑b)⁻¹)⁻¹ • s' b).card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
rw [← ht']
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ (t' b).card ≤ (t' b ∩ (c * (↑b)⁻¹)⁻¹ • s' b).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ Nat.find ⋯ ≤ (t' b ∩ (c * (↑b)⁻¹)⁻¹ • s' b).card
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' Nat.find_min' _ ⟨_, _, mem_inter.2 ⟨hbt' _, _⟩, (hs' _).trans subset_union_left, (mulDysonETransform.subset _ (s' b, t' b)).trans $ hst' _, (mulDysonETransform.card _ _).trans $ hstcard _, rfl⟩
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ Nat.find ⋯ ≤ (t' b ∩ (c * (↑b)⁻¹)⁻¹ • s' b).card
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ ↑b ∈ (c * (↑b)⁻¹)⁻¹ • (s' b, t' b).1
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
rwa [mem_inv_smul_finset_iff, smul_eq_mul, inv_mul_cancel_right]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this✝ : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card this : s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b b : { x // x ∈ t } x✝ : b ∈ t.attach c : α hc : c ∈ s' b ⊢ ↑b ∈ (c * (↑b)⁻¹)⁻¹ • (s' b, t' b).1
no goals
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
refine' le_antisymm _ (Finset.sup_le_iff.2 fun _ _ => hst' _)
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card ⊢ s * t = univ.sup fun b => s' b * t' b
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card ⊢ s * t ≤ univ.sup fun b => s' b * t' b
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Finset.le_card_mul_add_card_mulStab_mul
[204, 1]
[248, 67]
exact mul_subset_iff_right.2 fun b hb => (smul_finset_subset_smul_finset $ hs' ⟨b, hb⟩).trans $ (op_smul_finset_subset_mul $ hbt' ⟨b, hb⟩).trans $ @le_sup _ _ _ _ _ (fun b => s' b * t' b) _ $ mem_univ _
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty this : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ∃ n s' t', ↑b ∈ t' ∧ s ⊆ s' ∧ s' * t' ⊆ s * t ∧ s'.card + t'.card = s.card + t.card ∧ n = t'.card s' t' : { x // x ∈ t } → Finset α hbt' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), ↑b ∈ t' b hs' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s ⊆ s' b hst' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), s' b * t' b ⊆ s * t hstcard : ∀ (b : { x // x ∈ t }), (s' b).card + (t' b).card = s.card + t.card ht' : ∀ (b : { x // x ∈ t }), Nat.find ⋯ = (t' b).card ⊢ s * t ≤ univ.sup fun b => s' b * t' b
no goals
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Finset.mul_kneser'
[250, 1]
[266, 43]
obtain rfl | hs := s.eq_empty_or_nonempty
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t✝ t : Finset α ⊢ (∅ * (∅ * t).mulStab).card + (t * (∅ * t).mulStab).card ≤ (∅ * t).card + (∅ * t).mulStab.card case inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser'
[250, 1]
[266, 43]
obtain rfl | ht := t.eq_empty_or_nonempty
case inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t s : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ (s * (s * ∅).mulStab).card + (∅ * (s * ∅).mulStab).card ≤ (s * ∅).card + (s * ∅).mulStab.card case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser'
[250, 1]
[266, 43]
refine' (le_card_mul_add_card_mulStab_mul (hs.mul (hs.mul ht).mulStab) $ ht.mul (hs.mul ht).mulStab).trans_eq _
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab * (t * (s * t).mulStab)).card + (s * (s * t).mulStab * (t * (s * t).mulStab)).mulStab.card = (s * t).card + (s * t).mulStab.card
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Finset.mul_kneser'
[250, 1]
[266, 43]
rw [mul_mulStab_mul_mul_mul_mulStab_mul]
case inr.inr α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t✝ s t : Finset α hs : s.Nonempty ht : t.Nonempty ⊢ (s * (s * t).mulStab * (t * (s * t).mulStab)).card + (s * (s * t).mulStab * (t * (s * t).mulStab)).mulStab.card = (s * t).card + (s * t).mulStab.card
no goals
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Finset.mul_kneser'
[250, 1]
[266, 43]
simp
case inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s t✝ t : Finset α ⊢ (∅ * (∅ * t).mulStab).card + (t * (∅ * t).mulStab).card ≤ (∅ * t).card + (∅ * t).mulStab.card
no goals
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Finset.mul_kneser'
[250, 1]
[266, 43]
simp
case inr.inl α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : DecidableEq α s✝ t s : Finset α hs : s.Nonempty ⊢ (s * (s * ∅).mulStab).card + (∅ * (s * ∅).mulStab).card ≤ (s * ∅).card + (s * ∅).mulStab.card
no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Mathlib/Data/Set/Finite.lean
List.finite_length_eq
[8, 1]
[14, 47]
simp [List.length_eq_zero]
case zero α : Type u_1 inst✝ : Finite α n : ℕ ⊢ {l | l.length = 0}.Finite
no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/Mathlib/Data/Set/Finite.lean
List.finite_length_eq
[8, 1]
[14, 47]
ext (_ | _) <;> simp [n.succ_ne_zero.symm]
case succ α : Type u_1 inst✝ : Finite α n✝ n : ℕ ih : {l | l.length = n}.Finite ⊢ {l | l.length = n + 1} = image2 (fun x x_1 => x :: x_1) univ {l | l.length = n}
no goals