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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | replace := habc_min _ _ _ this | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
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x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
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c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
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b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | have h9 := eqn_9 habc hacd hbd' hbd hPmin | V : Type u_1
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ha₁ : a₁ = a
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this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
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⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | suffices dist a d ≤ P'.pathLength by linarith | V : Type u_1
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ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
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hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
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hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
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hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
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⊢ False | V : Type u_1
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ha₁ : a₁ = a
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hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
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hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
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hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
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this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | have : List.Sublist [a, d] P' := by
rw [← ha₁, List.cons_sublist_cons, List.singleton_sublist]
have : d ∈ a₃ :: l := by rw [← hPd]; exact List.getLast_mem _
rw [List.mem_cons]
simp only [this, or_true] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
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hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
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hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
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hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
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hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | have := List.Sublist.pathLength_sublist this | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
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hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
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c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
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hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
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hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : [a, d].Sublist P'
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
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ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
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hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
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hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝¹ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this✝ : [a, d].Sublist P'
this : [a, d].pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | rwa [List.pathLength, List.pathLength, add_zero] at this | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝¹ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this✝ : [a, d].Sublist P'
this : [a, d].pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp only [List.pathLength, Delta] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
⊢ Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
⊢ dist b₁₂ a₂ + dist a₂ a₃ - dist b₁₂ a₃ =
dist a₁ a₂ + (dist a₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength) - (dist a₁ b₁₂ + (dist b₁₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength)) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | linarith [hb₁₂.dist] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
⊢ dist b₁₂ a₂ + dist a₂ a₃ - dist b₁₂ a₃ =
dist a₁ a₂ + (dist a₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength) - (dist a₁ b₁₂ + (dist b₁₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength)) | no goals |
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inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
⊢ P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength | no goals |
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inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
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P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP'✝ : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP' : List.Special a b d P'
⊢ False | no goals |
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inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
⊢ NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
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hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : {a₁, b₁₂, a₃} ⊆ l
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp only [Set.mem_singleton_iff, Set.mem_insert_iff, Set.subset_def, forall_eq_or_imp,
forall_eq] at hl' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : {a₁, b₁₂, a₃} ⊆ l
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | exact hα.2.2.2 l hl (by simp [hl'.1, hl.close_right hl'.1 hl'.2.1 hb₁₂, hl'.2.2]) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp [hl'.1, hl.close_right hl'.1 hl'.2.1 hb₁₂, hl'.2.2] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l
⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ l | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | rintro rfl | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
⊢ a₃ ≠ b₁₂ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂
hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂
hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l
hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | refine hα.2.2.2 (Line a₁ a₃) (Line_isLine hb₁₂.ne12) ?_ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂
hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂
hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l
hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂
hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂
hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l
hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃
⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ Line a₁ a₃ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp [right_extend_mem_Line hb₁₂] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂
hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂
hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l
hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃
⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ Line a₁ a₃ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp only [P', ne_eq, List.chain'_cons] at hPc | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hPc : ¬a₁ = a₂ ∧ ¬a₂ = a₃ ∧ List.Chain' (fun x x_1 => ¬x = x_1) (a₃ :: l)
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp only [P', List.chain'_cons, and_true, ← ha₁, hb₁₂.ne12, true_and, not_false_eq_true, ne_eq,
ha₃b₁₂.symm, hPc.2.2, hP'₁.2] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
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habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
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hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hPc : ¬a₁ = a₂ ∧ ¬a₂ = a₃ ∧ List.Chain' (fun x x_1 => ¬x = x_1) (a₃ :: l)
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | linarith | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
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x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
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hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
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hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : dist a d ≤ P'.pathLength
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | rw [← ha₁, List.cons_sublist_cons, List.singleton_sublist] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
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ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
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hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
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hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
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this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
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inst✝² : MetricSpace V
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inst✝ : Nontrivial V
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hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
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hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
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c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
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hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
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hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | have : d ∈ a₃ :: l := by rw [← hPd]; exact List.getLast_mem _ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
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hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
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b₁₂ : V
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hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
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this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
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hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
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hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : d ∈ a₃ :: l
⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | rw [List.mem_cons] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
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hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
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ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
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b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
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hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : d ∈ a₃ :: l
⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
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hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
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hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
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hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | simp only [this, or_true] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
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habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
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hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
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hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : d ∈ a₃ :: l
⊢ d = b₁₂ ∨ d ∈ a₃ :: l | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | rw [← hPd] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
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b₁₂ : V
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P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ d ∈ a₃ :: l | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
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habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
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P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
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hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ (a₃ :: l).getLast ⋯ ∈ a₃ :: l |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | case3 | [476, 1] | [528, 59] | exact List.getLast_mem _ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ (a₃ :: l).getLast ⋯ ∈ a₃ :: l | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | let S : Set (V × V × V) := setOf (fun ⟨x, y, z⟩ => SimpleTriangle x y z) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : S.Nonempty := let ⟨x, y, z, hxyz⟩ := h; ⟨(x, y, z), hxyz⟩ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | obtain ⟨⟨a, b, c⟩, (habc : SimpleTriangle a b c), hmin⟩ :=
S.toFinite.exists_minimal_wrt (fun ⟨x, y, z⟩ => Delta x y z) S this | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | replace hmin : ∀ a' b' c' : V, SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' := by
intro a' b' c' h
by_contra! h'
exact h'.ne' (hmin (a', b', c') h h'.le) | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | refine ⟨a, c, habc.2.2.1.1.symm, ?_⟩ | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b} | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
⊢ Line a c = {a, c} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! h3 | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
⊢ Line a c = {a, c} | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | obtain ⟨d, hd, hd'⟩ := exists_third habc.2.2.1.1.symm h3 | case intro.mk.mk.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a d c ∨ sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp only [habc.2.2.1.symm.2 d, false_or] at hd' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a d c ∨ sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | wlog acd : sbtw a c d generalizing a c | case intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
acd : sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | clear hd' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
acd : sbtw a c d
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | let S : Set V := setOf (sbtw a c) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | obtain ⟨d, hd : sbtw _ _ d, hdmin⟩ := S.toFinite.exists_minimal_wrt (dist c) S ⟨d, acd⟩ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have hbd' : b ≠ d := by
rintro rfl
have := habc.2.2.2.2.2.2 (Line a c) (Line_isLine hd.ne12)
simp [right_extend_mem_Line hd] at this | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | replace hdmin : ∀ d', sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' := by
intro d' hd'
by_contra! hd''
exact hd''.ne' (hdmin d' hd' hd''.le) | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have hcd : SimpleEdges.Adj c d := by
use hd.2.2.1
intro e he
have : 0 ≤ dist e d := dist_nonneg
have : dist e d = 0 := by linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)]
simp only [dist_eq_zero] at this
exact he.ne23 this | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have hbd := eqn_7 habc hmin hd hcd | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | let S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : S.Finite := by
have ⟨n, hn⟩ := uniformly_bounded_of_chain_ne_of_pathLength_le V [a, b, d].pathLength
exact (List.finite_length_le _ _).subset fun l hl => hn l hl.chain_ne hl.pathLength_le | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have ⟨P, (hP : P.Special a b d), hPmin⟩ :=
this.exists_minimal_wrt List.pathLength S ⟨[a, b, d], abd_special habc hd hbd' hbd⟩ | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | replace hPmin : ∀ P' : List V, P'.Special a b d → P.pathLength ≤ P'.pathLength := by
intro P' hP'
by_contra! h
exact h.ne' (hPmin P' hP' h.le) | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
⊢ False | case intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → P.pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro a' b' c' h | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! h' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
h' : Delta a' b' c' < Delta a b c
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact h'.ne' (hmin (a', b', c') h h'.le) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin :
∀ a' ∈ S,
((match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z) ≤
match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) →
(match (a, b, c) with
| (x, y, z) => Delta x y z) =
match a' with
| (x, y, z) => Delta x y z
a' b' c' : V
h : SimpleTriangle a' b' c'
h' : Delta a' b' c' < Delta a b c
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rw [Line_comm] at hd h3 | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line a c
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rw [Set.pair_comm] at h3 | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {a, c}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have h' := hd'.resolve_right acd | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | refine this c a habc.swap ?_ h3 hd (Or.inr h'.symm) h'.symm | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ False | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta c b a ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro a' b' c' h' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h' : sbtw d a c
⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta c b a ≤ Delta a' b' c' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta c b a ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rw [Delta_comm] | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta c b a ≤ Delta a' b' c' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact hmin _ _ _ h' | case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S.Nonempty
a b c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line c a ≠ {c, a}
d : V
hd : d ∈ Line c a
hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d
this :
∀ (a c : V),
SimpleTriangle a b c →
(∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') →
Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False
acd : ¬sbtw a c d
h'✝ : sbtw d a c
a' b' c' : V
h' : SimpleTriangle a' b' c'
⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c' | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rintro rfl | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
⊢ b ≠ d | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have := habc.2.2.2.2.2.2 (Line a c) (Line_isLine hd.ne12) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
this : ¬{a, b, c} ⊆ Line a c
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp [right_extend_mem_Line hd] at this | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d ∈ Line a c
acd : sbtw a c d
S : Set V := setOf (sbtw a c)
hd : sbtw a c b
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a'
this : ¬{a, b, c} ⊆ Line a c
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro d' hd' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
⊢ ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
⊢ dist c d ≤ dist c d' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! hd'' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
⊢ dist c d ≤ dist c d' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
hd'' : dist c d' < dist c d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact hd''.ne' (hdmin d' hd' hd''.le) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a'
hbd' : b ≠ d
d' : V
hd' : sbtw a c d'
hd'' : dist c d' < dist c d
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | use hd.2.2.1 | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ SimpleEdges.Adj c d | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ ∀ (x : V), ¬sbtw c x d |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro e he | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
⊢ ∀ (x : V), ¬sbtw c x d | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : 0 ≤ dist e d := dist_nonneg | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
⊢ False | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this : 0 ≤ dist e d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : dist e d = 0 := by linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)] | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this : 0 ≤ dist e d
⊢ False | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : dist e d = 0
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp only [dist_eq_zero] at this | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : dist e d = 0
⊢ False | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : e = d
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact he.ne23 this | case right
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this✝ : 0 ≤ dist e d
this : e = d
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)] | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
e : V
he : sbtw c e d
this : 0 ≤ dist e d
⊢ dist e d = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have ⟨n, hn⟩ := uniformly_bounded_of_chain_ne_of_pathLength_le V [a, b, d].pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
⊢ S.Finite | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
n : ℕ
hn : ∀ (l : List V), List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l → l.pathLength ≤ [a, b, d].pathLength → l.length ≤ n
⊢ S.Finite |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact (List.finite_length_le _ _).subset fun l hl => hn l hl.chain_ne hl.pathLength_le | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
n : ℕ
hn : ∀ (l : List V), List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l → l.pathLength ≤ [a, b, d].pathLength → l.length ≤ n
⊢ S.Finite | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | intro P' hP' | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
⊢ ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → P.pathLength ≤ P'.pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
⊢ P.pathLength ≤ P'.pathLength |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | by_contra! h | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
⊢ P.pathLength ≤ P'.pathLength | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
h : P'.pathLength < P.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact h.ne' (hPmin P' hP' h.le) | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
hP : List.Special a b d P
hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength
P' : List V
hP' : List.Special a b d P'
h : P'.pathLength < P.pathLength
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | simp only [List.Special] at hP | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hP : List.Special a b d (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hP :
a₁ = a ∧
NotCollinear a₁ a₂ a₃ ∧
(¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d ∧
List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rcases hP with ⟨ha₁, hα, hβ, hPd, hPc, _⟩ | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hP :
a₁ = a ∧
NotCollinear a₁ a₂ a₃ ∧
(¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d ∧
List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) ∧
(a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ False | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | have : (¬ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∨
(SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∨
(¬ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) := by tauto | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
⊢ False | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this✝ : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
this :
¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨
SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | rcases this with (⟨c₁1, c₁2⟩ | ⟨c₂1, c₂2⟩ | ⟨c₃1, c₃2⟩) | case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝¹ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this✝ : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
this :
¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨
SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | case intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₂1 : SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₂2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₃1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₃2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | tauto | V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
⊢ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨
SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact case1 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₁1 c₁2 | case intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact case2 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₂1 c₂2 | case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₂1 : SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₂2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | two_implies_three | [530, 1] | [591, 69] | exact case3 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₃1 c₃2 | case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z : V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z}
this✝ : S✝¹.Nonempty
b d✝ a c : V
habc : SimpleTriangle a b c
hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
h3 : Line a c ≠ {a, c}
hd✝ : d✝ ∈ Line a c
acd : sbtw a c d✝
S✝ : Set V := setOf (sbtw a c)
d : V
hd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
hcd : SimpleEdges.Adj c d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
this : S.Finite
P : List V
a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength
c₃1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₃2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | by_cases h : ∀ x y z : V, ¬ NotCollinear x y z | V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case pos
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ¬∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | push_neg at h | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ¬∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | replace h := one_implies_two h | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | obtain ⟨a, b, h, hl⟩ := two_implies_three h | case neg
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case neg.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
a b : V
h : a ≠ b
hl : Line a b = {a, b}
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | exact ⟨a, b, h, Or.inl hl⟩ | case neg.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z
a b : V
h : a ≠ b
hl : Line a b = {a, b}
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | obtain ⟨L, hL, a, b, hab, rfl⟩ := thm_two' h | case pos
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | case pos.intro.intro.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
a b : V
hab : a ≠ b
hL : Line a b = Set.univ
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean | sylvester_chvatal | [593, 1] | [601, 29] | exact ⟨a, b, hab, Or.inr hL⟩ | case pos.intro.intro.intro.intro.intro
V✝ : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝⁴ : Finite V✝
inst✝³ : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝² : MetricSpace V
inst✝¹ : Nontrivial V
inst✝ : Finite V
h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z
a b : V
hab : a ≠ b
hL : Line a b = Set.univ
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_zero | [18, 1] | [19, 47] | rw [hasSliceRankLE_iff] | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE 0 f ↔ f = 0 | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (0 = 0 ∧ f = 0 ∨ ∃ n f_1 i g h, HasSliceRankLE n f_1 ∧ 0 = n + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔
f = 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_zero | [18, 1] | [19, 47] | simp [@eq_comm _ 0] | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (0 = 0 ∧ f = 0 ∨ ∃ n f_1 i g h, HasSliceRankLE n f_1 ∧ 0 = n + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔
f = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_succ | [21, 1] | [25, 8] | rw [hasSliceRankLE_iff] | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE (n + 1) f ↔ ∃ f' i g h, HasSliceRankLE n f' ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (n + 1 = 0 ∧ f = 0 ∨
∃ n_1 f_1 i g h, HasSliceRankLE n_1 f_1 ∧ n + 1 = n_1 + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔
∃ f' i g h, HasSliceRankLE n f' ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_succ | [21, 1] | [25, 8] | sorry | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (n + 1 = 0 ∧ f = 0 ∨
∃ n_1 f_1 i g h, HasSliceRankLE n_1 f_1 ∧ n + 1 = n_1 + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔
∃ f' i g h, HasSliceRankLE n f' ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_one | [27, 1] | [29, 77] | simp [hasSliceRankLE_succ] | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE 1 f ↔ ∃ i g h, f = fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_iff_exists_sum | [31, 1] | [49, 10] | induction' n with n ih generalizing f | ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j | case zero
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE 0 f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin 0, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE (n + 1) f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_iff_exists_sum | [31, 1] | [49, 10] | simp_rw [hasSliceRankLE_succ, ih] | case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE (n + 1) f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j | case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (∃ f' i g h,
(∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧
f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔
∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_iff_exists_sum | [31, 1] | [49, 10] | constructor | case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (∃ f' i g h,
(∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧
f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔
∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j | case succ.mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (∃ f' i g h,
(∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧
f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) →
∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case succ.mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) →
∃ f' i g h,
(∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧
f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_iff_exists_sum | [31, 1] | [49, 10] | simp | case zero
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ HasSliceRankLE 0 f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin 0, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_iff_exists_sum | [31, 1] | [49, 10] | rintro ⟨f', iₙ, gₙ, hₙ, ⟨i, g, h, rfl⟩, rfl⟩ | case succ.mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (∃ f' i g h,
(∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧
f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) →
∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j | case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
iₙ : ι
gₙ : α iₙ → R
hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R
i : Fin n → ι
g : (k : Fin n) → α (i k) → R
h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R
⊢ ∃ i_1 g_1 h_1,
((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) =
∑ k : Fin (n + 1), fun x => g_1 k (x (i_1 k)) * h_1 k fun j x_1 => x j |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SliceRank.lean | hasSliceRankLE_iff_exists_sum | [31, 1] | [49, 10] | refine ⟨Fin.cons iₙ i, Fin.cons gₙ g, Fin.cons hₙ h, ?_⟩ | case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
iₙ : ι
gₙ : α iₙ → R
hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R
i : Fin n → ι
g : (k : Fin n) → α (i k) → R
h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R
⊢ ∃ i_1 g_1 h_1,
((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) =
∑ k : Fin (n + 1), fun x => g_1 k (x (i_1 k)) * h_1 k fun j x_1 => x j | case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
iₙ : ι
gₙ : α iₙ → R
hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R
i : Fin n → ι
g : (k : Fin n) → α (i k) → R
h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R
⊢ ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) =
∑ k : Fin (n + 1), fun x => Fin.cons gₙ g k (x (Fin.cons iₙ i k)) * Fin.cons hₙ h k fun j x_1 => x j |
Subsets and Splits
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