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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean
case3
[476, 1]
[528, 59]
replace := habc_min _ _ _ this
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : SimpleTriangle b₁₂ a₂ a₃ ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ ⊢ False
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean
case3
[476, 1]
[528, 59]
have h9 := eqn_9 habc hacd hbd' hbd hPmin
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ False
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case3
[476, 1]
[528, 59]
suffices dist a d ≤ P'.pathLength by linarith
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
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case3
[476, 1]
[528, 59]
have : List.Sublist [a, d] P' := by rw [← ha₁, List.cons_sublist_cons, List.singleton_sublist] have : d ∈ a₃ :: l := by rw [← hPd]; exact List.getLast_mem _ rw [List.mem_cons] simp only [this, or_true]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : [a, d].Sublist P' ⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
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case3
[476, 1]
[528, 59]
have := List.Sublist.pathLength_sublist this
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : [a, d].Sublist P' ⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝¹ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this✝ : [a, d].Sublist P' this : [a, d].pathLength ≤ P'.pathLength ⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
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case3
[476, 1]
[528, 59]
rwa [List.pathLength, List.pathLength, add_zero] at this
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝¹ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this✝ : [a, d].Sublist P' this : [a, d].pathLength ≤ P'.pathLength ⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
no goals
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp only [List.pathLength, Delta]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l ⊢ Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l ⊢ dist b₁₂ a₂ + dist a₂ a₃ - dist b₁₂ a₃ = dist a₁ a₂ + (dist a₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength) - (dist a₁ b₁₂ + (dist b₁₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength))
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case3
[476, 1]
[528, 59]
linarith [hb₁₂.dist]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l ⊢ dist b₁₂ a₂ + dist a₂ a₃ - dist b₁₂ a₃ = dist a₁ a₂ + (dist a₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength) - (dist a₁ b₁₂ + (dist b₁₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength))
no goals
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LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean
case3
[476, 1]
[528, 59]
linarith
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ ⊢ P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
no goals
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case3
[476, 1]
[528, 59]
linarith [hPmin _ hP']
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP'✝ : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP' : List.Special a b d P' ⊢ False
no goals
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
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case3
[476, 1]
[528, 59]
refine NotCollinear.mk fun l hl hl' ↦ ?_
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d ⊢ NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l✝ : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝ hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d l : Set V hl : l.IsLine hl' : {a₁, b₁₂, a₃} ⊆ l ⊢ False
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp only [Set.mem_singleton_iff, Set.mem_insert_iff, Set.subset_def, forall_eq_or_imp, forall_eq] at hl'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l✝ : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝ hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d l : Set V hl : l.IsLine hl' : {a₁, b₁₂, a₃} ⊆ l ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l✝ : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝ hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d l : Set V hl : l.IsLine hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l ⊢ False
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case3
[476, 1]
[528, 59]
exact hα.2.2.2 l hl (by simp [hl'.1, hl.close_right hl'.1 hl'.2.1 hb₁₂, hl'.2.2])
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l✝ : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝ hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d l : Set V hl : l.IsLine hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l ⊢ False
no goals
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp [hl'.1, hl.close_right hl'.1 hl'.2.1 hb₁₂, hl'.2.2]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l✝ : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝ hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d l : Set V hl : l.IsLine hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l ⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ l
no goals
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case3
[476, 1]
[528, 59]
rintro rfl
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ⊢ a₃ ≠ b₁₂
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂ hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂ hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃ ⊢ False
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case3
[476, 1]
[528, 59]
refine hα.2.2.2 (Line a₁ a₃) (Line_isLine hb₁₂.ne12) ?_
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂ hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂ hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃ ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂ hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂ hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃ ⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ Line a₁ a₃
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp [right_extend_mem_Line hb₁₂]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂ hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂ hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃ ⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ Line a₁ a₃
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp only [P', ne_eq, List.chain'_cons] at hPc
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength ⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hPc : ¬a₁ = a₂ ∧ ¬a₂ = a₃ ∧ List.Chain' (fun x x_1 => ¬x = x_1) (a₃ :: l) ⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp only [P', List.chain'_cons, and_true, ← ha₁, hb₁₂.ne12, true_and, not_false_eq_true, ne_eq, ha₃b₁₂.symm, hPc.2.2, hP'₁.2]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hP'ns : ¬List.Special a b d P' hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hPc : ¬a₁ = a₂ ∧ ¬a₂ = a₃ ∧ List.Chain' (fun x x_1 => ¬x = x_1) (a₃ :: l) ⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
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LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean
case3
[476, 1]
[528, 59]
linarith
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : dist a d ≤ P'.pathLength ⊢ False
no goals
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SylvesterChvatal.lean
case3
[476, 1]
[528, 59]
rw [← ha₁, List.cons_sublist_cons, List.singleton_sublist]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ [a, d].Sublist P'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l
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case3
[476, 1]
[528, 59]
have : d ∈ a₃ :: l := by rw [← hPd]; exact List.getLast_mem _
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : d ∈ a₃ :: l ⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l
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case3
[476, 1]
[528, 59]
rw [List.mem_cons]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : d ∈ a₃ :: l ⊢ d ∈ b₁₂ :: a₃ :: l
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : d ∈ a₃ :: l ⊢ d = b₁₂ ∨ d ∈ a₃ :: l
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case3
[476, 1]
[528, 59]
simp only [this, or_true]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c this : d ∈ a₃ :: l ⊢ d = b₁₂ ∨ d ∈ a₃ :: l
no goals
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case3
[476, 1]
[528, 59]
rw [← hPd]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ d ∈ a₃ :: l
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ (a₃ :: l).getLast ⋯ ∈ a₃ :: l
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case3
[476, 1]
[528, 59]
exact List.getLast_mem _
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V l : List V habc : SimpleTriangle a b c habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' hacd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ b₁₂ : V hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂ hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂ hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃ P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃ hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃ ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂ hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P' hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃ this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃ h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c ⊢ (a₃ :: l).getLast ⋯ ∈ a₃ :: l
no goals
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
let S : Set (V × V × V) := setOf (fun ⟨x, y, z⟩ => SimpleTriangle x y z)
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have : S.Nonempty := let ⟨x, y, z, hxyz⟩ := h; ⟨(x, y, z), hxyz⟩
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
obtain ⟨⟨a, b, c⟩, (habc : SimpleTriangle a b c), hmin⟩ := S.toFinite.exists_minimal_wrt (fun ⟨x, y, z⟩ => Delta x y z) S this
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
replace hmin : ∀ a' b' c' : V, SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' := by intro a' b' c' h by_contra! h' exact h'.ne' (hmin (a', b', c') h h'.le)
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
refine ⟨a, c, habc.2.2.1.1.symm, ?_⟩
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ Line a b = {a, b}
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' ⊢ Line a c = {a, c}
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
by_contra! h3
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' ⊢ Line a c = {a, c}
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
obtain ⟨d, hd, hd'⟩ := exists_third habc.2.2.1.1.symm h3
case intro.mk.mk.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a d c ∨ sbtw a c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
simp only [habc.2.2.1.symm.2 d, false_or] at hd'
case intro.mk.mk.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a d c ∨ sbtw a c d ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
wlog acd : sbtw a c d generalizing a c
case intro.mk.mk.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d ⊢ False V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d acd : sbtw a c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
clear hd'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d acd : sbtw a c d ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
let S : Set V := setOf (sbtw a c)
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d S : Set V := setOf (sbtw a c) ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
obtain ⟨d, hd : sbtw _ _ d, hdmin⟩ := S.toFinite.exists_minimal_wrt (dist c) S ⟨d, acd⟩
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d S : Set V := setOf (sbtw a c) ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have hbd' : b ≠ d := by rintro rfl have := habc.2.2.2.2.2.2 (Line a c) (Line_isLine hd.ne12) simp [right_extend_mem_Line hd] at this
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
replace hdmin : ∀ d', sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' := by intro d' hd' by_contra! hd'' exact hd''.ne' (hdmin d' hd' hd''.le)
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have hcd : SimpleEdges.Adj c d := by use hd.2.2.1 intro e he have : 0 ≤ dist e d := dist_nonneg have : dist e d = 0 := by linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)] simp only [dist_eq_zero] at this exact he.ne23 this
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have hbd := eqn_7 habc hmin hd hcd
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
let S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d)
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have : S.Finite := by have ⟨n, hn⟩ := uniformly_bounded_of_chain_ne_of_pathLength_le V [a, b, d].pathLength exact (List.finite_length_le _ _).subset fun l hl => hn l hl.chain_ne hl.pathLength_le
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have ⟨P, (hP : P.Special a b d), hPmin⟩ := this.exists_minimal_wrt List.pathLength S ⟨[a, b, d], abd_special habc hd hbd' hbd⟩
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
replace hPmin : ∀ P' : List V, P'.Special a b d → P.pathLength ≤ P'.pathLength := by intro P' hP' by_contra! h exact h.ne' (hPmin P' hP' h.le)
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength ⊢ False
case intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → P.pathLength ≤ P'.pathLength ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
intro a' b' c' h
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z ⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z a' b' c' : V h : SimpleTriangle a' b' c' ⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
by_contra! h'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z a' b' c' : V h : SimpleTriangle a' b' c' ⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z a' b' c' : V h : SimpleTriangle a' b' c' h' : Delta a' b' c' < Delta a b c ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact h'.ne' (hmin (a', b', c') h h'.le)
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ a' ∈ S, ((match a' with | (x, y, z) => Delta x y z) ≤ match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) → (match (a, b, c) with | (x, y, z) => Delta x y z) = match a' with | (x, y, z) => Delta x y z a' b' c' : V h : SimpleTriangle a' b' c' h' : Delta a' b' c' < Delta a b c ⊢ False
no goals
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
rw [Line_comm] at hd h3
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line a c hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
rw [Set.pair_comm] at h3
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {a, c} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have h' := hd'.resolve_right acd
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h' : sbtw d a c ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
refine this c a habc.swap ?_ h3 hd (Or.inr h'.symm) h'.symm
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h' : sbtw d a c ⊢ False
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h' : sbtw d a c ⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta c b a ≤ Delta a' b' c'
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
intro a' b' c' h'
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h' : sbtw d a c ⊢ ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta c b a ≤ Delta a' b' c'
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h'✝ : sbtw d a c a' b' c' : V h' : SimpleTriangle a' b' c' ⊢ Delta c b a ≤ Delta a' b' c'
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
rw [Delta_comm]
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h'✝ : sbtw d a c a' b' c' : V h' : SimpleTriangle a' b' c' ⊢ Delta c b a ≤ Delta a' b' c'
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h'✝ : sbtw d a c a' b' c' : V h' : SimpleTriangle a' b' c' ⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact hmin _ _ _ h'
case intro.mk.mk.intro.intro.intro.inr V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S.Nonempty a b c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line c a ≠ {c, a} d : V hd : d ∈ Line c a hd' : sbtw d a c ∨ sbtw a c d this : ∀ (a c : V), SimpleTriangle a b c → (∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c') → Line a c ≠ {a, c} → d ∈ Line a c → sbtw d a c ∨ sbtw a c d → sbtw a c d → False acd : ¬sbtw a c d h'✝ : sbtw d a c a' b' c' : V h' : SimpleTriangle a' b' c' ⊢ Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
no goals
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
rintro rfl
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' ⊢ b ≠ d
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d S : Set V := setOf (sbtw a c) hd : sbtw a c b hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a' ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have := habc.2.2.2.2.2.2 (Line a c) (Line_isLine hd.ne12)
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d S : Set V := setOf (sbtw a c) hd : sbtw a c b hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a' ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d S : Set V := setOf (sbtw a c) hd : sbtw a c b hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a' this : ¬{a, b, c} ⊆ Line a c ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
simp [right_extend_mem_Line hd] at this
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝.Nonempty b d a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d ∈ Line a c acd : sbtw a c d S : Set V := setOf (sbtw a c) hd : sbtw a c b hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c b → dist c b = dist c a' this : ¬{a, b, c} ⊆ Line a c ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
intro d' hd'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d ⊢ ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d d' : V hd' : sbtw a c d' ⊢ dist c d ≤ dist c d'
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
by_contra! hd''
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d d' : V hd' : sbtw a c d' ⊢ dist c d ≤ dist c d'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d d' : V hd' : sbtw a c d' hd'' : dist c d' < dist c d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact hd''.ne' (hdmin d' hd' hd''.le)
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hdmin : ∀ a' ∈ S, dist c a' ≤ dist c d → dist c d = dist c a' hbd' : b ≠ d d' : V hd' : sbtw a c d' hd'' : dist c d' < dist c d ⊢ False
no goals
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
use hd.2.2.1
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' ⊢ SimpleEdges.Adj c d
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' ⊢ ∀ (x : V), ¬sbtw c x d
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
intro e he
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' ⊢ ∀ (x : V), ¬sbtw c x d
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have : 0 ≤ dist e d := dist_nonneg
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d ⊢ False
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this : 0 ≤ dist e d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have : dist e d = 0 := by linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)]
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this : 0 ≤ dist e d ⊢ False
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝¹ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this✝ : 0 ≤ dist e d this : dist e d = 0 ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
simp only [dist_eq_zero] at this
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝¹ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this✝ : 0 ≤ dist e d this : dist e d = 0 ⊢ False
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝¹ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this✝ : 0 ≤ dist e d this : e = d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact he.ne23 this
case right V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝¹ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this✝ : 0 ≤ dist e d this : e = d ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
linarith [he.dist, this, hdmin e (hd.right_cancel he)]
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' e : V he : sbtw c e d this : 0 ≤ dist e d ⊢ dist e d = 0
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have ⟨n, hn⟩ := uniformly_bounded_of_chain_ne_of_pathLength_le V [a, b, d].pathLength
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) ⊢ S.Finite
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) n : ℕ hn : ∀ (l : List V), List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l → l.pathLength ≤ [a, b, d].pathLength → l.length ≤ n ⊢ S.Finite
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact (List.finite_length_le _ _).subset fun l hl => hn l hl.chain_ne hl.pathLength_le
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) n : ℕ hn : ∀ (l : List V), List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l → l.pathLength ≤ [a, b, d].pathLength → l.length ≤ n ⊢ S.Finite
no goals
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
intro P' hP'
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength ⊢ ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → P.pathLength ≤ P'.pathLength
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength P' : List V hP' : List.Special a b d P' ⊢ P.pathLength ≤ P'.pathLength
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
by_contra! h
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength P' : List V hP' : List.Special a b d P' ⊢ P.pathLength ≤ P'.pathLength
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength P' : List V hP' : List.Special a b d P' h : P'.pathLength < P.pathLength ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact h.ne' (hPmin P' hP' h.le)
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V hP : List.Special a b d P hPmin : ∀ a' ∈ S, a'.pathLength ≤ P.pathLength → P.pathLength = a'.pathLength P' : List V hP' : List.Special a b d P' h : P'.pathLength < P.pathLength ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
simp only [List.Special] at hP
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hP : List.Special a b d (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ⊢ False
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hP : a₁ = a ∧ NotCollinear a₁ a₂ a₃ ∧ (¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∧ (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d ∧ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) ∧ (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
rcases hP with ⟨ha₁, hα, hβ, hPd, hPc, _⟩
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hP : a₁ = a ∧ NotCollinear a₁ a₂ a₃ ∧ (¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∧ (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d ∧ List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) ∧ (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
have : (¬ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∨ (SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) ∨ (¬ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃) := by tauto
case intro.intro.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength ⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝¹ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this✝ : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength this : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
rcases this with (⟨c₁1, c₁2⟩ | ⟨c₂1, c₂2⟩ | ⟨c₃1, c₃2⟩)
case intro.intro.intro.intro.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝¹ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this✝ : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength this : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength c₂1 : SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₂2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength c₃1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₃2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
tauto
V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength ⊢ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∧ SimpleEdges.Adj a₂ a₃
no goals
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034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact case1 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₁1 c₁2
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₁2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False
no goals
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact case2 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₂1 c₂2
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength c₂1 : SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₂2 : ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False
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two_implies_three
[530, 1]
[591, 69]
exact case3 habc hmin hd hbd' hbd hPmin ha₁ hα hPd hPc c₃1 c₃2
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro V : Type u_1 inst✝² : MetricSpace V u v w : V inst✝¹ : Finite V inst✝ : Nontrivial V x y z : V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z S✝¹ : Set (V × V × V) := {(x, y, z) | SimpleTriangle x y z} this✝ : S✝¹.Nonempty b d✝ a c : V habc : SimpleTriangle a b c hmin : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c' h3 : Line a c ≠ {a, c} hd✝ : d✝ ∈ Line a c acd : sbtw a c d✝ S✝ : Set V := setOf (sbtw a c) d : V hd : sbtw a c d hbd' : b ≠ d hdmin : ∀ (d' : V), sbtw a c d' → dist c d ≤ dist c d' hcd : SimpleEdges.Adj c d hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d S : Set (List V) := setOf (List.Special a b d) this : S.Finite P : List V a₁ a₂ a₃ : V l : List V hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength ha₁ : a₁ = a hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃ hβ : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ ∨ ¬SimpleEdges.Adj a₂ a₃ hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l) right✝ : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ [a, b, d].pathLength c₃1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂ c₃2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃ ⊢ False
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
by_cases h : ∀ x y z : V, ¬ NotCollinear x y z
V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case pos V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ) case neg V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ¬∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
push_neg at h
case neg V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ¬∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case neg V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∃ x y z, NotCollinear x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
replace h := one_implies_two h
case neg V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∃ x y z, NotCollinear x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case neg V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
obtain ⟨a, b, h, hl⟩ := two_implies_three h
case neg V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case neg.intro.intro.intro V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z a b : V h : a ≠ b hl : Line a b = {a, b} ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
exact ⟨a, b, h, Or.inl hl⟩
case neg.intro.intro.intro V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h✝ : ∃ x y z, SimpleTriangle x y z a b : V h : a ≠ b hl : Line a b = {a, b} ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
no goals
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
obtain ⟨L, hL, a, b, hab, rfl⟩ := thm_two' h
case pos V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
case pos.intro.intro.intro.intro.intro V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z a b : V hab : a ≠ b hL : Line a b = Set.univ ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
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sylvester_chvatal
[593, 1]
[601, 29]
exact ⟨a, b, hab, Or.inr hL⟩
case pos.intro.intro.intro.intro.intro V✝ : Type u_1 inst✝⁵ : MetricSpace V✝ u v w : V✝ inst✝⁴ : Finite V✝ inst✝³ : Nontrivial V✝ x y z : V✝ V : Type u_2 inst✝² : MetricSpace V inst✝¹ : Nontrivial V inst✝ : Finite V h : ∀ (x y z : V), ¬NotCollinear x y z a b : V hab : a ≠ b hL : Line a b = Set.univ ⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (Line a b = {a, b} ∨ Line a b = Set.univ)
no goals
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hasSliceRankLE_zero
[18, 1]
[19, 47]
rw [hasSliceRankLE_iff]
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE 0 f ↔ f = 0
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (0 = 0 ∧ f = 0 ∨ ∃ n f_1 i g h, HasSliceRankLE n f_1 ∧ 0 = n + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔ f = 0
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hasSliceRankLE_zero
[18, 1]
[19, 47]
simp [@eq_comm _ 0]
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (0 = 0 ∧ f = 0 ∨ ∃ n f_1 i g h, HasSliceRankLE n f_1 ∧ 0 = n + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔ f = 0
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hasSliceRankLE_succ
[21, 1]
[25, 8]
rw [hasSliceRankLE_iff]
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE (n + 1) f ↔ ∃ f' i g h, HasSliceRankLE n f' ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (n + 1 = 0 ∧ f = 0 ∨ ∃ n_1 f_1 i g h, HasSliceRankLE n_1 f_1 ∧ n + 1 = n_1 + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔ ∃ f' i g h, HasSliceRankLE n f' ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_succ
[21, 1]
[25, 8]
sorry
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (n + 1 = 0 ∧ f = 0 ∨ ∃ n_1 f_1 i g h, HasSliceRankLE n_1 f_1 ∧ n + 1 = n_1 + 1 ∧ f = f_1 + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔ ∃ f' i g h, HasSliceRankLE n f' ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_one
[27, 1]
[29, 77]
simp [hasSliceRankLE_succ]
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE 1 f ↔ ∃ i g h, f = fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
induction' n with n ih generalizing f
ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m n : ℕ f f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case zero ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE 0 f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin 0, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j case succ ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE (n + 1) f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
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hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
simp_rw [hasSliceRankLE_succ, ih]
case succ ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE (n + 1) f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case succ ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (∃ f' i g h, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
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LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
constructor
case succ ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (∃ f' i g h, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case succ.mp ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (∃ f' i g h, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) → ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j case succ.mpr ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) → ∃ f' i g h, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
simp
case zero ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ HasSliceRankLE 0 f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin 0, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SliceRank.lean
hasSliceRankLE_iff_exists_sum
[31, 1]
[49, 10]
rintro ⟨f', iₙ, gₙ, hₙ, ⟨i, g, h, rfl⟩, rfl⟩
case succ.mp ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j f : ((i : ι) → α i) → R ⊢ (∃ f' i g h, (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧ f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) → ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ ∃ i_1 g_1 h_1, ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g_1 k (x (i_1 k)) * h_1 k fun j x_1 => x j
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git
034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f
LeanCamCombi/SliceRank.lean
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[31, 1]
[49, 10]
refine ⟨Fin.cons iₙ i, Fin.cons gₙ g, Fin.cons hₙ h, ?_⟩
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ ∃ i_1 g_1 h_1, ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g_1 k (x (i_1 k)) * h_1 k fun j x_1 => x j
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro ι : Type u_1 R : Type u_2 inst✝¹ : DecidableEq ι α : ι → Type u_3 inst✝ : Semiring R m : ℕ f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R n : ℕ ih : ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R}, HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j iₙ : ι gₙ : α iₙ → R hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R i : Fin n → ι g : (k : Fin n) → α (i k) → R h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R ⊢ ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => Fin.cons gₙ g k (x (Fin.cons iₙ i k)) * Fin.cons hₙ h k fun j x_1 => x j