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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_val_aux_succ | [628, 1] | [638, 61] | exact nat_valuation_aux'_of_not_dvd (q+2) hq (m+1) _ hmq | case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q m : ℕ
hq : 1 < q + 2
hmq : ¬(m + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) hq (m + 1) (_ : 0 < m + 1) = 0 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_add_two | [657, 1] | [661, 25] | cases m | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q m : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) m = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) m | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) Nat.zero = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) Nat.zero
case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) (Nat.succ n✝) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_add_two | [657, 1] | [661, 25] | . rfl | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) Nat.zero = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) Nat.zero
case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) (Nat.succ n✝) | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) (Nat.succ n✝) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_add_two | [657, 1] | [661, 25] | . simp [nat_valuation] | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) (Nat.succ n✝) | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_add_two | [657, 1] | [661, 25] | rfl | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) Nat.zero = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) Nat.zero | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_add_two | [657, 1] | [661, 25] | simp [nat_valuation] | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (q + 2) (_ : Nat.succ 0 < Nat.succ (q + 1)) (Nat.succ n✝) | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | cases p | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p m : ℕ
hp : 1 < p
⊢ nat_valuation p m = nat_valuation_aux p hp m | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hp : 1 < Nat.zero
⊢ nat_valuation Nat.zero m = nat_valuation_aux Nat.zero hp m
case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m n✝ : ℕ
hp : 1 < Nat.succ n✝
⊢ nat_valuation (Nat.succ n✝) m = nat_valuation_aux (Nat.succ n✝) hp m |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | case zero => cases hp | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hp : 1 < Nat.zero
⊢ nat_valuation Nat.zero m = nat_valuation_aux Nat.zero hp m | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | case succ p =>
cases p
case zero => cases hp.ne rfl
case succ q =>
cases m
. rfl
. simp [nat_valuation] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m p : ℕ
hp : 1 < Nat.succ p
⊢ nat_valuation (Nat.succ p) m = nat_valuation_aux (Nat.succ p) hp m | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | cases hp | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hp : 1 < Nat.zero
⊢ nat_valuation Nat.zero m = nat_valuation_aux Nat.zero hp m | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | cases p | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m p : ℕ
hp : 1 < Nat.succ p
⊢ nat_valuation (Nat.succ p) m = nat_valuation_aux (Nat.succ p) hp m | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hp : 1 < Nat.succ Nat.zero
⊢ nat_valuation (Nat.succ Nat.zero) m = nat_valuation_aux (Nat.succ Nat.zero) hp m
case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m n✝ : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ n✝)
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ n✝)) m = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ n✝)) hp m |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | case zero => cases hp.ne rfl | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hp : 1 < Nat.succ Nat.zero
⊢ nat_valuation (Nat.succ Nat.zero) m = nat_valuation_aux (Nat.succ Nat.zero) hp m | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | case succ q =>
cases m
. rfl
. simp [nat_valuation] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) m = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp m | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | cases hp.ne rfl | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hp : 1 < Nat.succ Nat.zero
⊢ nat_valuation (Nat.succ Nat.zero) m = nat_valuation_aux (Nat.succ Nat.zero) hp m | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | cases m | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) m = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp m | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) Nat.zero = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp Nat.zero
case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp (Nat.succ n✝) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | . rfl | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) Nat.zero = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp Nat.zero
case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp (Nat.succ n✝) | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp (Nat.succ n✝) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | . simp [nat_valuation] | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp (Nat.succ n✝) | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | rfl | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) Nat.zero = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp Nat.zero | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_valuation_of_one_lt | [663, 1] | [673, 29] | simp [nat_valuation] | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q : ℕ
hp : 1 < Nat.succ (Nat.succ q)
n✝ : ℕ
⊢ nat_valuation (Nat.succ (Nat.succ q)) (Nat.succ n✝) = nat_valuation_aux (Nat.succ (Nat.succ q)) hp (Nat.succ n✝) | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_val_zero | [675, 1] | [677, 23] | simp [nat_valuation] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
⊢ nat_valuation p 0 = ⊤ | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | nat_val_succ | [679, 1] | [681, 52] | simp [nat_valuation_add_two, nat_val_aux_succ] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
q m : ℕ
⊢ nat_valuation (q + 2) (m + 1) = if (m + 1) % (q + 2) ≠ 0 then 0 else nat_valuation (q + 2) ((m + 1) / (q + 2)) + 1 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | simp only [natAbs_cast, int_val] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < p
⊢ int_val p ↑p = 1 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < p
⊢ nat_valuation p p = 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | match p with
| 0 =>
apply False.elim
apply Nat.not_lt_zero 1
assumption
| Nat.succ 0 =>
apply False.elim
apply Nat.lt_irrefl 1
assumption
| q+2 =>
rw [nat_val_succ, Nat.mod_self, if_neg _]
rw [Nat.div_self, nat_val_succ, if_pos, zero_add]
rw [Nat.mod_eq_of_lt]
exact Nat.succ_ne_zero 0
assumption
exact lt_trans (Nat.lt_succ_self 0) gt1
exact Ne.irrefl | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < p
⊢ nat_valuation p p = 1 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | apply False.elim | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < 0
⊢ nat_valuation 0 0 = 1 | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < 0
⊢ False |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | apply Nat.not_lt_zero 1 | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < 0
⊢ False | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < 0
⊢ 1 < 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | assumption | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < 0
⊢ 1 < 0 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | apply False.elim | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < Nat.succ 0
⊢ nat_valuation (Nat.succ 0) (Nat.succ 0) = 1 | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < Nat.succ 0
⊢ False |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | apply Nat.lt_irrefl 1 | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < Nat.succ 0
⊢ False | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < Nat.succ 0
⊢ 1 < 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | assumption | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
gt1 : 1 < Nat.succ 0
⊢ 1 < 1 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | rw [nat_val_succ, Nat.mod_self, if_neg _] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ nat_valuation (q + 2) (q + 2) = 1 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ nat_valuation (q + 2) ((q + 1 + 1) / (q + 2)) + 1 = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | rw [Nat.div_self, nat_val_succ, if_pos, zero_add] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ nat_valuation (q + 2) ((q + 1 + 1) / (q + 2)) + 1 = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 | case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ (0 + 1) % (q + 2) ≠ 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | rw [Nat.mod_eq_of_lt] | case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ (0 + 1) % (q + 2) ≠ 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 | case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 + 1 ≠ 0
case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 + 1 < q + 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | exact Nat.succ_ne_zero 0 | case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 + 1 ≠ 0
case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 + 1 < q + 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 | case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 + 1 < q + 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | assumption | case hc
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 + 1 < q + 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | exact lt_trans (Nat.lt_succ_self 0) gt1 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ 0 < q + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_uniformizer | [688, 1] | [707, 20] | exact Ne.irrefl | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : ℕ
gt1 : 1 < q + 2
⊢ ¬0 ≠ 0 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.int_val_zero | [709, 1] | [710, 79] | simp [natAbs_cast, int_val] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
⊢ int_val p 0 = ⊤ | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.mod_mul | [712, 1] | [713, 47] | rw [Nat.mul_mod, h, zero_mul, Nat.zero_mod] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
h : a % c = 0
⊢ a * b % c = 0 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_mul_div_assoc | [715, 1] | [718, 33] | intro hmod | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
⊢ b % c = 0 → a * b / c = a * (b / c) | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
hmod : b % c = 0
⊢ a * b / c = a * (b / c) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_mul_div_assoc | [715, 1] | [718, 33] | rw [Nat.mul_div_assoc] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
hmod : b % c = 0
⊢ a * b / c = a * (b / c) | case H
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
hmod : b % c = 0
⊢ c ∣ b |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_mul_div_assoc | [715, 1] | [718, 33] | rwa [← Nat.modEq_zero_iff_dvd] | case H
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
hmod : b % c = 0
⊢ c ∣ b | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_mul_div_assoc' | [721, 1] | [723, 58] | intro hmod | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
⊢ a % c = 0 → a * b / c = a / c * b | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
hmod : a % c = 0
⊢ a * b / c = a / c * b |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_mul_div_assoc' | [721, 1] | [723, 58] | rw [Nat.mul_comm, nat_mul_div_assoc hmod, Nat.mul_comm] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b c : ℕ
hmod : a % c = 0
⊢ a * b / c = a / c * b | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have general (n : ℕ) : ∀ c d hc hd, c + d ≤ n → nat_valuation_aux' p hp (c * d) (Nat.mul_pos hc hd) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd := by
induction n with
| zero =>
intro c d hc hd h_sum
rw [Nat.eq_zero_of_add_eq_zero_right (Nat.eq_zero_of_le_zero h_sum)] at hc
exact (lt_irrefl 0 hc).elim
| succ n ih =>
intro c d hc hd h_sum
cases c with
| zero => cases hc
| succ c => cases d with
| zero => cases hd
| succ d =>
match Nat.le.dest (Nat.succ_le_of_lt prime.one_lt) with
| ⟨q, hq⟩ =>
rw [Nat.add_comm] at hq
norm_num at hq have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ
. simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
simp only [←hq, mul_s_s, nat_valuation_add_two, nat_valuation_aux]
simp only [hq, show c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1) by ring]
cases Nat.eq_zero_or_pos ((c + 1) * (d + 1) % p) with
| inl h =>
have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
cases hh with
| inl h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
rw [← add_assoc]
rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h =>
have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h)
have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h)
simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd]
simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ nat_valuation_aux' p hp (a * b) (_ : a * b > 0) = nat_valuation_aux' p hp a ha + nat_valuation_aux' p hp b hb | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
general :
∀ (n c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
⊢ nat_valuation_aux' p hp (a * b) (_ : a * b > 0) = nat_valuation_aux' p hp a ha + nat_valuation_aux' p hp b hb |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply general (a + b) a b ha hb (le_refl _) | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
general :
∀ (n c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
⊢ nat_valuation_aux' p hp (a * b) (_ : a * b > 0) = nat_valuation_aux' p hp a ha + nat_valuation_aux' p hp b hb | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | induction n with
| zero =>
intro c d hc hd h_sum
rw [Nat.eq_zero_of_add_eq_zero_right (Nat.eq_zero_of_le_zero h_sum)] at hc
exact (lt_irrefl 0 hc).elim
| succ n ih =>
intro c d hc hd h_sum
cases c with
| zero => cases hc
| succ c => cases d with
| zero => cases hd
| succ d =>
match Nat.le.dest (Nat.succ_le_of_lt prime.one_lt) with
| ⟨q, hq⟩ =>
rw [Nat.add_comm] at hq
norm_num at hq have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ
. simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
simp only [←hq, mul_s_s, nat_valuation_add_two, nat_valuation_aux]
simp only [hq, show c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1) by ring]
cases Nat.eq_zero_or_pos ((c + 1) * (d + 1) % p) with
| inl h =>
have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
cases hh with
| inl h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
rw [← add_assoc]
rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h =>
have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h)
have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h)
simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd]
simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
⊢ ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | intro c d hc hd h_sum | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ Nat.zero →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
c d : ℕ
hc : c > 0
hd : d > 0
h_sum : c + d ≤ Nat.zero
⊢ nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [Nat.eq_zero_of_add_eq_zero_right (Nat.eq_zero_of_le_zero h_sum)] at hc | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
c d : ℕ
hc : c > 0
hd : d > 0
h_sum : c + d ≤ Nat.zero
⊢ nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
c d : ℕ
hc✝ : c > 0
hc : 0 > 0
hd : d > 0
h_sum : c + d ≤ Nat.zero
⊢ nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc✝ + nat_valuation_aux' p hp d hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | exact (lt_irrefl 0 hc).elim | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
c d : ℕ
hc✝ : c > 0
hc : 0 > 0
hd : d > 0
h_sum : c + d ≤ Nat.zero
⊢ nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc✝ + nat_valuation_aux' p hp d hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | intro c d hc hd h_sum | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
⊢ ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ Nat.succ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c d : ℕ
hc : c > 0
hd : d > 0
h_sum : c + d ≤ Nat.succ n
⊢ nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | cases c with
| zero => cases hc
| succ c => cases d with
| zero => cases hd
| succ d =>
match Nat.le.dest (Nat.succ_le_of_lt prime.one_lt) with
| ⟨q, hq⟩ =>
rw [Nat.add_comm] at hq
norm_num at hq have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ
. simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
simp only [←hq, mul_s_s, nat_valuation_add_two, nat_valuation_aux]
simp only [hq, show c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1) by ring]
cases Nat.eq_zero_or_pos ((c + 1) * (d + 1) % p) with
| inl h =>
have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
cases hh with
| inl h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
rw [← add_assoc]
rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h =>
have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h)
have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h)
simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd]
simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)] | case succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c d : ℕ
hc : c > 0
hd : d > 0
h_sum : c + d ≤ Nat.succ n
⊢ nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | cases hc | case succ.zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
d : ℕ
hd : d > 0
hc : Nat.zero > 0
h_sum : Nat.zero + d ≤ Nat.succ n
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.zero * d) (_ : Nat.zero * d > 0) =
nat_valuation_aux' p hp Nat.zero hc + nat_valuation_aux' p hp d hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | cases d with
| zero => cases hd
| succ d =>
match Nat.le.dest (Nat.succ_le_of_lt prime.one_lt) with
| ⟨q, hq⟩ =>
rw [Nat.add_comm] at hq
norm_num at hq have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ
. simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
simp only [←hq, mul_s_s, nat_valuation_add_two, nat_valuation_aux]
simp only [hq, show c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1) by ring]
cases Nat.eq_zero_or_pos ((c + 1) * (d + 1) % p) with
| inl h =>
have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
cases hh with
| inl h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
rw [← add_assoc]
rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
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| inr h =>
have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h)
have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h)
simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd]
simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)] | case succ.succ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
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a b : ℕ
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
d : ℕ
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c : ℕ
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⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * d) (_ : Nat.succ c * d > 0) =
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | cases hd | case succ.succ.zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | match Nat.le.dest (Nat.succ_le_of_lt prime.one_lt) with
| ⟨q, hq⟩ =>
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norm_num at hq have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ
. simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
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nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [Nat.add_comm] at hq | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
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⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ | R : Type u
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | . simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ] | case mul_s_s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
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R : Type u
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inst✝¹ : CommRing R
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | simp only [←hq, mul_s_s, nat_valuation_add_two, nat_valuation_aux] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
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n : ℕ
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
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inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
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a b : ℕ
ha : 0 < a
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n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | simp only [hq, show c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1) by ring] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
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a b : ℕ
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hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
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q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | cases Nat.eq_zero_or_pos ((c + 1) * (d + 1) % p) with
| inl h =>
have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
cases hh with
| inl h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
rw [← add_assoc]
rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h =>
have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h)
have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h)
simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd]
simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ] | case mul_s_s
R : Type u
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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c : ℕ
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⊢ Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d) | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | ring | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry | case inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
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hc : Nat.succ c > 0
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
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hq : q + 2 = p
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⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | cases hh with
| inl h' =>
subst hq
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have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
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| inr h' =>
subst hq
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
rw [← add_assoc]
rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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c : ℕ
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
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hq : q + 2 = p
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hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | subst hq | case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
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prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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c : ℕ
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R : Type u
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⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h'] | case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
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⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd | case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
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d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
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mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
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apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_right
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0) | case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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a b : ℕ
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n c : ℕ
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q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc] | case inl.inl
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1 |
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R : Type u
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R : Type u
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R : Type u
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply Nat.le_of_lt_succ | R : Type u
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
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∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
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R : Type u
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hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) < Nat.succ c | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < c + 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [Nat.add_comm] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < c + 1 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < 1 + c |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0) | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < 1 + c | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | subst hq | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p = 0
h' : (d + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h'] | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
(nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
apply Nat.le_of_lt_succ
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
apply Nat.add_lt_add_left
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
rw [Nat.add_comm]
apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0) | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
(nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1) | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
(nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1) |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [← add_assoc] | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
(nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1) | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) +
1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n] | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) +
1 | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))) (_ : (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2)) > 0) + 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h' | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))) (_ : (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2)) > 0) + 1 | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))) (_ : (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2)) > 0) + 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | simp only [hey.symm, mul_s_s.symm] | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))) (_ : (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2)) > 0) + 1 | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : 0 < Nat.succ c * Nat.succ d) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) + 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h | case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) * ((d + 1) / (q + 2))
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : 0 < Nat.succ c * Nat.succ d) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) + 1 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply Nat.le_of_lt_succ | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
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q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n | case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
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q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ c + 1 + (d + 1) / (q + 2) < Nat.succ n |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply lt_of_lt_of_le _ h_sum | case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
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n c : ℕ
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hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
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⊢ c + 1 + (d + 1) / (q + 2) < Nat.succ n | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
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⊢ c + 1 + (d + 1) / (q + 2) < Nat.succ c + Nat.succ d |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply Nat.add_lt_add_left | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
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n c : ℕ
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
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h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
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R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
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q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
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⊢ (d + 1) / (q + 2) < Nat.succ d |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt | case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (d + 1) / (q + 2) < Nat.succ d | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < d + 1 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | rw [Nat.add_comm] | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
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q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < d + 1 | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
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mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
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⊢ 0 < 1 + d |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0) | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
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ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < 1 + d | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h) | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc✝ : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
hc : (c + 1) % p ≠ 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc✝ + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h) | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc✝ : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
hc : (c + 1) % p ≠ 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc✝ + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc✝ : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd✝ : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
hc : (c + 1) % p ≠ 0
hd : (d + 1) % p ≠ 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc✝ + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd✝ |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd] | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc✝ : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd✝ : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
hc : (c + 1) % p ≠ 0
hd : (d + 1) % p ≠ 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc✝ + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd✝ | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc✝ : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd✝ : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
hc : (c + 1) % p ≠ 0
hd : (d + 1) % p ≠ 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) = 0 |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux'_mul_eq_add | [725, 1] | [788, 46] | simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)] | case inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
c + d ≤ n →
nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc✝ : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd✝ : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p > 0
hc : (c + 1) % p ≠ 0
hd : (d + 1) % p ≠ 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) = 0 | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux_mul_eq_add | [790, 1] | [797, 75] | cases a with
| zero => simp [nat_valuation_aux]
| succ a => cases b with
| zero => simp [nat_valuation_aux]
| succ b =>
exact nat_val_aux'_mul_eq_add p prime prime.one_lt a.succ b.succ _ _ | R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
⊢ nat_valuation_aux p hp (a * b) = nat_valuation_aux p hp a + nat_valuation_aux p hp b | no goals |
https://github.com/KisaraBlue/ec-tate-lean.git | b9d36a5b70bb0958bf9741ae6216a43b35c87ed4 | ECTate/Algebra/ValuedRing.lean | Int.nat_val_aux_mul_eq_add | [790, 1] | [797, 75] | simp [nat_valuation_aux] | case zero
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
b : ℕ
⊢ nat_valuation_aux p hp (Nat.zero * b) = nat_valuation_aux p hp Nat.zero + nat_valuation_aux p hp b | no goals |
Subsets and Splits
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