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Tableau des fréquences.
En procédant comme dans l’exemple précédent, on obtient le tableau des fréquences :
Diagramme circulaire.
Les diagrammes statistiques servent à prendre connaissance de l’essentiel d’une étude statistique en un seul coup d'œil. Le type de diagramme utilisé dépend de l'étude.
Le caractère statistique étudié ici, la couleur, n’est pas un nombre. On dit qu’il est qualitatif.
On construit alors un diagramme circulaire (ou « camembert ») : on découpe un cercle en secteurs dont la surface (et donc l’angle) est proportionnelle à l’effectif ou la fréquence.
Complétons le tableau par le calcul des angles au centre.
Il ne reste plus qu’à dessiner les secteurs :
Notion de moyenne : Exemple de la taille des élèves.
Exemple 3 : Moyenne simple.
Voici les tailles de 5 élèves, la taille moyenne est celle d’un élève idéal ni trop grand ni trop petit. Y a-t-il un élève qui ait la taille « représentative » de la classe et quelle est cette taille ?
En additionnant tous les résultats et en divisant par le nombre d’individus dans la classe, nous obtiendrons ce que l’on appelle la moyenne.
formula_2formula_3
formula_4formula_5
La moyenne est donc 180 cm
Exemple 4 : Moyenne pondérée par les effectifs.
Voici maintenant un groupe plus important d'élèves, dont certains ont la même taille. Peut-on calculer la taille moyenne sans additionner toutes les tailles (ce qui est long et pénible)?
Il faut d’abord construire le tableau des effectifs :
La moyenne est ici le total des tailles à diviser par le nombre d'élèves : soit 2697/15 =
Exemple 4 : Diagramme en bâtons.
Le caractère statistique étudié ici, la taille, est un nombre. Un diagramme circulaire ne rendrait pas compte de sa grandeur. On construit alors un diagramme en bâtons (ou en barres).
Elevons pour chaque mesure un trait vertical proportionnel au nombre d'élèves.
Regroupement en classes : Exemple des salaires.
Lorsque le caractère statistique prend un grand nombre de valeurs différentes, elles peuvent être regroupées en classes (ou intervalles, ou tranches …).
En quatrième, on travaille toujours avec des classes de même largeur.
Tableau des effectifs.
Exemple 5 : Répartition des revenus annuels en milliers d’euros dans une population de 4370 personnes.
Tableau des fréquences.
Les effectifs ici sont trop grands pour que l’on puisse se faire une idée simple de la répartition, on préfère alors travailler en pourcentages ou fréquences et se ramener ainsi à une population de 100.
Moyenne.
Quand on regroupe une série statistique en classe, on calcule la moyenne en prenant comme valeurs les centres de chaque classe.
Le salaire moyen parmi cet échantillon est donc de 106000/4370 = 24,25 soit environ 24250 Euros.
Histogramme.
On représente cette étude statistique par un histogramme, formé de rectangles qui recouvrent toutes les classes considérées.




Triangle rectangle





Triangles et parallèles/Théorème des milieux

"Remarque" : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.



Nombre entier relatif/Produit et division

Cas du produit de deux nombres.
Règle des signes.
Cette règle peut être résumée par le tableau suivant :
Produits particuliers.
Pour tout nombre relatif "a"
Inverse d’un nombre relatif.
Inverse et division.
Calculons :
formula_5
formula_6
Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.
Exercices :
Transformer en multiplications les calculs ci-dessous à l’exemple du premier calcul :
formula_7
formula_8
formula_9
formula_10
formula_11
Quotient de deux nombres relatifs.
Règle des signes.
Comme un nombre et son inverse ont le même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle pour la multiplication.



Fraction/Introduction

Définition de base.
Définition.
Une fraction est une division, mais représentée sous la forme d’un nombre.
Elle s'écrit sous la forme d’un nombre, d’une barre horizontale et d’un autre nombre (la barre horizontale devant être au niveau du milieu des opérateurs).
Elle permet de faire des calculs sur ces divisions beaucoup plus facilement, mais aussi de représenter des nombres n’ayant pas de valeur décimale.
Exemple: 1÷3 peut être représenté sous la forme: formula_1
Exemple général.
formula_2
Dans cet exemple on sépare 2 en 2 ce qui nous donne effectivement 1.
La fraction est en fait formula_3 (que l’on peut aussi écrire 2/2).
À noter qu’il existe des fractions plus complexes. Comme par exemple
formula_4
… qui peut porter à confusion. C’est à ce moment là que le rédacteur tentera de simplifier avec des parenthèses selon l’ordre du calcul.
Ainsi, si l’on écrit : formula_5, on obtiendra 1 ( car formula_6 ) divisé par 2, ce qui donne formula_7 (on dit « un demi »). Sans parenthèses, la priorité
des opérations implique que l’on effectue le calcul dans cet ordre et il est préférable d'écrire sous la forme formula_8.
Par contre si l’on écrit : formula_9, cela signifie 2 divisé par formula_10 soit 2 divisé par 1 or formula_11. Cela revient à écrire sous la forme formula_12
Il faut pour cela se référencer à la procédure de résolution de problèmes.
Numérateur.
Le numérateur fait référence au nombre au-dessus de la barre de fraction. Dans l’exemple suivant :
formula_13
Le numérateur est 4.
Dénominateur.

Tableau des fréquences.

En procédant comme dans l’exemple précédent, on obtient le tableau des fréquences :

Diagramme circulaire.

Les diagrammes statistiques servent à prendre connaissance de l’essentiel d’une étude statistique en un seul coup d'œil. Le type de diagramme utilisé dépend de l'étude.

Le caractère statistique étudié ici, la couleur, n’est pas un nombre. On dit qu’il est qualitatif.

On construit alors un diagramme circulaire (ou « camembert ») : on découpe un cercle en secteurs dont la surface (et donc l’angle) est proportionnelle à l’effectif ou la fréquence.

Complétons le tableau par le calcul des angles au centre.

Il ne reste plus qu’à dessiner les secteurs :

Notion de moyenne : Exemple de la taille des élèves.

Exemple 3 : Moyenne simple.

Voici les tailles de 5 élèves, la taille moyenne est celle d’un élève idéal ni trop grand ni trop petit. Y a-t-il un élève qui ait la taille « représentative » de la classe et quelle est cette taille ?

En additionnant tous les résultats et en divisant par le nombre d’individus dans la classe, nous obtiendrons ce que l’on appelle la moyenne.

formula_2formula_3

formula_4formula_5

La moyenne est donc 180 cm

Exemple 4 : Moyenne pondérée par les effectifs.

Voici maintenant un groupe plus important d'élèves, dont certains ont la même taille. Peut-on calculer la taille moyenne sans additionner toutes les tailles (ce qui est long et pénible)?

Il faut d’abord construire le tableau des effectifs :

La moyenne est ici le total des tailles à diviser par le nombre d'élèves : soit 2697/15 =

Exemple 4 : Diagramme en bâtons.

Le caractère statistique étudié ici, la taille, est un nombre. Un diagramme circulaire ne rendrait pas compte de sa grandeur. On construit alors un diagramme en bâtons (ou en barres).

Elevons pour chaque mesure un trait vertical proportionnel au nombre d'élèves.

Regroupement en classes : Exemple des salaires.

Lorsque le caractère statistique prend un grand nombre de valeurs différentes, elles peuvent être regroupées en classes (ou intervalles, ou tranches …).

En quatrième, on travaille toujours avec des classes de même largeur.

Tableau des effectifs.

Exemple 5 : Répartition des revenus annuels en milliers d’euros dans une population de 4370 personnes.

Tableau des fréquences.

Les effectifs ici sont trop grands pour que l’on puisse se faire une idée simple de la répartition, on préfère alors travailler en pourcentages ou fréquences et se ramener ainsi à une population de 100.

Moyenne.

Quand on regroupe une série statistique en classe, on calcule la moyenne en prenant comme valeurs les centres de chaque classe.

Le salaire moyen parmi cet échantillon est donc de 106000/4370 = 24,25 soit environ 24250 Euros.

Histogramme.

On représente cette étude statistique par un histogramme, formé de rectangles qui recouvrent toutes les classes considérées.

Triangle rectangle

Triangles et parallèles/Théorème des milieux

"Remarque" : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.

Nombre entier relatif/Produit et division

Cas du produit de deux nombres.

Règle des signes.

Cette règle peut être résumée par le tableau suivant :

Produits particuliers.

Pour tout nombre relatif "a"

Inverse d’un nombre relatif.

Inverse et division.

Calculons :

formula_5

formula_6

Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.

Exercices :

Transformer en multiplications les calculs ci-dessous à l’exemple du premier calcul :

formula_7

formula_8

formula_9

formula_10

formula_11

Quotient de deux nombres relatifs.

Règle des signes.

Comme un nombre et son inverse ont le même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle pour la multiplication.

Fraction/Introduction

Définition de base.

Définition.

Une fraction est une division, mais représentée sous la forme d’un nombre.

Elle s'écrit sous la forme d’un nombre, d’une barre horizontale et d’un autre nombre (la barre horizontale devant être au niveau du milieu des opérateurs).

Elle permet de faire des calculs sur ces divisions beaucoup plus facilement, mais aussi de représenter des nombres n’ayant pas de valeur décimale.

Exemple: 1÷3 peut être représenté sous la forme: formula_1

Exemple général.

formula_2

Dans cet exemple on sépare 2 en 2 ce qui nous donne effectivement 1.

La fraction est en fait formula_3 (que l’on peut aussi écrire 2/2).

À noter qu’il existe des fractions plus complexes. Comme par exemple

formula_4

… qui peut porter à confusion. C’est à ce moment là que le rédacteur tentera de simplifier avec des parenthèses selon l’ordre du calcul.

Ainsi, si l’on écrit : formula_5, on obtiendra 1 ( car formula_6 ) divisé par 2, ce qui donne formula_7 (on dit « un demi »). Sans parenthèses, la priorité

des opérations implique que l’on effectue le calcul dans cet ordre et il est préférable d'écrire sous la forme formula_8.

Par contre si l’on écrit : formula_9, cela signifie 2 divisé par formula_10 soit 2 divisé par 1 or formula_11. Cela revient à écrire sous la forme formula_12

Il faut pour cela se référencer à la procédure de résolution de problèmes.

Numérateur.

Le numérateur fait référence au nombre au-dessus de la barre de fraction. Dans l’exemple suivant :

formula_13

Le numérateur est 4.

Dénominateur.