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152
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|---|---|---|
**2021年河北省普通高中学业水平选择性考试**
**物理**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 银河系中存在大量的铝同位素，核衰变的衰变方程为，测得核的半衰期为72万年，下列说法正确的是（ ）
A. 核的质量等于核的质量
B. 核的中子数大于核的中子数
C. 将铝同位素放置在低温低压的环境中，其半衰期不变
D. 银河系中现有的铝同位素将在144万年后全部衰变为
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．和的质量数均为相等，但是二者原子核中的质子数和中子数不同，所以质量不同，A错误；
B．核的中子数为个，核的中子数为个，B错误；
C．半衰期是原子核固有的属性，与外界条件无关，C正确；
D．质量为的的半衰期为万年，经过万年为个半衰期，剩余质量为，不会全部衰变为，D错误。
故选C。
2\. 铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从*O*点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从*P*点做竖直上抛运动，到达最高点*Q*再返回*P*点，整个过程所用时间为，*O*点到竖直平面、*P*点到*Q*点的距离均为，重力加速度取，则为（ ）
A 100∶1 B. 1∶100 C. 1∶200 D. 200∶1
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即
解得
铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即
解得
则
故选C。
3\. 普朗克常量，光速为*c*，电子质量为，则在国际单位制下的单位是（ ）
A. B. m C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】根据可得它们的单位为：
故选B。
4\. "祝融号"火星车登陆火星之前，"天问一号"探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得
则
，
由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径
则
故选D。
5\. 如图，距离为*d*的两平行金属板*P*、*Q*之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为，一束速度大小为*v*的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为*L*的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为，导轨平面与水平面夹角为，两导轨分别与*P*、*Q*相连，质量为*m*、电阻为*R*的金属棒垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为*g*，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C. 导轨处磁场方向垂直导轨平面向上，
D. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】等离子体垂直于磁场喷入板间时，根据左手定则可得金属板Q带正电荷，金属板P带负电荷，则电流方向由金属棒a端流向b端。等离子体穿过金属板P、Q时产生的电动势满足
由欧姆定律和安培力公式可得
再根据金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，可得
则
金属棒*ab*受到的安培力方向沿斜面向上，由左手定则可判定导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下。
故选B。
6\. 一半径为*R*的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点*P*处，另一端系一个小球，小球位于*P*点右侧同一水平高度的*Q*点时，绳刚好拉直，将小球从*Q*点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为*g*，不计空气阻力）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】小球下落的高度为
*h =* π*R* - *R* + *R =* *R*
小球下落过程中，根据动能定理有
*mgh =* *mv*^2^
综上有
*v =*
故选A。
7\. 如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为*B*，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处*O*点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与*x*轴夹角均为，一电容为*C*的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与*x*轴垂直，在外力*F*作用下从*O*点开始以速度*v*向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是（ ）
A. 通过金属棒的电流为
B. 金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为
C. 金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D. 金属棒运动过程中，外力*F*做功的功率恒定
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】C．根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
A．由题知导体棒匀速切割磁感线，根据几何关系切割长度为
*L =* 2*x*tan*θ*，*x = vt*
则产生的感应电动势为
*E =* 2*Bv*^2^*t*tan*θ*
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为
*Q = CE =* 2*BCv*^2^*t*tan*θ*
则流过导体棒的电流
*I =* *=* 2*BCv*^2^tan*θ*
A正确；
B．当金属棒到达*x*~0~处时，导体棒产生的感应电动势为
*E*′ *=* 2*Bvx*~0~tan*θ*
则电容器的电荷量为
*Q = CE*′ *=* 2*BCvx*~0~tan*θ*
B错误；
D．由于导体棒做匀速运动则
*F = F*~安~ *= BIL*
由选项A可知流过导体棒的电流*I*恒定，但*L*与*t*成正比，则*F*为变力，再根据力做功的功率公式
*P = Fv*
可看出*F*为变力，*v*不变则功率*P*随力*F*变化而变化；
D错误；
故选A。
**二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．**
8\. 如图，发电机矩形线圈长为、宽为*L*，匝数为*N*，放置在磁感应强度大小为*B*的匀强磁场中，理想变压器的原、副线圈匝数分别为、和，两个副线圈分别接有电阻和，当发电机线圈以角速度匀速转动时，理想电流表读数为*I*，不计线圈电阻，下列说法正确的是（ ）
A. 通过电阻的电流为 B. 电阻两端的电压为
C. 与的比值为 D. 发电机的功率为
【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】AB．由题知理想电流表读数为*I*，则根据欧姆定律
*U*~1~*=* *IR*~1~
根据变压器电压与匝数的关系有
，
代入数据有
*U*~0~*=* ，*U*~2~*=*
再由欧姆定律有
*U*~2~*=* *I*~2~*R*~2~
可计算出
*I*~2~*=*
综上可知，A错误、B正确；
C．由于矩形线圈产生的交变电流直接输入原线圈，则有
*E*~max~*=* *NB*2*L*^2^*ω*，*U*~0~*=* *=* *NBL*^2^*ω*
由选项AB知
*U*~0~*=*
则
C正确；
D．由于变压器为理想变压器则有
*P*~0~*=* *P*~1~ + *P*~2~*=* *U*~1~*I* + *U*~2~*I*~2~*=* *I*^2^*R*~1~ + *U*~2~*I*~2~
代入选项ABC公式有
*P*~0~*=*
由于矩形线圈产生的交变电流直接输入原线圈，则发电机的功率为*P*~0~，D错误。
故选BC。
9\. 如图，矩形金属框竖直放置，其中、足够长，且杆光滑，一根轻弹簧一端固定在*M*点，另一端连接一个质量为*m*的小球，小球穿过杆，金属框绕轴分别以角速度和匀速转动时，小球均相对杆静止，若，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（ ）
A. 小球的高度一定降低 B. 弹簧弹力的大小一定不变
C. 小球对杆压力的大小一定变大 D. 小球所受合外力的大小一定变大
【答案】BD
【解析】
【分析】
【详解】对小球受力分析，设弹力为*T*，弹簧与水平方向夹角为*θ*，则对小球竖直方向
而
可知*θ*为定值，*T*不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变。则A错误，B正确；
水平方向当转速较小时，杆对小球的弹力*F*~N~背离转轴，则
即
当转速较大时，*F*~N~指向转轴
即
则因 ，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大。则C错误；
根据
可知，因角速度变大，则小球受合外力变大。则D正确。
故选BD。
10\. 如图，四个电荷量均为的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为、、和，其中*x*轴上的两个点电荷位置固定，*y*轴上的两个点电荷可沿*y*轴对称移动（），下列说法正确的是（ ）
A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B. 当取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零点
C. 当时，将一带负电的试探电荷由点移至点，静电力做正功
D. 当时，将一带负电的试探电荷放置在点处，其所受到的静电力方向与*x*轴正方向成倾斜向上
【答案】ACD
【解析】
【分析】
【详解】A．根据场强叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，选项A正确；
B．因为在*x*轴上的两个点电荷在*O*点的合场强为零，在*y*轴上的两电荷，无论*y*~0~取什么值，因为关于原点对称，则在*O*点的合场强也为零，在横轴和纵轴上除原点外，出现合场强为零的点，根据对称性可知，一定是成对出现的，关于原点对称，所以算上原点，合场强为零的点是奇数个，不会是2个，选项B错误；
C．由几何关系可知，坐标为（4*l*，5*l*）的*A*点在第一象限内所在的虚像的垂直平分线的上方；坐标为（0，-3*l*）的B点在第三象限内所在的虚像的垂直平分线的上方，且到达虚线的距离相等，由电势叠加可知，*B*点的电势高于*A*点，则带负电的试探电荷在*A*点的电势能较大，从*A*点到*B*点电势能减小，可知电场力做正功，选项C正确；
D．若*y*~0~=4*l*，则四个点构成正方形，由对称可知在点（*l*，*l*）处的场强一定沿着过该点与原点连线的方向上；在*y*轴正向和*x*正向上的点电荷在（*l*，*l*）处的合场强
在*y*轴负向和*x*负向上的点电荷在（*l*，*l*）处的合场强
可知（*l*，*l*）点的场强沿着*MN*方向且与*x*轴从成45°角的方向向下，将一带负电的试探电荷放置在点处，其所受到的静电力方向与*x*轴正方向成倾斜向上，选项D正确。
故选ACD。
**三、非选题：共54分．第11～14题为必考题，每个试题考生都必须作答．第15～16题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共62分．**
11\. 某同学研究小灯泡的伏安特性，实验室提供的器材有；小灯泡（，），直流电源（），滑动变阻器，量程合适的电压表和电流表，开关和导线若干，设计的电路如图1所示。
（1）根据图1，完成图2中的实物连线\_\_\_\_\_\_；
（2）按照图1连线后，闭合开关，小灯泡闪亮一下后熄灭，观察发现灯丝被烧断，原因可能是\_\_\_\_\_\_（单项选择，填正确答案标号）；
A．电流表短路
B．滑动变阻器的滑片接触不良
C．滑动变阻器滑片的初始位置在*b*端
（3）更换小灯泡后，该同学正确完成了实验操作，将实验数据描点作图，得到图像，其中一部分如图3所示，根据图像计算出*P*点对应状态下小灯泡的电阻为\_\_\_\_\_\_（保留三位有效数字）。
【答案】 (1).  (2). C (3).
【解析】
【分析】
【详解】（1）\[1\]电流表负极与滑动变阻器的右端的位置连接，如图
（2）\[2\]开关闭合，小灯泡闪亮一下后灯丝烧断，说明通过小灯泡的电流过大。
A．电流表内阻非常小，短路几乎不影响通过小灯泡的电流，与灯丝烧断无关，A错误；
B．滑动变阻器滑片接触不良，无电流通过小灯泡，B错误；
C．滑动变阻器的滑片开始时置于端，小灯泡部分分压达到最大，通过电流最大，可能会烧断小灯泡灯丝，C正确；
故选C。
（3）根据小灯泡的伏安特性曲线可知在点时的电压和电流分别为
，
根据欧姆定律可知小灯泡的电阻为
12\. 某同学利用图1中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量为，其上可放钩码）、刻度尺，当地重力加速度为，实验操作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图1所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持最下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量*M*、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码）总动能的增加量及系统总机械能的减少量，结果如下表所示：
-- ------- ------- ------- ------- -------
0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
0.393 0.490 0.686 0.785
-- ------- ------- ------- ------- -------
回答下列问题：
（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为\_\_\_\_\_\_J（保留三位有效数字）；
（2）步骤④中的数据所缺数据为\_\_\_\_\_\_；
（3）若*M*为横轴，为纵轴，选择合适的标度，在图2中绘出图像\_\_\_\_\_\_；
若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则物块与木板之间的摩擦因数为\_\_\_\_\_\_（保留两位有效数字）
【答案】 (1). 0.980 (2). 0.588 (3).  (4). 0.40（0.38\~0.42）
【解析】
【分析】
【详解】（1）\[1\]四个钩码重力势能的减少量为
（2）\[2\]对滑块和钩码构成的系统，由能量守恒定律可知
其中系统减少的重力势能为
系统增加的动能为
系统减少的机械能为，则代入数据可得表格中减少的机械能为
（3）\[3\]根据表格数据描点得的图像为
\[4\]根据做功关系可知
则图像的斜率为
解得动摩擦因数为
（0.38\~0.42）
13\. 如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端*A*处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：
（1）滑道段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
【详解】（1）设斜面长度为，背包质量为，在斜面上滑行的加速度为，由牛顿第二定律有
解得
滑雪者质量为，初速度为，加速度为，在斜面上滑行时间为，落后时间，则背包的滑行时间为，由运动学公式得
联立解得
或
故可得
（2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为、，有
滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为，有
解得
14\. 如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为*B*的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上*O*点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为*m*、电荷量为*q*，一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，*C*、*P*是负极板上的两点，*C*点位于*O*点的正上方，*P*点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在*P*点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
（3）若粒子靶在负极板上的位置*P*点左右可调，则负极板上存在*H*、*S*两点（，*H*、*S*两点末在图中标出）、对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到*n*（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】
【分析】
【详解】（1）从*O*点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在磁场中做圆周运动，则半径
由
解得
（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板*OM*相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则
从*O*点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到*v*~0~，则
由几何关系可知
联立解得
（3）设粒子第一次经过电场加速，在负极板上方磁场区域偏转的轨迹半径为*r*~0~，若粒子在电场加速电压小于*U*~min~，粒子穿过磁场在正极板下方磁场运动时，会被*OM*板吸收。则第一次出现能吸收到*n*（）种能量的位置（即*H*点），为粒子通过极板电压时，粒子第二次从上方打到负极板的位置（轨迹如图中蓝色线条所示）。由（2）的计算可知
则
极板电压大于时，粒子均不会被OM吸收，可以经过正极板下方磁场偏转，回到负极板上方磁场中，偏转后打在负极板上。则H点右方的点的粒子靶都可以接受到*n*（）种能量的粒子。即。
**（二）选考题：共12分．请考生从2道题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．**
15\. 两个内壁光滑、完全相同的绝热汽缸A、B，汽缸内用轻质绝热活塞封闭完全相同的理想气体，如图1所示，现向活塞上表面缓慢倒入细沙，若A中细沙的质量大于B中细沙的质量，重新平衡后，汽缸A内气体的内能\_\_\_\_\_\_（填"大于""小于"或"等于"）汽缸B内气体的内能，图2为重新平衡后A、B汽缸中气体分子速率分布图像，其中曲线\_\_\_\_\_\_（填图像中曲线标号）表示汽缸B中气体分子的速率分布规律。
【答案】 (1). 大于 (2). ①
【解析】
【分析】
【详解】\[1\]对活塞分析有
因为A中细沙的质量大于B中细沙的质量，故稳定后有；所以在达到平衡过程中外界对气体做功有
则根据
因为气缸和活塞都是绝热的，故有
即重新平衡后A气缸内的气体内能大于B气缸内的气体内能；
\[2\]由图中曲线可知曲线②中分子速率大的分子数占总分子数百分比较大，即曲线②的温度较高，所以由前面分析可知B气缸温度较低，故曲线①表示气缸B中气体分子的速率分布。
16\. 某双层玻璃保温杯夹层中有少量空气，温度为27℃时，压强为。
（1）当夹层中空气的温度升至37℃，求此时夹层中空气的压强；
（2）当保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值，设环境温度为27℃，大气压强为。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
【详解】（1）由题意可知夹层中的气体发生等容变化，根据理想气体状态方程可知
代入数据解得
（2）当保温杯外层出现裂缝后，静置足够长时间，则夹层压强和大气压强相等，设夹层体积为*V*，以静置后的所有气体为研究对象有
解得
则增加空气的体积为
所以增加的空气质量与原有空气质量之比为
17\. 如图，一弹簧振子沿*x*轴做简谐运动，振子零时刻向右经过*A*点，后第一次到达*B*点，已知振子经过*A、B*两点时的速度大小相等，内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为\_\_\_\_\_\_\_\_s，振幅为\_\_\_\_\_\_m。
【答案】 (1). 4 (2). 0.2
【解析】
【分析】
【详解】\[1\]根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过*A*点，后第一次到达*B*点，已知振子经过*A、B*两点时的速度大小相等，则*A*、*B*两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为
\[2\]从*A*到*B*经过了半个周期的振动，路程为，而一个完整的周期路程为0.8m，为4个振幅的路程，有
解得振幅为
18\. 将两块半径均为*R*、完全相同的透明半圆柱体*A*、*B*正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体*A*，设圆心处入射角为，当时，*A*右侧恰好无光线射出；当时，有光线沿*B*的半径射出，射出位置与*A*的圆心相比下移*h*，不考虑多次反射，求：
（1）半圆柱体对该单色光的折射率；
（2）两个半圆柱体之间的距离*d*。
【答案】（i）；（ii）
【解析】
【分析】
【详解】（i）光从半圆柱体A射入，满足从光密介质到光疏介质，当时发生全反射，有
解得
（ii）当入射角，经两次折射从半圆柱体B的半径出射，设折射角为，光路如图
由折射定律有
有几何关系有
联立解得
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**2014年山东省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）^2^=（ ）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（5分）设集合A={x\|\|x﹣1\|＜2}，B={y\|y=2^x^，x∈\[0，2\]}，则A∩B=（ ）
A．\[0，2\] B．（1，3） C．\[1，3） D．（1，4）
3．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，\]∪\[2，+∞）
4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（ ）
A．方程x^3^+ax+b=0没有实根
B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根
5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1）
C．sinx＞siny D．x^3^＞y^3^
6．（5分）直线y=4x与曲线y=x^3^在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a^2^+b^2^的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C~1~的方程为+=1，双曲线C~2~的方程为﹣=1，C~1~与C~2~的离心率之积为，则C~2~的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
**二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）**
11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[ ]{.underline}．
12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为[ ]{.underline}．
13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V~1~，P﹣ABC的体积为V~2~，则=[ ]{.underline}．
14．（5分）若（ax^2^+）^6^的展开式中x^3^项的系数为20，则a^2^+b^2^的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的"对称函数"为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的"对称函数"，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：C~1~M∥平面A~1~ADD~1~；
（Ⅱ）若CD~1~垂直于平面ABCD且CD~1~=，求平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
19．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令b~n~=（﹣1）^n﹣1^，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828...是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
21．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l~1~∥l，且l~1~和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
**2014年山东省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）^2^=（ ）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）^2^的值．
【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，
∴（a+bi）^2^=（2+i）^2^=3+4i，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（5分）设集合A={x\|\|x﹣1\|＜2}，B={y\|y=2^x^，x∈\[0，2\]}，则A∩B=（ ）
A．\[0，2\] B．（1，3） C．\[1，3） D．（1，4）
【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，
B={y丨y=2^x^，x∈\[0，2\]}={y丨1≤y≤4}，
则A∩B={x丨1≤y＜3}，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．
3．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，\]∪\[2，+∞）
【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即log~2~x＞1或log~2~x＜﹣1，
解得x＞2或0＜x＜，
即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（ ）
A．方程x^3^+ax+b=0没有实根
B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是：方程x^3^+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．
5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1）
C．sinx＞siny D．x^3^＞y^3^
【分析】实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x^3^在R上单调递增，即可判断出正误．
【解答】解：∵实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），
∴x＞y，
A．取x=2，y=﹣1，不成立；
B．\\取x=0，y=﹣1，不成立
C．取x=π，y=﹣π，不成立；
D．由于y=x^3^在R上单调递增，因此正确
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
6．（5分）直线y=4x与曲线y=x^3^在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
曲线y=x^3^与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x^3^）dx，
而∫（4x﹣x^3^）dx=（2x^2^﹣x^4^）\|=8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．
8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，
如图所示：K~OA~=，
数形结合可得 ＜k＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a^2^+b^2^的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a^2^+b^2^的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得：（b＞0）．
由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴2a+b=2．
即2a+b﹣2=0．
则a^2^+b^2^的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C~1~的方程为+=1，双曲线C~2~的方程为﹣=1，C~1~与C~2~的离心率之积为，则C~2~的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：a＞b＞0，椭圆C~1~的方程为+=1，C~1~的离心率为：，
双曲线C~2~的方程为﹣=1，C~2~的离心率为：，
∵C~1~与C~2~的离心率之积为，
∴，
∴=，=，
C~2~的渐近线方程为：y=，即x±y=0．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．
**二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）**
11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：循环前输入的x的值为1，
第1次循环，x^2^﹣4x+3=0≤0，
满足判断框条件，x=2，n=1，x^2^﹣4x+3=﹣1≤0，
满足判断框条件，x=3，n=2，x^2^﹣4x+3=0≤0
满足判断框条件，x=4，n=3，x^2^﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，
输出n：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．
12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为 AB•AC•sinA，计算求得结果．
【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，
∴当A=时，有 AB•AC•=，解得AB•AC=，
△ABC的面积为 AB•AC•sinA=××=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．
13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V~1~，P﹣ABC的体积为V~2~，则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．
【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，
三棱锥D﹣ABE的体积为V~1~，P﹣ABC的体积为V~2~，
∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．
14．（5分）若（ax^2^+）^6^的展开式中x^3^项的系数为20，则a^2^+b^2^的最小值为[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．
【解答】解：（ax^2^+）^6^的展开式中x^3^项的系数为20，
所以T~r+1~==，
令12﹣3r=3，∴r=3，，
∴ab=1，
a^2^+b^2^≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．
a^2^+b^2^的最小值为：2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．
15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的"对称函数"为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的"对称函数"，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[ （2]{.underline}[，+∞） ]{.underline}．
【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．
【解答】解：根据"对称函数"的定义可知，，
即h（x）=6x+2b﹣，
若h（x）＞g（x）恒成立，
则等价为6x+2b﹣＞，
即3x+b＞恒成立，
设y~1~=3x+b，y~2~=，
作出两个函数对应的图象如图，
当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，
即\|b\|=2，
∴b=2或﹣2，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
则b＞2，
即实数b的取值范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）
【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，
再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得 ．
解得 m=，n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．
将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，
得到函数g（x）=2sin\[2（x+φ）+\]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．
y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，
故函数g（x）的一个最高点在y轴上，
∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，
故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，
故y=g（x）的单调递增区间是\[kπ﹣，kπ\]，k∈Z．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：C~1~M∥平面A~1~ADD~1~；
（Ⅱ）若CD~1~垂直于平面ABCD且CD~1~=，求平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
【分析】（Ⅰ）连接AD~1~，易证AMC~1~D~1~为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C~1~M∥平面A~1~ADD~1~；
（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD~1~为z轴建立空间坐标系，易求C~1~（﹣1，0，），D~1~，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C~1~D~1~M的法向量=（x~1~，y~1~，z~1~），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连接AD~1~，∵ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~为四棱柱，∴CDC~1~D~1~，
又M为AB的中点，∴AM=1．
∴CD∥AM，CD=AM，
∴AMC~1~D~1~，
∴AMC~1~D~1~为平行四边形，∴AD~1~∥MC~1~，又MC~1~⊄平面A~1~ADD~1~，AD~1~⊂平面A~1~ADD~1~，
∴C~1~M∥平面A~1~ADD~1~；
（Ⅱ）解法一：∵AB∥A~1~B~1~，A~1~B~1~∥C~1~D~1~，
∴面D~1~C~1~M与ABC~1~D~1~共面，
作CN⊥AB，连接D~1~N，则∠D~1~NC即为所求二面角，
在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴CN=，
在Rt△D~1~CN中，CD~1~=，CN=，
∴D~1~N=
∴cos∠D~1~NC===
解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD~1~为z轴建立空间坐标系
则C~1~（﹣1，0，），D~1~，（0，0，），M（，，0），
∴=（1，0，0），=（，，﹣），
设平面C~1~D~1~M的法向量=（x~1~，y~1~，z~1~），
则，∴=（0，2，1）．
显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），
cos＜，＞\|===，
显然二面角为锐角，
∴平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．
【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．
18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．
【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，
回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，
故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6
其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；
P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；
P（ξ=2）=×=；
P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；
P（ξ=4）=×+×=；
P（ξ=6）=×=；
故ξ的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ξ 0 1 2 3 4 6
P      
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
19．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令b~n~=（﹣1）^n﹣1^，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b~n~=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，
∴S~n~==n^2^﹣n+na~1~，
∵S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，
∴，
∴，化为，解得a~1~=1．
∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b~n~=（﹣1）^n﹣1^==．
∴T~n~=﹣++...+．
当n为偶数时，T~n~=﹣++...+﹣=1﹣=．
当n为奇数时，T~n~=﹣++...﹣+=1+=．
∴Tn=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、"裂项求和"、分类讨论思想方法，属于难题．
20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828...是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣k（﹣）
=（x＞0），
当k≤0时，kx≤0，
∴e^x^﹣kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，
故f（x）在（0，2）内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g（x）=e^x^﹣kx，x∈（0，+∞）．
∵g′（x）=e^x^﹣k=e^x^﹣e^lnk^，
当0＜k≤1时，
当x∈（0，2）时，g′（x）=e^x^﹣k＞0，y=g（x）单调递增，
故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；
当k＞1时，
得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，
∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点
当且仅当
解得：e
综上所述，
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）
【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．
21．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l~1~∥l，且l~1~和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；
（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l~1~∥l，且l~1~和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；
（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．
【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，
A（3，），F（，0），，
∴．
∵△ADF为正三角形，
∴．
又∵，
∴，
∴p=2．
∴C的方程为y^2^=4x．
当D在焦点F的左侧时，．
又\|FD\|=2\|FG\|=2（﹣3）=p﹣6，
∵△ADF为正三角形，
∴3+=p﹣6，解得p=18，
∴C的方程为y^2^=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．
∴C的方程为y^2^=4x．
（2）（ⅰ）设A（x~1~，y~1~），\|FD\|=\|AF\|=x~1~+1，
∴D（x~1~+2，0），
∴k~AD~=﹣．
由直线l~1~∥l可设直线l~1~方程为，
联立方程，消去x得①
由l~1~和C有且只有一个公共点得△=64+32y~1~m=0，∴y~1~m=﹣2，
这时方程①的解为，代入得x=m^2^，∴E（m^2^，2m）．
点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m^2^），
即，
∴，
∴，
∴，
∴直线AE过定点（1，0）；
（ⅱ）直线AB的方程为，即．
联立方程，消去x得，
∴，
∴=，
由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：
=，
∴△ABE的面积=，
当且仅当y~1~=±2时等号成立，
∴△ABE的面积最小值为16．
【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．
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> **《比一比》同步练习**
>
> 一、复习
>
> **1、把同样多的用线连起来。（20分）**
>
> 
>
> **2、想一想、填一填**
>
> 5 \> ( ) 1 \< ( )
>
> 3、 请你先认真地数一数，再想一想，你会画什么，就在下面的方框里面画什么，要画得与上面的物体同样多。
>
> 
>
> 二、填一填
>
> **△△△ （ ）和（ ）同样多，**
>
> **○○○○○○ （ ）比（ ）多。\[来源:Z\_xx\_k.Com\]**
>
> **□□□**
>
> 三1.比比下面动物的高矮，最高的画"√"，最矮的画"○"。
>
> 
>
> 2.最短的画"√"，最长的画"○"。
>
> 
>
> 
>
> 4、\[来源:学.科.网\]
>
> 比一比下面水果的轻重，在最重的下面画√，最轻的下面画○
>
> 
>
> 
>
> **参考答案：**
1. **复习**
> **1、**
>
> 
>
> **2、**5 \> ( 4、3、2、1 ) 1 \< （ 2、3、4、5 ）\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:Zxxk.Com\]
>
> **3、** 请你先认真地数一数，再想一想，你会画什么，就在下面的方框里面画什么，要画得与上面的物体同样多。
>
> 
>
> 二、填一填\[来源:学科网ZXXK\]
>
> **△△△ （ △ ）和（ □ ）同样多，**
>
> **○○○○○○ （○ ）比（ △ ○ ）多。**
>
> **□□□**
>
> 三1.比比下面动物的高矮，最高的画"√"，最矮的画"○"。
>
> 
>
> √ ○
>
> 2.最短的画"√"，最长的画"○"。
>
> 
>
> 
>
> ○
>
> √
>
> 4、
>
> 比一比下面水果的轻重，在最重的下面画√，最轻的下面画○
>
> 
>
>  ○ √
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试卷类型：A
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**
**数 学（文科）**
**参考答案**
**一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。**
> 1．C 2．D 3．B 4．B 5．C
>
> 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分。其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。**
11．
12．
13．
14．2
15．
**三、解答题：本大题共6小题，满分80分。**
16．（本小题满分14分）
（1），
由，
解得
（2）当*c*＝5时，，
，
进而sinA＝
17．（本小题满分12分）
（1）由题目知道该几何体是一个四棱锥
其体积V＝SH＝864＝64
（2）该几何体的四个侧面是两对全等的三角形其斜高分别为
，
故侧面面积S＝58＋64＝40＋24
18．（本小题满分12分）
（1）画出散点图
（2）＝32.5＋43＋54＋64.5＝66.5，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
，
＝，
＝3.5－0.74.5＝0.35
故线性回归方程为*y*＝0.7x＋0.35
（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100＋0.35＝70.35，
故耗能减少了90－70.35＝19.65（吨）
19．（本小题满分14分）
（1）圆的方程为
（2）由椭圆的第一定义可得，故椭圆方程为，焦点设，依题意，
解得或（舍去）存在
20．（本小题满分14分）
（1）求根公式得，
（2）
∴数列是首项，公比为2的等比数列
∴
21．（本小题满分l4分）
若，则，令，不符题意， 故
当在 \[-1，1\]上有一个零点时，此时或
解得或
当在\[-1，1\]上有两个零点时，则
解得即
综上，实数的取值范围为
（别解：，题意转化为知求的值域，令得转化为勾函数问题）
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**2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
5．（5分）函数f（x）=log~2~（1+）（x＞0）的反函数f^﹣1^（x）=（ ）
A． B． C．2^x^﹣1（x∈R） D．2^x^﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{a~n~}满足3a~n+1~+a~n~=0，a~2~=﹣，则{a~n~}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3^﹣10^） B． C．3（1﹣3^﹣10^） D．3（1+3^﹣10^）
7．（5分）（1+x）^3^（1+y）^4^的展开式中x^2^y^2^的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A~1~、A~2~，点P在C上且直线PA~2~斜率的取值范围是\[﹣2，﹣1\]，那么直线PA~1~斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）若函数f（x）=x^2^+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0\] B．\[﹣1，+∞） C．\[0，3\] D．\[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则CD与平面BDC~1~所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=[ ]{.underline}．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有[ ]{.underline}种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（10分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~．已知S~3~=a~2~^2^，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，求{a~n~}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F~2~的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF~1~\|=\|BF~1~\|，证明：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a~n~}的通项a~n~=1+．
**2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．（5分）=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．
∴则函数f（2x+1）的定义域为．
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5分）函数f（x）=log~2~（1+）（x＞0）的反函数f^﹣1^（x）=（ ）
A． B． C．2^x^﹣1（x∈R） D．2^x^﹣1（x＞0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log~2~（1+）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log~2~（1+），
把y看作常数，求出x：
1+=2^y^，x=，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log~2~（1+）的反函数：y=，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
6．（5分）已知数列{a~n~}满足3a~n+1~+a~n~=0，a~2~=﹣，则{a~n~}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3^﹣10^） B． C．3（1﹣3^﹣10^） D．3（1+3^﹣10^）
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由已知可知，数列{a~n~}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a~1~，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3a~n+1~+a~n~=0
∴
∴数列{a~n~}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a~1~=4
由等比数列的求和公式可得，S~10~==3（1﹣3^﹣10^）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
7．（5分）（1+x）^3^（1+y）^4^的展开式中x^2^y^2^的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x^2^的系数，第二个因式y^2^的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）^3^的展开式的通项为T~r+1~=C~3~^r^x^r^
令r=2得到展开式中x^2^的系数是C~3~^2^=3，
（1+y）^4^的展开式的通项为T~r+1~=C~4~^r^y^r^
令r=2得到展开式中y^2^的系数是C~4~^2^=6，
（1+x）^3^（1+y）^4^的展开式中x^2^y^2^的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A~1~、A~2~，点P在C上且直线PA~2~斜率的取值范围是\[﹣2，﹣1\]，那么直线PA~1~斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆C：可知其左顶点A~1~（﹣2，0），右顶点A~2~（2，0）．设P（x~0~，y~0~）（x~0~≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．
【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A~1~（﹣2，0），右顶点A~2~（2，0）．
设P（x~0~，y~0~）（x~0~≠±2），则，得．
∵=，=，
∴==，
∵，
∴，解得．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=x^2^+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0\] B．\[﹣1，+∞） C．\[0，3\] D．\[3，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，
故≥0在（，+∞）上恒成立，
即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，
令h（x）=﹣2x，
则h′（x）=﹣﹣2，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（）=3
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则CD与平面BDC~1~所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA~1~=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC~1~的一个法向量，CD与平面BDC~1~所成角为θ，
则sinθ=\|\|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA~1~=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C~1~（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC~1~的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC~1~所成角为θ，则sinθ=\|\|=，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x~1~+2，y~1~﹣2）•（x~2~+2，y~2~﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y^2^=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k^2^x^2^﹣（4k^2^+8）x+4k^2^=0，△＞0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．
∴x~1~+x~2~=4+，x~1~x~2~=4．
∴y~1~+y~2~=，y~1~y~2~=﹣16，
又=0，
∴=（x~1~+2，y~1~﹣2）•（x~2~+2，y~2~﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin^2^x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，
f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，
f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos^2^xsinx=2sinx（1﹣sin^2^x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t^2^），﹣1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1﹣t^2^）的导数g\'（t）=2﹣6t^2^=2（1+t）（1﹣t）
∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g\'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（﹣，）时g\'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，
结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．
由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；
对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．
【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣
则cotα==2
故答案为：2
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有[ 480 ]{.underline}种．（用数字作答）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，
所以共有：=480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[ \[]{.underline}[，4\] ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以≤a≤4．
故答案为：\[，4\]
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用"角点法"，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于[ 16π ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC=，CK=
在△OCK中，OC^2^=OK^2^+CK^2^，即
∴r^2^=4
∴球O的表面积等于4πr^2^=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（10分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~．已知S~3~=a~2~^2^，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，求{a~n~}的通项式．
【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a~2~，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由得，3
∴a~2~=0或a~2~=3
由题意可得，
∴
若a~2~=0，则可得d^2^=﹣2d^2^即d=0不符合题意
若a~2~=3，则可得（6﹣d）^2^=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴a~n~=3或a~n~=2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）^2^﹣b^2^=ac，
∴a^2^+c^2^﹣b^2^=﹣ac，
∴cosB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5G：空间角．
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3
在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3
∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）令A~1~表示第2局结果为甲获胜，A~2~表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【解答】解：（I）令A~1~表示第2局结果为甲获胜．A~2~表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A~1~•A~2~，P（A）=P（A~1~•A~2~）=P（A~1~）P（A~2~）=；
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A~3~表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B~1~表示第1局结果为乙获胜，B~2~表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B~3~表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B~1~B~2~）=P（B~1~）P（B~2~）P（）=．
P（X=2）=P（B~3~）=P（）P（B~3~）=．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．
从而EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F~2~的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF~1~\|=\|BF~1~\|，证明：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），将其与双曲线C的方程联立，得出x~1~+x~2~=，，再利用\|AF~1~\|=\|BF~1~\|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b^2^=8a^2^
所以C的方程为8x^2^﹣y^2^=8a^2^
将y=2代入上式，并求得x=±，
由题设知，2=，解得a^2^=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F~1~（﹣3，0），F~2~（3，0），C的方程为8x^2^﹣y^2^=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），\|k\|＜2代入①并化简得（k^2^﹣8）x^2^﹣6k^2^x+9k^2^+8=0
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则x~1~≤﹣1，x~2~≥1，x~1~+x~2~=，，于是
\|AF~1~\|==﹣（3x~1~+1），
\|BF~1~\|==3x~2~+1，
\|AF~1~\|=\|BF~1~\|得﹣（3x~1~+1）=3x~2~+1，即
故=，解得，从而=﹣
由于\|AF~2~\|==1﹣3x~1~，
\|BF~2~\|==3x~2~﹣1，
故\|AB\|=\|AF~2~\|﹣\|BF~2~\|=2﹣3（x~1~+x~2~）=4，\|AF~2~\|\|BF~2~\|=3（x~1~+x~2~）﹣9x~1~x~2~﹣1=16
因而\|AF~2~\|\|BF~2~\|=\|AB\|^2^，所以\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a~n~}的通项a~n~=1+．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
f′（x）==，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为
（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x=，则
于是a~2n~﹣a~n~+=++...++
=
=
=
=＞=ln2n﹣lnn=ln2
所以
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度
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**衡水中学2016-2017学年度数学（理科）试卷周测4**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．2 B． 4 C． 8 D．16
2.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A． B． C． D．
3.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．③④ D．②③
4.已知变量满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C. 2 D．4
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．5 B． 6 C.7 D．8
6.两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
A． 2 B． 3 C. D．
7.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为（ ）
A．0.05 B．0.1 C. 0.15 D．0.2
8.函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A． 0 B． C. D．
9.若，则的值是（ ）
A．-2 B． -3 C. 125 D．-131
10.已知圆：，圆：，椭圆：，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C. D．
11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 [ ]{.underline} ．
14.已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为 [ ]{.underline} ．
15.已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 [ ]{.underline} ．
16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，，10的因数有1,2,5,10，，那么 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
18\. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的"星级卖场".
（1）当时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为，乙型号电视机的"星级卖场"数量为，比较的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）
19\. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20\. 如图，已知椭圆，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点．
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值．
21\. 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）若点的坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
23\. 选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数，求的取值范围，使为常函数；
（2）若，，求的最大值．
附加题：
1.已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦．
①设的中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标；
②若直线的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围．
2．已知函数（为自然对数的底数，），，．
（1）若，，求在上的最大值的表达式；
（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；
（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．
3.2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券，赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．
注：（1）表中表示出手次命中次；
（2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过50%的概率；
（2）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中至少有一场超过60%的概率；
（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．
**试卷答案**
**一、选择题**
1-5:CBCDB 6-10: BBACB 11、12：DA
**二、填空题**
13\. 14. 1 15. 16.
**三、解答题**
17.在中，由正弦定理，
得：，即，
又因为，
解得，
因为为锐角三角形，
所以.
（2）在中，由余弦定理，
得，即，
解得或，
当时，因为．
所以角为钝角，不符合题意，舍去，
当时，因为，且，，
所以为锐角三角形，符合题意，
所以的面积．
18.（1）根据茎叶图，
得甲组数据的平均数为，
乙组数据的平均数为
由茎叶图，如甲型号电视机的"星级卖场"的个数，
乙型号电视机的"星级卖场"的个数，
所以．
（2）由题意，的所有可能取值为0,1,2
且，，，
所有的分布列为：
所有.
（3）解：当时，达到最小值.
19.（1）证明：因为，，
所以，
又因为，，
所以平面，
所以.
又因为，，
所以平面.
（2）解：因为平面，，所以，，两两垂直，以分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，
易知，，
则，，，，
所以，.
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，，得，
令，得，
所以.
由图，得二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.
（3）结论：在线段上不存在一点，使平面平面.
解：假设在线段上存在一点，使平面平面.
设，则，.
设平面的法向量为，
由，，得
令，得.
因为平面平面.
所以，即，
解得：
因为，
所以在线段上不存在点，使得平面平面.
20.（1）依题意得椭圆的顶点，
则直线方程分别为，
设的方程为，
如图，
设，其中，
联立直线与椭圆的方程
消去得方程，
故
由，知，得
由在上知，得
所以，
化简得，
解得或.
（2）根据点到直线的距离公式知，点到的距离分别为，，
又，所以四边形的面积为
当且仅当，即当时，取等号，
所以的最大值为.
21\. **(1)解：．**
**当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为．**
**当时，由，得；由，得.**
**所以函数的单调增区间为，单调减区间为.**
**(2)解：由(1)得，若函数有两个零点**
**则，且的最小值，即.**
**因为，所以.令，显然在上为增函数，**
**且，，所以存在，.**
**当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数**
**(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知.**
**不妨设，则，.**
**两式相减得，**
**即．**
**所以.因为，**
**当时，， 当x∈时，，**
**故只要证即可，即证****明，**
**即证明，**
**即证明.设．**
**令，则.**
**因为，所以，当且仅当t＝1时，，所以在上是增函数．**
**又，所以当时，总成立．所以原题得证**
22\. **解： (1)由得直****线的普通方程为**
**又由得圆*C的*直角坐标方程为**
**即.** 
**(2) 把直线的参数方程代入圆*的*直角坐标方程，**
**得 ，即**
**由于，故可设是上述方程****的两实数根，**
**所以又直线*过点，两点对应的参数分别为***
***所以.***
23\. **（1）**
**则当时，为常函数.**
**（2）由柯西不等式得:**
**所以**
**因此的最大值为3.**
***附加*．(1) ；(2)①；②．**
**【解析】**
**试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线****的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) ①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围．**
**试题解析：(1)过作圆****的切线，一条切线为直线，切点.**
**设另一条切线为，即.**
**因为直线与圆相切，则，解得，所以切线方程为.**
**由****，解得，直线****的方程为,即.**
**令，则**，**所以上顶点的坐标为，所以；令，则，**
**所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆的方程为.**
**(2) ①若直线斜率均存在，设直线**，**,**
**则中点 . 先考虑 的情形.**
**由得****.**
**由直线过点，可知判别式恒成立.**
**由韦达定理，得，故，**
**将上式中的换成，则同理可得.**
**若，得，则直线斜率不存在****. 此时直线过点.\[来源:学科网\]**
**下证动直线过定点.**
**② 当直线的斜率均存在且不为时，**
**由①可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得 ,**
**所以**
**.**
**同理，，**
**，**
**因为，当且仅当时取等号，**
**所以，即，**
**所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为.**
**考点：1、直线与圆的位置关****系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系．**
**21．(1)** **；(2)** **；(3)** **．**
**试题解析：**
**(1)** **时，,**
**；**
**①当****时，，在****上为增函数，此时，**
**②当时，，在上为增函数，**
**故在上为增函数，此时**
**③当时，，在上为增函数，在上为减函数，**
**若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，**
**此时**
**若，即时，在上为增函数，则此时，**
**综上所述：**
**（2），，**
∴**在上单调递减，在上单调递增，**
∴**在上恰有两个相异实根，**
**，**
**实数的取值范围是，**
**（3）由题设：，（\*）**
∵**，故在上单调递减，在上单调递增，**
**（\*），**
**设，则，**
**∴在上单调递增，在上单调递减，:学。科。网\]**
**而，**
**且，**
**故存在，使，**
**且时，，时，，\[来源:学科网ZXXK\]**
**又∵，，\[来源:Z\#xx\#k.Com\]**
∴**时，使的图像恒在图像的上方的最大整数．**
**3．（1）**；**（2）**；**(3) 不具有线性相关关系**
**试题分析：（1）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在该场比赛中超过的概率.（2）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在两场比赛中超过的概率.（3）根据散点图，并不是分布在某一条直线的周围，可得结论.**
**（1）设易建联在比赛中超过为事件，则共有8场比赛中超过，故**.
**（2）设"易建联在这两场比赛中至少有一场超过"为事件，则从上述9场中随机选择两场共有36个基本事件，其中任意选择两场中，两场中都不超过的共有10个基本事件，故**
**（3）不具有线性相关关系.**
**因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛.**
       
**衡水中学2016---2017学年度数学（理科）周测4答案**
1. **选择题： CBCDB BBACB DA**
**二、填空题：**
**13. 14. 1 15. 16.**
**三、解答题：**
**17. （本题满分12分）**
**18 （****本题满分12分）**
**19****. （本题满分12分）**
**20. （本题满分12分）**
**\[来源:学§科§网\]**
**21. （本题满分12分）**
**(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x\>0)．**
**当*a*≤0时，f′(x)\>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．**
**当*a*\>0时，由f′(x)\>0，得x\> ；由f′(x)\<0，得0\<x\< .**
**所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为. ................4分**
**(2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点**
**则*a*\>0，且f(x)的最小值f \<0，即－*a*^2^＋4*a*－4*a* ln \<0.**
**因为*a*\>0，所以*a*＋4ln－4\>0.令h(*a*)＝*a*＋4ln－4，显然h(*a*)在(0，＋∞)上为增函数，**
**且h(2)＝－2\<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1\>0，所以存在*a*~0~∈(2，3)，h(*a*~0~)＝0.**
**当*a*\>*a*~0~时，h(*a*)\>0；当0\<*a*\<*a*~0~时，h(*a*)\<0.所以满足条件的最小正整数*a*****＝3 .........8分**
**(3)证明：因为x~1~、x~2~是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知*a*\>0.**
**不妨设0\<x~1~\<x~2~，则－(*a*－2)x~1~－*a*lnx~1~＝c，－(*a*－2)x~2~－*a*lnx~2~＝c.**
**两式相减得－(*a*－2)x~1~－*a*lnx~1~－＋(*a*－2)·x~2~＋*a*lnx~2~＝0，**
**即＋2x~1~－－2x~2~＝*a*x~1~＋*a*lnx~1~－*a*x~2~－*a*lnx~2~＝*a*(x~1~＋lnx~1~－x~2~－lnx~2~)．**
**所以*a*＝.因为f′＝0，**
**当x∈时，f′(x)\<0， 当x∈时，f′(x)\>0，**
**故只要证\> 即可，即证****明x~1~＋x~2~\> ，**
**即证明－＋(x~1~＋x~2~)(lnx~1~－lnx~2~)\< ＋2x~1~－－2x~2~，**
**即证明ln \<.设t＝ (0\<t\<1)．**
**令g(t)＝lnt－，则g′(t)＝.**
**因为t\>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．**
**又g(1)＝0，所以当t∈(0，1****)时，g(t)****\<0总成立．所以原题得证 ..................12分**
**22.(本小题满分10分)**
**解： (1)由得直****线*l*的普通方程为\-\-\-\-\-\-\--2分**
**又由得圆*C的*直角坐标方程为**
**即.**  **\-\-\-\-\-\-\-\--5分**
**(2) 把直线*l*的参数方程代入圆*C的*直角坐标方程，**
**得 ，即**
**由于，故可设是上述方程****的两实数根，**
 **所以又直线*l过点P，A、B两点对应的参数分别为***
***所以. \-\-\-\-\--10分***
> **23．****解：**
>
> **（1）** **...........4分**
>
> **则当****时，****为常函数. ...........5分**
**（2）由柯西不等式得:**
**所以**
**因此M的最大值为3. *\-\-\-\-\--10分***
***附加*．(1) ；(2)①****；②****．**
**【解析】**
**试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线****的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) ①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围．**
**试题解析：(1)过作圆****的切线，一条切线为直线，切点****.**
**设另一条切线为****，即****.**
**因为直线与圆相切，则****，解得****，所以切线方程为****.**
**由****，解得，直线****的方程为****,即****.**
**令****，则****所以上顶点的坐标为****，所以****；令****，则****，**
**所以右顶点的坐标为****，所以****，所以椭圆的方程为.**
**(2) ①若直线** **斜率均存在，设直线****, 则中点 . 先考虑 的情形.**
**由得****.**
**由直线****过点** **，可知判别式****恒成立.**
**由韦达定理，得****，故****，**
**将上式中的****换成****，则同理可得****.**
**若****，得****，则直线****斜率不存在****. 此时直线****过点****.\[来源:学科网\]**
**下证动直线****过定点****.**
**② 当直线的斜率均存在且不为时，**
**由①可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得 ,**
**所以**
**.**
**同理，****，**
**，**
**因为****，当且仅当时取等号，**
**所以，即，**
**所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为****.**
**考点：1、直线与圆的位置关****系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系．**
**21．(1)****；(2)** **；(3)****．**
**试题解析：**
**(1)****时，****,**
**;**
**①当****时，****，****在****上为增函数，此时****，**
**②当****时，****，****在****上为增函数，**
**故****在****上为增函数，此时****.......................................2分**
**③当****时，****，****在****上为增函数，在****上为减函数，**
**若****，即****时，故****在****上为增函数，在****上为减函数，**
**此时****....................................5分**
**若****，即****时，****在****上为增函数，则此时****，**
**综上所述：** **....................................6分，**
**（2）****，****，**
**在****上单调递减，在****上单调递增，...............7分**
**在****上恰有两个相异实根，**
**，**
**实数****的取值范围是****，.......................................10分**
**（3）由题设：****,****，（\*）**
**，故****在****上单调递减，在****上单调递增，**
**（\*）****，**
**设****，则****，**
**在****上单调递增，在****上单调递减，..............................12分\[来源:学。科。网\]**
**而****，**
**且****，**
**故存在****，使****，**
**且****时，****，****时，****，\[来源:学科网ZXXK\]**
**又****，****，\[来源:Z\#xx\#k.Com\]**
**时，使****的图像恒在****图像的上方的最大整数****..................14分．**
**3．（1）****;（2）****;(3) 不具有线性相关关系**
**试题分析：（1）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在该场比赛中** **超过****的概率。（2）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在两场比赛中** **超过****的概率。（3）根据散点图，并不是分布在某一条直线的周围，可得结论。**
**（1）设易建联在比赛中****超过****为事件** **，则共有****场比赛中****超过****，故**
**（2）设"易建联在这两场比赛中****至少有一场超过****"为事件****，则从上述****场中随机选择两场共有****个基本事件，其中任意选择两场中，两场中****都不超过****的共有****个基本事件，故**
**（3）不具有线性相关关系.**
**因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛.**
| 1 | |
**错中求解**
1. 小亮在做一道加法题时，由于粗心，将一个加数个位上的3看成了5，把十位上的7看成了4，结果所得额的和是110，正确的和应该是多少？
**练习**
1、小马虎在做一道加法计算题时，把一个加数个位上的3看作了5，把十位上的6看作了3，结果和是108，正确的和应该是多少？
2、小明做题时，把被减数个位上的3写成了8，被减数十位上的0错写成了6，结果差是199，正确的差是多少？
2. 红红在计算一道加法题时，错把加3看成了乘3，这样得到的结果是48，求正确的答案是多少？
**练习**
1、王飞将（10－□）×6错写成10－□×6，他算得的答案与正确答案相差多少？
2、小何做两位数乘两位数的题时，把其中一个乘数的个位上的数字4错写成了1，乘得的结果是525，实际应为600，求这两个两位数分别是几？
3. 小琴在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成1，把另一个加数百位上的2错写成3，所得的和是718，原来两个数相加的正确答案是多少？
**练习**
1、小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成2，把另一个加数个位上的5错写成4，所得的和是68，正确的和应该是多少？
2、小丁在计算加法时，把一个加数百位上的0错写成8，把另一个加数十位上的1错写成7，所得的和是512，正确的和应该是多少？
4. 黄英做题时，把被减数个位上的6错写成2，把十位上的5错写成1，这样算得的差是300，正确的差应该是多少？
1、小红做题时，把被减数个位上的2错写成7，把十位上的2错写成6，这样算得的差是111，正确的差应该是多少？
2、陈云在计算一道减法题时，把减数1073抄成1703，这样求出的差是302，这道减法正确的答案应该是多少？
5. 小南在计算一道除法题时，把除数45写成了54，结果得到的商是10还余45这道题正确的商是多少？
**练习**
1、张林在计算一道除法题时，把被除数126错写成了162，这样求出的商是7，还余15，那么这题正确的商是多少？
2、小薇在计算除法时，把除数90写成9，结果得到的商是300，正确的商应该是多少？
6. 大力在计算有余数除法时，把被除数567错写成了521，这样算出的商比正确的商少了2，但余数不变，求这道算式中，除数和余数各是多少？
**练习**
1、小军在计算有余数的除法时，把被除数280错写成820，这样商比原来多了30，而余数正好相同。求这道除法算式的除数和余数。
2、咪咪在计算有余数的除法时，把被除数312错写成213，这样商比原来多了10，而余数比原来少11。求这道除法算式的除数和余数。
7. 文文计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864，这两个因数各是多少？
**练习**
1、京京在计算两位数乘两位数时，把一个因数的十位数字3错写成2，结果得240，实际应为360，这两个因数各是多少？
2、欢欢和迎迎做同一道乘法题。欢欢将一个因数的个位数4错写成1，得出的乘积是525；迎迎将这个因数的个位数错写成8，得出的乘积是700。正确的乘积应该是多少？
**课外作业**
1、彤彤做题时，把被减数个位上的4写成了7，被减数十位上的1错写成了5，结果差是77，正确的差是多少？
2、在计算除法时，林林把除数180末尾的"0"漏写了，结果商是50，正确的商应该是多少？正确的被除数呢？
3、小华在计算加法时，把一个加数个位上的1错写成8，把另一个加数百位上的6错写成4，所得的和是500，正确的和应该是多少？
4、小云做题时，把减数十位上的5错写成4，被减数百位上的6错写成8，这样算出差是398。正确的差是多少？
5、某数刚好能被9除尽。如果改用12去除，商是13还余6，该数是9的几倍？
6、小欣在计算有余数的除法时，把被除数159错写成133，这样商比原来少了3，而余数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。
7、两数相乘，如果一个因数增加5，另一个因数不变，那么积增加15；如果因数不变，另一个因数减少8，那么积减少48。原来的积是多少？
| 1 | |
2008年高考(全国Ⅱ)理综
化学试题
6．2008年北京奥运会的"祥云"火炬所用的燃料的主要成分是丙烷，下列有关丙烷的叙述中不正确的是
A．分子中碳原子不在一条直线上
B．光照下能够发生取代反应
C．比丁烷更易液化
D．是石油分馏的一种产品
**解析：**烷烃分子结构，是以每个碳为中心的四面体结构，多碳烷烃的碳链是锯齿型的，碳原子不在一条直线上；烷烃的特征反应是在光照条件下发生取代反应；石油分馏所获碳原子在1---4之间的烷烃混合物叫石油气，更进一步分离石油气可获得丙烷。烷烃随分子内碳原子数的增多，状态由气态、液态、固态变化，组成和结构相似的物质，随分子量的增大，分子间作用力增大，因此丁烷比丙烷易液化。
考点：烷烃的结构、物理性质（液化）、化学性质（取代反应）、丙烷的获取（石油分馏）。
7．实验室现有3种酸碱指示剂，基PH变色范围如下
甲基橙：3.1\~4.4 石蕊：5.0\~8.0 酚酞：8.2\~10.0
用0.1000mol/L NaOH溶液滴定未知浓度的CH~3~COOH溶液，反应恰好完全时，下列叙述中正确的是
A.溶液呈中性，可选用甲基橙或酚酞作指示剂
B.溶液呈中性，只能选用石蕊作指示剂
C.溶液呈碱性，可选用甲基橙或酚酞作指示剂
D.溶液呈碱性，只能选用酚酞作指示剂
**解析：**0.1000mol/L NaOH溶液滴定未知浓度的CH~3~COOH溶液，反应恰好完全时，生成CH~3~COONa是强碱弱酸盐，因发生水解而使溶液显碱性，因此，应该选用酚酞作指示剂。
考点：酸中中和滴定中指示剂的选择
8.对于IVA族元素，下列叙述中不正确的是
A. SiO~2~和CO~2~中，Si和O、C和O之间都是共价键
B. Si、C、Ge的最外层电子数都是4，次外层电子数都是8
C. SiO~2~和CO~2~中都是酸性氧化物，在一定条件下都能和氧化钙反应
D. 该族元素的主要化合价是+4和+2
考点：物质结构、元素周期律。
9.取浓度相等的NaOH和HCl溶液，以3∶2体积比相混和，所得溶液的PH等于12，则原溶液的浓度为
A.0.01mol/L B. 0.017mol/L C. 0.05mol/L D. 0.50mol/L
**解析：**设原溶液物质的量浓度为cmol/L，
V(NaOH)=3L V(HCl)=2L,二者混合后反应，混合溶液体积为5L，
二者混合后反应，所得溶液PH=12，则 c(OH^-^)=10^-2^mol/L
3L×cmol/L-2L×cmol/L = 10^-2^mol/L×5L
则，c=0.05mol/L
考点：酸碱中和反应，pH计算
10.右图为直流电源电解稀Na~2~SO~4~水溶液的装置。通电后在石墨电极a和b附近分别滴加一滴石蕊试液，下列实验现象中正确的是
A. 逸出气体的体积a电极的小于b电极的
B. 一电极逸出无味气体，另一电极逸出刺激性气味气体
C. a电极附近呈红色，b电极附近出现蓝色
> D. a电极附近呈蓝色，b电极附近出现红色
**解析：**电解稀Na~2~SO~4~水溶液，其本质是电解水
b极为阳极：4OH^-^ - 4e^-^ = 2H~2~O + O~2~↑
a极为阴极：4H^+^ + 4e^-^ = 2H~2↑~
a极逸出气体为氢气，b极逸出气体为氧气，二者都是无色无味的气体，且a极氢气的体积是b极氧气的体积的2倍，则A、B均错误；a极氢离子得电子，所以a极附近氢氧根离子浓度增大，遇石蕊试液变蓝；b极氢氧根离子放电，致使b极附近氢离子浓度增大，遇石蕊试液变红色，则C错，D正确。
考点：电解原理，酸碱指示剂性质。
11.某元素的一种同位素X原子的质量数为A，含N个中子，它与^1^H原子组成H~m~X分子，在ag H~m~X分子中含质子的物质的量是
A.(A-N+m)mol B.(A-N)mol C. ( A-N)mol D. (A-N+m)mol
考点：构成原子的各粒子之间的关系；物质的量基本计算。
12.(NH~4~)~2~SO~4~在高温下分解，产物是SO~2~、H~2~O、N~2~和NH~3~，在该反应的化学方程式中，化学计量数由小到大的产物分子依次是
A. SO~2~、H~2~O、N~2~、NH~3~
> B. N~2~、SO~2~、H~2~O 、NH~3~
C. N~2~、SO~2~、NH~3~、H~2~O
D. H~2~O、NH~3~、SO~2~、N~2~
**解析：**本题的本质是考查氧化还原方程式的配平，
3(NH~4~)~2~SO~4~ = 3SO~2~↑+N~2~↑+4NH~3~↑+6H~2~O↑
考点：氧化还原反应方程式的配平方法。
13．在相同温度和压强下，对反应CO~2~(g)+H~2~(g)=CO(g)+H~2~O (g)进行甲、乙、丙、丁四组实验,，实验起始时放入容器内各组分的物质的量见下表
---------- -------- ------- ------- -------
物质的量 CO~2~ H~2~ CO H~2~O
甲 a mol a mol 0 mol 0 mol
乙 2a mol a mol 0 mol 0 mol
丙 0 mol 0 mol a mol a mol
丁 a mol 0 mol a mol a mol
---------- -------- ------- ------- -------
上述四种情况达到平衡后，n(CO)的大小顺序是
A．乙=丁\>丙=甲 B乙\>丁\>甲\>丙 C．丁\>乙\>丙=甲 D．丁\>丙\>乙\>甲
**解析：**等效平衡问题。基本思路是，⑴利用"归一"原则，把丙和丁两组中产物的量按照方程式的计量数化归为反应物的量；⑵相同温度和压强下，对于反应前后气体体积相等的反应，只要初始加入量成比例，就属于等效平衡。依据这个原则进行判断甲和丙为等效平衡，乙和丁伟等效平衡；⑶乙和丁两组实验中，二氧化碳的物质的量是甲和丙两组实验中二氧化碳物质的量的2倍，而氢气的量保持不变，乙和丁两组实验所建立的平衡相当于在甲和丙两组实验基础上，向体系中分别加入a mol CO~2~，根据化学平衡移动原理可知，增大反应物的量平衡向正反应方向移动，使CO物质的量增大。故选择A。
考点；平衡移动原理，等效平衡。
26.红磷P（S）和Cl~2~发生反应生成KCl~3~和PCl~5~，反应过程和能量关系如图所示（图中的
△H表示生成1mol产物的数据）
根据上图回答下列问题
（1）P和Cl~2~反应生成PCl~3~的热化学方程式 [ ]{.underline} ；
（2）PCl~5~分解生成PCl~3~和Cl~2~的热化学方程式 [ ]{.underline} ；
上述分解反是一个可逆反应，温度T~1~时，在密闭容器中加入0.8mol PCl~5~，反应达到平衡时还剩余0.6mol PCl~5~，其分解率α~1~等于 [ ]{.underline} ；若反应温度由T~1~升高到T~2~，平衡时PCl~5~分解率α~2~，α~2~ [ ]{.underline} α~1~ (填"大于"，"小于"或"等于")；
（3）工业上制备PCl~5~通常分两步进行，先将P和Cl~2~反应生成中间产物PCl~3~，然后降温，再和Cl~2~反应生成PCl~5~。原因是 [ ]{.underline} ；
（4）P和Cl~2~分两步反应生成1mol PCl~5~的△H~3~= [ ]{.underline} ；P和Cl~2~一步反应生成1mol PCl~5~的△H~4~ [ ]{.underline} △H~1~(填"大于"，"小于"或"等于")；
（5）P Cl~5~与足量水反应，最终生成两种酸，其化学方程式是 [ ]{.underline} 。
答案：（1）2P(s)+3Cl~2~(g)=2PCl~3~(g) △H=－612kJ/mol
(2)PCl~5~(g)=PCl~3~(g)+Cl~2~(g) △H=＋93kJ/mol 25% 大于
(3)因为PCl~5~分解反应是吸热反应，温度太高，不利于PCl~5~的生成。
（4）－399kJ/mol 等于
（5）PCl~5~+4H~2~O=H~3~PO~4~+5HCl
考点：化学反应与能量（热化学）
27．（15分）
Q、R、X、Y、Z为前20号元素中的五种，Q的低价氧化物与X单质分子的电子总数相等，R与Q同族，Y和Z的离子与Ar原子的电子结构相同且Y原子序数小于Z。.
(1)Q的最高价氧化物，其固态属于 [ ]{.underline} 晶体，俗名叫 [ ]{.underline} ：
(2)R的氢化物分子的空间构型是 [ ]{.underline} ，属于 [ ]{.underline} 分子(填"极性"或"非极性")；它与X形成的化合物可作为一种重要的陶瓷材料，其化学式为 [ ]{.underline} ；
（3）X的常见氢化物的空间构型是 [ ]{.underline} ，它的另一氢化物X~2~H~4~是火箭燃料的成分，其电子式是 [ ]{.underline} ；
（4）Q分别与Y、Z形成的共价化合物的化学式是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} ；Q与Y形成的化合物的电子式为 [ ]{.underline} ，属于 [ ]{.underline} 分子(填"极性"或"非极性")。
**答案：**（1）分子，干冰
（2）正四面体，非极性 Si~3~N~4~
（3）三角锥形， 
 （4）和CCl~4~ 非极性分子
考点：物质结构 元素周期律。
28．（13分）
某钠盐溶液可能含有阴离子NO~3~^－^、CO~3~^2－^、SO~3~^2－^、SO~4~^2－^、Cl^－^、Br^－^、I^－^、为鉴别这些离子，分别取少量溶液进行以下实验：
①测得混合液呈碱性；
②加HCl后，生成无色无味气体，该气体能使饱和石灰水溶液变浑浊；
③加CCl~4~后，滴加少量氯水，振荡后，CCl~4~后层未变色；
④加BaCl~2~溶液产生白色沉淀，分离，在沉淀中加入足量盐酸，沉淀不能完全溶解；
⑤加HNO~3~酸化后，再加过量AgNO~3~，溶液中析出白色沉淀。
（1）分析上述5个实验，写出每一步实验鉴定离子的结论与理由。
实验① [ ]{.underline} ；
实验② [ ]{.underline} ；
实验③ [ ]{.underline} ；
实验④ [ ]{.underline} ；
实验⑤ [ ]{.underline} ；
（2）上述5个实验不能确定是否存在的离子是 [ ]{.underline} 。
**答案：**（1）①说明可能含有CO~3~^2－^或者含有SO~3~^2－^ 因为二者水解均显碱性；
②肯定含有CO~3~^2－^ ，肯定不含SO~3~^2－^、因SO~2~有刺激性气味
③肯定不含有Br^－^、I^－^，因两者均能与氯水反应后生成单质溴和单质碘，溴和碘单质溶解于CCl~4~显色；
④肯定含有SO~4~^2－^，因BaSO~4~不溶于盐酸。
⑤肯定含有Cl^－^，因AgNO~3~与Cl^-^反应生成的AgCl不溶于稀HNO~3~。
（2）NO~3~^－^
考点：离子反应，实验问题
29．（17分）
A、B、C、D、E、F、G、H、I、J均为有机化合物，根据以下框图，回答问题：
（1）B和C均为有支链\`的有机化合物，B的结构式为 [ ]{.underline} ；C在浓硫酸作用下加热反应只能生成一种烯烃D，D的结构简式为 [ ]{.underline} 。
（2）G能发生银镜反应，也能使溴的四氯化碳溶液褪色，则G的结构简式为 [ ]{.underline}
（3）写出⑤的化学反应方程式 [ ]{.underline} 。
⑨的化学反应方程式 [ ]{.underline} 。
（4）①的反应类型 [ ]{.underline} ，④的反应类型 [ ]{.underline} ，⑦的反应类型 [ ]{.underline} 。
（5）与H具有相同官能团的H的同分异构体的结构简式为 [ ]{.underline} 。
**答案：**（1），
（2）
（3）
（4）水解，取代，氧化
（5）CH~3~CH=CHCOOH CH~2~=CHCH~2~COOH
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2022届新高考开学数学摸底考试卷13
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
> A． B．
>
> C． D．
2．
> A．1 B．2 C．−i D．−2i
3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有
> A．280种 B．350种 C．70种 D．80种
4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与平面所成的角为
> A．30° B．45° C．15° D．60°
5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是
> A． B． C． D．
6．若定义在上的奇函数*f*(*x*)在单调递增，且，则满足的解集是
> A． B．
>
> C． D．
7．已知*P*是边长为1的正方形*ABCD边上或正方形*内的一点，则的最大值是
> A． B．2 C． D．
>
> 8．直线是曲线和曲线的公切线，则
>
> A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为
> A． B． C． D．
10．如图是函数的部分图象，则
(第10题图)
> A． B．
>
> C． D．
11．已知，则
> A． B． C． D．
12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
-- -- -- -- -- ----- --
...
...
-- -- -- -- -- ----- --
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则
> A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于*A*，*B*两点，、都与轴垂直，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前10项和为\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）．
15．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则[ ]{.underline}．
16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为[ ]{.underline}．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在①， ②， ③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，
且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
> 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
已知数列是正项等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）如图，三棱锥中，，，平面*PBC*⊥底面*ABC*，，分别是，的中点．
（1）证明：*PD*⊥平面*ABC*；
（2）求二面角的正切值．
(第19题图)
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
(第20题图)
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
------------ -- -- -- -- -- --
质量指标值
频数
------------ -- -- -- -- -- --
\(1\) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论的零点的个数．
22．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．
(1)求抛物线的方程；
\(2\) 若，求直线的方程;
(3)若为直线上的动点，求的最小值．
2022届新高考开学数学摸底考试卷13
**解析及评分参考**
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则 A
> A． B． C． D．
2． B
> A．1 B．2 C．−i D．−2i
3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B
> A．280种 B．350种 C．70种 D．80种
4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与所成的角为 D
> A．30° B．45° C．15° D．60°
5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A
> A． B． C． D．
6．若定义在上的奇函数*f*(*x*)在单调递增，且，则满足的解集是 D
> A． B． C． D．
7．已知*P*是边长为1的正方形*ABCD边上或正方形*内的一点，则的最大值是 C
> A． B．2 C． D．
>
> 8．直线是曲线和曲线的公切线，则 C
>
> A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为 AB
> A． B． C． D．
10．如图是函数的部分图象，则 BCD
> A． B．
>
> C． D．
11．已知，则 ACD
> A． B． C． D．
12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
-- -- -- -- -- ----- --
...
...
-- -- -- -- -- ----- --
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则 CD
> A． B． C． D．
>
> 提示：
-- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- --
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于*A*，*B*两点，、都与轴垂直，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前10项和为\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）． 2046
15．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则[ ]{.underline}．
16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为[ ]{.underline}．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在①， ②， ③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，
且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
> 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：中，由
得
.................................................................................1分
∴.................................................................................2分
∵不是直角三角形
∴
∴.................................................................................3分
即.................................................................................4分
∵
∴.................................................................................6分
选①：由，及 得.........................................................7分
由 得............................................................9分
不合理，故不存在．.................................................................................10分
选②：由
得.................................................................................8分
∴.................................................................................9分
∴为直角，不合题设，故不存在．.........................................................10分
选③：由
得．...............................................................10分
18．（12分）
已知数列是正项等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设正项等比数列的公比为
由得解得....................................2分
所以的通项公式 .....................................................................4分
（2）......................................................6分
故........................................................................8分
所以的前项和:
．...................................................12分
19．（12分）如图，三棱锥中，，，平面*PBC*⊥底面*ABC*，，分别是，的中点．
（1）证明：*PD*⊥平面*ABC*；
（2）求二面角的正切值．
（1）证明：∵，是中点
∴*PD*⊥*BC*................................................1分
∵平面*PBC*⊥底面*ABC*，*PD*平面*PBC，*平面*PBC*底面*ABC*
∴*PD*⊥平面*ABC.*......................................................4分
（2）解：如图，取中点，连接，
则......................................................5分
∵，是的中点，
∴，............................................................6分
，
∴，..................................................................7分
∵*PD*⊥平面*ABC*
∴，
∴平面.................................................................................8分
∴.................................................................................9分
∴为二面角的平面角.............................................................10分
在中，................................................11分
∴二面角的正切值为2．.....................................................................12分
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
------------ -- -- -- -- -- --
质量指标值
频数
------------ -- -- -- -- -- --
\(1\) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．
解：(1)由题设知，.............................................1分
的分布列为
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
.................................................................................3分
设备升级前利润的期望值为
........................4分
∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．...........................5分
\(2\) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)
则.................................................................................6分
患者购买一件合格品的费用的分布列为
-- -- -- --
-- -- -- --
.................................8分
则......................................................10分
则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
.................................................................................12分
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论的零点的个数．
解：（1）∵
∴.........................................................1分
时时，时..................................3分
∴时，的减区间是，增区间是．...........................4分
（2）①时，∵且的减区间是，增区间是
∴是的极小值，也是最小值.......................................5分
，....................................6分
取且.................................7分
则..............................8分
∴在和上各一个零点.............................................9分
②时，只一个零点.......................................10分
综上，时，有两个零点；................................................11分
时，一个零点．.................................................................................12分
22．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．
(1)求抛物线的方程；
\(2\) 若，求直线的方程;
(3)若为直线上的动点，求的最小值．
解：(1)由到直线的距离为
得
得或...............................................................2分
∵
∴...........................................................................3分
∴抛物线.............................................................4分
\(2\) 由知
∴...........................................................................5分
设切点，
则
即
............................................................6分
∵，
∴即....................................7分
∴．..................8分
(3)若为直线上的动点，设，则
由(2)知
∵，
∴
∴与联立消得
............"＊" ..........................................9分
则，是"＊"的二根
∴.................................................................................10分
.................................................................................11分
当时，得到最小值为．..............................12分
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**-北师大版五年级（下）期末数学试卷（13）**
**一、计算．**
1．直接写出得数．
----------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------
3÷= ×= ×= += ×21=
2﹣= ÷= ÷= ÷= 0÷=
----------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------
2．计算下面各题．
÷×
×+×
+×﹣
24÷（÷）
3．解方程．
x=36
x﹣x=20
x÷=．
**二、数与代数．填空．**
4．3米长的绳子，截成米长的小段，可以截成[ ]{.underline}．
5．[ ]{.underline}×=7×[ ]{.underline}=÷[ ]{.underline}=1．
6．6.1班今天48人到校，有2人请病假，今天的出勤率是[ ]{.underline}．
7．把，0.87，87.6%按从小到大顺序排列：[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}．
8．油菜籽的出油率的40%，200千克的油菜籽出油[ ]{.underline}千克，要想榨160千克油，需要油菜籽[ ]{.underline}千克．
9．的倒数是[ ]{.underline}，[ ]{.underline}和0.8互为倒数，[ ]{.underline}没有倒数．
10．根据下面图示，可列算式：[ ]{.underline}表示：[ ]{.underline}
**三、选择．（选择正确答案的序号填在括号里）**
11．一个数（不是0）除以非0自然数，商（ ）被除数．
A．等于 B．大于 C．小于 D．不大于
12．一件上衣八折销售，现价是40元，原价是（ ）元．
A．32 B．50 C．60
13．一种桃汁，大瓶装售价8元，小瓶装售价3元．三家商店为了促销这种桃汁，分别推出优惠方案：
购买12升这种桃汁，要想省钱到（ ）购买．
A．甲店 B．乙店 C．两个店均可 D．丙店
**四、空间与图形．填空．**
14．
+----------------------------------------------------+-------------------------------------------------+
| 在横线里填上适当的单位名称： | 一个教室大约占地48[ ]{.underline}； |
| | |
| 一块橡皮的体积约是8[ ]{.underline}； | |
+----------------------------------------------------+-------------------------------------------------+
| 一辆小汽车油箱容积是40[ ]{.underline}； | 小明每步的长度约是6[ ]{.underline}． |
+----------------------------------------------------+-------------------------------------------------+
15．800立方厘米=[ ]{.underline}立方分米； 2.3立方米=[ ]{.underline}立方分米=[ ]{.underline}升．
16．把一个正方体方木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，原正方体方木块的表面积是[ ]{.underline}，体积是[ ]{.underline}．
17．用一根长12分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体的表面积是[ ]{.underline}，体积是[ ]{.underline}．
**五、选择．（选择正确答案的序号填在括号里）**
18．把1立方米的正方体木块切成l立方分米的小正方体木块，如果把这些小木块排成一行，共有（ ）长．
A．1千米 B．100米 C．100分米 D．1000分米
19．下图中哪个可以折成一个正方体．（ ）
A． B． C． D．
20．按的方式摆放在桌面上．8个按这种方式摆放，有（ ）个面露在外面．
A．20 B．23 C．26 D．29
**六、解答题（共1小题，满分0分）**
21．计算下面图形的表面积和体积．
**六、统计与概率．**
22．六年一班6名同学参加"华杯赛"决赛，他们的成绩如下：12、95、120、69、80、95．这组数据的平均数是[ ]{.underline}，中位数是[ ]{.underline}，众数是[ ]{.underline}，[ ]{.underline}能比较好地反映这6名参赛选手的平均水平．
23．在50、60、60、60、60、65、70、85这组数中，（ ）是众数．
A．60 B．50 C．65
24．护士要把一个病人的血压变化情况绘制成统计图，绘制（ ）统计图比较合适．
A．条形 B．折线 C．扇形
25．如图是双龙村的种植情况统计图．
（1）玉米的种植面积占百分之几？
（2）如果三种作物种植的总面积是70亩，则水稻的种植面积是多少亩？
**七、解决问题．**
26．淘气家有3口人，三月份妈妈的工资收入是1000元，爸爸的工资收入比妈妈多，三月份爸爸工资收入是多少元？
27．把一个不规则的石块浸到底面积是38cm^2^的长方体玻璃缸中，水面上升了0.3cm，这块石头的体积是多少？
28．某商场2月份的营业额是320万元，比一月份增加了，一月份的营业额是多少万元？
29．一个长方体无盖的玻璃鱼缸，长2米，宽0.5米，高1米，做这样的一个鱼缸，需玻璃多少平方米？
30．一次数学测验，五年一班有30人取得优秀，优秀率达到75%，五年一班共有多少名学生？
31．某建筑物长60米、宽50米、高70米．"七一节"快到了，为增添节日气氛，张叔叔去商店买彩灯，他至少买几捆？
**-北师大版五年级（下）期末数学试卷（13）**
**参考答案与试题解析**
**一、计算．**
1．直接写出得数．
------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------
3÷= ×= ×= += ×21=
2﹣= ÷= ÷= ÷= 0÷=
------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------
【考点】分数除法；分数乘法．
【分析】根据分数加法、分数减法、分数乘法、分数除法的计算法则，依次进行计算即可．
【解答】解：
------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------
3÷= ×= ×= += ×21=6
2﹣=1 ÷= ÷= ÷=1 0÷=0
------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------
2．计算下面各题．
÷×
×+×
+×﹣
24÷（÷）
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】（1）按照从左向右的顺序进行计算；
（2）根据乘法分配律进行简算；
（3）先算乘法，再算加法，最后算减法；
（4）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法．
【解答】解：（1）÷×
=×
=；
（2）×+×
=（+）×
=1×
=；
（3）+×﹣
=+﹣
=﹣
=；
（4）24÷（÷）
=24÷
=28.8．
3．解方程．
x=36
x﹣x=20
x÷=．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同时除以即可．
（2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以即可；
（3）根据等式的性质，两边同时乘以即可．
【解答】解：（1）x=36
x÷=36÷
x=81
（2）x﹣x=20
x=20
x÷=20÷
x=25
（3）x÷=
x÷×=×
x=
**二、数与代数．填空．**
4．3米长的绳子，截成米长的小段，可以截成[ 12段 ]{.underline}．
【考点】分数除法应用题．
【分析】要求可以截成几段，就是求3米里面有几个米，用除法计算．
【解答】解：3=12（段）．
答：可以截成12段．
故答案为：12段．
5．[ 4 ]{.underline}×=7×[ ]{.underline}[ ]{.underline}=÷[ ]{.underline}[ ]{.underline}=1．
【考点】倒数的认识；分数乘法；分数除法．
【分析】根据倒数的意义和求法，分数除法的法则即可填写．
【解答】解：4×=7×=÷=1．
故答案为：4，，．
6．6.1班今天48人到校，有2人请病假，今天的出勤率是[ 96% ]{.underline}．
【考点】百分率应用题．
【分析】出勤率是指出勤人数占总人数的百分比，计算方法是：出勤率=×100%，由此求解．
【解答】解：×100%
=×100%
=96%
答：今天的出勤率是96%．
故答案为：96%．
7．把，0.87，87.6%按从小到大顺序排列：[ 0.87 ]{.underline}＜[ ]{.underline}[ ]{.underline}＜[ 87.6% ]{.underline}．
【考点】小数大小的比较；小数、分数和百分数之间的关系及其转化．
【分析】先把分数和百分数化成小数，然后由小数的比较方法：先比整数部分，整数部分大这个数就大；如果整数部分相同，再比小数部分十分位上的数，十分位上的数大，这个数就大，依此类推直接比较得出答案即可．
【解答】解： =0.875，
87.6%=0.876，
所以从小到大顺序排列为：0.87＜＜87.6%．
故答案为：0.87＜＜87.6%．
8．油菜籽的出油率的40%，200千克的油菜籽出油[ 80 ]{.underline}千克，要想榨160千克油，需要油菜籽[ 400 ]{.underline}千克．
【考点】百分率应用题．
【分析】出油率是指出油的重量占油菜籽重量的百分比，是把油菜籽的重量看成单位"1"，用油菜籽的重量乘40%，可以求榨出油的重量；用榨出油的重量除以40%就是需要的油菜籽重量．
【解答】解：200×40%=80（千克）；
160÷40%=400（千克）；
答：200千克油菜籽可以榨油80千克； 榨油160千克要用400千克油菜籽．
故答案为：80，400．
9．的倒数是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，[ ]{.underline}[ ]{.underline}和0.8互为倒数，[ 0 ]{.underline}没有倒数．
【考点】倒数的认识．
【分析】根据"乘积是1的两个数互为倒数"，所以求一个数的倒数只要用1除以这个数即可；求一个小数的倒数，一般先把小数化为分数，再运用倒数的求法解答．
【解答】解：的倒数是，和0.8互为倒数，0没有倒数．
故答案为：，，0．
10．根据下面图示，可列算式：[ ]{.underline}[×]{.underline}[ ]{.underline}表示：[ ]{.underline}[的]{.underline}[是多少． ]{.underline}
【考点】分数乘法．
【分析】根据图可知：先把长方形分成平均分成3份，其中的1份就是，再把这一份平均分成4份，其中的3份就是的，由此求解．
【解答】解：
根据这个图可列算式：×表示：的是多少．
故答案为：×，的是多少．
**三、选择．（选择正确答案的序号填在括号里）**
11．一个数（不是0）除以非0自然数，商（ ）被除数．
A．等于 B．大于 C．小于 D．不大于
【考点】商的变化规律．
【分析】一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
一个数（0除外）除以等于1的数，商等于这个数；
一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；据此解答．
【解答】解：一个数（不是0）除以非0自然数，由于除数可能是1或大于1，所以商不大于被除数；
故选：D．
12．一件上衣八折销售，现价是40元，原价是（ ）元．
A．32 B．50 C．60
【考点】百分数的实际应用．
【分析】打八折是指现价是原价的80%，把原价看成单位"1"，80%对应的数量是40元，求原价用除法．
【解答】解：40÷80%=50（元），
答：原价是50元．
故选：B．
13．一种桃汁，大瓶装售价8元，小瓶装售价3元．三家商店为了促销这种桃汁，分别推出优惠方案：
购买12升这种桃汁，要想省钱到（ ）购买．
A．甲店 B．乙店 C．两个店均可 D．丙店
【考点】最优化问题．
【分析】本题可根据要购买的桃汁的瓶数及每个商店的优惠方案分别计算在各个商店购买桃汁需要的钱数，然后选择花钱最少的一家去购买．
【解答】解：8÷1200≈0.0067元/ml，3÷400=0.0075元/ml，
所以购买大盒较合算．
12L=12000mL，
甲店：12000÷1200=10盒，即先购买7大盒，可获送7小盒，
又知1200÷400=3（小盒），
故6盒相当于2大盒，还多1小盒，
这时是9大盒，1小盒，再买2小盒即可，
需花8×7+3×2=62元；
乙店购买需花：8×10×90%=72（元）；
丙店需花：8×10×85%=68（元）；
62元＜68元＜72元，
所以去甲店最省钱．
故选：A．
**四、空间与图形．填空．**
14．
+-------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 在横线里填上适当的单位名称： | 一个教室大约占地48[ 平方米 ]{.underline}； |
| | |
| 一块橡皮的体积约是8[ 立方厘米 ]{.underline}； | |
+-------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 一辆小汽车油箱容积是40[ 升 ]{.underline}； | 小明每步的长度约是6[ 分米 ]{.underline}． |
+-------------------------------------------------+----------------------------------------------+
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】根据生活经验和题目中所给的数字可知，一块橡皮的体积约是8立方厘米较合适，教室占地用平方米较合适，一辆小汽车油箱容积用升较合适，小明每步的长度约用分米较合适，由此填空即可．
【解答】解：
-------------------------------- -----------------------------
一块橡皮的体积约是8 立方厘米； 一个教室大约占地48 平方米；
一辆小汽车油箱容积是40 升； 小明每步的长度约是6 分米
-------------------------------- -----------------------------
故答案为：立方厘米，平方米，升，分米．
15．800立方厘米=[ 0.8 ]{.underline}立方分米； 2.3立方米=[ 2300 ]{.underline}立方分米=[ 2300 ]{.underline}升．
【考点】体积、容积进率及单位换算．
【分析】（1）低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率1000．
（2）高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000；立方分米与升是同一级单位，二者互化数值不变．
【解答】解：（1）800立方厘米=0.8立方分米；
（2）2.3立方米=2300立方分米=2300升．
故答案为：0.8，2300，2300．
16．把一个正方体方木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，原正方体方木块的表面积是[ 96厘米^2^ ]{.underline}，体积是[ 64厘米^3^ ]{.underline}．
【考点】简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【分析】把这个正方体分成两个完全一样的长方体时，增加了两个正方形的面的面积，由此可得正方体的一个面的面积是32÷2=16平方厘米，所以正方体的棱长是4厘米，由此再利用正方体表面积和体积公式即可解答．
【解答】解：32÷2=16（平方厘米），
因为4×4=16，所以正方体的棱长是4厘米，
则正方体的表面积是：16×6=96（平方厘米），
体积是：4×4×4=64（立方厘米），
故答案为：96厘米^2^；64厘米^3^
17．用一根长12分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体的表面积是[ 6平方分米 ]{.underline}，体积是[ 1立方分米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【分析】根据正方体的特征：12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，用一根长12分米的铁丝焊接成一个最大的正方体框架，也就是正方体的棱长总和是12分米．首先求出棱长，再根据正方体的表面积公式：s=6a^2^，体积公式：v=a^3^，然后把数据代入公式解答．
【解答】解：棱长：12÷12=1（分米），
表面积：1×1×6=6（平方分米），
体积：1×1×1=1（立方分米），
答：这个正方体的表面积是6平方分米，体积是1立方分米．
故答案为：6平方分米，1立方分米．
**五、选择．（选择正确答案的序号填在括号里）**
18．把1立方米的正方体木块切成l立方分米的小正方体木块，如果把这些小木块排成一行，共有（ ）长．
A．1千米 B．100米 C．100分米 D．1000分米
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】（1）1立方米=1000立方分米，由此可以得出能够分成1000个1立方分米的小正方体；
（2）1立方分米的小正方体的棱长是1分米，把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000=1000分米．
【解答】解：1立方米=1000立方分米，
所以：1000÷1=1000（个），
1立方分米的小正方体的棱长是1分米；
则总长度是1×1000=1000（分米）=100米．
故选：B．
19．下图中哪个可以折成一个正方体．（ ）
A． B． C． D．
【考点】正方体的展开图．
【分析】根据正方体的特征，和正方体展开图的形状进行分析比较确定答案．
【解答】解：根据正方体的特征和展开图的形状可知，图A可以折成一个正方体．
故选：A．
20．按的方式摆放在桌面上．8个按这种方式摆放，有（ ）个面露在外面．
A．20 B．23 C．26 D．29
【考点】数与形结合的规律．
【分析】1个小正体有5个面露在外面，再增加一个正方体，2个小正方体有8个面露在外面；3个小正方体有11个面露在外面．每增加1个正方体漏在外面的面就增加3个即：n个正方体有5+（n﹣1）×3；由此求解．
【解答】解：根据题干分析可得，n个正方体有5+（n﹣1）×3=3n+2；
所以8个小正方体时，露在外部的面有：
3n+2=3×8+2=26（个）
故选：C．
**六、解答题（共1小题，满分0分）**
21．计算下面图形的表面积和体积．
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【分析】依据长方体的表面积S=（ab+bh+ah）×2，体积V=abh，将数据分别代入公式即可求出长方体的表面积和体积．
【解答】解：表面积：（10×7+10×6+7×6）×2
=（70+60+42）×2
=172×2
=344（平方厘米）；
体积：10×7×6=420（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是344平方厘米，体积是420立方厘米．
**六、统计与概率．**
22．六年一班6名同学参加"华杯赛"决赛，他们的成绩如下：12、95、120、69、80、95．这组数据的平均数是[ 78.5 ]{.underline}，中位数是[ 87.5 ]{.underline}，众数是[ 95 ]{.underline}，[ 中位数 ]{.underline}能比较好地反映这6名参赛选手的平均水平．
【考点】中位数的意义及求解方法；平均数的含义及求平均数的方法；众数的意义及求解方法．
【分析】（1）求平均数，根据"总数÷个数=平均数"进行解答即可；
（2）把6个数按从大到小（或从小到大）的顺序排列，中间的那两个数的平均数就是该组数据的中位数；
（3）众数是在此组数据中出现次数最多的那一个数．
（4）当最小数据与最大数据之间差距较大时，一般是中位数能表示它的整体水平．
【解答】解：（1）平均数：（12+95+120+69+80+95）÷6，
=471÷6，
=78.5；
（2）把此组数据按从小到大的顺序排列为：12、69、80、95、95、120，
中位数为：（80+95）÷2，
=175÷2，
=87.5；
（3）众数为：95；
（4）中位数能较好地反映这6名参赛选手的水平；
故答案为：78.5，87.5，95，中位数．
23．在50、60、60、60、60、65、70、85这组数中，（ ）是众数．
A．60 B．50 C．65
【考点】众数的意义及求解方法．
【分析】根据众数的意义，在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用众数表示这组数据的"集中趋势"就比较合适．
【解答】解：因为众数是在一组数据出现次数最多的数，所以在50、60、60、60、60、65、70、85这组数中，60是众数．
故选：A．
24．护士要把一个病人的血压变化情况绘制成统计图，绘制（ ）统计图比较合适．
A．条形 B．折线 C．扇形
【考点】统计图的选择．
【分析】根据统计图的分类（条形、折线、扇形）统计图，在联系实际，一般情况下病人的血压是不稳定的，由此选择折线统计图比较合适．
【解答】解：折线统计图能够表示事物的增减变化趋势，一般情况下病人的血压是不稳定的，因此绘制折线统计图比较合适．
故选B．
25．如图是双龙村的种植情况统计图．
（1）玉米的种植面积占百分之几？
（2）如果三种作物种植的总面积是70亩，则水稻的种植面积是多少亩？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】（1）把总面积看成单位"1"，用1减去水稻占的百分数，再减去小麦占的百分数，即可求出玉米占了百分之几；
（2）用总面积乘上水稻占的分率40%即可求出水稻的种植面积．
【解答】解：（1）1﹣40%﹣35%
=60%﹣35%
=25%
答：玉米的种植面积占25%．
（2）70×40%=28（亩）
答：水稻的种植面积是28亩．
**七、解决问题．**
26．淘气家有3口人，三月份妈妈的工资收入是1000元，爸爸的工资收入比妈妈多，三月份爸爸工资收入是多少元？
【考点】分数乘法应用题．
【分析】首先把三月份妈妈的工资收入看作单位"1"，根据分数乘法的意义，用三月份妈妈的工资收入乘以，求出爸爸的工资收入比妈妈多多少钱；然后用它加上三月份妈妈的工资收入，求出三月份爸爸工资收入是多少元即可．
【解答】解：1000×
=400+1000
=1400（元）
答：三月份爸爸工资收入是1400元．
27．把一个不规则的石块浸到底面积是38cm^2^的长方体玻璃缸中，水面上升了0.3cm，这块石头的体积是多少？
【考点】探索某些实物体积的测量方法；长方体和正方体的体积．
【分析】这块石头的体积和水面升高部分的体积相等，根据长方体的体积公式：V=Sh进行计算即可．
【解答】解：38×0.3=11.4（cm^3^）
答：这块石头的体积是11.4cm^3^．
28．某商场2月份的营业额是320万元，比一月份增加了，一月份的营业额是多少万元？
【考点】分数除法应用题．
【分析】把一月份的营业额看成单位"1"，二月份的营业额就是一月份的1+，求一月份的营业额用除法．
【解答】解：320÷（1+），
=320，
=240（万元）；
答：一月份的营业额是240万元．
29．一个长方体无盖的玻璃鱼缸，长2米，宽0.5米，高1米，做这样的一个鱼缸，需玻璃多少平方米？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】求需玻璃多少平方米，就是求鱼缸的表面积．因为这个长方体鱼缸无盖，所以只求5个面的面积即可．
【解答】解：2×0.5+（0.5×1+2×1）×2，
=1+5，
=6（平方米）．
答：需玻璃6平方米．
30．一次数学测验，五年一班有30人取得优秀，优秀率达到75%，五年一班共有多少名学生？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】优秀率是指优秀的人数占总人数的百分比，把总人数看成单位"1"，它的75%对应的数量是30人，求总人数用除法．
【解答】解：30÷75%=40（名）；
答：五年一班共有40名学生．
31．某建筑物长60米、宽50米、高70米．"七一节"快到了，为增添节日气氛，张叔叔去商店买彩灯，他至少买几捆？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【分析】根据题意，本题属于长方体的棱长总和的应用，根据长方体的棱的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，已知在这个建筑物四周装上彩灯（底面的四边不装）．也就是求两条长，两条宽和4条高的长度和；用这8条棱的长度和除以100，问题就得到解决．
【解答】解：（60×2+50×2+70×4）÷100
=500÷100
=5（捆）
答：他至少要买5捆这样的彩灯线．
**2016年8月20日**
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第1课《认识图形一》试题附答案**
小学一年级奥数题：认识图形例题（一）
**认识图形例题答案**
**例一**
**例二**
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第4课《自然数列趣题》试题附答案**
例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字"1"？
例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？
**来源：www.bcjy123.com/tiku/**
二年级奥数上册：第五讲 自然数列趣题习题
1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、......、199、200，问数字"1"在页码中共出现了多少次？
2.在1至100的奇数中，数字"3"共出现了多少次？
3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？
4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版（比如，"150"这个页码就需要三个铅字"1"、"5"和"0"），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？
5.像"21"这个两位数，它的十位数字 "2"大于个位数字"1"，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？
6.像"101"这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数？
7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少？
8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？
9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？
**答案**
例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字"1"？
解：分类计算：
"1"出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；
"1"出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；
"1"出现在百位上的数有：100共1个；
共计10+10+1=21个.
例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？
解：分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180（个）；
第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：
9+180+3=192（个）.
解：（见图5---1）先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：
如图5---1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
=45×10
=450.
窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：
1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10
+8×10+9×10
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
=45×10
＝450.
另外100这个数的数字和是1+0+0=1.
所以，这一百个自然数的数字总和是：
450+450+1=901.
顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来？
二年级奥数上册：第五讲 自然数列趣题习题
1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、......、199、200，问数字"1"在页码中共出现了多少次？
2.在1至100的奇数中，数字"3"共出现了多少次？
3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？
4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版（比如，"150"这个页码就需要三个铅字"1"、"5"和"0"），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？
5.像"21"这个两位数，它的十位数字 "2"大于个位数字"1"，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？
6.像"101"这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数？
7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少？
8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？
9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？
习题五解答
1.解：分类计算，并将有数字"1"的数枚举出来.
"1"出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，
101，111，121，131，141，151，161，171，181，191
共20个；
"1"出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
110，111，112，113，114，115，116，117，118，119
共20个；
"1"出现在百位上的数有：
100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，
110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，
120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，
130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，
140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，
150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，
160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，
170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，
180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，
190，191，192，193，194，195，196，197，198，199
共100个；
数字"1"在1至200中出现的总次数是：
20+20+100=140（次）.
2.解：采用枚举法，并分类计算：
"3"在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个；
"3"在十位上：31，33，35，37，39共5个；
数字"3"在1至100的奇数中出现的总次数：
10+5=15（次）.
3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.
4.解：分段统计，再总计.
页数 铅字个数
1～9共9页 1×9=9（个）（每个页码用1个铅字）
10～90共90页 2×90=180（个）（每个页码用2个铅字）
100～199共100页 3×100=300（个）（每个页码用3个铅字）
第200页共1页 3×1=3（个）（这页用3个铅字）
总数：9+180+300+3=492（个）.
5.解：列表枚举，分类统计：
10 1个
20 21 2个
30 31 32 3个
40 41 42 43 4个
50 51 52 53 54 5个
60 61 62 63 64 65 6个
70 71 72 73 74 75 76 7个
80 81 82 83 84 85 86 87 8个
90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.
6.解：枚举法，再总计：
101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.
**来源：www.bcjy123.com/tiku/**
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**湖北省黄冈市2020年中考数学试题**
**一、选择题（本题共8小题，每小題3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）**
1.的相反数是 ( )
A. 6 B. －6 C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据相反数的定义解答即可．
【详解】根据相反数的定义有：的相反数是．
故选D．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除逐一分析即可．
【详解】解：A．，该项不符合题意；
B．，该项不符合题意；
C．，该项符合题意；
D．，该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除，掌握运算法则是解题的关键．
3.如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．
【详解】∵一个多边形的每个外角都是36°，∴*n*=360°÷36°=10．
故选D．
【点睛】本题考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键．
4.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_去．
-------- ---- ---- ---- ----
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
-------- ---- ---- ---- ----
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可通过四位同学的平均分比较，择高选取；继而根据方差的比较，择低选取求解本题．
【详解】通过四位同学平均分的比较，乙、丙同学平均数均为90，高于甲、丁同学，故排除甲、丁；乙、丙同学平均数相同，但乙同学方差更小，说明其发挥更为稳定，故选择乙同学．
故选：B．
【点睛】本题考查平均数以及方差，平均数表示其平均能力的高低；方差表示数据波动的大小，即稳定性高低，数值越小，稳定性越强，考查对应知识点时严格按照定义解题即可．
5.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分别画出各项三视图即可判断．
【详解】各选项主视图、左视图、俯视图如下:
A．,满足题意;
B．,不满足题意;
C．,不满足题意;
D． ,不满足题意;
故选A．
【点睛】本题考查几何体三视图,关键在于牢记三视图的画法．
6.在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点在第三象限，可得，，进而判定出点*B*横纵坐标的正负，即可解决．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，，
∴，
∴，
∴点*B*在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．
7.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用．
8.2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为*m*吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击"新冠病毒"以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量*y*（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，\
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，\
时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．\
故选：D．
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
**二、填空题（本题共8小题，每小題3分，共24分）**
9.计算：=[ ▲ ]{.underline}．
【答案】﹣2．
【解析】
立方根．
【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x^3^=a，则x就是a的一个立方根：
∵（－2）^3^=－8，∴．
10.已知是一元二次方程的两根，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x~1~x~2~＝-1，代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x^2^−2x−1＝0的两根为x~1~，x~2~，
∴x~1~x~2~＝-1，
∴-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax^2^＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x~1~，x~2~，则x~1~＋x~2~＝−，x~1~•x~2~＝．
11.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据非负数的性质进行解答即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的关键．
12.已知：如图，在中，点在边上，，则\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】40
【解析】
【分析】
根据等边对等角得到，再根据三角形外角性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
13.计算：的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
14.已知：如图，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】30
【解析】
【分析】
本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点睛】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题："今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？"（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_尺．
【答案】12
【解析】
【分析】
首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x^2^+5^2^=（x+1）^2^即可．
【详解】设这个水池深x尺，\
由题意得，x^2^+5^2^=（x+1）^2^，\
解得：x=12\
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16.如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点*P*运动的路线长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
仔细观察顶点P经过的路线可得，中点P经过的路线可以分为四段，分别求出四段的长，再求出其和即可．
【详解】连接BP，如图，
∵P为AO的中点，AO=10cm，
∴PO=5cm，
由勾股定理得，BP=，
中点P经过的路线可以分为四段，当弧AB切射线OM于点B时，有OB⊥射线OM，此时P点绕不动点B转过了90°，此时点P经过的路径长为：cm；
第二段：OB⊥射线OM到OA⊥射线OM，P点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于射线OM的，所以P与转动点的连线始终⊥射线OM，所以P点过的路线长=AB的弧长，即；
第三段：OB⊥射线OM到P点落在射线OM上，P点绕不动点A转过了90°，此时点P经过的路径长为：；
第四段：OA⊥射线OM到OB与射线OM重合，P点绕不动点O转过了90°，此时点P经过的路径长为：；
所以，P点经过的路线总长S=．
故答案为：
【点睛】本题考查了弧长的计算，关键是理解中点P经过的路线可得，中点P经过的路线总长为四个扇形的弧长．
**三、解答题（本题共9題，满分72分）**
17.解不等式，并在数轴上表示其解集．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】
先去分母、移项、合并同类项解不等式，得出解集后在数轴上表示即可．
【详解】解：
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，．
∴原不等式的解集为：．
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式是解题的关键．
18.已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
通过证明即可得证．
【详解】证明：∵点是的中点，
．
在中，，
．
在和中，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等内容，熟练运用平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键.
19.为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了"黄冈地标馆"．一顾客在"黄冈地标馆"发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【答案】每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元
【解析】
【分析】
根据题意列出二元一次方程组解出即可．
【详解】解：设每盒羊角春牌绿茶*x*元，每盒九孔牌藕粉*y*元，依题意可列方程组：
解得：
答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
20.为了解疫情期网学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从"优秀"、"良好"、"一般"、"不合格"四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果"一般"的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果"优秀"的1人，"良好"的2人，"一般"的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是"良好"的概率．
【答案】（1）200；（2）图见解析，；（3）
【解析】
【分析】
(1)用"良好"所占的人数80除以它所占的百分比40%即可得到调查的总人数；
(2)用总分数减去"优秀"、"良好"、"一般"所占的人数即可计算出"不合格"的人数，然后补全条形统计图，用"一般"的人数除以总人数得到其所占的百分比，再乘以360°即可得到"一般"的学生人数所在扇形的圆心角度数；
(3)画图树状图，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：(1)结合扇形统计图和条形统计图可知：
本次活动共调查了：80÷40%=200(人)，
故答案为：200．
(2)"不合格"的人数为：200-40-80-60=20人，
故条形统计图补全如下所示：
学习效果"一般"的学生人数所占的百分比为：60÷200=30%，
故学习效果"一般"所在扇形的圆心角度数为30%×360°=108°，
故答案为：108°．
(3)依题意可画树状图：
共有12种可能的情况，其中同时选中"良好"的情况由2种，
(同时选中"良好")．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；树状图法可以展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，最后用概率公式求出P(A)=即可求出事件A的概率．
21.已知：如图，*AB*是的直径，点为上一点，点*D*是上一点，连接并延长至点*C*，使与*AE*交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用为直径，得出，利用得出，从而得出，进而得出结论；
（2）证出即可得出结论．
【详解】证明：（1）为直径，
，
在中，，
又，
，
，即,
，
又为的直径，
是的切线；
（2）平分，
，
又，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径．
22.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，"国庆黄金周"期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在*A*处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达*B*处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
【答案】（1）；（2）米
【解析】
【分析】
（1）过点作于点*M*．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于*x*的一元一次方程，求解即可得到*x*的值，进而*A*处到临皋亭的距离即可求解；
（2）过点作于点，在中，得到，在中，得到，根据求解即可．
详解】解：（1）依题意有．
过点作于点*M*．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点*A*处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
23.已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于*A*，*B*两点，与*y*轴正半轴交于点*C*，与*x*轴负半轴交于点*D*，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）点C的坐标为
【解析】
【分析】
（1）过点*B*作轴于点*M*，由设BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解；
（2）设点C的坐标为，则．设直线*AB*的解析式为：，将B点坐标代入AB的函数关系式，可得，令y=0得到，令，解得两个x的值，A点的横坐标为，由列出方程求解即可．
【详解】解：（1）过点*B*作轴于点*M*，则
在中．
设，则．
又．
．
又
，
∴点*B*的坐标是
∴反比例的解析式为．
（2）设点C的坐标为，则．设直线*AB*的解析式为：．
又∵点在直线*AB*上将点*B*的坐标代入直线解析式中，
．
．
∴直线*AB*的解析式为：．
令，则．
．
令，解得．
经检验都是原方程的解．
又．
．
．
．
．
经检验，是原方程的解．
∴点C的坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
24.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价*x*（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为*W*（元）．
（1）请求出日获利*W*与销售单价*x*之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取*a*元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求*a*的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】解：（1）当，即，
．
*∴*当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为*，*
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出*w*与*x*的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
*，*
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
25.已知抛物线与*x*轴交于点，点，与*y*轴交于点，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点*C*的直线交线段*AB*于点*E*，且，求直线*CE*的解析式
（3）若点*P*在抛物线上，点*Q*在*x*轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点*P*的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点*F*，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点*K*的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）点*P*的坐标为；（4）存在，点*K*的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点*K*作直线*SK*，使轴，且点的纵坐标为，则点*S*的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．
【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有．
∴抛物线的解析式为．
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将代入解析式中，则有
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2），
．
．
．
．
的坐标为．
又点坐标为．
直线的解析式为．
（3）．
∴顶点*D*的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：
，即．
．令*，*则．
．
∴点P的坐标为．
②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：
，即
．令*，*则．
．
∴点P的坐标为．
∴综合得：点*P*的坐标为
（4）∵点*A*或点*B*关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为F点．
∵点*H*的坐标为，点的坐标为，
∴直线*BH*的解析式为：．
令*，*则．
当点F的坐标为时，的值最小．11分
设抛物线上存在一点，使得的值最小．
则由勾股定理可得：．
又∵点*K*在抛物线上，
代入上式中，
．
如图，过点*K*作直线*SK*，使轴，且点的纵坐标为．
∴点*S*的坐标为．
则．
（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
．
当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于*y*轴，的值最小．
又∵点*G*的坐标为，
，将其代入抛物线解析式中可得：．
∴当点*K*的坐标为时，最小．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
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**北师大版五年级（下）期中数学试卷（2）**
**一、用心思考，正确填写**
1． +表示[ ]{.underline}个加上[ ]{.underline}个，共有[ ]{.underline}个，就是[ ]{.underline}．
2．把4米长的绳子平均分成5段，每段长是全长的[ ]{.underline}，每段长[ ]{.underline}米．
3． =====[ ]{.underline}÷[ ]{.underline}．
4．把下面的小数化成分数，分数化成小数．
=[ ]{.underline}
1.25=[ ]{.underline}
1.2=[ ]{.underline}
=[ ]{.underline}．
5．的分数单位是[ ]{.underline}，这个分数再加上[ ]{.underline}个与它相同的分数单位后经过是最小的质数．
6．在直线上面的括号里填上适当的小数，在直线下面的括号里填上适当的分数．
7．一个长方体的长是10分米，8分米，高6分米，它的棱长总和是[ ]{.underline}分米，表面积是[ ]{.underline}平方分米．
8．长方体一共有[ ]{.underline}个面，[ ]{.underline}条棱，[ ]{.underline}个顶点，相对的面[ ]{.underline}，相对棱的长度[ ]{.underline}．
**二、仔细推敲，认真辨析**
9．两个数的最小公倍数一定比这两个数大．[ ]{.underline}．（判断对错）
10．长方体有六个面，它的每一个面都是长方体．[ ]{.underline}．（判断对错）
11． +0.3这个算式在计算时把分数化成小数最合理．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．真分数都小于1，假分数都大于1．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．的分子加上6，要使分数大小不变，分母也应该加上6．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、反复比较，慎重选择**
14．把棱长为6厘米的两个正方体拼成一个长方体，表面积减少（ ）平方厘米．
A．72 B．36 C．108 D．18
15．把一根绳子连续对折3次后，每份相当于全长的（ ）
A． B． C． D．
16．一个分数的分子扩大到原来的2倍，分母缩小到原来的，这个分数（ ）
A．大小不变 B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的倍
17．下面各题计算正确的是（ ）
A． +== B．﹣=
C．﹣==1 D． +==
18．下面的展开图能组成正方形的是（ ）
A． B． C． D．
**四、计算下面各题，能用简便要用简便计算（共1小题，满分0分）**
19．计算下面各题，能用简便要用简便计算
+++
+（﹣）
﹣+
++（+）
**五、解方程（共1小题，满分0分）**
20．解方程
x+=
x﹣=﹣
﹣x=
+x=．
**六、解决问题**
21．一根铁丝第一次用去米，第二次用去米，两次一共用去多少米？第二次比第一次多用去多少米？
22．学校买体育用品，买篮球的钱占总支出的，买排球的钱占总支出的，其余的买了跳绳．买哪种体育用品花钱最多？
23．一根钢管长15米，截去9米，截去的长度占全长的几分之几？剩下的占全长的几分之几？
24．五年级有108人，六年级有96人，把两个年级的学生平均分成人数相等的小队，每个小队最多是多少人？
25．三个棱长都是5厘米的正方体堆放在墙角处（如图所示），露在外面的面积是多少？
26．李老师想制作一个长25厘米，宽15厘米，高20厘米的长方体框架．一共需要多少厘米的铁丝？如果用这根铁丝围成一个正方体，正方体的棱长是多少厘米？
27．做一个底面边长为5厘米的正方形，高为3厘米的长方体框架至少要多长厘米的铁丝？要做这样的长方体盒子，至少需要多大面积的纸？
28．一间教室长9米，宽6米，高3米．要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，出去门窗和黑板面积25.4平方米，粉刷面积是多少平方米？
**北师大版五年级（下）期中数学试卷（2）**
**参考答案与试题解析**
**一、用心思考，正确填写**
1． +表示[ 2 ]{.underline}个加上[ 4 ]{.underline}个，共有[ 6 ]{.underline}个，就是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】分数的加法和减法．
【分析】同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变；据此解答．
【解答】解： +==
所以， +表示2个加上4个，共有6个，就是；
故答案为：2，4，6，．
2．把4米长的绳子平均分成5段，每段长是全长的[ ]{.underline}[ ]{.underline}，每段长[ ]{.underline}[ ]{.underline}米．
【考点】分数的意义、读写及分类；分数除法．
【分析】把4米长的绳子平均分成5段，根据分数的意义，即将这根4米长的绳子平均分成5份，则每段是全长的：1÷5=，每段的长为：4×=（米）．
【解答】解：每段是全长的：1÷5=，
每段的长为：4×=（米）．
故答案为：，．
3． =====[ 2 ]{.underline}÷[ 5 ]{.underline}．
【考点】分数的基本性质；比与分数、除法的关系．
【分析】分数的基本性质是：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变．
【解答】解： =========2÷5
故答案为：，，，，2，5．
4．把下面的小数化成分数，分数化成小数．
=[ 0.028 ]{.underline}
1.25=[ 1]{.underline}[ ]{.underline}
1.2=[ 1]{.underline}[ ]{.underline}
=[ 0.16 ]{.underline}．
【考点】小数与分数的互化．
【分析】（1）小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分
（2）分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数．依此即可求解．
【解答】解： =1.4÷50=0.028
1.25=1=1=1
1.2=1=1=1
=4÷25=0.16
故答案为：0.028；1；1；0.16．
5．的分数单位是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，这个分数再加上[ 13 ]{.underline}个与它相同的分数单位后经过是最小的质数．
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】（1）判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；
（2）最小的质数是2，用2减去原分数的结果，再看有几个分数单位即可．
【解答】解：（1）的分母是9，所以分数单位是；
（2）最小的质数是2，2﹣=，即再加上13个这样的单位就是最小的质数．
故答案为：，13．
6．在直线上面的括号里填上适当的小数，在直线下面的括号里填上适当的分数．
【考点】分数的意义、读写及分类；小数的读写、意义及分类；小数与分数的互化．
【分析】本题根据小数及分数的意义将题目中的小数与分数进行互化即可．
小数化成分数时，可将小数化成分母为10、100...的分数后，再将分数化简；
分数化成小数时，可将分数根据分数的基本性质将分数变为分母为10、100...的分数后，再将分数化成小数．
【解答】解：0.3=， ==0.4，1.25=，=1，1=1=1.6，2.2===2．
即：
故答案为：、0.8、1、1.6、2．
7．一个长方体的长是10分米，8分米，高6分米，它的棱长总和是[ 96 ]{.underline}分米，表面积是[ 376 ]{.underline}平方分米．
【考点】长方体的特征；长方体和正方体的表面积．
【分析】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和=（长+宽+高）×4，表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．
【解答】解：（8+10+6）×4
=24×4
=96（分米）
（8×10+8×6+10×6）×2
=（80+48+60）×2
=188×2
=376（平方分米）
答：棱长总和是96分米，表面积是376平方分米．
故答案为：96，376．
8．长方体一共有[ 6 ]{.underline}个面，[ 12 ]{.underline}条棱，[ 8 ]{.underline}个顶点，相对的面[ 面积相等 ]{.underline}，相对棱的长度[ 相等 ]{.underline}．
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面，12条棱，8个顶点，相对的面的面积相等．相对的棱的长度相等．据此解答．
【解答】解：长方体有6个面，12条棱，8个顶点，相对的面的面积相等．相对的棱的长度相等．
故答案为：6，12，8，面积相等，相等．
**二、仔细推敲，认真辨析**
9．两个数的最小公倍数一定比这两个数大．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】当两个数有倍数关系时，这两个数的最小公倍数是较大的那个数．
【解答】解：例如5和10的最小公倍数是10，
故答案为：错误．
10．长方体有六个面，它的每一个面都是长方体．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答．
【解答】解：根据长方体的特征，又因为正方形是特殊的长方形，所以正方体中每一个面都是长方形．
所以原题的说法错误．
故答案为：×．
11． +0.3这个算式在计算时把分数化成小数最合理．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数的加法和减法．
【分析】根据题意可知，如果化成小数除不尽，所以把0.3化成分数最合理．
【解答】解： +0.3
=+
=+
=
故答案为：×．
12．真分数都小于1，假分数都大于1．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数大小的比较．
【分析】分子小于分母的分数叫真分数，真分数小于1；分子大于或等于分母的分数为假分数，假分数大于或等于1；据此判断．
【解答】解：根据真分数及假分数的意义可知，真分数都小于1，假分数大于或等于1，
所以，原题的说法是错误的．
故答案为：×．
13．的分子加上6，要使分数大小不变，分母也应该加上6．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数的基本性质．
【分析】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，从而可以正确进行作答．
【解答】解：的分子加上6，变成3+6=9，扩大了9÷3=3倍，
要使分数的大小不变，分母5也应扩大3倍，变成5×3=15，
所以原分母应加上15﹣5=10，故原题说法错误；
故答案为：×．
**三、反复比较，慎重选择**
14．把棱长为6厘米的两个正方体拼成一个长方体，表面积减少（ ）平方厘米．
A．72 B．36 C．108 D．18
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】两个棱长为6厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的两个面的面积．根据正方形的面积公式：s=a^2^，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积再乘2即可．
【解答】解：6×6×2
=36×2
=72（平方厘米），
答：表面积减少72平方厘米．
故选：A．
15．把一根绳子连续对折3次后，每份相当于全长的（ ）
A． B． C． D．
【考点】分数的意义、读写及分类；简单图形的折叠问题．
【分析】把一根绳子连续对折3次后，相当于把这根绳子平均分成8份，每份相当与全长的，据此解答即可．
【解答】解：1
答：每份相当与全长的．
故选：D．
16．一个分数的分子扩大到原来的2倍，分母缩小到原来的，这个分数（ ）
A．大小不变 B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的倍
【考点】分数的基本性质．
【分析】解决此题，可以设出这个分数，然后根据分子扩大2倍、分母缩小2倍，得到的新分数与原分数比较即可．
【解答】解：设原来的分数为，
分子扩大2倍，分母缩小2倍后为：
==4×因此这个分数扩大了4倍．
故选：C．
17．下面各题计算正确的是（ ）
A． +== B．﹣=
C．﹣==1 D． +==
【考点】分数的加法和减法．
【分析】根据异分母分数加减法的计算法则：先通分，再按照同分母分数加减法计算；计算得出结论进一步比较得出答案即可．
【解答】解：
A、+=+=，原算式错误；
B、﹣==，此题正确；
C、﹣==，原算式错误；
D、+=+=，原算式错误．
故选：B．
18．下面的展开图能组成正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正方体的展开图．
【分析】根据正方体展开图的11种特征可知，图A属于正方体展开图的2﹣3﹣1型，图B、图C和图D都不属于正方体展开图的11种结构，据此解答．
【解答】解：图A属于正方体展开图的2﹣3﹣1型，能够折成一个正方体；
图B、图C和图D都不是正方体展开图，所以不能折成正方体．
故选：A．
**四、计算下面各题，能用简便要用简便计算（共1小题，满分0分）**
19．计算下面各题，能用简便要用简便计算
+++
+（﹣）
﹣+
++（+）
【考点】分数的简便计算．
【分析】①+++，运用加法交换律和结合律简算；
②+（﹣），根据减法的运算性质简算；
③﹣+，根据加、减法的运算性质简算；
④++（+），运用加法交换律和结合律简算；
【解答】解：①+++
=
=
=；
②+（﹣）
=
=
=
=；
③﹣+
=
=
=
=；
④++（+）
=
=
=2．
**五、解方程（共1小题，满分0分）**
20．解方程
x+=
x﹣=﹣
﹣x=
+x=．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同时减去即可．
（2）根据等式的性质，两边同时加上即可．
（3）首先根据等式的性质，两边同时加上x，然后两边再同时减去即可．
（4）根据等式的性质，两边同时减去即可．
【解答】解：（1）x+=
x+﹣=﹣
x=
（2）x﹣=﹣
x﹣=
x﹣=
x=
（3）﹣x=
﹣x+x=+x
+x=
+x﹣=
x=﹣
（4）+x=
+x=
x=
**六、解决问题**
21．一根铁丝第一次用去米，第二次用去米，两次一共用去多少米？第二次比第一次多用去多少米？
【考点】分数加减法应用题．
【分析】（1）第一次用去的加上第二次用去的即是两次共用多少米；
（2）第二次用去的减去第一次用去的即是第二次比第一次多用去多少米．
【解答】解：（1）+
=+
=（米）
（2）﹣
=﹣
=（米）
答：两次一共用去米，第二次比第一次多用去米．
22．学校买体育用品，买篮球的钱占总支出的，买排球的钱占总支出的，其余的买了跳绳．买哪种体育用品花钱最多？
【考点】分数大小的比较．
【分析】把总钱数数看作单位"1"，根据买跳绳占总钱数的几分之几=1﹣买篮球的钱占总钱数的分率﹣买排球的钱占总钱数的分率，再进行比较即可解答．
【解答】解：1﹣﹣
=﹣
=，
=， =，
，
所以＞，
答：买篮球体育用品花钱最多．
23．一根钢管长15米，截去9米，截去的长度占全长的几分之几？剩下的占全长的几分之几？
【考点】分数除法应用题．
【分析】要求"截去的长度占全长的几分之几"，用截去的长度除以全长即可；要求"剩下的占全长的几分之几"，用剩下的长度除以全长即可．
【解答】解：9÷15=
（15﹣9）÷15
=6÷15
=
答：截去的长度占全长的，剩下的占全长的．
24．五年级有108人，六年级有96人，把两个年级的学生平均分成人数相等的小队，每个小队最多是多少人？
【考点】公因数和公倍数应用题．
【分析】求每个小队最多有多少人，根据题意，也就是求108和96的最大公因数，按照求最大公因数的方法解答即可．
【解答】解：108=2×2×3×3×3
96=2×2×2×2×2×3
108和96的最大公因数是2×2×3=12
所以每个小队最多有12人．
答：每个小队最多有12人．
25．三个棱长都是5厘米的正方体堆放在墙角处（如图所示），露在外面的面积是多少？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】根据图形可知，前面外露3个面，上面外露2个面，右面外露2个面，根据正方形的面积公式：s=a^2^，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：5×5×（3+2+2）
=25×7
=175（平方厘米）
答：露在外面的面积是175平方厘米．
26．李老师想制作一个长25厘米，宽15厘米，高20厘米的长方体框架．一共需要多少厘米的铁丝？如果用这根铁丝围成一个正方体，正方体的棱长是多少厘米？
【考点】长方体的特征；正方体的特征．
【分析】首先根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，求出这个长方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和=棱长×12，用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长．
【解答】解：（25+15+20）×4
=60×4
=240（厘米）
240÷12=20（厘米）
答：一共需要240厘米的铁丝，正方体的棱长是20厘米．
27．做一个底面边长为5厘米的正方形，高为3厘米的长方体框架至少要多长厘米的铁丝？要做这样的长方体盒子，至少需要多大面积的纸？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【分析】求至少需要多长的铁丝就是求长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4解答即可；
求至少需要多少平方厘米的纸，就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．
【解答】解：（5+5+3）×4
=13×4
=52（厘米）
（5×5+5×3+5×3）×2
=（25+15+15）×2
=55×2
=110（平方厘米）
答：至少需要52厘米长的铁丝，至少需要110平方厘米的纸．
28．一间教室长9米，宽6米，高3米．要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，出去门窗和黑板面积25.4平方米，粉刷面积是多少平方米？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【分析】此题实质上是求教室的顶面和侧面这5个面的面积，再减去门窗和黑板的面积．教室的顶面面积=长×宽，4个侧面的面积=（长×高+宽×高）×2，因此教室内5个面的面积可以求出．然后用这5个面的面积减去门窗和黑板的面积，即为所求的要粉刷的面积．
【解答】解：9×6+（9×3+6×3）×2﹣25.4
=54+（27+18）×2﹣25.4
=54+45×2﹣25.4
=54+90﹣25.4
=118.6（平方米）
答：粉刷的面积是118.6平方米．
**2016年8月27日**
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**巧算24**
同学们可能都玩过"数学24"的游戏，它把枯燥的基本数字计算变得趣味盎然，能大大提高计算能力和速度，使得思维灵活敏捷，是一种寓教于乐的智力竞赛游戏。
** 游戏规则：**给定四个自然数，通过+，-，×，÷四则运算，可以交换数的位置，可以随意地添括号，但规定每个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算的算式，使最后得数是24。
"数学24"游戏通常是用扑克牌进行的，此时，给定的四个自然数就被限定在1～13范围内了。"数学24"游戏可以1个人玩，也可以多个人玩，比如四个人玩，把扑克牌中的大、小王拿掉，剩下的52张牌洗好后，每人分13张，然后每人出一张牌，每张牌的点数代表一个自然数，其中J，Q，K分别代表11，12和13，四张牌表示四个自然数。谁最先按游戏规则算出24，就把这四张牌赢走。然后继续进行。最后谁的牌最多谁获胜。
要想算得又快又准，这就要靠平时的基本功了。最重要的有两条：一是熟悉加法口诀和乘法口诀，二是利用括号。括号既能改变运算顺序，也可以改变运算符号。
请用下面例题中给出的四个数，按规则算出24。
** 例1** 3，3，5，6。
** 解一：**根据3×8=24，3已有，将另三个数凑成8，得3×（5+6-3）=24。
** 解二：**根据6×4=24，6已有，将另三个数凑成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。
** 解三：**还是根据3×8=24，把3和8各分成两数，得（6-3）×（3+5）=24。
** 解四：**先把其中两数相乘，积不足24的用另两数补足，得3×5+3+6=24。
** 解五：**先把其中两数相乘，积超过24的用另两数割去，得5×6-3-3=24。
** 例2** 2，2，4，8。
** 解一：**根据8×3=24，得8×\[（2+4）÷2\]=24或8×（4-2÷2）=24。
** 解二：**根据4×6=24，得4×（2+8÷2）=24。
** 解三：**根据2×12=24，得2×（2×8-4）=24。
** 解四：**根据8+16=24，8已有，将另三个数凑成16，得8+2×2×4=24或8+（2+2）×4=24。
** 解五：**根据8+16=24，把8和16各分成两数，得2×4+2×8=24。
** 解六：**根据4+20=24，4已有，将另三个数凑成20，得4+2×（2+8）=24。
具体玩法很多，在这里特别要注意的是：2×12，3×8，4×6是三个最基本的算式，在玩的过程中，你可以先固定某数为一个因数，看另三个数能否凑成相应的另一个因数。你也可以把每一个因数分别看成由两个数凑成。下面，我们借助"乘法分配律"来玩"数学24"游戏。
** 例3** 1，4，4，5。
** 分析：**很明显，我们看到4×（1+5）=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个4没有用过。根据规则，必须把这个4也用进去，怎么办？怎样把这个多余的4用到算式里面而又不影响得数呢？
** 解：**利用"乘法分配律"：4×（1+5）=4×1+4×5=24。
** 例4** 6，8，8，9。
** 解：**8×（9-6）=8×9-8×6=24。
** 例5** 5，7，12，12。
** 解：**12×（7-5）=12×7-12×5=24。
在例3～例5中，我们利用了：
a×（b+c）=a×b+a×c，
a×（b-c）=a×b-a×c。
** 例6** 2，2，6，9。
分析：很明显，我们看到2×9+6=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个2没有用过。根据规则，必须把这个2也用进去，怎样把这个多余的2用到算式里面而又不影响得数呢？
** 解：**利用"乘法分配律"：24=2×9+6=2×9+6÷2×2=2×（9+6÷2）。
** 例7** 2，6，9，9。
** 解：** 24=2×9+6=2×9+6÷9×9
=9×（2+6÷9）
** 例8** 2，4，10，10。
** 解：** 24=2×10+4=2×10+4÷10×10
=10×（2+4÷10）。
在例6～例8中，我们利用了
a×b+c＝a×（b+c÷a），
a×b-c＝a×（b-c÷a）。
我们知道，符合"数学24"游戏规则的每个具体算式中，一定要出现四个数和三个运算符号。也就是说，一定要进行三次运算，出现三个运算结果。其中前两次结果是运算过程中的中间结果，第三次即最后一次的运算结果必须是24。
当我们还是小学低年级的学生时，由于知识水平所限，解题总是围绕运算结果是整数展开讨论。当我们升入小学高年级，接触到分数以后，我们的眼界变得开阔了，就可以打破整数这个框框，允许前两次的运算结果出现分数，这样，我们将会找到更多的、更好的思考办法。
** 例9** 1，5，5，5。
有效的思考办法。
 
由上面的算式可以看出，我们以前接触的仅仅是其中的2×12，3×8，4×6三个整数乘法基本算式。现在我们学了分数以后，乘法基本算式就增加了许多：
在这些分数乘法基本算式中，固定的一个因数只能是5，7，9，10，
至此，应用乘法玩"数学24"游戏的过程才是完整的。
下面，我们再来看看用分数除法来玩"数学24"游戏。
** 例10** 3，3，8，8。
 8÷（3-8÷3）=24。
** 例11** 1，4，5，6。
在解题过程中，我们先想到基本算式 
成。这是基本的思考办法。
一般地，应用分数除法玩"数学24"游戏的思考过程为：
固定的一个自然数只能是被除数，除数恰好由另外三个自然数凑成。
另外，我们还是要强调一下分数除法与分数乘法的相同处与不同处。学了分数以后，除法运算可以转化成乘法运算。因此，在玩"数学24"游戏的过程中，很多除法算式可以转化到乘法算式中去。但是它们之间还是有区别
握用分数除法这种工具来玩"数学24"游戏是必不可少的。
**练习 16**
用给出的四个数，按规则算出24。
1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7；
（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；
（5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。
2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；
（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12；
（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；
（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。
3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；
（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；
（5）3，4，6，13； （6）1，8，12，12；
（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。
**练习16**
以下题目可能有多种解法，仅给出一种解。
1.（1）3×7+3×l=24；（2）2×5+2×7=24；
（3）1+7+4×4=24；（4）1×2×8+8=24；
（5）5×6-1×6=24；（6）8×8-5×8=24。
2.（1）7×（2+10÷7）=24；（2）5×（3+9÷5）=24；
（3）5×（7-11÷5）=24；（4）6×（2+12÷6）=24；
（5）5×（4+4÷5）=24；（6）5×（5-2÷10）=24；
（7）9×（4-12÷9）=24；（8）9×（7-13÷3）=24。
3.（1）6÷（1-3÷4）=24；（2）9÷（2-13÷8）=24；
（3）6÷（1-6÷8）=24；（4）12÷（3-5÷2）=24；
（5）6÷（13÷4-3）=24；（6）12÷（12÷8-1）=24；
（7）8÷（13÷3-4）=24；（8）12÷（7-13÷2）=24。
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**2020-2021学年山东省济南市五年级（上）期末数学试卷（3）**
**一、选择题（每小题2分，共16分）**
1．（2分）下面的算式中，积等于100的算式是（ ）
A．2.5×400 B．125×0.8 C．24×5
2．（2分）与点（6，5）挨着的点是（ ）
A．（5，5） B．（6，3） C．（8，5）
3．（2分）5.6÷0.08＝（ ）
A．70 B．0.75 C．1 D．7.5
4．（2分）2020年东京奥运会一共有12支女排队伍参加，用"可能"、"不可能"、和"一定"填空，填"不可能"的是（ ）
A．东道主日本队（ ）参加
B．所有12支队伍都（ ）获胜
C．没有获得资格赛入场券的国家（ ）获胜
D．女排决赛那天（ ）是晴天
5．（2分）甲数是*a*，比乙数的4倍少*b*，乙数是（ ）
A．*a*÷4﹣*b* B．（*a*﹣*b*）÷4 C．（*a*+*b*）÷4
6．（2分）把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中（ ）总是相等．
A．高 B．上下两底的和
C．周长 D．面积
7．（2分）如图平行线中三个图形面积相比较，（ ）
A．平行四边形面积大 B．三角形面积大
C．梯形面积大 D．都相等
8．（2分）小区花园是一个长60米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米．一共要栽（ ）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
**二、填空题（每小题2分，共16分）**
9．（2分）2.57×3.6的积有[ ]{.underline}位小数，保留两位小数是[ ]{.underline}．
10．（2分）如图，如果"一"所在的位置用数对表示为（3，2），则"句"所在的位置用数对表示为[ ]{.underline}，数对（5，4）表示的汉字是[ ]{.underline}．
11．（2分）把2÷3的商用循环小数表示是[ ]{.underline}，它的循环节是[ ]{.underline}．
12．（2分）
> 从上面这7张扑克牌中任意摸出1张，摸到花色是[ ]{.underline}的可能性最大，摸到点数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}的可能性相等．
13．（2分）一本书有120页，小春每天看25页，看了*x*天，还剩[ ]{.underline}页没有看；当*x*＝4时，还剩[ ]{.underline}页没有看．
14．（2分）三角形的面积等于与它[ ]{.underline}的平行四边形面积的[ ]{.underline}．
15．（2分）一个等腰梯形的面积为26*m*^2^，上底为5*m*，下底为8*m*，它的高为[ ]{.underline}*m*．
16．（2分）把一根木料锯成3段要3.6分钟，且每锯一次所用时间相同，锯成8段要[ ]{.underline}分钟．
**三、判断题（每小题2分，共8分）**
17．（2分）两个数的积一定比它们的和大．[ ]{.underline}（判断对错）
18．（2分）棋盘上的一粒棋子位于点（4，2），若向右走3格，则棋子位于点（7，2）．[ ]{.underline}（判断对错）
19．（2分）循环小数一定是无限小数．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．（2分）把一枚硬币连续抛8次，正反面朝上的次数一定相同．[ ]{.underline}．（判断对错）
**四、脱式计算（共6分）**
21．（6分）脱式计算，能简便计算的要简算。
--------------- ------------- --------------
64×4.5+36×4.5 125×2.5×0.8 1.5×101﹣1.5
--------------- ------------- --------------
**五、竖式计算（共6分）**
22．（6分）用竖式计算。
------------------ ------------------ ----------------------------------
（1）0.85×3.06＝ （2）51.3÷0.27＝ （3）3.82÷7.5≈（商精确到百分位）
------------------ ------------------ ----------------------------------
**六、解方程共6分）**
23．（6分）解下列方程。
--------------------- ------------------
42*x*﹣14.1×4＝69.6 6*x*﹣21*x*＝156
--------------------- ------------------
**七、解答题（共1小题，满分6分）**
24．（6分）计算下面图形的面积。
**八、解答题（每小题6分，共36分**
25．（6分）果品店苹果每千克9.6元，爸爸买了4千克苹果，买火龙果的钱数是买苹果钱数的1.5倍，买火龙果多少钱？
26．（6分）如图是某社区的平面图。
> （1）如果用（10，1）表示大门的位置，请你表示出游泳馆（[ ]{.underline}）、花园（[ ]{.underline}）、儿童乐园商场（[ ]{.underline}）。
>
> （2）根据下面场所的位置，在图中用☆标出来并写上名称。
>
> 健身房（6，3）图书馆（1，5）
27．（6分）一辆公交车，0.25小时行驶5千米。照这样计算，行驶12千米需要多少小时？
28．（6分）下表是曲妍从盒子里摸30次球的结果．
记录 次数
------ ------ ------
白球 2
红球 16
黑球 12
> 每次从盒子里摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中并摇匀．猜想一下，盒子里哪种颜色的球可能最多？哪种颜色的球可能最少？下次摸球最有可能摸到什么颜色的球？
29．（6分）元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？
30．（6分）有一块平行四边形菜地，分成三块种菜，第①块种西红柿，第②块种辣椒，第③块种茄子。每块菜地占地面积分别是多少平方米？
**2020-2021学年山东省济南市五年级（上）期末数学试卷（3）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题2分，共16分）**
1．【分析】本题可将各选项中的算式进行计算得出答案．
> 【解答】解：选项*A*：2.5×400＝1000；
>
> 选项*B*：125×0.8＝100；
>
> 选项*C*：24×5＝120．
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解答此类题目需要将每个选项中的数据验证一下，从而得出正确选项．
2．【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，点（6，5）在第6列，第5行，与点（6，5）挨着的点要么与列，要么行与点（6，5）挨着（相差1）．
> 【解答】解：如图
>
> 与点（6，5）挨着的点是（5，5）．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中会有所不同，但在无特殊说明的情况下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行．
3．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：5.6÷0.08＝70
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】考查了小数除法的笔算，根据其计算方法进行计算。
4．【分析】"一定"表示确定事件，"可能"表示不确定事件，"不可能"属于确定事件中的必然事件，结合实际生活，按要求进行判断即可．
> 【解答】解：*A*．东道主日本队可能参加；
>
> *B*．所有12支队伍都可能火山；
>
> *C*．没有获得资格赛入场券的国家不可能获胜；
>
> *D*．女排决赛那天可能是晴天．
>
> 答：填"不可能"的是*C*选项．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题考查的是事件的确定性和不确定性，应明确事件的确定性和不确定性，并能结合实际进行正确判断．
5．【分析】要求乙数，根据题意，先求出乙数的4倍是多少，进而除以4得解．
> 【解答】解：（*a*+*b*）÷4．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】重点理解：甲数比乙数的4倍少*b*，也就是乙数的4倍比甲数多*b*．
6．【分析】根据梯形高的定义知，梯形是只有一组对边平形的四边形，梯形的高是指上底和下底之间的距离，把长方形任意分割成两个梯形时，两平行线之间距离是相等的，据此可判断．
> 【解答】解：根据以上分析，把一个长方形任意分割成两个梯形，其中的高一定相等．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题是考查平行四边形的特征，平行四边形是两组对边平行，它们之间的距离总是相等；由此求解．
7．【分析】在图中，三个图形的高相等，梯形的上底、下底、平行四边形的底、三角形的底都已知，再依据三者的面积公式即可判断它们的面积大小。
> 【解答】解：假设高是*h*，则：
>
> 平行四边形的面积＝4*h*，
>
> 三角形的面积8×*h*＝4*h*，
>
> 梯形面积＝（2+6）×*h*÷2＝4*h*，
>
> 因为面积都是4*h*，所以三个图形的面积相等；
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题主要考查等高的平行四边形、三角形和梯形的面积大小比较，将数据代入各自的面积公式即可求解。
8．【分析】根据长方形的周长公式：*C*＝（*a*+*b*）×2，求出它的周长，再除以它的间隔距离5米即可，据此解答。
> 【解答】解：花园的周长是：
>
> （60+40）×2
>
> ＝100×2
>
> ＝200（米）
>
> 四周可以栽树：
>
> 200÷5＝40（棵）
>
> 答：一共要栽40棵。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。
**二、填空题（每小题2分，共16分）**
9．【分析】先根据小数的乘法求出2.57×3.6的积是多少；保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位，利用"四舍五入"法解答即可．
> 【解答】解：2.57×3.6＝9.252，积有三位小数，保留两位小数是9.25．
>
> 故答案为：三，9.25．
>
> 【点评】此题是考查小数乘法的计算方法以及用"四舍五入"法求小数的近似值的方法．
10．【分析】根据利用数对表示物体位置的方法，列数在前，行数在后，如图，如果"一"所在的位置用数对表示为（3，2），则"句"所在的位置用数对表示为（4，5），数对（5，4）表示的汉字是（江），据此解答．
> 【解答】解：如果"一"所在的位置用数对表示为（3，2），那么列数在前，行数在后，
>
> 然后数出"句"在第4列，从下向上数在第5行，由此可得："句"所在的位置用数对表示为（4，5），
>
> 数对（5，4）表示的是第5列，第4行；是汉字"江"，
>
> 故答案为：（4，5）、江．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用，明确：用数对表示物体位置时，列数在前，行数在后．
11．【分析】首先计算出2÷3的商，发现循环的数字，找出循环节，表示出来即可。
> 【解答】解：2÷3＝0.66...＝0.
>
> 循环节是6
>
> 故答案为：0.，6。
>
> 【点评】本题考查的是商用循环小数表示的方法，以及循环节的概念。
12．【分析】由题意可知，共有7张牌3个花色，分别是桃2张、方块3张、梅花2张，要求摸到什么花色的可能性最大，找出张数最多的花色即可；
> 共有7张牌，3张*A*，2张2，2张3，点数2与3的张数一样多，所以摸到点数是2和3的可能性相等．
>
> 【解答】解：因为7张牌3个花色，分别是桃2张、方块3张、梅花2张，
>
> 方块最多，
>
> 所以摸到花色是方块的可能性最大；
>
> 因为7张牌，3张*A*，2张2，2张3，点数2与3的张数一样多，
>
> 所以摸到点数是2和3的可能性相等．
>
> 故答案为：方块；2，3．
>
> 【点评】解决此题关键是不需要准确地计算可能性的大小，可以根据各种花色牌和点数的张数的多少，直接判断可能性的大小．
13．【分析】根据题意，小春每天看25页，看了*x*天，根据乘法的意义，共看了25*x*页，用总页数减去已看的页数，就是剩下的页数，即120﹣25*x*；再求出当*x*＝4时，还剩的具体的页数，据此解答．
> 【解答】解：根据题意与分析可得：
>
> 120﹣25×*x*＝120﹣25*x*（页）
>
> 把*x*＝4代入120﹣25*x*可得：
>
> 120﹣25×4
>
> ＝120﹣100
>
> ＝20（页）
>
> 答：看了*x*天，还剩（120﹣25*x*）页没有看；当*x*＝4时，还剩20页没有看．
>
> 故答案为：（120﹣25*x*），20．
>
> 【点评】解决此题关键是先用字母表示已看了的页数，进一步表示出剩下的页数，进而求出还没看的具体的页数．
14．【分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，则三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半，据此解答即可．
> 【解答】解：因为两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，
>
> 三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，
>
> 所以三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
>
> 故答案为：等底等高，一半．
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：三角形、平行四边形面积的计算公式．
15．【分析】根据梯形的面积公式可得：梯形的高＝面积×2÷上下底之和，据此代入数据计算即可解答问题．
> 【解答】解：26×2÷（5+8）
>
> ＝52÷13
>
> ＝4（米）
>
> 答：梯形的高是4米．
>
> 故答案为：4．
>
> 【点评】此题主要考查了梯形的面积公式的计算应用，熟记公式即可解答问题．
16．【分析】一根木料锯成3段，锯了：3﹣1＝2次，共用了3.6分钟，那么锯一次用：3.6÷2＝1.8（分）；锯成8段，锯了：8﹣1＝7次，要用：1.8×7＝12.6（分钟）；据此解答．
> 【解答】解：根据分析可得，
>
> 3.6÷（3﹣1）×（8﹣1），
>
> ＝1.8×7，
>
> ＝12.6（分钟）；
>
> 答：把它锯成8段要用12.6分钟．
>
> 故答案为：12.6．
>
> 【点评】本题考查了植树问题，知识点是：锯木次数＝段数﹣1．
**三、判断题（每小题2分，共8分）**
17．【分析】根据题意，假设这两个数是1和2，分别求出这两个数的积与和，然后再进一步解答．
> 【解答】解：假设这两个数是1和2；
>
> 1×2＝2；
>
> 1+2＝3；
>
> 2＜3；
>
> 所以，两个数的积不一定比它们的和大．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】根据题意，用赋值法比较容易解决此类问题．
18．【分析】数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行，若向右走3格，行数不变，列数加3，据此确定位置即可．
> 【解答】解：棋盘上的一粒棋子位于点（4，2），若向右走3格，行数不变，列数加3，即4+3＝7，所以此时棋子位于点（7，2），所以原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】关键是根据已知条件弄清数对中每个数字所表示的意义．
19．【分析】根据无限小数的意义，小数部分的位数是无限的小数叫无限小数，且循环小数的位数也是无限的，所以循环小数都是无限小数．
> 【解答】解：因为循环小数的位数无限的，符合无限小数的意义，所以循环小数都是无限小数．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题主要考查循环小数和无限小数的意义．
20．【分析】硬币只有正、反两面，抛出硬币，正面朝上的可能性为，一个硬币抛8次，正面朝上的可能性为，属于不确定事件中的可能性事件，而不是一定为，由此判断即可．
> 【解答】解：根据题干分析可得：一个硬币抛8次，正面朝上的可能性为，所以正面朝上的可能性是4次；
>
> 这属于不确定事件中的可能性事件，而不是一定为，即不一定一定是4次，原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查确定事件与不确定事件的意义，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
**四、脱式计算（共6分）**
21．【分析】（1）运用乘法的分配律进行简算；
> （2）运用乘法的交换律进行简算；
>
> （3）运用乘法的分配律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）64×4.5+36×4.5
>
> ＝4.5×（64+36）
>
> ＝450
>
> （2）125×2.5×0.8
>
> ＝1.25×0.8×2.5
>
> ＝1×2.5
>
> ＝2.5
>
> （3）1.5×101﹣1.5
>
> ＝1.5×（101﹣1）
>
> ＝1.5×100
>
> ＝150
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算；注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**五、竖式计算（共6分）**
22．【分析】根据小数乘除法的运算法则进行计算即可，商精确到百分位要除到千分位，再根据四舍五入法进行保留。
> 【解答】解：（1）0.85×3.06＝2.601
>
> （2）51.3÷0.27＝190
>
> （3）3.82÷7.5≈0.51
>
> 【点评】本题主要考查了小数乘除法的笔算，熟练掌握小数乘除法的计算法则是解答本题的关键。
**六、解方程共6分）**
23．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上56.4，再两边同时除以42求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以（﹣15）求解。
>
> 【解答】解：（1）42*x*﹣56.4＝69.6
>
> 42*x*﹣56.4+56.4＝69.6+56.4
>
> 42*x*＝126
>
> 42*x*÷42＝126÷42
>
> *x*＝3
>
> （2）6*x*﹣21*x*＝156
>
> （﹣15）*x*＝156
>
> ﹣15*x*÷（﹣15）＝156÷（﹣15）
>
> *x*＝﹣10.4
>
> 【点评】在解方程时应根据等式的性质，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以某一个数（0除外），等式的两边仍相等，同时注意"＝"上下要对齐。
**七、解答题（共1小题，满分6分）**
24．【分析】（1）梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，将数据代入公式即可求解。
> （2）用长方形的面积减去三角形的面积，将数据代入面积公式求解。
>
> 【解答】解：（1）（2.6+3.4）×5.2÷2
>
> ＝6×5.2÷2
>
> ＝15.6（平方米）
>
> （2）30×40﹣30×10÷2
>
> ＝1200﹣150
>
> ＝1050（平方厘米）
>
> 故答案为：（1）15.6平方米；（2）1050平方厘米。
>
> 【点评】熟练掌握梯形、长方形、三角形的面积计算公式是解题的关键。
**八、解答题（每小题6分，共36分**
25．【分析】苹果每千克9.6元，爸爸买了4千克苹果，根据总价＝单价×数量求出买苹果花的总钱数，然后再根据买火龙果的钱数是买苹果钱数的1.5倍，用买苹果花的钱数乘1.5求解即可。
> 【解答】解：9.6×4×1.5
>
> ＝38.4×1.5
>
> ＝57.6（元）
>
> 答：买火龙果57.6元钱。
>
> 【点评】本题主要考查了求一个数的几倍是多少，用乘法计算，关键是先求出买苹果的总价。
26．【分析】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行；
> （2）健身房用数对（6，3）表示，即健身房在第6列第3行；图书馆用数对（1，5）表示，即图书馆在第1列第5行。
>
> 【解答】（1）游泳馆在第3列第6行，用数对（3，6 ）表示；花园在第6列第4行，用数对（6，4）表示；儿童乐园商场在第10列第5行，用数对（10，5）表示；
>
> （2）如图：
>
> 故答案为：
>
> （1）（3，6 ），（6，4），（10，5）；
>
> （2）如图：
>
> 。
>
> 【点评】此题考查了数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数。
27．【分析】首先根据速度＝路程÷时间，求出这辆公交车平均每小时行驶多少千米，再根据时间＝路程÷速度，求出行驶12千米需要多少小时。
> 【解答】解：12÷（5÷0.25）
>
> ＝12÷20
>
> ＝0.6（小时）
>
> 答：行驶12千米需要0.6小时。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用。
28．【分析】共摸了30次，其中摸到红球的次数最多，是16次，即可能性最大；摸到白球的次数最少，是2次，即可能性最小；所以推出，盒子里红颜色的球可能最多，白颜色的球可能最少，所以下次摸球最有可能摸到红球；据此解答．
> 【解答】解：共摸了30次，其中摸到红球16次，白球2次，
>
> 因为16＞2，所以摸到红球的可能性最大，白球的可能性最小，即盒子里红颜色的球可能最多，白颜色的球可能最少；
>
> 下次摸球最有可能摸到红球；
>
> 答：盒子里红颜色的球可能最多，白颜色的球可能最少，下次最有可能摸到红球．
>
> 【点评】解答此题应根据可能性的大小进行分析，进而得出结论．
29．【分析】从头到尾一共挂了21只，也就是两端都挂，那么同隔数就是21﹣1＝20（个），所以绿灯有20÷2＝10（只），又因为相邻的2只红灯之间挂了1只绿灯，则红灯的间隔数也是10个，用间隔数乘上间隔的长度即可求出大门的宽。
> 【解答】解：（21﹣1）÷2
>
> ＝20÷2
>
> ＝10（只）
>
> 又因为相邻的2只红灯之间挂了1只绿灯，则红灯的间隔数也是10个，
>
> 30×10＝300（分米）
>
> 答：实验中学学校的大门有300分米宽。
>
> 【点评】本题考查了两端都栽的植树问题，根据植树的棵数＝间隔数+1，求出间隔数，进而求出大门的宽。
30．【分析】①根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，把数据代入公式解答。
> ②根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式解答。
>
> ③根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数据代入公式解答。
>
> 【解答】解：①24×25÷2
>
> ＝600÷2
>
> ＝300（平方米）
>
> ②16×25＝400（平方米）
>
> ③（34+10）×25÷2
>
> ＝44×25÷2
>
> ＝1100÷2
>
> ＝550（平方米）
>
> 答：西红柿菜地面积为300平方米；辣椒菜地面积为400平方米；茄子菜地面积为550平方米。
>
> 【点评】此题主要考查三角形、平行四边形、梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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日期：2021/4/27 10:59:54；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第一节：小兔请客**
一、算一算
50＋40= 40＋50= 40－20＋10= 20－20＋10=
40－20= 70－60=  90－20＋30= 80＋10－70=
20－10= 30－30= 60－20－30= 30－10－20=
二、连一连
\[来源:Z&xx&k.Com\]
\[来源:学科网\]
三、分一分
1、80里面有（ ）个（ ）。 5、3个十是（ ）。
2、60里面有（ ）个（ ）。 6、5个十是（ ）。\[来源:学科网ZXXK\]
3、40里面有（ ）个（ ）。 7、7个十是（ ）。
4、20里面有（ ）个（ ）。 8、9个十是（ ）。
四、解决问题
1、一支钢笔10元钱，小华、笑笑、小美每人一支，需要多少元？
2、小明有70元钱，买玩具花了50元，还剩多少元？
3、淘气的妈妈有100元，买了一件50元的衣服和一条40元的裙子，还剩多少元钱？
4、小刚有20元，小虎有30元，小雨有10元，小红有40元，他们一共有多少元钱？
**答案**
一、算一算
50＋40=90 40＋50=90 40－20＋10=30 20－20＋10=10\[来源:学科网ZXXK\]
40－20=20 70－60=10 90－20＋30= 100 80＋10－70=20
20－10=10 30－30=0 60－20－30=10 30－10－20=0
二、连一连
三、
1、8 个 10 5、 30
2、6 个 10 6、 50
3、4 个 10 7、 70
4、2 个 10 8、 90
四、解决问题
1、10+10+10=30元 答：小华、笑笑、小美每人一支，需要30元。
2、70-50=20元 答：还剩20元。
3、100-50-40=10元 答：还剩10元钱。\[来源:学科网ZXXK\]
4、20+30+10+40=100元 答：他们一共有100元钱。
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**《长方形与正方形》同步练习**
> **1、快乐出发**
>
> 
>
> 这些都是我们在日常生活中经常看到的图形。它们分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_、
>
> \_\_\_\_\_\_形。这些图形都是\_\_\_\_\_\_形。
>
> \_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_这样的图形有\_\_\_\_\_\_条边，\_\_\_\_\_\_边相等，四个角都是\_\_\_\_\_\_角。
>
> \_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_这样的图形，四条边\_\_\_\_\_\_，四个角都是\_\_\_\_\_\_角。\[来源:学科网ZXXK\]
>
> \_\_\_\_\_\_这样的图形有\_\_\_\_\_\_条边，\_\_\_\_\_\_边相等且平行，有\_\_\_\_\_\_角，对角\_\_\_\_\_\_。\[来源:Zxxk.Com\]
>
> 你能用纸折一折、剪一剪，做出这些图形吗？
>
> **2、轻松演练\[来源:Zxxk.Com\]**
>
> 把下面的图形放到相应的横线上
>
> 
>
> 长方形\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 正方形\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> **3、活动乐园**
>
> 数一数
>
> 
>
> \_\_\_\_\_\_个正方形 \_\_\_\_\_\_个长方形 \_\_\_\_\_\_个平行四边形
4.判断题。
（1）长方形、正方形都是四条边围成的图形。（ ）
（2）四条边都相等的四边形一定是正方形。 （ ）
（3）长方形的对边相等，4个角都是直角。 （ ）
> 5.在方格图上涂一个长方形和正方形。
>
> 
>
> 6.长方形有 条边， 相等；有 个角，都是 角；正方形有 条边， 相等；有 个角，都是 角。
>
> 7.长方形长边的长叫做 ，短边的长叫做 。正方形每条边的长叫做
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> \[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
>
> 参考答案：
>
> 1、快乐出发：长方形 正方形 平行四边形 四边形 ①④ 4 直；②③ 相等直⑤ 4 对 4个 角 相等
>
> 2、轻松演练：找找家 长方形：E G正方形：A B H 平行四边形：C F其它略
>
> 3、活动乐园：数一数 5个 9个 5个
4、判断题。
（1） （√ ）
（2） （× ）
（3） （√ ）
5、略
> 6、长方形有 4 条边， 对边 相等；有 4 个角，都是 直 角；正方形有 4 条边， 四条边都 相等；有 4 个角，都是 直 角。
>
> 7、长方形长边的长叫做 长 ，短边的长叫做 宽 。正方形每条边的长叫做
>
> 边长 。
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第5课《找规律一》试题附答案**
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案**
二年级奥数上册：第六讲 找规律（一）习题
二年级奥数上册：第六讲 找规律（一）习题解答
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**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．  C． D．
2.已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）
A．45 B．50  C.55 D．60
5.已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．35 C. D．
7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）
（参考数据：,,）
A．12 B．24 C. 36 D．4
8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C. D．\[来源:Zxxk.Com\]
9.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）\[来源:Z&xx&k.Com\]
A． B． C. D．
10\. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ）
A．  B． C. D．3
11.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于\_\_\_\_\_\_\_\_.\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
14.已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.
（1）求数列,的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为"环保卫士-12369"的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？\[来源:Zxxk.Com\]
下面临界值表供参考：
参考公式：，其中.
19\. （本小题满分12分）
已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.
（1）若分别为，的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求的值.
**请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数，，函数的最大值为3.
（1）求的值；
（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.
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**河北衡水中学2018年高考押题试卷**
**理数试卷（二）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件"以为离心率的椭圆与圆：没有交点"的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
7.函数在区间的图象大致为（ ）
  
A． B． C． D．
8.二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9.执行如图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知数列，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行
D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
12.已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.向量，，若向量，共线，且，则的值为 [ ]{.underline} ．
14.设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 [ ]{.underline} ．
15.设，满足约束条件，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17.已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求的前项和.
18.如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；
（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为"考前心理稳定整体过关"，请问该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.
20.已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程.
（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
21.设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.
**请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；
（2）当时，两曲线相交于，两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；
（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.
**参考答案及解析**
**理科数学（Ⅱ）**
**一、选择题**
1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12：CD
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）当时，由及，
得，即，解得.
又由，①
可知，②
②-①得，即.
且时，适合上式，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）由（1）及，
可知，
所以，
故.
18.解：（1）因为底面为菱形，所以，
又平面底面，平面平面，
因此平面，从而.
又，所以平面，
由，，，
可知，，
，，
从而，故.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），
则，，，，，
所以，
，.
由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.
设平面的法向量为，
则，即，即，令，得，
所以.
从而.
故所求的二面角的余弦值为.
19.解：（1）从条形图中可知这人中，有名学生成绩等级为，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.
（2）这名学生成绩的平均分为，
因为，所以该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取个学生样本，其中级个，级个，从而任意选取个，这个为级的个数的可能值为，，，.
则，，
，.
因此可得的分布列为：
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
则.
20.解：（1）由题意可知，所以，即，①
又点在椭圆上，所以有，②
由①②联立，解得，，
故所求的椭圆方程为.
（2）设，，由，
可知.
联立方程组，
消去化简整理得，
由，得，所以，，③
又由题知，
即，
整理为.
将③代入上式，得.
化简整理得，从而得到.
21.解：（1）由，可知.
因为函数的定义域为，所以，
①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
②若时，当在内恒成立，函数单调递增；
③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
（2）证明：由题可知，
所以.
所以当时，；当时，；当时，.
欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.
设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，
则，
两式相减并整理得，
从而，
故只需证明，
即.
因为，
所以式可化为，
即.
因为，所以，
不妨令，所以得到，.
设，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.
又，
因此，，
故，得证，
从而得证.
22.解：（1）曲线：，消去参数可得普通方程为.
曲线：，两边同乘.可得普通方程为.
把代入曲线的普通方程得：，
而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.
（2）当时，曲线：，
两曲线交点，所在直线方程为.
曲线的圆心到直线的距离为，
所以.
23.解：（1）因为，
所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.
（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而
.
当且仅当时，等号成立，
即，时，有最小值，
所以得证.
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**2019年浙江省台州市中考数学试卷**
**一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选、错选，均不给分）**
1．（4分）（2019•台州）计算，结果正确的是
A． B．1 C． D．
2．（4分）（2019•台州）如图是某几何体的三视图，则该几何体是
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球
3．（4分）（2019•台州）2019年台州市计划安排重点建设项目344个，总投资595200000000元．用科学记数法可将595200000000表示为
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
5．（4分）（2019•台州）方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，其中"5"是这组数据的
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．（4分）（2019•台州）一道来自课本的习题：
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•台州）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为
A． B．3 C．4 D．
8．（4分）（2019•台州）如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•台州）已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象与函数的图象交于点，；②点，在图象上；③图象上的点的纵坐标都小于4；④，，，是图象上任意两点，若，则．其中真命题是
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．（4分）（2019•台州）如图是用8块型瓷砖（白色四边形）和8块型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中型瓷砖的总面积与型瓷砖的总面积之比为
A． B． C． D．
**二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）**
11．（5分）（2019•台州）分解因式：[ ]{.underline}．
12．（5分）（2019•台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于[ ]{.underline}．
13．（5分）（2019•台州）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是[ ]{.underline}．
14．（5分）（2019•台州）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为[ ]{.underline}．
15．（5分）（2019•台州）砸"金蛋"游戏：把210个"金蛋"连续编号为1，2，3，，210，接着把编号是3的整数倍的"金蛋"全部砸碎；然后将剩下的"金蛋"重新连续编号为1，2，3，，接着把编号是3的整数倍的"金蛋"全部砸碎按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的"金蛋"为止．操作过程中砸碎编号是"66"的"金蛋"共[ ]{.underline}个．
16．（5分）（2019•台州）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）**
17．（8分）（2019•台州）计算：．
18．（8分）（2019•台州）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）（2019•台州）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，．
20．（8分）（2019•台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：与下行时间（单位：之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：与下行时间（单位：的函数关系如图2所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
21．（10分）（2019•台州）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车"都不戴"安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
22．（12分）（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形的各条边都相等．
①如图1，若，求证：五边形是正五边形；
②如图2，若，请判断五边形是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写"真"或"假"
如图3，已知凸六边形的各条边都相等．
①若，则六边形是正六边形；[ ]{.underline}
②若，则六边形是正六边形．[ ]{.underline}
23．（12分）（2019•台州）已知函数，为常数）的图象经过点．
（1）求，满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
24．（14分）（2019•台州）如图，正方形的边长为2，为的中点，是延长线上的一点，连接交于点，．
（1）求的值；
（2）如图1，连接，在线段上取一点，使，连接，求证：；
（3）如图2，过点作于点，在线段上取一点，使，连接，．将绕点旋转，使点旋转后的对应点落在边上．请判断点旋转后的对应点是否落在线段上，并说明理由．
**2019年浙江省台州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选、错选，均不给分）**
1．（4分）计算，结果正确的是
A． B．1 C． D．
【考点】35：合并同类项
【分析】根据合并同类项法则合并即可．
【解答】解：，
故选：．
2．（4分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球
【考点】：由三视图判断几何体
【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱，
故选：．
3．（4分）2019年台州市计划安排重点建设项目344个，总投资595200000000元．用科学记数法可将595200000000表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数字595200000000科学记数法可表示为元．
故选：．
4．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【考点】：三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系即可求
【解答】解：
选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形
选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选：．
5．（4分）方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，其中"5"是这组数据的
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
【考点】：众数；：方差；：算术平均数；：中位数
【分析】根据方差的定义可得答案．
【解答】解：方差中"5"是这组数据的平均数，
故选：．
6．（4分）一道来自课本的习题：
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是
A． B． C． D．
【考点】：二元一次方程组的应用
【分析】直接利用已知方程得出上坡的路程为，平路为，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．
故选：．
7．（4分）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为
A． B．3 C．4 D．
【考点】：等边三角形的性质；：切线的性质
【分析】设与的切点为，连接，，根据等边三角形的性质得到，，由切线的性质得到，求得，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设与的切点为，
连接，，
等边三角形的边长为8，
，，
圆分别与边，相切，
，
，
，
，
，
的半径为，
故选：．
8．（4分）如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于
A． B． C． D．
【考点】：矩形的性质；：平行四边形的判定；：解直角三角形
【分析】由""可证，可证，即可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，可求，即可求的值．
【解答】解：如图，
，且，
，且四边形是平行四边形
四边形是菱形
当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，
设，则，
，
，
故选：．
9．（4分）已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象与函数的图象交于点，；②点，在图象上；③图象上的点的纵坐标都小于4；④，，，是图象上任意两点，若，则．其中真命题是
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【考点】：命题与定理
【分析】函数的图象在第一、三象限，则关于直线对称，点，是图象与函数的图象交于点；①正确；
点，关于对称的点为点，，在函数上，②正确；
上任意一点为，则点与对称点的纵坐标为；③错误；
，，，关于对称点为，，，在函数上，可得，，当或，有；④不正确；
【解答】解：函数的图象在第一、三象限，
则关于直线对称，点，是图象与函数的图象交于点；
①正确；
点，关于对称的点为点，，
，在函数上，
点，在图象上；
②正确；
中，，
取上任意一点为，
则点与对称点的纵坐标为；
③错误；
，，，关于对称点为，，，在函数上，
，，
或，
，
；
④不正确；
故选：．
10．（4分）如图是用8块型瓷砖（白色四边形）和8块型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中型瓷砖的总面积与型瓷砖的总面积之比
为
A． B． C． D．
【考点】：正方形的性质；：图形的剪拼
【分析】如图，作于，于，连接．求出与的面积比即可．
【解答】解：如图，作于，于，连接．
由题意：四边形是正方形，，
，，，
（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），
，
图案中型瓷砖的总面积与型瓷砖的总面积之比为，
故选：．
**二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）**
11．（5分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
12．（5分）若一个数的平方等于5，则这个数等于[ ]{.underline}．
【考点】21：平方根
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：若一个数的平方等于5，则这个数等于：．
故答案为：．
13．（5分）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是[ ]{.underline}．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】画出树状图然后根据概率公式列式即可得解．
【解答】解：画树状图如图所示：
一共有9种等可能的情况，两次摸出的小球颜色不同的有4种，
两次摸出的小球颜色不同的概率为；
故答案为：．
14．（5分）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为[ ]{.underline}．
【考点】：圆周角定理；：圆内接四边形的性质；：轴对称的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：圆内接四边形，
，
点关于的对称点在边上，
，
．
故答案为：．
15．（5分）砸"金蛋"游戏：把210个"金蛋"连续编号为1，2，3，，210，接着把编号是3的整数倍的"金蛋"全部砸碎；然后将剩下的"金蛋"重新连续编号为1，2，3，，接着把编号是3的整数倍的"金蛋"全部砸碎按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的"金蛋"为止．操作过程中砸碎编号是"66"的"金蛋"共[ 3 ]{.underline}个．
【考点】37：规律型：数字的变化类
【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是"66"的"金蛋"总个数．
【解答】解：，
第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下个金蛋，重新编号为1，2，3，，140；
，
第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下个金蛋，重新编号为1，2，3，，94；
，
第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下个金蛋，
，
砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是"66"的"金蛋"共有3个．
故答案为：3．
16．（5分）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为[ ]{.underline}．
【考点】：平行线之间的距离
【分析】过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
当最大时，，
，
当时，，
，
的最大值为．
故答案为：．
**三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）**
17．（8分）计算：．
【考点】：实数的运算
【分析】分别根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可求解．
【解答】解：原式．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
【考点】：分式的化简求值
【分析】根据分式的加减运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
19．（8分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，．
【考点】：解直角三角形的应用
【分析】过点作于点，延长交地面于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点作于点，延长交地面于点，
，
，
，
，
把手离地面的高度为．
20．（8分）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：与下行时间（单位：之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：与下行时间（单位：的函数关系如图2所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
【考点】：一次函数的应用
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到关于的函数解析式；
（2）分别令和求出相应的的值，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）设关于的函数解析式是，
，解得，，
即关于的函数解析式是；
（2）当时，，得，
当时，，得，
，
甲先到达地面．
21．（10分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车"都不戴"安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【考点】：用样本估计总体；：扇形统计图
【分析】（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数：；
（2）估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数：30万万（人；
（3）宣传活动后骑电瓶车"都不戴"安全帽的百分比：，活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的百分比：，，因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【解答】解：（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，
占抽取人数：；
答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的，
（2）估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数：30万万（人，
答：估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数5.31万人；
（3）宣传活动后骑电瓶车"都不戴"安全帽的百分比：，
活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的百分比：，
，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
22．（12分）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形的各条边都相等．
①如图1，若，求证：五边形是正五边形；
②如图2，若，请判断五边形是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写"真"或"假"
如图3，已知凸六边形的各条边都相等．
①若，则六边形是正六边形；[ 真 ]{.underline}
②若，则六边形是正六边形．[ ]{.underline}
【考点】：四边形综合题
【分析】（1）①由证明得出，即可得出结论；
②由证明得出，，由证明得出，，由四边形内角和为得出，证出，由平行线的性质得出，，证出，同理：，即可得出结论；
（2）①证明得出，，由等边三角形的性质得出，设，，则①，②，求出，，得出，即可得出结论；
②证明得出，证出，证明得出，同理：，得出，由①得：六边形是正六边形．
【解答】（1）①证明：凸五边形的各条边都相等，
，
在、、、、中，，
，
，
五边形是正五边形；
②解：若，五边形是正五边形，理由如下：
在、和中，，
，
，，
在和中，，
，
，，
四边形内角和为，
，
，
，，
，
，
同理：，
五边形是正五边形；
（2）解：①若，如图3所示：
则六边形是正六边形；真命题；理由如下：
凸六边形的各条边都相等，
，
在、和中，，
，
，，
，
，
设，，
则①，②，
①②得：，
，，
，，
，
，
六边形是正六边形；
故答案为：真；
②若，则六边形是正六边形；真命题；理由如下：
如图4所示：连接、、，
在和中，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
同理：，
，
由①得：六边形是正六边形；
故答案为：真．
23．（12分）已知函数，为常数）的图象经过点．
（1）求，满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的最值；：二次函数的性质
【分析】（1）将点代入，；
（2），，得；
（3），当时，，函数不经过第三象限，则；此时，最大值与最小值之差为25；当时，，函数不经过第三象限，则△，得当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，当时，函数有最大值；
当最大值时，，；当最大值时，；
【解答】解：（1）将点代入，
得，
；
（2），，
，
，
（3），
对称轴，
当时，，函数不经过第三象限，则；
此时，当时，函数最小值是0，最大值是25，
最大值与最小值之差为25；（舍去）
当时，，函数不经过第三象限，则△，
，
，
当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
当时，函数有最大值；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值时，，
或，
，
；
当最大值时，，
或，
，
；
综上所述或；
24．（14分）如图，正方形的边长为2，为的中点，是延长线上的一点，连接交于点，．
（1）求的值；
（2）如图1，连接，在线段上取一点，使，连接，求证：；
（3）如图2，过点作于点，在线段上取一点，使，连接，．将绕点旋转，使点旋转后的对应点落在边上．请判断点旋转后的对应点是否落在线段上，并说明理由．
【考点】：相似形综合题
【分析】（1）设，通过证明，可得，可求的值，即可求的值，则可求解；
（2）在上截取，由""可证，可得，由勾股定理可求，可得，由""可证，可得；
（3）以原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求解析式，即可求坐标，计算的长度，即可判断点旋转后的对应点是否落在线段上．
【解答】解：（1）设，
，
四边形是正方形
即
，
（2）在上截取
，，，
，
，
点是中点，
，
，
，且，
（3）若点在上，如图，以原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
，
由旋转的性质可得，，，
点，点
直线解析式为：
设点
点，
点，
点旋转后的对应点不落在线段上．
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**小学数学毕业复习数与代数精编试题------式与方程**
1．下面各式，可以简写的请在后面的括号内简写。
x×4（ ） y＋2（ ） s×1－5（ ）
n×n×8（ ） 100÷y（ ） x＋y（ ）
2．用含有字母的式子表示下面数量关系
比b少3的数 （ ） a除以b与3的和（ ）
3个b相加的和（ ） 3个b相乘的积（ ）
3．在（ ）里填上合适的数，使每个方程的解都是x=5。
（ ）－x=2.3 （ ）×x＋8=17
4．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用"码"或"厘米"作单位，他们之间的关系可以用y=2x－10来表示（y表示码数，x表示厘米数）。小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长（ ）厘米，爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是（ ）码。
5．一种贺卡的单价是a元，小樱买10张这样的贺卡，用去（ ）元，小明买b张这样的贺卡，付出12元，应找回（ ）元。
6．根据"小明买来4副乒乓球拍和12个乒乓球，共付128元"这句话，可列出等量关系式( )。
7．一本书有a页，小明第一天看了全书的，他第二天应该从（ ）页看起。小明第二天看了全书的，a×（＋）表示（ ）。当a=240时，看了两天后还剩下（ ）页。
8．已知4x＋8=10，那么2x＋8=（ ）
9．观察下图，列方程：（ ）。
10．甲、乙、丙、丁参加电脑竞赛，甲和乙的平均成绩为a分，他们两个的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为（ ）分。
11．一个梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高h厘米。它的面积是（ ）平方厘米。如果a=b，这个梯形就变成一个（ ）形。当a=0时，这个梯形就变成了一个（ ）形。
12．一班有学生a名，若将一班学生调b名到二班，则两班人数相等，二班有（ ）名学生。
13．n表示自然数，2n表示（ ）数，2n＋1表示（ ）数。
14．根据右图信息，可以知道一桶油重（ ）千克。
15．含有未知数的式子叫做方程。（ ）
16．3个连续奇数，中间一个为a，则另外两个分别为a＋2和a－2。（ ）
17．ab都是不为零的自然数，如果a\>b，那么\>（ ）
18．x一定大于。（ ）
19．孙爷爷今年a岁，张伯伯今年（a－20）岁，经过x年后，他们相差20岁。（ ）
20．下列式子中是方程的是（ ）。
A、x B、－ = C、x－2\> D、x=
21．如果a\>0，则2a（ ）a^2^
A、大于 B、小于 C、等于 D、以上都有可能
22．4x＋8错写成了4（x＋8），结果比原来（ ）。
A、多4 B、少4 C、多24 D、少24
23．甲数是a比乙数的4倍少c，表示乙数的式子是（ ）
A、4a－c B、a÷4－c C、(a＋c)÷4 D、(a－c)÷4
24．b是一个不为0的自然数，下面得数最大的式子是（ ）
A、÷b B、b÷ C、×b D、b－
25．解方程。
7.8－2.2＋χ=14.2
4χ－=3 +2χ=
26．如下图，两个长方形拼成一个大长方形。
（1）大长方形的面积是多少平方厘米？你能想到两种不同的表示方法吗？
（2）由这两种不同的表示方法，你想到了什么运算定律？
27．
按上面的规律摆下去，摆第10个图形需要（ ）个●。第（ ）个图形需要60个●。如果按照这样的规律摆n个图形，摆第n个图形需要（ ）个●。
28．
102室本次的水表读数是多少？
29．小明想多看些课外书，于是他到书店买了两套丛书共花了65元，求《365夜故事》一套共有多少本？
30．一种树苗的成活率是96%，为了保证成活240棵，至少要种多少棵？
31．为迎接六一儿童节，小红和小明一起折千纸鹤。他们各折了多少只千纸鹤？
32．丁丁想买一双运动鞋，正好商场里在打八折促销。爸爸告诉他，同样的鞋网上在打七折销售，不过要另加15元的邮费。丁丁算了算，这样在商场里购买和网上邮购所花的钱一样。你知道这双运动鞋原来定价是多少吗？
**参考答案**
1．第二个、第五个和第六个不含有乘法运算，不能简写；4x，s－5，8n^2^
【解析】此题为基础题，考查含有字母的式子简写方法。只有字母和数字或字母和字母相乘时才可以简写，所以第二个、第五个和第六个不含有乘法运算，不能简写。当数字和字母相乘时，省略乘号，数字在前字母在后，第一个可以简写为4x。当字母和1相乘时可以把1省略，第三个简写为s－5。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方，第四个简写为8n^2^。
2．b－3，a÷（b＋3），3b，b^3^
【解析】此题为基础题，考查用含有字母的式子表示数量关系，要能正确区分几个数相加的和与几个数相乘的积的区别。第一个表示为b－3，第二个要注意，b与3的和做除数，所以要写为a÷（b＋3）；3个b相加，可以用乘法算式3×b表示，简写为3b；3个b相乘即b×b×b，简写为b^3^。
3．7.3,1.8
【解析】题里虽然出现了未知数x，但是在这里x不是未知数，而是已知数，因为题目告诉了x=5，而括号里的数为未知数。可以把x换成5，括号当成未知数，来思考本题。第一个为（ ）－5=2.3，等式两边同时加上5，可以得到括号里是7.3。第二个变为（ ）×5＋8=17，根据等式的性质，可以求出括号里的数是1.8。
4．23.5，42
【解析】此题考查对字母表达式的理解，同时也渗透函数思想，让学生感受到x的数值改变，对应着y的数值也随着改变，二者是一一对应的。根据题意可知，"37码"说明y=37，这时可以求出x=23.5。"26厘米"即x=26，求出对应的y的数值是42。
5．10a，12－ab
【解析】根据总价=单价×数量可知用去了10a元。买b张需要ab元，付出12元，则需找回（12－ab）元。
6．4副乒乓球拍＋12个乒乓球=128元
【解析】此题考查学生根据题目中的关键语句列等量关系式的能力。"4副乒乓球拍和12个乒乓球"可以想到4副乒乓球拍＋12个乒乓球，共付128元，即等于128元。所以上面的关系式可列为：4副乒乓球拍＋12个乒乓球=128元。再进一步也可以列为：1副乒乓球拍的价钱×4＋1个乒乓球的价钱×12=128元。学生只要能将文字对应着转化为符号和数字即能得到正确结果。
7．a＋1，已经看了多少页，132
【解析】小明第一天看了a页的，所以第一天看了a页，这是第一个已经看了的，第二天要接着看，从a页后面那一页开始，即（a+1）页开始看。第一天看了全书的，第二天看了全书的，+的和表示两天一共看了全书的几分之几，a为单位"1"，表示全书的页数，所以a×（+）表示已经看了多少页。剩下的页数可以用a×（1－－）表示。当a=240时，可以求出剩下132页。
8．9
【解析】在题目中出现的两个方程，x的数值是一样的，需要先求出第一个方程中的x，通过计算可知：x=0.5。再把x=0.5代入2x＋8，即可得到9。
9．2x=20＋x
【解析】本题考查学生对天平平衡原理的理解及运用天平平衡原理列等量关系式的能力。天平左边两个重量是x的方块，表示2x，右边两个方块一个是x，一个是20，表示20＋x，天平平衡说明这时左边等于右边，得到2x=20＋x。
10．a＋1.5
【解析】本题除考查学生用字母表示数量关系之外，还考查了学生对平均数意义的理解。根据题意，甲、乙的平均成绩是a，那么他们的总分就是2a；这个平均成绩比丙低9分，说明丙的成绩是（a+9）分；比丁高3分，说明丁的成绩是（a－3）分。这样四个人的总分可以表示为2a+a+9+a－3，化简之后就是4a＋6.求平均分就用总分除以4得到a+1.5。
11．（a＋b）×h÷2，平行四边，三角
【解析】第一个空为基础题，只要根据梯形面积计算公式就能轻松的完成填空，（a＋b）×h÷2。后面两个空需要学生的空间想象力，如不能直接想出图形，可以用画图的方法帮助思考。如果a=b，也就是说上底和下底相等，这时的四边形就有两条边平行且相等，另外两条边也就是平行的了，可以看出，这时的梯形就变为了平行四边形。当a=0时，也就是上底变为了一个点，也就成了三条边，即三角形。
12．a－2b
【解析】此题的关键点在于对"将一班学生调b名到二班，则两班人数相等"这句话的理解。从这句话不仅可以看出一班比二班人多，还能看出一班比二班多2个b，因为一班调走了b名，学生数就少了b名，二班调进了b名就比原来多了b名，这样算起来，原来一班就比二班多2b名同学。一班是a名，二班就是（a－2b）名。
13．偶，奇
【解析】此题可以用列举法，设n为0、1、2、3......，再逐个对应着找2n的数值，通过观察可以发现，2n对应的数值都是偶数。另外通过分析也可知道，2n里面肯定有因数2，是2的倍数，所以2n是偶数。同样的方法可以得知2n＋1是奇数。
14．3
【解析】此题为一道综合题，考查了天平的平衡原理和用分数解决问题的能力。左边是一桶油的重量，右边是桶油加1千克，从题意可知，1千克对应的是一桶油的，把一桶油的重量设为x，x×（1－）=1，求解得到x=3。
15．×
【解析】式子和等式的意义是不同的，等式是左右两边相等的式子。方程是含有未知数的等式，这里的叙述不准确。所以错误。
16．√
【解析】相邻两个奇数的差是2，如果中间一个是a，那么前面比它小的就可以记作a－2，后面比它大的记作a＋2。所以正确。
17．×
【解析】可以用设数的方法，假设a=3，b=2，\<，所以题目错误。
18．×
【解析】如果x是小于1的数，则x＜；如果x=1，那么x=；如果x大于1，那么x＞。题目里并没有说明x的取值范围，直接说x一定大于是错误的。
19．√
【解析】从张伯伯今年a－20岁可以看出，孙爷爷和张伯伯的年龄相差20岁，无论经过多少年，他们的年龄差一直是20岁，所以题目是正确的。
20．D
【解析】判断方程的两个标准，一是看是不是等式，二是看是不是含有未知数。A、C都不是等式，而B里面没有未知数，只有D既含有未知数又是等式，所以选D.
21．D
【解析】2a与a^2^的大小要根据具体情况而定：当a=2或0时，二者相等；当a大于0小于2时，2a大于a^2^ ；当a大于2时2a小于a^2^ 。题目中只说明了a是大于0的数，没有说具体的数值范围，所以三种情况都有可能，选D。
22．D
【解析】考虑此题，首先可以用假设的方法来思考，设x=1，则4x＋8=12，而4（x＋8）等于36，二者相差24。进一步思考，根据乘法分配律可以将4（x＋8）变为4x＋32，通过比较可以发现，4x＋32比4x＋8大24，与前面假设的结果一样。所以选D.
23．C
【解析】甲数与乙数的4倍相比较，乙数的4倍大，所以乙数的4倍为a＋c，从而推出乙数为（a＋c）÷4。另外也可以画线段图进行分析。
24．B
【解析】一个数（0除外）除以分数，等于乘这个数的倒数。先把B选项变为b×，再和C、D两个算式比较，可知：b乘一个大于1的数结果会大于b，B选项的结果会大于1：一个数乘小于1的数结果会小于1，C选项的结果会小于b；b为被减数，从中减去后，差也会比b小。所以这三个选项中B的结果最大，其结果为一个大于1的数。A选项可变为×，结果肯定是一个真分数，而B选项一定是一个大于1的数，所以四个选项中B结果最大。
25．x=32，x=，x=8.6，x=1，x=
【解析】先根据乘法分配律将左边变为（1－25%）x，计算后得到75%x=24，再根据等式的性质，两边同时除以75%，可得到x=32。
先将（x－）看作一个整体，即加法中的一个加数，然后等式两边同时减去0.2，可得到x－=；再把x看作一个整体，等式两边同时加上，得到x=；等式两边同时除以，即可得到最后结果x=。
解答此方程时，可先计算出7.8－2.2的差为5.6，方程变为5.6＋x=14.2，方程两边同时减去5.6，可得到x=8.6。
此方程解答时先将4x看作一个整体，等式两边同时加上，变为4x=4；再把等式的两边同时除以4，即可得到x=1。
先把2x看做一个整体，等式两边同时减去，使方程变为2x=；再让方程两边同时除以2，可得到x=。
26．（1）ac＋bc，（a＋b）×c；（2）乘法分配律
【解析】此题综合考查用字母表示数量关系、长方形面积的计算方法及运用数形结合的思想理解乘法分配律等内容。首先，大长方形的面积可以用两个小长方形的面积相加得到：ac＋bc；还可以直接找大长方形的长和宽，再根据面积公式计算，得到（a＋b）×c。这两种方法同样都表示的是大长方形的面积，所以（a＋b）×c= ac＋bc，这与用字母表示乘法分配律的方法一致。
27．40,15,4n
【解析】可以用数点的方法得到：第一个图形4个点，第二个图形8个点，第三个图形12个点......这时可以发现，一个图形需要的●的个数就是这个图形的排列顺序乘4，所以10个正方形就需要40个●。60÷4=15，说明第15个图形需要60个●。用字母表示，第n个图形需要的●是4n。此题也可以用其他方法思考，可能用含有字母的式子表示时会有所不同，但最终化简后依然能得到4n即为正确。
28．3156吨
【解析】正确理解水表读数是怎么回事，是正确解答这道题的关键。通过读题我们可以发现：本次读数－上次读数=用水吨数。我们还可以找到等量关系，无论101室还是102室，所用水的单价是一样的，即101室所花水费钱数÷用水吨数=102室所花水费钱数÷用水吨数。根据这一等量关系式，设102室的水表读数为x吨，可以列出方程：80÷（2788－2756）=135÷（x－3128），解方程可以得到x=3156。102室上月水表读数为3156吨。
29．8本
【解析】根据"两套书共花65元"可以得到等量关系：一套《十万个为什么》的价钱＋一套《365夜故事》的价钱=65元，根据这一等量关系式，设一套《365夜故事》有x本，列方程为：2.5×10＋5x=65，求出方程的解为x=8，说明一套《365夜故事》有8本。
30．250棵
【解析】根据"成活率表示成活棵树占总棵树的百分之几"可知，树苗总数为单位"1"，单位"1"是未知的，对于这样的分数问题来说，用方程比较简单。可以设需要种x棵树苗。
列方程为：x×96%=240。通过解方程可以得到：x=250，至少要种250棵才能保证成活240棵。
31．小明折了80只，小红折了60只。
【解析】此题属于情景对话问题。和直接叙述的问题相比较，找准单位"1"是难点。小红说"我折的是你的75%"，改成直接叙述的形式为：小红折的是小明的75%。这样就不难看出，小明折的只数为单位"1"，如果把小明折的设为x只，那么小红就折了75%x，再根据小明说"我比你多折20只"可以列出方程：x－75%x=20，解答出来x=80只，说明小明折了80只，再用80－20，算出小红折了60只。
32．150元
【解析】根据"商场里购买和网上邮购所花钱一样"可以列出等量关系式：商场里花的钱=网购所花的钱。再根据题意可以知道，如果把原价设为x元，商场里打八折就是80%x；网上打七折再加15元邮费，就是70%x＋15。这样就可以列出方程：80%x=70%x+15，或者也可以列成：80%x-70%x=15.解方程得到x=150，这双运动鞋原价是150元。
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**2020-2021学年陕西省西安市雁塔区六年级（上）期末数学试卷**
**一、注意审题，细心计算。（30分）**
1．（4分）写出化简的结果。
---------- ------------ -------------------------------------- --------------------------------------
15：18＝ 3.4：5.1＝ ＝ ＝
---------- ------------ -------------------------------------- --------------------------------------
2．（16分）细心计算。
------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------
  
  
------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------
3．（5分）看图列式计算。
> 
4．（5分）如图，小半圆的直径是4*cm*，求阴影部分的面积。
> 
**二、认真思考，正确填空。（30分，每题1分）**
5．（2分）[ ]{.underline}决定圆的位置，半径决定圆的[ ]{.underline}．
6．（5分）王大娘家养了8只公鸡，12只母鸡。公鸡与母鸡只数的比是[ ]{.underline}。母鸡与公鸡的比是[ ]{.underline}。公鸡只数占两种鸡总只数的[ ]{.underline}%。公鸡比母鸡少的只数占母鸡只数的[ ]{.underline}，母鸡比公鸡多的只数占公鸡只数的[ ]{.underline}。（最后两空填分数）。
7．（3分）一盒中性笔10支共15元。总价与支数的比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}，表示的是[ ]{.underline}。
8．（1分）定价1200元的平衡玩具车，打八折销售是[ ]{.underline}元。
9．（1分）一件衣服，按原价的70%销售每件98元，原价是[ ]{.underline}元。
10．（10分）①在左图中，阴影正方形与大正方形边长的比是[ ]{.underline}，周长的比是[ ]{.underline}，面积的比是[ ]{.underline}。
> ②在中图里，圆的周长与大正方形的边长的比是[ ]{.underline}。如果已知阴影小正方形的面积是3平方厘米，则圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
>
> ③在右图里，阴影三角形与空白三角形的面积之比是[ ]{.underline}。
>
> 
11．（4分）一对互相咬合的齿轮，小齿轮20个齿，小齿轮与大齿轮的齿数比是2：3，大齿轮有[ ]{.underline}个齿。如果小齿轮每分转60周，大齿轮每分转[ ]{.underline}周，小齿轮与大齿轮的转数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
12．（1分）围棋决赛共有6个选手，每两个选手之间都要进行一场比赛，一共要进行[ ]{.underline}场比赛。
13．（3分）在横线里填上"＞""＜"或"＝"。
------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------
65×8%[ ]{.underline}65×5% [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------
**三、斟酌比较，慎重选择。（10分，每题2分）**
14．（2分）下面四个数，与35%不相等的是（ ）
A． B．0.35 C． D．
15．（2分）如图，在推导圆面积公式时，通过把圆等分割拼得到一个近似的长方形。这个过程体现的数学思想方法主要是（ ）思想。
A．抽象 B．集合 C．符号 D．转化
16．（2分）下面四句话，（ ）是正确的。
A．阅读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思
B．圆周率π的准确值就是3.14
C．六（1）班某天的出勤率是102%
D．扇形统计图能清楚地表示各部分的具体数量
17．（2分）三种手机，乙比甲贵10%，丙比乙便宜10%，则（ ）最便宜。
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
18．（2分）夜晚在路灯下走路时，下面说法正确的是（ ）
A．逐渐走近路灯时，影子由短变长
B．逐渐远离路灯时，影子由短变长
C．逐渐走向路灯时，影子长短不变
D．逐渐远离路灯时，影子由长变短
**四、动脑思考，动手操作。（12分）**
19．（4分）在如图的方格中涂上阴影表示出百分数60%。
> 
20．（4分）在如图的方格纸上，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状。
> 
21．（4分）画一个半径2厘米的圆。这个圆的周长是[ ]{.underline}厘米。
**五、联系生活，解决问题。（18分）**
22．（4分）华为手机专卖店一周共卖出甲、乙两种智能手机600部，卖出甲、乙两种手机的数量比是3：2，这周卖出甲种手机多少部？
23．（4分）兴华公司六月份纳税80万元，七月份比六月份纳税增加了10%。七月份纳税多少万元？
24．（4分）绿城小学成立了一个共180名同学的"环保卫士团"，女同学比男同学多。环保卫士团中男同学有多少人？
25．（6分）玲玲在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料片和一个中间有空心圆孔的长方形塑料片。她测量了有关数据如图所示（单位：*cm*）。玲玲想把直角三角形塑料片从长方形塑料片的空心圆孔穿过去。你认为能穿过去吗？请通过计算说明理由。
> 
**六、附加题。（10分）**
26．原来，甲书架与乙书架书的本数比是5：6，两个书架上各借出88本后，甲书架上书的本数是乙书架的。乙书架上原来有多少本书？
**2020-2021学年陕西省西安市雁塔区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、注意审题，细心计算。（30分）**
1．【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。
> 【解答】解：（1）15：18
>
> ＝（15÷3）：（18÷3）
>
> ＝5：6
>
> （2）3.4：5.1
>
> ＝（3.4÷1.7）：（5.1÷1.7）
>
> ＝2：3
>
> （3）
>
> ＝（）：（）
>
> ＝6：5
>
> （4）
>
> ＝（）：（2.1×）
>
> ＝5：7
>
> 【点评】此题考查化简比的方法，化简比是根据比的基本性质进行化简的，结果仍是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
2．【分析】（1）直接约分计算即可；
> （2）通分计算即可；
>
> （3）运用乘法的分配律进行简算；
>
> （4）先算小括号里的除法，再算括号外的除法；
>
> （5）先算小括号里的减法，再算括号外的乘法；
>
> （6）把除以5化成乘上，再运用乘法的分配律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）××
>
> ＝
>
> ＝
>
> （2）﹣+
>
> ＝+
>
> ＝
>
> （3）×+×
>
> ＝×（+）
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （4）÷（）
>
> ＝÷
>
> ＝
>
> （5）×（﹣）
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （6）2÷5﹣×
>
> ＝2×﹣×
>
> ＝（2﹣）×
>
> ＝×
>
> ＝
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
3．【分析】把梨的箱数看作单位"1"，则苹果的箱数＝梨的箱数×（1+），把数代入计算即可。
> 【解答】解：48×（1+）
>
> ＝48×
>
> ＝60（箱）
>
> 答：苹果有60箱。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
4．【分析】根据图示，该阴影部分的面积等于半径是4厘米的圆的面积减去2个直径是4厘米的圆的面积。利用圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，计算即可。
> 【解答】解：3.14×4^2^﹣3.14×（4÷2）^2^×2
>
> ＝50.24﹣25.12
>
> ＝25.12（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积25.12平方厘米。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**二、认真思考，正确填空。（30分，每题1分）**
5．【分析】根据圆的定义，平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周称为圆周，简称圆，由此解答．
> 【解答】解：根据圆的定义，平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆，
>
> 这个定点就是圆心，定长就是半径，所以圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，
>
> 故答案为：圆心，大小．
>
> 【点评】此题考查了对圆的定义的理解．
6．【分析】（1）用公鸡的只数比母鸡的只数，再化简即可；
> （2）用母鸡只数比公鸡的只数；再化简即可；
>
> （3）用公鸡只数除以两种鸡总只数求解即可；
>
> （4）用母鸡减公鸡的只数再除以母鸡的只数求解即可；
>
> （5）用母鸡减公鸡的只数再除以公鸡的只数求解即可。
>
> 【解答】解：（1）8：12
>
> ＝（8÷4）：（12÷4）
>
> ＝2：3
>
> （2）12：8
>
> ＝（12÷4）：（8÷4）
>
> ＝3：2
>
> （3）8÷（8+12）
>
> ＝8÷20
>
> ＝40%
>
> （4）（12﹣8）÷12
>
> ＝4÷12
>
> ＝
>
> （5）（12﹣8）÷8
>
> ＝4÷8
>
> ＝
>
> 答：公鸡与母鸡只数的比是2：3，母鸡与公鸡的比是3：2，公鸡只数占两种鸡总只数的40%，公鸡比母鸡少的只数占母鸡只数的，母鸡比公鸡多的只数占公鸡只数的。
>
> 故答案为：2：3；3：2；40；；。
>
> 【点评】本题主要考查比的意义及求一个数是另一个数的百分之几（或几分之几）。
7．【分析】】中性笔的总价是15元，数量是10支，则中性笔总价与支数的比是15：10，即3：2；利用总价除以支数得出的商就是比值；由于总价÷数量＝单价，所以这个比表示的是中性笔的单价；据此解答即可。
> 【解答】解：总价与支数的比：
>
> 15：10
>
> ＝（15÷5）：（10÷5）
>
> ＝3：2
>
> 总价与支数的比值：15÷10＝1.5
>
> 中性笔总价与支数的比表示的是中性笔单价。
>
> 故答案为：3：2；1.5；中性笔单价。
>
> 【点评】解答此题的关键是明确比的意义和单价的定义。
8．【分析】打八折是指现价是原价的80%，把原价看成单位"1"，用原价乘80%就是现价。
> 【解答】解：八折＝80%
>
> 1200×80%＝960（元）
>
> 答：打八折销售是960元。
>
> 故答案为：960。
>
> 【点评】此题属于简单的百分数乘法应用题，关键是确定单位"1"，根据一个数乘百分数的意义解答。
9．【分析】把原价看成单位"1"，它的70%就是98元，用98元除以70%即可求出原价。
> 【解答】解：98÷70%＝140（元）
>
> 答：原价是140元。
>
> 故答案为：140。
>
> 【点评】本题先找出单位"1"，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法求解。
10．【分析】①利用阴影正方形的边长比大正方形边长，根据周长公式*C*＝4*a*，面积公式*S*＝*a*^2^，分别求解即可；
> ②设小正方形的边长为*a*厘米，则圆的半径为*a*厘米，大正方形的边长为2*a*厘米，根据圆的周长公式*C*＝2π*r*，先求出圆周长，再求圆的周长与大正方形的边长比，根据正方形面面积公式*S*＝*a*^2^，可得*a*^2^＝3（平方厘米），再根据圆的面积公式*S*＝π*r*^2^，求解即可。
>
> ③阴影三角形与空白三角形等高，设三角形的高为*a*厘米，利用三角形面积公式，即可求出阴影三角形面积与空白三角形面积的比。
>
> 【解答】解：①阴影正方形与大正方形边长的比是：5：8
>
> 周长的比是：（4×5）：（4×8）＝5：8
>
> 面积的比是：（5×5）：（8×8）＝25：64
>
> ②设小正方形的边长为*a*厘米，则圆的半径为*a*厘米，大正方形的边长为2*a*厘米，
>
> 圆的周长与大正方形的边长的比是（2π*a*）：（2*a*）＝π：1；
>
> 因为小正方形的面积是*a*^2^＝3（平方厘米），所以圆的面积是π*a*^2^＝3π（平方厘米）。
>
> ③设三角形的高为*a*厘米，
>
> 阴影三角形与空白三角形的面积之比是
>
> （×2*a*）：（×4*a*）
>
> ＝*a*：（2*a*）
>
> ＝1：2
>
> 故答案为：5：8，5：8，25：64；π：1，3π；1：2。
>
> 【点评】本题主要考查了比的意义及正方形周长、面积公式及圆的面积公式，解题的关键是找准数量之间的关系。
11．【分析】从2：3中知道小齿轮的齿数有2份共20个，可以求出一份表示10个，那么大齿轮齿数有三份，因此3×10＝30（个）。下一个用反比例解决此题，关系式是小齿轮的齿数×转动周数＝大齿轮的齿数×转动周数，设大齿轮每分转动*x*周，根据关系式列出方程：30*x*＝20×60.求出*x*＝40，下面按照小：大＝60：40＝3：2。
> 【解答】解：大齿轮的齿数：20÷2＝10，（个）10×3＝30（个）；
>
> 设大齿轮每分转动*x*周。30*x*＝20×60，求出*x*＝40；
>
> 小：大＝60：40＝（60÷20）：（40÷20）＝3：2；
>
> 比值：＝（60÷20）：（40÷20）＝3：2＝，
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】利用正反比例解决问题注意找出题目里的关系式。
12．【分析】每个选手都要和其他的5个选手赛一场，共赛：6×5＝30（场），由于两个选手只赛一场，去掉重复的情况，实际只赛了30÷2＝15（场），据此解答。
> 【解答】解：（6﹣1）×6÷2
>
> ＝30÷2
>
> ＝15（场）
>
> 答：一共要进行15场比赛。
>
> 故答案为：15。
>
> 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人比较多可以用公式：比赛场数＝*n*（*n*﹣1）÷2解答。
13．【分析】（1）根据同一个数乘较大的数，积就大，据此解答即可；
> （2）根据一个数乘大于1的数，积大于这个数；除以大于1的数，商小于这个数，据此解答即可；
>
> （3）先求出比值，再比较分数的大小即可。
>
> 【解答】解：
-------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------
65×8%＞65×5% ＞ ＜
-------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------
> 故答案为：＞；＞；＜。
>
> 【点评】本题主要考查了分数的大小比较，解题的关键是熟记规律。
**三、斟酌比较，慎重选择。（10分，每题2分）**
14．【分析】把选项中的各分数化成小数（分数化小数时，用分子除以分母），再把小数化成百分数（小数化百分数时，把小数点向右移动两位，同时添上百分号），即可看出与35%不相等的是哪个数。
> 【解答】解：＝0.35＝35%
>
> 0.35＝35%
>
> ＝0.35＝35%
>
> ＝0.36＝36%
>
> 上面四个数，与35%不相等的是。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题主要是考查小数、分数、百分数之间的关系及转化。属于基础知识，要掌握。
15．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份（偶数份），沿半径剪开后再拼成一个近似的长方形，这个过程体现的数学思想是"转化"思想。据此解答。
> 【解答】解：在推导圆面积公式时，通过把圆等分割拼得到一个近似的长方形。这个过程体现的数学思想方法主要是"转化"思想。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，以及"转化"思想的应用。
16．【分析】*A*.根据条形统计图、折线统计图的特点及应用，横轴表示统计项目，纵轴表示数量，所以阅读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思。
> *B*.根据圆周率的意义，圆周率是圆的周长与直径的比值，它是一个无限不循环小数，圆周率π的近似值是3.14。
>
> *C*.根据出勤率的意义，出勤率＝×100%，也就是出勤率最高是100%。
>
> *D*.根据扇形统计图的特点及作用，扇形统计图能够表示整体与百分之间的关系，不能表示具体数量。据此判断。
>
> 【解答】解：*A*.阅读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思。此说法正确。
>
> *B*.圆周率π的准确值就是3.14。此说法错误。
>
> *C*.六（1）班某天的出勤率是102%。此说法错误。
>
> *D*.扇形统计图能清楚地表示各部分的具体数量。此说法错误。
>
> 所以，说法正确的是：阅读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图的特点及作用，圆周率的意义、出勤率的意义及应用。
17．【分析】设甲手机的价格是1，那么乙手机钱数就是甲的（1+10%），用乘法求出乙的价格；再把乙手机钱数看作单位"1"，那么丙手机钱数是乙手机钱数的（1﹣10%），再用乘法表示出乙手机的价钱，然后再进行比较即可。
> 【解答】解：设甲手机钱数是1，那么乙手机钱数就是：
>
> 1×（1+10%）＝1.1
>
> 丙手机钱数：1.1×（1﹣10%）＝0.99
>
> 1.1＞1＞0.99，丙手机最便宜。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位"1"，设出甲手机的价格，再根据分数乘法的意义表示出其它手机的价格，再比较。
18．【分析】夜晚在路灯下走路时，路灯由上向下照向路人，此时人距路灯越近，它的影子越短，距离路灯越远影子越长，由此解答。
> 【解答】解：夜晚在路灯下走路，人从灯下由近及远走路通过，人的影子会从短变长。所以夜晚在路灯下走路时，下面说法正确的是（*B*.逐渐远离路灯时，影子由短变长）。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题是考查从不同方向观察物体，并发散思维，运用到实际生活中。
**四、动脑思考，动手操作。（12分）**
19．【分析】把长方形中小方格的总数看作单位"1"，根据百分数的意义，用乘法求出所涂小方格的个数，然后涂色即可。
> 【解答】解：长方形内共有20个小方格，
>
> 20×60%＝12（个）
>
> 涂色如下：
>
> 
>
> 【点评】解答此题的关键是：判断出单位"1"，然后根据百分数的意义，用乘法解答。
20．【分析】这个立体图形由4个相同的小正方体组成。从正面能看到4个相同的小正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；从上面能看到4个相同的小正方形，分两层，上层3个，下层1个，右齐；从左面能看到3个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层2个，左齐。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
21．【分析】根据圆的画法，用圆规两脚间的距离为2厘米画圆，利用圆的周长公式：*C*＝2π*r*，计算即可。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> 3.14×2×2＝12.56（厘米）
>
> 答：这个圆的周长是12.56厘米。
>
> 故答案为：12.56厘米。
>
> 【点评】本题主要考查画已知半径的圆。
**五、联系生活，解决问题。（18分）**
22．【分析】把本周卖出甲、乙两种手机的部数看作单位"1"，其中甲种智能手机占卖出总部数的，根据分数乘法的意义，用总部数乘就是这周卖出甲种手机的部数。
> 【解答】解：600×
>
> ＝600×
>
> ＝360（部）
>
> 答：这周卖出甲种手机360部。
>
> 【点评】解答此题的关键是把比转化成分数（卖出甲种手机占甲、乙两种手机的几分之几），然后再根据分数乘法的意义解答。
23．【分析】把六月份的纳税额看作单位"1"，七月份比六月份纳税增加了10%，也就是七月份的纳税额是六月份的1+10%，依据百分数乘法意义，即可求出七月份的纳税额是多少万元。
> 【解答】解：80×（1+10%）
>
> ＝80×110%
>
> ＝88（万元）
>
> 答：七月份纳税88万元。
>
> 【点评】解答此题应先判断出单位"1"，然后根据百分数乘法的意义求解即可。
24．【分析】把男同学的人数看作单位"1"，则女同学人数就是（1+），根据分数除法的意义，用"环保卫士团"同学总人数（180人）除以（1+1+）就是男同学人数。
> 【解答】解：180÷（1+1+）
>
> ＝180÷
>
> ＝84（人）
>
> 答：环保卫士团中男同学有84人。
>
> 【点评】此题是考查分数除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
25．【分析】根据根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，那么*h*＝2*S*÷*a*，据此求出这个直角三角形斜边上的高，然后把斜边上高与圆孔的直径进行比较，如果斜边上的高等于或小于圆孔的直径，说明能穿过去，否则就不能穿过去。据此解答。
> 【解答】解：4×3÷2＝6（平方厘米）
>
> 6×2÷5
>
> ＝12÷5
>
> ＝2.4（厘米）
>
> 2.4＜2.8
>
> 答：我认为能穿过去。
>
> 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
**六、附加题。（10分）**
26．【分析】原来甲书架与乙书架书的本数比是5：6，两个书架上各借出88本后，甲书架与乙书架书的本数比是4：7，由于各借出了88本，二者的差不变，而5：6相差6﹣5＝1份，4：7相差7﹣4＝3份，统一份数，求出1份是多少本，进而求出乙书架上原来有多少本。
> 【解答】解：原来甲书架与乙书架书的本数比是5：6＝15：18
>
> 两个书架上各借出88本后，甲书架与乙书架书的本数比是4：7
>
> 15﹣4＝11（份）
>
> 88÷11＝8（本）
>
> 8×18＝144（本）
>
> 答：乙书架上原来有144本书。
>
> 【点评】解答此题的关键是抓住不变量，统一不变量的份数。
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**2020年山东省枣庄市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．**
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点*C*在*FD*的延长线上，*AB*∥*CF*，∠*F*＝∠*ACB*＝90°，则∠*DBC*的度数为（ ）
> 
A．10° B．15° C．18° D．30°
3．（3分）计算﹣﹣（﹣）的结果为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．（3分）实数*a*，*b*在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
> 
A．\|*a*\|＜1 B．*ab*＞0 C．*a*+*b*＞0 D．1﹣*a*＞1
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在△*ABC*中，*AB*的垂直平分线交*AB*于点*D*，交*BC*于点*E*，连接*AE*．若*BC*＝6，*AC*＝5，则△*ACE*的周长为（ ）
> 
A．8 B．11 C．16 D．17
7．（3分）图（1）是一个长为2*a*，宽为2*b*（*a*＞*b*）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
> 
A．*ab* B．（*a*+*b*）^2^ C．（*a*﹣*b*）^2^ D．*a*^2^﹣*b*^2^
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△*ABC*经过旋转或平移得到的是（ ）
> 
A． B．
C． D．
9．（3分）对于实数*a*、*b*，定义一种新运算"⊗"为：*a*⊗*b*＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程*x*⊗（﹣2）＝﹣1的解是（ ）
A．*x*＝4 B．*x*＝5 C．*x*＝6 D．*x*＝7
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点*B*在第一象限，点*A*在*x*轴的正半轴上，∠*AOB*
> ＝∠*B*＝30°，*OA*＝2．将△*AOB*绕点*O*逆时针旋转90°，点*B*的对应点*B*\'的坐标是（ ）
>
> 
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
11．（3分）如图，在矩形纸片*ABCD*中，*AB*＝3，点*E*在边*BC*上，将△*ABE*沿直线*AE*折叠，点*B*恰好落在对角线*AC*上的点*F*处，若∠*EAC*＝∠*ECA*，则*AC*的长是（ ）
> 
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，已知抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*的对称轴为直线*x*＝1．给出下列结论：
> ①*ac*＜0；
>
> ②*b*^2^﹣4*ac*＞0；
>
> ③2*a*﹣*b*＝0；
>
> ④*a*﹣*b*+*c*＝0．
>
> 其中，正确的结论有（ ）
>
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．**
13．（4分）若*a*+*b*＝3，*a*^2^+*b*^2^＝7，则*ab*＝[ ]{.underline}．
14．（4分）已知关于*x*的一元二次方程（*a*﹣1）*x*^2^﹣2*x*+*a*^2^﹣1＝0有一个根为*x*＝0，则*a*＝[ ]{.underline}．
15．（4分）如图，*AB*是⊙*O*的直径，*PA*切⊙*O*于点*A*，线段*PO*交⊙*O*于点*C*．连接*BC*，若∠*P*＝36°，则∠*B*＝[ ]{.underline}．
> 
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若*AB*，*AC*的长都为2*m*，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度*AD*是[ ]{.underline}*m*．（结果精确到0.1*m*，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
> 
17．（4分）如图，*E*，*F*是正方形*ABCD*的对角线*AC*上的两点，*AC*＝8，*AE*＝*CF*＝2，则四边形*BEDF*的周长是[ ]{.underline}．
> 
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积*S*可用公式*S*＝*a*+*b*﹣1（*a*是多边形内的格点数，*b*是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为"皮克（*Pick*）定理"．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积*S*＝[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．**
19．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
20．（8分）欧拉（*Euler*，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数*V*（*Vertex*）、棱数*E*（*Edge*）、面数*F*（*Flatsurface*）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
> （1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
----------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形    
顶点数*V* 4 6 8 [ ]{.underline}
棱数*E* 6 [ ]{.underline} 12 [ ]{.underline}
面数*F* 4 5 [ ]{.underline} 8
----------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
> （2）分析表中的数据，你能发现*V*、*E*、*F*之间有什么关系吗？请写出关系式：[ ]{.underline}．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：*m*）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
> 学生立定跳远测试成绩的频数分布表
-------------- ------
分组 频数
1.2≤*x*＜1.6 *a*
1.6≤*x*＜2.0 12
2.0≤*x*＜2.4 *b*
2.4≤*x*＜2.8 10
-------------- ------
> 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
>
> （1）表中*a*＝[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）样本成绩的中位数落在[ ]{.underline}范围内；
>
> （3）请把频数分布直方图补充完整；
>
> （4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤*x*＜2.8范围内的有多少人？
>
> 
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数*y*＝*x*+5和*y*＝﹣2*x*的图象相交于点*A*，反比例函数*y*＝的图象经过点*A*．
> （1）求反比例函数的表达式；
>
> （2）设一次函数*y*＝*x*+5的图象与反比例函数*y*＝的图象的另一个交点为*B*，*OB*，求△*ABO*的面积．
>
> 
23．（8分）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，以*AB*为直径的⊙*O*分别交*AC*、*BC*于点*D*、*E*，点*F*在*AC*的延长线上，且∠*BAC*＝2∠*CBF*．
> （1）求证：*BF*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若⊙*O*的直径为4，*CF*＝6，求tan∠*CBF*．
>
> 
24．（10分）在△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*CD*是中线，*AC*＝*BC*，一个以点*D*为顶点的45°角绕点*D*旋转，使角的两边分别与*AC*、*BC*的延长线相交，交点分别为点*E*、*F*，*DF*与*AC*交于点*M*，*DE*与*BC*交于点*N*．
> 
>
> （1）如图1，若*CE*＝*CF*，求证：*DE*＝*DF*；
>
> （2）如图2，在∠*EDF*绕点*D*旋转的过程中，试证明*CD*^2^＝*CE*•*CF*恒成立；
>
> （3）若*CD*＝2，*CF*＝，求*DN*的长．
25．（10分）如图，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+4交*x*轴于*A*（﹣3，0），*B*（4，0）两点，与*y*轴交于点*C*，*AC*，*BC*．*M*为线段*OB*上的一个动点，过点*M*作*PM*⊥*x*轴，交抛物线于点*P*，交*BC*于点*Q*．
> （1）求抛物线的表达式；
>
> （2）过点*P*作*PN*⊥*BC*，垂足为点*N*．设*M*点的坐标为*M*（*m*，0），请用含*m*的代数式表示线段*PN*的长，并求出当*m*为何值时*PN*有最大值，最大值是多少？
>
> （3）试探究点*M*在运动过程中，是否存在这样的点*Q*，使得以*A*，*C*，*Q*为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点*Q*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
**2020年山东省枣庄市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．**
1．【解答】解：﹣的绝对值为．
> 故选：*C*．
2．【解答】解：由题意可得：∠*EDF*＝45°，∠*ABC*＝30°，
> ∵*AB*∥*CF*，
>
> ∴∠*ABD*＝∠*EDF*＝45°，
>
> ∴∠*DBC*＝45°﹣30°＝15°．
>
> 故选：*B*．
3．【解答】解：﹣﹣（﹣）＝＝﹣．
> 故选：*A*．
4．【解答】解：*A*、\|*a*\|＞1，故本选项错误；
> *B*、∵*a*＜0，*b*＞0，∴*ab*＜0，故本选项错误；
>
> *C*、*a*+*b*＜0，故本选项错误；
>
> *D*、∵*a*＜0，∴1﹣*a*＞1，故本选项正确；
>
> 故选：*D*．
5．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
> 
>
> 共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
>
> ∴*P*~（两次都是白球）~＝，
>
> 故选：*A*．
6．【解答】解：∵*DE*垂直平分*AB*，
> ∴*AE*＝*BE*，
>
> ∴△*ACE*的周长＝*AC*+*CE*+*AE*
>
> ＝*AC*+*CE*+*BE*
>
> ＝*AC*+*BC*
>
> ＝5+6
>
> ＝11．
>
> 故选：*B*．
7．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是*a*+*b*﹣2*b*＝*a*﹣*b*，
> 则面积是（*a*﹣*b*）^2^．
>
> 故选：*C*．
8．【解答】解：由题意，选项*A*，*C*，*D*可以通过平移，旋转得到，选项*B*可以通过翻折，平移，旋转得到．
> 故选：*B*．
9．【解答】解：根据题意，得＝﹣1，
> 去分母得：1＝2﹣（*x*﹣4），
>
> 解得：*x*＝5，
>
> 经检验*x*＝5是分式方程的解．
>
> 故选：*B*．
10．【解答】解：如图，过点*B*′作*B*′*H*⊥*y*轴于*H*．
> 
>
> 在Rt△*A*′*B*′*H*中，∵*A*′*B*′＝2，∠*B*′*A*′*H*＝60°，
>
> ∴*A*′*H*＝*A*′*B*′cos60°＝1，*B*′*H*＝*A*′*B*′sin60°＝，
>
> ∴*OH*＝2+1＝3，
>
> ∴*B*′（﹣，3），
>
> 故选：*A*．
11．【解答】解：∵将△*ABE*沿直线*AE*折叠，点*B*恰好落在对角线*AC*上的点*F*处，
> ∴*AF*＝*AB*，∠*AFE*＝∠*B*＝90°，
>
> ∴*EF*⊥*AC*，
>
> ∵∠*EAC*＝∠*ECA*，
>
> ∴*AE*＝*CE*，
>
> ∴*AF*＝*CF*，
>
> ∴*AC*＝2*AB*＝6，
>
> 故选：*D*．
12．【解答】解：抛物线开口向下，*a*＜0，对称轴为*x*＝﹣＝1，因此*b*＞0，与*y*轴交于正半轴，因此*c*＞0，
> 于是有：*ac*＜0，因此①正确；
>
> 由*x*＝﹣＝1，得2*a*+*b*＝0，因此③不正确，
>
> 抛物线与*x*轴有两个不同交点，因此*b*^2^﹣4*ac*＞0，②正确，
>
> 由对称轴*x*＝1，抛物线与*x* 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此*a*﹣*b*+*c*＝0，故④正确，
>
> 综上所述，正确的结论有①②④，
>
> 故选：*C*．
**二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．**
13．【解答】解：（*a*+*b*）^2^＝3^2^＝9，
> （*a*+*b*）^2^＝*a*^2^+*b*^2^+2*ab*＝9．
>
> ∵*a*^2^+*b*^2^＝7，
>
> ∴2*ab*＝2，
>
> *ab*＝1，
>
> 故答案为：1．
14．【解答】解：把*x*＝0代入（*a*﹣1）*x*^2^﹣2*x*+*a*^2^﹣1＝0得*a*^2^﹣1＝0，解得*a*＝±1，
> ∵*a*﹣1≠0，
>
> ∴*a*＝﹣1．
>
> 故答案为﹣1．
15．【解答】解：∵*PA*切⊙*O*于点*A*，
> ∴∠*OAP*＝90°，
>
> ∵∠*P*＝36°，
>
> ∴∠*AOP*＝54°，
>
> ∴∠*B*＝∠*AOP*＝27°．
>
> 故答案为：27°．
16．【解答】解：∵*AB*＝*AC*＝2*m*，*AD*⊥*BC*，
> ∴∠*ADC*＝90°，
>
> ∴*AD*＝*AC*•sin50°＝2×0.77≈1.5（*m*），
>
> 故答案为1.5．
>
> 
17．【解答】解：如图，连接*BD*交*AC*于点*O*，
> ∵四边形*ABCD*为正方形，
>
> ∴*BD*⊥*AC*，*OD*＝*OB*＝*OA*＝*OC*，
>
> ∵*AE*＝*CF*＝2，
>
> ∴*OA*﹣*AE*＝*OC*﹣*CF*，即*OE*＝*OF*，
>
> ∴四边形*BEDF*为平行四边形，且*BD*⊥*EF*，
>
> ∴四边形*BEDF*为菱形，
>
> ∴*DE*＝*DF*＝*BE*＝*BF*，
>
> ∵*AC*＝*BD*＝8，*OE*＝*OF*＝＝2，
>
> 由勾股定理得：*DE*＝＝＝2，
>
> ∴四边形*BEDF*的周长＝4*DE*＝4×＝8，
>
> 故答案为：8．
>
> 
18．【解答】解：∵*a*表示多边形内部的格点数，*b*表示多边形边界上的格点数，*S*表示多边形的面积，
> ∴*a*＝4，*b*＝6，
>
> ∴该五边形的面积*S*＝4+×6﹣1＝6，
>
> 故答案为：6．
**三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．**
19．【解答】解：，
> 由①得，*x*≥﹣3，
>
> 由②得，*x*＜2，
>
> 所以，不等式组的解集是﹣3≤*x*＜2，
>
> 所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
>
> 所以，所有整数解的和为﹣5．
20．【解答】解：（1）填表如下：
----------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形    
顶点数*V* 4 6 8 6
棱数*E* 6 9 12 12
面数*F* 4 5 6 8
----------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
> （2）∵4+4﹣6＝2，
>
> 6+5﹣9＝2，
>
> 8+6﹣12＝2，
>
> 6+8﹣12＝2，
>
> ...，
>
> ∴*V*+*F*﹣*E*＝2．
>
> 即*V*、*E*、*F*之间的关系式为：*V*+*F*﹣*E*＝2．
>
> 故答案为：6，9，12，6，*V*+*F*﹣*E*＝2．
21．【解答】解：（1）由统计图得，*a*＝8，*b*＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
> 故答案为：8，20；
>
> （2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤*x*＜2.4组内，
>
> 故答案为：2.0≤*x*＜2.4；
>
> （3）补全频数分布直方图如图所示：
>
> 
>
> （4）1200×＝240（人），
>
> 答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤*x*＜2.8范围内的有240人．
22．【解答】解：（1）联立*y*＝*x*+5①和*y*＝﹣2*x*并解得：，故点*A*（﹣2.4），
> 将点*A*的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：*k*＝﹣8，
>
> 故反比例函数表达式为：*y*＝﹣②；
>
> （2）联立①②并解得：*x*＝﹣2或﹣8，
>
> 当*x*＝﹣8时，*y*＝*x*+5＝1，故点*B*（﹣8，1），
>
> 设*y*＝*x*+5交*x*轴于点*C*（﹣10，0），过点*A*、*B*分别作*x*轴的垂线交于点*M*、*N*，
>
> 
>
> 则*S*~△*AOB*~＝*S*~△*AOC*~﹣*S*~△*BOC*~＝*OC*•*AM**OC*•*BN*＝．
23．【解答】（1）证明：连接*AE*，
> ∵*AB*是⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*AEB*＝90°，
>
> ∴∠1+∠2＝90°．
>
> ∵*AB*＝*AC*，
>
> ∴2∠1＝∠*CAB*．
>
> ∵∠*BAC*＝2∠*CBF*，
>
> ∴∠1＝∠*CBF*
>
> ∴∠*CBF*+∠2＝90°
>
> 即∠*ABF*＝90°
>
> ∵*AB*是⊙*O*的直径，
>
> ∴直线*BF*是⊙*O*的切线；
>
> （2）解：过*C*作*CH*⊥*BF*于*H*，
>
> ∵*AB*＝*AC*，⊙*O*的直径为4，
>
> ∴*AC*＝4，
>
> ∵*CF*＝6，∠*ABF*＝90°，
>
> ∴*BF*＝＝＝2，
>
> ∵∠*CHF*＝∠*ABF*，∠*F*＝∠*F*，
>
> ∴△*CHF*∽△*ABF*，
>
> ∴＝，
>
> ∴＝，
>
> ∴*CH*＝，
>
> ∴*HF*＝＝＝，
>
> ∴*BH*＝*BF*﹣*HF*＝2﹣＝，
>
> ∴tan∠*CBF*＝＝＝．
>
> 
24．【解答】（1）证明：∵∠*ACB*＝90°，*AC*＝*BC*，*CD*是中线，
> ∴∠*ACD*＝∠*BCD*＝45°，∠*ACF*＝∠*BCE*＝90°，
>
> ∴∠*DCF*＝∠*DCE*＝135°，
>
> 在△*DCF*和△*DCE*中，
>
> ，
>
> ∴△*DCF*≌△*DCE*（*SAS*）
>
> ∴*DE*＝*DF*；
>
> （2）证明：∵∠*DCF*＝135°，
>
> ∴∠*F*+∠*CDF*＝45°，
>
> ∵∠*FDE*＝45°，
>
> ∴∠*CDE*+∠*CDF*＝45°，
>
> ∴∠*F*＝∠*CDE*，
>
> ∵∠*DCF*＝∠*DCE*，∠*F*＝∠*CDE*，
>
> ∴△*FCD*∽△*DCE*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*CD*^2^＝*CE*•*CF*；
>
> （3）解：过点*D*作*DG*⊥*BC*于*G*，
>
> ∵∠*DCB*＝45°，
>
> ∴*GC*＝*GD*＝*CD*＝，
>
> 由（2）可知，*CD*^2^＝*CE*•*CF*，
>
> ∴*CE*＝＝2，
>
> ∵∠*ECN*＝∠*DGN*，∠*ENC*＝∠*DNG*，
>
> ∴△*ENC*∽△*DNG*，
>
> ∴＝，即＝，
>
> 解得，*NG*＝，
>
> 由勾股定理得，*DN*＝＝．
>
> 
25．【解答】解：（1）将点*A*、*B*的坐标代入抛物线表达式得，解得，
> 故抛物线的表达式为：*y*＝﹣*x*^2^+*x*+4；
>
> （2）由抛物线的表达式知，点*C*（0，4），
>
> 由点*B*、*C*的坐标得，直线*BC*的表达式为：*y*＝﹣*x*+4；
>
> 设点*M*（*m*，0），则点*P*（*m*，﹣*m*^2^+*m*+4），点*Q*（*m*，﹣*m*+4），
>
> ∴*PQ*＝﹣*m*^2^+*m*+4+*m*﹣4＝﹣*m*^2^+*m*，
>
> ∵*OB*＝*OC*，故∠*ABC*＝∠*OCB*＝45°，
>
> ∴∠*PQN*＝∠*BQM*＝45°，
>
> ∴*PN*＝*PQ*sin45°＝（﹣*m*^2^+*m*）＝﹣（*m*﹣2）^2^+，
>
> ∵﹣＜0，故当*m*＝2时，*PN*有最大值为；
>
> （3）存在，理由：
>
> 点*A*、*C*的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则*AC*＝5，
>
> ①当*AC*＝*CQ*时，过点*Q*作*QE*⊥*y*轴于点*E*，
>
> 
>
> 则*CQ*^2^＝*CE*^2^+*EQ*^2^，即*m*^2^+\[4﹣（﹣*m*+4）\]^2^＝25，
>
> 解得：*m*＝±（舍去负值），
>
> 故点*Q*（，）；
>
> ②当*AC*＝*AQ*时，则*AQ*＝*AC*＝5，
>
> 在Rt△*AMQ*中，由勾股定理得：\[*m*﹣（﹣3）\]^2^+（﹣*m*+4）^2^＝25，解得：*m*＝1或0（舍去0），
>
> 故点*Q*（1，3）；
>
> ③当*CQ*＝*AQ*时，则2*m*^2^＝\[*m*＝（﹣3）\]^2^+（﹣*m*+4）^2^，解得：*m*＝（舍去）；
>
> 综上，点*Q*的坐标为（1，3）或（，）．
| 1 | |
**列方程解应用题**
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
** 例1**商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问：胶鞋有多少双？
分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。
设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
** 解：**设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。
7.5x-5.9（46-x）=10，
7.5x-271.4+5.9x=10，
13.4x=281.4，
x=21。
答：胶鞋有21双。
分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以 
答：袋中共有74个球。
在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有x个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例1那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫**直接设元法**；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫**间接设元法**。具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。
** 例3**某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米^3^，灰砖30米^3^，那么，红砖缺40米^3^，灰砖剩40米^3^。问：计划修建住宅多少座？
** 分析与解**一：用直接设元法。设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米^3^，灰砖有（30x+40）米^3^。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程
80x-40=（30x+40）×2，
80x-40=60x+80，
20x=120，
x=6（座）。
** 分析与解**二：用间接设元法。设有灰砖x米^3^，则红砖有2x米^3^。根据修建住宅的座数，列出方程。
（x-40）×80=（2x+40）×30，
80x-3200=60x+1200，
20x=4400，
x=220（米^3^）。
由灰砖有220米^3^，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。
同理，也可设有红砖x米^3^。留给同学们做练习。
** 例4**教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？
** 分析与解**：设最初有x个女生，则男生最初有（x-10）×2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程
x-10=\[（x-10）×2-9\]×5，
x-10=（2x-29）×5，
x-10=10x-145，
9x=135，
x=15（个）。
** 例5**一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。问：共有多少人参加测验？
** 分析与解**：设有x人参加测验。由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
= 5+8+6×（x-16）
= 6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，
3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，
= 3×（x-8）+24+36+10
= 3x+46。
由此可得方程
6x-83=3x+46，
3x=129，
x=43（人）。
** 例6**甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。求每人可免费携带的行李重量。
** 分析与解**：设每人可免费携带x千克行李。一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付4÷（150-3x）元；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付8÷（150-x）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程
4÷（150-3x）=8÷（150-x），
4×（150-x）=8×（150-3x），
600-4x=1200-24x，
20x=600，
x=30（千克）。
**练习23**
还剩60元。问：甲、乙二人各有存款多少元？
有多少溶液？
3.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？
4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？
5.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少个学生？
含金多少克？
7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。这群羊原来有多少只？
**练习23**
1.甲72元，乙28元。
提示：设甲有存款x元，可得方程
2.甲1600克，乙1000克。
提示：设甲容器原有x克，可得方程
3.80吨。
解：设小池注满水为x吨，则大池注满水为1.5x吨。由两池共有水量，可列方程1.5x+5=x+30。
解得=50。两池共有水50+30=80（吨）。
4.14个男孩，8个女孩。
提示：设有x个男孩。因为每个人看不到自己的帽子，根据男孩看的情况，有女孩（x-5-1）个。再根据女孩看的情况，可列方程x=［（x-5-l）-1］×2。
5.50个。 解：设原有女生x个。根据男生人数可列方程（x-10）×1.5=（x-20）×4。
解得x=26。男生有（26-20）×4=24（个），共有学生26+24=50（个）。
6.380克。
解：设含金x克，则含银（500-x）克。根据减轻的重量可列方程
解得x=380（克）。
7.49只。
解：设这群羊原有x只。由原有公羊只数可得方程
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**北师大版小学二年级下册数学第三单元《方向与位置》单元测试1（附答案）**
一、 。(30分)
1．绘制地图或平面示意图要标明方向，通常把图纸的( )方定为南。
2．北风是由( )向( )吹，西南风是由( )向( )吹。
3．按顺时针写出8个方向依次是东、( )、( )、( )、( )、( )、( )、
( )。
4．学校在代强家西北方，也可以说成代强家在学校的( )方。
5．东与( )相对，东南与( )相对。
二、 。(8分)
1．用来辨认方向的是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．计算机
B．天平
C．指南针
2．刘楠家在齐涛家东150米处，刘楠向( )走150米就到齐涛家。
A．东 B．西来源：www.bcjy123.com/tiku/
C．南 D．北
3．今天刮的是西南风，说明风是( )。
A．从西往东刮
B．从西北往西南刮
C．从西南往东北刮
4．当你面向北极星方向时，你的左边是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．东方 B．西方
C．南方 D．北方
三、 。(16分)
1．市政府在公园的( )面，在学校的( )面，在纪念碑的( )面，在教堂的
( )面。
2．面包房在市政府的( )面，天文馆在科技馆的( )面，文化宫的西南面有
( )和( )。
四、 。(23分)
1．(10分)小军从中心广场出发，向( )行驶( )站到科技城，再向（ )行驶
> ( )站到游泳馆，再向( )行驶( )站到邮局，再向( )行驶( )站到骨病医院，再向( )行驶( )站到图书馆。
2．(8分)你能说一说小军从图书馆返回到中心广场的路线吗？
3．(5分)小亮坐了3站，在游泳馆下车，他可能是从哪站上车的？
五、 50 。 "△" 。(5分)
六、(填序号)(18分)
结果小于10的家住西北边，10～20的家住东北边，21～30的家住西南边，大于30的
家住东南边。
。(10分)
操场南边有15名同学在玩，从北边跑来9名同学，这时操场南、北两边同学的人数相等，问：操场上一共有多少名同学？
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**山西省2020年中考数学试题**
**第I卷 选择题（共30分）**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）**
1.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．
【详解】解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．\
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形；\
B、不是轴对称图形；\
C、不是轴对称图形；\
D、是轴对称图形；\
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误．
故答案为C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键．
4.下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．
【详解】、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意；
、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
、左视图，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法．
5.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
6.不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出各不等式的解集，最后再确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得x＞3
由②得x＞5
所以不等式组的解集为x＞5．
故答案为A．
【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的解法和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键．
7.已知点，，都在反比例函数图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【详解】解： 反比例函数，
反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，
则．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
8.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，
所以则图中摆盘的面积
故选B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
9.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
10.如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据"顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形"，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S~菱形EFGH~===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S~矩形MOPN~=OPMO=ab，
∴S~阴影~= S~菱形EFGH~-S~矩形MOPN~=2ab-ab=ab，
∵S~矩形ABCD~=ABBC=2a2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选B．
【点睛】本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．
**第II卷 非选择题（共90分）**
**二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）**
11.计算： \_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
原式=2+2+3−2=5.
故答案为5.
12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有\_\_\_\_\_\_\_个三角形（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形\...依此类推即可解答．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有3+1=4个三角形，
第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，
第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，
\...
第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．
故答案为（3n+1）．
【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．
13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
---- -- -- -- -- -- --
甲
乙
---- -- -- -- -- -- --
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是\_\_\_\_\_\_．
【答案】甲
【解析】
【分析】
直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案．
【详解】解：~甲~===12，
~乙~===12，
甲的方差为=，
乙的方差为=，
∵，
即甲的方差\<乙的方差，
∴甲的成绩比较稳定．
故答案为甲．
【点睛】本题考查了方差的定义．一般地，设n个数据，的平均数为，则方差为 ．
14.如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:,
解得*a*=10－2*x*,*b*=6－*x*,代入*ab*=24中得: (10－2*x*)(6－*x*)=24,
整理得:2*x*^2^－11*x*+18=0．
解得*x*=2或*x*=9(舍去)．
故答案为2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．
15.如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
**三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）**
16.（1）计算：
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第\_\_\_\_\_步是进行分式的通分，通分的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_或填为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
②第\_\_\_\_\_步开始出现错误，这一步错误的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）1；（2）任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是""号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．
【解析】
【分析】
（1）先分别计算乘方，与括号内的加法，再计算乘法，再合并即可得到答案；
（2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．
【详解】解：（1）原式
（2）任务一：
①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
②五；括号前是""号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：五；括号前是""号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
解；
．
任务三：
解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．
17.年月份，省城太原开展了"活力太原·乐购晋阳"消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．
【答案】该电饭煲的进价为元
【解析】
【分析】
根据满元立减元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
【详解】解：设该电饭煲的进价为元
根据题意，得
解，得．
答；该电饭煲的进价为元
【点睛】本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．
18.如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．
【答案】45°，22.5°
【解析】
【分析】
连接OB,即可得,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．
【详解】
解：连接．
与相切于点，
．．
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
．
【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换．
19.年国家提出并部署了"新基建"项目，主要包含"特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩"等．《新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了"新基建"中五大细分领域（基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中年"新基建"七大领域预计投资规模的中位数是\_\_\_\_\_\_亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了"基站建设"和"人工智能"作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对"新基建"很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（基站建设）和（人工智能）的概率．
W G D R X
【答案】（1）；（2）甲更关注在线职位增长率，在"新基建"五大细分领域中，年第一季度"基站建设"在线职位与年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在"新基建"五大细分领域中，"人工智能"在年预计投资规模最大；（3）
【解析】
【分析】
(1)根据中位数的定义判断即可．
(2)根据图象分析各个优势,表达出来即可．
(3)利用列表法或树状图的方法算出概率即可．
【详解】(1)将数据从小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位数为:．
故答案为:300
(2)解：甲更关注在线职位增长率，在"新基建"五大细分领域中，年第一季度"基站建设"在线职位与年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在"新基建"五大细分领域中，"人工智能"在年预计投资规模最大
(3)解：列表如下：
+--------+---+---+---+---+---+
| 第二张 | | | | | |
| | | | | | |
| 第一张 | | | | | |
+--------+---+---+---+---+---+
| | | | | | |
+--------+---+---+---+---+---+
| | | | | | |
+--------+---+---+---+---+---+
| | | | | | |
+--------+---+---+---+---+---+
| | | | | | |
+--------+---+---+---+---+---+
| | | | | | |
+--------+---+---+---+---+---+
或画树状图如下：
由列表(或画树状图)可知一共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到""和""的结果有种．
所以，(抽到""和"")．
【点睛】本题考查统计图的数据分析及概率计算,关键在于从图像中获取有用信息．
20.阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| ×年×月×日 星期日 |
| |
| 没有直角尺也能作出直角 |
| |
| 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ |
| |
| 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． |
| |
|   |
| |
| 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． |
| |
|  |
| |
| 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ |
| |
| ...... |
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
任务：
（1）填空；"办法一"依据的一个数学定理是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）根据"办法二"的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用说明△*DCE*是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）解：①如图，直线即为所求；
图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形"三线合一"）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
21.图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的"圆弧翼"，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【解析】
【分析】
（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据"一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟"列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．
【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．
由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．
在中，，，，
，
．
．
与之间的距离为．
（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得
解，得．
经检验是原方程的解
当时，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得．
解，得
经检验是原方程的解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质．
22.综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明；
（2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答；
（3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形是正方形
理由：由旋转可知：，，
又，
四边形是矩形．
∵．
四边形是正方形；
（2）．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
．
四边形是正方形，
，．
，
．
．
∵，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB^2^=BE^2^+AE^2^，即15^2^=x^2^+（x+3）^2^，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cos∠1=
∴sin∠2= ,cos∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE=．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键．
23.综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．
【详解】解：（1）令
，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：
解得：
直线的函数表达式为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．
，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去）
当时，．
点的坐标为
②当时，得．
解得：，（舍去）
当时，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或
（3）解：直线与轴交于点，
点坐标为．
分两种情况：
①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．
过点作直线，垂足为．则，
，
．
即
．
又，，
．
连接，点的坐标为，点的坐标为，
轴
．
，．
．
．
点的坐标为．
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，
则，
，．
．
即
．
又，，
．．
由①可知，．．
．
．
点坐标为
点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
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{width="0.3611111111111111in" height="0.4027777777777778in"}**绝密★考试结束前**
2020年1月浙江省普通高校招生**选考**科目考试
**化学试题**
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 \
Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Mn 55 Fe 56 Cu 64 I 127 Ba 137
**选择题部分**
**一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）**
1．有共价键的离子化合物是
> A．Na~2~O~2~ B．H~2~SO~4~ C．CH~2~Cl~2~ D．SiC
2．萃取碘水中的碘并分液，需要用到的仪器是
> A． B． C． D．
3．下列属于有机物，又是电解质的是
> A．己烷 B．乙酸 C．葡萄糖 D．纯碱
4．反应MnO~2~＋4HCl(浓)MnCl~2~＋Cl~2~↑＋2H~2~O中，氧化产物是
> A．MnO~2~ B．HCl C．MnCl~2~ D．Cl~2~
5．下列物质的名称不正确的是
> A．NaOH：烧碱 B．FeSO~4~：绿矾
>
> C．：甘油 D．：3−甲基己烷
6．下列表示不正确的是
> A．羟基的电子式： B．乙烯的结构简式：CH~2~CH~2~
>
> C．氯原子的结构示意图： D．NH~3~分子的球棍模型：{width="0.5201388888888889in" height="0.2916666666666667in"}
7．下列说法不正确的是
> A．O和O互为同位素
>
> B．金刚石和石墨互为同素异形体
>
> C．{width="0.6770833333333334in" height="0.5201388888888889in"}和{width="0.8958333333333334in" height="0.5201388888888889in"}互为同系物
>
> D．CH~3~COOCH~2~CH~3~和CH~3~CH~2~CH~2~COOH互为同分异构体
8．下列说法不正确的是
> A．二氧化硅导电能力强，可用于制造光导纤维
>
> B．石灰石在高温下可用于消除燃煤烟气中的SO~2~
>
> C．钠着火不能用泡沫灭火器灭火
>
> D．利用催化剂可减少汽车尾气中有害气体的排放
9．下列说法不正确的是
> A．\[Cu(NH~3~)~4~\]SO~4~可通过CuSO~4~溶液与过量氨水作用得到
>
> B．铁锈的主要成分可表示为Fe~2~O~3~·*n*H~2~O
>
> C．钙单质可以从TiCl~4~中置换出Ti
>
> D．可用H~2~还原MgO制备单质Mg
10．下列说法不正确的是
> A．天然气的主要成分甲烷是高效、较洁净的燃料
>
> B．石油的分馏、煤的气化和液化都是物理变化
>
> C．石油的裂化主要是为了得到更多的轻质油
>
> D．厨余垃圾中蕴藏着丰富的生物质能
11．下列有关实验说法，不正确的是
> A．碱液不慎溅到手上，先用大量水冲洗，再用饱和硼酸溶液洗，最后用水冲洗
>
> B．KCl和MnO~2~的混合物经溶解、过滤、洗涤、干燥，可分离出MnO~2~
>
> C．用容量瓶配制溶液，定容时若加水超过刻度线，立即用滴管吸出多余液体
>
> D．火柴头的浸泡液中滴加AgNO~3~溶液、稀HNO~3~和NaNO~2~溶液，可检验火柴头是否含有氯元素
12．下列关于铝及其化合物说法，不正确的是
> A．明矾可用作净水剂和消毒剂 B．利用铝热反应可冶炼高熔点金属
>
> C．铝可用作包装材料和建筑材料 D．氢氧化铝可用作治疗胃酸过多的药物
13．不能正确表示下列变化的离子方程式是
> A．BaCO~3~溶于盐酸：BaCO~3~＋2H^+^Ba^2+^＋CO~2~↑＋H~2~O
>
> B．FeCl~3~溶液腐蚀铜板：2Fe^3+^＋Cu2Fe^2+^＋Cu^2+^
>
> C．苯酚钠溶液中通入少量CO~2~：2{width="0.6145833333333334in" height="0.3958333333333333in"}＋CO~2~＋H~2~O2{width="0.65625in" height="0.3854166666666667in"}＋CO
>
> D．醋酸钠水解：CH~3~COO^−^＋H~2~OCH~3~COOH＋OH^−^
14．下列说法不正确的是
> A．强酸、强碱、重金属盐等可使蛋白质变性
>
> B．用新制氢氧化铜悬浊液(必要时可加热)能鉴别甲酸、乙醇、乙醛
>
> C．乙酸乙酯中混有的乙酸，可加入足量的饱和Na~2~CO~3~溶液，经分液除去
>
> D．向苯和苯酚的混合液中加入浓溴水，充分反应后过滤，可除去苯中少量的苯酚
15．下列关于{width="1.8229166666666667in" height="0.9270833333333334in"}的说法，正确的是
> A．该物质可由*n*个单体分子通过缩聚反应生成
>
> B．0.1 mol该物质完全燃烧，生成33.6 L(标准状况)的CO~2~
>
> C．该物质在酸性条件下水解产物之一可作汽车发动机的抗冻剂
>
> D．1 mol该物质与足量NaOH溶液反应，最多可消耗3*n* mol NaOH
16．下列说法正确的是
> A．同一原子中，在离核较远的区域运动的电子能量较高
>
> B．原子核外电子排布，先排满K层再排L层、先排满M层再排N层
>
> C．同一周期中，随着核电荷数的增加，元素的原子半径逐渐增大
>
> D．同一周期中，ⅡA与ⅢA族元素原子的核电荷数都相差1
17．下列说法不正确的是
> A．pH＞7的溶液不一定呈碱性
>
> B．中和pH和体积均相等的氨水、NaOH溶液，所需HCl的物质的量相同
>
> C．相同温度下，pH相等的盐酸、CH~3~COOH溶液中，*c*(OH^−^)相等
>
> D．氨水和盐酸反应后的溶液，若溶液呈中性，则*c*(Cl^−^)＝*c*(NH)
{width="1.3541666666666667in" height="1.2368055555555555in"}18．在氯碱工业中，离子交换膜法电解饱和食盐水示意图如下，\
下列说法不正确的是
> A．电极A为阳极，发生氧化反应生成氯气
>
> B．离子交换膜为阳离子交换膜
>
> C．饱和NaCl溶液从a处进，NaOH溶液从d处出
>
> D．OH^−^迁移的数量等于导线上通过电子的数量
19．在干燥的HCl气流中加热MgCl~2~·6H~2~O，能得到无水MgCl~2~。下列说法不正确的是
> A．MgCl~2~·*n*H~2~O(s)MgCl~2~·(*n*－1)H~2~O(s)＋H~2~O(g) **Δ*H***＞0
>
> B．MgCl~2~·2H~2~O(s)Mg(OH)~2~(s)＋2HCl(g)，HCl气流可抑制反应进行
>
> C．MgCl~2~·H~2~O(s)Mg(OH)Cl(s)＋HCl(g)，升高温度，反应更易发生
>
> D．MgCl~2~·4H~2~O(s)MgCl~2~·2H~2~O(s)＋2H~2~O(g)，HCl气流可抑制反应进行
20．设\[*a*X＋*b*Y\]为*a*个X微粒和*b*个Y微粒组成的一个微粒集合体，*N*~A~为阿伏加德罗常数的值。下列说法不正确的是
> A．H~2~(g)＋O~2~(g)H~2~O(l) **Δ*H*＝－286** kJ·mol^−1^，则每1 mol \[H~2~(g)＋O~2~(g)\]\
> 生成1 mol \[H~2~O(g)\]放热286 kJ
>
> B．Cr~2~O＋*n*e^−^＋14H^+^2Cr^3+^＋7H~2~O，则每生成1 mol Cr^3+^转移电子数为3*N*~A~
>
> C．Al^3+^＋4OH^−^\[Al(OH)~4~\]^−^，说明1 mol Al(OH)~3~电离出H^+^数为*N*~A~
>
> D．1 mol CO~2~与NaOH溶液完全反应，则*n*(CO)＋*n*(HCO)＋*n*(H~2~CO~3~)＝1 mol
21．一定温度下，在2 L的恒容密闭容器中发生反应A(g)＋2B(g)3C(g)。反应过程中的部分数据如下表所示：
+---------+--------+--------+--------+
| *n*/mol | *n*(A) | *n*(B) | *n*(C) |
| | | | |
| *t*/min | | | |
+---------+--------+--------+--------+
| 0 | 2.0 | 2.4 | 0 |
+---------+--------+--------+--------+
| 5 | | | 0.9 |
+---------+--------+--------+--------+
| 10 | 1.6 | | |
+---------+--------+--------+--------+
| 15 | | 1.6 | |
+---------+--------+--------+--------+
> 下列说法正确的是
>
> A．0～5 min用A表示的平均反应速率为0.09 mol·L^−1^·min^−1^
>
> B．该反应在10 min后才达到平衡
>
> C．平衡状态时，*c*(C)＝0.6 mol·L^−1^
>
> D．物质B的平衡转化率为20%
{width="1.4791666666666667in" height="1.28125in"}22．在一定温度下，某反应达到了化学平衡，其反应过程对应的能量变化如图。\
下列说法正确的是
> A．*E*~a~为逆反应活化能，*E*为正反应活化能
>
> B．该反应为放热反应，**Δ*H***＝*E*－*E*~a~
>
> C．所有活化分子的平均能量高于或等于\
> 所有分子的平均能量
>
> D．温度升高，逆反应速率加快幅度大于\
> 正反应加快幅度，使平衡逆移
{width="1.7291666666666667in" height="1.6458333333333333in"}23．室温下，向20.00 mL 0.1000 mol·L^−1^盐酸中滴加\
0.1000 mol·L^−1^ NaOH溶液，溶液的pH随NaOH\
溶液体积的变化如图。已知lg5＝0.7。\
下列说法不正确的是
> A．NaOH与盐酸恰好完全反应时，pH＝7
>
> B．选择变色范围在pH突变范围内的指示剂，\
> 可减小实验误差
>
> C．选择甲基红指示反应终点，误差比甲基橙的大
>
> D．*V*(NaOH)＝30.00 mL时，pH＝12.3
24．100%硫酸吸收SO~3~可生成焦硫酸(分子式为H~2~S~2~O~7~或H~2~SO~4~·SO~3~)。\
下列说法不正确的是
> A．焦硫酸具有强氧化性
>
> B．Na~2~S~2~O~7~水溶液呈中性
>
> C．Na~2~S~2~O~7~可与碱性氧化物反应生成新盐
>
> D．100%硫酸吸收SO~3~生成焦硫酸的变化是化学变化
25．某固体混合物X，含有Al~2~(SO~4~)~3~、FeCl~3~、Na~2~CO~3~和CuSO~4~中的几种，进行如下实验：
> ①X与水作用有气泡冒出，得到有色沉淀Y和弱碱性溶液Z；
>
> ②沉淀Y与NaOH溶液作用，无变化。
>
> 下列说法不正确的是
>
> A．混合物X中必定含有Na~2~CO~3~，不含Al~2~(SO~4~)~3~
>
> B．溶液Z中溶质主要是钠盐，且必含NaHCO~3~
>
> C．灼烧沉淀Y，可以得到黑色物质
>
> D．往溶液Z中加入Cu粉，若不溶解，说明X中不含FeCl~3~
**非选择题部分**
**二、非选择题（本大题共6小题，共50分）**
26．(4分)(1) 比较给出H^+^能力的相对强弱：H~2~O\_\_\_\_\_\_\_\_ C~2~H~5~OH(填")"、"＜"或"＝")；用一个化学方程式说明OH^−^和C~2~H~5~O^−^结合H^+^能力的相对强弱\_\_\_\_\_\_\_\_。
> \(2\) CaC~2~是离子化合物，各原子均满足8电子稳定结构。写出CaC~2~的电子式\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(3\) 在常压下，甲醇的沸点(65℃)比甲醛的沸点(－19℃)高。主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
27．(4分)为测定FeC~2~O~4~·2H~2~O(M＝180 g·mol^−1^)样品的纯度，用硫酸溶解6.300 g样品，定容至250 mL。取25.00 mL溶液，用0.1000 mol·L^−1^ KMnO~4~标准溶液滴定至终点。重复实验，数据如下：
------ --------------- -----------------
序号 滴定前读数/mL 滴定终点读数/mL
1 0.00 19.98
2 1.26 22.40
3 1.54 21.56
------ --------------- -----------------
> 已知：3MnO＋5FeC~2~O~4~·2H~2~O＋24H^+^3Mn^2+^＋5Fe^3+^＋10CO~2~↑＋22H~2~O\
> 假设杂质不参加反应。
>
> 该样品中FeC~2~O~4~·2H~2~O的质量分数是\_\_\_\_\_\_\_\_%(保留小数点后一位)；
>
> 写出简要计算过程：\_\_\_\_\_\_\_\_
28．(10分)
> Ⅰ．由三种元素组成的化合物A，按如下流程进行实验。气体B为纯净物，溶液C焰色反应为砖红色，气体E能使湿润的红色石蕊试纸变蓝。
>
> {width="4.708333333333333in" height="1.0625in"}
>
> 请回答：
>
> \(1\) 组成A的三种元素是\_\_\_\_\_\_\_\_，A的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(2\) 固体A与足量稀盐酸反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(3\) 气体E与甲醛在一定条件下可生成乌洛托品({width="0.7395833333333334in" height="0.6145833333333334in"}学名：亚甲基四胺)，该反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_(乌洛托品可以用分子式表示)。
>
> Ⅱ．某兴趣小组为探究H~2~S和Cl~2~O的性质，将两种气体同时通入水中，实验装置如图：
>
> {width="3.1979166666666665in" height="1.3958333333333333in"}
>
> 请回答：
>
> \(1\) 三颈瓶中出现淡黄色沉淀，溶液呈强酸性，用一个化学方程式表示\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(2\) 若通入水中的Cl~2~O已过量，设计实验方案检验\_\_\_\_\_\_\_\_。
29．(10分)研究NO*~x~*之间的转化具有重要意义。
> \(1\) 已知：N~2~O~4~(g)2NO~2~(g) **Δ*H***＞0
>
> 将一定量N~2~O~4~气体充入恒容的密闭容器中，控制反应温度为*T*~1~。
>
> ①下列可以作为反应达到平衡的判据是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> A．气体的压强不变 B．*v*~正~(N~2~O~4~)＝2*v*~逆~(NO~2~) C．*K*不变
>
> D．容器内气体的密度不变 E．容器内颜色不变
>
> ②*t*~1~时刻反应达到平衡，混合气体平衡总压强为*p*，N~2~O~4~气体的平衡转化率为75%，则反应N~2~O~4~(g)2NO~2~(g)的平衡常数*K~p~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_(对于气相反应，用某组分B的平衡压强*p*(B)代替物质的量浓度*c*(B)也可表示平衡常数，记作*K~p~*，如*p*(B)＝*p*·*x*(B)，*p*为平衡总压强，*x*(B)为平衡系统中B的物质的量分数)。
>
> ③反应温度*T*~1~时，*c*(N~2~O~4~)随*t*(时间)变化曲线如图1，画出0～*t*~2~时段，*c*(NO~2~)随*t*变化曲线。
>
> 保持其它条件不变，改变反应温度为*T*~2~(*T*~2~＞*T*~1~)，再次画出0～*t*~2~时段，*c*(NO~2~)随*t*变化趋势的曲线。
>
> {width="2.3645833333333335in" height="1.5520833333333333in"}
>
> \(2\) NO氧化反应：2NO(g)＋O~2~(g)2NO~2~(g)分两步进行，其反应过程能量变化示意图如图2。
>
> Ⅰ 2NO(g)N~2~O~2~(g) **Δ*H***~1~
>
> Ⅱ N~2~O~2~(g)＋O~2~(g)2NO~2~(g) **Δ*H***~2~
>
> ①决定NO氧化反应速率的步骤是\_\_\_\_\_\_\_\_(填"Ⅰ"或"Ⅱ")。
>
> {width="1.9479166666666667in" height="1.59375in"} {width="1.875in" height="1.6979166666666667in"}
>
> ②在恒容的密闭容器中充入一定量的NO和O~2~气体，保持其它条件不变，控制反应温度分别为*T*~3~和*T*~4~(*T*~4~＞*T*~3~)，测得*c*(NO)随*t*(时间)的变化曲线如图3。
>
> 转化相同量的NO，在温度\_\_\_\_\_\_\_\_(填"*T*~3~"或"*T*~4~")下消耗的时间较长，试结合反应过程能量图(图2)分析其原因\_\_\_\_\_\_\_\_。
30．(10分)碘化锂(LiI)在能源、医药等领域有重要应用，某兴趣小组制备LiI·3H~2~O和LiI，流程如下：
> 已知：
>
> a．LiI·3H~2~O在75～80℃转变成LiI·2H~2~O，80～120℃转变成LiI·H~2~O，300℃以上转变成无水LiI。
>
> b．LiI易溶于水，溶解度随温度升高而增大。
>
> c．LiI在空气中受热易被氧化。
>
> 请回答：
>
> \(1\) 步骤Ⅱ，调pH＝7，为避免引入新的杂质，适宜加入的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(2\) 步骤Ⅲ，包括蒸发浓缩、冷却结晶、过滤、洗涤、干燥等多步操作。\
> 下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> A．为得到较大的LiI·3H~2~O晶体颗粒，宜用冰水浴快速冷却结晶
>
> B．为加快过滤速度，得到较干燥的晶体，可进行抽滤
>
> C．宜用热水洗涤
>
> D．可在80℃鼓风干燥
>
> \(3\) 步骤Ⅳ，脱水方案为：将所得LiI·3H~2~O置入坩埚中，300℃加热，得LiI样品。用沉淀滴定法分别测定所得LiI·3H~2~O、LiI样品纯度，测定过程如下：称取一定量样品，溶解，定容于容量瓶，将容量瓶中的溶液倒入烧杯，用移液管定量移取烧杯中的溶液加入锥形瓶，调pH＝6，用滴定管中的AgNO~3~标准溶液滴定至终点，根据消耗的AgNO~3~标准溶液体积计算，得LiI·3H~2~O、LiI的纯度分别为99.96%、95.38%。LiI纯度偏低。
>
> ①上述测定过程提及的下列仪器，在使用前一定不能润洗的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> A．容量瓶 B．烧杯 C．锥形瓶 D．滴定管
>
> ②测定过程中使用到移液管，选出其正确操作并按序列出字母：蒸馏水洗涤→\
> 待转移溶液润洗→(\_\_\_\_)→(\_\_\_\_)→(\_\_\_\_)→(\_\_\_\_)→洗净，放回管架。
>
> a．移液管尖与锥形瓶内壁接触，边吹气边放液
>
> b．放液完毕，停留数秒，取出移液管
>
> c．移液管尖与锥形瓶内壁接触，松开食指放液
>
> {width="1.1354166666666667in" height="1.2916666666666667in"}d．洗耳球吸溶液至移液管标线以上，食指堵住管口
>
> e．放液完毕，抖动数下，取出移液管
>
> f．放液至凹液面最低处与移液管标线相切，按紧管口
>
> ③LiI纯度偏低，可能的主要杂质是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(4\) 步骤Ⅳ，采用改进的实验方案(装置如图)，可以提高LiI纯度。
>
> ①设备X的名称是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> ②请说明采用该方案可以提高LiI纯度的理由\_\_\_\_\_\_\_\_。
31．(12分)某研究小组以芳香族化合物A为起始原料，按下列路线合成高血压药物阿甘洛尔。
> {width="5.427083333333333in" height="1.4270833333333333in"}
>
> 已知：化合物H中除了苯环还有其它环；
>
> {width="2.0416666666666665in" height="0.6145833333333334in"}；RCOORRCONH~2~
>
> 请回答：
>
> \(1\) 下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> A．化合物D能发生加成、取代、氧化反应，不发生还原反应
>
> B．化合物E能与FeCl~3~溶液发生显色反应
>
> C．化合物I具有弱碱性
>
> D．阿甘洛尔的分子式是C~14~H~20~N~2~O~3~
>
> \(2\) 写出化合物E的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(3\) 写出F＋G→H的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(4\) 设计从A到B的合成路线(用流程图表示，无机试剂任选)\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> \(5\) 写出化合物C同时符合下列条件的同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> ①^1^H−NMR谱和IR谱检测表明：分子中共有4种氢原子，无氮氧键和碳氮双键；
>
> ②除了苯环外无其他环。
**化学试题参考答案**
**一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分）**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10**
**答案** **A** **A** **B** **D** **B** **B** **C** **A** **D** **B**
**题号** **11** **12** **13** **14** **15** **16** **17** **18** **19** **20**
**答案** **C** **A** **C** **D** **C** **A** **B** **D** **D** **C**
**题号** **21** **22** **23** **24** **25**
**答案** **C** **D** **C** **B** **D**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
**二、非选择题（本大题共6小题，共50分）**
---------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**26．(4分)**
**(1)** **＞**
**C~2~H~5~ONa＋H~2~ONaOH＋C~2~H~5~OH**
**(2)**
**(3)** **甲醇分子间存在氢键**
**27．(4分)**
**(1)** **95.23**
**(2)** **×100%＝\
95.2%**
**28．(10分)**
**Ⅰ．(1)** **Ca、H和N**
**Ca~2~HN**
**(2)** **Ca~2~HN＋5HCl2CaCl~2~＋H~2~↑＋NH~4~Cl**
**(3)** **4NH~3~＋6HCHO**{width="0.5833333333333334in" height="0.5513888888888889in"}**(或C~6~H~12~N~4~)＋6H~2~O**
**Ⅱ．(1)** **2H~2~S＋Cl~2~O2S↓＋2HCl＋H~2~O**
**(2)** **用玻璃棒蘸取清液，点到KI−淀粉试纸上，如果变蓝(或变蓝后再褪色)，说明Cl~2~O过量**
---------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
考试时间：2020年1月7日
**\
**
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **29．(10分)** | |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(1)** | **①AE** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | **②*p*** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | **③**{width="2.3541666666666665in" height="1.3618055555555555in"} |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(2)** | **①Ⅱ** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | **②*T*~4~** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | > **Δ*H*~1~＜0，温度升高，反应Ⅰ平衡逆移，*c*(N~2~O~2~)减小；浓度降低的影响大于温度对反应Ⅱ速率的影响** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **30．(10分)** | |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(1)** | **LiOH** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(2)** | **B** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(3)** | **①AC** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | **②d f c b** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | **③Li~2~O** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(4)** | **①抽气泵** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | **②抽除空气，避免LiI被氧化；减压，有利脱水** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **31．(12分)** | |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(1)** | **BC** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(2)** | {width="1.9583333333333333in" height="0.34375in"} |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(3)** | {width="1.46875in" height="0.4791666666666667in"}**＋**{width="1.0833333333333333in" height="0.40625in"}**\ |
| | **{width="2.21875in" height="0.59375in"}**＋HCl** |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(4)** | {width="0.4166666666666667in" height="0.8333333333333334in"}{width="0.5625in" height="0.8333333333333334in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.8333333333333334in"}{width="0.8645833333333334in" height="0.8333333333333334in"} |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **(5)** | {width="0.6354166666666666in" height="1.0520833333333333in"} {width="0.6354166666666666in" height="1.0520833333333333in"} {width="0.6354166666666666in" height="1.0520833333333333in"} {width="0.53125in" height="1.0520833333333333in"} |
+----------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | |
**2008年普通高等学校统一考试（**浙江**卷）**
数学(文科)试题
第Ⅰ卷 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合则=
\(A\) (B)
\(C\) (D)
(2)函数的最小正周期是
（A） （B） (C) (D)
(3)已知*a*,*b*都是实数，那么""是"*a*\>*b*"的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）已知{a~n~}是等比数列，,则公比q=
\(A\) (B)-2 (C)2 (D)
(5)已知
\(A\) (B) (C) (D)
(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
（7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（8）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是
（A）3 （B）5 （C） （D）
（9）对两条不相交的空间直线*a*与*b*,必存在平面α,使得
（A） （B）∥α
（C） (D)
(10)若且当时,恒有,则以a,b为坐标的点*P(a,b)*所形成的平面区域的面积是
\(A\) (B) (C)1 (D)
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）已知函数 [ ]{.underline} .
(12)若 [ ]{.underline} .
(13)已知*F*~1~、*F*~2~为椭圆的两个焦点，过*F*~1~的直线交椭圆于*A*、*B*两点
若\|*F*~2~*A*\|+\|*F*~2~*B*\|=12，则\|*AB*\|= [ ]{.underline} 。
（14）在△*ABC*中，角*A、B、C*所对的边分别为*a、b、c*。若则cos *A*= [ ]{.underline} .
(15)如图，已知球*O*的面上四点，*DA*⊥平面*ABC*。
 *AB*⊥*BC*，*DA=AB=BC=*，则球*O*的体积等于 [ ]{.underline} 。
（16）已知*a*是平面内的单位向量，若向量*b*满足*b*·(*a*-*b*)=0*,*
则\|*b*\|的取值范围是 [ ]{.underline} .
（17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻。这样的六位数的个数是 [ ]{.underline} （用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（18）（本题14分）
已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：
（Ⅰ）*p*,*q*的值；
(Ⅱ) 数列前*n*项和的公式。
（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.求：
 （Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。
（20）（本题14分）如图，矩形*ABCD*和梯形*BEFC*所在平面互相垂直，
,∠*BCF*=∠*CEF*=90°,*AD*=
（Ⅰ）求证：*AE*∥平面*DCF*；
（Ⅱ）当*AB*的长为何值时，二面角*A-EF-C*的大小为60°？
（21）（本题15分）已知a是实数，函数.
（Ⅰ）若*f^1^*(1)=3,求a的值及曲线在点处的切线
方程；
（Ⅱ）求在区间\[0，2\]上的最大值。
（22）（本题15分）已知曲线*C*是到点和到直线
距离相等的点的轨迹，*l*是过点*Q*（-1，0）的直线，
*M*是*C*上（不在*l*上）的动点；*A、B*在*l*上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线*C*的方程；
（Ⅱ）求出直线*l*的方程，使得为常数。
**2008年普通高等学校统一考试（**浙江卷）数学(文)试题答案解析
一、**选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分**
**1.** 答案：
解析：本小题主要考查集合运算。由=
**2.** 答案：B
解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为：，故其周期为
**3.** 答案：D
解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题"\>b"既不能推出 "\>b"；反之，由"\>b"也不能推出""。故""是"\>b"的既不充分也不必要条件。
**4.** 答案：D
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
**5.** 答案：C
解析：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。由,且，∴，∴ 。
**6.** 答案：
解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含的项的系数为
**7.** 答案：C
解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：  =作出原函数图像，截取部分，其与直线的交点个数是2个.
**8.** 答案：D
解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离为，依题即，∴双曲线的离心率
**9.** 答案：B
解析：本小题主要考查立体几何中线面关系问题。∵两条不相交的空间直线和，∴存在平面，使得。
**10.** 答案：C
解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．**
**11.** 答案：2
解析：本小题主要考查知函数解析式，求函数值问题。代入求解即可。
**12.** 答案：
解析：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用。由可知，；而。
**13. 答案：8**
解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线过椭圆的 左焦点,在中，，又，∴
**14. 答案：**
解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：,即,∴
**15. 答案：**
解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。
**16.** 答案：
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。依题，即
，∴且，又为单位向量，∴，
∴∴
**17.** 答案：40
解析：：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，∴不同的安排方案共有种。
三、解答题
**18.**本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分14分。
（Ⅰ）解：由
> Ⅱ
*p*=1,*q*=1
(Ⅱ)解：
**19.**本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。
（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为
> 记"从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球"为事件*A*，则
>
> （Ⅱ）解：记"从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球"为事件*B*。
>
> 设袋中白球的个数为*x*，则
>
> 得到 *x*=5
**20.**本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。
方法一：
（Ⅰ）证明：过点*E*作*EG*⊥*CF*并*CF*于*G*，连结*DG*，可得四边形*BCGE*为矩形。又*ABCD*为矩形，
所以*AD*⊥∥*EG*,从而四边形*ADGE*为平行四边形，故*AE*∥*DG*。
因为*AE*平面*DCF*，*DG*平面*DCF*，所以*AE*∥平面*DCF*。
（Ⅱ）解：过点*B*作*BH*⊥*EF*交*FE*的延长线于*H*，连结*AH*。
由平面*ABCD*⊥平面*BEFG*，*AB*⊥*BC*，得
*AB*⊥平面*BEFC*，
从而 *AH*⊥*EF*，
所以∠*AHB*为二面角A-EF-C的平面角。
在Rt△*EFG*中，因为*EG*=*AD*=
又因为*CE*⊥*EF*，所以*CF*=4，
从而 *BE*=*CG*=3。
**于是***BH*=*BE*·sin∠*BEH*=
因为*AB*=*BH*·tan∠*AHB*,
所以当*AB*为时，二面角*A-EF-G*的大小为60°.
方法二：
如图，以点*C*为坐标原点，以*CB、CF*和*CD*分别
作为*x*轴、*y*轴和*z*轴，建立空间直角坐标系*C-xyz*.
设*AB=a,BE=b,CF=c*,
则*C*（0，0，0），*A*（
（Ⅰ）证明：
所以
所以*CB*⊥平面*ABE*。
因为*GB*⊥平面*DCF*，所以平面*ABE*∥平面*DCF*
故*AE*∥平面*DCF*
（II）解：因为，
所以，从而
解得*b*＝3，*c*＝4．
所以．
设与平面*AEF*垂直，
则 ，
解得 ．
又因为*BA*⊥平面*BEFC*，，
所以，
得到 ．
所以当*AB*为时，二面角*A*－*EFC*的大小为60°．
**21.**本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（I）解：．
因为，
所以 ．
又当时，，
所以曲线处的切线方程为 ．
（II）解：令，解得．
当，即*a*≤0时，在\[0，2\]上单调递增，从而
．
当时，即*a*≥3时，在\[0，2\]上单调递减，从而
．
> 当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而
>
> 综上所述，
**22.**本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
（I）解：设为*C*上的点，则
．
*N*到直线的距离为．
由题设得．
化简，得曲线*C*的方程为．
（II）解法一：
设，直线*l*：，则，从而
．
在Rt△*QMA*中，因为
，
．
所以
，
当*k*＝2时，
从而所求直线*l*方程为
解法二：
设，直线直线*l*：，则，从而
过垂直于*l*的直线*l*~1~：，
因为，所以
，
，
当*k*＝2时，，
从而所求直线*l*方程为
| 1 | |
1. 掌握用线段图法来分析题中的年龄关系.
2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问题．
知识点说明：
一、年龄问题变化关系的三个基本规律：
1. 两人年龄的倍数关系是变化的量.
2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；
3. 两个人之间的年龄差不变
二、年龄问题的解题要点是：
> 1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．
>
> 2．关键：抓住"年龄差"不变．
>
> 3．解法：应用"差倍"、"和倍"或"和差"问题数量关系式．
>
> 4．陷阱：求过去、现在、将来。
>
> 年龄问题变化关系的三个基本规律：
>
> 1．两人年龄的差是不变的量；
>
> 2.两个人的年龄增加量是不变的；
>
> 3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！
年龄与和差倍分问题综合
1. **王刚、李强和小莉、小芳是两对夫妻，四人的年龄和为132，丈夫都比妻子大5岁，李强比小芳大6岁．小莉（ ）岁．**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
1. 通过丈夫都比妻子大5岁，李强比小芳大6岁．知道李强和小莉才是夫妻，那么小莉比李强小5岁，王刚和小芳是夫妻，小芳比李强小6岁，小芳又比王刚小5岁，可见王刚比李强小1岁，画图如下：
我们可以先求出李强的年龄：（132+1+6+5）÷4=36（岁），那么小莉的年龄是：36-5=31（岁）。
【答案】小莉岁。
2. **一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
1. **妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4）=8（岁），妈妈的年龄是：8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为32岁.**
【答案】孩子岁，爸爸妈妈岁
3. **父子年龄之和是岁，再过年，父亲的年龄正好是儿子的倍，父子今年各多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
1. 再过年，父子俩一共长了岁，那时他们的年龄之和是(岁)，由于父亲的年龄是儿子的倍，因而岁相当于儿子年龄的倍，可以先求出儿子年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄．年后的年龄和为：(岁)；
年后儿子的年龄：(岁)
儿子今年的年龄：(岁)，父亲今年的年龄：(岁)
【答案】儿子岁，父亲岁
1. **父子年龄之和是岁，年前父亲的年龄正好是儿子的倍，问父子今年各多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
1. 由已知条件可以得出，年前父子年龄之和是(岁)，又知道年前父亲的年龄正好是儿子的倍，由此可得：
儿子：(岁)；父亲：(岁)
【答案】父亲岁，儿子岁
4. **王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是\
岁．王老师今年岁，李老师今年多少岁?**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
1. 王老师比李老师大(岁)．故李老师今年的年龄为(岁)．
【答案】岁
5. **小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
1. **把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：**
**小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁），**
**爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），**
**小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．**
【答案】岁
6. **我们每次过生日都要吃蛋糕，一般蛋糕上面都要插蜡烛，而且蜡烛数目恰好等于他生日那天的年龄.小明每年过生日都要吃蛋糕，今天又是小明的生日，从出生到今天，他的生日蛋糕共有24根蜡烛，则小明今天过的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_岁生日．**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第2题
1. ，，无法达到。所以小明不是每年都能过生日，只有二月29日会使得他每四年过一次生日。，，小明过得是岁、岁、岁生日。所以小明今天过的是岁生日。
【答案】岁。
7. **甲、乙、丙三人平均年龄为岁，若将甲的岁数增加，乙的岁数扩大倍，丙的岁数缩小倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，决赛
1. 当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。
> 甲增加岁后，三人总年龄是岁，并且这时丙是甲的倍，甲是乙的倍，丙是乙的倍，所以这时乙的年龄是(岁)，所以丙的年龄是(岁)
【答案】岁
8. **甲的年龄比乙的年龄的**4**倍少**3**，甲在**3**年后的年龄等于乙**9**年后的年龄，问甲、乙现在各几岁？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
1. 甲在3年后的年龄等于乙9年后的年龄，也就是甲在3年后的年龄比乙在3年后的年龄多6岁，即甲、乙两人年龄差为6岁．甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，即"甲的年龄+3"就是乙年龄的4倍，刚才已经得到甲、乙两人年龄之差为6岁，所以"甲的年龄+3"与乙年龄之差为，问题就转化为"差倍问题"了．乙年龄为：（岁），甲年龄为：（岁）．
【答案】甲年龄为岁，乙年龄为岁
9. **今年，祖父的年龄是小明的年龄的**6**倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的**5**倍，又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的**4**倍，求：祖父今年是多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
2. 祖父的年龄比小明的年龄大，两人的年龄差是不变的.因为今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍，所以年龄差是小明年龄的5倍，从而是年年差是5的倍数，同理，由"几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍"，"又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍"，知道年龄差是4、3的倍数，所以，年龄差是的倍数.而60的倍数是：60，120，...，合理的选择是60，今年小明的年龄是(岁)，祖父的年龄是(岁).
【答案】岁
10. **梁老师问陈老师有多少子女，她说："现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍．"问陈老师有多少子女．**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
2. **2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍．这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个．最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女．**
【答案】个
11. **同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄。这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄。影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说："我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄。"记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄。同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
3. 可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁。两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁。
> 同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁。所以，这个影星今年的年龄是（岁）。
【答案】岁
2. **一位美妇，人到中年，很不愿提起自己的年龄，但她又从不愿说谎。一天，有人问及她的年龄，她只好实话实说："我4年后的年龄的6倍减去我3年前的年龄的6倍，就是我现在的年龄。"这位妇人今年\_\_\_\_\_\_\_\_岁。**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛
1. 根据差不变的原理，4年后的年龄：现在年龄+4岁，3年前的年龄：现在年龄3岁，两个年龄做差的六倍为：(4+3)×642(岁)，所以她现在年龄是42岁。
【答案】岁
12. **年前姐姐与妹妹的年龄比为，年后姐姐和妹妹的年龄比为，问姐姐和妹妹的年龄差为 [ ]{.underline}**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空
2. 这样年龄差为份，从年前到年后是年，恰好对应份，所以姐姐和妹妹的年龄差为岁
【答案】岁
3. **今年，小军和小勇的年龄的比是3：5，两年后，两人的年龄的比是2：3，那么，小军今年 [ ]{.underline} 岁，小勇今年 [ ]{.underline} 岁。**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第11题
1. 两年后，两人的年龄比试2：3，也即4：6，跟现在的年龄比3：5相比正好每个人都增加了1份，说明1份正好是2年，所以，小军今年是2×3=6（岁），小勇今年是2×5=10（岁）。另本题还可以方程解。
【答案】岁
13. **小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年（**1995**年）多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
4. 设小明出生那年是年，则，从而有．若，则；若，则．所以必有，．小明今年是或（岁）．
【答案】岁
14. **小明爷爷的年龄是一个二位数，将此二位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们年龄之差是小明年龄的4倍，求小明的年龄。**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第9题
1. 设爷爷的年龄是1*Oa*＋*b*，其中*a*、*b*都是数字，则爸爸的年龄是1*Ob*＋*a*，年龄差是：(10*a*＋*b*)－(10*b*＋*a*)＝9×(*a*－*b*)；这差是4的倍数，所以*a*－*b*是4的倍数，但*a*≤9，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此*b*≥2，*a*－*b*≤7，从而，必有*a*－*b*＝4.小明的年龄是9×(*a*－*b*)÷4＝9(岁)。
【答案】岁
15. **已知小明的爸爸和妈妈的年龄不同，且相差不超过10岁。如果去年，今年和明年，爸爸和妈妈的年龄都是小明年龄的整数倍，那么小明今年\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_岁。**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第15题
1. 爸爸、妈妈、小明三人的年龄在去年、今年和明年各是3个连续自然数，爸爸、妈妈的年龄差不超过10岁，且均为小明年龄的倍数，则小明年龄只能是2岁（去年、今年依次为1、2、3岁），否则 ，例如：，则小明父母年龄不可能相差在10岁以内可构造出满足题意的解，如：爸爸：37,38,39；妈妈：31,32,33；小明：1，2，3；∴小明今年2岁。
【答案】岁
16. **小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的**4**倍，求小明的年龄．**
【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
3. 假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是 ．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有．
> 小明的年龄是（岁）．
【答案】岁
17. **一位一百多岁的老寿星（2001年时），公元年时年龄为岁，此老寿星年是多少？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】小学数学奥林匹克，决赛
5. 年，老寿星多岁，说明出生年份是年．在此后的某一年，他的年龄为岁，而那一年恰是公元年．平方大于而小于2001的数在与45之间，这就大大缩小了思考范围，再通过检验就可确定，进而确定老寿星的出生年份及年的岁数．
> 由于，，所以应在～之间．
>
> 而，，，，所以显然不等于、．
>
> 若，即年时岁，则出生于年，年岁；
>
> 若，即年时岁，出生于年，年岁．
>
> 可知比较合乎实际的答案是老寿星年岁．
【答案】岁
18. **三个人的年龄和是**75**岁，最大的人比其它两个人的年龄和还要大**15**岁，最小的人是**12**岁，问三个人的年龄各是多少？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
6. 已知"最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁"，把"其它两个人的年龄和"看成一个数，还知道三个人年龄和是75岁，这便是转化成一个典型的和差问题，最大的人的年龄是：(岁)，其它两人的年龄和是：(岁)，已知最小的年龄是12岁，所以剩下的一人年龄为：(岁)．
【答案】最大(岁)，最小的是12岁，中间的是岁
19. **四个人年龄之和是岁，最小的一个岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
4. 最小的一个与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大岁．最小的一个与最大的人年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数．问题就转化为两个数的和是，差是．这是一个典型的和差同题．因此最小的一个与最大的人年龄之和是：(岁)．最小的岁，因此最大的年龄为：(岁)
【答案】岁
20. **五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大岁，已知他们的平均年龄为岁，其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答
1. 如果最小的比只小岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于岁，而最大的比大岁，这样平均年龄必超过岁；如果最小的比小岁，那么可能还有一人比小岁，但最大的比大岁，而，从而平均年龄仍超过岁；如果最小的比小岁，那么最大的比大岁，两人的平均年龄正好是岁，其他三人如果年龄是、、(或、、)，那么五人平均年龄正好是岁；如果最小的比小岁或小岁，类似前面的分析可知，这时平均年龄必小于岁．因此 ，最大的年龄一定是岁．
【答案】岁
21. **今年儿子的年龄是父亲年龄的,15年后,儿子的年龄是父亲年龄的。今年儿子\_\_\_\_\_\_岁。**
【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第10题
2. 今年儿子的年龄相当于父子年龄差的，15年后今年儿子的年龄相当于父子年龄差的，所以15年相当于父子年龄差的，年龄差为岁.今年儿子岁.
【答案】岁
| 1 | |
**-北师大版六年级（下）期末数学试卷（5）**
**一、填空题．（每空1分，共24分）**
1．我省常住人口中65岁及以上的人口为[5204106]{.underline}人，占总人口的9.09%．横线上的数读作[ ]{.underline}，用"四舍五入法"精确到万位是[ ]{.underline}万，9.09%这个数据说明[ ]{.underline}．
2．一个三位数23□，当□中填[ ]{.underline}时，它既能被2整除，又是3的倍数；当□中填[ ]{.underline}时，这个数既是偶数，同时又含有约数5．
3．爷爷今年a岁，小明今年b岁，5年后，爷爷比小明大[ ]{.underline}岁．
4．今年植树节，花园路小学种植了180棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了20棵，全部成活．今年花园路小学种植树苗的成活率是[ ]{.underline}．
5．在0.454，0.45555...，，45%，﹣1，0中，最大的数是[ ]{.underline}，最小的数是[ ]{.underline}．
6．六（1）班男生人数的正好和女生人数的相等．已知男生有35人，女生有[ ]{.underline}，男生和女生的人数比是[ ]{.underline}．
7．用棱长1厘米的小正方体木块，堆成一个棱长1分米的正方体，需这样的小正方体木块[ ]{.underline}块，把这些小正方体木块排成一行，它的长度是[ ]{.underline}厘米．
8．下面是某村7个家庭的年收入情况．（单位：万元）
（ 2.8 4.5 2.8 11 3.7 2.8 3.2）
这组数据的平均数是[ ]{.underline}，中位数是[ ]{.underline}，众数是[ ]{.underline}．
9．在一幅比例尺是的地图上，量得武汉到潜江的图上距离是20厘米，武汉到潜江的实际距离是[ ]{.underline}千米．
10．一个盒子里有8个红球、4个黄球、3个白球，每个球除颜色不同外，其它的没有区别，李明同学现在从盒子里任意摸出一个球，他摸到[ ]{.underline}球的可能性最大，他摸到白球的可能性是[ ]{.underline}（此处必须填最简分数）．
11．一个立体图形，从正面看是，从左面看是．要搭成这样的立体图形至少要[ ]{.underline}个小立方体，最多要[ ]{.underline}个小立方体．
12．音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对（4，2）表示，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，明明的位置用数对表示是[ ]{.underline}．
13．表示x、y成正比例关系的式子是[ ]{.underline}．
14．在一个面积为40平方厘米的平行四边形中画一个最大的三角形，这个三角形的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
**二、选择题．（将正确答案的序号填在括号里）（每小题1分，共10分）**
15．萧克买了一张入场券，它的号码是四位数，其中个位数是质数，十位数是5的倍数，百位数是偶数，千位数是个位数的3倍．入场券的号码是（ ）
A．9303 B．9402 C．9455 D．9853
16．下面能较为准确地估算12.98×7.09的积的算式是（ ）
A．12×7 B．13×7 C．12×8 D．13×8
17．8路车在实验小学站时，车上乘客的先下车后，又上了这时车上乘客的，上车的人和下车的人比较（ ）
A．上车的人多 B．下车的人多 C．一样多 D．无法确定
18．儿童节"口可可乐"饮料，在百家福超市的让利是"满3瓶送1瓶"，在惠美佳超市"一律八折"．六（1）班要买20瓶"口可可乐"饮料，到（ ）超市买比较合算．
A．百家福 B．惠美佳 C．都一样 D．无法确定
19．一个圆的周长增加30%，那么这个圆的面积将增加（ ）%．
A．69 B．90 C．60 D．30
20．美术组为美育节做准备工作，第一天工作15分钟，以后的五天中，后一天工作时间是前一天的2倍．
-------- ---- ---- ---- --- --- ---
第几天 1 2 3 4 5 6
分钟 15 30 60
-------- ---- ---- ---- --- --- ---
第6天工作（ ）小时．
A．1.5 B．3 C．4.8 D．8
21．下面数中的数字"2"表示两个百分之一的是（ ）
A．10.24 B．20.41 C．42.01 D．14.02
22．下面的图形一定是轴对称图形的是（ ）
A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 D．梯形
23．36个铁圆锥体，可以熔铸成（ ）个和它等底等高的圆柱体．
A．36 B．9 C．12 D．18
24．把一个边长1分米的正方形，按3：1的比放大，放大后正方形的面积是（ ）
A．3分米 B．16分米 C．9平方分米 D．16平方分米
**三、计算题．**
25．直接写出结果．
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÷= 1.25×8= 3+2﹣3+2= （﹣0.25）×=
0.9÷0.01= 1﹣0.8= 100×0.1%= 49×101=
--------------------------------------------------------------------------- --------- ----------- --------------------------------------------------------------------------------------
26．用你喜欢的方法计算（能简算的要简算）．
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205﹣105×12÷45 1.05×（3.8﹣0.8）÷6.3 （+）÷
（+）×36  0.6×3.3+×7.7﹣60%
---------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
27．解方程．
13.2x+9x=33.3
13（x+5）=169
x÷1.44=0.4．
**四、探索题．**
28．图1是一把打开的扇子，图2是和扇子一样大小的扇形．
根据图中所给的数据：
（1）计算圆的周长；
（2）计算这把扇子的周长．
29．下表是小红用24分米长的铁丝分别折成一些长方形的情况．
------ ------------ ------------ ------------------
周长 长（分米） 宽（分米） 面积（平方分米）
24 10 2 20
9 3 27
4 32
7 35
... ... ...
------ ------------ ------------ ------------------
（1）请你在表中的空白处填上合适的数；
（2）观察上表，我发现（至少写出两条）．
**五、解决问题．（共25分）**
30．学校图书室添置了一批图书，科技类图书有354本，文学类图书的本数比科技类的2倍多123本，文学类图书有多少本？
31．把一个圆柱的侧面展开后得到一个长18厘米，宽12厘米的长方形．这个圆柱的体积最大可能是多少立方厘米？（π取近似值3）
32．如图是某居民小区1号楼的屋顶水箱6月1日水量变化统计图，看图后回答有关问题．
（1）这是一幅[ ]{.underline}统计图，从图中可知早上8时水池中有水[ ]{.underline}吨．
（2）这幢楼居民的用水量最多时间是[ ]{.underline}到[ ]{.underline}时．
（3）根据6时﹣20时之间的水量变化，你想到什么？（写出两点以上）[ ]{.underline}
（4）估计一下，在22时﹣第二天4时这段时间，水箱的水位会[ ]{.underline}．
33．请你先仔细阅读，再利用你获得的数学信息解决问题．
京沪高速铁路于2008年4月18日开工，从北京南站出发终止于上海虹桥站，是我国第一条具有世界先进水平的高速铁路．设计时速最高可达380km，桥梁长度约占正线 长度的86.5%，路基长度约占正线长度的12.3%，隧道长度约15.84km．已于6月建成通车．
（1）京沪高速铁路开始建设的这年共[ ]{.underline}天．
（2）设计的最高时速是每秒行[ ]{.underline}米（保留整数）．哇塞，速度真是快啊！
（3）京沪高速铁路全程约多少千米？
（4）京沪高速铁路试运行期间，一列短途车和一列直达车分别同时从上海和北京出发，相向而行，经过2.4小时在途中相遇．如果短途车的速度是直达车的，两列车的速度各是每小时多少千米？
**-北师大版六年级（下）期末数学试卷（5）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题．（每空1分，共24分）**
1．我省常住人口中65岁及以上的人口为[5204106]{.underline}人，占总人口的9.09%．横线上的数读作[ 五百二十万四千一百零六 ]{.underline}，用"四舍五入法"精确到万位是[ 520 ]{.underline}万，9.09%这个数据说明[ 65岁及以上的人口在总人口中的比率较小 ]{.underline}．
【考点】整数的读法和写法；整数的改写和近似数；百分数的意义、读写及应用．
【分析】读一个数时，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零；
四舍五入到万位就是省略"万"后面的尾数求它的近似数，把千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上"万"字．
【解答】解：5204106读作：五百二十万四千一百零六；
5204106≈520万；
9.09%这个数据说明65岁及以上的人口在总人口中的比率较小．
故答案为：五百二十万四千一百零六，520，65岁及以上的人口在总人口中的比率较小．
2．一个三位数23□，当□中填[ 4 ]{.underline}时，它既能被2整除，又是3的倍数；当□中填[ 0 ]{.underline}时，这个数既是偶数，同时又含有约数5．
【考点】找一个数的倍数的方法．
【分析】①根据2，3的倍数特征可知：要想使三位数23□既是2的倍数又是3的倍数，个位上必须是0，2，4，6，8；还要满足2+3+□是3的倍数，据此分析解答；
②根据2，5倍数的特征可知：要使三位数23□同时能被2、5整除，个位上必需是0，才可以满足同时是2和5的倍数，据此解答．
【解答】解：①要想使四位数23□既是2的倍数又是3的倍数，个位上必须是0，2，4，6，8；还要满足2+3+□是3的倍数，
因为2+3+4=9，9是3的倍数，所以□里可以填4，
②要使三位数23□同时能被2、5整除，个位上必需是0，
故答案为：4、0．
3．爷爷今年a岁，小明今年b岁，5年后，爷爷比小明大[ （a﹣b） ]{.underline}岁．
【考点】用字母表示数．
【分析】先分别求出他们5年后的年龄再相减即可．
【解答】解：a+5﹣（b+5）
=a+5﹣b﹣5
=a﹣b（岁），
答：爷爷比小明大（a﹣b）岁．
故答案为：（a﹣b）．
4．今年植树节，花园路小学种植了180棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了20棵，全部成活．今年花园路小学种植树苗的成活率是[ 92.5% ]{.underline}．
【考点】百分率应用题．
【分析】成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，计算方法是：成活的棵数÷植树总棵数×100%=成活率，代入数据求解即可．
【解答】解：÷×100%
=185÷200×100%
=92.5%
答：今年花园路小学种植树苗的成活率是92.5%．
故答案为：92.5%．
5．在0.454，0.45555...，，45%，﹣1，0中，最大的数是[ 0.45555... ]{.underline}，最小的数是[ ﹣1 ]{.underline}．
【考点】小数大小的比较．
【分析】首先把，45%化成小数，然后根据小数大小比较的方法，判断出最大的数、最小的数各是多少即可．
【解答】解： =4÷9≈0.444，45%=0.45，
因为0.45555...＞0.454＞0.45＞0.444＞0＞﹣1，
所以0.45555...＞0.454＞45%＞＞0＞﹣1，
所以最大的数是0.45555...，最小的数是﹣1．
故答案为：0.45555...，﹣1．
6．六（1）班男生人数的正好和女生人数的相等．已知男生有35人，女生有[ 25人 ]{.underline}，男生和女生的人数比是[ 7：5 ]{.underline}．
【考点】比的意义．
【分析】的单位"1"是男生的人数，由此根据分数乘法的意义，用乘法列式求出男生人数的是多少人，的单位"1"是女生的人数，由此根据分数除法的意义，再除以就是女生的人数，最后男生和女生的人灵敏比化成最简整数比．据此解答．
【解答】解：35×÷
=20
=25（人）
35：25=7：5
答：女生有25人，男生和女生的人数比是7：5．
故答案为：25人，7：5．
7．用棱长1厘米的小正方体木块，堆成一个棱长1分米的正方体，需这样的小正方体木块[ 1000 ]{.underline}块，把这些小正方体木块排成一行，它的长度是[ 1000 ]{.underline}厘米．
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】（1）先根据正方体的体积计算公式"V=a3"计算出棱长是10厘米和棱长是1厘米的正方体的体积，然后用"大正方体的体积÷小正方体的体积"即可得出结论；
（2）把这些小正方体木块排成一行，即长是1000厘米、宽和高都是1厘米的长方体，进而得出结论．
【解答】解：（1）1分米=10厘米，
（10×10×10）÷（1×1×1），
=1000÷1，
=1000（块）；
（2）1000×1=1000（厘米）；
答：需要1000块这样的小正方体，它的长度是1000厘米．
故答案为：1000，1000．
8．下面是某村7个家庭的年收入情况．（单位：万元）
（ 2.8 4.5 2.8 11 3.7 2.8 3.2）
这组数据的平均数是[ 4.4 ]{.underline}，中位数是[ 3.2 ]{.underline}，众数是[ 2.8 ]{.underline}．
【考点】平均数、中位数、众数的异同及运用．
【分析】抓住众数，中位数，平均数的定义，即可解决此类问题．
【解答】解：将上述数据按从小到大的顺序排列为：
2.8 2.8 2.8 3.2 3.7 4.5 11，
平均数是：（2.8×3+3.2+3.7+4.5+11）÷7，
=30.8÷7，
=4.4，
众数是：2.8在数据中出现次数最多，
中位数是：3.2，
答：这组数据的平均数是4.4，中位数是3.2，众数是2.8．
故答案为：4.4；3.2；2.8．
9．在一幅比例尺是的地图上，量得武汉到潜江的图上距离是20厘米，武汉到潜江的实际距离是[ 200 ]{.underline}千米．
【考点】比例尺．
【分析】要求实际距离是多少千米，根据"图上距离÷比例尺=实际距离"，代入数值，计算即可．
【解答】解：20÷=20000000（厘米）=200（千米）
答：实际距离是200千米．
故答案为：200．
10．一个盒子里有8个红球、4个黄球、3个白球，每个球除颜色不同外，其它的没有区别，李明同学现在从盒子里任意摸出一个球，他摸到[ 红 ]{.underline}球的可能性最大，他摸到白球的可能性是[ ]{.underline}[ ]{.underline}（此处必须填最简分数）．
【考点】可能性的大小；简单事件发生的可能性求解．
【分析】因为每个球除颜色不同外，其它的没有区别，所以先用"8+4+3"求出盒子里球的总个数；根据红球有8个，黄球有4个，白球有3个，根据可能性的求法，分别求出这三种球摸到的可能性占的分率，进而比较得解．
【解答】解：8+4+3=15（个），
摸到红球的可能性：8÷15=，
摸到黄球的可能性：4
摸到白球的可能性：3=，
因为，
所以摸到红球的可能性最大，他摸到白球的可能性是；
故答案为：红，．
11．一个立体图形，从正面看是，从左面看是．要搭成这样的立体图形至少要[ 5 ]{.underline}个小立方体，最多要[ 10 ]{.underline}个小立方体．
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】这个由小立方体组成立体图形从正面看是由5个正方形组成，从左面看是由2个正方形组成的，也就是说这些小正方体从正面看4排，从左面看2排，当前排4个，后排1个，并且前后不重合时，所用的立方体最少，是5个，当前后排都是5个时所用的立方体最多，是10个．
【解答】解：一个立体图形，从正面看是，从左面看是．要搭成这样的立体图形至少要5个小立方体，最多要10个小立方体．
故答案为：5，10．
12．音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对（4，2）表示，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，明明的位置用数对表示是[ （4，3） ]{.underline}．
【考点】数对与位置．
【分析】聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，则说明明明与聪聪在同一列，明明是在第2+1=3行，由此利用数对表示位置的方法即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得：明明明与聪聪在同一列，即第4列，明明是在第2+1=3行，由此利用数对表示为：（4，3），
故答案为：（4，3）．
13．表示x、y成正比例关系的式子是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】正比例和反比例的意义．
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，一种量随另一种量的扩大而扩大，随另一种量的缩小而缩小，它们的比值一定，这两个量叫做成正比例的量，据此写出即可．
【解答】解：正比例关系：（一定）
比值一定，所以x、y成正比例；
故答案为：．
14．在一个面积为40平方厘米的平行四边形中画一个最大的三角形，这个三角形的面积是[ 20 ]{.underline}平方厘米．
【考点】三角形的周长和面积．
【分析】根据"在一个面积为40平方厘米的平行四边形中画一个最大的三角形，"知道所画的三角形必须与平行四边形等底等高，由此根据等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，列式解答即可．
【解答】解：40÷2=20（平方厘米），
答：这个三角形的面积是20平方厘米．
故答案为：20．
**二、选择题．（将正确答案的序号填在括号里）（每小题1分，共10分）**
15．萧克买了一张入场券，它的号码是四位数，其中个位数是质数，十位数是5的倍数，百位数是偶数，千位数是个位数的3倍．入场券的号码是（ ）
A．9303 B．9402 C．9455 D．9853
【考点】奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
【分析】根据质数、偶数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．是2的倍数的数叫做偶数．再根据3、5的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数．据此解答即可．
【解答】解：10以内的质数有2、3、5、7；这个数的个位是质数，也就是个位可能是2、3、5、7，十位是5的倍数，那么十位上是5，百位是偶数，也就是百位可能是0、2、4、6、8，千位是3的倍数，也就是千位可能是3、6、9；由此得：这个四位数9853．
故选：D．
16．下面能较为准确地估算12.98×7.09的积的算式是（ ）
A．12×7 B．13×7 C．12×8 D．13×8
【考点】数的估算．
【分析】根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算．12.98最接近13，7.09最接近7，所以较为准确地估算12.98×7.09的积的算式是B．
【解答】解：因为12.98×7.09≈13×7，
所以较为准确地估算12.98×7.09的积的算式是B．
故选：B．
17．8路车在实验小学站时，车上乘客的先下车后，又上了这时车上乘客的，上车的人和下车的人比较（ ）
A．上车的人多 B．下车的人多 C．一样多 D．无法确定
【考点】分数四则复合应用题．
【分析】先把原来车上的人数看成单位"1"，设车上原来有70人，那么下车的人数就是70×，进而求出车上还剩下的人数，再把剩下的人数看成单位"1"，再用还剩下的人数乘就是上车的人数，然后比较．
【解答】解：设原来车上有70人
70×=10（人），
（70﹣10）×
=60×
=（人）
10＞
答：下车的人数多．
故选：B．
18．儿童节"口可可乐"饮料，在百家福超市的让利是"满3瓶送1瓶"，在惠美佳超市"一律八折"．六（1）班要买20瓶"口可可乐"饮料，到（ ）超市买比较合算．
A．百家福 B．惠美佳 C．都一样 D．无法确定
【考点】最优化问题．
【分析】百家福超市："满3瓶送1瓶"，即花买3瓶的钱能买的4瓶的可乐，即按原价的75%出售；惠美佳超市则是"一律八折"，即按原价的80%出售，因为原价相同，所以在惠美佳超市买比较合算．
【解答】解：百家福超市：
3÷（3+1）
=3÷4
=75%
即按原价的75%出售，
惠美佳超市是打八折，即按原价的80%出售，
因为75%＜80%，所以在百家福超市超市买比较合算．
答：在百家福超市超市买比较合算．
故选：A．
19．一个圆的周长增加30%，那么这个圆的面积将增加（ ）%．
A．69 B．90 C．60 D．30
【考点】百分数的实际应用；圆、圆环的周长；圆、圆环的面积．
【分析】要使圆的周长增加20%，它的半径就增加30%，设原来的半径是1，那么增加后的半径是原来的（1+30%），由此求出增加后的半径；再分别求出原来的面积和增加后的面积，用增加后的面积减去原来的面积再除以原来的面积即可．
【解答】解：要使圆的周长增加30%，它的半径就增加30%，设原来的半径是1；
原来的面积是：3.14×1^2^=3.14；
后来的半径是：
1×（1+30%），
=1×130%，
=1.3；
后来的面积是：
3.14×1.3^2^，
=3.14×1.69，
=5.3066；
（5.3066﹣3.14）÷3.14，
=2.1666÷3.14，
=69%；
答：这个圆的面积增加69%．
故选：A．
20．美术组为美育节做准备工作，第一天工作15分钟，以后的五天中，后一天工作时间是前一天的2倍．
-------- ---- ---- ---- --- --- ---
第几天 1 2 3 4 5 6
分钟 15 30 60
-------- ---- ---- ---- --- --- ---
第6天工作（ ）小时．
A．1.5 B．3 C．4.8 D．8
【考点】正比例和反比例的意义．
【分析】根据已知条件可知后一天工作时间是前一天的2倍，分别得出这六天的工作时间，即可得出答案．
【解答】解：因为第一天工作15分钟，以后的五天中，后一天工作时间是前一天的2倍．
所以第二天工作30分钟，第三天工作60分钟，第四天工作120分钟，第五天工作240分钟，
第六天工作480分钟=8小时．
故选：D．
21．下面数中的数字"2"表示两个百分之一的是（ ）
A．10.24 B．20.41 C．42.01 D．14.02
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】根据小数的数位顺序表可知：哪个数位上是几就表示几个该数位的计数单位，据此分析解答选择．
【解答】解：A、10.24里的2在十分位上表示2个0.1；
B、20.41里的2在十位表示2个十；
C、42.01里的2在个位表示2个一；
D、14.02里的2在百分位表示2个0.01；
故选：D．
22．下面的图形一定是轴对称图形的是（ ）
A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 D．梯形
【考点】轴对称图形的辨识．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行判断即可．
【解答】解：A、长方形是轴对称图形，符合题意；
B、三角形不一定是轴对称图形，只有是等腰三角形或等边三角形时，才是轴对称图形；
C、平行四边形不是轴对称图形；
D、梯形不一定轴对称图形，只有是等腰梯形，才是轴对称图形；
故选：A．
23．36个铁圆锥体，可以熔铸成（ ）个和它等底等高的圆柱体．
A．36 B．9 C．12 D．18
【考点】圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】本题是把圆锥熔铸成等底等高的圆柱体，由于一个圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，也就是说，要3个这样的圆锥才能熔铸成1个等底等高的圆柱体，所以原题就是求36里面有几个3，可直接解答后勾选正确答案即可．
【解答】解：36÷3=12（个）；
故选：C．
24．把一个边长1分米的正方形，按3：1的比放大，放大后正方形的面积是（ ）
A．3分米 B．16分米 C．9平方分米 D．16平方分米
【考点】图形的放大与缩小．
【分析】根据图形放大或缩小的意义，把一个边长1分米的正方形，按3：1的比放大后，边长是3分米，其面积是（3×3）平方分米．
【解答】解：把一个边长1分米的正方形，按3：1的比放大，放大后正方形的边长是3分米，
其面积是：3×3=9（平方分米）．
故选：C．
**三、计算题．**
25．直接写出结果．
---------------------------------------------------------------------------- --------- ----------- --------------------------------------------------------------------------------------
÷= 1.25×8= 3+2﹣3+2= （﹣0.25）×=
0.9÷0.01= 1﹣0.8= 100×0.1%= 49×101=
---------------------------------------------------------------------------- --------- ----------- --------------------------------------------------------------------------------------
【考点】分数除法；小数除法．
【分析】根据分数、小数四则混合运算的顺序以及它们的计算法则，直接进行口算即可．
【解答】解：直接写出结果．
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ -------------- --------------------------------------------------------------------------------------
÷= 1.25×8=10 3+2﹣3+2=4 （﹣0.25）×=0
0.9÷0.01=900 1﹣0.8=0.2 100×0.1%=0.1 49×101=4949．
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ -------------- --------------------------------------------------------------------------------------
26．用你喜欢的方法计算（能简算的要简算）．
---------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
205﹣105×12÷45 1.05×（3.8﹣0.8）÷6.3 （+）÷
（+）×36  0.6×3.3+×7.7﹣60%
---------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
【考点】整数、分数、小数、百分数四则混合运算；运算定律与简便运算．
【分析】①205﹣105×12÷45，先算乘法、再算除法、最后算减法；
②1.05×（3.8﹣0.8）÷6.3，先算括号里面的减法，再算乘法，最后算除法；
③（+）÷，先算括号里面的加法，再算除法；
④（+）×36，运用乘法分配律简算；
⑤，把除数转化为乘它的倒数，运用乘法分配律简算；
⑥0.6×3.3+×7.7﹣60%，把和60%化成0.6，运用乘法分配律简算．
【解答】解：①205﹣105×12÷45
=205﹣1260÷45
=205﹣28
=177；
②1.05×（3.8﹣0.8）÷6.3
=1.05×3÷6.3
=3.15÷6.3
=0.5；
③（+）÷
=
=
=；
④（+）×36
=
=9+8
=17；
⑤
=
=
=；
⑥0.6×3.3+×7.7﹣60%
=0.6×（3.3+7.7﹣1）
=0.6×10
=6．
27．解方程．
13.2x+9x=33.3
13（x+5）=169
x÷1.44=0.4．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）先化简方程得22.2x=33.3，再依据等式的性质，方程两边同时除以22.2求解；
（2）依据等式的性质，方程两边同时除以13再同减去5求解；
（3）依据等式的性质，方程两边同时乘上1.44求解．
【解答】解：（1）13.2x+9x=33.3
22.2x=33.3
22.2x÷22.2=33.3÷22.2
x=1.5；
（2）13（x+5）=169
13（x+5）÷13=169÷13
x+5=13
x+5﹣5=13﹣5
x=8；
（3）x÷1.44=0.4
x÷1.44×1.44=0.4×1.44
x=0.576．
**四、探索题．**
28．图1是一把打开的扇子，图2是和扇子一样大小的扇形．
根据图中所给的数据：
（1）计算圆的周长；
（2）计算这把扇子的周长．
【考点】圆、圆环的周长．
【分析】（1）根据圆的周长公式C=2πr求出圆的周长；
（2）根据扇子的周长=圆心角为120°半径为30厘米的扇形的弧长+半径×2，依此根据扇形的弧长公式代入计算即可求解．
【解答】解：（1）3.14×2×30
=6.28×30
=188.4（厘米）
（2）×3.14×30+30×2，
=62.8+60，
=122.8（厘米）．
答：圆的周长是188.4厘米，这把扇子的周长为122.8厘米．
29．下表是小红用24分米长的铁丝分别折成一些长方形的情况．
------ ------------ ------------ ------------------
周长 长（分米） 宽（分米） 面积（平方分米）
24 10 2 20
9 3 27
4 32
7 35
... ... ...
------ ------------ ------------ ------------------
（1）请你在表中的空白处填上合适的数；
（2）观察上表，我发现（至少写出两条）．
【考点】长方形的周长；长方形、正方形的面积．
【分析】小红用24分米长的铁丝分别折成一些长方形，这个24分米就是长方形的周长，用周长除以2就是长加宽的和，24÷2=12分米，然后再看看两个自然数相加是12分米，即可解答．
【解答】解：（1）24÷2=12（分米）
10+2=12，长是10分米，宽是2分米，面积是10×2=20平方分米，
9+3=12，长是9分米，宽是3分米，面积是9×3=27平方分米，
8+4=12，长是8分米，宽是4分米，面积是8×4=32平方分米，
7+5=12，长是7分米，宽是5分米，面积是7×5=35平方分米，
6+6=12，长是6分米，宽是6分米，也就是正方形，面积是6×6=36平方分米．
36＞35＞32＞27＞20．
（2）发现1：周长是24，长和宽的和不变，长越小，宽就越大．
发现2：周长相等的长方形和正方形，正方形的面积最大．
**五、解决问题．（共25分）**
30．学校图书室添置了一批图书，科技类图书有354本，文学类图书的本数比科技类的2倍多123本，文学类图书有多少本？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据求一个数的几倍是多少用乘法计算，用354乘2，求出354的2倍是多少，再加123，就是文学类图书的本数，据此解答．
【解答】解：354×2+123
=708+123
=831（本）
答：文学类图书有831本．
31．把一个圆柱的侧面展开后得到一个长18厘米，宽12厘米的长方形．这个圆柱的体积最大可能是多少立方厘米？（π取近似值3）
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】根据题意，本题可分别把18厘米、12厘米作为圆柱的底面周长进行作答，可利用圆的周长公式计算出这个圆柱的底面半径是多少，然后再利用圆柱的体积=底面积×高进行计算圆柱的体积，列式解答即可得到答案．
【解答】解：（1）假设圆柱的底面周长是18厘米，那么圆柱的高为12厘米，
圆柱的底面半径为：18÷3÷2=3（厘米），
圆柱的体积为：3×3^2^×12
=27×12，
=324（立方厘米）；
（2）假设圆柱的底面周长是12厘米，则圆柱的高为18厘米，
圆柱的底面半径为：12÷2÷3=2（厘米），
圆柱的体积为：3×2^2^×18，
=12×18，
=216（立方厘米）；
答：这个圆柱的体积最大是324立方厘米．
32．如图是某居民小区1号楼的屋顶水箱6月1日水量变化统计图，看图后回答有关问题．
（1）这是一幅[ 拆线 ]{.underline}统计图，从图中可知早上8时水池中有水[ 6 ]{.underline}吨．
（2）这幢楼居民的用水量最多时间是[ 6：00 ]{.underline}到[ 22：00 ]{.underline}时．
（3）根据6时﹣20时之间的水量变化，你想到什么？（写出两点以上）[ 6：00、16：30是两个用水低峰段；12：00、20：00是两个用水高峰段 ]{.underline}
（4）估计一下，在22时﹣第二天4时这段时间，水箱的水位会[ 变化不大 ]{.underline}．
【考点】单式折线统计图；从统计图表中获取信息；统计结果的解释和据此作出的判断和预测．
【分析】（1）这是一幅拆线统计图，从图中可知早上8时水池中有水6吨．
（2）这幢楼居民的用水量最多时间是6：00到22：00．
（3）6：00、16：30水箱内的水位最高，说明用水量少，是两个用水低峰段；12：00、20：00水箱内的水位低，说明用水量多，是两个用水高峰段．
（4）估计一下，在22时﹣第二天4时这段时间，水箱的水位会变化不大，因为夜里用水量较少．
【解答】解：如图，
（1）这是一幅拆线统计图，从图中可知早上8时水池中有水6吨；
（2）这幢楼居民的用水量最多时间是6：00到22：00；
（3）根据6时﹣20时之间的水量变化，6：00、16：30是两个用水低峰段；12：00、20：00是两个用水高峰段；
（4）在22时﹣第二天4时这段时间，水箱的水位会变化不大；
故答案为：拆线，6，6：00，22：00，6：00、16：30是两个用水低峰段；12：00、20：00是两个用水高峰段，变化不大．
33．请你先仔细阅读，再利用你获得的数学信息解决问题．
京沪高速铁路于2008年4月18日开工，从北京南站出发终止于上海虹桥站，是我国第一条具有世界先进水平的高速铁路．设计时速最高可达380km，桥梁长度约占正线 长度的86.5%，路基长度约占正线长度的12.3%，隧道长度约15.84km．已于6月建成通车．
（1）京沪高速铁路开始建设的这年共[ 366 ]{.underline}天．
（2）设计的最高时速是每秒行[ 约106 ]{.underline}米（保留整数）．哇塞，速度真是快啊！
（3）京沪高速铁路全程约多少千米？
（4）京沪高速铁路试运行期间，一列短途车和一列直达车分别同时从上海和北京出发，相向而行，经过2.4小时在途中相遇．如果短途车的速度是直达车的，两列车的速度各是每小时多少千米？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】（1）由于京沪高速铁路于2008年，2008年为闰年，共有366天．
（2）设计时速最高可达380千米即380000米，由于1小时共有60×60秒，根据除法的意义，用每小时所行米数除以小小时共有多少秒，即得设计的最高时速是每秒行多少米．
（3）将全长当作单位"1"，由于桥梁长度约占正线长度的86.5%，路基长度约占正线长度的12.3%，根据分数减法的意义，隧道长度约占正线长度的1﹣86.5%﹣12.3%，又隧道长度约15.84千米，根据分数除法的意义，用隧道长度除以其占正线长度的分率，即得京沪高速铁路全程约多少千米．
（4）由于经过2.4小时在途中相遇，根据除法的意义，用全长除以相遇时间，即得两车速度和，又短途车的速度是直达车的，则两车的速度和是直达车的1+，根据分数除法的意义直达车的时速每小时是：速度和÷（1+）千米，然后用减法求出短途车的速度．
【解答】解：（1）2008年为闰年，共有366天．
（2）380千米=380000米
380000÷（60×60）
=380000÷3600
≈106（米）
答：计的最高时速是每秒行约106米．
（3）15.84÷（1﹣86.5%﹣12.3%）
=15.84÷1.2%
=1320（千米）
答：沪高速铁路全程约1320千米．
（4）1320÷2.4=550（千米/小时）
550÷（1+）
=550÷
=300（千米/小时）
550﹣300=250（千米/小时）
答：直达车每小时行300千米，短途车每小时行250千米．
故答案为：366、约106．
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**第一单元测试卷**
一、连一连。绿色圃中小学教育网http://www.lspjy.com/
二、看图写数。
三、数一数,画同样多的☆。
四、数一数,圈一圈,比一比。
( )最多,( )最少。
比(多,少) 4 5
比(多,少) 6 3
五、数一数,填一填。
一共有( )只小动物,从小鸭这边数,排第( ),排第( )。
六、按顺序填数。绿色圃中小学教育网http://www.lspjy.com/
--- --- -- --- --- --- -- --- --- -- ----
0 1 3 5 7 10
9 8 5 2 1
--- --- -- --- --- --- -- --- --- -- ----
七、在里填上"\>""\<"或"="。
68 107 10 74 99
44 83 59 110 32
八、找一找,写一写。
10 7 0 6 9 3 1 8
比5大的数有[ ]{.underline} 比5小的数有[ ]{.underline}
第一单元测试卷答案
一、提示:第一行各图中物体的个数分别为6、7、5、8、4、3。连线略。
二、5 6 8 7
三、   
四、 少 \< 多 \>
五、7 3 7
六、2 4 6 8 9 7 6 4 3 0
七、\< \> \> \> = = \> \< \< \>
八、比5大的数有10、7、6、9、8。比5小的数有0、3、1。
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**北师大版小学二年级下册数学第七单元《认识图形》单元测试2（附答案）**
一、想一想，填一填。(14分)
1．角有( )个顶点，( )条边。
2．正方形和长方形都有( )个角，它们都是( )角。
3．正方形和长方形都有4条边，都是( )边形，不同的是正方形( )边相等，长方形( )边相等。
4．( )角比直角大，( )角比直角小。
5．每块三角板中都有1个( )角，2个( )角。
6．角的两边张口越( )，角就越( )。
7．用手拉动一个长方形框架的对角，这个框架就变成一个( )形。
二、下面图形是角的画"√"，不是角的画"×"。(6分)
三、按要求填序号。(21分)
1．找角的序号。(10分)
(1)直角有( )；
(2)不是角的有( )；
(3)锐角有( )；
(4)钝角有( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．给图形分类。(填序号)(11分)
长方形 正方形 平行四边形 三角形
四、下面各题，对的打"√"，错的打"×"。(6分)
1．角的边越长，这个角就越大。 ( )
2．黑板上的直角比三角板上的直角大。 ( )
3．红领巾的三个角都是锐角。 ( )
4．两个正方形可以拼成一个长方形。 ( )
5．用一个可以放大5倍的放大镜去看一个角，这个角就扩大5倍。 ( )
6．四边都相等的四边形都是正方形。 ( )
五、选择正确答案的序号填在括号里。(6分)
1．下面是角的图形的是( )。
  
A B C
2．下面的角中，( )最大。
  
A B C
3．下面的图形中，( )是直角。
  
A B C
4．三角板上有( )个角比直角小。
A．1 B．2 C．3
5．角的大小与( )有关。
A．两边的长短 B．两边张口大小 C．顶角的大小
6．下图中有( )个正方形。
A．9 B．13 C．14
六、画一画。(12分)
1．按要求画角。(6分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
+--------------+--------------+--------------+
| 画一个开口向 | 画一个开口向 | 画一个开口向 |
| | | |
| 上的锐角 | 左的钝角 | 右的直角 |
+--------------+--------------+--------------+
| | | |
+--------------+--------------+--------------+
2．在方格里画一个长方形、一个正方形和一个平行四边形。(6分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、算一算。(16分)
1．用竖式计算。(12分)
700－173= 524＋277=
74÷8= 58÷9=
2．连线。(4分)
56 114 345 737
28 241 802 143
＋86 ＋496 －457 － 87
八、用数学。(14分)
1．边长是6厘米的正方形对折成两个长方形，每个长方形的宽是多少厘米？(6分)
2．几时和几时，时针与分针组成直角？画出来。(8分)
和
 
九、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．下图是---个长方形，请你在这个长方形里面画出一个最大的正方形，那么这个正方形的边长是多少？(5分)
B．(5分)
要拼成这样的图需要1个，6个。
有6个，要( )个。
附加题。(5分)
数一数：
 
( )个角 ( )个直角
 
( )个平行四边形 ( )个长方形
**参考答案**
一、1．1 2 2．4直 3．四 四条 对 4．钝 锐 5．直 锐
6．大或小 大或小 7．平行四边
二、√ × √ × √ √
三、1．(1)①②⑧⑩ (2)⑤⑥ (3)③④⑦ (4)⑨
2．③⑤ ⑦⑨ ①⑥ ④⑩
四、1．× 2．× 3．× 4．× 5．× 6．×
五、1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C
六、1．略 2．略
七、1．527 801 9......2 6......4 2．略
八、1．3厘米 2．3时和9时 图略
九、A．图略 边长为4cm B．6×6=36(个)
附加题：
10 3 6 18
| 1 | |
**四川省遂宁市2020年中考数学试题**
**一．选择题（共10小题）**
1.－5的相反数是（ ）
A. －5 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此即可得答案．
【详解】∵只有符号不同的两个数叫做互为相反数，
∴－5的相反数是5，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；熟练掌握定义是解题关键．
2.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A. 8.23×10^﹣6^ B. 8.23×10^﹣7^ C. 8.23×10^6^ D. 8.23×10^7^
【答案】B
【解析】
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^-n^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：0.000000823=8.23×10^-7^．
故选B．
点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^-n^，其中1≤\|a\|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.下列计算正确的是（ ）
A. 7*ab*﹣5*a*＝2*b* B. （*a*+）^2^＝*a*^2^+
C. （﹣3*a*^2^*b*）^2^＝6*a*^4^*b*^2^ D. 3*a*^2^*b*÷*b*＝3*a*^2^
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式分别进行计算，再判断即可．
【详解】7*ab*与﹣5*a*不是同类项，不能合并，因此选项*A*不正确；
根据完全平方公式可得(*a*+)^2^=*a*^2^++2，因此选项*B*不正确；
(﹣3*a*^2^*b*)^2^=9*a*^4^*b*^2^，因此选项*C*不正确；
3*a*^2^*b*÷*b*=3*a*^2^，因此选项*D*正确；
故选：*D*．
【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式，掌握运算法则是正确计算的前提．
4.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形
【答案】C
【解析】
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
详解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．
故选C．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
5.函数*y*＝中，自变量*x*的取值范围是（ ）
A. *x*＞﹣2 B. *x*≥﹣2 C. *x*＞﹣2且*x*≠1 D. *x*≥﹣2且*x*≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量*x*的取值范围．
【详解】根据题意得：，
解得：*x*≥﹣2且*x*≠1．
故选：*D*．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.关于*x*的分式方程﹣＝1有增根，则*m*的值（ ）
A. *m*＝2 B. *m*＝1 C. *m*＝3 D. *m*＝﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出*m*的值即可．
【详解】解：去分母得：*m*+3＝*x*﹣2，
由分式方程有增根，得到*x*﹣2＝0，即*x*＝2，
把*x*＝2代入整式方程得：*m*+3＝0，
解得：*m*＝﹣3，
故选：*D*．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7.如图，在平行四边形*ABCD*中，∠*ABC*的平分线交*AC*于点*E*，交*AD*于点*F*，交*CD*的延长线于点*G*，若*AF*＝2*FD*，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由*AF*＝2*DF*，可以假设*DF*＝*k*，则*AF*＝2*k*，*AD*＝3*k*，证明*AB*＝*AF*＝2*k*，*DF*＝*DG*＝*k*，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：由*AF*＝2*DF*，可以假设*DF*＝*k*，则*AF*＝2*k*，*AD*＝3*k*，
∵四边形*ABCD*平行四边形，
∴*AD*∥*BC*，*AB*∥*CD*，*AB*＝*CD*，
∴∠*AFB*＝∠*FBC*＝∠*DFG*，∠*ABF*＝∠*G*，
∵*BE*平分∠*ABC*，
∴∠*ABF*＝∠*CBG*，
∴∠*ABF*＝∠*AFB*＝∠*DFG*＝∠*G*，
∴*AB*＝*CD*＝2*k*，*DF*＝*DG*＝*k*，
∴*CG*＝*CD*+*DG*＝3*k*，
∵*AB*∥*DG*，
∴△*ABE*∽△*CGE*，
∴，
故选：*C*．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
8.二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）的图象如图所示，对称轴为直线*x*＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A. *b*^2^＞4*ac* B. *abc*＞0
C. *a*﹣*c*＜0 D. *am*^2^+*bm*≥*a*﹣*b*（*m*任意实数）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由图象可得：*a*＞0，*c*＞0，△＝*b*^2^﹣4*ac*＞0，﹣＝﹣1，
∴*b*＝2*a*＞0，*b*^2^＞4*ac*，故*A*选项不合题意，
∴*abc*＞0，故*B*选项不合题意，
当*x*＝﹣1时，*y*＜0，
∴*a*﹣*b*+*c*＜0，
∴﹣*a*+*c*＜0，即*a*﹣*c*＞0，故*C*选项符合题意，
当*x*＝*m*时，*y*＝*am*^2^+*bm*+*c*，
当*x*＝﹣1时，*y*有最小值为*a*﹣*b*+*c*，
∴*am*^2^+*bm*+*c*≥*a*﹣*b*+*c*，
∴*am*^2^+*bm*≥*a*﹣*b*，故*D*选项不合题意，
故选：*C*．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a,b,c的符号和它们之间的关系是解题的关键．
9.如图，在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，*AC*＝*BC*，点*O*在*AB*上，经过点*A*的⊙*O*与*BC*相切于点*D*，交*AB*于点*E*，若*CD*＝，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 4﹣ B. 2﹣ C. 2﹣π D. 1﹣
【答案】B
【解析】
【分析】
连接*OD*，*OH*⊥*AC*于*H*，如图，根据切线的性质得到*OD*⊥*BC*，则四边形*ODCH*为矩形，所以*OH*＝*CD*＝，则*OA*＝*OH*＝2，接着计算出∠*BOD*＝45°，*BD*＝*OD*＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝*S*~△*OBD*~﹣*S*~扇形*DOE*~进行计算．
【详解】解：连接*OD*，过*O*作*OH*⊥*AC*于*H*，如图，
∵∠*C*＝90°，*AC*＝*BC*，
∴∠*B*＝∠*CAB*＝45°，
∵⊙*O*与*BC*相切于点*D*，
∴*OD*⊥*BC*，
∴四边形*ODCH*为矩形，
∴*OH*＝*CD*＝，
在Rt△*OAH*中，∠*OAH*＝45°，
∴*OA*＝*OH*＝2，
在Rt△*OBD*中，∵∠*B*＝45°，
∴∠*BOD*＝45°，*BD*＝*OD*＝2，
∴图中阴影部分面积＝*S*~△*OBD*~﹣*S*~扇形*DOE*~
＝0.5×2×2﹣
＝2﹣π．
故选：*B*．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．
10.如图，在正方形*ABCD*中，点*E*是边*BC*的中点，连接*AE*、*DE*，分别交*BD*、*AC*于点*P*、*Q*，过点*P*作*PF*⊥*AE*交*CB*的延长线于*F*，下列结论：
①∠*AED*+∠*EAC*+∠*EDB*＝90°，
②*AP*＝*FP*，
③*AE*＝*AO*，
④若四边形*OPEQ*的面积为4，则该正方形*ABCD*的面积为36，
⑤*CE*•*EF*＝*EQ*•*DE*．
其中正确的结论有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案；
②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可；
③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题；
④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48；
⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可.
【详解】①正确：如图，连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，
∴∠BOC=90°，
∵BE=EC，
∴∠EOB=∠EOC=45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确；
②正确：如图，连接AF，
∵PF⊥AE，
∴∠APF=∠ABF=90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP=∠ABP＝45°，
∴∠PAF=∠PFA＝45°，
∴PA=PF，故②正确；
③正确：设BE=EC=a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，
∴，即AE＝AO，故③正确；
④错误：根据对称性可知，，
∴==2，
∵OB=OD，BE=EC，
∴CD=2OE，OE⊥CD，
∴ ， ，
∴， ，
∴，
∴，故④错误；
⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，
∴，
∴，
∴EQ=PE，
∴CE•EF=EQ•DE，故⑤正确；
综上所诉一共有4个正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键.
**二．填空题（共5小题）**
11.下列各数3.1415926，，1.212212221...，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有\_\_\_\_\_个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找出无理数的个数．
【详解】解：在所列实数中，无理数有1.212212221...，2﹣π，这3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查无理数定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
12.一列数4、5、4、6、*x*、5、7、3中，其中众数是4，则*x*的值是\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【详解】解：根据众数定义就可以得到：*x*＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握知识点是解题关键．
13.已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为\_\_\_\_\_度．
【答案】36
【解析】
【分析】
首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.
14.若关于*x*的不等式组有且只有三个整数解，则*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_．
【答案】1＜*m*≤4
【解析】
【分析】
解不等式组得出其解集为﹣2＜*x*＜，根据不等式组有且只有三个整数解得出1＜≤2，解之可得答案．
【详解】解不等式，得：*x*＞﹣2，
解不等式2*x*﹣*m*≤2﹣*x*，得：*x*＜，
则不等式组的解集为﹣2＜*x*＜，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1＜≤2，
解得：1＜*m*≤4，
故答案为：1＜*m*≤4．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
15.如图所示，将形状大小完全相同的"▱"按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中"▱"的个数为*a*~1~，第2幅图中"▱"的个数为*a*~2~，第3幅图中"▱"的个数为*a*~3~，...，以此类推，若+++...+＝．（*n*为正整数），则*n*的值为\_\_\_\_\_．
【答案】4039
【解析】
【分析】
先根据已知图形得出*a~n~*＝*n*（*n*+1），代入到方程中，再将左边利用裂项化简，解分式方程可得答案．
【详解】解：由图形知*a*~1~＝1×2，*a*~2~＝2×3，*a*~3~＝3×4，
∴*a~n~*＝*n*（*n*+1），
∵+++...+＝，
∴+++...+=，
∴2×（1﹣+﹣+﹣+......+﹣）=，
∴2×（1﹣）＝，
1﹣＝，
解得*n*＝4039，
经检验：*n*＝4039是分式方程的解．
故答案为：4039．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出*a~n~*＝*n*（*n*+1）及是解题的关键.
**三．解答题（共10小题）**
16.计算：﹣2sin30°﹣\|1﹣\|+（）^﹣2^﹣（π﹣2020）^0^．
【答案】+3
【解析】
【分析】
先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
【详解】﹣2sin30°﹣\|1﹣\|+()^﹣2^﹣(π﹣2020)^0^
=2﹣2×﹣(﹣1)+4﹣1
=2﹣1﹣+1+4﹣1
=+3．
【点睛】本题考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算以及熟记特殊角的三角函数值．
17.先化简，（﹣*x*﹣2）÷，然后从﹣2≤*x*≤2范围内选取一个合适的整数作为*x*的值代入求值．
【答案】﹣*x*+3，2
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】解：原式＝×
=
=
=
=﹣（x－3）
=﹣x+3
∵*x*≠ ±2，
∴可取*x*＝1，
则原式＝﹣1+3＝2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
18.如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，点*D*、*E*分别是线段*BC*、*AD*的中点，过点*A*作*BC*的平行线交*BE*的延长线于点*F*，连接*CF*．
（1）求证：△*BDE*≌△*FAE*；
（2）求证：四边形*ADCF*为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴（AAS）；
（2）证明：∵，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键.
19.在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点*B*垂直起飞到达点*A*处，测得1号楼顶部*E*的俯角为67°，测得2号楼顶部*F*的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且*EC*和*FD*分别垂直地面于点*C*和*D*，点*B*为*CD*的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【答案】45.8米
【解析】
【分析】
通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出*EM*，*AN*，进而计算出2号楼的高度*DF*即可．
【详解】解：过点*E*、*F*分别作*EM*⊥*AB*，*FN*⊥*AB*，垂足分别为*M*、*N*，
由题意得，*EC*＝20，∠*AEM*＝67°，∠*AFN*＝40°，*CB*＝*DB*＝*EM*＝*FN*，*AB*＝60，
∴*AM*＝*AB*﹣*MB*＝60﹣20＝40，
在Rt△*AEM*中，
∵tan∠*AEM*＝，
∴*EM*＝＝≈16.9，
在Rt△*AFN*中，
∵tan∠*AFN*＝，
∴*AN*＝tan40°×16.9≈14.2，
∴*FD*＝*NB*＝*AB*﹣*AN*＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．
20.新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买*A*、*B*两种花苗．据了解，购买*A*种花苗3盆，*B*种花苗5盆，则需210元；购买*A*种花苗4盆，*B*种花苗10盆，则需380元．
（1）求*A*、*B*两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买*A*、*B*两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆*B*种花苗，*B*种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【答案】（1）*A*、*B*两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）本次购买至少准备240元，最多准备290元
【解析】
【分析】
（1）设*A*、*B*两种花苗的单价分别是*x*元和*y*元，则，即可求解；
（2）设购买*B*花苗*x*盆，则购买*A*花苗为（12﹣*x*）盆，设总费用为*w*元，由题意得：*w*＝20（12﹣*x*）+（30﹣*x*）*x*＝﹣*x*^2^+10*x*+240（0≤*x*≤12），即可求解．
【详解】解：（1）设*A*、*B*两种花苗的单价分别是*x*元和*y*元，则，解得，
答：*A*、*B*两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买*B*花苗*x*盆，则购买*A*花苗为（12﹣*x*）盆，设总费用为*w*元，
由题意得：*w*＝20（12﹣*x*）+（30﹣*x*）*x*＝﹣*x*^2^+10*x*+240（0≤*x*≤12），
∵-1＜0．故*w*有最大值，当*x*＝5时，*w*的最大值为265，当*x*＝12时，*w*的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键.
21.（2020.四川遂宁中考）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数*y*＝*a*~1~*x*^2^+*b*~1~*x*+*c*~1~（*a*~1~≠0，*a*~1~、*b*~1~、*c*~1~是常数）与*y*＝*a*~2~*x*^2^+*b*~2~*x*+*c*~2~（*a*~2~≠0，*a*~2~、*b*~2~、*c*~2~是常数）满足*a*~1~+*a*~2~＝0，*b*~1~＝*b*~2~，*c*~1~+*c*~2~＝0，则这两个函数互为"旋转函数"．求函数*y*＝2*x*^2^﹣3*x*+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数*y*＝2*x*^2^﹣3*x*+1可知，*a*~1~＝2，*b*~1~＝﹣3，*c*~1~＝1，根据*a*~1~+*a*~2~＝0，*b*~1~＝*b*~2~，*c*~1~+*c*~2~＝0，求出*a*~2~，*b*~2~，*c*~2~就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数*y*＝*x*^2^﹣4*x*+3的旋转函数．
（2）若函数*y*＝5*x*^2^+（*m*﹣1）*x*+*n*与*y*＝﹣5*x*^2^﹣*nx*﹣3互为旋转函数，求（*m*+*n*）^2020^的值．
（3）已知函数*y*＝2（*x*﹣1）（*x*+3）的图象与*x*轴交于*A*、*B*两点，与*y*轴交于点*C*，点*A*、*B*、*C*关于原点的对称点分别是*A*~1~、*B*~1~、*C*~1~，试求证：经过点*A*~1~、*B*~1~、*C*~1~的二次函数与*y*＝2（*x*﹣1）（*x*+3）互为"旋转函数"．
【答案】（1）*y*＝﹣*x*^2^﹣4*x*﹣3；（2）1；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的解析式可得出*a*~1~，*b*~1~，*c*~1~的值，结合"旋转函数"的定义可求出*a*~2~，*b*~2~，*c*~2~的值，此问得解；
（2）由函数*y*＝5*x*^2^+（*m*﹣1）*x*+*n*与*y*＝﹣5*x*^2^﹣*nx*﹣3互为"旋转函数"，可求出*m*，*n*的值，将其代入（*m*+*n*）^2020^即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点*A*，*B*，*C*的坐标，结合对称的性质可求出点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的坐标，由点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的坐标，利用交点式可求出过点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出*a*~1~，*b*~1~，*c*~1~，*a*~2~，*b*~2~，*c*~2~的值，再由*a*~1~+*a*~2~＝0，*b*~1~＝*b*~2~，*c*~1~+*c*~2~＝0可证出经过点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的二次函数与函数*y*＝2（*x*﹣1）（*x*+3）互为"旋转函数"．
【详解】解：（1）由*y*＝*x*^2^﹣4*x*+3函数可知，*a*~1~＝1，*b*~1~＝﹣4，*c*~1~＝3，
∵*a*~1~+*a*~2~＝0，*b*~1~＝*b*~2~，*c*~1~+*c*~2~＝0，
∴*a*~2~＝﹣1，*b*~2~＝﹣4，*c*~2~＝﹣3，
∴函数*y*＝*x*^2^﹣4*x*+3的"旋转函数"为*y*＝﹣*x*^2^﹣4*x*﹣3；
（2）∵*y*＝5*x*^2^+（*m*﹣1）*x*+*n*与*y*＝﹣5*x*^2^﹣*nx*﹣3互为"旋转函数"，
∴，
解得：，
∴（*m*+*n*）^2020^＝（﹣2+3）^2020^＝1．
（3）证明：当*x*＝0时，*y*＝2（*x*﹣1）（*x*+3）＝﹣6，
∴点*C*的坐标为（0，﹣6）．
当*y*＝0时，2（*x*﹣1）（*x*+3）＝0，
解得：*x*~1~＝1，*x*~2~＝﹣3，
∴点*A*的坐标为（1，0），点*B*的坐标为（﹣3，0）．
∵点*A*，*B*，*C*关于原点的对称点分别是*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~，
∴*A*~1~（﹣1，0），*B*~1~（3，0），*C*~1~（0，6）．
设过点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的二次函数解析式为*y*＝*a*（*x*+1）（*x*﹣3），
将*C*~1~（0，6）代入*y*＝*a*（*x*+1）（*x*﹣3），得：6＝﹣3*a*，
解得：*a*＝﹣2，
过点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的二次函数解析式为*y*＝﹣2（*x*+1）（*x*﹣3），即*y*＝﹣2*x*^2^+4*x*+6．
∵*y*＝2（*x*﹣1）（*x*+3）＝2*x*^2^+4*x*﹣6，
∴*a*~1~＝2，*b*~1~＝4，*c*~1~＝﹣6，*a*~2~＝﹣2，*b*~2~＝4，*c*~2~＝6，
∴*a*~1~+*a*~2~＝2+（﹣2）＝0，*b*~1~＝*b*~2~＝4，*c*~1~+*c*~2~＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点*A*~1~，*B*~1~，*C*~1~的二次函数与函数*y*＝2（*x*﹣1）（*x*+3）互为"旋转函数"．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质及待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题干中"旋转函数"的定义是解题的关键.
22.端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对*A*、*B*、*C*、*D*四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有[ ]{.underline}人．
（2）喜欢*C*种口味粽子的人数所占圆心角为[ ]{.underline}度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃*D*种粽子的有[ ]{.underline}人．
（4）若有外型完全相同的*A*、*B*、*C*、*D*棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是*A*种粽子的概率．
【答案】（1）600；（2）72，图见解析；（3）2400人；（4画图见解析，
【解析】
【分析】
（1）用喜欢*D*种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢*B*种口味粽子的人数，再计算出喜欢*C*种口味粽子的人数，则用360度乘以喜欢*C*种口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数，然后补全条形统计图；
（3）用D占的百分比乘以6000即可得到结果；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出他第二个吃的粽子恰好是*A*种粽子的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有600人；
故答案为：600；
（2）喜欢*B*种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢*C*种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢*C*种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°；
补全条形统计图为：
故答案为：72；
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃*D*种粽子的有2400人；
故答案为2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是*A*种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是*A*种粽子的概率＝＝．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的信息关联、由样本估计总体以及用列表或画树状图求简单事件的概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（4）中需注意是不放回实验．
23.如图，在平面直角坐标系中，已知点*A*的坐标为（0，2），点*B*的坐标为（1，0），连结*AB*，以*AB*为边在第一象限内作正方形*ABCD*，直线*BD*交双曲线*y*═（*k*≠0）于*D*、*E*两点，连结*CE*，交*x*轴于点*F*．
（1）求双曲线*y*＝（*k*≠0）和直线*DE*的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）*y*＝，*y*＝3*x*﹣3；（2）
【解析】
【分析】
（1）作*DM*⊥*y*轴于*M*，通过证得（*AAS*），求得*D*的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线*y*＝（*k*≠0）和直线*DE*的解析式．
（2）解析式联立求得*E*的坐标，然后根据勾股定理求得*DE*和*DB*，进而求得*CN*的长，即可根据三角形面积公式求得△*DEC*的面积．
【详解】解：∵点*A*的坐标为（0，2），点*B*的坐标为（1，0），
∴*OA*＝2，*OB*＝1，
作*DM*⊥*y*轴于*M*，
∵四边形*ABCD*是正方形，
∴∠*BAD*＝90°，*AB*＝*AD*，
∴∠*OAB*+∠*DAM*＝90°，
∵∠*OAB*+∠*ABO*＝90°，
∴∠*DAM*＝∠*ABO*，
在和中
，
∴（*AAS*），
∴*AM*＝*OB*＝1，*DM*＝*OA*＝2，
∴*D*（2，3），
∵双曲线经过*D*点，
∴*k*＝2×3＝6，
∴双曲线为*y*＝，
设直线*DE*的解析式为*y*＝*mx*+*n*，
把*B*（1，0），*D*（2，3）代入得，
解得，
∴直线*DE*的解析式为*y*＝3*x*﹣3；
（2）连接*AC*，交*BD*于*N*，
∵四边形*ABCD*是正方形，
∴*BD*垂直平分*AC*，*AC*＝*BD*，
解
得或，
经检验：两组解都符合题意，
∴*E*（﹣1，﹣6），
∵*B*（1，0），*D*（2，3），
∴*DE*＝＝，*DB*＝＝，
∴*CN*＝*BD*＝，
∴
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24.如图，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*D*为*AB*边上的一点，以*AD*为直径的⊙*O*交*BC*于点*E*，交*AC*于点*F*，过点*C*作*CG*⊥*AB*交*AB*于点*G*，交*AE*于点*H*，过点*E*的弦*EP*交*AB*于点*Q*（*EP*不是直径），点*Q*为弦*EP*的中点，连结*BP*，*BP*恰好为⊙*O*的切线．
（1）求证：*BC*是⊙*O*的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠*ABC*═，*AC*＝15，求四边形*CHQE*的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45
【解析】
【分析】
（1）连接*OE*，*OP*，根据线段垂直平分线的性质得到*PB*＝*BE*，根据全等三角形的性质得到∠*BEO*＝∠*BPO*，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
（2）根据平行线和等腰三角形性质即可得到结论．
（3）根据垂径定理得到*EP*⊥*AB*，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠*CAE*＝∠*EAO*，根据全等三角形的性质得到*CE*＝*QE*，推出四边形*CHQE*是菱形，解直角三角形得到*CG*＝＝12，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接*OE*，*OP*，
∵*PE*⊥*AB*，点*Q*为弦*EP*的中点，
∴*AB*垂直平分*EP*，
∴*PB*＝*BE*，
∵*OE*＝*OP*，*OB*＝*OB*，
∴△*BEO*≌△*BPO*（*SSS*），
∴∠*BEO*＝∠*BPO*，
∵*BP*为⊙*O*的切线，
∴∠*BPO*＝90°，
∴∠*BEO*＝90°，
∴*OE*⊥*BC*，
∴*BC*是⊙*O*的切线．
（2）解：∵∠*BEO*＝∠*ACB*＝90°，
∴*AC*∥*OE*，
∴∠*CAE*＝∠*OEA*，
∵*OA*＝*OE*，
∴∠*EAO*＝∠*AEO*，
∴∠*CAE*＝∠*EAO*，
∴．
（3）解：∵*AD*为的⊙*O*直径，点*Q*为弦*EP*的中点，
∴*EP*⊥*AB*，
∵*CG*⊥*AB*，
∴*CG*∥*EP*，
∵∠*ACB*＝∠*BEO*＝90°，
∴*AC*∥*OE*，
∴∠*CAE*＝∠*AEO*，
∵*OA*＝*OE*，
∴∠*EAQ*＝∠*AEO*，
∴∠*CAE*＝∠*EAO*，
∵∠*ACE*＝∠*AQE*＝90°，*AE*＝*AE*，
∴△*ACE*≌△*AQE*（*AAS*），
∴*CE*＝*QE*，
∵∠*AEC*+∠*CAE*＝∠*EAQ*+∠*AHG*＝90°，
∴∠*CEH*＝∠*AHG*，
∵∠*AHG*＝∠*CHE*，
∴∠*CHE*＝∠*CEH*，
∴*CH*＝*CE*，
∴*CH*＝*EQ*，
∴四边形*CHQE*是平行四边形，
∵*CH*＝*CE*，
∴四边形*CHQE*是菱形，
∵sin∠*ABC*═sin∠*ACG*═＝，
∵*AC*＝15，
∴*AG*＝9，
∴*CG*＝＝12，
∵△*ACE*≌△*AQE*，
∴*AQ*＝*AC*＝15，
∴*QG*＝6，
∵*HQ*^2^＝*HG*^2^+*QG*^2^，
∴*HQ*^2^＝（12﹣*HQ*）^2^+6^2^，
解得：*HQ*＝，
∴*CH*＝*HQ*＝，
∴四边形*CHQE*的面积＝*CH*•*GQ*＝×6＝45．
【点睛】此题考查了圆的综合问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．
25.如图，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）的图象经过*A*（1，0），*B*（3，0），*C*（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点*M*与对称轴*l*上的点*N*关于*x*轴对称，直线*AN*交抛物线于点*D*，直线*BE*交*AD*于点*E*，若直线*BE*将△*ABD*的面积分为1：2两部分，求点*E*的坐标．
（3）*P*为抛物线上的一动点，*Q*为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点*P*，使*A*、*D*、*P*、*Q*为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点*P*的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）*y*=*x*^2^﹣8*x*+6；（2）点*E*(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点*P*坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使*A*、*D*、*P*、*Q*为顶点的四边形为平行四边形
【解析】
【分析】
（1）设抛物线解析式为：*y*＝*a*(*x*﹣1)(*x*﹣3)，把点*C*坐标代入解析式，可求解；
（2）先求出点*M*，点*N*坐标，利用待定系数法可求*AD*解析式，联立方程组可求点*D*坐标，可求*S*~△*ABD*~＝×2×6＝6，设点*E(m*，2*m*﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）的图象经过*A*(1，0)，*B*(3，0)，
∴设抛物线解析式为：*y*＝*a*(*x*﹣1)(*x*﹣3)，
∵抛物线*y*＝*a*(*x*﹣1)(*x*﹣3)(*a*≠0)的图象经过点*C*(0，6)，
∴6＝*a*(0﹣1)(0﹣3)，
∴*a*＝2，
∴抛物线解析式为：*y*＝2(*x*﹣1)(*x*﹣3)＝2*x*^2^﹣8*x*+6；
（2）∵*y*＝2*x*^2^﹣8*x*+6＝2(*x*﹣2)^2^﹣2，
∴顶点*M*的坐标为(2，﹣2)，
∵抛物线的顶点*M*与对称轴*l*上的点*N*关于*x*轴对称，
∴点*N*(2，2)，
设直线*AN*解析式为：*y*＝*kx*+*b*，
由题意可得：，
解得：，
∴直线*AN*解析式为：*y*＝2*x*﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点*D*（4，6），
∴*S*~△*ABD*~＝×2×6＝6，
设点*E*(*m*，2*m*﹣2)，
∵直线*BE*将△*ABD*的面积分为1：2两部分，
∴*S*~△*ABE*~＝*S*~△*ABD*~＝2或*S*~△*ABE*~＝*S*~△*ABD*~＝4，
∴×2×(2*m*﹣2)＝2或×2×(2*m*﹣2)＝4，
∴*m*＝2或3，
∴点*E*(2，2)或(3，4)；
（3）若*AD*为平行四边形的边，
∵以*A*、*D*、*P*、*Q*为顶点的四边形为平行四边形，
∴*AD*＝*PQ*，
∴*x~D~*﹣*x~A~*＝*x~P~*﹣*x~Q~*或*x~D~*﹣*x~A~*＝*x~Q~*﹣*x~P~*，
∴*x~P~*＝4﹣1+2＝5或*x~P~*＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点*P*坐标为(5，16)或(﹣1，16)；
若*AD*为平行四边形的对角线，
∵以*A*、*D*、*P*、*Q*为顶点的四边形为平行四边形，
∴*AD*与*PQ*互相平分，
∴，
∴*x~P~*＝3，
∴点*P*坐标为(3，0)，
综上所述：当点*P*坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使*A*、*D*、*P*、*Q*为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的认识和加减法》单元测试2（无答案）**
一、认真思考，轻松填空。(每空1分，共31分)
1．0.6里面有( )个0.1，4.725里面有( )个0.001。
2．3.06中6在( )位上，表示( )个( )，这个数读作( )。
3．一个数的个位是8，十位是5，十分位是2，百分位是6，这个数是( )，它读作( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．写成小数是( )，7个千分之一是( )。
5．8275克=( )千克
2.48元=( )元( )角( )分
6．把5.89，8.02，7.98，8.20分别填入下面的括号里。
( )＜( )＜( )＜( )
7．□□. □□中最接近30的数是( )和( )。
8．在( )里填上合适的数。
( ) ( ) ( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
9．用箭头指出各数的位置。
(0.3) (0.5) (1.8)
10．用8，5，0和小数点组成一个最大的两位小数和一个最小的两位小数，它们的和是( )，差是( )。
11．在7.100，710，7.101，7.1110，0.701中，去掉"0"而大小不变的数是( )和( )。
12．用小数表示下图中的测量结果。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
( )厘米
二、火眼金睛，辨别真伪。(对的打"√"，错的打"×")(5分)
1．看到8.0，我就想起了汶川大地震。8.0和8一样大，但计数单位不一样。( )
2．5.08中的"8"在百分位上，表示8个百。 ( )
3．7.65这个小数是由7个1，6个0.1和5个0.01组成的。 ( )
4．小数的位数越多，小数越大。 ( )
5．计算小数加、减法时，要像计算整数加、减法那样把末位对齐。 ( )
三、反复比较，择优录取。(5分)
1．雯雯身高1.40米，也就是( )。
A．1米40分米 B．1米4分米 C．1米4厘米
2．下面的小数中只读一个零的小数是( )。
A．0.8 B．0.08 C．0.80
3．大于0.4小于0.5的两位小数有( )个。
A．无数个 B．9个 C．10个
4．两个数的和是4.8，一个加数增加1.4，另一个加数减少1.2，那么和是( )。
A 4.8 B．5 C．4.6
5．我买了一本书，9元，小红猜9.05元，小丽猜8.85元，小刚猜9.18元，猜得最接近的是( )。
A．小红 B．小丽 C．小刚
四、比较大小。(6分)
1．(3分)用小数表示下图中的阴影部分，再比较大小。
2．(3分)小明、莉莉和笑笑参加跳远比赛，他们的成绩如下表，请填出他们的名次。
------ ---------- ------
姓名 成绩(米) 名次
小明 1.32
莉莉 1.23
笑笑 2.01
------ ---------- ------
五、看清题意，巧思妙算。(26分)
1．(6分)夺红旗。
1.3＋4.5= 6.8－4.3= 12.26－8.65=
8.5＋3.9= 7.8－3.7= 5.36＋3.28=
3.7－2.8= 7.6＋6.3= 8－2.9=
7.2＋1.8= 1－0.6= 9.7－3=
2．(8分)列竖式计算下面各题。
5.6＋2.94= 13.28－8.75=
10－2.61= 0.45＋0.405=
3．(12分)用简便方法计算下面各题。
3.74＋2.18－1.74 5.12－1.36－2.64
6.34＋2.78＋7.22＋13.66 9.35－(2.89＋5.35)
六、走进生活，解决问题。(22分)
1．(5分)6月3日晚八点，上海世博园区共接待41.68万参观者，创下开园34天第二大单日客流量纪录，而5月30日的50.50万人入园，仍然保持着最高的纪录，请问6月3日的入园人数比5月30日少多少万人？
2．(17分)跳水决赛，由预赛成绩加决赛中的规定动作和自选动作的成绩，预赛时甲、乙运动员分别以286.78分和278.96分的成绩名列前2名。
(1)此时，两人相差多少分？(4分)
(2)下表是甲、乙运动员前三轮规定动作的成绩。(6分)
---- ------- ------- ------- ------
一轮 二轮 三轮 总分
甲 52.09 70.48 68.72
乙 69.85 64.66 62.05
---- ------- ------- ------- ------
此时，甲、乙两人还相差多少分？
(3)自选动作成绩。(7分)
---- ------ ------- ------- ------
四轮 五轮 六轮 总分
田 80.5 76.5 87.05
乙 79.5 89.02
---- ------ ------- ------- ------
乙要想拿冠军，最后一跳应得多少分以上？
七、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
1．选做题A(5分)
笑笑去买文具，买一个圆规用了4.2元，买一个直尺用了1.8元，买一个水性笔用了3.2元。她给了售货员10元，应找回多少元？(用两种方法解)
2．选做题B(5分)
淘气每天在学校食堂吃午饭，菜单如下：
如果淘气每天午饭的标准不超过10元，应怎样选择一顿午饭？请你在下面写出两种方案。
附加题。 (5分)
你会填吗？
(1)7.5＞( )＞( )＞( )＞( )＞( )＞7.0
(2)0.3＜( )＜( )＜( )＜( )＜( )＜0.4
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**参考答案**
一、1．6 4725
2．百分 6 百分之一 三点零六
3．58.26 五十八点二六
4．0.39 0.007
5．8.275 2 4 8
6．5.89 7.98 8.02 8.20
7．29.99 30.01
8．0.5 1.3 1.9
9．略
10．9.08 7.92
11．7.100 7.1110
12．6.3
二、1．√ 2．× 3．√ 4．× 5．×
三、1．B 2．A 3．B 4．B 5．A
四、1．1.5＜2.1
2．小明第二名 莉莉第三名 笑笑第一名
五、1．5.8 2.5 3.61 12.4 4.1 8.64 0.9 13.9
5.1 9 0.4 6.7
2．8.54 4.53 7.39 0.855
3．4.18 1.12 30 1.11
六、1．50.50－41.68=8.82(万人)
2．(1)286.78－278.96=7.82(分)
(2)52.09＋70.48＋68.72=191.29(分)
69.85＋64.66＋62.05=196.56(分)
191.29＋7.82－196.56=2.55(分)
(3)80.5＋76.5＋87.05=244.05(分)
244.05－79.5－89.02=75.53(分)
75.53＋2.55=78.08(分)
七、1．方法一：10－(4.2＋1.8＋3.2)=0.8(元)
方法二：10－4.2－1.8－3.2=0.8(元)
2．方案很多，不超过10元即可。如：一碗米饭加一份红烧牛肉。
> 0.50＋7.50=8.00(元) 1碗米饭、一碗鸡蛋汤和一份素炒土豆丝
>
> 0.50＋2.00＋5.00=7.50(元)
附加题：(1)7.5＞7.4＞7.3＞7.2＞7.1＞7.09＞7.0 (答案不唯一)
(2)0.3＜0.31＜0.32＜0.33＜0.34＜0.35＜0.36＜0.4 (答案不唯一)
| 1 | |
**2019年湖北省襄阳市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答**
1．（3分）（2019•襄阳）计算\|﹣3\|的结果是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．±3
2．（3分）（2019•襄阳）下列运算正确的是（ ）
A．*a*^3^﹣*a*^2^＝*a* B．*a*^2^•*a*^3^＝*a*^6^ C．*a*^6^÷*a*^2^＝*a*^3^ D．（*a*^2^）^﹣3^＝*a*^﹣6^
3．（3分）（2019•襄阳）如图，直线*BC*∥*AE*，*CD*⊥*AB*于点*D*，若∠*BCD*＝40°，则∠1的度数是（ ）
> 
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（3分）（2019•襄阳）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与"春"字所在的面相对的面上的字是（ ）
> 
A．青 B．来 C．斗 D．奋
5．（3分）（2019•襄阳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•襄阳）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•襄阳）如图，分别以线段*AB*的两个端点为圆心，大于*AB*的一半的长为半径画弧，两弧分别交于*C*，*D*两点，连接*AC*，*BC*，*AD*，*BD*，则四边形*ADBC*一定是（ ）
> 
A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
8．（3分）（2019•襄阳）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，"钉尖朝上"的概率不能用列举法求得
9．（3分）（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七"盈不足"中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为*x*人，所列方程正确的是（ ）
A．5*x*﹣45＝7*x*﹣3 B．5*x*+45＝7*x*+3 C．＝ D．＝
10．（3分）（2019•襄阳）如图，*AD*是⊙*O*的直径，*BC*是弦，四边形*OBCD*是平行四边形，*AC*与*OB*相交于点*P*，下列结论错误的是（ ）
> 
A．*AP*＝2*OP* B．*CD*＝2*OP* C．*OB*⊥*AC* D．*AC*平分*OB*
**二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上**
11．（3分）（2019•襄阳）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．"学习强国"平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•襄阳）定义：*a*\**b*＝，则方程2\*（*x*+3）＝1\*（2*x*）的解为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•襄阳）从2，3，4，6中随机选取两个数记作*a*和*b*（*a*＜*b*），那么点（*a*，*b*）在直线*y*＝2*x*上的概率是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•襄阳）如图，已知∠*ABC*＝∠*DCB*，添加下列条件中的一个：①∠*A*＝∠*D*，②*AC*＝*DB*，③*AB*＝*DC*，其中不能确定△*ABC*≌△*DCB*的是[ ]{.underline}（只填序号）．
> 
15．（3分）（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度*h*（单位：*m*）与飞行时间*t*（单位：*s*）之间具有的关系为*h*＝20*t*﹣5*t*^2^，则小球从飞出到落地所用的时间为[ ]{.underline}*s*．
> 
16．（3分）（2019•襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点*C*，点*D*在*AB*上，
> ∠*BAC*＝∠*DEC*＝30°，*AC*与*DE*交于点*F*，连接*AE*，若*BD*＝1，*AD*＝5，则＝[ ]{.underline}．
>
> 
**三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。**
17．（6分）（2019•襄阳）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中*x*＝﹣1．
18．（6分）（2019•襄阳）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了"我和我的祖国"主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
------------------- ------ ------
成绩*x*（分）分组 频数 频率
60≤*x*＜70 15 0.30
70≤*x*＜80 *a* 0.40
80≤*x*＜90 10 *b*
90≤*x*≤100 5 0.10
------------------- ------ ------
> （1）表中*a*＝[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）这组数据的中位数落在[ ]{.underline}范围内；
>
> （3）判断：这组数据的众数一定落在70≤*x*＜80范围内，这个说法[ ]{.underline}（填"正确"或"错误"）；
>
> （4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤*x*＜90范围内的扇形圆心角的大小为[ ]{.underline}；
>
> （5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有[ ]{.underline}名学生获得优秀成绩．
19．（6分）（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（*AD*）16*m*，宽（*AB*）9*m*的矩形场地*ABCD*上修建三条同样宽的小路，其中两条与*AB*平行，另一条与*AD*平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112*m*^2^，则小路的宽应为多少？
> 
20．（6分）（2019•襄阳）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱*BC*和塔冠*BE*）进行了测量．如图所示，最外端的拉索*AB*的底端*A*到塔柱底端*C*的距离为121*m*，拉索*AB*与桥面*AC*的夹角为37°，从点*A*出发沿*AC*方向前进23.5*m*，在*D*处测得塔冠顶端*E*的仰角为45°．请你求出塔冠*BE*的高度（结果精确到0.1*m*．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．
> 
21．（7分）（2019•襄阳）如图，已知一次函数*y*~1~＝*kx*+*b*与反比例函数*y*~2~＝的图象在第一、第三象限分别交于*A*（3，4），*B*（*a*，﹣2）两点，直线*AB*与*y*轴，*x*轴分别交于*C*，*D*两点．
> （1）求一次函数和反比例函数的解析式；
>
> （2）比较大小：*AD*[ ]{.underline}*BC*（填"＞"或"＜"或"＝"）；
>
> （3）直接写出*y*~1~＜*y*~2~时*x*的取值范围．
>
> 
22．（8分）（2019•襄阳）如图，点*E*是△*ABC*的内心，*AE*的延长线和△*ABC*的外接圆⊙*O*相交于点*D*，过*D*作直线*DG*∥*BC*．
> （1）求证：*DG*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若*DE*＝6，*BC*＝6，求优弧的长．
>
> 
23．（10分）（2019•襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
-------------- ----------------- -----------------
有机蔬菜种类 进价（元/*kg*） 售价（元/*kg*）
甲 *m* 16
乙 *n* 18
-------------- ----------------- -----------------
> （1）该超市购进甲种蔬菜10*kg*和乙种蔬菜5*kg*需要170元；购进甲种蔬菜6*kg*和乙种蔬菜10*kg*需要200元．求*m*，*n*的值；
>
> （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100*kg*进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20*kg*，且不大于70*kg*．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60*kg*的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额*y*（元）与购进甲种蔬菜的数量*x*（*kg*）之间的函数关系式，并写出*x*的取值范围；
>
> （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额*y*（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2*a*元，乙种蔬菜每千克捐出*a*元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求*a*的最大值．
24．（10分）（2019•襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形*ABCD*中，点*E*，*Q*分别在边*BC*，*AB*上，*DQ*⊥*AE*于点*O*，点*G*，*F*分别在边*CD*，*AB*上，*GF*⊥*AE*．
> ①求证：*DQ*＝*AE*；
>
> ②推断：的值为[ ]{.underline}；
>
> （2）类比探究：如图（2），在矩形*ABCD*中，＝*k*（*k*为常数）．将矩形*ABCD*沿*GF*折叠，使点*A*落在*BC*边上的点*E*处，得到四边形*FEPG*，*EP*交*CD*于点*H*，连接*AE*交*GF*于点*O*．试探究*GF*与*AE*之间的数量关系，并说明理由；
>
> （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接*CP*，当*k*＝时，若tan∠*CGP*＝，*GF*＝2，求*CP*的长．
>
> 
25．（13分）（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线*y*＝﹣*x*+3与*x*轴，*y*轴分别交于点*B*，点*C*，对称轴为*x*＝1的抛物线过*B*，*C*两点，且交*x*轴于另一点*A*，连接*AC*．
> （1）直接写出点*A*，点*B*，点*C*的坐标和抛物线的解析式；
>
> （2）已知点*P*为第一象限内抛物线上一点，当点*P*到直线*BC*的距离最大时，求点*P*的坐标；
>
> （3）抛物线上是否存在一点*Q*（点*C*除外），使以点*Q*，*A*，*B*为顶点的三角形与△*ABC*相似？若存在，求出点*Q*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
**2019年湖北省襄阳市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答**
1．（3分）（2019•襄阳）计算\|﹣3\|的结果是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．±3
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据绝对值的性质进行计算．
>
> 【解答】解：\|﹣3\|＝3．
>
> 故选：*A*．
2．（3分）（2019•襄阳）下列运算正确的是（ ）
A．*a*^3^﹣*a*^2^＝*a* B．*a*^2^•*a*^3^＝*a*^6^ C．*a*^6^÷*a*^2^＝*a*^3^ D．（*a*^2^）^﹣3^＝*a*^﹣6^
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂．
>
> 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、*a*^3^﹣*a*^2^，无法计算，故此选项错误；
>
> *B*、*a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^，故此选项错误；
>
> *C*、*a*^6^÷*a*^2^＝*a*^4^，故此选项错误；
>
> *D*、（*a*^2^）^﹣3^＝*a*^﹣6^，正确．
>
> 故选：*D*．
3．（3分）（2019•襄阳）如图，直线*BC*∥*AE*，*CD*⊥*AB*于点*D*，若∠*BCD*＝40°，则∠1的度数是（ ）
> 
A．60° B．50° C．40° D．30°
> 【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】先在直角△*CBD*中可求得∠*DBC*的度数，然后平行线的性质可求得∠1的度数．
>
> 【解答】解：∵*CD*⊥*AB*于点*D*，∠*BCD*＝40°，
>
> ∴∠*CDB*＝90°．
>
> ∴∠*BCD*+∠*DBC*＝90°，即∠*BCD*+40°＝90°．
>
> ∴∠*DBC*＝50°．
>
> ∵直线*BC*∥*AE*，
>
> ∴∠1＝∠*DBC*＝50°．
>
> 故选：*B*．
4．（3分）（2019•襄阳）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与"春"字所在的面相对的面上的字是（ ）
> 
A．青 B．来 C．斗 D．奋
> 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．菁优网版权所有
>
> 【分析】正方体展开图的"*Z*"字型找对面的方法即可求解；
>
> 【解答】解：由："*Z*"字型对面，可知春字对应的面上的字是奋；
>
> 故选：*D*．
5．（3分）（2019•襄阳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
>
> 【解答】解：*A*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
>
> *B*、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
>
> *C*、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
>
> *D*、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
>
> 故选：*B*．
6．（3分）（2019•襄阳）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可．
>
> 【解答】解：不等式组整理得：，
>
> ∴不等式组的解集为*x*≤﹣3，
>
> 
>
> 故选：*C*．
7．（3分）（2019•襄阳）如图，分别以线段*AB*的两个端点为圆心，大于*AB*的一半的长为半径画弧，两弧分别交于*C*，*D*两点，连接*AC*，*BC*，*AD*，*BD*，则四边形*ADBC*一定是（ ）
> 
A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
> 【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；梯形；作图---复杂作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
>
> 【解答】解：由作图可知：*AC*＝*AD*＝*BC*＝*BD*，
>
> ∴四边形*ACBD*是菱形，
>
> 故选：*D*．
8．（3分）（2019•襄阳）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，"钉尖朝上"的概率不能用列举法求得
> 【考点】随机事件；概率的意义；列表法与树状图法；利用频率估计概率．菁优网版权所有
>
> 【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
>
> 【解答】解：*A*、必然事件发生的概率是1，正确；
>
> *B*、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
>
> *C*、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
>
> *D*、投一枚图钉，"钉尖朝上"的概率不能用列举法求得，正确，
>
> 故选：*C*．
9．（3分）（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七"盈不足"中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为*x*人，所列方程正确的是（ ）
A．5*x*﹣45＝7*x*﹣3 B．5*x*+45＝7*x*+3 C．＝ D．＝
> 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】设合伙人数为*x*人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于*x*的一元一次方程，此题得解．
>
> 【解答】解：设合伙人数为*x*人，
>
> 依题意，得：5*x*+45＝7*x*+3．
>
> 故选：*B*．
10．（3分）（2019•襄阳）如图，*AD*是⊙*O*的直径，*BC*是弦，四边形*OBCD*是平行四边形，*AC*与*OB*相交于点*P*，下列结论错误的是（ ）
> 
A．*AP*＝2*OP* B．*CD*＝2*OP* C．*OB*⊥*AC* D．*AC*平分*OB*
> 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用圆周角定理得到∠*ACD*＝90°，再根据平行四边形的性质得到*CD*∥*OB*，*CD*＝*OB*，则可求出∠*A*＝30°，在Rt△*AOP*中利用含30度的直角三角形三边的关系可对*A*选项进行判断；利用*OP*∥*CD*，*CD*⊥*AC*可对*C*选项进行判断；利用垂径可判断*OP*为△*ACD*的中位线，则*CD*＝2*OP*，原式可对*B*选项进行判断；同时得到*OB*＝2*OP*，则可对*D*选项进行判断．
>
> 【解答】解：∵*AD*为直径，
>
> ∴∠*ACD*＝90°，
>
> ∵四边形*OBCD*为平行四边形，
>
> ∴*CD*∥*OB*，*CD*＝*OB*，
>
> 在Rt△*ACD*中，sin*A*＝＝，
>
> ∴∠*A*＝30°，
>
> 在Rt△*AOP*中，*AP*＝*OP*，所以*A*选项的结论错误；
>
> ∵*OP*∥*CD*，*CD*⊥*AC*，
>
> ∴*OP*⊥*AC*，所以*C*选项的结论正确；
>
> ∴*AP*＝*CP*，
>
> ∴*OP*为△*ACD*的中位线，
>
> ∴*CD*＝2*OP*，所以*B*选项的结论正确；
>
> ∴*OB*＝2*OP*，
>
> ∴*AC*平分*OB*，所以*D*选项的结论正确．
>
> 故选：*A*．
**二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上**
11．（3分）（2019•襄阳）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．"学习强国"平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为[ 1.2×10^8^ ]{.underline}．
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（*a*×10的*n*次幂的形式），其中1≤\|*a*\|＜10，*n*表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的*n*次幂．
>
> 【解答】解：1.2亿＝1.2×10^8^．
>
> 故答案为：1.2×10^8^．
12．（3分）（2019•襄阳）定义：*a*\**b*＝，则方程2\*（*x*+3）＝1\*（2*x*）的解为[ *x*＝1 ]{.underline}．
> 【考点】有理数的混合运算；解分式方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据新定义列分式方程可得结论．
>
> 【解答】解：2\*（*x*+3）＝1\*（2*x*），
>
> ＝，
>
> 4*x*＝*x*+3，
>
> *x*＝1，
>
> 经检验：*x*＝1是原方程的解，
>
> 故答案为：*x*＝1．
13．（3分）（2019•襄阳）从2，3，4，6中随机选取两个数记作*a*和*b*（*a*＜*b*），那么点（*a*，*b*）在直线*y*＝2*x*上的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】画出树状图，找到*b*＝2*a*的结果数，再根据概率公式解答
>
> 【解答】解：画树状图如图所示，
>
> 
>
> 一共有6种情况，*b*＝2*a*的有（2，4）和（3，6）两种，
>
> 所以点（*a*，*b*）在直线*y*＝2*x*上的概率是＝，
>
> 故答案为：．
14．（3分）（2019•襄阳）如图，已知∠*ABC*＝∠*DCB*，添加下列条件中的一个：①∠*A*＝∠*D*，②*AC*＝*DB*，③*AB*＝*DC*，其中不能确定△*ABC*≌△*DCB*的是[ ② ]{.underline}（只填序号）．
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
>
> 【分析】一般三角形全等的判定方法有*SSS*，*SAS*，*AAS*，*ASA*，据此可逐个对比求解．
>
> 【解答】解：∵已知∠*ABC*＝∠*DCB*，且*BC*＝*CB*
>
> ∴若添加①∠*A*＝∠*D*，则可由*AAS*判定△*ABC*≌△*DCB*；
>
> 若添加②*AC*＝*DB*，则属于边边角的顺序，不能判定△*ABC*≌△*DCB*；
>
> 若添加③*AB*＝*DC*，则属于边角边的顺序，可以判定△*ABC*≌△*DCB*．
>
> 故答案为：②．
15．（3分）（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度*h*（单位：*m*）与飞行时间*t*（单位：*s*）之间具有的关系为*h*＝20*t*﹣5*t*^2^，则小球从飞出到落地所用的时间为[ 4 ]{.underline}*s*．
> 
>
> 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据关系式，令*h*＝0即可求得*t*的值为飞行的时间
>
> 【解答】解：
>
> 依题意，令*h*＝0得
>
> 0＝20*t*﹣5*t*^2^
>
> 得*t*（20﹣5*t*）＝0
>
> 解得*t*＝0（舍去）或*t*＝4
>
> 即小球从飞出到落地所用的时间为4*s*
>
> 故答案为4．
16．（3分）（2019•襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点*C*，点*D*在*AB*上，
> ∠*BAC*＝∠*DEC*＝30°，*AC*与*DE*交于点*F*，连接*AE*，若*BD*＝1，*AD*＝5，则＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
>
> 
>
> 【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】过点*C*作*CM*⊥*DE*于点*M*，过点*E*作*EN*⊥*AC*于点*N*，先证△*BCD*∽△*ACE*，求出*AE*的长及∠*CAE*＝60°，推出∠*DAE*＝90°，在Rt△*DAE*中利用勾股定理求出*DE*的长，进一步求出*CD*的长，分别在Rt△*DCM*和Rt△*AEN*中，求出*MC*和*NE*的长，再证△*MFC*∽△*NFE*，利用相似三角形对应边的比相等即可求出*CF*与*EF*的比值．
>
> 【解答】解：如图，过点*C*作*CM*⊥*DE*于点*M*，过点*E*作*EN*⊥*AC*于点*N*，
>
> ∵*BD*＝1，*AD*＝5，
>
> ∴*AB*＝*BD*+*AD*＝6，
>
> ∵在Rt△*ABC*中，∠*BAC*＝30°，∠*B*＝90°﹣∠*BAC*＝60°，
>
> ∴*BC*＝*AB*＝3，*AC*＝*BC*＝3，
>
> 在Rt△*BCA*与Rt△*DCE*中，
>
> ∵*BAC*＝∠*DEC*＝30°，
>
> ∴tan∠*BAC*＝tan∠*DEC*，
>
> ∴，
>
> ∵*BCA*＝∠*DCE*＝90°，
>
> ∴∵*BCA*﹣∠*DCA*＝∠*DCE*﹣∠*DCA*，
>
> ∴∠*BCD*＝∠*ACE*，
>
> ∴△*BCD*∽△*ACE*，
>
> ∴∠*CAE*＝∠*B*＝60°，∴，
>
> ∴∠*DAE*＝∠*DAC*+∠*CAE*＝30°+60°＝90°，，
>
> ∴*AE*＝，
>
> 在Rt△*ADE*中，
>
> *DE*＝＝＝2，
>
> 在Rt△*DCE*中，∠*DEC*＝30°，
>
> ∴∠*EDC*＝60°，*DC*＝*DE*＝，
>
> 在Rt△*DCM*中，
>
> *MC*＝*DC*＝，
>
> 在Rt△*AEN*中，
>
> *NE*＝*AE*＝，
>
> ∵∠*MFC*＝∠*NFE*，∠*FMC*＝∠*FNE*＝90，
>
> ∴△*MFC*∽△*NFE*，
>
> ∴＝＝，
>
> 故答案为：．
>
> 
**三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。**
17．（6分）（2019•襄阳）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中*x*＝﹣1．
> 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
>
> 【解答】解：（﹣1）÷
>
> ＝（﹣）÷
>
> ＝×
>
> ＝，
>
> 当*x*＝﹣1时，原式＝＝．
18．（6分）（2019•襄阳）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了"我和我的祖国"主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
------------------- ------ ------
成绩*x*（分）分组 频数 频率
60≤*x*＜70 15 0.30
70≤*x*＜80 *a* 0.40
80≤*x*＜90 10 *b*
90≤*x*≤100 5 0.10
------------------- ------ ------
> （1）表中*a*＝[ 20 ]{.underline}，*b*＝[ 0.2 ]{.underline}；
>
> （2）这组数据的中位数落在[ 70≤*x*＜80 ]{.underline}范围内；
>
> （3）判断：这组数据的众数一定落在70≤*x*＜80范围内，这个说法[ 正确 ]{.underline}（填"正确"或"错误"）；
>
> （4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤*x*＜90范围内的扇形圆心角的大小为[ 72° ]{.underline}；
>
> （5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有[ 900 ]{.underline}名学生获得优秀成绩．
>
> 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；众数．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），70≤*x*＜80的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即*a*＝2080≤*x*＜90的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即*b*＝0.2；
>
> （2）共50名学生，中位数落在"70≤*x*＜80"范围内；
>
> （3）"70≤*x*＜80"范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在70≤*x*＜80范围内；
>
> （4）成绩在80≤*x*＜90范围内的扇形圆心角：＝72°；
>
> （5）获得优秀成绩的学生数：＝900（名）．
>
> 【解答】解：（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），
>
> 70≤*x*＜80的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即*a*＝20
>
> 80≤*x*＜90的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即*b*＝0.2，
>
> 故答案为20，0.2；
>
> （2）共50名学生，中位数落在"70≤*x*＜80"范围内；
>
> （3）"70≤*x*＜80"范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在70≤*x*＜80范围内，
>
> 故答案为正确；
>
> （4）成绩在80≤*x*＜90范围内的扇形圆心角：＝72°，
>
> 故答案为72°；
>
> （5）获得优秀成绩的学生数：＝900（名），
>
> 故答案为900．
19．（6分）（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（*AD*）16*m*，宽（*AB*）9*m*的矩形场地*ABCD*上修建三条同样宽的小路，其中两条与*AB*平行，另一条与*AD*平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112*m*^2^，则小路的宽应为多少？
> 
>
> 【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】设小路的宽应为*xm*，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2*x*），（9﹣*x*）；那么根据题意得出方程，解方程即可．
>
> 【解答】解：设小路的宽应为*xm*，
>
> 根据题意得：（16﹣2*x*）（9﹣*x*）＝112，
>
> 解得：*x*~1~＝1，*x*~2~＝16．
>
> ∵16＞9，
>
> ∴*x*＝16不符合题意，舍去，
>
> ∴*x*＝1．
>
> 答：小路的宽应为1*m*．
20．（6分）（2019•襄阳）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱*BC*和塔冠*BE*）进行了测量．如图所示，最外端的拉索*AB*的底端*A*到塔柱底端*C*的距离为121*m*，拉索*AB*与桥面*AC*的夹角为37°，从点*A*出发沿*AC*方向前进23.5*m*，在*D*处测得塔冠顶端*E*的仰角为45°．请你求出塔冠*BE*的高度（结果精确到0.1*m*．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正切的定义分别求出*EC*、*BC*，结合图形计算，得到答案．
>
> 【解答】解：在Rt△*ABC*中，tan*A*＝，
>
> 则*BC*＝*AC*•tan*A*≈121×0.75＝90.75，
>
> 由题意得，*CD*＝*AC*﹣*AD*＝97.5，
>
> 在Rt△*ECD*中，∠*EDC*＝45°，
>
> ∴*EC*＝*CD*＝97.5，
>
> ∴*BE*＝*EC*﹣*BC*＝6.75≈6.8（*m*），
>
> 答：塔冠*BE*的高度约为6.8*m*．
21．（7分）（2019•襄阳）如图，已知一次函数*y*~1~＝*kx*+*b*与反比例函数*y*~2~＝的图象在第一、第三象限分别交于*A*（3，4），*B*（*a*，﹣2）两点，直线*AB*与*y*轴，*x*轴分别交于*C*，*D*两点．
> （1）求一次函数和反比例函数的解析式；
>
> （2）比较大小：*AD*[ ＝ ]{.underline}*BC*（填"＞"或"＜"或"＝"）；
>
> （3）直接写出*y*~1~＜*y*~2~时*x*的取值范围．
>
> 
>
> 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）把*A*（3，4）代入反比例函数*y*~2~＝，根据待定系数法即可求得*m*，得到反比例函数的解析式，然后代入*B*（*a*，﹣2）），求得*a*，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
>
> （2）求得*C*、*D*的坐标，利用勾股定理即可判断；
>
> （3）根据图象即可求得．
>
> 【解答】解：（1）把*A*（3，4）代入反比例函数*y*~2~＝得，
>
> 4＝，解得*m*＝12，
>
> ∴反比例函数的解析式为*y*~2~＝；
>
> ∵*B*（*a*，﹣2）点在反比例函数*y*~2~＝的图象上，
>
> ∴﹣2*a*＝12，解得*a*＝﹣6，
>
> ∴*B*（﹣6，﹣2），
>
> ∵一次函数*y*~1~＝*kx*+*b*的图象经过*A*（3，4），*B*（﹣6，﹣2）两点，
>
> ∴，解得，
>
> ∴一次函数的解析式为*y*~1~＝*x*+2；
>
> （2）由一次函数的解析式为*y*~1~＝*x*+2可知*C*（0，2），*D*（﹣3，0），
>
> ∴*AD*＝＝2，*BC*＝＝2，
>
> ∴*AD*＝*BC*，
>
> 故答案为＝；
>
> （3）由图象可知：*y*~1~＜*y*~2~时*x*的取值范围是*x*＜﹣6或0＜*x*＜3．
22．（8分）（2019•襄阳）如图，点*E*是△*ABC*的内心，*AE*的延长线和△*ABC*的外接圆⊙*O*相交于点*D*，过*D*作直线*DG*∥*BC*．
> （1）求证：*DG*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若*DE*＝6，*BC*＝6，求优弧的长．
>
> 
>
> 【考点】三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）连接*OD*交*BC*于*H*，如图，利用三角形内心的性质得到∠*BAD*＝∠*CAD*，则＝，利用垂径定理得到*OD*⊥*BC*，*BH*＝*CH*，从而得到*OD*⊥*DG*，然后根据切线的判定定理得到结论；
>
> （2）连接*BD*、*OB*，如图，先证明∠*DEB*＝∠*DBE*得到*DB*＝*DE*＝6，再利用正弦定义求出∠*BDH*＝60°，则可判断△*OBD*为等边三角形，所以∠*BOD*＝60°，*OB*＝*BD*＝6，则∠*BOC*＝120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．
>
> 【解答】（1）证明：连接*OD*交*BC*于*H*，如图，
>
> ∵点*E*是△*ABC*的内心，
>
> ∴*AD*平分∠*BAC*，
>
> 即∠*BAD*＝∠*CAD*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*OD*⊥*BC*，*BH*＝*CH*，
>
> ∵*DG*∥*BC*，
>
> ∴*OD*⊥*DG*，
>
> ∴*DG*是⊙*O*的切线；
>
> （2）解：连接*BD*、*OB*，如图，
>
> ∵点*E*是△*ABC*的内心，
>
> ∴∠*ABE*＝∠*CBE*，
>
> ∵∠*DBC*＝∠*BAD*，
>
> ∴∠*DEB*＝∠*BAD*+∠*ABE*＝∠*DBC*+∠*CBE*＝∠*DBE*，
>
> ∴*DB*＝*DE*＝6，
>
> ∵*BH*＝*BC*＝3，
>
> 在Rt△*BDH*中，sin∠*BDH*＝＝＝，
>
> ∴∠*BDH*＝60°，
>
> 而*OB*＝*OD*，
>
> ∴△*OBD*为等边三角形，
>
> ∴∠*BOD*＝60°，*OB*＝*BD*＝6，
>
> ∴∠*BOC*＝120°，
>
> ∴优弧的长＝＝8π．
>
> 
23．（10分）（2019•襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
-------------- ----------------- -----------------
有机蔬菜种类 进价（元/*kg*） 售价（元/*kg*）
甲 *m* 16
乙 *n* 18
-------------- ----------------- -----------------
> （1）该超市购进甲种蔬菜10*kg*和乙种蔬菜5*kg*需要170元；购进甲种蔬菜6*kg*和乙种蔬菜10*kg*需要200元．求*m*，*n*的值；
>
> （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100*kg*进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20*kg*，且不大于70*kg*．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60*kg*的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额*y*（元）与购进甲种蔬菜的数量*x*（*kg*）之间的函数关系式，并写出*x*的取值范围；
>
> （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额*y*（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2*a*元，乙种蔬菜每千克捐出*a*元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求*a*的最大值．
>
> 【考点】二元一次方程组的应用；解一元一次不等式组；一次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得*m*、*n*的值；
>
> （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得*y*与*x*的函数关系式；
>
> （3）根据（2）中的条件，可以求得*y*的最大值，然后再根据题意，即可得到关于*a*的不等式，即可求得*a*的最大值，本题得以解决．
>
> 【解答】解：（1）由题意可得，
>
> ，解得，，
>
> 答：*m*的值是10，*n*的值是14；
>
> （2）当20≤*x*≤60时，
>
> *y*＝（16﹣10）*x*+（18﹣14）（100﹣*x*）＝2*x*+400，
>
> 当60＜*x*≤70时，
>
> *y*＝（16﹣10）×60+（16﹣10）×0.5×（*x*﹣60）+（18﹣14）（100﹣*x*）＝﹣*x*+580，
>
> 由上可得，*y*＝；
>
> （3）当20≤*x*≤60时，*y*＝2*x*+400，则当*x*＝60时，*y*取得最大值，此时*y*＝520，
>
> 当60＜*x*≤70时，*y*＝﹣*x*+580，则*y*＜﹣60+580＝520，
>
> 由上可得，当*x*＝60时，*y*取得最大值，此时*y*＝520，
>
> ∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额*y*（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2*a*元，乙种蔬菜每千克捐出*a*元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，
>
> ∴，
>
> 解得，*a*≤1.8，
>
> 即*a*的最大值是1.8．
24．（10分）（2019•襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形*ABCD*中，点*E*，*Q*分别在边*BC*，*AB*上，*DQ*⊥*AE*于点*O*，点*G*，*F*分别在边*CD*，*AB*上，*GF*⊥*AE*．
> ①求证：*DQ*＝*AE*；
>
> ②推断：的值为[ 1 ]{.underline}；
>
> （2）类比探究：如图（2），在矩形*ABCD*中，＝*k*（*k*为常数）．将矩形*ABCD*沿*GF*折叠，使点*A*落在*BC*边上的点*E*处，得到四边形*FEPG*，*EP*交*CD*于点*H*，连接*AE*交*GF*于点*O*．试探究*GF*与*AE*之间的数量关系，并说明理由；
>
> （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接*CP*，当*k*＝时，若tan∠*CGP*＝，*GF*＝2，求*CP*的长．
>
> 
>
> 【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）①由正方形的性质得*AB*＝*DA*，∠*ABE*＝90°＝∠*DAH*．所以∠*HAO*+∠*OAD*＝90°，又知∠*ADO*+∠*OAD*＝90°，所以∠*HAO*＝∠*ADO*，于是△*ABE*≌△*DAH*，可得*AE*＝*DQ*．
>
> ②证明四边形*DQFG*是平行四边形即可解决问题．
>
> （2）结论：＝*k*．如图2中，作*GM*⊥*AB*于*M*．证明：△*ABE*∽△*GMF*即可解决问题．
>
> （3）如图2﹣1中，作*PM*⊥*BC*交*BC*的延长线于*M*．利用相似三角形的性质求出*PM*，*CM*即可解决问题．
>
> 【解答】（1）①证明：∵四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴*AB*＝*DA*，∠*ABE*＝90°＝∠*DAQ*．
>
> ∴∠*QAO*+∠*OAD*＝90°．
>
> ∵*AE*⊥*DH*，
>
> ∴∠*ADO*+∠*OAD*＝90°．
>
> ∴∠*QAO*＝∠*ADO*．
>
> ∴△*ABE*≌△*DAQ*（*ASA*），
>
> ∴*AE*＝*DQ*．
>
> ②解：结论：＝1．
>
> 理由：∵*DQ*⊥*AE*，*FG*⊥*AE*，
>
> ∴*DQ*∥*FG*，
>
> ∵*FQ*∥*DG*，
>
> ∴四边形*DQFG*是平行四边形，
>
> ∴*FG*＝*DQ*，
>
> ∵*AE*＝*DQ*，
>
> ∴*FG*＝*AE*，
>
> ∴＝1．
>
> 故答案为1．
>
> （2）解：结论：＝*k*．
>
> 理由：如图2中，作*GM*⊥*AB*于*M*．
>
> 
>
> ∵*AE*⊥*GF*，
>
> ∴∠*AOF*＝∠*GMF*＝∠*ABE*＝90°，
>
> ∴∠*BAE*+∠*AFO*＝90°，∠*AFO*+∠*FGM*＝90°，
>
> ∴∠*BAE*＝∠*FGM*，
>
> ∴△*ABE*∽△*GMF*，
>
> ∴＝，
>
> ∵∠*AMG*＝∠*D*＝∠*DAM*＝90°，
>
> ∴四边形*AMGD*是矩形，
>
> ∴*GM*＝*AD*，
>
> ∴＝＝＝*k*．
>
> （3）解：如图2﹣1中，作*PM*⊥*BC*交*BC*的延长线于*M*．
>
> 
>
> ∵*FB*∥*GC*，*FE*∥*GP*，
>
> ∴∠*CGP*＝∠*BFE*，
>
> ∴tan∠*CGP*＝tan∠*BFE*＝＝，
>
> ∴可以假设*BE*＝3*k*，*BF*＝4*k*，*EF*＝*AF*＝5*k*，
>
> ∵＝，*FG*＝2，
>
> ∴*AE*＝3，
>
> ∴（3*k*）^2^+（9*k*）^2^＝（3）^2^，
>
> ∴*K*＝1或﹣1（舍弃），
>
> ∴*BE*＝3，*AB*＝9，
>
> ∵*BC*：*AB*＝2：3，
>
> ∴*BC*＝6，
>
> ∴*BE*＝*CE*＝3，*AD*＝*PE*＝*BC*＝6，
>
> ∵∠*BEF*＝∠*FEP*＝∠*PME*＝90°，
>
> ∴∠*FEB*+∠*PEM*＝90°，∠*PEM*+∠*EPM*＝90°，
>
> ∴∠*FEB*＝∠*EPM*，
>
> ∴△*FBE*∽△*EMP*，
>
> ∴＝＝，
>
> ∴＝＝，
>
> ∴*EM*＝，*PM*＝，
>
> ∴*CM*＝*EM*＝*EC*＝﹣3＝，
>
> ∴*PC*＝＝．
25．（13分）（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线*y*＝﹣*x*+3与*x*轴，*y*轴分别交于点*B*，点*C*，对称轴为*x*＝1的抛物线过*B*，*C*两点，且交*x*轴于另一点*A*，连接*AC*．
> （1）直接写出点*A*，点*B*，点*C*的坐标和抛物线的解析式；
>
> （2）已知点*P*为第一象限内抛物线上一点，当点*P*到直线*BC*的距离最大时，求点*P*的坐标；
>
> （3）抛物线上是否存在一点*Q*（点*C*除外），使以点*Q*，*A*，*B*为顶点的三角形与△*ABC*相似？若存在，求出点*Q*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）*y*＝﹣*x*+3，令*x*＝0，则*y*＝3，令*y*＝0，则*x*＝6，故点*B*、*C*的坐标分别为（6，0）、（0，3），即可求解；
>
> （2）*PH*＝*PG*cosα＝（﹣*x*^2^+*x*+3+*x*﹣3），即可求解；
>
> （3）分点*Q*在*x*轴上方、点*Q*在*x*轴下方两种情况，分别求解．
>
> 【解答】解：（1）*y*＝﹣*x*+3，令*x*＝0，则*y*＝3，令*y*＝0，则*x*＝6，
>
> 故点*B*、*C*的坐标分别为（6，0）、（0，3），
>
> 抛物线的对称轴为*x*＝1，则点*A*（﹣4，0），
>
> 则抛物线的表达式为：*y*＝*a*（*x*﹣6）（*x*+4）＝*a*（*x*^2^﹣2*x*﹣24），
>
> 即﹣24*a*＝3，解得：*a*＝﹣，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝﹣*x*^2^+*x*+3...①；
>
> （2）过点*P*作*y*轴的平行线交*BC*于点*G*，作*PH*⊥*BC*于点*H*，
>
> 
>
> 将点*B*、*C*坐标代入一次函数表达式并解得：
>
> 直线*BC*的表达式为：*y*＝﹣*x*+3，
>
> 则∠*HPG*＝∠*CBA*＝α，tan∠*CAB*＝＝＝tanα，则cosα＝，
>
> 设点*P*（*x*，﹣*x*^2^+*x*+3），则点*G*（*x*，﹣*x*+3），
>
> 则*PH*＝*PG*cosα＝（﹣*x*^2^+*x*+3+*x*﹣3）＝﹣*x*^2^+*x*，
>
> ∵＜0，故*PH*有最小值，此时*x*＝3，
>
> 则点*P*（3，）；
>
> （3）①当点*Q*在*x*轴上方时，
>
> 则点*Q*，*A*，*B*为顶点的三角形与△*ABC*全等，此时点*Q*与点*C*关于函数对称轴对称，
>
> 则点*Q*（2，3）；
>
> ②当点*Q*在*x*轴下方时，
>
> *Q*，*A*，*B*为顶点的三角形与△*ABC*相似，则∠*ACB*＝∠*Q*′*AB*，
>
> 
>
> 当∠*ABC*＝∠*ABQ*′时，
>
> 直线*BC*表达式的*k*值为﹣，则直线*BQ*′表达式的*k*值为，
>
> 设直线*BQ*′表达式为：*y*＝*x*+*b*，将点*B*的坐标代入上式并解得：
>
> 直线*BQ*′的表达式为：*y*＝*x*﹣3...②，
>
> 联立①②并解得：*x*＝6或﹣8（舍去6），
>
> 故点*Q*（*Q*′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）；
>
> 当∠*ABC*＝∠*ABQ*′时，
>
> 同理可得：直线*BQ*′的表达式为：*y*＝*x*﹣...③，
>
> 联立①③并解得：*x*＝6或﹣10（舍去6），
>
> 故点*Q*（*Q*′）坐标为（﹣10，﹣12），
>
> 由点的对称性，另外一个点*Q*的坐标为（12，﹣12）；
>
> 综上，点*Q*的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．
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日期：2019/7/11 8:50:28；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2017年浙江省嘉兴市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
3．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
4．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，"你"字对面的字是（ ）
A．中 B．考 C．顺 D．利
5．红红和娜娜按如图所示的规则玩一次"锤子、剪刀、布"游戏，下列命题中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
6．若二元一次方程组的解为，则a﹣b=（ ）
A．1 B．3 C． D．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
8．用配方法解方程x^2^+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）^2^=2 B．（x+1）^2^=2 C．（x+2）^2^=3 D．（x+1）^2^=3
9．一张矩形纸片ABCD，已知AB=3，AD=2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．下列关于函数y=x^2^﹣6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；
④若函数图象过点（a，y~0~）和（b，y~0~+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
**二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
11．分解因式：ab﹣b^2^=[ ]{.underline}．
12．若分式的值为0，则x的值为[ ]{.underline}．
13．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为[ ]{.underline}．
14．七（1）班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是[ ]{.underline}．
15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA~1~C=1，tan∠BA~2~C=，tan∠BA~3~C=，计算tan∠BA~4~C=[ ]{.underline}，...按此规律，写出tan∠BA~n~C=[ ]{.underline}（用含n的代数式表示）．
16．一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是[ ]{.underline}．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为[ ]{.underline}．（结果保留根号）
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．（1）计算：（）^2^﹣2^﹣1^×（﹣4）；
（2）化简：（m+2）（m﹣2）﹣×3m．
18．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
19．如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
20．如图，一次函数y=k~1~x+b（k~1~≠0）与反比例函数y=（k~2~≠0）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．
21．小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每月用电量和当地气温进行了统计．当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年月用电量如图2．
根据统计图，回答下面的问题：
（1）当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多少？
（2）请简单描述月用电量与气温之间的关系；
（3）假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测今年该社区的年用电量？请简要说明理由．
22．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，≈1.41，结果精确到0.1）
23．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH=，DM=4时，求DH的长．
24．如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将"交叉潮"形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中："11：40时甲地'交叉潮'的潮头离乙地12千米"记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t^2^+bt+c（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v~0~+（t﹣30），v~0~是加速前的速度）．
**2017年浙江省嘉兴市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即\|﹣2\|=2．
故选：A．
2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
3．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】根据数据a，b，c的平均数为5可知（a+b+c）=5，据此可得出（a﹣2+b﹣2+c﹣2）的值；再由方差为4可得出数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差．
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数为5，
∴（a+b+c）=5，
∴（a﹣2+b﹣2+c﹣2）=（a+b+c）﹣2=5﹣2=3，
∴数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为4，
∴ \[（a﹣5）^2^+（b﹣5）^2^+（c﹣5）^2^\]=4，
∴a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差= \[（a﹣2﹣3）^2^+（b﹣2﹣3）^2^+（c﹣﹣2﹣3）^2^\]= \[（a﹣5）^2^+（b﹣5）^2^+（c﹣5）^2^\]=4．
故选B．
4．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，"你"字对面的字是（ ）
A．中 B．考 C．顺 D．利
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
"祝"与"考"是相对面，
"你"与"顺"是相对面，
"中"与"立"是相对面．
故选C．
5．红红和娜娜按如图所示的规则玩一次"锤子、剪刀、布"游戏，下列命题中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
【考点】X6：列表法与树状图法；O1：命题与定理．
【分析】利用列表法列举出所有的可能，进而分析得出答案．
【解答】解：红红和娜娜玩"石头、剪刀、布"游戏，所有可能出现的结果列表如下：
+------+----------------+----------------+--------------+
| 红红 | 石头 | 剪刀 | 布 |
| | | | |
| 娜娜 | | | |
+------+----------------+----------------+--------------+
| 石头 | （石头，石头） | （石头，剪刀） | （石头，布） |
+------+----------------+----------------+--------------+
| 剪刀 | （剪刀，石头） | （剪刀，剪刀） | （剪刀，布） |
+------+----------------+----------------+--------------+
| 布 | （布，石头） | （布，剪刀） | （布，布） |
+------+----------------+----------------+--------------+
由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
因此，红红和娜娜两人出相同手势的概率为，两人获胜的概率都为，
红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为，错误，故选项A符合题意，
故选项B，C，D不合题意；
故选：A．
6．若二元一次方程组的解为，则a﹣b=（ ）
A．1 B．3 C． D．
【考点】97：二元一次方程组的解．
【分析】将两式相加即可求出a﹣b的值．
【解答】解：∵x+y=3，3x﹣5y=4，
∴两式相加可得：（x+y）+（3x﹣5y）=3+4，
∴4x﹣4y=7，
∴x﹣y=，
∵x=a，y=b，
∴a﹣b=x﹣y=
故选（D）
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【考点】L8：菱形的性质；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】过点B作BH⊥OA，交OA于点H，利用勾股定理可求出OB的长，进而可得点A向左或向右平移的距离，由菱形的性质可知BC∥OA，所以可得向上或向下平移的距离，问题得解．
【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作DH⊥x轴于H，
∵B（1，1），
∴OB==，
∵A（，0），
∴C（1+，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，
故选D．
8．用配方法解方程x^2^+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）^2^=2 B．（x+1）^2^=2 C．（x+2）^2^=3 D．（x+1）^2^=3
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【解答】解：∵x^2^+2x﹣1=0，
∴x^2^+2x﹣1=0，
∴（x+1）^2^=2．
故选：B．
9．一张矩形纸片ABCD，已知AB=3，AD=2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA′和DC′的长度，进而求出线段DG的长度．
【解答】解：∵AB=3，AD=2，
∴DA′=2，CA′=1，
∴DC′=1，
∵∠D=45°，
∴DG=DC′=，
故选A．
10．下列关于函数y=x^2^﹣6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；
④若函数图象过点（a，y~0~）和（b，y~0~+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】O1：命题与定理；H3：二次函数的性质．
【分析】分别根据抛物线的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．
【解答】解：∵y=x^2^﹣6x+10=（x﹣3）^2^+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）^2^﹣6（3+n）+10，
当x=3﹣n时，y=（n﹣3）^2^﹣6（n﹣3）+10，
∵（3+n）^2^﹣6（3+n）+10﹣\[（n﹣3）^2^﹣6（n﹣3）+10\]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3﹣n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x^2^﹣6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）^2^﹣6（n+1）+10，
当x=n时，y=n^2^﹣6n+10，
（n+1）^2^﹣6（n+1）+10﹣\[n^2^﹣6n+10\]=2n﹣4，
∵n是整数，
∴2n﹣4是整数，故③正确；
∵抛物线y=x^2^﹣6x+10的对称轴为x=3，1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，
∵y~0~+1＞y~0~，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误；
故选C．
**二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
11．分解因式：ab﹣b^2^=[ b（a﹣b） ]{.underline}．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=b（a﹣b），
故答案为：b（a﹣b）．
12．若分式的值为0，则x的值为[ 2 ]{.underline}．
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到，从而求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得，
由2x﹣4=0，得x=2，
由x+1≠0，得x≠﹣1．
综上，得x=2，即x的值为2．
故答案为：2．
13．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为[ （32+48π）cm^2^ ]{.underline}．
【考点】M3：垂径定理的应用；MO：扇形面积的计算．
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S~△AOB~，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S~△AOB~=×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）==48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm^2^，
故答案为：（32+48π）cm^2^．
14．七（1）班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是[ 3球 ]{.underline}．
【考点】VB：扇形统计图；W5：众数．
【分析】根据众数的定义及扇形统计图的意义即可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，3球所占的比例最大，
∴投进球数的众数是3球．
故答案为：3球．
15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA~1~C=1，tan∠BA~2~C=，tan∠BA~3~C=，计算tan∠BA~4~C=[ ]{.underline}[ ]{.underline}，...按此规律，写出tan∠BA~n~C=[ ]{.underline}[ ]{.underline}（用含n的代数式表示）．
【考点】T7：解直角三角形；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
【分析】作CH⊥BA~4~于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A~4~H，根据正切的概念求出tan∠BA~4~C，总结规律解答．
【解答】解：作CH⊥BA~4~于H，
由勾股定理得，BA~4~==，A~4~C=，
△BA~4~C的面积=4﹣2﹣=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A~4~H==，
∴tan∠BA~4~C==，
1=1^2^﹣1+1，
3=2^2^﹣2+1，
7=3^2^﹣3+1，
∴tan∠BA~n~C=，
故答案为：；．
16．一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是[ 12]{.underline}[﹣12 ]{.underline}．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为[ 12]{.underline}[﹣18 ]{.underline}．（结果保留根号）
【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．
【分析】如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a．在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，在Rt△AHN中，AH==a，可得2a+=8，推出a=6﹣6，推出BH=2a=12﹣12．如图2中，当DG∥AB时，易证GH~1~⊥DF，此时BH~1~的值最小，易知BH~1~=BK+KH~1~=3+3，当旋转角为60°时，F与H~2~重合，易知BH~2~=6，观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH~1~+HH~2~，由此即可解决问题．
【解答】解：如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，BC=12，
∴AB==8，
在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，
在Rt△AHN中，AH==a，
∴2a+=8，
∴a=6﹣6，
∴BH=2a=12﹣12．
如图2中，当DG∥AB时，易证GH~1~⊥DF，此时BH~1~的值最小，易知BH~1~=BK+KH~1~=3+3，
∴HH~1~=BH﹣BH~1~=9﹣15，
当旋转角为60°时，F与H~2~重合，易知BH~2~=6，
观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH~1~+HH~2~=18﹣30+\[6﹣（12﹣12）\]=12﹣18．
故答案分别为12﹣12，12﹣18．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．（1）计算：（）^2^﹣2^﹣1^×（﹣4）；
（2）化简：（m+2）（m﹣2）﹣×3m．
【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；49：单项式乘单项式；6F：负整数指数幂．
【分析】（1）首先计算乘方和负指数次幂，计算乘法，然后进行加减即可；
（2）首先利用平方差公式和单项式的乘法法则计算，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式=3+×（﹣4）=3+2=5；
（2）原式=m^2^﹣4﹣m^2^=﹣4．
18．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【考点】C6：解一元一次不等式．
【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即可．
【解答】解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：
去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，
合并同类项，得﹣x≤5，
两边都除以﹣1，得x≥﹣5．
19．如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【考点】N3：作图---复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
20．如图，一次函数y=k~1~x+b（k~1~≠0）与反比例函数y=（k~2~≠0）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当PA=PB时，可得（n+1）^2^+4=（n﹣2）^2^+1．②当AP=AB时，可得2^2^+（n+1）^2^=（3）^2^．③当BP=BA时，可得1^2^+（n﹣2）^2^=（3）^2^．分别解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入y=，得到k~2~=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵B（m，﹣1）在Y=﹣上，
∴m=2，
由题意，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴AB=3，
①当PA=PB时，（n+1）^2^+4=（n﹣2）^2^+1，
∴n=0，
∵n＞0，
∴n=0不合题意舍弃．
②当AP=AB时，2^2^+（n+1）^2^=（3）^2^，
∵n＞0，
∴n=﹣1+．
③当BP=BA时，1^2^+（n﹣2）^2^=（3）^2^，
∵n＞0，
∴n=2+．
综上所述，n=﹣1+或2+．
21．小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每月用电量和当地气温进行了统计．当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年月用电量如图2．
根据统计图，回答下面的问题：
（1）当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多少？
（2）请简单描述月用电量与气温之间的关系；
（3）假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测今年该社区的年用电量？请简要说明理由．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VD：折线统计图；W4：中位数．
【分析】（1）由每月的平均气温统计图和月用电量统计图直接回答即可；
（2）结合生活实际经验回答即可；
（3）能，由中位数的特点回答即可．
【解答】解：
（1）由统计图可知：月平均气温最高值为30.6℃，最低气温为5.8℃；
相应月份的用电量分别为124千瓦时和110千瓦时．
（2）当气温较高或较低时，用电量较多；当气温适宜时，用电量较少；
（3）能，因为中位数刻画了中间水平．
22．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，≈1.41，结果精确到0.1）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；
（2）求出OH、PH的值即可判断；
【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，
∴EF=66，
∵∠FK=80°，
∴FN=100•sin80°≈98，
∵∠EFG=125°，
∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，
∴FM=66•cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈114.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB=48，O为AB中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66•sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，
∵GN=100•cos80°≈18，CG=15，
∴OH=24+15+18=57，OP=OH﹣PH=57﹣46.53=10.47≈10.5，
∴他应向前10.5cm．
23．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH=，DM=4时，求DH的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）只要证明AE=BM，AE∥BM即可解决问题；
（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=AM，MI⊥AC，即可解决问题；
②设DH=x，则AH=x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出=，可得=，解方程即可；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴∥BH，MI=BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM．
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则AH=x，AD=2x，
∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴=，
∴=，
解得x=1+或1﹣（舍弃），
∴DH=1+．
24．如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将"交叉潮"形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中："11：40时甲地'交叉潮'的潮头离乙地12千米"记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t^2^+bt+c（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v~0~+（t﹣30），v~0~是加速前的速度）．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s~1~，则s~1~与时间t的函数关系式为s~1~=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s~1~=s=，从而可求出h的值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s~1~=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30=26分钟，
【解答】解：（1）由题意可知：m=30；
∴B（30，0），
潮头从甲地到乙地的速度为：千米/分钟；
（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，
设小红出发x分钟与潮头相遇，
∴0.4x+0.48x=12﹣7.6，
∴x=5
∴小红5分钟与潮头相遇，
（3）把（30，0），C（55，15）代入s=t^2^+bt+c，
解得：b=﹣，c=﹣，
∴s=t^2^﹣﹣
∵v~0~=0.4，
∴v=（t﹣30）+，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，
此时v=0.48，
∴0.48=（t﹣30）+，
∴t=35，
当t=35时，
s=t^2^﹣﹣=，
∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．
设她离乙地的距离为s~1~，则s~1~与时间t的函数关系式为s~1~=0.48t+h（t≥35），
当t=35时，s~1~=s=，代入可得：h=﹣，
∴s~1~=﹣
最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s~1~=1.8，
∴t^2^﹣﹣﹣+=1.8
解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去），
∴t=50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50﹣30=26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟，
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**数学（文科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分**
（1） A （2） C （3） B （4） D （5） A （6） C
（7） B （8） A （9） B （10） C （11） B （12） D
**二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分**
（13） （14） （15） （16）① ④
**三、解答题：**
**（17）**本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记"厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品"为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）记"商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件"为事件
，
∴商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
**（18）**本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由，
得
∴，
于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以
**（19）**本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵
∴
∵，∴ ∴
作于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为
∴
在中，由勾弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）因多面体就是四棱锥
∴
**（20）**暂缺
**（21）**本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则
由题意知，即，又 ∴
从而，而 ∴
故点的坐标是
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或 ①
又
∴
又
∵，即 ∴ ②
故由①、②得或
**（22）**本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得
所以过曲线上点的切线方程为，
即
令，得，即
显然 ∴
（Ⅱ）由，知，同理，
故
从而，即
所以，数列成等比数列，故，
即，从而
所以
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴
∴
当时，显然
当时，
∴
综上，
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> **一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：集合的运算．
2.已知为虚数单位，复数满足，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，，故选C．
考点：复数的运算．
3.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：几何体的三视图及几何体的体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则"长对正、宽相等、高平齐"的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积．学科\[来源:\]
4.已知命题：方程有两个实数根；命题：函数的最小值为．给
出下列命题：
①；②；③；④．
则其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由，所以方程有两个实数跟，所以命题是真命题；当时，函数的取值为负值，所以命题为假命题，所以，，是真命题，故选C．
考点：命题的真假判定．
5.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：定积分求解曲边形的面积．
6.函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以
，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．
考点：函数的奇偶性及函数的图象．
7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：程序框图的计算．
8.定义在上的函数满足，，则不等式（其中
为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设，则，因为，所以，所以，所以是单调递增函数，因为，所以，又因为，即，所以，故选A．
考点：利用导数研究函数的单调性．\[来源:学+科+网\]
9.若实数，，，满足，则的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．
10.已知存在，使得，则的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：作出函数的图象，如图所示，因为存在当时，，所以，因为在上的最小值为在上的最小值为，所以，所以，因为，所以，令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线，所以在区间上递增，所以当时，，当时，，即的取值范围是，故选A．
考点：对数函数的图象及二次函数的性质．
11.设函数，若方程有个不同的根，则实数的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．\[来源:Zxxk.Com\]
【答案】C
选C．
考点：根的存在性及根的个数判断．
【方法点晴】本题主要考查了方程中根的存在性及其方程根的个数的判读，其中解答中涉及到函利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及数与方程思想的应用、试题有一定的难度，属于中档试题，解答中利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想、推理与运算能力．
12.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线
上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．  B． C． D．
【答案】D\[来源:\]
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究过曲线在某点的切线方程，其中解答中涉及到函数的求导数的公式、两条直线的位置关系的判定与应用，解答此类问题的关键在于把问题转化为集合之间的关系，列出不等式组求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用．
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.设，变量，在约束条件下，目标函数的最大值为，则
\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
考点：简单的线性规划的应用．
14.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，得，设，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，因为当时，，当时，，所以要使得函数在区间上有两个零点，所以实数的取值范围是．
考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．
15.已知函数在时有极值，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
考点：利用导数研究函数的极值．
【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值，反之结论不成立，即函数由，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题．
16.定义在上的函数满足：，当时，，则不等式
的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】\[来源:Zxxk.Com\]
考点：抽象的性质及其应用．
【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质及其应用，其中解答中涉及到利用到导数研究函数的单调性、函数单调性的应用、不等式的求解等知识点的考查，同时考查了构造函数研究函数性质的能力，其中根据题设，利用导数研究出函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及学生的推理与运算能力．
**三、解答题****（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
在中，，，分别为角，，所对的边，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据正弦定理化简得，即可得到，
，利用三角恒等变换，可知求解，即可求解角的大小；（2）利用正弦定理得出，代入三角形的面积公式，即可求解的值．
（2）由可得，，则
，．
在中有，
则，
则．
得，所以．
考点：正弦定理；三角形的面积公式．
18.（本小题满分12分）
函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，，有，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间是，减区间是；（2）．
【解析】
（2）首先，对于任意，恒成立，则
因为函数在上是减函数，
所以，
其次，，使不等式成立，于是
令，则，所以函数在上是增函数，于是，故，即的取值范围是
考点：利用导数研究函数的单调性及其最值．
19.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，且公差大于，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据正弦定理得，即可求解的值；（2）已知和正弦定理以及考点：正弦定理；三角函数的化简求值．
20.（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，分别为的极大值和极小值，若存在实数，使得，求
的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，列出不等式组，即可求解的取值范围；（2）由得，且．由（1）知存在极大值和极小值，设的两根为，（），则在上递增，在上递减，在上递增，所以，，根据可把表示为关于的表达式，再借助的范围即可求解的取值范围．
试题解析：（1），其中...............2分
由于函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，
即有两个不等的正实数根记为，，显然............4分
所以解得．................................................6分
令，则，令
所以，
所以在上单调递减，所以
由，知，所以，.........1分
考点：利用导数研究函数的单调性及其极值．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中根据可把表示为关于的表达式，借助的范围是试题的难点，此类问题需平时注重总结和整理．
21.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）记，判断在区间内的零点个数并说明理由；
（2）记在内的零点为，，若（）在内
有两个不等实根，（），判断与的大小，并给出对应的证明．
【答案】（1）在区间有且仅有唯一实根；（2），证明见解析．
显然当时，，下面用分析法给出证明．要证：即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即， ............9分
记，，其中．
， ............10分
记，，当时，；时，故，而故，而，从而，因此，............11分
即单增．从而时，即，
故得证 ............12分
考点：利用导数研究函数的单调性及其极值（最值）．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中由（1）和题设条件，得出函数，进而利用函数的性质求解是解答的关键，此类问题需要注重方法的总结和积累．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的切线，是切点，于，割线交圆于，两点．
（1）证明：，，，四点共圆；
（2）设，，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
． ............10分
考点：与圆有关的比例线段．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，圆的极坐标方程为．
（1）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线向右平移个单位，所得直线与圆相切，求．
【答案】（1）；（2）或．
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程的应用．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，．
（1）若当时，恒有，求的最大值；
（2）若当时，恒有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
考点：绝对值不等式．
| 1 | |
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，****只有一项是符合题目要求的.）**
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一
个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．40
4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C．  D．
\[来源:\]
5．已知把函数的图像向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函
数，则函数的一条对称轴为（ ）
A． B．  C． D．
6．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）\[来源:ZXXK\]
A．2 B．3 C． D．
7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相
同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．78种  D．84种
8．已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线
与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体，在这个长方体中把四面体截出如图所示，则四
面体的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取
值范围是（ ）
> A． B． C． D．
11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，，
且平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：①当
时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1个零点．则
正确的判断是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13．已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，
则\_\_\_\_\_\_．
14．设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则
的值为\_\_\_\_\_\_．
15．已知中，角、、的对边分别为、、，已知，则
的最小值为\_\_\_\_\_\_．
16．若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称
是上的"完美函数"．已知，若函数是区间上的
"完美函数"，则整数的最小值为\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且首项．\[来源:学,科,网\]
（1）求证：是等比数列；
（2）若为递增数列，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公
路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆
汽车所用时间的频率分布如下表：
-------------------- ---- ---- ---- ----
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
-------------------- ---- ---- ---- ----
假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车只能在约定日期的前12天出发（将频
率视为概率）．
（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路
径；
（2）若通过公路1、公路2的"一次性费用"分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费
用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，
若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，
生产商将支付给销售商2万元．如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获
得的毛利润更大．
19．（本小题满分12分）
如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、
分别于点、．
（1）求证：；
（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为．
20．（本小题满分12分）
如图，已知圆，点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半
径相交于．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相交下两点，直线的斜率分别为（其中）．\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取
值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（l）求函数的单调区间；
（2）当时，求在上的最大值和最小值；
（3）求证：．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知直线与圆相切于点，交圆于、两点，交圆于，，，
，．
（1）求证：；
（2）求的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程\[来源:学,科,网\]
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直
角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．
（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；
（2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大
值；
（2）已知正数满足，求的最小值．
| 1 | |
**-北师大版六年级（下）期中数学试卷（10）**
**一、填空．（每空1分，共17分）**
1．圆柱有[ ]{.underline}个底面，它周围的曲面叫做[ ]{.underline}面，两个底面之间的距离叫做[ ]{.underline}．
2．一个半径是5厘米的圆，按4：1放大，得到的图形的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
3．一个圆柱的底面半径是4厘米，高是10厘米，那么它的占地面积是[ ]{.underline}平方厘米，它的侧面积是[ ]{.underline}平方厘米，体积是[ ]{.underline}立方厘米．
4．一个圆锥的体积是10立方分米，和它等底等高的圆柱的体积应是[ ]{.underline}．
5．比例尺分为，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}这两种．
6．如果2a=5b，那么a：b=[ ]{.underline}：[ ]{.underline}．
7．有一个机器零件长5毫米，画在设计图纸上长2厘米，这幅图的比例尺是[ ]{.underline}．
8．已知甲乙两地的实际距离是760km，则在比例尺是1：2000000的地图上这两地距离是[ ]{.underline}厘米．
9．在A×B=C中，当B一定时，A和C 成[ ]{.underline}比例，当C一定时，A和B成[ ]{.underline}比例．
**二、判断正误．正确的打"√"，错误的打"&\#215;"．（每小题2分，共10分）**
10．圆的直径与周长成正比例．[ ]{.underline}．（判断对错）
11．将一个长方形按3：1放大后，现在的面积与原来的面积比是3：1．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．三个圆锥体积的和正好等于一个圆柱体的体积．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．如果一个圆柱的底面半径是1厘米，高是6.28厘米，则这个圆柱的侧面展开图是一个正方形．[ ]{.underline}．
（判断对错）
14．将线段比例尺比例尺用数字表示，可以写作1：4000．[ ]{.underline}．
（判断对错）
**三、选择正确答案的代号填入括号里．（每小题2分，共12分）**
15．圆柱的高扩大2倍，底面半径也扩大2倍，圆柱的体积就扩大（ ）
A．2倍 B．4倍 C．8倍
16．三角形的面积一定，它的底和高（ ）
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
17．一个圆锥与一个圆柱的底面积与体积分别相等，圆柱的高是9厘米，圆锥的高是（ ）
A．3厘米 B．27厘米 C．18厘米
18．能与3：8 组成比例的比是（ ）
A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40
19．在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是（ ）千米．
A．800千米 B．90千米 C．900千米
20．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是圆锥体积的（ ）
A．3倍 B．9倍 C．2倍
**四、解比例．**
21．解比例
： =：x
x：0.4=9：5
=
=．
**五、按要求做一做．**
22．按比例缩放
（1）将三角形A按2：1放大，得到三角形B；
（2）再将三角形A绕点0顺时针旋转90°得到三角形C．
23．有一块长方形如右图：请量出它的长和宽．再根据的比例尺求出它的长和宽的实际长度．并求出它的实际面积是多少平方米？（取整厘米数）
24．电影院在中心广场北偏东60°方向，据中心广场的实际距离约是240米的地方．请先求出它的图上距离再在图中标出电影院的所在地．
**六、解决问题．（共29分）**
25．做一对底面半径是2分米，高是5分米的无盖圆柱形水桶．
（1）至少需要铁皮多少平方分米？
（2）这担水桶能装水多少升？
26．运输公司的一辆汽车从甲地往乙地运送一批物资，原计划每小时行75千米，4小时到达．现在情况有所变化，需要3小时到达，每小时要行多少千米？（用比例知识解答）
27．一个圆锥形麦堆，高1.2米，底面直径是4米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
28．在比例尺是1：6000000的地图上，AB两地间的距离是16厘米．
（1）AB两地间的实际距离是多少千米？
（2）一列火车由A到B用了3小时，火车每小时行多少千米？
**-北师大版六年级（下）期中数学试卷（10）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空．（每空1分，共17分）**
1．圆柱有[ 两 ]{.underline}个底面，它周围的曲面叫做[ 侧 ]{.underline}面，两个底面之间的距离叫做[ 高 ]{.underline}．
【考点】圆柱的特征．
【分析】根据圆柱的特征：圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱有无数条高；据此解答．
【解答】解：圆柱有两个底面，它周围的曲面叫做侧面，两个底面之间的距离叫做高．
故答案为：两，侧，高．
2．一个半径是5厘米的圆，按4：1放大，得到的图形的面积是[ 1256 ]{.underline}平方厘米．
【考点】圆、圆环的面积；比例的应用．
【分析】半径确定圆的半径大小，根据题干，放大后的圆的半径为：5×4=20厘米，利用圆的面积公式即可解答．
【解答】解：5×4=20（厘米），
3.14×20^2^，
=3.14×400，
=1256（平方厘米）；
答：得到的图形的面积是1256平方厘米．
故答案为：1256．
3．一个圆柱的底面半径是4厘米，高是10厘米，那么它的占地面积是[ 50.24 ]{.underline}平方厘米，它的侧面积是[ 351.2 ]{.underline}平方厘米，体积是[ 502.4 ]{.underline}立方厘米．
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】底面积=πr^2^，侧面积=底面周长×高=2πrh，表面积=侧面积+底面积×2，体积=底面积×高，据此代入数据即可求解．
【解答】解：底面积：3.14×4^2^=50.24（平方厘米）
侧面积：2×3.14×4×10
=3.14×80
=251.2（平方厘米）
表面积：251.2+50.24×2
=251.2+100.48
=351.68（平方厘米）
体积：50.24×10=502.4（立方厘米）
答：它的占地面积是 50.24平方厘米，它的侧面积是 351.2平方厘米，体积是 502.4立方厘米．
故答案为：50.24，351.2，502.4．
4．一个圆锥的体积是10立方分米，和它等底等高的圆柱的体积应是[ 30立方分米 ]{.underline}．
【考点】圆锥的体积．
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，用10×3即可求出圆柱的体积．
【解答】解：10×3=30（立方分米），
答：和它等底等高的圆柱的体积应是30立方分米．
故答案为：30立方分米．
5．比例尺分为，[ 线段比例尺 ]{.underline}，[ 数值比例尺 ]{.underline}这两种．
【考点】比例尺．
【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，比例尺主要有线段比例尺和数值比例尺，据此即可解答．
【解答】解：因为比例尺是图上距离与实际距离的比，比例尺主要有线段比例尺和数值比例尺．
故答案为：线段比例尺，数值比例尺．
6．如果2a=5b，那么a：b=[ 5 ]{.underline}：[ 2 ]{.underline}．
【考点】比例的应用．
【分析】此题根据比例的基本性质"两内项之积等于两外项之积"即可变形得出a与b是的比．
【解答】解：2a=5b，
根据比例的基本性质可得：
a：b=5：2．
答：a：b=5：2．
故答案为：5，2．
7．有一个机器零件长5毫米，画在设计图纸上长2厘米，这幅图的比例尺是[ 4：1 ]{.underline}．
【考点】比例尺．
【分析】图上距离与实际距离的比即为比例尺，据此可以求出这副图的比例尺．
【解答】解：2厘米=20毫米，
则20：5=4：1．
答：这副图的比例尺是4：1．
8．已知甲乙两地的实际距离是760km，则在比例尺是1：2000000的地图上这两地距离是[ 38 ]{.underline}厘米．
【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．
【分析】这道题是已知比例尺、实际距离，求图上距离，根据图上距离=实际距离×比例尺，解答即可．
【解答】解：760千米=76000000厘米
76000000×=38（厘米）
答：在比例尺是1：2000000的地图上这两地距离是38厘米．
故答案为：38．
9．在A×B=C中，当B一定时，A和C 成[ 正 ]{.underline}比例，当C一定时，A和B成[ 反 ]{.underline}比例．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】根据判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例关系；如果积一定，就成反比例关系；进行解答即可．
【解答】解：（1）因为A×B=C
所以C÷A=B（一定）
所以A和C成正比例．
（2）因为A×B=C（一定）
A和B成反比例．
故答案为：正，反．
**二、判断正误．正确的打"√"，错误的打"&\#215;"．（每小题2分，共10分）**
10．圆的直径与周长成正比例．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】判断圆的直径与周长是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是比值不一定，就不成正比例．
【解答】解：圆的周长÷直径=π（一定），是比值一定，圆的直径与周长就成正比例．
故判断为：正确．
11．将一个长方形按3：1放大后，现在的面积与原来的面积比是3：1．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】把长方形按3：1放大，也就是把长方形的长和宽都放大到原来的3倍，由于长和宽都放大到原来的3倍，所以放大后的面积就是原来面积的9倍，也可举例进行验证．
【解答】解：例如：原来的长方形的长是3厘米，宽是2厘米，面积是：3×2=6（平方厘米），
按3：1放大后的长方形的长是9厘米，宽是6厘米，面积是：9×6=54（平方厘米），
放大后的面积与原来的面积比是：54：6=9：1，
进一步证明了：把长方形按3：1放大，放大后的面积与原来的面积比是9：1；
故答案为：9：1．
12．三个圆锥体积的和正好等于一个圆柱体的体积．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】圆锥的体积是圆柱体积的的条件是：圆锥和圆柱是等底等高，也就是说圆柱的体积是等底等高的圆锥的体积的3倍；题目中只是说三个圆锥体积的和正好等于一个圆柱体的体积，这三个圆锥与圆柱不一定是等底的，也不一定是等高的，所依据这两点就可以判断了．
【解答】解：根据圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的，也就是说圆柱的体积是等底等高的圆锥的体积的3倍，
这三个圆锥与圆柱不一定是等底的，也不一定是等高的，
所以题目中的说法是错误的；
故答案为：×．
13．如果一个圆柱的底面半径是1厘米，高是6.28厘米，则这个圆柱的侧面展开图是一个正方形．[ √ ]{.underline}．
（判断对错）
【考点】圆柱的展开图．
【分析】一个圆柱的底面周长就是侧面展开图的长（或宽），高是侧同展开图的宽（或长），要想判断把一个圆柱侧面展开，是否得到一个正方形，就看这个圆柱的底面周长和高是否相等．
【解答】解：3.14××2=6.28（厘米）
所以圆柱的底面周长与高相等．
所以这个圆柱的侧面展开图是一个正方形．
故答案为：√．
14．将线段比例尺比例尺用数字表示，可以写作1：4000．[ × ]{.underline}．
（判断对错）
【考点】比例尺．
【分析】比例尺=图上距离：实际距离，据此将线段比例尺转化成数值比例尺，然后进行解答．
【解答】解：1厘米：40千米
=1厘米：4000000厘米
=1：4000000
≠1：4000
所以原题的说法是错误的．
故答案为：×．
**三、选择正确答案的代号填入括号里．（每小题2分，共12分）**
15．圆柱的高扩大2倍，底面半径也扩大2倍，圆柱的体积就扩大（ ）
A．2倍 B．4倍 C．8倍
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】可利用圆柱的体积公式分别求得扩大前、后的体积，再进行比较即可选出正确答案．
【解答】解：扩大前的体积：V=πr^2^h，
扩大后的体积：V=π（r×2）^2^×（h×2）=8πr^2^h，
所以圆柱的体积就扩大了8倍；
故选：C．
16．三角形的面积一定，它的底和高（ ）
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】要看相关联的两种量是乘积一定，还是比值一定，再做选择．
【解答】解：三角形的底×高=面积×2（一定），是乘积一定，它的底和高成反比例．
故选A．
17．一个圆锥与一个圆柱的底面积与体积分别相等，圆柱的高是9厘米，圆锥的高是（ ）
A．3厘米 B．27厘米 C．18厘米
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
【分析】根据圆柱与圆锥体积公式和它们之间的关系推出即可．
【解答】解：因为V~圆锥~=Sh，V~圆柱~=SH，
所以V~圆锥~÷S=h，V~圆柱~÷s=H，
又因为V~圆锥~=V~圆柱~，s=s，
所以圆锥的高是圆柱的3倍，
圆柱的高是9厘米，圆锥的高：9×3=27（厘米）．
故选：B．
18．能与3：8 组成比例的比是（ ）
A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40
【考点】比例的意义和基本性质．
【分析】比例是表示两个比相等的式子，所以能与3：8组成比例的比的比值应与3：8的比值相等．
【解答】解：A选项：8：3=；
B选项：0.2：0.5=；
C选项：15：40=；
因为3：8=，
所以3：8=15：40．
故选：C．
19．在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是（ ）千米．
A．800千米 B．90千米 C．900千米
【考点】比例的应用．
【分析】因为图上距离：实际距离=比例尺，可以用解比例的方法求出实际距离．然后选出正确的即可．
【解答】解：设南京到北京的实际距离大约是x厘米．
15：x=1：6000000
x=15×6000000
x=90000000；
90000000厘米=900千米；
故选：C．
20．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是圆锥体积的（ ）
A．3倍 B．9倍 C．2倍
【考点】圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍，把圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，消去了两个圆锥的体积．也就是削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
【解答】解：V~圆柱~=3V~圆锥~
（V~圆柱~﹣V~圆锥~）÷V~圆锥~
=2V~圆锥~÷V~圆锥~
=2
答：削去部分的体积是圆锥体积的2倍．
故选：C
**四、解比例．**
21．解比例
： =：x
x：0.4=9：5
=
=．
【考点】解比例．
【分析】（1）根据比例的基本性质，把原式化为x=×，然后等式两边同时除以；
（2）根据比例的基本性质，把原式化为5x=0.4×9，然后等式两边同时除以5；
（3）根据比例的基本性质，把原式化为3x=0.75×2，然后等式两边同时除以3；
（4）根据比例的基本性质，把原式化为120%x=40%×2，然后等式两边同时除以120%．
【解答】解：（1）： =：x
x=×
x÷=×÷
x=；
（2）x：0.4=9：5
5x=0.4×9
5x÷5=0.4×9÷5
x=0.72；
（3）=
3x=0.75×2
3x÷3=0.75×2÷3
x=0.5；
（4）=
120%x=40%×2
120%x÷120%=40%×2÷120%
x=．
**五、按要求做一做．**
22．按比例缩放
（1）将三角形A按2：1放大，得到三角形B；
（2）再将三角形A绕点0顺时针旋转90°得到三角形C．
【考点】图形的放大与缩小；作旋转一定角度后的图形．
【分析】（1）根据图形放大与缩小的意义，把它个三角形两直角边分别放大到原来的2倍（直角三角形两直角边即可确定形状），即可得到按2：1放大后的图形B．
（2）根据旋转的特征，三角形A绕点O叶时针旋转90°后，点O的位置不动，其余部部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形C．
【解答】解：（1）将三角形A按2：1放大，得到三角形B；
（2）再将三角形A绕点0顺时针旋转90°得到三角形C．
23．有一块长方形如右图：请量出它的长和宽．再根据的比例尺求出它的长和宽的实际长度．并求出它的实际面积是多少平方米？（取整厘米数）
【考点】长度的测量方法；长方形、正方形的面积；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．
【分析】经测量，长方形的长为3厘米，宽为2厘米，然后据比例尺求出其长和宽的实际长度，再据长方形的面积公式求出其面积即可．
【解答】解：经测量，长方形的长为3厘米，宽为2厘米，则：
实际长度为：3×5000=15000（厘米）；
15000厘米=150米；
实际宽度为：2×5000=10000（厘米）；
10000厘米=100米；
实际面积为：150×100=15000（平方米）；
答：实际长为150米，宽为100米，实际面积为15000平方米．
24．电影院在中心广场北偏东60°方向，据中心广场的实际距离约是240米的地方．请先求出它的图上距离再在图中标出电影院的所在地．
【考点】在平面图上标出物体的位置．
【分析】电影院和中心广场的实际距离和这幅图的比例尺已知，依据"实际距离×比例尺=图上距离"即可求出它们之间的图上距离，再根据它们之间的方向关系，即可在图上标出电影院的位置．
【解答】解：因为240米=24000厘米
24000×=3（厘米）
又因电影院在中心广场北偏东60°方向
所以它的位置如下图所示：
**六、解决问题．（共29分）**
25．做一对底面半径是2分米，高是5分米的无盖圆柱形水桶．
（1）至少需要铁皮多少平方分米？
（2）这担水桶能装水多少升？
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】（1）首先分清制作没有盖的圆柱形铁皮水桶，需要计算几个面的面积：侧面面积与底面圆的面积两个面，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答即可．
（2）求水的体积就是求出这两个圆柱水桶的体积之和．
【解答】解：（1）水桶的侧面积：2×3.14×2×5=62.8（平方分米），
水桶的底面积：3.14×2^2^=12.56（平方分米），
2个水桶的表面积为：
（62.8+12.56）×2，
=75.36×2，
=150.72（平方分米），
（2）12.56×5×2=125.6（立方分米），
125.6立方分米=125.6升，
答：至少需要铁皮150.72平方分米，这担水桶能装水125.6升．
26．运输公司的一辆汽车从甲地往乙地运送一批物资，原计划每小时行75千米，4小时到达．现在情况有所变化，需要3小时到达，每小时要行多少千米？（用比例知识解答）
【考点】正、反比例应用题．
【分析】由题意可知：路程一定，则速度与行驶的时间成反比，据此可列比例求解．
【解答】解：设后来的速度为x，
则3x=75×4，
3x=300，
x=100．
答：要3小时到达，每小时要行100千米．
27．一个圆锥形麦堆，高1.2米，底面直径是4米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
【考点】关于圆锥的应用题．
【分析】要求这堆小麦的重量，先求得麦堆的体积，麦堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式：V=r^2^h求得体积，进一步再求小麦的重量，问题得解．
【解答】解：麦堆的体积：
×3.14×（4÷2）^2^×1.2
=×3.14×4×1.2
=3.14×1.6
=5.024（立方米）
小麦的重量：
5.024×750=3768（千克）
答：这堆小麦重3768千克．
28．在比例尺是1：6000000的地图上，AB两地间的距离是16厘米．
（1）AB两地间的实际距离是多少千米？
（2）一列火车由A到B用了3小时，火车每小时行多少千米？
【考点】比例的应用；简单的工程问题．
【分析】（1）要求AB两地间的实际距离是多少千米，根据"图上距离÷比例尺=实际距离"，代入数值进行解答即可；
（2）要求火车的速度，根据"路程÷时间=速度\'，代入数值解答即可．
【解答】解：（1）16÷=96000000（厘米）；
96000000厘米=960（千米）；
（2）960÷3=320（千米）；
答：AB两地间的实际距离是960千米，火车每小时行320千米．
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**2020-2021学年河北省邯郸市永年区六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题。（每空1分，共22分）**
1．（4分）3÷[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}：16＝[ ]{.underline}（填小数）＝[ ]{.underline}（填百分数）。
2．（2分）[ ]{.underline}千克吨；时＝[ ]{.underline}分．
3．（2分）甲数是乙数的60%，甲数比乙数少[ ]{.underline}%，乙数比甲数多[ ]{.underline}%。
4．（3分）要用圆规画一个直径是3*cm*的圆，圆规的两个角之间的距离是[ ]{.underline}*cm*．画出圆的周长是[ ]{.underline}*cm*，面积是[ ]{.underline}*cm*^2^．
5．（1分）千克黄豆可以榨出千克豆油，照这样计算，要榨出1千克豆油需要[ ]{.underline}千克黄豆．
6．（1分）在面积是25平方厘米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
7．（1分）六（1）班举行元旦联欢会，实到46人，病假2人，事假2人，出勤率是[ ]{.underline}%。
8．（2分）加工一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成，甲比乙用时快[ ]{.underline}%。如果两人合作，[ ]{.underline}小时完成。
9．（2分）张爷爷打算种些蔬菜，用篱笆靠墙围了一个半圆形的菜地，篱笆长12.56*m*，围成的菜地的面积是[ ]{.underline}。
10．（1分）一个长方体的棱长和是48*cm*，已知这个长方体的长：宽：高＝3：1：2，这个长方体的体积是[ ]{.underline}*cm*^3^。
11．（2分）照如图排列的规律，第10幅图有[ ]{.underline}个圆点，第*n*个图有[ ]{.underline}个圆点。
**二、判断。（每题1分，共5分）**
12．（1分）5千克棉花的和1千克铁块的一样重．[ ]{.underline}（判断对错）．
13．（1分）小明某次投球训练的成绩非常好，命中率高达120%．[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）小明从家到学校用16分钟，小丽从家到学校用20分钟，小明和小丽的速度比是5：4。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）小宇用去了50元钱的后，妈妈又给了小宇剩下钱的，结果小宇身上的钱还是50元。[ ]{.underline}（判断对错）
16．（1分）一个三角形的一个内角40°，其余两个内角的度数比是3：2，这个三角形是直角三角形．[ ]{.underline}（判断对错）
**三、选择题。（每题2分，共10分）**
17．（2分）小明看小华在东偏北40°的方向上，那么小华看小明在（ ）方向上．
A．东偏北40° B．西偏南40° C．东偏北50° D．西偏南50°
18．（2分）5千克油，用去，还剩下多少千克？正确的算式是（ ）
A．5 B．5×（1） C．5
19．（2分）完成同一份稿件，甲用小时，乙用小时，甲、乙的工作效率比是（ ）
A．6：5 B．不能确定 C．5：6 D．25：36
20．（2分）张阿姨从大王庄去县城开会，走路①与路②的结果是（ ）
A．路①远 B．路② C．一样远
21．（2分）一段绳子分两次用完，第一次用去全长的60%，第二次用去了*m*，两次用去的长度比较，结果是（ ）
A．第一次长 B．第二次长 C．一样长
**四．计算题。（共31分）**
22．（10分）直接写得数。
140÷35＝ 3＝ 15＝ 2
---------- ------- ------ --------- --
5 60%＝ 4 5÷20%＝
23．（12分）计算下面各题，能简算的简算。
---------- ------------ ------ --
40%+0.75 23×（）×32 （）
---------- ------------ ------ --
24．（9分）解方程。
----- ---------------- -------------------
*x* *x*﹣28%＝21.6 3*x*﹣60%*x*＝288
----- ---------------- -------------------
**五、图形与操作。（共8分）**
25．（8分）（1）书店在李老师家的[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向，距离[ ]{.underline}米。
> （2）杜老师家在李老师家西偏北30°方向距离300米，在图上标出杜老师家的
>
> 位置。
>
> （3）周末杜老师从家出发，找李老师一同去书店，你能描述杜老师的行走路线吗？
**六、解决问题。（共25分）**
26．（5分）某修路队计划修一条长1200米的路．第一周修了全长的15%，第二周修了全长的．第一周比第二周少修多少米？
27．（5分）看一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了全书的25%，两天正好看了108页，这本书共有多少页？
28．（5分）两位师傅给一间房贴地砖。张师傅单独做5天可以贴完，李师傅单独做4天可以贴完，他们合做2天后，还剩下8平方米没有贴。这间房有多少平方米？
29．（5分）在一块直径是20*m*的圆形草坪周围铺一条2*m*宽的环形小路，这条环形小路的面积是多少平方米？
30．（5分）如图为六年级植树情况统计图，（3）班、（4）班共植树472棵，（2）班植树多少棵？
**2020-2021学年河北省邯郸市永年区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题。（每空1分，共22分）**
1．【分析】解答此题的关键是，根据比与分数的关系，3：8，再根据比的基本性质，比的前后项都乘2就是6：16；根据分数与除法的关系，3÷8；3÷8＝0.375；把0.375的小数点向右移动两位添上百分号就是37.5%．由此进行转化并填空即可。
> 【解答】解：3÷8＝6：16＝0.375（填小数）＝37.5%（填百分数）。
>
> 故答案为：8，6，0.375，37.5%。
>
> 【点评】解答此题的关键是，根据小数、分数、百分数、比之间的关系及分数的基本性质、比的基本性质进行转化。
2．【分析】（1）高级单位吨化低级单位千克乘进率1000．
> （2）高级单位时化低级单位分乘进率60．
>
> 【解答】解：（1）375千克吨；
>
> （2）时＝35分．
>
> 故答案为：375，35．
>
> 【点评】本题是考查质量的单位换算、时间的单位换算．单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率．
3．【分析】把乙数看作单位"1"，则甲数为60%，则甲数比乙数少（1﹣60%）；
> 求乙数比甲数多百分之几，把甲数看作单位"1"，根据"（大数﹣小数）÷单位"1"的量"进行解答。
>
> 【解答】解：1﹣60%＝40%
>
> （1﹣60%）÷60%
>
> ＝40%÷60%
>
> ≈66.7
>
> 答：甲数是乙数的60%，甲数比乙数少40%，乙数比甲数多66.7%。
>
> 故答案为：40，66.7。
>
> 【点评】解答此题的关键：判断出单位"1"，根据"（大数﹣小数）÷单位"1"的量"进行解答。
4．【分析】由题意知，画出的圆的直径是3厘米，圆规的两个角之间的距离是圆的半径，根据*r*＝*d*÷2、*C*＝2π*r*及*S*＝π*r*^2^解答即可．
> 【解答】解：圆的半径：3÷2＝1.5（厘米），
>
> 周长：3.14×3＝9.42（厘米），
>
> 面积：3.14×1.5^2^
>
> ＝3.14×2.25
>
> ＝7.065（平方厘米），
>
> 答：圆规的两个角之间的距离是1.5厘米，周长是9.42厘米，面积是7.065平方厘米．
>
> 故答案为：1.5，9.42，7.065．
>
> 【点评】此题考查了圆的直径与半径之间的关系以及周长＝2π*r*和圆的面积＝π*r*^2^的计算应用．
5．【分析】用榨出豆油的质量除以黄豆的质量即可求出要榨出1千克豆油需要多少千克的黄豆．
> 【解答】解：4（千克）
>
> 答：要榨出1千克豆油需要 4千克黄豆．
>
> 故答案为：4．
>
> 【点评】解决本题关键是明确谁是单一量，把另一个量进行平均分．
6．【分析】根据题意可知，在面积是25平方厘米的正方形里，画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，然后根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，解答即可。
> 【解答】解：5×5＝25
>
> 3.14×（5÷2）^2^
>
> ＝3.14×2.5^2^
>
> ＝19.625（平方厘米）
>
> 答：这个圆的面积是19.625平方厘米。
>
> 故答案为：19.625。
>
> 【点评】本题主要考查圆的面积，关键是确定圆的直径。
7．【分析】先用"46+2+2"求出该班总人数，进而根据公式：出勤率＝出勤人数÷总人数×100%；代入数值进行解答．
> 【解答】解：46÷（46+2+2）×100%
>
> ＝0.92×100%
>
> ＝92%
>
> 答：出勤率是92%。
>
> 故答案为：92。
>
> 【点评】此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百。
8．【分析】求甲比乙用时快百分之几，是把乙的时间看作单位"1"，用甲比乙快的时间÷乙的时间来解决此问题。两人合作完成是把这批零件看作单位"1"，则甲乙的工作效率和是6。用工作总量÷工作效率和＝工作时间来解决此问题。
> 【解答】解：（8﹣6）÷8×100%
>
> ＝2÷8×100%
>
> ＝25%
>
> 1÷（）
>
> ＝1
>
> （小时）
>
> 答：甲比乙用时快25%。两人合作小时完成。
>
> 【点评】解决此类问题一定要找准单位"1"再利用工作总量，工作时间，工作效率三者之间的关系解决问题。
9．【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，由题意可知，用篱笆靠墙围成一个半圆形的菜地，篱笆长是12.56米，也就是圆周长的一半是12.56米，根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，那么圆周长的一半是π*r*，据此求出半径，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：12.56÷3.14＝4（米）
>
> 3.14×4^2^÷2
>
> ＝3.14×16÷2
>
> ＝25.12（平方米）
>
> 答：围成菜地的面积是25.12平方米。
>
> 故答案为：25.12平方米。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱分三组，每组四条，长度相等，用48厘米除以4就是这个长方体的长、宽、高之和，再把这个长方体的长、宽、高之和平均分成（3+1+2）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法分别求出3份（长）、1份（宽 ）、2份（高），然后根据长方体的体积计算公式"*V*＝*abh*"即可解答。
> 【解答】解：48÷4÷（3+1+2）
>
> ＝12÷6
>
> ＝2（*cm*）
>
> （2×3）×（2×1）×（2×2）
>
> ＝6×2×4
>
> ＝48（*cm*^3^）
>
> 答：这个长方体的体积是48*cm*^3^。
>
> 故答案为：48。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据长方体的特征及按比例分配问题求出这个长方体的长、宽、高。
11．【分析】根据图示，第1幅图圆点的个数为4个；第2幅图圆点的个数为4+3＝7（个）；第3幅图圆点的个数为4+3+3＝10（个）；......；第10幅图圆点的个数为4+3×（10﹣1）＝31（个）；......第*n*幅图圆点的个数为4+3（*n*﹣1）＝（3*n*+1）个。据此解答。
> 【解答】解：第1幅图圆点的个数为4个
>
> 第2幅图圆点的个数为4+3＝7（个）
>
> 第3幅图圆点的个数为4+3+3＝10（个）
>
> ......
>
> 第10幅图圆点的个数为4+3×（10﹣1）＝31（个）
>
> ......
>
> 第*n*幅图圆点的个数为4+3（*n*﹣1）＝（3*n*+1）个
>
> 答：第10幅图有33个圆点，第*n*个图有（3*n*+1）个圆点。
>
> 故答案为：33；（3*n*+1）。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
**二、判断。（每题1分，共5分）**
12．【分析】分别计算出5千克棉花的和1千克铁块的，用乘法，然后比较积的大小，即可得解．
> 【解答】解：52.5（千克），
>
> 12.5（千克），
>
> 所以5千克棉花的和1千克铁块的一样重，即本题说法正确；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了整数乘分数，分母不变，整数和分子直接相乘；分数大小的比较，分子分母都相等，当然两个分数相等．
13．【分析】小明某次投球训练的成绩非常好，命中率高达120%，说法错误，我们可以根据"命中率＝命中个数÷总个数×100%"，假设投了5个球，全部命中，然后求出命中率高再和120%比较即可．
> 【解答】解：假设投了5个球，全部命中，
>
> 5÷5×100%＝100%，所以命中率最高是100%，不可能高达120%；所以原题说法错误；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
14．【分析】把小明与小丽从家到学校的总路程看作单位"1"，根据小明和小丽所用的时间分别求出他们的速度，进而写出速度比并化简比即可。
> 【解答】解：：
>
> ＝（80）：（80）
>
> ＝5：4
>
> 即小明和小丽的速度比是5：4；所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题考查比的意义和简单的行程问题，要先根据二人所用的时间分别求出他们的速度，进而写比并化简比。
15．【分析】根据题意，把原来的钱数看作单位"1"，则用去后的钱数＝原来的钱数，然后把剩余钱数看作单位"1"，则妈妈给后，小宇的钱数＝剩余钱数。计算现在的钱数后比较，即可得出结论。
> 【解答】解：50
>
> ＝50
>
> ＝46.875（元）
>
> 46.875＜50
>
> 答：现在小宇身上的钱是46.875元，原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查分数四则运算的应用，关键找对单位"1"，利用数量关系做题。
16．【分析】由三角形的内角和是180度可知：另外两个内角的度数和是（180﹣40）°，再根据"另外两个内角的度数比是3：2"，利用按比例分配的方法，求出最大内角的度数，即可判定三角形的类别．
> 【解答】解：180﹣40＝140（度）
>
> 140
>
> ＝140×0.6
>
> ＝84（度）
>
> 所以这个三角形是锐角三角形；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
**三、选择题。（每题2分，共10分）**
17．【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，据此解答。
> 【解答】解：小明看小华在东偏北40°的方向上，那么小华看小明在西偏南40°方向上。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对位置相对性的掌握情况。
18．【分析】把5千克油看成单位"1"，那么剩下的就占全部的1，求单位"1"的几分之几用乘法．
> 【解答】解：剩下的列式应为：5×（1）；
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题找出单位"1"，求单位"1"的几分之几用乘法．
19．【分析】完成同一份稿件，也就是工作总量相同，设这份稿件的工作总量为10，那么甲、乙的工作效率分别是1030和1025，那么甲、乙的工作效率比是30：25＝6：5。
> 【解答】解：设这份稿件的工作总量为10，
>
> 1030
>
> 1025
>
> 30：25＝6：5
>
> 答：甲、乙的工作效率比是6：5。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】假设法可以大大提高做题速度，要熟练掌握。
20．【分析】观察图形可知，路①的长度是直径为：4+6＝10（厘米）的半圆的弧长；路②的长度是直径分别为4厘米、6厘米的半圆的弧长之和，据此利用圆的周长公式分别计算出它们的长度，即可解答问题。
> 【解答】解：路①长：
>
> π×（4+6）÷2
>
> ＝10π÷2
>
> ＝5π（厘米）
>
> 路②长：
>
> 4π÷2+6π÷2
>
> ＝2π+3π
>
> ＝5π（厘米）
>
> 所以路①和路②一样长。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活应用。
21．【分析】把这根绳子的长度看作单位"1"，第一次用去全长的60%，则第二次用去全长的（1﹣60%），通过比较两次用去的长所占的分率即可确定哪次用去的长一些。
> 【解答】解：把这根绳子的长度看作单位"1"，第一次用去全长的60%，则第二次用去全长的（1﹣60%）＝40%
>
> 60%＞40%
>
> 答：第一次用去的长一些。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】不管第二次用去的长度是多少米，它占的分率比第一次用去的少，它就比第一次用去的短。
**四．计算题。（共31分）**
22．【分析】根据整数、分数加减乘除法的计算法则方法以及四则混合运算的运算顺序计算即可。
> 【解答】解：
140÷35＝4 3 15＝9 21
----------- -------- ------- ----------- --
5 60%＝1 44 5÷20%＝25
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
23．【分析】（1）运用乘法的分配律进行简算；
> （2）运用乘法的分配律进行简算；
>
> （3）把除以化成，再运用乘法的分配律进行简算；
>
> （4）把除以化成，再运用乘法的分配律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）40%+0.75
>
> （40%）
>
> 1
>
> （2）23×（）×32
>
> ＝2332﹣2332
>
> ＝160﹣115
>
> ＝45
>
> （3）（）
>
> ＝（）
>
> 1
>
> ＝4
>
> （4）
>
> （）
>
> 1
>
> 【点评】此题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
24．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘上求解；
> （2）根据等式的性质，方程两边同时加上28%求解；
>
> （3）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以240%求解。
>
> 【解答】解：（1）*x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> （2）*x*﹣28%＝21.6
>
> *x*﹣28%+28%＝21.6+28%
>
> *x*＝21.88
>
> （3）3*x*﹣60%*x*＝288
>
> 240%*x*＝288
>
> 240%*x*÷240%＝288÷240%
>
> *x*＝120
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、图形与操作。（共8分）**
25．【分析】（1）根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以李老师家的位置为观察点，即可确定书店位置的方向。
> （2）以李老师家的位置为观察点，即可确定杜老师家位置的方向，根据杜老师家到李老师家的实际距离及图中所标注的线段比例尺即可求出杜老师家到李老师家的图上距离，然后标出杜老师家的位置。
>
> （3）根据路线图，先从杜老师家开始，沿着路线图顺次写出地点即可，注意方位。
>
> 【解答】解：（1）书店在李老师家东偏北35°方向，距离为200米．
>
> （2）300÷100＝3（厘米）
>
> 即李老师家在李老师家西偏北30°方向3厘米处，在图中标出杜老师家的位置
>
> （3）周末杜老师从家出发，先向东偏南30°方向走300米到李老师家，再同李老师一起向东偏北35°方向走200米到达书店。
>
> 故答案为：东，北，35，200。
>
> 【点评】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及线段比例尺的灵活应用。
**六、解决问题。（共25分）**
26．【分析】把这条路的长度看作单位"1"，根据分数乘法意义，分别求出这两周修的长度，再用第二周修的长度﹣第一周修的长度解答．
> 【解答】解：12001200×15%，
>
> ＝400﹣180，
>
> ＝220（米）；
>
> 答：第一周比第二周少修220米．
>
> 【点评】解答此类问题，首先找清单位"1"，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好的解答问题．
27．【分析】根据"第一天看了全书的 20%，第二天看了全书的25%，"知道是把全书看做单位"1"，也可求出两天一共看了全书的（20%+25%），求单位"1"，用除法计算．
> 【解答】解：108÷（20%+25%），
>
> ＝108÷45%，
>
> ＝240（页）；
>
> 答：这本书共有240页．
>
> 【点评】找准单位"1"，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位"1"．
28．【分析】分析条件，把这间房的面积看作单位"1".张师傅和李师傅的工作效率和是（）用工作效率和×合作时间＝张师傅和李师傅完成了这项工程的几分之几。再求出剩下这间房的几分之几。最后用剩下的部分量÷剩下的部分量与总量之间的关系来解决这道问题。
> 【解答】解：8÷\[1﹣（）×2\]
>
> ＝8÷\[12\]
>
> ＝8÷\[1\]
>
> ＝8
>
> ＝80（平方米）
>
> 答：这间房有80平方米。
>
> 【点评】此题是典型的分数应用题。要找准单位"1"。求单位"1"的量，要找到部分量以及部分量与总量之间的关系。
29．【分析】在一个直径为是20*m*的圆形草坪周围铺一条2*m*宽的环形小路，这条小路就是外圆半径为（20÷2+2）＝12米，内圆半径为20÷2＝10米的环形，根据环形面积计算公式*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^）即可解答．
> 【解答】解：20÷2＝10（米）
>
> 10+2＝12（米）
>
> 3.14×（12^2^﹣10^2^）
>
> ＝3.14×（144﹣100）
>
> ＝3.14×44
>
> ＝138.16（平方米）
>
> 答：这条环形小路的面积是138.16平方米．
>
> 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用．
30．【分析】把六年级植树的总棵数看作单位"1"，（3）班占24%，（4）班占35%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出六年级植树的总棵数，根据减法的意义，用减法求出（2）班植树的棵数占总数的百分之几，再根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出（2）植树多少棵。
> 【解答】解：1﹣25%﹣35%﹣24%＝16%
>
> 472÷（24%+35%）×16%
>
> ＝472÷59%×16%
>
> ＝472÷0.59×0.16
>
> ＝800×0.16
>
> ＝128（棵）
>
> 答：（2）班植树128棵。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
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日期：2021/4/27 11:20:21；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2017年山东省威海市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．**
1．从新华网获悉：商务部5月27日发布的数据显示，一季度，中国与"一带一路"沿线国家在经贸合作领域保持良好发展势头，双边货物贸易总额超过16553亿元人民币，16553亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.6553×10^8^ B．1.6553×10^11^ C．1.6553×10^12^ D．1.6553×10^13^
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将16553亿用科学记数法表示为：1.6553×10^12^．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．某校排球队10名队员的身高（厘米）如下：
195，186，182，188，188，182，186，188，186，188．
这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．186，188 B．188，187 C．187，188 D．188，186
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为：182、182、186、186、186、188、188、188、188、195，
∴众数为188，中位数为=187，
故选：B．
【点评】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
3．下列运算正确的是（ ）
A．3x^2^+4x^2^=7x^4^ B．2x^3^3x^3^=6x^3^
C．a÷a^﹣2^=a^3^ D．（﹣ a^2^b）^3^=﹣a^6^b^3^
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=7x^2^，不符合题意；
B、原式=6x^6^，不符合题意；
C、原式=aa^2^=a^3^，符合题意；
D、原式=﹣a^6^b^3^，不符合题意，
故选C
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．计算﹣（）^2^+（+π）^0^+（﹣）^﹣2^的结果是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣（）^2^+（+π）^0^+（﹣）^﹣2^
=﹣2+1+4
=3
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣＞1，得：x＜﹣2，
解不等式3﹣x≥2，得：x≤1，
∴不等式组的解集为x＜﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
6．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【解答】解：sinA===0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
7．若1﹣是方程x^2^﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．4﹣2 C．3﹣ D．1+
【分析】把x=1﹣代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．
【解答】解：∵关于x的方程x^2^﹣2x+c=0的一个根是1﹣，
∴（1﹣）^2^﹣2（1﹣）+c=0，
解得，c=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
8．一个几何体由n个大小相同的小正方体搭成，其左视图、俯视图如图所示，则n的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层和第三层的个数，从而算出总的个数．
【解答】解：由题中所给出的左视图知物体共三层，每一层都是两个小正方体；
从俯视图可以可以看出最底层的个数
所以图中的小正方体最少1+2+4=7．
故选B．
【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀"俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章"就更容易得到答案．
9．甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘别分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有5种，进而可得答案．
【解答】解：如图所示：数字之和为偶数的情况有5种，
因此加获胜的概率为，
故选：C．
【点评】此题主要考查了画树状图和概率，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
10．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，∵AD=BC，
∴DH=CG，故③正确，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故①正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，
∵DH=CG，
∴DF=CE，故②正确，
无法证明AE=AB，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．已知二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=与一次函数y=（b+c）x的图象经过的象限即可．
【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＞0，
由对称轴x=﹣＞0，可知b＜0，
当x=1时，a+b+c＜0，即b+c＜0，
所以正比例函数y=（b+c）x经过二四象限，
反比例函数y=图象经过一三象限，
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
12．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用"角角边"证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB==3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，
∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，
∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=．
故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．**
13．如图，直线l~1~∥l~2~，∠1=20°，则∠2+∠3=[ 200° ]{.underline}．
【分析】过∠2的顶点作l~2~的平行线l，则l∥l~1~∥l~2~，由平行线的性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．
【解答】解：过∠2的顶点作l~2~的平行线l，如图所示：
则l∥l~1~∥l~2~，
∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°+20°=200°；
故答案为：200°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
14．方程+=1的解是[ x=3 ]{.underline}．
【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：由原方程，得
3﹣x﹣1=x﹣4，
﹣2x=﹣6，
x=3，
经检验x=3是原方程的解．
故答案是：x=3．
【点评】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
15．阅读理解：如图1，⊙O与直线a、b都相切，不论⊙O如何转动，直线a、b之间的距离始终保持不变（等于⊙O的直径），我们把具有这一特性的图形成为"等宽曲线"，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．
拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是"等宽曲线"，如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为[ 2π ]{.underline}cm．
【分析】由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=2cm，即可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，根据弧长公式分别求得三段弧的长即可得其周长．
【解答】解：如图3，由题意知AB=BC=AC=2cm，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴在以点C为圆心、2为半径的圆上，
∴的长为=，
则莱洛三角形的周长为×3=2π，
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查新定义下弧长的计算，理解"等宽曲线"得出等边三角形是解题的关键．
16．某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案...按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共有地砖[ 2n^2^+2n． ]{.underline}块．
【分析】首先求出第一个、第二个、第三个、第四个图案中的地砖的数量，探究规律后即可解决问题．
【解答】解：第一次拼成形如图1所示的图案共有4块地砖，4=2×（1×2），
第二拼成形如图2所示的图案共有12块地砖，12=2×（2×3），
第三次拼成形如图3所示的图案共有24块地砖，24=2×（3×4），
第四次拼成形如图4所示的图案共有40块地砖，40=2×（4×5），
...
第n次拼成形如图1所示的图案共有2×n（n+1）=2n^2^+2n块地砖，
故答案为2n^2^+2n．
【点评】本题考查规律题目、解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考填空题中的压轴题．
17．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是[ （1，1）或（4，4） ]{.underline}．
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
【解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
18．如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，如图所示：
此时PA=PC，
则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，
∴PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，
∴PB=BD﹣PD=﹣=；
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．
**三、解答题：本大题共7小题，共66分．**
19．先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣＜x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+1）
=
=
=
=，
∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，
∴x=﹣2时，原式=﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意取得的x的值必须使得原分式有意义．
20．某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农产去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
【分析】设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，利用去年计划生产小麦和玉米200吨，则x+y=200，再利用小麦超产15%，玉米超产5%，则实际生产了225吨，得出等式（1+5%）x+（1+15%）y=225，进而组成方程组求出答案．
【解答】解：设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，根据题意可得：
，
解得：，
则50×（1+5%）=52.5（吨），
150×（1+15%）=172.5（吨），
答：农场去年实际生产小麦52.5吨，玉米172.5吨．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据计划以及实际生产的粮食吨数得出等式是解题关键．
21．央视热播节目"朗读者"激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从"文史类、社科类、小说类、生活类"中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了[ 200 ]{.underline}名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中"小说类"所在扇形的圆心角为[ 126 ]{.underline}度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢"社科类"书籍的学生人数．
【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；
（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；
（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；
【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%=200人，
（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%=30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30=70人，
如图所示；
（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，
∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%=12%，
∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%=35%，
∴小说类所在圆心角为：360°×35%=126°，
（4）由样本数据可知喜欢"社科类"书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢"社科类"书籍的学生人数：2500×12%=300人
故答案为：（1）200；（3）126
【点评】本题考查统计问题，解题的关键是熟练运用统计学中的公式，本题属于基础题型．
22．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：
如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．
（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为[ 83.2 ]{.underline}cm；
（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）
（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．
【分析】（1）作EP⊥BC、DQ⊥EP，知CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠1+∠θ=90°且∠1=∠2知∠3=∠θ=37°50′，根据EQ=DEsin∠3和AB=EP=EQ+PQ可得答案；
（2）延长ED、BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由CK=、KF=可得答案．
【解答】解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，
则CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，
∴∠3=∠θ=37°50′，
则EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′，
∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2，
故答案为：83.2；
（2）如图，延长ED、BC交于点K，
由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，
在Rt△CDK中，CK==，
在Rt△KGF中，KF===，
则CF=KF﹣KC=﹣==．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意构建所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题的关键．
23．已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．
（1）如图1，若DE∥AB，求证：CF=EF；
（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．
【分析】（1）如图1，连接OD、OE，证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形，进一步证得DF⊥CE即可证得结论；
（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：如图1，连接OD、OE，
∵AB=2，
∴OA=OD=OE=OB=1，
∵DE=1，
∴OD=OE=DE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE=∠OED=60°，
∵DE∥AB，
∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，
∴△AOD和△△OE是等边三角形，
∴∠OAD=∠OBE=60°，
∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠EDF=90°﹣60°=30°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥CE，
∴CF=EF；
（2）相等；
如图2，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF=DF，
∴∠BDF=∠DBF，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠FDC=∠C，
∴DF=CF，
∴BF=CF．
【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D~1~的位置，设DP=x，△AD~1~P与原纸片重叠部分的面积为y．
（1）当x为何值时，直线AD~1~过点C？
（2）当x为何值时，直线AD~1~过BC的中点E？
（3）求出y与x的函数表达式．
【分析】（1）根据折叠得出AD=AD~1~=2，PD=PD~1~=x，∠D=∠AD~1~P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD~1~中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD~1~=AD=2，PD=PD~1~=x，D~1~E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD~1~E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D~1~在矩形ABCD的外部，PD~1~交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）^2^+2^2^=a^2^，求出a即可．
【解答】解：（1）
如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD~1~P，
∴AD=AD~1~=2，PD=PD~1~=x，∠D=∠AD~1~P=90°，
∵直线AD~1~过C，
∴PD~1~⊥AC，
在Rt△ABC中，AC==，CD~1~=﹣2，
在Rt△PCD~1~中，PC^2^=PD~1~^2^+CD~1~^2^，
即（3﹣x）^2^=x^2^+（﹣2）^2^，
解得：x=，
∴当x=时，直线AD~1~过点C；
（2）如图2，
连接PE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，AE==，
∵AD~1~=AD=2，PD=PD~1~=x，
∴D~1~E=﹣2，PC=3﹣x，
在Rt△PD~1~E和Rt△PCE中，
x^2^+（﹣2）^2^=（3﹣x）^2^+1^2^，
解得：x=，
∴当x=时，直线AD~1~过BC的中点E；
（3）如图3，
当0＜x≤2时，y=x，
如图4，
当2＜x≤3时，点D~1~在矩形ABCD的外部，PD~1~交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3（根据折叠），
∴∠2=∠3，
∴AF=PF，
作PG⊥AB于G，
设PF=AF=a，
由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，
在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）^2^+2^2^=a^2^，
解得：a=，
所以y==，
综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=．
【点评】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，用了分类推理思想．
25．如图，已知抛物线y=ax^2^+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求二次函数y=ax^2^+bx+c的表达式；
（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）设点M坐标为（m，﹣m^2^+2m+3），分别表示出ME=\|﹣m^2^+2m+3\|、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；
（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a^2^+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a^2^+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax^2^+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），
解得：a=﹣1，
∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x^2^+2x+3；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣=1，
如图1，设点M坐标为（m，﹣m^2^+2m+3），
∴ME=\|﹣m^2^+2m+3\|，
∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，
∴点N的横坐标为2﹣m，
∴MN=2m﹣2，
∵四边形MNFE为正方形，
∴ME=MN，
∴\|﹣m^2^+2m+3\|=2m﹣2，
分两种情况：
①当﹣m^2^+2m+3=2m﹣2时，解得：m~1~=、m~2~=﹣（不符合题意，舍去），
当m=时，正方形的面积为（2﹣2）^2^=24﹣8；
②当﹣m^2^+2m+3=2﹣2m时，解得：m~3~=2+，m~4~=2﹣（不符合题意，舍去），
当m=2+时，正方形的面积为\[2（2+）﹣2\]^2^=24+8；
综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．
（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，
把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：
，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，
设点M的坐标为（a，﹣a^2^+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a^2^+2a+3），点D（a，﹣a+3），
①点M在对称轴右侧，即a＞1，
则\|﹣a+3﹣（﹣a^2^+2a+3）\|=a﹣（2﹣a），即\|a^2^﹣3a\|=2a﹣2，
若a^2^﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a^2^﹣3a=2a﹣2，
解得：a=或a=＜1（舍去）；
若a^2^﹣3a＜0，即0≤a≤3，a^2^﹣3a=2﹣2a，
解得：a=﹣1（舍去）或a=2；
②点M在对称轴右侧，即a＜1，
则\|﹣a+3﹣（﹣a^2^+2a+3）\|=2﹣a﹣a，即\|a^2^﹣3a\|=2﹣2a，
若a^2^﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a^2^﹣3a=2﹣2a，
解得：a=﹣1或a=2（舍）；
若a^2^﹣3a＜0，即0≤a≤3，a^2^﹣3a=2a﹣2，
解得：a=（舍去）或a=；
综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第12课《仔****细审题》试题****附答案**
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案**
\[来源:学科网ZXXK\]
\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
\[来源:学,科,网\]
\[来源:Zxxk.Com\]
二年级奥数上册：第十二讲 仔细审题习题
\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学**
**本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．**
**答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**祝各位考生考试顺利！**
**第I卷**
**注意事项：**
**1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．**
**2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．**
**参考公式：**
**如果事件与事件互斥，那么．**
**如果事件与事件相互独立，那么．**
**球的表面积公式，其中表示球的半径．**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为（ ）
A.  B. 
C  D. 
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学**
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
**1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．**
**2．本卷共11小题，共105分．**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．**
10.是虚数单位，复数\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
11.在的展开式中，的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知直线和圆相交于两点．若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.已知，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.如图，在四边形中，，，且，则实数值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若是线段上的动点，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16.在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
19.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意正整数，设求数列的前项和．
20.已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
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**-北师大版六年级（下）期末数学试卷（12）**
**一、填空．27（分）**
1．一个数由9个亿、6个千万、2个十万、8个千组成，这个数写作[ ]{.underline}，读作[ ]{.underline}，改写成用万作单位的数是[ ]{.underline}，省略亿位后面的尾数约是[ ]{.underline}．
2．2的分数单位是[ ]{.underline}，它再添上[ ]{.underline}个这样的单位就等于最小的合数．
3．a×=b×=c×（a、b、c都不为零），那么a、b、c从大到小排列[ ]{.underline}．
4．甲数是m，比乙数的2倍少n，求乙数的式子是[ ]{.underline}．
5．为反映出某地去年12个月的月平均气温变化情况，应选择[ ]{.underline}统计图较好．
6．圆的周长与直径的最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}．
7．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是120dm^3^，则该圆柱的体积是[ ]{.underline}，圆锥的体积是[ ]{.underline}．
8．把一段6m长的木料锯成3段小圆柱，表面积增加了72dm^2^，原来这根木料的体积是[ ]{.underline}．
9．已知比例的两外项互为倒数，其中一个内项是1.4，另一个内项是[ ]{.underline}．
10．把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加160平方厘米，已知圆柱的底面半径为4厘米，这个圆柱的体积是[ ]{.underline}立方厘米．
11．一个数既是20的倍数，又是20的因数，把这个数写成两个质数相加的形式：[ ]{.underline}．
12．一个两位小数精确到十分位是3.6，这个数最大是[ ]{.underline}，最小是[ ]{.underline}．
13．一件衣服进价200元，先提价60%后再打八折销售，现价是[ ]{.underline}元．
14．[ ]{.underline}个棱长1cm的小正方体可以拼成一个棱长1dm的大正方体，把这些小正方体排成一排组成一个长方体，这个长方体的长是[ ]{.underline}．
15．如图，阴影部分甲的面积比乙的面积多[ ]{.underline}平方厘米．
16．先观察，再根据规律，把算式填完整．
2^2^﹣1^2^=3
3^2^﹣2^2^=5
[ ]{.underline}^2^﹣78^2^=[ ]{.underline}
n^2^﹣[ ]{.underline}^2^=[ ]{.underline}．
17．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里．至少要取[ ]{.underline}个球，才可以保证取到两个颜色不相同的球．
18．一个平行四边形与一个三角形的底相等，它们高的比是1：2，它们面积的比是[ ]{.underline}．
**二、选择题．**
19．一个圆柱的底面半径和高都扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A．3 B．9 C．27
20．把一根绳子剪成两段，第一段长m，第二段占全长的，则（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长
21．一个三角形的三内角度数比是3：4：5，这是个（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角
22．把10克盐放入90克水中，盐与盐水的质量比是（ ）
A．1：9 B．1：10 C．10：1
23．2：5的前项加上6，要使比值不变，后项应（ ）
A．加6 B．乘6 C．乘4
24．小圆的半径等于大圆半径的，则大圆面积与小圆面积的比是（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
25．去年国庆节是星期三，今年是 （ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六
26．下面能围成三角形的是 （ ）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm C．2cm、3cm、5cm．
27．三角形最小的角是50°，按角分类，这是（ ）三角形．
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定
28．在任意的37个人中，至少有（ ）人的属相相同．
A．2 B．4 C．6
**五、作图题**
29．作图题
（1）将三角形ABC先向下平移2格，再向右平移5格．
（2）将三角形ABC绕点B逆时针旋转90°．
30．过A点作对边的垂线和平行线．
31．（1）图A是对称图形，请根据对称轴画出图形的另一半．
（2）画出图B先向右平移3格，再绕O点顺时针旋转90°后所得到的图形．
**六、应用题．**
32．只列式不计算
（1）某化工厂采用新技术后，每天用原料14吨，这样原来7天用的原料，现在可以用10天，这个厂现在比过去每天节约多少吨原料？
（2）妈妈把8000元钱存入银行，定期5年，年利率是4.75%，到期后妈妈一共可取出多少钱？
（3）学校科技组有18名女生，比男生人数的多3人，学校科技组有多少名男生？
（4）枫叶服装厂接到生产2400件衬衫的任务，前3天完成了40%，照这样计算，完成这项生产任务还要多少天？
33．只列式不计算
**列式并解答**
35．画线段图分析并列式，不计算．
仓库里有15吨钢材，因为第一次用去总数的20%，第二次用去总数的，还剩下多少吨钢材？
36．一个花坛，直径6米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？
37．在比例尺是1：6000000的地图上，量得甲乙两地距离是9厘米，一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时开出，相向而行，3小时后两车相遇．已知客车与货车的速度比是7：5，求两车的速度．
38．一箱圆柱形的饮料，每排摆4个，共6排，这种圆柱形的饮料的底面直径是6.5cm，高是12cm．这个纸箱的体积至少是多少立方分米？
39．农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？
40．笑笑家上月食品支出占总支出的60%，比其它支出多480元，笑笑家上个月总支出多少钱？
41．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84m，高4m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多长？
42．一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米．已知圆柱高20厘米，求圆柱的体积．
43．惊悉我国南方6省遭遇百年难遇的雪灾后，我校师生踊跃捐款，六年级某班女生捐款数占全班的40%多160元，男生捐款数是女生捐款数的，这个班一共为灾区捐款多少元？
44．一批零件平均分成两天做，第一天合格率是90%，第二天合格率是95%，两天共合格了370个，这批零件共多少个？
**四、附加题**
45．水果店里西瓜个数与白兰瓜个数的比为7：5．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后，白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个．水果店里原有西瓜多少个？
**-北师大版六年级（下）期末数学试卷（12）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空．27（分）**
1．一个数由9个亿、6个千万、2个十万、8个千组成，这个数写作[ 960208000 ]{.underline}，读作[ 九亿六千零二十万八千 ]{.underline}，改写成用万作单位的数是[ 96020.8万 ]{.underline}，省略亿位后面的尾数约是[ 10亿 ]{.underline}．
【考点】整数的读法和写法；整数的改写和近似数．
【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数；改写成用"万"作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上"万"字；省略"亿"后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上"亿"字．
【解答】解：这个数为：960208000，读作：九亿六千零二十万八千；
960208000=96020.8万≈10亿．
故答案为：960208000；九亿六千零二十万八千；96020.8万；10亿．
2．2的分数单位是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，它再添上[ 7 ]{.underline}个这样的单位就等于最小的合数．
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】表示把单位"1"平均分成5份，每份是，即分母是5的分数的分数单位是，2=，表示有13个这样的分数单位，最小的合数是4，4=，即20个这样的分数单位是最小的合数，再添上20﹣13=7（个）这样的分数单位就是最小的合数．
【解答】解：2的分数单位是；
2=，表示它有13个这样的分数单位，
最小的合数是4，4=，即20个这样的分数单位是最小的合数，
再添上20﹣13=7（个）这样的分数单位．
故答案为：，7．
3．a×=b×=c×（a、b、c都不为零），那么a、b、c从大到小排列[ c＞b＞a ]{.underline}．
【考点】分数大小的比较．
【分析】因为它们的积相等，一个因数小，它的另一个因数就大，由此可求得本题答案．
【解答】解：因为＞＞，
所以c＞b＞a．
故答案为：c＞b＞a．
4．甲数是m，比乙数的2倍少n，求乙数的式子是[ ]{.underline}[（m+n） ]{.underline}．
【考点】用字母表示数．
【分析】用（m+n）计算出乙数的2倍，再用乙数的2倍除以2就是乙数．
【解答】解：（m+n）÷2，
=（m+n），
=（m+n），
故答案为：（m+n）．
5．为反映出某地去年12个月的月平均气温变化情况，应选择[ 折线 ]{.underline}统计图较好．
【考点】统计图的选择．
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【解答】解：根据统计图的特点可知：为反映出某地去年12个月的月平均气温变化情况，应选择折线统计图较好．
故答案为：折线．
6．圆的周长与直径的最简整数比是[ 157：50 ]{.underline}，比值是[ 3.14 ]{.underline}．
【考点】比的意义；圆的认识与圆周率．
【分析】根据圆的周长公式C=πd，可直接用圆的周长πd比圆的直径d就可得到比和比值．
【解答】解：周长和直径的比是：πd：d=π：1=3.14：1=157：50；
比值是157÷50=3.14．
故答案为：157：50；3.14．
7．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是120dm^3^，则该圆柱的体积是[ 90立方分米 ]{.underline}，圆锥的体积是[ 30立方分米 ]{.underline}．
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么，等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3+1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积．据此解答．
【解答】解：120÷（3+1）
=120÷4
=30（立方分米）
30×3=90（立方分米）；
答：圆柱的体积是90立方分米，圆锥的体积是30立方分米．
故答案为：90立方分米，30立方分米．
8．把一段6m长的木料锯成3段小圆柱，表面积增加了72dm^2^，原来这根木料的体积是[ 1080立方分米 ]{.underline}．
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】把圆柱形木料锯成3段，增加4个截面的面积，已知表面积增加了72平方分米，由此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式解答即可．
【解答】解：6米=60分米，
72÷4×60
=18×60
=1080（立方分米），
答：原来这根木料的体积是1080立方分米．
故答案为：1080立方分米．
9．已知比例的两外项互为倒数，其中一个内项是1.4，另一个内项是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】比例的意义和基本性质．
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出两外项之积为1，则两内项之积也等于1，一个内项已知，则可以求出另一个内项．
【解答】解：因为两内项之积=两外项之积=1，
则另一个内项是：1÷1.4=；
故答案为：．
10．把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加160平方厘米，已知圆柱的底面半径为4厘米，这个圆柱的体积是[ 502.4 ]{.underline}立方厘米．
【考点】简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为4厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可解决问题．
【解答】解：圆柱的高为：
160÷2÷（4×2），
=80÷8，
=10（厘米）；
所以圆柱的体积为：
3.14×4^2^×10，
=3.14×16×10，
=502.4（立方厘米）；
答：这个圆柱的体积是502.4立方厘米．
故答案为：502.4．
11．一个数既是20的倍数，又是20的因数，把这个数写成两个质数相加的形式：[ 20=7+13或17+3 ]{.underline}．
【考点】合数与质数；找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【分析】（1）根据找一个数的因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数的个数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大因数又是其最小倍数；
（2）只含有1和它本身两个因数的数叫做质数，据此找出小于20的质数，分析哪两质数的和是20即可．
【解答】解：由分析得：一个数既是20的倍数，又是20的因数，这个数是20；
小于20的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中3加17和13加7的和是20，
即20=7+13或17+3；
故答案为：20=7+13或17+3．
12．一个两位小数精确到十分位是3.6，这个数最大是[ 3.64 ]{.underline}，最小是[ 3.55 ]{.underline}．
【考点】近似数及其求法．
【分析】要考虑3.6是一个两位数的近似数，有两种情况："四舍"得到的3.6最大是3.64，"五入"得到的3.6最小是3.55，由此解答问题即可．
【解答】解：一个两位小数精确到十分位是3.6，这个数最大是 3.64，最小是 3.55；
故答案为：3.64，3.55．
13．一件衣服进价200元，先提价60%后再打八折销售，现价是[ 256 ]{.underline}元．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】首先理解折数的意义，打八折是指现价是原价的80%．先提价60%，把原价看作单位"1"，提价60%后，价格是原价的1+60%，即200×（1+60%），后又打八折出售，现价是后来价格的80%，求后来价格，列式为200×（1+60%）×80%．
【解答】解：八折=80%，
200×（1+60%）×80%
=200×1.6×0.8
=256（元）
答：现价256元．
故答案为：256．
14．[ 1000 ]{.underline}个棱长1cm的小正方体可以拼成一个棱长1dm的大正方体，把这些小正方体排成一排组成一个长方体，这个长方体的长是[ 1000厘米 ]{.underline}．
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长1分米的大正方体，那么大正方体的每条棱长上都有10个小正方体，所以需要10×10×10=1000个；则把1000个正方体排成1排的长度为：1000×1=1000厘米．
【解答】解：10×10×10=1000（个），
1000×1=1000（厘米）；
答：需要1000个，把这些小正方体排成一排，长1000米．
故答案为：1000；1000厘米．
15．如图，阴影部分甲的面积比乙的面积多[ 9 ]{.underline}平方厘米．
【考点】三角形的周长和面积；面积及面积的大小比较．
【分析】根据三角形的面积公式S=ab÷2分别求出三角形的面积，再相减即可．
【解答】解：6×7÷2﹣4×6÷2
=21﹣12
=9（平方厘米）
答：阴影部分甲的面积比乙的面积多9平方厘米．
故答案为：9．
16．先观察，再根据规律，把算式填完整．
2^2^﹣1^2^=3
3^2^﹣2^2^=5
[ 79 ]{.underline}^2^﹣78^2^=[ 157 ]{.underline}
n^2^﹣[ （n﹣1） ]{.underline}^2^=[ 2n﹣1 ]{.underline}．
【考点】"式"的规律．
【分析】2^2^﹣1^2^=3=2+1；3^2^﹣2^2^=5=3+2；由此可知：相邻两个自然数的平方差等于这两个数的和．
【解答】解：（1）减数是78^2^，那么被减数就是79^2^，运算的结果就是79+78=157；
79^2^﹣78^2^=157；
（2）被减数是 n^2^，那么减数就是（n﹣1）^2^；
运算结果是：
n+（n﹣1）=n+n﹣1=2n﹣1；即：
n^2^﹣（n﹣1）^2^=2n﹣1．
故答案为：79，157，n﹣1，2n﹣1．
17．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里．至少要取[ 9 ]{.underline}个球，才可以保证取到两个颜色不相同的球．
【考点】抽屉原理．
【分析】由于红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个，要保证取到两个球颜色不同，最差情况为把同一种颜色的8个球取完，只要再多取一个球即可，即取8+1=9个．
【解答】解：8+1=9（个）
答：至少要取 9个球，才可以保证取到两个颜色不相同的球．
故答案为：9．
18．一个平行四边形与一个三角形的底相等，它们高的比是1：2，它们面积的比是[ 1：1 ]{.underline}．
【考点】三角形的周长和面积；比的意义；平行四边形的面积．
【分析】平行四边形的面积=底×高，三角形的面积=底×高÷2，设它们的底是a，平行四边形的高是h，三角形的高是2h，用它们的面积公式分别表示出它们的面积比，最后再相比．
【解答】解：设它们的底是a，平行四边形的高是h，三角形的高是2h，
则平行四边形的面积=ah
三角形的面积=a×2h÷2=a×h=ah
所以平行四边形的面积：三角形的面积=ah：（ah）=1：1；
答：它们面积的比是1：1．
故答案为：1：1．
**二、选择题．**
19．一个圆柱的底面半径和高都扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A．3 B．9 C．27
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】根据圆柱的体积公式：v=πr^2^h，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，据此解答．
【解答】解：圆柱的底面半径扩大3倍，底面积就扩大9倍，圆柱的高也扩大3倍，所以圆柱的体积扩大9×3=27倍．
答：圆柱的体积扩大27倍．
故选：C．
20．把一根绳子剪成两段，第一段长m，第二段占全长的，则（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长
【考点】分数大小的比较．
【分析】由题意可知：把这根绳子的长度看作单位"1"，则第二段占全长的，所以第一段占全长的1﹣=，据此即可进行判断．
【解答】解：因为第二段占全长的，所以第一段占全长的1﹣=，
又因＜，
所以第二段长；
故选：B．
21．一个三角形的三内角度数比是3：4：5，这是个（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角
【考点】三角形的内角和；三角形的分类．
【分析】已知三角形三个内角的度数之比是3：4：5，由此可知：三角形中最大角的度数占三角形内角和度数的，根据一个数乘分数的意义，用乘法即可求得最大角的度数，由此判断三角形的类型．
【解答】解：最大的角的度数是：180°×=75°，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
22．把10克盐放入90克水中，盐与盐水的质量比是（ ）
A．1：9 B．1：10 C．10：1
【考点】比的意义．
【分析】先用"10+90"求出盐水的重量，进而根据题意，用盐质量和盐水的质量进行比即可．
【解答】解：10：（10+90）
=10：100
=1：10；
故选：B．
23．2：5的前项加上6，要使比值不变，后项应（ ）
A．加6 B．乘6 C．乘4
【考点】比的性质．
【分析】根据2：5的前项加上6，可知比的前项由2变成8，相当于前项乘4；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘4，据此进行选择．
【解答】解：2：5的前项加上6，可知比的前项变成2+6=8，相当于前项乘8÷2=4；
要使比值不变，后项也应该乘4．
故选：C．
24．小圆的半径等于大圆半径的，则大圆面积与小圆面积的比是（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【考点】比的意义．
【分析】根据题意，假设大圆的半径是3，那么小圆的半径就是3÷3=1，再根据圆的面积公式进行计算即可．
【解答】解：假设大圆的半径是3，那么小圆的半径就是3÷3=1，由圆的面积公式可知：
大圆的面积是：π×3^2^=9π，小圆的面积是：π×1^2^=π，
那么小圆面积和大圆面积的比是9π：π=9：1．
故选：D．
25．去年国庆节是星期三，今年是 （ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六
【考点】日期和时间的推算．
【分析】先求年10月1日到10月1日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断．
【解答】解：和都是平年，
所以年10月1日到10月1日一共有365天，
365÷7=52（周）...1（天）
所以今年的国庆节是星期四．
故选：A．
26．下面能围成三角形的是 （ ）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm C．2cm、3cm、5cm．
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能围成三角形；
B、3+2=5＞4，能围成三角形；
C、2+3=5，不能围成三角形；
故选：B．
27．三角形最小的角是50°，按角分类，这是（ ）三角形．
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定
【考点】三角形的分类；三角形的内角和．
【分析】根据三角形的内角和等于180°进行分析：由于最小的角是50°，所以另外两个角都大于50°，假设另外的一个角是50°，则第三个角是180°﹣50°﹣50°=80°，然后根据锐角三角形的含义"三个角都小于90°的三角形"所以此三角形是锐角三角形．
【解答】解：由分析知：三角形最小的角是50°，按角分类，这是锐角三角形；
故选：A．
28．在任意的37个人中，至少有（ ）人的属相相同．
A．2 B．4 C．6
【考点】抽屉原理．
【分析】把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即可解答．
【解答】解：37÷12=3...1，
3+1=4（人）；
答：至少有4人的属相相同．
故选：B．
**五、作图题**
29．作图题
（1）将三角形ABC先向下平移2格，再向右平移5格．
（2）将三角形ABC绕点B逆时针旋转90°．
【考点】作旋转一定角度后的图形；作平移后的图形．
【分析】（1）根据平移的性质，将三角形ABC的三个顶点分别先向下平移2格，再向右平移5格，最后在顺次连接即可得到图形A．
（2）根据旋转的性质，三角形的B点不动，将三角形ABC其余各点分别绕点B逆时针旋转90°即可得到旋转后从图形B．
【解答】解：作图如下：
30．过A点作对边的垂线和平行线．
【考点】过直线上或直线外一点作直线的垂线；过直线外一点作已知直线的平行线．
【分析】（1）把三角板的一条直角边与A点的对边重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向A点的对边画直线即可；
（2）把三角板的一条直角边与A点的对边重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和A点的对边重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．
【解答】解：画图如下：
31．（1）图A是对称图形，请根据对称轴画出图形的另一半．
（2）画出图B先向右平移3格，再绕O点顺时针旋转90°后所得到的图形．
【考点】作轴对称图形；作旋转一定角度后的图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，连结即可；
（2）先将图形B向右平移3格得到图形①，在把图形绕O点顺时针旋转90°，得到图形②，据此画出．
【解答】解：画图如下：
**六、应用题．**
32．只列式不计算
（1）某化工厂采用新技术后，每天用原料14吨，这样原来7天用的原料，现在可以用10天，这个厂现在比过去每天节约多少吨原料？
（2）妈妈把8000元钱存入银行，定期5年，年利率是4.75%，到期后妈妈一共可取出多少钱？
（3）学校科技组有18名女生，比男生人数的多3人，学校科技组有多少名男生？
（4）枫叶服装厂接到生产2400件衬衫的任务，前3天完成了40%，照这样计算，完成这项生产任务还要多少天？
【考点】有关计划与实际比较的三步应用题；分数四则复合应用题；百分数的实际应用；存款利息与纳税相关问题．
【分析】（1）首先根据乘法的意义，用乘法求出这批原料一共有多少吨，再根据除法的意义，用除法求出原来每天用多少吨，然后根据求一个数比另一个少几，用减法解答即可．
（2）根据本息=本金+利息，利息=本金×利率×时间，据此解答．
（3）把男生人数看作单位"1"，18名女生，比男生人数的多3人，因此可知：男生人数的是（18﹣3）人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答．
（4）照这样计算，意思是平均每天的工作效率是相同的，把2400件看作单位"1"，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出一共用多少天完成，然后减去3天即可．
【解答】解：（1）14×10÷7﹣14
=140÷7﹣14
=20﹣14
=6（吨）；
答：这个厂现在比过去每天节约6吨原料．
（2）8000+8000×4.75%×5
=8000+8000×0.0475×5
=8000+1900
=9900（元）；
答：到期后妈妈一共可取出9900元．
（3）（18﹣3）
=
=15×3
=45（名）；
答：学校科技组有45名男生．
（4）3÷40%﹣3
=3÷0.4﹣3
=7.5﹣3
=4.5（天）；
答：完成这项生产任务还要4.5天．
33．只列式不计算
【考点】图文应用题．
【分析】观察图可知，把原来的长度看成单位"1"，现在的长度比原来增加了30%，那么现在的长度就是原来的（1+30%），它对应的数量是117千米，根据分数除法的意义，用117千米除以（1+30%）即可求出原来的长度．
【解答】解：117÷（1+30%）
=117÷130%
=90（千米）
答：原来的长度是90千米．
**列式并解答**
35．画线段图分析并列式，不计算．
仓库里有15吨钢材，因为第一次用去总数的20%，第二次用去总数的，还剩下多少吨钢材？
【考点】分数、百分数复合应用题．
【分析】把15吨看作单位"1"，因为第一次用去总数的20%，第二次用去总数的，根据减法的意义，还剩下15吨的（1﹣20%﹣），然后据此画图，根据分数乘法的意义解答即可．
【解答】解：
15×（1﹣20%﹣）
=15×0.3
=4.5（吨）
答：还剩下4.5吨钢材．
36．一个花坛，直径6米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？
【考点】圆、圆环的面积．
【分析】由题干可知：此题是求圆环的面积，花坛就是圆环的小圆，利用S~环~=π（R^2^﹣r^2^），即可解决问题．
【解答】解：根据题意可得：
r=6÷2=3（米）
R=3+1=4（米）
S~环~=π（R^2^﹣r^2^）
=3.14×（4^2^﹣3^2^）
=3.14×（16﹣9）
=3.14×7
=21.98（平方米）
答：小路的面积是21.98平方米．
37．在比例尺是1：6000000的地图上，量得甲乙两地距离是9厘米，一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时开出，相向而行，3小时后两车相遇．已知客车与货车的速度比是7：5，求两车的速度．
【考点】比例尺应用题．
【分析】图上距离和比例尺已知，依据"实际距离=图上距离÷比例尺"即可求出甲乙两地的实际距离，再据"速度和=路程÷相遇时间"即可求出二者的速度和，二者的速度比已知，利用按比例分配的方法就能求出各自的速度．
【解答】解：9÷=54000000（厘米）=540（千米）
540÷3=180（千米/小时）
180×=105（千米/小时）
180﹣105=75（千米/小时）
答：客车的速度是105千米/小时，货车的速度是75千米/小时．
38．一箱圆柱形的饮料，每排摆4个，共6排，这种圆柱形的饮料的底面直径是6.5cm，高是12cm．这个纸箱的体积至少是多少立方分米？
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】每排摆4个，箱子的长是（6.5×6）厘米，放了6排，箱子宽是（6.5×4）厘米，高就是易拉罐的高，利用长方体的体积公式解答．
【解答】解：（6.5×6）×（6.5×4）×12
=39×26×12
=12168（立方厘米）
12168立方厘米=12.168立方分米
答：这个纸箱的体积至少是12.168立方分米．
39．农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨，根据乘法的意义可知，已烧了1.2×16吨，则还剩下39﹣1.2×16吨，剩下的煤每天烧1.1吨，根据除法的意义可知，还可烧（39﹣1.2×16）÷1.1天．
【解答】解：（39﹣1.2×16）÷1.1
=（39﹣19.2）÷1.1，
=19.8÷1.1，
=18（天）．
答：还可以烧18天．
40．笑笑家上月食品支出占总支出的60%，比其它支出多480元，笑笑家上个月总支出多少钱？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】把总支出看成单位"1"，食品支出占总支出的60%，那么其它支出就占总支出的1﹣60%=40%，食品支出比其它支出多的占总支出的（60%﹣40%），它对应的数量是480元，根据分数除法的意义，用480元除以（60%﹣40%）即可求出笑笑家上个月总支出多少钱．
【解答】解：1﹣60%=40%
480÷（60%﹣40%）
=480÷20%
=2400（元）
答：笑笑家上个月总支出2400元．
41．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84m，高4m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多长？
【考点】圆锥的体积；长方体和正方体的体积．
【分析】先利用圆锥的体积计算公式求出这堆沙的体积，再据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度．
【解答】解：2厘米=0.02米，
沙堆的底面半径：18.84÷（2×3.14）
=18.84÷6.28，
=3（米）；
沙堆的体积：×3.14×3^2^×4
=×3.14×9×4
=3.14×12
=37.68（立方米）；
所铺沙子的长度：37.68÷（10×0.02）
=37.68÷0.2
=188.4（米）；
答：能铺188.4米．
42．一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米．已知圆柱高20厘米，求圆柱的体积．
【考点】简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】（1）根据圆柱的切割方法与拼组特点可知：拼成的长方体的长是圆柱底面周长的一半即是πr；宽是半径的长度r，高是原来圆柱的高20厘米，
（2）由上述分析可知拼组后的表面积比原来圆柱的表面积增加了长为20厘米，宽为圆柱的底面半径长度的两个长方形的面积，由此即可求得圆柱的底面半径，从而利用圆柱的体积公式解决问题．
【解答】解：圆柱的半径为：
200÷2÷20=5（厘米）；
圆柱的体积为：
3.14×5^2^×20，
=3.14×25×20，
=1570（立方厘米）；
答：圆柱的体积为1570立方厘米．
43．惊悉我国南方6省遭遇百年难遇的雪灾后，我校师生踊跃捐款，六年级某班女生捐款数占全班的40%多160元，男生捐款数是女生捐款数的，这个班一共为灾区捐款多少元？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】根据题意，把这个班一共捐款的数量看作单位"1"，由男生捐款数是女生捐款数的，即男生捐款数与女生捐款的比是2：3，总份数为（2+3）份，求出与160元对应的分率用除法解答．
【解答】解：160÷（40%）
=160÷
=160×5
=800（元）；
答：这个班一共为灾区捐款800元．
44．一批零件平均分成两天做，第一天合格率是90%，第二天合格率是95%，两天共合格了370个，这批零件共多少个？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】这批零件平均分成两天做，那么两天做的数量一样多，两天的平均合格率就是这批零件的合格率；然后用合格的产品数量除以合格率就是产品的总数量．
【解答】解：（90%+95%）÷2，
=185%÷2，
=92.5%；
370÷92.5%=400（个）；
答：这批零件有400个．
**四、附加题**
45．水果店里西瓜个数与白兰瓜个数的比为7：5．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后，白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个．水果店里原有西瓜多少个？
【考点】比的应用．
【分析】设水果店运来西瓜为x个，那么若干天卖出的西瓜为（x﹣36）个，同样时间内卖出的白兰瓜为：\[（x﹣36）÷50\]×40即：（0.8x﹣28.8）个，根据已知条件可得：x：（0.8x﹣28.8）=7：5．解此比例问题得解．
【解答】解：设水果店西瓜的个数为x，
x：（×40）=7：5，
x：（0.8x﹣28.8）=7：5，
5x=5.6x﹣201.6，
5.6x﹣5x=201.6，
0.6x=201.6，
x=336．
答：水果店原有西瓜336个．
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**《认识角》同步练习1**
1. 填空。
```{=html}
<!-- -->
```
1. 一个角有（ ）个顶点，有（ ）条边。
2. 三角形有（ ）个角。
3. 画角时，先画的这个点，叫作角的（ ），两条射线叫作角的（ ）。
4. 一个长方形有（ ）个角，有（ ）个角时直角。
5. 语文课本的封面有（ ）个角。
6. 一块三角板中，有（ ）个角，其中有（ ）个角时直角。
7. 要知道一个角是不是直角，可以用三角板的（ ）来量一量。
8. 拿一张纸，先上下对折，再（ ）对折可以得到直角。
```{=html}
<!-- -->
```
2. 判断。
> （ ）1、角的边越长，角就越大。
>
> （ ）2、角的大小与边的长短无关。
>
> （ ）3、角的两边开口越大，角就越大。
>
> （ ）4、三角板的直角比黑板上的直角小。
>
> （ ）5、三点钟的时候，钟面上的时针与分针成直角。
3. 数一数。
> 下面图形中各有几个角？有几个直角？
>
> 
>
> （ ）个角 （ ）个角 （ ）个角
>
> （ ）个直角 （ ）个直角 （ ）个直角
>
> 四、比一比。（用三角板上的角比比看：下面各题左右两个角，哪个角大？哪个角小？在○里填上"\>""\<"或 "=")
>
> 
5. 画一画。
```{=html}
<!-- -->
```
1. 画一个比直角小的角和画一个比直角大的角。
```{=html}
<!-- -->
```
2. 在下面的图形中添一条线段，使它增加4个直角。
> 
3. 找出下面图中的直角，像第一个那样标出来。
> 
6. 实践操作。
> 一张长方形的纸有4个直角，用剪刀剪去一个角，还剩几个角？试着在下面画出来。
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:Z。xx。k.Com\]
**参考答案：**
1. 填空。
```{=html}
<!-- -->
```
1. 一个角有（ 1 ）个顶点，有（ 2 ）条边。
2. 三角形有（ 3 ）个角。
3. 画角时，先画的这个点，叫作角的（ 顶点 ），两条射线叫作角的（ 边 ）。
4. 一个长方形有（ 4 ）个角，有（ 4 ）个角时直角。
5. 语文课本的封面有（ 4 ）个角。
6. 一块三角板中，有（ 3 ）个角，其中有（ 1 ）个角时直角。
7. 要知道一个角是不是直角，可以用三角板的（ 直角 ）来量一量。
8. 拿一张纸，先上下对折，再（ 对角 ）对折可以得到直角。
```{=html}
<!-- -->
```
2. 判断。
> （ × ）
>
> （ √ ）
>
> （ √ ）\[来源:Zxxk.Com\]
>
> （ × ）
>
> （ √ ）
>
> 三、数一数。
>
> 下面图形中各有几个角？有几个直角？
>
> 
>
> （ 4 ）个角 （ 7 ）个角 （ 6 ）个角
>
> （ 4 ）个直角 （ 4 ）个直角 （ 1 ）个直角
4. 〉 =
```{=html}
<!-- -->
```
5. 画一画。
```{=html}
<!-- -->
```
1. 略
2. 
> 3、略\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
>
> 五、略
>
> \[来源:学,科,网\]
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2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（文史类）
数学试题卷(文史类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件*A、B*互斥，那么 *P(A+B)=P(A)+P(B).*
如果事件*A、B*相互独立，那么*P(A·B)=P(A)·P(B).*
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么*n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率
*P~n~(K)=^k^~m~P^k^(1-P)^n-k^*
1. 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知｛*a~n~*｝为等差数列，*a*~2~*+a*~8~=12,则*a*~5~等于
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
【答案】C
【解析】本小题主要考查等差数列的性质。由得：，故选C。
(2)设*x*是实数，则"*x*＞0"是"\|*x*\|＞0"的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本小题主要考查充要条件的判定。由充分 而或**，**不必要，故选A。
(3)曲线*C*:(为参数)的普通方程为
(A)(*x*-1)^2^+(*y*+1)^2^=1 (B) (*x*+1)^2^+(*y*+1)^2^=1
\(C\) (*x*-1)^2^+(*y*-1)^2^=1 (D) (*x*-1)^2^+(*y*-1)^2^=1
【答案】C
【解析】本小题主要考查圆的参数方程。移项，平方相加，
，故选C。
(4)若点P分有向线段所成的比为-，则点B分有向线段所成的比是
(A)- (B)- (C) (D)3
【答案】A
【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知，B点是有向线段PA的外分点，，故选A。
(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是
(A)简单随机抽样法 (B)抽签法
(C)随机数表法 (D)分层抽样法
【答案】D
【解析】本小题主要考查抽样方法。若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样。故选D。
(6)函数*y*=10^*x*2-1^ (0＜x≤1＝的反函数是
\(A\) (B)(*x*＞)
\(C\) (＜*x*≤ (D) (＜*x*≤
【答案】D
【解析】本小题主要考查反函数的求法。由得：，即。又因为时，，从而有，即原函数值域为。所以原函数的反函数为，故选D。
(7)函数*f*(*x*)=的最大值为
\(A\) (B) (C) (D)1
【答案】B
【解析】本小题主要考查均值定理。（当且仅，即时取等号。故选B。
(8)若双曲线的左焦点在抛物线*y*^2^=2*px*的准线上，则p的值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
【答案】C
【解析】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为：，抛物线的准线方程为，所以，解得：，故选C。
(9)从编号为1,2,...,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为
\(A\) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。，故选B。
(10)若(*x*+)*^n^*的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中*x*^4^项的系数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
【答案】B
【解析】本小题主要考查二项式定理的基础知识。因为的展开式中前三项的系数、、成等差数列，所以，即，解得：或（舍）。。令可得，，所以的系数为，故选B。
(11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为
(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤
(C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤
【答案】A
【解析】本小题主要考查空间想象能力。先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块。
（12）函数*f*(*x*)=(0≤x≤2)的值域是
(A)\[-\] (B)\[-\]
(C)\[-\] (D)\[-\]
【答案】C
【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令，则，当时，，当且仅当时取等号。同理可得当时，，综上可知的值域为，故选C。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上.
（13）已知集合，则
[ ]{.underline} .
【答案】
【解析】本小题主要考查集合的简单运算。，
（14）若则＝ [ ]{.underline} .
【答案】-23
【解析】本小题主要考查指数的运算。
（15）已知圆*C*： （*a*为实数）上任意一点关于直线*l*：*x*-*y*+2=0
的对称点都在圆*C*上，则*a*= [ ]{.underline} .
【答案】-2
【解析】本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，由已知，直线经过了圆心，所以，从而有。
（16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点*A*、*B*、*C*、*A*~1~、*B*~1~、*C*~1~上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）.
> 
【答案】12
【解析】本小题主要考查排列组合的基本知识。先安排底面三个顶点，共有种不同的安排方法，再安排上底面的三个顶点，共有种不同的安排方法。由分步记数原理可知，共有种不同的安排方法。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
> 设△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*,*b*,*c*.已知，求：
>
> （Ⅰ）*A*的大小;
>
> （Ⅱ）的值.
>
> 【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、余弦定理等基本知识。以及推理和计算能力。三角函数的化简经常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆向应用。
【答案】(Ⅰ)由余弦定理，
(Ⅱ)
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分.）
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;
（Ⅱ）至少答对一道题的概率.
【解析】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法及运算能力。
【答案】视"选择每道题的答案"为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中"选择正确"这一事件发生的概率为.
由独立重复试验的概率计算公式得：
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为
解法二：至少有一道题答对的概率为
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
设函数若曲线*y*=*f*(*x*)的斜率最小的切线与直线12*x*+*y*=6平行，求：
（Ⅰ）*a*的值;
（Ⅱ）函数*f*(*x*)的单调区间.
【解析】本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识。
【答案】(Ⅰ)因
所以
即当
因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，
所以
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
如图（20）图， 为平面，*AB*=5,*A*,*B*在棱*l*上的射影分别为*A*′，*B*′，*AA*′＝3，*BB*′＝2.若二面角的大小为，求：
（Ⅰ）点*B*到平面的距离;
（Ⅱ）异面直线*l*与*AB*所成的角（用反三角函数表示）.
【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中等题。
【答案】（1）如答（20）图，过点*B′*作直线*B′C∥A′A*且使*B′C=A′A*.过点*B*作*BD⊥CB*′，交*CB*′的延长线于*D*.
由已知*AA*′⊥*l*，可得*DB*′⊥*l*，又已知*BB*′⊥*l*，故*l*⊥平面*BB′D*，得*BD*⊥*l*又因*BD*⊥*CB*′，从而*BD*⊥平面α,*BD*之长即为点*B*到平面*α*的距离.
因*B′C⊥l*且*BB′⊥l*，故∠*BB′C*为二面角*α-l-β*的平面角.由题意，∠*BB′C*=.因此在Rt△*BB′D*中，*BB*′=2,∠*BB′D*=π-∠*BB′C*=，BD=BB′·sinBB′D=.
（Ⅱ）连接*AC、BC*.因*B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l*，知*A′ACB′*为矩形，故*AC*∥*l*.所以∠*BAC*或其补角为异面直线*l*与*AB*所成的角.
在△*BB′C*中，*B′B*=2，*B′C*=3，∠*BB′C*=，则由余弦定理，
*BC*=.
因*BD*平面，且*DCCA*，由三垂线定理知*ACBC.*
故在△A*BC中，*∠*BCA=，*sin*BAC*=.
因此，异面直线*l与AB*所成的角为arcsin
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值.
【解析】本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义及转化与化归的数学思想，同时考查了学生的运算能力。
【答案】（I）由双曲线的定义，点*P*的轨迹是以*M、N*为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距*c*=2，实半轴*a*=1，从而虚半轴*b*=,
所以双曲线的方程为
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知\|PN\|1,因\|PM\|=2\|PN\|^2^, ①
知\|PM\|\>\|PN\|,故P为双曲线右支上的点，所以\|PM\|=\|PN\|+2. ②
将②代入①，得2\|\|PN\|^2^-\|PN\|-2=0，解得\|PN\|=,所以
\|PN\|=.
因为双曲线的离心率e==2,直线*l:x*=是双曲线的右准线，故=e=2,
所以d=\|*PN*\|,因此
解法二：
设*P（x,y）*，因\|*PN*\|1知
\|*PM*\|=2\|*PN*\|^2^2\|*PN\|*\>\|*PN*\|,
故P在双曲线右支上，所以*x*1.
由双曲线方程有*y*^2^=3*x*^2^-3.
因此
从而由\|*PM*\|=2\|*PN*\|^2^得
2x+1=2(4*x*^2^-4*x*+1)，即8x^2^-10x+1=0.
所以*x*=(舍去).
有\|PM\|=2x+1=
d=x-=.
故
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）
设各项均为正数的数列{*a*~n~}满足.
（Ⅰ）若求*a*~3~,*a*~4~,并猜想*a*~2008~的值（不需证明）;
（Ⅱ）若对*n*≥2恒成立，求*a*~2~的值.
【解析】本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识，考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。
【答案】（I）因
由此有，故猜想的通项为
从而
(Ⅱ)令*x~n~*=log~2~*a~n~*.则，故只需求*x*~2~的值。
设*S~n~*表示*x*~n~的前*n*项和，则*a*~1~*a*~2~...*a~n~*=,由2≤*a*~1~*a*~2~...*a~n~*＜4得
≤*S~n~*＝*x*~1~+*x*~2~+...+*x~n~*＜2 (*n*≥2).
因上式对*n*=2成立，可得≤*x*~1~+*x*~2~，又由*a*~1~=2,得*x*~1~＝1,故*x*~2~≥.
由于*a*~1~=2，(*n*∈N\*),得(*n*∈N\*),即
，
因此数列｛*x~n~*~+1~+2*x~n~*｝是首项为*x*~2~+2,公比为的等比数列，故
*x~n~*~+1~+2*x~n~*=(*x*~2~+2) (*n*∈N\*).
将上式对*n*求和得
*S~n~*~+1~－*x*~1~+2*S~n~*=(*x*~2~+2)(1++...+)=(*x*~2~+2)(2－)（*n*≥2）.
因*S~n~*＜2，*S~n~*~+1~＜2（*n*≥2）且*x*~1~=1,故
(*x*~2~+2)(2－)＜5（*n*≥2）.
因此（*n*≥2）.
下证*x*~2~≤，若不然，假设*x*~2~＞，则由上式知，不等式
2^*n*－1^＜
对*n*≥2恒成立，但这是不可能的，因此*x*~2~≤.
又*x*~2~≥，故x~2~=，所以
| 1 | |
**《铅笔有多长》同步练习**
> **一、辨一辨。（对的在括号里打"√"，错的打"×"）**
>
> 1、一张单人床长2米。......................................................（ ）
>
> 2、一块橡皮擦的厚10厘米。............................................. （ ）
>
> 3、一枝自动水笔的长是16厘米。..........................................（ ）
>
> 4、小红爸爸的身高有170米。................................................（ ）
>
> **二、在（ ）里填上合适的数。\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]**
>
> **练习本长约2（ ）**
>
> **课桌宽4（ ）**
>
> **一栋楼高约24（ ）**
>
> **数学书厚5（ ）**
>
> **小亮身高约135（ ）**
>
> **一拃长约15（ ）**
>
> **三、画一画。**
1. 画一条长4厘米的线段。
2.
> 2、画一条比下面线段短2厘米的线段。
>
> **四、找一找。**
>
> **身边有哪些物体的长度大约是1米。你能举出三个例子吗？**
>
> **身边有哪些物体的长度大约是1分米。你能举出三个例子吗？**
>
> **身边有哪些物体的长度大约是1厘米。你能举出三个例子吗？\[来源:学.科.网\]**
>
> **身边有哪些物体的长度大约是1毫米。你能举出三个例子吗？**
**五、填一填。**
> **1dm=（ ）cm**
>
> **3dm=（ ）cm**
>
> **1m=（ ）dm**
>
> **7m=（ ）dm**
>
> **80dm=（ ）m**
>
> **40cm=（ ）dm**
>
> **2m=（ ）cm**
>
> **800cm=（ ）m**
>
> **1cm=（ ）mm**
>
> **6cm=（ ） mm**
**5dm =（ ）cm =（ ）mm\[来源:学科网\]**
**参考答案：**
> **一、辨一辨。（对的在括号里打"√"，错的打"×"）\[来源:学.科.网\]**
>
> 1、**√**
>
> 2、**×**
>
> 3、**√**
>
> 4、**×**
>
> **二、在（ ）里填上合适的数。**
>
> **练习本长约2（ 分米 ）**
>
> **课桌宽4（ 分米 ）**
>
> **一栋楼高约24（ 米 ）**
>
> **数学书厚5（毫米 ）**
>
> **小亮身高约135（ 厘米）**
>
> **一拃长约15（厘米 ）**
>
> **三、画一画。**
>
> 1、略
>
> 2、略
>
> **四、找一找。**
>
> **略**
**五、填一填。**
**1dm=（10）cm**
**3dm=（30）cm**
**1m=（10）dm**
**7m=（ 70 ）dm**
**80dm=（ 8 ）m**
**40cm=（ 4 ）dm**
**2m=（200 ）cm**
**800cm=（ 8 ）m**
**1cm=（ 10 ）mm**
**6cm=（60 ） mm**
**5dm =（50 ）cm =（500）mm\[来源:学科网ZXXK\]**
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**2016年全国初中数学联合竞赛试题**
**第一试**
**(3月20日上午8:30 - 9:30)**
**一、选择题（本题满分42分，每小题7分）**
**(**本题共有6个小题，每题均给出了代号为*A*,*B*,*C*,*D*的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 （ ）
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
种 种 种 种
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为"和谐数".如： 和均为"和谐数".那么，不超过的正整数中，所有的"和谐数"之和为 （ ）
3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ）
4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为 （ ）
 5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则 ( )
6.设实数满足 则的最大值为 ( )
**二、填空题（本题满分28分，每小题7分）**
**(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)**
1.【1(A)、2（B）】 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为 [ ]{.underline} .
1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则 [ ]{.underline} .
2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则 [ ]{.underline} .
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 [ ]{.underline} .
3(B).若质数、满足：则的最大值为 [ ]{.underline} .
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为 [ ]{.underline} .
**第二试**
(3月20日上午9:50 --- 11:20)
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到的最小正整数值.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:.
(B).已知：
求的值.
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数满足： ,且
.
(1) 求的值.
(2) 证明:.
(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.
**2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解**
**第一试**
**(3月20日上午8:30 - 9:30)**
**一、选择题（本题满分42分，每小题7分）**
**(**本题共有6个小题，每题均给出了代号为*A*,*B*,*C*,*D*的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 （ ）
【答案】.
【解析】 即
又 故选*A*.
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
种 种 种 种
【答案】*C*.
【解析】设购买三种图书的数量分别为则，
即，解得 依题意得，为自然数（非负整数），
故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选*C*.
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为"和谐数".如： 和均为"和谐数".那么，不超过的正整数中，所有的"和谐数"之和为 （ ）
【答案】*B*.
【解析】
（其中为非负整数），由得，
，即得所有不超过2016的"和谐数"，它们的和为
故选*B*.
3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ）
【答案】*B*.
【解析】依题意知 故 且，
，于是
又为整数， 故，故选*B*.
4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（ ）
 【解析】设则
于
在中，
即解得，即 （第4题答案图）
为的中位线， 是的直径，
故选*A*.
5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则 ( )
（第5题答案图）
【答案】*D*.
【解析】过点作于点则～ 设 则
在中， 则
显然，化简整理得
解得（不符合题意，舍去），故
在中，,故选*D*.
6.设实数满足 则的最大值为 ( )
【答案】*C*.
【解析】
当且仅当时，取等号，故，故选*C*.
**二、填空题（本题满分28分，每小题7分）**
**(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)**
1.【1(A)、2（B）】 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】如图，过点作于点.
在中，
在中， （第1题答案图）
,设，
依题意知故，于是
解得，故点的坐标为.
1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则 [ ]{.underline} .
【答案】.
 【解析】
> （第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得, 故.
(1)若时，如答案图1所示，≌
又平分 在中，即
从而.
在中，
在中，.
(2)若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，.
2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则 [ ]{.underline} .
 【答案】.
【解析】设,
平分,,
∥,, (第2题答案图)
,,,
> ,,
解得，,
故.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】设两个三位数分别为，则，①
故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入①得是三位数，，解得
为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时
故所求的六位数为.
3(B).若质数、满足：则的最大值为 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】由得，
因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值.
又，，因为质数，故的可能取值为
，但时，不是质数，舍去.
当时,恰为质数.故.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故
,故;
\(3\) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故
,故;
\(4\) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为
--- --- --- --- ---
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
--- --- --- --- ---
**第二试**
(3月20日上午9:50 --- 11:20)
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到的最小正整数值.
【解析】解：因为正整数，要使得的值为正整数，则有.
当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4.
当时，只能为1或2.若;若，则.
当时，只能为1或2或3.若;若;若则.
(下面考虑：的值能否为1？)
（反证法）假设，则，即，
①
因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，
不妨设，其中均为正整数，则
即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:.
(第2(A)题答案图)
【证明】：连接、为的直径，于点
由四边形是正方形及于点可知:
点在上，
> 以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得
,即点与点重合，点在上，.
(**注**：上述最后一段得证明用了"同一法")
(B).已知：
求的值.
【解析】由已知得
由恒等式得，
又
同理可得
∴原式=
【**注**：恒等式】
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数满足： ,且
.
(3) 求的值.
(4) 证明:.
【解析】（1）解：由等式，
去分母得，
> ，
，，
，原式=
（2）证明：由（1）得计算过程知，又为正实数,
∴.
【注：
】
(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.
（第3（B）题答案图）
【解析】如图，连接,则
点关于直线的对称点为点,
四点共圆,(同弧所对得圆周角相等)
,四点共圆，
（**注**：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
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**2019年山东省潍坊市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）**
1．（3分）（2019•潍坊）2019的倒数的相反数是
A． B． C． D．2019
2．（3分）（2019•潍坊）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•潍坊）"十三五"以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资元．数据可以表示为
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
4．（3分）（2019•潍坊）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是
A．俯视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变
5．（3分）（2019•潍坊）利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
6．（3分）（2019•潍坊）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•潍坊）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
---------- ---- ---- ---- ---- -----
成绩（分 94 95 97 98 100
周数（个 1 2 2 4 1
---------- ---- ---- ---- ---- -----
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是
A．97.5 2.8 B．97.5 3 C．97 2.8 D．97 3
8．（3分）（2019•潍坊）如图，已知．按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．
②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．
③连接交于点．
下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•潍坊）如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
10．（3分）（2019•潍坊）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为
A． B． C．或 D．或
11．（3分）（2019•潍坊）如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为
A．8 B．10 C．12 D．16
12．（3分）（2019•潍坊）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
**二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）**
13．（3分）（2019•潍坊）若，，则[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•潍坊）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•潍坊）如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•潍坊）如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•潍坊）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，，按照"加1"依次递增；一组平行线，，，，，都与轴垂直，相邻两直线的间距为，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为[ ]{.underline}．为正整数）
**三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）**
19．（5分）（2019•潍坊）己知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
20．（6分）（2019•潍坊）自开展"全民健身运动"以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）
21．（9分）（2019•潍坊）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生"这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5"的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．
22．（10分）（2019•潍坊）如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．
（1）求证：为等腰直角三角形．
（2）若，，求的长．
23．（10分）（2019•潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．
24．（13分）（2019•潍坊）如图1，菱形的顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形，交对角线于点，交直线于点，连接．
（1）当时，求的大小．
（2）如图2，对角线交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长．
25．（13分）（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点．
（1）求圆心的坐标；
（2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．
**2019年山东省潍坊市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）**
1．（3分）2019的倒数的相反数是
A． B． C． D．2019
【考点】14：相反数；17：倒数
【分析】先求2019的倒数，再求倒数的相反数即可；
【解答】解：2019的倒数是，再求的相反数为；
故选：．
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】36：去括号与添括号；48：同底数幂的除法；49：单项式乘单项式；47：幂的乘方与积的乘方
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，正确；
、，故本选项错误．
故选：．
3．（3分）"十三五"以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资元．数据可以表示为
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可
【解答】解：
002 000 000 亿
故选：．
4．（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是
A．俯视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
【解答】解：将正方体①移走后，
新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；
故选：．
5．（3分）利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
【考点】25：计算器数的开方
【分析】利用计算器得到的近似值即可作出判断．
【解答】解：，
与最接近的是2.6，
故选：．
6．（3分）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，无法分解因式，故此选项错误；
、，无法分解因式，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
7．（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
---------- ---- ---- ---- ---- -----
成绩（分 94 95 97 98 100
周数（个 1 2 2 4 1
---------- ---- ---- ---- ---- -----
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是
A．97.5 2.8 B．97.5 3 C．97 2.8 D．97 3
【考点】：方差；：中位数
【分析】根据中位数和方差的定义计算可得．
【解答】解：这10个周的综合素质评价成绩的中位数是（分，
平均成绩为（分，
这组数据的方差为（分，
故选：．
8．（3分）如图，已知．按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．
②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．
③连接交于点．
下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
【考点】：作图基本作图
【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．
【解答】解：由作图步骤可得：是的角平分线，
，，，
但不能得出，
故选：．
9．（3分）如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
【考点】：动点问题的函数图象
【分析】由题意当时，，当时，．由此即可判断．
【解答】解：由题意当时，，
当时，．
故选：．
10．（3分）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为
A． B． C．或 D．或
【考点】：根与系数的关系
【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可；
【解答】解：设，是的两个实数根，
，，
，
或；
故选：．
11．（3分）如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为
A．8 B．10 C．12 D．16
【考点】：圆周角定理；：圆心角、弧、弦的关系；：解直角三角形
【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长．
【解答】解：连接，如图，
为直径，
，
，
，
而，
，
，
，
而，
，
，
，
在中，，
，
，，
，，
，
，即，
，
，
在中，，
．
故选：．
12．（3分）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解；
【解答】解：的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最小值2；
；
故选：．
**二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）**
13．（3分）若，，则[ 15 ]{.underline}．
【考点】46：同底数幂的乘法
【分析】由，，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案．
【解答】解：，，
．
故答案为：15．
14．（3分）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
【解答】解：经过第二、三、四象限，
，，
，，
；
故答案为；
15．（3分）如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为[ ]{.underline}．
【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数图象上点的坐标特征；：解直角三角形
【分析】过作轴，过作轴于，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过作轴，过作轴于，
则，
顶点，分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则[ ]{.underline}．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：矩形的性质
【分析】利用矩形的性质，证明，，推出△，，设，在中，通过勾股定理可求出的长度．
【解答】解：四边形为矩形，
，，
由翻折知，△，△△，，
，，，
，
，，
，
又，，
△，
，
在中，
，，
，
设，则
，
，
解得，（负值舍去），，
故答案为：．
17．（3分）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，[ ]{.underline}．
【考点】：轴对称最短路线问题；：二次函数图象上点的坐标特征；：一次函数的性质；：一次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的性质
【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决．
【解答】解：，
解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
直线与轴的夹角是，
点到直线的距离是：，
的面积是：，
故答案为：．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，，按照"加1"依次递增；一组平行线，，，，，都与轴垂直，相邻两直线的间距为，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为[ ]{.underline}．为正整数）
【考点】：规律型：点的坐标；：勾股定理；：垂径定理
【分析】连，，，、、与轴分别交于、、，在△中，，，由勾股定理得出，同理：，，，得出的坐标为 1，，的坐标为 2，，的坐标为，，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：连接，，，、、与轴分别交于、、，如图所示：
在△中，，，
，
同理：，，，
的坐标为 1，，的坐标为 2，，的坐标为，，
按照此规律可得点的坐标是，，即
故答案为：．
**三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）**
19．（5分）己知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【考点】：解一元一次不等式；97：二元一次方程组的解
【分析】先用加减法求得的值（用含的式子表示），然后再列不等式求解即可．
【解答】解：
①②得：，
，
．
．
解得：．
20．（6分）自开展"全民健身运动"以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）
【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长．
【解答】解：，，坡度为，
，
，
，
，
，
，斜坡的坡度为，
，
即，
解得，，
米，
答：斜坡的长是米．
21．（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生"这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5"的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．
【考点】：列表法与树状图法；：算术平均数
【分析】（1）根据平均数的定义求解可得；
（2）由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5知后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，再画树状图求解可得．
【解答】解：（1）前8次的指针所指数字的平均数为；
（2）这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为．
22．（10分）如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．
（1）求证：为等腰直角三角形．
（2）若，，求的长．
【考点】：等腰直角三角形；：正方形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，，由""可证，可得，，可证，，即可得结论；
（2）由题意可得，由平行线分线段成比例可得，即可求的长．
【解答】证明：（1）四边形，四边形都是正方形
，，，
，
四边形是平行四边形
，
，，
，
，
，且
，且
为等腰直角三角形．
（2），，
，，
，且
23．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．
【考点】：二次函数的应用
【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元，可列出方程：，求得即可
（2）根据总利润（售价成本）数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【解答】解：
（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元
今年的批发销售总额为万元
整理得
解得或（不合题意，舍去）
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
整理得
抛物线开口向下
当元时，取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
24．（13分）如图1，菱形的顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形，交对角线于点，交直线于点，连接．
（1）当时，求的大小．
（2）如图2，对角线交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长．
【考点】：旋转的性质；：等边三角形的判定与性质；：菱形的性质
【分析】（1）证明△△，推出，即可解决问题．
（2）证明，推出，，再证明，推出，推出，即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，
，
△，△是等边三角形，
，
，，
△是等边三角形，
，
，
，，
△△，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
四边形四点共圆，
，
，，
，
，，
，，
，
，
的周长为2，
，
，
菱形的周长为8．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点．
（1）求圆心的坐标；
（2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）利用中点公式即可求解；
（2）设：，则，，则，，，则，即可求解；
（3）利用，求出，即可求解．
【解答】解：（1）点，则点，
点，则点；
（2）与直线，则，
设：，则，
，则，，
，则，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：；
（3）抛物线的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
过点作，则，
，
解得：，
设点，则点，
则，
解得或2（舍去，
则点，．
| 1 | |
**乘法中的凑整**
1、48×125×2
2、75×16
3、25×44（两种方法完成）
4、77×23+77×33+77×43+77
5、78×23+78×33+56×22
| 1 | |
**黄冈市2017年中考数学试卷**
**第Ⅰ卷（选择题 共18分）**
**一、选择题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.计算： （ ）
A．  B． C． 3 D．-3
【 考 点 】 绝对值．
【 分 析 】 根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a．
【 解 答 】
解：
故选A．
【 点 评 】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
2\. 下列计算正确的是（ ）
A．  B． C．  D．
3\. 已知：如图，直线，则的度数为（ ）
A．50° B． 60° C． 65° D． 75°
【 考 点 】 平行线性质．
【 分 析 】 根据两直线平行，同旁内角互补，得∠2+∠3=130°，再=65°
【 解 答 】
解：∵a∥b
∴∠1+∠2+∠3=180°
∵∠1=50°
∴∠2+∠3=130°
∵∠2=∠3
∴=65°
故选 C．
【 点 评 】理解掌握平行线性质
①两直线平行，同位角相等
②两直线平行，同旁内角互补
③两直线平行，内错角相等．
4\. 已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ）
A．长方体 B．正三棱柱 C. 圆锥 D．圆柱
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可知该几何体为圆柱．21世纪 有
【解答】
解：A、从上面看得到的图形是俯视图，故A错误；
B、从上面看得到的图形是俯视图，所以B错误；
C、从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，故C错误；
D、故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
------------ ---- ---- ---- ----
年龄（岁） 12 13 14 15
人数（名） 2 4 3 1
------------ ---- ---- ---- ----
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A． 12 B．13 C. 13.5 D．14
【考点】中位数；统计表．
【分析】按大小顺序排列这组数据，最中间那个数或两个数的平均数是中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：12，12，13，13，13，13，14，14，14，15位置处于最中间的两个数是：13，：13
所以组数据的中位数是13．
故选B．
【点评】此题主要考查了中位数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.已知：如图，在中，，则的度数为（ ）
A． 30° B． 35° C. 45° D．70°
【 考 点 】 垂径定理；圆心角定理．
【 分 析 】 根据垂径定理，可得弧BC=弧AC，再利用圆心角定理得答案．
【 解 答 】
解：∵OA⊥BC
∴弧BC=弧AC
∵∠AOB=70°
∴∠ADC=∠AOB=35°
故选：B．
【 点 评 】 本题考查了垂径定理，利用圆心角，垂径定理是解题关键．
**第Ⅱ卷（非选择题 共102分）**
**二、填空题（每小题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
7\. 16的算术平方根是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【 考 点 】 算术平方根．
【 分 析 】 16的算术平方根是16正的平方根．
【 解 答 】
解：16的算术平方根是4
【 点 评 】 本题考查了算术平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根也叫算术平方根．
8\. 分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【 考 点 】分解因式．
【 分 析 】 先提取公因式法，再公式法．
【 解 答 】
解：
【 点 评 】 本题考查了分解因式，必须理解好完全平方公式：
9. 计算：的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【 考 点 】实数的运算．
【 分 析 】，
【 解 答 】
解：=
【 点 评 】 本题考查了实数的运算，必须牢记公式：，
10.自中国提出"一带一路·合作共赢"的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进.其中，由中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首条海外中国标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营.该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作\_\_\_\_\_\_\_\_\_吨.
【 考 点 】 科学记数法---表示较大的数．
【 分 析 】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【 解 答 】
解：25000000=2.5×10^7^，
【 点 评 】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11\. 化简：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12\. 已知：如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【考点】正方形，等边三角形．
【分析】原式变形后，利用乘法对加法分配律，再约分化简即可得到结果．
【解答】
解： ∵在正方形的外侧，作等边三角形
∴AB=AD=AE，∠BAD=90°，∠DAE=∠AED=60°
∴∠BAE=150°
∴∠AEB=15°
∴45°
【点评】此题考查了正方形，等边三角形，熟练掌握正方形和等边三角形性质是解本题的关键
13.已知：如图，圆锥的底面直径是，高为，则它的侧面展开图的面积是 [ ]{.underline} .
【考点】圆锥
【分析】由勾股定理，确定圆锥的母线长，再由表面积=πrl确定其表面积．
【解答】
解：如图作辅助线，由题意知：BC=12，AC=5
∴AB=13,
即圆锥的母线长l=13cm，底面半径r=5cm，
∴表面积=πrl=π×5×13=65πcm^2^．
故答案为：65πcm^2^．
【点评】考查学生对圆锥体面积及体积计算，必须牢记公式表面积=πrl．
14.已知：如图，在中，，将绕顶点，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则线段 [ ]{.underline} .
【考点】直角三角形，勾股定理，旋转
【分析】由勾股定理，确定圆锥的母线长，再由表面积=πrl确定其表面积．
【解答】
解：∵
∴AB=5,
∵恰好为的中点
∴OD=2.5
∵将绕顶点，按顺时针方向旋转到处
∴OB~1~=OB=4
∴1.5
故答案为：1.5．
【点评】考查学生对直角三角形性质掌握，必须牢记知识点：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
**三、解答题 （共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
15.解不等式组： ．
【考点】解不等式组
【分析】由①得x＜1；由②得x≥0,∴0≤x＜1
【解答】
解：
【点评】考查解不等式组，如何确定不等式组解集，可用口诀法：同大取大，同小取小，大小取中，矛盾无解．
16.已知：如图，.求证：．
【考点】三角形全等
【分析】利用SAS证明△ABD≌△ANM,从而得
【解答】
解：
【点评】考查三角形全等，应理解并掌握全等三角形的判定定理：SSS,SAS,ASA,AAS,HL
17\. 已知关于的一元二次方程 ①有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为，当时，求的值.
【考点】一元二次方程
【分析】（1）利用△＞0，求的取值范围；（2）利用一元二次方程根与系数关系，求的值.
【解答】
解：
【点评】考查一元二次方程，必须牢记知识点：（1）一元二次方程根的判别方法：①△＞02个不相等实数根；②△=02个相等实数根；③△＜00个实数根；（2）韦达定理：
18.黄麻中学为了创建全省"最美书屋"，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
【考点】列分式方程解应用题
【分析】利用等量关系：学校用12000元购买的科普类图书的本数=用9000元购买的文学类图书的本数，列方程
【解答】
解：
【点评】列分式方程解应用题，解分式方程时必须验根
19\. 我市东坡实验中学准备开展"阳光体育活动"，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动.为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）.
根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）补全上图中的条形统计图；
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球；
（4）在抽查的名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母代表）
【考点】统计图以及列表或画树状图求概率
【分析】条形统计图和扇形统计图对比找出相关联数量关系，求m,n,补全图形，用部分估计整体，并列表或画树状图求概率
【解答】
解：
【点评】此题主要考查了统计图以及列表或画树状图求概率，利用图表获取正确信息是解题关键．
20.已知：如图，为的直径，是的弦，垂直于过点的直线，垂足为点，且平分.
求证：（1）是的切线；
（2）．
【考点】圆，相似三角形
【分析】（1）利用知识点：知半径，证垂直，证明是的切线；
（2）证明△DME≌△EMN，再证明
【解答】
解：
【点评】本题考查切线的判定、直径的性质、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
21\. 已知：如图，一次函数 与反比例函数的图象有两个交点和，过点作轴，垂足为点；过点作作轴，垂足为点，且点的坐标为，连接.
（1）求的值；
（2）求四边形的面积.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；平面直角坐标系中面积问题．
【分析】（1）根据利用一次函数可求出点m=3，根据点A的坐标
利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）思路：求面积，方法多种，可灵活选择。
【解答】
解：
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及面积问题，解题的关键是：（1）利用待定系数法求的解析式；（2）利用割补法，求四边形面积．
22.在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌（如图所示）.已知标语牌的高.在地面的点处，测得标语牌点的仰角为30°，在地面的点处，测得标语牌点的仰角为75°，且点的同一直线上，求点与点之间的距离.（计算结果精确到0.1米，参考数据： ）
【考点】解直角三角形的应用
【分析】作FM⊥AE于M，先求AE=10，再设MF=x，利用AE=EM+AM，列方程求解．
【解答】
解：
【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量(万件)与销售价格（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为（万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.）
（1）请求出（万件）与（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润（万元）与（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格（元）定在8元以上（），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润（万元）与销售价格（元/件）的函数示意图，求销售价格（元/件）的取值范围.
【考点】反比例函数、一次函数、二次函数的综合应用
【分析】（1）利用A（4,40），求图像AB反比例函数关系式；利用B（8,20），C（28,0）求图像BC一次函数关系式；
（2）由等量关系：利润=每年的年销售量×（销售价格-成本）-研发费用，得求最值
（3）由题意得，再利用图像求最值
【解答】
解：
【点评】本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的综合应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，分类讨论，借助图像，灵活运用所学知识解决问题，属于综合题．
24.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，.动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点、点的运动时间为.
（1）当时，求经过点 三点的抛物线的解析式；
（2）当时，求的值；
（3）当线段与线段相交于点，且时，求的值；
（4）连接，当点在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用顶点式或两点式求抛物线的解析式；
2. 利用知识点：，求正切值
3. 利用△BMP∽△AMQ，求时间t\\
4. 利用点在运动，分类讨论求关系式：①0≤t≤2 ②2＜t≤4 ③t＞4
【解答】
解：
【 点 评 】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的性质与判定、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识，考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------买文具》同步检测2（附答案）**
一、想一想，填一填。
1.把l.2+1.2+1.2改写成乘法算式是( )。
2.把l.3×3改写成加法算式是( )。
3.一枝铅笔0.5元，买3枝铅笔需要( )元。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4.一块橡皮0.6元，小明买2块橡皮需要( )元。
二、涂一涂，算一算。
 
0.2×4= [ ]{.underline} 0.3×4= [ ]{.underline}
 
0.01×12= [ ]{.underline} 0.01×40= [ ]{.underline}
三、火眼金睛。
1.小数乘整数的意义与整数乘法的意义完全相同。( )
2.0.6×3与0.2×9的计算结果相同，意义也相同。( ) '
3.小数乘法的积比乘数小。( )
4.计算0.01与100的积比0.1×l0的积大。( )
5.笑笑买3包糖果，每包l.5元，一共花4.5元。( )
四、选一选。
1.10个0.3是多少？列式正确的是( )。
A.10+0.3 B.0.3×10 C.0.3+10
2.计算2.3+2.3+2.3的简便算法是( )。
A.2.3+3 B.2.3+(2.3×2) C.2.3×3
3.求0.6的3倍是多少，列式是( )。
A.0.6×3 B.0.3×6 C.0.6+3
五、连一连。
3.5 0.5×5
3.9 2.4×2
2.5 0.7×5来源：www.bcjy123.com/tiku/
4.8 1.3×3
六、求下面图形的周长和面积。
1\.
1.3分米 求出左面正方形的周长。
2\.
2分米
2.4分米
求出左面长方形的面积。
七、先计算,再找规律填空。
0.1×9= [ ]{.underline}
0.21×9= [ ]{.underline}
0.321×9= [ ]{.underline}
0.4321×9= [ ]{.underline}
[ ]{.underline} ×9=4.88889
[ ]{.underline} ×9=5.888889
[ ]{.underline} ×9= [ ]{.underline}
**参考答案**
一、
1\. 1.2×3
2\. 1.3+1.3+1.3
3\. 1.5
4\. 1.2
二、涂8块 0.8 涂12块 1.2 涂12个 0.12 涂40个 0.4
三、1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√
四、1.B 2. C 3. A
五、
六、来源：www.bcjy123.com/tiku/
1\. 1.3×4＝5.2（分米）
2\. 2.4×2＝4.8（平方分米）
七、0.9 1.89 2.889 3.8889 0.54321 0.654321 0.7654321 6.8888889
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）**
**数 学（理科）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
**第Ⅰ卷**
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
**参考公式：**
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） S＝4πR^2^
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）＝P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR^3^
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P~n~（k）＝CP （1一P）
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．化简的结果是
A．2＋i
B．－2＋i
C．2－i
D．－2－i
2．
A．等于0
B．等于l
C．等于3
D．不存在
3．若tan（一α）＝3，则cot α等于
A．－2
B．－
C．
D．2
4．已知（＋）^n^展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于
A．4
B．5
C．6
D．7
5．若0＜x＜，则下列命题中正确的是
A．sin x＜
B．sin x＞
C．sin x＜
D．sin x＞
6．若集合M＝{0，l，2}，N＝{（x，y）\|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为
A．9
B．6
C．4
D．2
7．如图，正方体AC~1~的棱长为1，过点A作平面A~1~BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是
A．点H是△A~1~BD的垂心
B．AH垂直平面CB~1~D~1~
C．AH的延长线经过点C~1~
D．直线AH和BB~1~所成角为45°
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h~1~，h~2~，h~3~，h~4~，则它们的大小关系正确的是
A．h~2~＞h~1~＞h~4~
B．h~1~＞h~2~＞h~3~
C．h~3~＞h~2~＞h~4~
D．h~2~＞h~4~＞h~1~
9．设椭圆的离心率为e＝，右焦点为F（c，0），方程ax^2^＋bx－c＝0的两个实根分别为x~1~和x~2~，则点P（x~1~，x~2~）
A．必在圆x^2^＋y^2^＝2内
B．必在圆x^2^＋y^2^＝2上
C．必在圆x^2^＋y^2^＝2外
D．以上三种情形都有可能
10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
A．
B．
C．
D．
11．设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f（x）在x＝5处的切线的斜率为
A．－
B．0
C．
D．5
12．设p：f（x）＝e^x^＋ln x＋2x^2^＋mx＋l在（0，＋∞）内单调递增，q：m≥－5，则p是q的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
**第Ⅱ卷**
注意事项：
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上。**
13．设函数y＝4＋log~2~（x－1）（x≥3），则其反函数的定义域为 [ ]{.underline} 。
14．已知数列{a~n~}对于任意p，q ∈N^\*^，有a~p~+a~q~=a~p+q~，若a~1~=，则a~36~＝ [ ]{.underline} 。
15．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为 [ ]{.underline} 。
16．设有一组圆C~k~：（x－k＋1）^2^＋（y－3k）^2^＝2k^4^ （k∈N^\*^）下列四个命题：
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 [ ]{.underline} ．（写出所有真命题的代号）
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
已知函数在区间（0，1）内连续，且。
（1）求实数k和c的值；
（2）解不等式
18．（本小题满分12分）
如图，函数y＝2cos（ωx＋θ）（x∈R，0≤θ≤）的图象与y轴交于点（0，），且在该点处切线的斜率为一2。
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x~0~，y~0~）是PA的中点，当y~0~＝，x~0~∈\[，π\]时，求x~0~的值。
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75。
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望。
20．（本小题满分12分）
图是一个直三棱柱（以A~1~B~1~C~1~为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A~1~B~1~＝B~1~C~1~＝l，∠A~l~B~l~C~1~＝90°，AA~l~＝4，BB~l~＝2，CC~l~＝3。
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A~1~B~1~C~1~；
（2）求二面角B---AC---A~1~的大小；
（3）求此几何体的体积。
21．（本小题满分12分）
设动点P到点A（－l，0）和B（1，0）的距离分别为d~1~和d~2~，∠APB＝2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d~1~d~2~ sin^2^θ＝λ。
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其中点O为坐标原点。
22．（本小题满分14分）
设正整数数列{a~n~}满足：a~2~＝4，且对于任何n∈N^\*^，有。
（1）求a~1~，a~3~；
（2）求数列{ a~n~ }的通项a~n~ 。
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**绝密★启用前**
**2008年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试化学部分(宁夏卷)**
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第30～38题为选 考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**注意事项：**
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题 区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
**第I卷**
**一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
7．图标所警示的是
A．当心火灾------氧化物 B．当心火灾------易燃物质
C．当心爆炸------自然物质 D．当心爆炸------爆炸性物质
8．在①丙烯 ②氯乙烯 ③苯 ④甲苯四种有机化合物中，分子内所有原子均在同一平面的是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．下列说法错误的是
A．乙醇和乙酸都是常用调味品的主要成分
B．乙醇和乙酸的沸点和熔点都比C~2~H~6~、C~2~H~4~的沸点和熔点高
C．乙醇和乙酸都能发生氧化反应
D．乙醇和乙酸之间能发生酯化反应，酯化反应和皂化反应互为逆反应
10．一种燃料电池中发生的化学反应为：在酸性溶液中甲醇与氧作用生成水和二氧化碳。
该电池负极发生的反应是
A．CH~3~OH(g)+O~2~(g)=H~2~O(1)+CO~2~(g)+2H+(aq)+2e^\_^
B．O~2~(g)+4H+(aq)+4e^\_^=2H~2~O(1)
C．CH3OH(g)+H2O(1)=CO~2~(g)+6H+(aq)+6e\_
D．O~2~(g)+2H~2~O(1)+4e^\_^=4OH
11．短周期元素E的氯化物ECl~n~的熔点为-78℃，沸点为59℃；若0.2mol ECl~n~与足量的AgNO~3~溶液完全反应后可以得到57.4g的AgCl沉淀。下列判断错误的是
A．E是一种非金属元素 B．在ECl~n~中E与Cl之间形成共价键
C．E的一种氧化物为EO~2~ D．E位于元素周期表的IVA族
12．将固体NH~4~I置于密闭容器中，在一定温度下发生下列反应：
达到平衡时，*c*(H~2~)=0.5mol·L^-1^，*c*(H~I~)=4mol·L^-1^，则此温度下反应①的平衡常数为
A．9 B．16 C．20 D．25
13．已知H~2~(g)、C~2~H~4~(g)和C~2~H~5~OH(1)的燃烧热分别是-285.8kJ·mol^-1^、-1411.0kJ·mol^-1^和-1366.8kJ mol^-1^，则由C~2~H~4~(g)和H~2~O(l)反应生成C~2~H~5~OH(l)的△*H*为
A．-44.2 kJ·mol^-1^ B．+44.2 kJ·mol^-1^
C．-330 kJ·mol^-1^ D．+330 kJ·mol^-1^
25．（14分）
 已知可逆反应：
请回答下列问题：
（1）在某温度下，反应物的起始浓度分别为：c(M)= 1 mol,L^-1^, c(N)=2.4 mol·L^-1^; 达到平衡后，M的转化率为60％，此时N的转化率为 [ ]{.underline} ；
（2）若反应温度升高，M的转化率 [ ]{.underline} （填"增大""减小"或"不变"；）
（3）若反应温度不变，反应物的起始浓度分别为：c(M)= 1 mol,L^-1^,
c(N)=2.4 mol·L^-1^;达到平衡后，c(P)=2 mol·L^-1^,a= [ ]{.underline} ;
（4）若反应温度不变，反应物的起始浓度为：c(M)= 1 mol,L^-1^，达到平衡后，M的转化率为 [ ]{.underline} 。
26．（14分）
某厂的酸性工业废水中含有一定量的Fe^3+^、Cu^2+^、Au^3+^等离子。有人设计了图中的工艺流程，利用常用的酸、碱和工业生产中的废铁屑，从废水中回收金，并生产一定量的铁红和氧化铜。
填写下面空白。
（1）图中标号处需加入的相应物质分别是①[ ]{.underline}、②[ ]{.underline}、③[ ]{.underline}、④[ ]{.underline}、⑤[ ]{.underline}；
（2）写出①处发生反应的离子方程式[ ]{.underline}；写出③处发生反应的化学方程式[ ]{.underline}；
（3）铁红的化学式为[ ]{.underline}；分别写出铁红和氧化铜在工业上的一种主要用途：铁红[ ]{.underline}；氧化铜[ ]{.underline}。
27．（15分）
为测试一铁片中铁元素的含量，某课外活动小组提出下面两种方案并进行了实验（以下数据为多次平行实验测定结果的平均值）：
方案一：将*a* g铁片完全溶解于过量稀硫酸中，测得生成氢气的体积为580 mL（标准状况）；
方案二：将 g铁片完全溶解于过量稀硫酸中，将反应后得到的溶液用0.02000 mol·L^-1^
的KMnO~4~溶液滴定，达到终点时消耗了25.00 mL KMnO~4~溶液。
请回答下列问题：
（1）配平下面的化学方程式（将有关的化学计量数填入答题卡的横线上）：
□KMnO~4~+□FeSO~4~+□H~2~SO~4~=□Fe~2~(SO~4~)~3~+□MnSO~4~+□K~2~SO~4~+□H~2~O
(2)在滴定实验中不能选择[ ]{.underline}式滴定管，理由是[ ]{.underline}；
(3)根据方案一和方案二测定的结果计算，铁片中铁的质量分数依次为[ ]{.underline}和
[ ]{.underline}；（铁的相对原子质量以55.9计）
（4）若排除实验仪器和操作的影响因素，试对上述两种方案测定结果的准确性做出判断和分析。
①方案一[ ]{.underline}（填"准确""不准确""不一定准确"），理由是[ ]{.underline}；
②方案二[ ]{.underline}（填"准确""不准确""不一定准确"），理由是[ ]{.underline}。
34．\[化学------选修化学与技术\]（15分）
分析下面两个案例并回答有关问题。
(1)某城镇生产、生活的分布情况如图所示，河流中W、X、Y、Z处某次水样抽测结果如表所示。
+------------------------+----+----+----+----+
| 地点 | W | X | Y | Z |
| | | | | |
| 项目 | | | | |
+------------------------+----+----+----+----+
| 水温/℃ | 15 | 18 | 26 | 25 |
+------------------------+----+----+----+----+
| pH | 6 | 8 | 5 | 5 |
+------------------------+----+----+----+----+
| 溶解氧量/（mg·L^－1^） | 11 | 9 | 7 | 3 |
+------------------------+----+----+----+----+
①导致X、Y处水样pH变化的原因可能是 [ ]{.underline} ；
②Z处鱼类大量减少，产生这种现象的原因可能是 [ ]{.underline} 。
(2)某地区已探明蕴藏有丰富的赤铁矿（主要成分为Fe~2~O~3~，还含有SiO~2~等杂质）、煤矿、石灰石和黏土。拟在该地区建设大型炼铁厂。
①随着铁矿的开发和炼铁厂的建立，需要在该地区相应建立焦化厂、发电厂、水泥厂等，形成规模的工业体系。据此确定上图中相应工厂的名称A [ ]{.underline} 、B [ ]{.underline} 、C [ ]{.underline} 、D [ ]{.underline} ；
②以赤铁矿为原料，写出高炉炼铁中得到生铁和产生炉渣的化学方程式 [ ]{.underline} ；
③从"三废"利用、环境保护等角度考虑，该地区和企业在生产中应采取的一些措施有（举出2种措施即可） [ ]{.underline} 。
35．\[化学------选修物质结构与性质\]（15分）
X、Y、Z、Q、E五种元素中，X原子核外的M层中只有两对成对电子，Y原子核外的L层电子数是K层的两倍，Z是地壳内含量（质量分数）最高的元素，Q的核电荷数是X与Z的核电荷数之和，E在元素周期表的各元素中电负性最大。请回答下列问题：
(1)X、Y的元素符号依次为 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} ；
(2)XZ~2~与YZ~2~分子的立体结构分别是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} ，相同条件下两者在水中的溶解度较大的是 [ ]{.underline} （写分子式），理由是 [ ]{.underline} ；
(3)Q的元素符号是 [ ]{.underline} ，它属于第 [ ]{.underline} 周期，它的核外电子排布式为 [ ]{.underline} ，在形成化合物时它的最高化合价为 [ ]{.underline} ；
(4)用氢键表示式写出E的氢化物溶液中存在的所有氢键 [ ]{.underline} 。
36．\[ 化学------选修有机化学基础\]（15分）
已知化合物A中各元素的质量分数分别为C 37.5％，H 4.2%和O 58.3％。请填空
(1)0.01molA在空气中充分燃烧需消耗氧气1.01L（标准状况），则A的分子式是 [ ]{.underline} ；
(2)实验表明：A不能发生银镜反应。1molA与中量的碳酸氢钠溶液反应可以放出3mol二氧化碳。在浓硫酸催化下，A与乙酸可发生酯化反应。核磁共振氢谱表明A分子中有4个氢处于完全相同的化学环境。则A的结构简式是 [ ]{.underline} ；
(3)在浓硫酸催化和适宜的的反应条件下，A与足量的乙醇反应生成B（C~12~H~20~O~7~），B只有两种官能团，其数目比为3∶1。由A生成B的反应类型是 [ ]{.underline} ，该反应的化学方程式是 [ ]{.underline} ；
(4)A失去1分子水后形成化合物C，写出C的两种可能的结构简式及其官能团的名称① [ ]{.underline} ，② [ ]{.underline} 。
**参考答案**
7. B 8.B 9.D 10.C 11.D 12.C 13.A
25.（14分）
(1)25％
(2)增大
(3)6
(4)41％
26.（14分）
(1)①铁屑 ②稀硫酸 ③稀硝酸 ④氢氧化钠 ⑤氢氧化钠
(2)Fe+2H^+^＝Fe^2+^+H~2~↑ 2Fe^3+^+Fe＝3Fe^2+^
Cu^2+^+Fe＝Cu+Fe^2+^ 2Au~3~++3Fe＝2Au+3Fe^2+^
3Cu+8HNO~3~(稀)＝3Cu(NO~3~)~2~+2NO↑+4H~2~O
(3)Fe~2~O~3~ 用作红色涂料 用作制造铜盐的原料
27.（15分）
(1)2 10 8 5 2 1 8
(2)碱 KmnO~4~是强氧化剂，它会腐蚀乳胶管
(3) 
\(4\)
①不一定准确 如果铁片中存在与稀硫酸反应并能生成氢气的其他金属，会导致结果偏高；铁片中存在与稀硫酸反应而溶解、但不产生氢气的铁的氧化物，会导致结果偏低；如果上述情况均不存在，则结果准确
②不一定准确 如果铁片中存在与稀硫酸反应而溶解的其他金属，生成的金属离子在酸性溶液中能被高锰酸钾氧化，会导致结果偏高；如果铁片中存在与稀硫酸反应而溶解的铁的氧化物，生成的Fe^3+^离子在酸性溶液中不能被高锰酸钾氧化，会导致结果偏低；如果上述情况均不存在，则结果准确
注：本小题属于开放性试题，若考生回答"准确"或"不准确"且理由合理，可酌性给分。例如：考生回答
方案一准确，因为铁片中不存在能与稀硫酸反应并能生成氢气的其他金属，也不存在铁的氧化物
方案一不准确，如果铁片中存在与稀硫酸反应生成氢气的其他金属，会导致结果偏高；如果存在与稀硫酸反应而溶解、但不产生氢气的铁的氧化物，会导致结果偏低
方案二准确，铁片溶于稀硫酸后，除Fe^2+^外，其他可能存在的金属离子在酸性溶液中均不能被高锰酸钾氧化，也不存在氧化铁
方案二不准确，如果铁片中存在与稀硫酸反应而溶解的其他金属，生成的金属离子在酸性溶液中能被高锰酸钾氧化，会导致结果偏高；如果存在与稀硫酸反应而溶解的铁的氧化物，千百万的Fe^3+^离子在酸性溶液中不能被高锰酸钾氧化，会导致结果偏低
34\. ［化学------选修化学与技术］（15分）
（1）①造纸厂排放的碱性污水使X处河水pH升高，火力发电厂净化烟气的酸性废水治理未达标就排放，造成Y处等的河水，pH降低（或火力发电厂燃烧产生的SO~2~会导致酸雨，飘落后使Y处等的河水pH降低）
②化肥厂、农田及生活污水使Z处河水富营养化，水温较高，适于藻类等水生植物生长，河水中溶解氧被大量消耗，导致鱼类死亡
（2）①发电厂 焦化厂 炼铁厂 水泥厂
②Fe~2~O~3~+3CO2Fe+3CO~2~
CaCO~3~+SiO~2~  CaSiO~3~+CO~2~
③
用炼铁厂的炉渣（或CaSiO~3~）作为水泥厂的原料
用发电厂的煤矸石和粉煤灰作为水泥厂的原料
将石灰石煅烧成生石灰，用于吸收发电厂和焦化厂烯煤时产生的SO~2~,减少对空气的污染
建立污水处理系统
35\. ［化学------选修物质结构与性质］（15分）
（1）S C
（2）V形 直线形 SO~2~ 因为CO~2~是非极性分子，SO~2~和H~2~O都是极性分子，根据"相似相溶"原理，SO~2~在H~2~O中的溶解度较大
（3）Cr 四 1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^5^4s^1^ +6
（4）F-H...F F-H...O O-H...F O-H...O
36\. ［化学------选修有机化学基础］（15分）
（1）C~6~H~8~O~7~
（2）
（3）酯化反应
（4）
碳碳双键 羧基
酯基 羧基 （结构简式 分，官能团 分）
如写出下列结构简式和相应官能团，同样给分
酯基 羧基
羟基 羧基 酸酐基
羟基 羧基 酸酐基
羟基 羧基 碳碳双键 羰基
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 51 Fe 56**
**一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.国家卫健委公布的新型冠状病毒肺炎诊疗方案指出，乙醚、75%乙醇、含氯消毒剂、过氧乙酸(CH~3~COOOH)、氯仿等均可有效灭活病毒。对于上述化学药品，下列说法错误的是
A. CH~3~CH~2~OH能与水互溶
B. NaClO通过氧化灭活病毒
C. 过氧乙酸相对分子质量为76
D. 氯仿的化学名称是四氯化碳
【答案】D
【解析】
【详解】A.乙醇分子中有羟基，其与水分子间可以形成氢键，因此乙醇能与水互溶，A说法正确；
B.次氯酸钠具有强氧化性，其能使蛋白质变性，故其能通过氧化灭活病毒，B说法正确；
C.过氧乙酸的分子式为C~2~H~4~O~3~，故其相对分子质量为76，C说法正确；
D.氯仿的化学名称为三氯甲烷，D说法不正确。
综上所述，故选D。
2.紫花前胡醇可从中药材当归和白芷中提取得到，能提高人体免疫力。有关该化合物，下列叙述错误的是
A. 分子式为C~14~H~14~O~4~
B. 不能使酸性重铬酸钾溶液变色
C. 能够发生水解反应
D. 能够发生消去反应生成双键
【答案】B
【解析】
【详解】A.根据该有机物的分子结构可以确定其分子式为C~14~H~14~O~4~，A叙述正确；
B.该有机物的分子在有羟基，且与羟基相连的碳原子上有氢原子，故其可以被酸性重铬酸钾溶液氧化，能使酸性重铬酸钾溶液变色，B叙述不正确；
C.该有机物的分子中有酯基，故其能够发生水解反应，C叙述正确；
D.该有机物分子中与羟基相连的碳原子的邻位碳原子上有氢原子，故其可以在一定的条件下发生消去反应生成碳碳双键，D叙述正确。
综上所述，故选B。
3.下列气体去除杂质的方法中，不能实现目的的是
--- -------------- ----------------------
气体(杂质) 方法
A SO~2~(H~2~S) 通过酸性高锰酸钾溶液
B Cl~2~(HCl) 通过饱和的食盐水
C N~2~(O~2~) 通过灼热的铜丝网
D NO(NO~2~) 通过氢氧化钠溶液
--- -------------- ----------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
【详解】A．SO~2~和H~2~S都具有较强的还原性，都可以被酸性高锰酸钾溶液氧化；因此在用酸性高锰酸钾溶液除杂质H~2~S时，SO~2~也会被吸收，故A项不能实现除杂目的；
B．氯气中混有少量的氯化氢气体，可以用饱和食盐水除去；饱和食盐水在吸收氯化氢气体的同时，也会抑制氯气在水中的溶解，故B项能实现除杂目的；
C．氮气中混有少量氧气，在通过灼热的铜丝网时，氧气可以与之发生反应： ，而铜与氮气无法反应，因此可以采取这种方式除去杂质氧气，故C项能实现除杂目的；
D．NO~2~可以与NaOH发生反应：，NO与NaOH溶液不能发生反应；尽管NO可以与NO~2~一同跟NaOH发生反应：，但由于杂质的含量一般较少，所以也不会对NO的量产生较大的影响，故D项能实现除杂的目的；
答案选A。
【点睛】除杂操作原则可概括为"不多不少，简单最好"：首先，避免引入新的杂质；其次，尽量避免产品的损失；最后，方法越简单越好。
4.铑的配合物离子\[Rh(CO)~2~I~2~\]^－^可催化甲醇羰基化，反应过程如图所示。
下列叙述错误的是
A. CH~3~COI是反应中间体
B. 甲醇羰基化反应为CH~3~OH+CO=CH~3~CO~2~H
C. 反应过程中Rh的成键数目保持不变
D. 存在反应CH~3~OH+HI=CH~3~I+H~2~O
【答案】C
【解析】
【分析】
题干中明确指出，铑配合物充当催化剂的作用，用于催化甲醇羰基化。由题干中提供的反应机理图可知，铑配合物在整个反应历程中成键数目，配体种类等均发生了变化；并且也可以观察出，甲醇羰基化反应所需的反应物除甲醇外还需要CO，最终产物是乙酸；因此，凡是出现在历程中的，既非反应物又非产物的物种如CH~3~COI以及各种配离子等，都可视作中间物种。
【详解】A．通过分析可知，CH~3~COI属于甲醇羰基化反应的反应中间体；其可与水作用，生成最终产物乙酸的同时，也可以生成使甲醇转化为CH~3~I的HI，A项正确；
B．通过分析可知，甲醇羰基化反应，反应物为甲醇以及CO，产物为乙酸，方程式可写成：，B项正确；
C．通过分析可知，铑配合物在整个反应历程中，成键数目，配体种类等均发生了变化，C项不正确；
D．通过分析可知，反应中间体CH~3~COI与水作用生成的HI可以使甲醇转化为CH~3~I，方程式可写成：，D项正确；
答案选C。
【点睛】对于反应机理图的分析，最基本的是判断反应物，产物以及催化剂；一般的，催化剂在机理图中多是以完整的循环出现的；反应物则是通过一个箭头进入整个历程的物质；而产物一般多是通过一个箭头最终脱离整个历程的物质。
5.1934年约里奥--居里夫妇在核反应中用α粒子(即氦核)轰击金属原子，得到核素，开创了人造放射性核素的先河：+→+。其中元素X、Y的最外层电子数之和为8。下列叙述正确的是
A. 的相对原子质量为26
B. X、Y均可形成三氯化物
C. X的原子半径小于Y的
D. Y仅有一种含氧酸
【答案】B
【解析】
【分析】
原子轰击实验中，满足质子和质量数守恒，因此W+4=30+1，则W=27，X与Y原子之间质子数相差2，因X元素为金属元素，Y的质子数比X大，则Y与X位于同一周期，且Y位于X右侧，且元素X、Y的最外层电子数之和为8，设X最外层电子数为a，则Y的最外层电子为a+2，解得a=3，因此X为Al，Y为P，以此解答。
【详解】A．的质量数为27，则该原子相对原子质量为27，故A错误；
B．Al元素均可形成AlCl~3~，P元素均可形成PCl~3~，故B正确；
C．Al原子与P原子位于同一周期，且Al原子序数大于P原子序数，故原子半径Al\>P，故C错误；
D．P的含氧酸有H~3~PO~4~、H~3~PO~3~、H~3~PO~2~等，故D错误；
故答案为：B。
6.科学家近年发明了一种新型Zn−CO~2~水介质电池。电池示意图如图，电极为金属锌和选择性催化材料，放电时，温室气体CO~2~被转化为储氢物质甲酸等，为解决环境和能源问题提供了一种新途径。
下列说法错误的是
A. 放电时，负极反应为
B. 放电时，1 mol CO~2~转化为HCOOH，转移的电子数为2 mol
C. 充电时，电池总反应为
D. 充电时，正极溶液中OH^−^浓度升高
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知，放电时，CO~2~转化为HCOOH，即CO~2~发生还原反应，故放电时右侧电极为正极，左侧电极为负极，Zn发生氧化反应生成；充电时，右侧为阳极，H~2~O发生氧化反应生成O~2~，左侧为阴极，发生还原反应生成Zn，以此分析解答。
【详解】A．放电时，负极上Zn发生氧化反应，电极反应式为：，故A正确，不选；
B．放电时，CO~2~转化为HCOOH，C元素化合价降低2，则1molCO~2~转化为HCOOH时，转移电子数为2mol，故B正确，不选；
C．充电时，阳极上H~2~O转化为O~2~，负极上转化为Zn，电池总反应为：，故C正确，不选；
D．充电时，正极即为阳极，电极反应式为：，溶液中H^+^浓度增大，溶液中*c*(H^+^)•*c*(OH^-^)=*K*~W~，温度不变时，*K*~W~不变，因此溶液中OH^-^浓度降低，故D错误，符合题意；
答案选D。
7.以酚酞为指示剂，用0.1000 mol·L^−1^的NaOH溶液滴定20.00 mL未知浓度的二元酸H~2~A溶液。溶液中，pH、分布系数随滴加NaOH溶液体积V~NaOH~的变化关系如图所示。\[比如A^2−^的分布系数：\]
下列叙述正确的是
A. 曲线①代表，曲线②代表
B. H~2~A溶液的浓度为0.2000 mol·L^−1^
C. HA^−^的电离常数*K*~a~=1.0×10^−2^
D. 滴定终点时，溶液中
【答案】C
【解析】
分析】
根据图像，曲线①代表的粒子的分布系数随着NaOH的滴入逐渐减小，曲线②代表的粒子的分布系数随着NaOH的滴入逐渐增大，粒子的分布系数只有1个交点；当加入40mLNaOH溶液时，溶液的pH在中性发生突变，且曲线②代表的粒子达到最大值接近1；没有加入NaOH时，pH约为1，说明H~2~A第一步完全电离，第二步部分电离，曲线①代表δ(HA^-^)，曲线②代表δ(A^2-^)，根据反应2NaOH+H~2~A=Na~2~A+2H~2~O，*c*(H~2~A)==0.1000mol/L，据此分析作答。
【详解】A．根据分析，曲线①代表δ(HA^-^)，曲线②代表δ(A^2-^)，A错误；
B．当加入40.00mLNaOH溶液时，溶液的pH发生突变，说明恰好完全反应，结合分析，根据反应2NaOH+H~2~A=Na~2~A+2H~2~O，*c*(H~2~A)= =0.1000mol/L，B错误；
C．根据曲线当δ(HA^-^)=δ(A^2-^)时溶液的pH=2，则HA^-^的电离平衡常数*K*~a~==*c*(H^+^)=1×10^-2^，C正确；
D．用酚酞作指示剂，酚酞变色的pH范围为8.2\~10，终点时溶液呈碱性，*c*(OH^-^)＞*c*(H^+^)，溶液中的电荷守恒为*c*(Na^+^)+*c*(H^+^)=2*c*(A^2-^)+*c*(HA^-^)+*c*(OH^-^)，则*c*(Na^+^)＞2*c*(A^2-^)+*c*(HA^-^)，D错误；
答案选C。
【点睛】本题的难点是判断H~2~A的电离，根据pH的突变和粒子分布分数的变化确定H~2~A的电离方程式为H~2~A=H^+^+A^2-^，HA^-^⇌H^+^+A^2-^；同时注意题中是双纵坐标，左边纵坐标代表粒子分布分数，右边纵坐标代表pH，图像中δ(HA^-^)=δ(A^2-^)时溶液的pH≠5，而是pH=2。
**三、非选择题：共174分，第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：共129分。**
8.钒具有广泛用途。黏土钒矿中，钒以+3、+4、+5价的化合物存在，还包括钾、镁的铝硅酸盐，以及SiO~2~、Fe~3~O~4~。采用以下工艺流程可由黏土钒矿制备NH~4~VO~3~。
该工艺条件下，溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
------------ --------------------------------------- -------- -------- --------
金属离子 Fe^3+^ Fe^2+^ Al^3+^ Mn^2+^
开始沉淀pH 19 7.0 3.0 8.1
完全沉淀pH 3.2 9.0 4.7 10.1
------------ --------------------------------------- -------- -------- --------
回答下列问题：
(1)"酸浸氧化"需要加热，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"酸浸氧化"中，VO^+^和VO^2+^被氧化成，同时还有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_离子被氧化。写出VO^+^转化为反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"中和沉淀"中，钒水解并沉淀为，随滤液②可除去金属离子K^+^、Mg^2+^、Na^+^、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，以及部分的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"沉淀转溶"中，转化为钒酸盐溶解。滤渣③的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"调pH"中有沉淀生产，生成沉淀反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)"沉钒"中析出NH~4~VO~3~晶体时，需要加入过量NH~4~Cl，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全） (2). Fe^2+^ (3). VO^+^+MnO~2~+2H^+^=+Mn^2+^+H~2~O (4). Mn^2+^ (5). Fe^3+^、Al^3+^ (6). Fe(OH)~3~ (7). NaAlO~2~+HCl+H~2~O=NaCl+Al(OH)~3~↓或Na\[Al(OH)~4~\]+HCl= NaCl+Al(OH)~3~↓+H~2~O (8). 利用同离子效应，促进NH~4~VO~3~尽可能析出完全
【解析】
分析】
黏土钒矿中，钒以+3、+4、+5价的化合物存在，还包括钾、镁的铝硅酸盐，以及SiO~2~、Fe~3~O~4~，用30%H~2~SO~4~和MnO~2~"酸浸氧化"时VO^+^和VO^2+^被氧化成，Fe~3~O~4~与硫酸反应生成的Fe^2+^被氧化成Fe^3+^，SiO~2~此过程中不反应，滤液①中含有、K^+^、Mg^2+^、Al^3+^、Fe^3+^、Mn^2+^、；滤液①中加入NaOH调节pH=3.0\~3.1，钒水解并沉淀为V~2~O~5~·xH~2~O，根据表中提供的溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH，此过程中Fe^3+^部分转化为Fe(OH)~3~沉淀，部分Al^3+^转化为Al(OH)~3~沉淀，滤液②中含有K^+^、Na^+^、Mg^2+^、Al^3+^、Fe^3+^、Mn^2+^、，滤饼②中含V~2~O~5~·xH~2~O、Fe(OH)~3~、Al(OH)~3~，滤饼②中加入NaOH使pH\>13，V~2~O~5~·xH~2~O转化为钒酸盐溶解，Al(OH)~3~转化为NaAlO~2~，则滤渣③的主要成分为Fe(OH)~3~；滤液③中含钒酸盐、偏铝酸钠，加入HCl调pH=8.5，NaAlO~2~转化为Al(OH)~3~沉淀而除去；最后向滤液④中加入NH~4~Cl"沉钒"得到NH~4~VO~3~。
【详解】(1)"酸浸氧化"需要加热，其原因是：升高温度，加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全），故答案为：加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全）；
(2)"酸浸氧化"中，钒矿粉中的Fe~3~O~4~与硫酸反应生成FeSO~4~、Fe~2~(SO~4~)~3~和水，MnO~2~具有氧化性，Fe^2+^具有还原性，则VO^+^和VO^2+^被氧化成的同时还有Fe^2+^被氧化，反应的离子方程式为MnO~2~+2Fe^2+^+4H^+^=Mn^2+^+2Fe^3+^+2H~2~O；VO^+^转化为时，钒元素的化合价由+3价升至+5价，1molVO^+^失去2mol电子，MnO~2~被还原为Mn^2+^，Mn元素的化合价由+4价降至+2价，1molMnO~2~得到2mol电子，根据得失电子守恒、原子守恒和电荷守恒，VO^+^转化为反应的离子方程式为VO^+^+MnO~2~+2H^+^=+Mn^2+^+H~2~O，故答案为：Fe^2+^，VO^+^+MnO~2~+2H^+^=+Mn^2+^+H~2~O；
(3)根据分析，"中和沉淀"中，钒水解并沉淀为V~2~O~5~·xH~2~O，随滤液②可除去金属离子K^+^、Mg^2+^、Na^+^、Mn^2+^，以及部分的Fe^3+^、Al^3+^，故答案为：Mn^2+^，Fe^3+^、Al^3+^；
(4)根据分析，滤渣③的主要成分是Fe(OH)~3~，故答案为：Fe(OH)~3~；
(5)"调pH"中有沉淀生成，是NaAlO~2~与HCl反应生成Al(OH)~3~沉淀，生成沉淀反应的化学方程式是NaAlO~2~+HCl+H~2~O=NaCl+Al(OH)~3~↓或Na\[Al(OH)~4~\]+HCl= NaCl+Al(OH)~3~↓+H~2~O，故答案为：NaAlO~2~+HCl+H~2~O=NaCl+Al(OH)~3~↓或Na\[Al(OH)~4~\]+HCl= NaCl+Al(OH)~3~↓+H~2~O。
(6)"沉钒"中析出NH~4~VO~3~晶体时，需要加入过量NH~4~Cl，其原因是：增大NH~4~^+^离子浓度，利用同离子效应，促进NH~4~VO~3~尽可能析出完全，故答案为：利用同离子效应，促进NH~4~VO~3~尽可能析出完全。
【点睛】本题以黏土钒矿制备NH~4~VO~3~的工艺流程为载体，考查流程的分析、物质的分离和提纯、反应方程式的书写等，解题的关键是根据物质的流向分析每一步骤的作用和目的。
9.为验证不同化合价铁的氧化还原能力，利用下列电池装置进行实验。
回答下列问题：
(1)由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10 mol·L^−1^ FeSO~4~溶液，需要仪器有药匙、玻璃棒、\_\_\_\_\_\_\_\_\_(从下列图中选择，写出名称)。
(2)电池装置中，盐桥连接两电极电解质溶液。盐桥中阴、阳离子不与溶液中的物质发生化学反应，并且电迁移率(u^∞^)应尽可能地相近。根据下表数据，盐桥中应选择\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_作为电解质。
-------- ------------------------------- -------- -------------------------------
阳离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^) 阴离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^)
Li^+^ 4.07 4.61
Na^+^ 5.19 7.40
Ca^2+^ 6.59 Cl^−^ 7.91
K^+^ 7.62 8.27
-------- ------------------------------- -------- -------------------------------
(3)电流表显示电子由铁电极流向石墨电极。可知，盐桥中的阳离子进入\_\_\_\_\_\_\_\_电极溶液中。
(4)电池反应一段时间后，测得铁电极溶液中*c*(Fe^2+^)增加了0.02 mol·L^−1^。石墨电极上未见Fe析出。可知，石墨电极溶液中*c*(Fe^2+^)=\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)根据(3)、(4)实验结果，可知石墨电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_，铁电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_。因此，验证了Fe^2+^氧化性小于\_\_\_\_\_\_\_\_，还原性小于\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)实验前需要对铁电极表面活化。在FeSO~4~溶液中加入几滴Fe~2~(SO~4~)~3~溶液，将铁电极浸泡一段时间，铁电极表面被刻蚀活化。检验活化反应完成的方法是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 烧杯、量筒、托盘天平 (2). KCl (3). 石墨 (4). 0.09mol/L (5). Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^ (6). Fe-2e^-^=Fe^2+^ (7). Fe^3+^ (8). Fe (9). 取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不出现血红色，说明活化反应完成
【解析】
【分析】
(1)根据物质的量浓度溶液的配制步骤选择所用仪器；
(2)\~(5)根据题给信息选择合适的物质，根据原电池工作的原理书写电极反应式，并进行计算，由此判断氧化性、还原性的强弱；
(6)根据刻蚀活化的原理分析作答。
【详解】(1)由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10mol·L^-1^FeSO~4~溶液的步骤为计算、称量、溶解并冷却至室温、移液、洗涤、定容、摇匀、装瓶、贴标签，由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10mol·L^-1^FeSO~4~溶液需要的仪器有药匙、托盘天平、合适的量筒、烧杯、玻璃棒、合适的容量瓶、胶头滴管，故答案为：烧杯、量筒、托盘天平。
(2)Fe^2+^、Fe^3+^能与反应，Ca^2+^能与反应，FeSO~4~、Fe~2~(SO~4~)~3~都属于强酸弱碱盐，水溶液呈酸性，酸性条件下能与Fe^2+^反应，根据题意"盐桥中阴、阳离子不与溶液中物质发生化学反应"，盐桥中阴离子不可以选择、，阳离子不可以选择Ca^2+^，另盐桥中阴、阳离子的迁移率（u^∞^）应尽可能地相近，根据表中数据，盐桥中应选择KCl作为电解质，故答案为：KCl。
(3)电流表显示电子由铁电极流向石墨电极，则铁电极为负极，石墨电极为正极，盐桥中阳离子向正极移动，则盐桥中的阳离子进入石墨电极溶液中，故答案为：石墨。
(4)根据(3)的分析，铁电极的电极反应式为Fe-2e^-^=Fe^2+^，石墨电极上未见Fe析出，石墨电极的电极反应式为Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^，电池反应一段时间后，测得铁电极溶液中*c*（Fe^2+^）增加了0.02mol/L，根据得失电子守恒，石墨电极溶液中*c*（Fe^2+^）增加0.04mol/L，石墨电极溶液中*c*（Fe^2+^）=0.05mol/L+0.04mol/L=0.09mol/L，故答案为：0.09mol/L。
(5)根据(3)、(4)实验结果，可知石墨电极的电极反应式为Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^，铁电极的电极反应式为Fe-2e^-^=Fe^2+^；电池总反应为Fe+2Fe^3+^=3Fe^2+^，根据同一反应中，氧化剂的氧化性强于氧化产物、还原剂的还原性强于还原产物，则验证了Fe^2+^氧化性小于Fe^3+^，还原性小于Fe，故答案为：Fe^3+^+e^-^=Fe^2+^ ，Fe-2e^-^=Fe^2+^ ，Fe^3+^，Fe。
(6)在FeSO~4~溶液中加入几滴Fe~2~(SO~4~)~3~溶液，将铁电极浸泡一段时间，铁电极表面被刻蚀活化，发生的反应为Fe+ Fe~2~(SO~4~)~3~=3FeSO~4~，要检验活化反应完成，只要检验溶液中不含Fe^3+^即可，检验活化反应完成的方法是：取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不出现血红色，说明活化反应完成，故答案为：取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不变红，说明活化反应完成。
【点睛】本题的难点是第(2)题盐桥中电解质的选择和第(6)实验方法的设计，要充分利用题给信息和反应的原理解答。
10.硫酸是一种重要的基本化工产品，接触法制硫酸生产中的关键工序是SO~2~的催化氧化：SO~2~(g)+O~2~(g)SO~3~(g) ΔH=−98 kJ·mol^−1^。回答下列问题：
(1)钒催化剂参与反应的能量变化如图所示，V~2~O~5~(s)与SO~2~(g)反应生成VOSO~4~(s)和V~2~O~4~(s)的热化学方程式为：\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)当SO~2~(g)、O~2~(g)和N~2~(g)起始的物质的量分数分别为7.5%、10.5%和82%时，在0.5MPa、2.5MPa和5.0MPa压强下，SO~2~平衡转化率α 随温度的变化如图所示。反应在5.0MPa、550℃时的α=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，判断的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。影响α的因素有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)将组成(物质的量分数)为2m% SO~2~(g)、m% O~2~(g)和q% N~2~(g)的气体通入反应器，在温度t、压强p条件下进行反应。平衡时，若SO~2~转化率为α，则SO~3~压强为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，平衡常数K~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)研究表明，SO~2~催化氧化的反应速率方程为：v=k(−1)^0.8^(1−nα\')。式中：k为反应速率常数，随温度t升高而增大；α为SO~2~平衡转化率，α\'为某时刻SO~2~转化率，n为常数。在α\'=0.90时，将一系列温度下的k、α值代入上述速率方程，得到v\~t曲线，如图所示。
曲线上v最大值所对应温度称为该α\'下反应的最适宜温度t~m~。t\<t~m~时，v逐渐提高；t\>t~m~后，v逐渐下降。原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2V~2~O~5~(s)+ 2SO~2~(g)⇌ 2VOSO~4~(s)+ V~2~O~4~(s) ∆*H*= -351 kJ∙mol^-1^ (2). 0.975 (3). 该反应气体分子数减少，增大压强，*α*提高。所以，该反应在550℃、压强为5.0MPa＞2.5MPa＝*p*~２~的，所以*p*~1~=5.0MPa (4). 反应物（N~2~和O~2~）的起始浓度（组成）、温度、压强 (5). (6). (7). 升高温度，*k*增大使*v*逐渐提高，但*α*降低使*v*逐渐下降。当*t*＜*t*~m~，k增大对v的提高大于*α*引起的降低；当*t*＞*t*~m~，*k*增大对*v*的提高小于*α*引起的降低
【解析】
【分析】
根据盖斯定律，用已知的热化学方程式通过一定的数学运算，可以求出目标反应的反应热；根据压强对化学平衡的影响，分析图中数据找到所需要的数据；根据恒压条件下总压不变，求出各组分的分压，进一步可以求出平衡常数；根据题中所给的速率公式，分析温度对速率常数及二氧化硫的转化率的影响，进一步分析对速率的影响。
【详解】(1)由题中信息可知：
①SO~2~(g)+O~2~(g)⇌SO~3~(g) ∆*H*= -98kJ∙mol^-1^
②V~2~O~4~(s)+ SO~3~(g)⇌V~2~O~5~(s)+ SO~2~(g) ∆*H*~2~= -24kJ∙mol^-1^
③V~2~O~4~(s)+ 2SO~3~(g)⇌2VOSO~4~(s) ∆*H*~1~= -399kJ∙mol^-1^
根据盖斯定律可知，③-②×2得2V~2~O~5~(s)+ 2SO~2~(g)⇌ 2VOSO~4~(s)+ V~2~O~4~(s)，则∆*H*= ∆*H*~1~-2∆*H*~2~=( -399kJ∙mol^-1^)-( -24kJ∙mol^-1^)×2= -351kJ∙mol^-1^，所以该反应的热化学方程式为：2V~2~O~5~(s)+ 2SO~2~(g)⇌ 2VOSO~4~(s)+ V~2~O~4~(s) ∆*H*= -351 kJ∙mol^-1^；
\(2\) SO~2~(g)+O~2~(g)⇌SO~3~(g)，该反应是一个气体分子数减少的放热反应，故增大压强可以使化学平衡向正反应方向移动。因此，在相同温度下，压强越大，SO~2~的平衡转化率越大，所以，该反应在550℃、压强为5.0MPa条件下，SO~2~的平衡转化率一定高于相同温度下、压强为2.5MPa的，因此，*p*~1~=5.0MPa，由图中数据可知，*α*=0.975。影响*α*的因素就是影响化学平衡移动的因素，主要有反应物（N~2~和O~2~）的浓度、温度、压强等。
(3)假设原气体的物质的量为100mol，则SO~2~、O~2~和N~2~的物质的量分别为2m mol、m mol和q mol，2m+m+q=3m+q=100，SO~2~的平衡转化率为*α*，则有下列关系：
平衡时气体的总物质的量为n(总)= 2m(1-*α*)+m(1-*α*)+2m*α*mol+q mol，则SO~3~的物质的量分数为。该反应在恒压容器中进行，因此，SO~3~的分压*p*(SO~3~)=，*p*(SO~2~)=，*p*(O~2~)=，在该条件下，SO~2~(g)+ O~2~(g)⇌2SO~3~(g) 的*K*~p~=。
\(4\) 由于该反应是放热反应，温度升高后*α*降低。由题中信息可知，*v*=，升高温度，*k*增大使*v*逐渐提高，但*α*降低使*v*逐渐下降。当*t*＜*t*~m~，k增大对v的提高大于*α*引起的降低；当*t*＞*t*~m~，*k*增大对*v*的提高小于*α*引起的降低。
【点睛】本题有关化学平衡常数的计算是一个难点，尤其题中给的都是字母型数据，这无疑增大了难度。这也是对考生的意志的考验，只要巧妙假设、小心求算，还是可以得到正确结果的，毕竟有关化学平衡的计算是一种熟悉的题型。本题的另一难点是最后一问，考查的是速率公式与化学平衡的综合理解，需要明确化学反应速率与速率常数及平衡转化率之间的函数关系，才能作出正确的解答。所以，耐心和细心才是考好的保证。
**(二)选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
11.Goodenough等人因在锂离子电池及钴酸锂、磷酸铁锂等正极材料研究方面的卓越贡献而获得2019年诺贝尔化学奖。回答下列问题：
(1)基态Fe^2+^与Fe^3+^离子中未成对的电子数之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)Li及其周期表中相邻元素的第一电离能(I~1~)如表所示。I~1~(Li)\> I~1~(Na)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。I~1~(Be)\> I~1~(B)\> I~1~(Li)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)磷酸根离子的空间构型为\_\_\_\_\_\_\_，其中P的价层电子对数为\_\_\_\_\_\_\_、杂化轨道类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)LiFePO~4~的晶胞结构示意图如(a)所示。其中O围绕Fe和P分别形成正八面体和正四面体，它们通过共顶点、共棱形成空间链结构。每个晶胞中含有LiFePO~4~的单元数有\_\_\_\_个。
电池充电时，LiFeO~4~脱出部分Li^+^，形成Li~1−x~FePO~4~，结构示意图如(b)所示，则x=\_\_\_\_\_\_\_，n(Fe^2+^ )∶n(Fe^3+^)=\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 4:5 (2). Na与Li同主族，Na的电子层数更多，原子半径更大，故第一电离能更小 (3). Li，Be和B为同周期元素，同周期元素从左至右，第一电离能呈现增大的趋势；但由于基态Be原子的s能级轨道处于全充满状态，能量更低更稳定，故其第一电离能大于B的 (4). 正四面体形 (5). 4 (6). sp^3^ (7). 4 (8). 或0.1875 (9). 13:3
【解析】
【分析】
题(1)考查了对基态原子电子排布规律的认识；题(2)考查了第一电离能的周期性变化规律；题(3)考查了分子或离子空间构型判断的两大理论；题(4)重点考查通过陌生晶胞的晶胞结构示意图判断晶胞组成。
【详解】(1)基态铁原子的价电子排布式为，失去外层电子转化为Fe^2+^和Fe^3+^，这两种基态离子的价电子排布式分别为和，根据Hund规则可知，基态Fe^2+^有4个未成对电子，基态Fe^3+^有5个未成对电子，所以未成对电子个数比为4:5；
(2)同主族元素，从上至下，原子半径增大，第一电离能逐渐减小，所以；同周期元素，从左至右，第一电离能呈现增大的趋势，但由于ⅡA元素基态原子s能级轨道处于全充满的状态，能量更低更稳定，所以其第一电离能大于同一周期的ⅢA元素，因此；
(3)经过计算，中不含孤电子对，成键电子对数目为4，价层电子对数为4，因此其构型为正四面体形，P原子是采用sp^3^杂化方式形成的4个sp^3^杂化轨道；
(4)由题干可知，LiFePO~4~的晶胞中，Fe存在于由O构成的正八面体内部，P存在由O构成的正四面体内部；再分析题干中给出的(a),(b)和(c)三个不同物质的晶胞结构示意图，对比(a)和(c)的差异可知，(a)图所示的LiFePO~4~的晶胞中，小球表示的即为Li^+^，其位于晶胞的8个顶点，4个侧面面心以及上下底面各自的相对的两条棱心处，经计算一个晶胞中Li^+^的个数为个；进一步分析(a)图所示的LiFePO~4~的晶胞中，八面体结构和四面体结构的数目均为4，即晶胞中含Fe和P的数目均为4；考虑到化学式为LiFePO~4~，并且一个晶胞中含有的Li^+^，Fe和P的数目均为4，所以一个晶胞中含有4个LiFePO~4~单元。对比(a)和(b)两个晶胞结构示意图可知，Li~1-x~FePO~4~相比于LiFePO~4~缺失一个面心的Li^+^以及一个棱心的Li^+^；结合上一个空的分析可知，LiFePO~4~晶胞的化学式为Li~4~Fe~4~P~4~O~16~，那么Li~1-x~FePO~4~晶胞的化学式为Li~3.25~Fe~4~P~4~O~16~，所以有即x=0.1875。结合上一个空计算的结果可知，Li~1-x~FePO~4~即Li~0.8125~FePO~4~；假设Fe^2+^和Fe^3+^数目分别为x和y，则列方程组：，，解得x=0.8125，y=0.1875，则Li~1-x~FePO~4~中。
【点睛】对第一电离能的考查，最常出现的是ⅡA，ⅤA基态原子与同一周期相邻主族元素的基态原子第一电离能的比较；判断分子等构型时，可以通过价层电子对互斥理论或杂化轨道理论以及等电子体原理进行判断；由陌生晶胞结构书写晶体化学式时，一方面要认真分析晶胞中各类粒子的位置信息，另一方面也要注意均摊法的使用。
12.有机碱，例如二甲基胺()、苯胺()，吡啶()等，在有机合成中应用很普遍，目前"有机超强碱"的研究越来越受到关注，以下为有机超强碱F的合成路线：
已知如下信息：
①H~2~C=CH~2~
②+RNH~2~
③苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)由B生成C的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)C中所含官能团的名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由C生成D的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)D的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)E的六元环芳香同分异构体中，能与金属钠反应，且核磁共振氢谱有四组峰，峰面积之比为6∶2∶2∶1的有\_\_\_\_\_\_\_\_种，其中，芳香环上为二取代的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 三氯乙烯 (2). +KOH+KCl+H~2~O (3). 碳碳双键、氯原子 (4). 取代反应 (5).  (6). 6 (7). 
【解析】
【分析】
由合成路线可知，A为三氯乙烯，其先发生信息①的反应生成B，则B为；B与氢氧化钾的醇溶液共热发生消去反应生成C，则C为；C与过量的二环己基胺发生取代反应生成D；D最后与E发生信息②的反应生成F。
【详解】(1)由题中信息可知，A的分子式为C~2~HCl~3~，其结构简式为ClHC=CCl~2~，其化学名称为三氯乙烯。
\(2\) B与氢氧化钾的醇溶液共热发生消去反应生成C（），该反应的化学方程式为+KOH+KCl+H~2~O。
(3)由C的分子结构可知其所含官能团有碳碳双键和氯原子。
\(4\) C（）与过量的二环己基胺发生生成D，D与E发生信息②的反应生成F，由F的分子结构可知，C的分子中的两个氯原子被二环己基胺基所取代，则由C生成D的反应类型为取代反应。
\(5\) 由D的分子式及F的结构可知D的结构简式为。
\(6\) 已知苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体。E（）的六元环芳香同分异构体中，能与金属钠反应，则其分子中也有羟基；核磁共振氢谱有四组峰，峰面积之比为6∶2∶2∶1的有、、、、、，共6种，其中，芳香环上为二取代的结构简式为。
【点睛】本题的同分异构体的书写是难点，要根据题中"苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体"才能找齐符合条件的同分异构体。
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**2020年上海市中考数学试卷**
**一、选择题(共6小题)**
1.下列各式中与是同类二次根式的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
【详解】解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误；
B、，3不是二次根式，故B选项错误；
C、，与的被开方数相同，故C选项正确；
D、，与的被开方数不同，故D选项错误；
故选：C.
【点睛】本题主要考查同类二次根式的定义，解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
2.用换元法解方程+=2时，若设=*y*，则原方程可化为关于*y*的方程是( )
A. *y*^2^﹣2*y*+1=0 B. *y*^2^+2*y*+1=0 C. *y*^2^+*y*+2=0 D. *y*^2^+*y*﹣2=0
【答案】A
【解析】
【分析】
方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y^2^-2y+1=0即可求解．
【详解】把=*y*代入原方程得：*y*+=2，转化为整式方程为*y*^2^﹣2*y*+1=0．
故选：A．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A. 条形图 B. 扇形图
C. 折线图 D. 频数分布直方图
【答案】B
【解析】
【分析】
根据统计图的特点判定即可．
【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
4.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A. *y*= B. *y*=﹣ C. *y*= D. *y*=﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
设解析式*y*=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为*y*=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：*k*=-8，
所以这个反比例函数解析式为*y*=-．
故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
5.下列命题中，真命题是( )
A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角梯形是直角梯形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；
D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．
6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】
证明平行四边形是平移重合图形即可．
【详解】如图，平行四边形*ABCD*中，取*BC*，*AD*的中点*E*，*F*，连接*EF*．
则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，
∴四边形*ABEF*向右平移可以与四边形*EFCD*重合，
∴平行四边形*ABCD*是平移重合图形．
故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
**二、填空题(共12小题)**
7.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.
【详解】解：
故填：.
【点睛】单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
8.已知*f*(*x*)=，那么*f*(3)的值是\_\_\_\_．
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据*f*(*x*)=，将代入即可求解．
【详解】解：由题意得：*f*(*x*)=，
∴将代替表达式中的，
∴*f*(3)==1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
9.如果函数*y*＝*kx*（*k*≠0）的图象经过第二、四象限，那么*y*的值随*x*的值增大而\_\_\_\_\_．（填"增大"或"减小"）
【答案】减小
【解析】
【分析】
根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：函数*y*＝*kx*（*k*≠0）的图象经过第二、四象限，那么*y*的值随*x*的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
10.如果关于*x*的方程*x*^2^﹣4*x*+*m*=0有两个相等的实数根，那么*m*的值是\_\_\_\_．
【答案】4．
【解析】
【分析】
一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b^2^-4ac=0，即可求m值．
【详解】依题意．
∵方程*x*^2^﹣4*x*+*m*=0有两个相等的实数根，
∴△=*b*^2^﹣4*ac*=(﹣4)^2^﹣4*m*=0，
解得：*m*=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b^2^-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b^2^-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b^2^-4ac＜0时，方程无实数根．
11.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是\_\_\_\_．
【答案】．
【解析】
【分析】
从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12.如果将抛物线*y*=*x*^2^向上平移3个单位，那么所得新抛物线表达式是\_\_\_\_．
【答案】*y*=*x*^2^+3．
【解析】
【分析】
直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【详解】抛物线*y*=*x*^2^向上平移3个单位得到*y*=*x*^2^+3．
故答案为：*y*=*x*^2^+3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为\_\_\_\_．
【答案】3150名．
【解析】
【分析】
用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：，
∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400×=3150(名) ．
故答案为：3150名．
【点睛】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键．
14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口*B*处立一根垂直于井口的木杆*BD*，从木杆的顶端*D*观察井水水岸*C*，视线*DC*与井口的直径*AB*交于点*E*，如果测得*AB*=1.6米，*BD*=1米，*BE*=0.2米，那么井深*AC*为\_\_\_\_米．
【答案】7米．
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵*BD*⊥*AB*，*AC*⊥*AB*，
∴*BDAC*，
∴△*ACE*∽△*DBE*，
∴，
∴，
∴*AC*=7(米)，
故答案为：7(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
15.如图，*AC*、*BD*是平行四边形*ABCD*的对角线，设=，=，那么向量用向量表示为\_\_\_\_．
【答案】2+．
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．
【详解】解：∵四边形*ABCD*是平行四边形，
∴*AD*=*BC*，*AD*∥*BC*，*AB*=*CD*，*AB*∥*CD*，
∴==，
∵=+=+，
∴==+，
∵=+，
∴=++=+．
故答案为：+．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线*OAB*反映了小明从家步行到学校所走的路程*s*(米)与时间*t*(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行\_\_\_\_米．
【答案】350．
【解析】
【分析】
当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．
【详解】解：当8≤*t*≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：
，
解得：，
∴*s*=70*t*+400；
当*t*=15时，*s*=1450，
1800﹣1450=350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
17.如图，在△*ABC*中，*AB*=4，*BC*=7，∠*B*=60°，点*D*在边*BC*上，*CD*=3，联结*AD*．如果将△*ACD*沿直线*AD*翻折后，点*C*的对应点为点*E*，那么点*E*到直线*BD*的距离为\_\_\_\_．
【答案】．
【解析】
【分析】
过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．
【详解】解：如图，过点*E*作*EH*⊥*BC*于*H*，
∵*BC*=7，*CD*=3，
∴*BD*=*BC*-*CD*=4，
∵*AB*=4=*BD*，∠*B*=60°，
∴△*ABD*是等边三角形，
∴∠*ADB*=60°，
∴∠*ADC*=∠*ADE*=120°，
∴∠*EDH*=60°，
∵*EH*⊥*BC*，∴∠*EHD*=90°．
∵*DE*=*DC*=3，
∴*EH*=*DE*×sin∠HDE=3×=，
∴*E*到直线*BD*的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．
18.在矩形*ABCD*中，*AB*=6，*BC*=8，点*O*在对角线*AC*上，圆*O*的半径为2，如果圆*O*与矩形*ABCD*的各边都没有公共点，那么线段*AO*长的取值范围是\_\_\_\_．
【答案】＜*AO*＜．
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△*AOE*∽△*ACD*即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△*COF*∽△*CAB*即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．
【详解】解：在矩形*ABCD*中，∵∠*D*=90°，*AB*=6，*BC*=8，∴*AC*=10，
如图1，设⊙*O*与*AD*边相切于*E*，连接*OE*，
则*OE*⊥*AD*，∴*OE*//*CD*，
∴△*AOE*∽△*ACD*，
∴，
∴，
∴*AO*=；
如图2，设⊙*O*与*BC*边相切于*F*，连接*OF*，
则*OF*⊥*BC*，∴*OF*//*AB*，
∴△*COF*∽△*CAB*，
∴，
∴，
∴*OC*=，
∴*AO*=，
∴如果圆*O*与矩形*ABCD*的各边都没有公共点，那么线段*AO*长的取值范围是＜*AO*＜．
故答案为：＜*AO*＜．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
**三、解答题(共7小题)**
19.计算：+﹣()^﹣2^+\|3﹣\|．
【答案】0．
【解析】
【分析】
利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．
【详解】原式=+ ﹣4+3﹣
=3+﹣4+3﹣
=0．
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
20.解不等式组：
【答案】2＜*x*＜5．
【解析】
【分析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【详解】解：由题意知：，
解不等式①，移项得：3*x*＞6，
系数化为1得：*x*\>2，
解不等式②，去分母得：3*x-*3＜*x*+7．
移项得：2*x*\<10，
系数化为1得：*x*\<5，
∴原不等式组的解集是2＜*x*＜5．
故答案为：2＜*x*＜5．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21.如图，在直角梯形*ABCD*中，，∠*DAB*=90°，*AB*=8，*CD*=5，*BC*=3．
（1）求梯形*ABCD*的面积；
（2）联结*BD*，求∠*DBC*的正切值．
【答案】（1）39；（2）．
【解析】
【分析】
(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到，即可求出梯形的面积；
\(2\) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求解．
【详解】解：(1)过*C*作*CE*⊥*AB*于*E*，如下图所示：
∵*ABDC*，∠*DAB*=90°，∴∠*D*=90°，
∴∠*A*=∠*D*=∠*AEC*=90°，
∴四边形*ADCE*是矩形，
∴*AD*=*CE*，*AE*=*CD*=5，
∴*BE*=*AB*﹣*AE*=3．
∵*BC*=3，∴*CE*==6，
∴梯形*ABCD*的面积=×(5+8)×6=39，
故答案为：39．
(2)过*C*作*CH*⊥*BD*于*H*，如下图所示：
∵*CDAB*，∴∠*CDB*=∠*ABD*．
∵∠*CHD*=∠*A*=90°，
∴△*CDH*∽△*DBA*，∴，
∵*BD*===10，
∴，∴*CH*=3，
∴*BH*===6，
∴∠*DBC*的正切值===．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.去年某商店"十一黄金周"进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年"十一黄金周"这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，"十一黄金周"这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【解析】
【分析】
(1)根据"前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%"即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为*x*，则十一黄金周的月营业额为350(1+*x*)^2^，根据"十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等"即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年"十一黄金周"这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为*x*，
依题意，得：350(1+*x*)^2^=504，
解得：*x*~1~=0.2=20%，*x*~2~=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.已知：如图，在菱形*ABCD*中，点*E*、*F*分别在边*AB*、*AD*上，*BE*=*DF*，*CE*的延长线交*DA*的延长线于点*G*，*CF*的延长线交*BA*的延长线于点*H*．
（1）求证：△*BEC*∽△*BCH*；
（2）如果*BE*^2^=*AB*•*AE*，求证：*AG*=*DF*．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)先证明△*CDF*≌△*CBE*，进而得到∠*DCF*=∠*BCE*，再由菱形对边*CDBH*，得到∠*H*=∠*DCF*，进而∠BCE=∠H即可求解．
\(2\) 由*BE*^2^=*AB*•*AE*，得到=，再利用*AGBC*，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】解：(1)∵四边形*ABCD*是菱形，
∴*CD*=*CB*，∠*D*=∠*B*，*CDAB*．
∵*DF*=*BE*，
∴△*CDF*≌△*CBE*(SAS)，
∴∠*DCF*=∠*BCE*．
∵*CDBH*，
∴∠*H*=∠*DCF*，
∴∠*BCE*=∠*H*．且∠*B*=∠*B*，
∴△*BEC*∽△*BCH*．
(2)∵*BE*^2^=*AB*•*AE*，
∴=，
∵*AGBC*，
∴=，
∴=，
∵*DF*=*BE*，*BC*=*AB*，
∴*BE*=*AG*=*DF*，
即*AG*=*DF*．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.在平面直角坐标系*xOy*中，直线*y*=﹣*x*+5与*x*轴、*y*轴分别交于点*A*、*B*(如图)．抛物线*y*=*ax*^2^+*bx*(*a*≠0)经过点*A*．
（1）求线段*AB*的长；
（2）如果抛物线*y*=*ax*^2^+*bx*经过线段*AB*上的另一点*C*，且*BC*=，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线*y*=*ax*^2^+*bx*的顶点*D*位于△*AOB*内，求*a*的取值范围．
【答案】（1）5；（2）*y*=﹣*x*^2^+*x*；（3）﹣＜*a*＜0．
【解析】
【分析】
（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；\
（2）设点C（m，-m+5），则BC=\|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；\
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．
【详解】（1）针对于直线*y*=﹣*x*+5，
令*x*=0，*y*=5，
∴*B*(0，5)，
令*y*=0，则﹣*x*+5=0，
∴*x*=10，
∴*A*(10，0)，
∴*AB*==5；
（2）设点*C*(*m*，﹣*m*+5)．
∵*B*(0，5)，
∴*BC*==\|*m*\|．
∵*BC*=，
∴\|*m*\|=，
∴*m*=±2．
∵点*C*在线段*AB*上，
∴*m*=2，
∴*C*(2，4)，
将点*A*(10，0)，*C*(2，4)代入抛物线*y*=*ax*^2^+*bx*(*a*≠0)中，得，
∴，
∴抛物线*y*=﹣*x*^2^+*x*；
（3）∵点*A*(10，0)在抛物线*y*=*ax*^2^+*bx*中，得100*a*+10*b*=0，
∴*b*=﹣10*a*，
∴抛物线的解析式为*y*=*ax*^2^﹣10*ax*=*a*(*x*﹣5)^2^﹣25*a*，
∴抛物线的顶点*D*坐标为(5，﹣25*a*)，
将*x*=5代入*y*=﹣*x*+5中，得*y*=﹣×5+5=，
∵顶点*D*位于△*AOB*内，
∴0＜﹣25*a*＜，
∴﹣＜*a*＜0．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．
25.如图，△*ABC*中，*AB*=*AC*，⊙*O*是△*ABC*的外接圆，*BO*的延长交边*AC*于点*D*．
（1）求证：∠*BAC*=2∠*ABD*；
（2）当△*BCD*是等腰三角形时，求∠*BCD*的大小；
（3）当*AD*=2，*CD*=3时，求边*BC*的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠*BCD*的值为67.5°或72°；（3）．
【解析】
【分析】
(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
\(3\) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH^2^=AB^2^-AH^2^=OB2-OH^2^，构建方程求出a即可解决问题．
详解】解：(1)连接*OA*，如下图1所示：
∵*AB*=*AC*，
∴=，
∴*OA*⊥*BC*，
∴∠*BAO*=∠*CAO*．
∵*OA*=*OB*，
∴∠*ABD*=∠*BAO*，
∴∠*BAC*=2∠*ABD*．
(2)如图2中，延长*AO*交*BC*于*H*．
①若*BD*=*CB*，则∠*C*=∠*BDC*=∠*ABD*+∠*BAC*=3∠*ABD*．
∵*AB*=*AC*，
∴∠*ABC*=∠*C*，
∴∠*DBC*=2∠*ABD*．
∵∠*DBC*+∠*C*+∠*BDC*=180°，
∴8∠*ABD*=180°，
∴∠*C*=3∠*ABD*=675°．
②若*CD*=*CB*，则∠*CBD*=∠*CDB*=3∠*ABD*，∴∠*C*=4∠*ABD*．
∵∠*DBC*+∠*C*+∠*CDB*=180°，
∴10∠*ABD*=180°，
∴∠*BCD*=4∠*ABD*=72°．
③若*DB*=*DC*，则*D*与*A*重合，这种情形不存在．
综上所述：∠*C*的值为67.5°或72°．
(3)如图3中，过*A*点作*AEBC*交*BD*的延长线于*E*．
则==，且*BC=*2*BH*，
∴==，
设*OB*=*OA*=4*a*，*OH*=3*a*．
则在*Rt*△*ABH*和*Rt*△*OBH*中，
∵*BH*^2^=*AB*^2^﹣*AH*^2^=*OB*^2^﹣*OH*^2^，
∴25 - 49*a*^2^=16*a*^2^﹣9*a*^2^，
∴*a*^2^=，
∴*BH*=，
∴*BC*=2*BH*=．
故答案为：．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
| 1 | |
**-北师大版六年级（下）期中数学试卷（8）**
**一、计算题．**
1．直接写得数．
--------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
﹣= ×20= 0.6÷= 6﹣= 0.8×99+0.8=
÷= += ÷60%= 800÷50= ×4+=
--------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
2．
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（1）+× （2）﹣×（÷）
（3）（﹣）×÷ （4）÷×（+）
（5）﹣+÷ （6）÷（﹣）×．
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3．解方程
40%x﹣16=80； x+40%x=； 4x+6×=12．
**二、填空题．（22分，每题2分）**
4．0.45：化成最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}．
5．一个圆柱的体积是50.24立方分米，底面积是2平方分米，高是[ ]{.underline}分米．
6．3 4078 5800改写成用"亿"作单位的数是[ ]{.underline}，省略万后面的尾数后，写作[ ]{.underline}．
7．一项工程单独完成，甲队要40天，乙队要50天，甲队工作效率比乙队高[ ]{.underline}%．
8．在下面的横线上填上"成正比例"、"成反比例"或"不成比例"．
（1）分子一定，分母和分数值[ ]{.underline}．
（2）圆锥的高一定，它的底面积和体积[ ]{.underline}．
9．一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少72立方厘米，圆柱的体积是[ ]{.underline}立方厘米．
10．一张设计图纸上的比例尺是1：2000，在图纸上量得一条线段长12厘米，实际长度是[ ]{.underline}米．
11．一个圆柱的侧面展开是正方形，已知圆柱底面半径是4厘米，圆柱的高是[ ]{.underline}厘米．
12．甲数的等于乙数的55%，则乙数是甲数的[ ]{.underline}%，甲数比乙数多[ ]{.underline}．
13．工厂生产一批零件，合格的和不合格的数量比是100：1，这批零件的合格率是[ ]{.underline}%．
**三、选择题．（每题2分）**
14．九月份比八月份用水节约了8%，九月份的用水是八月份的（ ）
A．108% B．92% C．8% D．无法判断
15．一个圆锥的底面半径扩大为原来的4倍，高缩小2倍，它的体积就扩大为原来的（ ）倍．
A．2 B．8 C．32 D．4
16．一种盐水，含盐率是20%，盐和水的比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：5
17．砖块的面积一定，铺地面积和用砖的块数（ ）
A．成正比例 B．不成比例 C．成反比例
**五、操作题．**
18．如图是小刚家周围主要建筑平面示意图．（测量时取整厘米数）
（1）小刚家距学校的图上距离是[ ]{.underline}厘米，已知小刚家到学校的实际距离是300米，这幅示意图的比例尺是[ ]{.underline}．
（2）小刚家到公园的图上距离是[ ]{.underline}厘米，实际距离是[ ]{.underline}米．
（3）电影 院在小刚家东偏南60°方向，实际距离为300米的地方．请在图中用"•"标出电影院的位置，并写上名称．
**六、应用题．**
19．只列算式或方程，不计算．
（1）一堆煤用去了，还剩24吨，这堆煤用去多少吨？[ ]{.underline}
（2）压路机的滚筒是一个圆柱体，它的横截面直径是3.14米，长是1.5米，如果它转10圈，一共压路的面积是多少平方米？[ ]{.underline}
（3）某厂四月份上旬用电量占30%，中旬用电量占34%，下旬用电量是1800度？四月份用电多少度？[ ]{.underline}．
（4）有一块棱长是12厘米的正方体木块，把它削成一个最大的圆锥体，要削去多少立方厘米？[ ]{.underline}．
**七、解答下列各题．**
20．北京到南京，在比例尺是1：4500000的中国地图上量得两地之间的距离是10厘米，北京到南京两地之间的实际距离是千米？
21．一个圆柱体的无盖铁皮水桶，底面直径4分米，高是5分米，做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米）
22．商店有一批化肥共750千克，把其中的卖给丙村，余下的按3：2卖给甲乙两个村，甲乙两村各买化肥多少千克？
23．一个圆柱体的高是8分米，如果把它截去4分米，它的表面积就减少了25.12平方分米．原来圆柱体的体积是多少立方分米？
24．有一段底面半径是8分米，高6分米的圆柱形钢材，现把它熔铸成一个高是3分米的圆锥体，圆锥的底面积是多少分米？
**-北师大版六年级（下）期中数学试卷（8）**
**参考答案与试题解析**
**一、计算题．**
1．直接写得数．
----------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- ------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------
﹣= ×20= 0.6÷= 6﹣= 0.8×99+0.8=
÷= += ÷60%= 800÷50= ×4+=
----------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- ------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------
【考点】分数的加法和减法；运算定律与简便运算；分数乘法；分数除法；百分数的加减乘除运算．
【分析】根据分数加减乘除法的计算方法，求解；
其中：0.8×99+0.8，×4+运用乘法分配律简算．
【解答】解：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------
﹣= ×20= 0.6÷= 6﹣=5 0.8×99+0.8=80
÷= += ÷60%= 800÷50=16 ×4+=3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------
2．
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（1）+× （2）﹣×（÷）
（3）（﹣）×÷ （4）÷×（+）
（5）﹣+÷ （6）÷（﹣）×．
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】（1）先算乘法，再算加法；
（2）先算除法，再算乘法，最后算减法；
（3）先算减法，再算乘法，最后算除法；
（4）先算除法和加法，再算乘法；
（5）先算除法，再算减法，最后算加法；
（6）先算减法，再算除法，最后算乘法．
【解答】解：
（1）+×，
=+，
=；
（2）﹣×（÷），
=﹣×，
=﹣，
=；
（3）（﹣）×÷，
=×÷，
=÷，
=1；
（4）÷×（+），
=×，
=；
（5）﹣+÷，
=﹣+，
=+，
=；
（6）÷（﹣）×，
=÷×，
=×，
=．
3．解方程
40%x﹣16=80； x+40%x=； 4x+6×=12．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】依据等式的性质，方程两边同时加16，再同时除以0.4求解；
首先化简方程，然后依据等式的性质，方程两边同时除以1.4求解；
首先化简方程，然后依据等式的性质，方程两边同时减去4，求解．
【解答】解：40%x﹣16=80
40%x﹣16+16=80+16
40%x÷0.4=96÷0.4
x=240
x+40%x=
1.4x÷1.4=÷1.4
x=×
x=
4x+6×=12
4x+4﹣4=12﹣4
4x÷4=8÷4
x=2
**二、填空题．（22分，每题2分）**
4．0.45：化成最简整数比是[ 4：5 ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】求比值和化简比．
【分析】（1）根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；
（2）用比的前项除以后项即可．
【解答】解：（1）0.45：
=：
=（×80）：（×80）
=36：45
=（36÷9）：（45÷9）
=4：5；
（2）0.45：
=
=．
故答案为：4：5，．
5．一个圆柱的体积是50.24立方分米，底面积是2平方分米，高是[ 25.12 ]{.underline}分米．
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】根据圆柱的体积公式：v=sh，那么h=v÷s，据此解答．
【解答】解：50.24÷2=25.12（平方分米）
答：这个圆柱的高是25.12分米．
故答案为：25.12．
6．3 4078 5800改写成用"亿"作单位的数是[ 3.407858亿 ]{.underline}，省略万后面的尾数后，写作[ 34079万 ]{.underline}．
【考点】整数的改写和近似数．
【分析】把所写的数从右向左数到亿位，在亿位的右下角点上小数点，去掉末尾的零，并加上"亿"字；
"省略万后面的尾数"就是保留到万位求近似数，要把"万位"的下一位进行四舍五入后去掉，近似数用约等于号．
【解答】解：340785800=3.407858亿；
340785800≈34079万．
故答案为：3.407858亿；34079万．
7．一项工程单独完成，甲队要40天，乙队要50天，甲队工作效率比乙队高[ 20 ]{.underline}%．
【考点】简单的工程问题．
【分析】把这项工程看作单位"1"，表示出两队的工作效率，然后用甲队的工作效率减去乙队的工作效率，然后除以乙队的工作效率即可．
【解答】解：（﹣）÷
=×40
=
=20%
答：甲队工作效率比乙队高20%．
故答案为：20．
8．在下面的横线上填上"成正比例"、"成反比例"或"不成比例"．
（1）分子一定，分母和分数值[ 成反比例 ]{.underline}．
（2）圆锥的高一定，它的底面积和体积[ 成正比例 ]{.underline}．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：（1）因为分母×分数值=分子（一定），所以分母和分数值成反比例；
（2）因为圆锥的体积 v=sh
所以 v：s=h（一定）
可以看出，圆锥的底面积与体积是两种相关联的量，体积随底面积的变化而变化，
圆锥体的高一定，高的三分之一也是一定的，也就是圆锥的体积与底面积的比值一定，所以圆锥的体积与底面积是成正比例关系．
故答案为：成反比例，成正比例．
9．一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少72立方厘米，圆柱的体积是[ 108 ]{.underline}立方厘米．
【考点】圆锥的体积．
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，则圆柱与圆锥的体积之差就是这个圆锥的体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积，圆锥的体积的3倍就是圆柱的体积，由此解决问题．
【解答】解：圆锥的体积是：72÷2=36（立方厘米）；
所以圆柱的体积是：36×3=108（立方厘米）；
答：圆柱的体积是108立方厘米．
故答案为：108．
10．一张设计图纸上的比例尺是1：2000，在图纸上量得一条线段长12厘米，实际长度是[ 240 ]{.underline}米．
【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．
【分析】要求实际距离长度是多少米，根据"图上距离÷比例尺=实际距离"，代入数值计算即可．
【解答】解：12÷=24000（厘米），
24000厘米=240米；
答：实际长度是240米．
故答案为：240．
11．一个圆柱的侧面展开是正方形，已知圆柱底面半径是4厘米，圆柱的高是[ 25.12 ]{.underline}厘米．
【考点】圆柱的展开图．
【分析】根据"一个圆柱的侧面展开是正方形，"知道圆柱的底面周长等于圆柱的高，再根据圆的周长公式，求出圆柱的底面周长，即是圆柱的高．
【解答】解：3.14×2×4，
=6.28×4，
=25.12（厘米），
答：圆柱的高是25.12厘米．
故答案为：25.12．
12．甲数的等于乙数的55%，则乙数是甲数的[ 36.4 ]{.underline}%，甲数比乙数多[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】百分数的加减乘除运算．
【分析】甲数的等于乙数的55%，设甲数是5，先把甲数看成单位"1"，根据分数乘法的意义，求出甲数的，再把乙数看成单位"1"，它的55%就是甲数的，由此再用除法求出乙数，然后用乙数除以甲数，即可求出乙数是甲数的几分之几；再求出两数的差，用差除以乙数即可求出甲数比乙数多几分之几．
【解答】解：设甲数是5，则：
5×=1
1÷55%=
÷5≈36.4%；
（5﹣）÷
=÷
=
答：乙数是甲数的 6.4%，甲数比乙数多．
故答案为：36.4，．
13．工厂生产一批零件，合格的和不合格的数量比是100：1，这批零件的合格率是[ 99.0 ]{.underline}%．
【考点】百分率应用题．
【分析】根据合格率100%，据此解答即可．
【解答】解： 100%
=%
≈0.990×100%
=99.0%．
答：这批零件的合格率是99.0%．
故答案为：99.0%．
**三、选择题．（每题2分）**
14．九月份比八月份用水节约了8%，九月份的用水是八月份的（ ）
A．108% B．92% C．8% D．无法判断
【考点】百分数的实际应用．
【分析】九月份比八月份用水节约了8%，是把八月份的用水量看做单位"1"，节约的用水量是八月份的8%，即九月份的用水量是八月份的（1﹣8%），由此得出答案．
【解答】解：1﹣8%=92%．
故选：B．
15．一个圆锥的底面半径扩大为原来的4倍，高缩小2倍，它的体积就扩大为原来的（ ）倍．
A．2 B．8 C．32 D．4
【考点】圆锥的体积．
【分析】圆锥的体积=πr^2^h，设原来圆锥的半径为2，高为2，则变化后的圆锥的半径为8，高为1，由此利用公式分别计算出它们的体积即可解答．
【解答】解：设原来圆锥的半径为2，高为2，则变化后的圆锥的半径为8，高为1，
原来圆锥的体积是：π×2^2^×2
=π×4×2
=π，
变化后的圆锥的体积是：π×8^2^×1
=π×64×1
=π
π÷π=8，
所以底面半径扩大4倍，高缩小2倍，它的体积扩大8倍．
故选：B．
16．一种盐水，含盐率是20%，盐和水的比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：5
【考点】比的意义．
【分析】把盐水的重量看作单位"1"，则水占盐水的（1﹣20%），根据题意，进行比即可．
【解答】解：20%：（1﹣20%）
=0.2：0.8
=1：4
故选：A．
17．砖块的面积一定，铺地面积和用砖的块数（ ）
A．成正比例 B．不成比例 C．成反比例
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：需铺地面积÷用砖块数=砖块面积（一定），
所以用砖块数和需铺地面积成正比例；
故选：A．
**五、操作题．**
18．如图是小刚家周围主要建筑平面示意图．（测量时取整厘米数）
（1）小刚家距学校的图上距离是[ 2 ]{.underline}厘米，已知小刚家到学校的实际距离是300米，这幅示意图的比例尺是[ 1：15000 ]{.underline}．
（2）小刚家到公园的图上距离是[ 1 ]{.underline}厘米，实际距离是[ 150 ]{.underline}米．
（3）电影 院在小刚家东偏南60°方向，实际距离为300米的地方．请在图中用"•"标出电影院的位置，并写上名称．
【考点】根据方向和距离确定物体的位置；在平面图上标出物体的位置．
【分析】（1）用刻度尺即可量出小刚家距学校的图上距离为2厘米，实际距离已知，根据"比例尺="即可求出此图的比例尺；
（2）量出小刚家到公园的图上距离为1厘米，根据"实际距离=图上距离÷比例尺"，即可求出小刚家到公园的实际距离；
（3）根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以小刚家为观察点，即可确定电影院的方向，再根据"图上距离=实际距离×比例尺"可求出电影院距小刚家距离，由此即可确定电影院的位置，解答即可．
【解答】解：（1）量得小刚家距学校的图上距离是2厘米，
300米=30000厘米，
═1：15000．
（2）量得小刚家距公园的图上距离是1厘米，
1÷=15000（厘米）=150（米）
（3）300米=30000厘米
30000×=2（厘米）
又因为电影院在小刚家东偏南60°方向，作图图如下：
故答案为：（1）2、1：15000；（2）1、150．
**六、应用题．**
19．只列算式或方程，不计算．
（1）一堆煤用去了，还剩24吨，这堆煤用去多少吨？[ 24÷（1﹣]{.underline}[）﹣24 ]{.underline}
（2）压路机的滚筒是一个圆柱体，它的横截面直径是3.14米，长是1.5米，如果它转10圈，一共压路的面积是多少平方米？[ 3.14×3.14×1.5×10 ]{.underline}
（3）某厂四月份上旬用电量占30%，中旬用电量占34%，下旬用电量是1800度？四月份用电多少度？[ 1800÷（1﹣30%﹣34%） ]{.underline}．
（4）有一块棱长是12厘米的正方体木块，把它削成一个最大的圆锥体，要削去多少立方厘米？[ 12×12×12﹣3.14×（12÷2）^2^×12÷3 ]{.underline}．
【考点】分数除法应用题；百分数的实际应用；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
【分析】（1）将总吨数当作单位"1"，根据分数减法的意义，用去了后还剩下全部的1﹣，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，则用剩下吨数除以其占全部的分率，即得总吨数，然后用总吨数减去剩下吨数即重，即得用去多少吨．
（2）它的横截面直径是3.14米，圆周长=3.14×直径，则这个圆柱体的底面周长是3.14×3.14米，又长是1.5米，则这个圆柱体和路接触的滚筒侧面展开后是长方形，长方形面积=长×宽，3.14×3.14×1.5米，所以它转10圈一共压路的面积是3.14×3.14×1.5×10平方米．
（3）将四月份用电总量当作单位"1"，上旬用电量占30%，中旬用电量占34%，根据分数减法的意义，下旬用电占总量的1﹣30%﹣34%，又下旬用电量是1800度，根据分数除法的意义，用下旬用电量除以其占总量的分率，即得四月份用电量．
（4）有一块棱长是12厘米的正方体木块，由于正方体的体积=棱长×棱长×棱长，则这个正方体的体积是12×12×12立方米，把它削成一个最大的圆锥体，则这个圆椎体的底面直径是12厘米，高是12厘米，又圆椎体积=底面积×高÷2，所以其体积是3.14×（12÷2）^2^×12÷3立方米，然后用原来体积减去圆椎体积，即得要削去多少立方厘米．
【解答】解：（1）24÷（1﹣）﹣24
=24﹣24
=36﹣24
=12（吨）
答：用去了12吨．
（2）3.14×3.14×1.5×10
=9.8596×1.5×10
=147.894（平方米）
答：它转10圈一共压路的面积是147.894平方米．
（3）1800÷（1﹣30%﹣34%）
=1800÷36%
=5000（度）
答：它四月份的用电量是5000度．
（4）12×12×12﹣3.14×（12÷2）^2^×12÷3
=288﹣3.14×36×12÷3
=1728﹣452.16
=1275.84（立方厘米）
答：要削去1275.84立方厘米．
故答案为：24÷（1﹣）﹣24，3.14×3.14×1.5×10，1800÷（1﹣30%﹣34%），12×12×12﹣3.14×（12÷2）^2^×12÷3．
**七、解答下列各题．**
20．北京到南京，在比例尺是1：4500000的中国地图上量得两地之间的距离是10厘米，北京到南京两地之间的实际距离是千米？
【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．
【分析】要求北京到南京两地之间的实际距离是千米，根据"图上距离÷比例尺=实际距离"，代入数值计算即可．
【解答】解：10÷=45000000（厘米），
45000000厘米=450千米；
答：北京到南京两地之间的实际距离是450千米．
21．一个圆柱体的无盖铁皮水桶，底面直径4分米，高是5分米，做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米）
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】由于水桶无盖，所以做这个水桶需要铁皮的面积等于这个圆柱水桶一个底面积加上侧面积，根据圆柱的侧面积=底面周长×高，把数据代入公式解答．
【解答】解：3.14×（4÷2）^2^+3.14×4×5
=3.14×4+62.8
=12.56+62.8
=75.36
≈80（平方分米），
答：做这个水桶至少需要铁皮80平方分米．
22．商店有一批化肥共750千克，把其中的卖给丙村，余下的按3：2卖给甲乙两个村，甲乙两村各买化肥多少千克？
【考点】比的应用．
【分析】根据分数乘法意义，首先求出卖给丙村后剩余的数量，然后根据"剩下的以3：2卖给甲乙两个村"，用按比例分配的方法求得甲乙两村各买化肥多少千克．
【解答】解：750×（1﹣）=500（千克），
500×=300（千克）；
500×=200（千克）；
答：甲村买化肥300千克；乙村买化肥200千克．
23．一个圆柱体的高是8分米，如果把它截去4分米，它的表面积就减少了25.12平方分米．原来圆柱体的体积是多少立方分米？
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】25.12平方分米是以圆柱的底面积为底，高是4分米的圆柱的侧面积，根据侧面积公式S=ch，由此求出圆柱的底面的周长是c=S÷h，进而利用r=c÷3.14÷2求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式，V=πr^2^h求出圆柱的体积即可．
【解答】解：25.12÷4=6.28（分米）
6.28÷3.14÷2=1（分米）
3.14×1^2^×8=25.12（立方分米）
答：这个圆柱的底面积是25.12立方分米．
24．有一段底面半径是8分米，高6分米的圆柱形钢材，现把它熔铸成一个高是3分米的圆锥体，圆锥的底面积是多少分米？
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】由题意知，熔铸前后的体积不变，圆柱体钢材的体积就等于圆锥体的体积，可先利用圆柱的体积V=πr^2^h求出其体积，即得出熔铸后的圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式可得圆锥的底面积=体积×3÷高，代入数据即可解答．
【解答】解：3.14×8^2^×6×3÷3
=3.14×64×6×3÷3
=1205.76（平方分米）
答：圆锥的底面积是1205.75平方分米．
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**山东省青岛市2018年中考数学试题**
**第Ⅰ卷（共24分）**
**一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2.斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克.将0.0000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
**3.**如图，点所表示的数的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．
4.计算的结果是（ ）
A．  B． C． D．
**5.**如图，点在上，，点是的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，三角形纸片，，点为中点.沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕现交于点.已知，则的长是（ ）
\[来源:学+科+网\]
A． B． C．3 D．
7.如图，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，其中点的对应点分别是点，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8.已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
**第Ⅱ卷（共96分）**
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
9.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为，
则 [ ]{.underline} （填""、""、""）
10.计算： [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
11.5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了，乙工厂用水量比5月份减少了，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少.设甲工厂5月份用水量为吨，乙工厂5月份用水量为吨，根据题意列关于的方程组为 [ ]{.underline} ．
12.已知正方形的边长为5，点分别在上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 [ ]{.underline} ．
13.如图，，，为上一点，，以为圆心，以为半径的圆与相切于点，与相交于点，连接，则图中阴影部分的面积是 [ ]{.underline} ．
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
14.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了 9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 [ ]{.underline} 种．
**三、作图题：本大题满分4分.**
15\. 已知：如图，，射线上一点.
求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等.
**四、解答题 （本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程****或演算步骤.）**
**16.（1）解不等式组：** （2）化简：.
17.小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明 礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
18.八年级（1 )班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同 学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图.
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 [ ]{.underline} 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少.
19.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得.请求出点到的距离.
*参考数据：，，*
20.已知反比例函数的图象经过三个点，**其中**.
（1）当时，求的值；
（2）如图，过点分别作轴、轴的垂线，两垂线相交于点，点 在轴上， 若三角形的面积是8，请写出点坐标（不需要写解答过程).
**21.**已知：如图，，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接**.**
（1）求证***：**；*
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论.
22.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公司 按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元件.此产品年销售量(万件）与售价(元件）之间满足函数关系式.
（1）求这种产品第一年的利润(万元）与售价(元件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元件.为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润至少为多少万元.
**23.问题提出：**用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照下图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律.
**问题探究：**
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法.
**探究一**
用若干木棒来搭建横长是，纵长是的矩形框架(是正整数)，需要木棒的条数.
如图①，当时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需4条；
如图②，当时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需7条；
如图③，当时，横放木棒为)条，纵放木棒为条，共需12条； 如图④，当时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需10条；
如图⑤，当时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需17条.
**问题（一)：**当时，共需木棒 [ ]{.underline} 条.
**问题（二)：当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为** [ ]{.underline} 条，
纵放的木棒为 [ ]{.underline} 条.
**探究二**
用若干木棒来搭建横长是，纵长是，高是的长方体框架(是正整数)，需要木 棒的条数.
如图⑥，当时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需46条；
如图⑦，当时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需75条；
如图⑧，当时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需104条.
\[来源:学科网ZXXK\]
**问题**（三**）：**当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和
为 [ ]{.underline} 条，竖放木棒条数为 [ ]{.underline} 条.
**实际应用：**现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 [ ]{.underline} .
**拓展应用：若**按照如图方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 [ ]{.underline} 条.
**24.**已知：如图，四边形，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为.点和点同时出发，以为边作平行四边形，设运动的时间为，.
根据题意解答下列问题：
（1）用含的代数式表示；
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
**（3）当时，求的值；\[来源:学\_科\_网\]**
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
\[来源:Zxxk.Com\]
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------体积单位》同步检测1（附答案）**
一、常用的长度单位有（ ）、（ ）、（ ）等。
常用的面积单位有（ ）、（ ）、（ ）等。
二、棱长是1厘米的正方体，体积是（ ），记作（ ）；
棱长是1分米的正方体，体积是（ ），记作（ ）；
棱长是1米的正方体，体积是（ ），记作（ ）。
三、常用的计量液体的容量单位有（ ）和（ ）。
四、在（ ）里填上合适的单位。来源：www.bcjy123.com/tiku/
跑道长300（ ）。 教室的面积约为50（ ）。
学校沙坑的容积约是6（ ）。 一盒牛奶有500（ ）。
一台冰箱的容积约是140（ ）。 微波炉的体积约是30（ ）。
五、下面各图都是用体积为1厘米的正方体搭成的，分别求出它们的体积。
体积是（ ）厘米 体积是（ ）厘米 体积是（ ）厘米
六、9升 =（ ）分米 122毫升 =（ ）厘米
七、测得一个长方体物体的长是20厘米，宽是9厘米，高是3厘米，你能根据自己的生活经验说一说这有可能是我们身边的哪个物体吗？来源：www.bcjy123.com/tiku/
八、饮水有益身体健康，专家建议每人每天应摄入6杯水，已知一杯水的容积约为0.2升，那么每人每天摄入水量约为（ ）升。
九、一瓶鱼肝油滴剂为10毫升，现在有鱼肝油400毫升，可以装多少瓶？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
十、在（ ）里填上适当的体积（容积）单位。
一个水槽能盛水80（ ）。 一扎啤酒1.25（ ）。
一个粉笔盒的体积约为0.5（ ）。 一瓶矿泉水是500（ ）。
一种电视机的体积约是0.6（ ）。 一块砖的体积约1700（ ）。
十一、说一说，分别是哪种计量单位。
1厘米 1厘米 1厘米
（ ）单位 （ ）单位 （ ）单位
十二、照右面的图形自己用硬纸板做一个体积是1立方分米的正方体。
**部分答案：**
一、米 分米 厘米 米 分米 厘米
二、1厘米 1cm 1分米 1dm 1米 1m
三、升 毫升
四、米 米 米 毫升 升 分米
五、9 9 23
六、9 122
七、文具盒等
八、1.2
九、40瓶
十、升 升 分米 毫升 米 厘米
十一、长度 面积 体积
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**-北师大版六年级（下）期末数学试卷（10）**
**一、填空题（1-9每题1分，10-11每题2分，第12小题3分，共16分**
1．300立方厘米=[ ]{.underline}立方分米=[ ]{.underline}升．
2．小燕用45元的压岁钱兑换了4.5欧元．人民币与欧元的兑换最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}．
3．路程一定，速度与时间．[ ]{.underline}．（成正比例的在括号里写"Yes"，不成的写"No"）
4．甲、乙两人同时从A地出发，如果甲向南走48m，记为+48m，则乙向北走32m记为[ ]{.underline}，这时甲、乙两人相距[ ]{.underline}m．
5．用S表示三角形的面积，a和h分别表示底和高，三角形面积的计算公式是[ ]{.underline}．
6．男工人数是女工人数的2倍，女工人数是男工人数的[ ]{.underline}%，男工占工人总 数的[ ]{.underline}/[ ]{.underline}．
7．[ ]{.underline}/8=0.375=18÷[ ]{.underline}=[ ]{.underline}÷16=[ ]{.underline}%
8．从18的约数中选4个数，组成一个比例是[ ]{.underline}．
9．在比例尺1：5000000的地图上，量得两地的距离是8厘米，两地的实际距离是[ ]{.underline}千米．
10．[ ]{.underline}除以13商5余2．
11．商是21，如果被除数缩小10倍，除数扩大10倍，那么商是[ ]{.underline}．
12．在8的后面添上一个零，这个数比原数多[ ]{.underline}，这个数比原数多[ ]{.underline}倍．
**二、口算题**
13．口算题
--------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------
0.37+2.3= 0.125×16= 5÷7= ×3= +1=
×= 0.5÷= ×1= 1﹣0.94= 8.4÷0.07=
﹣= 10.01÷10%= 2﹣1= 1÷= 40÷25%=
--------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------
**三、简算题（每道小题5分共10分）**
14．31×﹣11×﹣41.5×20
（）．
**四、计算题（第1小题4分，2-4每题5分，共19分）**
16．计算题．
（1﹣0.75）×（3.9+2.25÷2.5）
11÷\[10.4+（1﹣÷37.5%）\]
（3﹣3.125）÷0.5%÷0.5
32×÷（5.7﹣45×20%×）
**五、求下列图形中阴影部分的面积．（单位：厘米）**
17．计算阴影部分的面积．（单位：厘米）
18．图中两个三角形都是等腰直角三角形．求图形中阴影部分的面积
**六、应用题（共23分）**
19．某农场用拖拉机耕地1850公顷，已经耕完，剩下的用2台拖拉机5天耕完，平均每台每天耕地多少公顷？
20．黄宇看一本书，第一天看了总页数的，第二天看的比总数的少7页，剩下的刚好占页数的，这本书一共多少页？
21．客车由甲城开往乙城要10小时，货车由乙城开往甲城要15小时，两车同时从两城相向开出，相遇时客车比货车多行96千米，甲乙两城之间的公路长多少千米？
22．挖一条长1500米的引水渠，水渠横断面是一个梯形，面积是2.7平方米．
已知水渠上口宽2.4米，渠底宽1.2米，求水渠深．
已知每人每天挖土2.5立方米，计划20天完成，每天应安排多少人参加挖水渠？
23．一个水池装有进水管和出水管，单开进水管，8分钟可将空池注满，单开出水管，12分钟可将满池水放完．现在单开进水管2分钟以后，才打开出水管，还要多少分钟可将水池注满？
24．一条修路队原定用7天修完一条路，3天修了全程的30%，这时没修的比已经修的多280米，以后平均每天应修多少米，才能按原定时间完成任务？
25．有一批货物，上午运走30%，下午运走的比余下的多5吨，最后还剩下15吨没有运完，这些货物共有多少吨？
26．某机床厂计划制造100台机床，每台用钢材1.2吨，完成计划的40%后，进行了 技术改革，这时制造每台机床比原来节省钢材，问实际制造了多少台机床？
**-北师大版六年级（下）期末数学试卷（10）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（1-9每题1分，10-11每题2分，第12小题3分，共16分**
1．300立方厘米=[ 0.3 ]{.underline}立方分米=[ 0.3 ]{.underline}升．
【考点】体积、容积进率及单位换算．
【分析】300立方厘米换算成立方分米数，用300除以进率1000得0.3立方分米，1立方分米就等于1升，0.3立方分米就等于0.3升．
【解答】解：300÷1000=0.3（立方分米）=0.3（升）
故答案为：0.3，0.3．
2．小燕用45元的压岁钱兑换了4.5欧元．人民币与欧元的兑换最简整数比是[ 10：1 ]{.underline}，比值是[ 10 ]{.underline}．
【考点】求比值和化简比．
【分析】求人民币与欧元的兑换最简整数比用45：4.5，然后根据比的基本性质化成最简比，再用比的前项除以后项得出比值．
【解答】解：45：4.5
=（45÷4.5）：（4.5÷4.5）
=10：1；
10：1
=10÷1
=10；
故答案为：10：1；10．
3．路程一定，速度与时间．[ No ]{.underline}．（成正比例的在括号里写"Yes"，不成的写"No"）
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为速度×时间=路程（一定），
是对应两个量的乘积一定，
所以路程一定，速度与时间成反比例；
故答案为：No．
4．甲、乙两人同时从A地出发，如果甲向南走48m，记为+48m，则乙向北走32m记为[ ﹣32m ]{.underline}，这时甲、乙两人相距[ 80 ]{.underline}m．
【考点】负数的意义及其应用．
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向南走记为正，则向北走就记为负，两个数的差就是甲乙两人相距多少，直接得出结论即可．
【解答】解：48﹣（﹣32）=48+32=80（m），
答：甲、乙两人同时从A地出发，如果甲向南走48m，记为+48m，则乙向北走32m记为﹣32m，这时甲、乙两人相距 80m；
故答案为：﹣32m，80．
5．用S表示三角形的面积，a和h分别表示底和高，三角形面积的计算公式是[ S=ah÷2 ]{.underline}．
【考点】用字母表示数；三角形的周长和面积．
【分析】根据三角形面积=底×高÷2，进而把S、a和h代入公式即可．
【解答】解：因为三角形面积=底×高÷2，
所以S=ah÷2；
故答案为：S=ah÷2．
6．男工人数是女工人数的2倍，女工人数是男工人数的[ 50 ]{.underline}%，男工占工人总 数的[ 2 ]{.underline}/[ 3 ]{.underline}．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】根据男工人数是女工人数的2倍，把女工人数看作1份，则男工人数为2份，总份数是（1+2）份，由此列式解答．
【解答】解：1÷2=0.5=50%；
2÷（1+2）=；
答：女工人数是男工数的50%，男工占工人总数的．
故答案为：50，2，3．
7．[ 3 ]{.underline}/8=0.375=18÷[ 48 ]{.underline}=[ 6 ]{.underline}÷16=[ 37.5 ]{.underline}%
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化．
【分析】解决此题关键在于0.375，0.375可改写成37.5%，也可改写成，可改写成3÷8，进一步改写成18÷48和6÷16．
【解答】解： =0.375=18÷48=6÷16=37.5%．
故答案为：3，48，6，37.5．
8．从18的约数中选4个数，组成一个比例是[ 1：2=3：6 ]{.underline}．
【考点】找一个数的因数的方法；比例的意义和基本性质．
【分析】先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
【解答】解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2=3：6；
故答案为：1：2=3：6．
9．在比例尺1：5000000的地图上，量得两地的距离是8厘米，两地的实际距离是[ 400 ]{.underline}千米．
【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．
【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据"图上距离÷比例尺=实际距离"，代入数值计算即可．
【解答】解：8÷=40000000（厘米）=400（千米）
答：两地的实际距离是 400千米．
故答案为：400．
10．[ 67 ]{.underline}除以13商5余2．
【考点】有余数的除法．
【分析】在有余数的除法里求被除数，就用商乘除数再加上余数．
【解答】解：被除数是：13×5+2=67；
故答案为：67．
11．商是21，如果被除数缩小10倍，除数扩大10倍，那么商是[ 0.21 ]{.underline}．
【考点】商的变化规律．
【分析】由题意"被除数缩小10倍"，如果被除数不变，实际上把除数扩大了10倍，除数再扩大10倍，这样把除数扩大了100倍．除数扩大了100倍，商相应的缩小100倍，商变为0.21．
【解答】解："被除数缩小10倍"，如果被除数不变，实际上把除数扩大了10倍．除数再扩大10倍，这样把除数扩大了100倍．
除数扩大了100倍，商相应的缩小100倍．因此商为：21÷100=0.21．
（例如：210÷10=21，被除数210缩小10倍后为21，除数10扩大10倍后为100，则原式变为21÷100=0.21．）
故答案为0.21．
12．在8的后面添上一个零，这个数比原数多[ 72 ]{.underline}，这个数比原数多[ 9 ]{.underline}倍．
【考点】分数四则复合应用题．
【分析】8后面添一个零变为80，求这个数比原数多多少，即求80比8多的具体数值，用减法80﹣8=72；求这个数比原数多几倍，即求多出的72是原数的多少倍用除法：72÷8=9（倍）．
【解答】解：这个数比原数多：80﹣8=72；
这个数比原数多：72÷8=9（倍）．
故答案为：72，9．
**二、口算题**
13．口算题
----------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------
0.37+2.3= 0.125×16= 5÷7= ×3= +1=
×= 0.5÷= ×1= 1﹣0.94= 8.4÷0.07=
﹣= 10.01÷10%= 2﹣1= 1÷= 40÷25%=
----------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------
【考点】分数的加法和减法；分数除法．
【分析】根据分数、小数和百分数四则运算的计算法则口算即可，算式中的百分数化成小数计算简便．
【解答】解：
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.37+2.3=2.67 0.125×16=2 5÷7= ×3= +1=1
×= 0.5÷=1 ×1=1 1﹣0.94=0.06 8.4÷0.07=120
﹣= 10.01÷10%=100.1 2﹣1= 1÷=2 40÷25%=160
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**三、简算题（每道小题5分共10分）**
14．31×﹣11×﹣41.5×20
（）．
【考点】分数的四则混合运算；分数的简便计算；整数、分数、小数、百分数四则混合运算．
【分析】算式（1）可根据乘法分配律进行计算；
算式（2）可根据乘法分配律计算括号中的算式．
【解答】解：（1）31×﹣11×﹣41.5×20
=31×41.5﹣11×41.5﹣41.5×20，
=（31﹣11﹣20）×41.5，
=0×41.5，
=0；
（2）（）
=（+）×3.17÷3.17，
=1×3.17÷3.17，
=1．
**四、计算题（第1小题4分，2-4每题5分，共19分）**
16．计算题．
（1﹣0.75）×（3.9+2.25÷2.5）
11÷\[10.4+（1﹣÷37.5%）\]
（3﹣3.125）÷0.5%÷0.5
32×÷（5.7﹣45×20%×）
【考点】整数、分数、小数、百分数四则混合运算；小数四则混合运算．
【分析】（1）先算第二个小括号里面的除法，再同时运算两个小括号里面的加、减法，然后算括号外的乘法；
（2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，然后算中括号里面的加法，最后算括号外的除法；
（3）先算括号里面的减法，再按照从左到右的顺序计算括号外的除法，注意小数的位数；
（4）先按照从左到右的顺序计算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，然后算括号外的乘法，最后算括号外的除法．
【解答】解：（1）（1﹣0.75）×（3.9+2.25÷2.5）
=（1﹣0.75）×（3.9+0.9）
=0.25×4.8
=0.25×4×1.2
=1×1.2
=1.2
（2）11÷\[10.4+（1﹣÷37.5%）\]
=11÷\[10.4+（1﹣1）\]
=11÷\[10.4+0.6\]
=11÷11
=1
（3）（3﹣3.125）÷0.5%÷0.5
=0.25÷0.005÷0.5
=50÷0.5
=100
（4）32×÷（5.7﹣45×20%×）
=32×÷（5.7﹣9×）
=32×÷（5.7﹣4.5）
=32×÷1.2
=12÷1.2
=10
**五、求下列图形中阴影部分的面积．（单位：厘米）**
17．计算阴影部分的面积．（单位：厘米）
【考点】组合图形的面积．
【分析】观图可知：图中两个三角形都为等腰直角三角形，阴影部分也是一个等腰直角三角形，两腰长为8﹣5=3厘米，根据三角形的面积公式：S=ah÷2，代入数据解答即可．
【解答】解：（8﹣5）×（8﹣5）÷2
=3×3÷2
=9÷2
=4.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.5平方厘米．
18．图中两个三角形都是等腰直角三角形．求图形中阴影部分的面积
【考点】三角形的周长和面积．
【分析】阴影部分的面积就是直角边长是7的三角形的面积，用底乘高除以2列式计算．
【解答】解：7×7÷2
=49÷2
=24.5
答：阴影部分的面积是24.5．
**六、应用题（共23分）**
19．某农场用拖拉机耕地1850公顷，已经耕完，剩下的用2台拖拉机5天耕完，平均每台每天耕地多少公顷？
【考点】分数四则复合应用题．
【分析】"剩下的用2台拖拉机5天耕完，平均每台每天耕地多少公顷"，首先应知道剩下的公顷数；已经耕完，还剩1﹣=；那么还剩1850×；然后除以2再除以5即可．
【解答】解：1850×（1﹣）÷2÷5，
=1850×÷2÷5，
=138（公顷）．
答：平均每台每天耕138公顷．
20．黄宇看一本书，第一天看了总页数的，第二天看的比总数的少7页，剩下的刚好占页数的，这本书一共多少页？
【考点】分数四则复合应用题．
【分析】把这本书看作单位"1"，由"第一天看了总页数的，第二天看的比总数的少7页，剩下的刚好占页数的"可知，第二天看的比总数的少7页，7页所对应的分率是++﹣1=，用对应量7除以对应分率，就是这本书的总页数．
【解答】解：7÷（﹣1），
=7÷，
=56（页）；
答：这本书一共56页．
21．客车由甲城开往乙城要10小时，货车由乙城开往甲城要15小时，两车同时从两城相向开出，相遇时客车比货车多行96千米，甲乙两城之间的公路长多少千米？
【考点】简单的行程问题．
【分析】把甲乙两城之间的公路长看做单位"1"，由此得出客车和货车的速度分别为：，根据题意先求得客车比货车每小时多行的长度即可解决问题．
【解答】解：把甲乙两城之间的公路长看做单位"1"，则：
客车的速度为：1÷10=，
货车的速度为：1÷15=，
甲乙两车的相遇时间为：1÷（+）=6（小时）
客车比货车每小时多行：96÷6=16（千米）
甲乙两城之间的公路长：
16÷（），
=16÷，
=16×30，
=480（千米）；
答：甲乙两城之间的公路长480千米．
22．挖一条长1500米的引水渠，水渠横断面是一个梯形，面积是2.7平方米．
已知水渠上口宽2.4米，渠底宽1.2米，求水渠深．
已知每人每天挖土2.5立方米，计划20天完成，每天应安排多少人参加挖水渠？
【考点】梯形的面积；简单的归总应用题．
【分析】①水渠深即这个梯形的高，利用S~梯形~=（上底+下底）×高÷2即可解决．
②根据题意可求出这个工程的工作总量即这个水渠的体积，利用工作总量与工作效率和工作时间的关系即可解决问题．
【解答】解：①根据梯形的面积公式可得：
h=S~梯形~×2÷（上底+下底），
2.7×2÷（2.4+1.2），
=5.4÷3.6，
=1.5（米）；
②2.7×1500=4050（立方米）；
4050÷（2.5×20），
=4050÷50，
=81（人）；
答：这个水渠深是1.5米；每天应安排81人参加挖渠．
23．一个水池装有进水管和出水管，单开进水管，8分钟可将空池注满，单开出水管，12分钟可将满池水放完．现在单开进水管2分钟以后，才打开出水管，还要多少分钟可将水池注满？
【考点】简单的工程问题．
【分析】此题可用方程解答，还需x分钟将水池注满，根据：进水管（x+2）分进的水﹣出水管x分出的水=单位"1"，列并解这个方程即可．
【解答】解：设还需x分钟将水池注满，由题意得，
×（x+2）﹣x=1，
12x+24﹣8x=96，
4x=96﹣24，
x=18．
答：还要18钟将水池注满．
24．一条修路队原定用7天修完一条路，3天修了全程的30%，这时没修的比已经修的多280米，以后平均每天应修多少米，才能按原定时间完成任务？
【考点】分数、百分数复合应用题．
【分析】由"3天修了全程的30%，"知道没修的占全长的几分之几．再根据"没修的比已经修的多280米"，即可求出全长．全长求出后，没修的也就求出，这样一步一步理清思路，即可解答．
【解答】解：280÷（1﹣30%﹣30%）=700（米），
700×（1﹣30%）=490（米），
490÷（7﹣3）=122.5（米）；
答：以后每天修122.5米．
25．有一批货物，上午运走30%，下午运走的比余下的多5吨，最后还剩下15吨没有运完，这些货物共有多少吨？
【考点】分数、百分数复合应用题．
【分析】把这批货物的总重量看作单位"1"，未知，设这批货物共有X吨，则上午运走30%X，下午运走（1﹣30%）X×+5，由题意得方程，解方程即可．
【解答】解：设这批货物共有X吨：
30%X+\[（1﹣30%）X×+5\]+15=X，
30%X+\[X×+5\]+15=X，
30%X+X+5+15=X，
X﹣0.2X﹣0.3X=20，
0.5X=20，
X=40．
答：这批货物一共有40吨．
26．某机床厂计划制造100台机床，每台用钢材1.2吨，完成计划的40%后，进行了 技术改革，这时制造每台机床比原来节省钢材，问实际制造了多少台机床？
【考点】分数、百分数复合应用题；有关计划与实际比较的三步应用题．
【分析】先把计划的机床量100台看成单位"1"，求出先制造了多少台机床；再求出一共有多少吨钢材，把全部的钢材看成单位"1"，剩下的钢材是全部的1﹣40%，求出剩下了多少吨钢材；然后把原来每台用的钢材量看成单位"1"，现在用的是原来的1﹣，再求出现在一台机床用的钢材量；用剩下的钢材除以现在的一台机床用的钢材量，就是后来制造了多少台机床；进而求出实际制造了多少太机床．
【解答】解：100×40%=40（台），
100×1.2=120（吨），
120×（1﹣40%）=72（吨），
1.2×（1﹣）=1（吨），
72÷1+40=112（台）；
答：实际制造了112台机床．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第五节：收玉米**
一、口算
15-9= 5+42= 65-24= 57+40=
40-20= 40+53= 60+30= 49-8=
54+5= 46-40= 73+6= 48-8=
二、填空
1、89里面有（ ）个十和（ ）个一。
2、列竖式算加减法时，要把（ ）对齐，从（ ）算起。
3、比13大6的数是（ ）；比35少10的数是（ ）。
4、淘气看一本84页的书，已经看了12页，还剩（ ）页没看。
5、一个数从右边起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）位，第三位是（ ）位。
6、100里面有（ ）个十，100里面有（ ）个一。
7、56的十位上是（ ），表示（ ）个（ ）；个位上是（ ），表示（ ）个（ ）。
8、和89相邻的数是（ ）和（ ）。
9、63是由（ ）个一和（ ）十个组成的．
10、37和39中间的数是（ ）。
11、个位上5，十位上是2，这个数是（ ）。
三、森林医生。（对的画"√"，错的画"×"，并改正）
四、在□里填上合适的数字。
2 7 8 □ 9 □
[+3 □]{.underline} [－2 5]{.underline} [－4 6]{.underline}
6 □ 6 □ 4 □
五、填表。
------- --------- --------- -------------------------
故事书 直 尺 铅 笔
原 有 44本 62把 （ ）枝
卖 出 18本 （ ）把 23枝\[来源:学科网ZXXK\]
还 剩 （ ）本 25把 29枝
------- --------- --------- -------------------------
\[来源:Zxxk.Com\]
答案\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
一、口算
15-9=6 5+42=47 65-24=41 57+40=97
40-20=20 40+53=93 60+30=90 49-8=41
54+5=59 46-40=6 73+6=79 48-8=40
二、填空
1、8 9
2、位数 个位
3、19 25
4、72
5、个 十 百
6、10 100
7、5  5个10 6 6个1 \[来源:Z.xx.k.Com\]
8、88 90
9、3 6
10、38
11、25\[来源:学科网\]
三、森林医生。（对的画"√"，错的画"×"，并改正）
3+46=49 56+22=78 50-32=18
四、
2 7 8 7  9 0
[+3 5]{.underline}  [－]{.underline} [2 5]{.underline} [－4 6]{.underline}
6 2 6 2 4 4
五、填表。
------- ------------ ---------------------------------------- ------------
故事书 直 尺 铅 笔
原 有 44本 62把 （ 52 ）枝
卖 出 18本 （ 37 ）把 23枝
还 剩 （ 26 ）本 25把 29枝
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**2019年天津市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)**
1．（3分）（2019•天津）计算 的结果等于
A． B． C．27 D．6
2．（3分）（2019•天津）的值等于
A． B．2 C．1 D．
3．（3分）（2019•天津）据2019年3月21日《天津日报》报道，"伟大的变革庆祝改革开放40周年大型展览"3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将4230000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图
是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•天津）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）（2019•天津）计算的结果是
A．2 B． C．1 D．
8．（3分）（2019•天津）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于
A． B． C． D．20
9．（3分）（2019•天津）方程组的解是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•天津）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
11．（3分）（2019•天津）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
12．（3分）（2019•天津）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
-- -- -- -- --- --- --- --
0 1 2
-- -- -- -- --- --- --- --
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于的方程的两个根；③．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
**二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）**
13．（3分）（2019•天津）计算的结果等于[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•天津）计算的结果等于[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•天津）对于直线与轴的交点坐标是[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点在格点上，是小正方形边的中点，，，经过点，的圆的圆心在边上．
（Ⅰ）线段的长等于[ ]{.underline}；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使其满足，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答写出文字说明、演算步骤或推理过程）**
19．（8分）（2019•天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得[ ]{.underline}；
（Ⅱ）解不等式②，得[ ]{.underline}；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为[ ]{.underline}．
20．（8分）（2019•天津）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为[ ]{.underline}，图①中的值为[ ]{.underline}；
（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
21．（10分）（2019•天津）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点．若，求的大小．
22．（10分）（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．
参考数据：，，．
23．（10分）（2019•天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元．在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（Ⅰ）根据题意填表：
---------------- -------------------- ----- -------------------- --
一次购买数量 30 50 150
甲批发店花费元 [ ]{.underline} 300 [ ]{.underline}
乙批发店花费元 [ ]{.underline} 350 [ ]{.underline}
---------------- -------------------- ----- -------------------- --
（Ⅱ）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为[ ]{.underline}；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的[ ]{.underline}批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的[ ]{.underline}批发店购买数量多．
24．（10分）（2019•天津）在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，．矩形的顶点，，分别在，，上，．
（Ⅰ）如图①，求点的坐标；
（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与相交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（10分）（2019•天津）已知抛物线，为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点，在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
**2019年天津市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)**
1．（3分）计算 的结果等于
A． B． C．27 D．6
【考点】有理数的乘法
【分析】由正数与负数的乘法法则得；
【解答】解：；
故选：．
2．（3分）的值等于
A． B．2 C．1 D．
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：，
故选：．
3．（3分）据2019年3月21日《天津日报》报道，"伟大的变革庆祝改革开放40周年大型展览"3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将4230000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于4230000有7位，所以可以确定．
【解答】解：．
故选：．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．
故选：．
6．（3分）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小
【分析】由于，于是，从而有．
【解答】解：，
，
．
故选：．
7．（3分）计算的结果是
A．2 B． C．1 D．
【考点】分式的加减法
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故选：．
8．（3分）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于
A． B． C． D．20
【考点】坐标与图形性质；菱形的性质
【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：，两点的坐标分别是，，
，
四边形是菱形，
菱形的周长为，
故选：．
9．（3分）方程组的解是
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】运用加减消元分解答即可．
【解答】解：，
①②得，，
把代入①得，，解得，
故原方程组的解为：．
故选：．
10．（3分）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】分别计算出自变量为、和1对应的函数值，从而得到，，的大小关系．
【解答】解：当，；
当，；
当，，
所以．
故选：．
11．（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质
【分析】根据旋转的性质得到，，，故错误，错误；
得到，根据三角形的内角和得到，，求得，故正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故错误．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故错误，错误；
，
，，
，故正确；
不一定等于，
不一定等于，故错误
故选：．
12．（3分）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
-- -- -- -- --- --- --- --
0 1 2
-- -- -- -- --- --- --- --
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于的方程的两个根；③．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】①当时，，当时，，，①正确；
②是对称轴，时，则时，，②正确；
③；当时，，，，③错误；
【解答】解：当时，，
当时，，
，
，
，
①正确；
是对称轴，
时，则时，，
和3是关于的方程的两个根；
②正确；
，，
，
，
当时，，
，
，
③错误；
故选：．
**二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）**
13．（3分）计算的结果等于[ ]{.underline}．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解答．
【解答】解：．
故答案为：
14．（3分）计算的结果等于[ 2 ]{.underline}．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式
．
故答案为2．
15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是[ ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率．
故答案为．
16．（3分）对于直线与轴的交点坐标是[ ， ]{.underline}．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】当直线与轴相交时，；将代入函数解析式求值．
【解答】解：根据题意，知，
当直线与轴相交时，，
，
解得，；
直线与轴的交点坐标是，；
故答案是：，．
17．（3分）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为[ ]{.underline}．
【考点】正方形的性质；：翻折变换（折叠问题）
【分析】由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，
，，
，
又，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点在格点上，是小正方形边的中点，，，经过点，的圆的圆心在边上．
（Ⅰ）线段的长等于[ ]{.underline}；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使其满足，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）[ ]{.underline}．
【考点】作图复杂作图；圆周角定理；勾股定理
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ），
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，则点满足，
故答案为：取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，则点满足．
**三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答度写出文字说明、演算步骤或推理过程）**
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得[ ]{.underline}；
（Ⅱ）解不等式②，得[ ]{.underline}；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为[ ]{.underline}．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
20．（8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为[ 40 ]{.underline}，图①中的值为[ ]{.underline}；
（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
【考点】众数；扇形统计图；算术平均数；用样本估计总体；条形统计图；中位数
【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得的值；
（Ⅱ）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：，
，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）平均数是：，
众数是1.5，中位数是1.5；
（Ⅲ）（人，
答：该校每天在校体育活动时间大于的学生有720人．
21．（10分）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点．若，求的大小．
【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】（Ⅰ）连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；
（Ⅱ）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接、，
，是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
（Ⅱ）连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
22．（10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．
参考数据：，，．
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：在中，，
则，
在中，，
，
，
，
解得，，
答：这座灯塔的高度约为．
23．（10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元．在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（Ⅰ）根据题意填表：
---------------- ----------------------- ----- -------------------- --
一次购买数量 30 50 150
甲批发店花费元 [ 180 ]{.underline} 300 [ ]{.underline}
乙批发店花费元 [ ]{.underline} 350 [ ]{.underline}
---------------- ----------------------- ----- -------------------- --
（Ⅱ）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为[ ]{.underline}；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的[ ]{.underline}批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的[ ]{.underline}批发店购买数量多．
【考点】一次函数的应用
【分析】（Ⅰ）根据题意，甲批发店花费（元购买数量（千克）；，；而乙批发店花费（元，当一次购买数量不超过时，元；一次购买数量超过时，元．
（Ⅱ）根据题意，甲批发店花费（元购买数量（千克）；而乙批发店花费（元在一次购买数量不超过时，（元购买数量（千克）；一次购买数量超过时，（元；即：花费（元是购买数量（千克）的分段函数．
（Ⅲ）①花费相同，即；可利用方程解得相应的的值；
②求出在时，所对应的、的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数值．
③求出当时，两店所对应的的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变量的值．
【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：元，元；乙批发店：元，元．
故依次填写：180 900 210 850．
（Ⅱ）
当时，
当时，
因此，与的函数解析式为： ；
（Ⅲ）①当时，有：，解得，不和题意舍去；
当时，也有：，解得，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．
②当时，元，元，
乙批发店花费少．
故乙批发店花费少．
③当时，即：和；解得和，
甲批发店购买数量多．
故甲批发店购买的数量多．
24．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，．矩形的顶点，，分别在，，上，．
（Ⅰ）如图①，求点的坐标；
（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与相交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【考点】四边形综合题
【分析】（Ⅰ）由已知得出，由矩形的性质得出，在中，，由勾股定理得出，即可得出答案；
（Ⅱ）①由平移的性质得：，，，，得出，在中，，，求出，，即可得出答案；
②当时，，由直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可；
当时，，，由直角三角形的性质得出，，由梯形面积公式得出，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，，
，
点的坐标为，；
（Ⅱ）①由平移的性质得：，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，其中的取值范围是：；
②当时，如图③所示：
，
，，
，
解得：，或（舍去），
；当时，如图④所示：
，，
，，
，
解得：，
当时，的取值范围为．
25．（10分）已知抛物线，为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点，在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（Ⅰ）将点代入，求出关于的代数式，再将代入即可求出的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）将点代入抛物线，求出点纵坐标为，由判断出点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧，过点作轴，可证为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出的值；
（Ⅲ）将点，代入抛物线，求出纵坐标为，可知点，在第四象限，且在直线的右侧，点，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，过点作轴于点，则点，，在中，可知，设点，则可用含的代数式表示，因为，所以，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点，
，
即，
当时，
，
抛物线的顶点坐标为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
由，得，，
点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧，
如图1，过点作轴，垂足为，则点，
，，得，
在中，，
，
由已知，，
，
；
（Ⅲ）点，在抛物线上，
，
可知点，在第四象限，且在直线的右侧，
，
可取点，
如图2，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
由，得，
则此时点满足题意，
过点作轴于点，则点，，
在中，可知，
，，
点，
，
解得，，
，
，
．
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**北师大版小学数学总复习《空间与图形》检测试题三（附答案）**
一、我会填空。
1．图形之间的变换有( )、( )、( )。
2．平移过程中只是( )发生了改变，而图形的( )没有改变。
二、慧眼识真金。(对的打"√"，错的打"×")
1．平移后的图形大小改变了。( )
2．旋转后的图形大小不变。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．长方形是轴对称图形。( )
4．任何一个梯形都不是轴对称图形。( )
三、精挑细选。(将正确答案的序号填在括号里)
1．在下面硬纸片中，把它按图中的线对折，( )能折成一个正方体。
  
2．从前面看是从右面看也是的图形是( )。
  
3．将图形向下翻转，然后按顺时针方向转90°，它将呈现( )形状。
   
四、解决问题。
1．说说图形从A B C D是怎样变过来的。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．把下面的图形向右平移6格后，绕O点顺时针旋转180°再画出按2:1扩大后的图形。
3．画出下面图形的对称轴。
   
五、动脑筋。
用24根火柴摆成下图，其中有大大小小许多正方形。
1．拿掉8根火柴棒，使它变成2个正方形。
2．拿掉4根，使它变成5个正方形。请画出来。
**参考答案**
一、1．翻转 旋转 平移 2．位置 形状、大小
二、1．× 2．√ 3．√ 4．×
三、1．B 2．C 3．D
四、1．A B平移 B C旋转 C D翻转
2．自己画
3．自己画
五、相信你最棒
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**2017年四川省广安市中考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）**
1．2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．下列运算正确的是（ ）
A．\|\|= B．x^3^•x^2^=x^6^ C．x^2^+x^2^=x^4^ D．（3x^2^）^2^=6x^4^
3．据媒体报道，我国最新研制的"察打一体"无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．204×10^3^ B．20.4×10^4^ C．2.04×10^5^ D．2.04×10^6^
4．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是10
5．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x=2
6．如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=，BD=5，则OH的长度为（ ）
A． B． C．1 D．
10．如图所示，抛物线y=ax^2^+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b^2^﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3
其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置。共6小题，每小题3分，满分18分）**
11．分解因式：mx^2^﹣4m=[ ]{.underline}．
12．如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4=[ ]{.underline}．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是[ ]{.underline}．
14．不等式组的解集为[ ]{.underline}．
15．已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为[ ]{.underline}．
16．正方形A~1~B~1~C~1~O，A~2~B~2~C~2~C~1~，A~3~B~3~C~3~C~2~...按如图所示放置，点A~1~、A~2~、A~3~...在直线y=x+1上，点C~1~、C~2~、C~3~...在x轴上，则A~n~的坐标是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共4小题，满分23分）**
17．计算：﹣1^6^×cos45°﹣2017^0^+3^﹣1^．
18．先化简，再求值：（ +a）÷，其中a=2．
19．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6，
（1）求函数y=和y=kx+b的解析式．
（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y=的图象上一点P，使得S~△POC~=9．
**四、实践应用题（共4小题，满分30分）**
21．某校为提高学生身体素质，决定开展足球、篮球、台球、乒乓球四项课外体育活动，并要求学生必须并且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题．（要求写出简要的解答过程）
（1）这次活动一共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）若该学校总人数是1300人，请估计选择篮球项目的学生人数．
22．某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．
（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．
（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．
23．如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．
（2）求乙建筑物的高CD．\[来源:学\|科\|网\]
24．在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
**五、推理论证题（共1小题，满分9分）**
25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
**六、拓展探索题（共1小题，满分10分）\[来源:学科网ZXXK\]**
26．如图，已知抛物线y=﹣x^2^+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
**2017年四川省广安市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）**
1．2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【考点】14：相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号，求解即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．\|\|= B．x^3^•x^2^=x^6^ C．x^2^+x^2^=x^4^ D．（3x^2^）^2^=6x^4^
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；28：实数的性质；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．
【分析】分别利用绝对值以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项、积的乘方运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、\|﹣1\|=﹣1，正确，符合题意；
B、x^3^•x^2^=x^5^，故此选项错误；
C、x^2^+x^2^=2x^2^，故此选项错误；
D、（3x^2^）^2^=9x^4^，故此选项错误；
故选：A．
3．据媒体报道，我国最新研制的"察打一体"无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．204×10^3^ B．20.4×10^4^ C．2.04×10^5^ D．2.04×10^6^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：204000米/分，这个数用科学记数法表示2.04×10^5^，
故选：C．
4．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是10
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】先把数据由小到大排列，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的算术平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．
【解答】解：数据由小到大排列为1，2，6，6，10，
它的平均数为（1+2+6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，
数据的方差= \[（1﹣5）^2^+（2﹣5）^2^+（6﹣5）^2^+（6﹣5）^2^+（10﹣5）^2^\]=10.4．
故选A．
5．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x=2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
则实数x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
6．如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】从侧面看圆柱的视图为矩形，据此求解即可．
【解答】解：∵该几何体上下部分均为圆柱体，
∴其左视图为矩形，
故选C．
7．当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】由k＜0可得出﹣k＞0，结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，\[来源:Zxxk.Com\]
∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．
故选C．
8．下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】LN：中点四边形；L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定；LD：矩形的判定与性质；LF：正方形的判定．
【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：∵四边相等的四边形一定是矩形，∴①错误；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有1个，
故选D．
9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=，BD=5，则OH的长度为（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH=4，由勾股定理得出BH==3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵cos∠CDB==，BD=5，
∴DH=4，
∴BH==3，
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x^2^+4^2^=（x+3）^2^，
解得：x=，
∴OH=；
故选：D．
10．如图所示，抛物线y=ax^2^+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b^2^﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3
其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b^2^﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，
∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，
∵x=﹣3时，y＜0，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），
∴y=a﹣b+c=3，
∴y=a﹣2a+c=3，
即c﹣a=3，故④正确；
故选（B）
**二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置。共6小题，每小题3分，满分18分）**
11．分解因式：mx^2^﹣4m=[ m（x+2）（x﹣2） ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：mx^2^﹣4m=m（x^2^﹣4）
=m（x+2）（x﹣2）．
故答案为：m（x+2）（x﹣2）．
12．如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4=[ 110° ]{.underline}．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】根据∠1与∠2互补，可得a与b平行；再根据两直线平行同位角相等，即可求出∠4与∠3相等．
【解答】解：如图，∵∠1+∠2=180°，
∴a∥b，
∴∠3=∠4，
又∵∠3=110°，
∴∠4=110°．
故答案为：110°．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是[ 6 ]{.underline}．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】根据题意求出AD、DE，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴AD=AC=4，DE=BC=3，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴△ADE的面积=×AD×DE=6，
故答案为：6．
14．不等式组的解集为[ 1＜x≤4 ]{.underline}．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＜4，得：x＞1，
解不等式x﹣1≤，得：x≤4，
所以不等式组解集为：1＜x≤4，
故答案为：1＜x≤4．
15．已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为[ y=﹣5x+5 ]{.underline}．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出P′点坐标，再求出k的值，再利用一次函数平移的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y=kx+3上，
∴﹣2=k+3，
解得：k=﹣5，
则y=﹣5x+3，
∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣5x+5．
故答案为：y=﹣5x+5．
16．正方形A~1~B~1~C~1~O，A~2~B~2~C~2~C~1~，A~3~B~3~C~3~C~2~...按如图所示放置，点A~1~、A~2~、A~3~...在直线y=x+1上，点C~1~、C~2~、C~3~...在x轴上，则A~n~的坐标是[ （2^n﹣1^﹣1，2^n﹣1^）， ]{.underline}．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．
【分析】先求出A~1~、A~2~、A~3~的坐标，找出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵直线y=x+1和y轴交于A~1~，
∴A~1~的坐标（0，1），
即OA~1~=1，
∵四边形C~1~OA~1~B~1~是正方形，
∴OC~1~=OA~1~=1，
把x=1代入y=x+1得：y=2，
∴A~2~的坐标为（1，2），
同理A~3~的坐标为（3，4），
...
A~n~的坐标为（2^n﹣1^﹣1，2^n﹣1^），
故答案为：（2^n﹣1^﹣1，2^n﹣1^），
**三、解答题（共4小题，满分23分）**
17．计算：﹣1^6^×cos45°﹣2017^0^+3^﹣1^．
【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简求出答案．
【解答】解：﹣1^6^×cos45°﹣2017^0^+3^﹣1^
=﹣1+2×﹣1+
=．
18．先化简，再求值：（ +a）÷，其中a=2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先化简分式，再代入求值．
【解答】解：原式=×
=×
=
当a=2时，原式=3．
19．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】直接利用已知得出∠BCE=∠ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90°，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6，
（1）求函数y=和y=kx+b的解析式．
（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y=的图象上一点P，使得S~△POC~=9．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A（4，2）代入反比例函数y=，可得反比例函数解析式，把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得一次函数解析式；
（2）根据C（3，0），可得CO=3，设P（a，），根据S~△POC~=9，可得×3×=9，解得a=，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，2）代入反比例函数y=，可得m=8，
∴反比例函数解析式为y=，
∵OB=6，
∴B（0，﹣6），
把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得
，解得，
∴一次函数解析式为y=2x﹣6；
（2）在y=2x﹣6中，令y=0，则x=3，
即C（3，0），
∴CO=3，
设P（a，），则
由S~△POC~=9，可得×3×=9，
解得a=，
∴P（，6）．
**四、实践应用题（共4小题，满分30分）**
21．某校为提高学生身体素质，决定开展足球、篮球、台球、乒乓球四项课外体育活动，并要求学生必须并且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题．（要求写出简要的解答过程）
（1）这次活动一共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）若该学校总人数是1300人，请估计选择篮球项目的学生人数．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）由"足球"人数及其百分比可得总人数；
（2）根据各项目人数之和等于总人数求出"篮球"的人数，补全图形即可；
（3）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得．
【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：140÷35%=400（人）；
（2）选择"篮球"的人数为：400﹣140﹣20﹣80=160（人），
；
（3）估计该学校选择乒乓球项目的学生人数约是：1300×=520（人）．
22．某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．
（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．
（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．
【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据总价=单价×数量，即可得出W关于t的函数关系式；
（2）由购买纪念品的总价范围，即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t值，从而得出各购买方案，再根据一次函数的性质即可得出W的最小值，选取该方案即可．
【解答】解：（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，
根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．
（2）根据题意得：，
解得：30≤t≤32，
∴有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．
∵W=8t+900中W随x的增大而增大，
∴当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，
∴为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．
23．如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．
（2）求乙建筑物的高CD．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；
（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．
【解答】解：（1）作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABD中，AD===10（米）；
（2）在Rt△BCE中，CE=AD=10米，
BE=CE•tanβ=10×=10（米），
则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20（米）
答：乙建筑物的高度DC为20m．
24．在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【考点】R9：利用旋转设计图案；P8：利用轴对称设计图案；Q5：利用平移设计图案．
【分析】利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
【解答】解：如图．
．
**五、推理论证题（共1小题，满分9分）**
25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；
（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得：，得出结论．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠BAE=90°，
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
Rt△ACB中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×4=8，
由勾股定理得：AC==4，
Rt△ADB中，cos∠BAD==，
∴，
∴AD=6，
∴BD==2，
∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，\[来源:学科网ZXXK\]
∴△DFB∽△AFC，
∴，
∴，
∴BF=．
**六、拓展探索题（共1小题，满分10分）**
26．如图，已知抛物线y=﹣x^2^+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x^2^+bx+c对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为y=﹣x^2^+2x+3，
令y=0可得﹣x^2^+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，﹣4t^2^+4t+3），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t=﹣4t^2^+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，
由题意可知OM=2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ==，BQ==\|2t﹣3\|，
又由题意可知0＜t＜1，
当OB=QB时，则有\|2t﹣3\|=3，解得t=（舍去）或t=；
当OQ=BQ时，则有=\|2t﹣3\|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数 学（理工类）**
**参考解答**
**一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。**
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．**
11．2 12． 13．3
14． 15． 16．390
**三、解答题**
17．（本小题满分12分）
本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：．
因此，函数的最小正周期为．
> （Ⅱ）**解法一：**因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
**解法二：**作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．
18．（本小题满分12分）
本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设"从甲盒内取出的2个球均为黑球"为事件，"从乙盒内取出的2个球均为黑球"为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．
（Ⅱ）解：设"从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球"为事件，"从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球"为事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．
从而．
的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
的数学期望．
19．（本小题满分12分）
本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
> 底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
> （Ⅲ）**解法一：**过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知， 平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的大小是．
**解法二：**由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
20．（本小题满分12分）
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
-- -- -------- -- -------- --
0 0
极小值 极大值
-- -- -------- -- -------- --
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
-- -- -------- -- -------- --
0 0
极大值 极小值
-- -- -------- -- -------- --
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
21．（本小题满分14分）
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）**解法一：**，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何都成立．
**解法二：**由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设， ①
②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
． ③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
22．（本小题满分14分）
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．
由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）**解法一：**设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得，
．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 ．
> **解法二：**设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组
由①式得． ③
由②式得． ④
将③式代入④式得．
整理得，
于是． ⑤
由①式得． ⑥
由②式得． ⑦
将⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是． ⑧
> 由知．将⑤式和⑧式代入得，
将代入上式，得
所以，点的轨迹方程为
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）------露在外面的面》同步检测1（附答案）**
一、长方体或正方体六个面的总面积叫做它们的 [ ]{.underline} 。
二、判断题。（对的打"√"，错的打"×"）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、底面是正方形的长方体一定是正方体。 （ ）
2、有六个面、八个顶点，十二条棱的立体图形一定是长方体。 （ ）
3、一个长方体中最多有4条棱长度相等。 （ ）
4、一个正方体纸盒放在桌面上，露在外面的面有5个。 （ ）
三、下图是一个 [ ]{.underline} 体的展开图，请量出它的长、宽、高。
长（ ）厘米
宽（ ）厘米
高（ ）厘米
四、把一个棱长为10厘米的正方体纸盒放在墙角处（如右图），有（ ）
> 个面露在外面，露在外面的的面积是（ ）厘米。
五、把3个棱长为10厘米的正方体纸箱放在墙角处（如右图），有（ ）
> 个面露在外面，露在外面的面积是（ ）厘米。
六、如第五题图，3个棱长都是10厘米的正方体堆放在墙角处还有没有别的摆法？露在外面的面积是否有变化？
七、将小正方体按下面方式摆放在地上。
 1个小正方体有（ ）个面露在外面，2个小正方体有（ ）个面露在外面，3个小正方体有（ ）个面露在外面。按照这样的方式摆放，8个小正方体有（ ）个面露在外面。
八、右图是校运动会的领奖台示意图，它由4个棱长为去分米的
> 正方体组成，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积
>
> 是（ ）分米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
九、数一数，分别有几个面露在外面？
共有（ ）个面露在外面。 共有（ ）个面露在外面。
十、给放在地面上的正方体无盖木箱露在外面的表面涂油漆，已知正方体木箱的棱长是1.4米，要涂油漆的面积有多大？
十一、礼堂里有五根长方体的大理石柱，为迎接春节，打算在大理石柱表面包一层金色墙纸，已知石柱的长、宽都是1.5米，高是8米，包金色墙纸的面积有多大？
十二、把六个棱长3厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是多少平方厘米？（有两种拼法。）
**部分答案：**
1. 表面积
二、1、× 2、× 3、× 4、√
三、长方
四、3 300
五、7 700
七、5 8 11 26
八、21 336
九、11 23
十、7.84米
十一、240米
十二、234厘米或198厘米
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 分苹果**
1. **算一算。**
> 10÷2 = 15÷3 = 15÷5 = 16÷4 =
>
> 12÷6 = 9÷3 = 21÷7= 30÷5 =
42÷6 = 35÷5 = 54÷6 = 36÷4 =
**二、圈一圈，填一填。\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]**
1、把苹果分给3个小朋友，用笔圈起来。
2、每个篮子装2个苹果，可以装（ ）篮子。
3、5个小朋友，每个小朋友能分几个苹果？（ ）÷（ ）= （ ）
1、把气球3个贴一排，可以贴（ ）排。
2、每个4个气球贴出一个组合，可以贴（ ）个组合。
3、3个小朋友贴气球组合，每个小朋友能贴 （ ）组。
**三、练一练**
**四、应用题。**
1.果园里有8行苹果树，每行9棵，一共有多少棵?又种了20棵，一共有多少棵?
2.每个人做6朵小红花，4个人一共做多少朵?把这些小红花平均装在3个塑料袋里，每个塑料袋装几朵?
3.小光的爸爸买来24个苹果，妈妈买来16个苹果，把这些苹果平均放在5个盘子里，每盘放几个?
4.王刚看一本故事书，每天看6页，看了8天，还剩20页，这本书一共有多少页?
5.买来28米布，做上衣用去15米，做裤子用去9米，还剩多少米?
答案解析
算一算 5 ，5，3，4， 2, 3, 3, 6， 7， 7 ，9 ，9
圈一圈，填一填\[来源:Zxxk.Com\]
1、 15个苹果分给3个小朋友15÷3 =5，每个5个苹果圈一起。
2、可以装8篮子。15÷2 =7......1，1个苹果也需要1个篮子。
3、（ 15 ）÷（ 5）= （ 3 ） 每个小朋友可以分3个苹果。
1、可以贴（ 8 ）排。24÷3 =8
2、可以贴（ 6）个组合。24÷4 =6
3、每个小朋友能贴 （ 2 ）组。6组3个小朋友，6÷3 =2\[来源:学科网\]
练一练 4， 6， 9， 9， 5， 6\[来源:学科网\]
应用题
1、8×9=72 一共有72棵。 72+20=92 一共有92棵。
2、6×4=24 一共做34朵。 24÷3=8 每个塑料袋装8朵。
3、24+16=40 40÷5=8 每个盘子放8个。
4、8×6=48 48+20=68 这本书一共68页。
5、28-15-9=4 还剩4米布。
\[来源:学科网ZXXK\]
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2022届新高考开学数学摸底考试卷5
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．记全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则＝
A．\[4，) B．(1，4\] C．\[1，4) D．(1，4)
2．已知，，，则*a*，*b*，*c*的大小关系为
A．*b*＜*a*＜*c* B．*a*＜*b*＜*c* C．*c*＜*b*＜*a* D．*c*＜*a*＜*b*
3．若，，，(0，)，则＝
A． B． C． D．
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2\~3艘驱逐舰，1\~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
A．30 B．60 C．90 D．120
5．函数(＞0，＜)的部分图像如图所示，且的图像过A(，1)，B(，﹣1)两点，为了得到的图像，只需将的图像
A．向右平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向右平移
{width="1.6055555555555556in" height="1.46875in"} {width="1.461111111111111in" height="1.4069444444444446in"}
第5题 第6题
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，\--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为
A． B． C． D．
7．设F~1~，F~2~分别为双曲线C：(*a*＞0，*b*＞0)的左、右焦点，过F~1~的直线*l*与圆O：相切，*l*与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF~2~⊥*x*轴，则双曲线的离心率等于
A． B．2 C． D．4
8．对于函数，若存在区间\[*a*，*b*\]，当*x*\[*a*，*b*\]时的值域为\[*ka*，*kb*\](*k*＞0)，则称为*k*倍值函数．若是*k*倍值函数，则实数*k*的取值范围是
A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列说法正确的是
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数*a*后，方差也变为原来的*a*倍
B．设有一个回归方程*y*＝3﹣5*x*，变量*x*增加1个单位时，*y*平均减少5个单位
C．线性相关系数*r*越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5
10．已知抛物线C：过点P(1，1)，则下列结论正确的是
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为*x*﹣2*y*＋1＝0
D．过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值
11．在△ABC中，已知*b*cosC＋*c*cosB＝2*b*，且，则
A．*a*，*b*，*c*成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：
C．若*a*＝4，则S~△ABC~＝ D．A，B，C成等差数列
12．已知函数，若，则下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．当时，
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 [ ]{.underline} ．
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 [ ]{.underline} ．
15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
16．椭圆与双曲线有相同的焦点F~1~(﹣*c*，0)，F~2~(*c*，0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F~1~B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为，，则＝ [ ]{.underline} ；且的最小值为 [ ]{.underline} ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若，C＝，*c*＝2，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．
------ ------ -------- ------
满意 不满意 总计
男生
女生
合计 120
------ ------ -------- ------
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对"线上教育是否满意与性别有关"；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．
附公式及表：
，其中．
-- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线*l*：*y*＝*kx*＋*m*交椭圆于不同两点A，B，且(O为坐标原点)．
（1）求椭圆的方程；
（2）讨论7*m*^2^﹣12*k*^2^是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知函数，且的解集为\[﹣1，2\]．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于*x*的不等式(*m*≥0)；
（3）设，若对于任意的，\[﹣2，1\]都有，求*M*的最小值．
21．（本小题满分12分）
**已知**．
**（1）讨论的单调性；**
**（2）当*a*＝1时，证明对于任意的\[1，2\]成立**．
22．（本小题满分12分）
已知点P是抛物线C~1~：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．
（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线AB交椭圆C~2~：于C、D两点，*S*~1~，*S*~2~分别是△PAB，△PCD的面积，求的最小值．
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2022届新高考开学数学摸底考试卷5
（教师版）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．记全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则＝
A．\[4，) B．(1，4\] C．\[1，4) D．(1，4)
答案：C
解析：∵集合A＝，
∴，又∵B＝，
∴＝\[1，4)，故选C．
2．已知，，，则*a*，*b*，*c*的大小关系为
A．*b*＜*a*＜*c* B．*a*＜*b*＜*c* C．*c*＜*b*＜*a* D．*c*＜*a*＜*b*
答案：A
解析：∵，∴，∴，∴，
又，，∴*b*＜*a*＜*c*，故选A．
3．若，，，(0，)，则＝
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵，(0，)，∴(0，π)，(，)，
∴，，
∴
，故选C．
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2\~3艘驱逐舰，1\~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
A．30 B．60 C．90 D．120
答案：B
解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，，故选B．
5．函数(＞0，＜)的部分图像如图所示，且的图像过A(，1)，B(，﹣1)两点，为了得到的图像，只需将的图像
{width="1.6055555555555556in" height="1.46875in"}
A．向右平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向右平移
答案：C
解析：由题意知，，∴＝2，，，
∵＜，∴，∴，故选C．
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，\--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为
{width="1.461111111111111in" height="1.4069444444444446in"}
A． B． C． D．
答案：C
解析：P＝，故选C．
7．设F~1~，F~2~分别为双曲线C：(*a*＞0，*b*＞0)的左、右焦点，过F~1~的直线*l*与圆O：相切，*l*与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF~2~⊥*x*轴，则双曲线的离心率等于
A． B．2 C． D．4
答案：A
解析：，，，，故选A．
8．对于函数，若存在区间\[*a*，*b*\]，当*x*\[*a*，*b*\]时的值域为\[*ka*，*kb*\](*k*＞0)，则称为*k*倍值函数．若是*k*倍值函数，则实数*k*的取值范围是
A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)
答案：B
解析：是单调增函数，故，故*a*，*b*是方程的两个根，令，，当*k*＞2，*x*＝时，有最小值为，解得*k*＞e＋2，故选B．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列说法正确的是
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数*a*后，方差也变为原来的*a*倍
B．设有一个回归方程*y*＝3﹣5*x*，变量*x*增加1个单位时，*y*平均减少5个单位
C．线性相关系数*r*越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5
答案：BD
解析：选项A，方差变为原来的*a*^2^倍，故A错误；线性相关系数*r*的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数*r*的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C错误，故选BD．
10．已知抛物线C：过点P(1，1)，则下列结论正确的是
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为*x*﹣2*y*＋1＝0
D．过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值
答案：BCD
解析：∵抛物线C：过点P(1，1)，∴，∴，故该抛物线焦点坐标为(，0)，准线方程为*x*＝，故点P到抛物线焦点的距离为，故A错误；△OPQ的面积，故B正确；设过点P的直线方程为，与抛物线联立并化简得，，解得*k*＝，故过点P与抛物线相切的直线方程为*x*﹣2*y*＋1＝0，C正确；设PM的斜率为*k*，则PN的斜率为﹣*k*，求得M(，)，N(，)，求得MN的斜率为，D正确，故选BCD．
11．在△ABC中，已知*b*cosC＋*c*cosB＝2*b*，且，则
A．*a*，*b*，*c*成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：
C．若*a*＝4，则S~△ABC~＝ D．A，B，C成等差数列
答案：BC
解析：由得，，，故*ab*＝*c*^2^，故*a*，*c*，*b*成等比数列，故A错误；∵*b*cosC＋*c*cosB＝2*b*，∴*a*＝2*b*，又*ab*＝*c*^2^，∴*c*＝*b*，∴*a*：*b*：*c*＝2：1：，∴sinA：sinB：sinC＝2：1：，故B正确；cosC＝，sinC＝，∴S＝，故C正确；cosB＝，故B≠60°，故D错误，故选BC．
12．已知函数，若，则下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．当时，
答案：CD
解析：首先注意到函数，在(0，)单调递减，在(，)单调递增，故A错误，，故D正确；令，不是单调函数，故B错误；令，是单调增函数，故C正确，故选CD．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 [ ]{.underline} ．
答案：
解析：P＝．
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 [ ]{.underline} ．
答案：
解析：，，设切点横坐标为，，所以切点(1，2)，故切线方程为，即．
15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
答案：(﹣2，6)
解析：点P与点F重合时，有最小值为﹣2，当点P与点C重合时，有最大值为6，故的取值范围是(﹣2，6)．
16．椭圆与双曲线有相同的焦点F~1~(﹣*c*，0)，F~2~(*c*，0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F~1~B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为，，则＝ [ ]{.underline} ；且的最小值为 [ ]{.underline} ．
答案：1；
解析：设椭圆方程为，双曲线方程为，则由直线F~1~B与双曲线的一条渐近线平行，得，∴＝1；
所以，当且仅当取等号．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若，C＝，*c*＝2，求△ABC的面积．
**解：（1）∵sin2*x*﹣cos2*x***
**＝2sin（2*x*），**
**令2*k*π2*x*2*k*π，*k*∈Z，解得*k*π*x*≤*k*π，*k*∈Z，**
**∴函数*f*（*x*）的单调递增区间为：\[*k*π，*k*π\]，*k*∈Z．**
**（2）∵*f*（*A*）＝2sin（2*A*）＝2，**
**∴sin（2*A*）＝1，**
**∵*A*∈（0，π），2*A*∈（，），**
**∴2*A*，解得*A*，**
**∵*C*，*c*＝2，**
**∴由正弦定理，可得，**
**∴*S*~△*ABC*~*ab*sin*C*（1）．**
18．（本小题满分12分）
2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．
------ ------ -------- ------
满意 不满意 总计
男生
女生
合计 120
------ ------ -------- ------
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对"线上教育是否满意与性别有关"；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．
附公式及表：
，其中．
-- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
**解：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，**
**于是可完成列联表，如下：**
---------- ---------- ------------ ----------
**满意** **不满意** **总计**
**男生** **30** **25** **55**
**女生** **50** **15** **65**
**合计** **80** **40** **120**
---------- ---------- ------------ ----------
**根据列联表中的数据，得到的观测值**
**，**
**所以有99%的把握认为对"线上教育是否满意与性别有关"**
**（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即**
**,**
**.**
**可得分布列为**
-- ------- ------- ------- -------
**0** **1** **2** **3**
-- ------- ------- ------- -------
**可得.**
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线*l*：*y*＝*kx*＋*m*交椭圆于不同两点A，B，且(O为坐标原点)．
（1）求椭圆的方程；
（2）讨论7*m*^2^﹣12*k*^2^是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
**解：（1）因为双曲线的焦点为，所以在椭圆*C*中，**
**设椭圆*C*的方程为，**
**由点在椭圆*C*上得，解得，则，**
**所以椭圆*C*的方程为**
**（2）为定值，理由如下：**
**设，由可知，**
**联立方程组，**
**由得，**
**，①**
**由及得，**
**整理得，**
**将①式代入上式可得，**
**同时乘以可化简得，**
**所以，即为定值.**
20．（本小题满分12分）
已知函数，且的解集为\[﹣1，2\]．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于*x*的不等式(*m*≥0)；
（3）设，若对于任意的，\[﹣2，1\]都有，求*M*的最小值．
**解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，**
**所以，，即，；所以；**
**（2），化简有，整理，**
**所以当时，不等式的解集为，**
**当时，不等式的解集为，**
**当时，不等式的解集为，**
**当时，不等式的解集为，**
**（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，**
**则有，所以，，**
**因为对于任意的都有，**
**即求，转化为，**
**而，，所以，**
**此时可得，**
**所以*M*的最小值为.**
21．（本小题满分12分）
**已知**．
**（1）讨论的单调性；**
**（2）当*a*＝1时，证明对于任意的\[1，2\]成立**．
**解：（1）**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**的定义域为**{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}**；**
**.**
**当**{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}**，**{width="0.59375in" height="0.22916666666666666in"}**时，，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递增；**
**，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递减.**
**当**{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}**时，.**
1. {width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}**，**{width="0.53125in" height="0.4895833333333333in"}**，**
**当**{width="0.59375in" height="0.22916666666666666in"}**或**{width="0.6666666666666666in" height="0.4895833333333333in"}**时，，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递增；**
**当**{width="0.53125in" height="0.4895833333333333in"}**时，，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递减；**
2. {width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}**时，**{width="0.53125in" height="0.4895833333333333in"}**，在**{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}**内，，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递增；**
3. {width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}**时，**{width="0.7708333333333334in" height="0.4895833333333333in"}**，**
**当**{width="0.8020833333333334in" height="0.4895833333333333in"}**或**{width="0.46875in" height="0.22916666666666666in"}**时，，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递增；**
**当**{width="0.5in" height="0.4895833333333333in"}**时，，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**单调递减.**
**综上所述，**
**当**{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}**时，函数**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**在**{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**内单调递增，在**{width="0.46875in" height="0.22916666666666666in"}**内单调递减；**
**当**{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}**时，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**在**{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**内单调递增，在**{width="0.53125in" height="0.4895833333333333in"}**内单调递减，在**{width="0.6666666666666666in" height="0.4895833333333333in"}**内单调递增；**
**当**{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}**时，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**在**{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}**内单调递增；**
**当**{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}**，**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**在**{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}**内单调递增，在**{width="0.5in" height="0.4895833333333333in"}**内单调递减，在**{width="0.46875in" height="0.22916666666666666in"}**内单调递增.**
**（2）由（Ⅰ）知，**{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}**时，**
**，**{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**，**
**令**{width="2.5625in" height="0.4375in"}**，**{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**.**
**则，**
**由可得**{width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**，当且仅当**{width="0.3541666666666667in" height="0.19791666666666666in"}**时取得等号.**
**又，**
**设**{width="1.4479166666666667in" height="0.25in"}**，则**{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**在**{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}**单调递减，**
**因为**{width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**，**
**所以在**{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}**上存在**{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}**使得**{width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}**时，**{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}**时，**{width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}**，**
**所以函数在**{width="0.4375in" height="0.25in"}**上单调递增；在**{width="0.4479166666666667in" height="0.25in"}**上单调递减，**
**由于**{width="1.1666666666666667in" height="0.4375in"}**，因此**{width="1.0833333333333333in" height="0.4375in"}**，当且仅当**{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}**取得等号，**
**所以，**
**即对于任意的**{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**恒成立**
22．（本小题满分12分）
已知点P是抛物线C~1~：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．
（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线AB交椭圆C~2~：于C、D两点，*S*~1~，*S*~2~分别是△PAB，△PCD的面积，求的最小值．
{width="2.4743055555555555in" height="2.165277777777778in"}
**解：（1）证明：设点、，**
**则以为切点的切线方程为，即，**
**同理以为切点的切线方程为，**
**两条切线均过点，，即，**
**所以，点、的坐标满足直线的方程，**
**所以，直线的方程为，**
**在直线的方程中，令，可得，所以，直线过定点；**
**（2）设点到直线的距离为，则.**
**由题意可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为，**
**设、，由，得，恒成立，**
**由韦达定理得，，**
**由弦长公式可得**
**由，得，恒成立.**
**由韦达定理得，，**
**由弦长公式得.**
**，**
**当且仅当时，等号成立.**
**因此，的最小值为.**
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**小学三年级下册数学奥数知识点讲解第11课《鸡兔****同笼问题》试题****附答案**
 
答案
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:Zxxk.Com\]
\
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三年级奥数下册：第十一讲 鸡兔同笼问题习题解答
\[来源:学\#科\#网\]
\[来源:Zxxk.Com\]
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第****16课《一个图****形的等份分划》试题附答案**
**答案\[来源:Zxxk.Com\]**
\[来源:学.科.网\]\[来源:Zxxk.Com\]
一年级奥数上册：第十六讲 一个图形的等份分划 习题
一年级奥数上册：第十六讲 一个图形的等份分划 习题解答
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·CuCO~3~)，青色来自蓝铜矿颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·2CuCO~3~)。下列说法错误的是
A. 保存《千里江山图》需控制温度和湿度
B. 孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化
C. 孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱
D. Cu(OH)~2~·CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~·2CuCO~3~
2.金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：
下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是
A. 可与氢气发生加成反应 B. 分子含21个碳原子
C. 能与乙酸发生酯化反应 D. 不能与金属钠反应
3.*N*~A~是阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 22.4 L(标准状况)氮气中含有7*N*~A~个中子
B. 1 mol重水比1 mol水多*N*~A~个质子
C. 12 g石墨烯和12 g金刚石均含有*N*~A~个碳原子
D. 1 L 1 mol·L^−1^ NaCl溶液含有28*N*~A~个电子
4.喷泉实验装置如图所示。应用下列各组气体---溶液，能出现喷泉现象的是
----- ------- ------------------
气体 溶液
A． H~2~S 稀盐酸
B． HCl 稀氨水
C． NO 稀H~2~SO~4~
D． CO~2~ 饱和NaHCO~3~溶液
----- ------- ------------------
A. A B. B C. C D. D
5.对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是
A. 用Na~2~SO~3~溶液吸收少量Cl~2~:
B. 向CaCl~2~溶液中通入CO~2~：
C. 向H~2~O~2~溶液中滴加少量FeCl~3~：
D. 同浓度同体积NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合：
6.一种高性能的碱性硼化钒(VB~2~)---空气电池如下图所示，其中在VB~2~电极发生反应：该电池工作时，下列说法错误的是
A. 负载通过0.04 mol电子时，有0.224 L(标准状况)O~2~参与反应
B. 正极区溶液的pH降低、负极区溶液的pH升高
C. 电池总反应为
D. 电流由复合碳电极经负载、VB~2~电极、KOH溶液回到复合碳电极
7.W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z；化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟。下列叙述正确的是
A. 非金属性：W\> X\>Y\> Z B. 原子半径：Z\>Y\>X\>W
C. 元素X的含氧酸均为强酸 D. Y的氧化物水化物为强碱
**二、非选择题**
**(一)必考题**
8.氯可形成多种含氧酸盐，广泛应用于杀菌、消毒及化工领域。实验室中利用下图装置(部分装置省略)制备KClO~3~和NaClO，探究其氧化还原性质。
回答下列问题：
(1)盛放MnO~2~粉末的仪器名称是\_\_\_\_\_\_\_\_，a中的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)b中采用的加热方式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，c中化学反应的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，采用冰水浴冷却的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)d的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_，可选用试剂\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．Na~2~S B．NaCl C．Ca(OH)~2~ D．H~2~SO~4~
(4)反应结束后，取出b中试管，经冷却结晶，\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，干燥，得到KClO~3~晶体
(5)取少量KClO~3~和NaClO溶液分别置于1号和2号试管中，滴加中性KI溶液。1号试管溶液颜色不变。2号试管溶液变为棕色，加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显\_\_\_\_色。可知该条件下KClO~3~的氧化能力\_\_\_\_NaClO(填"大于"或"小于")。
9.某油脂厂废弃的油脂加氢镍催化剂主要含金属Ni、Al、Fe及其氧化物，还有少量其他不溶性物质。采用如下工艺流程回收其中的镍制备硫酸镍晶体(NiSO~4~·7H~2~O)：
溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 金属离子 | Ni^2+^ | Al^3+^ | Fe^3+^ | Fe^2+^ |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 开始沉淀时(*c*=0.01 mol·L^−1^)的pH | 7.2 | 3.7 | 2.2 | 7.5 |
| | | | | |
| 沉淀完全时(*c*=1.0×10^−5^ mol·L^−1^)的pH | 8.7 | 4.7 | 3.2 | 9.0 |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
回答下列问题：
(1)"碱浸"中NaOH的两个作用分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。为回收金属，用稀硫酸将"滤液①"调为中性，生成沉淀。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"滤液②"中含有金属离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"转化"中可替代H~2~O~2~的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若工艺流程改为先"调pH"后"转化"，即
"滤液③"中可能含有的杂质离子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)利用上述表格数据，计算Ni(OH)~2~的K~sp~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(列出计算式)。如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0 mol·L^−1^，则"调pH"应控制的pH范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)硫酸镍在强碱溶液中用NaClO氧化，可沉淀出能用作镍镉电池正极材料的NiOOH。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)将分离出硫酸镍晶体后的母液收集、循环使用，其意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
10.二氧化碳催化加氢合成乙烯是综合利用CO~2~的热点研究领域。回答下列问题：
(1)CO~2~催化加氢生成乙烯和水的反应中，产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)∶*n*(H~2~O)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。当反应达到平衡时，若增大压强，则*n*(C~2~H~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"变大""变小"或"不变")。
(2)理论计算表明，原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1MPa，反应达到平衡时，四种组分的物质的量分数*x*随温度*T*的变化如图所示。
图中，表示C~2~H~4~、CO~2~变化的曲线分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。CO~2~催化加氢合成C~2~H~4~反应的Δ*H*\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")。
(3)根据图中点A(440K，0.39)，计算该温度时反应平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(MPa)^−3^(列出计算式。以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)二氧化碳催化加氢合成乙烯反应往往伴随副反应，生成C~3~H~6~、C~3~H~8~、C~4~H~8~等低碳烃。一定温度和压强条件下，为了提高反应速率和乙烯选择性，应当\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**(二)选考题**
**［化学------选修3：物质结构与性质］**
11.氨硼烷(NH~3~BH~3~)含氢量高、热稳定性好，是一种具有潜力的固体储氢材料。回答下列问题：
(1)H、B、N中，原子半径最大的是\_\_\_\_\_\_。根据对角线规则，B的一些化学性质与元素\_\_\_\_\_\_的相似。
(2)NH~3~BH~3~分子中，N---B化学键称为\_\_\_\_键，其电子对由\_\_\_\_提供。氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气：3NH~3~BH~3~+6H~2~O=3NH~3~++9H~2~，的结构如图所示：
在该反应中，B原子的杂化轨道类型由\_\_\_\_\_\_变为\_\_\_\_\_\_。
(3)NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性(H^δ+^)，与B原子相连的H呈负电性(H^δ-^)，电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。与NH~3~BH~3~原子总数相等的等电子体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写分子式)，其熔点比NH~3~BH~3~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"高"或"低")，原因是在NH~3~BH~3~分子之间，存在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也称"双氢键"。
(4)研究发现，氦硼烷在低温高压条件下为正交晶系结构，晶胞参数分别为*a* pm、*b* pm、*c* pm，*α*=*β*=*γ*=90°。氨硼烷的2×2×2超晶胞结构如图所示。
氨硼烷晶体的密度*ρ*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^−3^(列出计算式，设*N*~A~为阿伏加德罗常数的值)。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
12.苯基环丁烯酮( PCBO)是一种十分活泼的反应物，可利用它的开环反应合成一系列多官能团化合物。近期我国科学家报道用PCBO与醛或酮发生\[4+2\]环加成反应，合成了具有生物活性的多官能团化合物(E)，部分合成路线如下：
已知如下信息：
回答下列问题：
(1)A化学名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)由C生成D所用的试别和反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步反应中，若反应温度过高，C易发生脱羧反应，生成分子式为C~8~H~8~O~2~的副产物，该副产物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)写出化合物E中含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中手性碳(注：连有四个不同的原子或基团的碳)的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)M为C的一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)对于，选用不同的取代基R\'，在催化剂作用下与PCBO发生的\[4+2\]反应进行深入研究，R\'对产率的影响见下表：
-------- ---------- ------------- -----------------------
R\' ---CH~3~ ---C~2~H~5~ ---CH~2~CH~2~C~6~H~5~
产率/% 91 80 63
-------- ---------- ------------- -----------------------
请找出规律，并解释原因\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
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**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇源县三年级（上）期末数学试卷**
**一、填空。（每空1分，共20分）**
1．（3分）下午3时30分是[ ]{.underline}时[ ]{.underline}分，20时是晚上[ ]{.underline}时。
2．（1分）200×5的积的末尾有[ ]{.underline}个0．
3．（7分）
5元5角＝[ ]{.underline}元 8厘米＝[ ]{.underline}米
------------------------------------------------------------------------- ------------------------------
4.86元＝[ ]{.underline}元[ ]{.underline}角[ ]{.underline}分 48时＝[ ]{.underline}日
1年＝[ ]{.underline}月
4．（3分）2020年是[ ]{.underline}（填闰或平）年，2月有[ ]{.underline}天，全年共有[ ]{.underline}天．
5．（1分）商场的营业时间是8：00﹣﹣16：00，这家商场每天营业[ ]{.underline}时。
6．（2分）在计算120﹣80÷5，应先计算[ ]{.underline}法，再算[ ]{.underline}法。
7．（1分）一个正方形的周长是20米，边长是[ ]{.underline}米．
8．（1分）2019年的7月和8月共有[ ]{.underline}天。
9．（1分）妈妈给笑笑买了2件上衣和3条裤子，要搭配成一套衣服，一共有[ ]{.underline}种搭配方法。
**二、判断，对的画"√"，错的画"×"。（每题2分，共10分）**
10．（2分）小明的妈妈6月31日从北京回来了．[ ]{.underline}．（判断对错）
11．（2分）大于5而小于6的一位小数有9个．[ ]{.underline}（判断对错）
12．（2分）把一个正方形拉成一个平行四边形，周长不变。[ ]{.underline}（判断对错）
13．（2分）一桶果汁17.45元，17.45读作：十七点四十五。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（2分）在只有乘除的算式里，应该按照从左到右的顺序计算。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、精挑细选。（每题2分，共10分）**
15．（2分）在读12.009时，应该读出（ ）个"0"。
A．0 B．1 C．2
16．（2分）2019年第一季度有（ ）天．
A．90 B．91 C．92
17．（2分）198×4的积大约是（ ）
A．400 B．600 C．800
18．（2分）小明看到的是（ ）图。
A．① B．② C．③
19．（2分）如图中，甲、乙两个图形的周长（ ）
A．甲长些 B．乙长些 C．同样长
**四、计算。（30分）**
20．（10分）直接写得数。
24×4＝ 270÷9＝ 600÷3＝ 0×42＝ 204×4＝
--------- ------------ ------------- ----------- ----------------------------------------------
3.4+4＝ 5.7﹣0.3＝ 20.6﹣2.5＝ 3.2+4.6＝ [ ]{.underline}×[ ]{.underline}＝200
21．（8分）列竖式计算。
--------- --------- ------------ -------------
240×3＝ 408×7＝ 11.7+3.8＝ 25.2﹣4.6＝
--------- --------- ------------ -------------
22．（12分）脱式计算。
-------- --------------- ------------- --------
80+4×2 （100﹣19）÷9 338+126﹣97 12×3×8
-------- --------------- ------------- --------
**五、动手操作。（6分）**
23．（6分）圈一圈，算一算。
> 18×4＝[ ]{.underline}
>
> 48÷4＝[ ]{.underline}
**六、解决实际问题。（25小题3分，27小题5分，其他小题4分，共24分）**
24．（4分）看图列算式。
25．（3分）同学们去年为灾区的小朋友们捐书306本，今年捐书的本数是去年的4倍，今年捐书多少本？
26．（4分）一本《故事书》定价22.3元，一本《十万个为什么》定价26.8元，淘气想各买一本，他带了50元，够吗？
27．（5分）人民剧场楼下有325个座位，楼上比楼下少140个座位，人民剧场一共有多少个座位？（先画图，再列式计算）
28．（4分）一块长方形菜地宽18米，长是宽的2倍，这块长方形菜地的周长是多少？
29．（4分）如图是武汉到南京的长江航线示意图。
> （1）九江到南京有多少千米？
>
> （2）637﹣269求的是哪两个城市之间的航程？在图中画一画，并写在下面。
**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇源县三年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空。（每空1分，共20分）**
1．【分析】把24计时法转化成普通计时法时，上午时刻不变，只是在时刻前加上"早晨、上午"等修饰词语即可；下午时数减12时，同时加上"下午、晚上"等词语即可；把普通计时法转化成24记时法时，上午时刻不变，只要去掉"早晨、上午"等修饰词语即可；下午时数加12时，同时去掉"下午、晚上"等词语即可。
> 【解答】解：3时30分+12时＝15时30分，即下午3时30分是15时30分；
>
> 20时﹣12时＝8时，即20时是晚上8时。
>
> 故答案为：15，30；8。
>
> 【点评】本题是考查普通计时法与24计时法的相互转化，属于基础知识，要记住。
2．【分析】求出200×5的积即可知道积的末尾有几个零．
> 【解答】解：200×5＝1000，所以200×5的积的末尾有3个0；
>
> 故答案为：3．
>
> 【点评】解答本题只要计算出结果即可判断．
3．【分析】（1）根据1元＝10角，可得5角＝0.5元，然后再加上5元即可；
> （2）低级单位厘米化成高级单位米，除以进率100即可；
>
> （3）把4.86元换算成复名数，整数部分就是4元，小数部分十分位上的数表示角，百分位上的数表示分；
>
> （4）低级单位时化成高级单位日除以进率24即可；
>
> （5）根据1年＝12个月求解。
>
> 【解答】解：
5元5角＝5.5元 8厘米＝0.08米
------------------- ---------------
4.86元＝4元8角6分 48时＝2日
1年＝12月
> 故答案为：5.5，0.08，4，8，6，2，12。
>
> 【点评】把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。
4．【分析】根据年份数是4的倍数的就是闰年，整百年份必须是400的倍数，否则是平年，平年二月份有28天，全年365天，闰年二月份有29天，全年有366天．
> 【解答】解：2020÷4＝505
>
> 2020年是闰年，闰年2月有29天，全年有366天．
>
> 故答案为：闰，29，366．
>
> 【点评】闰年的判断方法：普通年份看是否能被四整除，如果能，就是闰年，否则就是平年；整百的年份看是否能被四百整除，如果能，就是闰年，否则就是平年．
5．【分析】根据结束时刻﹣起始时刻＝经过时间解答即可。
> 【解答】解：16时﹣8时＝8小时
>
> 答：这家商场每天营业8小时。
>
> 故答案为：8。
>
> 【点评】本题是考查时间的推算，注意：结束时刻﹣起始时刻＝经过时间，起始时刻+经过时间＝结束时刻，结束时刻﹣经过时间＝起始时刻。
6．【分析】在混合运算中，如果没有小括号，有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法，所以在计算120﹣80÷5，应先计算除法，再算减法。
> 【解答】解：在计算120﹣80÷5，应先计算除法，再算减法。
>
> 故答案为：除，减。
>
> 【点评】本题关键是知道要先算乘除法，再算加减法。
7．【分析】正方形的周长＝边长×4，正方形的周长已知，从而代入公式即可求其边长．
> 【解答】解：20÷4＝5（米）
>
> 答：正方形的边长是5米；
>
> 故答案为：5．
>
> 【点评】此题主要考查正方形周长公式的应用．
8．【分析】七月、八月都是大月，都有31天，所以每年的七月、八月一共有31+31＝62天；据此解答。
> 【解答】解：31+31＝62（天）
>
> 答：2019年的7月和8月共有62天。
>
> 故答案为：62。
>
> 【点评】明确7、8月都是大月，都有31天是解答此题的关键。
9．【分析】从三条裤子中选一件有3种选法、从两件上衣中选一件有2种选法，根据乘法原理可得：共有3×2＝6种不同搭配方法。
> 【解答】解：3×2＝6（种）
>
> 答：共有6种搭配方法。
>
> 故答案为：6。
>
> 【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成*n*个步骤，做第一步有*m*~1~种不同的方法，做第二步有*m*~2~种不同的方法，...，做第*n*步有*m~n~*种不同的方法，那么完成这件事共有*N*＝*m*~1~×*m*~2~×*m*~3~×...×*m~n~*种不同的方法。
**二、判断，对的画"√"，错的画"&\#215;"。（每题2分，共10分）**
10．【分析】根据6月份是小月，一共有30天，即可判断题干说法．
> 【解答】解：因为6月份一共有30天，所以没有6月31日，所以小明的妈妈6月31日从北京回来了这个说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题考查了月份天数问题，考查学生学习的认真态度，需要认真思考才能正确的解答．
11．【分析】由题意可知题干中限制了小数的位数，根据题意，写出大于5而小于6的一位小数，然后判断解答．
> 【解答】解：大于5而小于6的一位小数有5.1、5.2、5.3、5.4、5.4、5.6、5.7、5.8、5.9，共有9个．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】在判定两个小数之间有多少个小数时，注意要看清有没有限制条件．
12．【分析】把一个正方形拉成一个平行四边形，四条边长没有变，则周长不变。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 把一个正方形拉成一个平行四边形，周长不变。
>
> 故题干说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题考查图形变换中的周长问题。
13．【分析】根据小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字，进行解答即可。
> 【解答】解：一桶果汁17.45元，17.45读作：十七点四五，所以本题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】明确小数的读法，是解答此题关键。
14．【分析】在只有乘除的算式里，也就是只含有一级运算，按照从左向右的顺序进行计算，据此判断。
> 【解答】解：在只有乘除的算式里，应该按照从左到右的顺序计算；
>
> 此题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】只含有一级运算的，按照从左向右的顺序进行计算。
**三、精挑细选。（每题2分，共10分）**
15．【分析】小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作"点"，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字，据此解答。
> 【解答】解：12.009读作：十二点零零九，读出2个"0"。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查了小数的读法，注意小数部分的读法是关键。
16．【分析】用2019除以4，首先判断2019年是闰年还是平年，平年和闰年的区别：平年二月有28天 闰年二月有29天；1月和3月都是大月有31天，再加上2月份的天数即可得解．
> 【解答】解：2019÷4＝504.75
>
> 所以2019年是平年，二月有28天
>
> 31+28+31＝90（天）
>
> 答：2019年第一季度有90天；
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题考查了年、月、日及其关系、单位换算与计算，以及平年、闰年的判定方法．
17．【分析】把198看作与它接近的200，然后再进一步解答。
> 【解答】解：198×4
>
> ≈200×4
>
> ＝800
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】多位数乘一位数的估算，把多位数看作与它接近的整十数、整百数或整千数，然后再计算。
18．【分析】从不同的方向观察同一个物体，通常看到的情况是不同的，小明在瓶子的前面，正对倒着瓶子的底部，据此解答即可。
> 【解答】解：观察图可知，小明看到的是②图。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查从不同方向观察物体和几何图形，解题的关键是要看准位置关系。
19．【分析】由图意可知：甲的周长＝长方形的长+宽+公共曲线边长，乙的周长＝长方形的长+宽+公共曲线边长，所以甲的周长＝乙的周长。由此解答即可。
> 【解答】解：因为甲的周长＝长方形的长+宽+公共曲线边长，乙的周长＝长方形的长+宽+公共曲线边长，
>
> 所以甲的周长＝乙的周长。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决此题的关键是明白，曲线部分是二者的公共边长，从而轻松求解。
**四、计算。（30分）**
20．【分析】根据整数乘除法和小数加减法的计算方法进行计算；
> 最后一道题，只要两个数的乘积是200即可，此题答案不唯一。
>
> 【解答】解：
24×4＝96 270÷9＝30 600÷3＝200 0×42＝0 204×4＝816
------------ --------------- ----------------- -------------- ------------
3.4+4＝7.4 5.7﹣0.3＝5.4 20.6﹣2.5＝18.1 3.2+4.6＝7.8 40×5＝200
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
21．【分析】根据整数乘法和小数加减法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：240×3＝720
>
> 408×7＝2856
>
> 11.7+3.8＝15.5
>
> 25.2﹣4.6＝20.6
>
> 【点评】考查了整数乘法和小数加减法的笔算，根据各自的计算方法进行计算。
22．【分析】（1）先算乘法，再算加法；
> （2）先算小括号里面的减法，再算除法；
>
> （3）、（4）按照从左向右的顺序进行计算。
>
> 【解答】解：（1）80+4×2
>
> ＝80+8
>
> ＝88
>
> （2）（100﹣19）÷9
>
> ＝81÷9
>
> ＝9
>
> （3）338+126﹣97
>
> ＝464﹣97
>
> ＝367
>
> （4）12×3×8
>
> ＝36×8
>
> ＝288
>
> 【点评】考查了整数四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，然后再进一步计算。
**五、动手操作。（6分）**
23．【分析】（1）按照4×5＝20，可以分为3个20和1个12，运算为60+12＝72。
> （2）将48平均分为4部分，每一个部分是1捆（10根）加2根。
>
> 【解答】解：（1）圈图如下：
>
> 18×4
>
> ＝3×20+12
>
> ＝60+12
>
> ＝72
>
> （2）圈图如下：
>
> 48÷4
>
> ＝40÷4+8÷4
>
> ＝10+2
>
> ＝12
>
> 故答案为：72；12。
>
> 【点评】本题考查用点子图解决乘除法。可以结合图示直观地解决问题。
**六、解决实际问题。（25小题3分，27小题5分，其他小题4分，共24分）**
24．【分析】（1）用总长度130米减去6个15米，就剩下的长度。
> （2）先用加法求出月季花和水仙花的总盆数，再减去运走的盆数就是剩下的盆数。
>
> 【解答】解：（1）130﹣15×6
>
> ＝130﹣90
>
> ＝40（米）
>
> 答：剩下40米。
>
> （2）360+410﹣185
>
> ＝770﹣185
>
> ＝585（盆）
>
> 答：剩下585盆。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
25．【分析】同学们去年为灾区的小朋友们捐书306本，今年捐书的本数是去年的4倍，也就是306的4倍，即306×4。
> 【解答】解：306×4＝1224（本）
>
> 答：今年捐书1224本。
>
> 【点评】求一个数的几倍是多少，用乘法进行解答。
26．【分析】根据题意，用22.3加上26.8，求出买这两本书花的钱数，然后再与50元进行比较解答。
> 【解答】解：22.3+26.8＝49.1（元）
>
> 49.1元＜50元
>
> 答：他带50元，够。
>
> 【点评】本题考查了小数加法意义的运用。
27．【分析】楼下有325个座位，楼上比楼下少140个座位，用325减去140求出楼上的座位数，然后再加上楼下的座位数，由此画图计算即可。
> 【解答】解：
>
> 325﹣140+325
>
> ＝185+325
>
> ＝510（个）
>
> 答：人民剧场一共有510个座位。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的意义和实际应用，关键是求出楼上的座位数。
28．【分析】已知长方形的宽是18米，长是宽的2倍，先求出长，再根据长方形的周长＝（长+宽）×2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：（18×2+18）×2
>
> ＝（36+18）×2
>
> ＝54×2
>
> ＝108（米）
>
> 答：这块长方形菜地的周长是108米。
>
> 【点评】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
29．【分析】（1）九江到南京的里程等于武汉到南京的路程减去武汉到九江的里程。
> （2）武汉～芜湖的里程是637千米，武汉～九江的里程是269千米，所以637﹣269求的是九江到芜湖这两个城市之间的航程。
>
> 【解答】解：（1）733﹣269＝464（千米）
>
> 答：九江到南京有464千米。
>
> （2）637﹣269＝368（千米）
>
> 答：637﹣269求的是九江到芜湖这两个城市之间的航程。
>
> 如图：
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
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日期：2021/4/27 14:43:56；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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2022届新高考开学数学摸底考试卷11
1. **单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。**
```{=html}
<!-- -->
```
1. 设i为虚数单位,,"复数*m(m-1)+i*是纯虚数"是"*m=1*"的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3.已知集合A＝{x∈**R**\|x^2^－x－2＜0}，B＝{x∈**Z**\|x＝2t＋1，t∈A}，则A∩B等于( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0}
4.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
5\. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数f(x)＝若存在实数k，使得函数f(x)的值域为\[－1，1\]，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．对于数列,定义为的"优值"，现已知某数列的"优值"，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
**二、多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。**
9.设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论是（ ）
A. B.直线过定点（1，0）
C. 到直线的距离不大于1. D.(-1,2)在抛物线上
10．气象意义上从春季入夏季的标志为："连续5天的日平均温度均不低于".现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③ B．② C．③ D．①
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C. 若，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
12.若存在m,使得f(x) ≥m对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为
A.1不是函数的一个下界;
B.函数f(x)= xlnx有下界，无上界;
C.函数有上界,无下界;
D.函数有界.
**三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．**
13.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 [ ]{.underline} .
14.已知函数, 则的值为 [ ]{.underline}
15.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为\_\_\_\_\_\_ ．
16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
4. **简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
18．已知等比数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值.
19．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点．
（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
------------------------------ -------------- -------------- --------------
阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）
------------------------------ -------------- -------------- --------------
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
 （1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
21．已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
22．已知函数，
（Ⅰ）若直线与曲线相切于点，证明：；
（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.
2022届新高考开学数学摸底考试卷11
答案解析
2. **单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。**
1\. 设i为虚数单位,,"复数*m(m-1)+i*是纯虚数"是"*m=1*"的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】B
解：复数*m(m-1)+i*是纯虚数,则*m=0*或*m=1*,
所以"复数*m(m-1)+i*是纯虚数"不是"*m=1*"的充分条件；
当*m=1*时,复数为*i*,是纯虚数,"复数*m(m-1)+i*是纯虚数"是"*m=1*"的必要条件,
所以"复数*m(m-1)+i*是纯虚数"是"*m=1*"的必要不充分条件．故选B．
2.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】利用向量垂直的充要条件有： ,向量在方向上的投影为.
3.已知集合A＝{x∈**R**\|x^2^－x－2＜0}，B＝{x∈**Z**\|x＝2t＋1，t∈A}，则A∩B等于( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0}
【答案】 C
【解析】 A＝{x∈**R**\|x^2^－x－2＜0}＝{x\|－1＜x＜2}，
则x＝2t＋1∈(－1，5)，所以B＝{0，1，2，3，4}，
所以A∩B＝{0，1}，故选C.
4.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
,,
,
,
故答案选B
5\. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于0，则，在原二项展开式中令，可得.故选A
6．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域，
当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得．故选C
7.已知函数f(x)＝若存在实数k，使得函数f(x)的值域为\[－1，1\]，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】由于y＝log~2~(2－x)在\[0，k)上是单调递减函数，
当x＝0时，y＝1，
当x＝时，y＝－1，所以0＜k≤.
令g(x)＝x^3^－3x^2^＋3，则g′(x)＝3x^2^－6x＝0，
解得x＝0或x＝2，当x＝2时，函数取得极小值－1，
当x^3^－3x^2^＋3＝1时，解得x~1~＝1，x~2~＝1＋，x~3~＝1－＜0(舍)，
所以2≤a≤1＋，故选B.
8．对于数列,定义为的"优值"，现已知某数列的"优值"，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】由，得......①,
......②,
①-②得，即，，所以
.故选B.
**二、多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。**
9.设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论是（ ）
B. B.直线过定点（1，0）
C. 到直线的距离不大于1. D.(-1,2)在抛物线上
【解析】设A(),B(),==0，，A正确；直线AB的斜== 方程为y-=()(x-),过定点（0，1），B错误；原点到直线AB：()x-y+1=0的距离d=≤1，C正确.故选：ABC．
10．气象意义上从春季入夏季的标志为："连续5天的日平均温度均不低于".现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③ B．② C．③ D．①
【答案】CD
【解析】 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若有某一天的气温低于22℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选CD.
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C. 若，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】 AC
【解析】
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性.对于B选项，利用特殊值进行排除.对于C选项，计算出，由此判断出C选项的正确性.对于D选项，计算出，由此判断出D选项的正确性.
【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，所以
，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.
.
.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义"信息熵"的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于难题.
12.若存在m,使得f(x) ≥m对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为
A.1不是函数的一个下界;
B.函数f(x)= xlnx有下界，无上界;
C.函数有上界,无下界;
D.函数有界.
【答案】ABD
**三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．**
13.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 [ ]{.underline} .
【答案】1
【解析】由，得.
14.已知函数, 则的值为 [ ]{.underline}
【答案】
【解析】
15.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为\_\_\_\_\_\_ ．
【答案】
【解析】由题意可知：M，Q关于原点对称，∴k~MN~ • k~QN~=，\
∵k~MN~=，k~QN~=，∴，渐近线方程为．
16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】9
【解析】
根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边的中心的距离，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为9．
5. **简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．
【解析】
试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，化简后可得；（2）由正弦定理得，，所以，最大值为.
试题解析：
（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
，又
所以
（2）由（1）知，△ABC的内角和，又得
由正弦定理，知，
所以
当，即时，取得最大值
考点：解三角形．
18．已知等比数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值.
【解析】（Ⅰ）设的公比为，由得，,所以， 所以. .....................2分
又因为， 所以， 所以.
所以. .........5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，...6分
，则
所以，...............................................10分
由，得，即则，
所以的最小值是6..................................................12分
19．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点．
（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
【解析】（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，
由题意，且，
且，
故且．
所以，四边形为平行四边形．............3分
所以，，又平面，平面，
所以，平面．............5分
（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且面面，面面，
所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，............7分
设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以．............10分
由于面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，从而，
所以直线与平面所成的角为．............12分
20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
------------------------------ -------------- -------------- --------------
阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）
------------------------------ -------------- -------------- --------------
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
 （1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
【解析】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，............4分
所以的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
的数学期望．............6分
（2）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，
， .........9分
由,
解得， 又，所以当时概率最大.
即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大. .........12分
21．已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
【解析】(Ⅰ) 椭圆右焦点的坐标为， .........(1分)
．，
由，得． ............ (3分)
设点的坐标为，由，有，
代入，得．
即点的轨迹的方程为 ......... (5分)
（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，
则，． ............ (6分)
由，得， 同理得． ............ (8分)
，，则． ......(9分)
由，得，． ......... (10分)
则．
因此，以线段为直径的圆经过点． ......... (12分)
解法二：①当时， 、，则， ．
由 得点的坐标为，则．
由 得点的坐标为，则．
． ............... (7分)
②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． ... (8分)
由，得，． ............(9分)
则． ............ (11分)
因此，以线段为直径的圆经过点 ............ (12分)
22．已知函数，
（Ⅰ）若直线与曲线相切于点，证明：；
（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ），
由导数的几何意义可知， ①...............1分
又直线的图像过定点（1，0），因此，
即 ②...............2分
联立①②消去有................3分
设，则，所以在R上单调递增.
而，，
由函数零点存在性定理知 . ...............5分
（Ⅱ）由得，
令，则...............6分
由（Ⅰ）知在R上单调递增，
且时，；在，
故在上单调递减，在上单调递增.
.
易证，...............8分
当时，；当时，.
（1）若，则，
此时有无穷多个整数解，不合题意；...............9分
（2）若，即，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以无整数解，不合题意；...............10分
（3）若，即，此时，故是的两个整数解，又只有两个整数解，因此，
解得，所以...............12分
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**数学破题36个大招**
**目 录**
**高考数学常考问题-大闯关（36关）** 1
**目 录** 1
**第1关：** **极值点偏移问题\--对数不等式法** 2
**第2关：** **参数范围问题---常见解题6法** 6
**第3关：** **数列求和问题---解题策略8法** 8
**第4关：** **绝对值不等式解法问题---7大类型** 13
**第5关： 三角函数最值问题---解题9法** 19
**第6关： 求轨迹方程问题---6大常用方法** 23
**第7关： 参数方程与极坐标问题---"考点"面面看** 35
**第8关： 均值不等式问题---拼凑8法** 40
**第9关： 不等式恒成立问题---8种解法探析** 46
**第10关： 圆锥曲线最值问题---5大方面** 51
**第11关： 排列组合应用问题---解题21法** 54
**第12关： 几何概型问题---5类重要题型** 60
**第13关： 直线中的对称问题---4类对称题型** 63
**第14关： 利用导数证明不等式问题---4大解题技巧** 65
**第15关： 函数中易混问题---11对** 70
**第16关： 三项展开式问题---破解"四法"** 75
**第17关： 由递推关系求数列通项问题---"不动点"法** 76
**第18关： 类比推理问题---高考命题新亮点** 79
**第19关： 函数定义域问题---知识大盘点** 85
**第20关： 求函数值域问题---7类题型16种方法** 91
**第21关： 求函数解析式问题---7种求法** 111
**第22关：解答立体几何问题---5大数学思想方法** 114
**第23关： 数列通项公式---常见9种求法** 120
**第24关：导数应用问题---9种错解剖析** 130
**第25关：三角函数与平面向量综合问题---6种类型** 133
**第26关：概率题错解分类剖析---7大类型** 139
**第27关：抽象函数问题---分类解析** 142
{width="6.989583333333333in" height="6.666666666666667in"}
以下只要证明上述函数不等式即可.
以下我们来看看对数不等式的作用.
**题目1：**（2015长春四模题）已知函数{width="1.0208333333333333in" height="0.25in"}有两个零点{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，则下列说法错误的是 [ ]{.underline}
A. {width="0.3958333333333333in" height="0.15625in"} B.{width="0.7395833333333334in" height="0.25in"} C.{width="0.5520833333333334in" height="0.25in"} D.有极小值点{width="0.1875in" height="0.25in"}，且{width="0.8854166666666666in" height="0.25in"}
【答案】C
【解析】函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}导函数：
{width="0.9895833333333334in" height="0.2708333333333333in"}
有极值点{width="0.5625in" height="0.19791666666666666in"}，而极值{width="1.5520833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.5208333333333334in" height="0.15625in"}，A正确.
{width="0.3854166666666667in" height="0.22916666666666666in"}有两个零点：{width="0.8333333333333334in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"}，即：
{width="1.03125in" height="0.25in"}①
{width="1.0625in" height="0.25in"}②
①-②得：
{width="1.3854166666666667in" height="0.25in"}
根据对数平均值不等式：
{width="2.2395833333333335in" height="0.4791666666666667in"}
{width="0.8854166666666666in" height="0.25in"}，而{width="0.6666666666666666in" height="0.3020833333333333in"}，{width="0.6875in" height="0.25in"} B正确，C错误
而①+②得：{width="2.1041666666666665in" height="0.25in"}，即D成立.
**题目2：**（2011辽宁理）已知函数{width="1.8958333333333333in" height="0.28125in"}.
若函数{width="0.6875in" height="0.28125in"}的图像与{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴交于{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}两点，线段{width="0.28125in" height="0.1875in"}中点的横坐标为{width="0.1875in" height="0.25in"}，证明：{width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，则{width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}，
{width="1.71875in" height="0.2708333333333333in"}①
{width="1.7395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}②
①-②得：{width="3.551388888888889in" height="0.25in"}，化简得：
{width="2.5in" height="0.4791666666666667in"}③
而根据对数平均值不等式：
{width="1.4479166666666667in" height="0.4791666666666667in"}
③等式代换到上述不等式
{width="3.4159722222222224in" height="0.4791666666666667in"}④
根据：{width="1.3541666666666667in" height="0.25in"}（由③得出）∴④式变为：
> {width="3.113888888888889in" height="0.2708333333333333in"}
∵{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}，∴{width="0.4895833333333333in" height="0.4375in"}，∴{width="0.1875in" height="0.25in"}在函数单减区间中，即：{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}
**题目3：**(2010天津理)已知函数{width="0.8645833333333334in" height="0.28125in"} {width="0.5416666666666666in" height="0.28125in"}.如果{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，且{width="1.0416666666666667in" height="0.28125in"}.
证明：{width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}.
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设{width="1.2291666666666667in" height="0.25in"}，则{width="0.5in" height="0.4375in"}，{width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.25in"}两边取对数
{width="1.03125in" height="0.25in"}①
{width="1.0625in" height="0.25in"}②
①-②得：
{width="1.0520833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
根据对数平均值不等式
{width="1.6666666666666667in" height="0.4791666666666667in"}
{width="0.8854166666666666in" height="0.25in"}
**题目4：**（2014江苏南通市二模）设函数{width="1.2916666666666667in" height="0.28125in"} {width="0.5416666666666666in" height="0.28125in"}，其图象与{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴交于{width="1.15625in" height="0.28125in"}两点，且{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}.
证明：{width="1.0in" height="0.3333333333333333in"}（{width="0.4479166666666667in" height="0.28125in"}为函数{width="0.40625in" height="0.28125in"}的导函数）.
【解析】根据题意：{width="1.0625in" height="0.2708333333333333in"}，{width="1.1041666666666667in" height="0.2708333333333333in"}移项取对数得：
> {width="1.3541666666666667in" height="0.25in"}①
{width="1.3854166666666667in" height="0.25in"}②
①-②得：{width="2.0in" height="0.25in"}，即：
{width="1.65625in" height="0.4791666666666667in"}
根据对数平均值不等式：
{width="2.895138888888889in" height="0.4791666666666667in"}
{width="2.8118055555555554in" height="0.25in"}，①+②得：
{width="2.7395833333333335in" height="0.25in"}
根据均值不等式：
{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}
∵函数{width="0.3854166666666667in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}单调递减
∴{width="0.9895833333333334in" height="0.3020833333333333in"}
{width="5.760416666666667in" height="5.489583333333333in"}
{width="1.8645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
由题于{width="0.4375in" height="0.1875in"}与{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}交于不同两点，易得出则{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}
∴上式简化为:
{width="1.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}
∴{width="0.90625in" height="0.4791666666666667in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}
**第2关：** **参数范围问题---常见解题6法**
求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．
**一、确定"主元"思想**
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．
**例1.**对于满足0{width="0.53125in" height="0.22916666666666666in"}的一切实数{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，不等式x^2^+px\>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
**分析**：习惯上把x当作自变量，记函数y= x^2^+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}时y\>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在\[0,4\]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
**解**：设f(p)=(x-1)p+x^2^-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当0{width="0.53125in" height="0.22916666666666666in"}时f(p)\>0恒成立，∴f(0)\>0,f(4)\>0即x^2^-4x+3\>0且x^2^-1\>0，
解得x\>3或x\<-1．∴x的取值范围为x\>3或x\<-1．
> **二、分离变量**
>
> 对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
**例2．**若对于任意角{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}总有{width="1.9895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}成立，求{width="0.1875in" height="0.15625in"}的范围．
**分析与解：**此式是可分离变量型，由原不等式得{width="1.5416666666666667in" height="0.25in"}，
又{width="0.875in" height="0.19791666666666666in"}，则原不等式等价变形为{width="1.03125in" height="0.4583333333333333in"}恒成立．
根据边界原理知，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}必须小于{width="0.65625in" height="0.4583333333333333in"}的最小值，这样问题化归为怎样求{width="0.65625in" height="0.4583333333333333in"}的最小值．因为{width="0.65625in" height="0.4583333333333333in"}{width="2.15625in" height="0.4583333333333333in"} {width="2.4479166666666665in" height="0.4375in"}
即{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，有最小值为0，故{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}．
**评析**：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) {width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"} \[f(x)\]min≥g(k)
②f(x)\> g(k) {width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"} g(k) \< \[f(x)\] min
③f(x)≤g(k) {width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"} \[f(x)\] max≤g(k)
④f(x)\<g(k) {width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"} \[f(x)\] max \< g(k)
**三、数形结合**
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．
**例3．**设{width="0.6979166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，若不等式{width="1.65625in" height="0.4375in"}恒成立，求a的取值范围．
{width="2.46875in" height="1.7708333333333333in"} **分析与解：**若设函数{width="1.125in" height="0.28125in"}，则{width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}，其图象为上半圆．
设函数{width="1.0729166666666667in" height="0.4375in"}，其图象为直线．
在同一坐标系内作出函数图象如图，
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}到直线{width="1.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}的距离{width="1.4583333333333333in" height="0.4375in"}且{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时成立，即a的取值范围为{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
> **四、分类讨论**
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
**例4．**当{width="0.59375in" height="0.21875in"}时，不等式{width="1.0in" height="0.2604166666666667in"}恒成立，求a的取值范围．
**解：**（1）当{width="0.75in" height="0.21875in"}时，由题设知{width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}恒成立，即{width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，而{width="0.59375in" height="0.21875in"}∴{width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"} 解得{width="1.4270833333333333in" height="0.21875in"}
（2）当{width="1.0in" height="0.21875in"}时，由题设知{width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}恒成立，即{width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，而{width="0.59375in" height="0.21875in"}∴{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 解得{width="1.78125in" height="0.46875in"}．∴a的取值范围是{width="3.0722222222222224in" height="0.46875in"}．
> **五、利用判别式**
当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．
**例5**．不等式{width="1.2916666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，对一切{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}恒成立，求实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围.
**解**：∵{width="2.2083333333333335in" height="0.4375in"}在**R**上恒成立，
∴{width="3.520138888888889in" height="0.4583333333333333in"}
{width="2.1145833333333335in" height="0.25in"}，{width="0.2708333333333333in" height="0.15625in"}**R**
∴{width="1.9375in" height="0.25in"}，解得{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}
故实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围是{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}.
一般地二次函数f(x)=ax^2^+bx+c恒正{width="0.7291666666666666in" height="0.5in"}，f(x)=ax^2^+bx+c恒负{width="0.7291666666666666in" height="0.5in"}.
> **六、构造函数**
>
> 构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．
**例6．**已知不等式{width="3.2805555555555554in" height="0.4375in"}对于一切大于1的自然数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都成立，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
**分析：**注意到不等式仅仅左边是与{width="0.10416666666666667in" height="0.15625in"}有关的式子，从函数的观点看，左边是关于{width="0.10416666666666667in" height="0.15625in"}的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．
**解：**设{width="2.4166666666666665in" height="0.4375in"},{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}**N**{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}
{width="1.1979166666666667in" height="0.22916666666666666in"}{width="2.0in" height="0.4583333333333333in"}{width="2.03125in" height="0.4375in"}
{width="3.1659722222222224in" height="0.4583333333333333in"}
∴{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}是关于{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}**N**{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的递增函数，则{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}={width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}.
∴要使不等式成立，只须{width="1.5833333333333333in" height="0.4375in"}，解之得{width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}.
∴实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是{width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}．
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．
**第3关：** **数列求和问题---解题策略8法**
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。
**1、公式法求和**
若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：
等差数列求和公式：{width="2.2291666666666665in" height="0.4375in"}，
等比数列求和公式：{width="2.6041666666666665in" height="0.7291666666666666in"}
自然数的方幂和：{width="0.20833333333333334in" height="0.40625in"}k^3^=1^3^+2^3^+3^3^+{width="0.19791666666666666in" height="8.333333333333333e-2in"}+n^3^= {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}n^2^ (n+1)^2^，{width="0.20833333333333334in" height="0.40625in"} k=1+2+3+{width="0.19791666666666666in" height="8.333333333333333e-2in"}+n= {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}n(n+1)，
{width="0.20833333333333334in" height="0.40625in"} k^2^=1^2^+2^2^+3^2^+{width="0.19791666666666666in" height="8.333333333333333e-2in"}+n^2^= {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}n(n+1)(2 n+ 1)
**例1**已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}，其中{width="2.4375in" height="0.28125in"}，记数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项和为{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，数列{width="0.5in" height="0.28125in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项和为{width="0.22916666666666666in" height="0.25in"}，求{width="0.22916666666666666in" height="0.25in"}。
**解：**由题意，{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}是首项为{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，公差为{width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"}的等差数列
前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项和{width="1.6875in" height="0.4375in"}，{width="1.3541666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
{width="2.5833333333333335in" height="0.28125in"}
**2、错位相减法求和**
若数列{width="0.3125in" height="0.25in"}的通项公式为{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，其中{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.3125in" height="0.25in"}中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。
**例2**已知{width="4.259722222222222in" height="0.2604166666666667in"}当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的前n项和{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}；
**解**：当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.9479166666666666in" height="0.2604166666666667in"}．由题可知，{{width="0.625in" height="0.25in"}}的通项是等差数列{{width="0.3541666666666667in" height="0.19791666666666666in"}}的通项与等比数列{{width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}}的通项之积，这时数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和
{width="2.9368055555555554in" height="0.2604166666666667in"}． ①
①式两边同乘以{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}，得 {width="3.1034722222222224in" height="0.2604166666666667in"} ②
①式减去②式，得 {width="3.1034722222222224in" height="0.2604166666666667in"}
若{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}，{width="2.3854166666666665in" height="0.4375in"}，
{width="4.165972222222222in" height="0.4479166666666667in"}
若{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}，{width="2.5625in" height="0.4270833333333333in"}
**3、反序相加法求和**
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个{width="0.6041666666666666in" height="0.25in"}，S~n~表示从第一项依次到第n项的和，然后又将S~n~表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S~n~的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.
**例3**设{width="0.9479166666666666in" height="0.4166666666666667in"}，利用课本中推导等差数列的前{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}项和的公式的方法，可求得{width="2.5in" height="0.20833333333333334in"}的值为： [ ]{.underline}
**解**：因为*f*（*x*）={width="0.65625in" height="0.4791666666666667in"}，∴*f*（1－*x*）={width="2.4791666666666665in" height="0.7083333333333334in"}
∴*f*（*x*）+*f*（1－*x*）={width="4.322222222222222in" height="0.7083333333333334in"}.
设*S*=*f*（－5）+*f*（－4）+...+*f*（6），则*S*=*f*（6）+*f*（5）+...+*f*（－5）
∴2*S*=（*f*（6）+*f*（－5））+（*f*（5）+*f*（－4））+...+（*f*（－5）+...*f*（6））=6{width="0.28125in" height="0.25in"}
∴*S*=*f*（－5）+*f*（－4）+...+*f*（0）+...+*f*（6）=3{width="0.28125in" height="0.25in"}.
**4、拆项重组求和.**
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.
**例4**求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
**解**：设{width="2.4895833333333335in" height="0.2708333333333333in"}
∴{width="1.6145833333333333in" height="0.4791666666666667in"}＝{width="1.2395833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
将其每一项拆开再重新组合得：
S~n~＝{width="1.7083333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
＝{width="3.6972222222222224in" height="0.25in"}
＝{width="2.5416666666666665in" height="0.4583333333333333in"}
＝{width="1.0833333333333333in" height="0.4583333333333333in"}
**5、裂项相消法求和**
有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前{width="0.125in" height="0.15625in"}项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。它适用于{width="0.6666666666666666in" height="0.53125in"}型（其中{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有：
{width="1.40625in" height="0.25in"}；{width="2.2291666666666665in" height="0.3645833333333333in"}；{width="1.3541666666666667in" height="0.4583333333333333in"}；{width="2.6666666666666665in" height="0.3645833333333333in"}；{width="2.0in" height="0.4166666666666667in"}；
{width="2.6875in" height="0.4895833333333333in"}；{width="2.53125in" height="0.4895833333333333in"}；
{width="3.238888888888889in" height="0.4583333333333333in"}等
**例5**设数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项的和{width="1.5416666666666667in" height="0.4375in"}，{width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}，令{width="0.5416666666666666in" height="0.5in"}，{width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}，求{width="0.3958333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
**解：**由题意得：{width="0.75in" height="0.23958333333333334in"} （其中*n*为正整数）
{width="4.343055555555556in" height="0.40625in"}
{width="3.3743055555555554in" height="0.5in"}
所以：{width="1.9791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}~。~
**6、并项求和**
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}。
**例6**设数列{width="0.3125in" height="0.25in"}的首项为{width="0.4270833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，前{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}满足关系式：
{width="2.9375in" height="0.25in"}设数列{width="0.3125in" height="0.25in"}的公比为{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}，作数列{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}使{width="2.3229166666666665in" height="0.46875in"}，求和：*b*~1~*b*~2~－*b*~2~*b*~3~+*b*~3~*b*~4~－*b*~4~*b*~5~...+*b*~2*n*－1~*b*~2*n*~－*b*~2*n*~*b*~2*n*+1~.
**解**:由题意知{width="0.3125in" height="0.25in"}为等比数列，得{width="1.0729166666666667in" height="0.4375in"}，故{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}={width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，
故：*b~n~*={width="0.4895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}，可知{*b*~2*n*－1~}和{*b*~2*n*~}是首项分别为1和{width="0.16666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}，公差均为{width="0.16666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}的等差数列。
于是*b*~1~*b*~2~－*b*~2~*b*~3~+*b*~3~*b*~4~－*b*~4~*b*~5~+...+*b*~2*n*－1~*b*~2*n*~－*b*~2*n*~*b*~2*n*+1~
=*b*~2~（*b*~1~－*b*~3~）+*b*~4~（*b*~3~－*b*~5~）+*b*~6~（*b*~5~－*b*~7~）+...+*b*~2*n*~（*b*~2*n*－1~+*b*~2*n*+1~）
=－{width="0.16666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}（*b*~2~+*b*~4~+...+*b*~2*n*~）=－{width="1.28125in" height="0.46875in"}
=－{width="0.16666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}（2*n*^2^+3*n*）
**7、累加法**
给出数列｛{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为{width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。
**例7**数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项和为{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，已知{width="2.5625in" height="0.4375in"}，求{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}
**解：**由{width="1.3333333333333333in" height="0.28125in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}得：{width="1.875in" height="0.28125in"}，
即{width="1.9166666666666667in" height="0.28125in"}，
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.5in" height="0.4375in"}，对{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}成立。
由{width="1.5in" height="0.4375in"}，{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}，...，{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}累加得：{width="1.3645833333333333in" height="0.4375in"}，又{width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}，所以{width="0.6979166666666666in" height="0.4583333333333333in"}，当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，也成立
**8多法并取求和**
根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.
**例8**已知数列{a~n~}：{width="2.8222222222222224in" height="0.4791666666666667in"}的值.
**解**：∵ {width="3.8743055555555554in" height="0.4583333333333333in"}
＝{width="2.2291666666666665in" height="0.4583333333333333in"}
＝{width="3.082638888888889in" height="0.4270833333333333in"}
∴ {width="4.207638888888889in" height="0.4791666666666667in"}
＝{width="1.1458333333333333in" height="0.4375in"}＝{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}
**第4关：** **绝对值不等式解法问题---7大类型**
**类型一：形如**{width="1.8645833333333333in" height="0.28125in"}**型不等式**
解法:根据{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.
1. 当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，
{width="1.8958333333333333in" height="0.28125in"}
{width="1.53125in" height="0.28125in"}或{width="0.7395833333333334in" height="0.22916666666666666in"}
2. 当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}
{width="0.6875in" height="0.28125in"}，无解
{width="0.90625in" height="0.28125in"}使{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的解集
3. 当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，
{width="0.6875in" height="0.28125in"}，无解
{width="0.90625in" height="0.28125in"}使{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}成立的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的解集.
例1不等式{width="0.7708333333333334in" height="0.3125in"}的解集为（ ）
> A.{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"} B.{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}
>
> C.{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"} D.{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}
解：
因为 {width="0.7708333333333334in" height="0.3125in"}，所以{width="1.1145833333333333in" height="0.22916666666666666in"}.
即
{width="1.0416666666666667in" height="0.5625in"}，
解得：
{width="0.8333333333333334in" height="0.5in"}，
所以 {width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，故选A.
**类型二：形如**{width="1.65625in" height="0.28125in"}**型不等式**
解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：
{width="2.7708333333333335in" height="0.28125in"}
或{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}{width="1.15625in" height="0.28125in"}
需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：
{width="2.7708333333333335in" height="0.28125in"}
例2 不等式{width="0.875in" height="0.28125in"}的解集为（ ）
A．{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"} B.{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}
C．{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"} D.{width="1.0625in" height="0.22916666666666666in"}
解：
{width="1.90625in" height="0.28125in"}或{width="1.0729166666666667in" height="0.22916666666666666in"}
{width="0.875in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.875in" height="0.19791666666666666in"}，故选D
**类型三：形如**{width="0.90625in" height="0.28125in"}**，**{width="0.90625in" height="0.28125in"}**型不等式**，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下
解法：把{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}看成一个大于零的常数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}进行求解，即：
{width="2.5416666666666665in" height="0.28125in"}，
{width="1.9791666666666667in" height="0.28125in"}或{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}
例3设函数{width="1.4583333333333333in" height="0.28125in"}，若{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是 [ ]{.underline}
解：
{width="2.0416666666666665in" height="0.28125in"}
{width="3.0409722222222224in" height="0.28125in"}
{width="1.3333333333333333in" height="0.5in"}
{width="1.6979166666666667in" height="0.5in"}，故填：{width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"}.
**类型四：形如**{width="0.9479166666666666in" height="0.28125in"}**型不等式**
解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为："两式和"与"两式差"的积的方法进行，即：
{width="2.28125in" height="0.3229166666666667in"}
{width="3.957638888888889in" height="0.25in"}
例4不等式{width="1.2708333333333333in" height="0.28125in"}的解集为 [ ]{.underline}
解：
{width="2.5in" height="0.28125in"}
{width="3.1972222222222224in" height="0.3125in"}
{width="2.9159722222222224in" height="0.22916666666666666in"}
{width="0.9166666666666666in" height="0.19791666666666666in"}
所以原不等式的解集为{width="0.9479166666666666in" height="0.28125in"}
**类型五：形如**{width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"}**型不等式**
解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：
{width="0.90625in" height="0.28125in"}，无解
{width="1.75in" height="0.28125in"}
例5解关于{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的不等式{width="1.8333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
解：
{width="3.1243055555555554in" height="0.4791666666666667in"}
{width="2.0416666666666665in" height="0.4375in"}
1. 当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式等价于：
{width="1.2083333333333333in" height="0.4375in"}
2. 当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式等价于：
{width="2.1041666666666665in" height="0.4375in"}
3. 当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式等价于：
{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.75in" height="0.4375in"}
{width="0.5833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}
综上所述
1. 当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式的解集为：
{width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}
2. 当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式的解集为：
{width="1.1458333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
3. 当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式的解集为：
{width="1.3958333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
**类型六：形如使**{width="2.5in" height="0.28125in"}**恒成立型不等式.**
解法：利用和差关系式：{width="1.6666666666666667in" height="0.3125in"}，结合极端性原理即可解得，即：
{width="4.853472222222222in" height="0.3125in"}；
{width="4.832638888888889in" height="0.28125in"}；
例6不等式{width="1.5833333333333333in" height="0.28125in"}对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．{width="1.1875in" height="0.23958333333333334in"} B.{width="1.1979166666666667in" height="0.23958333333333334in"}
C.{width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"} D.{width="1.1875in" height="0.23958333333333334in"}
解：
设函数
{width="2.863888888888889in" height="0.28125in"}
所以
{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}
而不等式{width="1.5833333333333333in" height="0.28125in"}对任意的实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}恒成立
故{width="1.9895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，故选择A
**类型七：形如**
{width="1.2395833333333333in" height="0.28125in"}{width="1.875in" height="0.28125in"}
{width="1.3958333333333333in" height="0.28125in"}**，**{width="1.3958333333333333in" height="0.28125in"}
{width="1.2395833333333333in" height="0.28125in"}{width="1.875in" height="0.28125in"}
{width="1.3958333333333333in" height="0.28125in"}**，**{width="1.40625in" height="0.28125in"}
1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.
例7解不等式{width="1.0in" height="0.28125in"}
分析：找出零点：{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}
确定分段区间：{width="1.5208333333333333in" height="0.4375in"}
解：（1）当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式可化为：{width="1.125in" height="0.19791666666666666in"}
解得：{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}因为 {width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，所以 {width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}不存在
（2）当{width="0.6875in" height="0.4375in"}时，原不等式可化为：{width="1.03125in" height="0.19791666666666666in"}
解得：{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}又因为 {width="0.6875in" height="0.4375in"}，所以 {width="0.6875in" height="0.4375in"}
（3）当{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}时，原不等式可化为：{width="0.90625in" height="0.19791666666666666in"}，
解得：{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}又 {width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}，所以 {width="0.6875in" height="0.4375in"}
综上所述，原不等式的解集为：{width="0.8645833333333334in" height="0.28125in"}
2、特别地，对于形如
{width="1.2395833333333333in" height="0.28125in"}{width="1.875in" height="0.28125in"}
{width="1.3958333333333333in" height="0.28125in"}，{width="1.40625in" height="0.28125in"}
型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：
{width="1.6145833333333333in" height="0.28125in"}
{width="1.4375in" height="0.5833333333333334in"}
{width="1.40625in" height="0.28125in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="1.3541666666666667in" height="0.28125in"}或{width="1.3541666666666667in" height="0.28125in"}
例8设函数{width="1.4375in" height="0.28125in"}
（1）若{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，解不等式{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}
（2）如果{width="1.1979166666666667in" height="0.22916666666666666in"}求{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的范围
解：
1. 当{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}
> {width="1.3541666666666667in" height="0.28125in"}
由{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}得：
{width="1.6458333333333333in" height="0.28125in"}
即：
{width="1.2916666666666667in" height="0.28125in"} 或 {width="1.2916666666666667in" height="0.28125in"}
解得：
{width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}，即：{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"} 或 {width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}
故不等式{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}的解集为：
{width="1.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
（2）由{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}得：
{width="1.1875in" height="0.28125in"}
即：
{width="1.3333333333333333in" height="0.28125in"} 或 {width="1.3333333333333333in" height="0.28125in"}
即：
{width="1.0833333333333333in" height="0.28125in"} 或 {width="0.65625in" height="0.28125in"}
因为{width="1.1666666666666667in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，
所以{width="0.65625in" height="0.28125in"} 成立，解得：
{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"} 或 {width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}
故{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围为：
{width="1.1875in" height="0.23958333333333334in"}
绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.
方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质------思想，那么就有点得不偿失了.
**第5关： 三角函数最值问题---解题9法**
三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：
**一 配方法**
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
**例1** 函数{width="1.6458333333333333in" height="0.25in"}的最小值为（ ）.
A． 2 B . 0 C . {width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"} D . 6
**\[分析\]**本题可通过公式{width="1.2395833333333333in" height="0.22916666666666666in"}将函数表达式化为{width="1.5625in" height="0.25in"}，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则{width="1.7291666666666667in" height="0.25in"}配方，得{width="1.15625in" height="0.5208333333333334in"}, {width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}当t=1时,即cosx=1时，{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"},选B.
**例2** 求函数y=5sinx+cos2x的最值
**\[分 析\]** ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
{width="4.905555555555556in" height="1.40625in"}
**二 引入辅助角法**
> **例3**已知函数{width="2.6875in" height="0.4791666666666667in"}当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。
>
> **\[分析\]** 此类问题为{width="2.4791666666666665in" height="0.25in"}的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为{width="1.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}型求解。
解： {width="6.155555555555556in" height="1.03125in"}
**三 利用三角函数的有界性**
> 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征------有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
**例4**求函数{width="1.0in" height="0.4375in"}的值域
**\[分析\]** 此为{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
解法一：原函数变形为{width="2.03125in" height="0.4375in"}，可直接得到：{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}或{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}
解法一：原函数变形为{width="3.0409722222222224in" height="0.5in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}或{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}
**例5** 已知函数{width="1.8541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
**\[分析\]** 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。
解：{width="4.655555555555556in" height="0.4791666666666667in"}
> {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"} f(x)的最小正周期为{width="0.15625in" height="0.15625in"}，最大值为{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}。
**四 引入参数法（换元法）**
对于表达式中同时含有sinx[+]{.underline}cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式{width="2.2083333333333335in" height="0.2708333333333333in"} 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。
**例6** 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。
**\[分析\]**解：{width="2.1979166666666665in" height="0.2708333333333333in"}令sinx+cosx=t，则{width="3.2805555555555554in" height="0.4583333333333333in"}，其中{width="0.9479166666666666in" height="0.2708333333333333in"}
当{width="2.6979166666666665in" height="0.4791666666666667in"}
**五 利用基本不等式法**
**利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。**
**例7** 求函数{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}的最值。
解：{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}={width="4.061805555555556in" height="0.25in"}
当且仅当{width="1.1875in" height="0.25in"}即{width="0.8541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}时，等号成立，故{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}。
**六 利用函数在区间内的单调性**
**例8** 已知{width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"}，求函数{width="1.125in" height="0.4375in"}的最小值。
**\[分析\]** 此题为{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}型三角函数求最值问题，当sinx\>0,a\>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
设{width="1.90625in" height="0.4375in"}，在（0，1）上为减函数，当t=1时，{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}。
**七 数形结合**
由于{width="1.2395833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
**例9** 求函数{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}的最小值。
**\[分析\]** 法一：将表达式改写成{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。
设过点A的切线与半圆相切与点B,则{width="0.8541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}
可求得{width="1.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}
所以y的最小值为{width="0.40625in" height="0.4791666666666667in"}（此时{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}）.
法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx={width="1.3333333333333333in" height="0.2916666666666667in"}（即引入辅助角法）和有界性来求解。
**八 判别式法**
**例10** 求函数{width="1.2395833333333333in" height="0.4583333333333333in"}的最值。
**\[分析\]** 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。
解：{width="2.7395833333333335in" height="0.9791666666666666in"}
{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}时此时一元二次方程总有实数解
{width="3.3118055555555554in" height="0.7291666666666666in"}
由y=3，tanx=-1，{width="2.0in" height="0.4375in"}
由{width="2.6875in" height="0.4375in"}
**九 分类讨论法**
含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。
**例 11** 设{width="2.9993055555555554in" height="0.4791666666666667in"}，用a表示f(x)的最大值M(a).
解：{width="2.1979166666666665in" height="0.4375in"}令sinx=t,则{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}
{width="3.8222222222222224in" height="0.5208333333333334in"}
1. 当{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"}，即{width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}在\[0，1\]上递增， {width="1.5416666666666667in" height="0.4375in"}
2. 当{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}即{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}在\[0，1\]上先增后减，{width="1.9479166666666667in" height="0.4895833333333333in"}
3. 当{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}即{width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}在\[0，1\]上递减，{width="1.4791666666666667in" height="0.4375in"}
{width="2.2083333333333335in" height="1.4166666666666667in"}
以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。
**第6关： 求轨迹方程问题---6大常用方法**
**知识梳理：**
**（一）求轨迹方程的一般方法：**
**1. 待定系数法：**如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
**2. 直译法：**如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
**3. 参数法：**如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求[引发]{.underline}动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
**4. 代入法（相关点法）：**如果动点P的运动是由另外某一点P\'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P\'的坐标，然后把P\'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
**5.几何法：**若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
**6：交轨法：**在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
**（二）求轨迹方程的注意事项：**
1\. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
{width="4.749305555555556in" height="0.4166666666666667in"}
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3\. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。
课前热身**：**
1\. P是椭圆{width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为： （ ）
A、{width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"} B、{width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"} C、{width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"} D、{width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}=1
**【答案】**：B
**【解答】**:令中点坐标为{width="0.40625in" height="0.21875in"},则点P 的坐标为({width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}代入椭圆方程得{width="0.9583333333333334in" height="0.46875in"},选B
2\. 圆心在抛物线{width="1.0625in" height="0.25in"}上，并且与抛物线的准线及{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴都相切的圆的方程是（ ）
A {width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"} B {width="1.6145833333333333in" height="0.25in"}
C {width="1.6145833333333333in" height="0.25in"} D {width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}
**【答案】**：D
**【解答】**:令圆心坐标为({width="0.46875in" height="0.4583333333333333in"},则由题意可得{width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"},解得{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"},则圆的方程为{width="1.6666666666666667in" height="0.4270833333333333in"},选D
**3**: 一动圆与圆O：{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}外切，而与圆C：{width="1.375in" height="0.25in"}内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支
**【答案】**：D
**【解答】**令动圆半径为R，则有{width="0.9895833333333334in" height="0.5in"}，则\|MO\|-\|MC\|=2，满足双曲线定义。故选D。
4**:** 点P(x~0~，y~0~)在圆x^2^+y^2^=1上运动，则点M（2x~0~，y~0~）的轨迹是 （ ）
A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线
**【答案】**：A
**【解答】**:令M的坐标为{width="0.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}则{width="1.4166666666666667in" height="0.7291666666666666in"}代入圆的方程中得{width="0.875in" height="0.4583333333333333in"},选A
{width="0.5in" height="0.3125in"}【互动平台】
**一：用定义法求曲线轨迹**
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1：已知{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足{width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}求点C的轨迹。
**【解析】由**{width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}可知{width="1.09375in" height="0.4270833333333333in"}，即{width="1.21875in" height="0.21875in"}，满足椭圆的定义。令椭圆方程为{width="0.8854166666666666in" height="0.5in"}，则{width="1.5208333333333333in" height="0.25in"}，则轨迹方程为{width="0.84375in" height="0.4583333333333333in"}（{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
**【点评】**熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
1. 圆：到定点的距离等于定长
2. 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
3. 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
4. 到定点与定直线距离相等。
**【变式1】:** 1:已知圆{width="1.1770833333333333in" height="0.2604166666666667in"}的圆心为M~1~，圆{width="1.0625in" height="0.25in"}的圆心为M~2~，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：{width="0.90625in" height="0.21875in"}，{width="0.8854166666666666in" height="0.21875in"}。
{width="2.875in" height="0.25in"}。
∴动圆圆心P的轨迹是以M~1~、M~2~为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b^2^=12。
故所求轨迹方程为{width="1.3020833333333333in" height="0.4375in"}
2:一动圆与圆O：{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}外切，而与圆C：{width="1.375in" height="0.25in"}内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支
**【解答】**令动圆半径为R，则有{width="0.9895833333333334in" height="0.5in"}，则\|MO\|-\|MC\|=2，满足双曲线定义。故选D。
**二：用直译法求曲线轨迹方程**
此类问题重在寻找数量关系。
{width="1.46875in" height="1.0729166666666667in"}例2： 一条线段*AB*的长等于2*a*,两个端点*A*和*B*分别在*x*轴和*y*轴上滑动，求*AB*中点*P*的轨迹方程？
解 设M点的坐标为{width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"} 由平几的中线定理：在直角三角形*AOB*中，*OM=*{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}
{width="1.9166666666666667in" height="0.3125in"}
*M*点的轨迹是以*O*为圆心，*a*为半径的圆周.
**【点评】**此题中找到了*OM=*{width="0.40625in" height="0.4375in"}这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：
1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
**【变式2】:** 动点*P*（*x,y*）到两定点*A*（－3，0）和*B*（3，0）的距离的比等于2（即{width="0.6666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}），求动点*P*的轨迹方程？
**【解答】**∵\|*PA*\|={width="2.5416666666666665in" height="0.3125in"}
代入{width="0.6666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}得{width="3.613888888888889in" height="0.59375in"}
化简得（*x*－5）^2^+*y*^2^=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
**三：用参数法求曲线轨迹方程**
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。
**例3．**过点P（2，4）作两条互相[垂直]{.underline}的直线l~1~，l~2~，若l~1~交x轴于A点，l~2~交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
{width="1.5520833333333333in" height="1.34375in"}
**【解析】**
**分析1：**从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l~1~引发的，可设出l~1~的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
**解法1：**设M（x，y），设直线l~1~的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）
{width="3.207638888888889in" height="0.4375in"}
{width="2.4479166666666665in" height="0.4375in"}
{width="2.3125in" height="0.4375in"}
∵M为AB的中点，
{width="2.15625in" height="1.3125in"}
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；
当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
**分析2：**解法1中在利用k~1~k~2~＝－1时，需注意k~1~、k~2~是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：
{width="1.0625in" height="0.4375in"}
**解法2：**设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l~1~⊥l~2~，∴△PAB为直角三角形
{width="2.625in" height="0.4375in"}
{width="2.895138888888889in" height="0.4375in"}
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。
**分析3：：**设M（x，y），由已知l~1~⊥l~2~，联想到两直线垂直的充要条件：k~1~k~2~＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
**解法3：**设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。
又l~1~，l~2~过点P（2，4），且l~1~⊥l~2~
∴PA⊥PB，从而k~PA~·k~PB~＝－1，
{width="2.0833333333333335in" height="0.4375in"}
{width="3.1868055555555554in" height="0.4375in"}
注意到l~1~⊥x轴时，l~2~⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）
中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
**【点评】**
1. 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了k~PA~·k~PB~＝－1，{width="1.0625in" height="0.4375in"}这些等量关系
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
**【变式3】**过圆O：x^2^ +y^2^= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹
**解法一："几何法"**
设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC,
所以\|OM \| ^２^＋\|ＭＡ\|^２^ ＝\|ＯＡ\| ^２^ ， 即(x^2^ +y^2^)+(x －４)^2^ +y^2^ =16
化简得：（x－2）^2^+ y^2^ =4\...\...\...\...\...\...\...\...\...\.....①
由方程 ① 与方程x^2^ +y^2^= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为
（x－2）^2^+ y^2^ =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
2为半径的圆在圆O内的部分。
**解法二："参数法"**
设点M的坐标为（x,y），B（x~1~,y~1~）,C（x~2~,y~2~）直线AB的方程为y=k(x－4),
由直线与圆的方程得（1+k^2^）x^2^ －8k^2^x +16k^2^－4=0\...\...\.....(\*),
由点M为BC的中点，所以x={width="1.125in" height="0.4583333333333333in"}\...\...\...\...\...(1) , 又OM⊥BC，所以k={width="0.1875in" height="0.4375in"}\...\...\...\...\.....(2)由方程（1）（2）
消去k得（x－2）^2^+ y^2^ =4,又由方程（\*）的△≥0得k^2^ ≤{width="0.15625in" height="0.4375in"},所以x＜1.
所以点M的轨迹方程为（x－2）^2^+ y^2^ =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
2为半径的圆在圆O内的部分。
**四：用代入法等其它方法求轨迹方程**
**例4.** {width="4.988888888888889in" height="0.5in"}
轨迹方程。
**分析：**题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
**【解析】**设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x~0~，y~0~）
则由M为线段AB中点，可得
{width="2.0833333333333335in" height="0.9166666666666666in"}
即点B坐标可表为（2x－2a，2y）
{width="2.6979166666666665in" height="0.4583333333333333in"}
{width="3.3743055555555554in" height="0.4791666666666667in"}
{width="3.520138888888889in" height="0.4583333333333333in"}
**【点评】**代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
**【变式4】**如图所示，已知*P*(4，0)是圆*x*^2^+*y*^2^=36内的一点，*A*、*B*是圆上两动点，且满足∠*APB*=90°，求矩形*APBQ*的顶点*Q*的轨迹方程{width="3.125e-2in" height="6.25e-2in"}
{width="1.7604166666666667in" height="1.6354166666666667in"}
**【解析】**： 设*AB*的中点为*R*，坐标为(*x*,*y*)，则在Rt△*ABP*中，\|*AR*\|=\|*PR*\|{width="3.125e-2in" height="6.25e-2in"} 又因为R是弦*AB*的中点，依垂径定理{width="3.125e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} 在Rt△*OAR*中，\|*AR*\|^2^=\|*AO*\|^2^－\|*OR*\|^2^=36－(*x*^2^+*y*^2^)
又\|*AR*\|=\|*PR*\|={width="0.9583333333333334in" height="0.2916666666666667in"}
所以有(*x*－4)^2^+*y*^2^=36－(*x*^2^+*y*^2^),即*x*^2^+*y*^2^－4*x*－10=0
因此点*R*在一个圆上，而当*R*在此圆上运动时，*Q*点即在所求的轨迹上运动{width="3.125e-2in" height="6.25e-2in"}
设*Q*(*x*,*y*)，*R*(*x*~1~,*y*~1~)，因为*R*是*PQ*的中点，所以*x*~1~={width="1.0729166666666667in" height="0.40625in"},
代入方程*x*^2^+*y*^2^－4*x*－10=0,得
{width="1.625in" height="0.40625in"}－10=0
整理得{width="3.125e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} *x*^2^+*y*^2^=56,这就是所求的轨迹方程{width="3.125e-2in" height="6.25e-2in"}
**【备选题】**
已知双曲线{width="0.78125in" height="0.25in"}的左、右焦点分别为{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，过点{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的动直线与双曲线相交于{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}两点．
（I）若动点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}满足{width="1.5625in" height="0.28125in"}（其中{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点），求点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的轨迹方程；
（II）在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴上是否存在定点{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，使{width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}·{width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}为常数？若存在，求出点{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知{width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}，设{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}．
解法一：（I）设{width="0.65625in" height="0.21875in"}，则{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}则{width="1.1770833333333333in" height="0.28125in"}，{width="1.2083333333333333in" height="0.28125in"}，
{width="2.0416666666666665in" height="0.28125in"}，由{width="1.5625in" height="0.28125in"}得
{width="1.3333333333333333in" height="0.53125in"}即{width="1.0833333333333333in" height="0.53125in"}
于是{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的中点坐标为{width="0.75in" height="0.46875in"}．
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}不与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，{width="1.78125in" height="0.8333333333333334in"}，即{width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}．
又因为{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}两点在双曲线上，所以{width="0.78125in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.78125in" height="0.2604166666666667in"}，两式相减得
{width="2.4166666666666665in" height="0.25in"}，即{width="1.84375in" height="0.25in"}．
将{width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}代入上式，化简得{width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}．
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，{width="0.75in" height="0.25in"}，求得{width="0.53125in" height="0.21875in"}，也满足上述方程．
所以点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的轨迹方程是{width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}．
（II）假设在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴上存在定点{width="0.53125in" height="0.21875in"}，使{width="0.5in" height="0.25in"}为常数．
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}不与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，设直线{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的方程是{width="1.375in" height="0.21875in"}．
代入{width="0.78125in" height="0.25in"}有{width="2.1354166666666665in" height="0.25in"}．
则{width="0.4479166666666667in" height="0.25in"}是上述方程的两个实根，所以{width="1.03125in" height="0.4583333333333333in"}，{width="1.0in" height="0.4583333333333333in"}，
于是{width="3.113888888888889in" height="0.28125in"}
{width="2.957638888888889in" height="0.2604166666666667in"}
{width="3.0409722222222224in" height="0.4583333333333333in"}
{width="3.2597222222222224in" height="0.4583333333333333in"}．
因为{width="0.5in" height="0.25in"}是与{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}无关的常数，所以{width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，即{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，此时{width="0.5in" height="0.25in"}={width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}．
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，点{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的坐标可分别设为{width="0.5in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.2604166666666667in"}，
此时{width="2.0208333333333335in" height="0.28125in"}．
故在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴上存在定点{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，使{width="0.5in" height="0.25in"}为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有{width="1.0833333333333333in" height="0.53125in"}
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}不与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，设直线{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的方程是{width="1.375in" height="0.21875in"}．
代入{width="0.78125in" height="0.25in"}有{width="2.1354166666666665in" height="0.25in"}．
则{width="0.4479166666666667in" height="0.25in"}是上述方程的两个实根，所以{width="1.03125in" height="0.4583333333333333in"}．
{width="3.0618055555555554in" height="0.53125in"}．
由①②③得{width="0.9166666666666666in" height="0.4583333333333333in"}．.........................................................④
{width="0.6979166666666666in" height="0.4270833333333333in"}．..............................................................................⑤
当{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.40625in" height="0.21875in"}，由④⑤得，{width="0.65625in" height="0.4583333333333333in"}，将其代入⑤有
{width="2.0833333333333335in" height="0.9166666666666666in"}．整理得{width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}．
当{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的坐标为{width="0.375in" height="0.21875in"}，满足上述方程．
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，{width="0.75in" height="0.25in"}，求得{width="0.53125in" height="0.21875in"}，也满足上述方程．
故点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的轨迹方程是{width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}．
（II）假设在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴上存在定点点{width="0.53125in" height="0.21875in"}，使{width="0.5in" height="0.25in"}为常数，
当{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}不与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴垂直时，由（I）有{width="1.1145833333333333in" height="0.4583333333333333in"}，{width="1.0in" height="0.4583333333333333in"}．
以上同解法一的（II）．
{width="0.5in" height="0.3125in"}【误区警示】
1.错误诊断
**【例题5】**{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。
【常见错误】由题意可知，\|AB\|+\|AC\|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为{width="0.8541666666666666in" height="0.4583333333333333in"}，则由定义可知{width="0.78125in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，得轨迹方程为{width="0.8541666666666666in" height="0.4583333333333333in"}
**【错因剖析】**ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。
**【正确解答】**ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点{width="0.8229166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即轨迹方程为{width="1.40625in" height="0.4583333333333333in"}
2.误区警示
1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无"不法分子"掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无"漏网之鱼"仍逍遥法外，要将其"捉拿归案"。
2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。
3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。
{width="0.5in" height="0.3125in"}【课外作业】
【基础训练】
1:已知两点{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}给出下列曲线方程：①{width="1.03125in" height="0.22916666666666666in"}；②{width="0.8125in" height="0.25in"}；③{width="0.8229166666666666in" height="0.4583333333333333in"}；④{width="0.8229166666666666in" height="0.4583333333333333in"}，在曲线上存在点P满足{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}的所有曲线方程是（ ）
A ①③ B ②④ C ①②③ D ②③④
**【答案】**:D
**【解答】**: 要使得曲线上存在点P满足{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"},即要使得曲线与MN的中垂线{width="0.8229166666666666in" height="0.22916666666666666in"}有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D
2.两条直线{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}与{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}的交点的轨迹方程是 [ ]{.underline} .
**【解答】**:直接消去参数{width="0.1875in" height="0.15625in"}即得(交轨法):{width="1.3229166666666667in" height="0.25in"}
3:已知圆的方程为(x-1)^2^+y^2^=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 [ ]{.underline} .
**【解答】**:令M点的坐标为({width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"},则A的坐标为(2{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"},代入圆的方程里面得:{width="1.7083333333333333in" height="0.4375in"}
4:当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**【分析】：**把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
**【解答】：**抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**【分析】：**点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
**【解答】：**依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。
6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_
**【分析】:**设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
**【解答】：**设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
7抛物线{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
**【分析】：**抛物线{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的焦点为{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}。设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。其中{width="0.4375in" height="0.23958333333333334in"}
**【解答】：**因点是重心，则由分点坐标公式得：{width="1.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}
即{width="1.7395833333333333in" height="0.28125in"}
由点在抛物线{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}上，得：{width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}
将{width="1.40625in" height="0.23958333333333334in"}代入并化简，得：{width="1.0625in" height="0.4791666666666667in"}（{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}
【能力训练】
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（{width="0.25in" height="0.22916666666666666in"}，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为{width="0.2708333333333333in" height="0.3958333333333333in"}，求此双曲线方程。
**【解答】**：设双曲线方程为{width="0.8541666666666666in" height="0.4583333333333333in"}。将y=x－1代入方程整理得{width="2.2604166666666665in" height="0.25in"}。
由韦达定理得{width="2.8743055555555554in" height="0.4583333333333333in"}。又有{width="0.75in" height="0.21875in"}，联立方程组，解得{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}。
∴此双曲线的方程为{width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}。
9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
**【解答】**：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得{width="1.6770833333333333in" height="0.2916666666666667in"}。
（1）当x≤3时，方程变为{width="3.238888888888889in" height="0.3125in"}，化简得{width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}。
（2）当x\>3时，方程变为{width="3.270138888888889in" height="0.3125in"}，化简得{width="1.65625in" height="0.25in"}。
故所求的点P的轨迹方程是{width="1.15625in" height="0.3229166666666667in"}或{width="1.65625in" height="0.3333333333333333in"}
10.过原点作直线*l*和抛物线{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
**【解答】**：由题意分析知直线*l*的斜率一定存在，设直线*l*的方程y=kx。把它代入抛物线方程{width="1.0in" height="0.25in"}，得{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}。因为直线和抛物线相交，所以△\>0，解得{width="2.4895833333333335in" height="0.2708333333333333in"}。
设A（{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}），B（{width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}），M（x，y），由韦达定理得{width="1.65625in" height="0.21875in"}。
{width="2.6041666666666665in" height="0.4270833333333333in"}
由{width="0.8854166666666666in" height="0.8645833333333334in"}消去k得{width="0.84375in" height="0.25in"}。
又{width="1.3020833333333333in" height="0.21875in"}，所以{width="1.75in" height="0.2708333333333333in"}。
∴点M的轨迹方程为{width="2.6666666666666665in" height="0.2708333333333333in"}。
【创新应用】
11.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（ ）
A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆
**【答案】：A**
**【解答】**：由对称性可知\|\|PF\|=\|PM\|，则\|PF\|+\|PO\|=\|PM\|+\|PO\|=R（R为圆的半径），则P的轨迹是椭圆，选A
**第7关： 参数方程与极坐标问题---"考点"面面看**
"参数方程与极坐标"主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：
**一、参数方程与普通方程的互化**
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，先确定一个关系{width="0.625in" height="0.28125in"}（或{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，再代入普通方程{width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}，求得另一关系{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}（或{width="0.625in" height="0.28125in"}）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
**例1、**方程{width="1.6041666666666667in" height="0.5625in"}表示的曲线是（ ）
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.
解析：注意到{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}^t^与{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的项，{width="2.5104166666666665in" height="0.3229166666666667in"}即有{width="0.78125in" height="0.25in"}，又注意到 {width="2.6458333333333335in" height="0.2916666666666667in"}，可见与以上参数方程等价的普通方程为{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}.显然它表示焦点在{width="0.15625in" height="0.1875in"}轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.
**趁热打铁1：**与普通方程{width="0.90625in" height="0.25in"}等价的参数方程是（ ）（{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}为能数）
{width="3.957638888888889in" height="0.5625in"}
解析：所谓与方程{width="0.90625in" height="0.25in"}等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A化为普通方程为{width="2.3333333333333335in" height="0.28125in"}；
对于B化为普通方程为{width="2.2083333333333335in" height="0.25in"}；
对于C化为普通方程为{width="2.6041666666666665in" height="0.25in"};
对于D化为普通方程为{width="2.3333333333333335in" height="0.28125in"}.
而已知方程为{width="2.25in" height="0.25in"}显然与之等价的为B.
**例2、**设P是椭圆{width="1.0in" height="0.25in"}上的一个动点，则{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的最大值是 [ ]{.underline} ，最小值为 [ ]{.underline} .
分析：注意到变量{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}的几何意义，故研究二元函数{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的最值时，可转化为几何问题.若设{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，则方程{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}表示一组直线，（对于{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}取不同的值，方程表示不同的直线），显然{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}既满足{width="1.0in" height="0.25in"}，又满足{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，故点{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}是方程组{width="1.0833333333333333in" height="0.53125in"}的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}问题.
解析：令{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，对于{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}既满足{width="1.0in" height="0.25in"}，又满足{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，故点{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}是方程组{width="1.0833333333333333in" height="0.53125in"}的公共解，依题意得{width="1.8333333333333333in" height="0.3125in"}，由{width="2.1145833333333335in" height="0.3125in"}，解得：{width="1.1145833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，所以{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的最大值为{width="0.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，最小值为{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}.
点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}有困难，也常采用消元，但由{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}满足的方程{width="1.0in" height="0.25in"}来表示出{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}或{width="0.15625in" height="0.1875in"}时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即{width="1.9479166666666667in" height="0.5625in"} ，因此可通过转化为{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的一元函数.以上二个思路都叫"参数法".
**趁热打铁2：**已知线段{width="0.5625in" height="0.1875in"}，直线*l*垂直平分{width="0.3125in" height="0.1875in"}，交{width="0.3125in" height="0.1875in"}于点O，在属于*l*并且以O为起点的同一射线上{width="1.90625in" height="1.4270833333333333in"}取两点{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}，使{width="0.8645833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，求直线BP与直线{width="0.3333333333333333in" height="0.1875in"}的交点M的轨迹方程.
解析：以O为原点，BB'为y轴，{width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}为{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴建立直角坐标系，则{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，设{width="0.90625in" height="0.22916666666666666in"}，则由{width="0.8645833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，得{width="0.65625in" height="0.4791666666666667in"}，则直线BP的方程为{width="0.65625in" height="0.4375in"}；直线{width="0.3333333333333333in" height="0.1875in"}和方程为{width="1.0625in" height="0.6875in"}；{width="2.9055555555555554in" height="0.4479166666666667in"}{width="1.6979166666666667in" height="0.8541666666666666in"}
{width="2.4375in" height="0.25in"}，因此点M的轨迹为长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除B，{width="0.19791666666666666in" height="0.1875in"}）.
**二、极坐标与直角坐标的互化**
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}，它的极坐标为{width="0.4479166666666667in" height="0.28125in"}，则 {width="1.9375in" height="0.65625in"}；若把直角坐标化为极坐标，求极角{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，应注意判断点P所在的象限（即角{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的终边的位置），以便正确地求出角{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}.
**例3、**极坐标方程{width="0.9895833333333334in" height="0.4375in"}表示的曲线是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由{width="3.0618055555555554in" height="0.4375in"}，化为直角坐标系方程为{width="1.2916666666666667in" height="0.3125in"}，化简得{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}.显然该方程表示抛物线，故选D.
点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.
**趁热打铁3：**已知直线的极坐标方程为{width="1.3541666666666667in" height="0.5in"}，则极点到该直线的距离是 [ ]{.underline}
[ ]{.underline}
解析：极点的直角坐标为{width="0.5in" height="0.28125in"}，对于方程{width="2.75in" height="0.4895833333333333in"}，可得{width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}化为直角坐标方程为{width="0.8333333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，因此点到直线的距离为{width="0.2916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}.
**例4、**极坐标方程{width="1.1041666666666667in" height="0.25in"}转化成直角坐标方程为（ ）
A．{width="1.2291666666666667in" height="0.25in"} B．{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"} C．{width="1.2291666666666667in" height="0.25in"} D．{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}
分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
解析：{width="3.5305555555555554in" height="0.3125in"}，因此选C.
点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.
**趁热打铁4：**点{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}的直角坐标是{width="0.5833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}，则点{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}的极坐标为（ ）
A．{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"} B．{width="0.5625in" height="0.4375in"} C．{width="0.53125in" height="0.4375in"} D．{width="1.40625in" height="0.4375in"}
解析：{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}都是极坐标，因此选C.
**三、参数方程与极坐标的简单应用**
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
**例5、**已知{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的三个顶点的极坐标分别为{width="2.375in" height="0.4791666666666667in"},判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.
分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
{width="1.53125in" height="1.1458333333333333in"}解析：如图，对于{width="2.5729166666666665in" height="0.3958333333333333in"}，
又{width="1.8125in" height="0.2916666666666667in"}，由余弦定理得：
{width="3.113888888888889in" height="0.3125in"}{width="2.3541666666666665in" height="0.4375in"}
{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.8229166666666666in" height="0.25in"}，{width="1.1354166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，所以AB边上的高{width="2.2708333333333335in" height="0.5625in"}, {width="2.0833333333333335in" height="0.4791666666666667in"}
**趁热打铁5**：如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），{width="1.7916666666666667in" height="1.5208333333333333in"}求点P的轨迹方程.
解析：取O为极点，{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}的极坐标方程为{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，设A（{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.1875in" height="0.25in"}），P{width="0.4479166666666667in" height="0.28125in"}，因点A在直线{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上，{width="1.4166666666666667in" height="0.25in"} {width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}为等腰三角形，且{width="2.2604166666666665in" height="0.23958333333333334in"}，以及{width="0.8958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}
{width="2.375in" height="0.28125in"}，把\<2\>代入\<1\>，得点P的轨迹的极坐标方程为： {width="1.4479166666666667in" height="0.2916666666666667in"}.
**即时训练**
一、选择题（8题）
1\. 已知点M的极坐标为{width="0.6458333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（ ）
A. {width="0.6875in" height="0.4166666666666667in"} B. {width="0.625in" height="0.4166666666666667in"} C. {width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} D. {width="0.8229166666666666in" height="0.4166666666666667in"}
2．若直线的参数方程为{width="1.4375in" height="0.5in"}，则直线的斜率为（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"} B．{width="0.28125in" height="0.4375in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"} D．{width="0.28125in" height="0.4375in"}
3．下列在曲线{width="1.9166666666666667in" height="0.5in"}上的点是（ ）
A．{width="0.65625in" height="0.4375in"} B．{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"} C．{width="0.5208333333333334in" height="0.2708333333333333in"} D．{width="0.4791666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
4．将参数方程{width="1.7291666666666667in" height="0.5625in"}化为普通方程为（ ）
A．{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"} B．{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"} C．{width="1.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"} D．{width="1.3125in" height="0.22916666666666666in"}
5．参数方程为{width="1.3541666666666667in" height="0.7291666666666666in"}表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
6．直线{width="1.8958333333333333in" height="0.9479166666666666in"}和圆{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}交于{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}两点，则{width="0.28125in" height="0.1875in"}的中点坐标
为（ ） A．{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"} B．{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"} C．{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"} D．{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"}
7．极坐标方程{width="1.1979166666666667in" height="0.22916666666666666in"}表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
8．直线{width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的参数方程为{width="1.3645833333333333in" height="0.5in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}上的点{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}对应的参数是{width="0.125in" height="0.25in"}，则点{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}与{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}之间的距离是（ ）
A．{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"} B．{width="0.3125in" height="0.28125in"} C．{width="0.4375in" height="0.2916666666666667in"} D．{width="0.4583333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
二、填空题（4题）
9\. 点{width="0.7083333333333334in" height="0.2916666666666667in"}的极坐标为 [ ]{.underline}
10\. 圆心为C{width="0.5625in" height="0.4166666666666667in"}，半径为3的圆的极坐标方程为 [ ]{.underline}
11\. 极坐标方程为{width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}表示的圆的半径为 [ ]{.underline}
12 若A{width="0.5625in" height="0.4166666666666667in"}，B{width="0.6458333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，则\|AB\|=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（其中O是极点）
三、解答题（3题）
13\. 求椭圆{width="3.4993055555555554in" height="0.4166666666666667in"}。
14\. 若方程{width="2.1041666666666665in" height="0.23958333333333334in"}的曲线是椭圆，求实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围.
15\. {width="1.5729166666666667in" height="0.4479166666666667in"}，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（*a*，0），求*a*的取值范围.
**即时训练参考答案**
一、选择题：
1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.
2．D 解析：{width="1.4791666666666667in" height="0.4375in"}
3．B 解析：转化为普通方程：{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，当{width="0.53125in" height="0.4375in"}时，{width="0.4375in" height="0.4375in"}
4．C 解析：转化为普通方程：{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，但是{width="1.2291666666666667in" height="0.22916666666666666in"}
5、D 解析：{width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}表示一条平行于{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴的直线，而{width="1.0208333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，所以表示两条射线
6．D 解析： {width="2.0833333333333335in" height="0.4791666666666667in"}，得{width="0.9166666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}
因此中点为{width="2.2395833333333335in" height="0.9479166666666666in"}
7．C 解析：{width="4.103472222222222in" height="0.25in"}，则{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}或{width="0.875in" height="0.25in"}
8、C 解析： 距离为{width="1.1666666666666667in" height="0.3229166666666667in"}
二、填空题：
9、{width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}或写成{width="0.7395833333333334in" height="0.4166666666666667in"}解析：由{width="1.0in" height="0.25in"}，得{width="1.3020833333333333in" height="0.28125in"}而点{width="0.65625in" height="0.3333333333333333in"}位于第四象限且{width="1.625in" height="0.4375in"}或{width="0.4791666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，故点{width="0.9166666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的极坐标为{width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}或写成{width="0.7395833333333334in" height="0.4166666666666667in"}.
10、{width="1.2083333333333333in" height="0.4791666666666667in"} 解析：如下图，设圆上任一点为P（{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}），则{width="2.7083333333333335in" height="0.3958333333333333in"}
{width="1.9479166666666667in" height="1.4479166666666667in"} {width="2.25in" height="0.2604166666666667in"}
{width="1.1875in" height="0.4166666666666667in"}
11、1 解析：方程变形为{width="2.125in" height="0.4166666666666667in"}，该方程表示的圆的半径与圆{width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}的半径相等，故所求的圆的半径为r=1
12、{width="0.875in" height="0.4375in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"} 解析：在极坐标系中画出点A、B，易得{width="0.875in" height="0.16666666666666666in"}， {width="1.8541666666666667in" height="0.19791666666666666in"}{width="2.988888888888889in" height="0.3125in"}
{width="5.145138888888889in" height="0.4375in"}{width="3.6868055555555554in" height="0.4375in"}
三、解答题：
13\. 解析：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）{width="1.7916666666666667in" height="0.28125in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.19791666666666666in"}到定点的距离为 {width="3.707638888888889in" height="0.3333333333333333in"}
{width="1.5416666666666667in" height="0.5625in"}， {width="2.2291666666666665in" height="0.4375in"}
14\. 解析：将方程两边同乘以{width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"}，化为： {width="2.3645833333333335in" height="0.25in"}
{width="1.4375in" height="0.25in"}，{width="1.9895833333333333in" height="0.90625in"}，若方程表示椭圆，则{width="0.1875in" height="0.15625in"}须满足：{width="0.65625in" height="1.2291666666666667in"}{width="2.65625in" height="0.28125in"}
15\. {width="1.5729166666666667in" height="0.4479166666666667in"}，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.
15\. 解析：{width="2.4479166666666665in" height="0.23958333333333334in"}，{width="1.875in" height="0.22916666666666666in"}
{width="2.988888888888889in" height="0.28125in"}，{width="2.4166666666666665in" height="0.3229166666666667in"}
{width="0.875in" height="0.28125in"}， {width="3.145138888888889in" height="0.25in"}
{width="2.1458333333333335in" height="0.3958333333333333in"}，{width="2.5729166666666665in" height="0.4375in"}
{width="2.65625in" height="0.3854166666666667in"}{width="1.8333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
**第8关： 均值不等式问题---拼凑8法**
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
1. **拼凑定和**
**通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为"积"的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。**
**例１** 已知{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，求函数{width="1.3125in" height="0.25in"}的最大值。
**解：**{width="3.738888888888889in" height="0.3229166666666667in"}
{width="3.895138888888889in" height="0.8958333333333334in"} 。
当且仅当{width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}，即{width="0.40625in" height="0.4375in"}时，上式取"="。故{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}。
**评注：通过因式分解，将函数解析式由"和"的形式，变为"积"的形式，然后利用隐含的"定和"关系，求"积"的最大值。**
**例2** 求函数{width="1.65625in" height="0.3229166666666667in"}的最大值。
**解**：{width="2.6979166666666665in" height="0.5in"}。
因{width="3.0722222222222224in" height="0.9375in"}，
当且仅当{width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}，即{width="0.5416666666666666in" height="0.4791666666666667in"}时，上式取"="。故{width="0.8125in" height="0.4791666666666667in"}。
**评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为"拼凑定和"创造条件**。
3. 已知{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，求函数{width="1.0208333333333333in" height="0.3125in"}的最大值。
> **解：**{width="3.0722222222222224in" height="0.3333333333333333in"}
>
> {width="2.7708333333333335in" height="0.65625in"}。
当且仅当{width="0.9791666666666666in" height="0.3125in"}，即{width="0.6145833333333334in" height="0.4791666666666667in"}时，上式取"="。
故{width="0.90625in" height="0.4583333333333333in"}，又{width="1.2916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}。
2. **拼凑定积**
**通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为"和"的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件**
4. 设{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，求函数{width="1.25in" height="0.4583333333333333in"}的最小值。
**解：**{width="4.686805555555556in" height="0.5in"}。
当且仅当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，上式取"="。故{width="0.5625in" height="0.25in"}。
**评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后"拼凑定积"，往往是十分方便的。**
5. 已知{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，求函数{width="0.9479166666666666in" height="0.5416666666666666in"}的最大值。
**解：**{width="1.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，{width="4.113888888888889in" height="0.6666666666666666in"}。
当且仅当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，上式取"="。故{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}。
**评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母"拼凑定积"。**
6. 已知{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，求函数{width="0.90625in" height="0.4375in"}的最小值。
> **解：**因为{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，所以{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，令{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}，则{width="0.3541666666666667in" height="0.19791666666666666in"}。
>
> 所以{width="3.8118055555555554in" height="0.4895833333333333in"}。
当且仅当{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}，即{width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"}时，上式取"="。故{width="0.6875in" height="0.28125in"}。
**评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。**
3. **拼凑常数降幂**
```{=html}
<!-- -->
```
7. 若{width="1.375in" height="0.25in"}，求证：{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}。
> **分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在"等"与"不等"的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是**{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}**，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成"等"与"不等"的辩证转化。**
>
> **证明：**{width="3.9784722222222224in" height="0.2916666666666667in"}。
>
> {width="2.625in" height="0.28125in"}当且仅当{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，上述各式取"="，
>
> 故原不等式得证。
**评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。**
8. 若{width="1.40625in" height="0.25in"}，求{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的最大值。
**解：**{width="4.915972222222222in" height="0.25in"}
> {width="5.103472222222222in" height="0.5in"}。
>
> 当且仅当{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，上述各式取"="，故{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的最大值为7。
9. 已知{width="1.1875in" height="0.22916666666666666in"}，求证：{width="1.7395833333333333in" height="0.22916666666666666in"}。
> **证明：**{width="4.707638888888889in" height="0.25in"}，
>
> {width="2.5416666666666665in" height="0.3125in"}，又{width="2.0208333333333335in" height="0.28125in"}，
>
> {width="4.645138888888889in" height="0.3125in"}。
>
> 当且仅当{width="0.8541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}时，上述各式取"="，故原不等式得证。
4. **拼凑常数升幂**
```{=html}
<!-- -->
```
10. 若{width="0.75in" height="0.25in"}，且{width="0.8125in" height="0.19791666666666666in"}，求证{width="2.1041666666666665in" height="0.25in"}。
**分析：已知与要求证的不等式都是关于**{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是**{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}**，故应拼凑**{width="0.3541666666666667in" height="0.4895833333333333in"}**，巧妙升次，迅速促成"等"与"不等"的辩证转化。**
**证明：**{width="5.874305555555556in" height="0.4895833333333333in"}，
{width="6.072222222222222in" height="0.4895833333333333in"}。
当且仅当{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}时，上述各式取"="，故原不等式得证。
11. 若{width="1.2708333333333333in" height="0.25in"}，求证：{width="0.75in" height="0.22916666666666666in"}。
**证明：**{width="3.1243055555555554in" height="0.25in"}{width="1.5625in" height="0.28125in"}。
> 又{width="1.6458333333333333in" height="0.25in"}。当且仅当{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，上述各式取"="，故原不等式得证。
5. **约分配凑**
**通过"1"变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。**
12. 已知{width="1.2291666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，求{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的最小值。
**解：**{width="4.395138888888889in" height="0.5416666666666666in"}。
当且仅当{width="0.7291666666666666in" height="0.4583333333333333in"}时，即{width="0.8333333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，上式取"="，故{width="0.8541666666666666in" height="0.28125in"}。
13. 已知{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，求函数{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}的最小值。
**解：**因为{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，所以{width="0.5833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}。
所以{width="4.238888888888889in" height="0.4895833333333333in"}。
当且仅当{width="1.0729166666666667in" height="0.4583333333333333in"}时，即{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}，上式取"="，故{width="0.5625in" height="0.25in"}。
14. 若{width="0.75in" height="0.25in"}，求证{width="2.3229166666666665in" height="0.4583333333333333in"}。
**分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于**{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}**的轮换对称式，当**{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}**时，等式成立。**
**此时**{width="0.6666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}**，**
**设**{width="0.90625in" height="0.4375in"}**，解得**{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}**，所以**{width="0.3958333333333333in" height="0.4583333333333333in"}**应拼凑辅助式**{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"}**为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。**
**证明：**{width="6.832638888888889in" height="0.5in"}。
{width="2.4583333333333335in" height="0.4583333333333333in"}。当且仅当{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}时，上述各式取"="，故原不等式得证。
6. **引入参数拼凑**
**某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用"等"与"定"的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。**
15. 已知{width="0.7708333333333334in" height="0.25in"}，且{width="0.8333333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，求{width="0.6979166666666666in" height="0.4583333333333333in"}的最小值。
> **解：**设{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，故有{width="1.3125in" height="0.28125in"}。
>
> {width="5.322222222222222in" height="0.5in"}
>
> {width="2.4583333333333335in" height="0.25in"}。当且仅当{width="1.5729166666666667in" height="0.4583333333333333in"}同时成立时上述不等式取"="，
>
> 即{width="1.7395833333333333in" height="0.4583333333333333in"}，代入{width="0.8333333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，解得{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，此时{width="1.0in" height="0.25in"}，故{width="0.6979166666666666in" height="0.4583333333333333in"}的最小值为36
7. **引入对偶式拼凑**
**根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。**
16. 设{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}为互不相等的正整数，求证{width="2.7708333333333335in" height="0.4375in"}。
**证明：**记{width="1.78125in" height="0.4375in"}，构造对偶式{width="1.7916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，
则{width="5.572222222222222in" height="0.53125in"}，
当且仅当{width="1.3229166666666667in" height="0.3125in"}时，等号成立。又因为{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}为互不相等的正整数，
所以{width="1.5in" height="0.4375in"}，因此{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}
**评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。**
8. **确立主元拼凑**
**在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。**
17. 在{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，证明{width="1.4375in" height="0.4375in"}
**分析：**{width="1.1666666666666667in" height="0.19791666666666666in"}**为轮换对称式，即**{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。**
> **证明：**当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，原不等式显然成立。
>
> 当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="3.6243055555555554in" height="0.4375in"}
{width="2.0833333333333335in" height="0.4375in"}
{width="3.332638888888889in" height="0.5625in"}
当且仅当{width="1.2083333333333333in" height="0.5in"}，即{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}为正三角形时，原不等式等号成立。
综上所述，原不等式成立。
**评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到**{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**，然后利用**{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。**
**综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。**
**第9关： 不等式恒成立问题---8种解法探析**
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
**1最值法**
例1．已知函数{width="2.15625in" height="0.25in"}在{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}处取得极值{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为常数．（I）试确定{width="0.28125in" height="0.22916666666666666in"}的值；（II）讨论函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调区间；（III）若对于任意{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，不等式{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}恒成立，求{width="0.125in" height="0.15625in"}的取值范围．
分析：不等式{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}恒成立，可以转化为{width="1.0625in" height="0.25in"}
解：（I）（过程略）{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
（II）（过程略）函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调减区间为{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调增区间为{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}．
（III）由（II）可知，函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}处取得极小值{width="0.9166666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，此极小值也是最小值．要使{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}（{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}）恒成立，只需{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，解得{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}或{width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
所以{width="0.125in" height="0.15625in"}的取值范围为{width="1.25in" height="0.4375in"}．
评注：最值法是我们这里最常用的方法．{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立{width="1.0208333333333333in" height="0.23958333333333334in"}；{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立{width="1.03125in" height="0.25in"}．
**2分离参数法**
例2．已知函数{width="1.6666666666666667in" height="0.4583333333333333in"}
（I）求函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调区间；
（II）若不等式{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}对于任意{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}都成立（其中{width="0.125in" height="0.15625in"}是自然对数的底数），求{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的最大值．
分析：对于（II）不等式{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}中只有指数含有{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调增区间为{width="0.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调减区间为{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}
（II）不等式{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}等价于不等式{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}，由于{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}，知{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.375in" height="0.65625in"}；设{width="1.375in" height="0.4583333333333333in"} {width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="2.1458333333333335in" height="0.4791666666666667in"}{width="1.6145833333333333in" height="0.5in"}．
由（I）知，{width="1.4166666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，即{width="1.6979166666666667in" height="0.25in"}；于是，{width="0.65625in" height="0.22916666666666666in"} {width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}在区间{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数．故{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上的最小值为{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}．
所以{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的最大值为{width="0.53125in" height="0.4375in"}．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
**3 数形结合法**
{width="2.0in" height="2.1875in"}例3．已知当{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}时，不等式{width="1.125in" height="0.2708333333333333in"}恒成立，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是＿＿＿．
分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数{width="1.03125in" height="0.25in"}与函数{width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}在{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数{width="1.03125in" height="0.25in"}与函数{width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}在{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}上的图象（如右），从图象中容易知道：当{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}且{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}时，函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象恒在函数{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}上方，不合题意；当{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}且{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}时，欲使函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象恒在函数{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}下方或部分点重合，就必须满足{width="0.6875in" height="0.25in"}，即{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}．
故所求的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围为{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
**4 变更主元法**
例4．对于满足不等式{width="0.7291666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}，函数{width="1.875in" height="0.25in"}的值恒大于{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
解：设{width="2.1041666666666665in" height="0.25in"}，{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，则原问题转化为{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立的问题．
故应该有{width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}，解得{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
所以实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是{width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
**5 特殊化法**
例5．设{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}是常数，且{width="1.125in" height="0.2708333333333333in"}（{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}）．
（I）证明：对于任意{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="2.5729166666666665in" height="0.4375in"}．
（II）假设对于任意{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}有{width="0.625in" height="0.25in"}，求{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的取值范围．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}有{width="0.625in" height="0.25in"}求出{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为{width="1.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，{width="1.6875in" height="0.4479166666666667in"}，所以数列{width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}是等比数列，可以求得对于任意{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="2.5729166666666665in" height="0.4375in"}．
（II）假设对于任意{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}有{width="0.625in" height="0.25in"}，取{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}就有{width="1.40625in" height="0.53125in"}解得{width="0.75in" height="0.4375in"}；
下面只要证明当{width="0.75in" height="0.4375in"}时，就有对任意{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}有{width="0.8958333333333334in" height="0.25in"}
由通项公式得{width="3.9055555555555554in" height="0.2708333333333333in"}
当{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}（{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}）时，{width="4.957638888888889in" height="0.2708333333333333in"}
当{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}（{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}）时，{width="4.374305555555556in" height="0.2708333333333333in"}，可见总有{width="0.625in" height="0.25in"}．
故{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的取值范围是{width="0.40625in" height="0.4375in"}
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
**6分段讨论法**
例6．已知{width="1.25in" height="0.28125in"}，若当{width="0.6041666666666666in" height="0.28125in"}时，恒有{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，显然{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}＜0成立，此时，{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}
（ii）当{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}时，由{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}＜0，可得{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"}＜{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}＜{width="0.375in" height="0.4375in"}，
令 {width="3.1659722222222224in" height="0.4375in"}
则{width="0.9895833333333334in" height="0.4375in"}＞0，∴{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}是单调递增，可知{width="1.4375in" height="0.28125in"}
{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}＜0，∴{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}是单调递减，可知{width="1.28125in" height="0.28125in"}
此时{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的范围是（---1，3）
综合i、ii得：{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的范围是（---1，3） ．
例7．若不等式{width="1.03125in" height="0.22916666666666666in"}对于{width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}恒成立，求{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}进行分段讨论，
当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，不等式恒成立，所以，此时{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}；
当{width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}时，不等式就化为{width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}，此时{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}的最小值为{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}，所以{width="0.4895833333333333in" height="0.4375in"}；
当{width="0.78125in" height="0.4375in"}时，不等式就化为{width="0.6875in" height="0.4375in"}，此时{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}的最大值为{width="0.3541666666666667in" height="0.4375in"}，所以{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}；
由于对上面{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的三个范围要求同时满足，则所求的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的范围应该是上三个{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的范围的交集即区间{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}
说明：这里对变量{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}进行分段来处理，那么所求的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}对三段的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
**7单调性法**
例8．若定义在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}的函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}满足{width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，且{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时不等式{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}成立，若不等式{width="2.1041666666666665in" height="0.3125in"}对于任意{width="0.9166666666666666in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是＿＿＿．
解：设{width="0.7708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.4791666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，有{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}．这样，{width="4.874305555555556in" height="0.4895833333333333in"}，则{width="1.0in" height="0.23958333333333334in"}，函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}为减函数．
因此{width="2.1041666666666665in" height="0.3125in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="1.7083333333333333in" height="0.3125in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="1.2395833333333333in" height="0.3125in"}{width="1.1979166666666667in" height="0.5729166666666666in"}；而{width="1.6875in" height="0.5729166666666666in"}（当且仅当{width="0.4166666666666667in" height="0.1875in"}时取等号），又{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，所以{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是{width="0.5208333333333334in" height="0.2708333333333333in"}．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
**8判别式法**
例9．若不等式{width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}对于任意{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}恒成立．则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}恒成立，可以选择判别式法．
解：当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，不等式化为{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，显然对一切实数恒成立；
当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，要使不等式{width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}一切实数恒成立，须有{width="1.1875in" height="0.53125in"}，解得{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}．
综上可知，所求的实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}．
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的不等式{width="1.65625in" height="0.3125in"}在{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上恒成立，求 实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，∴不等式可以化为{width="1.4479166666666667in" height="0.4375in"}；下面只要求{width="1.6875in" height="0.4375in"}在{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}时的最小值即可，分段处理如下．
当{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}时，{width="1.5in" height="0.4375in"}，{width="2.7708333333333335in" height="0.4583333333333333in"}，再令{width="1.65625in" height="0.25in"}，{width="1.625in" height="0.3125in"}，它的根为{width="0.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}；所以在区间{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上有{width="0.7083333333333334in" height="0.3125in"}，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}递增，在区间{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}上有{width="0.6979166666666666in" height="0.3125in"}，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}递减，则就有{width="1.65625in" height="0.25in"}在{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}的最大值是{width="1.1041666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，这样就有{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在区间{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}是递减．同理可以证明{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在区间{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}是递增；所以，{width="1.6875in" height="0.4375in"}在{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}时的最小值为{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
技巧解：由于{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，所以，{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}，{width="0.8541666666666666in" height="0.3125in"}两个等号成立都是在{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时；从而有{width="2.0in" height="0.4375in"}（{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时取等号），即{width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．
**第10关： 圆锥曲线最值问题---5大方面**
最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。
**一．求距离的最值**
**例1.**设AB为抛物线y=x^2^的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为 [ ]{.underline} ，
{width="1.75in" height="1.542361111111111in"}**解析：**抛物线y=x^2^的焦点为F（0 ，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A~1~、B~1~、M~1~，则所求的距离d=MM~1~+=(AA~1~+BB~1~) +=(AF+BF) +≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值，
**评注：**灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
**二．求角的最值**
**例2．***M*，*N*分别是椭圆的左、右焦点，*l*是椭圆的一条准线，点*P*在*l*上，则∠*MPN*的最大值是 [ ]{.underline} .
{width="1.53125in" height="1.1590277777777778in"}**解析：**不妨设*l*为椭圆的右准线，其方程是，点，直线*PM*和*PN*倾斜角分别为.
∵
∴于是
∵ ∴ 即∠*MPN*的最大值为.
**评注：**审题时要注意把握*∠MPN*与*PM*和*PN*的倾斜角之间的内在联系.
**三、求几何特征量代数和的最值**
{width="1.28125in" height="1.09375in"}**例3.**点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求\|MF\|+\|MB\|的最小值. ⑵求\|MF\|+\|MB\|的最小值.
**解析：**易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=，准线方程x=±.
⑴\|MF\| + \|MB\| = 10―\|MF′ \| + \|MB\| =10―（\|MF′\|―\|MB\|）≥10―\|F′B\|=10―2.
故当M，B，F′三点共线时，\|MF\|+\|MB\|取最小值10―2.
⑵过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则
{width="1.4166666666666667in" height="1.1888888888888889in"}.于是\|MF\|+\|MB\|=\|MH\|+\|MB\|≥\|HB\|=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，\|MF\|+\|MB\|取最小值.
**评注：**从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
**例4．**点*P*为双曲线的右支上一点，*M*，*N*分别为和上的点，则*PM*－*PN*的最大值为 [ ]{.underline} .
{width="1.6770833333333333in" height="1.4729166666666667in"}**解析：**显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点和右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点*P*，连结*PF*~1~，并延长*PF*~1~交⊙*F*~1~于点*M*~o~.则*PM*~0~为适合条件的最大的*PM*，连结*PF*~2~,交⊙*F*~2~于点*N*~o~.则*PN*~0~为适合条件的最小的*PN*.于是
故*PM*－*PN*的最大值为6.
**评注：**仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.
**例5**．已知*e*~1~，*e*~2~分别是共轭双曲线和的离心率，则*e*~1~+*e*~2~的最小值为 [ ]{.underline} .
**解析：**
考虑到，故得.
即*e*~1~+*e*~2~的最小值为.
**评注：**解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.
**四、求面积的最值**
**例6．**已知平面内的一个动点*P*到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点*P*的轨迹为曲线*C*.
⑴求曲线*C*的方程；
⑵过原点*O*的直线*l*与曲线*C*交于*M*，*N*两点.求△*MAN*面积的最大值.
**解析：**⑴设动点*P*到*l*的距离为*d*，
由题意
根据圆锥曲线统一定义，点*P*的轨迹*C*为椭圆.
∵, 可得
∴
故椭圆*C*的方程为：
⑵若直线*l*存在斜率，设其方程为*l*与椭圆C的交点
将*y*=*kx*代入椭圆*C*的方程并整理得.
∴
于是
又 点*A*到直线*l*的距离
故△*MAN*的面积
从而
①当*k*=0时，*S*^2^=1得*S*=1
②当*k*\>0时，*S*^2^\<1得*S*\<1
③当*k*\<0时， 得
若直线*l*不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以*MN*=2. 于是△*MAN*的面积.
综上，△*MAN*的最大值为.
**评注：**本题将△*MAN*的面积表示为*l*的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由△≥0求得面积S的最大值。
**五.求最值条件下的曲线方程**
**例7.**已知椭圆的焦点F~1~(―3,0)、F~2~(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.
**解法1：**设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：
(2 a^2^― 9) x^2^ + 18 a^2^ x + 90 a^2^―a^4^= 0，
由题设△=(18 a^2^)^2^―4(2 a^2^―9) (90 a^2^―a^4^) ≥0
a^4^―54 a^2^ + 405 ≥0a^2^≥45或a^2^≤9.∵a^2^－9\> 0, ∴a^2^≥45, 故a~min~=3，得（2a）~min~=6,
此时椭圆方程为.
**解法2：**设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)，
则acosα―+9=0有解.
{width="1.6041666666666667in" height="1.3854166666666667in"}∵=―9
cos(α+)=，∴\|\|1
≥9a^2^≥45,
∴a~min~=3，得（2a）~min~=6,
此时椭圆的方程.
**解法3：**先求得F~1~(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=\|MF~1~\|+\|MF~2~\| =\|MF\| +\|MF~2~\|≥\|FF~2~\|=6，于是(2a)~min~=6,
此时易得： a^2^=45, b^2^=36，
于是椭圆的方程为.
**评注：**本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。
**第11关： 排列组合应用问题---解题21法**
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
**一.特殊元素和特殊位置优先策略**
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
{width="1.8125in" height="1.40625in"}解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有{width="0.20833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}然后排首位共有{width="0.20833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}最后排其它位置共有{width="0.20833333333333334in" height="0.2708333333333333in"} 由分步计数原理得{width="0.9791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}
{width="6.259722222222222in" height="0.6666666666666666in"}
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
=1440
**二.相邻元素捆绑策略**
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
> 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有{width="0.9895833333333334in" height="0.2708333333333333in"}种不同的排法
{width="3.2597222222222224in" height="0.46875in"}
{width="6.259722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 [20]{.underline}
[ ]{.underline}
**三.不相邻问题插空策略**
> 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
>
> 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有{width="0.4166666666666667in" height="0.2708333333333333in"} [ ]{.underline} 种
>
> {width="5.395138888888889in" height="0.34375in"}
>
> 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 [30]{.underline}
**四.定序问题倍缩空位插入策略**
> 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
>
> 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：{width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 [1]{.underline}种坐法，则共有{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种方法。
> 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
>
> （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 [ ]{.underline} 方法
>
> {width="3.0097222222222224in" height="0.34375in"}
>
> 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
**五.重排问题求幂策略**
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 [7]{.underline} 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}种不同的排法
{width="6.384722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题：
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 [42]{.underline}
2\. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法{width="0.1875in" height="0.22916666666666666in"}
**六.环排问题线排策略**
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
> 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}！
>
> {width="3.2597222222222224in" height="1.1770833333333333in"}
{width="6.134722222222222in" height="0.7708333333333334in"}
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
**七.多排问题直排策略**
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
> 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种,再排后4个位置上的特殊元素丙有{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种,其余的5人在5个位置上任意排列有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种,则共有{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种
>
> {width="3.0722222222222224in" height="0.8125in"}
>
> {width="4.259722222222222in" height="0.34375in"}
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 [346]{.underline}
**八.排列组合混合问题先选后排策略**
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
> 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种方法，根据分步计数原理装球的方法共有{width="0.4166666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="5.884722222222222in" height="0.34375in"}
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 [192]{.underline} 种
**九.小集团问题先整体后局部策略**
> 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
>
> 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有{width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种排法，再排小集团内部共有{width="0.4166666666666667in" height="0.2708333333333333in"}种排法，由分步计数原理共有{width="0.6145833333333334in" height="0.2708333333333333in"}种排法.
>
> {width="1.5104166666666667in" height="0.3541666666666667in"}
{width="4.259722222222222in" height="0.34375in"}
练习题：
> １.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"}
2\. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种
**十.元素相同问题隔板策略**
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种分法。
{width="4.384722222222222in" height="0.9166666666666666in"}
{width="5.759722222222222in" height="0.6666666666666666in"}
> 练习题：
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ {width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}
2.{width="1.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}求这个方程组的自然数解的组数 {width="0.2916666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
**十一.正难则反总体淘汰策略**
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
> 取法有多少种？
>
> 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"},只含有1个偶数的取法有{width="0.3958333333333333in" height="0.2708333333333333in"},和为偶数的取法共有{width="0.7083333333333334in" height="0.2708333333333333in"}。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有{width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="5.384722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
**十二.平均分组问题除法策略**
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
> 解: 分三步取书得{width="0.5833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则{width="0.5833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有{width="0.875in" height="0.2708333333333333in"}种分法。
>
> {width="6.134722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（{width="0.8958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为\_\_\_\_\_\_（{width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}）
**十三. 合理分类与分步策略**
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
> 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
>
> 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员{width="0.5416666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}种，由分类计数原理共有
>
> {width="1.5729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}种。
{width="6.134722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题：
> 1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有[34]{.underline}
2\. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
> \*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
>
> \*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
>
> \*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
>
> 都可经得到正确结果
**十四.构造模型策略**
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 种
{width="6.134722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
**十五.实际操作穷举策略**
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
> 解：从5个球中取出2个与盒子对号有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有{width="0.3125in" height="0.2708333333333333in"}种
{width="2.5in" height="0.46875in"}
3号盒 4号盒 5号盒
{width="6.259722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 [72]{.underline}种
{width="1.4895833333333333in" height="1.25in"}
**十六. 分解与合成策略**
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：{width="1.5416666666666667in" height="0.2708333333333333in"}
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共{width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"},每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成{width="0.8125in" height="0.19791666666666666in"}对异面直线
{width="6.134722222222222in" height="0.7708333333333334in"}
**十七.化归策略**
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
> {width="1.5625in" height="1.2708333333333333in"}解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人
>
> 不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的
>
> 一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从
>
> 3×3方队中选3人的方法有{width="0.53125in" height="0.2708333333333333in"}种。再从5×5方阵选出3×3
>
> 方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有{width="0.3958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}选法所以从
>
> 5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有{width="0.875in" height="0.2708333333333333in"}选法。
{width="3.8847222222222224in" height="0.7708333333333334in"}
> {width="1.875in" height="1.1875in"}
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，
从A走到B的最短路径有多少种？({width="0.5625in" height="0.2708333333333333in"})
**十八.数字排序问题查字典策略**
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}解:{width="2.5625in" height="0.2708333333333333in"}
> {width="2.8847222222222224in" height="0.6666666666666666in"}
>
> 练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 [3140]{.underline}
**十九.树图策略**
> 例19．{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有\_\_\_\_\_\_ {width="0.5208333333333334in" height="0.19791666666666666in"}
>
> {width="3.0097222222222224in" height="0.5520833333333334in"}
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}号人不坐{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}号椅（{width="0.7916666666666666in" height="0.20833333333333334in"}）的不同坐法有多少种？{width="0.53125in" height="0.19791666666666666in"}
> **二十.复杂分类问题表格策略**
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
{width="5.249305555555556in" height="1.1979166666666667in"}
{width="4.884722222222222in" height="0.5520833333333334in"}
**二十一：住店法策略**
解决"允许重复排列问题"要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作"客"，能重复的元素看作"店"，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 [ ]{.underline} .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家"店"，五项冠军看作5名"客"，每个"客"有7种住宿法，由乘法原理得7{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}种.
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
**第12关： 几何概型问题---5类重要题型**
解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A的概率计算公式:{width="3.988888888888889in" height="0.4166666666666667in"}.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
1.几何概型的两个特征：
(1)试验结果有无限多；
(2)每个结果的出现是等可能的．
事件A可以理解为区域{width="0.1875in" height="0.1875in"}的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．
2..解决几何概型的求概率问题
关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
3.用几何概型解简单试验问题的方法
(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．
(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.
(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.
(4)利用几何概型概率公式计算．
4.均匀随机数
在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand（）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a～b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )\*(b-a)+a,就可以产生\[a，b\]上的均匀随机数，试验的结果是产生a～b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．
5.均匀随机数的应用
(1)用随机模拟法估计几何概率；
(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．
**下面举几个常见的几何概型问题.**
**一.与长度有关的几何概型**
例1 如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？
{width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}
思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．
解 记 E："A与C,B与D之间的距离都不小于10米"，把AB三等分，由于中间长度为30×{width="0.15625in" height="0.4375in"}=10米，
∴{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}.
方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
**二.与面积有关的几何概型**
例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫"黄心"．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．
{width="1.3333333333333333in" height="0.9583333333333334in"}解 记"射中黄心"为事件B,由于中靶点随机地落在面积为{width="1.125in" height="0.4375in"}的大圆内，而当中靶点落在面积为{width="1.1666666666666667in" height="0.4375in"}的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为{width="2.1875in" height="0.8333333333333334in"}.
即："射中黄心"的概率是0.01.
方法技巧 事件的发生是"击中靶心"即"黄心"的面积；总面积为最大环的圆面积．
**三.与体积有关的几何概型**
例3.在区间\[0,l\]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)\| x^2^+y^2^+z^2^＜1, x≥0,y≥0,z≥0}
(1)构造出随机事件A对应的几何图形；
（2)利用该图形求事件A的概率.
思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x^2^+y^2^+z^2^＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．
解：（1）A={(x,y,z)\| x^2^+y^2^+z^2^＜1, x≥0,y≥0,z≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径{width="1.5520833333333333in" height="1.3854166666666667in"}r=1的球的内部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如图所示．
(2)由于x,y,z属于区间\[0,1\]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分．
∴{width="1.6666666666666667in" height="0.6458333333333334in"}.
方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域{width="0.1875in" height="0.1875in"}的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.
**四.求会面问题中的概率**
例4 两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}小时．设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}≤x-y≤{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．
{width="1.1770833333333333in" height="1.0520833333333333in"}解 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，
当且仅当-{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}≤x-y≤{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}.
两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为
{width="1.9791666666666667in" height="0.6979166666666666in"}.
方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
**五.均匀随机数的应用**
例5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2^x^与x轴、x=±1围成的部分）面积．
{width="2.3541666666666665in" height="1.5in"}
思路点拨 不规则图形的面积可用随机模拟法计算．
解 (1)利用计算机产生两组\[0,1\]上的随机数,a~1~=rand（ ），b~1~=rand( )．
(2)进行平移和伸缩变换,a=(a~1~-0.5)\*2,b=b~1~\*2,得到一组\[0,2\]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N~1~.
(4)计算频率{width="0.2708333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，则{width="0.2708333333333333in" height="0.4479166666666667in"}即为落在阴影部分的概率的近似值．
(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}
(6)因为{width="0.2708333333333333in" height="0.4479166666666667in"}={width="0.1875in" height="0.4375in"},所以S={width="0.3645833333333333in" height="0.4479166666666667in"}即为阴影部分的面积.
方法技巧 根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值．
**第13关： 直线中的对称问题---4类对称题型**
直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：
**一、点关于点对称问题**
解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.
**例1.**求点（1）{width="0.4375in" height="0.23958333333333334in"}关于点{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}的对称点{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的坐标,
（2）{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"} 关于点{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}对称，求点{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}坐标.
**解：**由题意知点{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}是线段{width="0.3125in" height="0.1875in"}的中点,
所以易求（1）{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
（2）{width="0.4375in" height="0.23958333333333334in"}.
**因此，平面内点**{width="0.65625in" height="0.25in"}**关于**{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}**对称点坐标为**{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}
**平面内点**{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}**，**{width="0.6979166666666666in" height="0.23958333333333334in"}**关于点**{width="1.40625in" height="0.5in"}**对称**
**二、点关于线对称问题**
求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.
**例2．**已知点{width="0.4166666666666667in" height="0.23958333333333334in"}直线{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}：{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，求点{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}关于直线{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}的对称点{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的坐标
**解:**法（一）解：设{width="0.5416666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.3125in" height="0.1875in"}中点坐标为{width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}且满足直线{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}的方程
{width="1.5in" height="0.4375in"} ①
又{width="0.4479166666666667in" height="0.1875in"}与{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}垂直，且{width="0.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}斜率都存在
{width="1.0208333333333333in" height="0.25in"}即有{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"} ②
由①②解得 {width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}
{width="0.7291666666666666in" height="0.23958333333333334in"}
法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出{width="0.3125in" height="0.1875in"}的直线方程进而求与{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}坐标.
**三、线关于点对称问题**
求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.
**例3．**求直线{width="0.1875in" height="0.23958333333333334in"}：{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}关于点{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的对称直线{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的方程.
**解:**法（一）{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}直线{width="0.1875in" height="0.23958333333333334in"}：{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}与两坐标轴交点为{width="0.5729166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}
点{width="0.5729166666666666in" height="0.4791666666666667in"}关于{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}对称点{width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}
点{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}关于{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}对称点{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}过{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的直线方程为{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}
故所求直线{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}方程为{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}.
法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.
**四、线关于线的对称问题**
求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.
**例4．**求已知直线{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}：{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}关于直线{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}对称的直线方程.
**解：**在{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}：{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上任取一点{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}直线{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的斜率为3
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}过点{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}且与直线{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}垂直的直线斜率为{width="0.28125in" height="0.4375in"}，方程为{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}
{width="1.0625in" height="0.5in"} 得 {width="0.6979166666666666in" height="0.9166666666666666in"}
所以点{width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}为直线{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}与{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}的交点，利用中点坐标公式求出{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}关于{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的对称点坐标为{width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}
又直线{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}与{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的交点也在所求直线上
由{width="1.0416666666666667in" height="0.5in"} 得{width="0.6458333333333334in" height="0.9166666666666666in"} 所以交点坐标为{width="0.7395833333333334in" height="0.4791666666666667in"}.
过{width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}和{width="0.7395833333333334in" height="0.4791666666666667in"}的直线方程为{width="1.0625in" height="0.22916666666666666in"}，故所求直线方程{width="1.0625in" height="0.22916666666666666in"}.
**第14关： 利用导数证明不等式问题---4大解题技巧**
**趣题引入**
已知函数{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"} 设{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，
证明：{width="2.6666666666666665in" height="0.4375in"}
分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。
证明：{width="1.03125in" height="0.22916666666666666in"}，设{width="2.15625in" height="0.4375in"}
{width="4.488888888888889in" height="0.4375in"}
当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时 {width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，当{width="0.40625in" height="0.15625in"}时 {width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，
即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.65625in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数，在{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数
∴{width="1.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，又{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"} ∴{width="1.1458333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，
即{width="1.90625in" height="0.4375in"}
设{width="3.020138888888889in" height="0.4375in"}
{width="3.1868055555555554in" height="0.4375in"}
当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6875in" height="0.25in"}，因此{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在区间{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数；
因为{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，又{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"} ∴{width="1.1458333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，
即 {width="2.7708333333333335in" height="0.4375in"}
故{width="2.53125in" height="0.4375in"}
综上可知，当 {width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="2.6666666666666665in" height="0.4375in"}
本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。
**技巧精髓**
> 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
>
> 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
**1、利用题目所给函数证明**
【**例1**】 已知函数{width="1.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，求证：当{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，
> 恒有{width="1.5625in" height="0.4375in"}
**分析：**本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
{width="1.7708333333333333in" height="0.4375in"}，从其导数入手即可证明。
【**绿色通道**】{width="1.7395833333333333in" height="0.4375in"}
∴当{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数
{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.75in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数
故函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调递增区间为{width="0.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，单调递减区间{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}
> 于是函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上的最大值为{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，因此，当{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}∴{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"} （右面得证），现证左面，令{width="1.7708333333333333in" height="0.4375in"}， {width="2.4375in" height="0.4791666666666667in"}
当{width="3.2493055555555554in" height="0.23958333333333334in"} ，
即{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数，在{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数，
故函数{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上的最小值为{width="1.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，
∴{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}当{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="1.5416666666666667in" height="0.4375in"}
∴{width="1.2916666666666667in" height="0.4375in"}，综上可知，当{width="2.375in" height="0.4375in"}
【**警示启迪**】如果{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}是函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在区间上的最大（小）值，则有{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}（或{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}就可得证．
**2、直接作差构造函数证明**
【**例2**】已知函数{width="1.28125in" height="0.4375in"} 求证：在区间{width="0.5416666666666666in" height="0.22916666666666666in"}上，函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象在函数{width="0.8125in" height="0.4375in"}的图象的下方；
**分析：**函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象在函数{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}的图象的下方{width="1.5416666666666667in" height="0.23958333333333334in"}问题，
> 即{width="1.2083333333333333in" height="0.4375in"}，只需证明在区间{width="0.5416666666666666in" height="0.22916666666666666in"}上，恒有{width="1.2083333333333333in" height="0.4375in"}成立，设{width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，考虑到{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}
>
> 要证不等式转化变为：当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，这只要证明： {width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}在区间{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}是增函数即可。
【**绿色通道**】设{width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="1.7083333333333333in" height="0.4375in"}，
则{width="1.3645833333333333in" height="0.4375in"}={width="1.3229166666666667in" height="0.4583333333333333in"}当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}={width="1.3229166666666667in" height="0.4583333333333333in"}从而{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5416666666666666in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数，∴{width="1.3958333333333333in" height="0.4375in"}
> ∴当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时 {width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，故在区间{width="0.5416666666666666in" height="0.22916666666666666in"}上，函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象在函数{width="0.8125in" height="0.4375in"}的图象的下方。
【**警示启迪**】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设{width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}做一做，深刻体会其中的思想方法。
**3、换元后作差构造函数证明**
【**例3**】证明：对任意的正整数n，不等式{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"} 都成立.
**分析：**本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令{width="0.4375in" height="0.4375in"}，则问题转化为：当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，恒有{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}成立，现构造函数{width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}，求导即可达到证明。
【**绿色通道**】令{width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}，则{width="2.7083333333333335in" height="0.4583333333333333in"}在{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上恒正，所以函数{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}上单调递增，∴{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}时，恒有{width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"} 即{width="1.5in" height="0.25in"}，∴{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}
对任意正整数n，取{width="2.8534722222222224in" height="0.4375in"}
【**警示启迪**】我们知道，当{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}上单调递增，则{width="0.40625in" height="0.15625in"}时，有{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．如果{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}＝{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，要证明当{width="0.40625in" height="0.15625in"}时，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，那么，只要令{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＝{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}－{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，就可以利用{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}的单调增性来推导．也就是说，在{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}可导的前提下，只要证明{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}０即可．
**4、从条件特征入手构造函数证明**
【**例4**】若函数*y*={width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在*R*上可导且满足不等式*x*{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}\>－{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，且常数*a*，*b*满足*a*\>*b*，求证：．*a*{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}\>*b*{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}
【**绿色通道**】由已知 *x*{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}+{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}\>0 ∴构造函数 {width="0.9375in" height="0.22916666666666666in"}，
则{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"} *x*{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}+{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}\>0， 从而{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在*R*上为增函数。
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"} ∴{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"} 即 *a*{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}\>*b*{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}
【**警示启迪**】由条件移项后{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数{width="0.9375in" height="0.22916666666666666in"}，求导即可完成证明。若题目中的条件改为{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，则移项后{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
> 【**思维挑战**】
1**、** 设{width="2.3229166666666665in" height="0.25in"}
求证：当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，恒有{width="1.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，
> 2**、**已知定义在正实数集上的函数{width="2.34375in" height="0.3854166666666667in"}其中*a*\>0，且{width="1.28125in" height="0.4375in"}， 求证：{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 3**、**已知函数{width="1.5729166666666667in" height="0.4375in"}，求证：对任意的正数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}、{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，
>
> 恒有{width="1.2291666666666667in" height="0.4375in"}
>
> 4**、**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}≤0，对任意正数*a*、*b*，若*a* \< *b*，则必有 （ ）
（A）*af* (*b*)≤*bf* (*a*) （B）*bf* (*a*)≤*af* (*b*)
（C）*af* (*a*)≤*f* (*b*) （D）*bf* (*b*)≤*f* (*a*)
> 【**答案咨询**】
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> 1**、提示：**{width="1.53125in" height="0.4375in"}，当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，不难证明{width="0.65625in" height="0.4375in"}
>
> ∴{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}内单调递增，故当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，
>
> {width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，∴当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，恒有{width="1.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}
>
> 2**、提示：**设{width="3.1243055555555554in" height="0.4375in"}则{width="1.4479166666666667in" height="0.4583333333333333in"}
>
> ={width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"} {width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"} {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，∴ 当{width="0.40625in" height="0.15625in"}时，{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，
>
> 故{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数，在{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数，于是函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"} 在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}上的最小值是{width="1.6145833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，故当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，有{width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}
3**、提示：**函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的定义域为{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，{width="2.2916666666666665in" height="0.4791666666666667in"}
∴当{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上为减函数
{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.75in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数
因此在{width="0.9375in" height="0.23958333333333334in"}取得极小值{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，而且是最小值
于是{width="2.5625in" height="0.4375in"}，即{width="1.2916666666666667in" height="0.4375in"}
令{width="2.15625in" height="0.4375in"} 于是{width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}
因此{width="1.1875in" height="0.4375in"}
> 4**、提示：**{width="0.90625in" height="0.4375in"}，{width="1.78125in" height="0.4583333333333333in"}，故{width="0.90625in" height="0.4375in"}在（0，+∞）上是减函数，由{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"} 有{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"} *af* (*b*)≤*bf* (*a*) 故选（A）
**第15关： 函数中易混问题---11对**
函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十一对问题加以剖析并举例说明．
> **一、定义域与值域**
>
> 例1．（I）若函数{width="1.3958333333333333in" height="0.25in"}的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> （II）若函数{width="1.3958333333333333in" height="0.25in"}的值域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> 分析：（I）若函数{width="1.3958333333333333in" height="0.25in"}的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，就是无论{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}为何实数，{width="1.1458333333333333in" height="0.22916666666666666in"}永远成立．令{width="1.3125in" height="0.25in"}，则{width="0.3125in" height="0.22916666666666666in"}的图象始终在{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴的上方，因此，就有{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}且{width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，从而，{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> （II）若函数{width="1.3958333333333333in" height="0.25in"}的值域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，就是{width="1.3125in" height="0.25in"}应该取遍一切正的实数，也就是集合{width="0.22916666666666666in" height="0.20833333333333334in"}是{width="0.3125in" height="0.22916666666666666in"}值域的子集．当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.65625in" height="0.22916666666666666in"}，它的值域是{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，符合要求；当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，只要{width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}就能保证集合{width="0.22916666666666666in" height="0.20833333333333334in"}是{width="0.3125in" height="0.22916666666666666in"}值域的子集，解得{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}；{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时不合要求．故实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}．
>
> 评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．
>
> **二、定义域与有意义**
>
> 例2．（I）已知函数{width="1.0833333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的定义域为{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> （II）已知函数{width="1.0833333333333333in" height="0.2708333333333333in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}上有意义，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围
>
> 分析：（I）因为函数{width="1.0833333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的定义域为{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，所以不等式{width="0.7083333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的解集是{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，于是，{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}是方程{width="0.7083333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的根，代入求得{width="0.4375in" height="0.4375in"}．
>
> （II）因为函数{width="1.0833333333333333in" height="0.2708333333333333in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}上有意义，所以，不等式{width="0.7083333333333334in" height="0.19791666666666666in"}对{width="0.7395833333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，即{width="0.4375in" height="0.4375in"}对{width="0.7395833333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，而{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}，即{width="0.4375in" height="0.4375in"}．
>
> 评注：若{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}上有意义，则{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}是函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}定义域的子集．
>
> **三、值域与函数值变化范围**
>
> 例3．（I）若函数{width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}的值域为{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> （II）若函数{width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}的值恒大于或等于1，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> 分析：（I）因为函数{width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}，所以{width="2.6979166666666665in" height="0.4583333333333333in"}，即{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的值域为{width="1.3645833333333333in" height="0.4583333333333333in"}，于是有{width="1.2083333333333333in" height="0.4583333333333333in"}，解得{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> （II）因为函数{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，即{width="1.7916666666666667in" height="0.25in"}恒成立，因此有{width="1.9166666666666667in" height="0.25in"}恒成立，解得{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> 评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}内，并非要求取遍{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}内的每一个值．
>
> **四、主元与次元**
>
> 例4．（I）对于任意的{width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}，不等式{width="1.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> （II）对于任意的{width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}，不等式{width="1.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> 分析：（I）原来的不等式可以转化为{width="2.1458333333333335in" height="0.25in"}对于{width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：
>
> i）当{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}时，即{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，只要{width="1.2291666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，此时矛盾．
>
> ii）当{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}时，即{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，只要{width="1.1979166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，此时矛盾．
>
> iii）当{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}时，即{width="0.78125in" height="0.19791666666666666in"}时，只要{width="1.5416666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，即{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> 综上，实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
>
> （II）原来的不等式可以转化为{width="2.1979166666666665in" height="0.25in"}对于{width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立；只要{width="0.8229166666666666in" height="0.23958333333333334in"}即可，于是{width="1.6145833333333333in" height="0.5625in"}，解得{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}
>
> 评注：构造函数时并不一定要以{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．
>
> **五、有解与恒成立**
>
> 例5．（I）已知{width="1.4479166666666667in" height="0.28125in"}，若{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
（II）已知{width="1.4479166666666667in" height="0.28125in"}，若{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}有解，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
> 分析：（I）因为{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，这就要求{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象全部在直线{width="0.4166666666666667in" height="0.1875in"}的上方，即{width="0.9166666666666666in" height="0.23958333333333334in"}就可，易知{width="1.0in" height="0.23958333333333334in"}，所以，{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> （II）要使{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}有解，这就要求{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象上[有]{.underline}点在直线{width="0.4166666666666667in" height="0.1875in"}的上方即可，即{width="0.9375in" height="0.25in"}，又{width="0.9375in" height="0.25in"}，所以，{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}
>
> 评注："有解"是要求某范围内存在{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}使得不等式成立即可．{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}有解{width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}有解{width="1.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}．
>
> "恒成立"要求对某范围内任意的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}，不等式都成立．{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立{width="1.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}恒成立{width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}．
>
> **六、单调区间与区间单调**
>
> 例6．（I）若函数{width="1.7708333333333333in" height="0.25in"}在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上单调递增，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> （II）若函数{width="1.7708333333333333in" height="0.25in"}单调递增区间是{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
>
> 分析：（I）{width="1.7708333333333333in" height="0.25in"}在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上单调递增，那么，对称轴{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}，解得{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> （II）{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}图象的对称轴是{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，那么，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的单调递增区间为{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}，于是就有{width="0.6875in" height="0.4375in"}，解得{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> 评注：若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在区间{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}上具有单调性，则在{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}的任一子区间上{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．
>
> **七、某点处的切线与过某点的切线**
>
> 例7．（I）求曲线{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}在点{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}处的切线方程．
（II）求曲线{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}过点{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}的切线方程．
> 分析：（I）由{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}得{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.7291666666666666in" height="0.25in"}，所以曲线在点{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}处的切线方程为{width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
（II）设切点为{width="1.0416666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，又{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，所以切线斜率为{width="1.1041666666666667in" height="0.28125in"}，则曲线在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}点的切线方程为{width="2.28125in" height="0.2708333333333333in"}．又{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}在切线上，于是就有{width="2.1979166666666665in" height="0.2708333333333333in"}，即{width="1.1666666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，解得{width="0.4479166666666667in" height="0.25in"}或{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}；
当{width="0.4479166666666667in" height="0.25in"}时，切点就是{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}，切线为{width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}；
当{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}时，切点就是{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}，切线斜率为{width="0.78125in" height="0.4895833333333333in"}，切线为{width="1.0208333333333333in" height="0.22916666666666666in"}．
评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．
> **八、对称与周期**
>
> 例8．（I）若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.40625in" height="0.4375in"}，且{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，求{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}**．**（II）若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.40625in" height="0.4375in"}，且{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，求{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}．
>
> 分析：（I）因为对于一切{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，都有{width="1.40625in" height="0.4375in"}，即{width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}恒成立，那么就有{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象关于直线{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}对称，所以，{width="1.1979166666666667in" height="0.22916666666666666in"}．
>
> （II）因为函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.40625in" height="0.4375in"}，那么就有{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}是周期函数且{width="0.4166666666666667in" height="0.1875in"}，则 {width="1.1979166666666667in" height="0.22916666666666666in"}．
>
> 评注：若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象关于直线{width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}对称．若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.9166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}是周期函数，且其中一个周期为{width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> **九、中心对称与轴对称**
>
> 例9．（I）若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，且{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时有{width="1.25in" height="0.25in"}．求{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}解析式．
（II）若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.53125in" height="0.22916666666666666in"}，且{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时有{width="1.25in" height="0.25in"}．求{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}解析式．
> 分析：（I）若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象关于直线{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}成轴对称；又{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时有{width="1.25in" height="0.25in"}；所以{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，有{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}，{width="3.645138888888889in" height="0.25in"}；
>
> {width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}解析式为{width="1.8645833333333333in" height="0.5625in"}
>
> （II）函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.53125in" height="0.22916666666666666in"}，那么{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象关于点{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}成中心对称；又{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时有{width="1.25in" height="0.25in"}；所以{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，有{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}，{width="4.030555555555556in" height="0.25in"}．{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}解析式为{width="1.9791666666666667in" height="0.5625in"}
>
> 评注：函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都有{width="1.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，那么{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的图象关于点{width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}成中心对称．
>
> **十、**{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}**时**{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}**恒成立与**{width="0.75in" height="0.23958333333333334in"}**时**{width="0.9895833333333334in" height="0.23958333333333334in"}**恒成立**
>
> 例10．（I）已知函数{width="1.4375in" height="0.25in"}，{width="1.53125in" height="0.25in"}（{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}为实数），若对于任意的{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}，都有{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}成立，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
（II）已知函数{width="1.4375in" height="0.25in"}，{width="1.53125in" height="0.25in"}（{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}为实数），若对于任意的{width="0.9583333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，都有{width="0.9895833333333334in" height="0.23958333333333334in"}成立，求实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围．
> 分析：（I）设{width="1.3125in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="1.8125in" height="0.25in"}；于是，对于任意的{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}时，{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}恒成立．即{width="0.875in" height="0.23958333333333334in"}；容易知道{width="1.5625in" height="0.23958333333333334in"}，故{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}．
（II）对于任意的{width="0.9583333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，都有{width="0.9895833333333334in" height="0.23958333333333334in"}恒成立，等价于当{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}时，{width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}；容易求得{width="1.0729166666666667in" height="0.23958333333333334in"}**，**{width="1.3229166666666667in" height="0.25in"}，于是{width="0.9479166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，故{width="0.53125in" height="0.19791666666666666in"}．
> 评注：{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时{width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，等价于{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="1.375in" height="0.23958333333333334in"}；{width="0.75in" height="0.23958333333333334in"}时{width="0.9895833333333334in" height="0.23958333333333334in"}恒成立，等价于{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时{width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}．
>
> **十一、函数单调与数列单调**
>
> 例11．（I）若函数{width="1.4791666666666667in" height="0.25in"}是单调增函数，求实数{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围．
>
> （II）若函数{width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}且{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}）是单调增函数，求实数{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围．
>
> 分析：（I）因为函数{width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}是单调增函数，所以对称轴直线{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}，得实数{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
>
> （II）因为函数{width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}在{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}且{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}上是单调增函数，所以，对于一切{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}，{width="2.1458333333333335in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，即{width="0.9166666666666666in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，故{width="1.5729166666666667in" height="0.25in"}．
>
> 评注：数列是特殊的函数．若{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上是增函数，则数列{width="1.1041666666666667in" height="0.25in"}一定是增数列，但反之未必成立．因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理．
**第16关： 三项展开式问题---破解"四法"**
如何求解三项展开式中某些指定的项，同学们普遍感到比较陌生。下面介绍四种破解三项展开式问题的方法，供参考．
**问题：求**{width="0.9895833333333334in" height="0.2916666666666667in"}**展开式中**{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}**的系数为.**
**1、两项看成一项，利用二项式定理展开**
三项展开式的问题可将其中两项作为整体，利用二项式定理来处理，这是把三项式向二项式转化的有效途径．
**解法1：**{width="2.2083333333333335in" height="0.2916666666666667in"}
={width="4.822222222222222in" height="0.28125in"}
所以{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}项的系数为{width="2.988888888888889in" height="0.2708333333333333in"}．
**2、两项看成一项，抓展开式的通项公式**
**解法2：**{width="2.1875in" height="0.2916666666666667in"}
{width="1.3958333333333333in" height="0.3125in"}，r=0，1，2，3，4，5，则{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}的系数由{width="0.8125in" height="0.25in"}来确定
{width="3.9055555555555554in" height="0.2708333333333333in"}
由r + k = 5得{width="1.6979166666666667in" height="0.5625in"}
所以{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}项的系数为{width="3.113888888888889in" height="0.2708333333333333in"}．
**点评：**这种解法本质上同解法1相同，先将其中两项作为整体，两次利用二项式定理的通项公式后，就得到了三项展开式{width="1.0in" height="0.2916666666666667in"}的通项公式为
{width="4.999305555555556in" height="0.3020833333333333in"}
**3、因式分解，转化为两个二项展开式**
**解法3：**{width="2.2291666666666665in" height="0.2916666666666667in"}
={width="5.082638888888889in" height="0.25in"}
相乘合并得{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}项的系数为92．
**点评：**若三项式可分解因式，则可以转化为两个二项式的积的形式；若三项式恰好是二项式的平方，则也可直接转化为二项式问题求解，如{width="3.5722222222222224in" height="0.5416666666666666in"} ．
**4、看作多个因式的乘积，用组合的知识解答**
**解法4：**将{width="0.9895833333333334in" height="0.2916666666666667in"}看作5个因式{width="0.8229166666666666in" height="0.22916666666666666in"}的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}的来源有：
①5个因式各出一个2x，这样的方式有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种，对应的项为{width="0.6041666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；
②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个 - 3x^2^，剩余1个因式出一个1，这样的方式有{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}种，对应的项为{width="1.2708333333333333in" height="0.2708333333333333in"}；
③有1个因式出一个2x，2个因式各出一个- 3x^2^，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}种，对应的项为{width="1.1458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}；
所以{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}项的系数为{width="3.0305555555555554in" height="0.2708333333333333in"}
**点评：**对于求三项展开式中指定项的系数问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合的知识求解，也很简捷，但要注意将各种情况讨论全，避免遗漏．
**第17关： 由递推关系求数列通项问题---"不动点"法**
由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的"不动点"决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数"不动点"问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．
1. **不动点的定义**
> 一般的，设{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的定义域为{width="0.1875in" height="0.1875in"},若存在{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，使成立，则称为的
不动点，或称{width="0.5208333333333334in" height="0.25in"}为图像的不动点。
2. **求线性递推数列的通项**
**定理1** 设{width="1.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，且为的不动点，满足递推关系{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，证明是公比为a的等比数列。
**证**：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公比为{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的等比数列。
**例1** 已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项和为{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，且{width="1.125in" height="0.25in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}
(1)证明：{width="0.53125in" height="0.28125in"}是等比数列；(2)求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.28125in"}的通项公式，并求出使得{width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}成立的最小正整数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}.
**证：**(1) 当*n*=1时，*a*~1~=−14；当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，*a~n~*=*S~n~*−*S~n~*~−1~=−5*a~n~*+5*a~n~*~−1~+1，即{width="0.9791666666666666in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}即{width="1.0in" height="0.4375in"}{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}，记{width="1.0208333333333333in" height="0.4375in"}，令{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，求出不动点{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，由定理1知：{width="1.6979166666666667in" height="0.4375in"}，又*a*~1~−1= −15 ≠0，所以数列{*a~n~*−1}是等比数列。(2)解略。
3. **求非线性递推数列的通项**
**定理2** 设{width="2.1979166666666665in" height="0.4375in"}，且是的不动点，数列满足递推关系，{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，（ⅰ）若{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，则数列是公比为的等比数列；（ⅱ）{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}，则数列是公差为{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}的等差数列。
**证：**（ⅰ）由题设知{width="3.4368055555555554in" height="0.4791666666666667in"}；
同理{width="1.40625in" height="0.25in"}
∴{width="1.5208333333333333in" height="0.4791666666666667in"}{width="1.4375in" height="0.4791666666666667in"}，
所以数列是公比为的等比数列。
（ⅱ）由题设知＝{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的解为{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}，∴且＝。所以{width="3.113888888888889in" height="0.6666666666666666in"}{width="2.801388888888889in" height="0.6354166666666666in"}
{width="3.207638888888889in" height="0.4791666666666667in"}{width="2.1458333333333335in" height="0.8333333333333334in"}
{width="2.4166666666666665in" height="0.4791666666666667in"}，所以数列是公差为{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}的等差数列。
**例2**设数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}项和为{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，且方程{width="1.3125in" height="0.2708333333333333in"}有一根为{width="0.4375in" height="0.25in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.25in"}。求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的通项公式。
**解：**依题{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}，且{width="2.125in" height="0.2708333333333333in"}，将{width="0.9791666666666666in" height="0.25in"}代入上式，得{width="0.9375in" height="0.4791666666666667in"}，记{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}，令{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，求出不动点{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，由定理2（ⅱ）知：{width="1.9791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，所以数列{width="0.7395833333333334in" height="0.53125in"}是公差为{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"}的等差数列，所以{width="0.7291666666666666in" height="0.4375in"}，因此数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的通项公式为{width="0.7291666666666666in" height="0.4375in"}。
**例3**已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}中，{width="1.3229166666666667in" height="0.4791666666666667in"}
（Ⅰ）设{width="1.1979166666666667in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.28125in"}的通项公式. （Ⅱ）求使不等式{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}成立的{width="0.125in" height="0.15625in"}的取值范围 .
**解：**（Ⅰ）依题{width="1.5625in" height="0.4791666666666667in"}，记{width="0.9583333333333334in" height="0.4375in"}，令{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，求出不动点{width="0.9375in" height="0.4375in"}；由定理2（ⅰ）知：{width="1.78125in" height="0.6354166666666666in"}，{width="1.8854166666666667in" height="0.46875in"} ；
两式相除得到{width="1.375in" height="0.6458333333333334in"}，所以{width="0.65625in" height="0.8645833333333334in"}是以{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}为公比，{width="0.8125in" height="0.6458333333333334in"}为首项的等比数列，所以，{width="2.53125in" height="0.6979166666666666in"}从而{width="1.0416666666666667in" height="0.4583333333333333in"}（Ⅱ）解略。
**定理3** 设{width="1.5416666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，且是的不动点，数列满足递推关系，{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="1.4375in" height="0.4791666666666667in"}；若{width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}，则{width="0.8541666666666666in" height="0.53125in"}是公比为{width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"}的等比数列。
**证：∵**是的不动点，∴{width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.8958333333333334in" height="0.2708333333333333in"}。{width="2.4895833333333335in" height="0.5in"}{width="2.25in" height="0.5in"}
{width="2.2916666666666665in" height="0.5in"}**，**又{width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}，则{width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，
∴{width="1.6666666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，故{width="0.8541666666666666in" height="0.53125in"}是公比为{width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"}的等比数列。
4. 已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.22916666666666666in"}满足{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.9375in" height="0.5in"}．⑴求证：{width="0.4583333333333333in" height="0.2604166666666667in"}；⑵求证：{width="0.625in" height="0.2604166666666667in"}；⑶求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}的通项公式．
**证：**⑴、⑵证略；⑶依题{width="0.9375in" height="0.5in"}，记{width="0.9791666666666666in" height="0.4583333333333333in"}，令{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}，求出不动点{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}；由定理3知：{width="2.0208333333333335in" height="0.5in"}，{width="2.0833333333333335in" height="0.5in"}，
所以{width="1.28125in" height="0.5416666666666666in"}，又{width="1.1458333333333333in" height="0.4583333333333333in"}，所以{width="1.7604166666666667in" height="0.46875in"}．
又{width="0.9270833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，令{width="1.03125in" height="0.46875in"}，则数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}是首项为{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，公比为{width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}的等比数列．所以{width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}．由{width="1.03125in" height="0.46875in"}，得{width="0.8333333333333334in" height="0.5104166666666666in"}．所以{width="1.71875in" height="0.53125in"}．
利用函数"不动点"法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。
**定理4** 设{width="2.2291666666666665in" height="0.4583333333333333in"}且{width="0.1875in" height="0.25in"}是的最小不动点，数列满足递推关系，{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="1.5in" height="0.2708333333333333in"}
**定理5** 设{width="2.9472222222222224in" height="0.4583333333333333in"}且{width="0.1875in" height="0.25in"}是的不动点，数列满足递推关系，{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="1.5in" height="0.2708333333333333in"}
**第18关： 类比推理问题---高考命题新亮点**
类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。
**（一）不同知识点之间的类比**
数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。
**1**、**立体几何中的类比推理**
【**例1**】若从点*O*所作的两条射线*OM*、*ON*上分别有点*M~1~*、*M~2~*与点*N~1~*、*N ~2~*，则三角形面积之比为：{width="1.5729166666666667in" height="0.53125in"}若从点*O*所作的不在同一个平面内的三条射线*OP*、*OQ*和*OR*上分别有点*P*~1~、*P*~2~与点*Q*~1~、*Q*~2~和*R*~1~、*R*~2~，则类似的结论为： [ ]{.underline} 。
【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想
{width="1.9166666666666667in" height="0.53125in"}（证明略）
评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。
【**例2**】在{width="0.5in" height="0.1875in"}中有余弦定理：{width="2.832638888888889in" height="0.22916666666666666in"}拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱{width="0.9791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
【分析】根据类比猜想得出{width="3.1659722222222224in" height="0.28125in"}其中{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}为侧面为{width="0.5625in" height="0.23958333333333334in"}与{width="0.5729166666666666in" height="0.23958333333333334in"}所成的二面角的平面角。
证明：作斜三棱柱{width="0.9791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的直截面*DEF*，则{width="0.5208333333333334in" height="0.1875in"}为面{width="0.5625in" height="0.23958333333333334in"}与面{width="0.5729166666666666in" height="0.23958333333333334in"}所成角，在{width="0.5in" height="0.1875in"}中有余弦定理：{width="2.5833333333333335in" height="0.22916666666666666in"}，同乘以{width="0.3645833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，得
{width="4.478472222222222in" height="0.2708333333333333in"}
即{width="3.1659722222222224in" height="0.28125in"}
评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
【**例3**】 在平面几何中有"正三角形内任一点到三边的距离之和为定值"，那么在立体几何中有什么结论呢？
解析 "正三角形"类比到空间"正四面体"，"任一点到三边距离之和"类比到空间为"任一点到四个面的距离之和"，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。
{width="3.1972222222222224in" height="2.1666666666666665in"}图1
如图1，设边长为{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的正三角形{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}内任一点{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}到其三边的距离分别为{width="0.1875in" height="0.25in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，将{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}分割成三个小三角形{width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，则有{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.53125in" height="0.25in"}{width="0.40625in" height="0.4791666666666667in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即距离之和为正三形的高（定值）{width="2.207638888888889in" height="2.027083333333333in"} 图2
类似地，如图2,设棱长为{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的正四面体{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}内任一点{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}到四个面的距离分别为{width="0.1875in" height="0.25in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}， 将正四面体分割成以{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有{width="2.7805555555555554in" height="0.25in"}，于是
{width="2.8743055555555554in" height="0.4791666666666667in"}所以{width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}为定值
【**例4**】 在平面几何中，有勾股定理：设{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的两边{width="0.28125in" height="0.1875in"}、{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}互相垂直，则{width="1.25in" height="0.22916666666666666in"}。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可得出的正确结论是："设三棱锥{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}的三个侧面{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}、{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}、{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}两两互相垂直，则 [ ]{.underline}
答案为{width="1.9479166666666667in" height="0.2708333333333333in"}
类比不仅可以提供探求新背景下结论的思路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。将平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章的感觉。
**2**、**解析几何中的类比推理**
【**例5**】已知两个圆：{width="0.75in" height="0.25in"}① 与{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 [ ]{.underline} 。
【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：
设圆的方程为{width="1.53125in" height="0.25in"}③与{width="1.5416666666666667in" height="0.25in"}④，其中{width="0.3958333333333333in" height="0.16666666666666666in"}或{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。
评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
**3**、**数列中的类比推理**
【**例6**】定义"等和数列"：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}，是等和数列，且{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，公和为5，那么{width="0.22916666666666666in" height="0.25in"}的值为 [ ]{.underline} ，这个数列的前n项和{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的计算公式为 [ ]{.underline} 。
【分析】由等和数列的定义，易知{width="1.8958333333333333in" height="0.25in"}故{width="0.53125in" height="0.25in"}
当*n*为偶数时，{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}；当*n*为奇数时，{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}
评注 本题以"等和数列"为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。
**4**、**函数中的类比推理**
【**例7**】设函数{width="1.0833333333333333in" height="0.4583333333333333in"}，利用课本中推导等差数列前*n*项和公式的方法，可求得{width="2.9784722222222224in" height="0.22916666666666666in"}的值 [ ]{.underline} 。
【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前*n*项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算{width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}
∵{width="4.124305555555556in" height="0.6875in"}
∴{width="2.375in" height="0.6875in"}
发现{width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}正好是一个定值，∴{width="0.9166666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，∴{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}
评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的老本放在了突出的位置。本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到"秀枝一株，嫁接成林"之效，从而有效于发展学生创新的思维。
**5**、**排列组合中的类比推理**
【**例8**】已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}（*n*为正整数）的首项为{width="0.16666666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，公比为的*q*等比数列。
（1）求和： {width="3.4993055555555554in" height="0.28125in"}
（2）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数*n*的一个结论，并加以证明。
【分析】本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：
（1）{width="3.363888888888889in" height="0.2708333333333333in"}
{width="4.322222222222222in" height="0.2708333333333333in"}
（2）归纳概括的结论为：若数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是首项为{width="0.16666666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，公比为*q*的等比数列，则
{width="3.7805555555555554in" height="0.2708333333333333in"}（证明略）
评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
**6**、**新定义、新运算中的类比**
【**例9**】若记号"\*"表示两个实数*a*与*b*的算术平均的运算，即{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}，则两边均含有运算符号"\*"和"+"，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 [ ]{.underline} 。
【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号"\*"和"+"，则可容易得到{width="1.8541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}
正确的结论还有：{width="3.2493055555555554in" height="0.22916666666666666in"}等。
【**例10**】对于直角坐标平面内的任意两点{width="1.375in" height="0.23958333333333334in"}，定义它们之间的一种"距离"：{width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"}
给下列三个命题：
①若点*C*线段*AB*上，则{width="1.2916666666666667in" height="0.28125in"};
②在{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，若{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}°，则{width="1.5208333333333333in" height="0.3125in"};
③在{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，{width="1.3229166666666667in" height="0.28125in"}
其中真命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【分析】对于直角坐标平面内的任意两点{width="1.375in" height="0.23958333333333334in"}定义它们之间的一种"距离"： {width="1.7708333333333333in" height="0.28125in"}①若点*C*在线段*AB*上，设*C*点坐标为{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.1875in" height="0.25in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.23958333333333334in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}之间，{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}在{width="0.1875in" height="0.23958333333333334in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}之间，则{width="4.332638888888889in" height="0.28125in"}{width="0.3645833333333333in" height="0.28125in"}
{width="0.7291666666666666in" height="0.28125in"}
③在{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，{width="4.280555555555556in" height="0.28125in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.23958333333333334in"}
{width="0.28125in" height="0.28125in"}{width="3.3118055555555554in" height="0.28125in"}
∴命题①成立，命题③错误。而命题②在在{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，若则{width="1.5208333333333333in" height="0.3125in"}明显不成立，选B。
【**例11**】设*P*是一个数集，且至少含有两个数，若对任意{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，都有{width="0.4375in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.4375in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}
{width="0.4375in" height="0.4375in"}（除数{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}）则称*P*是一个数域，例如有理数集*Q*是数域，数集{width="1.6979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}也是数域。有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集{width="0.53125in" height="0.22916666666666666in"},则数集*M*必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域。
其中正确的命题的序号是 [ ]{.underline} 。（把你认为正确的命题的序号都填上）
【分析】①错。4,5是整数，但{width="0.78125in" height="0.4375in"}不是整数。②错。设*M*由有理数集合*Q*和元素{width="0.15625in" height="0.15625in"}组成，则1,{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，但是{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}不属于*M*。③正确。设{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，其中一个必定不等于零，设{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，所以{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}所以{width="0.375in" height="0.1875in"}，所以{width="2.375in" height="0.22916666666666666in"}所有负整数都属于P，而负整数有无穷多个，所以③正确。④正确。把数域{width="1.6979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}中的{width="0.2708333333333333in" height="0.23958333333333334in"}改为{width="0.9791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，仍是数域，有无穷多个。
故应填③④。
**（二）数学知识与实际生活问题的类比**
学生在处理常规数学问题时较易上手，而对有生活背景的问题则"怵"。数学知识与生活问题本身存在这样那样的联系，如果注意挖掘，那么对于培养学生的应用意识是十分有利的。
【**例12**】从1楼到2楼总共有20级台阶，如果规定每步只能跨上一级或二级，问从1楼爬上2楼共有几种不同的走法？
解析 这是生活中常见的一个问题，直接思考觉得走法太多，所以思考这个问题能否在数学中找到相应的模型，记上第{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}级台阶共有{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}种方法，若想上第20级台阶，则可从第18级跨两级或从第19级跨一级而到达，所以{width="0.9375in" height="0.25in"}，类似地{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，...{width="0.78125in" height="0.25in"}.注意到{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}，运用以上递推关系（斐波那契数列），逐项计算得{width="0.8229166666666666in" height="0.25in"}，那上2楼共有10946种方法。
生活中的不少问题往往可以找到其数学根源，通过思考将这种联系（数学模型）挖掘出来，就把生活中的问题与数学知识、方法进行了类比，有意识在引导或发现这种思考方法，有利于增加学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。
**（三）结束语**
**讲解双曲线的性质时常用椭圆的性质来类比，讲解等比数列的时候用等差数列来类比。不仅数学知识如此，实际上惠更斯提出的波动说，就是与水波、声波类比而受到的启发。英国医生詹纳发现的种牛痘可以预防天花，就是从挤奶女工感染了牛痘而不患天花中得到启发，从树叶的锯齿形状发明了锯，从雄鹰的飞起到制造飞机上天等，总之，类比思想方法博大精深，能够收到严格逻辑推理所不能达到的效果，它能提高人们的数学素质，改善思维品质，既富有创造性，又让人产生柳暗花明又一村的美感。**
**第19关： 函数定义域问题---知识大盘点**
**一、求函数的定义域需要从这几个方面入手：**
（1）分式中的分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负
（3）对数中的真数部分大于0
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ，k
( 6 ){width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}中x{width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"}
（7）由实际问题建立的函数，要使实际问题有意义
**二、定义域的求法**
**1、直接定义域问题**
**例1 求下列函数的定义域：**
**①** {width="0.90625in" height="0.4375in"}**；②** {width="1.0833333333333333in" height="0.2708333333333333in"}**；③** {width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式{width="0.40625in" height="0.4375in"}无意义，
而{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，分式{width="0.40625in" height="0.4375in"}有意义，∴这个函数的定义域是{width="0.6979166666666666in" height="0.23958333333333334in"}.
②∵3x+2\<0，即x\<-{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}时，根式{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}无意义，
而{width="0.7083333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，即{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}时，根式{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}才有意义，
∴这个函数的定义域是{{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}\|{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}}.
③∵当{width="1.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，即{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}且{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，根式{width="0.4791666666666667in" height="0.25in"}和分式{width="0.40625in" height="0.4375in"} 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}\|{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}且{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}}
另解：要使函数有意义，必须： {width="0.7291666666666666in" height="0.5in"} Þ {width="0.5625in" height="0.5in"}
**例2 求下列函数的定义域：**
**①**{width="1.375in" height="0.3229166666666667in"} **②**{width="1.375in" height="0.5416666666666666in"}
**③**{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.8645833333333334in"} **④**{width="1.0833333333333333in" height="0.5625in"}
**⑤**{width="1.78125in" height="0.4583333333333333in"}
解：①要使函数有意义，必须：{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"} 即： {width="1.0208333333333333in" height="0.25in"}
∴函数{width="1.4166666666666667in" height="0.3229166666666667in"}的定义域为： \[{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}\]
②要使函数有意义，必须：{width="2.4895833333333335in" height="0.5520833333333334in"}
{width="2.1041666666666665in" height="0.20833333333333334in"}
∴定义域为：{ x\|{width="1.90625in" height="0.20833333333333334in"}}
③要使函数有意义，必须： {width="1.0416666666666667in" height="1.5208333333333333in"} Þ {width="0.7083333333333334in" height="0.8645833333333334in"}
∴函数的定义域为：{width="1.6875in" height="0.4375in"}
④要使函数有意义，必须： {width="0.7708333333333334in" height="0.53125in"} {width="0.7708333333333334in" height="0.5in"}
∴定义域为：{width="1.6041666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
**⑤**要使函数有意义，必须： {width="1.0in" height="0.53125in"} {width="0.8333333333333334in" height="0.6145833333333334in"}
即 x\<{width="0.28125in" height="0.4375in"} 或 x\>{width="0.28125in" height="0.4375in"} ∴定义域为：{width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}
**2 定义域的逆向问题**
**例3 若函数**{width="1.2916666666666667in" height="0.4895833333333333in"}**的定义域是R，求实数*a* 的取值范围**{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"} **(**定义域的逆向问题**)**
解：∵定义域是R,∴{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}
∴{width="2.6666666666666665in" height="0.6145833333333334in"}
**练习：** {width="1.28125in" height="0.3645833333333333in"}**定义域是一切实数，则m的取值范围；**
**3 复合函数定义域的求法**
**例4 若函数**{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}**的定义域为\[−1，1\]，求函数**{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}**的定义域**{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}
解：要使函数有意义，必须：
{width="3.1972222222222224in" height="0.8645833333333334in"}
∴函数{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}的定义域为：{width="1.1875in" height="0.4791666666666667in"}
**例5 已知f(x)的定义域为\[－1，1\]，求f(2x－1)的定义域**
分析：法则f要求自变量在\[－1，1\]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 \[－1，1\]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为\[－1，1\]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为\[0，1\]。
**例6已知已知f(x)的定义域为\[－1，1\]，求f(x^2^)的定义域**
答案：－1≤ ≤1{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"} ≤1{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}－1≤x≤1
**练习：设**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**的定义域是\[3，**{width="0.2708333333333333in" height="0.23958333333333334in"}**\]，求函数**{width="0.7395833333333334in" height="0.2708333333333333in"}**的定义域**{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}
解：要使函数有意义，必须：{width="1.2708333333333333in" height="0.25in"} 得： {width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}
∵ {width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}≥0 ∴ {width="1.15625in" height="0.25in"} {width="1.1041666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
∴ 函数{width="0.7395833333333334in" height="0.2708333333333333in"}的定域义为：{width="1.375in" height="0.2708333333333333in"}
**例7 已知f(2x－1)的定义域为\[0，1\]，求f(x)的定义域**
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈\[0,1\]求得的值域\[－1，1\]是f(x)的定义域
**练习：**
1、求下列函数的定义域：
> ⑴{width="1.2395833333333333in" height="0.5416666666666666in"}
>
> ⑵{width="1.1458333333333333in" height="0.4895833333333333in"}
>
> ⑶{width="2.2083333333333335in" height="0.6458333333333334in"}
2、设函数的定义域为，则函数的定义域为\_ [ ]{.underline} \_ [ ]{.underline} \_；函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_；
3、若函数{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}的定义域为，则函数{width="0.65625in" height="0.22916666666666666in"}的定义域是 [ ]{.underline} ；函数{width="0.625in" height="0.4375in"}的定义域为 [ ]{.underline} 。
4. 知函数的定义域为{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，且函数{width="1.875in" height="0.22916666666666666in"}的定义域存在，求实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围。
**5、 已知f(3x－1)的定义域为\[－1，2），求f(2x+1)的定义域**
**6 、已知f(x^2^)的定义域为\[－1，1\]，求f(x)的定义域**
**7、 若**{width="0.6875in" height="0.28125in"}**的定义域是**{width="0.3958333333333333in" height="0.28125in"}**，则函数**{width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}**的定义域是 （ ）**
**Ａ．**{width="0.4375in" height="0.28125in"} **Ｂ**{width="0.625in" height="0.4791666666666667in"} **Ｃ．**{width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"} **Ｄ．**{width="0.4583333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
8、若函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}= {width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"} 的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"},则实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围是 （ ）
A、(－∞,+∞) B、(0,{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.22916666666666666in"} C、({width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"},+∞) D、\[0, {width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.22916666666666666in"}
9、若函数{width="1.4895833333333333in" height="0.2916666666666667in"}的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，则实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围是（ ）
(A){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"} (B) {width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"} (C) {width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"} (D) {width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}
10、函数{width="1.7083333333333333in" height="0.2916666666666667in"}的定义域是（ ）
A、{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"} B、{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"} C、{width="1.25in" height="0.22916666666666666in"} D、{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}
**练习题答案：**
1、（1）{width="1.8333333333333333in" height="0.23958333333333334in"} （2）{width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"} （3）{width="2.3229166666666665in" height="0.4375in"}
2、{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}； {width="0.375in" height="0.22916666666666666in"} 3、{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"} {width="1.3125in" height="0.4375in"} 4、{width="0.7291666666666666in" height="0.19791666666666666in"}
5、\[ 6、**\[0,1\] 7、C 8、**D 9、 B 10、**B**
**三、都是"定义域"惹的祸**
函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．
**一、求函数解析式时**
**例1．**已知{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}，求函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的解析式 .
**错解**：令{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.75in" height="0.25in"}，
{width="2.25in" height="0.25in"}，{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}
**剖析**：因为{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}隐含着定义域是{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，所以由{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}得{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="1.0in" height="0.25in"}的定义域为{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，即函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的解析式应为{width="0.9375in" height="0.25in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}）
这样才能保证转化的等价性.
**正解：**由{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}，令{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}得{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.875in" height="0.2708333333333333in"}代入原解析式得{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}（{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}），即{width="0.9375in" height="0.25in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}）．
**二、求函数最值（或值域）时**
**例2．**若{width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}求{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}的最大值．
**错解：**由已知有 {width="1.15625in" height="0.4375in"} ①，代入{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}得
{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}{width="2.1145833333333335in" height="0.4375in"}，∴当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}的最大值为{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}．
**剖析：**上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}中{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的限制条件．
**正解：**由{width="1.40625in" height="0.4375in"}得{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}{width="2.1145833333333335in" height="0.4375in"}，{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，因函数图象的对称轴为{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，∴当{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}是函数是增函数，故当当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}的最大值为{width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"}．
**例3．**已知函数{width="1.875in" height="0.28125in"}，则函数{width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}的最大值为（ ）
A．33 B．22 C．13 D．6
**错解：**{width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}={width="1.6875in" height="0.3125in"}={width="1.0729166666666667in" height="0.3125in"}在{width="0.7291666666666666in" height="0.28125in"}上是增函数，故函数{width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}在{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时取得最大值为33．
**正解：**由已知所求函数{width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}的定义域是{width="0.75in" height="0.53125in"}得{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，
{width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}={width="1.6875in" height="0.3125in"}={width="1.0729166666666667in" height="0.3125in"}在{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}是增函数，故函数{width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}在{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}时取得最大值为13．
**例4．**已知{width="1.5in" height="0.25in"}，求{width="1.5729166666666667in" height="0.2916666666666667in"}的最大值和最小值．
**错解：**由{width="1.5in" height="0.25in"}得{width="0.625in" height="0.22916666666666666in"}．∴{width="1.9791666666666667in" height="0.2708333333333333in"}．
∴{width="4.988888888888889in" height="0.3125in"}
{width="1.2291666666666667in" height="0.28125in"}． ∵{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，∴{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}．∴{width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}．
**剖析：**∵{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}中{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.5625in" height="0.25in"}中{width="0.6979166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，即{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，∴本题的定义域应为{width="0.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}．
∴{width="0.9375in" height="0.25in"}．
**正解：**（前面同上）{width="1.3645833333333333in" height="0.28125in"}，由{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}得{width="0.9375in" height="0.25in"}．
∴{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}．
**例5．**求函数{width="1.4166666666666667in" height="0.2708333333333333in"}的值域．
**错解：**令{width="0.8125in" height="0.25in"}，则{width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，∴{width="2.125in" height="0.25in"}
{width="1.3958333333333333in" height="0.5208333333333334in"}．故所求函数的值域是{width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}．
**剖析：**经换元后，应有{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，而函数{width="0.9791666666666666in" height="0.25in"}在{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}上是增函数，随着{width="0.10416666666666667in" height="0.16666666666666666in"}增大而无穷增大．所以当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.5625in" height="0.23958333333333334in"}．故所求函数的值域是{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}．
**三、求反函数时**
**例6．**求函数{width="2.03125in" height="0.25in"} 的反函数．
**错解**：函数{width="2.1666666666666665in" height="0.2604166666666667in"}的值域为{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"},
又{width="1.1875in" height="0.25in"}，即 {width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.1145833333333333in" height="0.28125in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}所求的反函数为{width="1.7291666666666667in" height="0.2708333333333333in"}．
**剖析**：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对*x*进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．
**正解：**由{width="1.9166666666666667in" height="0.2604166666666667in"}的值域为{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}, 因{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}，又{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.1145833333333333in" height="0.28125in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}所求的反函数为{width="1.7083333333333333in" height="0.2708333333333333in"}．
**四、求函数单调区间时**
**例7．**求函数{width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}的单调递增区间.
**错解**：令{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="0.53125in" height="0.22916666666666666in"}，它是增函数. {width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数{width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}在{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数，即原函数的单调增区间是{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}.
> **剖析：**判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．
**正解**：由{width="0.7291666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，得{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的定义域为{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}.{width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数{width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}的单调增区间是{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}.
**例8．**求{width="1.5208333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的单调区间．
**错解：**令{width="1.0208333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.7708333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"}时，{width="1.0208333333333333in" height="0.22916666666666666in"}为减函数，
{width="0.8333333333333334in" height="0.4791666666666667in"}时，{width="1.0208333333333333in" height="0.22916666666666666in"}为增函数，又{width="0.7708333333333334in" height="0.25in"}为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为{width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}，减区间为{width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}．
**剖析：**在定义域内取{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.1875in"}值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内．由{width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，得{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，故增区间为{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，减区间为{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}．
**例9．**指出函数{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}的单调增区间．
**错解：**∵{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，∴{width="0.78125in" height="0.4375in"}，∴当{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}时，{width="0.3541666666666667in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，∴函数{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}的单调增区间为{width="1.125in" height="0.28125in"}．
**剖析：**此题错在没有考虑函数的定义域{width="0.53125in" height="0.28125in"}，故本题的答案为{width="0.5in" height="0.28125in"}．
**五、判断函数的奇偶性时**
**例10．**判断{width="1.375in" height="0.4895833333333333in"}的奇偶性．
**错解：**∵{width="4.207638888888889in" height="0.5208333333333334in"}， ∴{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}为偶函数．
**剖析：**事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为{width="0.4166666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数．
**第20关： 求函数值域问题---7类题型16种方法**
**一、函数值域基本知识**
1．定义：在函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}中，与自变量*x*的值对应的因变量*y*的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}用表格给出时，函数的值域是指表格中实数*y*的集合；
②当函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}用图象给出时，函数的值域是指图象在*y*轴上的投影所覆盖的实数*y*的集合；
③当函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
**二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。**
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
> 一般地，常见函数的值域：
>
> 1.一次函数{width="1.1875in" height="0.28125in"}的值域为R.
>
> 2.二次函数{width="1.5729166666666667in" height="0.28125in"}，当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时的值域为{width="1.0729166666666667in" height="0.53125in"}，当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时的值域为{width="1.0625in" height="0.53125in"}.，
>
> 3.反比例函数{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}的值域为{width="0.9479166666666666in" height="0.3125in"}.
>
> 4.指数函数{width="1.4375in" height="0.28125in"}的值域为{width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}.
>
> 5.对数函数{width="1.6666666666666667in" height="0.28125in"}的值域为R.
>
> 6.正，余弦函数的值域为{width="0.4375in" height="0.28125in"}，正，余切函数的值域为R.
**三、求解函数值域的7类题型**
**题型一：一次函数**{width="1.2291666666666667in" height="0.28125in"}**的值域（最值）**
1、一次函数：{width="1.2291666666666667in" height="0.28125in"} 当其定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，其值域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}；
2、一次函数{width="1.2291666666666667in" height="0.28125in"}在区间{width="0.4375in" height="0.28125in"}上的最值，只需分别求出{width="0.875in" height="0.28125in"}，并比较它们的大小即可。若区间的形式为{width="0.53125in" height="0.28125in"}或{width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
**题型二：二次函数**{width="1.5416666666666667in" height="0.21875in"}**的值域（最值）**
1、二次函数{width="1.5416666666666667in" height="0.21875in"}， 当其 定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}时，其值域为{width="1.8229166666666667in" height="0.9479166666666666in"}
2、二次函数{width="1.5416666666666667in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4375in" height="0.28125in"}上的值域(最值)
首先判定其对称轴{width="0.625in" height="0.4375in"}与区间{width="0.4375in" height="0.28125in"}的位置关系
> （1）若{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"},则当{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}是函数的最小值，最大值为{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}中较大者；当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}是函数的最大值，最大值为{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}中较小者。
（2）若{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"},只需比较{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的大小即可决定函数的最大（小）值。
**特别提醒：**
**①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；**
**②若给定的区间形式是**{width="2.2083333333333335in" height="0.28125in"}**等时，要结合图像来确函数的值域；**
**③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。**
例1：已知 {width="0.90625in" height="0.3125in"}的定义域为{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}，则{width="0.40625in" height="0.28125in"}的定义域为 [ ]{.underline} {width="0.5in" height="0.28125in"} [ ]{.underline} 。
例2：已知{width="1.1666666666666667in" height="0.28125in"}，且{width="0.75in" height="0.28125in"}，则{width="0.40625in" height="0.28125in"}的值域为 [ ]{.underline} {width="0.4479166666666667in" height="0.28125in"} [ ]{.underline} 。
**题型三：一次分式函数的值域**
1、反比例函数{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}的定义域为{width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}，值域为{width="0.6875in" height="0.3125in"}
2、形如：{width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}的值域：
（1）若定义域为{width="1.1458333333333333in" height="0.5in"}时，其值域为{width="1.0416666666666667in" height="0.5in"}
> （2）若{width="0.6875in" height="0.28125in"}时，我们把原函数变形为{width="0.7708333333333334in" height="0.4583333333333333in"}，然后利用{width="0.6875in" height="0.28125in"}（即{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的有界性），便可求出函数的值域。
>
> 例3：函数{width="0.8541666666666666in" height="0.4583333333333333in"}的值域为 [ ]{.underline} {width="1.2291666666666667in" height="0.4791666666666667in"} [ ]{.underline} ；若{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}时，其值域为 [ ]{.underline} {width="0.65625in" height="0.4791666666666667in"} [ ]{.underline} 。
>
> 例4：当{width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}时，函数{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的值域 [ ]{.underline} {width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"} [ ]{.underline} 。 （2）已知{width="1.1458333333333333in" height="0.4375in"}，且{width="0.7395833333333334in" height="0.28125in"}，则{width="0.40625in" height="0.28125in"}的值域为 [ ]{.underline} {width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"} [ ]{.underline} 。
>
> 例5：函数{width="0.9895833333333334in" height="0.4375in"}的值域为 [ ]{.underline} {width="1.2395833333333333in" height="0.4791666666666667in"} [ ]{.underline} ；若{width="0.875in" height="0.4791666666666667in"}，其值域为 [ ]{.underline} {width="0.625in" height="0.4791666666666667in"} [ ]{.underline}
**题型四：二次分式函数**{width="1.1458333333333333in" height="0.4583333333333333in"}**的值域**
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
例6：{width="1.0in" height="0.4583333333333333in"}； {width="1.2395833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
例7：{width="1.0in" height="0.4583333333333333in"}； {width="0.9479166666666666in" height="0.3125in"}
例8：{width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}； {width="0.6145833333333334in" height="0.4791666666666667in"}
**例9：**求函数{width="2.1041666666666665in" height="0.4375in"}的值域
解：由原函数变形、整理可得：{width="1.8125in" height="0.28125in"}
求原函数在区间{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}上的值域，即求使上述方程在{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}有实数解时系数{width="0.15625in" height="0.1875in"}的取值范围
当{width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}时，解得：{width="1.1041666666666667in" height="0.28125in"} 也就是说，{width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}是原函数值域中的一个值 ...①
当{width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}时，上述方程要在区间{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}上有解，
即要满足{width="0.7395833333333334in" height="0.28125in"}或{width="1.0208333333333333in" height="0.75in"} 解得：{width="0.6875in" height="0.4375in"} ......②
综合①②得：原函数的值域为：{width="0.4479166666666667in" height="0.4791666666666667in"}
**题型五：形如**{width="1.375in" height="0.2708333333333333in"}**的值域** 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。
例10： 求函数{width="1.125in" height="0.2604166666666667in"}在{width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}时的值域 {width="0.4791666666666667in" height="0.28125in"}
**题型六：分段函数的值域**
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。
例11： {width="1.1666666666666667in" height="0.28125in"} {width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}
例12： {width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"} {width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}
**题型七：复合函数的值域**
对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。
例13： {width="1.6041666666666667in" height="0.4895833333333333in"} {width="0.3958333333333333in" height="0.28125in"}
例14：{width="1.28125in" height="0.2916666666666667in"} {width="0.4583333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
**四、函数值域求解的十六种求法**
**（1）直接法（俗名分析观察法）：**
有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。**即从自变量**{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}**的范围出发，推出**{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}**的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。**
例1：已知函数{width="1.0208333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.9270833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，求函数的值域。 {width="0.625in" height="0.2916666666666667in"}
例2：求函数{width="0.71875in" height="0.2604166666666667in"}的值域。 {width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}
例3：求函数{width="1.8229166666666667in" height="0.2916666666666667in"}的值域。 {width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}
例4：求函数{width="1.2083333333333333in" height="0.2916666666666667in"}的值域。 {width="0.5in" height="0.28125in"}
**（2）配方法：**
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如{width="1.5729166666666667in" height="0.28125in"}或{width="2.5208333333333335in" height="0.3333333333333333in"}类的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1．求函数{width="1.3020833333333333in" height="0.2916666666666667in"}的值域。
分析与解答：因为{width="1.1666666666666667in" height="0.21875in"}，即{width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，{width="1.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}，于是：
{width="1.40625in" height="0.25in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}。
例2．求函数{width="1.09375in" height="0.4583333333333333in"}在区间{width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}的值域。
分析与解答：由{width="1.09375in" height="0.4583333333333333in"}配方得：{width="2.1979166666666665in" height="0.5416666666666666in"}，
当{width="0.6770833333333334in" height="0.4270833333333333in"}时，函数{width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}是单调减函数，所以{width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}；
当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，函数{width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}是单调增函数，所以{width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}。
所以函数在区间{width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}的值域是{width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}。
**（3）最值法：**
对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。
例1 求函数*y*=3-2*x*-*x*2 的值域。
解：由3-2*x*-*x*2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数*y*在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2*x*-*x*2 的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］
例2：求函数{width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}，{width="0.7291666666666666in" height="0.28125in"}的值域。 {width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}
例3：求函数{width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}的值域。 {width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}
**（4）反函数法（逆求或反求法）：**
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。**即通过反解，用**{width="0.15625in" height="0.1875in"}**来表示**{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}**，再由**{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}**的取值范围，通过解不等式，得出**{width="0.15625in" height="0.1875in"}**的取值范围。**对于形如{width="1.0416666666666667in" height="0.3958333333333333in"}的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例1：求函数{width="0.6875in" height="0.4583333333333333in"}的值域。
解：由{width="0.6875in" height="0.4583333333333333in"}解得{width="0.6979166666666666in" height="0.46875in"}，
∵{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，∴{width="0.6354166666666666in" height="0.46875in"}，∴{width="0.6979166666666666in" height="0.22916666666666666in"}
∴函数{width="0.6875in" height="0.4583333333333333in"}的值域为{width="0.6979166666666666in" height="0.22916666666666666in"}。
**（5）分离常数法：**
分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数{width="1.3125in" height="0.4375in"}，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为{width="0.7395833333333334in" height="0.5in"}；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为{width="1.8125in" height="0.6458333333333334in"}，用复合函数法来求值域。
例1：求函数{width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的值域。
解：∵{width="2.9055555555555554in" height="0.625in"}，
∵{width="0.71875in" height="0.625in"}，∴{width="0.5416666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，
∴函数{width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的值域为{width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}。
**（6）换元法（代数/三角）：**
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数**化成**值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
对形如{width="0.6979166666666666in" height="0.4895833333333333in"}的函数，令{width="0.625in" height="0.28125in"}；形如{width="3.1555555555555554in" height="0.2708333333333333in"}的函数，令{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}；形如含{width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"}的结构的函数，可利用三角代换，令{width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，或令{width="1.65625in" height="0.4791666666666667in"}.
例1：求函数{width="1.1354166666666667in" height="0.2604166666666667in"}的值域。
解：令{width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}（{width="0.34375in" height="0.1875in"}），则{width="0.65625in" height="0.4583333333333333in"}，
∴{width="1.9479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
∵当{width="0.375in" height="0.4270833333333333in"}，即{width="0.40625in" height="0.4270833333333333in"}时，{width="0.6145833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，无最小值。
∴函数{width="1.1354166666666667in" height="0.2604166666666667in"}的值域为{width="0.5416666666666666in" height="0.4270833333333333in"}。
例2．求函数{width="2.40625in" height="0.25in"}的值域。
分析与解答：令{width="2.0520833333333335in" height="0.5104166666666666in"}，则{width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}。
{width="2.8743055555555554in" height="0.2604166666666667in"}，
当{width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}时，{width="1.90625in" height="0.5104166666666666in"}，值域为{width="0.9583333333333334in" height="0.46875in"}
例3．求函数{width="1.5833333333333333in" height="0.2916666666666667in"}的值域。
分析与解答：由{width="1.5833333333333333in" height="0.2916666666666667in"}={width="1.1666666666666667in" height="0.3229166666666667in"}，令{width="1.1145833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，
因为{width="3.457638888888889in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.65625in" height="0.21875in"}，则{width="0.8854166666666666in" height="0.3229166666666667in"}={width="0.59375in" height="0.23958333333333334in"}，
于是{width="3.082638888888889in" height="0.46875in"}，{width="1.125in" height="0.4270833333333333in"}，
{width="1.5625in" height="0.5in"}，所以{width="1.03125in" height="0.2604166666666667in"}。
**（7）判别式法：**
把函数转化成关于{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的二次方程{width="0.78125in" height="0.21875in"}；通过方程有实数根，判别式{width="0.40625in" height="0.1875in"}，从而求得原函数的值域。对形如{width="1.2916666666666667in" height="0.5in"}（{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于***x***的二次方程，由于方程有实根，即{width="0.3541666666666667in" height="0.16666666666666666in"}从而求得*y*的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。
**注意：主要适用于定义在*R*上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。**
例1：求函数{width="0.9479166666666666in" height="0.4583333333333333in"}的值域。
解：由{width="0.9479166666666666in" height="0.4583333333333333in"}变形得{width="1.96875in" height="0.25in"}，
当{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}时，此方程无解；
当{width="0.375in" height="0.21875in"}时，∵{width="0.40625in" height="0.1875in"}，∴，{width="2.125in" height="0.25in"}
解得{width="0.6979166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，又{width="0.375in" height="0.21875in"}，∴{width="0.6979166666666666in" height="0.4270833333333333in"}
∴函数{width="0.9479166666666666in" height="0.4583333333333333in"}的值域为{width="1.0in" height="0.4270833333333333in"}
**（8）函数单调性法：**
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，{width="1.8645833333333333in" height="0.4375in"}.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。
例1：求函数{width="1.0416666666666667in" height="0.2604166666666667in"}的值域。
解：∵当{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}增大时，{width="0.4166666666666667in" height="0.1875in"}随{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的增大而减少，{width="0.6354166666666666in" height="0.25in"}随{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的增大而增大，
∴函数{width="1.0416666666666667in" height="0.2604166666666667in"}在定义域{width="0.5416666666666666in" height="0.4270833333333333in"}上是增函数。
∴{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，
∴函数{width="1.0416666666666667in" height="0.2604166666666667in"}的值域为{width="0.5416666666666666in" height="0.4270833333333333in"}。
例2．求函数{width="0.6875in" height="0.4375in"}在区间{width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}上的值域。
分析与解答：任取{width="1.0208333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，且{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，则
{width="2.3125in" height="0.4895833333333333in"}，因为{width="0.7708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，所以：{width="1.375in" height="0.23958333333333334in"}，
当{width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}时，{width="0.8125in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.9791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}；
当{width="1.0208333333333333in" height="0.23958333333333334in"}时，{width="0.8125in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.9583333333333334in" height="0.23958333333333334in"}；而当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}
于是：函数{width="0.6875in" height="0.4375in"}在区间{width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}上的值域为{width="0.5in" height="0.22916666666666666in"}。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数{width="1.5416666666666667in" height="0.2708333333333333in"}的值域。
分析与解答：因为{width="1.5833333333333333in" height="0.5in"}，而{width="0.4791666666666667in" height="0.25in"}与{width="0.4791666666666667in" height="0.25in"}在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数{width="1.5208333333333333in" height="0.2708333333333333in"}，易知{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}在定义域内单调增。{width="1.1666666666666667in" height="0.28125in"}，{width="1.375in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.9791666666666666in" height="0.2916666666666667in"}，{width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}，
又{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}，所以：{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，{width="1.0in" height="0.2708333333333333in"}。
**（9）基本不等式法**
利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。
利用基本不等式{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，用此法求函数值域时，要注意条件"一正，二定，三相等".如利用{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①{width="0.78125in" height="0.22916666666666666in"};②{width="0.8541666666666666in" height="0.28125in"}为定值；③取等号成立的条件{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数{width="1.65625in" height="0.4375in"}的值域。
例1 求函数{width="0.8125in" height="0.3958333333333333in"}的值域.
解: {width="2.0520833333333335in" height="0.3333333333333333in"}, 当且仅当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时{width="0.2604166666666667in" height="0.16666666666666666in"}成立. 故函数的值域为{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}.
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例2：求函数的值域：{width="1.5625in" height="0.4895833333333333in"}.
解：{width="4.103472222222222in" height="0.8333333333333334in"}
{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}
{width="2.8534722222222224in" height="0.9166666666666666in"}
当且仅当{width="0.9375in" height="0.8333333333333334in"}时，即{width="0.7395833333333334in" height="0.4791666666666667in"}时等号成立，
{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}，所以元函数的值域为{width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}.
例3. 求函数{width="2.6041666666666665in" height="0.4166666666666667in"}的值域。
解：原函数变形为：
{width="2.4583333333333335in" height="1.4166666666666667in"}
当且仅当{width="0.8125in" height="0.16666666666666666in"}
即当{width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}时{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，等号成立
故原函数的值域为：{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}
例4. 求函数{width="1.0833333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域。
解： {width="1.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}
{width="2.4166666666666665in" height="1.1666666666666667in"}
当且仅当{width="1.2916666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，即当{width="0.6875in" height="0.4166666666666667in"}时，等号成立。
由{width="0.5625in" height="0.4166666666666667in"}可得：{width="1.125in" height="0.4375in"}
故原函数的值域为：{width="0.9583333333333334in" height="0.5208333333333334in"}
**（10）函数有界性法：**
利用**某些函数**有界性求得原函数的值域。对于对形如{width="0.8958333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，由于正余弦函数都是有界函数，值域为\[-1，1\]，利用这个性质可求得其值域。
例1：求函数{width="0.6875in" height="0.4583333333333333in"}的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，对函数进行变形可得
{width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}，
∵{width="0.375in" height="0.21875in"}，∴{width="0.8229166666666666in" height="0.4583333333333333in"}（{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.375in" height="0.21875in"}），
∴{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，∴{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}，s
∴函数{width="0.6875in" height="0.4583333333333333in"}的值域为{width="1.0in" height="0.21875in"}
形如{width="1.1041666666666667in" height="0.25in"}{width="1.9583333333333333in" height="0.28125in"}可解出*Yr* 范围,从而求出其值域或最值。
例2．求函数{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}的值域
解： 由{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}得{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}
{width="2.5625in" height="0.4583333333333333in"}
例3：求函数{width="0.9895833333333334in" height="0.4375in"}的值域。 {width="1.2291666666666667in" height="0.4791666666666667in"}
例4：求函数{width="0.875in" height="0.4375in"}的值域。 {width="0.4583333333333333in" height="0.4791666666666667in"}
**（11）数型结合法：**
如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由{width="0.53125in" height="0.4791666666666667in"}可联想到两点{width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}与{width="0.5416666666666666in" height="0.28125in"}{width="1.6041666666666667in" height="1.1875in"}连线的斜率或距离。
例1：求函数*y*=\|*x*+1\|+\|*x*-2\|的值域。
解法1：将函数化为分段函数形式：{width="1.4583333333333333in" height="0.78125in"}，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{*y*\|*y*{width="0.14583333333333334in" height="0.16666666666666666in"}3}**。**
解法2（几何法或图象法）：∵函数*y*=\|*x*+1\|+\|*x*-2\|表示数轴上的动点*x*到两定点-1，2的距离之和，∴易见*y*的最小值是3，∴函数的值域是\[3，+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"}\]**。**如图
{width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"} {width="1.4479166666666667in" height="0.2708333333333333in"} {width="1.375in" height="0.2604166666666667in"}）
例2．求函数{width="2.1145833333333335in" height="0.2916666666666667in"}的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
{width="2.65625in" height="1.59375in"} 解：原函数变形为{width="2.4479166666666665in" height="0.3125in"}
作一个长为4、宽为3的矩形*ABCD*，再切割成12个单位正方形。设*HK*={width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"},则*EK*=2{width="0.23958333333333334in" height="0.15625in"},*KF*=2{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"},*AK*={width="0.9895833333333334in" height="0.3125in"},
*KC*={width="0.875in" height="0.3125in"}。
由三角形三边关系知，*AK*+*KC*≥*AC*=5。当*A*、*K*、*C*三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛*y*\|*y*≥5｝。
例3．求函数{width="1.3333333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的值域。
{width="2.0in" height="1.9270833333333333in"}解析：令{width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.7291666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.78125in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，原问题转化为：当直线{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}与圆{width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}在直角坐标系{width="0.2916666666666667in" height="0.15625in"}的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。
由图1知：当{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}经过点{width="0.5208333333333334in" height="0.2708333333333333in"}时，{width="0.7291666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；
当直线与圆相切时，{width="2.1875in" height="0.3229166666666667in"}。
所以，值域为{width="0.7916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}
{width="1.3645833333333333in" height="1.1145833333333333in"}
例4. 求函数{width="2.1041666666666665in" height="0.2916666666666667in"}的值域。
解：将函数变形为{width="2.957638888888889in" height="0.3125in"}
上式可看成定点*A*（3，2）到点*P*（*x*，0）的距离与定点{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}到点{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的距离之差。即{width="1.0in" height="0.28125in"}
由图可知：（1）当点*P*在*x*轴上且不是直线*AB*与*x*轴的交点时，如点{width="0.19791666666666666in" height="0.1875in"}，则构成{width="0.5in" height="0.1875in"}，根据三角形两边之差小于第三边，有{width="3.082638888888889in" height="0.3333333333333333in"}
即{width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}
（2）当点*P*恰好为直线*AB*与*x*轴的交点时，有{width="1.6979166666666667in" height="0.3125in"}
综上所述，可知函数的值域为{width="0.90625in" height="0.2708333333333333in"}
**注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使*A*、*B*两点在*x*轴的两侧，而求两距离之差时，则要使*A*，*B*两点在*x*轴的同侧。**
**（12）复合函数法：**
对函数{width="1.25in" height="0.22916666666666666in"}，先求{width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}的值域充当{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的定义域，从而求出{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的值域的方法。
例1、求函数{width="0.7291666666666666in" height="0.4583333333333333in"} 的值域
（复合函数法）设{width="0.65625in" height="0.22916666666666666in"} ，
则{width="2.65625in" height="0.4583333333333333in"}
{width="2.3958333333333335in" height="0.4375in"}
{width="1.625in" height="0.23958333333333334in"}
例2：求函数{width="1.6041666666666667in" height="0.3958333333333333in"}的值域。 {width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}
**（13）非负数法**
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数{width="0.9166666666666666in" height="0.2916666666666667in"}的值域。 (2)求函数{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}的值域。
**解析：**(1){width="1.2291666666666667in" height="0.22916666666666666in"}， {width="1.28125in" height="0.28125in"}
故 所求函数的值域为 {width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}。
(2){width="0.8229166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}原函数可化为 {width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}，即 {width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}， 当{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}时，{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}， {width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}，解得{width="0.7395833333333334in" height="0.22916666666666666in"}
又 {width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}， 所以 {width="0.7395833333333334in" height="0.22916666666666666in"}，
故 所求函数的值域为 {width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}。
**（不等式性质法）**
例2：求下列函数的值域：
（1）*y*={width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}； （2）*y*={width="0.9479166666666666in" height="0.4583333333333333in"}； （3）*y*={width="0.6875in" height="0.4375in"}
（4）*y*=10-{width="0.625in" height="0.28125in"}； （2）*y*={width="1.28125in" height="0.4375in"}； （3）*y*={width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}
**（14）导数法**
若函数{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}内可导, 可以利用导数求得{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}内的极值, 然后再计算{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"},{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}点的极限值. 从而求得{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}的值域.
例1： 求函数{width="1.03125in" height="0.25in"}在{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}内的值域.
分析:显然{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}可导，且{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}. 由{width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}得{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}的极值点为{width="0.84375in" height="0.21875in"}.
{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.9270833333333334in" height="0.21875in"}. {width="1.1145833333333333in" height="0.21875in"}.
所以, 函数{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}的值域为{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}.
**（15）"平方开方法"**
求函数值域的方法有很多种，如："配方法"、"单调性法"、"换元法"、"判别式法"以及"平方开方法"等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用"平方开方法"的函数有哪些共同的特征以及"平方开方法"的运算步骤，并给出四道典型的例题.
**1.适合函数特征**
设{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}（{width="0.375in" height="0.1875in"}）是待求值域的函数，若它能采用"平方开方法"，则它通常具有如下三个特征：
（1）{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值总是非负，即对于任意的{width="0.375in" height="0.1875in"}，{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}恒成立；
（2）{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}具有两个函数加和的形式，即{width="1.2291666666666667in" height="0.22916666666666666in"}（{width="0.375in" height="0.1875in"}）；
（3）{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
{width="2.0625in" height="0.23958333333333334in"}（{width="0.375in" height="0.1875in"}，{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}为常数），
其中，新函数{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}（{width="0.375in" height="0.1875in"}）的值域比较容易求得.
**2.运算步骤**
若函数{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}（{width="0.375in" height="0.1875in"}）具备了上述的三个特征，则可以将{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}先平方、再开方，从而得到{width="1.0625in" height="0.2708333333333333in"}（{width="0.375in" height="0.1875in"}，{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}为常数）.然后，利用{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值域便可轻易地求出{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域.例如{width="0.7395833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则显然{width="1.375in" height="0.25in"}.
**3.应用四例**
能够应用"平方开方法"求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1 求函数{width="1.40625in" height="0.25in"}（{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.1875in"}）的值域.
**解：**首先，当{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}；
其次，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}是函数{width="0.8958333333333334in" height="0.25in"}与{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的和；
最后，{width="3.7909722222222224in" height="0.28125in"}
可见，函数{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}满足了采用"平方开方法"的三个特征.于是，对{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}平方、开方得{width="2.3125in" height="0.3125in"}（{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}）.这里，{width="1.7708333333333333in" height="0.28125in"}（{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}）.对{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}根号下面的二次函数采用"配方法"，即可求得{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值域为{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}.于是，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域为{width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}.
例2 求函数{width="1.53125in" height="0.25in"}（{width="0.6145833333333334in" height="0.3958333333333333in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.1875in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.1875in"}）的值域.
**解：**显然，该题就是例1的推广，且此题的{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}也满足了采用"平方开方法"的三个特征.于是，对{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}平方、开方得{width="2.5208333333333335in" height="0.3125in"}（{width="0.6145833333333334in" height="0.3958333333333333in"}）.这里，{width="1.9791666666666667in" height="0.28125in"}（{width="0.6145833333333334in" height="0.3958333333333333in"}）.对{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}根号下面的二次函数采用"配方法"，即可求得{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值域仍为{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}.于是，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域也仍为{width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}.
例3 求函数{width="1.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}）的值域.
**解：**参照例1的验证步骤，显然，此题的{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}也满足了采用"平方开方法"的三个特征.于是，对{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}平方、开方得{width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}）.这里，{width="0.875in" height="0.20833333333333334in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}）.易知，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值域为{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}.于是，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}.
例4 求函数{width="2.1041666666666665in" height="0.23958333333333334in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}）的值域.
**解：**参照例1的验证步骤，显然，此题的{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}也满足了采用"平方开方法"的三个特征.于是，对{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}平方、开方得{width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}）.这里，{width="1.03125in" height="0.20833333333333334in"}（{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}）.易知，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值域为{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}.于是，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域为{width="0.4479166666666667in" height="0.25in"}.
例5 求函数{width="1.375in" height="0.2708333333333333in"} 的值域
解：（平方法）函数定义域为：{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}
{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"} {width="2.7291666666666665in" height="1.1145833333333333in"}
平方法）函数定义域为：{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}
{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"} {width="2.7291666666666665in" height="1.1145833333333333in"}
**（16）一 一 映射法**
原理：因为{width="1.1145833333333333in" height="0.40625in"}在定义域上*x*与*y*是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例1. 求函数{width="0.6770833333333334in" height="0.40625in"}的值域。
解：∵定义域为{width="1.4270833333333333in" height="0.4479166666666667in"}
由{width="0.6770833333333334in" height="0.40625in"}得{width="0.6979166666666666in" height="0.4479166666666667in"}
故{width="1.0520833333333333in" height="0.4479166666666667in"}或{width="1.0520833333333333in" height="0.4479166666666667in"}
解得{width="1.09375in" height="0.40625in"}
故函数的值域为{width="1.4583333333333333in" height="0.4479166666666667in"}
**（17）其他方法**
**其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。**
例1. 求函数{width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}的值域。
解：令{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}，则{width="0.84375in" height="0.21875in"}
（1）当{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="1.375in" height="0.6145833333333334in"}，当且仅当*t*=1，即{width="0.4270833333333333in" height="0.16666666666666666in"}时取等号，所以{width="0.6145833333333334in" height="0.40625in"}
（2）当*t*=0时，*y*=0。
综上所述，函数的值域为：{width="0.4166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}
注：先换元，后用不等式法
例2. 求函数{width="1.6354166666666667in" height="0.4479166666666667in"}的值域。
解：{width="2.0416666666666665in" height="0.4479166666666667in"}{width="1.34375in" height="0.53125in"}
令{width="0.6145833333333334in" height="0.40625in"}，则{width="1.2083333333333333in" height="0.53125in"}
{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}
{width="2.7395833333333335in" height="0.40625in"}{width="1.34375in" height="0.46875in"}
∴当{width="0.5833333333333334in" height="0.40625in"}时，{width="0.65625in" height="0.40625in"}
当{width="0.625in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}
此时{width="0.375in" height="0.40625in"}都存在，故函数的值域为{width="0.59375in" height="0.4479166666666667in"}
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的有界性。
例3.求函数 {width="1.0416666666666667in" height="0.25in"} 的值域
解：（图象法）由图易得，值域为{width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}
例4.求函数{width="0.9375in" height="0.53125in"} 的值域
解（复合函数法）：令{width="1.8645833333333333in" height="0.25in"}，则{width="1.0833333333333333in" height="0.5208333333333334in"}
由指数函数的单调性知，原函数的值域为{width="0.5729166666666666in" height="0.4791666666666667in"}
例5.求函数{width="1.0729166666666667in" height="0.2916666666666667in"}的值域
解（三角代换法）： {width="1.0208333333333333in" height="0.22916666666666666in"} {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}设{width="1.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}
{width="3.9472222222222224in" height="0.7291666666666666in"}
小结：
（1）若题目中含有{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}，则可设
{width="3.4368055555555554in" height="0.4375in"}
（2）若题目中含有{width="0.78125in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}
则可设{width="1.53125in" height="0.22916666666666666in"}，其中{width="0.7708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}
（3）若题目中含有{width="0.5625in" height="0.28125in"}，则可设{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.6875in" height="0.19791666666666666in"}
（4）若题目中含有{width="0.5625in" height="0.28125in"}，则可设{width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}
（5）若题目中含有{width="2.0in" height="0.22916666666666666in"}，则可设{width="1.9479166666666667in" height="0.2708333333333333in"}其中{width="0.8125in" height="0.4791666666666667in"}
例6、求函数{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"} 的值域
解法一：（逆求法）{width="2.28125in" height="0.4583333333333333in"}
{width="1.8333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}
解法二：（复合函数法）设{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"} ，
则 {width="1.9791666666666667in" height="0.4375in"}
{width="2.53125in" height="0.6979166666666666in"}
解法三：（判别式法）原函数可化为 {width="1.78125in" height="0.25in"}
1. {width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}时 不成立
2. {width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}时，{width="2.988888888888889in" height="0.22916666666666666in"}
{width="0.8333333333333334in" height="0.22916666666666666in"}
综合1）、2）值域{width="1.03125in" height="0.22916666666666666in"}
解法四：（三角代换法）{width="0.90625in" height="0.22916666666666666in"}设{width="1.6666666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，则
{width="4.395138888888889in" height="0.4583333333333333in"}
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}原函数的值域为{width="1.03125in" height="0.22916666666666666in"}
小结：
已知**分式函数**{width="2.1666666666666665in" height="0.5in"} ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为{width="2.15625in" height="0.4583333333333333in"}的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数{width="1.2395833333333333in" height="0.4375in"}的单调性去解。
**注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用**{width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}**的有界性。**
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
**五、与函数值域有关的综合题**
**例1**设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm^2^,画面的宽与高的比为*λ*(*λ*\<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求*λ*∈［{width="0.3333333333333333in" height="0.40625in"}］，那么*λ*为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
解 设画面高为*x* cm,宽为*λx* cm,则*λx*^2^=4840,设纸张面积为*S* cm^2^,
{width="1.1354166666666667in" height="1.53125in"}则*S*=(*x*+16)(*λx*+10)=*λx*^2^+(16*λ*+10)*x*+160,
将*x*={width="0.4895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}代入上式得 *S*=5000+44{width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"} (8{width="0.2708333333333333in" height="0.23958333333333334in"}+{width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"}),
当8{width="0.2708333333333333in" height="0.23958333333333334in"}={width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"},即*λ*={width="0.3229166666666667in" height="0.40625in"}\<1)时*S*取得最小值
此时高 *x*={width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}=88 cm, 宽 *λx*={width="0.15625in" height="0.40625in"}×88=55 cm \[来源:学科网\]\[来源:Zxxk.Com\]
如果*λ*∈［{width="0.3333333333333333in" height="0.40625in"}］，可设{width="0.15625in" height="0.40625in"}≤*λ*~1~\<*λ*~2~≤{width="0.15625in" height="0.40625in"},
则由*S*的表达式得 \[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
{width="3.2284722222222224in" height="0.9479166666666666in"}又{width="0.4479166666666667in" height="0.2708333333333333in"}≥{width="0.40625in" height="0.40625in"},故8－{width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}\>0,
∴*S*(*λ*~1~)－*S*(*λ*~2~)\<0,∴*S*(*λ*)在区间［{width="0.3333333333333333in" height="0.40625in"}］内单调递增 从而对于*λ*∈［{width="0.3333333333333333in" height="0.40625in"}］,当*λ*={width="0.15625in" height="0.40625in"}时，*S*(*λ*)取得最小值
答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求*λ*∈［{width="0.3333333333333333in" height="0.40625in"}］,当*λ*={width="0.15625in" height="0.40625in"}时，所用纸张面积最小
**例2**已知函数*f*(*x*)={width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"},*x*∈［1,+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}
(1)当*a*={width="0.15625in" height="0.40625in"}时，求函数*f*(*x*)的最小值
(2)若对任意*x*∈［1,+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"},*f*(*x*)\>0恒成立，试求实数*a*的取值范围
解 (1) 当*a*={width="0.15625in" height="0.40625in"}时，*f*(*x*)=*x*+{width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}+2\[来源:学科网\]
∵*f*(*x*)在区间［1，+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上为增函数，
∴*f*(*x*)在{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}区间［1，+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上的最小值为*f*(1)={width="0.15625in" height="0.40625in"}
(2)解法一 在区间［1，+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上，
*f*(*x*)={width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"} \>0恒成立{width="0.20833333333333334in" height="0.15625in"}*x*^2^+2*x*+*a*\>0恒成立
设*y*=*x*^2^+2*x*+*a*,*x*∈［1,+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}\[来源:学科网ZXXK\]
∵*y*=*x*^2^+2*x*+*a*=(*x*+1)^2^+*a*－1递增，\[来源:学,科,网\]
∴当*x*=1时，*y*~min~=3+*a*,当且仅当*y*~min~=3+*a*\>0时，函数*f*(*x*)\>0恒成立，
故*a*\>－3
解法二 *f*(*x*)=*x*+{width="0.16666666666666666in" height="0.40625in"}+2,*x*∈［1,+∞{width="0.11458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}
当*a*≥0时，函数*f*(*x*)的值恒为正；
当*a*\<0时，函数{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}*f*(*x*)递增，故当*x*=1时，*f*(*x*)~min~=3+*a*,
当且仅当*f*(*x*)~min~=3+*a*\>0时，函数*f*(*x*)\>0恒成立，故*a*\>－3 \[来源:Z\#xx\#k.Com\]
**例3**设*m*是实数，记*M*={*m*\|*m*\>1},*f*(*x*)=log~3~(*x*^2^－4*mx*+4*m*^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"})
(1)证明 当*m*∈*M*时，*f*(*x*)对所有实数都有意义；反之，若*f*(*x*)对所有实数*x*都有意义，则*m*∈*M*
(2)当*m*∈*M*时，求函数*f*(*x*)的最小值
(3)求证 对每个*m*∈*M*,函数{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}*f*(*x*)的最小值都不小于1
(1)证明 先将*f*(*x*)变形 *f*(*x*)=log~3~［(*x*－2*m*)^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"}］,
当*m*∈*M*时，*m*\>1,∴(*x*－*m*)^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"}\>0恒成立，
故*f*(*x*)的定义域为**R**
反之，若*f*(*x*)对所有实数*x*都有意义，则只须*x*^2^－4*mx*+4*m*^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"}\>0,令*Δ*＜0,即16*m*^2^－4(4*m*^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"})＜0,解得*m*\>1,故*m*∈*M*
(2)解 设*u*=*x*^2^－4*mx*+4*m*^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"},
∵*y*=log~3~*u*是增函数，∴当*u*最小时，*f*(*x*)最小
而*u*=(*x*－2*m*)^2^+*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"},
显然，当*x*=*m*时，*u*取最小值为*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"},
此时*f*(2*m*)=log~3~(*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"})为最小值
(3)证明 当*m*∈*M*时，*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"}=(*m*－1)+ {width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"}+1≥3,
当且仅当*m*=2时等号成立
∴log~3~(*m*+{width="0.3958333333333333in" height="0.40625in"})≥log~3~3=1
**第21关： 求函数解析式问题---7种求法**
1. **待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法**．
**例1** 设{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}是一次函数，且{width="1.09375in" height="0.20833333333333334in"}，求{width="0.34375in" height="0.21875in"}．
{width="3.1243055555555554in" height="0.21875in"}**解**：设{width="0.9479166666666666in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，则
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}， {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}．
{width="2.7604166666666665in" height="0.23958333333333334in"}．
**例2** 已知二次函数*f（x）*满足*f（0）=0*，*f（x+1）= f（x）+2x+8，*求*f（x）*的解析式.
解：设二次函数*f（x）= ax^2^+bx+c，*则 f（0）= c= 0 ①
*f（x+1）= a*{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}*+b（x+1）= ax^2^+（2a+b）x+a+b* ②
由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得
{width="1.0625in" height="0.5in"} 解得 {width="0.5208333333333334in" height="0.5in"} 故f（x）= x^2^+7x.
评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
2. **配凑法：已知复合函数**{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}**的表达式，求**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**的解析式，**{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}**的表达式容易配成**{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}**的运算形式时，常用配凑法**．**但要注意所求函数**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**的定义域不是原复合函数的定义域，而是**{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}**的值域．**
**例3** 已知{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"} {width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"} ，求 {width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的解析式．
**解：**{width="1.7708333333333333in" height="0.4375in"}， {width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}， {width="1.1041666666666667in" height="0.25in"} {width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
**例4** 已知f（{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}+1）= x+2{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}，求f（x）的解析式.
解： f（{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}+1）= {width="0.4375in" height="0.2708333333333333in"}+2{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}+1－1={width="0.65625in" height="0.2708333333333333in"}－1，
∴ f（{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}+1）= {width="0.65625in" height="0.2708333333333333in"}－1 （{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}+1≥1），将{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}+1视为自变量x，则有
f（x）= x^2^－1 （x≥1）.
评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.
**三、换元法：已知复合函数**{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}**的表达式时，还可以用换元法求**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**的解析式**．**与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．**
**例5** 已知{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}，求{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}．
**解**：令{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.75in" height="0.25in"} ．
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}， {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="2.15625in" height="0.25in"}
{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"} {width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}， {width="2.28125in" height="0.25in"} {width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
**例6** 已知f（{width="0.375in" height="0.4375in"}）= {width="0.7291666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，求f（x）的解析式.
解： 设{width="0.375in" height="0.4375in"}= t ，则 x= {width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"} （t≠1），
∴f（t）= {width="1.1979166666666667in" height="0.8645833333333334in"}= 1+{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"} +（t－1）= t^2^－t+1
故 f（x）=x^2^－x+1 （x≠1）.
评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.
> **四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法**．
**例7**已知：函数{width="1.4791666666666667in" height="0.25in"}的图象关于点{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}对称，求{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}的解析式．
**解**：设{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上任一点，且{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为{width="0.5833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}关于点{width="0.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}的对称点．
则 {width="0.8958333333333334in" height="0.8645833333333334in"}，解得：{width="0.8645833333333334in" height="0.5in"} ，
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}点{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}在{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上 ， {width="0.9895833333333334in" height="0.25in"}．
把{width="0.8645833333333334in" height="0.5in"}代入得：{width="1.875in" height="0.25in"}．
整理得{width="1.15625in" height="0.25in"}， {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}．
**例8** 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x^2^，求f（x）函数解析式.
解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称.
当x≥0时，f（x）=2x－x^2^的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，---1），
{width="0.75in" height="0.5416666666666666in"}因此当x\<0时，y={width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}－1= x^2^ +2x.故 f（x）={width="0.84375in" height="0.53125in"}
评注: 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.
对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.
**五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．**
**例9** 设{width="1.8958333333333333in" height="0.4375in"}求{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}．
分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}），若用{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.
**解** {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="1.2291666666666667in" height="0.4375in"} ①
显然{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"}将{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}换成{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}，得：{width="1.25in" height="0.4375in"} ②
解① ②联立的方程组，得：{width="1.125in" height="0.4375in"}．
**六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有"任意"等条件时，往往可以对具有"任意性"的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．**
**例10** 已知：{width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，对于任意实数*x*、*y*，等式{width="2.125in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，
求{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}．
**解**{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}对于任意实数*x*、*y*，等式{width="2.125in" height="0.22916666666666666in"}恒成立，
> 不妨令{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，则有{width="3.4784722222222224in" height="0.25in"}．
再令 {width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"} 得函数解析式为：{width="1.1875in" height="0.25in"}．
**七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．**
> **例11** 设{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}是定义在{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}上的函数，满足{width="0.5729166666666666in" height="0.22916666666666666in"}，对任意的自然数{width="0.28125in" height="0.22916666666666666in"} 都有{width="1.9166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，求{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}．
**解**{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"} {width="2.6666666666666665in" height="0.23958333333333334in"}，
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}不妨令{width="0.78125in" height="0.22916666666666666in"}，得：{width="1.7708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，
又{width="2.2395833333333335in" height="0.23958333333333334in"} ①
> 令①式中的*x*＝1，2，...，*n*－1得：{width="3.4784722222222224in" height="0.19791666666666666in"}
将上述各式相加得：{width="1.7083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，
{width="2.3229166666666665in" height="0.4375in"} ， {width="1.84375in" height="0.4270833333333333in"}．
**第22关：解答立体几何问题---5大数学思想方法**
学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考．
**１ 割补思想**
分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题．
**例１** 如图１，在多面体{width="0.71875in" height="0.19791666666666666in"}中，已知{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}是边长为1的正方形，且{width="2.375in" height="1.8229166666666667in"}{width="1.09375in" height="0.21875in"}均为正三角形，{width="0.6979166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，则该多面体的体积为（ ）．
{width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.28125in" height="0.46875in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
**解析** 本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公式，故需要考虑割补．
**解** 如图１，作{width="0.59375in" height="0.21875in"}垂直于{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}，垂足分别为{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，连结{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，由{width="1.1354166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，则有{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}垂直于{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}．由图形的对称性，{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，知{width="1.5208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，由{width="0.8854166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.46875in"}，得{width="0.875in" height="0.46875in"}．故所求体积为{width="1.9479166666666667in" height="0.46875in"}，选{width="0.28125in" height="0.21875in"}．
**例２** 表面积为{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）．
{width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.46875in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"} {width="0.28125in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.5in" height="0.46875in"}
**解析** 将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱长为１，则正方体底面对角线长为２，正方体棱长为{width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，即为正八面体外接球的直径，故球的体积为{width="0.4166666666666667in" height="0.46875in"}，选{width="0.28125in" height="0.21875in"}．
**２ 分类讨论思想**
若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答．
**例３** 如图２，在直三棱柱{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}中， {width="1.0416666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.8854166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.34375in" height="0.21875in"}分别为{width="0.6354166666666666in" height="0.25in"}{width="2.375in" height="2.1458333333333335in"}的中点，沿棱柱的表面从{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}到{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}两点的最短路径的长度为 [ ]{.underline} ．
**解析** 分别将{width="0.625in" height="0.25in"}沿{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}折到平面{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}上；将{width="0.625in" height="0.25in"}沿{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}折到平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}上；将{width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}沿{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}折到平面{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}上；将{width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}沿{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}折到平面{width="2.625in" height="2.4583333333333335in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}上，比较其中{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}长即可．结果为{width="0.3645833333333333in" height="0.46875in"}．
**３ 等价转化思想**
一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答．
**３．１ 求距离的转化**
点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化．
**例４** 如图３，正方体{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}的棱长为１，{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}是底面{width="0.625in" height="0.25in"}的中心，则{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}到平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的距离为（ ）．
{width="2.625in" height="2.4583333333333335in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"} {width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"} {width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} {width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} {width="0.28125in" height="0.46875in"}
**解析** 若直接过点{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}作平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的垂线求距离，则难以操作．但若借助"过{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}与平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}平行的直线上每个点到平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的距离相等"，如图４，点{width="0.34375in" height="0.21875in"}分别是棱{width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}的中点，易知{width="0.2708333333333333in" height="0.17708333333333334in"}过点{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}且与平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}平行，于是，只需求点{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}到平面{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的距离，又可得所求为{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}的{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，即{width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"}．
**３．２ 求角的转化**
求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答．
**例５** 如图５，在三棱锥*P*－*ABC*中，*AB*⊥*BC*， {width="1.1770833333333333in" height="0.4375in"}，点*O*、*D*分别是*AC*、*PC*的中点，*OP*⊥底{width="2.0in" height="1.8229166666666667in"}面*ABC*．求直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成角的大小．
**解析** 若直接求直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成的角，不易操作，但若根据{width="0.6875in" height="0.1875in"}，则可转化为求{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成的角．{width="1.6979166666666667in" height="0.19791666666666666in"}{width="1.1875in" height="0.17708333333333334in"}{width="1.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，{width="1.1354166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，取{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的中点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，连结{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="1.0104166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，作{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}于{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，连结{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，所以{width="0.5416666666666666in" height="0.19791666666666666in"}是{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成的角．又{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，所以{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成的角的大小等于{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，在{width="0.6145833333333334in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="1.5833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，所以{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成角的大小为{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}．
**例６** （１）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为{width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}，则{width="1.09375in" height="0.17708333333333334in"}．
{width="2.25in" height="1.7291666666666667in"}（２）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于{width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}，则{width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline} ．
**解析** 对（１），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为{width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}，求{width="0.40625in" height="0.15625in"}．如图６，设{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}两两垂直且相等，作{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}与三个侧面成角相等，连结{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}并延长交{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}于{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，连结{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.8125in" height="0.19791666666666666in"}，于是{width="2.5729166666666665in" height="0.4270833333333333in"}，设{width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}，即{width="0.8020833333333334in" height="0.4583333333333333in"}．
对（２），类似可知，一组平行直线与同一平面所成的角相等，则问题可转化为如图６所示的{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}与平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正弦，易知为{width="0.6979166666666666in" height="0.46875in"}．
{width="2.5in" height="3.40625in"}**３．３ 求最值的转化**
一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化．
**例７** 如图７，已知正三棱柱{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}的底面边长为1，高为8，一质点自{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}点的最短路线的长为 [ ]{.underline} ．
**解析** 问题转化为将三棱柱的侧面沿{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图８所示，易得所求为{width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}．
{width="3.75in" height="2.2708333333333335in"}
**３．４求体积的转化**
一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解．
{width="2.625in" height="2.3645833333333335in"}**例８** 如图９，在体积为1的三棱锥{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}侧棱{width="0.875in" height="0.21875in"}上分别取点{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}， 使{width="2.4583333333333335in" height="0.19791666666666666in"}，记{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为三平面{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}的交点，则三棱锥{width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的体积等于（ ）．
{width="0.28125in" height="0.21875in"} {width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"} {width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.28125in" height="0.21875in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} {width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
{width="2.625in" height="2.3645833333333335in"}**解析** 如图１０，设{width="1.0208333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}，则连结{width="0.625in" height="0.21875in"}的交点为{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，设{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}到平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的距离为{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则由{width="1.03125in" height="0.19791666666666666in"}，可知点{width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}到平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的距离为{width="0.2604166666666667in" height="0.4375in"}；又由{width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，故{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}到平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的距离为{width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}；又由{width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}，故{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}到平面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的距离为{width="0.7604166666666666in" height="0.4375in"}．三棱锥{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}的体积为１，故三棱锥{width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的体积等于{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}．选{width="0.28125in" height="0.21875in"}．
**评注** 本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化．
**４ 向量法**
借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目．
**例９** 已知四棱锥{width="0.7604166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的底面为直角梯形，{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，{width="2.125in" height="1.6041666666666667in"}{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}底面{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}，且{width="1.8229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}是{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的中点．
（Ⅰ）证明：面{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}面{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}；
（Ⅱ）求{width="0.65625in" height="0.21875in"}所成的角；
（Ⅲ）求面{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}与面{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}所成二面角的大小．
**解析** 根据题目特征，注意到{width="0.84375in" height="0.21875in"}两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答．
**解** 因为{width="0.6770833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，以{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为坐标原点{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.59375in" height="0.21875in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}．
{width="2.125in" height="1.71875in"}（Ⅰ）证明：因{width="0.8854166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.9166666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，故{width="0.84375in" height="0.23958333333333334in"}，所以{width="0.7083333333333334in" height="0.19791666666666666in"}．由题设知{width="0.71875in" height="0.19791666666666666in"}，且{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}是平面{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}内的两条相交直线，由此得{width="0.4479166666666667in" height="0.19791666666666666in"}面{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}．又{width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}在面{width="0.3854166666666667in" height="0.1875in"}上，故面{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}⊥面{width="0.3854166666666667in" height="0.1875in"}．
（Ⅱ）解：因{width="1.8645833333333333in" height="0.28125in"}故{width="2.2916666666666665in" height="0.2604166666666667in"}，所以{width="2.4791666666666665in" height="0.5104166666666666in"}，即{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}与{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}所成的角为{width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}．
（Ⅲ）解：在{width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}上取一点{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}，则存在{width="0.46875in" height="0.21875in"}使{width="0.875in" height="0.28125in"}{width="4.207638888888889in" height="0.4270833333333333in"}．要使{width="0.75in" height="0.1875in"}，只需{width="0.8854166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，即{width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，解得{width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}．可知当{width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}时，{width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}点坐标为{width="0.5729166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，能使{width="0.8645833333333334in" height="0.23958333333333334in"}．此时，{width="2.0833333333333335in" height="0.4270833333333333in"}，有{width="0.875in" height="0.23958333333333334in"}．由{width="0.8854166666666666in" height="0.23958333333333334in"}， {width="0.84375in" height="0.23958333333333334in"}得{width="1.4895833333333333in" height="0.21875in"}，所以{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}为所求二面角的平面角．
{width="2.8534722222222224in" height="0.46875in"}．{width="2.4479166666666665in" height="0.5104166666666666in"}，故所求的二面角为{width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}．
**５ 极端化方法**
一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决．
**例１０** 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）．
{width="0.28125in" height="0.21875in"}三棱锥 {width="0.28125in" height="0.21875in"}四棱锥 {width="0.28125in" height="0.21875in"}五棱锥 {width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}六棱锥
> **解析** 对于正六棱锥，当其高趋近于０时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}．
借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围．
**第23关： 数列通项公式---常见9种求法**
**一、公式法**
**例1** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.1979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.4375in" height="0.25in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：{width="1.1979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}两边除以{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，得{width="0.9375in" height="0.4375in"}，则{width="0.9375in" height="0.4375in"}，故数列{width="0.3541666666666667in" height="0.4375in"}是以{width="0.6875in" height="0.4166666666666667in"}为首项，以{width="0.15625in" height="0.40625in"}为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得{width="1.125in" height="0.4375in"}，所以数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式为{width="1.1041666666666667in" height="0.4375in"}。
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.1979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="0.9375in" height="0.4375in"}，说明数列{width="0.3541666666666667in" height="0.4375in"}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出{width="1.125in" height="0.4375in"}，进而求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**二、累加法**
**例2** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.6458333333333333in" height="0.25in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：由{width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}得{width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}则
{width="4.103472222222222in" height="1.6666666666666667in"}
所以数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式为{width="0.5208333333333334in" height="0.2708333333333333in"}。
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}转化为{width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}，进而求出{width="3.5722222222222224in" height="0.25in"}，即得数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**例3** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.8541666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式
解：由{width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}得{width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}
{width="4.207638888888889in" height="1.75in"}
所以{width="1.0in" height="0.2708333333333333in"}
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}，进而求出{width="3.895138888888889in" height="0.25in"}，即得数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
4. 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.9166666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：{width="1.40625in" height="0.2708333333333333in"}两边除以{width="0.28125in" height="0.22916666666666666in"}，得{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}，则{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}，故
{width="4.395138888888889in" height="1.375in"}
因此{width="3.1868055555555554in" height="0.625in"}，则{width="1.8125in" height="0.4375in"}
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.40625in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}，进而求出{width="4.040972222222222in" height="0.4375in"}，即得数列{width="0.40625in" height="0.4791666666666667in"}的通项公式，最后再求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**三、累乘法**
**例5** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.8958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：因为{width="1.8958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}，所以{width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}，则{width="1.1145833333333333in" height="0.4791666666666667in"}，故{width="4.686805555555556in" height="1.3645833333333333in"}
所以数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式为{width="1.65625in" height="0.375in"}
评注：本题解题的关键是把递推关系{width="1.375in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="1.1145833333333333in" height="0.4791666666666667in"}，进而求出{width="1.625in" height="0.4791666666666667in"}，即得数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**例6** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="3.2909722222222224in" height="0.25in"}，求{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：因为{width="2.7909722222222224in" height="0.25in"} ①
所以{width="2.8118055555555554in" height="0.25in"} ②
用②式－①式得{width="1.03125in" height="0.25in"}则{width="1.4791666666666667in" height="0.25in"}故{width="1.2291666666666667in" height="0.4791666666666667in"}
所以{width="3.7284722222222224in" height="0.4791666666666667in"}{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"} ③
由{width="2.7909722222222224in" height="0.25in"}，{width="1.53125in" height="0.25in"}，则{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，又知{width="0.40625in" height="0.25in"}，则{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，代入③得{width="1.6145833333333333in" height="0.4375in"}。
所以，{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式为{width="0.5729166666666666in" height="0.4375in"}
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.4791666666666667in" height="0.25in"}转化为{width="1.2291666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，进而求出{width="1.3958333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，从而可得当{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}的表达式，最后再求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**四、待定系数法**
**例7** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.7395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的通项公式。
解：设{width="1.9375in" height="0.2708333333333333in"} ④
将{width="1.1875in" height="0.2708333333333333in"}代入④式，得{width="2.3958333333333335in" height="0.2708333333333333in"}，等式两边消去{width="0.28125in" height="0.25in"}，得{width="1.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，两边除以{width="0.1875in" height="0.22916666666666666in"}，得{width="1.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}代入④式得{width="1.5in" height="0.2708333333333333in"} ⑤
由{width="1.3958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}及⑤式得{width="0.75in" height="0.2708333333333333in"}，则{width="0.9583333333333334in" height="0.5in"}，则数列{width="0.6145833333333334in" height="0.2708333333333333in"}是以{width="0.6875in" height="0.2708333333333333in"}为首项，以2为公比的等比数列，则{width="0.90625in" height="0.2708333333333333in"}，故{width="0.90625in" height="0.2708333333333333in"}。
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.1875in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="1.5in" height="0.2708333333333333in"}，从而可知数列{width="0.6145833333333334in" height="0.2708333333333333in"}是等比数列，进而求出数列{width="0.6145833333333334in" height="0.2708333333333333in"}的通项公式，最后再求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**例8** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.9375in" height="0.2708333333333333in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：设{width="2.4375in" height="0.2708333333333333in"} ⑥
将{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}代入⑥式，得
{width="3.1555555555555554in" height="0.2708333333333333in"}
整理得{width="2.2708333333333335in" height="0.25in"}。
令{width="0.8645833333333334in" height="0.5in"}，则{width="0.4895833333333333in" height="0.5in"}，代入⑥式得
{width="2.3958333333333335in" height="0.2708333333333333in"} ⑦
由{width="1.9895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}及⑦式，
得{width="1.1979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}，则{width="1.40625in" height="0.5in"}，
故数列{width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}是以{width="1.7395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}为首项，以3为公比的等比数列，因此{width="1.6145833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，则{width="1.625in" height="0.2708333333333333in"}。
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="2.3958333333333335in" height="0.2708333333333333in"}，从而可知数列{width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}是等比数列，进而求出数列{width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}的通项公式，最后再求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**例9** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="2.125in" height="0.2708333333333333in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：设{width="3.3534722222222224in" height="0.2708333333333333in"} ⑧
将{width="1.625in" height="0.2708333333333333in"}代入⑧式，得
{width="4.270138888888889in" height="0.2708333333333333in"}，则
{width="4.665972222222222in" height="0.2708333333333333in"}
等式两边消去{width="0.28125in" height="0.25in"}，得{width="3.895138888888889in" height="0.25in"}，
解方程组{width="1.25in" height="0.78125in"}，则{width="0.5625in" height="0.78125in"}，代入⑧式，得
{width="3.5722222222222224in" height="0.2708333333333333in"} ⑨
由{width="2.53125in" height="0.2708333333333333in"}及⑨式，得{width="1.5208333333333333in" height="0.2708333333333333in"}
则{width="2.2708333333333335in" height="0.5in"}，故数列{width="1.3958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}为以{width="2.28125in" height="0.2708333333333333in"}为首项，以2为公比的等比数列，因此{width="1.9583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}，则{width="1.6979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}。
评注：本题解题的关键是把递推关系式{width="1.625in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="3.5722222222222224in" height="0.2708333333333333in"}，从而可知数列{width="1.3958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}是等比数列，进而求出数列{width="1.3958333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的通项公式，最后再求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**五、对数变换法**
**例10** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.1041666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.4375in" height="0.25in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：因为{width="1.625in" height="0.2708333333333333in"}，所以{width="1.1041666666666667in" height="0.25in"}。在{width="1.1041666666666667in" height="0.2708333333333333in"}式两边取常用对数得{width="1.875in" height="0.25in"} ⑩
设{width="2.5625in" height="0.25in"} 11
将⑩式代入11式，得{width="3.4159722222222224in" height="0.25in"}，两边消去{width="0.4375in" height="0.25in"}并整理，得{width="2.3125in" height="0.22916666666666666in"}，则
{width="1.1979166666666667in" height="0.5in"}，故{width="1.0625in" height="0.9166666666666666in"}
代入11式，得{width="4.040972222222222in" height="0.4375in"} 12
由{width="3.770138888888889in" height="0.4375in"}及12式，
得{width="1.9166666666666667in" height="0.4375in"}，
则{width="2.3541666666666665in" height="0.8333333333333334in"}，
所以数列{width="1.7916666666666667in" height="0.4375in"}是以{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}为首项，以5为公比的等比数列，则{width="3.613888888888889in" height="0.4375in"}，因此{width="3.9159722222222224in" height="2.3958333333333335in"}
则{width="1.7291666666666667in" height="0.40625in"}。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式{width="1.1041666666666667in" height="0.2708333333333333in"}转化为{width="4.040972222222222in" height="0.4375in"}，从而可知数列{width="1.7916666666666667in" height="0.4375in"}是等比数列，进而求出数列{width="1.7916666666666667in" height="0.4375in"}的通项公式，最后再求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**六、迭代法**
**例11** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.4583333333333333in" height="0.2916666666666667in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：因为{width="0.9375in" height="0.2916666666666667in"}，所以{width="1.90625in" height="0.2916666666666667in"}
{width="2.3125in" height="1.8125in"}
又{width="0.4375in" height="0.25in"}，所以数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式为{width="1.0208333333333333in" height="0.375in"}。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式{width="0.9375in" height="0.2916666666666667in"}两边取常用对数得{width="1.7916666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，即{width="1.2708333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，
再由累乘法可推知{width="3.8222222222222224in" height="0.5in"}，从而{width="1.0833333333333333in" height="0.375in"}。
**七、数学归纳法**
**例12** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="2.5in" height="0.4583333333333333in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：由{width="1.9375in" height="0.4583333333333333in"}及{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}，得
{width="3.4368055555555554in" height="1.4375in"}
由此可猜测{width="1.15625in" height="0.4895833333333333in"}，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="1.5in" height="0.4895833333333333in"}，所以等式成立。
（2）假设当{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时等式成立，即{width="1.15625in" height="0.4895833333333333in"}，则当{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}时，
{width="1.9375in" height="0.4583333333333333in"}
{width="2.7083333333333335in" height="2.9993055555555554in"}
由此可知，当{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何{width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
**八、换元法**
**例13** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="2.5208333333333335in" height="0.4375in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：令{width="1.0in" height="0.2916666666666667in"}，则{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}
故{width="1.2291666666666667in" height="0.4375in"}，代入{width="2.0208333333333335in" height="0.4375in"}得
{width="2.5416666666666665in" height="0.4375in"}
即{width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}
因为{width="1.25in" height="0.2916666666666667in"}，故{width="1.4479166666666667in" height="0.2916666666666667in"}
则{width="0.90625in" height="0.25in"}，即{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}，
可化为{width="1.28125in" height="0.4375in"}，
所以{width="0.53125in" height="0.25in"}是以{width="2.7083333333333335in" height="0.2916666666666667in"}为首项，以{width="0.15625in" height="0.40625in"}为公比的等比数列，因此{width="1.6145833333333333in" height="0.4375in"}，则{width="0.9895833333333334in" height="0.4375in"}，即{width="1.5in" height="0.4375in"}，得
{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}。
评注：本题解题的关键是通过将{width="0.6979166666666666in" height="0.2916666666666667in"}的换元为{width="0.1875in" height="0.25in"}，使得所给递推关系式转化{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}形式，从而可知数列{width="0.53125in" height="0.25in"}为等比数列，进而求出数列{width="0.53125in" height="0.25in"}的通项公式，最后再求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**九、不动点法**
**例14** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.6666666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：令{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}，得{width="1.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}是函数{width="1.125in" height="0.4375in"}的两个不动点。因为
{width="4.780555555555556in" height="0.9166666666666666in"}。所以数列{width="0.6458333333333334in" height="0.53125in"}是以{width="1.1979166666666667in" height="0.4791666666666667in"}为首项，以{width="0.20833333333333334in" height="0.40625in"}为公比的等比数列，故{width="1.1458333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，则{width="1.3541666666666667in" height="0.6458333333333334in"}。
评注：本题解题的关键是先求出函数{width="1.125in" height="0.4375in"}的不动点，即方程{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}的两个根{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，进而可推出{width="1.375in" height="0.4791666666666667in"}，从而可知数列{width="0.6458333333333334in" height="0.53125in"}为等比数列，再求出数列{width="0.6458333333333334in" height="0.53125in"}的通项公式，最后求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**例15** 已知数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}满足{width="1.5208333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
解：令{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，得{width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}是函数{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}的不动点。
因为{width="2.0in" height="0.4791666666666667in"}，所以
{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}。
评注：本题解题的关键是通过将{width="0.6979166666666666in" height="0.2916666666666667in"}的换元为{width="0.1875in" height="0.25in"}，使得所给递推关系式转化{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}形式，从而可知数列{width="0.53125in" height="0.25in"}为等比数列，进而求出数列{width="0.53125in" height="0.25in"}的通项公式，最后再求出数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的通项公式。
**第24关：导数应用问题---9种错解剖析**
导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区
**一、对导数的定义理解不清致错**
例1、已知函数{width="1.3229166666666667in" height="0.3958333333333333in"}，则{width="1.78125in" height="0.4375in"}
Ａ －１ B 0 C {width="0.28125in" height="0.4375in"} D 2
**错解：**{width="0.14583333333333334in" height="0.125in"}{width="2.2083333333333335in" height="0.23958333333333334in"}，从而选；或{width="2.15625in" height="0.23958333333333334in"}
**剖析：**防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中"{width="0.23958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}"与"{width="0.23958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}"的对应形式的多样性。
**正解：**原式={width="3.2284722222222224in" height="0.3854166666666667in"},从而应选Ｃ。
**点评：**{width="0.4375in" height="0.25in"}={width="2.0208333333333335in" height="0.3958333333333333in"},函数在某一点x~0~处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量{width="0.23958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2{width="0.23958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}等。在导数定义中应特别注意"{width="0.23958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}"与"{width="0.23958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}"的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现"{width="0.23958333333333334in" height="0.19791666666666666in"}"与"{width="0.23958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}"的一致性。
**二、对"连续"与"可导"定义理解不清致错。**
例2、函数y=f(x)在x=x~0~处可导是函数y=f(x)在x=x~0~处连续的（ ）
Ａ、充分不必要条件 B必要不充分条件 Ｃ、充要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件
**错解：** 认为"连续"与"可导"是同一个概念而错选Ｃ。或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选Ｂ。
**剖析：**防错关键是（１）理清充分、必要条件的概念；（２）函数y=f(x)在x=x~0~处可导必在x=x~0~处连续，函数y=f(x)在x=x~0~处连续不一定在x=x~0~处可导。如函数{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在x=０处连续但在x=０处不可导。{width="1.5in" height="0.40625in"}{width="3.5722222222222224in" height="0.3125in"}在x=０处连续，{width="4.020138888888889in" height="0.4375in"}当{width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"}时，{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在x=０处不可导。从而本题应选Ａ。
{width="3.375in" height="1.6145833333333333in"}**三、对**{width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}**为极值的充要条件理解不清致错。**
> 例3、函数f(x)=x^3^+ax^2^+bx+a^2^在x=1处有极值10，求a、b的值。
>
> **错解**： {width="0.4375in" height="0.25in"}=3x^2^+2ax+b,由题意知{width="0.3958333333333333in" height="0.25in"} =0,且*f(1)*=10,即2a+b+3=0,且a^2^+a+b+1=10,解之得a=4,b=－11 ,或a=－3 b=3
**剖析**：错误的主要原因是把{width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}为极值的必要条件当作了充要条件，{width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}为极值的充要条件是{width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=0且x~0~附近两侧的符号相反.，所以后面应该加上：当a=4,b=－11时{width="0.4375in" height="0.25in"}=3x^2^+8x－11=（3x+11）(x－1),在x=1附近两侧的符号相反，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"} a=4,b=－11.当a=－3 b=3时f^l^(x)=3（x－1）^2^, 在x=1附近两侧的符号相同，所以a=－3 b=3舍去。{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"} （a=4,b=－11 时，f(x)=x^3^+4x^2^－11x+16的图象见下面左图，a=－3 b=3时（f(x)=x^3^－3x^2^+3x+9的图象见右图。）
**四、对函数的单调区间考虑不全致错**
例4、求函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}={width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}(x\>0)的单调增区间。
> **错解**：由题意得{width="0.4375in" height="0.25in"}={width="0.8645833333333334in" height="0.4583333333333333in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}0，{width="1.15625in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.5208333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，又因为函数的定义域是（0，+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"}），所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"}）。
**剖析**：本题错在对函数在x=1处是否连续没有研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0，+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"}）.对于{width="0.4375in" height="0.25in"} \>0（或{width="0.4375in" height="0.25in"} \<0）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。
**五、对函数单调的充要条件理解不清致错**
例5、已知函数f(x)={width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}在(－2,+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"} ){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}内单调递减，求实数a的取值范围。
**错解**：{width="0.4375in" height="0.25in"}={width="0.6145833333333334in" height="0.4791666666666667in"},由函数*f(x)* 在(－2,+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"} ){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}内单调递减知{width="0.4375in" height="0.25in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.16666666666666666in"}0在(－2,+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"} ){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}内恒成立，即{width="0.6145833333333334in" height="0.4791666666666667in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"}在(－2,+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"} ){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}内恒成立，因此a{width="0.14583333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}.
**剖析**：错误的主要原因是由于对于函数*f(x)*在D上单调递增（或递减）的充要条件是{width="0.4375in" height="0.25in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"}(或{width="0.4375in" height="0.25in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"})且{width="0.4375in" height="0.25in"}在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当a={width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}时{width="0.4375in" height="0.25in"}=0在(－{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}2,+{width="0.16666666666666666in" height="0.14583333333333334in"} ){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}恒成立，所以不符合题意，所以舍去。即实数a的取值范围为{width="0.5625in" height="0.4375in"}。
**六、没有考虑函数在某点不可导致错**
例6、求f(x)={width="0.875in" height="0.3125in"}在\[－1，3\]上的最大值和最小值。
**错解**：由题意得{width="0.4375in" height="0.25in"}={width="0.78125in" height="0.40625in"} ，令{width="0.5208333333333334in" height="0.3020833333333333in"}=0得x=1.
{width="1.8541666666666667in" height="1.4895833333333333in"}{width="2.3333333333333335in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}当x=－1和3时，函数的最大值是{width="0.25in" height="0.25in"}，当x=1时，函数的最小值是1.
**剖析**：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得.所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：x~1~=0,x~2~=2 ，{width="2.3333333333333335in" height="0.2708333333333333in"}*f(0)=0 ,f(2)=0*
{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}当x=－1和3时，函数的最大值是{width="0.25in" height="0.25in"}，当x=0或2时，函数的最小值是0。事实上只要作出函数*f(x)*的图象就不难发现当x=0或2时，函数的最小值是0。当x=－1和3时，函数的最大值是{width="0.25in" height="0.25in"}。
**七、忽视原函数的定义域致错。**
例7、求函数{width="0.7395833333333334in" height="0.28125in"}的单调增区间
**错解**：{width="4.509722222222222in" height="0.3958333333333333in"}函数{width="0.7395833333333334in" height="0.28125in"}的单调增区间为{width="0.4895833333333333in" height="0.375in"}。
**剖析：**错解原因主要是忽视原函数的定义域所致。
**正解**：先求原函数的导函数即{width="4.134722222222222in" height="0.3854166666666667in"}
因此原函数{width="0.7395833333333334in" height="0.28125in"}的单调增区间为{width="0.3541666666666667in" height="0.375in"}
**评析：**利用导数求函数的单调区间，别忘了考虑原函数的定义域。
**八、忽视导函数与原函数图象关系致错。**
例8、设{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}是函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的导函数，{width="0.28125in" height="0.1875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的图象如图所示，则{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象最有可能的是（ ）{width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}{width="5.375in" height="1.40625in"}
**错解：**本题是一道高考选择题，抽样表明许多考生由于对导函数与原函数图象关系深入不够而凭空乱猜。
**剖析**：由导函数的图象知，导函数在x=0和2时的导函数 值为0，故原来的函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}在x=0和2时取得极值。当{width="0.8958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}时，导函数值为正（或0），当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，导函数值为负,所以当{width="0.8958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}时函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为增函数 ，当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为减函数，故选项为C。
**点评：**只要抓住导函数的零点就是原函数图象的极值点以及导函数与单调性的相互关系本题就可迎刃而解。
**九、忽视切点在曲线上的隐含条件致错。**
例9、已知{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}，函数{width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}的图象与函数{width="1.25in" height="0.25in"} 的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）。
**错解**：由函数的导函数就是曲线的切线方程知，{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，得{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，故{width="0.625in" height="0.4375in"}。从而有{width="1.5416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}
**剖析：**本题前面得到{width="0.625in" height="0.4375in"}是对的，由于条件不够，就胡乱认为：{width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}而造成错解。
**正解：**依题意令{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，得{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，故{width="0.625in" height="0.4375in"}。由于{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}，得{width="2.957638888888889in" height="0.2708333333333333in"}。
**点评**：在由{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}得到{width="0.625in" height="0.4375in"}，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键。
**第25关：三角函数与平面向量综合问题---6种类型**
**一、三角函数与平面向量综合问题经典回顾**
==========================================
**开篇语\[来源:学\#科\#网\]**
三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}角函数与平面向量的交汇问题．即一个问题中{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}既涉及三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}问题的能力．因此，在高三数学复习中，我们应当有意识{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}型的综合问题的分析{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}和研究，逐步掌握这类问题的求解策略．
{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}**开心自**{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}**测**
题一：{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}设{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的三个内角{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，向量{width="1.4166666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，{width="1.4166666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，若{width="1.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，则{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}=（ ）
A．{width="0.1875in" height="0.4375in"} B．{width="0.1875in" height="0.4375in"} C．{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"} D．{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}
题二：设两个向量{width="1.6458333333333333in" height="0.25in"}和{width="1.2708333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，其中{width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}为实数．若{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}的取值范围是（ ）．
A．{width="0.4375in" height="0.22916666666666666in"} B．{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"} {width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"} {width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"} D．{width="0.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
**金题精讲\[来源:Z。xx。k.Com\]**
题一：平面上{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}三点不共线，设{width="1.0416666666666667in" height="0.2708333333333333in"}，则{width="0.5625in" height="0.19791666666666666in"}的面积等于（ ）．
A．{width="1.2395833333333333in" height="0.3125in"} B．{width="1.2395833333333333in" height="0.3125in"}\[来源:学,科,网Z,{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}X,X,K\]
C．{width="1.3645833333333333in" height="0.4375in"} {width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} {width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} D．{width="1.3645833333333333in" height="0.4375in"}
题二：设向量{width="3.9159722222222224in" height="0.22916666666666666in"}
（Ⅰ）若{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}与{width="0.4479166666666667in" height="0.19791666666666666in"}垂直，求{width="0.75in" height="0.22916666666666666in"}的值；\[来源:Zxxk.Com\]
（Ⅱ）求{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}的最大值；
（Ⅲ）若{width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，求证：{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}∥{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}．
题三：在{width="0.5416666666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，角{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}所对的边分别为{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，且满足{width="0.9166666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.23958333333333334in"}．
（I）求{width="0.5416666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的面积；{width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}（II）若{width="0.6041666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，求{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的值．
题四：设{width="0.5416666666666666in" height="0.19791666666666666in"}是锐角三角形，{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}分别是内角{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}所对边长，并且
{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}{width="2.7805555555555554in" height="0.4375in"}．
(Ⅰ)求角{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}的值；(Ⅱ)若{width="1.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，求{width="0.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}（其中{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}）．
\[来源:学科网\]
**名师寄语**
**本讲要点小结与建议： \[来源:Z&xx&k.Com\]**
三角函数和平面向量的综合问题是近几年数学高考的一个新的{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}视角．求解这类问题，既要求我们具有娴{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}熟的三角函数的恒等变换技能，又要求我们熟练地进行平面向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}运算．因此{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}训练，提高我们处理这类综合问题的能力．
\[来源:学.科.网Z.X.{width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}{width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}X
**三角**{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}**函数与平面向量综合问题经典回顾**
**参考答案**
**开心自测**
题一：C． 题二：A．
**金题精讲**
题一：C．
题二：（Ⅰ）{width="1.0in" height="0.22916666666666666in"}；（Ⅱ）{width="0.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}；（Ⅲ）略．\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
题三：（I）{width="0.65625in" height="0.25in"}；（II）{width="0.6041666666666666in" height="0.25in"}．
题{width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}四：(Ⅰ) {width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}；(Ⅱ) {width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
**二、三角函数与平面向量综合问题---6种类型**
**题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值**
【**例1**】已知{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}为{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}的最小正周期，{width="2.9159722222222224in" height="0.4375in"}，求{width="1.5625in" height="0.4583333333333333in"}的值．
【**解答**】因为{width="0.16666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}为{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}的最小正周期，故{width="0.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}．因为{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，
又{width="1.875in" height="0.4375in"}，故{width="1.7395833333333333in" height="0.4375in"}．
由于{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，所以{width="1.6875in" height="0.4583333333333333in"}{width="1.6041666666666667in" height="0.4583333333333333in"}
{width="1.3125in" height="0.4583333333333333in"}{width="1.6145833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.2916666666666667in" height="0.4375in"}
{width="1.8645833333333333in" height="0.4375in"}．
**【评析】** 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
**题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题**
【**例2**】如图，函数{width="1.5833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}（其中{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}）的图像与{width="0.15625in" height="0.1875in"}轴交于点（0，1）。
{width="1.75in" height="0.9895833333333334in"}（Ⅰ）求{width="0.15625in" height="0.1875in"}的值；
（Ⅱ）设{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}是图像上的最高点，*M、N*是图像与{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴的交点，求{width="0.3229166666666667in" height="0.22916666666666666in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}的夹角。
【**解答**】（I）因为函数图像过点{width="0.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，
所以{width="0.7395833333333334in" height="0.22916666666666666in"}即{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}
因为{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}，所以{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}.
（II）由函数{width="1.1979166666666667in" height="0.4375in"}及其图像，得{width="1.9791666666666667in" height="0.4375in"}
所以{width="1.9791666666666667in" height="0.4375in"}从而
{width="2.125in" height="0.5208333333333334in"}{width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"}，故{width="0.9791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.6666666666666666in" height="0.4375in"}.
【**评析**】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：{width="1.25in" height="0.5729166666666666in"}求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
**题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算**
【**例3**】在{width="0.4791666666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，角{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的对边分别为{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}．
> （1）求{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}；
>
> （2）若{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}，且{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，求{width="0.125in" height="0.15625in"}．
>
> 【**解答**】（1）{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"},
>
> 又{width="1.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，解得：{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}，
>
> {width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}是锐角，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.6875in" height="0.4375in"}．
>
> （2）{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.875in" height="0.4375in"}，{width="0.15625in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.5625in" height="0.19791666666666666in"}，
>
> 又{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}，{width="1.3645833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，
>
> {width="2.0729166666666665in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.5208333333333334in" height="0.19791666666666666in"}．
>
> 【**评析**】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。
**题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算**
【**例4**】{width="0.8125in" height="0.2708333333333333in"}，其中向量{width="1.03125in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.125in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，且函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的图象经过点{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}．
（Ⅰ）求实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的值；
（Ⅱ）求函数{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的最小值及此时{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}值的集合。
【**解答**】（Ⅰ）{width="0.8125in" height="0.2708333333333333in"}{width="1.5729166666666667in" height="0.22916666666666666in"}
由已知{width="0.5625in" height="0.4375in"}{width="1.6145833333333333in" height="0.4375in"}，得{width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得{width="3.0618055555555554in" height="0.4375in"}
∴当{width="1.1458333333333333in" height="0.4375in"}时，{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的最小值为{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，
由{width="1.1458333333333333in" height="0.4375in"}，得{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}值的集合为{width="1.6458333333333333in" height="0.4791666666666667in"}．
【**评析**】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如{width="1.4479166666666667in" height="0.22916666666666666in"}，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
**题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法**
【**例5**】将{width="1.0625in" height="0.4375in"}的图象按向量{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．{width="1.28125in" height="0.4375in"} Ｂ．{width="1.28125in" height="0.4375in"}
Ｃ．{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"} Ｄ．{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}
【**解答**】∵{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}，∴平移后的解析式为{width="1.5625in" height="0.4375in"}
{width="1.1666666666666667in" height="0.4375in"}，选{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}．
【**评析**】理清函数{width="0.75in" height="0.22916666666666666in"}按向量{width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为{width="1.3125in" height="0.22916666666666666in"}．
**题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题**
【**例6**】设向量{width="2.6875in" height="0.2708333333333333in"}，函数{width="1.1666666666666667in" height="0.2708333333333333in"}.
（Ⅰ）求函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}成立的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值集.
【**解答**】（Ⅰ）∵{width="1.1666666666666667in" height="0.2708333333333333in"}{width="3.3118055555555554in" height="0.23958333333333334in"}
{width="3.3534722222222224in" height="0.4791666666666667in"}
∴{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的最大值为{width="0.5416666666666666in" height="0.46875in"}，最小正周期是{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}
（Ⅱ）要使{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}成立，当且仅当{width="1.6041666666666667in" height="0.46875in"}，
即{width="1.0625in" height="0.4270833333333333in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="1.9375in" height="0.4375in"},
即{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}成立的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值集合是{width="2.28125in" height="0.4791666666666667in"}．
【**评析**】 结合向量的坐标运算法则，求出函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的三角函数关系式，再根据三角公式对函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。
【**跟踪训练**】
> 1．设函数{width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}，其中向量{width="2.5625in" height="0.2708333333333333in"}，
>
> {width="1.6458333333333333in" height="0.22916666666666666in"}．
（Ⅰ）求函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}的图像按向量{width="0.15625in" height="0.23958333333333334in"}平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的{width="0.15625in" height="0.23958333333333334in"}．
2．已知向量{width="2.6041666666666665in" height="0.4375in"}．
（Ⅰ）若{width="0.4375in" height="0.23958333333333334in"}，求{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}；
（Ⅱ）求{width="0.4479166666666667in" height="0.3333333333333333in"}的最大值．
【**参考答案**】
> 1．解：(Ⅰ)由题意得，{width="4.155555555555556in" height="0.2708333333333333in"}
>
> {width="4.811805555555556in" height="0.4375in"}， 所以，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的最大值为{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，最小正周期是{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}.
（Ⅱ）由{width="1.1458333333333333in" height="0.4375in"}得{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}，即{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}，
于是{width="1.2708333333333333in" height="0.4375in"}，{width="1.9166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}．
因为{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}为整数，要使{width="0.20833333333333334in" height="0.3333333333333333in"}最小，则只有{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，此时{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}即为所求．
2．解：（Ⅰ）若{width="0.4375in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="1.1041666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，由此得：{width="1.6875in" height="0.4375in"}，
所以， {width="0.5625in" height="0.4375in"}．
（Ⅱ）由{width="1.78125in" height="0.2708333333333333in"}得：
{width="3.8222222222222224in" height="0.3541666666666667in"}
{width="1.53125in" height="0.4895833333333333in"}
当{width="0.9583333333333334in" height="0.4375in"}时，{width="0.4479166666666667in" height="0.3333333333333333in"}取得最大值，即当{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}时，{width="0.4479166666666667in" height="0.3333333333333333in"}的最大值为{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}．
**第26关：概率题错解分类剖析---7大类型**
概率问题题型较多，解法灵活，不少同学在解题过程中因概念不清、忽视条件、考虑不周等原因导致思维混乱，最终导致解题失误．本文就概率问题中的常见错误进行成因诊断，下面进行分类举例说明：
**类型一："非等可能"与"等可能"的混淆**
**例1．**掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
**错解**：掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，...，12共11种基本事件，所以概率为{width="0.4895833333333333in" height="0.4375in"}．
**剖析：**以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以"所得点数之和为6"的概率为{width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}．
**类型二："互斥"与"对立"的混淆**
**例2．**把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件"甲分得红牌"与"乙分得红牌"是
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
**错误答案：**A
**剖析**：本题错误的原因在于把"互斥"与"对立"混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以下三个方面：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件"甲分得红牌"与"乙分得红牌"是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
**类型三："互斥"与"独立"的混淆**
**例3．**甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
**错解：**设"甲恰好投中两次"为事件A，"乙恰好投中两次"为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B．
∴{width="4.363888888888889in" height="0.2708333333333333in"}．
**分析：**本题错解的原因是把相互独立的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为"甲恰好投中两次"与"乙恰好投中两次"的和．而题目的实际含义是在"甲恰好投中两次"的同时"乙恰好投中两次"，即两人都恰好投中两次为事件{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}．
**正确解答：**设"甲恰好投中两次"为事件A，"乙恰好投中两次"为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}，则{width="4.457638888888889in" height="0.2708333333333333in"}．
**例4．**某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}，响第二声时被接的概率为{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}，响第三声时被接的概率为{width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，响第四声时被接的概率为{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"} ，那么电话在响前4声内被接的概率是多少?
**错解**：分别记"电话响第一、二、三、四声时被接"为事件{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}~4~，且{width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"}={width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}，
{width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}={width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}， {width="0.4791666666666667in" height="0.28125in"}= {width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"}， {width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}= {width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}，则电话在响前4声内被接的概率为
{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}={width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.11458333333333333in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.11458333333333333in"}{width="0.4791666666666667in" height="0.28125in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.11458333333333333in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}={width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}×{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}×{width="0.2708333333333333in" height="0.19791666666666666in"}×{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}={width="0.5208333333333334in" height="0.19791666666666666in"}．
**剖析**：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑．根据实际生活中的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥．所以，{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}={width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"}+{width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}+{width="0.4791666666666667in" height="0.28125in"}+{width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}==0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．
**点评：**以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
**类型四："条件概率P(B / A)"与"积事件的概率P(A**{width="8.333333333333333e-2in" height="0.11458333333333333in"}**B)" 的混淆**
**例5．**袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
**错解**：记"第一次取到白球"为事件A，"第二次取到黄球"为事件B,"第二次才取到黄球"为事件C,所以{width="0.4375in" height="0.28125in"}= {width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"}={width="0.4375in" height="0.4375in"}.
**剖析：**本题错误在于{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}与{width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"}的含义没有弄清, {width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而{width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"}表示在缩减的样本空间{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
**正确答案：**{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}（C）= {width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}= {width="0.4375in" height="0.28125in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"}={width="0.8125in" height="0.4375in"}．
**类型五："有序"与"无序"的混淆**
**例6．**从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．
**错解：**因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种以法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故任意取出4件含有10×9×8×7个基本事件．
设A="取出的4件中恰有1件次品"，则A含有{width="0.5520833333333334in" height="0.2604166666666667in"}种取法
{width="1.8229166666666667in" height="0.4583333333333333in"}
**剖析：**计算任意取出4件所含基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含的基本事件个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序．
**正确解法一：（都用排列方法）**
任意取出4件含有{width="0.25in" height="0.2604166666666667in"}个基本事件，A包含{width="0.7604166666666666in" height="0.2604166666666667in"}个基本事件
{width="1.75in" height="0.5in"}
**正确解法二：（都用组合方法）**
一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故S含有{width="0.25in" height="0.2604166666666667in"}个基本事件，A包含有{width="0.5in" height="0.2604166666666667in"}个基本事件． {width="1.5416666666666667in" height="0.5in"}
**类型六:"等可能"与"N次独立重复实验恰有K次发生" 的混淆**
**例7．**冰箱中放甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取一瓶甲或乙种饮料，取用时甲种或乙种饮料的概率相等.
（1）求甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率.
（2）求甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率
**错解：**（1）5瓶甲种饮料饮用完毕有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种，乙种饮料还剩下3瓶即饮用2瓶有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种方法，所以求甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶共有{width="0.5625in" height="0.2708333333333333in"}种可能的结果，而从10瓶中选出7瓶共有{width="0.25in" height="0.2708333333333333in"}种可能的结果．所以甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率为{width="1.2291666666666667in" height="0.5in"}．
（2）甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶包括3种情况
①甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶，有{width="0.5416666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种；②甲被饮用5瓶，乙没有被饮用有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}种；③甲被饮用4瓶，乙没有被饮用，有{width="0.22916666666666666in" height="0.2708333333333333in"}．所以甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为{width="1.5416666666666667in" height="0.5in"}．
**剖析：**此法出错的原因是把饮用A、B两种饮料当作一次性取出，而每瓶被饮用的概率相等，所以用"等可能事件的概率"来解决．但实质上，每瓶饮料是一次次的取出饮用的，且A、B两种饮料每次被饮用的概率都为{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}，故应用"N次独立重复实验恰有K次发生的概率"来求．
**正解：**(1)设"饮用一次，饮用的是甲种饮料"为事件A，则{width="0.78125in" height="0.4375in"}.甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为{width="1.6145833333333333in" height="0.4375in"}．
\(2\) 甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶包括上述3种情况，所求概率为：{width="3.4993055555555554in" height="0.4375in"}．
**类型七:"可辩认"与"不可辨认"的混淆**
**例8．**将*n*个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A="某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率"．
**错解：**将*n*个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为{width="0.25in" height="0.22916666666666666in"}，而事件A含有n!种结果．{width="0.9791666666666666in" height="0.4375in"}
**剖析：**这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了．因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球．我们在此用符号"□"表示一个盒子，"○"表示球，先将盒子按号码排列起来
1 2 3 4 5...N
{width="1.6041666666666667in" height="0.3333333333333333in"}
这样的N个盒子由N+1个"\|"构成，然后把*n*个球任意放入N个盒子中，比如：\|○\|○○\|...\|○○○\|，在这样的放法中，符号"\|"和"○"共占有：N+1+*n*个位置，在这N+1+*n*个位置中，开始和末了的位置上必须是"\|"，其余的N+*n*-1个位置上"\|"和"O"可以任意次序排列．则N-1个"1"和n个"○"在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是{width="0.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}，将n个不可辨认的球放入指定的*n*个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而{width="2.0208333333333335in" height="0.4791666666666667in"}
**正解：**分两种情况：
（1）当球是可辩认的，则{width="0.875in" height="0.4375in"}
（2）当球是不可辨认的，则{width="0.53125in" height="0.22916666666666666in"}{width="0.8229166666666666in" height="0.4583333333333333in"}．
本文总结了学生易犯的几类错误，我们在教学的过程中，只要注意对这些错误作详细的分析，可减少在这些方面出现的错误．
**第27关：抽象函数问题---分类解析**
**一、分类解析抽象函数问题**
我们在学习一类函数时，往往会碰到没有给出解析式的函数，称为抽象函数，而这类问题往往抽象性强，灵活性大，同学们在学习时往往感觉到很困惑，让我们和同学们一起来解决这类问题．
**问题一：灵活思考会求函数定义域**
例1：函数{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}的定义域为{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，则函数{width="1.3125in" height="0.25in"}的定义域是 [ ]{.underline}
分析：这里需要把{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}看作一个整体来求解．
解：因为{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}相当于{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}中的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}，则{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.1875in"}，则可以解得{width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"}或
{width="1.0in" height="0.23958333333333334in"}．
评注：对于抽象函数的定义域问题，则一定要看清楚{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}中的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}，或者说对于函数{width="0.5416666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则可以把其中的{width="0.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}看作一个整体，问题就会迎刃而解．
**问题二：条件赋值判断奇偶**
例2：已知{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}，且对于任意的实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}、{width="0.15625in" height="0.1875in"}满足{width="1.3958333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，求证：{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是偶函数．
分析：本题中可设{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}、{width="0.15625in" height="0.1875in"}为具体的值，可确定{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}={width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}时具体的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}值，再判断{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的奇偶性．
解：在{width="1.3958333333333333in" height="0.23958333333333334in"}中，令{width="0.6458333333333334in" height="0.22916666666666666in"}得到{width="1.1979166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，则可以得到{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，
令{width="0.75in" height="0.22916666666666666in"}，得到{width="1.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，则得到{width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，于是{width="1.2291666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
{width="1.53125in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是偶函数．
评注：对于抽象函数的奇偶性，结合其特点，不妨取特殊值来解决．
**问题三：利用图象判断单调性**
例3：已知偶函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}在{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}上是减函数，问{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是在{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}上是增函数还是减函数，并证明你的结论．
分析：本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数，画出函数的示意图，以形助数，使问题得到迅速地解决．
解：如图1，则容易知道{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是在{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}上是增函数，证明如下：任取{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}{width="1.0208333333333333in" height="0.25in"}，
因为{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是在{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}上是减函数，所以{width="1.2083333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，又{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是偶函数，所以{width="1.0729166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，
{width="1.1145833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，从而{width="0.9583333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，故{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}在{width="0.5208333333333334in" height="0.23958333333333334in"}上是增函数．
评注：往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题，则可以通过数形结合来解决．
{width="2.2708333333333335in" height="1.8645833333333333in"}
图1
**问题四：巧妙求解函数值**
例4：已知{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的定义域为{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，且{width="1.5729166666666667in" height="0.23958333333333334in"}对一切正实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}、{width="0.15625in" height="0.1875in"}都成立，若{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"} [ ]{.underline} ．
分析：本题可取特殊值代入即可解决问题．
解：在条件{width="1.5729166666666667in" height="0.23958333333333334in"}中，令{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，则得到{width="2.1041666666666665in" height="0.23958333333333334in"}，
则得到{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，又令{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，则得到{width="1.5625in" height="0.23958333333333334in"}，所以{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}．
评注：实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换，经过有限次的迭代，发现函数具有周期性，则可以利用周期性巧妙解答．
**问题五：讨论方程根的问题**
例5：已知函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}对一切实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}都满足{width="1.25in" height="0.23958333333333334in"}，并且方程{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}有三个实数根，则这三个实数根之和是 [ ]{.underline} ．
分析：求抽象函数的实数根的问题也是常见的题型，关键是抓住对称轴分析解决．
解：由{width="1.25in" height="0.23958333333333334in"}知道直线{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}是函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}图象的对称轴，又方程{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}有三个实根，则由对称性可以知道{width="0.4166666666666667in" height="0.23958333333333334in"}必定是方程的一个根，其余两个根{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}关于直线{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}对称，所以{width="0.5in" height="0.25in"}
={width="0.5833333333333334in" height="0.1875in"}，故{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}．
评注：寻找对称，从而确定根的特点，最终寻求到解决的方法与思路．
**问题六：求解析式**
例6：设函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}存在反函数，{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}与{width="0.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}的图象关于直线{width="0.65625in" height="0.22916666666666666in"}对称，则函数{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"} [ ]{.underline} ．
分析：要求{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的解析式，实际上是求{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的图象上任意一点{width="0.65625in" height="0.25in"}的横、纵坐标之间的关系．
解：{width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}图象上任意一点{width="0.65625in" height="0.25in"}关于直线{width="0.5208333333333334in" height="0.1875in"}的对称点{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}适合{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，即{width="1.0208333333333333in" height="0.25in"}，
又{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}，所以{width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}得到{width="2.1458333333333335in" height="0.25in"}，即{width="1.03125in" height="0.23958333333333334in"}．
评注：问题转化是解决本题的关键．
抽象函数比较抽象，但只要把握好问题的关键，则抽象函数就不抽象了．
**二、抽象函数\--单调性、奇偶性与周期性相结合的经典习题**
**1、**已知奇函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的定义域为{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，且在区间{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}内递减，求满足{width="1.6458333333333333in" height="0.25in"}的实数{width="0.1875in" height="0.15625in"}的取值范围．
**2、**已知定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的奇函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}满足{width="1.1666666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，且在区间{width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}上是增函数。
若方程{width="1.15625in" height="0.23958333333333334in"}在区间{width="0.4479166666666667in" height="0.23958333333333334in"}上有四个不同的根{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则{width="1.28125in" height="0.25in"} [ ]{.underline}
**3、**已知{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的最小正周期为2的周期函数，当{width="0.65625in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}，
则函数{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}的图像在区间{width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}上与{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}轴的交点的个数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
**4、**定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}满足{width="1.1875in" height="0.2708333333333333in"}，当{width="0.8541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="1.1145833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，
当{width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="2.53125in" height="0.23958333333333334in"}（ ）
A．335 B．338 C．1678 D．2012
5、定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}满足：{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}且{width="1.5625in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.6041666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的值为（ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"} B．0 C．1 D．无法确定
6、已知{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}为{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的偶函数，且对任意的{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}，等式{width="1.2083333333333333in" height="0.4583333333333333in"}都成立，又当{width="0.8645833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.7916666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.7708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}（ ）
A．{width="0.15625in" height="0.4375in"} B．{width="0.28125in" height="0.4375in"} C．{width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}
7、定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}满足：{width="1.3125in" height="0.25in"}，若{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.5729166666666666in" height="0.23958333333333334in"} （ ）
A．13 B．2 C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"} D．{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}
8、定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的奇函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}满足：{width="1.1875in" height="0.25in"}，则{width="0.3541666666666667in" height="0.23958333333333334in"}的值为 （ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.1875in"} B．0 C．1 D．2
9、已知函数{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}满足：{width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}，且{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是偶函数，当{width="0.5625in" height="0.23958333333333334in"}时，{width="0.6875in" height="0.25in"}，若在区间{width="0.4166666666666667in" height="0.23958333333333334in"}内，函数{width="1.375in" height="0.23958333333333334in"}有4个零点，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是（ ）
A．{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"} B．{width="0.4583333333333333in" height="0.4791666666666667in"} C．{width="0.4583333333333333in" height="0.4791666666666667in"} D．{width="0.4895833333333333in" height="0.4791666666666667in"}
10、设{width="0.3645833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.1875in"}上的偶函数，对任意的{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，都有{width="1.3229166666666667in" height="0.25in"}，且当{width="0.7291666666666666in" height="0.23958333333333334in"}时，{width="1.1041666666666667in" height="0.5208333333333334in"}，若在区间{width="0.4791666666666667in" height="0.23958333333333334in"}内关于{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的方程{width="2.0625in" height="0.25in"}，恰有3个不同的实数根，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.15625in"}的取值范围是（）
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"} B．{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"} C．{width="0.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"} D．{width="0.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}
**习题答案：**1、{width="0.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"} 2、[-8]{.underline} 3、B 4、B 5、B 6、B 7、C 8、B 9、C 10、D
| 1 | |
**2019年甘肃省中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.**
1．（3分）（2019•甘肃）下列四个图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•甘肃）在0，2，，这四个数中，最小的数是
A．0 B．2 C． D．
3．（3分）（2019•甘肃）使得式子有意义的的取值范围是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•甘肃）计算的结果是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•甘肃）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•甘肃）已知点在轴上，则点的坐标是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•甘肃）若一元二次方程的一根为，则的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
8．（3分）（2019•甘肃）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年"国学小名士"国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是
---- ---------- -------- -------- ------
参加人数 平均数 中位数 方差
甲 45 94 93 5.3
乙 45 94 95 4.8
---- ---------- -------- -------- ------
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
10．（3分）（2019•甘肃）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
**二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.**
11．（3分）（2019•甘肃）分解因式：[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•甘肃）不等式组的最小整数解是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•甘肃）分式方程的解为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•甘肃）在中，，则[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•甘肃）如图，在中，，，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•甘肃）如图，在矩形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第幅图中有2019个菱形，则[ ]{.underline}．
**三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.**
19．（4分）（2019•甘肃）计算：．
20．（4分）（2019•甘肃）如图，在中，点是上一点，连接，求作一点，使得点到和两边的距离相等，并且到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
21．（6分）（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
22．（6分）（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：，
23．（6分）（2019•甘肃）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；
（2）若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
**四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤**
24．（7分）（2019•甘肃）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
-------- --- ---- --- ---
年级
七年级 0 10 4 1
八年级 1 5 8 1
-------- --- ---- --- ---
（说明：90分及以上为优秀，分（不含90分）为良好，分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
-------- -------------------- -------- --------------------
年级 平均数 中位数 众数
七年级 [ ]{.underline} 75 75
八年级 77.5 80 [ ]{.underline}
-------- -------------------- -------- --------------------
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出[ ]{.underline}年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
25．（7分）（2019•甘肃）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积；
（3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．
26．（8分）（2019•甘肃）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．
27．（8分）（2019•甘肃）如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
28．（10分）（2019•甘肃）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
**2019年甘肃省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.**
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：．此图案是中心对称图形，符合题意；
．此图案不是中心对称图形，不合题意；
．此图案不是中心对称图形，不合题意；
．此图案不是中心对称图形，不合题意；
故选：．
2．（3分）在0，2，，这四个数中，最小的数是
A．0 B．2 C． D．
【考点】有理数大小比较
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
，
所以最小的数是．
故选：．
3．（3分）使得式子有意义的的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：使得式子有意义，则：，
解得：，
即的取值范围是：．
故选：．
4．（3分）计算的结果是
A． B． C． D．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
5．（3分）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，，
．
故选：．
6．（3分）已知点在轴上，则点的坐标是
A． B． C． D．
【考点】点的坐标
【分析】直接利用关于轴上点的坐标特点得出的值，进而得出答案．
【解答】解：点在轴上，
，
解得：，
，
则点的坐标是：．
故选：．
7．（3分）若一元二次方程的一根为，则的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
【考点】一元二次方程的解
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
8．（3分）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则
A． B． C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【解答】解：，
，
．
故选：．
9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年"国学小名士"国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是
---- ---------- -------- -------- ------
参加人数 平均数 中位数 方差
甲 45 94 93 5.3
乙 45 94 95 4.8
---- ---------- -------- -------- ------
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
【考点】众数；算术平均数；中位数；方差
【分析】由两个班的平均数相同得出选项正确；由众数的定义得出选项不正确；由方差的性质得出选项不正确；由两个班的中位数得出选项不正确；即可得出结论．
【解答】解：、甲、乙两班的平均水平相同；正确；
、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；
、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；
故选：．
10．（3分）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知：，，
，故①错误；
②由于对称轴可知：，
，故②正确；
③由于抛物线与轴有两个交点，
△，故③正确；
④由图象可知：时，，
故④正确；
⑤当时，随着的增大而增大，故⑤错误；
故选：．
**二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.**
11．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式对因式进行分解．
【解答】解：，
，
．
12．（3分）不等式组的最小整数解是[ 0 ]{.underline}．
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
则最小的整数解为0，
故答案为：0
13．（3分）分式方程的解为[ ]{.underline}．
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
14．（3分）在中，，则[ ]{.underline}．
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为：．
15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为[ ]{.underline}．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，高为，三棱柱的高为3，所以，其表面积为．
故答案为．
16．（3分）如图，在中，，，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
【考点】等腰直角三角形；扇形面积的计算
【分析】根据，计算即可．
【解答】解：在中，，，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：
17．（3分）如图，在矩形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为[ ]{.underline}．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【分析】设，则由折叠性质可知，，，所以，，在中，，即，解得．
【解答】解：设，则由折叠性质可知，，，
在中，，，
，
，
在中，，
即，
解得，
故答案为．
18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第幅图中有2019个菱形，则[ 1010 ]{.underline}．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有个，第3幅图中有个，，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有个．
第3幅图中有个．
第4幅图中有个．
．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第幅图中共有个．
当图中有2019个菱形时，
，
，
故答案为：1010．
**三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.**
19．（4分）计算：．
【考点】负整数指数幂；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式，
．
20．（4分）如图，在中，点是上一点，连接，求作一点，使得点到和两边的距离相等，并且到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】线段垂直平分线的性质；作图复杂作图；角平分线的性质
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【解答】解：如图，点即为所求，
21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设共有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有人，
根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
，
则共有39人，15辆车．
22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：，
【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；线段垂直平分线的性质
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
【解答】解：连接，作于点，
，，分别垂直平分踏步，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，，
该中学楼梯踏步的高度符合规定，
，，
该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；
（2）若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程因式分解法
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）树状图如图所示：
（2），都是方程的解，
，，或，，
由树状图得：共有12个等可能的结果，，都是方程的解的结果有2个，
，都不是方程的解的结果有2个，
小明获胜的概率为，小利获胜的概率为，
小明、小利获胜的概率一样大．
**四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤**
24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
-------- --- ---- --- ---
年级
七年级 0 10 4 1
八年级 1 5 8 1
-------- --- ---- --- ---
（说明：90分及以上为优秀，分（不含90分）为良好，分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
-------- ------------------------ -------- --------------------
年级 平均数 中位数 众数
七年级 [ 76.8 ]{.underline} 75 75
八年级 77.5 80 [ ]{.underline}
-------- ------------------------ -------- --------------------
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出[ ]{.underline}年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
【考点】算术平均数；用样本估计总体；中位数；频数（率分布表；众数
【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；
（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；
（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．
【解答】解：（1）七年级的平均数为，
八年级的众数为81；
故答案为：76.8；81；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：
八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；
故答案为：八；
（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数（人．
25．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积；
（3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【解答】解：（1）反比例函数经过点，
，
点在上，
，
，
把，坐标代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）直线交轴于，
，
，关于轴对称，
，
轴，
．
（3），、，是反比例函数上的两点，且，
．
26．（8分）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出；
（2）延长交的延长线于，根据，即可得出是的中点，进而得到．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，
；
（2）如图所示，延长交的延长线于，
是的中点，
，
又，，
，
，
即是的中点，
又，
中，．
27．（8分）如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】（1）只要证明，即可解决问题；
（2）首先证明，在中，，设，在中，，在中，，可得，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是的直径，，
是的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，在中，，
，
解得，
．
28．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；
（3）利用，即可求解．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：；
故二次函数表达式为：；
（2）①当为平行四边形一条边时，如图1，
则，
则点坐标为，
当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
故：点或；
②当是四边形的对角线时，如图2，
中点坐标为
设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：，解得：，
故点；
故：点或或；
（3）直线的表达式为：，
设点坐标为，则点，
，
，故四边形面积有最大值，
当，其最大值为，此时点，．
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**《淘气的作息时间》同步练习1**
> **一、填空**
>
> 1. 我们学过的时间单位有（ ）、（ ）和（ ），其中（ ）是最小的时间单位。
>
> 2. 钟面上一共有（ ）个大格，每个大格分成了（ ）个小格，钟面上一共有（ ）个小格。时针走一大格的时间是（ ）；分针走一小格的时间是（ ）；秒针走一小格的时间是（ ），走一大格的时间是（ ）。
>
> 3. 时针走一大格，分针走（ ）小格，分针走了（ ）分；秒针走一圈，分针走（ ）小格，是（ ）分。
>
> 4. 时针从数字3走到数字6，经过的时间是（ ）；分针从数字3走到数字6，经过的时间是（ ）；秒针从数字3走到数字6，经过的时间是（ ）。
>
> 5. 时针从12走到1，分钟走了（ ）小格，是（ ）分；秒针走60小格，分钟走了（ ）小格，是（ ）分。时针从（ ）走到6，走了5小时。
>
> 6\. 从8:40到9:30经过了( )时( )分；从2:30到4:40经过了( )时( )分；从6:10到6:45经过了( )分。
>
> 7.从上海开往南京的火车，甲车是6:50开，乙车是7:30开，（ ）车开的早。\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
>
> 8.小军每天6:20起床，小青每天6:25起床，（ ）起床早．
>
> 9.跑60米，小红用14秒，小英用12秒，小云用13秒．三人中（ ）跑的最快。
>
> 10.月亮每秒绕地球行8千米，地球绕太阳每秒行29千米．地球比月亮每秒多行（ ）千米。
>
> **二、在○里填上"＜、＞"或"＝"。**
>
> （1）180分○2时 （2）36秒○6分
>
> （3）3时○180分 （4）200秒○2分
>
> （5）300分○6时 （6）1分○70秒
>
> **三、选择合适的答案，把序号填在（ ）里。**
>
> （1）每天刷牙大约需要（ ）。
>
> ①3秒 ②3分 ③3时
>
> （2）上一节数学课需要（ ）。
>
> ①40秒 ②1时 ③40分
>
> （3）《新闻联播》每天晚上（ ）开始，（ ）结束，节目一共经过了（ ）。
>
> ①30分 ②7时 ③7时30分
\[来源:学科网\]
\[来源:学科网ZXXK\]
**参考答案：**
> **一、**
>
> 1. （时 ） （分） （秒 ） （ 秒 ）
>
> 2. （12） （5） （60 ） （1时） （1分 ） （1秒） （5秒）
>
> 3. （ 60 ） （60 ） （ 1） （1 ）
>
> 4. （ 3小时 ） （ 15分 ） （ 15秒 ）
>
> 5. （ 60 ） （ 60 ） （ 1 ） （1） （ 2 ）
>
> 6\. ( 0 ) ( 50 ) ( 2 ) ( 10 ) ( 35 )
>
> 7\. （ 甲 ）
>
> 8\. （小军 ）
>
> 9\. （小英 ）
>
> 10\. （21 ）
>
> **二、**
>
> （1）**＞** （2）**＜**
>
> （3）**＝** （4）**＞**
>
> （5）**＜** （6）**＜**
>
> **三、**
>
> （1）② （2）③ （3）（ ② ） （ ① ） （ ③ ）
\[来源:Z.xx.k.Com\]
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
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**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60****分．在每小题给出的四个选项中，只有****一项是符合题目要求的．**
1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）
> A． B． C． D．
2.复数的共轭复数的虚部是（ ）
> A． B． C．-1 D．1
3\. 下列结论正确的是（ ）
> A．若直线平面，直线平面，则
>
> B．若直线平面，直线平面，则\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
>
> C．若两直线与平面所成的角相等，则
>
> D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则
4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）
> A．29 B．31 C．33 D．36
5.已知实数满足，则的取值范围为（ ）
> A． B． C． D．
6.若，则的最小值为（ ）
> A．8 B．6 C．4 D．2
7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）
> \[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
>
> A．计算数列前5项的和 B．计算数列前5项的和
>
> C．计算数列前6项的和 D．计算数列前6项的和
8.中，"角成等差数列"是""的（ ）
> A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（ ）
> A．1 B． C．2 D．
10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
> A． B． C． D．
11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
> A． B． C．   D．
12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）
> 
>
> A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，****将答案填在答题纸上）**
13.若实数，且满足，则的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
> 
16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．
> （1）求数列的通项公式；
>
> （2）记，设数列的前项和为，求证：．
18.（本小题满分12分）已知向量，记．
> （1）若，求的值；
>
> （2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．
> 
>
> （1）求证：；
>
> （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．
20.（本小题满分12分）已知函数．
> （1）若曲线 上点处的切线过点，求函数的单调减区间；\[来源:Z+xx+k.Com\]
>
> （2）若函数在上无零点，求的最小值．
21.（本小题满分12分）已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．
> （1）求的值；
>
> （2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；
>
> （3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．
**请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
> 已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．
>
> 
>
> （1）求证：；
>
> （2）若，求证：．\[来源:Zxxk.Com\]
23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
> 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
>
> （1）若直线与曲线交于两点，求的值；
>
> （2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
> 已知使不等式成立．
>
> （1）求满足条件的实数的集合；
>
> （2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．
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**初中考高中理科实验班专用实战训练题（九）**
**一、选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)**
1\. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）
2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了*x*％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了*x*％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）
A、2*x*％ B、1+2*x*％ C、（1+*x*％）*x*％ D、（2+*x*％）*x*％
3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条*a*元，又从另---个鱼摊上买了两条鱼，平均每条*b*元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A、*a*\>*b* B、*a*\<*b* C、*a*=*b* D、与*a*和*b*的大小无关
4．若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是 （ ）
A、 B、 C、 D、
{width="1.4583333333333333in" height="0.7395833333333334in"}5．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A、50 B、62 C、65 D、68
{width="1.1701388888888888in" height="0.7548611111111111in"}6．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为*a*，右图轮子上方的箭头指着的数字为*b*，数对（*a*，*b*）所有可能的个数为n，其中*a*+*b*恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 （ ） {width="0.8493055555555555in" height="0.8493055555555555in"}
> A、AB上 B、BC上 C、CD上 D、DA上
**8．已知实数*a*满足，那么的值是（ ）**
**A、2005 B、2006 C、2007 D、2008**
**二、填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。)**
9．小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的。如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球
10.已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有（ ）个.
11．不论m取任何实数，抛物线 y=x^2^+2mx+m^2^+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（ ）．
12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：
（1）黄盒中的小球比黄球多；
（2）红盒中的小球与白球不一样多；
（3）白球比白盒中的球少．
则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )．
13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S~1~，△COD的面积为S~2~，则=（ ）
{width="1.46875in" height="1.3333333333333333in"}14．已知矩形A的边长分别为*a*和*b*，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为（ ）
15．已知*x*、y均为实数，且满足*x*y+*x*+y=17，*x*^2^y+*x*y^2^=66，
则*x*^4^+*x*^3^y+*x*^2^y^2^+*x*y^3^+y^4^=（ ）
16．如图5，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分 别在半径OM，OP以及圆O上，并且∠POM=45°，则AB的长为（ ）
**三、解答题：(本题有2小题,每小题10分，满分20分。)**
17．甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
18．如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值.
{width="2.173611111111111in" height="1.5138888888888888in"}
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（九）参考答案**
一、1、C 2、D 3、A 4、C 5、A 6、C 7、A 8、C
二、9、 96 10、 8 11、 x+y=-1 12、黄、红、白．13、 14、
15、 12499 16、
三、17．解：
> 设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm.
则
解得a=60 b=20
∴至少需要（h）
18、 解：连结PM，设DP=*x*，则PC=4－*x*，∵AM//OP
{width="2.173611111111111in" height="1.5138888888888888in"}
同理可求........................（8分）
因此
..................（13分）
当*x*=2时，上式等号成立............................（15分）
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**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.是的共轭复数，若为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有---段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长
安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先
至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A．日 B．日  C． 日 D．日
4.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C．  D．
5.动点满足，点为为原点，，则的最大值是（  ）
A． B． C． D．
6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）
A．  B．
C． D．
7.已知函数是奇函数，其中,则函数的
图象（ ）
A．关于点对称
B．可由函数的图象向右平移个单位得到
C．可由函数的图象向左平移个单位得到
D．可由函数的图象向左平移个单位得到
8.中，若，则（ ）
A． B．
C．是直角三角形 D．或
9.已知数列满足，若，
且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，
若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ）
A．？ B．？ C．？ D．？
12.已知满足，则
（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）\[来源:学\#科\#网\]**
13.数列满足：，且对任意的都有：，则 [ ]{.underline} ．
14.在中，，则的
值为 [ ]{.underline} ．
15.在中,角、、所对的边分别为、、，，且，
则面积的最大值为 [ ]{.underline} ．
16.已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
**三、解答题（本大题共6小题，共7****0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,且
.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18.（本小题满分12分）设数列的前和为，.
（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式；
（2）是否存在自然数,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说
明理由；
（3）设,若不等式,对
恒成立, 求的最大值.
19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点,点在单
位圆上, 且.
（1）求的值；
（2）若四边形是平行四边形.
①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；
②设,点,且,求关于的函数的解析式, 并求\[来源:Zxxk.Com\]
其单调增区间.\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
20.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）已知,当时, 有两个扱值
点,且,求的最小值.
21.（本小题满分12分）在单调递增数列中, ,且成等差数
列, 成等比数列，. \[来源:学科网\]
（1）①求证：数列为等差数列；
②求数列通项公式；
（2）设数列的前项和为,证明:.
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 是圆上两点, 延长至点,满足,过作直线与圆相切于点
的平分线交于点.
（1）证明:；
（2）求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应
的参数与曲线交于点.
（1）求曲线,的普通方程；
（2）是曲线上的两点, 求的值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求证:；
（2）若对任意实数都成立, 求实数的取值范围.
| 1 | |
**《平行四边形》同步练习**
一、判断题。
平行四边形的对角相等。 （ ）
二、 选择：
1\.  是（ ）
①长方形 ②正方形 ③平行四边形
2. 是（ ）
长方形 ②正方形 ③平行四边形
3、平行四边形的（ ）相等。
① 四个角\[来源:Z&xx&k.Com\]
② 四条边
③ 对边
三、识图题。
1. 把平行四边形的序号填在括号里。
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
\[来源:学科网ZXXK\]
平行四边形有（ ）。
2\. 数一数，图中有（ ）个三角形，（ ）个平行四边形。
四、在点子图上画出长方形与平行四边形。
\[来源:学科网ZXXK\]
参考答案：
一、判断题。
（√ ）
二、 选择：
1\. ①
2\. ③\[来源:学科网ZXXK\]
3．③
三、识图题。
1\. 把平行四边形的序号填在括号里。
平行四边形有（ 2，3， 4，6，7，9，10 ）。
2\. 数一数，图中有（ 5 ）个三角形，（ 3 ）个平行四边形。
四、略
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2020年初中毕业生学业水平（升学）考试试题卷
数学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用科学计算器．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列个袋子中，装有除颜色外完全相同的个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫．一志愿者得到某栋楼岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：，，，，，，，，．获得这组数据的方法是（ ）
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
4．如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A． B． C． D．
5．当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的两条对角线长分别是和，则此菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C． D．
10．已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．化简的结果是\_\_\_\_\_\_．
12．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为\_\_\_\_\_\_\_．
13．在"抛掷正六面体"的试验中，正六面体的六个面分别标有数字""""""""""""，在试验次数很大时，数字""朝上的频率的变化趋势接近的值是\_\_\_\_\_\_．
14．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是\_\_\_\_\_\_\_度．
15．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题：本大题10小题，共100分．
16．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
图①
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
图②
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
图③
17．年月，贵州省积极响应国家"停课不停学"的号召，推出了"空中黔课"．
为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生，根据调查结果，绘制出了如下统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
-------- -- -- -- -- -- --
时间
人数人
-------- -- -- -- -- -- --
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计图
（1）本次共调查的学生人数为\_\_\_\_\_，在表格中，\_\_\_\_\_\_；
（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是\_\_\_\_\_，众数是\_\_\_\_\_\_；
（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．
18．如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，，，求四边形的面积．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象向下平移个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．
20．"第二届贵阳市应急科普知识大赛"的比赛中有一个抽奖活动规则是：准备张大小一样，背面完全相同的卡片，张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到张卡片都是《辞海》的概率．
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．
21．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）。（参考数据：，，，）
图① 图②
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
22．第个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以"健康人生，绿色无毒"为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
23．如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
24．年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中表示）
-------------- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
时间（分钟）
人数（人）
-------------- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
（1）根据这分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有个，每个检测点每分钟检测人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
25．如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是\_\_\_\_\_，位置关系是\_\_\_\_\_\_；
图①
（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
图②
（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为，求的面积．
图③
2020年初中毕业生学业水平（升学）考试
数学学科参考答案
一、选择题：每小题3分，共30分
1-5：ADCAB 6-10：CBDCB
二、填空题：每小题4分，共20分
11． 12． 13． 14．
15．
三、解答题：本大题10小题，共100分．
16．解答案不唯一
（1）
图①
（2）
图②
（3）
图③
17．解：（1），
（2），
（3）认真听课，独立思考（答案不唯一）
18．解：（1）四边形是矩形，
，．
，即．
，
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
四边形是矩形
在中，，，
由勾股定理得，，即．
，
，
即，解得．
由（1）得四边形是平行四边形，又，高，
．
19．解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是，
当时，，
其中一个交点是
．
反比例函数的表达式是．
（2）一次函数的图象向下平移个单位，
平移后的表达式是．
由及，可得一元二次方程，解得，．
平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为，
（3）（答案不唯一）
20．解：（1）先将《消防知识手册》辞海辞海》分别记作，，然后列表如下：
+------+---+---+---+
| 第次 | | | |
| | | | |
| 第次 | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而张卡片都是《辞海》的有种：，
所以，（张卡片都是《辞海》）
（2）设添加张和原一样的《消防知识手册卡片，由题意得：
，解得，．
经检验，是原方程的根．
答：应添加张《消防知识手册》卡片．
21．解：（1）房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
，，．
在中，，，
，，．
（米）
答：屋顶到横梁的距离约是米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
，，
在中，，，
，，
，
，，，解得．
（米）
图②
答：房屋的高约是米．
22．解：（1）设单价为元的钢笔买了支，则单价为元的钢笔买了支，
根据题意，得，
解得．
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了．
（2）设笔记本的单价为元，根据题意，得
，
整理，得，
因为，随的增大而增大，所以，
取整数，
，．
当时，，
当时，，
所以笔记本的单价可能是元或者元
23．解：（1）在中，与都是所对的圆周角，
．
，
．
．
（2）是的切线，是的直径，
，，
．
又，．
，．
在中，，，，即．
，．
在中，，
，且，
，，
即
与都是所对的圆周角，
．
在中，，
，
即
24．解：（1）根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．
当时，，
二次函数的关系式可设为．
当时，；
当时，．
将它们分别代入关系式得．
解得
二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足
②当时，．
与的关系式为
（2）设第分钟时的排队人数是，根据题意，得
①当时，．
当时，．
②当时，，随的增大而减小，
．
排队人数最多时是人．
要全部考生都完成体温检测，根据题意，得
，
解得．
排队人数最多时是人，全部考生都完成体温检测需要分钟．
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意，得
，解得．
是整数，的最小整数是．
一开始就应该至少增加个检测点．
25．解：（1），；
（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，由正方形的性质及旋转可得
，，
是等腰直角三角形，，
，．
又点是的中点，
．
，．
，．
为等腰直角三角形．
，．
也为等腰直角三角形
又点为的中点，
，且．
的形状是等腰直角三角形．
图②
（3）延长交边于点，连接，．
四边形是正方形，是对角线，
由旋转得，四边形是矩形
，
为等腰直角三角形．
点是的中点，
，，．
．
，．
．
为等腰直角三角形，
是的中点，
，．
，，
．
图③
| 1 | |
第六单元演练
一、算一算。
36+2= 3+85= {width="2.361111111111111e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"} 85-5= 84-50=
27+3= 50+32= 63-30= 66-6=
二、连一连。
{width="0.4375in" height="0.19583333333333333in"}63+8 {width="0.4791666666666667in" height="0.21458333333333332in"}68+5 {width="0.4479166666666667in" height="0.20069444444444445in"}66{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}+6 {width="0.3854166666666667in" height="0.17291666666666666in"}67+3 {width="0.4270833333333333in" height="0.1909722222222222in"}65+9
{width="0.5159722222222223in" height="0.70625in"}74 {width="0.5159722222222223in" height="0.70625in"}71 {width="0.5159722222222223in" height="0.70625in"}{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}72 {width="0.5159722222222223in" height="0.70625in"}73 {width="0.5159722222222223in" height="0.70625in"}70
三、用竖式计算。
4{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}+29= 78-40= 21+49= 7+37=
{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}81-72= 52-8= {width="1.3888888888888888e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"} 39{width="1.875e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}+5= 1{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}0+81=
{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}
\[来源:学.科.网\]
四、找规律填数。
1\. 83{width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( ){width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( ){width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( ){width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( )
2\. 42{width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( ){width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( ){width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( ){width="0.3229166666666667in" height="0.27291666666666664in"}( )
五、在○里填上"\>""\<"或"="。
50-13○56+7 37+8○39+7 96-49○21+26
87-34○10+37 60-15○58-9 47+20○79-9
六、在{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}里填上合适的数字。
27\
[+3]{.underline}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}[ \
]{.underline} 6{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="1.5277777777777777e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} 8{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\
[ -25 \
]{.underline} {width="2.2222222222222223e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}6{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} 9{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\
[ ]{.underline} {width="2.2222222222222223e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"} [ -46 \
]{.underline} 4{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\[来源:学科网ZXXK\]
七、解决问题。
1\. 一件上衣45元,一条裤子45元。买一件上衣和一条裤子一共多{width="2.361111111111111e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}少元?
2\. 一节火车卧铺车厢有66个卧铺位,开车时有47位乘客,还有多少个卧铺位空着?
\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
3\. 小刚的电子琴上有36个白键,25个黑键。
(1)白键和黑键一共多少个? (2)黑键比白键少多少个?
4\.
------ -------- ------------------------
书包 水彩笔 文具盒
34元 26元 8元\[来源:学科网ZXXK\]
------ -------- ------------------------
(1)小明要买其中两种文具,至少要带{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}多少钱?
(2)妈妈带了50元,买了一个书包,还剩多少钱?
(3)你还能提出什么数学问题?试着解答出来。
\[来源:Zxxk.Com\]
第六单元演练答案
一、38 88 80 34 30 82 33 60
二、略
三、33 38 70 44 9 44 44 91
四、1. 74 65 56 47 2. 34 26 18 10
五、\< \< = \> \< \<
六、答案不唯一,如:7 4 5 0 1 5
七、1. 45+45=90(元) 2. 66-47=19(个)
3\. (1)36+25=61(个) (2)36-25=11(个)
4\. (1)26+8=34(元) (2)50-34=16(元)
(3)答案不唯一,如:一个书包和一个文具盒一共多少元?
34+8=42(元)
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第7课《考虑所有可能的情况一》试题附答案**
**答案**
二年级奥数上册：第十讲 考虑所有可能的情况（一）习题解答
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**数的整除性（一）**
三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：
** （1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。**
** （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。**
** （3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。**
** （4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。**
** （5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。**
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
** 例1** 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
** 分析与解**：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。
** 例2** 由2000个1组成的数111...11能否被41和271这两个质数整除？
** 分析与解**：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按"11111"把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，
因为2000个1组成的数11...11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111...11能被41和271整除。
** 例3** 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？
** 分析与解**：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；
（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；
（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。
容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。
对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。
对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。
综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。
** 例4** 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
** 分析与解**：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。
上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。
** 例5** 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
** 分析与解**：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。
假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。
**练习5**
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
3.173□是个四位数。数学老师说："我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。"问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
  
班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
**数的整除性（二）**
我们先看一个特殊的数------1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
** **** **
**能被7，11和13整除的数的特征：**
** 如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数A就不能被7或11或13整除。**
** 例2** 判断306371能否被7整除？能否被13整除？
** 解：**因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。
** 例3** 已知10□8971能被13整除，求□中的数。
** 解：**10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
2位数进行改写。根据十进制数的意义，有
因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。
根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。
** 分析与解**：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7
因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。由□44能被7整除，易知□内应是6。
下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。
** 判断一个数能否被27或37整除的方法：**
** 对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。**
** 例6** 判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；（2）8990615496。
** 解：**（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。
（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。
2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。
因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。
由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。
** 判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：**
为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。
** 对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。**
** 例7** （1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
** 解：**（1）上述变换可以表示为：
 
由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除
。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。
**练习6**
1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？
88205， 167128， 250894， 396500，
675696， 796842， 805532， 75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？
7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437，
11159126，131313555，266117778。
9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？
55119， 55537， 62899， 71258，
186637，872231，5381717。
**练习5**
1.是。提示：7018和1392分别是4205与2813的和与差。
2.14。
提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因数。4875= 3×5×5×5×13，用这些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这两个数是3×13=39和5×5=25。它们的差是39-25=14。
3.19。提示：先后填入的三个数依次是7，8，4。
4.123654和321654。
提示：由题意知，b，d，f是偶数，e= 5，所以a，c只能是1和3。
6，进而知f=4，所求数为123654和321654。
5.55人。
提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=9×10，所以总
（人）。
6.不能。
提示：假设能。因为前两个数的和能被3整除，第2、第3个数的和也能被3整除，所以第1、第3两个数除以3的余数相同。类似可知，排在第1，3，5，7，9位的数除以3的余数都相同。在1～9中，除以3的余数相同的数只有3个，不可能有5个。这个矛盾说明假设不成立。
**练习6**
1.能被7整除的有250894，675696，805532；
能被13整除的有88205，167128，805532，75778885。
2.1。
提示：175-62=113，只要□内填1，就有175-162=13。
4.能
5.能。提示：仿例5。
6.4。提示：仿例6。
7.0。
解：因为8765□4321能被21整除，所以能被7和3整除。
由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：
8765□4-321=876504+□0-321=876183+□0，
876-（183+□0）=693+□0。
由（693+□0）能被7整除，可求出□=0或7。
再由能被3整除的数的特征，□内的数只能是0。
8.能被27整除的数有：1884924，2560437，131313555，266117778。
能被37整除的数有：1861026，2560437，11159126，131313555。
9.能被19整除的数有：55119，55537，186637；
能被79整除的数有：55537，71258，5381717。
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**泸州市二0一七年高中阶段学校招生考试**
**数学试题**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
2\. "五一"期间，某市共接待海内外游客约人次，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3\. 下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4\. 下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
5\. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6\. 如图，是的直径，弦于点，若，则弦的长是（ ）
A． B． C． D．
7\. 下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
8\. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ）
9\. 已知三角形的三遍长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，故希腊的几何学甲海伦给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边分别为，其面积是
（ ）
A． B． C． D．
11.如图，在矩形中，点是边的中点，,垂足为，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
12\. 已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等，如图，点的坐标为，是抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题4分，满分12分，将答案填在答题纸上）**
13.在一个不透明的袋子中赚够4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是 [ ]{.underline} ．
14.分解因式： [ ]{.underline} ．
15.关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
16.在中，已知和分别是边上的中线，且，垂足为，
若，则线段的长为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 计算：
18\. 如图，点在同一直线上，已知，.求证：.
19.化简： .
四、本大题共2小题，每小题7分，共14分
20\. 某单位750名职工积极参加项贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用表示，根据统计数据绘制了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求这名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位名职工共捐书多少本？
21.某种为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新苟静的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金元.
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金元，请设计几种购买方案供这个学校选择.
**五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.**
22.如图，海中一渔船在处且与小岛相距70nmile，若该渔船
由西向东航行30nmile到达处，此时测得小岛位于的
北偏东方向上；求该渔船此时与小岛之间的距离.
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
23. 一次函数的图象经过点，且与反比例函数的图象
交于点
1. 求一次函数的解析式；
2. 将直线向上平移10个单位后得到直线：与反比例函数的图象相交，求使成立的的取值范围.
**六、本大题共两个小题，每小****题12分，共24分**
24.如图，⊙*O与*的直角边和斜边分别相切于
点与边相交于点,与相交于点，
连接并延长交边于点.
（1）求证：**//**
**（2）若求的长.**
**\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]**
25. 如图，已知二次函数的图象经过三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足
(是坐标原点)，求点
的坐标；
（3）点是该二次函数图象上位于一象限上
的一动点，连接分别交轴与点
若的面积分别为求的最大值.
泸州市二0一七年高中阶段学校招生考试数学试题参考答案
1. 选择题答案
------ --------------------------------------- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A C B D C B D C B D A C
------ --------------------------------------- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
二．填空题
13\. 14. 15. 16.
三．
17. 解：原式=9+1
18. 证明：BC**//EF**
四．
20. 解（1）捐D累书的人数为：
补图如上
（2）众数为：6 中位数为：6
平均数为：
21. （1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
解之得：
答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元.
2. 设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买（）个；由题意得：
解之得：
因为取整数，所以可以取的值为：8,9,10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个.
五．
22. 解：过点作于点，由题意得：
 设则：
，；
,即：
解之得：
答：渔船此时与岛之间的距离为50海里.
23. **（1）解：由题意得：**
 解之得：
所以一次函数的解析式为：
2. 直线向上平移10个单位后得直线的解析式为：；
得：；
解之得：
由图可知：成立的的取值范围为：
24. **（1）证明：与相切与点**
**（弦切角定理）**
**又与相切与点**
**由切线长定理得：**
即：DF**//AO**
2. **：过点作与**
**由切割线定理得：,解得：**
**\[来源:Zxxk.Com\]**
**由射影定理得：**
25. **解（1）由题意得：设抛物线的解析式为：；**
**因为抛物线图像过点,**
**解得**
**所以抛物线的解析式为：**
**即：**
**(2)设直线与****轴的交点为**
**当时，直线解析式为：**
**所以，点**
**当时，****直线解析式为：**
**所以，点**
**综上：满足条件的点有：\[来源:Zxxk.Com\]**
**（3）：过点P作PH//轴交直线于点，设**
**BC直线的解析式为**  **故：**
**AP直线的解析式为：**
**故：**
**；**
**即：**
**所以，当时，**有最大值，最大值为：.
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第1课《工程问题》试题附答案**
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**答案**
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**北师大版小学一年级下册数学第三单元《加与减一------采松果》同步检测1（附答案）**
一、
二、
三、算一算。来源：www.bcjy123.com/tiku/
52＋4 = 44＋4 = 5＋21 = 77－2 =
98－8 = 75－4 = 45－3 = 62＋5 =
四、填表。
五、看谁摘的果子多。
六、在○里填"﹥"、"﹤"或"="。来源：www.bcjy123.com/tiku/
58－4 58－6 35＋2 2＋35
46－6 20＋20 57－5 58－5
七、想一想，填一填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、20，22，24， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
2、31，34，37， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
八、
1、小明8岁时，爸爸多少岁？
2、10年后，爸爸比小明大几岁？
九、投飞镖游戏。
靶子上小圈里的1个表示得20分，小圈外的1个表示得2分。
请把各靶的得分写出来。
**部分答案：**
一、29－8 = 21（个）
二、32＋3 = 35（人）
三、56 48 26 75 90 71 42 67
四、39 37 70 61
五、79－3 = 76 79－8 = 71 79－7 = 72
79－9 =70 79－4 = 75 79－5 = 74
六、﹥ = = ﹤
七、1、26 28
2、40 43
八、1、8－5 = 3（岁） 36＋3 = 39（岁）
2、36－5 = 31（岁）
九、86分 68分 48分
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**济南小学六年级奥数题及答案解析：浓度问题**
1.浓度问题
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2.浓度应用题\
乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8％的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40％的硫酸溶液400千克.各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？\
**由题意知，**从甲、乙两容器中各取出一定量的溶液放入对方容器中，最终要达到两容器中溶液的浓度相等，在这个变化过程中，两容器中溶液的重量并没有改变。\
不妨设从甲、乙两容器中各取出硫酸溶液x千克放入对方容器中，可使甲、乙两容器中硫酸溶液的浓度相等.这时甲容器中硫酸的重量可表示为（600-x）×8％＋x·40％=48＋32％·x.甲容器中溶液的浓\
答：应从两容器中各取出240千克溶液放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度相同。\
上述问题还可以这样考虑：\
由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量：\
甲容器中纯硫酸的重量为600×8％=48（千克）；\
乙容器中纯硫酸的重量为400×40％=160（千克）；\
两容器中纯硫酸的重量和为48＋160=208千克，硫酸溶液的重量和为600＋400=1000千克。\
两容器中溶液混合后浓度为208÷1000=20.8％。\
所以应交换的硫酸溶液的量为：\
（600×20.8％-600×8％）÷（40％-8％）=240（千克）\
答：应从两容器中各取出240千克放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度一样。\
3.应用题\
育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？\
分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，五年级是三年级的125％×（1-10％），六年级是三年级的125％×（1-10％）×（1+10％）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。\
解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：\
x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，\
x×125％×90％×110％=x+38，\
1.2375x=x+38，\
0.2375x=38，\
x=160。\
三年级有160名学生。\
四年级有学生 160×125％=200（名）。\
五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）。\
六年级有学生 160+38=198（名）。\
160+200+180+198=738（名）。\
**答：**三至六年级共有学生738名。
工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5＝45/80表示5小时后进水量
1-45/80＝35/80表示还要的进水量
35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20\*4/5+1/30\*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效\>甲的工效\>乙的工效。
又因为，要求"两队合作的天数尽可能少"，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能"两队合作的天数尽可能少"。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
1/20\*（16-x）+7/100\*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量
（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据"甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成"可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。
1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+......+1/甲＝1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+......+1/乙+1/甲×0.5＝1
（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1/甲＝1/乙×2
又因为1/乙＝1/17
所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（4/5÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12\*（18-12）＝1/12\*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。
1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由"若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，"可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
\[1/x+1/（x+2）\]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120\*x＝（1-1/60\*x）\*2
解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4\*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789\.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1\~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10\~19，20\~29......90\~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+......+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100\~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1\~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000\~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的"1"还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005
从1000\~1999千位上一共999个"1"的和是999，也能整除；
200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值\...
解：
(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 \* B/(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。
对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大，
问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。
(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1
(A+B)/B = 100
(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，
所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。
当是102时，102/16＝6.375
当是103时，103/16＝6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据"新数就比原数增加2376"可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799\...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799......9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5\*4\*3\*2\*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25...①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2......②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1......③
由（4）知：a1＝a2+a3......④
再由②得a23＝a2－a3×2......⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2......⑤可知：a2\>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。
2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6\*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6\*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6\*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6\*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
56/4＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。
七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据"马跑4步的距离狗跑7步"，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据"狗跑5步的时间马跑3步"，可知同一时间马跑3\*7x米＝21x米，则狗跑5\*4x＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据"现在狗已跑出30米"，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由"甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时"可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解："快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车"就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈......100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）
答案为22米/秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由"猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步"可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由"猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步"可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a\*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=1/72 y=1/90
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120\*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。
因此360÷（1+1/5）＝300千米
从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率
2÷1/48＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为8/4\*3＝6小时
6\*33＝198千米
12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30
两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时
去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75
路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
"三人将五条鱼平分，客人拿出10元"，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。
又因为"甲钓了三条"，相当于甲吃之前已经出资3\*6＝18元，"乙钓了两条"，相当于乙吃之前已经出资2\*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案22/25
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润下降了2/5，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的22/25。
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据"周长减少25％"，可知周长是原来的3/4，那么半径也是原来的3/4，则面积是原来的9/16。
根据"体积增加1/3"，可知体积是原来的4/3。
体积÷底面积＝高
现在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是说现在的高是原来的高的64/27
或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝2/13
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份
工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5＝45/80表示5小时后进水量
1-45/80＝35/80表示还要的进水量
35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20\*4/5+1/30\*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效\>甲的工效\>乙的工效。
又因为，要求"两队合作的天数尽可能少"，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能"两队合作的天数尽可能少"。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
1/20\*（16-x）+7/100\*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量
（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据"甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成"可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。
1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+......+1/甲＝1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+......+1/乙+1/甲×0.5＝1
（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1/甲＝1/乙×2
又因为1/乙＝1/17
所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（4/5÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12\*（18-12）＝1/12\*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。
1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由"若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，"可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
\[1/x+1/（x+2）\]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120\*x＝（1-1/60\*x）\*2
解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4\*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789\.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1\~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10\~19，20\~29......90\~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+......+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100\~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1\~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000\~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的"1"还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005
从1000\~1999千位上一共999个"1"的和是999，也能整除；
200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值\...
解：
(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 \* B/(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。
对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大，
问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。
(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1
(A+B)/B = 100
(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，
所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。
当是102时，102/16＝6.375
当是103时，103/16＝6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据"新数就比原数增加2376"可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799\...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799......9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5\*4\*3\*2\*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25...①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2......②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1......③
由（4）知：a1＝a2+a3......④
再由②得a23＝a2－a3×2......⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2......⑤可知：a2\>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。
2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6\*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6\*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6\*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6\*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
56/4＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。
七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据"马跑4步的距离狗跑7步"，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据"狗跑5步的时间马跑3步"，可知同一时间马跑3\*7x米＝21x米，则狗跑5\*4x＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据"现在狗已跑出30米"，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由"甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时"可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解："快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车"就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈......100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）
答案为22米/秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由"猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步"可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由"猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步"可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a\*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=1/72 y=1/90
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120\*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。
因此360÷（1+1/5）＝300千米
从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率
2÷1/48＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为8/4\*3＝6小时
6\*33＝198千米
12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30
两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时
去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75
路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
"三人将五条鱼平分，客人拿出10元"，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。
又因为"甲钓了三条"，相当于甲吃之前已经出资3\*6＝18元，"乙钓了两条"，相当于乙吃之前已经出资2\*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案22/25
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润下降了2/5，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的22/25。
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据"周长减少25％"，可知周长是原来的3/4，那么半径也是原来的3/4，则面积是原来的9/16。
根据"体积增加1/3"，可知体积是原来的4/3。
体积÷底面积＝高
现在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是说现在的高是原来的高的64/27
或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝2/13
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份
小明有个苹果.小华有个苹果,一共多少苹果?
1+1=2 个
**赞同**
56道
1、修一条长2400米的公路，第一天修了全长的1/4，第二天修了余下的1/3，问还剩多少米？
解：2400×1/4=600，2400－600=1800，1800×1/3=600，1800－600=1200
答：还剩余1200米。
2、甲、乙、丙三人有人民币若干元，丙的钱数比甲少1/10，丙的钱数又比乙多1/2，已知甲的钱数比乙的钱数多200元，求甲、乙、丙三人各有人民币多少元？
解：方法一：设甲的钱数为X元，乙为（X-200）元，丙为9/10元；9/10X=3/2（X-200），0.9X=3/2（X-200），0.9X=1.5X-300，300=0.6X，X=300÷0.6,X=500
方法二：丙：甲=9/10:1=9:10，丙：乙=3/2：1=3：2=（3×3）：（2×3）=9：6，甲：乙：丙=10：6：9；200÷（10-6）=50（元）；50×10=500（元）...甲，50×6=300（元）...乙，50×9=450（元）...丙
答：甲、乙、丙分别为500、300、450元。
3、某班男生人数是女生人数的5/4，最近又转来一名女生，结果女生人数成了男生人数的5/6，求现在全班有多少人？
解：原来男：女=5：4=30：24；现在女：男=5：6=30：25；（25－24）÷1=1（人）；1×（30+25）=55（人）
答：全班有55人。
4、水果店运来一批水果，第一天卖出1200千克，第二天比第一天多卖出1/8，这时还余下总数的1/4，求这批水果共有多少千克？
解：1200×（1+1/8）=1350（千克）；（1200＋1350）÷（1---1/4）=3400（千克）
答：共有3400千克。
5、学校买来一批图书，放在两个书柜中，其中第一个书柜中的图书占这批图书的58%，如果从第一个书柜中取出32本，放到第二个书柜中，这时两个书柜的图书占这批图书的1/2，求这批图书共有多少本？
解：32÷（58%---1/2）=400（本）
答：共有400本。
6、五年级共有3个班，一班人数占全年级的10/33，三班人数比二班人数多1/11，如果从三班调走4人后，和二班人数同样多，求五年级共有多少人？
解：设二班有X人；12/11X---4=X，12/11X---X=4，1/11X=4，X=4÷1/11，X=44；44×（1+1/11）=48（人）；（44+48）÷（1---10/33）=132（人）
答：共有132人。
7、甲、乙两人在银行共存款若干元，已知甲的存款数1/4等于乙存款数的1/5，又知乙比甲多存了24元，求甲、乙两人各存款多少元？
解：设乙存了X元，甲（X---24）元；（X---24）×1/4=1/5X，1/4X---6=1/5X，1/4X---1/5X=6，1/20X=6，X=6÷1/20，X=120；120－24=96（元）
答：甲、乙两人各存款120、96元。
8、乘汽车从甲城到乙城去，原计划5又1/2小时，由于途中有36千米的道路不平坦，走这段道路不平的道路时，速度相当于原来的3/4，因此晚到1/5小时，求甲、乙两城之间的距离。
解：1/5÷（4---3）=1/5（小时），1/5×3=3/5（小时），36÷3/5=60（千米/小时），60×5又1/2=330（千米）
答：距离是330千米。
9、甲、乙两人从东、西两城相向而行，甲行了全程的5/11正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米，乙走完全程需要5又1/2小时，求东、西两城相距多少千米？
解：1÷5又1/2=2/11（千米/小时），1---2/11=9/11（千米/小时），6/11÷2/11=3（小时），3×4.5=13.5(千米)，13.5÷9/11=29.7(千米)
答：东、西两城相距29.7千米。
10、某超市运来红糖和白糖各一大袋，红糖重量的1/5比白糖重量的1/4还多2千克，两袋糖共重82千克，求红糖和白糖各多少千克？
解：设：红糖为X千克；1/5X---1/4（82---X）=2，1/5X---82/4+1/4X=2，9/20X---82/4=2，9/20X=2+82/4，X=50；82---50=32（千克）
答：红糖、白糖分别为50、32千克。
11、两根电线共长52米，第一根的1/4和第二根的2/5的和是16米，求两根电线各长多少米？
解：设：第一根长X米；1/4X+（52---X）×2/5=16，1/4X+104/5---2/5X=16，-3/20X+104/5=3/20X，24/5=3/20X，X=24/5 ×20/3，X=32；52---32=20（米）
答：第一根电线长32米，第二根电线长20米。
12、兄弟4人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的1/2，老二出的钱是另外三人出钱总数的1/3，老三出的钱是另外三人出钱总数的1/4，老四比老三我出40元，问这台彩电多少钱？
解：1---1/3---1/4---1/5=13/60，13/60---1/5=1/60；40÷1/60=2400（元）
答：这台彩电2400元。
13、甲、乙两人星期天一起去买东西，两人身上所带的钱共计86元。在友谊商场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的4/9，乙买一件衬衫花去了人民币16元。这样，两人身上所剩的钱正好一样多。甲、乙两人原先各带了多少钱？
解：设甲带了X元；X---4/9X=86---X---16，5/9X=70---X，X+5/9X=70，14/9X=70，X=45；86---45=41（元）
答：甲、乙两人原先各带了45、41元。
14、食堂运来一批大米，第一天吃了全部的2/5，第二天吃了余下的1/3，第三天吃了又余下的3/4，这时还剩下15千克，食堂共运来大米多少千克？
解：15÷（1---3/4）÷（1---1/3）÷（1---2/5）=150（千克）
答：食堂共运来大米150千克。
15、有大、小两种西红柿罐头，第一次买了2个小罐头，3个大罐头，共重5又9/10千克；第二次买了2个小罐头，7个大罐头，共重13又1/10千克，求大、小每个罐头各重多少千克？
解：13又1/10---5又9/10=7.2；7.2÷(7---3)=1.8；（5又9/10---1.8 ×3）÷2=0.25(千克)
答：大、小每个罐头各重1.8、0.25千克。
16、有两本书，第一本书页数的1/2和第二本书页数的1/3合在一起是130页，第一本书页数的1/3和第二本书页数的1/2合在一起是120页，求这两本书各是多少页？
解：设：第一本有X页；1/3X+（130---1/2X）×3×1/2=120，1/3X+（130---1/2X）×3/2=120，1/3X+195---3/4X=120，75=5/12X，X=180；（130---1/2×180）×3=120（页）
答：第一本有180页，第二本有120页。
17、甲、乙、丙三人，甲、乙两人的体重之和是98又1/2千克，乙、丙两人的体重之和是112又1/2千克，甲、丙两人的体重之和是111千克，求三人的体重各是多少千克？
解：（98.5+112.5+111）÷2=161(千克)；161---98.5=62.5(千克)...甲；161---112.5=48.5(千克)...乙；161---111=50(千克)...丙。
答：甲、乙、丙三人的体重各是62.5、48.5、50千克。
18、有甲、乙两种金属，甲金属的1/16和乙金属的1/33重量相等，而乙金属的1/55比甲金属的1/40重7克，求两种金属各重多少克？
解：设：甲金属重量为X克；（1/40X+7）÷1/55=1/16X÷1/33，55/40X+385=33/16X，385=33/16X---55/40X，385=11/16X，X=385÷11/16X，X=385÷11/16，X=560；（560 ×1/4+7）÷1/55=1155（克）
答：甲、乙两种金属各重560、1155克。
19、一个书架分上下两层，共放书360本，如果把上层的1/10放入下层，上、下层的本数相等，求上、下层原来各放书多少本？
解：设上层放书X本；1/10X+（360---X）=9/10X，1/10X+360---X=9/10X，360=9/10X---1/10X+X，360=18/10X，X=200；360---200=160（本）
答：上、下层原来各放书200、160本。
20、一瓶酒精，当用去了1/2，连瓶共重700克，当用去酒精的1/3后，连瓶共重800克，求瓶子的重量是多少克？
解：1/2---1/3=1/6；800---700=100；100÷1/6=600；600×1/2=300；700---300=400（克）
答：瓶子的重量是400克。
21、甲、乙、丙三人共植树697棵，已知甲植树棵数的1/2等于乙植树棵数的2/5，甲植树棵数的1/3等于丙植树棵数的2/7，问甲、乙、丙分别种树多少棵？
解：设甲种了X棵树；1/2X÷2/5+1/3X÷2/7+X=697，5/4X+7/6X+X=697，41/12=697，X=204；204×1/3÷2/7=238；697---204---238=255（棵）
答：甲、乙、丙分别种树204、238、255棵。
22、某车间缺勤人数是出勤人数的1/10，后来又有两人因事请假，这时缺勤人数是出勤人数的1/8，求全车间共有多少人？
解：设：后来有X人缺勤；X+2=1/8（10X---2），X=9；10×9+9=99（人）
答：全车间共有99人。
23、一条公路，第一天修了全长的1/8多5米，第二天修了全长的1/5少14米，还剩下63米，求这条公路有多少米？
解：设：这条公路有X米；X---（1/8X+5）---（1/5X---14）=63，X---1/8X---5---1/5X+14=63，27/40X---5+14=63，27/40X=63+5---14，X=80
答：这条公路有80米。
24、大、小两瓶油共重2.7克。小瓶用去0.3千克后，剩下的油与大瓶油重量的比是1：2，求大、小瓶原来油各是多少千克？
解：设小瓶有X千克；（X---0.3）×2=2.7---X，2X---0.6=2.7---X，2X+X=2.7+0.6，3X=3.3，X=1.1；2.1---1.1=1.6(千克)
答：大、小瓶原来油各是1.1、1.6千克。
注：利润=售价---成本；利润率=（售价---进价）÷进价×100%；预定售价=预定利润+进价；买价=利润+进价；本息和=本金+利金；利息=本金×利率×时间；税后利息=本金×利率×（1---5%）
25、某商品在原定价的基础上打八五折出售，仍能获得15%的利润，问定价时期望的利润是多少？
解：设现售价为A，进价为B，原定价为C，期望利润率为X，售价是原定价的85%，即A=85%C，C=A/85%，而A=（1+15%）B，即B=A/115%，那么X=（C---B）÷B×100%，X=（C/B---B/B）×100%，
，X=（115%/85%---1）×100%，X=135%---100%，X=35%
答：定价时期望的利润是35%。
26、某商品按20%的利润定价，然后按8.8折卖出，实际获得利润84元，求商品的成本是多少元？
解：设成本是X元；（X+20%X）×0.88=X+84,120%X×0.88=X+84,105.6%X=X+84,105.6%X---X=84，5.6%X=84,X=1500
答：成本是1500元。
27、一件商品随季节变化降价出售，如果按现价降价10%，仍可获利180元，如果降价20%就要亏损240元，这件商品的进价是多少元？
解：设进价是X元；（X+180）×（1---10%）×（1---20%）=X---240，（X+180）×10/9×80%=X---240，（X+180）×8/9=X---240，8/9X+160=X---240，240+160=X---8/9X，X=3600
答：进价是3600元。
28、一件商品按20%的利润定价，然后又按8折售出，结果亏损了64元，这件商品的成本是多少元？
解：设成本为X元；（X+20%X）×80%=X---64，120%X×80%=X---64，96%X=X---64，64=X---96%X，64=4%X，X=1600
答：成本是1600元。
29、某件商品按每个5元利润卖出4的钱数，与按每个利润20元卖出3个的钱数一样多，这种商品的成本是多少元？
解：设成本是X元；（X+5）×4=(X+20)×3,4X+20=3X+60,4X---3X=60---20，X=40
答：这种商品的成本是40元。
30、小刘决定将压岁钱8000元存入银行三年，当年的年利率为6.36%,三年后到期共取出多少元？（需交利息税）
解：8000×3×6.36%=1526.4；1526.4×(1---5%)=1450.08；8000+1450.08=9450.08
答：共取出9450.8元。
31、小吴在一家IT公司工作，今年6月份一共得到的收入为4200元，根据《中华人民共和国个人所得税》的规定：超过1600元至2100的部分应交纳5%的税，超过2100元至3600的部分应交纳10%的税，超过3600元至6600的部分应交纳15%的税，......求这个月小吴应交纳税金多少元？
解：（2100---1600）×5%=25；（3600---2100）×10%=150；（4200---3600）×15%=90；25+150+90=265
答：应交纳税金265元。
32、小李把800元的零花钱存入银行，定期一年，年利润是1.92%，到期时他把所得到的利息支援"希望工程"，求到期时小李支援"希望工程"多少钱？
解：800×1.92%×(1---5%)=14.592(元)
答：支援"希望工程"14.592元。
33、王华的爸爸把80000元存入银行，二年年利率为2.16%，求到期时王华的爸爸可以从银行取回多少钱？
解：80000×2×2.16×(1---5%)=3283.2;80000+3283.2=83283.2（元）
答：取回83283.2元。
34、在股票交易中，每买进或卖出一种股票都需交纳成交金额的0.35%的印花税和0.15%的佣金（手续费），老杨2月12日以每股8.6元的价格买进4000股，4月24日以每股10.24元全卖出了这种股票，求老杨买卖这种股票一共赚了多少元？
解：8.6×4000=34400;4000×10.24=40960;400960×0.35%=143.36;40960×0.15%=61.44;40960---143.36---61.44---34400=6183.2（元）
答：老杨买卖这种股票一共赚了6183.2元。
35、商店以每双6.5元购进一批凉鞋，售价为每双8.7元，当卖得只剩下1/4时，不仅收回了购进这批凉鞋所付出的款项，而且已获利20元，这批凉鞋共有多少双？
解：设凉鞋有X双；8.7×X×3/4－6.5X=20,8.7×X×3/4×4－6.5×4X=20×4,8.7×3×X－6.5×4X=80,26.1X－26X=80,0.1X=80,X=800
答：这批凉鞋共有800双。
36、成本是1.2元的笔记本1800本，按30%的利润出售，当售掉80%后，剩下的笔记本降价出售，结果获得的利润是预定的85%，问剩下的笔记本的售价是原定价的百分之几？（百分号前保留一位小数）
解：设剩下的笔记本的售价是原定价的百分之X；13×0.8+13×0.2X－1=0.3×0.85,0.26X=0.215,X≈82.7%
答：剩下的笔记本的售价是原定价的82.7%。
37、商店以每枝10元的价格购进一批钢笔，售价为13元，卖到还剩20%时，除去成本，还获利48元，问这批钢笔共有多少支？
解：设这批钢笔有X支；（1---20%）×X×13---10X=48，80%×13---10X=48，55/5X---10X=48，X=120
答：这批钢笔共有120支。
38、某种少年读物，如果按原定价格销售，每售一本，获利0.24元，现在降价销售，结果售书量增加一倍，获利增加0.5倍，问：每本书的售价降价多少元？
解：设每本降价X元；（1+0.5）×1×0.24=2(0.24－X),0.36=0.48－2X,2X=0.12,X=0.06
答：每本书的售价降价0.06元。
39、某书店出售一种挂历，每售出一本可获利18元，售出一部分后每本减价10元出售，全部售完，已知减价出售的挂历本数是原价出售挂历本数的2/3，书店售完这种挂历共获利2870元，书店共售出这种挂历多少本？
解：设这种挂历有X本；
8×2/5X+18×3/5X=2870
16/5X+54/5X=2870
14X=2870
14X=2870
X=205
答：书店共售出这种挂历205本。
40、植物园每张个人票5元，供1个人入园，每张团体票30元，供不超过10人的团体入园，买10张或更多团体票可优惠10%，某学校组织秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时有增加两人，幸好这两人带来了m元钱，结果147人刚好都能购票入园，m是多少元？
解：145÷10=14......(5);14×30×(1－10%)=378;30×90%－5×5=2(元)
答：m是2元。
41、甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按80%与50%的利润出售，两人全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套（进价不变），甲原来购进这种时装多少套？
解：设甲购进X套；1×80%×X－1×50%×1.2X=10,0.8X－0.6X=10,0.2X=10,X=50
答：甲原来购进这种时装50套。
42、甲商品的定价中含20%的利润，乙商品的定价中含40%的利润，甲、乙两种商品的定价相加是480元，甲的定价比乙的定价高60元，求甲、乙两种商品的成本各是多少元？
解：（480+60）÷2=270;480－270=210;270×(1－20%)=225...甲;210×(1－40%)=150...乙
答：甲、乙两种商品的成本各是225、150元。
43、李华到商店买一盒花球、一盒白球两盒球的数量相等，花球原价是1元钱2个，白球原价是1元钱3个，节日降价，两种球的售价都是2元钱5个，结果李华少花了4元钱，那么他共买了多少个球？
解：设一盒有X个；1/2X + 1/3X － 2/5X×2=4，1/2X + 1/3X －4/5X=4，1/30X=4，X=4÷1/30，X=120；120×2=240（个）
答：他共买了240个球。
44、小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元，由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？
解：设买了红笔X支；5X×85%+(66－X)×9×80%=\[5X+9(66－X)\]×（1-18%）,4.25X+7.2(66－X)=(9×66－4X)×0.82,4.25X+475.2－7.2X=594×0.82－3.28X, 4.25X+475.2－7.2X=487.08－475.2,0.35X=11.88,X=36
答：他买了红笔36支。
45、在12千克含盐15%的盐水中加水，使盐水中含盐9%，需要加水多少千克？
解：设需要加水X千克；12×15%÷9%=12+X,1.8÷9%=12+X,20=12+X,20－12=X,8=X
答：需要加水8千克。
46、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%，需要加盐多少千克？
解：设需要加盐X千克；20×15%+X=20%×(X+20),3+X=1/5X+1,X=5/4
答：需要加盐5/4千克。
47、有一种糖水的浓度为35%，现在用这种糖水多少千克加多少千克的水才能稀释成800千克浓度是1.75%的糖水？
解：设需加X千克的水；（800－X）×35%=800×1.75%,280－35%X=14,280－35%X=14,280－14=35%X,X=760；800－760=40（千克）
答：用这种糖水40千克加760千克的水。
48、有含盐10%的盐水30千克，要使盐水含盐25%，需要加盐多少千克？
解：设需要加盐X千克；30×10%+X=25%X（X+30），3+X=25%X+7.5,X－25%X=7.5－3,75%X=4.5,X=6
答：需要加盐6千克。
49、一容器内有浓度为15%的盐水，若再加入20千克的水，则盐水的浓度变为10%，问这个容器内原来含盐多少千克？
解：设容器内原来含盐X千克；X÷15%+20=X÷10%，X÷15%+20=X÷10%，100/15X+20=10X，20=10X－100/15X，20=50/15X，X=6
答：这个容器内原来含盐6千克。
50、有浓度为10%的酒精溶液50千克，要配制成浓度为30%的酒精溶液100千克，需要加水和酒精各多少千克？
解：100×30%=30,100－30=70；50×10%=5，50－5=45；30-5=25...酒精；70－45=25...水
答：需要加水和酒精各25千克。
51、260克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，需含盐9%的盐水多少千克？
解：设需含盐9%的盐水X千克；260×5%+9%×X=（X+260）×6.4%，13－19%X=0.064X+260×0.064,0.09X－0.064X=16.64－13,X=140
答：需含盐9%的盐水140千克。
52、两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水，倒在一起后混合食盐水的浓度为30%，若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%，那么原有40%的食盐水多少克？
解：设40%的盐水为X，第二杯为Y；40%X+10%Y=30%（X+Y），X=2Y；40%X+10%Y+300×20%=(X+Y+300)×25%,Y=100;X=100×2=200
答：那么原有40%的食盐水200克。
53、A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精纯酒精的含量为36%，C种酒精纯酒精的含量为35%，配制成38.5%的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？
解：设C种酒精有X升；40%\[11－（X+3）－X\]+36%（X+3）+35%X=38.5%×11,X=0.5；11－（0.5+3）－0.5=7(升)
答：其中A种酒精有7升。
54、在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？
解：设再加入X千克浓度为5%的硫酸溶液；100×50%+5%X=（100+X）×25%，50+5%X=25+25%X，50－25=25%X－5%X，25=20%X，X=125
答：再加入125千克浓度为5%的硫酸溶液。
55、配制成浓度为25%的糖水1000克，需用浓度为22%和27%的糖水各多少克？
解：设需用22%的糖水X克，27%的糖水为（1000－X）克；\[22%×X+（1000－X）×27%\]÷25%=1000；88%X+1080－1080X=1000，X=400；1000－400=600
答：需用浓度为22%和27%的糖水400、600克。
56、浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，问每种盐水多少克？
解：设18%为X，16%为（X－30），20%为\[100－X－（X－30）\]；
\[18%X+（X－30）×16%+（100－X－X+30）×20%\]÷18.8=100,X=40；
40－30=10...16%；100－40－10=50...20%
答：浓度为20%、18%、16%的三种盐水分别为50、40、10克。
六年级奥数讲义上：长方体和正方体
六年级奥数讲义上：长方体和正方体习题
六年级奥数讲义上：长方体和正方体习题解答
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第17课《发现图形的变化规律》试题附答案**
**答案**
一年级奥数上册：第十七讲 发现图形的变化规律 习题
一年级奥数上册：第十七讲 发现图形的变化规律 习题解答
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 第六节：美丽的田园**
一、口算。
6＋7= 12－7= 7＋8=
14-8=  9+6 = 16－8=
16－8= 5+6= 12-8=
9+5= 13-7= 17-2=
二、判断下面等式对不对？对的画"√"，错的画"×"。
13-6=5 （ ） 15-7=9 （ ） 11-2=9 （ ）
6+9=15 （ ） 16+4=20（ ） 13-9=5 （ ）
三、填空。
1、15比（ ）多3 2、（ ）比12少5 3、（ ）比20少5
4、17比（ ）少3 5、（ ）比19多1 6、（ ）比12多4
四、数一数，填一填。
1、⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙  ☆☆☆☆\[来源:学科网ZXXK\]
☆比⊙少（ ）个。
⊙比☆多（ ）个。
2、△△△△△ □□□□□□□
□比△多（ ）个。
△比□少（ ）个。
五、应用题。
1.小文和小东比踢毽子，小文踢了18下，小东踢了9下。问：
（1）小文比小东多踢了多少下？
（2）小东比小文少踢了多少下？
2、小明有18枝彩色笔，小刚借走了9枝，小明还有几枝？
3、小方有18枝铅笔，小红有9枝，小红比小明少多少枝铅笔？
答案
一、\[来源:学科网ZXXK\]
6＋7=13 12－7=5 7＋8=15
14-8=6 9+6 =15  16－8=8\[来源:学科网\]
16－8=8 5+6=11 12-8=4
9+5=14 13-7=6 17-2=15
二、
13-6=5 （× ） 15-7=9 （× ） 11-2=9 （ √）\[来源:学科网\]
6+9=15 （√ ） 16+4=20（√ ） 13-9=5 （ ×）
三、
1、12 2、 7 3、 15
4、20 5、 20 6、 16
四、数一数，填一填。
1、☆比⊙少（6 ）个。
⊙比☆多（6 ）个。
2、□比△多（ 2 ）个。
△比□少（ 2）个。
五、
1\. （1）18-9=9（下） 答：小文比小东多踢了9下。
（2）18-9=9（下） 答：小东比小文少踢了9下。
2、18-9=9（枝） 答：小明还有9枝.\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
3、18-9=9（枝） 答：小红比小明少9枝铅笔？。
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**小升初总复习数与代数篇**
**第一单元 数的认识**
**第1节 整数和小数的认识**
知识梳理
1.整数、小数的分类
>  
2.整数和小数数位顺序表。
<table><tbody><tr class="odd"><td>整数部分</td><td>小数点</td><td>小数部分</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td>数位</td><td>…</td><td>千亿位</td><td>百亿位</td><td>十亿位</td><td>亿位</td><td>千万位</td><td>百万位</td><td>十万位</td><td><p>万</p><p>位</p></td><td><p>千</p><p>位</p></td><td><p>百</p><p>位</p></td><td><p>十</p><p>位</p></td><td><p>个</p><p>位</p></td><td>·</td><td>十分位</td><td>百分位</td><td>千分位</td><td>…</td></tr><tr class="odd"><td>计数单位</td><td>…</td><td><p>千</p><p>亿</p></td><td><p>百</p><p>亿</p></td><td><p>十</p><p>亿</p></td><td>亿</td><td><p>千</p><p>万</p></td><td><p>百</p><p>万</p></td><td><p>十</p><p>万</p></td><td>万</td><td>千</td><td>百</td><td>十</td><td>个</td><td>·</td><td>十分之一</td><td>百分之一</td><td>千分之一</td><td>…</td></tr><tr class="even"><td>数级</td><td></td><td>亿级</td><td>万级</td><td>个级</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
3.整数、小数的读写法
读整数时，从高位读起，一级一级地读，每级末尾的0都不读，其他数位上有一个0或连续有几个0，都只读一个0；写整数时，从高位写起，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写0。
读小数时，整数部分按照整数部分读，小数点读作"点"，小数部分的数按照顺序依次读出每一位上的数；写小数时，整数部分按整数部分写，小数点写在个位右下角，然后依次写出小数部分每一个数位上的数字。
4.小数的基本性质： 在小数的末尾添上"0"或者去掉"0"，小数的大小不变。
5.大小比较：整数比大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数大；小数比大小，先比整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的，比小数部分第一位，第一位大的这个数大，以此类推。
6.改写和省略
把一个较大的数改写成以"万"或"亿"作单位，改写后的数是准确的数；把一个数根据需要省略某一位后面的尾数，省略后的数是一个近似数。
7\. 小数点位置移动引起小数大小变化：小数点向右移动一位、两位、三位......原来的数就扩大到它的10倍、100倍、1000倍......反之，小数点向左移动一位、两位、三位......原来的数就缩小到它的、、......
**典例精讲**
【例1】阅读下面内容，回答问题。
11月，在我国经济快速增长的拉动下，我国汽油生产总量为6899000吨，我国柴油生产总量为14132000吨，发电量达37130000万千瓦时。
（1）11月我国汽油生产总量，读作：（ ）吨，改写成以"万吨"作单位的数是（ ）万吨。
（2）11月我国柴油生产总量改写成以"万吨"作单位的数，并保留整数约是（ ）万吨。我国发电量改写成用"亿"作单位的数，是（ ）亿千瓦时。
【分析】本题集中考查了"读数"以及"改写数"方面的知识。较大的多位数改写成用"万""亿"作单位的数。这里有两种情况：一种是把较大的多位数直接改写成用"万""亿"作单位的数，不满万或亿的尾数直接改写成小数；另一种是根据需要省略万位或亿位后面的尾数，这时需要把原来的多位数按照四舍五入法写成它的近似数。
【解】（1）六百八十九万九千 689.9
（2）1413 3713
即时演练
1\. 太平洋的面积约为[一亿八千万]{.underline}平方米是世界第一大洋。横线上的数写作：（ ），改写成用"亿"作单位的数是（ ），四舍五入到亿位是（ ）亿。
2\. 由8个亿，4个千万，6个十万，5个千，8个百，2个一组成的数是（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）。
【例2】一个数由30个一，8个十分之一和21个千分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ）。这个数保留整数是（ ），精确到十分位是（ ）；如果把这个数缩小到原来的，这个数的小数点向（ ）移动（ ）位，是（ ）。
【分析】（1）这个数的整数部分是30，十分位上是8，百分位、千分位上分别是2、1，这个数是：30.821，读作：三十点八二一。（2）要把这个数保留整数，先看它的十分位上是几。30.821的十分位上是8，大于5，向个位上进一，约是31。（3）要把这个数精确到十分位，先看它的百分位上是否满五。它的百分位上是2，小于5，舍去，约是30.8。（4）把30.821缩小到原来的，就是将它的小数点向左移动两位，得0.30821.
【解】30.821 三十点八二一 31 30.8 左 两 0.30821
即时演练
3.由3个百，7个一，8个十分之一，和6个0.001组成的数是（ ），保留一位小数是（ ）。
4.最小的两位小数是（ ），整数部分是0的最大两位小数是（ ）。
5.一个三位小数，用"四舍五入"法精确到百分位约是5.00，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。
**毕业升学训练**
**\*轻松过关节节练**
一、知识储备所。（36分）
**1.第六次人口普查，我国人口为[十三亿三千九百七十二万四千八百五十二]{.underline}人。十三亿三千九百七十二万四千八百五十二，写作（ ），省略亿后面的尾数约是（ ）亿。**
**2.90.35，读作（ ），它是由（ ）个0.01组成；2.025的计数单位是（ ），它包含有（ ）个这样的单位。**
**3.65321是（ ）位数，最高位是（ ），3在（ ）位上，千位上是（ ），它再加上（ ）就和最小的六位数一样大。**
**4.一个八位数，它的最高位上的数字是8，十万位上的数字是4，其他各位上的数字都是0，这个数写作：( )，读作：（ ）。**
5."＋30米"表示起点的东边30米处。如果小刚从起点向东250米后再向西走360米，那么小刚这时的位置可以表示为（ ）。
6\. 20.3扩大到它的100倍是（ ），12.3缩小到它的是（ ）。
7.在0.、0.777、0.、0.、0.76中，（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）。
二、火眼金睛辨对错。（12分）
1\. 384680.56四舍五入到万位约是384万。 （ ）
2.如果5□800≈5万，那么□里可以填0,1，2,3,4中的任一数。 （ ）
3.一个数的最高位是亿位，这个数是九位数。 （ ）
4.如果－88元表示支出88元，那么收入180元可以记作＋180元。 （ ）
5.气温0℃比－7℃温度高一些，比＋6℃温度低一些。 （ ）
6\. 6080050读作：六千零八十万零五十。 （ ）
三、对号入座。（10分）
1.由六十亿、九亿和四千组成的数是（ ）。
A. 6090004000 B. 6900004000 C. 69000004000 D.6094000
2.下面（ ）精确到万位约是50万。
A. 505100 B.501500 C. 494900 D.50001
3.小鸭子向西游了120米，记作＋120米，小鸭子向（ ）游120米记作－120米。
A.北 B. 东 C.西 D.南
4.用0,1,3,5这四个数字组成是5的倍数的四位数共有（ ）个。
A.4 B. 6 C.10 D.8
5.18.保留两位小数是（ ）
A.18.49 B.18.50 C.18.51 D.19.50
四、解决问题。（42分）
1.用下面的数字卡片和小数点卡片按不同的要求摆出小数。
（1）小于1且小数部分是三位数的所有小数。（6分）
（2）大于7且小数部分是三位的所有小数。（6分）
2\. 潜水艇A 所在高度为海拔-56m,潜水艇B所在的高度比A高出10m，则潜水艇B所在的高度是多少米？（10分）
3.一个两位小数，用"四舍五入"法保留一位小数是32.5，这个两位小数可能是多少？（10分）
4\. 甲、乙两数的和是61.93，乙数的小数点向右移动一位就等于甲数，甲、乙两数各是多少？（10分）
**\*冲刺名校**
4÷7商的小数点后面第2012个数字是几？这2012位上各位数字的总和是多少？（10分）
答案
**34679 4.80400000 八千零四十万 5.-110米 6.2030 0.123 7.** 0.、0.777、0.、0.76、0.
二、1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.×
三、1.B 2.B 3.B 4.C 5.B
四、1.（1） 0.457 0.475 0.547 0.574 0.745 0.754 （2）7.045 7.054 7.405 7.450 7.540 7.504
2.－46m
3.32.45\~32.54
4.乙数：61.93÷（1+10）=5.63 甲数：5.63×10=56.3
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**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------分一分（二）》同步检测2（附答案）**
一、小法官巧断案。（对的打"√"，错的打"×"）
1.把一个西瓜分成8份，每份占它的。（ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/
2.树上有12只小鸟，飞走了4只，飞走的是所有鸟的。（ ）
3.左图中的阴影部分用分数表示。（ ）
4.分数的分母表示平均分成的总分数。（ ）
二、看图填一填。
1\.
1. 公鸡是动物总数的；
2. 小鸟是动物总数的；
3. 母鸡是动物总数的；
2.
1. 飞机的数量占运输工具总数的；
2. 汽车的数量占运输工具总数的；
3. 船的数量占运输工具总数的；来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、根据分数圈一圈。
1\.
2.
3. 来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、按照所圈图形选出合适的分数，在（ ）里打"√"
1\.
（ ） （ ） （ ）
2.
（ ） （ ） （ ）
3\.
（ ） （ ） （ ）
五、用分数表示每幅图中每种物体的个数占全部的几分之几。
1.
草莓（ ） 西红柿（ ）
2\.
蜻蜓（ ） 蝴蝶（ ）
3.
西瓜（ ） 蛋糕（ ）
参考答案
一、1.× 2.√ 3.√ 4.√
二、1.（1） （2） （3）
2.（1） （2） （3）
三、自己圈一圈吧！
四、1.（√） 2.（√） 3.（√）
五、1. 2. 3.
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**数学（理）试题**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 是的共轭复数，若为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2\. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3\. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有---段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A． 日 B．日 C． 日 D．日
4\. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5\. 动点满足，点为为原点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6\. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
7\. 已知函数是奇函数，其中,则函数的图象（ ）
A．关于点对称
B．可由函数的图象向右平移个单位得到
C．可由函数的图象向左平移个单位得到
D．可由函数的图象向左平移个单位得到
8\. 中，若，则（ ）
A． B．
C．是直角三角形 D．或
9\. 已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10\. 如图，正方形中，是的中点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
11\. 已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ）
A． ？ B．？ C．？ D．？
12\. 已知满足，则（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 数列满足：，且对任意的都有：，则 [ ]{.underline} ．
14\. 在中，，则的值为 [ ]{.underline} ．
15\. 在中,角、、所对的边分别为、、 ，，且，则面积的最大值为 [ ]{.underline} ．
16\. 已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,且.
（1）求角的大小;
（2）求的取值范围.
18\. （本小题满分12分）设数列的前和为，.
（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出 和关于的表达式;
（2）是否存在自然数,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说明理由;
（3）设,若不等式,对恒成立, 求的最大值.
19\. （本小题满分12分）如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点,点在单位圆上, 且.
（1）求的值;
（2）若四边形是平行四边形.
①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程;
②设,点,且,求关于的函数的解析式, 并求其单调增区间.
20\. （本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围;
（2）已知,当时, 有两个扱值点,且,求的最小值.
21\. （本小题满分12分）在单调递增数列中, ,且成等差数列, 成等比数列，.
（1）①求证：数列为等差数列;
②求数列通项公式；
（2）设数列的前项和为,证明:.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 是圆上两点, 延长至点,满足,过作直线与圆相切于点的平分线交于点.
（1）证明:;
（2）求的值.
23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数与曲线交于点.
（1）求曲线,的普通方程;
（2）是曲线上的两点, 求的值.
24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求证:;
（2）若对任意实数都成立, 求实数的取值范围.
**河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试数学**
**（理）试题参考答案**
一、**选择题（每小题5分，共60分）**
**1-5.DADBD 6-10.CCDCB 11-12.BB**
**二、填空题（每小题5分，共20分）**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：解：（1）由正弦定理可得，,从而可得,又为三角形的内角, 所以,于是,又为三角形的内角, 因此.
（2）,由可知,
,从而,因此,故的取值范围为.
18\. 解：（1）由,得,相减得.
,由
,得,即存在满足条件的自然数.
（3）,,即单调递增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.
故符合条件的最大值为 .
19\. 解：（1）由三角函数定义得,所以.
（2）四边形是平行四边形, 所以与互相平分.
①设中点为,,则,又,代入上式得点的轨迹方程.
②依题意得,又由①知,,
或的增区间为
和.
20\. 解：（1）由已知可得在上恒成立, 恒成立,, 记,当且仅当时等号成立,.
（2），当时，由，由已知有两互异实根，由根与系数的关系得，
.
令,,
,单调递减,.
21\. 解：（1）①因为数列单调递增数列,, 由题意 成等差数列, 成等比数列得. ,于是 , 化简得 , 所以数列为等差数列.
②又,所以数列的首项为,公差为,从而.结合可得,因此,
当为偶数时,当为奇数时.
（2）求数列通项公式为:, 因为,所以,
则有.
22\. 解：（1）由题可知,,
故,故.
（2）因为与分别为圆的切线和割线, 所以,得,又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故.
23\. 解：（1）将及时对应的参数,, 代入得,
所以的方程为,设圆的半径,则圆的方程为(或),将点代入得: 圆的方程为:( 或).
（2）设曲线的方程为,将代入得,,所以.
24\. 解：（1）的最小值为.
（2）由（1）知: 的最大值等于,,"=" 成立,, 即当时, 取得最小值,当时,, 又因为对任意实数都成立, 所以,的取值范围.
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------反比例》同步检测1（附答案）**
1．填一填。
(1)小明拿一些钱去买饮料，单价与购买瓶数如下表。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
因为( )一定，所以瓶数随着( )的变化而变化。单价提高，瓶数( )，单价降低，瓶数( )，而且( )和( )的乘积一定，我们就说( )和( )成( )比例。
(2)一种水果600千克，每筐装20千克，可装30筐；每筐装30千克，可装20筐。
①题中有( )、( )和( )三种量。
②( )和( )是两种相关联的量。
③( )是一定的量，( )和( )成反比例。
2．金德计算机公司要装配一批计算机，每天装配的台数和需要的天数如下表：
(1)表中有哪两种量?它们是相关联的量吗?
(2)写出这两种量中几组相对应的两个数的积。这些积保持一定吗?
(3)这个积表示的意义是什么?
(4)表中的两种量成反比例吗?为什么?
3.小红从家骑自行车到学校，下面是已行路程和剩下路程的对应表。
表中已行路程和剩下路程成反比例吗?为什么? 来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．下表中x和y两个量成反比例，请把表格填写完整。
--- --- -- ----- ---- --
x 2 40
y 5 0.1
--- --- -- ----- ---- --
5．十一黄金周l20名游客在张家界游览，准备分组活动，提出的分组建议如下表，并填写下表。
---------- ---- ---- ---- ---- --- -----
每组人数 6 10 12 20 ...
组数 20 12 8 ...
---------- ---- ---- ---- ---- --- -----
(1)此题中哪个量没有发生变化?
(2)每组人数与组数之间有什么关系?为什么?
来源：www.bcjy123.com/tiku/
6．李老师用同样多的钱买钢笔，不同的钢笔可买的数量如下。
---------- ---- ---- --- ---
钢笔种类 A B C D
单价/元 20 10 8 6
数量/枝 10 20
---------- ---- ---- --- ---
请把上表填完整，再回答问题。
(1)从上面的表中，你发现哪个量没有发生变化?
(2)钢笔的单价和数量有什么关系?为什么?
(3)如果每枝钢笔的单价是4元，你知道李老师所带的钱，能买多少枝钢笔吗?
7.判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。
(1)看一本250页的书，每天看的页数和看完这本书所需天数。
(2)圆柱的体积一定，它的底面积和高。
(3)煤的总数一定，烧的煤和剩下的煤。
(4)行驶的路程一定，车轮的半径和车轮转动的周数。
(5)给一个房间的地面铺砖，每块砖的面积与铺砖的块数。
8．修路队修一条公路。每天修50米，20天可以修完；如果每天修80米，多少天可以修完?题中的数量成什么关系?你能列出含有未知数的式子表示数量之间的相等关系吗?
参考答案
5．(1)120名游客一定。
(2)因为每组人数×组数=l20(一定)．所以每组人数和组数成反比例。
7．(1)因为每天看的页数×天数=总页数(一定)，所以每天看的页数和所需的天数成反比例。
(2)别为圆柱的底面积×高=柱的体积(一定)，所以圆柱的底面积和高成反比例。
(3)因为烧的煤+剩下的煤=煤的总数。他们的和一定，不是积一定，所以烧的煤和剩下的煤不成比例。
(4)因为车轮的周长×转动的周数=行驶的路程(一定)，而车轮的周长=，也就是说半径与车轮的周数的积是一定的，所以车轮的半径和车轮转动的周数成反比例。
(5)反比例。
8．因为每天赂的米数×天数=修路总米数（一定），所以每天修的米数和天数成反比例。
每天修的米数和天数成反比例。
解：设x天可以修完，80x=50×20
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**2017年广西河池市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．下列实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．4
2．如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．若函数y=有意义，则（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x=1 D．x≠1
4．如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a^3^+a^2^=a^5^ B．a^3^•a^2^=a^6^ C．（a^2^）^3^=a^6^ D．a^6^÷a^3^=a^2^
6．点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
7．在《数据分析》章节测试中，"勇往直前"学习小组7位同学的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
9．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
10．若关于x的方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
11．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13．分解因式：x^2^﹣25=[ ]{.underline}．
14．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是[ ]{.underline}．
15．在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平均分．各位评委给某位歌手的分数分别是92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是[ ]{.underline}．
16．如图，直线y=ax与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞的解集是[ ]{.underline}．
17．圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是[ ]{.underline}．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19．计算：\|﹣1\|﹣2sin45°+﹣2^0^．
20．解不等式组：．
21．直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；
（2）将直线l向上平移4个单位得到l~1~，l~1~交x轴于点C．作出l~1~的图象，l~1~的解析式是[ ]{.underline}．
（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l~2~，l~2~交l~1~于点D．作出l~2~的图象，tan∠CAD=[ ]{.underline}．
22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
23．九 （1）班48名学生参加学校举行的"珍惜生命，远离毒品"只是竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，68．
频数分布表
----------- --------------
分数段 频数（人数）
60≤x＜70 a
70≤x＜80 16
80≤x＜90 24
90≤x＜100 b
----------- --------------
请解答下列问题：
（1）完成频数分布表，a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？
（4）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
24．某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
25．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．
26．抛物线y=﹣x^2^+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．
**2017年广西河池市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．下列实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．4
【考点】26：无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣2是整数，是有理数，选项不符合题意；
B、是无理数，选项符合题意；
C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；
D、4是整数，是有理数，选项不符合题意．
故选B．
2．如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【考点】IF：角的概念．
【分析】根据点O在直线AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度数．
【解答】解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
故选：C．
3．若函数y=有意义，则（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x=1 D．x≠1
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠1，
故选：D．
4．如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图解答．
【解答】解：从正面看，从左向右共有2列，第一列是1个正方形，第二列是1个正方形，且下齐．
故选D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a^3^+a^2^=a^5^ B．a^3^•a^2^=a^6^ C．（a^2^）^3^=a^6^ D．a^6^÷a^3^=a^2^
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则进行判断即可．
【解答】解：A．a^3^与a^2^不是同类项不能合并，故A错误；
B．a^3^•a^2^=a^5^，故B错误；
C．（a^2^）^3^=a^6^，故C正确；
D．a^6^÷a^3^=a^2^，故D错误．
故选：C．
6．点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案．
【解答】解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y=上，
∴k=﹣3×1=﹣3，
故选：A．
7．在《数据分析》章节测试中，"勇往直前"学习小组7位同学的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】先将数据重新排列，再根据中位数、众数的定义就可以求解．
【解答】解：这组数据重新排列为：88、92、93、94、95、95、96，
∴这组数据的中位数为94，众数为95，
故选：B．
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理推出=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
9．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
10．若关于x的方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=2^2^﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，
解得：a=﹣1．
故选A．
11．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】N2：作图---基本作图；L5：平行四边形的性质．
【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
【解答】解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG．
在Rt△AOD中，OA===4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
12．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设AD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，
∴AF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴BE=12﹣CE=4x﹣12，
∴BD=2BE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴x+8x﹣24=12，
∴x=4，
∴AD=4．
故选B．
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13．分解因式：x^2^﹣25=[ （x+5）（x﹣5） ]{.underline}．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x^2^﹣25=（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
14．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是[ （﹣2，﹣1） ]{.underline}．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
15．在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平均分．各位评委给某位歌手的分数分别是92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是[ 90 ]{.underline}．
【考点】W1：算术平均数．
【分析】根据算术平均数的计算公式，把这5个分数加起来，再除以5，即可得出答案．
【解答】解：这位参赛选手在这次比赛中获得的平均分为：
（92+93+88+87+90）÷5=90（分）；
故答案为：90．
16．如图，直线y=ax与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞的解集是[ x＞1 ]{.underline}．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：∵直线y=ax与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），
∴不等式ax＞的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
17．圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是[ 10 ]{.underline}．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．
【解答】解：设该半圆的半径长为x，根据题意得：
2πx÷2=2π×5，
解得x=10．
故答案为：10．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE^2^=AB^2^=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE==，BD==，
∴BF==，
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴==，
∴FG=，BG=，
∴CG=，
∴CF==．
故答案为：．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19．计算：\|﹣1\|﹣2sin45°+﹣2^0^．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：\|﹣1\|﹣2sin45°+﹣2^0^
=1﹣2×+2﹣1
=
20．解不等式组：．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞0.5，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为0.5＜x＜2．
21．直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；
（2）将直线l向上平移4个单位得到l~1~，l~1~交x轴于点C．作出l~1~的图象，l~1~的解析式是[ y=﹣2x+6 ]{.underline}．
（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l~2~，l~2~交l~1~于点D．作出l~2~的图象，tan∠CAD=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．
【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；
（2）将直线向上平移4个单位可得直线l~1~，根据"上加下减"的原则求解即可得出其解析式；
（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l~2~的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=可得答案．
【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），
当x=0时，y=2，即点B（0，2），
如图，直线AB即为所求；
（2）如图，直线l~1~即为所求，
直线l~1~的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，
故答案为：y=﹣2x+6；
（3）如图，直线l~2~即为所求，
∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l~2~，
∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），
设直线l2解析式为y=kx+b，
将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，
解得：，
∴直线l~2~的解析式为y=x﹣，
当x=0时，y=﹣，
∴直线l~2~与y轴的交点E（0，﹣），
∴tan∠CAD=tan∠EAO===，
故答案为：．
22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：AB=BC，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴=，
∴AB=BC．
23．九 （1）班48名学生参加学校举行的"珍惜生命，远离毒品"只是竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，68．
频数分布表
----------- --------------
分数段 频数（人数）
60≤x＜70 a
70≤x＜80 16
80≤x＜90 24
90≤x＜100 b
----------- --------------
请解答下列问题：
（1）完成频数分布表，a=[ 4 ]{.underline}，b=[ 4 ]{.underline}．
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？
（4）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．
【分析】（1）将余下的8位同学按60≤x＜70、90≤x＜100分组可得a、b的值；
（2）根据（1）中所得结果补全即可得；
（3）将样本中成绩90≤x＜100范围内的学生所占比例乘以总人数600可得答案；
（4）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，60≤x＜70的有60、63、67、68这4个数，90≤x＜100的有90、99、99、99这4个，
即a=4、b=4，
故答案为：4，4；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）600×=50（人），
故答案为：估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有50人．
（4）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙被选中的有2种情况，
∴甲、乙被选中的概率为=．
24．某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
整理得：m=24﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；
∴有两种方案：
①购买排球5个，购买足球16个；
②购买排球10个，购买足球8个．
25．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．
【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；
（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r^2^+4^2^=（8﹣r）^2^，解得r=3，所以OE=5，OC=3，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．
【解答】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE==8，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，
在Rt△ODE中，r^2^+4^2^=（8﹣r）^2^，解得r=3，
∴OE=8﹣3=5，
在Rt△OBC中，OC==3，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴=，即=，
∴EF=2．
26．抛物线y=﹣x^2^+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线解析式可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（2）由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，结合二次函数的对称性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，则可求得PE的长，可求得P点坐标；
（3）设Q（x，﹣x^2^+2x+3），当∠OCQ=∠OCA时，利用两角的正切值相等可得到关于x的方程，可求得Q点的横坐标，再结合图形可比较两角的大小．
【解答】解：
（1）在y=﹣x^2^+2x+3中，令y=0可得0=﹣x^2^+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3；
（2）∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∵y=﹣x^2^+2x+3=﹣（x﹣1）^2^+4，
∴抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，
∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
∴∠PBA==67.5°，∠DPB=∠APB=22.5°，
∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DPB=∠DBP，
∴DP=DB，
在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，
∴PE=2+2，
∴P（1，2+2）；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，﹣2﹣2）；
综上可知P点坐标为（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；
（3）设Q（x，﹣x^2^+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，
当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，
∴==，即=，解得x=0（舍去）或x=5，
∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．
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**2019年江苏省连云港市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（3分）（2019•连云港）的绝对值是
A． B． C．2 D．
2．（3分）（2019•连云港）要使有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•连云港）计算下列代数式，结果为的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•连云港）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是
A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3
6．（3分）（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据"马走日"的规则，"马"应落在下列哪个位置处，能使"马"、"车"、"炮"所在位置的格点构成的三角形与"帅"、"相"、"兵"所在位置的格点构成的三角形相似
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
7．（3分）（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•连云港）如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角三角形；②点、、不在同一条直线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9．（3分）（2019•连云港）64的立方根为[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•连云港）计算[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•连云港）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据"46400000000"用科学记数法可表示为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•连云港）如图，点、、在上，，，则的半径为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•连云港）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了"三角形"坐标系．在建立的"三角形"坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点的坐标可表示为，2，，点的坐标可表示为，1，，按此方法，则点的坐标可表示为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•连云港）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（6分）（2019•连云港）计算．
18．（6分）（2019•连云港）解不等式组
19．（6分）（2019•连云港）化简．
20．（8分）（2019•连云港）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，小时（含2小时），小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了[ ]{.underline}名中学生，其中课外阅读时长"小时"的有[ ]{.underline}人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长"小时"对应的圆心角度数为[ ]{.underline}；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
21．（10分）（2019•连云港）现有、、三个不透明的盒子，盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，盒中装有红球、黄球各1个，盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从、、三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从盒中摸出红球的概率为[ ]{.underline}；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
22．（10分）（2019•连云港）如图，在中，．将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）连接、、，当点在什么位置时，四边形为矩形，并说明理由．
23．（10分）（2019•连云港）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨，生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
24．（10分）（2019•连云港）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．
（1）求观察哨所与走私船所在的位置的距离；
（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：，，，
25．（10分）（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）求点的坐标；
（3）若将绕点逆时针旋转，得到△，其中点落在轴负半轴上，判断点是否落在函数的图象上，并说明理由．
26．（12分）（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线上另一个动点，且平分．若，求出点的坐标．
27．（14分）（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在"问题情境"的基础上．
（1）如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点．求的度数；
（2）如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点．分别过点、作，，垂足分别为、．若，请直接写出的长．
**2019年江苏省连云港市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（3分）的绝对值是
A． B． C．2 D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为，
故选：．
2．（3分）要使有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质可以得到是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得，
．
故选：．
3．（3分）计算下列代数式，结果为的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：、与不是同类项，故不能合并同类项，故选项不合题意；
、，故选项不合题意；
、与不是同类项，故不能合并同类项，故选项不合题意；
、，故选项符合题意．
故选：．
4．（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
故选：．
5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是
A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，
中位数为：3，众数为：2．
故选：．
6．（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据"马走日"的规则，"马"应落在下列哪个位置处，能使"马"、"车"、"炮"所在位置的格点构成的三角形与"帅"、"相"、"兵"所在位置的格点构成的三角形相似
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【分析】确定"帅"、"相"、"兵"所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【解答】解：帅"、"相"、"兵"所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、、；
"车"、"炮"之间的距离为1，
"炮"②之间的距离为，"车"②之间的距离为，
，
马应该落在②的位置，
故选：．
7．（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是
A． B． C． D．
【分析】过点作于，则四边形为矩形，，，则，，由直角三角形的，性质得出，得出，，由梯形面积公式得出梯形的面积与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【解答】解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，，，
则，，
在中，，
，
，，
梯形面积，
当时，．
即长为时，使梯形储料场的面积最大为；
故选：．
8．（3分）如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角三角形；②点、、不在同一条直线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据折叠的性质得到，，于是得到，求得是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点、、在同一条直线上，故②错误；设，则，得到，根据勾股定理得到，根据射影定理得到，得到，故③错误；求得，故④，根据平行线等分线段定理得到，求得点是外接圆的圆心，故⑤正确．
【解答】解：沿着折叠，点的对应点为，
，
再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
，
是直角三角形；故①正确；
沿着折叠，点的对应点为，
，
再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
点、、在同一条直线上，故②错误；
，
设，则，
将矩形对折，得到折痕；
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，
，
，故④，
，，，
，
，
，
，
，
，
点是外接圆的圆心，故⑤正确；
故选：．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9．（3分）64的立方根为[ 4 ]{.underline}．
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
10．（3分）计算[ ]{.underline}．
【分析】根据完全平方公式展开3项即可．
【解答】解：．
故答案为：
11．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据"46400000000"用科学记数法可表示为[ ]{.underline}．
【分析】利用科学记数法的表示即可．
【解答】解：
科学记数法表示：
故答案为：
12．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为[ ]{.underline}．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：该圆锥的侧面积．
故答案为．
13．（3分）如图，点、、在上，，，则的半径为[ 6 ]{.underline}．
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】解：，又，
是等边三角形
，
故答案为6．
14．（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于[ 2 ]{.underline}．
【分析】根据"关于的一元二次方程有两个相等的实数根"，结合根的判别式公式，得到关于和的等式，整理后即可得到的答案．
【解答】解：根据题意得：
△，
整理得：，
，
方程是一元二次方程，
，
等式两边同时除以得：，
则，
故答案为：2．
15．（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了"三角形"坐标系．在建立的"三角形"坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点的坐标可表示为，2，，点的坐标可表示为，1，，按此方法，则点的坐标可表示为[ ，4， ]{.underline}．
【分析】根据点的坐标可表示为，2，，点的坐标可表示为，1，得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】解：根据题意得，点的坐标可表示为，4，，
故答案为：，4，．
16．（3分）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是[ 3 ]{.underline}．
【分析】先判断出最大时，最大，再用相似三角形的性质求出，，，进而判断出最大时，最大，而点在上时，最大，即可，即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点作交的延长线于，
，，
，
，
，
，
最大时，最大，
四边形是矩形，
，，
过点作于，交于，并延长交于，
是的切线，
，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
在中，，
而，
最大时，最大，
最大时，最大，
，
即：最大时，最大，
延长交于，此时，最大，
，
过点作交的延长线于，
最大时，点落在点处，
即：最大，
在△中，，
，
最大值为，
故答案为：3．
**三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（6分）计算．
【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．
【解答】解：原式．
18．（6分）解不等式组
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
所以，不等式组的解集是．
19．（6分）化简．
【分析】先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果．
【解答】解：原式
．
20．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，小时（含2小时），小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了[ 200 ]{.underline}名中学生，其中课外阅读时长"小时"的有[ ]{.underline}人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长"小时"对应的圆心角度数为[ ]{.underline}；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长"小时"的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长"小时"对应的圆心角度数；
（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了：（名中学生，
其中课外阅读时长"小时"的有：（人，
故答案为：200，40；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长"小时"对应的圆心角度数为：，
故答案为：144；
（3）（人，
答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
21．（10分）现有、、三个不透明的盒子，盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，盒中装有红球、黄球各1个，盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从、、三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从盒中摸出红球的概率为[ ]{.underline}；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
【分析】（1）从盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）从盒中摸出红球的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，
摸出的三个球中至少有一个红球的概率为．
22．（10分）如图，在中，．将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）连接、、，当点在什么位置时，四边形为矩形，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据平移得出，求出，再求出即可；
（2）求出四边形是平行四边形，再求出四边形是矩形即可．
【解答】（1）证明：，
，
平移得到，
，
，
，
，
即为等腰三角形；
（2）解：当为的中点时，四边形是矩形，
理由是：，为的中点，
，，
平移得到，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
23．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨，生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
【分析】（1）利润（元生产甲产品的利润生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润生产1吨甲产品的利润0.3万元甲产品的吨数，即万元，生产乙产品的利润生产1吨乙产品的利润0.4万元乙产品的吨数，即万元．
（2）由（1）得是的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量的取值范围再确定当取何值时，利润最大．
【解答】解：（1）
因此与之间的函数表达式为：．
（2）由题意得：
又
随的增大而减少
当时，最大，此时，
因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．
24．（10分）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．
（1）求观察哨所与走私船所在的位置的距离；
（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：，，，
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再解，利用正弦函数定义得出即可；
（2）过点作于点，易知，、、在一条直线上．解，求出、．解中，求出、，得出．设缉私艇的速度为海里小时，根据走私船行驶所用的时间等于缉私艇行驶所用的时间列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在中，．
在中，，
（海里）．
答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；
（2）过点作于点，由题意易知，、、在一条直线上．
在中，，
．
在中，，
，
，
．
设缉私艇的速度为海里小时，则有，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为海里小时时，恰好在处成功拦截．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）求点的坐标；
（3）若将绕点逆时针旋转，得到△，其中点落在轴负半轴上，判断点是否落在函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将代入可求出的值；将代入可求出的值；
（2）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，由与的面积比为，可推出，由点的坐标可知，进一步求出，即为点的纵坐标，把代入中，可求出点坐标；
（3）过点作轴，垂足为，由题意可知，，由旋转可知，可求出，在△中，通过勾股定理求出的长度，即可写出点的坐标，将其坐标代入可知没有落在函数的图象上．
【解答】解：（1）将代入，
得，，
，
将代入，
得，，
，
故答案为：，5；
（2）如图1，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
又点的坐标为，
，
，即点的纵坐标为4，
把代入中，
得，，
；
（3）由题意可知，，
如图2，过点作轴，垂足为，
，
，
即，
，
在△中，
，
的坐标为，，
，
点不在函数的图象上．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线上另一个动点，且平分．若，求出点的坐标．
【分析】（1）先求出点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；
（2）设点的坐标为，分两种情况讨论：为平行四边形的一条边，为平行四边形的一条对角线，用表示出点坐标，再把点坐标代入抛物线中，列出方程求得解便可；
（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在点使得平分，当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，过点作于点，设点坐标为，，点坐标为，，证明，由相似比得到，进而得的值，过点作轴于点，设点坐标为，由，移出的方程，求得便可．
【解答】解：（1）将代入，得，故点的坐标为，
将，代入，得
，解得，
抛物线；
（2）设点的坐标为，
第一种情况：为平行四边形的一条边，
①当点在点右侧时，则点的坐标为，
将代入，得
，
解得，或，
因为时，点与重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为；
②当点在点左侧时，则点的坐标为，
将代入，得
，得
，
解得，，或，
此时点的坐标为或，；
第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时，
由的中点坐标为，得的中点坐标为，
故点的坐标为，
将代入，得
，
解得，或，
因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或，或；
（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在点使得平分，
当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
过点作于点，则有，
由平分，得，则，
，
，
设点坐标为，，点坐标为，，
所以有，
整理得，，
在中，
过点作轴于点，设点坐标为，
若，则需，
所以，
所以，
解得，，
所以点坐标为，或，．
27．（14分）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在"问题情境"的基础上．
（1）如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点．求的度数；
（2）如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点．分别过点、作，，垂足分别为、．若，请直接写出的长．
【分析】问题情境：过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论；
问题探究：（1）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；
（2）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果；
问题拓展：延长交于，交的延长线于，延长交于，则，，得出，由勾股定理得出，得出，证明，得出，，证明，得出，由折叠的性质得：，，，求出，，证明，得出，，证明，得出，得出．
【解答】问题情境：
解：线段、、之间的数量关系为：；理由如下：
四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图1所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
；
问题探究：
解：（1）连接，过点作，分别交、于点、，如图2所示：
四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在和中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即；
（2）连接交于点，如图3所示：
则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，
，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，
点在上，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
由翻折性质得：，
在和中，，
，
，，
是正方形的对角线，
，
易得，
，
，
，故，
点在线段上运动；
过点作，垂足为，
点为的中点，
，则的最小值为；
问题拓展：
解：延长交于，交的延长线于，延长交于，如图
则，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
由折叠的性质得：，，，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/8 18:34:16；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试**
**（全国卷）物理部分**
2. 选择题（本题共8小题。在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确。，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
14．如图所示，一物体自倾角为*θ*的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角*φ*满足
A.tan*φ*=sin*θ*
B. tan*φ*=cos*θ*
C. tan*φ*=tan*θ*
D. tan*φ*=2tan*θ*
15.如图，一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连，设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态，若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是
A.向右做加速运动
B.向右做减速运动
C.向左做加速运动
D.向左做减速运动
16.一列简谐横波沿x轴传播，周期为T·t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于*x*=3 m处的质点正在向上运动，若*a、b*两质点平衡位置的坐标分别为*x*~a~=2.5 m, *x*=5.5 m,则
A.当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷
B.t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动
C.t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动
D.在某一时刻，*a*、*b*两质点的位移和速度可能相同
17.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
A.0.2 B.2 C.20 D.200
18.三个原子核X、Y、Z，X核放出一个正电子后变为Y核，Y核与质子发生核反应后生成Z核并放出一个个氦（^4^~2~He）,则下面说法正确的是
A.X核比Z核多一个原子
B.X核比Z核少一个中子
C.X核的质量数比Z核质量数大3
D.X核与Z核的总电荷是Y核电荷的2倍
19.已知地球半径约为6.4×10^6^ m，空气的摩尔质量约为29×10^-3^ kg/mol,一个标准大气压约为1.0×10^5^ Pa.利用以上数据可估算出地球表面大气在标准状况下的体积为
A.4×10^16^ m^3^ B.4×10^18^ m^3^
C. 4×10^30^ m^3^ D. 4×10^22^ m^3^
20.矩形导线框*abcd*固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直低面向里，磁感应强度*B*随时间变化的规律如图所示.若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是
21.一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角*θ*射入，穿过玻璃砖自下表射出.已知该玻璃对红光的折射率为1.5.设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t~1~和t~2~，则在*θ*从0°逐渐增大至90°的过程中
A.*t*~1~始终大于*t*~2~ B.t~1~始终小于t~2~
C.*t*~1~先大于后小于*t*~2~ D.t~1~先小于后大于t~2~
非选择题 共10大题，共174分
22.（18分）
Ⅰ.（6分）如图所示，两个质量各为m~1~和m~2~的小物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端，已知*m*~1~＞*m*~2~，现要利用此装置验证机械能守恒定律.
（1）若选定物块A从静止开始下落的过程进行测量，则需要测量的物理量有 [ ]{.underline} （在答题卡上对应区域填入选项前的编号）
①物块的质量*m*~1~、*m*~2；~
②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间；
③物块B上升的距离及上升这段距离所用的时间；
④绳子的长度.
（2）为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议：
①绳的质量要轻：
②在"轻质绳"的前提下，绳子越长越好；
③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；
④两个物块的质量之差要尽可能小.
以上建议中确实对提高准确程度有作用的是 [ ]{.underline} 。（在答题卡上对应区域填入选项前的编号）
（3）写出一条上面没有提到的提高实验结果准确程度有益的建议： [ ]{.underline}
[ ]{.underline} .
Ⅱ.（12分）一直流电压表，量程为1 V，内阻为1 000Ω,现将一阻值为5000\~7000Ω之间的固定电阻R~1~与此电压表串联，以扩大电压表的量程.为求得扩大后量程的准确值，再给定一直流电源（电动势E为6\~7 V，内阻可忽略不计），一阻值R~2~=2000Ω的固定电阻，两个单刀开关S~1~、S~2~及若干线.
（1）为达到上述目的，将答题卡上对应的图连成一个完整的实验电路图.
（2）连线完成以后，当S~1~与S~2~均闭合时，电压表的示数为0.90 V；当S~1~闭合，S~2~断开时，电压表的示数为0.70 V，由此可以计算出改装后电压表的量程为 [ ]{.underline} V，电源电动势为
[ ]{.underline} V.
23.（14分）
已知*O*、*A*、*B*、*C*为同一直线上的四点、*AB*间的距离为*l*~1~,*BC*间的距离为*l*~2~,一物体自*O*点由静止出发，沿此直线做匀速运动，依次经过*A*、*B*、*C*三点，已知物体通过*AB*段与*BC*段所用的时间相等。求*O*与*A*的距离.
24.（18分）
图中滑块和小球的质量均为*m*，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点*O*由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为*l*~1~开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角*θ*＝60°时小球达到最高点。求
（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。
25.（22分）
如图所示，在坐标系*xoy*中，过原点的直线*OC*与*x*轴正向的夹角*φ*=120°,在*OC*右侧有一匀强电场：在第二、三象限内有一心强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为*y*轴、左边界为图中平行于*y*轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为*B*，方向垂直抵面向里。一带正电荷*q*、质量为*m*的粒子以某一速度自磁场左边界上的*A*点射入磁场区域，并从*O*点射出，粒子射出磁场的速度方向与*x*轴的夹角*θ*＝30°，大小为*v*，粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由*O*点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从*A*点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求
（1）粒子经过*A*点时速度的方向和*A*点到*x*轴的距离；
（2）匀强电场的大小和方向；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。
二、选择题：全部选对的给6分．选对但不全的给 3 分，有选错的给0分。
14、D 15、AD 16、C 17、B 18、CD 19、B 20、D 21、B
22（18分）
Ⅰ(6分)
（1）①②或①③
（2）①③
（3）例如："对同一高度进行多次测量取平均值"；"选取受力后相对伸长尽量小的绳"；等等。
Ⅱ（12分）
1. 连线如图
2. 7 6.3
23（14分）
设物体的加速度为*a*，到达A点的速度为*v*~0~,通过AB段和BC段所用的时间为t，则有：
.............................................①
..........................................②
联立①②式得：
*l~2~－l~1~*=*at^2^...................................................*③
*3l~1~－l~2~=2v~0~t................................................*④
设Ｏ与Ａ的距离为*l,*则有：
...................................................⑤
联立③④⑤式得：
24(18分)
1. 小球第一次到达最低点时，滑快和小球的速度分别为*v*~1~和*v* ~2~，由机械能守恒定律得：
> ....................................①
>
> 小球由最低点向左摆动到最高点，由机械能守恒定律得：
>
> *......*...........................②
>
> 联立①②两式得：
>
> *v~1~=v~2~=*.............................................③
>
> 设所求的挡板阻力对滑块的冲量为Ｉ，规定动量方向向右为正，有：
>
> Ｉ=0－m*v*~1~
>
> 解得：I=－m....................................④
（２）小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳对小球的拉力做的功为Ｗ，由动能定理得： *....................................*⑤
联立③⑤得：
小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，绳对小球的拉力做的功大小为
25（22分）
（1）设磁场左边界与*x*轴相交子D点，与CO相交于O'点，由几何关系可知，直线OO'与粒子过O点的速度*v*垂直。在直角三角形 OO'D中已知∠OO'D =30^0^设磁场左右边界间距为d，则OO'=2d。依题意可知，粒子第一次进人磁场的运动轨迹的圆心即为O'点，圆弧轨迹所对的圈心角为30^0^ ，且OO'为圆弧的半径R。
由此可知，粒子自A点射人磁场的速度与左边界垂直。
A 点到*x*轴的距离：AD=R(1－cos30^0^)....................................①
由洛仑兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律，得：
*qvB=mv^2^/R*.............................................②
联立①②式得：.......................................③
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T第一次在磁场中飞行的时间为 t~1~，有：
t~1~=T/12................................................④
*T=2πm/qB*.............................................⑤
依题意．匀强电场的方向与*x*轴正向夹角应为150^0^。由几何关系可知，粒子再次从O点进人磁场的速度方向与磁场右边界夹角为60^0^。设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为O''，O''必定在直线OC 上。设粒子射出磁场时与磁场右边界文于P点，则∠OO''P =120^0^．设粒子第二次进人磁场在磁场中运动的时问为t~2~有：
t~2~=T/3................................................⑥
设带电粒子在电场中运动的时间为 t ~3~，依题意得：
t~3~=T－(t~1~+t~2~).......................................⑦
由匀变速运动的规律和牛顿定律可知：
*―v=v―at~3~*..........................................⑧
*a=qE/m* .............................................⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得：
E=12B*v*/7*π*..........................................⑩
粒子自P点射出后将沿直线运动。
设其由P点再次进人电场，由几何关系知：∠O''P'P =30^0^......⑾
消
三角形OPP'为等腰三角形。设粒子在P、P'两点间运动的时问为t~4~，有：
t~4~=PP'/*v*.............................................⑿
又由几何关系知：OP=R.............................................⒀
联立②⑿⒀式得：t~4~=m/qB
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Subsets and Splits