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152
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|---|---|---|
**绝密 ★ 启用前**
**2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学（文史类）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
如果时间A，B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） .
如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径.
P（A·B）=P（A）·P（B）
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.**
（1）设集合，，，则
（A） （B） （C） （D）
解析：因为，所以，选A．
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
 解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．
（3）函数（）的反函数是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
解析：当时，，解得，选A．
（4）若等差数列的前5项和，且，则
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
解析：，所以，选B．
（5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是
（A） （B）
 （C） （D）
解析：选C，A、B、D的反例如图．
（6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
（A）， （B），
（C）， （D），
解析：选C,
．
（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．
（8）已知函数，则不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
解析：依题意得，选A．
（9）设，，，则
（A） （B） （C） （D）
解析：，因为，所以，选D．
（10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，在上单调递减，所以，故，选B．
**第Ⅱ卷**
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）**
（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人．
解析：依题意知抽取超过45岁的职工为．
（12）的二项展开式中，的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）．
解析：，，所以系数为10．
（13）若一个球的体积为，则它的表面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由得，所以．
（14）已知平面向量，．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为，所以．
（15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：圆心的坐标为，所以，圆的方程为．
（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种（用数字作答）．
解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有种不同排法．
**三、解答题（本题共6道大题，满分76分）**
（17）（本小题满分12分）
已知函数（）的最小值正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设"甲投球一次命中"为事件A，"乙投球一次命中"为事件B．
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：设设"甲投球一次命中"为事件A，"乙投球一次命中"为事件B．
由题意得，于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
解法二：
由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为
，
，
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在中，由题设可得
于是.在矩形中，.又，
所以平面．
（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故．
所以异面直线与所成的角的大小为．
（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE
因为平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而是二面角的平面角。
由题设可得，
于是再中，
所以二面角的大小为．
（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，且（）．
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
，
，
......
，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
（21）（本小题满分14分）
已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
-- ---- -------- ---- -------- ---- -------- ----
0 2
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
-- ---- -------- ---- -------- ---- -------- ----
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
（22）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得
，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个一等实根，于是，且．整理得． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的认识和加减法》单元测试1（无答案）**
一、填空题。（每空1分，共39分）
1、看图写出阴影部分所占面积的分数和小数。
2、（1）8厘米是分米，也可以写成（ ）分米。
> （2）15分是元，也可以写成（ ）元；9角是元，写成小数是（ ）元；89分是元，也可以写成（ ）元。
3、 （ ） （ ）
（ ）（ ）
4、像6.32、0.9和3.40这样的数叫做（ ），"."叫做（ ）。
5、小超身高1米36厘米，写成小数是（ ）米。
6、在○里填上"﹥""﹤"。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（1）
（2）0.9 0.7 0.21 0.57 0.05 0.29
7、十四点零三六写作（ ），十点七二写作（ ）。
8、9.07读作：（ ），31.8读作（ ），107.305读作（ ）
9、0.8米表示把（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。
10、写出下面的小数。
一颗通讯卫星重三点五吨。（ ）吨
一只鸵鸟每小时跑五十四点三千米。（ ）千米
二、把下面的数改用分数或小数表示。（共11分）
5分米 =米 =（ ）米 =（ ）
18厘米 =米 =（ ）米 =（ ）
8角 = 元 =（ ）元 17元5角 =（ ）元
5元6角 =（ ）元 6米3分米 = （ ）米
三、用竖式计算。（共9分）
9.2－4.9 5.6＋3.7 12.1－0.8
四、列式计算。（每题4分，共12分）
1、一个数和3.7相加等于11.5，这个数是多少？
2、减数是2.5，差是3.6，被减数是多少？
3、比7.5少0.8的数是多少？
五、解决问题。（第1题16分，第2题8分，第3题5分，共29分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、市场里的部分蔬菜和水果的价钱如下图：
（1）宁宁的妈妈买了1千克 和1千克 ，应付多少元？
（2）李老师分别买了1千克 、 和 ，应付多少元？
（3）小明的奶奶分别买了1千克 、 和 ，应付多少元？
（4）你还能提出什么数学问题？（提出问题并解答。）
2、
（1）小明的身高是多少米？
（2）小芳的身高是多少米？
3、一根绳子长7.4米，另一根绳子比它长0.5米，两根绳子一共有多少米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
思考题。（附加分5分）
在□里填上合适的数。
. 4 7
[＋ 8 .]{.underline}
4 . 6 5
**第一单元综合提优训练的部分答案：**
一、1、 0.8 0.25
2、（1） 0.8
（2） 0.15 0.9 0.89
3、0.4 0.55 0.7 0.95
4、小数 小数点
5、1.36
6、（1）﹤ ﹤ ﹤
（2）﹥ ﹤ ﹤
（3）﹥ ﹥ ﹥ ﹤
7、14.036 10.72
8、九点零七 三十一点八 一百零七点三零五
9、1米 10 8
10、3.5 54.3
三、4.3 9.3 11.3
四、1、7.8
2、6.1
3、6.7
五、1、（1）3.6元
（2）3元
（3）5.5元
2、（1）1.42米
（2）1.33米
3、15.3米
| 1 | |
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（八）**
**一．选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）**
1\. 已知，则的值等于 [ ]{.underline} 。
2**．**计算：20062006×2007+20072007×20082006×200720072007×20082008
= [ ]{.underline} 。
3．函数，当*x* = [ ]{.underline} 时，
> y有最小值，最小值等于 [ ]{.underline} ．
4．如图，△*ABC中，*∠*A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，*∠*A*=60°，则*AD*的长为 [ ]{.underline} cm．
5．甲上岳麓山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上走16分钟，
> 乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于 [ ]{.underline}
6．如果关于*x*的方程有一个小于1的正数根，那么实数*a*的
取值范围是 [ ]{.underline} .
{width="1.6770833333333333in" height="1.8541666666666667in"}7**．**实数*x*、*y*满足*x*^2^－2*x*－4*y*＝5，记*t*＝*x*－2*y*，则*t*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
8．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个
较大的正方形，如用两个边长分别为*a*，*b*的正方形
拼成一个大正方形. 图中Rt△*ABC*的斜边*AB*的长等
于 [ ]{.underline} （用*a*，*b*的代数式表示）.
> **二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）**
9．．若，则+ ... ++ ... +的值是（ ）
> （A）1 （B）0 （C）-1 （D）2
{width="1.2604166666666667in" height="1.19375in"}10．用橡皮筋把直径为10cm的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（精确到 0.1等于 （ ）
（A）94.2 cm （B）91.4 cm
（C）61.4 cm （D）56.4 cm
11、李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款*a*元，后来她退了2包 酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她*b*元（0\<*b*\<*a*）. 每包酸奶的价格是 （ ）
（A）元 （B）元 （C）元 （D）元
> 12．定义：定点*A*与⊙*O*上的任意一点之间的距离的最小值称为点*A*与⊙*O*之间的距离．现有一矩形*ABCD*如图，*AB*=14cm，*BC*=12cm，⊙*K*与矩形的边*AB*、*BC*、*CD*分别相切于点*E*、*F*、*G*，则点*A*与⊙*K*的距离为（ ）
>
> （A）4cm （B）8cm （C）10cm （D）12cm
13．国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：共下10局棋，每局胜方得1
分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到5.5分便夺冠，不继续比赛；
> 若10局棋下完双方积分相同，则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲4胜1平. 若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局棋中，甲夺冠的概率 是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
14．若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）
> （A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限
>
> （C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限
15、如图，直线*x*＝1是二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的图象的对称轴，则有 （ ）
{width="1.9027777777777777in" height="1.757638888888889in"}（A）*a*＋*b*＋*c*＞0 （B）*b*＞*a*＋*c*
（C）*abc*＜0 （D）*c*＞2*b*
16．已知*x*、*y*、*z*是三个非负实数，满足3*x*＋2*y*＋*z*＝5，
*x*＋*y*－*z*＝2，若*S*＝2*x*＋*y*－*z*，则*S*的最大值与最小值的和为（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
**三．解答题：（每题12分，满分36分）**
17 。通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示（越大表示学生注意力越集中）：当时，图象是抛物线的一部分；当和时，图象是线段。
（1）当时，求关于的函数关系式；
{width="2.90625in" height="2.1972222222222224in"} （2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。
18．如图，点P是圆上一动点，弦AB=cm，PC是APB的平分线，BAC=30。
（1）当PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？
（2）当PA的长为多少时，四边形PACB是梯形？说明你的理由。
{width="1.1888888888888889in" height="1.2638888888888888in"}
{width="1.5in" height="0.9111111111111111in"}19．已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程的两根，
⑴求a和b的值；
⑵△与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.
ⅰ)设x秒后△与△ABC 的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；
ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（八）参考答案**
1、 2、0 3、-2，2 4、
**5** 、3：4 6、 7、 8、
9．C 10、C 11、D 12、A 13 D 14、A 15、*D* 16、*A*
17解：（1）设当时，函数的解析式为
由图象知抛物线过三点
解得
当时，关于的函数关系式为
（） 6分
（2）当时，
当时，
令，则由
解得或（舍去）
由 解得 12分
在上课4分钟后和分钟前，学生注意力的指标数都超过36
18．解：（1）平分
由，求得
为定值，当最大时，四边形PACB面积最大
此时PC应为圆的直径
四边形PACB的最大面积为 .....................6分
（2）若四边形PACB为梯形，则当时
由（1）知 PA=BC=1 ......8分
当时，则
在中，，
此时PA为圆的直径，由（1）知PA=2
当PA=1或2时，四边形PACB为梯形 ..............................12
19.解:(1)∵△ABC是Rt△且BC=a，AC=b，AB=5 （a\>b）
又a、b是方程的两根
∴ ∴(a+b)^2^-2ab=25
(m-1)^2^-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0.............
得m~1~=8 m~2~=-4 经检验m=-4不合舍去
∴m=8 ............
∴x^2^-7x+12=0 x~1~=3 x~2~=4
∴a=4，b=3
\(2\) ∵△以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。
∴x秒后BB′=x 则B′C′=4-x
∵C′M∥AC ∴△BC′M∽△BCA
∴ ∴
∴ 即
∴y= (0x4)
当y=时 =
x~1~=3 x~2~=5(不合舍去)
∴经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。
| 1 | |
1\. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
2\. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
3\. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
4\. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据*L*和小数记录表的数据*V*的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
5\. 已知是双曲线*C*的两个焦点，*P*为*C*上一点，且，则*C*的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
6\. 在一个正方体中，过顶点*A*的三条棱的中点分别为*E*，*F*，*G*．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
7\. 等比数列的公比为*q*，前*n*项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
8\. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有*A*，*B*，*C*三点，且*A*，*B*，*C*在同一水平面上的投影满足，．由*C*点测得*B*点的仰角为，与的差为100；由*B*点测得*A*点的仰角为，则*A*，*C*两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
【答案】B
【解析】
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
9\. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
10\. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
11\. 已如*A*，*B*，*C*是半径为1的球*O*的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
12\. 设函数的定义域为**R**，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．**
13\. 曲线在点处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
14\. 已知向量．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】.
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
15\. 已知为椭圆*C*：的两个焦点，*P*，*Q*为*C*上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
16\. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数*x*为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
**三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共60分．**
17\. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
-------- -------- -------- ------
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
-------- -------- -------- ------
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
----- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----- ------- ------- --------
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
【分析】根据给出公式计算即可
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18\. 已知数列的各项均为正数，记为的前*n*项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.
【详解】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以.
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.
19\. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，*E*，*F*分别为和的中点，*D*为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．
【详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，
此时．
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出（），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．
20\. 抛物线*C*的顶点为坐标原点*O*．焦点在*x*轴上，直线*l*：交*C*于*P*，*Q*两点，且．已知点，且与*l*相切．
（1）求*C*，的方程；
（2）设是*C*上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示.
21\. 已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求*a*取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【解析】
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【详解】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
*,*
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
**（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22\. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线*C*的极坐标方程为．
（1）将*C*的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点*A*的直角坐标为，*M*为*C*上的动点，点*P*满足，写出*Р*的轨迹的参数方程，并判断*C*与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）*P*的轨迹的参数方程为（为参数），*C*与没有公共点.
【解析】
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得*P*的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线*C*的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故*P*的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线*C*的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线*C*与没有公共点.
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23\. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求*a*的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
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**2013年福建省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设点P（x，y），则"x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
4．（5分）双曲线x^2^﹣y^2^=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1 D．
5．（5分）函数f（x）=ln（x^2^+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
7．（5分）若2^x^+2^y^=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．\[0，2\] B．\[﹣2，0\] C．\[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2\]
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
--- --- --- --- --- --- ---
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
--- --- --- --- --- --- ---
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x~0~） B．﹣x~0~是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x~0~是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.**
13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））=[ ]{.underline}．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为[ ]{.underline}．
15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，则该椭圆的离心率等于[ ]{.underline}．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈S，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），那么称这两个集合"保序同构"，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N^\*^；
②A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|﹣8≤x≤10}；
③A={x\|0＜x＜1}，B=R．
其中，"保序同构"的集合对的序号是[ ]{.underline}．（写出"保序同构"的集合对的序号）．
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差d=1，前n项和为S~n~．
（Ⅰ）若1，a~1~，a~3~成等比数列，求a~1~；
（Ⅱ）若S~5~＞a~1~a~9~，求a~1~的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在"25周岁以上（含25周岁）"和"25周岁以下"分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
------------- ------- ------- ------- --------
P（x^2^≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- ------- --------
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名"25周岁以下组"工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"？附：（注：此公式也可以写成k^2^=）
20．（12分）如图，抛物线E：y^2^=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，\|CO\|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求\|MN\|；
（Ⅱ）若\|AF\|^2^=\|AM\|•\|AN\|，求圆C的半径．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
**2013年福建省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由Z=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：Z=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系．
2．（5分）设点P（x，y），则"x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】当x=2且y=﹣1"可以得到"点P在直线l：x+y﹣1=0上"，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的充分不必要条件．
【解答】解：∵x=2且y=﹣1"可以得到"点P在直线l：x+y﹣1=0上"，
当"点P在直线l：x+y﹣1=0上"时，不一定得到x=2且y=﹣1，
∴"x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，
∴A∩B={1，3}，
则A∩B的子集个数为2^2^=4．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4．（5分）双曲线x^2^﹣y^2^=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线x^2^﹣y^2^=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，
所以所求的距离为=．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5分）函数f（x）=ln（x^2^+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】∵x^2^+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x^2^+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
【解答】解：∵x^2^+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x^2^+1）≥ln1=0，
∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A．
【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示
在坐标系中画出可行域
平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，
则目标函数z=2x+y的最小值为2．
经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，
则目标函数z=2x+y的最大值为：4．
故选：B．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
7．（5分）若2^x^+2^y^=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．\[0，2\] B．\[﹣2，0\] C．\[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2\]
【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．
【解答】解：∵1=2^x^+2^y^≥2•（2^x^2^y^），
变形为2^x+y^≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．
则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2\]．
故选：D．
【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．
【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，
输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；
判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；
判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；
判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．
此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，
即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．
【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），所以，，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2kπ+，φ=﹣kπ，与选项不符舍去，
﹣2φ=2kπ+，k∈Z，当k=﹣1时，φ=．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．
10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，
，
该四边形的面积：==5．
故选：C．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
--- --- --- --- --- --- ---
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
--- --- --- --- --- --- ---
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′
【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．
【解答】解：由题意可知n=6，===，==，
故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，
故可得==，==﹣×=，
而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，
比较可得＜b′，＞a′，
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x~0~） B．﹣x~0~是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x~0~是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点
【分析】A项，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x~0~是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x~0~是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点．
【解答】解：对于A项，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x~0~是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x~0~是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.**
13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））=[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．
【解答】解：因为，
所以f（）==﹣1，
所以=f（﹣1）=2（﹣1）^3^=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件"3a﹣1＞0"对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，
则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为P==．
故答案为：．
【点评】几何概型的概率估算公式中的"几何度量"，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个"几何度量"只与"大小"有关，而与形状和位置无关．
15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，则该椭圆的离心率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，可得，进而．
设\|MF~2~\|=m，\|MF~1~\|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
【解答】解：如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，∴，∴．
设\|MF~2~\|=m，\|MF~1~\|=n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e=．
故答案为．
【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈S，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），那么称这两个集合"保序同构"，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N^\*^；
②A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|﹣8≤x≤10}；
③A={x\|0＜x＜1}，B=R．
其中，"保序同构"的集合对的序号是[ ①②③ ]{.underline}．（写出"保序同构"的集合对的序号）．
【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y=f（x）为单调增函数，
对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f（x）即可．
【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=x+1，x∈N，满足：（i）B={f（x）\|x∈A}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈A，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），故A是"保序同构"；
对于命题②中的两个集合，可取函数 （﹣1≤x≤3），是"保序同构"；
对于命题③中的两个集合，可取函数f（x）= （0＜x＜1），是"保序同构"．
故答案为①②③．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义"保序同构"指的是什么意思，是基础题．
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差d=1，前n项和为S~n~．
（Ⅰ）若1，a~1~，a~3~成等比数列，求a~1~；
（Ⅱ）若S~5~＞a~1~a~9~，求a~1~的取值范围．
【分析】（I）利用等差数列{a~n~}的公差d=1，且1，a~1~，a~3~成等比数列，建立方程，即可求a~1~；
（II）利用等差数列{a~n~}的公差d=1，且S~5~＞a~1~a~9~，建立不等式，即可求a~1~的取值范围．
【解答】解：（I）∵等差数列{a~n~}的公差d=1，且1，a~1~，a~3~成等比数列，
∴
∴
∴a~1~=﹣1或a~1~=2；
（II）∵等差数列{a~n~}的公差d=1，且S~5~＞a~1~a~9~，
∴
∴
∴﹣5＜a~1~＜2．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P﹣ABCD的正视图．
（Ⅱ）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥
平面PBC．
（Ⅲ）根据三棱锥D﹣PBC的体积V~D﹣PBC~=V~P﹣BCD~=S~△BCD~•PD=（S~梯形ABCD~﹣S~△ABD~）•PD，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，
由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，
∴PD=AD•tan60°=4，
四棱锥P﹣ABCD的正视图如图所示：
（Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于AB，
再由（Ⅰ）可得CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．
（Ⅲ）三棱锥D﹣PBC的体积V~D﹣PBC~=V~P﹣BCD~=S~△BCD~•PD
=（S~梯形ABCD~﹣S~△ABD~）•PD
=\[﹣\]×4=8．
【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在"25周岁以上（含25周岁）"和"25周岁以下"分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
------------- ------- ------- ------- --------
P（x^2^≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- ------- --------
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名"25周岁以下组"工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"？附：（注：此公式也可以写成k^2^=）
【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得"25周岁以上组"中的生产能手的人数，以及"25周岁以下组"中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k^2^≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．
【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，
25周岁以下组工人100×=40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），
25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），
故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，
其中至少1名"25周岁以下组"工人的结果共+=7种，
故所求的概率为：；
（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，"25周岁以上组"中的生产能手有60×0.25=15（人），
"25周岁以下组"中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：
-------------- ---------- ------------ ------
生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
-------------- ---------- ------------ ------
所以可得==≈1.79，
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"．
【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．
20．（12分）如图，抛物线E：y^2^=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，\|CO\|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求\|MN\|；
（Ⅱ）若\|AF\|^2^=\|AM\|•\|AN\|，求圆C的半径．
【分析】（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出\|MN\|的长；
（II）设C（，y~0~），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（﹣1，y~1~），N（﹣1，y~2~），利用韦达定理表示出y~1~y~2~，利用\|AF\|^2^=\|AM\|•\|AN\|，得\|y~1~y~2~\|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出\|OC\|的长，即为圆的半径．
【解答】解：（I）抛物线E：y^2^=4x的准线l：x=﹣1，
由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又\|OC\|=，
∴\|MN\|=2==2．
（II）设C（，y~0~），则圆C的方程为（x﹣）^2^+（y﹣y~0~）^2^=，
即x^2^﹣+y^2^﹣2y~0~y=0，由x=﹣1得y^2^﹣2y~0~y+1+=0，
设M（﹣1，y~1~），N（﹣1，y~2~），则
，
由\|AF\|^2^=\|AM\|•\|AN\|，得\|y~1~y~2~\|=4，
∴1+=4，解得y~0~=，此时△＞0
∴圆心C的坐标为（，），\|OC\|^2^=，
从而\|OC\|=．
即圆C的半径为．
【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通过余弦定理，求PM的长；
（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，
由余弦定理可得，OM^2^=OP^2^+MP^2^﹣2×OP•MPcos45°，
解得PM的长为1或3；
（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，
OM=，
同理，ON==，
故
=
=
=
=
=
=
因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得e^x^=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与"方程g（x）=0在R上没有实数解"矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
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**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}
2．（5分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
4．（5分）设非零向量，满足\|+\|=\|﹣\|则（ ）
A．⊥ B．\|\|=\|\| C．∥ D．\|\|＞\|\|
5．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y^2^=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
8．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）过抛物线C：y^2^=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
**二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^，则f（2）=[ ]{.underline}．
15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为[ ]{.underline}．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．**
17．（12分）已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的前n项和为T~n~，a~1~=﹣1，b~1~=1，a~2~+b~2~=2．
（1）若a~3~+b~3~=5，求{b~n~}的通项公式；
（2）若T~3~=21，求S~3~．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg"，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
K^2^=．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y^2^=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x^2^）e^x^．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
**选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~1~的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C~1~上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C~2~的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C~2~上，求△OAB面积的最大值．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．已知a＞0，b＞0，a^3^+b^3^=2．证明：
（1）（a+b）（a^5^+b^5^）≥4；
（2）a+b≤2．
**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法．
【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出两集合的并集．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，是集合中的基本概念型题．
2．（5分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
4．（5分）设非零向量，满足\|+\|=\|﹣\|则（ ）
A．⊥ B．\|\|=\|\| C．∥ D．\|\|＞\|\|
【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】由已知得，从而=0，由此得到．
【解答】解：∵非零向量，满足\|+\|=\|﹣\|，
∴，
，
，
解得=0，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．
5．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y^2^=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
【解答】解：a＞1，则双曲线﹣y^2^=1的离心率为：==∈（1，）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V=π•3^2^×10﹣•π•3^2^×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
8．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【考点】3G：复合函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由x^2^﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x^2^﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性"同增异减"的原则，可得答案．
【解答】解：由x^2^﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x^2^﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x^2^﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x^2^﹣2x﹣8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（x^2^﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
12．（5分）过抛物线C：y^2^=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：抛物线C：y^2^=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1），
过抛物线C：y^2^=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l
可知：，解得M（3，2）．
可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，
则M到直线NF的距离为：=2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．
**二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，
可知函数的最大值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^，则f（2）=[ 12 ]{.underline}．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．
15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为[ 14π ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为：=．
则球O的表面积为：4×=14π．
故答案为：14π．
【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=，
∵0＜B＜π，
∴B=，
故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题
**三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．**
17．（12分）已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的前n项和为T~n~，a~1~=﹣1，b~1~=1，a~2~+b~2~=2．
（1）若a~3~+b~3~=5，求{b~n~}的通项公式；
（2）若T~3~=21，求S~3~．
【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q，
a~1~=﹣1，b~1~=1，a~2~+b~2~=2，a~3~+b~3~=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q^2^=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{b~n~}的通项公式为b~n~=2^n﹣1^，n∈N\*；
（2）b~1~=1，T~3~=21，
可得1+q+q^2^=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b~2~=4，a~2~=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S~3~=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b~2~=﹣5，a~2~=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S~3~=﹣1+7+15=21．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，
则OE=，PO=，PE==，
△PCD面积为2，可得：=2，
即：，解得x=2，PO=2．
则V ~P﹣ABCD~=×（BC+AD）×AB×PO==4．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg"，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
K^2^=．
【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K^2^=≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：
---------- -------------- ------------- ------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
---------- -------------- ------------- ------
则有K^2^=≈15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数~1~=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数~2~=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；
比较可得：~1~＜~2~，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差的计算，关键认真分析频率分布直方图．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y^2^=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0），
设P（x，y），由点P满足=．
可得（x﹣x~0~，y）=（0，y~0~），
可得x﹣x~0~=0，y=y~0~，
即有x~0~=x，y~0~=，
代入椭圆方程+y^2^=1，可得+=1，
即有点P的轨迹方程为圆x^2^+y^2^=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），
•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，
即为﹣3cosα﹣2cos^2^α+msinα﹣2sin^2^α=1，
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m=，
即有Q（﹣3，），
椭圆+y^2^=1的左焦点F（﹣1，0），
由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）
=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•=1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m^2^+nt﹣n^2^=1，
又P在圆x^2^+y^2^=2上，可得m^2^+n^2^=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
•=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则⊥，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x^2^）e^x^．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）e^x^．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e^x^﹣x﹣1，则g′（x）=e^x^﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x^2^）e^x^，x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x^2^）e^x^，
令f′（x）=0可知x=﹣1±，
当x＜﹣1﹣或x＞﹣1+时f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）e^x^．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）e^x^，则h′（x）=﹣xe^x^＜0（x＞0），
因此h（x）在\[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e^x^﹣x﹣1，则g′（x）=e^x^﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在\[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以e^x^≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）^2^，
所以（1﹣x）（1+x）^2^﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x^2^），
取x~0~=∈（0，1），则（1﹣x~0~）（1+x~0~）^2^﹣ax~0~﹣1=0，
所以f（x~0~）＞ax~0~+1，矛盾；
③当a≤0时，取x~0~=∈（0，1），则f（x~0~）＞（1﹣x~0~）（1+x~0~）^2^=1≥ax~0~+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是\[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
**选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~1~的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C~1~上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C~2~的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C~2~上，求△OAB面积的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据\|OM\|•\|OP\|=16列方程化简即可；
（2）求出曲线C~2~的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
【解答】解：（1）曲线C~1~的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y~0~），则，∴y~0~=，
∵\|OM\|\|OP\|=16，
∴=16，
即（x^2^+y^2^）（1+）=16，
∴x^4^+2x^2^y^2^+y^4^=16x^2^，即（x^2^+y^2^）^2^=16x^2^，
两边开方得：x^2^+y^2^=4x，
整理得：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0），
∴点P的轨迹C~2~的直角坐标方程：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C~2~上，\|OA\|=2，
∴曲线C~2~的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，
∴△AOB的最大面积S=\|OA\|•（2+）=2+．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．已知a＞0，b＞0，a^3^+b^3^=2．证明：
（1）（a+b）（a^5^+b^5^）≥4；
（2）a+b≤2．
【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a^3^+b^3^=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）^2^，即可得到（a+b）^3^≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a^5^+b^5^）≥（+）^2^=（a^3^+b^3^）^2^≥4，
当且仅当=，即a=b=1时取等号，
（2）∵a^3^+b^3^=2，
∴（a+b）（a^2^﹣ab+b^2^）=2，
∴（a+b）\[（a+b）^2^﹣3ab\]=2，
∴（a+b）^3^﹣3ab（a+b）=2，
∴=ab，
由均值不等式可得：=ab≤（）^2^，
∴（a+b）^3^﹣2≤，
∴（a+b）^3^≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
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**2015年小学奥数计数专题------加法原理**
1．如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对．问这样的数对共有多少个?
2．一本书从第l页开始编排页码，共用数字2355个．那么这本书共有多少页?
3．上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页．问上册书有多少页?
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积?
5．将所有自然数，自1开始依次写下去得到：
123456789101112......
试确定在第206788个位置上出现的数字．
6．用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有多少种不同的凑法?
7．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个?
8．用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？
9．各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
10．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条若干，从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？
11． 一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？
12．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
13．旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
14．用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？
15．各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
16． 小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
17．按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?
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**参考答案**
1．79
【解析】
被减数最小可为1000，最大可为9999－8921=1078，且从1000到1078中任何一个数都可以作为被减数．
共有79个被减数，从而这样的数对共有79个．
2．821
【解析】
从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；
从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；
从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字；
显然这本书的页数在100～999之间，有2355－9－180＝2166，而2166÷3＝722，所以这本书有100+722－1＝821页．
3．153
【解析】
两本书页码所用的数字大致相当，
从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；
从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；
从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字．
显然，两本书的页码均在100～999之间，而前99页两本书共用去(9+180)×2＝378个数字，还剩下687－378＝309个数字．
上册书比下册书多的5页，每页均需3个数字作为页码，所以上册比下册多用5×3＝15个数字．
于是在剩下的309个数字种，上册用了(309+15)÷2＝162个数字，即3位数的页码有162÷3＝54页，所以上册有100+54－1＝153页．
4．13
【解析】
题中的5个数相加最小为1+2+3+4+5＝15，最大为6+7+8+9+10＝40，即题中5个数相加的和有40－15+1＝26种可能．
而10个数的和为1+2+3+4+...+10＝55．
如果我们假定被乘数不超过乘数，那么被乘数有26÷2＝13种可能，而当被乘数确定，乘数也就是确定为"55－被乘数"，并且这些的乘积没有重复．(如果被乘数大于乘数，都可将上面的被乘数、乘数互换而得)．
所以共有13种不同的乘积．
5．7
【解析】
有1～9为1位数，所以占有9×1＝9个数字；
10～99为2位数，所有占有90×2＝180个数字；
100～999为3位数，所以占有900×3＝2700个数字；
1000～9999为4位数，所有占有9000×4＝36000个数字；
10000～99999为5位数，所有占有90000×5＝450000个数字．
现在第206788个位置对应的5位数在10000～99999之间，有206788－9－180－2700－36000＝167899，167899÷5＝33579......4，所以对应的数字为10000+33579＝43579的从左至右的第4个数字，即7．
6．541
【解析】
5分的硬币最多可以有100÷5＝20枚；
当5分的硬币有20枚，那么只有这1种凑法；
当5分的硬币有19枚，则剩下的5分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+1＝2+1+1+1＝1+1+1+1+1＝5，所以共有3种凑法；
当5分的硬币有18枚，则剩下的10分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有5+1＝6种凑法；
当5分的硬币有17枚时，则剩下的15分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有7+1＝8种凑法；
当5分的硬币有16枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有10+1＝11种凑法；
当5分的硬币有15枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有12+1＝13种凑法；
于是，我们把两种情况作为一组，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，...，
即每组数内两个数字相差2，从第2组开始，每组数的第一个数字比前一组的第一个数字大5，
5分的硬币可以取20～0枚，即有21种情况，分成10组还剩下一种情况，
有(1，3)，(6，8)，(11，13)，(16，18)，(21，23)，(26，28)，(31，33)，(36，38)，(41，43)，(46，48)，51
所以共有(1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+38+43+48)＝(1+51)×11÷2+(3+48)×10÷2＝286+255＝541种．
即用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有541种不同的凑法．
7．45
【解析】
我们将符合条件的两位数列出
因此，符合要求的两位数有1+2+3+4+...+9＝(1+9)×9÷2＝45个．
8．10
【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。
9．10
【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
①由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；
②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；
③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。
所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。
10．70
【解析】围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。
这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。
根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：
第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。
由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是：
①腰长为1的三角形1个：1、1、1。
②腰长为2的三角形3个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。
③腰长为3的三角形5个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。
④腰长为4的三角形7个：4、4、1；4、4、2；......4、4、7。
⑤腰长为5的三角形8个：5、5、1；5、5、2；......5、5、8。
同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。
第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（个）。
第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。
根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能为是3厘米、2厘米、1厘米）：
①最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。
②最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。
③最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。
④最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。
⑤最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。
第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。
所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70（个）。
11．45
【解析】要求"最多"多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；......第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
所以，最多试验次数为：9+8+7......+2+1=45（次）。
12．9
【解析】一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
13．9
【解析】根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可以表示出不同的信号
3＋6=9（种）。
14．10
【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。
15．10
【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+6； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
9、9、7三个数字可组成3个三位数：997、979、799；
②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；
③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。
所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。
16．89
【解析】登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）„„一般地，登上第n级台阶，或者从第（n---1）级台阶跨一级上去，或者从第（n---2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n---1）级和第（n---2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。
17．55
【解析】
如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母，
{width="2.0in" height="0.8541666666666666in"}
按箭头所示，走有一条路，到有2种办法；再往下到有从走和走两种方法，这样到有3条路线；到可从、走，有5种方法到．过可从、走，共有8条路线；到可走、，这样共有13种走法；经过可从、两条路走，有21种方法都到；到达可以走和，因而有34种路线到达．
这样由A到B，可经过和两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如下图所示．
{width="2.1354166666666665in" height="1.0208333333333333in"}
因此，从A点到B点的不同路线共有55条．
| 1 | |
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（一）**
**一、选择题**（本题有8小题，每小题4分，共32分）
{width="5.3in" height="1.2138888888888888in"}1．函数y＝图象的大致形状是 （ ）
{width="0.8958333333333334in" height="0.7604166666666666in"}A B C D
2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）
> A、 B、 C、 D、
3．满足不等式的最大整数n等于 （ ）
{width="1.5104166666666667in" height="1.0520833333333333in"}（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
4．甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇
后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时到达A站. 那么，
甲车速是乙车速的 （
{width="1.4583333333333333in" height="1.375in"}（A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍
5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，
3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
6．如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=，则△CDE与△ABE的面积比为 （ ）
（A）cos （B）sin （C）cos^2^ （D）sin^2^
7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （ ）
（A） （B） （C） （D）与勺子大小有关
8．设A，B，C是三角形的三个内角，满足，这个三角形是 （ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能
**二、填空题**（本题有6小题，每小题5分，共30分）
{width="1.46875in" height="1.4583333333333333in"}9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□
10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边
> 形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 [\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
11．计算：= [\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 [\_\_]{.underline} 场，E队比赛了 [\_\_\_]{.underline} 场.
13．已知∠AOB=30°,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.7979166666666666in" height="1.2444444444444445in"}14．如图，△ABC为等腰直角三角形，若
> AD=AC，CE=BC，则∠1 [\_\_]{.underline} ∠2
>
> （填"\>"、"\<"或"="）
**三．解答题**（共38分）
15\. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
１６．（１２分）如图，是的内接三角形，，为中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
１７．（１４分）如图，在等腰梯形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，*AB*=*DC*=50，*AD*=75，*BC*=135．点*P*从点*B*出发沿折线段*BA*-*AD*-*DC*以每秒5个单位长的速度向点*C*匀速运动；点*Q*从点*C*出发沿线段*CB*方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点*Q*向上作射线*QK*⊥*BC*，交折线段*CD*-*DA*-*AB*于点*E*．点*P*、*Q*同时开始运动，当点*P*与点*C*重合时停止运动，点*Q也*随之停止．设点*P*、*Q*运动的时间是*t*秒（*t*＞0）．
（1）当点*P*到达终点*C*时，求*t*的值，并指出此时*BQ*的长；
> （2）当点*P*运动到*AD*上时，*t*为何值能使*PQ*∥*DC *？
>
> （3）设射线*QK*扫过梯形*ABCD*的面积为*S*，分别求出点*E*运动到*CD*、*DA*上时，*S*与*t*的函数关系式；（不必写出*t*的取值范围）
（4）△*PQE*能否成为直角三角形？若能，写出*t*的取值范围；若不能，请说明理由．
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（一）参考答案**
**选择题 **DCDCCCCB
9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋2
10． 11． 12． 6场，2场
13． 14．＝
1５．（１）**解**：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：
，解这个不等式组，得：，
是整数，可取，可设计三种搭配方案：
①种园艺造型个 种园艺造型个
②种园艺造型个 种园艺造型个
③种园艺造型个 种园艺造型个．
（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为元
１６．证明：（1）在中，．
在中，．
，（同弧上的圆周角相等），．
．．
在和中，
．．
（2）若．
．
，又
> １７．解：（1）*t *=（50＋75＋50）÷5=35（*秒）*时，点*P*到达终点*C*．
>
> 此时，*QC*=35×3=105，∴*BQ*的长为135－105=30．
>
> （2）如图8，若*PQ*∥*DC*，又*AD*∥*BC*，则四边形*PQCD*
>
> 为平行四边形，从而*PD*=*QC*，由*QC*=3*t*，*BA*+*AP*=5*t*
>
> 得50＋75－5*t*=3*t*，解得*t*=．
>
> 经检验，当*t*=时，有*PQ*∥*DC*．
>
> （3）①当点*E*在*CD*上运动时，如图9．分别过点*A*、*D*
>
> 作*AF*⊥*BC*于点*F*，*DH*⊥*BC*于点*H*，则四边形
>
> *ADHF*为矩形，且*△ABF*≌△*DCH*，从而
>
> *FH*= *AD*=75，于是*BF*=*CH*=30．∴*DH*=*AF*=40．
>
> 又*QC*=3*t*，从而*QE*=*QC*·tan*C*=3*t*·=4*t*．
>
> （注：用相似三角形求解亦可）
>
> ∴*S*=*S*~⊿*QCE *~=*QE*·*QC*=6*t*^2^；
>
> ②当点*E*在*DA*上运动时，如图8．过点*D*作*DH*⊥*BC*于点*H*，由①知*DH*=40，*CH*=30，又*QC*=3*t*，从而*ED*=*QH*=*QC*－*CH*=3*t*－30．
>
> ∴*S*= *S*~梯形*QCDE *~=(*ED*＋*QC*)*DH* =120 *t*－600．
（4）△*PQE*能成为直角三角形．
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（二）**
一、选择题（每题5分，共25分）
1、已知三个关于x的一元二次方程ax^2^+bx+c=0,bx^2^+cx+a=0,cx^2^+ax+b=0恰有一个公共根，则的值为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
2、设a、b是整数，方程x^2^+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）
A、2 B、0 C、-2 D、-1
3、正实数a~1~,a~2~,....，a~2011~满足a~1~+a~2~+.....+a~2011~=1,设P=，则（ ）
A、p\>2012 B、p=2012
C、p\<2012 D、p与2012的大小关系不确定
4、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
5、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（每题5分，共25分）
6、已知实数x，y满足，则3x^2^-2y^2^+3x-3y-2012=
[ ]{.underline}
7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且,则的值是 [ ]{.underline}
8、 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L
的函数表达式是 [ ]{.underline}
9、如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在
BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交
AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN
的长为 [ ]{.underline}
10、的最小值为 [ ]{.underline}
三、解答题
11、边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x^2^-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。（10分）
12、如图1，等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF\>BC，取线段AE的中点M 。
（1）求证：MD=MF,MD⊥MF(6分)
（2）若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分）
13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时间x（周）之间的函数关系式为Z=(1≤x≤16且x为整数)
（1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）
（2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）
（3）求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）
14、如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=﹣3于点N。
（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；（4分）
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（6分）
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标，如果不可能，请说明理由。（4分）
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（二）参考答案**
1、D 2、C 3、A 4、C 5、A
6）-1 7） 8） 9） 10）
11、设直角边为a，b（a\<b），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）^2^-16k为完全平方数。
设(k+2)^2^-16k=n^2^ ∴k^2^-12k+4=n^2^ ∴(k-6)^2^-n^2^=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6\>k-n-6 ∴
解得，k~2~=15,k~3~=12
当k~2~=15时，a+b=17,ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；当k=12时，a+b=14,ab=48
∴a=6 ， b=8 ，c=10
12、略
13、（1）
（2）
（3）由（2）化简得
①当时 ∵1≤x≤6 ∴当x=6时，w有最大值，最大值为18.5
②当
∵6≤x≤11，故当x=11时，w有最大值，最大值为
③当
∵12≤x≤16 ∴当x=12时，w有最大值为18
综上所述，当x=11时，w有最大值为
答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为
14、（1）略
\(2\)
（3）P~1~（0，3） P~2~
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（三）**
**一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）**
**1**、如果关于*x*的方程至少有一个正根，则实数*a*的取值范围是（ ）
A、 \] B、 C、 D、
**2**、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别交于点，若正方形的面积是240，则四边形的面积等于........................（ ）
A、26 B、{width="1.7291666666666667in" height="1.8020833333333333in"}28
C、24 D、30
**3** 、设是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则代数式
的值是..................... （ ）
A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算
**4**、{width="2.0833333333333335in" height="1.9270833333333333in"}如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：
，则线段的长
是..................... （ ）
A、 B、7 C、4+3 D、3+4
**5**、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成
一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是..................... （ ）
A、296 B、221 C、225 D、641
**二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）**
**6**、已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；
⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：
[ ]{.underline} 。
**7**、函数的最小值是 [ ]{.underline} 。
**8**、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 [ ]{.underline} 。{width="2.25in" height="1.3215277777777779in"}
**9**、已知：，则可用含的
有理系数三次多项式来表示为：=
[ ]{.underline} 。
**10**、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( *p*, *q*, *r* )是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题（共6题，共90分）**
**11、（本题满分12分）**
赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次用这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
；已知对于任意的实数，记号\[\]表示不超过的最大整数；将英文字母转化成密码，如，即 ，再如，即。他们给出下列一组密码：
，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
**12**、**（本题满分15分）**
**如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为"世博数"。**
1. **个"世博数"之积也是"世博数"吗？为什么？**
2. **证明：两个"世博数"（）之商也是"世博数"。**
**13、（本题满分15分）**
如图，在四边形中，已知△、△、△的面积之比是3∶1∶4，点在边上，交于，设。
⑴求的值；
⑵若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示△三边长的平方和。
{width="3.25in" height="2.5375in"}
**14**、**（本题满分16分）**
**观察下列各个等式：。**
**⑴你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；**
**⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：**
**已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段**
**等分，分点从左到右依次为，分别过这个点作轴的垂线依次交抛物线于点，设△、**
**△、△、△、...、△的面积依次为 。**
**①当时，求的值；**
**②试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？**
{width="4.749305555555556in" height="2.7895833333333333in"}
**15**、**（本题满分16分）**
**有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形；**
**②腰长为4、顶角为的等腰三角形；**
**③腰长为5、顶角为的等腰三角形；**
**④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；**
**⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。**
**它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。**
**我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板"可操作"；否则，便称为"不可操作"。**
**⑴证明：第④种塑料板"可操作"；**
**⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种"不可操作"的概率。**
{width="4.749305555555556in" height="1.8506944444444444in"}
**16**、**（本题满分16分）**
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙是△的边上的旁切圆，分别是切点，于点。
⑴试探究：三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设如果△和△的面积之比等于，，试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
{width="2.75in" height="2.7222222222222223in"}
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（三）参考答案**
**一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）**
**1**、如果关于*x*的方程至少有一个正根，则实数*a*的取值范围是（ C ）
A、 \] B、 C、 D、
**2**、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别交于点，若正方形的面积是240，则四边形的面积等于........................（ B ）
A、26 B、{width="1.7291666666666667in" height="1.8020833333333333in"}28
C、24 D、30
**3** 、设是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则代数式
的值是..................... （ A ）
A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算
**4**、{width="2.0833333333333335in" height="1.9270833333333333in"}如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：
，则线段的长
是..................... （ D ）
A、 B、7 C、4+3 D、3+4
**5**、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成
一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是..................... （ B ）
A、296 B、221 C、225 D、641
**二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。不设中间分）**
**6**、已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；
⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：
[ ]{.underline} 。
**7**、函数的最小值是 [8]{.underline} 。
**8**、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 [84---]{.underline} 。{width="2.375in" height="1.395138888888889in"}
**9**、已知：，则可用含的
有理系数三次多项式来表示为：=
[]{.underline} 。
**10**、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( *p*, *q*, *r* )是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题（共6题，共90分。学生若有其它解法，也按标准给分）**
**11、（本题满分12分）**
赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次用这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
；已知对于任意的实数，记号\[\]表示不超过的最大整数。将英文字母转化成密码，如，即 ，再如，即。他们给出下列一组密码：
，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
**略解：由题意，密码对应的英语单词是interest,** **对应的英语单词是is,** **对应的英语单词是best,** **对应的英语单词是teacher. (9分)**
> **所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是"兴趣是最好的老师"。**
>
> **（3分）**
**12**、**（本题满分15分）**
**如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为"世博数"。**
1. **个"世博数"之积也是"世博数"吗？为什么？**
2. **证明：两个"世博数"（）之商也是"世博数"。**
**略解：=，其中是有理数，**
**"世博数"（其中是任意有理数），只须 即可。 （3分）**
**对于任意的两个两个"世博数"，不妨设其中j、k、r、s为任意给定的有理数， （3分）**
**则是"世博数"；（3分）**
**=也是"世博数"。 （3分）**
**13、（本题满分15分）**
如图，在四边形中，已知△、△、△的面积之比是3∶1∶4，点在边上，交于，设。
⑴求的值；
⑵若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示△三边长的平方和。
**略解：**⑴不妨设△、△、△的面积{width="3.9895833333333335in" height="2.6979166666666665in"}分别为3、1、4，
∵， ∴△的面积是6，△的面积是 ，
> △的面积是， △的面积为 ，△的面积是。 （3分）由此可得：+=，即 ，∴ （3分）
**∴**=3 （1分）
⑵由⑴知：分别为的中点，又∵点分线段成的两段，
∴点是△的重心。 （2分）
> 而当延长到，使得，连结后便得到平行四边形，再利用"平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和"就可得：
>
> ，类似地有，其中点为边的中点。∴。（3分）∵ ，，**∴，∴**。（3分）
**14**、**（本题满分16分）**
**观察下列各个等式：。**
**⑴你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；**
**⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：**
**已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段**
**n等分，分点从左到右依次为，分别过这个点作轴的垂线依次交抛物线于点，设△、**
**△、△、△、...、△的面积依次为 。**
**①当时，求的值；**
**②试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？**
{width="4.749305555555556in" height="2.7895833333333333in"}
**略解：⑴∵，∴当式中的从1、2、3、...依次取到时，就可得下列个等式： （2分）**
**，将这个等式的左右两边分别相加得：**
**（2分）**
**即=。（3分）**
**⑵先求得两点的坐标分别为，∴点的横坐标分别为，点的纵坐标分别为。**
**（3分）∴**
**∴=。 （3分）**
**∴①当时，**
**=；**
**②∵**
**∴当取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于。 （3分）**
**15**、**（本题满分16分）**
**有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形；**
**②腰长为4、顶角为的等腰三角形；**
**③腰长为5、顶角为的等腰三角形；**
**④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；**
**⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。**
**它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。**
**我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板"可操作"；否则，便称为"不可操作"。**
**⑴证明：第④种塑料板"可操作"；**
**⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种"不可操作"的概率。**
{width="4.749305555555556in" height="1.9097222222222223in"}
**略解：⑴由题意可知四边形必然是等腰梯形，（2分）不妨设**
**=，分别过点作的垂线，垂足为，则由△∽△得到，即，解得。**
**∴＜2.4,**
**∴第④种塑料板"可操作"。 （5分）**
**⑵如上图所示，分别作直角三角形斜边上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底边上的高，易求得：=2.4, =2.5. (2分)**
**又由⑴可得等腰梯形的锐角底角是，△≌△，∴=.**
**而黄金矩形的宽等于＞2.4， （4分）**
**∴第①②④三种塑料板"可操作"；而第③⑤两种塑料板"不可操作"。**
**∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种"不可操作"的概率。（3分）**
**16**、**（本题满分16分）**
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙是△的边上的旁切圆，分别是切点，于点。
⑴试探究：三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设如果△和△的面积之比等于，，试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
{width="3.25in" height="3.1534722222222222in"}
**略解：**⑴结论：三点是同在一条直线上。（1分）
证明：分别延长交于点，由旁切圆的定义及题中已知条件得：
，，再由切线长定理得：，（3分）
∴。∴，由梅涅劳斯定理的逆定理可证三点共线。 （3分）
⑵∵∴三点共线，，连结，则**△∽△，△∽△，四点共圆。（2分）**
**设**⊙的半径为，则：∴即，，
∴由**△∽△得：，，∴。 （4分）**
∴，因此，由韦达定理可知：分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是。 （3分）
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（四）**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．）**
1．将一些棱长为的正方体摆放在的平面上（如图1所示），其正视图和侧视图分别如图2、图3，记摆放的正方体个数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
{width="2.9409722222222223in" height="1.020138888888889in"}
{width="0.7583333333333333in" height="0.35in"}
2.多项式等于下列哪个选项（ ）
A． B． C． D．
3.甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有张.每张纸牌上有至中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有张牌，每人将各自牌中相差为的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为和，乙也还有两张牌，牌上的数分别为和，则的值是（ ）
A． 3 B． 4 C． 6 D． 7
4.已知为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（ ）：
A． 5 B． 10 C． 15 D． 75
5.表示不超过实数的最大整数,记 将不能表示成形式的正整数称为"隐形数".则不超过的"隐形数"的个数是( )
{width="1.5152777777777777in" height="1.6819444444444445in"}A． 335 B． 336 C． 670 D． 671
6.如图，点为锐角的外心，点为劣弧的中点，
若则( )
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．将答案填在答题卷中相应横线上．）**
7.如果不等式没有实数解，则实数的取值范围 [ ]{.underline} ；
8.已知实数满足，则的取值范围是 [ ]{.underline} ；
9.函数的最大值为 [ ]{.underline} ；
10.设为实数，已知坐标平面上的抛物线与轴交于两点，且线段.若抛物线与轴交于两点，则线段 [ ]{.underline} ；
11.正方形中，两个顶点到直线的距离相等，且均为另两个顶点到直线的距离的两倍，则这样的
> 直线有 [ ]{.underline} 条；
12.使二次方程的两根均为整数的质数的所有可能值为 [ ]{.underline} ；
13.在平面直角坐标系中,不管实数取什么实数,抛物线的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 [ ]{.underline} ；
14.已知实数满足，，则 [ ]{.underline} ；
15.如图，为等边内一点，则的面积为 [ ]{.underline} ；
16.如图，在的边上过到点的距离为...的点作互相平行的直线，分别与相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为...．
> {width="1.875in" height="1.2666666666666666in"}{width="1.725in" height="1.4333333333333333in"}则 [ ]{.underline} ．
{width="0.8333333333333334in" height="0.35in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.35in"}
**三、解答题（本大题共5小题，共60分．将答案填在答题卷中相应位置处，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17.（本题满分10分）计算
18.（本题满分12分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进，两辆车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点，并求这辆车一共行驶了多少千米？
19.（本题满分12分）如图，四边形内接于，是的直径，和相交于点，且
（1）求证：
> {width="2.0in" height="1.4236111111111112in"}（2）分别延长，交于点，过点作交的延长线于点，若求的长．
{width="0.8333333333333334in" height="0.35in"}
20.（本题满分13分）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
> （2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以为顶点的三角形与相似，求的值；
>
> {width="2.0in" height="1.9618055555555556in"}（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
{width="2.638888888888889e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}
{width="0.8333333333333334in" height="0.35in"}
21.（本题满分13分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为"好数".例如，就是一个"好数".
（1）是不是"好数"？说明理由.
（2）从小到大排列，第个"好数"是哪个自然数？
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（四）参考答案**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）**
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6**
---------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
**答案** **C** **B** **D** **A** **D** **A**
**二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．）**
题号 （**7**） （**8**） （**9**） （**10**） （**11**）
------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
答案 9 12条
题号 （**12**） （**13**） （**14**） （**15**） （**16**）
答案 3或7 0
**三、解答题（本大题共5小题，共60分．答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.解：原式=
......................................................5分
........................................................................10分
18.解:设尽可能远离出发点的甲汽车行驶了,乙汽车行驶了,则
而,即甲车一共行驶了............................6分
具体的方案是:两辆汽车行驶了后,乙车借给甲车汽油,并在此地等着,甲车继续前进后返回,碰到乙车时再借汽油,然后两车回到出发点...................12分
19.（1）证明：
∴∽∴，
∵四边形内接于，
∴......................................................3分
（2）解：如图，连接，
∵，∴，
{width="2.4583333333333335in" height="1.75in"}又∵，∴，∴，
∴∥，∴
∵∴
又∵∴也就是半径，........................6分
在中，
∵是直径，∴∴,
∵∴
又∵,∠*AFD*=∠*ACB*=90°
∴∽∴....................................9分
在，设，则，
∴求得.....................................12分
20.解：（1）抛物线，令，解得或，
∴，．∵直线经过点，∴解得，
∴直线解析式为：．
当时，，∴在抛物线上，
解得．.................................................................................3分
（2）由抛物线解析式，令，得，∴，．
点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是∽或∽．
{width="4.749305555555556in" height="2.140972222222222in"}
①若∽，则有，如答图2﹣1所示．设，过点作轴于点，则．
，即：
∴，代入抛物线解析式整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），∴．
∵∽，∴，
即，解得：．..........................................7分
②若∽，则有，如答图2﹣2所示．同理，可求得．
{width="1.875in" height="1.8479166666666667in"}
综上所述，或．...........................9分
（3）由（1）知：，如答图3，过点作轴于点，则，∴∴
过点作轴，则
过点作于点，则．由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．
∵点横坐标为，直线解析式为：
∴................................................................13分
21、（1）2014不是"好数".如果2014是"好数"，不妨设则，而的奇、偶性相同，即要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是"好数".................................................4分
(2)设为自然数，由（1）类似可得如的自然数都不是"好数"
，
故的自然数都是"好数"，............................................................10分
所以从小到大的"好数"为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,......所以第个"好数"为，所以第2014个"好数"为2684...................................................................13分
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（五）**
一、选择题（每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。）
1、已知实数*a、b、c*满足，那么的值为（ ）
A、0 B、16 C、－16 D、－32
2、如图，*□ DEFG*内接于，已知、、
的面积为1、3、1，那么*□ DEFG*的面积为（ ）
A、 B、2
C、3 D、4
> 3、在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是 （ ）
4、已知四边形的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结各边中点得四边形，顺次连结各边中点得四边形，以此类推，则为（ ）
A．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形；
C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.
5、方程的所有整数解的个数是（ ）
A.．5个 Ｂ．4个 Ｃ．3个 Ｄ．2个
6、如图,已知等边外有一点P，P 落在
内，设P到BC、CA、AB的距离分别为，
满足，那么等边的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7、若，且有及，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
*8、x*、*y*为实数，则使成立的最大常数*c* 为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
二、填空题（每小题6分，共36分）
1、对于正数x，规定*f*（x）= ,例如*f*（3）=，*f*（）=，
计算*f*（）+ *f*（）+ *f*（）+ ...*f*（）+ *f*（ ）+ *f*（1）+ *f*（1）+
*f*（2）+ *f*（3）+ ... + *f*（2004）+ *f*（2005）+ *f*（2006）= [ ]{.underline} .
2、函数y＝的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
3、如图，在中，
分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积
为 [ ]{.underline} ．（结果保留）
4、已知二次函数 的图像顶
{width="1.1458333333333333in" height="1.3020833333333333in"}点为*A*，与*x*轴交点为B、C，则tan∠*ABC* [ ]{.underline} 。
5、如图，△*ABC*内接于⊙*O*，*BC* = *a*，*CA* = *b*，∠*A－*∠*B* = 90°，
则⊙*O*的半径为 [ ]{.underline} 。
6、如果三位数(表示百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c的三位数),且满足b＜a或b＜c，则称这个三位数为"凹数"。那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是"凹数"的概率是 [ ]{.underline}
三、解答题（共6题，10+10+13+13+15+15=74分）
15、已知关于*x*的方程和。问是否存在这样的*a*值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根？若存在，求出这样的*a*值；若不存在，请说明理由。
16、已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
{width="1.9791666666666667in" height="1.7326388888888888in"}
第16题图
17、已知抛物线**与x轴交于两点，与y轴交于点C（0，b），O为原点.**
**（1）求m的取值范围；**
**（2）若且OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及A、B、C的坐标.**
（3）**在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与⊿ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.**
18、如图，凸四边形*ABCD*内接于⊙*O*， AD=BC=90°，*AB*+*CD*为一偶数。
{width="1.3229166666666667in" height="1.5729166666666667in"}求证：四边形*ABCD*面积为一完全平方数。
19、若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，\-\-\-\-\-- ，规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2（k=1,2,3,\-\--）.试问：（1）第2006个数是1还是2？
（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？
（3）前2006个数两两乘积的和是多少？
20、已知二次函数。记当时，函数值为*y*~c~，那么，是否存在实数*m*，使得对于满足的任意实数*a*，*b*，总有。
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（五）参考答案**
**一、选择题**
1、（C）
∴
∴
2、（D）
如图，过点*A*作*AO*∥*DG*交于*BC*于点*O*，
{width="2.34375in" height="1.2291666666666667in"}则
有
又 ①
即 ②
由①＋②得
于是S*~△ABC~* = 9，故S*~□DEFG~*=9－（1+3+1）= 4
3、（C）
4、（B）
5、（C）
6、（D）
7、（A）
8、（A）令*x*=*y*=1，则
当时，
=
=
故使原不等式成立的最大常数为
**二、填空题**
1、**2006**
2、5.
3、
4、
如图，设二次函数的图像与*x*轴交于两点，*B*(*x*~1~,0),*C*(*x*~2~,0)
{width="1.6041666666666667in" height="1.8958333333333333in"}因
即
*a*＞0，故
所以
又顶点，即
故
5、
如图，连结*CO*交⊙*O*于*D*
∵∠*ABD*=90°+∠*B*
而∠*A*=90°+∠*B*
∴∠*ABD*=∠*A*
即 = ， =
故⊙*O*的半径为
6、
三、解答题
15、第一个方程，即有
故
由第二方，得
若*x*~3~为整数，则，解得或2，此时或5
若*x*~4~为整数，则，即，此方程无有理根
综上可知，当或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根。
16、解：（1）设，，与的面积分别为，，
由题意得，．，．
，即与的面积相等．
{width="1.55in" height="1.3576388888888888in"}（2）由题意知：两点坐标分别为，，
，
．当时，有最大值,
17、解：**（1）利用判别式**解得
(2)注意条件 可得，从而，
所有，
所以 满足条件的抛物线图象如图所示
依题意 ，而，
所以有，解得（舍去）
从而为所求的抛物线解析式
令得A（-8，0）、B（-4，0）、C（0，4）（8分）
{width="2.3541666666666665in" height="2.0208333333333335in"}（3）⊿PBM与⊿ABC相似有两种情况：
1. 当PQ∥AC，AP=OQ=k，由，
得，解得
2)当PQ与AC不平行，设有∠ACB=∠MPB，
过B作AC的垂线，垂足为D，
利用,求得BD=
由Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ，则有，即，化简得,解得或，但由CQ=4-k，知0\<k\<4，所以只有k=2 ，综上1）2）所求的k值是或k=2.
18、证法1：
∵ = ，∴*AB*∥*DC*，*ABCD*为梯形。过*O*作*MN*⊥*AB*于*M*交*CD*于*N*，易知*MN*⊥*CD*于*N*，由垂径定理知*M*为*AB*中点，*N*为*CD*中点，连结*OA*、*OD*。
∵∠*AOD*=90°，∴∠*AOM*=90°－∠*DON*=∠*ODN*，从而有
{width="1.5208333333333333in" height="1.3645833333333333in"}∴
∴
∵*AB*+*CD*为偶数，∴*S~ABCD~*必是完全平方数。
证法2：
连结*OA*、*OB*、*OC*、*OD*，设⊙*O*半径为*R*，∠*COD*=*a*，易知∠*AOB*=180°－*a* 。
于是
延长*AO*交⊙*O*于*K*，连结*BK*
> 易证，在Rt△*ABK*中，
即......②
又
即 ............③
将②、③代入①
{width="1.4375in" height="1.3958333333333333in"}∴
∵*AB*+*CD*为一偶数
∴*S~ABCD~*必是完全平方数
1. 19、把该列数如下分组：
1 第1组
2 1 第2组
2 2 1 第3组
2 2 2 1 第4组
2 2 2 2 1 第5组
\-\-\-\-\-\--
2 2 2 2 2 1 第n组 (有n-1个2)
易得，第2006个数为第63组，第53个数，为2；
2. 前2006个数的和为62+1944=3950，
前2006个数的平方和是：
（3）记这2006个数为
20、设在的最小值为*M*，原问题等价于
二次函数的图像是一条开口向上的抛的线
①当对称轴时，由图像可知，时，，这时成立。
②当对称轴，时，由图像可知时，且，这时有，故有
③当对称轴，时，由图像可知，时，且，这时有与矛盾。
综上可知，满足条件的*m*存在，且*m*的取值范围是
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（六）**
一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）
1．若是方程的根，则的值为 .........【 】
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．内角的度数为整数的正边形的个数是 ....................................【 】
A．24 B．22 C．20 D．18
3．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取"满一百元送二十元，并且连环赠送"的
酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者
合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第
一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当
于它们原价的 ........................................................................【 】
A．90% B．85% C．80% D．75%
4．设为正整数，若是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 【 】
A． B． C． D．
> 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数的图象上整点的个数
>
> 是 .......................................................................................【 】
>
> A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
> 6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋97＋98－99＋100＝ [ ]{.underline} ．
>
> 7．已知实数满足，则代数式的值为
>
> [ ]{.underline} ．
8．若方程组的解为且＜3，则的取值范围是
[ ]{.underline} ．
9．已知函数的图象与轴有两个交点，且都在轴的负半
轴上，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝60°，AD＝DC＝10，点E，F分别
在AD，BC上，且AE＝4，BF＝，设四边形DEFC的面积为，则关于的
函数关系式是 [ ]{.underline} （不必写自变量的取值范围）．
{width="2.53125in" height="1.382638888888889in"}
三、（本题共4小题，满分60分）
11．（本题满分15分）
我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推......
（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？
（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．
（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．
12．（本题满分15分）
甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
13．（本题满分15分）
⊙O~1~与⊙O~2~相交于点A、B，动点P在⊙O~2~上，且在⊙O~1~外，直线PA、PB分别
交⊙O~1~于点C、D．问：⊙O~1~的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生
变化，请你确定CD最长或最短时点P的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．
{width="2.795138888888889in" height="2.0166666666666666in"}
14．（本题满分15分）
如图，函数的图象交轴于M，交轴于N，点P是直线MN上任意一
点，PQ⊥轴，Q是垂足，设点Q的坐标为（，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．
（1）试求S与之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S＝
（＞0）的点P的个数．
{width="2.5902777777777777in" height="2.1819444444444445in"}{width="2.5194444444444444in" height="2.2444444444444445in"}
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（六）参考答案**
一、选择题（每小题10分，共50分）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B
二、填空题（每小题8分，共40分）
6．1684 7．7 8．－1＜＜5 9．＞－1且≠0
10．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．（本题满分15分）
解 （1）如图1，最多有10个交点； ........................（4分）
{width="3.5236111111111112in" height="1.0354166666666667in"}{width="1.448611111111111in" height="0.9847222222222223in"}
图1 图2
（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ......（10分）
（3）如图3所示． .....................（15分）
{width="2.7083333333333335in" height="1.65625in"}
图3
12．（本题满分15分）
解：设甲库原来存粮袋，乙库原来存粮袋，依题意可得
． （1）
再设乙库调袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即
． （2） ..................（5分）
由（1）式得
． （3）
将（3）代入（2），并整理得
． ..................（10分）
由于．
又、是正整数，从而有≥1，即≥148；
并且7整除，又因为4与7互质，所以7整除．
经检验，可知的最小值为152．
答：甲库原来最少存粮153袋． .....................（15分）
13．当点P运动时，CD的长保持不变． .....................（4分）
证法一：A、B是⊙O~1~与⊙O~2~的交点，弦AB与点P的位置无关．......（6分）
连结AD，
∠ADP在⊙O~1~中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值． ...............（10分）
∠P在⊙O~2~中所对的弦为AB，所以∠P为定值． ...............（12分）
因为∠CAD＝∠ADP＋∠P，
所以∠CAD为定值．
在⊙O~1~中∠CAD所对弦是CD，∴CD的长与点P的位置无关．.........（15分）
证法二：在⊙O~2~上任取一点Q，使点Q在⊙O~1~外，设直线QA、QB分别交⊙O~1~
于C＇、D＇，连结C＇D＇．
∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4． .....................（10分）
∴ CC＇＝DD＇
∴ C＇mD＇＝CmD
∴ CD＝CD． .....................（15分）
{width="3.129861111111111in" height="2.2909722222222224in"}
14．（本题满分15分）
解法1（1）① 当＜0时，OQ＝，PQ＝．
∴ S＝；
② 当0＜＜4时，OQ＝，PQ＝．
∴ S＝；
③ 当＞4时，OQ＝，PQ＝．
∴ S＝．
④ 当＝0或4时，S＝0．
于是， ................................................6分
（2）
下图中的实线部分就是所画的函数图象． ..........................................12分
{width="3.1979166666666665in" height="2.2395833333333335in"}
观察图象可知：
当0＜＜1时，符合条件的点P有四个；
当＝1时，符合条件的点P有三个；
当＞1时，符合条件的点P只有两个． .............................................15分
解法2：（1）∵ OQ＝，PQ＝，
∴ S＝． ..........................................4分
（2） ...........................6分
以下同解法1．
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（七）**
**一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）**
1．已知x^2^+16x+k是一个完全平方式，则常数k等于（ ）
A．64； B． 48； C． 32； D． 16；
2．多项式a^n^－a^3n^＋a^n＋2^分解因式的结果是（ ）
A．a^n^（1－a^3^＋a^2^）； B．a^n^（－a^2n^＋a^2^）；
C．a^n^（1－a^2n^＋a^2^）； D．a^n^（－a^3^＋a^n^）
3．一次考试后，某学习小组组长算出全组5位同学数学的平均分为*M*，如果把*M*当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个分数的平均数为*N*，那么*M*∶*N*为( )．
(A)5∶6 (B)1∶1 (C)6∶5 (D)2∶1
4.已知为非零有理数，下面解集有可能为的不等式组是（ ）．
{width="1.625in" height="1.0715277777777779in"}A． B． C． D．
5．有麦田5块A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场，问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b\<a\<d,运输量=产量×距离)． ( )
A． B块麦田 B．D块麦田 C． C块麦田 D．E块麦田
6、下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：sin47°＝0.7313，cos47°＝0.6820，tan47°＝1.0724，＝0.9325，根据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度( ).
+------+----------------------------------+---+
| 题目 | 在山脚下测量铁塔顶端到山底的高度 | |
+======+==================================+===+
| 测量 | | |
| | | |
| 目标 | | |
| | | |
| 图示 | | |
+------+----------------------------------+---+
| | | |
+------+----------------------------------+---+
{width="3.0520833333333335in" height="0.2604166666666667in"}
\(A\) 64.87m (B) 74.07m (C)84.08m (D) 88.78m
7． 方程恰有两个正整数根、，则的值是( )
（A） ； （B）； （C）； （D）.
**8.**在{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB的值：（ ）
\(A\) (B) (C) 或 (D)
{width="1.5in" height="1.4736111111111112in"}**二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）**
9,计算： [ ]{.underline}
10、当x={width="0.7215277777777778in" height="0.46944444444444444in"}时，多项式的值为 [ ]{.underline}
11．若相交直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如右图所示的图形，
则共得同旁内角有 [ ]{.underline} 对
12.如右下图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线{width="0.9736111111111111in" height="0.5305555555555556in"}恰好将矩形OABC分成面积相等{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}的两部分，那么{width="0.16527777777777777in" height="0.24375in"}＝\_\_\_\_\_\_\_\_。
13、某探险家来到红毛族部落探险，看到下面几个红毛族部落算式：
； ； ； ；
经探险家分析，红毛族部落算式中运算符号"+""---""""""=""（ ）"与我们算术中意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但是代表的数却不同。请你按照红毛族部落的算术规则，计算： 8957= [ ]{.underline}
14．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是\_\_\_ \_\_\_\_．
15．已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P直线交⊙O于A、B点，若PA·PB=24，OP=5，则⊙O的半径为 [ ]{.underline} ．
**16．** 已知如右图△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=4，BD是AC边上的中线，
CF⊥AB于F，交BD于H．则S~△CBH~= [ ]{.underline}
**三、解答题（本大题共4道题，共48分）**
{width="1.5in" height="1.3229166666666667in"}17**．**(8分)如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，DG=2, 连接CF．求△FCG的面积；
{width="2.0729166666666665in" height="1.71875in"}18**．**(12分)如图，抛物线y={width="0.10416666666666667in" height="0.36527777777777776in"}x^2^+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，
\(1\) 判断△ABC的形状，证明你的结论；
\(2\) 当CM＋DM的值最小时，求m的值．
19．(14分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．\[来源:学科网\]
(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／10^2^㎏，时间单位：天)
{width="3.626388888888889in" height="1.75625in"}
20．(14分)已知、为实数，关于的方程恒有三个不等的实数根．
(1)求b的最小值；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是
(3)若该方程的三个不等实{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}根恰为一直角三角形的三条边，求和的值．
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（七）参考答案**
**一、选择题**（本大题共8题，每小题4分，共32分）
题{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}号 1 2 3 4 5 6 7 8
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ---------
答案 **A** **C** **B** **D** **A** **B** **C** ** D**
**二、填空题**（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
9． [ 3]{.underline} ； 10． [ -27]{.underline} ； 11． [ 16]{.underline} ； 12． [ ]{.underline}
13． [ 8393]{.underline} 14． [ ]{.underline} ； 15． [ 1或7]{.underline} ；16． [ ]{.underline} {width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}[ ]{.underline} ；
**三、解答题**（本大题共4道题，共48分）
17**．**(8分)如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，DG=2, 连接CF．求△FCG的面积；
{width="1.5in" height="1.3229166666666667in"}解：∵正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
∵DG=2，
∴HG=，即菱形EFGH的边长为．
在△AHE和△DGH中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=，
{width="1.5416666666666667in" height="1.5104166666666667in"}∴△AHE≌△DGH，
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，
同理可以证明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，
从而= ×4×2=4．
{width="2.0729166666666665in" height="1.71875in"}18**．**(12分)如图，抛物线y={width="0.10416666666666667in" height="0.36527777777777776in"}x^2^+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，\[来源:Zxxk.Com\]
\(1\) 判断△ABC的形状，证明你的结论；
\(2\) 当CM＋DM的值最小时，求m的值．
解： (1) ∵点A（﹣1，0）在抛物线上
∴得b=﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.36527777777777776in"}，
∴抛物线的解析式为y={width="0.10416666666666667in" height="0.36527777777777776in"}x^2^﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.36527777777777776in"}x﹣2，
当x=0时y=-2, ∴C（0，-2），OC=2。
> 当{width="3.4722222222222224e-2in" height="2.638888888888889e-2in"}y=0时，，∴x~1~=-1,x~2~=4, ∴B(4,0).
>
> ∴OA=1,OB=4,AB=5.
>
> ∵AB^2^=25,AC^2^=OA^2^+OC^2^=5,BC^2^=OC^2^+OB^2^=20,
>
> ∴AC^2^+BC^2^=AB^2^. ∴△ABC是直角三角形.
(2)作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2\[来源:学科网ZXXK\]
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC{width="9.027777777777777e-3in" height="1.7361111111111112e-2in"}+MD的最小值为线段．
易知抛物线顶点坐标
{width="2.0729166666666665in" height="1.71875in"}设直线解析式：，则
，得
所以，直线解析式：
当时，得∴m={width="0.1909722222222222in" height="0.36527777777777776in"}．
19．(14分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．
(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／10^2^㎏，时间单位：天)
解：(1)当时，设，有
{width="1.8854166666666667in" height="0.9166666666666666in"}，得
当时，设，有
，得
设抛物线，则，得
∴市场售价与时间的函数关系：
种植成本与时间的函数关系式： ．
(2)由（１），得
即
对， 当时，取最大值为100，
对，当时，最大值为75
即从2月1日开始的第50天时，西红柿纯收益最大。
20．(14分) 解:(1) 原方程即为或
∴,
由已知,中必有一个为大于0另一个等于0,显然=0
即,得,
由,可知a取任意实数
∴当 a=0 时,b的最小值是-2
\(2\) 由(1),设的根为, 的根为\[来源:学科网ZXXK\]
∴,
由已知,即,得
∴即该三角形必有一个内角是60°
(3)由=0,知得
所以的根为,
∵
∴,得
当时，，不可能。
∴a= -16 ,
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（八）**
**一．选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）**
1\. 已知，则的值等于 [ ]{.underline} 。
2**．**计算：20062006×2007+20072007×20082006×200720072007×20082008
= [ ]{.underline} 。
3．函数，当*x* = [ ]{.underline} 时，
> y有最小值，最小值等于 [ ]{.underline} ．
4．如图，△*ABC中，*∠*A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，*∠*A*=60°，则*AD*的长为 [ ]{.underline} cm．
5．甲上岳麓山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上走16分钟，
> 乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于 [ ]{.underline}
6．如果关于*x*的方程有一个小于1的正数根，那么实数*a*的
取值范围是 [ ]{.underline} .
{width="1.6770833333333333in" height="1.8541666666666667in"}7**．**实数*x*、*y*满足*x*^2^－2*x*－4*y*＝5，记*t*＝*x*－2*y*，则*t*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
8．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个
较大的正方形，如用两个边长分别为*a*，*b*的正方形
拼成一个大正方形. 图中Rt△*ABC*的斜边*AB*的长等
于 [ ]{.underline} （用*a*，*b*的代数式表示）.
> **二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）**
9．．若，则+ ... ++ ... +的值是（ ）
> （A）1 （B）0 （C）-1 （D）2
{width="1.2604166666666667in" height="1.19375in"}10．用橡皮筋把直径为10cm的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（精确到 0.1等于 （ ）
（A）94.2 cm （B）91.4 cm
（C）61.4 cm （D）56.4 cm
11、李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款*a*元，后来她退了2包 酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她*b*元（0\<*b*\<*a*）. 每包酸奶的价格是 （ ）
（A）元 （B）元 （C）元 （D）元
> 12．定义：定点*A*与⊙*O*上的任意一点之间的距离的最小值称为点*A*与⊙*O*之间的距离．现有一矩形*ABCD*如图，*AB*=14cm，*BC*=12cm，⊙*K*与矩形的边*AB*、*BC*、*CD*分别相切于点*E*、*F*、*G*，则点*A*与⊙*K*的距离为（ ）
>
> （A）4cm （B）8cm （C）10cm （D）12cm
13．国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：共下10局棋，每局胜方得1
分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到5.5分便夺冠，不继续比赛；
> 若10局棋下完双方积分相同，则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲4胜1平. 若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局棋中，甲夺冠的概率 是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
14．若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）
> （A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限
>
> （C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限
15、如图，直线*x*＝1是二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的图象的对称轴，则有 （ ）
{width="1.9027777777777777in" height="1.757638888888889in"}（A）*a*＋*b*＋*c*＞0 （B）*b*＞*a*＋*c*
（C）*abc*＜0 （D）*c*＞2*b*
16．已知*x*、*y*、*z*是三个非负实数，满足3*x*＋2*y*＋*z*＝5，
*x*＋*y*－*z*＝2，若*S*＝2*x*＋*y*－*z*，则*S*的最大值与最小值的和为（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
**三．解答题：（每题12分，满分36分）**
17 。通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示（越大表示学生注意力越集中）：当时，图象是抛物线的一部分；当和时，图象是线段。
（1）当时，求关于的函数关系式；
{width="2.90625in" height="2.1972222222222224in"} （2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。
18．如图，点P是圆上一动点，弦AB=cm，PC是APB的平分线，BAC=30。
（1）当PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？
（2）当PA的长为多少时，四边形PACB是梯形？说明你的理由。
{width="1.1888888888888889in" height="1.2638888888888888in"}
{width="1.5in" height="0.9111111111111111in"}19．已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程的两根，
⑴求a和b的值；
⑵△与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.
ⅰ)设x秒后△与△ABC 的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；
ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（八）参考答案**
1、 2、0 3、-2，2 4、
**5** 、3：4 6、 7、 8、
9．C 10、C 11、D 12、A 13 D 14、A 15、*D* 16、*A*
17解：（1）设当时，函数的解析式为
由图象知抛物线过三点
解得
当时，关于的函数关系式为
（） 6分
（2）当时，
当时，
令，则由
解得或（舍去）
由 解得 12分
在上课4分钟后和分钟前，学生注意力的指标数都超过36
18．解：（1）平分
由，求得
为定值，当最大时，四边形PACB面积最大
此时PC应为圆的直径
四边形PACB的最大面积为 .....................6分
（2）若四边形PACB为梯形，则当时
由（1）知 PA=BC=1 ......8分
当时，则
在中，，
此时PA为圆的直径，由（1）知PA=2
当PA=1或2时，四边形PACB为梯形 ..............................12
19.解:(1)∵△ABC是Rt△且BC=a，AC=b，AB=5 （a\>b）
又a、b是方程的两根
∴ ∴(a+b)^2^-2ab=25
(m-1)^2^-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0.............
得m~1~=8 m~2~=-4 经检验m=-4不合舍去
∴m=8 ............
∴x^2^-7x+12=0 x~1~=3 x~2~=4
∴a=4，b=3
\(2\) ∵△以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。
∴x秒后BB′=x 则B′C′=4-x
∵C′M∥AC ∴△BC′M∽△BCA
∴ ∴
∴ 即
∴y= (0x4)
当y=时 =
x~1~=3 x~2~=5(不合舍去)
∴经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（九）**
**一、选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)**
1\. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）
2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了*x*％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了*x*％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）
A、2*x*％ B、1+2*x*％ C、（1+*x*％）*x*％ D、（2+*x*％）*x*％
3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条*a*元，又从另---个鱼摊上买了两条鱼，平均每条*b*元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A、*a*\>*b* B、*a*\<*b* C、*a*=*b* D、与*a*和*b*的大小无关
4．若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是 （ ）
A、 B、 C、 D、
{width="1.4583333333333333in" height="0.7395833333333334in"}5．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A、50 B、62 C、65 D、68
{width="1.1701388888888888in" height="0.7548611111111111in"}6．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为*a*，右图轮子上方的箭头指着的数字为*b*，数对（*a*，*b*）所有可能的个数为n，其中*a*+*b*恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 （ ） {width="0.8493055555555555in" height="0.8493055555555555in"}
> A、AB上 B、BC上 C、CD上 D、DA上
**8．已知实数*a*满足，那么的值是（ ）**
**A、2005 B、2006 C、2007 D、2008**
**二、填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。)**
9．小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的。如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球
10.已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有（ ）个.
11．不论m取任何实数，抛物线 y=x^2^+2mx+m^2^+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（ ）．
12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：
（1）黄盒中的小球比黄球多；
（2）红盒中的小球与白球不一样多；
（3）白球比白盒中的球少．
则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )．
13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S~1~，△COD的面积为S~2~，则=（ ）
{width="1.46875in" height="1.3333333333333333in"}14．已知矩形A的边长分别为*a*和*b*，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为（ ）
15．已知*x*、y均为实数，且满足*x*y+*x*+y=17，*x*^2^y+*x*y^2^=66，
则*x*^4^+*x*^3^y+*x*^2^y^2^+*x*y^3^+y^4^=（ ）
16．如图5，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分 别在半径OM，OP以及圆O上，并且∠POM=45°，则AB的长为（ ）
**三、解答题：(本题有2小题,每小题10分，满分20分。)**
17．甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
18．如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值.
{width="2.173611111111111in" height="1.5131944444444445in"}
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（九）参考答案**
一、1、C 2、D 3、A 4、C 5、A 6、C 7、A 8、C
二、9、 96 10、 8 11、 x+y=-1 12、黄、红、白．13、 14、
15、 12499 16、
三、17．解：
> 设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm.
则
解得a=60 b=20
∴至少需要（h）
18、 解：连结PM，设DP=*x*，则PC=4－*x*，∵AM//OP
{width="2.173611111111111in" height="1.5131944444444445in"}
同理可求........................（8分）
因此
..................（13分）
当*x*=2时，上式等号成立............................（15分）
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（十）**
**一、选择题**（本题有8小题，每小题4分，共32分）
{width="5.3in" height="1.2138888888888888in"}1．函数y＝图象的大致形状是 （ ）
{width="0.8958333333333334in" height="0.7604166666666666in"}A B C D
2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）
> A、 B、 C、 D、
3．满足不等式的最大整数n等于 （ ）
{width="1.5104166666666667in" height="1.0520833333333333in"}（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
4．甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇
后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时到达A站. 那么，
甲车速是乙车速的 （
{width="1.4583333333333333in" height="1.375in"}（A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍
5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，
3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
6．如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=，则△CDE与△ABE的面积比为 （ ）
（A）cos （B）sin （C）cos^2^ （D）sin^2^
7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （ ）
（A） （B） （C） （D）与勺子大小有关
8．设A，B，C是三角形的三个内角，满足，这个三角形是 （ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能
**二、填空题**（本题有6小题，每小题5分，共30分）
{width="1.46875in" height="1.4583333333333333in"}9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□
10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边
> 形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 [\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
11．计算：= [\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 [\_\_]{.underline} 场，E队比赛了 [\_\_\_]{.underline} 场.
13．已知∠AOB=30°,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.7979166666666666in" height="1.2444444444444445in"}14．如图，△ABC为等腰直角三角形，若
> AD=AC，CE=BC，则∠1 [\_\_]{.underline} ∠2
>
> （填"\>"、"\<"或"="）
**三．解答题**（共38分）
15\. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
１６．（１２分）如图，是的内接三角形，，为中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
１７．（１４分）如图，在等腰梯形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，*AB*=*DC*=50，*AD*=75，*BC*=135．点*P*从点*B*出发沿折线段*BA*-*AD*-*DC*以每秒5个单位长的速度向点*C*匀速运动；点*Q*从点*C*出发沿线段*CB*方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点*Q*向上作射线*QK*⊥*BC*，交折线段*CD*-*DA*-*AB*于点*E*．点*P*、*Q*同时开始运动，当点*P*与点*C*重合时停止运动，点*Q也*随之停止．设点*P*、*Q*运动的时间是*t*秒（*t*＞0）．
（1）当点*P*到达终点*C*时，求*t*的值，并指出此时*BQ*的长；
> （2）当点*P*运动到*AD*上时，*t*为何值能使*PQ*∥*DC *？
>
> （3）设射线*QK*扫过梯形*ABCD*的面积为*S*，分别求出点*E*运动到*CD*、*DA*上时，*S*与*t*的函数关系式；（不必写出*t*的取值范围）
（4）△*PQE*能否成为直角三角形？若能，写出*t*的取值范围；若不能，请说明理由．
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（十）参考答案**
**选择题 **DCDCCCCB
9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋2
10． 11． 12． 6场，2场
13． 14．＝
1５．（１）**解**：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：
，解这个不等式组，得：，
是整数，可取，可设计三种搭配方案：
①种园艺造型个 种园艺造型个
②种园艺造型个 种园艺造型个
③种园艺造型个 种园艺造型个．
（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为元
１６．证明：（1）在中，．
在中，．
，（同弧上的圆周角相等），．
．．
在和中，
．．
（2）若．
．
，又
> １７．解：（1）*t *=（50＋75＋50）÷5=35（*秒）*时，点*P*到达终点*C*．
>
> 此时，*QC*=35×3=105，∴*BQ*的长为135－105=30．
>
> （2）如图8，若*PQ*∥*DC*，又*AD*∥*BC*，则四边形*PQCD*
>
> 为平行四边形，从而*PD*=*QC*，由*QC*=3*t*，*BA*+*AP*=5*t*
>
> 得50＋75－5*t*=3*t*，解得*t*=．
>
> 经检验，当*t*=时，有*PQ*∥*DC*．
>
> （3）①当点*E*在*CD*上运动时，如图9．分别过点*A*、*D*
>
> 作*AF*⊥*BC*于点*F*，*DH*⊥*BC*于点*H*，则四边形
>
> *ADHF*为矩形，且*△ABF*≌△*DCH*，从而
>
> *FH*= *AD*=75，于是*BF*=*CH*=30．∴*DH*=*AF*=40．
>
> 又*QC*=3*t*，从而*QE*=*QC*·tan*C*=3*t*·=4*t*．
>
> （注：用相似三角形求解亦可）
>
> ∴*S*=*S*~⊿*QCE *~=*QE*·*QC*=6*t*^2^；
>
> ②当点*E*在*DA*上运动时，如图8．过点*D*作*DH*⊥*BC*于点*H*，由①知*DH*=40，*CH*=30，又*QC*=3*t*，从而*ED*=*QH*=*QC*－*CH*=3*t*－30．
>
> ∴*S*= *S*~梯形*QCDE *~=(*ED*＋*QC*)*DH* =120 *t*－600．
（4）△*PQE*能成为直角三角形．
| 1 | |
**-北师大版五年级（下）期未数学试卷**
**一、填空．（22分，每空1分）**
1．桃的体积是30[ ]{.underline}，冰柜的容积是180[ ]{.underline}．
2．1.64分米^2^=[ ]{.underline}厘米^2^=[ ]{.underline}米^2^
0.368分米^3^=[ ]{.underline}厘米^3^=[ ]{.underline}毫升．
3．一根绳子长4米，剪去它的，余下[ ]{.underline}米．
4．五（1）班同学在一次数学测试中的优秀率是20%，恰好是10人，五（1）班有[ ]{.underline}人．
5．把5千克糖放入10千克水中，含糖率是[ ]{.underline}%．
6．一本书打八折出售后现价40元，原价[ ]{.underline}元．
7．将下面的小数和分数化成百分数，百分数化成小数．
0.35[ ]{.underline}； 1.2%[ ]{.underline}；[ ]{.underline}；[ ]{.underline}；75%[ ]{.underline}；1.24[ ]{.underline}．
8．10，15，18，25，32，32，48，57这组数据的中位数是[ ]{.underline}，众数是[ ]{.underline}．
9．小红家原有20条金鱼，现在只有12条金鱼，现在金鱼的条数是原来的[ ]{.underline}%，原来的金鱼条数是现在的[ ]{.underline}%，现在比原来的金鱼条数少[ ]{.underline}%．
10．一个棱长是6厘米的无盖正方体铁盒，它的表面积是[ ]{.underline}，体积是[ ]{.underline}．
**二、我是小法官，对错我会判．（5分，每题1分）**
11．物体所占空间越大，表示它的体积越大．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．甲数比乙数多，就是乙数比甲数少．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．长方体和正方体底面积相等时，它们的体积也一定相等．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．生产108个零件，全部合格，合格率是108%．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．米也就是80%米．[ ]{.underline}．
**三、我会选．（5分，每题1分）**
16．某小学植树120棵，有6棵没成活，成活率是（ ）
A．5% B．95% C．90%
17．甲数的和乙数的相等，则甲数与乙数比较（ ）
A．甲数大 B．乙数 C．无法比较
18．学校今年植树比去年多，去年植树60棵，今年植树多少棵？列式正确的是（ ）
A．60÷（1+） B．60×（1+） C．60×+ D．60÷
19．出勤率（ ）
A．大于100% B．小于100%
C．小于或等于100%
20．一个油桶可以装180升汽油，它的（ ）是180升．
A．体积 B．容积 C．质量
**四、计算**
21．直接写得数．
----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
3÷= ﹣= ×5= ﹣=
0÷= ÷= ×= +=
----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
22．计算下列各题，能简算的要简算．
15÷×15÷
30×（﹣﹣）
×+×．
23．解方程．
x+4=102
x÷20%=
x﹣x=．
**五、操作题**
24．如图是五年级数学期末考试情况统计图．
（1）从统计图中可以看出，[ ]{.underline}的学生最多，[ ]{.underline}的学生最少．
（2）已知及格的学生有60人，则优秀的学生有多少人？
（3）请你提个数学问题并解答．
**六、解决问题（30分，每题6分）**
25．商店运来一批梨和苹果，运来的苹果有120千克，运来的梨占运来水果总数的40%，两种水果共运来多少千克？
26．用铁皮做一个棱长是5分米的正方体无盖水槽，至少需要多大面积的铁皮？这个水槽最多能盛水多少升？
27．某种花生的出油率是40%，要想榨600千克的花生油，需要这种花生多少千克？
28．学校图书馆的文艺书比科技书少．
（1）科技书有246本，文艺书有多少本？
（2）文艺书有205本，科技书有多少本？
29．某次义务劳动，实际来了34人，请假6人，这次义务劳动的出勤率是多少？
**-北师大版五年级（下）期未数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空．（22分，每空1分）**
1．桃的体积是30[ 立方厘米 ]{.underline}，冰柜的容积是180[ 升 ]{.underline}．
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】根据情景根据生活经验，对体积单位和数据大小的认识，可知计量桃的体积用"立方厘米"做单位；可知计量冰柜的容积用"升"做单位．
【解答】解：桃的体积是30 立方厘米，冰柜的容积是180 升；
故答案为：立方厘米，升．
2．1.64分米^2^=[ 164 ]{.underline}厘米^2^=[ 0.0164 ]{.underline}米^2^
0.368分米^3^=[ 368 ]{.underline}厘米^3^=[ 368 ]{.underline}毫升．
【考点】体积、容积进率及单位换算；面积单位间的进率及单位换算．
【分析】把1.64平方分米换算为平方厘米，用1.64乘进率100；换算为平方米，用1.64除以进率100；
把0.368立方分米换算为立方厘米，用0.368乘进率1000；然后根据1立方厘米=1毫升，换算为毫升即可．
【解答】解：1.64分米^2^=164厘米^2^=0.0164米^2^
0.368分米^3^=368厘米^3^=368毫升．
故答案为：164，0.0164；368，368．
3．一根绳子长4米，剪去它的，余下[ 3 ]{.underline}米．
【考点】分数乘法应用题．
【分析】的单位"1"是4米，剪去它的，剩下它的（1﹣），再根据分数乘法的意义，即可求出余下的米数．
【解答】解：4×（1﹣），
=4×，
=3（米），
答：余下的是3米，
故答案为：3．
4．五（1）班同学在一次数学测试中的优秀率是20%，恰好是10人，五（1）班有[ 50 ]{.underline}人．
【考点】百分率应用题．
【分析】优秀率是成绩优秀的学生占全班总人数的百分之几，优秀率是20%，优秀人数是10人，求全班人数，用10÷20%列式解答即可．
【解答】解：10÷20%=50（人）．
答：五（1）班有50人．
故答案为：50．
5．把5千克糖放入10千克水中，含糖率是[ 33.3 ]{.underline}%．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】含糖率是指糖的质量占糖水总质量的百分之几，先把糖和水的质量相加，求出糖水的总质量，再根据含糖率=×100%求解．
【解答】解：10+5=15（千克）
×100%≈33.3%
答：含糖率是33.3%．
故答案为：33.3．
6．一本书打八折出售后现价40元，原价[ 50 ]{.underline}元．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】八折是指现价是原价的80%，把原价看成单位"1"，它的80%就是现价40元，由此用除法求出原价．
【解答】解：40÷80%=50（元）
答：原价是50元．
故答案为：50．
7．将下面的小数和分数化成百分数，百分数化成小数．
0.35[ 35% ]{.underline}； 1.2%[ 0.012 ]{.underline}；[ 80% ]{.underline}；[ 6.25% ]{.underline}；75%[ 0.75 ]{.underline}；1.24[ 124% ]{.underline}．
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化．
【分析】小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，同时填上百分号；分数化百分数的方法：先把分数化成小数，再进一步化成百分数；百分数化小数的方法：去掉百分号，把小数点向左移动两位．
【解答】解：0.35=35%；
1.2%=0.012；
=0.8=80%；
=0.0625=6.25%；
75%=0.75；
1.24=124%．
故答案为：35%，0.012，80%，6.25%，0.75，124%．
8．10，15，18，25，32，32，48，57这组数据的中位数是[ 28.5 ]{.underline}，众数是[ 32 ]{.underline}．
【考点】中位数的意义及求解方法；众数的意义及求解方法．
【分析】中位数即把一组数据按从大到小（从小到大）的顺序排列，如果这组数有偶数个，则是中间两位数的平均数；如果这组数有奇数个，则中间的那个即该组数的中位数；众数是出现次数最多的那个数，据此解答．
【解答】解：10，15，18，25，32，32，48，57；
中位数：（25+32）÷2，
=57÷2，
=28.5；
众数为：32；
故答案为：28.5，32．
9．小红家原有20条金鱼，现在只有12条金鱼，现在金鱼的条数是原来的[ 60 ]{.underline}%，原来的金鱼条数是现在的[ 166.7 ]{.underline}%，现在比原来的金鱼条数少[ 40 ]{.underline}%．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】先把原来金鱼的条数看成单位"1"，用现在的条数除以原来的条数，即可求出现在的条数是原来的百分之几；再用1减去现在占原来的条数，即可求出现在比原来的金鱼条数少百分之几；
再把现在的条数看成单位"1"，用后原来的条数除以现在的条数，即可求出原来的金鱼条数是现在的百分之几．
【解答】解：12÷20=60%
20÷12≈166.7%
1﹣60%=40%
答：现在金鱼的条数是原来的 60%，原来的金鱼条数是现在的 166.7%，现在比原来的金鱼条数少 40%．
故答案为：60，166.7，40．
10．一个棱长是6厘米的无盖正方体铁盒，它的表面积是[ 216平方厘米 ]{.underline}，体积是[ 216立方厘米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【分析】根据正方体的表面积公式是：s=6a^2^，体积公式是：v=a^3^，直接利用公式解答即可．
【解答】解：表面积：
6×6×6=216（平方厘米）
体积：
6×6×6=216（立方厘米）
答：它的表面积是216平方厘米．体积是216立方厘米．
故答案为：216平方厘米，216立方厘米．
**二、我是小法官，对错我会判．（5分，每题1分）**
11．物体所占空间越大，表示它的体积越大．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】体积、容积及其单位．
【分析】据体积的含义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积；可知：物体所占空间越大，表示它的体积越大；据此判断即可．
【解答】解：根据体积的含义可知：物体所占的空间越大，表示它的体积越大；说法正确；
故答案为：√．
12．甲数比乙数多，就是乙数比甲数少．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数的四则混合运算；单位"1"的认识及确定．
【分析】根据题干甲数比乙数多，可知把乙数看作单位"1"；乙数比甲数少，又把甲数看作单位"1"，所以结果肯定不一样，此题错．
【解答】解：可设甲数是6，乙数是5，那么：
甲数比乙数多：（6﹣5）÷5=，
乙数比甲数少：（6﹣5）÷6=；
故答案为：错误．
13．长方体和正方体底面积相等时，它们的体积也一定相等．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】长方体和正方形的体积公式都是：底面积×高，据此进行解答即可．
【解答】解：因长方体和正方形的体积公式都是：底面积×高，当底面积相等时，它们的高不一定相等，所以体积也不一定相等．
故答案为：×．
14．生产108个零件，全部合格，合格率是108%．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】百分数的实际应用．
【分析】合格率指的是在产品质量检测中，合格产品数占产品总数的百分之几，合格率的计算公式=合格产品数÷产品总数×100%，由此解答即可．
【解答】解：108÷108×100%=100%．
答：该批零件的合格率为100%．
故此题答案为：×．
15．米也就是80%米．[ 错误 ]{.underline}．
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【分析】根据百分数的含义：百分数表示一个数是另一个数的几分之几，又叫百分率或百分比；百分数不能带单位名称，即不能表示具体的数量；进而判断即可．
【解答】解：根据百分数的含义可知：百分数不能带单位名称，即不能表示具体的数量；所以本题米也就是80%米，说法错误；
故答案为：错误．
**三、我会选．（5分，每题1分）**
16．某小学植树120棵，有6棵没成活，成活率是（ ）
A．5% B．95% C．90%
【考点】百分率应用题．
【分析】成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，计算方法是：成活的棵数÷植树总棵数×100%=成活率，代入数据求解即可．
【解答】解：×100%=95%
答：成活率是95%．
故选：B．
17．甲数的和乙数的相等，则甲数与乙数比较（ ）
A．甲数大 B．乙数 C．无法比较
【考点】分数大小的比较．
【分析】甲数的和乙数的相等，把甲数和乙数都看作单位"1"，根据分数乘法的意义，列式是甲数×=乙数×，如果甲数和乙数都等于0，等式成立；如果两个数不相等，根据乘积相等的两个因数，一个因数大另一个因数就得小，因为，所以甲数小于乙数，据此解答．
【解答】解：甲数的和乙数的相等，甲数×=乙数×，
当甲数和乙数都等于0，等式成立，所以可以两数相等，
如果两个数不相等，因为，所以甲数小于乙数．
故选：C．
18．学校今年植树比去年多，去年植树60棵，今年植树多少棵？列式正确的是（ ）
A．60÷（1+） B．60×（1+） C．60×+ D．60÷
【考点】分数乘法应用题．
【分析】的单位"1"是去年植树的棵数，根据"今年植树比去年多，"知道今年植树是去年的（1+），再根据分数乘法的意义，列出正确的算式，再与所给的选项进行比较，即可做出选择．
【解答】解：60×（1+），
=60×，
=72（棵），
答：今年植树72棵．
故选：B．
19．出勤率（ ）
A．大于100% B．小于100%
C．小于或等于100%
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【分析】出勤率=×100%，因为出勤人不会大于全部人数，所以出勤率不会超过100%，即出勤率小于或等于100%．
【解答】解：出勤率=×100%，
因为，出勤人数≤全部人数，
所以，出勤率≤100%．
故选：C．
20．一个油桶可以装180升汽油，它的（ ）是180升．
A．体积 B．容积 C．质量
【考点】体积、容积及其单位．
【分析】根据容积的意义，某容器所能容纳的别的物体的体积，叫做容器的容积．据此解答．
【解答】解：一个油桶最多可以装180升汽油，这个油桶的容积是180升．
故选：B．
**四、计算**
21．直接写得数．
----------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
3÷= ﹣= ×5= ﹣=
0÷= ÷= ×= +=
----------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
【考点】分数除法；分数的加法和减法；分数乘法．
【分析】根据分数加减乘除法的计算方法计算．
【解答】解：3÷=﹣=×5=﹣=
0÷=0÷=×=+=
22．计算下列各题，能简算的要简算．
15÷×15÷
30×（﹣﹣）
×+×．
【考点】分数的简便计算．
【分析】①15÷×15÷，把除数转化为乘它的倒数，再根据整数乘法的计算法则计算；
②30×（﹣﹣），运用乘法分配律简算；
③×+×．运用乘法分配律简算．
【解答】解：①15÷×15÷
=15×3×15×3
=45×15×3
=675×3
=2025；
②30×（﹣﹣）
=
=24﹣10﹣2
=12；
×+×
=
=
=．
23．解方程．
x+4=102
x÷20%=
x﹣x=．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上4，再两边同时除以求解；
（2）根据等式的性质，方程两边同时乘以20%求解；
（3）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解．
【解答】解：（1）x+4=98
x+4﹣4=98﹣4
x=98
x=98
x=140
（2）x÷20%=
x÷20%×20%=×20%
x=；
（3）x﹣x=
x=
x÷=÷
x=．
**五、操作题**
24．如图是五年级数学期末考试情况统计图．
（1）从统计图中可以看出，[ 优秀 ]{.underline}的学生最多，[ 待及格 ]{.underline}的学生最少．
（2）已知及格的学生有60人，则优秀的学生有多少人？
（3）请你提个数学问题并解答．
【考点】扇形统计图．
【分析】（1）根据图中各成绩段人数所占的百分率即可确定哪个成绩段人数最多，哪个成绩段分数最少．
（2）根据百分数除法的意义，用及格人数除以所占的百分率就是该年级的总人数；再根据百分数乘法的意义，用总人数乘优秀人数所占的百分数就是优秀人数．
（3）待及格人数是优秀人数的百分之几？把优秀人数看作单位"1"，用待及格人数（或待及格人数所占的百分率）除以优秀人数（或优秀人数所占的百分率）．
【解答】解：（1）答：从统计图中可以看出优秀的学生最多，待及格的学生最少．
（2）60÷30%×37.5
=200×37.5%
=75（人）
答：优秀的学生有75人．
（3）待及格人数是优秀人数的百分之几？
5%÷37.5%≈13.3%
答：待及格人数是优秀人数的约13.3%．
故答案为：优秀、待及格．
**六、解决问题（30分，每题6分）**
25．商店运来一批梨和苹果，运来的苹果有120千克，运来的梨占运来水果总数的40%，两种水果共运来多少千克？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】根据题意，把水果总数看作单位"1"，梨占运来水果总数的40%，则运来的苹果占总数的（1﹣40%），已知运来的苹果有120千克，也就是120千克占总数的（1﹣40%），那么两种水果共运来120÷（1﹣40%）千克．
【解答】解：120÷（1﹣40%）
=120÷0.6
=200（千克）
答：两种水果共运来200千克．
26．用铁皮做一个棱长是5分米的正方体无盖水槽，至少需要多大面积的铁皮？这个水槽最多能盛水多少升？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【分析】至少需多大面积的铁皮就是正方体的表面积，正方体水槽无盖，就是求5个边长是5分米的正方形的面积．求水槽能装水多少升就是求正方体的体积，用正方体的体积公式进行计算，即棱长×棱长×棱长=体积．
【解答】解：（1）水槽至少需要铁皮：
5×5×5
=25×5
=125（平方分米）
（2）5×5×5=125（立方分米）
125立方分米=125升；
答：做这个水槽至少需要125平方分米的铁皮，这个水槽最多可以盛水125升．
27．某种花生的出油率是40%，要想榨600千克的花生油，需要这种花生多少千克？
【考点】百分率应用题．
【分析】出油率是指出油的重量占花生重量的百分比，计算方法为：出油率=×100%，根据出油率和出油的重量就可求出花生的重量．
【解答】解：600÷40%=1500（千克）
答：需要这种花生1500千克．
28．学校图书馆的文艺书比科技书少．
（1）科技书有246本，文艺书有多少本？
（2）文艺书有205本，科技书有多少本？
【考点】分数乘法应用题；分数除法应用题．
【分析】（1）的单位"1"是科技书的本数，文艺书比科技书少，即文艺书是科技书（1﹣），根据分数乘法的意义，即可求出文艺书的本数；
（2）的单位"1"是科技书的本数，文艺书比科技书少，即文艺书是科技书（1﹣），根据分数除法的意义，即可求出科技书的本数．
【解答】解：（1）246×（1﹣），
=246×，
=205（本）；
（2）205÷（1﹣），
=205×，
=246（本）；
答：（1）文艺书有205本，（2）科技书有246本．
29．某次义务劳动，实际来了34人，请假6人，这次义务劳动的出勤率是多少？
【考点】百分率应用题．
【分析】出勤率是指出勤人数占总人数的百分比，计算方法是：×100%，先求出总人数，进而求出出勤率．
【解答】解：34÷（34+6）×100%
=×100%
=85%
答：这次义务劳动的出勤率是85%．
**2016年8月27日**
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2011年考研数学（三）真题及答案详解
一．选择题
1.已知当时，函数与是等价无穷小，则
A. （B）
（C）  （D）
2．已知在处可导，且，则
（A） （B）
\(C\) (D)
3．设是数列，则下列命题正确的是
（A）若收敛，则收敛
（B）若收敛，则收敛
（C）若收敛，则收敛
（D）若收敛，则收敛
4．设，则的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵.记,,则
（A） （B）
（C） （D）
6．设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为
（A） （B）
（C） （D）
7．设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是
（A） （B）
（C） （D）
8．设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量，
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题
9．设，则 [ ]{.underline}
10．设函数，则 [ ]{.underline}
11．曲线在点处的切线方程为 [ ]{.underline}
12．曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 [ ]{.underline}
13．设二次型的秩为1，中行元素之和为3，则在正交变换下的标准为 [ ]{.underline}
14．设二维随机变量服从，则 [ ]{.underline}
三、解答题
15．求极限
16.已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，。求
17．求
18．证明恰有2实根.
19．
20．不能由线性表出。①求；②将由线性表出。
21．为三阶实矩阵，，且
（1）求的特征值与特征向量（2）求
22\.
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X 0 1
P 1/3 2/3
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--- ----- ----- -----
Y -1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
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求：（1）的分布；（2）的分布；（3）.
23\. 在上服从均匀分布，由与围成。
①求边缘密度；②求
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**2008高考湖南文科数学试题及全解全析**
**一．选择题**
1．已知，，，则( )
A．
C． D.
【答案】B
【解析】由，，，易知B正确.
2．""是""的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得，所以易知选A.
3．已条变量满足则的最小值是( )
A．4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最小值是故选C.
4.函数的反函数是( )
【答案】B
【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用"原函数与反函数的定义域、值域互换"来解答。
5.已知直线m,n和平面满足,则( )
或 或
【答案】D
【解析】易知D正确.
6．下面不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 , 故选A.
7．在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.
8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45 C．60 D．75
【答案】C
【解析】用直接法：
或用间接法：故选Ｃ.
9．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，
，则顶点A、B间的球面距离是( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】设
则
故选Ｂ.
10．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
而双曲线的离心率故选Ｃ.
**二．填空题**
11．已知向量，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】２
【解析】由
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人。
【答案】60
【解析】由上表得
13．记的展开式中第m项的系数为，若，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】5
【解析】由得
所以解得
14．将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】,
【解析】易得圆C的方程是,
直线的倾斜角为,
> 所以直线的斜率为
15．设表示不超x的最大整数，（如）。对于给定的,
定义则\_\_\_\_\_\_\_\_;
当时，函数的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】
【解析】当时，当时，
所以故函数的值域是.
**三．解答题**
16．甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试
合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少一人面试合格的概率；
（II）没有人签约的概率。
解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，
且
（I）至少有一人面试合格的概率是
（II）没有人签约的概率为
17．已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）当且时，求的值。
解：由题设有．
（I）函数的最小正周期是
（II）由得即
因为,所以
从而
于是
18．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，
E是CD的中点，PA底面ABCD，。
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A---BE---P和的大小。
解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以是二面角的平面角．
在中, ．
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.
从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,．
故二面角的大小为
19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，
求的取值范围。
解：（I）设椭圆的方程为
由条件知且所以
故椭圆的方程是
（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得
因为点在椭圆上，所以即
设则
因为所以于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线存在.
解得所以
即的取值范围是
20．数列满足
（I）求，并求数列的通项公式；
（II）设，，，
求使的所有k的值，并说明理由。
解：（I）因为所以
一般地, 当时，
即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，
因此
> 当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
（II）由（I）知，
于是.
下面证明: 当时，事实上, 当时，
即
又所以当时，
故满足的所有k的值为3,4,5.
21．已知函数有三个极值点。
（I）证明：；
（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。
解：（I）因为函数有三个极值点,
> 所以有三个互异的实根.
设则
当时， 在上为增函数;
当时， 在上为减函数;
当时， 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值.
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
> 解得且故.
（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为（），则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减，
> 则, 或,
>
> 若,则.由（I）知，,于是
>
> 若,则且.由（I）知，
又当时，;
当时，.
因此, 当时，所以且
即故或反之, 当或时，
总可找到使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是.
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**《淘气的作息时间》同步练习3**
> 1．填一填。
>
> 6分＝（ ）秒 8小时＝（ ）分
>
> 1小时 ＝（ ）秒 （ ）秒＝2分
>
> 240秒＝（ ）分
>
> 2分30秒＝（ ）秒\
> 2．比大小。
>
> 180分○4小时 60秒○6分
>
> 8小时○480分 200秒○3分
>
> 400分○7小时 5分○50秒
>
> 3．判断题。
>
> （1）商场每天营业12小时。（ ）
>
> （2） 分针从12到5，经过了25分钟。（ ）
>
> （3）时针从1到8，经过了8小时。（ ）
>
> （4）秒针走1圈，分针走一小格。（ ）
>
> （5）1分12秒＝112秒。（ ）
>
> （6）爸爸每天工作8:00。（ ）
>
> （7）看一场电影约需2小时。（ ）
>
> （8）课间休息10分钟。（ ）
>
> （9）新闻联播的时间是30分钟。（ ）
>
> 4．应用题。
>
> （1）班里组织春游，乘汽车需要50分钟，他们早上9:30出发，什么时候能到目的地？
>
> （2）小明和小刚去爬山，小明上山用了1小时10分，下山用了50分钟，小刚上山和下山共少用20分钟，小刚爬山用了多少时间？
3. 看表回答问题。
> 
>
> ①影放映了多长时间？
>
> ②小明看完电影回到家用了多长时间？
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学科网\]
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学.科.网\]
**参考答案：**
> 1．填一填。
>
> 6分＝（ 360 ）秒 8小时＝（ 480 ）分
>
> 1小时 ＝（ 3600 ）秒 （ 120 ）秒＝2分
>
> 240秒＝（ 4 ）分
>
> 2分30秒＝（ 150 ）秒\
> 2．
>
> 180分〈4小时 60秒〈6分
>
> 8小时=480分 200秒〉3分
>
> 400分〈7小时 5分〉50秒
>
> 3．
>
> （1） （ √ ）\[来源:学科网ZXXK\]
>
> （2） （ √ ）
>
> （3） （ × ）
>
> （4） （√ ）
>
> （5） （× ）
>
> （6） （ × ）
>
> （7） （ √ ）
>
> （8） （ √ ）
>
> （9） （ √ ）
>
> 4．应用题。
>
> （1）10：20
（2）1小时40分钟
（3）①2时5分
> ②25分
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2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷(二)
文科数学(必修+选修Ⅰ)
**本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷**
**考生注意：**
**1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．**
**2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．**
**3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**参考公式：**
 (3)原点到直线
\(A\) (B) (C) (D)
(4)函数的图象关于
(A)轴对称 (B)直线=轴对称
(C)坐标原点对称 (D) 直线=轴对称
(5)若,则
\(A\) (B) (C) (D)
(6)设变量,满足约束条件: 则的最小值为
\(A\) (B) (C) (D)
(7)设曲线
\(A\) (B) (C) (D)
(12)已知球的半径为,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为,则两圆的圆心距等于
\(A\) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二.填空题
(13)设向量﹍﹍﹍
(14)从名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有﹍﹍﹍种.(用数字作答)
(15)已知为
﹍﹍﹍
(16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
充要条件②﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
(写出你认为正确的两个充要条件)
三.解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分10分)
在
(Ⅰ)求
(Ⅱ)设
(18)(本小题满分12分)
等差数列中,成等比数列.求数列的前
(19)(本小题满分12分)
甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中, 甲,乙各射击一发子弹.根据以往的资料知,甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6、0.3、0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4、0.4、0.2.设甲、乙的射击相互独立.
(Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率;
(Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.
(20)(本小题满分12分)
如图,正四棱柱 证明:(Ⅰ) (Ⅱ)
(21)(本小题满分12分)
设,函数
(Ⅰ)若
(Ⅱ)若函数 .
(22)(本小题满分12分)
设椭圆中心在坐标原点,
与
(Ⅰ)若
(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
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**2015-2016学年九年级（下）第二次段考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．有理数﹣2016的相反数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
2．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（ ）
A．3.1×10^6^元 B．3.1×10^5^元 C．3.2×10^6^元 D．3.18×10^6^元
3．下列运算正确的是（ ）
A．a^3^•a^2^=a^6^ B．（a^3^）^2^=a^5^ C．（a﹣b）（a+b）=a^2^﹣b^2^ D．（a+b）^2^=a^2^+b^2^
4．函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠1 C．x≠1 D．x≠﹣3且x≠1
5．下列说法正确的是（ ）
A．在一次抽奖活动中，"中奖概率是"表示抽奖100次就一定会中奖
B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
6．已知圆锥底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．20π C．4π D．5π
7．不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜3 C．1＜x＜3 D．无解
8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（ ）
A．10m B． m C．15m D． m
9．如图所示的△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=40°，AC∥BD，∠ABD=（ ）
A．40° B．50° C．140° D．130°
10．二次函数y=ax^2^+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A．a＜0 B．abc＜0 C．a+b+c＞0 D．b^2^﹣4ac＞0
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）**
11．化简： =[ ]{.underline}．
12．化简： =[ ]{.underline}．
13．时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是[ ]{.underline}度（填度数）．
14．甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2．则甲、乙两台机床中性能较稳定的是[ ]{.underline}．
15．若m﹣n=2，m+n=5，则m^2^﹣n^2^的值为[ ]{.underline}．
16．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＞0；
③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．
其中说法正确的有[ ]{.underline}（把你认为说法正确的序号都填上）．
17．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为[ ]{.underline}．
18．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，满分60分）**
19．计算：．
20．解二元一次方程组．
21．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
22．为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）在扇形统计图中，"合格"的百分比为[ ]{.underline}；
（2）本次体质抽测中，抽测结果为"不合格"等级的学生有[ ]{.underline}人；
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为"不合格"等级的学生约有[ ]{.underline}人．
23．如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
24．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数．
25．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式．
（3）在原图中，连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
26．已知抛物线．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
**2015-2016学年九年级（下）第二次段考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．有理数﹣2016的相反数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣2016的相反数是2016，
故选：A．
2．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（ ）
A．3.1×10^6^元 B．3.1×10^5^元 C．3.2×10^6^元 D．3.18×10^6^元
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：3185800≈3.2×10^6^．
故选C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a^3^•a^2^=a^6^ B．（a^3^）^2^=a^5^ C．（a﹣b）（a+b）=a^2^﹣b^2^ D．（a+b）^2^=a^2^+b^2^
【考点】平方差公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；平方差公式；完全平方公式对各选分析后利用排除法求解．
【解答】解：A、a^3^•a^2^=a^5^，故本选项错误；
B、（a^3^）^2^=a^6^，故本选项错误；
C、（a﹣b）（a+b）=a^2^﹣b^2^，正确；
D、（a+b）^2^=a^2^+2ab+b^2^，故本选项错误．
故选C．
4．函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠1 C．x≠1 D．x≠﹣3且x≠1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+3≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣3且x≠1．
故选B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．在一次抽奖活动中，"中奖概率是"表示抽奖100次就一定会中奖
B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
【考点】概率的意义．
【分析】概率是表征随机事件发生可能性大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性．了解了概率的定义，然后找到正确答案．
【解答】解：A、概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以概率是，也不能够说明是抽100次就能抽到奖．故本选项错误．
B、随机抛一枚硬币，落地后正面怎么一定朝上呢，应该有两种可能，故本选项错误．
C、同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和有多种可能性，故本选项错误．
D、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到6的概率是．
故选D．
6．已知圆锥底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．20π C．4π D．5π
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积=•2π•2•5=10π．
故选A．
7．不等式组的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜3 C．1＜x＜3 D．无解
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式x﹣3＜0，得：x＜3，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3，
故选：C．
8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（ ）
A．10m B． m C．15m D． m
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
即tan∠BAC===，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10m，
故选：A．
9．如图所示的△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=40°，AC∥BD，∠ABD=（ ）
A．40° B．50° C．140° D．130°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠A，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=40°，
∴∠A=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠A=50°．
故选：B．
10．二次函数y=ax^2^+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A．a＜0 B．abc＜0 C．a+b+c＞0 D．b^2^﹣4ac＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、函数开口向下，则a＜0正确；
B、先由图象开口向下判断出a＜0，由对称轴在y轴右侧得出b＞0，与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，故命题错误；
C、当x=1时对应的点在想轴的上方，则函数值一定是正数，且当x=1是函数值是a+b+c，则a+b+c＞正确；
D、函数与x轴有两个不同的交点，则b^2^﹣4ac＞0正确．
故选B．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）**
11．化简： =[ 1 ]{.underline}．
【考点】分式的加减法．
【分析】根据同分母得分是加减运算法则计算即可求得答案．
【解答】解： ===1．
故答案为：1．
12．化简： =[ 2﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】分母有理化．
【分析】本题需先找出分母的有理化因式，然后将分子、分母同时乘以分母的有理化因式进行计算．
【解答】解： ==2﹣．
故答案为：2﹣．
13．时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是[ 90 ]{.underline}度（填度数）．
【考点】钟面角．
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解答】解：从上午6时到上午9时，共3个小时；时针旋转了圆周，故旋转角是90度．
14．甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2．则甲、乙两台机床中性能较稳定的是[ 乙 ]{.underline}．
【考点】方差．
【分析】先计算出甲乙的平均数，甲的平均数=乙的平均数=1，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定．
【解答】解：甲的平均数=（3+0+0+2+0+1）=1，
乙的平均数=（1+0+2+1+0+2）=1，
∴S^2^~甲~= \[（3﹣1）^2^+3×（0﹣1）^2^+（2﹣1）^2^+（1﹣1）^2^\]=
S^2^~乙~= \[（2×（1﹣1）^2^+2×（0﹣1）^2^+2×（2﹣1）^2^\]=，
∴S^2^~甲~＞S^2^~乙~，
∴乙台机床性能较稳定．
故答案为乙．
15．若m﹣n=2，m+n=5，则m^2^﹣n^2^的值为[ 10 ]{.underline}．
【考点】平方差公式；有理数的乘法．
【分析】首先把多项式m^2^﹣n^2^利用平方差公式分解因式，然后代入已知条件即可求出其值．
【解答】解：∵m^2^﹣n^2^=（m+n）（m﹣n），
而m+n=5，m﹣n=2，
∴m^2^﹣n^2^=5×2=10．
故答案为10．
16．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＞0；
③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．
其中说法正确的有[ ①②③ ]{.underline}（把你认为说法正确的序号都填上）．
【考点】一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．
【分析】根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．
【解答】解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确
②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确
③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0的解为x=2，故本项正确
故答案为①②③．
17．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为[ 20° ]{.underline}．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】根据垂径定理得出弧DE等于弧DF，再利用圆周角定理得出∠FCD=20°．
【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴=，
∴∠DCF=∠EOD，
∵∠EOD=40°，
∴∠FCD=20°，
故答案为：20°．
18．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为[ 7 ]{.underline}．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC===4，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
**三、解答题（本大题共8小题，满分60分）**
19．计算：．
【考点】负整数指数幂．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别化简求出答案．
【解答】解：原式=3﹣+
=3．
20．解二元一次方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
【解答】解：，①+②得，2x=2，解得x=1，把x=1代入①得，﹣1+y=7，解得y=8，
故方程组的解为．
21．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得出结论．
【解答】证明：∵D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
又∵分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，
∴CF∥BE，
∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD
∴△BDE≌△CDF，
∴CF=BE．
22．为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）在扇形统计图中，"合格"的百分比为[ 40% ]{.underline}；
（2）本次体质抽测中，抽测结果为"不合格"等级的学生有[ 16 ]{.underline}人；
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为"不合格"等级的学生约有[ 128 ]{.underline}人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用1减去其它各组的百分比，据此即可求解；
（2）根据优秀的人数是8，所占的百分比是16%即可求得调查的总人数，利用总人数乘以对应的百分比即可求解；
（3）利用总人数400乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）"合格"的百分比为1﹣12%﹣16%﹣32%=40%，故答案是：40%；
（2）抽测的总人数是：8÷16%=50（人），
则抽测结果为"不合格"等级的学生有：50×32%=16（人）．
故答案是：16；
（3）该校九年级体质为"不合格"等级的学生约有400×32%=128（人）．
故答案是：128．
23．如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的长即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA=CB，
∴=
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC=OD
∵OA=OC=2，
∴D0=4，
∴CD==2
24．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度数．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，2），B（2，0）代入得：，
解得：，
故直线AB解析式为y=﹣x+2，
将D（﹣1，a）代入直线AB解析式得：a=+2=3，
则D（﹣1，3），
将D坐标代入y=中，得：m=﹣3，
则反比例解析式为y=﹣；
（2）联立两函数解析式得：，
解得：或，
则C坐标为（3，﹣），
过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△OHC中，CH=，OH=3，
tan∠COH==，
∠COH=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO===，
∠ABO=60°，
∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°．
25．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式．
（3）在原图中，连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）假设存在，从存在出发得到△PBC∽△DAP，利用相似三角形得到=，从而得到有关t的方程，求解即可得到答案；
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求得结论即可；
（3）根据题意分△ABC∽△DAP和△PBQ∽△ABC两种情况列出比例式后即可用含有m的代数式表示出线段BQ的值即可．
【解答】解：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），设AP=x
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，
∴△PBC∽△DAP，
∴=，
∴，
∴x^2^﹣10x+16=0
解得：x=2或8，
∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m﹣4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的
函数关系式为：S~四边形PQCD~=S~矩形ABCD~﹣S~△DAP~﹣S~△QBP~
=DA×AB﹣×DA×AP﹣×PB×BQ
=4m﹣×4×（m﹣4）﹣×4×（m﹣4）=16．
（3）如下图，∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠BPQ=∠ADP，
∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，
∴△ABC∽△DAP，
∴=，
即=，
∴AP=．
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，
=，即，
∴BQ=4﹣．
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题干有误吗？若有，请说明一下，若无，请解答一下，谢谢．
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26．已知抛物线．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）从函数的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；
（2）①由直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，求得点A，代入抛物线解析式得m，由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，求得点P坐标；
②求得MN的坐标，从MN与CD的位置关系解得．
【解答】解：（1）该函数的判别式=m^2^﹣4m+7=（m﹣2）^2^+3≥3
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）由直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，
∴点A（1，0）
代入二次函数式则m=3
故二次函数式为：
当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=﹣2，
即顶点C为（3，﹣2），
把x=3代入直线y=x﹣1则y=2，
即点D（3，2）
则AD=AC=2
设点P（x，）
由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等
则
解得：x=3或x=5
则点P（3，﹣2）（与点D重合舍去）或（5，0）
经检验点（5，0）符合，
所以点P（5，0）
②设直线AB解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（3，2）代入得直线AB：y=x﹣1，
设M（a，a﹣1），N（a， a^2^﹣3a+），
当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即\|（a﹣1）﹣（a^2^﹣3a+）\|=4，
解得a=4±或3或5，
故把直线CD向右平移1+个单位或2个单位，向左平移﹣1个单位，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
**2016年8月20日**
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）》单元测试3（附答案）**
一、填空题。（共16分）
1、如果长方体的长、宽、高分别用*a*，*b*，*h*表示，那么它的体积*V* =（ ）。
2、如果正方体的棱长用*a*表示，那么它的体积*V* =（ ）。
3、380立方厘米 =（ ）毫升 =（ ）升
0.9立方米 =（ ）升
1.2立方米 =（ ）立方分米
350平方分米 =（ ）立方米
4.5升 =（ ）毫升
4、一个长方体的底面积是12.5平方分米，它的高是6分米，它的体积是（ ）。
5、一个棱长总和是36分米的正方体，它的体积是（ ）。
> 6、在一个从里面量长为20厘米、宽为18厘米、高为18厘米的长方体木盒，可以存放（ ）个棱长为6厘米的正方体积木。
>
> 7、用铁丝做一个棱长为10厘米的正方体框架，至少要用（ ）厘米长的铁丝。如果在这个正方体框架外面糊一层硬纸，那么至少需要（ ）平方厘米的硬纸。
8、在下面的表里填上适当的数。
二、选择题。（共16分）
1、一罐可口可乐（见右图）的容积是335（ ）。
A、升 B、立方分米 C、毫升 D、立方米
2、小明家6月份的用水量是12（ ）。
A、立方米 B、立方分米 C、立方厘米 D、升
> 3、用棱长为2厘米的立方体木块拼成一个大的立方体，至少要用这样的立方体木块（ ）。
A、2块 B、4块 C、8块 D、9块
4、一个火柴盒的体积约是6.2（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、立方厘米 B、立方分米 C、升
> 5、右图是一个棱长为2厘米的正方体，将它挖掉一个棱长
>
> 为1厘米的小正方体后，它的表面积是（ ），它的
>
> 体积（ ）。
A、比原来大 B、比原来小 C、不变
6、长方体的长、宽、高各扩大2倍，它的表面积（ ），体积（ ）。
A、扩大2倍 B、扩大4倍 C、扩大8倍
> 7、把一个梨放入一个底面积是300cm的长方体容器里，水面由原来8cm上升到10cm。梨的体积是（ ）。
A、2400cm B、3000cm C、600cm
> 8、用丝带捆扎一种礼品盒（如右图），结头长15厘米，要捆扎
>
> 这种礼品盒，需要准备（ ）分米长的丝带比较合适。
A、10 B、21.5 C、22 D、30
三、解决问题。
1、下面每个图形都是由棱长为2cm的小正方体搭成的。它们的体积各是多少？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、计算下面长方体和正方体的体积。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3、小调查。
把调查的实际数字填在括号里。
> 4、把一块棱长为6分米的正方体钢坯，锻成横截面面积是8平方分米的长方体钢材。锻成的钢材有多长？
>
> 5、在一个棱长为4分米的正方体容器中装满水，然后全部倒入底面积是32立方分米的长方体容器中，这时水深多少分米？
>
> 6、用15个棱长是1cm的小正方体，搭成如下图形，它们所占的空间一样大吗？为什么？
> 7、育才小学新挖一个长方体沙坑，长为3米，宽为2米，深0.5米。需要多少立方米的黄沙才能填满？如果每立方米黄沙的价钱是60元，那么这些黄沙需要多少钱？
>
> 8、一个长方体的汽油箱，底面积是20平方分米，高是5分米。如果1升汽油重0.84千克，那么这个油桶可以装多少千克汽油？
>
> 9、张师傅用如下图所示的长主形铁皮，做一个长方体水槽。水槽的容积是多少升？（单位：dm）
> 10、如右图，在一个底面积为5平方分米的长方体容器中，放入一块大石头，这时容器的水高由原来的11厘米上升到16厘米，并把石头淹没。这块石头的体积是多少？
>
> 11、如下图，有一块长1.2米，横截面面积为6立方分米的钢坯。这块钢坯的体积是多少？
>
> 12、先想一想，然后再动手进行验证。把一个棱长为8cm的正方体木块的表面都涂上红色油漆，然后再把它切成棱长为2cm的小正方体。
（1）只有3个面有红色油漆的小正方体有多少个？
（2）只有2个面有红色油漆的小正方体有多少个？
（3）只有1个面有红色油漆的小正方体有多少个？
（4）没有红色油漆的小正方体有多少个？
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**第四单元提优训练的部分答案：**
一、1、*abh* 2、*a* 3、380 0.38 900 1200 0.35 4500
4、75立方分米
5、27立方分米
6、30
7、120 600
二、1、C 2、A 3、C 4、A 5、CB 6、BC 7、C 8、B
三、1、120cm 104cm
2、0.75平方米 15.625立方厘米 672立方分米
4、6×6×6÷8 = 27（分米）
5、4×4×4÷32 = 2（分米）
6、一样大，都是15cm
7、3×2×0.5 = 3（立方米） 3×60 = 180（元）
8、20×5×0.84 = 84（千克）
9、（14－4×2）×（26－4×2）×4 = 432（升）
10、16－11 = 5（cm） 5cm = 0.5dm 5×0.5 = 2.5（升）
11、1.2米 = 12分米 12×6 = 72（立方分米）
12、（1）8个 （2）24个 （3）24个 （4）8个
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**2020年天津市初中毕业生学业考试试卷**
**数学**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1.计算的结果等于（ ）
A. 10 B. C. 50 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数的加法运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的加法运算法则，熟记有理数的加法运算法则是解题的关键．
2.2sin45°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】解：2sin45°=2×
故选B
3.据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取"云上"办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把小数点向左移动7位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可．
【详解】解：，
故选：*B*．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形；\
B、不是轴对称图形；\
C、是轴对称图形；\
D、不是轴对称图形；\
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5.右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
从正面看所得到的图形是主视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正方形，即：
故选：*D*．
【点睛】本题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看方向．
6.估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.
【详解】解：∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
7.方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用加减消元法解出的值即可．
【详解】解：
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：*A*．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法------加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．
8.如图，四边形是正方形，*O*，*D*两点的坐标分别是，，点*C*在第一象限，则点*C*的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用*O*，*D*两点的坐标，求出*OD*的长度，利用正方形的性质求出*ＯB，BC*的长度，进而得出*C*点的坐标即可．
【详解】解：∵*O*，*D*两点的坐标分别是，，
∴*OD*＝6，
∵四边形是正方形，
∴*OB*⊥*BC*，*OB*=*BC*=6
∴*C*点的坐标为：，
故选：*D*．
【点睛】本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出*OB*，*BC*的长度是解决本题的关键．
9.计算的结果是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．
【详解】，
因为，故．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为解题工具．
10.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
11.如图，在中，，将绕点*C*顺时针旋转得到，使点*B*的对应点*E*恰好落在边上，点*A*的对应点为*D*，延长交于点*F*，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
12.已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于*x*的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③．
【详解】∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab\<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
∵，而
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a\>1， ∴，③正确
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b^2^-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b^2^-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b^2^-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13.计算的结果等于\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则化简即可．
【详解】解：原式==3x
故答案为：3x
【点睛】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．
14.计算的结果等于\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据平方差公式计算即可．
【详解】解：原式= =7-1=6
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
15.不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】．
【解析】
【分析】
用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率．
【详解】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
16.将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线平移规律是上加下减的原则进行解答即可．
【详解】解：∵直线的平移规律是"上加下减"，
∴将直线向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知"上加下减"的原则是解决本题目的关键．
17.如图，的顶点*C*在等边的边上，点*E*在的延长线上，*G*为的中点，连接．若，，则的长为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点*C*在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
*G*为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点*B*在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点*D*，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2). 详见解析
【解析】
【分析】
（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点*M*，*N*，连接*MN*，连接*BD*并延长，与*MN*相交于点*；*连接，与半圆相交于点*E*，连接*BE*，与*AC*相交于点*P*，连接并延长，与*BC*相交于点*Q*，则点*P*，*Q*即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；
（Ⅱ）如图，取格点*M*，*N*，连接*MN*，连接*BD*并延长，与*MN*相交于点*；*连接，与半圆相交于点*E*，连接*BE*，与*AC*相交于点*P*，连接并延长，与*BC*相交于点*Q*，则点*P*，*Q*即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
**三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）**
19.解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（Ⅱ）解不等式②，得\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析；（Ⅳ）．
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解： （Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
20.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
 
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，图①中*m*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（Ⅰ）25，24；（II）平均数是15.6，众数为16，中位数为16．
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由图②中条形统计图即可求出麦苗的株数；用17cm的麦苗株数6除以总株数24即可得到m的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的概念逐一求解即可．
【详解】解：(Ⅰ)由图②可知：
本次抽取的麦苗株数为：2+3+4+10+6=25(株)，
其中17cm的麦苗株数为6株，故其所占的比为6÷25=0.24=24%，即m=24．
故答案为：25,24．
(Ⅱ)观察条形统计图，
这组麦苗得平均数为：，
在这组数据中，16出现了10次，出现的次数最多，
这组数据的众数为16．
将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是16，
这组数据的中位数为16．
故答案为：麦苗高的平均数是15.6，众数是16，中位数是16．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.在中，弦与直径相交于点*P*，．
 
（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，过点*D*作的切线，与的延长线相交于点*E*，求的大小．
【答案】（I），；（II）．
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD的值；且∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得到∠CDB的值；
(Ⅱ)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°，进而求出∠E的度数．
【详解】解：（Ⅰ）是的一个外角，，，
．
在中，，
．
为的直径，
．
在中，，
又，
．
故答案为：，．
（Ⅱ）如下图所示，连接*OD*，
，
．
．
在中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
，
∴，
是的切线，
．即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键．
22.如图，两点被池塘隔开，在外选一点*C*，连接．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）．
参考数据：，，．
【答案】*AB*的长约为160m．
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点*A*作，垂足为*H*．
根据题意，，，．
在中，，
．
在中，，，
，．
又，
．可得．
．
答：*AB*的长约为160m．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
23.在"看图说故事"活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
----------------- ----- --- ----- ---- ----
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ 0.2 0.7
----------------- ----- --- ----- ---- ----
（Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为\_\_\_\_\_\_\_．
②小亮从食堂到图书馆速度为\_\_\_\_\_\_\_．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为\_\_\_\_\_\_\_．
④当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为\_\_\_\_\_\_\_．
（Ⅲ）当时，请直接写出*y*关于*x*的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）0.5，0.7，1；（Ⅱ）①0.3；②0.06；③0.1；④6或62；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据函数图象分析计算即可；
（Ⅱ）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；
③据速度等于路程除以时间进行计算即可；
④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂过程，也有可能是从学校回宿舍；
（Ⅲ）分段根据函数图象，结合"路程=速度时间"写出函数解析式.
【详解】解：（Ⅰ）从宿舍到食堂的速度为0.22=0.1，
0.15=0.5；
离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；
离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km
故答案依次为：0.5，0.7，1，
（Ⅱ）①1-0.7=0.3，
∴食堂到图书馆的距离为0.3；
故答案为：0.3；
②（1-0.7）（28-23）=0.06km/min,
∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06
故答案为：0.06；
③1（68-58）=0.1km/min,
∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1；
故答案为：0.1；
④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为，
则此时的时间为0.60.1=6min.
当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,
则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，
0.4 0.1=4(min)
58+4=62(min)
故答案为：6或62．
（Ⅲ）当时，；
当时，
当时，设，将（23，0.7）（28，1）代入解析式
，解得
∴．
【点睛】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
24.将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点*B*在第一象限，，，点*P*在边上（点*P*不与点重合）．
 
（1）如图①，当时，求点*P*的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点*P*，并与*x*轴的正半轴相交于点*Q*，且，点*O*的对应点为，设．
①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有*t*的式子表示的长，并直接写出*t*的取值范围；
②若折叠后与重叠部分的面积为*S*，当时，求*S*的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）点*P*的坐标为；（2）①，*t*的取值范围是；②．
【解析】
【分析】
（1）过点*P*作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点*P*的坐标即求出；
（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义"四条边相等的四边形是菱形"可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，
又因为，所以得，由和的取值范围可得*t*的范围是；
②由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形*DCQ*为直角三角形，∠Q=60°，从而，,进而可得，又已知t的取值范围是，即可得．
【详解】解：（1）如图，过点*P*作轴，垂足为*H*，则．
，
．
．
在中，，
，．
点*P*的坐标为．
（2）①由折叠知，，
，．
又，
．
四边形为菱形．
．可得．
点，
．有．
在中，．
，
，其中*t*的取值范围是．
②由①知，为等边三角形，
∵四边形为菱形，
∴,三角形*DCQ*为直角三角形，∠Q=60°，
∴，,
∴，
∵，
∴．
，
【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
25.已知点是抛物线（为常数，）与*x*轴的一个交点．
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与*x*轴的另一个交点为，与*y*轴的交点为*C*，过点*C*作直线*l*平行于*x*轴，*E*是直线*l*上的动点，*F*是*y*轴上的动点，．
①当点*E*落在抛物线上（不与点*C*重合），且时，求点*F*的坐标；
②取的中点*N*，当*m*为何值时，的最小值是？
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点*F*的坐标为或；②当*m*的值为或时，*MN*的最小值是．
【解析】
【分析】
（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；
（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点.
过点*A*作于点*H*,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标；
②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.
【详解】解：（1）当，时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点，
．解得．
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为．
（2）①∵抛物线经过点和，，
，
，即．
，．
抛物线的解析式为．
根据题意，得点，点．
过点*A*作于点*H*．
由点，得点．
在Rt中，，，
．
，
．解得．
此时，点，点，有．
点*F*在*y*轴上，
在Rt中，．
点*F*的坐标为或．
②由*N*是*EF*的中点，得．
根据题意，点*N*在以点*C*为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，．
在中，．
当，即时，满足条件的点*N*落在线段*MC*上，
*MN*的最小值为，解得；
当，时，满足条件的点*N*落在线段*CM*的延长线上，
*MN*的最小值为，解得．
当*m*的值为或时，*MN*的最小值是．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
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**小学数学小升初平均数与和差倍应用题闯关**
1．从1开始，按1，2，3，4，5，...，的顺序在黑板上写到某数为止，把其中一个数擦掉后，剩下的数的平均数是，擦掉的数是多少？
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3．王小华上学期语文，数学，英语三科的平均成绩是92分，其中语文，外语两科的平均成绩是89.5分，数学，外语两科平均成绩是95分，他外语成绩是多少？
4．老师在黑板上写了十三个自然数，让同学计算它们的平均数（保留两位小数）。小明计算出的答案是40.24。老师说最后一位数字错了，其他数字都对。正确答案是多少？
5．10个人坐成一个圆圈做游戏。游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，问报5的人心里想的数是多少？
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6．小王的气步枪射击最佳成绩是10.9环，训练时，小王打了5发，平均成绩是10.2环。为了尽快达到平均成绩10.6环。小王至少还要打多少发？
7．六年级学生做泥人玩具，一班48人，共做266个；二班50人共做292个；三班47人，每人做6个。这三个班平均每班做多少个？
8．小区5号楼新搬进的3户安装了空调，又搬进1户，也安装了相同功率的空调，但4台空调全部打开时，就会烧断保险丝，因为最多只能同时使用3台空调，那么在24小时内平均每户可以使用空调多少小时？
9．甲、乙、丙、丁四人平均有邮票38张，甲与乙的平均张数是42，乙、丙、丁三人平均张数是36，求乙有邮票多少张？
10．如果四个人的平均年龄是30岁，且在四个人中没有小于21岁的，那么年龄最大的这个是多少岁？
11．甲、乙、丙三人，平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克，求乙的体重。
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14．丁丁和妈妈在餐馆吃饭，平均每人餐费是70元。碰上妈妈的同事张阿姨，于是3人一起用餐，还加了两个菜，加菜后平均每人餐费增加了6元，新加的两个菜总价是多少元？
15．五年级一班有42人，在一次数学竞赛中，全班的平均成绩是92分，已知女生的平均分是92.5分，男生的平均分是91.45分。女生比男生多几人？
16．为了响应"十年树木，百年树人"的号召，深圳市某小学四（1）班42个学生和三位老师去公园里植树，共植树150棵。平均每个学生植树多少棵？（列方程解答）
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17．四个同样的杯子，杯中装水高度分别为4cm，5cm，7cm，8cm。求这四个杯子中水面的平均高度。
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18．沃尔玛超市去年第三季度共卖出电视机192台，第四季度卖出电视机216台。这个超市去年下半年平均每月卖出电视机多少台？
19．少年歌手大奖赛的裁判小组由若干人组成，每名裁判员给歌手的最高分不超过10分。第一名歌手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.64分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.60分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.68分。求所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是多少分？这时大奖赛的裁判员共有多少名？
20．两个金鱼缸里共有金黄25条，甲缸里新放入6条，乙缸里取出3条，这时乙缸还比甲缸多2条金鱼。求甲、乙两缸原来各有金鱼多少条？
21．一个商人将99粒波子放入两种盒子里，每个大盒子装12粒，小盒子装5粒，恰好可装完。如果大小盒子的总数大于10，问有多少个小盒子？
22．两根绳子共长48.4米，从第一根上剪去6.4米，从第二根上剪去7.4米，这时两根绳子一样长，求这两根绳子原来各长多少米？
23．商店共有足球、篮球、排球213个，足球比排球多26个，篮球比排球少38个，商店里三种球各有多少个？
24．书架上下两层共放有120本书，如果从上层拿15本到下层，则两层书架上的书同样多。上下两层原来各有多少本书？（能否用两种不同的想法做呢）
25．一张桌子、一张椅子和一个熨斗共540元。已知一张椅子的价格比一个熨斗多60元，桌子单价是椅子的2倍。请问一张椅子多少元？
26．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20去支援，使得甲处的人是乙处的2倍，应调往甲、乙各多少人？
27．两个水池共蓄水40吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨数相等，两个水池原来各蓄水多少吨？
28．甲、乙两仓存粮吨数相等，甲仓取出80吨，乙仓取出50吨后，乙仓存粮的吨数是甲仓的2倍。甲仓原来存粮多少吨？
29．用一只水桶装水，把水加到原来的2倍，连桶重10千克，如果把水加到原来的5倍，连桶重22千克。桶里原有水多少千克？
30．育才小学有教师108人，其中女教师人数是男教师的3倍。男教师有多少人？
31．某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛。这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时。另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍。问：这次停电多少小时？
32．甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
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**参考答案**
1．55
【解析】1、2、3、4、5...如果不擦掉的话，平均数应该是中间那个数或中间那两个数的平均数。而擦掉一个之后平均数是即：；说明剩下的数个数是34的倍数，而平均数又接近34，所以剩下的数的个数是68，那么原来就有69个数。
这68个数的和是：68×（34+）=2360，
前69个数的和是：1++2+3+...+69=2415，
由此即可得出擦掉的数字。
解：根据题干分析可得：擦掉一个数字后剩下的数字有68个，那么原来就有69个数字。
这68个数的和是：68×（34+）=2360，
前69个数的和是：1+2+3+...+69=2415，
所以擦掉的数是：2415－2360=55
答：擦掉的数是55。
考点：平均数问题。
点评：抓住"1、2、3、4、5...如果不擦掉的话，平均数应该是中间那个数或中间那两个数的平均数"进行分析，是解决本题的关键。
2．84.5分
【解析】根据"平均成绩×人数=总成绩"算出女生的总成绩，进而根据"男生总成绩+女生总成绩=全班总成绩"计算出全班总成绩，继而根据"总成绩÷总人数=平均数"进行解答即可。
解：（405+87×7）÷（5+7）
=（405+609）÷12
=1014÷12
=84.5（分）
答：本次竞赛中全班的平均成绩是84.5分。
3．93分
【解析】根据题干语文，数学，英语三科的平均成绩是92分，可得：语文，数学，英语三科总成绩为：92×3=276分；语文，外语两科的平均成绩是89.5分，可求得语文与外语的成绩总和是89.5×2=179分；数学，外语两科平均成绩是95分，则数学与外语的总成绩是95×2=190分；后两者的总成绩加起来，比三科的总成绩正好多加了一次外语成绩。
解：89.5×2+95×2－92×3
=179+190－276
=93（分）
答：他的外语成绩是93分。
4．40.23
【解析】因为自然数都是整数，所以这13个自然数的和一定是一个整数；又因为40.24×13=523.12，40.2×13=522.6，所以可以知道这13个自然数的和一定是523；用523除以13，结果即可求出。
解：自然数都是整数，所以这13个自然数的和一定是一个整数；
又因为40.24×13=523.12，40.2×13=522.6，
所以可以知道这13个自然数的和一定是523，
523÷13≈40.23；
答：正确答案应该是40.23。
5．10
【解析】先设报3的人心里想的数为x，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；抱9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可。
解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8－x，于是报7的人心里想的数是12－（8－x）=4+x，报9的人心里想的数是16－（4+x）=12－x，报1的人心里想的数是20－（12－x）=8+x，报3的人心里想的数是：4－（8+x）=-4－x；所以得x=-4－x，解得x=-2；所以报5的人心里想的数应是：8-x=8-（-2）=10。
答：报5的人心里想的数应是10。
考点：平均数问题。
点评：一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决。
6．7发
【解析】现在离要求的环数还差\[（10.6-10.2）×5\]=2（环），10.9环最佳，每打一发10.9环可以补回（10.9-10.6）=0.3（环），2÷0.3=（发）。故至少还需要打7发。
解：\[（10.6－10.2）×5\]÷（10.9－10.6）
=2÷0.3
=
≈7（发）
答：小王至少还需要打7发。
7．280个
【解析】根据题意，求三个班平均每班做多少个，首先求出三班做了多少个，再用3个班做玩具的总个数除以班数，由此列式即可。
解：（266+292+47×6）÷3
=（266+292+282）÷3
=840÷3
=280（个）
答：这三个班平均每班做280个。
点评：总数量÷份数=平均数。
8．18小时
【解析】有四户装空调，全部打开时就会烧断保险丝，因此最多只能同时用3台空调，就要有一户不能打开，应轮流停开，一个循环须四次，各少用一次，把24小时平均分成4份，每份是24÷4=6（小时），即可求出问题。
解：因为有四户装空调，全部打开时就会烧断保险丝，因此最多只能同时用3台空调，就要有一户不能打开，应轮流停开，一个循环须四次，各少用一次，
把24小时平均分成4份，
即：24÷4=6（小时）
24-6=18（小时）。
答：在24小时内平均每户可以使用空调18小时。
考点：平均数问题。
点评：本题也可以这样想：因为24小时中每一小时都有3户同时使用，所以共使用24×3=72小时，72小时平均分给4户，得72÷4=18（小时）。
9．40张
【解析】根据"平均张数×人数=邮票总张数"分别求出甲、乙二人的邮票张数和、乙、丙、丁三人的邮票张数和、甲、乙、丙、丁四人邮票张数的和；进而根据"乙、丙、丁三人的邮票张数和+甲、乙二人的邮票张数和-甲、乙、丙、丁四人邮票张数的和=乙的邮票张数"解答。
解：36×3+42×2-38×4
=108+84-152
=40（张）
答：乙有邮票40张。
10．57岁
【解析】根据题意，个人的平均年龄是30岁，这四个人一共30×4=120岁；四个人中没有小于21岁的，也就是都大于或等于21岁；要使一个人的年龄最大，那么其他三个人的年龄应最小，是21岁。
解：根据题意可得：四个人的年龄和是：30×4=120（岁）
要使一个人的年龄最大，那么其他三个人的年龄应最小，是21岁，最小的三人的年龄和是：21×3=63（岁）；
最大的年龄是：120－63=57（岁）
答：年龄最大的这个是57岁。
11．63千克
【解析】因为甲乙丙平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，这说明：只要把多佘的3千克给丙，那么丙就是63千克了，由此可以先算出甲和乙的平均体重；进而根据题意，依次求出丙、甲、乙的体重。
解：甲与乙的平均体重：（63\*3+3）÷3=64（千克）
丙的体重：64-3=61（千克）
甲的体重：64+2÷2=65（千克）
乙的体重：64-2÷2=63（千克）
答：乙的体重是63千克。
12．102岁，67岁
【解析】根据题意，十年前爷爷比爸爸大37岁，他们的年龄差是个不变量，也就是1994年时，他们的年龄差还是37岁，再根据爷爷和爸爸在1994年的年龄是127岁，由和差公式可以求出1994年他们各自的年龄。
解：由和差公式可得：1994年爷爷的年龄是：（127+37）÷2=82（岁）；
1994年爸爸的年龄是：（127－37）÷2=45（岁）；
爷爷年时的年龄是：82+（－1994）=102（岁）；
爸爸2016年时的年龄是：45+（2016-1994）=67（岁）。
答：爷爷年102岁，爸爸2016年67岁。
考点：年龄问题。
13．63.75米
【解析】先求出8天一共修的米数，再根据平均数的意义，即可求出答案。
解：（360+150）÷（3+5）
=510÷8
=63.75（米）
答：这个修路队平均每天修筑公路63.75米。
14．88元
【解析】根据题意，可以先求出原来两人的餐费以及后来三人的餐费，然后再求二者之差，就是新加的两个菜的总价。原来两人的餐费是70×2=140（元），后来三人的餐费是（70+6）×3=228（元）。
解：（70+6）×3－70×2
=228－140
=88（元）
答：新加的两个菜总价是88元。
15．2人
【解析】每个人的平均分乘总人数，得到总分数；假设42人都是男生，42乘91.45得到一个总分数；这两个总分数存在差值，原因是女生平均分数高，此差值就是所有女生实际少的分数23.1；用92.5减去91.45分，得到一个女生高出男生的分数1.05分；最后用23.1除以1.05得解女生人数22人，42减去22得到男生人数20，22减去20，即可得解．
解：92×42=3864（分） ...男生女生总分数
91.45×42=3840.9（分） ...若42人都是男生
3864-3840.9=23.1（分） ...实际少的女生分数
92.5-91.45=1.05（分） ...每个男生比女生少的分数
23.1÷1.05=22（人） ...女生人数
42-22=20（人）...男生人数
22-20=2（人）
答：男生比女生少2人。
考点：平均数问题。
16．3棵
【解析】根据题干，设平均每个学生植树x棵，则根据等量关系：平均每个学生植树棵数×学生人数+老师的植树棵数=植树总棵数，
解：设平均每个学生植树x棵，根据题意可得方程：
42x+24=150
42x=126
x=3
答：平均每个学生植树3棵。
考点：平均数问题。
17．6厘米
【解析】根据题干，把这四个杯子中的水的高度都加起来，再除以4即可解答问题。
解：（4+5+7+8）÷4
=24÷4
=6（厘米）
答：这四个杯子中的水面高度是6厘米。
18．68台
【解析】先求出第三、四季度共卖出电视机总台数，再用总台数除以下半年6个月就是平均每月卖出电视机的台数。
解：（192+216）÷6
=408÷6
=68（台）
答：这个超市去年下半年平均每月卖出电视机68台。
19．9.28分，10名
【解析】设裁判员有x名，根据题意，可求出去掉最高分后的总分为9.60（x-1），由此可知最高分为：9.64x-9.60（x-1）；再求出去掉最低分后的总分为9.68（x-1），由此可知最低分为：9.64x-9.68（x-1）；最后再根据每名裁判员给歌手的最高分不超过10分，即可求出最低分。
解：设大奖赛的裁判员有x名，那么总分为9.64x。
（1）去掉最高分的总分为9.60（x－1），
最高分为：9.64x－9.60（x－1）=0.04x+9.6
（2）去掉最低分后的总分为9.68（x－1），
最低分为：9.64x－9.68（x－1）=9.68－0.04x
因为最高分不超过10，所以0.04x+9.6不超过10，也就是0.04x不超过0.4，由此可知x不超过10.
当x取10时，最低分有最小值，最低分最少可以是9.68－0.04×10=9.28（分）
所以最低分是9.28，裁判员有10名。
答：所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是9.28分，这时大奖赛的裁判员共有10名。
20．甲缸原有金鱼18条，乙缸原有金鱼7条。
【解析】由题意知：若甲缸再放入6条，乙缸取出3条，这时乙缸还比甲缸多2条，若甲缸不放入6条，乙缸不取出3条，甲乙两缸原来相差6+3+2=11（条），知道两数和与差，根据和差问题的解答方法求解。
解：6+3+2=11（条），
乙缸原有金鱼：
（25+11）÷2，
=36÷2，
=18（条）；
甲缸原有鱼：25-18=7（条）；
答：甲缸原有金鱼18条，乙缸原有金鱼7条。
考点：和差问题。
21．15个
【解析】设大盒子x个，小盒子y个，根据"盒子个数大于10，"得出x+y＞10，再根据"每个大盒子装12粒，每个小盒子装5粒，一共是99粒，"得出12x+5y=99，由此解方程组，即可得出答案。
解：设大盒子x个，小盒子y个，
12x+5y=99，
x+y＞10，
因为，用99减去12的x倍，所得的数个位是0或5即可，
可得x=2，y=15，共17个，
x=7，y=3，共10个，（不符合盒子个数大于10，应舍去）
故大盒子有2个，小盒子有15个。
答：小盒子有15个。
22．第一根原来长23.7米，第二根原来长24.7米。
【解析】由题意，第二根比第一根长7.4-6.4=1（米），然后根据和差公式：（和-差）÷2=小数，求出第二根原来的长度，进而求出第一根的长度。
解：第一根长：\[48.4－（7.4－6.4）\]÷2
=\[48.4－1\]÷2
=47.4÷2
=23.7（米）
第二根长：48.4-23.7=24.7（米）。
答：第一根原来长23.7米，第二根原来长24.7米。
点评：此题运用了关系式：（和-差）÷2=小数，和-小数=大数。
23．排球75个，足球101个，篮球37个
【解析】因为足球比排球多26个，篮球比排球少38个，那么（213-26+38）是排球个数的3倍，因此排球个数为（213-26+38）÷3=75（个），进而求出足球、篮球的个数。
解：排球：
（213-26+38）÷3，
=225÷3，
=75（个）；
足球：75+26=101（个）；
篮球：75-38=37（个）。
答：排球75个，足球101个，篮球37个。
24．上层原来有书75本，下层原来有书45本。
【解析】方法一：根据题意，上层比下层原来多15×2=30（本），也就是总数再加上30本就是上层书的2倍，那么上层有书：（120+15×2）÷2，计算即可；
方法二，用方程解答，可设上层原来有书x本，则下层原来有书（120-x）本，根据"从上层拿15本到下层，则两层书架上的书同样多"，列方程解答。
解：方法一：
上层：（120+15×2）÷2，
=150÷2，
=75（本）；
下层：120-75=45（本）。
答：上层原来有书75本，下层原来有书45本。
方法二：设上层原来有书x本，则下层原来有书（120-x）本，得
x-15=120-x+15，
2x=150，
x=75（本）；
则120-x=120-75=45（本）。
答：上层原来有书75本，下层原来有书45本。
考点：和差问题。
25．150元
【解析】桌子单价是椅子的2倍，也就是说一张桌子的价格相当于2把椅子的价格，一张椅子的价格比一个熨斗多60元，也就是说一个熨斗加60元就等于一张椅子的价格，据此可得：54元钱加上60元，就相当于2+1+1=4（把）椅子的价格，依据除法意义即可解答。
解：（540+60）÷（2+1+1）
=600÷4
=150（元）
答：一张椅子150元。
26．甲处17人，乙处3人
【解析】根据"在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20去支援"，可以求出现在一共有多少人；又因为"甲处的人是乙处的2倍"，甲乙两处的人数就是乙处人数的1+2=3倍，用总人数÷3求出现在乙处的人数，用现在乙处的人数-原有的人数求出调往乙处的人数；从20人里减去调往乙处的人数，求出调往甲处的人数。
解：27+19+20=66（人），
1+2=3，
66÷3×1=22（人），
调往乙处：22-19=3（人）；
调往甲处：20-3=17（人）；
答：应调往甲处17人，乙处3人。
27．甲池原来蓄水14吨，乙池原来蓄水26吨。
【解析】根据"甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨数相等"可知：原来乙池比甲池多4+8=12吨，那么把总吨数40吨减去12吨后，就是甲池的2倍，由此即可求出甲池原来的蓄水吨数。
解：40－（4+8）
=40－12
=28（吨）
甲池原来蓄水：28÷2=14（吨）
乙池原来蓄水：40－14=26（吨）
答：甲池原来蓄水14吨，乙池原来蓄水26吨。
28．110吨
【解析】由甲仓取出80吨，乙仓取出50吨可知剩下的乙仓比甲仓多80-50=30吨，恰好乙仓存粮的吨数比甲仓多2-1=1倍，由此求得甲仓现在存粮吨数，进一步求得原来存粮吨数即可。
解：甲仓现在存粮：（80-50）÷（2-1）
=30÷1
=30（吨）
原来存粮：30+80=110（吨）
答：甲仓原来存粮110吨。
考点：差倍问题。
点评：差倍问题，主要利用差÷（倍数-1）=小数，小数×倍数=大数来解决问题。
29．4千克
【解析】由已知条件可知，桶里原有水的（5-2）倍正好是（22-10）千克，由此可求出桶里原有水的重量。
解：（22-10）÷（5-2），
=12÷3，
=4（千克）；
答：桶里原有水4千克。
30．27人
【解析】根据题意知道女教师和男教师的人数的和是108，女教师人数是男教师的3倍，由此利用和倍公式解决问题。
解：男教师的人数：
108÷（3+1）
=108÷4
=27（人）
答：男教师有27人。
点评：和倍问题的公式：和÷（倍数+1）=小数，小数×倍数=大数，（或者 和-小数=大数）。
31．2.5小时
【解析】根据题意，把这两支同样长的蜡烛的长度看做单位"1"，其中一支蜡烛的燃烧速度是，另一支蜡烛的燃烧速度是，停电的时间就是蜡烛燃烧的时间，再根据剩余的长度的关系，列出方程求解。
解：设停电的时间是x小时。根据题意可得：
3×（1-x）=1-x
3-x=1-x
x-x=3-1
x=2
x=2÷
x=2.5
答：这次停电2.5小时。
考点：差倍问题。
总结：较复杂的问题，可以用方程解法，如果能掌握用方程解决此类问题，犹如利剑在手，无往不催。
32．甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
【解析】根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮170-30+10=150吨；根据"这时甲库存粮是乙库存粮的2倍"，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍，于是求出这时乙库存粮150÷（2+1）=50吨，进而可求出乙库原来存粮50-10=40吨；最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
解：乙库：（170-30+10）÷（2+1）-10=40（吨）；
甲库：170-40=130（吨）；
答：甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·CuCO~3~)，青色来自蓝铜矿颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·2CuCO~3~)。下列说法错误的是
A. 保存《千里江山图》需控制温度和湿度
B. 孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化
C. 孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱
D. Cu(OH)~2~·CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~·2CuCO~3~
【答案】C
【解析】
【详解】A．字画主要由纸张和绢、绫、锦等织物构成，为防止受潮和氧化，保存古代字画时要特别注意控制适宜温度和湿度，A说法正确；
B．由孔雀石和蓝铜矿的化学成分可知，其中的铜元素、碳元素和氢元素均处于最高价，其均为自然界较稳定的化学物质，因此，用其所制作的颜料不易被空气氧化，B说法正确；
C．孔雀石和蓝铜矿的主要成分均可与酸反应生成相应的铜盐，因此，用其制作的颜料不耐酸腐蚀，C说法错误；
D．因为氢氧化铜中铜元素的质量分数高于碳酸铜，所以Cu(OH)~2~∙CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~∙2CuCO~3~，D说法正确。
综上所述，相关说法错误的是C，故本题答案为C。
2.金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：
下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是
A. 可与氢气发生加成反应 B. 分子含21个碳原子
C. 能与乙酸发生酯化反应 D. 不能与金属钠反应
【答案】D
【解析】
【详解】A．该物质含有苯环和碳碳双键，一定条件下可以与氢气发生加成反应，故A正确；
B．根据该物质的结构简式可知该分子含有21个碳原子，故B正确；
C．该物质含有羟基，可以与乙酸发生酯化反应，故C正确；
D．该物质含有普通羟基和酚羟基，可以与金属钠反应放出氢气，故D错误；
故答案为D。
3.*N*~A~是阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 22.4 L(标准状况)氮气中含有7*N*~A~个中子
B 1 mol重水比1 mol水多*N*~A~个质子
C. 12 g石墨烯和12 g金刚石均含有*N*~A~个碳原子
D. 1 L 1 mol·L^−1^ NaCl溶液含有28*N*~A~个电子
【答案】C
【解析】
【详解】A．标准状况下22.4L氮气的物质的量为1mol，若该氮气分子中的氮原子全部为^14^N，则每个N~2~分子含有(14-7)×2=14个中子，1mol该氮气含有14*N*~A~个中子，不是7*N*~A~，且构成该氮气的氮原子种类并不确定，故A错误；
B．重水分子和水分子都是两个氢原子和一个氧原子构成的，所含质子数相同，故B错误；
C．石墨烯和金刚石均为碳单质，12g石墨烯和12g金刚石均相当于12g碳原子，即=1molC原子，所含碳原子数目为*N*~A~个，故C正确；
D．1molNaCl中含有28*N*~A~个电子，但该溶液中除NaCl外，水分子中也含有电子，故D错误；
故答案为C。
4.喷泉实验装置如图所示。应用下列各组气体---溶液，能出现喷泉现象的是
----- ------- ------------------
气体 溶液
A． H~2~S 稀盐酸
B． HCl 稀氨水
C． NO 稀H~2~SO~4~
D． CO~2~ 饱和NaHCO~3~溶液
----- ------- ------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】
【分析】
能够发生喷泉实验，需要烧瓶内外产生明显的压强差；产生压强差可以通过气体溶于水的方法，也可以通过发生反应消耗气体产生压强差，据此分析。
【详解】A．由于硫化氢气体和盐酸不发生反应且硫化氢在水中的溶解度较小，烧瓶内外压强差变化不大，不会出现喷泉现象，A错误；
B．氯化氢可以和稀氨水中的一水合氨发生反应，使烧瓶内外产生较大压强差，能够出现喷泉实验，B正确；
C．一氧化氮不与硫酸发生反应且不溶于水，烧瓶内外不会产生压强差，不能发生喷泉现象，C错误；
D．二氧化碳不会溶于饱和碳酸氢钠溶液中，烧瓶内外不会产生压强差，不能发生喷泉实验，D错误；
故选B。
5.对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是
A. 用Na~2~SO~3~溶液吸收少量Cl~2~:
B. 向CaCl~2~溶液中通入CO~2~：
C. 向H~2~O~2~溶液中滴加少量FeCl~3~：
D. 同浓度同体积NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合：
【答案】A
【解析】
【详解】A．用Na~2~SO~3~溶液吸收少量的Cl~2~，Cl~2~具有强氧化性，可将部分氧化为，同时产生的氢离子与剩余部分结合生成，Cl~2~被还原为Cl^-^，反应的离子反应方程式为：3+Cl~2~+H~2~O=2+2Cl^-^+，A选项正确；
B．向CaCl~2~溶液中通入CO~2~，H~2~CO~3~是弱酸，HCl是强酸，弱酸不能制强酸，故不发生反应，B选项错误；
C．向H~2~O~2~中滴加少量的FeCl~3~，Fe^3+^的氧化性弱于H~2~O~2~，不能氧化H~2~O~2~，但Fe^3+^能催化H~2~O~2~的分解，正确的离子方程式应为2H~2~O~2~2H~2~O+O~2~↑，C选项错误；
D．NH~4~HSO~4~电离出的H^+^优先和NaOH溶液反应，同浓度同体积的NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合，氢离子和氢氧根恰好完全反应，正确的离子反应方程式应为：H^+^+OHˉ=H~2~O，D选项错误；
答案选A。
【点睛】B选项为易错点，在解答时容易忽略H~2~CO~3~是弱酸，HCl是强酸，弱酸不能制强酸这一知识点。
6.一种高性能的碱性硼化钒(VB~2~)---空气电池如下图所示，其中在VB~2~电极发生反应：该电池工作时，下列说法错误的是
A. 负载通过0.04 mol电子时，有0.224 L(标准状况)O~2~参与反应
B. 正极区溶液的pH降低、负极区溶液的pH升高
C. 电池总反应为
D. 电流由复合碳电极经负载、VB~2~电极、KOH溶液回到复合碳电极
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示的电池结构，左侧VB~2~发生失电子的反应生成和，反应的电极方程式如题干所示，右侧空气中的氧气发生得电子的反应生成OH^-^，反应的电极方程式为O~2~+4e^-^+2H~2~O=4OH^-^，电池的总反应方程式为4VB~2~+11O~2~+20OH^-^+6H~2~O=8+4，据此分析。
【详解】A．当负极通过0.04mol电子时，正极也通过0.04mol电子，根据正极的电极方程式，通过0.04mol电子消耗0.01mol氧气，在标况下为0.224L，A正确；
B．反应过程中正极生成大量的OH^-^使正极区pH升高，负极消耗OH^-^使负极区OH^-^浓度减小pH降低，B错误；
C．根据分析，电池的总反应为4VB~2~+11O~2~+20OH^-^+6H~2~O=8+4，C正确；
D．电池中，电子由VB~2~电极经负载流向复合碳电极，电流流向与电子流向相反，则电流流向为复合碳电极→负载→VB~2~电极→KOH溶液→复合碳电极，D正确；
故选B。
【点睛】本题在解答时应注意正极的电极方程式的书写，电解质溶液为碱性，则空气中的氧气得电子生成氢氧根；在判断电池中电流流向时，电流流向与电子流向相反。
7.W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z；化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟。下列叙述正确的是
A. 非金属性：W\> X\>Y\> Z B. 原子半径：Z\>Y\>X\>W
C. 元素X的含氧酸均为强酸 D. Y的氧化物水化物为强碱
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题干信息可知，W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟，则WX~3~为NH~3~，WZ为HCl，所以W为H元素，X为N元素，Z为Cl元素，又四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z，则Y的核外电子总数为11，Y为Na元素，据此分析解答。
【详解】根据上述分析可知，W为H元素，X为N元素，Y为Na元素，Z为Cl元素，则
A．Na为金属元素，非金属性最弱，非金属性Y＜Z，A选项错误；
B．同周期元素从左至右原子半径依次减小，同主族元素至上而下原子半径依次增大，则原子半径：Na＞Cl＞N＞H，B选项错误；
C．N元素的含氧酸不一定全是强酸，如HNO~2~为弱酸，C选项错误；
D．Y的氧化物水化物为NaOH，属于强碱，D选项正确；
答案选D。
**二、非选择题**
**(一)必考题**
8.氯可形成多种含氧酸盐，广泛应用于杀菌、消毒及化工领域。实验室中利用下图装置(部分装置省略)制备KClO~3~和NaClO，探究其氧化还原性质。
回答下列问题：
(1)盛放MnO~2~粉末的仪器名称是\_\_\_\_\_\_\_\_，a中的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)b中采用的加热方式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，c中化学反应的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，采用冰水浴冷却的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)d的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_，可选用试剂\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．Na~2~S B．NaCl C．Ca(OH)~2~ D．H~2~SO~4~
(4)反应结束后，取出b中试管，经冷却结晶，\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，干燥，得到KClO~3~晶体。
(5)取少量KClO~3~和NaClO溶液分别置于1号和2号试管中，滴加中性KI溶液。1号试管溶液颜色不变。2号试管溶液变为棕色，加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显\_\_\_\_色。可知该条件下KClO~3~的氧化能力\_\_\_\_NaClO(填"大于"或"小于")。
【答案】 (1). 圆底烧瓶 (2). 饱和食盐水 (3). 水浴加热 (4). Cl~2~+2OH^−^=ClO^−^+Cl^−^+H~2~O (5). 避免生成NaClO~3~ (6). 吸收尾气(Cl~2~) (7). AC (8). 过滤 (9). 少量(冷)水洗涤 (10). 紫 (11). 小于
【解析】
【分析】
本实验目的是制备KClO~3~和NaClO，并探究其氧化还原性质；首先利用浓盐酸和MnO~2~粉末共热制取氯气，生成的氯气中混有HCl气体，可在装置a中盛放饱和食盐水中将HCl气体除去；之后氯气与KOH溶液在水浴加热的条件发生反应制备KClO~3~，再与NaOH溶液在冰水浴中反应制备NaClO；氯气有毒会污染空气，所以需要d装置吸收未反应的氯气。
【详解】(1)根据盛放MnO~2~粉末的仪器结构可知该仪器为圆底烧瓶；a中盛放饱和食盐水除去氯气中混有的HCl气体；
(2)根据装置图可知盛有KOH溶液的试管放在盛有水的大烧杯中加热，该加热方式为水浴加热；c中氯气在NaOH溶液中发生歧化反应生成氯化钠和次氯酸钠，结合元素守恒可得离子方程式为Cl~2~+2OHˉ=ClOˉ+Clˉ+H~2~O；根据氯气与KOH溶液的反应可知，加热条件下氯气可以和强碱溶液反应生成氯酸盐，所以冰水浴的目的是避免生成NaClO~3~；
(3)氯气有毒，所以d装置的作用是吸收尾气(Cl~2~)；
A．Na~2~S可以将氯气还原成氯离子，可以吸收氯气，故A可选；
B．氯气在NaCl溶液中溶解度很小，无法吸收氯气，故B不可选；
C．氯气可以Ca(OH)~2~或浊液反应生成氯化钙和次氯酸钙，故C可选；
D．氯气与硫酸不反应，且硫酸溶液中存在大量氢离子会降低氯气的溶解度，故D不可选；
综上所述可选用试剂AC；
(4)b中试管为KClO~3~和KCl的混合溶液，KClO~3~的溶解度受温度影响更大，所以将试管b中混合溶液冷却结晶、过滤、少量(冷)水洗涤、干燥，得到KClO~3~晶体；
(5)1号试管溶液颜色不变，2号试管溶液变为棕色，说明1号试管中氯酸钾没有将碘离子氧化，2号试管中次氯酸钠将碘离子氧化成碘单质，即该条件下KClO~3~的氧化能力小于NaClO；碘单质更易溶于CCl~4~，所以加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显紫色。
【点睛】第3小题为本题易错点，要注意氯气除了可以用碱液吸收之外，氯气还具有氧化性，可以用还原性的物质吸收。
9.某油脂厂废弃的油脂加氢镍催化剂主要含金属Ni、Al、Fe及其氧化物，还有少量其他不溶性物质。采用如下工艺流程回收其中的镍制备硫酸镍晶体(NiSO~4~·7H~2~O)：
溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 金属离子 | Ni^2+^ | Al^3+^ | Fe^3+^ | Fe^2+^ |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 开始沉淀时(*c*=0.01 mol·L^−1^)的pH | 7.2 | 3.7 | 2.2 | 7.5 |
| | | | | |
| 沉淀完全时(*c*=1.0×10^−5^ mol·L^−1^)的pH | 8.7 | 4.7 | 3.2 | 9.0 |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
回答下列问题：
(1)"碱浸"中NaOH的两个作用分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。为回收金属，用稀硫酸将"滤液①"调为中性，生成沉淀。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"滤液②"中含有的金属离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"转化"中可替代H~2~O~2~的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若工艺流程改为先"调pH"后"转化"，即
"滤液③"中可能含有的杂质离子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)利用上述表格数据，计算Ni(OH)~2~的K~sp~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(列出计算式)。如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0 mol·L^−1^，则"调pH"应控制的pH范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)硫酸镍在强碱溶液中用NaClO氧化，可沉淀出能用作镍镉电池正极材料的NiOOH。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)将分离出硫酸镍晶体后的母液收集、循环使用，其意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 除去油脂、溶解铝及其氧化物 (2). +H^+^+H~2~O=Al(OH)~3~↓或+H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O (3). Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^ (4). O~2~或空气 (5). Fe^3+^ (6). (7). 3.2\~6.2 (8). 2Ni^2+^+ClOˉ+4OHˉ=2NiOOH↓+Clˉ+H~2~O (9). 提高镍回收率
【解析】
【分析】
由工艺流程分析可得，向废镍催化剂中加入NaOH溶液进行碱浸，可除去油脂，并发生反应2Al+2NaOH+2H~2~O=2NaAlO~2~+3H~2~↑、2Al~2~O~3~+4NaOH=4NaAlO~2~+2H~2~O将Al及其氧化物溶解，得到的滤液①含有NaAlO~2~，滤饼①为Ni、Fe及其氧化物和少量其他不溶性杂质，加稀H~2~SO~4~酸浸后得到含有Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^的滤液②，Fe^2+^经H~2~O~2~氧化为Fe^3+^后，加入NaOH调节pH使Fe^3+^转化为Fe(OH)~3~沉淀除去，再控制pH浓缩结晶得到硫酸镍的晶体，据此分析解答问题。
【详解】(1)根据分析可知，向废镍催化剂中加入NaOH溶液进行碱浸，可除去油脂，并将Al及其氧化物溶解，滤液①中含有NaAlO~2~(或Na\[Al(OH)~4~\])，加入稀硫酸可发生反应+H^+^+H~2~O=Al(OH)~3~↓或+H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O，故答案为：除去油脂、溶解铝及其氧化物；+H^+^+H~2~O=Al(OH)~3~↓或+H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O；
(2)加入稀硫酸酸浸，Ni、Fe及其氧化物溶解，所以"滤液②"中含有的金属离子是Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^，故答案为：Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^；
(3)"转化"在H~2~O~2~的作用是将Fe^2+^氧化为Fe^3+^，可用O~2~或空气替代；若将工艺流程改为先"调pH"后"转化"，会使调pH过滤后的溶液中含有Fe^2+^，则滤液③中可能含有转化生成的Fe^3+^，故答案为：O~2~或空气；Fe^3+^；
(4)由上述表格可知，Ni^2+^完全沉淀时的pH=8.7，此时*c*(Ni^2+^)=1.0×10^-5^mol·L^-1^，*c*(H^+^)=1.0×10^-8.7^mol·L^-1^，则*c*(OH^-^)=，则Ni(OH)~2~的；或者当Ni^2+^开始沉淀时pH=7.2，此时*c*(Ni^2+^)=0.01mol·L^-1^，*c*(H^+^)=1.0×10^-7.2^mol·L^-1^，则*c*(OH^-^)=，则Ni(OH)~2~的；如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0mol·L^-1^，为避免镍离子沉淀，此时，则，即pH=6.2；Fe^3+^完全沉淀的pH为3.2，因此"调节pH"应控制的pH范围是3.2\~6.2，故答案为：；3.2\~6.2；
(5)由题干信息，硫酸镍在强碱中被NaClO氧化得到NiOOH沉淀，即反应中Ni^2+^被氧化为NiOOH沉淀，ClOˉ被还原为Clˉ，则根据氧化还原得失电子守恒可得离子方程式为2Ni^2+^+ClOˉ+4OHˉ=2NiOOH↓+Clˉ+H~2~O，故答案为：2Ni^2+^+ClOˉ+4OHˉ=2NiOOH↓+Clˉ+H~2~O；
(6)分离出硫酸镍晶体后的母液中还含有Ni^2+^，可将其收集、循环使用，从而提高镍的回收率，故答案为：提高镍的回收率。
【点睛】本题主要考查金属及其化合物的性质、沉淀溶解平衡常数*K*sp的计算、氧化还原离子反应方程式的书写等知识点，需要学生具有很好的综合迁移能力，解答关键在于正确分析出工艺流程原理，难点在于*K*sp的计算及"调pH"时pH的范围确定。
10.二氧化碳催化加氢合成乙烯是综合利用CO~2~的热点研究领域。回答下列问题：
(1)CO~2~催化加氢生成乙烯和水的反应中，产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)∶*n*(H~2~O)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。当反应达到平衡时，若增大压强，则*n*(C~2~H~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"变大""变小"或"不变")。
(2)理论计算表明，原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1MPa，反应达到平衡时，四种组分的物质的量分数*x*随温度*T*的变化如图所示。
图中，表示C~2~H~4~、CO~2~变化的曲线分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。CO~2~催化加氢合成C~2~H~4~反应的Δ*H*\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")。
(3)根据图中点A(440K，0.39)，计算该温度时反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(MPa)^−3^(列出计算式。以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)二氧化碳催化加氢合成乙烯反应往往伴随副反应，生成C~3~H~6~、C~3~H~8~、C~4~H~8~等低碳烃。一定温度和压强条件下，为了提高反应速率和乙烯选择性，应当\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 1∶4 (2). 变大 (3). d (4). c (5). 小于 (6). 或等 (7). 选择合适催化剂等
【解析】
【分析】
根据质量守恒定律配平化学方程式，可以确定产物的物质的量之比。根据可逆反应的特点分析增大压强对化学平衡的影响。根据物质的量之比等于化学计量数之比，从图中找到关键数据确定代表各组分的曲线，并计算出平衡常数。根据催化剂对化反应速率的影响和对主反应的选择性，工业上通常要选择合适的催化剂以提高化学反应速率、减少副反应的发生。
【详解】(1)CO~2~催化加氢生成乙烯和水，该反应的化学方程式可表示为2CO~2~+6H~2~ ⇌ CH~2~ = CH~2~+4H~2~O，因此，该反应中产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)：*n*(H~2~O)=1：4。由于该反应是气体分子数减少的反应，当反应达到平衡状态时，若增大压强，则化学平衡向正反应方向移动，*n*(C~2~H~4~)变大。
\(2\) 由题中信息可知，两反应物初始投料之比等于化学计量数之比；由图中曲线的起点坐标可知，c和a所表示的物质的物质的量分数之比为1:3、d和b表示的物质的物质的量分数之比为1:4，则结合化学计量数之比可以判断，表示乙烯变化的曲线是d，表示二氧化碳变化曲线的是c。由图中曲线的变化趋势可知，升高温度，乙烯的物质的量分数减小，则化学平衡向逆反应方向移动，则该反应为放热反应，∆*H*小于0。
\(3\) 原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1Mpa建立平衡。由A点坐标可知，该温度下，氢气和水的物质的量分数均为0.39，则乙烯的物质的量分数为水的四分之一，即，二氧化碳的物质的量分数为氢气的三分之一，即，因此，该温度下反应的平衡常数(MPa)^-3^=(MPa)^-3^。
(4)工业上通常通过选择合适催化剂，以加快化学反应速率，同时还可以提高目标产品的选择性，减少副反应的发生。因此，一定温度和压强下，为了提高反应速率和乙烯的选择性，应当选择合适的催化剂。
【点睛】本题确定图中曲线所代表的化学物质是难点，其关键在于明确物质的量的分数之比等于各组分的物质的量之比，也等于化学计量数之比（在初始投料之比等于化学计量数之比的前提下，否则不成立）。
**(二)选考题**
**［化学------选修3：物质结构与性质］**
11.氨硼烷(NH~3~BH~3~)含氢量高、热稳定性好，是一种具有潜力的固体储氢材料。回答下列问题：
(1)H、B、N中，原子半径最大的是\_\_\_\_\_\_。根据对角线规则，B的一些化学性质与元素\_\_\_\_\_\_的相似。
(2)NH~3~BH~3~分子中，N---B化学键称为\_\_\_\_键，其电子对由\_\_\_\_提供。氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气：3NH~3~BH~3~+6H~2~O=3NH~3~++9H~2~，的结构如图所示：
在该反应中，B原子的杂化轨道类型由\_\_\_\_\_\_变为\_\_\_\_\_\_。
(3)NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性(H^δ+^)，与B原子相连的H呈负电性(H^δ-^)，电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。与NH~3~BH~3~原子总数相等的等电子体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写分子式)，其熔点比NH~3~BH~3~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"高"或"低")，原因是在NH~3~BH~3~分子之间，存在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也称"双氢键"。
(4)研究发现，氦硼烷在低温高压条件下为正交晶系结构，晶胞参数分别为*a* pm、*b* pm、*c* pm，*α*=*β*=*γ*=90°。氨硼烷的2×2×2超晶胞结构如图所示。
氨硼烷晶体的密度*ρ*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^−3^(列出计算式，设*N*~A~为阿伏加德罗常数的值)。
【答案】 (1). B (2). Si(硅) (3). 配位 (4). N (5). sp^3^ (6). sp^2^ (7). N＞H＞B (8). CH~3~CH~3~ (9). 低 (10). H^δ+^与H^δ−^的静电引力 (11).
【解析】
【分析】
根据元素在周期表中的位置比较和判断元素的相关性质；根据中心原子的价层电子对数确定其杂化轨道的类型；运用等量代换的方法寻找等电子体；根据电负性对化合价的影响比较不同元素的电负性；根据晶胞的质量和体积求晶体的密度。
【详解】(1)在所有元素中，H原子的半径是最小的，同一周期从左到右，原子半径依次减小，所以，H、B、N中原子半径最大是B。B与Si在元素周期表中处于对角张的位置，根据对角线规则，B的一些化学性质与Si元素相似。
(2)B原子最外层有3个电子，其与3个H原子形成共价键后，其价层电子对只有3对，还有一个空轨道；在NH~3~中，N原子有一对孤对电子，故在NH~3~BH~3~分子中，N---B键为配位键，其电子对由N原子提供。NH~3~BH~3~分子中，B原子的价层电子对数为4，故其杂化方式为sp^3^。NH~3~BH~3~在催化剂的作用下水解生成氢气和B~3~O~6~^3-^，由图中信息可知，B~3~O~6~^3-^中每个B原子只形成3个σ键，其中的B原子的杂化方式为sp^2^，因此，B原子的杂化轨道类型由sp^3^变为sp^2^。
\(3\) NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性，说明N的电负性大于H；与B原子相连的H呈负电性，说明H的电负性大于B，因此3种元素电负性由大到小的顺序为N＞H＞B。NH~3~BH~3~分子中有8个原子，其价电子总数为14，N和B的价电子数的平均值为4，依据等量代换的原则，可以找到其等电子体为CH~3~CH~3~。由于NH~3~BH~3~分子属于极性分子，而CH~3~CH~3~属于非极性分子，两者相对分子质量接近，但是极性分子的分子间作用力较大，故CH~3~CH~3~熔点比NH~3~BH~3~低。NH~3~BH~3~分子间存在"双氢键"，类比氢键的形成原理，说明其分子间存在H^δ+^与H^δ-^的静电引力。
(4)在氨硼烷的2×2×2的超晶胞结构中，共有16个氨硼烷分子，晶胞的长、宽、高分别为2apm、2bpm、2cpm，若将其平均分为8份可以得到8个小长方体，则平均每个小长方体中占有2个氨硼烷分子，小长方体的长、宽、高分别为apm、bpm、cpm，则小长方体的质量为，小长方体的体积为，因此，氨硼烷晶体的密度为g∙cm^-3^。
【点睛】本题最后有关晶体密度的计算是难点，要求考生能读懂题意，通过观察晶胞结构，确定超晶胞结构中的分子数，并能合理分成8份，从而简化计算。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
12.苯基环丁烯酮( PCBO)是一种十分活泼的反应物，可利用它的开环反应合成一系列多官能团化合物。近期我国科学家报道用PCBO与醛或酮发生\[4+2\]环加成反应，合成了具有生物活性的多官能团化合物(E)，部分合成路线如下：
已知如下信息：
回答下列问题：
(1)A的化学名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)由C生成D所用的试别和反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步反应中，若反应温度过高，C易发生脱羧反应，生成分子式为C~8~H~8~O~2~的副产物，该副产物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)写出化合物E中含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中手性碳(注：连有四个不同的原子或基团的碳)的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)M为C一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)对于，选用不同的取代基R\'，在催化剂作用下与PCBO发生的\[4+2\]反应进行深入研究，R\'对产率的影响见下表：
-------- ---------- ------------- -----------------------
R\' ---CH~3~ ---C~2~H~5~ ---CH~2~CH~2~C~6~H~5~
产率/% 91 80 63
-------- ---------- ------------- -----------------------
请找出规律，并解释原因\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2−羟基苯甲醛(水杨醛) (2).  (3). 乙醇、浓硫酸/加热 (4).  (5). 羟基、酯基 (6). 2 (7).  (8). 随着R\'体积增大，产率降低；原因是R\'体积增大，位阻增大
【解析】
【分析】
根据合成路线分析可知，A()与CH~3~CHO在NaOH的水溶液中发生已知反应生成B，则B的结构简式为，B被KMnO~4~氧化后再酸化得到C()，C再与CH~3~CH~2~OH在浓硫酸加热的条件下发生酯化反应得到D()，D再反应得到E()，据此分析解答问题。
【详解】(1)A的结构简式为，其名称为2-羟基苯甲醛(或水杨醛)，故答案为：2-羟基苯甲醛(或水杨醛)；
(2)根据上述分析可知，B的结构简式为，故答案为：；
(3)C与CH~3~CH~2~OH在浓硫酸加热的条件下发生酯化反应得到D()，即所用试剂为乙醇、浓硫酸，反应条件为加热；在该步反应中，若反应温度过高，根据副产物的分子式可知，C发生脱羧反应生成，故答案为：乙醇、浓硫酸/加热；；
(4)化合物E的结构简式为，分子中的含氧官能团为羟基和酯基，E中手性碳原子共有位置为的2个手性碳，故答案为：羟基、酯基；2；
(5)M为C的一种同分异构体，1molM与饱和NaHCO~3~溶液反应能放出2mol二氧化碳，则M中含有两个羧基(---COOH)，又M与酸性高锰酸钾溶液溶液反应生成对二苯甲酸，则M分子苯环上只有两个取代基且处于对位，则M的结构简式为，故答案为：；
(6)由表格数据分析可得到规律，随着取代基R′体积的增大，产物的产率降低，出现此规律的原因可能是因为R′体积增大，从而位阻增大，导致产率降低，故答案为：随着R′体积增大，产率降低；原因是R′体积增大，位阻增大。
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第6课《找简单数列的规律》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第六讲 找简单数列的规律 习题解答
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**2019年甘肃省天水市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）**
1．（4分）（2019•天水）已知，是2的相反数，则的值为
A． B． C．或 D．1或
2．（4分）（2019•天水）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•天水）如图所示，圆锥的主视图是
A． B．
C． D．
4．（4分）（2019•天水）一把直尺和一块三角板（含、角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•天水）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•天水）已知，则代数式的值是
A．2 B． C． D．
7．（4分）（2019•天水）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•天水）如图，等边的边长为2，则点的坐标为
A． B． C．， D．，
9．（4分）（2019•天水）如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、．若，则的度数为
A． B． C． D．
10．（4分）（2019•天水）已知点为某个封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点的运动时间为，线段的长度为，表示与的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）**
11．（4分）（2019•天水）函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•天水）分式方程的解是[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•天水）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，．其中整数是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•天水）中国"一带一路"给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为[ ]{.underline}．（用百分数表示）
15．（4分）（2019•天水）二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为[ ]{.underline}．（填""、" "或""
16．（4分）（2019•天水）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
17．（4分）（2019•天水）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为[ ]{.underline}．
18．（4分）（2019•天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有[ ]{.underline}个〇．
**三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）**
19．（10分）（2019•天水）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
20．（8分）（2019•天水）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在"舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动"项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了[ ]{.underline}名学生．
（2）请你补全条形统计图．
（3）扇形统计图中喜欢"乐器"部分扇形的圆心角为[ ]{.underline}度．
（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢"舞蹈"项目的共多少名学生？
21．（10分）（2019•天水）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出中的取值范围；
（3）求的面积．
**四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）**
22．（7分）（2019•天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方8米处的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（参考数据：，
（1）若新坡面坡角为，求坡角度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．
23．（10分）（2019•天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元与销售价（元件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）（2019•天水）如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与
的延长线交于点，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
25．（10分）（2019•天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．
试证明：；
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
26．（13分）（2019•天水）如图，已知抛物线经过点、和，垂直于轴，交抛物线于点，垂直于轴，垂足为，直线是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点的坐标；
（2）若沿轴向右平移，使其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到△，求此时△与矩形重叠部分图形的面积；
（3）若沿轴向右平移个单位长度得到△，△与重叠部分图形的面积记为，求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
**2019年甘肃省天水市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）**
1．（4分）已知，是2的相反数，则的值为
A． B． C．或 D．1或
【考点】有理数的加法；绝对值；相反数
【分析】先根据绝对值和相反数得出、的值，再分别计算可得．
【解答】解：，是2的相反数，
或，，
当时，；
当时，；
综上，的值为或，
故选：．
2．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较小的数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000073用科学记数法表示为，
故选：．
3．（4分）如图所示，圆锥的主视图是
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图
【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：
故选：．
4．（4分）一把直尺和一块三角板（含、角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】先利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
【解答】解：，
，
．
故选：．
5．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：
选项，积的乘方：，正确
选项，合并同类项：，错误
选项，幂的乘方：，错误
选项，同底数幂相乘：，错误
故选：．
6．（4分）已知，则代数式的值是
A．2 B． C． D．
【考点】代数式求值
【分析】注意到只需变形得，再将，整体代入即可
【解答】解：
，
将代入得：
故选：．
7．（4分）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为
A． B． C． D．
【考点】几何概率
【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
【解答】解：设正方形的边长为，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选：．
8．（4分）如图，等边的边长为2，则点的坐标为
A． B． C．， D．，
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质
【分析】过点作于点，是等边三角形，所以可求出和长．
【解答】解：过点作于点，是等边三角形，
，．
点的坐标为．
故选：．
9．（4分）如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、．若，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；菱形的性质
【分析】根据菱形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：四边形是菱形，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故选：．
10．（4分）已知点为某个封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点的运动时间为，线段的长度为，表示与的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】先观察图象得到与的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，点在圆上运动时，开始随的增大而增大，然后随的减小而减小，则可对进行判断，从而得到正确选项．
【解答】解：与的函数图象分三个部分，而选项和选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以、选项不正确；
选项中的封闭图形为圆，开始随的增大而增大，然后随的减小而减小，所以选项不正确；
选项为三角形，点在三边上运动对应三段图象，且点在点的对边上运动时，的长有最小值．
故选：．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）**
11．（4分）函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得，
解得：，
故答案为：．
12．（4分）分式方程的解是[ ]{.underline}．
【考点】：解分式方程
【分析】先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可
【解答】解：
原式通分得：
去分母得：
去括号解得，
经检验，为原分式方程的解
故答案为
13．（4分）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，．其中整数是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是[ 5 ]{.underline}．
【考点】中位数；算术平均数
【分析】先利用中位数的定义得到，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．
【解答】解：整数是这组数据中的中位数，
，
这组数据的平均数．
故答案为5．
14．（4分）中国"一带一路"给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为[ ]{.underline}．（用百分数表示）
【考点】：一元二次方程的应用
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．
【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为，
，
解得，，（舍去），
该地区居民年人均收入平均增长率为，
故答案为：．
15．（4分）二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为[ ]{.underline}．（填""、" "或""
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
【解答】解：连接，
，
是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
，
，，即圆的半径为2，
．
故答案为：．
17．（4分）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为[ ]{.underline}．
【考点】矩形的性质；解直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
【解答】解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
．
故答案为：．
18．（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有[ 6058 ]{.underline}个〇．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．
【解答】解：由图可得，
第1个图象中〇的个数为：，
第2个图象中〇的个数为：，
第3个图象中〇的个数为：，
第4个图象中〇的个数为：，
第2019个图形中共有：个〇，
故答案为：6058．
**三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）**
19．（10分）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
【考点】：一元一次不等式组的整数解；：分式的化简求值；：实数的运算；：特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
，
解不等式组得，
则不等式组的整数解为、0、1、2，
，，
，
则原式．
20．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在"舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动"项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了[ 50 ]{.underline}名学生．
（2）请你补全条形统计图．
（3）扇形统计图中喜欢"乐器"部分扇形的圆心角为[ ]{.underline}度．
（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢"舞蹈"项目的共多少名学生？
【考点】用样本估计总体；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；
（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢"乐器"部分扇形的圆心角的度数；
（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1），
所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；
（2）喜欢戏曲的人数为（人，
条形统计图为：
（3）扇形统计图中喜欢"乐器"部分扇形的圆心角的度数为；
故答案为50；115.2；
（4），
所以估计该校1200名学生中喜欢"舞蹈"项目的共288名学生．
21．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出中的取值范围；
（3）求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）将点、点的坐标分别代入解析式即可求出、的值，从而求出两点坐标；
（2）根据题意，结合图象确定出的范围即可；
（3）将的面积转化为的面积即可．
【解答】解：（1）点 在反比例函数上，
，解得，
点的坐标为，
又点也在反比例函数上，
，解得，
点的坐标为，
又点、在的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）根据图象得：时，的取值范围为或；
（3）直线与轴的交点为，
点的坐标为，
．
**四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）**
22．（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方8米处的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（参考数据：，
（1）若新坡面坡角为，求坡角度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
（2）根据题意和题目中的数据可以求得的长度，然后与3比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）新坡面坡角为，新坡面的坡度为，
，
；
（2）该文化墙不需要拆除，
理由：作于点，则米，
新坡面的坡度为，
，
解得，米，
坡面的坡度为，米，
米，
米，
又米，
米米，
该文化墙不需要拆除．
23．（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元与销售价（元件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据"总利润每件的利润销售量"可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
24．（10分）如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与
的延长线交于点，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【分析】（1）连接，可以证得，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：，即，即可证得；
（2）先证是等边三角形得，再由（1）中所证切线可得，结合半径可得答案．
【解答】解：（1）连接，
，经过圆心，
，
，
在和中，
，
，
是的切线，
．
，
即
是的切线．
（2），，
是等边三角形，
，
，
，
由（1）知，
．
25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．
试证明：；
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】解：（1）四边形是垂美四边形．
证明：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：，
，
由勾股定理得，，
，
；
故答案为：．
（3）连接、，
，
，即，
在和中，，
，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
．
26．（13分）如图，已知抛物线经过点、和，垂直于轴，交抛物线于点，垂直于轴，垂足为，直线是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点的坐标；
（2）若沿轴向右平移，使其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到△，求此时△与矩形重叠部分图形的面积；
（3）若沿轴向右平移个单位长度得到△，△与重叠部分图形的面积记为，求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点、和代入即可求出该二次函数表达式，因为垂直于轴，所以令，求出的值，即可写出点坐标；
（2）设交于点，交于点，求出顶点坐标，证△，求出的长，因为△与矩形重叠部分的图形是梯形，所以，即可求出结果；
（3）当时，设交于点，证△，求出，可直接求出；当时，设交于点，交于点，分别求出直线与直线的解析式，再求出其交点的坐标，证△，求出，由
可求出与的函数表达式．
【解答】解：（1）抛抛线经过点、和，
抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为：，
垂直于轴，，
令，
解得，或，
点的坐标为；
（2）如图1所示，设交于点，交于点，
点是抛物线的顶点，
，
，
，
△，
，
，
解得，，
△与矩形重叠部分的图形是梯形，
；
（3）①当时，如图2所示，设交于点，
，
△，
，
，
，
；
②当时，如图3所示，设交于点，交于点，
将点代入，
得，，
，
将点，代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为：，
联立与，
得，，
解得，，
两直线交点坐标为，
故点到的距离为，
，
△，
，
，
，
；
与的函数关系式为：．
| 1 | |
一、用简便方法求积：
①17×100 ②1112×5
③23×9 ④23×99
⑤12345×11 ⑥56789×11
⑦36×15 ⑧44×46
二、速算下列各题：
①123×25×4
②456×2×125×25×5×4×8
③25×32×125
三、巧算下列各题：
①15000÷125÷15
②1200÷25÷4
③27000÷（125×3）
④360×40÷60
四、巧算下列各题：
①11÷3＋4÷3
②19÷5-9÷5
③234×11+234×88
| 1 | |
**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}，B={x\|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则\|x+yi\|=（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）已知等差数列{a~n~}前9项的和为27，a~10~=8，则a~100~=（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）
6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
7．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．a^c^＜b^c^ B．ab^c^＜ba^c^
C．alog~b~c＜blog~a~c D．log~a~c＜log~b~c
9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知\|AB\|=4，\|DE\|=2，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且\|+\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^，则m=[ ]{.underline}．
14．（5分）（2x+）^5^的展开式中，x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字填写答案）
15．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~3~=10，a~2~+a~4~=5，则a~1~a~2~...a~n~的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[ ]{.underline}元．
**三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
20．（12分）设圆x^2^+y^2^+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明\|EA\|+\|EB\|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C~1~，直线l交C~1~于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，证明：x~1~+x~2~＜2．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集．
**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}，B={x\|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．
【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}=（1，3），
B={x\|2x﹣3＞0}=（，+∞），
∴A∩B=（，3），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则\|x+yi\|=（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，
∴x+xi=1+yi，
即，解得，即\|x+yi\|=\|1+i\|=，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．
3．（5分）已知等差数列{a~n~}前9项的和为27，a~10~=8，则a~100~=（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据已知可得a~5~=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列{a~n~}前9项的和为27，S~9~===9a~5~．
∴9a~5~=27，a~5~=3，
又∵a~10~=8，
∴d=1，
∴a~100~=a~5~+95d=98，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．
4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P==，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）
【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得c=2，利用4=（m^2^+n）+（3m^2^﹣n），解得m^2^=1，又（m^2^+n）（3m^2^﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，
当焦点在x轴上时，
可得：4=（m^2^+n）+（3m^2^﹣n），解得：m^2^=1，
∵方程﹣=1表示双曲线，
∴（m^2^+n）（3m^2^﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，
可得：﹣4=（m^2^+n）+（3m^2^﹣n），解得：m^2^=﹣1，
无解．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．
【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：
可得：=，R=2．
它的表面积是：×4π•2^2^+=17π．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．
7．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=y=2x^2^﹣e^\|x\|^，
∴f（﹣x）=2（﹣x）^2^﹣e^\|﹣x\|^=2x^2^﹣e^\|x\|^，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e^2^∈（0，1），故排除A，B；
当x∈\[0，2\]时，f（x）=y=2x^2^﹣e^x^，
∴f′（x）=4x﹣e^x^=0有解，
故函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[0，2\]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．a^c^＜b^c^ B．ab^c^＜ba^c^
C．alog~b~c＜blog~a~c D．log~a~c＜log~b~c
【考点】R3：不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）=x^c^在（0，+∞）上为增函数，故a^c^＞b^c^，故A错误；
函数f（x）=x^c﹣1^在（0，+∞）上为减函数，故a^c﹣1^＜b^c﹣1^，故ba^c^＜ab^c^，即ab^c^＞ba^c^；故B错误；
log~a~c＜0，且log~b~c＜0，log~a~b＜1，即=＜1，即log~a~c＞log~b~c．故D错误；
0＜﹣log~a~c＜﹣log~b~c，故﹣blog~a~c＜﹣alog~b~c，即blog~a~c＞alog~b~c，即alog~b~c＜blog~a~c，故C正确；
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．
9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，
则x=0，y=1，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=2，
则x=，y=2，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=3，
则x=，y=6，满足x^2^+y^2^≥36，
故y=4x，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知\|AB\|=4，\|DE\|=2，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．
【解答】解：设抛物线为y^2^=2px，如图：\|AB\|=4，\|AM\|=2，
\|DE\|=2，\|DN\|=，\|ON\|=，
x~A~==，
\|OD\|=\|OA\|，
=+5，
解得：p=4．
C的焦点到准线的距离为：4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．
【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．
【解答】解：如图：α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA~1~B~1~=n，
可知：n∥CD~1~，m∥B~1~D~1~，∵△CB~1~D~1~是正三角形．m、n所成角就是∠CD~1~B~1~=60°．
则m、n所成角的正弦值为：．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，
即T=≥，解得：ω≤12，
当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，
∵\|φ\|≤，
∴φ=﹣，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，
∵\|φ\|≤，
∴φ=，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且\|+\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^，则m=[ ﹣2 ]{.underline}．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．
【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．
【解答】解：\|+\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^，
可得•=0．
向量=（m，1），=（1，2），
可得m+2=0，解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
14．（5分）（2x+）^5^的展开式中，x^3^的系数是[ 10 ]{.underline}．（用数字填写答案）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x^3^的系数．
【解答】解：（2x+）^5^的展开式中，通项公式为：T~r+1~==2^5﹣r^，
令5﹣=3，解得r=4
∴x^3^的系数2=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~3~=10，a~2~+a~4~=5，则a~1~a~2~...a~n~的最大值为[ 64 ]{.underline}．
【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】求出数列的等比与首项，化简a~1~a~2~...a~n~，然后求解最值．
【解答】解：等比数列{a~n~}满足a~1~+a~3~=10，a~2~+a~4~=5，
可得q（a~1~+a~3~）=5，解得q=．
a~1~+q^2^a~1~=10，解得a~1~=8．
则a~1~a~2~...a~n~=a~1~^n^•q^1+2+3+...+（n﹣1）^=8^n^•==，
当n=3或4时，表达式取得最大值：=2^6^=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[ 216000 ]{.underline}元．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．
【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；
【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．
由题意，得，z=2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），
目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．
故答案为：216000．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．
**三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a^2^+b^2^﹣2ab•，
∴（a+b）^2^﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）^2^﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．
【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF⊂平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，
可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；
由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，
∵BE⊥EF，
∴BE⊥平面EFDC
即有CE⊥BE，
可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．
可得∠DFE=∠CEF=60°．
∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，
∴AB∥平面EFDC，
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，
∴AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴四边形EFDC为等腰梯形．
以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），
∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）
设平面BEC的法向量为=（x~1~，y~1~，z~1~），则，
则，取=（，0，﹣1）．
设平面ABC的法向量为=（x~2~，y~2~，z~2~），则，
则，取=（0，，4）．
设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=
==﹣，
则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX~1~和买20个所需费用期望EX~2~，由此能求出买19个更合适．
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X=16）=（）^2^=，
P（X=17）=，
P（X=18）=（）^2^+2（）^2^=，
P（X=19）==，
P（X=20）===，
P（X=21）==，
P（X=22）=，
∴X的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 16 17 18 19 20 21 22
P       
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）
==．
P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=+=．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=+=．
买19个所需费用期望：
EX~1~=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，
买20个所需费用期望：
EX~2~=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，
∵EX~1~＜EX~2~，
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，
当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，
∴买19个更合适．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．（12分）设圆x^2^+y^2^+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明\|EA\|+\|EB\|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C~1~，直线l交C~1~于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得\|MN\|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得\|PQ\|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x^2^+y^2^+2x﹣15=0即为（x+1）^2^+y^2^=16，
可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，
由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，
由AC=AD，可得∠D=∠C，
即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，
则\|EA\|+\|EB\|=\|EA\|+\|ED\|=\|AD\|=4，
故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且有2a=4，即a=2，c=1，b==，
则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；
（Ⅱ）椭圆C~1~：+=1，设直线l：x=my+1，
由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），
由可得（3m^2^+4）y^2^+6my﹣9=0，
设M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），
可得y~1~+y~2~=﹣，y~1~y~2~=﹣，
则\|MN\|=•\|y~1~﹣y~2~\|=•
=•=12•，
A到PQ的距离为d==，
\|PQ\|=2=2=，
则四边形MPNQ面积为S=\|PQ\|•\|MN\|=••12•
=24•=24，
当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是\[12，8）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，证明：x~1~+x~2~＜2．
【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^可得：f′（x）=（x﹣1）e^x^+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e^x^+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．
（Ⅱ）设x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x~1~）=g（x~2~）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，
设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x~1~＞0，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^，
∴f′（x）=（x﹣1）e^x^+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e^x^+2a），
①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e^x^=0⇔x=2，
函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；
②若a＞0，那么e^x^+2a＞0恒成立，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，
由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；
当x＜1时，e^x^＜e，x﹣2＜﹣1＜0，
∴f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^＞（x﹣2）e+a（x﹣1）^2^=a（x﹣1）^2^+e（x﹣1）﹣e，
令a（x﹣1）^2^+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t~1~，t~2~，且t~1~＜t~2~，
则当x＜t~1~，或x＞t~2~时，f（x）＞a（x﹣1）^2^+e（x﹣1）﹣e＞0，
故函数f（x）在x＜1存在一个零点；
即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；
③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，
当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，
e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞1时，x﹣1＞0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，
由f（ln（﹣2a））=\[ln（﹣2a）﹣2\]（﹣2a）+a\[ln（﹣2a）﹣1\]^2^=a{\[ln（﹣2a）﹣2\]^2^+1}＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，
当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当x＞1时，x﹣1＞0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故函数f（x）在R上单调递增，
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，
当x＜1时，x﹣1＜0，e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=1时，函数取极大值，
由f（1）=﹣e＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为（0，+∞）
证明：（Ⅱ）∵x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，
∴f（x~1~）=f（x~2~）=0，且x~1~≠1，且x~2~≠1，
∴﹣a==，
令g（x）=，则g（x~1~）=g（x~2~）=﹣a，
∵g′（x）=，
∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，
设h（m）=，m＞0，
则h′（m）=＞0恒成立，
即h（m）在（0，+∞）上为增函数，
h（m）＞h（0）=0恒成立，
即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，
令m=1﹣x~1~＞0，
则g（1+1﹣x~1~）＞g（1﹣1+x~1~）⇔g（2﹣x~1~）＞g（x~1~）=g（x~2~）⇔2﹣x~1~＞x~2~，
即x~1~+x~2~＜2．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．
（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．
【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，
∴直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT为AB的中垂线，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT为CD的中垂线，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形"三合一"的性质．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）把曲线C~1~的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C~1~是圆，化为一般式，结合x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ化为极坐标方程；
（Ⅱ）化曲线C~2~、C~3~的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程，把C~1~与C~2~的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a^2^=0，则a值可求．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x^2^+（y﹣1）^2^=a^2^．
∴C~1~为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
化为一般式：x^2^+y^2^﹣2y+1﹣a^2^=0．①
由x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ，得ρ^2^﹣2ρsinθ+1﹣a^2^=0；
（Ⅱ）C~2~：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ^2^=4ρcosθ，
∴x^2^+y^2^=4x，②
即（x﹣2）^2^+y^2^=4．
由C~3~：θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，得y=2x，
∵曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，
∴y=2x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程，
①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a^2^=0，即为C~3~ ，
∴1﹣a^2^=0，
∴a=1（a＞0）．
【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集．
【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；
（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由\|f（x）\|＞1，可得
当x≤﹣1时，\|x﹣4\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x＜时，\|3x﹣2\|＞1，解得x＞1或x＜，
即有﹣1＜x＜或1＜x＜；
当x≥时，\|4﹣x\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．
综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．
则\|f（x）\|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．
【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第五单元《认识方程------字母表示数》同步检测2（附答案）**
一、省略乘号，写出下面各式。
ɑ×2.4=( ) b×ɑ×3=( )
5+2×ɑ=( ) 0.8×m×n=( )
12-ɑ×1.3=( ) ɑ×b +5.4=( )
二、填一填。
1.小欣有68元钱，为玉树灾区捐去ɑ元，还剩下 [ ]{.underline} 元。
2.一个长方形的面积是ɑ cm^2^，长是15cm，宽是 [ ]{.underline} cm。
3.爸爸和3名同事到上海参观世博园，每张门票x元，他们买门票一共付出 [ ]{.underline} 元。
4.小华今年ɑ岁，比妈妈小25岁，妈妈今年 [ ]{.underline} 岁。
三、火眼金睛。
1.x×y×4可写成xy4。( )
2.比5.4多ɑ的数是5.4＋ɑ。（ ）
3.我的体高是ɑ米，爸爸比我高b米，爸爸高ɑ＋b米。（ ）
四、看图填一填。
1.
每个箱子里有ɑ个球，一共有 [ ]{.underline} 个球。
2.小华有l0张海宝图片，送给小明x张，小华还剩 [ ]{.underline} 张。
3.每本相册里放有n张乐羊羊卡片，现有2本这样的相册，共有 [ ]{.underline} 张乐羊羊卡片。来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、把结果相同的两个式子连起来。
5×5 x×x 5×x
2x 5x 5^2^ x^2^
六、根据运算定律在□里填上适当的数或字母。
ɑ+(4.2+b)=（□ + □）+ □
ɑ·b·10=□·（□·□）
4x+5x=（□+□）□
七、摆图形。
南南用小正方形摆大正方形。
   ......
第1个 第2个 第3个
---------------- ------- ------- ------- -------
图形编号 第1个 第2个 第3个 第n个
所需正方形个数 4 9
---------------- ------- ------- ------- -------
八、用字母表示。
"神舟" 七号飞船于2008年9月25日21点10分04秒起飞，实行太空行走的航天员所穿的航天服体积庞大，地面质量约是下图中一袋大米的5倍，航天服的质量是多少千克？
九、从小明家到上海世博园有ɑ千米，小明乘客车以每小时70千米的速度从家出发，客车开出t小时后，离世博园还有多少千米？来源：www.bcjy123.com/tiku/
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
**参考答案**
一、2.4ɑ 3bɑ 5＋2ɑ 0.8mn 12－1.3ɑ ɑb＋5.4
二、1.(68－ɑ)
2\. ɑ÷l5
3.4x
4.( ɑ＋25)
三、1.× 2.√ 3.√
四、1.3ɑ
2.10－x
3.2n
五、
六、ɑ 4.2 b，ɑ b 10， 4 5 x
七、
------- ------------
第3个 第n个
16 （n+1）^2^
------- ------------
八、5ɑ
九、n －70t
| 1 | |
**清新 轻松 亲和\
------2008年"基本能力测试"试卷总体印像**
随着2008年高考的顺利结束，作为山东省亮点与特色的高考科目的"基本能力测试"的新一份试卷再次呈现于我省的广大考生与社会公众面前。在我省新近大力推进全面素质教育的背景之下，承载着引导中学开足开齐新课改课程、引导考生掌握最基本的科技人文与艺术素养、引导考生在知情意等方面获得全面发展的特殊使命的这一新高考科目，如何发挥好它作为推进素质教育的助推器的作用，显得格外引人注目。该科目涉及高中新课程的技术、体育与健康、艺术、综合实践、人文与社会、科学等六个学习领域，如果处理不当使考生走上死记硬背的路子，必将使其成为考生面对高考时的"不可承受之重"。我们去年曾怀着忐忑不安的心情等待着其神秘面纱的揭开，此后又带着并未完全消除的疑虑期待着它的第二份试卷面世。这份以"清新、轻松、亲和"为总体风格的"基本能力测试"高考新卷，再次表明我们那种关于它会大大加重考生负担的忧心完全是多虑了。\
"清新"体现为试卷与去年的"基本能力测试"试题相比、与各地的模拟试卷相比、与各种复习资料相比、与其他省份的综合性考试相比让人有耳目一新的感觉。它主要表现为：一是总体立意清新。试卷以"爱"为总主题，从爱自然、爱生活、爱科学，到爱蓝天、爱大地、爱祖国、爱祖国文化，自始到终，一以贯之；又以传统文化的天地人为"三材"、人居天地之间而为万物之灵的思想作为第Ⅱ卷总体布局的基础，体现了深厚的人文关怀与深情的生命关爱。二是试卷结构清新。如第Ⅰ卷将去年包括人文艺术、生活中的科技、体育与健康三个题组15小题的成例变脸为五个题组30小题，新增了综合性、跨学习领域的"走进大自然，走到阳光下，和阳光对话，感受光明、温暖、向上和力量"与"时间是生命的载体，理想是人生的航向，意志是成功的风帆，合作是共赢的保障"2个题组作为开篇，给人以积极向上之感。三是选用素材清新。试卷选用了阳光体育运动、耕地保护、建设中华民族共有精神家园、建设社会主义新农村、奥运圣火传递成功登顶珠峰、月球探测卫星"嫦娥1号"、汶川地震发生后国人献爱心等富有时代气息的素材。四是设题创意清新。采用了模拟组织听证会、概括关键词等形式。\
"轻松"就是要体现"基本能力测试"考查最基本的能力、最基本的素养的定位。为了使这一排在考试日程最后的高考科目成为考生所喜爱的"甜点"，可以看出命题者在使之成为考生"轻松"面对的试卷上作出了很大的努力：一是控制试卷的篇幅，努力将其控制在中等以上考生在两个小时内顺利阅读、做完的范围。虽然第Ⅰ卷按今年考试说明的要求增加了15小题，全卷总题量也从去年的54小题增加到65小题，但试卷篇幅仍控制在12页之内。二是控制试题的难度。从考生作答的情况来看，估计今年试题的难度仍将保持在去年的水平上。三是凸显能力立意，避免将纯识记类知识作为考查的内容。考生完全可以不必凭借考前的专门备考而是靠平日的积累、靠基本素养应考。\
"亲和"就是要走进考生的学习、走进考生的生活、走进考生的心灵，响应考生的情感诉求，追随考生的心灵跃动，把以人为本体现在试题设计上。一是试题设计注意选取考生所熟悉的素材。如第59小题以取材于《青花瓷》的"素坯勾勒出青花笔锋浓转淡"、"色白花青的锦鲤跃然于碗底"歌词引出青花瓷的特点，第59小题以"在2006年1月全国少儿畅销书排行榜上，哈里·波特系列的6部作品分别占据前三甲及第五、七、八的位置"引出民族文化创新，所用素材都是考生熟悉的。二是试题设计注意创设考生所熟悉的场景。如第37小题"以光明中学组织地理夏令营活动，来到了我省某山区"引出对绘画技法、夏令营选址与垃圾分类的考查。三是注意试卷的审美性、抒情性，注意以情动人。试卷中在保证试题的严谨规范的前提下，选择了一些足以引起考生情感共鸣的诗句、歌词，这种审美性、抒情性的追求无疑会大大增加试卷的亲和力。这些美文如以温家宝总理《仰望星空》一诗中的"我仰望星空，它是那样寥廓而深邃；那无穷的真理，让我苦苦地求索、追随"引出天空主题；以诗人艾青"为什么我的眼里常含泪水？因为我对这土地爱得深沉"的诗句引出地球主题；以裴多芬的"我是你的，我的祖国！都是你的，我的这心、这灵魂" 的诗句引出爱国主题；以"七色光，七色光，太阳的光彩，我们带着七彩梦走向未来"的歌词引出考查可以观察到"红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫"七色光的光学元件；以"阳光想渗透所有的语言，春天把美好的故事传说"的歌词引出考查"阳光"丰富的象征意义；以"血脉能创造奇迹，你一丝希望是我全部的动力"的歌词引出考查四川汶川地震发生后国人为了挽救受灾同胞的生命加入无偿献血的行列；以"一九九二年又是一个春天，有一位老人在中国的南海边发表诗篇" 的歌词引出考查邓小平的"南巡讲话"；以现代奥运会创始人顾拜旦的名言"啊，体育，你像高山之巅出现的晨曦"引出赞美四个不同体育项目的"奔逸绝尘"、"力拔山兮"、"灵若猿猴"、"百步穿杨"等词语。试卷还引用了"死去元知万事空，但悲不见九州同"、"四万万人齐下泪，天涯何处是神州"、"叹长河之流速，送驰波于东海"等传统文化中的名言警句，作为命题素材，充分展示了传统文化的活力与魅力。\
我们希望"基本能力测试"的这种"清新、轻松、亲和"的命题风格能保持下去，或许它是这一新高考科目的魅力与生命力之所在。
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**2020年广西北部湾经济区初中学业水平考试**
**数学**
**(考试时间:120分钟 满分:120分)**
注意事项:
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效.
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3.不能使用计算器.考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回.
**第I卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2\. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3\. 2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学"空中课堂"是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎.其中某节数学课的点击观看次数约次，则数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4\. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5\. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．检测长征运载火箭的零部件质量情况 B．了解全国中小学生课外阅读情况
C．调查某批次汽车的抗撞击能力 D．检测某城市的空气质量
6\. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7\. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8\. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ）
A． B． C． D．
9\. 如图，在中，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点则的长为（ ）
A． B． C． D．
10\. 甲、乙两地相距提速前动车的速度为提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11\. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载:今有开门去阃(读门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）
 
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
12\. 如图，点是直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
**第II卷**
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13\. 如图，在数轴上表示的的取值范围是\_ [ ]{.underline} ．
14\. 计算: [ ]{.underline} ．
15\. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
------------------------------------------ -- -- -- -- -- --
射击次数
"射中环以上"的次数
"射中环以上"的频率(结果保留小数点后两位)
------------------------------------------ -- -- -- -- -- --
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时"射中9环以上"的概率是 [ ]{.underline} (结果保留小数点后一位).
16\. 如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是\_\_ [ ]{.underline} ．
17.以原点为中心，把点逆时针旋转得到点则点的坐标为\_\_\_ [ ]{.underline} ．
18.如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为\_\_ [ ]{.underline} ．
**三、解答题(本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)**
19\. 计算:.
20.先化简，再求值:，其中.
21.如图，点在一条直线上，.
求证:；
连接，求证:四边形是平行四边形.
22.小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取份答卷，并统计成绩(成绩得分用表示，单位:分)，收集数据如下:
整理数据:
-- -- -- --
-- -- -- --
分析数据:
-------- -------- ------
平均分 中位数 众数
-------- -------- ------
根据以上信息，解答下列问题:
直接写出上述表格中的值；
该校有名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于分的人数是多少？
请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义.
23.如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行.
渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号) ？
渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
24.倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知台型机器人和台型机器人同时工作共分拣垃圾吨，台型机器人和台型机器人同时工作共分拣垃圾吨.
台型机器人和台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨.设购买型机器人台，型机器人台，请用含的代数式表示；
机器人公司的报价如下表:
------ --------- ---------------- ------------------
型号 原价 购买数量少于台 购买数量不少于台
型 万元/台 原价购买 打九折
型 万元/台 原价购买 打八折
------ --------- ---------------- ------------------
在的条件下，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少？请说明理由.
25.如图，在中，以为直径的交于点连接且连接并延长交的延长线于点与相切于点.
求证:是的切线:
连接交于点，求证:；
若，求的值.
26.如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点点是直线上的动点，过点作于点点的坐标为连接.设点的纵坐标为的面积为.
当时，请直接写出点的坐标；
关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；
在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由.
**2020年广西北部湾经济区六市同城中考数学试卷简明答案**
**一、选择题**
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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**二、填空题**
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13 14 15 16 17 18
---- ---- ---- ---- ---- ----
12、\[解析\]设点，则为点为，
则为
两边同时平方，得
18、\[解析\]方法一: 连接易证:
得
则
四点共圆
为的外接圆
易求半径
得
从而点的路径长为
\[此题还有特殊值法等多种技巧\]
**三、解答题**
19\. \[答案\]解:原式
20\. \[答案\]解:原式
当时，原式
21\. \[答案\]证明:
即
证明:
四边形是平行四边形
22.\[答案\]
(人)
众数:在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多.
23\. \[答案\]
从点作垂线交于点.
因为垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求.
易求:
在中，
易证
答:从处沿南偏东出发，最短行程
24.\[答案\]
解:设台每小时分拣吨，台每小时分拣吨，依题意得:
解得
依题意得:
与是一次函数的关系，
当时，
当时，
当时，
综上，购买台，台，费用最少
25.\[答案\]证明:为直径
又
为的切线
连为圆的切线
又
弧弧
又
在中，
设:，
故
且
即
26\. \[答案\]
依题有，当时，
故
得
当时，达到最大值，
则
代入得，
解得
若为的直角顶点，则
此时的方程为，
令得
，
此时
若为的直角顶点，过作垂线交于
则
在中，由勾股定理得
即
解得:或
此时或；
或
当为的直角顶点，此种情况不存在，当在上方时为锐角，
当在下方时，为钝角，故不存在
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第13课《数学竞赛试题选讲》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第十五讲 数学竞赛习题解答
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{width="0.3333333333333333in" height="0.3472222222222222in"}**2020年天水市初中毕业与升学学业考试（中考）试卷**
**数学**
**A卷（100分）**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）**
1.下列四个实数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与"伏"字所在面相对面上的汉字是（ ）
{width="1.3736111111111111in" height="1.0090277777777779in"}
A.文 B.羲 C.弘 D.化
4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A.40，42 B.42，43 C.42，42 D.42，41
5.如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
{width="1.6748195538057742in" height="1.1638035870516186in"}
A. B. C. D.
6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A.{width="0.9131944444444444in" height="0.9041666666666667in"} B.{width="0.8520833333333333in" height="0.8520833333333333in"} C.{width="0.8784722222222222in" height="0.8784722222222222in"} D.{width="0.84375in" height="0.8958333333333334in"}
7.若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
{width="1.461111111111111in" height="1.3479166666666667in"}
A.{width="1.2400360892388451in" height="1.1730238407699038in"} B.{width="1.2084273840769904in" height="1.121738845144357in"} C.{width="1.2361800087489063in" height="1.1913035870516187in"} D.{width="1.240923009623797in" height="1.2260870516185476in"}
8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
{width="1.937775590551181in" height="1.2521741032370954in"}
A. B. C. D.
9.若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.观察等式：；；；...已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.只要求填写最后结果）**
11.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为\_\_\_\_\_\_\_.
13.已知函数，则自变量的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.已知，，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.3736111111111111in" height="1.35625in"}
16.如图所示，若用半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.582638888888889in" height="1.6347222222222222in"}
17.如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.8958333333333333in" height="1.538888888888889in"}
18.如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到.若，则的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.6868055555555554in" height="1.2090277777777778in"}
**三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）**
19.（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.
请结合图中的信息，解决下列问题：
{width="5.217361111111111in" height="1.7215277777777778in"}
（1）此次调查中接受调查的人数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中"满意"部分的圆心角为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为"不满意"的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为"一男一女"的概率.
21.如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4.
{width="2.0694444444444446in" height="1.538888888888889in"}
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标.
**B卷（50分）**
**四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）**
22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上.
{width="3.252083333333333in" height="1.0611111111111111in"}
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，）
23.如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、.
{width="2.252083333333333in" height="1.4694444444444446in"}
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）.
24.性质探究
如图（1），在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="2.0in" height="1.1388888888888888in"}
理解运用
（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）如图（2），在四边形中，.在边，上分别取中点，连接.若，，求线段的长.
{width="2.0868055555555554in" height="1.15625in"}
类比拓展
顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用含的式子表示）
25.天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同.商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元.
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）"五一"期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
26.如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线.点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，.
{width="2.005657261592301in" height="1.4260870516185478in"}
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的面积等于的面积的时，求的值；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
**参考答案**
**A卷（100分）**
**一、选择题**
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A
**二、填空题**
11\. 12.13 13.且 14.1
15\. 16. 17. 18.2
**三、解答题**
19.解：（1）解：原式
（2）解：原式
当时，原式
20.解：（1）（人）
（2）（图略）
（3）
（4）{width="3.061111111111111in" height="1.2520833333333334in"}
21.解：（1）由题意得：
∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；当时，，解得
（2）或
（3）∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点.
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为.
即点的坐标为.
（该题还有其它解法，只要合理，即可给分）
**B卷（50分）**
**四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）**
22.解：（1）作交的延长线于点
则，
∴
（2）设海里，则海里
海里
在中，∴
解得：.
∴海监船继续向正东方向航行安全.
23.解：（1）与相切.理由如下：
连接，∵平分，∴
又∵，∴
∴∴∴
又∵为的半径，
∴与相切.
（该题还有其它证法，按正确解答给分即可）.
（2）设的半径为，则，，
由（1）知，在中，，
即.解得.
∵∴.
∴
24.解：性质探究（或）
解法提示：过点作于点，
∵是等腰三角形，
∴，，
∴
∴
理解运用（1）
（2）解：∵，
∴
又∵，
∴
连接，∵
∴为顶角为的等腰三角形
∴.
∵、分别为、的中点，
∴为的中位线
∴.
类比拓展
（或）
25.解：（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元.
依题意得，解得，
经检验是原方程的解且符合题意
当时，.
答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，
依题意得
解得，
∵为整数∴.
∴该商店有5种进货方案；
（3）设销售、两种商品总获利元，
则.
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，∴当时，获利最大，
即在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大.
26.解：（1）由题意得，解得
故抛物线的函数表达式为
（2）过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点.
∵点的坐标为，∴
∵点的坐标为∴
∴
∴
当时，，
解得，.∴
设直线的函数表达式为
则，解得，
∴直线的函数表达式为.
则点的坐标为，点的坐标为，
∴
∵点的坐标为，∴.
∴
.
则有
解得（不合题意，舍去），.
∴的值为3.
（该题还有其它解法，按正确解答给分即可）
（3）存在，点的坐标为，，，
解法提示：在中，
当时，，∴.
分三种情况讨论：
①当为对角线时，如图（1），
{width="1.84375in" height="1.4868055555555555in"}
易知点与点关于直线对称.
∴，，∴，
又∵，∴
②当为对角线时，如图（2），
{width="1.8347222222222221in" height="1.5041666666666667in"}
，，∴.
又∵，∴
③当为对角线时，∵，易知点的纵坐标为.
将代入中，得，
解得，.
当时，点的位置如图（3）所示，则
{width="1.617361111111111in" height="1.582638888888889in"}
分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，易证.
∵，∴，
又∵，∴
当时，点的位置如图（4）所示，则.
{width="1.61500656167979in" height="1.411486220472441in"}
同理易得点的坐标为
综上所述，点的坐标为，，，.
| 1 | |
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.复数的虚部是（ ）
A B. C. D.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A. B.
C. D.
4.*Logistic*模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的*Logistic*模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.设*O*为坐标原点，直线*x*=2与抛物线*C*：*y*^2^=2*px*(*p*\>0)交于*D*，*E*两点，若*OD*⊥*OE*，则*C*的焦点坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）
6.已知向量***a***，***b***满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则cos*B*=（ ）
A. B. C. D.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
9.已知2tan*θ*--tan(*θ*+)=7，则tan*θ*=（ ）
A --2 B. --1 C. 1 D. 2
10.若直线*l*与曲线*y*=和*x*^2^+*y*^2^=都相切，则*l*的方程为（ ）
A. *y*=2*x*+1 B. *y*=2*x*+ C. *y*=*x*+1 D. *y*=*x*+
11.设双曲线*C*：（*a*\>0，*b*\>0）的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，离心率为．*P*是*C*上一点，且*F*~1~*P*⊥*F*~2~*P*．若△*PF*~1~*F*~2~的面积为4，则*a*=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12.已知5^5^\<8^4^，13^4^\<8^5^．设*a*=log~5~3，*b*=log~8~5，*c*=log~13~8，则（ ）
A *a*\<*b*\<*c* B. *b*\<*a*\<*c* C. *b*\<*c*\<*a* D. *c*\<*a*\<*b*
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件 ，则*z*=3*x*+2*y*的最大值为*\_\_\_\_\_\_\_\_\_*．
14.的展开式中常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）．
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.关于函数*f*（*x*）=有如下四个命题：
①*f*（*x*）的图像关于*y*轴对称．
②*f*（*x*）的图像关于原点对称．
③*f*（*x*）图像关于直线*x*=对称．
④*f*（*x*）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设数列{*a~n~*}满足*a*~1~=3，．
（1）计算*a*~2~，*a*~3~，猜想{*a~n~*}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2*^n^a~n~*}的前*n*项和*S~n~*．
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | (200，400\] | (400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
-------------- ---------- -----------
附：，
----------------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----------------- ------- ------- --------
19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
21.设函数，曲线在点(，*f*())处的切线与*y*轴垂直．
（1）求*b*．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22.在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*t*为参数且*t*≠1），*C*与坐标轴交于*A*、*B*两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程．
**\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）**
23.设*a*，*b*，*cR*，*a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中的最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
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**行程问题（一）**
路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：
**路程=时间×速度，**
**时间=路程÷速度，**
**速度=路程÷时间。**
这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。
** 例1** 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车？
** 分析与解**：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。由"路程=时间×速度"可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。
故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。
** 例2**骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
** 分析与解**：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。
假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是
20÷（15-10）=4（时）。
由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是
15×4=60（千米）。
要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为
60÷（12-7）=12（千米/时）。
** 例3** 划船比赛前讨论了两个比赛方案。第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。这两个方案哪个好？
** 分析与解**：路程一定时，速度越快，所用时间越短。在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。其中，甲段+乙段=丙段。
在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。
综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。
** 例4** 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返共用3.9时。问：小明往返一趟共行了多少千米？
** 分析与解**：因为上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的时间，则可以求出上山及下山的总路程。
因为上山、下山各走1千米共需
所以上山、下山的总路程为
在行程问题中，还有一个平均速度的概念：**平均速度=总路程÷总时间。**
例如，例4中上山与下山的平均速度是
** 例5**一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？
** 解：**设等边三角形的边长为l厘米，则蚂蚁爬行一周需要的时间为
蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行
在行程问题中有一类"流水行船"问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系：
**顺流速度=静水速度+水流速度，**
**逆流速度=静水速度-水流速度，**
**静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2，**
**水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。**
此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。
** 例6** 两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。求这条河的水流速度。
** 解：**水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
=（418÷11-418÷19）÷2
=（38-22）÷2
=8（千米/时）
答：这条河的水流速度为8千米/时。
**练习24**
1.小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。求往返都骑车需要多少时间。
2.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5时。问：他步行了多远？
3.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。
4.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？
5.汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。
6.两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，逆流需20时，求水流的速度。
> 7.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需要8时，水流速度为2.5千米/时，求轮船在静水中的速度。
**行程问题（二）**
本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为：
相遇问题：
追击问题：
在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。
** 例1**甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
** 分析与解**：先画示意图如下：
图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。
这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是 （40+60）×2=200（千米）。
** 例2**小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
** 分析与解**：因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），
所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。
** 例3**小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。
** 分析与解**：
在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒），
从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。
** 例4** 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。
** 分析与解**
与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为
速度差×追及时间
= \[（56000-20000）÷3600\]×37
= 370（米）。
** 例5**如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？
** 分析与解**：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需
300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需
** 例6** 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？
** 分析与解**：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）：
（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；
（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。
由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑
也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×\[30÷（21-16）\]=126（米）。
**练习25**
1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？
2.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
3.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？
4.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
5.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？
6.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？
7.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。兔子跑出多远将被猎狗追上？
**行程问题（三）**
在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。
** 例1** 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？
** 分析与解**：如左下图所示，出发12分钟后，甲由A点到达B点，乙由O点到达C点，且OB=OC。如果乙改为向南走，那么这个条件相当于"两人相距1800米，12分钟相遇"的相遇问题，所以每分钟两人一共行1800÷12=150（米）。
如右上图所示，出发75分钟后，甲由A点到达E点，乙由O点到达F点，且OE=OF。如果乙改为向北走，那么这个条件相当于"两人相距1800米，75分钟后甲追上乙"的追及问题，所以每分钟两人行走的路程差是1800÷75=24（米）。
再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）÷2=63（米），
出发后75分钟距十字路口63×75=4725（米）。
** 例2** 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？
** 分析与解**：如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟。
由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；
小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）；
在这2.5时中，小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）。
由例1、例2看出，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题，可以达到化难为易的目的。
** 例3** 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？
** 分析与解**：这是一道数量关系非常隐蔽的难题，有很多种解法，但大多数解法复杂且不易理解。为了搞清各数量之间的关系，我们对题目条件做适当变形。
假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于\[7，9\]=63。这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，则发车的时间间隔为
 **例4** 甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了多少次？
** 分析与解**：甲游一个单程需30÷1=30（秒），乙游一个单程需30÷0.6=50（秒）。甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实折线与虚折线的交点表示相遇点。
以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第1分钟内，从图中看出两人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。
例4用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。
** 例5**甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
** 分析与解**：本题的难点在于上山与下山的速度不同，如果能在不改变题意的前提下，变成上山与下山的速度相同，那么问题就可能变得容易些。
如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中"甲回到山脚时
 
山顶的距离是
**练习26**
1.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？
2.红星小学组织学生排成队步行去郊游，步行的速度是1米/秒，队尾的王老师以2.5米/秒的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度。
3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离。
4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机："后面有骑自行车的人吗？"司机回答："10分钟前我超过一个骑自行车的人。"这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？
5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？
6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。问：工人与农民何时相遇？
7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；每小时行5千米，她就早到车站12分钟。小红家离火车站多少千米？
**练习24**
1.30分。
提示：骑车比步行单程少用70-50=20（分）。
2.15千米。
解：设他步行了x千米，则有x÷5+（60-x）÷18=5.5。
解得x=15（千米）。
3.10米/秒；200米。
解：设火车长为x米。根据火车的速度得（1000+x）÷120=（1000-x）÷80。
解得x=200（米），火车速度为（1000+200）÷120=10（米/秒）。
4.2时15分。
解：上山用了60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5......30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）。因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180÷1.5=120（分）。由120÷30=40知，下山途中休息了3次，所以下山共用120+5×3=135（分）=2时15分。
5.57.6千米/时。
6.3千米/时。
解：（480÷16-480÷20）÷2=3（千米/时）。
7.17.5千米/时。
解：设两码头之间的距离为x千米。由水流速度得
解得x=120（千米）。所以轮船在静水中的速度为120÷6-2.5=17.5（千米/时）。
**练习25**
1.60米。
解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。
2.176千米。
3.2196米。
解：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），
推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）。
4.8秒。
提示：快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，
（秒）。
5.10000米。
解：出发后10分钟两人相距（250-100）×10=1500（米）。
米，需要
乙从出发共行了100分钟，所以A，B两地相距100×100=10000（米）。
6.104分。
解：甲追上乙一条边（400米）需400÷（50-46）=100（分），
此时甲走了50×100=5000（米），位于某条边的中点，再走200米到达前面的顶点还需4分，所以出发后100+4=104（分），两人第一次在同一边上行走。
7.280米。
解：狗跑3×3=9（米）的时间兔子跑2.1×4=8.4（米），狗追上兔子时兔子跑了8.4×\[20÷（9-8.4）\]=280（米）。
**练习26**
1.60千米。
解：两人相遇时甲比乙多走30千米，此时已走了30÷6=5（时），是下午1点。说明甲每小时走15千米，所以东、西两村相距15×（12-8）=60
2.630米。
3.780米。
解：设甲每分钟走x米。由A，B两地距离可得（x+50）×6=（x-50）×26。
解得x=80（米）。所以A，B两地距离为（80+50）×6=780（米）。
4.7倍。
提示：汽车与自行车的速度差等于自行车与行人的速度和，以行人的速度为1，则自行车的速度为3，汽车的速度为3×2+1=7。
5.18千米/时；9分。
提示：与例3类似，由\[7.2，12\]=36，假设此人向前走36分钟，再向回走36分钟，共遇到同方向的车36÷7.2+36÷12=8（辆），
两车间隔（36+36）÷8=9（分）。电车速度为4.5×\[7.2÷（9-7.2）\]=18（千米/时）。
6.8点30分。
解：火车每分钟行30×1000÷60=500（米），
工人每分钟行
农民每分钟行
8点时工人与农民相距（500+50）×6=3300（米），两人相遇还需3300÷（60+50）=30（分），即8点30分两人相遇。
7.9千米。
解：设小红出发时离火车开还有x时。由到车站的距离可列方程
解得x=2（时）。所以小红家距车站4×2+1=9（千米）。
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**北师大版小学三年级下册数学第四单元《面积》单元测试4（附答案）**一、快乐小帮手。(16分)
1．常用的面积单位有( )、( )、( )，测量土地面积时，常常使用的更大的面积单位是( )、( )。
2．边长是( )的正方形，面积是1平方千米。
3．边长是100米的正方形土地，它的面积是( )平方米，合( )公顷。
4．一个长方形和一个正方形的周长相等，长方形长40分米，宽20分米，长方形的面积是( )，正方形的面积是( )。
5．在括号里填上合适的单位名称。
体育场的面积是3( )。
课桌长8( )。
一张报纸的面积大约是44( )。
一个果园占地约12( )。
台湾是我国第一大岛，面积约是35800( )。
6．用36厘米长的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。(6分)
三、小法官巧新案。(对的打"√"，错的打"×")(10分)
1．物体的表面或图形的大小就是它们的面积。( )
2．4平方米＝40平方分米 ( )
3．8个1平方厘米的正方形，无论拼成什么样的图形，它的面积都是8平方厘米。( )
4．正方形的边长扩大为原来的2倍，面积也扩大为原来的2倍。 ( )
5．当一个图形的周长和面积相等时，可以用同一个计量单位。 ( )
四、精挑细选。(将正确答案的序号填在括号里)(8分)
1．比较两个图形面积的大小，要用统一的( )来比较。
A．长度单位 B．质量单位 C．面积单位
2．测量文具盒表面的面积，用( )面积单位比较合适。
A.平方厘米 B．平方分米 C．平方米
3．一块长方形稻田的长是48米，宽比长短13米，这块长方形稻田的面积是( )。
A．1650平方米 B．1680平方米 C．624平方米
4．用12个1平方厘米的正方形拼成一个长方形，一共有( )种不同的拼法。
A．1 B．2 C．3
五、写出下面各图形的面积。(每个小方格的面积是1cm²)(6分)
图A的面积是( )，图B的面积是( )，面积较大的是( )。
六、连一连。(10分)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、求出下面各图形的面积。（18分）
1.
2.
八、解决问题。(26分)
1．为庆祝"建国60周年"，王奶奶特制作了一幅刺绣作品。这幅刺绣作品的面积是多大？(8分)
2．一个正方形花坛的边长是20米，花坛的面积是多少？如果在花坛的四周围上篱笆，篱笆的长度是多少分米？(8分)
3．教室前面的墙长6米，宽3米，墙上有一块黑板面积是3平方米，现在要粉刷这面墙壁，要粉刷的面积是多少平方分米？(10分)
附加题。(10分)
一个长方形，它的宽增加4厘米，面积就增加28平方厘米，正好变成一个正方形，原来的长方形的面积是多少？
参考答案
一、1．平方米 平方分米 平方厘米 公顷 平方千米
2．1000米(或1千米)
3．10000 1
4．800平方分米 900平方分米
5．公顷 分米 平方分米 公顷 平方千米
6．81
二、＜ ＞ ＝ ＜ ＜ ＜
三、1．× 2．× 3．√ 4．× 5．×
四、1．C 2．A 3．B 4．C
五、26 cm² 22 cm² A
六、略
七、1．35×18＝630(cm²)
2．5×5＋11×2＝47(dm²)
八、1．21×14＝294(平方分米)
2．20×20＝400(平方米)
20×4＝80(米)
80米＝800分米
3．6×3－3＝15(平方米)
15平方米＝1500平方分米
附加题：28÷4＝7(厘米)
7－4＝3(厘米)
7×3＝21(平方厘米)
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**继承发展，稳定提高，强化素质**\
**\-\-\--2008年山东省高考数学试题评析**
2008年山东省高考数学试题包括文理试卷各一份。两份试卷均以新课程标准和2008年山东省考试说明为依据，结构与2007年相比基本保持稳定。试卷针对我省各地使用不同版本教材的实际情况，结合中学数学在思想方法和能力等方面的要求，贯彻新课程的理念和2008年山东考试说明的精神。试题立意朴实又不失新颖，选材寓于教材而又高于教材，很好的考查了考生继续学习所必须的数学素养和潜能，着重考查考生对数学本质的理解，宽角度、多视点、有层次地考查了数学理性思维。试卷结构稳定，知识覆盖面广，重点突出，稳中有新，稳中有变。尤其是对新课程中新增知识和传统内容有机结合，考查也更加科学和深化。试卷难易比例恰当，具有较高的信度和效度及有效的区分度。有利于高校人才的选拔，有利于中学数学教学改革，有助于"素质教育"的 深入实施。达到了考能力、考基础、考素质、考潜能的考试目的。\
一、体现新课程标准的理念，发挥试题的导向作用\
2008年山东省数学试题围绕着新课程标准中的内容主线、核心能力、改革理念进行命题。试题兼顾到各地不同版本的教材，关注必修和选修的比例以及文理科的差异，有利于推进课程改革和素质教育的深入实施。例如理科卷的第(6)(7)(8)(14)(18)题,文科的第(6)(9)(14)(18)题。对三视图、算法框图、茎叶图以及统计等新增内容进行了充分的考查，尤其是理科第（7）（18）和文科第（18）题均以奥运为背景，在考查新增的统计知识的基础上，使试题更具时代感。而理科的第（8）题更是以详实、客观的数据和资料考查了茎叶图等新增内容，充分体现了试题的山东特色。两份试卷在充分关注新增内容的同时，对传统内容的考查也作了适度的创新。例如理科第（19）题和文科第（20）题，改革了传统数列呈现形式，充分考查了考生采集和处理信息的能力，体现了新课程标准的理念。\
二、倡导通性通法，全面综合地考查基础知识\
2008年山东高考数学试卷全面考查了考试说明中要求的内容，对于教材中各部分都有所涉及。如复数、旋转体、简易逻辑和新增内容不等式选讲等内容，试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、不等式、直线和平面、圆锥曲线等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是两份试卷的解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识，层次要求恰当，淡化技巧，多数试题既有常规常法，同时在知识的应用上又有一定的灵活性。部分试题在考查的题型、情景设置、设问方式等方面也体现了稳中有变的设计思路。例如理科第（19）（20）（21）题，文科第（20）（22）题，从设问方式和背景设置都有独到新颖之处，而解答过程更是注重通性通法，没有偏题怪题。部分试题设计了一题多解,给不同层次的考生更多的展示思维的空间。例如理科第（18）（22）题和文科第（18）（19）（22）题。教材丰富的内涵仍然是2008年我省编制高考数学试题的源泉。例如理科第（1）（5）（9）（10）（13）题，直接考查数学概念和相关定理，尽管改变外在的形式，并未改变原来的思想意图。综合性试题以知识网络的交汇点为设计起点和着力点，力图实现全面考查数学基础和数学素养的目标。例如文、理科的第（21）题，考查函数的导数概念、求导的技能和导数的应用。利用导数的工具研究函数的性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学和高等数学一个很好的衔接点，该题解法中应用到函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想都是考试说明要求较高的思想方法，达到了知识内容考查和思想方法考查相结合的目的。\
三、突出理性思维和思想方法的考查，有效区分不同思维层次的考生\
数学思想方法是对数学知识的最高层次的提炼和概括，是高考考查的核心。2008年山东高考数学试题突出考查思想方法，数形结合的思想方法是试卷考查的一大重点，如理科第（3）（4）（6）（12）（20）（22）题和文科第（3）（6）（12）（19）（22）题；方程的思想是试题重点考查的对象，如文、理科的解析几何题中的曲线方程及韦达定理的应用都是方程思想的最佳体现，又如文、理科的函数题在求导后判断单调性和极值点时都用到了方程的思想；分类讨论的思想方法在高考中常考不衰，山东省2008年高考试卷中体现的尤为明显，如文科第（20）（21（22）题和理科第（19）（21）（22）题等。试卷还很好的注意到了研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的数学方法，创设多条的解题途径，有效区分不同层次的考生，如理科立体几何题的解答，设置了传统解法和向量解法相结合思路。\
四、科学、公平、辩证的考查数学应用，体现数学应用的时代性和山东特色\
2008年山东高考数学试卷科学、公平、辩证地考查了考生灵活应用数学知识解决实际问题的能力。理科有背景的题目有第（7）（8）（18）题，共计22分，占总分的14%，文科有第（9）（18）题，共计17分，占总分的11%，其中理科第（7）（18）题和文科第（18）题均选择了奥运背景设计问题，充分体现了试题的时代性，同时这些题目背景公平，切合实际，表达简捷准确。尤其是理科第（8）题以客观、自然、与现实生活密切相关的背景，考查了数学知识的应用。体现试卷的山东特色，对高中数学教学有良好的导向作用，有助于素质教育的深入实施。随着课程改革和素质教育的深入实施，数学知识和方法的应用，越来越体现出广泛性和灵活性。如何在过去已有经验的基础上推陈出新，开拓出更加开阔的设计思路，更加多样的试题呈现形式是值得研究的问题。\
五、试题难度适中，层次分明，有助于素质教育的深入实施\
2008年山东高考数学两份试卷难度适中，层次分明，充分体现文、理科考生的特点，适合山东考生的实际情况，有助于素质教育的深入实施。试卷在三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进。试卷的入口题和每种题型的入口题较好的把握了难度，对稳定考生的心态、正常发挥水平有较好的作用。试卷对较难的解答题利用分步给分的设计方法，在化解难度的同时，又合理区分不同层次的考生。试卷很好的控制了较难题的比例，较难题基本集中在每种题型的最后两题，共计26分占全卷的17%。这种多题把关的方法，既很好控制了难度，又正常发挥了考试的选拔功能。另外试卷还根据文、理科考生的不同实际情况，突出共性，反映个性。两卷分合明显，体现层次差别，切合中学实际。\
总之，2008年山东高考数学文、理两份试卷，实现了较理想的难度、信度、区分度和效度。是既有利于高校选拔人才，又有利于高中数学教学，更有助于素质教育的深入实施的好试卷。
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**第二单元测试卷**
一、填一填。
1*.*一张可以换(* *)枚。
2*.*一张可以换(* *)张,也可以换(* *)张,还可以换(* *)张。
3*.*一张可以换(* *)张和(* *)张。
4*.*
5*.*
------------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
要买的物品   
付的钱   
应找回的钱 (* *)角 (* *)角 (* *)元
------------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
二、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)
1*.*一支钢笔的价钱大约是(* *)。
*①*8元* ②*8角* ③*8分
2*.*小华有8元3角,买用去8元,还剩(* *)。
*①*8元* * *②*8角* * *③*3角
3*.*一瓶墨水2元4角,一本练习本5角,买一瓶墨水和一本练习本要付(* *)。
*①*2元9角* * *②*7元4角* * *③*3元
三、解决问题。
1*.*
(1)录音机比书贵多少元?* *(2)小青买电话机找回8元,小青付了多少钱?
(3)淘气有70元,正好可以买哪两件物品?
2*.*
(1) 买玩具汽车和小熊,一共需要多少钱?* *
(2)买布娃娃和玩具汽车,付了100元,应找回多少钱?
(3)买积木应怎样付钱?
3*.*
(1)买一个小熊和一副七巧板,一共要多少元?
(2)布娃娃比排球贵多少元?
(3)小军买一只玩具猫,营业员找回3元,他付了多少元?
(4)丽丽用13元正好买了两种玩具,她可以买哪两种玩具?
第二单元测试卷答案
一、 1. 5 2. 2 10 5 3. 2 1或1 3
4\. 73 12 5 5. 7 5 30
二、 1. ① 2. ③ 3. ①
三、 1. (1)80元-9元=71元
(2)42元+8元=50元
(3)42元+28元=70元 电话机和遥控汽车。
2\. (1)42元7角+8元5角=51元2角
(2)35元+42元7角=77元7角
100元-77元7角=22元3角[http:///](http://www.xkb1.com/)
(3)(答案不唯一)方法1:10元+2元=12元
方法2:10元+1元+1元=12元
3\. (1)4元+9元=13元
(2)36元-6元=30元
(3)7元+3元=10元
(4)排球和玩具猫或者七巧板和玩具熊。
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**北师大版五年级（上）期末数学模拟试卷（4）**
**一、填空：（2题每空0.5分，其余每空1分，共36分）**
1．用分数表示下面的阴影部分．
2．[ ]{.underline}÷[ ]{.underline}==．
3．在1，3，7，8，15，17，24这些数中，质数有[ ]{.underline}，合数有[ ]{.underline}，奇数有[ ]{.underline}，
偶数有[ ]{.underline}．
4．一个三角形的底是3.6分米，高是4.8分米，与它等底等高的平行四边形面积是[ ]{.underline}，这个三角形的面积是[ ]{.underline}．
5．一个三角形的底是5厘米，高是底的2倍，那么它的面积是[ ]{.underline}．
6．50以内6的倍数有[ ]{.underline}；8的倍数有[ ]{.underline}；6和8的公倍数有[ ]{.underline}，其中最小的是[ ]{.underline}．
7．在横线上填上"＞、＜或="．
[ ]{.underline}；[ ]{.underline}；[ ]{.underline}；
2[ ]{.underline}2；[ ]{.underline}；[ ]{.underline}．
8．有[ ]{.underline}个；25个是[ ]{.underline}；24的是[ ]{.underline}；[ ]{.underline}米的是5米．
9．小明看一本书要8天，小强看同样的一本书要10天，二人都看了4天，小明看了全书的．小强则剩下全书的．
10．一个数的最大因数是12，这个数是[ ]{.underline}；一个数的最小倍数是18，这个数是[ ]{.underline}．
**二、判断题．（每题1分，共7分）**
11．把3米长的绳子平均分成7份，每份是全长的，长米．[ ]{.underline}．
12．两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．一根绳子用去米后，还剩下米．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．最简分数的分子和分母一定是互质数．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．一个数的因数个数是有限的，而它的倍数的个数是无限的．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．一个数的倍数一定比这个数的因数大．[ ]{.underline}．（判断对错）
17．是15的倍数的数，一定是3的倍数，也是5的倍数．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择题．（将序号选入括号内）（共14分）**
18．要使是真分数，是假分数，X的值应该是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．无法确定
19．比大而比小的真分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
20．已知A=2×3×5，那么A的全部因数的个数有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
21．要使2312是5的倍数，至少要加上（ ）
A．8 B．0 C．5 D．3
22．在捐款活动中，小刚捐了自己钱的，小强捐了自己钱的．小刚和小强（ ）
A．小刚捐得多 B．小强捐得多 C．捐得一样多 D．无法判断
23．在下面（ ）箱中任意摸一球，摸到红球的可能性是．
A． B． C．
24．下图平行四边形的面积计算正确的是（ ）
A．15×4 B．6×15 C．6×4 D．15×4÷2
**四、计算．（共计17分）**
25．
+-----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| 将下列各分数化成最简分数． | =[ ]{.underline} | =[ ]{.underline} |
| | | |
| =[ ]{.underline} | | |
+-----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------+
26．通分．
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
和 和 和
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
27．求下面各图形的面积．
**六、解决问题．（共计20分）**
28．商店运来一批蔬菜，黄瓜占总数的，西红柿占总数的，其它的是土豆，土豆占这批蔬菜的几分之几？
29．两只蚂蚁，相距175cm，大蚂蚁每秒钟爬行4cm，小蚂蚁每秒钟爬行3cm，请问经过几分钟后，两只蚂蚁会相遇？相遇时，两只蚂蚁分别爬行了多少米？
30．箱子里有同样数目的乒乓球和羽毛球，每次取出5个乒乓球、3个羽毛球，取了几次后乒乓球没了，羽毛球还剩6个？
31．商店运进一批水果，其中苹果占全部重量的，香蕉占全部重量的，其余是柑橘．
（1）运进的柑橘占全部重量的几分之几？
（2）三种水果中哪种水果最多，哪种最少？
**北师大版五年级（上）期末数学模拟试卷（4）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空：（2题每空0.5分，其余每空1分，共36分）**
1．用分数表示下面的阴影部分．
【考点】分数的意义、读写及分类；数轴的认识．
【分析】将单位"1"平均分成若干份，表示这样一份或几份的数为分数．据此对题目中的图形及数轴进行分析即可．
【解答】解：（1）图1，此五角星被平均分成5份，其中阴影部分为2份，则阴影部分占这个五角星的；
图2，此正方形被平均分成12份，其中阴影部分为7份，则阴影部分是这个正方形的；
图3，图中三个相同的正方形，其中一个被平均分成4份，阴影部分是这个正方形的，另外两个全部为阴影部分，则所有阴影部分是这三个正方形的2+=2．
如图：
（2）图中数轴每一大格被当做单位"1"平均分成6份，则每一小格是一大格的，代表的数值单位为，由此可知，数轴中的各点用分数表示为：
故答案为：，，；，，，，．
2．[ 5 ]{.underline}÷[ 9 ]{.underline}==．
【考点】分数的基本性质．
【分析】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，从而可以正确进行作答．
【解答】解：5÷9=；
；
；
=；
故答案为：5、9、20、45、180．
3．在1，3，7，8，15，17，24这些数中，质数有[ 3、7、17 ]{.underline}，合数有[ 8、15、24 ]{.underline}，奇数有[ 1、3、7、15、17 ]{.underline}，
偶数有[ 8、24 ]{.underline}．
【考点】合数与质数；奇数与偶数的初步认识．
【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义：在自然数中是2的倍数的数叫做偶数．在自然数中不是2的倍数的数叫做奇数，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答．
【解答】解：1，3，7，8，15，17，24这些数中，
质数有3、7、17，合数有8、15、24，
奇数有1、3、7、15、17，偶数有8、24；
故答案为：3、7、17，8、15、24，1、3、7、15、17，8、24．
4．一个三角形的底是3.6分米，高是4.8分米，与它等底等高的平行四边形面积是[ 17.28平方分米 ]{.underline}，这个三角形的面积是[ 8.64平方分米 ]{.underline}．
【考点】三角形的周长和面积；平行四边形的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式S=ah，把底3.6分米，高4.8分米代入公式，求出平行四边形的面积；
（2）根据三角形的面积公式S=ah÷2，把底3.6分米，高4.8分米代入公式，求出三角形的面积．
【解答】解：（1）3.6×4.8=17.28（平方分米）．
（2）3.6×4.8÷2=8.64（平方分米）．
答：与它等底等高的平行四边形面积是17.28平方分米，这个三角形的面积是8.64平方分米．
故答案为：17.28平方分米；8.64平方分米．
5．一个三角形的底是5厘米，高是底的2倍，那么它的面积是[ 25平方厘米 ]{.underline}．
【考点】三角形的周长和面积．
【分析】先用底×2计算出三角形的高，再根据三角形的面积=底×高÷2计算即可．
【解答】解：5×2×5÷2
=10×5÷2
=25（平方厘米）．
答：它的面积是25平方厘米．
故答案为：25平方厘米．
6．50以内6的倍数有[ 6，12，18，24，30，36，42，48 ]{.underline}；8的倍数有[ 8，16，24，32，40，48 ]{.underline}；6和8的公倍数有[ 24，48 ]{.underline}，其中最小的是[ 24 ]{.underline}．
【考点】找一个数的倍数的方法；公倍数和最小公倍数．
【分析】根据求一个的倍数的方法，进行列举即可．
【解答】解：（1）50以内6的倍数有6，12，18，24，30，36，42，48；8的倍数有8，16，24，32，40，48；
其中6和8的公倍数有24，48；最小的是24；
故答案依次为：6、12、18、24、30、36、42、48；8、16、24、32、40、48；24、48；24．
7．在横线上填上"＞、＜或="．
[ ＞ ]{.underline}；[ ＜ ]{.underline}；[ ＜ ]{.underline}；
2[ ＞ ]{.underline}2；[ ＞ ]{.underline}；[ = ]{.underline}．
【考点】分数大小的比较．
【分析】先进行通分，然后进行比较，进而得出结论．
【解答】解：①＞=，
②=＜=，
③＜，
④2=2＞2=2，
⑤=＞=，
⑥==；
故答案为：＞，＜，＜，＞，＞，=．
8．有[ 4 ]{.underline}个；25个是[ ]{.underline}[ ]{.underline}；24的是[ 9 ]{.underline}；[ 15 ]{.underline}米的是5米．
【考点】分数的意义、读写及分类；分数乘法；分数除法．
【分析】（1）求里面有几个，用除法计算；
（2）求25个是多少，用乘法计算；
（3）求24的是多少，即求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；
（4）求多少米的是5米，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算．
【解答】解：（1）=4；
（2）×25=；
（3）24×=9；
（4）5=5×3=15（米）．
故答案为：4，，9，15．
9．小明看一本书要8天，小强看同样的一本书要10天，二人都看了4天，小明看了全书的．小强则剩下全书的．
【考点】简单的工程问题．
【分析】用4除以8就是小明看了全书的几分之几，用4除以10求出小强看了全书的几分之几，再用1减，就是小强剩下全书的几分之几．据此解答．
【解答】解：4÷8=
1﹣4÷10
=1﹣
=
答：小明看了全书的．小强则剩下全书的．
故答案为：，．
10．一个数的最大因数是12，这个数是[ 12 ]{.underline}；一个数的最小倍数是18，这个数是[ 18 ]{.underline}．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【分析】根据一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；一个数因数的个数是有限的，最大因数是它本身；据此解答即可．
【解答】解：根据分析可知：一个数的最大因数是12，这个数是12；一个数的最小倍数是18，这个数是18；
故答案为：12，18．
**二、判断题．（对的打"√"，错的打"&\#215;"）（每题1分，共7分）**
11．把3米长的绳子平均分成7份，每份是全长的，长米．[ 错误 ]{.underline}．
【考点】分数的意义、读写及分类；分数除法．
【分析】把3米长的绳子平均分成7份，每份是全长的几分之几，就是把这根绳子的全长看作单位"1"，平均分为7份，用1÷7解答，求每份长多少米，用绳子的总长除以7即可，据此解答然后分析判断．
【解答】解：每份是全长的：1÷7=，
每份长：3÷7=米，所以把3米长的绳子平均分成7份，每份是全长的，长米的说法是错误的；
故答案为：错误．
12．两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】图形的拼组．
【分析】两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而不是面积相等的两个三角形，据此解答．
【解答】解：面积相等的两个三角形，不一定能拼成一个平行四边形．如下图
故答案为：×．
13．一根绳子用去米后，还剩下米．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】由于不知道这根绳子具体长度，所以无法确定还剩下多少米．
如果原长1米，则用去米后，还剩下1﹣=米；
如果原长多于1米，则用去用去米后，还剩下的多于米；
如果原长少于1米，则用去用去米后，还剩下的少于米．
【解答】解：由于不知道这根绳子具体长度，所以无法确定还剩下多少米．
故答案为：×．
14．最简分数的分子和分母一定是互质数．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】合数与质数．
【分析】根据最简分数的意义：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，即可知道答案．
【解答】解：因为分子和分母是互质数的分数是最简分数．
故答案为：正确的．
15．一个数的因数个数是有限的，而它的倍数的个数是无限的．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【分析】一个数的倍数最小是它的本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的；一个数的约数最小是1，最大是它本身，约数的个数是有限的，由此解答即可．
【解答】解：一个数的约数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的．
故答案为：正确．
16．一个数的倍数一定比这个数的因数大．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据"一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身"，进行分析，例如：8的最小倍数是8，最大因数是8；进而得出结论．
【解答】解：由分析知：一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身，即一个数的因数和倍数有相等的情况；
所以本题：一个数的倍数一定比这个数的因数大，说法错误；
故答案为：错误．
17．是15的倍数的数，一定是3的倍数，也是5的倍数．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】2、3、5的倍数特征．
【分析】因为15既是3的倍数，也是5的倍数，所以是15的倍数的数，一定是3的倍数，也是5的倍数．据此判断．
【解答】解：因为15既是3的倍数，也是5的倍数，所以是15的倍数的数，一定是3的倍数，也是5的倍数．
故答案为：√．
**三、选择题．（将序号选入括号内）（共14分）**
18．要使是真分数，是假分数，X的值应该是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．无法确定
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数．是真分数，是假分数，则7≤x＜8，即x=7．
【解答】解：．是真分数，是假分数，
根据真分数与假分数的意义可知，
7≤x＜8，即x=7．
故选：A．
19．比大而比小的真分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【考点】分数大小的比较．
【分析】这题可根据分数的基本性质把分子分母同时扩大2倍、3倍、4倍...，即可找出中间数的各数，进而得出结论．
【解答】解：根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大2倍、3倍、4倍...，
如：把分子分母同时扩大2倍，符合条件的分数有，
把分子分母同时扩大3倍，符合条件的分数有、，
因为5的倍数的个数是无限的，
所以比大而比小的真分数有无数个．
故选：D．
20．已知A=2×3×5，那么A的全部因数的个数有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】找一个数的因数的方法．
【分析】由求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，由此即可得出答案．
【解答】解：因为A=2×3×5，
所以A的全部因数的个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）．
故选：D．
21．要使2312是5的倍数，至少要加上（ ）
A．8 B．0 C．5 D．3
【考点】2、3、5的倍数特征．
【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数一定是5的倍数．据此解答．
【解答】解：根据分析知：2312+3=2315，
答：要使2312是5的倍数，至少要加上3．
故选：D．
22．在捐款活动中，小刚捐了自己钱的，小强捐了自己钱的．小刚和小强（ ）
A．小刚捐得多 B．小强捐得多 C．捐得一样多 D．无法判断
【考点】分数大小的比较；分数的意义、读写及分类．
【分析】因为不知道小刚和小强各有多少钱，所以小刚捐了自己钱的具体捐了多少，无法计算出来；同样小强捐了自己钱的，也不知具体捐的钱数．
【解答】解：因为不知道小刚和小强原来各有多少钱，也就是单位"1"不同，所以无法判断．
故选D．
23．在下面（ ）箱中任意摸一球，摸到红球的可能性是．
A． B． C．
【考点】简单事件发生的可能性求解．
【分析】根据可能性的计算方法，分别求出各箱子中任意摸一球，摸到红球的可能性，然后进行选择即可．
【解答】解：A、3红球，3个黑球，摸到红球的可能性为：3÷（3+3）=，不符合答案；
B、1个白球，2个红球，3个黑球，摸到红球的可能性为：2÷（1+2+3）=，符合题意；
C、1个白球，1个红球，2个黑球，摸到红球的可能性为：1÷（1+1+2）=，不符合题意；
故选：B．
24．下图平行四边形的面积计算正确的是（ ）
A．15×4 B．6×15 C．6×4 D．15×4÷2
【考点】平行四边形的面积．
【分析】平行四边形的面积=底×高，平行四边形的底是15米，高是4米，从而可以列式求其面积．
【解答】解：平行四边形的面积=15×4，
故选：A．
**四、计算．（共计17分）**
25．
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 将下列各分数化成最简分数． | =[ ]{.underline}[ ]{.underline} | =[ ]{.underline}[ ]{.underline} |
| | | |
| =[ ]{.underline}[ ]{.underline} | | |
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
【考点】最简分数；分数的基本性质．
【分析】分子与分母只有公因数1的分数为最简分数．据此意义根据分数的基本性质约分化简即可．
【解答】解： ==
==
==
故答案为：、、．
26．通分．
------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------
和 和 和
------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------
【考点】约分和通分．
【分析】根据通分的意义和方法，把异分母分数化成大小与原来相等的分数叫做通分．通分时用两个分数分母的最小公倍数作公分母．据此解答．
【解答】解：，
，
；
，
，
；
，不需要通分．
27．求下面各图形的面积．
【考点】平行四边形的面积；三角形的周长和面积．
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式S=ah，代入数据解答；
（2）根据三角形的面积公式S=ah÷2，代入数据解答．
【解答】解：（1）12×6=72（平方厘米）．
答：平行四边形的面积是72平方厘米；
（2）6.2×3÷2=9.3（平方分米）．
答：三角形的面积是9.3平方分米．
**六、解决问题．（共计20分）**
28．商店运来一批蔬菜，黄瓜占总数的，西红柿占总数的，其它的是土豆，土豆占这批蔬菜的几分之几？
【考点】分数加减法应用题．
【分析】把这批蔬菜的总量看成单位"1"，用总量减去黄瓜的分数再减去西红柿的分数就是土豆占这批蔬菜的几分之几．
【解答】解：1﹣
=，
=；
答：土豆占这批蔬菜的．
29．两只蚂蚁，相距175cm，大蚂蚁每秒钟爬行4cm，小蚂蚁每秒钟爬行3cm，请问经过几分钟后，两只蚂蚁会相遇？相遇时，两只蚂蚁分别爬行了多少米？
【考点】简单的行程问题．
【分析】根据路程÷速度和=相遇时间可知，两只蚂蚁的相遇时间是175÷（4+3）=25秒，则相遇时，大蚂蚁行了25×4=100cm，小蚂蚁行了25×3=75cm．
【解答】解：两只蚂蚁的相遇时间是：
175÷（4+3）
=175÷7，
=25（秒）；
则大蚂蚁行了：25×4=100（cm）；
小蚂蚁车行了：25×3=75（cm）．
答：经过25秒钟后，两只蚂蚁会相遇，相遇时，大蚂蚁爬行100cm，小蚂蚁爬行75cm．
30．箱子里有同样数目的乒乓球和羽毛球，每次取出5个乒乓球、3个羽毛球，取了几次后乒乓球没了，羽毛球还剩6个？
【考点】差倍问题．
【分析】这题可以用方程来解，设取的次数为x，根据等量关系式：5×取的次数=3×取的次数+6，列出方程解答即可．
【解答】解：设取了x次．
5x=3x+6，
5x﹣3x=6，
2x=6，
x=3，
答：取了3次．
31．商店运进一批水果，其中苹果占全部重量的，香蕉占全部重量的，其余是柑橘．
（1）运进的柑橘占全部重量的几分之几？
（2）三种水果中哪种水果最多，哪种最少？
【考点】分数加减法应用题；分数大小的比较．
【分析】（1）将水果总量当作单位"1"，苹果占全部重量的，香蕉占全部重量的，根据分数减法的意义，用单位"1"分别减去苹果与香蕉占总数的分率即得运进的柑橘占全部重量的几分之几：1﹣﹣=．
（2）根据分数的意义可知，哪种水果占总量的分率越大，哪种水果就最多，反之，哪种水果占总数的分率最小，则最少．比较即可．
【解答】解：（1）1﹣﹣=．
答：运进的柑橘占全部重量的．
（2）=， =，
则＞．
答：苹果最多，柑橘最少．
**2016年8月20日**
| 1 | |
**1959年试题**
**试卷上不必抄题,但须写明题号,例如 Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.**
**一**、(1)已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35.
(注)lg是以10为底的对数的符号.
(3)解不等式:2x2+5x\<3.
(4求cos165°的值.
(5)一直圆台上底的面积为25π平方厘米,下底的直径为20厘米,母线长为10厘米.求这直圆台的侧面积.
(6)有三条不在同一平面内的平行线a、b和c.在线a上取一固定线段AB,在线c、b上各任取一点C和D.求证:不论C和D取在c、b的什么位置上,四面体ABCD的体积总是不变的.
**\[Key\]**
(3)**解法一**:
2x2+5x\<3,
移项,得
2x2+5x-3\<0,
(2x-1)(x+3)\<0.
因为两个数的积是负数,必须并且只须这两个数中一个是正数,一个是负数,所以从这个不等式可以得出下面两个不等式组:
**解法二**:
2x2+5x\<3,
移项,得
2x2+5x-3\<0,
不等式两边都乘以-1,得
-2x2-5x+3\>0
△=(-5)2-4·(-2)·3\>0,
(5)圆台侧面积S=π*L*(R+r),其中*L*为母线,r、R分别为上,下底的半径.上底面积=πr2=25π ∴r=5(厘米)
下底半径R=20/2(厘米)=10(厘米)
母线*l*=10(厘米)
∴ 这圆台侧面积
S=π*L*(R+r)
=π·10·(10+5)
=150π(厘米2)
(6)△ABD当四面体ABCD的底(如图)作底上的高CO.
∵ a∥b
∴ 无论D在b上什么位置,
△ABD的面积总不变.
∵ a∥b∴a,b决定一平面.
∵ c∥a,c∥b.
∴ c平行于a,b所决定的平面.
∴ 无论C点在c的什么位置,高CO的高度总不变.
因之,无论C,D在c,b上什么位置,其体积总不变
**二、**三个数成等差数列,前两个数的和的三倍等于第三个数的二倍;如果第二个数减去2(仍当作第二项),三个数就成等比数列.求原来的三个数.
\[Key\] **二、**设成等差数列的三个数是x-y、x、x+y,依据题中条件,
化简(1)和(2),得:
将(3)代入(4),得:
y2-5y+4=0,
(y-1)(y-4)=0
故 y1=1,y2=4
**\[Key\] 三、**设AB及BC两边之长为x及y,则有
x2+y2-2xycos60°=42
代入cos60°及sin60°的值,得到:
x2+y2-xy=16
xy=4
化简,得到: x2+y2=20 (1)
2xy=8 (2)
(1)+(2),得: (x+y)2=28, (3)
(1)-(2),得: (x-y)2=12 (4)
**四、**A、B、C是直线*L*上三点,P是这直线外一点.已知AB=BC=a,
∠APB=90°,∠BPC=45°.试求:(1)∠PBA的正弦、余弦、正切;(2)线段PB的长;(3)P点到直线*L*的距离.
**\[Key\] 四、解法一**:令∠PBA=θ
由△APB知 x=acosθ, (1)
代(1),(4)入(3),得
**五、**延长圆O的两弦AB、CD交于圆外一点E,过E点作DA的平行线交CB的延长线于点F,自F点作圆O的切线FG.求证FG=FE.
\[Key\] **五、**证明:∵EF∥DA,
∴∠FEB=∠BAD，而∠BAD=∠BCD,
∴∠FEB=∠BCD，又∠EFB=∠EFC
∴△EFB∽△CFE
因此,FE:FC=FB:FE,
即FE2=FB·FC.
∵FG是圆O的切线,FBC的圆O的割线,
∴FG2=FB·FC
∴FG2=FE2即FG=FE.
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------小数点搬家》同步检测1（附答案）**
一、填一填。
1.小数点向左移动一位，这个数就缩小到原来的 [ ]{.underline} ；小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的 [ ]{.underline} ；小数点向左移动三位，这个数就缩小到原来的 [ ]{.underline} 。
2.小数点向右移动一位，这个数将扩大到原来的 [ ]{.underline} 倍；小数点向右移动两位这个数将扩大到原来的 [ ]{.underline} 倍；小数点向右移动三位，这个数将扩大到原来的 [ ]{.underline} 倍。
二、选一选。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1\. 5.03写成50.3，表示它( )。
A.扩大到原来的10倍 B.扩大到原来的100 C.缩小到原来的
2\. 一个数扩大到原来的l00倍后是23，这个数原来是( )。
A.2.3 B.0.23 C.0.023
3\. 6.45的小数点先向右移动一位，再向左移动两位，这个数是( )。
A.6.45 B.64.5 C.0.645
4\. 将( )扩大到原来的l000倍，再缩小到原来的，得l5.2。
A.1.52 B.15.2 C.0.152
5.把( )扩大到原来的l00倍是8。
A.800 B.0.8 C.0.08
三、计算。来源：www.bcjy123.com/tiku/
0.03×10= 0.03×100=
0.03×1000= 62.5÷10=
62.5÷100= 62.5÷1000=
四、下面的数如果去掉小数点后，扩大到原来的几倍还是缩小到原来的几分之一？
五、解决问题。
1.暑假小明随爸爸、妈妈去参观世博园，他们乘客车行驶了1000分钟,车速度是1.25千米/分，你能算出客车行驶了多远吗？
2.丁丁买了10张海宝卡片共花了l5元。平均每张海宝卡片多少钱？
六、动脑思考。
有比6.8大并且比6.9小的小数吗？如果有,请你写出三个这样的小数。
**参考答案**
一.
1\.
2\. 10 100 1000
二、1. A 2. B 3. C 4. A 5.C
三、0.3 3 30 6.25 0.625 0.0625
四、扩大到原来的10倍 扩大到原来的1000倍 扩大到原来的100倍
五、1. 1.25×1000＝1250（千米） 2. 15÷10＝1.5（元）
六、有 6.81 6.82 6.83（答案不唯一）
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{width="0.4166666666666667in" height="0.3055555555555556in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若*z*=1+i，则\|*z*^2^--2*z*\|=
A．0 B．1 C． D．2
2．设集合*A*={*x*\|*x*^2^--4≤0}，*B*={*x*\|2*x*+*a*≤0}，且*A*∩*B*={*x*\|--2≤*x*≤1}，则*a*=
> A．--4 B．--2 C．2 D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
{width="2.4375in" height="1.6458333333333333in"}
A． B． C． D．
4．已知*A*为抛物线*C*:*y*^2^=2*px*（*p*\>0）上一点，点*A*到*C*的焦点的距离为12，到*y*轴的距离为9，则*p*=
A．2 B．3 C．6 D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
> {width="6.0in" height="2.2618055555555556in"}
>
> 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是
>
> A． B．
>
> C． D．
6．函数的图像在点处的切线方程为
> A． B．
>
> C． D．
7．设函数在的图像大致如下图，则*f*(*x*)的最小正周期为
{width="3.59375in" height="2.1145833333333335in"}
> A． B．
>
> C． D．
8．的展开式中*x*^3^*y*^3^的系数为
> A．5 B．10
>
> C．15 D．20
9．已知，且，则
> A． B．
>
> C． D．
10．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
> A． B． C． D．
11．已知⊙*M*：，直线：，为上的动点，过点作⊙*M*的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
> A． B． C． D．
12．若，则
> A． B． C． D．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*的最大值为 [ ]{.underline} .
14．设为单位向量，且，则 [ ]{.underline} .
15．已知*F*为双曲线的右焦点，*A*为*C*的右顶点，*B*为*C*上的点，且*BF*垂直于*x*轴.若*AB*的斜率为3，则*C*的离心率为 [ ]{.underline} .
16．如图，在三棱锥*P*--*ABC*的平面展开图中，*AC*=1，，*AB*⊥*AC*，*AB*⊥*AD*，∠*CAE*=30°，则cos∠*FCB*= [ ]{.underline} .
{width="1.5833333333333333in" height="2.0833333333333335in"}
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
>
> *（1）求的公比；*
>
> *（2）若，求数列的前项和*．
18．（12分）
> 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
>
> {width="1.8643503937007875in" height="1.7914424759405074in"}
>
> *（1）证明：平面；*
>
> *（2）求二面角的余弦值*．
19.（12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
> 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
> （1）求甲连胜四场的概率；
>
> （2）求需要进行第五场比赛的概率；
>
> （3）求丙最终获胜的概率.
20.（12分）
> 已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）的左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．*
>
> （1）求*E*的方程；
>
> （2）证明：直线*CD*过定点.
21．（12分）
> 已知函数.
>
> （1）当*a*=1时，讨论*f*（*x*）的单调性；
>
> （2）当*x*≥0时，*f*（*x*）≥*x*^3^+1，求*a*的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
>
> （1）当时，是什么曲线？
>
> （2）当时，求与的公共点的直角坐标．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知函数．
>
> （1）画出的图像；
>
> （2）求不等式的解集．
>
> {width="1.7916666666666667in" height="1.5520833333333333in"}
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学试题参考**答案(A卷**)**
**选择题答案**
一、**选择题**
1．D 2．B 3．C 4．C
5．D 6．B 7．C 8．C
9．A 10．A 11．D 12．B
**非选择题答案**
二、**填空题**
13．1 14． 15．2 16．
**三、解答题**
17．解：（1）设的公比为，由题设得 即.
> 所以 解得（舍去），.
>
> 故的公比为.
>
> （2）设为的前*n*项和.由（1）及题设可得，.所以
>
> ，
>
> .
>
> 可得
>
> 所以.
18．解：（1）设，由题设可得，
> .
>
> 因此，从而.
>
> 又，从而.
>
> 所以平面.
>
> （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
>
> {width="1.90625in" height="1.9583333333333333in"}
>
> 由题设可得.
>
> 所以.
>
> 设是平面的法向量，则，即，
>
> 可取.
>
> 由（1）知是平面的一个法向量，记，
>
> 则.
>
> 所以二面角的余弦值为.
19．解：（1）甲连胜四场的概率为．
> （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
>
> 比赛四场结束，共有三种情况：
>
> 甲连胜四场的概率为；
>
> 乙连胜四场的概率为；
>
> 丙上场后连胜三场的概率为．
>
> 所以需要进行第五场比赛的概率为．
>
> （3）丙最终获胜，有两种情况：
>
> 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．
>
> 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．
>
> 因此丙最终获胜的概率为．
20．解：（1）由题设得*A*（--*a*，0），*B*（*a*，0），*G*（0，1）.
则，=（*a*，--1）.由=8得*a*^2^--1=8，即*a*=3.
所以*E*的方程为+*y*^2^=1．
（2）设*C*（*x*~1~，*y*~1~），*D*（*x*~2~，*y*~2~），*P*（6，*t*）.
若*t*≠0，设直线*CD*的方程为*x*=*my*+*n*，由题意可知--3\<*n*\<3.
由于直线*PA*的方程为*y*=（*x*+3），所以*y*~1~=（*x*~1~+3）.
直线*PB*的方程为*y*=（*x*--3），所以*y*~2~=（*x*~2~--3）.
可得3*y*~1~（*x*~2~--3）=*y*~2~（*x*~1~+3）.
由于，故，可得，
即①
将代入得
所以，．
代入①式得
解得*n*=--3（含去），*n*=.
故直线*CD*的方程为，即直线*CD*过定点（，0）．
若*t*=0，则直线*CD*的方程为*y*=0，过点（，0）.
综上，直线*CD*过定点（，0）.
21．解：（1）当*a*=1时，*f*（*x*）=e*^x^*+*x*^2^--*x*，则=e*^x^*+2*x*--1．
> 故当*x*∈（--∞，0）时，\<0；当*x*∈（0，+∞）时，\>0．所以*f*（*x*）在（--∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
>
> （2）等价于.
>
> 设函数，则
>
> .
>
> （i）若2*a*+1≤0，即，则当*x*∈（0，2）时，\>0.所以*g*（*x*）在（0，2）单调递增，而*g*（0）=1，故当*x*∈（0，2）时，*g*（*x*）\>1，不合题意.
>
> （ii）若0\<2*a*+1\<2，即，则当*x*∈(0，2*a*+1)∪(2，+∞)时，*g\'*(*x*)\<0；当*x*∈(2*a*+1，2)时，*g\'*(*x*)\>0.所以*g*(*x*)在(0，2*a*+1)，(2，+∞)单调递减，在(2*a*+1，2)单调递增.由于*g*(0)=1，所以*g*(*x*)≤1当且仅当*g*(2)=(7−4*a*)e^−2^≤1，即*a*≥.
>
> 所以当时，*g*(*x*)≤1.
>
> （iii）若2*a*+1≥2，即，则*g*(*x*)≤.
>
> 由于，故由（ii）可得≤1.
>
> 故当时，*g*(*x*)≤1.
>
> 综上，*a*的取值范围是.
22．解：当*k*=1时，消去参数*t*得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
> （2）当*k*=4时，消去参数*t*得的直角坐标方程为．
>
> 的直角坐标方程为．
>
> 由解得．
>
> 故与的公共点的直角坐标为．
23．解：（1）由题设知
> 的图像如图所示．
{width="2.7708333333333335in" height="2.5625in"}
> （2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像．
{width="2.7291666666666665in" height="2.5104166666666665in"}
> 的图像与的图像的交点坐标为．
>
> 由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，
>
> 故不等式的解集为．
{width="6.772222222222222in" height="8.927777777777777in"}
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**2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，2} B．{1，2}
C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）设z=+2i，则\|z\|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O~1~，O~2~，过直线O~1~O~2~的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12π B．12π C．8π D．10π
6．（5分）设函数f（x）=x^3^+（a﹣1）x^2^+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
8．（5分）已知函数f（x）=2cos^2^x﹣sin^2^x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
10．（5分）在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=BC=2，AC~1~与平面BB~1~C~1~C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．8
11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则\|a﹣b\|=（ ）
A． B． C． D．1
12．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1\] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知函数f（x）=log~2~（x^2^+a），若f（3）=1，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）直线y=x+1与圆x^2^+y^2^+2y﹣3=0交于A，B两点，则\|AB\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b^2^+c^2^﹣a^2^=8，则△ABC的面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=2（n+1）a~n~，设b~n~=．
（1）求b~1~，b~2~，b~3~；
（2）判断数列{b~n~}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m^3^）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6） \[0.6，0.7）
频数 1 3 2 4 9 26 5
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m^3^的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12分）设抛物线C：y^2^=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
21．（12分）已知函数f（x）=ae^x^﹣lnx﹣1．
（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ^2^+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C~2~的直角坐标方程；
（2）若C~1~与C~2~有且仅有三个公共点，求C~1~的方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
**2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，2} B．{1，2}
C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合．
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩B={0，2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．
2．（5分）设z=+2i，则\|z\|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，
则\|z\|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑．
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．
4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），
可得a^2^﹣4=4，解得a=2，
∵c=2，
∴e===．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O~1~，O~2~，过直线O~1~O~2~的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12π B．12π C．8π D．10π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，
圆柱的上、下底面的中心分别为O~1~，O~2~，
过直线O~1~O~2~的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
可得：4R^2^=8，解得R=，
则该圆柱的表面积为：=12π．
故选：B．
【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．
6．（5分）设函数f（x）=x^3^+（a﹣1）x^2^+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x^3^+（a﹣1）x^2^+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x^3^+x，可得f′（x）=3x^2^+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
=﹣=﹣
=﹣×（+）
=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）=2cos^2^x﹣sin^2^x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．
【解答】解：函数f（x）=2cos^2^x﹣sin^2^x+2，
=2cos^2^x﹣sin^2^x+2sin^2^x+2cos^2^x，
=4cos^2^x+sin^2^x，
=3cos^2^x+1，
=，
=，
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．
9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．
10．（5分）在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=BC=2，AC~1~与平面BB~1~C~1~C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．8
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
【解答】解：长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=BC=2，
AC~1~与平面BB~1~C~1~C所成的角为30°，
即∠AC~1~B=30°，可得BC~1~==2．
可得BB~1~==2．
所以该长方体的体积为：2×=8．
故选：C．
【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．
11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则\|a﹣b\|=（ ）
A． B． C． D．1
【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】推导出cos2α=2cos^2^α﹣1=，从而\|cosα\|=，进而\|tanα\|=\|\|=\|a﹣b\|=．由此能求出结果．
【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，
∴cos2α=2cos^2^α﹣1=，解得cos^2^α=，
∴\|cosα\|=，∴\|sinα\|==，
\|tanα\|=\|\|=\|a﹣b\|===．
故选：B．
【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1\] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，的图象如图：
满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，
解得x∈（﹣∞，0）．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知函数f（x）=log~2~（x^2^+a），若f（3）=1，则a=[ ﹣7 ]{.underline}．
【考点】3T：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=log~2~（x^2^+a），若f（3）=1，
可得：log~2~（9+a）=1，可得a=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为[ 6 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
15．（5分）直线y=x+1与圆x^2^+y^2^+2y﹣3=0交于A，B两点，则\|AB\|=[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：圆x^2^+y^2^+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为：=，
所以\|AB\|=2=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b^2^+c^2^﹣a^2^=8，则△ABC的面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB=4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA=，
则A=
由于b^2^+c^2^﹣a^2^=8，
则：，
①当A=时，，
解得bc=，
所以．
②当A=时，，
解得bc=﹣（不合题意），舍去．
故：．
故答案为：．
【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=2（n+1）a~n~，设b~n~=．
（1）求b~1~，b~2~，b~3~；
（2）判断数列{b~n~}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{a~n~}的通项公式．
【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．
（2）利用定义说明数列为等比数列．
（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．
【解答】解：（1）数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=2（n+1）a~n~，
则：（常数），
由于，
故：，
数列{b~n~}是以b~1~为首项，2为公比的等比数列．
整理得：，
所以：b~1~=1，b~2~=2，b~3~=4．
（2）数列{b~n~}是为等比数列，
由于（常数）；
（3）由（1）得：，
根据，
所以：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC；
（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=DA，可得三棱锥Q﹣ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积．
【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，
又AB⊥DA．且AD∩AC=A，
∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC；
（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3，
∴BP=DQ=DA=2，
由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，
∴三棱锥Q﹣ABP的体积V=
=××==1．
【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m^3^）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6） \[0.6，0.7）
频数 1 3 2 4 9 26 5
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m^3^的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．
（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m^3^的概率．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m^3^的概率为：
p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，
使用节水龙头50天的日均用水量为：
（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m^3^．
【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12分）设抛物线C：y^2^=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）当x=2时，代入求得M点坐标，即可求得直线BM的方程；
（2）设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得k~BN~+k~BM~=0，即可证明∠ABM=∠ABN．
【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2，
所以M（2，2）或M（2，﹣2），
直线BM的方程：y=x+1，或：y=﹣x﹣1．
（2）证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），
联立直线l与抛物线方程得，消x得y^2^﹣2ty﹣4=0，
即y~1~+y~2~=2t，y~1~y~2~=﹣4，
则有k~BN~+k~BM~=+===0，
所以直线BN与BM的倾斜角互补，
∴∠ABM=∠ABN．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ae^x^﹣lnx﹣1．
（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）=ae^x^﹣，由x=2是f（x）的极值点，解得a=，从而f（x）=e^x^﹣lnx﹣1，进而f′（x）=，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=ae^x^﹣lnx﹣1．
∴x＞0，f′（x）=ae^x^﹣，
∵x=2是f（x）的极值点，
∴f′（2）=ae^2^﹣=0，解得a=，
∴f（x）=e^x^﹣lnx﹣1，∴f′（x）=，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）证明：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，
设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，
当x＞1时，g′（x）＞0，
∴x=1是g（x）的最小值点，
故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0，
∴当a≥时，f（x）≥0．
【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ^2^+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C~2~的直角坐标方程；
（2）若C~1~与C~2~有且仅有三个公共点，求C~1~的方程．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C~2~的极坐标方程为ρ^2^+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x^2^+y^2^+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）^2^+y^2^=4．
（2）由于曲线C~1~的方程为y=k\|x\|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．
由于该射线与曲线C~2~的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．
故：，或
解得：k=或0，（0舍去）或k=或0
经检验，直线与曲线C~2~没有公共点．
故C~1~的方程为：．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即\|ax﹣1\|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣1\|=，
由f（x）＞1，
∴或，
解得x＞，
故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0，
即x+1﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0，
即\|ax﹣1\|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜，
∴a＜
∵＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2\]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
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**名校真题卷（配北师版）**
1. **口算。（20分）**
> 9+5= 6+7= 0+2= 11-5= 14-9=
>
> 12+5= 20-1= 10-8= 8+5= 12-5=
>
> 16-7= 15-10= 18-11= 18-9= 5+9=
>
> 13-3= 19-6= 17-0= 1+19= 14-6=
2. **填空。（20分）**
> 1、（ ）、（ ）、10、9、（ ）、7。
>
> 2、按规律填数： 9、11、13、（ ）、（ ）
>
> 3、15里面有（ ）个十和（ ）个一；3个一和1个十合起来是（ ）。
>
> 4、
>
> 从右数起， 排在第（ ）， 排在第（ ），一共有（ ）个。
>
> 5、20的前面是（ ），（ ）在9和11的中间。
>
> 6\. 在○里填上"＜"、"＞"或"＝"
>
> 9−3○9 11＋4○16-1 14＋4○14−4
>
> 7○6＋3 6+6○12-6 3＋8○5＋7
**三、从15、6、7、8、四个数中选出三个数,列出两道加法和两道减法算式。**（8分）
（ ）+（ ）=（ ） （ ）-（ ）=（ ）
（ ）+（ ）=（ ） （ ）-（ ）=（ ）
**四、按要求画。（4分）**
（1）画○比△少**3**个 （2）画△比○多**1**个
△△△△△△ ○○○○○○○
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
**五、填一填。（8分）**
（1） 在 的（ ）面 。
------------------------------------ ------------------------------------
 
 
------------------------------------ ------------------------------------
（2） 在 的（ ）面 。
（3） 在 的（ ）面 。
（4） 在 的（ ）面 。
**六、连一连。（8分）**
快5时 10时刚过 2时 8时
**七、看图列式。（8分）**
**八、解决问题。（24分）**
> 1、小军吃了5个 ,还剩下3个,小军原有多少个 ？
>
> 2、同学们在马路两边各插了8面 ,一共插了多少面 ？
> 3、同学们要种14棵 ,已经种了10棵,还要种多少棵 ？
>
> 4、 和  跳绳， 跳了6下，跳了8下， 比
>
> 多跳多少下？
**参考答案**
一 14 13 2 6 5
17 19 2 13 7
9 5 7 9 14
10 13 17 20 8
二1、12，11，8
2、15，17
3、1，5，13
4、7，3，9
5、19，10
6、﹤ = ﹥
﹤ ﹥ ﹤
三、7+8=15 15-8=7
8+7=15 15-7=8
四、（1）○○○ （2）△△△△△△△△
六、
快5时 10时刚过 2时 8时
七、9+4=13 13-3=10
八、1、5+3=8（个） 2、8+8=16（面）
3、14-10=4（棵） 4、8-6=2（下）
| 1 | |
**年北师大版小学数学二年级下册比一比练习卷（带解析）**
1．用4，0，8, 2这四个数组成的最大的四位数是（ ）
A.4082
B.8204
C.8420
D.4802
2．用7、8、9、3这三个数字组成最大的三位数是（ ）
A．8379
B．9783
C．9873
3．下面排列正确的是（ ）
A.1482\>4218\>8214
B.8214\>8412\>184
C.8412\>4812\>8214
D.8412\>8214\>4812
4．A山高度是1350米，B山比A山高很多，B山的高度是（ ）
A．1100米\
B．1300米\
C．1850米
5．下列选项中，比3500多一些，比6000少得多的数是（ ）
A.3090
B.5300
C.4000
6．比7303少一些的数是（ ）
A．6204
B．7185
C．7482
D．8609
7．比3208少得多的数是（ ）
A．8409
B．1303
C．3001
D．3302
8．小丽家离学校8004厘米，小明家比小丽家离学校远多了，小亮家比小明家离学校近一点。小明家离学校（ ）小亮家离学校（ ）
A.7500厘米
B.8500厘米
C.9500厘米
D.9600厘米
E.9870厘米
9．下面三个数中，最大的是（ ）
A.5120
B.1989
C.5098
10．在○里填上"\>"、"\<"。
4532○4352
11．3624○2865 4326○7280
12．在○里填上"＞""＜"或"="。
5434○4465
13．方框里可以填几。
4□37\<4520 □里可以填（ ）。
3209\>31□9 □里可以填（ ）。
□240\<5290 □里可以填（ ）。
492□\>4925 □里可以填（ ）。
14．在□里填上"\>""\<"或"="。
4389□4356
15．南湖高中开展10分钟跳绳比赛，进入决赛的5名女生成绩如下表。
-------- -------- -------- -------- --------
小红 小芳 小玉 小美 小雅
1182下 1237下 1392下 1014下 1314下
-------- -------- -------- -------- --------
请你排出她们的名次。
第一名 （ ）第二名（ ）第三名（ ）
第四名（ ）第五名（ ）。
16．比较下列各数的大小。
3760□7360
1000□10000
17．在□里填上"\>"或"\<"。
7825□2864 2710□1724
18．在□里填上"\>"或"\<"。
2350□2405；5670□6507
19．看图填空。
20．把下列各数按从小到大的顺序排列。\
1010 1001 1101 1011 1110\
（ ）\<（ ）\<（ ）\<（ ）\<（ ）
21．在□里填上"\>"或"\<"\
2309□2039；6520□5062
22．请你认真观察A，B，C三张卡片上数字的特点，将A，B，C按照每张卡片上数字的和以从大到小的顺序排列。
23．各是什么花？猜一猜，填一填。
校园苗圃里的菊花比百合花少得多，月季比菊花多得多，百合花比月季多一些。
-------- -------- --------
1304盆 2009盆 2399盆
-------- -------- --------
24．小于1005的四位数有（ ）个，分别是（ ）。
25．比较大小：
7095□9057 3999□4010
27．在□里填上"\>"或"\<"。
9800□9809 8999□9000
28．2370□2371； 8349□8439
29．1999\>2000。（ ）
30．大于1998，小于2000的自然数有1个。（ ）
**参考答案**
1．
C
【解析】
要求最大的四位数，所以只要比较8000以上的数字即可，由这四位数组成的数有8402,8420，8042,8024,8240,8204根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大．所以8420最大。
2．
C
【解析】
按要求我们可以知道，只要比较9000以上的即可，有9873,9837,9378,9387,9783,9738，位数组成的数根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大，所以9873最大。
3．
D
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
4．
C
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大，而1850＞1350。
5．
C
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。因此3090＜3500＜4000＜5300＜6000。
6．
B
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。因此6204＜7185＜7303。
7．
B
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。1303＜3001＜3320。
8．
E;D
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。7500 ＜8004＜8500＜9500＜9600＜9870。
9．
A
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。1989＜5098＜5120。
10．
＞
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
11．
＞；＜
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
12．
＞
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
13．
0～4，0～9，1～5，6～9
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
14．
＞。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
15．
小玉；小雅；小芳；小红；小美
【解析】
由整数比较大小方法可知，1014＜1182＜1237＜1314＜1392。
16．
\<；\<。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
17．
\>；\>。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
18．
\<；\<。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
19．
柜子；桌子；床
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。所以1298＜1999＜2200。
20．
1001；1010；1011；1101；1110
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
21．
\>；\>。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
22．
B\>C\>A
【解析】
A的和为2195，B的和2201，C的和2197,由整数大小比较可得。
23．
菊花；月季；百合花
【解析】
由整数大小比较可得1304＜2009＜2399。
24．
5，1000，1001,1002,1003,1004
【解析】
由整数大小比较可得5个。
25．
＜；＜。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
26．
＜；＜。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
27．
＜；＜。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
28．
＜；＜。
【解析】
根据整数大小比较的方法，位数多的大于位数少的，位数相同的，相同数位上大的数就大。
29．
错误
【解析】
由整数大小判别法可知1999＜2000。
30．
正确
【解析】
由整数大小判别法可知1998＜1999＜2000，所以满足题意的自然数为1999。
| 1 | |
**2020年台州市中考数学试卷**
**一、选择题**
1.计算的结果是（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据减法法则计算即可.
【详解】1-3=1+（-3）=-2.
故选B.
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关键.
2.用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图的相关知识直接找出主视图即可．
【详解】主视图即从图中箭头方向看，得出答案为A，
故答案选：A．
【点睛】此题考查立体图形的三视图，理解定义是关键．
3.计算2*a*^2^•3*a*^4^的结果是（ ）
A. 5*a*^6^ B. 5*a*^8^ C. 6*a*^6^ D. 6*a*^8^
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：2*a*^2^•3*a*^4^=6*a*^6^．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了单项式与单项式的乘法，其运算法则为：数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则是解题关键．
4.无理数在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】B
【解析】
分析】
根据被开方数的范围，确定出所求即可．
【详解】∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
则在整数3与4之间．
故选：B．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是熟知无理数估算的方法．
5.在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是（ ）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位数的定义即可判断．
【详解】∵小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，
由此可得所用的统计量是中位数；
故选A．
【点睛】此题主要考查中位数的意义，解题的关键是熟知中位数的定义．
6.如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （1，2） C. （1，3） D. （3，1）
【答案】D
【解析】
【分析】
先找到顶点C的对应点为F，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标．
【详解】∵顶点C的对应点为F，
由图可得F的坐标为（3，1），
故选D．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知直角坐标系的特点．
7.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案
【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB=CD，
故选：D．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
8.下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）
A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③
C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形和矩形的性质定理解题即可．
【详解】根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①，
故选A．
【点睛】此题考查正方形和矩形的性质定理，难度一般．
9.如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案．
【详解】由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v与运动时间t之间的函数关系是（为前半程时间，为后半程时间），
∴前半程路程函数表达式为：，后半程路程为，
∵，即前半段图像开口向上，后半段开口向下
∴C项图像满足此关系式，
故答案为：C．
【点睛】此题考查根据函数式判断函数图像的大致位置．
10.把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，过点M作MH⊥A\'R于H，过点N作NJ⊥A\'W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作MH⊥A\'R于H，过点N作NJ⊥A\'W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK= A\'K=MH=1，KH=EM=2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH=MH=1，RM=，同法可证NW=，
题意AR=R A\'= A\'W=WD=4，
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.
故答案为：D.
【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
**二、填空题**
11.因式分解：*x*^2^﹣9=\_\_\_\_\_．
【答案】（*x*+3）（*x*﹣3）
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=（*x*+3）（*x*﹣3），
故答案为：（*x*+3）（*x*﹣3）．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．
12.计算结果是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先通分，再相加即可求得结果．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】此题考察分式的加法，先通分化为同分母分式再相加即可．
13.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是\_\_\_\_\_ ．
【答案】6
【解析】
【分析】
先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC
∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC
∴∠DEF=∠DFE=60°
∴△DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF
∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6
∴EF=2
∴DE=EF=DF=2
∴△DEF= DE+EF+DF=6
故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．
14.甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为*s*~甲~^2^与*S*~乙~^2^，则*s*~甲~^2^\_\_\_\_\_*S*~乙~^2^．（填"＞"、"="、"＜"中的一个）
【答案】＜
【解析】
【分析】
利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
【详解】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
∴*s*~甲~^2^＜*S*~乙~^2^．
故答案为：＜．
【分析】本题考查了方差的意义，掌握知识点是解题关键．
15.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ．
【答案】55°
【解析】
【分析】
根据AD是直径可得∠AED=90°，再根据BC是⊙O切线可得∠ADC=90°，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到∠C=∠ADE=55°．
【详解】∵AD是直径，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAE=90°
∴∠C=∠ADE=55°．
故答案为：55°．
【点睛】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知切线的性质．
16.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用含a，b的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接*AE*、*AF*，先证明△*GAE*≌△*HAF*，由此可证得，进而同理可得，根据正方形*ABCD*的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．
【详解】解：如图，连接*AE*、*AF*，
∵点*A*为大正方形的中心，
∴*AE*=*AF*，∠*EAF*=90°，
∴∠*AEF*=∠*AFE*=45°，
∵∠*GEF*=90°，
∴∠*AEG*=∠*GEF*-∠*AEF*=45°，
∴∠*AEG*=∠*AFE*，
∵四边形*ABCD*为正方形，
∴∠*DAB*=∠*EAF*=90°，
∴∠*GAE*=∠*HAF*，
在△*GAE*与△*HAF*中，
∴△*GAE*≌△*HAF*（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．
**三、解答题**
17.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
按照绝对值的概念、平方根的概念逐个求解，然后再用二次根式加减运算即可.
【详解】解：原式=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了绝对值的概念、平方根的概念、二次根式的加减运算等，熟练掌握运算公式及法则是解决此类题的关键.
18.解方程组：
【答案】
【解析】
试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解.
试题解析：
①+②得：，所以 .
把代入①得：.
所以，该方程组的解为
19.人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
【答案】
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE，
∴∠BDE=∠BAF，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BDE=∠BAF=20°，
∴DE=BD×cos20°≈140×0.94=131.6（cm）
故点D离地面的高度DE约为131.6cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得∠BDE的度数．
20.小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y~1~，y~2~，y~3~，比较（y~1~-y~2~）与（y~2~-y~3~）的大小： y~1~-y~2~ [ ]{.underline} y~2~-y~3~．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)设反比例函数解析式为，将点(3,400)代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.
\(2\) 分别将*x*的值为6，8，10时，对应的函数值分别为*y*~1~，*y*~2~，*y*~3~的值求出，然后再比较大小求解.
【详解】解：(1) 设反比例函数解析式为
将点(3,400)代入，即得
故反比例函数的解析式为：.
故答案为：.
(2)当*x*=6时，代入反比例函数中，解得，
当*x*=8时，代入反比例函数中，解得，
当*x*=10时，代入反比例函数中，解得，
∴
∴.
故答案为：\>.
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
21.如图，已知*AB*=*AC*，*AD*=*AE*，*BD*和*CE*相交于点*O*．
（1）求证：△*ABD*≌△*ACE*；
（2）判断△*BOC*的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由"*SAS*"可证△*ABD*≌△*ACE*；
（2）由全等三角形的性质可得∠*ABD*=∠*ACE*，由等腰三角形的性质可得∠*ABC*=∠*ACB*，可求∠*OBC*=∠*OCB*，可得*BO*=*CO*，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵*AB*=*AC*，∠*BAD*=∠*CAE*，*AD*=*AE*，
∴△*ABD*≌△*ACE*（*SAS*）；
（2）△*BOC*是等腰三角形，
理由如下：
∵△*ABD*≌△*ACE*，
∴∠*ABD*=∠*ACE*，
∵*AB*=*AC*，
∴∠*ABC*=∠*ACB*，
∴∠*ABC*﹣∠*ABD*=∠*ACB*﹣∠*ACE*，
∴∠*OBC*=∠*OCB*，
∴*BO*=*CO*，
∴△*BOC*是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
22.新冠疫情期间，某校开展线上教学，有"录播"和"直播"两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
+--------+----------+----------+----------+--------+
| 参与度 | 0.2～0.4 | 0.4～0.6 | 0.6～0.8 | 0.8～1 |
| | | | | |
| 人数 | | | | |
| | | | | |
| 方式 | | | | |
+--------+----------+----------+----------+--------+
| 录播 | 4 | 16 | 12 | 8 |
+--------+----------+----------+----------+--------+
| 直播 | 2 | 10 | 16 | 12 |
+--------+----------+----------+----------+--------+
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为"直播"的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择"录播"和"直播"的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
【答案】（1）"直播"教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；
（2）用表格中"直播"教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（3）先根据"录播"和"直播"的人数之比为1：3及该校学生总人数求出"直播"、"录播"人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
【详解】解：（1）"直播"教学方式学生参与度更高：
理由："直播"参与度在0.6以上的人数为28人，"录播"参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的"直播"人数远多于"录播"人数，
∴"直播"教学方式学生的参与度更高；
（2）12÷40=0.3=30%，
答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%；
（3）"录播"总学生数为800×=200（人），
"直播"总学生数为800×=600（人），
∴"录播"参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人），
"直播"参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人），
∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）．
【点睛】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键．
23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．
(2)根据两角对应相等两三角形相似证明．
(3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=BD=m，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=，由△BEF∽△BCA，推出，由此构建方程求解即可.
【详解】（1）证明：由折叠可知，∠ADB=∠ACB=90°
∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF是直角三角形．
\(2\) 证明：∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠EFB=∠EDB，
∴∠EFB=∠BCD，
∵AC=AD，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴∠BFE=∠CAB，
∵∠ACB=∠FEB=90°，
∴△BEF∽△BCA．
\(3\) 设EF交AB于J．连接AE，如下图所示：
∵EF与AB互相平分，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF∥BD，
∵AJ=JB，
∴AF=DF，
∴ FJ=
∴ EF=
∵ △ABC∽△CBM
∴ BC:MB=AB:BC
∴ BM=，
∵ △BEJ∽△BME，
∴ BE:BM=BJ:BE
∴ BE=，
∵ △BEF∽△BCA，
∴
即
解得(负根舍去).
故答案为：
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s^2^=4h（H---h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s^2^与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【解析】
【分析】
（1）将s^2^=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s^2^的最大值，再求s^2^的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为m，写出此时s^2^关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：(1)∵s^2^=4h(H-h)，
∴当H=20时，s^2^=4h(20-h)=-4(h-10)^2^+400，
∴当h=10时，s^2^有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
\(2\) ∵s^2^=4*h*(20-*h*)，
设存在*a*，*b*，使两孔射出水的射程相同，则有：
4*a*(20-*a*)=4*b*(20-*b*)，
∴20*a*-*a*^2^=20*b*-*b*^2^，
∴*a*^2^-*b*^2^=20*a*-20*b*，
∴(*a*+*b*)(*a*-*b*)=20(*a*-*b*)，
∴(*a*-*b*)(*a*+*b*-20)=0，
∴*a*-*b*=0或*a*+*b*-20=0，
∴*a*=*b*或*a*+*b*=20.
故答案为：*a*=*b*或*a*+*b*=20.
(3)设垫高的高度为*m*，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
| 1 | |
**2019年贵州省铜仁市中考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）**
1．（4分）（2019•铜仁市）2019的相反数是
A． B． C． D．
2．（4分）（2019•铜仁市）如图，如果，，那么的度数为
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•铜仁市）今年我市参加中考的学生约为56000人，56000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•铜仁市）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
5．（4分）（2019•铜仁市）如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则不可能是
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•铜仁市）一元二次方程的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（4分）（2019•铜仁市）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长为
A．12 B．14 C．24 D．21
8．（4分）（2019•铜仁市）如图，四边形为菱形，，，点、分别在边、上，且，，则
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•铜仁市）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，且，，是对角线上任意一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、．设，，则能大致表示与之间关系的图象为
A．
B．
C．
D．
10．（4分）（2019•铜仁市）如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
**二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）**
11．（4分）（2019•铜仁市）因式分解：[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•铜仁市）小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是，，那么两人中射击成绩比较稳定的是[ ]{.underline}；
13．（4分）（2019•铜仁市）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为[ ]{.underline}；
14．（4分）（2019•铜仁市）分式方程的解为[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•铜仁市）某市为了扎实落实脱贫攻坚中"两不愁、三保障"的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•铜仁市）如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于[ ]{.underline}．
17．（4分）（2019•铜仁市）如果不等式组的解集是，则的取值范围是[ ]{.underline}．
18．（4分）（2019•铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，按此规律排列下去，这列数中的第个数是[ ]{.underline}．为正整数）
**三、简答题：（本大题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）**
19．（10分）（2019•铜仁市）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
20．（10分）（2019•铜仁市）如图，，，，且．
求证：．
21．（10分）（2019•铜仁市）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1）和图（2）
（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？
22．（10分）（2019•铜仁市）如图，、两个小岛相距，一架直升飞机由岛飞往岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的，当直升机飞到处时，由处测得岛和岛的俯角分别是和，已知、、和海平面上一点都在同一个平面上，且位于的正下方，求（结果取整数，
**四、（本大题满分12分）**
23．（12分）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点，点的横坐标与点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）写出不等式的解集．
**五、（本大题满分12分）**
24．（12分）（2019•铜仁市）如图，正六边形内接于，是的直径，连接，延长，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，求图中阴影部分的面积．
**六、（本大题满分14分）**
25．（14分）（2019•铜仁市）如图，已知抛物线与轴的交点为，，且与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点关于轴的对称点为，是线段上的一个动点（不与、重合），轴，轴，垂足分别为、，当点在什么位置时，矩形的面积最大？说明理由．
（3）已知点是直线上的动点，点为抛物线上的动点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点和点的坐标．
**2019年贵州省铜仁市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）**
1．（4分）2019的相反数是
A． B． C． D．
【考点】相反数；绝对值
【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．
【解答】解：2019的相反数是，
故选：．
2．（4分）如图，如果，，那么的度数为
A． B． C． D．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据平行线的判定推出两直线平行，根据平行线的性质得出即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
3．（4分）今年我市参加中考的学生约为56000人，56000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将56000用科学记数法表示为：．
故选：．
4．（4分）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
【考点】众数；中位数
【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；
由于一共调查了人，
所以中位数为排序后的第9人，即：170．
故选：．
5．（4分）如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则不可能是
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；多边形内角与外角
【分析】根据多边形内角和定理：，无论分成两个几边形，其内角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的．
【解答】解：一条直线将该矩形分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以不可能是．
故选：．
6．（4分）一元二次方程的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】先求出△的值，再根据△方程有两个不相等的实数根；△方程有两个相等的实数；△方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：△，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
7．（4分）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长为
A．12 B．14 C．24 D．21
【考点】三角形中位线定理
【分析】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解
【解答】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．
8．（4分）如图，四边形为菱形，，，点、分别在边、上，且，，则
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【分析】根据菱形的性质以及已知数据可证得为等边三角形且边长为，代入等边三角形面积公式即可求解．
【解答】解：四边形为菱形，，
，
，
为等边三角形
故选：．
9．（4分）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，且，，是对角线上任意一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、．设，，则能大致表示与之间关系的图象为
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】由平行四边形的性质可知为的中线，又，可知为的中线，且可证，利用相似三角形对应边上中线的比等于相似比，得出函数关系式，判断函数图象．
【解答】解：当时，
为的中线，，
为的中线，，
，即，解得，
同理可得，当时，．
故选：．
10．（4分）如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数
是
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】正方形的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．
【解答】解：正方形中，，为的中点
，，
沿翻折得到
，，，
，
故结论①正确；
，，
结论②正确；
，
，
结论③正确；
设，则，
在中，由勾股定理得：
解得：
故结论④正确；
，且
设，则
在中，由勾股定理得：
解得：（舍去）或
故结论⑤错误；
故选：．
**二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）**
11．（4分）因式分解：[ ]{.underline}．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：．
12．（4分）小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是，，那么两人中射击成绩比较稳定的是[ 小刘 ]{.underline}；
【考点】方差
【分析】根据方差的意义即可求出答案．
【解答】解：由于，且两人10次射击成绩的平均值相等，
两人中射击成绩比较稳定的是小刘，
故答案为：小刘
13．（4分）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为[ ]{.underline}；
【考点】圆内接四边形的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．
【解答】解：四边形为的内接四边形，
，
故答案为：
14．（4分）分式方程的解为[ ]{.underline}．
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则分式方程的解为．
故答案为：
15．（4分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中"两不愁、三保障"的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为[ ]{.underline}．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】一般用增长后的量增长前的量增长率），今年年要投入资金是万元，在今年的基础上再增长，就是明年的资金投入，由此可列出方程，求解即可．
【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是，由题意得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是．
故答案是：．
16．（4分）如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于[ 10 ]{.underline}．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理
【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由三角形中位线定理得出的长，即可得出答案．
【解答】解：是的中点，且，
，，
，
，，
的周长．
故答案为：10．
17．（4分）如果不等式组的解集是，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】根据口诀"同小取小"可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【解答】解：解这个不等式组为，
则，
解这个不等式得
故答案．
18．（4分）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，按此规律排列下去，这列数中的第个数是[ ]{.underline}．为正整数）
【考点】单项式；规律型：数字的变化类
【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定的指数与序号数的关系．
【解答】解：第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
，
所以这列数中的第个数是．
故答案为．
**三、简答题：（本大题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）**
19．（10分）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
【考点】零指数幂；分式的化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据绝对值、幂的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
20．（10分）如图，，，，且．
求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】先证明，结合已知可得，从而．
【解答】证明：，，
，，
．
又，，
．
．
21．（10分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1）和图（2）
（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？
【考点】条形统计图；列表法与树状图法；扇形统计图
【分析】（1）用排球组的人数除以它所占的百分比即可得到全班人数，计算出足球组人数，然后补全频数分布直方图；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选出的2人恰好恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）该班的总人数为（人，
足球科目人数为（人，
补全图形如下：
（2）设排球为，羽毛球为，乒乓球为．画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中有1人选修排球、1人选修羽毛球的占4种，
所以恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率，
22．（10分）如图，、两个小岛相距，一架直升飞机由岛飞往岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的，当直升机飞到处时，由处测得岛和岛的俯角分别是和，已知、、和海平面上一点都在同一个平面上，且位于的正下方，求（结果取整数，
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】由三角函数得出，，由，得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得，，，，
在和中，，，
，，
，
，
解得：；
答：约为．
**四、（本大题满分12分）**
23．（12分）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点，点的横坐标与点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）写出不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据题意得出，点坐标进而利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）求出一次函数与轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案；
（3）直接利用函数图象结合其交点得出不等式的解集．
【解答】解：（1）一次函数，为常数，的图象与反比例函数的图象交于、两点，
且与轴交于点，与轴交于点，点的横坐标与点的纵坐标都是3，
，
解得：，
，
故，，
把，点代入得：
，
解得：，
故直线解析式为：；
（2），当时，，
故点坐标为：，
则的面积为：；
（3）不等式的解集为：或．
**五、（本大题满分12分）**
24．（12分）如图，正六边形内接于，是的直径，连接，延长，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，求图中阴影部分的面积．
【考点】垂径定理；正多边形和圆；勾股定理；扇形面积的计算；切线的判定与性质
【分析】（1）连接，，由，得到，求得，得到，求得，于是得到结论；
（2）由，得到，得到是等边三角形，求得，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
**六、（本大题满分14分）**
25．（14分）如图，已知抛物线与轴的交点为，，且与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点关于轴的对称点为，是线段上的一个动点（不与、重合），轴，轴，垂足分别为、，当点在什么位置时，矩形的面积最大？说明理由．
（3）已知点是直线上的动点，点为抛物线上的动点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点和点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线的表达式；
（2）先求得，再由待定系数法求得直线解析式，设，得，由二次函数性质即可得到结论；
（3）以、、、为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①为边，②为对角线．
【解答】解：（1）将，分别代入抛物线中，得，解得：
该抛物线的表达式为：．
（2）在中，令，，
点关于轴的对称点为，
，设直线解析式为，将，分别代入得，解得，
直线解析式为，设，则，
，
，
当时，最大值，此时，；即点为线段中点时，最大．
（3）由题意，，，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：
①为边，则，，设，，
，解得：，，，（舍，
，；，；，
②为对角线，与互相平分，的中点为，
的中点为，设，则
，解得：（舍去），，
，；
综上所述，点和点的坐标为：，或，或，或，．
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第12课《图形的整体与部分》试题附答案**
**答案**
例一
例二
例四
例五
例六
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**理数试卷**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，为z的共轭复数，则的值为（ ）
A．-2 B．0 C． D．2
3.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
4.若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．或10
5.在平面xOy内，向图形内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a,b,c，若acosB+bcosA=csinC，且，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A． B．160 C． D．60
9.如图，为双曲线C的左右焦点，且，若双曲线C右支上存在点P，使得，设直线与y轴交于点A，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
11.函数.数列的前n项和（p,q为常数，且p≠0），，若，则取值（ ）
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为零 D．可正可负
12.函数是定义在内的单调函数，，给出下面四个命题：
①不等式恒成立；②函数存在唯一零点，且；
③方程有且仅有一个根；④方程（其中e为自然对数的底数）有唯一解，且.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.若将函数表示为，其中为实数，则等于\_\_\_\_\_\_\_.
14.已知三棱锥D-ABC的四个顶点都在球O的表面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，DB⊥平面ABC，DB=12，则球O的半径为\_\_\_\_\_\_\_.
15.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为\_\_\_\_.
16.已知函数若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
已知函数（其中），若的一个条对称轴离最近的对称中心的距离为.
（1）求的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，满足(2b-a)cosC=ccosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状.
18.（本小题满分12分）
如图，棱柱的所有棱长都为2，∠ABC=60°，平面平面ABCD，.
（1）证明：；
（2）求锐二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点P，使得BP∥平面，若存在，求出P的位置.
19.（本小题满分12分）
某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好"光盘习惯" 的调查中，随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：
------ ------------ ------------ ------
做不到光盘 能做到光盘 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
------ ------------ ------------ ------
（1）现按女生是否能抽到光盘进行分层，从45份女生中问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好"光盘习惯"与性别有关，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少?请说明理由.
附：独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d.
独立性检验临界表：
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线x=-2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点.
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
设函数，其中a≠0.
（1）若函数y=g(x)图象恒过定点T，且点T关于直线的对称点在y=f(x)的图象上，求m的值；
（2）当a=8时，设，讨论F(x)的单调性；
（3）在（1）的条件下，设曲线y=G(x)上是否存在两点P，Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如图不存在，说明理由.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**ⅠⅡⅢ-
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
（1）求证：；
（2）若AF=2，，求AE的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线过点P（2，6），且倾斜角为，在极坐标系（与平面直角坐标系zOy取相同的长度，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线交于点A，B，求.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
**参考答案及解析**
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13.-20 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
.
所以函数的单调递增区间为.
（2）因为(2b-a)cosC=ccosA，
由正弦定理，得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA，
即2sinBcos=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，
因为sinB≠0，所以，所以.
所以.
根据正弦函数的图象，可以看出f(x)的最大值为f(B)=1，
此时，即，所以，
所以△ABC为等边三角形.
18.解：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC，连接.
在中，，
∴.
∴，∴⊥AO.
∵平面平面ABCD，∴⊥底面ABCD.
∴分别以OB，OC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
（1）∵，
∴，∴.
（2）∵OB⊥平面.
∴平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则则取.
∴.
（3）假设在直线上存在点P，使得BP∥平面，
设，则，
得.
设平面的一个法向量为，
则则不妨取.
∵BP∥平面，
∴，即，得，
即存在点P在的延长线上，且，使得BP∥平面.
19.解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘.所以的可能取值为0，1,2,3.
，，
，，
随机变量的分布列可列表如下：
--- --- --- --- ---
0 1 2 3
P
--- --- --- --- ---
所以.
（2），
因为，
所以能在犯错误概率不超过0.10的前提下认为良好"光盘习惯"与性别有关，即最精确的P值应为0.10.
20.解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设椭圆标准方程为，
∵椭圆离心率等于，的焦点为，∴，
由，解得.
∴椭圆C的标准方程为.
（2）①直线x=-2与椭圆交于点P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q (-2,3)，
所以，
设，直线AB的方程为，
与联立，得，
由，得-4\<m\<4，
由韦达定理，得，
由A，B两点位于直线x=-2两侧，得，∴，
解得-2\<m\<4，
∴四边形APBQ的面积为，
∴当m=0时，S取得最大值，最大值为.
②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA，PB斜率之和为0.
设PA斜率为k，则PB斜率为-k，
当P(-2,3),Q(-2,-3)时，PA的直线方程为y-3=k(x+2).
与椭圆方程联立，得，
∴，
同理，PB的直线方程为y-3=-k(x+2)，.
∴，
.
直线AB的斜率为.
当P(-2,-3),Q(-2,3)时，同理可得直线AB斜率为.
21.解：（1）令，得x=2，∴T(2,0)，
∴点T关于直线的对称点为(1,0).
∴.
（2），
∴，
∵x\>0，∴x+1\>0.
∴当时，8+2mx\>0，，此时，F(x)在区间内单调递增；
当m\<0时，由，得；由，得，
此时，F(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减.
综上所述，当时，F(x)在区间内单调递增；当m\<0时，F(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减.
（3）由条件（1），知
假设曲线y=G(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴的两侧，
设P(t,G(t))(t\>0)，则.
∵△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴，即，①
当时，，此时方程①可化为，
化简得无解，此时满足条件的P，Q不存在；
当t\>2时，G(t)=aln(t-1)，此时方程①可化为，
化简得，设，则，
当t\>2时，，h(t)在区间内单调递增，h(t)的值域为，即.
∴当a\>0时，方程①总有解.
综上所述，存在满足条件的P，Q时，实数a的取值范围为.
22.解：（1）连接BE，由题意知△ABE为直角三角形，
因为∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB，
所以△ABE\~△ADC，所以，即，
又AB=BC，所以.
（2）因为FC是圆O的切线，所以，
又AF=2，，所以BF=4，AB=BF-AF=2.
因为∠ACF=∠FBC，又∠CFB=∠AFC，所以△AFC\~△CFB，
所以，得.
△ACB中，由余弦定理，得，所以，
所以.
23.解：（1）因为直线过点P（2，6），且倾斜角为，
所以直线的参数方程为为参数），
由，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
，，
可设为上述方程的两个实根，则有
又直线过点P(2,5)，所以.
24.解：（1）原不等式等价于
或或
解得，或，或，
所以不等式的解集为.
（2）不等式等价于，
因为，
所以f(x)的最小值为4，
于是，即解得-1\<a\<0，或3\<a\<4.
所以实数a的取值范围是.
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**北师大版小学三年级下册数学第三单元《乘法------找规律》同步检测1（附答案）**
一、算一算。
二、比一比，算一算，你能发现什么规律？来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、算一算。
23×50= 30×29= 32×70= 110×40= 230×20=
四、连一连。
五、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、脱式计算。
26×30－105 72×40＋80
七、解决问题。
学校乒乓球室要买乒乓球拍。价格为37元/副，20副要花多少元？
参考答案
一、1050 3600 1080 1520 5200
2400 1200 4900 780 2800
二、32 320 3200 26 260 2600
三、1150 870 2240 4400 4600
四、
五、＜ ＝ ＜
＜ ＞ ＜
六、675 2960
七、37×20=740(元)
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2022届新高考开学数学摸底考试卷8
**一、单项选择题：（每题5分，共40分）**
1\. 函数*y*=*x*cos*x*+sin*x*在区间\[--π，π\]图象大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
2\. 若把单词"*error*\"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
3\. 的展开式中*x*^3^*y*^3^的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
4\. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
5\. 设函数为*R*上的增函数，*a*、，则是的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件
6\. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件*A*为"4个人去的景点不完全相同"，事件*B*为"小赵独自去一个景点"，则（ ）
A. B. C. D.
7\. 已知函数是定义在*R*上的奇函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
8\. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
**二、多选题：（选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）**
9\. 对于函数，下列判断正确是（ ）
A.
B. 当时，方程有唯一实数解
C. 函数的值域为
D. ，
10\. 设，*a*，.若无实根，则下列结论成立的有（ ）
A. 当时， B. ，
C. ， D. ，使得成立
11\. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A. 1个极大值点，2个极小值点 B. 2个零点
C. 0个零点 D. 2个极小值点，无极大值点
12\. 已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C
D. 当时，
**三、填空题：（每题5分，共20分）**
13\. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14\. 已知*A*为抛物线上一点，点*A*到*C*的焦点的距离为12，到*y*轴的距离为9，则\_\_\_\_\_\_.
15\. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 \_\_\_\_\_
16\. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_.
**四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 记函数的定义域、值域分别为集合*A*，*B*.
（1）当时，求；
（2）若""是""的必要不充分条件，求实数*a*的取值范围.
18\. 设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为*A*，*O*为坐标原点，点*O*到直线的距离为，为等腰直角三角形.
（1）求椭圆*C*的标准方程；
（2）若倾斜角为45°的直线经过椭圆*C*的右焦点，且与椭圆*C*交于*M*，*N*两点（*M*点在*N*点的上方），求线段与的长度之比.
19\. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
学生序号 1 2 3 4 5 6 7
数学成绩 60 65 70 75 85 87 90
物理成绩 70 77 80 85 90 86 93
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
---- ---- ----- -----
76 83 812 526
---- ---- ----- -----
20\. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在*R*上有局部对称点，求实数*m*的取值范围.
21\.
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．
22\. 设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为极值点，为的零点，且，证明.
2022届新高考开学数学摸底考试卷8
**一、单项选择题：（每题5分，共40分）**
1\. 函数*y*=*x*cos*x*+sin*x*在区间\[--π，π\]的图象大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项*CD*错误；
且时，，据此可知选项*B*错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
2\. 若把单词"*error*\"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
结合排列组合的知识，利用分步乘法计数原理求得5个字母排成一排所有可能的写法的种数，则可确定错误写法的种数.
【详解】解：将5个字母排成一排，可分三步进行：
第一步：排*e*,*o*，共有种排法；
第二步：排三个*r*，共有种排法；
将5个字母排成一排共有种排法，
可能出现的错误写法的种数为种；
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够采用分步的方式，确定所有可能的结果的种数.
3\. 的展开式中*x*^3^*y*^3^的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
4\. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
5\. 设函数为*R*上的增函数，*a*、，则是的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先证充分性，若，则，，根据函数为*R*上的增函数结合不等式的基本性质求解，必要性，采用反证法，假设，，根据函数为*R*上的增函数结合不等式的基本性质求解.
【详解】若，则，，
因为函数为*R*上的增函数，
所以，
由不等式的加法得：
，
故充分；
反之，若，假设，，
因为函数为*R*上的增函数，
所以，
由不等式的加法得：
，与题设矛盾，
则假设不成立，故必要；
故选：C
【点睛】本题主要考查充要条件的判断以及函数单调性，不等式的基本性质和反证法的应用，属于基础题.
6\. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件*A*为"4个人去的景点不完全相同"，事件*B*为"小赵独自去一个景点"，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.
【详解】设事件 "4个人去的景点不相同"，
事件 "小赵独自去一个景点"，
则（*A*），
（*B*），
，
则
故选：A
【点睛】本题主要考查分组分配问题、古典概型概率公式，考查了条件概率的求解，属于中档题.
7\. 已知函数是定义在*R*上的奇函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数满足，得到函数的周期是8，再由时，，且函数是定义在*R*上的奇函数，将转化求解.
【详解】因为函数满足，
所以，
所以函数的周期是8，
又当时，，且函数是定义在*R*上的奇函数，
所以，
，
，
.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.
8\. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.
详解：令，因为，
所以
因此解集为 ，
选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
**二、多选题：（选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）**
9\. 对于函数，下列判断正确的是（ ）
A.
B. 当时，方程有唯一实数解
C. 函数的值域为
D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐项判断即可.
【详解】解：，故为奇函数，对于A，令，即，正确，故A正确；
当时，，
在上单调递增，
又，，且是奇函数，
的值域为．
的单调增区间为．
故B正确，C错误，
∵的单调增区间为，故，正确．D正确；
故选：ABD．
【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性值域等性质，属于中档题．
10\. 设，*a*，.若无实根，则下列结论成立的有（ ）
A. 当时， B. ，
C. ， D. ，使得成立
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意分析可推出的图像恒在的上方，即恒成立，可判断选项A，B；
设，利用恒成立，判断C D即可.
【详解】若无实根，
因为对应的抛物线开口向上，
所以的图像恒在的上方，
即成立，故B正确；
当时，，故A正确；
由成立，
可设，
则，
即，，故C正确；D不正确.
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求解不等式的问题.属于较易题.
11\. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A. 1个极大值点，2个极小值点 B. 2个零点
C. 0个零点 D. 2个极小值点，无极大值点
【答案】AC
【解析】
【分析】
由图像知，根据函数有一个极大值点，两个极小值点，判断的符号即可得出A正确；，，则，则没有零点, C正确.
详解】解：
直线与曲线相切于两点，
有两个根，且，
由图象知，则
即，则函数，没有零点，故C正确.
函数有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，
设的三个极值点分别为，不妨设，
则，
①当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
> 即，，所以在递减，
②当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
③当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以递减，
④当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
综合①②③④有，有1个极大值点，2个极小值点，故A正确.
故选：AC.
【点睛】考查函数零点以及极值点个数的判断，函数的零点个数转化为方程解的个数或与轴交点的个数，函数的极值点个数转化为其导函数变号零点的个数，中档题.
12\. 已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，
即，由此可判断D.得选项.
【详解】设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；
设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；
，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；
当时，，故，函数单调递增，
故，
即，又，所以，
所以，所以有，故 D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.
**三、填空题：（每题5分，共20分）**
13\. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
14\. 已知*A*为抛物线上一点，点*A*到*C*的焦点的距离为12，到*y*轴的距离为9，则\_\_\_\_\_\_.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据点*A*到*C*的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到，然后由点*A*到*y*轴的距离为9，得到求解.
【详解】设抛物线的焦点为*F*，因为点*A*到*C*的焦点的距离为12，
所以由抛物线的定义知，
又因为点*A*到*y*轴的距离为9，
所以，
所以 ，
解得.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.
15\. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 \_\_\_\_\_
【答案】
【解析】
设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A＋B＋AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P＝×＝.
16\. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据题意求得的取值，结合题意，求得其分布列，则，得解.
【详解】根据题意可知，可取，
；
（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）
；
（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；
第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；
第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）
.
故.
故答案为：；.
【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.
**四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 记函数的定义域、值域分别为集合*A*，*B*.
（1）当时，求；
（2）若""是""的必要不充分条件，求实数*a*的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由对数函数的定义域和值域求得集合*A*，*B*.根据集合的交集运算可得答案；
（2）由已知条件可得是的真子集，从而可求得的取值范围．
【详解】（1）时，，由得，即，
由得，
∴；
（2）""是""的必要不充分条件，则是的真子集，若，
则由得，即，与（1）类似得，不合题意，
若，则，即，满足题意，
若，则，，，满足题意．
综上的取值范围是．
【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题.
18\. 设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为*A*，*O*为坐标原点，点*O*到直线的距离为，为等腰直角三角形.
（1）求椭圆*C*的标准方程；
（2）若倾斜角为45°的直线经过椭圆*C*的右焦点，且与椭圆*C*交于*M*，*N*两点（*M*点在*N*点的上方），求线段与的长度之比.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出直线的方程，由点*O*到直线的距离可得，为等腰直角三角可得，结合即可得到椭圆标准方程.
（2）写出经过右焦点，倾斜角为45°的直线方程并与椭圆方程联立，可得和，从而得到所求长度之比.
【详解】（1）由题意可知：直线的方程为，即，
点*O*到直线的距离为，则，
因为为等腰直角三角形，所以，可得，
又，可解得，，，
所以椭圆*C*的标准方程为.
（2）倾斜角为45°的直线经过椭圆*C*的右焦点，则直线方程为，
联立，得，所以或，
所以.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分析能力和计算能力，属于基础题.
19\. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
学生序号 1 2 3 4 5 6 7
数学成绩 60 65 70 75 85 87 90
物理成绩 70 77 80 85 90 86 93
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，
---- ---- ----- -----
76 83 812 526
---- ---- ----- -----
【答案】（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】
【分析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
20\. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在*R*上有局部对称点，求实数*m*的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）设，可求出的解为，从而可知当时，成立，即可证明函数在区间内必有局部对称点；
（2）由题意知在*R*上有解，令，则在上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在上根的个数，得到关于的不等式，从而可求出实数*m*的取值范围.
【详解】证明：（1）设，则，令，则，
解得，即当时，，即成立，
即函数在区间内必有局部对称点
解：（2），则在*R*上有解.
即在*R*上有解，
于是（\*）在*R*上有解.
令，则，所以方程（\*）变为，
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递减；
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递增；
故，从而已知即在上有解.
设（），分为两种情况：
①当方程有在唯一解时：
则或，
解得，；解得，，
则；
②当方程在有两个解时：.
综上得.
【点睛】本题考查了换元法的应用，考查了由二次函数零点的分布求参数的取值范围.在第二问中，通过换元将函数在*R*上有局部对称点问题，转化为在上有解.已知二次函数的零点求参数的取值范围时，常依据与0的大小关系，对称轴、区间端点的函数值列关于参数的不等式.
21\.
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ） \[，0\]．
【解析】
【分析】
【详解】，令，当时，的情况如下：
-- ---- --- -- --- ----
\+ 0 0 \+
0
-- ---- --- -- --- ----
所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：
-- -- --- ---- --- --
0 \+ 0
0
-- -- --- ---- --- --
所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是\[，0\]．
22\. 设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，令，由，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．．可得函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．即可证明结论．
（2）由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．
【详解】证明：（1）因为，定义域为
所以；
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，.
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以函数在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点
（2）由题意，，即，
从而，即，
因为当时，，又，故.
两边取对数，得
于是，整理得.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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纠错日记
2020.8.5
{width="2.9368055555555554in" height="7.415277777777778in"}
天体比例式：π少了平方，虽然不影响结果感谢"Kaito"纠错
{width="3.020138888888889in" height="4.613888888888889in"}
功能笔记：功 A-\>D 而不是A-\>C,感谢"\#"纠错
【之后纠错】
【你看到的图片都是已经修改好的】
【只需要找到对应的地方对于和图片的差异，如果和图片内容一样说明无需纠错】
{width="7.268055555555556in" height="4.239583333333333in"}
功能笔记：若选A为零势能面，并非C,感谢"\#"纠错
{width="7.268055555555556in" height="10.24236111111111in"}
{width="7.268055555555556in" height="10.123611111111112in"}
8.20
{width="7.268055555555556in" height="10.238888888888889in"}
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**南充市二〇二〇年初中学业水平考试**
**数学试卷**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.若，则x值是 （ ）
A. 4 B. C. D. ﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解分式方程即可求得x的值．
【详解】解：，去分母得，
∴，
经检验，是原方程的解
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
2.2020年南充市各级各类学校学生人数约为1 150 000人，将1 150 000 用科学计数法表示为（ ）
A. 1.15×10^6^ B. 1.15×10^7^ C. 11.5×10^5^ D. 0.115×10^7^
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1150000用科学计数法表示为：1.15×10^6^，
故选：A．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位．
3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】A
【解析】
【分析】
B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π．
【详解】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
4.下列运算正确的是（ ）
A. 3a+2b=5ab B. 3a·2a=6a^2^ C. a^3^+a^4^=a^7^ D. (a-b)^2^=a^2^-b^2^
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可．
【详解】A．不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．3a·2a=6a^2^，此选项正确；
C．不是同类项，不能合并，此选项错误；
D．(a-b)^2^=a^2^-2ab+b^2^，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题的关键．
5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A. 该组成绩的众数是6环 B. 该组成绩的中位数数是6环
C. 该组成绩的平均数是6环 D. 该组成绩数据的方差是10
【答案】D
【解析】
分析】
根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；\
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；\
C、该组成绩的平均数是：（4+5+6+6+6+7+8）=6（环），故本选项正确；\
D、该组成绩数据的方差是：
，故本选项错误；\
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
6.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
A. B. C. a-b D. b-a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，\
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，\
∴∠ABD=36°=∠A，\
∴BD=AD，\
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，\
∴BD=BC，\
∵AB=AC=a，BC=b，\
∴CD=AC-AD=a-b，\
故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
7.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝ =S；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
8.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，
\
由勾股定理得，，\
∵，\
∴，\
∴．\
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax^2^的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，\
当抛物线经过（3，1）时，a=，\
观察图象可知≤a≤3，\
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求次函数y=ax^2^-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴x~1~=2+m与x~2~=2-m关于直线x=2对称，\
∴对任意实数m，都有x~1~=2+m与x~2~=2-m对应的函数值相等；\
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，\
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，\
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，\
∴，\
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，\
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，\
∴，\
故②正确；\
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，\
∴△＞0，25a-20a-5≥0，\
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，\
∴△＞0，25a-20a-5≤0，\
∴
∴a＜，\
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；\
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）**
11.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．
【详解】解：
=-1+1
=
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】38
【解析】
【分析】
直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
13.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任选3条，能构成三角形的概率为\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组数，就可求出概率．
【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有：\
（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）\
共4个结果，\
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，\
其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况，\
故能构成三角形的概率是．
故答案为：.
【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔\_\_\_\_\_\_\_支．
【答案】10
【解析】
【分析】
首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可得，根据x最大且又能被5整除，即可求解．
【详解】设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则，
∵x最大且又能被5整除，y是正整数，
∴x=10，
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．
15.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据，代入化简即可得到结果．
【详解】解：
故答案为：-2
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，tanD=3，则AB=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
过C作CH⊥AE于H点，由旋转性质可得，根据三角函数可求得AC，BC长度，进而通过解直角三角形即可求得AB长度．
【详解】解：过C作CH⊥AE于H点，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴，
∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2，
∴HE=1，CH=3，
∴AC=CE=，
∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3，
∴BC=，
∴AB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
**三、解答题：本大题共9个小题，共86分．**
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
【答案】详见解析
【解析】
分析】
根据*ABBD*，*DEBD*，*ACCE*，可以得到， ，，从而有，可以验证和全等，从而得到*AB*=*CD*．
【详解】证明：
∵，，
∴
∴，
∴
在和中
∴≌
故．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．
19.今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示：
（1）计算赴B国女专家和D国男专家的人数，并将条形统计图补充完整;
（2）根据需要，从赴A国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）1，3，图详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出B国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求D国专家的总人数，然后减去女专家人数即可；
（2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可．
【详解】解：（1）国女专家：（人），
国男专家：（人），
（注：补全条形图如图所示）
；
（2）从5位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是：
----- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
男1 男2 女1 女2 女3
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
----- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有20种情况，并且出现的可能性相等，
其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
则抽到一男一女专家的概率为：．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题关键．
20.已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x~1~＋x~2~＝2，x~1~x~2~＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵，
∴
即，解得．
又由（1）知：，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记"当△≥0时，方程有两个实数根"；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
21.如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）；（2）10
【解析】
【分析】
（1）求出点D的坐标即可解决问题；
（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．
【详解】解：（1）由点在上，则，
∴，
∵轴，与反比例函数图象交于点，且
∴，即，
∴，反比例函数解析式为；
（2）∵是直线与反比例函数图象的交点
∴，
∵
∴，则
∴，，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF=，求tan∠EAD的值．
【答案】（1）直线与圆相切，证明详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接*OD*，由*OA*＝*OD*知∠*OAD*＝∠*ODA*，由*AD*平分∠*EAF*知∠*DAE*＝∠*DAO*，据此可得∠*DAE*＝∠*ADO*，继而知*OD*∥*AE*，根据*AE*⊥*EF*即可得证；
（2）根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）直线与圆相切
理由如下：连接
∵平分
∴
∵
∴
∴
由，得
∵点在圆上
∴是圆的切线
（2）由（1）可得，在中，，，
由勾股定理得
∵
∴
即，得，
∴在中，
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第*x*（0＜*x*≤20）个生产周期设备售价*z*万元/件，*z*与*x*之间的关系用图中的函数图象表示，求*z*关于*x*的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第*x*个生产周期生产并销售的设备为*y*件，*y*与*x*满足关系式*y*=5*x*+40（0＜*x*≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）
【答案】（1）；（2）工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【解析】
【分析】
（1）由图像可知，当，函数为常数函数*z*=16；当，函数为一次函数，设函数解析式为，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到*z*关于*x*的函数解析式；
（2）根据*x*的不同取值范围，*z*关于*x*的关系式不同，设*W*为利润，当，，可知*x*=12时有最大利润；当，，当时有最大利润．
【详解】解：（1）由图可知，当时，
当时，是关于的一次函数，设
则，得，即
∴关于的函数解析式为
（2）设第个生产周期工厂创造的利润为万元
①时，
当时，（万元）
②时，
当时，（万元）
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，能根据图像找到函数所过点；
（2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键．
24.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM=BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．
【答案】（1）详见解析；（2）是等腰直角三角形，理由详见解析；（3），长为或3．
【解析】
【分析】
（1）由"AAS"可证△ABM≌△BCN，可得AM＝BN；
（2）连接OB，由"SAS"可证△AOM≌△BON，可得MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性质可得∠MON＝90°，可得结论；
（3）由勾股定理可求BK的值，由，四边形ABCD是正方形，可得：，，则可求得，由三角形面积公式可求得；点K在射线AD上运动，分两种情况：当点*K*在线段*AD*上时和当点*K*在线段AD的延长线时分别求解即可得到结果．
【详解】解：（1）证明：
∵
∴
又∵
∴
∴
又
∴≌（*AAS*）
∴
（2）是等腰直角三角形
理由如下：连接，
∵为正方形的中心
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴，即
∵
∴≌（*SAS*）
∴，
∵
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴
∴等腰直角三角形．
（3）在中，
由，四边形ABCD是正方形，
可得：，
∴，
∴，得：
∴，得：
∴
∴
即：
当点K在线段AD上时，则，
解得：*x*~1~＝3（不合题意舍去），，
当点K在线段AD的延长线时，同理可求得
∴，
解得：*x*~1~＝3，（不合题意舍去），
综上所述：长为或3时，△*OMN*的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键．
25.已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=，求点K的坐标．
【答案】（1）；（2）线段上存在，使得，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点坐标为： 或或或．
【解析】
【分析】
（1）设二次函数的解析式为，将点*C*坐标代入可求解；
（2）利用中点坐标公式可求*P*（﹣1，2），点*Q*（2，2），由勾股定理可求*BC*的长，由待定系数法可求*PB*解析式，设点*M*，由两点距离公式可得，可求或，即可求解；
（3）过点*D*作*DE*⊥*BC*于点*E*，设直线*DK*与*BC*交于点*N*，先求出，，由锐角三角函数可求，分*DK*与射线*EC*交于点和*DK*与射线*EB*交于两种情况讨论，求出直线*DK*解析式，联立方程组可求点*K*坐标．
【详解】
解：（1）二次函数的图象过点
设二次函数解析式为
又二次函数的图象过点，
∴，即
故二次函数解析式为
（2）线段上存在，使得，理由如下：
设中点为，由题意，易知的坐标为，
若，则
∵，∴≈的中点为
设所在的直线为，则，得
所在的直线为
在线段上，设的坐标为，其中
如图1，分别过，作轴与轴的垂线，，设，相交于点，
∴
∵
∴
整理得，解得或
当时，，重合，不合题意（舍去）
∴，则的坐标为
故线段上存在，使得
（3）如图2，过点作于点，设直线与交于点
∵
∴
∵
∴直线
在中
①若与射线交于点
∴
∴
∴
∴直线
∴
解得或
②若与射线交于点
∴
∴
∴
∴直线
，解得或
综上所述，抛物线上符合条件的点坐标为：
或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师****大版(秋)**
**第1单元 第四节：开会啦**
一、算一算。
14-7= 4+3= 13-6=
6+2= 12-5=
二、填一填。
（1）
（2）
> **15-（ ）=7 4+（ ）=11\[来源:学\*科\*网\]**
>
> **11-（ ）=5 （ ）-9=3**
三、按得数大小排起来。\[来源:Zxxk.Com\]
11-5 3+10 12-8 5+6 14-9
（ ）＜（  ）＜（ ）＜（  ）＜（ ）
四、算一算。
12-6= 7-4= 11-5=
7-4= 15-9=
五、填表。
------ ------------------------- --------- --------- ------
原有 吃去 还剩 算式
西瓜 12个\[来源:Z§xx§k.Com\] 3个 （ ）个
菠萝 （ ）个 8个 5个
香蕉 16根 （ ）根 7根
------ ------------------------- --------- --------- ------
六、应用题。
1、天天一共钓了13条鱼，送给爷爷6条，还剩几条？
2、每人都有16颗糖。
（1）小英还有7颗糖，猜猜吃了几颗？
（2）小云吃了8颗，还剩下多少颗？
**3、有13只小熊，8个杯子，每只小熊一个杯子，还缺几个杯子？**
**4、有9块饼干，17个小朋友，每人1块饼干，还差几块饼****干？**
**答案**
一、
14-7=7 4+3=7 13-6=7
6+2=8 12-5=7
二、
（1）铅笔7枝 雨伞卖出9把 玩具车原有16辆 衣服卖出8件
（2）
> **15-（8 ）=7 4+（7 ）=11**
>
> **11-（6 ）=5 （12 ）-9=3**
三、
12-8 ＜ 14-9 ＜11-5 ＜ 5+6 ＜ 3+10
四、
12-6=6 7-4=3 11-5=6
7-4=3 15-9=6
五、
------ ----------- ---------- ---------- --------------------------------
原有 吃去 还剩 算式
西瓜 12个 3个 （9 ）个 12-3=9\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
菠萝 （13 ）个 8个 5个 13-8=5\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
香蕉 16根 （ 9）根 7根 16-9=7
------ ----------- ---------- ---------- --------------------------------
六、
1、 13－6=7条  答：还剩7条。
2、
> （1）16－7=9颗 答：吃了9颗。
>
> （2）16－8=8颗 答：还剩8颗。
**3、 13－8=5个 答：还缺5个杯子。**
**4、 17－9=8块 答：还差8块饼干。**
| 1 | |
**2020-2021学年吉林省长春市长春新区五年级（上）期末数学试卷**
**一、选择题。（每题1分，共10分）**
1．（1分）同学们用彩带做蝴蝶结，西西的彩带长1米，（ ）的彩带和她的一样长。
A．乐乐：米 B．华华：米 C．婷婷：米
2．（1分）著名的"哥德巴赫猜想"有一个命顾是，每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。下面式子中体现这个猜想的是（ ）
A．18＝1+17 B．8＝2+6 C．20＝7+13
3．（1分）如图算式中表示的是（ ）
> 
A．35个一 B．35个0.1 C．35个0.01
4．（1分）下面哪幅图中的涂色部分能用分数表示？（ ）
A． B．
C．
5．（1分）爸爸要用地砖铺客厅地面（见图），要想不浪费材料（用整块地砖），选择边长（ ）分米的地砖比较合适。
> 
A．6*dm* B．12*dm* C．10*dm*
6．（1分）下面两个省的地图是奇思从同一幅中国地图上描画下来的。北京的面积约是1.6万*km*^2^，那么海南的面积约是（ ）
> 
A．1.5万*km*^2^ B．3.5万*km*^2^ C．4000000*m*^2^
7．（1分）同学们玩摸球游戏，每次摸一个球，记下颜色后放回，摇匀后再摸，乐乐摸了50次，结果如表所示，乐乐摸的应该是（ ）盒子。
---- ---- ----
红 白 黄
44 3 3
---- ---- ----
A． B．
C．
8．（1分）世界上最大的鼠产于南美洲，体重可达50千克。世界上最小的鼠生活在泰国的热带丛林中，体重约0.002千克。最大鼠的体重是最小鼠的（ ）倍。
A．25000 B．2500 C．250
9．（1分）东东和亮亮下围棋，转动转盘决定谁先走，下面（ ）种方式公平。
> 
A．指针指向奇数东东先走，指向偶数亮亮先走
B．指针指向质数东东先走，指向合数亮亮先走
C．指针指向2的倍数东东先走，指向3的倍数亮亮先走
10．（1分）
> 如果按照图中的规律从左往右继续摆，那么第四个图形将是（ ）
A． B．
C．
**二、填空题。（每空1分，共27分）**
11．（4分）＝＝2÷[ ]{.underline}＝＝[ ]{.underline}（填循环小数）。
12．（4分）在数线上面的（ ）里填上适当的真分数或假分数，在数线下面的（ ）里填上适当的带分数。
> 
13．（4分）在2，9，13和18中，既是偶数又是质数的是[ ]{.underline}；既是奇数又是合数的是[ ]{.underline}；既是18的因数又是18的倍数的数是[ ]{.underline}；[ ]{.underline}只有三个因数。
14．（3分）的分数单位是[ ]{.underline}，有[ ]{.underline}个这样的分数单位，再添上[ ]{.underline}个这样的分数单位就是最小的质数．
15．（1分）如图中梯形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
16．（2分）奇思收集了127枚邮票。
> （1）至少增加[ ]{.underline}枚后，总数就是5的倍数；
>
> （2）至少减去[ ]{.underline}枚后，总数就是3的倍数。
17．（4分）比较大小，在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
--------------- ------------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------
1.5÷0.25〇1.5 4.2×100〇4.2÷0.01 〇 〇
--------------- ------------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------
18．（1分）如图，蚱蜢每次跳6个格，蟋蟀每次跳4个格，它们都从"0"开始起跳，想一想，它们第一次跳到的相同的数是[ ]{.underline}。
> 
19．（1分）如图，将一个平行四边形切割平移后转化成了一个长为7厘米、宽为4厘米的长方形，这个平行四边形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
20．（2分）
> 的个数是的[ ]{.underline}。
>
> 的个数是的[ ]{.underline}。
21．（1分）如图，把一个梯形分成一个三角形和一个平行四边形，三角形的面积是12*cm*^2^，平行四边形的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
> 
**三、计算题（共24分）**
22．（8分）直接写得数。
----------- ------------ ------------ --------
①4.5+3＝ ②1.5÷5＝ ③2.4÷0.6＝ ④0÷5＝
⑤0.18÷2＝ ⑥9.6÷100＝ ⑦1÷0.01＝ ⑧2÷4＝
----------- ------------ ------------ --------
23．（7分）用竖式计算。
---------- ------------ -----------
3.5÷14＝ 39.52÷13＝ ★91÷2.6＝
---------- ------------ -----------
24．（9分）脱式计算。
------------- ------------------ --------------
16.8÷7÷0.12 1.5×（4.32÷1.2） 10﹣1.6÷0.64
------------- ------------------ --------------
**五、画一画或算一算。**
25．（2分）9根香肠平均分给4只小狗，每只小狗分到[ ]{.underline}根香肠。
26．（3分）（1）画出平行四边形的一条高。
> （2）将平行四边形向右平移5格，画出平移后的图形。
>
> 
27．（2分）在如图中选6个方格涂色，使它们以虚线为对称轴构成一幅轴对称图形。
> 
**五、解决问题。（每小题4分，共32分）**
28．（4分）2020年《读者》每期零售价格为9.9元，网上预订全年刊物售价为172.8元，网上预订比零售每期的价格便宜多少元？
> 
29．（4分）一个三角形彩旗的面积是1000平方厘米，高是50厘米，这个彩旗高对应的底是多少厘米？
> 
30．（4分）生活垃圾一般可分为四大类，分别是可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其它垃圾。据调查，一个人4周可产生约30.8千克生活垃圾。请你算一下，一个五口之家，一周要产生多少千克生活垃圾？
31．（4分）净月潭国家森林公园有一条长12千米的木质栈道，张叔叔在栈道上徒步锻炼，2.6小时后还剩0.3千米没有走完。张叔叔平均每时走多少千米？
> 
32．（4分）张老师使用手机流量上网，4周共用流量1.68*G*（*G*是手机上网流量的单位），张老师平均每天使用多少*G*流量？
33．（4分）冬冬的姐姐从美国给冬冬寄回一本英文原版小说《哈利波特与魔法石》，折合人民币多少元？（1美元兑换人民币6.57元）（得数保留两位小数）
> 
34．（4分）李老师用纸板做了一个教具（如图），请你在图上画一画，算一算，至少需要多少平方分米的纸板。
> 
35．（4分）鸡兔同笼，共11个头，38条腿，鸡和兔各有几只？（用表格列举，找到答案。）
---------------- -- -- -- -- -- -- -- --
鸡的只数（只）
兔的只数（只）
腿的只数（只）
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**2020-2021学年吉林省长春市长春新区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题。（每题1分，共10分）**
1．【分析】将要比较的三个分数化为带分数，能约分的先约分，然后与1进行比较即可。
> 【解答】解：＝1＞1
>
> ＜1
>
> ＝＝1
>
> 答：婷婷的彩带和她的一样长。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查了分数大小的比较，属于基础题型，较为简单。
2．【分析】奇质数的含义是这个数既是奇数，也是质数。哥德巴赫猜想"有一个命顾是，每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。然后分别对*A*、*B*、*C*选项中的式子进行分析，利用排除法解决问题即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> *A*.18＝1+17，1是奇数，但不是质数，故排除；
>
> *B*.8＝2+6，2，6都是偶数，故排除；
>
> *C*.20＝7+13，7和13都是奇质数，故符合猜想。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查奇数和偶数、质数与合数的认识。利用排除法解决问题即可。
3．【分析】根据除数是整数的小数除法，28.5÷5，先用28除以5，商5，余3，落下十分位上的5，与个位上的3合起来是35个十分之一，也就是35个0.1，据此解答。
> 【解答】解：根据题意与分析可得：
>
> 算式中表示的是35个十分之一，也就是35个0.1。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】考查了除数是整数的小数除法的计算方法的灵活运用。
4．【分析】图*A*、5个相同的圆，把每个圆的面积看作单位"1"，把它平均分成3份，每份是1个圆的，这样的5份涂色，表示；
> 图*B*、把整个长方形的面积看作单位"1"，把它平均分成5份，每份是它的，其中3份涂色，表示；
>
> 图*C*、把这6个五角星的个数看作单位"1"，每个五角星是总个数的，其中3个涂色，表示。
>
> 【解答】解：涂色部分表示；
>
> 涂色部分表示；
>
> 涂色部分表示。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题是考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
5．【分析】要想不浪费材料（用整块地砖），就是求客厅长60*dm*，宽50*dm*两个数的公因数，据此解答即可。
> 【解答】解：60和50的公因数有1，2，5，10。
>
> 所以选择边长为1*dm*，2*dm*，5*dm*，10*dm*的地砖比较合适。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查求两个数的公因数，能够根据求公因数的方法解决有关的实际问题。
6．【分析】从图上可以看出，海南的面积要比北京的面积大，海南的面积大约是北京的面积的2倍多，据此判断即可。
> 【解答】解：*A*、1.5万*km*^2^＜1.6万*km*^2^，故此选项错误。
>
> *B*、3.5万*km*^2^是1.6*km*^2^的两倍多一点，故此选项正确。
>
> *C*、4000000*km*^2^＝40万*km*^2^，40万是1.6倍的25倍，故此选项错误。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】用比较法就可以明显看出哪个面积比较符合。
7．【分析】乐乐摸了50次，红球出现了44次，白球出现了3次，黄球出现了3次，红球出现的次数远高于白球和黄球出现的次数；由此可以判断出：红球最多，白球和黄球出现的次数相等，乐乐摸的可能性是*B*号箱子；据此解答即可。
> 【解答】解：红球出现的次数远高于白球和黄球出现的次数
>
> 所以红球最多，白球和黄球出现的次数相等，乐乐摸的可能性是*B*号箱子。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查可能性的大小，某种情况所占的份数越多出现该情况的可能性就越大，根据日常生活经验判断。
8．【分析】要求最大鼠的体重是最小鼠的几倍，用最大鼠的体重除以最小鼠的体重，即50÷0.002。
> 【解答】解：50÷0.002＝25000
>
> 答：最大鼠的体重是最小鼠的25000倍。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】求一个数是另一个数的几倍，用除法进行解答。
9．【分析】奇数和偶数的个数不相同，所以按照奇数和偶数分不公平；2的倍数和3的倍数的个数也不相同，所以按照2的倍数和3的倍数的个数分也不公平；所以按照质数和合数分公平。
> 【解答】解：*A*：奇数有5个，偶数有4个，个数不同，所以不公平；
>
> *B*：质数有4个，合数有4个，个数相同，所以公平；
>
> *C*：2的倍数有4个，3的倍数有3个，个数不同，所以不公平。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】掌握奇数、偶数、质数、合数的概念，掌握2和3的倍数的特征。
10．【分析】认真观察，第一个有1层，1个正方形；第二个有2层，第一层1个正方形，第二层2个正方形；第三个有3层，第一层1个正方形，第二层2个正方形，第三层3个正方形；推出第四个有4层，据此解答。
> 【解答】解：第四个有4层，第一层1个正方形，第二层2个正方形，第三层3个正方形，第四层4个正方形；
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键。
**二、填空题。（每空1分，共27分）**
11．【分析】＝＝根据分数的基本性质解题，根据分数与除法的关系解题，＝0.666...根据分数与除法的关系计算即可。
> 【解答】解：＝＝2÷3＝＝0.666...。
>
> 【点评】此题主要考查分数的基本性质，分数与除法的关系。利用它们之间的关系进行转化即可。
12．【分析】根据假分数与带分数的互化方法，把假分数化成带分数，用分子除以分母，商作带分数的整数部分，余数作分子，分母不变；把带分数化成假分数，用整数与分母相乘的积加上原来的分子作分子，分母不变；据此解答。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 故答案为：，，，。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解分数的意义，掌握假分数与带分数的互化方法。
13．【分析】2＝2×1，9＝3×3，13＝1×13，18＝2×3×3，所以偶数有2，18；奇数有9，13；质数有2，13；合数有9，18。18的因数有1，2，3，6，9，18，倍数有18，36，...。9的因数有1，3，9。据此解决问题即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 在2，9，13和18中，既是偶数又是质数的是2；
>
> 既是奇数又是合数的是9；
>
> 既是18的因数又是18的倍数的数是18；
>
> 9只有三个因数。
>
> 故答案为：2；9；18；9。
>
> 【点评】本题综合考查奇数与偶数、合数与质数、找一个数的因数、倍数的方法。具体问题具体对待即可。
14．【分析】（1）判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；一个分数有几个分数单位，看分子，分子是几，就有几个分数单位；
> （2）最小的质数是2，用2减去原分数的结果，再看有几个分数单位即可解答．
>
> 【解答】解：（1）1化成假分数是，的分母是3，所以分数单位是；的分子是5，所以有5个这样的分数单位；
>
> （2）最小的质数是2，所以2﹣1＝，所以再添上 1个这样的分数单位就是最小的质数．
>
> 故答案为：，5，1．
>
> 【点评】此题主要考查分数的单位：把单位"1"平均分成几份，表示其中一份的数就是它的分数单位，分子是几，就有几个分数单位；也考查了最小的质数是2．
15．【分析】根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：（4+7）×4÷2
>
> ＝11×4÷2
>
> ＝44÷2
>
> ＝22（平方厘米）
>
> 答：这个梯形的面积是22平方厘米。
>
> 故答案为：22。
>
> 【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．【分析】是5的倍数的特征：个位上是0或5的数；3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，据此分析解答。
> 【解答】解：（1）5的倍数的特征：个位上是0或5，
>
> 127个位上是7，至少增加3，就是5的倍数；
>
> （2）1+2+6＝9，是3的倍数，7﹣6＝1，
>
> 至少减去1后，就是3的倍数。
>
> 故答案为：3，1。
>
> 【点评】本题主要考查了5的倍数的特征和3的倍数的特征，熟练掌握3、5倍数的特征是解决此题的关键。
17．【分析】一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数，所以1.5÷0.25＞1.5；
> 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，4.2×100＝4.2÷0.01；
>
> ＜1，＞1，所以＜；
>
> ＝0.625，≈0.57，所以＞。
>
> 【解答】解：
--------------- ------------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------
1.5÷0.25＞1.5 4.2×100＝4.2÷0.01 ＜ ＞
--------------- ------------------- -------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------
> 故答案为：＞，＝，＜，＞。
>
> 【点评】此题主要考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法。
18．【分析】求出6和4的最小公倍数，即为他们第一次跳到的相同的数，据此解答。
> 【解答】解：6和4的最小公倍数是12，所以它们第一次跳到的相同的数是12。
>
> 答：它们第一次跳到的相同的数是12。
>
> 故答案为：12。
>
> 【点评】解答本题的关键是把问题转化为求最小公倍数问题。
19．【分析】根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把一个平行四边形转化为长方形后，面积不变。根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：7×4＝28（平方厘米）
>
> 答：这个平行四边形的面积是28平方厘米。
>
> 故答案为：28。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【分析】（1）有9个，有5个，求的个数是几倍，用的个数除以的个数。
> （2）的个数是几分之几，用的个数除以的个数。
>
> 【解答】解：（1）9÷5＝
>
> 的个数是的。
>
> （2）5÷9＝
>
> 的个数是的。
>
> 故答案为：，。
>
> 【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
21．【分析】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法解答。
> 【解答】解；12×2＝24（平方厘米）
>
> 答：平行四边形的面积是24平方厘米。
>
> 故答案为：24。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的平行四边形与三角形面积之间的关系及应用。
**三、计算题（共24分）**
22．【分析】根据小数加法和除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
--------------- ----------------- -------------- -----------
①4.5+3＝7.5 ②1.5÷5＝0.3 ③2.4÷0.6＝4 ④0÷5＝0
⑤0.18÷2＝0.09 ⑥9.6÷100＝0.096 ⑦1÷0.01＝100 ⑧2÷4＝0.5
--------------- ----------------- -------------- -----------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
23．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算，注意验算。
> 【解答】解：3.5÷14＝0.25
>
> 
>
> 39.52÷13＝3.04
>
> 
>
> 91÷2.6＝35
>
> 
>
> 【点评】考查了小数除法的笔算，根据其计算方法进行计算，注意验算。
24．【分析】（1）按照从左到右的顺序计算；
> （2）先算小括号里面的除法，再算括号外面的乘法；
>
> （3）先算除法，再算减法。
>
> 【解答】解：（1）16.8÷7÷0.12
>
> ＝2.4÷0.12
>
> ＝20
>
> （2）1.5×（4.32÷1.2）
>
> ＝1.5×3.6
>
> ＝5.4
>
> （3）10﹣1.6÷0.64
>
> ＝10﹣2.5
>
> ＝7.5
>
> 【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
**五、画一画或算一算。**
25．【分析】根据除法平均分的意义，把9根香肠平均分给4只小狗，求每只小狗分几根香肠，用9除以4即可，据此解答。
> 【解答】解：9÷4＝2（根）......1（根）
>
> 答：每只小狗分到2根香肠。
>
> 故答案为：2。
>
> 【点评】本题主要考查了有余数除法的意义和计算方法，注意余数一定小于除数。
26．【分析】（1）在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高。
> （2）根据平移的特征，把平行四边形的各顶点分别向右平移5格，依次连结即可得到平移后的图形。
>
> 【解答】解：（1）画出平行四边形的一条高（图中红色虚线，画法不唯一）。
>
> （2）将平行四边形向右平移5格，画出平移后的图形（图中绿色部分）。
>
> 
>
> 【点评】作平面的图形的高，通常用虚线，并标出垂足；图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。
27．【分析】涂法不唯一。根据轴对称图形的意义，如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴，即可在对称轴两边各涂3个方格，使它们以虚线为对称轴构成一幅轴对称图形。
> 【解答】解：
>
> 
>
> （涂法不唯一）。
>
> 【点评】解答此题的关键是记住轴对称图形的意义（或特征）。
**五、解决问题。（每小题4分，共32分）**
28．【分析】根据题意可知，网上预订全年刊物售价为172.8元，全年一共有24期，那么网上预订一期的价格就是172.8÷24＝7.2（元），那么网上预订比零售每期的价格便宜9.9﹣7.2＝2.7（元），按此即可解出。
> 【解答】解：172.8÷24＝7.2（元）
>
> 9.9﹣7.2＝2.7（元）
>
> 答：网上预订比零售每期的价格便宜2.7元。
>
> 【点评】先根据单价＝总价÷数量，求出网上预订一期的价格，再求解。
29．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，那么*a*＝2*S*÷*h*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：1000×2÷50
>
> ＝2000÷50
>
> ＝40（厘米）
>
> 答：这个彩旗高对应的底是40厘米。
>
> 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【分析】根据除法的意义可知，用一共的生活垃圾数量除以4周就是一个人平均每周产生的生活垃圾数量，那么五口之家就再乘5，就表示一周要产生多少千克生活垃圾，据此解答即可。
> 【解答】解：30.8÷4×5
>
> ＝7.7×5
>
> ＝38.5（千克）
>
> 答：一周要产生38.5千克生活垃圾。
>
> 【点评】本题考查了小数乘除法的意义和计算方法的应用。
31．【分析】首先根据减法的意义，用减法求出张叔叔2.6小时步行了多少千米，再根据速度＝路程÷时间，列式解答。
> 【解答】解：（12﹣0.3）÷2.6
>
> ＝11.7÷2.6
>
> ＝4.5（千米/时）
>
> 答：张叔叔平均每时走4.5千米。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用。
32．【分析】每天使用的流量等于总流量除以总天数，据此解答即可。
> 【解答】解：4周＝28天
>
> 1.68÷28＝0.06（*G*）
>
> 答：张老师平均每天使用0.06*G*流量。
>
> 【点评】考查平均数求解方法，注意把4周换算成28天。
33．【分析】用书本的价钱乘6.57，即可换算成人民币，注意保留两位小数即可。
> 【解答】解：5.1×6.57≈33.51（元）
>
> 答：折合人民币33.51元。
>
> 【点评】本题主要考查货币间的换算关系。
34．【分析】如图，这个图形的面积等于长4分米、宽2分米的长方形的面积与上底是4分米、下底是5分米、高是3﹣2＝1分米的梯形的面积之和，据此计算即可解答问题。
> 
>
> 【解答】解：4×2＝8（平方分米）
>
> （4+5）×（3﹣2）÷2
>
> ＝9×1÷2
>
> ＝4.5（平方分米）
>
> 8+4.5＝12.5（平方分米）
>
> 答：至少需要12.5平方分米的纸板。
>
> 【点评】求组合图形的面积主要是通过转化为规则图形的面积的和或差，利用规则图形的面积公式解答。
35．【分析】根据鸡有2条腿，兔子有4条腿，分别先假设从鸡有6只，兔子有11﹣6＝5只开始列表，然后根据算出腿的条数调整鸡和兔子的只数计算即可。
> 【解答】解：
---------------- ---- ---- ---- ---- -- -- -- --
鸡的只数（只） 6 5 4 3
兔的只数（只） 5 6 7 8
腿的只数（只） 32 34 36 38
---------------- ---- ---- ---- ---- -- -- -- --
> 由上表知：共有3只鸡，8只兔。
>
> 答：共有3只鸡，8只兔。
>
> 【点评】解决鸡兔同笼问题往往用假设法解答，有些应用题中有两个或两个以上的未知量，思考问题时，可以假设要求的两个或两个以上的未知量相等，或假设它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如果数量上出现矛盾，可适当调整，以求出正确的结果。
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日期：2021/4/27 15:28:40；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**2013年四川省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}
2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
5．（5分）抛物线y^2^=8x的焦点到直线的距离是（ ）
A． B．2 C． D．1
6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成\[0，5），\[5，10），...，\[30，35），\[35，40\]时，所作的频率分布直方图是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（ ）
A．48 B．30 C．24 D．16
9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F~1~，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[1，e\] B．\[1，1+e\] C．\[e，1+e\] D．\[0，1\]
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）lg+lg的值是[ ]{.underline}．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=[ ]{.underline}．
13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是[ ]{.underline}．
15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（12分）在等比数列{a~n~}中，a~2~﹣a~1~=2，且2a~2~为3a~1~和a~3~的等差中项，求数列{a~n~}的首项、公比及前n项和．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P~i~（i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
| | | | |
| 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 30 | 14 | 6 | 10 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| ... | ... | ... | ... |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 2100 | 1027 | 376 | 697 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
乙的频数统计表（部分）
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
| | | | |
| 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 30 | 12 | 11 | 7 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| ... | ... | ... | ... |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 2100 | 1051 | 696 | 353 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABC，AB=AC=2AA~1~=2，∠BAC=120°，D，D~1~分别是线段BC，B~1~C~1~的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A~1~BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD~1~A~1~；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A~1~﹣QC~1~D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）
20．（13分）已知圆C的方程为x^2^+（y﹣4）^2^=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．
21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x~1~，f（x~1~）），B（x~2~，f（x~2~））为该函数图象上的两点，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x~2~＜0，证明：x~2~﹣x~1~≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
**2013年四川省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}
【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A∩B={2}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选：D．
【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选：B．
【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
【分析】"全称命题"的否定一定是"存在性命题"据此可解决问题．
【解答】解：∵"全称命题"的否定一定是"存在性命题"，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选：C．
【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．"全称量词"与"存在量词"正好构成了意义相反的表述．如"对所有的...都成立"与"至少有一个...不成立"；"都是"与"不都是"等，所以"全称命题"的否定一定是"存在性命题"，"存在性命题"的否定一定是"全称命题"．
5．（5分）抛物线y^2^=8x的焦点到直线的距离是（ ）
A． B．2 C． D．1
【分析】由抛物线y^2^=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．
【解答】解：由抛物线y^2^=8x得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线的距离d==1．
故选：D．
【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．
6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成\[0，5），\[5，10），...，\[30，35），\[35，40\]时，所作的频率分布直方图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．
【解答】解：根据题意，频率分布表可得：
------------ ------ ------
分组 频数 频率
\[0，5） 1 0.05
\[5，10） 1 0.05
\[10，15） 4 0.20
... ... ...
\[30，35） 3 0.15
\[35，40） 2 0.10
合计 100 1.00
------------ ------ ------
进而可以作频率直方图可得：
故选：A．
【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．
8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（ ）
A．48 B．30 C．24 D．16
【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．
【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示
在坐标系中画出可行域，
平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，
则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．
经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，
则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．
z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．
故选：C．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F~1~，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒k~AB~=k~OP~⇒b=c，从而可得答案．
【解答】解：依题意，设P（﹣c，y~0~）（y~0~＞0），
则+=1，
∴y~0~=，
∴P（﹣c，），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴k~AB~=k~OP~，即==，
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e^2^====，
∴椭圆的离心率e=．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[1，e\] B．\[1，1+e\] C．\[e，1+e\] D．\[0，1\]
【分析】根据题意，问题转化为"存在b∈\[0，1\]，使f（b）=f^﹣1^（b）"，即y=f（x）的图象与函数y=f^﹣1^（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈\[0，1\]．由y=f（x）的图象与y=f^﹣1^（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈\[0，1\]．因此，将方程化简整理得e^x^=x^2^﹣x+a，记F（x）=e^x^，G（x）=x^2^﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^﹣1^（b）
其中f^﹣1^（x）是函数f（x）的反函数
因此命题"存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立"，转化为
"存在b∈\[0，1\]，使f（b）=f^﹣1^（b）"，
即y=f（x）的图象与函数y=f^﹣1^（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈\[0，1\]，
∵y=f（x）的图象与y=f^﹣1^（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^﹣1^（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈\[0，1\]，
根据，化简整理得e^x^=x^2^﹣x+a
记F（x）=e^x^，G（x）=x^2^﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为\[1，e\]
故选：A．
【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）lg+lg的值是[ 1 ]{.underline}．
【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．
【解答】解：==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=[ ]{.underline}．
【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=[ 36 ]{.underline}．
【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．
【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，
∵x∈（0，+∞），
∴得x=3必定是函数的极值点，
∴f′（3）=0，
f′（x）=4﹣，
即4﹣=0，
解得a=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解"函数在x=3时取得最小值"，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．
14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是[ （2，4） ]{.underline}．
【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．
【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），
∴AC，BD的方程分别为：，，
即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．
解方程组得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（12分）在等比数列{a~n~}中，a~2~﹣a~1~=2，且2a~2~为3a~1~和a~3~的等差中项，求数列{a~n~}的首项、公比及前n项和．
【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a~1~q﹣a~1~=2，4，解方程可求q，a~1~，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a~1~q﹣a~1~=2，4
联立可得，a~1~（q﹣1）=2，q^2^﹣4q+3=0
∴或q=1（舍去）
∴=
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影．
【解答】解：（Ⅰ）由，
可得，
即，
即，
因为0＜A＜π，
所以．
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=﹣7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P~i~（i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
| | | | |
| 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 30 | 14 | 6 | 10 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| ... | ... | ... | ... |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 2100 | 1027 | 376 | 697 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
乙的频数统计表（部分）
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
| | | | |
| 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 30 | 12 | 11 | 7 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| ... | ... | ... | ... |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 2100 | 1051 | 696 | 353 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；
（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P~1~=；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P~2~=；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P~3~=；
∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：
---- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率
甲   
乙   
---- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABC，AB=AC=2AA~1~=2，∠BAC=120°，D，D~1~分别是线段BC，B~1~C~1~的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A~1~BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD~1~A~1~；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A~1~﹣QC~1~D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）
【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A~1~BC平行．
等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA~1~⊥底面ABC，可得 AA~1~⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD~1~A~1~ ．
（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA~1~C~1~C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A~1~﹣QC~1~D的体积 ==••DE，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A~1~BC内，而BC在平面A~1~BC内，
故直线l与平面A~1~BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA~1~=2，∠BAC=120°，D，D~1~分别是线段BC，B~1~C~1~的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA~1~⊥底面ABC，可得 AA~1~⊥l．
而AA~1~∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD~1~A~1~ ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，
∵侧棱AA~1~⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA~1~C~1~C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．
∵===1，
∴三棱锥A~1~﹣QC~1~D的体积 ==••DE=×1×=．
【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
20．（13分）已知圆C的方程为x^2^+（y﹣4）^2^=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．
【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；
（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x~1~，kx~1~），（x~2~，kx~2~），利用两点间的距离公式表示出\|OM\|^2^与\|ON\|^2^，以及\|OQ\|^2^，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x~1~+x~2~与x~1~x~2~，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x^2^+（y﹣4）^2^=4中，得：（1+k^2^）x^2^﹣8kx+12=0（\*），
根据题意得：△=（﹣8k）^2^﹣4（1+k^2^）×12＞0，即k^2^＞3，
则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x~1~，kx~1~），（x~2~，kx~2~），
∴\|OM\|^2^=（1+k^2^）x~1~^2^，\|ON\|^2^=（1+k^2^）x~2~^2^，\|OQ\|^2^=m^2^+n^2^=（1+k^2^）m^2^，
代入=+得：=+，
即=+=，
由（\*）得到x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
代入得：=，即m^2^=，
∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m^2^=，化简得5n^2^﹣3m^2^=36，
由m^2^=及k^2^＞3，得到0＜m^2^＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0，
∴n==，
则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．
21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x~1~，f（x~1~）），B（x~2~，f（x~2~））为该函数图象上的两点，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x~2~＜0，证明：x~2~﹣x~1~≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x~1~），点B处的切线的斜率为f′（x~2~），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x~1~+2）（2x~2~+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x~2~﹣x~1~≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx~2~+（）^2^﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．
【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间\[﹣1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x~1~），点B处的切线的斜率为f′（x~2~），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x~1~）f′（x~2~）=﹣1，
当x＜0时，（2x~1~+2）（2x~2~+2）=﹣1，∵x~1~＜x~2~＜0，∴2x~1~+2＜0，2x~2~+2＞0，
∴x~2~﹣x~1~=\[﹣（2x~1~+2）+（2x~2~+2）\]≥=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x~2~﹣x~1~≥1；
（III）当x~1~＜x~2~＜0，或0＜x~1~＜x~2~时，f′（x~1~）≠f′（x~2~），故x~1~＜0＜x~2~，
当x~1~＜0时，函数f（x）在点A（x~1~，f（x~1~））处的切线方程为y﹣（x+2x~1~+a）=（2x~1~+2）（x﹣x~1~）；
当x~2~＞0时，函数f（x）在点B（x~2~，f（x~2~））处的切线方程为y﹣lnx~2~=（x﹣x~2~）；
两直线重合的充要条件是，
由①及x~1~＜0＜x~2~得0＜＜2，由①②得a=lnx~2~+（）^2^﹣1=﹣ln+（）^2^﹣1，
令t=，则0＜t＜2，且a=t^2^﹣t﹣lnt，设h（t）=t^2^﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．
【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．
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**数学**
**A卷（共100分）**
**第Ⅰ卷（选择题，共30分）**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）**
1.－2的绝对值是（ ）
A. －2 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：−2的绝对值是2．\
故选：C．
【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2.如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据左视图的定义"从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图"进一步分析即可得到答案．
【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为：
故选：D.
【点睛】本题考查了左视图的识别，熟练掌握相关方法是解题关键．
3.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定与的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4.在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点的坐标平移规律"左减右加，下减上加"，即可解答．
【详解】解：将点P向下平移2个单位长度所得到的点坐标为，即，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A．不是同类项，不能合并，选项A错误；
B．； 选项B错误；
C．，选项C正确；
D．，选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式运算的法则，涉及了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方、同底数幂除法，解题关键是熟记运算法则．
6.成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 5人，7人 B. 5人，11人 C. 5人，12人 D. 7人，11人
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【详解】解：将数据从小到大排列为：5，5，7，11，12\
所以这组数据的众数为5，中位数为7.\
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
7.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键．
8.已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入原方程，即可求出值．
【详解】解：将代入方程中，得
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．"有根必代"是这类题的解题通法．
9.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l~1~∥l~2~∥l~3~，\
∴.\
∵AB=5，BC=6，EF=4，\
∴.
∴DE=.\
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
10.关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的对称轴在轴的右侧
B. 图象与轴的交点坐标为
C. 图象与轴的交点坐标为和
D. 的最小值为－9
【答案】D
【解析】
【分析】
先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x~1~=2，x~2~=-4，图象与轴交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
**第Ⅱ卷（非选择题，共70分）**
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）**
11.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
.
12.一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：因为一次函数的值随值的增大而增大，\
所以2m-1＞0．
解得.\
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降.
13.如图，，，是上的三个点，，，则的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】30°
【解析】
【分析】
根据圆的基本性质以及圆周角定理，分别求出∠OCB=55°，∠ACB=∠AOB=25°，即可求出∠OCA=30°，再求出∠A即可．
【详解】解：∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=55°，
∵∠AOB=50°，
∴∠ACB=∠AOB=25°，
∴∠OCA=∠OCB-∠AOB=55°-25°=30°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及圆周角定理．
14.《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程\[七\]中记载："今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？"题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 "①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金"，分别列出方程即可求解．
【详解】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
**三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）**
15.（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值，由此进一步计算即可；
（2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可.
【详解】（1）原式=
=
=；
（2）解不等式可得：，
解不等式可得：，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念及方法是解题关键.
16.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入x的值进行计算即可．
【详解】
=
=
=
=．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算------化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
17.2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_人；
（2）扇形统计图中"篮球"对应的扇形圆心角的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）180；（2）126°；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；
（2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．.
【详解】（1）54÷30%=180（人）
故答案为：180；
（2）田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
图中"篮球"对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：126°；
（3）画树状图如下：\
\
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．\
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
18.成都"339"电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值．
（结果精确到1米；参考数据：，，）
【答案】观景台的高约为214米．
【解析】
【分析】
过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高的长．
【详解】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，
∴BM=CD=61米，
在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米， tan∠BDM=，
∴tan22°=，
解得，DM=152.5米；
∵∠ADM=45°，DM⊥AB，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=AM=152.5米，
∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．
答：观景台的高约为214米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键．
19.在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点A坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可；
（2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可.
【详解】（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)，
∴，
解得：，
∴原反比例函数解析式为：；
（2）①当直线的时，函数图像如图所示，
此时，不符合题意，舍去；
②当直线的时，函数图像如图所示，
设OC的长度为*m*，OB的长度为*n*，
∵的面积为的面积的2倍
∴，
∴，
∴OC的长为2，
∴当C点在*y*轴正半轴时，点C坐标为(0，2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
当C点在*y*轴负半轴时，点C坐标为(0，−2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
综上所述，直线解析式为：或.
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
20.如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由"SSS"可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；\
（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；\
（3）连接OD，DE，由"SAS"可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．
【详解】解：（1）如图，连接OD，\
\
∵⊙O与边AB相切于点D，\
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，\
∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，\
∴△ACO≌△ADO（SSS），\
∴∠ADO=∠ACO=90°，\
又∵OC是半径，\
∴AC是⊙O的切线；\
（2）在Rt△ABC中，tanB==，\
∴设AC=4x，BC=3x，\
∵AC^2^+BC^2^=AB^2^，\
∴16x^2^+9x^2^=100，\
∴x=2，\
∴BC=6，\
∵AC=AD=8，AB=10，\
∴BD=2，\
∵OB^2^=OD^2^+BD^2^，\
∴（6-OC）^2^=OC^2^+4，\
∴OC=，\
故⊙O的半径为；\
（3）连接OD，DE，\
\
由（1）可知：△ACO≌△ADO，\
∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，\
又∵CO=DO，OE=OE，\
∴△COE≌△DOE（SAS），\
∴∠OCE=∠ODE，\
∵OC=OE=OD，\
∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，\
∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，\
∵点F是AB中点，∠ACB=90°，\
∴CF=BF=AF，\
∴∠FCB=∠FBC，\
∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，\
∴∠DEF=∠DFE，\
∴DE=DF=CE，\
∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
**B卷（共50分）**
**一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）**
21.已知，则代数式的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】49
【解析】
【分析】
先将条件的式子转换成*a*+3*b*=7，再平方即可求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
22.关的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：由题意知，△=≥0，\
∴，\
故答案为．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
23.如图，六边形是正六边形，曲线...叫做"正六边形的渐开线"，，，，,,，...的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用弧长公式，分别计算出，，，,,的长，然后将所有弧长相加即可.
【详解】解：根据题意，得=；
=；
=；
=；
=；
=.
曲线的长度是=.
故答案是：.
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键.
24.在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】或
【解析】
【分析】
首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【详解】∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，
∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，).
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
25.如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，线段长度的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案．
【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，
设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，
∴当t最大即EP最大时，PQ最大，
由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，
∴PQ的最大值=；
设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，
∴，
∵EF=3，
∴FM=1，ME=2，
∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，
∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，
∴，
∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，
连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，
则在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
**二、解答题（本大题共3个小题，共30分解答过程写在答题卡上）**
26.在"新冠"疫情期间，全国人民"众志成城，同心抗疫"，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）；（2）当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；\
（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）^2^+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴与的函数关系式为．
（2）设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x^2^+3800x-28800
=，
因为-100\<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
【答案】（1）15°；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；
（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】（1）∵矩形，
∴，
由折叠性质可知BF=BC=2AB，，
∴，
∴，
∴
（2）由题意可得，
，
∴
∴
∴，
∴
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点作于点．
∴
又∵
∴．
∴．
∵，即
∴，
又∵BM平分，，
∴NG=AN，
∴，
∴
整理得：．
【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
28.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．
则DG//AK，
∴△AEK∽△DEF，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
将、代入则有：，
解得，
∴直线的表达式为，
当x=-1时，，
即K（-1，），
∴．
∵．
∴
设点，则F点坐标为（m，），
∴．
∴，
当时，有最大值．
（3）∵，，．
∴AC=，BC=，AB=5，
∴AC^2^+BC^2^=25=5^2^=AB^2^，
∴∠ACB=90°，
∵过点作直线，直线的表达式为，
∴直线的表达式为．
设点的坐标为．
①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=t-4，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，t~2~=0（舍去），
此时点的坐标为．
②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=4-t，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，\<0（舍去），
此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第8课《做做想想》试题附答案**
一年级奥数上册：第八讲 做做想想
一年级奥数上册：第八讲 做做想想 习题
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来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2008高考湖南理科数学试题及详解(word版)**
**一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．复数等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D
【解析】由,易知D正确.
2．"成立"是"成立"的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，由得，所以易知选B.
3.已知变量*x*、*y*满足条件则的最大值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最大值是
故选C.
4.设随机变量服从正态分布,若,则*c*= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
解得=2, 所以选B.
5.设有直线*m*、*n*和平面、.下列四个命题中，正确的是( )
A.若*m*∥,*n*∥,则*m∥n*
B.若*m*,*n*,*m*∥,*n*∥,则∥
C.若，*m*,则*m*
D.若，*m*，*m*,则*m∥*
【答案】D
【解析】由立几知识,易知D正确.
6.函数在区间上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
【答案】C
【解析】由,
故选C.
7.设*D**、E、F*分别是△*ABC*的三边*BC、CA、AB*上的点，且
则与( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得:
以上三式相加得
所以选A.
8.若双曲线（*a*＞0,*b*＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
【答案】B
【解析】或
(舍去),故选B.
9.长方体*ABCD*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的8个顶点在同一球面上，且*AB*=2,*AD*=,*AA*~1~=1,
则顶点*A*、*B*间的球面距离是( )
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】设
则
故选C.
10.设［*x*］表示不超过*x*的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的*n***N^\*^**,
定义*x*,则当*x*时，函数的值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当*x*时，当时， 所以;
当时，当时，
故函数的值域是.选D.
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。**
11..
【答案】
【解析】
12.已知椭圆（*a*＞*b*＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率*e*=
过顶点*A*(0,*b*)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),
则函数的图象一定过点 [ ]{.underline} .
【答案】(-1,2)
【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点
14.已知函数
（1）若*a*＞0,则的定义域是 [ ]{.underline} ;
\(2\) 若在区间上是减函数，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} .
【答案】 ,
【解析】（1）当*a*＞0时，由得,所以的定义域是;
\(2\) 当*a*＞1时，由题意知;当0\<*a*\<1时，为增函数,不合;
当*a*\<0时，在区间上是减函数.故填.
15.对有*n*(*n*≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体
和 (*m*是给定的正整数，且2≤*m*≤*n*-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素*i和j*同时出现在样
本中的概率，则= [ ]{.underline} ; *所有* (1≤*i*＜*j*≤的和等于 [ ]{.underline} .
【答案】 , 6
【解析】第二空可分:
> ①当 时, ;
>
> ②当 时, ;
>
> ③当时, ;
所以
**三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
*16.（本小题满分12分）*
*甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试*
> *合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：*
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.
解: 用*A*，*B*，*C*分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知*A*，*B*，*C*相互独立，
且*P*（*A*）＝*P*（*B*）＝*P*（*C*）＝.
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
=
=
所以， 的分布列是
--- --- --- --- ---
0 1 2 3
P
--- --- --- --- ---
的期望
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥*P*-*ABCD*的底面*ABCD*是边长为1的菱形，∠*BCD*＝60°，
> *E*是*CD*的中点，*PA*⊥底面*ABCD*，*PA*＝2.
（Ⅰ）证明：平面*PBE*⊥平面*PAB*;
> （Ⅱ）求平面*PAD*和平面*PBE*所成二面角（锐角）的大小.
>
> 
解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结*BD*，由*ABCD*是菱形且∠*BCD*=60°知，
> △*BCD*是等边三角形.因为*E*是*CD*的中点，所以*BE*⊥*CD*,又*AB*∥*CD*,
>
> 所以*BE*⊥*AB*.又因为*PA*⊥平面*ABCD*，平面*ABCD*，所以
>
> *PA*⊥*BE*.而*AB*=*A*,因此*BE*⊥平面*PAB*.
又平面*PBE*，所以平面*PBE*⊥平面*PAB*.
（Ⅱ）延长*AD*、*BE*相交于点*F*，连结*PF*.
过点*A*作*AH*⊥*PB*于*H*，由（Ⅰ）知
平面*PBE*⊥平面*PAB*,所以*AH*⊥平面*PBE*.
在Rt△*ABF*中，因为∠*BAF*＝60°，
所以，*AF*=2*AB*=2=*AP*.
在等腰Rt△*PAF*中，取*PF*的中点*G*，连接*AG*.
则*AG*⊥*PF*.连结*HG*，由三垂线定理的逆定理得，
*PF*⊥*HG*.所以∠*AGH*是平面*PAD*和平面*PBE*所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△*PAF*中，
在Rt△*PAB*中，
所以，在Rt△*AHG*中，
故平面*PAD*和平面*PBE*所成二面角（锐角）的大小是
解法二: 如图所示，以*A*为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是*A*（0，0，0），*B*（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）因为，
平面*PAB*的一个法向量是，
所以共线.从而*BE*⊥平面*PAB*.
又因为平面*PBE*，
故平面*PBE*⊥平面*PAB*.
(Ⅱ)易知
设是平面*PBE*的一个法向量，则由得
> 所以
设是平面*PAD*的一个法向量，则由得
> 所以故可取
于是，
故平面*PAD*和平面*PBE*所成二面角（锐角）的大小是
18.（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当
解: (Ⅰ)因为所以
> 一般地，当时，
>
> ＝，即
>
> 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
>
> 当时，
>
> 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
>
> 故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
> ②
①-②得，
所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
(1)当*n* = 6时，成立.
(2)假设当时不等式成立，即
则当*n*=*k*+1时，
由(1)、(2)所述，当*n*≥6时，.即当*n*≥6时，
证法二
令，则
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站*A.*某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点*A*北偏东且与点*A*相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点*A*北偏东+(其中sin=，)且与点*A*相距10海里的位置*C*.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，*AB*=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以*A*为原点建立平面直角坐标系，
设点*B、C*的坐标分别是*B*（*x*~1~，*y*~2~）, *C*（*x*~1~，*y*~2~）,
*BC*与*x*轴的交点为*D.*
由题设有，*x*~1~=*y*~1~= AB=40,
x~2~=*AC*cos,
y~2~=*AC*sin
所以过点*B、C*的直线*l*的斜率*k*=,直线*l*的方程为*y*=2*x*-40.
又点*E*（0，-55）到直线*l*的距离*d*=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线*AE*与*BC*的延长线相交于点*Q*.
在△*ABC*中，由余弦定理得，
==.
从而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于*AE*=55\>40=*AQ*，所以点Q位于点*A*和点*E*之间，且*QE=AE-AQ*=15.
过点*E*作*EP* *BC*于点*P*，则*EP*为点*E*到直线*BC*的距离.
在Rt中，*PE*=*QE*·sin
=
所以船会进入警戒水域.
20.（本小题满分13分）
若*A、B*是抛物线*y*^2^=4*x*上的不同两点，弦AB（不平行于*y*轴）的垂直平分线与
*x*轴相交于点*P*，则称弦*AB*是点*P*的一条"相关弦".已知当*x*\>2时，点*P*（*x*,0）
存在无穷多条"相关弦".给定*x~0~*\>2.
（I）证明：点*P*（*x*~0~,0）的所有"相关弦"的中点的横坐标相同；
\(II\) 试问：点*P*（*x*~0~,0）的"相关弦"的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用*x*~0~表示）：若不存在，请说明理由.
解: （I）设*AB*为点P（*x*~0~,0）的任意一条"相关弦"，且点A、B的坐标分别是
（*x*~1~,*y*~1~）、（*x*~2~,*y*~2~）（*x*~1~x~2~）,则y^2^~1~=4x~1,~ y^2^~2~=4x~2~,
两式相减得（*y*~1~+*y*~2~）（*y*~1~-*y*~2~）=4（*x*~1~-*x*~2~）.因为*x*~1~x~2~,所以*y*~1~+*y*~2~0.
设直线*AB*的斜率是*k*，弦AB的中点是*M*（*x~m~*, *y~m~*）,则
k=.从而*AB*的垂直平分线*l*的方程为
又点P（*x*~0~,0）在直线上，所以
而于是故点P（*x*~0~,0）的所有"相关弦"的中点的横坐标都是*x*~0~-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦*AB*所在直线的方程是，代入中，
整理得 （·）
则是方程（·）的两个实根，且
设点*P*的"相关弦"*AB*的弦长为*l*，则
因为0\<\<4*x*~m~=4(*x~m~*-2) =4*x*~0~-8,于是设t=,则*t*(0*,4x~0~-*8).
记*l*^2^=*g*(*t*)=-\[t-2(x~0~-3)\]^2^+4(x~0~-1)^2.^
若x~0~\>3,则2(x~0~-3) (0, 4*x*~0~-8),所以当t=2(x~0~-3),即=2(x~0~-3)时,
*l*有最大值2(x~0~-1).
若2\<x~0~\<3,则2(x~0~-3)0,*g*(*t*)在区间（0，4 x~0~-8）上是减函数，
所以0\<*l*^2^\<16(*x*~0~-2),*l*不存在最大值*.*
综上所述，当x~0~\>3时，点*P*（x~0~*,0*）的"相关弦"的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x~0~-1）；当2\< x~0~3时，点*P*（x~0~,0）的"相关弦"的弦长中不存在最大值.
21.（本小题满分13分）
已知函数*f*(*x*)=ln^2^(1+x)-.
\(I\) 求函数的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求的最大值.
解: （Ⅰ）函数的定义域是，
设则
令则
当时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以*h*(*x*)在*x*=0处取得极大值，而*h*(0)=0,所以，
函数*g*(*x*)在上为减函数.
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则
由（Ⅰ）知，即
所以于是*G*(*x*)在上为减函数.
故函数*G*（*x*）在上的最小值为
所以*a*的最大值为
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**数 学（理工农医类）及逐题详解**
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中"座位号、姓名、科类"与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件*A*、*B*互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次实验中发生的概率是，那么
次独立重复实验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径
**第Ⅰ卷**
一．选择题：
１．设集合，则( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ ∴
又∵ ∴ 故选B；
【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算；
【突破】：画韦恩氏图，数形结合；
２．复数( A )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ 故选A；
【点评】：此题重点考复数的运算；
【突破】：熟悉乘法公式，以及注意；
３．( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵
故选D；
【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；
【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意；
４．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；
【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法："左加右减"；
５．若，则的取值范围是：( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ ∴ ，即
又∵ ∴，∴ ，即 故选C；
【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象；
【突破】：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；
６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )
（Ａ）种 （Ｂ）种 （Ｃ）种 （Ｄ）种
【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法 故选C；
【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；
【突破】：从参加 "某项"切入，选中的无区别，从而为组合问题；由"至少"从反面排除易于解决；
7．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(D )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
【解1】：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；
当公比为时，， 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）
故选D；
【解2】：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴ 故选D；
【考点】：此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；
【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；
８．设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则：
∴ ∴这三个圆的面积之比为： 故选D
【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；
【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；
９．设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：( D )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
【解】：如图，当时，直线满足条件；
同理，当时，直线满足条件；
又由图形的对称性，知在另一侧存在两条满足条件与直线成异面直线的直线 故选D
【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；
【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；
10．设，其中，则是偶函数的充要条件是( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵是偶函数
∴由函数图象特征可知必是的极值点，
∴ 故选D
【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；
【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于轴对称的要求，分析出必是的极值点，从而；
11．设定义在上的函数满足，若，则( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵且 ∴，，
，，，，
∴ ，∴ 故选C
【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；
【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；
12．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵抛物线的焦点为，准线为 ∴
设，过点向准线作垂线，则
∵，又
∴由得，即，解得
∴的面积为 故选B
【点评】：此题重点考察双曲线的第二定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；
【突破】：由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；
**第Ⅱ卷**
二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．展开式中的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：∵展开式中项为
∴所求系数为 故填
【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；
【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；
14．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；
∵的圆心为，半径为
点到直线的距离为
∴ 故上各点到的距离的最小值为
【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；
【突破】：数形结合，使用点到直线的距离距离公式。
15．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：如图可知：∵
∴ ∴正四棱柱的体积等于
【点评】：此题重点考察线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；
【突破】：数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式。
16．设等差数列的前项和为，若，则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：∵等差数列的前项和为，且
∴ 即 ∴
∴，，
∴ 故的最大值为，应填
【点评】：此题重点考察等差数列的通项公式，前项和公式，以及不等式的变形求范围；
【突破】：利用等差数列的前项和公式变形不等式，利用消元思想确定或的范围解答本题的关键；
三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
求函数的最大值与最小值。
【解】：
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值，当时取得最小值
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
18．（本小题满分12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。
【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ），故的分布列
所以
【点评】：此题重点考察相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；
【突破】：分清相互独立事件的概率求法，对于"至少"常从反面入手常可起到简化的作用；
19．（本小题满分12分）
如，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，
（Ⅰ）证明：四点共面；
（Ⅱ）设，求二面角的大小；
【解1】：（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得
延长交的延长线于
同理可得
故，即与重合
因此直线相交于点，即四点共面。
（Ⅱ）设，则，
取中点，则，又由已知得，平面
故，与平面内两相交直线都垂直。
所以平面，作，垂足为，连结
由三垂线定理知为二面角的平面角。
故
所以二面角的大小
【解2】：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设，则
故，从而由点，得
故四点共面
（Ⅱ）设，则，
在上取点，使，则
从而
又
在上取点，使，则
从而
故与的夹角等于二面角的平面角，
所以二面角的大小
【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；
【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。
20．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
【解】：由题意知，且
两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得
因此
得
【点评】：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考察分类讨论思想；
【突破】：推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键。
21．（本小题满分12分）
设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。
【解】：由与，得
，的方程为
设
则
由得
①
（Ⅰ）由，得
②
③
由①、②、③三式，消去，并求得
故
（Ⅱ）
当且仅当或时，取最小值
此时，
故与共线。
【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；
【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。
22．（本小题满分14分）
已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。
【解】：（Ⅰ）因为
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，
当时，
所以的单调增区间是
的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，
所以的极大值为，极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当
因此，的取值范围为。
【点评】：此题重点考察利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；
【突破】：熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围。
四川省内江市隆昌县黄家中学 程亮 编辑
Lc\_chenglaing\@163.com
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第3单元 第一节：数花生**
一、连一连。
（十位是4，个位是8） 93 （ 八 ）
（ 10个十 ） 8 （九十三）
（十位是9，个位是3） 48 （ 一百 ）
（十位是0，个位是8） 100 （四十八）
二、从1、3、5中任选两个数字，可以组成一个两位数，试试看你能用他们写出多少个不同的两位数。
[ ]{.underline}
三、填一填。
（ ）、18、（ ）、20、（ ）、（ ）
（ ）、（ ）、61、（ ）、63、64
（ ）、26、27、（ ）、（ ）、（ ）
48、（ ）、（ ）、51、（ ）、（ ）
\[来源:Z§xx§k.Com\]
四、我会填。
（1）83是（ ）位数，8在（ ）位，3在（ ）位。
（2）46中的"4"表示4个（ ），"6"表示6个（ ）。
（3）5个十和9个一组成的数是（ ）。
（4）34和36中间数是（ ）。
（5）数一数：我们班有（ ）个男同学，有（ ）个女同学，一共有（ ）个同学。
五、连一连，帮小蜜蜂采蜜。
\[来源:学科网ZXXK\]
\[来源:学科网ZXXK\]
答案
一、连一连。
（十位是4，个位是8） 93 （ 八 ）
（ 10个十 ） 8 （九十三）
（十位是9，个位是3） 48 （ 一百 ）
（十位是0，个位是8）  100 （四十八）
二、从1、3、5中任选两个数字，可以组成一个两位数，试试看你能用他们写出多少个不同的两位数。
[ 13 15 31 35 51 53]{.underline}
三、填一填。
17、18、19、20、21、22
59、60、61、62、63、64
25、26、27、28、29、30
48、49、50、51、52、53\[来源:学\*科\*网\]
四、
（1）两 十 个
（2）10 1
（3）59
（4）35
（5）略
\[来源:学科网\]
五、连一连，帮小蜜蜂采蜜。
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**2019年四川内江市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1．（3分）（2019•内江）的相反数是
A．6 B． C． D．
2．（3分）（2019•内江）用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•内江）下列几何体中，主视图为三角形的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•内江）下列事件为必然事件的是
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
5．（3分）（2019•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•内江）下列运算正确的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•内江）在函数中，自变量的取值范围是
A． B．且 C． D．且
8．（3分）（2019•内江）如图，在中，，，，，则的长为
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（3分）（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是
A．16 B．12 C．14 D．12或16
10．（3分）（2019•内江）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
11．（3分）（2019•内江）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．或
12．（3分）（2019•内江）如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去经过第次操作后得到折痕，到的距离记为．若，则的值为
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）**
13．（5分）（2019•内江）分解因式：[ ]{.underline}．
14．（5分）（2019•内江）已知数据0，1，2，3，4，则这组数据的方差为[ ]{.underline}．
15．（5分）（2019•内江）若，则分式的值为[ ]{.underline}．
16．（5分）（2019•内江）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
**三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）**
17．（7分）（2019•内江）计算：．
18．（9分）（2019•内江）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、．
（1）求证：；
（2）若，请求出的长．
19．（9分）（2019•内江）"大千故里，文化内江"，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了、、、个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是[ ]{.underline}（填"普查"或"抽样调査" ，王老师所调查的4个班共征集到作品[ ]{.underline}件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为[ ]{.underline}；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分忻过程）
20．（9分）（2019•内江）如图，两座建筑物与，其中的高为120米，从的顶点测得顶部的仰角为，测得其底部的俯角为，求这两座建筑物的地面距离为多少米？（结果保留根号）
21．（10分）（2019•内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
**四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）**
22．（6分）（2019•内江）若，则[ ]{.underline}．
23．（6分）（2019•内江）如图，点、、在同一直线上，且，点、分别是、的中点，分别以，，为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作、、，若，则[ ]{.underline}．
24．（6分）（2019•内江）若、、为实数，且，则代数式的最大值是[ ]{.underline}．
25．（6分）（2019•内江）如图，在菱形中，，点，分别在边、上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值是[ ]{.underline}．
**五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）**
26．（12分）（2019•内江）某商店准备购进、两种商品，种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
27．（12分）（2019•内江）与相切于点，直线与相离，于点，且，与交于点，的延长线交直线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，求线段的长；
（3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围．
28．（12分）（2019•内江）两条抛物线与的顶点相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物找在第四象限内图象上的一动点，过点作轴，为垂足，求的最大值；
（3）设抛物线的顶点为点，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2019年四川内江市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1．（3分）的相反数是
A．6 B． C． D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的定义即可得到结论．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
2．（3分）用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数字用科学记数法表示应为：，
故选：．
3．（3分）下列几何体中，主视图为三角形的是
A． B． C． D．
【考点】：简单几何体的三视图
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：、主视图是三角形，故此选项正确；
、主视图是矩形，故此选项错误；
、主视图是圆，故此选项错误；
、主视图是矩形，故此选项错误；
故选：．
4．（3分）下列事件为必然事件的是
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【考点】：三角形内角和定理；：随机事件
【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
【解答】解：．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
．三角形的内角和为是必然事件；
．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】：轴对称图形；：中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：．
6．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】：完全平方公式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方
【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化简即可判断．
【解答】解：．，故选项不合题意；
．，故选项不合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不合题意．
故选：．
7．（3分）在函数中，自变量的取值范围是
A． B．且 C． D．且
【考点】：函数自变量的取值范围
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可．
【解答】解：由题意得，，，
解得，且，
故选：．
8．（3分）如图，在中，，，，，则的长为
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】：平行线分线段成比例
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例性质求出，然后计算即可．
【解答】解：，
，即，
，
．
故选：．
9．（3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【考点】：等腰三角形的性质；：三角形三边关系；：解一元二次方程因式分解法
【分析】先利用因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．
【解答】解：解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：．
10．（3分）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
【考点】：勾股定理；：旋转的性质
【分析】根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，，
，，
为等边三角形，
，
，
故选：．
11．（3分）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．或
【考点】：一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数的取值范围．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组恰有三个整数解，
这三个整数解为0、1、2，
，
解得，
故选：．
12．（3分）如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去经过第次操作后得到折痕，到的距离记为．若，则的值为
A． B． C． D．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；38：规律型：图形的变化类
【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出，依次得出、、、，再对进行计算变形即可．
【解答】解：是的中点，折痕到的距离为
点到的距离，
是的中点，折痕到的距离记为，
点到的距离，
同理：，
故选：．
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）**
13．（5分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：，
，
．
14．（5分）已知数据0，1，2，3，4，则这组数据的方差为[ 2 ]{.underline}．
【考点】：方差
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：，
则方差；
故答案为：2．
15．（5分）若，则分式的值为[ ]{.underline}．
【考点】64：分式的值
【分析】由，可得；化简，即可求解；'
【解答】解：，可得，
；
故答案为；
16．（5分）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
【考点】：平行四边形的性质；：扇形面积的计算
【分析】连接，作，先求出、，，，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．
【解答】解：如图，连接，作于点，
四边形是平行四边形，且，
，
则，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
**三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）**
17．（7分）计算：．
【考点】：实数的运算；：负整数指数幂；：特殊角的三角函数值
【分析】化简每一项为；
【解答】解：
；
18．（9分）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、．
（1）求证：；
（2）若，请求出的长．
【考点】：正方形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，利用定理证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
，即，
．
19．（9分）"大千故里，文化内江"，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了、、、个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是[ 抽样调査 ]{.underline}（填"普查"或"抽样调査" ，王老师所调查的4个班共征集到作品[ ]{.underline}件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为[ ]{.underline}；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分忻过程）
【考点】：列表法与树状图法；：条形统计图；：全面调查与抽样调查；：扇形统计图
【分析】（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出班的作品数后补全条形统计图；
（2）用乘以班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査，
，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
班的作品数为（件，
条形统计图为：
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角；
故答案为抽样调査；6；；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．
20．（9分）如图，两座建筑物与，其中的高为120米，从的顶点测得顶部的仰角为，测得其底部的俯角为，求这两座建筑物的地面距离为多少米？（结果保留根号）
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】作于，设，利用正切的定义用表示出，结合题意列方程求出，计算即可．
【解答】解：作于，
则四边形为矩形，
，
设，
在中，，
则，
，
，
由题意得，，即，
解得，，
，
，
答：两座建筑物的地面距离为米．
21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）由的面积为4，可求出的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求的值，
（2）根据图象观察当自变量取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分．
（3）由对称对称点关于轴的对称点，直线与轴交点就是所求的点，求出直线与轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）点，
，
，即，
，
点在第二象限，
，
将代入得：，
反比例函数的关系式为：，
把代入得：，
因此，；
（2）由图象可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，
设直线的关系式为，将，代入得：
解得：，，
直线的关系式为，
当时，即，解得，
，
**四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）**
22．（6分）若，则[ 1002 ]{.underline}．
【考点】72：二次根式有意义的条件
【分析】由二次根式有意义的条件得到，据此去绝对值并求得的值，代入求值即可．
【解答】解：，
．
由，得，
，
．
．
故答案是：1002．
23．（6分）如图，点、、在同一直线上，且，点、分别是、的中点，分别以，，为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作、、，若，则[ ]{.underline}．
【考点】：三角形中位线定理；：平行四边形的性质；：正方形的性质
【分析】设，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出，，，根据题意计算即可．
【解答】解：设，则，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
24．（6分）若、、为实数，且，则代数式的最大值是[ 26 ]{.underline}．
【考点】：二次函数的最值；：解三元一次方程组
【分析】解三元一次方程组，用表示出、，根利用配方法计算即可．
【解答】解：，
①②得，，
把代入①得，，
则，
当时，的最大值是26，
故答案为：26．
25．（6分）如图，在菱形中，，点，分别在边、上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值是[ ]{.underline}．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：菱形的性质
【分析】由折叠的性质可得，，，，，设，，，由勾股定理可得，，，即可求的值．
【解答】解：延长交于点，
将四边形沿翻折，
，，，，
四边形是菱形
，，
，
设，，
，
，
，
，
，
故答案为：
**五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）**
26．（12分）某商店准备购进、两种商品，种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【考点】：一次函数的应用；：一元一次不等式组的应用；：分式方程的应用
【分析】（1）设种商品每件的进价是元，根据用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买种商品件，根据用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，种商品的数量不低于种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；
（3）设销售、两种商品共获利元，根据商品的利润商品的利润，根据的值及一次函数的增减性可得结论．
【解答】解：（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；
（2）设购买种商品件，则购买商品件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
、15、16、17、18，
商店共有5种进货方案；
（3）设销售、两种商品共获利元，
由题意得：，
，
①当时，，随的增大而增大，
当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当时，，随的增大而减小，
当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
27．（12分）与相切于点，直线与相离，于点，且，与交于点，的延长线交直线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，求线段的长；
（3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围．
【考点】：圆的综合题
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）连接并延长交于，连接，根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）作的垂直平分线，作于，根据勾股定理用表示出，得到的长，根据题意计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，连接并延长交于，连接，
则，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，即，
解得，；
（3）解：如图2，作的垂直平分线，作于，
则，
由题意得，于有交点，
，即，
解得，，
直线与相离，
，
则使是以为底边的等腰三角形，的半径的取值范围为：．
28．（12分）两条抛物线与的顶点相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物找在第四象限内图象上的一动点，过点作轴，为垂足，求的最大值；
（3）设抛物线的顶点为点，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）的顶点为也是的顶点，即可求，；
（2）作轴，设，所以，，可得由已知可知，即可求；
（3）假设的对称轴上存在点，过点作于点，可得；
①当点在顶点的下方时，可证，设点，所以，，可知，可得，可求，，②当点在顶点的上方时，同理可得．
【解答】解：（1）的顶点为，
抛物线与的顶点相同
，，
；
（2）作轴，
设，
在第四象限，
，
，，
，
的最大值为；
（3）假设的对称轴上存在点，
过点作于点，
，
①当点在顶点的下方时，
，，抛物线的对称轴为，
，，，
，，
设点，
，，
可知，
，
，
或，
，
，
②当点在顶点的上方时，同理可得；
综上所述：或；
| 1 | |
**2017\~2018学年度高三十七模考试**
**高三年级数学试卷(理科)**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）**
1\. 设集合,集合,则集合（ ）
A． B． C． D．
2\. 已知复数 (，为虚数单位),若复数的共轭复数的虚部为, 则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3\. 若的展开式中的二项式系数和为32，则（ ）
A． 241 B． 242 C． 243 D． 244
4\. 运行如图所示程序,则输出的的值为（ ）
A． B． C. 45 D．
5\. 已知双曲线的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为,则实数（ ）
A． 3 B． C. D．
6\. 已知，，则的值为（ ）
A． B． C. D．
7\. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）
A．6 B． 9 C. 12 D．18
8\. 已知,点在线段上,且的最小值为1,则 ()的最小值为（ ）
A． B． C. 2 D．
9\. 函数的图像大致是（ ）
A．  B． 
C.  D．
10\. 已知双曲线的左、右顶点分别为,，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11\. 设函数.若,且，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
12\. 对于函数和，设;,若所有的,，都有，则称和互为"零点相邻函数".与互为"零点相邻函数",则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（非选择题90分）**
**二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）**
13\. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 [ ]{.underline} ．
14\. 已知是区间上的任意实数,直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为 [ ]{.underline} ．
15\. 如图，四面体的三条棱，，两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题.
①不存在点，使四面体有三个面是直角三角形；
②不存在点，使四面体是正三棱锥；
③存在点，使与垂直并且相等；
④存在无数个点，使点在四面体的外接球面上，其中真命题的个数是 [ ]{.underline} ．
16\. 已知只有50项的数列满足下列三个条件：
①②；
③.
对所有满足上述条件的数列，共有个不同的值，则 [ ]{.underline} ．
**三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 在等差数列中，，其前项和满足.
（1）求实数的值，并求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为为，公比为的等比数列，求数列的前项和.
18\. 在2018年2月联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望.
（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若，
则，
②
③
-- ------- ------- -- ------- ------- --------
0.50 0.40 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 6.635 7.879 10.828
-- ------- ------- -- ------- ------- --------
19.已知在直角梯形中，，,，将沿折起至，使二面角为直角.
（1）求证：平面平面；
（2）若点满足，，当二面角为时，求的值.
20\. 己知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的右顶点，以为为圆心的的圆与直线相交交于，两点，且，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和圆的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆交于、两点，已知. 直线，为直径的圆的面积分别为、，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.
21\. 已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）函数的图像与轴交于，两点，，点在函数的图像上，且为等腰直角三角形，记，求的值.
**二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.**
22\. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）射线与曲线、分别交于点 (且均异于原点)，当时，求的最小值.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（Ⅱ）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.
**2017\~2018学年度下学期高三十七模考试**
**高三年级数学试卷(理科)答案**
**一、选择题**
1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11、12：BB
**二、填空题**
13\. 14. 15.6 16.2个
**三、解答题**
17.（1）设等差数列的公差为，因为, 所以,所以.所以,所以.
所以
（2）由（1）知，所以
所以.
所以
18.【解析】解：（1）语文成绩服从正态分布，
∴语文成绩特别优秀的概率为，
数学成绩特别优秀的概率为，
∴语文文特别优秀的同学有人，
数学特别优秀的同学有500x0.024=12人
（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，
的所有可能取值为0，1，2，3，
,
，，
∴的分布列为：
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
E(X)=0×+1
（3）列联表：
---------------- -------------- ---------------- ------
语文特别优秀 语文不特别优秀 合计
数学特别优秀 6 6 12
数学不特别优秀 4 484 488
合计 10 490 500
---------------- -------------- ---------------- ------
∴
∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.
由题设知，
∴，∴，∵，∴，
则
故为定值，该定值为.
21.(理)解:（1）.
①当时，则，则函数在是单调增函数.
②当时,令，则，
若，,所以在上是单调减函数；
所以，，所以在上是单调增函数.
（2）由（1）可知当时，函数其图象与轴交于两点， 则有，则.
于是，在等腰三角形中，显然，所以，即，
由直角三角形斜边的中线性质，可知,
所以，即
所以，
即.
因为，则，
又，所以，
即，则
所以.
22.（Ⅰ）的极坐标方程为，的极坐标方程为
（2）
【试题解析】
（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为，
的极坐标方程为
（2）联立与的极坐标方程得，
联立与的极坐标方程得，
则
.(当且仅当时取等号).
所以的最小值为.
23.（1）:（2）
试题解析：解：（1）由，得或或，
解得，故不等式的解集为.
（2），
作出函数的图象，如图所示,
直线过定点,当此直线经过点时，；
当此直线与直线平行时，，故由图可知，
| 1 | |
**2019-2020学年陕西省西安市陕师大附小四年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题（共22分）**
1．（2分）2017年国庆黄金周，西安共接待游客11650300人次，横线上的数读作[ ]{.underline}；旅游收入5795000000元人民币，四舍五入到亿位大约是[ ]{.underline}亿元．
2．（2分）黑板的上下两条边互相[ ]{.underline}；相邻的两条边互相[ ]{.underline}．
3．（1分）钟面上[ ]{.underline}时整的时候，时针和分针成平角．
4．（4分）（*a*+*b*）+*c*＝[ ]{.underline}+（[ ]{.underline}+[ ]{.underline}）；（*a*+*b*）×*c*＝[ ]{.underline}×[ ]{.underline}+[ ]{.underline}×[ ]{.underline}．
5．（2分）在算式7□3÷76中，□填[ ]{.underline}时，商一定是一位数；□填[ ]{.underline}时，商一定是两位数．（每□填一个即可）．
6．（1分）小红13分走路936米，速度是[ ]{.underline}．
7．（1分）小明坐在第8组的第5排，位置表示为（8，5）；笑笑在第3组的第6排，表示为[ ]{.underline}．
8．（2分）晓东的身份证号码是610104200807237527，他是[ ]{.underline}年[ ]{.underline}月[ ]{.underline}日出生的．
9．（3分）如果用正负数记录收支情况，爸爸今天的领到3600元记为[ ]{.underline}元，充话费用去100元，记为[ ]{.underline}，读作[ ]{.underline}．
10．（4分）在下面的空格中填入"＜""＝""＞"
> 637058[ ]{.underline}4328500
>
> 160000000[ ]{.underline}16亿
>
> 180÷12[ ]{.underline}180÷15
>
> 150×2[ ]{.underline}15×20
**二、选择题（10分，每题2分）**
11．（2分）一个八位数，它的最高位是（ ）
A．百万位 B．千万位 C．亿位 D．十亿位
12．（2分）六十三亿零二十万五千零一，写作（ ）
A．630205001 B．630020500001
C．6300205001 D．63020501
13．（2分）下面的数，一个0也不读的是（ ）
A．80080000 B．80008000 C．80000800 D．80000080
14．（2分）与4200÷70的商相同的是（ ）
A．42÷7 B．420÷7 C．4200÷700 D．42000÷70
15．（2分）与63×99计算结果相等的是（ ）
A．63×99+1 B．63×100﹣1 C．63×99+63 D．63×100﹣63
**三、判断题（10分，每题2分）**
16．（2分）四舍五入得到的近似数可能比这个数大，可能比这个数小．[ ]{.underline}（判断对错）
17．（2分）经过一点可以画一条直线，经过两点可以画两条直线．[ ]{.underline}（判断对错）
18．（2分）试商时，如果余数比除数大，应把商改大．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（2分）0是正数，不是负数．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．（2分）零下9度比零上6度的温度高．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、计算（25分）**
21．（5分）直接写得数．
80÷20＝ 25+40＝ 670+140＝ 4800÷600＝ 3500÷70＝
------------ --------- ----------- ------------ -----------
930﹣250＝ 15×60＝ 320÷40＝ 297×4＝ 810÷90＝
22．（8分）列竖式计算
> 396×27＝
>
> 208×34＝
>
> 368÷46＝
>
> 1008÷28＝
23．（12分）简便运算
> 357+136+243
>
> 58×36+64×58
>
> 8×72×125
>
> 420×（945÷15﹣28）
**五、操作题（13分）**
24．（6分）536980和541508"四舍五入"后都是54万．
> （1）在数轴上标出两个数的位置．
>
> （2）这两个数，[ ]{.underline}更接近54万．
25．（4分）画出这条直线的一条平行线，一条垂线．
26．（3分）以这条射线为角的一边，画出125度的角，标出度数．
**六、解决问题（20分）**
27．（5分）6支球队比赛，两两比一场，一共要比多少场？
> （1）请画出示意图．
>
> （2）有顺序的数一数，列式计算看一看．
28．（5分）一辆货车从甲地去乙地，去时每时行48千米，用了18小时到了乙地，回来每时行54千米，需要用时多久才能回来呢？
29．（5分）一张桌子152元，一把椅子48元，学校要买75套桌椅，一共多少钱呢？
30．（5分）创建美丽西安，离不开清洁工人的努力，一名清洁工阿姨一个月清扫了2511千克垃圾，按这样计算，一年可以清扫多少千克的垃圾呢？
**2019-2020学年陕西省西安市陕师大附小四年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（共22分）**
1．【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数；改写成用"亿"作单位的数，就是把千万位数字9四舍五入进1，保留整亿．
> 【解答】解：11650300读作：一千一百六十五万零三百；
>
> 5795000000≈58亿；
>
> 故答案为：一千一百六十五万零三百，58．
>
> 【点评】本题主要考查整数的读、写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．
2．【分析】因为黑板是一个长方形，所以根据长方形的特征：对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行；据此解答．
> 【解答】解：据分析可知：
>
> 黑板的上下两条边互相 平行；相邻的两条边互相 垂直．
>
> 故答案为：平行、垂直．
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：长方形的邻边互相垂直，对边互相平行．
3．【分析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，6时整，分针与时针相差6个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×6＝180°，由此根据平角的定义即可解答．
> 【解答】解：30°×6＝180°
>
> 180°的角是平角
>
> 6时整，钟面上的分针和时针所夹的角是平角；
>
> 故答案为：6．
>
> 【点评】抓住钟面上每个大格所对的夹角的度数是30度，找出时针与分针的夹角是几个格，即可计算解答．
4．【分析】（1）根据加法结合律填空；
> （2）根据乘法分配律填空．
>
> 【解答】解：（*a*+*b*）+*c*＝*a*+（ *b*+*c*）；
>
> （*a*+*b*）×*c*＝*a*×*c*+*b*×*c*．
>
> 故答案为：*a*，*b*，*c*；*a*，*c*，*b*，*c*．
>
> 【点评】加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．字母表示：*a*+*b*+*c*＝*a*+（*b*+*c*）
>
> 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘再相加，字母表示：*a*×（*b*+*c*）＝*ab*+*ac*．
5．【分析】7□3÷76，被除数的前两位数7□小于除数76，所得的商是一位数；被除数的前两位数7□大于或等于除数76，所得的商是两位数；然后再进一步解答．
> 【解答】解：7□3÷76中，要使商是一位数，7□＜76，□里面可以填0、1、2、3、4、5；
>
> 要使商是两位数，7□≥76，□里面可以填6、7、8、9；
>
> 故答案为：0，6（答案不唯一）．
>
> 【点评】三位数除以两位数，被除数的前两位数小于除数，所得的商是一位数；被除数的前两位数大于或等于除数，所得的商是两位数．
6．【分析】根据路程÷时间＝速度，用小红13分钟走的路程除以用的时间，求出速度是多少，据此计算即可解答．
> 【解答】解：936÷13＝72（米/分）
>
> 答：她的速度是72米/分．
>
> 故答案为：72米/分．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
7．【分析】由"小明坐在第8组的第5排，位置表示为（8，5）"可知数对中第一个数字表示组，第二个数字表示排，据此即可用数对表示出笑笑坐的位置．
> 【解答】解：小明坐在第8组的第5排，位置表示为（8，5）；笑笑在第3组的第6排，表示为（3，6）．
>
> 故答案为：（3，6）．
>
> 【点评】解答此题的关键是根据已知条件确定数对中每个数字所表示的意义．
8．【分析】身份证的第7～14位表示出生日期，其中第7～10位是出生的年份，11、12位是出生的月份，第13、14位是出生日；据此解答．
> 【解答】解：610104200807237527这个身份证号码的7～14位是20080723，所以晓东是 2008年 7月 23日出生的．
>
> 故答案为：2008，7，23．
>
> 【点评】本题是考查身份证的数字编码问题，身份证上：
>
> 1、前六位是地区代码；
>
> 2、7～14位是出生日期；
>
> 3、15～17位是顺序码，其中第17位奇数分给男性，偶数分给女性；
>
> 4、第18位是校验码．
9．【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：领取钱数记为正，则花费钱数就记为正，由此直接得出结论即可；根据负数的读法，读出即可．
> 【解答】解：如果用正负数记录收支情况，爸爸今天的领到3600元记为+3600元，充话费用去100元，记为﹣100元，读作 负一百元．
>
> 故答案为：+3600，﹣100元，负一百元．
>
> 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
10．【分析】（1）（2）按照整数比较大小的方法判断即可；
> （3）被除数不变，除数越大，则商越小，据此判断即可；
>
> （4）根据积不变的规律判断即可．
>
> 【解答】解：（1）637058＜4328500
>
> （2）160000000＜16亿
>
> （3）180÷12＞180÷15
>
> （4）150×2＝15×20
>
> 故答案为：＜、＜、＞、＝．
>
> 【点评】此题主要考查了整数比较大小的方法的应用，以及积的变化规律、商的变化规律的应用，要熟练掌握．
**二、选择题（10分，每题2分）**
11．【分析】根据解答即可．
> 【解答】解：一个八位数，它的最高位是千万位；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题是考查整数数位表的认识，熟记数位顺序表是解答此题的关键所在．
12．【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数．
> 【解答】解：六十三亿零二十万五千零一，写作：63 0020 5001．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题主要考查整数的写法．关键是数位上一个单位没有的，写上0．
13．【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零；据此读出各数进行选择．
> 【解答】解：*A*、8008 0000读作：八千零八万，读出一个零；
>
> *B*、8000 8000读作：八千万八千，一个零也不读出；
>
> *C*、8000 0800读作：八千万零八百，读出一个零；
>
> *D*、8000 0080读作：八千万零八十，读出一个零；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题主要考查整数的读法，注意零的读法：每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零．
14．【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；据此解答即可．
> 【解答】解：根据商不变的性质可知，
>
> 只有420÷7是被除数和除数同时缩小了10倍，商不变，即与原式相同．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】解答此题应明确：只有被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商才不变．
15．【分析】简算63×99时，先把99分解成（100﹣1），再根据乘法分配律简算，由此求解．
> 【解答】解：63×99
>
> ＝63×（100﹣1）
>
> ＝63×100﹣63×1
>
> ＝63×100﹣63（与选项*D*相同）
>
> ＝6300﹣63
>
> ＝6237
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用．
**三、判断题（10分，每题2分）**
16．【分析】根据"四舍"得到的近似数比原数小，"五入"得到的近似数比原数大；进行举例，进而得出结论．
> 【解答】解：如果一个数是4.05，保留一位小数，则近似值是4.1，因为4.1＞4.05，即近似值大于精确值；
>
> 如果一个数是3.24，保留一位小数，则近似值是3.2，因为3.2＜3.24，即近似值小于精确值；
>
> 所以四舍五入得到的近似数可能比这个数大，可能比这个数小，即本题说法正确；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】根据"四舍"得到的近似数比原数小，"五入"得到的近似数比原数大；进行举例，进而得出结论．
17．【分析】可以自己亲自操作一下，验证说法．
> 【解答】解：如图所示：，
>
> 通过一点能画无数条直线，通过两点可以画一条直线，所以通过一点只能画一条直线，通过两点可以画两条直线的说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】用画图操作的方法解决本题比较直观易懂．
18．【分析】根据整数除法的运算法则可知，在计算除法算式时，每次除后余下的数必须比除数小，则除法试商时，如果余数比除数大，应把商改大．
> 【解答】解：由于在计算除法算式时，每次除后余下的数必须比除数小，
>
> 则除法试商时，如果余数比除数大，应把商改大．
>
> 所以原题的说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】整数的除法法则：从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数； 除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商； 每次除后余下的数必须比除数小．
19．【分析】0是正负数的分界点，所以0既不是正数，也不是负数．
> 【解答】解：0是正负数的分界点，所以0既不是正数，也不是负数；
>
> 所以原题的说法是错误的；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查0既不是正数，也不是负数．
20．【分析】正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此判断即可．
> 【解答】解：因为零下9度比零上6度的温度低，
>
> 所以题中说法不正确．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要考查了正、负数、0的大小比较，要熟练掌握．
**四、计算（25分）**
21．【分析】根据整数加减乘除法的计算方法进行计算．
> 【解答】解：
80÷20＝4 25+40＝65 670+140＝810 4800÷600＝8 3500÷70＝50
--------------- ------------ -------------- ------------- -------------
930﹣250＝680 15×60＝900 320÷40＝8 297×4＝1188 810÷90＝9
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．
22．【分析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．
> 【解答】解：396×27＝10692
>
> 208×34＝7072
>
> 368÷46＝8
>
> 1008÷28＝36
>
> 【点评】考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算．
23．【分析】（1）根据加法交换律简算；
> （2）根据乘法分配律简算；
>
> （3）根据乘法交换律简算；
>
> （4）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外的乘法．
>
> 【解答】解：（1）357+136+243
>
> ＝357+243+136
>
> ＝600+136
>
> ＝736
>
> （2）58×36+64×58
>
> ＝58×（36+64）
>
> ＝58×100
>
> ＝5800
>
> （3）8×72×125
>
> ＝8×125×72
>
> ＝1000×72
>
> ＝72000
>
> （4）420×（945÷15﹣28）
>
> ＝420×（63﹣28）
>
> ＝420×35
>
> ＝14700
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．
**五、操作题（13分）**
24．【分析】（1）根据数轴的特点在数轴上标出两个数的位置即可求解．
> （2）比较两个数与54万的差，差值小的更接近54万．
>
> 【解答】解：（1）如图所示：
>
> （2）54万＝540000
>
> 540000﹣536980＝3020
>
> 541508﹣540000＝1508
>
> 3020＞1508
>
> 故这两个数，541508更接近54万．
>
> 故答案为：541508．
>
> 【点评】本题主要考查整数的大小比较，注意与哪个数的差最小就是最接近的．
25．【分析】在这条直线（已知直线）外确定一点*A*．把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点*A*时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线．把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过点*A*时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行．
> 【解答】解：画出这条直线的一条平行线（红色直线（，一条垂线（绿色直线）：
>
> 【点评】过已知直线外一点（或直线上一点）作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的平行线，关键是三角板、三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用．
26．【分析】把量角器的中心与这条射线的端点*O*重合，把0刻度线与射线*OA*重合，过量角器上表示125°刻度的点画射线*OB*，则∠*AOB*就是125°的角．
> 【解答】解：
>
> 【点评】用量角器画角的关键是量角器的正确、熟练使用．
**六、解决问题（20分）**
27．【分析】（1）每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他5个队各赛一场，所以第1个球队比5场，第二个球队比4场；第3个球队比3场，第4个球队比2场，第5个球队比1场．完成作图即可．
> （2）根据图示，所有球队共参赛：5+4+3+2+1＝15（场）．
>
> 【解答】解：（1）如图：
>
> （2）5+4+3+2+1＝15（场）
>
> 答：一共要比15场．
>
> 【点评】在循环赛中，参赛人数*n*与比赛场数*m*的关系为：*m*＝*n*+（*n*﹣1）+（*n*﹣2）+......+2+1＝*n*×（*n*﹣1）÷2．
28．【分析】根据"路程＝速度×时间"，用去时速度乘时间，求出甲地到乙地路程；再根据"时间＝路程÷速度"，即可求出返回时间．
> 【解答】解：48×18÷54
>
> ＝864÷54
>
> ＝16（小时）
>
> 答：它16小时才能回来．
>
> 【点评】本题主要考查"路程、速度、时间"之间的关系式，注意各自对应的关系．
29．【分析】一张桌子152元，一把椅子48元，那么把152与48相加，求出一套桌椅的钱数，然后再乘75即可．
> 【解答】解：（152+48）×75
>
> ＝200×75
>
> ＝15000（元）
>
> 答：一共15000元钱．
>
> 【点评】考查了整数加法和乘法的意义的灵活运用．
30．【分析】一名清洁工阿姨一个月清扫了2511千克垃圾，按这样计算，一年12个月可以清扫12个2511千克，即2511×12．
> 【解答】解：2511×12＝30132（千克）
>
> 答：一年可以清扫30132千克的垃圾．
>
> 【点评】考查了整数乘法的意义的灵活运用．
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日期：2021/4/27 14:54:47；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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绝密★本科目考试启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A． B． C． D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
7．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
9．已知，则"存在使得"是""的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共10分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12．已知双曲线，则*C*的右焦点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；*C*的焦点到其渐近线的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13．已知正方形的边长为2，点*P*满足，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量*W*与时间*t*的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
如图，在正方体中，*E*为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题13分）
在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）*a*的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
-------- ------- -------- ------- --------
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
-------- ------- -------- ------- --------
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20．（本小题15分）
已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程：
（Ⅱ）过点的直线*l*交椭圆*C*于点,直线分别交直线于点．
求的值．
21．（本小题15分）
已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
（Ⅰ）若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列。
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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**2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题**
**理科数学（Ⅰ）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，，则=（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】由题知，，则故本题答案选．
2\. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．
3\. 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】为非奇非偶函数，排除；为偶函数，但在内单调递减，排除；为奇函数，排除．故本题答案选．
4\. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）
A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上
C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等
【答案】D
【解析】由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故本题答案选，
5\. 在等比数列中，"，是方程的两根"是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，"，是方程的两根"是""的充分不必要条件．故本题答案选．
6\. 执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）
A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008学\_科\_网\...
【答案】B
【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．
7\. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．
8\. 已知函数 的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．
9\. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A.   B.  
C.   D.  
【答案】D
【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．
10\. 为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了"祖国，你好"的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
【答案】B
【解析】由题知结果有三种情况．甲、乙、丙三名同学全参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选
11\. 焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A. 或 B. 
C. 或 D. 
【答案】A
【解析】
过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．
**点睛：**抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．学\_科\_网\...
12\. 定义在上的函数满足，且当时， ，对，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为 ．故本题答案选．
**点睛：**求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13\. 已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由题知，又与共线，可得，得，则方向上的投影为．故本题应填．
14\. 已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．
15\. 在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由正弦定理，原等式可化为，进一步化为，则，即．在三角形中．由面积公式，可知，由余弦定理，代入可得．故本题应填．
**点睛：**本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．
16\. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】令的中心为，球的半径为，连接，易求得，则，在中，由勾股定理得，解得，由，知，所以，所以．当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面面积为．当截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为．故本题应填．
**点睛：**解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17\. 已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】**试题分析：（**1）由二项展开式可知各项中的系数，求和后可得，利用与间的关系可得数列的通项公式；（2）由的通项公式可求得的通项公式，对进行裂项，用裂项法可求得，利用放缩法可证明不等式．学\_科\_网\...
**试题解析：（**1）的展开式中的系数为  ，即，所以当时，；
当时，也适合上式，所以数列的通项公式为.
（2）证明： ，所以 ，所以.
18\. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】**试题分析：**（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证 平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．
**试题解析：**（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.
因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.
因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.
（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.
在中，由，得，则，.
所以，.所以.
设二面角的大小为，则 .
**点睛：**若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．
19\. 2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1） ;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．
试题解析：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为.
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000.，，，，
故的分布列为，
所以 （元）.学\_科\_网\...
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以 （元）.
因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
20\. 已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】**试题分析：**（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．
**试题解析：**（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.
（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以，.因为，所以，即，所以.当时，，所以；当时，，所以.
综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.
**点睛：**本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.
21\. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为， ，线段的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点，求证：.
【答案】（1）当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增；（2）见解析.
【解析】**试题分析：**（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导， .令，求得函数.不等式得证．
**试题解析：**（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.
综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.
（2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.又因为，为的零点，
所以，，两式相减得，得.而，所以    .
令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，
即的最小值为.
所以.
**请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.
（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；
（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】**试题分析：**（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得，可求出的最大值，即求得的面积的最大值．学\_科\_网\...
**试题分析：**（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆 ，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.
（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），
可设曲线上的动点，则点到直线的距离 ，当时，取最大值，且的最大值为.
所以，即的面积的最大值为.
23\. 选修4-5：不等式选讲.
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若，试比较，，的大小.
【答案】（1）；（2）.
根据函数的单调性可知，当时，.
所以函数的值域.
（2）因为，所以，所以.
又，
所以，知，，
所以，所以，
所以.
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**北师版二年级数学下册期末复习试卷1**
（新教材）
特别说明：本试卷为（改版后）最新北师版教材配套试卷。
全套试卷共21份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.第八单元测评卷
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（一）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（二）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（三）
5\. 第四单元测评卷 16.分类测评卷（四）
6\. 期中测评卷（一） 17.期末测评卷（一）
7\. 期中测评卷（二） 18.期末测评卷（二）
8\. 第五单元测评卷 19.期末测评卷（三）
9\. 第六单元测评卷 20.期末测评卷（四）
10.阶段测评卷（二） 21.期末测评卷（五）
11.第七单元测评卷
附：参考答案
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**2017\~2018学年度上学期高三年级九模考试**
**数学试卷**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 若全集为实数集，集合，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. 已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 命题"且"的否定形式是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 且
4\. 阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）
学\|科\|网\...学\|科\|网\...
A. 计算数列的前10项和
B. 计算数列的前9项和
C. 计算数列的前10项和
D. 计算数列的前9项和
5\. 直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6\. 已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 
7\. "石头、剪刀、布"，又称"猜丁壳"，是一种流行多年的猜拳游戏.起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世家.其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表"石头"，食指和中指伸出代表"剪刀"，五指伸开代表"布"．"石头"胜"剪刀"， "剪刀"胜"布"，而"布"又胜"石头"，若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行"五局三胜制"的"石头、剪刀、布"游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
8\. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
9\. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递减
C. 若，则
D. 的最小正周期为
10\. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
11\. 已知函数，，则的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料。如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为7000元。那么可产生最大的利润是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元．
14\. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点；找到一个点，从点可以观察到点：找到一个点，从点可以观察到点；并测得到一些数据：，，，，，，，则两点之间的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（其中取近似值）
15\. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 如图，在矩形中，，.四边形为边长为2的正方形，现将矩形沿过点的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，若点在折痕上射影为，则的最小值为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17\. 已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，请说明理由.
18\. 已知正三棱柱中，分别为的中点，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明理由.
19\. 某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：
（1）求每台仪器能出厂的概率；
（2）求生存一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生存两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望.
20\. 如图，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连结并延长分别交于两点，连接；与的面积分别记为，设.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
21\. （1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线过，倾斜角为，以为极点，轴在平面直角坐标系中，直线，曲线（为参数），坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于点两点，求的最大值.
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若函数的最小值为2，求实数的值；
（2）若命题"存在，满足不等式"为假命题，求实数的取值范围.
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
理科综合能力测试（物理部分）全解全析
二、选择题（本题共8 小题。在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6 分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分）
14.对一定量的气体，下列说法正确的是[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
A.气体的体积是所有气体分子的体积之和
B.气体分子的热运动越剧烈，气体温度就越高
C.气体对器壁的压强是由大量气体分子对器壁不断碰撞而产生的
D.当气体膨胀时，气体分子之间的势能减小，因而气体的内能减少
【答案】BC
15.一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经两次折射后从玻璃板另一个表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离。在下列情况下，出射光线侧移距离最大的是
A.红光以30^o^的入射角入射
B.红光以45^o^的入射角入射
C.紫光以30^o^的入射角入射
D.紫光以45^o^的入射角入射
【答案】D
16.如图，一固定斜面上两个质量相同的小物块*A*和*B*紧挨着匀速下滑，*A*与*B* 的接触面光滑。已知*A*与斜面之间的动摩擦因数是*B*与斜面之间动摩擦因数的2 倍，斜面倾角为。B与斜面之间的动摩擦因数是
A. B. C. D.
【答案】A
17.一列简谐横波沿x 轴正方向传播，振幅为*A*。时，平衡位置在处的质元位于处，且向*y*轴负方向运动；此时，平衡位置在处的质元位于处。该波的波长可能等于\
A. 0.60 m B.0.20m C.0.12m D.0.086m
【答案】AC
18.如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球*a*和*b*。*a*球质量为*m* ，静置于地面；*b*球质量为3*m* , 用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放*b*后,*a*可能达到的最大高度为
A.*h* B.1.5*h*
C.2*h* D.2.5*h*
【答案】B
19.一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比。若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率*v*匀速下降；若两极板间的电压为*U* ，经一段时间后，油滴以速率*v*匀速上升。若两极板间电压为-*U*，油滴做匀速运动时速度的大小、方向将是
A.2*v*、向下 B.2*v*、向上 C. 3*v* 、向下 D.3*v*、向上
【答案】C
20.中子和质子结合成氘核时，质量亏损为，相应的能量是氘核的结合能。下列说法正确的是[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
A.用能量小于2.2*MeV* 的光子照射静止氘核时,氘核不能分解为一个质子和一个中子
B.用能量等于2.2*MeV* 的光子照射静止氘核时,氘核可能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和为零
C.用能量大于2.2*MeV*的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和为零
D.用能量大于2.2 *Mev*的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质了和一个中子，它们的动能之和不为零
【答案】AD
21.如图，一个边长为*l*的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为*l*的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线*ab*与导线框的一条边垂直，*ba*的延长线平分导线框。在*t*=0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿*ab*方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。以*i*表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列表示*i*-*t*关系的图示中，可能正确的是
【答案】C
22.（18分）
(1)(5分)某同学用螺旋测微器测量一铜丝的直径，测微器的示数如图所示，该铜丝的直径为 [ ]{.underline} *mm*。
【答案】4.953
(2)(13分)右图为一电学实验的实物连线图。该实验可用来测量待测电阻*R~x~*的阻值（约500Ω）。图中两个电压表量程相同，内阻都很大。实验步骤如下：
① 调节电阻箱，使它的阻值*R~0~*与待测电阻的阻值接近；将滑动变阻器的滑动头调到最右端。
② 合上开关*S*。
③ 将滑动变阻器的滑动头向左端滑动，使两个电压表指针都有明显偏转。
④ 记下两个电压表和的读数*U~1~*和*U~2~*。
⑤ 多次改变滑动变阻器滑动头的位置，记下和的多组读数*U~1~*和*U~2~*。
⑥ 求*Rx*的平均值。
回答下列问题：[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
(Ⅰ)根据实物连线图在虚线框内画出实验的电路原理图，其中电阻箱的符号为，滑动变阻器的符号为，其余器材用通用的符号表示。
(Ⅱ)不计电压表内阻的影响，用*U~1~*、*U~2~*和*R~0~*表示*Rx*的公式为*Rx= [ ]{.underline}*。
（Ⅲ）考虑电压表内阻的影响，用*U~1~*、*U~2~*、*R~0~*、的内阻*r*~1~、的内阻*r*~2~式表示*Rx*的公式为*Rx= [ ]{.underline}*。
【答案】(Ⅰ)  (Ⅱ)
（Ⅲ）
23.（15分） 如图，一质量为*M* 的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为*h*。一质量为*m*的子弹以水平速度*v*~0~射入物块后，以水平速度*v*~0~/2射出。重力加速度为g。求
(1)此过程中系统损失的机械能；
(2)此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)设子弹穿过物块后物块的速度为*V*，由动量守恒得
①
解得 ②
系统的机械能损失为 ③
由②③式得 ④
(2)设物块下落到地面所需时间为*t*,落地点距桌面边缘的水平距离为*s*,则
⑤
⑥
由②⑤⑥式得 ⑦
24.(19分)如图，一直导体棒质量为*m* 、长为*l*、电阻为*r*，其两端放在位于水平面内间距也为*l*的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为*B*，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度*v*~0~。在棒的运动速度由*v*~0~减小至*v*~1~的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度*I*保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
 【答案】；
【解析】导体棒所受的安培力为: ①
该力大小不变，棒做匀减速运动，因此在棒的速度从*v*~0~减小到*v*~1~的过程中，平均速度为: ②
当棒的速度为*v*时，感应电动势的大小为 ③
棒中的平均感应电动势为 ④
由②④式得 ⑤
导体棒中消耗的热功率为 ⑥
负载电阻上消耗的平均功率为 ⑦
由⑤⑥⑦式得
25.（20分）我国发射的"嫦娥一号"探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为*M*和*m*，地球和月球的半径分别为*R* 和*R*~1~，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为*r*和*r*~1~，月球绕地球转动的周期为*T*。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用*M、m 、R 、R*~1~*、r*、*r*~1~和*T* 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
【解析】如图,*O*和分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地月连心线与地月球面的公切线*ACD*的交点，*D* 、*C* 和*B*分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点。卫星在BE弧上运动时发出的信号被遮挡。
设探月卫星的质量为*m~0~*,万有引力常量为G,根据万有引力定律有
①
②
式中,*T*~1~是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得
③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有
④
式中，。由几何关系得
⑤
⑥
由③④⑤⑥式得
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**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇源县二年级（上）期末数学试卷**
**一、填空。（每空1分，共25分）**
1．（4分）2+2+2+2+2+2＝12，表示有[ ]{.underline}个[ ]{.underline}，写成乘法算式[ ]{.underline}或[ ]{.underline}。
2．（3分）在3×6＝18中，乘数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}，18叫[ ]{.underline}。
3．（3分）人民币的单位有[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}．
4．（6分）比较大小。
5元〇5角 40+23﹣25〇40﹣23﹣5 30÷5〇18÷6
-------------- ---------------------- ------------
7厘米〇9厘米 4+6〇4×6 1×7〇7÷1
5．（3分）填上适当的长度单位。
----------------------------- ------------------------------ --------------------------------
铅笔长15[ ]{.underline} 旗杆高约8[ ]{.underline} 小明身高120[ ]{.underline}
----------------------------- ------------------------------ --------------------------------
6．（3分）填上适当的单位。（元、角、分）
------------------------------- ------------------------------- -------------------------------
一件衣服86[ ]{.underline} 一块橡皮50[ ]{.underline} 一把尺子10[ ]{.underline}
------------------------------- ------------------------------- -------------------------------
7．（3分）横线里最大能填几？
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
4×[ ]{.underline}＜21 [ ]{.underline}×7＜30 50＞6×[ ]{.underline}
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
**二、选择。（每小题2分，共10分）**
8．（2分）淘气有29本书，笑笑的书比淘气的少12本，淘气和笑笑一共有多少本书（ ）
A．29+12 B．29+12+29 C．29﹣12+29
9．（2分）5个3相加是多少？正确的列式是（ ）
A．5+5+5＝15 B．5+3＝8 C．5×3＝15 D．5﹣3＝2
10．（2分）妈妈给优优买了一个书包，用了（ ）
A．55元 B．55角 C．55分
11．（2分）1米＝（ ）厘米。
A．10 B．20 C．100
12．（2分）一张10元的人民币可以换（ ）张5元的。
A．2 B．3 C．4
**三、判断，正确的在括号里画"√"，错误的画"×"。（每题2分，共10分）**
13．（2分）40÷5读作40除5。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（2分）画一条6厘米长的线段，从尺的刻度1画到6。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（2分）2+2的和与2×2的积相等。[ ]{.underline}（判断对错）
16．（2分）2角2角的数，数4张是1元。[ ]{.underline}（判断对错）
17．（2分）2×6＝12用到的口诀是三四十二。[ ]{.underline}（判断对错）
**四、动手实践。（1题4分，2题2分，共6分）**
18．（4分）第一行的图案是从第二行哪张纸上剪下来的？连一连。
19．（2分）画一条长4厘米长的线段．
**五、找规律。（每空1分，共4分）**
20．（4分）找规律。
> （1）7，14，[ ]{.underline}，28，[ ]{.underline}，42，49。
>
> （2）30，25，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，10，5。
**六、计算能力我最强。（1题6分，2题4分，3题9分，共19分）**
21．（6分）把口诀补充完整。
四七[ ]{.underline} 八九[ ]{.underline} 七八[ ]{.underline}
----------------------------- --------------------------- -------------------------
九[ ]{.underline}八十一 [ ]{.underline}六十八 [ ]{.underline}十二
22．（4分）口算。
81﹣9＝ 63÷7＝ 5×9＝ 8×3＝
--------- -------- ------- ---------
56÷8＝ 4×6＝ 3×5＝ 36+64＝
23．（9分）竖式计算。
------------- -------------- -------------
88﹣45+26＝ 100﹣68+27＝ 42+53﹣46＝
------------- -------------- -------------
**七、解决问题。（1题3分，2题14分，3题9分，共26分）**
24．（3分）一辆公交车，车上原来有34人，途中有15人下车，后来又有18人上车，车上现在有多少人？
25．（14分）
> （1）买5盒水彩笔需要多少元？
>
> （2）32元可以买几个文具盒？
>
> （3）小红买7本故事书，带50元够吗？
>
> （4）请你再提出一个数学问题，并解答。
26．（9分）
> （1）爸爸今年多少岁？
>
> （2）爷爷比爸爸大多少岁？
>
> （3）爷爷的年龄是小明的几倍？
**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇源县二年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空。（每空1分，共25分）**
1．【分析】2+2+2+2+2+2根据乘法的意义，表示求6个2相加的和，写成乘法算式是2×6或6×2，据此解答。
> 【解答】解：2+2+2+2+2+2＝12，表示有6个2，写成乘法算式2×6＝12或6×2＝12。
>
> 故答案为：6，2，2×6＝12，6×2＝12。
>
> 【点评】本题考查了学生对于乘法意义的理解与应用。
2．【分析】根据乘法算式中各部分的名称乘数×乘数＝积，由此完成填空即可。
> 【解答】解：在3×6＝18中，乘数是3和6，18叫积。
>
> 故答案为：3，6，积。
>
> 【点评】本题主要考查整数乘法算式中各部分的名称，关键利用整数乘法算式中各部分的关系做题。
3．【分析】人民币的单位是元、角、分，据此解答即可．
> 【解答】解：人民币的单位有元、角、分．
>
> 故答案为：元、角、分．
>
> 【点评】本题考查人民币的单位，注意"钱"不是人民币的单位．
4．【分析】先统一单位5元＝50角，50角＞5角，单位统一的直接比较数值即可，根据整数加减乘除运算的法则，先计算，再根据整数大小比较的方法比较即可。
> 【解答】解：
5元＞5角 40+23﹣25＞40﹣23﹣5 30÷5＞18÷6
-------------- ---------------------- ------------
7厘米＜9厘米 4+6＜4×6 1×7＝7÷1
> 故答案为：＞，＞，＞，＜，＜，＝。
>
> 【点评】本题主要考查整数大小的比较，关键是正确计算，再比较。
5．【分析】根据生活经验，对长度单位和数据的大小的认识，可知计量铅笔长用"厘米"做单位；计量旗杆高用"米"做单位；计量小明身高用"厘米"做单位；据此即可解答。
> 【解答】解：
-------------- ------------- -----------------
铅笔长15厘米 旗杆高约8米 小明身高120厘米
-------------- ------------- -----------------
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
6．【分析】根据实际情况可知：一件衣服是86元；
> 一块橡皮50分也就是5角；
>
> 一把尺子10角。
>
> 【解答】解：
-------------- -------------- --------------
一件衣服86元 一块橡皮50分 一把尺子10角
-------------- -------------- --------------
> 故答案为：元，分，角。
>
> 【点评】这道题解题的关键是会根据实际情况填上合适的单位。
7．【分析】根据1～9的乘法口诀直接进行填空即可。
> 【解答】解：
--------- --------- ---------
4×5＜21 4×7＜30 50＞6×8
--------- --------- ---------
> 故答案为：5，4，8。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对乘法口决的熟练掌握情况。
**二、选择。（每小题2分，共10分）**
8．【分析】先用29减去12求出笑笑书的本数，然后再加上淘气的本数即可。
> 【解答】解：29﹣12+29
>
> ＝17+29
>
> ＝46（本）
>
> 答：淘气和笑笑一共有46本书。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查了加减法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系。
9．【分析】求5个3相加是多少，可以写成5个3连加的形式，再根据乘法的意义，还可以写成乘法的形式．
> 【解答】解：列式可以是：
>
> 3+3+3+3+3＝15
>
> 或者：
>
> 5×3＝15，3×5＝15．
>
> 只有选项*C*符合要求．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题考查了乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算．
10．【分析】根据实际情况可知：一个书包55元。55角和55分太便宜了。
> 【解答】解：妈妈给优优买了一个书包，用了55元。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要联系现实生活。
11．【分析】根据长度单位之间的换算：1米＝100厘米；依此解答即可。
> 【解答】解：1米＝100厘米。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】这道题考查的是单位换算的知识，要熟练掌握。
12．【分析】10元＝5元+5元相加的和；据此解答即可。
> 【解答】解：一张10元人民币可以换2张5元。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】这道题考查的是人民币的换算，要熟练掌握。
**三、判断，正确的在括号里画"√"，错误的画"&\#215;"。（每题2分，共10分）**
13．【分析】40÷5读作40除以5。
> 【解答】解：40÷5读作40除以5，所以题干中的说法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】这道题解题的关键是会正确的读出除法算式。
14．【分析】画线段的方法是：一般从直尺的0刻度开始画起，画到应画到长度的地方，或者用结束的刻度减去开始的刻度。据此解答。
> 【解答】解：画一条6厘米长的线段，从尺的刻度1画到7。所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题考查了学生画线段的方法。
15．【分析】先求出2+2的和与2×2的积，再比较大小即可求解。
> 【解答】解：2+2＝4
>
> 2×2＝4
>
> 故2+2的和与2×2的积相等的说法是正确的。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题关键是求出2+2的和与2×2的积。
16．【分析】4个2角是8角。
> 【解答】解：2角2角的数，数4张是8角，所以题干中的说法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】这道题解题的关键是会正确的进行人民币的计算。
17．【分析】解决本道乘法算式，想的口诀应该是：二六十二，据此解答即可。
> 【解答】解：2×6＝12，想口诀：二六十二，题目中想的口诀错误，故判断本题错误。
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题考查表内除法，解决本题的熟背乘法口诀，并能熟练运用。
**四、动手实践。（1题4分，2题2分，共6分）**
18．【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征。
19．【分析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长，然后画出长4厘米的线段即可．
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题考查了长度的测量，用到的知识点：线段的含义．
**五、找规律。（每空1分，共4分）**
20．【分析】（1）后一个数等于前一个数加7，据此解答；
> （2）后一个数等于前一个数减5，据此解答。
>
> 【解答】解：（1）14+7＝21
>
> 21+7＝28
>
> 28+7＝35
>
> 这组数为：
>
> 7，14，21，28，35，42，49。
>
> （2）30﹣5＝25
>
> 25﹣5＝20
>
> 20﹣5＝15
>
> 15﹣5＝10
>
> 10﹣5＝5
>
> 这组数为：
>
> 30，25，20，15，10，5。
>
> 故答案为：21，35；20，15。
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
**六、计算能力我最强。（1题6分，2题4分，3题9分，共19分）**
21．【分析】根据乘法口诀填空即可。
> 【解答】解：
四七二十八 八九七十二 七八五十六
------------ ------------ ------------------------
九九八十一 三六十八 三四十二（答案不唯一）
> 故答案为：二十八，七十二，五十六，九，三，三四（答案不唯一）。
>
> 【点评】本题主要考查乘法口诀，属于基础题，应掌握。
22．【分析】根据表内乘除法、整数加减法的运算法则进行计算即可。
> 【解答】解：
81﹣9＝72 63÷7＝9 5×9＝45 8×3＝24
----------- --------- --------- ------------
56÷8＝7 4×6＝24 3×5＝15 36+64＝100
> 【点评】本题主要考查整数加减法及表内乘除法的运算，关键是培养学生的运算能力。
23．【分析】根据整数加减法的计算法则列竖式计算即可。
> 【解答】解：88﹣45+26＝69
>
> 100﹣68+27＝59
>
> 42+53﹣46＝49
>
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
**七、解决问题。（1题3分，2题14分，3题9分，共26分）**
24．【分析】用原来的人数减去下车的人数，再加上上车的人数。
> 【解答】解：34﹣15+18
>
> ＝19+18
>
> ＝37 （ 人 ）
>
> 答：现在公交车上有37人。
>
> 【点评】本题考查了加减法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系。
25．【分析】（1）利用公式：总价＝单价×数量，计算即可。
> （2）利用公式：总价÷单价＝数量，计算即可。
>
> （3）用故事书的单价乘7本，求7本故事书的价钱，与50元相比较，即可得出结论。
>
> （4）问题：
>
> 买2支圆珠笔需要多少钱？
>
> 用一支圆珠笔的单价乘2，就是2支圆珠笔的价钱。
>
> 【解答】解：（1）9×5＝45（元）
>
> 答：买5盒水彩笔需要45元。
>
> （2）32÷8＝4（个）
>
> 答：32元可以买4个文具盒。
>
> （3）7×7＝49（元）
>
> 49＜50
>
> 答：带50元够。
>
> （4）买2支圆珠笔需要多少钱？
>
> 2×2＝4（元）
>
> 答：买2支圆珠笔需要4元。
>
> （答案不唯一。）
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
26．【分析】（1）用小明的年龄乘5，求爸爸的年龄。
> （2）用爷爷的年龄减去爸爸的年龄即可。
>
> （3）用爷爷的年龄除以小明的年龄即可。
>
> 【解答】解：（1）7×5＝35（岁）
>
> 答：爸爸今年35岁。
>
> （2）63﹣35＝28（岁）
>
> 答：爷爷比爸爸大28岁。
>
> （3）63÷7＝9
>
> 答：爷爷的年龄是小明的9倍。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
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日期：2021/4/27 14:43:14；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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> **《有多少个字》同步练习**
>
> 1、
>
> 估一估有多少粒绿豆？
>
> 2、
>
> 
>
> 估一估有多少个？
>
> 3、下表是小区书报亭11月上旬的营业额（单位：元），你能估计出这个月上旬的营业额吗？
>
> 
>
> 4、选择
>
> （1）我们班有20个男生，女生人数和男生差不多，请问有多少女生？
>
> A 、30 B、42 C、12 D、22
>
> （2）我们班有20个学生，女生人数和男生差不多，请问有多少女生？
>
> A 、30 B、42 C、12 D、22
>
> （3）我们班有20个男生，女生人数和男生差不多，请问有多少学生？
>
> A 、30 B、42 C、12 D、22
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学\_科\_网\]
**参考答案：**
> 1、400
2、200
3、2000
4、选择\[来源:学科网\]
> （1）D
>
> （2）C
>
> （3）B
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1\~5题只有一项符合题目要求，第6\~8题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
1.如图，水平放置的圆柱形光滑玻璃棒左边绕有一线圈，右边套有一金属圆环。圆环初始时静止。将图中开关S由断开状态拨至连接状态，电路接通的瞬间，可观察到（ ）
A. 拨至*M*端或*N*端，圆环都向左运动
B. 拨至*M*端或*N*端，圆环都向右运动
C. 拨至*M*端时圆环向左运动，拨至*N*端时向右运动
D. 拨至*M*端时圆环向右运动，拨至*N*端时向左运动
2.甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为（ ）
A 3 J B. 4 J C. 5 J D. 6 J
3."嫦娥四号"探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的*K*倍。已知地球半径*R*是月球半径的*P*倍，地球质量是月球质量的*Q*倍，地球表面重力加速度大小为*g*。则"嫦娥四号"绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上*O*点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，*O*点两侧绳与竖直方向的夹角分别为*α*和*β*。若α=70°，则*β*等于（ ）
A. 45° B. 55° C. 60° D. 70°
5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为*a*和3*a*的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为*v*的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为*m*，电荷量为*e*，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A. B. C. D.
6.1934年，约里奥---居里夫妇用*α*粒子轰击铝箔，首次产生了人工放射性同位素X，反应方程为：。X会衰变成原子核Y，衰变方程为，则（ ）
A. X的质量数与Y的质量数相等 B. X的电荷数比Y的电荷数少1
C. X的电荷数比的电荷数多2 D. X的质量数与的质量数相等
7.在图（a）所示的交流电路中，电源电压的有效值为220V，理想变压器原、副线圈的匝数比为10∶1，*R*~1~、*R*~2~、*R*~3~均为固定电阻，*R*~2~=10，*R*~3~=20，各电表均为理想电表。已知电阻*R*~2~中电流*i*~2~随时间*t*变化的正弦曲线如图（b）所示。下列说法正确的是（ ）
A. 所用交流电的频率为50Hz B. 电压表的示数为100V
C. 电流表的示数为1.0A D. 变压器传输的电功率为15.0W
8.如图，∠*M*是锐角三角形*PMN*最大的内角，电荷量为*q*（*q*\>0）的点电荷固定在*P*点。下列说法正确的是（ ）
A. 沿*MN*边，从*M*点到*N*点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿*MN*边，从*M*点到*N*点，电势先增大后减小
C. 正电荷在*M*点的电势能比其在*N*点的电势能大
D. 将正电荷从*M*点移动到*N*点，电场力所做总功为负
**三、非选择题：共62分。第9\~12题为必考题，每个试题考生都必须作答。**
**（一）必考题：共47分。**
9.某同学利用图（a）所示装置验证动能定理。调整木板的倾角平衡摩擦阻力后，挂上钩码，钩码下落，带动小车运动并打出纸带。某次实验得到的纸带及相关数据如图（b）所示。
 
已知打出图（b）中相邻两点时间间隔为0.02 s，从图（b）给出的数据中可以得到，打出*B*点时小车的速度大小*v*~B~=\_\_\_\_\_m/s，打出*P*点时小车的速度大小*v~P~*=\_\_\_\_\_m/s（结果均保留2位小数）。
若要验证动能定理，除了需测量钩码的质量和小车的质量外，还需要从图（b）给出的数据中求得的物理量为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
10.已知一热敏电阻当温度从10℃升至60℃时阻值从几千欧姆降至几百欧姆，某同学利用伏安法测量其阻值随温度的变化关系。所用器材：电源*E*、开关S、滑动变阻器*R*（最大阻值为20 Ω）、电压表（可视为理想电表）和毫安表（内阻约为100 Ω）。
(1)在答题卡上所给的器材符号之间画出连线，组成测量电路图\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)实验时，将热敏电阻置于温度控制室中，记录不同温度下电压表和亳安表示数，计算出相应的热敏电阻阻值。若某次测量中电压表和毫安表的示数分别为5.5 V和3.0 mA，则此时热敏电阻的阻值为\_\_\_\_\_kΩ（保留2位有效数字）。实验中得到的该热敏电阻阻值*R*随温度*t*变化的曲线如图（a）所示。
(3)将热敏电阻从温控室取出置于室温下，测得达到热平衡后热敏电阻阻值为2.2kΩ。由图（a）求得，此时室温为\_\_\_\_\_℃（保留3位有效数字）。
(4)利用实验中的热敏电阻可以制作温控报警器，其电路的一部分如图（b）所示。图中，E为直流电源（电动势为10 V，内阻可忽略）；当图中的输出电压达到或超过6.0 V时，便触发报警器（图中未画出）报警。若要求开始报警时环境温度为50 ℃，则图中\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"*R*~1~"或"*R*~2~"）应使用热敏电阻，另一固定电阻的阻值应为\_\_\_\_\_\_\_\_\_kΩ（保留2位有效数字）。
11.如图，一边长为*l*~0~的正方形金属框*abcd*固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为*B*的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率*v*自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与*ac*垂直且中点位于*ac*上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为*r*，金属框电阻可忽略。将导体棒与*a*点之间的距离记为*x*，求导体棒所受安培力的大小随*x*（）变化的关系式。
12.如图，相距*L*=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小*v*可以由驱动系统根据需要设定。质量*m*=10 kg的载物箱（可视为质点），以初速度*v*~0~=5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数*μ*= 0.10，重力加速度取*g* =10m/s^2^。
(1)若*v*=4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
(2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度；
(3)若*v*=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。
**（二）选考题：共15分。请考生从2道物理题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
**\[物理------选修3--3\]**
13.如图，一开口向上的导热气缸内。用活塞封闭了一定质量的理想气体，活塞与气缸壁间无摩擦。现用外力作用在活塞上。使其缓慢下降。环境温度保持不变，系统始终处于平衡状态。在活塞下降过程中（ ）
A. 气体体积逐渐减小，内能增知
B. 气体压强逐渐增大，内能不变
C. 气体压强逐渐增大，放出热量
D. 外界对气体做功，气体内能不变
E. 外界对气体做功，气体吸收热量
14.如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为*H*=18cm的*U*型管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高*h*~0~= 4cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离*l*= 12cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为*T*~1~=283K。大气压强*p*~0~ =76cmHg。
（i）现从右侧端口缓慢注入水银（与原水银柱之间无气隙），恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少？
（ii）再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少？
**\[物理选修3--4\]**
15.如图，一列简谐横波平行于*x*轴传播，图中的实线和虚线分别为*t*=0和*t*=0.1 s时的波形图。已知平衡位置在*x*=6 m处的质点，在0到0.1s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为\_\_\_\_\_s，波速为\_\_\_\_\_m/s，传播方向沿*x*轴\_\_\_\_\_（填"正方向"或"负方向"）。
16.如图，一折射率为的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形*ABC*，∠*A*=90°，∠*B*=30°。一束平行光平行于*BC*边从*AB*边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求*AC*边与*BC*边上有光出射区域的长度的比值。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·CuCO~3~)，青色来自蓝铜矿颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·2CuCO~3~)。下列说法错误的是
A. 保存《千里江山图》需控制温度和湿度
B. 孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化
C. 孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱
D. Cu(OH)~2~·CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~·2CuCO~3~
2.金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：
下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是
A. 可与氢气发生加成反应 B. 分子含21个碳原子
C. 能与乙酸发生酯化反应 D. 不能与金属钠反应
3.*N*~A~是阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 22.4 L(标准状况)氮气中含有7*N*~A~个中子
B. 1 mol重水比1 mol水多*N*~A~个质子
C. 12 g石墨烯和12 g金刚石均含有*N*~A~个碳原子
D. 1 L 1 mol·L^−1^ NaCl溶液含有28*N*~A~个电子
4.喷泉实验装置如图所示。应用下列各组气体---溶液，能出现喷泉现象的是
----- ------- ------------------
气体 溶液
A． H~2~S 稀盐酸
B． HCl 稀氨水
C． NO 稀H~2~SO~4~
D． CO~2~ 饱和NaHCO~3~溶液
----- ------- ------------------
A. A B. B C. C D. D
5.对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是
A. 用Na~2~SO~3~溶液吸收少量Cl~2~:
B. 向CaCl~2~溶液中通入CO~2~：
C. 向H~2~O~2~溶液中滴加少量FeCl~3~：
D. 同浓度同体积NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合：
6.一种高性能的碱性硼化钒(VB~2~)---空气电池如下图所示，其中在VB~2~电极发生反应：该电池工作时，下列说法错误的是
A. 负载通过0.04 mol电子时，有0.224 L(标准状况)O~2~参与反应
B. 正极区溶液的pH降低、负极区溶液的pH升高
C. 电池总反应为
D. 电流由复合碳电极经负载、VB~2~电极、KOH溶液回到复合碳电极
7.W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z；化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟。下列叙述正确的是
A. 非金属性：W\> X\>Y\> Z B. 原子半径：Z\>Y\>X\>W
C. 元素X的含氧酸均为强酸 D. Y的氧化物水化物为强碱
**二、非选择题**
**(一)必考题**
8.氯可形成多种含氧酸盐，广泛应用于杀菌、消毒及化工领域。实验室中利用下图装置(部分装置省略)制备KClO~3~和NaClO，探究其氧化还原性质。
回答下列问题：
(1)盛放MnO~2~粉末的仪器名称是\_\_\_\_\_\_\_\_，a中的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)b中采用的加热方式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，c中化学反应的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，采用冰水浴冷却的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)d的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_，可选用试剂\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．Na~2~S B．NaCl C．Ca(OH)~2~ D．H~2~SO~4~
(4)反应结束后，取出b中试管，经冷却结晶，\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，干燥，得到KClO~3~晶体
(5)取少量KClO~3~和NaClO溶液分别置于1号和2号试管中，滴加中性KI溶液。1号试管溶液颜色不变。2号试管溶液变为棕色，加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显\_\_\_\_色。可知该条件下KClO~3~的氧化能力\_\_\_\_NaClO(填"大于"或"小于")。
9.某油脂厂废弃的油脂加氢镍催化剂主要含金属Ni、Al、Fe及其氧化物，还有少量其他不溶性物质。采用如下工艺流程回收其中的镍制备硫酸镍晶体(NiSO~4~·7H~2~O)：
溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 金属离子 | Ni^2+^ | Al^3+^ | Fe^3+^ | Fe^2+^ |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 开始沉淀时(*c*=0.01 mol·L^−1^)的pH | 7.2 | 3.7 | 2.2 | 7.5 |
| | | | | |
| 沉淀完全时(*c*=1.0×10^−5^ mol·L^−1^)的pH | 8.7 | 4.7 | 3.2 | 9.0 |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
回答下列问题：
(1)"碱浸"中NaOH的两个作用分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。为回收金属，用稀硫酸将"滤液①"调为中性，生成沉淀。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"滤液②"中含有金属离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"转化"中可替代H~2~O~2~的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若工艺流程改为先"调pH"后"转化"，即
"滤液③"中可能含有的杂质离子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)利用上述表格数据，计算Ni(OH)~2~的K~sp~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(列出计算式)。如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0 mol·L^−1^，则"调pH"应控制的pH范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)硫酸镍在强碱溶液中用NaClO氧化，可沉淀出能用作镍镉电池正极材料的NiOOH。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)将分离出硫酸镍晶体后的母液收集、循环使用，其意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
10.二氧化碳催化加氢合成乙烯是综合利用CO~2~的热点研究领域。回答下列问题：
(1)CO~2~催化加氢生成乙烯和水的反应中，产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)∶*n*(H~2~O)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。当反应达到平衡时，若增大压强，则*n*(C~2~H~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"变大""变小"或"不变")。
(2)理论计算表明，原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1MPa，反应达到平衡时，四种组分的物质的量分数*x*随温度*T*的变化如图所示。
图中，表示C~2~H~4~、CO~2~变化的曲线分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。CO~2~催化加氢合成C~2~H~4~反应的Δ*H*\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")。
(3)根据图中点A(440K，0.39)，计算该温度时反应平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(MPa)^−3^(列出计算式。以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)二氧化碳催化加氢合成乙烯反应往往伴随副反应，生成C~3~H~6~、C~3~H~8~、C~4~H~8~等低碳烃。一定温度和压强条件下，为了提高反应速率和乙烯选择性，应当\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**(二)选考题**
**［化学------选修3：物质结构与性质］**
11.氨硼烷(NH~3~BH~3~)含氢量高、热稳定性好，是一种具有潜力的固体储氢材料。回答下列问题：
(1)H、B、N中，原子半径最大的是\_\_\_\_\_\_。根据对角线规则，B的一些化学性质与元素\_\_\_\_\_\_的相似。
(2)NH~3~BH~3~分子中，N---B化学键称为\_\_\_\_键，其电子对由\_\_\_\_提供。氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气：3NH~3~BH~3~+6H~2~O=3NH~3~++9H~2~，的结构如图所示：
在该反应中，B原子的杂化轨道类型由\_\_\_\_\_\_变为\_\_\_\_\_\_。
(3)NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性(H^δ+^)，与B原子相连的H呈负电性(H^δ-^)，电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。与NH~3~BH~3~原子总数相等的等电子体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写分子式)，其熔点比NH~3~BH~3~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"高"或"低")，原因是在NH~3~BH~3~分子之间，存在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也称"双氢键"。
(4)研究发现，氦硼烷在低温高压条件下为正交晶系结构，晶胞参数分别为*a* pm、*b* pm、*c* pm，*α*=*β*=*γ*=90°。氨硼烷的2×2×2超晶胞结构如图所示。
氨硼烷晶体的密度*ρ*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^−3^(列出计算式，设*N*~A~为阿伏加德罗常数的值)。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
12.苯基环丁烯酮( PCBO)是一种十分活泼的反应物，可利用它的开环反应合成一系列多官能团化合物。近期我国科学家报道用PCBO与醛或酮发生\[4+2\]环加成反应，合成了具有生物活性的多官能团化合物(E)，部分合成路线如下：
已知如下信息：
回答下列问题：
(1)A化学名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)由C生成D所用的试别和反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步反应中，若反应温度过高，C易发生脱羧反应，生成分子式为C~8~H~8~O~2~的副产物，该副产物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)写出化合物E中含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中手性碳(注：连有四个不同的原子或基团的碳)的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)M为C的一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)对于，选用不同的取代基R\'，在催化剂作用下与PCBO发生的\[4+2\]反应进行深入研究，R\'对产率的影响见下表：
-------- ---------- ------------- -----------------------
R\' ---CH~3~ ---C~2~H~5~ ---CH~2~CH~2~C~6~H~5~
产率/% 91 80 63
-------- ---------- ------------- -----------------------
请找出规律，并解释原因\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）**
**理科综合生物能力测试**
**一、选择题**
1.关于真核生物的遗传信息及其传递的叙述，错误的是（ ）
A. 遗传信息可以从DNA流向RNA，也可以从RNA流向蛋白质
B. 细胞中以DNA的一条单链为模板转录出的RNA均可编码多肽
C. 细胞中DNA分子的碱基总数与所有基因的碱基数之和不相等
D. 染色体DNA分子中的一条单链可以转录出不同的 RNA分子
2.取燕麦胚芽鞘切段，随机分成三组，第1组置于一定浓度的蔗糖（Suc）溶液中（蔗糖能进入胚芽鞘细胞），第2组置于适宜浓度的生长素（IAA）溶液中，第3组置于IAA+ Suc溶液中，一定时间内测定胚芽鞘长度的变化，结果如图所示。用KCl代替蔗糖进行上述实验可以得到相同的结果。下列说法不合理的是（ ）
A. KCl可进入胚芽鞘细胞中调节细胞的渗透压
B. 胚芽鞘伸长生长过程中，件随细胞对水分的吸收
C. 本实验中Suc是作为能源物质来提高IAA作用效果的
D. IAA促进胚芽鞘伸长的效果可因加入Suc或KC1而提高
3.细胞内有些tRNA分子的反密码子中含有稀有碱基次黄嘌呤（I），含有I的反密码子在与mRNA中的密码子互补配对时，存在如图所示的配对方式（Gly表示甘氨酸）。下列说法错误的是（ ）
A. 一种反密码子可以识别不同密码子
B. 密码子与反密码子的碱基之间通过氢键结合
C. tRNA分子由两条链组成，mRNA分子由单链组成
D. mRNA中的碱基改变不一定造成所编码氨基酸的改变
4.下列有关人体免疫调节的叙述，合理的是（ ）
A. 若病原体不具有细胞结构，就不会使人体产生抗体
B. 病原体裂解后再注射到人体，就不会使人体产生抗体
C. 病原体表面若不存在蛋白质分子，就不会使人体产生抗体
D. 病原体经吞噬细胞处理后暴露出的抗原可使人体产生抗体
5.新冠病毒是一种RNA病毒。新冠肺炎疫情给人们的生活带来了巨大影响。下列与新冠肺炎疫情防控相关的叙述，错误的是（ ）
A. 新冠病毒含有核酸和蛋白质，通过核酸检测可排查新冠病毒感染者
B. 教室经常开窗通风可以促进空气流动，降低室内病原微生物密度
C. 通常新冠肺炎患者的症状之一是发烧，因此可以通过体温测量初步排查
D. 每天适量饮酒可以预防新冠肺炎，因为酒精可以使细胞内的病毒蛋白变性
6.生态系统的物质循环包括碳循环和氮循环等过程。下列有关碳循环的叙述，错误的是（ ）
A. 消费者没有参与碳循环的过程
B. 生产者的光合作用是碳循环的重要环节
C. 土壤中微生物呼吸作用是碳循环的重要环节
D. 碳在无机环境与生物群落之间主要以CO~2~形式循环
**三、非选择题**
7.照表中内容，围绕真核细胞中ATP的合成来完成下表。
------------------- --------------------------- --------------------------------------------------- ---------------------------
反应部位 （1）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 叶绿体的类囊体膜 线粒体
反应物 葡萄糖 丙酮酸等
反应名称 （2）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 光合作用光反应 有氧呼吸的部分过程
合成ATP的能量来源 化学能 （3）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 化学能
终产物（除ATP外） 乙醇、CO~2~ （4）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （5）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
------------------- --------------------------- --------------------------------------------------- ---------------------------
8.给奶牛挤奶时其乳头上的感受器会受到制激，产生的兴奋沿着传入神经传到脊髓能反射性地引起乳腺排乳；同时该兴奋还能上传到下丘脑促使其合成催产素，进而促进乳腺排乳。回答下列问题：
（1）在完成一个反射的过程中，一个神经元和另个神经元之间的信息传递是通过\_\_\_\_\_\_\_这一结构来完成的。
（2）上述排乳调节过程中，存在神经调节和体液调节。通常在哺乳动物体内，这两种调节方式之间的关系是\_\_\_\_\_\_\_。
（3）牛奶的主要成分有乳糖和蛋白质等，组成乳糖的2种单糖是\_\_\_\_\_\_\_。牛奶中含有人体所需的必需氨基酸，必需氨基酸是指\_\_\_\_\_\_\_。
9.假设某种蓝藻（A）是某湖泊中唯一的生产者，其密度极大，使湖水能见度降低。某种动物（B）是该湖泊中唯一的消费者。 回答下列问题：
（1）该湖泊水体中A种群密度极大的可能原因是\_\_\_\_\_\_\_ （答出2 点即可）。
（2）画出该湖泊生态系统能量流动的示意图\_\_\_\_\_\_\_。
（3）假设该湖泊中引入一种仅以A为食的动物（C）后，C种群能够迅速壮大，则C和B的种间关系是\_\_\_\_\_\_\_。
10.普通小麦是目前世界各地栽培的重要粮食作物。普通小麦的形成包括不同物种杂交和染色体加倍过程，如图所示（其中A、B、D分别代表不同物种的一个染色体组，每个染色体组均含7条染色体）。在此基础上，人们又通过杂交育种培育出许多优良品种。回答下列问题：
（1）在普通小麦的形成过程中，杂种一是高度不育的，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。已知普通小麦是杂种二染色体加倍形成的多倍体，普通小麦体细胞中有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_条染色体。一般来说，与二倍体相比，多倍体的优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
（2）若要用人工方法使植物细胞染色体加倍，可采用的方法有\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（3）现有甲、乙两个普通小麦品种（纯合体），甲的表现型是抗病易倒伏，乙的表现型是易感病抗倒伏。若要以甲、乙为实验材料设计实验获得抗病抗倒伏且稳定遗传的新品种，请简要写出实验思路\_\_\_\_\_\_\_。
**\[生物------选修1：生物技术实践\]**
11.水果可以用来加工制作果汁、果酒和果醋等。回答下列问题：
（1）制作果汁时，可以使用果胶酶、纤维素酶等提高水果的出汁率和澄清度。果胶酶是分解果胶的一类酶的总称，包括多聚半乳糖醛酸酶、\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2种即可）。纤维素酶可以分解植物\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填细胞膜或细胞壁）中的纤维素。
（2）用果胶酶处理果泥时，为了提高出汁率，需要控制反应的温度，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）现有甲乙丙三种不同来源的果胶酶，某同学拟在果泥用量、温度、pH等所有条件都相同的前提下比较这三种酶的活性。通常，酶活性的高低可用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_来表示。
（4）获得的果汁（如苹果汁）可以用来制作果酒或者果醋，制作果酒需要\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_菌，这一过程中也需要O~2~，O~2~的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。制作果醋需要醋酸菌，醋酸菌属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填好氧或厌氧）细菌。
**\[生物------选修3：现代生物科技专题\]**
12.W是一种具有特定功能的人体蛋白质。某研究小组拟仿照制备乳腺生物反应器的研究思路，制备一种膀胱生物反应器来获得W，基本过程如图所示。
（1）步骤①中需要使用的工具酶有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。步骤②和③所代表的操作分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。步骤④称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）与乳腺生物反应器相比，用膀胱生物反应器生产W的优势在于不受转基因动物的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）的限制。
（3）一般来说，在同一动物个体中，乳腺上皮细胞与膀胱上皮细胞的细胞核中染色体DNA所含的遗传信息\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填相同或不同），原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）从上述流程可知，制备生物反应器涉及胚胎工程，胚胎工程中所用到主要技术有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
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**吉林省长春市2017年中考数学试题**
**一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.的相反数是 （ ）
A． B． C． D．
2\. 据统计，2016年长春市接待旅游人数约人次，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3.下列图形中，可以是正方形表面展开图的是（ ）
   
A． B． C． D．
4\. 不等式组 的解集为（ ）
A． B． C. D．
5.如图，在中，点在上，点在上，，若，则的大小为 （ ）
A． B． C. D．
6.如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为 （ ）
A． B． C. D．
7\. 如图，点 在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为（ ）
A． B． C. D．
8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为，顶点在第二象限，交轴于点若，函数的图象，经过点，则 的值为 （ ）
A． B． C. D．
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
9.计算： [ ]{.underline} ．
10.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 [ ]{.underline} ．
11.如图，直线，直线与这三条平分线分别交于点和点，若,则的长为 [ ]{.underline} ．
12.如图，则中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点，则的长为 [ ]{.underline} ．（结果保留）
13.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为"赵爽弦图".此图案
案的示意图如图②，其中四边形和四边形都是正方形， 、、、是四个全等的直角三角形，若，则的长为 [ ]{.underline} ．
 
图1 图2
14\. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点的坐标为，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
15\. 先化简，再求值：，其中 .
16\. 一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母，用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率.
17\. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为的长为米，求大厅的距离的长.(结果精确到米)
（参考数据：）
 
18\. 某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳，已知排球的单价是跳绳的单价的倍，购买跳绳共花费元，购买排球共花费元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多个，求跳绳的单价.
19.如图，在菱形中，，点是菱形内一点，连结绕点顺时针旋转，得到线段，连结，若 ，求的度数.
20.某校八年级学生会为了解本年级名学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长（小时）分为五个选项，进行了一次问卷调查 ，随机抽取名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）求的值；
（2）根据统计图结果，估计该年级名学生中睡眠时长不足小时的人数.
21.甲、乙两车间同时开始加工---批服装.从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为(件).甲车间加工的时间为（时），与之间的函数图象如图所示.
（1）甲车间每小时加工服装件数为 [ ]{.underline} 件；这批服装的总件数为 [ ]{.underline} 件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量与之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完件服装时甲车间所用的时间.
22\. 【再现】如图①，在中，点分别是的中点，可以得到：，且 .(不需要证明)
【探究】如图②，在四边形中，点分别是的中点，判断四边形的形状，并加以证明.
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形中，满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是： [ ]{.underline} （只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形中，点分别是的中点，对角线相交于点.若，四边形面积为，则阴影部分图形的面积和为 [ ]{.underline} ．
  
23\. 如图①，在中，，点从点出发，沿折线向终点 运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止.设点运动的时间为秒.
（1）求线段的长；（用含的代数式表示）
（2）连结，当与的一边平行时，求的值；
（3）如图②，过点作于点，以为邻边作矩形，点为的中点，连结 .设矩形与 重叠部分图形的面积为.①当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式；②直接写出将矩形分成两部分的面积比为时的值.
24.定义：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数，它们的相关函数为 .
(1)已知点 在一次函数的相关函数的图象上，求的值；
(2)已知二次函数 . ①当点在这个函数的相关函数的图象上时，求的值；
②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为 ，连结.直接写出线段与二
次函数 的相关函数的图象有两个公共点时的取值范围
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**数学试题**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．3的*相反数是（ ）*
A．-3 B． C． D．3
2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是*（ ）*
A． B． C． D．
3．*用科学计数法表示136 000，其结果是（ ）*
A． B． C． D．
4．化简的结果是*（ ）*
A． B． C． D．
5．下列关于图形对称性的命题，正确的是*（ ）*
A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
6． 不等式组：的解集是*（ ）*
A． B． C． D．
7．某校举行"汉字听写比赛"，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是*（ ）*
A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
8．如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是*（ ）*
A． B． C． D．
9．若直线经过点和，且，则的值可以是*（ ）*
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段和点，则点所在的单位正方形区域是*（ ）*
A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分．**
11．计算 [ ]{.underline} ．
12． 如图，*中，分别是的中点，连线，若，则线段*的长等于 [ ]{.underline} ．
13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 [ ]{.underline} ．
14．已知是数轴上的三个点，且在的右侧．点表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点表示的数是 [ ]{.underline} ．
15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于 [ ]{.underline} 度．
16． 已知矩形的四个顶点均在反比例函数的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形的面积为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
*17．* 先化简，再求值：，其中．
18． 如图，点在一条直线上，．求证： ．
19．如图，*中，*，*垂足为*．求作的平分线，分别交于**，**两点；并证明．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
20．我国古代数学著作《孙子算经》中有"鸡兔同笼"问题："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．"其大意是："有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？"试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
21．如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．
（Ⅰ）若，求弧的长；
（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．
22．小明在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，小明猜想：对于任意锐角，均有．
（Ⅰ）当时，验证是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
---------- --- ----- ----- --- --- --------------
使用次数 0 1 2 3 4 5(含5次以上)
累计车费 0 0.5 0.9 1.5
---------- --- ----- ----- --- --- --------------
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
---------- --- ---- ---- ---- ---- ----
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 5 15 10 30 25 15
---------- --- ---- ---- ---- ---- ----
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由．
24．如图，矩形中，，分别是线段AC、BC上的点，且四边形为矩形．
（Ⅰ）若是等腰三角形时，求的长；
（Ⅱ）若，求的长．
25．已知直线与抛物线有一个公共点，且．
（Ⅰ）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为．
（ⅰ）若，求线段长度的取值范围；
（ⅱ）求面积的最小值．
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**2019年吉林省长春市中考数学试卷**
**一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
1．（3分）（2019•长春）如图，数轴上表示的点到原点的距离是
A． B．2 C． D．
2．（3分）（2019•长春）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•长春）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•长春）不等式的解集为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中"盈不足术"记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（3分）（2019•长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是、、．，，则函数的图象经过点，则的值为
A． B．9 C． D．
**二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
9．（3分）（2019•长春）计算[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•长春）分解因式：[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•长春）一元二次方程的根的判别式的值是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•长春）如图，直线，点、分别在、上，．过线段上的点作交于点，则的大小为[ ]{.underline}度．
13．（3分）（2019•长春）如图，有一张矩形纸片，，．先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共10小题，满分78分）**
15．（6分）（2019•长春）先化简，再求值：，其中．
16．（6分）（2019•长春）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是"家"、"家""乐"，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
17．（6分）（2019•长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
18．（7分）（2019•长春）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．（结果保留
19．（7分）（2019•长春）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
整理上面的数据，得到表格如下：
------------------ --- --- --- ---
网上学习时间（时
人数 2 5 8 5
------------------ --- --- --- ---
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
-------- -------- -------- ------
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4
-------- -------- -------- ------
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数的值为[ ]{.underline}，众数的值为[ ]{.underline}．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
20．（7分）（2019•长春）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
21．（8分）（2019•长春）已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为[ ]{.underline}千米时，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}．
（2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
22．（9分）（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：
证明：连结．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点．
（1）如图②，若为正方形，且，则的长为[ ]{.underline}．
（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为[ ]{.underline}．
23．（10分）（2019•长春）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）①的长为[ ]{.underline}；
②的长用含的代数式表示为[ ]{.underline}．
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．
24．（12分）（2019•长春）已知函数为常数）
（1）当，
①点在此函数图象上，求的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．
**2019年吉林省长春市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
1．（3分）如图，数轴上表示的点到原点的距离是
A． B．2 C． D．
【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：数轴上表示的点到原点的距离是2，
故选：．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：．
故选：．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：．
4．（3分）不等式的解集为
A． B． C． D．
【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出的取值．
【解答】解：移项得：
系数化为1得：．
故选：．
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中"盈不足术"记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为
A． B．
C． D．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：
．
故选：．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
故．
故选：．
7．（3分）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是
A． B．
C． D．
【分析】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是、、．，，则函数的图象经过点，则的值为
A． B．9 C． D．
【分析】根据、的坐标分别是、、可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值．
【解答】解：过点作轴，垂足为，
、的坐标分别是、、，
，
在中，，
又，
，
又，
，
，
，代入得：，
故选：．
**二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
9．（3分）计算[ ]{.underline}．
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式．
故答案为：．
10．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（3分）一元二次方程的根的判别式的值是[ 5 ]{.underline}．
【分析】根据根的判别式等于，代入求值即可．
【解答】解：，，，
△，
故答案为：5．
12．（3分）如图，直线，点、分别在、上，．过线段上的点作交于点，则的大小为[ 57 ]{.underline}度．
【分析】直接利用平行线的性质得出的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：直线，
，
，
，
．
故答案为：57．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片，，．先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为[ ]{.underline}．
【分析】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，，
，
，
由题意得，四边形为矩形，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
则的周长，
故答案为：．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为[ 2 ]{.underline}．
【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【解答】解：抛物线与轴交于点，
，抛物线的对称轴为
顶点坐标为，点坐标为
点为线段的中点，
点坐标为
设直线解析式为为常数，且
将点代入得
将点代入得
解得
故答案为：2．
**三、解答题（共10小题，满分78分）**
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是"家"、"家""乐"，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为套，由题意列出方程：，解方程即可．
【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为套，则实际每天加工彩灯的数量为套，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
18．（7分）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．（结果保留
【分析】（1）根据四边形是正方形，为的直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，为的直径，
，
，，
，
在与中，，
；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
的长．
19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
整理上面的数据，得到表格如下：
------------------ --- --- --- ---
网上学习时间（时
人数 2 5 8 5
------------------ --- --- --- ---
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
-------- -------- -------- ------
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4
-------- -------- -------- ------
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数的值为[ 2.5 ]{.underline}，众数的值为[ ]{.underline}．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
中位数的值为，众数为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）（人，
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
20．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示，即为所求；
（2）如图②所示，即为所求；
（3）如图③所示，四边形即为所求；
21．（8分）已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为[ 75 ]{.underline}千米时，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}．
（2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据"路程、速度、时间"的关系确定、的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）乙车的速度为：千米时，
，．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2）（千米），
当时，设，根据题意得：
，解得，
；
当时，设，
；
（3）甲车到达距地70千米处时行驶的时间为：（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）．
答：当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：
证明：连结．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点．
（1）如图②，若为正方形，且，则的长为[ ]{.underline}．
（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为[ ]{.underline}．
【分析】教材呈现：如图①，连结．根据三角形中位线定理可得，，那么，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明；
结论应用：（1）如图②．先证明，得出，那么，又，可得，由正方形的性质求出，即可求出；
（2）如图③，连接．由（1）易证．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积比，同理，与的面积比，那么的面积的面积的面积的面积），所以的面积，进而求出的面积．
【解答】教材呈现：
证明：如图①，连结．
在中，，分别是边，的中点，
，，
，
，
，
；
结论应用：
（1）解：如图②．
四边形为正方形，为边的中点，对角线、交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
正方形中，，
，
．
故答案为；
（2）解：如图③，连接．
由（1）知，，，
．
与的高相同，
与的面积比，
同理，与的面积比，
的面积的面积的面积的面积），
的面积，
的面积．
故答案为6．
23．（10分）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）①的长为[ 25 ]{.underline}；
②的长用含的代数式表示为[ ]{.underline}．
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算的长，根据三角函数即可计算出．
（2）当为矩形时，由可知，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出的值．
（3）当与重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．在三角形内部时，Ⅱ．有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过的中点，Ⅱ．过的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算值．
【解答】解：（1）在中，，，．
．
，
由题可知，
．
故答案为：①25；②．
（2）当为矩形时，，
，
，
，
由题意可知，，
，
解得，
即当为矩形时．
（3）当重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．在三角形内部时．延长交于点，
由（1）题可知：，，，，．
，，，
．在三角形内部时．有，
，
．
．
当时，与重叠部分图形为，与之间的函数关系式为．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当，与重叠部分图形为梯形时，
即：，解得：，
与重叠部分图形为梯形的面积．
综上所述：当时，．当，．
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，，与交于点，为中点，过点作，
，
，
，，
，，
．．
，
，
，
解得：，
Ⅱ．如解题图（4）2，，与交于点，为中点，过点作，
，四边形为矩形，
，
，解得．
综上所述：当或时，点且平行于的直线经过一边中点时，
24．（12分）已知函数为常数）
（1）当，
①点在此函数图象上，求的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．
【分析】（1）①将代入；②当时，当时有最大值为5；当时，当时有最大值为；故函数的最大值为；
（2）将点代入中，得到，所以时，图象与线段只有一个交点；将点代入和中，得到，，
所以时图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，得到；当时，，得到，当时，，．
【解答】解：（1）当时，
，
①将代入，
；
②当时，当时有最大值为5；
当时，当时有最大值为；
函数的最大值为；
（2）将点代入中，
，
时，图象与线段只有一个交点；
将点代入中，
，
将点代入中，
，
时图象与线段只有一个交点；
综上所述：，时，图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，
，；
当时，，
，，
当时，，
；
函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或．
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**北师大版小学三年级下册数学第四单元《面积------什么是面积》同步检测2（附答案）**
一、下面方格中哪个图形的面积大？在大的下面画"√"。
1.
( ) ( )
2\. 来源：www.bcjy123.com/tiku/
( ) ( )
二、比一比，填一填。
上面各图形中，面积最大的是＿＿＿＿，面积最小的是＿＿＿＿。
三、比一比，说一说，下面哪个图形的面积最大，哪个图形的面积最小？
四、下图中阴影部分是两栋楼房的平面图，给占地面积大的画"√\"。
1. 来源：www.bcjy123.com/tiku/
（ ）
2\.
（ ）
五、按下列图形面积的大小排序。(每个小方格的面积都相等)
① ② ③ ④
( )＞( )＞( )＞( )
六、仔细观察，填一填。
1．图形A的面积等于( )个小方格的面积。
2．图形B的面积等于( )个小方格的面积。
3．图形C的面积等于( )个小方格的面积。
4．图形D的面积等于( )个小方格的面积。
七、在下面的方格纸上分别画出面积等于12个小方格的2个长方形。
参考答案
一、1．B(√) 2．B(√)
二、B A
三、①面积最大 ④面积最小来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、2．(√)
五、③\>④\>②\>①
六、1．14 2．12 3．17．5 4．24．5
七、自己画一画吧！
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**小学数学小升初图文搭配应用题轻松闯关**
1．根据如图提供的信息，可知每支网球拍与每支乒乓球拍的单价分别为（ ）。
A．75元，50元 B．70元，45元 C．70元，60元 D．80元，40元
2．体育馆内排球的个数是篮球的75％，篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个？
3．现有一个圆柱，底面直径是5厘米，高是12厘米。求它的侧面积。
4．如图是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。草地部分的面积有多大？
5．小明星期天请6名同学来家做客，他选用一盒用长方体（如图（1））包装的饮料招待同学，给每个同学倒上一满杯（如图（2））后，他自己还有喝的饮料吗？（写出主要过程）
6．如图，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的1/5．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?
7．现有两种酒精溶液，已知甲种酒精溶液中含酒精18千克，含水12千克；乙种酒精溶液中含酒精3千克，含水9千克。现在要得到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克？
8．以下反映的是昨天的股市行情：
项目 开盘价（元） 收盘价（元）
青岛海尔 15.00 16.00
中国石化 20.50 19.00
（1）青岛海尔一天的涨幅是多少？
（2）中国石化一天的跌幅是多少？
（3）若某股民原来买等总价的两种股票，昨天是盈还是亏？请举例说明．
9．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣.乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问三个班总共分了多少个枣？
**参考答案**
1．D
【解析】根据图示，1支网球拍比1支乒乓球拍贵200-160=40（元），假设每支乒乓球拍多加40元，那么乒乓球拍的价格就和网球拍的价格相同，而2支网球拍与1支乒乓球拍的总价要增加到200+40=240（元），也就是240元相当于3支网球拍的价格，所以每支网球拍的单价是240÷3=80（元）。
解：每支网球拍的单价：
\[200+（200-160）\]÷3，
=\[200+40\]÷3，
=240÷3，
=80（元）；
每支乒乓球拍：
80-（200-160），
=80-40，
=40（元）；
答：每支网球拍的单价是80元，每支乒乓球拍的单价是40元．
故选：D．
考点：图文应用题。
点评：先求出1支网球拍比1支乒乓球拍贵40元，然后根据关系式：（和+差）÷2=大数，求出每支网球拍的单价，再求每支乒乓球拍的单价。
2．篮球有24个，排球有18个。
【解析】排球的个数是篮球的75％，是把篮球个数看作单位"1"。
排球的个数是篮球的75％，等量关系式：篮球－排球=6个。
解：设篮球有ｘ个，则排球有75％ｘ个。
ｘ-75％ｘ=6
0.25ｘ=6
ｘ=24
75％ｘ=24×0.75=18
答：篮球有24个，排球有18个。
3．188.4平方厘米
【解析】
沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方形的面积，即圆柱的侧面积。
解：3.14×5×12=188.4（平方厘米）
答：它的侧面积是188.4平方厘米。
点评：圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化的思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就是这个圆柱的侧面积。
考点分析：
1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个曲面，叫做圆柱的侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。
4、圆柱的侧面积=底面周长×高
5、圆柱的表面积=侧面积+底面积×2
总结：1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的底面、侧面和高。
2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。
4．112平方米
【解析】求草地部分的面积，可以用大长方形的面积减去两条道路的面积，但要考虑两条道路的重叠部分，因此计算比较复杂。可以将图1转化成图2，两条道路转化到了长方形草地的边上，很明显，图2草地部分（阴影部分）的面积和图1相等，现在求草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简单。
解：（16-2）×（10-2）=112（平方米）
答：草地部分的面积是112平方米。
总结：这分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。
5．他自己还有喝的饮料。
【解析】结合图形已知条件，求出长方体的体积和圆柱体的体积即可．
解：15×12×6=1080（立方厘米），
20×8=160（立方厘米），
160×6=960（立方厘米），
1080立方厘米＞960立方厘米；
答：他自己还有喝的饮料。
考点：图文应用题。
总结：1、联系生活，注重实际意义，结合数学知识即可解决问题，2、注意观察给出的图片、图形，继而总结出对解题有帮助的信息。
6．11.5千米
【解析】BE是BC的4/5，CE是BC的1/5，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：
另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C。小张从B到G。
小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)。
解答：因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷(6/4-1)=18(分钟)。
因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟。
从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；
从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；
A至D全程长是(36+54)×6/60+30×5/60=11.5千米。
总结：在一些数学问题中要用以题中的等量为等量关系建立方程。
综合法------先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。
7．甲种酒精溶液应取10千克，乙种酒精溶液应取4千克。
【解析】此题是溶液的混合配制问题，这类问题中有三个等量关系：混合前后溶液的重量和不变、溶质重量和不变及溶剂重量和不变。需要先算出甲种、乙种酒精溶液的浓度，再根据等量关系列出方程。
设应取甲种酒精溶液千克，那么乙种酒精溶液应取千克，所取的甲种酒精溶液含酒精千克，所取的乙种酒精溶液含酒精千克，根据题意，得
解方程，得
答：甲种酒精溶液应取10千克，乙种酒精溶液应取4千克。
总结：根浓度问题是列方程解应用题的常见类型之一，关键是要找出配制前后溶液中哪些量不发生变化，从而寻找出等量关系，进而列出方程求解。
从上述例题我们知道，列方程解应用题的步骤是
（1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系；
（2）设元：选择适当未知数，用字母表示；
（3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量；
（4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；
（5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解；
（6）检验并答题。
8．6.7%；7.3%；亏损
【解析】根据图表所给信息可知，
（1）青岛海尔一天的涨幅是（16-15）÷15；
（2）中国石化一天的跌幅是（20.5-19）÷20.5；
（3）设定这他分别买了同样钱数的这两只股票，只要根据这两只股票的涨幅和跌幅分别算出青岛海尔和中国石化的盈利的亏损是多少，进行比较一下即可得出他这天是盈利还是亏损．
解：（1）（16-15）÷15≈6.7%，
答：青岛海尔一天的涨幅约是6.7%．
（2）（20.5-19）÷20.5≈7.3%，
答：中国石化一天的跌幅约是7.3%．
（3）假设他分别买了4000元的青岛海尔和中国石化，其盈亏情况为：
盈利：4000×6.7%=268（元），
亏损：4000×7.3%=292（元），
盈利＜亏损．
答：他昨天是亏损的．
考点：图文应用题。
总结：有的数量及其关系适合用文字叙述，而有的数量及其关系适合用表格表示，还有的数量及其关系适合用图形来表达。我们应该把它们表示为易于理解的形式。
另外，对于十进制数该如何表示也应该掌握。
9．673个
【解析】先画长方形图，见图4。
在图4中，AB、BD、DG分别表示丙、乙、甲三班小孩的人数，GH、DK、BN分别表示甲、乙、丙三班小孩每人分的枣数，则BD=AB+4，DG=BD+4=AB+8，这里CD=EF=FG=4.BN=DK+5，DK=HG+3，这里PN=5，KY=3.这一来长方形DGHY、BDKP、ABNO的面积便分别表示甲、乙、丙三班小孩分得枣的总数.添辅助线后，从图4中可以看出：长方形ABRQ、BCXR、DEJY的面积相等.根据题意，长方形EGHJ的面积等于长方形QRNO的面积加8（=3+5）.而长方形EGHJ的面积等于8HG，长方形QRNO的面积等于AB×RN=8AB.即8HG=8AB+8，所以HG=QA=AB+1.另外长方形BDYR与长方形DFIY的面积相等，根据题意长方形FGHI的面积等于长方形RYKP的面积加3，而长方形FGHI的面积等于4GH，长方形RYKP的面积等于3RY，所以4GH=3RY+3=3（BC+4）+3=3BC+15，即4（AB+1）= 3AB+15，最后可求出AB=11，HG=12，有了这两个数便可求出总共分了多少个枣。
甲班总分枣数为：（11+4+4）×12=228（个）
乙班总分枣数为：（11+4）×（12+3）=225（个）
丙班总分枣数为：11×（12+3+5）=220（个）
三班共分枣数为：228+225+220=673（个）
答：三个班总共分枣673个。
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 搭一搭（一）**
1. **列竖式。**
23÷8= 32÷7= 29÷4= 73÷8=
66÷9= 54÷8= 36÷4= 87÷9=
2. **填一填。**
> 1、
>
>  
>
> 平均每盘放几个？（ ），还剩几个（ ）
2. 有15条 每天吃2条，够吃几天？（ ）还剩几条？（ ）
3. 已知 A+A+A=6 AＸB=16 那么B÷A=（ ）？
4. 有一些糖平均分给3个同学正好分完，分给4个同学也正好分完，一共有（ ）个桃子？
5. 73除以一个数后等于9，还余下1，这个数是（ ）？
6. 小明做一些数学题，比30道多又比35 少，而且是8的倍数，小明做（ ）道题？
7. 同学们在草上做游戏，按3个男生，2个女生排，第18个同学是男生还是女生？（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
3. **在○内填写＜或＞或=**
8×4○23 6×7○42 4×7○27 3×5○18
2×9○20 3×9○28 6×9○45 2×8○20
4. **应用题。**
1.小朋友分巧克力糖，每4人分1块巧克力，有5块巧克力，可以分给多少人?如果一共有 24个小朋友，还有几人没分到巧克力?
2.学校体育组原来有24根跳绳，又买来18根，平均分给6个班，每班分到几根?
3.爸爸买来8个西红柿，吃了3个，妈妈又买来9个西红柿，现在有多少个西红柿?
\[来源:Z。xx。k.Com\]
4、小白兔有72只，小狗有9只，小白兔的只数是小狗的几倍?
\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
5、56个桃子平均分给7只小猴，每只小猴分几个?
\[来源:学科网\]
答案解析:
> 列竖式 2......5 4......4 7......1 9......1
7......3 6......6 9 9......6
> 填一填。
>
> 1、 平均每盘放6个，还剩1个
8. 够吃几天？（7 ）还剩几条？（1 ）
9. B÷A=（ 4） 6÷3=2 A=2 2ＸB=16 B=8 8÷2=4
10. 一共有（12 ）个桃子
11. 这个数是8 （73-1）÷9=8
12. 小明做（32 ）道题。31 32 33 34 这几个数里只有32是8的倍数
13. （ 男生 ）
在○内填写＜或＞或= \[来源:学\|科\|网\]
＞ = ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ ＜
应用题。
1.4×5=20 可以分给20人。
24-20=4 还有4人没有分到巧克力。
2.24+18=42 42÷6=7 每班分到7根。
3.8-3+9=14 现在有14个西红柿。
4、72÷9=8 小白兔的只数是小狗的8倍。
5、56÷7=8每只小猴子分8个
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{width="0.4027777777777778in" height="0.4444444444444444in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合*A*={*x*\|\|*x*\|\<3，*x*∈**Z**}，*B*={*x*\|\|*x*\|\>1，*x*∈**Z**}，则*A*∩*B*=
> A． B．{--3，--2，2，3）
>
> C．{--2，0，2} D．{--2，2}
2．（1--i）^4^=
> A．--4 B．4
>
> C．--4*i* D．4*i*
>
> 3．如图，将钢琴上的12个键依次记为*a*~1~，*a*~2~，...，*a*~12~.设1≤*i*\<*j*\<*k*≤12．若*k*--*j*=3且*j*--*i*=4，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位大三和弦；若*k*--*j*=4且*j*--*i*=3，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
![C:\\Users\\蒋志华\\Documents\\Tencent Files\\465184465\\Image\\C2C\\Image3\\VR\]\`QC1NQE\[7V3UK}{CLTD0.png](./data/image/media/image3.png){width="2.9583333333333335in" height="1.2169028871391077in"}
A．5 B．8 C．10 D．15
> 4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
>
> A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．已知单位向量***a***，***b***的夹角为60°，则在下列向量中，与***b***垂直的是
> A．***a***+2***b*** B．2***a***+***b*** C．***a***--2***b*** D．2***a***--***b***
6．记*S~n~*为等比数列{*a~n~*}的前*n*项和．若*a*~5~--*a*~3~=12，*a*~6~--*a*~4~=24，则=
> A．2*^n^*--1 B．2--2^1--*n*^ C．2--2^*n*--1^ D．2^1--*n*^--1
7．执行右面的程序框图，若输入的*k*=0，*a*=0，则输出的*k*为
{width="1.59375in" height="3.3372233158355207in"}
> A．2 B．3 C．4 D．5
8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2*x*-*y*-3=0的距离为
> A． B． C． D．
>
> 9．设*O*为坐标原点，直线*x*=*a*与双曲线*C*：=l(*a*\>0，*b*\>0)的两条渐近线分别交于*D*，*E*两点．若△*ODE*的面积为8，则*C*的焦距的最小值为
>
> A．4 B．8 C．16 D．32
10．设函数*f*(*x*)=x3－，则*f*(*x*)
> A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
>
> C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
>
> 11．已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上．若球*O*的表面积为16π，则*O*到平面*ABC*的距离为
>
> A． B． C．1 D．
12．若2*^x^*－2*^y^*\<3^−*x*^－3^−*y*^，则
> A．ln(*y*-*x*+1)\>0 B．ln(*y*-*x*+1)\<0 C．ln∣*x*-*y*∣\>0 D．ln∣*x*-*y*∣\<0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．记*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和．若*a*~1~=--2，*a*~2~+*a*~6~=2，则*S*~10~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．若*x*，*y*满足约束条件则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
*p*~4~：若直线*l*平面α，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*．
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
1. ② ③ ④
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
（1）求*A*；
（2）若，证明：△*ABC*是直角三角形．
18． (12分)
> 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*) (*i=*1，2，...，20)，其中*x*~i~和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
>
> （1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
>
> （2）求样本(*x~i~*，*y~i~*) (*i=*1，2，...，20)的相关系数(精确到0.01)；
>
> （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
>
> 附：相关系数*r*= ，=1.414．
19．(12 分)
> 已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0)的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合．过*F*且与*x*轴重直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|．
>
> （1）求*C*~1~的离心率；
>
> （2）若*C*~1~的四个顶点到*C*~2~的准线距离之和为12，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程．
20．（12分）
> 如图，已知三棱柱*ABC*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点．过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*．
>
> {width="2.173611111111111in" height="2.1432819335083115in"}
>
> （1）证明：*AA*~1~//*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥平面*EB*~1~*C*~1~*F*；
>
> （2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*=*AB*=6，*AO*//平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且∠*MPN*=，求四棱锥*B*--*EB*~1~*C*~1~*F*的体积．
21．（12分）
> 已知函数*f*（*x*）=2ln*x*+1．
>
> （1）若*f*（*x*）≤2*x*+*c*，求*c*的取值范围；
>
> （2）设*a*\>0时，讨论函数*g*（*x*）=的单调性．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为
>
> *C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）．
>
> （1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
>
> （2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系．设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知函数*f*(*x*)= \|*x*-*a*^2^\|+\|*x*-2*a*+1\|．
>
> （1）当*a*=2时，求不等式*f*(*x*)≥4的解集；
>
> （2）若*f*(*x*)≥4，求*a*的取值范围．
**参考答案**
1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．A
13． 14．25 15．8 16．①③④
17．解：（1）由已知得，即．
> 所以，．由于，故．
>
> （2）由正弦定理及已知条件可得．
>
> 由（1）知，所以．
>
> 即，．
>
> 由于，故．从而是直角三角形．
>
> 18．解：（1）由己知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200= 12 000．
>
> （2）样本的相关系数
>
> ．
>
> （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
>
> 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
19．解：（1）由已知可设的方程为，其中.
> 不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，故，.
>
> 由得，即，解得（舍去），.
>
> 所以的离心率为.
>
> （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.
>
> 由已知得，即.
>
> 所以的标准方程为，的标准方程为.
>
> 20．解：（1）因为*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，所以*MN*∥*CC*~1~．又由已知得*AA*~1~∥*CC*~1~，故*AA*~1~∥*MN*．
因为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~是正三角形，所以*B*~1~*C*~1~⊥*A*~1~*N*．又*B*~1~*C*~1~⊥*MN*，故*B*~1~*C*~1~⊥平面*A*~1~*AMN*．
所以平面*A*~1~*AMN*⊥平面*EB*~1~*C*~1~*F*．
（2）*AO*∥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，*AO*平面*A*~1~*AMN*，平面*A*~1~*AMN*平面*EB*~1~*C*~1~*F* = *PN*，
故*AO*∥*PN*，又*AP*∥*ON*，故四边形*APNO*是平行四边形，
所以*PN*=*AO*=6，*AP* = *ON*=*AM*=，*PM*=*AM*=2，*EF*=*BC*=2．
> 因为*BC*∥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，所以四棱锥*B*-*EB*~1~*C*~1~*F*的顶点*B*到底面*EB*~1~*C*~1~*F*的距离等于点*M*到底面*EB*~1~*C*~1~*F*的距离．
作*MT*⊥*PN*，垂足为*T*，则由（1）知，*MT*⊥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，故*MT* =*PM* sin∠*MPN*=3．
底面*EB*~1~*C*~1~*F*的面积为
所以四棱锥*B*-*EB*~1~*C*~1~*F*的体积为．
{width="2.365217629046369in" height="2.386842738407699in"}
21．解：设*h*(*x*)=*f*(*x*)−2*x*−*c*，则*h*(*x*)=2ln*x*−2*x*+1−*c*，
> 其定义域为(0，+∞)，.
>
> （1）当0\<*x*\<1时，*h*\'(*x*)\>0；当*x*\>1时，*h*\'(*x*)\<0.所以*h*(*x*)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当*x*=1时，*h*(*x*)取得最大值，最大值为*h*(1)=−1−*c*.
>
> 故当且仅当−1−*c*≤0，即*c*≥−1时，*f*(*x*)≤2*x*+*c*.
>
> 所以*c*的取值范围为\[−1，+∞).
>
> （2），*x*∈(0，*a*)∪(*a*，+∞).
>
> 取*c*=−1得*h*(*x*)=2ln*x*−2*x*+2，*h*(1)=0，则由（1）知，当*x*≠1时，*h*(*x*)\<0，即
>
> 1−*x*+ln*x*\<0.故当*x*∈(0，*a*)∪(*a*，+∞)时，，从而*.*
>
> 所以在区间(0，*a*)，(*a*，+∞)单调递减.
22．解：（1）的普通方程为．
> 由的参数方程得，，所以．
>
> 故的普通方程为．
>
> （2）由得所以的直角坐标为．
>
> 设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，
>
> 解得．
>
> 因此，所求圆的极坐标方程为．
23．解：（1）当时，
> 因此，不等式的解集为．
>
> （2）因为，故当，即时，．所以当*a*≥3或*a*≤-1时，．
>
> 所以*a*的取值范围是．
{width="6.772222222222222in" height="8.927777777777777in"}
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**辛集市2020\--2021学年度第一学期期末教学质量评价**
**三 年 级 数 学 参 考 答 案**
阅卷说明：
各位总教导主任：请在阅卷之前组织老师务必先做一遍试卷，再批阅，如果有疑问或分歧请提前协商解决，以确保阅卷质量。
卷面分的类别及得分：
一类（9-10分）：书写工整，字迹清晰，字体美观，没有涂抹。
二类（6-8分）：书写整齐，字迹清楚，字体规范，少量涂抹。
三类（3-5分）：书写较乱，字迹模糊，字体失真，少量涂抹。
四类（1-2分）：书写混乱，字迹难辨，字体虚幻，较多涂抹。
1. 填一填（共27分，每空1分）
```{=html}
<!-- -->
```
1. 吨 毫米 秒 千米
2. ＞ ＜ ＜ ＝
3.
4. 3 2 4 26
5. 1000
6. 4 8
7. 78
8. 18 9
9. 9厘米
10. 6
11. 32
12. 19：05 20:55
```{=html}
<!-- -->
```
2. 选一选（共5分，每题1分）
{width="0.2777777777777778in" height="0.2777777777777778in"}1、C 2、B 3、B 4、C 5、A
3. 判一判（共5分，每题1分）
1、× 2、× 3、× 4、√ 5、√
4. 算一算（共25分）
```{=html}
<!-- -->
```
1. 直接写得数（共10分，每题1分）
1 0 180 2000 710 180 600 600（或620）
2. 竖式计算（竖式略，共9分，前三题每题2分，第四题3分；竖式占1分，横式得数占1分，第四题验算占1分）
1485 3018 573 527
3、脱式计算（共6分，每题2分）
1014 286 959
```{=html}
<!-- -->
```
5. 动手操作（共4分）
```{=html}
<!-- -->
```
1. （2分）涂色占1分，画图占1分。涂9个★，画6个△
2. （2分）图略，用工具作图
```{=html}
<!-- -->
```
6. 解决问题（共24分）（如遇列式不唯一的，阅卷老师根据题意判断，解答合理即对。综合算式要有解题过程，结果错误扣1分，单位错或不写扣0.5分，分步第一步错该题不得分）
```{=html}
<!-- -->
```
1. （4分）
2. （6分，每小题3分）（1）24÷6=4（2）24÷6×5=20（只）
3. （4分）68×4+19+68=359（份）
4. （6分）130-32×3=34（人）
130×7=910（元）910元＜1000元，买门票够
5、（4分）（7+5）×2+3×2=30（厘米）
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**2015年湖北省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（3分）i为虚数单位，i^607^=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（3分）命题"∃x~0~∈（0，+∞），lnx~0~=x~0~﹣1"的否定是（ ）
A．∃x~0~∈（0，+∞），lnx~0~≠x~0~﹣1 B．∃x~0~∉（0，+∞），lnx~0~=x~0~﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
5．（3分）l~1~，l~2~表示空间中的两条直线，若p：l~1~，l~2~是异面直线，q：l~1~，l~2~不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4\] C．（2，3）∪（3，4\] D．（﹣1，3）∪（3，6\]
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（ ）
A．\|x\|=x\|sgnx\| B．\|x\|=xsgn\|x\| C．\|x\|=\|x\|sgnx D．\|x\|=xsgnx
8．（3分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记p~1~为事件"x+y≤"的概率，P~2~为事件"xy≤"的概率，则（ ）
A．p~1~＜p~2~＜ B． C．p~2~＜ D．
9．（3分）将离心率为e~1~的双曲线C~1~的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e~2~的双曲线C~2~，则（ ）
A．对任意的a，b，e~1~＞e~2~
B．当a＞b时，e~1~＞e~2~；当a＜b时，e~1~＜e~2~
C．对任意的a，b，e~1~＜e~2~
D．当a＞b时，e~1~＜e~2~；当a＜b时，e~1~＞e~2~
10．（3分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
**二、填空题**
11．（3分）已知向量⊥，\|\|=3，则•=[ ]{.underline}．
12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为[ ]{.underline}．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x^2^的零点个数为[ ]{.underline}．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间\[0.3，0.9\]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a=[ ]{.underline}．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间\[0.5，0.9\]内的购物者的人数为[ ]{.underline}．
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=[ ]{.underline}m．
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2．
（1）圆C的标准方程为[ ]{.underline}．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为[ ]{.underline}．
17．（3分）a为实数，函数f（x）=\|x^2^﹣ax\|在区间\[0，1\]上的最大值记为g（a）．当a=[ ]{.underline}时，g（a）的值最小．
**三、解答题**
18．（12分）某同学将"五点法"画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，\|φ\|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
-------------- --- ------------------------------------- --- ------------------------------------- ----
wx+φ 0  π  2π
x  
Asin（wx+φ） 0 5 ﹣5 0
-------------- --- ------------------------------------- --- ------------------------------------- ----
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的公比为q，已知b~1~=a~1~，b~2~=2，q=d，S~10~=100．
（1）求数列{a~n~}，{b~n~}的通项公式
（2）当d＞1时，记c~n~=，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V~1~，四面体EBCD的体积为V~2~，求的值．
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e^x^，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l~1~：x﹣2y=0和l~2~：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
**2015年湖北省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（3分）i为虚数单位，i^607^=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．
【解答】解：i^607^=i^606^•i=（i^2^）^303^•i=（﹣1）^303^•i=﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（3分）命题"∃x~0~∈（0，+∞），lnx~0~=x~0~﹣1"的否定是（ ）
A．∃x~0~∈（0，+∞），lnx~0~≠x~0~﹣1 B．∃x~0~∉（0，+∞），lnx~0~=x~0~﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x与z的相关性．
【解答】解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关；
变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=，一次项系数小于0，所以z与x负相关；
故选：A．
【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键．
5．（3分）l~1~，l~2~表示空间中的两条直线，若p：l~1~，l~2~是异面直线，q：l~1~，l~2~不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可．
【解答】解：若l~1~，l~2~是异面直线，则l~1~，l~2~不相交，即充分性成立，
若l~1~，l~2~不相交，则l~1~，l~2~可能是平行或异面直线，即必要性不成立，
故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．
6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4\] C．（2，3）∪（3，4\] D．（﹣1，3）∪（3，6\]
【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
＞0等价为①即，即x＞3，
②，即，此时2＜x＜3，
即2＜x＜3或x＞3，
∵﹣4≤x≤4，
∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，
即函数的定义域为（2，3）∪（3，4\]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（ ）
A．\|x\|=x\|sgnx\| B．\|x\|=xsgn\|x\| C．\|x\|=\|x\|sgnx D．\|x\|=xsgnx
【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．
【解答】解：对于选项A，右边=x\|sgnx\|=，而左边=\|x\|=，显然不正确；
对于选项B，右边=xsgn\|x\|=，而左边=\|x\|=，显然不正确；
对于选项C，右边=\|x\|sgnx=，而左边=\|x\|=，显然不正确；
对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=\|x\|=，显然正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
8．（3分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记p~1~为事件"x+y≤"的概率，P~2~为事件"xy≤"的概率，则（ ）
A．p~1~＜p~2~＜ B． C．p~2~＜ D．
【分析】分别求出事件"x+y≤"和事件"xy≤"对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小．
【解答】解：由题意，事件"x+y≤"表示的区域如图阴影三角形，
p~1~=；
满足事件"xy≤"的区域如图阴影部分
所以p~2~===＞；
所以；
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．
9．（3分）将离心率为e~1~的双曲线C~1~的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e~2~的双曲线C~2~，则（ ）
A．对任意的a，b，e~1~＞e~2~
B．当a＞b时，e~1~＞e~2~；当a＜b时，e~1~＜e~2~
C．对任意的a，b，e~1~＜e~2~
D．当a＞b时，e~1~＜e~2~；当a＜b时，e~1~＞e~2~
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C~1~：c^2^=a^2^+b^2^，e~1~=；
双曲线C~2~：c′^2^=（a+m）^2^+（b+m）^2^，e~2~=，
∴=﹣=，
∴当a＞b时，e~1~＞e~2~；当a＜b时，e~1~＜e~2~，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（3分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求
【解答】解：解法一：
∵A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），
B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}的元素可看作正方形A~1~B~1~C~1~D~1~中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．
**二、填空题**
11．（3分）已知向量⊥，\|\|=3，则•=[ 9 ]{.underline}．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵\|\|=3，
∴．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．
12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为[ 10 ]{.underline}．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，
此时z最大．
由得．即C（3，1），
此时z的最大值为z=3×3+1=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x^2^的零点个数为[ 2 ]{.underline}．
【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可．
【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x^2^=sin2x﹣x^2^，
由f（x）=0得sin2x=x^2^，
作出函数y=sin2x和y=x^2^的图象如图：
由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，
即函数f（x）的零点个数为2个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间\[0.3，0.9\]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a=[ 3 ]{.underline}．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间\[0.5，0.9\]内的购物者的人数为[ 6000 ]{.underline}．
【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值；
（2）先求出消费金额在区间\[0.5，0.9\]内的购物者的频率，再求频数．
【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3
（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000
故答案为：（1）3 （2）6000
【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=[ 100]{.underline}[ ]{.underline}m．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2．
（1）圆C的标准方程为[ （x﹣1）^2^+（y﹣]{.underline}[）^2^=2 ]{.underline}．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为[ ﹣1﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；
（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），
∴圆C的标准方程为（x﹣1）^2^+（y﹣）^2^=2；
（2）由（1）知，B（0，1+），
∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，
令y=0可得x=﹣1﹣．
故答案为：（x﹣1）^2^+（y﹣）^2^=2；﹣1﹣．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（3分）a为实数，函数f（x）=\|x^2^﹣ax\|在区间\[0，1\]上的最大值记为g（a）．当a=[ 2]{.underline}[﹣2 ]{.underline}时，g（a）的值最小．
【分析】通过分a≤0、0＜a≤2﹣2、a＞2﹣2三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论．
【解答】解：对函数f（x）=\|x^2^﹣ax\|=\|（x﹣）^2^﹣\|分下面几种情况讨论：
①当a≤0时，f（x）=x^2^﹣ax在区间\[0，1\]上单调递增，
∴f（x）~max~=g（1）=1﹣a；
②当0＜a≤2﹣2时，==，f（1）=1﹣a，
∵﹣（1﹣a）=﹣2＜0，
∴f（x）~max~=g（1）=1﹣a；
③当2﹣2＜a≤1时，f（x）~max~=g（a）=；
综上所述，g（a）=，
∴g（a）在（﹣∞，\]上单调递减，在\[，+∞）上单调递增，
∴g（a）~min~=g（）；
④当1＜a＜2时，g（a）=f（）=；
⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a﹣1；
综上，当a=时，g（a）~min~=3﹣2，
故答案为：．
【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
**三、解答题**
18．（12分）某同学将"五点法"画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，\|φ\|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
-------------- --- -------------------------------------- --- -------------------------------------- ----
wx+φ 0  π  2π
x  
Asin（wx+φ） 0 5 ﹣5 0
-------------- --- -------------------------------------- --- -------------------------------------- ----
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．
【解答】解：（1）数据补充完整如下表：
-------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
wx+φ 0  π  2π
x     
Asin（wx+φ） 0 5 0 ﹣5 0
-------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣）．
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）=5sin\[2（x+）﹣\]=5sin（2x+）．
由2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=﹣，k∈Z，
当k=0时，可得：x=﹣．
从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的公比为q，已知b~1~=a~1~，b~2~=2，q=d，S~10~=100．
（1）求数列{a~n~}，{b~n~}的通项公式
（2）当d＞1时，记c~n~=，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c~n~=，写出T~n~、T~n~的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）设a~1~=a，由题意可得，
解得，或，
当时，a~n~=2n﹣1，b~n~=2^n﹣1^；
当时，a~n~=（2n+79），b~n~=9•；
（2）当d＞1时，由（1）知a~n~=2n﹣1，b~n~=2^n﹣1^，
∴c~n~==，
∴T~n~=1+3•+5•+7•+9•+...+（2n﹣1）•，
∴T~n~=1•+3•+5•+7•+...+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，
∴T~n~=2+++++...+﹣（2n﹣1）•=3﹣，
∴T~n~=6﹣．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V~1~，四面体EBCD的体积为V~2~，求的值．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V~1~==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V~2~==．即可求的值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE⊂平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V~1~==．
由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，
所以V~2~==．
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE=CE=CD，
所以===4
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e^x^，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．
【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（x）+g（x）=e^x^，f（﹣x）+g（﹣x）=e^﹣x^，
即为﹣f（x）+g（x）=e^﹣x^，
解得f（x）=（e^x^﹣e^﹣x^），g（x）=（e^x^+e^﹣x^），
则当x＞0时，e^x^＞1，0＜e^﹣x^＜1，f（x）＞0；
g（x）=（e^x^+e^﹣x^）＞×2=1，
则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）证明：f′（x）=（e^x^+e^﹣x^）=g（x），
g′（x）=（e^x^﹣e^﹣x^）=f（x），
当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，
＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，
设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，
h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）
=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），
①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；
②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．
综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l~1~：x﹣2y=0和l~2~：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）设D（t，0），\|t\|≤2，
N（x~0~，y~0~），M（x，y），由题意得=2，
且\|\|=\|\|=1，
∴（t﹣x，﹣y）=2（x~0~﹣t，y~0~），且，
即，且t（t﹣2x~0~）=0，
由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，
于是t=2x~0~，故x~0~=，y~0~=﹣，
代入x~0~^2^+y~0~^2^=1，得方程为．
（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S~△OPQ~=，
②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），
由消去y，可得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣16=0，
∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
∴△=64k^2^m^2^﹣4（1+4k^2^）（4m^2^﹣16）=0，即m^2^=16k^2^+4，①，
由，可得P（，），同理得Q（，），
原点O到直线PQ的距离d=和\|PQ\|=•\|x~P~﹣x~Q~\|，
可得S~△OPQ~=\|PQ\|d=\|m\|\|x~P~﹣x~Q~\|=\|m\|\|\|=\|\|②，
将①代入②得S~△OPQ~=\|\|=8\|\|，
当k^2^＞时，S~△OPQ~=8（）=8（1+）＞8，
当0≤k^2^＜时，S~△OPQ~=8\|\|=﹣8（）=8（﹣1+），
∵0≤k^2^＜时，∴0＜1﹣4k^2^≤1，≥2，
∴S~△OPQ~=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，
∴当k=0时，S~△OPQ~的最小值为8，
综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋****)**
**第4单元 第二节：动手做（一）**
一、**用下面的长方体、正方体和圆柱可以画出哪些图形？连一连。**
  
  
二、涂一涂。
1、**给**  **涂上颜色。**
2、**给**  **涂上颜色。**
3、**给 ○ 涂上颜色。**
三、**想****一想，数一数。**
1、下图中有（ ）个三角形。
**2、下图中有（ ）个长方形。**
四、计算
6﹢72﹦ 12﹢19﹦ 85﹣37﹦ 36﹢5﹦
42﹢28﹦ 49﹣27﹦ 32﹢5﹦ 62﹣17﹦
五、填一填
----------------------- -------------------------------------- -------- -------------------------- -----------------------
第一次 第二次 第三次 共计
小聪\[来源:Zxxk.Com\] 24 30 90\[来源:Zxxk.Com\]
小明 29 29 \[来源:学+科+网Z+X+X+K\] 94\[来源:学科网ZXXK\]
小亮 26 30 20
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一、**用下面的长方体、正方体和圆柱可以画出****哪些图形？连一连。**
   
  
二、涂一涂。
1、**给**  **涂上颜色。**
2、**给**  **涂上颜色。**
3、**给 ○ 涂上颜色。**
三、**想一想，数一数。**
1、下图中有（ 6 ）个三角形。
**2****、下图中有（ 9 ）个长方形。**
四、计算
6﹢72﹦78 12﹢19﹦31 85﹣37﹦48 36﹢5﹦41
42﹢28﹦70 49﹣27﹦22 32﹢5﹦37 62﹣17﹦45
五、填一填
------ -------------------------------------- -------- -------- ------
第一次 第二次 第三次 共计
小聪 24 30 36 90
小明 29 29 36 94
小亮 26 30 20 76
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**2015-2016年初三数学一模参考答案**
**一、选择题（本题共30分，每小题3分）**
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题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 B D C C D C A A B B
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**二、填空题（本题共18分，每小题3分）**
------- ------------------------------------ ---- -------------------------------------
题 号 11 12 13
答 案  5 
------- ------------------------------------ ---- -------------------------------------
+-------+----------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------+
| 题 号 | 14 | 15 | 16 |
+-------+----------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------+
| 答 案 | 所填写的理由需支持你填写的结论. 如：③，理由是：只有③的自变量取值范围不是全体实数 | 预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据. 如：6.53 ，理由是：最近三年下降趋势平稳 | 四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行 |
| | | | |
| | | | （本题答案不唯一） |
+-------+----------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------+
**三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）**
17. 解：原式 ........................4分
．...........................5分
> 解不等式①，得 ．...........................2分
解不等式②，得 ． ...........................3分
∴ 原不等式组的解集为．...........................4分
∴ 原不等式组的所有整数解为8，9，10．...........................5分
19． 解：原式...........................3分
> ．...........................4分
∵ ，
∴ ．
∴ 原式=． ............................5分
20．证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ． ...........................2分
∵ 为边上的中线，
∴ ．
∴ ． ............................4分
∴ ． ...........................5分
21.解：设小博每消耗1千卡能量需要行走*x*步．...........................1分
由题意，得  . ...........................3分
解得 . ...........................4分
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：小博每消耗1千卡能量需要步行30步. ...........................5分
22．(1) 证明：∵ 四边形为矩形，
∴ ，**∥**.
∵ **∥**，
∴ 四边形为平行四边形. ...........................2分
∴ .
∴ . ...........................3分
\(2\) 解：过点*O*作**⊥**于点.
∵ 四边形为矩形，
∴ .
∵ ，
∴ .
同理，可得.
∴. ...........................4分
在Rt△中，由勾股定理可得.
∵ *OB**=OD***，
∴ *OF*为△的中位线.
∴ .
∴在Rt△*OEF*中，. ...........................5分
23\. 解：（1）∵在直线上,
∴． ...........................1分
∵在双曲线上，
∴． ...........................2分
图1 图2
\(2\) ∵向上平移()个单位长度后，与轴，轴分别交于，，
∴． ...........................3分
作⊥轴于*H*，可得△∽△．
如图1，当点在的延长线上时，
∵，
∴．
∵，
∴，.
∴的坐标为．
由点在双曲线上， 可得． ...........................4分
如图2，当点在的反向延长线上时，
同理可得，的坐标为．
由点在双曲线上，可得．
综上所述，或． ...........................5分
24\. (1) 证明：如图，连接． ...........................1分
∵为⊙的切线，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴△△．
∴．
∴为⊙的切线． ...............2分
\(2\) ∵,
∴.
∴. ...........................3分
∵，
∴.
∵为⊙的直径,
∴.
∴............................4分
∴ ．
在Rt△中，
∵，，
∴. ...........................5分
25\. (1) 45；...........................2分
\(2\) 21；...........................3分
\(3\) ．
2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计表
------------------- --------------
电影 票房（亿元）
大圣归来 9.55
哆啦A梦之伴我同行 5.3
超能陆战队 5.26
小黄人大眼萌 4.36
熊出没2 2.88
------------------- --------------
...........................5分
或2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计图
...........................5分
26\. (2) ①；...........................1分
②；...........................2分
\(3\)
正确标出点*B*的位置，画出函数图象. .....................5分
27\. 解：（1）
．
∴ 点的坐标为． ...........................2分
（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为*x*=1．
∵ 抛物线与轴交于，两点（点*B*在点*C*左侧），*BC*=4，
∴ 点的坐标为 ，点的坐标为 ．...........................3分
∴ ．
∴ ．
∴ 抛物线的解析式为．......4分
② 由①可得点的坐标为 ．
当直线过点，时，解得．.........5分
当直线过点，时，解得． .........6分
结合函数的图象可知，的取值范围为或． ............7分
28\. 解:(1) ①补全图形，如图1所示． ...........................1分
图1
②和的数量关系：，位置关系：．.....................2分
证明: 如图1．
∵，
∴，．
∵射线、的延长线相交于点，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．
∴△≌△．.....................3分
∴．
∴，．
∴，．.....................4分
\(2\) ．.....................5分
思路如下：
*a*. 由为中点画出图形，如图2所示．
*b*. 与②同理，可得*BD=CF*，，；
*c*. 由，为中点，可得；
*d*. 过点作于，过点作于，可证△≌△，可得，为的垂直平分线，；
*e*. 在Rt△中，，，可得，即． ......7分
29．解：（1）①点*M*，点*T*关于⊙的限距点不存在；
点*N*关于⊙的限距点存在，坐标为（1，0）．...........................2分
②∵点的坐标为(2，0)，⊙半径为1，，分别切⊙于点，点，
∴切点坐标为，................3分
如图所示，不妨设点的坐标为，点的坐标为，*EO*，*FO*的延长线分别交⊙于点，，则，．
设点关于⊙的限距点的横坐标为．
Ⅰ.当点在线段上时，直线与的交点满足，故点关于⊙的限距点存在，其横坐标满足..........5分
Ⅱ.当点在线段，（不包括端点）上时，直线*PO*与**⊙***O*的交点满足或，故点*P*关于⊙的限距点不存在．
Ⅲ.当点与点重合时，直线*PO*与**⊙***O*的交点满足，故点*P*关于⊙的限距点存在，其横坐标=1．
综上所述，点关于⊙的限距点的横坐标的范围为或=1． ........................6分
（2）问题1： ． ..................8分
问题2：0 \< *r* \< ． ..................7分
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第3课《分数、百分数应用题1》试题附答案**
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来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案**
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六年级奥数上册：第三讲 分数、百分数应用题（一）习题解答
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**北师大版小学一年级下册数学第四单元《有趣的图形------认识图形》同步检测1（附答案）**
一、用下面四个物体能画出哪些图形？（连线）来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、给正确的苹果涂上颜色。
三、按要求涂色。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、下面的3辆车分别是小熊、小猴和小猪做的。请你仔细观察3辆车的车轮，说一说：你喜欢哪辆小车？为什么？
五、数一数。
六、你能用16根火柴摆成三个正方形吗？摆摆看，然后把它画出来。
七、数一数，填一填。
**部分答案：**来源：www.bcjy123.com/tiku/
一、提示：圆柱 ------ ○ 长方体 ------
> 三棱柱 ------ △ 正方体 ------ □
二、提示：左图正确。
四、小猴做的车。因为这辆车的轮子是圆的，车走得快，平衡性好。
五、5 10
六、
七、10 1 4 3
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2010年普通高等学校招生全国统一考试
**理科综合能力测试(北京卷)**
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至13页，共300分。考试时长150分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
以下数据可供解题时参考：
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 Al 27
第Ⅰ卷 （选择题 共120分）
本卷共20小题，每小题6分，共120分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在家庭中用鲜葡萄制作果酒时，正确的操作是
> Ａ．让发酵装置接受光照 Ｂ．给发酵装置适时排气
>
> Ｃ．向发酵装置通入空气 Ｄ．酵母菌装置放在45℃处
２．下列对生物细胞代谢活动的描述，不正确的是
Ａ．大肠杆菌在拟核区转录信使ＲＮＡ
Ｂ．乳酸杆菌在细胞质基质中产乳酸
Ｃ．衣藻进行光合作用的场所是叶绿体
Ｄ．酵母菌的高尔基体负责合成蛋白质
３．以下依据神经细胞功能做出的判断，不正确的是
Ａ．膝跳反射弧中传出（运动）神经元的轴突较长
Ｂ．膝跳反射弧中传入（感觉）神经元的树突较多
Ｃ．突触前膜释放的递质（如乙酰胆碱）始终不被酶分解
Ｄ．分泌肽类激素旺盛的神经细胞核糖体较多
４．决定小鼠毛色为黑（Ｂ）／褐（ｂ）色、有（ｓ）／无（S）白斑的两对等位基因分别位于两对同源染色体上。基因型为的小鼠间相互交配，后代中出现黑色有白斑小鼠的比例是
Ａ．１/１６ Ｂ．３／１６ Ｃ．７／１６ Ｄ．９／１６
５．保护生物多样性是实现人类社会可持续发展的基础。下列对生物多样性的理解正确的是
Ａ．生物多样性的丰富程度与自然选择无关
Ｂ．群落演替过程中的生物多样性逐渐降低
Ｃ．物种多样性比较高的生态系统相对稳定
Ｄ．遗传多样性较低的种群适应环境能力强
６．下列有关钢铁腐蚀与防护的说法正确的是
Ａ．钢管与电源正极连接，钢管可被保护
Ｂ．铁遇冷浓硝酸表面钝化，可保护内部不被腐蚀
Ｃ．钢管与铜管露天堆放在一起，钢管不易被腐蚀
Ｄ．钢铁发生析氢腐蚀时，负极反应是
７．下列物质与常用危险化学品的类别不对应的是
Ａ．、------腐蚀品 Ｂ．------易燃液体
Ｃ．------遇湿易燃物品 Ｄ．------氧化剂
８．下列说法正确的是
Ａ． 的结构中含有脂基
Ｂ．顺－２－丁烯和反－２－丁烯的加氢产物不同
Ｃ．１葡萄糖可水解生成２乳酸（）
Ｄ．幼稚和蛋白质都是能发生水解反应的高分子化合物
９．用右图所示实验装置（夹持仪器已略去）探究铜丝与过量浓硫酸的反应。下列实验不合理的是
Ａ．上下移动①中铜丝可控制的量
Ｂ．②中选用品红溶液验证的生成
Ｃ．③中选用ＮａＯＨ溶液吸收多余的
Ｄ．为确认生成，向①中加水，观察颜色
１０．下列解释实验事实的方程式不正确的是
Ａ．０．１／Ｌ溶液的ＰＨ＞１：
Ｂ．"球"浸泡在冷水中，颜色变浅２（ｇ）（ｇ）△Ｈ＜０
> （红棕色） （无色）
Ｃ.铁溶于稀硝酸，溶液变黄:３Ｆｅ＋８Ｈ^＋^＋２Ｎ ３Ｆｅ^２＋^＋２ＮＯ↑＋４Ｈ~２~Ｏ
Ｄ．向Ｎａ~２~ＣＯ~３~溶液中滴入酚酞溶液，溶液变红：
１１．自然界地表层原生铜的硫化物经氧化、淋滤作用后变成ＣｕＳＯ~４~溶液，向地下层渗透，遇到难溶的ＺｎＳ或ＰｂＳ，慢慢转变为铜蓝（ＣｕＳ）。下列分析正确的是
Ａ．ＣｕＳ的溶解度大于ＰｂＳ的溶解度
Ｂ．原生铜的硫化物具有还原性，而铜蓝没有还原性
Ｃ．ＣｕＳＯ~４~与ＺｎＳ反应的离子方程式是ＣｕＳ↓
Ｄ．整个过程涉及的反应类型有氧化还原反应和复分解反应
１２．某温度下， 的平衡常数．该温度下在甲、乙、丙三个恒容密闭容器中，
投入Ｈ~２~（ｇ）和ＣＯ~２~（ｇ），其起始浓度如右表所示。下列判断不正确的是
Ａ．平衡时，乙中ＣＯ~２~的转化率大于60%
Ｂ．平衡时，甲中和丙中Ｈ~２~的转化率均是60％
Ｃ．平衡时，丙中ｃ(CO~２~)是甲中的2倍，是0.012mol/L
Ｄ．反应开始时，丙中的反应速率最快，甲中的反应速率最慢
１３．属于狭义相对论基本假设的是：在不同的惯性系中，
Ａ．真空中光速不变 Ｂ．时间间隔具有相对性
Ｃ．物体的质量不变 Ｄ．物体的能量与质量成正比
１４．对于红、黄、绿、蓝四种单色光，下列表述正确的是
Ａ．在相同介质中，绿光的折射率最大 Ｂ．红光的频率最高
Ｃ．在相同介质中，蓝光的波长最短 Ｄ．黄光光子的能量最小
１５．太阳因核聚变释放出巨大的能量，同时其质量不断减少。太阳每秒钟辐射出的能量约为４×10^26^Ｊ，根据爱因斯坦质能方程，太阳每秒钟减少的质量最接近
Ａ．10^36^Ｋｇ Ｂ．10^18^Ｋｇ Ｃ．10^13^Ｋｇ Ｄ．10^9^Ｋｇ
１６．一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１７．一列横波沿轴正向传播，ａ，ｂ，ｃ，ｄ为介质中的沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图１所示，此后，若经过３／４周期开始计时，则图２描述的是
Ａ．ａ处质点的振动图像 Ｂ．ｂ处质点的振动图像
Ｃ．ｃ处质点的振动图像 Ｄ．ｄ处质点的振动图像
１８．用控制变量法，可以研究影响平行板电容器的因素（如图）。设两极板正对面积为Ｓ，极板间的距离为ｄ，静电计指针偏角为。实验中，极板所带电荷量不变，若
A. 保持S不变，增大d，则变大
B. 保持S不变，增大d，则变小
C. 保持d不变，增大S，则变小
D. 保持d不变，增大S，则不变
19.在如图所示的电路中，两个相同的下灯泡L~1~和L~2~分别串联一个带铁芯的电感线圈L和一个滑动变阻器R。闭合开关S后，调整R，使L~1~和L~2~发光的亮度一样，此时流过两个灯泡的电流为Ｉ。然后，断开Ｓ。若时刻再闭合Ｓ，则在前后的一小段时间内，正确反映流过L~1~的电流ｉ~１~、流过Ｌ~２~的电流ｉ~２~随时间ｔ的变化的图像是
２０．如图，若ｘ轴表示时间，ｙ轴表示位置，则该图像反映了某质点做匀速直线运动时，位置与时间的关系。若令ｘ轴和ｙ轴分别表示其他的物理量，则该图像又可以反映在某种情况下，相应的物理量之间的关系。下列说法中正确的是
Ａ．若ｘ轴表示时间，ｙ轴表示动能，则该图像可以反映某物体受恒定合外力作用做直线运动过程中，物体动能与时间的关系
Ｂ．若ｘ轴表示频率，ｙ轴表示动能，则该图像可以反映光电效应中，光电子最大初动能与入射光频率之间的关系
Ｃ．若ｘ轴表示时间，ｙ轴表示动量，则该图像可以反映某物体在沿运动方向的恒定合外力作用下，物体动量与时间的关系
Ｄ．若ｘ轴表示时间，ｙ轴表示感应电动势，则该图像可以反映静置于磁场中的某闭合回路，当磁感应强度随时间均匀增大时，闭合回路的感应电动势与时间的关系
**第Ⅱ卷**（非选择题 共180分）
本卷共11小题，共180分。
２１．（１８分）
（１）甲同学要把一个量程为200的直流电流计，改装成量度范围是0～4Ｖ的直流电压表。
1. 她按图１所示电路、用半偏法测定电流计的内电阻r~g~，其中电阻Ｒ~0~约为１。为使r~g~的测量值尽量准确，在以下器材中，电源Ｅ应选用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，电阻器Ｒ~1~应选用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，电阻器Ｒ~2~应选用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（选填器材前的字母）
> Ａ．电源（电动势1.5Ｖ） Ｂ．电源（电动势6Ｖ）
>
> Ｃ．电阻箱（0～999.9） Ｄ．滑动变阻器（0～500）
>
> Ｅ．电位器（一种可变电阻，与滑动变阻器相当）（0～5.1）
>
> Ｆ．电位器（0～51）
②该同学在开关断开情况下，检查电路连接无误后，将Ｒ~２~的阻值调至最大。后续的实验操作步骤依次是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，最后记录Ｒ~1~的阻值并整理好器材。（请按合理的实验顺序，选填下列步骤前的字母）
Ａ．闭合Ｓ~１~
Ｂ．闭合Ｓ~２~
Ｃ．调节Ｒ~２~的阻值，使电流计指针偏转到满刻度
Ｄ．调节Ｒ~２~的阻值，使电流计指针偏转到满刻度的一半
Ｅ．调节Ｒ~１~的阻值，使电流计指针偏转到满刻度的一半
Ｆ．调节Ｒ~１~的阻值，使电流计指针偏转到满刻度
③如果所得的Ｒ~１~的阻值为300.0，则图１中被测电流计的内阻ｒ的测量值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，该测量值\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_实际值（选填"略大于"、"略小于"或"等于"）。
④给电流计\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_联（选填"串"或"并"）一个阻值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的电阻，就可以将该电流计改装为量程４Ｖ的电压表。
（２）乙同学要将另一个电流计改装成直流电压表，但他不仅借到一块标准电压表、一个电池组Ｅ、一个滑动变阻器和几个待用的阻值准确的定值电阻。
①该同学从上述具体条件出发，先将带改装的表直接与电压表校准。请你画完图２方框中的校准电路图。
2. 实验中，当定值电阻Ｒ选用17.0时，调整滑动变阻器的阻值，电压表的示数是4.0Ｖ时，表的指针恰好指到满量程的五分之二；当Ｒ选用7.0时，调整的阻值，电压表的示数是2.0Ｖ时，表的指针又指到满量程的五分之二。
由此可以判定，表的内阻ｒ~ｇ~是\_\_\_\_\_\_\_，满偏电流是\_\_\_\_\_\_\_ｍＡ。若要将表改装为量程是15Ｖ的电压表，应配备一个\_\_\_\_\_\_\_的电阻。
２２．（１６分）
如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过3.0ｓ罗到斜坡上的Ａ点。已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量m=50kg.不计空气阻力。（取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10m/s^2^）q求
1. A点与O点时的速度大小；
2. 运动员离开0点时的速度大小；
3. 运动员落到A点时的动能。
23.（18分）
利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。
如图1，将一金属或半导体薄片垂直至于磁场B中，在薄片的两个侧面、间通以电流时，另外两侧、间产生电势差，这一现象称霍尔效应。其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用相一侧偏转和积累，于是、间建立起电场Ｅ~Ｈ~，同时产生霍尔电势差Ｕ~Ｈ~。当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，Ｅ~Ｈ~和Ｕ~Ｈ~达到稳定值，Ｕ~Ｈ~的大小与和以及霍尔元件厚度之间满足关系式，其中比例系数Ｒ~Ｈ~称为霍尔系数，仅与材料性质有关。
1. 设半导体薄片的宽度（、间距）为，请写出Ｕ~Ｈ~和Ｅ~Ｈ~的关系式；若半导体材料是电子导电的，请判断图１中、哪端的电势高；
2. 已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为ｎ，电子的电荷量为ｅ，请导出霍尔系数Ｒ~Ｈ~的表达式。（通过横截面积Ｓ的电流，其中是导电电子定向移动的平均速率）；
3. 图2是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着ｍ个永磁体，相邻永磁体的极性相反。霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近。当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号图像如图３所示。
> ａ.若在时间ｔ内，霍尔元件输出的脉冲数目为，请导出圆盘转速的表达式。
>
> ｂ.利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程。除除此之外，请你展开"智慧的翅膀"，提出另一个实例或设想。
２４．（20分）
雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
1. 若不计重力，求第次碰撞后雨滴的速度；
2. 若考虑重力的影响，
> ａ．求第１次碰撞前、后雨滴的速度和；
>
> ｂ．求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。
２５．（１４分）
由短周期元素组成的化合物Ｘ是某抗酸药的有效成分。甲同学欲探究Ｘ的组成。
查阅资料：①由短周期元素组成的抗酸药的有效成分有碳酸氢钠、碳酸镁、氢氧化铝、硅酸镁铝、磷酸铝、碱式碳酸镁铝。
②Ａｌ^３＋^在ｐＨ＝5.0时沉淀完全；
Ｍｇ^２＋^在ｐＨ＝8.8时开始沉淀，在ｐＨ＝11.4时沉淀完全。
实验过程：
Ⅰ．向化合物Ｘ粉末中加入过量盐酸，产生气体Ａ，得到无色溶液。
Ⅱ．用铂丝蘸取少量Ｉ中所得的溶液，在火焰上灼烧，无黄色火焰。
Ⅲ．向Ｉ中所得的溶液中滴加氨水，调节ｐＨ至５～６，产生白色沉淀Ｂ，过滤。
Ⅳ．向沉淀Ｂ中加过量NaOH溶液，沉淀全部溶解。
Ⅴ．向Ⅲ中得到的滤液中滴加NaOH溶液，调节ｐH至12，得到白色沉淀Ｃ。
1. Ⅰ中气体Ａ可使澄清石灰水变浑浊，Ａ的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
2. 由Ⅰ、Ⅱ判断X一定不含有的元素是磷、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3. Ⅲ中生成B的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
4. Ⅳ中B溶解的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
5. 沉淀C的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
6. 若上述n（A）：n（B）：n（C）=1:2:3，则X的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
26.（14分）
某氮肥厂氨氮废水中的氮元素多以NH~4~^+^和的形式存在，该废水的处理流程如下：
1. 过程Ⅰ：加NaOH溶液，调节pH至9后，升温至30℃，通空气将氨赶出并回收。
①用离子方程式表示加NaOH溶液的作用： [ ]{.underline} 。
②用化学平衡原理解释通空气的目的： [ ]{.underline} 。
2. 过程Ⅱ：在微生物作用的条件下，NH~4~^+^经过两步反应被氧化成。两步反应的能量变化示意图如下：
①第一步反应是 [ ]{.underline} 反应（选题"放热"或"吸热"），判断依据是 [ ]{.underline} 。
②1mol NH~4~^+^(aq)全部氧化成的热化学方程式是 [ ]{.underline} 。
（3） 过程Ⅲ：一定条件下，向废水中加入CH~3~OH，将HNO~3~还原成N~2~。若该反应消耗转移6mol电子，则参加反应的还原剂和氧化剂的物质的量之比是 [ ]{.underline} 。
27.（13分）
为验证卤素单质氧化性的相对强弱，某小组用下图所示装置进行试验（夹持仪器已略去，气密性已检验）。
试验过程：
Ⅰ.打开弹簧夹，打开活塞a，滴加浓盐酸。
Ⅱ.当B和C中的溶液都变为黄色时，夹紧弹簧夹。
Ⅲ.当B中溶液由黄色变为棕色时，关闭活塞a。
Ⅳ.........
（1）A中产生黄绿色气体，其电子式是 [ ]{.underline} 。
（2）验证氯气的氧化性强于碘的实验现象是 [ ]{.underline} 。
（3）B中溶液发生反应的离子方程式是 [ ]{.underline} 。
（4）为验证溴的氧化性强于碘，过程Ⅳ的操作和现象是 [ ]{.underline} 。
（5）过程Ⅲ实验的目的是 [ ]{.underline} 。
> （6）氯、溴、碘单质的氧化性逐渐减弱的原因：同主族元素从上到下 [ ]{.underline} ，得电子能离逐渐减弱。
28.(17分)
镇痉药物C、化合物N以及高分子树脂的合成路线如下：
已知：
（1）A的含氧官能团的名称是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）A在催化剂作用下可与H~2~ 反映生成B。该反应的反应类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）酯类化合物C的分子式是C~15~H~14~O~3~ ，其结构简式是\_\_\_\_\_\_\_。
（4）A发生银镜反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）扁桃酸由多种同分异构体。属于甲酸酯且含酚羟基的同分异构体共有 [ ]{.underline} 种，写出其中一种含亚甲基的同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）F与M合成高分子树脂的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（7）N在NaOH溶液中发生水解反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
29.（20分）
在验证生长素类似物A对小麦胚芽鞘（幼苗）伸长影响的试验中，将如图1所示取得的切段进入蒸馏水中1小时后，再分别转入5种浓度的A溶液（实验组）和含糖的磷酸盐缓溶液（对照组）中。在23℃的条件下，避光振荡培养24小时后，逐一测量切段长度（取每组平均值），实验进行两次，结果见如图2。
请分析并回答：
1. 生长素类似物是对植物生长发育有重要\_\_\_\_\_\_\_作用的一类化合物。本实验中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_mg/L浓度的溶液促进切段伸长的效果最明显。
2. 振荡培养的目的是：①增加溶液中的\_\_\_\_\_\_\_\_以满足切段细胞呼吸的需求；②使切段与溶液成分接触更\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 生长素类似物A应溶解于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_中，以得到5种浓度的A溶液。切段浸泡在蒸馏水中的目的是减少\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_对实验结果的影响。
4. 图2中，对照组切段的平均长度是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_mm。浓度为0.001mg/L的溶液对切段伸长\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（选填"有"或"无"）促进作用；与浓度为1mg/L的结果相比，浓度为10mg/L的溶液对切段的影响是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
5. 图2中，浓度为0.1mg/L时实验二所得数据与实验一偏差较大，在做原始记录时对该数据应\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（选填下列选项前的字母）
A．舍弃 B．修改 C． 如实填写
为检验该浓度下相关数据的可靠性，还应\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
30.（16分）
科学家以大肠杆菌为实验对象，运用同位素失踪技术及密度梯度离心方法进行了DNA复制方式的探索实验，实验内容及结果见下表。
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 组别 | 1组 | 2组 | 3组 | 4组 |
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 培养液中唯一氮源 |  |  |  |  |
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 繁殖代数 | 多代 | 多代 | 一代 | 两代 |
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 培养产物 | A | B | B的子I代 | B的子II代 |
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 操作 | 提取DNA并离心 | | | |
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 离心结果 | 仅为轻带（/ ） | 仅为重带（/ ） | 仅为中带(/) | 1/2轻带（/ ） |
| | | | | |
| | | | | 1/2中带(/) |
+------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------+
请分析并回答：
1. 要得到DNA中的N全部被放射性标记的大肠杆菌B，必须经过\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_代培养，且培养液中的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_是唯一氮源。
2. 综合分析笨实验的DNA离心结果，第\_\_\_\_\_\_\_\_\_组结果对得到的结论起到了关键作用，但需把它与第\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_组和第\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_组的结果进行比较，才能说明DNA分子的复制方式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 分析讨论：
```{=html}
<!-- -->
```
1. 若子I代DNA的离心结果为"轻"和"重"两条密度带，则"重带"DNA来自于\_\_\_\_\_\_\_\_
据此可判断DNA分子的复制方式不是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_复制。
2. 若将子I代DNA双链分开后再离心，其结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（选填"能"或"不能"）
判断DNA的复制方式。
③若在同等条件下将子II代继续培养，子n代DNA离心的结果是：密度带的数量和位置是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，放射性强度发生变化的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_带。
④若某次实验的结果中，子I代DNA的"中带"比以往实验结果的"中带"略宽，可能的原因是新合成的DNA单链中的N尚有少部分为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
31.（14分）
环境激素是指由于人类的生产和生活活动而排放到周围环境中的某些化学物质。为研究环境激素H对小鼠产生精子数的影响，用玉米油和环境激素H分别处理对照组和试验组雄性小鼠（每千克体重注射12.5ml，每天1次，连续21天，n=20）。实验结束后，对每只小鼠产生的精子计数。实验内容及结果见下表。
--------------------------------------------------------- -------- ------------------ ------------------
对照组 实验组
1 2
注射物 玉米油 H（浓度100mg/L） H（浓度200mg/L）
精子数均值（\* 个） 7.13 5.09 4.35
--------------------------------------------------------- -------- ------------------ ------------------
请分析并回答：
1. 表中数据显示，环境激素H浓度增高，小鼠生成精子数\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
2. 小鼠脑中的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_调节\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_释放的相关激素能刺激睾丸分泌雄激素和少量雌激素，并生成精子。精子是由睾丸中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_细胞（2n）经\_\_\_\_\_\_\_\_\_发育来的。
3. 正常雄鼠体内性激素浓度偏高会抑制脑中相关激素的释放，该调节方式称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
4. 有的环境激素可造成精子染色体缺失，这是精子DNA分子发生\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和DNA片段\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_所致。
5. 环境激素可沿着\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_传递进入人体，被靶\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_接受后干扰精子生成，从而使人的生育能力降低。
参考答案
**Ⅰ**卷共20小题．每题6分，共120分。
1．B 2． D 3．C 4．B 5．C
6．B 7．B 8．A 9．D 10．C
11．D 12．C 13．A 14．C 15．D
16．D 17．B 18．A 19 ．B 20．C
Ⅱ卷 共11小题，共180分。
21．（18分）
（1）①B C F
②B C A E
③300 略小于
④串 19.7
（2）①如右图所示
②3.0 0.50 27.0
22．（16分）（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有
A点与O点的距离 
（2）设运动员离开O点的速度为,运动员在水平方向做匀速直线运动，
即 
解得 
（3）由机械能守恒，取A点位重力势能零点，运动员落到A点的动能为
23．（18分）
（1）由  ①
得  ②
当电场力与洛伦兹力相等时  ③
得  ④
将 ③、④代入②，
得 
（2） a.由于在时间t内，霍尔元件输出的脉冲数目为P，则
P=mNt
圆盘转速为 N=
b. 提出的实例或设想
24.（20分）
（1）不计重力，全过程中动量守恒，*m*~0~*v*~0~=*m~n~v′~n~*
得 
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒
a． 第1次碰撞前  
第1次碰撞后 
b\. 第2次碰撞前 
利用式化简得 
第2次碰撞后，利用式得
同理，第3次碰撞后 
............
第*n*次碰撞后 
动能 
25.⑴
⑵钠 硅
⑶+
⑷
⑸
⑹
26.（14分）
（1）①
②废水中的NH~3~被空气带走，使D的平衡向正反应方向移动，利于除氨
（2）①放热
△H=-273kJ/mol\<0（反应为的总能量大于生成物的总能量）
②
- H=-346kJ/mol
> ③5:6
27.（13分）
（1）
（2）淀粉KI试纸变蓝
（3）
（4）打开活塞b，将少量C中溶液滴入D中，关闭活塞b，取下D振荡。静止后CCl~4~层溶液变为紫红色
（5）确认C的黄色溶液中五Cl~2~,排除Cl~2~对溴置换碘实验的干扰
（6）原子半径逐渐增大
> 28．(17分)
>
> （1）醛基
（2）加成反应
> 
>
> 
29．（20分）
（1）调节 1
（2）①氧气 ②均匀
（3）含糖的磷酸盐缓冲液 切断中内源激素
（4）7.0 有 促进升长的作用减弱
（5）C 重复实验
30.（16分）
（1） 多 
（2）3 1 2 半保留复制
（3）① B 半保留
②不能
③没有变化 轻
④ 
31．（14分）
（1）减少
（2）下丘脑 垂体 精原 减数分裂
（3）负反馈
（4）断裂 丢失
（5）食物链 细胞
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**北师大版小学五年级上册数学第3单元《倍数与因数》单元检测2（附答案）**
一、知识之窗。（14分）
1、18×2 = 36，（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。
2、16 = 1×16 = 2×（ ）=（ ）×（ ），16的全部因数有（ ）。
3、在15、17、18、20和30五个数中，2的倍数有（ ），3的倍数有（ ），5的倍数有（ ），同时是2、3、5的倍数有（ ）。
4、40以内的质数有（ ），其中最小的是（ ），最大的是（ ）。
5、一个数最小的倍数是12，这个数有（ ）个因数。
6、在3、6、0、7、19、23、42、1、308中，（ ）是质数，（ ）是合数，（ ）是奇数，（ ）是偶数。
7、从0、2、3、6、8、5这六个数中选出4个组成同时是2、3、5倍数的最大四位数是（ ）。
二、包青天：（对的画，错的画）（10分）
1、两个质数的和还是质数。 （ ）
2、两个偶数相加还是偶数。 （ ）
3、一个合数至少有三个因数。（ ）
4、所有的质数都是奇数。 （ ）
5、2既是偶数又是质数。 （ ）
三、精挑细选。（10分）
1、6和8是24的（ ）。
A、因数 B、倍数 C、偶数
2、下列数中，同时被2、3和5整除的最小数是（ ）。
A、100 B、120 C、300
3. 如果用*a*表示自然数，那么偶数可以表示为（ ）。
A、*a*＋2 B、2*a* C、2*a*－1
4、在100以内的自然数中，9的倍数有（ ）个。
A、9个 B、10个 C、11个
四、在下面圆圈里填上适当的数。（16分）
五、快活林。
1、
2、五年级（1）班有40人，要排练团体操队形的变换，要求换队形时无论如何队形都应是长方形。有几种队形变换？（不包括单行）
3、有一批作业本，平均分给3个，4个人，5个人都可以，正好没有剩余，这批作业本至少有多少本？
4、做花。
六、全家赛跑。（18分）
1、爸爸、妈妈同时从起点出发，他们至少几分钟后可以在起点相遇？
2、你还能提出哪些数学问题？
**来源：www.bcjy123.com/tiku/**
**来源：www.bcjy123.com/tiku/**
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{width="0.4722222222222222in" height="0.4583333333333333in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合则
> A． B．
>
> C． D．
2．若，则
> A．0 B．1
>
> C． D．2
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
{width="2.4375in" height="1.6458333333333333in"}
A． B． C． D．
4．设*O*为正方形*ABCD*的中心，在*O*，*A*，*B*，*C*，*D*中任取3点，则取到的3点共线的概率为
> A． B．
>
> C． D．
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°*C*）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
> {width="6.0in" height="2.2618055555555556in"}
>
> 由此散点图，在10°*C*至40°*C*之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是
>
> A． B．
>
> C． D．
6．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
> A．1 B．2
>
> C．3 D．4
7．设函数在\[−π，π\]的图像大致如下图，则*f*（*x*）的最小正周期为
{width="3.59375in" height="2.1145833333333335in"}
> A． B．
>
> C． D．
8．设，则
> A． B． C． D．
9．执行下面的程序框图，则输出的*n*=
{width="2.3125in" height="2.59375in"}
> A．17 B．19 C．21 D．23
10．设是等比数列，且，，则
> A．12 B．24 C．30 D．32
11．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为
> A． B．3 C． D．2
12．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
> A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*的最大值为 [ ]{.underline} .
14．设向量，若，则 [ ]{.underline} .
15．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 [ ]{.underline} .
16．数列满足，前16项和为540，则 [ ]{.underline} .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
>
> 甲分厂产品等级的频数分布表
+--------+------+------+------+------+
| > 等级 | > A | > B | > C | > D |
+========+======+======+======+======+
| > 频数 | > 40 | > 20 | > 20 | > 20 |
+--------+------+------+------+------+
> 乙分厂产品等级的频数分布表
+--------+------+------+------+------+
| > 等级 | > A | > B | > C | > D |
+========+======+======+======+======+
| > 频数 | > 28 | > 17 | > 34 | > 21 |
+--------+------+------+------+------+
> （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
>
> （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18．（12分）
> 的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知*B*=150°.
>
> （1）若*a*=*c*，*b*=2，求的面积；
>
> （2）若sin*A*+sin*C*=，求*C*.
19．（12分）
> 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠*APC*=90°．
>
> {width="2.0605260279965005in" height="2.1in"}
>
> *（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；*
>
> *（2）设DO=**，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.*
20．已知函数.
> （1）当时，讨论的单调性；
>
> （2）若有两个零点，求的取值范围.
21．已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）的左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．*
> （1）求*E*的方程；
>
> （2）证明：直线*CD*过定点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
>
> （1）当时，是什么曲线？
>
> （2）当时，求与的公共点的直角坐标．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知函数．
>
> （1）画出的图像；
>
> （2）求不等式的解集．
>
> {width="1.7916666666666667in" height="1.5520833333333333in"}
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学试题参考**答案(A卷**)**
**选择题答案**
一、**选择题**
1．D 2．C 3．C 4．A
5．D 6．B 7．C 8．B
9．C 10．D 11．B 12．A
**非选择题答案**
二、**填空题**
13．1 14．5 15．*y*=2*x* 16．7
**三、解答题**
17．解：
> （1）由试加工产品等级的频数分布表知，
>
> 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为；
>
> 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为.
>
> （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
+--------+----+----+------+-----+
| > 利润 | 65 | 25 | > −5 | −75 |
+========+====+====+======+=====+
| > 频数 | 40 | 20 | > 20 | 20 |
+--------+----+----+------+-----+
> 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
>
> .
>
> 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
+------+------+------+----+-----+
| 利润 | > 70 | > 30 | 0 | −70 |
+======+======+======+====+=====+
| 频数 | > 28 | > 17 | 34 | 21 |
+------+------+------+----+-----+
> 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
>
> .
>
> 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18．解：（1）由题设及余弦定理得，
> 解得（舍去），，从而.
>
> 的面积为
>
> （2）在中，，所以
>
> ，
>
> 故.
>
> 而，所以，故.
19．解：（1）由题设可知，*PA*=*PB*= *PC*．
> 由于△*ABC*是正三角形，故可得△*PAC*≌△*PAB*．
>
> △*PAC*≌△*PBC*．
>
> 又∠*APC* =90°，故∠*APB*=90°，∠*BPC*=90°．
>
> 从而*PB*⊥*PA*，*PB*⊥*PC*，故*PB*⊥平面*PAC*，所以平面*PAB*⊥平面*PAC*．
>
> （2）设圆锥的底面半径为*r*，母线长为*l*．
>
> 由题设可得*rl*=，．
>
> 解得*r*=1，*l*=，
>
> 从而．由（1）可得，故．
>
> 所以三棱锥*P*-*ABC*的体积为．
>
> {width="1.25in" height="1.375in"}
20．解：（1）当*a*=1时，*f*（*x*）=e*^x^*--*x*--2，则=e*^x^*--1．
当*x*\<0时，\<0；当*x*\>0时，\>0．
所以*f*（*x*）在（--∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）=e*^x^*--*a*．
当*a*≤0时，\>0，所以*f*（*x*）在（--∞，+∞）单调递增，
故*f*（*x*）至多存在1个零点，不合题意．
当*a*\>0时，由=0可得*x*=ln*a*．
当*x*∈（--∞，ln*a*）时，\<0；
> 当*x*∈（ln*a*，+∞）时，\>0．所以*f*（*x*）在（--∞，ln*a*）单调递减，在（ln*a*，+∞）单调递增，故当*x*=ln*a*时，*f*（*x*）取得最小值，最小值为*f*（ln*a*）=--*a*（1+ln*a*）．
（i）若0≤*a*≤，则*f*（ln*a*）≥0，*f*（*x*）在（--∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．
（ii）若*a*\>，则*f*（ln*a*）\<0．
由于*f*（--2）=e^--2^\>0，所以*f*（*x*）在（--∞，ln*a*）存在唯一零点．
由（1）知，当*x*\>2时，e*^x^*--*x*--2\>0，所以当*x*\>4且*x*\>2ln（2*a*）时，
．
故*f*（*x*）在（ln*a*，+∞）存在唯一零点，从而*f*（*x*）在（--∞，+∞）有两个零点．
综上，*a*的取值范围是（，+∞）．
21．解：（1）由题设得．
> 则，．由得，即．
>
> 所以的方程为．
>
> （2）设．
>
> 若，设直线的方程为，由题意可知．
>
> 由于直线的方程为，所以．
>
> 直线的方程为，所以．
>
> 可得．
>
> 由于，故，可得，
>
> 即．①
>
> 将代入得．
>
> 所以．
>
> 代入①式得．
>
> 解得（舍去），．
>
> 故直线的方程为，即直线过定点．
>
> 若，则直线的方程为，过点．
>
> 综上，直线过定点．
22．解：当*k*=1时，消去参数*t*得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
> （2）当*k*=4时，消去参数*t*得的直角坐标方程为．
>
> 的直角坐标方程为．
>
> 由解得．
>
> 故与的公共点的直角坐标为．
23．解：（1）由题设知
> 的图像如图所示．
{width="2.7708333333333335in" height="2.5625in"}
> （2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像．
{width="2.7291666666666665in" height="2.5104166666666665in"}
> 的图像与的图像的交点坐标为．
>
> 由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，
>
> 故不等式的解集为．
{width="6.772222222222222in" height="8.927777777777777in"}
| 1 | |
1\. 爸爸今年43岁，丹丹今年11岁，几年后，爸爸年龄是丹丹的3倍？
2\. 3年前父子的年龄和是39岁，今年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年父亲和儿子各多少岁？
3\. 今年露露的年龄是旦旦的5倍，3年后露露的年龄是旦旦的2倍，旦旦和露露今年各多少岁？
4.小英一家由小英和她的父母组成，小英的父亲比母亲大3岁，今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？（了解）
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）**
**数学（理科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题（每小题5分，满分50分）**
1．A 2．D 3．C 4．B 5．A
6．C 7．B 8．B 9．D 10．C
**二、填空题**
11．
12．7
13．\[－1，0\]
14．18
15．25
16．
**三、解答题**
17．（本小题13分）
解：（I）*f*（*x*）=
=3*c*os2*x*－ si*n*2*x*+3
=2
=2
故*f*（*x*）的最大值为2
最小正周期T=
（II）由*f*（α）=得，故
又0\<α\<得，故，解得
从而
18．（本小题13分）
解：设A*~k~*表示第*k*辆车在一年内发生此种事故，*k*=1，2，3。由题意知A~1~，A~2~，A~3~独立，且
P（A~1~）=，P（A~2~）=，P（A~3~）=
（I）该单位一年内获赔的概率为
1－P（）=1－=1－
（II）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000。
P（ξ=0）= P（）==，
P（ξ=9000）=P（）+P（）+P（）
=P（A~1~）P（）P（）+ P（）P（A~2~）P（）+ P（）P（）P（A~3~）
=
=
P（ξ=18000）=P（）+P（）+P（）
=
=
P（ξ=27000）=P（A~1~ A~2~ A~3~）= P（A~1~）P（A~2~）P（A~3~）=
综上所述，ξ的分布列为
--- --- ------ ------- -------
ξ 0 9000 18000 27000
P
--- --- ------ ------- -------
（II）求ξ的期望有两种解法：
**解法一：**由ξ的分布列得
Eξ=
=≈2718.18（元）
**解法二：**设ξ*~k~*表示第*k*辆车一年内的获赔金额，*k*=1，2，3。
则ξ~1~有分布列
------ --- ------
ξ~1~ 0 9000
p
------ --- ------
故Eξ~1~=9000=1000元
同理得Eξ~2~=9000=900元，Eξ~3~=9000≈818.18元
综上有
Eξ= Eξ~1~+ Eξ~2~+ Eξ~3~=1000+900+818.18=2718.18元。
19．（本小题13分）
**解法一：**
（I）因B~1~C~1~⊥A~1~B~1~，且B~1~C~1~⊥BB~1~，故B~1~C~1~⊥面A~1~ABB~1~，从而B~1~C~1~⊥B~1~E，又B~1~E⊥DE，故B~1~E是异面直线B~1~C~1~与DE的公垂线。
设BD的长度为*x*，则四棱锥C---ABCA~1~的体积V~1~为
V~1~=
= （*x*+2）·BC
而直三棱柱的体积为ABC---A~1~B~1~C~1~的体积V~2~为
V~2~=S~△ABC~·AA~1~=AB·BC·AA~1~=BC
由已知条件V~1~：V~2~=3：5，故（*x*+2）=，解之得*x*=
从而B~1~D=B~1~B－DB=2－=，
在直角三角形A~1~B~1~D中，A~1~D=
又因A~1~D·B~1~E=A~1~B~1~·B~1~D
故B~1~E=
（II）如（19）图1，过B~1~作B~1~F⊥C~1~D，垂足为F，连接A~1~F，因A~1~B~1~⊥B~1~C~1~，A~1~B~1~⊥B~1~D，故A~1~B~1~⊥面B~1~DC~1~，由三垂线定理知C~1~D⊥A~1~F，故∠A~1~FB~1~为所求二面角的平面角。
在直角ΔC~1~B~1~D中，C~1~D=，
又因=C~1~D·B~1~F=B~1~C~1~·B~1~D，故
B~1~F=，所以t*an*∠A~1~FB~1~=
20．（本小题13分）
解：（I）由题意知*f*（1）=－3－*c*，因此*b*－*c*=－3－*c*，从而*b*=－3
又对*f*（*x*）求导得
*f*\''（*x*）=4*ax*^3^ln*x*+*ax*^4^·+4*bx*^3^
=*x*^3^（4*a*ln*x*+*a*+4*b*）
由题意*f*\''（1）=0，因此*a*+4*b*=0，解得*a*=12
（II）由（I）知*f*\''（*x*）=48*x*^3^ln*x*（*x*\>0），令*f*\''（*x*）=0，解得*x*=1。
当时0\<*x*\<1，*f*\'（*x*）\<0，此时*f*（*x*）为减函数；
当时*x*\>1，*f*\'（*x*）\>0，此时*f*（*x*）为增函数。
因此*f*（*x*）的单调递减区间为（0，1），而*f*（*x*）的单调递增区间为（1，+∝），
（III）由（II）知，*f*（*x*）在*x*=1处取得极小值*f*（1）=－3－*c*，此极小值也是最小值，要使*f*（*x*）≥－2*c*^2^（*x*\>0）恒成立，只需－3－*c*≥－2*c*^2^。
即2*c*^2^－3－*c*≥0，从而（2*c*－3）（*c*+1）≥0
解得*c*≥或*c*≤－1
所以*c*的取值范围为（－∝，－1\]∪\[，+∝）。
21．（本小题12分）
（I）解：由*a*~1~=S~1~=（*a*~1~+1）（*a*~1~+2），解得*a*~1~=1或*a*~1~=2。由假设*a*~1~=S~1~\>1，因此*a*~1~=2。
又由*a~n~*~+1~=S ~*n*+1~－ S *~n~* =（*a* ~*n*+1~+1）（*a* ~*n*+1~+2）－（*a* *~n~*+1）（*a* *~n~*+2）
得*a~n~*~+1~－ *a~n~*－3＝0或*a~n~*~+1~＝－*a~n~*
因*a~n~*＞0，故*a~n~*~+1~＝－*a~n~*不成立，舍去。
因此*a~n~*~+1~－ *a~n~*=3。从而｛*a~n~*｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛*a~n~*｝的通项为*a~n~*＝3*n*－1。
（Ⅱ）**证法一：**由可解得
；
从而。
因此。
令，则
。
因，故
特别地。从而，
即。
**证法二：**同证法一求得*b~n~*及*T~n~*。
由二项式定理知当*c*＞0时，不等式成立。
由此不等式有
＝。
**证法三：**同证法一求得*b~n~*及*T~n~*。
令*A~n~*＝，*B~n~*＝，*C~n~*＝。
因，因此。
从而
＞。
**证法四：**同证法一求得*b~n~*及*T~n~*。
下面用数学归纳法证明3T*~n~*+1\>log~2~（*a~n~*+3）
当*n*=1时，3T~1~+1=log~2~，log~2~（*a*~1~+3）=log~2~5
因此3T~1~+1\> log~2~（*a*~1~+3），结论成立。
假设结论当*n*=*k*时成立，即3T*~k~*+1\> log~2~（*a~k~*+3）
则当*n*=*k*+1时，
3T~*k*+1~+1－ log~2~（*a~k~*~+1~+3）=3T~1~+1+3*b~k~*~+1~－log~2~（*a~k~*~+1~+3）\> log~2~（*a*~1~+3）－ log~2~（*a~k~*+3）+3*b~k~*~+1~
=
因（3*k*+3）^3^－（3*k*+5）（3*k*+2）^2^=9*k*+7\>0，所以\>0
从而3T~*k*+1~+1\> log~2~（*a~k~*~+1~+3），这就是说当*n*=*k*+1时结论也成立。
综上3T*~n~*+1\>log~2~（*a~n~*+3）对*n*∈N^\*^任何成立。
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**训练B卷**
**班级\_\_\_\_\_\_** **姓名\_\_\_\_\_\_** **得分\_\_\_\_\_\_**
1．选择题(把表示正确算式的字母编号填在括号里)
(1)甲、乙两人共储蓄640元，乙、丙两人共储蓄600元，甲、丙两人共储蓄440元。甲储蓄多少元？正确算式是( )\
A．(640+600＋440)÷2-440\
B．(640＋600＋440)÷2-600\
C．(640＋600＋440)÷2-640\
D．(640＋600＋440)÷2
(2)一个除式，商是18，余数是4，被除数与除数的和是270，被除数是多少？正确算式是( )\
A．270÷(1+18)×18-4\
B．270÷(1＋18)×18＋4\
C．(270-4)÷(1＋18)×18-4\
D．(270-4)÷(1＋18)×18＋4
(3)有甲、乙两筐苹果，平均每筐重52千克，现从甲筐中取出5千克放入乙筐，则两筐苹果重量相等。甲筐苹果原来重多少千克？正确算式是( )\
A．(52×2＋5×2)÷2\
B．(52× 2+5)÷2\
C．(52＋5×2)÷2\
D．(52×2-5×2)÷2
(4)甲、乙、丙三人共做了183道数学题，乙做的题比丙的2倍少4道，甲做的题比丙的3倍多7道。丙做了多少道题？正确算式是( )\
A．183÷(1＋2＋3)-4＋7\
B．183÷(1＋2＋3)＋4-7\
C．(183-4+7)÷(1＋2＋3)\
D．(183+4-7)÷(1+2＋3)
(5)有甲、乙两桶油，如果给甲再注入15升油，两桶油就同样多；如果给乙桶再注入145升油，乙桶的油就是甲桶的3倍。原来乙桶油有多少升？正确算式是( )\
A．(145+15)÷(3＋1)+15\
B．(145＋15)÷(3---1)+15\
C．(145---15)÷(3+1)＋15\
D．(145---15)÷(3---1)＋15
2．哥哥和弟弟各买若干本练习本，如果哥哥给弟弟3本，两人的练习本数量就同样多；如果弟弟给哥哥1本，哥哥的练习本本数就是弟弟的3倍。哥哥和弟弟原来各买练习本多少本？
3．大马的年龄是小马年龄的4倍，再过20年大马的年龄比小马的2倍小14岁。大马、小马现年各几岁？
4．有1000人报名参加入学考试，最后录取了150人。录取者的平均成绩与没有录取者的平均成绩相差38分，全体考生的平均成绩是55分，录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分。问录取分数线是多少分。
5．甲、乙、丙三人，平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克，求乙的体重。
6．有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6个人；如果减少一条船，每条船必须坐9个人。这个班共有多少同学去划船？
7．有14个纸盒，其中有装1只球的，也有装2只和3只球的，这些球共有25只。装1只球的盒子数等于装2只球与3只球的盒数的和。装1、2、3只球的盒子各有多少个？
8．已知大小酒瓶共50个，每个大瓶装酒1千克，每个小瓶装酒0.75千克，大瓶比小瓶多装酒15千克，大、小瓶各有多少个？
9．本学期数学课进行了五次测验，小明的成绩第二次比第一次多10分，第三次比第二次少5分，第四次比第三次多4分，前4次的平均成绩是85分。如果第五次比第四次少13分，那么小明全学期五次测验的平均成绩是多少分？
10．甲级茶叶2千克和乙级茶叶5千克的价格相等，买6千克甲级茶叶和7千克乙级茶叶共付款601.92元，每千克甲级茶叶和每千克乙级茶叶的价格各是多少元？
11．有甲、乙、丙三个书架，共有图书450本，如果从甲架拿出60本放入乙架，再从乙架拿出120本放入丙架，最后再从丙架拿出50本放入甲架，则三个书架图书本数一样多。原来三个书架各有图书多少本？
12．某人领得奖金 240元，有 2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与 5元的张数一样多，那么2元、5元、10元各有多少张？
**B卷**
1．选择题：
（1）B（2）D（3）A（4）D（5）B
2．（3×2+1×2）÷（3-1）+1=5（本）（弟）5＋3×2=11（本）
（哥）
3．解：设小马现年x岁，则大马现年4x岁 4x+20=2（x+20）-14 x=3
（小马） 4x=12（大马）
4．1000-150=850（人）（55×1000+38×850）÷1000-6.3=81（分）
5．甲+乙比2个丙多3×2=6（千克）乙比丙多6-2=4（千克）（63
×3-4-2）÷3+4=65（千克）
6．解法一：（6＋9）÷4（9-6）= 5（条） 6×（5＋1）=36
（人）
解法二：解：设有船x条 6（x＋1）=9（x-1） x=5 6×（5+1）=36（人）
7．解：装1只球 14÷2=7（盒）设装2只球x盒，则装3只球（7-x）
盒 1×7＋2x＋3（7-x）=25 x=3（2只） 7-x=4（3只）
8．解：设大瓶x个，则小瓶（50-x）个 x=0.75（50-x）=15 x=30（大
瓶） 50-x=20（小瓶）
9．第二次比第四次多：5-4=1（分）第一次比第四次少10-1＝9（分）
（85×4＋4-1+9）÷4-13=75（分）（85×4+75）÷5=83（分）
10．601.92÷\[5× （6÷2）+7\]=27.36（元）（乙）27.36×5÷2=68.4
（元）（甲）
11．450÷3=150（本）150＋60-50=160（本）（甲）150+120-60=210
（本）（乙）150+50-120=80（本）（丙）
12．解法一：（50×10-240）÷（10×2-2-5）=20（张）（2元、
5元） 50-20×2=10（张）（10元）
解法二：设2元、5元各x张，则10元有（50-2x）张2x+5x+10
（50-2x）=240 x=20（2元、5元） 50-2x=10（10元）
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**北师BS版一年级数学下册期末复习试卷1**
（新教材）
特别说明：本试卷为（改版后）最新北师版教材配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.阶段测评卷（三）
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（一）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（二）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（三）
5\. 第四单元测评卷 16.期末测评卷（一）
6\. 阶段测评卷（二） 17.期末测评卷（二）
7\. 期中测评卷（一） 18.期末测评卷（三）
8\. 期中测评卷（二） 19.期末测评卷（四）
9\. 期中测评卷（三） 20.期末测评卷（五）
10.第五单元测评卷 21.期末测评卷（六）
11.第六单元测评卷 22.期末测评卷（七）
附：参考答案
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**北师大版小学二年级下册数学第四单元《生活中的大数》单元测试2（附答案）**
一、我会填。
1、10个十是一个（ ），10个千是一个（ ）。
> 2、从右边起，数位顺序表的第三位是（ ）位，它的左边一位是（ ）位，右边一位是（ ）位。
3、在读写万以内的数时，要按数位顺序从（ ）位起读写。
4、8125这个数是（ ）位数，最高位是（ ）位。
> 5、9080这个数中，9在（ ）位上，表示（ ），8在（ ）位上，表示（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
6、8个千、6个百、五个十组成的数是（ ）。
> 7、六千八百三十九是由（ ）个千，（ ）个百，（ ）个十和（ ）个一组成。
8、"9"在十位上读作（ ），"9"在千位上读作（ ）。
> 9、8562这个数是由（ ）个千，（ ）个百，（ ）个十和（ ）个一组成的。
10、用一个8、一个6和两个0组成只读一个0的四位数是（ ）和（ ）。
二、判断题，我行。（对的画"√"，错的画"×"。）
1、一个数的最高位是百位，这个数是三位数。 （ ）
2、8005读作八千零零五。
3、5780这个数的5在千位上。
4、一个三位数，它的最高位是千位。
5、6个千，5个百，3个一组成的数是653。
6、比最大四位数多1的数是10000。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、我会选择。
1、3008读作（ ）。
A、三千零零八 B、三零零八 C、三千零八
2、9在百位上的数是（ ）。
A、2098 B、9048 C、3904
3、下面各数中，两个0都不读的是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、1700 B、1070 C、1007
4、1699最接近（ ）。
A、1500 B、1600 C、1700
5、3 28 ﹤ 3618， 里最大填（ ）。
A、9 B、5 C、6
四、连一连。
1、
1643 3204 6253
2、二千五百六十七 8006
三千零七十四 4800
八千零六 2567
四千八百 3074
五、比大小。
1、在○里填上"﹥""﹤"或"="。
65 650 2384 2348 1008 989
3006 3060 8050 8500 7890 7890
2、按照从小到大的顺序排列下面各数。
（1）1201 2011 1120 1021
（ ）﹤（ ）﹤（ ）﹤（ ）
（2）9080 8009 9008 8900
（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）
六、按规律填数。
1、35，45，55，（ ），（ ）
2、102，101，（ ），（ ），98
3、2001，3001，4001，（ ），（ ）
4、一，一十，一百，（ ），（ ）
七、写出下面各数的组成。
4769 =（ ）＋（ ）＋60＋9
8020 =（ ）＋（ ）
9850 =（ ）＋（ ）＋（ ）
**第四单元测试卷的部分答案：**
一、1、百 万
2、百 千 十
3、高
4、4千
5、千 9个千 十 8个十
6、8650
7、6 8 3 9
8、九十 九千
9、8 5 6 2
10、8006 8060或6008 6080
二、√ × √ × × √
三、1、C 2、C 3、A 4、C 5、B
五、1、﹤ ﹥ ﹥ ﹤ ﹤ =
2、（1）1021 ﹤ 1120 ﹤ 1201 ﹤ 2011
（2）9080 ﹥ 9008 ﹥ 8900 ﹥ 8009
六、1、65 75
2、100 99
3、5001 6001
4、一千 一万
七、4000 700；8000 20；8000 900 50
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**湖南省邵阳市2020年中考数学试题**
**一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1.2020的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义解答.
【详解】2020的倒数是，
故选：C.
【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键.
2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是( )
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
【详解】A、球的三视图都是圆，故本选项正确；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
3.2020年6月23日，中国第55颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据科学计数法的表示形式为，其中，n为整数，即可做出选择．
【详解】解：根据科学计数法的表示形式为，其中，n为整数，则3450亿=345000000000=3.45×10^11^元．
故选：D
【点睛】本题主要考查利用科学计数法表示较大的数的方法，掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意n的取值．
4.设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
5.已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，即可求解．
【详解】解：把点代入得
解得，
∴正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点代入得，
∴，
∴平移后函数解析式为，
故函数图象大致．
故选：D
【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
6.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
7.如图，四边形是平行四边形，点*E*，*B*，*D*，*F*在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加，则无法证明，故A错误；
B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确；
C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确；
D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【详解】∵
∴
选项Ａ：在第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
9.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
10.将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点*A*落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点*P*落在点处，折痕与边交于点*M*．
若，则的大小是（ ）
A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115°
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵折叠，且，
∴，即，
∵折叠，
∴，
∴在中，，
故选：C．
【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
**二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）**
11.因式分解：=\_\_\_\_\_\_．
【答案】2（*x*+3）（*x*﹣3）．
【解析】
试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x^2^-9）=2（x+3）（x-3）.
考点：因式分解.
12.如图，已知点*A*在反比例函数的图象上，过点*A*作轴于点*B*，的面积是2．则*k*的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出*k*值．
【详解】解：设点*A*的坐标为()，，
由题意可知：，
∴，
又点*A*在反比例函数图像上，
故有．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．
13.据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周"送教上门"的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受"送教上门"的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受"送教上门"的时间波动大小来看，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_学生每周接受送教的时间更稳定．（填"甲"或"乙"）
【答案】甲
【解析】
【分析】
先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．
【详解】解：甲的"送教上门"时间的平均数为： ，
乙的"送教上门"时间的平均数为：，
甲的方差：，
乙的方差：，
，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键．
14.如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点*B*作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点*C*为圆心，为半径画弧，交于点*E*；
（3）以点*A*为圆心，为半径画弧，交于点*D*．即点*D*为线段的黄金分割点．
则线段的长度约为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（结果保留两位小数，参考数据：）
【答案】6.18
【解析】
【分析】
根据作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
【详解】解：由作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
∴cm，
∴cm，
∴cm．
故答案为：6.18
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．
15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
--- --- ---
2
1 6
3
--- --- ---
【答案】
【解析】
【分析】
先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为*x*，则，解得，
设第三行第一个数为*y*，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载："直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为*x*步，则依题意列方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x(x+12)=864
【解析】
【分析】
本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．
17.如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】13.
【解析】
【分析】
由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．
【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=
∴OB=，
Rt△AOB中，AB=，
所以，该圆锥的母线长为13.
故答案为：13．
【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．
18.如图，在中，，斜边，过点*C*作，以为边作菱形，若，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH=，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG=，
∴的面积为．
【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
**三、解答题（本大题有8个小题，第19\~25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）**
19.计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】
分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝2
【点睛】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．
20.已知：，
（1）求*m*，*n*的值；
（2）先化简，再求值：．
【答案】（1）；（2），0
【解析】
【分析】
（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值；
（2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解．
【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0，
解得：，
（2）原式==，
当，原式=．
【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
21.如图，在等腰中，，点*D*是上一点，以为直径的过点*A*，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）试题错误．
【解析】
【分析】
（1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明；
（2）试题错误．
【详解】（1）证明：如图：连接OA
∵OA=OB
∴∠OBA=∠OAB
∵AB=AC
∴∠OBA=∠C
∴∠OAB=∠C
∵
∴∠OAB=∠CAD
∵BD是直径
∴∠BAD=90°
∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90°
∴是的切线；
（2）试题错误．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键．
22.2019年12月23日，湖南省政府批准，全国"十三五"规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，*A*，*B*，*C*所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据题意得到BO，CB~2~长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB~2~中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
【详解】解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，
；
在中，，，，
，
，
即管道AB和BC的总长度为：．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．
23."新冠病毒"疫情防控期间，我市积极开展"停课不停学"网络教学活动，了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| XX学校"停课不停学"网络学习时间 |
| |
| 调查表 |
| |
| 亲爱的同学，你好！ |
| |
| 为了了解和更好地指导你进行"停课不停学"网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打"√"． |
| |
| 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 |
| |
| ------ ------------------ -- |
| 选项 学习时间（小时） |
| *A* |
| *B* |
| *C* |
| *D* |
| ------ ------------------ -- |
+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
（1）本次接受问卷调查的学生共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人；
（2）请补全图①中的条形统计图；
（3）图②中，*D*选项所对应的扇形圆心角为\_\_\_\_\_\_\_\_\_度；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生"停课不停学"期间平均每天利用网络学习时间在*C*选项的有多少人？
【答案】（1）100 （2）见详解 （3）18 ^o^ （4）600
【解析】
【分析】
根据扇形图和条形图A选项的联系可以算出来总人数，进而求出B选项的人数，D选项圆心角和1500人中C选项的人数．
【详解】（1）15÷15%=100（人）
（2）如图选B的人数：100-40-15-5=40（人）
（3）360 ^o^ ×=18 ^o^
（4）1500 ×=600（人）
【点睛】本题主要考察了，条形统计图，扇形统计图等知识点，准确的找出它们的联系是解题关键．
24.2020年5月，全国"两会"召开以后，应势复苏的"地摊经济"带来了市场新活力，小丹准备购进*A*、*B*两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台*A*型风扇和5台*B*型风扇进价共100元，3台*A*型风扇和2台*B*型风扇进价共62元．
（1）求*A*型风扇、*B*型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，*A*型风扇销售情况比*B*型风扇好，小丹准备多购进*A*型风扇，但数量不超过*B*型风扇数量的3倍，购进*A*、*B*两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
【答案】（1）*A*型风扇、*B*型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【解析】
【分析】
（1）设*A*型风扇、*B*型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据"2台*A*型风扇和5台*B*型风扇进价共100元"和" 3台*A*型风扇和2台*B*型风扇进价共62元"两个等量关系列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进*A*型风扇a台、则*B*型风扇购进（100-a）台，再根据 "购进*A*、*B*两种风扇的总金额不超过1170元"和"*A*型风扇不超过*B*型风扇数量的3倍"两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可．
【详解】解：（1）设*A*型风扇、*B*型风扇进货的单价各是x元和y元
由题意得： ，解得
答：*A*型风扇、*B*型风扇进货的单价各是10元和16元；
（2）设购进*A*型风扇a台、则*B*型风扇购进（100-a）台
有题意得，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
25.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点*M*是的中点，连接．
（1）请你猜想与的数量关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（2）如图②，把正方形绕着点*D*顺时针旋转角（）．
①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点*N*，使，连接）
②求证：；
③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③
【解析】
【分析】
（1）根据题意合理猜想即可；
（2）①延长到点*N*，使，连接，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．
【详解】（1）猜想与的数量关系是AF=2DM，
故答案为：AF=2DM；
（2）①AF=2DM仍然成立，
理由如下：延长到点*N*，使，连接，
∵M是CE中点，
∴CM=EM
又∠CMN=∠EMD，
∴△MNC≌△MDE
∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB=∠EDA
∴△ADF≌△DCN
∴AF=DN
∴AF=2DM
②∵△ADF≌△DCN
∴∠NDC=∠FAD，
∵∠CDA=90°，
∴∠NDC+∠NDA=90°
∴∠FAD+∠NDA=90°
∴AF⊥DM
③∵，
∴∠EDC=90°-45°=45°
∵，
∴∠EDM=∠EDC=30°，
∴∠AFD=30°
过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG=k,则DG=k，AD=AG÷sin45°=k，
FG=AG÷tan30°=k，
∴FD=ED=k-k
故=．
【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．
26.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与*x*轴、*y*轴的交点分别为，抛物线过*B*，*C*两点，动点*M*从点*D*开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达*C*点后停止运动．动点*N*从点*O*以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达*C*点后，立即返回，向方向运动，到达*O*点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点*M*停止运动时，点*N*也停止运动，设运动时间为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点*D*的坐标；
（3）当点*M*，*N*同时开始运动时，若以点*M*，*D*，*C*为顶点的三角形与以点*B*，*O*，*N*为顶点的三角形相似，求*t*的值；
（4）过点*D*与*x*轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点*Q*，将线段沿过点*B*的直线翻折，点*A*的对称点为，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．
【解析】
【分析】
（1）将代入计算即可；
（2）作于点E，证明，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为和两种情况讨论；当点M在BC上时，分为和两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得的最小值；连接BQ减去可得的最小值，综上可得的最小值．
【详解】（1）将代入得
，解得
∴抛物线的解析式为：
（2）作于点E
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）若点M在DA上运动时，
当，则，即不成立，舍去
当，则，即，解得：
若点M在BC上运动时，
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，无解；
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，解得
综上所示：当时，；时
（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N
∵点D，
∴点
由得对称轴为
∴点
∴
∴
故最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．
| 1 | |
**2016** 届九年级下学期月考数学试卷（1）（**3** 月份）
一、选择题（每小题 **0** 分，共 **36** 分）每小题的四个选项中，仅有一个正确答案，请将正确答案的代 号填涂在机读卡上．
1．﹣\|﹣3\|的倒数是（ ）
A．﹣3 B．﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"} C． {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"} D．3
2．一种形状近似圆形的细胞，其直径约为 0.00000156 米，用科学记数法表示此数为（ ）
> A．1.56×10﹣6 米 B．1.56×10﹣5 米 C．0.156×10﹣7 米 D．1.56×10﹣8 米
3．要使 {width="0.5409722222222222in" height="0.43819444444444444in"}有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≥2 且 x≠3 D．x＞2 且 x≠3
4．已知（x﹣3）2+\|y﹣4\|=0，则 {width="0.10486111111111111in" height="0.375in"}的算术平方根是（ ）
A． {width="0.39652777777777776in" height="0.38472222222222224in"} B． {width="0.2076388888888889in" height="0.38472222222222224in"} C． {width="0.2076388888888889in" height="0.38472222222222224in"} D． 5．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）
> {width="2.3847222222222224in" height="0.7916666666666666in"}
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
6．不等式组 的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．2＜x＜3 D．x＞3
7．如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ）
> {width="1.2784722222222222in" height="1.4951388888888888in"}
A．80° B．50° C．40° D．20°
8．若 α 是直角三角形的一个锐角，sinα={width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}cosα，则 =（ ）
A． B． {width="0.5631944444444444in" height="0.40625in"} C． D．
9．某件商品按原售价降低 a 元后，又降 20%，现售价为 b 元，那么该商品的原价为（ ）
A．{width="0.7298611111111111in" height="0.3645833333333333in"}元 B．{width="0.7298611111111111in" height="0.3645833333333333in"}元 C．（5b+a）元 D．（5a+b）元
10．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}．线段 AB
B．有一个角是 45°的直角三角形 C．有一个角是 30°的直角三角形 D．两个内角分别是 30°和 120°的三角形
11．某班有 48 人，在一次数学测验中，全班平均分为 81 分，已知不及格人数为 6 人，他们的平均 分为 46 分，则及格学生的平均分是（ ）
A．78 分B．86 分C．80 分D．82 分
12．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上．下 列结论：①CE=CF；②∠AEF=75°；③BE+DF=EF；④ {width="1.2715277777777778in" height="0.2298611111111111in"}；⑤ {width="1.1465277777777778in" height="0.18819444444444444in"}， 其中正确的（ ）个．
> {width="1.2395833333333333in" height="1.3229166666666667in"}
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每小题 **3** 分，共 **15** 分）请将答案直接写在相应题的横线上**.**
13．分解因式：x3﹣2x2+x= [ ]{.underline} ．
14．若分式 的值为 0，则 x 的值为 [ ]{.underline} ．
15．若点 A（4，y﹣x）关于原点的对称点为 B（x+2y，﹣1），则 x2+y2= [ ]{.underline} ．
16．已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况 是 [ ]{.underline} ．
17．某班联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转 盘被均匀等分为四个区域，如图），转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在 哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 [ ]{.underline} ．
> {width="1.0409722222222222in" height="1.0416666666666667in"}
三、解答题（本大题共 **8** 个小题，共 **69** 分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤及推理过程
18．（1）计算：{width="2.75in" height="0.25972222222222224in"}\|；
先化简，再求值： {width="0.8131944444444444in" height="0.4479166666666667in"}，其中 x= ﹣2．
19．（1）解方程： ；
解不等式组 ，并将其解集表示在数轴上．
20．如图，河对岸有一高层建筑物 AB，为测其高，在 C 处由点 D 用测量仪测得顶端 A 的仰角为 30°， 向高层建筑物前进 50 米，到达 E 处，由点 F 测得顶点 A 的仰角为 45°，已知测量仪高 CD=EF=1.2 米，求高层建筑物 AB 的高．（结果精确到 0.1 米，{width="0.8131944444444444in" height="0.18819444444444444in"}，{width="0.8131944444444444in" height="0.18819444444444444in"}）
> {width="2.301388888888889in" height="1.4166666666666667in"}
21．如图，设置 A、B 的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，A 上的数字分别是 1、6、8，B 上的 数字分别是 4、5、7，现两人分别同时转动转盘，当转盘停止转动时，如果我们规定箭头所指较大 数字一方获胜，那么你会选择哪个装置．请借助列表法或树状图法说明理由．
> {width="2.698611111111111in" height="1.34375in"}
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加利润，
尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均
每天可多售出 2 件；
（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
23．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于 C 点，AC 平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
若 AD=2，{width="0.4798611111111111in" height="0.18819444444444444in"}，求⊙O 的半径 R 的长．
> {width="1.363888888888889in" height="1.3229166666666667in"}
24．已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0）和 B 点，AB=4，OB＞OA， 与 y 轴交于点 C，顶点的横坐标为 1．
（1）求 B 点的坐标；
若点 O 到 BC 的距离为{width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，求此二次函数的解析式；
（3）若 P 是直线 x=2 上的点，且△PAB 的外心 M 的纵坐标为﹣1，求 P 点的坐标，试判断点 P 是 否在中所求的二次函数图象上，并说明理由．
> 2016届九年级下学期月考数学试卷（1）（**3** 月份）
>
> 参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 **0** 分，共 **36** 分）每小题的四个选项中，仅有一个正确答案，请将正确答案的代 号填涂在机读卡上．
1．﹣\|﹣3\|的倒数是（ ）
A．﹣3 B．﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"} C． {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"} D．3
【考点】倒数；绝对值．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得绝对值表示的数，根据乘积为 1 的两个数互为倒数， 可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣\|﹣3\|=﹣3，
﹣\|﹣3\|的倒数是﹣ {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B．
【点评】本题考查了倒数，先求出绝对值，再求出倒数．
2．一种形状近似圆形的细胞，其直径约为 0.00000156 米，用科学记数法表示此数为（ ）
> A．1.56×10﹣6 米 B．1.56×10﹣5 米 C．0.156×10﹣7 米 D．1.56×10﹣8 米
【考点】科学记数法---表示较小的数．
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记 数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定．
【解答】解：0.00000156=1.56×10﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤\|a\|＜10，n 为由原数左 边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
3．要使 {width="0.5409722222222222in" height="0.43819444444444444in"}有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≥2 且 x≠3 D．x＞2 且 x≠3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0 且 x﹣3≠0， 解得 x≥2 且 x≠3．
故选 C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 4．已知（x﹣3）2+\|y﹣4\|=0，则 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入求出{width="0.10486111111111111in" height="0.375in"}的值，再根据算术平方根的定义解 答．
【解答】解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣4=0， 解得 x=3，y=4，
{width="0.31319444444444444in" height="0.375in"}，
> ∵ {width="1.051388888888889in" height="0.38472222222222224in"}，
∴ {width="0.10486111111111111in" height="0.375in"}的算术平方根的值为 {width="0.2076388888888889in" height="0.38472222222222224in"}， 故选 B．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每 一个算式都等于 0 列式是解题的关键．
5．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）
> {width="2.3847222222222224in" height="0.7916666666666666in"}
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为 4，也可以根据画三视图的方法，发 挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，需要的小正方体的数目：1+2+1=4．如图：
> {width="1.0319444444444446in" height="1.0520833333333333in"}
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及空间想象能力．
6．不等式组 的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．2＜x＜3 D．x＞3
【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集得规律求出即可．
【解答】解： ，
由①得：x＞2， 由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是：2＜x＜3．
故选 C．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组，不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解 和掌握，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
7．如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ）
> {width="1.2784722222222222in" height="1.4951388888888888in"}
A．80° B．50° C．40° D．20°
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，
∴{width="0.4798611111111111in" height="0.2076388888888889in"}（垂径定理），
∴∠DCF={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∴∠DCF=20°． 故选：D．
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
8．若 α 是直角三角形的一个锐角，sinα={width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}cosα，则 =（ ）
A． B． {width="0.5631944444444444in" height="0.40625in"} C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】把 sinα={width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}cosα 代入原式，转化为关于 cosα 的式子，约分即可．
【解答】解：把 sinα={width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}cosα 代入原式， 则原式= = {width="0.5631944444444444in" height="0.2076388888888889in"}．
故选 C．
【点评】本题较简单，把已知关系代入原式化简即可．
9．某{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.8055555555555554e-2in"}件商品按原售价降低 a 元后，又降 20%，现售价为 b 元，那么该商品的原价为（ ）
A．{width="0.7298611111111111in" height="0.3645833333333333in"}元 B．{width="0.7298611111111111in" height="0.3645833333333333in"}元 C．（5b+a）元 D．（5a+b）元
【考点】列代数式．
【分析】等量关系为：（原售价﹣a）（1﹣20%）=b．
【解答】解：设原售价为 x，则（x﹣a）（1﹣20%）=b． 解得 x={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}b+a．
故选：B．
【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系列出式子．必要时 可借助一元一次方程模型求解．
10．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 AB
B．有一个角是 45°的直角三角形 C．有一个角是 30°的直角三角形 D．两个内角分别是 30°和 120°的三角形
【考点】轴对称图形．
【分析】考查轴对称图形的概念，据概念求解．
【解答】解：A、B 都是轴对称图形，不符合题意；
C、三角形三角各为 30°，60°，90°，不是对称图形，符合题意；
D、三角形第三个角为 30°，所以是等腰三角形，而等腰三角形是轴对称图形，不符合题意． 故选 C．
【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
11．某班有 48 人，在一次数学测验中，全班平均分为 81 分，已知不及格人数为 6 人，他们的平均 分为 46 分，则及格学生的平均分是（ ）
A．78 分B．86 分C．80 分D．82 分
【考点】算术平均数．\[来源:学科网\]
【分析】利用平均数的定义先求出全班学生的总分和不及格人数的总分，进而求出及格人数的总分， 再除以及格的人数即可．
【解答】解：全班学生的总分为：81×48=3888（分）， 不及格人数的总分为：46×6=276（分）， 及格人数的总分为：3888﹣276=3612（分），
则及格学生的平均分为 {width="0.43819444444444444in" height="0.39652777777777776in"}=86（分）； 故选 B．
【点评】此题考查了平均数，正确理解平均数的概念是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有 数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一 项指标．解答平均数应用题的关键在于确定"总数量"以及和总数量对应的总份数．
12．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上．下 列结论：①CE=CF；②∠AEF=75°；③BE+DF=EF；④ {width="1.2715277777777778in" height="0.2298611111111111in"}；⑤ {width="1.1465277777777778in" height="0.18819444444444444in"}， 其中正确的（ ）个．
> {width="1.2395833333333333in" height="1.3229166666666667in"}
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等{width="2.361111111111111e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数 的定义．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①正确；等边三角形的每个内角=60°判断②不正确；根 据线段垂直平分线的知识可以判断③不正确；利用勾股定理求正方形边长得出面积等知识可以判断
④正确；利用锐角三角函数得出⑤正确．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=60°，
∴②不正确；
∵在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，{width="0.5409722222222222in" height="0.39652777777777776in"}，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①正确；
如图，连接 AC，交 EF 于 G 点，
∴AC⊥EF，且 AC 平分 EF，
> ∵∠{width="2.638888888888889e-2in" height="2.638888888888889e-2in"}CAD≠∠CAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③不正确；
∵EF=2，
∴CE=CF= {width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}，
设正方形的边长为 a， 在 Rt△ADF 中， a2+（a﹣ ）2=4，
解得 a= （负值舍去），
> ∴a=
则 a2=2+ ，
> ∴S 正方形 ABCD=2+{width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}，
④说法正确；
∵a﹣ {width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}= ，
∴tan∠AEB= =2+ {width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}，
∴⑤正确；
∴正确的有①④⑤． 故选 C．
> {width="1.3131944444444446in" height="1.21875in"}
【点评】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以 及锐角三角函数的知识；解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此 题有一定难度．
二、填空题（每小题 **3** 分，共 **15** 分）请将答案直接写在相应题的横线上**.**
> 13．分解因式：x3﹣2x2+x= x（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.8055555555555554e-2in"}1）2． 故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
14．若分式 {width="0.7180555555555556in" height="0.4576388888888889in"}的值为 0，则 x 的值为 [ 1]{.underline} ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）=0，且\|x\|﹣3≠0， 解得 x=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．可以从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零； 分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
15．若点 A（4，y﹣x）关于原点的对称点为 B（x+2y，﹣1），则 x2+y2= [ 5]{.underline} ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特征可得 ，解方程组可得 x、y 的值，然后 可得答案．
【解答】解：∵点 A（4，y﹣x）关于原点的对称点为 B（x+2y，﹣1），
> ∴ ，
解得： ，
∴x2+y2=5， 故答案为：5．
【点评】此题主要考查{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.5e-2in"}了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐 标符号相反．
16．已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况 是 [ 有两个不相等的实数根]{.underline} ．
【考点】抛物线与 x 轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】一元二次方程的解是二次函数当 y=0 时，自变量的值；如果图象与 x 轴有两个交点，方程 就有两个不相等的实数根．{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}
【解答】解：有两个不相等的实数根
【点评】主要考查了二次函数的图象与 x 轴交点个数与一元二次方程的解之间的联系，这些性质和 规律要求掌握．
17．某班联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转 盘被均匀等分为四个区域，如图），转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在
哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 [ ]{.underline} {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"} [ ]{.underline} ．
> {width="1.0416666666666667in" height="1.0416666666666667in"}
【考点】概率公式．
【分析】先求出钢笔在整个转盘中所占面积的比值，根据此比值即可解答．
【解答】解：∵转盘等分成 {width="2.638888888888889e-2in" height="1.8055555555555554e-2in"}4 个扇形，其中钢笔占 2 份，
∴获得钢笔的概率是 = ．
故答案为： ．
【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免 了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学 学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
三、解答题（本大题共 **8** 个小题，共 **69** 分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤及推理过程
18．（1）计算：{width="2.75in" height="0.25972222222222224in"}\|；
先化简，再求值： {width="0.8131944444444444in" height="0.4479166666666667in"}，其中 x= ﹣2．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质 分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}﹣ +1+ ﹣1
= {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}；
原式=﹣ {width="0.3548611111111111in" height="0.4479166666666667in"}+
=
=﹣x﹣2．
当 x={width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}﹣2 时，原式=﹣{width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}+2﹣2=﹣ {width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（1）解方程： ；
解不等式组 ，并将其解集表示在数轴上．\[来源:Zxxk.Com\]
【考点】解一元一次不等式组；解分式方程；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】（1）首先同时乘以 x2﹣4 去分母，然后再去括号、移项、合并同类项，最后得到 x 的值， 然后检验即可；
首先计算出两个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母得：﹣2（x+2）+4x+x﹣2=x2﹣4， 去括号得：﹣2x﹣4+4x+x﹣2=x2﹣4， 移项、合并同类项得：x2﹣3x+2=0，
解得：x1=2，x2=1，
检验：把 x1=2，x2=1 代入最简公分母 x2﹣4 得：当 x=2 时，x2﹣4=0， 因此方程的解为 x=1；
> ，
由①得：x≥2， 由②得：x＜﹣1， 不等式组的解集为：无解． 在数轴上表示为：
{width="2.229861111111111in" height="0.3326388888888889in"}．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，以及分式方程的解法，关键是掌握解集的规律： 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．注意分式方程要检验．
20．如图，河对岸有一高层建筑物 AB，为测其高，在 C 处由点 D 用测量仪测得顶端 A 的仰角为 30°， 向高层建筑物前进 50 米，到达 E 处，由点 F 测得顶点 A 的仰角为 45°，已知测量仪高 CD=EF=1.2 米，求高层建筑物 AB 的高．（结果精确到 0.1 米，{width="0.8131944444444444in" height="0.18819444444444444in"}，{width="0.8131944444444444in" height="0.18819444444444444in"}）
> {width="2.301388888888889in" height="1.4166666666666667in"}
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形 Rt△ADG、Rt△AFG， 应利用其公共边 AG，DF=DG﹣FG 构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
【解答】解：延长 DF 与 AB 交于 G，设 AG=x，
在 Rt△ADG 中，有 AG=DG×tan30°={width="0.2076388888888889in" height="0.38472222222222224in"}DG．
∴DG= {width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}x．
在 Rt△AFG 中，有 FG=AG÷tan45°=x，
∵DF=DG﹣FG=50 米，
∴x=25（ {width="0.2076388888888889in" height="0.18819444444444444in"}+1）≈68.3 米．
∴AB=AG+GB=69.5 米．
答：AB 的高约为 69.5 米．
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
21．如图，设置 A、B 的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，A 上的数字分别是 1、6、8，B 上的 数字分别是 4、5、7，现两人分别同时转动转盘，当转盘停止转动时，如果我们规定箭头所指较大 数字一方获胜，那么你会选择哪个装置．请借助列表法或树状图法说明理由．
> {width="2.698611111111111in" height="1.34375in"}
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得选择 A，获胜的有 5 种情况，选择 B 获胜的 有 4 种情况，则可求得答案．
【解答】解：选择 A． 画树状图得：
> {width="1.9493055555555556in" height="1.0409722222222222in"}
∵选择 A，获胜的有 5 种情况，选择 B 获胜的有 4 种情况，
∴P（选择 A）={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}，P（选择 B）={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}，
∴选择 A．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比．\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 4{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.8055555555555554e-2in"}0 元，为了扩大销售，增加利润，
尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均
每天可多售出 2 件；
（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价 x 元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多 售出 2x 件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x 元， 根据题意得（40﹣x）=1200，
整理得 2x2﹣60x+400=0
解得 x1=20，x2=10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降 20 元．\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
答：每件衬衫应降价 20 元．
设商场平均每天赢利 y 元，则
y=（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2\[（x﹣15）2﹣625
=﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当 x=15 时，y 取最大值，最大值为 1250．
答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元．
【点评】（1）当降价 20 元和 10 元时，每天都赢利 1200 元，但降价 10 元不满足"尽量减少库存"， 所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件； 要用配方法将代数式变形，转{width="2.361111111111111e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
23．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于 C 点，AC 平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
若 AD=2，{width="0.4798611111111111in" height="0.18819444444444444in"}，求⊙O 的半径 R 的长．
> {width="1.363888888888889in" height="1.3229166666666667in"}
【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接 OC，由题意得 OC⊥CD．又因为 AC 平分∠DAB，则∠1=∠2={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}∠DAB．即可得 出 AD∥OC，则 AD⊥CD；
连接 BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则{width="0.18819444444444444in" height="0.3645833333333333in"}= {width="0.18819444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，从而求得 R．
【解答】（1）证明：连接 OC，∵直线 CD 与⊙O 相切于 C 点，AB 是⊙O 的直径，∴OC⊥CD．
> 又∵AC 平分∠DAB，∴∠1=∠2={width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}∠DAB． 又∠COB=2∠1=∠DAB，
>
> ∴AD∥OC，∴AD⊥CD．
解：连接 BC，则∠ACB=90°，
> 在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，
>
> ∴△ADC∽△ACB．
>
> ∴ =
∴R= = ．
> {width="1.363888888888889in" height="1.3229166666666667in"}
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．
24．已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0）和 B 点，AB=4，OB＞OA， 与 y 轴交于点 C，顶点的横坐标为 1．
（1）求 B 点的坐标；
若点 O 到 BC 的距离为{width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，求此二次函数的解析式；
（3）若 P 是直线 x=2 上的点，且△PAB 的外心 M 的纵坐标为﹣1，求 P 点的坐标，试判{width="2.361111111111111e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}断点 P 是 否在中所求的二次函数图象上，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得 B 点坐标； 根据自变量与函数值的对应关系，可得 C 点坐标，根据勾股定理，可得 BC 的长，根据三角形的面 积，可得关于 a 的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据三角形的外心在三角形每条边的垂直平分线上，可得 M 点坐标，根据三角形的外心到三 角形的顶点的距离相等，可得关于 b 的方程，可得 P 点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可 得答案．
【解答】解：（1）由顶点的横坐标为 1，得 抛物线的对称轴是 x=1．
二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0）和 B 点，得
A 到对称轴的距离是 1﹣（﹣1）=2，B 到对称轴的距离是 2，1+2=3， B 点的坐标是（3，0）．
设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），点 O 到 BC 的距离为 h， 当 x=0 时，y=﹣3a，即 C（0，﹣3a）．
由勾股定理，得
BC= {width="0.78125in" height="0.25in"}=3 {width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}．
由三角形的面积，得
{width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}OA•OC= {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}BC•h，即 {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}×3×（﹣3a）= {width="0.10486111111111111in" height="0.3645833333333333in"}× {width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}×3 ， 化简，得 2a2=1+a2，
解得 a=1，a=﹣1（不符合题意，舍）， 抛物线的解析式为 y=（x+1）（x﹣3）；
（3）P 是直线 x=2 上的点，设 P． 由△PAB 的外心 M，得
点 M 在 AB 的垂直平分线上，即 M 在对称轴 x=1 上，得 点 M 的横坐标为 1．
又点 M 的纵坐标为﹣1， 点 M 的坐标为（1，﹣1）．
由点 M 是△PAB 的外心，得
MP=MB，即 2+（b+1）2=（3﹣1）2+12， 化简，得 b2+2b﹣3=0．
解得 b1=1，b2=﹣3， 点 P 的坐标为或．
当点 P 的坐标为时，y==3，点 P 不在抛物线的图象上；
当点 P 时，y==3，点 P 在抛物线的图象上．
【点评】本题考查了二次函数{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称是求 B 点的关键；利 用待定系数法得出 C 点坐标，{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}再利用三角形的面积的出关于 a 的方程是解题关键；{width="2.5e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}利用三角形外心 的性质得出关于 b 的方程是解题关键，又利用点的坐标满足函数解析式时点在函数的图象上．
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**北师大版小学四年级下册数学第七单元《认识方程》单元测试2（附答案）**
一、认真思考，轻松填空。(每题2分，共20分)
1．四(1)班今天来了48名学生，缺席人，这个班共有( )人。
2．商店卖出铅笔枝，每枝0.45元，一共卖( )元。
3．一辆公交车上有乘客28人，中途下去人，又上来了6人，现在车上有乘客( )人。
4．苗苗有元钱，买钢笔用去3.6元，买圆规用去元，还剩下( )元。
5．长方形的长和宽分别是和，周长是=( )，面积是S=( )。
6．弟弟今年岁，比姐姐小l4岁。＋14表示( )，年后，姐姐比弟弟大( )岁。
7．甲数是，乙数比甲数的2倍少8，甲、乙两数的和是( )。
8．一个数是，另一个数是，它们的平均数可以表示为( )。
9．如果4＋3=27，那么2＋1=( )，3＋2=( )。
10．在0、1、2、3、4、5、6、7各数中，( )是方程88－12=28的解，( )是5－5=30的解。 来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、反复比较，择优录取。(6分)
1．下面的式子中，( )是方程。
A．100－72=28 B．4.5×5＋4 C．6＋=24
2．2.5＋＋3=( )。
A．5.5 B．6.5 C．3.5＋3
3．在＋2.6=＋6.2中，( )。
A．＜ B．＞ C．=
4．当=( )时，4－6与2＋15两式相等。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．3.5 B．10.5 C．1.5
5．---个长方形的长是厘米，宽是厘米，如果把它的长和宽都增加1厘米，那么它的面积比原来增加了( )平方厘米。
A．1 B．＋ C．＋＋1
6．将一根长米的绳子一半再一半地剪去，剪了4次后，剩下的正好是2米。这根绳子原来长( )米。
A．8 B．16 C．32
三、请你当法官。(对的打"√"，错的打"×")(5分)
1．含有字母的等式叫方程。 ( )
2．＋==2。 ( )
3．=3.4不是方程。 ( )
4．6除与8.4的和列式为6÷＋8.4。 ( )
5．解方程和方程的解的意义相同。 ( )
四、请你用含有字母的式子表示下面的数量关系。(6分)
与的差。 与和的倍。 比的5倍多8的数。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
比多8的数。 的平方加2是多少？ 比5与的和少10的数。
五、把=3、=4、=8代入下面各式，并求出相应的值。(6分)
2＋= 3－(＋)=
··= ＋·=
＋＋= ·÷(＋)=
六、解下列方程。(12分)
＋2.3=5.6 －6.3=25
9.3－=7.8 2＋0.6×1.8=3
(＋3)÷3=6 －0.46=14.04
七、看图列方程。(12分)
1．(3分)
方程：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
2．(3分)
方程：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
3．(3分)
方程：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
4．(3分)
方程：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
八、说一说下面式子各表示什么意思。(8分)
1．(4分)淘气家养的黑金鱼有条，养的红金鱼的条数是黑金鱼的3倍。
(1)式子3表示：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
(2)式子3＋表示：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
2．(4分)甲乙两地相距S千米，汽车从甲地出发每小时行60千米，途中经过丙地，小时到达丙地。
(1)式子60表示：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
(2)式子S－60表示：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
九、列方程解决问题。(20分)
1．(5分)小晶和小亮一起折纸飞机。小晶折的纸飞机是小亮的4倍，小晶比小亮多折了18个。小亮折了多少个纸飞机？
2．(5分)我每天摄取食盐10克左右。比世界卫生组织建议一个人每天食盐量的2倍少2克。一个人每天应摄取多少克盐才有利于人体健康？
3．(5分)汶川大地震牵动着每个中国人的心，爸爸和叔叔积极交纳特殊党费，爸爸交纳特殊党费是叔叔的1.2倍，如果叔叔再加60元，两人就一样多，爸爸和叔叔原来各交了多少元？
4．(5分)---个操场的周长是480米，长是宽的2倍，这个操场的面积是多少？
十、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得l0分)
1．选做题A(5分)
一个自然数与它本身相加、相减、相除所得的和、差、商再相加，结果是2011，那么原来的自然数是多少？
2．选做题B(5分)
> 汶川大地震后，俄罗斯将灾区小朋友分期分批接去疗养。他们在俄罗斯某疗养地的生活可好啦，天天分吃苹果。一天分吃苹果时，俄罗斯的老师出了这样的一道题：每人分2个，多出13个苹果；每人分3个，又少13个苹果。请问有多少个小朋友？多少个苹果？
附加题。(5分)
1．摆1个正五边形需要( )根小棒，摆2个需要( )根小棒，摆3个需要( )根小棒。
2．照这样摆下去：
(1)摆个正五边形需要多少根小棒？=80呢？
(2)265根小棒可以摆多少个正五边形？
**参考答案**
一、1．48＋ 2．0.45 3．34－ 4．－－3.6
5．2＋2 6．姐姐今年多少岁 14 7．3－8
8．(＋)÷2 9．13 30 10．5 7
二、1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C
三、1．× 2．× 3．× 4．× 5．×
四、－ (＋)· 5＋8 ＋8 ＋2 5＋－10
五、2×3＋4=10 3×4×8=96 3＋4＋8=15
3×8－(3＋4)=17 3＋4×8=35 3×4÷(4＋8)=1
六、3.3 31.3 1.5 0.96 15 26
七、1．2.4＋=6.7
2．2＋210=300
3．5=56
4．＋3=12.6
八、1．(1)红金鱼的条数 (2)红金鱼和黑金鱼的条数和
2．(1)甲地到丙地的路程 (2)丙地到乙地的路程
九、1．设小亮折了个纸飞机 4－=18 =6
2．设一个人每天摄取克盐才有利于人体健康， 2－2=10 =6
3．设叔叔交特殊党费元，则爸爸交了1.2元。
1.2－=60 =300 爸爸：300×1.2=360(元)
4．设长方形的宽为米，则长为2米。
(＋2)×2=480 =80 2=160 80×160=12800()
十、1．设这个数为。
＋＋－＋÷=2011 =1005
2．设有个小朋友 2＋13=3－13 =26 26×2＋13=65(个)
附加题：1．5 9 13
2．(1)4＋1 4×80＋1=321(根)
(2)(265－1)÷4=66(个)
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**2019年湖南省邵阳市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（3分）（2019•邵阳）下列各数中，属于无理数的是
A． B．1.414 C． D．
2．（3分）（2019•邵阳）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
3．（3分）（2019•邵阳）据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用科学记数法表示5700亿元正确的是
A．元 B．元 C．元 D．元
4．（3分）（2019•邵阳）如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•邵阳）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：
------ ------ ------ ------ ------
售价 3元 4元 5元 6元
数目 14本 11本 10本 15本
------ ------ ------ ------ ------
下列说法正确的是
A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
6．（3分）（2019•邵阳）以下计算正确的是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•邵阳）一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为．下列说法中错误的是
A． B．
C． D．当时，
8．（3分）（2019•邵阳）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到△，以下说法中错误的是
A．△
B．点、点、点三点在同一直线上
C．
D．
9．（3分）（2019•邵阳）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
**二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）**
11．（3分）（2019•邵阳）的相反数是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•邵阳）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象经过线段的中点，则[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•邵阳）不等式组的解集是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•邵阳）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是[ ]{.underline}．（不添加任何字母和辅助线）
16．（3分）（2019•邵阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了"赵爽弦图"．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•邵阳）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，将等边绕点顺时针旋转得到△，则点的坐标是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）**
19．（8分）（2019•邵阳）计第：
20．（8分）（2019•邵阳）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）（2019•邵阳）如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
22．（8分）（2019•邵阳）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是[ ]{.underline}；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
23．（8分）（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
24．（8分）（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；温馨提示：，，
25．（8分）（2019•邵阳）如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，当时
①求的度数；
②连接，在上是否存在点使得四边形是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）（2019•邵阳）如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；
（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
**2019年湖南省邵阳市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是
A． B．1.414 C． D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解；
【解答】解：是有理数；是无理数；
故选：．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【解答】解：．俯视图与主视图都是正方形，故选项不合题意；
．俯视图与主视图都是正方形，故选项不合题意；
．俯视图是圆，左视图是三角形；故选项符合题意；
．俯视图与主视图都是圆，故选项不合题意；
故选：．
3．（3分）据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用科学记数法表示5700亿元正确的是
A．元 B．元 C．元 D．元
【分析】根据科学记数法的表示方法即可求解；
【解答】解：5700亿元元元；
故选：．
4．（3分）如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，，，成立的条件题目并没有提供，而选项中邻补角的和为一定正确．
【解答】解：与是同为角，与是内错角，与是同旁内角，由平行线的性质可知，选项，，成立的条件为时，而与是邻补角，故正确．
故选：．
5．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：
------ ------ ------ ------ ------
售价 3元 4元 5元 6元
数目 14本 11本 10本 15本
------ ------ ------ ------ ------
下列说法正确的是
A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
【分析】把所有数据相加可对进行判断；利用中位数和众数的定义对、进行判断；利用方差的计算公式计算出这组数据的方差，从而可对进行判断（当然前面三个判断了可直接对进行判断）．
【解答】解：、该班级所售图书的总收入为，所以选项正确；
、第25个数为4，第26个数为5，所以这组数据的中位数为4.5，所以选项错误；
、这组数据的众数为4，所以选项错误；
、这组数据的平均数为，所以这组数据的方差，所以选项错误．
故选：．
6．（3分）以下计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解；
【解答】解：，错误；
不能合并同类项，错误；
，错误；
故选：．
7．（3分）一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为．下列说法中错误的是
A． B．
C． D．当时，
【分析】根据两函数图象平行相同，以及向下平移减即可判断．
【解答】解：将直线向下平移若干个单位后得直线，
直线直线，
，
直线向下平移若干个单位后得直线，
，
当时，，
故选：．
8．（3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到△，以下说法中错误的是
A．△
B．点、点、点三点在同一直线上
C．
D．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到△，
△，点、点、点三点在同一直线上，，
，故选项错误，符合题意．
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出．由直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用等腰三角形的性质求出，，利用三角形内角和定理求出．再根据折叠的性质得出，然后根据三角形外角的性质得出．
【解答】解：在中，，，
．
是斜边上的中线，
，
，，
．
将沿对折，使点落在点处，
，
．
故选：．
10．（3分）某出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据津津乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元可列方程组．
【解答】解：设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，
则所列方程组为，
故选：．
**二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）**
11．（3分）的相反数是[ ]{.underline}．
【分析】根据相反数的意义，即可求解；
【解答】解：的相反数是；
故答案为；
12．（3分）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是[ ]{.underline}．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种结果，
所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为，
故答案为：．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象经过线段的中点，则[ ]{.underline}．
【分析】已知，是的中点，根据平行线等分线段定理可得点的坐标，把的坐标代入关系式可求的值．
【解答】解：如图：，是的中点，
同理
，
，，
代入得：
故答案为：
14．（3分）不等式组的解集是[ ]{.underline}．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
15．（3分）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是[ 或或 ]{.underline}．（不添加任何字母和辅助线）
【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等．
【解答】解：，，
可以添加，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，此时满足，
故答案为或或；
16．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是[ 0 ]{.underline}．
【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△求解即可；
【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
；
故答案为0；
17．（3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了"赵爽弦图"．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是[ 4 ]{.underline}．
【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【解答】解：勾，弦，
股，
小正方形的边长，
小正方形的面积
故答案是：4
18．（3分）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，将等边绕点顺时针旋转得到△，则点的坐标是[ ]{.underline}．
【分析】作轴于，如图，利用等边三角形的性质得到，，再计算出，从而得到点坐标为，，然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标．
【解答】解：作轴于，如图，
为等边三角形，
，，
，
点坐标为，，
等边绕点顺时针旋转得到△，
点的坐标是．
故答案为．
**三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）**
19．（8分）计第：
【分析】分别化简每一项，再进行运算即可；
【解答】解：；
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
21．（8分）如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．
【解答】解：在等腰中，，
，
是的角平分线，
，，
，
，
由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
22．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是[ 50 ]{.underline}；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
【分析】（1）利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；
（2）求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；
（3）利用科技制作社团所占的百分比乘以即可得到结论；
（4）利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是，
故答案为：50；
（2）参与篮球社的人数人，
参与国学社的人数为人，
补全条形统计图如图所示；
（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为；
（4）名，
答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．
23．（8分）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【分析】根据增长率公式建立方程，解方程即可．
【解答】解：设平均增长率为，根据题意列方程得
解得，（舍
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为．
24．（8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；温馨提示：，，
【分析】设，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
25．（8分）如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，当时
①求的度数；
②连接，在上是否存在点使得四边形是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由切线性质和直径可得，由可得，即可得：；
（2）①连接，由可得是等边三角形，由此可得，；
②作交于，可证为菱形，求可转化为求．
【解答】解：（1）证明：如图1，切于点，是的直径，
（2）如图2，连接，
①，
是等边三角形
②存在．如图2，过点作交于，连接，，，
由①得：，
，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
26．（10分）如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；
（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点，的坐标，进而可得出点，的坐标，再利用正方形的性质可得出关于的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点，，，的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，由且以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出，的长，由可得出关于的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）将，代入，得：
，解得：，
该二次函数的解析式为．
（2）当时，，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
矩形为正方形，
，
解得：（舍去），．
当矩形为正方形时，的值为4．
（3）以、、、四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为．
当时，，，
点的坐标为，点的坐标为．
以、、、四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，
，分三种情况考虑：
①当时，如图1所示，，，
，
解得：（舍去），；
②当时，如图2所示，，，
，
解得：（舍去），；
③当时，，，
，
解得：（舍去），（舍去）．
综上所述：当以、、、四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或6．
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日期：2019/7/10 10:02:19；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**江苏省淮安市2020年中考数学试题**
**一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.2的相反数是（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义解答即可．
【详解】解：2的相反数是-2．
故选B．
【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握互为相反数的两个数的和为0是解答本题的关键．
2.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】原式
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解题关键．
3.下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；
B、的主视图是正方形，故B不符合题意；
C、的主视图是圆，故C符合题意；
D、的主视图是三角形，故D不符合题意；
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
4.六边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080°
【答案】C
【解析】
【分析】
n边形的内角和等于（n－2）×180°，所以六边形内角和为(6－2)×180°＝720°.
【详解】根据多边形内角和定理得：(6－2)×180°＝720°.
故选C.
5.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．
【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选C．
【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．
6.一组数据9、10、10、11、8的众数是（ ）
A. 10 B. 9 C. 11 D. 8
【答案】A
【解析】
分析】
根据众数的定义进行判断即可．
【详解】在这组数据中出现最多的数是10，
∴众数为10，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握知识点是解题关键．
7.如图，点、、在圆上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】∵在圆O中，∠ACB=54º，
∴∠AOB=2∠ACB=108º，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA==36º，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．
8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（ ）
A. 205 B. 250 C. 502 D. 520
【答案】D
【解析】
【分析】
设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的"幸福数"为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的"幸福数"为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解"幸福数"的定义，正确列出"幸福数"的代数式是解题关键．
**二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）**
9.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
分析】
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．
10.2020年6月23日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟授时精度高达每隔3000000年才误差1秒．数据3000000用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】3×10^6^
【解析】
【分析】
先将3000000写成a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为3000000写成a时小时点向左移动的位数．
【详解】解：3000000=3×10^6^．
故答案为3×10^6^．
【点睛】本题考查了科学记数法，将3000000写成a×10^n^的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．
11.已知一组数据1、3，、10的平均数为5，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据平均数计算方法，列出方程然后计算即可．
【详解】解：依题意有，\
解得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．
12.方程的解为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x=-2
【解析】
【分析】
先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．
【详解】解：
则： ，解得x=-2．
故答案为x=-2．
【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．
13.已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】8.
【解析】
【分析】
直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
【详解】∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是：，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.
14.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝5．
故答案为5．
【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
15.二次函数的图像的顶点坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】(-1,4)
【解析】
【分析】
把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵=-(x+1)^2^+4，\
∴顶点坐标为(-1,4)．\
故答案为(-1,4)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．
16.如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，
∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），
∴D点的坐标是（-2，-2），
∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
**三、解答题：本大题共11个小题，共102分．**
17.计算：
（1）
（2）
【答案】(1)2;(2)．
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值、零指数幂、二次根式的计算方法计算即可．
(2)根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】(1) ．
(2)．
【点睛】本题考查分式的混合运算和绝对值、零指数幂、二次根式的计算,关键在于熟练掌握相关的计算方法．
18.解不等式．
解：去分母，得．
......
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题"去分母"这一步的变形依据是 [ ]{.underline} （填"A"或"B"）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．
【解析】
【分析】
（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；
（2）根据不等式的性质即可得．
【详解】（1）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得；
（2）不等式性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
【答案】中型12辆，小型18辆.
【解析】
【分析】
根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案.
【详解】设中型x辆，小型y辆，根据题意可得：
，
解得 ，
故中型汽车12辆，小型汽车18辆.
【点睛】本题主要考查的是方程组，掌握相关方法即可得出答案.
20.如图，平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．
（1）求证：≌；
（2）连接、，则四边形 [ ]{.underline} （填"是"或"不是"）平行四边形．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）是，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；
（2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；
【详解】（1）∵四边形平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
根据题可知，，
在△AOF和△COE中，
，
∴≌．
（2）如图所示，
由（1）得≌，可得：
，
又∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键．
21.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市"文明公约十二条"的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置"非常了解"、"比较了解"、"一般了解"、"不了解"四个选项，分别记为、、、，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 [ ]{.underline} 名学生，扇形统计图中选项对应的圆心角为 [ ]{.underline} 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1200名学生，试估计该校选择"不了解"的学生有多少人？
【答案】（1）60，108；（2）图见解析；（3）该校选择"不了解"的学生有60人．
【解析】
【分析】
（1）先根据B选项的条形统计图和扇形统计图的信息可得调查的总人数，再求出C选项学生人数的占比，然后乘以即可得；
（2）先根据（1）的结论，求出A选项学生的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出选择"不了解"的学生的占比，再乘以1200即可得．
【详解】（1）本次问卷共随机调查的学生人数为（名）
C选项学生人数的占比为
则
故答案为：60，108；
（2）A选项学生的人数为（名）
因此补全条形统计图如下所示：
（3）选择"不了解"的学生的占比为
则（人）
答：该校选择"不了解"的学生有60人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键．
22.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母、、，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母的概率为 [ ]{.underline} ；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成""的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）用标有字母A的情况数除以总的情况数解答即可；
（2）先画出树状图求出所有等可能的情况数，然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成""的情况数，再根据概率公式解答．
【详解】解：（1）第一次摸到字母的概率=．
故答案为：；
（2）所有可能的情况如图所示：
由图可知：共有9种等可能的情况，其中两个方格中的字母从左往右恰好组成""的情况数只有1种，
所以两个方格中的字母从左往右恰好组成""的概率=．
【点睛】本题主要考查了求两次事件的概率，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键．
23.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
【答案】、两点间的距离约为11千米．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点D
在中，，千米
（千米），（千米）
在中，
是等腰直角三角形
千米
（千米）
答：、两点间的距离约为11千米．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
24.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 [ ]{.underline} 千米/小时；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
【答案】（1）80；（2）；（3）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；\
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；\
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；\
故答案为：80；
（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（小时），\
∴点E的坐标为（3.5，240），\
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为，
则：，解得，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，
则全程所需时间为：（小时），\
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），\
∵4.125＞4，\
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25.如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．
【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90º，
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1
∴OA=，∠APO=60º即∠CPB=60º，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60º，
∵∠OBC=90º，
∴∠BOD=30º，
∴BC=OB·tan30º=1，
∴==，
答:图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算．
26.【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 [ ]{.underline} ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②．
【解析】
【分析】
（1）先根据折叠的性质可得，再根据平行线的判定可得，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；
（3）①先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；
②先根据折叠的性质、线段的和差求出，的长，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后根据x的取值范围即可得．
【详解】（1），理由如下：
由折叠的性质得：
是的中位线
点M是AB的中点
则
故答案为：；
（2）
由折叠的性质得：
，即
在和中，
，即
解得
；
（3）①由折叠的性质得：
，即
在和中，
，即
解得
解得；
②如图，由折叠的性质可知，，，
点O是边的中点
设，则
点为线段上的一个动点
，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时，
，即
在和中，
则．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．
27.如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
（1） [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
（2）若点在点的上方，且，求的值；
（3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标．
【答案】（1）1，﹣2；（2）*m*=0或2；（3）①存在，且，，；②或．
【解析】
【分析】
（1）把点*A*的坐标代入抛物线解析式即可求出*b*，于是可得抛物线的解析式，再把点*B*的坐标代入抛物线的解析式即可求出*n*；
（2）先利用待定系数法求出直线*AB*的解析式，由点*P*（*m*，0），则点*M、N*的坐标可得，于是*MN*的长可用含*m*的代数式表示，由*MN*=3可得关于*m*的方程，解方程即可求出*m*的值；
（3）①易求出平移后直线*CD*的解析式，进而可得点*C*坐标，然后利用待定系数法分别求出直线*AC*和直线*NC*的解析式，设直线*MN*交*AC*于点*F*，过点*B*作*BE*⊥*x*轴交直线*NC*于点*E*，如图2，然后即可用含*m*的代数式表示出和，由可得关于*m*的方程，解方程即可求出*m*，进一步即可求出结果；
②当旋转后点*F*在点*C*左侧时，过点*B*作*BQ*⊥*x*轴于点*Q*，过点*M*作*GH*∥*x*轴，作*AG*⊥*GH*于点*G*，作*FH*⊥*GH*于点*H*，交*x*轴于点*K*，如图3，根据直线*AB*的特点和旋转的性质可得△*AMG*和△*FMH*是全等的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得*FK*=2，由条件，根据角的和差和平行线的性质可得∠*AOD*=∠*CFK*，然后根据两个角的正切相等即可求出*CK*的长，于是可得点*F*的坐标，进而可求出直线*OF*的解析式，进一步即可求出直线*OF*与抛物线交点的横坐标；当旋转后点*F*在点*C*右侧时，易得满足的点*F*不存在，从而可得答案．
【详解】解：（1）把代入抛物线，得，解得：*b*=1，
∴抛物线的解析式是：，
∵点在抛物线上，
∴，
故答案为：1，﹣2；
（2）设直线的解析式是，把点、两点代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式是，
如图1，∵点*P*（*m*，0），∴点*M*（*m*，﹣*m*+1）、*N*（*m*，），
当点在点的上方时，则 ，
当时，，解得：*m*=0或2；
（3）①直线向上平移4个单位长度后的解析式为，
∴点*C、D*的坐标分别是（5，0）、（0，5），
则由、*C*（5，0）可得直线*AC*的解析式为，
由*N*（*m*，）、*C*（5，0）可得直线*NC*的解析式为，
设直线*MN*交*AC*于点*F*，过点*B*作*BE*⊥*x*轴交直线*NC*于点*E*，如图2，
当*x*=3时，，∴点*E*（3，），
∴，，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
由于当时，，
此时点*N*在直线*AC*的下方，故舍去；
当时，，；
∴存在，使，且此时，；
②当旋转后点*F*在点*C*左侧时，过点*B*作*BQ*⊥*x*轴于点*Q*，过点*M*作*GH*∥*x*轴，作*AG*⊥*GH*于点*G*，作*FH*⊥*GH*于点*H*，交*x*轴于点*K*，如图3，
∵直线*AB*的解析式为，
∴∠*AMG*=45°，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴∠*AMF*=90°，*MA=MF*，
∴△*AMG*和△*FMH*是全等的两个等腰直角三角形，
∴*AG=GM=MH=FH=m*+1，
∵*M*（*m*，﹣*m*+1），
∴*KH=PM=m*－1，
∴*FK*=（*m*+1）－（*m*－1）=2，
∵，∠*FBA*=∠*QBA*+∠*QBF*=45°+∠*QBF*，
∴45°+∠*QBF*+∠*AOD*－∠*BFC*=45°，
∴∠*QBF*+∠*AOD*=∠*BFC*=∠*BFK*+∠*CFK*，
∵*FK*∥*BQ*，∴∠*QBF* =∠*BFK*，
∴∠*AOD*=∠*CFK*，
∴，
∴，*OK*=4，
∴点*F*的坐标是（4，2），
∴直线*OF*的解析式是，
解方程：，得；
当旋转后点*F*在点*C*右侧时，满足的点*F*不存在；
综上，直线与该二次函数图象交点的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
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**北师大版小学一年级下册数学第四单元《有趣的图形------动手做（一）》同步检测1（附答案）**
一、折一折，剪一剪，拼一拼。来源：www.bcjy123.com/tiku/
你还能拼出什么图形？请画一画。
二、填空。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、 [ ]{.underline} 号和 [ ]{.underline} 号图形可以拼成" "。
2、 [ ]{.underline} 号、 [ ]{.underline} 号和 [ ]{.underline} 号图形可以拼成" "。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、小动物拼图。
1、小猴和小兔拿的两个图形可以拼成一个（ ）。
2、小老虎和（ ）拿的两个图形可以拼成一个正方形。
3、小犀（xī）牛和小羊拿的两个图形可以拼成一个（ ）。
四、在下面的方格里设计一个用组成的图形。
五、
六、先说出下面拼出的是什么，它是由哪些图形组成的，再照样子分一分，画一画。
七、把"七一"两字剪成一刀，拼成一个正方形。
**部分答案：**
1. 提示：此题的答案不唯一。例如：还能拼出：
二、1、②⑥ 2、⑤⑥⑦
三、1、正方形或三角形、平行四边形
2、小狗
3、正方形 提示：拼图方法如下：
（1） （2） （3）
五、提示：剪法、拼法如下：
六、是只猫。由三角形和长方形组成的。画图略。
七、提示：剪法和拼法如下：
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）**
**数 学（理工农医类）**
**参考答案**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。**
11．
12．
13．
14．（1）（2）
15．，32
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
16．（本小题满分12分）
解：（I）由题设知
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）。
所以
当为偶数时，，
当为奇数时，
（II）
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）
17．（本小题满分12分）
解：任选1名下岗人员，记"该人参加过财会培训"为事件，"该人参加过计算机培训"为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）**解法一：**任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
**解法二：**任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是
-- ------- ------- --------- -------
0 1 2 3
0.001 0.027 0\. 243 0.729
-- ------- ------- --------- -------
的期望是
（或的期望是）
18．（本小题满分12分）
> 解：**解法一：**（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面
（II）过点作于点，连结
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，故
> 因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形
由题设，，，则所以，，
，
因为平面，，所以平面，从而
故，
又，由得
故
即直线与平面所成的角是
> **解法二：**
>
> 
>
> （I）因为平面平面，平面平面，，
>
> 平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，
，，相关各点的坐标分别是，
，，
所以，
设是平面的一个法向量，
由得故可取
过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上
因为，所以，
设（），由，解得，
所以
设和平面所成的角是，则
故直线与平面所成的角是
19．（本小题满分12分）
解：（I）如图，
，，，
由三垂线定理逆定理知，，所以是
山坡与所成二面角的平面角，则，
设，．则
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
则，由，得
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数
故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元
（III）**解法一：**不存在这样的点，
事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与
之间，故可设位于与之间，且=，，
，总造价为万元，则．类似于（I）、
（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
**解法二：**同解法一得
当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一。
20．（本小题满分12分）
解：由条件知，，设，．
**解法一：**
（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为
当不与轴垂直时，，即
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即
将代入上式，化简得
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程
所以点的轨迹方程是
（II）假设在轴上存在定点，使为常数
当不与轴垂直时，设直线的方程是
代入有
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
因为是与无关的常数，所以，即，此时=
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时
故在轴上存在定点，使为常数
**解法二：**
（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是
代入有
则是上述方程的两个实根，所以
由①②③得.........................................................④
..............................................................................⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得。
当时，点的坐标为，满足上述方程
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程。
故点的轨迹方程是。
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，。
以上同解法一的（II）。
21．（本小题满分13分）
解：（I）当时，由已知得
因为，所以 ......①
于是 ......②
由②－①得 ......③
于是 ......④
由④－③得， ...... ⑤
所以，即数列是常数数列
（II）由①有，所以．由③有，，所以，
而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立。
且
即所求的取值集合是
（III）解法一：弦的斜率为
任取，设函数，则
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，所以在和上都是增函数
由（II）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以
取，因为，所以
所以，即弦的斜率随单调递增
解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以：
，
故，即弦的斜率随单调递增。
| 1 | |
**基础方阵**
1. 学生站成一个方阵，这个方阵的最外面一层共有66人，那么最外层每边有多少人？
2. 若干名同学站成一个方阵，这个方阵的最外面一层共有40人，那么最外层每边有多少人？
3. 一个方阵，最外面一层共有32人，如果让这个方阵增加一行一列，一共需要增加多少人？
4、在一个方阵中，外面一层共有12人，如果让这个方阵增加一行一列，一共需要增加多少人?
5、在一个方阵中，如果让这个方阵增加一行一列，一共需要增加27，请问原方阵一共多少人？
| 1 | |
**《高中数学课程标准》**
（第二稿）
** 前 言**
2000年6月《高中数学课程标准》（以下简称《标准》）研制工作开始启动。研制组认真学习国家教育部《基础教育课程改革指导纲要》等文件，对世界上主要发达国家的数学课程标准进行了比较研究，认真分析了国内高中数学课程实施状况以及高中生的数学学习心理，对社会需求进行了广泛的调研，听取了数学界、教育界以及相关学科专家的意见，经过反复研究和讨论，确立了本标准制定的基本理念，设计了《标准》的基本框架和主要内容。
高中阶段是与九年义务教育相衔接的高一级基础教育。《标准》根据时代特点,渗透算法思想，加入二阶矩阵与向量变换、重视直观几何以及数学建模、要求对高中数学课程进行了新的设计。在保持我国数学教育的优良传统的同时，力求改变目前基础教育中"繁、难、偏、旧"的状况在数学教学中的反映。
《标准》在高一设必修课。 高二、高三分别设置不同要求、内容各有侧重的A、B、C、D四类选修系列课程， 为学生提供了多种选择。其中A 系列由基础性内容以及拓展性、挑战性的数学内容所组成。 B系列的内容与自然科学的联系较为密切。 C 系列则侧重与社会人文科学的联系。 D 系列主要涉及人类文明、以及日常生活中有关的数学问题。
《标准》的数学内容与过去相比有重大变化。加入了一些新内容，例如，渗数学探究、数学文化等专题；对微积分、概率统计进行了新的设计和整合。原有的内容如解析几何、立体几何、三角恒等变形等将在整合中适当精简。在此基础上，A系列课程将着重学生的探究、阅读、表达能力的培养，不追求与大学相重叠的新内容。C系列注重扩大人文科学的视野，加强数学意识的培养。各个系列都注重发展学生创新精神、应用意识和实践能力，渗透了新的数学课程理念。
以上课程设计， 经过了大量的国际比较（见附录）以及对我国数学教育传统的分析思考。在内容要求上， 本《标准》与高中已普及的美国、日本大致持平，但仍低于法、德、俄等国的一些高中的水平。
**目录**
第一部分 高中数学课程的总体构想
一、《高中数学课程标准》设计的基本理念
二、 高中数学课程的基本框架
三、 课程内容的构成
四、 高中数学课程内容处理的新认识
五、 高中数学课程国际比较
第二部分 高中一年级"数学必修部分"的课程标准
> 1. 前言
>
> 2. 《数学必修部分》课程标准
>
> 3. 附录
第三部分 《高中数学》B 系列课程标准
> 1\. 前言
>
> 2."高中数学"B系列课程标准
>
> 3. 附录
第四部分 数学A、数学C系列的基本框架
1. 数学A系列课程标准的基本框架
> **二、 ** 数学C系列课程标准的基本框架
**第一部分。 高中数学课程的总体构想**
**一、《标准》的基本理念**
本《标准》的设计， 从国际比较出发，力图剖析我国数学教育发展的历史与现状， 从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展等各个方面综合思考， 形成了以下 的基本理念。
1. **为21世纪我国公民提供必要的数学基础。**
高中教育属于基础教育阶段。 高中数学课程， 应当在义务教育阶段之后，为我国公民的未来需要提供更高水平的数学基础，以适应终身学习的需要。 与此同时， 力求和高一级学校的数学需求走向相一致。 我国数学教育历来有重视"双基"（基础知识与基本技能）的传统， 应当在此基础上进一步发展， 形成符合时代要求的新的"双基"。
**2． 高中数学课程应当具有多样性与选择性。**
与义务教育阶段不同， 高中数学应当具有多样性， 以供不同的学生进行选择。 必修课的内容是人人都必要的、对自身发展有价值的、经过努力能学好的数学。 与此同时，不同的人在数学上可以得到不同的发展。
《标准》为学生提供多层次、多种类的选择。 学生可以在指导下自主选择。选择以后经过努力可以转换、调整， 具有一定的灵活性。选择性可以促进学生的个性发展， 为规划自己的人生道路提供条件。
3.学生需要接受人类积累的知识， 并发挥学习的主观能动性， 形成正确的、多样的学习方式。 本《标准》设立"数学探究"、"数学建模"、"数学阅读"、"数学活动"等专题课程， 激发学生的数学学习兴趣，形成"批判性"的思维习惯， 逐步形成积极主动的学习方式。
> **4."打好基础"与"力求创新"的关系**
基础与创新是**正确处理**学习过程中不可或缺的两个方面。 既要打好基础，又要发展创新的潜能。 基础需要"与时俱进"， 不断整合。 创新需要为学生提供提出问题、独立思考和实践的空间。
> **5． 发展学生的数学应用意识，培养学生的数学建模能力**
20世纪下半叶以来， 数学最大的发展是应用。 计算机技术的广泛使用，
使得"数学从社会的幕后走到台前"，在某些方面直接为社会创造价值。 因此， 高中数学在数学应用和数学实践方面需要大力加强。 数学课程要突出知识的"来龙去脉"。与此同时， 单独设立"数学建模"的专题课程，设立"数学与日常生活相联系"的D系列课程，以及与社会人文科学相联系的系列课程等。
> **6． 返朴归真， 避免过度的形式化**
形式化是数学的基本特征之一， 但是数学的现代发展表明， 全盘形式化是不可能的。 数学正在走出"布尔巴基"的形式化光圈。 在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。但是， 数学不能过度地形式化， 将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里。 因此， 应该"返朴归真"， 揭示数学的本质，"要推理，更要讲道理"，通过典型例子的分析，理解数学概念和方法。 追寻数学发展的历史足迹， 把形式化的数学形态转化为学生易于接受的教育形态。
> **7． 提高学生的数学思维能力。**
培养理性思维能力， 是培养学生社会责任感、学会批判思考的基本环节。 数学思维能力在其中起着独特的作用。 数量感觉与判断、数据收集与分析、归纳猜想与合情推理、 逻辑思考与严密证明、 数学表示与数学交流等等， 都是其他科学所不能或者难以培养的思维品质。 但是， 我国数学教学中常常可见"数学 = 逻辑"的观点， 使得数学成了干巴巴逻辑链条。课程中应当体现数学思维能力的培养。
8**．突出数学的人文价值。**
> 数学是全人类的共同财富，也是21世纪公民必备的科学、文化素养。 应当
通过介绍数学发展的历史，了解数学在人类思想发展中的作用， 包括了解数学在推动当代社会发展中的社会价值。在整个数学教学中， 都要注意体现数学的社会需要， 数学家的创新精神， 数学科学的重大作用， 数学的美学价值，逐步形成正确数学观， 并使之成为正确世界观的一部分。 值得注意的是：数学既能体现辨证唯物主义精神， 也可能因单纯强调形式逻辑而走向形而上学。
**9．注重信息技术与 数学课程内容的整合。**
信息技术必然对数学教学产生深刻影响。我们不仅应重视利用信息技术来呈现课程内容，更应重视信息技术与课程内容的有机整合。本《标准》 要求普遍使用科学型计算器， 以及各种数学教育平台。 特别是以统计（数据处理）作为整合的突破口，加强数学与信息技术的结合。 在内容上， 突出"算法"在整个数学发展中的独特作用， 成为理解数学发展的重要线索， 力求把算法溶入到数学课程的各相关部分。
**10． 寻求合理、科学的评价机制。**
数学课程的重大改变必将引起评价体系的深刻变化。 采用"单一的一次性笔试、按高分到低分"的评价方法，排列学生的智力顺序，其实是不够公平的。我们希望采用多样化的评价手段，改造当前的高考命题理论：减少题量，增加应用问题的数量， 提高高考命题的能力立意，口试与笔试结合；证书制度；过程性评价制度；推荐制度等。
**二、《标准》的基本框架**
1. 基本框架如下图所示。
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2、关于框架的说明。
（1） 基本数学。
基本数学为高中必修课程，基本数学为4学分，每个高中毕业生必须获得基础数学的4学分（1学分换算为学时表示1学年周学时1）。
（2）四个发展系列及其学分。
数学D系列 ------ 侧重于与日常生活相联系的数学， 以及数学在人类文明中的作用。 在获得基本数学4学分的基础上，再选修2学分的数学。既数学D走向的学分为：4 +（2）
数学C系列------ 侧重于和社会人文科学联系密切的数学内容。 要获得基本数学的4学分和C系列主干课的3学分，并选修2.5学分的选修数学。即数学C走向的学分为：4 + 3 +（2.5）
数学B系列------ 侧重于和自然科学和工程技术有密切联系的数学内容。要获得基本数学的4学分和B系列必修数学的7学分，并选修2学分的数学。即数学B走向的学分为：4 + 4 + 3 +（2）
数学A系列------ 由基础数学和应用数学中的拓展性、挑战性课题所组成。 要获得基本数学的4学分和B系列必修数学的7学分，并选修4学分的数学。即数学A走向的学分为：4 + 4 + 3 +（4）
四个定向选修系列中，A、B、C三个系列的内容由主干课和选修两部分构成，D系列的内容由选修部分构成。选修内容包括前面课程内容的扩充、基本数学方法、实践类、数学前沿介绍、生活数学、消费数学、趣味数学、数学文化等专题。
（3）课程框架的操作性。
学区或学校可以根据实际情况，确定选修课的内容；可以根据课程标准对内容顺序的建议，重新编排课程实施框架；可以将选修课与其他必修课整合成新的模块；可以根据学生的情况，设定不同的课程组合；学生可以根据自己的情况，选择不同的课程学习方式。
（4）课程评价的设想。
设想两种不同的方案：
第一种方案： 国家对大学所有专业的数学要求分为A、B、C 、D四类， 分别对应的数学A、B、C、D课程系列，并在高考前向全社会公布。学生在报考某一专业时，必须进行相应系列课程的考试。
第二种方案：数学A不设高考试卷。由国家或至少省一级教育部门在高考前组织只有客观题的专项考试，通过者可获得证书，大学某些专业可以以此作为优先录取的参考。
这两种方案各有利弊，研制组还将就这一问题专门设立子课题进行深入研究。
高中数学课程框架方案二（供讨论）
**一、模块**
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**二、各模块内容说明**
**基本数学：**内容包括集合，函数，数列，算法，解三角形，圆与直线，
点线面关系，立体图形，统计，概率，数学探究，数学文化。
**数学I：** 内容包括计数，不等式，解析几何，常用逻辑用语，逻辑框
图。数学I强调与自然科学，工程技术的联系，问题提出与
应用举例等侧重于自然科学，工程技术方面。
**数学II：** 内容包括计数，不等式，解析几何，常用逻辑用语，逻辑框
图。数学II强调与人文，社会科学的联系，问题提出与应用
举例侧重于人文，社会科学方面，要求比数学I较低。
**数学III：** 内容包括生活数学，消费数学，趣味数学等。数学III强调趣
味性及与日常生活的联系，内容侧重于数学在日常生活，文
艺，体育等学科领域中的应用。
**统计（一）：**内容包括事件的独立性，离散性随机变量分布列及肺癌
与吸烟的关系、估计池塘中鱼的总量、质量控制------
假设检验基本思想、试验设计初步等四种统计模型。
**统计（二）：**内容包括：1、群体信息中数据欺诈和滥用，2、正态分布及
应用，3、生产过程中的质量控制图------假设检验，4、儿
童身高均值的估计，5、估计池塘中鱼的总量------极太似然
估计，6、税收额的预测------非线性回归，7、试验设计等7
个统计专题。学生可从中选择4个学习。统计（二）不涉
及概率的内容。
**微积分（一）：**主要包括导数的背景，在初等函数性质研究中的应用以
及面积和积分。
**微积分（二）：**主要包括初等微积分的基本思想方法，在处理方式上主
要以直观描述为主。
**几 何：** 包括空间向量与立体几何；平面向量与三角。
**逻辑与证明：**包括逻辑推理，分类，证明，公理化方法。
**数学与应用（一）：**倾向于与自然科学和工程技术相关的数学应用的内容。
**数学与应用（二）：**包括函数与方程模型，矩阵及其应用，统计调查，
倾向于人文社科类例子。
**数学与文化：**包括密码与生活，几何与美术，混沌与分形，悖论无限，
> 《红楼梦》作者考证等等。学生可以从中选择若干专题学习。
**高级数学：** 包括四个类型的专题：①数学知识的扩展。②体现数学基本
思想方法的内容。③实践类。④数学前沿介绍。内容侧重于
数理科学方面。
三、建议
1．将来从事艺术，体育专业或高中毕业直接就业的学生建议在基本数学的基础上选数学III（也可选数学II），获得3个学分，并从数学与文化中选若干专题，获得1个学分。
2．将来从事人文社科类专业的学生建议在基本数学的基础上选数学II（也可选数学I）、统计（二）、微积分（二）、逻辑与证明、数学与应用（二）、数学与文化的若干专题，获得相应学分。
3．将来从事自然科学，工程技术专业的学生建议在基本数学的基础上必选数学I，统计（一）、微积分（一）、几何、数学与应用（一）、数学与文化的若干专题，获得相应学分。
4．将来从事数理学科或对数学要求较高的专业的学生建议在基本数学的基础上必选数学I、统计（一）、几何、数学与应用（一）、数学与文化、高级数学，获得相应学分。
**四、说明**
在学习过程中，可以用较高要求的模块代替较低要求的模块。如：可以用微积分（一）代替微积分（二）。
**五、学分估计及选择的可能结果举例**
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| 数学与文化（3学分） |
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| 数学与应用（一）（2学分） |
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| 几何（4学分） |
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| 微积分（一）（2学分） |
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| 统计（一）（2学分） |
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| 数学I（4学分） |
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| 基本数学（8学分） |
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**三、高中数学课程内容的构成**
**（一）基本数学（共同必修课）**
其内容为：集合；函数；数列；算法；解三角形；圆与直线；点线面关系；立体图形；统计；概率；数学建模；数学探究；数学文化。
**（二）数学A、B、C、D系列内容的初步设想**
A、B、C、D四个系列是在修完 "基本数学"之后的定向选修课程，其内容如下。
**1．B系列**
常用逻辑用语；平面向量与三角恒等变换；解析几何（直线与二次曲线）；不等式（含平面区域表示、线性规划的简单应用）；向量空间与立体几何；计数的基本原理及其应用（含二项式定理）；离散随机变量与分布；四个典型统计模型；导数与初等函数性质研究；算法（渗透在其它相关部分）；数学建模；数学探究；数学文化。
**2．A系列**
在B系列主干课之后设大约4学分的专题形式的学习内容，旨在进一步培养学生的阅读、探究、讨论、写作、创新和实践的能力。知识面可以拓宽，但不求深入，例如不搞微积分ε---δ 语言训练。各专题尽量做到相对完整，学生可接受，同时又留有充分的思维空间，以激发学生对数学真理的追求。这些专题设想如下。
第一类：作为B系列相关内容的直接扩展。如复数与几何应用，数列与差分，矩阵与平面几何变换等。
第二类：体现数学基本思想方法的内容。如连分数与逼近，数学归纳法，中国剩余定理（含拉格朗日插值和一般解与特殊解的关系），决策与风险案例等。
第三类：实践类。如优选与统筹，正交表与试验设计，层次分析，聚类分析，软件等。
第四类：数学前沿介绍。如分形与混沌，编码与密码，纽结理论，P=NP算法复杂性等。
这4类专题的教学方式应当有讲授为主、阅读为主、操作为主的三种类型。
**3．C系列**
C系列主要由以下三部分内容构成**。**
（1）体现基本数学方法的内容
常用逻辑用语（包括命题表述、量词、否定）；函数与图象；解析几何；不等式；几何学和美术（比例、透视、图形、图形拼接）；矩阵与平面图形变换；初等微积分的基本思想方法（直观描述）；计数问题；统计模型。
（2）体现理性思维的内容
归纳推理的作用；几何直观的价值；证明的种类（数学证明的意义，数学论证方法的回顾）；逻辑框图的制作（把问题解决的方案逻辑化、框图化）；公理化思想的学习与欣赏；公理化体系的形成。
（3）体现数学文化的内容
数学在人类进步中的作用；古希腊数学理性思维的胜利；中国传统数学的认识；当代中国数学；从勾股定理到费马定理；数理统计方法；《红楼梦》的作者的考证；数学与政治、军事、经济的关系；数学文化（在哲学、历史学、法学中的应用）；计算机时代的数学。
**4．D系列**
D系列的内容为选修专题。主要包括生活数学，消费数学，趣味数学，数学文化，以及A、B、C系列的任何内容等。
***注：B系列和 C系列的主干课程有一个学分的差异， 而且在选材和举例方面也会有所不同。 但是课程主干内容雷同，包括逻辑用语， 解析几何， 不等式， 计数，概率， 统计等。 因此， 经过一些努力，二者之间可以互相切换。 由此保证学生有多次选择、和更换选择的可能性。***
** **
**四、高中数学课程内容取舍、处理的新认识**
** **
在《标准》研制过程中，研制组提出了一些有关高中数学课程的新观点、新视角、新认识。以下的一些看法力图反映现代数学的进展、社会进步对中学数学的要求。研制组认为可以作为制定《标准》的部分出发点和基础。
> （一） **关于数学科学和数学教育的一些基本认识**
在世纪之交， 我国《高中数学课程标准》开始启动。 新的时代、新的国际环境、新的改革机遇， 都预示着这项工作将是一场深刻的变革。 因此， 我们必须首先更新观念， 理清基本思路。
> 1． 认清高中数学教育面临的社会环境，数学课程改革是必由之路。
（1） 在20世纪末， 我国高中数学课程仍然基本上维持着1960年代的格局， 其基本理念则来自1950年代的苏联。 一方面，崇尚公理化演绎体系， 讲究严格论证和逻辑推理，学生有比较扎实的基础。 另一方面， 数学内容脱离现实，缺少和日常生活的联系， 过分强调抽象而很少注意趣味性、可读性， 不使用信息技术。半个多世纪以来， 社会发生了巨大变化， 高中数学课程内容缺少变化， 已经出现"繁、难、偏、旧"的现象。
（2）人类进入信息时代，信息技术的蓬勃发展，使得数学教学内容产生变化。 计算器、计算机、互联网、多媒体技术的使用，正在改变"一张纸、一枝笔、一个脑袋"的数学工作格局。数学课程的内容应当包括"如何使用计算技术学习和研究数学"的内容。 一些公式的记忆、复杂的计算、繁重的演算， 应当通过驾驭计算机技术达到 目的。 正如人应当能走路， 但随着时代的进步，学会驾驶汽车成为生活的必需。 如果说， 我国现在教学条件，还不能使每个学生都能用上计算机， 那么至少可以做到："让一部分学生先用起来！"
（3） 社会发生了深刻的变化， 对数学课程提出了新的要求。
我国改革开放20年来， 经济迅速发展，人民生活水平提高， 社会面貌变化很大。别的不说， 每周5天工作制， 就直接影响到数学课程的设置。 一方面是学时的压缩， 另一方面却是数学内容的膨胀。 矛盾尖锐地摆在我们的面前。 普通高中扩大招生， 反映了社会的需求， 预示着大众数学教育时代的到来。 高中数学课程不能再以"培养数学家"的标准进行设计， 而应为各行各业的人才提供优良的基本数学素质的教育。
2． 数学发展进入了新的历史时期， 数学观正在经历深刻的改变。
（1） 20世纪下半叶， 数学最大的变化是应用。 数学已经不仅是训练思维的载体， 或者为其他学科进行表述的工具， 数学本身就是一种可以直接产生经济效益的技术。 应该说， 数学理论和数学技术的结合， 使数学的作用获得前所未有的扩大和加深。核心数学依然强劲， 应用数学屡建奇功。 数学已从社会的"幕后"走到了"台前"。
在1949年以前， 我国处于半封建、半殖民地社会， 生产力低下， 没有应用数学赖以生存的土壤。 因此， 我国数学研究的强项斗箕终于纯粹数学。 解放以后， 这种情况有了很大的改变， 但是应用数学的发展仍然相对滞后。 数学和计算机技术的结合， 只是1990年代才受到广泛重视。 这一切， 使得高中数学课程一直维持"纯而又纯"的局面， 数学和其他学科的结合、数学与日常经济生活的联系， 都非常薄弱。 以至许多人认为， 基础教育阶段的数学不必谈应用， 数学应用是高中毕业以后的事。基于上述原因， 在《高中数学课程标准》中系统地安排"数学建模"的单元系列， 就会很有必要了。
（2） 我国的数学教育工作者， 受"形式主义"学派数学观的影响很大。 一般认为，人类的数学文明有四个高峰：古希腊数学文明； 17世纪以牛顿为代表的微积分文明； 19世纪以 希尔伯特为代表的形式主义、公理主义学派； 20世纪中叶计算机时代的数学应用时期。 我国的中学数学课程， 其指导思想多半还停留在第三个时期， 比较强调数学抽象、演绎、形式化的一面（这当然也是必要的）。 但是，课程必须反映时代的进步， 如何将第四个高峰时期的数学观念整合进中学数学课程， 是一项迫切的任务。例如，加强计算，求方程的近似根， 特别是把"算法"思想列为"高中数学课程"的一条主线， 看来并非多余。
（3） 数学是一种人类社会进步过程中产生的文化现象。 数学是人们认识世界的产物， 和社会发展有密不可分的关系。 数学是人根据经验创立的， 在发展过程中难免会有错误， 例如牛顿微积分就并不严格。数学的原始创造， 并不是严密的逻辑展开， 而是生动活泼的思考过程。 作为中学数学课程， 必须适当地揭示数学进步的历史动因、社会背景、以及人文精神。 过去我国的数学课程，比较形式化， 较少注意到数学的文化层面。 往往把"火热的思考变成了冰冷的美丽"。 事实上， 数学要讲推理， 更要讲道理。数学必须形式化，而过度的形式化是不好的。 在这个意义上说，应该提倡"淡化形式、注重实质"。
因此， 在 高中数学课程设立"数学文化"单元系列， 也是题中应有之义。
（4）数学的内容、思想、方法和语言已成为人类文化的重要组成部分。
3．数学本身的发展呼唤数学课程的改革
进入20世纪中期以来，数学发生了很大的变化，新的学科层出不穷，学科之间的交叉与渗透，不但使每一个分支都取得了很大的进展，也推动了数学的整体发展。数学与其外部的联系日渐增强，一方面，数学几乎渗透到了所有学科，对社会、尤其是对信息技术的发展发挥了极大的作用。越来越多的人认识到"数学正在从幕后走向台前"，"高科技的本质是数学技术"；另一方面，科学技术与社会的发展也促进了数学的发展。经济学、医学、军事、计算机科学等其他领域所提出的问题也成为数学进展的动力，信息论、运筹学、模糊数学、分形等分支应运而生，经济数学、生物数学等扩充了应用数学的研究领域。教育的目的是为当代和未来社会培养人才，学校数学课程不可能脱离数学本身的发展变化，而应当对数学现实作出反映，适应数学发展的需要。
4． 树立动态的"基础"观， 研究并形成新的"高中数学基础"
中国数学教育的长处在于有扎实的"双基"---基础知识， 基本技能。 如何保持发扬这一传统，在新时期加以改进和发展， 当是《高中课程标准》必须解决的一个重要认识问题。
（1） 首先， 基础的时代的产物。 高中数学课程中的"基础"是随着时代的进步而变化的。当年的科举时代， 一个读书人的基础是：写一手漂亮的毛笔字， 能背诵四书五经， 会按严格套路做八股文。到五四新文化运动以后， 大家就都学白话文、 数理化了。 解放前， 初中学生必须会证明"西摩松线"、"九点圆"， 那是当时的数学基础。我们今日 强调的数学基础， 未必都适合未来的需要。例如，著名的"三垂线定理"， 处于立体几何的核心， 在我国是基础。 未来是否还必定是基础？ 欧美各国把数据处理作为重要基础， 三垂线定理早已不见于数学教材， 可见数学基础的认识， 并非一成不变的。 以打基础为名拒绝课程内容的变动， 更不足取。当然， 我们的课程标准必须保证有足够的数学练习。 数学是要"做"的， 我们相信熟能生巧。只是我们应该适时地更新"数学基础"的内容， 练习今后有用的数学技能。其中， 缺乏"基础"的创新是空想， 没有创新的打基础是傻练。 基础并非越厚越好，应该是能够满足创新的需要为合适。 不然的话， 花岗岩筑成的厚基础上搭一间茅草房， 岂不浪费？ 基础达到一定程度， 再跳一跳能把果子摘下来， 就行了。有种意见认为， 中小学生主要是打基础， 创新是以后的事。 实际上， 学习创新， 体验创新， 本身就是基础的一部分。 盲目地打基础， 会浪费学生的青春， 甚至养成一种"靠基础吃饭"的打工仔心理。 不思进取， 不想创新， 中国学生如何到国际赛场上去竞争？ 以高中数学而言， 设置探究性课题学习， 提倡质疑， 善于反思，乐于发问，给学生以发展数学思维的空间， 实在是一项"基础性"的工作。
（3） 基础需要不断地整合， 通过删繁就简、去芜存精、渗透穿插， 把新内容和旧知识有机结合起来。 学生学习数学的时间很有限，是一个无法增加的定数。 但是， 数学知识与日俱增， 甚至发生"知识爆炸"。 这样下去， 一万年以后怎么办？ 自然要把数学知识从整体上加以挑选， 用高观点加以整合， 形成哪个时代的基础。例如， "算法分析"、"数学建模"、"变换几何"、"直观几何"等等必然会和原来的基础进行整合， 溶入新的基础。 人的胚胎发育，10个月经历了从鱼到哺乳动物的漫长进化过程， 数学课程的基础也是如此。 平面几何、立体几何在未来的数学基础中还会存在， 但是不会再是原先的模样了。
（4） "代数运算的熟练"和"逻辑推理的严谨"仍然是我国"双基"数学教育的两个基本点。 此外归纳、猜想、创新的思维方式、 广阔的数学视野、 信息技术手段的运用， 都应该是"新双基"的有机组成部分。 数学"双基"， 也有为数学家准备的双基和为一般人准备的双基之分。不能过分地要求一般人不需要的"熟练"和"严谨"。 这样， 只会吓退许多不喜欢数学的人， 使数学教学孤立起来。
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5． 高中数学课程要有利于改善学生的学习方式
高中数学课程要有利于学生学习方式的改善，不仅应使学生掌握一些基本的数学结论，更重要的是要让学生理解数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体背景中形成的，结论是怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，而且在有了结论之后，还应该理解结论的作用和意义，即要体现数学结论的来龙去脉。
数学建模是改善学生学习方式的突破口，是体现数学解决问题和数学思维过程的最好的载体之一。通过"从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，"回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际"这一过程，培养了学生的创新精神和实践能力。
大量使用现代数学技术。 科学型计算器将大量使用。 图形计算器CBL的混合使用将有助于动手能力和数学意识的形成。计算机软件必须应用， 直观几何、几何变换、函数图象、函数库、集合图形库、网络查询等都是课程必须研究解决的。
数学文化课程内容是新内容， 这将扩大学生的视野， 形成良好的数学观念， 具备欣赏数学美的能力，提高数学创新意识， 并借此加强数学课程的德育功能。
在数学A系列中， 我们强调学生要会阅读数学材料、倡导"讨论班"式的研究， 开展创新性的数学活动。 教师不必讲得太多。 这种设计的初衷， 也是为了改变学生的学习方式。
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**（二） 若干具体处理**
1．课程内容增加了"数学建模"、"探究性课题"、"数学文化"三个模块，为学生提供了更广阔的发展空间，也为改变学生的学习方式提供了素材。
> 2．课程要反映信息时代对数学教育的推动。
●计算机科学与中学数学相结合。如，画逻辑框图、用符号表示数学内容、用计算机语言表达数学、用程序和算法表示数学，计算机程序语言"if...,then..."等，应在数学课程中出现。
●算法作为计算机技术的重要理论基础，渗透贯穿于所有相关的数学内容之中。算法的概念、有限的排序算法、关于"图"的算法、无限的迭代算法，应当进入中学。这是时代赋予我们的任务。
●计算机、计算器要在许多地方大量使用。例如，通过计算器操作，理解"指数爆炸"，计算立体图形的夹角、距离，计算古典概率和进行数据处理；用计算机演示立体图形、函数变化，以及进行符号操作、求方程的近似解等。在学习原理和算法规则时，应该停止使用计算机和计算器。
科学型计算器进考场、计算机演示进课堂、有条件的学校争取上网，这是最基本的目标。
3．高中学习一点平面几何，在解放前和国外都是常见的。我们认为，以圆和直线为素材编制题目，使学生通过适当的几何证明，体验"由因导果"的综合法和"执果索因"的分析法的理性思维方式，对于培养具有较高素质的国民是必要的。这样的定位，不致无限扩大几何证明。
4．对于矩阵的价值，如果用来解二元或三元联立方程，那是"杀鸡用牛刀"，学生会认为多此一举。如果先引入平面向量，将矩阵与向量的几何变换相联系，则直观有用。再用两种商品、两个顾客的例子，说明矩阵的广泛应用价值，由此扩展到三维向量，甚至到n维空间，打破n维空间的神秘性，也是可取的。在阅读材料或"数学文化"中，介绍矩阵表示图象，以及在放大和信息传输中的应用，也可以扩大视野、开阔思路。
5．立体几何部分遵循"直观感知------ 操作确认 ------ 思辩论证 ------ 度量计算"四个层次的认识过程展开。其中，三视图不是应用，而是先导。立体图形的性质必须用精确语言表达，但面对直观浅近的结论进行严密的论证，是脱离了基础教育的要求的。用向量方法进行论证和计算，应是顺理成章、一举两得的事。
6． "集合"只作为语言使用。属于、并、交等符号有利于表达，但无须介绍集合运算的诸多公式。这里没有集合论，仅仅是集合语言而已，不要说得玄乎。真正涉及"无限"的集合论，可以在"数学文化"中涉及，如Hilbert旅店问题、整数和偶数一样多的问题等等。这可以引起优秀学生的思考。
7．加强逻辑的内容。虽然我们反复强调要培养学生的逻辑思维能力，实际上学生的表现或效果却不佳。究其原因，实际的、日常语言的逻辑训练太少。尤其是量词"每一个"、"存在一个"的运用缺乏，使逻辑表达能力受到限制。至于引进"数理逻辑"的符号是否有利于教学，需要实践来证实。但可以肯定，真值表之类的形式演算方法，无助于高中学生逻辑思维能力的提高。
8．数列可以看作是函数的特例。在整数坐标的图象上，观察"差分"。如果差分相等，就是等差数列，若前项与后项之比是常数则是等比数列，直观且有新意。
9．重新认识不等式。不等式和等式一样，都是客观事物的基本数量关系。高中数学中不等式的内容应包括两个方面：
解不等式。其几何意义是确定区域，线性规划即基于此。
认识恒不等式。恒不等式与恒等式一样，也是基本素质的一部分。
10．函数是高中数学的核心内容。但是，现行函数的教学也有"为教而教"的现象。学生只是抽象地记忆各种函数及其性质，索然无味。如果将函数教学建立在"为数量变化提供模型"的立意上，内容就会丰富起来。特别是结合计算器的操作，体现"指数爆炸"、"直线上升"、"对数增长"等含义，了解以2为底的对数适合定义信息量的单位"比特"，三角函数是周期性变化的模型等等。函数的教学就将会更贴近学生的实际，引起学习的欲望。
11．微积分内容在我国中学的几出几进，原因是定位不当。大学不欢迎，中学用不上，两边不讨好。《标准》的定位是：
首先，中学微积分侧重于思想，特别是变化率的思想（它是人类思维进步的里程碑）。一上来就是导数、定积分，当需要涉及极限时，只要直观认识即可。这样，大学里还是从极限、连续讲起。中学的铺垫，对大学的学习有利。同时也为不上大学的人提供进一步认识变量思想的机会，接受辩证唯物主义思想的熏陶。
第二，中学讲微积分有助于进一步理解函数的变化。可以从观察一元二次函数图象的切线开始，考察*y*=*x*^2^切线的斜率，判断函数的单调下降、上升和极值。高中阶段也许只考察幂函数的导数就行了（是否扩大到正弦、余弦函数待研究）。这样，就可以用导数求单调区间、求极值、证明不等式。只有用微积分，才能体现它在中学数学里的价值。
12．数据处理。21世纪每个公民所需要知道的数学知识，以数据处理最为突出。人们在工作中、日常生活中，不断受到数据信息的轰炸。广告里的数据频频出现，大部分涉及数据的运用。因此，高中数学基本课程中的概率统计内容的安排，应当是先统计，后概率，展开的线索应是：提出问题、收集数据、整理数据、解释数据、研究数据特征、做出统计判断。学生应当经历这样的全过程。
数据处理是做出来的。不需要学生死背定义，更不能抽去统计思想的内核，把数据处理变成"算术"。数据处理和概率的教学，主要依靠编制事例，提出课题，进行实际问题的处理，不能按照现在大学教科书的体例来教，否则又要烧成夹生饭了。
13．中学的概率统计教学，是中国数学教学的弱点，多年来的忽视，已经酿成苦酒，不得不喝，要从启蒙开始。另一方面，我国的数学教学已经习惯了"形式演绎"的展开，排斥其他的教学方法，什么内容都要从定义出发。讲统计，总是先抽象地定义样本、总体，出黑体字，让学生去背。其实，概率、总体、样本的概念很复杂，对高中学生难以说清，这个时候我们只要描述即可。概率教学主要是培养随机观念。弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻画的，会用随机观点处理随机现象，知道统计结果是概率地呈现的，可能有误差。使学生真正感受到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。
14．方程。过去学习方程，重点是找出用代数式表示的方程的根。这样，高中毕业的学生也就只会解一元二次方程，其他的方程完全不接触。现在有了计算机，各种各样的方程都可以解了。函数、方程和曲线的关系，很容易在计算机或图形计算器上反映出来。虽然看到的是近似解，却是事物的本来面貌。大量地观察函数库、图象库、方程库里的藏品，可以大大扩大学生的视野。
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**五、《高中数学课程标准》的国际调查**
在进入21世纪的时刻， 世界各国都对数学课程标准作了新的研制和修订。 新世纪对发展中的中国，是一次重大的挑战和机遇。 加入WTO和申办奥运成功， 表明中国将越来越和世界接轨， 按照"地球村"的规则办事。 中小学数学课程， 在各种课程中最具"国际可比性"。因此， 我国的《高中数学课程标准》也必需了解世界各国的数学教育改革动向，进行国际比较， 吸取国外的成功经验。 研制组收集了美国、英国、德国、法国、日本、俄罗斯六个国家最新高中数学课程标准（大部分为1999\--2000年的最新材料），委托专家进行了研究比较，并分别译出各国标准的主要部分。 研究工作获得了以下的主要结论。
1. 两种数学课程.。
> 依普通高中的入学率的多少， 各国高中数学课程可分为以下两种类型：
>
> 1．低入学率。 英、法、德、俄等欧洲国家， 学生在初中毕业后
分流， 大多数学生进入职业学校， 少数学生进普通高中。 进入高中基本上就可以读大学， 完全高中实际上相当于大学预科， 课程内容远远超过我国现行大纲。 例如，德国完成普通高中教育的人数占同龄人的20%， 巴伐利亚州通过完全中学考试的人数占同龄人的 18.3% . 英国、法国的情况大体相同。俄国只有大约一半的学生进入10、11年级， 这表明俄罗斯的完全中学毕业生， 在同龄人中所占的比例也会低于50% .
2．高入学率。 以美国、日本为代表的一些国家和地区， 绝大多数学生进入高中， 到大学才实行分流。 美国实行12年义务教育， 日本进入高中的学生在97%以上。由于学生众多， 数学课程的必修内容十分浅显， 而且一降再降。但是， 美国和日本的高中实行学分制， 学区和学校的差别很大，学生的学习差异明显， 优秀学生仍然可以获得数学学术水准很高的教育。
（二） 各国高中课程的选择性
学生进入高中阶段，已经接近"成人"， 需要有更大的数学学习的选择空间。以下是各国数学课程的分流、选修的情况。
1． 德国。 10年级毕业后读11、12、13年级（4个州仅11、12年级）。11年级为共同数学课， 12、13年级则分流为三个系列的数学课程：
● 语言文学艺术类
● 社会科学类
● 自然科学技术类
学生必须从这三个系列中选择一种。
2．法国。 法国高中的学制为3年。 高一为公共数学课。 高二和高三毕业班为选修， 分为3个系列
文学艺术类
经济学和社会科学类
自然科学技术类
学生必须从这三类中选择一种。在技术类还细分为： 社会医学科学（SMS）、 工业科技STI）、实验室科技（STL）、第三产业科技（STT），4． 英国。英国实行到16岁的义务教育， 然后实行两年"第六学级"的高中教育， 也是预科性质。 数学水平为两种：
高级水平（A水平）的课程。 能获得A水平证书的学生只占同龄人的 7 % .
半高级水平（AS水平），内容约为A水平的一半。
持不同证书到不同的大学和系科申请入学。
3． 俄国。 俄罗斯实行9年义务教育， 然后读10、11两个年级
的高中。 入学率约为同龄人的50%. 近年来， 俄罗斯的课程呈现多样化。 有许多地方和组织自行制定课程标准。我们看到的一份国家推荐的俄罗斯的高中数学标准，没有学生的系列选修课， 基本上是统一的大纲。 但在教学中实行A、B两种水平， 由教师掌握。 俄罗斯没有全国统考， 由各大学自行出题考试， 所以实际上有不同的水平要求。
4． 美国。美国的高中是义务教育， 但没有全国统一的教学标
准， 由各州自定， 教材由各学区自选。 因此， 数学教学自然呈现多样性。 美国的民间组织 \-- "全国数学教师协会"（NCTM）\-- 最近发布了《2000数学课程标准》， 影响很大， 但毕竟没有约束力。 这份《标准》只有教学内容及其教学建议， 没有教学时数的规定。值得注意的是， 美国有许多为优秀学生设置的课程。1955年， 美国"教育测试中心"（Educational Test Service）建立了《高级分流计划》（Advanced Placement Program），为高中生提供大学水平的课程。学生通过统一的AP考试，进入大学后可以免修， 承认学分。
AP课程有18门类的33门课程。 其中与数学有关的有：两门
微积分课程， 一门数理统计课程， 两门计算机学课程 。 1999年， 全美国有14，000 所高中参加AP计划， 70万高中生选修该课程。 15万学生参加微积分课程学习， 约10万学生通过考试。
> 5． 日本。
日本实行9年义务教育， 但是实际上每人都进入高中。 因此高中学生的数学水平参差不齐。 2003年准实行的高中数学课程显示出更大的弹性。
高一设必选课， 二者挑一：数学基础或数学I. 高二以后有数学II，数学III， 数学A， 数学B， 数学C等多种选择。 实行学分制。 最少的修完"数学基础"（2学分）即可毕业， 最多的修满全部数学课， 可达18学分， 差异之大， 令人吃惊。
> 日本高中数学课程学分表
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科目 数学基础 数学I 数学II 数学 III 数学A 数学B 数学C
学分数 2 3 4 3 2 2 2
-------- ---------- ------- -------- ---------- ------- ------- -------
（三）高中数学课程内容
1． 所有国家的高中课程都有"微积分"。 德、法、英、俄等国都是必修课， 日本、美国则是选修课。 自从1908年， 德国数学家F。克莱因主张微积分进入中学以来， 现已成为国际潮流， 无一例外。 1950年代中国学苏联， 没有微积分。 但是后来苏联的11年制高中都有微积分， 我们为什么要例外？
2．大多国家的必修数学课程都有概率统计。最深的内容涉及连续型随机变量的分布， 区间估计。日本的必修课很少， 却优先列入"身边的统计"专题， 并在选修课里大量出现。俄罗斯有强大的概率学派， 在必修课中没有设概率统计。 但是俄罗斯有大量的数学学校， 这些学校虽然也是11年制， 却安排很深的概率统计内容， 包括大数定律、可靠性理论、假设检验等。
3． 几何学的安排呈现多样化。
日本： 高中有平面几何选修课。 高三选修有少量的向量几何。
美国： 没有综合法的几何学。 但有向量矩阵表示的变换几何。
英国： 没有综合法的立体几何。用向量方法处理线面关系。
法国：少量的综合平面几何。 向量处理立体几何。图形变换及矩阵表示。
德国： 非常艰深的数学， 超过我国大学的"高等数学"。 但是只有不多的向量几何。 重视变换几何。
俄国： 所有国家中综合几何要求最高。 6个国家标准中唯一的 列有"三垂线定理"。同时要求向量几何、变换几何。
4．普遍重视数学建模和联系实际。
德国必修课中有37处要求联系物理、化学、经济、日常生活、以及哲学观念。 他们还强调球面几何、球面三角。建立的模型包括人口增长、质量控制、 疾病传染、 抽样试验等。
美国的NCTM 数学标准， 包含大量的实例。 其中用迭代法处理"按时服药以保持药物浓度"的例子就很简单而精彩。
英国是以应用数学见长的国家， 他们的数学课程里包括 "力学"在内。
日本的"数学基础"课程， 其内容是：（1）数学和人类 的活动。（2）用数学理论观察有关的社会生活。（3）身边的 统计。 主要是培养学生的数学兴趣和用数学眼光分析自然界和社会现象的意识。
5．数列、 迭代、数学归纳法、二项式定理等作为离散数学的内容 受到重视， 但只限于"理科要求"， 社会科学往往不列入（数 列与级数除外）。 复数在美国、日本课程中消失， 俄罗斯在 "数理学校"中才增加"复数"。 德国、法国、英国的标准都 列为选修内容。
（四） 几点结论与思考
1．我国普通高中教育是低入学率国家， 类似欧洲， 不同于美国、日本。我国高中学生在同龄人中所占比例不到 20 % 左右。1985年入学的小学生有2298万， 1997年的高中毕业生为220万（见杨学为："高考竞争的背后"）。 北京、上海等大城市正计划在5-10年内逐步普及12年教育，但从全国范围看， 普及普通高中还需要相当长的时间。 因此， 我们不能只谈美国、日本的课程内容逐步减少的情况， 更要多看看欧洲各国的数学课程内容比我国要更深更广的现实。
2．与欧洲国家相比， 我们的高中生所学的知识总量比较少。 这不利于"尖子人才"的成长。我国高中数学内容相对陈旧、 范围狭窄， 急待更新。高中课程内容不是"砍去三分之一"的问题， 而是让一部分人学得更好更多的问题。 这有关我国未来"尖子"人才培养的战略需要。
3． 我国高中生约有一半升入大学， 因此必须使不同的人学习不同的数学， 即增加学生学习数学的选择性。在一年的必修数学课之后， 分为若干个系列课程是欧洲国家的普遍做法。学分制似乎也是必然趋势 。即使在高一的"公共必修数学课"， 也应该分为几个水平，以适应不同学生的需要。 最低的水平， 也许只要掌握普通知识分子所应具备的数学常识即可。
4． 函数与微积分、概率统计、向量几何学是世界各国高中数的核心内容。 这些部分恰是我国数学课程的弱点。
5．增加数学和其他科学、以及日常生活的联系是一个总趋势。计算技术和数学建模的教学将日显重要。数学和文学艺术、社会科学的联系日益紧密。使优秀人才文理结合， 提高数学修养会继续得到支持。 数学与人类文化的联系应当列入中学内容。
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**第二部分：高中数学必修课程\--**
**《高中数学基础》**
一、 前 言
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《高中数学基础》是所有高中学生必修的数学课程，为期一年。其目标是使学生在接受9年义务教育之后，继续提高基本数学素养，为学生今后的成人生活和从事社会工作准备必要的数学常识， 获得一定的数学技能。高中学生在通过本课程普通水平内容的考试后，即认为已达到高中数学课程的最低要求。 高二、高三的数学课为选学部分。
本课程的内容可以作为高等院校某些专业（如艺术类）的入学考试命题范围。多数想接受高等教育的学生，还需要在本课程的基础上选修相应的数学课程。
《高中数学基础》课程由函数、不等式、数列、概率统计、几何等五方面的内容综合而成。其中打上星号的内容属于"较高要求"，其余为普通水平。
第一部分：函数。
万物都在不停的变化。函数, 是从数量上刻画客观事物发展变化、反映变量之间相互依赖关系的数学工具。 也就是说， 函数是运动变化一种数学模型。
函数单元有两个主要部分：函数的一般概念和基本初等函数。
函数概念在义务教育阶段数学课程里，曾用变量之间相互依赖的形象语言描述，在本单元则使用比较抽象的集合与对应的语言加以刻画。二者相辅相成，不可偏废。
基本初等函数是一些重要变化现象的模型。本单元揭示他们所描述的现实背景，研究其基本性质，刻画其数量变化的特征。后续的选修课，将用微积分方法继续研究初等函数的性质。
函数模型的内涵十分丰富. 初等函数的四则运算、复合、 恒等变换等是数学的基本运算技能之一。
课程内容要运用函数工具分析和解决现实问题，突出"函数是数学模型"的中心思想。
第二部分。 不等式
不等式是最基本的一种数量关系。 正如等式分为条件等式（如方程）和恒等式两种一样，本单元有"条件不等式"和"绝对不等式"两个主要部分。不等式与函数变化、方程性质、几何曲线和区域的表示都有着密切的联系，在中学数学中起着纽带作用。
正如解方程需要恒等变换一样， 解条件不等式则需要"不等式运算"作为前提。 这也是数学基本运算之一。条件不等式的几何意义是表示区域。 线性不等式组与线性规划密切相关， 凸显了它的实用价值。
绝对不等式体现了事物发展中普遍成立的一种数量规律。会证明一些绝对不等式， 并用它们解决一些实际问题（如最大最小值等），是高中数学基本技能之一。
后续课程和大学数学课程中有微积分内容。 其严格表述（ε-δ语言）需要使用不等式的放大与缩小作为准备知识。反过来, 不等式的证明, 也可以采用微积分方法. 但这些， 《高中数学基础》课程都不要求。 这一部分的不等式内容属于基本数量关系的认识， 不要求安排技巧复杂的证明不等式的初等方法。
第三部分 数列
数列是一种离散型的有次序变化过程，可以看作是定义在自然数集上的函数。本课程只讨论有限项的数列， 特别是两种特殊的数列：等差数列和等比数列。将数列各项依次相加便构成级数。 这两种数学对象\-- 数列和级数 -- 既有大量的实际原型， 又有深刻的理论背景。
按一定贷款利息制定的分期付款办法，其数学依据是等比级数的求和。 因此， 普遍认为数列应当成为公民数学素质的重要组成部分。
有限项的数列是无限项数列的特例和基础。 数列的研究是未来微积分理论的出发点。
数列和级数， 主要考察这种模型的特点及价值，不要过分追求技巧。
第四部分 概率论与数理统计
概率论是研究随机现象的一个数学学科，它从数量上刻画不确定事件发生的可能性，使得人们对确定性和随机性的两种现象都能从数学上进行理解，因而会深刻地改变人们的数学观念。数理统计学是研究如何有效地搜集和使用（带有随机影响的）数据的一门学科。时至今日，概率统计的应用已渗入整个社会的方方面面。 因此概率统计的基础内容已成为一个未来公民的必备常识，是构成高中学生数学素质的重要部分。
在义务教育阶段概率统计学习的基础上， 高中数学基础课程概率统计的中心内容是要体现数据处理的全过程 \-- 提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、解释数据、作出判断，形成决策。其中包括一些简单的随机抽样和统计推断方法。数据处理需要联系实际问题进行， 涉及面要广些但不必深。
本单元不要求对数据处理做作细致的概率论分析，着重随机意识和统计观念的形成。在以后的选修课中，将会把重点放到概率论上来。
第五部分 几何学
几何学是研究现实世界和抽象空间中物体的形状、大小、相互位置关系和结构的数学学科。基础教育中的几何内容, 包括几何的直观表示、空间想象， 以及用几何公理化思想进行逻辑证明两个侧面。
高中基础课程的几何部分，着重直观地认识和想象三维空间的几何图形， 用几何方法表述三维空间中物体之间的关联，并能和别人用图象语言进行"几何"交流。 这些都是每个公民在日常生活和工作中都需要具备的几何素养。同时，良好的空间想象能力和利用几何直觉理解数量关系，将使几何直观在科学创新中起到重要作用。总之，重视几何直观是这一部分的核心思想。
另一方面，由于平面图形的简单、明确，使得平面几何成为数学中培养推理论证的重要学科，在数学的发展上，有着不可估量的影响。因此在高中基础课程中，也将安排一部分平面几何内容，以"圆"为素材， 加强逻辑论证的训练。
在后续的选修课中， 将使用向量和变换的观点加强对三维空间的认识和作抽象处理。基础课程应为此在直观上作好充分准备。
以上四个部分彼此有交叉， 应该注意彼此间的联结关系， 求得对数学的统一理解和综合把握。
本标准将四个基本部分， 以单元的形式统一编排， 螺旋上升。
**二、 单元标准**
** 1．集 合**
** **
**单元目标**
集合是现代数学的基本语言的一部分，本单元仅要求学生会使用集合语言， 不涉及"集合论"。
在高中数学基本课程中，让学生熟悉集合、子集、并集、交集、补集、空集、全集，以及属于、包含、相等的涵义，并能使用它们去表示数学和规范已经学过的有关概念。
**单元内容（4课时）**
1\. 集合及其元素（含"属于"关系）,集合的表示法
2． 包含与相等关系------包含与相等、子集
3． 空集与全集；
4． 两个集合的基本运算------交、并、补。
**具体内容及要求**
1． 集合
理解集合的描述性说明；
掌握集合的表示法（自然语言描述、数学语言描述、列举）。
2． 集合之间的包含与相等关系。 空集与全集。
理解"包含"与"相等"的涵义，并能举例说明。
理解"空集"与"全集"的涵义, 举出空集的例子。
3. 集合的基本运算
> 理解两个集合的"并集"与"交集"的涵义；
会求两个数集或两个点集的并集与交集；
理解一个集合的补集的涵义，会求一个集合的补集；
图，能运用Venn图表达集合间的关系。
**实施建议**
**1． 教学建议**
● 在中学里， 集合只是一种简洁的语言和符号， 用以表示现实生活中的特定事物、描述已学过的数学对象；不要把集合作为论证的的基础，不涉及集合论。
● 教学中应注意与义务教育阶段所学知识的联系。如，所有自然数组成一个集合。所有实数也组成一个集合，它包含了自然数集。
● 讲集合之间的关系与运算，应重视Venn图的作用；
● 教师在以后内容需要的部分应尽量使用集合语言。
**2． 评价建议**
● 着重评价学生使用"集合、子集、交集、并集、补集"的语言表述数学对象和数学关系的能力；
- 关注对学生给出实例（正例、反例）能力的评价；
> ● 关注对学生使用Venn图情况的考察；
**3． 教材编写建议**
● 从实例引出集合概念的描述性说明。 例如，人们往往把具有某种共同属性的事物放在一起，它就形成了集合；
● 有关数学对象的集合实例，应多结合义务教育阶段的数学内容；
● 在内容的呈现方式上，要尽可能运用图示，形象而生动地展示相应的学习内容，体现集合方法的实用性；
● 练习与习题中，要突出有关术语和符号的正确使用。
**2． 圆与直线（10课时）**
**单元目标**
推理论证能力是现代社会公民所应该具备的基本素质与能力，平面几何在这一方面有着独特的优势，这是因为它一方面有很强的直观性，另一方面又有着相对完整和严密的逻辑体系。高中阶段的数学课程应在义务教育阶段的基础上，进一步加强几何论证与应用的训练。
本单元通过圆、圆与直线的学习，对学生进行几何论证的训练，进一步领会数学推理与证明的作用，获得数学推理与证明的经验，进一步体验综合法与分析法的思维特点。同时，利用有关的知识解决一些线段与角的计算问题。
**单元内容 （10课时）**
1．圆（1课时）
不在同一直线的三点确定一个圆
圆的轴对称性、中心对称性
垂径定理
2．圆与直线、圆与圆的位置关系（4课时）
圆与直线、圆与圆的位置关系
相交弦定理
3．圆的内接四边形（2课时）
圆的内接四边形的性质定理、判断方法。四点共圆。
4\. 论证与应用（3课时）
**教学建议**
1． 圆。
● 不在同一直线的三点确定一个圆（需要确认和证明）
● 利用全等三角形的有关知识证明垂径定理。
● 利用垂径定理进一步说明圆的对称性。
2. 圆与直线、圆与圆的位置关系
● 从直线与圆、圆与圆的公共点的个数认识圆与直线、圆与圆的位置关系。结合日食、月蚀说明
● 利用全等三角形的有关知识证明切线长定理、公切线定理与公共弦定理，同时用圆的对称性辅以认识。
● 利用相似形的有关知识证明相交弦定理
● 通过动态变换（交点的移动）得到切割线定理与割线定理
● 运用已获得的结论解决一些简单的证明与度量问题
3．圆的内接四边形
● 认识圆的内接四边形。
● 利用圆周角定理证明内接四边形的一些简单性质，掌握一些简单的判断方法。
● 运用已获得的结论解决一些简单的证明与度量问题。
4\. 论证与应用
● 这是本单元的重点。 务必使学生体会数学论证之价值，欣赏数学的美。
● 通过实例， 进一步体验综合法、分析法两种论证方法。（证明与解答的步骤不超过3---4步。 主要素材为圆、直线和四边形）
**评价建议**
1． 不要出难题。
2． 注意考察学生对数学论证的理解。 只会胡乱模仿，不知论证意义的不能鼓励。
** **
**3．空间几何（20课时）**
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**单元目标**
人们对几何的认识主要有直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算四个方面。四者间彼此有区别也有交叉。本单元主要涉及前三个方面，有些内容在后续课程中将会以空间向量的观点加以处理.
本单元在义务教育阶段有关三视图学习的基础上，运用平行投影，进一步掌握画立体图形和视图的方法，让学生熟悉如何用图象表示空间的位置关系。
本单元以长方体内的点线面关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。
本单元提倡运用现代信息技术学习几何内容。
**单元内容 （20课时）**
1．空间几何体（5课时）
平行投影
空间几何体的视图
视图的复原
实习作业
2．点线面之间的位置关系（13课时）
长方体内的点线面关系
点与点、点与线、点与面的位置关系
线与线、线与面的位置关系（平行、垂直、投影、夹角、异面直线）
面与面的位置关系（平行、垂直、相交、两面角）
空间点线面关系的一些基本性质与判定
论证与应用
3．空间坐标系（2课时）
空间直角坐标系。
用直角坐标确定特殊长方体的位置。
两点间的距离公式。
**具体要求**
1．空间几何体
通过实物模型、计算机软件观察大量立体图形（如一些标志性建筑）的平行投影。
画出简单立体图形的视图（长方体、 球、圆柱、圆锥等的简易组合），会用材料将上述的视图复原为立体模型，并画出它们的直观图（斜二侧）。
安排实习作业，如画出校舍建筑的立体图与视图（其中尺寸、线条等不作严格要求）。
通过实例，了解二维图形发展到三维图形的性质的异同。
3．点、线、面之间的位置关系
通过长方体的点、线、面关系，直观地认识空间点、线、面的位置关系。
在直观认识空间图形的基础上，抽象地描述空间中点、线、面之间的位置关系。
以空间几何的公理为基本出发点，通过直观感知、操作确认或思辨，确认（少数可以证明）空间几何中线面的平行、垂直关系的有关性质与判定。具体要求附后。
\* 运用已获得的结论对一些简单的空间位置关系进行推理和证明。
异面直线的夹角与距离，面面的夹角等有关度量的问题留待后续课程解决。
\* 三垂线定理作为例题给出。
4．空间坐标系
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点和特殊长方体（长方体的所有棱分别与坐标轴平行）的位置。
了解两点间的距离公式。
**附： 上述内容的具体处理建议**
**定义：**（在直观认识的基础上，抽象地给出）
▲ 一直线与一平面无公共点，则称该直线与此平面平行
▲ 两平面无公共点，则称此两平面平行
▲ 一直线与一平面相交，且与平面内任一直线垂直，则称该直线与此平面垂直
▲ 两平面相交，且所成的二面角是直二面角，则称此两平面垂直
**公理**：（直观认识）
▲ 一直线的两点在一平面内，则该直线在此平面内
▲ 过不在一直线上的三点，有且只有一平面
▲ 两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线
▲ 平行于同一直线的两直线平行
**判定定理**：（直观感知、操作确认，直接给出）
▲ 平面外一直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行
▲ 一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则该平面与此平面平行
▲ 一直线与一平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
▲ 一平面过另一平面的垂线，则该平面与此平面垂直
\* **性质定理**：（以综合法、反证法给出完整的证明）
▲ 一直线与一平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
▲ 两平面平行，则任一平面与这两个平面相交所得的交线相互平行
▲ 垂直于同一平面的两直线平行
▲ 两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直
**教学建议**
1． 本单元的重点是建立空间直觉能力， 能够想象空间图形的形状和相互位置， 并画在平面上。 点、线、面的位置关系， 主要靠操作进行确认。论证和证明属于较高要求。
2． 尽可能使用计算机软件， 展示空间图形， 包括商品房的结构、装潢布置等软件。 几何教学需要从单纯的抽象论证中走出来。
3． 结合学校校舍和本地的标志性建筑，做实习作业。
**评价建议**
1． 编制考察学生空间想象能力， 并作出正确判断的立体几何问题。
2． 实习作业的评价应当予以特别重视， 表扬优秀作品。
**4.函数（30课时）**
**单元目标**
通过本阶段的学习，使学生进一步体会函数作为基本数学模型的作用，了解用集合语言描述的函数定义，掌握基本初等函数的基本性质，能够应用函数思想理解和处理现实生活中的实际问题，感受函数建模的过程和方法，加深对一般函数概念的理解，并为今后进一步学习奠定基础。
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**单元内容（30课时）**
1\. 映射与函数（4课时）
● 映射
● 函数的定义（映射方法）
● 函数的表示方法
● 函数的增减、极值、奇偶。四则运算
● \* 函数的复合
2．指数函数（5课时）
● 指数概念的扩充（整数指数幂、有理指数幂、实指数幂）
● 简单的指数运算
● 指数函数的定义、图象与性质
● 用计算器体验指数函数和幂函数的增长程度。
3．对数函数（6课时）
● 对数的概念及运算性质。换底公式。
● 对数函数的定义、图象与性质
● 对数的应用。
● 用计算器比较对数函数和幂函数的增长程度。
> 4．三角函数（14课时）
● 角的弧度制。 任意角的三角比。
● 任意角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）
● 三角函数之间的关系、常用诱导公式。
● 三角恒等变换
● y=sinx， y=cosx， y=tanx的图象及性质
● \* 函数y=Asin（wx+f）的图象与性质
● \* 解斜三角形。 正弦定理。 余弦定理。
5． 函数与方程（2课时）
● 函数与方程的联系与区别
● 函数与方程间转换
6． \* 函数模型选（阅读材料）
**三、 具体内容及要求**
1\. 映射与函数
① 通过实例理解映射的概念。
② 在丰富实例的基础上，理解函数的定义，了解构成函数的要素。
③ 通过对具体实例的分析，复习和进一步运用函数的几种常用表示方法（列表法、图象法、解析法等）。
④ 通过对已经学过的函数（特别是一元二次函数）的归纳与总结，直观理解函数的单调性、奇偶性、最大值、最小值等性质及其在函数研究及应用中的作用。
2．指数函数
● 描述如何扩充指数概念，掌握幂的运算性质；
● 用实例介绍指数函数模型的实际背景（细菌分裂、国王赏米等），能借助计算器画出具体指数函数的图象，并研究指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点等性质。
3．对数函数
● 了解对数的概念，掌握对数的运算性质；
● 了解对数函数模型的实际背景，能借助计算器画出具体对数函数的图象，并研究对数函数的定义域、值域、单调性、特殊点等性质。
● 通过实际计算，理解a\>1时，幂增长和对数增长的差异。
4．三角函数
● 掌握三角函数作为周期性运动模型的意义。
● 通过单位圆描述任意角的概念及弧度制的意义。
● 能借助单位圆中的三角函数线，推出同角三角函数关系和诱导公式（kp±a、（1/2）p±a），能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在一个周期区间上的单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等。
● 会画y=Asin（wx+f）的图象，并了解其物理意义。这属于较高要求。
● 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形的度量问题；通过测量实习，体验其在测量中的应用。
5．函数与方程
● 理解函数与方程的关系。
● 会用二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
● 根据函数图象的单调性，会用二分法求方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的一般方法。
6^\*^．函数模型选（阅读材料）
● 结合生活实际，给出一些反映数量变化规律的函数模型。
● 通过函数模型的观察、操作、演示，了解函数模型的广泛应用，体会如何使用已知函数模型近似刻画实际情境中的数量关系。
**研究性课题：1。根与系数的关系（n次）**
让学生利用计算工具，计算对比指数函数、对数函数和y=x^n^在增长速度上的差异。
> ** **
**教学建议**
● 从学生初中掌握的具体的函数入手，抽象出一般函数的概念和性质，再用于一元二次函数、指数函数、对数函数等具体函数的研究。在函数一般概念的引入过程中，具体函数的实例应该与现实生活相联系。
● 注重对函数概念本质的刻画，同时重视图形在研究函数性态中的作用，以加深学生对函数是描述"数量变化"模型的认识。强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域、换底公式时出现过于繁琐的计算和技巧训练。在讨论函数性态时，不应过于追求形式化。
● 注重函数模型的实际背景（人口增长、衰减问题、自由落体运动、邮资问题等），体验函数模型与现实世界的密切联系与作用。
● 在函数的教学过程中，教师应该充分利用丰富的函数素材，为学生创设一个能够主动进行探索、发现和创新的情境。
● 鼓励学生自己运用现代教育技术，如计算器（机）去探索变量之间的依存关系及变化规律，研究函数的性态。
**评价建议**
● 关注学生对函数概念、函数本质特征的理解水平的评价，淡化与函数本质无关的计算技巧的要求。
● 注意考察学生用函数思想建立数学模型的能力。
**5.不等式（8课时）**
** **
**单元目标**
不等关系是量与量之间的一种基本数量关系，在数学各个分支、其它学科及现实生活中有着广泛而重要应用。在中学阶段，不等式与函数、方程等有着密切的联系。
通过本阶段的学习，使学生理解不等式（组）的现实背景，掌握求解不等式（组）的基本方法，了解不等式（组）与方程及函数之间的联系，体会有关的数学思想方法。了解两个基本不等式及其证明。
** **
**二、单元内容**
● 一元二次不等式（教学建议中复习一元一次不等式及一元一次不等式组）（4课时）
● 形如ax+bc的绝对值不等式 （2课时）
● 两个基本不等式： √ab ≤ (a+b)/2 ; \|a+b\|≤\|a\|+\|b\|，及其简单应用（2课时）
**具体内容及要求**
● 结合具体实例，理解不等式（组）的现实背景。
● 会解一元二次不等式。
● 通过函数图象了解一元二次不等式与函数、方程的联系。
● 会解 ax+bc，理解 x-ab， x-a\>b的几何意义。
● 了解两个基本不等式的证明及其简单应用。
** **
**教学建议**
教学中应注意从生活实际、其他学科中提取相关问题，并注意与义务教育阶段相关知识的联系；
应有意识地让学生体会不等式（组）与方程及函数之间的联系， 特别要注意几何上的直观理解，避免繁琐的计算。
绝对值不等式的求解，应尽可能借助坐标轴进行比较直观的表达与讨论，避免在绝对值的个数、绝对值符号内表达式的复杂程度上花时间；
要揭示两个基本不等式的意义，算术平均和几何平均的关系，数学内容不要加深和扩展， 这里只做最基本的要求。
基本不等式可用于处理优化问题， 举例说明之。
>
**评价建议**
关注对学生从问题情境中形成不等式（组）能力的评价，尤其是形成过程中的思维角度和方法.
对学生求解不等式（组）能力的评价，应兼顾其使用方法的正确性、多样性，还应注意考察他们表达解集的能力。但需避免对计算技巧（复杂的代数式恒等变形等）的专门考察；
教学内容的选择应考虑突出以下特征： 问题背景的现实性与多样性，表现不等式（组）与方程及函数之间的联系，提倡运用计算机（器）研究与求解不等式（组），便于使用不同的方法获得问题的解等；
知识的呈现应体现"问题情境---建立不等式（组）模型---求解不等式（组）---解的检验"的过程；
**6．数列（10课时）**
**单元目标**。
本单元的学习重在通过具体实例了解数列的概念和表示方法，了解数列与函数的关系。理解等差数列和等比数列的意义，掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，并能应用公式解决实际问题，体会数列模型的作用。
**单元内容**
● 数列的概念和简单表示法，（2课时）
● 等差数列的意义、通项公式、前n项和公式。（3课时）
● 等比数列的意义、通项公式和前n项和公式。（3课时）
● 等差数列、等比数列的实际应用。（2课时）
**具体内容和要求**
● 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式）。
● 通过实例理解等差数列的意义，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。
● 通过实例理解等比数列的意义，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。
● 能应用等差数列、等比数列解决实际问题。● \<!\[endif\]\>可以结合数列的应用插入对应的研究性课题或数学建模活动。如分期付款。
● 在介绍数列的图象表示时，注意表现数列与函数的联系。教学的着眼点放在对两个最典型的数列的理解、特征的识别，直接应用等差、等比数列的通项公式和求和公式，或者通过对通项公式和求和公式的恒等变形解决简单问题，不展开。
**评价建议**
● 关注学生对实际问题中怎样找出相应的数列模型，怎样确定具体问题中数列的首项、公差、公比、数列的前n项和，数列的片段和等 。
**7．统计与概率（20课时）**
** **
**一、单元目标**
在现代社会中人们面临着很多的机会和选择，这就需要人们去收集数据，并根据所获得的数据作出合理的决策。统计正是通过对数据的收集、整理、描述和分析，来为人们更好地制定决策提供依据和建议。随机现象在日常生活中随处可见，概率正是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的模型，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识，是构成高中学生数学素质的重要组成部分。
本单元统计与概率学习的主要目的，是使学生能够建立随机观念和统计思想。在义务教育阶段的基础上，必修课程将巩固和加深学生的统计思想， 使学生经历数据统计全过程，学会提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、解释数据、作出判断的基本方法，初步认识统计方法对制定决策的作用；加深对随机现象的理解，掌握概率某些基本性质和简单的概率模型，能够通过估计事件发生的可能性。
**二、单元内容**
**◆ 统计部分（12课时）**
● 数据统计全过程。
● 描述总体的方法：频率分布直方图,平均数、中位数的复习，四分位数；方差的复习，标准差。
● 简单随机抽样，样本值，样本。
● 用样本估计总体的特征：总体的直方图、平均数、中位数、方差、标准差、众数、四分位数。
● 变量的相关性.探索用不同方法描述变量的线性关系，回归直线方程。
>
>
> ◆ **概率部分（8课时）**
● 随机现象与随机事件, 随机事件发生的频率及其稳定性, 概率的频率描述。
● 概率的简单性质:概率的非负性, 必然事件的概率为1, 互斥事件的概率。
● 古典概型, 简单实例。
● 几何概型, 简单实例。
● 通过模拟估计概率。
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**三、具体内容及要求**
**◆统计部分**
1．经历较为系统的数据统计全过程：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，解释数据，决策和交流。
● 从现实世界、其他学科的情境中提出具有一定价值的统计问题。
● 根据问题设计收集数据的方法（观察、试验、查阅资料、抽样等），设计简单的调查问卷。
● 有效、清晰地表示数据，并对数据作出合理的解释。
● 通过对数据的分析作出合理的决策，并进行交流。
● 有对数据统计过程进行初步评价的意识，了解新闻媒介、广告等公布的数据可能带来的误导。
** **
> 2．在数据统计的过程中，进一步学习描述总体的方法。
● 通过实例，理解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，画频率分布直方图和频率折线图，并能解决简单的实际问题。
● 进一步理解平均数、中位数、众数、方差的意义。
● 通过实例，理解标准差的意义。
● 根据实际问题选择合适的统计图和统计量（如平均数、中位数、众数、方差、标准差、频率分布直方图）表示数据。
>
3．理解随机抽样，认识其在统计和解决问题中的作用
● 通过丰富的实例，理解随机抽样的必要性和重要性。
● 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，并了解所抽样本的随机性。
● 通过实例，知道分层抽样和系统抽样。
> 4．用样本估计总体及其特征
>
> ● 进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本频率分布估计总体分布、用样本的数据特征（标准差等）估计总体的数据特征；了解样本的频率分布和数据特征的随机性。
● 用随机抽样的方法和用样本进行推断的思想，解决一些实际问题。
● 认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
5．了解现实问题中的两个变量相关的意义
● 收集现实问题中两个变量的数据，利用散点图直观认识变量间的相关关系。
● 经历用不同方法描述两个变量线性相关的过程，会求线性回归方程，了解最小二乘法的思想。
● \*运用配方法，推导线性回归方程（阅读材料）。
>
**◆概率部分**
1．通过具体情境，了解随机事件的统计规律性及概率的意义，知道频率可以作为概率的估计值；通过现实生活和其他学科中的例子，认识随机现象的特点和概率模型的作用。
2．通过实例，了解两个互斥事件和的概率加法公式。
3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些事件所含的基本事件数及事件发生的概率（避免技巧性过高的问题）。
4．通过实例，了解几何概型及其概率计算公式，能通过长度、面积、体积的计算求出事件发生的概率（避免技巧性过高的问题）。
5．在具体情境中，通过对模型的观测、实验等估计概率；运用模拟方法计算频率从而估计简单事件发生的概率，了解模拟方法的作用。
**四、实施建议**
**1．教学建议**
①注重概率统计的实际背景，鼓励学生利用所学知识、方法探讨现实生活及其他学科中的一些问题，使他们体会概率统计对决策和认识事物规律的作用。
②注重数据处理的全过程，突出统计的基本思想和方法（统计不等同于数据的计算），使学生体会统计思维与确定性思维的差异。
③在丰富的背景中，注重学生通过操作、实验，体会概率的意义。
④创设有利于学生探索和交流的教学情境，使学生在自主活动和师生互动中学习概率统计的内容。
如在学习变量相关性的内容时，教师要鼓励学生探索用多种方法刻画两个变量的线性相关性，在此基础上，教师可以引导学生理解最小二乘法。对感兴趣、学有余力的学生，鼓励他们推导线性回归方程，并帮助他们了解运用最小二乘法虽然可以求出线性回归方程，但是不能判断现实问题中变量间是否存在相关关系。
⑤为了求出古典概率和几何概率，需要进行一些必要(避免繁琐)计算；应该特别注意在计算的同时，理解概率的意义。
⑥"总体"、"样本"等概念应结合具体的实例进行描述性说明，淡化其作为专业术语的涵义。
⑦鼓励学生运用现代教育技术，特别是计算器、计算机来处理数据，以留下更多的时间体会统计思想；利用计算机进行模拟活动，更好地体会概率的意义。
** **
**2．评价建议**
①重视对学生参与统计活动，及应用所学知识、方法探讨和解决实际问题能力的评价。
②重视在实际背景中对基础知识与基本技能的理解性评价，避免繁琐的计算和单纯地记忆公式，在考试的适当部分应允许使用计算器和计算机。
③注意评价手段的多样化和针对性，全面评价学生的学习水平。
④运用定性与定量相结合的方式评价学生的学习状况。
** **
**3．教材编写建议**
①本单元包括统计和概率两部分。从理论展开的要求看，应该先讲概率，再将概率方法用于统计分析。 但是，从人们的认识规律来看，应当先接触实际的数据处理问题，看到统计方法的价值和意义。然后，再来寻找统计方法的理论根据------概率。因此，教材编写时应采取"先统计、后概率"的安排。
②选择具有丰富现实背景、有利于学生提高兴趣和体会统计与概率思想方法的素材。必要时教材中应该对概率统计的思想做一些说明（如统计思维区别于确定性思维的特征）。
③内容呈现上要反映概念的来龙去脉，强调数据处理的过程和概率思想的发展过程。
④创设有利于学生探索和交流的教学情境，使学生在自主活动和师生互动中学习概率统计的内容。
⑤重视选择合适的素材，体现统计与概率之间的联系。
⑥对专业化的术语要提供丰富的背景；专业化术语（如总体、样本）、统计图、统计量等的学习应放在具体的解决问题的过程中。
⑦教材要为学生使用计算机、计算器提供可能。
⑧通过阅读材料等方式，向学生介绍有关的史实和背景知识。
**第三部分 B系列数学课程标准**
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**一、 前言**
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高二、高三的数学课属于选修范围。 其中B系列与自然科学中的数学问题有密切的联系， 反映理工农医经等一般专业的需求， 计划课时数为每周4-5 学时。
B 系列课程的内容主要有以下几个大的部分：
1． 几何学。 其中包括
● 解析几何。 主要讨论直线、圆、以及圆锥曲线。 这部分内容较过去的传统有较大的削减。 数形转换的思想是十分重要的。 但是有关的解析几何演算题目不应该太深、太难。
● 二阶矩阵与变换几何。矩阵是一元函数的推广。作为现代数学语言的矩阵， 已经渗透到几乎全部的科学部门。以最简单的二阶矩阵与二维向量变联系起来， 比较直观易懂。 由此可以用于观察二元一次联立方程， 表示日常生活中的向量变换。 学习矩阵的价值在于提高学生的数学表示能力。
● 立体几何。 在高一立体几何学习的基础上，加强逻辑论证和度量计算。 主要用向量方法进行论证。 但是总时数较过去也作了缩减。
> 2． 逻辑与算法。
● 学生逻辑思维能力的提高， 不能用形式化的"数理逻辑"途径。 主要通过数学命题或日常语言为载体， 反复练习， 务求表达准确。 其中命题的表述、量词和否定词的运用、以及充分必要条件的论断， 都是学习的重点。
● 使用逻辑框图表示解决问题的流程， 这已成为计算机时代的通用语言， 在管理科学中尤其适用。 将它列入数学课程， 有利于学生逻辑思维能力的培养。
● 算法是数学发展的一条主线， 也是中国古代传统数学的精髓。将它列入高中数学课程， 是一向新的尝试。
> 3． 复数与三角函数
● 复数是高中数学的常规部分。 它的价值在于表示平面上的点和二维向量。 过分追求复数恒等变换的技巧， 没有必要。
● 复数在工程上的应用， 常取三角形式。 因此， 从欧拉公式出发将复数和三角函数加以整合， 有合理成分， 可以尝试。
● 复数迭代可以产生分形， 应当作为现代数学文化的一个部分加以介绍， 使学生能够欣赏计算机时代的数学美。
> 4． 微积分
微积分的产生影响了人类社会的进程。 这是人类文化的宝贵结晶。 自从1908年F。克莱因提出将微积分列入中学课程以后， 世界各国少有例外地都在高中讲授微积分， 或必修， 或选修。我国当然不能例外。 B系列给微积分的定位是， 非形式化地介绍微积分方法， 以求变化率（导数）为重点， 使用这种种无穷小算法， 研究初等函数的性质。
> 5． 排列组合。计数。 离散数学
排列组合是我国的传统教学内容。 它的进一步发展是离散数学。 在高中课程中适当地做介绍， 以扩充中学生的视野。
> 6． 概率统计
这部分内容的重要性自不待言。和《高中数学基础》课程不同，这里先讲概率， 后讲统计。 在概率分布的基础上， 提出统计量的估计、假设检验、质量控制等概念。 着重统计观念的形成， 不在严格推理上下工夫。
** **
** **
**单元标准**
** **
**1．逻辑用语**
** **
**单元目标**
逻辑推理能力是现代社会公民应该具备的基本素质（无论是科学方法论，是社会规范、法律与道德，无一不以逻辑为基本的构成要素）。义务教育阶段平面几何教学关于形式逻辑的知识，要求学生"理解证明的必要性；了解定义和命题的含义，会区分命题的条件和结论；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题；通过具体的例子理解反例的作用；通过实例体会反证法的含义；知道综合法证明的基本格式，体会证明的过程要步步有据。"（见《义务教育阶段国家数学课程标准（征求意见稿）》）因此，高中阶段将对逻辑语言作必要的讨论，通过对命题的结构，量词、充分必要条件等内容作进一步的研究，进一步提高学生的逻辑思维能力。
**单元内容（**12学时）
> 1． 蕴涵关系、命题的结构（1学时）
>
> 2． 命题的逆命题、否命题与逆否命题（2学时）
>
> 3． 条件的必要性、充分性与充要性（2学时）
>
> 4． "或"、"且"与"非" （2学时）
>
> 5． 全称量词与存在量词（2学时）
>
> 6\*．证明与否定（3学时）
**具体要求**
1\. 掌握简单命题的基本结构，会分析简单命题及其逆命题、否命题与逆否命题间的关系，会分析条件的必要性、充分性与充要性；
2．能正确理解与使用"或者"、"并且"等关联词；能合理地陈述命题的否定；
3．理解全称量词与存在量词及其对命题意义的影响；
4． 结合充要条件的学习，理解计算机语言"if, ... then ..." 等
> 5\*．能初步运用以上知识、结合具体数学命题，分析应如何证明或否定一个命题（包括综合法、反证法）。
**教学建议**
1.以学生熟悉的事实和语言引入逻辑概念与原理，重在使学生领会概念与原理所反映的思维形式和思维规律，避免过多的术语和符号；
2．可结合集合语言来解释有关逻辑概念与原理，这将有助于学生学习逻辑知识，并发展学生相应的能力；
3．本单元的教学应与其它教学内容、特别是与计算机程序设计所需要的逻辑知识与能力密切联系，以培养学生运用逻辑概念与原理解决问题；
4．本单元所言及的命题均指简单命题，讨论"或"、"且"与"非"的词义，而不涉及复合命题与命题演算。
评价建议
> 1． 要求学生形成准确的逻辑判断。
>
> 2． 不考查形式化的命题演算知识。
**2． 直线和圆、圆锥曲线**
**单元目标**
用代数的方法解决"形"的问题是一种重要的数学方法，也是一种基本的数学能力。 直线和圆是（平面上）"形"中最简洁、最完美的图形，用代数的思想和方法较为全面的研究它，使学生初步掌握直线和圆的方程，初步感知曲线与方程的概念，并能用坐标法来研究它们的位置关系。
圆锥曲线是由平面截圆锥所得，使学生知道圆锥曲线的方程和它们简单的性质，重点讨论椭圆的方程和性质。极坐标和参数方程重点研究直线和圆。
**单元内容**
1. 直线和圆 （共15课时）
（1）直线的倾斜角和斜率 (2)
（2）两条直线的平行和相交（垂直） (2)
（3）直线的方程 (3)
（4）点到直线的距离 (1)
\(5\) 平面的划分 （2）
（6）圆的方程 (2)
（7）直线与圆的位置关系 (3)
2. 圆锥曲线 （共7课时）
（1）圆锥曲线的介绍 （1）
（2）椭圆的标准方程 (2)
（3）双曲线和抛物线的标准方程 (4)
3. 极坐标、参数方程 （共7课时）
\(1\) 参数方程 (3)
\(2\) 极坐标 (4)
**具体内容及要求**
1.直线和圆
1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率计算公式。
2) 理解两条直线平行和垂直的充要条件。
3) 掌握直线方程的几种形式（斜截式、点斜式及一般式）。
4) 掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
5) 会用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
6) 掌握圆的标准方程、一般方程。
7) 能用点到直线的距离公式来判断直线与圆的位置关系,或用Δ法判断直线与圆的位置关系。
8) 介绍直线划分平面，即考虑y\>kx+b、y\<kx+b（和x\<a、x\>a）等形式，最后考虑直线Ax+By+C=0划分平面的问题，为讨论线性规划问题作必要的准备。
2. 圆锥曲线
1) 了解圆锥曲线的产生。
2) 掌握椭圆的定义、标准方程及简单的性质，能用描点法画出椭圆的大致图形。
3) 了解双曲线的定义和标准方程，了解抛物线的定义和标准方程，据给出的图象可判断出是双曲线还是抛物线的图象。知道双曲线、抛物线的有关性质。
4) 不考虑直线、曲线与椭圆、双曲线、抛物线相交问题。
3.极坐标、参数方程
1）理解直线、圆、抛物线等的参数方程，知道引入参数的意义，对直线与圆的普通方程与参数方程进行互化。
2）掌握极坐标系、极坐标与直角坐标的互化，理解特殊直线、圆的极坐标方程。
3）有条件的可演示其它极坐标方程、参数方程的图象，如悬链线、摆线、渐开线、四叶玫瑰线等，让学生欣赏数学中"形"的美.
4. 会用坐标法解决一些综合的计算和证明问题。
**教学建议**
1) 注重直线与其方程的统一，不仅使学生会用坐标法解简单的几何问题，而且理解数与形的关系和统一。
2) 通过学生自己动手画直线、圆锥曲线，感悟数学的"形"。通过对圆锥曲线"数"的定义，求出它们的方程，使学生领悟"数"的真谛。
3) 圆锥曲线的教学要求，仅限于基本要求，即：理解定义，掌握基本性质，离心率、准线（抛物线除外）不作要求。
4) 利用现代教育技术（计算机等）演示平面截圆锥所得的情形，使学生更动感、更直观的理解圆锥曲线。
5） 应注意
1）利用多媒体技术，展示直线与其方程的关系，展示有关概念的几何意义，如：截距、斜率等。
2）淡化有关角的概念，两直线的一般交角不再讨论研究，只研究两直线垂直的充要条件。
3）用坐标法解几何题，一开始只限于应用距离公式、中点公式等。直至最后，可综合应用坐标法解题。
4）直线与圆的位置关系的判定方法，用△法和圆心到直线的距离与半径的比较，圆的已知切点的切线方程作为例题给出，其他情况基本不研究。
5）圆锥曲线的由来应通过如地球饶着太阳旋转的轨道的实例进行介绍，并伴有多媒体动感演示。
6）教材中所举的例子，尽量考虑有实际背景的，对学生有启发的。
7）不作介绍。
极坐标、参数方程重点研究直线和圆，由抛射物体的运动引入参数方程，理解参数方程的意义，以航海、炮弹的射击作为极坐标方程的引入例题，体会建立极坐标方程必要性。
**3．向量与几何**
**单元目标**
向量有其丰富的实际背景。引入向量可使许多问题进一步量化，为数学研究和应用提供了一个十分有效的工具。
本单元从学生所熟悉的运动学、力学出发，联系力学、几何学、经济活动等学科知识背景及日常生活实际问题，使学生理解向量及其代数运算的内涵和意义，初步掌握向量语言，能运用向量的方法解决一些简单的实际问题，解决空间几何中线面的位置关系与一些夹角与距离的度量问题。
一、 **单元内容**（24课时）
1．平面向量（12课时）
（1）向量概念（2课时）
向量的物理背景；
平面自由向量的定义及其几何意义，向量的相等；
向量的模、夹角、负向量、零向量、单位向量，向量的平行.
（2）向量的线性运算（2课时）
向量加减法、数乘的定义、运算性质及几何意义.
（3）向量的坐标（3课时）
向量的坐标表示（实数序对）；
向量用坐标轴上单位向量的线性和表示（即用一组标准正交基线性表示）.
向量平行的条件；
向量的基本定理.
（4）向量的内积（3课时）
内积运算的定义、性质及意义；
内积的坐标表达式；
向量平行、垂直的充要条件
（5）向量方法的应用（2课时）
2．空间向量（12课时）
（1）空间向量及其运算（4课时）
空间向量及其基本概念；
位置向量，向量的坐标表示；
向量的线性运算及其坐标表示；
向量的数量积及其坐标表示；
向量的平行与垂直.
（2）空间向量的基本定理（正交分解）（1课时）
（3）空间向量的应用（7课时）
直线的方向向量，平面的法向量；
空间点、线、面的位置关系；
空间有关的度量计算.
**具体要求**
1．平面向量
（1）理解向量定义，了解向量的一些原型；
> （2）理解向量运算的定义及性质，掌握平面向量的加（减）法运算和数乘运算；
>
> （3）理解向量的坐标表示，理解向量运算的坐标表示与平行四边形法则的一致性；
>
> （4）理解向量的基本定理及其意义；
>
> （5）理解向量数量积的定义及其意义；
>
> （6）掌握向量数量积运算（根据向量的坐标或根据向量的模与夹角求向量数量积），能运用数量积考察两向量的夹角，特别是两向量的平行与垂直；
>
> （7）能运用向量方法解决某些简单的平面几何问题（如平面上两直线的夹角问题）、力学问题（力、速度等合成与分解）与一些其它的实际问题.
2．空间向量
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的有序数组表达式，并能以坐标轴上的单位向量表示空间向量；
（2） 掌握数量积的坐标表达式及向量的垂直平行的条件；
（3） 以长方体为载体，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解线线、线面、面面的垂直、平行位置与直线的方向向量、平面的法向量之间的关系；
（4） 理解确认空间几何中的一些位置关系的判定与性质定理；
（5） 掌握坐标法的综合应用，即建立适当的空间直角坐标系，确定空间几何中点、线、面之间的位置关系，解决点到线、点到面的距离与线线、线面、面面的夹絝amily: \"Times New Roman\";mso-hansi-font-family:\"Times New Roman\"\'\>教学建议
3. 运用向量解决平面几何中的一些例子
（1） 证明三角形三条高交于一点；
（2）三角形中位线定理.
4\. 以长方体为载体，理解向量与空间线面位置关系之间的联系
建立空间直角坐标系，以长方体的棱与面表示空间的线与平面，从基本课程空间几何中给出的位置关系的抽象定义出发，理解空间直线的方向向量与平面的法向量，理解线线、线面、面面的垂直、平行位置与直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，给出一般意义下的联系..
5\. 理解确认空间几何中的一些位置关系的判定与性质定理
在基本课程中，我们曾说明当时的做法：
（1）在直观认识的基础上，抽象地给出位置关系的定义
▲ 一直线与一平面无公共点，则称该直线与此平面平行
▲ 两平面无公共点，则称此两平面平行
▲ 一直线与一平面相交，且与平面内任一直线垂直，则称该直线与此平面垂直
▲ 两平面相交，且所成的二面角是直二面角，则称此两平面垂直
（2）直观认识几条公理
▲ 一直线的两点在一平面内，则该直线在此平面内
▲ 过不在一直线上的三点，有且只有一平面
▲ 两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线
▲ 平行于同一直线的两直线平行
（3）直观感知、操作确认，直接给出或以综合法、反证法给出完整的证明
判定定理
▲ 平面外一直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行
▲ 一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则该平面与此平面平行
▲ 一直线与一平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
▲ 一平面过另一平面的垂线，则该平面与此平面垂直
性质定理
▲ 一直线与一平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
▲ 两平面平行，则任一平面与这两个平面相交所得的交线相互平行
▲ 垂直于同一平面的两直线平行
▲ 两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直
现在设想对于判定定理与性质定理，用向量方法证明几个，如
平面外一直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行；
一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则该平面与此平面平行；
一直线与一平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直；
一平面过另一平面的垂线，则该平面与此平面垂直.
4\. 掌握坐标法的综合应用，解决一些位置关系及距离与夹角的度量问题
坐标法的综合应用，主要有两种方法。
一、为运用几何向量的运算定义、性质与向量的基本定理，如
> （1）三垂线定理.
>
> （2）已知直线与两相交平面、平行，证明直线与平面、的交线平行.
>
> （3）已知三平面、、，，，，证明.
>
> （4）已知三棱柱中，，，证明.
二、为建立适当的空间直角坐标系，以坐标向量的运算确定位置关系，解决度量问题，如
> （1） 已知直三棱柱中，，，，，是棱的中点，证明.
>
> （2） 已知矩形和矩形以为公共边，但它们不在同一平面上。点、分别在对角线、上，且，。证明∥平面.
>
> （3） 已知单位长方体，、分别是棱和的中点.求
>
> ① 与所成角.
>
> ② 与平面所成角.
>
> ③ 二面角的大小.
>
> （4） 已知长方体，，.求
>
> ① 点到平面的距离.
>
> ② 直线到平面的距离.
** **
**评价建议**
> 1． 立体几何问题用综合法和向量代数法求解， 都可以。
>
> 2． 论证的难度要严格控制， 避免过度的技巧化。
** **
**4．矩阵与几何变换**
** **
** **
**单元目标**
通过简单、具体的矩阵（二阶方阵），使学生掌握二阶方阵的乘法，明确矩阵乘法表示的是一个变换（如压缩、反射、旋转、切变、投影等）。
从变换的角度让学生了解矩阵乘法的运算律、逆矩阵的意义，以及逆矩阵存在的条件。
以映射的观点理解矩阵与向量的乘法，并能从变换的观点（矩阵表示）认识二元一次方程组的求解问题。
**单元内容**
1．几何变换与矩阵（4课时）
认识矩阵
二阶方阵与二维向量的乘法以及几何意义
几类重要的几何变换的矩阵表示
2．矩阵与矩阵的乘法（3课时）
几何背景
二阶方阵与二阶方阵的乘法
矩阵乘法的运算律。
3．逆矩阵（3课时）
单位阵与零矩阵
线性方程组的再认识
逆矩阵的定义、性质
4.推广与应用
研究性问题，如求一个变换矩阵等
一般矩阵
应用：密码、图论中的关联阵、生活中（两个顾客、两种商店）。
**具体内容与要求**
1． 几何变换与矩阵
不给出一般mn阶矩阵的定义，只介绍具体的二阶方阵，通过简单的例子使学生掌握二阶方阵左乘二维列向量的运算
理解矩阵左乘列向量就是把该向量变换成一个向量
通过简单、具体的例子，使学生掌握矩阵与向量乘法。
虽然学生很容易掌握二阶方阵与向量的乘法，但是这里不讨论一般二阶矩阵与向量的乘法，只要求对伸缩、反射、旋转、投影、切变等几类矩阵进行讨论。
通过大量的练习，使学生认识到矩阵乘法的意义是变换，使学生了解压缩、反射、切变等变换的矩阵表示。
只讨论具体的矩阵，如等，不分析象等这类字母的矩阵，不在这些地方展开讨论。
对上述具体的变换，比如压缩变换阵可以让学生讨论：x轴上的向量在这变换下保持不变，y轴上的向量变换后仍在原来的直线上；而旋转一般说没有这样的向量；切变只有一组这样的向量，等等。不过，不必引进矩阵的特征向量这一概念。
作为教师应该清楚，上述讨论的变换，包括了矩阵的所有行初等变换阵，但对学生不应作这方面的要求。
> 2． 矩阵的乘法
通过实例使学生认识到矩阵乘法的意义是几何变换，即使学生了解矩阵乘法的几何背景。
二阶方阵与二阶方阵的乘法。
要求通过对向量的两次变换，提出问题：能否用一个变换矩阵表示上述的连续两次变换，从而引进矩阵的乘法定义。熟练掌握两个矩阵的乘法，知道两个二阶方阵相乘的结果仍是一个二阶方阵，并理解它表示了原来两个矩阵的连续两次变换。
矩阵乘法的运算律。
要求通过实例，使学生认识到矩阵乘法的实质，即连续进行一系列变换时，交换变换次序得到的结果，一般说会不相同。因此，矩阵乘法不满足交换律。
通过实例，使学生应认识到：有些情形，例如连续两次旋转或连续两次压缩，变换是可以交换顺序的。通过实例，使学生应认识到结合律成立。通过实例，让学生体会到，任意的一个矩阵变换都相当于是连续实施前面所讲过的一些常见的变换，即上述的那些变换是基本的。不过，对这问题不作严格论证，也决不应要求学生把任一个二阶矩阵分解为上述基本变换矩阵的乘积。
> 3． 逆矩阵
单位矩阵和零矩阵。
要求理解单位阵、零矩阵在矩阵乘法中的作用。理解单位阵在矩阵乘法运算中的作用相当于数1在实数乘法中的作用。即对任意二阶方阵A，有AI=IA=A。零矩阵O（它表示什么变换？）在矩阵乘法中的作用相当数0在实数乘法中的作用。即对任意二阶方阵A，有AO=OA=O。
通过具体例子说明，当AO，BO时，可以有AB=O。并能从变换的角度解释这一等式。
要求学生能从具体的例子理解：满足AB=AC的三个二阶方阵A，B，C，既使AO，一般说，也不能由此式推出B=C。并能从变换的角度给予解释。
掌握逆矩阵的定义、性质，并能从变换的角度给予理解。
从几何上认识一些基本变换矩阵的逆矩阵。
会证明逆矩阵的唯一性。
从几何上认识到投影阵不存在逆矩阵。
只要求从直观上认识到，当矩阵把多个向量变为同一向量时，该矩阵不存在逆矩阵。不从数学上讨论逆矩阵存在的充分必要条件。
会证明（AB）=BA。重要的是能从几何上认识到AB的逆矩阵是BA。
学生应该会证明，当A存在逆矩阵时，由AB=AC（或BA=CA）可推出B=C。特别是当AB=O，且A存在逆矩阵时，有B=O，换句话说，当A，B都有逆矩阵时，一定不会有AB=O。
当二阶矩阵存在逆矩阵时，会用解方程组的办法，求它的逆矩阵。
用解方程组的办法，求它的逆矩阵并不是人们通常所用的求逆矩阵方法。该方法本身不是我们的重点，只是告诉学生可以有办法求出矩阵的逆矩阵。
学生用此方法求逆矩阵时，给出的矩阵应该是可逆的。不要求学生去判断矩阵的可逆性，方程组的可解性等等问题。
矩阵A对向量的乘法看作是平面上向量到向量的一个映射，进一步理解已经学过的映射概念。
4．推广与应用
可把矩阵的概念推广到3维，n维
应用：密码、图论中的关联阵、生活中（两个顾客、两种商店）。
会给出二元一次方程组的矩阵表示。并能用变换或映射的观点认识解此方程组的问题。
认识到可以通过求逆矩阵的办法来解二元一次方程组。
** **
**实施建议：**
1．教学建议
矩阵作为数学的基本概念与工具有着广泛的应用。但是，在高中课程中不可能作系统的介绍，这里只介绍二阶方阵。特别是不象高等代数中那样，强调矩阵的各种代数运算（这里没有引进矩阵的加法、数乘矩阵等运算）。而是借助平面上的几何图形，强调矩阵是一个变换。通过简单、具体的矩阵，使学生掌握二阶方阵的乘法，明确矩阵乘法表示的是一个变换（如压缩、反射、旋转、切变、投影等）。
在通过矩形或三角形顶点的变换来描述整个矩形或三角形的变换的讨论中，暗含承认了"矩阵把直线变成直线"这一事实，它的证明不作要求，学生可通过试验"验证"这一点。"线性变换"这一名称，也不必出现。只要求从变换的角度让学生认识到矩阵乘法为什么不满足交换律（这是中学生第一次遇到不满足交换律的运算），从变换的角度来分析逆矩阵的意义以及为什么逆矩阵可能不存在。
鉴于中学在引入函数定义时，已给出了映射的概念，要求以映射的观点来认识一下矩阵与向量的乘法，比较与函数概念的异同。
从变换的观点认识二元一次方程组的求解问题。通过该方程组的矩阵表示，认识到其求解的问题相当于是求逆变换（逆矩阵）的问题，从而分析一下解的各种可能（唯一解、无穷多解、无解）。
盡可能使用计算机软件（如几何画板、Z+Z几何平台、Matlab）、图形计算器、科学计算器等，展示平面图形的变换过程，简化矩阵的计算复杂性。
充分开发教学资源，如利用网络、校外资源等。
2．教材的编写建议
注意几何与代数内容的相互结合、相互渗透；
把推广与应用作为研究性学习的内容；
注意与九年义务教育课程标准相关内容，如几何变换相联系。
3．评价建议
可以采用传统作业方式检查学生的学习质量；
还可以都讲完了之后再综合提高，让学生提出问题。此时可以把学生提出问题的层次性、宽泛性、深广度作为评价的指标；
可以把学生解决问题的水平、质量作为评价的依据。
** **
** **
**5．复数与三角恒等变换**
**单元目标**
复数是初等数学的基础知识，也是进一步学习高等数学的基础。，三角恒等变换，在高等数学、电工学、力学、机械设计与制造等方面具有广泛的应用，其中公式繁多。将复数与三角恒等变换结合，一方面可利用三角恒等变换揭示复数的一些运算性质（如等），从而将复数的运算法则扩展到乘幂、方根，并揭示复数乘法、除法、乘幂、方根的几何意义；另一方面，可利用复数的有关运算性质，简捷地处理三角恒等变换公式，使三角恒等变换公式易于记忆和掌握。
通过本单元的学习，让学生了解复数引进的必要性，理解和掌握复数及其运算，掌握两角和与差的三角公式。知道性质，在此基础上，能对复数的乘、除、乘方、开方及其几何意义作进一步认识，理解三角恒等变换中各种公式，并能运用公式解决一些相关的问题，为今后进一步学习打好基础。
** **
**单元内容**
（一）复数及其四则运算
1．复数的概念
虚单位、复数、共轭复数、复平面、复数的向量表示、复数相等的充要条件。
2．复数的加减法及其几何意义
3．复数的乘法、除法
（二）两角和与差的三角公式
1．两角和与差的余弦公式
2．两角和与差的正弦公式
3．两角和与差的正切、余弦公式
（三）复数的三角形式、欧拉公式及复数的指数形式
1．复数的三角形式
复数的模与辐角，复数的三角形式（）
2．欧拉公式与复数的指数形式
欧拉公式，复数的指数形式（）
3．利用两角和与差的正余弦公式证明
 
4．复数指数形式的乘法、除法运算及其几何意义
5．复数指数形式的乘幂、方根运算及其几何意义
（四）三角恒等变换公式
1．二倍角、三倍角的正弦，余弦公式，二倍角的正切公式
2．半角的正弦、余弦、正切公式
3．积化和差公式
4．和差化积公式
**具体内容及要求**
（一）复数及其四则运算
1．复数的概念
要求：知道虚单位、复数、共轭复数、复平面的概念；结合向量的知识，理解复数的向量表示及其几何意义；理解复数相等的充要条件。
2．复数的加减法及其几何意义
要求：能正确运用复数加法、减法法则进行加减运算，并结合向量表示理解加法、减法的几何意义。
3．复数的乘法与除法
要求：能正确运用复数代数形式的乘除法则进行复数的乘法，除法运算。
（二）两角和与差的三角公式
1．两角和与差的余弦公式
要求：会证明两角和的余弦公式，进而得到两角差的余弦公式。
2．两角和与差的正弦公式
要求：在两角和与差的余弦公式基础上，运用诱导公式证明两角 和与差的正弦公式。
3．两角和与差的正切公式
要求：能通过两角和与差的正余弦公式推证两角和与差的正切公式。
（三）复数的三角形式，欧拉公式及复数的指数形式
1．复数的三角形式
要求：理解复数的模、辐角主值的概念，能把一个复数用三角形式表示。
2．欧拉公式与复数的指数形式
要求：知道欧拉公式及复数的指数形式，并能对复数的三角形式与指数形式顺利互化。
3．利用两角和与差的正余弦公式证明
 
要求：能利用欧拉公式及两角和与差的正余弦公式证明
，。
4．复数指数形式的乘法、除法运算及其几何意义
要求：能运用复数指数形式的乘、除法法则对复数进行乘除运算， 并能理解其几何意义。
5．复数指数形式的乘幂、方根运算及其几何意义
要求：能运用复数指数形式的乘幂、方根运算法则对复数进行乘幂，方根运算，并能理解其几何意义。
（四）三角恒等变换公式
1．二倍角、三倍角的正弦，余弦公式，二倍角的正切公式
要求：能利用两角和与差的正弦、余弦公式或会利用欧拉公式及性质
推出二倍角、三倍角的正余弦公式， 二倍角的正切公式。
2．半角的正弦、余弦、正切公式
要求：能从二倍角的余弦公式反解出半角的正弦、余弦公式，进而得出半角的正切公式。
3．积化和差公式
要求：能利用两角和与差的正弦，余弦公式联解得积化和差公式或利用欧拉公式及性质
 推出积化和差公式。
注： 
即 
当把上式中换成即可得另外两组积化差公式。
4．和差化积公式
要求：能利用积化和差公式及变量代换得推 出和差化积公式或利用欧拉公式及性质推出和差化积公式。
注：
\<\>
即有 
**教学建议**
（1）教学时应突出复数的主干地位，注重复数与三角恒等变换的内在联系。
（2）复数及其四则运算中，应强调数系扩张后，复数所具有的特殊的四则运算法则。
（3）两角和与差的正余弦公式的证明主要是为后边证明作准备，此处不应过多展开或进行难度较大的训练。
（4）在证明性质时，应使学生体会数域扩张后，将实数域上成立的一些运算法则推广到复数域上时，证明的必要性。
（5）对于倍角、半角、两角和与差的三角恒等变换不宜过份强调技巧性，只要求一些简单的应用。
在教材编写上建议
（1）教学内容的选取应突出以复数为主线，利用基本三角恒等变换公式研究复数指数形式的乘、除、乘幂，方根运算法则，并运用复数指数形式的运算性质推导其余三角恒等变换公式，体现二者的紧密联系，使之互相渗透。
（2）知识的编排按以下线索展开
复数概念及四则运算------两角和与差的三角公式------复数的三角形式、欧拉公式及复数的指数形式------三角恒等变换公式。
（3）内容的呈现应采用自然语言，代数符号，几何直观相结合的方式，以加深学生的理解，充分展现欧拉公式及在推导三角恒等变换公式中的简捷性。
3．评价建议
（1）关注学生对复数概念的理解及四则运算掌握情况的评价；
（2）关注学生对复数的代数形式，三角形式及指数形式互化技能的评价；
（3）关注学生运用欧拉公式及性质进行复数的乘、除、乘方、开方运算能力的评价。
（4）关注学生利用三角恒等变换公式综合解决问题能力的评价。
**说明：**
（1）将复数与三角恒等变换揉在一起处理，加强了各知识之间的内在联系；
（2）把三角恒等变换作为复数的一个应用，可以突出三角公式的主杆，避免纠缠于过多技巧性变换；
（3）引入了欧拉公式及复数的指数形式后，虽然可以为今后学理工科的学生作一些铺垫，但某种程度上又提高了问题的抽象度。
>
1. **6． 导数与函数性质研究**
> （一）单元目标
通过导数及其基本性质的学习，使学生进一步认识函数是数学中的重要概念，体会函数有着极为丰富的现实背景；初步掌握导数的基本运算；在了解导数的背景及其思想方法的基础上，利用导数研究函数的一些基本性质；通过与初等数学方法的比较，体验导数在研究函数性质中的简捷性、有效性和一般性。
（二）单元内容
1． 导数的概念
（1） 导数；
（2） 导数的几何意义。
2． 导数的运算
（1）的导数，多项式函数的导数；
（2）简单复合函数的导数。
（3）基本导数公式表和导数四则运算法则。
3．利用导数研究函数的性质
（1）用导数研究函数的增减性、单调性，求函数的单调区间。
（2）函数的极大值、极小值以及最大值、最小值的概念。用导数求简单函数的极大值、极小值以及最大值、最小值。
（3）导数在解决实际问题中的应用。
★4。导数在函数的作图、方程的近似求解以及不等式的证明等中的应用。
（三）具体内容和要求
1．导数的概念
（1）通过对具体实例的考察和分析，了解导数概念的背景及其基本思想。
（2）通过对典型事例的分析，结合（1）中的背景材料，理解导数概念及其形成过程。（需要教学建议中进行解释）
（3）通过观察，直观上理解导数的几何意义，理解在某一区间上时函数图象的变化情况。
2．导数的运算
（1）会用导数概念计算的导数，进而会计算多项式函数的导数。
（2）结合实例会计算简单复合函数的导数。 （类似 f(ax+b)、一次复合有意义的）
（3）会使用基本导数公式表和导数四则运算法则计算简单函数的导数。（要给出基本导数公式表）
3．利用导数研究函数的性质
（1）会用导数研究函数的增减性、单调性，会求函数的单调区间。
（2）理解稳定点（或驻点）的含义；理解函数的极大值、极小值以及最大值、最小值的概念；会用导数求简单函数的极大值、极小值以及最大值、最小值，体验导数在研究函数性质中的优越性。
（3）了解导数在解决实际问题中的作用。
★4. 了解导数的其它应用，如函数的作图、方程的近似求解以及不等式的证明等。
（带★号的是选学内容）
（四）实施建议
1．教材编写建议
（1）在内容选择上要注重导数的实际背景，并注意到背景实例的典型性、多样性和可接受性，例如可以选择与生活、生产实际联系的例子，与物理、化学学学科内容相联系的例子；还要注意导数的思想方法在研究函数性质中与初等数学方法的比较，体现导数思想方法在中学数学中的意义和价值。
（2）在内容编排顺序上要符合学生的认知规律和具体\--抽象\--具体的认识规律，体现导数概念的形成过程，感受和体验导数的思想，以便有助于学生理解导数概念的本质；有助于学生理解函数的极大（小）值、最大（小）值概念；有助于学生认识导数在研究函数性质中的应用以及在解决实际问题中的作用。
（3）在教材的数学表述上要突出导数的基本思想，可以有极限过程的描述，但对数学形式化的语言不作要求。
（4）在教材的呈现方式上，无论是对函数与图形的性质，还是对导数概念，既要有直观、形象、生动的描述和比喻，同时又不失科学性。
2．教学建议
（1）结合学生的生活实际和数学基础，充分利用背景材料，善于引发认知冲突，激发学生的学习导数的兴趣和动机。
（2）适时对导数在研究函数性质中的方法与初等数学方法作比较，使学生在比较中感受和认识导数在中学数学中的意义和作用。
（3）适当运用现代教育技术，通过演示或学生亲自操作，让学生感受和体验导数的基本思想，尤其是在引入导数概念时，可以制作相关软件，如：展现曲线在一点处切线的形成过程。
（4）对不同的教学内容采用相应的教学方法，并鼓励学生自己寻找导数的应用例子（包括数学中的问题和其它实际问题），自己运用现代教育技术解决相应问题，加深对导数概念理解，加深对导数在研究函数性质和处理实际问题中有效性的认识。
3．评价建议
（1）注重将学生学习过程与学习结果相结合的评价方式。
教师应关注学生数学思考的过程和对数学的认识，尤其是对导数的学习，应防止仅将它作为一种规则和步骤来学习而忽略了导数的实际意义和价值的倾向。可以让学生在学习过程中，说一说自己对导数背景的认识和对导数概念的理解过程。要求学生在解决实际问题中感受和体验导数的意义和价值。
（2）既要评价学生对基础知识和基本技能的理解和掌握，又要重视数学基本能力的培养，评价学生在学习过程中学习行为方式的变化，并作好适当的记录，对学生的变化给予肯定或给予帮助，促进学生对基础知识和基本技能的理解和掌握，帮助学生形成能力。
（3）通过多种方法进行评价。例如可以通过课堂提问、研究性课题学习、学习交流、阶段性測试、自评与互评等方法，全面评价学生的学习成绩。目的在于激励学生的学习积极性，发挥学生的学习潜能，提高学习效益，促进教师改进教学。
（五）案例
**例1**．国家环保局，在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如下图所示。试问那个企业排污治理略好些？（其中表示排污量）
在处，虽然，然而
，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的**平均治污率**大，因此企业甲比企业乙略好一筹。
**例2**．我们知道，当运动员从10米高台跳水时，运动员跳向空中到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的，今假设t秒钟后相对地面高度为：，如图，问在2秒时的速度（**瞬时速度）**为多少？
（解 ，而，所以2秒前后（的平均速度为：
 
所以，在时，
即**在2秒时的速度**为
**例3**．如果在若干年后，有人可以对10000元的投资给予13000元的回报。这时，我们不仅要知道能有3000元的回报，而且要知道需要等待多少时间才能有3000元的回报，这就与**在多长时间内能得到多少回报**有关，**也就是与变化率**（回报/ 时间）多大有关，即是多大有关。
**例4**．从1998年开始，中国人口总数（）与时间（）的函数关系为（单位为10亿） ，问2001年的**出生率**有多少？
**例5**．病人注射药剂，注射的药物在人体内的残留量随时间变化为：，问药品在人体内滞留24小时时的**变化速率**如何？
（24小时时的变化速率为\[\]/）
**例6**．试求函数 的所有稳定点和极大（小）值。完成后再用计算器或计算机画出函数的图象来核实你的工作。
**例7**．一个家具厂与某客户签定了一份协议：定购1\--300把椅子价格是每把90元，超过300把时，每增加1\--100把，每把椅子价格可以降价1元，椅子的成本价是每把63元。问在这份协议下，客户订购多少把椅子时，厂家盈利最大。
**7。 排列组合。 计数。离散数学**
（缺， 待补）
** **
** **
**8。 算法 （8课时）**
** **
"计算机既是数学的创造物，又是数学的创造者"，而算法既是计算机理论和实践的核心，也是数学的最基本内容之一。算法有着悠久的发展历史，它的起源几近于数学的肇始。中国古代数学曾经以算法为特色，取得了举世瞩目的辉煌成就，而在已经逐步进入信息化社会的今天，算法又焕发出新的活力，算法的基本知识、方法、思想日益融入人们社会生活的方方面面，已经成为现代人所应具备的一种基本数学素质。
** **
**一、 单元目标**
1．通过算法课程的学习，使学生对算法的概念和意义有初步的了解。
2．初步掌握几类简单问题的算法，能够应用这些算法解决日常生活和各课学习过程中遇到的简单的算法问题，对算法在数学、计算机和日常生活中应用的广泛性有所领会，学会绘制程序框图，并能够进行简单伪代码编程。
3．通过算法课程的学习，使学生初步建立算法意识，体会算法在现代信息技术中的基础地位和算法思想的重要意义。
4．注意在数学课程的各部分渗透算法的思想、涉及有关顺序、条件分支、循环等的内容时，尽可能用逻辑框图、流程图的表现形式。强化学生对算法的感悟和理解。注意与信息技术课的整合。
** **
**二、 单元内容**
> 1．算法的概念、逻辑框图、程序框图与伪代码编程。
>
> 2．通过求一元二次方程的根等例子，学习顺序、条件分支的算法结构。
>
> 3．通过求数列的前n项和，不定方程求整数解等例子，学习循环的算法结构。
>
> 4．通过排序问题，表现用不同算法解决同一个问题。
>
>
**三、具体要求**
1．理解算法的概念，了解算法中出现频率最高的三种基本逻辑结构：顺序、分支、循环。能够绘制简单问题的逻辑框图或程序框图，初步掌握简单问题的伪代码编程。
2．能够用程序框图对求一元二次方程根的过程进行描述，并写出伪代码。
3．能够用程序框图表示求数列前n项和、不定方程求整数解的过程，并能够写出伪代码。
> 4．能够掌握标准排序、插入排序等基本排序方法，能够用框图表示出排序过程，并写出伪代码。
**四、实施建议**
> 1．教学建议
>
> 在教学上要突出算法思想，提倡学生的独立思考和探索，立足于学生的实践活动，在条件允许的情况下，鼓励学生积极充分地使用计算机或计算器等先进的技术手段，培养学生的实践能力。要注意培养学生绘制程序框图的习惯，也可以组织学生在伪代码编程的基础上进行计算机高级语言编程，
>
> 算法的教学要采取灵活的方式，除必修内容之外，应该在各部分内容当中渗透算法思想，提供给学生一些课外阅读材料，扩大学生的视野，增加学生的兴趣，并提出一些探究性课题，满足不同层次学生的需要。
>
> 2．评价建议
重视考察对算法基本概念的理解，以及解决实际问题的能力。注意学生对算法、流程图表述的清晰，鼓励学生对同一个问题寻求不同的算法，用自己掌握的方式实践和实现算法。这部分内容的评价也可以与其它部分相关内容一起进行，比如可以采取小论文、程序设计、用框图表现一个现实过程的逻辑结构或实施顺序等灵活多样的形式进行评价。
> 3．教材编写建议
>
> 教材除必修的正式教学内容之外，应该有一些阅读材料和探究性课题，这些内容的选择应该遵循以下原则：
·简单性和探索性。选择的内容应该力求简单，要考虑到学生和教师的实际能力和知识背景，易于实施和操作，不追求内容的完备性，但同时又不能过于简单，要有探索的余地。
·典型性和重要性。选择的内容力求能够突出算法思想，较好地体现出算法的本质，具有典型意义，能够为将来学生的进一步学习和工作做好必要的准备。
·趣味性与实用性。内容的选择应该注意到能够引起学生的兴趣，注意与现实生活实际问题的联系，有一定的实用性。
下列内容可供参考：
阅读材料："算法"的由来，素数的故事，闰年问题，阴历与阳历，鸡兔同笼问题，货郎担问题等。
探究性课题：方程的近似解，高斯消元法，最短路线问题，迭代与分形，高精度计算，24点游戏，五子棋游戏，Hanoi塔问题与递归程序设计，地形图的绘制，算术公式解释器等。
> 在教材编写过程中对算法内容可按两种形式来处理：具有独立意义的部分，比如算法的定义、伪代码内容、以及涉及有关顺序、条件分支、循环等的算例可以独立开列章节；与其它课程内容关系密切的算法可以融合在相应的课程内容之中，比如排列组合的计算、代数方程求近似根等可以在对应内容后附上算法框图，在数学建模、探究性课题中也可以涉及算法的内容。也可以直接使用高级程序语言代替伪代码。
>
> 注：可根据需要和可能，将"蓝色"的有关伪代码的内容删去。
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**附录1：**标准程序流程图的符号及使用约定
一,引言
程序流程图(Progran flowchart)作为一种算法表达工具,早已为工国计算机工作者和广大计算机用户十分熟悉和普通使用.然而它的一个明显缺点在于缺乏统一的规范化符号表示和严格的使用规则.最近,国家标准局批准的国家标准(GB1525-89)\<\<信息处理\--数据流程图,程序流程图,系统流程图,程序网络图和系统资源图的文件编制符号及约定\>\>为我们推荐了一套标准化符号和使用约定.由于该标准是与国际标准化组织公布的标准ISO5807\--85 Information processing\--Documentation symbols and comventions for data,program and system flowcharts,program network charts and system resources charts是一致的,这里将其中程序流程图部分摘录出来,并做了一些解释,供读者参考.
根据这一标准画出的程序流程图我们称为标准流程图.
二,符号
程序流程图表示了程序的操作顺序.它应包括:
(1)指明实际处理操作的处理符号,包括根据逻辑条件确定要执行的路径的符号.
(2)指明控制流的流线符号.
(3)便于读写程序流程图的特殊符号.
 以下给出标准流程图所用的符号及其简要说明,请参看图1.
图1 标准程序流程图符号
1.数据\-\-\-- 平行四边形表示数据,其中可注明数据名,来源,用途或其它的文字说明.此符号并不限定数据的媒体.
2.处理\-\-\-- 矩形表示各种处理功能.例如,执行一个或一组特定的操作,从而使信息的值,信息形世或所在位置发生变化,或是确定对某一流向的选择.矩形内可注明处理名或其简工功能.
3.特定处理\-\-\-- 带有双纵边线的矩形表示已命名的特定处理.该处理为在另外地方已得到详细说明的一个操作或一组操作,便如子例行程序,模块.矩形内可注明特定处理名或其简要功能.
4.准备\-\-\-- 六边形符号表示准备.它表示修改一条指令或一组指令以影响随后的活动.例如,设置开关,修改变址寄存器,初始化例行程序.
5.判断\-\-\-\-- 菱形表示判断或开关.菱形内可注明判断的条件.它只有一个入口,但可以有若干个可供选择的出口,在对符号内定义折条件求值后,有一个且仅有一个出口被激活.求值结果可在表示出口路径的流线附近写出.
6.循环界限\-\-\-- 循环界限为去上角矩形表示年界限和去下角矩形的下界限构成,分别表示循环的开始和循环的结束.一对符号内应注明同一循环标识符.可根据检验终止循环条件在循环的开始还是在循环的末尾,将其条件分别在上界限符内注明(如:当A\>B)或在下界限符内注明(如:直到C\<D).图2给出了当终止条件成立时进入循环和直到终止条件成立退出循环的两种不同的表示.
 图2 两种循环表示
7.连接符\-\-\-- 圆表示连接符,用以表明转向流程图的它处,或从流程图它处转入.它是流线的断点.在图内注明某一标识符,表明该流线将在具有相同标识符的另一连接符处继续下去(参看以下关于连接符使用的约定).
8.端点符\-\-\-- 扁圆形表示转向外部环境或从外部环境转入的端点符.例如,程序流程的起始或结束,数据的外部使用起点或终点.
 9.注解符\-\-\-- 注解符由纵边线和虚线构成,用以标识注解的内容.虚线须连接到被注解的符号或符号组合上.注解的正文应靠近纵边线.请参看图3给出的注解符使用示例.
图3 注解符的使用
10.流线 \-\-\-\-- 直线表示控制流的流线.关于流线上表示流向的箭头,其使用方法见后面的约定.
11.虚线 \-\-\-- 虚线用于表明被注解的范围或连接被注解部分与注解正文,也参看图3.
 12.省略符 \-\-\-- 若流程图中有些部分无需给出符号的具体形式和数量,可用三点构成的省略符.省略符应夹在流线符号之中或流线符号之间 ,参看图4.
图4 省略符的使用
 13.并行方式 \-\-\-- 一对平行线表示同步进行两个或两个以上并行方式的操作.并行方式的示例如图5,图中在处理A完成后才能进行处理C,D和E;同样,处理F要等处理B,C,D完成以后进行.但处理C可以处理D开始和(或)结束前开始和(或)结束.
图5 并行方式示例
三,使用约定
关于流程图符号的使用约定,简要地说明以下几点:
1.图的布局
流程图中所用的符号应该均心地分布,连线保持合理的长度,并尽量少使用长线.
2.符号的形状
流程图中多数符号内的空白供标注说明性文字.使用各种符号应注意符号的外形和各符号大小的统一,避免使符号变形或各符号大小比例不一.
3.符号内的说明文字
应使符号内的说明文字尽可能简明.通常按从左向右和从上向下方式书写,并与流向无关.如果说明文字较多,符号内写不完,可使用注解符.若注解符干扰或影响到图形的流程,应将正文写在另外一页上,并注明引用符号.
4.符号标识符
 为符号规定标识符是为了便于其它文件引用该符号.便如,程序清单中引用到流程图中的特定符号.符号标识符一般写在符号的左上角,参看图6(a).
图6 符号标识符和符号描述符
5.符号描述符
为便于进一步理解符号的功能,可标注符号描述符.通常描述符写在符号的右上角,如图6(b)所示.
6.详细表示
 在处理符号或数据符号中画一横线,表明该符号在同一文件集中的其它地言有更为详细的表示.横线在符号内靠近项端,详细表示的标识符写在符号内横线之上,见图7(a).端点符用作详细表示的开始符号和结束符号,在此符号中应给出加横线符号中的标识符,见图7(b).
图7 加横线符号及其详细表示
7.流线
(1)标准流向与箭头的使用
流线的标准流向是从左到右和从上到下.沿标准流向的流线可不用箭头指示流向,但沿非标准流向的流线应用箭头指示充向.
(2)流线的交叉
应当尽量避免流线的交叉.即使出现流线的交叉,交叉的流线之间也没有任何逻辑关系,并不对流向产生任何影响,如图8(a)所示.
(3)流线的汇集
 两条或多条进入线可以汇集成一条输出线,此时各连接点应要互错工以提高清晰度,并用箭头表示流向,如图8(b)所示.
图8 汉线的交叉与流线的汇集
(4)符号流线进出
一般情况下,流线应从符号的左边或项端进入,并从右边或底端离开.其进出点均应对准符号的中心.
(5)连接符
为避免出现流线交叉和使用长线,或某个流程图能在另一页上延续,可用连接符将流线截断.截断始端的连接符称为出口连接符,载断末端的连接符称为入口连接符.两连接符中用同一标识符.
 换页截断可用与连接符相连的注解符表示,如图9所示.
图9 出口连接符与入口连接符
8.多出口判断的两种表示方法
(1)直接从判断符号引出多条流线,如图10(a)所示.
 (2)从判断符号引聘条流线,再从它引出多条流线,如图10(b)所示.
图10 多出口判断
 多出口判断的每个出口都应标有相应的条件值,用以反映它所引出的逻辑路径,如图11所示.
图11 多出口判断出口处标出条件值
 四, 示例
** **
**9. 统计与概率**
** **
**一、单元谋?/span\>**
作为必修课程的继续，B系列统计与概率的学习应巩固、加深学生已形成的对数据分析方法的理解，扩展学生已经获得的对不确定性和概率的经验。通过一些典型案例，学生将再次从事数据处理的全过程------提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、解释数据、作出判断，进一步认识统计方法对制定决策的作用；学习一些常见而重要的概率分布，并利用它们解决一些实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，以逐步建立随机观念。
**二、单元内容**
**◆概率部分（10课时）**
●超几何分布及简单应用。
●条件概率、独立的概念及简单计算。
●二项分布及简单应用。
●有限离散型随机变量及其概率分布列。
●有限离散型随机变量的数学期望和方差及其简单应用。
**◆统计部分（12课时）**
> ●独立性检验案例。
>
> ●极大似然估计案例。
>
> ●假设检验案例。
>
> ●试验设计案例。
**三、具体内容和要求**
**◆概率部分**
1．通过丰富的实例理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
2．通过丰富的实例了解条件概率及独立的概念，并能进行简单计算。
3．通过丰富的实例，理解n次独立重复实验的模型，导出二项分布，并能进行简单的应用。
4．通过实例了解有限离散随机变量及其分布列的概念。
5．通过实例理解有限离散随机变量的数学期望和方差的概念，能进行一些简单的计算，并能解决一些实际问题（如中奖的期望）。
>
**◆统计部分**
1．通过对典型案例（如"肺癌与吸烟有关吗"）的探究，了解独立性检验的基本思想方法及应用。
2．通过对超几何分布的典型案例（如"估计池塘中鱼的总量"）和二项分布的典型案例（如" 废品率的估计"）的探究，了解极大似然估计的基本思想方法及应用。
3．通过对典型案例（如"质量控制"）的探究，了解假设检验的基本思想方法及应用。
4．通过对典型案例（如"田间试验"）的探究，了解试验设计的基本思想方法及应用。
**四、实施建议**
**1．教学建议**
①以专题研究为形式，学习一些常用的统计方法，感受其中所渗透的统计思想，体会统计作为模型的作用，并能将所学的统计方法进行简单的应用。
②鼓励学生通过独立思考和讨论，探索多种解决问题的方法，在此基础上学习一些常用的统计方法。
③在丰富的背景中，注重学生体会概率的意义，体会概率作为模型的作用。
④ 概率学习中"独立"、"离散随机变量"等概念应结合具体的实例进行描述性说明，淡化其作为专业术语的涵义。
⑤鼓励学生运用现代教育技术，特别是计算器、计算机来处理数据，以留下更多的时间体会统计思想；利用计算机进行模拟活动，更好地体会概率的意义。
** **
**2．评价建议**
①重视对学生参与统计活动，及应用所学知识、方法探讨和解决实际问题能力的评价。
②重视评价学生对基础知识与基本技能的理解及在新情境中的应用，避免繁琐的计算和单纯地记忆公式，在考试的适当部分应允许使用计算器和计算机。
③注意评价手段的多样化和针对性，全面评价学生的学习水平。
④运用定性与定量相结合的方式评价学生的学习状况。
** **
**3．教材编写建议**
①在统计学习中，要提供给学生具有实际背景的、有趣的、具备操作性的例子（上面的实例仅供参考），使学生学习一些常用的统计方法。
②在统计学习中，要提供一些具体的问题，鼓励学生运用所学的统计方法解决这些问题，不能仅仅将这部分内容作为阅读性材料，也要避免引入过多的专业性术语。
③内容呈现上要反映概念的来龙去脉，强调数据处理的过程和概率思想的发展过程。
④创设有利于学生探索和交流的教学情境，使学生在自主活动和师生互动中学习概率统计的内容。
**三个新增板块的课程标准**
**（一）数学文化专题系列**
单元目标
数学是人类社会进步的产物， 并成为人类文化的重要组成部分。通过数学文化专题系列的教学， 可以揭示数学科学中的人文精神， 寻求数学进步的历史轨迹， 激发数学创新的原动力， 领会数学的美学价值， 使学生得到优秀文化的熏陶。
单元内容
● 数学文化专题主要有以下三个方面：
1． 数学在人类社会进步中的作用。例如
▲ 由数学需要产生的计算机（冯。诺依曼方案）使人类社会进入信息时代。吴文俊的机器证明。
▲ 诺贝尔奖中的数学工作（CT 扫描等）
▲ 金融数学的崛起
▲ 数学密码和国家安全。 数论。 华罗庚与陈景润
2． 数学在人类文化建设中的作用。 例如
▲ 欧氏《几何原本》与徐光启的译序
▲ 非欧几何： 理性思维的胜利
▲ 数学方程：基础科学的基础（爱因斯坦方程、电磁学方程、杨-米尔斯方程、流体力学方程。。。）
3． 数学文化精品欣赏
▲ 费马大定理的证明（从勾股定理谈起）
▲ 无限的魅力：希尔伯特无限旅店。
▲ 数学精品： ε-δ语言
▲ 分形欣赏（计算机美学）
（注：以上仅仅是举例。可以扩充和修改）
内容要求
● 数学文化的载体是数学发展中的人物和事件， 杰出的数学思想、以及优秀的成果成果。在上述例子中，注意介绍有关人和事的人文精神， 进行德育教育。
● 本科体涉及的内容， 可以和中学数学密切相关， 也可以越出初等数学的范围， 介绍多种多样的数学发展，包括20世纪数学的内容。
● 数学有形式化的侧面， 也有文化的层面。 上述例子只能从文化的角度加以叙述， 不可能形式化地展开。正如中学物理学讲"原子核爆炸"， 中学生物学讲"克隆"和DNA， 数学教学也可以有深入浅出的非形式化途径。
● 尽可能对有关课题作形象化的处理，使用图片，幻灯， 录象以及计算机软件等。
教学建议
> 1． 应当采取多样化的教学方式。 例如请数学家演讲，学生读书报告，编成话剧演出，电影放映， 上网查找等。
>
> 2． 严格区别数学形式化要求和非形式化介绍， 使二者互相促进而不是互相矛盾。注意张扬数学的人文精神。
>
> 3． 课外应指导学生阅读有关的文献资料。
评价建议
> 1． 用"数学作文"方式进行考查。 优秀作品（如剧本）给予鼓励。
>
> 2． 高考中应适当涉及常识性的数学文化内容。必须把数学的文化层面作为数学的一部分，文理结合， 综合思考。 不要把数学弄得纯而又纯。
** **
（二）"**探究性课题学习"系列单元**
** **
**单元目标**
"探究性课题学习"是数学学习的一种新的尝试。其主要目的在于培养学生在数学上的创新精神， 敢于质疑、提问、反思、推广， 初步经历数学发现、数学探究、数学创造的过程， 从而亲身体验数学探究的激情和愉悦
数学建模的教学目标也是培养学生的创新精神，但偏重于现实模型的建立和实际效应。 探究性课题在偏重数学本身内部的创新。
单元内容
> 1． 内容设计的理念。
● 探究性课题正在中国数学教学中有优良的传统。 例如"一题多解"、"系列解题"、"解题方法"，以及"数学思想方法论专题"等都是。但是这些问题多半是封闭的。 题目必有解， 而且唯一解，解法一定是化归式的。 因此有许多局限性， 需要在发扬传统的基础上改进和拓广。
● 近年来， 开放题发展得很快。 这是一个突破。开放题的解答往往很多， 甚至无限多，不能穷尽。 因此为学生提供了更大的探究空间。 比开放题更广的是"数学作文"， 学生可以更加自由地发表对数学的看法， 对一类问题发表综合性评论，或者旧某一个问题进行系统的探讨。
● 探究题应该和课程内容有比较紧密的联系。 如果离开课程内容太远， 或者需要补充铺垫许多新知识，结果在实践中难以得到好的效果。但是又不能靠的太近， 成为常规的习题。 探究题必须具有启迪性，没有程式可以套用。
● 探究性课题的特征是学生能够动手做， 作出的结果并不限于教师的预期， 有较大的发挥余地，可以张扬学生自己的个性。
● 根据学生的程度， 学校的环境， 教师的专长， 探究性课题不应该追求统一。 学校和教师有更多的自主权。
2． 探究性课题的建议及举例
● 活动型课题。 它们要求学生参与一种活动， 或者是课外活动， 但要通过自己的数学探究才能完成。例："要求学生用长方体、台体、锥体、球体制作运动会的奖杯， 形状要美观。但要把每个部件的方程写出来。"（解析几何课程适用）
● 构造性课题。它们在数学上是一个崭新的课题， 需要用自己的想象力和创造力， 求得完美的结果。例："在四维欧氏空间中，四维的立方体有几个顶点， 几条棱， 几个二维面、 三维体、四维体？" （培养学生的空间想象力，可以推广到N维。适合立体几何和排列组合单元使用）。
● 猜想与证明型课题。
波利亚提倡教合情推理：猜想-证明。较好的例子有整数的等差分拆问题。 "30以内哪些正整数可以拆成一个等差级数之和？（公差和首项都是正整数）。 先用计算机将它打印出来， 然后猜想定理（如可等差分拆的一定是合数）然后加以证明。
>
>
> ● 推广型课题。 给出一个很平凡的数学问题， 然后加以推广，往往回得出很有趣的结果。这种推广， 学生可以直接参与。
>
> 例：（分苹果）某人把一堆苹果的一半家半个（整数）给他的弟弟。 再奖余下的一半加半个给他的弟弟， 此时盛夏两个。 问原来有几个苹果？
此题用算术或方程求解很容易， 但推到一般：分N次， 剩下M个苹果， 就会得出许多有趣的结果。 这和数列、迭代、函数等数学内容有关。（详见附录）
● 总结性课题。 数系扩展的认识。 为什么要扩展？ 困难何在？ 从数学上和实践上进行分析。数系教学通常只是讲各种数系间的逻辑关系，画一个知识系统图就算完事。其实，数学发展还有另一层意义：为什么要发展。 不发展又如何， 计算器只认得小数， 不认得无理数。 计算机又如何（符号演算）等等， 可以想得深一点。
● 历史上数学发现的重现。 1948年仙农创立信息论。一个数学家为什么关注"信息"？如何规定信息量（用以2为底的对数）， 信息传输要编码， 并能自我改正。看看一个原创性的伟大数学成果是如何产生的。 （详见附录）
● 统计调查， 抽样实践等。
● 我国彩票中奖、有奖销售的概率述评。
● 我国传统的"探究题"
● 其它。
教学建议
> 1． 要充分放手让学生动手做。 对确有困难学生给以帮助。
>
> 2． 根据学生的实际情况， 题目难易应适中， 以"跳一跳把果子摘下来为度"。
>
> 3． 可以和"数学竞赛活动相结合"， 但不要互相代替。
评价建议
1． 以作业方式进行评价。
2． 可以适当组织竞赛。
3． 高考命题时应当有所涉及
（本段内容参考广西师范大学龙开奋老师的研究成果）
**（三） "数学建模"系列单元**
** 单元目标：**
> 通过"数学建模" 课使学生了解用数学解决实际问题的过程, 熟悉以下框图。 使学生初步地了解如何对原始问题分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的循环过程。并进行反思和抽象。
Ａ：现实世界的 是否符合实际？Ｅ：实际问题的解
问题或情况 修改、深化、扩展
回译 检验
简
Ｄ：数学模型的解
化
数学方法 计算机工具
翻 译
Ｂ：现实的模型 Ｃ： 数学模型
通过数学建模要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习，自主探索，自主地提出问题，自主解决问题的机会。要尽量为不同水平的学生提供展现他们创造力的舞台。提高应用所学的数学知识解决实际问题的能力.
通过数学建模的教与学(或者说在教师有限指导下，学生更多自主的实践)，要让学生能把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具、培养良好的科学态度与思维品质更好地结合起来，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验，加深对数学的理解。
应该充分发挥数学建模的教育功能, 培养学生数学观念、科学态度、合作精神。在激发学生学习的兴趣，培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和学习习惯。
**高中教材中数学建模课程内容安排**
> 1． 教育储蓄问题（涉及等差数列、等比数列的通项和求和，通过不等式比大小。
>
> 2． 人口问题（涉及函数知识，人口数据的函数拟合，预测，插值。
>
> 3． 测量问题（借助三角知识测量不可及目标两点间的距离，不可及目标之高程。）
>
> 4． 线性规划解决分配或营养配比问题（二元，可用图解法，多元的可介绍软件求解方法）
>
> 5． 统筹法解决最小工期问题。
>
> 6． 饮料罐的合理尺寸（立体几何、代数极值）
>
> 7． 磁带求长求单层厚度等问题（用多种方法解决同一个问题）
>
> 8． 几何概率解决投镖问题
>
> 9． 数据处理解决不同班视力水平的估计，学习水平的估计等。
>
> 10． 图论方法解决最小行程（或设备更新）问题。
>
> 11. 结合学生生活的实际, 由学生或教师自己提出的问题.
>
> ......
**具体要求**
1．每学期安排2个建模问题单元， 高一、高二、一共可安排8个建模的问题单元，供教师选择。 其中一个单元占用课时， 另一个可由学生自主安排， 或在假期举行数学实践活动。
2． 建模教学单元的可选择性表现在两个方面： 一是教师可以根据教学内容, 学生的情况, 自主选择课题. 二是在对每一个具体的建模教学单元的课题， 自主掌握教学设计、目标达成度、和评价体系。
3． 不再按A、B、C层次设计分别设计不同的建模教学内容。
4． 建模的学习和实践可以也应该和探究课题相结合。
**教学建议**
> 1． 应努力选择与学生的生活实际相关的问题，并**减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢**。
>
> 2． 数学建模问题的应努力表现出**建模的全过程，**而不仅仅是问题本身的解决。
>
> 3． 数学建模选用的问题最好有较为**宽泛的数学背景**、有不同的层次以便于不同水平学生的参与, 并注意问题的**可扩展性和开放性**。
>
> 4． 应鼓励学生在问题分析解决中使用**计算工具和**成品工具软件。
>
> 5． 建模过程中要强调发展学生们的**主体意识、合作意识**, 鼓励学生们能动地参与建模的各个环节，主动地提问题、想问题、找问题、合作学习、优势互补、发挥特长、合作解决问题。提倡建模教学中多采用小组学习、集体讨论、论文报告答辩等以学生自主实践活动为主体的教学模式。
>
> 6． 提倡教师自己动手、因地制宜地收集、编制、改造适合自身学生使用的数学建模问题，并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略。
>
> 7． 对学生完成的优秀论文,要及时给予鼓励,奖励. 教师有义务和权利将能反映学生潜力的论文推荐给高等学校, 高等学校应有专门的学术委员会对优秀学生的工作给予鉴定, 答辩和破格录取.
**评价建议**
> 1． 数学建模的评价应以"大型作业"的形式进行。
>
> 2． 数学建模作业的评价标准应注意以下几个方面：
>
> （1） 创新性。 看问题的提出和解决的方案是否有一些新意，不全是别人工作的简单重复。
>
> （2） 现实性。 问题的来源是现实的，或有若干现实背景的， 避免凭空想象。
>
> （3） 真实性。 确实是学生本人参与制作的， 数据是真实的。
>
> （4） 合理性。建模过程中使用的数学方法准确得当， 求解过程合乎常理。
>
> （5） 有效性。 建模的结果能够产生一些实际效果。
>
> 3． 对建模的要求不可太高， 重在参与。 以上的标准中只要有一项比较好， 就应该予以表扬。
** **
**附录2：伪代码的使用** Usage of Pseudocode
伪代码(Pseudocode)是一种算法描述语言。使用为代码的目的是为了使被描述的算法可以容易地以任何一种编程语言(Pascal, C, Java, etc)实现。因此，伪代码必须结构清晰，代码简单，可读性好，并且类似自然语言。
下面介绍一种类Pascal语言的伪代码的语法规则。
在伪代码中，每一条指令占一行(else if 例外，)，指令后不跟任何符号（Pascal和C中语句要以分号结尾）；书写上的"缩进"表示程序中的分支程序结构。这种缩进风格也适用于if-then-else语句。用缩进取代传统Pascal中的begin和end语句来表示程序的块结构可以大大提高代码的清晰性；同一模块的语句有相同的缩进量，次一级模块的语句相对与其父级模块的语句缩进；
例如：
line 1
line 2
sub line 1
sub line 2
sub sub line 1
sub sub line 2
sub line 3
line 3
而在Pascal中这种关系用begin和end的嵌套来表示， sub line 2
begin
sub sub line 1
sub sub line 2
end;
sub line 3
end;
line 3
在C中这种关系用{ 和 } 的嵌套来表示，
line 1
line 2
{
sub line 1
sub line 2
{
sub sub line 1
sub sub line 2
}
sub line 3
}
line 3
在伪代码中，通常用连续的数字或字母来标示同一即模块中的连续语句，有时也可省略标号。
例如：
1\. line 1
2\. line 2
a\. sub line 1
b\. sub line 2
1\. sub sub line 1
2\. sub sub line 2
c\. sub line 3
3\. line 3
符号△后的内容表示注释； 在伪代码中，变量名和保留字不区分大小写，这一点和Pascal相同，与C或C++不同；在伪代码中，变量不需声明，但变量局部于特定过程，不能不加显示的说明就使用全局变量； 赋值语句用符号←表示，x←exp表示将exp的值赋给x，其中x是一个变量，exp是一个与x同类型的变量或表达式（该表达式的结果与x同类型）；多重赋值i←j←e是将表达式e的值赋给变量i和j，这种表示与j←e和i←e等价。
例如：
x←y
x←20\*(y+1)
x←y←30
以上语句用Pascal分别表示为：
x := y;
x := 20\*(y+1);
x := 30; y := 30;
以上语句用C分别表示为：
x = y;
x = 20\*(y+1);
x = y = 30;
选择语句用if-then-else来表示，并且这种if-then-else可以嵌套，与Pascal中的if-then-else没有什么区别。
例如:
if (Condition1)
then \[ Block 1 \]
else if (Condition2)
then \[ Block 2 \]
else \[ Block 3 \]
循环语句有三种：while循环、repeat-until循环和for循环，其语法均与Pascal类似，只是用缩进代替begin - end；
例如：
1\. x ← 0
2\. y ← 0
3\. z ← 0
4\. while x \< N
1\. do x ← x + 1
2\. y ← x + y
3\. for t ← 0 to 10
1\. do z ← ( z + x \* y ) / 100
2\. repeat
1\. y ← y + 1
2\. z ← z - y
3\. until z \< 0
4\. z ← x \* y
5\. y ← y / 2
上述语句用Pascal来描述是：
x := 0;
y := 0;
z := 0;
while x \< N do
begin
x := x + 1;
y := x + y;
for t := 0 to 10 do
begin
z := ( z + x \* y ) / 100;
repeat
y := y + 1;
z := z - y;
until z \< 0;
end;
z := x \* y;
end;
y := y / 2;
上述语句用C或C++来描述是：
x = y = z = 0;
while( z \< N )
{
x ++;
y += x;
for( t = 0; t \< 10; t++ )
{
z = ( z + x \* y ) / 100;
do {
y ++;
z -= y;
} while( z \>= 0 );
}
z = x \* y;
}
y /= 2;
数组元素的存取有数组名后跟"\[下标\]"表示。例如A\[j\]指示数组A的第j个元素。符号" ..."用来指示数组中值的范围。
例如：
A\[1...j\]表示含元素A\[1\], A\[2\], ... , A\[j\]的子数组；
复合数据用对象(Object)来表示，对象由属性(attribute)和域(field)构成。域的存取是由域名后接由方括号括住的对象名表示。
例如：
数组可被看作是一个对象，其属性有length，表示其中元素的个数，则length\[A\]就表示数组A中的元素的个数。在表示数组元素和对象属性时都要用方括号，一般来说从上下文可以看出其含义。用于表示一个数组或对象的变量被看作是指向表示数组或对象的数据的一个指针。对于某个对象x的所有域f，赋值y←x就使f\[y\]=f\[x\]，更进一步，若有f\[x\]←3，则不仅有f\[x\]=3，同时有f\[y\]=3，换言之，在赋值y←x后，x和y指向同一个对象。有时，一个指针不指向任何对象，这时我们赋给他nil。
函数和过程语法与Pascal类似。函数值利用 "return (函数返回值)" 语句来返回，调用方法与Pascal类似；过程用 "call 过程名"语句来调用；
例如：
1\. x ← t + 10
2\. y ← sin(x)
3\. call CalValue(x,y)
参数用按值传递方式传给一个过程：被调用过程接受参数的一份副本，若他对某个参数赋值，则这种变化对发出调用的过程是不可见的。当传递一个对象时，只是拷贝指向该对象的指针，而不拷贝其各个域。
**附录3：算法 Algorithm**
算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说，就是计算机解题的过程。在这个过程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法，后者是操作实现的算法。
一个算法应该具有以下五个重要的特征：
**有穷性：** 一个算法必须保证执行有限步之后结束；
**确切性：** 算法的每一步骤必须有确切的定义；
**输入：**一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；
**输出：**一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；
**可行性：** 算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。
Algorithm(算法)一词本身就十分有趣。初看起来，这个词好像是某人打算要写"Logarithm"(对数)一词但却把头四个字母写的前后颠倒了。这个词一直到1957年之前在Webster\'s New World Dictionary(《韦氏新世界词典》)中还未出现，我们只能找到带有它的古代涵义的较老形式的"Algorism"(算术)，指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在中世纪时，珠算家用算盘进行计算，而算术家用算术进行计算。中世纪之后，对这个词的起源已经拿不准了，早期的语言学家试图推断它的来历，认为它是从把algiros(费力的)+arithmos(数字)组合起来派生而成的，但另一些人则不同意这种说法，认为这个词是从"喀斯迪尔国王Algor"派生而来的。最后，数学史学家发现了algorism(算术)一词的真实起源：它来源于著名的Persian Textbook(《波斯教科书》)的作者的名字Abu Ja\'far Mohammed ibn Mûsâ al-Khowârizm （约公元前825年）------从字面上看，这个名字的意思是"Ja\'far 的父亲，Mohammed 和 Mûsâ 是前苏联XИBA(基发) 的小城镇 。Al-Khowârizm 写了著名的书Kitab al jabr w\'al-muqabala (《复原和化简的规则》)；另一个词，"algebra"(代数)，是从他的书的标题引出来的，尽管这本书实际上根本不是讲代数的。逐渐地，"algorism"的形式和意义就变得面目全非了。如牛津英语字典所说明的，这个词是由于同arithmetic(算术)相混淆而形成的错拼词。由algorism又变成algorithm。一本早期的德文数学词典 Vollstandiges Mathematisches Lexicon (《数学大全辞典》) ，给出了Algorithmus (算法)一词的如下定义："在这个名称之下，组合了四种类型的算术计算的概念，即加法、乘法、减法、除法"。拉顶短语algorithmus infinitesimalis (无限小方法) ，在当时就用来表示Leibnitz(莱布尼兹)所发明的以无限小量进行计算的微积分方法。1950年左右，algorithm一词经常地同欧几里德算法(Euclid\'s algorithm)联系在一起。这个算法就是在欧几里德的《几何原本》(Euclid\'s Elements ,第VII卷，命题i和ii)中所阐述的求两个数的最大公约数的过程(即辗转相除法)。
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**附录二**
> **数学建模教学中的两个认识问题**
>
> **张思明（北京大学附中）**
>
> ** **
在实施数学建模教学时， 经常听到以下两个问题。
1．新教材已经比过去更加强调了数学知识的应用,为什么还要增加数学建模的内容？ 数学知识的应用和数学建模有什么区别?
2。数学建模对教师也很陌生, 许多问题教师可能都不会, 怎么教学生?
让我先谈第一个问题。学好数学的基础知识，对于应用来说绝对是必不可少的。理论是应用的基础，没有对数学知识本身的理解和掌握，就根本谈不上应用。但有了知识并不等于自然就会应用，从IAEP的调查报告中我们可以看到，我们的学生在基础知识的掌握上，大大优于其它国家，而应用题作得不好，主要是应用意识差，即虽有数学知识却不知什么时候用、也不知怎么用。**生动的数学知识仅仅变成了应试的工具。**这说明"应用意识"是需要培养的。应用数学的能力和掌握纯数学的能力有一定关系，但并不相当，就象物理学家并不一定是实验物理学家一样。应用不仅要求有相关的数学知识和应用它解决问题的意识和欲望，还要有应用领域的相关知识和技能。对于当代中学生来说，由于他们的社会实践环节相对较少，与实际接触而得到的生活体验更狭窄。这使得他们的应用能力比起接受知识的能力来大大滞后，因此我们的数学教学应有意识地为学生创设数学应用的情景，以便使学生们的应用意识和能力能在实践中得到提高。
数学建模的对象确实有许多是应用题，但数学建模所涵盖的范围要大的多。常见的文字应用题的求解过程常常是找出相应的函数或方程（组）模型,再用之求解。课本上传统的文字应用题往往有这样的特点: 条件清楚准确、不多不少，结论唯一确定，原始问题数学化的过程简单清楚明了，解出的结论也很少需要学生思考是否合乎实际、是否需要进一步调整和修改已有的模型。而这几点往往是一般数学建模过程的难点和"重头戏"所在。从形式上看，在现实生活中，在对某一问题考虑出一个可能的解决方法之前，一般不会有现成的可供使用的事项、数据、陈述、关系的等条件，这些首先必须被收集、挑选、整理、比较才能掌握。而对于课本上的应用题，这些必不可少的数据、信息大多是经过加工后，以文字形式或图来给出的。而数学建模所面对的问题，其来源更生活化，更贴近实际；条件和结论更模糊，可用信息和最终结论更有待学生自己的挖掘。从建模的角度来看课本上的传统的文字应用题，它们在建模的过程上是比较特殊和简单的，还不能充分展示数学建模的典型过程, 因此还不够完备。
**教材中强调的"应用"，更多地表现在通过有实际背景的例子来加深对所学知识的理解，说明所学知识的"有用"和"可用"。而数学建模则强调的是能动地用所学的数学知识解决问题，它更强烈地表现对所学知识的"想用、能用、会用"这样一种用数学的意识。**
**我们一般强调的在日常教学中"加强应用"，是希望教师在教学中注意表现数学概念如何在生活中发生、给学生介绍更多数学知识的实际背景和它们在实际生活中的可用之处。与教材配套的练习中应设计一定数量的将数学知识直接应用的的小问题。这是学生理解数学和下一步逐渐发展到独立应用所学的数学知识解决建模单元中的问题都是很重要的过程。**
现在转向第二个经常提到的问题：数学建模对教师也很陌生, 对许多问题教师可能都不会, 怎么教学生?
在建模过程中， 数学问题的形式与内容多种多样，问题解决方法具有多样性、新奇性， 学生正在建模过程中的个性展示更始五花八门。建模是对参与者创造力的一种激发、挑战、考验和有效的锻炼。因此， **教师在陌生的问题前感到困难、失去相对于学生的优势是自然的，常常出现的。这里有两个认识需要改变，一是数学建模教学能力提高的主要途径恰恰是自己多参与，多独立的思考和实际去"做"；二是建模的教学过程中，教师的角色不应该总是"正确的指导者，总是正确的化身"，而应该平等地参与，适时扮演"同事、参谋、建议者、欣赏者"。**实际上数学建模的教学过程（或者更自然地说是师生一起学和做的过程）更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用。教师的主导作用体现在创设好的问题环境, 激发学生自主地探索解决问题的积极性和创造性上; 学生的主体作用体现在问题的探索、发现、解决的深度和方式尽量由学生自主控制和完成。它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。**课堂的主活动不应都是教师的讲授, 而应是学生自主的自学、讨论、调查、探索、解决问题。教师平等地参与学生的探索、学习活动。**在教学的组织中体现"学法"，把教和学融为一体。数学建模的学习和实践也应促进了课本内外其他数学知识的学习。同学们在解决问题的困惑和克服困难的过程中体会到了数学理论知识的作用。
教师把握教学目标时应立足于"做"而不是讲，立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理解，而不以仅仅有正确的解答为满足。要让学生在问题、困难、挑战、挫折、取胜的交替体验中；在选择、判断、协作、交流的轮换操作中; 经历一个个学数学、用数学, 进而发现问题, 走向新的学数学、用数学的过程。从而培养能力、激发兴趣、形成学生主动学习的良性循环。要尽可能地通过数学建模活动，为尽可能多的学生提供参与解决实际问题的机会，及时鼓励这种参与。尽可能使学生通过问题解决的过程获得成功感，即使问题尚未真正解决。**数学建模的成果可以为学生建立一种更表现学生素质的评价体系。建模过程应为不同水平的学生都提供体验成功的机会，真正把筛子变成泵。**只有在充满生命活力与和谐气氛的教学环境中, 师生共同参与、相互作用，才能摩擦出智慧的火花, 结出创造之果
要容许学生发展、验证他们自己的猜想和结论。猜想不一定是正确的，证实和证伪同样有意义、有收获、也同样重要。要注意每个学生的特长领域，引导学生在解决问题的过程中学会合作、学会优势互补发挥各自的特长。教师要在自己的视野内努力寻找宜于学生使用的数学建模问题，做好每个问题解决过程的记录，学生成功的经验和自己在挫折中得到的教训对于今后的数学建模的教学设计有重要的价值，也是教师由数学建模的生手到行家的有效途径之一。
**附件二 高中数学基本课程 "数学建模"的两个案例**
** **
**1．"教育储蓄"单元课程标准（4课时）**
**单元目标：**
初步了解用数学建模方法解决生活中实际问题的过程，体会所学数学知识的应用价值和数学理论由于它的一般性和抽象性所带来的应用的广泛性。培养学生关注并能发现生活中常见现象中的数学因素、数学问题，主动应用自己所学的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。
由于教育储蓄问题的特殊性，可以用这个问题来学习或复习等差数列的通项、求和等知识.
**单元涉及内容：**
1. 等差、(等比)数列的通项公式与求和公式。
2. 整存整取，零存整取储蓄的相关计算。
** **
**具体内容和要求：**
> 1． **调查有关"教育储蓄"的资料，**主要途径：网上主题词检索、各大银行直接询问。
>
> 2． **重点确认以下信息**：
>
> 教育储蓄的适用对象：（在校中小学学生）
>
> 储蓄类型：（"零存整取"但享受"整存整取"的利率）
>
> 最低起存金额：（人民币50元）
>
> 每户存款本金的最高限额（人民币2万元）
>
> 支取方式：（到期3年或六年，凭学校开出的在学证明一次支取本息）
>
> 银行现行的各类、各档存款利率：（略）
>
> 零存整取、整存整取的本息计算方法。
>
> 3．根据问题，在教师带领下，寻找适用的数学工具，建立相应的数学模型，拟解决的问题有：
**（1） 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？**
> 等差数列求和：s~3~=50\[36+(1+2+3+\...\...+36)2.7%/12\]= 1874.93 元；
>
> s~6~=50\[72+(1+2+3+\...\...+72)2.88%/12\]= 3915.36 元。
**（2） 依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？**
S~3~ = a \[ 36+ 666×0.00225\]; s~5~= a \[ 72+ 2628×0.0024\]
**（3） 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的"零存整取"多收益多少钱？**
S= 50\[ 36+ 666×2.70%/12−50(36+666\]=50×666×(2.70%-1.728%)/12 =26.97(元)
**（4） 欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少钱？**
> a = 10000/(36+666×2.70%/12) = 266.67733=266.68
**（5） 欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少钱？**
> b = a ×10000 / (36+666×2.70%/12) 元
**（6） 依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？**
> S~4~ = 100 \[ 48+ 1176×0.00225\] = 5064.60 元.
**（7） 依教育储蓄的方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？**
> 这是一个分段函数: 当 b≥3 时 s = a \[ 12b+ (1+12b)6b×0.00225\]
>
> 0\<b\<3时 s = a \[ 1+b×0.99%\]
**（8） （开放题）：不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式 , 以每月可存100元, 6年后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较.**
> 教育储蓄: s~6~=100 \[72+(1+2+3+\...\...+72)2.88%/12\] = 7830.72 元。
>
> 一年期的零存整取: s = 100\[12+ 13×6×1.198%/12\] =1212.78 元。扣除20%的利息税, 实际收益为10.22元.将本息转存5年:
>
> d~5~=1210.22 (1+5×2.88%×0.8) = 1210.22×1.1152 = 1349.64 元.
>
> 4年的一笔: 1210.22 (1+ 3×2.7%×0.8)(1+ 2.25%×0.8) = 1210.22×1.0648×1.018 = 1311.84 元;
>
> 3年的 一笔: 1210.22× 1.0648 = 1288.64 元;
>
> 两年的一笔: 1210.22 (1+2×2.43%×0.8) = 1210.22×1.0388 = 1257.27元;
>
> 一年的一笔:1210.22×1.018 = 1232.00
>
> 总计: 6439.39+1210.22 = 7649.61 元 \< 教育储蓄的本息和
**（9） （开放题）：学生自己设计的其他计算题（如自己设立指标，计算并比较3年期和6年期的教育储蓄的相对收益的大小；设计一项专项储蓄方案等; 设计一个回报率更高的投资方案等。）**
**（10） (开放题): 将问题解决过程中出现的数学模型(等差数列或复利增长模型)进一步抽象出来, 看看它还有怎样的应用?**
**实施建议**：
1．注重问题情景的创设，尽可能使学生体验数学建模解决教育储蓄问题的完整过程，特别是数据采集，问题设计，一般化的讨论等环节尽可能让学生参与。
2．注意计算器、计算机工具的使用，特别是在求数值解的过程中。
3．淡化对等差, 等比数列一般性质的过度讲解与讨论，围绕问题的解决的需求介绍等差, 等比数列的相关知识。
4．教材编写建议：
**第一课时：**预留问题，教师介绍教育储蓄的背景（不设计数据），请学生提出相关的计算（如存多少钱可获息多少等）和待讨论的问题（如对"零存整取、整存整取"意义不清楚、与同期的整存整取比较是否合算？）与调查提纲，组织学生利用课余时间上网或到银行调查有关信息。
**第二课时**：对欲解决的问题，寻求数学工具，建立等差、等比数列的计算模型，推导它的求和公式，明确它的适用对象和算法。
**第三、四课时**：实际解决教育储蓄问题，对结果进行一般化的讨论，尽可能给出问题的算法.可以让学生报告他们求解的结果和提出进一步的问题.
参考材料 **1999年6月10日起执行单位：各个银行存款年利率%**
-------------- -------------- -------------------------------- ----------------------------------------
**项目** **年利率 %** **项目** **年利率 %**
**活期存款** 0.99 **零存整取 整存零取 存本取息**
**整存整取** 一 年 1.98
三个月 1.98 三 年 2.16
半 年 2.16 五 年 2.25
一 年 2.25 **定活两便** 按一年以内整存整取同档次利率打六折执行
两 年 2.43
三 年 2.70
五 年 2.88
-------------- -------------- -------------------------------- ----------------------------------------
住房公积金存款当年归集的按活期库存宽利率计息；上年结转的本息暂按3个月整存整取利率计息；管理中心在受托银行专户内的沉淀资金按3年期零存整取存款利率计息当年归集的个人住房公积金存款0.99 上年结转的个人住房公积金存款1.98 养老保险基金存款1.98。\
**2． 数学建模\--"人口问题"单元教学案例（4课时）**
**单元目标：**
初步了解用数学建模方法解决生活中实际问题的过程，体会所学数学知识的应用价值和数学理论由于它的一般性和抽象性所带来的应用的广泛性。培养学生关注并能发现生活中常见现象中的数学因素、数学问题，主动应用自己所学的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。
由于人口问题的特殊性，可以用这个问题来学习数据收集、处理等知识.
**单元涉及内容：**
人口年龄别构成，年龄别死亡率对人口数的影响等知识。
**具体内容和教学建议：**
> **主问题：请你搜集有关的数据，估算一下我国2000年18岁的人口数．**
** **
建议采用的教学形式：收集数据，利用数据的过程完全由学生分组自主活动，可让学生分组报告他们所得到的结果，并阐述算法和理由。并回答教师或其他学生提出的问题。
> 第1、2节课，给学生时间分组收集和处理数据，写出结果报告。
>
> 第3、4节课，学生报告、讨论答辩会。
** **
**4．学生实践结果与过程析评（选自一所普通中学）：**
> （1）部分学生从网上调查到我国人口的平均寿命为73岁，并估计2000年我国人口为15亿，于是认为我国2000年18岁的人口数为： 18/73 ×15亿 ≈ 3。7亿人。（模型错误：得到的东西应该近似是不超过18岁的人口数。教师可以提问："按你的算法，2000年新生婴儿应该有多少人？73岁的老人应该有多少人？"引导学生自己更正错误。）
>
> （2）上述学生发现错误，提出新算法：2000年18岁的人口数为： 15亿/73 ≈ 2054。8万人。（模型错误：认为各年龄段人口构成相同。教师可以再提问："按你的算法，2000年新生婴儿应该有多少人？73岁的老人应该有多少人？，18岁的人多还是73岁的人多？"引导学生自己更正错误。）
>
> （3）上述学生发现错误，提出新算法：2000年18岁的人口数应该多于2054。8万。但是多多少，不会算。
>
> （4）另一学生提出自己的算法：调查他所住的公寓中有188位居民，其中18岁的有3人，据此推算， 2000年18岁的人口数为：3/188×15亿≈ 2393。6万人。（模型错误：样本的代表性，样本量，数据分布的自然假设都有问题。其他学生提问："要是你住的是青年公寓或者是老年公寓怎么办？引导学生自己更正错误。）大家都认为应该找更大量的样本数据。
>
> （5）一个学生提出用他家乡福建省的数据（他有这方面的数据资料）。。。
>
> （6）另一个组的同学在网上查到了1997年全国1%人口复查的数据资料。。。
>
> （7）几个组的同学在图书馆1998年中国人口年鉴。。。。
>
> （8）几个组的同学在网上查到1997年全国人口普查的资料， 他们认为用当年15的人口数资料即可
>
> （9）有学生提出分年龄别的不同死亡率对人口数的影响， 人口迁移（如出国）对年龄别人口数的影响，经讨论认为后者对结果影响不大。
>
> （10） 大家认同应考虑，年龄别死亡率对人口分布的影响，开始调查分年龄别的死亡率数据。。。。
>
> **（11） ** 。。。。。。
（12） 求解梗概：要估算2000年18岁的人口数．由于2000年的统计资料我们还不能搜集到，我们根据以往的统计数据进行推算．即根据2000年以前，如1999年、1998年、...、1990年、...、等年份的数据进行推算. 我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数．1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010干人．全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁、17岁到18岁人口的死亡率分别为1．21‰，1．16‰。假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做如下的估算．
1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数．这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到．
即 22010一22010×1．21‰＝21983(千人)．
2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数。这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到．
即 21983---21983×1．160‰＝21957(千人)．
2000年18岁的人口数为21957干人．
注：从不同的资料中收集到的数据差异可能很大．只要说清楚资料的来源， 并且数据处理方式合理，就可以认为答案正确．
附录三。 数学文化的例（待补）
附录四。 数学探究课题的例（待补）
第四部分 数学A 系列和C系列的基本框架
一、数学A，数学C 课程设计的基本理念
高中数学课程应该有更多的选择性， 这是国际上的普遍趋势，完全符合16岁以上学生心理的发展水平。这次数学课程标准的设计，以数学B 系列为主要参照系。然后设置数学A和 数学C 系列课程。
我国多年来的数学有文科和理科之分， 高考也分两张卷子。但在强调文理结合、文理均衡发展的指导思想下， 文、理数学又趋于合并， 数学又变成所有学生都一样的必修课。 这无疑是一种倒退。 其实， 增加选择性， 设立选修课，同样要贯彻"文理结合"的精神。 例如， 数学B 就有数学文化的内容。只不过每人的文理知识有所不同而已。
数学A系列不要求系统地增加数学内容， 也不单独设立完整的课程， 而是在B系列的基础上， 增加一些选修课。 重在培养学生的自学、探究、创新能力。这样做，也便于学校操作。
数学C系列则是单独设立课程体系， 充分体现文科的特点， 使得文理结合达到新的水平， 更加适合文科学生发展的需要。\< span lang \>数学A 水平课程框架
数学A水平的学生， 比数学B 系列要多修选修课约60学时。每周一节， 与课外活动相连， 可以做一些比较大型的作业， 或深入的思考。 选修数学 A 的同学应该对数学有较大兴趣， 课余多化些时间是可能的。
数学A 水平的教学方式， 以学生的阅读、讨论和探究为主， 教师的讲解不要太多。 为了培养使用数学较多的高层次人才， 高中阶段主要是养成良好的数学学习习惯， 培养独立的数学思考能力。 知识的扩充与增加， 主要到高等学校去解决。
数学A 水平课程， 以"专题"的形式安排， 彼此不一定有很强的联系。 专题的涉及面比较宽，目的的是扩大视野。 一般不采取将B系列课程加深的做法（例如不要讲严密的极限理论， 那是大学的任务）。 我们希望A 系列学习能够改变学生的学习方式，从单纯的模仿解题到善于发现数学问题，构造数学问题， 进而善于解决问题。
数学A课程的专题和B系列的探究性课题、数学建模课题， 以及数学C 系列的数学文化内容可以有某些重复， 但在要求上会有所不同。
单元的课题内容（举例）
1． 数系的扩充。 为什么要扩充， 在计算机时代怎样认识？
2． 数值技术法。 2 进位制。
3． 编码与密码。 超市的条形码。 书号码。 检验码。 改正码。仙农的（7，4）码。
4． 格点几何
5． 21世纪的头号数学问题：P=NP？ 货郎担问题， 背包问题等。
6． 李善兰恒等式。 陆家羲的工作（Kirkman女生问题， 三元集）
7． 0.618 和统筹法。实验设计
8． N维 空间的实际意义。
9． 绳圈的数学。扭结理论。
10． 分形与混沌
11． 层次分析。
12． 风险分析。
13． 多项式理论。
14． 几何定理机器证明， 吴方法。 张景中面积法。
15． 数学思想方法。如公理化方法（爱因斯坦相对论的推导）
（每年挑选10课题为全国公共必选课题）
教学建议
> 1． 数学A 系列应有许多阅读材料。 学生阅读能力的培养至关重要。
>
> 2． 约有一半的课题需要由学生做读书报告。
>
> 3． 通过数学思维能力的培养， 使之迁移到其他方面， 包括常规题目的求解。
评价建议
> 1． 高考时设情景题， 主要考察学生对从未见过题目的应变能力。
>
> 2． 数学A 中的必选课题要命题考试。
数学C 系列课程， 在设计思想上和数学B系列有所不同。 在数学内容上偏重数学文化， 注意数学视野的开拓， 加强理性思维能力的培养。特别是介绍数学在人文科学中应用的例子。 同时， 数学C课程在数学解题技巧、数学形式化推导能力方面则比数学B 课程的 要求低一些。 这样做， 更适合文科学生的需要。
单元内容
第一部分 提高理性思维能力
> 1． 命题的构成。 命题的演算（非形式化）。 命题间的关系。量词。 否定式。
>
> 2． 证明。 一般的证明方法。 数学证明方法。 计算机证明方法
>
> 3． 逻辑框图的制作。 管理科学中的框图。 数学算法与框图
>
> 4． 数学思想方法。 公理化方法及其运用（跳出平面几何的圈子）。
第二部分 数学方法和数学模型
> 1． 函数与方程。 基本思想方法。 库存模型。人口模型
>
> 2． 排列组合及其应用。
>
> 3． 离散型的概率计算
>
> 4． 数理统计方法。 警惕数据滥用和数据欺诈。
>
> 5． 微积分初步。 文化分析。从切线观察二次函数。能对幂函数求导数及积分。 碳14 与考古。
第三部分 数学与社会
> 1． 数学在人类社会发展中的作用
>
> 2． 基于数学的计算机技术。 数字化时代
>
> 3． 对无限的认识。 希尔伯特的无限旅店。 悖论。
>
> 4． 费马定理的证明。 人类理性精神的杰作。
>
> 5． 我们生活的宇宙空间。 4维空间。 N 维空间。 具体模型。
>
> 6． 数学和艺术： 分形。 计算机美学。 爱舍尔的画。
>
> 7． 数学在法律上的应用。
>
> 8． 选举中的数学
>
> 9． 统筹方法。 优选法
>
> 10． 实验设计方法。
>
> 11． 模糊集合的处理方法
>
> 12． 红楼梦的作者是谁？
>
> 13． 用数学观点分析彩票和中奖
>
> 14． 数学和战争。 密码。 运筹学。 第二次世界大战中的数学家
>
> 15． 中国传统数学。
教学建议
> 1． 理性思维训练要一板一眼，一丝不苟，训练学生在文字表达时遵守逻辑规则。 但是， 一定不要高形式化的命题演算。
>
> 2． 数学知识的掌握着重理解精神实质， 较少技巧性的解题要求。文科学生不能掌握， 即使掌握， 很快忘掉。 留下的指只有数学意识， 特别是和文科内容相结合的例子。
>
> 3． 数学文化的讲解要有感情色彩。 入门的例子要非常简单明了。范例教学是可取的方法。
>
> 4． 可以多让学生阅读。
评价建议
> 1． 历来文科数学考卷和理科数学考卷基本相同。 实际上， 二者应该有较大不同。文科的重点是考察逻辑表达、数学意识、对数学模型的理解水平。
>
> 2． 文科考查应该多用数学作文的形式。
**教基\[2003\]6号**
** **
**教育部关于印发《普通高中课程方案（实验）》和语文等十五个学科课程标准（实验）的通知**
各省、自治区、直辖市教育厅（教委），新疆生产建设兵团教委：
为贯彻落实《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》、《国务院关于基础教育改革与发展的决定》和经国务院同意的《基础教育课程改革纲要（试行）》的精神，大力推进教育创新，我部研制了普通高中课程方案（实验）和语文等十五个学科课程标准（实验），并分别经教育部党组和课程标准专家审议会讨论通过。现印发给你们，请认真学习研究。课程实验将于2004年秋季在部分省市进行，拟参加课程实验的地区要正式向教育部提出申请，并根据本地实际制订全面的课程实验工作方案，组织好新课程的学习和培训，精心组织实验工作。有关课程实验的具体事宜将另行通知。
附件：普通高中课程方案（实验）
普通高中语文课程标准（实验）(略)
普通高中英语课程标准（实验）（略）
普通高中日语课程标准（实验）（略）
普通高中俄语课程标准（实验）（略）
普通高中数学课程标准（实验）（略）
普通高中物理课程标准（实验）（略）
普通高中化学课程标准（实验）（略）
普通高中生物课程标准（实验）（略）
普通高中历史课程标准（实验）（略）
普通高中地理课程标准（实验）（略）
普通高中技术课程标准（实验）（略）
普通高中艺术课程标准（实验）（略）
普通高中音乐课程标准（实验）（略）
普通高中美术课程标准（实验）（略）
普通高中体育与健康课程标准（实验）（略）
**教 育 部**
**二OO三年三月三十一日**
**\
普通高中课程方案（实验）**
普通高中课程方案以教育要"三个面向"的指示和"三个代表"的重要思想为指导，坚持全面贯彻党的教育方针，认真落实《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》和《国务院关于基础教育改革与发展的决定》，适应时代发展的需要，立足我国实际，借鉴国际课程改革的有益经验，大力推进教育创新，努力构建具有中国特色、充满活力的普通高中课程体系，为造就数以亿计的高素质劳动者、数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才奠定基础。
**一、普通高中教育的培养目标**
普通高中教育是在九年义务教育基础上进一步提高国民素质、面向大众的基础教育。普通高中教育为学生的终身发展奠定基础。
普通高中教育应全面落实《国务院关于基础教育改革与发展的决定》所确定的基础教育培养目标，并特别强调使学生：
初步形成正确的世界观、人生观、价值观；
热爱社会主义祖国，热爱中国共产党，自觉维护国家尊严和利益，继承中华民族的优秀传统，弘扬民族精神，有为民族振兴和社会进步作贡献的志向与愿望；
具有民主与法制意识，遵守国家法律和社会公德，维护社会正义，自觉行使公民的权利，履行公民的义务，对自己的行为负责，具有社会责任感；
具有终身学习的愿望和能力，掌握适应时代发展需要的基础知识和基本技能，学会收集、判断和处理信息，具有初步的科学与人文素养、环境意识、创新精神与实践能力；
具有强健的体魄、顽强的意志，形成积极健康的生活方式和审美情趣，初步具有独立生活的能力、职业意识、创业精神和人生规划能力；
正确认识自己，尊重他人，学会交流与合作，具有团队精神，理解文化的多样性，初步具有面向世界的开放意识。
**为实现上述培养目标，普通高中课程应：**
**（1）**精选终身学习必备的基础内容，增强与社会进步、科技发展、学生经验的联系，拓展视野，引导创新与实践。
（2）适应社会需求的多样化和学生全面而有个性的发展，构建重基础、多样化、有层次、综合性的课程结构。
（3）创设有利于引导学生主动学习的课程实施环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析和解决问题的能力。
（4）建立发展性评价体系。改进校内评价，实行学生学业成绩与成长记录相结合的综合评价方式；建立教育质量监测机制。
（5）赋予学校合理而充分的课程自主权，为学校创造性地实施国家课程、因地制宜地开发学校课程，为学生有效选择课程提供保障。
**二、课程结构**
**1．课程结构**
普通高中课程由学习领域、科目、模块三个层次构成。
（1）学习领域
高中课程设置了语言与文学、数学、人文与社会、科学、技术、艺术、体育与健康和综合实践活动八个学习领域。
设置学习领域能更好地反映现代科学综合化的趋势，有利于在学习领域的视野下研制各科课程标准，指导教师教学；有利于整体规划课程内容，提高学生的综合素养，体现对高中学生全面发展的要求；同时，要求学生每一学年在所有学习领域都获得一定学分，以防止学生过早偏科，避免并学科目过多，有利于学生全面发展。
**（2）科目**
每一领域由课程价值相近的若干科目组成。八个学习领域共包括语文、数学、外语（英语、日语、俄语等）、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、艺术（或音乐、美术）、体育与健康、技术等12-13个科目。其中技术、艺术是新增设的科目，艺术与音乐、美术并行设置，供学校选择。鼓励有条件的学校开设两种或多种外语。
**（3）模块**
每一科目由若干模块组成。模块之间既相互独立，又反映学科内容的逻辑联系。每一模块都有明确的教育目标，并围绕某一特定内容，整合学生经验和相关内容，构成相对完整的学习单元；每一模块都对教师教学行为和学生学习方式提出要求与建议。
模块的设置有利于解决学校科目设置相对稳定与现代科学迅猛发展的矛盾，并便于适时调整课程内容；有利于学校充分利用场地、设备等资源，提供丰富多样的课程，为学校有特色的发展创造条件；有利于学校灵活安排课程，学生自主选择并及时调整课程，形成有个性的课程修习计划。
**2．课程设置及其说明**
普通高中学制为三年。课程由必修和选修两部分构成，并通过学分描述学生的课程修习状况。具体设置如下：
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 学习领域 | 科目 | 必修学分 | 选修学分Ⅰ | 选修学分Ⅱ | |
| | | | | | |
| | | （共计116学分） | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 语言与文学 | 语文 | 10 | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | 根据社会对人才多样化的需求，适应学生不同潜能和发展的需要，在共同必修的基础上，各科课程标准分类别、分层次设置若干选修模块，供学生选择。 | 学校根据当地社会、经济、科技、文化发展的需要和学生的兴趣，开设若干选修模块，供学生选择。 | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 外语 | 10 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 数学 | 数学 | 10 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 人文与社会 | 思想政治 | 8 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 历史 | 6 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 地理 | 6 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 科学 | | | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 物理 | 6 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 化学 | 6 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 生物 | 6 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 技术 | 技术 | 8 | | | |
| | | | | | |
| | （含信息技术和通用技术） | | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 艺术 | 艺术或 | 6 | | | |
| | | | | | |
| | 音乐、美术 | | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 体育与健康 | 体育与健康 | 11 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| 综合实践 | 研究性学习活动 | 15 | | | |
| | | | | | |
| 活动 | | | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 社区服务 | 2 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
| | 社会实践 | 6 | | | |
+------------+--------------------------+-----------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------+---+
说明：
（1）每学年52周，其中教学时间40周，社会实践1周，假期（包括寒暑假、节假日和农忙假）11周。
（2）每学期分两段安排课程，每段10周，其中9周授课，1周复习考试。每个模块通常为36学时，一般按周4学时安排，可在一个学段内完成。
（3）学生学习一个模块并通过考核，可获得2学分（其中体育与健康、艺术、音乐、美术每个模块原则上为18学时，相当于1学分），学分由学校认定。技术的8个必修学分中，信息技术和通用技术各4学分。
（4）研究性学习活动是每个学生的必修课程，三年共计15学分。设置研究性学习活动旨在引导学生关注社会、经济、科技和生活中的问题，通过自主探究、亲身实践的过程综合地运用已有知识和经验解决问题，学会学习，培养学生的人文精神和科学素养。
此外，学生每学年必须参加1周的社会实践，获得2学分。三年中学生必须参加不少于10个工作日的社区服务，获得2学分。
（5）学生毕业的学分要求：学生每学年在每个学习领域都必须获得一定学分，三年中获得116个必修学分（包括研究性学习活动15学分，社区服务2学分，社会实践6学分），在选修Ⅱ中至少获得6学分，总学分达到144方可毕业。
**三、课程内容**
高中课程内容的选择遵循如下基本原则：
**时代性**------课程内容的选择体现当代社会进步和科技发展，反映各学科的发展趋势，关注学生的经验，增强课程内容与社会生活的联系。同时，根据时代发展需要及时调整、更新。
**基础性------**强调掌握必需的经典知识及灵活运用的能力；注重培养学生浓厚的学习兴趣、旺盛的求知欲、积极的探索精神、坚持真理的态度；注重培养搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力、交流与合作的能力。高中课程内容既进一步提升所有学生的共同基础，同时更为每一位学生的发展奠定不同基础。
**选择性------为**适应社会对多样化人才的需求，满足不同学生的发展需要，在保证每个学生达到共同基础的前提下，各学科分类别、分层次设计了多样的、可供不同发展潜能学生选择的课程内容，以满足学生对课程的不同需求。
国家通过制订各科目课程标准规定高中课程的主要内容和要求。
**四、课程实施与评价**
**1．合理而有序地安排课程**
高中一年级主要设置必修课程，逐步增设选修课程，学生可跨班级选修；高三下学期，学校应保证每个学生有必要的体育、艺术等活动时间，同时鼓励学生按照自己的兴趣和需要继续修习某些课程，获得一定学分，也可以安排总复习。
学校在保证开设好所有必修模块的同时，要积极创造条件，制定开设选修课程的规划，逐步开设丰富多彩的、高质量的选修课程。
为加强集体主义教育，发展学生的团队精神和合作意识，高中三年以行政班为单位进行学生管理，开展教育活动。
**2．建立选课指导制度，引导学生形成有个性的课程修习计划**
学校要积极进行制度创新，建立行之有效的校内选课指导制度，避免学生选课的盲目性。学校应提供课程设置说明和选课指导手册，并在选课前及时提供给学生。班主任及其他教师有指导学生选课的责任，并与学生建立相对固定而长久的联系，为学生形成符合个人特点的、合理的课程修习计划提供指导和帮助。学校要引导家长正确对待和帮助学生选课。
学校要鼓励学生在感兴趣、有潜能的方面，选修更多的模块，使学生实现有个性的发展。
**3．建立以校为本的教学研究制度**
学校应建立以校为本的教学研究制度，鼓励教师针对教学实践中的问题开展教学研究，重视不同学科教师的交流与研讨，建设有利于引导教师创造性实施课程的环境，使课程的实施过程成为教师专业成长的过程。学校应与教研部门、高等院校等建立联系，形成有力推动课程发展的专业咨询、指导和教师进修网络。
**4．充分挖掘课程资源，建立课程资源共享机制**
为保障高中课程的实施，学校应加强课程资源建设，充分挖掘并有效利用校内现有课程资源。同时，大力加强校际之间以及学校与社区的合作，充分利用职业技术教育的资源，努力实现课程资源的共享。
学校课程的开发要因地制宜，努力为当地经济建设和社会发展服务，注重普通高中教育、职业技术教育与成人教育的融合与渗透。农村地区的高中学校要结合农村建设和发展的实际开发课程资源。
学校课程既可以由学校独立开发或联校开发，也可以联合高校、科研院所等共同开发；要积极利用和开发基于现代信息技术的课程资源，建立广泛而有效的课程资源网络。
**5．建立发展性评价制度**
实行学生学业成绩与成长记录相结合的综合评价方式。学校应根据目标多元、方式多样、注重过程的评价原则，综合运用观察、交流、测验、实际操作、作品展示、自评与互评等多种方式，为学生建立综合、动态的成长记录手册，全面反映学生的成长历程。教育行政部门要对高中教育质量进行监测。
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**周日测试答案**
**1．A 2．B 3．C 4．C 5．D**
**6．B**
**【解析】设****是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以** **，显然其最小值为** **，** **，故选B.**
**7．C**
**8．B**
**【解析】若当****时，** **恒成立，**
**即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1， ∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，**
**即m≤****在（0，+∞）上恒成立，**
**设t=ex，（t＞1），则m≤****在（1，+∞）上恒成立，**
**∵****=﹣****=﹣****≥﹣****，**
**当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣****．故选：B．**
**9．B**
{width="2.2604166666666665in" height="2.058333333333333in"}**【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点****处取得最小值，且最小值为****，即****.区域****的面积为****，平面区域****的面积为****，故****，所以****.**
**10．B**
{width="2.7708333333333335in" height="2.140277777777778in"}**【解析】依题意可知，圆心为****，半径为****，设****在椭圆上，依题意有****，当****取得最小值时，** **取得最小值，此时****点位于椭圆右顶点，即****，即****，化简得****，两边平方得****，即****，** **，解得****.**
**由于****，即****，故离心率的取值范围是****.**
**11．C【解析】设菱形对角线交点为O，则****为二面角****的平面角**
**设外接球****半径为R，则** **所以**
**12．A**
**【解析】设****，则**
**记**
**当**  **是增函数，方程****只有一个实根** 
 **即** 
**13．5 14．60**
**15．****或3 由题意得****，** **，**
**因为****为等比数列，所以其公比****，**
**从而****，** **，**
**所以****，**
**即****，解得****或****．**
**16．22**
**【解析】****.**
**∵三次函数****在R上单调递增，**
**∴f′(x)⩾0在R上恒成立(不恒等于0)，**
**∴****， ∴****，**
**令t=****\>1,则**
**当且仅当****时,即****取等号。故****的最小值为：22.**
**17．（1）****.（2）****.**
**解析：（1）由****，得****，** **，**
**因为****，所以****，因为****，所以****.**
**（2）因为****，故****为等腰三角形，且顶角****，**
**故****，**
**所以****，在****中，由余弦定理可得，** **，**
**所以****，在****中，由正弦定理可得，** **，**
**即****，所以****.**
**18．(1)证明见解析；(2)** **.**
**（1）取****中点****，连接**
{width="1.96875in" height="1.7625in"}**为****中点，**  **，又** **，**  **，** **为平行四边形，** **.**
**又****为正三角形，****，从而****，**
**又****，** **，**
**平面****，又****平面****，****平面****平面****.**
**19．（1）见解析（2）见解析（3）**
**（1）所求表格数据如下：**
**空气质量指数（****）**     
-------------------------------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
**天数**     
**（2）依题意，从空气质量指数在****以及****的天数分别是****；**
**故****的可能取值为****，** **，** **，** **，** **；**
**，** **，** **，** **，** **.**
**故****的分布列为：**
     
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
     
**（3）依题意，任取****天空气质量指数在****以上的概率为****.**
**由二项分布知识可知，** **，故****.**
**20．(1)** **；(2)** **.**
**（Ⅱ）设****，则****，**
**由以****为直径的圆经过坐标原点，得****，**
**即****（1）由****，消除****整理得：** **，**
**由****，得**{width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}**，**
**而****（2）**
**（3）**
**将（2）（3）代入（1）得：** **，即****，**
**又****，**
**原点****到直线****的距离****，**
**，**
**把****代入上式得****，即****的面积是为****.**
**21．(1)** **；(2)答案见解析.**
**（Ⅰ）由****，得****．即****在****上恒成立**
**设函数****，** **．则****．**
**设****．则****．易知当****时，** **．**
**∴****在****上单调递增，且****．即****对****恒成立．**
**∴****在****上单调递增．∴当****时，** **．**
**∴****，即****的取值范围是****．**
**（Ⅱ）****，** **．**
**∴** **．**
**设****，则****．**
**由****，得****．**
**当****时，** **；当****时，** **．**
**∴****在****上单调递增，在****上单调递减．**
**且****，** **，** **．显然****．**
**结合函数图象可知，若****在****上存在极值，则****或****．**
**（ⅰ）当****，即****时，**
**则必定****，使得****，且****．**
**当****变化时，** **，** **，** **的变化情况如下表：**
     
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
 **-** **0** **+** **0** **-**
 **-** **0** **+** **0** **-**
 **↘** **极小值** **↗** **极大值** **↘**
**∴当****时，** **在****上的极值为****，且****．**
**∵** **．**
**设****，其中****，** **．∵****，**
**∴****在****上单调递增，** **，当且仅当****时取等号．**
**∵****，∴****．∴当****时，** **在****上的极值****．**
**（ⅱ）当****，即****时，则必定****，使得****．**
**易知****在****上单调递增，在****上单调递减．**
**此时，** **在****上的极大值是****，且****．**
**∴当****时，** **在****上的极值为正数．**
**综上所述：当****时，** **在****上存在极值，且极值都为正数．**
**注：也可由****，得****．令****后再研究****在****上的极值问题．**
**22．（1）****，** **（2）****时，** **取得最大值**
**试题解析：（1）∵****，∴直线****的普通方程为：** **，**
**直线****的极坐标方程为****.曲线****的普通方程为****，**
**∵****，** **，∴****的参数方程为：** 
**（2）直线****的极坐标方程为****，令****，则**
**，即****；又****，**
**∴** 
**∵****，∴****，∴****，即****时，** **取得最大值**
**23．（1）****（2）****或****.**
**试题解析：（1）** **，**
**即****，∴****或****，**
**∴****或****，故不等式的解集为**
**（2）由题意可知：** **.**
**∵****∴当****时，** **，**
**∴****∴****或****.**
**24．（1）****；（2）5**
**（2）由（Ⅰ）得：** **，**
**则** **①**
 **②**
**①- ②得：** 
**，所以**
**则****，则**
**由**
**得：当****时，** **；**
**当****时，** **；**
**所以对任意****，且****均有****，故**
**25.（1）解：∵****，∴****．**
**令****，得****，**
**①当****，即****时，则****，****在****上单调递增；**
**②当****，即****时，令****，得****；令****，得****.**
**在****上单调递减，在****上单调递增．**
**综上，当****时，** **在****上单调递增；**
**当****时，** **在****上单调递减，在****上单调递增．**
**（2）证明:先证****．**
**当****时，** **，由（1）可得当****时，** **，** **单调递减；**
**当****时，** **，** **单调递增．**
**∴****，****，****.**
**再证****．**
**设** **，**
**则** **，当且仅当****时取等号．**
**设** **，则****，**
**∴当****时，** **，** **单调递增；**
**令****，得****时，** **，** **单调递减．**
**.****，**
**又此不等式中两个等号的成立条件不同，故****，从而****得证.**
**综上可得****且****．**
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**九校联考九年级（下）月考数学试卷**
**一、选择题（每题3分，****共24分）**
1．﹣8的绝对值是( )
A．﹣8 B．8 C．±8 D．
2．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的概率是( )
A． B． C． D．
4．（1997•南京）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为(  )
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
5．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
6．如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是( )
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
7．（1997•吉林）函数y=ax^2^﹣2与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A． B． C． D．
8．已知二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b^2^﹣4ac＞0；②abc＞0；③b=﹣2a；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
**二.填空题（每题3分，共24分）**
9．分解因式：ax^2^﹣4ax+4a=[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠C=20°，则∠ABD的度数等于[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
\[来源:学.科.网\]
11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}度．
12．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为"等边扇形"．则半径为2的"等边扇形"的面积为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
13．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道"它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%"．你认为售货员应标在标签上的价格为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}元．
14．如图，已知AB=AC，∠A=44°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
15．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
16．如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
**三.解答题（共102分）**
17．计算：（cos45°﹣sin30°）+（4﹣4π）^0^+（）^﹣1^．
18．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．
19．为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，根据老年人、成年人、青少年各年龄段实际人口的比例3：5：2，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图：
（1）上面所用的调查方法是[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}（填"全面调查"或"抽样调查"）；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；A：[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}；B：[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}；
（3）求该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人数．
20．如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（精确到1米，参考数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480）
21．某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸就有奖，没有笑脸就没有奖．
（1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}．
（2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明．\[来源:学科网ZXXK\]
22．如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
23．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=，求AD的长．
24．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家"家电下乡"政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
25．把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
26．（14分）如图，抛物线y=﹣2x^2^+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求线段AB长；
（2）证明：OP=PC；
（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，△OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
**九校联考九年级（下）月考数学试卷**
**一、选择题（每题3分，共24分）**
1．﹣8的绝对值是( )
A．﹣8 B．8 C．±8 D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣8＜0，∴\|﹣8\|=8．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【考点】正方形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确；
B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故B选项正确；
C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故C选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D选项不正确；\[来源:学科网ZXXK\]
故选D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用．
3．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的概率是：=．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（1997•南京）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为( )
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×母线长，列式整理即可得解．
【解答】解：根据题意，2πr•l=10，
所以l=．
故l与r的函数关系为反比例函数．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟记圆柱侧面积公式，列式整理出l、r的函数解析式是解题的关键．
5．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【解答】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．
6．如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是( )
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，根据图形的比较，可得答案．
【解答】解：主视图是三个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，
故俯视图的面积做大，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．
7．（1997•吉林）函数y=ax^2^﹣2与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a＞0和a＜0分类讨论．也可以采用"特值法"，逐一排除．
【解答】解：当a＞0时，函数y=ax^2^﹣2的图象开口向上，但当x=0时，y=﹣2＜0，故A、C不可能；
当a＜0时，函数y=ax^2^﹣2的图象开口向下，反比例函数的图象位于二四象限，故C不可能．
可能的是D．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，解决此类题目时分当a＞0时和a＜0时的两种情况讨论，用了分类讨论的思想．
8．已知二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b^2^﹣4ac＞0；②abc＞0；③b=﹣2a；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与x轴交点情况确定b^2^﹣4ac的符号，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据抛物线的对称性确定9a+3b+c的符号．
【解答】解：图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b^2^﹣4ac＞0，①正确；
图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，∴abc＞0，②正确；
对称轴为x=﹣=1，则b=﹣2a，③正确；
∵x=﹣1时，y＜0，对称轴是x=1，
∴x=3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点情况确定b^2^﹣4ac与0的关系．
**二.填空题（每题3分，共24分）**
9．分解因式：ax^2^﹣4ax+4a=[a（x﹣2）^2^]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：ax^2^﹣4ax+4a，
=a（x^2^﹣4x+4），
=a（x﹣2）^2^．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠C=20°，则∠ABD的度数等于[70°]{.underline}．\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB及∠A的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，∠C=20°，
∴∠ADB=90°，∠A=∠C=20°，
∴∠ADB=90°﹣20°=70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为[125]{.underline}度．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．\[来源:学&科&网\]
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°；
由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF；
而∠BED=180°﹣∠AEB=110°，∴∠BEF=55°；
易知∠EBC=∠D=∠BC′F=∠C=90°，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′=180°﹣∠BEF=125°．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
12．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为"等边扇形"．则半径为2的"等边扇形"的面积为[2]{.underline}．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】新定义．
【分析】根据扇形的面积公式S=lr，其中l=r，求解即可．
【解答】解：∵S=lr，∴S=×2×2=2，
故答案为2．
【点评】本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半．
13．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道"它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%"．你认为售货员应标在标签上的价格为[120]{.underline}元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】依据题意建立等量关系商品标价=进价×（1+5%）÷70%
【解答】解：设售货员应标在标签上的价格为x元，
依据题意70%x=80×（1+5%）
可求得：x=120，
故价格应为120元．
【点评】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．如图，已知AB=AC，∠A=44°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=[24°]{.underline}．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角求出∠ABD，然后求解即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=44°，\[来源:学科网ZXXK\]
∴∠ABC=（180°﹣∠A）=×（180°﹣44°）=68°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=44°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=68°﹣44°=24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为[：1]{.underline}．
【考点】翻折变换（折叠问题）． \[来源:学科网\]
【分析】连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD．
【解答】解：连接DE，如图，
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，\[来源:学科网\]
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD=45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE，
∴DC=DG，
又∵△AGD为等腰直角三角形，
∴AD=DG=CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值=：1．
故答案为：：1．
【点评】本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．
16．如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为[2]{.underline}．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】先设M点的坐标为（a，），则把y=代入直线y=﹣x+m即可求出C点的横坐标，同理可用a表示出D点坐标，再根据直线y=﹣x+m的解析式可用m表示出A、B两点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出AD•BC的值．
【解答】解：设M点的坐标为（a，），则C（m﹣，）、D（a，m﹣a），
∵直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，
∴A（0，m）、B（m，0），
∴AD•BC=•=a•=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．
**三.解答题（共102分）**
17．计算：（cos45°﹣sin30°）+（4﹣4π）^0^+（）^﹣1^．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=×（﹣）+1+
=1﹣+1+
=2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．
【考点】弧长的计算；作图-旋转变换．
【专题】作图题；数形结合．
【分析】本题的关键是正确读取点的坐标、会根据要求画出旋转后的图形并会根据旋转的性质正确计算，第（3）小问要注意点A的旋转轨迹是一段圆弧．
【解答】解：（1）A（0，4）、C（3，1）；
（2）如图；
（3）
=．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的读取、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概念是解题关键．
本题考查坐标系中点的坐标、图形的旋转、勾股定理及弧长公式的应用．题目虽简单，但综合性较强．
19．为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，根据老年人、成年人、青少年各年龄段实际人口的比例3：5：2，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图：\[来源:学\#科\#网\]
（1）上面所用的调查方法是[抽样调查]{.underline}（填"全面调查"或"抽样调查"）；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；A：[20]{.underline}；B：[40]{.underline}；
（3）求该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人数．
【考点】折线统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）这次调查是随机抽取一定数量的观众进行调查因而是抽样调查；
（2）结合折线统计图说出A、B的值；
（3）根据样本估计总体，首先求出喜欢娱乐节目的成年人的比例，然后乘以总人数即可求得．
【解答】解：（1）抽样调查；
（2）A=20，B=40；
（3）成年人有：300000×=150000（人），
×100%=30%，
喜爱娱乐类节目的成年人有：150000×30%=45000（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况．
20．如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（精确到1米，参考数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】应用题．
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长．
【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于D，
∵B点在A点的正东方向上，
∴∠ACD=45°，∠DCB=32°，
在Rt△BCD中，BC=100，
∴DB=BCsin32°≈1000.5299=52.99（米），
CD=BCcos32°≈1000.8480=84.80（米），
在Rt△ACD中，AD=CD，
∴AB=AD+DB≈84.80+52.99=137.79（米）≈138（米）．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．
21．某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸就有奖，没有笑脸就没有奖．
（1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是[（或填0.4）]{.underline}．
（2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】压轴题．
【分析】（1）让有笑脸的张数除以总张数即可；
（2）列举出所有情况，看有笑脸的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）（或填0.4）；
（2）不赞同他的观点．
用A~1~、A~2~分别代表两张笑脸，B~1~、B~2~、B~3~分别代表三张哭脸，根据题意列表如下：
--------------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
第一张 第二张 A~1~ A~2~ B~1~ B~2~ B~3~
A~1~ A~1~，A~2~ A~1~，B~1~ A~1~，B~2~ A~1~，B~3~
A~2~ A~2~，A~1~ A~2~，B~1~ A~2~，B~2~ A~2~，B~3~
B~1~ B~1~，A~1~ B~1~，A~2~ B~1~，B~2~ B~1~，B~3~
B~2~ B~2~，A~1~ B~2~，A~2~ B~2~，B~1~ B~2~，B~3~
B~3~ B~3~，A~1~ B~3~，A~2~ B~3~，B~1~ B~3~，B~2~
--------------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
由表格可以看出，可能的结果有20种，其中得奖的结果有14种，因此小明得奖的概率，
因为＜，所以小明得奖的概率不是小芳的两倍．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意翻2张牌的时候的实验可看作是不放回实验．
22．如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）把点（，8）代入反比例函数，确定反比例函数的解析式为y=；再把点Q（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=﹣x+b，即可确定b的值；
（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=﹣x+5，令y=0，求出A点坐标，然后根据S~△OPQ~=S~△AOB~﹣S~△OBP~﹣S~△OAQ~进行计算即可．
【解答】解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得k=×8=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），
∴1=﹣4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；
（2）联立，
解得或，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为（5，0），
∴S~△OPQ~=S~△AOB~﹣S~△OBP~﹣S~△OAQ~
=×5×5﹣×5×1﹣×5×1
=．
【点评】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法（转化为解方程组）；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．
23．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=，求AD的长．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；
（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到△DOA∽△ABC，据相似三角形的对应边成比例可得到AD的长．
【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴AD是半圆O的切线．
（2）解：∵BC∥OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴==，又CE=，
∴AC=2CE=．
在Rt△ABC中，
AB==，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴即．
∴．
【点评】此题考查学生对切线的判定及相似三角形的判定方法的掌握情况．
24．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家"家电下乡"政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．
（2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值．
（3）利用x=﹣求出x的值，然后可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得y=（2400﹣2000﹣x）（8+4×），
即y=﹣x^2^+24x+3200；
（2）由题意，得﹣x^2^+24x+3200=4800．
整理，得x^2^﹣300x+20000=0．
解这个方程，得x~1~=100，x~2~=200．
要使百姓得到实惠，取x=200元．
∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y=﹣x^2^+24x+3200=﹣（x﹣150）^2^+5000，
当x=150时，
y~最大值~=5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．
25．把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）可将四边形CHGK分成两部分，然后通过证三角形全等，将四边形的面积进行转换来求解．连接CG，可通过证明三角形CGK与三角形BGH全等来得出他们的面积相等，进而将四边形CHGK的面积转换成三角形CGB的面积也就是三角形ABC面积的一半，由此可得出四边形CHGK的面积是4，所以不会改变；
（2）连接HK后，根据（1）中得出的四边形CHGK的面积为4，可根据三角形GHK的面积=四边形CHGK的面积﹣三角形CHK的面积来求，如果BH=x，那么根据（1）的结果CK=x，有BC的长，那么CH=4﹣x，由此可得出关于x，y的函数关系式．x的取值范围应该大于零小于4；
（3）只需将y=×8代入（2）的函数式中，可得出x的值．然后判断x是否符合要求即可．
【解答】解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．
证明：连接CG，KH，
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH与△CGK中，
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S~△BGH~=S~△CGK~．
∴S~四边形CHGK~=S~△CHG~+S~△CGK~=S~△CHG~+S~△BGH~=S~△ABC~=××4×4=4，
即：S~四边形CHGK~的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；
（2）∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4﹣x，CK=x．
由S~△GHK~=S~四边形CHGK~﹣S~△CHK~，
得y=4﹣x（4﹣x），
∴y=x^2^﹣2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；
（3）存在．
根据题意，得x^2^﹣2x+4=×8，
解这个方程，得x~1~=1，x~2~=3，
即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定等知识点，通过构建全等三角形将面积进行转换是解题的关键．
26．（14分）如图，抛物线y=﹣2x^2^+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求线段AB长；
（2）证明：OP=PC；
（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，△OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，易求得A、B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长．
（2）首先根据A、B的坐标，求出直线AB的解析式，设出点P的横坐标，利用直线AB的解析式，即可表示出P点的纵坐标，由此可得到MP、OM、PN的长，从而证得OM=PN，而∠OPC=90°，则∠OPM、∠PCN同为∠CPN的余角，再加上一组直角，即可由AAS判定△OPM≌△PCN，由此得证．
（3）由（2）的全等三角形知PM=CN，由此可求得BC的表达式，OB的长易求得，根据三角形的面积公式即可得到S、m的函数关系式．（需注意的是，自变量的取值范围会影响到PM的表达式，因此要分类讨论）
（4）此题应分三种情况讨论：
①P为等腰三角形的顶角顶点，由于∠PBN=45°，若PC=PB，那么CP⊥PB，显然不符合题意；
②C为等腰三角形的顶角顶点，此时PC=BC，由于△OAB是等腰直角三角形，因此P、A重合时，△PCB也是等腰直角三角形，故A点符合点P的要求；
③B为等腰三角形的顶角顶点，此时PB=BC；当C点在第一象限时，显然不存在这样的P点，故此时C点必在第四象限，首先设出点P的坐标，表示出AP、PB、BC的长，根据所得等量关系，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣2x^2^+x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=﹣，x=1；
故A（0，1），B（1，0）；
∴AB=．
（2）∵A（0，1），B（1，0），
∴直线AB：y=﹣x+1；
设P（a，﹣a+1），则有：
PM=a，OM=1﹣a，PN=MN﹣PM=1﹣a，
故OM=PN；
∵∠OPC=90°，则∠OPM+∠CPN=∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠OPM=∠PCN；
又∵∠OMP=∠CPN=90°，OM=PN，
∴△OPM≌△PCN，
∴OP=CP．
（3）易知OA=OB=1，则∠OBA=∠OAB=45°；
若AP=m，则PM=AM=CN=m，OM=BN=1﹣m，
①当0＜m＜时，BC=BN﹣NC=1﹣﹣=1﹣m，
故S=；
②当＜m＜时，BC=CN﹣BN=﹣（1﹣）=m﹣1，
故S=﹣．
（4）假设存在符合条件的P点；
①△PCB以P为顶角顶点，此时点C位于第一象限；
由于∠PBN=45°，若PC=PB，则∠CPB=90°，显然不合题意；
②△PCB以C为顶角顶点；
由于△OAB是等腰直角三角形，当P、A重合时，△PCB也是等腰直角三角形，
故A点符合P点的要求，即P（0，1）；
③△PBC以B为顶角顶点；
当C点在第一象限时，PB＞BC，若PB=BC，则C点必在第四象限；
设P（a，1﹣a），则AP=a，PB=（1﹣a），BC=CN﹣BN=a﹣（1﹣a）=2a﹣1；
若PB=BC，则2a﹣1=﹣a，
解得a=，
故P（，1﹣）；
综上所述，存在符合条件的P点，且坐标为P（0，1）或（，1﹣）．
【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的构成条件等知识．（4）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．
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