線分(1次ベジェ曲線)を説明する式で、[]が付与されている理由と縦に並んでいる理由は？


**[Link](http://postd.cc/bezier-curves/)先で、下記式が掲載されているのですが、意味が分かりません。**

[![画像の説明をここに入力](https://i.stack.imgur.com/MRZoO.png)](https://i.stack.imgur.com/MRZoO.png)

* * *

**Q**  
・これは座標ですか？  
・どうして[]で囲っているのでしょうか？  
・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？  
・これが、バーンスタイン基底関数ですか？  
・それとも、二項係数？？




> ・これは座標ですか？

はい。二次元座標を表しています。

> ・どうして[]で囲っているのでしょうか？  
>  ・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？

ベクトルには横ベクトルと縦ベクトルという2つの表し方があります。  
ベクトルも行列だと思うと、(1×2)行列か(2×1)行列かの違いです。  
ベクトルを横にするか縦にするかは流儀によって異なります。  
慣習的に縦か横を決めたり、スペースの都合に合わせて決めたりします。  
日本の高校数学だと横ベクトルが多いかもしれませんが、大学数学だと縦のことも多いです。  
カッコが [ ] になっているのは、ベクトルのカッコをそう書いているだけでしょう。 (丸括弧でなくても良いというだけです。)

> ・これが、バーンスタイン基底関数ですか？  
>  ・それとも、二項係数？？

これは、1次の場合のバーンスタイン多項式に t = 0.5 を代入した形です。二項係数ではありません。

一般のn次バーンスタイン多項式 P(t) は、制御点が P₀, P₁, …, Pₙ とあったときに、下の式で表されます。ただし ₙCᵢ は二項係数です。

[![一般のバーンスタイン多項式です](https://i.stack.imgur.com/aevsr.png)](https://i.stack.imgur.com/aevsr.png)

「バーンスタイン基底関数」は、上の式で赤い下線を引いた部分のことです。  
バーンスタイン多項式はバーンスタイン基底関数と制御点を掛けて足したもの（つまり、線型結合したもの）になっています。

これに n = 1 を代入すると、記事にもあるように、1次の場合のバーンスタイン多項式が出てきます。

[![n = 1
のときのバーンスタイン多項式の導出です](https://i.stack.imgur.com/Ro3Xr.png)](https://i.stack.imgur.com/Ro3Xr.png)

上の式は t をパラメータとした多項式であり、0≦t≦1 のとき、図形としては線分 P₀P₁ を表しています。  
たとえばこの式に t = 0.5 を代入すると、質問文の中に書いてある 0.5(P₀ + P₁) という式が出てきます。

また、上と同様に n = 2 の場合を求めると、2次の場合のバーンスタイン多項式、つまり、(2次)ベジエ曲線の式が導出できることが分かると思います。




> ・これは座標ですか？  
>  ・どうして[]で囲っているのでしょうか？

単純に行列です。１ｘ２行列ですから座標といってもいいです。

> ・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？

結局のところ座標を表示したいだけなので、１ｘ２行列でも２ｘ１行列でもよいわけです。  
リンク元ページ作者は１ｘ２行列で表記しただけです。  
あなたが気に入らないなら１ｘ２でも２ｘ１でも、お好きなほうでどうぞ。

