数学的帰納法での証明は実際に正しいかどうかはわからない?


私は数学が大の苦手なので、見当違いの質問かもしれませんが・・

"プログラマの数学" (ISBN4-7973-2973-4)の中で`0からnまでの整数の和は(n * (n + 1)) / 2
に等しい`ということを証明するために数学的帰納法を使っています

基底の証明`G(0)`が成り立つことは実際に計算すればわかります

`(0 * (0 + 1)) / 2 = 0 //確かに計算すると答えが0になる`

この中の帰納の証明の中でG(k) = `0 + 1 + ••• + k = (k * (k + 1)) / 2` が成り立つと **仮定**
して話を進めていますが、  
これはあくまでも **仮定** であり、G(k)が成り立ったからといってG(k+1)が成り立つとは限らないのではないのでしょうか?

G(0)が成り立ったからといってG(1263712)が成り立つことは分からないのではないかと思います

数学的帰納法での証明は実際に正しいかどうかはわからないのでしょうか?

`G(k) = 0 + 1 + ••• + k = (k * (k + 1)) / 2`

`G(k + 1) = 0 + 1 + ••• + k + (k + 1) = ((k + 1) * (k + 1) + 1) / 2`




数学的帰納法に限らず、一般に、「Aが成り立つと仮定する。このときBが成り立つ。」という論理 (ちゃんとした言葉を使えば命題)
の正しさは、実際にAが成り立つ場合があるかどうかには関係ありません。この命題の意味するところは、「Aが成り立てば、必ずBも成り立つよ。Aが成り立たなかった場合のことは何も言っていない
(ので、どうなるかわからない) よ。」ということです。

例えば、とある国で大統領を決める選挙を行うとしましょう。票数は全部で 51 で、過半数の 26票以上取れば、次期大統領に決定です。C氏と
T氏が立候補しました。さて選挙当日、非常に接戦で、現時点での開票速報での得票数は C氏が 25、T氏が 24です。このとき「
**C氏がもう一票取ったとする。このとき C氏が次期大統領である。** 」という命題は正しいでしょうか。接戦なので、T氏が 2票取る可能性も十分あります。

答えは、この命題は正しい、です。なにしろ、あと一票取れば、確かに合計 26票になるわけですから。T氏が
2票取るようなことになっても、それは、どうなるのか、この命題が何も述べていない事が起きただけのことなのです。

同様に数学的帰納法においても、「G(k)が成り立つと仮定する。このときG(k+1)が成り立つ」の正しさは、実際に
G(k)が成り立つ場合があるかどうかには影響されません。

数学的帰納法というのは伝言ゲームみたいなものです。「G(k)が成り立つと仮定する。このときG(k+1)が成り立つ」というのは、伝言の途中で絶対に間違えないことを保証するための証明です。あとは、一番最初に正しいことで伝言を始めれば、正しさが、どこまでも伝わっていくわけです。




数学的帰納法に限らず、一般に、「Aが成り立つと仮定する。このときBが成り立つ。」という論理 (ちゃんとした言葉を使えば命題)
の正しさは、実際にAが成り立つ場合があるかどうかには関係ありません。この命題の意味するところは、「Aが成り立てば、必ずBも成り立つよ。Aが成り立たなかった場合のことは何も言っていない
(ので、どうなるかわからない) よ。」ということです。

例えば、とある国で大統領を決める選挙を行うとしましょう。票数は全部で 51 で、過半数の 26票以上取れば、次期大統領に決定です。C氏と
T氏が立候補しました。さて選挙当日、非常に接戦で、現時点での開票速報での得票数は C氏が 25、T氏が 24です。このとき「
**C氏がもう一票取ったとする。このとき C氏が次期大統領である。** 」という命題は正しいでしょうか。接戦なので、T氏が 2票取る可能性も十分あります。

答えは、この命題は正しい、です。なにしろ、あと一票取れば、確かに合計 26票になるわけですから。T氏が
2票取るようなことになっても、それは、どうなるのか、この命題が何も述べていない事が起きただけのことなのです。

同様に数学的帰納法においても、「G(k)が成り立つと仮定する。このときG(k+1)が成り立つ」の正しさは、実際に
G(k)が成り立つ場合があるかどうかには影響されません。

数学的帰納法というのは伝言ゲームみたいなものです。「G(k)が成り立つと仮定する。このときG(k+1)が成り立つ」というのは、伝言の途中で絶対に間違えないことを保証するための証明です。あとは、一番最初に正しいことで伝言を始めれば、正しさが、どこまでも伝わっていくわけです。

