matematica financeira - compostos
sabendo que o capital de r$ 18.000,00 aplicado a juros compostos durante 3 anos rendeu r$ 3.750,00, pede-se: (a) a taxa semestral de juros efetiva aplicada na operação; (b) o rendimento, caso o capital fosse aplicado durante os mesmos 3 anos a uma taxa de 3,5%a.q./q.
(a) dados do problema: c = 18000 n = 6 semestres (3 anos) j = 3750 m = c + j = 18000 + 3750 = 21750 solução: usando a equação de juros compostos: m = c (1+i)^n como vamos utilizar n = 6 semestres, a taxa de juros obtida na equação já será a taxa efetiva semestral. 21750 = 18000*(1+i)^6 i = 0,0320 i =3,20% a.s.   (b) como a taxa de juros informada é quadrimestral (capitalizada quadrimestralmente), vamos usar n = 9 quadrimestres (3 anos). aplicando c = 18000 durante 9 quadrimestres a uma taxa efetiva de 3,5% a.q., tem-se: m = 18000*(1+0,035)^9 m = 24532,15 j = m - c = 24532,15 - 18000 j = r$ 6.532,15 (rendimento)
primeira pergunta:

para resolver aplicaremos a fórmula de juros compostos. iremos supor que o investidor aplicou um capital igual a x e o seu montante foi 3x.

\(s=p(1+i)^n\\ 3x=x(1+0,06)^n\\ 3 = 1,06^n\\ n=18,85 {\text { anos}} = 6880,25 {\text{ dias}} \)

serão necessáirios 6881 dias.

segunda pergunta:

para resolver aplicaremos a fórmula de juros compostos. iremos supor que o investidor aplicou um capital igual a x e o seu montante foi 2x.

\(s=p(1+i)^n\\ 2x=x(1+0,035)^n\\ 2 = 1,035^n\\ n=20.14 {\text { semestres}} = 120,84 {\text{ meses}} \)

serão necessáirios 121 meses. para resolver este problema, devemos aplicar a formulação de juros simples, exposta abaixo:

\(j=c\cdot i \cdot t,\)

em que \(j\) são os juros simples da aplicação; \(c\) o capital aplicado; \(i\) a taxa de juros por período; e \(t\) a quantidade de períodos.

visto isso, o montante (valor total recebido ao final do período de tempo), \(m\), é a soma dos juros com o capital, isto é:

\(\begin{align}m&=j+c \\&=(c\cdot i\cdot t)+c \\&=c\cdot(1+i+t) \end{align}\)

no problema em questão, tem-se que o montante é três vezes igual ao capital e que a taxa de aplicação é de \(150 \text{ %}\), daí, resulta que:

\(\begin{align}3\cdot c&=c\cdot(1+i+t) \\&=c\cdot(1+i+t) \\&=c +c\cdot i + c\cdot t \end{align}\)

subtraindo \(c\) em ambos os lados da equação, obtém-se que:

\(\begin{align}2\cdot c&=c\cdot i + c\cdot t \end{align}\)

dividindo ambos os lados por \(c\), substituindo \(i=1,5\) e isolando \(t\):

\(\begin{align}
t&=\dfrac{2}{1,5}
\\&=1,\overline{33} \text{ anos}
\end{align}\)

para converter o tempo em meses, basta multiplicar \(t\) por \(12\):

\(\begin{align}
t&=1,\overline{33} \text{ anos} \times \dfrac{12 \text{ meses}}{1 \text{ ano}}
\\&= 16 \text{ meses}
\end{align}\)

portanto, serão necessários \(\boxed{16 \text { meses}}\) para triplicar um capital aplicado, através de capitalização simples, a uma taxa de \(150 \text{ %}\) ao ano. a pergunta exige conhecimentos prévios em matemática financeira.devemos nos lembrar que a fórmula dos juros simples é: , onde:j é o juro obtido;c é o capital investido;i é a taxa; et é o tempo de aplicação, consoante com o tempo de rendimento da taxa.assim, queremos saber qual deve ser uma taxa bimestral que dê o mesmo rendimento de uma taxa de 24% ao trimestre. temos: , onde i é a taxa que buscamos, e 3/2 se refere a três meses (tempo de aplicação da taxa 24% a.t. dividido por 3 por se tratar, neste caso, de uma taxa bimestral; e , em que 0,24 = 24%a.t. é a taxa, e 1 é o 1 trimestre de aplicação.a fim de encontrarmos a taxa equivalente, vamos igualar os juros obtidos:portanto, a taxa de juros simples bimestral, proporcional à taxa 24 % a.t., é 16% a.b. fórmula da capitalização composta utilizada nos exercícios:﻿\[\boxed{m=c(1+i)^n}\]﻿\[m=\require{text}\text{montante}\]﻿\[c=\require{text}\text{capital}\]﻿\[i=\require{text}\text{taxa de juros}\]﻿\[n=\require{text}\text{período}\]1.﻿\[280000=250000.(1+i)^{45}\]﻿\[\boxed{i=0,002521=0,2521\ \%\ \require{text}\text{ao dia}}\]assim, a taxa mensal será de:﻿\[i\_{mensal}=0,2521.30\]﻿\[\boxed{i\_{mensal}=7,563\ \%}\]2.pagando à vista e recebendo um desconto de 3%, o comprador ficou com um saldo de:﻿\[\boxed{\require{text}\text{saldo final desconto}=0,03.x}\]﻿\[x=\require{text}\text{valor de referência}\]já que foi pago 97% da dívida.considerado que a taxa mensal de 1,3% é igual a uma taxa diária de:﻿\[\require{text}\text{taxa diária}=\dfrac{1,3\%}{30\ dias}\]﻿\[\boxed{\require{text}\text{taxa diária}=0,04333\ \%\ a.d}\]assim, em 45 dias terá rendido:﻿\[m\_{45}=x.(1+0,0004333)^{45}\]﻿\[\boxed{m\_{45}=1,01968.x}\]depois de paga a dívida, o saldo final será de:﻿\[\boxed{\require{text}\text{saldo final investimento}=0,01968.x}\]ou seja, pagar a vista e receber o desconto gera um saldo positivo de 3 % do valor de referência, maior do que os 1,968 % investindo por fora.3.considerando que os juros são calculados da seguinte forma:﻿\[\boxed{j=m-c}\]﻿\[j=\require{text}\text{juros}\]﻿\[m=\require{text}\text{montante}\]﻿\[c=\require{text}\text{capital}\]temos:﻿\[x=x.(1+i)^{10}-x\]﻿\[2x=x.(1+i)^{10}\]﻿\[2=(1+i)^{10}\]﻿\[\boxed{i=0,07177 = 7,177\ \%\ a.m.}\]4.aplicando a primeira fórmula, obtém-se:﻿\[2x=x(1+0,022)^n\]﻿\[2=(1,022)^n\]﻿\[\boxed{n=31,85\approx32\ meses}\]5.a)hoje, a dívida ainda é de r$ 80.000,00. já que a taxa de juros é mensal.b)﻿\[m\_2=80000(1+0,013)^2\]﻿\[\boxed{m\_2=r$\ 82.093,52}\]c)faltando dois meses para vencer, já terão passados 3 meses. assim,﻿\[m\_3=80000(1+0,013)^3\]﻿\[\boxed{m\_3=r$\ 83.160,73}\] para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre matemática financeira, mais especificamente sobre juros simples. para tanto, faremos uso da equação abaixo:

\(m=c\cdot(1+i\cdot t),\)

em que \(m\) é o momento final da aplicação; \(c\) o capital ou valor inicial; \(i\) a taxa de juros por período; e \(t\) a quantidade de períodos.

no problema em questão, sabe-se que \(c=\text{r}$\text{ } 5.000,00\), \(i=0,05\text{ a.m}\) e que \(t = 4\text{ meses}\). assim, aplicando tais dados na fórmula, resulta que:

\(\begin{align} m&=c\cdot(1+i\cdot t) \\&=\text{r}$\text{ }5.000,00\cdot (1+0,05\cdot 4) \\&=\text{r}$\text{ } 5.000,00\cdot (1+0,20) \\&=\text{r}$\text{ }5.000,00\cdot 1,20 \\&=\text{r}$\text{ }6.000,00 \end{align}\)

portanto, nas condições do problema, o montante após \(4 \text{ meses}\) é de \(\boxed{\text{r}$\text{ } 6.000,00}\). sendo a taxa de juros nominal de ﻿\(42\%\)ao ano, temos que a taxa de juros efetiva mensal será de ﻿\(\dfrac{42}{12} = 3,5\%\) o montante ﻿\(m\)a ser pago ao final do ano será dado por:﻿\[m = 20.000 \cdot (1+j)^{n}\]em que ﻿\(j\)é a taxa de juros mensal e ﻿\(n\)é o número de meses decorridos. substituindo ambos os valores,﻿\[\eqalign{&m = 20.000 \cdot (1+0,035)^{12} \\& m=30.221,37}\]a taxa efetiva ﻿\(e\)anual, somada um inteiro, será igual a razão entre o valor devido inicialmente e o valor pago após um ano:﻿\[\eqalign{&(1+e) = \dfrac{30.221,37}{20.000} \\& e = 1,511-1 \\& e = 0,511}\]logo, a taxa efetiva terá sido se ﻿\(5,11\%\)ao ano. a resposta correta será, então, a alternativa d. primeiramente vamos calcular o valor do juros simples sobre o produto:

\(j=cit\\ j = 450,00 \cdot 0,07 \cdot 2\\ j = 63,00 \)

para calcular o valor das parcelas:

\({\text{total}} = 450,00+63,00 = 513,00\\ {\text{valor de cada parcela }} = 513,00/3 = 171,00\)

o valor de cada pagamento será 171,00. Nada. O saldo devedor apresentado pelo banco já é o saldo definitivo. Os juros dos contratos de financiamento e correção são aplicados mensalmente. [imagem] klhysmann:

se é esse valor mesmo o justo a ser cobrado de ir?

o ir até 180 dias é de 22,5%.

o rendimento da nuconta é 4,15%. sim. ele pode cobrar. mesmo sem acordo contratual, se ele comprovar que ela usufruiu do serviço e não pagou, a cobrança de juros é legalmente amparada. lembrando que os juros calculados não podem ser acima de 3% do valor devido (artigo 52, cdc).