Două din cinci
Considerăm cinci puncte (distincte) așezate pe un caroiaj, la intersecțiile liniilor acestuia, în poziții alese la întâmplare. Vom găsi întotdeauna, printre cele cinci puncte, două care să determine un segment al cărui mijloc să se afle tot la o intersecție de linii ale caroiajului? Justificare.
|  | Se poate considera un sistem de axe neortogonal cu centrul in unul din varfuri si axele pe laturile rombului.Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment este aceeasi ca in sitem ortogonal,mai exact media aritmetica a abciselor respectiv ordonatelor..Acum e suficient sa aratam ca intre 5 puncte exista 2 in care media aritmetica a abciselor respectiv ordonatelor este numar intreg,adica suma abciselor respectiv ordonatelor sa fie para.Cum pentru un numar avem 2 posibile paritati pentru o pereche o sa fie 2x2=4  posibile perechi de paritati .Mai exact (par,par);(par,impar);(impar,par) si (impar,impar) dar cum avem 5 puncte neaparat 2 dintre ele vor avea aceeasi forma si in acest caz suma abciselor respectiv ordonatelor va fi para ceea ce inseamna mijlocul este pe un varf din caroiaj. |
autobuzul circula pe drumul prioritar, deci va trece primul. ramane autoturismul si autocamionul, ambele venind de pe drumuri fara prioritate, deci intre ele se aplica prioritatea de dreapta. autocamionul venind din dreapta autoturismului, va avea prioritate fata de acesta, astfel ca autoturismul va trece ultimul. Dacă vă sunt întotdeauna așteaptă să găsească o valoare atunci arunca o excepție în cazul în care lipsește. Excepția ar însemna că există o problemă.


În cazul în care valoarea poate fi lipsește sau este prezent și ambele sunt valabile pentru aplicarea logica a reveni apoi un nul.


Mai important: Ce faci alte locuri în codul? Coerența este important. 1. depinde la ce parte a pieței vă referiți. dacă vorbiți de segmentul rezidențial și apartamentele vechi, atunci răspunsul este că vom afla anu acesta. dacă este vorba despre alte segmente, am nevoie de mai multe informații pentru a vă putea răspunde. 
2. există deja investitori care au cumpărat pachete de 50-100 de apartamnte noi la 600-700 euro/mp. dar acesta nu sunt localizate în centru, doar la periferie. 
3. dacă băncile decid să își „curețe” portofoliul de tot felul de credite „problematice” pe care le au, atunci prețurile vor scădea, cu mai mult de 30-50%. dar nu sunt încă sigur că vor alege această opțiune. 
4. în ziua de astăzi există și oportunități, dacă vă uitați la ofertele prin „executare silită”. 
5. economia română s-a stabilizat mai mult sau mai puțin, astfel că nu va exista o presiune economică adițională pentru ca prețurile să scadă la jumătate. dacă asta se va întâmpla, va fi alegerea bancherilor. dacă bancherii spun „nu” vânzărilor în masă, prețurile vor continua să scadă, până să ajungă la nivelul cererii. dacă acest trend se menține un an, nu se poate ajunge la o deducere de 30%. dacă tendința continuă pentru încă 3 ani, este foarte posibil (dar în acest scenariu de încă 3 ani de criză economică, mă îndoiesc că veți mai considera proprietatea atractivă, doar pentru că este cu 30% mai ieftină). Exact asta e ideea. Duolingo cu acele "spărturi" îti arată lecțiile pe care nu le-ai repetat de mult. Dacă le repeți, după un timp apar altele... prioritatea de dreapta este un principiu care se aplica tot mai putin, in ziua de astazi.
cand faci dreapta intr-o intersectie, nu se aplica acest principiu, ci regula drumului cu prioritate. daca tu ai semn "cedeaza trecerea" sau "stop", vei da prioritate inclusiv celor care iti vin din stanga, daca ei nu au semn deloc, sau au semn "drum cu prioritate". doar daca ala din stanga ta, are la randul lui semn "stop" sau "cedeaza trecerea", tu ai prioritate in fata lui, pentru ca trebuie sa iti acorde prioritate de dreapta, din cauza ca semnele voastre sunt egale.
si da, in cazurile in care se acorda prioritate de dreapta, nu prea conteaza in ce directie merge cel caruia ii dai prioritate.
in cazul in care virezi la stanga intr-o intersectie, iar cineva vine de pe contrasens, si vireaza in stanga lui, nu se mai aplica ocolirea centrului intersectiei, mergeti amandoi mai spre stanga voastra, pentru a nu va intalni, iar asa nu mai este necesara acordarea de prioritate intre voi. 1. ti-l poate selecta si premia cu funda, cel care a pus intrebarea.
2. sau il poate aprecia un editor de pe forum, doar daca este un raspuns foarte bun si complet si ii place editorului. de prioritatea de dreapta ai auzit? așadar... cel ce vine din dreapta. indiferent încotro se îndreaptă. Pentru ca acele semidrepte sa coincida, unghiul dintre ele trebuie sa fie de 360 de grade, sau de un multiplu de 360 de grade. Intelegi acest lucru? Daca nu, iti pot face un desen care sa te ajute.


a)Semidreptele ![[OA_0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?[OA_0) si ![[OA_n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?[OA_n) coincid daca unghiul dintre ele, anume unghiul ![A_0OA_n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_0OA_n)  este un multiplu de 360 de grade. Despre acest unghi observam ca:


![m(\angle A_0OA_n)=m(\angle A_0OA_1)+m(\angle A_1OA_2)+...+m(\angle A_{n-1}OA_n)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;A_0OA_n)=m(\angle&space;A_0OA_1)+m(\angle&space;A_1OA_2)+...+m(\angle&space;A_{n-1}OA_n))


Acest lucru se vede mai clar din desen. Daca ai nevoie de un desen, sa imi spui. Mai departe inlocuim masurile unghiurilor in formula de mai sus:


![m(\angle A_0OA_n)=1+3+...+(2n-1)=n^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;A_0OA_n)=1+3+...+(2n-1)=n^2)


Nu am demonstrat de ce acea suma este egala cu ![n^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n^2) deoarece este un rezultat foarte cunoscut. Daca nu il cunosti, iti pot arata cum se demonstreaza.


Dupa cum am zis la inceput, unghiul ![A_0OA_n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_0OA_n) trebuie sa fie multiplu de 360 de grade, adica trebuie sa fie de forma ![360k](http://latex.codecogs.com/gif.latex?360k). Dar am vazut mai sus si ca trebuie sa fie patrat perfect(![n^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n^2)). Pentru asta, mai intai il descompunem pe 360 in factori primi:


![360k=2\cdot180k=2\cdot2\cdot90k=2\cdot2\cdot2\cdot45k=2^3\cdot5\cdot9k=2^3\cdot3^2\cdot5k](http://latex.codecogs.com/gif.latex?360k=2\cdot180k=2\cdot2\cdot90k=2\cdot2\cdot2\cdot45k=2^3\cdot5\cdot9k=2^3\cdot3^2\cdot5k)


Pentru a fi patrat perfect, toti factorii trebuie sa aiba o putere para. Ne mai lipsesc atunci un 2 si un 5(pentru a avea ![5^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?5^2) si ![2^4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2^4)), pe care ii adaugam luand valoarea 10(2*5) pentru ![k](http://latex.codecogs.com/gif.latex?k). Atunci:


![n^2=360\cdot10=60^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n^2=360\cdot10=60^2)


Rezulta ca cel mai mic ![n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n) pentru care semidreptele coincid este ![n=60](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=60). Subiectul 1  

1.Formula pentru lungimea unui segment cand se cunosc coordonatele capetelor acestuia este:  

![AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2})  

Inlocuind coordonatele, obtinem:  

![AB=\sqrt{(-6-(-1))^2+(-9-3)^2}=\sqrt{(-6+1)^2+(-12)^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(-6-(-1))^2+(-9-3)^2}=\sqrt{(-6+1)^2+(-12)^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13)  

2.Utilizam aceeasi formula ca mai sus, pentru coordonatele date la acest subpunct:  

![AB=\sqrt{(a-3)^2+(-7-(-2))^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-7+2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{(a-3)^2+5^2}=\sqrt{(a-3)^2+25}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(a-3)^2+(-7-(-2))^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-7+2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{(a-3)^2+5^2}=\sqrt{(a-3)^2+25})  

Stim insa deja ca lungimea lui AB este 13, deci expresia obtinuta mai sus este egala cu 13:  

![\sqrt{(a-3)^2+25}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{(a-3)^2+25}=13)  

Expresia de sub radical este intotdeauna pozitiva, deci putem ridica la patrat fara a ne teme ca adaugam radacini in plus:  

![(a-3)^2+25=169](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-3)^2+25=169)  

![(a-3)^2=144=12^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-3)^2=144=12^2)  

Avem 2 solutii, ![a-3=12](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-3=12), de unde obtinem ![a=15](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=15) si ![a-3=-12](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-3=-12), de unde obtinem solutia ![a=-9](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=-9).  

3.Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentelor. Deci:  

![x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}2=-2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}2=-2)  

![y_M=\frac{y_A+y_B}2=\frac{9-1}{2}=\frac82=4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_M=\frac{y_A+y_B}2=\frac{9-1}{2}=\frac82=4)  

4.Pentru a calcula perimetrul unui triunghi, trebuie mai intai sa stim lungimea fiecareia dintre laturile sale. Folosim aceeasi formula ca la primul exercitiu:  

![AB=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2}=\sqrt{(-5)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2}=\sqrt{(-5)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13)  

![BC=\sqrt{(1-(-8))^2+(-3-9)^2}=\sqrt{(1+8)^2+(-12)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15](http://latex.codecogs.com/gif.latex?BC=\sqrt{(1-(-8))^2+(-3-9)^2}=\sqrt{(1+8)^2+(-12)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15)  

![AC=\sqrt{(-4-(-8))^2+(9-9)^2}=\sqrt{(-4+8)^2+0^2}=\sqrt{4^2}=4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AC=\sqrt{(-4-(-8))^2+(9-9)^2}=\sqrt{(-4+8)^2+0^2}=\sqrt{4^2}=4)  

Perimetrul unui triunghiu este suma lungimilor laturilor sale, deci perimetrul triunghiului ABC este:  

![P_{ABC}=AB+BC+AC=13+15+4=28+4=32](http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_{ABC}=AB+BC+AC=13+15+4=28+4=32)  

5.Daca M este simetricul punctului A fata de punctul B, atunci punctul B este mijlocul segmentului AM. La fel ca la exercitiul 3, coordonatele punctului B sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentelui AM, adica:  

![x_B=\frac{x_A+x_M}{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_B=\frac{x_A+x_M}{2}) si ![yB=\frac{y_A+y_M}2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?yB=\frac{y_A+y_M}2).  

Inlocuim valorile cunoscute in prima ecuatie:  

![-8=\frac{-2+x_M}{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-8=\frac{-2+x_M}{2})  

![-16=-2+x_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-16=-2+x_M)  

![-14=x_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-14=x_M)


Acum intr-a 2-a ecuatie:  

![7=\frac{9+y_M}2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?7=\frac{9+y_M}2)  

![14=9+y_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?14=9+y_M)  

![y_M=5](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_M=5)


6.Aplicam formula pentru lungimea segmentului utilizata si mai sus:  

![AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-(3-a))^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-3+a)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(2a-5)^2}=\sqrt{2(2a-5)^2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-(3-a))^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-3+a)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(2a-5)^2}=\sqrt{2(2a-5)^2})  

Stim insa deja lungimea lui AB, deci expresia de mai sus este egala cu aceasta lungime:  

![\sqrt{2(2a-5)^2}=9\sqrt2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{2(2a-5)^2}=9\sqrt2)  

Cantitatea de sub radical este pozitiva, deci putem ridica la patrat fara a adauga solutii in plus:  

![2(2a-5)^2=2\cdot81](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2(2a-5)^2=2\cdot81)  

2 se simplifica:  

![(2a-5)^2=81=9^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(2a-5)^2=81=9^2)  

Avem 2 solutii:  

![2a-5=9\quad=>\quad2a=14\quad=>\quad a=7](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a-5=9\quad=>\quad2a=14\quad=>\quad&space;a=7)  

sau  ![2a-5=-9 \quad =>\quad 2a=-4\quad =>\quad a=-2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a-5=-9&space;\quad&space;=>\quad&space;2a=-4\quad&space;=>\quad&space;a=-2) 5 minute. Fiecarei masini ii trebuie 5 minute. Iar celor 100 de masini, la fel,  considerand ca lucreaza concomitent.