Calculați perimetrul unui triunghi echilateral


 

Calculați perimetrul unui triunghi echilateral, știind ca una dintre înălțimile sale are lungimea de 3 radical din 3 dm.
Știm  că înălțimea in triunghiul echilateral este ,,latura radical din 3 supra 2″, iar de aici inlocuim înălțimea cu 3 radical din 3 si obținem ca latura este de 6 cm.Perimetrul va fi egal cu 18 cm :3×6


*Edit:*  

![h=\frac{l\sqrt{3}}{2} => 3\sqrt{3} = \frac{l\sqrt{3}}{2} => l = \frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} => l=2*3=>l=6](http://latex.codecogs.com/gif.latex?h=\frac{l\sqrt{3}}{2}&space;=>&space;3\sqrt{3}&space;=&space;\frac{l\sqrt{3}}{2}&space;=>&space;l&space;=&space;\frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}&space;=>&space;l=2*3=>l=6)  

![P=3*6=18](http://latex.codecogs.com/gif.latex?P=3*6=18)
<https://i.imgur.com/LCOdpC5.png>

Câteva soluții ar fi:

1. Teorema cosinusului în triunghiul OAB: AB2 = OA2 + OB2 - 2OA*OB*cosAOB => cosAOB = 0.8 și sinAOB = 0.6  
cos AOB = OY/OA = y/20 => y = 16  
sin AOB = OX/OA = x/20 => x = 12

2. x2 + y2 = 202  
   x2 + (y-7)2 = 152  
Rezolvăm sistemul și obținem aceleași valori ca mai sus.

3. Formula lui Heron spune că aria unui triunghi cu laturile a, b, c și  p semiperimetrul este ![\small \small \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Csmall%20%5Csqrt%7Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29). Obțin AAOB = 42  
   AAOB = OB*AY/2 = 7*x/2. Egalând ariile se obțin aceleași coordonate.

4. O rezolvare din ochi ar veni din observația că sunt 2 triunghiuri dreptunghice AOX și ABY cu cele două ipotenuze multipli de 5, OA = 5*4 și AB = 5*3. Ne duce gândul la tripletele pitagoreice care sunt multipli ai tripletei primitive (3, 4, 5). Pentru AOX laturile ar trebui să fie de forma 4*(3, 4, 5), iar pentru ABY de forma  3*(3, 4, 5), valori care, într-adevăr, se potrivesc problemei date. Ajută enorm faptul că catetele de 12 pot fi privite ca multiplu de 3 sau ca multiplu de 4. ***Interesant este că nu mai contează căt mergem spre nord*** și enunțul ar fi fost mai tare cu "mergem spre nord până când AB = 15". Mai dau o soluție, care de data asta acoperă toate situațiile posibile și e mai simplă.  
  
Considerăm că pătratul este orientat cu laturile paralele cu axele Ox și Oy ale unui sistem cartezian. Poziția lui în plan nu e fixă, dar orientarea da, iar asta nu restrînge generalitatea.  
  
Oricum am pune dreptunghiul în același plan, el are în mod necesar o anumită orientare. Fie *a* unghiul dintre lungimea dreptunghiului și axa Ox, măsurat în sens trigonometric. Tot fără a restrînge generalitatea, intervalul de valori ale lui *a* este [0, 90°], în afara căruia configurațiile se repetă prin simetrie și periodicitate. (De fapt generalitatea nu se restrînge nici dacă luăm doar intervalul [0, 45°], dar mi-e puțin lene să explic de ce.) Completarea la enunțul problemei spune că *a* nu poate fi nici 0 și nici 90°, deci ne rămîne intervalul deschis (0, 90°). Voi demonstra că orice valoare ar lua *a* în acest interval, nu există nici un pătrat de latură 1 care să includă dreptunghiul.  
  
Pentru aceasta calculez, la fiecare valoare a lui *a*, care este dimensiunea pe orizontală a dreptunghiului rotit, adică distanța de la abscisa minimă a punctelor din dreptunghi (abscisa vîrfului aflat cel mai în stînga) pînă la abscisa maximă (a vîrfului cel mai din dreapta). Pentru ca dreptunghiul să intre în pătrat, această dimensiune trebuie să fie maximum 1. La fel calculez și dimensiunea pe verticală, care trebuie să fie și ea maximum 1. Notez aceste dimensiuni cu *x* și *y*. Formulele sînt următoarele:  
  
x = 0,5*sin(a) + 1,0*cos(a)  
y = 1,0*sin(a) + 0,5*cos(a)  
unde 0,5 și 1,0 reprezintă lungimile laturilor.  
  
E util să facem un grafic al celor două funcții. Căutăm valorile lui *a* pentru care x și y sînt simultan cel mult egale cu 1. Numai atunci am putea desena în planul xOy un pătrat de latură 1, cu laturile paralele cu axele, care să includă dreptunghiul.  
  
Ia să vedem. Funcția x(a) are valori sub 1 numai cînd *a* este în intervalul de la circa 53,1° pînă la 90°. Pe de altă parte, funcția y(a) ia valori sub 1 numai pentru *a* de la 0 la 36,9°.  
  
Intersecția celor două intervale e vidă. Așadar nu există nici o valoare a unghiului *a* pentru care extinderea pe orizontală și pe verticală să fie simultan maximum 1. Ca urmare dreptunghiul nu poate fi inclus în pătrat indiferent care ar fi orientarea lor relativă.  
  
Dacă în schimb am putea pune dreptunghiul cu laturile paralele cu axele, atunci ar exista valorile a = 0 și a = 90° pentru care x și y sînt simultan cel mult 1, caz în care ar ieși soluțiile banale.  
  
Valoarea de 53,1° de mai sus este mai precis 2*arctg(1/2), iar 36,9° este unghiul complementar. Rescriem ecuaţia astfel:

(x3+ y3+ z3)/(x2 + y2 + z2) = 18/7 egal aproximativ cu 2,57.

 

A. O primă observație este că funcția de 3 variabile definită de termenul stâng este crescătoare, ceea ce ne duce la concluzia că o eventuală soluție nu poate exista pentru valori mari ale variabilelor. Cu cât oricare din ele crește, cu atît raportul dintre numărător și numitor crește față de valoarea de 2,57.

 

B. Analizând  paritatea observăm că paranteza din membrul stîng trebuie să fie un număr par, caz în care x, y și z nu pot fi decât toate 3 pare sau două impare și unul par.

 

Cu aceste observații avem motive să căutăm soluția, dacă ea există, ca o tripletă de numere naturale mici care respectă condiția B.

(2,2,2), (3,3,2) și (1,1,2) nu sunt soluții. Mai rămâne tripleta (1,2,3) care e soluție. Deci ecuația are 6 soluții, cele 6 permutări ale tripletei (1,2,3) plus soluția banală (0,0,0). Din considerentele de la început, expresia fiind strict crescătoare, nu există alte soluții în afara celor pe care le-am depistat. Mi-ar fi plăcut să găsesc niște artificii de calcul dar nu am găsit altă metodă decât cea a încercărilor. ma intereseaza oferta d-voastra,eu am apartamentul vizavi de spitalul militar/pitesti,cu 3camere decomandat,2balcoane,multiple inbunatattiri,daca va intereseaza va las nr.meu de tel.0745148494.multumesc bună.
o oglindă cel puțin egală cu înălțimea ta, asta pentru a fii nevoit să te îndepărtezi de ea pentru a te vedea integral!
pa, pa. pretul mediu cerut pe metru patrat, in cazul apartamentelor cu 3 camere din craiova, este de 1040 e. preturile curente de vanzare pentru casele cu trei camere din localitate (am utilizat aceleasi criterii pentru comparatie) incep de la 41000 e. tinand cont de aceste cateva repere statistice, schimbul este realizabil, insa trebuie sa identificati persoanele dispuse la o astfel de operatiune.
de aceea, sfatul nostru este sa apelati la serviciile unui broker imobiliar din craiova; acesta cunoaste foarte bine oferta locala si poate identifica variante adecvate asteptarilor dumneavoastra. regasiti aici lista actualizata cu agentiile imobiliare: http://www.imobiliare.ro/feedback\_80798 - le puteti trimite mesaj direct din pagina de contact, completand formularul din partea stanga a paginii - “ai nevoie de ajutor?” Triunghiurile AOB și DOC sînt asemenea => AO*DO = OC*OB => **A(AOD) = A(BOC)** avînd același unghi, A() - arie triunghi  
A(AOD) = AD*h1/2, h1- înălțimea dusă din O pe AD  
**h1 = MO*sinAMO**  
La fel  
A(BOC) = BC*h2/2, h2- înălțimea dusă din O pe BC  
**h2 = NO*sinBNO**  
Deci AD*MO*sinAMO = BC*NO*sinBNO. Apelez la reducerea la absurd și presupun MO=NO =>  
**AD*sin AMO = BC*s‌inBNO**. Prelungesc laturile AD și BC pînă se întîlnesc în T.  
În triunghiul TMN conform teoriei sinusului **sinAMO / TN = sinBNO / TM** => **AD / BC = TM / TN**. Dar AD / BC = TA / TB (teorema lui Thales) => **TA  / TB = TM / TN** și conform reciprocii teoremei asemenării => ***MN este paralelă cu AB și CD, apoi trapezul mai devine și isoscel ceea ce contrazice ipoteza unui trapez și a unei drepte oarecare.***  
Am  considerat AB < CD și punctele M, N interioare laturilor AD, BC. Probabil dacă sînt în prelungirile lor raționamentul este la fel, dar mi s-a acrit de desenat trapeze. Asta nu înseamnă că sînt o acritură, nu-i așa? dai pe customs margins si selectezi dimensiunile. eu am doar in toli, poate tu le ai in cm, daca nu le calculezi. media generala se face in felul urmator: (a+b):2=c sau (a+b+c):3=d se face suma cifrelor si rezultatul lor impartit la cate sunt.
i cazul tau media va fi (10+9+4):3=7,66 si in catlog o sa fie 8 deoarece se rotunjeste la 8. achizitia va fi prin credit imobiliar (nu prima casa). in principiu ne intereseaza un apartament cu 3 camere, peste 65 mp, 2 bai iar ca si zone exclus cele periferice.