O problema frumoasa nivel OIM
Se considera numerele 1,2,3......,2n  care se impart in 2 grupe de numere fiecare cu cate n numere.Fie a1<a2<....<an si b1>b2>....>bn unde a1,a2....an sunt numerele din prima grupa respectiv b1,b2,...bn din a doua grupa.Sa se demonstreze ca |a1-b1|+|a2-b2|+...+|an-bn|=n2.

aceasta problema a fost propusa la olimiada nationala din Rusia pe vremea cand era URSS.
Valoarea sumei (s) se obtine scazand din suma tuturor numerelor de la n+1 la 2n (elemente "superioare", notate mai departe prin "s" cu diversi indici) pe cea a tuturor numerelor de la 1 la n ("inferioare" - "i" cu diversi indici), adica [(n+1+2n)n]/2 minus n(n+1)/2, care, intr-adevar, da n2.

Daca, din cele n "a"-uri (fie A multimea lor) k sunt "inferioare" si n-k sunt "superioare", atunci, implicit, multimea "b"-urilor (B) va contine k elemente "superioare" si n-k "inferioare". Atunci, ordonate crescator, elementele lui A s-ar scrie: i1<i2<...<ik<s1<s2...<sn-k, iar cele din B, ordonate descrescator: sn-k+1>sn-k+2>...sn>ik+1>ik+2...>in, tinandu-se cont ca, evident, orice "i" este mai mic decat orice "s". Atunci, eplicitand fiecare modul din suma s, ea devine s=sn-k+1-i1+sn-k+2-i2+...+sn-ik+s1-ik+1+s2-ik+2+...sn-k-in, adica suma "s"-urilor minus cea a "i"-urilor.

Problema draguta. Multumesc!
La fiecare dintre cei 3 pasi, fiecare numar este notat o data. In final, fiecare numar va aparea de 3 ori. Deci suma celor 3 numere obtinute de elevi este de 3 ori suma numerelor. Fie s aceasta suma:  

3s=13+15+23  

3s=51  

s=17


Numerele dintre 1 si 9 cu suma 17 sunt (1, 7, 9), (2, 6, 9), (2, 7, 8), (3, 5, 9), (3, 6, 8), (4, 5, 8), (4, 6, 7).


Ultima solutie nu poate fi corecta deoarece suma maxima care poate fi obtinuta este 7+7+7=21.


Pentru (4, 5, 8), suma maxima este 8+8+8=24, care este prea mare. A 2-a suma este 8+8+5=21, care e prea mica. Deci nu putem obtine suma 23.


Din aceleasi rationamente, (3, 6, 8) nu este valida.


Solutia (3, 5, 9) este corecta, deoarece avem 9+9+5=23, 5+5+3=13 si 9+3+3=15.  

Prin verificare directa se observa ca celelalte 3 solutii nu sunt valide. e chiar m1, m2, m3 si sunt nivelele de matematica in functie de profilul de liceu. m1 la mate info, m2 la stiinte, m3 la filologie. hai să ţi'o spun mai ''băbeşte''. Într'o probabilitate, ai cazuri favorabile şi cazuri posibile. cazurile favorabile, reprezintă numărul cazurilor care convin, adică cele din care trebuie să facă parte bila extrasă, în cazul tău, fiind 11 bile negre, deci cazurile favorabile sunt 11. asta scrii sus, la numărător. cazurile posibile sunt toate, adică aduni cele două (sau câte sunt) tipuri de bile, fiindcă ele sunt amestecate în urnă. ai 18+11=29 de cazuri posibile. cazurile posibile vin la numitor. Şi ai fracţia 11/29, care reprezintă probabilitatea (rezultatul final). Înţeles? la nr 9 e ok. la 10 si 11 ai probleme. la 12 pe urma e ok iar. Pentru primul exercițiu, îți voi da câte un exemplu la fiecare subpunct, după care te vei ghida și vei proceda analog.  

a)Avem 283-95:5=489-x (vom înlocui semnele de întrebare cu x, deoarece este evident că ni se cere un număr)  

Pentru a rezolva astfel de exerciții, trebuie doar să ținem cont de ordinea efectuării operațiilor și cea a semnelor.  

=>283-19=489-x => x=489+19-283=217  

b)x-183=861-123:3 => x= 861-41+183=1003  

c)184+156:4=x+123 =>x=184+39-123=61+39=100  

d)1404:36+x=4750-2410 => x=2340-1404:36=2340-39=2301  

Consider ca sunt e sunt bine cunoscute operatiile de impartire si de trecere dintr-un membru al ecuatiei in altul. depinde de profil. daca esti pe profilul matematica-informatica bineinteles ca vei face m1. daca esti pe profilul stiinte ale naturii sau economic vei face m2. daca esti pe orice alt profil in afara de cele precizate mai sus vei face m3. m1 e cea mai grea matematica, m2 e medie, iar m3 cea mai usoara? pentru stanga e num4 pentru dreapta e num6 pentru jos e num2 si pentru sus e num8. primul cu 150-200 lei si al doilea cu 200-250 lei.prima data ceri pretul cel mai mare si apoi mai lasi daca e nevoie... incepi problema bazandu-te pe formula concentratiei:
c pe 100 e egal cu md supra mersi si de aici incepi sa rezolvi problema, folosind datele pe care le stii:)
succes! te pui si inveti chineza. nu chineza ca limba, ci cea care o vorbeste profa de la seminar. totul se invata. trebuie doar munca, multa munca. unii au predilectie pentru matematica, cei cu firea analitica, si pentru ei e mai usor, altii, care percep emotia mai mult decat gindirea, gasesc matematica ca fiind ceva urit si greu de inteles, si pentru ei e greu sa invete sa inteleaga matematica, dar asa e in orice domeniu al vietii, unde ai talent, inveti usor, unde nu, trebuie sa muncesti din greu. campionii dintre noi au stiut sa scoata tot ce pot din ei, si-au folosit talentul al maxim, dar au si muncit la maxim. tu nu vei fi o campioana a matematicii, asta e sigur, dar poti obtine rezultate bune si la matematica. ca motivatie, iti sugerez sa urmaresti filmul "the blind side", cu sandra bullock, care, desi este un film mai mult despre sport, descrie pana unde a putut ajunge, datorita invataturii, un tinar pe care nimeni nu dadea doi bani.