formula ariei unui triunghi dreptunghic in b
daca triunghiul e abc. dreptunghic in b... a=ab*bc totul impartit la 2. funda?
<https://i.imgur.com/LCOdpC5.png>

Câteva soluții ar fi:

1. Teorema cosinusului în triunghiul OAB: AB2 = OA2 + OB2 - 2OA*OB*cosAOB => cosAOB = 0.8 și sinAOB = 0.6  
cos AOB = OY/OA = y/20 => y = 16  
sin AOB = OX/OA = x/20 => x = 12

2. x2 + y2 = 202  
   x2 + (y-7)2 = 152  
Rezolvăm sistemul și obținem aceleași valori ca mai sus.

3. Formula lui Heron spune că aria unui triunghi cu laturile a, b, c și  p semiperimetrul este ![\small \small \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Csmall%20%5Csqrt%7Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29). Obțin AAOB = 42  
   AAOB = OB*AY/2 = 7*x/2. Egalând ariile se obțin aceleași coordonate.

4. O rezolvare din ochi ar veni din observația că sunt 2 triunghiuri dreptunghice AOX și ABY cu cele două ipotenuze multipli de 5, OA = 5*4 și AB = 5*3. Ne duce gândul la tripletele pitagoreice care sunt multipli ai tripletei primitive (3, 4, 5). Pentru AOX laturile ar trebui să fie de forma 4*(3, 4, 5), iar pentru ABY de forma  3*(3, 4, 5), valori care, într-adevăr, se potrivesc problemei date. Ajută enorm faptul că catetele de 12 pot fi privite ca multiplu de 3 sau ca multiplu de 4. ***Interesant este că nu mai contează căt mergem spre nord*** și enunțul ar fi fost mai tare cu "mergem spre nord până când AB = 15". Subiectul 1  

1.Formula pentru lungimea unui segment cand se cunosc coordonatele capetelor acestuia este:  

![AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2})  

Inlocuind coordonatele, obtinem:  

![AB=\sqrt{(-6-(-1))^2+(-9-3)^2}=\sqrt{(-6+1)^2+(-12)^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(-6-(-1))^2+(-9-3)^2}=\sqrt{(-6+1)^2+(-12)^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13)  

2.Utilizam aceeasi formula ca mai sus, pentru coordonatele date la acest subpunct:  

![AB=\sqrt{(a-3)^2+(-7-(-2))^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-7+2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{(a-3)^2+5^2}=\sqrt{(a-3)^2+25}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(a-3)^2+(-7-(-2))^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-7+2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{(a-3)^2+5^2}=\sqrt{(a-3)^2+25})  

Stim insa deja ca lungimea lui AB este 13, deci expresia obtinuta mai sus este egala cu 13:  

![\sqrt{(a-3)^2+25}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{(a-3)^2+25}=13)  

Expresia de sub radical este intotdeauna pozitiva, deci putem ridica la patrat fara a ne teme ca adaugam radacini in plus:  

![(a-3)^2+25=169](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-3)^2+25=169)  

![(a-3)^2=144=12^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-3)^2=144=12^2)  

Avem 2 solutii, ![a-3=12](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-3=12), de unde obtinem ![a=15](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=15) si ![a-3=-12](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-3=-12), de unde obtinem solutia ![a=-9](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=-9).  

3.Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentelor. Deci:  

![x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}2=-2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}2=-2)  

![y_M=\frac{y_A+y_B}2=\frac{9-1}{2}=\frac82=4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_M=\frac{y_A+y_B}2=\frac{9-1}{2}=\frac82=4)  

4.Pentru a calcula perimetrul unui triunghi, trebuie mai intai sa stim lungimea fiecareia dintre laturile sale. Folosim aceeasi formula ca la primul exercitiu:  

![AB=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2}=\sqrt{(-5)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2}=\sqrt{(-5)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13)  

![BC=\sqrt{(1-(-8))^2+(-3-9)^2}=\sqrt{(1+8)^2+(-12)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15](http://latex.codecogs.com/gif.latex?BC=\sqrt{(1-(-8))^2+(-3-9)^2}=\sqrt{(1+8)^2+(-12)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15)  

![AC=\sqrt{(-4-(-8))^2+(9-9)^2}=\sqrt{(-4+8)^2+0^2}=\sqrt{4^2}=4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AC=\sqrt{(-4-(-8))^2+(9-9)^2}=\sqrt{(-4+8)^2+0^2}=\sqrt{4^2}=4)  

Perimetrul unui triunghiu este suma lungimilor laturilor sale, deci perimetrul triunghiului ABC este:  

![P_{ABC}=AB+BC+AC=13+15+4=28+4=32](http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_{ABC}=AB+BC+AC=13+15+4=28+4=32)  

5.Daca M este simetricul punctului A fata de punctul B, atunci punctul B este mijlocul segmentului AM. La fel ca la exercitiul 3, coordonatele punctului B sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentelui AM, adica:  

![x_B=\frac{x_A+x_M}{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_B=\frac{x_A+x_M}{2}) si ![yB=\frac{y_A+y_M}2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?yB=\frac{y_A+y_M}2).  

Inlocuim valorile cunoscute in prima ecuatie:  

![-8=\frac{-2+x_M}{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-8=\frac{-2+x_M}{2})  

![-16=-2+x_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-16=-2+x_M)  

![-14=x_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-14=x_M)


Acum intr-a 2-a ecuatie:  

![7=\frac{9+y_M}2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?7=\frac{9+y_M}2)  

![14=9+y_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?14=9+y_M)  

![y_M=5](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_M=5)


6.Aplicam formula pentru lungimea segmentului utilizata si mai sus:  

![AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-(3-a))^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-3+a)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(2a-5)^2}=\sqrt{2(2a-5)^2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-(3-a))^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-3+a)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(2a-5)^2}=\sqrt{2(2a-5)^2})  

Stim insa deja lungimea lui AB, deci expresia de mai sus este egala cu aceasta lungime:  

![\sqrt{2(2a-5)^2}=9\sqrt2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{2(2a-5)^2}=9\sqrt2)  

Cantitatea de sub radical este pozitiva, deci putem ridica la patrat fara a adauga solutii in plus:  

![2(2a-5)^2=2\cdot81](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2(2a-5)^2=2\cdot81)  

2 se simplifica:  

![(2a-5)^2=81=9^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(2a-5)^2=81=9^2)  

Avem 2 solutii:  

![2a-5=9\quad=>\quad2a=14\quad=>\quad a=7](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a-5=9\quad=>\quad2a=14\quad=>\quad&space;a=7)  

sau  ![2a-5=-9 \quad =>\quad 2a=-4\quad =>\quad a=-2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a-5=-9&space;\quad&space;=>\quad&space;2a=-4\quad&space;=>\quad&space;a=-2) Știm  că înălțimea in triunghiul echilateral este ,,latura radical din 3 supra 2″, iar de aici inlocuim înălțimea cu 3 radical din 3 si obținem ca latura este de 6 cm.Perimetrul va fi egal cu 18 cm :3×6


*Edit:*  

![h=\frac{l\sqrt{3}}{2} => 3\sqrt{3} = \frac{l\sqrt{3}}{2} => l = \frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} => l=2*3=>l=6](http://latex.codecogs.com/gif.latex?h=\frac{l\sqrt{3}}{2}&space;=>&space;3\sqrt{3}&space;=&space;\frac{l\sqrt{3}}{2}&space;=>&space;l&space;=&space;\frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}&space;=>&space;l=2*3=>l=6)  

![P=3*6=18](http://latex.codecogs.com/gif.latex?P=3*6=18) Singurul lucru important din faptul ca planele sunt paralele este faptul ca dreptele AD, BE si CF sunt paralele. Desenul poate fi simplificat atunci astfel:  

![](https://i.imgur.com/o0yIkuS.png)  

a)Deoarece AD este paralelela cu BE, triunghiurile SAD si SBE sunt triunghiuri asemenea. Rezulta ca:  

![\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SE}=\frac{AD}{BE}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SE}=\frac{AD}{BE})  

Inlocuim valorile cunoscute:  

![\frac{6}{SB}=\frac{10}{30}=\frac{AD}{24}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{6}{SB}=\frac{10}{30}=\frac{AD}{24})  

Rezulta ca SB=6*30/10=6*3=18, si AD=10*24/30=24/3=8.


SB=SA+AB, rezulta ca 18=6+AB, deci AB=12.  

SC=SB+BC, deci 36=18+BC, deci BC=18.


Observam ca SB=BC, deci B este mijlocul lui SC. Cum BE este paralela cu CF, rezulta ca BE este linie mijlocie. Atunci E este mijlocul lui SF. Rezulta ca SF=2SE=2*30=60.


b)Am stabilit la punctul a) ca BE este linia mijlocie a triunghiului SCF. Rezulta ca CF=2BE=2*24=48.  

Atunci AD+CF=8+48=56. Am mai intalnit aceasta problema, dar figura era ticluita astfel incat bisectoarea si mediatoarea sa se intersecteze in interiorul triunghiului, iar congruenţa lui AB si AC sa fie data de suma a doua congruenţe ale segmentelor continute in AB si AC.  

  

Aici vad ca domnul profesor a modificat greseala de desenare astfel incat cele doua perpendiculare trasate din X pe laturile AB si AC sa cada ambele in afara triunghiului, pe prelungirile laturilor AB si AC (lucru, cred, imposibil in realitate). Perpendiculara din X pe AC se vede destul de clar ca nu e tocmai perpendiculara. Nu m-as mira sa mai existe si o alta mica inexactitate introdusa in desen, probabil la construirea bisectoarei ori la alegerea mijlocului laturii BC, astfel incat sa nu sara prea tare in ochi faptul ca desenul este "adus din condei"...  

  

E interesant ca folosind astfel de figuri gresit desenate putem demonstra, prin reducere la absurd, ca anumite constructii geometrice sunt imposibil de intalnit in realitate... b)Am facut o noua imagine in programul Geogebra ca sa vedem mai clar ce se intampla:


![](https://i.imgur.com/tQREF8B.png)


Daca imaginea nu apare la o dimensiune corespunzatoare, o poti vedea mai bine aici:


<https://i.imgur.com/tQREF8B.png>.


Deoarece P este simetricul lui M fata de AB,  rezulta ca unghiurile MFB si BFP sunt ambele drepte si ca laturile MF si FP sunt congruente. Triunghiurile MFB si PFB mai au si o latura comuna(FB), deci sunt congruente. Rezulta ca unghiurile PBF si MBF sunt congruente. Observam si ca unghiul MBF este acelasi cu unghiul ABC.


Analog, din congruenta triunghiurilor CHN si CHR, avem ca unghiurile HCN si HCR sunt congruente, HCN fiind echivalent cu unghiul ACB..


![m(\angle PBC)+m(\angle RCB)=2(m(\angle ABC)+m(\angle ACB))=2(180-m(\angle BAC))](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;PBC)+m(\angle&space;RCB)=2(m(\angle&space;ABC)+m(\angle&space;ACB))=2(180-m(\angle&space;BAC)))


Dar cum triunghiul este ascutitunghic, inseamna ca ![m(\angle BAC)<90](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;BAC)<90), deci ![-m(\angle BAC)>-90](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-m(\angle&space;BAC)>-90), apoi ![180-m(\angle BAC)>180-90=90](http://latex.codecogs.com/gif.latex?180-m(\angle&space;BAC)>180-90=90), si in final ![2(180-m(\angle BAC))>180](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2(180-m(\angle&space;BAC))>180), adica:


![m(\angle PBC)+m(\angle RCB)>180](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;PBC)+m(\angle&space;RCB)>180), ceea ce inseamna ca laturile QB si SC nu se pot intalni deasupra lui BC, dar nici nu sunt paralele(altfel suma unghiurilor ar fi de 180), deci se intalnesc sub BC in punctul T.  Cum A este deasupra lui BC(asa am convenit in desen), rezulta ca A si T se afla de o parte si de alta a lui BC. Răspunsul corect e d. Răspunsul este R. pi ori rază la pătrat (πr2) Triunghiurile AOB și DOC sînt asemenea => AO*DO = OC*OB => **A(AOD) = A(BOC)** avînd același unghi, A() - arie triunghi  
A(AOD) = AD*h1/2, h1- înălțimea dusă din O pe AD  
**h1 = MO*sinAMO**  
La fel  
A(BOC) = BC*h2/2, h2- înălțimea dusă din O pe BC  
**h2 = NO*sinBNO**  
Deci AD*MO*sinAMO = BC*NO*sinBNO. Apelez la reducerea la absurd și presupun MO=NO =>  
**AD*sin AMO = BC*s‌inBNO**. Prelungesc laturile AD și BC pînă se întîlnesc în T.  
În triunghiul TMN conform teoriei sinusului **sinAMO / TN = sinBNO / TM** => **AD / BC = TM / TN**. Dar AD / BC = TA / TB (teorema lui Thales) => **TA  / TB = TM / TN** și conform reciprocii teoremei asemenării => ***MN este paralelă cu AB și CD, apoi trapezul mai devine și isoscel ceea ce contrazice ipoteza unui trapez și a unei drepte oarecare.***  
Am  considerat AB < CD și punctele M, N interioare laturilor AD, BC. Probabil dacă sînt în prelungirile lor raționamentul este la fel, dar mi s-a acrit de desenat trapeze. Asta nu înseamnă că sînt o acritură, nu-i așa?