cum era formula ariei intr-un triunghi? e isoscel, dar alea isoscele nu au o formula speciala.
baza x inaltimea supra 2.
<https://i.imgur.com/LCOdpC5.png>

Câteva soluții ar fi:

1. Teorema cosinusului în triunghiul OAB: AB2 = OA2 + OB2 - 2OA*OB*cosAOB => cosAOB = 0.8 și sinAOB = 0.6  
cos AOB = OY/OA = y/20 => y = 16  
sin AOB = OX/OA = x/20 => x = 12

2. x2 + y2 = 202  
   x2 + (y-7)2 = 152  
Rezolvăm sistemul și obținem aceleași valori ca mai sus.

3. Formula lui Heron spune că aria unui triunghi cu laturile a, b, c și  p semiperimetrul este ![\small \small \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Csmall%20%5Csqrt%7Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29). Obțin AAOB = 42  
   AAOB = OB*AY/2 = 7*x/2. Egalând ariile se obțin aceleași coordonate.

4. O rezolvare din ochi ar veni din observația că sunt 2 triunghiuri dreptunghice AOX și ABY cu cele două ipotenuze multipli de 5, OA = 5*4 și AB = 5*3. Ne duce gândul la tripletele pitagoreice care sunt multipli ai tripletei primitive (3, 4, 5). Pentru AOX laturile ar trebui să fie de forma 4*(3, 4, 5), iar pentru ABY de forma  3*(3, 4, 5), valori care, într-adevăr, se potrivesc problemei date. Ajută enorm faptul că catetele de 12 pot fi privite ca multiplu de 3 sau ca multiplu de 4. ***Interesant este că nu mai contează căt mergem spre nord*** și enunțul ar fi fost mai tare cu "mergem spre nord până când AB = 15". Singurul lucru important din faptul ca planele sunt paralele este faptul ca dreptele AD, BE si CF sunt paralele. Desenul poate fi simplificat atunci astfel:  

![](https://i.imgur.com/o0yIkuS.png)  

a)Deoarece AD este paralelela cu BE, triunghiurile SAD si SBE sunt triunghiuri asemenea. Rezulta ca:  

![\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SE}=\frac{AD}{BE}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SE}=\frac{AD}{BE})  

Inlocuim valorile cunoscute:  

![\frac{6}{SB}=\frac{10}{30}=\frac{AD}{24}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{6}{SB}=\frac{10}{30}=\frac{AD}{24})  

Rezulta ca SB=6*30/10=6*3=18, si AD=10*24/30=24/3=8.


SB=SA+AB, rezulta ca 18=6+AB, deci AB=12.  

SC=SB+BC, deci 36=18+BC, deci BC=18.


Observam ca SB=BC, deci B este mijlocul lui SC. Cum BE este paralela cu CF, rezulta ca BE este linie mijlocie. Atunci E este mijlocul lui SF. Rezulta ca SF=2SE=2*30=60.


b)Am stabilit la punctul a) ca BE este linia mijlocie a triunghiului SCF. Rezulta ca CF=2BE=2*24=48.  

Atunci AD+CF=8+48=56. Din punct de vedere fizic, ceva exista sau nu. Un numar irational e ceva ce nu exista; neavind o marime definita. Am mai intalnit aceasta problema, dar figura era ticluita astfel incat bisectoarea si mediatoarea sa se intersecteze in interiorul triunghiului, iar congruenţa lui AB si AC sa fie data de suma a doua congruenţe ale segmentelor continute in AB si AC.  

  

Aici vad ca domnul profesor a modificat greseala de desenare astfel incat cele doua perpendiculare trasate din X pe laturile AB si AC sa cada ambele in afara triunghiului, pe prelungirile laturilor AB si AC (lucru, cred, imposibil in realitate). Perpendiculara din X pe AC se vede destul de clar ca nu e tocmai perpendiculara. Nu m-as mira sa mai existe si o alta mica inexactitate introdusa in desen, probabil la construirea bisectoarei ori la alegerea mijlocului laturii BC, astfel incat sa nu sara prea tare in ochi faptul ca desenul este "adus din condei"...  

  

E interesant ca folosind astfel de figuri gresit desenate putem demonstra, prin reducere la absurd, ca anumite constructii geometrice sunt imposibil de intalnit in realitate... |  | Se poate considera un sistem de axe neortogonal cu centrul in unul din varfuri si axele pe laturile rombului.Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment este aceeasi ca in sitem ortogonal,mai exact media aritmetica a abciselor respectiv ordonatelor..Acum e suficient sa aratam ca intre 5 puncte exista 2 in care media aritmetica a abciselor respectiv ordonatelor este numar intreg,adica suma abciselor respectiv ordonatelor sa fie para.Cum pentru un numar avem 2 posibile paritati pentru o pereche o sa fie 2x2=4  posibile perechi de paritati .Mai exact (par,par);(par,impar);(impar,par) si (impar,impar) dar cum avem 5 puncte neaparat 2 dintre ele vor avea aceeasi forma si in acest caz suma abciselor respectiv ordonatelor va fi para ceea ce inseamna mijlocul este pe un varf din caroiaj. | Triunghiurile AOB și DOC sînt asemenea => AO*DO = OC*OB => **A(AOD) = A(BOC)** avînd același unghi, A() - arie triunghi  
A(AOD) = AD*h1/2, h1- înălțimea dusă din O pe AD  
**h1 = MO*sinAMO**  
La fel  
A(BOC) = BC*h2/2, h2- înălțimea dusă din O pe BC  
**h2 = NO*sinBNO**  
Deci AD*MO*sinAMO = BC*NO*sinBNO. Apelez la reducerea la absurd și presupun MO=NO =>  
**AD*sin AMO = BC*s‌inBNO**. Prelungesc laturile AD și BC pînă se întîlnesc în T.  
În triunghiul TMN conform teoriei sinusului **sinAMO / TN = sinBNO / TM** => **AD / BC = TM / TN**. Dar AD / BC = TA / TB (teorema lui Thales) => **TA  / TB = TM / TN** și conform reciprocii teoremei asemenării => ***MN este paralelă cu AB și CD, apoi trapezul mai devine și isoscel ceea ce contrazice ipoteza unui trapez și a unei drepte oarecare.***  
Am  considerat AB < CD și punctele M, N interioare laturilor AD, BC. Probabil dacă sînt în prelungirile lor raționamentul este la fel, dar mi s-a acrit de desenat trapeze. Asta nu înseamnă că sînt o acritură, nu-i așa? nu stiu. Answer for you my friend: <https://www.duolingo.com/comment/4272531> :P Rescriem ecuaţia astfel:

(x3+ y3+ z3)/(x2 + y2 + z2) = 18/7 egal aproximativ cu 2,57.

 

A. O primă observație este că funcția de 3 variabile definită de termenul stâng este crescătoare, ceea ce ne duce la concluzia că o eventuală soluție nu poate exista pentru valori mari ale variabilelor. Cu cât oricare din ele crește, cu atît raportul dintre numărător și numitor crește față de valoarea de 2,57.

 

B. Analizând  paritatea observăm că paranteza din membrul stîng trebuie să fie un număr par, caz în care x, y și z nu pot fi decât toate 3 pare sau două impare și unul par.

 

Cu aceste observații avem motive să căutăm soluția, dacă ea există, ca o tripletă de numere naturale mici care respectă condiția B.

(2,2,2), (3,3,2) și (1,1,2) nu sunt soluții. Mai rămâne tripleta (1,2,3) care e soluție. Deci ecuația are 6 soluții, cele 6 permutări ale tripletei (1,2,3) plus soluția banală (0,0,0). Din considerentele de la început, expresia fiind strict crescătoare, nu există alte soluții în afara celor pe care le-am depistat. Mi-ar fi plăcut să găsesc niște artificii de calcul dar nu am găsit altă metodă decât cea a încercărilor. scriind ecuatia ca 2x2-2xy-y2-1=0

si rezolvand ecuatia de grad 2 in necunoscuta x obtinem 

delta=12y2+8=4(3y2+2) .Nu e chiar evident, dar daca vrem solutii intregi atunci neaparat delta trebuie sa fie patrat perfect altfel avem solutii irationale.Cum 4 e patrat perfect asta inseamna ca 3y2+2 sa fie patrat perfect ,lucru imposibil deoarece restul impartiri unui patrat la 3 poate fi doar 1 sau 0.