Functie nesurjectiva
Se da functia :

![f:\mathbb{N}^*\rightarrow Q\cap [0,1)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%3A%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Crightarrow%20Q%5Ccap%20%5B0%2C1%29)

![f(n)=\left \{ 1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{n}\right\}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28n%29%3D%5Cleft%20%5C%7B%201&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D&plus;.....&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cright%5C%7D)

unde {a} este partea fractionara a lui a.Sa se arate ca f nu este surjectiva.

Cateva precizari despre problema .Problema a fost data la un test clasa 10-a la Mihai Viteazu(Bucuresti) mai mult ca o pedeapsa ,nu cunosc cauza dar clar problema sa dovedit imposibila pentru toti elevi acelei clase:D.eu personal am rezolvat problema dar am decis sa o propun sa vedem daca apare si alta idee de rezolvare diferita de a mea,pe care am sa o prezint dupa eventual alte raspunsuri sau o perioada de timp in caz ca nu apar raspunsuri
Renunțăm la Bertrand și abordăm problema altfel:

![\small H_{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n};\; H_{2}=\frac{3}{2};\: H_{3}=\frac{11}{6};\; H_{4}=\frac{25}{12};](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Csmall%20H_%7Bn%7D%3D1&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D&plus;...&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3B%5C%3B%20H_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%3B%5C%3A%20H_%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B6%7D%3B%5C%3B%20H_%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B12%7D%3B)

Se observă că pentru fiecare număr de mai sus, numitorul este par și numărătorul este impar. Presupunem că toate numerele armonice H2,H3,...,Hk,...,Hn sunt de forma ![\small \frac{2p+1}{2q},\: \:cu\; p,q\; numere\; naturale](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Csmall%20%5Cfrac%7B2p&plus;1%7D%7B2q%7D%2C%5C%3A%20%5C%3Acu%5C%3B%20p%2Cq%5C%3B%20numere%5C%3B%20naturale) și arătăm că și Hn+1 respectă regula (principiul inducției tari).

![H_{n+1}=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2k+1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k}),\; pentru\; n+1\; impar](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20H_%7Bn&plus;1%7D%3D%281&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D&plus;...&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2k&plus;1%7D%29&plus;%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D&plus;...&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%7D%29%2C%5C%3B%20pentru%5C%3B%20n&plus;1%5C%3B%20impar)

Dacă n+1 este par în forma lui Hn+1 apare 2k-1 în loc de 2k+1 și lucrurile se desfășoară la fel.

![H_{n}=\frac{s}{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2k+1)}+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k})=\frac{s}{1\cdot 3\cdot 5...\cdot (2k+1)}+\frac{1}{2}H_{k}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20H_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7B1%5Ccdot%203%5Ccdot%205%5Ccdot%20...%5Ccdot%20%282k&plus;1%29%7D&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%281&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D&plus;...&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%29%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7B1%5Ccdot%203%5Ccdot%205...%5Ccdot%20%282k&plus;1%29%7D&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DH_%7Bk%7D)

![H_{k}=\frac{2p+1}{2q}\Rightarrow H_{n}=\frac{s}{1\cdot 3\cdot 5...(2k+1)}+\frac{2p+1}{4q}=\frac{s}{impar}+\frac{impar}{par}=\frac{impar}{par}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20H_%7Bk%7D%3D%5Cfrac%7B2p&plus;1%7D%7B2q%7D%5CRightarrow%20H_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7B1%5Ccdot%203%5Ccdot%205...%282k&plus;1%29%7D&plus;%5Cfrac%7B2p&plus;1%7D%7B4q%7D%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7Bimpar%7D&plus;%5Cfrac%7Bimpar%7D%7Bpar%7D%3D%5Cfrac%7Bimpar%7D%7Bpar%7D)Dacă un număr este de forma ![\frac{impar}{par}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfrac%7Bimpar%7D%7Bpar%7D) atunci și partea lui fracționară este de forma ![\frac{impar}{par}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfrac%7Bimpar%7D%7Bpar%7D).  Astfel, pentru orice număr de forma ![\small \frac{impar}{impar}\; (de\; ex.\; \frac{1}{3})\; sau\; \frac{par}{impar}(de\; ex.\; \frac{2}{3})](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Csmall%20%5Cfrac%7Bimpar%7D%7Bimpar%7D%5C%3B%20%28de%5C%3B%20ex.%5C%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%5C%3B%20sau%5C%3B%20%5Cfrac%7Bpar%7D%7Bimpar%7D%28de%5C%3B%20ex.%5C%3B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%29) din intervalul [0,1) nu există corespondent de forma {Hn} rezultând nesurjectivitatea funcției.
Sunt multe lucruri care lipsesc din curs, dar le poti invata/ exersa pe alte site-uri. 


Propozitii interogative explicatii   

<http://grafitgroup.ro/lectii/forma_interogativa.php>  

Si aici exemple 
 <http://grafitgroup.ro/lectii/propozitii_interogative.php>


Propozitii negative:  

<http://grafitgroup.ro/lectii/propozitii_negative.php> Subiectul 1  

1.Formula pentru lungimea unui segment cand se cunosc coordonatele capetelor acestuia este:  

![AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2})  

Inlocuind coordonatele, obtinem:  

![AB=\sqrt{(-6-(-1))^2+(-9-3)^2}=\sqrt{(-6+1)^2+(-12)^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(-6-(-1))^2+(-9-3)^2}=\sqrt{(-6+1)^2+(-12)^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13)  

2.Utilizam aceeasi formula ca mai sus, pentru coordonatele date la acest subpunct:  

![AB=\sqrt{(a-3)^2+(-7-(-2))^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-7+2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{(a-3)^2+5^2}=\sqrt{(a-3)^2+25}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(a-3)^2+(-7-(-2))^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-7+2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{(a-3)^2+5^2}=\sqrt{(a-3)^2+25})  

Stim insa deja ca lungimea lui AB este 13, deci expresia obtinuta mai sus este egala cu 13:  

![\sqrt{(a-3)^2+25}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{(a-3)^2+25}=13)  

Expresia de sub radical este intotdeauna pozitiva, deci putem ridica la patrat fara a ne teme ca adaugam radacini in plus:  

![(a-3)^2+25=169](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-3)^2+25=169)  

![(a-3)^2=144=12^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-3)^2=144=12^2)  

Avem 2 solutii, ![a-3=12](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-3=12), de unde obtinem ![a=15](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=15) si ![a-3=-12](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-3=-12), de unde obtinem solutia ![a=-9](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=-9).  

3.Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentelor. Deci:  

![x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}2=-2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}2=-2)  

![y_M=\frac{y_A+y_B}2=\frac{9-1}{2}=\frac82=4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_M=\frac{y_A+y_B}2=\frac{9-1}{2}=\frac82=4)  

4.Pentru a calcula perimetrul unui triunghi, trebuie mai intai sa stim lungimea fiecareia dintre laturile sale. Folosim aceeasi formula ca la primul exercitiu:  

![AB=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2}=\sqrt{(-5)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2}=\sqrt{(-5)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13)  

![BC=\sqrt{(1-(-8))^2+(-3-9)^2}=\sqrt{(1+8)^2+(-12)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15](http://latex.codecogs.com/gif.latex?BC=\sqrt{(1-(-8))^2+(-3-9)^2}=\sqrt{(1+8)^2+(-12)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15)  

![AC=\sqrt{(-4-(-8))^2+(9-9)^2}=\sqrt{(-4+8)^2+0^2}=\sqrt{4^2}=4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AC=\sqrt{(-4-(-8))^2+(9-9)^2}=\sqrt{(-4+8)^2+0^2}=\sqrt{4^2}=4)  

Perimetrul unui triunghiu este suma lungimilor laturilor sale, deci perimetrul triunghiului ABC este:  

![P_{ABC}=AB+BC+AC=13+15+4=28+4=32](http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_{ABC}=AB+BC+AC=13+15+4=28+4=32)  

5.Daca M este simetricul punctului A fata de punctul B, atunci punctul B este mijlocul segmentului AM. La fel ca la exercitiul 3, coordonatele punctului B sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentelui AM, adica:  

![x_B=\frac{x_A+x_M}{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_B=\frac{x_A+x_M}{2}) si ![yB=\frac{y_A+y_M}2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?yB=\frac{y_A+y_M}2).  

Inlocuim valorile cunoscute in prima ecuatie:  

![-8=\frac{-2+x_M}{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-8=\frac{-2+x_M}{2})  

![-16=-2+x_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-16=-2+x_M)  

![-14=x_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-14=x_M)


Acum intr-a 2-a ecuatie:  

![7=\frac{9+y_M}2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?7=\frac{9+y_M}2)  

![14=9+y_M](http://latex.codecogs.com/gif.latex?14=9+y_M)  

![y_M=5](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_M=5)


6.Aplicam formula pentru lungimea segmentului utilizata si mai sus:  

![AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-(3-a))^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-3+a)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(2a-5)^2}=\sqrt{2(2a-5)^2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-(3-a))^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(a-2-3+a)^2}=\sqrt{(2a-5)^2+(2a-5)^2}=\sqrt{2(2a-5)^2})  

Stim insa deja lungimea lui AB, deci expresia de mai sus este egala cu aceasta lungime:  

![\sqrt{2(2a-5)^2}=9\sqrt2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{2(2a-5)^2}=9\sqrt2)  

Cantitatea de sub radical este pozitiva, deci putem ridica la patrat fara a adauga solutii in plus:  

![2(2a-5)^2=2\cdot81](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2(2a-5)^2=2\cdot81)  

2 se simplifica:  

![(2a-5)^2=81=9^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?(2a-5)^2=81=9^2)  

Avem 2 solutii:  

![2a-5=9\quad=>\quad2a=14\quad=>\quad a=7](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a-5=9\quad=>\quad2a=14\quad=>\quad&space;a=7)  

sau  ![2a-5=-9 \quad =>\quad 2a=-4\quad =>\quad a=-2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a-5=-9&space;\quad&space;=>\quad&space;2a=-4\quad&space;=>\quad&space;a=-2) Luand punctul a de la S4. Functia este continua in punctul a daca limitele cand x urca, respectiv coboara, la a sunt egale intre ele si cu f(a). Pe (-inf, 0), respectiv (0, inf), functia este elementara, deci continua. In 0, calculam limitele. Limita cand x urca la 0(adica limita cand x tinde la 0, x<0) este limita cand x tinde la 0 din e^x, care este 1(e^0). Limita cand x coboara la o(limita la dreapta) este limita cand x tinde la 0 din x+1, care este din nou 1. Limitele fiind egale intre ele, respectiv egale cu f(0), functia va fi continua si in 0. daca te pricepi putin sa o desfaci ma refer la unitate si sa te uiti sa vezi daca este totu in regura in ea se poate sa fie ceva. incearca alta daca nu face la fel e ea si n-ai ce face are mecanisme in miscare si na e risipa de bani sa o repari mai bine iti ei alta. profesorii care corecteaza sunt de matematica si se uita peste rezolvari. din cate stiu se spune ca mai bine incerci sa faci ceva si isi alege el de acolo. la 3 corigente ramai repetent. pentru obiectele la care nu ai nota te duci tot in toamna parca si dai sa iti puna note si daca nu iei nota de trecere ramai corigent. La fiecare dintre cei 3 pasi, fiecare numar este notat o data. In final, fiecare numar va aparea de 3 ori. Deci suma celor 3 numere obtinute de elevi este de 3 ori suma numerelor. Fie s aceasta suma:  

3s=13+15+23  

3s=51  

s=17


Numerele dintre 1 si 9 cu suma 17 sunt (1, 7, 9), (2, 6, 9), (2, 7, 8), (3, 5, 9), (3, 6, 8), (4, 5, 8), (4, 6, 7).


Ultima solutie nu poate fi corecta deoarece suma maxima care poate fi obtinuta este 7+7+7=21.


Pentru (4, 5, 8), suma maxima este 8+8+8=24, care este prea mare. A 2-a suma este 8+8+5=21, care e prea mica. Deci nu putem obtine suma 23.


Din aceleasi rationamente, (3, 6, 8) nu este valida.


Solutia (3, 5, 9) este corecta, deoarece avem 9+9+5=23, 5+5+3=13 si 9+3+3=15.  

Prin verificare directa se observa ca celelalte 3 solutii nu sunt valide. Pentru primul exercițiu, îți voi da câte un exemplu la fiecare subpunct, după care te vei ghida și vei proceda analog.  

a)Avem 283-95:5=489-x (vom înlocui semnele de întrebare cu x, deoarece este evident că ni se cere un număr)  

Pentru a rezolva astfel de exerciții, trebuie doar să ținem cont de ordinea efectuării operațiilor și cea a semnelor.  

=>283-19=489-x => x=489+19-283=217  

b)x-183=861-123:3 => x= 861-41+183=1003  

c)184+156:4=x+123 =>x=184+39-123=61+39=100  

d)1404:36+x=4750-2410 => x=2340-1404:36=2340-39=2301  

Consider ca sunt e sunt bine cunoscute operatiile de impartire si de trecere dintr-un membru al ecuatiei in altul. Exact asta e ideea. Duolingo cu acele "spărturi" îti arată lecțiile pe care nu le-ai repetat de mult. Dacă le repeți, după un timp apar altele... nu este vorba de clauza nescrisa ci de o clauza scrisa dar care, fiind contrara legii, este considerata nescrisa si nu produce nici un efect juridic.
nu se poate vorbi de clauza nescrisa (care nu este scrisa in contract) ar fi o contradictie sa te referi la ceva ce nu este prevazut.