Orice triunghi este echilateral

 Iată o demonstrație din care reiese că orice triunghi, oricum l-am desena, este echilateral. Știm bine că așa ceva nu se poate, și atunci desigur întrebarea este: puteți spune unde s-a strecurat greșeala în demonstrație?  

  

 Apropo de asta, se spune adesea că geometria e arta de a raționa corect pe figuri greșite. S-ar putea să fie adevărat.
Am mai intalnit aceasta problema, dar figura era ticluita astfel incat bisectoarea si mediatoarea sa se intersecteze in interiorul triunghiului, iar congruenţa lui AB si AC sa fie data de suma a doua congruenţe ale segmentelor continute in AB si AC.  

  

Aici vad ca domnul profesor a modificat greseala de desenare astfel incat cele doua perpendiculare trasate din X pe laturile AB si AC sa cada ambele in afara triunghiului, pe prelungirile laturilor AB si AC (lucru, cred, imposibil in realitate). Perpendiculara din X pe AC se vede destul de clar ca nu e tocmai perpendiculara. Nu m-as mira sa mai existe si o alta mica inexactitate introdusa in desen, probabil la construirea bisectoarei ori la alegerea mijlocului laturii BC, astfel incat sa nu sara prea tare in ochi faptul ca desenul este "adus din condei"...  

  

E interesant ca folosind astfel de figuri gresit desenate putem demonstra, prin reducere la absurd, ca anumite constructii geometrice sunt imposibil de intalnit in realitate...
Știm  că înălțimea in triunghiul echilateral este ,,latura radical din 3 supra 2″, iar de aici inlocuim înălțimea cu 3 radical din 3 si obținem ca latura este de 6 cm.Perimetrul va fi egal cu 18 cm :3×6


*Edit:*  

![h=\frac{l\sqrt{3}}{2} => 3\sqrt{3} = \frac{l\sqrt{3}}{2} => l = \frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} => l=2*3=>l=6](http://latex.codecogs.com/gif.latex?h=\frac{l\sqrt{3}}{2}&space;=>&space;3\sqrt{3}&space;=&space;\frac{l\sqrt{3}}{2}&space;=>&space;l&space;=&space;\frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}&space;=>&space;l=2*3=>l=6)  

![P=3*6=18](http://latex.codecogs.com/gif.latex?P=3*6=18) b)Am facut o noua imagine in programul Geogebra ca sa vedem mai clar ce se intampla:


![](https://i.imgur.com/tQREF8B.png)


Daca imaginea nu apare la o dimensiune corespunzatoare, o poti vedea mai bine aici:


<https://i.imgur.com/tQREF8B.png>.


Deoarece P este simetricul lui M fata de AB,  rezulta ca unghiurile MFB si BFP sunt ambele drepte si ca laturile MF si FP sunt congruente. Triunghiurile MFB si PFB mai au si o latura comuna(FB), deci sunt congruente. Rezulta ca unghiurile PBF si MBF sunt congruente. Observam si ca unghiul MBF este acelasi cu unghiul ABC.


Analog, din congruenta triunghiurilor CHN si CHR, avem ca unghiurile HCN si HCR sunt congruente, HCN fiind echivalent cu unghiul ACB..


![m(\angle PBC)+m(\angle RCB)=2(m(\angle ABC)+m(\angle ACB))=2(180-m(\angle BAC))](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;PBC)+m(\angle&space;RCB)=2(m(\angle&space;ABC)+m(\angle&space;ACB))=2(180-m(\angle&space;BAC)))


Dar cum triunghiul este ascutitunghic, inseamna ca ![m(\angle BAC)<90](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;BAC)<90), deci ![-m(\angle BAC)>-90](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-m(\angle&space;BAC)>-90), apoi ![180-m(\angle BAC)>180-90=90](http://latex.codecogs.com/gif.latex?180-m(\angle&space;BAC)>180-90=90), si in final ![2(180-m(\angle BAC))>180](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2(180-m(\angle&space;BAC))>180), adica:


![m(\angle PBC)+m(\angle RCB)>180](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;PBC)+m(\angle&space;RCB)>180), ceea ce inseamna ca laturile QB si SC nu se pot intalni deasupra lui BC, dar nici nu sunt paralele(altfel suma unghiurilor ar fi de 180), deci se intalnesc sub BC in punctul T.  Cum A este deasupra lui BC(asa am convenit in desen), rezulta ca A si T se afla de o parte si de alta a lui BC. Pentru ca acele semidrepte sa coincida, unghiul dintre ele trebuie sa fie de 360 de grade, sau de un multiplu de 360 de grade. Intelegi acest lucru? Daca nu, iti pot face un desen care sa te ajute.


a)Semidreptele ![[OA_0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?[OA_0) si ![[OA_n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?[OA_n) coincid daca unghiul dintre ele, anume unghiul ![A_0OA_n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_0OA_n)  este un multiplu de 360 de grade. Despre acest unghi observam ca:


![m(\angle A_0OA_n)=m(\angle A_0OA_1)+m(\angle A_1OA_2)+...+m(\angle A_{n-1}OA_n)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;A_0OA_n)=m(\angle&space;A_0OA_1)+m(\angle&space;A_1OA_2)+...+m(\angle&space;A_{n-1}OA_n))


Acest lucru se vede mai clar din desen. Daca ai nevoie de un desen, sa imi spui. Mai departe inlocuim masurile unghiurilor in formula de mai sus:


![m(\angle A_0OA_n)=1+3+...+(2n-1)=n^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m(\angle&space;A_0OA_n)=1+3+...+(2n-1)=n^2)


Nu am demonstrat de ce acea suma este egala cu ![n^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n^2) deoarece este un rezultat foarte cunoscut. Daca nu il cunosti, iti pot arata cum se demonstreaza.


Dupa cum am zis la inceput, unghiul ![A_0OA_n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_0OA_n) trebuie sa fie multiplu de 360 de grade, adica trebuie sa fie de forma ![360k](http://latex.codecogs.com/gif.latex?360k). Dar am vazut mai sus si ca trebuie sa fie patrat perfect(![n^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n^2)). Pentru asta, mai intai il descompunem pe 360 in factori primi:


![360k=2\cdot180k=2\cdot2\cdot90k=2\cdot2\cdot2\cdot45k=2^3\cdot5\cdot9k=2^3\cdot3^2\cdot5k](http://latex.codecogs.com/gif.latex?360k=2\cdot180k=2\cdot2\cdot90k=2\cdot2\cdot2\cdot45k=2^3\cdot5\cdot9k=2^3\cdot3^2\cdot5k)


Pentru a fi patrat perfect, toti factorii trebuie sa aiba o putere para. Ne mai lipsesc atunci un 2 si un 5(pentru a avea ![5^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?5^2) si ![2^4](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2^4)), pe care ii adaugam luand valoarea 10(2*5) pentru ![k](http://latex.codecogs.com/gif.latex?k). Atunci:


![n^2=360\cdot10=60^2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n^2=360\cdot10=60^2)


Rezulta ca cel mai mic ![n](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n) pentru care semidreptele coincid este ![n=60](http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=60). Baremul spune ca diagonalele acelor dreptunghiuri sunt egale, ceea ce se intampla doar daca punctul M este in centrul patratului. Enuntul nu mentioneaza asta. Plus, in desenul lor, ![MM_1BM_2](http://latex.codecogs.com/gif.latex?MM_1BM_2) nici macar nu este dreptunghi.


Cred ca enuntul cerea sa se demonstreze ca exista un patrulater convex ale carui laturi sa aiba aceleasi lungimi cu laturile MA…MD, ceea ce nu este acelasi lucru cu a demonstra ca acele segmente sunt laturile unui patrulater convex. Daca vrei, pot incerca sa demonstrez acest lucru. Singurul lucru important din faptul ca planele sunt paralele este faptul ca dreptele AD, BE si CF sunt paralele. Desenul poate fi simplificat atunci astfel:  

![](https://i.imgur.com/o0yIkuS.png)  

a)Deoarece AD este paralelela cu BE, triunghiurile SAD si SBE sunt triunghiuri asemenea. Rezulta ca:  

![\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SE}=\frac{AD}{BE}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SE}=\frac{AD}{BE})  

Inlocuim valorile cunoscute:  

![\frac{6}{SB}=\frac{10}{30}=\frac{AD}{24}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{6}{SB}=\frac{10}{30}=\frac{AD}{24})  

Rezulta ca SB=6*30/10=6*3=18, si AD=10*24/30=24/3=8.


SB=SA+AB, rezulta ca 18=6+AB, deci AB=12.  

SC=SB+BC, deci 36=18+BC, deci BC=18.


Observam ca SB=BC, deci B este mijlocul lui SC. Cum BE este paralela cu CF, rezulta ca BE este linie mijlocie. Atunci E este mijlocul lui SF. Rezulta ca SF=2SE=2*30=60.


b)Am stabilit la punctul a) ca BE este linia mijlocie a triunghiului SCF. Rezulta ca CF=2BE=2*24=48.  

Atunci AD+CF=8+48=56. in primul rand, dimensiunile multiple sunt doar in teorie ...si nu este nici o dovada ca ele intr-adevar exista! 
2)...daca este adevarat.atunci oamenii percep o singura dimensiunea (cea in care ne aflam )! 
si acum sa o dam in sf :... unii spun ca exista porti intre dimensiuni care se deschid ocazional pe pamant! *gen triunghiul bermudelor*...dar nu este nimic dovedid! toate sunt speculatii! 
teoretic. sunt 4 dimensiuni *.dar probabil ca numarul lor este infinit, iar ca sunt asemanatoare cu ale noastre.sau ca sunt complet opuse.nu putem stii...* la materia care crezi că te pricepi mai bine și îți place mai mult. mie de exemplu îmi place istoria și mereu am dat teză la istorie. daca profesorul este de treaba, nu o sa-ti mai dea si testul oral, doar cel scris. un prieten a ramas corigent si i-a dat doar un test scris care a fost usor. la corigente trece toata lumea deci nu-ti fa probleme! ai incredere si nu sta cu teama ca o sa treci, indiferent de ce ar spune unii "destepti". nu se stie ce exercitii iti va da pentru ca iti va da din tot anul. adica practic, trebuie sa repeti tot ce ai facut in tot anul pentru ca poate sa-ti dea din orice subiect. oricum va fi o parte de geometrie si una de algebra.insa cum am spus, nu te teme, la corigenta mereu sunt exercitii relativ usoare si profesorii trec pe toata lumea, ai incredere chiar si daca profesorul e putin mai exigent tot o sa te treaca, vei vedea. nota care trebuie sa o iei, este 6 insa o vei lua fara probleme. toate numele sunt frumoase, fiecare are frumusetea lui. 
stii ce zice filozofia frumosului? eu o zic pe intelesul tuturor. "nu-i frumos ce este frumos, e frumos ce-mi place mie". poți face asta și cu paint :)) știi rugam, progrămelul ala în care se desenează. tragi de linia din partea în care vrei și ai și adus-o la o alta dimensiune și ai și tăiat în același timp. sau cu opțiunea crop/taie.