بخشپذیری و نظریه اعداد
فرض کنید n عددی طبیعی است و A مجموعه ی مقسوم علیه های طبیعی n است. اگر $f:A \longrightarrow A$ تابعی باشد که:
اگر $a | b$آنگاه $f \big(a\big) |f \big(b\big) $.
ثابت کنید m ای وجود دارد وجود دارد که:
$f \big(m\big)=m $
**لم۱**:اگر $c \mid b$ انگاه $\vert{b}\vert \ge \vert{c}\vert$.


اثبات:چون $c \mid b$ عدد صحیحی مانند $a$ وجود دارد که $b=ac$ چون $b$ نامساوی صفر است پس $\vert{a}\vert \ge 1$.داریم:


$\vert{b}\vert=\vert{ac}\vert=\vert{a}\vert \vert{c}\vert \ge\vert{c}\vert$


$\Rightarrow \vert{b}\vert \ge \vert{c}\vert$


**لم۲**:تعداد مقسوم علیه های هر عدد متناهی است.


اثبات:اگر عدد $b$ را در نظر بگیریم با توجه به لم۱ متوجه می شویم که عدد $c$ تنها در صورتی مقسوم علیه ان است که $c \mid b$ که $\vert{b}\vert \ge \vert{c}\vert$که از این معادله نتیجه می شود:


$-b\ge c \ge b$


که چون صفر نمی تواند مقسوم علیه باشد این عدد حداکثر $2b$مقسوم علیه دارد که عددی متناهی است.


می دانیم که $f^n(x)$ یعنی اینکه عمل $f$،$n$ بار روی $x$انجام شده است.


دنباله زیر را در نظر بگیرید:


$1,f(1),f^2(1),f^3(1),\dots$


با استقرا نشان می دهیم که همه ی اعضا این مجموعه عضو مجموعه $A$(مجموعه مقسوم علیه های عدد $n$)هستند.گام های استقرایی:


۱.عدد۱ بر هر عددی بخش پذیر است پس عضو این مجموعه است.


۲.فرض می کنیم$f^n(1)$ عضو $A$ باشد.


۳.اثبات می کنیم $f^{n+1}(1)$ عضو $A$ می باشد.


$f^n (1) \in A \Rightarrow f(f^n(1)) \in A \Rightarrow f^{n+1}(1) \in A$


فرض کنید $a\_i=f^i(1)$ با استفاده از استقرا ثابت می کنیم $a\_k \mid a\_{k+1}$.گام های استقرایی:


۱.عدد ۱ بر هر عددی بخشپذیر است پس بر $f(1)=a\_1$ نیز بخشپذیر است.


۲.فرض می کنیم $a\_{n-1} \mid a\_n$.


۳.اثبات می کنیم $a\_n \mid a\_{n+1}$


$a\_n \mid a\_{n+1} \Rightarrow f^{n-1}(1) \mid f^n(1) \Rightarrow f(f^{n-1}(1)) \mid f(f^n(1)) \Rightarrow f^n(1) \mid f^{n+1}(1) \Rightarrow a\_n \mid a\_{n+1}$


نتیجه می گیریم:


$a\_0 \mid a\_1 \mid a\_2 \mid a\_3 \mid \dots$


طبق لم ۱ داریم:


$\vert{a\_0}\vert \ge \vert{a\_1}\vert \ge \vert{a\_2}\vert \ge \vert{a\_3}\vert \ge \dots$


چون همه مقسوم علیه ها مثبت هستند می توان نوشت:


$a\_0 \ge a\_1 \ge a\_2 \ge a\_3 \ge \dots$


فرض می کنیم در بین $a\_i$ ها علامت مساوی وجود نداشته باشد.انگاه طبق لم ۲ چون تعداد مقسوم علیه ها متناهی است پس به $n$ می رسیم و چون $n$ بزرگترین مقسوم علیه است دیگر نمی توانیم علامت کوچکتر داشته باشیم و باید علامت مساوی داشته باشیم که خلاف فرض است.پس حتما علامت مساوی بین $a\_j$ و $a\_{j+1}$ وجود دارد.
نقطه اشتراک تقریرهای متعدد و متفاوتی که از برهان صدیقین بیان شده است ؛ این است که همگی قصد دارند بدون بهره گیری از واسطه ای غیر از اصل و حقیقت وجود ، به واجب الوجود و وجود مطلق استدلال کنند ، تقریری که شما ذکر کردید ، بیشتر با مبانی و اصول حکمت متعالیه سنخیت دارد ، اصولی ؛ مانند اصالت وجود ، وحدت تشکیکی وجود ، بساطت وجود و عین ربط بودن و فقر ذاتی داشتن معلول به علت. با توجه به این اصول می توان تقریر شما را به شکل زیر تصحیح نمود: واقعیت هستی یا مطلق و بسیط است یا مقید و محدود ، اگر مطلق است که مطلوب ما ثابت است و واجب الوجود اثبات می شود ، اما اگر مقید و محدود باشد- چنان که ما با بررسی اشیای اطراف خویش متوجه می شویم که این اشیا محدود و مقیدند- باید حتما وجودی مطلق و نامحدود باشد که این اشیا و موجودات محدود در وجود داشتن به ان تکیه کنند ، و الا اگر این چنین وجودی نباشد تحقق معلول بدون علت لازم می اید و اگر چنانچه مطلق نباشد و محدود باشد ، باز این محدود خود باید متکی بر وجودی غیر خود باشد ، و اگر باز بگوییم این وجود هم محدود است ، نقل سخن می کنیم به خود ان وجود محدود و همان طور این سلسله تا بی نهایت خواهد رفت و لازمه این امر دور یا تسلسل است که هر دو باطل اند. بله طبيعي مي باشد کلماتی از قبیل who, that, which جزو relative pronounها یا ضمایر موصولی هستن. هر کدوم از این‌ها برای یک منظور به کار می‌ره که اگه علاقه‌مند بودید می‌تونید با سرچ راجع بهشون بیشتر تحقیق کنید. بسته به جایگاهشون هم نقش فاعلی یا مفعولی دارن. الان توی جمله‌ی شما داریم می‌گیم «مایک، [کسی] که توی یه رستوران… اگر از نظر ظاهری مهمه میشه برداشت طبیعی است اولا: ایا خود این نظریه -که یک تبیین علمی باید پیش‌بینی‌‌های ریسک‌داری را ارائه دهد که در صورت درستی فرضیه ، ان پیش‌بینی‌ها ضرورتا اتفاق بیفتد - علمی است ؟ یعنی فرضیه‌ایی قابل ازمایش است ؟ یا فرضیه‌ای است که نمی‌تواند همه‌ی مشاهدات و داده‌‌های ممکن را تشریح کند ، و قابل تست نبوده ، و علمی نیست ؟ بلکه یک نظریه‌ی فلسفی است ؟ ثانیا: همان‌گونه که در دیگر پاسخ‌های این سایت بیان شده است ، برهان علیت یک قانون فلسفی و عقلی است ، نه قانونی که با تجربه و ازمایش به دست امده باشد ؛ و از این جهت قانون علیت با علوم تجربی نه قابل اثبات است نه قابل انکار ؛ زیرا علم تجربی ، طبیعی فقط در مورد روابط پدیده‌ها سخن می‌گوید ؛ اما اثبات این‌که هر پدیده‌‌ای باید علتی داشته باشد در توان چنین دانشی نیست ؛ زیرا ابزار ان برای درک حقایق فقط حواس ظاهری است ، که با کمک میکروسکوپ ، تلسکوپ و ابزار ازمایشگاهی به شناخت روابط بین اشیا می‌پردازد. نکته جالب این‌که دانشمند تجربی حتی در مواردی که با حس و ازمایشگاه به ‌دست اورده نمی‌تواند بگوید بر اساس حس و ازمایش ، فلان چیز علت فلان چیز است ؛ بلکه او با حس و تجربه فقط توالی و پی در پی بودن ان دو را فهمیده و حکم به علت بودن یکی برای دیگری ، کار عقل است. [ 1 ] در هر صورت ، اگر در علوم طبیعی چنین قانونی وجود داشته باشد که معیار علمی‌بودن هر فرضیه به ان است که قابل ازمایش باشد ؛ یعنی باید پیش‌بینی‌‌هایی ارائه شود که بتوان با مشاهدات مستقل ان‌را ارزیابی کرد ؛ دلیل نمی‌شود که این معیار در تمام معارف و در تمام علوم باید وجود داشته باشد ؛ بلکه هر علمی با روش و معیارهای خود ، سنجیده می‌شود. اصولا این‌که جهان مبدا دارد یا نه ؟ یک بحث فلسفی است ، نه بحث تجربی ، طبیعی ! نتیجه این‌که علوم عقلی و فلسفی بر تمام علوم برتری دارند ؛ زیرا علوم عقلی و فلسفی عهده‌‌دار تصدیق و اثبات گزاره‌های تمام علوم هستند ؛ از این‌رو براهین جهان‌شناختی که به عنوان نمونه به برهان نظم یا هوش‌مندانه بودن جهان اشاره دارند را می‌توان دلیلی علمی نامید ؛ زیرا عقل ابتدا با کمک علوم تجربی و از راه حس تجربه به وجود نظم پی می‌برد و سپس حکم می‌کند که نظم جهانی بدون وجود نظم‌دهنده امکان ندارد. [ 2 ]     [ 1 ] . ر. ک: مفهوم قانون علیت ، 25482 ؛ اثبات و انکارخدا ، 10873. [ 2 ] . ر. ک: برهان نظم ، 198. طبيعي است هر دانشی می تواند از ابزار خاص و مناسب خود بهره گیرد ؛ مثلا معادلات ریاضی را نمی توان با گزارشات تاریخی حل کرد ، یا حقایق تاریخی را نمی توان با قواعد ریاضی به اثبات رساند. در همین راستا منطق فازی ، [ 1 ] روش و ابزاری است که برای علوم تجربی طراحی شده است. در علوم تجربی ، تحصیل یقین به معنای خاص فلسفی و منطقی لزوم ندارد ؛ بلکه احتمال قوی و یا حتی احتمال ضعیف را نیز می توان مبنای کار قرار داد و بر اساس ازمون و خطا جلو رفت و به نتیجه رسید ، بر این اساس در این علوم نه مقدمات لزوما باید بدیهی قطعی باشند و نه نتایج ؛ بلکه گفته می شود ما فعلا با این مقدمات به این نتیجه رسیدیم ، اما ایا برای همیشه این گونه است یا نه ؟ علوم تجربی می گوید: ما به دنبال دائمی و غیر قابل نقض بودن نیستیم ، بلکه همین مقدار که از این مقدمات چنین نتیجه ای به دست اوردیم کافی است ؛ و امکان نقض این قانون در اینده خدشه ای در اعتماد ما ندارد. اما از ان جا که علوم عقلی به دنبال قطع و یقین به معنای خاص هستند ، مقدمات ان نیز باید یقینی باشد و مقصود از یقین به معنای خاص این است علاوه بر یقین به ثبوت این محمول برای موضوع ، باید یقین داشته باشد که این ثبوت دائمی است و هرگز از بین نمی رود. [ 2 ] نتیجه این که علوم عقلی هم در روش با علوم تجربی تفاوت دارد و هم در نتیجه ؛ زیرا همان گونه بیان شد علوم تجربی از مقدمات احتمالی نیز بهره می گیرد و نتیجه نیز می تواند گمان قوی و یا یقین به معنای عام باشد ؛ اما علوم عقلی هم مقدماتش باید یقینی و بدیهی باشد و هم نتیجه ی ان باید یقینی به معنای خاص باشد ؛ لذا از ان جا که اصل علیت یک قانون عقلی است ؛ از این رو هم متفرع بر یقینیات است و هم نتیجه ان یقینی به معنای خاص است. [ 3 ] [ 1 ] . واژه ی fuzzy به معنای غیردقیق ، ناواضح و مبهم شناور است. کاربرد منطق فازی در علوم نرم افزاری را می توان به طور ساده این گونه تعریف کرد: منطق فازی از منطق ارزش های صفر و یک نرم افزارهای کلاسیک فراتر رفته و درگاهی جدید برای دنیای علوم نرم افزاری و رایانه ها می گشاید ، زیرا فضای شناور و نامحدود بین اعداد صفر و یک را نیز در منطق و استدلال های خود به کار برده و به چالش می کشد. منطق فازی از فضای بین دو ارزش برویم یا نرویم ، ارزش های جدید شاید برویم یا می رویم اگر یا حتی احتمال دارد برویم را استخراج کرده و به کار می گیرد. بدین ترتیب به عنوان مثال مدیر بانک پس از بررسی رایانه ای بیلان اقتصادی یک بازرگان می تواند فراتر از منطق وام می دهیم یا وام نمی دهیم رفته و بگوید: وام می هیم اگر یا وام نمی دهیم ولی اگر.. . https://fa.wikipedia.org/wiki/ [ 2 ] . ر. ک: 32270. [ 3 ] . ر. ک: 25482. سلام. بله از این کلمات زیادن. بهترین روش اینه که توی استفاده یاد بگیرین و خیلی دنبال حفظ کردن قانون و معنی برای تک تکشون نباشین.

در مورد paper مثلا، اگر منظور جنس کاغذی، به عنوان یک متریال باشه، یا مثلا ورقه ی کاغذ، غیر قابل شمارش هست . اما برگه های امتحان، مدارک، و یه سری موارد دیگه رو میشه جمع بس… سلام

با مثال های خودتون:

حال استمراری:

[تصویر] parastoosh:

i am playing tennis next week.

در حال انجام کاری هستید…کافیه فعل رو ing دار کنیدو از am/is/are بسته به فاعل تون استفاده کنید

آینده:

تو این مثال:

[تصویر] parastoosh:

i am going to play tennis next week.

قصد انجام کاری رو …