Wieso sind zwei Vektoren Orthogonal, wenn das Skalarprodukt 0 beträgt?
Allgemein gilt im zwei- und dreidimensionalen Raum:


<a,b> = |a| * |b| * cos(φ), wobei <a,b> das Skalarprodukt ist, |.| die Länge der Vektoren bezeichnet und φ der Winkel zwischen a und b ist.


Algebraisch ist klar, dass hier 0 rauskommt, wenn φ=90° gilt, denn cos(90°)=0.


\_\_\_\_\_


Es gibt aber auch eine geometrische Erklärung:


Man kann laut der folgenden Zeichnung den Teil mit |b|*cos(φ) durch b\_a ersetzen, denn es gilt: cos(φ)= b\_a / |b|


 ![]()


Also folgt <a,b>=|a|*b\_a.


Wenn jetzt a senkrecht auf b steht, ist b\_a offenbar 0 und man hat <a,b>=|a|*0, oder <a,b>=0.
Die Systeme (v1, v2), (v1, v3) und (v2, v3) sind linear unabhängig, weil kein Vektor ein vielfaches eines anderen ist.  

  

Damit das System (v1, v2, v3) linear unabhängig ist. muss das Spatprodukt ungleich Null sein.  

  

[1, 1, 0] ⨯ [4, 1, 4] ⋅ [2, -1, 4] = [4, -4, -3] ⋅ [2, -1, 4] = 0  

  

Damit ist das System (v1, v2, v3) linear abhängig. Alternativ zum Spatprodukt kann man auch die Determinante einer aus diesen Vektoren bestehenden Matrix berechnen. Oder man zeigt es über ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. <p>der identitätsoperator (<code></code>) verhält sich identisch mit dem gleichheitsoperator (<code>==</code>), mit der ausnahme, dass keine typkonvertierung durchgeführt wird und die typen identisch sein müssen, damit sie als gleich gelten.</p><p>referenz: <a href="http://www.c-point.com/javascript\_tutorial/jsgrpcomparison.htm">javascript tutorial: vergleichsoperatoren</a> </p><p>der operator <code>==</code> vergleicht die werte <em>, nachdem alle erforderlichen typkonvertierungen </em> durchgeführt wurden. der operator <code></code> führt die konvertierung <strong> nicht durch </strong>. wenn also zwei werte nicht vom selben typ sind, gibt <code></code> einfach <code>false</code>. beide sind gleich schnell.</p><p>um douglas crockfords vorzügliches zu zitieren <a href="https://rads.stackoverflow.com/amzn/click/com/0596517742">javascript: the good parts</a> ,</p><blockquote> <p>javascript hat zwei gruppen von gleichheitsoperatoren: <code></code> und <code>!==</code> und ihre bösen zwillinge <code>==</code> und <code>!=</code>. die guten arbeiten so, wie sie es erwarten würden. wenn die beiden operanden vom selben typ sind und denselben wert haben, dann erzeugt <code></code> <code>true</code> und <code>!==</code> <code>false</code>. die bösen zwillinge tun das richtige, wenn die operanden vom selben typ sind, aber wenn sie von unterschiedlichem typ sind, versuchen sie, die werte zu erzwingen. die regeln, nach denen sie das tun, sind kompliziert und nicht zu merken. dies sind einige der interessanten fälle:</p> <pre><code>'' == '0' // false 0 == '' // true 0 == '0' // true false == 'false' // false false == '0' // true false == undefined // false false == null // false null == undefined // true ' \t\r\n ' == 0 // true </code></pre> <p>der mangel an transitivität ist alarmierend. mein rat ist, niemals die bösen zwillinge zu benutzen. verwenden sie stattdessen immer <code></code> und <code>!==</code>. alle soeben gezeigten vergleiche führen zu <code>false</code> mit dem operator <code></code>.</p> </blockquote><hr><h3>aktualisieren:</h3><p>ein guter punkt wurde von <a href="https://stackoverflow.com/users/165495/casebash">@ casebash</a> in den kommentaren und in <a href="https://stackoverflow.com/users/113570/philippe-leybaert">@ phillipe laybaerts</a> <a href="https://stackoverflow.com/a/957602/1288">antwort</a> in bezug auf referenztypen angesprochen. bei referenztypen handeln <code>==</code> und <code></code> konsistent miteinander (außer in besonderen fällen).</p><pre><code>var a = [1,2,3]; var b = [1,2,3]; var c = { x: 1, y: 2 }; var d = { x: 1, y: 2 }; var e = "text"; var f = "te" + "xt"; a == b // false a  b // false c == d // false c  d // false e == f // true e  f // true </code></pre><p>der sonderfall ist, wenn sie ein literal mit einem objekt vergleichen, das aufgrund seiner <code>tostring</code> - oder <code>valueof</code> -methode dasselbe literal ergibt. angenommen, sie vergleichen ein zeichenfolgenliteral mit einem zeichenfolgenobjekt, das vom konstruktor <code>string</code> erstellt wurde.</p><pre><code>"abc" == new string("abc") // true "abc"  new string("abc") // false </code></pre><p>hier überprüft der operator <code>==</code> die werte der beiden objekte und gibt <code>true</code> zurück, aber der operator <code></code> stellt fest, dass sie nicht vom selben typ sind und <code>false</code> zurückgeben. welches ist richtig? das hängt wirklich davon ab, was sie vergleichen wollen. mein rat ist, die frage vollständig zu umgehen und den konstruktor <code>string</code> nicht zum erstellen von zeichenfolgenobjekten zu verwenden.</p><p><strong> referenz </strong><br> <a href="http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-11.9.3">http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-11.9.</a> </p> Wenn eine Gerade durch den Ursprung und G verläuft, dann ist G automatisch ein Richtungsvektor.


Normal zu [1, -2, 3] sind z.B. [0, 3, 2] ; [3, 0, -1] oder [2, 1, 0]


Damit kannst du einen davon als Richtungsvektor benutzen. Hallo,



> 
> Im Prinzip muss ich ja nur f(-2) und f(0) bestimmen bzw die Funktion von links gegen -2 und von rechts gegen 0 laufen lassen. Ersteres ergibt -1 und letzteres 1. Aber wie komm ich jetzt auf den Grad von p(x) ?


Es ist nach einem Polynom mit minimalen Grad gefragt. Ein Polynom 0'ten Grades wäre eine Konstante - also$$p(x) = a\_0$$das geht nicht, da \(a\_0\) nicht gleichzeitig -1 und 1 sein kann. Ein Polynom 1'ten Grades ist eine lineare Funktion$$p(x) = a\_1 x + a\_0$$ geht schon - oder? Verbinde also die beiden Punkte durch eine Gerade


~plot~ (x<=-2)*(-2x-5);(0<=x)*exp(x);(-2<=x)*(x+1)*(x<=0);[[-6|3|-3|4]] ~plot~
  

  
hier grün eingezeichnet.



  




> 
> Hier hatte ich zuerst überhaupt Probleme zu verstehen, was stetig differenzierbar meint, aber d.h ja übersetzt die Funktion muss diffbar sein und die Ableitung, die daraus entsteht ist stetig oder ?


Ja genau!



> 
> Kann ich eigentlich bei der Aufgabe 2 die obere Zeile direkt ableiten ... ?


Ja klar, warum auch nicht. Stetig differenzierbar heißt, dass die 1. Ableitung stetig sein muss oder anders ausgedrückt, die Funktion selbst darf keinen Knick haben. Mit einem Knick hätte sie an einer Stelle zwei verschiedene Steigungen und so wäre die Ableitung nicht stetig.


Der 'Trick' besteht darin, die Zwangsbedingungen zu zählen. Eine Bedingung ist: die Funktion muss durch einen Punkt. Eine andere ist: die Funktion hat an einer bestimmten Stelle eine vorgegebene Steigung. Der Grad ist dann die Anzahl der Bedingungen minus 1.


Bei der ersten Aufgabe waren es zwei Punkte um den stetigen Übergang zu realisieren. Macht zwei Bedingungen minus 1 - also Polynom 1.Grades.


Bei der zweiten Aufgabe ist es ein Punkt und eine Steigung. Letzteres um die Ableitung stetig zu halten. Also wieder ein Polynom \(2-1=1\)'ten Grades.


Die Ableitung bei \(x=3\) ist$$f'(x) = 2x \cos(\pi x) \left( \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x)\right) \\ f'(3) = 6$$ Somit sind die Bedingungen für das Minimalpolynom $$f(3) = 9 \land f'(3) = 6$$


~plot~ (x<=3)*(x^2*(cos(pi*x))^2);[[-1|5|-2|12]];(3<=x)*(6(x-3)+9) ~plot~
  



Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte. Warum muss ich für die Basis des Kerns die Zeile mit -1 auf der Diagonalen hinzufügen und warum ist die 3. und 4. Spalte der so entstandenen Matrix dann eine Basis des Kerns ?
  


Der zweite Teil deiner Frage ist einfacher:

Du hattest doch x4 = x4, x2 = -3x3, x1 = x3-x4  bzw. ohne die 3.Zeile,

die ja auch eine 0-Zeile wird x2 = -3x3, x1 = x4-x3 (Da hattest du falsche Vorzeichen.)

und kannst also x4 und x3 frei wählen. Und die beiden Gleichungen

zeigen, dass alle Lösungen so aussehen:

( x4-x3 ; -3x3 ; x3 ; x4 )  = x3*(-1;-3;1;0) + x4(1; 0 ; 0 ; 1 )

oder wenn du als Faktor -x3 und -x4 nimmst

 = -x3*(1;3;-1;0) - x4(-1; 0 ; 0 ; -1 ) .
  


Und du siehst: Man kommt auf diese Basisvektoren, wenn man die

Matrix mit dem "-1-Trick" ergänzt.

Und da man nun weiß, dass der Kern die Dimension 2 hat

( 2 Basisvekt0ren) , weiß man aus dem Dimensionssatz:

dim(Bild) = Spaltenzahl von A  -  dim(Kern)

              =  4  - 2 = 2.

Alsi bilden je zwei lin. unabhängige Spalten von A

eine Basis des Kerns. Und weil die ersten beiden

Spalten von A ( vor der Umformung ) schon lin.

unabhängig sind, kann man diese nehmen.

War es vielleicht

C = Im A = ((1 (-1) 0)T, (0 1 2)T)
  


statt

C = Im A = ((1 (-1) 1)T, (0 1 2)T) ??? für die erste "Kugel"brauchst du alle Punkte, die von (2,2) in dieser Metrik


weniger als 1 entfernt sind. Für Punkte mit x-Wert 2 sind das alle


auf der Strecke (ohnen Endpunkte) von (2,1) bis (2,3) wegn


der Def. für x1=x2.


Ist aber der x-Wert eines Punktes nicht 2, dann ist ja bei


|y1|+|x2-x1|+|y2| schon der erste Summand gleich 2, also gibt   



es in diesem Fall keine Punkte , die weniger als 2 von (2,2) entfernt


sind. Die ganze "Kugel" ist die genannte Strecke.


Bei Radius 2 ist es ähnlich, denn für x ungleich 2 ist der Abstand eines Punktes


von M immer > 2, also wieder die Strecke, nur diesmal von (2,0) bis (2,4)  



bei r=3 wird es schon spannender. Erst mal die Strecke von (2,-1) bis (2,5) aber   



dann auch noch Punkte mit x ungleich 2 und zwar solche mit  



d( (2,2), (x,y) ) < 3   



2 + |x-2| + |y| < 3


|x-2| + |y| < 1


|x-2|  < 1- |y|   



damit das überhaupt geht, muss |y| < 1 sein


und dann muss noch       |x-2|  , also der Unterschied zwischen x und 2


kleiner sein als dieses 1- |y|


z.B. für |y|=0,8 kann zwischen 1,8 und 2,2 liegen


oder für |y|=0,5 kann zwischen 1,5 und 2,5 liegen


oder für |y|=0,3 kann zwischen 1,3 und 2,7 liegen  etc.


Ich versuche mal B3 zu zeichnen:![Bild Mathematik](/?qa=blob&qa_blobid=15294995484412308374) e^{0.25·x - 0.015·x^2}·(0.25 - 0.03·x) = 0  



Satz vom Nullprodukt


0.25 - 0.03·x = 0  



x = 25/3 B ist kein Untervektorraum sondern ein affiner Raum

B = { (-1;0;0) + t*(-2;1;0) | t∈ℝ } =  (-1,0,0) + span(2,-1,0).

Was soll denn das v bei AvB bedeuten ?

Vereinigungsmenge kann es ja wohl nicht sein; denn z.B.

(0;0;1) gehört zu keiner der beiden Mengen. **Warum unbedingt mit dem Hornerschema?**


Du kannst  hier 2 Nullstellen direkt angeben und abspalten. Es bleibt dann eine quadratische Gleichung und dafür gibts Formeln. Hier zufällig keine weiteren Lösungen:


**Vorgehen:**


Ablesen kann man


**X1 = 0 und X2 = 1.**


Abspalten:


x(x3-x2+x-1)=0


 


(x3-x2+x-1):(x-1) = x2+1
  

x3-x2





     0+x-1


         x-1


\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_


            0


x2+1=0 ist in R nicht lösbar.( **In C ist x3= i und x4= -i**)


Man findet also keine weiteren reellen Lösungen. Nein, die bleiben so, höhenmäßig kannst du da nichts verstellen.