Wie zeige ich Assoziativität von gegebenen Matrizen?





Ich habe Folgende Aufgabe: 


 ![]()


Wobei teilaufgabe a), b) und d) kein Problem darstellen. 


In c) wird aber gefordert zu zeigen, dass nur ein Matrizenprdukt berechnet werden muss. Ich komme leider nicht drauf wie ich das machen kann. 


Ich bin dankbar für jede Hilfe !
Es steht schon in deiner eigenen Überschrift: **Wegen Assoziativität** (die du NICHT hier zumindest beweisen musst) gilt



```
((A·B)·C)·D = (A·B)·(C·D) = A·(B·(C·D)) = A·((B·C)·D)

```

und alles davon bezeichnen wir als A·B·C·D. Zweitens, sobald all diese äquivalenten Produkte berechnet wurden, erhältst du durch Transponieren:



```
(A·B·C·D)ᵀ = Dᵀ·Cᵀ·Bᵀ·Aᵀ.

```

Ende. Ich wiederhole: hier besteht die Aufgabe nicht darin, Assoziativität zu beweisen, sondern sie zu verwenden/erwähnen. So verstehe ich die Sprache des Übungsgruppenleiters zumindest.
Aloha :)


Ich hoffe, dass ich den Aufbau der Determinante richtig verstanden habe. Um die Idee zu verdeutlichen, schreibe ich die ersten 4 Fälle einfach mal auf:


Bei \(n=1\) ist nicht viel zu tun:$$D\_1=\left|\begin{array}{c}1\end{array}\right|=1$$


Bei \(n=2\) addiere ich Zeile 1 zu Zeile 2 und ziehe danach aus Zeile 2 den Faktor vor die Determinante:$$D\_2=\left|\begin{array}{c}1 & 1\\-1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 2\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right|=2$$
  



Bei \(n=3\) addiere ich Zeile 1 zu Zeile 2 und ziehe danach aus Zeile 2 den Faktor vor die Determinante:$$D\_3=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 4\\0 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 4\\0 & -1 & 1\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & -1 & 1\end{array}\right|$$Jetzt addiere ich weiter Zeile 2 zu Zeile 3 und ziehe aus Zeile 3 den Faktor vor:$$\phantom{D\_3}=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 3\end{array}\right|=2\cdot3\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{array}\right|=6$$


Bei \(n=4\) wiederhole ich zunächst alle Schritte vom Fall \(n=3\):


$$D\_4=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 4 & 0\\0 & -1 & 1 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & 0\\0 & -1 & 1 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|$$$$\phantom{D\_4}=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|=2\cdot3\cdot\left|\begin{array}{c}\underline1 & \underline1 & \underline0 & 0\\\underline0 & \underline1 & \underline2 & 0\\\underline0 & \underline0 & \underline1 & 3\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|$$Man erkennt die letzte Determinante aus der Berechnung von \(D\_3\) wieder (unterstrichene Einträge), nur sind jetzt noch die 3 Elemente in der rechten unteren Ecke dazu gekommen, alle anderen zusätzlichen Einträge sind 0. Wir können daher noch einen weiteren Schritt (Addition der vorletzten Zeile zur letzten und Faktor herausziehen) durchführen:$$\phantom{D\_4}=2\cdot3\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|=2\cdot3\cdot4\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=24$$


Damit ist klar, dass: \(D\_n=n!\)


Dieses Vorgehen kannst du, wenn verlangt, noch in einen sauberen Induktionsbeweis packen. Die Beweisidee sollte zumindest jetzt klar sein ;) <p>ich denke, dies wirft weitere fragen und potenzielle probleme auf:</p><ol> <li>ist es wirklich notwendig, zwei getrennte arten von feldern für diese arten von zahlen zu haben? die tatsache, dass sie probleme haben, sie richtig zu kennzeichnen, bedeutet, dass dies wahrscheinlich zu einer schlechten benutzererfahrung führt.</li> <li>was ist, wenn der benutzer der meinung ist, dass die antwort eine dezimalstelle enthält, aber nur eine ganze zahl eingeben darf? sollten sie auf- oder abrunden?</li> <li>gibt es eine möglichkeit, sie nur mit einem nummernfeld zu versehen und den rest programmgesteuert zu erledigen? vielleicht dezimalstellen runden oder entfernen?</li> </ol><p>wenn sie sie nicht zu einem feldtyp kombinieren können, können sie sie auf jedem etikett explizit angeben:</p><ul> <li>geben sie eine zahl ein (dezimalstellen erlaubt)</li> <li>geben sie eine zahl ein (keine dezimalstellen)</li> </ul> In der ersten Matrix stehen einfach die beiden Vektoren der neuen Basis.  
  
Und wenn du die so hinschreibst und mit der Spalte (a;b) multiplizierst; dann hast du  
  
ja gerade a * -1     + b *  2                          2               1  
  
und das gibt ja gerade die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.  
  
Die andere Matrix ist dann eben die inverse dazu. <p>wenn dies meine entwurfsentscheidung wäre, würde ich wahrscheinlich eher eine option c (modifizierte option a) wählen.</p><h3>erstens, warum nicht 'option b':</h3><p>zum einen gefällt mir die klarheit, dass jedes produkt seinen eigenen tisch hat. wenn es sich nur um eine große tabelle mit einem feld zur bestimmung des typs handelt, ist die beziehung nicht so klar.</p><p>zum anderen würde die indizierungsstrategie immer erfordern, dass dieses typfeld aufgelistet wird. da es sich nur um 4 typen handelt, ist die indexkardinalität extrem niedrig (<code>select * from product\_table where type='x'</code> führt im grunde sowieso einen vollständigen tabellenscan durch)</p><h3>option c.</h3><ul> <li>erstellen sie eine übergeordnete tabelle, die nur die spalten enthält, die alle typen gemeinsam nutzen</li> <li>erstellen sie jeden produkttyp als eigene tabelle mit ihren einzelnen spalten, mit einem zusätzlichen: ein link zur übergeordneten tabelle</li> <li>erstellen sie jede 'link'-tabelle: product\_option, model\_option usw. mit links zu den jeweiligen schlüsseln.</li> <li>für diejenigen mit wechselseitigen links (model\_option, option\_model) erstellen sie auch diese tabellen. dies erhöht die klarheit ihrer joins für alle, die sich das ansehen.</li> </ul><p>der nachteil ist die komplexität, sicherzustellen, dass waisen vermieden werden, wenn dinge aktualisiert/gelöscht werden, und zunächst die abfragen zu entwerfen, die diese tabellen verwenden.</p> Die Systeme (v1, v2), (v1, v3) und (v2, v3) sind linear unabhängig, weil kein Vektor ein vielfaches eines anderen ist.  

  

Damit das System (v1, v2, v3) linear unabhängig ist. muss das Spatprodukt ungleich Null sein.  

  

[1, 1, 0] ⨯ [4, 1, 4] ⋅ [2, -1, 4] = [4, -4, -3] ⋅ [2, -1, 4] = 0  

  

Damit ist das System (v1, v2, v3) linear abhängig. Alternativ zum Spatprodukt kann man auch die Determinante einer aus diesen Vektoren bestehenden Matrix berechnen. Oder man zeigt es über ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. 2 Aufgaben aus der Analysis und 3 aus der Stochastik. 


Aus der Analysis sind 4 Aufgaben, aus der Stochastik 6 Aufgaben zur Wahl gestellt. 


Wie viele verschiedene Zusammenstellungen sind für die Mathearbeit möglich?


 


Ich wähle mir eine Analysisaufgabe, dafür habe ich 4 Möglichkeiten.
  

Ich wähle mir noch eine Analysisaufgabe, dafür habe ich 3 Möglichkeiten.
  

Da die Reihenfolge nicht interessiert muss ich noch durch 2! teilen.
  

Gibt also 4 * 3 / 2 = 6 Möglichkeiten die Analysisaufgaben zu wählen


Ich wähle mir eine Stochastikaufgabe, dafür habe ich 6 Möglichkeiten.
  

Ich wähle mir noch eine Stochastikaufgabe, dafür habe ich 5 Möglichkeiten.
  

Ich wähle mir noch eine Stochastikaufgabe, dafür habe ich 4 Möglichkeiten.
  

Da die Reihenfolge nicht interessiert muss ich noch durch 3! = 6 teilen.
  

Gibt also 6 * 5 * 4 / 6 = 20 Möglichkeiten die Analysisaufgaben zu wählen


So habe ich insgesamt 6 * 20 = 120 Möglichkeiten


Noch einfacher geht es mit dem Binomialkoeffizienten:


(4 über 2) * (6 über 3) = 120


 


Noch eine Aufgabe:


Ich habe 7 Harry Potter Bücher und immerhin 20 Bücher von den Drei Fragezeichen. Wenn Du dir 2 Bücher von den Harry Potter Büchern ausleihen kannst und 3 Bücher aus den drei Fragezeichen. Wie viel Möglichkeiten hast du dann?


Kontrolllösung: 23940 Möglichkeiten :) Da musst du die Ringaxiome prüfen:

1. Abgeschlossen: Sind für alle (m,r) und (n,s) ∈ ℤxR die Ergebnisse

von (m,r)+(n,s)  und von (m,r) * (n,s) wieder in ℤxR .

Ist so , kannst du auf die Def'en und die Abgeschlossenheite von ℤ und R

zurückführen.

+ und * sind  assoziativ:  Zeige für alle (m,r) , (n,s) und (p,t)  ∈ ℤxR

((m,r) + (n,s) )   +   (p,t) = (m,r) + ((n,s)  + (p,t) )   


und  ((m,r) * (n,s) )  *  (p,t) = (m,r) * ((n,s)  * (p,t) )  etc.

neutral bzgl + ist (0,0) und bzgl * ist es (1 , 0) denn

(1,0) * ( m,r) = ( 1·r , 1·m + m·0 + 0·r)

                   = ( m , r)   etc. Klicken Sie sich einfach mal hier durch und zählen Sie mit (einfach in die Grafik klicken; dazu muss aber auch gesagt werden, dass die Anzahl der Schritte von der Anwendungsreihenfolge der beiden möglichen Vereinfachungsregeln abhängt, wir haben in der Klausur deshalb damals auch 14 als richtige Lösung gelten lassen):  

  

@[ID-22789]@ <p>könnte nur ich sein, aber wenn ich einstellen würde, würde mich interessieren, wie sie zu ihren lösungen gekommen sind, nicht nur zu den lösungen selbst. ich möchte sehen, wie sie denken, warum sie bestimmte dinge getan haben und eine breite basis von materialien, die ihre fähigkeiten in ixd veranschaulichen - sei es drahtgitter, personas, mentale modelle, skizzieren, moderation usw.</p><p>jeder kann tools erlernen (z. b. omnigraffle, visio, indesign usw.), aber sie können auffallen, indem sie zeigen, wie sie ihre fähigkeiten zur lösung von problemen einsetzen.</p><p>ich würde vorschlagen, den artikel von whitney hess zu lesen. ich denke, er spricht gut an, wonach die leute in ixd-portfolios suchen:</p><p> <a href="http://www.uxmatters.com/mt/archives/2009/10/process-not-portfolio.php">http://www.uxmatters.com/mt/archives/2009/10/process-not-portfolio.php</a> </p> Schau mal unter

Das sollte dir das sehr vereinfachen.