Teilchen in Gravitationsfeld
Hallo zusammen, evt kann mir bei dieser Aufgabe jemand einen Ansatz geben, mit dem man hier vorgehen muss.

Die Aufgabe ist:

Ein Teilchen unter dem Einfuss einer konstanten Kraft (z.B. eines Gravitationsfeldes) wird beschrieben
  
durch die Schrödingergleichung $$ i\hslash \frac { d }{ dt } \psi (x,t)=\left( -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { d }{ { dx }^{ 2 } } +mgx \right) \psi (x,t) $$
  
Zeigen Sie, dass man sich eine Lösung dieser Gleichung aus einer Lösung $$ { \psi  }\_{ 0 }(x,t) $$ der freien SG konstruieren kann:

$$ i (x,t)={ \psi  }\_{ 0 }(x+g{ t }^{ 2 }/2,t){ e }^{ i\phi (t)-iaxt } $$

Wie müssen a und phi gewählt werden?


  


Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen :)
Hallo,

der Ansatz ist ja schon gegeben. Den sollst du einsetzen und dann a und phi so bestimmen, dass die Schrödingergleichung erfüllt ist. Berechne dazu erstmal die Zeitableitung und die zweifache Ortsableitung mithilfe der Kettenregel. Kürze dann alles was geht. Ich komme am Ende auf

$$ a=\frac{mg}{\hbar}\\\phi(t)=-\frac{\hbar}{6m}a^2t^3=-\frac{\hbar}{6m}a^2t^3=-\frac{mg^2}{6\hbar}t^3$$
  


falls ich mich nicht verrechnet habe.
Allgemein gilt im zwei- und dreidimensionalen Raum:


<a,b> = |a| * |b| * cos(φ), wobei <a,b> das Skalarprodukt ist, |.| die Länge der Vektoren bezeichnet und φ der Winkel zwischen a und b ist.


Algebraisch ist klar, dass hier 0 rauskommt, wenn φ=90° gilt, denn cos(90°)=0.


\_\_\_\_\_


Es gibt aber auch eine geometrische Erklärung:


Man kann laut der folgenden Zeichnung den Teil mit |b|*cos(φ) durch b\_a ersetzen, denn es gilt: cos(φ)= b\_a / |b|


 ![]()


Also folgt <a,b>=|a|*b\_a.


Wenn jetzt a senkrecht auf b steht, ist b\_a offenbar 0 und man hat <a,b>=|a|*0, oder <a,b>=0. f(x) = a*b^x

f(0) = r

r= a*b^0 = a*1 = a  


f(1)= t

t= r*b^1

b= t/r

f(x)= r*(b/r)^x = Dein Gewicht drückt als Kraft auf die Erde und die Gegenkraft ist die Gravitation dazwischen entsteht ein Druck. Die Waage misst also die Kraft mit der Du auf die Erde drückst, diese ist konstant, wenn du ruhig auf der Waage stehst.
Ein Teppich wirkt nun dazwischen wie eine Dämpfung. Hier geht ein Teil der Kraft verloren. (Wie ein Airbag, der die Kraft des Aufpralls abfedert). Zugleich gerät die Waage in Bewegung un die Druckverteilung ist nicht mehr gleichmäßig (Bei einer Zeigerwaage sieht man das am schwankenden Zieger, bei einer Digitalwaage führt das zu keinem oder einem verfälschten Eregbnis, welches auch höher liegen kann, da man in Bewegung auch mehr druck auf den Boden ausübt als in iner statischen, ruhigen Haltung) Hallo,



> 
> Im Prinzip muss ich ja nur f(-2) und f(0) bestimmen bzw die Funktion von links gegen -2 und von rechts gegen 0 laufen lassen. Ersteres ergibt -1 und letzteres 1. Aber wie komm ich jetzt auf den Grad von p(x) ?


Es ist nach einem Polynom mit minimalen Grad gefragt. Ein Polynom 0'ten Grades wäre eine Konstante - also$$p(x) = a\_0$$das geht nicht, da \(a\_0\) nicht gleichzeitig -1 und 1 sein kann. Ein Polynom 1'ten Grades ist eine lineare Funktion$$p(x) = a\_1 x + a\_0$$ geht schon - oder? Verbinde also die beiden Punkte durch eine Gerade


~plot~ (x<=-2)*(-2x-5);(0<=x)*exp(x);(-2<=x)*(x+1)*(x<=0);[[-6|3|-3|4]] ~plot~
  

  
hier grün eingezeichnet.



  




> 
> Hier hatte ich zuerst überhaupt Probleme zu verstehen, was stetig differenzierbar meint, aber d.h ja übersetzt die Funktion muss diffbar sein und die Ableitung, die daraus entsteht ist stetig oder ?


Ja genau!



> 
> Kann ich eigentlich bei der Aufgabe 2 die obere Zeile direkt ableiten ... ?


Ja klar, warum auch nicht. Stetig differenzierbar heißt, dass die 1. Ableitung stetig sein muss oder anders ausgedrückt, die Funktion selbst darf keinen Knick haben. Mit einem Knick hätte sie an einer Stelle zwei verschiedene Steigungen und so wäre die Ableitung nicht stetig.


Der 'Trick' besteht darin, die Zwangsbedingungen zu zählen. Eine Bedingung ist: die Funktion muss durch einen Punkt. Eine andere ist: die Funktion hat an einer bestimmten Stelle eine vorgegebene Steigung. Der Grad ist dann die Anzahl der Bedingungen minus 1.


Bei der ersten Aufgabe waren es zwei Punkte um den stetigen Übergang zu realisieren. Macht zwei Bedingungen minus 1 - also Polynom 1.Grades.


Bei der zweiten Aufgabe ist es ein Punkt und eine Steigung. Letzteres um die Ableitung stetig zu halten. Also wieder ein Polynom \(2-1=1\)'ten Grades.


Die Ableitung bei \(x=3\) ist$$f'(x) = 2x \cos(\pi x) \left( \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x)\right) \\ f'(3) = 6$$ Somit sind die Bedingungen für das Minimalpolynom $$f(3) = 9 \land f'(3) = 6$$


~plot~ (x<=3)*(x^2*(cos(pi*x))^2);[[-1|5|-2|12]];(3<=x)*(6(x-3)+9) ~plot~
  



Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte. Zeichne die Parabel und die Gerade x =a für eine Zahl 1≤a≤5. Zeichne das Dreieck RQP. Dieses Dreieck hat den Flächeninhalt F(a)=(a-1)·f(a)/2 = 1/2·(a-1)(-a2+6a-5). Ausmultiplizieren, Nullstellen der Ableitung bestimmen. Letztere sind a=1 (F(a)=0) und a=11/3 (F(a)=128/27; Maximum). zu a) 70x+33y=1 ist die Gleichung einer Geraden. Ihre Lösungen liegen auf dem abgebildeten Graphen:

![blob.png](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=2107847355724328261)   


Die Schnittpunkte mit den Achsenliegen bei y=\( \frac{1}{33} \) und bei x=\( \frac{1}{70} \). Kohäsionskräfte. Aber um auf deine Vermutungen einzugehen, die elektromagnetische Kraft, da Wasser ein Dipol ist und die Kohäsionskraft durch gegenseitiges elektrostatisches anziehen von Molekülen entsteht. Zum ganz geringen Teil auch die Gravitation, die kann aber vernachlässigt werden, weil die Teilchen von jedem Stoff sich im geringen Maß gravitativ anziehen und sie bei einem so kleinen Molekül wie Wasser äußerst schwach ist. Aloha :)


Ich hoffe, dass ich den Aufbau der Determinante richtig verstanden habe. Um die Idee zu verdeutlichen, schreibe ich die ersten 4 Fälle einfach mal auf:


Bei \(n=1\) ist nicht viel zu tun:$$D\_1=\left|\begin{array}{c}1\end{array}\right|=1$$


Bei \(n=2\) addiere ich Zeile 1 zu Zeile 2 und ziehe danach aus Zeile 2 den Faktor vor die Determinante:$$D\_2=\left|\begin{array}{c}1 & 1\\-1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 2\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right|=2$$
  



Bei \(n=3\) addiere ich Zeile 1 zu Zeile 2 und ziehe danach aus Zeile 2 den Faktor vor die Determinante:$$D\_3=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 4\\0 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 4\\0 & -1 & 1\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & -1 & 1\end{array}\right|$$Jetzt addiere ich weiter Zeile 2 zu Zeile 3 und ziehe aus Zeile 3 den Faktor vor:$$\phantom{D\_3}=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 3\end{array}\right|=2\cdot3\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{array}\right|=6$$


Bei \(n=4\) wiederhole ich zunächst alle Schritte vom Fall \(n=3\):


$$D\_4=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 4 & 0\\0 & -1 & 1 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & 0\\0 & -1 & 1 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|$$$$\phantom{D\_4}=2\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 & 9\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|=2\cdot3\cdot\left|\begin{array}{c}\underline1 & \underline1 & \underline0 & 0\\\underline0 & \underline1 & \underline2 & 0\\\underline0 & \underline0 & \underline1 & 3\\0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right|$$Man erkennt die letzte Determinante aus der Berechnung von \(D\_3\) wieder (unterstrichene Einträge), nur sind jetzt noch die 3 Elemente in der rechten unteren Ecke dazu gekommen, alle anderen zusätzlichen Einträge sind 0. Wir können daher noch einen weiteren Schritt (Addition der vorletzten Zeile zur letzten und Faktor herausziehen) durchführen:$$\phantom{D\_4}=2\cdot3\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|=2\cdot3\cdot4\cdot\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=24$$


Damit ist klar, dass: \(D\_n=n!\)


Dieses Vorgehen kannst du, wenn verlangt, noch in einen sauberen Induktionsbeweis packen. Die Beweisidee sollte zumindest jetzt klar sein ;) Wenn man den rechten Punkt auf die linke, senkrechte Linie projiziert, ist die projizierte Hub-Linie 1100+x bzw. 1100-x.  

  

Das ergibt folgende Gleichung für x:  

  

(√((1100 + x)^2 +(x * sin(20))^2) - 369)/2 =√((1100 - x)^2 +(x * sin(20))^2)-369  

  

Nach WolframAlpha ist x=245,54  

  

b= x/cos(20) = 261,3  

  

h=√((1100 - x)^2 +(x * sin(20))^2)-369 f(x) = ln(x^2+ 1)

Wo ist sie stetig ? 

Für alle x ∈ ℝ

Wo liegen ihre Nullstellen ?

f(x) = 0
  

ln(x^2+ 1) = 0
  

x^2 + 1 = e^0 = 1
  

x^2 = 0
  

x = 0

Wo ist die Funktion diﬀerenzierbar ?

Für alle x ∈ ℝ

Wo liegen die Minima bzw. Maxima ?

f '(x) = 0

Ableiten mit Kettenregel

f'(x) = (2·x) / (x^2 + 1) = 0

Ein Bruch wird nur Null wenn der Zähler Null wird. Wir haben also vermutlich ein Maximum oder Minimum bei 0.

Skizze:

![](/?qa=blob&qa_blobid=7624871131491255943)