Index Schreibweise von Mengen
Aufgabe:

Kann mir jemand bei 3 und 4 helfen?

![Screenshot_20210130_230957.jpg](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=3242518867560363643)

**Text erkannt:**

Aufgabe 1 (Index-Schreiloweise):  
Bringen Sie die folgenden Ausiriucle in "Pinktchenschreilaveise" in eine grschlonsene Darstellung mit In-  
der / Summanden/Mengen hinschreiben.  
2. \( a=1+4+9+16+\ldots \)  
3. \( R=\bigcup\_{k<N}(-k, k) \)  
1. \( M=\bigcap\_{1-1}^{3}\left|\frac{1}{2}, 5 k\right| \).
*Hallo Babsi,*

*ich gehe von  ℕ = {1 , 2, 3 ... } aus und hoffe, dass ich den etwas verschwommenen Text richtig lese:*

3.    {-1,1} ∩ {-2, 2} ∩ {-3, 3} ∩ ...

4.    {1, 5} ∪ {1/2 , 10} ∪ ... ∪ {1/5, 25}

*Gruß Wolfgang*
(1) Sei \( X \) eine *nicht-leere* Menge.  

(2) Sei \( \mathcal{M} \subseteq \mathcal{P}(X) \) ein Mengensystem mit \( \emptyset \in \mathcal{M} \) als Teilmenge der Potenzmenge von \( X \).

Dann ist `\[ \varphi: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{C} \]` 
eine Mengenfunktion auf \( \mathcal{M} \). Je nach Notwendigkeit kann \( \mathbb{C} \) auf die erweiterte reelle Zahlen \( \bar{\mathbb{R}} \) oder auf positive reelle Zahlen \( \mathbb{R}\_+ \) eingeschränkt werden.

**Beispiel: Elemente-zählende Mengenfunktion**Sei das Mengensystem \( \mathcal{M} = \{ \emptyset,~ \{7\},~ \{42, 17, 0\} \} \). Dann kann die Mengenfunktion beispielsweise die Einträge der Elemente von \( \mathcal{M} \) zählen:`\[ \varphi(\emptyset) ~=~ 0, ~~~ \varphi(\{7\}) ~=~ 1, ~~~ \varphi(\{42,~ 17,~ 0\}) ~=~ 3 \]` Klicken Sie sich einfach mal hier durch und zählen Sie mit (einfach in die Grafik klicken; dazu muss aber auch gesagt werden, dass die Anzahl der Schritte von der Anwendungsreihenfolge der beiden möglichen Vereinfachungsregeln abhängt, wir haben in der Klausur deshalb damals auch 14 als richtige Lösung gelten lassen):  

  

@[ID-22789]@ <p>sie sollten versuchen, schleifen generell zu vermeiden. sie sind normalerweise weniger effizient als satzbasierte lösungen und weniger lesbar.</p><p>das folgende sollte ziemlich effizient sein.</p><p>dies gilt umso mehr, wenn die spalten name und weight im index <code>include-</code> d sein könnten, um die schlüsselsuche zu vermeiden.</p><p>es kann den eindeutigen index in der reihenfolge <code>turn</code> scannen und die laufende summe der spalte <code>weight</code> berechnen. verwenden sie dann <code>lead</code> mit denselben ordnungskriterien, um die laufende summe zu ermitteln die nächste reihe wird sein.</p><p>sobald die erste zeile gefunden wird, in der diese 1000 überschreitet oder <code>null</code> ist (was anzeigt, dass keine nächste zeile vorhanden ist), kann der scan gestoppt werden.</p><pre><code>with t1 as (select *, sum(weight) over (order by turn rows unbounded preceding) as cume\_weight from [dbo].[line]), t2 as (select lead(cume\_weight) over (order by turn) as next\_cume\_weight, * from t1) select top 1 name from t2 where next\_cume\_weight &gt; 1000 or next\_cume\_weight is null order by turn </code></pre><h1>ausführungsplan</h1><p> <a href="https://i.stack.imgur.com/gb1mw.png">(<img src="https://i.stack.imgur.com/gb1mw.png" alt="enter image description here"></a> </p><p>in der praxis scheint es ein paar zeilen vor dem unbedingt erforderlichen zu lesen - es sieht so aus, als würde jedes fenster-spool/stream-aggregat-paar zwei zusätzliche zeilen lesen.</p><p>für die beispieldaten in der frage müssten im idealfall nur zwei zeilen aus dem index-scan gelesen werden, in wirklichkeit werden jedoch 6 zeilen gelesen. dies ist jedoch kein wesentliches effizienzproblem und verschlechtert sich nicht, wenn der tabelle weitere zeilen hinzugefügt werden (wie in) <a href="https://dbfiddle.uk/?rdbms=sqlserver\_2017&amp;fiddle=892e6bb7c1af912413b01d05e606a98a">diese demo</a> )</p><p>für diejenigen, die an dieser ausgabe interessiert sind, wird unten ein bild mit den von jedem operator ausgegebenen zeilen (wie durch das erweiterte ereignis <code>query\_trace\_column\_values</code> gezeigt) angezeigt. die zeilen werden in der reihenfolge <code>row\_id</code> ausgegeben (beginnend mit <code>47</code> für die erste zeile, die vom index-scan gelesen wurde und bei <code>113</code> für <code>top</code> endet)</p><p>klicken sie auf das bild unten, um es zu vergrößern, oder sehen sie alternativ <a href="https://imgur.com/a/c7npqqh">die animierte version, um den ablauf einfacher zu verfolgen</a> .</p><p>anhalten der animation an dem punkt, an dem das rechte stream-aggregat seine erste zeile ausgegeben hat (für gary - turn = 1). es scheint offensichtlich, dass es darauf gewartet hat, seine erste zeile mit einem anderen windowcount zu erhalten (für jo - turn = 2). und die fensterspule gibt die erste "jo" -zeile erst frei, wenn sie die nächste zeile mit einem anderen <code>turn</code> gelesen hat (für thomas - turn = 3)</p><p>die fensterspule und das stream-aggregat bewirken also, dass eine zusätzliche zeile gelesen wird, und es gibt vier davon im plan - daher 4 zusätzliche zeilen.</p><p> <a href="https://i.stack.imgur.com/cwllc.jpg">(<img src="https://i.stack.imgur.com/cwllc.jpg" alt="enter image description here"></a> </p><p>es folgt eine erläuterung der oben gezeigten spalten (basierend auf info <a href="https://www.microsoft.com/en-us/p/microsoft-sql-server-2012-high-performance-t-sql-using-window-functions/fgqpf3h0qlch">hier</a> )</p><ul> <li><strong> knotenname: index-scan, knoten-id: 15, spaltenname: id </strong> basistabellenspalte, die vom index abgedeckt wird</li> <li><strong> knotenname: index-scan, knoten-id: 15, spaltenname: drehen sie die basistabellenspalte </strong>, die vom index abgedeckt wird</li> <li><strong> nodename: clustered index seek, nodeid: 17, columnname: gewicht </strong> basistabellenspalte, die aus der suche abgerufen wurde</li> <li><strong> nodename: clustered index seek, nodeid: 17, columnname: name </strong> basistabellenspalte, die aus der suche abgerufen wurde</li> <li><strong> nodename: segment, nodeid: 13, columnname: segment1010 </strong> gibt 1 am anfang einer neuen gruppe zurück oder andernfalls null. da kein <code>partition by</code> in <code>sum</code> vorhanden ist, erhält nur die erste zeile 1</li> <li><strong> nodename: sequenzprojekt, nodeid: 12, columnname: rownumber1009 </strong> <code>row\_number()</code> innerhalb der durch das segment1010-flag angegebenen gruppe. da sich alle zeilen in derselben gruppe befinden, werden ganze zahlen von 1 bis 6 aufgestiegen. wird in fällen wie <code>rows between 5 preceding and 2 following</code> zum filtern von zeilen mit rechten rahmen verwendet. (oder wie für <code>lead</code> später)</li> <li><strong> nodename: segment, nodeid: 11, columnname: segment1011 </strong> gibt 1 am anfang einer neuen gruppe zurück oder andernfalls null. da kein <code>partition by</code> in <code>sum</code> vorhanden ist, erhält nur die erste zeile 1 (wie segment1010).</li> <li><strong> nodename: window spool, nodeid: 10, columnname: windowcount1012 </strong> attribut, das zeilen gruppiert, die zu einem fensterrahmen gehören. diese fensterspule verwendet den fall "fast track" für <code>unbounded preceding</code>. wo es zwei zeilen pro quellzeile ausgibt. eins mit den kumulativen werten und eins mit den detailwerten. obwohl es keinen sichtbaren unterschied in den durch <code>query\_trace\_column\_values</code> offenbarten zeilen gibt, gehe ich davon aus, dass kumulative spalten in der realität vorhanden sind.</li> <li><strong> nodename: stream aggregate, nodeid: 9, columnname: expr1004 </strong> <code>count(*)</code> gruppiert nach windowcount1012 gemäß plan, aber tatsächlich eine laufende anzahl</li> <li><strong> nodename: stream aggregate, nodeid: 9, columnname: expr1005 </strong> <code>sum(weight)</code> gruppiert nach windowcount1012 gemäß plan, aber tatsächlich die laufende gewichtssumme (dh <code>cume\_weight</code>)</li> <li><strong> nodename: segment, nodeid: 7, columnname: expr1002 </strong> <code>case when [expr1004]=(0) then null else [expr1005] end</code> - sehen sie nicht, wie <code>count(*)</code> kann sei 0, also läuft immer die summe (<code>cume\_weight</code>)</li> <li><strong> knotenname: segment, knoten-id: 7, spaltenname: segment1013 </strong> nein <code>partition by</code> in <code>lead</code>, sodass die erste zeile 1 erhält. alle verbleibenden werden null</li> <li><strong> nodename: sequenzprojekt, nodeid: 6, columnname: rownumber1006 </strong> <code>row\_number()</code> innerhalb der durch das segment1013-flag angegebenen gruppe. da sich alle zeilen in derselben gruppe befinden, sind dies ganze zahlen von 1 bis 4</li> <li><strong> nodename: segment, nodeid: 4, columnname: bottomrownumber1008 </strong> rownumber1006 + 1, da <code>lead</code> die nächste zeile erfordert</li> <li><strong> nodename: segment, nodeid: 4, columnname: toprownumber1007 </strong> rownumber1006 + 1, da <code>lead</code> die nächste zeile erfordert</li> <li><strong> knotenname: segment, knoten-id: 4, spaltenname: segment1014 </strong> nein <code>partition by</code> in <code>lead</code>, sodass die erste zeile 1 erhält. alle verbleibenden werden null</li> <li><strong> nodename: window spool, nodeid: 3, columnname: windowcount1015 </strong> attribut, das zeilen, die zu einem fensterrahmen gehören, unter verwendung der vorherigen zeilennummern gruppiert. der fensterrahmen für <code>lead</code> hat maximal 2 zeilen (die aktuelle und die nächste)</li> <li><strong> nodename: stream aggregate, nodeid: 2, columnname: expr1003 </strong> <code>last\_value([expr1002])</code> für <code>lead(cume\_weight)</code></li> </ul> Hallo,


spontan fallen mir hier zwei Wege ein, die zum Ziel führen:


1. Man könnte das Problem über **Verzeichniseintragsfelder** (TC-Felder) lösen. Ist halt ein bisschen umständlich, diese erst im Nachhinein anzulegen, wenn man schon einige Überschriften bzw. Gliederungspunkte im Dokument hat. Wie man mit Verzeichniseintragsfeldern arbeitet, steht [hier](http://www.borkpc.de/Word/wd_inhver3.html) beschrieben.
2. Eine Alternative wäre, das komplett fertige **Inhaltsverzeichnis** im Nachhinein bzw. vor dem Drucken **in statischen Text** zu **konvertieren** und dann mit Suchen-und-Ersetzen die Nummerierung bzw. die Aufzählungszeichen zu entfernen.


Eine Rückmeldung wäre nett.


Gruß, BerchGerch Hallo Tekto,

ich habe Dir das für die Komponente \(m\_1\) mal gerechnet.

$$\begin{aligned} m\_1 &= (M \cdot r\_1) \frac{1}{|r\_1|} \\ &= \left( \begin{pmatrix}  3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}  -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \frac{1}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} \text{Nm} \\ &= (3\cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 ) \frac{1}{\sqrt{6}} \text{Nm}\\ &= \frac{3}{\sqrt{6}}\text{Nm} = \frac12 \sqrt{6}\, \text{Nm}\end{aligned}$$

Wenn Du noch die berechnete Komponente mit dem Einheitsvektor in der jeweiligen Richtung von \(r\_i\) multiplizierst, kommst Du zu dem Anteil des Moments in der jeweiligen Richtung. In Geoknecht3D sähe das so aus:

[![Untitled1.png](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=7877675525675045088)](https://www.matheretter.de/geoservant/de/?draw=gerade(0%7C0%7C0%20-1%7C1%7C2)%7B00F%7D+gerade(0%7C0%7C0%201%7C2%7C1)%7B0F0%7D+vektor(3%7C2%7C2)%7BC00%7D+punkt(-0.5%7C0.5%7C1%20%22M1%22)+punkt(1.5%7C3%7C1.5%20%22M2%22)+strecke(3%7C2%7C2%20-0.5%7C0.5%7C1)%7B666%7D+strecke(3%7C2%7C2%201.5%7C3%7C1.5)%7B666%7D)
  


(klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus)


> mm, cm - Ja wurde so angegeben. Aber kann man doch gegebengalls ignorieren oder ?

Bei der Berechnung der Komponenten des Moment - ja, weil hier durch den Betrag geteilt wird, dann hebt sich das auf. Äquivalenz bedeutet Gleichheit. Die Lösung der Aufgabe dürfte also sein: 144cm = ("ist äquivalent zu) 6 mal 15 + 3 mal x. Und dann musst du die Gleichung umstellen und ausrechnen. Verstanden? Netzfund:  
Da es hier nun mal so viele Probleme mit der Rechtschreibung gibt, plädiere ich dafür, die Dinge etwas zu vereinfachen, damit auch Benutzer, die des Lesens und Schreibens


nicht so ganz mächtig sind (und derer gibt es im Internet erschreckend viele), am Gedankenaustausch teilhaben können.


Erster Schritt: Wegfall der Großschreibung.


einer sofortigen einführung steht nichts im weg, zumal schon viele grafiker und werbeleute zur kleinschreibung übergegangen sind.


zweiter schritt: wegfall der dehnungen und schärfungen.


dise masname eliminirt schon di gröste felerursache in der grundschule, den sin oder unsin unserer konsonantenverdoplung hat onehin nimand kapirt.


driter schrit: v und ph ersezt durch f, z und sch ersezt durch s.


das alfabet wird um swei buchstaben redusirt, sreibmasinen und setsmasinen fereinfachen sich, wertfole arbeitskräfte könen der wirtsaft sugefürt werden.


firter srit: q, c und ch ersetst durch k, j und y ersetst durch i, pf ersetst durch f.


nun sind son seks bukstaben ausgesaltet, di sulseit kan sofort von ein auf swei iare ferkürtst werden, anstat aktsig prosent rektsreibunterikt könen nüslikere fäker wi fisik, kemi, reknen mer


geflegt werden.


fünfter srit: wegfal fon ä, ö und ü seiken.


ales uberflusige ist iest ausgemertst, di ortografi wider slikt und einfak, naturlik benotigt es einige seit, bis dise fereinfakung uberal riktik ferdaut ist, fileikt sasungsweise ein bis swei iare. anslisend durfte als nakstes sil di fereinfakung der nok swirigeren und unsinigeren gramatik anfisirt werden. *Die Währungseinheit ist im Allgemeinen nach dem Betrag zu schreiben, weil sie auch erst nach der Zahl gesprochen wird. Man schreibt also in fortlaufenden Texten, Geschäftsbriefen usw. 3,45 €; 270,00 EUR usw. In Aufstellungen und im Zahlungsverkehr kann das Währungszeichen aus Gründen der besseren Übersicht auch vorangestellt werden (€ 3,45; EUR 0,05).*


Einleuchtend, nicht? Gleiches gilt natürlich auch für andere Währungen.
Schwierig wird es für diejenigen, die viel mit der englischen Sprache arbeiten, denn dort wird auch im Fließtext in der Regel das Währungszeichen zuerst gesetzt, auch wenn die Währung auch im Englischen erst nach dem Betrag ausgesprochen wird.






Lt. (Band 9) Hallo.

  

 In deiner Lösung sind mehrere Dinge nicht ganz richtig. Zum einen ist kann mit deiner Lösung das leere Wort erzeugt werden. $S \rightarrow \lambda$!

  

 Außerdem ist nicht gesichert, dass die Wörter länger als 4 Zeichen sind. Deine Grammatik erzeugt z.B. auch die Wörter 0, 1, 011, 00 und viele andere. Damit ist zudem nicht gesichert dass das Wort mit 01 beginnt und endet.

  

 Wichtiger ist allerdings noch, dass du die Regeln für eine  rechtslineare Grammatik beachten musst!

  

 Zur Erinnerung: $P\_{rechtsnlinear} \subset N \times (T \cup TN \cup \{\lambda\})$

  

 Deine Regel $S \rightarrow 01S$ ist allerdings von der Form "$N \rightarrow TTN$"

  

 Liebe Grüße,

  

 Leonard <p>dies kann eine paginierung sein oder auch nicht, aber hier ist, wie ich paginierung in meiner web-app mache:</p><pre><code>|&lt; first, &lt;&lt; previous, page [5] of 12, next &gt;&gt;, last &gt;| </code></pre><p>die äußeren vier optionen sind links, während die <code>page [5] of 12</code> ist ein formular mit dem [5] als eingabefeld. für benutzer mit aktiviertem javascript verstecke ich die schaltfläche "senden" und sende das formular beim ereignis "unfokus" oder drücke den tastendruck. der benutzer hat die option, wie viele zeilen er anzeigen möchte, die er aus einem dropdown-menü auswählen kann: 10, 20, 50, 100, alle. zusätzlich zur paginierung biete ich auch das sortieren und filtern der ergebnisse an, obwohl dies möglicherweise nicht in jeder situation sinnvoll ist.</p><p><strong>bearbeiten</strong>:</p><p>hier ist ein ausschnitt aus einem modell unserer web-app, um ihnen eine bessere vorstellung zu geben. in dieser version wurden die wörter in den schaltflächen weggelassen, werden jedoch nach einer leichten verzögerung als tooltip beim hover angezeigt. möglicherweise stellen sie jedoch fest, dass das beibehalten der wörter zu einer höheren benutzerfreundlichkeit führt.</p><p><img src="https://i.stack.imgur.com/vzbu0.png" alt="virtuosi media&#39;s pagination example"></p><p>ein paar andere dinge, auf die sie hinweisen sollten:</p><ul> <li>die schaltflächen "erste" und "vorherige" wurden deaktiviert, da es sich um die erste seite handelt.</li> <li>das blau zeigt aktive schaltflächen an (ich muss dieses spezielle thema durch eine farbprüfung ausführen, um sicherzustellen, dass farbenblinde benutzer einen unterschied feststellen können).</li> <li>die tasten bleiben immer erhalten, auch wenn sie deaktiviert sind. dies gibt der schnittstelle konsistenz.</li> <li>aufgrund der skalierung habe ich ein eingabefeld anstelle eines dropdown-auswahlfelds ausgewählt. wenn sie 3000 seiten haben, möchten sie nicht nach unten scrollen, um eine seite zu finden</li> <li>die paginierung ist in einer singulären visuellen komponente gruppiert, um ähnlichkeit im zweck anzuzeigen.</li> </ul>