warum ist die zahl 2 die einzige gerade primzahl?
2 ist eine primzahl, denn sie erfüllt die primzahlbedingungen. sie ist nur durch 1 und 2 teilbar und hat somit genau zwei unterschiedliche teiler. 
 2 ist die einzige gerade primzahl, denn jede andere gerade zahl wäre auch durch 2 teilbar und hätte daher mindestens die dreiteiler 1, sich selbst und die 2. andere gerade zahlen können somit nicht prim sein.
Vorab: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Solbald die Zahl also weitere Teiler hat, ist sie keine Primzahl mehr!


Die 1 ist [keine Primzahl,](https://www.matheretter.de/wiki/primzahlen) da wir zwei voneinander verschiedene Teiler benötigen.


Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Vielfache von ihr (also gerade Zahlen) kannst du damit als Primzahl ausschließen! 4, 6, 8, ... sind keine Primzahlen. Damit fällt schon etwa die Hälfte weg.


Wenn du die [Teilbarkeitsregeln kennst](https://www.matheretter.de/wiki/teilbarkeit), kannst du die jeweilige Zahl prüfen, ob sie weitere Teiler hat. Wichtig ist neben der Regel für die 2 noch die 3 (Quersumme muss :3 teilbar sein). 15 fällt z.B. heraus, da die Quersumme 1+5=6 durch 3 teilbar ist. Die Zahlen mit 5 als letzte Ziffer fallen raus, da sie :5 teilbar sind. Etc.


 


Die Liste der Zahlen 1 bis 1000 wird sich relativ schnell leeren, sobald du die Vielfachen der ersten Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 wegstreichst.


Schau dir das an: [Primfaktorzerlegung der Zahlen 2 bis 1000](https://www.matheretter.de/wiki/primzahlen) → Jede Zahl, die nicht zerlegt werden kann, ist eine Primzahl!


Es gibt demnach [**168 Primzahlen**](https://www.matheretter.de/wiki/primzahlen) von 2 bis 1000:


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 von der name her, vielleicht nur du. Hallo,



> 
> Im Prinzip muss ich ja nur f(-2) und f(0) bestimmen bzw die Funktion von links gegen -2 und von rechts gegen 0 laufen lassen. Ersteres ergibt -1 und letzteres 1. Aber wie komm ich jetzt auf den Grad von p(x) ?


Es ist nach einem Polynom mit minimalen Grad gefragt. Ein Polynom 0'ten Grades wäre eine Konstante - also$$p(x) = a\_0$$das geht nicht, da \(a\_0\) nicht gleichzeitig -1 und 1 sein kann. Ein Polynom 1'ten Grades ist eine lineare Funktion$$p(x) = a\_1 x + a\_0$$ geht schon - oder? Verbinde also die beiden Punkte durch eine Gerade


~plot~ (x<=-2)*(-2x-5);(0<=x)*exp(x);(-2<=x)*(x+1)*(x<=0);[[-6|3|-3|4]] ~plot~
  

  
hier grün eingezeichnet.



  




> 
> Hier hatte ich zuerst überhaupt Probleme zu verstehen, was stetig differenzierbar meint, aber d.h ja übersetzt die Funktion muss diffbar sein und die Ableitung, die daraus entsteht ist stetig oder ?


Ja genau!



> 
> Kann ich eigentlich bei der Aufgabe 2 die obere Zeile direkt ableiten ... ?


Ja klar, warum auch nicht. Stetig differenzierbar heißt, dass die 1. Ableitung stetig sein muss oder anders ausgedrückt, die Funktion selbst darf keinen Knick haben. Mit einem Knick hätte sie an einer Stelle zwei verschiedene Steigungen und so wäre die Ableitung nicht stetig.


Der 'Trick' besteht darin, die Zwangsbedingungen zu zählen. Eine Bedingung ist: die Funktion muss durch einen Punkt. Eine andere ist: die Funktion hat an einer bestimmten Stelle eine vorgegebene Steigung. Der Grad ist dann die Anzahl der Bedingungen minus 1.


Bei der ersten Aufgabe waren es zwei Punkte um den stetigen Übergang zu realisieren. Macht zwei Bedingungen minus 1 - also Polynom 1.Grades.


Bei der zweiten Aufgabe ist es ein Punkt und eine Steigung. Letzteres um die Ableitung stetig zu halten. Also wieder ein Polynom \(2-1=1\)'ten Grades.


Die Ableitung bei \(x=3\) ist$$f'(x) = 2x \cos(\pi x) \left( \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x)\right) \\ f'(3) = 6$$ Somit sind die Bedingungen für das Minimalpolynom $$f(3) = 9 \land f'(3) = 6$$


~plot~ (x<=3)*(x^2*(cos(pi*x))^2);[[-1|5|-2|12]];(3<=x)*(6(x-3)+9) ~plot~
  



Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte. Dann wird minus der zwei Flaschen gerechnet! c2 muss m/s haben, damit nach dem Kürzen noch m übrig bleibt. Diese Frage kann nur sie beantworten.


Schreib ihr doch einfach was sie hat? Die bestimmende Gleichung eines Kreises ist:  

(x-x0)2+(y-y0)2 - r2 = 0

Da Quadratzahlen immer positiv sind, muss das Zeichen vor dem absoluten Glied also zwingend ein Minus sein!

 

Die obige Gleichung kann man mit Hilfe der binomischen Formeln folgendermaßen in die bestimmende Gleichung umwandeln:

x2+y2+4xcos(θ) + 8ysin(θ) + 10 = 0

x2 + 4xcos(θ) + y2+8ysin(θ) + 10 = 0

x2 + 4xcos(θ) + 4cos2(θ) - 4cos2(θ) + y2 +8ysin(θ) + 16sin2(θ) - 16sin2(θ) + 10 = 0

Ich habe an der Gleichung eigentlich nichts geändert, da sich grüne und rote Summanden jeweils wegheben. Aber ich kann jetzt die binomischen Formeln anwenden:

(x+2cos(θ))2 + (y+4sin(θ))2 + 10 - 4cos2(θ) - 16sin2(θ) = 0

Wir haben das Problem jetzt also dahingehend vereinfacht, dass

10 - 4cos2(θ) - 16sin2(θ) ≤ 0

sein muss, damit wir schließlich die Wurzel aus der Gegenzahl ziehen können, um den Radius zu erhalten.

Kommst du damit schon weiter? **Warum unbedingt mit dem Hornerschema?**


Du kannst  hier 2 Nullstellen direkt angeben und abspalten. Es bleibt dann eine quadratische Gleichung und dafür gibts Formeln. Hier zufällig keine weiteren Lösungen:


**Vorgehen:**


Ablesen kann man


**X1 = 0 und X2 = 1.**


Abspalten:


x(x3-x2+x-1)=0


 


(x3-x2+x-1):(x-1) = x2+1
  

x3-x2





     0+x-1


         x-1


\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_


            0


x2+1=0 ist in R nicht lösbar.( **In C ist x3= i und x4= -i**)


Man findet also keine weiteren reellen Lösungen. In der ersten Matrix stehen einfach die beiden Vektoren der neuen Basis.  
  
Und wenn du die so hinschreibst und mit der Spalte (a;b) multiplizierst; dann hast du  
  
ja gerade a * -1     + b *  2                          2               1  
  
und das gibt ja gerade die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.  
  
Die andere Matrix ist dann eben die inverse dazu. <p><code>i</code> und <code>j</code> werden in der regel seit geraumer zeit als indizes in einigen mathematischen bereichen verwendet (z. b. sehen sie selbst in artikeln, die älter sind als höhere sprachen, häufig dinge wie "x.<sub>ich, j</sub>", besonders in sachen wie einer summe).</p><p>als sie fortran entwarfen, beschlossen sie (anscheinend), dasselbe zuzulassen, sodass alle variablen, die mit "i" bis "n" beginnen, standardmäßig auf ganzzahl und alle anderen auf real (gleitkomma) eingestellt sind. für diejenigen, die es verpasst haben, ist dies die quelle des alten witzes "gott ist real (sofern nicht als ganzzahl deklariert)".</p><p>die meisten menschen scheinen wenig grund gesehen zu haben, dies zu ändern. es ist weithin bekannt und verstanden und ziemlich prägnant. hin und wieder sieht man etwas, das von einem psychotiker geschrieben wurde, der glaubt, dass etwas wie ein echter vorteil ist:</p><pre class="lang-c prettyprint-override"><code>for (int outer\_index\_variable=0; outer\_index\_variable &lt; 10; outer\_index\_variable++) for (int inner\_index\_variable=0; inner\_index\_variable &lt; 10; inner\_index\_variable++) x[outer\_index\_variable][inner\_index\_variable] = 0; </code></pre><p>zum glück ist dies jedoch ziemlich selten, und die meisten styleguides weisen jetzt darauf hin, dass lange, beschreibende variablennamen <em>können</em> nützlich sein, sie <em>nicht</em> sie immer benötigen, insbesondere für etwas dies ist der fall, wenn der gültigkeitsbereich der variablen nur ein oder zwei codezeilen umfasst.</p>