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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
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∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
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C : Finset α
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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α : Type u_1
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α : Type u_1
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∀ (s' t' : Finset α),
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b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
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has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
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hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
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hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
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↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
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habH : a • H ≠ b • H
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hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
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hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
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hH₁ne : H₁.Nonempty
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⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have aux2₁ : (s₁.card : ℤ) + t₁.card + H₁.card ≤ H.card := by
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refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $
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(dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₁ne.mul ht₁ne) hH₁H.subset).natCast
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $
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exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $
Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) _ | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
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hC : C.Nonempty
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hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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c : α
t : Finset α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
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hC : C.Nonempty
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ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
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hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
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⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have aux2₂ : (s₂.card : ℤ) + t₂.card + H₂.card ≤ H.card := by
rw [← le_sub_iff_add_le']
refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $
mul_subset_mul_left hH₂H.subset).trans_lt aux1₂) $ dvd_sub
(dvd_sub (card_mulStab_dvd_card_mulStab (hs₂ne.mul ht₂ne) hH₂H.subset).natCast
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast) $
(card_mulStab_dvd_card_mul_mulStab _ _).natCast).trans _
rw [sub_sub]
exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $
Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) _ | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
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has₁ : a ∈ s₁
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habH : a • H ≠ b • H
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⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
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↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
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⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) := by
rw [← card_smul_finset a H]
exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _) | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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b : α
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have aux4₂ : H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) := by
rw [← card_smul_finset b H]
exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _) | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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hs₁s : s₁ ⊆ s
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has₁ : a ∈ s₁
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hs₁ne : s₁.Nonempty
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
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habH : a • H ≠ b • H
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aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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b : α
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hs₁s : s₁ ⊆ s
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ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
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hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
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hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
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hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
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aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
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aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
aux4₂ : H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card)
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [aux2₁, aux2₂, aux3₁, aux3₂, aux4₁, aux4₂] | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
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ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
aux4₂ : H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card)
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have image_coe_mul :
((s * t).image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))) = s.image (↑) * t.image (↑) :=
sorry | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | suffices hineq :
(s * t).mulStab.card *
((s.image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))).card +
(t.image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))).card -
1) ≤
(s * t).card by
rw [mul_tsub, mul_one, mul_add, tsub_le_iff_left, card_mulStab_mul_card_image_coe',
card_mulStab_mul_card_image_coe'] at hineq
convert hineq using 1
exact add_comm _ _ | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (s * t).mulStab.card * ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1) ≤ (s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine le_of_le_of_eq (mul_le_mul_left' ?_ _) (card_mul_card_eq_mulStab_card_mul_coe s t).symm | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (s * t).mulStab.card * ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1) ≤ (s * t).card | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have := ih _ ?_ (s.image (↑) : Finset (α ⧸ stabilizer α (s * t))) (t.image (↑)) rfl | case h.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card | case h.inr.inr.inl.refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
this :
(image QuotientGroup.mk s * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card +
(image QuotientGroup.mk t * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card ≤
(image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card +
(image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab.card
⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card
case h.inr.inr.inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simpa only [← image_coe_mul, mulStab_image_coe_quotient (hs.mul ht), mul_one,
tsub_le_iff_right, card_one] using this | case h.inr.inr.inl.refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
this :
(image QuotientGroup.mk s * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card +
(image QuotientGroup.mk t * (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab).card ≤
(image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card +
(image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).mulStab.card
⊢ (image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1 ≤ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card
case h.inr.inr.inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card | case h.inr.inr.inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← image_coe_mul, card_mul_card_eq_mulStab_card_mul_coe] | case h.inr.inr.inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t).card + (image QuotientGroup.mk s).card < (s * t).card + s.card | case h.inr.inr.inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + (image QuotientGroup.mk s).card <
(s * t).mulStab.card * (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + s.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact
add_lt_add_of_lt_of_le
(lt_mul_left ((hs.mul ht).image _).card_pos $
Finset.one_lt_card.2 ((hs.mul ht).mulStab_nontrivial.2 hstab))
card_image_le | case h.inr.inr.inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
⊢ (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + (image QuotientGroup.mk s).card <
(s * t).mulStab.card * (image QuotientGroup.mk (s * t)).card + s.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [mul_tsub, mul_one, mul_add, tsub_le_iff_left, card_mulStab_mul_card_image_coe',
card_mulStab_mul_card_image_coe'] at hineq | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
hineq : (s * t).mulStab.card * ((image QuotientGroup.mk s).card + (image QuotientGroup.mk t).card - 1) ≤ (s * t).card
⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card
⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | convert hineq using 1 | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card
⊢ (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card | case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card
⊢ (s * t).card + (s * t).mulStab.card = (s * t).mulStab.card + (s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact add_comm _ _ | case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
ih :
∀ m < (s * t).card + s.card,
∀ {α : Type u_1} [inst : CommGroup α] [inst_1 : DecidableEq α] (s t : Finset α),
m = (s * t).card + s.card →
(s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).card + (s * t).mulStab.card
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab ≠ 1
image_coe_mul : image QuotientGroup.mk (s * t) = image QuotientGroup.mk s * image QuotientGroup.mk t
hineq : (s * (s * t).mulStab).card + (t * (s * t).mulStab).card ≤ (s * t).mulStab.card + (s * t).card
⊢ (s * t).card + (s * t).mulStab.card = (s * t).mulStab.card + (s * t).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [card_singleton, card_singleton_mul, add_comm] | case h.inr.inr.inr.inl.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
a : α
hs : {a}.Nonempty
hstab : ({a} * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < ({a} * t).card + {a}.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
⊢ {a}.card + t.card ≤ ({a} * t).card + 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' fun h => hab (Eq.symm (eq_of_div_eq_one _)) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
⊢ b / a ∉ t.mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
h : b / a ∈ t.mulStab
⊢ b / a = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | replace h := subset_mulStab_mul_right hs h | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
h : b / a ∈ t.mulStab
⊢ b / a = 1 | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
h : b / a ∈ (s * t).mulStab
⊢ b / a = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [hstab, mem_one] at h | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
h : b / a ∈ (s * t).mulStab
⊢ b / a = 1 | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
h : b / a = 1
⊢ b / a = 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact h | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
h : b / a = 1
⊢ b / a = 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' ⟨s ∩ t * (s ∪ t), inter_mul_union_subset, (add_le_add_right (card_le_card $
subset_mul_left _ $ one_mem_mulStab.2 $ hst.mul $ hs.mono subset_union_left) _).trans $
ih (s ∩ t) (s ∪ t) _⟩ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
⊢ convergent.Nonempty | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
⊢ (s ∩ t * (s ∪ t)).card + (s ∩ t).card < (s * t).card + s.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact add_lt_add_of_le_of_lt (card_le_card inter_mul_union_subset) (card_lt_card hsts) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
⊢ (s ∩ t * (s ∪ t)).card + (s ∩ t).card < (s * t).card + s.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp [hst.ne_empty, hH] at hCcard | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
H : Finset α := ∅.mulStab
hH : H = ∅.mulStab
hCst : ∅ ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * ∅.mulStab).card ≤ ∅.card + ∅.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [hH, hCstab, card_singleton, card_mul_singleton, card_inter_add_card_union] at hCcard | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab = {1}
⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1 | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab = {1}
hCcard : s.card + t.card ≤ C.card + 1
⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hCcard.trans (add_le_add_right (card_le_card hCst) _) | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab = {1}
hCcard : s.card + t.card ≤ C.card + 1
⊢ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [mul_subset_left_iff (hs.mul ht), hstab, ← coe_subset, coe_one] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
⊢ ¬s * t * H ⊆ s * t | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
⊢ ¬↑H ⊆ 1 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hCstab.not_subset_singleton | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
⊢ ¬↑H ⊆ 1 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [hH, ← mulStab_mul_mulStab C, ← smul_mul_smul] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
⊢ s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
⊢ s₁ * t₁ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | apply mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
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ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
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hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
⊢ s₁ * t₁ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [hH, ← mulStab_mul_mulStab C, ← smul_mul_smul, mul_comm s₂ t₂] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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b : α
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
⊢ s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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c : α
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ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
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convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
⊢ t₂ * s₂ ⊆ a • C.mulStab * b • C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | apply mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have aux₁_contr :=
disjoint_mul_sub_card_le b (hs₁s has₁) (disjoint_iff_inter_eq_empty.2 ht₂) hH₁H.subset | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
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C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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b : α
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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hC₁st : C₁ ⊆ s * t
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hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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ht₂ : t₂ = ∅
⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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ht₂ : t₂ = ∅
aux₁_contr :
↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [aux1₁, aux₁_contr, Int.natCast_nonneg (t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card] | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂✝ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
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hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
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hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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ht₂ : t₂ = ∅
aux₁_contr :
↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card ≤
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have aux1₁_contr :=
disjoint_mul_sub_card_le a (ht₁t hbt₁) (disjoint_iff_inter_eq_empty.2 hs₂)
(by rw [mul_comm]; exact hH₁H.subset) | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
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has₁ : a ∈ s₁
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ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ : s₂ = ∅
⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
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hC : C.Nonempty
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aux1₁_contr :
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⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [union_comm t s, mul_comm t₁ s₁] at aux1₁_contr | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [aux1₁, aux1₁_contr, Int.natCast_nonneg (s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card] | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [mul_comm] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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⊢ (t ∩ b • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
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C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂✝ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
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has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ : s₂ = ∅
⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hH₁H.subset | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
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hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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hs₂ : s₂ = ∅
⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rwa [mul_comm] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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hsts : s ∩ t ⊂ s
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rwa [mul_comm] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [hH₁, hs₁, ht₁, ← habH, hH] at hH₁H | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' aux1₁.not_le _ | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl
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habH : a • H = b • H
⊢ False | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl
α : Type u_1
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hst : (s ∩ t).Nonempty
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convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [hs₁, ht₁, ← habH, inter_mul_sub_card_le (hs₁s has₁) hH₁H.subset] | case h.inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine (hC.mulStab_nontrivial.mp hCstab).symm.ssubset_of_subset ?_ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hC : C.Nonempty
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hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [one_subset, one_mem_mulStab, hC] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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⊢ 1 ⊆ C.mulStab | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
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hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
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hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
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hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | conv_lhs => rw [← card_union_of_disjoint hST, ← card_union_of_disjoint hSTst, ← mul_one (s ∪ t)] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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∀ (s' t' : Finset α),
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C : Finset α
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inst✝¹ : CommGroup α
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s : Finset α
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t : Finset α
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' card_le_card
(union_subset (union_subset _ _) $ mul_subset_mul_left $ one_subset.2 hC.one_mem_mulStab) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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∀ (s' t' : Finset α),
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convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
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hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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H : Finset α := C.mulStab
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hCst : C ⊆ s * t
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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case refine'_2
α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
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∀ (s' t' : Finset α),
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hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
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has₁ : a ∈ s₁
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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aux1₁ :
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
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⊢ T ⊆ (s ∪ t) * H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hSst.trans (sdiff_subset.trans $ smul_finset_subset_smul $ mem_union_left _ ha) | case refine'_1
α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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c : α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ S ⊆ (s ∪ t) * H | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact hTst.trans (sdiff_subset.trans $ smul_finset_subset_smul $ mem_union_right _ hb) | case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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c : α
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∀ (s' t' : Finset α),
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C : Finset α
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habH : a • H ≠ b • H
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
⊢ T ⊆ (s ∪ t) * H | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← le_sub_iff_add_le'] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hCst : C ⊆ s * t
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [sub_sub] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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inst✝¹ : CommGroup α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact sub_le_sub_left (add_le_add (Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $
Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne) _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← le_sub_iff_add_le'] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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∀ (s' t' : Finset α),
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C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | refine' (Int.le_of_dvd ((sub_nonneg_of_le $ Nat.cast_le.2 $ card_le_card $
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [sub_sub] | α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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Nat.cast_le.2 $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne) _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have ih₁ :=
(add_le_add (card_le_card_mul_right _ hH₁ne) $ card_le_card_mul_right _ hH₁ne).trans
(ih _ _ hst₁) | α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | zify at ih₁ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
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∀ (s' t' : Finset α),
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [hstconv, ih₁] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
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∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
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convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
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hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
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aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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ht₂ne : t₂.Nonempty
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hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
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hST : Disjoint S T
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
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⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | suffices (C.card : ℤ) + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card by linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
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hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
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H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
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↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
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hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
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aux1₂ :
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↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
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hH₁ne : H₁.Nonempty
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aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
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hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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t : Finset α
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∀ (s' t' : Finset α),
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⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₁ * t₁).card ≤
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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t : Finset α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
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convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
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hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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inst✝¹ : CommGroup α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
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∀ (s' t' : Finset α),
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habH : a • H ≠ b • H
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aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
⊢ C.card + (s₁ * t₁).card ≤ (s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [← card_union_of_disjoint hCst₁, card_le_card hC₁st] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [sub_le_iff_le_add, ← Int.ofNat_add, Int.ofNat_le, add_comm _ C.card,
add_comm _ (s ∩ t).card, hCcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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⊢ ↑((s ∪ t) * H).card + ↑(s ∩ t).card - ↑C.card ≤ ↑H.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | have ih₂ :=
(add_le_add (card_le_card_mul_right _ hH₂ne) $ card_le_card_mul_right _ hH₂ne).trans
(ih _ _ hst₂) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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habH : a • H ≠ b • H
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | zify at hstconv ih₂ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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C : Finset α
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hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
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ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
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has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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ht₂ne : t₂.Nonempty
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⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
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∀ (s' t' : Finset α),
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(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [ih₂] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
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hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
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has₁ : a ∈ s₁
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↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
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aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
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ih₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card ≤ ↑(s₂ * t₂).card + ↑(s₂ * t₂).mulStab.card
⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card <
↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | suffices (C.card : ℤ) + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card by linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
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habH : a • H ≠ b • H
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⊢ ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card + ↑(s ∩ t).card - ↑(s * t).card + ↑(s₂ * t₂).card ≤
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
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ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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b : α
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
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ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
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ht₂ne : t₂.Nonempty
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hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
⊢ ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | linarith [this, hSTcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
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this : ↑C.card + ↑(s₂ * t₂).card ≤ ↑(s * t).card
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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ih :
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [← card_union_of_disjoint hCst₂, card_le_card hC₂st] | α : Type u_1
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⊢ C.card + (s₂ * t₂).card ≤ (s * t).card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | simp only [sub_le_iff_le_add, ← Int.ofNat_add, Int.ofNat_le, add_comm _ C.card,
add_comm _ (s ∩ t).card, hCcard] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
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hst : (s ∩ t).Nonempty
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hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← card_smul_finset a H] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
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c : α
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hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
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hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
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hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
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aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
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t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
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hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
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hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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hC₁st : C₁ ⊆ s * t
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
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hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
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hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
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aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ (a • H).card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
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b : α
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hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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s₂ : Finset α := s ∩ b • H
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t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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hs₁s : s₁ ⊆ s
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ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
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C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
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hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
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hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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ht₂ne : t₂.Nonempty
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hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
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hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
⊢ (a • H).card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | rw [← card_smul_finset b H] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
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t₁ : Finset α := t ∩ b • H
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t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
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hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
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hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
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hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
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↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
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ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
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hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
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aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ H.card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ (b • H).card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_kneser | [287, 1] | [530, 54] | exact card_le_card_sdiff_add_card.trans (add_le_add_left (card_union_le _ _) _) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
c : α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hstab : (s * t).mulStab = 1
ih :
∀ (s' t' : Finset α),
(s' * t').card + s'.card < (s * t).card + s.card →
(s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hst : (s ∩ t).Nonempty
hsts : s ∩ t ⊂ s
convergent : Set (Finset α) := {C | C ⊆ s * t ∧ (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card}
C : Finset α
H : Finset α := C.mulStab
hH : H = C.mulStab
hCst : C ⊆ s * t
hCcard : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hCmin : ∀ (D : Finset α), D.mulStab ⊂ H → D ∉ convergent
hC : C.Nonempty
hCstab : C.mulStab.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : ¬(a * b) • H ⊆ s * t
s₁ : Finset α := s ∩ a • H
hs₁ : s₁ = s ∩ a • H
s₂ : Finset α := s ∩ b • H
hs₂ : s₂ = s ∩ b • H
t₁ : Finset α := t ∩ b • H
ht₁ : t₁ = t ∩ b • H
t₂ : Finset α := t ∩ a • H
ht₂ : t₂ = t ∩ a • H
hs₁s : s₁ ⊆ s
hs₂s : s₂ ⊆ s
ht₁t : t₁ ⊆ t
ht₂t : t₂ ⊆ t
has₁ : a ∈ s₁
hbt₁ : b ∈ t₁
hs₁ne : s₁.Nonempty
ht₁ne : t₁.Nonempty
C₁ : Finset α := C ∪ s₁ * t₁
hC₁ : C₁ = C ∪ s₁ * t₁
C₂ : Finset α := C ∪ s₂ * t₂
hC₂ : C₂ = C ∪ s₂ * t₂
H₁ : Finset α := (s₁ * t₁).mulStab
hH₁ : H₁ = (s₁ * t₁).mulStab
H₂ : Finset α := (s₂ * t₂).mulStab
hH₂ : H₂ = (s₂ * t₂).mulStab
hC₁st : C₁ ⊆ s * t
hC₂st : C₂ ⊆ s * t
hstabH₁ : s₁ * t₁ ⊆ (a * b) • H
hstabH₂ : s₂ * t₂ ⊆ (a * b) • H
hCst₁ : Disjoint C (s₁ * t₁)
hCst₂ : Disjoint C (s₂ * t₂)
hst₁ : (s₁ * t₁).card + s₁.card < (s * t).card + s.card
hst₂ : (s₂ * t₂).card + s₂.card < (s * t).card + s.card
hC₁stab : C₁.mulStab = H₁
hH₁H : H₁ ⊂ H
aux1₁ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₁ * t₁).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card - ↑(t₁ * (s₁ * t₁).mulStab).card
ht₂ne : t₂.Nonempty
hs₂ne : s₂.Nonempty
hC₂stab : C₂.mulStab = H₂
hH₂H : H₂ ⊂ H
aux1₂ :
↑((s ∪ t) * C.mulStab).card - ↑((s ∪ t) * (s₂ * t₂).mulStab).card <
↑C.mulStab.card - ↑(s₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card - ↑(t₂ * (s₂ * t₂).mulStab).card
habH : a • H ≠ b • H
S : Finset α := a • H \ (s₁ ∪ t₂)
hS : S = a • H \ (s₁ ∪ t₂)
T : Finset α := b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hT : T = b • H \ (s₂ ∪ t₁)
hST : Disjoint S T
hSst : S ⊆ a • H \ (s ∪ t)
hTst : T ⊆ b • H \ (s ∪ t)
hSTst : Disjoint (S ∪ T) (s ∪ t)
hstconv : ↑(s * t).card + 1 < ↑(s ∩ t).card + ↑(s ∪ t).card
hSTcard : ↑S.card + ↑T.card + ↑(s ∪ t).card ≤ ↑((s ∪ t) * H).card
hH₁ne : H₁.Nonempty
hH₂ne : H₂.Nonempty
aux2₁ : ↑s₁.card + ↑t₁.card + ↑H₁.card ≤ ↑H.card
aux2₂ : ↑s₂.card + ↑t₂.card + ↑H₂.card ≤ ↑H.card
aux3₁ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₁.card + ↑t₁.card - ↑H₁.card < ↑H.card
aux3₂ : ↑S.card + ↑T.card + ↑s₂.card + ↑t₂.card - ↑H₂.card < ↑H.card
aux4₁ : H.card ≤ S.card + (s₁.card + t₂.card)
⊢ (b • H).card ≤ T.card + (s₂.card + t₁.card) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.ne_zero | [44, 1] | [46, 41] | rw [← hX.map a, h, Measure.map_zero] | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
inst✝ : Nonempty α
a : α
h : μ = 0
⊢ (PMF.bernoulli' p ⋯).toMeasure = 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | classical
have : (PMF.bernoulli' p hX.le_one).toMeasure ≠ 0 := NeZero.ne _
rw [← hX.map a, Measure.map] at this
refine' (Ne.dite_ne_right_iff fun hX' ↦ _).1 this
rw [Measure.mapₗ_ne_zero_iff hX'.measurable_mk]
haveI : Nonempty α := ⟨a⟩
exact hX.ne_zero | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | have : (PMF.bernoulli' p hX.le_one).toMeasure ≠ 0 := NeZero.ne _ | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this : (PMF.bernoulli' p ⋯).toMeasure ≠ 0
⊢ AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | rw [← hX.map a, Measure.map] at this | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this : (PMF.bernoulli' p ⋯).toMeasure ≠ 0
⊢ AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
⊢ AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | refine' (Ne.dite_ne_right_iff fun hX' ↦ _).1 this | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
⊢ AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
hX' : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ
⊢ (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hX')) μ ≠ 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | rw [Measure.mapₗ_ne_zero_iff hX'.measurable_mk] | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
hX' : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ
⊢ (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hX')) μ ≠ 0 | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
hX' : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ
⊢ μ ≠ 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | haveI : Nonempty α := ⟨a⟩ | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
hX' : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ
⊢ μ ≠ 0 | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this✝ :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
hX' : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ
this : Nonempty α
⊢ μ ≠ 0 |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.aemeasurable | [48, 1] | [55, 19] | exact hX.ne_zero | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
this✝ :
(if hf : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ then (Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk (fun ω => a ∈ X ω) hf)) μ else 0) ≠ 0
hX' : AEMeasurable (fun ω => a ∈ X ω) μ
this : Nonempty α
⊢ μ ≠ 0 | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.nullMeasurableSet | [57, 1] | [59, 89] | rw [(by ext; simp : {ω | a ∈ X ω} = (fun ω ↦ a ∈ X ω) ⁻¹' {True})] | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ NullMeasurableSet {ω | a ∈ X ω} μ | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ NullMeasurableSet ((fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True}) μ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.nullMeasurableSet | [57, 1] | [59, 89] | exact (hX.aemeasurable a).nullMeasurableSet_preimage MeasurableSpace.measurableSet_top | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ NullMeasurableSet ((fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True}) μ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.nullMeasurableSet | [57, 1] | [59, 89] | ext | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ {ω | a ∈ X ω} = (fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True} | case h
α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
x✝ : Ω
⊢ x✝ ∈ {ω | a ∈ X ω} ↔ x✝ ∈ (fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.nullMeasurableSet | [57, 1] | [59, 89] | simp | case h
α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
x✝ : Ω
⊢ x✝ ∈ {ω | a ∈ X ω} ↔ x✝ ∈ (fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True} | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.meas_apply | [66, 1] | [71, 9] | rw [(_ : {ω | a ∈ X ω} = (fun ω ↦ a ∈ X ω) ⁻¹' {True}),
← Measure.map_apply_of_aemeasurable (hX.aemeasurable a) MeasurableSpace.measurableSet_top] | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ μ {ω | a ∈ X ω} = ↑p | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ (Measure.map (fun ω => a ∈ X ω) μ) {True} = ↑p
α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ {ω | a ∈ X ω} = (fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True} |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.meas_apply | [66, 1] | [71, 9] | simp [hX.map] | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ (Measure.map (fun ω => a ∈ X ω) μ) {True} = ↑p | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/BernoulliSeq.lean | ProbabilityTheory.IsBernoulliSeq.meas_apply | [66, 1] | [71, 9] | ext ω | α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
⊢ {ω | a ∈ X ω} = (fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True} | case h
α : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace Ω
X Y : Ω → Set α
μ : Measure Ω
p q : ℝ≥0
hX : IsBernoulliSeq X p μ
hY : IsBernoulliSeq Y q μ
a : α
ω : Ω
⊢ ω ∈ {ω | a ∈ X ω} ↔ ω ∈ (fun ω => a ∈ X ω) ⁻¹' {True} |
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