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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_combiInteriors_subset_combiInteriors | [50, 1] | [66, 28] | obtain ⟨s₂, hs₂, hs₁s₂⟩ := h.2 _ hs₁ | case refine'_3
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⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_combiInteriors_subset_combiInteriors | [50, 1] | [66, 28] | exact ⟨_, hs₂, convexHull_subset_convexHull_of_combiInterior_subset_combiInterior (K₁.indep hs₁)
(K₂.indep hs₂) hs₁s₂⟩ | case refine'_3.intro.intro
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⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | constructor | 𝕜 : Type u_1
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K₁.Subdivides K₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rintro ⟨hspace, hsubdiv⟩ | case mp
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K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' ⟨_, hspace.le, fun s hs => _⟩ | case mp.intro
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K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_1
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⊢ ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' ⟨{t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, fun t ht => ht.1, _⟩ | case mp.intro.refine'_2
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⊢ ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2
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s : Finset E
hs : s ∈ K₂
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | ext x | case mp.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
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hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
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⊢ combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2.h
𝕜 : Type u_1
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⊢ x ∈ combiInterior ℝ s ↔ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' ⟨fun hxs => _, _⟩ | case mp.intro.refine'_2.h
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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⊢ x ∈ combiInterior ℝ s ↔ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ → x ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rintro ⟨s₁, hs₁⟩ | case mp.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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⊢ K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty | case mp.intro.refine'_1.intro
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⊢ K₂.faces.Nonempty |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨s₂, hs₂, -⟩ := hsubdiv hs₁ | case mp.intro.refine'_1.intro
𝕜 : Type u_1
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inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s₁ : Finset E
hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces
⊢ K₂.faces.Nonempty | case mp.intro.refine'_1.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s₁ : Finset E
hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces
s₂ : Finset E
hs₂ : s₂ ∈ K₂
⊢ K₂.faces.Nonempty |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact ⟨s₂, hs₂⟩ | case mp.intro.refine'_1.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s₁ : Finset E
hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces
s₂ : Finset E
hs₂ : s₂ ∈ K₂
⊢ K₂.faces.Nonempty | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | have hxspace := mem_space_iff.2 ⟨s, hs, hxs.1⟩ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
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hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
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inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s : Finset E
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hxspace : x ∈ K₂.space
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [← hspace, ← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hxspace | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : x ∈ K₂.space
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxspace | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
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hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' mem_iUnion₂_of_mem ⟨ht, fun y hyt => _⟩ hxt | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
⊢ y ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨u, hu, htu⟩ := hsubdiv ht | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
⊢ y ∈ combiInterior ℝ s | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
⊢ y ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨W, hWu, htW⟩ := simplex_combiInteriors_split_interiors (K₂.indep hu) htu | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
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y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
⊢ y ∈ combiInterior ℝ s | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
W : Finset E
hWu : W ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W
⊢ y ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [disjoint_interiors hs (K₂.down_closed hu hWu _) hxs (htW hxt)] | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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s : Finset E
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hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
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hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
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u : Finset E
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W : Finset E
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⊢ y ∈ combiInterior ℝ s | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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t : Finset E
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u : Finset E
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W : Finset E
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⊢ y ∈ combiInterior ℝ W
𝕜 : Type u_1
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s : Finset E
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t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
W : Finset E
hWu : W ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W
⊢ W ≠ ∅ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact htW hyt | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
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W : Finset E
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𝕜 : Type u_1
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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s : Finset E
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y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
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W : Finset E
hWu : W ⊆ u
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⊢ W ≠ ∅ | 𝕜 : Type u_1
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hspace : K₁.space = K₂.space
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s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
W : Finset E
hWu : W ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W
⊢ W ≠ ∅ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rintro rfl | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
W : Finset E
hWu : W ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W
⊢ W ≠ ∅ | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
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s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
hWu : ∅ ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | have := htW hxt | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
hWu : ∅ ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅
⊢ False | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
hWu : ∅ ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅
this : x ∈ combiInterior ℝ ∅
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | simp at this | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
hxs : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₁
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
y : E
hyt : y ∈ combiInterior ℝ t
u : Finset E
hu : u ∈ K₂
htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u
hWu : ∅ ⊆ u
htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅
this : x ∈ combiInterior ℝ ∅
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [mem_iUnion₂] | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ → x ∈ combiInterior ℝ s | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}), x ∈ combiInterior ℝ i) → x ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rintro ⟨t, ⟨-, hts⟩, hxt⟩ | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}), x ∈ combiInterior ℝ i) → x ∈ combiInterior ℝ s | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
t : Finset E
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
hts : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s
⊢ x ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact hts hxt | case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hspace : K₁.space = K₂.space
hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
s : Finset E
hs : s ∈ K₂
x : E
t : Finset E
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
hts : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s
⊢ x ∈ combiInterior ℝ s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rintro ⟨hempty, hspace, hpartition⟩ | case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
⊢ ((K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧
K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁) →
K₁.Subdivides K₂ | case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
⊢ K₁.Subdivides K₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | have hspace : K₁.space = K₂.space := by
refine' hspace.antisymm fun x hx => _
rw [← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hx ⊢
obtain ⟨s, hs, hxs⟩ := hx
obtain ⟨F, hF, hsint⟩ := hpartition _ hs
rw [hsint, mem_iUnion₂] at hxs
obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxs
exact ⟨t, hF ht, hxt⟩ | case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s t : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
⊢ K₁.Subdivides K₂ | case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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inst✝¹ : T2Space E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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⊢ K₁.Subdivides K₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' ⟨hspace, fun s hs => _⟩ | case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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inst✝¹ : T2Space E
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𝕜 : Type u_1
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hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain rfl | hsnonempty := s.eq_empty_or_nonempty | case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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𝕜 : Type u_1
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case mpr.intro.intro.inr
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s : Finset E
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨x, hx⟩ := hsnonempty.combiInterior (K₁.indep hs) | case mpr.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
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s : Finset E
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | have hxspace := mem_space_iff.2 ⟨s, hs, hx.1⟩ | case mpr.intro.intro.inr.intro
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𝕜 : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [hspace, ← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hxspace | case mpr.intro.intro.inr.intro
𝕜 : Type u_1
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inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ | case mpr.intro.intro.inr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxspace | case mpr.intro.intro.inr.intro
𝕜 : Type u_1
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inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t : Finset E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x ∈ combiInterior ℝ i
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𝕜 : Type u_1
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inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
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hs : s ∈ K₁
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x : E
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t : Finset E
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⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | use t, ht | case mpr.intro.intro.inr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [← closure_combiInterior_eq_convexHull (K₁.indep hs)] | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
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t : Finset E
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𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
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hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ closure (combiInterior ℝ s) ⊆ (convexHull ℝ) ↑t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' closure_minimal (fun x' hx' => _) (isClosed_convexHull _) | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ closure (combiInterior ℝ s) ⊆ (convexHull ℝ) ↑t | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
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t : Finset E
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x' : E
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⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | have hxspace := mem_space_iff.2 ⟨s, hs, hx'.1⟩ | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
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s : Finset E
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x : E
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t : Finset E
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x' : E
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⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
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t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
x' : E
hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : x' ∈ K₁.space
⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [hspace, ← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hxspace | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
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hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
x' : E
hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : x' ∈ K₁.space
⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
x' : E
hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x' ∈ combiInterior ℝ i
⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨t', ht', hxt'⟩ := hxspace | case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
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x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
x' : E
hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s
hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x' ∈ combiInterior ℝ i
⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t | case right.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
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x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | convert hxt'.1 | case right.intro.intro
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨F, hF, hinterior⟩ := hpartition _ ht | case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨F', hF', hinterior'⟩ := hpartition _ ht' | case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2.intro.intro
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨s, hs, hxs⟩ := hx | 𝕜 : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨F, hF, hsint⟩ := hpartition _ hs | case intro.intro
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact ⟨t, hF ht, hxt⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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s✝ t✝ : Finset E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
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hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
x : E
s : Finset E
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F : Set (Finset E)
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hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
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ht : t ∈ F
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨t, ht⟩ := hempty ⟨_, hs⟩ | case mpr.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
hs : ∅ ∈ K₁
⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ | case mpr.intro.intro.inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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inst✝¹ : T2Space E
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m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
hs : ∅ ∈ K₁
t : Finset E
ht : t ∈ K₂.faces
⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact ⟨t, ht, by simp⟩ | case mpr.intro.intro.inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
hs : ∅ ∈ K₁
t : Finset E
ht : t ∈ K₂.faces
⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | simp | 𝕜 : Type u_1
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hspace : K₁.space = K₂.space
hs : ∅ ∈ K₁
t : Finset E
ht : t ∈ K₂.faces
⊢ (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [hinterior, mem_iUnion₂] at hxt ⊢ | 𝕜 : Type u_1
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F' : Set (Finset E)
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F' : Set (Finset E)
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⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨u, hu, hxu⟩ := hxt | 𝕜 : Type u_1
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𝕜 : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact ⟨u, hu, hxu⟩ | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
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hu : u ∈ F
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [hinterior', mem_iUnion₂] at hxt' ⊢ | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
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s✝ t✝ : Finset E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | obtain ⟨u, hu, hxu⟩ := hxt' | 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
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inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
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F' : Set (Finset E)
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u : Finset E
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⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | refine' ⟨u, hu, _⟩ | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
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K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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t : Finset E
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t' : Finset E
ht' : t' ∈ K₂
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F' : Set (Finset E)
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u : Finset E
hu : u ∈ F'
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⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
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s : Finset E
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t : Finset E
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t' : Finset E
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F' : Set (Finset E)
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | rw [← disjoint_interiors hs (hF' hu) hx' hxu] | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
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F' : Set (Finset E)
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hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u
⊢ x ∈ combiInterior ℝ u | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
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s : Finset E
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ht' : t' ∈ K₂
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hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁
u : Finset E
hu : u ∈ F'
hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u
⊢ x ∈ combiInterior ℝ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean | Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition | [68, 1] | [128, 15] | exact hx | case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s✝ t✝ : Finset E
m : ℕ
K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E
hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space
hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
hspace : K₁.space = K₂.space
s : Finset E
hs : s ∈ K₁
hsnonempty : s.Nonempty
x : E
hx : x ∈ combiInterior ℝ s
t : Finset E
ht : t ∈ K₂
hxt : x ∈ combiInterior ℝ t
x' : E
hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s
t' : Finset E
ht' : t' ∈ K₂
F : Set (Finset E)
hF : F ⊆ K₁.faces
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F' : Set (Finset E)
hF' : F' ⊆ K₁.faces
hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁
u : Finset E
hu : u ∈ F'
hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u
⊢ x ∈ combiInterior ℝ s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.mem_certificator | [45, 1] | [50, 37] | rw [certificator, mem_filter, and_iff_right_of_imp] | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s □ t ↔ ∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ (∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) → a ∈ s ∩ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.mem_certificator | [45, 1] | [50, 37] | rintro ⟨u, v, _, hu, hv⟩ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ (∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) → a ∈ s ∩ t | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u✝ : Finset α
a u v : α
left✝ : IsCompl u v
hu : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s
hv : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t
⊢ a ∈ s ∩ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.mem_certificator | [45, 1] | [50, 37] | exact mem_inter.2 ⟨hu rfl, hv rfl⟩ | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u✝ : Finset α
a u v : α
left✝ : IsCompl u v
hu : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s
hv : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t
⊢ a ∈ s ∩ t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_subset_disjSups | [54, 1] | [59, 57] | simp_rw [subset_iff, mem_certificator, mem_disjSups] | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ s □ t ⊆ s ○ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ ∀ ⦃x : α⦄,
(∃ x_1 y, IsCompl x_1 y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) →
∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_subset_disjSups | [54, 1] | [59, 57] | rintro x ⟨u, v, huv, hu, hv⟩ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ ∀ ⦃x : α⦄,
(∃ x_1 y, IsCompl x_1 y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) →
∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u✝ : Finset α
a x u v : α
huv : IsCompl u v
hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s
hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t
⊢ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_subset_disjSups | [54, 1] | [59, 57] | refine' ⟨x ⊓ u, hu (inf_right_idem _ _).symm, x ⊓ v, hv (inf_right_idem _ _).symm,
huv.disjoint.mono inf_le_right inf_le_right, _⟩ | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u✝ : Finset α
a x u v : α
huv : IsCompl u v
hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s
hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t
⊢ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u✝ : Finset α
a x u v : α
huv : IsCompl u v
hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s
hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t
⊢ x ⊓ u ⊔ x ⊓ v = x |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_subset_disjSups | [54, 1] | [59, 57] | rw [← inf_sup_left, huv.codisjoint.eq_top, inf_top_eq] | case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u✝ : Finset α
a x u v : α
huv : IsCompl u v
hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s
hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t
⊢ x ⊓ u ⊔ x ⊓ v = x | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_comm | [63, 1] | [64, 75] | ext s | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
⊢ s □ t = t □ s | case a
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ t u : Finset α
a s : α
⊢ s ∈ s✝ □ t ↔ s ∈ t □ s✝ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_comm | [63, 1] | [64, 75] | rw [mem_certificator, exists_comm] | case a
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ t u : Finset α
a s : α
⊢ s ∈ s✝ □ t ↔ s ∈ t □ s✝ | case a
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ t u : Finset α
a s : α
⊢ (∃ b a, IsCompl a b ∧ (∀ ⦃b : α⦄, s ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s✝) ∧ ∀ ⦃b_1 : α⦄, s ⊓ b = b_1 ⊓ b → b_1 ∈ t) ↔ s ∈ t □ s✝ |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.certificator_comm | [63, 1] | [64, 75] | simp [isCompl_comm, and_comm] | case a
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ t u : Finset α
a s : α
⊢ (∃ b a, IsCompl a b ∧ (∀ ⦃b : α⦄, s ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s✝) ∧ ∀ ⦃b_1 : α⦄, s ⊓ b = b_1 ⊓ b → b_1 ∈ t) ↔ s ∈ t □ s✝ | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter | [66, 1] | [72, 59] | refine'
certificator_subset_inter.antisymm fun a ha ↦ mem_certificator.2 ⟨a, aᶜ, isCompl_compl, _⟩ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
⊢ s □ t = s ∩ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∩ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter | [66, 1] | [72, 59] | rw [mem_inter] at ha | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∩ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter | [66, 1] | [72, 59] | simp only [@eq_comm _ ⊥, ← sdiff_eq, inf_idem, right_eq_inf, _root_.sdiff_self, sdiff_eq_bot_iff] | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter | [66, 1] | [72, 59] | exact ⟨fun b hab ↦ hs hab ha.1, fun b hab ↦ ht hab ha.2⟩ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsLowerSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter | [74, 1] | [80, 59] | refine' certificator_subset_inter.antisymm fun a ha ↦
mem_certificator.2 ⟨aᶜ, a, isCompl_compl.symm, _⟩ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
⊢ s □ t = s ∩ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∩ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter | [74, 1] | [80, 59] | rw [mem_inter] at ha | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∩ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter | [74, 1] | [80, 59] | simp only [@eq_comm _ ⊥, ← sdiff_eq, inf_idem, right_eq_inf, _root_.sdiff_self, sdiff_eq_bot_iff] | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter | [74, 1] | [80, 59] | exact ⟨fun b hab ↦ hs hab ha.1, fun b hab ↦ ht hab ha.2⟩ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsLowerSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ∧ a ∈ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups | [82, 1] | [88, 75] | refine' certificator_subset_disjSups.antisymm fun a ha ↦ mem_certificator.2 _ | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
⊢ s □ t = s ○ t | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ○ t
⊢ ∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups | [82, 1] | [88, 75] | obtain ⟨x, hx, y, hy, hxy, rfl⟩ := mem_disjSups.1 ha | α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a✝ : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
a : α
ha : a ∈ s ○ t
⊢ ∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t | case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
hxy : Disjoint x y
ha : x ⊔ y ∈ s ○ t
⊢ ∃ x_1 y_1, IsCompl x_1 y_1 ∧ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ y_1 = b ⊓ y_1 → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups | [82, 1] | [88, 75] | refine' ⟨x, xᶜ, isCompl_compl, _⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
hxy : Disjoint x y
ha : x ⊔ y ∈ s ○ t
⊢ ∃ x_1 y_1, IsCompl x_1 y_1 ∧ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ y_1 = b ⊓ y_1 → b ∈ t | case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
hxy : Disjoint x y
ha : x ⊔ y ∈ s ○ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ xᶜ = b ⊓ xᶜ → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups | [82, 1] | [88, 75] | simp only [inf_of_le_right, le_sup_left, right_eq_inf, ← sdiff_eq, hxy.sup_sdiff_cancel_left] | case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
hxy : Disjoint x y
ha : x ⊔ y ∈ s ○ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ xᶜ = b ⊓ xᶜ → b ∈ t | case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
hxy : Disjoint x y
ha : x ⊔ y ∈ s ○ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, x ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, y = b \ x → b ∈ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/VanDenBergKesten.lean | Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups | [82, 1] | [88, 75] | exact ⟨fun b hab ↦ hs hab hx, fun b hab ↦ ht (hab.trans_le sdiff_le) hy⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s t u : Finset α
a : α
hs : IsUpperSet ↑s
ht : IsUpperSet ↑t
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
hxy : Disjoint x y
ha : x ⊔ y ∈ s ○ t
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, x ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, y = b \ x → b ∈ t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean | Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts | [18, 1] | [24, 72] | refine' ⟨_, fun hst u hu hau hbu => hst _⟩ | α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s t : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ht : t ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ P.multipartiteGraph.Adj a b ↔ s ≠ t | case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s t : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ht : t ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ P.multipartiteGraph.Adj a b → s ≠ t
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s t : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ht : t ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
hst : s ≠ t
u : Finset α
hu : u ∈ P.parts
hau : a ∈ u
hbu : b ∈ u
⊢ s = t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean | Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts | [18, 1] | [24, 72] | rintro hab rfl | case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s t : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ht : t ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ P.multipartiteGraph.Adj a b → s ≠ t | case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hab : P.multipartiteGraph.Adj a b
ht : s ∈ P.parts
hb : b ∈ s
⊢ False |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean | Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts | [18, 1] | [24, 72] | exact hab hs ha hb | case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hab : P.multipartiteGraph.Adj a b
ht : s ∈ P.parts
hb : b ∈ s
⊢ False | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean | Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts | [18, 1] | [24, 72] | rw [P.eq_of_mem_parts hs hu ha hau, P.eq_of_mem_parts ht hu hb hbu] | case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
s t : Finset α
a b : α
hs : s ∈ P.parts
ht : t ∈ P.parts
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
hst : s ≠ t
u : Finset α
hu : u ∈ P.parts
hau : a ∈ u
hbu : b ∈ u
⊢ s = t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean | QuotientGroup.preimage_image_mk_eq_iUnion_smul | [11, 1] | [15, 27] | simp_rw [QuotientGroup.preimage_image_mk_eq_iUnion_image N s, ← image_smul, Submonoid.smul_def,
smul_eq_mul, mul_comm] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
N : Subgroup α
inst✝ : N.Normal
s : Set α
⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) = ⋃ x, x • s | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph | [90, 1] | [95, 49] | constructor | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ G ⊑ H ↔ ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe) | case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ G ⊑ H → ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ (∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)) → G ⊑ H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph | [90, 1] | [95, 49] | rintro ⟨f, hf⟩ | case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ G ⊑ H → ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe) | case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G →g H
hf : Injective ⇑f
⊢ ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph | [90, 1] | [95, 49] | exact ⟨Subgraph.map f ⊤, ⟨(Subgraph.isoMap _ hf _).comp Subgraph.topIso.symm⟩⟩ | case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G →g H
hf : Injective ⇑f
⊢ ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph | [90, 1] | [95, 49] | rintro ⟨H', ⟨e⟩⟩ | case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ (∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)) → G ⊑ H | case mpr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
H' : H.Subgraph
e : G ≃g H'.coe
⊢ G ⊑ H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph | [90, 1] | [95, 49] | exact e.isContained.trans H'.coe_isContained | case mpr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
H' : H.Subgraph
e : G ≃g H'.coe
⊢ G ⊑ H | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph | [133, 1] | [142, 52] | constructor | α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ G ⊴ H ↔ ∃ H' _e, H'.IsInduced' | case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ G ⊴ H → ∃ H' _e, H'.IsInduced'
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ (∃ H' _e, H'.IsInduced') → G ⊴ H |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph | [133, 1] | [142, 52] | rintro ⟨f⟩ | case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ G ⊴ H → ∃ H' _e, H'.IsInduced' | case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G ↪g H
⊢ ∃ H' _e, H'.IsInduced' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph | [133, 1] | [142, 52] | refine' ⟨Subgraph.map f.toHom ⊤,
(Subgraph.isoMap f.toHom f.injective _).comp Subgraph.topIso.symm, _⟩ | case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G ↪g H
⊢ ∃ H' _e, H'.IsInduced' | case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G ↪g H
⊢ (Subgraph.map f.toHom ⊤).IsInduced' |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph | [133, 1] | [142, 52] | rintro _ _ ⟨a, -, rfl⟩ ⟨b, -, rfl⟩ | case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G ↪g H
⊢ (Subgraph.map f.toHom ⊤).IsInduced' | case mp.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G ↪g H
a b : α
⊢ H.Adj (f.toHom a) (f.toHom b) → (Subgraph.map f.toHom ⊤).Adj (f.toHom a) (f.toHom b) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph | [133, 1] | [142, 52] | simp [Relation.map_apply_apply, f.injective] | case mp.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
f : G ↪g H
a b : α
⊢ H.Adj (f.toHom a) (f.toHom b) → (Subgraph.map f.toHom ⊤).Adj (f.toHom a) (f.toHom b) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean | SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph | [133, 1] | [142, 52] | rintro ⟨H', e, hH'⟩ | case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
⊢ (∃ H' _e, H'.IsInduced') → G ⊴ H | case mpr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
H' : H.Subgraph
e : G ≃g H'.coe
hH' : H'.IsInduced'
⊢ G ⊴ H |
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