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2.09M
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_combiInteriors_subset_combiInteriors
[50, 1]
[66, 28]
obtain ⟨s₂, hs₂, hs₁s₂⟩ := h.2 _ hs₁
case refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E h : K₂.space ⊆ K₁.space ∧ ∀ s₁ ∈ K₁, ∃ s₂ ∈ K₂, combiInterior ℝ s₁ ⊆ combiInterior ℝ s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case refine'_3.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E h : K₂.space ⊆ K₁.space ∧ ∀ s₁ ∈ K₁, ∃ s₂ ∈ K₂, combiInterior ℝ s₁ ⊆ combiInterior ℝ s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁ s₂ : Finset E hs₂ : s₂ ∈ K₂ hs₁s₂ : combiInterior ℝ s₁ ⊆ combiInterior ℝ s₂ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_combiInteriors_subset_combiInteriors
[50, 1]
[66, 28]
exact ⟨_, hs₂, convexHull_subset_convexHull_of_combiInterior_subset_combiInterior (K₁.indep hs₁) (K₂.indep hs₂) hs₁s₂⟩
case refine'_3.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E h : K₂.space ⊆ K₁.space ∧ ∀ s₁ ∈ K₁, ∃ s₂ ∈ K₂, combiInterior ℝ s₁ ⊆ combiInterior ℝ s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁ s₂ : Finset E hs₂ : s₂ ∈ K₂ hs₁s₂ : combiInterior ℝ s₁ ⊆ combiInterior ℝ s₂ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
constructor
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E ⊢ K₁.Subdivides K₂ ↔ (K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
case mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E ⊢ K₁.Subdivides K₂ → (K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ case mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E ⊢ ((K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁) → K₁.Subdivides K₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rintro ⟨hspace, hsubdiv⟩
case mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E ⊢ K₁.Subdivides K₂ → (K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ ⊢ (K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' ⟨_, hspace.le, fun s hs => _⟩
case mp.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ ⊢ (K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ ⊢ K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty case mp.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ ⊢ ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' ⟨{t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, fun t ht => ht.1, _⟩
case mp.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ ⊢ ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ ⊢ combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
ext x
case mp.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ ⊢ combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E ⊢ x ∈ combiInterior ℝ s ↔ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' ⟨fun hxs => _, _⟩
case mp.intro.refine'_2.h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E ⊢ x ∈ combiInterior ℝ s ↔ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ → x ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rintro ⟨s₁, hs₁⟩
case mp.intro.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ ⊢ K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty
case mp.intro.refine'_1.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces ⊢ K₂.faces.Nonempty
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨s₂, hs₂, -⟩ := hsubdiv hs₁
case mp.intro.refine'_1.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces ⊢ K₂.faces.Nonempty
case mp.intro.refine'_1.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces s₂ : Finset E hs₂ : s₂ ∈ K₂ ⊢ K₂.faces.Nonempty
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact ⟨s₂, hs₂⟩
case mp.intro.refine'_1.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s₁ : Finset E hs₁ : s₁ ∈ K₁.faces s₂ : Finset E hs₂ : s₂ ∈ K₂ ⊢ K₂.faces.Nonempty
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
have hxspace := mem_space_iff.2 ⟨s, hs, hxs.1⟩
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : x ∈ K₂.space ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [← hspace, ← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hxspace
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : x ∈ K₂.space ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxspace
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' mem_iUnion₂_of_mem ⟨ht, fun y hyt => _⟩ hxt
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t ⊢ y ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨u, hu, htu⟩ := hsubdiv ht
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t ⊢ y ∈ combiInterior ℝ s
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u ⊢ y ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨W, hWu, htW⟩ := simplex_combiInteriors_split_interiors (K₂.indep hu) htu
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u ⊢ y ∈ combiInterior ℝ s
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ y ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [disjoint_interiors hs (K₂.down_closed hu hWu _) hxs (htW hxt)]
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ y ∈ combiInterior ℝ s
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ y ∈ combiInterior ℝ W 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ W ≠ ∅
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact htW hyt
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ y ∈ combiInterior ℝ W 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ W ≠ ∅
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ W ≠ ∅
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rintro rfl
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u W : Finset E hWu : W ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ W ⊢ W ≠ ∅
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u hWu : ∅ ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅ ⊢ False
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
have := htW hxt
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u hWu : ∅ ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅ ⊢ False
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u hWu : ∅ ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅ this : x ∈ combiInterior ℝ ∅ ⊢ False
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
simp at this
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E hxs : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₁ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t y : E hyt : y ∈ combiInterior ℝ t u : Finset E hu : u ∈ K₂ htu : (convexHull ℝ) ↑t ⊆ (convexHull ℝ) ↑u hWu : ∅ ⊆ u htW : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ ∅ this : x ∈ combiInterior ℝ ∅ ⊢ False
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [mem_iUnion₂]
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E ⊢ x ∈ ⋃ s₁ ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}, combiInterior ℝ s₁ → x ∈ combiInterior ℝ s
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E ⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}), x ∈ combiInterior ℝ i) → x ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rintro ⟨t, ⟨-, hts⟩, hxt⟩
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E ⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ {t | t ∈ K₁ ∧ combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s}), x ∈ combiInterior ℝ i) → x ∈ combiInterior ℝ s
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E t : Finset E hxt : x ∈ combiInterior ℝ t hts : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s ⊢ x ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact hts hxt
case mp.intro.refine'_2.h.refine'_2.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hspace : K₁.space = K₂.space hsubdiv : ∀ ⦃s₁ : Finset E⦄, s₁ ∈ K₁ → ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s₁ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ s : Finset E hs : s ∈ K₂ x : E t : Finset E hxt : x ∈ combiInterior ℝ t hts : combiInterior ℝ t ⊆ combiInterior ℝ s ⊢ x ∈ combiInterior ℝ s
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rintro ⟨hempty, hspace, hpartition⟩
case mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E ⊢ ((K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty) ∧ K₁.space ⊆ K₂.space ∧ ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁) → K₁.Subdivides K₂
case mpr.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ K₁.Subdivides K₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
have hspace : K₁.space = K₂.space := by refine' hspace.antisymm fun x hx => _ rw [← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hx ⊢ obtain ⟨s, hs, hxs⟩ := hx obtain ⟨F, hF, hsint⟩ := hpartition _ hs rw [hsint, mem_iUnion₂] at hxs obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxs exact ⟨t, hF ht, hxt⟩
case mpr.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ K₁.Subdivides K₂
case mpr.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space ⊢ K₁.Subdivides K₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' ⟨hspace, fun s hs => _⟩
case mpr.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space ⊢ K₁.Subdivides K₂
case mpr.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain rfl | hsnonempty := s.eq_empty_or_nonempty
case mpr.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case mpr.intro.intro.inl 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space hs : ∅ ∈ K₁ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂ case mpr.intro.intro.inr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨x, hx⟩ := hsnonempty.combiInterior (K₁.indep hs)
case mpr.intro.intro.inr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case mpr.intro.intro.inr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
have hxspace := mem_space_iff.2 ⟨s, hs, hx.1⟩
case mpr.intro.intro.inr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case mpr.intro.intro.inr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : x ∈ K₁.space ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [hspace, ← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hxspace
case mpr.intro.intro.inr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : x ∈ K₁.space ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case mpr.intro.intro.inr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x ∈ combiInterior ℝ i ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxspace
case mpr.intro.intro.inr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x ∈ combiInterior ℝ i ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case mpr.intro.intro.inr.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
use t, ht
case mpr.intro.intro.inr.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑t
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [← closure_combiInterior_eq_convexHull (K₁.indep hs)]
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ (convexHull ℝ) ↑s ⊆ (convexHull ℝ) ↑t
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ closure (combiInterior ℝ s) ⊆ (convexHull ℝ) ↑t
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' closure_minimal (fun x' hx' => _) (isClosed_convexHull _)
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ closure (combiInterior ℝ s) ⊆ (convexHull ℝ) ↑t
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
have hxspace := mem_space_iff.2 ⟨s, hs, hx'.1⟩
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s hxspace : x' ∈ K₁.space ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [hspace, ← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hxspace
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s hxspace : x' ∈ K₁.space ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x' ∈ combiInterior ℝ i ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
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[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨t', ht', hxt'⟩ := hxspace
case right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s hxspace : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x' ∈ combiInterior ℝ i ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
case right.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
convert hxt'.1
case right.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' ⊢ x' ∈ (convexHull ℝ) ↑t
case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' ⊢ t = t'
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨F, hF, hinterior⟩ := hpartition _ ht
case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' ⊢ t = t'
case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ t = t'
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨F', hF', hinterior'⟩ := hpartition _ ht'
case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ t = t'
case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ t = t'
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
apply disjoint_interiors ht ht' (_ : x ∈ _) _
case h.e'_5.h.e'_6.h.e'_2.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ t = t'
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ x ∈ combiInterior ℝ t 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ x ∈ combiInterior ℝ t'
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' hspace.antisymm fun x hx => _
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ K₁.space = K₂.space
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E hx : x ∈ K₂.space ⊢ x ∈ K₁.space
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [← combiInteriors_cover, mem_iUnion₂] at hx ⊢
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E hx : x ∈ K₂.space ⊢ x ∈ K₁.space
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E hx : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x ∈ combiInterior ℝ i ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨s, hs, hxs⟩ := hx
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E hx : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₂), x ∈ combiInterior ℝ i ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ hxs : x ∈ combiInterior ℝ s ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
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LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean
Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨F, hF, hsint⟩ := hpartition _ hs
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ hxs : x ∈ combiInterior ℝ s ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ hxs : x ∈ combiInterior ℝ s F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [hsint, mem_iUnion₂] at hxs
case intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ hxs : x ∈ combiInterior ℝ s F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ F : Set (Finset E) hxs : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i hF : F ⊆ K₁.faces hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨t, ht, hxt⟩ := hxs
case intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ F : Set (Finset E) hxs : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i hF : F ⊆ K₁.faces hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ t : Finset E ht : t ∈ F hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
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LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean
Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact ⟨t, hF ht, hxt⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ x : E s : Finset E hs : s ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hsint : combiInterior ℝ s = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ t : Finset E ht : t ∈ F hxt : x ∈ combiInterior ℝ t ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K₁), x ∈ combiInterior ℝ i
no goals
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LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean
Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨t, ht⟩ := hempty ⟨_, hs⟩
case mpr.intro.intro.inl 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space hs : ∅ ∈ K₁ ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
case mpr.intro.intro.inl.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space hs : ∅ ∈ K₁ t : Finset E ht : t ∈ K₂.faces ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
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LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean
Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact ⟨t, ht, by simp⟩
case mpr.intro.intro.inl.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space hs : ∅ ∈ K₁ t : Finset E ht : t ∈ K₂.faces ⊢ ∃ s₂ ∈ K₂, (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑s₂
no goals
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LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean
Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
simp
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space hs : ∅ ∈ K₁ t : Finset E ht : t ∈ K₂.faces ⊢ (convexHull ℝ) ↑∅ ⊆ (convexHull ℝ) ↑t
no goals
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [hinterior, mem_iUnion₂] at hxt ⊢
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ x ∈ combiInterior ℝ t
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hxt : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨u, hu, hxu⟩ := hxt
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hxt : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F hxu : x ∈ combiInterior ℝ u ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact ⟨u, hu, hxu⟩
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F hxu : x ∈ combiInterior ℝ u ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F), x ∈ combiInterior ℝ i
no goals
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LeanCamCombi/SimplicialComplex/Subdivision.lean
Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [hinterior', mem_iUnion₂] at hxt' ⊢
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ hxt' : x' ∈ combiInterior ℝ t' F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ x ∈ combiInterior ℝ t'
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hxt' : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x' ∈ combiInterior ℝ i hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
obtain ⟨u, hu, hxu⟩ := hxt'
𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hxt' : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x' ∈ combiInterior ℝ i hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F' hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
refine' ⟨u, hu, _⟩
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F' hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u ⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ F'), x ∈ combiInterior ℝ i
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F' hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u ⊢ x ∈ combiInterior ℝ u
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
rw [← disjoint_interiors hs (hF' hu) hx' hxu]
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F' hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u ⊢ x ∈ combiInterior ℝ u
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F' hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u ⊢ x ∈ combiInterior ℝ s
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Geometry.SimplicialComplex.subdivides_iff_partition
[68, 1]
[128, 15]
exact hx
case intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝² : SeminormedAddCommGroup E inst✝¹ : T2Space E inst✝ : NormedSpace ℝ E s✝ t✝ : Finset E m : ℕ K₁ K₂ : SimplicialComplex ℝ E hempty : K₁.faces.Nonempty → K₂.faces.Nonempty hspace✝ : K₁.space ⊆ K₂.space hpartition : ∀ s₂ ∈ K₂, ∃ F ⊆ K₁.faces, combiInterior ℝ s₂ = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ hspace : K₁.space = K₂.space s : Finset E hs : s ∈ K₁ hsnonempty : s.Nonempty x : E hx : x ∈ combiInterior ℝ s t : Finset E ht : t ∈ K₂ hxt : x ∈ combiInterior ℝ t x' : E hx' : x' ∈ combiInterior ℝ s t' : Finset E ht' : t' ∈ K₂ F : Set (Finset E) hF : F ⊆ K₁.faces hinterior : combiInterior ℝ t = ⋃ s₁ ∈ F, combiInterior ℝ s₁ F' : Set (Finset E) hF' : F' ⊆ K₁.faces hinterior' : combiInterior ℝ t' = ⋃ s₁ ∈ F', combiInterior ℝ s₁ u : Finset E hu : u ∈ F' hxu : x' ∈ combiInterior ℝ u ⊢ x ∈ combiInterior ℝ s
no goals
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Finset.mem_certificator
[45, 1]
[50, 37]
rw [certificator, mem_filter, and_iff_right_of_imp]
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ a ∈ s □ t ↔ ∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ (∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) → a ∈ s ∩ t
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Finset.mem_certificator
[45, 1]
[50, 37]
rintro ⟨u, v, _, hu, hv⟩
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ (∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) → a ∈ s ∩ t
case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u✝ : Finset α a u v : α left✝ : IsCompl u v hu : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s hv : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t ⊢ a ∈ s ∩ t
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Finset.mem_certificator
[45, 1]
[50, 37]
exact mem_inter.2 ⟨hu rfl, hv rfl⟩
case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u✝ : Finset α a u v : α left✝ : IsCompl u v hu : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s hv : ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t ⊢ a ∈ s ∩ t
no goals
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Finset.certificator_subset_disjSups
[54, 1]
[59, 57]
simp_rw [subset_iff, mem_certificator, mem_disjSups]
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ s □ t ⊆ s ○ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ ∀ ⦃x : α⦄, (∃ x_1 y, IsCompl x_1 y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) → ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x
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Finset.certificator_subset_disjSups
[54, 1]
[59, 57]
rintro x ⟨u, v, huv, hu, hv⟩
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ ∀ ⦃x : α⦄, (∃ x_1 y, IsCompl x_1 y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t) → ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x
case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u✝ : Finset α a x u v : α huv : IsCompl u v hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t ⊢ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x
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Finset.certificator_subset_disjSups
[54, 1]
[59, 57]
refine' ⟨x ⊓ u, hu (inf_right_idem _ _).symm, x ⊓ v, hv (inf_right_idem _ _).symm, huv.disjoint.mono inf_le_right inf_le_right, _⟩
case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u✝ : Finset α a x u v : α huv : IsCompl u v hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t ⊢ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x
case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u✝ : Finset α a x u v : α huv : IsCompl u v hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t ⊢ x ⊓ u ⊔ x ⊓ v = x
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Finset.certificator_subset_disjSups
[54, 1]
[59, 57]
rw [← inf_sup_left, huv.codisjoint.eq_top, inf_top_eq]
case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u✝ : Finset α a x u v : α huv : IsCompl u v hu : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ u = b ⊓ u → b ∈ s hv : ∀ ⦃b : α⦄, x ⊓ v = b ⊓ v → b ∈ t ⊢ x ⊓ u ⊔ x ⊓ v = x
no goals
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Finset.certificator_comm
[63, 1]
[64, 75]
ext s
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α ⊢ s □ t = t □ s
case a α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s✝ t u : Finset α a s : α ⊢ s ∈ s✝ □ t ↔ s ∈ t □ s✝
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Finset.certificator_comm
[63, 1]
[64, 75]
rw [mem_certificator, exists_comm]
case a α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s✝ t u : Finset α a s : α ⊢ s ∈ s✝ □ t ↔ s ∈ t □ s✝
case a α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s✝ t u : Finset α a s : α ⊢ (∃ b a, IsCompl a b ∧ (∀ ⦃b : α⦄, s ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s✝) ∧ ∀ ⦃b_1 : α⦄, s ⊓ b = b_1 ⊓ b → b_1 ∈ t) ↔ s ∈ t □ s✝
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Finset.certificator_comm
[63, 1]
[64, 75]
simp [isCompl_comm, and_comm]
case a α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s✝ t u : Finset α a s : α ⊢ (∃ b a, IsCompl a b ∧ (∀ ⦃b : α⦄, s ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s✝) ∧ ∀ ⦃b_1 : α⦄, s ⊓ b = b_1 ⊓ b → b_1 ∈ t) ↔ s ∈ t □ s✝
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter
[66, 1]
[72, 59]
refine' certificator_subset_inter.antisymm fun a ha ↦ mem_certificator.2 ⟨a, aᶜ, isCompl_compl, _⟩
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t ⊢ s □ t = s ∩ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∩ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter
[66, 1]
[72, 59]
rw [mem_inter] at ha
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∩ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter
[66, 1]
[72, 59]
simp only [@eq_comm _ ⊥, ← sdiff_eq, inf_idem, right_eq_inf, _root_.sdiff_self, sdiff_eq_bot_iff]
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_inter
[66, 1]
[72, 59]
exact ⟨fun b hab ↦ hs hab ha.1, fun b hab ↦ ht hab ha.2⟩
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsLowerSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ t
no goals
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Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter
[74, 1]
[80, 59]
refine' certificator_subset_inter.antisymm fun a ha ↦ mem_certificator.2 ⟨aᶜ, a, isCompl_compl.symm, _⟩
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t ⊢ s □ t = s ∩ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∩ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t
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Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter
[74, 1]
[80, 59]
rw [mem_inter] at ha
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∩ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t
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Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter
[74, 1]
[80, 59]
simp only [@eq_comm _ ⊥, ← sdiff_eq, inf_idem, right_eq_inf, _root_.sdiff_self, sdiff_eq_bot_iff]
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ aᶜ = b ⊓ aᶜ → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ a = b ⊓ a → b ∈ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ t
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Finset.IsLowerSet.certificator_eq_inter
[74, 1]
[80, 59]
exact ⟨fun b hab ↦ hs hab ha.1, fun b hab ↦ ht hab ha.2⟩
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsLowerSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ∧ a ∈ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → b ∈ t
no goals
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups
[82, 1]
[88, 75]
refine' certificator_subset_disjSups.antisymm fun a ha ↦ mem_certificator.2 _
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t ⊢ s □ t = s ○ t
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ○ t ⊢ ∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups
[82, 1]
[88, 75]
obtain ⟨x, hx, y, hy, hxy, rfl⟩ := mem_disjSups.1 ha
α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a✝ : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t a : α ha : a ∈ s ○ t ⊢ ∃ x y, IsCompl x y ∧ (∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ⊓ y = b ⊓ y → b ∈ t
case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ t hxy : Disjoint x y ha : x ⊔ y ∈ s ○ t ⊢ ∃ x_1 y_1, IsCompl x_1 y_1 ∧ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ y_1 = b ⊓ y_1 → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups
[82, 1]
[88, 75]
refine' ⟨x, xᶜ, isCompl_compl, _⟩
case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ t hxy : Disjoint x y ha : x ⊔ y ∈ s ○ t ⊢ ∃ x_1 y_1, IsCompl x_1 y_1 ∧ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x_1 = b ⊓ x_1 → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ y_1 = b ⊓ y_1 → b ∈ t
case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ t hxy : Disjoint x y ha : x ⊔ y ∈ s ○ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ xᶜ = b ⊓ xᶜ → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups
[82, 1]
[88, 75]
simp only [inf_of_le_right, le_sup_left, right_eq_inf, ← sdiff_eq, hxy.sup_sdiff_cancel_left]
case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ t hxy : Disjoint x y ha : x ⊔ y ∈ s ○ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ x = b ⊓ x → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, (x ⊔ y) ⊓ xᶜ = b ⊓ xᶜ → b ∈ t
case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ t hxy : Disjoint x y ha : x ⊔ y ∈ s ○ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, x ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, y = b \ x → b ∈ t
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Finset.IsUpperSet.certificator_eq_disjSups
[82, 1]
[88, 75]
exact ⟨fun b hab ↦ hs hab hx, fun b hab ↦ ht (hab.trans_le sdiff_le) hy⟩
case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : BooleanAlgebra α s t u : Finset α a : α hs : IsUpperSet ↑s ht : IsUpperSet ↑t x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ t hxy : Disjoint x y ha : x ⊔ y ∈ s ○ t ⊢ (∀ ⦃b : α⦄, x ≤ b → b ∈ s) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, y = b \ x → b ∈ t
no goals
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean
Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts
[18, 1]
[24, 72]
refine' ⟨_, fun hst u hu hau hbu => hst _⟩
α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s t : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ht : t ∈ P.parts ha : a ∈ s hb : b ∈ t ⊢ P.multipartiteGraph.Adj a b ↔ s ≠ t
case refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s t : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ht : t ∈ P.parts ha : a ∈ s hb : b ∈ t ⊢ P.multipartiteGraph.Adj a b → s ≠ t case refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s t : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ht : t ∈ P.parts ha : a ∈ s hb : b ∈ t hst : s ≠ t u : Finset α hu : u ∈ P.parts hau : a ∈ u hbu : b ∈ u ⊢ s = t
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean
Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts
[18, 1]
[24, 72]
rintro hab rfl
case refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s t : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ht : t ∈ P.parts ha : a ∈ s hb : b ∈ t ⊢ P.multipartiteGraph.Adj a b → s ≠ t
case refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ha : a ∈ s hab : P.multipartiteGraph.Adj a b ht : s ∈ P.parts hb : b ∈ s ⊢ False
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean
Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts
[18, 1]
[24, 72]
exact hab hs ha hb
case refine'_1 α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ha : a ∈ s hab : P.multipartiteGraph.Adj a b ht : s ∈ P.parts hb : b ∈ s ⊢ False
no goals
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Multipartite.lean
Finpartition.multipartiteGraph_adj_of_mem_parts
[18, 1]
[24, 72]
rw [P.eq_of_mem_parts hs hu ha hau, P.eq_of_mem_parts ht hu hb hbu]
case refine'_2 α : Type u_1 inst✝¹ : Fintype α inst✝ : DecidableEq α P : Finpartition univ s t : Finset α a b : α hs : s ∈ P.parts ht : t ∈ P.parts ha : a ∈ s hb : b ∈ t hst : s ≠ t u : Finset α hu : u ∈ P.parts hau : a ∈ u hbu : b ∈ u ⊢ s = t
no goals
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LeanCamCombi/Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
QuotientGroup.preimage_image_mk_eq_iUnion_smul
[11, 1]
[15, 27]
simp_rw [QuotientGroup.preimage_image_mk_eq_iUnion_image N s, ← image_smul, Submonoid.smul_def, smul_eq_mul, mul_comm]
α : Type u_1 inst✝¹ : CommGroup α N : Subgroup α inst✝ : N.Normal s : Set α ⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) = ⋃ x, x • s
no goals
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean
SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph
[90, 1]
[95, 49]
constructor
α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ G ⊑ H ↔ ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)
case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ G ⊑ H → ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe) case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ (∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)) → G ⊑ H
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean
SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph
[90, 1]
[95, 49]
rintro ⟨f, hf⟩
case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ G ⊑ H → ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)
case mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G →g H hf : Injective ⇑f ⊢ ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean
SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph
[90, 1]
[95, 49]
exact ⟨Subgraph.map f ⊤, ⟨(Subgraph.isoMap _ hf _).comp Subgraph.topIso.symm⟩⟩
case mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G →g H hf : Injective ⇑f ⊢ ∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)
no goals
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LeanCamCombi/Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Containment.lean
SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph
[90, 1]
[95, 49]
rintro ⟨H', ⟨e⟩⟩
case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ (∃ H', Nonempty (G ≃g H'.coe)) → G ⊑ H
case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ H' : H.Subgraph e : G ≃g H'.coe ⊢ G ⊑ H
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SimpleGraph.isContained_iff_exists_subgraph
[90, 1]
[95, 49]
exact e.isContained.trans H'.coe_isContained
case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ H' : H.Subgraph e : G ≃g H'.coe ⊢ G ⊑ H
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SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph
[133, 1]
[142, 52]
constructor
α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ G ⊴ H ↔ ∃ H' _e, H'.IsInduced'
case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ G ⊴ H → ∃ H' _e, H'.IsInduced' case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ (∃ H' _e, H'.IsInduced') → G ⊴ H
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SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph
[133, 1]
[142, 52]
rintro ⟨f⟩
case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ G ⊴ H → ∃ H' _e, H'.IsInduced'
case mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G ↪g H ⊢ ∃ H' _e, H'.IsInduced'
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SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph
[133, 1]
[142, 52]
refine' ⟨Subgraph.map f.toHom ⊤, (Subgraph.isoMap f.toHom f.injective _).comp Subgraph.topIso.symm, _⟩
case mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G ↪g H ⊢ ∃ H' _e, H'.IsInduced'
case mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G ↪g H ⊢ (Subgraph.map f.toHom ⊤).IsInduced'
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SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph
[133, 1]
[142, 52]
rintro _ _ ⟨a, -, rfl⟩ ⟨b, -, rfl⟩
case mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G ↪g H ⊢ (Subgraph.map f.toHom ⊤).IsInduced'
case mp.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G ↪g H a b : α ⊢ H.Adj (f.toHom a) (f.toHom b) → (Subgraph.map f.toHom ⊤).Adj (f.toHom a) (f.toHom b)
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SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph
[133, 1]
[142, 52]
simp [Relation.map_apply_apply, f.injective]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ f : G ↪g H a b : α ⊢ H.Adj (f.toHom a) (f.toHom b) → (Subgraph.map f.toHom ⊤).Adj (f.toHom a) (f.toHom b)
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SimpleGraph.isIndContained_iff_exists_subgraph
[133, 1]
[142, 52]
rintro ⟨H', e, hH'⟩
case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ ⊢ (∃ H' _e, H'.IsInduced') → G ⊴ H
case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 G G₁ G₂ G₃ : SimpleGraph α H : SimpleGraph β I : SimpleGraph γ H' : H.Subgraph e : G ≃g H'.coe hH' : H'.IsInduced' ⊢ G ⊴ H