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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	simp only [and_imp, exists_prop, exists_imp]	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ (∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x) → ∃ i, ∃ (_ : i ⊂ s), x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_2 ∈ s, x_1 x_2 = 0 → s.centerMass x_1 id = x → ∃ i ⊂ s, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	intro w hw₁ hw₂ y hy₁ hy₂ hy₃	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_2 ∈ s, x_1 x_2 = 0 → s.centerMass x_1 id = x → ∃ i ⊂ s, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∃ i ⊂ s, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	refine' ⟨s.erase y, Finset.erase_ssubset hy₁, _⟩	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∃ i ⊂ s, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(s.erase y)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	rw [Finset.convexHull_eq, Set.mem_setOf_eq]	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(s.erase y)	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∃ w, (∀ y_1 ∈ s.erase y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ s.erase y, w y = 1 ∧ (s.erase y).centerMass w id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	refine' ⟨w, fun z hz => hw₁ z (s.erase_subset _ hz), _, _⟩	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∃ w, (∀ y_1 ∈ s.erase y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ s.erase y, w y = 1 ∧ (s.erase y).centerMass w id = x	case h.mpr.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∑ y ∈ s.erase y, w y = 1 case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ (s.erase y).centerMass w id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	rw [Finset.sum_erase _ hy₂]	case h.mpr.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∑ y ∈ s.erase y, w y = 1 case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ (s.erase y).centerMass w id = x	case h.mpr.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∑ x ∈ s, w x = 1 case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ (s.erase y).centerMass w id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	apply hw₂	case h.mpr.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∑ x ∈ s, w x = 1 case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ (s.erase y).centerMass w id = x	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ (s.erase y).centerMass w id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	rwa [Finset.centerMass_subset _ (s.erase_subset _)]	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ (s.erase y).centerMass w id = x	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∀ i ∈ s, i ∉ s.erase y → w i = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	intro i hi₁ hi₂	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x ⊢ ∀ i ∈ s, i ∉ s.erase y → w i = 0	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x i : E hi₁ : i ∈ s hi₂ : i ∉ s.erase y ⊢ w i = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	simp only [hi₁, and_true_iff, Classical.not_not, Finset.mem_erase] at hi₂	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x i : E hi₁ : i ∈ s hi₂ : i ∉ s.erase y ⊢ w i = 0	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x i : E hi₁ : i ∈ s hi₂ : i = y ⊢ w i = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	subst hi₂	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 y : E hy₁ : y ∈ s hy₂ : w y = 0 hy₃ : s.centerMass w id = x i : E hi₁ : i ∈ s hi₂ : i = y ⊢ w i = 0	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hy₃ : s.centerMass w id = x i : E hi₁ hy₁ : i ∈ s hy₂ : w i = 0 ⊢ w i = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiFrontier_eq	[90, 1]	[135, 14]	apply hy₂	case h.mpr.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hy₃ : s.centerMass w id = x i : E hi₁ hy₁ : i ∈ s hy₂ : w i = 0 ⊢ w i = 0	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_subset_positive_weighings	[137, 1]	[146, 76]	rw [combiInterior, Finset.convexHull_eq, combiFrontier_eq]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E ⊢ combiInterior 𝕜 s ⊆ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E ⊢ {x \| ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} \ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x} ⊆ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_subset_positive_weighings	[137, 1]	[146, 76]	rintro x	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E ⊢ {x \| ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} \ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x} ⊆ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ x ∈ {x \| ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} \ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x} → x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_subset_positive_weighings	[137, 1]	[146, 76]	simp only [not_exists, and_imp, not_and, mem_setOf_eq, mem_diff, exists_imp]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ x ∈ {x \| ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} \ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x} → x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → s.centerMass x_1 id = x → (∀ (x_2 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_2 y) → ∑ y ∈ s, x_2 y = 1 → ∀ x_5 ∈ s, x_2 x_5 = 0 → ¬s.centerMass x_2 id = x) → ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_subset_positive_weighings	[137, 1]	[146, 76]	rintro w hw₁ hw₂ hw₃ q	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E ⊢ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → s.centerMass x_1 id = x → (∀ (x_2 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_2 y) → ∑ y ∈ s, x_2 y = 1 → ∀ x_5 ∈ s, x_2 x_5 = 0 → ¬s.centerMass x_2 id = x) → ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₃ : s.centerMass w id = x q : ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_4 ∈ s, x_1 x_4 = 0 → ¬s.centerMass x_1 id = x ⊢ ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_subset_positive_weighings	[137, 1]	[146, 76]	refine' ⟨w, fun y hy => _, hw₂, hw₃⟩	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₃ : s.centerMass w id = x q : ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_4 ∈ s, x_1 x_4 = 0 → ¬s.centerMass x_1 id = x ⊢ ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₃ : s.centerMass w id = x q : ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_4 ∈ s, x_1 x_4 = 0 → ¬s.centerMass x_1 id = x y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < w y
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_subset_positive_weighings	[137, 1]	[146, 76]	exact lt_of_le_of_ne (hw₁ _ hy) (Ne.symm fun t => q w hw₁ hw₂ y hy t hw₃)	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ x : E w : E → 𝕜 hw₁ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y hw₂ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₃ : s.centerMass w id = x q : ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_4 ∈ s, x_1 x_4 = 0 → ¬s.centerMass x_1 id = x y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < w y	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	refine' combiInterior_subset_positive_weighings.antisymm fun x => _	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ⊢ combiInterior 𝕜 s = {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E ⊢ x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → x ∈ combiInterior 𝕜 s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	rw [combiInterior, Finset.convexHull_eq, combiFrontier_eq]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E ⊢ x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → x ∈ combiInterior 𝕜 s	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E ⊢ x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → x ∈ {x \| ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} \ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	simp only [not_exists, and_imp, not_and, mem_setOf_eq, mem_diff, exists_imp]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E ⊢ x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → x ∈ {x \| ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} \ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1) (_ : ∃ y ∈ s, w y = 0), s.centerMass w id = x}	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E ⊢ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 < x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → s.centerMass x_1 id = x → (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ∧ ∀ (x_4 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_4 y) → ∑ y ∈ s, x_4 y = 1 → ∀ x_7 ∈ s, x_4 x_7 = 0 → ¬s.centerMass x_4 id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	intro w hw₀ hw₁ hw₂	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E ⊢ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 < x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → s.centerMass x_1 id = x → (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ∧ ∀ (x_4 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_4 y) → ∑ y ∈ s, x_4 y = 1 → ∀ x_7 ∈ s, x_4 x_7 = 0 → ¬s.centerMass x_4 id = x	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₂ : s.centerMass w id = x ⊢ (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ∧ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_4 ∈ s, x_1 x_4 = 0 → ¬s.centerMass x_1 id = x
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	refine' ⟨⟨w, fun y hy => (hw₀ y hy).le, hw₁, hw₂⟩, fun v hv₀ hv₁ y hy hvy hv₂ => (hw₀ y hy).ne' _⟩	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₂ : s.centerMass w id = x ⊢ (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ∧ ∀ (x_1 : E → 𝕜), (∀ y ∈ s, 0 ≤ x_1 y) → ∑ y ∈ s, x_1 y = 1 → ∀ x_4 ∈ s, x_1 x_4 = 0 → ¬s.centerMass x_1 id = x	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₂ : s.centerMass w id = x v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	rw [← hv₂] at hw₂	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 hw₂ : s.centerMass w id = x v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = 0	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 v : E → 𝕜 hw₂ : s.centerMass w id = s.centerMass v id hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	rw [Finset.centerMass_eq_of_sum_1 _ _ hv₁, Finset.centerMass_eq_of_sum_1 _ _ hw₁] at hw₂	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 v : E → 𝕜 hw₂ : s.centerMass w id = s.centerMass v id hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = 0	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 v : E → 𝕜 hw₂ : ∑ i ∈ s, w i • id i = ∑ i ∈ s, v i • id i hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	rw [← hvy]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 v : E → 𝕜 hw₂ : ∑ i ∈ s, w i • id i = ∑ i ∈ s, v i • id i hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = 0	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 v : E → 𝕜 hw₂ : ∑ i ∈ s, w i • id i = ∑ i ∈ s, v i • id i hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = v y
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	combiInterior_eq	[148, 1]	[159, 66]	exact hs.eq_of_sum_eq_sum_subtype (hw₁.trans hv₁.symm) hw₂ _ hy	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val x : E w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 v : E → 𝕜 hw₂ : ∑ i ∈ s, w i • id i = ∑ i ∈ s, v i • id i hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 y : E hy : y ∈ s hvy : v y = 0 hv₂ : s.centerMass v id = x ⊢ w y = v y	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	centroid_mem_combiInterior	[161, 1]	[168, 27]	rw [Finset.centroid_def]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty ⊢ Finset.centroid 𝕜 s id ∈ combiInterior 𝕜 s	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty ⊢ (Finset.affineCombination 𝕜 s id) (Finset.centroidWeights 𝕜 s) ∈ combiInterior 𝕜 s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	centroid_mem_combiInterior	[161, 1]	[168, 27]	have hsweights := s.sum_centroidWeights_eq_one_of_nonempty 𝕜 hs'	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty ⊢ (Finset.affineCombination 𝕜 s id) (Finset.centroidWeights 𝕜 s) ∈ combiInterior 𝕜 s	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 ⊢ (Finset.affineCombination 𝕜 s id) (Finset.centroidWeights 𝕜 s) ∈ combiInterior 𝕜 s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	centroid_mem_combiInterior	[161, 1]	[168, 27]	rw [affineCombination_eq_centerMass hsweights]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 ⊢ (Finset.affineCombination 𝕜 s id) (Finset.centroidWeights 𝕜 s) ∈ combiInterior 𝕜 s	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 ⊢ s.centerMass (fun i => Finset.centroidWeights 𝕜 s i) id ∈ combiInterior 𝕜 s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	centroid_mem_combiInterior	[161, 1]	[168, 27]	rw [combiInterior_eq hs]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 ⊢ s.centerMass (fun i => Finset.centroidWeights 𝕜 s i) id ∈ combiInterior 𝕜 s	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 ⊢ s.centerMass (fun i => Finset.centroidWeights 𝕜 s i) id ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	centroid_mem_combiInterior	[161, 1]	[168, 27]	refine' ⟨_, fun y _ => _, hsweights, rfl⟩	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 ⊢ s.centerMass (fun i => Finset.centroidWeights 𝕜 s i) id ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 y : E x✝ : y ∈ s ⊢ 0 < Finset.centroidWeights 𝕜 s y
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	centroid_mem_combiInterior	[161, 1]	[168, 27]	simpa using hs'.card_pos	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val hs' : s.Nonempty hsweights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights 𝕜 s i = 1 y : E x✝ : y ∈ s ⊢ 0 < Finset.centroidWeights 𝕜 s y	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	simp_rw [convex_iff_forall_pos, combiInterior_eq hs]	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ⊢ Convex 𝕜 (combiInterior 𝕜 s)	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	rintro x ⟨v, hv₀, hv₁, rfl⟩ y ⟨w, hw₀, hw₁, rfl⟩ a b ha hb h	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x} → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	case intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ a • s.centerMass v id + b • s.centerMass w id ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	refine' ⟨fun x => a * v x + b * w x, fun x hx => _, _, _⟩	case intro.intro.intro.intro.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ a • s.centerMass v id + b • s.centerMass w id ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 x : E hx : x ∈ s ⊢ 0 < (fun x => a * v x + b * w x) x case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ ∑ y ∈ s, (fun x => a * v x + b * w x) y = 1 case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ s.centerMass (fun x => a * v x + b * w x) id = a • s.centerMass v id + b • s.centerMass w id
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	rw [Finset.centerMass_segment _ _ _ _ hv₁ hw₁ _ _ h]	case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ s.centerMass (fun x => a * v x + b * w x) id = a • s.centerMass v id + b • s.centerMass w id	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	exact add_pos (mul_pos ha <\| hv₀ x hx) (mul_pos hb <\| hw₀ x hx)	case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x✝ : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 x : E hx : x ∈ s ⊢ 0 < (fun x => a * v x + b * w x) x	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	rw [Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, ← Finset.mul_sum, hv₁, hw₁]	case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ ∑ y ∈ s, (fun x => a * v x + b * w x) y = 1	case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ a * 1 + b * 1 = 1
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	convex_combiInterior	[179, 1]	[187, 55]	simp [h]	case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝² : LinearOrderedField 𝕜 inst✝¹ : AddCommGroup E inst✝ : Module 𝕜 E s t : Finset E x : E hs : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val v : E → 𝕜 hv₀ : ∀ y ∈ s, 0 < v y hv₁ : ∑ y ∈ s, v y = 1 w : E → 𝕜 hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 < w y hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1 a b : 𝕜 ha : 0 < a hb : 0 < b h : a + b = 1 ⊢ a * 1 + b * 1 = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	isClosed_combiFrontier	[199, 1]	[204, 7]	refine' Set.Finite.isClosed_biUnion _ fun t _ => t.isClosed_convexHull	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ IsClosed (combiFrontier ℝ s)	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ Set.Finite fun t => t ⊆ s ∧ ¬s ⊆ t
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	isClosed_combiFrontier	[199, 1]	[204, 7]	suffices Set.Finite {t \| t ⊆ s} by exact this.subset fun i h => h.1	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ Set.Finite fun t => t ⊆ s ∧ ¬s ⊆ t	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ {t \| t ⊆ s}.Finite
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	isClosed_combiFrontier	[199, 1]	[204, 7]	convert s.powerset.finite_toSet using 1	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ {t \| t ⊆ s}.Finite	case h.e'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ {t \| t ⊆ s} = ↑s.powerset
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	isClosed_combiFrontier	[199, 1]	[204, 7]	ext	case h.e'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E ⊢ {t \| t ⊆ s} = ↑s.powerset	case h.e'_2.h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t x✝ : Finset E ⊢ x✝ ∈ {t \| t ⊆ s} ↔ x✝ ∈ ↑s.powerset
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	isClosed_combiFrontier	[199, 1]	[204, 7]	simp	case h.e'_2.h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t x✝ : Finset E ⊢ x✝ ∈ {t \| t ⊆ s} ↔ x✝ ∈ ↑s.powerset	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	isClosed_combiFrontier	[199, 1]	[204, 7]	exact this.subset fun i h => h.1	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : TopologicalAddGroup E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : T2Space E s t : Finset E this : {t \| t ⊆ s}.Finite ⊢ Set.Finite fun t => t ⊆ s ∧ ¬s ⊆ t	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	interiors_agree_of_full_dimensional	[206, 1]	[211, 8]	unfold combiInterior	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 ⊢ combiInterior ℝ s = interior ((convexHull ℝ) ↑s)	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 ⊢ (convexHull ℝ) ↑s \ combiFrontier ℝ s = interior ((convexHull ℝ) ↑s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	interiors_agree_of_full_dimensional	[206, 1]	[211, 8]	sorry	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 ⊢ (convexHull ℝ) ↑s \ combiFrontier ℝ s = interior ((convexHull ℝ) ↑s)	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	ext x	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 ⊢ combiFrontier ℝ s = frontier ((convexHull ℝ) ↑s)	case h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ combiFrontier ℝ s ↔ x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	constructor	case h 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ combiFrontier ℝ s ↔ x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)	case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ combiFrontier ℝ s → x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s) case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s) → x ∈ combiFrontier ℝ s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	unfold combiFrontier	case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ combiFrontier ℝ s → x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)	case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : t ⊂ s), (convexHull ℝ) ↑t → x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	simp_rw [Set.mem_iUnion]	case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : t ⊂ s), (convexHull ℝ) ↑t → x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)	case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ⊂ s), x ∈ (convexHull ℝ) ↑i) → x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	rintro ⟨t, hts, hx⟩	case h.mp 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ⊂ s), x ∈ (convexHull ℝ) ↑i) → x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)	case h.mp.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t ⊢ x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	constructor	case h.mp.intro.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t ⊢ x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s)	case h.mp.intro.intro.left 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t ⊢ x ∈ closure ((convexHull ℝ) ↑s) case h.mp.intro.intro.right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t ⊢ x ∉ interior ((convexHull ℝ) ↑s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	exact subset_closure (convexHull_mono hts.1 hx)	case h.mp.intro.intro.left 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t ⊢ x ∈ closure ((convexHull ℝ) ↑s)	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	rintro h	case h.mp.intro.intro.right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t ⊢ x ∉ interior ((convexHull ℝ) ↑s)	case h.mp.intro.intro.right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t h : x ∈ interior ((convexHull ℝ) ↑s) ⊢ False
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	sorry	case h.mp.intro.intro.right 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t✝ : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E t : Finset E hts : t ⊂ s hx : x ∈ (convexHull ℝ) ↑t h : x ∈ interior ((convexHull ℝ) ↑s) ⊢ False	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	rintro ⟨h, g⟩	case h.mpr 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E ⊢ x ∈ frontier ((convexHull ℝ) ↑s) → x ∈ combiFrontier ℝ s	case h.mpr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E h : x ∈ closure ((convexHull ℝ) ↑s) g : x ∉ interior ((convexHull ℝ) ↑s) ⊢ x ∈ combiFrontier ℝ s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	frontiers_agree_of_full_dimensional	[213, 1]	[227, 10]	sorry	case h.mpr.intro 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝⁶ : TopologicalSpace E inst✝⁵ : AddCommGroup E inst✝⁴ : Module ℝ E inst✝³ : TopologicalAddGroup E inst✝² : ContinuousSMul ℝ E inst✝¹ : T2Space E s t : Finset E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E hscard : s.card = FiniteDimensional.finrank ℝ E + 1 x : E h : x ∈ closure ((convexHull ℝ) ↑s) g : x ∉ interior ((convexHull ℝ) ↑s) ⊢ x ∈ combiFrontier ℝ s	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rintro x (hx : x ∈ s)	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val ⊢ ↑s ⊆ closure (combiInterior ℝ s)	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s ⊢ x ∈ closure (combiInterior ℝ s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply seqClosure_subset_closure	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s ⊢ x ∈ closure (combiInterior ℝ s)	case a 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s ⊢ x ∈ seqClosure (combiInterior ℝ s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	have hsnonempty : s.Nonempty := ⟨x, hx⟩	case a 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s ⊢ x ∈ seqClosure (combiInterior ℝ s)	case a 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty ⊢ x ∈ seqClosure (combiInterior ℝ s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	have centroid_weights : ∑ i : E in s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 := by apply Finset.sum_centroidWeights_eq_one_of_nonempty ℝ _ hsnonempty	case a 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty ⊢ x ∈ seqClosure (combiInterior ℝ s)	case a 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ x ∈ seqClosure (combiInterior ℝ s)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	refine' ⟨fun n => _, fun n => _, _⟩	case a 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ x ∈ seqClosure (combiInterior ℝ s)	case a.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ E case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => ?m.106180 n) n ∈ combiInterior ℝ s case a.refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun n => ?m.106180 n) Filter.atTop (nhds x)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply Finset.sum_centroidWeights_eq_one_of_nonempty ℝ _ hsnonempty	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty ⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply ((n : ℝ) + 2)⁻¹ • s.centroid ℝ id + (1 - ((n : ℝ) + 2)⁻¹) • x	case a.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ E	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [Finset.centroid_def]	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • Finset.centroid ℝ s id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • x) n ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • (Finset.affineCombination ℝ s id) (Finset.centroidWeights ℝ s) + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • x) n ∈ combiInterior ℝ s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [affineCombination_eq_centerMass _]	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • (Finset.affineCombination ℝ s id) (Finset.centroidWeights ℝ s) + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • x) n ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • x) n ∈ combiInterior ℝ s 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply Finset.sum_centroidWeights_eq_one_of_nonempty ℝ _ hsnonempty	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [← id_def x]	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • x) n ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • id x) n ∈ combiInterior ℝ s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [← Finset.centerMass_ite_eq (R := ℝ) _ _ id hx]	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • id x) n ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • s.centerMass (fun j => if x = j then 1 else 0) id) n ∈ combiInterior ℝ s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	simp only	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • s.centerMass (fun j => if x = j then 1 else 0) id) n ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • s.centerMass (fun j => if x = j then 1 else 0) id ∈ combiInterior ℝ s
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [Finset.centerMass_segment]	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (↑n + 2)⁻¹ • s.centerMass (Finset.centroidWeights ℝ s) id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • s.centerMass (fun j => if x = j then 1 else 0) id ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ s.centerMass (fun i => (↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s i + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = i then 1 else 0) id ∈ combiInterior ℝ s case a.refine'_2.hw₁ 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 case a.refine'_2.hw₂ 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (∑ i ∈ s, if x = i then 1 else 0) = 1 case a.refine'_2.hab 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (↑n + 2)⁻¹ + (1 - (↑n + 2)⁻¹) = 1
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [combiInterior_eq hs]	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ s.centerMass (fun i => (↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s i + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = i then 1 else 0) id ∈ combiInterior ℝ s	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ s.centerMass (fun i => (↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s i + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = i then 1 else 0) id ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	refine' ⟨_, _, _, rfl⟩	case a.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ s.centerMass (fun i => (↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s i + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = i then 1 else 0) id ∈ {x \| ∃ w, ∃ (_ : ∀ y ∈ s, 0 < w y) (_ : ∑ y ∈ s, w y = 1), s.centerMass w id = x}	case a.refine'_2.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∀ y ∈ s, 0 < (↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s y + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = y then 1 else 0 case a.refine'_2.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∑ y ∈ s, ((↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s y + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = y then 1 else 0) = 1
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	sorry	case a.refine'_2.refine'_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∑ y ∈ s, ((↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s y + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = y then 1 else 0) = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	simp only [mul_boole, Finset.centroidWeights_apply]	case a.refine'_2.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∀ y ∈ s, 0 < (↑n + 2)⁻¹ * Finset.centroidWeights ℝ s y + (1 - (↑n + 2)⁻¹) * if x = y then 1 else 0	case a.refine'_2.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∀ y ∈ s, 0 < (↑n + 2)⁻¹ * (↑s.card)⁻¹ + if x = y then 1 - (↑n + 2)⁻¹ else 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	intro y hy	case a.refine'_2.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∀ y ∈ s, 0 < (↑n + 2)⁻¹ * (↑s.card)⁻¹ + if x = y then 1 - (↑n + 2)⁻¹ else 0	case a.refine'_2.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑n + 2)⁻¹ * (↑s.card)⁻¹ + if x = y then 1 - (↑n + 2)⁻¹ else 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply add_pos_of_pos_of_nonneg	case a.refine'_2.refine'_1 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑n + 2)⁻¹ * (↑s.card)⁻¹ + if x = y then 1 - (↑n + 2)⁻¹ else 0	case a.refine'_2.refine'_1.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑n + 2)⁻¹ * (↑s.card)⁻¹ case a.refine'_2.refine'_1.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 ≤ if x = y then 1 - (↑n + 2)⁻¹ else 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply mul_pos	case a.refine'_2.refine'_1.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑n + 2)⁻¹ * (↑s.card)⁻¹	case a.refine'_2.refine'_1.ha.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑n + 2)⁻¹ case a.refine'_2.refine'_1.ha.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑s.card)⁻¹
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [inv_pos]	case a.refine'_2.refine'_1.ha.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑n + 2)⁻¹	case a.refine'_2.refine'_1.ha.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < ↑n + 2
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	norm_cast	case a.refine'_2.refine'_1.ha.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < ↑n + 2	case a.refine'_2.refine'_1.ha.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < n + 2
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	simp	case a.refine'_2.refine'_1.ha.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < n + 2	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [inv_pos]	case a.refine'_2.refine'_1.ha.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < (↑s.card)⁻¹	case a.refine'_2.refine'_1.ha.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < ↑s.card
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	norm_cast	case a.refine'_2.refine'_1.ha.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < ↑s.card	case a.refine'_2.refine'_1.ha.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < s.card
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rwa [Finset.card_pos]	case a.refine'_2.refine'_1.ha.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 < s.card	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	split_ifs	case a.refine'_2.refine'_1.hb 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s ⊢ 0 ≤ if x = y then 1 - (↑n + 2)⁻¹ else 0	case pos 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ 0 ≤ 1 - (↑n + 2)⁻¹ case neg 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : ¬x = y ⊢ 0 ≤ 0
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [sub_nonneg]	case pos 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ 0 ≤ 1 - (↑n + 2)⁻¹	case pos 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ (↑n + 2)⁻¹ ≤ 1
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply inv_le_one	case pos 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ (↑n + 2)⁻¹ ≤ 1	case pos.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ 1 ≤ ↑n + 2
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	norm_cast	case pos.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ 1 ≤ ↑n + 2	case pos.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ 1 ≤ n + 2
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply Nat.succ_pos	case pos.ha 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : x = y ⊢ 1 ≤ n + 2	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rfl	case neg 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ y : E hy : y ∈ s h✝ : ¬x = y ⊢ 0 ≤ 0	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	apply centroid_weights	case a.refine'_2.hw₁ 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	simp [Finset.sum_boole, Finset.filter_eq, hx]	case a.refine'_2.hw₂ 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (∑ i ∈ s, if x = i then 1 else 0) = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	simp only [add_sub_cancel]	case a.refine'_2.hab 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 n : ℕ ⊢ (↑n + 2)⁻¹ + (1 - (↑n + 2)⁻¹) = 1	no goals
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [tendsto_iff_norm_sub_tendsto_zero]	case a.refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun n => (↑n + 2)⁻¹ • Finset.centroid ℝ s id + (1 - (↑n + 2)⁻¹) • x) Filter.atTop (nhds x)	case a.refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => ‖(↑e + 2)⁻¹ • Finset.centroid ℝ s id + (1 - (↑e + 2)⁻¹) • x - x‖) Filter.atTop (nhds 0)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	convert_to Filter.Tendsto (fun e : ℕ => ((e : ℝ) + 2)⁻¹ * ‖s.centroid ℝ id - x‖) Filter.atTop _	case a.refine'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => ‖(↑e + 2)⁻¹ • Finset.centroid ℝ s id + (1 - (↑e + 2)⁻¹) • x - x‖) Filter.atTop (nhds 0)	case h.e'_3 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ (fun e => ‖(↑e + 2)⁻¹ • Finset.centroid ℝ s id + (1 - (↑e + 2)⁻¹) • x - x‖) = fun e => (↑e + 2)⁻¹ * ‖Finset.centroid ℝ s id - x‖ case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => (↑e + 2)⁻¹ * ‖Finset.centroid ℝ s id - x‖) Filter.atTop (nhds 0)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	suffices Filter.Tendsto (fun e : ℕ => (↑(e + 2) : ℝ)⁻¹) Filter.atTop (nhds 0) by simpa using this.mul_const _	case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => (↑e + 2)⁻¹ * ‖Finset.centroid ℝ s id - x‖) Filter.atTop (nhds 0)	case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => (↑(e + 2))⁻¹) Filter.atTop (nhds 0)
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	refine' tendsto_inv_atTop_zero.comp _	case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => (↑(e + 2))⁻¹) Filter.atTop (nhds 0)	case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => ↑(e + 2)) Filter.atTop Filter.atTop
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git	034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f	LeanCamCombi/SimplicialComplex/Simplex.lean	subset_closure_combiInterior	[234, 1]	[288, 39]	rw [tendsto_natCast_atTop_iff]	case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => ↑(e + 2)) Filter.atTop Filter.atTop	case a.refine'_3.convert_2 𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s t : Finset E hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val x : E hx : x ∈ s hsnonempty : s.Nonempty centroid_weights : ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights ℝ s i = 1 ⊢ Filter.Tendsto (fun e => e + 2) Filter.atTop Filter.atTop

Subsets and Splits

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