internlm/Lean-Github · Datasets at Hugging Face

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https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right	[142, 1]	[171, 15]	obtain s1 := Function.right_id_right_inverse f finv h2	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a ⊢ f (finv a) = a	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : RightInverse finv f ⊢ f (finv a) = a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right	[142, 1]	[171, 15]	simp only [Function.RightInverse] at s1	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : RightInverse finv f ⊢ f (finv a) = a	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : LeftInverse f finv ⊢ f (finv a) = a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right	[142, 1]	[171, 15]	simp only [Function.LeftInverse] at s1	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : LeftInverse f finv ⊢ f (finv a) = a	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : ∀ (x : β), f (finv x) = x ⊢ f (finv a) = a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right	[142, 1]	[171, 15]	exact s1 a	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : ∀ (x : β), f (finv x) = x ⊢ f (finv a) = a	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	simp only [Function.Injective] at h1	α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : Injective f ⊢ updateITE g (f a) b ∘ f = updateITE (g ∘ f) a b	α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ ⊢ updateITE g (f a) b ∘ f = updateITE (g ∘ f) a b
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	funext x	α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ ⊢ updateITE g (f a) b ∘ f = updateITE (g ∘ f) a b	case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (updateITE g (f a) b ∘ f) x = updateITE (g ∘ f) a b x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	simp	case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (updateITE g (f a) b ∘ f) x = updateITE (g ∘ f) a b x	case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ updateITE g (f a) b (f x) = updateITE (g ∘ f) a b x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	simp only [Function.updateITE]	case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ updateITE g (f a) b (f x) = updateITE (g ∘ f) a b x	case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (if f x = f a then b else g (f x)) = if x = a then b else (g ∘ f) x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	congr!	case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (if f x = f a then b else g (f x)) = if x = a then b else (g ∘ f) x	case h.h₁.a α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a ↔ x = a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	constructor	case h.h₁.a α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a ↔ x = a	case h.h₁.a.mp α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a → x = a case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ x = a → f x = f a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	apply h1	case h.h₁.a.mp α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a → x = a	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	intro a1	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ x = a → f x = f a	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α a1 : x = a ⊢ f x = f a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	subst a1	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α a1 : x = a ⊢ f x = f a	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp_right_injective	[174, 1]	[196, 8]	rfl	case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	funext x	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b ⊢ updateITE (updateITE f a d) b c = updateITE (updateITE f b c) a d	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a d) b c x = updateITE (updateITE f b c) a d x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	simp only [Function.updateITE]	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a d) b c x = updateITE (updateITE f b c) a d x	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then c else if x = a then d else f x) = if x = a then d else if x = b then c else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	split_ifs	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then c else if x = a then d else f x) = if x = a then d else if x = b then c else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : x = b h✝ : x = a ⊢ c = d case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : x = b h✝ : ¬x = a ⊢ c = c case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : x = a ⊢ d = d case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	case _ c1 c2 => subst c1 c2 contradiction	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = b c2 : x = a ⊢ c = d	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	case _ \| _ \| _ => rfl	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	subst c1 c2	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = b c2 : x = a ⊢ c = d	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ c = d
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	contradiction	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ c = d	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm	[199, 1]	[216, 8]	rfl	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_idem	[219, 1]	[232, 8]	funext x	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β ⊢ updateITE (updateITE f a b) a c = updateITE f a c	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ updateITE (updateITE f a b) a c x = updateITE f a c x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_idem	[219, 1]	[232, 8]	simp only [Function.updateITE]	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ updateITE (updateITE f a b) a c x = updateITE f a c x	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ (if x = a then c else if x = a then b else f x) = if x = a then c else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_idem	[219, 1]	[232, 8]	split_ifs	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ (if x = a then c else if x = a then b else f x) = if x = a then c else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : x = a ⊢ c = c case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_idem	[219, 1]	[232, 8]	rfl	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : x = a ⊢ c = c	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_idem	[219, 1]	[232, 8]	rfl	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	funext x	α : Type inst✝ : DecidableEq α a : α ⊢ updateITE id a a = id	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ updateITE id a a x = id x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	simp only [Function.updateITE]	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ updateITE id a a x = id x	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ (if x = a then a else id x) = id x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	split_ifs	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ (if x = a then a else id x) = id x	case pos α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : x = a ⊢ a = id x case neg α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : ¬x = a ⊢ id x = id x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	case _ c1 => subst c1 simp	α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α c1 : x = a ⊢ a = id x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	case _ => rfl	α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : ¬x = a ⊢ id x = id x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	subst c1	α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α c1 : x = a ⊢ a = id x	α : Type inst✝ : DecidableEq α x : α ⊢ x = id x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	simp	α : Type inst✝ : DecidableEq α x : α ⊢ x = id x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_id	[235, 1]	[248, 8]	rfl	α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : ¬x = a ⊢ id x = id x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm_id	[251, 1]	[264, 24]	funext x	α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b ⊢ updateITE (updateITE id b c) a a = updateITE id b c	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE id b c) a a x = updateITE id b c x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm_id	[251, 1]	[264, 24]	simp only [Function.updateITE]	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE id b c) a a x = updateITE id b c x	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = a then a else if x = b then c else id x) = if x = b then c else id x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm_id	[251, 1]	[264, 24]	simp	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = a then a else if x = b then c else id x) = if x = b then c else id x	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ x = a → a = if x = b then c else x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm_id	[251, 1]	[264, 24]	intro a1	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ x = a → a = if x = b then c else x	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α a1 : x = a ⊢ a = if x = b then c else x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm_id	[251, 1]	[264, 24]	subst a1	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α a1 : x = a ⊢ a = if x = b then c else x	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α b c x : α h1 : ¬x = b ⊢ x = if x = b then c else x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comm_id	[251, 1]	[264, 24]	simp only [if_neg h1]	case h α : Type inst✝ : DecidableEq α b c x : α h1 : ¬x = b ⊢ x = if x = b then c else x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	funext x	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x ⊢ updateITE f a (g a) = g	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ updateITE f a (g a) x = g x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	simp only [Function.updateITE]	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ updateITE f a (g a) x = g x	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ (if x = a then g a else f x) = g x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	split_ifs	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ (if x = a then g a else f x) = g x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α h✝ : x = a ⊢ g a = g x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α h✝ : ¬x = a ⊢ f x = g x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	case _ c1 => subst c1 rfl	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : x = a ⊢ g a = g x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	case _ c1 => exact h1 x c1	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : ¬x = a ⊢ f x = g x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	subst c1	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : x = a ⊢ g a = g x	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β x : α h1 : ∀ (x_1 : α), ¬x_1 = x → f x_1 = g x_1 ⊢ g x = g x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	rfl	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β x : α h1 : ∀ (x_1 : α), ¬x_1 = x → f x_1 = g x_1 ⊢ g x = g x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_coincide	[267, 1]	[282, 18]	exact h1 x c1	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : ¬x = a ⊢ f x = g x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	induction xs	α β : Type inst✝ : DecidableEq α xs : List α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ xs ⊢ List.map (updateITE f a b) xs = List.map f xs	case nil α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ [] ⊢ List.map (updateITE f a b) [] = List.map f [] case cons α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β head✝ : α tail✝ : List α tail_ih✝ : a ∉ tail✝ → List.map (updateITE f a b) tail✝ = List.map f tail✝ h1 : a ∉ head✝ :: tail✝ ⊢ List.map (updateITE f a b) (head✝ :: tail✝) = List.map f (head✝ :: tail✝)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	case nil => simp	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ [] ⊢ List.map (updateITE f a b) [] = List.map f []	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	case cons hd tl ih => simp at h1 push_neg at h1 cases h1 case intro h1_left h1_right => simp simp only [Function.updateITE] split_ifs <;> tauto	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ∉ hd :: tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	simp	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ [] ⊢ List.map (updateITE f a b) [] = List.map f []	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	simp at h1	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ∉ hd :: tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : ¬a = hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	push_neg at h1	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : ¬a = hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ≠ hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	cases h1	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ≠ hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)	case intro α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl left✝ : a ≠ hd right✝ : a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	case intro h1_left h1_right => simp simp only [Function.updateITE] split_ifs <;> tauto	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	simp	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ updateITE f a b hd = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	simp only [Function.updateITE]	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ updateITE f a b hd = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ (if hd = a then b else f hd) = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_list	[285, 1]	[306, 26]	split_ifs <;> tauto	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ (if hd = a then b else f hd) = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	induction S using Finset.induction_on	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β S : Finset α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) S = Finset.image f S	case empty α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ ∅ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅ case insert α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β a✝² : α s✝ : Finset α a✝¹ : a✝² ∉ s✝ a✝ : a ∉ s✝ → Finset.image (updateITE f a b) s✝ = Finset.image f s✝ h1 : a ∉ insert a✝² s✝ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert a✝² s✝) = Finset.image f (insert a✝² s✝)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	case empty => simp	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ ∅ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	simp	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ ∅ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	simp at h1	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : a ∉ insert S_a S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : ¬a = S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	push_neg at h1	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : ¬a = S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : a ≠ S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	cases h1	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : a ≠ S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)	case intro α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S left✝ : a ≠ S_a right✝ : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	simp	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ insert (updateITE f a b S_a) (Finset.image (updateITE f a b) S_S) = insert (f S_a) (Finset.image f S_S)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	congr! 1	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ insert (updateITE f a b S_a) (Finset.image (updateITE f a b) S_S) = insert (f S_a) (Finset.image f S_S)	case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ updateITE f a b S_a = f S_a case h.e'_5 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	simp only [Function.updateITE]	case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ updateITE f a b S_a = f S_a	case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ (if S_a = a then b else f S_a) = f S_a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	split_ifs	case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ (if S_a = a then b else f S_a) = f S_a	case pos α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S h✝ : S_a = a ⊢ b = f S_a case neg α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S h✝ : ¬S_a = a ⊢ f S_a = f S_a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	case _ c1 => subst c1 contradiction	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : S_a = a ⊢ b = f S_a	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	case _ c1 => rfl	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : ¬S_a = a ⊢ f S_a = f S_a	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	subst c1	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : S_a = a ⊢ b = f S_a	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : S_a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f S_a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : S_a ≠ S_a h1_right : S_a ∉ S_S ⊢ b = f S_a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	contradiction	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : S_a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f S_a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : S_a ≠ S_a h1_right : S_a ∉ S_S ⊢ b = f S_a	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	rfl	α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : ¬S_a = a ⊢ f S_a = f S_a	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_not_mem_set	[309, 1]	[339, 28]	exact S_ih h1_right	case h.e'_5 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	funext x	α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b ⊢ updateITE (updateITE f a c) b d = updateITE (updateITE f b d) a c	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a c) b d x = updateITE (updateITE f b d) a c x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	simp only [Function.updateITE]	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a c) b d x = updateITE (updateITE f b d) a c x	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	by_cases c1 : x = a	case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	by_cases c2 : x = b	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	subst c1	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 : x = b h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	subst c2	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 : x = b h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ (if x = x then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = x then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	contradiction	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ (if x = x then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = x then d else f x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	subst c1	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	simp	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ x = b → d = c
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	intro a1	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ x = b → d = c	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b a1 : x = b ⊢ d = c
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	contradiction	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b a1 : x = b ⊢ d = c	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	by_cases c2 : x = b	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	subst c2	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ (if x = x then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = x then d else f x
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	simp	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ (if x = x then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = x then d else f x	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ d = if x = a then c else d
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	simp only [if_neg c1]	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ d = if x = a then c else d	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_symm	[342, 1]	[367, 28]	simp only [if_neg c1]	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	simp only [Function.updateITE]	α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) ⊢ updateITE g c d (updateITE f b c a) = updateITE (g ∘ f) b d a	α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	by_cases c1 : a = b	α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	simp only [c1]	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if True then c else f b) = c then d else g (if True then c else f b)) = if True then d else (g ∘ f) b
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	simp	case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if True then c else f b) = c then d else g (if True then c else f b)) = if True then d else (g ∘ f) b	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	simp only [c1]	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if False then c else f a) = c then d else g (if False then c else f a)) = if False then d else (g ∘ f) a
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	simp	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if False then c else f a) = c then d else g (if False then c else f a)) = if False then d else (g ∘ f) a	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ f a = c → d = g (f a)
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateITE_comp	[370, 1]	[386, 13]	exact h1	case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ f a = c → d = g (f a)	no goals
https://github.com/pthomas505/FOL.git	097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c	FOL/FunctionUpdateITE.lean	Function.updateListITE_comp	[391, 1]	[413, 41]	induction xs generalizing ys	α β γ : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β g : β → γ xs : List α ys : List β ⊢ g ∘ updateListITE f xs ys = updateListITE (g ∘ f) xs (List.map g ys)	case nil α β γ : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β g : β → γ ys : List β ⊢ g ∘ updateListITE f [] ys = updateListITE (g ∘ f) [] (List.map g ys) case cons α β γ : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β g : β → γ head✝ : α tail✝ : List α tail_ih✝ : ∀ (ys : List β), g ∘ updateListITE f tail✝ ys = updateListITE (g ∘ f) tail✝ (List.map g ys) ys : List β ⊢ g ∘ updateListITE f (head✝ :: tail✝) ys = updateListITE (g ∘ f) (head✝ :: tail✝) (List.map g ys)

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp_right

[142, 1]

[171, 15]

obtain s1 := Function.right_id_right_inverse f finv h2

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a ⊢ f (finv a) = a

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : RightInverse finv f ⊢ f (finv a) = a

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Function.updateITE_comp_right

[142, 1]

[171, 15]

simp only [Function.RightInverse] at s1

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : RightInverse finv f ⊢ f (finv a) = a

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : LeftInverse f finv ⊢ f (finv a) = a

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Function.updateITE_comp_right

[142, 1]

[171, 15]

simp only [Function.LeftInverse] at s1

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : LeftInverse f finv ⊢ f (finv a) = a

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : ∀ (x : β), f (finv x) = x ⊢ f (finv a) = a

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Function.updateITE_comp_right

[142, 1]

[171, 15]

exact s1 a

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β finv : β → α g : β → γ a : β b : γ h1 : finv ∘ f = id h2 : f ∘ finv = id x : α a1 : x = finv a s1 : ∀ (x : β), f (finv x) = x ⊢ f (finv a) = a

no goals

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

simp only [Function.Injective] at h1

α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : Injective f ⊢ updateITE g (f a) b ∘ f = updateITE (g ∘ f) a b

α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ ⊢ updateITE g (f a) b ∘ f = updateITE (g ∘ f) a b

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

funext x

α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ ⊢ updateITE g (f a) b ∘ f = updateITE (g ∘ f) a b

case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (updateITE g (f a) b ∘ f) x = updateITE (g ∘ f) a b x

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

simp

case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (updateITE g (f a) b ∘ f) x = updateITE (g ∘ f) a b x

case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ updateITE g (f a) b (f x) = updateITE (g ∘ f) a b x

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

simp only [Function.updateITE]

case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ updateITE g (f a) b (f x) = updateITE (g ∘ f) a b x

case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (if f x = f a then b else g (f x)) = if x = a then b else (g ∘ f) x

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

congr!

case h α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ (if f x = f a then b else g (f x)) = if x = a then b else (g ∘ f) x

case h.h₁.a α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a ↔ x = a

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

constructor

case h.h₁.a α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a ↔ x = a

case h.h₁.a.mp α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a → x = a case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ x = a → f x = f a

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

apply h1

case h.h₁.a.mp α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f a → x = a

no goals

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

intro a1

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ x = a → f x = f a

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α a1 : x = a ⊢ f x = f a

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

subst a1

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ a : α b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α a1 : x = a ⊢ f x = f a

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f x

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Function.updateITE_comp_right_injective

[174, 1]

[196, 8]

rfl

case h.h₁.a.mpr α β γ : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β g : β → γ b : γ h1 : ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, f a₁ = f a₂ → a₁ = a₂ x : α ⊢ f x = f x

no goals

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

funext x

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b ⊢ updateITE (updateITE f a d) b c = updateITE (updateITE f b c) a d

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a d) b c x = updateITE (updateITE f b c) a d x

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

simp only [Function.updateITE]

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a d) b c x = updateITE (updateITE f b c) a d x

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then c else if x = a then d else f x) = if x = a then d else if x = b then c else f x

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

split_ifs

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then c else if x = a then d else f x) = if x = a then d else if x = b then c else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : x = b h✝ : x = a ⊢ c = d case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : x = b h✝ : ¬x = a ⊢ c = c case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : x = a ⊢ d = d case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

case _ c1 c2 => subst c1 c2 contradiction

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = b c2 : x = a ⊢ c = d

no goals

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

case _ | _ | _ => rfl

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x

no goals

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

subst c1 c2

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = b c2 : x = a ⊢ c = d

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ c = d

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

contradiction

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ c = d

no goals

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Function.updateITE_comm

[199, 1]

[216, 8]

rfl

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α h✝¹ : ¬x = b h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_idem

[219, 1]

[232, 8]

funext x

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β ⊢ updateITE (updateITE f a b) a c = updateITE f a c

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ updateITE (updateITE f a b) a c x = updateITE f a c x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_idem

[219, 1]

[232, 8]

simp only [Function.updateITE]

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ updateITE (updateITE f a b) a c x = updateITE f a c x

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ (if x = a then c else if x = a then b else f x) = if x = a then c else f x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_idem

[219, 1]

[232, 8]

split_ifs

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α ⊢ (if x = a then c else if x = a then b else f x) = if x = a then c else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : x = a ⊢ c = c case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_idem

[219, 1]

[232, 8]

rfl

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : x = a ⊢ c = c

no goals

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_idem

[219, 1]

[232, 8]

rfl

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b c : β x : α h✝ : ¬x = a ⊢ f x = f x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

funext x

α : Type inst✝ : DecidableEq α a : α ⊢ updateITE id a a = id

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ updateITE id a a x = id x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

simp only [Function.updateITE]

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ updateITE id a a x = id x

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ (if x = a then a else id x) = id x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

split_ifs

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α ⊢ (if x = a then a else id x) = id x

case pos α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : x = a ⊢ a = id x case neg α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : ¬x = a ⊢ id x = id x

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Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

case _ c1 => subst c1 simp

α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α c1 : x = a ⊢ a = id x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

case _ => rfl

α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : ¬x = a ⊢ id x = id x

no goals

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Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

subst c1

α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α c1 : x = a ⊢ a = id x

α : Type inst✝ : DecidableEq α x : α ⊢ x = id x

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Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

simp

α : Type inst✝ : DecidableEq α x : α ⊢ x = id x

no goals

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Function.updateITE_id

[235, 1]

[248, 8]

rfl

α : Type inst✝ : DecidableEq α a x : α h✝ : ¬x = a ⊢ id x = id x

no goals

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Function.updateITE_comm_id

[251, 1]

[264, 24]

funext x

α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b ⊢ updateITE (updateITE id b c) a a = updateITE id b c

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE id b c) a a x = updateITE id b c x

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Function.updateITE_comm_id

[251, 1]

[264, 24]

simp only [Function.updateITE]

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE id b c) a a x = updateITE id b c x

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = a then a else if x = b then c else id x) = if x = b then c else id x

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Function.updateITE_comm_id

[251, 1]

[264, 24]

simp

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = a then a else if x = b then c else id x) = if x = b then c else id x

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ x = a → a = if x = b then c else x

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Function.updateITE_comm_id

[251, 1]

[264, 24]

intro a1

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α ⊢ x = a → a = if x = b then c else x

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α a1 : x = a ⊢ a = if x = b then c else x

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Function.updateITE_comm_id

[251, 1]

[264, 24]

subst a1

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α h1 : ¬a = b x : α a1 : x = a ⊢ a = if x = b then c else x

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α b c x : α h1 : ¬x = b ⊢ x = if x = b then c else x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comm_id

[251, 1]

[264, 24]

simp only [if_neg h1]

case h α : Type inst✝ : DecidableEq α b c x : α h1 : ¬x = b ⊢ x = if x = b then c else x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

funext x

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x ⊢ updateITE f a (g a) = g

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ updateITE f a (g a) x = g x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

simp only [Function.updateITE]

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ updateITE f a (g a) x = g x

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ (if x = a then g a else f x) = g x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

split_ifs

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α ⊢ (if x = a then g a else f x) = g x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α h✝ : x = a ⊢ g a = g x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α h✝ : ¬x = a ⊢ f x = g x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

case _ c1 => subst c1 rfl

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : x = a ⊢ g a = g x

no goals

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Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

case _ c1 => exact h1 x c1

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : ¬x = a ⊢ f x = g x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

subst c1

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : x = a ⊢ g a = g x

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β x : α h1 : ∀ (x_1 : α), ¬x_1 = x → f x_1 = g x_1 ⊢ g x = g x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

rfl

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β x : α h1 : ∀ (x_1 : α), ¬x_1 = x → f x_1 = g x_1 ⊢ g x = g x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_coincide

[267, 1]

[282, 18]

exact h1 x c1

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f g : α → β a : α h1 : ∀ (x : α), ¬x = a → f x = g x x : α c1 : ¬x = a ⊢ f x = g x

no goals

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Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

induction xs

α β : Type inst✝ : DecidableEq α xs : List α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ xs ⊢ List.map (updateITE f a b) xs = List.map f xs

case nil α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ [] ⊢ List.map (updateITE f a b) [] = List.map f [] case cons α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β head✝ : α tail✝ : List α tail_ih✝ : a ∉ tail✝ → List.map (updateITE f a b) tail✝ = List.map f tail✝ h1 : a ∉ head✝ :: tail✝ ⊢ List.map (updateITE f a b) (head✝ :: tail✝) = List.map f (head✝ :: tail✝)

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

case nil => simp

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ [] ⊢ List.map (updateITE f a b) [] = List.map f []

no goals

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Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

case cons hd tl ih => simp at h1 push_neg at h1 cases h1 case intro h1_left h1_right => simp simp only [Function.updateITE] split_ifs <;> tauto

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ∉ hd :: tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

simp

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ [] ⊢ List.map (updateITE f a b) [] = List.map f []

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

simp at h1

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ∉ hd :: tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : ¬a = hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

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Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

push_neg at h1

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : ¬a = hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ≠ hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

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Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

cases h1

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1 : a ≠ hd ∧ a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

case intro α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl left✝ : a ≠ hd right✝ : a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

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Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

case intro h1_left h1_right => simp simp only [Function.updateITE] split_ifs <;> tauto

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

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Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

simp

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ List.map (updateITE f a b) (hd :: tl) = List.map f (hd :: tl)

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ updateITE f a b hd = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

simp only [Function.updateITE]

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ updateITE f a b hd = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ (if hd = a then b else f hd) = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_list

[285, 1]

[306, 26]

split_ifs <;> tauto

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α b : β hd : α tl : List α ih : a ∉ tl → List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl h1_left : a ≠ hd h1_right : a ∉ tl ⊢ (if hd = a then b else f hd) = f hd ∧ List.map (updateITE f a b) tl = List.map f tl

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

induction S using Finset.induction_on

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β S : Finset α f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) S = Finset.image f S

case empty α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ ∅ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅ case insert α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β a✝² : α s✝ : Finset α a✝¹ : a✝² ∉ s✝ a✝ : a ∉ s✝ → Finset.image (updateITE f a b) s✝ = Finset.image f s✝ h1 : a ∉ insert a✝² s✝ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert a✝² s✝) = Finset.image f (insert a✝² s✝)

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

case empty => simp

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ ∅ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

simp

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β h1 : a ∉ ∅ ⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

simp at h1

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : a ∉ insert S_a S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : ¬a = S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

push_neg at h1

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : ¬a = S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : a ≠ S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

cases h1

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1 : a ≠ S_a ∧ a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

case intro α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S left✝ : a ≠ S_a right✝ : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

simp

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert S_a S_S) = Finset.image f (insert S_a S_S)

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ insert (updateITE f a b S_a) (Finset.image (updateITE f a b) S_S) = insert (f S_a) (Finset.image f S_S)

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097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

congr! 1

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ insert (updateITE f a b S_a) (Finset.image (updateITE f a b) S_S) = insert (f S_a) (Finset.image f S_S)

case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ updateITE f a b S_a = f S_a case h.e'_5 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

simp only [Function.updateITE]

case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ updateITE f a b S_a = f S_a

case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ (if S_a = a then b else f S_a) = f S_a

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

split_ifs

case h.e'_4 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ (if S_a = a then b else f S_a) = f S_a

case pos α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S h✝ : S_a = a ⊢ b = f S_a case neg α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S h✝ : ¬S_a = a ⊢ f S_a = f S_a

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

case _ c1 => subst c1 contradiction

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : S_a = a ⊢ b = f S_a

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

case _ c1 => rfl

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : ¬S_a = a ⊢ f S_a = f S_a

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

subst c1

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : S_a = a ⊢ b = f S_a

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : S_a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f S_a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : S_a ≠ S_a h1_right : S_a ∉ S_S ⊢ b = f S_a

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

contradiction

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : S_a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f S_a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : S_a ≠ S_a h1_right : S_a ∉ S_S ⊢ b = f S_a

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

rfl

α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S c1 : ¬S_a = a ⊢ f S_a = f S_a

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_not_mem_set

[309, 1]

[339, 28]

exact S_ih h1_right

case h.e'_5 α β : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : DecidableEq β f : α → β a : α b : β S_a : α S_S : Finset α a✝ : S_a ∉ S_S S_ih : a ∉ S_S → Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S h1_left : a ≠ S_a h1_right : a ∉ S_S ⊢ Finset.image (updateITE f a b) S_S = Finset.image f S_S

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

funext x

α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b ⊢ updateITE (updateITE f a c) b d = updateITE (updateITE f b d) a c

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a c) b d x = updateITE (updateITE f b d) a c x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

simp only [Function.updateITE]

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ updateITE (updateITE f a c) b d x = updateITE (updateITE f b d) a c x

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

by_cases c1 : x = a

case h α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

by_cases c2 : x = b

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

subst c1

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 : x = b h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

subst c2

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 : x = b h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ (if x = x then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = x then d else f x

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

contradiction

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β c d : β x : α h1 : ¬x = x ⊢ (if x = x then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = x then d else f x

no goals

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FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

subst c1

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x

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097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

simp

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = x then c else f x) = if x = x then c else if x = b then d else f x

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ x = b → d = c

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

intro a1

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b ⊢ x = b → d = c

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b a1 : x = b ⊢ d = c

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

contradiction

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β b : α c d : β x : α c2 h1 : ¬x = b a1 : x = b ⊢ d = c

no goals

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097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

by_cases c2 : x = b

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

subst c2

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ (if x = x then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = x then d else f x

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

simp

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ (if x = x then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = x then d else f x

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ d = if x = a then c else d

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097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

simp only [if_neg c1]

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a : α c d : β x : α c1 : ¬x = a h1 : ¬a = x ⊢ d = if x = a then c else d

no goals

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_symm

[342, 1]

[367, 28]

simp only [if_neg c1]

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β a b : α c d : β h1 : ¬a = b x : α c1 : ¬x = a c2 : ¬x = b ⊢ (if x = b then d else if x = a then c else f x) = if x = a then c else if x = b then d else f x

no goals

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

simp only [Function.updateITE]

α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) ⊢ updateITE g c d (updateITE f b c a) = updateITE (g ∘ f) b d a

α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

by_cases c1 : a = b

α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

simp only [c1]

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if True then c else f b) = c then d else g (if True then c else f b)) = if True then d else (g ∘ f) b

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

simp

case pos α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : a = b ⊢ (if (if True then c else f b) = c then d else g (if True then c else f b)) = if True then d else (g ∘ f) b

no goals

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

simp only [c1]

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if a = b then c else f a) = c then d else g (if a = b then c else f a)) = if a = b then d else (g ∘ f) a

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if False then c else f a) = c then d else g (if False then c else f a)) = if False then d else (g ∘ f) a

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

simp

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ (if (if False then c else f a) = c then d else g (if False then c else f a)) = if False then d else (g ∘ f) a

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ f a = c → d = g (f a)

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateITE_comp

[370, 1]

[386, 13]

exact h1

case neg α β : Type inst✝ : DecidableEq α a b c : α d : β f : α → α g : α → β h1 : f a = c → d = g (f a) c1 : ¬a = b ⊢ f a = c → d = g (f a)

no goals

https://github.com/pthomas505/FOL.git

097a4abea51b641d144539b9a0f7516f3b9d818c

FOL/FunctionUpdateITE.lean

Function.updateListITE_comp

[391, 1]

[413, 41]

induction xs generalizing ys

α β γ : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β g : β → γ xs : List α ys : List β ⊢ g ∘ updateListITE f xs ys = updateListITE (g ∘ f) xs (List.map g ys)

case nil α β γ : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β g : β → γ ys : List β ⊢ g ∘ updateListITE f [] ys = updateListITE (g ∘ f) [] (List.map g ys) case cons α β γ : Type inst✝ : DecidableEq α f : α → β g : β → γ head✝ : α tail✝ : List α tail_ih✝ : ∀ (ys : List β), g ∘ updateListITE f tail✝ ys = updateListITE (g ∘ f) tail✝ (List.map g ys) ys : List β ⊢ g ∘ updateListITE f (head✝ :: tail✝) ys = updateListITE (g ∘ f) (head✝ :: tail✝) (List.map g ys)