b'\n_START_ARTICLE_\nExtensi\xc3\xb3n de cuerpos\n_START_PARAGRAPH_\nEn \xc3\x81lgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teor\xc3\xada de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto est\xc3\xa1n definidas y \xc2\xabfuncionan bien\xc2\xbb. Cuando se construye una extensi\xc3\xb3n de un cuerpo, se busca un conjunto m\xc3\xa1s grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y adem\xc3\xa1s se puedan resolver las ecuaciones polin\xc3\xb3micas.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3n.\n_START_PARAGRAPH_\nSea (K, +, \xc2\xb7) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensi\xc3\xb3n de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,\xc2\xb7) es un cuerpo y (K,+,\xc2\xb7) es un cuerpo con la restricci\xc3\xb3n a K de las operaciones + y \xc2\xb7 en L. Si L es extensi\xc3\xb3n sobre K se denota L:K o L/K.\n_START_SECTION_\nExtensi\xc3\xb3n simple\n_START_PARAGRAPH_\nEl conjunto . Este conjunto es un cuerpo, es extensi\xc3\xb3n de , es subcuerpo de , y de hecho es la menor extensi\xc3\xb3n de  que contiene a . Se le denomina extensi\xc3\xb3n generada por \xce\xb1 sobre .\n_START_SECTION_\nTeorema de Kronecker.\n_START_PARAGRAPH_\nSea  un cuerpo y  un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensi\xc3\xb3n  de manera que  tiene alguna ra\xc3\xadz en .\n_START_SECTION_\nHomomorfismo evaluaci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLa funci\xc3\xb3n  que a cada polinomio  le hace corresponder su evaluaci\xc3\xb3n en , i.e., . Esta aplicaci\xc3\xb3n es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluaci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nExtensi\xc3\xb3n algebraica\n_START_PARAGRAPH_\nUna extensi\xc3\xb3n  se dice que es algebraica si todo elemento  es algebraico sobre .\n_START_SECTION_\nElementos algebraicos\n_START_PARAGRAPH_\nSupongamos que existe alg\xc3\xban polinomio  que tiene a  por ra\xc3\xadz. _NEWLINE_En esta situaci\xc3\xb3n (, o equivalentemente, existe alg\xc3\xban  irreducible con ) se dice que  es algebraico sobre ._NEWLINE_Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y s\xc3\xb3lo si es ra\xc3\xadz de alg\xc3\xban polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.\n_START_SECTION_\nPolinomio m\xc3\xb3nico irreducible\n_START_PARAGRAPH_\nSi  es un elemento algebraico sobre el cuerpo  de manera que , el polinomio  que genera al n\xc3\xbacleo de la aplicaci\xc3\xb3n evaluaci\xc3\xb3n (i.e., ) es irreducible. Dividiendo  por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ) se obtiene un polinomio m\xc3\xb3nico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por  y se denomina polinomio m\xc3\xb3nico irreducible de  respecto de ._NEWLINE_Claramente, .\n_START_SECTION_\nExtensi\xc3\xb3n trascendente\n_START_PARAGRAPH_\nUna extensi\xc3\xb3n  se dice que es trascendente si existe alg\xc3\xban elemento  que sea trascendente sobre .\n_START_SECTION_\nElementos trascendentes\n_START_PARAGRAPH_\nSi el ker, ser\xc3\xa1  un monomorfismo. En ese caso,  es isomorfo a . _NEWLINE__NEWLINE_Se dir\xc3\xa1 que el elemento  es trascendente sobre  y que  es una extensi\xc3\xb3n trascendente sobre . Adem\xc3\xa1s, no existir\xc3\xa1 ning\xc3\xban polinomio con coeficientes en  que tenga por ra\xc3\xadz a  (es decir, si , entonces ).\n_START_SECTION_\nGrado de una extensi\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nComo todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensi\xc3\xb3n de  como espacio vectorial sobre , denotado por . Se denomina grado de la extensi\xc3\xb3n  a la dimensi\xc3\xb3n de  como -espacio vectorial: ._NEWLINE_Tomemos varios ejemplos:_NEWLINE_K =  el cuerpo de los racionales y L =  el cuerpo de los reales;  visto como espacio vectorial sobre , es de dimensi\xc3\xb3n infinita, es decir, ._NEWLINE_El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensi\xc3\xb3n de  sobre  fuese finita,  ser\xc3\xada isomorfo a , lo que no es posible porque . _NEWLINE_Si K = , el cuerpo de los racionales y L = , el menor cuerpo que contiene a la vez  y \xe2\x88\x9a2, claramente  es una extensi\xc3\xb3n algebraica de , ya que  es ra\xc3\xadz del polinomio ._NEWLINE_Al mismo tiempo: _NEWLINE_ _NEWLINE_ya que el ideal  es el n\xc3\xbacleo del morfismo , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos. _NEWLINE_Adem\xc3\xa1s , es decir, la dimensi\xc3\xb3n de  como espacio vectorial sobre  es 2, esto es as\xc3\xad ya que 2 es el grado del polinomio m\xc3\xb3nico e irreducible que tiene a \xe2\x88\x9a2 como ra\xc3\xadz: ._NEWLINE_En general:_NEWLINE_ si  es el grado del polinomio m\xc3\xb3nico e irreducible en  que tiene a  como ra\xc3\xadz, donde  es un cuerpo y  son los polinomios con coeficientes en .'