b'\n_START_ARTICLE_\nPolitopo\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada politopo significa, en primer lugar, la generalizaci\xc3\xb3n a cualquier dimensi\xc3\xb3n de un pol\xc3\xadgono bidimensional, o un poliedro tridimensional. Adem\xc3\xa1s, este t\xc3\xa9rmino es utilizado en varios conceptos matem\xc3\xa1ticos relacionados. Su uso es an\xc3\xa1logo al de cuadrado, que puede usarse para referirse a una regi\xc3\xb3n del plano de forma cuadrada, o s\xc3\xb3lo para los cuatro lados (l\xc3\xadnea poligonal cerrada), o a\xc3\xban para una mera lista de sus v\xc3\xa9rtices y lados junto con alguna informaci\xc3\xb3n acerca de la forma en que est\xc3\xa1n conectados. _NEWLINE_El t\xc3\xa9rmino fue creado por Alicia Boole Stott, hija del matem\xc3\xa1tico y fil\xc3\xb3sofo irland\xc3\xa9s George Boole._NEWLINE_Los s\xc3\xb3lidos plat\xc3\xb3nicos, o politopos regulares de tres dimensiones, fueron objeto central de estudio de los matem\xc3\xa1ticos de la Grecia Antigua (principalmente, en los Elementos de Euclides), probablemente debido a sus cualidades est\xc3\xa9ticas intr\xc3\xadnsecas. En tiempos modernos, los politopos y sus conceptos relacionados tienen importante aplicaci\xc3\xb3n en gr\xc3\xa1ficos por computadora, optimizaci\xc3\xb3n y muchos otros campos.\n_START_SECTION_\nPolitopos convexos\n_START_PARAGRAPH_\nUna clase especial de politopos son los politopos convexos, el casco convexo o envoltura convexa de un conjunto finito de puntos. Los politopos convexos tambi\xc3\xa9n pueden representarse como la intersecci\xc3\xb3n de hemiespacios. Esta intersecci\xc3\xb3n puede escribirse como la desigualdad matricial , donde A es una matriz de n por m, con n el n\xc3\xbamero de hemiespacios y m el n\xc3\xbamero de dimensiones del politopo, y b un vector de n por 1 columna. Los coeficientes de cada fila de A y b se corresponden con los coeficientes de la desigualdad lineal que define al respectivo hemiespacio (v\xc3\xa9ase hiperplano para una explicaci\xc3\xb3n m\xc3\xa1s detallada). En consecuencia, cada fila de la matriz se corresponde con uno de los hiperplanos que delimitan el politopo._NEWLINE_Un politopo convexo n-dimensional est\xc3\xa1 delimitado por un n\xc3\xbamero de facetas (n-1)-dimensionales. Cada par de facetas se encuentra en una "cresta" de dimensi\xc3\xb3n n-2. Estas, a su vez, se encuentra en fronteras (n-3)-dimensionales, y as\xc3\xad sucesivamente. Estos subpolitopos son llamados caras, si bien el t\xc3\xa9rmino puede tambi\xc3\xa9n referirse espec\xc3\xadficamente al caso bidimiensional). Una cara de dimensi\xc3\xb3n 0 es un v\xc3\xa9rtice; una cara de dimensi\xc3\xb3n 1 es una arista. Se llama celda a las caras tridimensionales._NEWLINE_Una cuveta consiste de los puntos de un politopo que tambi\xc3\xa9n satisface la forma de igualdad de una representaci\xc3\xb3n matricial donde s\xc3\xb3lo est\xc3\xa1 presente una fila en A. De modo similar, una cresta satisface la forma de igualdad de la representaci\xc3\xb3n matricial cuando en A hay dos filas presentes. En t\xc3\xa9rminos generales, una cara (n-j)-dimensional satisface la relaci\xc3\xb3n de igualdad con j filas en A. Estas filas forman la base de la cara. En t\xc3\xa9rminos geom\xc3\xa9tricos, esto significa que la cara es el conjunto de puntos del politopo que yacen en la la intersecci\xc3\xb3n de j de los hiperplanos que limitan el politopo. Las caras de un politopo convexo forman una ret\xc3\xadcula llamada su ret\xc3\xadcula de cara, donde la relaci\xc3\xb3n de subconjuntos est\xc3\xa1 definida entre los hiperplanos de la base. El politopo en s\xc3\xad es considerado una "cara" en la ret\xc3\xadcula de caras, y es el m\xc3\xa1ximo de la ret\xc3\xadcula._NEWLINE_N\xc3\xb3tese que esta terminolog\xc3\xada no es a\xc3\xban totalmente est\xc3\xa1ndar. El t\xc3\xa9rmino cara es a veces usado para referirse s\xc3\xb3lo a subpolitopos bidimensionales, y otras veces se lo usa en lugar de faceta. Se suele emplear tambi\xc3\xa9n arista para referirse a una cresta.\n_START_SECTION_\nDescomposici\xc3\xb3n simplicial\n_START_PARAGRAPH_\nDado un casco convexo en espacio r-dimensional (pero no en cualquier plano r-1) podemos tomar subconjuntos linealmente independientes de los v\xc3\xa9rtices y definir con ellos r-simplices. De hecho, pueden escogerse varios simplices en forma tal que su uni\xc3\xb3n como conjuntos resulte en el casco original, y la intersecci\xc3\xb3n de dos cualesquiera sea o bien vac\xc3\xada o bien un s-simplex para alg\xc3\xban s < r._NEWLINE_Por ejemplo, en el plano un cuadrado (envoltura convexa de sus esquinas) es la uni\xc3\xb3n de los dos tri\xc3\xa1ngulos (2-simplices), definidos por una diagonal 1-simplex que es su intersecci\xc3\xb3n._NEWLINE_En general, la definici\xc3\xb3n (atribuida a Pavel Sergueievich Alexandrov) es que un r-politopo se define como un conjunto con una r-descomposici\xc3\xb3n simplicia con algunas propiedades adicionales. Si un conjunto tienen una r-descomposici\xc3\xb3n simplicia, esto significa que es la uni\xc3\xb3n de s-simplices para valores de s, con s menor o igual que r, cerrado bajo la intersecci\xc3\xb3n, y tal que la \xc3\xbanica ocasi\xc3\xb3n en que un simplex est\xc3\xa1 contenido en otro es una cara._NEWLINE_\xc2\xbfQu\xc3\xa9 podemos construir as\xc3\xad? Comencemos con el 1-simplex, o segmento de una l\xc3\xadnea. Tendremos, pues, el segmento y cualquier cosa que puede obtenerse agregando segmentos a los extremos:_NEWLINE_Si dos segmentos se encuentran en cada v\xc3\xa9rtice (es decir, en todos los casos excepto el \xc3\xbaltimo de la ilustraci\xc3\xb3n anterior), se obtiene una curva topol\xc3\xb3gica llamada curva poligonal. Estas pueden categorizarse como abiertas o cerradas, dependiendo de que los extremos se correspondan, y como simples o complejas, dependiendo de si se intersectan a s\xc3\xad mismas. Las curvas poligonales cerradas se llaman pol\xc3\xadgonos._NEWLINE_Los pol\xc3\xadgonos simples en el plano son curvas de Jordan: tienen un interior que es un disco topol\xc3\xb3gico. As\xc3\xad sucede con los 2-politopos (como puede verse en el tercer ejemplo de la ilustraci\xc3\xb3n), y es habitual tratarlos en forma intercambiable con sus l\xc3\xadmites, adoptando ambos el nombre de pol\xc3\xadgono._NEWLINE_El proceso puede repetirse. Uniendo pol\xc3\xadgonos por los lados (1-caras) se obtienen superficies poli\xc3\xa9dricas, llamadas poliedros cuando son cerradas. Los poliedros simples son intercambiables con sus interiores, que son 3-politopos que pueden usarse para construir formas tetradimensionales (a veces llamadas pol\xc3\xadcoros), y as\xc3\xad sucesivamente._NEWLINE_Es posible hallar otras definiciones (equivalentes o no), habituales en la literatura matem\xc3\xa1tica. Los politopos pueden ser vistos como alguna forma de teselaciones de la variedad (manifold) de su superficie._NEWLINE_La teor\xc3\xada de politopos abstractos intenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando puramente sus propiedades combinatorias. Esto permite que la definici\xc3\xb3n del t\xc3\xa9rmino se extienda para abarcar objetos para los cuales es dif\xc3\xadcil definir claramente un espacio natural subyacente.\n_START_SECTION_\nUsos\n_START_PARAGRAPH_\nEn optimizaci\xc3\xb3n, la programaci\xc3\xb3n lineal estudia los m\xc3\xa1ximos y m\xc3\xadnimos de funciones lineales restringidas por el l\xc3\xadmite de un politopo n-dimensional.'