b'\n_START_ARTICLE_\nAproximaci\xc3\xb3n diof\xc3\xa1ntica\n_START_PARAGRAPH_\nEn teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros, las aproximaciones diof\xc3\xa1nticas (llamadas as\xc3\xad en honor al matem\xc3\xa1tico griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de n\xc3\xbameros reales por medio de n\xc3\xbameros racionales. _NEWLINE_El valor absoluto de la diferencia entre el real a aproximar y el racional que se aproxima, es una medida cruda, no dice nada acerca de \xc2\xabla calidad\xc2\xbb de la aproximaci\xc3\xb3n, ya que es posible encontrar racionales arbitrariamente cerca (el conjunto de los n\xc3\xbameros racionales es denso en el conjunto de los n\xc3\xbameros reales). _NEWLINE_Una medici\xc3\xb3n m\xc3\xa1s sutil de la calidad de la aproximaci\xc3\xb3n, es comparar la distancia entre los denominadores de dos n\xc3\xbameros racionales que se aproximan a un n\xc3\xbamero real.\n_START_SECTION_\nMedida de la precisi\xc3\xb3n de las aproximaciones\n_START_PARAGRAPH_\nLa medida obvia de la precisi\xc3\xb3n de una aproximaci\xc3\xb3n diofantina de un n\xc3\xbamero real \xce\xb1 de un numero racional p/q  es . Sin embargo, esta cantidad siempre puede hacerse arbitrariamente peque\xc3\xb1a aumentando los valores absolutos de p y q;  Por lo tanto la exactitud de la aproximaci\xc3\xb3n se estima usualmente comparando esta cantidad con alguna funci\xc3\xb3n \xcf\x86 del denominador q  t\xc3\xadpicamente un poder negativo de la misma._NEWLINE_Para tal comparaci\xc3\xb3n, uno puede desear l\xc3\xadmites superiores o l\xc3\xadmites inferiores de la exactitud. Un l\xc3\xadmite inferior se describe t\xc3\xadpicamente por un teorema como "para cada elemento \xce\xb1 de alg\xc3\xban subconjunto de los n\xc3\xbameros reales y de todo n\xc3\xbamero racional p/q tenemos  ". En algunos casos, "todo n\xc3\xbamero racional" puede ser reemplazado por "todos los n\xc3\xbameros racionales excepto un n\xc3\xbamero finito de ellos", lo que equivale a multiplicar \xcf\x86  por alguna constante dependiendo de \xce\xb1._NEWLINE_Para los l\xc3\xadmites superiores, hay que tener en cuenta que no todas las "mejores" aproximaciones diofantinas proporcionadas por los convergentes pueden tener la precisi\xc3\xb3n deseada. Por lo tanto los teoremas toman la forma "para cada elemento \xce\xb1  de alg\xc3\xban subconjunto de los n\xc3\xbameros reales, hay infinitamente muchos n\xc3\xbameros racionales p/q tal que  ".\n_START_SECTION_\nAproximaci\xc3\xb3n de un racional por otros racionales\n_START_PARAGRAPH_\nUn n\xc3\xbamero racional  puede ser obviamente y perfectamente aproximado por   para cada entero positivo  i ._NEWLINE_Si   tenemos_NEWLINE_:_NEWLINE_porque  es un entero positivo y, por lo tanto, no es inferior a 1. As\xc3\xad, la precisi\xc3\xb3n de la aproximaci\xc3\xb3n es mala en relaci\xc3\xb3n con los n\xc3\xbameros irracionales (ver secciones siguientes). _NEWLINE_Puede observarse que la prueba precedente utiliza una variante del Principio del agujero de la paloma: un entero no negativo que no es 0 no es menor que 1. Este comentario aparentemente trivial se usa en casi todas las pruebas de l\xc3\xadmites inferiores para Aproximaciones diof\xc3\xa1nticas, incluso las m\xc3\xa1s sofisticadas._NEWLINE_En resumen, un n\xc3\xbamero racional es perfectamente aproximado por s\xc3\xad mismo, pero est\xc3\xa1 mal aproximado por cualquier otro n\xc3\xbamero racional.\n_START_SECTION_\nDistribuci\xc3\xb3n uniforme\n_START_PARAGRAPH_\nDentro de este \xc3\xa1mbito, se desarrolla la teor\xc3\xada de la distribuci\xc3\xb3n uniforme mod 1. Sea la sucesi\xc3\xb3n a\xe2\x82\x81, a\xe2\x82\x82,... de n\xc3\xbameros reales y consid\xc3\xa9rese sus partes fraccionarias; esto es, de manera m\xc3\xa1s abstracta: sea la sucesi\xc3\xb3n de R/Z, que es un c\xc3\xadrculo. Para todo intervalo I del c\xc3\xadrculo, la proporci\xc3\xb3n de los elementos de la sucesi\xc3\xb3n que est\xc3\xa1 contenida en ella, a menos de un entero N, y comp\xc3\xa1rese con la proporci\xc3\xb3n de la circunferencia que ocupa I. Distribuci\xc3\xb3n uniforme significa que en el l\xc3\xadmite, a medida que N crece, la proporci\xc3\xb3n que ocupa en el intervalo tiende al valor \'esperado\'. Hermann Weyl provee una resultado b\xc3\xa1sico que muestra la equivalencia con cotas para sumas exponenciales formadas por la sucesi\xc3\xb3n. Esto muestra que la aproximaci\xc3\xb3n diof\xc3\xa1ntica est\xc3\xa1 muy relacionada con el problema general de cancelaci\xc3\xb3n en sumas exponenciales, la cual ocurre a lo largo de la teor\xc3\xada anal\xc3\xadtica de n\xc3\xbameros en la cota de t\xc3\xa9rminos de error. _NEWLINE_Relacionado con la distribuci\xc3\xb3n uniforme, es el concepto de distribuci\xc3\xb3n de irregularidades, de naturaleza combinatoria.\n_START_SECTION_\nProblemas inconclusos\n_START_PARAGRAPH_\nTodav\xc3\xada hay problemas de simple formulaci\xc3\xb3n, dentro de las aproximaciones diof\xc3\xa1nticas, como por ejemplo la conjetura de Littlewood.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nResultados recientes\n_START_PARAGRAPH_\nEn su ponencia plenaria en el Congreso Internacional de Matem\xc3\xa1ticos en Kyoto (1990), Grigory Margulis se\xc3\xb1al\xc3\xb3 un vasto programa basado en la teor\xc3\xada erg\xc3\xb3dica que permite demostrar resultados de la teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros utilizando las propiedades din\xc3\xa1micas y erg\xc3\xb3dicas de las acciones de subgrupos de grupos de Lie semisimples. El trabajo de D. Kleinbock, G. Margulis, y sus colaboradores, demostr\xc3\xb3 el poder de este nuevo enfoque a los problemas cl\xc3\xa1sicos de las aproximaciones diof\xc3\xa1nticas. Entre estos notables \xc3\xa9xitos, est\xc3\xa1n las demostraciones de la conocida conjetura de Oppenheim por Margulis, con posteriores extensiones de Dani y Margulis y Eskin\xe2\x80\x93Margulis\xe2\x80\x93Mozes, y la prueba de las conjeturas de Bakerand y Sprindzhuk en las aproximaciones diof\xc3\xa1nticas de variedades por Kleinbock y Margulis. Varias generalizaciones de los resultados precedentes por Aleksandr Khinchin en aproximaciones diof\xc3\xa1nticas m\xc3\xa9tricas han sido obtenidas tambi\xc3\xa9n dentro de este marco.'