b"\n_START_ARTICLE_\nN\xc3\xbamero algebraico\n_START_SECTION_\nPropiedades del conjunto de los n\xc3\xbameros algebraicos\n_START_PARAGRAPH_\nEl conjunto de los n\xc3\xbameros algebraicos es contable,  i.e. puede establecerse una biyecci\xc3\xb3n con el conjunto de los n\xc3\xbameros naturales._NEWLINE_La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos n\xc3\xbameros algebraicos resulta ser n\xc3\xbamero algebraico, y, por lo tanto, los n\xc3\xbameros algebraicos constituyen un grupo aditivo abeliano, un anillo con unidad  y un cuerpo matem\xc3\xa1tico matem\xc3\xa1tico. Por lo tanto, el conjunto de los n\xc3\xbameros algebraicos es un subcuerpo del cuerpo matem\xc3\xa1tico los n\xc3\xbameros complejos.\xe2\x80\x8b Ciertamente la suma de un n\xc3\xbamero racional y un radical es un n\xc3\xbamero algebraico; por ejemplo . _NEWLINE_De modo si s y t son n\xc3\xbameros algebraicos lo son tambi\xc3\xa9n s+t y st; para s existe el n\xc3\xbamero algebraico -s tal que s + (-s) = 0; para s\xe2\x89\xa00 existe s' tal que ss' = 1. 0 es la identidad aditiva, 1 la identidad multiplicativa.\xe2\x80\x8b El teorema fundamental del \xc3\xa1lgebra asegura que toda ecuaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica, con coeficientes enteros, tiene soluci\xc3\xb3n en \xe2\x84\x82, tiene tantas ra\xc3\xadces como indica el grado, tomando en cuenta que algunas ra\xc3\xadces pueden repetirse,\xe2\x80\x8b no se dice el formato del n\xc3\xbamero algebraico, de hecho calculables por procedimiento de an\xc3\xa1lisis num\xc3\xa9rico.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Como consecuencia de lo anterior, todos los n\xc3\xbameros que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritm\xc3\xa9ticas +, -, *, /, potencias y ra\xc3\xadces son algebraicos. Sin embargo, existen n\xc3\xbameros algebraicos que no pueden, en todos los casos, escribirse de esta forma, y son todos de grado  mayor o igual 5. \xc3\x89sta es una consecuencia de la Teor\xc3\xada de Galois._NEWLINE_Puede demostrarse que si los coeficientes a\xe1\xb5\xa2 son n\xc3\xbameros algebraicos cualesquiera, la soluci\xc3\xb3n de la ecuaci\xc3\xb3n volver\xc3\xa1 a ser un n\xc3\xbamero algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los n\xc3\xbameros algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los n\xc3\xbameros algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o que contiene los racionales (su clausura algebraica)._NEWLINE_El conjunto de los n\xc3\xbameros algebraicos, a veces denotado como , forma un cuerpo con la adici\xc3\xb3n y multiplicaci\xc3\xb3n heredadas de los complejos . A diferencia de los n\xc3\xbameros complejos los n\xc3\xbameros algebraicos son un conjunto numerable.\xe2\x80\x8b y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.\n_START_SECTION_\nEnteros algebraicos\n_START_PARAGRAPH_\nUn n\xc3\xbamero algebraico que satisface una ecuaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica de grado n con a\xe2\x82\x99 = 1 se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3\xc3\x9721/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los \xc3\xbanicos n\xc3\xbameros racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.\n_START_SECTION_\nExtensiones algebraicas\n_START_PARAGRAPH_\nLas nociones de n\xc3\xbamero algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros cuerpos, no s\xc3\xb3lo aplican al de los complejos; v\xc3\xa9ase extensi\xc3\xb3n algebraica._NEWLINE_En general, si tenemos dos cuerpos  y  de forma que el segundo es extensi\xc3\xb3n del primero, diremos que  es algebraico sobre  si existe un polinomio  del que  es ra\xc3\xadz ().\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nLeonhard Euler dividi\xc3\xb3 los n\xc3\xbameros en algebraicos y trascendentes en 1748. En 1844 Liouville obtuvo el primer criterio necesario para que un n\xc3\xbamero sea algebraico, y, por consiguiente, un criterio suficiente para que sea un n\xc3\xbamero trascendente. La teor\xc3\xada general de los n\xc3\xbameros algebraicos  enteros fue realizada, casi al mismo tiempo, por Dedekind (1877 -1895) y Zolotariov (1874). El cimiento de esta teor\xc3\xada fue construido por Kummer. \xe2\x80\x8b"