b'\n_START_ARTICLE_\nCurva modular\n_START_PARAGRAPH_\nEn la teor\xc3\xada num\xc3\xa9rica y en la geometr\xc3\xada algebraica, una curva modular Y (\xce\x93) es una superficie de Riemann, o la curva algebraica correspondiente, construida como cociente del plano medio complejo H por la acci\xc3\xb3n de un subgrupo de congruencia \xce\x93 del grupo modular de matrices integrales 2 \xc3\x97 2 SL (2, Z).  El t\xc3\xa9rmino curva modular tambi\xc3\xa9n se puede utilizar para referirse a las curvas modulares compactificadas X (\xce\x93) que son compactificaciones obtenidas a\xc3\xb1adiendo un n\xc3\xbamero finito de puntos (denominados c\xc3\xbaspides de \xce\x93) a este cociente (mediante una acci\xc3\xb3n en el plano superior complejo complejo extendido ). Los puntos de una curva modular parametrizan las clases de isomorfismo de curvas el\xc3\xadpticas, junto con alguna estructura adicional dependiendo del grupo \xce\x93. Esta interpretaci\xc3\xb3n permite dar una definici\xc3\xb3n puramente algebraica de curvas modulares, sin referencia a n\xc3\xbameros complejos, y, adem\xc3\xa1s, probar que las curvas modulares se definen ya sea sobre el campo Q de n\xc3\xbameros racionales, o un campo ciclot\xc3\xb3mico. Este \xc3\xbaltimo hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teor\xc3\xada num\xc3\xa9rica.\n_START_SECTION_\nG\xc3\xa9nero cero\n_START_PARAGRAPH_\nEn general, un campo de funci\xc3\xb3n modular es un campo de funci\xc3\xb3n de una curva modular (o, ocasionalmente, de alg\xc3\xban otro espacio de m\xc3\xb3dulo que resulta ser una variedad irreducible). "G\xc3\xa9nero cero" significa que tal campo de funci\xc3\xb3n tiene una \xc3\xbanica funci\xc3\xb3n trascendental como generador: por ejemplo, la funci\xc3\xb3n "j" genera el campo de funci\xc3\xb3n de X (1) = PSL (2, Z) \\ H. El nombre tradicional de un generador de este tipo, que es \xc3\xbanico hasta una transformaci\xc3\xb3n de M\xc3\xb6bius y puede normalizarse adecuadamente, es un Hauptmodul (funci\xc3\xb3n modular principal o principal)._NEWLINE_Los espacios X\xe2\x82\x81 (n) tienen un g\xc3\xa9nero cero para n = 1, ..., 10 yn = 12. Dado que estas curvas est\xc3\xa1n definidas sobre Q, se deduce que hay infinidad de puntos racionales en cada una de tales curvas, y por lo tanto infinitamente muchos curvas el\xc3\xadpticas definidas sobre Q con n-torsi\xc3\xb3n para estos valores de n. La afirmaci\xc3\xb3n inversa, de que s\xc3\xb3lo pueden ocurrir estos valores de n, es el teorema de torsi\xc3\xb3n de Mazur.\n_START_SECTION_\nRelaci\xc3\xb3n con el grupo Monster\n_START_PARAGRAPH_\nLas curvas modulares del g\xc3\xa9nero 0, que son bastante raras, resultaron ser de gran importancia en relaci\xc3\xb3n con las conjeturas monstruosas de la luz de la luna. Primero varios coeficientes de q-expansiones de su Hauptmoduln se calcularon ya en el siglo 19, pero lleg\xc3\xb3 como un choque que los mismos grandes n\xc3\xbameros enteros aparecen como las dimensiones de las representaciones del m\xc3\xa1s grande espor\xc3\xa1dico grupo simple Monster._NEWLINE_Otra conexi\xc3\xb3n es que la curva modular correspondiente al normalizador \xce\x930 (p) + de \xce\x930 (p) en SL (2, R) tiene un g\xc3\xa9nero cero si y s\xc3\xb3lo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, y \xc3\xa9stos son precisamente los factores primos del orden del grupo de monstruos. El resultado sobre \xce\x930 (p) + se debe a Jean-Pierre Serre, Andrew Ogg y John G. Thompson en la d\xc3\xa9cada de 1970, y la observaci\xc3\xb3n posterior que lo relaciona con el grupo de monstruos se debe a Ogg, quien redact\xc3\xb3 un papel ofreciendo una botella del whisky de Jack Daniel a cualquiera que pudiera explicar este hecho, que fue un punto de partida para la teor\xc3\xada de la monstruosa bebida alcoh\xc3\xb3lica.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_La relaci\xc3\xb3n es muy profunda y, como lo demuestra Richard Borcherds, tambi\xc3\xa9n involucra \xc3\xa1lgebras generalizadas de Kac-Moody. El trabajo en esta \xc3\xa1rea subray\xc3\xb3 la importancia de las funciones modulares que son meromorfas y pueden tener polos en las c\xc3\xbaspides, en oposici\xc3\xb3n a las formas modulares, que son holomorfos en todas partes, incluyendo las c\xc3\xbaspides, y han sido los principales objetos de estudio para la mayor parte de la siglo 20.'