b'\n_START_ARTICLE_\nSexteto de Soddy\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada, un sexteto de Soddy es una cadena de seis esferas (representadas en color gris en la Figura 1), cada una de las cuales es tangente a sus dos esferas vecinas y tambi\xc3\xa9n a tres esferas dadas, mutuamente tangentes entre s\xc3\xad. En la figura 1, estas tres esferas se muestran como una esfera interior (roja) y como dos esferas (no representadas) una por encima y otra por debajo del plano en el que se encuentran los centros de las esferas del sexteto. Adem\xc3\xa1s, las esferas del sexteto son tangentes a una cuarta esfera (de color azulado en la Figura 1, rodeada por una circunferencia de color naranja), que no es tangente a las otras tres._NEWLINE_Seg\xc3\xban un teorema publicado por Frederick Soddy en 1937,\xe2\x80\x8b siempre es posible encontrar un sexteto para cualquier conjunto de esferas tangentes entre s\xc3\xad A, B y C. De hecho, existe una familia infinita de sextetos relacionados por rotaci\xc3\xb3n y escalado de las esferas del sexteto (Figura 1). En este caso, el sexteto de Soddy es el an\xc3\xa1logo esf\xc3\xa9rico de la cadena de Steiner de seis c\xc3\xadrculos.\xe2\x80\x8b De acuerdo con las cadenas de Steiner, los centros de las esferas del sexteto se encuentran en un solo plano, sobre una elipse. El sexteto de Soddy tambi\xc3\xa9n se descubri\xc3\xb3 de forma independiente en Jap\xc3\xb3n, como lo demuestran las tablillas Sangaku de 1822 de la prefectura de Kanagawa.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEl sexteto de Soddy es una cadena de seis esferas, etiquetadas como S\xe2\x82\x81\xe2\x80\x93S\xe2\x82\x86, cada una de las cuales es tangente a tres esferas dadas A, B y C, que son mutuamente tangentes en tres puntos distintos (en la Figura 2, las esferas del sexteto est\xc3\xa1n representadas en gris, las esferas A y B en verde, y la esfera C en azul. Las esferas del sexteto son tambi\xc3\xa9n tangentes a una cuarta esfera fija D (representada en rojo) que no es tangente a las otras tres, A, B y C._NEWLINE_Cada esfera del sexteto de Soddy es tambi\xc3\xa9n tangente a sus vecinos en la cadena; por ejemplo, la esfera S\xe2\x82\x84 es tangente a S\xe2\x82\x83 y S\xe2\x82\x85. La cadena est\xc3\xa1 cerrada, lo que significa que cada esfera en la cadena tiene dos vecinos tangentes; en particular, las esferas inicial y final, S\xe2\x82\x81 y S\xe2\x82\x86, son tangentes entre s\xc3\xad.\n_START_SECTION_\nSexteto anular\n_START_PARAGRAPH_\nEl sexteto de Soddy anular es un caso especial (Figura 2), en el que las tres esferas mutuamente tangentes consisten en una esfera de radio r (azul), intercalada entre dos planos paralelos (verdes) separados por una distancia perpendicular 2r En este caso, el sexteto de Soddy consta de seis esferas iguales de radio r empacadas como cojinetes de bolas alrededor de la esfera central, e igualmente intercaladas. Las esferas del sexteto tambi\xc3\xa9n son tangentes a una cuarta esfera (roja), que no es tangente a las otras tres._NEWLINE_La cadena de seis esferas puede girar alrededor de la esfera central sin afectar a sus tangencias, mostrando que existe una familia infinita de soluciones para este caso. A medida que se rotan, las esferas del hex\xc3\xa1gono trazan un toro (una superficie en forma de rosquilla); en otras palabras, un toro es la envolvente de esta familia de sextetos.\n_START_SECTION_\nSoluci\xc3\xb3n por inversi\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEl problema general de encontrar un sexteto para tres esferas mutuamente tangentes A, B y C se puede reducir al caso anular usando el procedimiento de inversi\xc3\xb3n. Esta operaci\xc3\xb3n geom\xc3\xa9trica transforma siempre las esferas en otras esferas o en planos (que pueden ser considerados como esferas de radio infinito). Una esfera se transforma en un plano si y solo si, la esfera pasa por el centro de la inversi\xc3\xb3n. Una ventaja de la inversi\xc3\xb3n es que preserva las tangencias; si dos esferas son tangentes antes de la transformaci\xc3\xb3n, permanecen as\xc3\xad despu\xc3\xa9s. Por lo tanto, si la transformaci\xc3\xb3n de inversi\xc3\xb3n se elige de manera ventajosa, el problema puede reducirse a un caso m\xc3\xa1s simple, como el sexteto anular de Soddy. La inversi\xc3\xb3n es reversible; repetir una inversi\xc3\xb3n en el mismo punto devuelve los objetos transformados a su tama\xc3\xb1o y posici\xc3\xb3n originales._NEWLINE_La inversi\xc3\xb3n en el punto de tangencia entre las esferas A y B las transforma en planos paralelos, que pueden denominarse a y b. Puesto que la esfera C es tangente a A y B y no pasa por el centro de inversi\xc3\xb3n, C se transforma en otra esfera c que es tangente a ambos planos; por lo tanto, c est\xc3\xa1 intercalada entre los dos planos a y b. Esta configuraci\xc3\xb3n se corresponde con la del sexteto anular de Soddy (Figura 2). Seis esferas s\xe2\x82\x81\xe2\x80\x93s\xe2\x82\x86 pueden situarse alrededor de c y del mismo modo intercalarse entre los planos de delimitaci\xc3\xb3n a y b. La re-inversi\xc3\xb3n restaura las tres esferas originales, y transforma s\xe2\x82\x81\xe2\x80\x93s\xe2\x82\x86 en un sexteto que satisface el problema original. En general, las esferas del sexteto una vez deshecha la inversi\xc3\xb3n (S\xe2\x82\x81\xe2\x80\x93S\xe2\x82\x86) tendr\xc3\xa1n radios diferentes._NEWLINE_Se puede generar una infinita variedad de sextetos mediante la rotaci\xc3\xb3n de las seis bolas s\xe2\x82\x81\xe2\x80\x93s\xe2\x82\x86 en su plano en un \xc3\xa1ngulo arbitrario antes de volver a invertirlos. La envolvente producida por tales rotaciones es el toro que rodea la esfera c, que est\xc3\xa1 intercalado entre los dos planos a y b. Este toro tiene un radio interior r y un radio exterior 3r. Despu\xc3\xa9s de la re-inversi\xc3\xb3n, este toro se convierte en un c\xc3\xadclido de Dupin (Figura 3).\n_START_SECTION_\nC\xc3\xadclido de Dupin\n_START_PARAGRAPH_\nLa envolvente de los sextetos de Soddy es un c\xc3\xadclido de Dupin, una inversi\xc3\xb3n del toro. As\xc3\xad, la construcci\xc3\xb3n de Soddy demuestra que un c\xc3\xadclido de Dupin es la envolvente de una familia de esferas de 1 par\xc3\xa1metro de dos maneras diferentes, y que cada esfera de cada familia es tangente a dos esferas de su propia familia y a tres esferas de la otra familia.\xe2\x80\x8b Probablemente este resultado fue conocido por Charles Dupin, quien descubri\xc3\xb3 los c\xc3\xadclidos que llevan su nombre en su disertaci\xc3\xb3n de 1803 para Gaspard Monge.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nRelaci\xc3\xb3n con las cadenas de Steiner\n_START_PARAGRAPH_\nLa intersecci\xc3\xb3n del sexteto con el plano de sus centros esf\xc3\xa9ricos produce una cadena de Steiner de seis c\xc3\xadrculos.\n_START_SECTION_\nSextetos parab\xc3\xb3licos e hiperb\xc3\xb3licos\n_START_PARAGRAPH_\nSe supone que las esferas A y B son del mismo tama\xc3\xb1o._NEWLINE_En cualquier sexteto en el que los centros de las esferas se sit\xc3\xbaan en una elipse (como el representado en la Figura 1), hay dos planos tangentes al sexteto. Para que exista un sexteto el\xc3\xadptico, el radio de C debe ser menos de un cuarto del de A. Si el radio de C es un cuarto del de A, cada esfera se convertir\xc3\xa1 en un plano. La imagen tras la inversi\xc3\xb3n mostrar\xc3\xa1 un sexteto el\xc3\xadptico normal. Sin embargo, en un sexteto parab\xc3\xb3lico, el punto en el que una esfera se convierte en un plano es precisamente cuando su imagen invertida pasa por el centro de inversi\xc3\xb3n. En tal sexteto hay solamente un plano tangente. La l\xc3\xadnea de los centros de las esferas de un sexteto parab\xc3\xb3lico es una par\xc3\xa1bola._NEWLINE_Si C es a\xc3\xban mayor, se forma un sexteto hiperb\xc3\xb3lico, que carece de planos tangentes. Numerando las esferas S\xe2\x82\x81 a S\xe2\x82\x86, se tiene que S\xe2\x82\x81 est\xc3\xa1 muy cerca de convertirse en un plano (cuando su imagen invertida pasa por el centro de inversi\xc3\xb3n), tras lo que invierte su concavidad (cuando su imagen invertida rodea el centro de inversi\xc3\xb3n). En este caso, la l\xc3\xadnea de los centros es una hip\xc3\xa9rbola._NEWLINE_El caso l\xc3\xadmite es cuando A, B y C son del mismo tama\xc3\xb1o. El sexteto ahora se vuelve recto. S\xe2\x82\x81 es peque\xc3\xb1o cuando pasa a trav\xc3\xa9s del agujero que queda entre A, B y C, y crece hasta que se convierte en un plano tangente a ellos. El centro de inversi\xc3\xb3n tambi\xc3\xa9n est\xc3\xa1 ahora en un punto de tangencia con la imagen de S\xe2\x82\x86, por lo que es tambi\xc3\xa9n un plano tangente a A, B y C. A medida que S\xe2\x82\x81 avanza, su concavidad se invierte, y pasa a rodear todas las otras esferas, tangentes a A, B, C, S\xe2\x82\x82 y S\xe2\x82\x86. S\xe2\x82\x82 se desplaza hacia arriba y crece para convertirse en un plano tangente y S\xe2\x82\x86 se encoge. S\xe2\x82\x81 pasa a tener entonces la posici\xc3\xb3n anterior de S\xe2\x82\x86 como un plano tangente. A continuaci\xc3\xb3n, invierte la concavidad de nuevo y pasa otra vez a trav\xc3\xa9s del agujero, comenzando otro ciclo de ida y vuelta. Ahora, la l\xc3\xadnea de centros es una hip\xc3\xa9rbola degenerada, convertida en dos l\xc3\xadneas rectas.\xe2\x80\x8b'