b'\n_START_ARTICLE_\nPotencia de un punto\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada la expresi\xc3\xb3n potencia de un punto respecto una circunferencia se refiere al valor constante que resulta de multiplicar las longitudes de dos segmentos definidos en una misma recta que pasa por dicho punto y es secante o tangente a dicha circunferencia. Los segmentos se definen al unir dicho punto con los dos puntos de intersecci\xc3\xb3n en el caso de la recta secante o un mismo punto de tangencia en el caso de la recta tangente._NEWLINE_De forma m\xc3\xa1s precisa, si P es un punto en el plano y se fija una circunferencia con centro O, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumple que PA\xc2\xb7PB es constante, independientemente de la posici\xc3\xb3n de la recta._NEWLINE_El valor de dicha  constante se denomina la potencia del punto P._NEWLINE_El t\xc3\xa9rmino potencia para referirse a este concepto geom\xc3\xa9trico fue introducido por Jakob Steiner en su art\xc3\xadculo de 1826, titulado Einige geometrische Betrachtungen (\xc2\xabUnas cuantas observaciones geom\xc3\xa9tricas\xc2\xbb),\xe2\x80\x8b aunque el teorema aludido se encontraba ya en Los Elementos de Euclides\n_START_SECTION_\nUna secante y una tangente\n_START_PARAGRAPH_\nUn caso de especial consideraci\xc3\xb3n es el formado por una recta tangente y una secante, como en la figura. En esta situaci\xc3\xb3n, el \xc3\xa1ngulo  es semi-inscrito y mide la mitad del arco BT, al igual que el \xc3\xa1ngulo inscrito . _NEWLINE_La igualdad de \xc3\xa1ngulos nuevamente implica una semejanza de tri\xc3\xa1ngulos, en esta ocasi\xc3\xb3n  y . Dicha semejanza implica_NEWLINE_y por tanto_NEWLINE_._NEWLINE_Este caso en realidad puede considerarse como un caso l\xc3\xadmite del correspondiente a dos secantes, obtenido cuando los puntos C, D se desplazan sobre la circunferencia hasta coincidir. En este sentido, el punto de tangencia es en realidad un punto de corte \xc2\xabdoble\xc2\xbb y el producto PC\xc2\xb7PD se convierte en PT\xc2\xb7PT=PT\xc2\xb2.\n_START_SECTION_\nEl punto es interior a la circunferencia\n_START_PARAGRAPH_\nPara hallar el valor de la potencia de un punto, consid\xc3\xa9rese la situaci\xc3\xb3n donde la cuerda AB pasa por el centro O de la circunferencia, es decir, AB es un di\xc3\xa1metro. Etiquetando los puntos como en la figura adjunta, se observa_NEWLINE_._NEWLINE_Por tanto, el producto para cualquier otra cuerda PC\xc2\xb7PD es el mismo valor: r\xc2\xb2-d\xc2\xb2.\n_START_SECTION_\nEl punto es exterior a la circunferencia\n_START_PARAGRAPH_\nCuando el punto es exterior a la circunferencia, ya se ha establecido que el valor de la potencia de un punto exterior es igual al cuadrado de la longitud de una tangente a la circunferencia desde dicho punto._NEWLINE_Considerando la  figura formada por una tangente PT y una recta que pasa por el centro O de la circunferencia, se encuentra que el tri\xc3\xa1ngulo  es rect\xc3\xa1ngulo pues una recta tangente es perpendicular a la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia, es decir: ._NEWLINE_Aplicando el teorema de Pit\xc3\xa1goras se obtiene _NEWLINE_y por tanto_NEWLINE_es decir:_NEWLINE_._NEWLINE_Otra forma de demostrar la relaci\xc3\xb3n es observar que, con la disposici\xc3\xb3n de la figura, cuando AB es un di\xc3\xa1metro, la longitud del segmento PA es (d+r) mientras que la del segmento PB es (d-r) y as\xc3\xad:_NEWLINE_._NEWLINE_segmento PO es igual a d y la del segmento OA es igual a r.\n_START_SECTION_\nSistema cartesiano de coordenadas\n_START_PARAGRAPH_\nLa definici\xc3\xb3n algebraica permite adicionalmente el c\xc3\xa1lculo de la potencia de un punto mediante el uso de coordenadas. La potencia del punto P=(x,y) respecto a una circunferencia centrada en el origen con radio 1 es_NEWLINE_._NEWLINE_mientras que la funci\xc3\xb3n potencia relativa a una circunferencia centrada en el origen, con radio arbitrario r es_NEWLINE_._NEWLINE_Es posible obtener la gr\xc3\xa1fica en 3 dimensiones de estas funciones, con el plano xy como dominio y el eje z como codominio, resultando la gr\xc3\xa1fica un paraboloide.\n_START_SECTION_\nTeorema de Laguerre\n_START_PARAGRAPH_\nLaguerre defini\xc3\xb3 la potencia de un punto P respecto de una curva algebraica de grado n como el producto de las distancias desde P a las intersecciones de una circunferencia que pasa por P con la curva, dividido por la en\xc3\xa9sima potencia del di\xc3\xa1metro d. Laguerre estableci\xc3\xb3 que este valor es independiente del di\xc3\xa1metro._NEWLINE_En el caso en que sea una circunferencia esa curva algebraica, la distinci\xc3\xb3n respecto de la potencia del punto acorde a lo previamente definido es que difiere por un factor de d\xc2\xb2.\n_START_SECTION_\nLugares geom\xc3\xa9tricos\n_START_PARAGRAPH_\nEl primer lugar geom\xc3\xa9trico a considerar es aquel formado por los puntos cuya potencia respecto a una circunferencia fija es la misma. Dicho lugar geom\xc3\xa9trico corresponde a una circunferencia conc\xc3\xa9ntrica a la dada, exterior si la potencia es positiva, interior cuando la potencia es negativa._NEWLINE_Esto se desprende de la relaci\xc3\xb3n  pues, siendo r una constante, el valor de  depender\xc3\xa1 \xc3\xbanicamente de la distancia del punto al centro de la circunferencia base: puntos a la misma distancia tendr\xc3\xa1n exactamente la misma potencia.\n_START_SECTION_\nEje radical\n_START_PARAGRAPH_\nOtro lugar geom\xc3\xa9trico que se puede considerar es aquel formado por los puntos cuya potencia respecto a dos circunferencias fijas (no conc\xc3\xa9ntricas) es la misma. Es decir, aquellos puntos P tales que  donde  son las distancias desde P a los centros de la primera y segunda circunferencia, mientras que  son los radios de los mismos._NEWLINE_Este lugar geom\xc3\xa9trico es una l\xc3\xadnea recta, denominada eje radical de las dos circunferencias, perpendicular a la l\xc3\xadnea que une los centros de ambas. Los detalles var\xc3\xadan dependiendo de la posici\xc3\xb3n relativa de las circunferencias (si se cortan, si son ajenas o si una contiene a la otra)._NEWLINE_El caso m\xc3\xa1s sencillo, aqu\xc3\xad ilustrado, es el que ambas circunferencias se cortan. Denominando por A, B a los puntos de corte, se observa que para cualquier punto de la l\xc3\xadnea AB se cumple que la potencia respecto a cualquiera de las dos circunferencias es la misma: PA\xc2\xb7PB. _NEWLINE_Como consecuencia adicional se obtiene que dicha recta tambi\xc3\xa9n es el lugar geom\xc3\xa9trico de los puntos, desde los cuales se puede trazar tangentes de la misma longitud hacia cada una de las circunferencias. Esto es porque la potencia del punto P tambi\xc3\xa9n es igual a PF\xc2\xb2 y PG\xc2\xb2, por lo que PF=PG.\n_START_SECTION_\nCentro radical\n_START_PARAGRAPH_\nEl punto de igual potencia respecto a tres circunferencias es el Centro Radical. \xc3\x89ste es el lugar donde se cortan los ejes radicales de cada par de circunferencias. Este centro, como el Eje radical, tienen inter\xc3\xa9s en la resoluci\xc3\xb3n de problemas de tangentes.'