b'\n_START_ARTICLE_\nAxioma de elecci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEn teor\xc3\xada de conjuntos, el axioma de elecci\xc3\xb3n (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cada familia de conjuntos no vac\xc3\xados, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manera informal, afirma que dada una colecci\xc3\xb3n de \xc2\xabcajas\xc2\xbb con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cada caja. Que este procedimiento puede llevarse a cabo es trivialmente cierto siempre que dicha familia sea finita, o cuando existe una regla bien determinada que permite \xc2\xabelegir\xc2\xbb un \xc3\xbanico elemento de cada conjunto de ella. Sin embargo, el axioma es indispensable en el caso m\xc3\xa1s general de una familia infinita arbitraria._NEWLINE_Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado.\xe2\x80\x8b Aunque originalmente fue controvertido, hoy en d\xc3\xada es usado sin reservas por la mayor\xc3\xada de los matem\xc3\xa1ticos. Hay a\xc3\xban, sin embargo, especialmente en la teor\xc3\xada de conjuntos, corrientes de opini\xc3\xb3n que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con \xc3\xa9l.\n_START_SECTION_\nUso\n_START_PARAGRAPH_\nHasta finales del siglo XIX, el axioma de elecci\xc3\xb3n se usaba casi siempre impl\xc3\xadcitamente. Por ejemplo, despu\xc3\xa9s de demostrar que el conjunto X conten\xc3\xada s\xc3\xb3lo conjuntos no vac\xc3\xados, un matem\xc3\xa1tico habr\xc3\xada dicho "sea F(S) un elemento de S para todo S en X". Es en general imposible demostrar que F existe sin el axioma de elecci\xc3\xb3n, pero esto no fue notado antes de Zermelo._NEWLINE_No siempre se requiere el axioma de elecci\xc3\xb3n. Si X es finito, el "axioma" necesario se deduce de los otros axiomas de la teor\xc3\xada de conjuntos. En tal caso es equivalente a decir que si se tiene un n\xc3\xbamero finito de cajas, cada una con al menos un objeto, se puede escoger exactamente un objeto de cada caja. Esto es evidente: se comienza en la primera caja, se escoge un objeto; se va a la segunda, se escoge un objeto; y as\xc3\xad sucesivamente. Como s\xc3\xb3lo hay finitas cajas, este procedimiento de elecci\xc3\xb3n se concluir\xc3\xa1 finalmente. El resultado es una funci\xc3\xb3n de elecci\xc3\xb3n expl\xc3\xadcita: una que a la primera caja le asigna el primer objeto elegido, a la segunda el segundo, etc\xc3\xa9tera. Una prueba formal para todo conjunto finito requerir\xc3\xada el principio de inducci\xc3\xb3n matem\xc3\xa1tica._NEWLINE_La dificultad aparece cuando no hay una elecci\xc3\xb3n natural de elementos de cada conjunto. Si no se pueden hacer elecciones expl\xc3\xadcitas, \xc2\xbfc\xc3\xb3mo saber que existe el conjunto deseado? Por ejemplo, sup\xc3\xb3ngase que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vac\xc3\xados de los reales. Primero se podr\xc3\xada intentar proceder como si X fuera finito; pero si se intenta escoger un elemento de cada conjunto, como X es infinito, el procedimiento de elecci\xc3\xb3n no terminar\xc3\xa1 nunca y nunca se podr\xc3\xa1 producir una funci\xc3\xb3n de elecci\xc3\xb3n para X. Luego se puede intentar el truco de tomar el elemento m\xc3\xadnimo de cada conjunto; pero algunos subconjuntos de los reales, como el intervalo abierto (0,1), no tienen m\xc3\xadnimo, as\xc3\xad que esta t\xc3\xa1ctica no funciona tampoco._NEWLINE_La raz\xc3\xb3n por la que se pod\xc3\xadan escoger elementos m\xc3\xadnimos de los subconjuntos de los naturales es que \xc3\xa9stos vienen ya bien ordenados: todo subconjunto de los naturales tiene un \xc3\xbanico elemento m\xc3\xadnimo respecto al orden natural. Tal vez a este punto uno se sienta tentado a pensar: "aunque el orden usual de los n\xc3\xbameros reales no funciona, debe ser posible encontrar un orden diferente que sea, este s\xc3\xad, un buen orden; entonces la funci\xc3\xb3n de elecci\xc3\xb3n puede ser tomar el elemento m\xc3\xadnimo de cada conjunto respecto al nuevo orden". El problema entonces se "reduce" al de encontrar un buen orden en los reales, lo que requiere del axioma de elecci\xc3\xb3n para su realizaci\xc3\xb3n: todo conjunto puede ser bienordenado si y s\xc3\xb3lo si vale el axioma de elecci\xc3\xb3n._NEWLINE_Una demostraci\xc3\xb3n que haga uso de AE nunca es constructiva: aun si dicha demostraci\xc3\xb3n produce un objeto, ser\xc3\xa1 imposible determinar exactamente qu\xc3\xa9 objeto es. En consecuencia, aunque el axioma de elecci\xc3\xb3n implica que hay un buen orden en los reales, no da un ejemplo. Sin embargo, la raz\xc3\xb3n por la que se quer\xc3\xadan bien ordenar los reales era que para cada conjunto de X se pudiera escoger expl\xc3\xadcitamente un elemento; pero si no se puede determinar el buen orden usado, tal elecci\xc3\xb3n tampoco es expl\xc3\xadcita. Esta es una de las razones por las que a algunos matem\xc3\xa1ticos les desagrada el axioma de elecci\xc3\xb3n; los constructivistas, por ejemplo, afirman que todas las pruebas de existencia deber\xc3\xadan ser completamente expl\xc3\xadcitas, pues si existe algo, debe ser posible hallarlo; rechazan as\xc3\xad el axioma de elecci\xc3\xb3n, pues afirma la existencia de un objeto sin decir qu\xc3\xa9 es. Por otro lado, el solo hecho de que se haya usado AE para demostrar la existencia de un conjunto no significa que no pueda ser construido por otros m\xc3\xa9todos.\n_START_SECTION_\nIndependencia\n_START_PARAGRAPH_\nDel trabajo de Kurt G\xc3\xb6del\xe2\x80\x8b y Paul Cohen se deduce que el axioma de elecci\xc3\xb3n es l\xc3\xb3gicamente independiente de los otros axiomas de la teor\xc3\xada axiom\xc3\xa1tica de conjuntos. Esto significa que ni AE ni su negaci\xc3\xb3n pueden demostrarse ciertos dentro de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF), si esa teor\xc3\xada es consistente. En consecuencia, asumir AE o su negaci\xc3\xb3n nunca llevar\xc3\xa1 a una contradicci\xc3\xb3n que no se pudiera obtener sin tal supuesto._NEWLINE_La decisi\xc3\xb3n, entonces, de si es o no apropiado hacer uso de \xc3\xa9l en una demostraci\xc3\xb3n no se puede tomar bas\xc3\xa1ndose s\xc3\xb3lo en otros axiomas de la teor\xc3\xada de conjuntos; hay que buscar otras razones. Un argumento dado a favor de usar el axioma de elecci\xc3\xb3n es simplemente que es conveniente: usarlo no puede hacer da\xc3\xb1o (resultar en contradicciones) y hace posible demostrar algunas proposiciones que de otro modo no se podr\xc3\xadan probar._NEWLINE_El axioma de elecci\xc3\xb3n no es la \xc3\xbanica afirmaci\xc3\xb3n significativa e independiente de ZF; la hip\xc3\xb3tesis del continuo generalizada (HCG), por ejemplo, no s\xc3\xb3lo es independiente de ZF, adem\xc3\xa1s lo es de ZF con el axioma de elecci\xc3\xb3n (ZFE, o ZFC en ingl\xc3\xa9s). Sin embargo, ZF m\xc3\xa1s HCG necesariamente implica AE, con lo cual HCG es estrictamente m\xc3\xa1s fuerte que AE, aunque ambos sean independientes de ZF._NEWLINE_Una raz\xc3\xb3n por la que a los matem\xc3\xa1ticos no les agrada el axioma es que tiene por consecuencia la existencia de algunos objetos contraintuitivos. Un ejemplo de ello es la paradoja de Banach-Tarski, que dice b\xc3\xa1sicamente que es posible cortar una bola tridimensional en finitas partes, y usando s\xc3\xb3lo rotaci\xc3\xb3n y translaci\xc3\xb3n, reensamblarlas en dos bolas del mismo volumen que la original. La prueba, como todas las pruebas que involucran el axioma de elecci\xc3\xb3n, es s\xc3\xb3lo de existencia: no dice c\xc3\xb3mo se debe cortar la esfera, s\xc3\xb3lo dice que se puede hacer._NEWLINE_Por otro lado, la negaci\xc3\xb3n de AE es tambi\xc3\xa9n extra\xc3\xb1a. Por ejemplo, la afirmaci\xc3\xb3n de que dados dos conjuntos cualesquiera S y T, la cardinalidad de S es menor, igual, o mayor que la de T es equivalente al axioma de elecci\xc3\xb3n; en otras palabras, si se asume la negaci\xc3\xb3n de \xc3\xa9ste, hay dos conjuntos S y T de tama\xc3\xb1o incomparable: ninguno se puede inyectar en el otro._NEWLINE_Una tercera posibilidad es probar teoremas sin usar ni el axioma ni su negaci\xc3\xb3n, la t\xc3\xa1ctica preferida en matem\xc3\xa1ticas constructivas. Tales afirmaciones ser\xc3\xa1n ciertas en cualquier modelo de ZF, independientemente de la certeza o falsedad del axioma de elecci\xc3\xb3n en dicho modelo. Esto hace que cualquier proposici\xc3\xb3n que requiera AE o su negaci\xc3\xb3n sea indecidible: la paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no se puede demostrar como cierta (pues no se puede descomponer la esfera del modo indicado) ni como falsa (pues no se puede demostrar que tal descomposici\xc3\xb3n no exista); \xc3\xa9sta, sin embargo, se puede reformular como una afirmaci\xc3\xb3n sobre los modelos de ZF: "en todo modelo de ZF en el que valga AE, vale tambi\xc3\xa9n la paradoja de Banach-Tarski". Asimismo, todas las afirmaciones listadas abajo que requieren elecci\xc3\xb3n o alguna versi\xc3\xb3n m\xc3\xa1s d\xc3\xa9bil son indecidibles en ZF; pero por ser demostrables en ZFE, hay modelos de ZF en los que son ciertas.\n_START_SECTION_\nAxiomas m\xc3\xa1s fuertes\n_START_PARAGRAPH_\nEl axioma de constructibilidad, igual que la hip\xc3\xb3tesis del continuo generalizada, implica el axioma de elecci\xc3\xb3n, pero es estrictamente m\xc3\xa1s fuerte._NEWLINE_En teor\xc3\xadas de clases, tales como la teor\xc3\xada de conjuntos de Von Neumann-Bernays-G\xc3\xb6del o la de Morse-Kelley, hay un posible axioma llamado axioma de elecci\xc3\xb3n global, que es m\xc3\xa1s fuerte que el axioma de elecci\xc3\xb3n para conjuntos pues aplica tambi\xc3\xa9n a clases propias.\n_START_SECTION_\nFormas m\xc3\xa1s fuertes de AE\n_START_PARAGRAPH_\nAhora, se considerar\xc3\xa1n formas m\xc3\xa1s fuertes de la negaci\xc3\xb3n de AE. Por ejemplo, la afirmaci\xc3\xb3n de que todo conjunto de n\xc3\xbameros reales tiene la propiedad de Baire es m\xc3\xa1s fuerte que \xc2\xacAE, que niega la existencia de una funci\xc3\xb3n de elecci\xc3\xb3n en tal vez una sola colecci\xc3\xb3n de conjuntos no vac\xc3\xados.'