b'\n_START_ARTICLE_\nConvoluci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1ticas, y en particular an\xc3\xa1lisis funcional, una convoluci\xc3\xb3n es un operador matem\xc3\xa1tico que transforma dos funciones f y g en una tercera funci\xc3\xb3n que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versi\xc3\xb3n trasladada e invertida de g. Una convoluci\xc3\xb3n es un tipo muy general de media m\xc3\xb3vil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la funci\xc3\xb3n caracter\xc3\xadstica de un intervalo.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLa convoluci\xc3\xb3n de  y  se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones despu\xc3\xa9s de desplazar una de ellas una distancia ._NEWLINE_El intervalo de integraci\xc3\xb3n depender\xc3\xa1 del dominio sobre el que est\xc3\xa9n definidas las funciones._NEWLINE_En el caso de un rango de integraci\xc3\xb3n finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, peri\xc3\xb3dicamente en ambas direcciones, tal que el t\xc3\xa9rmino g(t - \xce\xb7) no implique una violaci\xc3\xb3n en el rango. Cuando se usan estos dominios peri\xc3\xb3dicos la convoluci\xc3\xb3n a veces se llama c\xc3\xadclica. Desde luego que tambi\xc3\xa9n es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando se ponen en juego estos dominios cero-extendidos o bien los infinitos es el de convoluci\xc3\xb3n lineal, especialmente en el caso discreto que se presentar\xc3\xa1n abajo._NEWLINE_Si  e  son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendr\xc3\xa1 dada por la convoluci\xc3\xb3n f * g._NEWLINE_Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convoluci\xc3\xb3n._NEWLINE_Esto es:_NEWLINE_Cuando se multiplican dos polinomios, los coeficientes del producto est\xc3\xa1n dados por la convoluci\xc3\xb3n de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aqu\xc3\xad (usando extensiones con ceros como se ha mencionado)._NEWLINE_Generalizando los casos anteriores, la convoluci\xc3\xb3n puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable definidas sobre un grupo topol\xc3\xb3gico localmente compacto. Una generalizaci\xc3\xb3n diferente es la convoluci\xc3\xb3n de distribuciones.\n_START_SECTION_\nConvoluci\xc3\xb3n discreta\n_START_PARAGRAPH_\nCuando se trata de hacer un procesamiento digital de se\xc3\xb1al no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definici\xc3\xb3n ya que solo se dispone de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximaci\xc3\xb3n num\xc3\xa9rica._NEWLINE_Para realizar la convoluci\xc3\xb3n entre dos se\xc3\xb1ales, se evaluar\xc3\xa1 el \xc3\xa1rea de la funci\xc3\xb3n\xc2\xa0: . Para ello, se dispone de muestreos de ambas se\xc3\xb1ales en los instantes de tiempo , a la que se llamar\xc3\xa1  y  (donde n y k son enteros).El \xc3\xa1rea es, por tanto,_NEWLINE_La convoluci\xc3\xb3n discreta se determina por un intervalo de muestreo \xc2\xa0:\n_START_SECTION_\nPropiedades\n_START_PARAGRAPH_\nLas propiedades de los diferentes operadores de convoluci\xc3\xb3n son las siguientes:\n_START_SECTION_\nRellenado con ceros\n_START_PARAGRAPH_\nConsiste en extender los espacios num\xc3\xa9ricos a\xc3\xb1adiendo valores nulos (ceros) en sus extremos antes de realizar una convoluci\xc3\xb3n. Puede ser en el espacio de origen o en el espectro de una se\xc3\xb1al. En este \xc3\xbaltimo caso se aumenta el dominio frecuencial de la magnitud de la se\xc3\xb1al pero no se mejora la resoluci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nConvoluciones de grupos\n_START_PARAGRAPH_\nSi G es cierto grupo dotado de una medida m (por ejemplo, un grupo topol\xc3\xb3gico localmente compacto Hausdorff con la Medida de Haar) y si f y g son funciones real -o complejo- valuadas y m-integrables de G, entonces se puede definir su convoluci\xc3\xb3n como_NEWLINE_En este caso tambi\xc3\xa9n es posible dar, por ejemplo, un teorema de convoluci\xc3\xb3n, que sin embargo es mucho m\xc3\xa1s dif\xc3\xadcil de presentar y que requiere de la teor\xc3\xada de la representaci\xc3\xb3n para estos tipos de grupos as\xc3\xad como el Teorema de Peter-Weyl del an\xc3\xa1lisis arm\xc3\xb3nico. Es muy dif\xc3\xadcil hacer dichos c\xc3\xa1lculos sin m\xc3\xa1s estructura, y los grupos de Lie son los marcos donde se deben hacer las cosas.'