b'\n_START_ARTICLE_\nPrisma mec\xc3\xa1nico\n_START_SECTION_\nDescripci\xc3\xb3n geom\xc3\xa9trica\n_START_PARAGRAPH_\nEl eje baric\xc3\xa9ntrico o l\xc3\xadnea baric\xc3\xa9ntrica es el lugar geom\xc3\xa9trico de los baricentros o centros de gravedad de las diversas secciones transversales que componen una pieza prism\xc3\xa1tica. En una pieza prism\xc3\xa1tica tanto la geometr\xc3\xada como las magnitudes mec\xc3\xa1nicas (tensi\xc3\xb3n, esfuerzo, deformaci\xc3\xb3n) se calculan a partir de las correspondientes magnitudes sobre eje baric\xc3\xa9ntrico. Y la hip\xc3\xb3tesis cinem\xc3\xa1tica liga las magnitudes de puntos de fuera del eje con las correspondientes magnitudes sobre el eje baric\xc3\xa9ntrico.\n_START_SECTION_\nCoordenadas baric\xc3\xa9ntricas\n_START_PARAGRAPH_\nDado un prisma mec\xc3\xa1nico , si llamamos  al eje (que puede ser recto o curvo) y  a la forma de la secci\xc3\xb3n transversal de una pieza prism\xc3\xa1tica, topol\xc3\xb3gicamente la geometr\xc3\xada de la misma es: . Cuando la pieza es de eje recto no existe mayor problema en usar un conjunto de coordenadas cartesianas, aunque cuando la pieza tiene un eje curvo conviene definir un sistema de coordenadas curvil\xc3\xadneas diferentes._NEWLINE_De hecho, para una pieza prism\xc3\xa1tica (recta o curva) puede construirse un sistema de coordenadas ortogonales (s, y, z) de tal manera que s represente la longitud de arco a lo largo de la curva E e (y, z) sean coordenadas sobre la secci\xc3\xb3n transversal y el vector de posici\xc3\xb3n r de cualquier punto de la pieza prism\xc3\xa1tica puede expresarse como:_NEWLINE_Donde los vectores t, n y b son los vectores tangente, normal y binormal del triedro de Fr\xc3\xaanet-Serret del punto r(s, x, y) de la curva E; \xcf\x87 y \xcf\x84 son respectivamente la curvatura geom\xc3\xa9trica y la torsi\xc3\xb3n geom\xc3\xa9trica del eje de la pieza prism\xc3\xa1tica. La relaci\xc3\xb3n entre las coordenadas curvil\xc3\xadneas ortogonales (s, y, z) y las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) del espacio tridimensional en el que se encuentra la pieza prism\xc3\xa1tica es:_NEWLINE_El sistema de coordenadas anterior para la pieza estar\xc3\xa1 bien definido para puntos tales que:_NEWLINE_La primera condici\xc3\xb3n es de tipo matem\xc3\xa1tico y tiene que ver con la validez del cambio de coordenadas, m\xc3\xa1s formalmente el jacobiano del cambio de coordenadas resulta ser positivo si:_NEWLINE_Por tanto el sistema valdr\xc3\xa1 como se ha dicho para vigas en que el canto o espesor en la direcci\xc3\xb3n de curvatura sea peque\xc3\xb1o comparado con el radio de curvatura. La segunda condici\xc3\xb3n es de tipo f\xc3\xadsico  y es la que asegurar\xc3\xada que la secci\xc3\xb3n transversal permanece indeformable, que es la hip\xc3\xb3tesis com\xc3\xban en la teor\xc3\xada de vigas.\n_START_SECTION_\nMagnitudes geom\xc3\xa9tricas de la secci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEn el c\xc3\xa1lculo de los esfuerzos sobre una secci\xc3\xb3n resistente, intervienen diversas mangitudes geom\xc3\xa9tricas. Las magnitudes geom\xc3\xa9tricas son el \xc3\xa1rea (A), los momentos est\xc3\xa1ticos (Sy, Sz), los momentos de inercia de la secci\xc3\xb3n (Iy, Iz, Iyz), el m\xc3\xb3dulo de torsi\xc3\xb3n (J) y el momento de alabeo (I\xcf\x89). Todas estas cantidades son definibles en t\xc3\xa9rminos de la forma de la secci\xc3\xb3n y el alabeo seccional \xcf\x89, mediante las siguientes f\xc3\xb3rmulas:_NEWLINE_Una vez definido el centro de cortante se definen las magnitudes adicionales:_NEWLINE_El significado de estas magnitudes queda claro cuando se considera la relaci\xc3\xb3n entre los esfuerzos y los desplazamientos. Tomando dos secciones de dos piezas prism\xc3\xa1ticas sometidas a los mismos esfuerzos, puede verse que cuanto mayor sea alguna de las magnitudes anterior menores ser\xc3\xa1n los desplazamientos, deformaciones y tensiones sobre dicha secci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nDescripci\xc3\xb3n cinem\xc3\xa1tica\n_START_PARAGRAPH_\nUna pieza prism\xc3\xa1tica presenta la peculiaridad mec\xc3\xa1nica de que cualquier deformaci\xc3\xb3n tridimensional puede expresarse en t\xc3\xa9rminos de la deformaci\xc3\xb3n del eje E(desplazamientos del mismo, cambios de curvatura y torsi\xc3\xb3n). La ecuaci\xc3\xb3n que relaciona los desplazamientos y giros del eje, con el campo de desplazamientos del sobre todo el prisma (considerado como s\xc3\xb3lido deformable) se llama hip\xc3\xb3tesis cinem\xc3\xa1tica._NEWLINE_La deformaci\xc3\xb3n de un s\xc3\xb3lido viene dada por un campo vectorial (u*,v*,w*) dependiente de tres coordenadas de posici\xc3\xb3n (s, y, z), donde s denota la longitud a lo largo del eje de la viga y (y, z) la posici\xc3\xb3n sobre la secci\xc3\xb3n transversal. Cuando el s\xc3\xb3lido es una pieza prism\xc3\xa1tica dicho campo puede expresarse convenientemente a partir de un vector de desplazamientos y giros del eje de la pieza (u, v, w, \xce\xb8\xe2\x82\x93, \xce\xb8y, \xce\xb8z). Fijados los desplazamientos y giros de dicho eje, el desplazamiento de cualquier otro punto de una pieza prism\xc3\xa1tica queda totalmente determinado. De hecho la hip\xc3\xb3tesis cinem\xc3\xa1tica para los desplazamientos de una pieza alargada es la ecuaci\xc3\xb3n que relaciona los desplazamientos de un punto cualquiera con el desplazamientos y giros del eje:_NEWLINE_Donde  son las posiciones del centro de cortante y del centro de gravedad de la secci\xc3\xb3n. Lo anterior implica que las deformaciones sobre una pieza alargada usando las coordenadas curvil\xc3\xadneas (s, y, z) son (despreciando las componentes \xce\xb5yy, \xce\xb5zz y \xce\xb5yz):_NEWLINE_Donde  es la curvatura inicial del eje, y donde se han introducido las abreviaciones:\n_START_SECTION_\nDescripci\xc3\xb3n mec\xc3\xa1nica\n_START_PARAGRAPH_\nSi aplicamos las ecuaciones de Lam\xc3\xa9-Hooke a una pieza prism\xc3\xa1tica y se desprecian los cambios de forma de la secci\xc3\xb3n transversal la relaci\xc3\xb3n entre tensiones \xcf\x83\xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc y deformaciones \xce\xb5\xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc viene dada, en t\xc3\xa9rminos del m\xc3\xb3dulo de Young (E) y el m\xc3\xb3dulo de elasticidad transversal (G), por:_NEWLINE_La energ\xc3\xada de deformaci\xc3\xb3n total de una pieza prism\xc3\xa1tica K viene dada por la suma de la energ\xc3\xada de deformaci\xc3\xb3n UD m\xc3\xa1s la energ\xc3\xada potencial UP de las fuerzas actuantes q\xe2\x82\x9b. En el caso de no existir fuerzas m\xc3\xa1sicas:_NEWLINE_Si se substituyen las descripciones cinem\xc3\xa1ticas de la secci\xc3\xb3n anterior se obtienen la energ\xc3\xada total en t\xc3\xa9rminos de desplazamientos para una pieza prism\xc3\xa1tica. Si en la segunda e estas expresiones se igualan las fuerzas exteriores a las tensiones, y se expresa en t\xc3\xa9rminos de los desplazamientos se llega a:_NEWLINE_(En la ecuaci\xc3\xb3n anterior se ha introducido la funci\xc3\xb3n de alabeo \xcf\x89(y,z) y el alabeo unitario \xcf\x86 para dar cuenta de la conexi\xc3\xb3n entre tensi\xc3\xb3n normal y torsi\xc3\xb3n en piezas de secci\xc3\xb3n no circular).'