b'\n_START_ARTICLE_\nPolinomio ciclot\xc3\xb3mico\n_START_PARAGRAPH_\nSe denomina polinomio ciclot\xc3\xb3mico de orden n y se denota como \xce\xa6\xe2\x82\x99 al polinomio unitario cuyas ra\xc3\xadces son todas las ra\xc3\xadces primitivas de orden n de la unidad, es decir, que verifican z\xe2\x81\xbf = 1 ._NEWLINE_Se suele tomar las ra\xc3\xadces en el cuerpo de los complejos, (otras extensiones del cuerpo de los reales ser\xc3\xadan posibles), pero carece de consecuencia sobre los polinomios ciclot\xc3\xb3micos, cuyos coeficientes son siempre enteros. El grado de \xce\xa6\xe2\x82\x99 es dado por la funci\xc3\xb3n \xcf\x86 de Euler, y es l\xc3\xb3gicamente inferior o igual a n.   _NEWLINE_Las ra\xc3\xadces primitivas son de la forma \xcf\x89\xca\xb3, con 0 \xe2\x89\xa4 r < n, r coprimo con n, y . Entonces\n_START_SECTION_\nNacimiento de la noci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nCarl Friedrich Gauss utiliza en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicado en 1801, los polinomios ciclot\xc3\xb3micos. Se hace una importante contribuci\xc3\xb3n a un problema abierto desde la antig\xc3\xbcedad: la construcci\xc3\xb3n con regla y comp\xc3\xa1s de pol\xc3\xadgonos regulares. Estos trabajos sirven de referencia a lo largo del siglo. En este trabajo, Gauss determina con precisi\xc3\xb3n la lista de pol\xc3\xadgonos construibles, y le da un m\xc3\xa9todo eficaz para su construcci\xc3\xb3n hasta 256 lados del pol\xc3\xadgono. Este problema recibe una respuesta final por Pierre- Laurent Wantzel (1814 - 1848) en un art\xc3\xadculo\xe2\x80\x8b en adelante c\xc3\xa9lebre._NEWLINE_Este enfoque es innovador y, en muchos aspectos, prefigura \xc3\xa1lgebra moderna: Un polinomio ya no aparece como un objeto en s\xc3\xad mismo, sino como parte de un conjunto estructurado. Si el concepto del anillo de polinomios no se formaliza, la estructura euclidiana se encuentra y es la herramienta b\xc3\xa1sica para el an\xc3\xa1lisis de Gauss._NEWLINE_La resoluci\xc3\xb3n efectiva de la ecuaci\xc3\xb3n de Gauss ciclot\xc3\xb3mico llev\xc3\xb3 a considerar una estructura finita: las permutaciones de las ra\xc3\xadces. Ahora se llaman periodo de Gauss. Sus propiedades algebraicas se utilizan para encontrar la soluci\xc3\xb3n. Este enfoque prev\xc3\xa9 el uso de la teor\xc3\xada de grupos en el \xc3\xa1lgebra y la teor\xc3\xada de Galois._NEWLINE_Las nuevas estructuras se definen a continuaci\xc3\xb3n. La divisi\xc3\xb3n euclidiana introduce la noci\xc3\xb3n de residuo y su conjunto tiene propiedades algebraicas fuertes. Tal estructura ahora se considera un caso especial de la finita si el divisor es un n\xc3\xbamero primo. Gauss resalta tales conjuntos y utiliza el transporte de estructura para morfismos entre dos anillos para mostrar la irreductibilidad de polinomios ciclot\xc3\xb3micos. En el mismo libro, \xc3\xa9l utiliza estas estructuras para resolver otro problema abordado por Fermat (1601 - 1685) y formalizado por Euler (1707 - 1783): la ley de reciprocidad cuadr\xc3\xa1tica._NEWLINE_Por este tiempo, se proponen muchas aplicaciones. La utilizaci\xc3\xb3n de la geometr\xc3\xada no se limita a la construcci\xc3\xb3n con la regla y el comp\xc3\xa1s. El polinomio ciclot\xc3\xb3mico de \xc3\xadndice cuatro permite la construcci\xc3\xb3n de un nuevo conjunto de n\xc3\xbameros algebraicos: los enteros de Gauss. Surge la teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros algebraicos, que simplifica la resoluci\xc3\xb3n de ecuaciones diof\xc3\xa1nticas y permite resolver nuevos problemas.\n_START_SECTION_\nEcuaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica y algebraica ciclot\xc3\xb3micos\n_START_PARAGRAPH_\nLa b\xc3\xbasqueda de soluciones a la ecuaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica es un problema que se remonta a los primeros desarrollos en polinomios por los matem\xc3\xa1ticos \xc3\xa1rabes. Aunque en general se cita a Al- Khwarizmi ( 783-850 ) como precursor con la resoluci\xc3\xb3n de seis ecuaciones can\xc3\xb3nicas, Girolamo Cardano ( 1501-1576 ) para la resoluci\xc3\xb3n del caso de grado tres y Ludovico Ferrari ( 1522-1565 ) para el cuarto. El caso general continu\xc3\xb3 siendo durante mucho tiempo misterioso._NEWLINE_Joseph - Louis Lagrange (1736 - 1813) incluye la resoluci\xc3\xb3n de este problema general est\xc3\xa1 \xc3\xadntimamente relacionado con las propiedades de las permutaciones de ra\xc3\xadces. El caso especial de los polinomios ciclot\xc3\xb3micos lo muestra. El grupo de permutaciones buenas, ahora llamado grupo de Galois, no solo es conmutativa sino adem\xc3\xa1s c\xc3\xadclica. Esta propiedad, que se utiliza en torno al concepto de per\xc3\xadodos de Gauss, permite una eficaz soluci\xc3\xb3n para este caso particular._NEWLINE_Un an\xc3\xa1lisis m\xc3\xa1s profundo Ruffini Paolo ( 1765-1822 ), Niels Henrik Abel ( 1802-1829 ) y sobre todo por Evariste Galois ( 1811-1832 ) muestra que el aspecto conmutativa del grupo es, de hecho, una condici\xc3\xb3n suficiente. Para ser precisos, la situaci\xc3\xb3n indica que el grupo debe ser dividido en una serie de grupos conmutativos anidadas. La pregunta natural que surge es determinar las extensiones del cuerpo de los n\xc3\xbameros racionales cuyo grupo de Galois es conmutativa. Estas extensiones se llaman extensiones abelianas. La estructura del cuerpo asociado con el polinomio ciclot\xc3\xb3mico extensi\xc3\xb3n llamada ciclot\xc3\xb3mico, es un ejemplo. Que sea \xc3\xbanica significa que toda ecuaci\xc3\xb3n algebraica resoluble por radicales se reduce de una manera u otra a un polinomio ciclot\xc3\xb3mico. La respuesta es que toda extensi\xc3\xb3n abeliana del cuerpo de los racionales es un subcuerpo de una extensi\xc3\xb3n ciclot\xc3\xb3mico. La prueba de este resultado ha necesitado casi medio siglo esfuerzo para terminar de ser demostrado. Los principales cient\xc3\xadficos para dicha demostraci\xc3\xb3n fueron Leopold Kronecker (1823 - 1891) y Heinrich Weber ( 1842-1913 )._NEWLINE_Si el an\xc3\xa1lisis de las extensiones abelianas finitas termina con el siglo XIX, se deja abierta una amplia gama de cuestiones, por ejemplo en aritm\xc3\xa9tica. Parece necesario generalizar la noci\xc3\xb3n de campo ciclot\xc3\xb3mico sobre extensiones infinitas. La cuesti\xc3\xb3n la plantea David Hilbert ( 1862-1943 ).\xe2\x80\x8b Esta investigaci\xc3\xb3n se llama la teor\xc3\xada de las clases de cuerpo. Esta teor\xc3\xada es uno de los m\xc3\xa1s exitosos en el siglo XX. Se puede citar por ejemplo el teorema de reciprocidad\xe2\x80\x8b de Emil Artin ( 1898-62 ) que resuelve el noveno de los problemas de Hilbert, o m\xc3\xa1s recientemente, dos laureados de la medalla Fields para sus trabajos sobre generalizaciones de la teor\xc3\xada: Vladimir Drinfeld 1990 o Laurent Lafforgue en 2002.\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa1lculo de los polinomios ciclot\xc3\xb3micos\n_START_PARAGRAPH_\nEl polinomio  tiene por ra\xc3\xadces todas las ra\xc3\xadces n-\xc3\xa9simas de la unidad y toda ra\xc3\xadz n-\xc3\xa9sima de la unidad es ra\xc3\xadz d-\xc3\xa9sima primitiva para alg\xc3\xban divisor d de n; de la misma manera, las ra\xc3\xadces de , para d divisor de n tambi\xc3\xa9n son ra\xc3\xadces de . Se deduce pues la siguiente igualdad:_NEWLINE_Mediante esta \xc3\xbaltima, encontramos una primera manera recursiva de calcular los polinomios ciclot\xc3\xb3micos:_NEWLINE_Si queremos calcular el polinomio ciclot\xc3\xb3mico p-\xc3\xa9simo, donde p es un n\xc3\xbamero primo, como p no es divisible por ning\xc3\xban n\xc3\xbamero menor que \xc3\xa9l distinto de 1, todas las ra\xc3\xadces de la unidad exceptuando el uno son ra\xc3\xadces primitivas, por tanto:_NEWLINE_Utilizando la funci\xc3\xb3n de M\xc3\xb6bius, se obtiene otra manera no recursiva de calcular los polinomios ciclot\xc3\xb3micos:\n_START_SECTION_\nCuerpos ciclot\xc3\xb3micos\n_START_PARAGRAPH_\nUna de las aplicaciones de los polinomios ciclot\xc3\xb3micos es en el contexto del \xc3\xa1lgebra, cuando se usa para construir cuerpos ciclot\xc3\xb3micos._NEWLINE_Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado y k un subcuerpo de \xc3\xa9ste. Consideremos  un polinomio irreducible y  una ra\xc3\xadz de . Resulta que  de manera que , es decir, el grado del polinomio  ser\xc3\xa1 el grado de extensi\xc3\xb3n  sobre k que es el m\xc3\xadnimo cuerpo que contiene k y ._NEWLINE_Consideremos ahora,  una ra\xc3\xadz n-\xc3\xa9sima primitiva de la unidad. Entonces tendremos que , y, como en la generalizaci\xc3\xb3n, tendremos que el grado de la extensi\xc3\xb3n del cuerpo de los racionales junto a la ra\xc3\xadz primitiva n-\xc3\xa9sima ser\xc3\xa1 el grado del polinomio ciclot\xc3\xb3mico n-\xc3\xa9simo._NEWLINE_Por otro lado, tambi\xc3\xa9n es importante remarcar el resultado siguiente:_NEWLINE_Sean  n\xc3\xbameros naturales primos entre s\xc3\xad. Entonces, el producto de las dos ra\xc3\xadces primitivas  es una ra\xc3\xadz mn-\xc3\xa9sima primitiva de la unidad y se satisfacen las igualdades:  y .'