b'\n_START_ARTICLE_\nRegla y comp\xc3\xa1s\n_START_PARAGRAPH_\nLa construcci\xc3\xb3n con regla y comp\xc3\xa1s es el trazado de puntos, segmentos de recta y \xc3\xa1ngulos usando exclusivamente una regla y comp\xc3\xa1s idealizados. La geometr\xc3\xada cl\xc3\xa1sica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos tambi\xc3\xa9n investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos b\xc3\xa1sicos._NEWLINE_A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del comp\xc3\xa1s se supone que se cierra s\xc3\xbabitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque \xc2\xabolvida\xc2\xbb la separaci\xc3\xb3n de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricci\xc3\xb3n del comp\xc3\xa1s parece muy inc\xc3\xb3moda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matem\xc3\xa1tica, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta._NEWLINE_Cualquier punto que sea obtenible usando regla y comp\xc3\xa1s puede conseguirse tambi\xc3\xa9n usando \xc3\xbanicamente comp\xc3\xa1s. Como se ver\xc3\xa1, algunos problemas de geometr\xc3\xada plana cl\xc3\xa1sica imponen la restricci\xc3\xb3n de \xc2\xabsolo comp\xc3\xa1s\xc2\xbb._NEWLINE_Los problemas m\xc3\xa1s famosos que se propusieron para su resoluci\xc3\xb3n \xc2\xabcon regla y comp\xc3\xa1s\xc2\xbb son la proverbial cuadratura del c\xc3\xadrculo, la duplicaci\xc3\xb3n del cubo y la trisecci\xc3\xb3n del \xc3\xa1ngulo, a los que a veces se a\xc3\xb1ade la construcci\xc3\xb3n del hept\xc3\xa1gono regular, el primero de los infinitos pol\xc3\xadgonos regulares imposibles de trazar mediante regla y comp\xc3\xa1s. Tienen en com\xc3\xban ser de resoluci\xc3\xb3n imposible: est\xc3\xa1 matem\xc3\xa1ticamente demostrado que no se puede cuadrar el c\xc3\xadrculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el \xc3\xa1ngulo, ni trazar un hept\xc3\xa1gono regular usando exclusivamente la regla y el comp\xc3\xa1s idealizados de la geometr\xc3\xada griega. _NEWLINE_Pese a esa \xc2\xabimposibilidad l\xc3\xb3gica\xc2\xbb insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.\xe2\x80\x8b Quiz\xc3\xa1s, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geom\xc3\xa9tricas que no pueden realizarse con regla y comp\xc3\xa1s \xc2\xabeucl\xc3\xaddeos\xc2\xbb. Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geom\xc3\xa9tricas que solo requieren un poco m\xc3\xa1s que la regla y el comp\xc3\xa1s cl\xc3\xa1sicos.\n_START_SECTION_\nPuntos y longitudes construibles\n_START_PARAGRAPH_\nHay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia que se seguir\xc3\xa1 en este art\xc3\xadculo para presentar un esquema informal de las demostraciones de imposibilidad de los problemas cl\xc3\xa1sicos es la de determinar en primer lugar los l\xc3\xadmites de la regla y el comp\xc3\xa1s \xe2\x80\x94lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer con ellos\xe2\x80\x94, y mostrar seguidamente que para resolver los problemas deber\xc3\xadan superarse tales l\xc3\xadmites._NEWLINE_Usando regla y comp\xc3\xa1s se pueden definir coordenadas en el plano. Se parte de dos puntos que han de considerarse \xc2\xabdados\xc2\xbb, y se traza la recta que pasa por ambos. Se llama al resultado \xc2\xabeje \xc2\xbb, y se define la longitud entre los dos puntos dados como unidad de longitud._NEWLINE_Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de coordenadas y una unidad de longitud._NEWLINE_Ahora bien: una de las construcciones m\xc3\xa1s sencillas con regla y comp\xc3\xa1s es la de trazar una recta perpendicular a otra dada, as\xc3\xad que se hace precisamente eso, con lo que se obtiene un \xc2\xabeje \xc2\xbb._NEWLINE_As\xc3\xad pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de coordenadas cartesianas, con ejes  e , y con unidad de distancia. _NEWLINE_Por otro lado, un punto  en el plano eucl\xc3\xaddeo puede identificarse con el n\xc3\xbamero complejo . En la construcci\xc3\xb3n con regla y comp\xc3\xa1s, se empieza con un segmento de recta de longitud unitaria. Si se es capaz de construir un punto dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podr\xc3\xa1 decir que ese punto es un n\xc3\xbamero complejo construible. _NEWLINE_Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, los n\xc3\xbameros complejos , , , , etc. son f\xc3\xa1cilmente construibles._NEWLINE_De hecho, con construcciones conocidas de la geometr\xc3\xada euclidiana se pueden construir los n\xc3\xbameros complejos de la forma x\xc2\xa0+\xc2\xa0yi siempre que x e y sean n\xc3\xbameros racionales. De modo m\xc3\xa1s general, usando las mismas construcciones, uno puede, dados dos n\xc3\xbameros complejos a y b, construir a\xc2\xa0+\xc2\xa0b, a\xc2\xa0\xe2\x88\x92\xc2\xa0b, a\xc2\xa0\xc3\x97\xc2\xa0b, y a/b. _NEWLINE_Esto muestra que los n\xc3\xbameros construibles forman un cuerpo, que por tanto es un subcuerpo de los n\xc3\xbameros complejos. Puede demostrarse algo m\xc3\xa1s: dada una longitud construible es posible construir su conjugado y su ra\xc3\xadz cuadrada._NEWLINE_Como se ha visto, las \xc3\xbanicas formas de construir puntos nuevos es como intersecci\xc3\xb3n de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias, puede demostrarse que los puntos en los que se intersecan yacen en una extensi\xc3\xb3n cuadr\xc3\xa1tica del cuerpo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o, F, que contenga dos puntos en la recta, el centro del c\xc3\xadrculo, y el radio del c\xc3\xadrculo. Es decir, que los puntos con intersecci\xc3\xb3n son de la forma , donde ,  y  est\xc3\xa1n en F._NEWLINE_Dado que el cuerpo de los puntos construibles es cerrado para las ra\xc3\xadces cuadradas, contiene a todos los puntos que puedan obtenerse por una secuencia finita de extensiones cuadr\xc3\xa1ticas con coeficientes racionales del cuerpo de los n\xc3\xbameros complejos. Por lo dicho en el p\xc3\xa1rrafo anterior, se puede demostrar que todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones. Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio m\xc3\xadnimo para un n\xc3\xbamero construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de \xc2\xa02. En particular cualquier punto o longitud construible es un n\xc3\xbamero algebraico, sin embargo no cualquier n\xc3\xbamero algebraico puede ser construido.\n_START_SECTION_\n\xc3\x81ngulos construibles\n_START_PARAGRAPH_\nHay una biyecci\xc3\xb3n entre los \xc3\xa1ngulos construibles y los puntos que son construibles en cualquier circunferencia construible.  Los \xc3\xa1ngulos construibles forman un grupo abeliano bajo la suma-m\xc3\xb3dulo  (que se corresponde con la multiplicaci\xc3\xb3n de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como n\xc3\xbameros complejos). Los \xc3\xa1ngulos construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, su seno o su coseno) es un n\xc3\xbamero construible. Por ejemplo, el heptadec\xc3\xa1gono regular (pol\xc3\xadgono de 17 lados iguales) es construible porque:_NEWLINE_,_NEWLINE_como descubri\xc3\xb3 Gauss.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_El grupo de los \xc3\xa1ngulos construibles es cerrado bajo la operaci\xc3\xb3n que biseca los \xc3\xa1ngulos (que se corresponde con la obtenci\xc3\xb3n de ra\xc3\xadces cuadradas). Los \xc3\xbanicos \xc3\xa1ngulos de orden finito que pueden construirse empezando con dos puntos son aquellos cuyo orden es el producto de una potencia de 2 por un elemento de un conjunto de diversos n\xc3\xbameros primos de Fermat. Adem\xc3\xa1s, hay un conjunto denso de \xc3\xa1ngulos construibles de orden infinito.\n_START_SECTION_\nCuadratura del c\xc3\xadrculo\n_START_PARAGRAPH_\nEl m\xc3\xa1s famoso de los problemas griegos, la cuadratura del c\xc3\xadrculo plantea la construcci\xc3\xb3n de un cuadrado cuya superficie sea la misma que la de un c\xc3\xadrculo dado; y, por supuesto, resuelto con regla y comp\xc3\xa1s._NEWLINE_Se ha demostrado que cuadrar el c\xc3\xadrculo de esta forma es imposible, dado que implica encontrar un n\xc3\xbamero trascendente, a saber . Usando regla y comp\xc3\xa1s solo es posible generar n\xc3\xbameros algebraicos. La frase "cuadratura del c\xc3\xadrculo" o "cuadrar el c\xc3\xadrculo" se usa frecuentemente con el sentido de "hacer algo imposible". Con gran fortuna, puesto que es tan imposible como obtener algo distinto de cuatro sumando dos m\xc3\xa1s dos, o dibujar en el plano eucl\xc3\xaddeo un tri\xc3\xa1ngulo que tenga los tres \xc3\xa1ngulos obtusos._NEWLINE_Sin embargo, si no se exige resolver el problema con solo regla y comp\xc3\xa1s, resulta sencillo hacerlo con una amplia variedad de m\xc3\xa9todos geom\xc3\xa9tricos y algebraicos. El problema fue resuelto de esta forma muchas veces, ya en la antig\xc3\xbcedad.\n_START_SECTION_\nDuplicaci\xc3\xb3n del cubo\n_START_PARAGRAPH_\nDuplicar el cubo consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro cubo cuyo lado se da como dato del problema. Por supuesto, debe hacerse con regla y comp\xc3\xa1s. Es imposible, porque la ra\xc3\xadz c\xc3\xbabica de 2, pese a ser un n\xc3\xbamero algebraico, no puede  obtenerse de los n\xc3\xbameros enteros por suma, resta, multiplicaci\xc3\xb3n, divisi\xc3\xb3n y extracci\xc3\xb3n de ra\xc3\xadces cuadradas, que son las \xc3\xbanicas operaciones que pueden hacerse con regla y comp\xc3\xa1s. Esto es as\xc3\xad porque el polinomio m\xc3\xadnimo de la ra\xc3\xadz c\xc3\xbabica de 2 sobre los racionales tiene grado\xc2\xa03. Basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un comp\xc3\xa1s para que sea posible duplicar el cubo.\n_START_SECTION_\nConstrucci\xc3\xb3n de pol\xc3\xadgonos regulares\n_START_PARAGRAPH_\nAlgunos pol\xc3\xadgonos regulares (un ejemplo es el pent\xc3\xa1gono) son f\xc3\xa1cilmente construibles con regla y comp\xc3\xa1s; otros no. Esto nos lleva a la pregunta: \xc2\xbfes posible construir cualquier pol\xc3\xadgono regular con regla y comp\xc3\xa1s?_NEWLINE_El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que mostr\xc3\xb3 en 1801 que un pol\xc3\xadgono regular de n lados puede construirse con regla y comp\xc3\xa1s siempre que los factores primos impares de n sean primos de Fermat distintos. Gauss conjetur\xc3\xb3 que esta condici\xc3\xb3n deb\xc3\xada ser tambi\xc3\xa9n necesaria, pero no aport\xc3\xb3 una demostraci\xc3\xb3n de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en 1837.\n_START_SECTION_\nConstrucciones solo con regla o solo con comp\xc3\xa1s\n_START_PARAGRAPH_\nEs posible, de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni, obtener solo con comp\xc3\xa1s cualquier construcci\xc3\xb3n  que pueda hacerse con regla y comp\xc3\xa1s (excepto el hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una ra\xc3\xadz cuadrada solo con regla, de modo que muchas construcciones factibles con comp\xc3\xa1s no lo son con regla. Pero el teorema de Poncelet-Steiner demuestra que basta con disponer previamente de un \xc3\xbanico c\xc3\xadrculo y su punto central para que todo lo construible con comp\xc3\xa1s lo sea tambi\xc3\xa9n solo con regla (y el c\xc3\xadrculo y su centro previamente trazados).\n_START_SECTION_\nReglas marcables\n_START_PARAGRAPH_\nArqu\xc3\xadmedes y Apolonio de P\xc3\xa9rgamo realizaron construcciones con \xc2\xabregla marcable\xc2\xbb, una regla en la que se puedan dibujar rayas para guardar memoria exacta de distancias. Esto les permit\xc3\xada, por ejemplo, partir de un segmento de recta, dos rectas (o c\xc3\xadrculos) y un punto, y trazar una nueva recta que pasara por el punto dado y se intersecara con las dos rectas iniciales, de modo que la distancia entre los puntos de intersecci\xc3\xb3n igualara la longitud del segmento dado. Esta construcci\xc3\xb3n, llamada neusis (inclinaci\xc3\xb3n, tendencia), crea un segmento de recta de tama\xc3\xb1o prefijado, que cumple la condici\xc3\xb3n de tocar en sus extremos las dos rectas dadas, y adem\xc3\xa1s pasa por el punto dado, al que suele llamarse \xc2\xabpolo\xc2\xbb._NEWLINE_Esto extendi\xc3\xb3 la geometr\xc3\xada m\xc3\xa1s all\xc3\xa1 de los Elementos de Euclides. Euclides no ten\xc3\xada ning\xc3\xban axioma, ni pod\xc3\xada demostrar ning\xc3\xban teorema, que mostrara siquiera la existencia de la neusis, de modo que no pod\xc3\xada usarla en las construcciones. En esta geometr\xc3\xada expandida, cualquier distancia cuya raz\xc3\xb3n a una distancia dada sea la soluci\xc3\xb3n de una ecuaci\xc3\xb3n c\xc3\xbabica o cu\xc3\xa1rtica es constru\xc3\xadble. De manera que si se permite usar reglas marcables, y como consecuencia se permite la neusis, la trisecci\xc3\xb3n del \xc3\xa1ngulo\xe2\x80\x8b y la duplicaci\xc3\xb3n del cubo pueden conseguirse. La cuadratura del c\xc3\xadrculo, en cambio, sigue siendo imposible. Algunos pol\xc3\xadgonos regulares no construibles con regla y comp\xc3\xa1s cl\xc3\xa1sicos, como el hept\xc3\xa1gono, lo son con regla marcable.\xe2\x80\x8b Con neusis y todo, sin embargo, sigue siendo imposible construir muchos (de hecho, infinitos) pol\xc3\xadgonos regulares, empezando por el de once lados (endec\xc3\xa1gono).\n_START_SECTION_\nOrigami\n_START_PARAGRAPH_\nDe modo similar, la teor\xc3\xada matem\xc3\xa1tica del origami, o papiroflexia sin ning\xc3\xban instrumento, solo hojas de papel, resulta m\xc3\xa1s potente que la regla y comp\xc3\xa1s cl\xc3\xa1sicos. Igual que la regla marcable, el origami permite resolver ecuaciones c\xc3\xbabicas, lo que a su vez abre la resoluci\xc3\xb3n de cu\xc3\xa1rticas, la duplicaci\xc3\xb3n del cubo y la trisecci\xc3\xb3n del \xc3\xa1ngulo. Se ha demostrado que los puntos construibles por papiroflexia son exactamente los mismos que con regla marcable y comp\xc3\xa1s; en particular, tampoco el origami permite resolver la cuadratura del c\xc3\xadrculo. Se pueden hacer tambi\xc3\xa9n figuras de diversos modelos con el origami o papiroflexia tan solo con una hoja de papel.\n_START_SECTION_\nEl cuerpo extendido\n_START_PARAGRAPH_\nEn t\xc3\xa9rminos abstractos, el uso de estas herramientas m\xc3\xa1s potentes, ya sea la neusis de la regla marcable o el origami o papiroflexia, extienden el cuerpo de los n\xc3\xbameros constru\xc3\xadbles a un subcuerpo m\xc3\xa1s amplio de los n\xc3\xbameros complejos, que no solo contiene la ra\xc3\xadz cuadrada, sino tambi\xc3\xa9n la ra\xc3\xadz c\xc3\xbabica de cualquier elemento (Como siempre, podemos evitar la ambig\xc3\xbcedad sobre de qu\xc3\xa9 ra\xc3\xadz c\xc3\xbabica estamos hablando qued\xc3\xa1ndonos solo con los argumentos complejos menores que , para que haya una sola). Las f\xc3\xb3rmulas aritm\xc3\xa9ticas de los puntos constru\xc3\xadbles que hemos descrito m\xc3\xa1s arriba tienen sus an\xc3\xa1logas en este cuerpo extendido, permitiendo ahora f\xc3\xb3rmulas que incluyen tambi\xc3\xa9n ra\xc3\xadces c\xc3\xbabicas.\n_START_SECTION_\nTrisectar un segmento de recta\n_START_PARAGRAPH_\nEs posible trisectar.\n_START_SECTION_\nInvestigaciones recientes\n_START_PARAGRAPH_\nSimon Plouffe ha escrito un art\xc3\xadculo en el que muestra c\xc3\xb3mo la regla y el comp\xc3\xa1s pueden usarse como una sencilla computadora, dotada de insospechada potencia de c\xc3\xa1lculo.\xe2\x80\x8b'