b'\n_START_ARTICLE_\nParadojas de Zen\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLas paradojas de Zen\xc3\xb3n son un conjunto de problemas filos\xc3\xb3ficos que, en general, se cree que fueron planteados por el fil\xc3\xb3sofo de la Antigua Grecia Zen\xc3\xb3n de Elea (c. 490-430 a. C.) para respaldar la doctrina de Parm\xc3\xa9nides, en la que se afirma que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, la creencia en el pluralismo y el cambio es err\xc3\xb3nea, y en particular que el movimiento no es m\xc3\xa1s que una ilusi\xc3\xb3n de los sentidos.\n_START_SECTION_\nContexto hist\xc3\xb3rico\n_START_PARAGRAPH_\nDedicado principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre espacio, tiempo y movimiento, Zen\xc3\xb3n habr\xc3\xada planteado \xe2\x80\x94 se\xc3\xb1ala Proclo \xe2\x80\x94 un total de 40 paradojas. Generalmente, se asume, bas\xc3\xa1ndose en el di\xc3\xa1logo de Plat\xc3\xb3n Parm\xc3\xa9nides (128 a-d), que Zen\xc3\xb3n emprendi\xc3\xb3 la tarea de crear estas apor\xc3\xadas porque otros fil\xc3\xb3sofos hab\xc3\xadan creado paradojas contra la visi\xc3\xb3n de Parm\xc3\xa9nides. Por eso Plat\xc3\xb3n escribe que el prop\xc3\xb3sito de las paradojas de Zen\xc3\xb3n "es mostrar que la hip\xc3\xb3tesis de la pluralidad, si se realiza un razonamiento adecuado, conduce a resultados a\xc3\xban m\xc3\xa1s absurdos que la hip\xc3\xb3tesis de que el ser es uno".\xe2\x80\x8b Plat\xc3\xb3n tambi\xc3\xa9n recoge una afirmaci\xc3\xb3n de S\xc3\xb3crates de que Zen\xc3\xb3n y Parm\xc3\xa9nides estaban argumentando esencialmente el mismo punto de vista.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Algunas de las nueve paradojas supervivientes de Zen\xc3\xb3n (conservadas en la F\xc3\xadsica de Arist\xc3\xb3teles\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b y en el comentario de Simplicio de Cilicia al respecto) son esencialmente equivalentes entre s\xc3\xad. Arist\xc3\xb3teles ofreci\xc3\xb3 una refutaci\xc3\xb3n de algunas de ellas.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Tres de las paradojas m\xc3\xa1s famosas y m\xc3\xa1s dif\xc3\xadciles de rebatir, la de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotom\xc3\xada y el de una flecha en vuelo, se presentan en detalle a continuaci\xc3\xb3n._NEWLINE_Los argumentos de Zen\xc3\xb3n son quiz\xc3\xa1s los primeros ejemplos de un m\xc3\xa9todo de prueba llamado "reductio ad absurdum", tambi\xc3\xa9n conocido como prueba por contradicci\xc3\xb3n. Se suelen mostrar como una fuente del m\xc3\xa9todo dial\xc3\xa9ctico utilizado por S\xc3\xb3crates.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Algunos matem\xc3\xa1ticos e historiadores, como Carl Benjamin Boyer, sostienen que las paradojas de Zen\xc3\xb3n son simplemente problemas matem\xc3\xa1ticos, para los que el c\xc3\xa1lculo infinitesimal moderno ofrece una soluci\xc3\xb3n matem\xc3\xa1tica.\xe2\x80\x8b Sin embargo, algunos fil\xc3\xb3sofos afirman que las paradojas de Zen\xc3\xb3n y sus variaciones (v\xc3\xa9ase la l\xc3\xa1mpara de Thomson) siguen siendo problemas relevantes de metaf\xc3\xadsica.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Los or\xc3\xadgenes de las paradojas son poco claros. Di\xc3\xb3genes Laercio, una cuarta fuente de informaci\xc3\xb3n sobre Zen\xc3\xb3n y sus ense\xc3\xb1anzas, citando a Favorino, dice que Parm\xc3\xa9nides, el maestro de Zen\xc3\xb3n, fue el primero en presentar la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laercio atribuye el origen de la paradoja a Zen\xc3\xb3n, explicando que Favorinus no est\xc3\xa1 de acuerdo.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nEstructura y prop\xc3\xb3sito de las paradojas\n_START_PARAGRAPH_\nLa estructura de las paradojas sigue el principio de la demostraci\xc3\xb3n indirecta. Est\xc3\xa1n planteadas de manera tal que al comienzo se enuncia como supuesto la misma posici\xc3\xb3n que se quiere refutar. A partir de los supuestos se construye una regresi\xc3\xb3n infinita. As\xc3\xad, por ejemplo, en la paradoja de la dicotom\xc3\xada se divide el tramo que a\xc3\xban est\xc3\xa1 por recorrer para argumentar que la segunda parte tambi\xc3\xa9n tiene que recorrerse y a esa parte tambi\xc3\xa9n aplica a su vez lo mismo. Esto se puede repetir en el pensamiento infinitamente, a\xc3\xban dif\xc3\xadciles de entender._NEWLINE_La argumentaci\xc3\xb3n de Zen\xc3\xb3n gira en torno a la pregunta de si el mundo puede ser dividido en unidades discretas, es decir, si acaso existe la divisibilidad o el mundo constituye realmente una unidad continua. El supuesto de la divisibilidad conduce al problema de que o bien todo es infinitamente divisible o tienen que existir cuantos elementales \xc3\xbaltimos de espacio y de tiempo. La mayor parte de las paradojas parte de uno de estos dos supuestos y concluye desde all\xc3\xad la imposibilidad de ciertas cosas y procesos que, en la vida cotidiana, se experimentan como absolutamente posibles. As\xc3\xad, por ejemplo, se sabe por experiencia que cada corredor alcanzar\xc3\xa1 su meta. Zen\xc3\xb3n discute de esta manera tanto el concepto de espacio como el de movimiento._NEWLINE_Algunos relatos suponen que Zen\xc3\xb3n se orientaba con sus paradojas a defender la doctrina de su maestro Parm\xc3\xa9nides de que existir\xc3\xada solamente lo \xc3\xbanico infinito y todo movimiento ser\xc3\xada una ilusi\xc3\xb3n. Seg\xc3\xban esto, por ejemplo, una persona no podr\xc3\xada recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de este, antes a la mitad de la mitad, pero antes a\xc3\xban deber\xc3\xada recorrer la mitad de la mitad de la mitad y as\xc3\xad eternamente hasta el infinito. De este modo, en el ejercicio mental, una persona no podr\xc3\xada recorrer nunca un estadio de longitud, aunque la realidad muestre que s\xc3\xad es posible._NEWLINE_Plat\xc3\xb3n (en su di\xc3\xa1logo Parmenides) presenta a Zen\xc3\xb3n informando que intent\xc3\xb3 proteger a Parm\xc3\xa9nides contra las cr\xc3\xadticas por su rechazo de la pluralidad y del movimiento (el que llevar\xc3\xada a consecuencias descabelladas), con la demostraci\xc3\xb3n de que la adhesi\xc3\xb3n al movimiento y a la pluralidad llevar\xc3\xada a conclusiones a\xc3\xban m\xc3\xa1s insensatas. _NEWLINE_En todo caso, Zen\xc3\xb3n se\xc3\xb1ala all\xc3\xad tambi\xc3\xa9n que este texto de Plat\xc3\xb3n que se tratar\xc3\xada de una obra de juventud y que la gente se lo habr\xc3\xada sustra\xc3\xaddo sin que \xc3\xa9l haya dado su consentimiento expreso para ello. No obstante, lo que al menos se puede afirmar con seguridad es que la filosof\xc3\xada de Zen\xc3\xb3n se orientaba en contra de la adopci\xc3\xb3n de determinadas posiciones filos\xc3\xb3ficas fundamentales para la explicaci\xc3\xb3n del mundo. Contra estas posiciones argumenta tambi\xc3\xa9n Parm\xc3\xa9nides. Sin embargo, en algunas de las paradojas hay contradicciones con el concepto de mundo de forma esf\xc3\xa9rica de Parm\xc3\xa9nides. En rigor, de los argumentos de Zen\xc3\xb3n solo se puede deducir que el supuesto de espacio y movimiento, bajo las premisas que se establecen en cada una de las paradojas, conduce a consecuencias absurdas, es decir las premisas no pueden ser verdaderas si no se quiere dudar de la experiencia cotidiana._NEWLINE_Con sus paradojas, Zen\xc3\xb3n cuestiona determinadas concepciones intuitivas preexistentes acerca de lo infinitamente peque\xc3\xb1o y lo infinitamente grande. Ya antes se sol\xc3\xada creer que una suma de infinitos sumandos pod\xc3\xada crecer indefinidamente, aunque los sumandos fueran infinitamente peque\xc3\xb1os, y que la suma de un n\xc3\xbamero finito o infinito de t\xc3\xa9rminos todos iguales a cero volv\xc3\xada a dar cero como resultado. La cr\xc3\xadtica de Zen\xc3\xb3n objeta la admisibilidad de tales conceptos.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Las apor\xc3\xadas o sofismas de Zen\xc3\xb3n pertenecen a la categor\xc3\xada de paradojas fals\xc3\xaddicas, tambi\xc3\xa9n llamadas sofismas, esto es, que no solo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que adem\xc3\xa1s lo son (falacia en el razonamiento).\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Es probable que el propio Zen\xc3\xb3n no haya tenido clara conciencia de las consecuencias que sus consideraciones ten\xc3\xadan para las matem\xc3\xa1ticas. En la discusi\xc3\xb3n filos\xc3\xb3fica y teol\xc3\xb3gica ya hab\xc3\xadan surgido problemas del tipo tratado por \xc3\xa9l en sus paradojas: los problemas de la relaci\xc3\xb3n entre el infinito potencial y el infinito actual o alcanzado.\xe2\x80\x8b Sin embargo, las paradojas influyeron en el pensamiento matem\xc3\xa1tico de muchas generaciones, m\xc3\xa1s a\xc3\xban despu\xc3\xa9s del descubrimiento de los n\xc3\xbameros irracionales, llegando a cuestionarse la posibilidad de las matem\xc3\xa1ticas como una ciencia exacta. Se ha llegado a plantear que este esc\xc3\xa1ndalo marca una aut\xc3\xa9ntica crisis de las matem\xc3\xa1ticas griegas en las postrimer\xc3\xadas de las Guerras del Peloponeso que culminaran con la ca\xc3\xadda de Atenas en 404 a. C., que signific\xc3\xb3 el fin de la democracia esclavista y el inicio del r\xc3\xa9gimen aristocr\xc3\xa1tico.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Contra las paradojas se han aportado los m\xc3\xa1s diversos argumentos, por lo que se les considera refutadas\xe2\x80\x8b Sin embargo, para mediciones en el mundo de la f\xc3\xadsica cu\xc3\xa1ntica las paradojas se confirmaron en 1994 en la Universidad de M\xc3\xbanich: Se comprob\xc3\xb3 que se detuvo el movimiento de un sistema cu\xc3\xa1ntico exclusivamente por medio de una secuencia densa de mediciones, lo cual condujo a la formulaci\xc3\xb3n del modelo te\xc3\xb3rico del efecto cu\xc3\xa1ntico de Zen\xc3\xb3n.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nParadoja del lugar\n_START_PARAGRAPH_\nDe Arist\xc3\xb3teles:_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar tambi\xc3\xa9n tendr\xc3\xa1 un lugar, y as\xc3\xad sucesivamente ad infinitum.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nParadoja del grano de mijo\n_START_PARAGRAPH_\nDescripci\xc3\xb3n de la paradoja tomada del Diccionario de Filosof\xc3\xada de Routledge:_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_El argumento es que un solo grano de mijo no emite ning\xc3\xban sonido al caer, pero mil granos s\xc3\xad emiten un sonido. De ah\xc3\xad que mil nadas se conviertan en algo, se considera una conclusi\xc3\xb3n absurda.\xe2\x80\x8b_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_La refutaci\xc3\xb3n de Arist\xc3\xb3teles._NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Zen\xc3\xb3n se equivoca al decir que hay una parte del mijo que no emite ning\xc3\xban sonido al caer: porque no hay ninguna raz\xc3\xb3n por la cual ninguna parte de este tipo deba dejar de mover el aire en el sentido de la ca\xc3\xadda de todo el mijo. De hecho, incluso no mover\xc3\xada por s\xc3\xad sola igual cantidad de aire como mover\xc3\xada si fuera parte de un todo: porque ni siquiera existe tal parte de otra manera que potencialmente.\xe2\x80\x8b_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_Descripci\xc3\xb3n de Nick Huggett:_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Este es un argumento parmenidiano acerca de que no se puede confiar en el sentido del o\xc3\xaddo. La respuesta de Arist\xc3\xb3teles parece ser que incluso los sonidos inaudibles pueden agregarse a un sonido audible.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nLas filas m\xc3\xb3viles (o el estadio)\n_START_PARAGRAPH_\nSup\xc3\xb3nganse que en un estadio hay tres filas paralelas cada una de cuatro atletas, separados entre s\xc3\xad por id\xc3\xa9nticos intervalos de distancia. Los de la fila A permanecen quietos con su centro coincidiendo con el punto medio de la recta del estadio, mientras que los de las filas B y \xce\x93 corren a la misma velocidad pero en sentido contrario, unos desde el punto de salida, y los otros desde la meta de la recta del estadio. De acuerdo con las im\xc3\xa1genes situadas a la derecha, en un determinado momento se llegar\xc3\xa1 a la situaci\xc3\xb3n inicial (poco antes de que se crucen las dos filas de corredores, con dos corredores de la fila B alineados con dos atletas de la fila A, e igual para los de la fila \xce\x93). Poco despu\xc3\xa9s, se llega a la situaci\xc3\xb3n final, con los cuatro corredores de cada fila alineados con los atletas de la fila A)._NEWLINE_Comparando las dos im\xc3\xa1genes, se observa que cada uno de los cuatro corredores de la fila B se ha desplazado cuatro posiciones respecto a los corredores de la fila \xce\x93, pero tambi\xc3\xa9n cada uno de ellos solo se ha desplazado dos posiciones con respecto a los atletas de la fila A, que no se han movido. \xc2\xbfC\xc3\xb3mo es posible que hayan recorrido simult\xc3\xa1neamente distancias distintas en el mismo lapso de tiempo?\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Seg\xc3\xban Arist\xc3\xb3teles:_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_... con respecto a las dos filas de cuerpos, cada fila se compone de un n\xc3\xbamero igual de cuerpos de igual tama\xc3\xb1o, rebas\xc3\xa1ndose unos a otros en una carrera a medida que avanzan con la misma velocidad en direcciones opuestas, la fila que originalmente ocupaba el espacio entre la meta y el punto medio del estadio, y la otra fila que estaba situada entre el punto medio y el poste de inicio. Esto ... [cuando se cruzan en el centro del estadio, cada fila habr\xc3\xa1 recorrido respecto a la otra fila el doble de distancia que respecto al poste central, lo que] implica la conclusi\xc3\xb3n de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo.\xe2\x80\x8b_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_Para una explicaci\xc3\xb3n ampliada de los argumentos de Zen\xc3\xb3n presentados por Arist\xc3\xb3teles, vea el comentario de Simplicio de Cilicia Sobre la f\xc3\xadsica de Arist\xc3\xb3teles.\n_START_SECTION_\nParadojas de la pluralidad\n_START_PARAGRAPH_\nEn contraste con las paradojas del movimiento, en la divulgaci\xc3\xb3n de las paradojas de la pluralidad no se ha logrado imponer una denominaci\xc3\xb3n \xc3\xbanica y en general el significado de los textos griegos que se conservan es notoriamente menos claro que las paradojas del movimiento que indirectamente han transmitido otros autores.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_La evaluaci\xc3\xb3n de la importancia para las matem\xc3\xa1ticas y la filosof\xc3\xada de los griegos contempor\xc3\xa1neos a Zen\xc3\xb3n y su ulterior influencia difiere de un autor a otro. La influencia sobre las amplias consecuencias de la limitaci\xc3\xb3n de Arist\xc3\xb3teles y Euclides a infinitos potenciales, que pudieron resolverse gracias a los trabajos de Georg Cantor, no se estima concluyente._NEWLINE_M\xc3\xa1s recientemente, e impulsada por la obra de Adolf Gr\xc3\xbcnbaum,\xe2\x80\x8b se le ha otorgado nuevamente atenci\xc3\xb3n a la paradoja de la divisi\xc3\xb3n completa por parte de la investigaci\xc3\xb3n b\xc3\xa1sica en matem\xc3\xa1ticas.\n_START_SECTION_\nEl argumento de la densidad\n_START_PARAGRAPH_\nSimplicio en su comentario acerca de la F\xc3\xadsica de Arist\xc3\xb3teles, cita as\xc3\xad el argumento de la densidad:_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Si existe la pluralidad, entonces necesariamente tiene que haber exactamente la cantidad de cosas que hay, ni m\xc3\xa1s, ni menos, pero si hay tantas cosas como hay, entonces est\xc3\xa1n [en cuanto a su n\xc3\xbamero] limitadas._NEWLINE_Si existe la pluralidad, entonces el ser [en cuanto a su n\xc3\xbamero] es ilimitado. Porque entre las cosas individuales siempre hay otras cosas y entre ellas a su vez, nuevamente otras. As\xc3\xad, el ser es ilimitado._NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_Simpl., Phys, 140 (29), en: Die Fragmente der Vorsokratiker. Edici\xc3\xb3n en griego y alem\xc3\xa1n por Hermann Diels. Vol. I, Berl\xc3\xadn 1922, p. 173\xe2\x80\x93175._NEWLINE_La idea que estar\xc3\xada en la base de este argumento podr\xc3\xada ser que cosas diferentes, si estas no son divididas por una tercera cosa, son una misma, junto a un rechazo de la idea del espacio vac\xc3\xado. De ello resulta una contradicci\xc3\xb3n, debido a que una cantidad finita determinada de cosas arrastra consigo la existencia de una cantidad ilimitada, infinita.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nEl argumento del tama\xc3\xb1o finito\n_START_PARAGRAPH_\nEl argumento del tama\xc3\xb1o finito tambi\xc3\xa9n fue en parte transmitido por el comentario de Simplicio. Primeramente Zen\xc3\xb3n muestra (Simplicio solo resume, sin citar la demostraci\xc3\xb3n) que si hay pluralidad, la misma no puede tener tama\xc3\xb1o. Luego argumenta Zen\xc3\xb3n (a partir de aqu\xc3\xad Simplicio cita textualmente la demostraci\xc3\xb3n de Zen\xc3\xb3n) que algo que no tuviera tama\xc3\xb1o ser\xc3\xada justamente nada. En un tercer paso prosigue que si el objeto tuviera tama\xc3\xb1o, ser\xc3\xadan infinitos objetos finitos, ya que los objetos finitos son los \xc3\xbanicos que delimitan a otros objetos finitos_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Si la hay [la pluralidad], entonces cada una de sus partes individuales tiene que tener un tama\xc3\xb1o, un grosor y una separaci\xc3\xb3n de otros objetos determinados. Y lo mismo se puede decir de las partes que se encuentran antes que estas. Por supuesto, tambi\xc3\xa9n tendr\xc3\xa1n tama\xc3\xb1o y habr\xc3\xa1 otra parte a su lado. Lo mismo es verdad una vez y todas las veces. Porque ninguna parte de lo mismo formar\xc3\xa1 el l\xc3\xadmite final, y nunca una no estar\xc3\xa1 relacionada con otra. Entonces, si hay muchas cosas, necesariamente deben ser peque\xc3\xb1as y grandes: la nada o grandes hasta el infinito._NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_Simpl., Phys, 140 (34), De: Los fragmentos de los presocr\xc3\xa1ticos. Griego y alem\xc3\xa1n por Hermann Diels. 1. Band, Berl\xc3\xadn 1922, S. 173\xe2\x80\x93175._NEWLINE_Las interpretaciones de este argumento son inconsistentes. Seg\xc3\xban una interpretaci\xc3\xb3n com\xc3\xban, donde apechein (\xe1\xbc\x80\xcf\x80\xce\xad\xcf\x87\xce\xb5\xce\xb9\xce\xbd) se traduce como separados entre s\xc3\xad por la distancia, como en la traducci\xc3\xb3n anterior de Diels, el argumento debe entenderse como: las cosas, si se distinguen, son separadas, luego debe haber "algo" entre ellas. Este algo es diferente de los dos objetos anteriores, as\xc3\xad que de nuevo, ad infinitum, un objeto debe separarlos. En esta interpretaci\xc3\xb3n, la paradoja ha sido generalmente rechazada como una falacia.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Otros autores contradicen esta interpretaci\xc3\xb3n con respecto al contexto y entienden que apechein (sin\xc3\xb3nimo de proechein (\xcf\x80\xcf\x81\xce\xbf\xce\xad\xcf\x87\xce\xb5\xce\xb9\xce\xbd)) se refiere a la ubicaci\xc3\xb3n de las partes de una subdivisi\xc3\xb3n. La posici\xc3\xb3n clave se recibe en la traducci\xc3\xb3n de Vlastos,\xe2\x80\x8b donde se dice:_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Por lo tanto, si [muchos] existen, cada [elemento existente] debe tener alg\xc3\xban tama\xc3\xb1o y volumen y alguna [parte de cada uno] debe estar m\xc3\xa1s all\xc3\xa1 ("apechein") de otra [parte del mismo existente]. Y el mismo razonamiento [logos] se sostiene de la [parte] proyectante: por esto tambi\xc3\xa9n tendr\xc3\xa1 algo de tama\xc3\xb1o y parte [de] la parte se proyectar\xc3\xa1. Ahora, decir esto una vez es tan cierto como decirlo las veces que se quiera. Ninguna de estas [partes, es decir, ninguna parte que resulte de esta subdivisi\xc3\xb3n continua] ser\xc3\xa1 la \xc3\xbaltima ni una [parte] nunca existir\xc3\xa1 no [similarmente] relacionada con [es decir, proyectada desde] otra. [\xe2\x80\xa6] Por lo tanto, si hay muchas, deben ser peque\xc3\xb1as y grandes._NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_Aqu\xc3\xad, seg\xc3\xban Abraham, se distinguen dos interpretaciones: la divisi\xc3\xb3n en el borde y la divisi\xc3\xb3n a trav\xc3\xa9s y por medio.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nDi\xc3\xb3genes el c\xc3\xadnico\n_START_PARAGRAPH_\nDe acuerdo con Simplicio, Di\xc3\xb3genes de Sinope no dijo nada al escuchar los argumentos de Zen\xc3\xb3n, pero se levant\xc3\xb3 y camin\xc3\xb3 para demostrar la falsedad de las conclusiones de Zen\xc3\xb3n (v\xc3\xa9ase "solvitur ambulando"). Para resolver por completo cualquiera de las paradojas, sin embargo, se necesita mostrar qu\xc3\xa9 es lo que est\xc3\xa1 mal en el argumento, no solo las conclusiones. A trav\xc3\xa9s de la historia, se han propuesto varias soluciones, entre las que se encuentran las primeras de Arist\xc3\xb3teles y Arqu\xc3\xadmedes.\n_START_SECTION_\nArist\xc3\xb3teles\n_START_PARAGRAPH_\nArist\xc3\xb3teles (384 a. C. \xe2\x88\x92 322 a. C.) observ\xc3\xb3 que a medida que la distancia disminuye, el tiempo necesario para cubrir esas distancias tambi\xc3\xa9n disminuye, de modo que el tiempo necesario tambi\xc3\xa9n se vuelve cada vez m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Tambi\xc3\xa9n distingui\xc3\xb3 las "cosas infinitas con respecto a la divisibilidad" (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1as mientras se mantiene espacialmente igual) de las cosas (o distancias) que son infinitas en extensi\xc3\xb3n ("con respecto a sus extremidades").\xe2\x80\x8b La objeci\xc3\xb3n de Arist\xc3\xb3teles a la paradoja de la flecha era que "el tiempo no se compone de nodos indivisibles, como tampoco cualquier otra magnitud se compone de indivisibles".\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nTom\xc3\xa1s de Aquino\n_START_PARAGRAPH_\nTom\xc3\xa1s de Aquino, comentando sobre la objeci\xc3\xb3n de Arist\xc3\xb3teles, escribi\xc3\xb3: "Los instantes no son partes del tiempo, porque el tiempo no est\xc3\xa1 formado por instantes m\xc3\xa1s de lo que se hace una magnitud de puntos, como ya hemos probado. Por lo tanto, no se sigue que una cosa est\xc3\xa9 o no en movimiento en un momento dado, simplemente porque no est\xc3\xa9 en movimiento en ning\xc3\xban instante de ese tiempo". \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nArqu\xc3\xadmedes\n_START_PARAGRAPH_\nAntes del 212 a. C., Arqu\xc3\xadmedes hab\xc3\xada desarrollado un m\xc3\xa9todo para obtener una soluci\xc3\xb3n finita para la suma de infinitos t\xc3\xa9rminos que se hacen cada vez m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1os (v\xc3\xa9ase: serie geom\xc3\xa9trica, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + \xc2\xb7 \xc2\xb7 \xc2\xb7, la cuadratura de la par\xc3\xa1bola). El c\xc3\xa1lculo moderno logra el mismo resultado, utilizando m\xc3\xa9todos m\xc3\xa1s rigurosos (v\xc3\xa9ase serie convergente, donde las series de "rec\xc3\xadprocos de potencias de 2", equivalentes a la paradoja de la dicotom\xc3\xada, se clasifican como convergentes). Estos m\xc3\xa9todos permiten la construcci\xc3\xb3n de soluciones basadas en las condiciones estipuladas por Zen\xc3\xb3n, es decir, la cantidad de tiempo que se toma en cada paso disminuye geom\xc3\xa9tricamente.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nBertrand Russell\n_START_PARAGRAPH_\nBertrand Russell ofreci\xc3\xb3 lo que se conoce como la "teor\xc3\xada de movimiento de-de". Est\xc3\xa1 de acuerdo en que no puede haber movimiento "durante" un instante sin duraci\xc3\xb3n, y sostiene que todo lo que se requiere para el movimiento es que la flecha est\xc3\xa9 en un punto al mismo tiempo, en otro punto en otro momento y en los puntos apropiados entre esos dos puntos para los tiempos intermedios. Desde este punto de vista, el movimiento es una funci\xc3\xb3n de la posici\xc3\xb3n con respecto al tiempo.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nNick Huggett\n_START_PARAGRAPH_\nNick Huggett argumenta que Zen\xc3\xb3n est\xc3\xa1 asumiendo la conclusi\xc3\xb3n cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que el resto deben estar en reposo.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nPeter Lynds\n_START_PARAGRAPH_\nPeter Lynds ha argumentado que todas las paradojas de movimiento de Zen\xc3\xb3n se resuelven mediante la conclusi\xc3\xb3n de que los instantes en el tiempo y las magnitudes instant\xc3\xa1neas no existen f\xc3\xadsicamente.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b Argumenta que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posici\xc3\xb3n relativa instant\xc3\xa1nea o determinada (porque si la tuviera, no podr\xc3\xada estar en movimiento), y por lo tanto no puede tener su movimiento dividido fraccionalmente como si lo hiciera, como suponen las paradojas. Para obtener m\xc3\xa1s informaci\xc3\xb3n sobre la incapacidad de conocer la velocidad y la ubicaci\xc3\xb3n, cons\xc3\xbaltese la relaci\xc3\xb3n de indeterminaci\xc3\xb3n de Heisenberg.\n_START_SECTION_\nHermann Weyl\n_START_PARAGRAPH_\nOtra soluci\xc3\xb3n propuesta es cuestionar uno de los supuestos que Zen\xc3\xb3n utiliz\xc3\xb3 en sus paradojas (particularmente la Dicotom\xc3\xada), que es que entre dos puntos diferentes en el espacio (o tiempo), siempre hay otro punto. Sin este supuesto, solo hay un n\xc3\xbamero finito de distancias entre dos puntos, y por lo tanto, no hay una secuencia infinita de movimientos, y la paradoja se resuelve. Las ideas de longitud de Planck y tiempo de Planck en la f\xc3\xadsica moderna ponen un l\xc3\xadmite en la medici\xc3\xb3n del tiempo y el espacio, si no en el tiempo y el espacio en s\xc3\xad mismos. Seg\xc3\xban Hermann Weyl, la suposici\xc3\xb3n de que el espacio est\xc3\xa1 formado por unidades finitas y discretas est\xc3\xa1 sujeto a un problema adicional, dado por el "argumento de las baldosas" o el "problema de la funci\xc3\xb3n de distancia".\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_De acuerdo con esto, la longitud de la hipotenusa de un tri\xc3\xa1ngulo rect\xc3\xa1ngulo en el espacio discretizado es siempre igual a la longitud de uno de los dos lados, en contradicci\xc3\xb3n con la geometr\xc3\xada. Jean Paul Van Bendegem ha razonado que el argumento de las baldosas puede resolverse, y que la discretizaci\xc3\xb3n puede eliminar la paradoja.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nLas paradojas de Zen\xc3\xb3n a partir del siglo XIX\n_START_PARAGRAPH_\nLos procesos infinitos siguieron siendo te\xc3\xb3ricamente problem\xc3\xa1ticos en matem\xc3\xa1ticas hasta finales del siglo XIX. La versi\xc3\xb3n \xc3\xa9psilon-delta de Weierstrass y Cauchy desarroll\xc3\xb3 una formulaci\xc3\xb3n rigurosa de la l\xc3\xb3gica y el c\xc3\xa1lculo involucrados. Estos trabajos fundamentaron las matem\xc3\xa1ticas considerando procesos infinitos.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Mientras que las matem\xc3\xa1ticas pueden calcular d\xc3\xb3nde y cu\xc3\xa1ndo el Aquiles en movimiento superar\xc3\xa1 la paradoja de la Tortuga de Zen\xc3\xb3n, fil\xc3\xb3sofos como Kevin Brown\xe2\x80\x8b y Moorcroft\xe2\x80\x8b afirman que las matem\xc3\xa1ticas no abordan el punto central del argumento de Zen\xc3\xb3n y que resolver los problemas matem\xc3\xa1ticos no resuelve todos los problemas que plantean las paradojas._NEWLINE_La literatura popular a menudo tergiversa los argumentos de Zen\xc3\xb3n. Por ejemplo, a menudo se dice que Zen\xc3\xb3n argument\xc3\xb3 que la suma de un n\xc3\xbamero infinito de t\xc3\xa9rminos debe ser en s\xc3\xad misma infinita, con el resultado de que no solo el tiempo, sino tambi\xc3\xa9n la distancia a recorrer, se vuelven infinitas.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Tom Stoppard incluye una situaci\xc3\xb3n c\xc3\xb3mica en su obra Jumpers (1972), en la que el protagonista principal, el profesor de filosof\xc3\xada George Moore, sugiere que, seg\xc3\xban la paradoja de Zen\xc3\xb3n, San Sebasti\xc3\xa1n, un santo cristiano del siglo III supuestamente martirizado por disparos de flechas, muri\xc3\xb3 de miedo. Sin embargo, ninguna de las fuentes antiguas originales muestra a Zen\xc3\xb3n discutiendo la suma de ninguna serie infinita. Simplicio presenta a Zen\xc3\xb3n diciendo "es imposible atravesar un n\xc3\xbamero infinito de cosas en un tiempo finito". Esto identifica el problema de Zen\xc3\xb3n no con encontrar la suma de una serie, sino con terminar una tarea con un n\xc3\xbamero infinito de pasos: \xc2\xbfc\xc3\xb3mo puede uno pasar de A a B, si se necesita un n\xc3\xbamero infinito de pasos (no instant\xc3\xa1neos)? \xc2\xbfSe pueden identificar los eventos que deben preceder a la llegada a B, si incluso no se puede llegar al comienzo de un "\xc3\xbaltimo evento"?\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_El debate contin\xc3\xbaa sobre la cuesti\xc3\xb3n de si las paradojas de Zen\xc3\xb3n se han resuelto o no. En La historia de las matem\xc3\xa1ticas: una introducci\xc3\xb3n (2010), Burton escribe: "Aunque el argumento de Zen\xc3\xb3n confundi\xc3\xb3 a sus contempor\xc3\xa1neos, una explicaci\xc3\xb3n satisfactoria incorpora una idea ahora familiar, la noci\xc3\xb3n de una \'serie infinita convergente\'".\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Bertrand Russell ofreci\xc3\xb3 una "soluci\xc3\xb3n" a las paradojas basadas en el trabajo de Georg Cantor,\xe2\x80\x8b pero Brown concluye: "Dada la historia de las \xc2\xabresoluciones finales\xc2\xbb, desde Arist\xc3\xb3teles en adelante, es probable que sea imprudente pensar que hemos llegado al final. Puede ser que los argumentos de Zen\xc3\xb3n sobre el movimiento, debido a su simplicidad y universalidad, siempre servir\xc3\xa1n como un tipo de "test de Rorschach" en el que las personas pueden proyectar sus preocupaciones fenomenol\xc3\xb3gicas m\xc3\xa1s fundamentales (si tienen alguna)."\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nUna consideraci\xc3\xb3n filos\xc3\xb3fica china antigua similar\n_START_PARAGRAPH_\nLos fil\xc3\xb3sofos de la Antigua China de la Escuela de los Nombres durante los Reinos Combatientes (479-221 a. C.) desarrollaron de manera independiente supuestos equivalentes a algunas de las paradojas de Zeno. El cient\xc3\xadfico e historiador Joseph Needham, en su obra Science and Civilisation in China, describe una paradoja escrita en chino antiguo procedente del libro de l\xc3\xb3gica de la Escuela de los Nombres, que afirma que "un palo de un pie, todos los d\xc3\xadas quita la mitad, y en innumerables edades no se agotar\xc3\xa1". Se conocen otras varias paradojas de esta escuela filos\xc3\xb3fica (m\xc3\xa1s precisamente, acerca del movimiento), pero su interpretaci\xc3\xb3n moderna es m\xc3\xa1s especulativa.\n_START_SECTION_\nEfecto cu\xc3\xa1ntico de Zen\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEn 1977, los f\xc3\xadsicos \xe2\x80\x8b George Sudarshan y B. Misra descubrieron que la evoluci\xc3\xb3n din\xc3\xa1mica (movimiento) de un sistema cu\xc3\xa1ntico puede verse obstaculizada (o incluso inhibida) mediante la observaci\xc3\xb3n del sistema.\xe2\x80\x8b Este efecto generalmente se denomina "efecto cu\xc3\xa1ntico de Zen\xc3\xb3n", ya que recuerda mucho a la paradoja de la flecha de Zen\xc3\xb3n. Este efecto fue planteado como hip\xc3\xb3tesis te\xc3\xb3rica por primera vez en 1958.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nComportamiento de Zen\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEn el campo de la verificaci\xc3\xb3n y el dise\xc3\xb1o de sistemas h\xc3\xadbridos y sistemas de eventos temporizados, el comportamiento del sistema se denomina "Zen\xc3\xb3n" si incluye un n\xc3\xbamero infinito de pasos discretos en una cantidad de tiempo finita.\xe2\x80\x8b Algunas t\xc3\xa9cnicas de verificaci\xc3\xb3n formal excluyen estos supuestos del an\xc3\xa1lisis, si son equivalentes al comportamiento de Zen\xc3\xb3n.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_En dise\xc3\xb1o de sistemas, estos comportamientos a menudo tambi\xc3\xa9n se excluir\xc3\xa1n de los modelos del sistema, ya que no se pueden implementar con un controlador digital.\xe2\x80\x8b'