b'\n_START_ARTICLE_\nTri\xc3\xa1ngulo\n_START_PARAGRAPH_\nSe llama tri\xc3\xa1ngulo o tr\xc3\xadgono, en geometr\xc3\xada plana, al pol\xc3\xadgono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan v\xc3\xa9rtices del tri\xc3\xa1ngulo.\xe2\x80\x8b _NEWLINE_Un tri\xc3\xa1ngulo tiene tres \xc3\xa1ngulos interiores, tres pares congruentes de \xc3\xa1ngulos exteriores,\xe2\x80\x8b tres lados y tres v\xc3\xa9rtices entre otros elementos.\n_START_SECTION_\nTri\xc3\xa1ngulos que no est\xc3\xa1n en un plano\n_START_PARAGRAPH_\nSi est\xc3\xa1 contenido en una superficie plana se denomina tri\xc3\xa1ngulo o tr\xc3\xadgono, un nombre menos com\xc3\xban para este tipo de pol\xc3\xadgonos. Si est\xc3\xa1 contenido en una superficie esf\xc3\xa9rica se denomina tri\xc3\xa1ngulo esf\xc3\xa9rico. Representado, en cartograf\xc3\xada, sobre la superficie terrestre, se llama tri\xc3\xa1ngulo geod\xc3\xa9sico.\n_START_SECTION_\nV\xc3\xa9rtices\n_START_PARAGRAPH_\nCada uno de los puntos que determinan un tri\xc3\xa1ngulo. Tal como los v\xc3\xa9rtices de un pol\xc3\xadgono, suelen ser denotados por letras latinas may\xc3\xbasculas: . Si  no existe tri\xc3\xa1ngulo que determine  y ._NEWLINE_Un tri\xc3\xa1ngulo se nombra, entonces, como cualquier otro pol\xc3\xadgono, designando sucesivamente sus v\xc3\xa9rtices, por ejemplo ABC._NEWLINE_En el caso del tri\xc3\xa1ngulo, los v\xc3\xa9rtices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su per\xc3\xadmetro. Esto ya no es cierto para pol\xc3\xadgonos con m\xc3\xa1s v\xc3\xa9rtices..\n_START_SECTION_\nLados\n_START_PARAGRAPH_\nCada par de v\xc3\xa9rtices determina un segmento, que se conoce como lado del tri\xc3\xa1ngulo. No interesa el orden de los v\xc3\xa9rtices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado._NEWLINE_Los lados del tri\xc3\xa1ngulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC._NEWLINE_Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del v\xc3\xa9rtice opuesto, convertido a min\xc3\xbascula latina:  para BC,  para AC,  para AB._NEWLINE_La suma de los lados de un tri\xc3\xa1ngulo se conoce como per\xc3\xadmetro, denotado por p o 2s; cumple la ecuaci\xc3\xb3n\n_START_SECTION_\nClasificaci\xc3\xb3n de los tri\xc3\xa1ngulos\n_START_PARAGRAPH_\nLos tri\xc3\xa1ngulos se pueden clasificar por la relaci\xc3\xb3n entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus \xc3\xa1ngulos.\n_START_SECTION_\nCongruencia de tri\xc3\xa1ngulos\n_START_PARAGRAPH_\nDos tri\xc3\xa1ngulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus v\xc3\xa9rtices de tal manera que el \xc3\xa1ngulo del v\xc3\xa9rtice y los lados que lo componen, en uno de los tri\xc3\xa1ngulos, sean congruentes con los del otro tri\xc3\xa1ngulo.\n_START_SECTION_\nCorona triangular\n_START_PARAGRAPH_\nSe consideran dos tri\xc3\xa1ngulos semejantes con lados paralelos y con circuncentro com\xc3\xban ( centro de la circunferencia circunscrita). La intersecci\xc3\xb3n del exterior del tri\xc3\xa1ngulo de menor \xc3\xa1rea con el interior del tri\xc3\xa1ngulo de mayor \xc3\xa1rea unida con los dos tri\xc3\xa1ngulos forma una regi\xc3\xb3n en el plano que se llama corona triangular.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_La frontera de esta regi\xc3\xb3n es la uni\xc3\xb3n de los dos tri\xc3\xa1ngulos. Un punto es interior si est\xc3\xa1 entre las intersecciones que determina un rayo con origen en el circuncentro con los lados hom\xc3\xb3logos. El conjunto de los puntos interiores es el interior de la regi\xc3\xb3n. Un punto est\xc3\xa1 en el exterior de la regi\xc3\xb3n si no est\xc3\xa1 en la frontera ni en el interior. El interior es convexo, abierto y conexo. La frontera es la uni\xc3\xb3n disjunta de dos poligonales cerradas. El exterior es un conjunto desconexo, abierto y no convexo. La corona triangular es un conjunto cerrado, conexo y convexo.\xe2\x80\x8b La corona triangular es homeomorfa con la corona circular, tienen las mismas propiedades topol\xc3\xb3gicas.\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa1lculo de los lados y los \xc3\xa1ngulos de un tri\xc3\xa1ngulo\n_START_PARAGRAPH_\nEn general, hay varios m\xc3\xa9todos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un \xc3\xa1ngulo. Mientras que ciertos m\xc3\xa9todos pueden ser adecuados para calcular los valores de un tri\xc3\xa1ngulo rect\xc3\xa1ngulo, otros pueden ser requeridos en situaciones m\xc3\xa1s complejas._NEWLINE_Para resolver tri\xc3\xa1ngulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de tri\xc3\xa1ngulos rect\xc3\xa1ngulos se utiliza generalmente el Teorema de Pit\xc3\xa1goras.\n_START_SECTION_\nInterior\n_START_PARAGRAPH_\nDado un punto en el plano eucl\xc3\xaddeo, diremos que este es interior a un tri\xc3\xa1ngulo si al trazar una recta por \xc3\xa9l, dicho punto se halla entre los cortes con los lados del tri\xc3\xa1ngulo. De otro modo un punto es punto interior de un tri\xc3\xa1ngulo, si est\xc3\xa1 en el interior de cada \xc3\xa1ngulo del tri\xc3\xa1ngulo .\xe2\x80\x8b  Si consideramos una regi\xc3\xb3n triangular su interior coincide con el interior definido seg\xc3\xban la topolog\xc3\xada usual del plano.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nFrontera y exterior\n_START_PARAGRAPH_\nLos tres lados de un tri\xc3\xa1ngulo constituyen su frontera y los puntos del plano que no est\xc3\xa1n en el interior ni en la frontera est\xc3\xa1n en el exterior del tri\xc3\xa1ngulo.\xe2\x80\x8b La uni\xc3\xb3n del interior, del tri\xc3\xa1ngulo (frontera) y del exterior es igual al plano del tri\xc3\xa1ngulo. Cada par de los conjuntos aludidos tiene intersecci\xc3\xb3n vac\xc3\xada o son conjuntos mutuamente disjuntos.\n_START_SECTION_\nEquivalencia topol\xc3\xb3gica\n_START_PARAGRAPH_\nCualquier tri\xc3\xa1ngulo es equivalente a una curva simple cerrada; en particular a una circunferencia. Esto es, entre una circunferencia y un tri\xc3\xa1ngulo se puede establecer una aplicaci\xc3\xb3n biyectiva y bicontinua. \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nCeviana\n_START_PARAGRAPH_\nCeviana es una recta que pasa por un v\xc3\xa9rtice de un tri\xc3\xa1ngulo y por la recta que contiene al lado opuesto; algunos autores incluyen como ceviana a los lados del tri\xc3\xa1ngulo.\xe2\x80\x8b Se consideran cevianas interiores, si contiene puntos del interior triangular; y cevianas exteriores, cuando pasa por el exterior del tri\xc3\xa1ngulo. \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nBisectriz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita\n_START_PARAGRAPH_\nLas bisectrices de un tri\xc3\xa1ngulo son las bisectrices de sus \xc3\xa1ngulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos \xc3\xa1ngulos._NEWLINE_Las tres bisectrices internas de un tri\xc3\xa1ngulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del tri\xc3\xa1ngulo es la \xc3\xbanica circunferencia tangente a los tres lados del tri\xc3\xa1ngulo y es interior al tri\xc3\xa1ngulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el tri\xc3\xa1ngulo.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Adem\xc3\xa1s, las bisectrices exteriores de dos \xc3\xa1ngulos concurren con la bisectriz interior del \xc3\xa1ngulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del tri\xc3\xa1ngulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensi\xc3\xb3n de los otros dos._NEWLINE_La distancia desde un v\xc3\xa9rtice el tri\xc3\xa1ngulo hasta los puntos de intersecci\xc3\xb3n de la circunferencia inscrita en el tri\xc3\xa1ngulo con los lados que se cruzan en dicho v\xc3\xa9rtice por potencia de un punto es la misma por lo que las longitudes de los lados de un tri\xc3\xa1ngulo son a=x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un tri\xc3\xa1ngulo se le conoce como Transformaci\xc3\xb3n de Ravi, en un tri\xc3\xa1ngulo rect\xc3\xa1ngulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el tri\xc3\xa1ngulo.\n_START_SECTION_\nLongitud de una bisectriz\n_START_PARAGRAPH_\ndonde vA es la bisectriz del \xc3\xa1ngulo A; a, b, c, lados del tri\xc3\xa1ngulo y p el semiper\xc3\xadmetro; siendo_NEWLINE_ _NEWLINE_\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nTeorema de Steiner\n_START_PARAGRAPH_\nSiendo  radios de las circunferencias exinscritas de un tri\xc3\xa1ngulo ABC; R y r radios de la circunfrencia circunscrita e inscrita en el mismo tri\xc3\xa1ngulo, respectivamente, entonces se cumple la ecuaci\xc3\xb3n que sigue:_NEWLINE_ _NEWLINE_\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nSimediana\n_START_PARAGRAPH_\nSe nombra simediana a la recta (ceviana) que es sim\xc3\xa9trica a la mediana, siendo el eje de simetr\xc3\xada la bisectriz con el mismo v\xc3\xa9rtice. \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nTeorema de Carnot\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema de Carnot establece que, para un tri\xc3\xa1ngulo acut\xc3\xa1ngulo de v\xc3\xa9rtices ABC, la suma de las distancias respectivas  desde el circuncentro a los lados del tri\xc3\xa1ngulo es igual a la suma de los radios  de las circunferencias circunscrita e inscrita, respectivamente, del tri\xc3\xa1ngulo:\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\n\xc3\x81reas con  longitud de sus lados\n_START_PARAGRAPH_\nConociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el \xc3\xa1rea para cualquier tri\xc3\xa1ngulo euclideo, (\xc3\xa9stas f\xc3\xb3rmulas no requieren precalcular el semiper\xc3\xadmetro ni conocer la altura). \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\n\xc3\x81rea con radios de circunferencias vinculadas y los lados\n_START_PARAGRAPH_\ndonde S es el \xc3\xa1rea; adem\xc3\xa1s  son los lados y el semiper\xc3\xadmetro del tri\xc3\xa1ngulo; R, radio de la circunferencia circunscrita o circunradio; r, radio de la circunferencia inscrita o inradio\xc2\xa0;\xe2\x80\x8b  radios de sendas circunferencias exinscritas  son las respectivas alturas.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nUtilizando coordenadas coordenadas cartesianas\n_START_PARAGRAPH_\nSi un tri\xc3\xa1ngulo cualquiera (en el plano euclidiano \xe2\x84\x9d\xc2\xb2), tiene alguno de sus v\xc3\xa9rtices (supongamos el A) ubicado en (0,\xc2\xa00) \xe2\x80\x94el origen de las coordenadas cartesianas\xe2\x80\x94, y las coordenadas de los otros dos v\xc3\xa9rtices (supongamos B y C) vienen dadas por B\xc2\xa0=\xc2\xa0(xB,\xc2\xa0yB) y C\xc2\xa0=\xc2\xa0(xC,\xc2\xa0yC), entonces el \xc3\xa1rea puede ser calculada como \xc2\xbd del valor absoluto del determinate (reducido a los dos v\xc3\xa9rtices arbitrarios B y C)._NEWLINE_Si un tri\xc3\xa1ngulo gen\xc3\xa9rico (en el plano euclidiano \xe2\x84\x9d\xc2\xb2), tiene sus tres v\xc3\xa9rtices ubicados de modo arbitrario (ninguno en el origen), entonces la ecuaci\xc3\xb3n es:_NEWLINE_Para un tri\xc3\xa1ngulo gen\xc3\xa9rico (en el espacio euclidiano \xe2\x84\x9d\xc2\xb3), cuyas coordenadas son {\xc2\xa0A\xc2\xa0=\xc2\xa0(xA,\xc2\xa0yA,\xc2\xa0zA), B\xc2\xa0=\xc2\xa0(xB,\xc2\xa0yB,\xc2\xa0zB) y C\xc2\xa0=\xc2\xa0(xC,\xc2\xa0yC,\xc2\xa0zC)\xc2\xa0}, entonces el \xc3\xa1rea viene dada por la suma pitag\xc3\xb3rica de las \xc3\xa1reas de las respectivas proyecciones sobre los tres planos principales (es decir x = 0, y = 0 y z = 0):\n_START_SECTION_\n\xc3\x81rea de tri\xc3\xa1ngulos rect\xc3\xa1ngulos con lados enteros\n_START_PARAGRAPH_\nCuando consideramos la obtenci\xc3\xb3n de tri\xc3\xa1ngulos rect\xc3\xa1ngulos con lados enteros se encuentra la soluci\xc3\xb3n general de la ecuaci\xc3\xb3n :_NEWLINE_\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Ver, tambi\xc3\xa9n, terna pitag\xc3\xb3rica_NEWLINE_En estas f\xc3\xb3rmulas, u y v son dos enteros positivos arbitrarios de distinta paridad tales que u > v y son primos entre s\xc3\xad. El entero positivo m es uno cualquiera que cubre los casos en los que los elementos de la terna pitag\xc3\xb3rica tienen un factor com\xc3\xban. Cuando m = 1, tenemos las ternas pitag\xc3\xb3ricas con elementos primos entre s\xc3\xad dos a dos. Como el lector puede apreciar, aunque estas f\xc3\xb3rmulas fueron dise\xc3\xb1adas para obtener ternas con lados enteros, al ser una identidad, tambi\xc3\xa9n son v\xc3\xa1lidas para lados reales, exceptuando el caso en que ambos catetos son iguales (que la hipotenusa sea diagonal de un cuadrado)._NEWLINE_Si realizamos el c\xc3\xa1lculo del \xc3\xa1rea sobre la base de las expresiones encontradas para los catetos, pues la superficie de un tri\xc3\xa1ngulo rect\xc3\xa1ngulo es igual al semiproducto de los catetos, nos queda una forma c\xc3\xbabica:_NEWLINE_\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Los n\xc3\xbameros de la forma , cuando u y v son u > v y enteros positivos impares y primos entre s\xc3\xad, son n\xc3\xbameros congruentes de Fibonacci, introducidos en su Liber Quadratorum (1225). No hay raz\xc3\xb3n conocida para que u y v no puedan ser de distinta paridad. Fibonacci demostr\xc3\xb3 que el producto de un congruente por un cuadrado tambi\xc3\xa9n es congruente.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Como el \xc3\xa1rea de cualquier tri\xc3\xa1ngulo puede ser descompuesto en la suma o resta del \xc3\xa1rea de dos tri\xc3\xa1ngulos rect\xc3\xa1ngulos, tenemos dos expresiones para el \xc3\xa1rea de tri\xc3\xa1ngulos no rect\xc3\xa1ngulos:_NEWLINE_Sin olvidar que esto solamente es v\xc3\xa1lido para pares de tri\xc3\xa1ngulos rect\xc3\xa1ngulos que no tengan catetos iguales. Es una forma m\xc3\xa1s complicada de calcular el \xc3\xa1rea de un tri\xc3\xa1ngulo, y tambi\xc3\xa9n es poco conocida. Pero en algunos casos, su escritura puede echar luz sobre cuestiones que de otra forma pasan inadvertidas.\n_START_SECTION_\nProposici\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nUn tri\xc3\xa1ngulo de lados a,b y c, inscrito en una circunferencia de radio R, con per\xc3\xadmetro 2p constante alcanza su m\xc3\xa1xima \xc3\xa1rea cuando los tres lados son iguales.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nLa arquitectura monumental de la III Dinast\xc3\xada y la IV Dinast\xc3\xada de Egipto es una prueba notable de que los egipcios de esa \xc3\xa9poca ten\xc3\xadan conocimientos relativamente sofisticados de geometr\xc3\xada, especialmente en el estudio de los tri\xc3\xa1ngulos; si bien ning\xc3\xban documento matem\xc3\xa1tico del Antiguo Imperio ha llegado hasta nosotros.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_El c\xc3\xa1lculo del \xc3\xa1rea de esta figura se analiza en los problemas R51 del papiro Rhind, M4, M7 y M17 del papiro de Mosc\xc3\xba, que datan todos del Imperio Medio. El problema R51 constituye en la historia mundial de las matem\xc3\xa1ticas, el primer testimonio escrito que trata del c\xc3\xa1lculo del \xc3\xa1rea de un tri\xc3\xa1ngulo._NEWLINE_Enunciado del problema R51 del papiro Rhind:\xe2\x80\x8b_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_Ejemplo de c\xc3\xa1lculo de un tri\xc3\xa1ngulo de tierra. Si alguien te dice: un tri\xc3\xa1ngulo de 10 khet sobre su mryt y de 4 khet de base. \xc2\xbfCu\xc3\xa1l es su \xc3\xa1rea? Calcular la mitad de 4, que es 2 para formar un rect\xc3\xa1ngulo. Multiplica 10 por 2. Esta es su \xc3\xa1rea._NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_El t\xc3\xa9rmino mryt significa probablemente la altura o el lado. Sin embargo, la f\xc3\xb3rmula utilizada para calcular el \xc3\xa1rea hace pensar en la interpretaci\xc3\xb3n en favor de la primera soluci\xc3\xb3n.\xe2\x80\x8bEl escriba tomaba la mitad de la base del tri\xc3\xa1ngulo y calculaba el \xc3\xa1rea del rect\xc3\xa1ngulo formado por ese lado y la altura; es decir_NEWLINE_equivalente a la f\xc3\xb3rmula com\xc3\xban utilizada en nuestros d\xc3\xadas:_NEWLINE_El hecho de que un tri\xc3\xa1ngulo de lados 3-4-5 es un tri\xc3\xa1ngulo rect\xc3\xa1ngulo tambi\xc3\xa9n era conocido por los antiguos egipcios y mesopot\xc3\xa1micos._NEWLINE_Euclides, en el Libro I de sus  Elementos , hacia el 300 antes de Cristo, enunci\xc3\xb3 la propiedad de la suma de los \xc3\xa1ngulos del tri\xc3\xa1ngulo.'