b'\n_START_ARTICLE_\nTeor\xc3\xada de cuerpos\n_START_PARAGRAPH_\nLa teor\xc3\xada de cuerpos es una rama de la matem\xc3\xa1tica que estudia las propiedades de los cuerpos. Un cuerpo es una entidad matem\xc3\xa1tica para la cual la adici\xc3\xb3n, sustracci\xc3\xb3n, multiplicaci\xc3\xb3n y divisi\xc3\xb3n est\xc3\xa1n bien definidas.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nEl concepto de cuerpo. fue usado impl\xc3\xadcitamente por Niels Henrik Abel y \xc3\x89variste Galois en su trabajo sobre resoluci\xc3\xb3n de ecuaciones._NEWLINE_En 1871, Richard Dedekind, al conjunto de los n\xc3\xbameros reales o complejos los cuales son cerrados bajo las cuatro operaciones aritm\xc3\xa9ticas como "cuerpo"._NEWLINE_En 1881, Leopold Kronecker defini\xc3\xb3 lo que \xc3\xa9l llamo "dominio de racionalidad", que es, de hecho, un cuerpo de polinomios en t\xc3\xa9rminos modernos._NEWLINE_En 1893, Heinrich Martin Weber dio la primera definici\xc3\xb3n clara de cuerpo abstracto._NEWLINE_En 1910 Ernst Steinitz public\xc3\xb3 el art\xc3\xadculo Algebraische Theorie der K\xc3\xb6rper (alem\xc3\xa1n: teor\xc3\xada algebraica de cuerpos), que fue muy influyente. En este art\xc3\xadculo \xc3\xa9l estudi\xc3\xb3 axiom\xc3\xa1ticamente las propiedades de los cuerpos y defini\xc3\xb3 varios conceptos de teor\xc3\xada de cuerpos importantes como cuerpo primo, cuerpo perfecto y el grado de trascendencia de una extensi\xc3\xb3n de cuerpos._NEWLINE_Galois, que no ten\xc3\xada el t\xc3\xa9rmino "cuerpo" en mente, ha sido honrado por ser el primer matem\xc3\xa1tico que enlaz\xc3\xb3 la teor\xc3\xada de grupos y la teor\xc3\xada de cuerpos. La teor\xc3\xada de Galois es llamada as\xc3\xad en su honor. Sin embargo, fue Emil Artin el primero que desarroll\xc3\xb3 la relaci\xc3\xb3n entre grupos y cuerpos en gran detalle durante 1928-1942.\n_START_SECTION_\nIntroducci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLos cuerpos son objetos importantes de estudio en \xc3\xa1lgebra, puesto que proporcionan una generalizaci\xc3\xb3n \xc3\xbatil de varios sistemas de n\xc3\xbameros, como pueden ser los n\xc3\xbameros racionales, n\xc3\xbameros reales, y los n\xc3\xbameros complejos. En particular, las regla comunes de asociatividad, conmutatividad y distributividad se cumplen. Los cuerpos tambi\xc3\xa9n aparecen en muchas otras de las matem\xc3\xa1ticas; v\xc3\xa9ase los ejemplo abajo._NEWLINE_Cuando el \xc3\xa1lgebra abstracta estaba siendo desarrollada, la definici\xc3\xb3n de un cuerpo usualmente no inclu\xc3\xada la conmutatividad de la multiplicaci\xc3\xb3n, y a lo que hoy llamamos cuerpo, podr\xc3\xada haber sido llamado cuerpo conmutativo o dominio racional. En el uso contempor\xc3\xa1neo, un cuerpo es siempre conmutativo. Una estructura que satisface todas las propiedades de un cuerpo con la posible excepci\xc3\xb3n de conmutatividad, se le llama actualmente anillo de divisi\xc3\xb3n o \xc3\xa1lgebra de divisi\xc3\xb3n o o algunas veces como cuerpo torcido. Tambi\xc3\xa9n es ampliamente utilizado el t\xc3\xa9rmino cuerpo no conmutativo. En franc\xc3\xa9s, los cuerpos son llamados corps y en alem\xc3\xa1n se conocen como K\xc3\xb6rper, de ah\xc3\xad que se use la letra  en tipograf\xc3\xada blackboard bold para denotar a un cuerpo. _NEWLINE_El concepto de cuerpo fue usado inicialmente (de manera impl\xc3\xadcita) para demostrar que no existe una f\xc3\xb3rmula general para expresar en t\xc3\xa9rminos de radicales las ra\xc3\xadces de los polinomios con coeficientes racionales de grado superior o igual a 5.\n_START_SECTION_\nExtensiones de un cuerpo\n_START_PARAGRAPH_\nUna extensi\xc3\xb3n de un cuerpo k es justamente un cuerpo K que contiene a k como un subcuerpo. Se distingue entre extensiones que tienen cualidades diferentes. Por ejemplo, una extensi\xc3\xb3n K de un cuerpo k es llamada algebraica, si cada elemento de K es una ra\xc3\xadz de alg\xc3\xban polinomio con coeficientes en k. De otra manera, la extensi\xc3\xb3n es llamada trascendental._NEWLINE_El objetivo de la teor\xc3\xada de Galois es el estudio de las extensiones algebraicas de un cuerpo.\n_START_SECTION_\nClausuras de un cuerpo\n_START_PARAGRAPH_\nDado un cuerpo k, varios tipos de clausura de k pueden ser introducidas. Por ejemplo, la clausura algebraica, la clausura separable, la clausura c\xc3\xadclica etc. La idea es siempre la misma: Si P es una propiedad de cuerpos, entonces una P-clausura de k es un cuerpo K que contiene a k, y que tiene la propiedad P, la cual es m\xc3\xadnima en el sentido de que no hay subcuerpo apropiado de K que contiene k y tiene la propiedad P. _NEWLINE_Por ejemplo, si se toma P(K) como la propiedad de que "todo polinomio no constante f en K[t] tiene una ra\xc3\xadz en K", entonces una P-clausura de k es justamente una clausura algebraica de k. _NEWLINE_En general, si las P-clausuras existen para alguna propiedad P y cuerpo k, son todas isomorfas. Sin embargo, no hay isomorfismo preferible general entre dos clausuras.\n_START_SECTION_\nAplicaciones de la teor\xc3\xada de cuerpos\n_START_PARAGRAPH_\nEl concepto de cuerpo se usa, por ejemplo, en la definici\xc3\xb3n de vectores y matrices, dos estructuras en \xc3\xa1lgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. _NEWLINE_Los cuerpos finitos son usados en teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros, teor\xc3\xada de Galois y teor\xc3\xada de c\xc3\xb3digos, y de nuevo, las extensiones algebraicas son tambi\xc3\xa9n una gran herramienta._NEWLINE_Los cuerpos binarios, cuerpos de caracter\xc3\xadstica 2, son \xc3\xbatiles en ciencias de la computaci\xc3\xb3n.'