b'\n_START_ARTICLE_\nEspacio de caminos\n_START_PARAGRAPH_\nEl espacio de caminos de un espacio topol\xc3\xb3gico con punto base (X,x_0) es un objeto fundamental en topolog\xc3\xada algebraica y en teor\xc3\xada de la homotop\xc3\xada, especialmente desde los resultados de J.P. Serre. En este art\xc3\xadculo citamos las propiedades b\xc3\xa1sicas de este espacio topol\xc3\xb3gico y del espacio de lazos asociado.\n_START_SECTION_\nDefinici\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nSea  un espacio topol\xc3\xb3gico con  punto base. Los caminos del espacio X son aplicaciones continuas de [0,1] en X; en la categor\xc3\xada de espacios con punto base los caminos del espacio  son aplicaciones continuas ([0,1],0), luego la imagen de  debe ser . El espacio de caminos de  es el conjunto_NEWLINE_dotado de la topolog\xc3\xada compacto-abierta. Existe una aplicaci\xc3\xb3n  enviando cada camino al punto final,  i.e. ._NEWLINE_La fibra de esta aplicaci\xc3\xb3n es homot\xc3\xb3pica al espacio de lazos . En efecto, sea  y U un entorno contr\xc3\xa1ctil de x: la inclusi\xc3\xb3n de x en U induce una aplicaci\xc3\xb3n  con inversa homot\xc3\xb3pica la aplicaci\xc3\xb3n inducida por la contracci\xc3\xb3n de U a x. Consecuentemente, si  pertenecen a la misma componente arcoconexa entonces un camino entre x e y induce . De hecho, se puede demostrar que la aplicaci\xc3\xb3n  satisface la propiedad homot\xc3\xb3pica de cubierta y es por lo tanto una fibraci\xc3\xb3n de Serre._NEWLINE_Observemos que el espacio  es contr\xc3\xa1ctil, luego su relevancia proviene de sus relaciones con X y .\n_START_SECTION_\nEspacio de lazos\n_START_PARAGRAPH_\nLa fibraci\xc3\xb3n del espacio de caminos permite calcular la cohomolog\xc3\xada del espacio de lazos de ciertos espacios topol\xc3\xb3gicos. N\xc3\xb3tese que la fibraci\xc3\xb3n  satisface  para abiertos contr\xc3\xa1ctiles dado que  tiene el tipo de homotop\xc3\xada de  por la secci\xc3\xb3n anterior._NEWLINE_C\xc3\xa1lculo de : usamos la sucesi\xc3\xb3n espectral de Leray. La sucesi\xc3\xb3n converge hacia la p\xc3\xa1gina  codificando , as\xc3\xad que el \xc3\xbanico elemento no cero de la p\xc3\xa1gina l\xc3\xadmite es . En la segunda p\xc3\xa1gina obtenemos . Como  es simplemente conexa,  conexa la fibra es conexa luego . Teniendo en cuenta que , las \xc3\xbanicas columnas no vac\xc3\xadas en  son la primera (p=0) y la tercera (p=2). En consecuencia los diferenciales en las p\xc3\xa1ginas siguientes son nulos y por lo tanto los diferenciales  entre las columnas deben ser isomorfos. Dado que , obtenemos  para todo q._NEWLINE_El ejemplo anterior generaliza trivialmente para calcular . Ciertamente, s\xc3\xb3lo se tiene que llegar a la p\xc3\xa1gina  y aplicar el argumento anterior. En las referencias se calcula adem\xc3\xa1s la estructura de anillo de cohomolog\xc3\xada, es decir, los productos cup entre los generadores._NEWLINE_El c\xc3\xa1lculo de la cohomolog\xc3\xada de  tiene implicaciones directas en la existencia de (infinitas) geod\xc3\xa9sicas entre dos puntos. Este aplicaci\xc3\xb3n es debida a Raoul Bott y se puede encontrar en el libro de J.W. Milnor Morse Theory.'