b'\n_START_ARTICLE_\nMec\xc3\xa1nica hamiltoniana\n_START_PARAGRAPH_\nLa mec\xc3\xa1nica hamiltoniana fue formulada en 1833 por William R. Hamilton. Como la mec\xc3\xa1nica lagrangiana, es una reformulaci\xc3\xb3n de la mec\xc3\xa1nica cl\xc3\xa1sica. La mec\xc3\xa1nica hamiltoniana puede ser formulada por s\xc3\xad misma, usando los espacios simpl\xc3\xa9cticos, sin referir a cualquiera de los conceptos anteriores de fuerza o de la mec\xc3\xa1nica lagrangiana. Vea la secci\xc3\xb3n en su formulaci\xc3\xb3n matem\xc3\xa1tica para esto. Para la primera parte de este art\xc3\xadculo, mostraremos c\xc3\xb3mo surge hist\xc3\xb3ricamente del estudio de la mec\xc3\xa1nica lagrangiana.\n_START_SECTION_\nRelaci\xc3\xb3n entre mec\xc3\xa1nica hamiltoniana y mec\xc3\xa1nica lagrangiana\n_START_PARAGRAPH_\nEn mec\xc3\xa1nica lagrangiana, las ecuaciones del movimiento son un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, dependientes de las coordenadas generalizadas  y de las velocidades generalizadas ._NEWLINE_Las ecuaciones del movimiento en mec\xc3\xa1nica lagrangiana se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange y se construyen a partir de una funci\xc3\xb3n L, llamada lagrangiano, que es igual a la energ\xc3\xada cin\xc3\xa9tica menos la energ\xc3\xada potencial. Cuando se usan coordenadas cartesianas en sistemas de referencia inerciales las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen a la segunda ley de Newton. Aunque su forma en un sistema de referencia general con coordenadas generalizadas  es:_NEWLINE_La mec\xc3\xa1nica hamiltoniana, es un enfoque b\xc3\xa1sicamente equivalente al anterior, donde las ecuaciones del movimiento vienen dadas por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se escriben en funci\xc3\xb3n de una funci\xc3\xb3n H llamada hamiltoniano (que en ciertos casos puede interpretarse como la energ\xc3\xada total del sistema, es decir, la suma de energ\xc3\xada cin\xc3\xa9tica y energ\xc3\xada potencial)._NEWLINE_Esta reducci\xc3\xb3n del orden del sistema se logra substituyendo variables de las velocidades generalizadas por unas variables abstractas de momentum (tambi\xc3\xa9n conocidas como momentos conjugados). As\xc3\xad por cada velocidad generalizada, hay un momento conjugado correspondiente, definido como:_NEWLINE_Si el potencial asociado al Lagrangiano no depende expl\xc3\xadcitamente de la velocidad, el momento conjugado corresponde al momento usual, utilizado en mec\xc3\xa1nica Newtoniana. Invirtiendo este sistema de ecuaciones se obtienen las velocidades generalizadas en t\xc3\xa9rminos de los momentos generalizados, paso necesario para obtener el Hamiltoniano usando transformadas de Legendre. En coordenadas polares, el momento generalizado que corresponde a la velocidad angular es el momento angular f\xc3\xadsico. Para una elecci\xc3\xb3n arbitraria de coordenadas generalizadas, puede no ser posible obtener una interpretaci\xc3\xb3n intuitiva de los momentos conjugados._NEWLINE_El hamiltoniano es la transformaci\xc3\xb3n de Legendre del lagrangiano:_NEWLINE_Las velocidades generalizadas son tomadas como funciones de los momentos generalizados. Si las ecuaciones de la transformaci\xc3\xb3n que definen las coordenadas generalizadas son independientes de t, puede ser demostrado que H es igual a la energ\xc3\xada total E = T + V.\n_START_SECTION_\nTransformaciones can\xc3\xb3nicas\n_START_PARAGRAPH_\nUna transformaci\xc3\xb3n can\xc3\xb3nica es un cambio de coordenadas  en el espacio f\xc3\xa1sico, tal que en las nuevas coordenadas las ecuaciones de Hamilton para la evoluci\xc3\xb3n temporal siguen conservando la forma can\xc3\xb3nica. La posibilidad de realizar transformaciones can\xc3\xb3nicas son una de las grandes ventajas de la mec\xc3\xa1nica hamiltoniana a la hora de integrar las ecuaciones de movimiento. El uso de las transformaciones can\xc3\xb3nicas tambi\xc3\xa9n es importante en el enfoque de la mec\xc3\xa1nica cl\xc3\xa1sica basado en la ecuaci\xc3\xb3n de Hamilton-Jacobi.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nTeorema de Liouville\n_START_PARAGRAPH_\nConsideremos una regi\xc3\xb3n del espacio f\xc3\xa1sico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una regi\xc3\xb3n de forma diferente ubicada, adem\xc3\xa1s, en otra parte del espacio f\xc3\xa1sico. El teorema de Liouville demuestra que a pesar de la traslaci\xc3\xb3n y el cambio de forma el "volumen" total de dicha regi\xc3\xb3n permanecer\xc3\xa1 invariante. Adem\xc3\xa1s debido a la continuidad de la evoluci\xc3\xb3n temporal si la regi\xc3\xb3n es conexa inicialmente seguir\xc3\xa1 siendo conexa todo el tiempo._NEWLINE_La invariancia del volumen puede probarse de manera relativamente sencilla usando que la propia evoluci\xc3\xb3n temporal puede verse como una transformaci\xc3\xb3n can\xc3\xb3nica, y dado que estas preservan el volumen se sigue el teorema de Liouville para la evoluci\xc3\xb3n temporal.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nMec\xc3\xa1nica hamiltoniana avanzada\n_START_PARAGRAPH_\nLa mec\xc3\xa1nica hamiltoniana admite una formulaci\xc3\xb3n muy elegante en el lenguaje de la geometr\xc3\xada diferencial. En esta formulaci\xc3\xb3n abstracta se construye una variedad simpl\xc3\xa9ctica  que de hecho es el espacio f\xc3\xa1sico dotado de una estructura topol\xc3\xb3gica conveniente. El objeto  es una 2-forma cerrada y no degenerada que permitir\xc3\xa1 definir el corchete de Poisson del sistema (y tambi\xc3\xa9n el \xc3\xa1lgebra de Poisson del sistema). Esta 2-forma permite construir adem\xc3\xa1s una biyecci\xc3\xb3n entre el espacio vectorial tangente y el espacio cotangente de 1-formas de la variedad simpl\xc3\xa9ctica:_NEWLINE_Un sistema hamiltoniano viene descrito por una tripleta  donde  es una funci\xc3\xb3n diferenciable, llamada hamiltoniano, definida sobre , las ecuaciones de Hamilton se representan simplemente como:_NEWLINE_Donde  es la derivada exterior. Para ver la relaci\xc3\xb3n entre esta \xc3\xbaltima ecuaci\xc3\xb3n y las ecuaciones can\xc3\xb3nicas de Hamilton (2) podemos considerar una carta local  que defina un conjunto de coordenadas can\xc3\xb3nicamente conjugadas tal como establece el Teorema de Darboux, podemos escribir en esas coordenadas:_NEWLINE_Y por tanto:\n_START_SECTION_\nFlujo hamiltoniano\n_START_PARAGRAPH_\nLa funci\xc3\xb3n diferenciable  a trav\xc3\xa9s de la ecuaci\xc3\xb3n (5) un campo vectorial continuo sobre toda la variedad simpl\xc3\xa9ctica. Las curvas integrales de este campo vectorial son las trayectorias de las part\xc3\xadculas a lo largo del espacio f\xc3\xa1sico. Esas curvas definen una foliaci\xc3\xb3n unidimensional o flujo hamiltoniano sobre la variedad. De hecho para cada intervalo de tiempo s se puede definir una aplicaci\xc3\xb3n:_NEWLINE_De hecho la anterior aplicaci\xc3\xb3n es una transformaci\xc3\xb3n can\xc3\xb3nica o simplectomorfismo. El conjunto  de todas las aplicaciones anteriores constituye un grupo uniparam\xc3\xa9trico de simplectomorfismos. Si consideramos cualquier magnitud f\xc3\xadsica definida como una funci\xc3\xb3n diferenciable sobre la variedad simpl\xc3\xa9ctica, su variaci\xc3\xb3n a lo largo de una trayectoria, viene dada por la siguiente derivada temporal:_NEWLINE_Tal como se demuestra m\xc3\xa1s adelante. De hecho en mec\xc3\xa1nica estad\xc3\xadstica se usan distribuciones de probabilidad sobre el espacio f\xc3\xa1sico. Fijada una distribuci\xc3\xb3n \xcf\x81 esta en general "evolucionar\xc3\xa1" con el tiempo seg\xc3\xban la ley:_NEWLINE_Esta \xc3\xbaltima expresi\xc3\xb3n se llama ecuaci\xc3\xb3n de Liouville, en particular una distribuci\xc3\xb3n tal que el corchete de Poisson con el hamiltoniano se anule se llama distribuci\xc3\xb3n estacionaria._NEWLINE_Cada funci\xc3\xb3n diferenciable G, sobre la variedad simpl\xc3\xa9ctica genera una familia uniparam\xc3\xa9trica de simplectomorfismos y si {G, H}=0, entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetr\xc3\xada.\n_START_SECTION_\n\xc3\x81lgebra de Poisson\n_START_PARAGRAPH_\nA su vez el corchete de Poisson se expresa de modo muy simple en t\xc3\xa9rminos de la funci\xc3\xb3n inversa de  denotada mendiante :_NEWLINE_Hay otra generalizaci\xc3\xb3n que podemos hacer. En vez simplemente de mirar el \xc3\xa1lgebra de funciones diferenciables sobre una variedad simpl\xc3\xa9ctica, la mec\xc3\xa1nica hamiltoniana se puede formular como un \xc3\xa1lgebra de Poisson real unital comutativa general._NEWLINE_En esta formulaci\xc3\xb3n alternativa un estado es una funcional lineal continua en el \xc3\xa1lgebra de Poisson , equipada de alguna estructura topol\xc3\xb3gica conveniente. Las \xc3\xa1lgebras de Poisson son importantes en el estudio de grupos cu\xc3\xa1nticos\xe2\x80\x8b usados en la teor\xc3\xada cu\xc3\xa1ntica de campos conforme, algunos modelos de cuantizaci\xc3\xb3n de espacio-tiempo, etc.'