b'\n_START_ARTICLE_\nFactores de escala (coordenadas ortogonales)\n_START_PARAGRAPH_\nLos factores de escala o coeficientes m\xc3\xa9tricos de un sistema de coordenadas ortogonales sobre el espacio eucl\xc3\xaddeo son las funciones que caracterizan el tensor m\xc3\xa9trico expresado en dichas coordenadas.\n_START_SECTION_\nIntroducci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLas l\xc3\xadneas coordenadas de un sistema de coordenadas en el espacio eucl\xc3\xaddeo tridimensional son aquellas que se obtienen partiendo de un punto dado, de coordenadas , variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos. Un sistema de coordenadas se dice ortogonal si las l\xc3\xadneas coordenadas son ortogonales en cada punto. Las coordenadas cartesianas, las cil\xc3\xadndricas y las esf\xc3\xa9ricas, son ejemplos de coordenadas ortogonales._NEWLINE_Dado un conjunto de coordenadas sobre el espacio eucl\xc3\xaddeo cuyas l\xc3\xadneas coordenadas se cortan en \xc3\xa1ngulo recto, puede construirse una base vectorial ortonormal en cada punto, a partir de los vectores tangentes a cada l\xc3\xadnea coordenada. En la obtenci\xc3\xb3n de estos vectores se definen unas cantidades, denominadas factores de escala, que aparecen frecuentemente en las f\xc3\xb3rmulas del c\xc3\xa1lculo vectorial. Tomando los vectores tangentes a cada l\xc3\xadnea en un punto, obtenemos tres vectores ortogonales entre s\xc3\xad, pero no necesariamente unitarios:_NEWLINE_Para obtener un sistema ortonormal, dividimos cada vector por su m\xc3\xb3dulo_NEWLINE_Las cantidades  son los denominados factores de escala. Su nombre proviene de que dan la proporci\xc3\xb3n entre lo que var\xc3\xada una coordenada y el desplazamiento que produce esta variaci\xc3\xb3n. De hecho el tensor m\xc3\xa9trico g\xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc del espacio eucl\xc3\xaddeo expresado en este sistema de coordenadas:_NEWLINE_Debe recordarse que el espacio eucl\xc3\xaddeo, en el que existe una funci\xc3\xb3n para medir distancias y longitudes de curvas, tiene la estructura de variedad de Riemann gracias a la existencia de dicho tensor m\xc3\xa9trico. Gracias a esa relaci\xc3\xb3n entre los factores de escala y el tensor m\xc3\xa9trico, estas magnitudes aparecen en multitud de expresiones de c\xc3\xa1lculo vectorial. As\xc3\xad, un "desplazamiento infinitesimal" se escribe:_NEWLINE_La 3-forma elemento de volumen, a partir de la cual se construye el llamado "elemento de volumen diferencial" viene dado en coordenadas curvil\xc3\xadneas por:_NEWLINE_Tambi\xc3\xa9n aparecen en las expresiones en coordenadas curvil\xc3\xadneas del gradiente, la divergencia y el rotacional.\n_START_SECTION_\nCoordenadas esf\xc3\xa9ricas y cil\xc3\xadndricas\n_START_PARAGRAPH_\nAplicando el c\xc3\xa1lculo de los factores de escala a las coordenadas cartesianas se obtiene:_NEWLINE_En coordenadas cil\xc3\xadndricas:_NEWLINE_y en coordenadas esf\xc3\xa9ricas:'