b"\n_START_ARTICLE_\nTeor\xc3\xada espectral\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1tica, teor\xc3\xada espectral es un t\xc3\xa9rmino inclusivo para las teor\xc3\xadas que extienden la teor\xc3\xada de vectores y valores propios de una matriz cuadrada a la m\xc3\xa1s amplia teor\xc3\xada de la estructura de operadores en ciertos espacios matem\xc3\xa1ticos.\xe2\x80\x8b Es resultado de los estudios del \xc3\xa1lgebra lineal y de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y sus generalizaciones.\xe2\x80\x8b La teor\xc3\xada est\xc3\xa1 conectada con la de funciones anal\xc3\xadticas debido a que las propiedades espectrales de un operador est\xc3\xa1n  estrechamente relacionados con las funciones anal\xc3\xadticas del par\xc3\xa1metro espectral.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nTrasfondo matem\xc3\xa1tico\n_START_PARAGRAPH_\nLa denominaci\xc3\xb3n teor\xc3\xada espectral fue introducida por David Hilbert en su formulaci\xc3\xb3n original de la teor\xc3\xada del espacio de Hilbert, que fue lanzada en t\xc3\xa9rminos de formas cuadr\xc3\xa1ticas en infinitas variables. El teorema espectral original fue concebido por tanto como una versi\xc3\xb3n del teorema de ejes principales de un elipsoide, en un entorno de dimensi\xc3\xb3n infinita. El posterior descubrimiento en mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica de que la teor\xc3\xada espectral podr\xc3\xada explicar las caracter\xc3\xadsticas del  espectros at\xc3\xb3micos fue por lo tanto fortuita._NEWLINE_Hist\xc3\xb3ricamente, hay tres modos principales de formular teor\xc3\xada espectral, todos los cuales mantienen su utilidad. Tras la formulaci\xc3\xb3n inicial de Hilbert, el desarrollo posterior de espacios de Hilbert abstractos y la teor\xc3\xada espectral de un \xc3\xbanico operador normal sobre ellos fueron muy en paralelo con los requerimientos de la f\xc3\xadsica, en particular de la mano de von Neumann.\xe2\x80\x8b La teor\xc3\xada se extendi\xc3\xb3 posteriormente para incluir \xc3\xa1lgebras de Banach de forma abstracta. Este desarrollo conduce a la representaci\xc3\xb3n de Gelfand, que cubre el  caso conmutativo, e incluso al an\xc3\xa1lisis arm\xc3\xb3nico no conmutativo._NEWLINE_Puede ponerse de manifiesto esta diferencia al enlazar con el an\xc3\xa1lisis de Fourier. La transformada de Fourier en la recta real es, en cierto sentido, la teor\xc3\xada espectral de  diferenciaci\xc3\xb3n v\xc3\xada el operador diferencial. Pero para cubrir los fen\xc3\xb3menos ya se ha de tratar con autofunciones generalizadas (por ejemplo, por medio de un Espacio de Hilbert equipado). Por otro lado, es f\xc3\xa1cil construir un \xc3\xa1lgebra de grupo, el espectro de los cuales refleja las propiedades b\xc3\xa1sicas de la transformada de Fourier, y esto se lleva a cabo por medio de la dualidad de Pontryagin._NEWLINE_Tambi\xc3\xa9n se pueden estudiar las propiedades espectrales de operadores en espacios de Banach. Por ejemplo, los operadores compactos en espacios de Banach tienen muchas propiedades espectrales similares a la de  matrices.\n_START_SECTION_\nTrasfondo f\xc3\xadsico\n_START_PARAGRAPH_\nEl trasfondo de la f\xc3\xadsica de vibraciones ha sido explicado de esta manera:\xe2\x80\x8b_NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_  _NEWLINE_La teor\xc3\xada espectral est\xc3\xa1 conectada con la investigaci\xc3\xb3n de las vibraciones localizadas de una variedad de objetos diferentes, de los \xc3\xa1tomos y mol\xc3\xa9culas en qu\xc3\xadmica a los obst\xc3\xa1culos en gu\xc3\xadas de ondas ac\xc3\xbasticas. Estas vibraciones tienen frecuencias, y la cuesti\xc3\xb3n es decidir si tales vibraciones localizadas ocurren, y c\xc3\xb3mo hacer para calcular las frecuencias. Este es un problema muy complicado, ya que cada objeto tiene no s\xc3\xb3lo un tono fundamental, sino tambi\xc3\xa9n una complicada serie de matices que var\xc3\xadan radicalmente de un cuerpo a otro._NEWLINE__NEWLINE_ _NEWLINE_La teor\xc3\xada matem\xc3\xa1tica no depende de tales consideraciones f\xc3\xadsicas a nivel t\xc3\xa9cnico, pero hay ejemplos de la influencia mutua (ver por ejemplo el art\xc3\xadculo de Mark Kac Can you hear the shape of a drum?). La adopci\xc3\xb3n por parte de Hilbert del t\xc3\xa9rmino 'espectro' se ha atribuido a un documento de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre la ecuaci\xc3\xb3n diferencial de Hill (por Jean Dieudonn\xc3\xa9), y fue asumido por sus estudiantes durante la primera d\xc3\xa9cada del siglo XX, entre ellos por Erhard Schmidt y Hermann Weyl. La base conceptual de los espacios de Hilbert fue desarrollada a partir de las ideas de Hilbert por Erhard Schmidt y Frigyes Riesz.\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b Fue casi veinte a\xc3\xb1os despu\xc3\xa9s, cuando la mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica se formula en t\xc3\xa9rminos de la ecuaci\xc3\xb3n de Schr\xc3\xb6dinger, que se realiza la conexi\xc3\xb3n con espectros at\xc3\xb3micos. Ya se hab\xc3\xada sospechado antes una conexi\xc3\xb3n con la f\xc3\xadsica matem\xc3\xa1tica de vibraciones, seg\xc3\xban lo comentado por Henri Poincar\xc3\xa9, pero fue rechazada por simples razones cuantitativas, a falta de una explicaci\xc3\xb3n de la serie de Balmer. Cfr.\xe2\x80\x8b El posterior descubrimiento en mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica de que la teor\xc3\xada espectral podr\xc3\xada explicar las caracter\xc3\xadsticas de los espectros at\xc3\xb3micos fue por lo tanto fortuito, en lugar de ser parte de la teor\xc3\xada espectral de Hilbert."