Sur Google ngrams, on voit que

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> ce dont j'ai envie
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est beaucoup plus utilisé que

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> ce que j'ai envie
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Si on remplace « envie » par « besoin », c'est « dont » qui est le plus commun, mais « ce que j'ai besoin » n'est pas si rare non plus.

Les livres de français insistent que l'on dit « ce dont » dans cet contexte. Est-ce vrai dans la langue courante ? Par exemple, Véronique Sanson a chanté 

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> Je fais ce que j'ai envie
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et même dans les années 1890, Google ngrams pense que « ce que j'ai envie » serait plus commun que « ce dont j'ai envie ».