Евгенийҙың атаһы, Е. М. Примаковтың үҙе әйтеүенсә, һуң мемуарҙарҙа Немченко фамилияһын йөрөткән, ғаиләһенән сыҡҡан, 1937 йылда репрессияланған (ГУЛАГ-та хәбәрһеҙ юғалған)). Әсәһе — Анна Яковлевна Примакова (1896—1972) — улы тыуғандан һуң бер нисә көн үткәс, Тифлисҡа, туғандарына ҡайта. Тимер юл дауаханаһында акушер-гинеколог, һуңынан Тифлис иләү-трикотаж комбинатының ҡатын-ҡыҙҙар консультацияһында эшләй. Примаковтың бала сағы һәм йәшлеге был ҡалала үтә, әсәһе менән Ленинград урамындағы 10-сы бүлмәлә йәшәй (хәҙер урам Санкт-Петербург урамы тип үҙгәртелгән). 14-се урта мәктәптә (Ниношвили урамы) уҡыған.