Анатолий Кукубаевич 1961 йылда Өфө сәнғәт училищеһының баян класын (педагогы И. П. Фоменков), 1966 йылда — Гнесиндар исемендәге Музыка-педагогия институтын тамамлай (А. А. Лубенниковтың баян класын, С. П. Горчаковтың дирижерлыҡ класын).