Александр Ильич Бибиков 1729 йылдың 10 июнендә Мәскәүҙә тыуған. Сығышы менән дворян Бибиковтар нәҫеленән. Инженер-генерал поручик Бибиков Илья Александровичтың һәм уның Писаревтар нәҫеленән булған ҡатынының улы. Бибиков өй тәрбиәһен ала, әммә әсәһенең вафатынан һәм атаһының икенсе никахынан һуң туғандары, Мәскәүҙәге Зачатьев монастыры монахинялары, ҡарамағына бирелә. Ун биш йәшендә (1744) Артиллерия һәм инженер шляхта кадет корпусына инә.