Евклидса геометриянан бөтөнләй айырмалы, логик ҡаршылыҡһыҙ булған геометрия төҙөп, Н. И. Лобачевский был фәндең үҫешендә принципиаль яңы аҙым яһай. XIX быуатта Лобачевский геометрияһы барлыҡҡа килеү, шунан һуң башҡа геометриялар төҙөлөү математикала аксиомалар ысулын үҫтереүгә һәм камиллаштырыуға этәргес бирә (Д. Гильберт һ.б.). Немец математигы Ф. Клейндың рәүеш үҙгәртеүҙәр төркөмдәре теорияһы нигеҙендә Евклид булмаған геометриялар классификацияһын төҙөүе 19 быуаттаге ҙур ҡаҙаныштарҙың береһе булып һанала. 1854 йылда немец математигы Б. Риман Евклид булмаған геометриялар ҡыҫаларына һыймаған фазалар төҙөй. Риман күп төрлөлөктәре һәм уларҙы ғөмөмиләштереү буйынса алып барылған тикшеренеүҙәрҙә «ғөмөмиләштерелгән фәзалар» тип аталған төшенсә керетелә, ә уларҙы өйрәнеү 20 быуатта киң ҡолас ала. Мәҫәлән, А. Эйнштейн, дүрт үлсәмле Риманса фаза-ваҡыт төшөнсәһен ҡулланып (1916), сағыштырмалылыҡтың дөйөм теорияһын төҙөй.